les 1 lijnen definities · ⢠twee lijnen k en m staan loodrecht op elkaar als rc k à rc m = -1....
TRANSCRIPT
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 18
PARAGRAAF 8.1 : LIJNEN EN HOEKEN
LES 1 LIJNEN
DEFINITIES
Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven :
(1) RC - manier ðŠðŠ = ðððð + ðð â Handig als je de rc weet
(2) Lineaire combinatie : ðððð + ðððŠðŠ = ðð
â Is een andere a dan bij versie (1) â Vaak makkelijk bij stelsel vergelijkingen oplossen
(3) Assenvergelijking ð¥ð¥ðð
+ ðŠðŠðð
= 1
â (p , 0) en (0 , q) zijn de snijpunten met de assen.
(4) Parametervoorstelling : ï¿œðð = 2ð¡ð¡ + 1ðŠðŠ = ð¡ð¡ + 3
â De 3e variabele t bepaalt de coördinaten (denk aan de eenheidscirkel) â Door t te elimineren kun je deze ook schrijven in vorm (1) of (2) â Dit heet ook wel een kromme
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 2 van 18
VOORBEELD 1
Gegeven zijn de punten (0,4) en (6,0).
a. Stel de vergelijking op van deze lijn. b. Schrijf deze lijn in de vorm ðððð + ðððŠðŠ = ðð. Met a, b en c gehele getallen. c. Bepaal de vergelijking van de lijn in de vorm ðŠðŠ = ðððð + ðð
OPLOSSING 1
a. ð¥ð¥6
+ ðŠðŠ4
= 1
b. Je kunt de eerste vergelijking ook schrijven als 16ðð + 1
4ðŠðŠ = 1 Als je aan beide kanten met 24 (=4â6) vermenigvuldigd krijg je : 24 â 16ðð + 24 â 16ðŠðŠ = 24 4ðð + 6ðŠðŠ = 24
c. Schrijf de laatste vorm als ðŠðŠ = : 4ðð + 6ðŠðŠ = 24 6ðŠðŠ = â4ðð + 24 ðŠðŠ = â46ð¥ð¥ + 4
OPMERKING
Je had dit opgave c ook kunnen oplossen door de rc met twee punten uit te rekenen : ðð = ð¥ð¥ðŠðŠ
ð¥ð¥ð¥ð¥= 0â4
6â0= â4
6 en vervolgens de b berekenen.
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 3 van 18
VOORBEELD 2
Gegeven is de parametervoorstelling ï¿œðð = 2ð¡ð¡ + 1ðŠðŠ = ð¡ð¡ + 3
Schrijf deze in de andere twee vormen
OPLOSSING 2
ðŠðŠ = ð¡ð¡ + 3 â ð¡ð¡ = ðŠðŠ â 3. Invullen in de andere geeft :
ðð = 2ð¡ð¡ + 1 ðð = 2(ðŠðŠ â 3) + 1 ðð = 2ðŠðŠ â 6 + 1 ðð = 2ðŠðŠ â 5
(1) ðð = 2ðŠðŠ â 5 2ðŠðŠ = ðð + 5
ðŠðŠ = 12ðð + 2 1
2
(2) ðð = 2ðŠðŠ â 5
ðð â 2ðŠðŠ = â5 ððâ5
+ðŠðŠ
2,5= 1
OPMERKING
Je kunt aan de laatste vergelijking zien dat de snijpunten met de assen (â5,0) en (0, 2Âœ) zijn.
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 4 van 18
VOORBEELD 3
Gegeven zijn de lijnen ðð ⶠ2ðð + ðððŠðŠ = 10 en ðð ⶠ(ðð + 5)ðð + 3ðŠðŠ = ðð
a. Voor welke waarde van p (en q) zijn de lijnen evenwijdig b. Voor welke waarde van p (en q) zijn de lijnen gelijk.
Neem nu ðð = 2 en ðð = 19.
c. Los het stelsel op.
