lektsia kinematika

Державна служба з надзвичайних ситуацій Національний Університет цивільного захисту України

Інститут пожежної безпеки ім. Г ероїв Чорнобиля Кафедра будівельних конструкцій

Кінематика

Курс лекцій з теоретичної механіки

Черкаси 2015

Дагіль В.Г., Малигін Г.О. Курс лекцій з теоретичної механіки: навчальний посібник. Кінематика. Черкаси: ЧІПБ ім. Героїв Чорнобиля ДСНС України, 2015. - 49 с.

Навчальний посібник створено відповідно до навчальної програми з дисципліни „Теоретична механіка” для вищих закладів освіти ДСНС України і призначений для курсантів і студентів, які навчаються за спеціальностями 6.092800 „Пожежна безпека”. Посібник містить основні теоретичні положення кінематики. До кожної теми додаються питання для самоконтролю та задачі для самостійного розв’язування різного рівня складності.

Посібник може бути корисним для курсантів та слухачів заочного відділення.

Протокол № 8 від 27.10. 2015 року Методичної ради

Черкаського інституту пожежної безпеки ім. Г ероїв Чорнобиля НУЦЗ України

1. КІНЕМАТИКА ТОЧКИ1. Предмет і метод теоретичної механіки.2. Предмет і задачі кінематики.3. Основні поняття кінематики та кінематичні

характеристики руху.4. Способи задавання руху точки (природній,

координатний, векторний).5. Швидкість точки.

1.1 Предмет і метод теоретичної механіки.Розвиток сучасної техніки ставить перед інженерами певні задачі, які

пов’язані з розрахунками різних споруд (будівель, мостів, каналів, гребель, тощо), з проектуванням, виробництвом і експлуатацією різних машин, механізмів, двигунів і так далі. Не дивлячись на багатогранність цих проблем, їх розв’язок певною частиною ґрунтується на деяких загальних принципах і мають загальну наукову базу. Пояснити це можна тим, що в наведеному переліку задач значне місце займають питання, які потребують вивчення законів руху або рівноваги тих чи інших матеріальних тіл.

Наука про загальні закони руху та рівноваги матеріальних тіл і про взаємодію між тілами, яка виникає внаслідок цього руху, називається теоретичною (загальною) механікою. Теоретична механіка являє собою одну з наукових остов сучасних технічних дисциплін.

Під рухом в механіці розуміють механічний рух. тобто зміну взаємного розташування матеріальних точок в просторі, яке відбувається протягом часу.

Механічною взаємодією між двома тілами називають такий вид взаємодії, в результаті якого відбувається зміна руху цих тіл або зміна їх форми (деформація).

Величина, яка є кількісною мірою механічної взаємодії тіл, називають силою.

Основною задачею теоретичної механіки є вивчення загальних законів руху і рівноваги матеріальних тіл під дією прикладених до них сил.

За характером задач, що розглядаються, механіку поділяють на статику, кінематику і динаміку. В статиці викладається вчення про сили та про умови рівноваги матеріальних точок під дією сил. В кінематиці розглядають загальні геометричні властивості руху тіл. В динаміці вивчають закони руху матеріальних тіл під дією сил.

За властивостями об’єкту, що вивчається, теоретичну механіку поділяють на

♦ механіку матеріальної точки, тобто тіла, розмірами якого можназнехтувати при вивчені його руху (або рівноваги), і механіку системиматеріальних точок;

E-mail: [email protected] 2

mailto:[email protected]

♦ механіку твердого тіла, тобто тіла, деформацією якого при вивченійого руху (або рівноваги) можна знехтувати;♦ механіку тіла змінної маси;♦ механіку деформованого тіла (теорія пружності та пластичності);♦ механіку рідини (гідродинаміку);♦ механіку газу (аеромеханіка і газова динаміка).В загальному курсі теоретичної механіки вивчається механіка

матеріальної точки і твердого тіла та загальні закони руху систем матеріальних точок.

Теоретична механіка відноситься до природничих наук, тобто до наук про природу. Роль і значення теоретичної механіки полягає в тому, що вона є науковою базою багатьох галузей сучасної техніки, її закони і методи дозволяють вивчати і пояснювати низку важливих явищ в оточуючому світі та сприяють подальшому росту і розвитку природознавства в цілому, а також виробленню правильного матеріалістичного світогляду.

1.2. Предмет і задачі кінематикиКінематикою називають розділ теоретичної механіки, який вивчає рух

тіл лише з геометричної точки зору, не залежно від факторів, що обумовлюють той чи інший характер цього руху.

Тобто в кінематиці вивчаються геометричні властивості руху тіл, без урахування їх інертності (маси) і сил, що діють на ці тіла. Подібно до геометрії, яка, вивчаючи просторові властивості тіл, не розглядає всі інші матеріальні признаки (вага, міцність тощо), Кінематика розглядає рух тіл, як процес безперервної зміни їх положення у просторі, і не розглядає питання про зв’язок цього руху з матеріальною структурою цих тіл і сил, що на них діють. Тіло, яке рухається, розглядається в кінематиці як деякий геометричний образ.

Кінематика цілком ґрунтується на аксіомах і положеннях геометрії, але на відміну від неї, крім простору, що проходить тіло, розглядає ще і час, за який відбувається рух. Нагадаємо, що під рухом ми розуміємо зміну положення тіла у просторі відносно інших тіл протягом деякого проміжку часу.

Кінематика має важливе значення не лише для вивчення останнього розділу теоретичної механіки - динаміки, але і для дослідження геометричних властивостей руху частин різного роду механізмів. Прогрес техніки, задачі конструювання складних механізмів і машин привели у першій половині XIX століття до відокремлення кінематики в самостійний розділ теоретичної механіки. Подальший розвиток кінематики також йде головним чином по шляху її прикладання до конструювання і дослідження механізмів і машин.

Основна задача кінематики полягає в тому, щоб, знаючи закон руху даного тіла (точки), визначити всі кінематичні величини, що

© ВоЬо - РиЬіізЬііпд. 2006 З

характеризують як рух тіла в цілому, так і рух кожної його точки окремо. Для розв’язку даної задачі необхідно, щоб безпосередньо був заданий закон руху даного тіла, або закон руху будь-якого іншого тіла, кінематично пов’язаного з даним.

1.3. Основні поняття кінематики та кінематичні характеристики рухуБудь-який механічний рух матеріального тіла можна спостерігати і

вивчати лише по відношенню до деяких інших тіл. Якщо б у просторі знаходилося лише одне дане тіло і не було б інших, то ми взагалі не мали б можливості говорити про зміну його положення у просторі, а значить і про його рух. Для визначення положення тіла (точки), що рухається, з тілом, по відношенню до якого вивчають рух, жорстко зв’язують систему координат.

Система координат, яка зв’язана з тілом, відносно якого досліджують рух, називають системою відліку.

Рух тіла здійснюється у просторі протягом часу. Простір у механіці ми розглядаємо, як тривимірний евклідовий простір. Всі вимірювання у ньому відбуваються за методами евклідової геометрії. Час у механіці вважається універсальним, тобто таким, що протікає однаково у всіх системах відліку.

Евклідовий простір та універсальний час відображають реальні властивості простору і часу лише наближено. Однак, для руху, що розглядають у механіці, таке наближення дає достатню для практики точність.

Час є скалярною величиною, яке безперервно змінюється. В задачах кінематики час ґ приймають за незалежну змінну. Всі інші змінні величини (відстань, швидкість і т.д.) розглядають як такі, що змінюються з часом, тобто є функціями часу. Відлік часу ведеться з деякого початкового моменту (ґ0 = 0). Будь-який момент часу ґ визначається кількістю секунд, які пройшли від початкового моменту до даного; різниця між будь-якими двома послідовними моментами часу називають проміжком часу.

Протягом свого руху точка послідовно займає різні положення відносно прийнятої системи відліку, до того ж ці положення слідують безперервно одне за одним.

Лінія, яку описує точка під час свого руху в просторі, називається траєкторією руху цієї точки.

Рух буде прямолінійний, якщо траєкторія є прямою лінією, і криволінійний, якщо траєкторія - крива. В залежності від форми кривої рух може бути: коловим рухом; еліптичним; гвинтовим і т.д.

Якщо точка за рівні, довільні, проміжки часу проходить шляхи однакової довжини, то рух точки називають рівномірним, в іншому випадку рух точки називають нерівномірним або змінним.



А

Рух точки характеризується ознаками, що встановлюються кожною з двох наведених класифікацій. Як прямолінійний рух, так і криволінійний може одночасно бути або рівномірним, або нерівномірним.

Для розв’язку задач кінематики необхідно, щоб рух який вивчається був деяким чином заданий (описаний).

Кінематично задати рух або закон руху тіла (точки) значить задати положення цього тіла (точки) відносно даної системи відліку у будь-який момент часу. Встановлення математичних способів завдання руху точки або тіла є однією з важливіших задач кінематики. Тому вивчення руху будь-якого об’єкту ми будемо починати з встановлення способів задавання цього руху.

1.4. Способи задавання руху точки (природній, координатний, векторний)

Природн і й спос іб з ад а ва н н я руху. Природнім способом задавання руху зручно користуватися якщо траєкторія руху точки відома наперед. Нехай точка М рухається відносно системи відліку Охуг вздовж деякої траєкторії АВ. Виберемо на цій траєкторії будь-яку нерухому точку Оі, яку будемо вважати за початок відліку. Розглядаючи траєкторію, як криволінійну координатну вісь, встановимо на ній додатній і від’ємний напрям, як на звичайній координатній осі. Таким чином, положення точки М буде однозначно визначатися криволінійною координатою 5, яка дорівнюватиме відстані від точки О-і до точки М, що вимірюється вздовж дугитраєкторії, взятою з відповідним знаком. При русі точка М буде переміщуватися в положення М2, ... , тобто відстань 5 протягом часу буде змінюватися. Щоб знати положення точки М на траєкторії, у будь-який момент часу треба знати залежність

я = /(*)■ (1.4.1)Дане рівняння виражає закон руху точки М вздовж траєкторії.Таким чином, щоб задати рух точки природнім способом, треба

визначити:□ траєкторію точки;□ початок відліку на траєкторії з зазначенням додатного і від’ємного

напрямків відліку;□ закон руху точки вздовж траєкторії у вигляді

■*=/(<)■К оо р ди н ат н ий спос і б з ад а ва н н я руху.

Природній спосіб задавання руху достатньо наочний.Однак траєкторія точки наперед відома не завжди. Тому на практиці частіше користуються іншим способом задавання руху точки - координатним.

У

© ВоЬо - РиЬіізЬііпд. 2006 5

Положення точки по відношенню до даної системи відліку Oxyz можна визначити за її декартовими координатами х, у, z. При русі точки М всі три координати будуть змінюватися протягом часу. Щоб знати закон руху точки, тобто знати її положення у просторі в будь-який момент часу, треба знати значення координат точки для кожного моменту часу, тобто знати залежності

x = fX t) . У = Л ( ( ) ’ г = /з (0 - (1-4.2)Ці рівняння являють собою рівняння руху точки в декартових

прямокутних координатах. Вони визначають закон руху точки при координатному способі задавання руху.

Якщо рух точки відбувається в одній площині, то достатньо двох рівняньx = У = h i t ) . (1.4.3)

Рівняння (1.4.2) і (1.4.3) є одночасно рівняннями траєкторії точки в параметричній формі, де роль параметру відіграє час t. Виключивши з рівнянь руху час t, можна знайти рівняння траєкторії у звичному вигляді.

Приклад. Рух точки заданий рівняннямих = 2 t , y = \2t2.

В момент часу t = 0 точка М матиме координати х = 0; у = 0. В момент часу t = 1 точка М матиме координати х = 2; у = 12 і т.д.

Виключимо з рівнянь час t. Тодіх

,= і ;у = Зх2.

Таким чином, траєкторією точки є парабола з вершиною в початку координат.

В екторний спос іб з ад а ва н н я руху. Нехай точка М рухається по відношенню до деякої системи відліку Oxyz. Положення цієї точки у будь-який момент часу можна визначити, задавши вектор г , проведений з початку координат О в точку М. Вектор г називають радіус-вектором точки М.

Під час руху точки М вектор г буде змінюватися протягом часу і за модулем, і за напрямом. Таким чином, вектор г є змінним вектором (вектором-функцією), яка залежить від аргументу t.

г = r ( t) .Рівність (1.4.4) визначає закон криволінійного руху точки

формі. Вона дозволяє в будь-який момент часу побудувати вектор г і знайти положення точки, що рухається. Будь-яка крива, яка є геометричним місцем кінців змінного вектора, що виходить з однієї точки і є функцією часу f i t ) , називають годографом вектора. Траєкторія точки є годографом її радіус-вектора.

Векторний спосіб задавання руху зручний для встановлення загальних залежностей, оскільки дозволяє описати рух точки одним векторним рівнянням (1.4.4) замість трьох скалярних (1.4.2).

