l'enigma dei numeri primiper 7 il numero che si ottiene sottraendo il doppio dell'ultima...

L'enigma dei numeri primi

Bardonecchia 16-18 Dicembre 2016

Introduzione

I numeri primi:

● sono un concetto semplice;

● ruolo fondamentale nella vita di tutti i giorni;

● stanno lasciando una lunga scia di congetture.

“Dio creò i primi 10 numeri, il resto è opera dell'uomo.”Leopold Kronecker (1823-1891)

Introduzione

Introduzione

Sistemi di numerazione:

● additivo;

● posizionale.

Introduzione

Teorema di divisibilità:

∀(a; b) ∈ NxN, b › 0 ∃! (q; r) ∈ NxN t.c. a = bq + r

con 0 ≤ r ‹ b.

I numeri q, r vengono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione di a per b.

Se r = 0 allora b divide a, cioè a è divisibile per b.

Cosa sono i numeri primi

Definizione di divisibilità:

Dati a, b ∈ Z (b≠0), si dice che b divide a, o che a è divisibile per b, se ∃ c ∈ Z t.c. a=bc.

es. 4 divide 12 perché ∃ 3 t.c. 12=4·3


I criteri di divisibilità:

● per 2 deve essere pari;

● per 4 le ultime due cifre devono essere un multiplo di 4 oppure 00;

● per 5 deve terminare per 5 o 0;

● per 10 deve terminare per 0;

Cosa sono i numeri primidim

I criteri di divisibilità:

● per 3 la somma delle cifre deve essere un multiplo di 3;

● per 7 il numero che si ottiene sottraendo il doppio dell'ultima cifra al numero senza l'ultima cifra deve essere un multiplo di 7;

● per 11 la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari deve essere un multiplo di 11.

Cosa sono i numeri primidim

Definizione di numero primo:

Un numero p ∈ N è primo se: p › 1 e se gli unici

divisori di p sono quelli banali (cioè 1 e p).

In altre parole:

p è primo ⇔ #Div(p) = 2.


Crivello di Eratostene (273-194 a.C.)


Come fare a decidere se un numero n è primo?

Algoritmo brutale:

● dividiamo n per tutti i numeri m ∈ [2;n-1];

● se ∀m la divisione non è possibile, allora n è primo;

● se ∃m per cui la divisione è possibile (n = m·t; t ∈ N), allora n non è primo.


Come fare a decidere se un numero n è primo?

Algoritmo meno brutale:

● dividiamo n per tutti i numeri m ∈ [2;√n];

● se ∀m la divisione non è possibile, allora n è primo;

● se ∃m per cui la divisione è possibile (n = m·t; t ∈ N), allora n non è primo.


Crivello geometrico


Teorema fondamentale dell'aritmetica

“Ogni numero n › 1 si scrive in modo unico come un prodotto di numeri primi.”

In altri termini:

con i numeri primi si possono ottenere tutti gli altri numeri; i numeri primi sono i "mattoni" dell’aritmetica.

Cosa sono i numeri primi dim

Teorema:

“I numeri primi sono infiniti.”

Dimostrazioni:

● Euclide per assurdo

● Eulero utilizza le serie

Quanti sono i numeri primi

Euclide (323-283 a.C.)

Quanti sono i numeri primidim

Come rappresentare una successione an:

● Forma analitica: permette di ricavare l'n-esimo termine direttamente da n.

● Forma ricorsiva:ricavo l'n-esimo termine conoscendo i precedenti.


Esempio: successione dei numeri pari

● Forma analitica: an = 2n

● Forma ricorsiva: a0 = 0

an = an-1 + 2


Prova tu!

Rappresenta in modo ricorsivo le seguenti successioni di numeri:

● 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …

● 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, …

● 2/4, 5/7, 10/12, ...


Prova tu! soluzioni

Rappresenta in modo ricorsivo le seguenti successioni di numeri:

● 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … 2n+1

● 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, … n^2-1

● 2/4, 5/7, 10/12, … (n^2+1)/(n^2+3)


Serie geometrica:


Lo strano parcheggio: un parcheggio ha le seguenti tariffe:

prima ora: 1 euro seconda ora: 1/2 euro terza ora: 1/4 euroquarta ora: 1/8 euro………ecc…………………...

Quanto dovrò pagare per lasciare parcheggiata l’auto per sempre?

Leonhard Euler (1707-1783 d.C.)


Grandi lacune

Osserviamo i numeri primi fra i primi 100 numeri:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Osserviamo i numeri primi da 100 a 200:

101, 103, 107, 109, 113, 119, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199


Possono esserci lacune molto grandi, come, ad esempio, cinquantamila numeri successivi fra i quali non ci sia neppure un numero primo?


