les ondes - unige

LES ONDES

Le transport de l’energie et de la quantite de mouvement se fait uniquementpar 2 mecanismes fondamentaux : des particules qui se deplacent ou desondes qui se propagent. Ces 2 conceptions apparemment differentes sontsubtilement liees : il n’y a pas d’ondes sans particules et pas de particulessans ondes.

Une onde est une perturbation se propageant de proche en prochedans un milieu . Les sortes de perturbations et de milieux peuvent etre tresdifferents .Quelques exemples :– onde de surface : le milieu est la surface libre d’un liquide, la perturbation

correspond au deplacement des particules du liquide par rapport a leur po-sition de repos (les vagues)

– onde sonore : le milieu est un solide, liquide ou gaz, la perturbation est unevariation de pression

– onde electromagn etique : le milieu est la matiere ou le vide. La perturbationcorrespond a une variation du champ electromagnetique, la cause de cetteperturbation etant due a l’acceleration des charges electriques (la lumiere,les ondes radio et TV, micro-ondes ....)

Universite de Geneve 11 -1 C. Leluc

LES ONDES MECANIQUES

Nous allons etudier les ondes dans les milieux materiels : ce sont des ondesmecaniques .

La source de toute onde est une vibration. C’est cette vibration se propageantqui constitue l’onde.

Une onde m ecanique progressive est un ebranlement ou une perturba-tion de l’ equilibre d’un milieu mat eriel qui se propage d’une r egion a uneautre et qui transporte de l’ energie et de la quantit e de mouvement.

Bien que la perturbation transportant l’energie se deplace dans le milieu surde grandes distances, les atomes individuels participant au processus restentau voisinage de leurs positions respectives d’equilibre.

La perturbation se propage mais sans deplacement de matiere a grandeechelle.


Les types d’ondes

Ondes transversales : la vitesse de l’onde ~v et la perturbation ~y sont per-pendiculaires.

Les points successifs de la corde entrainent chaque point contigu suivantvers le haut → deplacement longitudinal de la crete de l’onde.

Les forces de cohesion entre les parties contigues font voyager l’impulsionlongitudinalement.

Les particules se deplacent perpendiculairement a la direction depropagation de l’onde.


Les types d’ondes (suite)Ondes longitudinales : la vitesse de l’onde ~v et la perturbation ~y sont pa-ralleles.

Les particules se deplacent parallelement a la direction de propagation del’onde.

Ces ondes longitudinales et transversales sont des ondes progressives carelles voyagent d’un point a un autre (d’un bout d’une corde a l’autre bout). Ce

sont les ondes qui bougent entre 2 points et pas la matiere (corde ou air) atravers laquelle les ondes bougent.

La vitesse des particules de mati ere 6= vitesse de l’onde .


Les types d’ondes (suite)

Dans un solide , il peut y avoir des ondes mecaniques transversales et longitu-dinales. Ces 2 types d’onde peuvent voyager dans un solide puisque chaqueatome ou molecule peut vibrer autour de sa position d’equilibre, dans n’im-porte quelle direction. Par exemple les perturbations dues aux tremblementsde terre.

Dans un fluide , il y a uniquement des ondes mecaniques longitudinales decompression appelees ondes acoustiques . Ceci est du au fait que dans unliquide un mouvement transversal ne rencontre pas de force de rappel.


Onde harmonique : repr esentation math ematiqueL’ebranlement le plus simple a analyser mathematiquement est l’onde si-nusoıdale et c’est aussi le plus repandu dans la nature. En nous referantaux equations du MHS, on peut ecrire la fonction representee ci-contre par :

y(x) = ym sin2πx

λ

L’argument (2πx/λ) est la phase del’onde. Cette equation decrit le profil d’uneonde harmonique figee au temps t = 0.

Le profil se repete avec une periode d’espace egale a la longueur d’onde ,λ ;donc y = 0 pour x = 0, λ, 2λ, 3λ....ym est l’amplitude , valeur toujours posi-tive, bien que y puisse etre negatif. Mais on cherche une equation generale quidecrit la propagation de l’onde a la vitesse v. Au temps t, l’onde conservera lameme forme mais toutes ses parties auront bouge d’une meme distance, vt.Si l’onde voyage vers la droite, il suffit de remplacer x par (x − vt), soit :

y(x, t) = ym sin

2π

λ(x − vt)

Il y a une periodicite dans l’espace et dans le temps.


Onde harmonique : repr esentation math ematique (suite)La forme generale d’une onde sinusoıdale progressive (onde harmonique) :

y(x, t) = ym sin (kx − ωt + φ)

avec ym= amplitude de l’onde ; (kx − ωt + φ)= phase de l’onde ;φ= dephasage ; ω= fr equence angulaire/pulsation et k= nombre d’onde .