Рис. 1.4.3

(1.4.4) у векторній відповідний



Зв’язок між координатним і векторним способами задавання руху легко встановити, якщо ввести одиничні вектори (орти) осей Тоді вектор гможна розкласти по осях Ох, Оу, От.

г = х і+ у у + г к . (1.4.5)

1.5. Швидкість точкиОднією з основних кінематичних характеристик руху точки є векторна

величина, яка називається швидкістю точки. Введемо поняття про середню швидкість точки. Нехай точка, що рухається, знаходиться в деякий момент часу ґ в положенні М, яке визначається радіус-вектором г, а в момент и переходить в положення яке визначається вектором гх. Тоді переміщення точки за

проміжок часу = визначається вектором М М 1, який буде вектором переміщення точки.

З трикутника ОММі видно, що г + М М Х = гх, тобто

М М Х = т\ - г - Аг .Відношення вектору переміщення точки до відповідного проміжку часу

дає векторну величину, яка називається середньою за модулем і напрямом швидкістю за проміжок часу Дґ:

^ ММ, Аг .. сV = ------ 1 = — . (1.5.1)

Аґ АґМодуль середньої швидкості визначається формулою

М М Х с ол0 „ = — . (1.5.2)

Вектор иср напрямлений так само, як і вектор М М Х.

Очевидно, що чим менше буде проміжок часу = тим точнішевеличина йср буде характеризувати рух точки. Щоб отримати характеристикуруху, яка не залежить від вибору проміжку часу Дґ, вводять поняття прошвидкість точки у даний момент часу (миттєва швидкість).

Швидкістю точки у даний момент часу ґ називають векторну величину и , до якої прямує середня ШВИДКІСТЬ V , якщо проміжок часу Дґ прямує до нуля

и = \іт(и )= І і т — . (1-5.3)Дґ—»0 4 р ' Дґ—»0 А/

Це є ні що інше як перша похідна від вектора г по аргументу ґ і позначається

СІГи = — . (1.5.4)

СІІ

© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2006 7

Вектор швидкості точки у даний момент часу дорівнює першій похідній від радіус-вектора точки по часу.

Питання для самоконтролю1. Що вивчає теоретична механіка?2. Що називають механічним рухом?3. Що називають механічною взаємодією?4. Що називають силою?5. Сформулюйте основну задачу теоретичної механіки.6. Які розділи теоретичної механіки ви знаєте?7. Що вивчає кінематика?8. Сформулюйте основну задачу кінематики.9. Що називають системою відліку?

10. Що називають траєкторією точки?11. Який рух називають рівномірним? нерівномірним?12. Що означає задати рух кінематично?13. Які способи задавання руху вам відомі?14. Що необхідно визначити, щоб задати рух точки природнім способом?15. Запишіть рівняння руху точки в декартових прямокутних координатах.16. Що називають годографом вектора?17. Яким чином встановлюється зв’язок між координатним і векторним

способами задавання руху?18. Що називають середньою швидкістю точки?19. Що називають миттєвою швидкістю точки?*•" Яка існує залежність між елементом дугової координати і елементом

шляху?

*•" Чи можна, знаючи закон руху точки по траєкторії, визначити траєкторію?

*•" В якому випадку пред інтегралом для визначення дугової координати необхідно вибирати знак „+”, а коли

Задачі для самостійного розв’язування

1°. Кривошип ОА рівномірно обертається навколо нерухомої осі О і приводить у рух повзун В за допомогою шатуна АВ, який з’єднаний шарнірно з кривошипом і повзуном. Кут (р повороту змінюється з часом за законом (р = Ш . Визначити в прямокутних координатах рівняння руху середньої точки М шатуна і знайти траєкторію цієї точки. Довжина кривошипа ОА= АВ = і.

2°. Кінці лінійки АВ рухаються по двом взаємно перпендикулярним прямим, причому кут ОВА = <р змінюється пропорційно часу за формулою (р = сої. Складіть рівняння руху точки М, яка знаходиться від кінців лінійки на відстанях АМ = а і ВМ = Ь, і визначте її траєкторію.E-mail: [email protected] 8


3°. Для умови задачі 2 прийняти, що повзун В рухається зі швидкістю щ в додатному напрямі осі Ох. Знайти швидкість v2 повзуна А.

1 24°. Точка рухається по колу згідно рівняння ^ = 50 + 6/н-----1 . Визначити: 1)

1 ̂середню швидкість точки за перші шість секунд і другі шість секунд; 2) швидкість точки на кінці шостої та на кінці дванадцятої секунди.5. По заданих у векторній формі рівняннях руху точки визначити рівняння її траєкторії:1) r = ( l t + 2)i + (3 -4 t ) j \ 5) f = 3 s i n t 3i +2 cos f j \

2) f = t 2I + (б - At1 )£; 6) ? = ti + (21 - t 2)j ;ox - 0 7й ~ ( л _ . 7tt\~ 7) r = cos 2/7 + sin t i .3 ) r = 3cos — 1 + 1 + 3 sm— /; ' J

3 I 3 /4) f = 6 cos 3ti + 3tk ;6. По заданих рівняннях руху точки визначити її початкове положення і траєкторію в площині хОу:

5) х = 2 cos 2 м ; у = 3 sin М ;6) х = 4 sin2ґ; y = 2 c os t ]

.У = 2 - 3 sin ґ ; 7 ) x = 3f, y = 6 t - 5 t 2.

у = e- 2 t ;

^ = 3 - ґ 3;

1) х = 2 sin — ;6

2) х = 2cos?;3) х = л/21 ;4) х = 2ґ3 + 2;

модуль

7. Задано рівняння руху точки г = 3 ії +4( / . Визначити координату уточки в момент часу, коли г = 5 м.

8. Задані рівняння руху точки х = Зґ, у = ґ . Визначити відстань точки від початку координат в момент часу ґ = 2 с.

9. Дано рівняння руху точки х = $т7ії. Визначити швидкість в найближчий після початку руху момент часу ґ коли координата х = 0,5 м.

10. РІВНЯННЯ руху ТОЧКИ Х = ґ2, у = 8ІП 7й , г = СОБ7ІЇ . ВИЗНЭЧИТИ

швидкості в момент часу ґ = 1с.11. Точка рухається по колу радіусом Я проти годинникової стрілки так, що дуга яку вона проходить змінюється за законом 8 = Ш. Знайти рівняння руху точки по відношенню до системи хОу з початком в центрі кола, якщо горизонтальна вісь Ох проходить через початкове положення точки.12. Куліса ОМ довжиною / приводиться в рух кривошипом ОИ, який обертається за законом (р = Ш2.Скласти рівняння руху кінця куліси М, якщо 0^0 = О^А.

© Bobo - Publishing. 2006 9

13*. Два катери А і В йдуть взаємно перпендикулярними курсами із сталими та однаковими швидкостями, які рівні 20 вузлів (1 вузол дорівнює 1 миля /1 годину). Визначити закон зміни відстані 5 між ними, якщо в початковий момент катери були в положеннях А0 і В0, до того ж ОА0 = ОВ0 = 3 милі.

14*. Загону рятувальників, який знаходиться в точці А, на скелястому березі моря необхідно опинитися в точці В, що знаходиться на гірському схилі на відстані 9 км від берега. На якій відстані від точки А необхідно вийти рятівникам на берег з човна, який рухається зі швидкістю щ = 1,5 м/с, щоб в

V ■ V ■ ■наикоротшіи час дістатися точки В, якщо середня швидкість руху по схилу і>2 — 1,2 м/с, а відстань по прямій АВ = 41 км?

15*. Загін рятувальників отримав завдання в найкоротший час дістатися з пункту А, що знаходиться на березі, на острів В, який лежить на відстані17,3 км від берега. В якій точці С загін повинен чекати катер, якщо швидкість катера 36 км/год, а швидкість автомобіля, на якому загін рухався на ділянці

гчШ

в * А t І)До зад. 14 До зад. 15

А\>Г^ /_ *ТЛ _

До зад. 16

АС, дорівнює 72 км/год?

16*. У V - подібному двигуні кут між осями циліндрів а - 90°. Колінчастий вал обертається за законом q>- cot. Скласти рівняння руху пальців В і С, якщо довжина кривошипу ОА = R, а довжина шатунів АВ = АС = L.


2. ПРИСКОРЕННЯ ТОЧКИ1. Поняття про прискорення.2. Дотичне і нормальне прискорення.3. Окремі випадки руху точки.4. Визначення прискорення точки по рівняннях

її руху в прямокутних координатах2.1. Поняття про прискоренняРух точки з незмінною за модулем і напрямком швидкістю на практиці

явище достатньо рідкісне. В більшості випадків швидкість точки під час руху змінюється. Ця зміна може відбуватися або тільки за модулем (нерівномірний прямолінійний рух), або тільки за напрямком (рівномірний криволінійний рух), або і за модулем і за напрямком (загальний випадок нерівномірного криволінійного руху). Для розділу динаміки важливо знати залежність між зміною руху тіла та причиною, що викликала таку зміну - силою. Для цього необхідно дати певну характеристику такої зміни і встановити її міру.

Величина, яка характеризує швидкість зміни вектора швидкості як за модулем так і за напрямком, називається прискоренням.

Нехай точка рухається по криволінійній траєкторії і в деякий момент часу ґ знаходиться в положенні М і має швидкість й, в момент и приходить у положення М-і і має швидкість ц . Тоді за проміжок часу = вектор швидкості точки отримає приріст А й = йг- й . Щоб побудувати вектор А й

відкладемо від точки М вектор, який дорівнює ц , і побудуємо паралелограм, у якомудіагоналлю буде вектор ц , а однією з сторінвектор й. Тоді очевидно, що інша сторона буде вектором А й . Зазначимо, що вектор А й завжди

Рис.2.і.і 1 ^ напрямлений в бік ввігнутості траєкторії.

Вектор А й повністю визначає зміну швидкості точки, яка відбулася за час А /, і за модулем і за напрямком, тому відношення приросту вектора швидкості А й до відповідного проміжку часу А/ визначає вектор середнього прискорення точки за цей проміжок часу.

^ = І 7 ' (2' 11)Вектор середнього прискорення має той самий напрям, що і вектор

приросту швидкості А й , тобто напрямлений в бік ввігнутості траєкторії.Прискоренням точки у даний момент часу ґ називається векторна

величина бо якої прямує середнє прискорення м?ср, якщо проміжок часу А і прямує до нуля:



А V сій с12г(2 .1.2)

Аг Ж йг2 'Таким чином, вектор прискорення точки у даний момент часу дорівнює

першій похідній від вектора швидкості або другій похідній від радіус- вектора по часу.

При прямолінійному русі вектор прискорення # має напрям вздовж прямої, по якій рухається точка. Якщо траєкторія точки плоска крива, то вектор прискорення # , так само як і вектор # , лежить в площині цієї кривоїі напрямлений в бік її ввігнутості.

2.2, Дотичне і нормальне прискоренняЯкщо рух точки заданий природнім способом, то прискорення # точки

зазвичай розкладають на складові, які направлені по дотичній і нормалі до траєкторії точки. Таке розкладання зручне і тому, що дані складові відіграють різну роль в зміні руху точки. Дані осі називаються осями природного тригранника (або швидкісними осями) і напрямлені таким чином: Мт - вздовж дотичної до траєкторії в бік додатного відліку відстані 5; Мп - по нормалі, яка лежить у площині траєкторії і напрямлена в бік ввігнутості траєкторії; МЬ - перпендикулярно до перших двох так, щоб утворювати з ними праву трійку. Вісь Мп називається головною нормаллю; вісь МЬ - бінормаллю.

Розглянемо випадок, коли точка рухається по дузі кола. В момент часу ґ точка була у положенні М, в момент часу г + Аг - у положенні М-і. Швидкості, що відповідають цим положенням відповідноV І Ц . Перенесемо вектор Ц З ТОЧКИ М-І в точку М. З’єднаємо кінці векторів швидкості (точки А і В) і доповнимо отриманий трикутник МАВ до паралелограма МАВС.

Вектор М С є геометричнимприростом А и вектора швидкості точки за

проміжок часу А /. Відкладемо по дотичній до траєкторії в точці М відрізокМО = МВ = иь Тоді чисельне значення вектора А Б будеЛИ = М Б -М Л = ц - V = А и , тобто дорівнюватиме приросту чисельногозначення швидкості и точки за проміжок часу Дґ. Розкладемо вектор А и = ЛВ на дві складові вектора: А^й = Л Б і А2и = И В , перший з яких відомий за модулем і напрямком. Величину і напрям другого знайдемо, якщо з’єднаємо вектором точки О і В. З векторного трикутника АОВ випливає, що А й = А1й + А2й .


