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CURSO DE PREPARACIÓN UNIVERSITARIA

Leonardo Lupinacci, Fernando Bifano, Rosa Ferragina ,Alejandra Almirón, Liber Aparisi, Carlos Pérez Medina, Paula Putica Sinatra, José Villella

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ALGUNOS TEMAS PARA REPENSAR LA MATEMÁTICA

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Universidad Nacional Arturo Jauretche

AutoresLeonardo Lupinacci

Fernando BifanoRosa Ferragina

Alejandra AlmirónLiber Aparisi

Carlos Pérez MedinaPaula Putica Sinatra

José Villella

Algunos Temas para repensar la Matemática

Prólogo (José Villella) ...........................................................................9

Tema 1: Un recorrido por los números (Alejandra Almirón, Fernando Bifano, Leonardo Lupinacci y Paula Putica Sinatra)

1.1. Introducción ..............................................................................131.2. Conjuntos numéricos ................................................................141.2.1. Los números naturales ...........................................................141.2.2. Los números racionales..........................................................171.2.3. Los números enteros ..............................................................231.2.4. Los números irracionales .......................................................261.3. A modo de cierre .......................................................................29

Tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor (Rosa Ferragina y Leonardo Lupinacci)

2.1. Introducción ..............................................................................312.2. Cuando los números se reemplazan por letras .........................312.3. Cuando la cantidad de letras aumenta ......................................392.4. Más actividades ........................................................................40

Tema 3: Forma y Figura (Carlos Pérez Medina)3.1. El problema de la distancia entre dos puntos ............................433.2. El problema de la distribución de superficies ...........................483.3. Otros problemas para resolver ..................................................52

Tema 4: Es probable (Fernando Bifano y Liber Aparisi)4.1. Introducción ..............................................................................554.2. Entre lo probable y lo posible ...................................................564.3. Una definición clásica de probabilidad .....................................574.4. Es poco probable .......................................................................584.5. Sucesos excluyentes ..................................................................594.6. Sucesos independientes .............................................................614.7. Sucesos dependientes: la probabilidad condicionada ................634.8. Más problemas ..........................................................................654.9. Esto no es todo: solo es el comienzo .........................................67

Bibliografía ........................................................................................69

Los autores .........................................................................................73

ÍNDICE

Cuando se pensó en este material para el Curso de Preparación Universitaria (CPU), nos preguntamos: ¿qué es importante que los estudiantes que ingresan a la Universidad sepan y sean capaces de hacer en situaciones en las que está presente la matemática? Y la respuesta se vio rápidamente vinculada a proponerles situaciones para razonar matemáticamente y utilizar conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir, explicar y predecir fenómenos; para así, de esta manera, ayudarlos a darse cuenta de la importancia que tiene lo que aprendieron, para emitir juicios y tomar decisiones bien fundadas que, como ciudadanos comprometidos y reflexivos, necesitan.

En las páginas que siguen encontrarán situaciones agrupadas en temas que serán desarrollados a lo largo del CPU. En ellas se les propone formular modelos para solucionar problemas; emplear conceptos, datos, procedimientos y tipos de razonamiento matemático e interpretar los resultados obtenidos, usando la matemática que ya estudiaron en la escuela, para relacionar el contexto de un problema con los contenidos matemáticos y, de ese modo, resolverlo.

En el proceso de formulación matemática de las situaciones, ustedes decidirán qué contenidos de la disciplina necesitarán para analizar, plantear y resolver el problema. Realizarán una traducción de un escenario del mundo real al área de la matemática, dotando al problema de estructura, representación y especificidad matemática, razonando e interpretando las limitaciones y los supuestos del problema. Deberán identificar los aspectos matemáticos de un problema situado en un contexto del mundo real y caracterizar las variables significativas que en él intervienen; reconocer la estructura matemática (incluidas las regularidades, las relaciones

PRÓLOGO

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José Villella

y los patrones) en los problemas o situaciones; simplificar una situación o problema para que sea susceptible de análisis matemático; identificar las limitaciones y supuestos que están detrás de cualquier construcción de modelos y de las simplificaciones que se deducen del contexto; representar matemáticamente una situación, utilizando las variables, símbolos, diagramas y modelos adecuados; representar un problema de forma diferente (incluida su organización según conceptos matemáticos y formulando los supuestos adecuados); comprender y explicar las relaciones entre el lenguaje específico del contexto de un problema y el lenguaje simbólico y formal necesario para representarlo matemáticamente; traducir un problema a lenguaje matemático o a una representación; reconocer los aspectos de un problema que se corresponden con problemas conocidos o conceptos, datos o procedimientos matemáticos, y utilizar la tecnología (como una hoja de cálculo, la calculadora de bolsillo o la del teléfono móvil, o un software de geometría) para representar una relación matemática inherente a un problema contextualizado.

Lo anterior será posible si pueden aplicar conceptos, datos, procedimientos y razonamientos matemáticos en la resolución de problemas con el fin de llegar a conclusiones matemáticas. En este proceso realizarán cálculos aritméticos; resolverán ecuaciones; seguirán deducciones lógicas a partir de supuestos matemáticos; extraerán información matemática de tablas y gráficos; representarán y manipularán formas en el espacio de dos dimensiones y analizarán datos. Trabajarán sobre un modelo del problema, establecerán regularidades, identificarán relaciones entre entidades matemáticas y elaborarán argumentos matemáticos.

Así, estarán en condiciones de reflexionar sobre soluciones, resultados o conclusiones matemáticas e interpretarlas en el contexto de los problemas de la vida real, lo que significa traducir

Algunos TemAs pArA repensAr lA mATemáTicA

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las soluciones matemáticas o razonar de nuevo sobre el contexto del problema y determinar si los resultados son razonables y tienen sentido en dicho contexto.

De esta manera podrán elaborar y comunicar explicaciones y argumentos en el contexto del problema, reflexionando tanto en el proceso de construcción de modelos como en sus resultados: reinterpretando un resultado matemático en el contexto del mundo real; valorando la razonabilidad de una solución matemática en el contexto de un problema del mundo real; comprendiendo el modo en que el mundo real afecta a los resultados y cálculos de un procedimiento o modelo matemático para realizar juicios contextuales sobre la forma en que los resultados deben ajustarse o aplicarse; explicando por qué un resultado o una conclusión matemática tiene o no tiene sentido dado el contexto de un problema; identificando el alcance y los límites de los conceptos y las soluciones matemáticas, y analizando e identificando los límites del modelo utilizado para resolver un problema.

¿Parece mucho? ¿Suena difícil? Como dicen Reuben Hersh y Vera John-Steiner en la página 8 de su libro Matemáticas: una historia de amor y odio, publicado por Crítica en Buenos Aires en el año 2012.

Qué duda cabe, la experiencia matemática avanza entre los polos gemelos de la exaltación y de la desesperación. Si bien es cierto que los principiantes son quienes mejor conocen la desesperación, y que la exaltación está más asociada a los grandes descubridores, es cierto también que estas emociones opuestas permanecen a la espera y ocultas durante cualquier dificultad matemática y a cualquier nivel.

Prólogo

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12


Los temas que siguen a estas páginas los invitan a lograr la exaltación del descubrimiento de que aquello que estudiaron durante tanto tiempo tiene un nivel de aplicabilidad que quizás no pensaron.

El tema 1 les propone un recorrido por los números. Allí encontrarán situaciones para reflexionar acerca de por qué multiplicar no siempre supone aumentar; que medir y contar se relacionan con números que pertenecen a distintos conjuntos numéricos, o que el cero no siempre se recitó antes que el uno en las escalas.

El tema 2, ecuaciones, algo más que encontrar un valor, los invita a discutir sobre qué significa que a + b = c y cuánto de distinto tiene a escribir 4 + 3 = 7. ¿Qué relación tienen las letras con los conceptos matemáticos que usan? ¿Son caprichos de los descubridores o recursos diseñados por estos para hacer más comprensible la traducción a un modelo de una situación?

El tema 3 los convoca a usar la belleza geométrica de la forma y la figura para entender el espacio que nos rodea. ¡Cuánto razonamiento, cuánta investigación resumida en una fórmula que se repite y no se sabe muy bien para qué!

El tema 4 los desafía a pensar que lo posible no siempre es probable y que lo imposible quizás tenga una medida: ¿cómo puede una compañía de seguros calcular la probabilidad de mi muerte y así estimar la póliza del seguro de vida que me venderá?

Disfruten del material haciendo su propio recorrido de invención y recuerden que de principiante a descubridor, solo hay un escalón, aquel que ustedes estén dispuestos a atravesar.

TEM A Un recorrido por los númerosAlejandra Almirón, Fernando Bifano, Leonardo Lupinacci y Paula Putica Sinatra

1

1.1. Introducción

Nuestra vida está rodeada de números: los necesitamos para comprar, cocinar, medir, leer el resultado de un estudio médico, viajar, hacer funcionar una computadora… Estos objetos matemáticos no tienen nada de naturales: al utilizarlos cotidianamente a veces invisibilizamos sus leyes de composición: con solo diez símbolos distintos podemos representar cualquier cantidad, a partir de un orden y de una serie de reglas prestablecidas, convenciones que se han impuesto sobre otras existentes a través de la historia, que determinan, de esta manera, el sistema de numeración que todos conocemos como un producto de nuestra cultura. Muchos afirman que esta imposición tiene que ver con su carácter decimal, lo que conlleva un accidente fisiológico (Dantzig, 1954) al tener las personas diez dedos en las manos, se facilita, de esta manera, el conteo y las agrupaciones.

Estos números han nacido con el objeto de contar y comparar la cantidad de elementos cuando se encuentran agrupados. A lo largo de la historia, diversas necesidades de los seres humanos han dado lugar a la aparición de otros números con otros usos. En este capítulo les proponemos revisar cómo y por qué fueron creados los distintos conjuntos numéricos.

13

14


1.2. Conjuntos numéricos

1.2.1. Los números naturales

1. Analicen el siguiente fragmento del texto de Isaac Asimov, De los números y su historia (2000, 106-107).

Al comienzo los hombres solo aceptaban los números naturales: 1, 2, 3, etc. Estos son adecuados para contar objetos que se consideran como unidades. Uno puede tener 2 niños, 5 vacas u 8 cacerolas; no tiene mucho sentido tener 2,5 niños, media vaca ni un tercio de cacerola. Pero al medir magnitudes tales como la longitud o el peso, las fracciones se hicieron imprescindibles. Los egipcios y los babilónicos se las arreglaron para elaborar métodos que les permitieron operar con fracciones, [...] pero no faltaron entre ellos eruditos conservadores que miraban con desprecio a los matemáticos místicos que creían en un número como el 5 1

2; que no vale ni 5 ni 6.

