lektionsanteckningar för kursen matematik i:1ingforum.haninge.kth.se/mat1a/helakursen.pdf ·...

Lektionsanteckningar

för kursen

Matematik I:1

till mina studenter i

TBASA-AV VT2015

Håkan Strömberg

4 2 2 4 6

10

5

5

10

15

TBASA-GH14 Planering i matematik I:1 P1 14/15 Lärare: Niclas Hjelm | [email protected] | 08-790 48 57 (Niclas är pappaledig tisdagar och onsdagar under hösten!) Examinator: Niclas Hjelm Kursnr: HF0021 Kursmapp: U:\KURS\HF0021_Matematik för basår I Läromedel: Alfredsson, Bråting, Erixon, Heikne: Matematik 5000 Kurs 3c Blå Basåret ISBN 978-91-27-43010-5 Förlag: Natur och kultur Alphonce, Pilström; Formler och tabeller ISBN 978-91-27-42245-2 Förlag: Natur och Kultur eller den äldre upplagan Björk m.fl: Formler och tabeller ISBN 978-91-27-72279-1 Förlag: Natur och Kultur Kursbunt (utdelas vid kursstart) Datum Avsnitt Sidor i bok (KB = Kursbunt)

1 Räkning med polynom 110-113, 68-69 2 Andragradsekvationer 119-121 3 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer 122-123, 70-73 (ej u1631-

1632) 4 Polynom i faktorform 124-125 5 Rationella uttryck

Förlängning och förkortning 128-129 130-134

6 Addition och subtraktion 135-139 7 Multiplikation och division 140-141 8 Algebraiska uttryck och algebraiska metoder

Implikation och ekvivalens. 49-50 KB 2

9 Repetition inför kontrollskrivning 1 Kontrollskrivning 1

10 Potenser. 114-115 11 Kvadratrötter. Absolutbelopp. 116-118 12 Avrundning och gällande siffror

Likformighet 8-9 90-93

13 Areaskala. Volymskala. Bevis med likformighet

KB 3-5 94-95

14 Trigonometri 26-34 15 Trigonometri 35-36 16 Funktioner

Räta linjen 142-143 145-147

mailto:[email protected]

17 Räta linjen

Direkt proportionalitet KB 6 66

18 Repetition inför kontrollskrivning 2 Kontrollskrivning 2

19 Linjära ekvationssystem KB 7-15 20 Andragradsfunktioner 148-151 21 Formelhantering KB 16-18 22 Olikheter 13-15 23 Vektorer 37-39 24 Komposanter, koordinater och vektorlängd 40-42 25 Krafter och hastigheter 46-48 26 Repetition inför kontrollskrivning 3

Kontrollskrivning 3 27 Repetition inför tentamen

Tentamen Räknestugor Fredagar kl 13-15 ordnas räknestuga. Dessa syns på ert schema. Kontrollskrivningar (KS) Student som erhåller åtminstone 7 poäng av 12 möjliga på en kontrollskrivning kan tillgodogöra sig bonus på ordinarie tentamen. Student som blir godkänd på KS 1 hoppar över uppgifter motsvarande 4 p. Student som blir godkänd på KS 2 hoppar över uppgifter motsvarande 2 p. Student som blir godkänd på KS 3 hoppar över uppgifter motsvarande 2 p. Tillåtna hjälpmedel Vid kontrollskrivning och tentamen är godkänd miniräknare (ej symbolhanterande) samt formelsamlingen (utan anteckningar!) tillåtna hjälpmedel. Kursmapp I kursmappen U:\KURS\HF0021_Matematik för basår I finns en del material ni kan ha nytta av, t ex

• Kursbunten (pdf-fil). • Extra algebraövningar (pdf-fil). Detta är väsentligen svårare uppgifter på det som

tillhör KS1 • Gamla tentor och kontrollskrivningar. Eftersom denna kurs är ny finns inga gamla

tentor och kontrollskrivningar. Dock hittar ni gamla tentor och kontrollskrivningar i kursmappen för den gamla kurserna U:\KURS\HF0012_HF0013_HF0014. Vissa moment har tillkommit, andra har flyttats. För att se skillnaderna mellan gamla och nya kurserna, titta på Vad har ändrats i nya kursen (word-fil). Notera även att de gamla kontrollskrivningarna inte överensstämmer helt med de nya.

Rekommenderade övningsuppgifter Övningsuppgifterna i läroboken är indelade i tre svårighetsnivåer, A, B och C. Vi rekommenderar att ni löser några få A-uppgifter (dessa testar om ni är bekanta med

terminologin) och därefter en hel del B-uppgifter (dessa är lagom svåra och är dessutom på samma nivå som de flesta tentauppgifterna. Har ni därefter tid, och siktar på ett högt betyg, kan ni ge er på C-uppgifterna (dessa är svåra, i några fall t o m rejält svåra, och motsvarar de 2 svåraste uppgifterna på tentamen).

Sidor i boken 110-113, 68-69

Räkning med polynomFaktorisering av heltal. Attprimtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, därvarje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett heltal större än 1, som inte kan skrivas som produktenav två heltal, båda större än 1.

Exempel 1. Här har vi de 10 första primtalen.

2, 3, 5, 7, 11 , 13 , 17 19, 23

Vilka är de 10:e och 11:e primtalen?

Svar: 29 och 31.

Exempel 2. Primtalsfaktorisera talen 420 och 900.

Svar:420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7900 = 3 · 3 · 5 · 5 · 2 · 2

Exempel 3. 71, 93, 133. Ett av dessa tre tal är primtal, vilket?

Svar: 71 är primtal. 93 = 3 · 31 och 133 = 7 · 19När man ska ta reda på om ett heltal n är primtal eller inte behöver man inte testa divisioner avprimtal över

√n. Till exempel kan man komma fram till att 541 är ett primtal genom att ingen av

divisionerna med primtal <[√

541]

= 23 går jämnt upp.

Polynom i en variabel är en summa av termer. De termer som innehåller bokstavsbeteckningar(oftast x) kallas variabeltermer. Termer utan bokstav kallas konstanttermer. Variabeltermen är enprodukt av en koefficient och en potens av variabeln med positiv heltalsexponent, som bestämmertermens grad. Poynomets grad avgörs av högsta graden hos polynomets termer.

Några exempel på polynom

x2 + 3x + 7 Ett andragradspolynomx10 − 1 Ett tiogradspolynom3− x3 + x− x2 Ett tredjegradspolynom

Ett polynom kan innehålla flera variabler. 2ab3 + b2 − 3a är ett polynom i två variabler a och b.Dess gradtal är 4, som bestäms av termen 2ab3 genom 1+ 3 = 4

Två polynom kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras med varandra.

Exempel 4. Utför i tur och ordning addition, subtraktion och multiplikation av två polynom

(3x + 2) + (1+ 4x) ≡ 7x + 3

(4x2 − 3x) − (3x2 − 3x) ≡ x2

(3a + 1)(2 + 4a) ≡ 6a+ 12a2 + 2+ 4a ≡ 12a2 + 10a + 2

Vi hoppar över polynomdivision som just nu är lite för komplicerat!

Håkan Strömberg 1 KTH STH

Tre regler, som är ett måste att känna till, är de två kvadreringsreglerna och konjugatregeln

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 Första kvadreringsregeln(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 Andra kvadreringsregeln(a+ b)(a− b) = a2 − b2 Konjugatregeln

Det räcker inte med att man kan utveckla till exempel (3x+2)2 = 9x2+12x+4 eller (x+2)(x−2) =

x2− 4. Ibland måste man också kunna gå ’bakvägen’. Man faktoriserar polynomet 4x2 + 12x+ 9 till(2x + 3)(2x + 3) ≡ (2x + 3)2.

Ett annan situation kallar vi för att bryta ut. Polynomet 4x2 + 8x = 4x(x+ 2) blir faktoriserat genomatt bryta ut 4x. Någon kanske nöjer sig med att enbart bryta ut 4 och få 4(x2 + 2x) eller enbart xoch få x(4x+ 8).

En anledning till att man vill faktorisera ett polynom är att man vill förenkla ett uttryck, mest för attden fortsatta beräkningen ska bli enklare och kunna göras snabbare.

Exempel 5. Förenkla uttrycket

(a2 − b2) + (a+ b)2 + (a − b)2 ≡ a2 − b2 + a2 + b2 + 2ab+ a2 + b2 − 2ab ≡ 3a2 + b2

Det är förstås enklare att räkna vidare med 3a2 + b2 än med det ursprungliga uttrycket.

Exempel 6. Ser du mönstret för att skriva uttrycket som en (� +�)2

9x2 + 24xy2 + 16y4

Först ser vi att 9x2 ≡ (3x)2 och sedan 16y4 ≡ (4y2)2. När vi sedan ser att 2 · 3x · 4y2 = 24xy2

förstår vi att 9x2 + 24xy2 + 16y4 ≡ (3x + 4y2)

Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom till exempel

3x2 + 4y

2+ x+ y

Just detta uttryck kan man inte förenkla.

Exempel 7. Förenkla12x + 15

3≡ 3(4x + 5)

3≡ 4x+ 5

Genom att bryta ut 3 kan vi därefter förkorta och vi får ett enklare uttryck

Exempel 8. Förenkla3x2 + 6x

3x≡ 3x(x+ 2)

3x≡ x+ 2

Exempel 9. Förenkla4a+ 8b

a+ 2b≡ 4(a + 2b)

a+ 2b≡ 4

När vi bryter ut 4 i täljaren visar det sig att polynomet i täljaren överensstämmer med det i nämnarenoch vi kan förkorta

Exempel 10. Förenkla

(2a + b)(b− a) − (a − b)2

b− a≡ 2ab− 2a2 + b2 − ab− (a2 − 2ab+ b2)

b− a≡

3ab − 3a2

b − a≡ 3a(b − a)

b − a≡ 3a

Som genom trolleri har vi förenklat det ursprungliga uttrycket till 3a


Med insättning i ett polynom menas ersättning av en bokstavsbeteckning med ett tal eller en annanbokstav. Ersätter man variabeln x med talet 2 i uttrycket x2 − 2x + 4 får man uttryckets värde förx = 2. Normalt skriver man för p(x) = x2 − 2x + 4, p(2) = 22 − 2 · 2+ 4 och får att p(2) = 4.

Exempel 11. Bestäm p(x) = 3x2 + 4x − 10 för x = 1

p(1) = 3 · 12 + 4 · 1− 10 ≡ p(1) = −3

Exempel 12. Bestäm f(2) − f(0) då f(x) = 3x2 + 5

f(2) − f(0) ≡ (3 · 22 + 5) − (3 · 02 + 5) = 12

Exempel 13. Givet polynomet f(x) = x3 + x2 + x+ 1. Bestäm

f(3)

f(2)

Först bestämmer vi f(3) = 33 + 32 + 3+ 1 som ger f(3) = 40, sedan f(2) = 23 + 22 + 2+ 1 som gerf(2) = 15. Vi får

40

15≡ 5 · 8

5 · 3 =8

3

Problem 1. Beräkna 3(2 − 4) + (3− 4)(2 + 1) + 100(3 − (4− 1)) + (−2)(−4)

3(2 − 4) + (3 − 4)(2 + 1) + 100(3 − (4− 1)) + (−2)(−4) ≡3 · (−2) + (−1)3 + 100(3 − 3) + 8 ≡−6− 3+ 8 ≡−1

Svar: −1

Problem 2. Bestäm exakt2

3+

3

4+

5

6+

7

12

För att kunna addera bråk måste en gemensam nämnare bestämmas. Helst den minsta gemensammanämnare, MGN, (även om det inte det är nödvändigt).

Den som är van ser direkt att den MGN= 12. Det gäller att finna ett tal som samtliga nämnare går

jämnt upp i. Vi ser att så är fallet här.

När vi bestämt en gemensam nämnare ska vi förlänga varje bråk så att det antar MGN. Vi får

2 · 43 · 4 +

3 · 34 · 3 +

5 · 26 · 2 +

7 · 112 · 1

Vi kan nu skriva summan som8+ 9+ 10+ 7

12≡ 34

12≡ 17

6

Problem 3. Bestäm exakt1

36+

1

45+

1

8+

1

30

Den här gången är det lite besvärligare att hitta MGN. Visserligen fungerar den långt ifrån minstagemensamma nämnaren 36 · 45 · 8 · 30 = 388800, men här ska vi verkligen försöka hitta MGN.


Vi startar med att primtalsfaktorisera nämnarna

36 = 2 · 2 · 3 · 345 = 3 · 3 · 58 = 2 · 2 · 230 = 2 · 3 · 5

Endast tre faktorer förekommer: 2, 3, 5. Vi plockar nu ut så många faktorer av dem som det finnsi den faktorisering som innehåller flest. Detta ger

2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360

MGN=360, betydligt mindre än 388800. När vi nu ska förlänga de fyra bråken ’håller vi över’ Defaktorer som ingår i respektive nämnare och multiplicerar övriga faktorer. Detta tal förlänger vi såbråket med

1 · 2 · 536 · 2 · 5 +

1 · 2 · 2 · 245 · 2 · 2 · 2 +

1 · 3 · 3 · 58 · 3 · 3 · 5 +

1 · 2 · 2 · 330 · 2 · 2 · 3 ≡ 10 + 8+ 45+ 12

360≡ 75

360≡ 5

24

Så jobbigt kan det vara! i sista steget faktoriserade vi 75=3 · 5 · 5 och fick

3 · 5 · 52 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 =

5

2 · 2 · 2 · 3 =5

24

Problem 4. Bestäm36

2412

5

Detta kallas för dubbelbråk. Så här hanterar man detabcd

≡ a · db · c

Man multiplicerar bråket i täljaren med det inverterade värdet av bråket i nämnaren. Vi får

3624125

≡ 36

24· 5

12≡ 36 · 5

24 · 12 ≡ 3 · 524 · 1 ≡ 5

8

Problem 5. Bestäm exakt23+ 3

234+ 2

3

Vi behandlar täljare och nämnare för sig, så att vi får ett bråk i täljaren och ett i nämnaren.

2·23·2 + 3·3

2·33·34·3 + 2·4

3·4≡

4+96

9+812

≡1361712

≡ 13 · 126 · 17 ≡ 26

17

Problem 6. Skriv uttrycket som ett rationellt uttryck

1

x+ 1+

1

x− 1

Minsta gemensamma nämnaren är denna gång MGN= (x + 1)(x − 1) Precis som i aritmetiken

fortsätter vi:1(x − 1)

(x+ 1)(x − 1)+

1(x + 1)

(x + 1)(x − 1)≡ x − 1+ x+ 1

(x+ 1)(x − 1)=

2x

x2 − 1


Ett rationellt uttryck är alltså division av två polynom.

Problem 7. Är det någon skillnad på värdet mellan 3 · 4+ 5 och 5+ 3 · 4 ?

Svar: Nej eftersom multiplikation går före addition har båda uttrycken värdet 17. Observera attdet finns ’dåliga’ räknedosor som inte klarar detta.

Problem 8.

a) Man tänker multiplicera 12 stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet?b) Man tänker multiplicera 15 stycken negativa tal. Vad kan man säga om resultatet?

Svar: a) Resultatet blir positivt, > 0. b) Resultatet blir negativt, < 0.

Problem 9. Givet polynomet

f(x) = 10x3 − 12x2 + 5x+ 101

Du ska beräkna ett av dessa värden: p(0), p(1) och p(2). Du får välja vilket som helst. Vad väljerdu (om du är lite lat) ?

Svar: Den som är latast väljer p(0) = 101. Den som inte är riktigt så lat väljer p(1) = 10− 12+ 5+101 = 104. Den som gillar att räkna kanske väljer p(2) = 10 · 23 − 12 · 22 + 5 · 2+ 101 = 143.

Problem 10. Vad ska det stå istället för � för att uttrycket ska kunna faktoriseras med en kvadre-ringsregel?

x2 + 8x+�

Svar: � = 4

Problem 11. Faktorisera med kvadreringsreglerna

a) x2 − 6x+ 9

b) 16x2 + 8x+ 1

a)Här måste det handla om andra kvadreringsregeln

x2 − 6x+ 9 ≡ (x− 3)2

Om man är osäker på om det är rätt kan man utföra multiplikationen av termerna. Ett krav är atttvå av termerna måste vara kvadrater. Det ser man ganska enkelt. Dubbla produkten ser man sedanom den kommer stämma. Tecknet framför dubbla produkten avgör om det är första eller andrakvadreringsregeln.

b)

16x2 + 8x + 1 = (4x + 1)2

Problem 12. Utveckla(x+ 1)3

Lösning:(x+ 1)3

(x+ 1)(x + 1)2

(x+ 1)(x2 + 2x + 1)

x3 + 3x2 + x+ x2 + 2x + 1

x3 + 3x2 + 3x + 1


Problem 13. Med hjälp av konjugatregeln kan man ibland utföra en del multiplikationer i huvudet.Hur kan man förenkla

42 · 38Lösning:

38 · 40 ≡ (40 − 2)(40 + 2) ≡ 402 − 22 ≡ 1600 − 4 ≡ 1596

Problem 14. Använd första kvadreringsregeln på ett smart sätt för att bestämma

522

Lösning:522 ≡ (50 + 2)2 ≡ 502 + 2 · 2 · 50+ 22 ≡ 2500 + 200 + 4 ≡ 2704

Problem 15. Förenkla5t(t2 − 2t− 1) − t2(t− 3) + 2t3

Lösning:5t(t2 − 2t − 1) − t2(t− 3) + 2t3

5t3 − 10t2 − 5t − (t3 − 3t2) + 2t3

5t3 − 10t2 − 5t − t3 + 3t2 + 2t3

6t3 − 7t2 − 5t

Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna framför parenteserna. Behåll parentesernadå det finns ett minustecken strax framför. Utför inte fler steg på en gång än du klarar av!

Problem 16. Bollens höjd y(x) över golvet vid ett straffkast i basket kan beräknas med formeln

y(x) = 2.15 + 2.1x − 0.41x2

där x m från utkastet räknat längs golvet. Beräkna och tolka y(2.5) − y(2.0)

Lösning: Givet y(x) = 2.15 + 2.1x − 0.41x2 Vi har fått i uppgift att bestämma y(2.5) − y(2.0).

y(2.5) = 2.15 + 2.1 · 2.5− 0.41 · 2.52 = 4.8375

y(2) = 2+ 2.1 · 2− 0.41 · 22 = 4.71

y(2.5) − y(2) = 4.8375 − 4.56 = 0.1275

Kommentarer: Sätt in (substituera) x med respektive 2.5 och 2 och låt räknedosan göra resten.Som extra bonus får du här funktionen plottad. Eftersom det handlar om basket är det inte förvå-nande att det här visar sig vara en kastparabel, en andragradsfunktion med negativ x2-term.

Figur 1:


Utkastet sker antagligen från x = 0. Det verkar ju troligt att då spelaren står med händerna över hu-vudet så befinner sig bollen mer än 2 meter över golvet (x-axeln). När bollen har nått x-koordinaten2 har bollen nästan nått sin högsta punkt. Om x = 2.5 verkligen är det x-värde då bollen nått maxi-mal höjd kommer vi att kunna avgöra senare i kursen. Det 0.1275 vi fått som svar anger hur mycketbollen stigit från golvet sedan senaste avläsningen, x = 2.

Problem 17. En 279 meter lång väg ska var färdig efter 10 dagar. Under 6 dagar arbetar 5 manoch hinner med 135 meter. Hur många arbetare måste ytterligare anställas för att vägen skall bli blifärdig i rätt tid?

Lösning: Antag att man behöver anställa ytterligare x arbetare. 5 man arbetar i 6 som ger 30 ’man-dagar’. Detta betyder att 1 man klarar 135

30= 9

2meter/dag. Eftersom det återstår 279 − 135 = 144

meter kommer det att behövas9

2· (10 − 6) · (x+ 5) = 144

som ger x = 3.

Svar: Det behövs 3 extra arbetare.

Problem 18. Förenkla(

p+ 1

2

)2

−

(

p − 1

2

)2

Lösning:(

p+12

)2

−(

p−12

)2

(p+1)2

4−

(p−1)2

4

(p2+2p+1)−(p2−2p+1)

4

p2+2p+1−p2+2p−14

4p4

p

Problem 19. Ett bilmärke ökade sin marknadsandel från 12.4% till 15.5%. Hur stor var ökningen i

a) procentenheterb) procent

Lösning: a)Antalet procentenheter är 15.5 − 12.4 = 3.1

b)Antag att det såldes 1000 bilar ena året. Då var 1000 · 125

100= 124 stycken av vårt märke. Nästa

år såldes det åter 1000 bilar. 1000 · 155100

= 155. Antag att tillväxtfaktorn x. x · 124 = 155, som gerx = 1.25, vilket betyder att andelen steg med 25%.

Svar: 3.1% respektive 25%.

Lös i första hand problemen på sidorna 69 och 112− 113. Men du behöver mer träning ...

Läxa 1. Förenkla så långt möjligt

2(x + h) − 7(x + h)2 − (2x − 7x2)


Läxa 2. Faktorisera med kvadreringsreglerna

a) 50a2 + 40a + 8

b) x2 − 12xy + 36y2

Läxa 3. Lös ekvationen5x2 − (2x+ 1)(x − 3) = 3(x + 4)(x − 4)

Läxa 4. Beräkna exakt2

3+

2

9−

5

12+

5

16

Läxa 5. Förenkla så långt möjligt5x + 15

5+

x2 − 3x

x


(3x + 3y)2

9−

(2x − 2y)2

4− (x+ y)2

Läxa Lösning 1.2(x + h) − 7(x + h)2 − (2x − 7x2)

(2x + 2h) − 7(x2 + h2 + 2hx) − (2x − 7x2)

2x+ 2h − (7x2 + 7h2 + 14hx) − 2x + 7x2

2x+ 2h − 7x2 − 7h2 − 14hx − 2x+ 7x2

2h− 7h2 − 14hx

Kommentarer: Vilka bokstäver man använder spelar förstås ingen roll. Det går lika bra om manbyter ut y mot h, som när man på lågstadiet byter äpplen mot päron. Kom nu ihåg att det är bästatt behålla parenteserna så länge! Har man flera bokstavsfaktorer i en term brukar det vara vanligtatt ordna dem i bokstavsordning – skriv hellre 4hx än 4xh.

Läxa Lösning 2. a)Vi ska alltså använda kvadreringsreglerna baklänges.

50a2 + 40a + 8

2(25a2 + 20a + 4)

2(5a + 2)2

Kommentarer: Varken 50 eller 8 är heltalskvadrater. Därför kan vi inte tillämpa någon av reglernadirekt. Men om vi bryter ut 2 ser det bättre ut. Det är alltså första kvadreringsregeln som kommertill användning här.

b)

x2 − 12xy+ 36y2

x2 − 12xy+ (6y)2

(x− 6y)2

Minustecknet framför dubbla produkten anger att det handlar om andra kvadreringsregeln.


Läxa Lösning 3. Här dyker det plötsligt upp en ekvation, trots att vi ännu inte pratat om det!

5x2 − (2x + 1)(x − 3) = 3(x + 4)(x − 4)

5x2 − (2x2 − 6x + x− 3) = 3(x2 − 4x+ 4x − 16)

5x2 − 2x2 + 5x+ 3 = 3x2 − 48

5x2 − 2x2 − 3x2 + 5x = −48− 3

x = −51

5

Kommentarer: Starta med att utveckla parenteserna, men behåll dem. I andra steget tar vi bortparentesen på vänster sida och observerar samtidigt att det finns en minustecken framför den påvänstra sidan. På högra sidan kan vi multiplicera in 3 och samtidigt ta bort parentesen. Samla nualla x och x2-termer på vänster sida. Vilken tur att x2-termerna försvann – vi har ju inte talat omandragradsekvationer ännu! Resultatet −51/5 är lika med −10.2.

Läxa Lösning 4.2

3+

2

9−

5

12+

5

16

Först måste vi bestämma en gemensam nämnare och vi siktar in oss på MGN.

3 = 3

9 = 3 · 312 = 2 · 2 · 316 = 2 · 2 · 2 · 2

MGN= 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 144 Nu är det dags att förlänga

2 · 483 · 48 +

2 · 169 · 16 −

5 · 1212 · 12 +

5 · 916 · 9

I nästa steg får vi96 + 32− 60+ 45

144≡ 133

144

Svar: Summan är 133144

Läxa Lösning 5.5x+ 15

5+

x2 − 3x

x5(x+ 3)

5+

x(x− 3)

x(x+ 3) + (x− 3)

2x

Läxa Lösning 6.(3x+3y)2

9−

(2x−2y)2

4− (x+ y)2

9x2+18xy+9y2

9− 4x2−8xy+4y2

4− (x2 + 2xy+ y2)

9(x2+2xy+y2)

9−

4(x2−2xy+y2)

4− x2 − 2xy− y2

x2 + 2xy+ y2 − (x2 − 2xy+ y2) − x2 − 2xy− y2

x2 + 2xy+ y2 − x2 + 2xy− y2 − x2 − 2xy− y2

−x2 + 2xy− y2

−(x2 − 2xy+ y2)

−(x− y)2


I varje uppgift du kommer att lösa under denna kurs ingår mer eller mindre manipulerande avuttryck, kallat algebra. Därför är det speciellt viktigt att du kan hantera denna disciplin.

Problem 20. Förenkla

3x2 − 2x2 + 5x+ 3x2 + 4x3 + x− 6x2 − 2x3 − 3x

Svar: 2x3 − 2x2 + 3x


x+ 2y+ 3z + (2x − y− 2z) − (y− 3x+ 2x) − (2x + 3y− x)

Svar: 3x− 3y + z


(x+ 1)(x + 3) − (x + 2)(x + 3) + 2(x − 2)(x − 1)

Svar: 2x2 − 7x + 1

Problem 23. Förenkla(x3 + x)2 − (x3 − x)2 + (x3 + x)(x3 − x)

Svar: x6 + 4x−x2


Sidor i boken 119-121

AndragradsekvationerDagens tema är ekvationer, speciellt av andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer.

En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen flera) obekant tal, betecknade med en bokstav,där x är den absolut vanligaste.

En lösning till en ekvation är ett sådant värde på den obekanta som innebär att likheten gäller. Enlösning till en ekvation kallas ibland rot.

3x + 2 = x + 6 är en ekvation av första graden, som har lösningen x = 2. Att x = 2 är en lösningvisar man genom att substituera 2 för x. Man säger att man prövar lösningen.

V.L. 3 · 2+ 2 = 8

H.L. 2+ 6 = 8

V.L. = H.L.

V.L. står för vänsterledet och H.L. för högerledet. Då båda leden har samma värde, gäller likhet.x = 2 satisfierar eller uppfyller ekvationen.

Till skillnad från förstagradsekvationen ovan är detta en ekvation av andra graden.

x2 + x− 6 = 0

Normalt lär man sig en formel för att snabbt kunna lösa denna ekvation. Om ekvationen skrivsx2 + px+ q = 0, där p och q är reella tal är lösningen

x = −p

2±√

(p

2

)2

− q

Bland studenter kallas ofta den här formeln för PQ-formeln. Under denna kurs kommer du att lösaminst 100 andragradsekvationer, så det finns all anledning att bekanta sig med denna formel.

Exempel 14. Lös ekvationenx2 + x− 6 = 0

Lösning:

x2 + x − 6 = 0

x = −12±√

14+ 6

x = −12±√

14+ 6·4

4

x = −12±√

254

x = −12± 5

2

x1 = −12+ 5

2≡ 2

x2 = −12− 5

2≡ −3

Rötterna till ekvationen är alltså x = −3 och x = 2. En andragradsekvation har alltid två rötter.Men ibland är dessa rötter inte reella och kallas då imaginära. Vi ska dock inte befatta oss med


imaginära rötter i denna kurs. Någon gång är båda rötterna lika. Man säger då att ekvationen haren dubbelrot.

Exempel 15. Lös ekvationenx2 − 8x + 16 = 0

Lösning:x2 − 8x+ 16 = 0

x = 4±√42 − 16

x = 4±√0

x1 = 4

x2 = 4

Ekvationen har en dubbelrot.

Exempel 16. Lös ekvationenx2 + 4x + 6 = 0

Lösning:x2 + 4x + 6 = 0

x = −2±√

(−2)2 − 6

x = −2±√−2

Den här ekvationen saknar reella rötter. Anledningen till det är att√−2 inte är definierad i den

matematik som tillhör den här kursen.

Exempel 17. Lös ekvationen3x2 − 3x− 6 = 0

Lösning: Om koefficienten till x2-termen inte är 1 kan man först dividera samtliga termer meddenna koefficient. Här får vi då

x2 − x− 2 = 0

och nu kan vi fortsätta med PQ-formeln och få rötterna x1 = −1 och x2 = 2. Man kan ocksåanvända den här, alternativa, formeln då ekvationen är ax2 + bx + c = 0 och a, b och c är reellatal.

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

I vårt exempel får vi

x =−(−3)±

√(−3)2−4·3·(−6)

2·3x = 3±

√9+726

x = 3±96

x1 = −1

x2 = 2

Exempel 18. Lös ekvationenx2 = 81

Här behöver vi dock inga formler. x2 = 81 har två rötter x1 = −9 och x2 = 9, som vi får genom att”dra roten ur båda sidorna”, upphöja båda sidorna med 1

2. Observera att formeln fungerar. Det är

på grund av att p = 0, som allt blir så enkelt.

Problem 24. Lös ekvationenx2 − 2x − 15 = 0


Lösning:x2 − 2x− 15 = 0

x = 1±√12 + 15

x = 1± 4x1 = 5

x2 = −3

Svar: x1 = 5 och x2 = −3

Problem 25. Lös ekvationenx2 + x− 3 = 0

Lösning:x2 + x − 3 = 0

x = −12±√

(

12

)2+ 3

x = −12±√

14+ 3·4

4

x = −12±√

134

x1 = −1+√13

2

x2 = −1−√13

2

Svar: x1 = −1+√13

2och x2 = −1−

√13

2

Problem 26. Lös ekvationen2x2 + 3x− 1 = 0

Lösning:2x2 + 3x − 1 = 0

x2 + 32x− 1

2= 0

x = −34±√

916

+ 12

x = −34±√

916

+ 1·82·8

x = −34±√

916

+ 1·82·8

x = −34±√

1716

x = −3±√17

4

x1 = −3+√17

4

x2 = −3−√17

4

Man kan inte förvänta sig att det alltid är heltalslösningar. Det är ofta tillåtet att använda räknedosanför att få ett approximativt svar.Svar: x1 ≈ 1.30 och x2 ≈ −1.78

Problem 27. Lös ekvationen(x− 3)(x + 4) = 0

Lösning: Först den klumpiga vägen:

(x− 3)(x + 4) = 0

x2 + 4x− 3x− 12 = 0

x2 + x− 12 = 0

x1 = 3 x2 = −4


Sista steget fixar vi med formeln:

x = −12±√

(

12

)2+ 12

x = −12±√

1+4·124

x = −1±√1+4·122

x = −1±72

x1 = 3 x2 = −4

Den mindre klumpiga vägen. Målet är att finna ett (eller två) värden på x, sådana att dessa,insatta i den ursprungliga ekvationen medför att dess vänstra led blir lika med dess högra. Högraledet i vår ekvation är 0, alltså vill vi finna värden på x, så att även vänstra ledet blir 0. Studerar vinu ekvationen innan vi utvecklar parenteserna (x − 3)(x + 4) = 0 så kan vi få vänstra ledet till 0genom att välja x = 3 eller x = −4, där har vi de två rötterna!

Problem 28. Lös ekvationernax2 − 4x + 3 = 0

x2 + 8x − 9 = 0

y2 − 3y− 4 = 0

t2 + 5t + 4 = 0

Lösning: De fyra ekvationerna i denna uppgift kan alla direkt lösas med formeln ovan. Det orkarvi dock inte genomföra här. Istället ska ni förstå att skolan och lärarna i allmänhet är ganska snälla.Detta betyder att det är mer än troligt att en given andragradsekvation har heltalslösningar, det villsäga x1 och x2 är heltal. Vad har man nu för nytta av att veta detta?

Vi påstår utan att bevisa det att p = −x1 − x2 och q = x1 · x2. Efter en del träning kan man se dettaganska enkelt. Vi försöker på de fyra ekvationerna

x2 − 4x + 3 = 0 x1 = 3 x2 = 1

x2 + 8x − 9 = 0 x1 = 1 x2 = −9

y2 − 3y− 4 = 0 y1 = −1 y2 = 4

t2 + 5t + 4 = 0 t1 = −1 t2 = −4

Det gick ju utmärkt, åtminstone för mig. Du får se detta knep som överkurs.

Kvadratkomplettering. Ett alternativt sätt att lösa andragradsekvationer är att använda sig avkvadratkomplettering. Vi vet att

(x + a)2 ≡ x2 + 2ax+ a2

genom första kvadreringsregeln. Om vi nu vill lösa ekvationen (x + 2)2 = 9, så är det lätt. Vi drarbara roten ur båda leden.

(x + 2)2 = 9√

(x + 2)2 =√9

x+ 2 = ±3

x1 = 1x2 = −5

Men hur är det då att lösa x2 + 4x− 5 = 0 utan att använda PQ-formeln? Eftersom (x+ 2)2 = 9 kanutvecklas till x2 + 4x − 5 = 0 är det ju samma ekvation som förstås har samma rötter.

Eftersom (x + 2)2 = 9 är enkel att lösa skulle det vara bra om vi kunde skriva om x2 + 4x − 5 = 0på den formen!

Vi startar med att skriva om ekvationen x2+4x = 5. Nu gäller det att hitta ett tal a så att x2+4x+a2 =

5+a2. Vilket värde ska a ha för att vi ska kunna skriva vänstra ledet som (x+a)2 ≡ x2+2ax+a2 ?Jo, a = 2. Då får vi x2 + 4x + 4 = 5 + 4 eller (x + 2)2 = 9 och vi har kommit fram till den enklaformen som ovan.


Problem 29. Lös följande ekvationer med kvadratkomplettering

a) x2 − 14x + 24 = 0

b) x2 − 6x− 55 = 0

c) x2 + 8x+ 15 = 0

Lösning: a)

x2 − 14x + 24 = 0

x2 − 14x + a2 = −24+ a2

x2 − 14x + 49 = −24+ 49

(x− 7)2 = 25x− 7 = ±5

x1 = −2x2 = −12

b)

x2 − 6x − 55 = 0

x2 − 6x + a2 = 55+ a2

x2 − 6x + 9 = 55 + 9

(x − 3)2 = 64

x− 3 = ±8x1 = −5

x2 = 11

c)

x2 + 8x+ 15 = 0

x2 + 8x+ a2 = −15 + a2

x2 + 8x+ 16 = −15+ 16

(x+ 4)2 = 1

x+ 4 = ±1

x1 = −5x2 = −3

Problem 30. Givet andragradsekvationen

x2 − ax+ 35 = 0

där x-termens koefficienten är ett okänt reellt tal a. Istället vet man att x1 = 5. Sök a och den andraroten.

Lösning: Vi startar med att ta reda på a och sätter in x = 5.

52 − 5a + 35 = 025 + 35 = a

a = 605

a = 12

Nu har vi ekvationenx2 − 12x + 35 = 0

x = 6±√36− 35

x = 6± 1

x1 = 5x2 = 7


Svar: a = 12 och x2 = 7

Problem 31. Rötterna till en andragradsekvation är x1 = 2 och x2 = 1. Bestäm en ekvation meddessa rötter.

Lösning:(x− 2)(x − 1) = 0

Det står helt klart att om x = 2 eller x = 1 är H.L. = V.L.. Alltså är detta en av oändligt mångaekvationer som är lösning till denna uppgift.

Hur är det då med 4711(x − 2)(x − 1) = 0 ? Även den har rötterna x1 = 1 och x2 = 2.

Detta är inte lika lätt att se om man ger ekvationen ovan som 4711x2 − 14133x + 9422 = 0.

I första hand ska du lösa problem 2161 − 2174 i boken. När det är klart har du ’nött in’ konsten attlösa andragradsekvationer. Men det skadar inte med några till. En del kanske är lite klurigare. . .

Vi börjar med några förstagradsekvationer

Läxa 7. Lös ekvationen

2x + 3− 4x + 5− 3x + 7+ 4x = 3x + 5− 3x


3(x + 2) − 4(3 + x) − (3x+ 2) = 2(x − 1) − 3(x + 3)

Läxa 9. Den här uppgiften gavs i realexamen HT1948.

3

2(x+ 4) −

2

3

(

5+3

4(x− 2)

)

− x =x+ 4

x− 4

Klarar du den här klarar du nog de flesta förstagradsekvationer som kommer att dyka upp i denhär kursen.

Läxa 10. Lös andragradsekvationenx2 − 2x − 3 = 0

Läxa 11. Lös andragradsekvationenx2 + 4x + 4 = 0

Läxa 12. Lös ekvationen(x+ 3)(x − 5) = 0

Läxa 13. Lös följande ekvationer med hjälp av kvadratkomplettering

a) x2 − 12x + 30 = 0

b) x2 − 3x− 4 = 0



3x2 + 5− x2 − 2− 4x = x2 + 2− 2x + 1− x + 2

Läxa 15. Lös ekvationen7

x− 5+

2

x+ 5=

40 − x

x2 − 25

Läxa Lösning 7.2x+ 3− 4x+ 5− 3x+ 7+ 4x = 3x+ 5− 3x

−x+ 15 = 5

15− 5 = xx = 10

Svar: x = 10

Läxa Lösning 8.

3(x + 2) − 4(3+ x) − (3x + 2) = 2(x − 1) − 3(x+ 3)

3x + 6− (12 + 4x) − (3x + 2) = (2x − 2) − (3x+ 9)

3x + 6− 12 − 4x − 3x− 2 = 2x − 2− 3x − 93x + 6− 12 − 4x − 3x− 2 = 2x − 2− 3x − 9

−4x− 8 = −x− 1111− 8 = 4x − x

3 = 3x

x = 1

Svar: x = 1

Läxa Lösning 9.32(x+ 4) − 2

3

(

5+ 34(x− 2)

)

− x = x+4x−4

3x2

+ 3·42

− 23

(

5+ 3x4− 3·2

4

)

− x = x+4x−4

3x2

+ 3·42

− 2·53

− 2·3x3·4 + 2·3·2

3·4 − x = x+4x−4

3x2

+ 122− 10

3− 6x

12+ 12

12− x = x+4

x−4

6·3x+6·12−4·10−6x+12−12x12

= x+4x−4

18x+72−40−6x+12−12x12

= x+4x−4

4412

= x+4x−4

44(x − 4) = 12(x + 4)

44x − 176 = 12x + 48

32x = 224

x = 22432

x = 7

Svar: x = 7

Läxa Lösning 10.x2 − 2x− 3 = 0

x = 1±√12 + 3

x = 1± 2

x1 = 3

x2 = −1


Svar: x1 = 3 och x2 = −1

Läxa Lösning 11.x2 + 4x+ 4 = 0

x = −2±√

(−2)2 − 4

x = −2±√0

x1 = −2

x2 = −2

Ekvationen har en dubbelrot.Svar: x1 = 3 och x2 = −1

Läxa Lösning 12.(x+ 3)(x − 5) = 0

Här är det meningen att man direkt ska se att V.L. = 0 då den ena av faktorerna är = 0. Dettainträffar då x = −3 eller x = 5. Inte för något annat värde på x kan V.L. vara = 0.Svar: x1 = −3 och x2 = 5

Läxa Lösning 13. a)

x2 − 12x + 30 = 0

x2 − 12x + a2 = −30+ a2

x2 − 12x + 36 = −30+ 36

(x− 6)2 = 6

x− 6 = ±√6

x1 = 6+√6

x2 = 6−√6

b)

x2 − 3x− 4 = 0

x2 − 3x+ a2 = 4+ a2

x2 − 3x+ 94= 4+ 9

4

(x − 32)2 = 4·4

4+ 9

4

x− 32= ±

√

254

x1 = 32+ 5

2≡ 4

x2 = 32− 5

2≡ −1

Läxa Lösning 14.

3x2 + 5− x2 − 2− 4x = x2 + 2− 2x + 1− x+ 2

3x2 − x2 − x2 − 4x + 2x+ x+ 5− 2− 2− 1− 2 = 0

x2 − x− 2 = 0

x = 12±√

14+ 2

x = 12±√

14+ 8

4

x = 12± 3

2

x1 = 2

x2 = −1

Svar: x1 = 2 och x2 = −1


Läxa Lösning 15. När man vet att (x2 − 25) = (x − 5)(x + 5) är det lämpligt att multiplicera bådaled med (x − 5)(x + 5)

7x−5

+ 2x+5

= 40−xx2−25

(x− 5)(x + 5)(

7x−5

+ 2x+5

)

= (x− 5)(x + 5)(

40−xx2−25

)

7(x−5)(x+5)x−5

+2(x−5)(x+5)

x+5=

(x−5)(x+5)(40−x)

x2−25

7(x + 5) + 2(x − 5) = 40− x

7x + 35 + 2x− 10 = 40− x

7x + 2x + x = 40− 35 + 10

10x = 15

x = 1510

x = 32

Svar: x = 32

Bokstavsräkning – Algebra

Du står nu inför en ny kurs i matematik, där meningen är att du ska tillgodogöra dig nya teorier,som samtliga leder fram till övningar och uppgifter.

Även om du förstått vad teorin ska användas till och hur den ska tillämpas, är det inte säkert attdina lösningar leder fram till ett korrekt svar.

Ofta beror detta på att du inte är speciellt vältränad på att hantera de uttryck, som du satt upppå papperet. Du är inte tillräckligt säker på hur du förenklar ett algebraiskt uttryck eller löser enekvation.

Denna färdighet är inte direkt kopplad till matematik, vad avser abstraktionsförmåga och problem-lösning. Därför måste det vara speciellt tråkigt och frustrerande att snubbla på tröskeln och intelyckats visa, att man egentligen förstått vad man håller på med.

Med hjälp av de lösta och väl kommenterade uppgifter som finns här, är det tänkt att du ska finslipadina förmåga att räkna med bokstäver.

Det är tillåtet att tycka att detta är en tråkig disciplin, men tänk då på hur mycket glädje du kan få utav några timmars tråkig träning. Att verkligen kunna visa att man förstått ett avsnitt i matematikengenom att lösa tillhörande uppgifter. Jämför det gärna med sport. Styrke- och konditionsträning hörinte till det det roligaste, men är nödvändiga inslag, för att nå toppen i många grenar.

Det torde vara omöjligt att förvärva denna färdighet utan träning. Tidigare generationer, som blandandra dina lärare tillhör, har räknat sida upp och sida ned med denna typ av förenklingsuppgifter.

• Läs först igenom de regler och knep som presenteras här nedan. De utgör de kunskaper dubehöver för att lösa de 30 uppgifterna.

• Varje uppgift går ut på att förenkla ett algebraiskt uttryck, så lång det går och det går här alltid’väldigt’ långt. Ofta är svaret ett heltal eller en enda bokstav. Se detta som en ledtråd, sominte kan sägas gälla för uttryck i allmänhet.

• Lös en uppgift i taget och kontrollera sedan ditt svar i den kommenterade lösningen. Ävenom du lyckats få rätt svar, kan det vara idé att titta igenom lösningen. Är din lösning likadan,


smartare eller för omständlig? Om du misslyckades i ditt första försök är det viktigt att du ’fårmed dig något’ från lösningen, som du kan använda i kommande uppgifter. Studera därförlösningen noga och är du ambitiös kan du försöka att lösa den igen, en annan dag.

• Mycket, när det gäller bokstavsräkning, är resultat av noggrannhet och god administrations-

förmåga. Egenskaper man kan ha nytta av inom andra områden. Uppgifterna här anses svåraoch när du känner att du behärskar dem väl, kan du känna dig trygg.

Regler och knep vid bokstavsräkning

I När man avlägsnar parenteserna i uttrycket

(2a + b) − (a+ b + c) − (a − b− c)

kommer termerna i en parentes, som föregås av ett minustecken att ändra tecken

(2a + b) − (a+ b+ c) − (a− b− c) ≡ 2a + b− a− b− c− a+ b+ c ≡ b

II För att förenkla uttrycket3(a− b) − 2(b − a) + 5(b + a)

’multiplicerar man in’ konstanten i parentesen. Denna lag kallas den distributiva lagen,a(x+ y) = ax+ ay.

3(a − b) − 2(b − a) + 5(b + a) ≡ 3a− 3b− 2b+ 2a+ 5b + 5a ≡ 10a

III När vi stöter på ett uttryck liknande

(a+ b)(b − c)

tvingas vi ofta att ’multiplicera samman’ dessa parenteser till

(a+ b)(b− c) ≡ ab− ac+ b2 − bc

Detta är inget annat än distributiva lagen i en annan skepnad,

(a+ b)(c+ d) = (a+ b)c+ (a+ b)d

Antalet termer i de två parenteserna kan var godtyckligt stort. Om till exempel den enaparentesen innehåller 3 termer och den andra 4, kommer multiplikationen att ge 3 · 4 = 12

termer (innan eventuell sammanslagning).

IV Speciellt stöter vi ofta på uttrycken

Första kvadreringsregeln (a+ b)2 ≡ a2 + b2 + 2ab

Andra kvadreringsregeln (a− b)2 ≡ a2 + b2 − 2ab

som man bör kunna använda i båda riktningar. Det vill säga det är lika viktigt att kunna se att

4x2 − 20xy+ 25y2 ≡ (2x − 5y)2

som att snabbt kunna utveckla

(10a + 7b)2 ≡ 100a2 + 140ab + 49b2

Det kan vara bra att känna till även

(a+ b)3 ≡ a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

(a+ b)4 ≡ a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4

Dessa ’formler’ blir mindre komplicerade då man känner till binomialkoefficienter och Pascals

triangel.


V Konjugatregeln (a − b)(a + b) = a2 − b2 ska kunna användas i båda riktningar. Man skasnabbt kunna se, att

(4x − 7)(4x + 7)

kan skrivas(4x − 7)(4x + 7) ≡ 16x2 − 49

lika väl som att100a2 − 64b2

kan skrivas100a2 − 64b2 ≡ (10a + 8b)(10a − 8b)

VI Ser man i detta uttryck inte, att man kan bryta ut 9 i täljaren och 3 nämnaren

18x + 9

6x + 3≡ 9(2x + 1)

3(2x + 1)= 3

kan man inte komma vidare. Detta är att använda distributiva lagen bakvägen. Även detta ärett exempel på att bryta ut:

a(b+ 1) + c(b + 1)

a+ c≡ (b + 1)(a + c)

a+ c≡ b + 1

VII Bryter vi ut (−1) ur parentesen (a− b) får vi (−1)(b− a). Detta är ett vanligt återkommande’knep’ som till exempel i uppgiften

a− b

b − a≡ (a− b)

(−1)(a − b))≡ −1

VIII Att förlänga ett bråk är samma sak som att multiplicera täljare och nämnare med sammauttryck (6= 0). Dessa bråk är alla ekvivalenta:

1

2≡ (a+ b)

2(a + b)≡ x3

2x3≡ (a+ b)(x + y)

2(a + b)(x + y)

IX Addition av bråk. För att kunna skriva dessa termer på samma bråk, måste man först göraliknämnigt:

1

a+

2

b≡ b · 1

b · a +a · 2a · b ≡ b+ 2a

ab

ab är den minsta gemensamma nämnaren för de två termerna. Det är inget absolut krav attman hittar den minsta gemensamma nämnaren, även om det i praktiken leder till mindreräknande. I detta exempel är (a− b)(a + b) minsta gemensamma nämnaren

1

a+ b+

2

a2 − b2+

3

a− b

När vi skriver de tre termerna på samma bråkstreck får vi

(a − b) + 2+ 3(a + b)

(a − b)(a+ b)


X Division av bråk. En regel som ofta används är: Division av två bråk är samma sak, som att

multiplicera täljaren med det den inverterade nämnaren. Att invertera ett bråk är att bytaplats på täljare och nämnare. Alltså

a

a+ ba

(a + b)2

≡ a

a+ b· (a+ b)2

a≡ a+ b

Vi har här ett dubbelbråk. Vi skriver om huvudbråkets täljare. Inverterar bråket i nämnarenoch multiplicerar med täljaren.

För dessa tre uppgifter gäller det att förenkla så långt möjligt.