Прискорення точки в момент ґ буде

^ Ай А,й + А2й Аій А2й /о о ^ї ї ’ = І1ГП------ = 1 і т — ---------- — = п т — —̂ ь І і т ^ — (2 .2 .1 )

Аґ̂ -0 Д/ Аґ̂ -0 Д/ Аґ̂ -0 Д/ Аґ̂ -0 Д/

Перший доданок # . = не залежить від величини проміжку часуАГ̂0 Д/Дґ. Він направлений завжди так, як і вектор А ^ , по дотичній до траєкторіїруху точки у відповідному її положенні. Дана складова носить назву дотичного прискорення (тангенціального). Чисельне значення цього вектору

Аги _сІи _ сі2з Аг̂ ° А і сії сії

w = lim —— = —— = — гг. (2.2.2)L vn A j. J j.

Чисельне значення дотичного прискорення точки дорівнює похідній по часу від чисельної величини швидкості.

Якщо модуль швидкості протягом часу зростає (точка рухається прискорено), то похідна додатна, тоді тангенціальне прискорення направлене по дотичній в бік руху точки. Якщо модуль швидкості протягом часу зменшується (точка рухається уповільнено), то похідна від’ємна і тангенціальне прискорення напрямлено по дотичній проти напрямку швидкості точки.

- ,• АРозглянемо другу складову м? = 1 ш і^ —. Напрям даного вектораАГ̂0 Д/. А 0й

співпадає з граничним положенням вектора , а значить з граничнимА/

положенням вектора А2и . Відповідні математичні перетворення дають чисельне значення для цього доданку

и 2^ . (2 .2 .3 )

Р

Дана складова носить назву нормального (доцентрового) прискорення.Таким чином проекція прискорення точки на дотичну дорівнює першій

похідній від чисельної величини швидкості або другій похідній від відстані (криволінійної координати) з по часу, а проекція прискорення на головну нормаль дорівнює квадрату швидкості, поділеному на радіус кривизни траєкторії в даній точці кривої, проекція прискорення на бінормаль дорівнює нулю (м?ь =0) . Ці результати виражають одну з важливих теорем кінематики.



2.3. Окремі випадки руху точкиПр я м о л і н і й ни й рух. Якщо траєкторія точки є пряма лінія, то р = оо.

V і .Тоді w = — = 0 і повне прискорення точки дорівнює лише дотичному

Рприскоренню:

duw = wT = — . (2.3.1)

dtОскільки в даному випадку швидкість змінюється лише чисельно, то

можна зробити висновок, що дотичне прискорення характеризує зміну модуля швидкості.

Рі вн ом і р н ий п р я мо л і н і й н ий рух. Рівномірним називають такий криволінійний рух точки, в якому чисельне значення швидкості (модуль) весь

т ■ d v . .час залишається сталим: v = const. Тоді wT = — = 0 і повне прискорення

dtточки дорівнює лише нормальному прискоренню:

Vіw = w«= — ■ (2.3.2)

Р

Вектор прискорення w направлений весь час по нормалі до траєкторії точки.

Оскільки в даному випадку прискорення з’являється лише за рахунок зміни напрямку швидкості, то можна зробити висновок, що нормальне прискорення характеризує зміну швидкості за напрямком.

dsЗапишемо закон рівномірного криволінійного руху. З формули и = —

dtмаємо d s -v d t . Нехай у початковий момент часу точка знаходиться від початку відліку на відстані s0. Тоді, взявши від лівої і правої частини рівняння інтеграл у відповідних межах отримаємо:

5 tjd s = ju d t або s - s 0 = u t, (2.3.3)s0 0

оскільки v = const. Остаточно запишемо закон рівномірного криволінійного руху точки у вигляді

s = s0+ u t. (2.3.4)

Р і вн ом і р н ий п р я мо л і н і йн и й рух. Для такого випадку wn = wT = 0,а значить і w = 0. Єдиним рухом, в якому прискорення точки весь часдорівнює нулю, є рівномірний прямолінійний рух.


Р і в но з м і нн и й к р и в о л і н і й ни й рух. Рівнозмінним називається такий криволінійний рух точки при якому дотичне прискорення точки залишається весь час сталою величиною: wT - const. Запишемо закон цьогоруху, якщо при t = 0 s = s0, а о = и0, де l>0 - початкова швидкість точки.Згідно формули (2.3.1) dv = wTdt.

Взявши від лівої і правої частини рівняння інтеграл у відповідних межах отримаємо

u = u0+ w Tt. (2.3.5)Формулу (2.3.5) можна представити у вигляді

ds— = и0 + wTt dt г

або ds = undt + w td t

у

Ще раз взявши інтеграл, знайдемо закон рівно змінного криволінійного руху точки у вигляді

t 2s = s0+ v 0t + wT — .

Швидкість цього руху визначається рівнянням (2.3.5).Якщо при криволінійному русі точки модуль швидкості зростає, то рух

називається прискореним, а якщо спадає - уповільненим.2.4. Визначення прискорення точки по рівняннях її руху в

прямокутних координатахНехай точка здійснює плоский рух згідно рівнянням

* = /і(0> У = І г і ї - Візьмемо положення М І M-І точки, що

рухається в моменти часу t і t + At. Швидкості точок в цих положеннях, позначимо відповідно й і ц .Проекції цих векторів на вісь Ох позначимо через °х ' °\х- Перенесемо початок вектора ц в точку М іпобудуємо вектор А й геометричного приросту швидкості точки Мза час A t :

A v = vx- v . (2.4.1)Але проекція геометричної суми векторів на

будь-яку вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій складових векторів на ту саму вісь:

(ДО), = Ч , - ° , - (2.4.2)Таким чином, проекція на вісь Ох вектора А й геометричного приросту

швидкості точки дорівнює приросту А их проекції швидкості точки на цю вісь.Проекція их швидкості точки на вісь х (тобто швидкість проекції даної точкиE-mail: [email protected] 4

Рис.2.4.1


на цю вісь) є функція від часу ґ; А их є приріст даної функції, яке відповідаєАп

приросту At аргументу ґ, і lim похідна даної функції. ТодіАґ->0 Д/

і ї 2XЖ ,= — -*- = — г . (2.4.3)

(к ЖЗа аналогічними міркуваннями, знайдемо проекцію прискорення точки на

вісь Оу:

W,dvy _ d 2у

(2.4.4)у Ж (її2

Проекція прискорення точки на нерухомі вісі координат дорівнюють першим похідним по часу від проекцій швидкості точки на відповідні координатні осі або другі похідні від відповідних координат точки.

За проекціями прискорення на координатні осі знаходять модуль прискорення та його напрямок. Модуль прискорення точки

wЧ

2 . 2 Wx + W y =f J2 Уa x

d r+

f J2 Уd У

d fV(2.4.5)

Напрям вектора прискорення визначається з формул

cosж

(2.4.6)X у

Якщо точка здійснює рух у просторі, то додавши третє рівняння точки = /з(0> можна знайти аналогічним чином проекцію прискорення точки

на третю координатну вісь, а потім і модуль вектора прискорення точки і його напрям у просторі.

Питання для самоконтролю1. Як може змі швидкість точки, і який рух буде описувати така зміна?2. Що називають прискоренням?3. Що називають середнім прискоренням?4. Що називають миттєвим прискоренням?5. Що являє собою природній тригранник?6. Як визначити чисельне значення дотичного прискорення?7. Що характеризує дотичне прискорення?8. Як визначити чисельне значення нормального прискорення?9. Що характеризує нормальне прискорення?

10. Дайте характеристику прямолінійному, рівномірному криволінійному, рівномірному прямолінійному, рівнозмінному криволінійному рухам.

11. Як визначити прискорення точки по рівняннях її руху в прямокутній системі координат?

12. Як визначити напрям вектора прискорення?© Bobo - Publishing. 2006 'J 5

При якому русі точки дорівнює нулю дотичне прискорення, а при якому - нормальне прискорення?

Як класифікувати рух точки по прискоренню?В які моменти часу нормальне прискорення в криволінійному русі

може обернутися на нуль?В які моменти часу дотичне прискорення в нерівномірному русі може

обернутися на нуль?


1°. Написати рівняння руху в прямокутних координатах і визначити швидкість і прискорення кінця М кривошипа ОМ, який обертається навколо нерухомого центру О. Довжина кривошипа ОМ = г. Кут повороту кривошипа відносно горизонтальної осі змінюється за законом ер = cot.

2°. Точку, яку кинули з горизонтальною швидкістю и0, рухається за законом, що описуються рівняннями:

у,

^ >// X \ 4

І °< Л у \ \ _J-------------— і------ ^*

X = <v.Знайти: 1) рівняння траєкторії точки і побудувати її; 2) модуль швидкості; 3) модуль прискорення; 4) модулі дотичного та нормального прискорень; 5) радіус кривизни траєкторії.3. Для рівнянь руху з умов задачі 5 параграфу 1 знайти швидкість та прискорення точки. Побудувати годограф швидкості.4. Для рівнянь руху з умов задачі 6 параграфу 1 знайти швидкість, прискорення, а також тангенціальне та нормальне прискорення точки.



З СКЛАДНИЙ РУХ ТОЧКИ1. Абсолютний, відносний і переносний рухи точки.2. Теорема про додавання швидкостей.3. Розкладання швидкості точки на складові.4. Додавання прискорень. Теорема Коріоліса.

3.1. Абсолютний, відносний і переносний рухи точкиМи вже згадували, що будь-який рух тіла або точки є відносним, тобто

його можна розглядати та вивчати лише по відношенню до інших фізичних тіл і пов’язаних з ними системами відліку.

Поки що ми вивчали рух точки або тіла по відношенню до однієї заданої “нерухомої” системи відліку. Однак у ряді випадків для розв’язку задач механіки виявляється доцільним (а іноді і необхідним) розглядати рух точки (або тіла) одночасно по відношенню до двох систем відліку, одну з яких вважають умовно нерухомою, а інша деяким чином рухається відносно першої. Рух, який здійснює при цьому точка називається складеним або складним.

Нехай куля котиться по палубі пароплава, що рухається. По відношенню до берега такий рух буде складний: кочення по відношенню до палуби (рухома система відліку) і рухом разом з палубою по відношенню до берега (нерухома система відліку). Таким чином складний рух кулі розкладається на два більш простих і таких, що легше досліджуються.

Розглянемо складний рух точки М (рис. 3.1.1), яка переміщується по відношенню до рухомої системи відліку Охуг, що у свою чергу деяким чином рухається відносно іншої системи відліку О-іх-і/іг-і, яку умовно вважають нерухомою.

Введемо такі визначення:□ рух точки по відношенню до рухомої

системи відліку називається відносним рухом.Траєкторія АВ, яку описує точка при відносному русі, називається відносною траєкторією.Швидкість руху точки М по відношенню до осей Охуг називається відносною швидкістю (позначається ивд), а прискорення в цьому русі -

Рис 3 11відносним прискоренням (позначається м?вд);

□ рух, який здійснює рухома система відліку Охуг і всі незмінно пов’язані з нею точки простору, по відношенню до нерухомої системи О^хфг^, називається переносним рухом. Щоб визначити переносний рух деякої точки в даний момент часу, треба уявно припинити відносний рух даної точки і визначити в цей момент її рух по відношенню до нерухомої системи відліку як точки, що незмінно пов’язана з рухомою системою. Швидкість тієї незмінно пов’язаної з рухомими осями Охуг точки т, з якою у


даний момент співпадає рухома точка М, називається переносною швидкістю точки М в даний момент (позначається й ), а прискорення цієї

точки - переносним прискоренням точки М (позначається # ). Таким чином,

0 = 0 , # = # ,пр т 1 пр т '

де т - нерухома по відношенню до осей Охуг точка, з якою у даний момент співпадає точка М, що рухається;

□ рух, який здійснює точка по відношенню до нерухомої системи відліку називають абсолютним або складним. Траєкторія СО цьогоруху називається абсолютною траєкторією, швидкість - абсолютною швидкістю (позначається 0а) і прискорення - абсолютним прискоренням(позначається # а).

У наведеному вище прикладі рух кулі відносно палуби пароплава буде відносним, а швидкість цього руху - відносною швидкістю кулі; рух пароплава по відношенню до берега буде для кулі переносним рухом, а швидкість тієї точки палуби, якої у даний момент торкається куля, буде в цей момент його переносною швидкістю; швидкість кулі по відношенню до берега буде її абсолютним рухом, а швидкість цього руху - абсолютною швидкістю кулі.

Для розв’язку відповідних задач кінематики необхідно встановити залежність між відносним, переносними і абсолютними швидкостями та прискореннями точки.

3.2. Додавання швидкостей. Теорема про додавання швидкостейРозглянемо складний рух точки М (рис. 3.2.1) Нехай ця точка рухається

відносно деякої рухомої системи відліку Б і разом с цією системою переміщується відносно нерухомої системи відліку Охуг. Нехай за деякий проміжок часу Л/ = ^ - / 2 рухома система відліку Б переміщується з положення / в положення II.