En realidad dichas fracciones son cocientes o razones de números enteros. Pero los griegos descubrieron que había cantidades definidas que no se podían expresar como cocientes de números enteros. La primera que se descubrió fue la raíz cuadrada de dos ( ), que es aquel número que multiplicado por sí mismo da dos. Ese número existe, pero no se lo puede expresar como cociente o razón; por lo tanto es un número irracional.

La noción de número no se extendió más allá de lo dicho hasta la Edad Moderna. Así, los griegos no aceptaban que hubiera números menores que el cero. ¿Cómo puede haber algo que sea menos que la nada? En consecuencia para ellos la ecuación x + 5 = 3 no tenía solución. ¿Cómo puede uno sumarle un número al 5 y obtener por resultado un 3? Aun si le suma 5 al “número más pequeño” (es decir al 0) la suma que se obtiene vale 5, y si usted suma 5 más cualquier otro número (que tendrá que ser mayor que cero) obtendrá una suma mayor que 5.

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tema 1: Un recorrido por los números

El primer matemático que destruyó este tabú fue el italiano Gerónimo Cardano. Después de todo puede haber algo menos que nada. Una deuda es menos que nada. Dichos números se denominan negativos, lo que proviene de la palabra “negar”, que se relaciona con la negativa de los griegos de aceptar la existencia de estos números.

Desde un punto de vista práctico la extensión del sistema de numeración para que incluya a los números negativos simplifica las operaciones de toda clase, por ejemplo, las que se utilizan en la contabilidad.

Desde un punto de vista teórico el uso de los números negativos significa que toda suma de números tiene exactamente un resultado. Ni más ni menos.

En el texto se mencionan algunos conjuntos numéricos, su surgimiento y algunas aplicaciones.

a) ¿En qué otras situaciones, además de para expresar deudas, se pueden utilizar los números negativos?

b) Propongan un cálculo que responda a la pregunta: ¿qué se debe hacer para que, al sumarle a 5 un número, se obtenga como resultado 3?

c) Escriban una suma entre dos números enteros que dé como resultado un número negativo.

d) Escriban una suma entre dos números enteros que dé como resultado cero. ¿Qué particularidad tienen los números usados? ¿Pasó lo mismo en todas las respuestas dadas a la pregunta?

e) ¿Podemos afirmar que todo número natural es entero? ¿Podemos decir que todo número entero es natural? ¿Por qué?

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f) Enuncien por lo menos tres situaciones de la vida diaria en las que necesitan usar fracciones.

g) Discutan en grupos: ¿pueden las fracciones ser negativas? ¿Por qué?

Los números naturales fueron los primeros en aparecer en las distintas civilizaciones por la necesidad de contar y comparar elementos de un conjunto. Los primeros registros escritos de estos números aparecen alrededor del año 3500 a. C. en Egipto y Babilonia, y entre el 300 a. C. y el 600 d. C. se desarrolla, en la India, el sistema numérico que utilizamos actualmente y que, a partir del siglo X, es adoptado por los árabes; de allí proviene el nombre indoarábigo.

Algunas características de este conjunto numérico son:

-Tiene primer elemento, que es el 1.

-Cada número tiene un sucesor que se obtiene sumándole 1.

-No tiene último elemento.

-Entre dos números consecutivos no existe otro número.

2. Analicen y discutan en grupos si al realizar las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) entre dos números naturales se obtiene por resultado siempre un número natural. Propongan ejemplos para explicar sus conclusiones.

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1.2.2. Los números racionales

Como ya leímos, en las antiguas civilizaciones, los números naturales resultaron insuficientes para contar y resolver problemas relacionados con la siembra de los terrenos y las construcciones arquitectónicas, ya que algunos de los elementos no se encontraban “enteros”. Así surgieron las fracciones.

Los babilonios y egipcios trabajaban en general con fracciones de numerador uno como 1

2 , 14 y 1

5 . A partir de estas fracciones, combinándolas y confeccionando tablas, resolvían cálculos habituales y distintos problemas de mayor dificultad.

Un legado que nos permite acceder a esta información es el Papiro de Rhind. Veamos, por ejemplo, la forma que utilizan para resolver la división de 19 por 8:

1 8

2 16

4

2

1

2 + + 19

12

14

18

14

18

18


3. a) ¿Cuál es el resultado que obtenían los egipcios de dividir 19 por 8? Expliquen cómo hacían para resolver las divisiones entre números naturales.

b) Utilicen este método para dividir 17 por 4.

Durante la Edad Media, las fracciones se usaron de manera corriente. Sin embargo, la notación de estas era muy diferente a la nuestra. Las subdivisiones de la unidad más utilizadas provenían del sistema sexagesimal, influenciados por el cálculo babilónico transmitido por los matemáticos griegos y árabes, a través de su uso para cálculos astronómicos. Se encontraron escrituras donde la parte entera de un número estaba escrita en base diez y la fraccionaria provenía del sistema sexagesimal.

Recién en el siglo XVII, algunos matemáticos afirman que para números menores a 1 se puede utilizar la misma estrategia que para los enteros. Es decir que cada cifra representa 10 veces más de la que está escrita a su derecha.

François Viète en 1579 fue el primero en escribir:

En matemática los sesentésimos y las secentenas deberían ser de un uso raro o nulo. Por el contrario los milésimos y los miles, los centésimos y las centenas, los décimos y las decenas deben ser de uso frecuente o constante.

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4. a) ¿Qué diferencias encuentran en la escritura decimal y la sexagesimal? ¿Qué ventajas o desventajas tiene cada una?

b) Piensen algunos ejemplos para mostrar que nuestro sistema de numeración es decimal. ¿Cómo influye esto en los números racionales?

La reunión de los números naturales, los números enteros, las fracciones y el cero es lo que actualmente conocemos como números racionales.

5. a) ¿Cuál es el primer elemento de este conjunto numérico?

b) ¿Y el último?

c) ¿Cuál es la fracción que antecede a ? ¿Y la posterior?

d) ¿Cuál es el número racional que le sigue a 1,2? ¿Y a 1,21? ¿Y a 1,201?

e) ¿Cuál es el número inmediatamente anterior a -5,3?

En la resolución del problema anterior, posiblemente hayan llegado a la conclusión de que en el conjunto de los números racionales no se puede hallar ni primero ni último elemento, como así tampoco tiene sentido hablar de siguiente o antecesor de un número. Esto se debe a una característica esencial del conjunto de los números racionales, que es su densidad. Muy por el contrario, al conjunto de los números naturales se lo considera un conjunto discreto, porque cada número tiene un antecesor y un predecesor; en cambio, el de los racionales es un conjunto denso, porque entre dos números racionales, siempre pueden encontrarse otros infinitos números racionales.

12

20


c.

d.

6. a) Encuentren, si es posible, tres números naturales entre el 3 y el 5.

b) Encuentren, si es posible, tres fracciones que estén entre 25

y 45

.

c) Encuentren, si es posible, tres números racionales entre el 1,5 y 1,51.

Llamamos razón a la división indicada entre dos números naturales y podemos escribirla mediante una fracción.

Las fracciones se utilizan para expresar la razón de repartos de cantidades, de mediciones, relaciones entre las partes de una totalidad, para indicar un porcentaje, etc.

A estos números también se los puede expresar como decimales extendiendo las características que posee el conjunto de números enteros. Manteniendo la posición y el valor decimal se define que 110 = 0,1; que 1

100 = 0,01; que 1

1000 = 0,001; etc.

7. Escriban a qué expresión decimal equivalen las siguientes fracciones:

a.

b.

210

13410

23100

151000

21


e.

f.

Algunos números que no tienen fracciones equivalentes decimales son los llamados números periódicos, porque sus cifras decimales se repiten infinitamente. Tal es el caso de 1

3, ya

que 1:3 = 0,333333….

Las fracciones y las expresiones decimales representan a los mismos números, pero tienen distintas reglas. Veamos por ejemplo cómo hacemos para ordenar los distintos números y qué estrategias se utilizan en cada una.

8. Ordenen de menor a mayor las siguientes expresiones y expliciten qué estrategias utilizaron en cada caso.

a)

b) 2,45 45,2 4,25 2,54 4,52 45,02

Mientras que para ordenar a las expresiones decimales se necesita ver su valor posicional, para las fracciones se requieren otras estrategias, como ver si son mayores o menores al entero, qué relación tiene entre el numerador y el denominador, si son mayores o menores que 1

2 , buscar fracciones equivalentes, etc.

12

65

13

27

94

35

53

12

27

g.

h.

22


9. Ordenen de menor a mayor los siguientes números. Expliquen qué estrategias siguieron para ordenarlos.

0,7

Otro caso particular del uso de los racionales es como relación entre partes son las fracciones con denominador 100, a las que denominamos porcentaje.

100% = 100100 = 1

20% = 20100 = 0,20

Los porcentajes se utilizan para representar una relación entre partes. En la vida cotidiana solemos utilizarlos en los impuestos, para realizar descuentos o aumentos, etc.

10. Joaquín compró una remera que cuesta $130.

Debe elegir entre 3 formas de pago:

-En efectivo le hacen un descuento de 5%.

-En 3 cuotas le hacen un recargo de 10% al precio total.

-En 12 cuotas le hacen un recargo de 23% al precio total.

¿Cuánto le sale la remera en cada caso?

11. Mariana compró una computadora por $7011 en 6 cuotas. Al decidir abonarla en cuotas le hicieron un recargo de 23%. ¿Cuál es el precio en efectivo de la computadora (sin el recargo)?

68

72100

34

45

23


Existen distintas formas de calcular las cantidades que representan los porcentajes. Veamos un ejemplo: si 60 unidades representan al 100%, al dividir a 60 por 100 voy a saber el valor del 1%. Si 0,6 es el 1%; 0,6 x 10 será el 10% de 60; 0,6 x 40 será el 40% de 60; etc.

Otro modo de calcularlo es trabajar con el porcentaje. Si el 40% = 40

100 = 0,40; el 40% de 60 podemos calcularlo haciendo 60 x 0,40.

12. Calculen los siguientes porcentajes:

a) el 80% de 158,

b) el 45% de 63,

c) el 132% de 500,

d) el 250% de 48.

1.2.3. Los números enteros

A medida que aumenta la altitud con respecto al nivel del mar, la temperatura de la atmósfera varía. Esta relación entre altura y temperatura no es constante, ya que la variación es diferente de acuerdo con la capa atmosférica considerada: en la tropósfera, la cual está en contacto con la superficie terrestre, la temperatura disminuye 6.5°C por cada km que aumenta la altitud hasta llegar a una temperatura de -45°C, que se mantiene constante a lo largo de toda la estratósfera. Luego, ya en la mesósfera, se da un comportamiento particular: la temperatura va paulatinamente en aumento hasta llegar a los 0°C a, aproximadamente, 50km de altura. En ese punto, la temperatura comienza a descender hasta llegar a los -110°C en la mesopausa, ubicada a 80km sobre el nivel del mar

24


(división entre la mesósfera y la termósfera). Llegado este punto, la temperatura comienza nuevamente a subir aceleradamente, al llegar aproximadamente a 500°C a los 500km de altura.