Problem 32.(2a+ 5)(8a + 18) − (4a + 16)(4a + 3)

Lösning:

(2a + 5)(8a + 18) − (4a + 16)(4a + 3) ≡1 16a2 + 36a + 40a + 90 − (16a2 + 12a + 64a + 40) ≡2 16a2 + 36a + 40a + 90 − 16a2 − 12a − 64a − 40) ≡3 76a + 9− 76a − 48 ≡4 42

Vi inleder med att multiplicera samman de två paren av parenteser (1). Eftersom det finns ettminustecken framför det andra paret, tar vi det försiktigt och behåller först parenteserna (1). Närvi sedan tar bort dem, kommer samtliga termer inuti parentesen att byta tecken (2). Återstår att slåsamman termer som hör ihop (3). Svar: 42

Problem 33.(3a + 8)2 + (4a − 6)2 − (5a+ 7)(5a − 7)

Lösning:

(3a + 8)2 + (4a − 6)2 − (5a + 7)(5a − 7) ≡1 9a2 + 64 + 48a + 16a2 + 36− 48a − (25a2 − 49) ≡2 9a2 + 64 + 48a + 16a2 + 36− 48a − 25a2 + 49 ≡3 100 + 49 ≡4 149

I tur och ordning använder vi här första kvadreringsregeln, andra kvadreringsregeln, och konjugat-

regeln (1). När vi slår samman de åtta termerna är det bara de konstanta som inte tar ut varandra(4). Svar: 149


Problem 34.(3a2 − a+ 1)2 − (3a2 − a)2 + 2a(1− 3a)

Lösning:

(3a2 − a+ 1)2 − (3a2 − a)2 + 2a(1 − 3a) ≡1 (9a4 − 3a3 + 3a2 − 3a3 + a2 − a+ 3a2 − a+ 1) − (9a4 − 6a3 + a2) + (2a − 6a2) ≡2 9a4 − 3a3 + 3a2 − 3a3 + a2 − a+ 3a2 − a+ 1− 9a4 + 6a3 − a2 + 2a− 6a2 ≡3 9a4 − 9a4 − 3a3 − 3a3 + 6a3 + 3a2 + a2 − a2 + 3a2 − 6a2 − a− a+ 2a+ 1 ≡4 1

När den första parentesen kvadreras får vi före sammanslagning 9 termer. I den andra använder viandra kvadreringsregeln (1). För att se hur de olika typerna av termer tar ut varandra sorterar videm efter exponentens storlek och ser att nästan alla tar ut varandra (3) Svar: 1.

Problem 35.a(b+ c) − d(b+ c)

(d − a)(b + c)

Lösning:

a(b+ c) − d(b + c)

(a− d)(b + c)≡

1(b+ c)(a− d)

(d − a)(b+ c)≡

2(−1)(b + c)(a − d)

(−1)(d − a)(b+ c)≡

3 −(b+ c)(a − d)

(a− d)(b + c)≡

4 −1

Vi inleder med att bryta ut (b+ c) i täljaren (1). Täljare och nämnare är lika, så när som på (a− d)i täljaren och (d− a) i nämnaren (1). Om vi utför multiplikationen (−1)(d− a) övergår parentesentill (a − d). Detta kan vi åstadkomma genom att förlänga bråket med (−1) (2). −1 i täljaren kanlika väl skrivas framför bråket (3). Vi kan nu förkorta båda parenteserna och kvar blir Svar: −1.


Sidor i boken 122-123, 70-73

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer

Rotekvationer

Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke.Observera att √ betecknar ett positivt tal. Ekvationen

√x+ 1 = −3 saknar därför rot. Däremot har

ekvationen√x+ 1 = 3 roten x = 8, vilket man inser om båda leden i ekvationen kvadreras.

√x+ 1 = 3

(√x+ 1)2 = 32

x+ 1 = 9x = 8

För att förstå det här med rotekvationer måste vi införa några grafer (eller kurvor).

Lite för tidigt måste vi här nämna ordet funktion. f(x) =√x är just en funktion. När vi plottar dess

graf får vi

2 4 6 8 10

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

En graf till ska vi plotta, som ni säkert redan är bekanta med. Vi kallar den räta linjen. Ett exempely = x+ 3

2 4 6 8 10

4

6

8

10

12

Nu över till rotekvationer. Detta är en rotekvation som vi vill lösa

Exempel 19.√x =

x

4+

3

4


Här undrar vi som vanligt, när är vänstra ledet lika med högra? Om vi plottar de två graferna isamma figur får vi.

2 4 6 8 10

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Rötterna får vi nu genom att läsa av var de två graferna skär varandra. På ett ungefär verkar devara x1 ≈ 1 och x2 ≈ 9. Observera dock att det aldrig i den här kursen är tillåtet att ge grafiska

lösningar. Därför måste vi lösa ekvationen analytiskt.√x = x+3

4

(√x)2 =

(

x+34

)2

x =(x+3)2

42

x = x2+6x+916

16x = x2 + 6x + 9

x2 − 10x + 9 = 0

x = 5±√25− 9

x = 5± 4

x1 = 9x2 = 1

Det stämmer med vår grafiska avläsning! Lösningen är exakt x1 = 9 och x2 = 1. Vi utgår ifrån

att alla vet att(√

�

)2

= �. Idén med att lösa rotekvationer är alltså att kvadrera båda leden och

hoppas att rottecknen försvinner.

Men det finns komplikationer!

Exempel 20. Lös ekvationen √x = 2− x

Vi plottar funktionerna och får

1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

Här skär den räta linjen ’rotgrafen’ endast en gång. Vi gissar att roten är x1 = 1. Över till denanalytiska lösningen √

x = 2− x

(√x)2 = (2 − x)2

x = 4− 4x+ x2

x = 4− 4x+ x2

x2 − 5x + 4 = 0

x = 52±√

(

52

)2− 4

x = 52±√

254− 4·4

4

x = 52± 3

2

x1 = 4

x2 = 1


Men här får vi ju två rötter!. Ja, men en är falsk. När man kvadrerar båda sidor i en ekvation kandet uppstå falska rötter !

Man avgör om roten är falsk genom att sätta in den i den ursprungliga ekvationen√1 = 2− 1

ger 1 = 1 och verkar helt OK. Men √4 = 2− 4

ger 2 6= −2, så x1 = 4 är falsk.

Svar: x = 1.

Vi tar en till för säkerhets skull

Exempel 21. √x = x+ 1

Först den grafiska lösningen

1 2 3 4

1

2

3

4

5

Oj då, här verkar inte de två graferna skära varandra över huvud taget! Det ska bli intressant att sevad den analytiska lösningen ger

√x = x+ 1

(√x)2 = (x + 1)2

x = x2 + 2x + 1

x2 + x+ 1 = 0

x = −12±√

(

12

)2− 1

x = −12±√

14− 4

4

x = −12±√

−34

Negativt under rottecknet, lika med inga reella rötter.Svar: Ekvationen saknar lösning.

Mer om polynomekvationer

Här några polynomekvationer

Förstagradsekvation 10x + 53 = 73 x = 2

Andragradsekvation x2 − x− 12 = 0 x1 = −3, x2 = 4

Tredjegradekvation x3 + 6x2 − 163x − 1092 x1 = −12, x2 = −7, x3 = 13

Fjärdegradsekvation x4 + x3 − 21x2 − 9x+ 108 x1 = x2 = 3, x3 = −3, x4 = −4

Ekvationer av första och andra graden ska vi alltid klara av hur de än ser ut. En godtycklig ekvationav tredje graden, klarar åtminstone inte jag av utan dator eller tabell. Samma gäller 4:e-gradare. Dåtalar vi hela tiden om exakta lösningar. Allmänna 5:e-gradare och högre gradtal, klara ingen av attlösa exakt, därför att man bevisat att det inte går.

Men det hindrar inte att det finns speciella ekvationer av alla gradtal som man hädelsevis kan lösa.Till exempel


Exempel 22.x3 = 27

med som åtminstone har en rot x = 3 (och två andra imaginära).

Här kommer en speciell typ av 4:e-gradare som du ska kunna lösa

Exempel 23. Lös ekvationenx4 − 5x2 + 4 = 0

Ett krav är att ekvationen saknar termer av 3:e och 1:a graden, som här. Knepet är att man substi-tuerar x2 = t och får ekvationen

t2 − 5t+ 4 = 0

t = 52±√

254− 4

t = 52±√

254− 4·4

4

t = 52±√

94

t = 52± 3

2

t1 = 4

t2 = 1

Men nu har vi ju bestämt att x2 = t, så då får vi x2 = 4, x = ±√4, x1 = −2, x2 = 2 och att x2 = 1,

x = ±√1 som ger x3 = −1 och x4 = 1

Problem 36. Lös ekvationen √x+ 1 =

√2x − 1

Lösning: En rotekvation av den enklare sorten

√x+ 1 =

√2x − 1

(√x+ 1)2 = (

√2x − 1)2

x+ 1 = 2x − 1x = 2

Vi ser lång väg att detta är en äkta rot eftersom√2+ 1 ≡

√2 · 2− 1

Svar: x = 2

Problem 37. Lös ekvationen√

x2 + 5 = x− 5

Lösning: √x2 + 5 = x− 5

(√x2 + 5)2 = (x− 5)2

x2 + 5 = x2 − 10x + 2510x = 25− 5

x = 2

Vänstra ledet Högra ledet√22 + 5 2− 5

3 −3

x = 2 är en falsk rot.

Svar: Ekvationen saknar rötter.


Problem 38. Lös ekvationenx−

√x − 8 = 20

Lösning:x−

√x− 8 = 20

x− 20 =√x− 8

(x − 20)2 = (√x− 8)2

x2 − 40x + 400 = x − 8

x2 − 41x + 408 = 0

x = 412±√

16814

− 408·44

x = 412±√

494

x = 412± 7

2

x1 = 24x2 = 17

Vi testar x1 = 24Vänstra ledet Högra ledet24−

√24− 8 20

24− 4 20

20 20

x1 = 24 är en äkta rot. Vi testar x2 = 17

Vänstra ledet Högra ledet17−

√17− 8 20

17− 3 20

14 20

x2 = 17 är en falsk rot

Svar: x = 24.

Problem 39. Lös ekvationen √x + 4−

√x− 1 =

√x− 4

Lösning: √x+ 4−

√x − 1 =

√x− 4

(√x+ 4−

√x− 1)2 = (

√x− 4)2

x+ 4− 2√x+ 4

√x− 1+ x − 1 = x− 4

−2√x + 4

√x − 1 = x− 4− x− 4− x+ 1

−2√

(x + 4)(x − 1) = −7− x

2√

(x + 4)(x − 1) = 7+ x

(2√

(x+ 4)(x − 1))2 = (7+ x)2

4(x + 4)(x − 1) = 49+ 14x + x2

4(x2 − x+ 4x− 4) = 49+ 14x + x2

4x2 + 12x − 16 = 49+ 14x + x2

3x2 − 2x − 65 = 0

x2 − 2x3− 65

3= 0

x = 13±√

19+ 65·3

3·3

x = 13± 14

3

x1 = 5

x2 = −133


Så är det dags att testa rötterna

Vänstra ledet Högra ledet√5+ 4−

√5− 1

√5− 4

3− 2 1

1 1

Roten x1 = 5 är en äkta rot

Vänstra ledet Högra ledet√

−133+ 4−

√

−133− 1

√

−133− 4

I två av termerna blir det negativt under rottecknet vilket betyder att roten är falsk.

Svar: x = 5

Problem 40. En bakteriekultur tillväxer enligt formeln

N(x) = 2500 + 350x + 25x2

där N(x) är antalet bakterier x minuter efter försökets början. Hur länge dröjer det innan antaletbakterier har fördubblats?

Lösning: Antalet bakterier i burken följer funktionen N(x) = 2500+ 350x+ 25x2. Efter 12 minutertill exempel finns det N(12) = 2500 + 350 · 12 + 25 · 122 = 10300. Hur många bakterier finns deti burken när försöket startar? Får vi genom T(0) = 2500. Vi vill alltså ha reda på hur lång tid detdröjer innan det finns dubbelt så många – 5000. Detta ger oss ekvationen:

2500 + 350x + 25x2 = 5000

100 + 14x + x2 = 200

x2 + 14x − 100 = 0

x = −7±√49+ 100

x1 = 5.21 x2 = −19.21

Som du ser började vi dividera ekvationen med 25. Den här ekvationen är inte så enkel, det villsäga den ger inte heltalsrötter. Åter en ekvation där en av rötterna är omöjlig. Svaret blir då 5.21

minuter.

Lös ekvationen

Problem 41.x2(x+ 1) − 64(x + 1) = 0

Lösning: För att kunna lösa ekvationen x2(x+1)−64(x+1) = 0 får man absolut inte starta med attutveckla parenteserna, för då hamnar man i en tredjegradsekvation, som vi inte har något verktygför att lösa. Nej, titta i stället på ekvationen. Vad händer då x = −1? Båda termerna blir ju 0. Vi harhittat en rot x1 = −1. Dividerar vi nu båda sidor med (x+ 1) återstår x2− 64 = 0 eller x2 = 64. Hu-vudräkning, x2 = 8 och x3 = −8. Tre rötter!? Inte ett dugg överraskade, om en förstagradsekvationhar en rot, en andragradsekvation två rötter, så är det väl logiskt att en tredjegradsekvation har tre.

Lös ekvationen

Problem 42. √3x − 5 = x− 1

Lösning: Ekvationen√3x− 5 = x − 1 ser kanske besvärligare ut än den i verkligheten är. Rot-

tecknet försvinner om upphöjer det till 2. Jag menar att(√

x)2

= x Vi kvadrerar alltså båda sidor i


ekvationen: √3x− 5 = x− 1

(√3x − 5

)2= (x− 1)2

3x− 5 = x2 + 1− 2x

x2 − 5x+ 6 = 0

x1 = 2 x2 = 3

Som tur är kan vi direkt se vilka rötterna är genom knepet som vi nämnt. Nu tillkommer enkomplikation när det gäller rotekvationer. Vid kvadreringen kan falska rötter tillkomma och man äralltid tvungen att testa om de duger genom att sätta in dem i den ursprungliga ekvationen. Som viser uppfyller x1 = 2 villkoret att båda sidor ska vara lika

√3 · 2− 5 = 2 − 1. Detta gäller även för

x2 = 3 som ger√3 · 3− 5 = 3− 1. I figur 2visar vi grafen.

1.8 2.2 2.4 2.6 2.8 3

0.5

1

1.5

2

Figur 2:

Problem 43. Lös ekvationen √s+ 13 −

√7− s = 2

Lösning: Den här ekvationen är verkligen besvärlig! Kvadrerar vi båda sidor får vi fortfarande ettrottecken kvar. Men varför skulle man då inte kunna kvadrera en gång till.

√s+ 13−

√7− s = 2

(√s+ 13 −

√7− s

)2= 22

20− 2√

(s+ 13)(7 − s) = 4

8 =√

(s + 13)(7 − s)64 = (s + 13)(7 − s)

64 = 7s − s2 + 91 − 13s

s2 + 6s− 27 = 0s1 = 3 s2 = −9

OK, nu har vi funnit två rötter s1 = 3 s2 = −9. Innan vi ger dem som svar måste vi pröva dem.

s1 = 3√3+ 13 −

√7− 3 = 4− 2 = 2

s2 = −9√

(−9) + 13−√

7− (−9) = 2− 4 6= 2

Alltså är det bara s1 = 3 som fungerar. Men hur ska man förstå detta? Innan vi kvadrerar har vifunktionerna (VL) f1(s) =

√s + 13−

√7− s och (HL) f2(s) = 2. Plottar vi dem får vi följande graf:

Vi ser helt klart att ekvationen bara har en rot. Den ena kurva skär den andra på ett ställe, s = 3.

Plottar vi nu de två funktionerna f3(s) =(√

s+ 13 −√7− s

)2och f4(s) = 4, sådana de ser ut efter

en kvadrering får vi

En extra (falsk) rot har dykt upp för x = −9, som förresten inte försvinner då vi kvadrerar ytterligareen gång. Denna uppgift är kanske onödigt komplicerad i den här delen av kursen.


-10 -5 5

-4

-2

2

4

Figur 3:

-10 -5 5

5

10

15

20

Figur 4:

Räkna i första hand uppgifterna på sidan 72 − 73 och 123.

Läxa 16. Lös ekvationen √x+ 2 =

√2x − 2

Läxa 17. Lös ekvationen √x+ 4+

√x − 2 = 3

Läxa 18. Lös ekvationen √x+ 5 = 1− x

Läxa 19. Bestäm konstanten a, så att ekvationen

ax2 − (2a− 5)x− (a2 − 1) = 0

får en

Läxa 20. Lös ekvationenx4 − 10x2 + 9 = 0

Läxa Lösning 16. √x+ 2 =

√2x − 2

(√x+ 2

)2=

(√2x − 2

)2

x+ 2 = 2x − 2

x = 4

Varje gång vi i en ekvation kvadrerar båda sidorna, måste vi testa att att rötterna vi fått inte är falska.


Sätter vi in x = 4 får vi √6 =

√6

Vilket betyder att roten är äkta!Svar: x = 4

Läxa Lösning 17.

√x+ 4+

√x− 2 = 3

(√x+ 4+

√x− 2

)2= 32

(x+ 4) + (x− 2) + 2√x+ 4 ·

√x− 2 = 9

2x + 2+ 2√

(x+ 4)(x − 2) = 9

2√

(x+ 4)(x − 2) = 7− 2x(

2√

(x+ 4)(x − 2))2

= (7− 2x)2

4(x + 4)(x − 2) = (7− 2x)2

4(x2 − 2x + 4x− 8) = 49 + 4x2 − 28x

4x2 + 8x− 32 = 49 + 4x2 − 28x

8x− 32 = 49 − 28x

36x = 81

x = 94

Denna rot måste prövas och det visar sig att den fungerar.

Svar: x = 94

Läxa Lösning 18.√x+ 5 = 1− x

(√x+ 5

)2= (1− x)2

x+ 5 = 1− 2x + x2

0 = −4− 3x+ x2

x2 − 3x− 4 = 0

x =3

2±√

9

4+

4 · 44

x =3

2±√

25

4

x =3

2± 5

2

x1 = 4

x2 = −1

Vi testar x = 4

V.L. →√4+ 5 = 3

H.L. → 1− 4 = −3

som är falsk. Sedan testar vi x = −1

V.L. →√−1+ 5 = 2

H.L. → 1− (−1) = 2


som är äktaSvar: x = −1

Läxa Lösning 19. Vi vet att en rot är x = 1 och sätter därför in den

ax2 − (2a − 5)x − (a2 − 1) = 0

a− (2a − 5) − (a2 − 1) = 0

a− 2a+ 5− a2 + 1 = 0

a2 + a− 6 = 0

a = −12±√

14+ 6

a = −12±√

14+ 24

4

a = −12± 5

2

a1 = 2a2 = −3

Båda dessa ekvationer har en rot x = 1

2x2 − (2 · 2− 5)x − (22 − 1) = 0

2x2 + x− 3 = 0

x1 = 1

x2 = −32

och(−3)x2 − (2 · (−3) − 5)x − ((−3)2 − 1) = 0

−3x2 + 11x − 8 = 0

x1 = 1

x2 = 83

Läxa Lösning 20. Vi substituerar t = x2.

x4 − 10x2 + 9 = 0

t2 − 10t + 9 = 0

t = 5±√25− 9

t = 5± 4t1 = 9

t2 = 1

I nästa steg löser vi först9 = x2

x = ±√9x1 = 3x2 = −3

och sedan1 = x2

x = ±√1

x3 = 1x4 = −1

Svar: x1 = 3, x2 = −3, x3 = 1, x4 = −1


Problem 44.(a − b)(a2 + ab+ b2) + (a + b)(a2 − ab+ b2)

Lösning:

(a − b)(a2 + ab+ b2) + (a+ b)(a2 − ab+ b2) ≡1 (a3 + a2b+ ab2 − a2b− ab2 − b3) + (a3 − a2b + ab2 + a2b− ab2 + b3) ≡2 a3 + a2b + ab2 − a2b− ab2 − b3 + a3 − a2b+ ab2 + a2b− ab2 + b3 ≡3 a3 + a3 + a2b− a2b− a2b + a2b+ ab2 + ab2 − ab2 − ab2 − b3 + b3 ≡4 2a3

När man multiplicerar en parentes med 3 termer med en med 2 termer får man total 3 ·2 = 6 termer.Total ska vi här alltså hantera 12 termer (1). I (3) har vi samlat ihop liknade termer. Den som haren administrativ vana kan gå direkt från (2) till svaret. Svar: 2a3

Problem 45.

a−a

3

a+a

3

Lösning:

a−a

3

a+a

3

≡

1

3a

3−

a

33a

3+

a

3

≡

2

3a − a

33a + a

3

≡

32a

3· 3

4a≡

41

2

Vi startar med att göra de liknämnigt i täljaren och nämnaren oberoende av varandra. Nu råkarbåda ha samma minsta gemensamma nämnare (1). Nu kan vi skriva termerna på samma bråkstreck(2). Division av två bråk är samma sak som att multiplicera det första med det andra inverterat (3).Efter förkortning får vi Svar: 1

2


Problem 46.(6a+ 19)2 − (2a + 9)2

(2a + 6)2 − 1

Lösning:

(6a + 19)2 − (2a+ 9)2

(2a + 6)2 − 1≡

1(36a2 + 361 + 228a) − (4a2 + 81+ 36a))

4a2 + 36+ 24a− 1≡

232a2 − 192a + 280

4a2 + 24a + 35≡

38(4a2 − 24a + 35)

4a2 + 24a+ 35≡

4 8

Två gånger första kvadreringsregeln i täljaren och en gång i nämnaren ger (1). Sammanslagning avtermer ger (2). I (2) ser vi att det är möjligt att bryta ut 8 i täljaren som ger (3). Svar: 8

Problem 47.a− b

a+

2a

a− b−

ab+ b2

a2 − ab

Lösning:

a− b

a+

2a

a− b−

ab+ b2

a2 − ab≡

1(a− b) · (a− b)

(a− b) · a +a · 2a

a · (a − b)−

b(a + b)

a(a− b)≡

2(a− b)2 + 2a2 − b(a+ b)

a(a− b)≡

3a2 + b2 − 2ab+ 2a2 − ab− b2

a(a− b)≡

43a2 − 3ab

a(a− b)≡

53a(a− b)

a(a− b)≡

6 3

Vi strävar nu efter att kunna skriva de tre bråken på samma bråkstreck. a(a − b) är en gemensamnämnare (för övrigt den minsta). Vi förlänger bråken med lämpliga uttryck (1). Nu har vi nått förstamålet (2). I (3) förenklar vi täljaren till resultatet i (4). I (4) ser vi att det är möjligt att bryta ut 3a.Efter förkortning av (5) för vi Svar: 3



Vi räknar en KS1För att ni ska få en uppfattning om hur en KS kan se ut räknar vi här igenom den enda KS1 somgivits i denna kurs! Totalt kan man få 12 poäng. Om man lyckas skrapa ihop 7 poäng eller mer ärman godkänd och får tillgodoräkna 4 poäng på ordinarie tentamen.

Problem 48. Förenkla uttrycket så långt som möjligt (2p)

(a− 3b)2 + a(6b − a)

Lösning:(a− 3b)2 + a(6b − a)

(a2 − 6ab+ 9b2) + (6ab − a2)

a2 − 6ab+ 9b2 + 6ab− a2

9b2

Svar: 9b2

Problem 49. Förenkla uttrycket så långt som möjligt. (2p)

a2 − 4

6a2

a+ 2

12a

Lösning:a2 − 4

6a2

a+ 2

12a

a2 − 4

6a2· 12a

a+ 2

12a(a2 − 4)

6a2(a+ 2)

12a(a − 2)(a + 2)

6a2(a + 2)

2(a − 2)

a

Kommentarer: Ett dubbelbråk. Vi vet att vi kan skriva om det som en produkt där nämnaren ärinverterad. Vi tillämpar konjugatregeln på första faktorn i täljaren. Innan vi multiplicerar sammanfaktorerna i täljaren och nämnaren passar vi på att förkorta så långt möjligt.

Svar:2(a − 2)

a


Problem 50. Lös ekvationen (2p)2x3 = 32x

Lösning: Direkt ser vi att likhet råder då x = 0 eftersom det insatt ger 0 = 0. Det betyder att x1 = 0.Vi kan nu lugnt dividera båda leden med x och får

2x2 = 32

x2 = 322

x2 = 16

x = ±√16

x = ±4

x2 = 4

x3 = −4

Här en alternativ lösning som går ut på att vi faktoriserar polynomet och direkt ser när vänstra ledetblir = 0

2x3 − 32x = 0

2x(x2 − 16) = 0

2x(x− 4)(x + 4) = 0x1 = 0

x2 = 4

x3 = −4

Svar: x1 = 0, x2 = 4, x3 = −4.

Problem 51. Lös ekvationen (2p)x2

x− 1+ 2 =

1

x− 1

Lösning: Vi ser här att x 6= 1 för om x = 1 får vi 10

i två av termerna. Medveten om detta löser viekvationen.

x2

x− 1+ 2 =

1

x− 1

(x − 1)

(

x2

x− 1+ 2

)

= (x− 1)

(

1

x− 1

)

x2(x− 1)

x− 1+ 2(x − 1) =

x− 1

x− 1x2 + 2x − 2 = 1

x2 + 2x − 3 = 0

x = −1±√12 + 3

x = −1± 2(x1 = 1)

x2 = −3

Svar: x = −3

Problem 52. Lös ekvationen (2p)x4 − 4x2 − 45 = 0

Lösning: Normalt kan vi inte lösa polynomekvationer av 4:e graden. Ett undantag är då ekvationensaknar både x3-term och x-term. Det är precis vad som är fallet här. Tillvägagångsättet är då attsubstituera t = x2 och vi får ekvationen

x4 − 4x2 − 45 = 0

t2 − 4t − 45 = 0

t = 2±√4+ 45

t = 2± 7

t1 = 9

t2 = −5


Återstår att bestämma 9 = x2 som leder till x1 = 3 och x2 = −3. Men −5 = x2 leder till x = ±√−5,

som inte leder till reella rötter. En 4:e gradsekvation har alltid 4 rötter om man räknar både reellaoch imaginära. I vår kurs redovisar vi inte imaginära rötter, vilket betyder att en 4:e ’gradare’ har0, 2 eller 4 rötter. I detta fall finns två rötter.

Svar: x1 = 3 och x2 = −3.

Problem 53. Förenkla uttrycket så långt som möjligt. (2p)

(

a

a− b− 1

)

(

a2 − ab)

Lösning:(

a

a− b− 1

)

(

a2 − ab)

(

a

a− b−

a− b

a− b

)

a(a− b)

(

a− (a− b)

a− b

)

a(a− b)

(

b

a− b

)

a(a− b)

a

(

b(a− b)

a− b

)

ab

Svar: ab

Polynom i faktorformMålet med föreläsningen är att kunna skriva ett polynom på faktorform. Polynomet

3x2 − 6x − 24

består av tre termer. Det kan också skrivas som

3(x + 2)(x − 4)

Nu som tre faktorer. Den som inte tror kan multiplicera samman faktorerna

3(x + 2)(x − 4)

3(x2 − 4x + 2x − 8)

3(x2 − 2x − 8)

3x2 − 6x − 24

Det stämmer! Men utför man faktoriseringen? Vi tar ett nytt exempel

Exempel 24.2x2 − 8x − 42

Lösning: Först bryter vi ut så mycket vi kan. Vi kan dock inte bryta ut mer än 2

2(x2 − 4x − 21)


Det som står inom parentes betraktar vi som en andragardsekvation som vi måste lösa.

x2 − 4x− 21 = 0

x = 2±√4+ 21

x = 2± 5

x1 = 7

x2 = −3

Andragradsekvationen kan nu skrivas, som vi tidigare nämnt

(x− 7)(x + 3) = 0

Det betyder att vi kan skriva i tre steg

2x2 − 8x − 42 ≡ 2(x2 − 4x− 21) ≡ 2(x − 7)(x + 3)

Istället för tre termer består nu polynomet av tre faktorer. Nästa exempel

Exempel 25. Faktorisera polynomet som är av tredje graden

3x3 + 3x2 − 6x

Lösning: Först bryter vi ut allt vi kan

3x3 + 3x2 − 6x

3x(x2 + x− 2)

Sedan löser vi ekvationenx2 + x− 2 = 0

x = −12±√

14+ 2

x = −12±√

14+ 8

4

x = −12±√

94

x = −12± 3

2

x1 = 1x2 = −2

Det betyder att faktoriseringen ser ut så här

3x(x − 1)(x + 2)

Om vi hade att lösa tredjegrasekvationen

3x3 + 3x2 − 6x = 0

så kan vi utifrån faktorerna direkt säga att rötterna är x1 = 0, x2 = 1 och x3 = −2. Att vi klararatt lösa den här tredjegradsekvationen beror på att den är speciell. Den saknar konstant term ochdärför ser vi direkt att x = 0 är en rot.

Hade vi istället stött på denna ekvation, också av tredje graden

x3 − 3x2 − 10x + 24 = 0

så hade vi inte haft någon annan chans än att gissa rötterna. Därför kommer vi inte att träffa pånågon ekvation av 3:e graden i denna kurs om den inte är speciell som i vårt exempel.

Med det datorprogram som jag har och som finns på skolans datorer kan man skriva

Solve[x^3-3x^2-10x+24==0]{{x-> -3}, {x-> 2}, {x-> 4}}


och få svaret på direkten. Det finns till och med räknedosor som klarar detta. Men de är intetillåtna på KS:ar och tentor.

Exempel 26. Faktorisera polynometx3 − x

Lösning: Vi bryter ut och får x(x2 − 1). Vad kan man såga om (x2 − 1) ? Jo att vi kan tillämpakonjugatregeln och direkt få (x2 − 1) ≡ (x + 1)(x − 1). Och vips har vi faktoriserat x3 − x ≡x(x+ 1)(x − 1)

Exempel 27. Faktorisera polynomet4x2 + 8x + 20

Vi bryter ut och får4(x2 + 2x+ 5)

Vi löser ekvationenx2 + 2x + 5 = 0

x = −1±√1− 5

Ekvationen har inga reella rötter, (negativt under rottecknet), och se då kan inte polynomet fakto-riseras.

Vi lär oss att man säger:Polynomet p(x) = (x + 3)(x − 2) har nollställena x = −3 och x = 2Ekvationen (x+ 3)(x − 2) = 0 har rötterna x1 = −3 och x2 = 2

Nollställena till ett polynom p(x) får man reda på genom att lösa ekvationen p(x) = 0.

Problem 54. Ekvationen84 + 47x − 37x2 + x3 + x4 = 0

är en fjärdegradsekvation med rötterna

x1 = −7, x2 = −1, x3 = 3, x4 = 4

Faktorisera med denna information uttrycket

84+ 47x − 37x2 + x3 + x4

Lösning: Med den kunskap vi har klarar vi det hela utan att räkna

(x+ 7)(x + 1)(x − 3)(x − 4)

Problem 55. Lös ekvationenx4 + 4x2 + 3 = 0

Lösning: Vi vet att vi kan klara den här ekvationen, just därför att den saknar x3-term och x-term.Vi startar med att substituera t = x2 och får

t2 + 4t+ 3 = 0

t = −2±√4− 3

t = −2± 1

t1 = −3

t2 = −1

Nu ska vi lösa x2 = −3 och x2 = −1, men inga av dessa ekvationer har reella rötter, vilket betyderatt den ursprungliga ekvationen helt saknar (reella) rötter.Svar: Ekvationen saknar rötter.


Problem 56. Lös ekvationena+ bx = c− dx

med avseende på x

Lösning: Det är bara att betrakta a, b, c och d, som om de vore tal.

a+ bx = c− dx

bx+ dx = c− a(b + d)x = c− a

x = c−ab+d

Svar: x = c−ab+d

Problem 57. Lös ekvationena(x− b) = b(x+ a)

med avseende på x.

Lösning: Samma här, vi betraktar a och b som tal eller konstanter.

a(x− b) = b(x+ a)

ax− ab = bx+ ab

ax− bx = 2ab(a− b)x = 2ab

x = 2aba−b

Svar: x = 2aba−b

Problem 58. Lös ekvationenx3 + x2 − 12x = 0

Lösning: Detta är alltså en tredjegradsekvation som vi kan lösa därför att den saknar konstant term.Vi vet då att en rot x1 = 0.

För de andra två rötterna bryter vi ut x och får x(x2 + x− 12) Vi går vidare med ekvationen

x2 + x− 12 = 0

x = −12±√

14+ 12·4

4

x = −12±√

494

x = −12± 7

2

x2 = −4

x3 = 3

Svar: x1 = 0, x2 = −4, x3 = 3

Problem 59. Ursprungligen finns en kvadratisk tomt som utökas i nordsydlig riktningen med 12

m och i östvästlig med 10 m. Tomten får nu en area på 15128 m2. Vilken var tomtens ursprungligamått?

Lösning: Antag att den kvadratiska tomten från början har sidan x meter. Efter förlängning är tom-tens sidor x+ 12 meter respektive x+ 10 meter. Arean kan nu tecknas på två sätt (x+ 10)(x+ 12) =

15128. Rötterna till denna ekvation ger oss svaret

(x+ 10)(x + 12) = 15128

x2 + 12x + 10x + 120 = 15128

x2 + 22x − 15008 = 0

x = −11±√121 + 15008

x = −11± 123

x1 = 112 x2 = −134


Svar: Den ursprungliga sidan hos tomten var 112 meter.

Läxa 21. Lös ekvationenx4 − x2 − 6 = 0

Läxa 22. Faktorisera uttrycketz2 − 7z + 10

Läxa 23. Är det sant att den här ekvationen

x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0

har rötter x1 = 1, x2 = 3 och x3 = 4 ?

Läxa 24. Ett bostadskvarter i en stad upptar ett markstycke av storleken 230 × 350 m2. Den jämn-breda gatan runt om kvarteret beräknas uppta 24800 m2. Vilken bredd har gatan?

Läxa 25. Bestäm konstanten a så att ekvationen

3(a− x) + 4a = 9

får en rot x = 4

Läxa Lösning 21. En fjärdegradsekvation som saknar x3-term och x-term klarar vi genom attsubstituera t = x2. Vi får

t2 − t− 6 = 0

t = 12±√

14+ 6·4

4

t = 12± 5

2

t1 = −2

t2 = 3

Återstår så att lösa −2 = x2 och 3 = x2. Vi ser då direkt att den första saknar reella rötter och attden andra har rötter är x1 =

√3 och x2 = −

√3

Svar: x1 =√3, x2 = −

√3

Läxa Lösning 22. Vi vet att vi kan få tag i faktorerna genom att lösa ekvationen

z2 − 7z + 10 = 0

z = 72±√

494− 10·4

4

z = 72±√

94

z = 72± 3

2

z1 = 5z2 = 2

När vi nu har rötterna kan vi direkt skriva ned faktorerna

z2 − 7z + 10 ≡ (z − 5)(z − 2)

Svar: (z− 5)(z − 2)


Läxa Lösning 23. För att testa om ett visst x-värde satisfierar en ekvation, sätter man helt enkeltin värdet och kontrollerar om V.L. = H.L.

V.L. 13 − 6 · 12 + 11 · 1− 6 ≡ 0

H.L. 0

V.L. 23 − 6 · 22 + 11 · 2− 6 ≡ 0

H.L. 0

V.L. 43 − 6 · 42 + 11 · 4− 6 ≡ 6H.L. 0

Här kommer räknedosan till användning.Svar: x1 = 1, x2 = 2 men x3 6= 4

Läxa Lösning 24. Antag att gatan är x meter bred. Vi kan teckna hela arean (inklusive gatan) påtvå sätt. Detta leder till andragradsekvationen:

(2x + 230)(2x + 350) = 24800 + 230 · 3504x2 + 700x + 460x + 230 · 350 = 24800 + 230 · 350

4x2 + 1160x = 24800

x2 + 290x = 6200

x = −145 ±√1452 + 6200

x = −145 ± 165

x1 = 20

(x2 = −310)

Svar: Gatan är 20 meter bred

Läxa Lösning 25. Vi sätter in x = 4 i ekvationen och får

3(a − 4) + 4a = 9

3a − 12+ 4a = 97a = 9+ 12

a = 217

a = 3

Ekvationen3(3 − x) + 12 = 9

har roten x = 4

Svar: a = 3


Som vanligt gäller det i denna avdelning att förenkla uttrycket så långt möjligt.

Problem 60.1

(a− b)(a − c)+

1

(b − c)(b − a)+

1

(c− a)(c− b)

Lösning:

1

(a − b)(a− c)+

1

(b− c)(b − a)+

1

(c − a)(c− b)≡

11

(a − b)(a− c)+

(−1)

(−1)(b − c)(b − a)+

1

(−1)(−1)(a − c)(b − c)≡

2b− c

(a − b)(a− c)(b − c)−

a− c

(a − c)(b − c)(a − b)+

a− b

(a− b)(a− c)(b − c)≡

3(b − c) − (a − c) + (a − b)

(a− b)(a − c)(b − c)≡

4b − c− a+ c+ a− b

(a− b)(a− c)(b − c)≡

50

(a − b)(a− c)(b − c)≡

6 0

Vi startar med att försöka finna en gemensam nämnare. Det ser ut som vi kan få en bestående av trefaktorer om vi på tre ställen använder ’knepet’ (x− y) = (−1)(y− x), (1). I andra termen förlängervi med (−1). Observera att i tredje termen bryter vi ut (−1) två gånger och får (−1)(−1) = 1. Dettaär alltså ingen förlängning. I (2) förlänger vi de tre bråken med det uttryck som inte redan finns inämnaren. Vi kan skriva allt på samma bråkstreck (3). Efter förenkling får vi 0 i täljaren (5). Svar: 0


Problem 61.

(b+ c)

a

b + c+

b

b+ ca+ b

Lösning:

(b + c)

a

b + c+

b

b + ca+ b

≡

1 (b + c)

a + b

b + ca + b

1

≡

2 (b + c)

(

a+ b

b+ c·

1

a + b

)

≡

3 (b + c)

(

1

b + c

)

≡

4b + c

b + c≡

5 1

Först identifierar vi huvudbråkstrecket som det längsta av alla bråkstreck. Sedan ser vi att i täljarenhar de två bråken redan samma nämnare och kan därför enkelt skriva dem på samma bråkstreck. Inämnaren gör vi för enkelhetens skull ett bråk av a + b genom att lägga till nämnaren 1, se (1). Vihåller oss fortfarande innanför parenteserna. Vi vet hur vi ska hantera division av två bråk (2). Vikan förkorta (3) och multiplicerar till sist de två parenteserna (4) och förkortar och får Svar: 1

Figur 5:


Problem 62.(

1−b

2a− b

)(

a2

a− b− a+ b

)

Lösning:

(

1−b

2a− b

)(

a2

a− b− a+ b

)

≡

1

(

2a− b

2a− b−

b

2a− b

)(

a2

a− b−

a(a− b)

a− b+

b(a− b)

a − b

)

≡

2

(

2a− b − b

2a− b

)(

a2 − a(a− b) + b(a− b)

a− b

)

≡

3

(

2a− 2b

2a − b

)(

a2 − a2 + ab+ ab− b2

a− b

)

≡

42(a − b)

2a− b· b(2b − b)

a− b≡

5 2b

Vi ska multiplicera en parentes med 2 termer med en annan som innehåller 3 termer vilket kommeratt ge oss 6 termer med lite olika nämnare. Detta är en framkomlig väg, men vi väljer istället attreducera uttrycken i varje parentes för sig. Vi gör liknämnigt genom förlängning (1). Vi skriver debåda parenteserna på gemensamma bråkstreck (2). Reducerar och bryter ut (3) och (4). Till sist fårvi Svar: 2b.

Figur 6:


Problem 63.a+ 4

9−

a

7a

7−

a− 2

6

Lösning:

a+ 4

9−

a

7a

7−

a− 2

6

≡

1

7(a + 4)

7 · 9 −9a

9 · 76a

6 · 7 −7(a− 2)

7 · 6

≡

2

7a+ 28 − 9a

636a − 7(a − 2)

42

≡

37a + 28− 9a

63· 42

6a − 7(a − 2)≡

328− 2a

63· 42

14− a≡ 2(14 − a)

63· 42

14− a≡

484

63=

4

3

Ett dubbelbråk igen. Vi startar med att skriva om huvudbråkets täljare och nämnare på gemensamtbråkstreck (1). I täljaren är den gemensamma nämnaren 63 och i nämnaren 42 (2). Vi skriver ombråken från en division till en multiplikation (3) och reducerar så långt vi kan (4). Svar: 4

3


Sidor i boken 128-129, 130-134

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Först några begrepp.Aritmetik eller räknelära är den mest grundläggande formen av matematik. Ett aritmetiskt uttryck

innehåller tal, men inga variabler och de grundläggande räkneoperationerna är addition, sub-

traktion, multiplikation och division. Även andra räkneoperationer som procenträkning, potenser,

rotutdragning och logaritmer kan förekomma. Här några exempel på aritmetiska uttryck

1+ 1 13+ 2

53(4 + 5) − 2(4− 1)

1

2

3

5

32 + 43

1+ 2+ 3+ 4 13(2+5)

− 12(3+7)

√121 1√

9+ 2√

3

13+ 2

517+ 3

5

Alla dessa uttryck kan ersättas med ett enda tal — heltal, bråk eller approximativt decimaltal

2 1115

≈ 0.733 21 56≈ 0.833 73

10 − 1420

≈ −0.00238 11 ≈ 1.48803 7778

≈ 0.987

Algebra (elementär algebra) eller, i vår mening, populärt uttryckt bokstavsräkning. Skillnaden frånaritmetiken är att man här ersätter alla eller en del av talen med variabler (med bokstäver). Härnågra exempel på algebraiska uttryck

a+ b 1a+ 1

ba+ 2a + 3a

√a · b

a

b

c

d

3a+a4

3(a + b) − 2a− b3a2 + 3ab

a(a+ b)(x + y)2 3x2 + 4x+ 1

Algebraiska uttryck kan ibland förenklas och i undantagsfall leda fram till ett enda tal. Vi förenklardet som går av uttrycken ovan:

a+ b b+aab

6a√a · b ad

bc

a a+ 2b 3 x2 + 2xy+ y2 3x2 + 4x + 1

En del av uttrycken kan inte förenklas, andra kan förändras men det är inte helt klart om föränd-ringen innebär en förenkling. Resten är verkligen förenklingar. En stor del av vårt arbete fram tillKS:en går ut på att förenkla algebraiska uttryck.

Ekvationer, i vår mening, är två algebraiska uttryck som sätts lika med varandra. Ekvationerinnehåller alltid ett likhetstecken, (=). Att lösa en ekvation innebär i allmänhet att först förenkla dealgebraiska uttrycken på båda sidor om likhetstecknet.


En förstagradsekvation kan alltid förenklas till ax + b = 0 där a och b är konstanter. Till exempelkan ekvationen

3x + 4− 2x + 3+ x = 5− x+ 3x + 4− 4x

förenklas till 2x − 1 = 0, med lösningen x = 12.

En andragradsekvation kan alltid förenklas till ax2 + bx + c = 0, där a, b och c är konstanter tillexempel kan ekvationen

(x+ 1)2 + 3(x2 − x− 1) = (2+ x)2

förenklas till 3x2 − 5x − 6 = 0.

Båda dessa ekvationer kräver förenkling av algebraiska uttryck.

Förenkling av algebraiska uttryck

2

3+

5

6≡ 3

2

2

3a+

5

6a≡ 3

2a

Om man inte klarar av att beräkna uttrycket till vänster ovan klarar man förmodligen inte av attförenkla uttrycket till höger. Det vill säga man måste behärska aritmetiken för att kunna ta sig analgebran.

De mesta av aritmetiken har ni med er från tidigare skolår. Här några exempel som kan behövafräschas upp. Först addition av bråk

23+ 1

4+ 5

6

2·43·4 + 1·3

4·3 + 5·26·2

2·4+1·3+5·212

8+3+1012

2112

7·34·374

I första föreläsningen gick vi igenom hur man finner en gemensam nämnare, speciellt den minstaMGN. Här är MGN= 12. När vi förlänger bråken med ett lämpligt tal får alla bråken samma nämnareoch vi kan addera de ’nya’ täljarna. Det är snyggt, om inte nödvändigt, att förkorta resultatet sålångt möjligt.

37

29

≡ 3

7· 92≡ 27

14

Detta är ett dubbelbråk. Bråket i täljaren multipliceras med det inverterade värdet av bråket inämnaren.

2+ 3 · 4 ≡ 14

Multiplikation (och division) går före addition (och subtraktion). Vill man att uttrycket ovan ska bli20 måste man använda parenteser

(2+ 3) · 4 ≡ 20

När vi nu ska gå vidare med förenkling av algebraiska uttryck måste vi kunna förlänga, förkorta

och bryta ut.

Bryta ut och förkorta. Tre exempel

3x2 + 3x ≡ 3x(x+ 1)


och4x + 4

3x + 3≡ 4(x + 1)

3(x + 1)=

4

3

och3(a + b) + 2(a2 + ab)

a+ b≡ 3(a + b) + 2a(a+ b)

a+ b≡ (a+ b)(3+ 2a)

a+ b≡ 3+ 2a

För att man ska kunna förkorta måste ett bråk vara inblandat. I första exemplet finns inget bråk.

Ett rationellt uttryck är division av två aritmetiska uttryck

2a + 3

4b + 1

x2 + 2x+ 1

x + 1

a2 − b2

a+ b

Ibland kan de förenklas2a+ 3

4b+ 1x+ 1 a− b

Rationella uttryck kan förstås också adderas och subtraheras

a

2b+

2b

a

Precis som i aritmetiken måste vi finna en gemensam nämnare. Den måste vara 2ab eftersom detvå nämnarna inte har någon gemensam faktor.

a · a2b · a +

2b · 2ba · 2b ≡ a2 + 4b2

2ab

Om detta resultat kan anses vara en förenkling av det ursprungliga uttrycket är en smaksak, men vihar i alla adderat de två uttrycken

Problem 64. Addera uttrycken1

1+ a+

1

1+ 2a

Lösning: Uttryckets gemensamma nämnare är (1+ a)(1+ 2a). Vi får

1(1 + 2a)

(1+ a)(1+ 2a)+

1(1 + a)

(1+ 2a)(1+ a)

(1+ 2a) + (1+ a)

(1 + 2a)(1+ a)

2+ 3a

(1+ 2a)(1+ a)

2+ 3a

1+ a+ 2a+ 2a2

2+ 3a

1+ 3a+ 2a2

Om man ska låta nämnaren stanna vid (1+2a)(1+a) eller om man ska utveckla den till 1+3a+2a2

är en smaksak.

Svar:2+ 3a

1+ 3a+ 2a2


Problem 65. Addera uttryckena

b+

b

a+

a2

b+

b2

a

Lösning: Med addition menas att termerna ska slås samman till ett rationellt uttryck. Vi ser direktatt MGN= ab

a

b+

b

a+

a2

b+

b2

a

a · ab · a +

b · ba · b +

a2 · ab · a +

b2 · ba · b

a · a+ b · b + a2 · a+ b2 · bab

a2 + b2 + a3 + b3

ab

Svar:a2 + b2 + a3 + b3

ab

Problem 66. Lös ekvationen2

3−

3

x2

3+

3

4

= −1

17

Lösning: En ekvation innehållande ett dubbelbråk, men x bara på ett ställe. Starta med att förenklavänstra ledet. Avsluta den förenklingen med att ersätta divisionen av bråken i täljare och nämnaremed multiplikation av täljaren och nämnaren inverterad. Sedan har vi nått till en ekvation, som ärenkel att lösa.

23− 3

x23+ 3

4

= −1

17

2x3x

− 3·33x

4·24·3 + 3·3

3·4= −

1

17

2x−93x8+912

= −1

17

2x − 9

3x· 1217

= −1

17

51x

(

2x − 9

3x· 1217

)

= 51x

(

−1

17

)

51x(2x − 9)12

3x · 17 = −51x

17

12(2x − 9) = −3x24x − 108) = −3x

27x = 108

x = 4

Svar: x = 4


Problem 67. Lös ekvationen1

1

2−

2

x+

1

4

= 12

Lösning:

112− 2

x+ 1

4

= 12

12x·12x·2 − 4·2

4·x + x·1x·4

= 12

11

2x−8+x4x

= 12

4x

3x− 8= 12

4x = 12(3x − 8)

4x = 36x − 96

32x = 96

x = 3

Problem 68. Förenkla så långt möjligt

(

x+1

4x

)2

−

(

x −1

4x

)2

Lösning: Ett sätt att lösa detta problem är med hjälp av konjugatregeln A2−B2 = (A−B)(A+B).Detta ger

(

x+1

4x

)2

−

(

x−1

4x

)2

≡((

x+1

4x

)

−

(

x −1

4x

))

·((

x+1

4x

)

+

(

x−1

4x

))

≡ 2

4x· 2x ≡ 1

Självklart kan problemet lösas även ’den långa vägen’.