OPLOSSING 3
a. Evenwijdig betekent ðððððð = ðððððð (1) ðððððð berekenen : 2ðð + ðððŠðŠ = 10 ðððŠðŠ = â2ðð + 10
ðŠðŠ = â2ðððð + 10
ðð
(2) ðððððð berekenen : (ðð + 5)ðð + 3ðŠðŠ = ðð 3ðŠðŠ = â(ðð + 5)ðð + ðð
ðŠðŠ = âððâ53
ðð + ðð3
(3) ðððððð = ðððððð : â2ðð
= âððâ53
ðð(âðð â 5) = â2 â 3 âðð2 â 5ðð = â6
ðð2 + 5ðð = 6 ðð2 + 5ðð â 6 = 0 (ðð â 1)(ðð + 6) = 0 ðð = 1 ð£ð£ ðð = â6 (en q maakt niks uit)
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 5 van 18
b. Er zijn twee oplossingen voor p. bij elke oplossing moet je de bijbehorende q berekenen : (1) Neem ðð = 1. Vul deze in in de vergelijkingen 2ðð + ðððŠðŠ = 10 en (ðð + 5)ðð + 3ðŠðŠ = ðð :
2ðð + ðŠðŠ = 10 en 6ðð + 3ðŠðŠ = ðð { Vermenigvuldig de eerste vergelijking met 3 } 6ðð + 3ðŠðŠ = 30 en 6ðð + 3ðŠðŠ = ðð Dus ðð = 30
(2) Neem ðð = â6. Vul deze in in de vergelijkingen 2ðð + ðððŠðŠ = 10 en (ðð + 5)ðð + 3ðŠðŠ = ðð :
2ðð â 6ðŠðŠ = 10 en âðð + 3ðŠðŠ = ðð { Vermenigvuldig de tweede vergelijking met -2 } 2ðð â 6ðŠðŠ = 10 en 2ðð â 6ðŠðŠ = â2ðð Deze zijn gelijk als ðð = â5
c. Neem ðð = 2 en ðð = 19 en vul deze in in de vergelijkingen 2ðð + ðððŠðŠ = 10 en (ðð + 5)ðð + 3ðŠðŠ = ðð :
ï¿œ2ðð + 2ðŠðŠ = 107ðð + 3ðŠðŠ = 19 ᅵà 3
à 2ᅵ
ï¿œ 6ðð + 6ðŠðŠ = 3014ðð + 6ðŠðŠ = 38
â
--------------------------- â8ðð = â8 â ðð = 1
Invullen in de eerste vergelijking geeft 2 â 1 + 2ðŠðŠ = 10 2ðŠðŠ = 8 ðŠðŠ = 4 Dus het snijpunt = (ðð,ðð)
OPMERKING
⢠Soms werkt bij het oplossen van gelijke lijnen de methode met de rc niet. Je moet dan gebruik maken van een andere methode : Gegeven zijn de lijnen ðððð + ðððŠðŠ = ðð ðððð ðððð + ðððŠðŠ = ðð.