13. Respondan:

a) ¿Qué significa que en la mesósfera haya una temperatura de -45°C ?

b) ¿Cuántos grados más de temperatura hay a 500km de altura con respecto a la temperatura de la mesopausa? ¿Cómo puede simbolizarse ese cálculo?

c) ¿Cuál es la amplitud térmica entre la mesopausa y la estratósfera? ¿Cómo puede simbolizarse el cálculo? ¿Qué diferencias existen entre la operación realizada en este ítem y la realizada en el ítem anterior?

Los números negativos surgen para dar respuesta a la resta entre dos números naturales, como por ejemplo 5 - 7 o 12 - 17. Formalmente, un primer paso para suprimir esta restricción entre números naturales vino dada por la introducción del cero1 mediante la relación a - a = 0, que condujo posteriormente a la introducción de los símbolos -1, -2, -3…, junto a la definición b - a = - (a - b). (Courant y Robbins, 1964). Quedaba así subsanada la restricción de la resta de naturales, a partir de la utilización formal de los números negativos.

14. La relación b - a = - (a - b) ¿Es válida solo para los números negativos? ¿Por qué?

1 Si bien hoy nos resultaría extraño concebir un sistema de numeración que no incluyera al número cero, existieron en la antigüedad diversos sistemas, como el egipcio, que no tenía ni necesitaba de un símbolo que lo representara. Fueron los babilonios quienes lo introdujeron. Culturas como la griega y la romana, conociendo incluso el sistema babilonio, rechazaban el uso del cero, al no concebir un símbolo que representara el vacío, la nada. (Seife, 2006).

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15. Otro caso de temperaturas2:

Durante el mes de agosto del año pasado, en Florencio Varela se registró la temperatura durante 5 días seguidos a la misma hora: 3 de la mañana. Para realizar el estudio se despreciaron los decimales y se realizaron los redondeos necesarios, por lo que se registraron únicamente valores enteros. Luego de los 5 registros, se comprobó que la temperatura había sido distinta todos los días.

a) Si multiplicamos entre sí los valores de las 5 temperaturas registradas, ¿el resultado puede dar 12? ¿Por qué? En caso afirmativo, ¿habría una única posibilidad para cada uno de esos valores?

b) Si el resultado de la multiplicación fuese 30, ¿es posible saber cuáles fueron las 5 temperaturas registradas? ¿Y si fuese -8?

Analicemos un poco lo trabajado con otro ejemplo: si sabemos que la multiplicación de 2 números enteros da por resultado 6, ¿cuáles podrían ser esos dos números enteros? Podríamos decir inmediatamente 3 y 2, ya que 3 . 2 = 6. Pero también tendríamos otra posibilidad: -3 y -2 ¿Por qué?

Por un lado podríamos pensar que, en números enteros, el producto de 3 . 2 significa sumar3 dos veces tres: 3 + 3 = 6. Análogamente el producto 3. (-2) puede interpretarse como restar dos veces tres:

-3 - 3 = -6.

2 Sobre una idea de Adrián Paenza publicada en Matemática… ¿estás ahí? La vuelta al mundo en 34 problemas y 8 historias. Buenos Aires, Siglo XXI, 2010.3 Nótese que el sentido de la multiplicación como suma reiterada solo tiene sentido en el conjunto de los enteros o al multiplicar un entero por un racional no entero. Si se multiplican dos racionales no enteros, esta interpretación carece de sentido.

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Finalmente, el producto (-3) . (-2) puede interpretarse como restar dos veces menos tres: (-3) . (-2) = -(-3) - (-3) = 6. Esto es lo que comúnmente se llama regla de los signos, en la que el producto de dos números de igual signo será positivo, y el producto de dos números de distinto signo será negativo. Regla definida de tal manera para que las características de las operaciones aritméticas con números naturales se conserven en la extensión del dominio de trabajo que supone el conjunto de los enteros. Como afirman Courant y Robbins (1964), la regla de la multiplicación de enteros negativos es una consecuencia del deseo de conservar las propiedades de las operaciones entre naturales, entre ellas la propiedad distributiva.

Así, la extensión del concepto de número fue posible a partir de la construcción de nuevos símbolos y números, los que recién durante el siglo XVII fueron aceptados con el mismo estatus de los enteros positivos, aunque no sin cierto recelo.

1.2.4. Los números irracionales

Los números racionales, aquellos que trabajamos en el inciso 1.2.2., son aquellos que pueden expresarse como una razón entre números enteros. ¿Todos los números pueden expresarse de esa manera? Para dar respuesta a esta pregunta, los invitamos a leer fragmentos de un artículo de Leonardo Moledo, titulado “El terror del teorema de Pitágoras”, publicado en el diario Página 12, el 17 de diciembre de 1999:

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Pitágoras es un personaje misterioso y se sabe muy poco de él: se conjetura que nació en la isla de Samos, cerca de Mileto, tan luego, hacia la mitad del siglo VI (a. de C.) y que luego se trasladó a Crotona, en los territorios griegos del sur de Italia.

El asunto es que la figura de Pitágoras está rodeada por la leyenda, porque la escuela pitagórica funcionaba como una secta mística y hermética, como un grupo mancomunado por creencias y prácticas religiosas (…).

Los pitagóricos rechazaron los fenómenos y el “discurso de las cosas”. A la pregunta ¿cuál es el origen de las cosas?, respondieron: los números.

(…) Incluso se pasaron un poco de rosca: identificaron a la Justicia con el número 4 por tratarse del primer número cuadrado; al matrimonio con el 5, que representaba la unión del macho (3) con la hembra (2). Pero además analizaron muchas propiedades de los números y trabajaron sobre los poliedros regulares, las medias aritméticas, geométricas y armónicas.

(…) Naturalmente, la gran gloria de la escuela es el famoso e inmortal “teorema de Pitágoras”, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, una relación que no es para nada evidente, y que, a primera vista, no tendría por qué suceder (la relación, sin embargo, era conocida por los matemáticos babilonios y egipcios, y aplicada por los albañiles para construir ángulos rectos).

Sin embargo, ese mismo teorema los llevó a tropezar con un obstáculo catastrófico, letal: si construimos un cuadrado de lado 1 y aplicamos el teorema de Pitágoras, su diagonal mide raíz cuadrada de 2.

Y la raíz cuadrada de dos no correspondía a ningún número, a ninguna fracción que los pitagóricos pudieran imaginar. La raíz de 2 es inexpresable, no se puede decir, no es un número.

La raíz cuadrada de dos produjo verdadero terror entre los pitagóricos: ellos suponían que todo consiste en números y que el conocimiento expresa relaciones entre números (enteros o fraccionarios). Pero he aquí que una entidad, que ciertamente pertenece a la ciencia, la diagonal de un cuadrado, no puede ser expresada con números enteros. Nada, no puede existir. Es decir, tenemos algo concreto y ese segmento, que está ahí, no es un número, no es

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nada. Y la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 tampoco es nada. No existe. ¡Pero la diagonal de ese cuadrado está ahí! ¿Cómo puede ser que a un segmento no corresponda ninguna longitud?

Un ejemplo del terror que produjo ver que algo tan simple como la raíz cuadrada de 2 era un irracional es la leyenda según la cual un pitagórico, Hipaso, divulgó el secreto y pereció ahogado como castigo divino por su acción.

Y es que el problema con que se enfrentaron no es fácil de resolver, la raíz de 2, como descubrieron los pitagóricos, desde ya no es una fracción: no hay número entero ni fraccionario alguno que multiplicado por sí mismo nos reproduzca exactamente al 2. Actualmente escribimos raíz cuadrada de 2 como 1,14142135624 y agregamos una serie de puntos suspensivos que significan que la fracción decimal no tiene fin, que el número de decimales (no periódicos) es infinito. Es lo que ahora llamamos (quizás en homenaje a Pitágoras) un número irracional.

Construyeron todo un edificio científico, místico, que les parecía muy sólido y de repente aparece este asunto que amenaza con precipitar toda la escuela en el abismo. Los pitagóricos se enfrentan a este dilema y no lo pueden resolver. Han fracasado. ¿Y entonces? El terreno del pensamiento parecía seguro, sin la engañosa cualidad de los sentidos. ¡Y ahora resultaba que no era tan seguro! ¿Entonces habrá que recurrir nuevamente a los dioses? No. Pero, indudablemente, era necesario tomar otro camino. El propio teorema, fruto dorado de la escuela, la precipitó en el abismo.

16. a) En el artículo se menciona y enuncia el teorema de Pitágoras. Probablemente trabajaste con él a lo largo de la educación secundaria ¿Cómo podrías explicarlo con tus palabras? ¿Cómo podrías simbolizarlo?

b) La medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1 se establece en el texto como ( 2 ). Comprueben que es así. ¿Alcanza con dibujar un cuadrado de lado 1 y medir su diagonal para comprobarlo? ¿Por qué?

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c) Si un triángulo rectángulo es isósceles y las medidas de sus catetos iguales son números racionales, ¿la hipotenusa también lo es? ¿Por qué? ¿Cómo se podría justificar la respuesta?

d) ¿Puede tener un triángulo rectángulo lados que midan 13, 5 y 12? ¿Y lados que midan 48 , 1 y 7?

e) Otros números irracionales “difundidos”, entre otras cosas por sus aplicaciones, son el número pi (π) y el número e. ¿Los has utilizado alguna vez? ¿Cuándo?

En el texto se define al número irracional como aquel que tiene un número de decimales no periódicos infinitos. Esta característica es la que hace que estos números no puedan obtenerse como la razón entre dos números enteros o, lo que es lo mismo, que no sean racionales. Al no ser racionales es que reciben el nombre de irracionales; juego de palabras entre la no pertenencia a dicho conjunto y a la irracionalidad que suponía su existencia.

Estos nuevos números dieron lugar a la construcción de los números reales. El conjunto de los números reales puede concebirse como la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales.

1.3. A modo de cierre

Hemos visto cómo algunos conjuntos numéricos han surgido a lo largo de la historia para dar respuesta a situaciones concretas del quehacer humano: los naturales, para contar y comparar cantidades; los enteros, para dar respuesta a operaciones que no tenían solución en el contexto de los números positivos; los números racionales, para medir; los irracionales, para la representación de cantidades o medidas inconmensurables.

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A partir de la teoría de conjuntos (siglo XX) muchas definiciones y propiedades se formalizaron, y de allí podemos definir a los enteros como la unión de los naturales, el cero y los opuestos de los números naturales; a los racionales, como el conjunto de todas las razones entre números enteros; a los irracionales, como aquellos números que no pueden ser expresados como razón de dos números enteros; y, a los reales, como la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales.