Problem 69. Förenklax

xy− y2+

y

xy− x2

Lösning:

x

xy− y2+

y

xy− x2≡ x

y(x− y)+

y

x(y− x)≡ x

y(x − y)−

y

x(x− y)≡ x2

xy(x− y)−

y2

xy(x− y)≡

x2 − y2

xy(x− y)≡ (x− y)(x+ y)

xy(x− y)≡ x+ y

xy


Läxa 26. Beräkna13+ 1

413− 1

4


(2a − 3b)2 + 3(b + 2a)2 − (4a− 2b)(4a + 2b)

Läxa 28. Vilket är störst: summan, differensen, produkten eller kvoten av

3

5och −

7

9


x+

3

2x=

1

8

Läxa 30. Lös ekvationen √x+ 55 = x− 1

Läxa Lösning 26. Beräkna

13+ 1

413− 1

4

=4·14·3 + 3·1

3·44·14·3 − 3·1

3·4=

4+3124−312

=712112

=7

12· 121

= 7

Kommentar: Ett lite mer komplicerat dubbelbråk. Vi hanterar inledningsvis täljare och nämnareför sig.

Läxa Lösning 27.

(2a− 3b)2 + 3(b + 2a)2 − (4a − 2b)(4a + 2b)

(4a2 − 12ab + 9b2) + 3(b2 + 4ab+ 4a2) − (16a2 + 8ab− 8ab − 4b2)

4a2 − 12ab + 9b2 + 3b2 + 12ab + 12a2 − 16a2 − 8ab + 8ab+ 4b2

16b2

Svar: 16b2

Läxa Lösning 28.

Summan:3

5+

(

−7

9

)

≈ −0.177778

Produkten:3

5·(

−7

9

)

≈ −0.466667

Diffrensen:3

5−

(

−7

9

)

≈ 1.37778

Kvoten:35

−7

9

≈ −0.771429

Svar: Differensen är störst


Läxa Lösning 29.

2

x+

3

2x=

1

8

8x

(

2

x+

3

2x

)

= 8x

(

1

8

)

8x · 2x

+8x · 32x

=8x · 18

16 + 12 = x

x = 28

Svar: x = 28

Läxa Lösning 30. √x+ 55 = x− 1

(√x+ 55

)2= (x− 1)

2

x+ 55 = x2 − 2x+ 1

x2 − 3x − 54 = 0

x = 32±√

94+ 454

4

x = 32±√

2254

x = 32± 15

2

x1 = 9

(x2 = −6)

Vi ser att x = −6 är en falsk rot eftersom√−6+ 55 6= −7. Däremot är x = 9 en äkta rot eftersom√

9+ 55 ≡ 9− 1

Svar: x = 9

Problem 70.a2 − b2

a+ b+

c− a

c2 − a2+

b2 − c2

b − c−

1

c+ a

Lösning:

a2 − b2

a+ b+

c− a

c2 − a2+

b2 − c2

b− c−

1

c+ a≡

1(a + b)(a− b)

a+ b+

c− a

(c− a)(c+ a)+

(b − c)(b + c)

b − c−

1

c+ a≡

2 a− b+1

c+ a+ b + c−

1

c+ a≡

3 a− b+ b+ c ≡

4 a+ c

Här gäller det att tänka en liten stund innan man sätter igång att hitta en gemensam nämnare.Genom att använda konjugatregeln inte mindre än tre gånger kan vi skriva om uttrycket som i (1).


Efter möjliga förkortningar får vi ett betydligt enklare uttryck (2). De två termerna med nämnare tarut varandra och kvar blir Svar: a+ c

Problem 71.2ab

a2 − b2−

2a − b

a− b+

3a2 + 5ab+ 2b2

(a + b)2

Lösning:

2ab

a2 − b2−

2a − b

a− b+

3a2 + 5ab + 2b2

(a+ b)2≡

12ab

(a− b)(a + b)−

2a − b

a − b+

3a2 + 5ab+ 2b2

(a + b)(a + b)≡

22ab(a + b)

(a− b)(a + b)2−

(2a − b)(a+ b)2

(a− b)(a + b)2+

(3a2 + 5ab+ 2b2)(a− b)

(a − b)(a+ b)2≡

3(2a2b + 2ab2) − (2a − b)(a2 + b2 + 2ab) + (3a2 + 5ab + 2b2)(a− b)

(a− b)(a+ b)2≡

42a2b + 2ab2 − (2a3 + 2ab2 + 4a2b − a2b − b3 − 2ab2) + (3a2 + 5ab + 2b2)(a− b)

(a− b)(a+ b)2≡

52a2b + 2ab2 − 2a3 − 2ab2 − 4a2b + a2b + b3 + 2ab2 + 3a3 + 5a2b + 2ab2 − 3a2b − 5ab2 − 2b3

(a − b)(a + b)2≡

6−2a3 + 3a3 + 2a2b − 4a2b + a2b + 5a2b − 3a2b + 2ab2 − 2ab2 + 2ab2 + 2ab2 − 5ab2 + b3 − 2b3

(a − b)(a+ b)2≡

7a3 + a2b − ab2 − b3

(a− b)(a + b)2≡

8a3 + a2b − ab2 − b3

a3 + a2b − ab2 − b3≡

9 1

En riktigt jobbig uppgift. Till att börja med ser vi att minsta gemensamma nämnaren är(a + b)2(a − b) (1). Med utgångspunkt från det förlänger vi de tre bråken med lämpliga uttryck(2) och kan slå samman hela uttrycket till ett bråk (3). Vi står nu inför en mängd beräkningar varsframgång präglas av noggrannhet och en administrativ känsla. Håller vi tungan rätt i mun kommervi så småningom hit (7). Om vi inte visste att samtliga svar bland dessa 30 uppgifter var betydligtmindre komplicerade kanske vi skulle stanna här. Vår enda chans är nu att utveckla nämnaren (8)och se det gav frukt! Svar: 1

Problem 72.

Uppgift 153a

9a2 − 6a + 1−

2

3a+ 1+

3(a− 1)

9a2 − 1−

1

(3a − 1)2


Lösning:

3a

9a2 − 6a+ 1−

2

3a+ 1+

3(a− 1)

9a2 − 1−

1

(3a − 1)2≡

13a

(3a− 1)2−

2

3a+ 1+

3(a − 1)

(3a − 1)(3a + 1)−

1

(3a − 1)2≡

23a(3a + 1)2 − 2(3a + 1)(3a − 1)2 + 3(a − 1)(3a − 1)(3a + 1) − (3a + 1)2

(3a− 1)2(3a − 1)2≡

3(3a+ 18a2 + 27a3) − (2 − 6a− 18a2 + 54a3) + (3− 3a− 27a2 + 27a3) − (1+ 6a+ 9a2)

(3a − 1)2(3a − 1)2≡

43a+ 18a2 + 27a3 − 2+ 6a + 18a2 − 54a3 + 3− 3a − 27a2 + 27a3 − 1− 6a− 9a2

(3a − 1)2(3a − 1)2≡

527a3 + 27a3 − 54a3 + 18a2 − 27a2 + 18a2 − 9a2 + 3a + 6a− 3a− 6a − 2+ 3− 1

(3a − 1)2(3a − 1)2≡

60

(3a− 1)2(3a − 1)2≡

7 0

ÃEter en uppgift som kräver precision. För att finna en lämplig gemensam nämnare behöver manse att 9a2− 6a+ 1 ≡ (3a− 1)2 och att 9a2− 1 = (3a− 1)(3a+ 1) (1). När väl detta är genomskådatfår vi den minsta gemensamma nämnaren (3a + 1)2(3a − 1)2 som leder till en del förlängningarinnan vi kan skriva hela uttrycket på gemensamt bråkstreck (2). På två ställen i den nya nämnarenska tre parenteser multipliceras samman. Med tålamod och noggrannhet får vi först (3), sedan (4)och (5), för att till slut upptäcka att hela nämnaren blir 0. Svar: 0.

Figur 7:


Problem 73.b

a+

a

b+ 2

(a + b)2

2ab

Lösning:

b

a+

a

b+ 2

(a+ b)2

2ab

≡

1

b2 + a2 + 2ab

ab(a + b)2

2ab

≡

2b2 + a2 + 2ab

ab· 2ab

(a+ b)2≡

3(a+ b)2

ab· 2ab

(a+ b)2≡

4 2

Division av två bråk, som vi också kallar dubbelbråk. Vi inleder med att skriva de tre termerna itäljaren på gemensamt bråkstreck (1). Vi går över från division till multiplikation på ett numera käntsätt (2). Vi upptäcker att b2 + a2 + 2ab ≡ (a+ b)2 i (3) och avslutar med att förkorta. Svar: 2

Figur 8:



Addition och subtraktion

Vi börjar med lite aritmetik. Heltalsaddition innebär inga som helst problem. Här tar vi lämpligenräknedosan till hjälp.

Exempel 28.231+ 400 + 645 = 1276

Så länge alla nämnare är lika innebär det inget problem att addera ett antal bråk.

Exempel 29.1

5+

2

5+

6

5+

11

5≡ 20

5≡ 4

Aningen besvärligare blir det då nämnarna är olika. Med lite träning och med nämnare som inte ärallt för stora bör man kunna hitta en gemensam nämnare. Minst jobb blir det om man hittar denminsta gemensamma nämnaren, MGN.

Exempel 30.1

3+

3

4+

5

6≡ 1 · 4

3 · 4 +3 · 34 · 3 +

5 · 26 · 2 =

4+ 9+ 10

12≡ 23

12

Här bestämde vi oss för den gemensamma nämnaren 12, som för övrigt är den minsta möjliga.Multiplicerar man alla nämnarna får man 3 · 4 · 6 = 72, som också duger, bara att det blir litearbetssammare

Exempel 31.

1

3+

3

4+

5

6≡ 1 · 24

3 · 24 +3 · 184 · 18 +

5 · 126 · 12 ≡ 24+ 54 + 60

72≡ 138

72≡ 23

12

Som synes blir det samma resultat efter förkortning.

Vi höjer svårighetsgraden en aning

Exempel 32.23+ 1

4

2≡

2·43·4 + 1·3

4·32

≡8+312

2≡

111221

≡ 11

12· 12≡ 11

24

Först tar vi oss an täljaren och summerar de två bråken. Vi skriver, för att vara tydliga, 2 som 21. Vi

har nu ett dubbelbråk, där multiplicerar täljaren med den inverterade nämnare. Hur ska man förstådet sista steget?

Exempel 33. Jag har en 12

tårta. Mina vänner får var sin bit som motsvarar 18

tårta. Hur mångavänner har jag?

1218

≡ 1

2· 81≡ 1 · 8

2 · 1 ≡ 4


Svar: Jag har 4 vänner.

Visst kan man krångla till det ännu mer!

Exempel 34.

(

−2

3

)2

+514

−1

12≡ 4

9+

5114

−1

12≡ 4

9+

5 · 41 · 1 −

1

12≡ 4 · 4

9 · 4 +20 · 361 · 36 −

1 · 312 · 3 ≡ 16+ 720 − 3

36≡ 733

36

Även om det är tänkt att en uppgift av denna typ ska lösas exakt, kan man ha hjälp med att kollasvaret på räknedosan.

Ett sista exempel på aritmetiska uttryck

Exempel 35.15+ 3

423− 1

4

≡1·45·4 + 3·5

4·52·43·4 − 1·3

4·3≡

4+15208−312

≡1920512

≡ 19

20· 125

≡ 228

100≡ 57

25

Nu över till algebraiska uttryck. Här kommer vi normalt inte att avsluta beräkningarna med ett talutan har som mål att förenkla det givna uttrycket. Vi börjar enkelt

Exempel 36.a+ 3b + 4a− 2b− 3a ≡ 2a + b

Med parenteser inblandade

Exempel 37.

3(a − b) − 2(a + 2b + 4) + 4(b − a) ≡ (3a − 3b) − (2a+ 4b+ 8) + (4b − 4a) ≡

≡ 3a − 3b − 2a − 4b − 8+ 4b − 4a ≡ −8− 3a− 3b

Att ’multiplicera in’ innan man plockar bort parenteserna är en god vana.

Exempel 38.

(a+ b)2 + (a− b)2 − a2 − b2 ≡ (a2 + 2ab + b2) + (a2 − 2ab+ b2) − a2 − b2 ≡ a2 + b2

Kvadreringsreglerna är bra att känna till. Mer om potenser kommer senare i kursen. Lite svårare blirdet när vi blandar in bråk

Exempel 39.1

a+

1

3a+

1

9a≡ 1 · 9

a · 9 +1 · 33a · 3 +

1

9a≡ 9+ 3+ 1

9a≡ 13

9a

Man måste förstås hitta en gemensam nämnare för att komma vidare.

Exempel 40.

a

3+

2

3a+

a

6≡ a · 2a

3 · 2a +2 · 23a · 2 +

a · a6 · a ≡ 2a2 + 4+ a2

6a≡ 3a2 + 4

6a

Nu blandar vi in flera variabler

Exempel 41.a

b−

b

a≡ a · a

b · a −b · ba · b ≡ a2 − b2

ab

Så ett dubbelbråk

Exempel 42.abb2

a2

ab2

≡abab2

≡ a

b· b

2

a≡ b


Här ska man förkorta så långt man kan

Exempel 43.ca2b3c

a2b2c2≡ b

Här måste man bryta ut innan man kan förkorta

Exempel 44.3a2b+ 3b2a

a+ b≡ 3ab(a+ b)

a+ b≡ a+ b

Här startar nu mängdträning. 20 uppgifter i stigande (?) svårighetsgrad

Läxa 31. Förenkla så lång möjligt

2(a + b) − 3(b + a) − 4(a − b) + 2(a − b)


2(a + b)(a− b) + 3(b − a)(b+ a)


(a + b+ 1)(a − b− 1) + (b+ 1)2


1−1

x2

1+1

x


(2a − 3)2 − (a + 1)(a − 4)

Läxa 36. Förenkla så lång möjligt(a+ b)2 + (a − b)2

2

Läxa 37. Förenkla så lång möjligt9x2 − 144

3x2 + 24x + 48

Läxa 38. Beräkna exakt och förkorta så långt möjligt

7

15+

1

31

2

− 2 · 25


Läxa 39. Beräkna exakt1

2+

1

4

1−1

2· 14

Läxa 40. Beräkna den exakta skillnaden mellan uttrycken

(

12

5+

7

4

)

· 193

−23

9

12

5+

7

4· 193

−23

9


(a+ b)2 − (a− b)(a + b)

a+ b

Läxa 42. Förenkla så lång möjligt(x − 3)2

x

3−

3

x

− 3x

Läxa 43. Förenkla så lång möjligt2a

3−

a

2

a−a

6

Läxa 44. Förenkla så lång möjligt2a2 − 18b2

a2 − 6ab + 9b2


x2y− y3

x2y+ y3 + 2xy2· (x

2 + xy)2

x3 − x2y


a

b−

b

aa

b+

b

a+ 2

· (a + b) + b

Läxa 47. Förenkla så lång möjligtx2 − x

2x2

6x − 6

x


Läxa 48. Förenkla så lång möjligt6a2 − 24

3a2 + 12+ 12a

Läxa 49. Förenkla så lång möjligt4

x2 − 416

x2 + 4x + 4

Läxa 50. Förenkla så lång möjligta

b+

b

a+ 2

a

b−

b

a

Läxa Lösning 31.

2(a+ b) − 3(b + a) − 4(a − b) + 2(a − b) ≡ (2a + 2b) − (3b + 3a) − (4a − 4b) + (2a− 2b) ≡

≡ 2a+ 2b− 3b− 3a− 4a + 4b + 2a − 2b ≡ b− 3a

Svar: b− 3a

Läxa Lösning 32.

2(a2 − b2) + 3(b2 − a2) ≡ (2a2 − 2b2) + (3b2 − 3a2) ≡ 2a2 − 2b2 + 3b2 − 3a2 ≡ b2 − a2

Svar: b2 − a2

Läxa Lösning 33.

(a+ b + 1)(a − b− 1) + (b + 1)2 ≡ (a2 − ab− a+ ab− b2 − b + a− b− 1) + (b2 + 2b + 1) ≡

≡ a2 − ab− a+ ab− b2 − b+ a− b− 1+ b2 + 2b + 1 ≡ a2

Svar: a2

Läxa Lösning 34.

1− 1x2

1+ 1x

≡x2

x2 − 1x2

xx+ 1

x

≡x2−1x2

x+1x

≡ x2 − 1

x2· x

x + 1≡ x2 − 1

x(x+ 1)≡ (x+ 1)(x − 1)

x(x+ 1)≡ x− 1

x

Svar: x−1x

Läxa Lösning 35.

(2a − 3)2 − (a+ 1)(a − 4) ≡ 4a2 − 12a + 9− (a2 − 4a + a− 4) ≡

≡ 4a2 − 12a + 9− a2 + 4a − a+ 4 ≡ 3a2 − 9a+ 13

Svar: 3a2 − 9a + 13

Läxa Lösning 36.

(a + b)2 + (a− b)2

2≡ (a2 + 2ab+ b2) + (a2 − 2ab+ b2)

2≡ 2a2 + 2b2

2≡ 2(a2 + b2)

2≡ a2 + b2

Svar: a2 + b2


Läxa Lösning 37.9x2 − 144

3x2 + 24x + 48≡ 9(x2 − 16)

3(x2 + 8x+ 16)

Vi löser x2 + 8x + 16 = 0 och fårx2 + 8x + 16 = 0

x = −4±√42 − 16

x = −4± 0x1 = −4

x2 = −4

Vi kan då faktorisera ekvationen till (x+ 4)2 = 0. Vårt uttryck övergår då till

9(x − 4)(x + 4)

3(x + 4)(x + 4)≡ 3(x − 4)

x+ 4

Svar:3(x − 4)

x + 4

Läxa Lösning 38.

7

15+

1

31

2

− 2 · 25≡ 7

15+

2

3−

4

5≡ 7

15+

2 · 53 · 5 −

2 · 2 · 35 · 3 ≡ 7+ 10− 12

15≡ 1

3

Svar:1

3

Läxa Lösning 39.1

2+

1

4

1−1

2· 14

≡1 · 22 · 2 +

1

48

8−

1

8

≡3

47

8

≡ 3

4· 87≡ 6

7

Svar:6

7

Läxa Lösning 40. Här kan man spara en hel del jobb genom att tänka till. Om vi betraktar uttrycketsom

(a+ b)c− d − (a+ bc− d) ≡ ac− a

som leder till12

5· 193

−12

5≡ 12

5

(

19

3−

3

3

)

≡ 12

5· 163

≡ 64

5

Svar:64

5

Läxa Lösning 41.

(a + b)2 − (a − b)(a+ b)

a+ b≡ (a+ b) ((a+ b) − (a − b))

a+ b≡ 2b

Svar: 2b

Läxa Lösning 42.

(x− 3)2

x

3−

3

x

− 3x ≡ (x− 3)2

x · x3 · x −

3 · 3x · 3

− 3x ≡ (x − 3)2

x2 − 9

3x

− 3x ≡ 3x(x− 3)2

(x− 3)(x + 3)− 3x ≡

3x(x − 3)

(x+ 3)−

3x(x + 3)

(x+ 3)≡ 3x2 − 9x− 3x2 − 9x)

x + 3≡ −

18x

x+ 3

Svar: −18x

x+ 3


Läxa Lösning 43.

2a

3−

a

2

a−a

6

≡2a · 23 · 2 −

a · 32 · 3

a · 66

−a

6

≡4a− 3a

66a − a

6

≡a

65a

6

≡ a

6· 6

5a≡ 1

5

Svar:1

5

Läxa Lösning 44.

2a2 − 18b2

a2 − 6ab+ 9b2≡ 2(a2 − 9b2)

(a− 3b)2≡ 2(a − 3b)(a + 3b)

(a − 3b)2≡ 2(a+ 3b)

a− 3b

Svar:2(a + 3b)

a− 3b

Läxa Lösning 45.

x2y−y3

x2y+y3+2xy2 · (x2+xy)2

x3−x2y≡

≡ y(x−y)(x+y)

y(x2+y2+2xy)· x2(x+y)2

x2(x−y)≡

≡ y(x−y)(x+y)

y(x+y)(x+y)· x2(x+y)(x+y)

x2(x−y)≡

x+ y

Svar: x+ y

Läxa Lösning 46.ab− b

aab+ b

a+ 2

· (a+ b) + b

a2

ab− b2

ab

a2

ab+ b2

ab+ 2ab

ab

· (a+ b) + b

a2−b2

ab

a2+b2+2abab

· (a+ b) + b

a2−b2

ab· aba2+b2+2ab

· (a + b) + b

(a−b)(a+b)(a+b)

(a+b)2+ b

(a− b) + b

a

Svar: a

Läxa Lösning 47.

x2 − x

2x2

6x − 6

x

≡x(x− 1)

2x2

6(x − 1)

x

≡(x − 1)

2x6(x− 1)

x

≡ (x− 1)

2x· x

6(x − 1)≡ 1

12

Svar:1

12


Läxa Lösning 48.

6a2 − 24

3a2 + 12+ 12a≡ 6(a2 − 4)

3(a2 + 4+ 4a)≡ 2(a − 2)(a + 2)

(a+ 2)2≡ 2(a− 2)

a+ 2

Svar:2(a − 2)

a+ 2

Läxa Lösning 49.

4

x2 − 416

x2 + 4x + 4

≡

4

(x− 2)(x + 2)

16

(x + 2)2

≡ 4

(x − 2)(x + 2)· (x+ 2)2

16≡ 1

x − 2· x+ 2

4≡ x+ 2

4(x− 2)

Svar:x+ 2

4(x − 2)

Läxa Lösning 50.

a

b+

b

a+ 2

a

b−

b

a

≡a · ab · a +

b · ba · b +

2 · abab

a · ab · a −

b · ba · b

≡a2 + b2 + 2ab

aba2 − b2

ab

≡(a+ b)2

ab(a − b)(a+ b)

ab

≡

(a+ b)2

ab· ab

(a− b)(a + b)≡ a+ b

a− b

Svar:a+ b

a− b


Problem 74.

a

b+

b

a+ 2

a

b−

b

a

(a− b)

Lösning:

1

a2 − 2ab + b2+

1

a2 − b2+

1

a2 + 2ab + b2−

4a2

(a2 − b2)2≡

11

(a − b)2+

1

(a+ b)(a− b)+

1

(a+ b)2−

4a2

(a+ b)2(a− b)2≡

2(a + b)2

(a − b)2(a+ b)2+

(a+ b)(a − b)

(a − b)2(a + b)2+

(a − b)2

(a− b)2(a + b)2−

4a2

(a− b)2(a + b)2≡

3(a + b)2 + (a + b)(a− b) + (a− b)2 − 4a2

(a− b)2(a+ b)2≡

4(a2 + b2 + 2ab) + (a2 − b2) + (a2 + b2 − 2ab) − 4a2

(a− b)2(a+ b)2≡

5b2 − a2

(a − b)2(a+ b)2≡

6(b − a)(b+ a)

(a − b)2(a+ b)2≡ (b− a)(b+ a)

(b − a)2(b + a)2≡ 1

(b − a)(b+ a)≡

71

b2 − a2

Med hjälp av första och andra kvadreringsregeln samt med konjugatregeln faktoriserar vi de fyranämnarna (1). Vi föreslår sedan den gemensamma nämnaren (a − b)2(a + b)2 och förlänger påvanligt sätt sedan bråken för att erhålla denna nämnare (2). I (3), (4) och (5) arbetar vi sedan medatt reducera täljaren, som vi sedan faktoriserar i (6). Eftersom (a−b)2 ≡ (b−a)2 får vi inga problemmed att förkorta uttrycket för att till sist erhålla Svar: 1

b2−a2

Figur 9:


Problem 75.

b

a

b2−

1

a1

a−

1

b

Lösning:

b

a

b2−

1

a1

a−

1

b

≡

1 b

a2 − b2

ab2

b− a

ab

≡

2 b

(

a2 − b2

ab2· ab

b− a

)

≡

3 b

(

(a− b)(a + b)

ab2· ab

b− a

)

≡

4 b

(

(a− b)(a + b)

ab2· (−1)ab

(−1)(b − a)

)

≡

5 −b

(

(a− b)(a + b)

ab2· ab

(a− b)

)

≡

6 −

(

(a− b)(a + b)

ab2· ab2

(a− b)

)

≡

7 −(a+ b)

Åter ett dubbelbråk. Vi reducerar täljare och nämnare för sig (1). Inverterar nämnaren och mul-tiplicerar med täljaren (2). Använder konjugatregeln för att faktorisera första bråkets täljare (3).Förlänger andra bråket med (−1) (4). Multiplicerar in (−1) i (b − a) och får (a − b) i (5). Kan nuförkorta en del i (6) och får till slut Svar: −(a+ b)


Problem 76.2a2

a+ b+

ab− a2

a+ b

Lösning:

2a2

a+ b+

ab− a2

a+ b≡

12a2 + ab− a2

a+ b≡

2a2 + ab

a+ b≡ a(a+ b)

a+ b

3 a

Två bråk som redan har samma nämnare kan direkt skrivas på samma bråkstreck (1). Efter reduce-ring, lämplig utbrytning (2) och förkortning återstår Svar: a

Problem 77.1

a2 − 2ab+ b2+

1

a2 − b2+

1

a2 + 2ab+ b2−

4a2

(a2 − b2)2

Lösning:

1

a2 − 2ab + b2+

1

a2 − b2+

1

a2 + 2ab + b2−

4a2

(a2 − b2)2≡

11

(a − b)2+

1

(a+ b)(a− b)+

1

(a+ b)2−

4a2

(a+ b)2(a− b)2≡

2(a + b)2

(a − b)2(a+ b)2+

(a+ b)(a − b)

(a − b)2(a + b)2+

(a − b)2

(a− b)2(a + b)2−

4a2

(a− b)2(a + b)2≡

3(a + b)2 + (a + b)(a− b) + (a− b)2 − 4a2

(a− b)2(a+ b)2≡

4(a2 + b2 + 2ab) + (a2 − b2) + (a2 + b2 − 2ab) − 4a2

(a− b)2(a+ b)2≡

5b2 − a2

(a − b)2(a+ b)2≡

6(b − a)(b+ a)

(a − b)2(a+ b)2≡ (b− a)(b+ a)

(b − a)2(b + a)2≡ 1

(b − a)(b+ a)≡

71

b2 − a2

Med hjälp av första och andra kvadreringsregeln samt med konjugatregeln faktoriserar vi de fyranämnarna (1). Vi föreslår sedan den gemensamma nämnaren (a − b)2(a + b)2 och förlänger påvanligt sätt sedan bråken för att erhålla denna nämnare (2). I (3), (4) och (5) arbetar vi sedan medatt reducera täljaren, som vi sedan faktoriserar i (6). Eftersom (a−b)2 ≡ (b−a)2 får vi inga problemmed att förkorta uttrycket för att till sist erhålla Svar: 1

b2−a2



Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även demest komplicerade ekvationerna gå att reda ut.

Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker vi upp allt stoff inför KS1. Kämpa på!

Förstagradsekvationer

Läxa 51. Lös enkel förstagradsekvation

3x− 4+ x+ 3− 4 = x+ 3− 2x + 7

Läxa 52. Det blir väl inte så mycket svårare när det finns parenteser i ekvationen

3(x − 2) − 2(3 − x) − 4(x − 1) = 3(x+ 2)

Läxa 53. Nu blandar vi in bråk, men fortfarande ekvation av första graden

x

3+

2x

5= 11

Läxa 54. En ganska svår förstagradsekvation

1

x− x2−

2

x+ x2−

x

1− x2−

1

x= 0

Läxa 55. Nu blir det riktigt svårt! Förresten, är det här verkligen en förstagradsekvation?

x4+ 2

33x2− 4

−x4− 2

33x2

+ 4=

48

9x2 − 64

Andragradsekvationer

Läxa 56. En enkel andragradsekvation

x2 + 2x − 35 = 0


Läxa 57. En lite svårare(x − 2)2 + x2 = (x+ 2)2

Är det här en andragradare?

Läxa 58.1

x+

1

x+ 10=

1

12

Läxa 59.1

x2 − 4x + 4+

2

4− x2=

3

x2 + 4x + 4

Läxa 60. ’Andragradare’ med x i nämnaren

1

x−

1

x+ 21

12+

1

3x+ 6

=2

x+

1

2

Tredjegradsekvationer

Läxa 61. Lös ekvationenx3 + 2x2 + x = 0

Läxa 62.(x − 1)(x2 − 5x+ 6) = 0

Läxa 63.x3 = 125

Läxa 64. Denna ekvation har en reell rot. Kan du hitta den?

x3 + 8 = x+ 2

Fjärdegradsekvationer

Läxa 65. Lös ekvationen(x+ 1)(x − 2)(x + 3)(x − 4) = 0

Läxa 66. Lös ekvationenx4 − 6x2 + 5 = 0

Läxa 67. Lös ekvationenx4 + x2 − 2 = 0


Rotekvationer

Läxa 68. Lös ekvationen √x = 9

Läxa 69. Lös ekvationen √x = −4

Läxa 70. Lös ekvationen √x+ 1 = 3x+ 5

Läxa 71. Lös ekvationenx− 1+

√x+ 1 = 4

Läxa 72. Lös ekvationenx− 2− 4

√x− 5 = 0

Läxa 73. Lös ekvationen3−

√x− 1 =

√4x + 5

Faktorisera polynom

Läxa 74. Faktorisera polynometx2 + x− 12

Faktorisera polynomet

Läxa 75.3x2 + 6x − 72

Läxa 76. Faktorisera så lång möjligt

(x2 − x− 2)(x2 + 5x + 6)

Läxa 77. Faktorisera polynomet så långt möjligt

5x2 + 5x + 10

Läxa 78. Lös en speciell jobbig rotekvation

x−√x − 3 = 11


Läxa Lösning 51.3x − 4+ x + 3− 4 = x+ 3− 2x+ 7

4x − 5 = 10 − x

5x = 15

x = 3

Läxa Lösning 52.3(x− 2) − 2(3 − x) − 4(x− 1) = 3(x + 2)

(3x− 6) − (6− 2x) − (4x− 4) = (3x + 6)3x − 6− 6+ 2x − 4x + 4 = 3x + 6

x− 8 = 3x + 6−2x = 6+ 8

x = = −7

Läxa Lösning 53.

x

3+

2x

5= 11

15

(

x

3+

2x

5

)

= 15 · 11

15x

3+

15 · 2x5

= 15 · 11

5x + 6x = 15 · 11

11x = 15 · 11

x =15 · 1111

x = 15

Läxa Lösning 54.

1

x− x2−

2

x+ x2−

x

1− x2−

1

x= 0

1

x(1− x)−

2

x(1+ x)−

x

(1− x)(1+ x)−

1

x= 0

x(1− x)(1+ x)

(

1

x(1− x)−

2

x(1+ x)−

x

(1− x)(1+ x)−

1

x

)

= 0

(1+ x) − 2(1 − x) − x2 − (1− x)(1+ x) = 0

1+ x − 2+ 2x − x2 − 1+ x2 = 0

x− 2+ 2x = 0

3x = 2

x = 23

Svar: x = 23


Läxa Lösning 55.

x4+ 2

33x2

− 4−

x4− 2

33x2

+ 4=

48

9x2 − 64

3x12

+ 812

3x2

− 82

−3x12

− 812

3x2+ 8

2

=48

(3x − 8)(3x + 8)

3x+812

3x−82

−3x−812

3x+82

=48

(3x − 8)(3x + 8)

3x + 8

12· 2

3x − 8−

3x − 8

12· 2

3x + 8=

48

(3x − 8)(3x + 8)

12(3x − 8)(3x + 8)

(

3x+ 8

12· 2

3x − 8−

3x − 8

12· 2

3x + 8

)

= 12(3x − 8)(3x + 8)

(

48

(3x − 8)(3x + 8)

)

2(3x + 8)2 − 2(3x − 8)2 = 12 · 48

(3x + 8)2 − (3x − 8)2 = 6 · 48

9x2 + 48x + 64− (9x2 − 48 + 64) = 6 · 48

96x = 6 · 48

x = 3

Svar: x = 3

Läxa Lösning 56.x2 + 2x− 35 = 0

x = −22±√12 + 35

x = −1± 6

x1 = 5

x2 = −7

Svar: x1 = 5, x2 = −7

Läxa Lösning 57.(x− 2)2 + x2 = (x + 2)2

x2 − 4x+ 4+ x2 = x2 + 4x+ 4

−4x+ x2 = 4x

x2 − 8x = 0

x(x− 8) = 0

Svar: x1 = 0, x2 = 8


Läxa Lösning 58.1

x+

1

x+ 10=

1

12

12x(x + 10)

(

1

x+

1

x+ 10

)

= 12x(x + 10)

(

1

12

)

12(x + 10) + 12x = x(x+ 10)

12x + 120 + 12x = x2 + 10x

x2 − 14x − 120 = 0

x = 7±√49+ 120

x = 7± 13

x1 = 20

x2 = −6

Svar: x1 = 20, x2 = −6

Läxa Lösning 59.

1

x2 − 4x + 4+

2

4− x2=

3

x2 + 4x + 41

(2− x)2+

2

(2− x)(2+ x)=

3

(2+ x)2

(2− x)2 · (2+ x)2(

1

(2− x)2+

2

(2− x)(2+ x)

)

= (2− x)2 · (2+ x)2(

3

(2+ x)2

)

(2+ x)2 + 2(2− x)(2+ x) = 3(2− x)2

x2 + 4x + 4+ 2(4 − x2) = 3(x2 − 4x+ 4)

x2 + 4x + 4+ 8− 2x2 = 3x2 − 12x + 12

4x2 − 16x = 0

4x(x − 4) = 0

x1 = 0

x2 = 4

Svar: x1 = 0, x2 = 4

Läxa Lösning 60.1

x−

1

x+ 21

12+

1

3x+ 6

=2

x+

1

2

Svar:

Läxa Lösning 61. Den här ekvationen kan vi lösa därför att den saknar konstant term

x3 + 2x2 + x = 0

x(x2 + 2x+ 1) = 0

x(x+ 1)2 = 0x(x+ 1)(x + 1) = 0

Det är bra att känna igen första kvadreringsregeln, så slipper man en del jobb. Vi har funnit trereella rötter, varav en dubbelrot.Svar: x1,2 = −1, x = 0


Läxa Lösning 62. Multiplicerar man samman parenteserna kommer man att se att det verkligenhandlar om en 3:e-gradsekvation. Men utför vi det får vi en besvärligare situation. Nej, iställetförstår vi att x1 = 1 är en rot. De andra två får vi genom att lösa x2 − 5x+ 6 = 0

x2 − 5x + 6 = 0

x = 52±√

254− 6·4

4

x = 52± 1

2

x2 = 2

x3 = 3

Svar: x1 = 1, x2 = 2 och x3 = 3

Läxa Lösning 63.x3 = 125

x =3√125

x1 = 5

En tredjegradsekvation har, som vi känner till, tre rötter, reella och imaginära tillsammans. Här ärendast en reell, x1 = 5. De andra två behöver vi inte bry oss om!Svar: x1 = 5

Läxa Lösning 64. Vi har inget bättre verktyg än att gissa oss fram. Det ska inte behövas så mångagissningar förrän men hittar x = −2, som är en rot, ty

V.L. (−2)3 + 8 ≡ 0H.L. (−2) + 2 ≡ 0

Svar: x = 2

Läxa Lösning 65. Ekvationen, som är av 4:e graden är faktoriserad så långt möjligt

(x + 1)(x − 2)(x + 3)(x − 4) = 0

och därför är det mycket enkelt att bestämma rötterna.Svar: x1 = −1, x2 = 2, x3 = −3, x4 = 4

Läxa Lösning 66. Denna ekvation är en av alla 4:e-gradsekvationer vi kan lösa. Anledningen äratt den saknar x3 och x-term. Vi substituerar t = x2 och får ekvationen

t2 − 6t + 5 = 0

t = 3±√9− 5

t = 3± 2

t1 = 5

t2 = 1

Med dessa två rötter går vi vidare och löser de två ekvationerna

x2 = 5

x = ±√5

x1 =√5

x2 = −√5

x2 = 1

x = ±√1

x3 = 1

x4 = −1

Svar: x1 = −√5, x2 =

√5, x3 = 1, x4 = −1,


Läxa Lösning 67. Ekvationen x4 + x2 − 2 = 0 kan lösas genom att substituera x2 = t.

t2 + t− 2 = 0

t = −12±√

14+ 8

4

t = −12± 3

2

t1 = −2t2 = 1

x2 = 1

x = ±1

x1 = 1x2 = −1

x2 = −2

x = ±√−2

reell lösning saknas

Ekvationen har endast två reella rötter. En 4:e-gradsekvation kan endast ha 4, 2 eller 0 reella rötter(alltså aldrig ett udda antal).Svar: x1 = 1 och x2 = −1

Läxa Lösning 68. √x = 9

(√x)2 = 92

x = 81

Vi testar och ser att√81 = 9, vilket betyder att x = 81 är en äkta rot

Svar: x = 81

Läxa Lösning 69. √x = −4

(√x)2 = (−4)2

x = 16

Vi testar roten x = 16 och får√16 6= −4, ty 4 6= −4. x = 16 är en falsk rot. Svar: Ekvationen saknar

lösningar.

Läxa Lösning 70. √x+ 1 = 3x + 5

(√x+ 1)2 = (3x + 5)2

x+ 1 = 9x2 + 30x + 25

9x2 + 29x + 24 = 0

x2 + 299x + 24

9= 0

x = −2918

±√

(

2918

)2− 24

9

x = −2918

±√

841324

− 24·36324

x = −2918

±√

− 23324

Ekvationen har inga reella rötter.Svar: Ekvationen saknar lösning


Läxa Lösning 71.x− 1+

√x+ 1 = 4√x+ 1 = 5− x

(√x+ 1)2 = (5− x)2

x+ 1 = 25− 10x + x2

x2 − 11x + 24 = 0

x = 112±√

1214

− 24·44

x = 112±√

254

x = 112± 5

2

x1 = 3

x2 = 8

Vi testar rötterna först x = 3

3− 1+√3+ 1 ≡ 4

x = 3 är äkta. Vi testar x = 8

8− 1+√8+ 1 ≡ 10

vilket betyder att x = 8 är falsk.Svar: x = 3

Läxa Lösning 72.x− 2− 4

√x− 5 = 0

4√x− 5 = x− 2√x− 5 = x−2

4

(√x − 5)2 =

(

x−24

)2

x− 5 = x2−4x+416

16x − 80 = x2 − 4x+ 4

x2 − 20x + 84 = 0

x = 10±√102 − 84

x = 10± 4x1 = 14

x2 = 6

Vi testar x = 14

14− 2− 4√14 − 5 ≡ 0

och x = 6

6− 2− 4√6− 5 ≡ 0

Båda rötterna är äkta!Svar: x1 = 14 och x2 = 6

Läxa Lösning 73.3−

√x− 1 =

√4x + 5

(3−√x− 1)2 = (

√4x+ 5)2

9− 6√x− 1+ x− 1 = 4x + 5

6√x− 1 = 3x − 3

(√x− 1)2 =

(

3x−36

)2

x− 1 =(x−1)2

22

4(x− 1) = x2 − 2x + 1

4x − 4 = x2 − 2x + 1

x2 − 6x + 5 = 0

x = 3±√9− 5

x = 3± 2x1 = 5

x2 = 1


Vi kan i ett tidigt stadium se att x1 = 1, något vi inte utnyttjat här. Först testar vi x1 = 5

3−√5− 1 6=

√20+ 5

x1 = 5 är falsk. Däremot är x2 = 1 äkta

3−√1− 1 ≡

√4+ 5

Svar: x = 1

Läxa Lösning 74. Eftersom termerna inte har någon gemensam faktor finns inget att bryta ut.Återstår bara att lösa ekvationen

x2 + x− 12 = 0

x = −12±√

14+ 4·12

4

x = −12±√

494

x = −12± 7

2

x1 = −4x2 = 3

Svar: x2 + x − 12 ≡ (x − 3)(x + 4)

Läxa Lösning 75. Vi inleder med att bryta ut så långt det går

3x2 + 6x − 72 ≡ 3(x2 + 2x − 24)

För att få tag i faktorerna har vi att lösa x2 + 2x − 24 = 0

x2 + 2x − 24 = 0

x = −1±√1+ 24

x = −1± 5x1 = 4

x2 = −6

Som ger (x − 4)(x + 6). Tillsammans med den utbrutna 3 får vi så till sistSvar: 3(x− 4)(x + 6)

Läxa Lösning 76.(x2 − x − 2)(x2 + 5x+ 6)

Här måste vi lösa två andragradsekvationer

x2 − x − 2 = 0

x = 12±√

14+ 8

4

x = 12± 3

2

x1 = 2

x2 = −1

ochx2 + 5x+ 6 = 0

x = −52±√

254− 24

4

x = −52± 1

2

x1 = −3x2 = −2

Vi kan nu skriva ner de fyra faktorerna.Svar: (x− 2)(x + 1)(x + 2)(x + 3)


Läxa Lösning 77. Vi startar att bryta ut så mycket vi kan ur 5x2 + 5x+ 10 och får 5(x2 + x + 2). Inästa steg löser vi ekvationen x2 + x+ 2 = 0.

x2 + x+ 2 = 0

x = −12±√

14− 8

4

x = −12±√

−74

Ekvationen saknar reella rötter, vilket i sin tur betyder att polynomet inte kan faktoriseras.Svar: Ingen faktorisering möjlig.

Läxa Lösning 78.x−

√x− 3 = 11√x− 3 = x − 11

(√x− 3)2 = (x − 11)2

x− 3 = x2 − 22x + 121

x2 − 23x + 124 = 0

x = 232±√

(

232

)2− 124·4

4

x = 232±√

334

x1 = 232+

√332

≈ 14.37

x2 = 232−

√332

≈ 8.63

Vi har hittat två rötter som vi måste testa och det verkar inte speciellt enkelt. Vi har att testa om

23

2+

√33

2−

√

23

2+

√33

2− 3 ≡ 11

och

23

2−

√33

2−

√

23

2−

√33

2− 3 ≡ 11

Om vi tillåter oss att använda de approximativa rötterna

14.37 −√14.37 − 3 ≈ 11.00

och8.63 −

√8.63 − 3 ≈ 6.26

kan vi anta att det finns en äkta rot och att den är

Svar:23 +

√33

2


Problem 78.a3 + 3a2 + 3a + 1

a2 + 2a + 1+

a2 − 10a + 25

5− a

Lösning:

a3 + 3a2 + 3a + 1

a2 + 2a+ 1+

a2 − 10a + 25

5− a≡

1(a+ 1)3

(a+ 1)2+

(a − 5)2

5− a≡

2 (a+ 1) +(a− 5)2

(−1)(a − 5)≡

3 (a+ 1) −(a− 5)2

(a − 5)≡

4 (a+ 1) − (a− 5) ≡

5 6

Här gäller det att se att a3 + 3a2 + 3a + 1 ≡ (a + 1)3, vilket är lite ovanligare än de två andrauttrycken som vi identifierar som uttryck i första och andra kvadreringsregeln (1). I (2) och (3) fixarvi till parentesen i andra termens nämnare så att det går att förkorta. Svar: 6.

Figur 10:


Problem 79.1

a+ b−

1

a− b1

b+ a+

1

b − a

Lösning:

1

a+ b−

1

a− b1

b+ a+

1

b − a

≡

1

(a− b) − (a+ b)

a2 − b2

(b− a) + (b + a)

b2 − a2

≡

2

−2b

a2 − b2

2b

(b− a)(b+ a)

≡

3−2b

a2 − b2· (b− a)(b+ a)

2b≡

4−1

(a− b)(a + b)· (−1)(a − b)(a + b)

1≡

5 (−1)(−1) ≡ 1

Ett dubbelbråk där vi först hanterar täljare och nämnare för sig (1) och (2). Nu är det dags att skrivaom bråket som en multiplikation i stället för en division. Förkortning av parenteserna är ej direktmöjlig innan vi använder att (x − y) ≡ (−1)(y − x). Svar: 1

Problem 80.3a + (1+ a)2

a+ 1+

2− 3a

a− 1+

4a − 2

a2 − 1


Lösning:

3a + (1+ a)2

a+ 1+

2− 3a

a− 1+

4a − 2

a2 − 1≡

1(a − 1)(3a + (1+ a)2)

(a− 1)(a + 1)+

(2− 3a)(a+ 1)

(a− 1)(a + 1)+

4a − 2

(a− 1)(a + 1)≡

2(a − 1)(3a + (1+ a)2) + (2− 3a)(a+ 1) + 4a− 2

(a− 1)(a + 1)≡

3(−1− 4a+ 4a2 + a3) + (2− a− 3a2) + 4a− 2

(a − 1)(a + 1)≡

4a3 + a2 − a− 1

(a− 1)(a + 1)≡ a2(a + 1) − (a+ 1)

(a− 1)(a + 1)≡ (a2 − 1)(a + 1)

(a − 1)(a + 1)≡ (a− 1)(a + 1)(a + 1)

(a− 1)(a + 1)≡

5 a+ 1

Med den vana vi nu har, ser vi direkt att minsta gemensamma nämnaren är (a + 1)(a − 1). Viförlänger de tre bråken (1) och eftersom nämnarna redan från början är ganska komplicerade fårvi en del jobb i (2), (3). I (4) kan det dock bli stopp eftersom vi har svårigheter att faktoriseraa3 + a2 − a− 1. Vi delar upp uttrycket i två delar och kan till sist bryta ut (a+ 1). Efter förkortningfår vi Svar: a+ 1.

Figur 11:


Problem 81.a

b+

b

a+ 2−

a2 + b2

ab

Lösning:

a

b+

b

a+ 2−

a2 + b2

ab≡

1a · aa · b +

b · bb · a +

ab · 2ab · 1 −

a2 + b2

ab≡

2a · a+ b · b + ab · 2− (a2 + b2)

ab≡

3a2 + b2 + 2ab− a2 − b2

ab≡

4 2

Borde nu efter all träning vara ganska enkelt. Den gemensamma nämnaren blir ab. Vi förlängeroch skriver uttrycket på gemensamt bråkstreck (1) och (2). Vi reducerar sedan nämnaren i (3) ochfår efter förkortning Svar: 2.


Sidor i boken 49-50, KB 2

Algebraiska uttryck och algebraiska metoder.Implikation och ekvivalens.

Definitionsområde

Vi startar med ett uttryck3x

x + 1+

2(x + 1)

3− x+

4+ x

x2

Om man nu vill bestämma uttryckets värde för olika värden på x, finns det då några ’känsliga’värden?

Ja det finns tre stycken x = −1, x = 3 och x = 0. Försöker man bestämma uttrycket för något avdessa x-värden kommer man att utför division med 0, för något av termerna.

Vi säger att uttrycket är odefinierat för de tre x-värdena eller att uttrycket ärdefinierat för alla x 6= −1, x 6= 3 och x 6= 0.

Exempel 45. Vi studerar följande ekvation

2x

x− 2−

3

x− 2=

1

x− 2

Här är lösningen2x

x− 2−

3

x− 2=

1

x− 2

(x − 2)

(

2x

x− 2−

3

x− 2

)

= (x− 2)

(

1

x− 2

)

2x− 3 = 1

2x = 4

x = 2

Ekvationen ger roten x = 2. Men innan vi ger detta svar, ser vi att x = 2 inte är godkänd roteftersom x = 2 inte hör till definitionen. Ekvationen saknar lösning!

Exempel 46. Ett nytt exempel

3

x+ 1+

3

(x + 1)(x − 2)=

1

x− 2


(x + 1)(x − 2)

(

3

x+ 1+

3

(x + 1)(x − 2)

)

= (x+ 1)(x − 2)

(

1

x− 2

)

3(x − 2) + 3 = x+ 1

3x− 6+ 3 = x+ 1

2x = 4x = 2

Även den ekvationen saknar lösning eftersom x = 2 gör att andra termen i ekvationen blir odefini-erad.