Якщо б точка М не мала відносного руху, то вона перемістилася б при цьому відносно нерухомої системи відліку Охуг по дузі ММ-і деякої траєкторії з положення М в положення М-і, займаючи відносно рухомої системи Б незмінне положення. о У

Вектор М М Х називають вектором Рис. 3.2 . 1

переносного переміщення точки М за даний проміжок часу А /. Внаслідок відносного руху точки М вона переміщується за даний проміжок часу відносно рухомої системи Б по дузі М^М' траєкторії її відносного руху і займе деяке положення М'.

Вектор М ХМ ’ називають вектором відносного переміщення точки М за даний проміжок часу.



Насправді ж обидва рухи (переносний і відносний) відбуваються одночасно. Точка М проходить за даний проміжок часу з положення М в положення М ' і переміщується відносно системи відліку Охуі по деякій дузіММ' траєкторії її абсолютного руху. Таким чином вектор М М ' буде вектором абсолютного переміщення точки. З трикутника ММ^М'маємо:

М М ' = ММ \ + М ХМ ' . (3.2.1)Розділивши обидві частини цієї рівності на А/ і перейшовши до границі

отримаємо:

Лг̂ -0 Д^Але за визначеннями

М М ' М М , м жІ1Ш------- = І1Ш-------І1ГП— -—Лг̂ -0 Д/ Аг̂ -0 Д/

(3.2.2)

ІішЛг->0

М М '

А іТоді

ІЛ

М М . І іш ------ кЛг̂ -0 Д/

У + ^ Апер від

V.пер

М ,М ' Ііш — —̂Аг̂ -0 Д^ ей '

(3.2.3)

Таким чином ми довели теорему про додавання швидкостей: при складному русі абсолютна швидкість точки дорівнює геометричній сумі відносної і переносної швидкостей.

Оскільки при геометричному додаванні двох швидкостей точки її результуюча швидкість зображується за модулем і напрямком діагоналлю паралелограма (рис. 3.2.2), побудованому на складових швидкостях як на сторонах, то дану теорему часто називають правилом паралелограма. А побудовану ф ігу Р У паралелограмом швидкостей.

від 1 ипер дорівнює а, то модульЯкщо кут між векторами и абсолютної швидкості обчислюється за теоремою косинусів:

Чіи2.А+и2 +2и Аи соб авід пер від пер (3.2.4)

3.3. Розкладання швидкості точки на складовіДуже часто необхідно за відомою абсолютною швидкістю точки

визначати її складові, тобто розкладати абсолютну швидкість. Задача додавання швидкостей аналогічна задачі додавання двох сил, прикладених до однієї точки. Так само і задача розкладання абсолютної швидкості точки на переносну і відносну швидкості аналогічна задачі розкладання сили на дві збіжні складові. Розв’язок цих задач буде правильним в тому випадку, коли абсолютна швидкість є діагоналлю паралелограма побудованого на векторах переносної та відносної швидкостей точки. Оскільки за даною діагоналлю можна побудувати безліч паралелограмів, то подібно задачі розкладання сили, задача розкладання швидкості точки в загальному випадку є невизначеною. Для визначеного розв’язку цієї задачі необхідно задавання


додаткових умов (або напрямку складових швидкостей, або модуля і напрямку однієї з них і т.д.).

3.4. Додавання прискорень. Теорема КоріолісаЗнайдемо залежність між абсолютним, відносним

прискореннями точки. Для цього скористаємося рівністю отримаємо

і переносним (3.2.3). З нього

d v . doM do,= + ■ пер

& (її (її Обчислимо похідні, що стоять праворуч.Нехай положення точки М (рис. 3.4.1), що

рухається у рухомих осях Охуг визначається її координатами х, у, г. Тоді проекції векторів йвіді # ей на вісі системи Охуг при будь-якому переносному русі визначається формулами

(3.4.1)

~ ^ мт,\

О.У

іївід = х і + ї ї + і к ,

™від= х і + у ] + ї к .

Де і ^ , к - одиничні вектори (орти).

о х-*-У і

(3.4.2) ХіРис. 3.4.1

Подальший розрахунок залежить від характеру переносного руху. Розглянемо кілька випадків.

Д о д а ва н н я п р и с к о р е н ь при п о с т у п а л ь н о м у п е р е н о сн о м у русі . Якщо рухома система відліку Охуг переміщується по відношенню до нерухомої ОіХ1у1г1 поступально, то вочевидь, що при будь-якому положенні точки М буде

(3.4.3)К е Р = -де о0 і w0 - швидкість і прискорення початку О.

При поступальному русі осей Охуг їх орти, переміщуються паралельно самим собі, але залишаються сталими. Тоді з рівностей (3.4.2) і (3.4.3) отримаємо

dv від = хі + y j + ї к - #dvnep dv,о

d t вгд' d t Тоді рівняння (3.4.1) можна записати

™а=™вгд +™пер- (3-4.4)Отже, при поступальному переносному русі абсолютне прискорення

точки дорівнює геометричній сумі відносного та переносного прискорень.Д о д а ва н н я п р ис к о р е н ь при не п о с т у п а л ь н о м у

п е р е н о с н о м у русі . Т ео р е ма Кор іол і са . Припустимо, що переносний рух є обертальним з кутовою швидкістю о) (рис. 3.4.2). При цьому вісь 0 0 може бути або нерухомою або миттєвою віссю обертання. В обох

dt= wn = w .О пер

z



випадках орти вже не будуть сталими, оскількиобертаючись з осями системи Охуг, вони змінюють свої напрямки, що не враховувалось при обчисленні

Тому з рівності (3.4.2) для будь-якоговід '

переносного руху отримаємо:

сійвід

СІІ =(...,-Л \ . сіі . ф . сікхг + у/ + г к )+ х -----ь у ---- ь z—

1 1 (к сії сіїде через позначена друга дужка в правій частині рівняння. І остаточно будемо мати

Рис. 3.4.2

сійвід

сіі = К ,д + ^1

В даному рівнянні величина # ей враховує зміну вектора йвід лише привідносному русі точки М, а додаткова складова щ враховує ту змінувектора ивід, яка відбувається при його повороті разом з тригранникомОхуг навколо осі ОД тобто в переносному русі.

Аналогічно можна знайти, щосійпер

сіі= ™пер+™2

В даному рівнянні величина м?пер враховує зміну вектора ипею лише припер

переносному русі, оскільки вона обчислюється як прискорення точки, що незмінно пов’язана з осями О-\Хфг^. Доданок # 2 враховує ту змінушвидкості дпер, яка відбувається при відносному русі точки М.

Остаточно отримаємо

де■А+М> + ж + ж ,від пер 1 2 ’

УГ = ж + ж , .кор 1 2

(3.4.5)

(3.4.6)Величина м?кор, яка характеризує зміну вектора відносної швидкості

йвід в переносному русі і вектора переносної швидкості ипер у відносномурусі, називається поворотним або коріолісовим прискоренням точки.

Формула = # е ід + м?пер + м?кор виражає те о р ем у Кор іол і са :абсолютне прискорення точки дорівнює геометричній сумі трьох прискорень: відносного, що характеризує зміну відносної швидкості точки у відносному русі, переносного, що характеризує зміну переносної швидкості точки в переносному русі, і коріолісова, що характеризує зміну відносної швидкості точки в переносному русі і переносної швидкості точки у відносному русі.Модуль поворотного прискорення (прискорення Коріоліса) визначається як модуль векторного добутку© ВоЬо - РиЬНэЫпд. 2006 21

= 2[® • йві0 ] м;с = 2 О)- иві0 • 8Іп(<9, ивю) . (3.4.7)Напрям поворотного прискорення визначається за правилом векторного добутку.

Питання для самоконтролю1. Дайте визначення відносного, переносного й абсолютного рухів.2. Дайте визначення відносної, переносної й абсолютної швидкостей.3. Дайте визначення відносного, переносного й абсолютного прискорень.4. Сформулюйте теорему про додавання швидкостей.5. Запишіть формулу для обчислення модуля абсолютної швидкості.6. Як розкласти швидкість на складові? Які умови необхідно задати при

цьому?7. Як визначити абсолютне прискорення точки при поступальному

переносному русі?8. Як визначити абсолютне прискорення точки при пе поступальному

переносному русі?9. Який рух характеризує переносне прискорення?

10. Який рух характеризує відносне прискорення?11. Сформулюйте теорему Коріоліса.** Які причини появи прискорення Коріоліса (поворотного прискорення)?** Які модуль і напрям прискорення Коріоліса (поворотного

прискорення)?** За яких умов поворотне прискорення дорівнюватиме нулю?


1°. Клин, який рухається горизонтально з прискоренням илі, переміщує вздовж вертикальної направляючої стержень АВ. Визначити прискорення стержня, якщо кут клину дорівнює а.

2°. Куліса ОА обертається із сталою швидкістю со навколо осі О. По прорізу куліси ковзає повзун В із сталою відносною швидкістю и. Визначити абсолютне прискорення повзуна в залежності від його відстані х до осі О.3. Візок котиться прямолінійно за законом ъ = И. Відносний рух точки М по візку заданий рівняннямихм =3і

До зад. 2та ум =Аі. Визначити абсолютну швидкість

точки М в момент часу ґ = 1 с.4. Визначити абсолютну швидкість точки М в момент часу ґ = 1 с, якщо її рух по квадратній пластині заданий рівнянням ВМ = 0.Ь2. КривошипиАВ = СО = 0,5 м обертаються за законом ер = 0.25м.

E-mail: [email protected] 2 2


5. Кривошип ОА = 0,2 м обертається навколо осі О з кутовою швидкістю со-2 рад/с і приводить в рух кулісу 1, яка рухається поступально. Знайти швидкість куліси при куті а - 30°.

6. По грані призми, що рухається зі швидкістю ие, ковзає кінець стержня АВ. За якого кута а абсолютна швидкість точки А буде дорівнювати швидкості призми ие1

в_

7. Конус обертається навколо осі О і з кутовою швидкістю со = 3 рад/с. По його твірній із сталою швидкістю иг = 4 м/с рухається точка М в напрямку від А до В. Визначити модуль абсолютної швидкості цієї точки в момент коли відстань АМ = 2 м, якщо кут а - 30°.8. Диск обертається навколо осі Ог за законом ср = 4§т^. По його ободу рухається точка М згідно рівнянню АМ = 0 . 6 6 8 і п 6 ґ + 4 . Визначити абсолютну швидкість точки М в момент часу ґ = 0,35 с, якщо радіус [?= '\ м.

9. Пластинка ДВСО обертається навколо осі Ог з кутовою швидкістю со = 4ґ. По стороні ВС в напрямку від В до С рухається точка М із сталою швидкістю 9 м/с. Визначити модуль абсолютної швидкості точки М в момент часу ґ = 3 с, якщо довжина АВ = 1 м.

До зад. 8 До зад. 9 До зад. 10

10. Візок рухається по похилій площині з прискоренням уїє = 2 м/с2. По візку в площині креслення рухається точка М згідно рівнянням хг= 3 ґ і у1 = 4(2. Визначити абсолютне прискорення точки.11. Візок рухається по горизонтальній осі. В даний момент часу прискорення

о

візка ]А/пер = 2 м/с . По візку рухається точка М згідно рівнянням х1= о.зг2 і >>! =о.5г. Визначити абсолютне прискорення точки М.

До зад 6

© ВоЬо - РиЬИэЫпд. 2006 23

12. Точка М рухається від початку координат зі швидкістю и = 2 м/с по стержню, що утворює кут 30° з вертикальною віссю обертання Ог. Кутова

Ус ш

швидкість со-4 рад/с. Визначити проекцію на вісь Ох коріолісова прискорення точки М, коли стержень знаходиться у площині Оуг.13. Трубка обертається навколо осі ООі з кутовою швидкістю (о- 1,5 рад/с. Кулька М рухається вздовж трубки за законом М0М = 4ґ. Знайти модуль прискорення Коріоліса кульки.

14*. В кривошипно-кулісному механізмі з кулісою, що рухається поступально кривошип ОА довжиною г обертається із сталою кутовою швидкістю а>0 і приводить до руху кулісу ВВ, проріз якої утворює з напрямком її переміщення сталий кут а =60°.Визначити швидкість куліси та швидкість ковзання повзуна А в прорізі куліси, якщо у початковий момент часу кривошип займав ліве горизонтальне положення.

15*. Кільце радіусом Я = 1 д м обертається у вертикальній площині навколо нерухомої осі О проти годинникової стрілки за законом <р= лі ( ї - в секундах; <р- в радіанах), де <р - кут між діаметром кільця ОА та горизонтальною прямою (див. Рис.). По ободу кільця з точкиО рухається точка М за годинниковою стрілкою за рівнянням 8 = лі (ґ — в секундах; 5 - в дециметрах). Визначити абсолютне прискорення точки в моменти часу и = 0.5 с і і2 = 1 с.