Deze lijnen zijn gelijk / vallen samen als : ðððð
= ðððð
= ðððð
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 6 van 18
LES 2 HOEK TUSSEN TWEE LIJNEN
DEFINITIE HOEKEN VAN LIJNEN
⢠Voor een hoek α van een lijn k en de x-as geldt :
ðððððð (ð¶ð¶) = ðð1
= ð ð ð ð ðð1
= ðððððð
ðððððð = ðððððð (ð¶ð¶)
⢠Als je te maken hebt met twee lijnen, moet je rekenen met twee aparte hoeken :
⢠Een hoek Ï tussen de lijnen k en l geldt Ï = α â β. ⢠Er geldt 0 â€ Ï â€ 90
α
β
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 7 van 18
VOORBEELD 1
Bepaal de hoek tussen de lijnen ðŠðŠ = 2ðð â 1 en ðŠðŠ = â34ðð + 3. (Zie plaatje)
OPLOSSING 1
(1) Eerst α bereken :
ð¡ð¡ðððð(ðŒðŒ) = 21
= 2
ðŒðŒ = 63,4°
(2) Dan β berekenen
ð¡ð¡ðððð(ðœðœ) = â34
ðœðœ = â36,8°
(3) ðð = ðŒðŒ â ðœðœ = 63,4 ââ36,8 = 100,3
(4) Aangezien de hoek altijd kleiner is dan 90° moet je nog één stap uitvoeren : â (ðððððððð ðð, ðððððððð ðð) = 180â 100,3 = 79,7
α
β
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 8 van 18
PARAGRAAF 8.2 : AFSTAND VAN PUNT TOT LIJN
LES 1 : AFSTAND PUNTEN EN LOODRECHTE LIJNEN
THEORIE LIJNEN â PUNTEN - AFSTANDEN
⢠d(A, B) = { De afstand van punt A tot punt B } ⢠De afstand tussen de punten A= (xa, ya, za) en B=(xb , yb, zb) kun je berekenen met de
formule : ðð(ðŽðŽ,ðµðµ) = ï¿œ(ðððð â ðððð)2 + (ðŠðŠðð â ðŠðŠðð)2 + (ð§ð§ðð â ð§ð§ðð)2 (Pythagoras)
⢠Het midden van de punten A en B is ðð = (ð¥ð¥ðð+ð¥ð¥ðð2
, ðŠðŠðð+ðŠðŠðð2
, ð§ð§ðð+ð§ð§ðð2
)
⢠Twee lijnen k en m staan loodrecht op elkaar als rck à rcm = -1.
VOORBEELD 1
Gegeven zijn de punten ðŽðŽ = (3 , 5) en ðµðµ = (â1 , 7).
a. Bereken de afstand AB. b. Bereken het midden M van AB.
Lijn k staat loodrecht op de lijn AB en gaat door het punt M
c. Bepaal de vergelijking van lijn k.
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 9 van 18
OPLOSSING 1
a. De afstand ðð(ðŽðŽ,ðµðµ) = ï¿œ(3 ââ1)2 + (5 â 7)2 = â16 + 4 = â20
b. ðð = (3+ â12
, 5+72
) = (1,6)
c. (1) ðððððŽðŽðŽðŽ = 7â5â1â3
= 2â4
= â12
(2) ðððððŽðŽðŽðŽ à ðððððð = â1 â â12
à ðððððð = â1 â ðððððð = 2
(3) ðð = (1,6) ligt op de lijn ðŠðŠ = 2ðð + ðð 6 = 2 â 1 + ðð ðð = 4 (4) ðŠðŠ = 2ðð + 4
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 10 van 18
VOORBEELD 2
Gegeven zijn de punten A = (0 , p) en B = (p+1 , 7).
Druk AB uit in p en bereken wanneer deze afstand minimaal is.
OPLOSSING 2
(1) ðð(ðŽðŽ,ðµðµ) = ï¿œ(ðð + 1 â 0)2 + (7 â ðð)2 = ï¿œðð2 + 2ðð + 1 + 49 â 14ðð + ðð2
ðð(ðŽðŽ,ðµðµ) = ï¿œ2ðð2 â 12ðð + 50
(2) Noem deze ðð(ðð) = ï¿œ2ðð2 â 12ðð + 50. Bepaal het minimum door fâ(p)=0 :
ððâ²(ðð) = 12
(2ðð2 â 12ðð + 50)â12 â (4ðð â 12)
ððâ²(ðð) = 2ððâ6ï¿œ2ðð2â12ðð+50
= 0
2ðð â 6 = 0
2ðð = 6
ðð = 3 â ðððððððððððððððð ððððððð¡ð¡ðððððð = ðð(3) = â32 = 4â2
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 11 van 18
LES 2 : AFSTAND PUNT - LIJN
DEFINITIE
(1) ðð(ðð, ðð) = { De afstand van punt P tot lijn l } (2) In het plaatje hiernaast is ðð(ðð, ðð) = ðððð (3) Lijn PQ staat loodrecht op lijn l.