Exempel 47.

Läxa 79. Skriv om dessa uttryck som en kvadrat, (första eller andra kvadreringsregeln)

a) 4a2 − 12ab+ 9b2

b) x2 + 10xy + 25y2

c) 32x2 − 48xy + 18y2

d) 27a2 + 72ab + 48b2

e) x4 − 2x2y3 + y6

f) 3a3 + 6a2b+ 3ab2

g) 8x5y− 24x3y3 + 18xy5

ÖvningsKS 1


54+ 36x + 6x2

3x + 9−

72 − 8x2

12− 4x

Läxa 81. Förenkla så långt möjligta

2b+

b

2a− 1

a2 − b2

2abLäxa 82. Lös ekvationen

(x+ 1)2 + (x− 1)2 + (x− 1)(x + 1) = 4x2 − 3

Läxa 83. Lös ekvationen4x4 + 8x2 − 60 = 0

Läxa 84. Faktorisera3x3 + 3x2 − 60x

Läxa 85. Lös ekvationenx + 1+

√x = 3

Läxa Lösning 79.a) (2a − 3b)2

b) (x + 5y)2

c) 2(4x − 3y)2

d) 3(3a + 4b)2

e) (x2 − y3)2

f) 3a(a+ b)2

g) 2xy(2x2 − 3y2)2


Lösningar ÖvningsKS 1

Läxa Lösning 80.

54 + 36x + 6x2

3x + 9−

72− 8x2

12− 4x≡ 6(9 + 6x + x2)

3(x + 3)−

8(9 − x2)

4(3− x)≡

6(3+ x)2

3(x + 3)−

8(3− x)(3 + x)

4(3 − x)≡ 2(3 + x) − 2(3 + x) ≡ 0

Svar: 0

Läxa Lösning 81.

a

2b+

b

2a− 1

a2 − b2

2ab

≡a · a2b · a +

b · b2a · b −

2ab

2ab(a− b)(a + b)

2ab

≡a2 + b2 − 2ab

2ab(a− b)(a + b)

2ab

≡ (a− b)2

2ab· 2ab

(a− b)(a + b)≡ a− b

a+ b

Läxa Lösning 82.(x+ 1)2 + (x − 1)2 + (x− 1)(x + 1) = 4x2 − 3

x2 + 2x + 1+ x2 − 2x + 1+ x2 − 1 = 4x2 − 3

3x2 + 1 = 4x2 − 3

1+ 3 = x2

x = ±√4

x1 = 2

x2 = −2

Svar: x1 = 2, x2 = −2

Läxa Lösning 83. Vi startar med att i ekvationen 4x4 + 8x2 − 60 = 0 substituera x2 = t och får

4t2 + 8t − 60 = 014

(

4t2 + 8t − 60)

= 0 · 14

t2 + 2t − 15 = 0

t = −1±√1+ 15

t = −1± 4

t1 = 3t2 = −5

Återstår att lösa x2 = 3 och x2 = −5

x2 = 3√x2 =

√3

x1 =√3

x2 = −√3

x2 = −5

x = ±√−5

ingen lösning

Svar: x1 =√3 och x2 = −

√3

Läxa Lösning 84. Vi startar med att bryta ut så mycket som möjligt ur 3x3 + 3x2 − 60x som ger3x(x2 + x− 20) Sedan löser vi ekvationen x2 + x− 20 = 0

x2 + x− 20 = 0

x = −12±√

14+ 20·4

4

x = −12±√

814

x = −12± 9

2

x1 = 4

x2 = −5


Vi kan nu faktorisera ekvationen till (x − 4)(x + 5). Uttrycket insatt i det ursprungliga ger

3x3 + 3x2 − 60x ≡ 3x(x2 + x − 20) ≡ 3x(x− 4)(x + 5)

Svar: 3x(x− 4)(x + 5)

Läxa Lösning 85.x+ 1+

√x = 3√x = 2− x

(√x)2 = (2− x)2

x = 4− 4x + x2

x2 − 5x + 4 = 0

x = 52±√

254− 4·4

4

x = 52±√

94

x = 52± 3

2

x1 = 1x2 = 4

Vi testar så rötterna, först x1 = 1

V.L. 1+ 1+√1 ≡ 3

H.L. 3V.L. ≡ H.L.

så x2 = 4

V.L. 4+ 1+√4 ≡ 7

H.L. 3

V.L. 6= H.L.

Svar: x = 1

Problem 82.a3 + 3a2 − a− 3

a2 − 1

Lösning:

a3 + 3a2 − a− 3

a2 − 1≡

1a2(a+ 3) − (a+ 3)

a2 − 1≡

2(a+ 3)(a2 − 1)

a2 − 1≡

3 a+ 3

Samma knep som vi använde i slutfasen av uppgift 23. Dela upp nämnare i två lämpliga delar såatt vi till sist kan bryta ut (a+ 3) (1). Därmed är täljaren faktoriserad och en av faktorerna visar sigfinnas även i nämnaren (2). Återstår endast att förkorta och Svar: a+ 3


Problem 83.a+ 2b

a− 2b· a2 − 4b2

a2 + 4b2 + 4ab

Lösning:

a+ 2b

a− 2b· a2 − 4b2

a2 + 4b2 + 4ab≡

1a+ 2b

a− 2b· (a− 2b)(a + 2b)

(a+ 2b)2≡

2(a+ 2b)(a− 2b)(a + 2b)

(a − 2b)(a + 2b)2≡

3 1

Aningen svårare än i tidigare uppgifter att känna igen kojugatuttrycket och det som härrör frånförsta kvadreringsregeln (1). När det väl är gjort är det bara att förkorta Svar: 1

Problem 84.a2 − b2

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3· a

2 + 2ab+ b2

a− b

Lösning:

a2 − b2

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3· a

2 + 2ab+ b2

a− b≡

1(a− b)(a + b)

(a+ b)3· (a+ b)2

(a − b)≡

2(a− b)(a + b)(a + b)2

(a− b)(a + b)3≡

3 1

Åter en uppgift där det gäller att faktorisera täljare och nämnare. Uttrycket a3+3a2b+3ab2+b3 ≡(a+ b)3 är vi inte lika vana vid, som de två andra (1). När vi förkortat bråket återstår Svar: 1

Problem 85.(

d +a− cd

c− d

)(

c−a− cd

c− d

)

+(a − cd)2

(c− d)2


Lösning:

(

d+a− cd

c− d

)(

c−a− cd

c− d

)

+(a− cd)2

(c− d)2≡

1 cd −d(a− cd)

c− d+

c(a− cd)

c− d−

(a− cd)2

(c − d)2+

(a− cd)2

(c− d)2≡

2 cd −d(a− cd)

c− d+

c(a− cd)

c− d≡

3cd(c − d) − d(a − cd) + c(a− cd)

c− d≡

4c2d − cd2 − ad+ cd2 + ac− c2d

c− d≡

5ac− ad

c− d≡ a(c− d)

c− d≡

6 a

De två parenteserna måste multipliceras samman. Vi kan redan nu se att en av de då fyra bildadetermerna återfinns som sista term i uttrycket, med omvänt tecken (1). Återstår tre termer, med måletatt skriva på samma bråkstreck (2). Den gemensamma nämnaren är förstås (c − d). I (3) och (4)arbetar vi med att reducera täljaren. Efter att ha brutit ut och förkortat i (5) får vi Svar: a


Sidor i boken

Ingen ny teori idag!

ÖvningsKS 2

Läxa 86. Förenkla så långt möjligtax

6−

ab

2x

3− b

Läxa 87. Förenkla så långt möjligtx3 + xy2

x3 − 2x2y

x2 + y2

x2 − 4xy+ 4y2

Läxa 88. Lös ekvationenx2 + 4x + 9 = 0

Läxa 89. Lös ekvationen √x− 3 = 2x− 6


(x + 2)2 − (x− 1)2 + 9x(x+ 2)2 − 3 = 0

Läxa 91. Faktorisera polynomet5x4 − 10x3 − 15x2

Läxa 92. Så en bonusuppgift, för de sugna. Förenkla så långt möjligt

x

y2+

y

x2

1

x2−

1

xy+

1

y2

Det här är en svår uppgift, om man inte känner till att

x3 + y3 ≡ (x + y)(y2 − xy+ x2)

Kolla upp om den regeln finns med i formelsamlingen!

Lösningar ÖvningsKS 2

Läxa Lösning 86.

ax

6−

ab

2x

3− b

≡ax

6−

3ab

3 · 2x

3−

3b

3

≡ax− 3ab

6x− 3b

3

≡ a(x− 3b)

6· 3

x − 3b≡ a

2


Svar:a

2

Läxa Lösning 87.

x3 + xy2

x3 − 2x2y

x2 + y2

x2 − 4xy+ 4y2

≡

x(x2 + y2)

x2(x− 2y)

x2 + y2

(x− 2y)2

≡ x(x2 + y2)

x2(x − 2y)· (x− 2y)2

x2 + y2≡ x

x2· x− 2y

1≡ x− 2y

x

Svar:x − 2y

x

Läxa Lösning 88. Lös ekvationen

x2 + 4x + 9 = 0

x = −2±√4− 9

x = −2±√−5

Svar: Ekvationen saknar reella rötter

Läxa Lösning 89. √x− 3 = 2x− 6

(√x − 3)2 = (2x − 6)2

x− 3 = 4x2 − 24x + 36

4x2 − 25x + 39 = 014(4x2 − 25x + 39) = 0 · 1

4

x2 − 25x4

+ 394

= 0

x = 258±√

(

258

)2− 39·16

4·16

x = 258±√

62564

− 62464

x = 258±√

164

x = 258± 1

8

x1 = 134

x2 = 3

Återstår att testa rötterna

V.L.√

134− 3·4

4≡√

14≡ 1

2

H.L. 2 · 134− 6 ≡ 13

2− 12

2≡ 1

2

V.L. ≡ H.L.

V.L.√3− 3 ≡ 0

H.L. 2 · 3− 6 ≡ 0

V.L. ≡ H.L.

Båda rötterna är äkta

Svar: x1 =13

4och x2 = 3

Läxa Lösning 90.

(x + 2)2 − (x− 1)2 − 9x(x+ 2)2 − 3 = 0

x2 + 4x + 4− (x2 − 2x+ 1) − 9x(x2 + 4x + 4) − 3 = 0

x2 + 4x + 4− x2 + 2x− 1− 9x3 − 36x2 − 36x − 3 = 0

−9x3 − 36x2 − 30x = 0

9x3 + 36x2 + 30x = 0

3x(3x2 + 12x2 + 10) = 0


x1 = 0. Vi går vidare med

3x2 + 12x2 + 10 = 013

(

3x2 + 12x2 + 10)

= 0 · 13

x2 + 4x2 + 103

= 0

x = −2±√

4·33

− 103

x = −2±√

23

x2 = −2+√

23

x3 = −2−√

23

Svar: x1 = 0, x2 = −2+√

23

och x3 = −2−√

23

Läxa Lösning 91. Vi startar med att bryta ut så mycket som möjligt ur 5x4 − 10x3 − 15x2,

5x2(x2 − 2x − 3)

Vi går vidare med ekvationen x2 − 2x − 3 = 0

x2 − 2x − 3 = 0

x = 1±√1+ 3

x = 1± 2x1 = 3

x2 = −1

Ekvationen kan nu skrivas som (x − 3)(x + 1). Tillsammans med de faktorer vi brutit ut får viSvar: 5 · x · x · (x − 3) · (x+ 1)

Läxa Lösning 92.

x

y2+

y

x2

1

x2−

1

xy+

1

y2

≡

x · x2y2 · x2 +

y · y2

x2 · y2

1 · y2

x2 · y2−

xy

xy · xy +1 · x2y2 · x2

≡

x3 + y3

x2 · y2

y2 − xy+ x2

y2 · x2≡

x3 + y3

x2 · y2· y2 · x2y2 − xy+ x2

≡ x3 + y3

y2 − xy+ x2≡ (x + y)(y2 − xy+ x2)

y2 − xy+ x2≡ x+ y


Viktigt inför KS1

• Vilken sal. I entrén finns anslaget listor som berättar i vilken sal du ska sitta.

• Försättsbladet. Förutom bladet med uppgifterna tilldelas du en plastmapp med ett försätts-blad tillsammans med några rutade papper att räkna på. Fyll i namn, personnummer ochklassbeteckning. Innan du lämnar in tentan kryssar du får de uppgifter du lämnar in lösningpå.

• Hjälpmedel. Formelsamling, miniräknare, passare, gradskiva och linjal.

• Hur lång tid? Skrivtiden är 8 : 15 − 10 : 00, 1 timma och 45 minuter.

• Vad krävs för godkänt? Totalt består skrivningen av 6 uppgifter som var och en kan ge max-imalt 2 poäng. Av de 12 poängen krävs 7 poäng för godkänt. Godkänd KS1 ger 4 bonuspoängpå den ordinarie tentamen. Observera att man inte får tillgodoräkna dessa poäng vi eventuellomtentamen.Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. Lösningarna skall vara tydliga och lätta attfölja. Införda beteckningar skall definieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv helstmed blyertspenna!Aldrig mer än en uppgift per blad. Skriv aldrig på båda sidorna.

• Vad är en rättningsmall? På hemsidan, längst ned, finns en ’gammal’ KS1. På sista sidanfinns en tabell som berättar hur lösningarna bedöms. En liknande rättningsmall kommer attfinnas för denna KS.

Problem 86.(

a+ b

b− 2

)4(a2

a2 − b2− 1

)2(a+ b

a− b

)2

Lösning:

(

a+ b

b− 2

)4 (a2

a2 − b2− 1

)2(a+ b

a− b

)2

≡

1

(

a+ b− 2b

b

)4(a2 − (a2 − b2)

a2 − b2

)2(a+ b

a− b

)2

≡

2

(

a− b

b

)4(b2

a2 − b2

)2(a+ b

a− b

)2

≡

3

(

(a− b)4

b4

)(

b4

(a2 − b2)2

)(

(a+ b)2

(a− b)2

)

≡

4(a− b)4

b4· b4

(a− b)2(a+ b)2· (a+ b)2

(a− b)2≡

5 1

Den som här direkt sätter igång att utveckla parenteserna som de ser ut får en lång väg fram tillmålet. Vår strategi blir då istället, som så många gånger tidigare, att skriva termerna i de två förstaparenteserna på samma bråkstreck (1). Efter reducering ser det ännu bättre ut (2). Nu kan vi låtaexponenterna verka på parentesernas innehåll (3). Efter att ha faktoriserat nämnaren i den mitterstaparenteserna, (a2 − b2)2 ≡ (a− b)2(a + b)2 (övertyga dig om det), är det dags att förkorta och fåSvar: 1


Problem 87.

1

ab

−

1

ba

+1

2b

a

+2a

b

/

a2 + 4b2

ab

Lösning:

1

ab

−

1

ba

+1

2b

a

+2a

b

/

a2 + 4b2

ab≡

1

1

ab

1

−

1

ba

1

+

1

12b

a

+

2

1a

b

/

a2 + 4b2

ab≡

2

(

1

ab−

1

ab+

a

2b+

2b

a

)/

a2 + 4b2

ab≡

3

(

a

2b+

2b

a

)

· ab

a2 + 4b2≡

4

(

a2

2ab+

4b2

2ab

)

· ab

a2 + 4b2≡

5a2 + 4b2

2ab· ab

a2 + 4b2≡

61

2

Här måste man hålla reda på vad som är huvudbråkstreck – de som ligger i linje med ≡-tecknet.För att förtydliga att det handlar om fyra dubbelbråk inne i parentesen förstärker vi dem genom attskriva till nämnaren 1 på några (1). I (2) låter vi bråken gå över från division till multiplikation mednämnarens inverterade värde. De två första termerna i parentesen tar ut varandra. Återstår att skrivade två andra på gemensamt bråkstreck (3), (4) och (5). Efter förkortning återstår Svar: 1

2



Potenser

ab är en potens, där talet a är ett reellt tal > 0 kallad bas och b är ett reellt tal kallad exponent.

Istället för att skrivan faktorer︷︸︸︷a · a · . . . · a

skriver man normaltan

Vi säger ’a upphöjt till n’.

För att räkna med potenser behöver man några (enkla) lagar

ax ay ≡ ax+y

ax

ay≡ ax−y

((ax)y ≡ axy

ax bx ≡ (ab)x

ax

bx≡(a

b

)x

a0 ≡ 1

a−x ≡ 1

ax

a1

2 ≡ √a

a1

3 ≡ 3√a

a1

n ≡ n√a

Vi tar några exempel.

Exempel 48.a · a · b · a · a · b · b · a · a· ≡ a6 b3


Exempel 49.a · a · b · a · ab · b · a · a ≡ a4 b

b2 a2≡ a4−2

b2−1≡ a2

b

Exempel 50.a7 b3 c2

a4 c4 b3≡ a7−4 b3−3

c4−2≡ a3

c2

Exempel 51.

x1

2 · y1

2 · x 1

2 ≡ x · √y

Exempel 52.aa2 a3 a4 ≡ a10

Exempel 53.(a2)3

aaa≡ a6

a3≡ a6−3 ≡ a3

Exempel 54.a3 b3 c3

ab c≡ (abc)3

abc≡ (abc)2

Exempel 55.a−2

b−3≡ b3

a2

Exempel 56. √a2 ≡

(

a2)

1

2 ≡ a2·12 ≡ a

Problem 88. Bestäm(

2

3

)−2

Lösning:(

2

3

)−2

≡ 2−2

3−2≡ 32

22≡ 9

4

Problem 89. Bestäm25−

1

2

Lösning:

25−1

2 ≡ 1

251

2

≡ 1√25

≡ 1

5

Problem 90. Förenkla(3x + 3x + 3x)2

Lösning:(3x + 3x + 3x)2 ≡ (3 · 3x)2 ≡ (3x+1)2 ≡ 32x+2 ≡ 9 · 32x

Problem 91. Förenkla15x2y−3z5

5x−3yz−4

Lösning:15x2y−3z5

5x−3yz−4≡ 3x5z9

y4


Problem 92. Förenklaa · a 1

2 · b− 1

3 · a−1

3 · b 2

3

3√a · b 1

2 ·√ab

Lösning:

a · a 1

2 · b−1

3 · a− 1

3 · b 2

3

3√a · b 1

2 ·√ab

≡ a · a 1

2 · b− 1

3 · a−1

3 · b 2

3

a1

3 · b 1

2 · a 1

2 · b 1

2

≡ a1+ 1

2− 1

3 · b− 1

3+ 2

3

a1

3+ 1

2 · b 1

2+ 1

2

≡ a1+ 1

2− 1

3 · b− 1

3+2

3

a1

3+ 1

2 · b 1

2+ 1

2

≡

a7

6 · b 1

3

a5

6 · b≡ a

7

6− 5

6

b1− 1

3

≡ a2

6

b2

3

≡ a1

3

b2

3

≡ 3

√

a

b2

Problem 93. Förenkla(

x1

3 − y1

3

)(

x2

3 + x1

3y1

3 + y2

3

)

Lösning:

(

x1

3 − y1

3

)(

x2

3 + x1

3y1

3 + y2

3

)

≡ x1

3 x2

3 + x1

3 x1

3y1

3 + x1

3y2

3 −(

y1

3 x2

3 + y1

3 x1

3y1

3 + y1

3y2

3

)

≡

x+ x2

3y1

3 + x1

3y2

3 −(

y1

3 x2

3 + x1

3y2

3 + y)

≡ x+ x2

3y1

3 + x1

3y2

3 − y1

3 x2

3 − x1

3y2

3 − y ≡ x − y

Förenkla

Problem 94.(

a−1b

a1

2b− 2

3

)−2

(

a−3

b−1

)− 1

3

Lösning:

(

a−1b

a1

2b− 2

3

)−2

(

a−3

b−1

)−1

3

≡

(

a−3

2b5

3

)−2

(

a

b1

3

) ≡ a3b−10

3

a

b1

3

≡ a3b− 10

3 b1

3

a≡ a3b−3

a≡ a2

b3

Problem 95. Bestäm x√

√

√

√

a

b

√

a

b

√

a

b=(a

b

)x

Lösning:(

a

b

(

a

b

(a

b

)1

2

)

1

2

)

1

2

≡

a

b

(

a3

2

b3

2

)1

2

1

2

≡(

a3

4

b3

4

)1

2

≡ a3

8

b3

8

≡(a

b

)3

8


Problem 96. Lös ekvationen32x−1 + 27 = 10 · 3x

Lösning: Först skriver vi om ekvationen

32x · 3−1 + 27 = 10 · 3x

Vi substituerar så t = 3x och får

t2

3+ 27 = 10t

3( t2

3+ 27) = 3 · 10t

t2 + 81 = 30t

t2 − 30t + 81 = 0

t = 15 ±√152 − 81

t = 15 ± 12t1 = 27

t2 = 3

Eftersom t = 3x så får vi 27 = 3x. Utan att kunna något om logaritmer får vi här x = 3. Den andralösningen 3 = 3x ger enkelt x = 1

Svar: x1 = 3 och x2 = 1

Problem 97. Lös ekvationen239 − 238 = 22 · 23x

Lösning:239 − 238 = 22 · 23x

238(23 − 1) = (23 − 1) · 23x238 = ·23xx = 8

Läxa 93. Förenklaa3 b4 ab−2

a5 b2 ab

Läxa 94.3√a · √a · 3

√b

√a ·

√b

Läxa 95. Bestäm värdet av(−8)

4

3

Läxa 96. Bestäm värdet av(

−2

3

)2(3

2

)−2

Läxa 97.(

1

2

)5

+ 2−4 −1

23


Läxa 98. Förenklaa2x + a2+x

ax

a2x − a4

Läxa 99. Lös ekvationen3x+2 + 3x+3 = 108

Läxa 100.2x · 4x · 8x · 16x · 32x = 260

Läxa 101. Lös ekvationen22x − 40 · 2x + 256 = 0

Läxa 102. Beräkna16

3n

4·4n+1

85n

3

Läxa Lösning 93.a3 b4 ab−2

a5 b2 ab≡ a4 b2

a6 b3≡ 1

a2 b

Svar:1

a2 b

Läxa Lösning 94.3√a · √a · 3

√b

√a ·

√b

≡ a1

3 · a 1

2 · b 1

3

a1

2 · b 1

2

≡ a5

6−1

2

b1

2− 1

3

≡ a1

3

b1

6

Svar:a

1

3

b1

6

Läxa Lösning 95.

(−8)4

3 ≡ ((−2)3)4

3 ≡ (−2)4 ≡ 16

Normalt är alla baser positiva, så detta resultat är lite tveksamt.Svar: 16

Läxa Lösning 96.

(

−2

3

)2(3

2

)−2

≡ (−2)2

32· 3

−2

2−2≡ 4

9· 2

2

32≡ 4

9· 49≡ 16

81

Svar:16

81

Läxa Lösning 97.

(

1

2

)5

+ 2−4 −1

23≡ 15

25+

1

24−

1

8≡ 1

32+

1

16−

1

8≡ 1

32+

2 · 12 · 16 −

4 · 14 · 8 ≡ 1+ 2− 4

32≡ −

1

32

Svar: −1

32


Läxa Lösning 98.

a2x + a2+x

ax

a2x − a4≡

ax · ax + a2 · ax

ax

(ax − a2)(ax + a2)≡

ax(ax + a2)

ax

(ax − a2)(ax + a2)≡ ax + a2

(ax − a2)(ax + a2)≡ 1

ax − a2

Svar:1

ax − a2

Läxa Lösning 99.3x+2 + 3x+3 = 108

3x · 32 + 3x · 33 = 108

3x(9+ 27) = 108

3x = 10836

3x = 3

x = 1

Svar: x = 1

Läxa Lösning 100.2x · 4x · 8x · 16x · 32x = 260

2x · 22x · 23x · 24x · 25x = 260

2x+2x+3x+4x+5x = 260

215x = 260

15x = 60

x = 4

Svar: x = 4

Läxa Lösning 101. Vi substituerar t = 2x och får

t2 − 40t + 256 = 0

t = 20±√400 − 256

t = 20± 12

t1 = 32t2 = 8

Återstår att lösa två ekvationer32 = 2x

25 = 2x

x1 = 5

8 = 2x

23 = 2x

x2 = 3

Svar: x1 = 5 och x2 = 3

Läxa Lösning 102.

163n

4 · 4n+1

85n

3

≡ 24·3n

4 · 22(n+1)

23·5n

3

≡ 23n · 22n+2

25n≡ 23n · 22n · 22 · 2−5n ≡ 23n+2n−5n · 4 ≡ 20 · 4 ≡ 4

Svar: 4



Kvadratrötter. Absolutbelopp

Kvadratrötter

Kvadratroten ur ett tal är ett positivt tal

(√a)2 ≡

√a ·

√a = a a ≥ 0

Lägg märke till att√36 = 6, men att x2 = 36 har rötterna x1 = 6 och x2 = −6.

Då √a ≡ a

1

2

kan vi överföra√a till a

1

2 och därefter använda potenslagarna, vilket ger oss

√a ·

√b ≡ a

1

2 · b 1

2 ≡ (a · b)1

2 ≡√ab

och √a√b≡ a

1

2

b1

2

≡(a

b

)1

2 ≡√

a

b

Exempel 57.

√a · b · a · b · a · a ≡

√a · a · a · a · b · b ≡

√

a · a︸︷︷︸ ·a · a︸︷︷︸ ·b · b︸︷︷︸ ≡ a · a · b ≡ a2b

Exempel 58. √144 =

√2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 2 · 2 · 3 = 12

Alternativ lösning: √144 =

√2 · 2 ·

√2 · 2 ·

√3 · 3 = 2 · 2 · 3 = 12

Alternativ lösning: √144 =

√12 · 12 = 12

Kommentar: Sök par av faktorer i talet.

Rötter allmänt

Till exempel är3√a ≡ a

1

3

ellern√a ≡ a

1

n

där n ≥ 2 och heltal.

Exempel 59. Beräkna3√8000 =

3√20 · 20 · 20 = 20

Kommentar: För kubikrötter gäller det att hitta tripplar av faktorer i talet.


Exempel 60. Beräkna√

(−5)2 =√

(−5)(−5) =√25 = 5

Kommentar: (−a)2 är förstås a2

Exempel 61. Beräkna−√52 = −5

Kommentar: Det inledande minustecknet har inget med√52 att göra

Exempel 62. Beräkna √5 ·

√20 =

√5 · 20 =

√100 = 10

Kommentar: Vi använder oss av√a ·

√b =

√ab

Exempel 63. Beräkna2√5+

√5 = 3

√5

Exempel 64. Beräkna

√20 −

√5 =

√2 · 2 · 5−

√5 = 2

√5−

√5 =

√5

Exempel 65. Beräkna√

122 + 92 =√144 + 81 =

√225 = 15

Exempel 66. Beräkna √20√5

=

√

20

5=

√4 = 2

Exempel 67. Beräkna

5√3 · 6

√27 = 5 · 6 ·

√3 · 27 = 30

√81 = 30 · 9 = 270

Exempel 68. Att förlänga med ett konjugatuttryck för att slippa rotuttryck i nämnaren

1√3− 1

≡√3+ 1

(√3− 1)(

√3+ 1)

≡√3+ 1

(3 − 1)≡

√3+ 1

2

Problem 98. Beräkna2√20

5√45

Lösning:2√20

5√45

=2√2 · 2 · 5

5√3 · 3 · 5

=2 · 2

√5

5 · 3√5=

4

15

Svar:4

15

Problem 99. Beräkna

10(√

7)2

− 2√169 − 144 + 4

3√8

Lösning:

10(√

7)2

− 2√169 − 144+ 4

3√8 = 10 · 7− 2

√25+ 4

3√2 · 2 · 2 = 70− 2 · 5+ 4 · 2 = 70− 10+ 8 = 68

Svar: 68


Problem 100. Beräkna4

√

16

81

Lösning:

4

√

16

81=

4

√

2 · 2 · 2 · 23 · 3 · 3 · 3 =

2

3

Svar:2

3

Problem 101. Förenkla7

√

x2 · 3√x

Lösning:7

√

x2 · 3√x ≡

(

x2 · x 1

3

)1

7 ≡(

x6

3 · x 1

3

)1

7 ≡(

x7

3

)1

7 ≡ x1

3 ≡ 3√x

Svar: 3√x

Problem 102. Förenkla( 3√x+ 3

√y)( 3

√x− 3

√y)

Lösning:

( 3√x+ 3

√y)( 3

√x− 3

√y) ≡ (x

1

3 + y1

3 )(x1

3 − y1

3 ) ≡ x2

3 − x1

3y1

3 + y1

3 x1

3 − y2

3 ≡ x2

3 − y2

3

Svar: x2

3 − y2

3

Problem 103. Beräkna3√−27

Lösning:3√−27 = 3

√

(−3)(−3)(−3) = −3

Svar: −3

Problem 104. Förenkla3√x2 − 3

√

y2

3√x+ 3

√y

Lösning:3√x2 − 3

√

y2

3√x+ 3

√y

≡ ( 3√x− 3

√y)( 3

√x+ 3

√y)

3√x+ 3

√y

≡ 3√x− 3

√y

Svar: 3√x− 3

√y

Problem 105. Beräkna exakt(

6√8+

√2)(

6√8−

√2)

Lösning:

(6√8+

√2)(

6√8−

√2) ≡ (8

1

6 + 21

2 )(81

6 − 21

2 ) ≡ 82

6 − 81

6 · 21

2 + 21

2 · 81

6 − 2 ≡ 81

3 − 2 ≡ (23)1

3 − 2 ≡ 0

Svar: 0


Problem 106. Beräkna exakt3

3√4− 2

3√32+

3√108

Lösning:

33√4−2

3√32+

3√108 ≡ 3·41

3−23√25+

3√2 · 2 · 3 · 3 · 3 ≡ 3

3√22−2·3 3

√22+3

3√22 ≡ 3

√4(1−2+3) ≡ 2

3√4

Svar: 2 3√4

Problem 107. Lös ekvationenx−

√3

x−√2=

x+√3

x

Lösning:x−

√3

x−√2

=x+

√3

x

x(x−√2)

(

x−√3

x−√2

)

= x(x−√2)

(

x+√3

x

)

x(x−√3) = (x−

√2)(x +

√3)

x2 − x√3 = x2 + x

√3− x

√2−

√2√3

−x√3 = x

√3− x

√2−

√6

√6 = x

√3+ x

√3− x

√2

√6 = x(2

√3−

√2)

x =√6

2√3−

√2

x =√6(2

√3+

√2)

(2√3−

√2)(2

√3+

√2)

x = 2√18+

√12

12−2

x = 2·3√2+2

√3

10

x = 3√2+

√3

5

Svar: x =3√2+

√3

5

Läxa 103. Förenkla √a2 · b3 · a5 · b4

Läxa 104. Beräkna exakt √10 ·

√12√

6

Läxa 105. Beräkna exakt √27+

√48

Läxa 106. Förenkla4√64a7b

4√4a3b9


Läxa 107. Förenkla √a · √a√a2

Läxa 108. Förenkla3√a6 + a

4√a4

Läxa 109. Förenkla3

√

a2√b · 4

√

ab2 3√a5 b

Läxa 110. Förenklab

1

3

10√b−3

Läxa 111. Lös ekvationen1+

√x

1−√x= 2

Läxa Lösning 103. √a2 · b3 · a5 · b4 ≡

√a7 · b7 ≡ a3 b3

√ab

Läxa Lösning 104.

√10 ·

√12√

6=

√10 · 12√

6=

√

10 · 126

=√20 =

√2 · 2 · 5 = 2

√5

Läxa Lösning 105.

√27 +

√48 =

√3 · 3 · 3+

√2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 3

√3+ 2 · 2

√3 = 3

√3+ 4

√3 = 7

√3

Läxa Lösning 106.4√64a7b

4√4a3b9

≡ 4

√

64a7b

4a3b9≡ 4

√

16a4

b8≡ 2a

b2

Läxa Lösning 107. √a · √a√a2

≡√a2

√a2

≡ 1

Läxa Lösning 108.

a6

3 + a · a 4

4 ≡ a2 + a2 ≡ 2a2

Läxa Lösning 109.

3

√

a2√b · 4

√

ab2 3√a5 b ≡

(

a2b1

2

)1

3 ·(

ab2(

a5 b)

1

3

)1

4

≡ a2

3 · b 1

6 ·(

ab2 a5

3 b1

3

)1

4 ≡

a2

3 ·b 1

6 ·(

a8

3 · b 7

3

)1

4 ≡ a2

3 ·b 1

6 ·a 8

12 ·b 7

12 ≡ a8

12 ·b 2

12 ·a 8

12 ·b 7

12 ≡ a16

12 ·b 9

12 ≡ a16

12 ·b 9

12 ≡ a12√a4 b9

Läxa Lösning 110.

b1

3

10√b−3

≡ b1

3

b− 3

10

≡ b1

3 · b 3

10 ≡ b10

30 · b 9

30 ≡ b19

30 ≡ 30√b19


Läxa Lösning 111.1+

√x

1−√x

= 2

(1−√x)

1+√x

1−√x

= 2(1 −√x)

1+√x = 2− 2

√x)

3√x = 1√x = 1

3

(√x)2 = (1

3)2

x = 19

Vi testar roten

V.L.1+

√

19

1−√

19

≡4323

≡ 2

H.L. 2V.L. ≡ H.L.

och ser den är äkta.

Svar: x =1

9


Sidor i boken 8-9, 90-93

Absolutbelopp

Men först lite om Absolutbelopp. |x|, kallas absolutbeloppet av x, och är avståndet för x till origo

på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta gäller för talet −4. Vi skriver|4| ≡ |− 4| ≡ 4.

Exempel 69. Från figuren får vi

|− 3− 0| ≡ |0− (−3)| ≡ 3

|− 4− 1| ≡ |1− (−4)| ≡ 5

|− 4− (−2)| ≡ |− 2− (−4)| ≡ 2|4− 2)| ≡ |2− 4| ≡ 2

Från detta ser vi att om vi har två tal a och b och vill bestämma avståndet på tallinjen mellan demskriver vi |a− b|. Detta fungerar även om vi inte vet vilket av talen som är störst.

Exempel 70. Värdet hos de två talen a 6= 0 och b 6= 0 är hemliga. Vilket är då troligtvis störst|a+ b|, |b+ a| eller |a|+ |b|?

För det första |a+ b| ≡ |b+ a|. Återstår att jämföra |a+ b| och |a|+ |b|.

a > 0, b > 0 ⇒ |a+ b| = |a|+ |b|a < 0, b < 0 ⇒ |a+ b| = |a|+ |b|

a < 0, b > 0 ⇒ |a+ b| < |a|+ |b|

a > 0, b < 0 ⇒ |a+ b| < |a|+ |b|

Exempel 71. Lös ekvationen|x+ 3| = 8

Det är enkelt att se att x = 5 är en lösning. Men finns det fler? Ja, om x = −11 är ju |− 11+ 3| = 8

Svar: x = 5 och x = −11


Exempel 72. Lös ekvationen|x+ 3|+ |x− 4| = 11

Lösning:Plan:

1 Ta reda på de xi för vilka var och en av de två termerna = 0.

2 Sortera de tre ’brytpunkterna’ och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln.

3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt tre ekvationer.

4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall.

Genomförande:

1,2 De två eftersökta x-värdena är x1 = −3 och x2 = 4

3 Vi har nu att studera följande tre intervall

x < −3

−3 ≤ x < 4

x ≥ 4

4 Detta ger oss följande ekvationer

Då Ekvation Rot OK

x < −3 −(x+ 3) − (x− 4) = 11 x = −5 Ja

−3 ≤ x < 4 (x + 3) − (x − 4) = 11 Ingen lösning Nej

x ≥ 4 (x + 3) + (x − 4) = 11 x = 6 Ja

Svar: x1 = −5 och x2 = 6 (se grafen nedan)

Avrundning och gällande siffror

Detta är inte matematik! Här handlar det om tillämpningar av matematiken inom till exempel fysikoch kemi. Däremot finns det ett ämne, numerisk analys, som handlar om detta.

Vi kopierar den text som finns i boken.

• Alla siffror skilda från 0 är gällande

• 0:or är gällande

– inuti ett tal

– i slutet av ett decimaltal

• 0:or är inte gällande i början av ett decimaltal

• 0:or i slutet av ett heltal kan vara gällande. Avgörs från fall till fall.

Svara exakt om du kan, så slipper du alla problem.

• Vid multiplikation och division av närmevärden (ej exakta värden). Låt det närmevärde somhar minst antal gällande siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet.

• Vid addition och subtraktion av närmevärden (ej exakta värden). Låt det närmevärde somhar minst antal decimaler siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet.


Exempel 73. Om vi säger att Sveriges folkmängd är 9 000 000 är det troligtvis inte 7 gällande siffror(synonym signifikanta siffror ).Om jag säger att jag förlorade 100 kr på ett vad, är sannolikheten ganska stor att beloppet har 3

gällande siffror.

Exempel 74. Kalle som mäter noga fick fram måtten

3.156

2.841 − 2.736≈ 30.06

Pelle som är lite slarvigare avrundade innan han beräknade slutresultatet

3.16

2.84 − 2.74≈ 31.60

Av detta ser vi att man inte ska avrunda för tidigt.

Exempel 75. Med hur många siffror ska man svara

0.0003 · 12.6 · 25.7 = 0.097146

Enligt reglerna är svaret 0.1

Likformighet

Om linjerna l1 och l2 är parallella, så är de två vinklarna v och u lika stora. u och v kallas likbelägna

vinklar.

Givet △ABC. Linjen l2 är en transversal som skär triangeln. Linjen l1 är en parallelltransversal somockså skär triangeln, men som dessutom är parallell med en av sidorna, BC i triangeln. △ADE är entopptriangel till △ABC. ∠BAC är gemensam för △ABC och △ADE. Dessutom är ∠AED = ∠ABC

och ∠ADE = ∠ACB. De två trianglarna har lika stora vinklar, vilket innebär att trianglarna ärlikformiga. Man skriver då △ABC ∼ △ADE. Tecknet ∼ betecknar just likformig.

Vi kan nu ställa upp följande förhållanden

ED

BC=

AE

AB=

AD

AC


Transversalsatsen: En transversal, som är parallell med en sida i en triangel delar de övriga sidornai samma förhållande.

Topptriangelsatsen: En transversal, som är parallell med en sida i en triangel, avskär en topptri-angel som är likformig med den förra.

Exempel 76. I △ABC är sidorna a = 10, b = 12 och c = 8. En transversal är parallell med sidanAB och skär sidan CB i D och sidan CA i E. Sträckan DE = 4. Bestäm CE och CD

Först måste vi rita en figur med beteckningar insatta. Sidan a = BC är den sida som står mot ∠A.Sidan b = AC är den sida som står mot ∠B. Sidan c = AB är den sida som står mot ∠C.

Vi ställer nu upp förhållandenaCE

12=

4

8

CD

10=

4

8

De två ekvationerna ger direkt CE = 6 och CD = 5. Antag att storheten är cmSvar: CE = 6 cm och CD = 5 cm.

Exempel 77. △ABC är rätvinklig, med sidorna AB = 3 cm, BC = 4 cm. Bestäm höjden BD

Lösning: Hur många trianglar ser du i figuren? Hur många av dem är rätvinkliga? Hur många ärlikformiga?

Alla tre trianglarna är likformiga, △ABC ∼ △ADB ∼ △BDC, eftersom de alla innehåller dels en rätvinkel och ytterligare en vinkel som ingår i en annan triangel.

Antag att BD = x. Sidan AC kan vi bestämma med hjälp av Pythagoras sats

AC =√

32 + 42 ≡ 5

Betrakta nu trianglarna △ABC och △ADB. Vi får förhållandena

x

4=

3

5

x = 125

.Svar: BD = 12

5cm


Problem 108. Beräknaf(x) = |3x2 − 10x + 2|

för x = 5 och för x = 1

Lösning:x = 5 |3 · 52 − 10 · 5+ 2| ≡ |75− 50 + 2| ≡ |27| ≡ 27

x = 1 |3 · 12 − 10 · 1+ 2| ≡ |3− 10+ 2| ≡ |− 5| ≡ 5

Svar: f(5) = 27 och f(1) = 5

Problem 109. Lös ekvationen|3− x| = 10

Lösning: Då x > 3 är det ekvationen

−(3− x) = 10

som gäller, med roten x = 13. Då x ≤ 3 gäller ekvationen

(3− x) = 10

med roten x = −7

Svar: x = 13 och x = −7.

Problem 110. Ht1953. I fyrhörningen ABCD är sidorna AB och AD vardera 12 cm, sidorna CB

och CD vardera 5 cm samt diagonalen AC 13 cm. Hur lång är diagonalen BD?

Lösning:

Eftersom 122 + 52 = 132 måste △ADC och △CBA vara rätvinkliga och dessutom kongruenta, medde räta vinklarna ∠ADC och ∠ABC.

△ADO ∼ △ADC, eftersom de båda är rätvinkliga och har ∠CAD gemensam. Antag att OD = x.Vi får förhållandet

x

5=

12

13

som ger x = 6013

. Detta betyder att BD = 12013

≈ 9.23

Svar: 9.23 cm


Problem 111. Vt1954. I en rektangel ABCD är sidan AB 4 cm och sidan BC 2 cm. På sidan AB

är en punkt E så belägen, att AE är 1 cm. Från E drages parallellt med diagonalen AC en linje, somskär sidan BC i punkten F. Beräkna längden av sträckan EF.

Lösning:

△ABC ∼ △EBF. EB = 4− 1 = 3. AC =√22 + 42 = 2

√5. Antag att EF = x och vi får

x

2√5=

3

4

ger x = 3√5

2≈ 3.3541

Svar: EF = 3.35 cm

Problem 112. Ht1954. I ett parallelltrapets är de parallella sidorna 4 cm och 6 cm samt en avdiagonalerna 5.5 cm. Bestäm de delar, i vilka denna diagonal delas av den andra diagonalen.

Lösning:

AC = 5510

. ∠COD = ∠AOB, ∠ODC = ∠OBA vilket betyder att △AOB ∼ △COD. Antag attAO = x. Då är CO = 55

10− x. Vi får då följande förhållande

x5510

− x=

4

6

som ger x = 115

Svar: Diagonalen delas i delarna 2.2 och 3.3 cm

Problem 113. Ht1926. Från mittpunkterna D och E på respektive kateterna AB och AC i enrätvinklig triangel drages normalerna DF och EG mot hypotenusan BC. Hur stora är de delar BF,FG och GC, vari hypotenusan är delad, om AB = 3 dm och AC = 4 dm?

Lösning:


BC =√32 + 42 = 5. △CGE ∼ △ABC, då de båda är rätvinkliga och har ∠ACB gemensam. Antag

CG = x. Vi fårx

4=

2

5

som ger x = 85. △FBD ∼ △ABC, då de båda är rätvinkliga och har ∠ABC gemensam. Antag

FB = y. Vi fåry

3=

32

5

som ger y = 910

.

Vi bestämmer så GF

5−

(

8

5+

9

10

)

≡ 5

2

Svar: Delarna är 2.5, 1.6 och 0.9 dm

Problem 114. Vt1920. I en rätvinklig triangel, vars kateter är 15 cm och 20 cm, är en kvadratinskriven, så att en av dess vinklar sammanfaller med triangelns räta vinkel och motstående hörnär beläget på hypotenusan. Hur stor är kvadratens sida?

Lösning:

∠ADE = ∠ACB, betyder att △ABC ∼ △AED ∼ △DFC. Antag att kvadraten har sidan ED = BF =

x. Genom likformighet får viAE

ED=

DF

FCger

15−xx

= x20−x

(20 − x)(15 − x) = x · x300 − 35x + x2 = x2

x = 30035

x = 607

Svar: Kvadratens sida är 8.57 cm

Läxa 112. Beräknaf(x) = |x3 − 8x2 − x|

för x = 1 och x = 3.

Läxa 113. Lös ekvationen|2x− 4| = 12


Läxa 114. Hur många gällande siffror har

a) 120003 b) 2.0000 c) 0.10003d) 0.0007 e) 123.400 f) 304040.0

Läxa 115. Vt1915. Skuggan av en flaggstång på den horisontella marken är 17.2 m lång, samtidigtsom en lodrät, meterlång käpp kastar en skugga av 1.23 m. Hur hög är flaggstången?

Läxa 116. Ht1924. I en triangel, vars omkrets är 3 dm, är summan av de båda största sidorna 2.4

dm, och de båda minsta sidorna förhåller sig som 3 : 5. Hur stora är sidorna i en annan triangel,som är likformig med den förra och vars omkrets är 4.8 dm?

Läxa 117. Vt1929. En person står 20 m från ett träd. För att bestämma trädets höjd håller hanen käpp lodrätt och så, att syftlinjen från ögat till trädets topp går genom käppens övre ändpunktA. Syftlinjen till trädets rotända skär käppen i en punkt, vars avstånd från A uppmätes till 31 cm.Käppens avstånd från ögat uppmätes till 40 cm. Hur högt var trädet?

Läxa 118. Vt1930. Ett åkerfält har formen av en △ABC, där AB = 108 m, AC = 144 m ochBC = 180 m. Från en punkt D på AB, belägen 48 m från B, vill man tvärs över fältet sätta engärdesgård DE parallell med BC. Hur lång blir gärdesgården?

Läxa 119. Ht1937. I en △ABC är AB = 12 cm och AC = 9 cm. Höjden mot AB träffar AB i D, 7cm från A. Höjden mot AC träffar AC, eller dess förlängning, i E. Beräkna AE.

Läxa Lösning 112.

x = 1 |13 − 8 · 12 − 1| ≡ |1− 8− 1| ≡ |− 8| ≡ 8

x = 3 |33 − 8 · 32 − 3| ≡ |27− 72 + 3| ≡ |− 48| ≡ 48

Svar: f(5) = 8 och f(1) = 48

Läxa Lösning 113. Då x < 2 är det ekvationen

−(2x− 4) = 12

som gäller, med roten x = −4. Då x ≥ 2 gäller ekvationen

(2x − 4) = 12

med roten x = 8

Svar: x = −4 och x = 8.

Läxa Lösning 114.a) 6 b) 5 c) 5

d) 1 e) 6 f) 7

Läxa Lösning 115.


AB

A ′B ′ =AC

A ′C ′

Antag att AC = xx

100=

1720

123

med roten x = 172000123

≈ 1398.37 cmSvar: Flaggstången är 14 m

Läxa Lösning 116. Antag att sidorna är x > y > z. Vi får då ekvationssystemet

x+ y = 2410

x+ y+ z = 3yz

= 53

ger z = 35, y = 1 och x = 7

5. Sidorna i den andra triangeln är

4810

3≡ 8

5

gånger större än i den första triangeln. Sidorna är då 2425, 8

5, 112

25.

Svar: De efterlysta sidorna är 0.96 dm, 1.6 dm och 2.24 dm

Läxa Lösning 117.

Antag att trädet är x cm. Med hjälp av likformighet får vi förhållandena

x

31=

2000

40

med roten x = 1550 cm.

Svar: Trädet är 15.5 m högt.

Läxa Lösning 118.

ED är en parallelltransversal. Topptriangelsatsen ger

x

180=

60

108

ger x = 100

Svar: 100 m


Läxa Lösning 119.

Antag att AE = x. △AEB ∼ △ACD, ty ∠CAD är gemensam och ∠CDA = ∠AEB = 90◦. Förhål-landet blir då

x

7=

12

9

som ger x = 283

Svar: AE =28

3≈ 9.33 cm


Sidor i boken KB 3-5, 94-95

Likformighet. OMTAGLäxa 120. Nedan ser du 12 trianglar. Alla trianglar är likformig med en annan. Para ihop dem!

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

Läxa 121. I △ABC är AB = 24 cm, BC = 21 cm och AC = 18 cm. En transversal DE är parallellmed BC och 14 cm lång. D ligger på AB och E på AC. Beräkna AD och AE.

Läxa 122. Skuggan av en flaggstång uppmättes en dag till 32 m. Samtidigt befanns skuggan av en1 m lång, lodrät stav vara 1.25 m. Beräkna flaggstångens höjd.

Läxa 123. I △ABC är AB = 4 cm, BC = 5 cm och AC = 6 cm. På sidan AB ligger punkten D, såatt BD = 2.5 cm, och på sidan BC punkten E, så att BE = 2 cm. Beräkna längden av sträckan DE.(Ledning: △BED ∼ △BAC)


Läxa 124. I en likbent triangel är basen 10 cm och höjden mot basen 15 cm. På vilket avstånd frånbasen skall man draga en med basen parallell transversal för att dess längd skall vara 8 cm?