Posons φ=0,

(a)y(x, t = 0) = ym sin kx

(b)y(x = 0, t) = ym sin (−ωt)

= −ym sin ωt

– nombre d’onde : k

ym sin kx1 = ym sin [k(x1 + λ )]

= ym sin (kx1 + kλ)

k = 2π/λ en rad/m et λ : la longueurd’onde en m.

– fr equence angulaire : ω

ym sin ωt1 = ym sin [ω(t1 + T )]

= ym sin (ωt1 + ωT )

ω = 2π/T en rad/s et T : la periode– fr equence : f

f =1

T=

ω

2πUniversite de Geneve 11 -7 C. Leluc

La vitesse de propagation des ondes

Soit deux instantanes de l’ondepris pour un intervalle de temps ∆t.La forme de l’onde est fixeet se deplace lateralementsans deformation.

∆x∆t

est la vitesse de l’onde.

Lors du deplacement, tous les pointsde l’onde gardent la meme valeur dey → argument du sinus doit etreconstant

kx − ωt = constante

Derivons par rapport a t :

kdx

dt− ω = 0

dx

dt= v =

ω

k

v =ω

k=

λ

T= λf

L’onde bouge d’une distance egale aune longueur d’onde pendant une os-cillation, la vitesse est une longueurd’onde par periode (voir TP M6).


La vitesse de propagation des ondes (suite)

y(x, t) = ym sin (kx − ωt) = ym sin

2π

λ(x − vt)

Cette equation decrit le mouvement d’une onde se deplacant vers les x crois-sants.Pour trouver l’equation d’une onde se deplacant vers les x decroissants, onremplace t par −t. Ceci correspond a la condition :

kx + ωt = constante

condition qui impose que x doit decroıtre quand le temps augmente. Ainsil’equation d’une onde se deplacant vers les x decroissants est :

y(x, t) = ym sin (kx + ωt)

et la vitesse de cette onde sera :dx

dt= −

ω

k

Le signe − indique que l’onde se deplace vers les x decroissants.D’une maniere generale, une onde progressive est de la forme y(x, t) =h(kx ± ωt) ou h est une fonction quelconque.Universite de Geneve 11 -9 C. Leluc

Exemple : une onde sinusoıdale progressive

Soit l’onde sinusoıdale le long d’une corde :y(x, t) = 0, 00327 sin (72, 1x − 2, 72t) dans laquelle les constantesnumeriques valent dans le SI : 0,00327 m, 72,1 rad/m et 2,72 rad/s.– Determiner son amplitude, k, λ, T, f ?

ym = 0, 00327 m, k = 72, 1 rad/m, ω = 2, 72 rad/sλ = 2π

k= 2π rad

72,1 rad/m = 0, 0871 m

T = 2πω

= 2π rad2,72 rad/s = 2, 31 s, f = 1

T= 1

2,31 s = 0, 433 Hz

– Quelle est la vitesse de l’onde ?v = ω

k= 2,72 rad/s

72,1 rad/m = 0, 0377 m/s– Que vaut y au point x = 22, 5 cm et t = 18, 9 s ?

y = 0, 00327 sin (72, 1 × 0, 225 − 2, 72 × 18, 9) = 0, 00192 m– Calculer la vitesse transversale, u, de ce point ?

Prenons la derivee partielle par rapport au temps :u = ∂y

∂t= −ωym cos (kx − ωt)

u = (−2, 72rad/s)(3, 27mm) cos (−35.1855rad) = 7, 2mm/s– Calculer l’acceleration ?

ay = ∂u∂t

= −ω2ym sin (kx − ωt) = −ω2y = −14, 2mm/s2


Vitesse de propagation des ondes

La vitesse de l’onde est reliee a la longueur d’onde et a la frequence, maisest d efinie par le milieu . Si une onde se propage dans un milieu tel quel’eau, l’air, l’acier ou une corde tendue, elle fait osciller les particules de cemilieu. Pour que cela puisse se faire, il faut que le milieu possede d’une partdes proprietes inertielles (pour que l’energie cinetique puisse etre stockee) etd’autre part des proprietes elastiques (de telle sorte que l’energie potentiellepuisse etre retablie). Ces 2 proprietes determinent la vitesse de propagationde l’onde. On peut donc calculer cette vitesse a partir des proprietes du milieu.Determination dimensionelleOn examine les dimensions de toutes les quantites physiques qui inter-viennent. Pour une corde tendue, sa caracteristique inertielle est la massed’un element de corde, soit sa masse divisee par sa longueur µ = m/l, ap-pelee la masse lineique exprimee en kg.m−1. Pour etirer une corde, il faut luiappliquer une force de tension FT de dimension kg.m.s−2. Comment combinerµ et FT pour obtenir une vitesse ?. On trouve facilement :v = C

√√√√Ftµ

C = constante sans dimension

Cette analyse ne permet pas de determiner la valeur de la constante. Pourcela il faut faire une derivation mathematique correcte en ecrivant les forcesqui interviennent. On trouvera que C = 1.Universite de Geneve 11 -11 C. Leluc

La vitesse de propagation des ondes

Cette vitesse est determinee par les proprietes elastiques et inertielles du mi-lieu. D’une maniere generale, on trouve que :

v =

√√√√√√√facteur de force elastique

facteur d′inertie

– Onde transversale sur une corde tendue : v =√FT/µ

FT est la tension et µ la masse par unite de longueur (ou masse lineique)(voir TP M6).