ЯКМ0

С

S3

о

м

соОі

rsДо зад. 13

До зад. 14



4 ПРОСТІ ВИДИ РУХУ ТВЕРДОГО ТІЛА1. Поступальний рух тіла.2. Обертальний рух тіла.3. Траєкторії швидкості та прискорення

точок твердого тіла, що обертається.4. Окремі випадки обертального руху тіла.

В кінематиці, як і в статиці, ми будемо розглядати всі тверді тіла як абсолютно тверді, тобто вважаємо, що відстань між будь-якими двома точками тіла залишається сталим протягом всього руху.

Задачі кінематики твердого тіла розпадаються на дві частини:□ задавання руху та вивчення кінематичних характеристик руху

всього тіла як єдиного;□ вивчення руху кожної з точок тіла окремо.4.1 Поступальний рух тілаПоступальним називають такий рух твердого тіла, при якому будь-яка

пряма, що проведена в цьому тілі, переміщується паралельно сама собі.Поступальний рух не слід підміняти прямолінійним. При поступальному

русі тіла траєкторії його точок можуть бути будь-якими кривими лініями.Властивості поступального руху визначаються наступною теоремою: при

поступальному русі всі точки тіла описують однакові (такі, що співпадають при накладанні) траєкторії і мають в кожний момент часу однакові за модулем і напрямком швидкості та прискорення.

Розглянемо тверде тіло, яке здійснює поступальний рух відносно системи відліку Охуг. Візьмемо в тілі дві довільні точки А і В, положення яких в момент часу ґ визначається радіус-векторами гЛ і гв . Проведемо вектор

А В , який з’єднує ці точки. Отримаємо:гв = га + А В (4,1.1)

До того ж довжина АВ стала, а напрям АВ залишається незмінним, оскільки тіло рухаєтьсяпоступально. Таким чином, вектор АВ протягом всього руху залишається сталим. Внаслідок цього траєкторію точки В отримують з траєкторії точки А паралельним переміщенням всіх її точок насталий вектор А В . Таким чином траєкторії точок А І В будуть ДІЙСНО однакові криві. Рис. 4.1.1

Щоб знайти швидкості необхідно взяти диференціал від обох частин рівності (4.1.1) по часу. Отримаємо:

© ВоЬо - РиЬІІзИіпд. 2006 25

dfB _ dfA dAB

dt dt dtАле похідна від сталого вектора АВ дорівнює нулю. Похідні від векторів

г4 і гв по часу дають швидкості точок А і В. Таким чином

тобто швидкості точок Л і в у будь-який момент часу однакові і за модулем і за напрямком. Ще одна похідна по часу дасть нам

d u d du R _ _ _— — = — - або w 4 = w R,dt dt

тобто прискорення точок Л і в у будь-який момент часу однакові і за модулем і за напрямком. Оскільки точки були вибрані довільно, то висновки можна поширити на всі точки тіла. Теорема доведена.

З доведеної теореми випливає, що поступальний рух твердого тіла повністю визначається рухом однієї його точки. Таким чином, задача вивчення поступального руху тіла зводиться до розглянутої раніше задачі кінематики точки.

Швидкість і прискорення, загальні для точок тіла, що рухається поступально, називаються швидкістю і прискоренням цього тіла.

4.2 Обертальний рух тілаОбертальним рухом називається такий рух твердого тіла, при якому

будь-які дві його точки (чи незмінно з ним пов’язані), залишаються нерухомими протягом всього руху. Пряма, що проходить через ці точки називається віссю обертання.

При обертальному русі тіла різні його точки рухаються по різному. Однак і для обертального руху можна знайти такі кінематичні характеристики, які були б загальними для всіх точок тіла

Нехай будь-яке тверде тіло обертається навколо нерухомої осі z. Проведемо через вісь обертання z нерухому площину Р і площину Q, яка незмінно пов’язана з тілом, що обертається.

Кут ф між нерухомою площиною, яка проходить через вісь обертання, і площиною, яка незмінно пов’язана з тілом, що обертається і також проходить через вісь обертання, називається кутом повороту або кутовим переміщенням даного тіла.

Кут ер будемо вважати додатнім, якщо він відкладається від нерухомої площини проти годинникової стрілки. Вимірюється кут ^завжди у радіанах.

При обертанні тіла навколо осі z кут повороту змінюється протягом часу, значить він є функцією часу

<p = f ( t ) . (4.2.1)E-mail: [email protected] 2 6


Рівняння (4.2.1), яке встановлює залежність між кутом повороту тіла і часом його руху, називається рівнянням (законом) обертального руху тіла.

Основними кінематичними характеристиками обертального руху твердого тіла є його кутова швидкість со і кутове прискорення є.

Якщо за проміжок часу Дґ тіло здійснює поворот на кут А<р, то відношення приросту Аср кута повороту тіла за деякий проміжок часу Дґ до величини цього проміжку називається середньою кутовою швидкістю тіла за цей проміжок часу:

< О с = -^ - (4.2.2)

Кутовою швидкістю тіла в даний проміжок часу називається границя, до якої прямує середня кутова швидкість, якщо даний проміжок часу прямує до нуля:

б» = 1 іт — або со = — . (4.2.3)Аг_>0 А/ сІЇ

Таким чином, кутова швидкість тіла в даний момент часу чисельно дорівнює першій похідній від кута повороту по часу.

Кутову швидкість тіла зображають у вигляді вектора 3 , який напрямлений вздовж вісі обертання тіла в той бік, звідки обертання буде видно проти годинникової стрілки.

Кутове п р и ск ор ен н я характеризує зміну кутової швидкості тіла з часом.

Якщо за проміжок часу Дґ кутова швидкість змінюється на величину Асо, то відношення приросту кутової швидкості тіла Асо за деякий проміжок часу Дґ до цього проміжку називається середнім кутовим прискоренням:

<«.<»Кутовим прискоренням тіла в даний момент часу ґ називається

величина, до якої прямує значення єср, якщо проміжок часу Дґ прямує до нуля:А со сію с12ср

є = І іш -----= ----- = — ^ . (4.2.5)А/ Ж ш

Отже, кутове прискорення тіла в даний момент часу чисельно дорівнює першій похідній від кутової швидкості або другій похідній від кута повороту по часу.

Кутове прискорення тіла також можна зобразити у вигляді вектора, який напрямлений вздовж вісі обертання. Напрям вектора є співпадає з напрямом вектора со, якщо тіло обертається прискорено і протилежно при уповільненому обертанні.


4.3 Траєкторії, швидкості та прискорення точок твердого тіла, щообертаєтьсяПри обертання тіла навколо нерухомої осі всі його точки описують

кола, які лежать у площинах, перпендикулярних до осі обертання г. Центри цих кіл лежать на осі обертання, а радіус кожного з них дорівнює відстані відповідної точки тіла до осі обертання.

Нехай точка М знаходиться на відстані г від осі обертання г. Якщо за час с/ґ відбувається елементарний поворот тіла на кут с!<р, то точка М здійснить елементарне переміщення сЬ = Ыср. Тоді швидкість точки буде дорівнює відношенню

^ гіф Г- О „Xо = — = г —^ або о = гсо. (4.3.1)сії Ж

Швидкість и називають лінійною швидкістю точки М. Чисельне значення швидкості твердого тіла, що обертається, дорівнює добутку кутової швидкості на відстань цієї точки від осі обертання.

Вектор швидкості 0 напрямлений по дотичній до траєкторії точки в бік руху точки. Оскільки для всіх точок тіла со має в даний момент часу одне значення, то з формули (4.3.1) випливає, що лінійні швидкості точок тіла, що обертається, пропорційні їх відстаням від осі обертання.

Щоб знайти прискорення точки М скористаємося формулами

Рис. 4.3.1

do Vw T = I Wn = (4.3.2)

dt рПідставивши в цю формулу значення (4.3.1) і врахувавши, що р = г ,

маємо:

w T =d v d dco— = — гсо = г — = г є dt dt dt

v 2 2 Г CDW =w

2= Г СОp

Повне прискорення точки М буде

ч =v 2 : г є 2 4+ г со11’ = д/ ̂ = л /г V + г 2со4 = ГЛІє2 + б)4 .

Відхилення вектора повного прискорення від радіуса кола, що описує точка, визначається кутом //, який обчислюється за формулою

(4.3.3)

(4.3.4)

tgM =w n aг

(4.3.5)

Формули (4.3.1) - (4.3.5) дозволяють визначити швидкість і прискорення будь-якої точки тіла, якщо відомий закон обертання тіла і відстань даної точки від осі обертання. По цим самим формулам можна за відомим законом руху однієї точки тіла, знайти рух будь-якої іншої точки тіла, а також характеристики руху тіла в цілому.



4.4 Окремі випадки обертального руху тілаР і в н о м і р н е обер т ан н я . Рівномірним обертанням тіла

називається обертальний рух тіла із сталою кутовою швидкістю.Рі в н о м і р но пе р ем і нн е о берт ання . Рівномірно перемінним

обертанням тіла називають такий обертальний рух, при якому за рівні, довільно взяті проміжки часу кутова швидкість тіла змінюється на одну й ту саму величину.

Варто звернути увагу на аналогію між формулами кінематики для поступального і обертального рухів.____________________________________________________________ Таблиця

кхар;

ха

інематичні актеристики і рактер руху

Рух точки Обертальний рух тіла

Рівн

яння

ру

ху

ЗагальнаформулаРівномірнийрухРівномірно змінний рух

* = / ( ' )S = Sq + ut

. Wt t 2s = sn+ u nt -\— -—0 0 2

<p= f i t )(p = (pQ+cot

St1<p = % + m ()t +

Шви

дкіс

ть

Загальнаформула

РівномірнийрухРівномірно змінний рух

Ліні

йна

ds u = —

dts - s 0

u = ------ -t

u = u0+ w Tt

Куто

ва

dcpCD = - L-

dt

tCO = co0+ St

При

скор

ення

Загальнаформула

Рівномірно змінний рух

Дот

ична

do d 2sWT = ---- = --- T-

dt dtv - v 0

wr = --------t

Куто

ве

dco d 2(p£ = ---- = ---- r

dt dtCO — CO n,

є = ---------t

Питання для самоконтролю1. Назвіть основні види руху твердого тіла.2. Який рух твердого тіла називають поступальним і які він має

властивості?3. Який рух твердого тіла називають обертальним навколо нерухомої

осі?4. Сформулюйте теорему про поступальний рух.5. Що називають кутом повороту?


6. Що називають середньою кутовою швидкістю? миттєвою кутовою швидкістю?

7. За якими формулами визначають модуль кутової швидкості?8. Як напрямлений вектор кутової швидкості?9. Що називають середнім кутовим прискоренням? миттєвим кутовим

прискоренням?10. За якими формулами визначають модуль кутового прискорення?11. Як напрямлений вектор кутового прискорення?12. Запишіть формулу, що пов’язує лінійну швидкість з кутовою.13. Запишіть формули для визначення тангенціального та нормального

прискорень через кутові величини.** Виведіть формули модулів швидкості та прискорення точок твердого

тіла, що обертається навколо нерухомої осі.** За яких умов прискорення точки тіла, що обертається, складатиме з

відрізком, який з’єднує точку з центром кола, яке вона описує, кути 0, 45°, 90°?

** Прискорення яких точок тіла, що обертається:а) рівні за модулем;б) співпадають за напрямком;в) рівні за модулем і співпадають за напрямком?

2°. Вал, що робить 90 об/хв., після вимкнення двигуна починає обертатися рівносповільнено і зупиняється .через и = 40 С. Визначити СКІЛЬКИ обертів зробив вал за До зад 1цей час.

3°. Під час розгону маховик обертається за законом (р = ̂ ъ ■ Визначити

лінійну швидкість і прискорення точки, яка знаходиться на відстані /7 = 0,8 м від осі обертання, у той момент, коли дотичне прискорення цієї точки дорівнює нормальному. у в с


1°. Маховик має у даний момент кутову швидкість со = 27г с 1 і кутове прискорення є = - 3 с 2. Знайти швидкість, обертальне, доцентрове і повне прискорення точки М маховика, яка знаходиться на відстані 0,8 м від осі обертання.

повне

4. Квадратна пластинка ДВСО здійснює поступальний рухв площині Оху. Визначити прискорення точки С, якщо

І")нормальне прискорення точки А \мпА = 4 м/с , а дотичне прискорення точки В штВ = 3 м/с2.

До зад. 4E-mail: [email protected] ЗО


5. Кутова швидкість тіла змінюється за законом а> = - 8ґ. Визначити кут повороту тіла в момент часу ґ=3с , якщо при ґ0 = 0 кут повороту був щ - 5 рад.6. Обертання диску навколо нерухомої осі визначається рівнянням ср= 180ґ-

(<р-у радіанах, ґ - в секундах). Знайти кутову швидкість со і кутове прискорення є диску у моменти часу ґ = 0, ґ = 6 с, ґ = 7 с.7. Маховик радіуса Я = 1,2 м обертається рівномірно, і робить 90 об/хв. Визначити лінійну швидкість і прискорення точки, яка лежить на ободі маховика.

8. Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом <р=?. Визначити швидкість точки тіла на відстані г = 0,5 м від осі обертання в момент часу, коли кут повороту <р=25 рад.

9. Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом <р=2?. В момент часу ґ = 2 с визначити дотичне прискорення точки тіла на відстані від осі обертання г - 0,2 м.

10*. Кут повороту диску, що обертається навколо нерухомої осі, змінюється за законом ф = к? + л12 ( к - стала величина, ф- в радіанах, ґ - в секундах). Визначити кутову швидкість і кутове прискорення диску через 4 с після початку руху, якщо за перші 2 с він зробив N = 8 обертів.

11*. Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі задано рівнянням <р=' \ ,5?-4 і (<р — в радіанах, ґ - в секундах). Визначити: 1) характеробертання тіла в моменти и = 1 с і ґ2 = 2 с; 2) величини швидкості та прискорення точки тіла, яка знаходиться від осі обертання на відстані 0,2 м, в ці ж моменти часу.


5 СКЛАДНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА1. Поняття складного і плоскопаралельного рухів.2. Розклад руху плоскої фігури на поступальний і

обертальний.3. Теорема про проекції швидкостей двох точок фігури.4. Миттєвий центр швидкостей фігури.5. Теорема про прискорення точок плоскої фігури.

5.1. Поняття складного і плоскопаралельного рухівПоняття складного руху тіла аналогічне поняттю складного руху

точки. У ряді випадків рух тіла відносно нерухомої системи відліку зручно розглядати як складний рух, що складається з двох рухів: відносного, тобто руху тіла по відношенню до деякої рухомої системи відліку, і переносного - руху тіла разом з рухомою системою відліку по відношенню до нерухомої.

Будь-який складний рух тіла можна звести до тієї чи іншої сукупності поступальних і обертальних рухів. Задача визначення абсолютного руху тіла приводиться до задачі додавання або поступальних рухів, або обертальних рухів, або поступального і обертального рухів, в залежності від того, якими рухами будуть переносний і відносний рухи тіла.

Плоскопаралельним (або плоским) називають такий рух твердого тіла, при якому всі його точки переміщуються паралельно деякій нерухомій площині. Плоский рух здійснює велика частина механізмів і машин. Окремим випадком плоскопаралельного руху є обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі. При такому русі всі точки тіла рухаються у площинах перпендикулярних осі обертання. Таким чином будь-яку з цих осей можна вибрати за нерухому, паралельно до якої і будуть рухатися всі точки тіла.

Розглянемо переріз Б тіла будь-якою площиною Оху, яка паралельна до площини П (Рис. 5.1.1). При плоскопаралельному русі всі точки тіла, які лежать на одній прямій ММ , що перпендикулярна до перерізу Б, тобто площині П, рухаються однаково. Тому для вивчення плоскопаралельного руху всього тіла достатньо вивчити рух незмінної плоскої фігури (переріз в тіла), яку отримують при перетині тіла будь-якою площиною, що паралельна даній нерухомій площині. В подальшому площину Оху будемо суміщати з площиною рисунку, а замість всього тіла зображати лише його переріз.

Положення перерізу Б у площині Оху визначається положенням будь- якого проведеного в цьому перерізі відрізка АВ (Рис. 5.1.2). У свою чергу положення відрізку АВ можна визначити, якщо знати координати точки хА, уА точки А і кут % який відрізок АВ утворює з віссю х.

о х

Рис. 5.1.1



У

Уа

Ха х

Рис. 5.1.2

X

Точку А, яку вибирають на перерізі Б за початок рухомої системи відліку, називають полюсом.

Під час руху тіла величини хА, уА і (р змінюються.Щоб знати закон руху тіла, тобто знати його положення у просторі у будь-який момент часу, треба знати залежності:

= / ( ' ) . У л = І . і ( 0 ' 2л = /з (0 - (5.1.1)Дані рівняння визначають закон руху, що

відбуваються, і називаються рівняннями плоскопаралельного руху.

5.2. Розклад руху плоскої фігури на поступальний і обертальнийПокажемо, що плоский рух складається з поступального й обертального

рухів. Для цього розглянемо два послідовних положення / і II, які займає переріз Б тіла, що рухається, в моменти часу и Уп і ґ2 = и + Аґ (Рис. 5.2.1). Видно, що переріз Б, а значить і все тіло, можна привести з положення І у положення II наступним чином: перемістити спочатку тіло поступально, так, щоб полюс А, рухаючись вздовж своєї траєкторії, опинився у точці Л2 (при цьому відрізок Д-іВ-і займе положення А2В\), а потім повернемо переріз на кут (р навколо полюса А2.Таким самим чином можна перемістити тіло у будь-яке інше положення. Звідси робимо висновок, що плоско паралельний рух твердого тіла складається з поступального руху, при якому всі точки тіла рухаються які полюс, та з обертального руху навколо цього полюсу.

Поступальна частина плоскопаралельного руху описується першими двома з рівнянь ( 5 . 1 . 1 ) , а обертання навколо полюсу - третім з цих рівнянь.

Основними кінематичними характеристиками плоскопаралельного руху є швидкість і прискорення поступального руху (йпост = й А і м?пост = уіїа), а такожкутова швидкість со та кутове прискорення є. Значення цих характеристик в будь-який момент часу можна знайти за рівняннями (5.1.1).

Під час вивчення руху за полюс можна вибирати будь-яку точку тіла. Обертальна частина руху не залежить від вибору полюса і є для плоскопаралельного руху кінематичною характеристикою, загальною для всіх точок тіла.

В из начення т р ає кт ор і й точок т іла.Розглянемо точку М тіла, положення якої в перерізі Б визначається відстанню Ь = АМ від полюса А і кутом ВАМ = а (Рис. 5.2.2). Якщо рух заданий рівняннями(5.1.1), то координати х і у точки М в осях Оху будуть:

Рис. 5.2.1


х = х 4 +Ь соб (ер + а),и ■ І ( (5-2.1)у = уА +Ьіт((р + а).

Рівняння (5.2.1) визначають закон руху точки М у площині Оху і дають одночасно рівняння траєкторії цієї точки у параметричному вигляді. Якщо тіло, що рухається, є частиною деякого механізму, то для визначення траєкторії будь-якої точки М тіла достатньо виразити її координати через будь-кий параметр, а потім виключити цей параметр з системи рівнянь.

Ви з нач ення ш видк ос те й точок т іла. Як вже наголошувалося вище, плоско паралельний рух твердого тіла є сукупністю поступального руху, при якому всі точки тіла рухаються зі швидкістю полюсу иА, і обертального руху навколо цього полюса.

Нехай деяка плоска фігура Б рухається у своїй площині. Візьмемо довільну точку А даної фігури за полюс (Рис. 5.2.3). Тоді по відношенню до нерухомої системи відліку будь-яка інша точка фігури В буде брати участь одночасно у двох рухах: переносному - разом з фігурою в її поступальному

русі зі швидкістю полюса йА; та відносному - обертальному русі навколо полюса А з кутовою швидкістю со, яка не залежить від вибору полюса.

Таким чином, ґрунтуючись на теоремі про додавання швидкостей, маємо, що абсолютна швидкість будь-якої точки плоскої фігури у

кожний даний момент дорівнює геометричній сумі двох швидкостей: швидкості полюса й обертальної швидкості навколо цього полюса:

= ^ВА > (5-2-2)де йА - швидкість полюса фігури; йв - швидкість довільної точки фігури; иВА - обертальна швидкість точки В відносно полюса А.

Визначити обертальну швидкість иВА не складає труднощів, якщо відома

кутова швидкість фігури: иВЛ=со-ВА причому ивл±ВА. А напрям і модуль швидкості ив знаходять за допомогою побудови відповідного паралелограма (Рис. 5.2.3).

5.3. Теорема п р о проекції швидкостей двох точок Ф і г у р и

Визначення швидкостей точок за допомогою формули (5.2.2) пов’язано з достатньо складними розрахунками. Однак, виходячи з цього основного результату, можна отримати низку інших доволі зручних і простих методів визначення швидкостей точок тіла.

Один з таких методів дає теорема про проекції швидкостей: проекції швидкостей двох точок твердого тіла на пряму, що з ’єднує ці точки, рівні між собою.



Розглянемо будь-які точки А і В тіла. Візьмемо точку А за полюс (Рис. 5.3.1). Тоді за формулою (5.2.2)отримаємо, що йв = й А+ й ВА. Звідси,проектуючи обидві частини рівності на лінію

VВААВ і враховуючи, що вектор перпендикулярний до АВ, знайдемо:

ив соб /? = иА соб а , (5.3.1)теорема доведена. Цей результат дозволяє знаходити швидкість даної точки тіла, якщо відомі напрямки руху цієї точки і швидкість будь-якої іншої точки того самого тіла.

5 .4 . Миттєвий центр швидкостей Ф ігу р и

Інший простий і наочний метод визначення швидкостей точок тіла при плоскопаралельному русі ґрунтується на понятті про миттєвий центр швидкостей.

Миттєвим центром швидкостей називається точка перерізу Э тіла, швидкість якої у даний момент часу дорівнює нулю.

Легко переконатися, що якщо тіло рухається не поступально, то така точка у кожний момент часу існує і до того ж лише одна. Нехай в момент часу ґ точки А і В тіла, що належать даному перерізу, мають швидкості йА і йв , які не паралельні між собою (Рис. 5.4.1). Тоді точка Р, яка лежить на перетині перпендикулярів Аа до вектора йА і ВЬ до вектора йв , і буде миттєвим центром швидкостей, оскільки ир = 0. Насправді, якщо припустити, що

то за теоремою про проекції швидкостеййр Ф 0 ъ аТОЧОК тіла вектор йр повинен бути одночасно Рис. 5.4.1

перпендикулярним і до АР (йА ± АР) і до ВР (йв -\-ВР), що неможливо. Зцієї ж теореми видно, що жодна інша точка даного перерізу у даний момент часу не може мати швидкість, яка дорівнює нулю.

Якщо тепер в момент часу ґ взяти точку Р за полюс, то за формулою(5.2.2) швидкість точки А буде

» А = » Р + » А Р = » А Р >оскільки йр = 0 . Аналогічний результат отримаємо для будь-якої іншої точки тіла. Таким чином, швидкість будь-якої точки тіла, що лежить в перерізі Э, дорівнює її обертальній швидкості навколо миттєвого центу швидкостей Р. До того ж згідно відношенням

(йА 1 АР);(йв 1 В Р ) \ т.д.

З цих рівностей також випливає, що

иА = со-РА ив = со • РВ

(5.4.1)


= (5.4.2)РА РВ

тобто швидкості точок тіла пропорційні їх відстаням від миттєвого центру швидкостей (Рис. 5.4.2).

Отримані результати приводять до наступних висновків.

□ Для визначення миттєвого центру швидкостей требазнати лише напрям швидкостей иА і ив будь-яких двох точок А і В перерізу тіла (або траєкторії цих точок); миттєвий центр швидкостей знаходиться В ТОЧЦІ перетину Рис. 5.4.2перпендикулярів, проведених з точок А і В до швидкостей цихточок (або дотичних до траєкторій).

□ Для визначення швидкості будь-якої точки тіла треба знати модуль і напрям швидкості будь-якої однієї точки А тіла і напрям швидкості іншої його точки В. Тоді, провівши з точок А і В перпендикуляри до иА і ив можна побудувати миттєвий центр швидкостей Р і за напрямом иА визначитинапрям повороту тіла. Після чого за формулами (5.4.2) знайти швидкість будь-якої точки тіла. Напрям вектора швидкості знайденої точки перпендикулярний відрізку, що з’єднує цю точку з точкою миттєвого центру швидкостей і напрямлений в бік повороту тіла.

□ Кутова швидкість тіла рівна в кожний даний момент часу відношенню швидкості будь-якої точки перерізу в до її відстані від миттєвого центру Р:

о = (5.4.3)РВ

Знайдемо ще один вираз для со. З рівностей (5.2.2) і (5.4.1) випливає, щоі иВА = со- А В , звідки^ВА — v B - v A

CO *>В-»ААВ АВ

Якщо оА = 0 (точка А - миттєвий центр швидкостей), формула (4.4) переходить у (5.4.3).

Рівності (5.4.3) і (5.4.4) визначають одну й ту саму величину.

5.5. Теорема про прискорення точок плоскої Фігури.Прискорення точок плоскої фігури при її плоско паралельному русі

визначається наступною теоремою:Прискорення будь-якої точки плоскої фігури дорівнює геометричній

сумі прискорення полюса та прискорення точки в обертальному русі навколо цього полюса.