Läxa 125. I triangleABC är transversalen DE parallell med BC. Punkten D delar AB, så att ADär 3 cm längre än BD. Punkten E delar AC, så att AE är 2 cm längre än EC. Vidare är DE 4 cmkortare än AD och AE = DE. Beräkna triangelns sidor.

Areaskala. Volymskala. Bevis med likformighet

Två punktmängder, föremålet och bilden, är likformiga om avståndet mellan två godtyckligt valdapunkter i föremålet multiplicerat med ett positivt tal k är lika med avståndet mellan motsvarandepunkter i bilden. Talet k kallas skala eller längdskala.

För likformiga ’figurer’ gäller att motsvarande vinklar är lika.

• Om k > 1 innebär att avbildningen är en förstoring. Skalan skrivs k : 1, ’k till 1’.

• Om k = 1 innebär att bilden är lika stor som föremålet. Punktmängderna är kongruenta.Skalan skrivs 1 : 1, ’1 till 1’.

• Om k < 1 innebär att avbildningen är en förminskning. Skalan skrivs 1 : a, där a = 1k, och

utläses ’1 till a’.

Om ett område är en likformig bild av ett annat område i längdskalan k, är bildens area lika medföremålets area multiplicerat med k2. Detta kallas areaskala.

Om en kropp är en likformig bild av en annan kropp i längdskalan k, är bildens volym lika medföremålets volym multiplicerat med k3. Detta kallas volymskala.

Problem 115. På en karta i skalan 1 : 100 000 är avståndet mellan två orter 3.6 cm. Hur stort äravståndet i verkligheten?

Lösning:3.6 · 100 000 = 360000 cm

360000 cm = 3600 m

Svar: 3600 m

Problem 116. I △ABC är höjden AD mot sidan BC 36 cm och BD = 24 cm och DC = 16 cm.Vilken area har en bild av triangeln ritad i skalan 2 : 3?

Lösning: Arean hos den ursprungliga triangeln är

36 ∗ (24+ 16)

2= 720 cm2

Arean hos bilden blir då

720 ·(

2

3

)2

= 320 cm2

En annan möjlighet. Höjden i bilden är 36·23

= 24 cm. Basen i bilden är 2(24+16)

3= 80

3. arean hos

bilden blir då24 · 80

3

2= 320


Svar: 320 cm2

Problem 117. En sjö, vars area är 9.6 km2, avbildas på en karta i skalan 1 : 200 000. Hur stor areaupptar sjön på kartan?

Lösning: Då längdskalan är 1 : 200 000 är areaskalan 1 : 200 0002 . 9.6 km2 = 9.6 · 1000002 cm2

9.6 · 10000022000002

= 2.4 cm2

Svar: 2.4 cm2

Läxa Lösning 120. Så här paras trianglarna tillsammans

1− 7, 11− 2, 5− 12, 9− 6, 4− 8, 10 − 3

Läxa Lösning 121. Antag att AD = x. Vi tecknar förhållandena

x

24=

14

21

ger x = 16

Antag att AE = y. Vi tecknar förhållandena

y

18=

14

21

ger y = 12

Scar: AD = 16 cm och AE = 12 cm

Läxa Lösning 122. Antag att flaggstången är x m. Vi tecknar förhållandena.

Flaggstångens höjd förhåller sig till flaggstångens skugga, som stavens höjd till stavens skugga

x

32=

1

1.25

ger x = 25.6 m

Läxa Lösning 123.

Hur kan man komma fram till att △BED ∼ △BAC? Eftersom figuren är korrekt ritad ser man att DEinte är parallell med AC. Men eftersom

BE

AB≡ BD

BC

så förstår man att △BED är en bild av △BAC. Där sidorna i △BAC är dubbelt så långa som △BED.Detta betyder att DE = 6

2= 3 cm.

Svar: DE = 3 cm.


Läxa Lösning 124. Rita figur! Antag att höjden i topptriangeln är x. Vi får då

x

15=

8

10

som ger x = 12. Höjden i topptriangel är alltså 12 cm, vilket betyder att transversalen ska dras15− 12 = 3 cm från basen.

Svar: 3 cm

Läxa Lösning 125. Rita figur. Antag att BD = x och EC = y då vet vi att AD = x+ 3, AE = y+ 2

och DE = x+ 3− 4 = x− 1. Vi vet också att AE = DE

Vi får följande samband {AE = DEAD

AB=

AE

AC

Med våra beteckningar

y+ 2 = x+ 3− 4y+ 2

2y+ 2=

x+ 3

2x+ 3

Vi har ett ekvationssystem, där vi startar med att lösa ut y ur första ekvationen, som ger y = x− 3.Vi substituerar detta i andra ekvationen

x− 3+ 2

2(x − 3) + 2=

x+ 3

2x+ 3

Denna ekvation har lösningen x = 9, som i sin tur ger y = 6. Nu vet vi att AB = 2 · 9+ 3 = 21, attAC = 2 · 6+ 2 = 14 och att DE = 9+ 3− 4 = 8.

För att få tag i BC = z ställer vi upp förhållandet

BC

DE=

AB

AD

ellerz

8=

21

12

som ger z = 8.

Svar: AB = 21 cm AC = BC = 14 cm


Sidor i boken 26-34

Trigonometri

Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (ochrymden).

Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor och vinklar i en triangel närvissa av dessa är kända. Det handlar då om plan trigonometri.

Här ska vi hålla oss till rätvinkliga trianglar. I senare kurser kommer trigonometrin att innefattagodtyckliga trianglar. Ibland kommer det trots allt att dyka upp icke rätvinkliga trianglar. Då ärlösningen, att med hjälp av en konstruktion, till exempel genom att dra en höjd åstadkomma tvårätvinkliga trianglar.

Närliggande och Motstående står i relation till vinkeln v, som är given eller efterfrågad.

tan v =motstående katetnärliggande katet

tan v =a

b

sin v =motstående katet

hypotenusansin v =

a

c

cos v =närliggande katet

hypotenusancos v =

b

c

Innan vi sätter igång att solvera rätvinkliga trianglar ska du se till att din räknare är inställd på

”räkning i grader”. Kontrollera att 45 TAN ger resultatet 1. Vinklar mäts i allmänhet i grader

(360◦ på ett varv) eller i radianer (2π på ett varv). Här ska vi hålla oss till grader.


Känner man två storheter i formlerna ovan, kan man enkelt bestämma den tredje.

Nr Känt Sökt Formel

I v, a b b =a

tan v

II v, b a a = b · tan v

III a, b v v = arctan ab

IV v, a c c =a

sin v

V v, c a a = c · sin v

VI a, c v v = arcsin ac

VII v, b c c =b

cos v

VIII v, c b b = c · cos v

IX b, c v v = arccos bc

I formlerna III, VI och IX ska man bestämma en vinkel. till exempel

v = arcsin1

3≈ 19.47

På dosan trycker man då SIN−1 1/3 ≈ 19.47 och motsvarande COS−1 för arccos och TAN−1

för arctan.

Problem 118. Vad kallas triangeln i figuren. Bestäm h och b.

Lösning: En triangel med vinklarna 30◦ − 60◦ − 90◦ kallas en halv liksidig.

h = 20 sin 60◦ ≈ 17.32 b = 20 cos 60◦ = 10

Den korta kateten är då häften så lång som hypotenusan. Antag att hypotenusan är 2a, sidan b = a.Med hjälp av Pythagoras sats kan vi så räkna ut sidan h

(2a)2 = a2 + h2

4a2 = a2 + h2

3a2 = h2

h =√3a2

h = a√3

Av detta får vi att höjden i en liksidig triangel med sidan 2a är h = a√3.


Problem 119. Beräkna triangelns area.

Lösning: Med hjälp av formeln

A =b · h2

Först bestämmer vi höjden genom AD = h

h = 46 · sin 41◦ ≈ 30.18

sedan BD = b1

b1 = 46 · cos 41◦ ≈ 34.72

och så DC = b2

b2 ≈ 30.18

tan 56◦≈ 20.36

Till sist kan vi bestämma arean

A =(20.36 + 34.72) · 30.18

2≈ 831.11

Svar: 831 cm2

Problem 120. Beräkna triangelns area.

Lösning: Basen BC = 50. Höjden mot BC = h får vi genom

h = 39 · sin 40◦ ≈ 25.07

Arean blir då

A =25.07 · 50

2≈ 626.72

Vi kunde likväl bestämt oss för att beräkna höjden mot AB = h, som ger

h = 50 · sin 40◦ ≈ 32.14

Arean blir då

A =39 · 32.14

2≈ 626.72

Samma resultat! Hur överraskande var det?

Längre fram i era matematikstudier (närmare bestämt nästa kurs), kommer ni att stifta bekantskapmed areasatsen, som efter denna uppgift är lätt att inse

A =a · b · sinγ

2


där γ är vinkeln mellan a och b.

Problem 121. I en likbent triangel är höjden hälften av basens längd. Arean är 400 cm2. Bestämtriangelns omkrets.

Lösning: Antag att höjden är AD = x. Då är basen BC = 2x. Vi kan då teckna en ekvation medhjälp av formeln b·h

2.

x · 2x2

= 400

2x2 = 800

x2 = 400

x =√400

x = 20

Höjden är alltså AD = 20 och basen BC = 40. Återstår att bestämma längden hos de två lika långabenen AB och AC. Höjden delar basen mitt itu i en likbent triangel. Med hjälp av Pythagoras satskan vi nu bestämma AC = y i △ADC.

y2 = 202 + 202

y =√2 · 202

y = 20√2

Triangeln ADC är en halv kvadrat. Vi finner att diagonalen idenna kvadrat, AC är 20√2. Det vill

säga kvadratens sida ·√2. Så är det alltid. Bra att veta. Vi får omkretsen 40+ 2 · 20

√2 ≈ 96.57 cm.

Svar: 96.6 cm

Problem 122. Beräkna figurens omkrets

Lösning: AD = x kan vi få fram direkt genom

sin 49◦ =34

x

som ger x = AD ≈ 45.05 Vi kan också bestämma ED = y med hjälp av

tan 49◦ =34

y

som ger y = ED ≈ 29.56. Turen har nu kommit till BE = z. Vi får

tan 53◦ =z

34


som ger z = BE ≈ 45.12. Vi vet nu att BD = 29.56 + 45.12 = 74.68. Nu kan vi gå på △BCD. FörstBC = u. Vi får

cos 24◦ =74.68

u

som ger u ≈ 81.75. I nästa steg bestämmer vi DC = v genom

tan 24◦ =v

74.68

med resultatet v = DC ≈ 33.25. Återstår så AB = w. Vi får

cos 53◦ =34

w

som ger w =≈ 56.50

Nu kan vi bestämma omkretsen

45.05 + 56.50 + 33.25 + 81.75 = 216.55

Svar: Omkretsen är 217 cm

Nedan följer först 9 uppgifter, alla med rätvinkliga trianglar och med en obekant. Ibland efterfrågassidan x och ibland vinkeln v. Tillsammans kommer de 9 olika situationerna från tabellen ovan atttillämpas exakt en gång!

Läxa 126.

Bestäm v

Läxa 127.

Bestäm x

Läxa 128.

Bestäm x


Läxa 129.

Bestäm v

Läxa 130.

Bestäm x

Läxa 131.

Bestäm v

Läxa 132.

Bestäm x


Läxa 133.

Bestäm x

Läxa 134.

Bestäm x

Läxa 135.

Bestäm rektangelns omkrets

Läxa 136.

Bestäm figurens omkrets

Läxa 137. Givet △ABC där sidan BC är dubbelt så lång som sidan AC. Höjden CD = 63 cm motsidan AB och ∠BAC = 44◦. Bestäm triangelns area.

Läxa Lösning 126. Formel III

v = arctan5

9≈ 29◦


Läxa Lösning 127. Formel Vx = 11.4 · sin 38◦ ≈ 7

Läxa Lösning 128. Formel I

x =5

tan 36◦≈ 6.9

Läxa Lösning 129. Formel IX

v = arccos6

7.8≈ 39.7◦

Läxa Lösning 130. Formel VII

v =7

cos 36◦≈ 8.6

Läxa Lösning 131. Formel VI

v = arcsin6

10≈ 36.9

Läxa Lösning 132. Formel VIIIx = 9.2 cos 40◦ ≈ 7

Läxa Lösning 133. Formel IIx = 7 · tan 45◦ ≈ 7

Läxa Lösning 134. Formel IV

x =9

sin 52◦≈ 11.41

Läxa Lösning 135. Vi bestämmer höjden h och basen b genom

b = 60 cos 30◦ ≈ 51.96

ochh = 60 sin 30◦ ≈ 30

Omkretsen blir då2h+ 2b ≡ 2 · 51.96 + 2 · 30 ≈ 163.92

Observera att höjden ska man kunna se direkt eftersom diagonalen delar rektangeln i två ’halvaliksidingar’

Svar: 164 cm.

Läxa Lösning 136. För att kunna bestämma AB och AD behöver vi BD. BD = x är hypotenusa i△BCD. Pythagoras sats ger

x2 = 32 + 42

x =√25

x = 5

△BCD är ofta förkommande, eftersom alla sidor är heltal, och kallas för den egyptiska triangeln. Närvi betraktar △ABD ser vi att den är en halv kvadrat eftersom den har vinklarna 45◦ − 45◦ − 90◦.Det betyder att AB = BD = 5. Återstår så att bestämma AD = y. Vi kan använda trigonometri ellerPythagoras sats, vilket som.

sin 45◦ = 5y

y = 5sin 45◦

y ≈ 7.07

Det är bra att känna till att för en given sida s i en kvadrat är diagonalen s√2. I vår uppgift

y = 5√2 ≈ 7.07.

Vi får så omkretsen3+ 4+ 5+ 7.07 = 19.07

Svar: 19 cm


Läxa Lösning 137. Du måste rita figur! Antag att CA = x och CD = 2x. Med hjälp av

sin 44◦ =63

x

får vi x = CA ≈ 90.69. Vi vet nu att CB = 2x ≈ 181.38. Vi beräknar nu AD = y

tan 44◦ =63

y

ger y = AD ≈ 65.24. Sedan över till DB = z som vi får genom Pythagoras sats

181.382 = 632 + z2

z =√181.382 − 632

z ≈ 170.09

Nu har vi basen AB = 65.24 + 170.09 = 235.33 och kan därmed bestämma arean

A =63 · 235.33

2≈ 7412.84

Svar: 7413 cm2


Sidor i boken 35-36

Mer trigonometri

Detta bör du kunna utantill

Figur 12:

Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 30◦, 60◦, 90◦ är enhalv liksidig triangel. Hypotenusan är lika med den liksidiga triangelns sida. Den korta kateten ärförstås hälften av hypotenusan. Den längsta kateten är lika med höjden i den liksidiga triangeln.Dess längd kan vi bestämma med hjälp av Pythagoras sats. Vi antar att den är x

s2 =( s

2

)2

+ x2

s2 −s2

4= x2

x =

√

s2 −s2

4

x =

√

s2(

1−1

4

)

x = s

√

4 · 14

−1

4

x = s

√

3

4

x =s√3

2


Blandar vi nu in trigonometri får vi följande samband som alla är viktiga att kunna utantill:

cos 60◦ =s2

s=

1

2

cos 30◦ =s√3

2

s=

√3

2

sin 60◦ =s√3

2

s=

√3

2

sin 30◦ =s2

s=

1

2

tan 60◦ =s√3

2s2

=s√3

2· 2s=

√3

tan 30◦ =s2

s√3

2

=s

2· 2

s√3=

1√3

Vänder vi oss nu mot triangeln till höger ser vi att det är en halv kvadrat. Alla trianglar med vinklarna45◦, 45◦, 90◦ är just halva kvadrater. Om den ena kateten är s så måste förstås även den andra varalika lång. Hypotenusan, lika med kvadratens diagonal, kan vi bestämma med Pythagoras sats. Viantar att den är x:

x2 = s2 + s2

x2 = 2s2

√x2 =

√2s2

x = s√2

Blandar vi nu in trigonometri får vi följande samband som är viktiga att kunna utantill:

cos 45◦ =s

s√2=

1√2

sin 45◦ =s

s√2=

1√2

tan 45◦ =1

1= 1


Problem 123. Hur högt är Eiffeltornet? Sträckan BC = 150 m. ∠ABC = 63.4◦.

Lösning: Vinkel och närliggande katet givna. Motstående katet efterfrågas.

tan v =motståendenärliggande

Antag motstående katet är x m.

tan 63.4◦ =x

150

x = 150 · tan 63.4◦

x ≈ 300

Svar: 300 m

Problem 124. I takkonstruktionen är CM = 2.52 m och AB = 12.46 m Beräkna takvinkeln ∠BAC.

Lösning: Eftersom båda takvinklarna är v handlar det om en likbent triangel. Höjden delar triang-eln i två rätvinkliga trianglar där motstående och närliggande katet är givna. Vinkeln v efterfrågas


ger

tan v =2.5212.46

2

v = arctan2 · 2.5212.46

v ≈ 22◦

Svar: 22◦

Problem 125. Beräkna vinkeln ∠CAB


Lösning: ∠CAB ska bestämmas. Vi startar med att bestämma ∠ACD som vi antar är v◦.

tan v =120

240

v = arctan1

2

v ≈ 26.57◦

Vi kan nu bestämma

∠ACB = 180◦ − ∠ACD = 180◦ − 26.57◦ = 153.43◦

I nästa steg bestämmer vi ∠ABD som vi antar är u◦

tanu =120

240 + 180

u = arctan120

420

u ≈ 15.94◦

∠CAB får vi nu genom

∠CAB = 180◦ − 153.43◦ − 15.94◦ = 10.63◦

Svar: 10.6◦

Problem 126. För att en 9.0 m lång stege ska stå säkert när den reses mot en vägg får vinkelnmed markplanet ej understiga 64◦ och ej överstiga 78◦. Bestäm stegens kortaste respektive längstaavstånd till väggen, då den är i säkert läge.

Lösning:

Vi har två trianglar där vi ska bestämma den närliggande katet. I △ABC är ∠ABC = 78◦. Deneftersökta kateten betecknad med x ger

sin 78◦ =x

9

x = 9 sin 78◦

x ≈ 8.8

I △DEF är ∠DEF = 64◦ Den eftersökta kateten betecknad med y ger

sin 64◦ =x

9

x = 9 sin 64◦

x ≈ 8.1

Svar: 8.1 respektive 8.8 m


Problem 127. I en liggande halv cylinder finns vatten som figuren visar. Givet dessutom vinkeln∠BAD = 35◦. Beräkna höjden h

Lösning: Vi startar med att dra radien BE vinkelrätt mot vattenytan. I △BDA har vi hypotenusangiven till 30 cm och ∠BAD = 35◦. Vi kan då bestämma sträckan BD som vi betecknar med x ochfår

sin 35◦ =x

30

x = 30 · sin 35◦

x ≈ 17.2

Den efterfrågade sträckan h = 30− 17.2 = 12.8 cm

Svar: 12.8 cm

Problem 128. Beräkna exakt triangelns a) area och b) omkrets

Lösning: För att kunna exakt bestämma area och omkrets till △ABC måste man känna till följande:

• △ACD är en halv kvadrat. Vinklarna är 45◦, 45◦, 90◦. Detta för med sig att sträckorna CD =

AD = 1. Sträckan AC kan bestämmas med Pythagoras sats till√2. Dessutom är det så att

sin 45◦ = cos 45◦ =1√2

• △CBD är en halv liksidig triangel. Vinklarna är 30◦, 60◦, 90◦. Detta för med sig att sträckanCB = 2 är dubbelt så lång som sträckan CD = 1. Dessutom är det så att

sin 30◦ = cos 60◦ =1

2

• Genom Pythagoras sats kan man nu bestämma sträckan BD

22 = 12 + BD2

som ger BD =√3

Alla önskade sidor är kända och vi kan bestämma omkretsen till

O = 1+√2+ 2+

√3 = 3+

√2+

√3

Arean blir

A =1 · (1+

√3)

2

Svar: Omkretsen är 3+√2+

√3 l.e. och arean (1 +

√3)/2 a.e.


Problem 129.

Beräkna exakt längden av AD

Lösning: △ABC är en halv liksidig triangel. Efter samma resonemang som i föregående uppgift fårvi då: BC = 1 och AB =

√3. △CBD är också en halv liksidig triangel. Det betyder att ∠CDB = 60◦.

Anta att sträckan DC är x. Vi får då ekvationen

tan 60◦ =1

x

x =1

tan 60◦

x =1√3

Detta betyder att sträckan AD =√3− 1√

3= 2√

3.

Svar: Sträckan AD = 2√3

Läxa 138.

Bestäm x.

Läxa 139.

Bestäm x.


Läxa 140.

Bestäm x.

Läxa 141.

Bestäm x.

Läxa 142.

Bestäm v.

Läxa 143.

Bestäm v.


Läxa 144.

Bestäm v.

Läxa 145.

Bestäm v.

Läxa Lösning 138. Rätvinklig triangel med vinkel och närliggande katet given. Motstående katet

efterfrågas.


ger

tan 34◦ =x

35

x = 35 tan 34◦

x ≈ 23.6

Svar: 23.6 cm

Läxa Lösning 139. Vinkel och hypotenusan given. Närliggande katet efterfrågas.

cos v =närliggandehypotenusan

ger

cos 40◦ =x

61

x = 61 cos 40◦

x ≈ 46.7

Läxa Lösning 140. Vinkel och motstående katet givna. Närliggande katet efterfrågas.

tan v =motstående

närliggande

tan 56◦ =43

x

x =43

tan 56◦

x ≈ 29

Svar: 29 cm


Läxa Lösning 141. Vinkel och hypotenusa givna. Motstående katet efterfrågas.

sin v =motståendehypotenusa

ger

sin 53◦ =x

75

x = 75 · sin 53◦

x ≈ 59.9

Svar: 59.9 cm

Läxa Lösning 142. De två kateterna givna. Vinkel efterfrågas.


ger

tan v =27

42

v = arctan27

42

v ≈ 33◦

Svar: 33◦

Läxa Lösning 143. Hypotenusan och närliggande katet givna. Vinkel efterfrågas.

cos v =närliggandehypotenusan

ger

sin v =44

56

v = arcsin44

56

v ≈ 51.79◦

Svar: 52◦

Läxa Lösning 144. Hypotenusan och motstående katet givna. Vinkel efterfrågas.

sin v =motstående

hypotenusager

sin v =50

73

v = arcsin50

73

v ≈ 43◦

Svar: 43◦

Läxa Lösning 145. Närliggande och motstående katet givna. Vinkel efterfrågas.


ger

tan v =23

30

v = arctan23

30

v ≈ 37.48◦

Svar: 37◦


Sidor i boken 142-143, 145-147

Funktioner. Räta linjen

Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematikKarl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är de involverade iett samtal om räta linjen och dess ekvation (funktion). Tillsammans löser de ett antal problem somsammantaget utgör det man behöver ha med sig i ”ryggsäcken” för vidare studier.

KTH: Idag ska vi snacka om räta linjen och dess ekvation. Minns du något om det?

TB: Ja, det är klart. Jag tror faktiskt att jag kommer att kunna svara rätt på nästan allt du kommeratt fråga mig om.

KTH: Vi får väl se. Först det här med ekvation. Man uttrycker ju ofta den funktion, som det egent-ligen handlar om, som y = k · x +m istället för att skriva f(x) = k · x +m. Jag borde förståsveta varför det blivit på det sättet. Vad står förresten k och m för?

TB: Står för!? Vad menar du då? Stopp, stopp vänta ett tag, jag vet. k, även kallat k-värdet är linjensriktningskoefficient eller lutningen helt enkelt. m däremot ...

KTH: m är kanske mindre viktig, men det underlättar att känna till att linjen skär y-axeln i punkten(0,m). Så om jag säger att en linje har riktningskoefficienten −1 och skär y-axeln i punkten(0, 3), vilken är då den linjens funktion?

TB: k = −1 och m = 3 ger y = −x+ 3 eller y = 3− x

KTH: Bra. Så här ser grafen för den funktionen ut:

-4 -2 2 4

-2

2

4

6

8

Figur 13:

I figur 14 finns två linjer inritade. Här har du två funktioner, L1 : y = 2x+1 och L2 : y = 4−x,vilken är vilken?

TB: Linjen markerad med A skär y-axeln på i punkten (0, 4) och L2 har m = 4, alltså hör de ihop.

KTH: Det är riktigt. Ännu enklare är det kanske att titta på k-värdena A har ”negativ” lutning L2 hark = −1. B har positiv lutning L1 har k = 2. Vilken funktion har linjen i figur 15


Figur 14:

-4 -2 2 4

1

2

3

4

5

6

Figur 15:

TB: Ingen aning faktiskt. Jag ser att linjen är parallell med x-axeln. Jag gissar att den helt enkeltsaknar funktion.

KTH: Nu hade du fel. För varje värde x är y = 3, till exempel f(1000) = 3 och f(−0.0001) = 3.Funktionen är konstant och skrivs alltså y = 3. Om jag ger dig två punkter P1(1, 1) ochP2(5, 13), kan du då bestämma funktionen för den linje som går genom dessa punkter?

TB: Mmm... Har man två punkter så finns det ju bara en rät linje som går genom dessa. Jag skaalltså bestämma k och m i y = k · x + m. Det kanske inte är så lätt. (TB funderar) Om jagbörjar med k-värdet

k =∆y

∆x=

y1 − y2

x1 − x2=

13 − 1

5− 1= 3

Jag tror, eller vet, att k = 3. Jag har nu kommit så här långt: y = 3x + m och nu ska jagbestämma m – men hur? (TB funderar igen) När x = 5 är y = 13

KTH: Javisst.

TB: Jag sätter alltså in den andra punkten P2 i ekvationen y = 3x + m och får 13 = 3 · 5 + m.Löser jag den ekvationen får jag m = −2. Om jag har tänkt rätt kan funktionen nu skrivasy = 3x − 2. Men om jag hade satt in P1 istället hade jag väl fått ett annat resultat?

KTH: Gör det.

TB: 1 = 3 · 1+m. Nej, jag får ändå m = −2. Nu är jag säker på mitt svar.

KTH: Bra. Vi går vidare i texten. Nu ska jag ge dig två funktioner.

{L1 : y = 3x− 5

L2 : y = 2x+ 3

Var skär de varandra. Med andra ord bestäm skärningspunkten.


TB: När jag stoppar in ett och samma x-värde i de båda funktionerna ska jag få samma resultat.Då har jag hittat en punkt som ligger på båda linjerna. Denna punkt kallas skärningspunkten.Observera det kan bara finnas en skärningspunkt när det handlar om två räta linjer.

KTH: Allt du sagt är korrekt, men hur hittar du skärningspunkten?

TB: Jag kan ju alltid prova mig fram. Stoppa in olika värden på x och om jag har tur, så har jag.

KTH: Självklart behöver man inte gissa. Tänk efter nu.

TB: Blir det en ekvation? Någonting i stil med

3x − 5 = 2x + 3

3x− 2x = 3+ 5

x = 8

Låt mig testa nu då x = 8 för linje L1 blir y = 19 och x = 8 för linje L2 är också y = 19. Detfunkar ju!

KTH: Vilken är då skärningspunkten?

TB: (8, 19)

KTH: Bra. Nästa problem: Nu ska vi kombinera de två problemen vi löst ovan. Givet P1(2, 4) ochP2(5, 22), som ligger på samma linje samt P3(−1, 8) och P4(3,−12), som ligger på en annan.Vilken skärningspunkt har dessa linjer?

TB: Så du menar att jag ska göra om nästan samma sak igen? Vad jobbig du är.

KTH: När du gjort det tror jag att det också kommer att sitta för en lång tid framåt – troligtvis övertentamen.

TB: Jag börjar med punkterna P1 och P2. De ligger på en linje L1 : y = k1x+m1. Först bestämmerjag k1-värdet:

k1 =∆y

∆x=

y2 − y1

x2 − x1=

22 − 4

5− 2= 6

Jag sätter nu in P1 i L1 och får 4 = 6 · 2 +m1 som ger m1 = −8. Funktionen för den förstalinjen är nu bestämd till L1 : y = 6x − 8. Nu är det dags för nästa linje, puh. Det handlar nuom punkterna P3(−1, 8) och P4(3,−12). Funktionen är denna gång L2 : y = k2x+m2.

k2 =∆y

∆x=

y3 − y4

x3 − x4=

8− (−12)

(−1) − 3= −5

Så över till m2. Jag använder den andra punkten och sätter in den i L2 och får (−12) =

(−5)3+m2 som ger m2 = 3. Jag är bra på huvudräkning eller hur? Alltså blir L2 : y = −5x+3.Vad var det jag skulle göra nu igen?

KTH: Ta reda på skärningspunkten för de linjer vars funktion du just bestämt.

TB: Javisst ja. Jag har alltså {L1 : y = 6x − 8

L2 : y = −5x + 3

Dessa leder till den enkla ekvationen

6x− 8 = −5x+ 3

6x + 5x = 3+ 811x = 11

x = 1

Jag kan nu stoppa in x = 1 i vilken som helst av L1 och L2 i båda fallen får jag y = −2.Skärningspunkten är alltså (1,−2).

KTH: Nu har du varit så duktig, så du får välja nästa problem själv.

TB: Ska jag – jag har inga olösta problem. Dom får du stå för.


KTH: Då tar vi det här: Jag ger dig fyra punkter P1(2, 9), P2(4, 22), P3(−2,−19) och P4(6, 37). Enav dem ligger inte på samma räta linje vilken?

TB: Det är väl enkelt. Jag väljer ut två punkter till exempel P1 och P2, bestämmer motsvarandefunktion. Sedan sätter jag in de andra två punkterna och den som inte ligger på linjen är denpunkt jag söker.

KTH: Är du säker på att detta fungerar?

TB: Varför skulle det inte göra det? Aha, du menar att om den ”udda” punkten är antingen P1eller P2 så får jag en linje som inte innehåller någon av de två andra punkterna. Jag förståroch inser samtidigt att det här kommer att bli riktigt jobbigt. Det finns ju många sätt att väljaut två punkter.

KTH: Tänk vidare.

TB: Om jag har otur i mitt första val, så vet jag att P3 och P4 ligger på samma linje och då får jagbestämma den funktionen, med vilken jag kan avgöra vilken av P1 och P2 som är ”oäkta”.Därmed är denna uppgift inte jobbigare än förra uppgiften.

KTH: Det är bara att sätta igång.

TB: Jag kallar den första linjen L12 : y = k12x+m12 eftersom punkterna P1 och P2 är inblandade.Jag bestämmer först k12 precis som tidigare

k12 =∆y

∆x=

y1 − y2

x1 − x2=

9− 22

2− 4=

13

2

Oj vad jobbigt, inte ens heltal. Så till m12

9 =13

2· 2+m12

ger m = −4 och funktionen

L12 : y =13

2x− 4

Nu är det spännande. Vad händer förresten om en punkt fungerar?

KTH: Det förstår du väl?

TB: Ja,ja. Om en av punkterna P3 och P4 ligger på linjen så blir jag glad – jag vet då att den andrainte gör det och därmed är den punkt jag är på jakt efter. Först testar jag med P3

13 · (−2)

2− 4 = −17 6= −19

Nu vet jag att P3(−2,−19) inte ligger på den linje jag just bestämt funktionen för. Chansenfinns nu att P4(6, 37) gör det

13 · 62

− 4 = 35 6= 37

Neeej inte heller den punkten fungerar, så då måste jag bestämma L34. Först k-värdet

k34 =∆y

∆x=

y4 − y3

x4 − x3=

37 − (−19)

6− (−2)=

56

8= 7

Och sedan m-värdet37 = 6 · 7+m34

m34 = −5 som ger funktionen L34 : y = 7x − 5. Denna funktion ska nu avgöra vilken avpunkterna P1 och P2 som är ”udda”. Först test med P1(2, 9)

7 · 2− 5 = 9

P1 ligger på linjen. Då kan inte P2 göra det. P2 är svaret! Jag ser på dig att du vill att jag skatesta det. Jag gör som du vill. För P2 får jag

L34 : 7 · 4− 5 = 23 6= 22

För x = 4 insatt i L34 får vi alltså 23 istället för 22. Ganska nära om man säger.


KTH: Här ser du ett diagram med fem linjer inritade. Nedan finns också en tabell med fem funktio-ner. Det blir nu din uppgift att para ihop linjerna med funktionerna.

Figur 16:

I L1 : y = 2x + 3

II L2 : y = 3− x

III L3 : y = 2x − 3IV L4 : y = 3x − 1

V L5 : y = 3x + 8

TB: Ganska lätt eller hur? I och II skär y-axeln i samma punkt (0, 3), vilket betyder att de harsamma m-värde. B har positivt k värde och E negativt, så då vet vi att B− I och E− II. Sedanär det bra att plocka ut linjerna efter m-värdet: A− V , C− IV och D− III

KTH: En linje skär y-axeln i punkten (0, 6) och den positiva x-axeln i en punkt så att linjen bildaren triangel med axlarna med arean 6 areaenheter. Bestäm linjens ekvation.

TB: Triangeln som bildas är ju rätvinklig. Höjden är 6 och basen x. Triangelns area beräknas med:

A =b · h2

som ger ekvationen

6 =b · 62

b = 2 och därför skär vår linje x-axeln i (2, 0). m-värdet har vi ju redan och k-värdet kan vibestämma med hjälp av

k =∆y

∆x=

y2 − y1

x2 − x1=

6− 0)

0− 2)= −3

Den sökta funktionen blir då = 6− 3x eller hur.

KTH: Javisst, jättebra. Direkt över till nästa problem: En linje har k1 = 1/2. En annan går genomP1(5,−2) och är samtidigt vinkelrät mot den första. Bestäm den andra linjens funktion.

TB: Vad har jag missat? Jag menar, jag har ingen aning!

KTH: Vad vet du om k-värdet för två linjer som skär varandra under rät vinkel?

TB: Aha, jag har hört något om det. Få se nu ... Kanske att om den ena linjen har k-värdet k1 ochden andra k2 så är k1 · k2 = −1. Är det det du tänker på?

KTH: Ja, hur kan du använda detta här?

TB: Linjen måste ju ha k-värdet k2 = −2 eftersom k1 · k2 = 12·−2 = −1. Eftersom vi har en punkt

P(5,−7) given kan vi bestämma m ur −7 = −2 · 5+m, som ger m = 3


-1 1 2 3

4.5

5.5

6

6.5

Figur 17:

KTH: Bra. Här får du fem funktioner för räta linjer. Vilka är parallella?

I 18x + 27 = 9y

II y+ 2x− 3 = 0

III 23x+ 1− y

3= 0

IV 13y + 26x = 39

V y− 2x = 3

TB: Ännu fler uppgifter. Jag börjar faktiskt bli trött.

KTH: Men det ska kännas, precis som att träna inför Stockholm Marathon.

TB: Så viktig kan ju inte detta vara. Men jag ska samla mig. Vad skulle jag göra nu igen? Linjermed samma k-värde. Man kan inte läsa av koefficienten framför x direkt utan måste först lösaut y – inte sant. Här har du lösningarna

I y = 2x + 3

II y = −2x + 3

III y = 2x + 3

IV y = −2x + 3

V y = 2x + 3

Det är inte nog med att de är parallella, I, III och V är identiska. På samma sätt II och IV .

KTH: Bestäm funktionen för den linje som går genom origo och skärningspunkten för linjernaL1 : y = 4x + 13 och L2 : y = 7− 2x.

TB: För en linje som går genom origo är m = 0. Vi ska alltså bestämma y = k · x. För att får redapå k måste vi lösa ekvationen L1 = L2


4x+ 13 = 7− 2x

4x+ 2x = 7− 136x = −6

x = −1

För x = −1 ger L1 y = 9, skärningspunkten är alltså (−1, 9). Den andra punkten vi skaanvända här är (0, 0) och nu kan vi bestämma k

k =9− 0

−1− 0= −9

Så nu kan vi skriva funktionen som L3 : x = −9x, eller hur

KTH: Alldeles utmärkt. Känns det som du börjar behärska detta område nu?

TB: Har ingen aning. Även om jag kunnat lösa de uppgifter du givit mig så finns det säker mångaandra som jag inte skulle klara.

KTH: Det låter nästan som du vill ha fler! Vilket k-värde måste linjen y = kx+5 ha för att gå genompunkten (3, 11)?

TB: Vi vet att linjen skär y-axeln i (0, 5). Då har vi två punkter och kan enkelt räkna ut k-värdet

k =11 − 5

3− 0= 2

Detta ger funktionen y = 2x+ 5. Det var lätt

KTH: Linjerna L1 och L2 skär varandra i (4,−3). Bestäm linjernas funktioner då följande är givet{

y = k · x− 11

y = m − 3x

TB: Om jag sätter in den givna punkten i L1 får jag −3 = k · 4 − 11, som ger k = 2. Om jag påsamma sätt sätter in punkten i L2, så får jag −3 = m−3 ·4, m = 9. De två linjernas funktionerär då L1 : y = 2x − 11 och L2 : y = −3x + 9

KTH: Här får du tre linjer som tillsammans bildar en triangel vars area vi vill bestämma

L1 : y = 4x− 2

L2 : y = 6

L3 : y = −2x

TB: Jag har inte en aning om hur man ska göra. Hjälp mig.

KTH: Här får du linjernas grafer, som säkert kommer att hjälpa dig in på rätt spår.

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-15

-10

-5

5

10

Figur 18:

Ser du vilken linje som är vilken?

TB: L2 är parallell med x-axeln, det är nog tursamt. Den linjen får bli bas i triangeln. Jag måste tareda på var linjerna skär varandra L1 = L2, L1 = L3 och L2 = L3. Mycket räkna blir det. Vitar dem i tur och ordning:


4x− 2 = 6

x = 2

L1 och L2 skär varandra i (2, 6)

4x− 2 = −2x6x = 2

x = 13

L1(x) och L3(x) skär varandra i (13,−2

3)

6 = −2xx = −3

L2(x) och L3(x) skär varandra i (−3, 6). Så här långt blev det ju ganska enkla uträkningar.Men sen?

KTH: Hur lång är nu basen? Hur bestämmer man höjden?

TB: Basen måste vara b = 2− (−3) = 5 och höjden h = 23+ 6 = 20

3. Nu kan jag använda:

A =b · h2

=5 · 20

3

2=

50

3

KTH: Hur många linjer finns det som går genom en given punkt?

TB: Hur många som helst förstås. Det finns ju oändligt många k-värden.

KTH: Hur många linjer finns det som går genom en given punkt och har ett givet k-värde?

TB: Bara en

KTH: Utan alltför mycket räknande ska du nu kunna skriva ned funktionerna för de fyra linjerna ifigur 19

Figur 19:

TB: Först tar vi de två linjerna som har positiva k värden A och B. A går genom origo och har dåm=0. k-värdet är 1. Detta ger LA : y = x. B har också k-värdet 1, men skär y-axeln i (0,−2)

och då får jag LB : y = x− 2.Så över till C och D. Båda har negativa k-värden rättare sagt k = −1. De är parallella. De skäry-axeln i (0, 2) respektive (0, 4). Vilket ger LC : y = 4− x och LD : y = 2− x

KTH: Punkterna P1(−4,−17) och P2(12, 31) ligger på samma räta linje. Vilken är punkten P3 somockså ligger på linjen, mitt emellan dessa?

TB: x-koordinaten är (12 + (−4))/2 = 4 och y koordinaten är (31 + (−17))/2 = 7. P3 = (4, 7). Ärdet rätt?

KTH: Ja

TB: Ha ha, jag behövde inte bestämma någon funktion som jag först tänkte. Hur kunde det blirätt egentligen.


KTH: Att x-koordinaten är 4 är väl inte konstigt? Den ligger ju mitt emellan −4 och 12 på x axeln.På samma sätt är det mer eller mindre självklart att y-koordinaten är 7. En figur?

Figur 20:

KTH: Tack för den här gången

TB: Tack själv. Jag måste faktiskt säga att det var otroligt jobbigt.

KTH: Ja, men du har gjort ett bra jobb och kommer att klara alla uppgifter som har med räta linjenatt göra.

Läxa 146. Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P1(−3, 4) och P2(9,−2).

Läxa 147. Bestäm riktningskoefficienten för linjen

3x + 4y− 6 = 0

Läxa 148. Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten (2,−3) och är parallell medlinjen x − 5y = 0

Läxa 149. Lös följande ekvationssystem

{x − 2y = 2

3x + y = 6


-3 -1 1 3

2

4

6

8

A

B

C

Läxa 150. Bestäm ekvationen för linjerna A, B och C i figuren

Läxa 151. Bestäm ekvationen för den linje som går genom origo och som är parallell med linjensom går genom punkterna P1(8, 4) och P2(1,−3)

Läxa 152. Hur många skärningspunkter får man när man ritar de tre linjerna

x− y+ 9 = 0

x + 2y− 6 = 0

3x + 2y+ 2 = 0

Läxa 153. En fyrhörning har sina hörn i punkterna (0, 0), (3, 0), (6, 10) och (0, 4). Bestäm koordi-naterna för diagonalernas skärningspunkt.

Läxa 154. Bestäm P1(x, 31) och p2(10, y) då man vet att punkterna ligger på linjen

y = 4x + 3

Läxa 155. Bestäm P3(5, y) då man vet att punkten ligger på samma linje som P1(8, 19) och P2(3, 9)

Läxa 156. Bestäm ekvationen till den linje som går genom origo och som skär linjen y = 2 − x2

under rät vinkel.

Läxa 157. Vi har linjen y = x. Bestäm k-värdet för den linje som går genom punkten P1(10, 0) ochsom tillsammans med x-axeln och y = x bildar en triangel med arean 10.


Läxa 158. Hur långt är det mellan punkterna P1(3, 4) och P2(6, 8)?

Läxa 159. Bestäm a i punkten P1(a, 1) så att linjen som också går genom P2(4, 10) får m-värdetm = −2

Läxa 160. Bestäm de två punkter där linjen med ekvationen

x

3+

y

2= 1

skär de två axlarna.

Läxa Lösning 146. Först bestämmer vi k-värdet

k =4− (−2)

−3− 9=

6

−12= −

1

2

Vi har nu

y = −1

2· x+m

Återstår att bestämma m. Vi väljer en av punkterna, P1 och sätter in i ekvationen

4 = −1

2· (−3) +m

4 =3

2+m

2 · 42

−3

2= m

m =5

2

Svar:

y = −1

2· x+ 5

2

Läxa Lösning 147. Bestäm riktningskoefficienten för linjen

3x + 4y− 6 = 0

4y = 6− 3x

4y

4=

6− 3x

4

y =6

4−

3x

4

y = −3x

4+

3

2

y = −3

4· x+ 3

2

Svar: k-värdet är −34.

Läxa Lösning 148. Först skriver vi ekvationen x− 5y = 0 på k-form

x − 5y = 0

x = 5y

y =x

5


För denna linje är k = 15. Samma k-värde har den linje vi är på jakt efter och vi kan skriva

y =1

5· x +m

Vi söker nu m-värdet och får det genom att använda den givna punkten (2,−3) som ligger pådenna linje

−3 =1

5· 2+m

5 · (−3)

5−

2

5= m

m = −17

5

Svar:

y =1

5· x− 17

5

Läxa Lösning 149. Vi löser ut y ur den andra ekvationen och får

y = 6− 3x

Detta uttryck för y sätter vi nu in i den första ekvationen och får

x − 2(6 − 3x) = 2

x− 12+ 6x = 27x = 14

x = 2

Detta värde på x kan vi nu sätta in i vilken som helst av de två ursprungliga ekvationerna. Vi väljerden första

2− 2y = 20 = 2y

y = 0

Svar: x = 2 och y = 0

Läxa Lösning 150. Läs av skärningen med y-axeln för att bestämma m Rita en rätvinklig triangelunder linjen för att bestämma ∆x och ∆y.

Svar: A) y = 2x+ 3 B) y = −x+ 1 C) y = x− 2

Läxa Lösning 151. Först bestämmer vi k-värdet för den linje vår linje ska vara parallell med:

k =4− (−3)

8− 1=

7

7= 1

Då kan vi så här långt skrivay = x+m

Linjen ska ju gå genom origo (0, 0) så därför får vi m = 0.

Svar: y = x

Läxa Lösning 152. Om vi först bestämmer skärningen mellan de två första linjerna genom att lösaut x ur båda får vi

x− y+ 9 = 0x = y− 9

ochx+ 2y− 6 = 0

x = 6− 2y


Nu kan vi bestämma x för skärningspunkten mellan dessa linjer

6− 2y = y− 96+ 9 = y+ 2y

3y = 15

y = 5

Detta ger oss x för skärningspunkten

x− 5+ 9 = 0x = −4

De två första linjerna skär varandra i punkten (−4, 5) Vi bestämmer nu på samma sätt skärnings-punkten mellan den första och tredje linjen. Lös ut x ur tredje ekvationen

3x + 2y+ 2 = 0

x =−2y− 2

3

Nu bestämmer vi y för skärningen mellan första och tredje ekvationen

y− 9 =−2y− 2

3

3(y − 9) = −2y− 2

3y − 27 = −2y− 2

3y+ 2y = 27− 2

5y = 25

y = 5

Till sist bestämmer vi tillhörande x-koordinat

x = 5− 9x = −4

Av detta kan vi sluta oss att alla tre linjerna skär varandra i en och samma punkt (−4, 5)

Läxa Lösning 153. Plotta punkterna så att Du ser att punkterna (0, 0) och (6, 10) ligger på denena diagonalen och att (3, 0) och (0, 4) ligger på den andra. Vi har då först att bestämma den förstadiagonalens ekvation. Dess k-värde är

k1 =10− 0

6− 0=

5

3

m-värdet får vi direkt genom punkten (0, 0) till m1 = 0. Den första diagonalens ekvation är alltså

y =5

3x

Så över till den andra diagonalen. Dess k-värde

k2 =4− 0

0− 3= −

4

3

På samma sätt får vi m-värdet gratis genom punkten (0, 4) till m2 = 4 och den andra diagonalenhar ekvationen

y = −4

3x+ 4


Genom att sätta

−4

3x+ 4 =

5

3x

4 =3x

3+

4x

39x

3= 4

x =4

3

Återstår så att bestämma y för skärningspunkten

y =5

3· 43=

20

9

Svar: Linjerna skär varandra i punkten (43, 20

9)

Läxa Lösning 154. Vi sätter in de ’halva’ punkter vi har i ekvationen och får först

31 = 4x + 3

28 = 4xx = 7

Detta ger P1(7, 31). För nästa punkt får vi

y = 4 · 10+ 3y = 43

Alltså P2(10, 43)

Läxa Lösning 155. Föst bestämmer vi ekvationen för den linje som går genom P1 och P2. k-värdet

k =19− 9

8− 3= 2

P1 insatt i y = 2x +m ger19 = 2 · 8+m

m = 3

Ekvationen är y = 2x+ 3. Då x = 5 som i P3 får vi

y = 2 · 5+ 3 = 13

Svar: P3(5, 13)

Läxa Lösning 156. Vi vet att två linjer skär varandra under rät vinkel om för de två k-värdenagäller att

k1 · k2 = −1

Eftersom den givna linjen har k-värdet k = −12

får vi k-värdet för den andra genom

−1

2· k2 = −1

k2 = 2

Vi har nu y = 2x+m och får genom punkten (0, 0) får vi direkt att m = 0

Svar: y = 2x

Läxa Lösning 157. Vi antar att skärningspunkten mellan de två linjerna är (a, b). Eftersom y = xså kan vi skriva att skärningspunkten ska vara (a, a). Triangelns bas är uppenbarligen 10 och desshöjd kan vi bestämma genom

A =bh

2


som ger

10 =10h

2

Triangelns höjd ska alltså vara h = 2. Detta betyder att skärningspunkten är (2, 2).

Vi kan nu bestämma det efterfrågade k-värdet

k =2− 0

2− 10=

2

−8= −

1

4

Läxa Lösning 158. Eftersom ∆x = 6− 3 = 3 och ∆y = 8− 4 = 4 har vi en rätvinklig triangel medkateterna 3 och 4. Med hjälp av Pythagoras sats kan vi bestämma hypotenusan, som är detsammasom det avstånd vi vill beräkna.

a =√

32 + 42 =√25 = 5

Läxa Lösning 159. Vi har så här långt y = kx−2. Genom att sätta in punkten P2 i denna ekvationfår vi k-värdet

10 = k · 4− 2

10 + 2 = 4k

k = 3

Linjen har ekvationeny = 3x − 2

Vi kan nu bestämma a genom att sätta in den andra punkten

1 = 3a − 2

a = 1

Svar: a = 1

Läxa Lösning 160. Bestäm de två punkter där linjen med ekvationen

x

3+

y

2= 1

skär de två axlarna.