Existen también otros conjuntos numéricos, como los complejos o los hiperreales, que van surgiendo muchas veces por necesidades históricas propias de la evolución de la matemática como ciencia. Por ejemplo, el caso de los números complejos que se transforman en una creación humana para “resolver el problema” de las raíces de los números negativos. O el caso de los hiperreales, de “reciente” creación, allá por 1970, que se han construido matemáticamente como una “extensión” de los números reales, y cuyas aplicaciones hoy se pueden ver en el mundo ingenieril. Evolución que claramente no se detiene y puede que, con el correr de los años, nos ofrezca nuevos aportes.

TEM A Las ecuaciones, algo más que encontrar un valorRosa Ferragina y Leonardo Lupinacci

2

2.1. Introducción

Los símbolos de la aritmética tienen una conexión determinada entre ellos; por ejemplo, 4 es siempre 2 + 2, cualesquiera que sean las cosas mencionadas, cm, mm, etc. En álgebra tomamos símbolos para números sin incluirlos en conexiones determinadas. En álgebra razonamos, pues, sobre números en general, y obtenemos conclusiones que son igualmente verdaderas para todos los números. (Jourdain, 1994).

Al reemplazar un número por una letra, ¿se mantienen las mismas condiciones de viabilidad en las relaciones establecidas? Con este interrogante comenzaremos el desarrollo del capítulo.

2.2. Cuando los números se reemplazan por letras

Analicemos si los siguientes pares de igualdades son verdaderas, considerando que las letras representan números.

a)

b) 8 + 7 + 4 – 7 = 8 + 4 m +n + p – n = m + p

31

92

52

9+52

= + mp

np

m+np

= +

32


c) 73

7 . 63 . 6

= mp

m.np.n

=

d) 8. 3 > 5 m . n > p

e) 52 = 5 m2 = m

f) ( ̶ 3)2 = - 3 m2 = m

g) 5 + 3 = 8 5 + x = 8

Nos preguntamos, ¿cómo verificamos si es verdadera una igualdad entre números?, ¿es similar a conocer la veracidad de la igualdad si hay letras que representan números?

Por ejemplo, en el ítem d), ¿qué valores de m, n y p cumplen la condición?, ¿cuáles no?

Distinguimos entonces que toda expresión sobre la cual se puede establecer su valor de verdad, sea este falso o verdadero, se llama proposición. Entonces, “entre -1 y 1 no hay ningún entero” tiene un valor de verdad que es falso; mientras que “el número 2 es primo” tiene un valor de verdad verdadero.

Expresiones del tipo “¿Cómo lo realizaste?” o “¡Cerrá la puerta!”, es decir, preguntas u órdenes no son proposiciones, no se les puede asignar un valor de verdad.

Pero, expresiones como mp

np

m+np

= + no tienen siempre el mismo valor de verdad, porque si p= 0 resulta verdadera, caso contrario (p = 0) resultará falsa. A estas expresiones se las llama

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tema 2: Las ecuaciones, algo más que encontrar un valor

funciones proposicionales, porque su valor de verdad depende del valor asignado a la letra (que también se la suele llamar indeterminada/variable).

Las funciones proposicionales del tipo 5 + x = 8, que conocemos con el nombre de ecuaciones, las “resolvemos” o “hallamos el valor de la incógnita” realizando “pasajes de términos”, son una visión incompleta, porque solo se busca el valor de la letra y dejamos de lado si esa condición de igualdad establecida primeramente 5 + x = 8 puede ser verdadera o no para algún valor de x.

Del mismo modo, para la función proposicional o ecuación: 2x +3 = x + 5 se está pidiendo analizar si existe algún valor de x para que esa igualdad resulte verdadera, que será así si x = 2, caso contrario resultará falsa.

Para la función proposicional t2 = 4, existen dos valores de t para que resulte verdadera, t = 2 o t = 2. Al valor o valores asignados a la letra para que la igualdad resulte verdadera, se llama raíz y conforma su solución.

No resulta difícil encontrar ejemplos de funciones proposicionales. «x es humano» es una función proposicional; no será verdadera ni falsa mientras x permanezca indeterminada, pero se convertirá en una proposición verdadera o falsa en cuanto se atribuya valor a x. Toda ecuación matemática es una función proposicional. Mientras no se otorgue el valor un valor definido a las variables, la ecuación solo es una expresión que espera la determinación para convertirse en una proposición verdadera o falsa. En el caso de una ecuación con una variable, esta pasa a ser verdadera cuando se identifica a la variable con una raíz de la ecuación, de lo contrario pasa a ser falsa; pero si se trata de una «identidad» será verdadera cuando la variable sea un número cualquiera. (Bertrand Russel, 1989: 138).

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1. a) Decidamos cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones y cuáles funciones proposicionales.

“Hoy es martes y tengo clase de Matemática”.

“Este año es el año del Bicentenario de la Patria”.

“a - 3 = 7”

“¿Puedo pasar al patio?”.

“2x - 4 = 2(x - 1)”

“El número dos es irracional”.

“23 - 7 < 5”

“El doble de siete es un número par”.

“3t + 8 = 3(t +3)”

“x3 = 8”

“y > 5”

b) Para las funciones proposicionales encuentra el o los valores de la variable para que resulten verdaderas.

2. Las funciones proposicionales 2x +3 = x + 5, 2x - x = 5 - 3 son equivalentes porque tienen la misma raíz x = 2.

Las funciones proposicionales -3(2x +3) = x + 5, 2(3 – x) = - 5x también son equivalentes. Escribí el porqué.

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3. La igualdad -4(x + 1) = -4x - 4, ¿es verdadera para x = 0? ¿Y para x = ½? Encontremos, de ser posible, todos los valores de x para que resulte verdadera.

4. Analicemos el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justifiquemos las respuestas.

a) “La igualdad 2x – 3 = x – 1 es solo verdadera si x = -2”.

b) “La igualdad 2 (x – 5) = -10 + 2x es siempre falsa”.

c) “Las igualdades 3x – 7 = x + (-1)3 y -7 – (-1)3 = -3x + x resultan verdaderas para el mismo valor de x”.

5. a) Decidamos qué valor tienen que adoptar las letras para hacer verdaderas las siguientes igualdades:

-(2x - 1) = 2(6,5 + x) 6x - 9 = 30 3(-x + 8) = x - 2

b) ¿Existe equivalencia entre algunas de esas ecuaciones?

6. Escribamos las siguientes condiciones como una ecuación y analicemos para qué valores resultan verdaderas.

a) ¿Puede ser que si a un número lo multiplicamos por nueve, le sumamos dos, le sumamos quince y le restamos treinta, se obtenga como resultado el doble de ese número?

b) ¿Puede ser que si a un número lo multiplicamos por cuatro, le restamos siete, le sumamos trece y le sumamos ocho, se obtenga el mismo resultado que si a ese número le restamos nueve, le sumamos siete, le sumamos cinco y finalmente le sumamos once?

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c) ¿Puede ser que si a un número lo dividimos por seis, le sumamos dos, le sumamos ocho y al resultado lo multiplicamos por tres, se obtenga la mitad de ese número?

d) ¿Puede ser que si a un número le sumamos dos, lo multiplicamos por tres, le sumamos siete veces el número pensado y le sumamos seis, se obtenga el mismo resultado que si al doble de ese número le sumamos tres, multiplicamos el resultado por cinco y luego le restamos tres?

7. Analicemos la siguiente expresión: x2 - 6x = -5

a) ¿La expresión es verdadera si x = 2? ¿Y si x = 5?

b) ¿Existe algún otro valor de x para que la expresión sea verdadera?

8. Una solución de la x2 - x - 3,75 = 0 es x = 2,5.

a) Compruébenlo.

b) Existe otro valor de x que hace que la expresión anterior sea verdadera, ¿cómo podemos obtenerlo? ¿Son válidas las técnicas empleadas hasta este momento?

Ciertas funciones proposicionales son equivalentes a expresiones del tipo: ax2 + bx + c = 0, que también reciben el nombre de ecuaciones cuadráticas. Las letras a, b y c son números dados y reciben el nombre de coeficientes. La letra x representa un valor que, al reemplazarlo por un número, hace que la función proposicional sea verdadera o falsa.

En estas ecuaciones, para encontrar esos valores de x que cumplen la igualdad, se utiliza una relación entre los

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coeficientes , conocida como fórmula resolvente. ¿Qué representa el símbolo ? Las ecuaciones cuadráticas poseen dos raíces. Utilizando la expresión alternadamente con el signo + y con el signo – es posible encontrarlas.

9. Dada la igualdad 2x + x2 = -1:

a) ¿Cuál es el valor de cada uno de sus coeficientes a, b y c?

b) ¿Cuántas y cuáles son las raíces de esta expresión? ¿Cómo se puede explicar eso?

Todas las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado tienen dos raíces. Cuando el valor numérico de ambas es el mismo, se dice que es una raíz doble.

10. Analicen el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifiquen la elección.

a) “La igualdad x2 + 2x = 3 tiene raíz doble”.

b) “La igualdad x2 + 3x = x.(x + 2) + 1 es siempre falsa”.

c) “La igualdad x2- 2x = 4 es verdadera solo para x = -1 y para x= 2”.

d) “La igualdad 2.(x2 + 1) = x2 + 3 es siempre falsa”.

e) “La igualdad x2 + 16 = 8x es verdadera solo para x = 4”.

11. a) Encuentren las raíces de la ecuación x2 = 1. ¿Cuántas raíces tiene? ¿Es necesario utilizar la fórmula resolvente para encontrarlas?

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b) Encuentren las raíces de la ecuación x2 = -1. ¿Cuántas raíces tiene?

Como se mencionó en los capítulos sobre conjuntos numéricos, las necesidades humanas de dar respuesta a ciertas operaciones han dado lugar a la construcción de nuevos números.

Por ejemplo, el cálculo no posee solución en el conjunto de los números reales, ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado de por resultado -1.

Para dar solución a esta cuestión, se crearon los números imaginarios. Si bien estos se utilizaron durante años como herramientas auxiliares de cálculo, recién en 1777 el matemático Leonhard Euler definió al número i como . Esto dio lugar a la posterior construcción del conjunto de los números complejos, al ser aquellos formados por un par ordenado de números, en los que el primer elemento representa la parte real y el segundo, la imaginaria.

En el ejemplo analizado en el punto 11.b), x2 = -1, por lo que, entonces , con lo que la ecuación tiene dos raíces

complejas: i y –i.