Per secoli i matematici hanno dedicato il loro tempo alla ricerca di una regola per descrivere i numeri primi.

Ma se non si possono descrivere tutti, almeno studiamo il comportamento di alcuni di essi.......


Due numeri primi si dicono gemelli se differiscono di due unità.

(p, p+2)

dove sia p che p+2 sono primi.

es. (3, 5), (17, 19), (71, 73), (281, 283)


Congetture (da dimostrare):

● “I numeri primi gemelli sono infiniti”

Euclide (300 a.C. ca.)

● “Per ogni numero naturale k, esistono infinite coppie di numeri primi che differiscano di 2k”

Alphonse De Polignac (1849)


Logaritmi:

● uno degli strumenti matematici più potenti;

● nati come strumenti di calcolo (John Napier);

● grazie a Gauss fondamentali nello studio dei numeri primi.

Logaritmi e numeri primi

Napeir-Nepair-Nepier-Neper-Napare-Naper-...

John Napier (1550-1617)

Giovanni Nepero


Logaritmi introdotti per semplificare i calcoli:

le moltiplicazioni diventano somme (di esponenti).

e =2,71828 18284 59...


1.000 = 103

10.000 = 104

100.000 = 105

...

1.000 · 10.000 · 100.000 = 1.000.000.000.000= 1012 = 103+4+5

log 1.000 = 3

log 10.000 = 4

log 100.000 = 5

...

log = log10

ln = loge

progressione geometrica

progressione aritmetica

progressione geometrica

progressione aritmetica


x 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000

log x 0 1 2 3 4 5 6

x 1 2 4 8 16 32 64

log2 x 0 1 2 3 4 5 6

Definizione:

Il logaritmo in base a di b è quel numero al quale dobbiamo elevare a per ottenere b.

loga b = c ⇔ ac = b

Logaritmi e numeri primiGrafico e proprietà

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)


Numeri primi

minori di a (=∞) a/la


Gauss:

● non cerca la formula dei numeri primi;

● studia la loro frequenza di apparizione;

● introduce la funzione:

π(x)=quantità di numeri primi minori di x



x π(x)

10 4

100 25

1.000 168

10.000 1.229

100.000 9.592

1.000.000 78.498

10.000.000 664.579

100.000.000 5.761.455

1.000.000.000 50.847.534

10.000.000.000 455.052.512


10100

1.00010.000

100.0001.000.000

10.000.000100.000.000

1.000.000.00010.000.000.000

0

50000000

100000000

150000000

200000000

250000000

300000000

350000000

400000000

450000000

500000000

x

π(x

)


x π(x) π(x) / x

10 4 0,40000000

100 25 0,25000000

1.000 168 0,16800000

10.000 1.229 0,12290000

100.000 9.592 0,09592000

1.000.000 78.498 0,07849800

10.000.000 664.579 0,06645790

100.000.000 5.761.455 0,05761455

1.000.000.000 50.847.534 0,05084753

10.000.000.000 455.052.512 0,04550525


10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000 10.000.000.0000

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

x

π(x

) / x

+2


x π(x) x / π(x)

10 4 2,5

100 25 4

1.000 168 6

10.000 1.229 8,1

100.000 9.592 10,4

1.000.000 78.498 12,7

10.000.000 664.579 15

100.000.000 5.761.455 17,4

1.000.000.000 50.847.534 19,2

10.000.000.000 455.052.512 22

Serie aritmeticaSerie geometrica

Congettura di Gauss:

Per valori grandi di x, il valore si approssima bene con ln x.

≈ cioè ≈


π(x)

x

x

π(x) ln x π(x)

x

ln x


10100

1.00010.000

100.0001.000.000

10.000.000100.000.000

1.000.000.00010.000.000.000

0

5

10

15

20

25

x / п(x)ln x

x

Quanti numeri primi ci sono tra 1 e 1000?

● calcoliamo ln 1000;

● invertiamo il numero ottenuto (1/x);

● moltiplichiamo per 1000.

Si ottiene 144,76482... il numero esatto è 168!


Numeri primi

minori di a (=∞) a/la

scriveva a 14 anni


Martin Mersenne (1588 - 1648)

Grandi matematici a confronto

Numeri di Mersenne:

Mp = 2p -1 con p ∈ N, p primo

N.B. Non per ogni p primo risulta che Mp è primo.