Нехай точка Р є полюсом даної фігури і у деякий момент часу має прискорення (Рис. 5.5.1). Відомо, що фігура обертається проти годинникової стрілки і в цей самий момент часу має кутову швидкість со та кутове прискорення є. Визначимо прискорення деякої точки А фігури, вважаючи точку Р за полюс.

Скористаємося теоремою про швидкості точок плоскої фігури:

о л ор + З - Р А ор + 3 - Я ,Тоді прискорення точки А знайдемо як похідну від її швидкості:

УІ', с іи А сійр+

с іЗЙ + - <ЙІРАсо ----------- —

Ж Ж _ Ж СІІ

Алесій)

М?гсіі Ш

Таким чином будемо мати

З •

(5.5.1)

(5.5.2)

(5.5.3)

(5.5.4)Другий доданок в даному рівнянні це тангенціальне прискорення, а третій - нормальне. Сума тангенціального та нормального прискорень є повним прискоренням даної точки А відносно полюса Р. Остаточно отримаємо

™а = ^ = % + %А ■ (5.5.5)Теорема доведена.

є -Я, + іУ

Питання для самоконтролю1. Який рух твердого тіла називають плоскопаралельним (плоским)?2. Що називають полюсом?3. На які види руху можна розкласти плоскопаралельний рух?4. Чи залежить поступальний рух плоскої фігури від вибору полюса?5. Чи залежить обертальний рух плоскої фігури від вибору полюса?6. Запишіть рівняння руху плоскої фігури в її площині.7. Як визначити швидкість будь-якої точки плоскої фігури?8. Сформулюйте теорему про проекції швидкостей двох точок.9. Яку точку плоскої фігури називають миттєвим центром швидкостей?

10. Як визначити положення миттєвого центру швидкостей?11. Як визначити прискорення будь-якої точки плоскої фігури?** Покажіть, що проекції швидкостей точок незмінного відрізку на вісь,

яка співпадає з даним відрізком, рівні між собою.** Як побудувати центр повороту плоскої фігури, якщо відомо її

початкове та кінцеве положення?


Що являє собою картина розподілу прискорення точок плоскої фігури в даний момент часу для таких випадків:

1) ^ 0, є # 0;2) со ф 0, є - 0;3) со - 0, є #0.

Як визначити прискорення точок та кутових прискорень ланок плоского механізму?


1°. Стержень АВ рухається у площині Оху так, що його нижній кінець А ковзає вздовж вісі Ох, а сам стержень торкається вертикальної стінки ОС. Для моменту коли вісь стержня АВ має нахил до осі Ох, що відповідає куту <р= 60°, і швидкість нижнього кінця стержня и = 4 м/с, визначити швидкість тієї точки С стержня, в якій він торкається стінки, а також кутову швидкість со стержня. Висота стінки ОС = 2 м.

2°. Повзуни А і В лінійки еліпсографа, переміщуються по взаємно перпендикулярним напрямним. Відстань АВ = І, а АМ=Ь. Визначити траєкторію точки М і залежність між швидкостями повзунів еліпсографа при заданому куті <р.

3°. В кривошипно-шатунному механізмі кривошип ОА довжиною г обертається з кутовою швидкістю оОА. Довжина шатуна АВ = /. При даномукуті ер визначити: 1) швидкість повзуна В; 2) положення точки М шатуна АВ з найменшою швидкістю; 3) кутову швидкість юОА шатуна. Розглянутидодатково положення механізму при <р = 0 і <р = 90°.

4. Стержень АВ рухається згідно рівнянням х а = 2 + ґ - , ^

У а = о, ер = о.25м. Визначити абсцису точки В у момент часу и = 1 с, довжина АВ = 3 м.5. Колесо радіуса Я = 10 см котиться по прямолінійнійділянці із сталим прискоренням центра колеса о хШС = 2л-см/с2. Визначити СКІЛЬКИ обертів зробило колесо До зад. 4

за час и = 10 с, якщо початкова швидкість ^с(0) = 0.



6. Тверде тіло здійснює плоско паралельний рух за рівняннями хА = 2 ? ,

уА = 0,2 м, <р= 10і2. Визначити кутову швидкість тіла в момент часу ^ = 1 с.

7. Швидкість вантажу 1 и = 0,5 м/с. Визначити кутову швидкість рухомого блоку 2, якщо його радіус Я = 0,1 м.8. Колесо котиться згідно рівнянням хс = 2 ? , ус = 0,5 м. Визначити кутове прискорення колеса.

9. Барабан 1 обертається за законом <р= 0,3і2. Визначити кутове прискорення блоку 2, якщо радіуси Р1=0,'\ м, г= 0,06 м.10. Стержень АВ довжиною 2 м рухається в площині Оху згідно рівнянням

7Г 7 Їх л = 4 с о ь — і , у А = 0 , (Р = ~ І - Визначити в момент часу и = 0,5 с проекцію

вектора швидкості точки В на вісь Ох. (Дивись рисунок до зад. 4)

11. Для заданого положення шарнірного чотириланкової конструкції визначити швидкість точки В, якщо точка А має швидкість 1 м/с.12. В даному положенні механізму точка Р є миттєвим центром швидкостей ланки АВ. Визначити відстань ВР, якщо швидкості точок А і В рівні відповідно иА = 10 м/с, ^е =15 м/с, а відстань АР = 60 см.13. Стержень АВ довжиною 60 см рухається у площині креслення. У деякий момент часу точки А і В стержня мають швидкості иА = 4 м/с, ив = 2 м/с. Визначити відстань від точки А до миттєвого центру швидкостей.

14. Швидкість центру А ступінчастого колеса иА = 2 м/с, радіуси ^ = 0,6 м, Я?2 = 0,5 м. Визначити швидкість точки В.

15. Швидкість вантажу 1 = 0,5 м/с. Визначити швидкість вантажу 2.

16. Центр колеса радіуса 0,5 м, що рухається по площині за законом 5 = 2ґ. Визначити прискорення точки колеса, що торкається площини.

До зад. 7 До зад. 8 До зад. 9 До зад. 11

у У ' пДо зад. 14До зад. 12 До зад. 13 До зад. 15


17. Тіло рухається плоскопаралельно. Знайти прискорення точки В, якщоІ")

прискорення точки А дорівнює 3 м/с , кутова швидкість со = 1 рад/с, кутове прискорення £=0, відстань АВ = 0,5 м.

18. Барабан 1 обертається за законом ер- 0,1^. Визначити прискорення вантажу 2, якщо радіус г= 0,2 м.

19*. Визначити швидкість шарніру С, якщо швидкості повзунів А і В відомі і напрямлені так як показано на рисунку.

20*. Швидкості кінців незмінного відрізку відомі і напрямлені так як показано на рисунку. Визначити місце розташування точки відрізку, швидкість якої в даний момент часу напрямлена вздовж даного відрізку.

21*. Стержневий механізм складається з чотирьох стержнів, причому стержень ОИ обертається з кутовою швидкістю a?1t а стержень 0 2В - з кутовою швидкістю 0)2 в напрямках, що вказані на рисунку. У деякий момент часу стержень ОИ знаходиться у вертикальному положенні, стержні АС і 0 2В- у горизонтальному, а стержень ВС утворює з вертикаллю кут а =30°. Визначити швидкість точки Су даний момент, якщо 0 2В = b, ОИ = b j3 .

22*. Епіциклічний механізм складається з двох однакових зубчастих коліс 2 і З радіусами гта колеса 1, яке має вісь обертання, що проходить через вісь обертання, яка проходить через центр нерухомого колеса 3. Колесо 1 обертається у даний момент з кутовою швидкістю щ та кутовим прискоренням є\. Визначити величини прискорень точок А і Р колеса 2, які знаходяться у зачепленні з колесами 1 та 3.

23*. Колінчастий вал у період пуску обертається з кутовою швидкістю со0 і кутовим прискоренням єй. Визначити прискорення поршня В і кутове прискорення шатуна АВ у крайньому верхньому та крайньому правому положеннях кривошипу ОА, якщо довжина кривошипу г, а довжина шатуна /.

І

□З2 Ол

АVB VZZ

ВДо зад. 17 До зад. 18 До зад. 19 До зад. 20



6 СКЛАДНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА1. Розподіл швидкостей точок плоскої фігури.2. План швидкостей.3. Додавання обертань навколо паралельних осей.4. Кутова швидкість як вектор.

6.1 Розподіл швидкостей точок плоскої ФігуриЯкщо вважати миттєвий центр швидкостей Р за полюс, то легко знайти

швидкість всіх інших точок фігури в даний момент часу:»А=»Р+»АР=»АР> »В=»Р+»ВР=»ВР’ Ос = й р + й ср= й с р \Т.А. (6.1.1)

Таким чином, швидкість будь-якої точки плоскої фігури дорівнює обертальній швидкості цієї точки навколо миттєвого центру швидкостей фігури.

Виходячи з цього, легко знайти модуль і напрям швидкості кожної точки фігури (якщо положення миттєвого центру Р і кутова швидкість фігури, яка не залежить від вибору полюсу, для даного моменту часу відомі):

иА =со-АР, ив = ю -ВР і т.д. (6.1.1а)З цих рівнянь можна отримати

» в вр иЛ А Р '

Модулі швидкостей різних точок фігури в кожен даний момент часу пропорційні відстаням цих точок від відповідного даному моменту миттєвого центру швидкостей фігури. Напрям швидкостей різних точок фігури перпендикулярний до відрізків, які з ’єднують відповідні точки з миттєвим центром швидкостей, в бік обертання фігури.

Таким чином, швидкості різних точок плоскої фігури в кожен даний момент часу розподіляються так, якби фігура оберталась в цей момент часу навколо миттєвого центру швидкостей, який займає в різні моменти часу різні положення як відносно фігури, що рухається, так і відносно нерухомої площини, в якій рухається фігура.

Якщо розглядати рух плоскої фігури не як рух перерізу цієї фігури площиною, що паралельна нерухомій площині, а як плоскопаралельний рух самого тіла, то швидкості його точок в кожний даний момент часу поділяється на поступальний рух деякої осі обертання, яка називається миттєвою віссю обертання, що проходить через відповідний миттєвий центр швидкостей фігури і перпендикулярний до її площини та обертальний рух навколо цієї осі. Таким чином всі точки тіла, що лежать на такій осі матимуть швидкості рівні нулю, а всі точки тіла, що лежать на перпендикулярі до площини фігури, проведеному в будь-якій іншій його точці, будуть мати такі самі швидкості, які відповідна точка фігури.

Кожному моменту часу (кожній миті) відповідає своє положення миттєвого центру швидкостей і своє положення миттєвої осі.


Однак, не можна ототожнювати обертання тіла навколо миттєвої осі в даний момент з обертанням тіла навколо нерухомої осі.

При обертанні тіла навколо нерухомої осі, швидкості всіх точок, що лежать на цій осі, дорівнюють нулю протягом всього руху тіла, і тому їх прискорення також рівні нулю. Якщо розглядати обертання навколо миттєвої осі, то точки, що співпадають в даний момент часу з миттєвою віссю обертання, мають швидкості рівні нулю лише в даний момент і рухаються з прискоренням.

6.2 План швидкостейШвидкості точок тіла можна визначити графічно, побудувавши план

швидкостей. Планом швидкостей називається діаграма, на якій від деякого центру відкладаються швидкості точок тіла.

Нехай V »с -'А' ^В’швидкості точок А, В, С даного тіла. Тоді відповідний план швидкостей отримаємо,відклавши від деякого центру О у вибраному масштабі відрізки

Рис. 6.2.1

Oa = v A, O b - vВстановимо в л ас ти в о с т і

в > І

Ос = йсправила побудови

шв идк осте й . З означення паралельному русі маємо:

швидкості будь-якої точки при

V

дев оА + о ВА,

І йВА= со- АВ

б)

плануплоско

(6 .2 .1)

(6.2.1а)

йв = ü A+ab.

ВА- Аналогічно

Але з трикутника ОаЬ видно, що Ob = Oa + ab або

Порівнюючи цей результат з рівністю (6.2.1), отримаємо ab = v

знайдемо, що ас = иСА і так далі. Тоді за формулами (6.2.1а)ab _L А В , ас _L АС і т.д. (6.2.2)

Окрім того, за тими ж формулами ab = со • А В , ас = со -АС і т.д., звідкиab ас Ьс , ч-----= -------------= -= ... = со. (6.2.2а)АВ АС ВС

Таким чином, відрізки, які з ’єднують кінці векторів швидкостей на плані швидкостей, перпендикулярні відрізкам, які з ’єднують відповідні точки тіла, і за модулем пропорційні цим відрізкам; фігури, що позначені на плані швидкостей і у перерізі S тіла однаковими буквами, будуть при цьому подібні і повернуті одна відносно іншої на 90°.