12. Dadas las siguientes funciones proposicionales calculemos, si existen, los valores reales para los cuáles las mismas resultan verdaderas. Indiquemos cuáles de ellas son equivalentes.

a) 3x2 – 12x = 15 b) 2x2 + 2x = -3

c) 8x + 10 =2x2 d) x2 – 5 = 4x

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2.3. Cuando la cantidad de letras aumenta

13. La función proposicional 2x + 4 = 2y resulta verdadera cuando x = 4 e y = 6.

a) Verifiquen que la proposición resulte verdadera para los valores dados.

b) Indiquen al menos dos pares de valores para los cuáles la expresión resulte falsa.

c) ¿La expresión resulta verdadera cuando x = 1 e y = 6? ¿Y cuando x = -1 e y = 1?

d) Encuentren al menos dos pares de valores x e y, de tal manera que la expresión resulte verdadera. ¿Cuántos pares de valores cumplen esa condición?

Las funciones proposicionales, como las del problema anterior, tienen soluciones que son pares ordenados de números (x; y). Así, aquellos pares de números que al reemplazarlos en las letras correspondientes hagan que la igualdad resulte verdadera serán soluciones de la ecuación.

Una forma de analizar el conjunto solución de este tipo de igualdades es transformarlas en ecuaciones equivalentes donde una de las letras quede expresada en relación a la otra. Para la expresión 2x + 4 = 2y, una expresión equivalente es y = x + 2.

Así, para cada valor real de x, existe un valor de y, también real, de modo que se cumpla la igualdad. Por lo que la solución de esta función proposicional está compuesta por infinitos pares ordenados (x; y) de números reales.

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14. Dadas las siguientes igualdades:

I) -4x + y = -2 II) x + 1 + y = 4

III) -4x + 2 = 12 – 2y IV) 2.(2x – 1) = y

a) Indiquen para cuál o cuáles de ellas el par (1; 2) es una solución.

b) Indiquen cuáles de ellas son equivalentes. ¿Alcanza con que posean una solución en común para que lo sean? ¿Por qué?

2.4. Más actividades

15. Expliquen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) x2 es siempre positivo o nulo.

b) x3 es siempre positivo o nulo.

c) Si x<0, indica un número complejo.

d) x-1 es negativo si lo es x.

e) -x2 es siempre negativo.

f) El cuadrado de un número es siempre mayor que ese número.

g) Si a2 = b2 es posible afirmar que a = b.

h) Si a3 = b3 es posible afirmar que a = b.

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16. Analicen el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifiquen la elección.

a) “La igualdad x2 + 8 = 9x es verdadera para x = 1 y x = 8”.

b) “El par (3; 5) es solución de 3x + y – 4 = x + 1”.

c) “La ecuación 2x2 + 4 + 3x = 0 no tiene raíces reales”.

d) “La raíz de es 1”.

e) “La expresión 2.(x+1) + x = 3x + 2 es siempre falsa”.

f) “La expresión 3x + y = y + 6 tiene infinitas soluciones”.

g) “La expresión 2x2 – 4 = -2x y la expresión 5x + 5x2 = 10 son equivalentes”.

h) “3x + 4y = 10 es verdadera solamente cuando x = 2 e y = 1”.

i) “La expresión 5.(x – 1) - 2x = 5 + 3x es verdadera para cualquier valor de x”.

j) “0,5x2 – 3x + 4,5 = 0 tiene una raíz doble”.

TEM A Forma y figuraCarlos Pérez Medina

3

3.1. El problema de la distancia entre dos puntos

En una pequeña población ubicada alrededor de una laguna, se han localizado dos puntos A y B sobre dos caminos que la bordean, como se muestra en la figura. Se busca una manera de calcular la distancia que hay entre estos dos puntos, ya que la medición directa no es posible porque la laguna los separa.

Para dar solución a la situación, una persona observa el mapa de la ciudad y propone localizar tres puntos auxiliares con condiciones particulares: un punto O en la intersección de los dos caminos que pasan por A y B, a igual distancia de cada uno de ellos; un punto A' en la continuación del camino que pasa por A, a igual distancia de O que A; y un punto B' en la continuación del camino que pasa por B, a igual distancia de O que B.

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1. ¿Cuál es la estrategia de solución de esta persona? ¿Por qué localizó los tres puntos auxiliares O, A' y B'?

En la figura se muestra una representación gráfica de la propuesta sugerida.

Los pares de puntos A y O, O y A', B y O, y O y B' se han unido mediante una línea de la que ellos son sus extremos. Una figura geométrica con estas características es la representación gráfica de un segmento: es la parte de una recta determinada por dos puntos.

Las rectas, semirrectas (parte de la recta que con origen en un punto, pasa por otro que determina la dirección) y segmentos se designan por letras, que son los nombres de los puntos que los determinan. En la figura están marcados la recta AB, las semirrectas OA y OB (origen O y sentidos determinados por A y B, respectivamente) y los segmentos

Para el caso de la figura del problema, se tienen entonces los segmentos y por las condiciones impuestas ' ' .

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tema 3: Forma y figura

2. Verificá con la regla cuál es la medida de estos segmentos. ¿Podrías haber usado otro instrumento de geometría para hacerlo? ¿Por qué?

En la representación gráfica de la solución propuesta, también se puede identificar que los pares de segmentos y , y y

coinciden entre sí en un mismo punto que es O, y delimitan una abertura entre ellos. Una figura geométrica con estas características es la representación gráfica de un ángulo: la forma geométrica formada por dos semirrectas de origen común, o dos segmentos con un extremo común, que se llaman lados del ángulo, el punto común es el vértice. Esta forma se suele designar con la letra del vértice, una letra del alfabeto griego o por tres letras (dos de las cuales corresponden a un lado del ángulo cada una, y la tercera al vértice que se ubica siempre en el medio de las otras dos). Para el caso de la figura del problema, se tienen los ángulos AOB y B' OA', cuya posición1 es muy particular, porque tienen el mismo vértice O y los lados de uno son prolongaciones de los del otro, es la prolongación de , y es la prolongación de . A dos ángulos en esta posición se les llama opuestos por el vértice y cumplen la propiedad de tener igual medida. En la figura del problema se tiene que AOB y B'OA' son opuestos por el vértice y por tanto AOB=B'OA'.

3. Verificá con el transportador cuál es la medida de estos ángulos. ¿Podrías haber usado otro instrumento geométrico para hallar esa amplitud? ¿Por qué?

1 La relación de perpendicularidad se establece respecto de la medida del ángulo que forman dos rectas que se intersectan. Si uno de los ángulos que se forman entre las dos líneas mide 90°, las rectas se llaman perpendiculares. En el caso que las rectas no se crucen, se llaman paralelas.

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Las relaciones métricas establecidas entre los segmentos y los ángulos de la figura geométrica del problema permiten ver cuál es el fundamento de la estrategia propuesta. Si completamos la figura con los segmentos y , este último es el que representa la distancia que se quiere medir: quedan delimitadas dos regiones por la intersección de tres segmentos, los cuales se cortan dos a dos. Una región corresponde a la que se delimita por los segmentos , y , y la otra a la delimitada por los segmentos Regiones con estas características representan la forma geométrica triángulo, los segmentos son sus lados, los extremos comunes entre estos son sus vértices y los ángulos formados por los segmentos son los ángulos interiores del triángulo. Para el caso de la figura del problema, se tienen los triángulos AOB y A'OB', en los cuales los lados y son iguales puesto que ambos se oponen a ángulos iguales ( es el lado opuesto al ángulo AOB en el triángulo AOB, y es el lado opuesto al ángulo A'OB' en el triángulo A'OB'), y también los otros pares de lados son iguales entre sí. Diremos que en la solución se planteó determinar los tres puntos A', B' y O con condiciones particulares para formar dos triángulos iguales, de modo tal que midiendo la distancia entre A' y B', se puede conocer la medida entre A y B, que es la que se busca. La medición entre A' y B' sí se puede realizar porque no hay obstáculos entre ellos.

4. En la figura del problema, trazá el segmento y medilo. ¿Cuál podría ser una escala adecuada para determinar una medida entre A y B aceptable en la realidad?

Otros conceptos geométricos para recordar

Los triángulos se clasifican con relación a sus lados y a sus ángulos. En el primer caso se clasifican en equiláteros, cuando tienen todos sus lados iguales; isósceles, cuando tienen dos lados iguales,

.

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y escalenos, tres lados desiguales. Con relación a los ángulos, se clasifican en acutángulos, cuando tienen los tres ángulos agudos; obtusángulos, cuando tienen un ángulo obtuso, y rectángulos2, cuando tienen un ángulo recto.

Los triángulos corresponden a un tipo particular de polígonos, formas geométricas que son porciones de plano limitadas por segmentos que se unen dos a dos, y forman una línea quebrada cerrada, también llamada línea poligonal. A la longitud de esta línea poligonal, para cualquier polígono, se le llama perímetro.

5. Enunciá ejemplos de polígonos que recuerdes y describí algunas de sus características.

Al igual que en los triángulos, para cualquier polígono, los lados son los segmentos que forman la línea poligonal; los vértices, los extremos de estos segmentos y los ángulos internos, los que forman dos lados consecutivos en el interior del polígono. Para el caso de polígonos de cuatro lados o más, otro elemento son las diagonales, segmentos cuyos extremos son dos vértices no consecutivos. El perímetro de cualquier polígono se calcula sumando las medidas de sus lados. Se llama polígono regular al que tiene todos sus lados y ángulos iguales.

6. ¿Qué cuadriláteros recordás haber estudiado? Escribí sus nombres y hacé un dibujo que los represente.

En los cuadriláteros se llaman lados opuestos a los que no tienen vértice común; vértices opuestos, a los que no pertenecen a un

2 En este caso, los lados del triángulo reciben nombres especiales, los que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el tercero, que se opone al ángulo recto, hipotenusa.

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mismo lado, y ángulos opuestos, a aquellos cuyos vértices son opuestos. En la figura: A y C, y B y D son pares de vértices opuestos.

Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, si ambos pares de lados opuestos son paralelos; trapecios, si tan solo un par de lados opuestos son paralelos, y trapezoides, cuando ningún par de lados opuestos son paralelos. De los paralelogramos, los más conocidos son el cuadrado, aquel que es paralelogramo regular; el rectángulo, que tiene sus ángulos rectos; el rombo, el que tiene sus lados iguales, y el romboide, cuyos lados y ángulos contiguos son desiguales.

7. Escribí las definiciones y algunas características de los trapecios y realizá una figura geométrica que las represente. ¿Por qué tu respuesta y la de tus compañeros pueden ser diferentes?

8. ¿Sucederá lo mismo si el pedido es respecto de los paralelogramos? ¿Por qué?

3.2. El problema de la distribución de superficies

El cómo distribuir los muebles en nuestra casa es una situación común a la que nos vemos enfrentados la mayoría de las personas en algún momento de nuestras vidas. En la mayor parte de las ocasiones, para tomar decisiones sobre el lugar que debe ocupar un mueble, nos guiamos por la comodidad que nos da que el objeto esté en una ubicación determinada. Hay algunas otras ocasiones en las

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que el criterio de la comodidad queda en un segundo lugar, y el que resulta primordial es el del aprovechamiento del espacio disponible: tenemos que organizar varios objetos en un espacio reducido.