Dus rcl à rcPQ = -1
VOORBEELD 1 (BOEK BLZ 157)
Gegeven is de lijn ðð ⶠ3ðð + 2ðŠðŠ = 12. Lijn l staat loodrecht op lijn k en gaat door het punt ðð = ( 5 , 5).
a. Bepaal de vergelijking van lijn l. b. Bepaal de afstand van P tot lijn k.
OPLOSSING 1
a. Schrijf de lijn eerst in de vorm ðŠðŠ = . .. : 3ðð + 2ðŠðŠ = 12 2ðŠðŠ = â3ðð + 12
ðŠðŠ = â1 12ðð + 12
(1) rck = â1 12
(2) ðððððððŽðŽ à ðððððð = â1
â1 12
à ðððððð = â1
ðððððð = 23
(3) ðð = ( 5 , 5) ligt op de lijn ðŠðŠ = 23
ðð + ðð
5 = 23
â 5 + ðð
ðð = 5 â103
=153
=103
=53
(4) ðŠðŠ = 23ðð + 5
3
Q
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 12 van 18
b. Bereken eerst het snijpunt Pâ van de lijnen k en l.
(1) Vul ðŠðŠ = 23ðð + 5
3 in in de vergelijking 3ðð + 2ðŠðŠ = 12
3ðð + 2 ï¿œ23ðð +
53ᅵ = 12
3ðð +43ðð +
103
= 12 (Ã 3)
9ðð + 4ðð + 10 = 36
13ðð = 26
ðð = 2 â ðŠðŠ = 23â 2 + 5
3= 3
Dus het snijpunt is ðð = (2,3)
(2) De afstand ðð(ðð,ðð) = ðð(ðð,ððâ) = ï¿œ(5 â 2)2 + (5 â 3)2 = â9 + 4 = â13
OPMERKING
Als lijn ðð ⶠðððð + ðððŠðŠ = ðð dan is
(1) De richtingsvector van de loodrechte lijn l is ï¿œ ððâððï¿œ
(2) Lijn l : ðððð â ðððŠðŠ = ðð (3) Je kunt de c berekenen door punt P in te vullen
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 13 van 18
PARAGRAAF 8.3 CIRKELVERGELIJKINGEN
DEFINITIE
⢠Voor een cirkel met middelpunt (p,q) geldt de vergelijking : 222 )()( rqypx =â+â
⢠De straal staat altijd loodrecht op de raaklijn aan de cirkel.
VOORBEELD 1
De lijn ðð ⶠðŠðŠ = 2ðð + 2 raakt de cirkel met middelpunt (4,5). Bepaal de vergelijking van de cirkel.
OPLOSSING 1
⢠We moeten eerst de vergelijking van MR bepalen. ⢠Vervolgens kunnen we de straal berekenen en de vergelijking opstellen.
(1) Vergelijking lijn MR is ðŠðŠ = âÂœðð + ðð (loodrecht op lijn k !!) (2) Lijn MR gaat door ðð = (4,5)
Dus : 5 = âÂœ â 4 + ðð ðð = 7
(3) Snijpunt MR en lijn k : âÂœðð + 7 = 2ðð + 2 â2 Âœðð = â5 ðð = 2 â ðŠðŠ = 2 â 2 + 2 = 6 â ð ð = (2,6)
(4) ðð = ï¿œ(4 â 2)2 + (5 â 6)2 = â4 + 1 = â5
(5) Voor cirkel geldt de vergelijking : 5)5()4()5()5()4( 22222 =â+ââ=â+â yxyx
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 14 van 18
VOORBEELD 2
Gegeven 02012 22 =+++ yxx .
a. Bereken de coördinaten van het middelpunt en de bijbehorende straal.
Gegeven het punt ðŽðŽ = (1,2)
b. Ligt punt A binnen of buiten de cirkel c. Bereken de afstand van ðŽðŽ = (1,2) tot de cirkel.