с



Відношення (6.2.2) і (6.2.2а) дозволяють побудувати план швидкостей і визначати швидкість будь-якої точки тіла, якщо відомі модуль і напрям швидкості деякої однієї точки і напрям швидкості іншої точки цього тіла.

Кутова швидкість тіла, якщо відомий план швидкостей, знаходиться за формулою (6.2.2а).

План швидкостей механізму будується як сукупність планів швидкостей окремих його ланок (тіл), до того ж всі вектори швидкостей відкладають від загального центру О.

6.3 Додавання обертань навколо паралельних осейРозглянемо випадок, коли відносний рух тіла є обертанням з кутовою

швидкістю навколо осі аа', яка закріплена на кривошипі Ьа, а переносний - обертанням кривошипу Ьа навколо осі ЬЬ', яка паралельна аа', з кутовою швидкістю со2 . Тоді рух тіла буде плоскопаралельним по відношенню до площини, яка перпендикулярна до осей. Розглянемо три окремі випадки.

□ Об ерт ання н а п ря мл ен і в один бік. Зобразимо переріз Б тіла площиною, яка перпендикулярна V а'ДО осей (рис. 6.3.16). Сліди осей В 0)2 СО\перерізі Б позначимо буквами А і В. Легко бачити, що точка А, як така, що належить вісі Аа', отримує швидкість лише від обертання навколо вісі ВЬ', таким чином,

А В . АналогічноАВ

ТТ а

а)

А01

ив =со1 При цьому вектори Рис. 6.3.1

и4 і ив паралельні один одному (обидва перпендикулярні АВ) і напрямлені врізні боки. Тоді точка С є миттєвим центром швидкостей (ис = 0), а отже, вісь Сс', яка паралельна осям Аа' і ВЬ', є миттєвою віссю обертання тіла.

Для визначення кутової швидкості со абсолютного обертання тіла навколо осі Сс' і положення самої осі, тобто точки С, скористаємося рівністю

со = Vв V

ВС АСЗ властивостей пропорцій отримаємо:

Підставивши в отримаємо:

со =

Ці

» А + » В

АС + ВС рівності

О А + Ов

АВиА =

со = со1+со2,СОЛ соо со

ВС АС АВ

АВ і ив =со1-АВ, остаточно

(6.3.1)

(6.3.2)

© ВоЬо - РиЬІІзМпд. 2006 43

Таким чином, якщо тіло бере участь одночасно у двох напрямлених в один бік обертаннях навколо паралельних осей, то його результуючий рух буде миттєвим обертанням з абсолютною кутовою швидкістю о - сох + со2 навколо миттєвої осі, що паралельна даним; положення цієї осі визначається пропорцією (6.3.2).

Протягом часу миттєва вісь обертання Сс' буде змінювати своє положення, утворюючи циліндричну поверхню.

□ Об ерт ання на п р ямл ен і у рі зні боки з р і зними кутовими ш ви д к о с т ями . Зобразимо переріз Б тіла і припустимо для визначеності, що щ > о>2 . Тоді розмірковуючи, як і у попередньому а>випадку, знайдемо, що швидкості точок А і В будуть чисельно рівні: иА =со2 -ЛВ, ив =сох- А В ; при цьому иА і ив паралельні одна одній і напрямлені в один бік.Тоді миттєва вісь обертання проходить через точку С і до того ж

0) =Vв о,ВС АС

або за властивостями пропорцій Рис. 6.3.2

0) = »В ~ »АВ С - А С

Vв о,АВ

Підставивши в ці рівності иА і ив , остаточно знайдемо0) = о), — со̂

(Ол'і

(D,

2 > со

(6.3.3)

(6.3.4)

рух також є миттєвим навколо осі Сс',(Dx — б)1

ВС АС АВ Висновок, в даному випадку результуючий

обертанням з абсолютною кутовою швидкістю о - положення якої визначається пропорцією (6.3.4)

Отримані результати показують, що вектори кутових швидкостей при обертанні навколо паралельних осей додаються так само, як вектори паралельних сил.

□ О б ерт ання н а п р ямл ен і в різні боки з р і вними за модулем кутовими ш в и дк о с т я ми (пара обертань). Розглянемо випадок, коли обертання навколо паралельних осей напрямлені в різні боки, але за модулем сох-со1.Така сукупність обертань називається парою обертань, а вектори щ і а>2 утворюють пару кутових швидкостей. Для такого випадку отримуємо, що иА = со2 • АВ і ив =о)х- А В , тобто йв = йА. Тоді миттєвий центр швидкостей буде знаходитися у нескінченності і всі точки тіла у даний момент будутьE-mail: [email protected] 4 4


мати однакові швидкості и = сох • АВ

Таким чином, результуючий рух тіла буде поступальним (або миттєво поступальним) рухом зі швидкістю и, яка чисельно дорівнює сох-АВ і напрямлена перпендикулярно площині, що проходить через вектори щ і со2, напрям вектора й визначається так само, як і у статиці визначався напрям моменту пари сил. Іншими словами, пара обертань еквівалентна поступальному (або миттєво поступальному) руху зі швидкістю й , яка дорівнює моменту пари кутових швидкостей цих обертань.

Прикладом такого руху може слугувати рух велосипедної педалі відносно рами велосипеда. Рух є результатом відносного обертання педалі навколо своєї осі, яка закріплена на кривошипі, і переносного обертання кривошипу навколо своєї осі.

6.4 Кутова швидкість як векторДослідження складного обертального руху значно спрощується, якщо

розглядати його кутову швидкість як векторну величину, що пов’язана з віссю обертання тіла.

Вектором со кутової швидкості називається вектор, напрямлений вздовж вісі обертання так, щоб бачити обертання тіла проти годинникової стрілки, якщо дивитися на кінець цього вектора. Модуль

. _ ... . . . . . сісрцього вектора дорівнює абсолютній величині кутової швидкості тіла со -

ЖВектор со є ковзним вектором, тобто за точку його прикладання можна вибрати будь-яку точку на осі обертання тіла.

Задавання вектора со кутової швидкості повністю визначає обертальний рух тіла, оскільки дозволяє знати положення осі обертання тіла, напрям обертання та чисельне значення кутової швидкості. Формули визначення кутових швидкостей і осей обертання аналогічні з формулами визначення паралельних сил:

□ Якщо обидва обертання напрямлені в один бік,

со = сох + со2,соЛ со, со

□ Якщо обидва обертання напрямлені швидкості не рівні за модулем,

ВС АС АВ у протилежні боки і кутові

СО = СО\ - соСОЛ со,

ВС АС протилежні

со

~АВ

боки і кутові□ Якщо обидва обертання напрямлені швидкості рівні за модулем, то їх не можна замінити одним обертанням. Цей особливий випадок називають парою обертань.


Питання для самоконтролю1. Який рух твердого тіла вважають плоским (плоскопаралельним)?2. Яким буде плоский рух тіла при складання двох поступальних рухів?3. Чи залежить поступальне переміщення плоскої фігури від вибору

полюса?4. Як визначити швидкість будь-якої точки плоскої фігури?5. Як розподіляються швидкості точок плоскої фігури в залежності від їх

відстані до миттєвого центру швидкостей?6. Що називають миттєвою віссю обертання?7. Що називають планом швидкостей?8. Які властивості та правила побудови плану швидкостей?9. Як визначають рух твердого тіла, що бере участь одночасно в двох

напрямлених в один бік обертаннях, відносно паралельних осей?10. Як визначають рух твердого тіла, що бере участь одночасно в двох

напрямлених в протилежні боки обертаннях з різними кутовими швидкостями, відносно паралельних осей?

11. Що називають парою обертань?12. Якому руху твердого тіла еквівалентна пара обертань? Чому дорівнює

швидкість такого руху?13. Як визначають положення миттєвої осі при складанні обертань

твердого тіла навколо паралельних осей:а) у випадку обертань напрямлених в один бік?б) у випадку обертань напрямлених в протилежні боки (0 1 ф ®2)?

14. Що являє собою вектор кутової швидкості?

1°. Побудувати план швидкостей механізму для положення, яке зображено на кресленні, якщо швидкість повзуна В відома, а проекція швидкості точки О на вісь Ох рівна половині швидкості повзуна.2°. Дві паралельні рейки рухаються в різні боки із сталими швидкостями ц і й2. Між рейками зажатий диск радіусом г, який котиться по рейках без ковзання. Знайти кутову швидкість диску і швидкість його центру О, якщой, > й2.

3°. Стержень довжиною /= 0,5 м обертається з кутовою швидкістю с)і = 4 рад/с, а диск відносно стержня - з кутовою швидкістю 02 = 2 рад/с. На якій відстані від миттєвої осі обертання диску знаходиться точка О?


уD А

! / *■'До зад. ЗДо зад. 1 До зад 2

46E-mail: [email protected]


4. Тіло одночасно знаходиться в двох обертальних рухах навколо осей обертання О-, і 0.2 з кутовими швидкостями со-1 = 4 рад/с, со2 - 2 рад/с. Визначити відстань /-і між віссю £̂ і та миттєвою віссю О. абсолютного обертання тіла, якщо відстань /= 50 см.5. Обертання кривошипу ОА плоского механізму визначається рівнянням (р- соб2ґ. Колесо обертається відносно кривошипу з кутовою швидкістю со - 3 рад/с. Визначити модуль абсолютної кутової швидкості колеса в момент часу ґ = 2 с.6. Кривошип ОА епіциклічного механізму рівномірно обертається з кутовою швидкістю о)о проти годинникової стрілки і надає руху колесу 2. Обчисліть абсолютну кутову швидкість со2 колеса 2 та його відносну кутову швидкість соп по відношенню до кривошипу ОА. Радіуси Гі і г2 вважати відомими.7. Лінійка АВ еліпсографу приводиться до руху кривошипом ОС, який обертається з кутовою швидкістю о)0 навколо осі О проти годинникової стрілки. ОС = АС = ВС. Визначити відносну кутову швидкість лінійки по відношенню до кривошипу та її абсолютну кутову швидкість.

© ВоЬо - РиЬіізИіпд. 2006 47

ЗМІСТ1. КІНЕМАТИКА ТОЧКИ........................................................................... 2

1.1 Предмет і метод теоретичної механіки....................................... 21.2 Предмет і задачі кінематики.......................................................... З1.3 Основні поняття кінематики та кінематичні характеристики

руху................................................................................................... 41.4 Способи задавання руху точки (природній, координатний,

векторний)....................................................................................... 51.5 Швидкість точки............................................................................... 7

Питання для самоконтролю.................................................................... 8Задачі для самостійного розв’язування.................................................. 82. ПРИСКОРЕННЯ ТОЧКИ...................................................................... 10

2.1 Поняття про прискорення.............................................................. 102.2 Дотичне і нормальне прискорення................................................ 112.3 Окремі випадки руху точки............................................................ 132.4 Визначення прискорення точки по рівняннях її руху в

прямокутних координатах.............................................................. 14Питання для самоконтролю.................................................................... 15Задачі для самостійного розв’язування.................................................. 163. СКЛАДНИЙ РУХ ТОЧКИ...................................................................... 17

3.1 Абсолютний, відносний і переносний рухи точки....................... 173.2 Додавання швидкостей. Теорема про додавання швидкостей . 183.3 Розкладання швидкості на складові.............................................. 193.4 Додавання прискорень. Теорема Коріоліса................................. 20

Питання для самоконтролю.................................................................... 22Задачі для самостійного розв’язування.................................................. 224. ПРОСТІ ВИДИ РУХУ ТВЕРДОГО ТІЛА.............................................. 25

4.1 Поступальний рух т іла .................................................................... 254.2 Обертальний рух т іла .................................................................... 264.3 Траєкторії, швидкості та прискорення точок твердого тіла, що

обертається..................................................................................... 284.4 Окремі випадки обертального руху т іла ....................................... 29

Питання для самоконтролю.................................................................... 29Задачі для самостійного розв’язування.................................................. ЗО



5. СКЛАДНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА ...................................................... 325.1. Поняття складного і плоскопаралельного рухів......................... 325.2. Розклад руху плоскої фігури на поступальний і обертальний . . 335.3. Теорема про проекції швидкостей двох точок фігури.............. 345.4. Миттєвий центр швидкостей фігури........................................... 355.5. Теорема про прискорення точок плоскої ф ігури....................... 36

Питання для самоконтролю.................................................................... 37Задачі для самостійного розв’язування.................................................. 386. СКЛАДНИЙ РУХ ТВЕРДОГО ТІЛА...................................................... 41

6.1 Розподіл швидкостей точок плоскої фігури................................. 416.2 План швидкостей............................................................................. 426.3 Додавання обертань навколо паралельних осей....................... 436.4 Кутова швидкість як вектор............................................................ 45

Питання для самоконтролю.................................................................... 46Задачі для самостійного розв’язування.................................................. 46


lektsia kinematika

Science