9. Describí qué criterios usás y cómo tomás las decisiones cuando tenés que organizar los muebles de tu casa en un espacio reducido.

Supongamos que tenemos que organizar los muebles de las habitaciones, la sala y el comedor de un departamento cuyo plano, con las medidas de cada ambiente en metros, es el de la figura. Sabemos que los muebles son cuatro camas de una plaza (2m × 0, 90m × 0,85m ), dos sillones de un cuerpo (0,80m × 0,75m × 0,70m), un sillón de tres cuerpos (2,30m × 0,75m × 0,70m), una mesa para la televisión y el equipo de música (0,65m × 0,80m × 0,45m) y una mesa comedor para seis personas (2m × 1m × 0,75m).

10. Si para determinar la organización de los muebles te piden el dato de la cantidad de superficie total que ocupan, ¿cómo calcularías el área total del mobiliario descrito para el departamento?

11. Hacé algunos dibujos que muestren cómo distribuirías los muebles dentro del departamento usando el plano dado.

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12. Si la mesa que se va a colocar fuese de 1,5m de diámetro, ¿qué otras condiciones deberías tomar en cuenta para ubicarla en el espacio disponible? ¿Por qué?

Área de figuras geométricas

13. Sigamos con las casas. ¿Cuántas tablas de 3,5m de largo por 0,25m de ancho se necesitan para entablar un salón de 2m de largo por 9m de ancho? Muestren cómo llegaron a la respuesta.

En la práctica, el cálculo del área de una figura se efectúa de manera indirecta, esto es, se mide la longitud de algunos de sus elementos y se realizan ciertas operaciones para obtener el resultado. Veamos cómo se calcula el área de cada una de las figuras geométricas que hemos estudiado.

Cálculo de área de figuras geométricas

En el triángulo, el área es el semiproducto de la base y la altura. Cualquier lado del triángulo se puede tomar como base, y la altura es la medida del segmento perpendicular a la recta a la que pertenece la base desde el vértice opuesto.

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En los paralelogramos, el área es el producto de su base por su altura (o de su largo por su ancho).

A = b x a

A = b2

En el caso del rombo, una forma más sencilla de calcular su área es usando las medidas de sus diagonales. El área es semiproducto de sus diagonales.

D x d2

En el trapecio, el área es el producto de su altura por la semisuma de sus bases. Las bases son los lados paralelos; y la altura, la longitud del segmento perpendicular desde uno de los extremos de la base menor a la base mayor.

En los paralelogramos, el área es el producto de su base por su altura (o de su largo por su ancho). A = b x h

A =

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En los polígonos regulares de cinco o más lados, el área es el semiproducto del perímetro por su apotema. La apotema es la longitud del segmento perpendicular del centro a uno cualquiera de sus lados.

En el círculo, el área es el producto de π por el cuadrado del radio.

3.3. Otros problemas para resolver

14. Resolvé cada problema y explicá cómo llegás a la solución.

a) Una vereda de 1,8m de ancho rodea un terreno rectangular de 150 m de largo por 45m de ancho. Hacé un dibujo y calculá su área.

b) Calculá el perímetro de un terreno cuadrado de 7482,25m2.

c) Si se disminuye en 6m el lado de un cuadrado, se obtiene otro de 144m2 menos que el primero. ¿Cuánto mide el lado del primero?

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d) ¿Qué medida ha de tener el lado de una mesa de superficie cuadrada para que sea equivalente a otra mesa de superficie rectangular, que tiene 4,05m de largo por 1,2m de ancho?

e) Si la escala de un plano es de 2mm: 1km, ¿cuál es el área de un terreno en forma de trapecio cuyas bases y altura miden, en el plano, 4,5mm, 3mm y 2,8mm respectivamente?

f) ¿Cuál es la altura de un triángulo de 15m de base, si es equivalente a otro que tiene por base y altura 20m y 12m respectivamente?

g) Calculá la base y la altura de un triángulo que tiene 180m2 de área, si la altura es los 2

5 de su base.

h) Hallá las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que su área es de 10cm2 y la razón de sus dimensiones es 4

3.

i) ¿Cuánto cuesta la pintada de un zócalo de 0,25m de alto en una sala de 8,25m de largo por 8m de ancho, si el metro cuadrado vale $15?

j) En ambas figuras ABCD es un cuadrado de lado 10cm. Calculá el área de la región blanca.

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k) En el siguiente triángulo, el cuadrado construido sobre uno de los lados es equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los otros dos lados. Verificá cuáles son los cuadrados correspondientes y expresá la relación3.

3 Esta relación se verifica para todos los triángulos rectángulos y es reconocida como el teorema de Pitágoras.

TEM A Es probableLiber Aparisi y Fernando Bifano

4

4.1. Introducción

Una persona gana un premio de un millón de dólares y decide no cobrarlo. ¿Les parece muy probable, poco probable, nada probable? Imagínense que tiran 6 veces un dado, ¿cuál de las siguientes series creen que es más probable obtener: 1-3-2-6-5-3, 1-1-1-1-1-1 o 1-2-3-4-5-6?

¿En la comisión donde cursan el CPU es posible que 2 compañeros cumplan años el mismo día? ¿Será nada probable, poco o muy probable? ¿Qué piensan?

Analicemos esta última cuestión. Si en el aula hubiera 366 compañeros, seguramente habría coincidencia (en este punto, les sugerimos detenerse y reflexionar hasta conseguir una explicación que los satisfaga. ¿Por qué podríamos decir que, necesariamente, en un aula con 366 alumnos, al menos 2 coincidirán en la fecha de su cumpleaños?).

¿En qué se apoyarían o cuál es la razón para decidir sobre la probabilidad de que algo así suceda (nada, algo, mucho), en el aula donde hoy están cursando Matemática del CPU en la UNAJ?, ¿lo intuyen?, ¿es una corazonada?, ¿les parece razonable?, ¿creen que es algo esperable?, ¿es natural que así sea?, ¿lo calcularon?

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56


Este problema del cumpleaños también conocido como paradoja del cumpleaños (aunque estrictamente no se trata de una paradoja desde el punto de vista de la lógica matemática, porque no es una aparente contradicción) lleva como enunciado original la reflexión sobre un grupo de 23 personas y se puede calcular que habrá poco más de un 50% de probabilidad que 2 de ellas cumplan años el mismo día.

Y algo que les va a sorprender: en un grupo de 40 personas (¿cuántos son en la comisión?) la probabilidad aumenta a un 89%.

4.2. Entre lo probable y lo posible

Seguramente conocen el juego de apuestas Quini 6, que se trata de apostar a 6 números (del 1 al 46). ¿Saben cuál es la probabilidad de ganar? 1 entre 9.366.819.

Alguno de nosotros seguramente piensa que resulta improbable ganar. Aunque sabemos que es posible que alguien lo gane. O por lo menos altamente probable, ya que es frecuente que haya un ganador.

Aun sabiendo que puede existir un ganador, nosotros o el mismo ganador no lo cree como posible, porque piensa que es un milagro o suerte, ya que la probabilidad que tenía a favor era casi cero.

Existe una diferencia entre lo probable y lo posible. Algo es posible o no lo es. Mientras que lo probable admite graduaciones que van desde lo poco probable a lo altamente probable. Piensen que cuando decimos que algo es casi seguro de que pase, estamos indicando que ello es muy probable que suceda. Utilizar el término probable es relacionarlo con la incertidumbre, la incerteza.

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tema 4: es probable

4.3. Una definición clásica de probabilidad

Podemos dar una primera definición de probabilidad como una medida de la incertidumbre de la ocurrencia de sucesos aleatorios (sucesos en los que no se puede prever con certeza el resultado que va tener lugar al observar el fenómeno o al realizar el experimento. El resultado depende del azar).

La definición de Laplace o definición clásica de probabilidad es la que nos permite relacionar el número de casos favorables con el de casos posibles:

p = número de casos favorablesnúmero de casos posibles

1. Según la definición laplaciana de probabilidad, comparen el resultado de ganar el Quini 6 con la probabilidad de acertar el “gordo navideño” comprando un solo billete (los billetes son de 5 cifras). ¿Qué resulta más probable: ¿acertar el Quini 6 o sacar el “gordo navideño”? Expliquen cómo logran calcularlo.

Supongamos que se arroja una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara? 1 de 2. Podría salir también ceca, es decir, ambos sucesos tienen la misma probabilidad —equiprobabilidad— de ocurrencia. Hemos hecho un estudio de carácter teórico.

Si hacemos efectivamente el experimento y sale cara, podríamos decir que el resultado obtenido no se condice con lo anticipado.

En realidad, deberíamos repetir la misma experiencia varias veces para ver qué sucedería (los invitamos a hacer esto 10, 20, 50 veces y registrar lo sucedido).

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Cuanto más veces reiteremos la experiencia, más cerca estaremos de obtener 1

2 como resultado empírico. Puede resultarles

un contrasentido, pero si experimentáramos el mismo fenómeno “infinitas” veces, nos aproximaríamos al valor teórico.

Es lo que se conoce como enfoque frecuentista de la probabilidad. De ahí quizás uno de los valores destacables de la matemática como ciencia que va más allá de la experiencia.

4.4. Es poco probable

Analicemos ahora hechos poco probables. El matemático francés Emile Borel estudió este tipo de sucesos y los clasificó en tres tipos: improbables a escala humana, improbables a escala terrestre e improbables a escala cósmica. Para el primer caso, debemos entender que no serán eventos razonables de que le sucedan a una persona. Para el segundo planteo, no sería razonable que ocurran alguna vez en la historia de la humanidad. En la última caracterización de Borel, los hechos no son razonables que acontezcan alguna vez en la historia del Universo.

En el juego del Prode (juego de pronósticos deportivos muy famoso en la Argentina y que consistía en asignar local, empate o visitante al resultado de un partido de fútbol que se daba en una determinada fecha de juego. Se jugaban 13 partidos y se podía colocar en dos de ellos, dos posibilidades y en uno de ellos, hasta tres) la probabilidad de ganar era del 0,000006%. La probabilidad es muy baja, aunque no es nula. Sabemos que hubo ganadores del Prode durante décadas.

Al tirar un dado, hay una probabilidad de 16 de que salga un número

cualquiera elegido.

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tema 4: es probable

Estos dos ejemplos muestran probabilidades que pueden calcularse. En cambio cuando un estudiante siente que se ve con un 100% de probabilidad de aprobar el examen, decimos que se trata de una estimación subjetiva, es una “forma de decir” (y de darse ánimo). El grado de confianza personal asignada a un suceso, basado en evidencia personal, es lo que llamamos definición subjetiva de probabilidad.