Vi startar med att forma om ekvationen:

x

3+

y

2= 1

y

2= 1−

x

3

y = 2(

1−x

3

)

y = 2−2x

3

y = −2x

3+ 2

Linjens ekvation kan då skrivas

y = −2x

3+ 2

Då x = 0 får vi direkt y = 2. Skärningen med y-axeln är alltså (0, 2). Skärningen med x-axeln får vigenom att lösa denna ekvation

0 = −2x

3+ 2

2x

3= 2

2x = 2 · 3x = 3

Svar: (0, 2) och (3, 0). Det är ingen tillfällighet att talen 2 och 3 finns i nämnarna i den ursprungligaekvationen.


Sidor i boken KB 6, 66

Funktioner

Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associerasett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en matematisk formel, därinvärdet representeras med en (eller flera variabler,) alternativt med en tabell eller grafiskt med engraf, ett sambandsdiagram eller ett pildiagram.

En viktig egenskap hos funktioner är att de är deterministiska (det vill säga konsekventa, så att varjeinvärde alltid ger samma utvärde). Detta gör att funktionen kan ses som en mekanism, en maskin,som systematiskt levererar rätt utvärde så fort man stoppar in ett invärde.

Definition 1. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ettx-värde motsvaras av högst ett y-värde. (Detta gäller för den här kursen).

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

-2 -1 1 2-1

1

2

3

4

5

6

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Definition 2. Mängden av tillåtna x-värden kallas definitionsmängd Df. Mängden av möjliga y-värden kallas värdemängd Vf

Exempel 78. Funktionen y = f(x) = x2 + 1 har definitionsmängden Df = R, mängden av allareella tal. och värdemängden Vf = {y ≥ 1}

Exempel 79. Bestäm definitions- och värdemängd till funktionen g(x) =√1− x2.

√a är bara definierad om a ≥ 0, vilket ger Dg = {|x| ≤ 1} och Vg = {0 ≤ y ≤ 1}

Elementär funktion

Funktion av en variabel som kan byggas upp medelst aritmetiska operationer och potenser ochderas inversa funktioner

Med termen avses vanligen

• Polynomfunktioner, f(x) = x3 − 2x2 − 13

• Rationella funktioner, f(x) = x2+3x3

• Exponentialfunktionen, f(x) = 2x

• Potensfunktioner, f(x) = 3√x

• Logaritmfunktionen, f(x) = log x

• Trigonometriska funktioner, f(x) = sin x + cos x

• Arcusfunktioner f(x) = arctan 2x


I den här kursen ska vi bara syssla med polynomfunktioner och då enbart av första och andra

graden.

f(x) = 3x − 4

är en polynomfunktion av första graden, som vi oftast skriver y = 3x− 4 och kalla för rät linje.

f(x) = x2 − 4x + 3

är en polynomfunktion av andra graden och kallar för andragradsfunktion. Som vi tar upp införKS3.

Läxa 161. Bestäm k och m till linjerna

a) 7x + y+ 4 = 0 c) 5y− l5x− 10 = 0b) 2x − y = 9 d) 6x − 2y = −36

Läxa 162. Rita linjerna i samma koordinatsystem.

a) y = −3 c) y = x

b) x = 1 d) 2y− 4x = 2

Läxa 163. Ligger punkten (4,−2) på linjen?

a) y = 3x − 14 b) 2x − 4y = 0

c) y = −2x+ 10 d) −x− y = 6

Läxa 164.

a) Vilket värde har x i den punkt där en linje skär y-axeln?

b) Vilket värde har y i den punkt där en linje skär x-axeln?

c) I vilken punkt skär grafen till 2y + 3x = 1 y-axeln?

Läxa 165. Ekvationen för en linje är y = −4x+ b Vilket är talet b, om linjen går genom punkten

a) (1, 3) b) (−2, 6)

Läxa 166. Skriv linjerna y+ 3x + 4 = 0 och 2y + 6x = −8 i k-form.

Läxa 167. Bestäm koordinaterna för linjernas skärningspunkter med koordinataxlarna.

a) 3x− 2y+ 6 = 0 c) 7x+ 2y+ l4 = 0b) 4x+ 3y− l2 = 0 d) 6y− 3 = 0


Läxa 168. Nadja påstår att graferna till

y = 7−x

2

ochy−

x

2+ 3 = 0

är parallella. Är detta sant?

Läxa 169. Undersök vilka linjer som är inbördes a) parallella b)vinkelräta?

L1 : y = 4x − 3 L4 : 4y− x = 0

L2 : 4x + y− 5 = 0 L5 : y = 3− 0.25x

L3 : 5.2x − 1.3y = 0 L6 : 4x + y = 8

Läxa 170. Finn talet a, om punkten P3 : (3, a) ligger på en linje genom punkterna P1 : (0, 32) och

P2 : (94, 0).

Läxa 171. Linjen 3x2

+ by− 6 = 0 avgränsar tillsammans med koordinataxlarna en triangel i förstakvadranten. Bestäm talet b, om triangeln har arean 6 areaenheter.

Läxa 172. Var skär linjenx

a+

y

b= 1

koordinataxlarna?

Läxa 173. För vilket värde på talet a är linjen ax+ 2y = 12 vinkelrät mot linjen x+ 3y = 6

Läxa 174. Kan man bestämma talet t så att både linjen y = t2x−5 och linjen y = 7x+t går genompunkten (1, 4)?

Läxa 175. Visa att linjerna ax + by = c och bx − ay = d, där a och b är tal skilda från noll, ärvinkelräta mot varandra.

Läxa Lösning 161. Man måste lösa ut y för att kunna läsa av k och m-värden.a)

7x+ y+ 4 = 0y = −7x− 4

k = −7 m = −4

b)

2x − y = 9y = 2x − 9

k = 2 m = −9

c)


5y− l5x − 10 = 0

5y = 15x + 10y = 3x + 2

k = 3 m = 2

d)

6x − 2y = −36

2y = 6x+ 36y = 3x+ 18

k = 3 m = 18

Läxa Lösning 162.

Läxa Lösning 163.

V.L. H.L Svar

a) −2 3 · 4− 14 = −2 Jb) 2 · 4− 4 · (−2) = 16 0 N

c) −2 −2 · 4+ 10 = 2 Nd) −4− (−2) = −2 6 N

Läxa Lösning 164. a) 0

b) 0

c) 2y+ 3 · 0 = 1 ger y = 12, (0, 1

2).

Läxa Lösning 165. När vi sätter in aktuell punkt får vi en ekvation i b.a)

3 = −4 · 1+ b ger b = 7

b)

6 = −4 · (−2) + b ger b = −2

Läxa Lösning 166. Vi löser ut y ur de båda ekvationerna

y+ 3x+ 4 = 0y = −3x− 4

och2y+ 6x = −8

2y = −6x− 8

y = −3x− 4

Svar: Samma linje i två skepnader.

Läxa Lösning 167.

a) x = 0 3 · 0− 2y+ 6 = 0 y = 3 y = 0 3x − 2 · 0+ 6 = 0 x = −2

b) x = 0 4 · 0+ 3y− 12 = 0 y = 4 y = 0 4x + 3 · 0− 12 = 0 x = 3c) x = 0 7 · 0+ 2y+ 14 = 0 y = −7 y = 0 7x + 2 · 0+ 14 = 0 x = −2

d) x = 0 6y − 3 = 0 y = 12

y = 0 6y− 3 = 0 Ingen


Läxa Lösning 168. Vi löser ut y i den andra ekvationen

y =x

2− 3

och ser att den första har k = −12

och den andra k = 12. För att de ska vara parallella krävs att

k-värdena är lika.

Läxa Lösning 169. Linjerna har följande k-värden

L1 y = 4x− 3 k = 4

L2 y = −4x+ 5 k = −4

L3 y = 4x k = 4

L4 y = x4

k = 14

L5 y = −x4+ 3 k = −1

4

L6 y = −4x+ 8 k = −4

L1‖L3, L2‖L6, L2⊥L4, L6⊥L4, L1⊥L5, L3⊥L5

Läxa Lösning 170. Först bestämmer vi ekvationen genom punkterna P1 och P2.

k =32− 0

0− 94

≡ −2

3

Vi har nu

y = −2x

3+m

Vi bestämmer m genom att sätta in P1

3

2= −

0

3+m

ger m = 32. Vi har nu linjen

y = −2x

3+

3

2

Vi sätter in P3

a = −2 · 33

+3

2

som ger a = −12

Läxa Lösning 171. Linjen skär y-axeln då x = 0 ger y = 6b, som också är höjden i triangeln.

Linjen skär x-axeln då y = 0 ger 3x2+ b · 0− 6 = 0. Ger x = 4, som också är triangelns bas.

Vi får med hjälp av A = b·h2

6 =6b· 42

12 =6

b· 4

124

=6

b

3 =6

bb = 2

Svar: b = 2

Läxa Lösning 172. a 6= 0 och b 6= 0 antas vara konstanter.

Då x = 0 skär linjen y-axeln. Detta sker då yb= 1 eller då y = b.

Då y = 0 skär linjen x-axeln. Detta sker då xa= 1 eller då x = a.

Svar: Linjen skär y-axeln då y = b och x-axeln då x = a


Läxa Lösning 173. Vi måste börja med att lösa ut y i de båda ekvationerna

ax+ 2y = 122y = −ax+ 12

y =−ax

2+

12

2

y =−ax

2+ 6

och den andrax+ 3y = 6

3y = −x+ 6

y =−x

3+

6

2

y =−x

3+ 3

Den senare linjen har k = −13. I den förra linjen, som har k = −a

2, ska vi välja a så att

(

−13

)

·(

−a2

)

= −11·a3·2 = −1

a = −6

Svar: Då a = −6 är linjerna vinkelräta.

Läxa Lösning 174. Vilket värde måste t ha för att punkten (1, 4) ska ligga på y = 7x + t? Vi fårekvationen

4 = 7 · 1+ t

t = −3

Det betyder att linjen får ekvationen y = (−3)2x − 5 ≡ 9x − 5, Vi tar nu reda på vilket värde y fårdå x = 1 y = 9− 5 ≡ 4. Ja, det funkar!

Svar: Då t = −3 ligger punkten på båda linjerna.

Läxa Lösning 175. Vi löser ut y i de två ekvationerna

ax+ by = c

by = c− ax

y =−ax+ c

b

y =−ax

b+

c

b

k-värdet är −ab

ochbx− ay = d

ay = bx− d

y =bx− d

a

y =bx

a−

d

a

k-värdet är ba

. Vi multiplicerar så de två k-värdena

−a

b· ba≡ −

a · bb · a ≡ −1

V.S.B.


Sidor i boken

Repetition inför kontrollskrivning 2

Problem 130.

I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre ärkända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Lösning: En sida i den stora triangeln är 6 cm. Motsvarande sida i den lilla triangeln är 4.5 cm. Vikan då teckna längdskalan:

L =4.5

6=

3 · 1.54 · 1.5 =

3

4

Då längdskalan är 34

är areaskalan 916

. Vi antar att den lilla triangelns area är x cm2. Nu kan viteckna följande ekvation

x

12=

9

16

x =9 · 1216

x =27

4

Svar: Arean hos den lilla triangeln är 6.75 cm2

Problem 131. I den mindre av två likformiga femhörningar är en sida 12 cm. Motsvarande sidai den större femhörningen är 28 cm. Beräkna den mindre femhörningens area om den större hararean 980 cm2.

Lösning: Om det handlar om femhörningar eller tjugofemhörningar spelar ingen roll. Huvudsakenär att vi känner längden hos en sida i den ena figuren och längden av motsvarande sida i denandra. Då kan vi bestämma längdskalan.

L =12

28=

3

7

Detta leder direkt till areaskalan

A =

(

3

7

)2

=9

49


Nu kan vi teckna ekvationen där vi antar att den mindre femhörningen har arean x cm2.

x

980=

9

49

x =9 · 98049

x = 180

Svar: Den mindre av femhörningarna har arean 180 cm2

Problem 132. Två likformiga parallellogrammer har areorna 65 cm2 och 260 cm2. En sida i denmindre parallellogrammet är 13 cm. Hur lång är motsvarande sida i den större parallogrammet?

Lösning: Här kan vi inte bestämma längdskalan eftersom endast längden hos en sida är given.Däremot kan vi direkt bestämma areaskalan

A =65

260=

1

4

Vi vet ju att A = L2 så då kan vi bestämma L

L2 =1

4

√L2 =

√

1

4

L =1

2

En sida i den större parallellogrammen är dubbelt så lång som motsvarande sida i den mindre.Alltså är den eftersökta sida 2 · 13 = 26 cm

Svar: 26 cm.

Problem 133. Volymen hos en pyramid med kvadratisk basyta är 6.4 m3. Sidan i kvadraten är 2m. En skalenlig modell har volymen 100 cm3. Vilken längd har sidan i modellens kvadrat?

Lösning: Vi använder oss av följande fakta: Längdskalan i kubik är lika med volymskalan

(

l1

l2

)3

=v1

v2

Detta ger( x

200

)2

=100

6400000

x3

2003=

100

6400000

x3 =100 · 20036400000

x =3

√

100 · 20036400000

x = 5

Svar: 5 cm


Övnings-KS2 1


(a · b · c)3 · b−3 · (2c)−3

a · a−1 · b · c−1 · b−1 · c

Förenkla så långt möjligt

Läxa 177.√xy

(

1√x · √y

+

√y√x+

√x√y

)

Läxa 178. Diagonalen i en rektangel är 11 cm och bildar en vinkel av 30.8◦ med en av sidorna.Beräkna rektangelns sidor.

Läxa 179.

I en likbent triangel är de lika stora sidorna 12 cm och basen 6 cm. En med basen parallell linjeavskär ett parallelltrapets (röd del i figuren), där tre sidor är lika stora. Bestäm dessas längd. (Allalösningar tack)

Läxa 180. Kalle har en mängd byggklotsar i form av kuber med sidan 6 cm. Han bygger av demen stor kub med 10 × 10× 10 klotsar.Lillebor Pelle har också en mängd byggklotsar i form av kuber, men med sidan 3 cm. Han byggerav dem en stor kub med 10× 10 × 10 klotsar.Fyll i tabellen

Kubens Kubens KubensSida Area Volym

KallePelle

Beräkna därefter längd-, area- och volymskalan mellan Pelles och Kalles skapelser.

Läxa 181. En linje går genom punkterna P1(a, 3) och P2(2,−2a) Vilket värde ska a ha för attlinjen ska få lutningen k = 9?


Lösningar Övnings-KS2 1

Läxa Lösning 176.

(a · b · c)3 · b−3 · (2c)−3

a · a−1 · b · c−1 · b−1 · c ≡ a3 · b3 · c3 · b−3 · 2−3 · c−3

a · a−1 · b · c−1 · b−1 · c ≡ a3 · 2−3

1≡ a3 · 2−3

1≡ a3

8

Svar:a3

8

Läxa Lösning 177.

√xy

(

1√x · √y

+

√y√x+

√x√y

)

≡√xy√

x · √y+

√xy

√y√

x+

√xy

√x

√y

≡

√x√y√

x · √y+

√x√y√y√

x+

√x√y√x

√y

≡ 1+√y√y+

√x√x ≡ 1+ y+ x

Svar: 1+ y+ x

Läxa Lösning 178. Diagonalen i en rektangel är 11 cm och bildar en vinkel av 30.8◦ med en avsidorna. Beräkna rektangelns sidor.

Börja med att rita figur!

Antag att rektangelns bas är x cm och höjd y cm. Med hjälp av trigonometri får vi

cos 30.8◦ =x

11≈ 9.45

ochsin 30.8◦ =

y

11≈ 5.63

Svar: Sidorna är 9.45 cm och 5.63 cm

Läxa Lösning 179.

Antag att BD = DE = EC = x. Då är AE = 12− x. Vi får

x

6=

12− x

12

12x = 6(12 − x)

12x = 72− 6x

18x = 72

x = 4


En annan möjlighet är att BD = BC = EC = 6. Då behöver man inte ens räkna.Svar: 4 cm eller 6 cm

Läxa Lösning 180.

Kubens Kubens KubensSida Area Volym

Kalle 10 · 6 = 60 10 · 10 · 6 · 6 = 3600 10 · 10 · 10 · 6 · 6 · 6 = 216000

Pelle 10 · 3 = 30 10 · 10 · 3 · 3 = 900 10 · 10 · 10 · 3 · 3 · 3 = 27000

Skalorna blir då

Längdskalan 3060

= 12= 1 : 2

Areaskalan 9003600

= 14= 1 : 4

Volymskalan 27000216000

= 18= 1 : 8

Läxa Lösning 181. P1(a, 3) och P2(2,−2a) Formeln för k-värdet till en linje måste man kunna

k =y2 − y1

x2 − x1=

3− (−2a)

a− 2

Vi får nu en ekvation där k värdet kan skrivas på två sätt

3− (−2a)

a− 2= 9

3+ 2a = 9(a − 2)

3+ 2a = 9a − 18

7a = 21

a = 3

Svar: a = 3

Övnings-KS2 2

Läxa 182. Förenkla så långt möjligt(a−2)−2(4b3)2

2(a · b)3

Läxa 183. Förenkla så långt som möjligt

√x3 + 3

√x

3 3√x+

3√x4

Läxa 184. I en rätvinklig triangel △ABC är hypotenusan BC = 10 m och kateten AC = 7 m.Bestäm triangelns vinklar.


Läxa 185. Ett snapsglas, i form av en kon, rymmer 10 cl. Glaset är ”höjdmässigt” till hälften urdruc-ket. Hur många centiliter finns kvar i glaset?

Läxa 186. I en rätvinklig triangel är den ena kateten 7 cm och hypotenusan 1 cm längre än denandra kateten. Beräkna triangelns area.

Läxa 187. En rät linje f(x) skär y-axeln för y = 4 och x-axeln för x = 3/2. En annan g(x) skäry-axeln i punkten y = −3. De två linjerna skär varandra under rät vinkel. Var skär g(x) x-axeln?


Läxa Lösning 182.(a−2)−2(4b3)2

2(a · b)3 ≡ a4 · 16 · b6

2 · a3 · b3≡ 8 · a · b3

Svar: 8 · a · b3

Läxa Lösning 183.

√x3 + 3

√x

3 3√x +

3√x4

≡ x√x+ 3

√x

3 3√x+ x 3

√x≡

√x(x + 3)

3√x(x + 3)

≡√x

3√x≡ x

1

2 · x− 1

3 ≡ x1

2− 1

3 ≡ x1

6 ≡ 6√x

Läxa Lösning 184. ∠A = 90◦. Antag att en vinkel är v◦. Vi bestämmer att AC är närliggande till∠v. Vi får

cos v =7

10

v = arccos7

10v ≈ 45.57◦

Vi vet att vinkelsumman i en triangel är 180◦. Den tredje vinkeln är då

180◦ − (90◦ + 45.57◦) = 44.43◦

Svar: Triangelns vinklar är 90◦, 45.6◦, 44.4◦

Läxa Lösning 185. Den del av drycken som finns kvar i glaset utgör en kon för sig. Om dess höjdär a har konen som utgör hela glaset höjden 2a. Längdskalan är alltså 1 : 2 mellan konen som utgörhela glaset och konen som utgör den dryck som är kvar.

Då längdskalan är 12≡ 1 : 2 är volymskalan

(

12))3 ≡ 1 : 8. Detta betyder att om det finns 10 cl i

glaset från början så finns det endast 108

= 1.25 cl kvar.

Läxa Lösning 186. Antag att den andra kateten är x cm. Då är hypotenusan x+ 1 cm. Pythagoras


sats ger72 + x2 = (x+ 1)2

49 + x2 = x2 + 2x + 148 = 2x

x = 24

De två kateterna utgör höjd och bas i triangeln och ger arean

24 · 72

≡ 84

Svar: Arean är 82 cm2

Läxa Lösning 187. De två funktionerna g(x) = kg ·x+mg och f(x) = kf ·x+mf måste bestämmasför att svaret ska kunna ges. Vi vet att f(0) = 4 och f(3/2) = 0 ur detta kan vi bestämma kf

kf =4− 0

0− 32

= −8

3

Vi vet redan att mf = 4 och kan nu skriva f(x) = −83· x + 4. Genom texten vet vi att kg = 3

8

eftersom kg · kf = −1. Vi vet också att mg = −3 och kan skriva g(x) = 38· x − 3. Då vi löser

ekvationen g(x) = 0 får vi den efterfrågade roten.38· x− 3 = 0

x = 8

g(x) skär x-axeln i (8, 0)

Övnings-KS2 3


x2 · (6 · y)2 · (2 · x · y)21

x−4 · (12 · y)2

Förenkla så långt möjligt

Läxa 189.(√x −

√y)(

√x+

√y)

x2 − 2xy+ y2

Läxa 190. I en rätvinklig triangel är ena kateten 21 m och arean är 126 cm2. Bestäm trianglarnasvinklar.

Läxa 191. I △ABC är DE parallell med BC. AB = 12 cm, AC = 15 cm och AD = 4 cm. I vilkalängder delas AC ?

Läxa 192. Ett jordområde har formen av en triangel. På en karta i skalan 1 : 1000 är triangelns bas12 cm och höjd 5 cm. Vilken area har jordområdet?

Läxa 193. Bestäm ekvationen för den linje som går genom skärningspunkten mellan L1 och L2och som är parallell med L3.

L1 : y = x− 2

L2 : y = 2x + 3L3 : y = −x+ 2



Läxa Lösning 188.

x2 · (6 · y)2 · (2 · x · y)21

x−4 · (12 · y)2≡ x2 · 36 · y2 · 4 · x2 · y2

x4 · 144 · y2≡ 144 · x4 · y4

144 · x4 · y2≡ y2

Läxa Lösning 189.

(√x−

√y)(

√x+

√y)

x2 − 2xy+ y2≡ (x

1

2 − y1

2 )(x1

2 + y1

2 )

x2 − 2xy+ y2≡ (x

1

2 )2 − (y1

2 ))2

(x− y)2≡ x − y

(x− y)2≡ 1

x− y

Läxa Lösning 190. Rita figur!

Eftersom vi har triangeln area och bas, kan vi bestämma höjden h.

126 =21 · h2

som ger h = 12 m. Vinklarna får vi nu genom

tan v =12

21

v = arctan12

21v ≈ 29.74

Den resterande vinkeln får vi genom

180◦ − (90◦ + 29.74◦) = 60.26◦

eller genom

tanu =21

12

u = arctan21

12u ≈ 60.26

Svar: Vinklarna är 60.26◦ och 29.74◦

Läxa Lösning 191. Rita figur!

△ADE ∼ △ABC, då DE är en parallelltransversal. Antag att AE = x cm. Vi får

x

4=

15

12

ger x = 5. AC delas 5 respektive 15− 5 = 10 cmSvar: 5 cm och 10 cm


Läxa Lösning 192. Ett jordområde har formen av en triangel. På en karta i skalan 1 : 1000 ärtriangelns bas 12 cm och höjd 5 cm. Vilken area har jordområdet?

Arean av området på kartan är

A =12 · 52

≡ 30 cm2

Areaskalan är 1 : 10002 = 1 : 1000000. Detta betyder att arean i verkligheten är

30 · 1000000 = 30000000 cm2 ≡ 3000 m2

Ett annat sätt är att räkna om basen och höjden till verkligheten. Först höjden:

5 · 1000 = 5000 cm ≡ 50 m

och så basen12 · 1000 = 12000 cm ≡ 120 m

Vi får nu arean genom50 · 120

2= 3000 m2

Svar: 3000 m2

Läxa Lösning 193. Först bestämmer vi skärningspunkten mellan L1 och L2.

{y = x − 2

y = 2x + 3

som gerx− 2 = 2x + 3

−2− 3 = 2x − x

x = −5

x = −5 insatt i L1 ger y = −7. Vi har skärningspunkten (−5,−7). Den sökta linjen har k-värdet −1,samma som L3:s k-värde.

Återstår att med hjälp av punkten (−5,−7) bestämma m i y = −x+m. Vi får −7 = −(−5) +m germ = −12.

Svar: y = −x− 12


Sidor i boken KB 7-15

Linjära ekvationssystemExempel 80. Kalle och Pelle har tillsammans 300 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle.Hur många kulor har var och en?

Lösning: Antag att Kalle har x kulor. Då har Pelle 2x kulor, som leder till ekvationen

x + 2x = 300

som ger x = 100

Svar: Kalle har 100 kulor och Pelle har 200.

Detta problem ledde till en ekvation av första graden. Här ett alternativt sätt att lösa problemet

Lösning: Antag att Kalle har x kulor och Pelle y kulor. Vi får då två ekvationer som vi sättersamman till ett ekvationssystem {

x + y = 300

y = 2x

Då vi vet att y = 2x från den andra ekvationen kan vi substituera detta i den första och får

x + 2x = 300

som är identisk med den första lösningen. När vi löst ut och fått x = 100, sätter vi in detta resultat iden andra ekvationen och får y = 2 · 100 ≡ 200. Samma svar förstås.

Om du skriver om ekvationerna i systemet till{

y = 300 − x

y = 2x

ser du att detta är två räta linjer. Lösningen kan då åskådliggöras med hjälp av en graf.

0 50 100 150 200

50

100

150

200

250

Lösningen hittar vi där linjerna skär varandra, (100, 200).

Klassificering av ekvationssystem

Det inledande ekvationssystemet ovan är ett linjärt ekvationssystem med 2 obekanta. Det är linjärtdärför att det de obekanta har gradtalet ett.


Här har vi ett linjärt ekvationssystem med 3 obekanta.

x+ y+ z = 62x− y+ 3z = 9

x+ 4y− 2z = 3

med lösningen x = 1, y = 2, z = 3. Systemet är lite svårare att lösa än det med 2 obekanta ochmycket svårare att åskådliggöra i en graf.

Det finns förstås ingen övre gräns för hur många obekanta man kan ha i ett ekvationssystem. Detfinns tillämpningar där antalet obekanta är flera tusen! Då är man förstås tvungen att använda endator för att hitta lösningen.

Här har vi ett icke linjärt ekvationssystem med 2 obekanta. Systemet är icke linjärt därför att x (ochäven y) förekommer med graden 2.

{(x− 2)2 + (y− 3)2 = 36

2y + 3x = 10

Den första ekvationen beskriver en ellips och den andra en rät linje.

Vi kan läsa av de två rötterna på ett ungefär, (−1.78, 7.66) och (4.85,−2.28)

Som tur är kommer vi här bara att syssla med linjära ekvationssystem av 2 obekanta.

En, ingen eller oändligt många lösningar

Ett linjärt ekvationssystem kan ha en, ingen eller oändligt många lösningar. Detta är ett system meden lösning {

2x+ 3y = 12

4x− 6y = 0

Med substitutionsmetoden löser vi ut x eller y ur en av ekvationerna och substituerar dess värde iden andra ekvationen. Vi löser ut x ur den andra ekvationen

4x− 6y = 0

x = 3y2

Vi ’sätter in’ 3y2

för x i den första ekvationen

2 · 3y2

+ 3y = 12

6y = 12

y = 2

Från x = 3y2

får vi x = 3·22

≡ 3. Om vi löser ut y ur de två ekvationerna får vi:

y = −2x3

+ 4

y = 2x3


Två räta linjer som vi kan plotta

Svar: x = 3, y = 2

Det här systemet har ingen lösning.{

3y− 9x − 9 = 0

4y− 12x + 8 = 0

Hur kan man se det? Vi löser ut y ur första ekvationen och får y = 3x+ 3. Resultatet substituerar vii den andra ekvationen och får:

4(3x + 3) − 12x + 8 = 0

12x + 12− 12x + 8 = 020 = 0

vilket bevisar detta. Hade vi kunna se det på något annat sätt? Om vi löser ut y även ur den andraekvationen får vi {

y = 3x + 3

y = 3x − 2

Ekvationerna representerar nu två räta linjer. Att de inte skär varandra förstår vi då båda linjernahar k = 3. Här har vi grafen

Det här systemet har oändligt många lösningar{

3y− 3x − 6 = 06y− 6x− 12 = 0

Hur kan man se det då? Vi gör som i förra exemplet löser ut y i första ekvationen och får y = x+2,sätter in det i andra ekvationen

6(x + 2) − 6x − 12 = 0

6x + 12− 6x − 12 = 00 = 0

Detta betyder att för varje värde på x så finns det ett värde på y som satisfierar båda ekvationerna.Hade vi kunna se det på något annat sätt? Om vi löser ut y även ur den andra ekvationen får vi

{y = x+ 2

y = x+ 2


De båda ekvationerna representerar samma linje! Grafen ger då endast en linje och självklart finnsdet då till varje x-värde ett y-värde.

Problem 134. Givetx2 + ax+ b = 0

Bestäm a och b, som är reella tal då man vet att ekvationen har rötterna x1 = −7 och x2 = 9.Bestäm

Substitutionsmetoden och Additionsmetoden

I systemen vi löst ovan har vi använt oss av substitutionsmetoden som innebär

1 Lös ut en obekant ur den ena ekvationen

2 Ersätt denna lösning med den denna obekanta i den andra ekvationen

3 Lös denna ekvation som nu består av en obekant

4 Sätt in denna lösning i lösningen från steg 2

Vi löser detta system {2y− 6x = 10

6x − 3y − 12 = 0

efter schemat ovan. (1) Vi löser ut y ur den första ekvationen

2y− 6x = 10

2y = 10+ 6xy = 5+ 3x

(2) Vi ersätter y med 5+ 3x i den andra ekvationen och löser ekvationen (3).

6x− 3(5+ 3x) − 12 = 06x − 15 − 9x− 12 = 0

6x − 15 − 9x− 12 = 0−27 = 3x

x = −9

(4) Vi sätter in x = −9 i lösningen från (1)

y = 5+ 3(−9)

y = −22

Svar: x = −9 och y = −22

Vi löser så samma system med additionsmetoden. Först städar vi lite grann.

{2y− 6x = 10

−3y+ 6x = 12


När vi nu adderar V.L. i första ekvationen med V.L. i andra och H.L. i första ekvationen med medH.L. i den andra får vi {

−y = 22y = −22

Med lite tur fick vi direkt y = −22. Detta värde sätter vi så in i vilken som helst i ekvationerna. Viväljer den första:

2(−22) − 6x = 10

−6x = 10 + 44x = −9

Svar: x = −9 och y = −22 Så där enkelt blir det förstås inte alltid. Vi tar ett exempel till:

{y− 5x − 2 = 0

3y+ 2x− 40 = 0

Här multiplicerar vi först båda sidor av första ekvationen med −3, innan vi adderar

{−3(y− 5x− 2) = −3 · 0

3y+ 2x − 40 = 0

och får {−3y+ 15x + 6 = −3 · 03y + 2x − 40 = 0

Efter additionen har vi {17x − 34 = 0

x = 2

Vi sätter in x = 2 i den andra ekvationen 3y+ 2 · 2− 40 = 0, som ger y = 12.Svar: x = 2 och y = 12.

Ett ännu mer krävande exempel {7x − 3y = −133x + 2y = 1

Här multiplicerar vi båda leden i första ekvationen med 2 och båda leden i den andra med 3

{2(7x − 3y) = 2 · (−13)

3(3x + 2y) = 3 · 1

Vi får {14x − 6y = −26

9x + 6y = 3

Efter additionen har vi {23x = −23x = −1

x = −1 insatt i den andra ekvationen ger 9(−1) + 6y = 3 ger y = 2.Svar: x = −1 och y = 2.

Vilken metod ska man då välja? Ibland leder den ena till enklare räkningar än den andra. Eftersombåda leder till rätt svar kan man låta smaken avgöra.


Läxa 194. Lös ekvationssystemet grafiskt

{4y− 2x = 30

2y + x = 21

Läxa 195. Lös ekvationssystemet

{3(x − 2) − 4(y + 5) = −3

3y− 2x + 5y + 3x = −11


{13x + 15y = 196x + 8y = 12

Läxa 197. Bonden Per Olsson har har på sin gård kor och höns. Räknar han huvudena på sinadjur kommer han fram till 23. Räknar han benen kommer han fram till 66. Hur många kor och hurmånga höns har Per Olsson?

Läxa 198. HT 1958. Lös ekvationssystemet exakt

3x+ 15y

10= 7

5x− y3

= 13

Läxa 199. En arbetare arbetade en vecka dels 48 timmar efter en viss timlön och dels 5 timmarövertid. Totalt fick han då ut 193 kr. En annan vecka arbetade han 40 timmar med samma timlönoch 4 timmar övertid med samma övertidsersättning. Denna vecka tjänade han 160 kr. Beräknatimlönen för det ordinarie arbetet och för övertidsarbetet.

Läxa 200. VT 1956. Lös ekvationssystemet exakt

3x5

+ 4y7

= 385

5x6

+ 3y8

= 618


x+ y+ z+ u = 10y+ z+ u = 6

z+ u = 3

u = 1


Läxa 202. Adam kunde ta sig från A-stad till D-stad på två olika sätt. Dels kunde han gå de 12 kmtill B-stad och därefter cykla 24 km till D-stad. Eller så kunde han gå 14 km till C-stad och fortsätta16 km på cykel till D-stad. Resan tog i båda fallen 4.5 timmar. Bestäm Adams hastighet till fots ochpå cykel.

Läxa 203. En linje med k = 3 går genom punkten (0,−14). En annan med k = −2 går genompunkten (8, 0). I vilken punkt skär de två linjerna varandra?

Läxa 204. Kalle köpte bananer för 7 kr/st och apelsiner för 6 kr/st. Totalt handlade han för 34 kr.Hur många bananer och apelsiner köpte han?

Läxa 205. Lös de två ekvationssystemen grafiskt

x+ y = 2

3x− 2y = 1

x+ 4y = 5

x+ y = 2

3x − 2y = 1

x+ 6y = 5

Läxa 206. VT 1913. En person har åtagit sig att fullborda ett arbete på 50 arbetsdagar och använderi början 33 man vid detsamma. När 28 arbetsdagar förgått, är endast halva arbetet verkställt. Hurmycket behöver han öka arbetsstyrkan för att kunna fullgöra sitt åtagande?

Läxa 207. Vid en utställning sänktes inträdesbiljetten med 25% efter första veckan. Under andraveckan ökades inkomsten med 8%. Med hur många procent hade antalet besökare ökat?

Läxa Lösning 194.

Vi utläser lösningen x = 3 och y = 9 från diagrammet. Genom att sätta in lösningen i ekvationernaser vi att avläsningen är korrekt.Svar: x = 3 och y = 9.

Läxa Lösning 195. Uppgiften är inte svårare än de tidigare efter att vi förenklat ekvationerna

{3x − 6− 4y − 20 = −3

8y+ x = −11

så får vi {−4y+ 3x = 23

8y+ x = −11

Additionsmetoden ger {2(−4y+ 3x) = 2 · 23

8y+ x = −11


och {−8y+ 6x = 46

8y+ x = −11

Efter addition får vi7x = 35

x = 5

Så får vi fram y = 8y+ 5 = −11 som ger y = −2

Svar: x = 5, y = −2.

Läxa Lösning 196. Vilken metod ska vi välja? Varför inte substitutionsmetoden. Vi löser ut x urandra ekvationen

6x+ 8y = 12

x = 12−8y6

x = 6−4y3

Som vi så sätter in in första13(6−4y)

3+ 15y = 19

3(

13(6−4y)

3+ 15y

)

= 3 · 19

78 − 52y + 45y = 57

−7y = −21

y = 3

som till sist ger x = 6−4·33

≡ −2Svar: y = 3 och x = −2.

Läxa Lösning 197. Antag att han har k kor och h höns. Vi får då följande ekvationssystem.{

x+ y = 23

4x+ 2y = 66

Från första ekvationen får vi y = 23− x som vi sätter in i den andra och får

4x+ 2(23 − x) = 664x + 46 − 2x = 66

2x = 20

x = 10

Insatt i y = 23 − 10, ger y = 13Svar: Han har 10 kor och 13 höns.

Läxa Lösning 198. Vi startar med att fixa bort nämnarna

10(

3x + 15y10

)

= 10 · 7

3(

5x − y3

)

= 3 · 13

som ger {30x + 15y = 70

15x − y = 1

Genom additionsmetoden får vi{

30x + 15y = 70−2(15x − y) = −2 · 1

som ger17y = 68

y = 4


y = 4 insatt i någon av de tidigare ekvationerna får vi

15x − 4 = 1

x = 13

Svar: y = 4 och x = 13

Läxa Lösning 199. Antag att han tjänade x kronor/timmen under ordinarie arbete och y kronor/-timmen under övertidsarbetet. Vi får då följande system:

{48x + 5y = 19340x + 4y = 160

Additionsmetoden ger {−4(48x + 5y) = −4 · 1935(40x + 4y) = 5 · 160

eller {−192x − 20y = −772

200x + 20y = 800

som ger8x = 28

x = 3.5

Övertidsersättningen är40 · 3.5+ 4y = 160

4y = 160 − 140

y = 5

Svar: De olika timlönerna är 3.50 kr respektive 5.00 kr

Läxa Lösning 200. Först gör vi oss av med nämnarna

35(

3x5

+ 4y7

)

= 35(

385

)

48(

5x6

+ 3y8

)

= 48(

618

)

som övergår i {21x + 20y = 266

40x + 18y = 366

Nu tillämpar vi additionsmetoden

{18(21x + 20y) = 18 · 266

−20(40x + 18y) = −20 · 366

som ger {378x + 360y = 4788

−800x − 360y = −7320

och−422x = −2532

x = 6

Till sist får vi så21 · 6x+ 20y = 266

20y = 266 − 126

y = 7

Svar: x = 6 och y = 7.


Läxa Lösning 201. Detta är ett linjärt ekvationssystem med 4 obekanta, trots att vi lovat att det inteskulle förekomma fler än 2 obekanta. Nu är det ju så att detta system kan lösas med huvudräkning.Tekniken som man ska använda är så kallad bakåtsubstitution. Eftersom u = 1 ser vi enkelt, frånden tredje ekvationen, att z = 2. Lika enkelt ser vi från den andra ekvationen att y = 3 och frånden första får vi då x+ 3+ 2+ 1 = 10, ger x = 4. Bakåtsubstitution ingår som ett moment i lösandetav större ekvationssystem. Mer om detta i er matematiska framtid.

Svar: x = 4, y = 3, z = 2 och u = 1.

Läxa Lösning 202. Antag att han gick med x km/tim och cyklade med y km/tim. Från den bekantaformeln s = t · v, kan vi lösa ut t = s

v. Vi får då ekvationssystemet

12x+ 24

y= 4.5

14x+ 16

y= 4.5

Bästa sättet att lösa detta system är att substituera a = 1x

och b = 1y. Vi får

{12a + 24b = 4.514a + 16b = 4.5

Med additionsmetoden får vi{

−7(12a + 24b) = −7 · 4.56(14a + 16b) = 6 · 4.5

eller {−84a − 168b = −31.5

84a + 96b = 27

−72b = −4.5

b = 4.572

Då b = 1y

får vi y = 16. Sätter vi in y = 16 direkt i

12x

+ 2416

= 4.5

12x

= 4.5 − 1.5

x = 123

x = 4

Svar: Gånghastigheten är 4 km/tim. Cykelhastigheten är 16 km/tim.

Läxa Lösning 203. Vi kan utan vidare bestämma ekvationerna för de två linjerna. Den första harm-värde −14 = 3 · 0 + m, ger m = −14 och ekvationen y = 3x − 14. Den andra har m-värde0 = (−2) · 8+m, ger m = 16 och ekvationen y = −2x + 16. Återstår att lösa ekvationssystemet

{y = 3x − 14

y = −2x + 16

Enkel substitution ger3x− 14 = −2x + 16

5x = 30

x = 6


x = 6 insatt i första ekvationen ger y = 3 · 6− 14 ger y = 4. Att vi troligtvis räknat rätt ser vi i grafen

Läxa Lösning 204. Antag att han köpte x bananer och y apelsiner. Det är inte svårt att tecknaekvationen

7x+ 6y = 34

Men sen? Att problemet är meningsfullt beror på att antalet bananer och apelsiner måste vara heltal.Denna typ av ekvationer kallas diofantiska och nämns aldrig i gymnasiematematiken. Här har vigrafen

Hur kan vi utläsa svaret? Jo, en lösning finns där linjen skär en gitterpunkt. Gitterpunkterna idiagrammet är skärningen mellan blå linjer. I dessa punkter är alltid antalet bananer och apelsinerheltal.

Vi avläser svaret 4 bananer och 1 apelsin. Normalt finns det flera lösningar. Ja, det finns för vårekvation oändligt många lösningar om man tillåter ett negativt antal bananer och/eller apelsiner.Nog om diofantiska ekvationer.

Läxa Lösning 205. Vi får följande grafer

Båda systemen har tre ekvationer men endast två obekanta. Ett sådant system kallas överbestämt.För att det ska finnas en lösningen måste alla tre linjerna gå genom en gemensam punkt. Så är falleti det vänstra systemet Punkten är (1, 1). I det högra systemet finns ingen gemensam punkt för detre linjerna och systemet saknar därför lösning.

Läxa Lösning 206. Antag att han behövde anställa x man ytterligare. 33 · 28 ’mandagar’ fixade


hälften av jobbet. Den andra häften klarades av på (33 + x) · 22 mandagar. Vi får ekvationen

33 · 28 = (33+ x)22

924 = 726 + 22x

x = 924−72622

x = 9

Svar: Han behövde anställa 9 man till.

Läxa Lösning 207. Vi vet inget om biljettpriset (p), eller antalet besökare (b) men kan ändå ställaupp en ekvation. Antag att antalet besökare ökade med tillväxtfaktorn x. Första veckan var intäktenp · b. Andra veckan 0.75p · x · b. Detta ger ekvationen

1.08 · p · b = 0.75 · p · x · b1.08 = 0.75 · x

x = 1.080.75

x = 1.44

Svar: Antalet besökare steg med 44%.



Andragradsfunktioner

Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs

f(x) = ax2 + bx+ c

där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 6= 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax2 + bx + c

kallas parabel.

Här följer ett antal exempel kopplade till polynom av andra graden. Oftast handlar det om funktio-nen

f(x) = x2 + b · x+ c

men ibland är koefficienten framför x2 termen a 6= 1.

f(x) = a · x2 + b · x+ c

I flera av uppgifterna handlar det om att läsa ut värden ur en graf. Detta är förstås, ett ickematematiskt sätt att närma sig ett problem. Trots det påstår vi att, när det verkar som en kurva gårgenom en viss punkt, så gör den det!

Exempel 81.

Figuren visar grafen till funktionenf(x) = x2 − x− 6

För att bestämma nollställena löser man ekvationen f(x) = 0.

x2 − x− 6 = 0

x = 12±√

14+ 6

x = 12±√

254

x = 12± 5

2

x1 = 3 x2 = −2


x-värdet för vertex ligger mitt emellan nollställena

x1 + x2

2

I detta exempel3+ (−2)

2=

1

2

f(x) har av allt att döma ett minimum då x = 12

f

(

1

2

)

=

(

1

2

)2

−1

2− 6 ≡ −

25

4

Minpunkten är (12, 25

4).

Symmetrilinjen är x = 12. Observera att detta är en rät linje parallell med y-axeln!

Exempel 82. Bestäm nollställena hos

a) f(x) = x2 − x− 6

b) g(x) = 2x2 − 2x − 12

Nollställena till f(x) vet vi redan x1 = 3 och x2 = −2. Vi löser ekvationen g(x) = 0 och får

2x2 − 2x− 12 = 0

x2 − x− 6 = 0

x = 12±√

14+ 6

x = 12±√

254

x = 12± 5

2

x1 = 3 x2 = −2

Samma nollställen. Men observera graferna till f(x) och g(x)

Vi ser att nollställena är desamma och därmed att symmetrilinjen är densamma, men i övrigt skiljersig graferna åt. y-värdet för minimipunkten är nu

g

(

1

2

)

= 2

(

1

2

)2

− 21

2− 12 ≡ −

25

2


Här är de fakta man normalt vill ha reda på när det gäller en andragradsfunktion.

• Vilka nollställen funktionen har

• Vilka koordinater funktionens vertex (max- eller min-punkt) har

• Var grafen skär y-axeln

• Symmetrilinjens ekvation

-3 -1 1 3

2

4

6

8

Figur 21:

Exempel 83. Här ser vi, i figur 32, andragradsfunktionen på sin enklaste form där koefficienten tillx2-termen är 1. Vilken är funktionen?

Lösning: Visst ser du, att det handlar om f(x) = x2. Antingen ser man bara det, eller så förstårman att det bara finns en ekvation som har rötterna x1,2 = 0 nämligen x2 = 0, med motsvarandefunktion f(x) = x2

Hur är det då med funktionen g(x) = 2x2? Den har ju också det dubbla nollstället x1,2 = 0, mendå med x2-koefficienten 2. Kan det vara den som syns i grafen?

Normalt behöver vi tre punkter på andragradskurvan för att kunna bestämma funktionen. Så härgår det till:

Vi får våra tre punkter (x1, y1), (x2, y2) och (x3, y3) och söker nu a, b, c i f(x) = ax2 + bx2 + c.Vår punkter leder till ett ekvationssystem:

a · x21 + b · x1 + c = y1

a · x22 + b · x2 + c = y2

a · x23 + b · x3 + c = y3

Ett så linjärt system med tre ekvationer och tre obekanta, a, b, c.

a = −−x2y1 + x3y1 + x1y2 − x3y2 − x1y3 + x2y3

(x2 − x3)(x21 − x1x2 − x1x3 + x2x3)

b = −x22y1 − x23y1 − x21y2 + x23y2 + x21y3 − x22y3

(x1 − x2)(x1 − x3)(x2 − x3)

c = −−x22x3y1 + x2x

23y1 + x21x3y2 − x1x

23y2 − x21x2y3 + x1x

22y3

(x2 − x3)(x21 − x1x2 − x1x3 + x2x3)

Här är systemet löst en gång för alla. Knappast formler man kommer att lära sig utantill. Men omman ska lösa hundratals problem av den här typen är det idé att skriva ett datorprogram medutgångspunkt från dessa formler.


Innan vi lämnar dem ska vi bara konstatera ett de fungerar för tre punkter från vår kurva ovan:(x1, y1) = (−1, 1), (x2, y2) = (0, 0) och (x3, y3) = (1, 1). I alla fall om man ska tro våra avläsningar.

I första steget ser vi att alla termer som innehåller (x2, y2) = (0, 0) försvinner. Återstår

a = −x3y1 − x1y3

(−x3)(x21 − x1x3)

= −1 · 1− (−1) · 1

(−1)((−1)2 − (−1) · 1) = 1

b = −−x23y1 + x21y3

(x1)(x1 − x3)(−x3)= −

−12 · 1+ (−1)2 · 1(−1)((−1)2 − (−1) · 1) = 0

c = −0

(−x3)(x21 − x1x3)

= 0

-5 -3 -1 1 3 5-5

5

10

15

20

Figur 22:

Exempel 84. Bestäm a och b till funktionen f(x) = x2+bx+ c genom att i grafen, figur 33, avläsanollställena.

Lösning: Nollställena är x1 = −2 och x2 = 3. Vi får

f(x) = (x + 2)(x − 3) = x2 − 3x+ 2x− 6 = x2 − x− 6

-2 -1 1 2 3

-4

-2

2

-2 -1 1 2 3

-2

2

4

figur I figur II

Exempel 85.

a) Bestäm a och b till funktionen f(x) = x2+bx+c genom att i grafen, figur I, avläsa nollställena.

b) Bestäm a och b till funktionen f(x) = x2+bx+c genom att i grafen, figur II, avläsa nollställena.

