les ondes stationnaires résonantes sur une corde carlos santana
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Les ondes stationnaires résonantes sur une corde
Carlos Santana
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Points essentiels
1. Rappel sur le cours précédent: les ondes stationnaires
2. Corde fixée aux deux extrémités
3. Corde fixée à une seule extrémité
Section 2.8 de Benson
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Rappel: Les ondes stationnaires
Soit deux ondes harmoniques (même A; même k et même v) mais de sens opposés.
Ce qui donne:
nœuds si:
ventres si:
et
x =π2k
, 3π2k
, 5π2k
,...
v =λ × fx =0, πk, 2πk
, 3πk
,...
yT=2 A sin kx×cos ωt
y1=Asin kx - ωt( ) et y2 =A sin kx + ωt( )
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Corde fixée aux deux extrémités
f1 =v2 L
f2 =2 v2 L
=vL
f4=4 v2 L
=2 vL
f3 =3 v2 L
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Corde fixée aux deux extrémités (suite)
Fréquence de résonance d’une corde fixée aux 2 extrémités
et n = 1, 2, 3, 4,…fn =n v2 L
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Exemple
Une corde de 3 mètres et de densité linéique de masse = 0,0025 kg/m est fixée aux deux extrémités. Sachant qu’une de ces fréquences de résonance est de 252 Hz et que la suivante est de 336 Hz, déterminez:
a) La fréquence fondamentale
Soit le rapport 4/3, d’où :
et
fn+1
fn=336 Hz252 Hz
=1,33
f4 =336 Hz
f1 =84 Hz
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Exemple (suite)
b) La tension dans la corde
Prenons le mode fondamental
et
Calcul de la vitesse
et: d’où
f1 =84 Hz
λ1 = 6 mètres
v =504 m/s
v =F F =635 Newtons
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Laboratoire sur les ondes stationnaires
Lors de leur expérience de laboratoire sur les ondes stationnaires, Claire et Pierre-Paul ont déterminé qu’une masse de 60,0 g était nécessaire afin de faire vibrer une corde de 1,80 m dans le quatrième mode (4 ventres). a) Sachant que la fréquence de la lame vibrante était de 60 Hz, déterminez la densité linéaire de la corde utilisée.
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Laboratoire sur les ondes stationnaires
Calcul de la distance entre deux nœuds consécutifs : 1,80 / 4 = 0,45 m Calcul de la longueur d’onde : l4 = 0,90 m Calcul de la vitesse de l’onde : v = λ x f = 54,0 m/s Calcul de la tension F : F = mg = 0,588 N Calcul de m : = F / v2 = 2,01 x 10-4 kg/m
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Corde fixée à une seule extrémité
f1 =v4 L
f9 =9 v4 L
f5 =5 v4 L
f3 =3 v4 L
f7 =7 v4 L
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Corde fixée à une extrémité (suite)
Fréquence de résonance d’une corde fixée à une extrémité
et n = 1, 3, 5, 7,…
Remarque: Seules les harmoniques impaires sont présentes !
fn=n v4 L
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Travail personnel
Faire les exemples 2.6 et 2.7;
Exercices 29, 31 et 35.
Faire le problème 4.