2. Autoridades provinciales en su balance de movimiento turístico del año 2013 estimaron que durante el fin de semana de carnaval ingresaron 230 mil automóviles a la ciudad de Mar del Plata.

Se anunció en los medios que, para agilizar el tránsito, detendrían solo un vehículo para efectuar un control de la documentación: ¿cuál sería la probabilidad de que alguno de nosotros, manejando camino a Mar del Plata, se hubiese detenido en ese control?

3. Se le llama abducción extraterrestre al fenómeno en el que seres extraterrestres raptan a un ser humano. Desde este contexto fantástico:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el suceso le ocurra a un estudiante cualquiera de esta comisión? Expliquen cómo logran calcularlo.

b) ¿Cuál será la probabilidad de que el total de la comisión sea abducida? Comparen y analicen los resultados obtenidos en 3.a) y en 3.b).

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4.5. Sucesos excluyentes

Hasta aquí hemos venido, casi sin nombrarlo, hablando de cuestiones de azar. Muchas veces en la vida pensamos que las cosas suceden porque sí, o sin razón aparente. También vimos que se puede, en muchos casos, calcular esa probabilidad de ocurrencia, por más azarosa que parezca.

Pero también hay sucesos que ocurren, y que el hecho de su ocurrencia anula la posibilidad de ocurrencia de otros en forma simultánea. A estos eventos se los denomina mutuamente excluyentes. Veamos un ejemplo:

Supongamos que el suceso “mañana llueve” tiene una probabilidad del 70%. Esto quiero decir que el suceso “mañana no llueve” (que sería una suerte de suceso complementario al anterior) tiene una probabilidad del 30%. Esto es así porque ambos eventos se excluyen mutuamente: no puede llover y no llover a la vez.

La ocurrencia de un suceso junto con su no ocurrencia cubre el 100% del espectro de lo que puede acontecer. Por ello, la suma de ambas probabilidades resulta 1. Simbólicamente:

70100

p (llueve) = 70%=

30100

p (no llueve) = 30%=

30100

p (llueve) + p (no llueve) = 70% + 30%= + = 170

100

61

tema 4: es probable

Una observación importante: los valores que toma la probabilidad de ocurrencia de un suceso o evento oscilan entre 0 y 1, al ser 0 el caso de no ocurrencia y 1 el mayor grado de certeza. Consecuentemente, entre la gama de 0 y 1, cuanto más cerca de 0, menos probable será la ocurrencia de un suceso; mientras que cuanto más cerca de 1, es más probable que ocurra.

4. Tenemos en una bolsa negra, tres tarjetas: una naranja, una amarilla y la otra verde.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una tarjeta al azar y que esta sea naranja? ¿Y de que no sea naranja?

b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una tarjeta al azar y esta sea amarilla o verde?

5. Propongan otros ejemplos de sucesos excluyentes. En caso de poder calcular la probabilidad de ocurrencia de tales sucesos, ¿se verifica que la suma de probabilidades de los sucesos considerados a priori excluyentes resulta igual a 1?

4.6. Sucesos independientes

En otras circunstancias, hay sucesos cuya ocurrencia no condiciona de manera alguna la ocurrencia del otro. Por ejemplo, arrojar un dado al aire y que salga primero un 3 y luego salga otro número (o incluso nuevamente 3). O también podría ser que en el sorteo nocturno de la lotería salga el número 1789 y en el sorteo de la mañana siguiente vuelva a salir el mismo número u otro cualquiera.

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En ambos casos, estamos frente a lo que en términos probabilísticos se denomina sucesos independientes, y la probabilidad de ambos eventos se calcula como el producto de cada una de las probabilidades.

6. Expliquen por qué la probabilidad de que sucedan dos eventos independientes se obtiene como el producto de ambas probabilidades.

7. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 al arrojar un dado al aire y un 6 entre un mazo de 40 cartas españolas? Las preguntas no se pueden responder por separado: ¿por qué exigimos esta condición?

Volvamos al problema de la paradoja del cumpleaños. Tratemos de aplicar lo visto hasta acá para poder analizar los porcentajes antes mencionados.

Vamos a considerar la situación de que cada persona tenga una fecha de cumpleaños que no coincida con ninguna de los demás. Si podemos cuantificar la probabilidad de que todos cumplan años en días diferentes, el complemento de esa probabilidad será la de que al menos dos cumplan años en el mismo día (nos servirá pensar en el caso anterior, donde la probabilidad de que “no llueva” es 1 menos la probabilidad de que “llueva”).

La primera persona tiene los 365 días “libres” para cumplir años. La segunda, para cumplir años en un día diferente al anterior, tiene 364 posibilidades sobre 365 días. La tercera tiene 363 posibilidades de cumplir años en días diferentes a las otras dos. Y así sucesivamente. La persona número 23 tiene 342 fechas libres posibles (que sale de restar 23 a 265) de los 365 días del año.

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tema 4: es probable

Esto quiere decir que, la posibilidad de que cada persona tenga un cumpleaños individual, por así decirlo, se calcula como el producto de cada una de estas probabilidades (porque todos son sucesos independientes del otro):

La probabilidad de que haya al menos dos personas que cumplan años el mismo día en un grupo de 23 personas supera el 50%.

8. Una persona en su Facebook tiene 73 contactos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos cumpla años el mismo día?

4.7. Sucesos dependientes: la probabilidad condicionada

Hay circunstancias en los que la probabilidad de ocurrencia de un suceso se calcula sobre la base de que otro ha ocurrido. Por ejemplo, 2 mazos de 40 cartas cada uno, en uno de los cuales hay un as, y en el otro están los 4 ases. ¿Cuál es la probabilidad de que habiendo sacado un as este pertenezca al mazo con un solo as? ¿Es cierto que la probabilidad de que el as sea del mazo de los 4 ases es el cuádruple de la anterior?

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Veamos cómo analizar la resolución de este problema:

Primero sería conveniente determinar la probabilidad de sacar un as entre las 40 cartas para cada uno de los mazos:

Mazo 1:

La probabilidad es 1 en 40,

o sea: p(as) = 1

40

Mazo 2:

La probabilidad es 4 en 40,

o sea: p(as) = 4

40

Luego, la probabilidad de haber sacado un as del mazo que tenía uno solo se calcula como el cociente entre los casos favorables sobre los posibles. Pero sucede que los favorables en realidad son

140 x

12

, porque hay un as entre las 40 cartas, pero salió de alguno de los 2 mazos posibles.

Por otro lado, los casos posibles son sucesos excluyentes (pues si el as salió de un mazo, no pudo hacerlo del otro). Esto implica que la probabilidad de as del mazo 1 es:

Lo cual resulta bastante razonable, pues podríamos pensarlo de otra manera considerando que en total hay 5 ases y uno solo de ellos pertenece a un mazo y los restantes 4 al otro. Esto quiere decir que es cierto que las chances son el cuádruple.

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tema 4: es probable

Les proponemos pensar y trabajar en este problema:

9. El 70% de los estudiantes de una comisión del CPU resuelve todos los problemas de este libro. De este porcentaje, el 85% aprueba la materia; de los que no resuelven todos los problemas del libro (el 30% restante), el 40% aprueba.

¿Si un alumno aprueba la materia, cuál es la probabilidad de que haya resuelto todos los problemas?

Esta forma de determinar la probabilidad condicionada fue estudiada por el matemático francés Bayes. De ahí que se conozca como teorema de Bayes.

Este teorema tiene múltiples aplicaciones. En el ámbito informático, sirve para la determinación probabilística de que un correo electrónico recibido sea clasificado como spam: cuando entra un correo a la bandeja de entrada, se le asigna un cierto valor de probabilidad de que sea spam. Luego, un programa analiza la información contenida en el correo (lee y cuantifica las palabras) y esa información se vuelve relevante para aumentar o disminuir su probabilidad de su clasificación como spam.

Otra aplicación es de corte militar y se utiliza para la localización de aviones siniestrados.

En ambos casos, se basan en modificar el valor de probabilidad asignada a un suceso a partir de conocer información relevante para ese suceso.

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4.8. Más problemas

10. Dar otros ejemplos de sucesos excluyentes, independientes y dependientes. En cada uno de los casos, justificar la decisión.

11. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 7 al arrojar dos dados juntos? ¿Es lo mismo que la de obtener cualquier otro número? Justifiquen con cálculos la respuesta.

12. El juego del truco suele tener dos variantes. Hay jugadores que prefieren jugar sin flor y otros con ella (para aquellos que no saben, la flor se forma con tres cartas del mismo palo).

¿Cuál es la probabilidad de que un jugador obtenga flor en un partido de mano a mano?

Y si el partido es de dos contra dos, ¿la probabilidad de que dos jugadores de la misma pareja obtengan flor en una mano es más baja o más alta? ¿Cuánto más?

13. En una empresa de 3500 empleados, el 20% ha faltado por lo menos una vez durante el 2013. En 2014 se decide despedir a 10 trabajadores al azar.

¿Qué probabilidad tiene un trabajador de ser elegido?

Si los 10 trabajadores despedidos habían faltado por lo menos una vez durante 2013, ¿se puede inferir que los despidos estuvieron relacionados con este hecho?

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tema 4: es probable

14. Se elige al azar una clave de cuatro dígitos tomados del 1 al 9, ¿cuál es la probabilidad de que la clave comience con 5? ¿Cuál será la probabilidad de que comience con 5 y, además, todos los dígitos sean diferentes?

15. Seis amigos se acomodan uno al lado del otro para sacarse una foto.

¿Cuántas fotografías diferentes pueden sacarse?

Si los seis amigos son en realidad tres parejas que se ubicaron al azar, ¿cuál es la probabilidad de que hayan quedado uno junto a otro los miembros de cada pareja?

4.9. Esto no es todo: solo es el comienzo

Hasta aquí hemos desarrollado parte del tema de la teorías de las probabilidades a partir de considerar tanto su dimensión semántica como su calculatoria. Y para calcularla, en el caso de ser posible, hemos distinguido entre la relación que tienen estos sucesos desde su independencia o influencia de los unos para con los otros y de cómo impactan estas cuestiones en dichos cálculos.

Para aquellos que sigan con ganas y quieran ahondar más en lo visto en este capítulo, los invitamos a realizar sus exploraciones sobre la teoría de probabilidades.

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Seguramente buscarán en la web, a través de un motor de búsqueda (lo googlearán).

Nosotros, a modo de recomendación, les contamos que el conocido matemático y periodista, Adrián Paenza, aborda este tema en su programa Alterados por Pi del Canal Encuentro (temporada 3: capítulo 8).