Lösning: a)Nollställena är x1 = −1 och x2 = 2. Vi får

f(x) = (x+ 1)(x − 2) ≡ x2 − 2x + x− 2 ≡ x2 − x− 2

Stopp lite, är det verkligen riktigt? Nej den funktion vi fått fram har ett minimum och den i figurenett maximum. Det finns tydligen två andragradspolynom som går genom två givna nollställen.

f1(x) = ax2 + bx+ c

f2(x) = −ax2 − bx− c


Detta styrker vårt resonemang från uppgift 1 där vi påstod att inte förrän vi har tre givna punkterpå kurvan kan vi bestämma funktionen. Men i detta problem fanns dessutom grafen given och vikan då bestämma att det är f(x) = −x2 + x+ 2 vi är ute efter.Svar: f(x) = −x2 + x+ 2

b)Har inte funktion, med grafen i figur figur 4, samma nollställen som den i figur 3? Vad är det i såfall som skiljer den från den tidigare? Jovisst, det har vi ju redan sagt. Svaret på denna uppgift ärf(x) = x2 − x− 2

Svar: f(x) = −x2 + x+ 2

Regel: Givet funktionenf(x) = ax2 + bx+ c

Då a > 0 Minimum Glad gubbe

Då a < 0 Maximum Ledsen gubbe

-2 -1 1 2 3

2

4

6

A

B

C

Figur 23:

Exempel 86. Här har vi plottat, figur 23, funktionerna p1(x) = x2, p2(x) = 3x2 och p3(x) = x2/3.Vilken är vilken?

Lösning: Ju större koefficient, desto snabbare växer funktionen:

A) p3(x) = x2/3

B) p1(x) = x2

C) p2(x) = 3x2


-3 -1 1 3 5-5

5

10

15

20

25

A

B

C

Figur 24:

Exempel 87. Återigen tre plottade funktioner: p1(x) = −x2 + 2x + 8, p2(x) = x2 + 3 ochp3(x) = x2 − 4. Identifiera dem.

Lösning: Vi har nu lärt oss att då x2-termen har en negativ koefficient har funktionen ettmaximum. En annan har nollställen i x1 = −2 och x2 = 2 och bör då tillhöra funktionenp(x) = (x+ 2)(x − 2) = x2 − 4. Kvar blir den som saknar nollställen, vilket vi förstår då vi försökerlösa ekvationen x2 + 3 = 0; x = ±

√−3. Ekvationen saknar reella rötter.

A) p1(x) = −x2 + 2x + 8

B) p2(x) = x2 + 3

C) p3(x) = x2 − 4

-2 -1 1 2 3

-5

5

10

Figur 25:

Exempel 88. Här har vi plottat funktionerna p1(x) = x2 + 3x − 4 och p2 = −x2 + 4x + 2. Bestämskärningspunkterna.

Lösning: Vi söker två punkter som finns på båda kurvorna.

x2 + 3x − 4 = −x2 + 4x + 2

2x2 − x− 6 = 0

x2 − x2− 3 = 0

x = 14±√

116

+ 3

x = 14± 7

4

x1 = 2 x2 = −32

p1(2) = 22 + 3 · 2− 4 = 6 och p1(−32) =

(

−32

)2+ 3 ·

(

−32

)

− 4 = 254

ger de två punkterna (2, 6) och(−3

2, 25

4)


-5 -3 -1 1 3

-5

5

10

Figur 26:

Exempel 89. Ett andragradsfunktionen har antingen ett maximum eller minimum. Betrakta nugrafen ovan där vi kan se båda nollställena. På vilken x-koordinat ligger alltid extrempunkten?

Lösning: Vi har inte den teori som krävs för att klara detta! Men här är svaret:

Om vi utgår från f(x) = x2 + px+ q, så är y-koordinaten för extrempunkten

y extrempunkt = −p2

4+ q

och x-koordinatenx extrempunkt = −

p

2

Så här kommer det att se ut i nästa kurs: Vi startar med att derivera vår funktion

f ′(x) = 2x+ p

f ′(x) = 0 då 2x + p = 0; x = −p2. Vi bevisar också y-koordinaten för extrempunkten.

f(

−p

2

)

=(

−p

2

)2

+ p ·(

−p

2

)

+ q

f(

−p

2

)

=p2

4−

p2

2+ q

f(

−p

2

)

= −p2

4+ q

Svar: Extrempunkten har koordinaterna

(

−p

2,−

p2

4+ q

)

1 3 5

1

2

3

4

5

6

Figur 27:

Exempel 90. Vilka nollställen har denna funktion?

Lösning: Av allt att döma en dubbelrot för x = 3. Funktionen blir då f(x) = (x− 3)2


-1 1 3

5

Figur 28:

Exempel 91. Vilka nollställen har funktionerna och var skär de varandra då båda är av typenf(x) = x2 + px+ q

Lösning: Den ena kurvan motsvarar funktionen f(x) = x2 med nollställena x1,2 = 0 och den andraär g(x) = (x− 2)2 med nollställena x3,4 = 2. Kurvorna skär varandra i

x2 = (x− 2)2

x2 = x2 − 4x+ 4x = 1

Exempel 92. Vi söker nu p och q i f(x) = x2 + px + q så att andragradsfunktionen går genompunkterna (1, 2) och (3, 9).

Lösning: Eftersom en koefficient den som tillhör x2 termen redan är given behövs bara tvåekvationer för att finna de två obekanta p och q.

{12 + p · 1+ q = 2

32 + p · 3+ q = 9

{p+ q = 1

3p + q = 0

p = −12

och q = 32

Svar: f(x) = x2 −x

2+

3

2

-1 1 3

2468101214

Figur 29:

Exempel 93. Plottar vi funktionen vi fick som svar i förra exemplet får vi detta resultat. Vad kanvi säga om funktionens nollställen?

Lösning: Den saknar nollställen. Om vi löser motsvarande ekvation får vi

x2 −x

2+

3

2= 0

x =1

4±√

1

16−

3

2


diskriminanten (uttrycket under rottecknet) är < 0.

Exempel 94. En andragradsfunktion, av typen f(x) = x2 + px + q, har ett dubbelt nollställe i 5.Vilken är funktionen?

Lösning: f(x) = (x− 5)2

Exempel 95. För vilka värden på a har funktionen p(x) = x2 − 8x + a

• Ett dubbelt nollställe

• Två olika nollställen

• Inget reellt nollställe

Lösning: Återigen gäller det att lösa en andragradsekvation

x2 − 8x + a = 0

x = 4±√16− a

• Om 16− a = 0; a = 16 finns det en dubbelrot i x = 4

• Om 16− a < 0; a > 16 saknas reella nollställen

• Om 16− a > 0; a < 16 finns två reella olika nollställen

-3 -1 1 3

5

10

15

20

25

A

B

C

Figur 30:

Exempel 96. Här har vi plottat funktionerna: p1(x) = x2 + 2x + 2, p2(x) = x2 + 2x − 3 ochp3(x) = x2 + 2x + 5. Vilken är vilken och vad händer då vi ökar q i p(x) = x2 + px+ q?

Lösning: Skillnaden mellan f(x) = ax2 + bx + c och g(x) = ax2 + bx + (c + ∆c), är förståsg(x) − f(x) = ∆c. Med hjälp av detta kan vi snabbt avgöra vilken funktion som är vilken

A) p3(x) = x2 + 2x + 5

B) p1(x) = x2 + 2x + 2

C) p2(x) = x2 + 2x − 3


Exempel 97. Vad kan man säga om andragradsfunktioner, där p = 0 i p(x) = x2 + px + q, alltsåp(x) = x2+q? Vad krävs för att funktionen ska ha två nollställen? Kan den ha ett dubbelt nollställe?I så fall för vilka q?

Om vi löser ekvationenx2 + q = 0

x1,2 = ±√−q

ser vi att q ≤ 0 är nödvändigt för att det ska finnas nollställen och att då q = 0 är det frågan om ettdubbelt nollställe.

Exempel 98. Vi önskar två andragradsfunktioner på formen p1(x) = −x2 + ax + b och p2(x) =

x2 + cx+ d, som skär varandra i (−3, 4) och (3, 4). Bestäm värden på a, b, c och d. Kan vi utnyttjanågot vi diskuterat ovan som gör problemet enklare?

Lösning: Funktionerna f1(x) = (x + 3)(x − 3) och g1(x) = −(x + 3)(x − 3) har båda nollställeni x = −3 och x = 3. f1(x) har ett minimum och g2(x) har ett maximum och de skär varandra i(−3, 0) och (3, 0). Om vi adderar konstanten 4 till båda funktionerna får vi f2(x) = (x+3)(x−3)+4och g2(x) = −(x+ 3)(x − 3) + 4, efter vad som diskuterades i problem 15.Svar: f2(x) = x2 − 5 och g2(x) = 13− x2

Exempel 99. Så några andragradsekvationer. Bestäm direkt i huvudet dess rötter:

a) x2 − 2x − 8 = 0

b) x2 − 3x + 2 = 0

c) x2 − 4 = 0

d) x2 − 9x + 20 = 0

e) x2 + 3x − 70 = 0

Du kan räkna med att alla rötter är heltal!

Hur beror rötterna x1 och x2 till ekvationen på koefficienterna p och q i x2 + px + q = 0? Frånformeln får vi

x1 = −p

2+

√

p2

4− q

x2 = −p

2−

√

p2

4− q

Löser vi detta ekvationssystem med avseende på p och q får vi q = x1 · x2 och p = −(x1 + x2).Med andra ord, koefficienten q är lika med produkten av rötterna och p är lika med summan av

rötter med ombytt tecken. Tillämpar vi detta på de 5 ekvationerna får vi ganska snabbt

a) x1 = 4 x2 = −2

b) x1 = 2 x2 = 1c) x1 = 2 x2 = −2

d) x1 = 5 x2 = 4

e) x1 = 7 x2 = −10


-1 1 3

-8

-7

-6

-5

Figur 31:

Exempel 100. I den här grafen ser vi inte origo och heller inte nollställena. Kan du med hjälp avgrafen bestämma funktionen och därefter nollställena?

Lösning: Vi använder resultatet från exempel 9 som ger oss extrempunkten utifrån funktionenf(x) = x2 + px+ q.

(

−p

2,−

p2

4+ q

)

Nu använder vi den i andra riktningen för att få p och q när vi känner extrempunkten, (1,−9).

−p

2= 1

−p2

4+ q = −9

p = −2 och q = −8. Vi får funktionen f(x) = x2 − 2x− 8, vars heltalsrötter vi snabbt kan räkna ut,x1 = −2 och x2 = 4

Läxa 208. Punkterna (0, 5) och (6, 5) ligger på en andragradskurva. Ange symmetrilinjens ekvation.

Läxa 209. Ange symmetrilinjens ekvation till kurvan

a) f(x) = x(x − 12) + 8

b) f(x) = 13 + 2x(l4 − x)

Läxa 210. En andragradskurva har symmetrilinjen x = 4. Punkten P(0, 6) ligger på kurvan. Angekoordinaterna för spegelbilden till P.

Läxa 211. Funktionen f(x) = x2 + 8x + 3 är given.

a) Har kurvan en maximi- eller minimipunkt?

b) Ange grafens symmetrilinje.

c) Vilka koordinater har vertex?

d) Rita grafen som kontroll.


Läxa 212. Figuren visar grafen till andragradskurvan y = 2 + 4x − x2 Ange koordinaterna föra)P b)Q c)M

Läxa 213. Förklara först med ett eget exempel hur du finner koordinaterna för maximi- ellerminimipunkten till en andragradskurva och använd sedan din metod på andragradskurvorna

a) f(x) = x2 + 4x + 8

b) f(x) = 10x − x2

c) f(x) = −5x2 + 15x − 3

d) f(x) = 6x2 − 24x + 5

Läxa 214. En andragradskurva har symmetrilinjen x = 1. Punkterna (0, 8) och (4, 24) ligger påkurvan. Ange koordinaterna för ytterligare två punkter på kurvan.

Läxa 215. Bestäm koordinaterna för vertex till andragradskurvan

a) f(x) = 0.1x2 − 0.02x − 1

b) f(x) = x2

2+ x

4− 3

8

Läxa 216. Skär andragradskurvan x-axeln, om den har en

a) maximipunkt med koordinaterna (2, 6) ?

b) minimipunkt med koordinaterna (4, 6) ?

Läxa 217. Ange ekvationen för en parabel som har en maximipunkt i andra kvadranten

Läxa 218. Finn ekvationen för en parabel som har vertex i (−2, 0) och som skär y-axeln i (0, 4)

Läxa 219. En andragradskurva har symmetrilinjen x = 5 och skär y-axeln i punkten (0, 6). Kurvansvertex har y-koordinaten 1. Finn kurvans ekvation.

Läxa 220. Finns det några värden som inte antas av vare sig funktionen f(x) = x2 − 3x + 6 ellerfunktionen g(x) = −2x2 + 8x − 6? Ange i så fall vilka.

Läxa 221. För vilket värde på c har kurvan y = x2 − 8x + c sin minimipunkt på x-axeln?


Läxa Lösning 208. Svaret finner vi enkelt då punkterna har samma y-koordinat. Symmetrilinjenligger mitt emellan x = 0 och x = 6, alltså x = 3.Svar: Symmetrilinjens ekvation är x = 3

Läxa Lösning 209. a)En möjlighet att finna två punkter som har samma y-koordinater är att lösa ekvationen f(x) = 0.Detta fungerar så länge ekvationen har reella rötter.

x(x− 12) + 8 = 0

x2 − 12x + 8 = 0

x = 6±√36− 8

x1 = 6+√28

x2 = 6−√28

Symmetrilinjen får vi genom

x =6+

√28+ 6−

√28

2≡ 6

Vi drar oss till minnes från exempel 9 att vi direkt kunna få svaret genom

−p

2= −

−12

2≡ 6

b)Vi använder direkt den enkla metoden

13 + 2x(l4 − x) = 0

13 + 28x − 2x2 = 0132+ 14x − x2 = 0

x2 − 14x − 132

= 0

Nu har vi fått fram p = −14 och kan bestämma symmetrilinjen

−p

2= −

−14

2≡ 7

Svar: a) x = 6 b) x = 7

Läxa Lösning 210. Punkten P ligger på y-axeln. 4 enheter från symmetrilinjen. Spegelbilden liggerockså 4 enheter från symmetrilinjen, fast på ’andra sidan’, alltså x = 8.Svar: (8, 6).

Läxa Lösning 211. a) Minimipunkt. a = 1 > 0. ’Glad gubbe’

b) x = −p2≡ −8

2= −4

c) x-koordinaten är samma som symmetrilinjen. När vi vet det kan vi bestämma f(−4) = (−4)2+

8(−4) + 3 ≡ −13. Vertex ligger i (−4,−13)

d)


Läxa Lösning 212. P är den punkt där kurvan skär y-axeln.

y = 2+ 4 · 0− 02 ≡ 2

som ger P(0, 2).

M ligger på symmetrilinjen x = −−42

≡ 2. y-koordinaten får vi genom 2 + 4 · 2 − 22 = 6, som gerM(2, 6)

Q är spegelbild av P och ligger lika långt från symmetrilinjen som Q men på andra sidan, alltsåx = 4, ger punkten Q(4, 2)

Läxa Lösning 213. Jag skriver ned f(x) = 0 och ser till att den får uttrycket x2 + px + q = 0. Nukan jag läsa ut p som jag använder för att bestämma

x = −p

2

Nu har jag x-koordinaten, som jag sätter in i funktionen och bestämmer y-koordinaten.

a) Jag får x2 + 4x + 8 = 0. p = 4 som ger x = −42

≡ −2. y-koordinaten får jag genomf(−2) = (−1)2 + 4(−2) + 8 ≡ 1.Svar: Minimum i (−2, 1)

b) Jag får −x2 + 10x = 0. Dividerar båda sidor med −1 och får x2 − 10x = 0. p = −10 som gerx = −−10

2≡ 5. y-koordinaten får jag genom f(5) = −52 + 10 · 5 ≡ 25.

Svar: Maximum i (5, 25)

c) Jag får −5x2 + 15x − 3 = 0. Dividerar båda sidor med −5 och får x2 − 3x + 35= 0. p = −3

som ger x = −−32

≡ 32. y-koordinaten får jag genom f(3

2) = −5

(

32

)2+ 15 · 3

2− 3 ≡ 33

4.

Svar: Maximum i (32, 33

4).

d) Jag får 6x2 − 24x + 5 = 0. Dividerar båda sidor med 6 och får x2 − 4x + 56= 0. p = −4 som

ger x = −−42

≡ 2. y-koordinaten får jag genom f(2) = 6 · 22 − 24 · 2+ 5 ≡ −19Svar: Minimum i (2, 19)

Läxa Lösning 214. De två punkter som ligger närmast till hands är (x1, 8) och (x2, 24) som ärspegelbilder av de två givna punkterna. x1 = 2 och x2 = −2. Det gäller att hålla reda på vilken sidaav symmetrilinjen de ska ligga.Det finns förstås oändligt många svar att ge, men då måste man räkna lite mer.Svar: (2, 8) och (−2, 24)

Läxa Lösning 215. Liknar tidigare problem. Vi ’städar upp’ ekvationen f(x) = 0 så att koefficientenframför x2 blir 1. Sedan kan vi läsa av p i x2 + px + q = 0. Vi använder p för att bestämma x-koordinaten i vertex. Sedan bestämmer vi f(x) för detta x och har y-koordinaten och därmed vertex(extrempunkten).

Givet 0.1x2−0.02x−1 = 0. Dividera båda sidor med 0.1 ger x2−0.2x−10 = 0 och vi har p = −0.2som ger symmetrilinjen

x = −p

2≡ −

−0.2

2≡ 0.1

sedan får vif(0.1) = 0.1 · (0.1)2 − 0.02 · 0.1− 1 ≡ −1.001

Svar: Vertex (0.1,−1.001)

Läxa Lösning 216. a) Jab) Nej

Läxa Lösning 217. a)Det finns förstås oändligt många sådana funktioner. Punkten (−1, 1) ligger i andra kvadranten och


ska alltså vara en maximipunkt. Vi bestämmer att f(x) = −x2+px+q. f(x) = 0 ger −x2+px+q = 0

eller x2 − px− q = 0. Symmetrilinjen är x = −1.

Då kan vi bestämma p med ekvationen

−1 = −−p

2

ger p = −2. Så här långt har vi bestämt f(x) = −x2−2x+c. Nu ska vi bestämma c så att f(−1) = 1.Vi får −(−1)2 − 2(−1) + c = 1 som ger c = 0. Vi plottar f(x) = −x2 − 2x

Läxa Lösning 218. Vi vet att det finns oändligt många sådana ekvationer. Speciellt en då f(x) =x2+bx+ c. Den skär y axeln då 02+b · 0+ c = 4, ger c = 4. Då vertex är (−2, 0) är symmetrilinjenx = −2. Vi bestämmer f(−2) = 0 och får

(−2)2 + b(−2) + 4 = 0

som ger b = 4. Vi har då funktionen

f(x) = x2 + 4x + 4

Som vi plottar och ser att det stämmer stämmer.

Läxa Lösning 219. Vi startar med f(x) = ax2+bx+c. Symmetrilinjen x = 5. Vi har då ax2+bx+c =

0 eller x2 + bxa

+ ca= 0 ger oss b genom

5 = −ba

2

b = −10a. Vi har nu f(x) = ax2 − 10ax + c. Skärningen med y-axeln ger f(0) = 6

a · 02 − 10 · 0+ c

a= 6

ger c = 6. Nu har vi f(x) = ax2 − 10ax + 6 Till sist vet vi att f(5) = 1 som ger ekvationen

a · 52 − 10a · 5+ 6 = 0

ger a = 15. Nu har vi funktionen

f(x) =x2

5− 2x + 6


som vi plottar och ser att det stämmer

Läxa Lösning 220.

Det ser ut som det skulle kunna finnas värden som inte antas av någon av funktionerna. För attkunna svara på frågan måste vi ta reda på maximipunkten hos g(x) och minimipunkten för f(x)

Vi startar med minimipunkten för f(x) och använder formeln

−p2

4+ q

som ger

−(−3)2

4+ 6 ≡ 15

4≡ 3.75

Innan vi kan bestämma maximipunkten för g(x) måste vi starta med −2x2+8x−6 = 0 och dividerabåda sidor med −2 som ger x2 − 4x + 3 = 0. Nu har vi p och q. och kan bestämma y-värdet förvertex med samma formel

−(−4)2

4+ 3 ≡ 2

Svar: Ingen av funktionerna antar värden i intervallet (2, 3.75).

Läxa Lösning 221. Först bestämmer vi symmetrilinjen genom

x = −p

2

Vi får

x = −−8

2

ger x = 4

Det betyder att vi ska fixa till ett vertex i (4, 0) genom att hitta lämpligt c.

Det betyder att f(4) = 0 ger42 − 8 · 4+ c = 0

ger c = −16


Sidor i boken KB 16-18

FormelhanteringFormeln

v =s

t

där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhetatt samma formel kan skrivas

s = v · teller

t =s

v

allt beroende på vad formeln ska användas till.

När man i tillämpad matematik, som till exempel fysik, står inför att beräkna ett värde på med hjälpav en formel har man två vägar att gå. Vi tar ett exempel:

Volymen av materialet i röret bestäms med formeln

V = π h(r21 − r22)

Låt säga att vi känner V = 2 dm3, h = 2 dm och r2 = 1 dm. Vilken är då ytterdiametern r1 ?

Vi får ekvationen

2 = π2(r21 − 1)

2 = 2πr21 − 2π

2πr21 = 2+ 2π

r21 = 2+2π2π

r1 =

√

2+2π2π

r1 =

√

1+ππ

r1 ≈ 1.15


Ett alternativ kan vara att lösa ut r1 innan man sätter in de olika värdena.

V = π h(r21 − r22)

Vπ h

= r21 − r22

r21 = Vπ h

+ r22

r1 =

√

Vπ h

+ r22

Vi har nu en formel där man direkt kan räkna ut ytterdiametern när andra storheter är kända

r1 =

√

V

π h+ r22

som ger

r1 =

√

2

π 2+ 12 ≈ 1.15

Det är detta denna föreläsning handlar om. Metod passar bra, om man ska bestämma flera ytterra-dier, med olika indata.

Problem 135. Lös ut α urv2 − v20 = 2αs

Lösning:v2 − v20 = 2αs

α =v2−v2

0

2s

Svar: α =v2−v2

0

2s

Problem 136. Lös ut b ur1

a+

1

b=

1

f

Lösning:1a+ 1

b= 1

f

1b

= 1f− 1

a

b = 11

f− 1

a

b = 1a−f

af

b = afa−f

Svar: b =af

a− f

Problem 137. Lös ut v ur

F =mv2

R

Lösning:

F = mv2

R

RFm

= v2

v =

√

RFm

Svar: v =

√

RFm


Problem 138. Lös ut m ur

W = mgh+mv2

2

Lösning:

W = mgh+ mv2

2

W = m(

gh+ v2

2

)

m = W

gh+ v2

2

m = 2W2gh+v2

Svar: m = 2W2gh+v2

Problem 139. Lös ut C > 0 ur formeln

Z =

√

R2 +

(

ωL−1

ωC

)2

Lösning:

Z =

√

R2 +(

ωL− 1ωC

)2

Z2 = R2 +(

ωL− 1ωC

)2

Z2 − R2 =(

ωL− 1ωC

)2

±√Z2 − R2 = ωL− 1

ωC

1ωC

= ωL±√Z2 − R2

C = 1

ω(ωL±√Z2−R2)

Svar: C = 1

ω(ωL±√Z2−R2)

Läxa 222. Lös ut a ur

s = v0t+a t2

2

Läxa 223. Lös ut h urv =

√

2gh

Läxa 224. Lös ut h ur

F = G · Mm

(R+ h)2


Läxa 225.

• Bestäm en ekvation för linjen i figuren ovan

• Genom punkten (5, 10) dras en linje L som är vinkelrät mot linjen i figuren. Bestäm enekvation för L.

Läxa 226. Förenkla så långt möjligt1− 1

x2

1+ 1x

Läxa 227. Lös ut den positiva storheten g ur formeln

T = 2π

√

L

g

Läxa 228. Lös ekvationen4+

√x− 2 = x

Läxa 229. I den rätvinkliga triangeln △ABC har man dragit en linje DE parallell med AC. SträckanEC = 6 cm, sträckan AC = 7 cm och ∠CBA = 35◦. Beräkna längden av DE.

Läxa 230. Funktionen f(x) = x2 + 3x är given. Förenkla f(2+ h) − f(2) så långt möjligt

Läxa 231. Den räta linjen 3x + 2y − 6 = 0 bildar tillsammans med koordinataxlarna en triangel.Rita linjen i ett koordinatsystem och beräkna triangelns minsta vinkel.

Läxa Lösning 222.

s = v0t+a t2

2

s− v0t = a t2

2

2(s − v0t) = a t2

a =2(s−v0t)

t2


Svar: a =2(s−v0t)

t2

Läxa Lösning 223.

v =√2gh

v2 = 2gh

h = v2

2g

Svar: h = v2

2g

Läxa Lösning 224.

F = G · Mm(R+h)2

F(R + h)2 = GMm

(R + h)2 = GMmF

R+ h =

√

GMmF

h =

√

GMmF

− R

Läxa Lösning 225. a)Linjen i figuren går genom punkterna (2, 0) och (0, 1). Linjen har lutningen

k =1− 0

0− 2≡ −

1

2

Vi har då y = −x2+m. Vi sätter in punkten (2, 0) och får ekvationen 0 = −2

2+m, ger m = 1, vilket

vi bör kunna se direkt i diagrammet. Linjens ekvation blir då y = −x2+ 1

b)Vi är på jakt efter en linje med k-värdet k1. Sambandet k1 · k2 = −1 gäller för två linjer som skärvarandra under rät vinkel. Vi får k1 ·

(

−12

)

= −1 ger k1 = 2. Vi har då y = 2x+m. Vi vet dessutomatt denna linje går genom punkten (5, 10) och sätter in den i ekvationen och får 10 = 2 · 5+m, germ = 0. Linjens ekvation är y = 2x.

Svar: Den första linjen y = −x2+ 1. Den andra linjen y = 2x.

Läxa Lösning 226.

1− 1x2

1+ 1x

≡x2−1x2

x+1x

≡ x2 − 1

x2· x

x+ 1≡ (x − 1)(x + 1)

x· 1

x+ 1≡ x− 1

x

Svar:x − 1

x

Läxa Lösning 227.

T = 2π√

Lg

√

Lg

= T2π

(√

Lg

)2

=(

T2π

)2

Lg

= T2

22π2

g = LT2

4π2

g = 4Lπ2

T2

Svar: g = 4Lπ2

T2


Läxa Lösning 228.4+

√x− 2 = x

(√x − 2

)2= (x− 4)2

x− 2 = x2 − 8x+ 16

x2 − 9x + 18 = 0

x = 92±√

814− 72

4

x = 92± 3

2

x1 = 3x2 = 6

Vi måste testa rötternaV.L. 4+

√6− 2 ≡ 6

H.L. 6V.L. = H.L.

V.L. 4+√3− 2 ≡ 5

H.L. 3V.L. 6= H.L.

Svar: x = 6

Läxa Lösning 229.

tan 35◦ = 7BC

BC = 7tan 35◦

BC = 10

BE = BC− 6 = 10− 6 ≡ 4

Likformighet ger nuDE7

= 410

DE = 4·710

DE = 2.8

Svar: 2.8 cm

Läxa Lösning 230.

f(2+ h) − f(2) ≡ (2+ h)2 + 3(2+ h) − (22 + 3 · 2) ≡ 4+ 4h + h2 + 6+ 3h− 10 ≡ h2 + 7h

Svar: h2 + 7h

Läxa Lösning 231.

Vi bestämmer skärningarna med axlarna. Först x-axeln 3x + 2 · 0 − 6 = 0 ger x = 2. Sedan y-axeln3 · 0 + 2y − 6 = 0 ger y = 3. Triangeln är rätvinklig med kateterna 2 och 3. Den minsta vinkeln, v,finns vid skärningen med y-axeln. Vi får

tan v = 23

v = arctan 23

v ≈ 33.69◦

Svar: Den minsta vinkeln är 33.7◦


Sidor i boken 13-15

OlikheterI de olikheter vi i första hand ska studera är ett polynom inblandat.

Exempel 101. Bestäm−x4 + 2x3 + 25x2 − 26x − 120 > 0

Lösning: Problemet är för svårt för oss att lösa, men grafen

f(x) = −x4 + 2x3 + 25x2 − 26x − 120

är lätt att förstå

Läser vi av det vi ser får vi svaret

−4 ≤ x ≤ −2 eller 3 ≤ x ≤ 5

Vi har inte visat det ännu, men kan anta att kurvan saknar vidare skärningar med x-axeln.

Exempel 102. Bestäm3x − 21 > 0

Lösning: Ett betydligt enklare problem. När vi studerar grafen

y = 3x− 21

som ju är en rät linje.

ser vi att svaret x > 7Svar: x > 7


Exempel 103. Bestämx2 − x− 12 < 0

Lösning: Betraktar vi grafenf(x) = x2 − x− 12

kan vi direkt läsa av svaret

Svar: −3 ≤ x ≤ 4

Nu duger det ju inte med grafiska lösningar, så vi måste kunna lösa olikheter med första- ochandragradspolynom analytiskt.

När man löser en olikhet beter man sig precis som då man löser en ekvation likhet. Utom då man

multiplicerar eller dividerar båda sidorna av olikheten med ett negativt tal. Då övergår > till <och < till >

Kolla här! Alla är väl med på att 6 > 2 men att −1 · 6 6> −1 · 2. Däremot är −1 · 6 < −1 · 2.

Problem 140. Bestäm(x− 3)(x + 2) > 0

Lösning: Det handlar om en olikhet av andra graden. Vi vet att ekvationen

(x− 3)(x + 2) = 0

har två rötter x1 = −2 och x2 = 3. Vi vet också att andragradsfunktionen f(x) = (x − 3)(x + 2) ≡f(x) = x2 − x− 6 har ett minimum. Alltså är f(x) > 0 då x < −2 eller x > 3. Så här ser grafen ut

Svar: x < −2 eller x > 3


Problem 141. Bestäm3x + 4− 2(x− 3) > 2x − 5

Lösning: Sätter vi in ett = istället för > får vi en ekvation av första graden. Alla förstagradsekva-tioner kan reduceras till ax + b = 0 där a och b är godtyckliga reella tal. En förstgradekvation kanåskådliggöras genom grafen till funktionen f(x) = ax+b eller, som vi brukar skriva, den räta linjeny = ax+ b.

Vi börjar med att reducera olikheten

3x + 4− 2(x − 3) > 2x− 53x+ 4− 2x+ 6 > 2x− 5

4+ 6+ 5 > 2x+ 2x− 3x15 > x

15− x > 0

15 − x > 0 så länge x < 15. Grafen y = 15 − x är en rät linje som alltid är ekvivalent med enförstagradsekvation.

Svar: x < 15

Problem 142.2x2 + 20 > x(x+ 7) + 14

Lösning: Innan vi gör något annat reducerar vi uttrycket till ax2 + bx+ c > 0

2x2 + 20 > x(x+ 7) + 14

2x2 + 6 > x2 + 7x

x2 − 7x+ 6 > 0

Vi löser så ekvationenx2 − 7x+ 6 = 0

x = 72±√

494− 24

4

x = 72± 5

2

x1 = 1

x2 = 6

När vi betraktar f(x) = x2 − 7x + 6 vet vi att den har ett minimum och att p(x) < 0 när x ligger iintervallet 1 < x < 6. Det betyder attSvar: olikheten är sann x < 1 och x > 6. Vi avslutar med en graf


Läxa 232. Lös olikheten2x− 5 > 4x + 9

Läxa 233. Vilka heltal för x uppfyller

−x2 + x+ 2 > 0

Läxa 234. För vilka värden på x är båda olikheterna uppfyllda?

{x+ 4 > 02x − 4 < 0

Läxa 235. Lös ut a ur uttrycket5ac− 3b

a= b

Läxa 236. Lös ekvationen2x + 1

x2 − 16+

1

x− 4+ 2 = 0

Läxa 237. Man har en liksidig triangel och en kvadrat. Sidan i den liksidiga triangeln är 4.0 cm ochhöjden mot en av dessa sidor är lika lång som diagonalen i kvadraten. Beräkna kvadratens sida.Svaret skall ges exakt.

Läxa 238. Beräkna värdet på talet a så att linjen genom punkterna (a,−3) och (2,−a) blir parallellmed linjen 3y− x+ 6 = 0

Läxa 239. I en rätvinklig triangel är hypotenusan 15 cm och summan av kateterna är 21 cm.Beräkna triangelns area.

Läxa 240.

a) Bestäm en ekvation för en rät linje som går genom punkterna P(1,−2) och Q(3, 8).

b) Bestäm en ekvation för en rät linje som går genom punkten S(3,−2) och är vinkelrät motlinjen i a)

Läxa 241. Linjen y = kx+ 3 skär andragradsfunktionen i y = x2 − x dess högra nollställe. Bestämlinjens k-värde.

Läxa 242. Lös ekvationenx4 − x2 − 6 = 0


Läxa 243.

I △ACD är AB lika lång som CD. Vinkeln A är 32◦. Beräkna vinkeln v. (Svårt)

Läxa 244. I △ABC dras en linje DE parallell med AB. Bestäm förhållandet mellan arean av paral-lelltrapetset ABED och triangeln CDE. (Svårt)

Läxa Lösning 232.2x − 5 > 4x + 9

−5− 9 > 4x − 2x

−14 > 2x−7 > x

x < −7

Svar: x < −7

Läxa Lösning 233. Vi startar med att lösas ekvationen

−x2 + x+ 2 = 0

x2 − x− 2 = 0

x = 12±√

14+ 8

4

x = 12± 3

2

x1 = 2

x2 = −1

Funktionen f(x) = −x2+x+2 har ett maximum vilket betyder att olikheten är uppfylld x > −1 ochx < 2. Då finns det endast två heltal för vilken olikheten är sann x = 0 och x = 1, som bekräftas avgrafen:

Svar: x = 0 och x = 1


Läxa Lösning 234. För att den översta olikheten ska vara uppfylld måste x > −4. För att denandra olikheten ska vara uppfylld måste x < 2. Förstår du resultatet då du studerar grafen?

Svar: −4 < x < 2

Läxa Lösning 235.5ac−3b

a= b

5ac− 3b = a · b5ac− ab = 3b

a(5c− b) = 3b

a = 3b5c−b

Svar: a = 3b5c−b

Läxa Lösning 236.

2x+1x2−16

+ 1x−4

+ 2 = 0

2x+1(x+4)(x−4)

+ 1x−4

= −2

(x + 4)(x − 4)(

2x+1(x+4)(x−4)

+ 1x−4

)

= −2(x+ 4)(x − 4)

2x + 1+ x+ 4 = −2x2 + 32

2x2 + 3x − 27 = 0

x2 + 3x2

− 272

= 0

x = −34±√

916

+ 27·816

x = −34± 15

4

x1 = 3

x2 = −92

Svar: x1 = 3 och x2 = −4.5

Läxa Lösning 237.

Vi startar med att bestämma höjden i en liksidig triangel, se figur. I △ABC, som är rätvinklig ärsidan BC = 2.0 cm. Antag att AC = h. Med Pythagoras sats får vi

h2 + 22 = 42


ger h =√12. Antag att sidan i kvadraten är x. Åter med Pythagoras får vi

x2 + x2 =(√

12)2

2x2 = 12

x2 = 6

x =√6

Här har vi använt oss av Pythagoras sats. Ett alternativ är trigonometri.Svar: Sidan är

√6

Läxa Lösning 238. Linjen 3y − x + 6 = 0 kan skrivas om som y = x−63

eller y = 13· x − 2. Vilket

betyder att linjen har k = 13. För att vår linje ska vara parallell med denna ska den ha samma

k-värde. Från de delvis givna punkterna på vår linje kan vi teckna ett k-värde för vår linje

1

3=

−3−(−a)

a−2

a− 2 = 3(−3 + a)a− 2 = −9+ 3a

2a = 7

a = 72

Svar: a = 72

Läxa Lösning 239. Antag att en katet är x cm. Den andra är då 21−x cm. Med hjälp av Pythagorassats får vi

x2 + (21 − x)2 = 152

x2 + 441 − 42x + x2 = 225

2x2 − 42x + 216 = 0

x2 − 21x + 108 = 0

x = 212±√

4414

− 4324

x = 212±√

94

x = 212± 3

2

x1 = 12x2 = 9

Om den ena kateten är 12 är den andra 9, eller tvärt om! Arean är då

A =9 · 122

≡ 54

Svar: 54 cm2.

Läxa Lösning 240. a)

Linjen genom P och Q har k-värdet8− (−2)

3− 1≡ 5

Vi har y = 5x+m och bestämmer m genom att sätta in en av punkterna. 8 = 5 ·3+m ger m = −7.Svar: y = 5x− 7

b)Linjen vi söker ska ha k = −1

5. Vi har då y = −x

5+m och får m genom att sätta in punkten S.

−2 = −35+m

m = −2+ 35

m = −10+35

m = −75

Svar: y = −x5− 7

5


Läxa Lösning 241. Genom att lösa x2−x = 0 får vi reda på andragradsfunktionens nollställen. Dåx2 − x = 0 ≡ x(x− 1) = 0 får vi röttera x1 = 1 och x2 = 0. Det högra nollstället är då (1, 0).

Då linjen går genom (1, 0) får vi 0 = k · 1+ 3, som ger k = −3. Linjens ekvation är då y = −3x+ 3.Här har du grafen

Svar: k = −3

Läxa Lösning 242. Vi kan lösa denna ekvation därför att den saknar x3 och x-term. Vi substituerarx2 = t och får

t2 − t− 2 = 0

t = 12±√

14+ 24

4

t = 12± 5

2

t1 = 3

t2 = −2

Vi har nu att lösa först x2 = 3, som ger x1 =√3 och 2 = −

√3 och sedan x2 = −2, som saknar

reella rötter.Svar: x = ±

√3.

Läxa Lösning 243. Antag att AB = CD = x och AC = a. Vi får då

tan 32◦ = xa

a = xtan 32◦

BC = a− x =x

tan 32◦− x ≡ x

(

1

tan 32◦− 1

)

≈ 0.60x

tan v =CD

BC≡ x

0.60x≡ 1

0.60≈ 1.67

v = arctan 1.67 ≈ 59.0◦

Svar: v = 59◦

Läxa Lösning 244. △ABC ∼ △CDE. Längdskalan 5 : 11, vilket betyder att areaskalan 52 : 112 ≡25 : 121 Antag att △ABC har arean T . △CDE har då arean 25·T

121. Parallelltrapetset ABED har då

arean

T −25 · T121

Förhållandet mellan ABED och CDE blir då

T − 25·T121

25·T121

≡ 1− 25·1121

25·1121

≡9612125121

≡ 96

25

Svar: Förhållandet är 9625


Sidor i boken 37-39

VektorerDet vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dinafortsatta studier i kursen Linjär algebra.

Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen kan beskrivas med ett

enda tal. Som till exempel omkretsen hos en triangel, summan av en serie eller massan hos enkropp. I stället för tal kommer vi här ofta att använda ordet skalär.

Det finns dock andra objekt, som kräver flera tal för att låta sig beskrivas – en kraft eller enförflyttning från en punkt till en annan. Dessa objekt beskrivs med en vektor.

Det mest klassiska exemplet för att visa skillnaden mellan en skalär och en vektor är skillnadenmellan fart och hastighet. Fart ges som en skalär, 60 km/tim eller 10 m/s, medan hastighet bådekräver en storlek, farten, och en riktning , ”rakt norr ut”.

I denna föreläsning ska vi studera geometriska vektorer, som kommer att dyka upp i planet.

Figur 32: Sträckor

Riktad sträcka och vektorI figur 32 ser vi två punkter, P1 och P2 i planet. Linjestycket mellan två punkter kallas sträcka.Sträckan i figur 32 betecknas P1P2. Om hänsyn tas till ordningen mellan punkterna är sträckanP1P2 inte samma sträcka som P2P1. Eftersom ordningen är viktig för oss kommer vi fortsättningsvis

att tala om riktad sträcka, som vi betecknar−−−→P3P4 och ritar med en pil, som i figuren. Den riktade

sträckan−−−→P5P5 kallar vi i en nollsträcka. I rummet finns förstås oändligt många riktade sträckor, med

samma storlek och riktning, som sträckan P3P4.

Definition 3. Vektor. En vektor ~v är mängden av riktade sträckor med samma längd och riktning.Två riktade sträckor hör till samma vektor, om den ena kan överföras till den andra, genom enparallellförflyttning


Figur 33: 16 riktade sträckor men bara en vektor!

Som ett extra förtydligande betonar vi.

• En riktad sträcka har längd, riktning, startpunkt och slutpunkt.

• En vektor har endast längd och riktning.

Kör man rakt söder ut med 100 km/tim i Haparanda är det i vektoriellt sammanhang samma sak,som att köra rakt söder ut med 100 km/tim i Ystad.

Koordinatsystem i planetFör att kunna räkna med vektorer på det sätt vi vill – analytiskt – måste vi införa ett koordinatsystem.

Låt ~v vara en vektor i planet. Ofta, kommer vi att välja den representant för ~v som har sin startpunkt

i origo i ett vanligt rektangulärt koordinatsystem.

Koordinaterna för slutpunkten, (v1, v2), kallas vektorns komponenter. Vi skriver så vektorn som~v = (v1, v2).

Två vektorer ~v och ~w är identiska då och endast då v1 = w1 och v2 = w2, då komponenterna äridentiska.

Räkneoperationer för vektorer i planet .

Definition 4. Vi adderar två vektorer ~v = (v1, v2) och ~u = (u1, u2) genom

~v+ ~u = (v1 + u1, v2 + u2)

Vi subtraherar två vektorer ~v = (v1, v2) och ~u = (u1, u2) genom

~v− ~u = (v1 − u1, v2 − u2)

När vi multiplicerar en vektor ~v med en skalär k, får vi

k~v = (kv1, kv2)

En vektors längd och avståndet mellan punkter

Sats 1. Längden av en vektor i planet. En vektor ~v = (v1, v2) i planet är given. Vektorns längd,skrivs |~v | och bestäms genom

|~v | =

√

v21 + v22


Sats 2. Avståndsformeln. Om P1(x1, y1) och P2(x2, y2) är två punkter i planet är avståndet, d,

mellan dessa punkter lika med längden av vektorn med en representant−−−→P1P2. Eftersom

−−−→P1P2 =

(x2 − x1, y2 − y1) är

d =

√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Parallella vektorer

Definition 5. Vi säger att vektorerna ~v och ~u är parallella, ~v ‖~u, om ~u kan skrivas som ~u = t~v.Alla vektorer anses vara parallella med nollvektorn ~0.

Figur 34:

Exempel 104.

a) Uttryck ~g med hjälp av ~a och ~b b) Uttryck ~f med hjälp av ~b och ~c

c) Uttryck ~e med hjälp av ~c och ~d d) Uttryck ~e med hjälp av ~f, ~g och ~h

Lösning:a) ~g = ~a+ ~b b) ~f = −~c+ ~b

c) ~e = −~c+ ~d d) ~e = ~f − ~g+ ~h

Exempel 105. Bestäm avståndet d, mellan punkterna P1 = (1, 5) och P2 = (4, 9).

d((1, 5), (4, 9)) =

√

(1− 3)2 + (5− 9)2 ≡√9+ 16 ≡ 5

Svar: Avståndet är 5 l.e.

Exempel 106. Är vektorerna ~v = (3,−4) och ~w = (−21, 28) parallella? Det vill säga finns det ettreellt tal t sådant att t~v = ~w ?

Lösning: Vi får ett överbestämt ekvationssystem, två ekvationer men endast en obekant.

{3t = −21

−4t = 28

För t = −7 gäller likheten för båda ekvationerna. Vektorerna är visserligen parallella men riktadeåt olika håll! Svar: Ja


Figur 35:

Exempel 107. En kraft ~F har storleken 60 N. En annan kraft ~G har storleken 75 N. Vinkeln mellankrafterna är 45◦. Bestäm resultanten till storlek och riktning.

Lösning: Vi ska alltså ta reda på längden hos ~OC. Då vi känner sträckorna ON och NC kan vienkelt bestämma OC med hjälp av Pythagoras sats.

Först konstaterar vi att CN = AC sin 45◦. Eftersom AC = 75 får vi CN = 75 · 1√2.

På liknande sätt kan vi så bestämma AN = AC cos 45◦ = 75 · 1√2. Till sist

OC2 =

(

75√2

)2

+

(

60+75√2

)2

OC =

√

5625

2+

(

60+75√2

)2

OC ≈ 124.86

Problem 143. Läs av vektorerna i figuren (enbart heltal) och bestäm deras resultant genom attsummera dem.


Lösning: Avläsningen ger vektorerna ~v1 = (3, 2), ~v2 = (3, 1), ~v3 = (−2, 2) som vi summerar till:

~r = (3, 2) + (3, 1) + (−2, 2) ≡ (4, 5)

Svar: Resultanten ~r = (4, 5)

Problem 144. Vandringen startade i P(2, 2), gick över Q(5, 6) och slutade i R(0,−3). Hur mångalängdenheter lång var vandringen?

Lösning: Vi har att bestämma två längder

|PQ|+ |QR| =

√

(5− 2)2 + (6− 2)2 +

√

(0 − 5)2 + ((−3) − 6)2 ≡√25+

√106 ≈ 15.39

Svar: Vandringen är 15.4 l.e.

Problem 145. Vektorerna ~u = (1, 2) och ~v = (3,−1) är givna Bestäm a och b så att

a~u+ b~v = (3, 13)

Lösning: Vi fåra(1, 2) + b(3,−1) = (3, 13)

(a, 2a) + (3b,−b) = (3, 13)

Vi vet då att a+ 3b = 3 och 2a− b = 13. Vi har ett ekvationssystem

{a+ 3b = 3

2a − b = 13

{a+ 3b = 3

3(2a − b) = 3 · 13

{a+ 3b = 3

6a− 3b = 39

Via additionsmetoden får vi så 7a = 42 med roten a = 6 och sedan 6 · 6 − 3b = 39 med rotenb = −1.Svar: a = 6 och b = −1.

Läxa 245. Bestäm längden av vektorn ~v = (6, 8)

Läxa 246. Bestäm längden av resultanten till vektorerna ~v1 = (16,−10) och ~v2 = (−7, 22)

Läxa 247. Läs av vektorerna i figuren (enbart heltal) och bestäm längden hos deras resultant.

Läxa 248. Hur många längdenheter tjänar man genom att gå direkt från P(3, 5) till Q(8, 10) iställetför att ta omvägen via R(5, 7)?


Läxa 249. Det är vår och Adam, Bertil och Curt spelar kula. När leken är över har Adam dubbeltså många kulor som Bertil och Curt tillsammans. Bertil har 5 fler än Curt. Tillsammans har de 213kulor.Ta reda på hur många kulor var och en har genom att göra ett antagande, ställa upp en ekvation,lösa den och ge ett fullständigt svar.

Läxa 250. Två av dessa uttryck är identiska. Visa vilka genom förenkling.

A)ab+ a2 + b2 + ab

a+ bB)

ab+ a2 − b2 − ab

a+ b

C)ab+ a2 − b2 − ab

b− aD)

−ab+ a2 + b2 − ab

a− b

Läxa 251. I andragradsekvationen (2p)

3x2 + a · x − 612 = 0

är inte x-koefficienten känd. Däremot är ena roten x1 = −12. Bestäm a och den andra roten x2

Läxa 252. Lös ekvationenx+

√x − 12 = 0

Läxa 253. En rät linje går genom punkterna P(1, 5) och Q(5, 7). Ange a så att även punkten (8, a)

ligger på linjen.

Läxa 254. I en triangel är en sida 5.8 cm kortare än höjden mot denna sida. Bestäm längden avdenna sida om arean av triangeln är 28.6 cm2.

Läxa 255. Sidan AB i en rätvinklig triangel är 61 cm, ∠BCA är 10.5◦ och ∠CDA är 8.2◦. Beräknalängden CD.

Läxa Lösning 245. |~v| =√62 + 82 ≡

√100 ≡ 10

Svar: 10 l.e.

Läxa Lösning 246. Först bestämmer vi ~r

~r = ~v1 + ~v2 = (16,−10) + (−7, 22) = (9, 12)

och så|~r| =

√

92 + 122 ≡√225 ≡ 15

Svar: 15


Läxa Lösning 247.