OPLOSSING 2
a. Omdat 3612)6( 22 ++=+ xxx geldt
(1) 02036)6( 22 =++â+ yx
(2) 2036)6( 22 â=++ yx
222 416)6( ==++ yx
(3) Middelpunt M = (-6,0) en r = 4
b. De afstand ðð(ðŽðŽ,ðð) = ï¿œ(1 ââ6)2 + (2 â 0)2 = â49 + 4 = â53
Omdat â53 > 4 ligt A buiten de cirkel
c. Afstand tot de cirkel = â53 â 4
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 15 van 18
PARAGRAAF 8.4 RAAKLIJN EN SNIJPUNTEN BIJ CIRKEL
LES 1 : RAAKLIJN AAN CIRKEL OPSTELLEN
VOORBEELD 1
Punt R = (3 , 6) ligt op de cirkel 5)5()4( 22 =â+â yx
Stel een vergelijking op van de raaklijn k in punt R.
OPLOSSING 1
We moeten eerst de rc van lijn r weten en dan is het herhaling :
(1) Middelpunt M = (4,5).
(2) ðððððð = 6â53â4
= 1â1
= â1.
(3) ðððððð Ã ðððððð = â1 â â1 Ã ðððððð = â1 â ðððððð = 1
(4) Vergelijking lijn k is ðŠðŠ = 1 â ðð + ðð â ðŠðŠ = ðð + ðð
(5) Lijn gaat door ð ð = (3 , 6) dus : 6 = 3 + ðð â ðð = 3
(6) Lijn ðð ⶠðŠðŠ = ðð + 3
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 16 van 18
LES 2 : SNIJPUNTEN VAN LIJN EN CIRKEL
DEFINITIE
Als een lijn ðŠðŠ = ðððð + ðð en de cirkel 222 )()( rqypx =â+â elkaar snijden dan kunnen er:
(1) Twee snijpunten zijn â ð·ð· > 0 (2) Eén snijpunt zijn â ð·ð· = 0 (3) Geen snijpunt zijn â ð·ð· < 0
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 17 van 18
VOORBEELD 1
Gegeven is de cirkelvergelijking 16)6( 22 =++ yx en de lijn k met
vergelijking ðŠðŠ = ðððð + 1.
a. Neem ðð = 1. Bereken de x-coördinaten van de snijpunten van lijn k en de cirkel. b. Voor exact welke a de lijn ðŠðŠ = ðððð + 1 de raaklijn is.
OPLOSSING 1
a. Vul ðŠðŠ = ðð + 1 in in 16)6( 22 =++ yx . Dit geeft :
16)1()6( 22 =+++ xx
ðð2 + 12ðð + 36 + ðð2 + 2ðð + 1 = 16
2ðð2 + 14ðð + 21 = 0
ðð = â14±â142â4â2â212â2
ðð = â14±â196â1684
ðð = â14±â196â1684
ðð = â14+â284
ð£ð£ ðð = â14ââ284
b. Vul ðŠðŠ = ðððð + 1 in in 16)6( 22 =++ yx . Dit geeft :
(1) Vul ðŠðŠ = ðððð + 1 in :
16)1()6( 22 =+++ axx
ðð2 + 12ðð + 36 + ðð2ðð2 + 2ðððð + 1 = 16
(ðð2 + 1)ðð2 + (12 + 2ðð)ðð + 21 = 0
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 18 van 18
(2) Deze raakt de cirkel als de D gelijk is aan nul :
ð·ð· = (12 + 2ðð)2 â 4(ðð2 + 1) â 21
ð·ð· = 4ðð2 + 48ðð + 144â 84ðð2 â 84 = 0
ð·ð· = â80ðð2 + 48ðð + 60 = 0
(3) Oplossen met abc-formule
ð·ð· = 482 â 4 â â80 â 60 = 21504
ðð = â48+â21504â160
ð£ð£ ðð = â48ââ21504â160