También les sugerimos el capítulo Estadística y Probabilidad, de la Serie Horizontes (Matemática) de Canal Encuentro: https://www.youtube.com/watch?v=9PlZkS5011U

Aquí encontrarán un recorrido histórico y la contextualización que da origen a la teoría de las probabilidades, un abordaje y discusión sobre el azar, casos y ejemplos. Y otra parte donde se trata la Estadística, tema que trataremos en Matemática Inicial (Estudios Iniciales, UNAJ).

¿Recuerdan cómo iniciábamos este capítulo? Planteamos allí: “una persona gana un premio de un millón de dólares y decide no cobrarlo”. Si les da curiosidad, pueden acceder a esta nota periodística: http://www.infobae.com/2010/07/02/524345-un-genio-matematico-rechazo-un-premio-us1-millon.

BIBLIOGR AFÍA

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Asimov, Isaac (1975). De los números y su historia. Buenos Aires, El Ateneo, 2000.

Baldor, José (2006). Geometría plana y del espacio con una introducción a la Trigonometría. México, Publicaciones Cultural.

Berté, Annie (1996). Geometría dinámica. Buenos Aires, AZ, 2001.

Borel, Emile (1945). El azar. Descubrimiento, aplicación y valor de las leyes del azar. Buenos Aires, Ediciones del Tridente .

________ (1971). Las probabilidades y la vida. Barcelona, Ediciones Orbis, 1988.

Cardona, Arturo (1970). Geometría. Cursos tercero y cuarto de Enseñanza Media. Medellín, Editorial Bedout S.A.

Carranza, P. y J. Fuentealba (2010). “Dualidad de la probabilidad y enseñanza de la estadística”. Unión Revista Iberoamericana de Educación Matemática, n.° 24, 2010, pp. 57-68.

Courant, R. y H. Robbins (1941). ¿Qué es la matemática? Una exposición elemental de sus ideas y métodos. Madrid, Aguilar, 1964.

Dantzig, Tobias (1954). El número. Lenguaje de la ciencia. Buenos Aires, Hobbs Sudamericana, 1971.

Gascón, Josep (1999). “La naturaleza pre algebraica de la matemática escolar”. Educación Matemática, n.° 11/1, 1999, pp. 77-88.

70


Hersh, R. y V. John-Steiner (2012). Matemáticas: una historia de amor y odio. Buenos Aires, Crítica.

Hildebrand, D. y R. Lyman Ott (1998). Estadística aplicada a la administración y a la economía. México D. F., Addison Wesley Longman.

Jourdain, Philip (1994). “La naturaleza de la matemática”. En: Newman, James. Sigma, el mundo de las matemáticas. Barcelona, Ediciones Grijalbo, pp. 343-408.

Kasner, E. y J. Newman (1940). Matemáticas e Imaginación. Madrid, Hyspamérica Ediciones, 1985.

Landaverde, Felipe de Jesús (1955). Curso de Geometría para Secundaria y Preparatoria. México D. F., Editorial Progreso, 1963.

Rojo, Alberto (2012). El azar en la vida cotidiana. Buenos Aires, Siglo Veintiuno editores.

Ruiz N., M. Bosch y J. Gascón (2007). “La algebrización de los Programas de Cálculo Aritmético y la introducción del álgebra en Secundaria”. Comunicación del Segundo Congreso Internacional de la TAD. Ùzes, Francia.

Russell, Bertrand (1988). Introducción a la filosofía matemática. Barcelona, Paidós.

Seife, Charles (2000). Cero: La biografía de una idea peligrosa. Castellón de la Plana, Ellago, 2006.

Spiegel, Murray (1992). Probabilidad y estadística. Madrid, Mc Graw-Hill, 1998.

Villella, José y otros (2013). Matemática: Encuentros matemáticos de tipos múltiples. Florencio Varela, Universidad Nacional Arturo Jauretche, 2013.

Walpole, R. y otros (1999). Probabilidad y estadística para ingenieros. México D.F., Prentice-Hall Hispanoamericana.

Bibliografía

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LOS AUTORES

JOSÉ A. VILLELLA. Doctor en Didáctica de la Matemática. Profesor de Matemática y Matemática Aplicada. Licenciado en Educación. Profesor para la enseñanza primaria. Es docente e investigador de la Universidad Nacional de San Martín (UNSAM), donde también ocupó cargos de gestión. Integra el grupo de investigadores del Centro de Estudios en Didácticas Específicas (CEDE de la UNSAM) y forma parte del equipo docente de posgrado de universidades nacionales y extranjeras. Hace investigación y docencia en la Fundación Cultural Glaux de Buenos Aires, desde la que asesora en el desarrollo e implementación de proyectos educativos. Ha sido docente de nivel primario, medio y superior en formación docente (INSPT- UTN; Escuela Normal Mariano Acosta). Ha recibido premios y menciones especiales por sus libros y publicaciones tanto en la Argentina como en el extranjero sobre su tema de interés: el análisis de la gestión de la clase de matemática mediada por el docente considerado un profesional de la enseñanza. Dirige las colecciones de didácticas específicas de las editoriales Espartaco (Montevideo, Uruguay) y Miño y Dávila en coedición con Unsam edita. Es asesor científico en el área de Matemática del Instituto de Estudios Iniciales de la UNAJ.

LEONARDO J. LUPINACCI. Profesor de Matemática y Matemática Aplicada, INSPT-UTN. Licenciado en Enseñanza de las Ciencias, orientación Didáctica de la Matemática, UNSAM. Especialista en Enseñanza de las Ciencias Experimentales y Matemática y maestrando en la misma orientación, UNSAM.

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Docente y coordinador del área de Matemática del Instituto de Estudios Iniciales de la UNAJ. Docente investigador de Didáctica de la Matemática la Escuela de Humanidades de la UNSAM. Profesor de Didáctica de la Matemática en institutos de formación docente de la provincia de Buenos Aires. Ha participado en el dictado de talleres, cursos y en la presentación de comunicaciones en Jornadas y Congresos Nacionales e Internacionales. Autor de artículos y libros en colaboración sobre temas de su especialidad.

FERNANDO J. BIFANO. Profesor de Matemática. Lic. en Enseñanza de las Ciencias, orientación en Matemática, UNSAM. Maestrando en Enseñanza de las Ciencias Experimentales y la Matemática por la misma universidad. Doctorando del Programa Interinstitucional de Doctorado en Educación. Docente y cocoordinador del área de Matemática del Instituto de Estudios Iniciales de la UNAJ. Docente investigador de Didáctica de la Matemática la Escuela de Humanidades de la UNSAM. Profesor de Didáctica de la Matemática en cursos virtuales, UNSAM y UNRN. Profesor en institutos de formación docente de nivel medio y primario de la CABA. Ha participado, dictando cursos y seminarios, en diversas reuniones científicas tanto en nuestro país como en el exterior. Tiene publicado artículos y libros en colaboración sobre temas atenientes a su especialidad.

ROSA A. FERRAGINA. Lic. en la Enseñanza de las Ciencias con especialidad en Didáctica de la Matemática por la Universidad Nacional de San Martín (UNSAM). Maestranda en Enseñanza de las Ciencias Experimentales y la Matemática por la misma universidad. Profesora de Matemática e Informática, INSPT-UTN. Profesora en institutos terciarios de formación docente, profesorado en

los autores

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Matemática, CABA. Profesora de Didáctica de la Matemática en modalidad virtual, UNSAM. Integrante del CEDE. Ha participado, dictando cursos y seminarios, en congresos científicos tanto en nuestro país como en el exterior. Ha publicado libros de texto para el nivel medio, preuniversitario y formación docente.

ALEJANDRA ALMIRÓN. Profesora de Matemática, IES N.° 2 Mariano Acosta. Licenciada en Tecnología Industrial de los Alimentos. Profesora de Matemática en el nivel medio y en el nivel medio de jóvenes y adultos. Maestra de Segundo Ciclo de Matemática y Ciencias Naturales. Miembro del Equipo Técnico del área de Matemática de la Dirección Operativa de Evaluación Educativa del Ministerio de Educación del GCBA. Docente de Matemática en el Instituto de Estudios Iniciales de la UNAJ. Ha participado y dictado talleres de Didáctica de la Matemática y de Educación Popular.

LIBER APARISI. Profesor de Matemática. Tesista de la licenciatura en Enseñanza de la Matemática. Docente de Matemática del Instituto de Estudios Iniciales de la UNAJ. Docente de Matemática e Introducción a los Estudios Universitarios por la EE y N/ Universidad Nacional de San Martín. Investigador en proyecto y programa de desarrollo 2014-2015 por la Universidad Nacional de Villa María, Córdoba. Profesor en Formación Docente en las carreras de Matemática y Tecnología del IES N.° 2 Mariano Acosta, CABA. Miembro del Equipo TIC en el Instituto Nacional de Formación Docente. Autor y tutor de cursos y seminarios ofrecidos por el INFD/ME . Panelista y expositor en congresos internacionales de Matemática Educativa. Autor de artículos y libros en colaboración sobre modelización matemática y resolución de problemas.

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CARLOS ROBERTO PÉREZ MEDINA. Lic. en Matemáticas por la Universidad Pedagógica Nacional en Colombia (UPN). Diplomado Superior en Ciencias Sociales con mención en Educación y Nuevas Tecnologías por FLACSO (Argentina). Doctorando en Ciencias de la Educación con orientación en Didáctica de la Matemática en la Universidad Nacional de Córdoba en la Argentina. Miembro del equipo de investigadores del CEDE de la Escuela de Humanidades de la UNSAM. Profesor del área de Matemática del Instituto de Estudios Iniciales de la UNAJ. Fue profesor ayudante de primera (AyP) de la sede Alto Valle de la Universidad Nacional de Río Negro (Argentina). Ha participado en proyectos de investigación sobre temas relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática mediadas por herramientas de software.

PAULA PUTICA SINATRA. Profesora de Matemática por el Instituto Superior Esteban Adrogué. Licencianda en Enseñanza dela Matemática, (UTN). Docente de Matemática en el Instituto de Estudios Iniciales de la UNAJ. Profesora de Matemática en escuelas secundarias de la provincia de Buenos Aires.

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CURSO DE PREPARACIÓN UNIVERSITARIA

Leonardo Lupinacci, Fernando Bifano, Rosa Ferragina ,Alejandra Almirón, Liber Aparisi, Carlos Pérez Medina, Paula Putica Sinatra, José Villella

cpucpuUN

IVER

SIDA

D N

ACIO

NAL

ART

URO

JAUR

ETCH

ECU

RSO

DE P

REPA

RAC

IÓN

UN

IVER

SITA

RIA

ALGUNOS TEMAS PARA REPENSAR LA MATEMÁTICA

ALGU

NOS

TEM

AS P

ARA

REPE

NSAR

LA

MAT

EMÁT

ICA

leonardo lupinacci, fernando bifano, rosa ferragina ...que esta imposición tiene que ver con su...

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