~v1 = (5, 0), ~v2 = (0, 2), ~v3 = (2, 2), ~v4 = (−2, 3), ~v4 = (4, 2)

~r = (5, 0) + (0, 2) + (2, 2) + (−2, 3) + (4, 2) ≡ (9, 9)

så bestämmer vi längden av ~r

|~r| =√

92 + 92 ≡√182 ≡ 9

√2

Svar: |~r| = 9√2

Läxa Lösning 248. Avståndet från P till Q är

a1 = | ~PQ| =

√

(8− 3)2 + (10 − 5)2 =√50

Avståndet från P till Q via R är

a2 = | ~PR|+ | ~RQ| =

√

(5− 3)2 + (7 − 5)2 +

√

(8− 5)+(10 − 7)2 =√8+

√18

a2 − a1 =√50 − (

√8+

√18) = 0

Vad kan man säga om resultatet? Att besöka R är ingen omväg eftersom R ligger på sträckan PQ.Svar: 0.

Läxa Lösning 249. Antag: Curt har x kulor, Bertil x+ 5 och Adam 2(2x + 5)Ekvation

x+ (x+ 5) + 2(2x + 5) = 2132x + 5+ 4x + 10 = 213

6x = 198x = 33

Svar: Adam har 142, Bertil har 38 och Curt har 33 kulor.

Läxa Lösning 250. Efter förenkling får vi:

A) a+ b B) a− b

C) −(a+ b) D) a− b

Svar: B och D är identiska.

Läxa Lösning 251. Då vi sätter in x1 = −12 i ekvationen får vi 3 · (−12)2 + a(−12) − 612 = 0.Ur detta erhåller vi a = −15 och kan nu skriva ekvationen 3x2 − 15x − 612 = 0 som har rötternax1 = −12 och x2 = 17.Svar: a = −15 och x2 = 17


Läxa Lösning 252.x+

√x − 12 = 0√

x = 12− x

(√x)2 = (12− x)2

x = 144 − 24x + x2

x2 − 25x + 144 = 0

x = 252±√

6254

− 5764

x = 252±√

494

x = 252± 7

2

x1 = 16x2 = 9

Vi testar rötternax1 = 16

H.L.√16 ≡ 4

V.L. 12 − 16 ≡ −4H.L. 6= V.L.

x2 = 9

H.L.√9 ≡ 3

V.L. 12 − 9 ≡ 3

H.L. = V.L.

Svar: x = 9

Läxa Lösning 253. Vi bestämmer först ekvationen för linjen genom P och Q.

k =7− 5

5− 1≡ 1

2

Vi har nu y = x2+m. Med hjälp av punkten P kan vi bestämma m.

5 =1

2+m

ger m = 92

och ekvationen

y =x

2+

9

2

Bestäm så a så att punkten (8, a) ligger på linjen.

a =8

2+

9

2≡ 17

2

Svar: a = 172

Läxa Lösning 254. Antag: höjden är h. Basen b är då h − 5.8. Genom formeln A = b·h2

får viekvationen

28.6 =h(h−5.8)

2

57.2 = h2 − 5.8h

h2 − 5.8h − 57.2 = 0

h = 2.9±√2.92 + 57.2

h = 2.9± 8.1h1 = 11

(h2 = −5.2)

Basen blir då 11.0 − 5.8 = 5.2 cmSvar: Basen är 5.2 cm.


Läxa Lösning 255.

tan∠BCA =AB

BC→ BC =

AB

tan∠BAC

tan∠CDA =AB

BD→ BD =

AB

tan∠CDA

CD = BD − BC =AB

tan∠BAC−

AB

tan∠CDA=

61

tan 8.2◦−

61

tan 10.5◦≈ 94 cm

Svar: 94 cm


Sidor i boken 40-42

Komposanter, koordinater och vektorlängdJa, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Läxa 256. En rät linje, L1, skär y-axeln då y = 3 och x-axeln då x = 2. En annan linje, L2, skärx-axeln då x = 6. Var skär L2 y-axeln om de två linjerna skär varandra under rät vinkel?

Läxa 257. De tre punkterna i vilka funktionen

f(x) = x2 + x− 6

skär x- och y-axeln utgör hörnen i en triangel. Bestäm denna triangels area.

Läxa 258. En rät linje f(x) skär y-axeln då y = 4 och x-axeln då x = 3/2. En annan g(x) skäry-axeln i punkten (0,−3). De två linjerna skär varandra under rät vinkel. Var skär g(x) x-axeln?

Läxa 259. Man vet att punkten punkten P(2,−9) ligger på kurvan till funktionen f(x) = 2−ax−x2.Bestäm a och undersök för vilka värden på x som f(x) > 0

Läxa 260. Bestäm talen b och c, så att grafen till funktionen

y = x2 + bx+ c

går genom punkterna P1(−1, 6) och P2(2, 3)

Läxa 261. Funktionen f(x) = 3x2 + 2x − 10 är given. Mellan punkterna (5, 75) och (−2,−2) påfunktionens kurva har dragits en sekant (helt enkelt en linje genom dessa punkter). Parallell meddenna sekant har dragits en annan sekant (en annan linje), som bland annat går genom punkten(−4, 30). Bestäm avståndet mellan denna punkt och och den andra av denna sekantens ändpunkter.

Läxa 262. Bestäm a, så att linjen genom punkterna P1(a, 10) och P2(−4, 2a) får k-värdet 2


Läxa 263. Funktionernaf(x) = 2a + 2x− x2

ochg(x) = ax− 5

skär varandra då x = 3 bestäm den andra skärningspunkten.


x+

3

2x=

1

8

Läxa 265. På var och en av triangelns tre sidor är placerad en halv cirkel. Bestäm hela figurensarea.

Läxa 266. Lös ekvationen √x+ 55 = x− 1

Läxa 267. Bestäm rymddiagonalen e i ett rätblock då a = 3, b = 4 och c = 12.

Läxa 268. Förenklax

xy− y2+

y

xy− x2

Läxa 269. The function is f(x) = x2 − 10x + 21. What is the least value of the function?

Läxa 270. Med hur många procent ökar arean hos en kvadrat om kvadratens sida ökas med 20%

Läxa 271. Förenkla √a√

a+ 1+

√a√

a− 1



3−

3

x2

3+

3

4

= −1

17

Läxa 273. Bestäm den lilla skuggade triangelns area.

Läxa 274. Volymen hos en pyramid med kvadratisk basyta är 6.4 m3. Sidan i kvadraten är 2 m. Enskalenlig modell har volymen 100 cm3. Vilken längd har sidan i modellens kvadrat?

Läxa 275. En rektangel är inritad i ett koordinatsystem med sidorna parallella med axlarna. Tvådiametralt motstående hörn har koordinaterna (−12, 7) och (−6,−15). Bestäm rektangelns area.

Läxa Lösning 256. Först bestämmer vi k-värdet för L1, som går genom de två punkterna (0, 3)och (2, 0)

k1 =3− 0

0− 2= −

3

2

Det är nu känt att k-värdena för två linjer som skär varandra under rät vinkel har sambandetk1 · k2 = −1. Detta betyder att k2 = 2

3. Vi vet nu följande om L2

y =2

3x +m

Sätter vi in de kända punkten (6, 0) får vi

0 =2

3· 6+m

som ger m = −4, som också är y-koordinaten till skärningspunkten. Linjens ekvation ärL2 : y = 2

3x− 4

Svar: L2 skär y-axeln i (0,−4)


Läxa Lösning 257. För att få funktionens nollställen löser vi ekvationen f(x) = 0

x2 + x− 6 = 0

x = −12±√

14+ 24

4

x = −12±√

254

x = −12± 5

2

x1 = 2

x2 = −3

Två av triangels hörn ligger på x-axeln (2, 0) och (−3, 0). f(0) = −6 ger det tredje hörnet (0,−6).Hörnen på x-axeln bildar basen som är 5 l.e. Höjden är 6 l.e.

Med hjälp av formeln

A =bh

2=

5 · 62

= 15

får vi arean till

Figur 36:

Svar: 15 a.e.

Läxa Lösning 258. De två funktionerna g(x) = kg ·x+mg och f(x) = kf ·x+mf måste bestämmasför att svaret ska kunna ges. Vi vet att f(0) = 4 och f(3/2) = 0 ur detta kan vi bestämma kf

kf =4− 0

0− 32

= −8

3

Vi vet redan att mf = 4 och kan nu skriva f(x) = −83· x + 4. Genom texten vet vi att kg = 3

8

eftersom kg · kf = −1. Vi vet också att mg = −3 och kan skriva g(x) = 38· x − 3. Då vi löser

ekvationen g(x) = 0 får vi den efterfrågade roten.

38· x− 3 = 0

x = 8

Svar: g(x) skär x-axeln i (8, 0)


Läxa Lösning 259. Vi bestämmer a i f(x) = 2− ax− x2 genom P(2,−9), f(2) : 2− 2a− 22 = −9.Ger a = 7/2 och får funktionen

f(x) = 2−7

2x− x2

Vi behöver nu funktionens nollställen och måste lösa ekvationen f(x) = 0

2−7

2x− x2 = 0

x2 +7

2x− 2 = 0

x = −7

4±√

49

16+

32

16

x = −7

4± 9

4

x1 = −4 x2 = 12

Svar: Eftersom f(x) har ett maximum är funktionen positiv för −4 < x < 12

Läxa Lösning 260. Sätter vi in de två punkterna i funktionen får vi följande ekvationssystem:

{6 = (−1)2 + b(−1) + c

3 = 22 + b · 2+ c

eller {c− b = 5

c+ 2b = −1

Vi subtraherar den första ekvationen från den andra och får

(c+ 2b) − (c− b) = −1− 5c+ 2b − c+ b = −6

3b = −6

b = −2

b = −2 insatt i första ekvationen ger c− (−2) = 5 eller c = 3

Svar: Funktionen får följande utseende: y = x2 − 2x+ 3

Läxa Lösning 261. Vi börjar med att skissa kurvan och sekanterna

Figur 37:

Det kommer att visa sig att denna skiss är helt korrekt, men det ska den inte behöva vara föratt man ska ha glädje av den. De två sekanterna ligger förstås på två linjer med funktionernag(x) = kg · x+mg och h(x) = kh · x+mh. Här är en lösningsplan:

a Ta reda på kg med hjälp av P1 och P2

b Ta reda på mh med hjälp av P3


c Lös ekvationen f(x) = h(x) för att få P4

d Ta reda på avståndet mellan P3 och P4 med hjälp av avståndsformeln

Steg a

kg =75− (−2)

5− (−2)= 11

Steg b30 = 11 · (−4) +mh

mh = 74

Vi vet nu att den andra sekanten ligger på linjen h(x) = 11x + 74.

Steg c

3x2 + 2x− 10 = 11x + 74

3x2 − 9x− 84 = 0

x2 − 3x− 28 = 0

x = 32±√

94+ 112

4

x = 32± 11

2

x1 = 7 x2 = −4

Genom h(7) = 151 har vi bestämt P4(7, 151).

Steg dA =

√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

A =√

(7− (−4))2 + (151 − 30)2

A ≈ 121.5

Läxa Lösning 262.

k =y1 − y2

x1 − x2

ger ekvationen

2 =10 − 2a

a− (−4)2(a+ 4) = 10 − 2a

2a + 8 = 10 − 2a

2a+ 2a = 10 − 84a = 2

a =1

2

Svar: a = 12


Läxa Lösning 263. f(3) = 2a + 2 · 3 − 32 ≡ 2a − 3 och g(3) = 3a − 5 Eftersom funktionerna skärvarandra då x = 3 har de då samma y-värde. Vi får ekvationen

2a− 3 = 3a − 53a − 2a = 5− 3

a = 2

Vi har nu f(x) = 4+ 2x− x2 och g(x) = 2x − 5. Vi har att lösa ekvationen

4+ 2x− x2 = 2x− 5

x2 = 9

x = ±3

För den andra skärningspunkten x = −3. g(−3) = 2(−3)−5 ≡ −11. Ett värde man också får genomf(−3). Så här ser grafen ut

Svar: Skärningspunkten är (−3,−11).

Läxa Lösning 264.

2

x+

3

2x=

1

8

8x

(

2

x+

3

2x

)

= 8x

(

1

8

)

8x · 2x

+8x · 32x

=8x · 18

16 + 12 = x

x = 28

Svar: x = 28

Läxa Lösning 265. Den korta katetens längd är

40 tan 37◦ ≈ 30.14

Hypotenusans längd är40

cos 37◦≈ 50.09

Med hjälp av formeln för arean hos halva cirkeln med diametern d

A =πd2

8

får vi402π

8+

30.142π

8+

50.092π

8+

30.14 · 402

≈ 2573

Svar: 2573 a.e.


Läxa Lösning 266. √x+ 55 = x− 1

(√x+ 55

)2= (x− 1)

2

x+ 55 = x2 − 2x+ 1

x2 − 3x − 54 = 0

x = 32±√

94+ 454

4

x = 32±√

2254

x = 32± 15

2

x1 = 9

x2 = −6

Vi testar svaretx1 = 9

V.L.√9+ 55 ≡ 8

H.L. 9− 1 = 8V.L. = H.L.

x1 = 9

V.L.√−6+ 55 ≡ 7

H.L. −6− 1 ≡ −7V.L. 6= H.L.

Svar: x = 9.

Läxa Lösning 267. Först bestämmer vi diagonalen i bottenplanet med hjälp av Pythagoras sats:

d1 =√

32 + 42 =√9+ 16 =

√25 = 5

Med hjälp av denna diagonal och höjden kan vi så bestämma rymddiagonalen åter med hjälp avPythagoras sats

dr =√

52 + 122 =√25 + 144 =

√169 = 13

Svar: Rymddiagonalen är 13 l.e.

Läxa Lösning 268.

x

xy− y2+

y

xy− x2=

x

y(x − y)+

y

x(y− x)=

x

y(x − y)−

y

x(x− y)=

x2

xy(x− y)−

y2

xy(x− y)=

x2 − y2

xy(x− y)=

(x− y)(x+ y)

xy(x− y)=

x+ y

xy

Läxa Lösning 269. Vi bestämmer funktionens nollställen och med hjälp av symmetrin det x-värdeför vilket funktionen antar sitt minsta värde.

x2 − 10x + 21 = 0

x = 5±√25− 21

x = 5± 2

x1 = 7

x2 = 3

x = 5 ligger mitt emellan rötterna f(5) = 52 − 10 · 5+ 21 = −4

Svar: Funktionens minsta värde är −4

Läxa Lösning 270. Innan sidan ökas är den a och arean a2. Efter ökningen är sidan 1.2a ocharean (1.2a)2 = 1.44a2. Den procentuella ökningen blir då

1.44a2 − a2

a2= 0.44 = 44%


Läxa Lösning 271.

√a√

a+ 1+

√a√

a− 1=

(√a− 1)

√a

(√a− 1)(

√a+ 1

) +(√a+ 1)

√a

(√a+ 1)(

√a− 1)

=a−

√a+ a+

√a

(√a+ 1)(

√a− 1)

=2a

a− 1

Läxa Lösning 272. En ekvation innehållande ett dubbelbråk, men x bara på ett ställe. Starta medatt förenkla vänstra ledet. Avsluta den förenklingen med att ersätta divisionen av bråken i täljare ochnämnare med multiplikation av täljaren och nämnaren inverterad. Sedan har vi nått till en ekvation,som är enkel att lösa.

2

3− 3

x

2

3+ 3

4

= − 117

2x

3x− 3·3

3x

4·2

4·3+ 3·3

3·4

= − 117

2x−9

3x

8+9

12

= − 117

2x−93x

· 1217

= − 117

51x(

2x−93x

· 1217

)

= 51x(

− 117

)

51x(2x−9)12

3x·17 = −51x17

12(2x − 9) = −3x

24x − 108) = −3x

27x = 108

x = 4

Svar: x = 4

Läxa Lösning 273. Först bestämmer vi hypotenusan c, i den lilla triangeln

c

17= tan 30◦

ger c = 17 tan 30◦ ≈ 9.815. Den skuggade triangelns katetrar a och b får vi genom

sin 60◦ =a

9.815och cos 60◦ =

b

9.815

som ger a = 9.815 sin 60◦ ≈ 8.5 och b = 9.815 sin 60◦ ≈ 4.9. Med hjälp av formeln

A =bh

2=

8.5 · 4.92

≈ 20.86

Svar: 20.86 a.e.


Läxa Lösning 274. Vi använder oss av följande fakta: Längdskalan i kubik är lika med volymskalan

(

l1

l2

)3

=v1

v2

Detta ger( x

200

)3

=100

6400000

x3

2003=

100

6400000

x3 =100 · 20036400000

x =3

√

100 · 20036400000

x = 5

Svar: 5 cm

Läxa Lösning 275. Höjden är 7 − (−15) = 22 och bredden är −6 − (−12) = 6, som ger areanA = 22 · 6 = 132

Svar: 132 a.e.


Sidor i boken 46-48

Träning inför tentamen

Läxa 276. Förenkla1

(x− 1)2−

4x

(x2 − 1)2

Läxa 277. Bestäm ekvationen för den linje som går genom skärningspunkten mellan L1 och L2och som är parallell med L3.

L1 : y = x− 2L2 : y = 2x + 3

L3 : y = −x+ 2

Läxa 278. Bestäm a och b i ekvationssystemet

{4ax+ 3by = 25

4bx + 3ay = 30

så att lösningen blir {x = 2y = 1


1

2−

2

x+

1

4

= 12

Läxa 280. Bestäm längden hos sidan x


Läxa 281. I en rät cirkulär cylinder, med diametern 20 cm och höjden 100 cm, har man borrat borthälften av materialet i form av ett hål centralt placerad i cylindern (se figuren). Hur tjock vägg fårdet uppkomna ’röret’?

Läxa 282. Bestäm ekvationen för den linje L1, som skär linjen L2 : y = 2x + 1 i punkten (−5,−9)

och linjen L3 : y = 3x − 6 i punkten (1,−3).

Läxa 283. Bestäm skärningspunkterna mellan de två funktionerna

f(x) = 2x2 + 3x+ 4

g(x) = x2 + 4x+ 10

Läxa 284. Lös ekvationenx

2−

2

x=

x− 9

2−

2

x+ 1

Läxa 285. Ekvationen till två linjer är givna:

3x − 5y + 19 = 0

10x + 6y− 50 = 0

Bestäm de två linjernas k-värden. Vad kan sägas om två linjer med dessa k-värden?

Läxa 286. Genom punkterna med x-koordinaterna 2 och 4 dras en sekant till kurvan. Ange sekan-tens k-värde, om y = 4x− x3


y(x + y) − x(y+ x)

y(x + 1) − x(y+ 1)−

2yx + x2 + y2 − 4xy

y− x

Läxa 288. Funktionen f(x) = 2x2 − 8x + 6 har en minpunkt. Beräkna analytiskt minimipunktenskoordinater.

Läxa 289. Den räta linjen L1 kan skrivas 4x− 2(y− 1) = 0. Den räta linjen L2 går genom punkten(5, 1), och är vinkelrät mot L1. Beräkna koordinaterna för den punkt i vilken linjerna skär varandra.

Läxa 290. Låt f(x) = 2x− x2 och förenkla uttrycket f(3+ h) − f(3) så långt möjligt.


Läxa Lösning 276.

1

(x − 1)2−

4x

(x2 − 1)2≡ 1

(x− 1)(x − 1)−

4x

(x − 1)(x + 1)(x − 1)(x + 1)≡

(x+ 1)(x + 1) − 4x

(x− 1)(x + 1)(x − 1)(x + 1)≡ x2 + 2x + 1− 4x

(x− 1)(x + 1)(x − 1)(x + 1)≡

x2 − 2x+ 1

(x − 1)(x + 1)(x − 1)(x + 1)≡ (x − 1)2

(x − 1)(x + 1)(x − 1)(x + 1)≡ 1

(x + 1)2

Svar:1

(x + 1)2

Läxa Lösning 277. L3 har k = −1. Samma som vår linje ska ha. Skärningspunkten mellan L1 ochL2 får vi genom att lösa ekvationen

2x + 3 = x − 2

x = −5

y-koordinaten får vi genom y = −5− 2, ger y = −7. Skärningspunkten är då (−5,−7).

Linjen vi söker har så här långt ekvationen y = −x + m. Vi bestämmer m genom att sätta inskärningspunkten. −7 = −(−5) +m, m = −12.

Svar: y = −x− 12

Läxa Lösning 278. Vi sätter helt enkelt in x = 2 och y = 1 och får{

4a · 2+ 3b · 1 = 25

4b · 2+ 3a · 1 = 30

eller {8a+ 3b = 253a+ 8b = 30

Multiplicera den första ekvationen med 3 och den andra med −8 så får vi{

3(8a + 3b) = 3 · 25−8(3a + 8b) = −8 · 30

vidare {24a + 9b = 75

−24a− 64b = −240

Leder till −55b = −165 ger b = 3. b insatt ger 24a + 9 · 3 = 75 med lösningen a = 2

Svar: a = 2 och b = 3

Läxa Lösning 279.1

1

2− 2

x+ 1

4

= 12

12x·1

2x·2− 4·2

4·x+x·1

x·4

= 121

1

2x−8+x

4x

= 12

4x3x−8

= 12

4x = 12(3x − 8)

4x = 36x − 96

32x = 96

x = 3

Svar: x = 3


Läxa Lösning 280.

Figur 38:

A = 15 sin 32◦ ≈ 7.95

B = 15 cos 32◦ ≈ 12.72

C =12.72

tan 69◦≈ 4.88

D =4.88

tan 36◦≈ 6.72

X =√D2 +A2 =

√6.722 + 7.952 ≈ 10.41

Svar: 10.41 l.e.

Läxa Lösning 281. Cylinderns volym bestäms med

Vc = πr2h = 102 · 100π = 10000π

Ett hål med halva volymen har radien r. Vi får ekvationen

10000π

2= πr2100

r =

√

100

2

r =10√2

r = 7.07

Svar: Tjockleken blir 10− 7.07 = 2.93

Läxa Lösning 282. Uppgiften är en liten bluff! Vi har ju två punkter på linjen och kan enkeltbestämma dess ekvation

k =−3− (−9)

1− (−5)=

6

6= 1

y = x+m ger oss med hjälp av (1,−3), −3 = 1+m eller m = −4

Svar: y = x− 4


Läxa Lösning 283. Vi får ekvationen

2x2 + 3x+ 4 = x2 + 4x + 10

x2 − x− 6 = 0

x = 12±√

14+ 4·6

4

x = 12± 5

2

x1 = 3x2 = −2

g(3) = 32 + 4 · 3+ 10 = 31 ger (3, 31) och g(−2) = (−2)2 + 4(−2) + 10 = 6 ger (−2, 6).

Svar: (3, 31) och (−2, 6)

Läxa Lösning 284.

x2− 2

x= x−9

2− 2

x+1

2x(x + 1)(

x2− 2

x

)

= 2x(x + 1)(

x−92

− 2x+1

)

x2(x + 1) − 4(x+ 1) = x(x+ 1)(x − 9) − 4x

x3 + x2 − 4x − 4 = (x2 + x)(x − 9) − 4x

x3 + x2 − 4x − 4 = x3 − 9x2 + x2 − 9x − 4x

x2 − 4x − 4 = −8x2 − 13x

9x2 + 9x − 4 = 0

x2 + x− 49

= 0

x = −12±√

14+ 4

9

x = −12±√

936

+ 1636

x = −12±√

2536

x = −36± 5

6

x1 = −43

x2 = 13

Svar: x = −43

och x = 13

Läxa Lösning 285. Vi bestämmer ett k-värde i taget

3x − 5y+ 19 = 0

3x+ 19 = 5y

y = 3x5+ 19

5

Denna linje har k-värdet 35. Så till nästa.

10x + 6y − 50 = 0

6y = −10x + 50

y = −10x6

+ 506

y = −5x3

+ 253

Denna linje har k-värdet −53. Eftersom 3

5·−5

3= −1 skär linjerna varandra under rät vinkel.

Svar: k1 = 35

och k2 = −53. Linjerna skär varandra under rät vinkel.


Läxa Lösning 286. f(x) = 4x− x3. Vi behöver f(2) = 0 och f(4) = −48

k =0− (−48)

2− 4= −24

Svar: k = −24

Läxa Lösning 287.y(x+y)−x(y+x)

y(x+1)−x(y+1)− 2yx+x2+y2−4xy

y−x

xy+y2−(xy+x2)

xy+y−(xy+x)− x2+y2−2xy

y−x

xy+y2−xy−x2

xy+y−xy−x−

(x−y)2

y−x

y2−x2

y−x−

(x−y)(x−y)

y−x

(y−x)(y+x)

(y−x)+

(x−y)(x−y)

(x−y)

(y+ x) + (x− y)

2x

Svar: 2x

Läxa Lösning 288. Vi startar med att bestämma nollställena hos f(x), att lösa f(x) = 0

2x2 − 8x + 6 = 0

x2 − 4x + 3 = 0

x = 2±√4− 3

x1 = 3

x2 = 1

Symmetrilinjen ligger mitt emellan rötterna, x = 3+12

≡ 2. Minimipunkten ligger på symmetrilinjen.f(2) = 2 · 22 − 8 · 2+ 6 = −2 ger punktens y-koordinat.Svar: Minimipunktens koordinater (2,−2)

Läxa Lösning 289. Vi startar med ta reda på k-värdet hos L1.

4x − 2(y− 1) = 0

4x− 2y + 2 =

4x + 2 = 2yy = 2x + 1

L1 skrivs med fördel som y = 2x + 1 och har k = 2. Alla linjer som går vinkelrätt mot denna hark = −1

2eftersom produkten av de två k-värdena = −1.

För att bestämma m för L2 använder vi oss av punkten (5, 1) och får 1 = −12· 5 +m, ger m = 7

2.

Ger

y = −x

2+

7

2

Till sist bestämmer vi skärningspunkten genom

2x + 1 = −x2+ 7

2

4x + 2 = −x+ 7x = 1

y = 2 · 1+ 1 ≡ 3 och skärningspunkten är bestämd (1, 3).Svar: (1, 3)

Läxa Lösning 290.

f(3+h)−f(3) ≡ 2(3+h)−(3+h)2−(2·3−32) ≡ 6+2h−(9+6h+h2)+3 ≡ 6+2h−9−6h−h2+3 ≡ −h2−4h

Svar: −h2 − 4h


Sidor i boken

Repetition inför tentamen

Läxa 291. Givet en rätvinklig triangel △ACD, där AD = 120 cm, AB = 240 cm och BC = 180 cm.Beräkna vinkeln ∠BDC.

Läxa 292. Beräkna omkretsen av △ABC, där BE = 4 cm, EA = 8 cm och DE = 6 cm.


{2(y+ x) − y+ 9 = 2(y + 6)x+ 3(x+ y) − 8 = 11 + 3x

Läxa 294. Förenkla så långt möjligt(ab3)2 ·

√b

b3

2 · a

Läxa 295. Lös ut b ur formeln

A =h(b+ d)

2

Läxa 296. En fyrhörnings sidor är i ordning 9 cm, 12 cm, 15 cm och 18 cm. Vinkeln mellan de tvåförstnämnda är rät. Beräkna fyrhörningens area.

Läxa 297. I en likbent triangel är omkretsen 12 cm och höjden mot basen 4 cm. Hur stor ärtriangelns area?


Läxa 298. En given rektangels sidor är 8 cm och 5 cm. En rät linje parallell med kortsidan avskären rektangel, som är likformig med den givna. Ange den mindre rektangelns sidor.

Läxa 299. I △ABC är AB = 5 cm, AC = 6 cm och BC = 7 cm. Transversalen DE är parallell medBC samt skär AB i D och AC i E. BD = 2 cm. Beräkna återstående sidor i △ADE.

Läxa 300. I en likbent triangel är basen 10 cm och höjden mot basen 15 cm. På vilket avstånd frånbasen ska man dra en parallelltransversal för att dess längd ska bli 8 cm?

Läxa 301. En linje, L1, går genom punkterna (0, 10) och (1, 15). En annan, L2, går genom punk-terna (0,−8) och (1,−12). Bestäm skärningspunkten mellan L1 och L2.

Läxa 302. En andragradsfunktion kan skrivas f(x) = ax2+bx+ c. Bestäm den andragradsfunktionvars minsta värde är −3 och för vilken gäller att f(0) = 9 och f(−1) = f(−3).

Läxa 303. Linjen y = x+ 3 skär de båda linjerna y = 2x − 4 och y = −3x + 15. Bestäm avståndetmellan skärningspunkterna

Läxa 304. Lös ekvationen|x+ 3|− 5 = 0

Läxa 305. För vilka värden på a saknar ekvationssystemet lösning

{ax+ 2y = 0

2ax− ay = −1

Läxa Lösning 291. Antag att ∠ADB = u.

tanu = 240120

u = arctan 2

tan(u+ v) = 240+180120

u+ v = arctan 420120

v = arctan420

120− arctan 2 ≈ 10.62◦

Svar: v = 10.6◦

Läxa Lösning 292. △ABC ∼ △AED. Antag att BC = x. Förhållandet ger

x

4+ 8=

6

8x = 9

Antag att AC = y. Med Pythagoras sats får vi

y =√

92 + 122 ≡ 15


Omkretsen blir då 15+ 12 + 9 = 36

Svar: 36 cm

Läxa Lösning 293.

{2(y + x) − y+ 9 = 2(y+ 6)

x+ 3(x + y) − 8 = 11+ 3x

{2y+ 2x − y+ 9 = 2y+ 12

x+ 3x+ 3y − 8 = 11 + 3x

{2x− y = 3

x+ 3y = 19

Efter förenkling kan vi nu lösa systemet med additionsmetoden

3(2x − y) = 3 · 3x+ 3y = 19

7x = 28

x = 4

2 · 4− y = 3y = 5

Svar: x = 4 och y = 5

Läxa Lösning 294.(ab3)2 ·

√b

b3

2 · a≡ a2b6 · b 1

2

b3

2 · a≡ a2−1b6+ 1

2− 3

2 ≡ ab5

Svar: ab5

Läxa Lösning 295.

A =h(b+d)

2

2A = hb+ hd2A− hd = hb

b = 2A−hdh

Svar: b = 2A−hdh

Läxa Lösning 296.

AD = 9 och DC = 12. Med hjälp av Pythagoras får vi

CA =√

92 + 122 ≡√225 ≡ 15

Det betyder att △ABC är likbent och att höjden CE delar basen AB mitt itu. Med Pythagoras, åter,kan vi bestämma

152 = CE2 + 92

CE =√152 − 92

CE = 12

Vi kan nu bestämma fyrhörningens area genom summan av arean hos två trianglar.

A =9 · 122

+12 · 18

2≡ 162

Svar: 162 cm2


Läxa Lösning 297. Antag att de två lika långa benen är x då är basen 12− 2x. Höjden delar basenmitt itu. Vi har en rätvinklig triangel, där en katet är 12−2x

2≡ 6−x och den andra är 4. Hypotenusan

har vi antagit ska vara x. Med Pythagoras får vi då

x2 = (6− x)2 + 42

x2 = 36 − 12x + x2 + 16

12x = 52

x = 133

Arean blir då

A =4(12 − 2 · 13

3)

2≡ 20

3

Svar: 203

cm2

Läxa Lösning 298.

Antag att linjen är dragen x cm från kortsidan

x5

= 58

x = 258

Svar: 258

cm och 5 cm

Läxa Lösning 299.

Antag att DE = x cm. AD = 5− 2 = 3 cm. Med hjälp av likformighet kan vi så teckna

DEBC

= ADAB

x7= 3

5

ger x = 215

. Antag att AE = y cm.AEAC

= ADAB

y6= 3

5

ger AE = 185

Svar: DE = 215

cm, AD = 3 cm och AD = 185

cm.


Läxa Lösning 300.

Antag att OF = x cm. Då är OA = 15− x. △ABC ∼ △ADE ger

15−x15

= 810

10(15 − x) = 150 · 8150 − 10x = 120

10x = 30x = 3

Svar: 3 cm

Läxa Lösning 301. Vi bestämmer ekvationen till L1. Först k-värdet

k =15− 10

1− 0≡ 5

Punkten (0, 10) ger direkt m = 10 och ekvationen blir y = 5x + 10.

Ekvationen till L2. Först k-värdet

k =(−8) − (−12)

0− 1≡ −4

Även här kan vi snabbt med (0,−8) bestämma m = −8 och ekvationen blir y = −4x− 8.

Nu kan vi bestämma skärningspunkten genom

5x + 10 = −4x− 89x = −18

x = −2

Som i sin tur ger y = 5 · (−2) + 10 ≡ 0.

Svar: (−2, 0)


Läxa Lösning 302. Symmetrilinjen ligger alltid mitt emellan två x-värden som har samma y-värde(funktionsvärde). I vårt fall ser vi att symmetrilinjen då måste vara x =

−1+(−3)2

≡ −2. Då vetvi att minpunkten är (−2,−3). Vi har dessutom punkten (0, 9) och som direkt ger värdet på c.f(0) = a · 02 + b · 0+ c = 9, c = 9. Vi kan nu skriva f(x) = ax2 + bx+ 9

Antag att f(−1) = y då är även f(−3) = y. Tillsammans med minpunkten f(−2) = −3 kan vi ställaupp följande ekvationssystem

a(−1)2 + b(−1) + 9 = y

a(−3)2 + b(−3) + 9 = y

a(−2)2 + b(−2) + 9 = −3

a− b+ 9 = y9a− 3b + 9 = y

4a− 2b + 9 = −3

{a− b+ 9 = 9a − 3b + 9

4a − 2b + 9 = −3

{8a− 2b = 0

4a − 2b + 9 = −3

8a− 2b = 0

−1(4a − 2b + 9) = −1 · (−3)

4a = 12

a = 3

Vi får så b genom 8 · 3− 2b = 0 ,b = 12.Svar: f(x) = 3x2 + 12x + 9

Läxa Lösning 303.

Vi startar med att ta reda på de två skärningspunkterna

x+ 3 = 2x − 4x = 7

y = 7+ 3 ≡ 10. Den första skärningspunkten är (7, 10). Den andra skärningspunkten

x+ 3 = −3x+ 15

4x = 12

x = 3

y = 3+ 3 ≡ 6. Den andra skärningspunkten är (3, 6). Avståndet mellan punkterna är√

(7− 3)2 + (10− 6)2 ≡√16+ 16 ≡ 4

√2 ≈ 5.66

Svar: 5.66 l.e.

Läxa Lösning 304. Så länge x ≥ −3 kan vi plocka bort absolutbeloppstecknen utan att något’händer’, eftersom uttrycket x+ 3 då är positivt.

x+ 3− 5 = 0

x = 2

Om x < −3 påverkar absolutbeloppet uttrycket, eftersom x + 3 < 0, och vi måste vi sätta ettminustecken framför innan vi tar bort absolutbeloppstecknen. Vi får

−(x+ 3) − 5 = 0−x− 3− 5 = 0

x = −8

Ekvationen har två lösningar. Övertyga dig om att de båda satisfierar ekvationen.Svar: x = 2 och x = −8


Läxa Lösning 305. Vi löser systemet på vanligt sätt med additionsmetoden där vi betraktar a somen konstant

{ax+ 2y = 0

2ax− ay = −1

{−2(ax+ 2y) = −2 · 0

2ax− ay = −1

−2ax− 4y = 02ax− ay = −1

−4y− ay = −1

y(4+ a) = 1

y = 14+a

Vi får sedan x genomax+ 2 · 1

4+a= 0

x = − 2a(4+a)

Vi drar så slutsatsen att systemet saknar lösning då a = 0 eller då a = −4 eftersom då nämnarnaför x och/eller y blir 0.Svar: a = 0 eller a = −4.


Sidor i boken

Repetition inför kontrollskrivning 3

Ekvationssystem


{31x + 45y = −188

14x − 23y = 305


{x− 3(x+ 2y) − 2(5y − 3x) = 2(3x − 6y) − (5x − y) + 8

3(x − y) − 6(y− x) + 5y− 3 = 3x− 3+ 5(x − y)


a = 1a+ b = 3

a+ b+ c = 6

a+ b + c+ d = 10

Läxa 309. Ett gammal problem. 2 kg kaffe och 5 kg socker kostar tillsammans 29.00 kr. Om prisetpå kaffe sjunker med 2% och priset på socker stiger med 5%, blir kostnaden för samma mängder28.84 kr. Beräkna priset per kg på kaffe och socker innan prisändringen.

Olikheter

Läxa 310. y− 3x− 6 = 0 och y+ 2x+ 8 = 0 är två räta linjer. I vilket intervall på x-axeln har bådalinjerna y-värden < 0?

Läxa 311. Lös olikheten

3x − 2(x + 3) − (2x + 1) > 4(x − 1) − 2(2 − x)


Läxa 312. Lös olikheten−x2 + x+ 2 > 0

Formelhantering

Läxa 313. Lös ut c ur formelnc(a+ b) − a(c− b) = b

Läxa 314. Lös ut c ura√

b2 + b2c = b2

Läxa 315. Lös ut c ur1

a+

1

b+

1

c=

1

ab

Vektorer

Läxa 316. Dela upp kraften i figuren i komposanter, en x-komposant och en y-komposant.

Läxa 317. Givet de två vektorerna i figuren. Bestäm deras resultant.

Läxa 318. Bestäm y-komposanten i ~v1 = (3, ?), så att den får samma längd som ~v2 = (1, 9)

Läxa 319. Vi har två vektorer ~v = (v1, v2) och ~u = (u1, u2). Vi utför följande beräkning

~v ◦ ~u = (v1, v2) ◦ (u1, u2) = v1 · u1 + v2 · u2

Vi har bestämt vektorernas skalärprodukt. Då denna produkt = 0 betyder det att vektorerna ärvinkelräta mot varandra.Nedan får du sex vektorer. Para ihop dem så att paren av vektorer är vinkelräta.

~r = (3, 2), ~s = (−2, 3), ~t = (3, 6), ~u = (4,−6), ~v = (−4, 2), ~w = (6, 4)


Läxa 320. I figuren ser du tre vektorer (alla med heltalskoordinater). Bestäm en fjärde vektor såatt resultanten av dessa fyra vektorer blir (0, 0).

Andragradsfunktionen

Läxa 321. Funktionen f(x) = x2 + bx+ c går genom punkterna (4, 24) och (2, 6). Bestäm b och c

Läxa 322. I vilka punkter skär linjen y = 6x + 2 andragradskurvan y = 2x2 + 2x − 68 ?

Läxa 323. Andragradskurvan y = ax2 + bx + c har maximum för x = 1. x = −1 är ett nollställeoch punkten (0, 1) ligger på kurvan. Bestäm värdet på konstanterna a, b och c. (Använd intederivatabegreppet även om du skulle kunna)

Läxa 324. För en andragradsfunktion f(x) gäller: f(−5) = 0, f(2) = 0 och f(0) = 10. Bestäm a, b

och c i f(x) = ax2 + bx+ c.

Läxa 325. Funktionen f(x) = 2x2 − 8x + 6 har en minpunkt. Beräkna analytiskt denna minpunktskoordinater. (I nästa kurs kommer du att kunna lösa detta problem med hjälp av derivata, men detbehövs inte här)

Läxa Lösning 306. Vi använder additionsmetoden{

23(31x + 45y) = 23 · (−188)45(14x − 23y) = 45 · 305{

713x + 1035y = −4324630x − 1035y = 13725

(630 + 713)x + (1035 − 1035)y = −4324 + 13725

1343x = 9401

x = 7

31 · 7+ 45y = −188217 + 45y = −188

45y = −188 − 217

45y = −405y = −9

Svar: x = 7 och y = −9


Läxa Lösning 307. Vi startar med att förenkla{

x− 3x− 6y− 10y + 6x = 6x − 12y − 5x + y+ 83x− 3y− 6y+ 6x + 5y − 3 = 3x − 3+ 5x − 5y

{4x − 16y = x− 11y + 8

9x − 4y− 3 = 8x− 3− 5y

{3x − 5y = 8x + y = 0

{3x − 5y = 85(x + y) = 5 · 0

{8x = 8x = 1

{1+ y = 0

y = −1

Svar: x = 1 och y = −1

Läxa Lösning 308. Ett triangulerat system med 4 obekanta som man kan klara i huvudet. Teknikenkallas bakåtsubstitution. a = 1 är givet. 1 + b = 3 ger då b = 2. I tredje ekvationen får vi så1+ 2+ c = 6, som ger c = 3. Till sist 1+ 2+ 3+ d = 10 ger d = 4.Svar: a = 1, b = 2, c = 3, d = 4.

Läxa Lösning 309. Antag att kaffet från början kostade k kr/kg och sockret s kr/kg.

{2k + 5s = 29.00

2k · 0.98 + 5s · 1.05 = 28.84

Substitutionsmetoden gerk = 29.00−5s

2

som sätts in i den andra ekvationen

2 · 0.98 · 29.00−5s2

+ 5s · 1.05 = 28.84

0.98(29.00 − 5s) + 5.25s = 28.84−4.9s + 5.25s = 28.84 − 28.42

0.35s = 0.42

s = 1.20

k = 29.00−5·1.202

k = 11.50

Svar: Kaffet kostade 11.50 kr/kg och sockret 1.20 kr/kg

Läxa Lösning 310.


Vi löser en olikhet i tagety− 3x − 6 = 0

y = 3x+ 6

y < 0 då 3x + 6 < 0

3x + 6 < 0x < −2

ochy+ 2x + 8 = 0

y = −2x− 8y < 0 då −2x − 8 < 0

−2x− 8 < 0

−8 < 2xx > −4

Vi får så intervallet −4 < x < −2Svar: −4 < x < −2

Läxa Lösning 311.

3x − 2(x + 3) − (2x + 1) > 4(x − 1) − 2(2− x)

3x − 2x − 6− 2x − 1 > 4x − 4− 4+ 2x−x− 7 > 6x − 8

1 > 7x

x < 17

Svar: x < 17

Läxa Lösning 312. Först tar vi reda på nollställena

−x2 + x+ 2 = 0

x2 − x− 2 = 0

x = 12±√

14+ 8

4

x = 12± 3

2

x1 = 2

x2 = −1

Eftersom koefficienten framför x2-termen vet vi att funktionen f(x) = −x2+x+2 har ett maximum.Detta maximum ligger mellan nollställena, vilket i sin tur betyder att −1 < x < 2.

Svar: −1 < x < 2

Läxa Lösning 313.c(a+ b) − a(c− b) = bac+ bc− ac+ ab = b

bc+ ab = bbc = b − ab

c =b(1−a)

b

c = 1− a

Svar: c = 1− a


Läxa Lösning 314.a√b2 + b2c = b2

a√

b2(1+ c) = b2

ab√1+ c = b2

√1+ c = b

a(√

1+ c)2

=(

ba

)2

1+ c = b2

a2

c = b2

a2 − 1

Svar: c = b2

a2 − 1 eller c = b2−a2

a2

Läxa Lösning 315.1a+ 1

b+ 1

c= 1

ab

abc(

1a+ 1

b+ 1

c

)

= abc · 1ab

abca

+ abcb

+ abcc

= abcab

bc+ ac+ ab = c

ab = c− bc− ac

c(1 − b− a) = ab

c = ab1−b−a

Svar: c = ab1−b−a

Läxa Lösning 316. Endast två beräkningar behövs. Först x-komposanten

100 cos 42◦ ≈ 74.31

så y-komposanten100 sin 42◦ ≈ 66.91

Nu kan vi skriva vektorn på formen (74, 67).Svar: (74, 67).

Läxa Lösning 317. Vi delar upp vektorerna i x och y-komposanter. Därefter kan vi addera dem.

x1 = 34 cos 62◦ ≈ 15.96

y1 = 34 sin 62◦ ≈ 30.02

x2 = 28 cos 21◦ ≈ 26.14y2 = 28 sin 21◦ ≈ 10.03

x1 + x2 = 15.96 + 26.14 = 42.10y1 + y2 = 30.02 + 10.03 = 40.05

Resultanten ~r = (42.10, 40.05). Dess storlek eller längd får vi genom

|~r| =√

42.102 + 40.052 ≈ 58.11

Vi kan, om vi vill också bestämma vinkeln

arctan42.10

40.05≈ 46.43◦

Svar: Antingen (42.10, 40.05) eller 58.11∠46.43.


Läxa Lösning 318. √12 + 92 =

√

32 + y2

(√12 + 92

)2

=(

√

32 + y2)2

82 = 9+ y2

y = ±√73 ≈ ±8.54

Det finns alltså två lösningar!

Svar: ±√73 ≈ ±8.54

Läxa Lösning 319.~r ◦ ~u = (3 · 4+ 2 · (−6)) = 0~s ◦ ~w = (−2 · 6+ 3 · 4) = 0~t ◦ ~v = (3 · (−4) + 6 · 2) = 0

Rita gärna de tre paren i ett koordinatsystem.

Läxa Lösning 320.

Vi startar med att läsa av de tre vektorerna

~v1 = (5, 2), ~v2 = (−3,−4), ~v3 = (2, 2)

Genom att summera dem få vi dessa tre vektorers resultant

~r = ~v1 + ~v2 + ~v3 = (5, 2) + (−3,−4) + (2, 2) = (4, 0)

För att resultanten ska bli (0, 0) måste vi lägga till en vektor ~v4 = (x, y) sådan att ~r + ~v4 = 0, 0.Alltså är ~v4 = (−4, 0). Se figurenSvar: (−4, 0)

Läxa Lösning 321. Problemet leder till ett ekvationssystem

{42 + 4b+ c = 24

22 + 2b+ c = 6

{4b + c = 8

2b + c = 2

{4b + c = 8

−2(2b + c) = −2 · 2

{4b + c = 8

−4b − 2c = −2 · 2

Vi löser så först ut c = −4, insatt i andra ekvationen

22 + 2b − 4 = 6

b = 3

Svar: f(x) = x2 + 3x− 4


Läxa Lösning 322. Vi har att lösa ekvationen

2x2 + 2x− 68 = 6x + 2

2x2 − 4x− 70 = 0

x2 − 2x− 35 = 0

x = 1±√1+ 35

x = 1± 6

x1 = 7x2 = −5

Med x-värdena kan vi enkelt ta reda på motsvarande y-koordinater

x = 7 6 · 7+ 2 ≡ 44 (7, 44)

x− 5 6 · (−5) + 2 ≡ (−5,−28)

Svar: (7, 44) och (−5,−28)

Läxa Lösning 323. Symmetrilinjen är x = 1. Det andra nollstället ligger lika långt från symmetrilin-jen som x1. Alltså är x2 = 3. Eftersom (0, 1) ligger på kurvan innebär f(0) = 1 att a ·02+b ·0+c = 1

och att c = 1. Vi har nu f(x) = ax2 + bx+ 1 och två punkter (−1, 0) och (3, 0). Vi får ekvationssy-stemet

{a(−1)2 + b(−1) + 1 = 0

a · 32 + b · 3+ 1 = 0

3(a− b) = 3 · (−1)

9a+ 3b = −1

12a = −4

a = −13

Återstår att bestämma b.−1

3· (−1)2 + b · (−1) + 1 = 0

b = 23

Svar: −x2

3+ 2x

3+ 1

Läxa Lösning 324. Eftersom f(0) = 10 är f(0) = a · 02 + b · 0 + c = 10 ger c = 10 Vi harnu f(x) = ax2 + bx + 10. Genom att utnyttja de två givna punkterna (−5, 0) och (2, 0) får viekvationssystemet

{a(−5)2 + (−5)b + 10 = 0

a · 22 + 2b + 10 = 0

{25a − 5b = −10

4a + 2b = −10

{2(25a − 5b) = 2 · (−10)5(4a + 2b) = 5 · (−10)

{50a − 10b = −2020a + 10b = −50

Efter addition har vi ekvationen 70a = −70 ger a = −1. Vi sätter in a = −1 i

(−1)(−5)2 + (−5)b + 10 = 0−25− 5b = −10

5b = −15

b = −3


Ger oss svaret

Svar: f(x) = −x2 − 3x+ 10

Läxa Lösning 325. Vi startar med att lösa f(x) = 0

2x2 − 8x+ 6 = 0

x2 − 4x+ 3 = 0

x = 2±√22 − 3

x = 2± 1x1 = 3

x2 = 1

Vi vet att symmetrilinjen går mitt emellan nollställena, vilket betyder att linjen har ekvationen x = 2.Vi vet också att funktionen har ett minimum eftersom koefficienten framför x2 är > 0 och att dettaminimum ligger på symmetrilinjen. Vi får

f(2) = 2 · 22 − 8 · 2+ 6 ≡ −2

Svar: Minimipunkten har koordinaterna (2,−2)


lektionsanteckningar för kursen matematik i:1ingforum.haninge.kth.se/mat1a/helakursen.pdf ·...

Documents