Si può dimostrare che: Mp primo ⇒ p primo

Grandi matematici a confrontodim

Mersenne afferma che tra 2 e 2257, il numero Mp

è primo solo per i seguenti esponenti:

● 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257

Nel 1947 si riuscì a completare la lista:

● 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127


I primi dodici numeri primi di Mersenne sono:M2 = 3 M3 = 7 M5 = 31

M7 = 127 M13 = 8191

M17 = 131071

M19 = 524287

M31 = 2147483647

M61 = 2305843009213693951

M89 = 618970019642690137449562111

M107 = 230584300921369391578010288127

M127= 170141183460469231731687303715884105727


● i primi dodici numeri primi di Mersenne sono stati scoperti prima del XX secolo;

● i calcolatori elettronici hanno notevolmente accelerato la scoperta dei primi di Mersenne;

● alla fine del millennio i primi di Mersenne conosciuti erano 38; oggi invece se ne conoscono 49.

● il più grande numero primo conosciuto (a gennaio 2016) è M74207281. È stato calcolato da un computer della University of Central Missouri, ha più di 22 milioni di cifre.


Curiosità:

● se scritti in base 2, tutti i numeri primi di Mersenne sono rappresentati da stringhe di p cifre unitarie, dove p è l'esponente primo di Mersenne.

310 = 112

710 = 1112

3110 = 111112

12710 = 11111112

819110 = 11111111111112


Pierre de Fermat (1601 - 1665)


Piccolo teorema di Fermat:

se p è un numero primo, ed a è un intero positivo qualunque, allora il numero

ap-a

è divisibile per p.

Cioè: ap ≡ a (mod p)

Grandi matematici a confrontodim

Congettura di Goldbach:

“Tutti i numeri pari maggiori di 2 possono scriversi come la somma di due numeri primi.”

...ancora da dimostrare!


“Tecnica di rappresentazione di un messaggio in una forma tale che l’informazione in esso contenuta possa essere recepita solo dal destinatario.”

Numeri primi e crittografia

Obiettivo: far arrivare messaggi a destinazione nel modo più veloce, economico e sicuro possibile.

metodo più comune mascherare il messaggio

informazione confidenziale

trascurare economia e velocità spedizione per segretezza


La protezione dell'informazione ha origini antiche



● le chiavi crittografiche sono diventate sempre più lunghe;

● i meccanismi per decifrare sempre più complessi;

● Enigma ci insegna che il problema principale è la trasmissione della chiave;

...e se la chiave fosse pubblica?


Cifrari RSA:

● Alice e Bob scelgono un numero naturale n

● Alice sceglie un numero a e Bob un numero b

● Alice comunica a Bob il numero na

● Bob comunica ad Alice il numero nb

● Entrambi useranno nab come chiave


Sia n = ab, stimiamo il numero di tentativi per scoprire a e b usando il teorema della radice quadrata.

Sappiamo che un fattore (ad esempio a) soddisfa

allora vi sono approssimativamente

numeri primi da testare come divisori di n.


Se n ≈ 1050 (quindi un numero di 50 cifre) allora

e i tentativi sono

Per un computer capace di effettuare 1000 miliardi di test al secondo sono necessari più di 1.7 · 1011 secondi, ossia circa 5600 anni!


Prova di fattorizzazione con maple 9 su pentium 4, 2.60 Ghz.


Tempo di fattorizzazione T in funzione della lunghezza l del numero:

T = 0.0005·e0.285l s

Dal risultato precedente per l = 300 (RSA) si ottiene

T ≈ 1026 s che è maggiore dell'età dell’ Universo.


Funzione φ di Eulero:

per ogni intero positivo n, determina il numero degli interi compresi tra 1 e n che sono coprimi con n.

Ad esempio φ(8) = 4 perché i numeri minori di 8 e primi con 8 sono 1, 3, 5, 7.


Teorema di Eulero ( teorema di Fermat-Eulero)

Se n è un intero positivo ed a è coprimo rispetto ad n, allora:

aφ(n)≡1 (mod n)


Applicazione:

ricerca dell'ultima cifra di 7222 cioè di 7222 mod 10.

● 7 e 10 sono coprimi;

● Φ(10) = 4;

● per il teorema 74≡1 (mod 10);

● Allora:

7222 = 74·55+2 = (74)55 · 72 = (1)55 · 49=49= 9 (mod 10)


Algoritmo RSA (1977 Rivest-Shamir-Adleman):

● Si scelgono due numeri primi p e q e si calcola n = pq

● Si calcola φ(n) = φ(pq) = φ(p)·φ(q)=(p-1)(q-1)

● Si sceglie un valore e ‹ φ(n) coprimo con φ(n)

● Si calcola d tale che ed ≡1 mod φ(n)

La coppia (e, n) costituisce la chiave pubblica, la coppia (d, n) costituisce la chiave privata.

L'enigma dei numeri primi

Grazie per l'attenzione

l'enigma dei numeri primiper 7 il numero che si ottiene sottraendo il doppio dell'ultima...

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