– Onde longitudinale dans une barre : v =√E/ρ

E est le module d’elasticite/Young (voir chapitre 10) et ρ la masse volumique.– Onde longitudinale dans un liquide : v =

√B/ρ

B est le module de compressibilite (voir chapitre 10).– Onde acoustique dans un gaz : v =

√γ P/ρ =

√γ R T/M

γ = Cp/Cv est rapport des capacites calorifiques molaires a pression etvolume constant (voir chapitre 14) et vaut ∼ 1, 4 pour les gaz diatomiquescomme l’hydrogene, oxygene et approximativement pour l’air. P est la pres-sion, R la constante des gaz parfaits, M la masse moleculaire du gaz et Tla temperature absolue(voir TP M6).


Exemples : vitesse de propagation

EXEMPLE 1 : Une corde horizontale de longueur 2,0 m et de masse 40 gpasse autour d’une poulie de masse negligeable et sans frottement et porte,a son extremite libre, une masse de 2,0 kg. Calculer la vitesse de propagationd’une impulsion ondulatoire sur cette corde. Negliger le poids de la partie dela corde en suspension.

SOLUTION : Nous avons besoin de FT et de µ. La tension est exactementla charge en newtons, soit (2,0 kg)×(9,81 m/s2)=19,62 N. La masse lineiqueµ = (0, 040kg)/(2, 0m) = 0, 020kg/m. D’ou :

v =

√√√√√√√FT

µ=

√√√√√√√ 19, 62N

0, 020kg/m= 31m/s

EXEMPLE 2 : Une explosion a eu lieu a une faible profondeur au-dessous dela surface de l’ocean. Calculer la vitesse de l’onde de compression resultantemesuree par des instruments places a quelques metres au-dessous d’un na-vire.


Exemples : vitesse de propagation (suite)

SOLUTION : Il s’agit d’une onde de compression dans l’eau de mer. Commela source n’est pas profonde, on peut prendre comme masse volumique ρ =1, 03 × 103kg/m3 et B = 2, 2GPa. On a donc :

v =

√√√√√√√B

ρ=

√√√√√√√√2, 2 × 109Pa

1, 03 × 103kg/m3 = 1, 46 × 103m/s

C’est 4 fois la vitesse du son dans l’air.

EXEMPLE 3 : Calculer la vitesse du son dans l’air dans les conditions nor-males de temperature et de pression ?

SOLUTION : Les conditions normales sont : temperature 0◦C, pression 1atm=1, 013 × 105Pa, et ainsi ρ = 1, 29kg/m3. La vitesse du son est :

v =

√√√√√√√γP

ρ=

√√√√√√√√1, 4(1, 013 × 105Pa)

1, 29kg/m3 = 332m/s


Energie transmise par les ondes

Quand on envoie une onde dans une corde tendue, on fournit del’energie pour le mouvement de la corde. En s’eloignant, l’onde trans-porte cette energie sous forme d’energie cinetique et potentielle elastique.L’element de corde a de masse, dm = µdx,a un deplacement maximum ym et l’elementb un deplacement nul. L’energie cinetiqued’un element de corde a chaque positiondepend de sa vitesse transversale u, tandisque l’energie potentielle depend de la quan-tite par laquelle l’element de corde est etire aupassage de l’onde.Quand l’element passe par la position y = 0, sa vitesse transverse est maxi-mun et donc aussi son energie cinetique. Par contre quand l’element est danssa position extreme a, sa vitesse est nulle et Ec = 0. En position ym, l’elementn’est pas etire, son energie potentielle elastique est nulle. En position y = 0, ilest etire au maximun et son energie potentielle elastique est maximum. Ainsiles regions de la corde avec deplacement maximum n’ont pas d’energie etceux avec deplacement nul ont une energie maximale.


Energie transmise par les ondes (suite)Energie cin etique associe a dm :dEc = 1

2dm u2 = 1

2µ dx u2

u = ∂y∂t

= −ω ym cos (kx − ωt)En regroupant ces 2 equations :

dEc =1

2(µ dx)(−ωym)2 cos 2(kx − ωt)

En divisant par dt, on obtient le tauxde variation d’energie cinetiqued’un element de corde,

dEc

dt=

1

2µvω2 y2

m cos 2(kx − ωt)

Le taux moyen de transmissiondEc

dt

=1

2µvω2y2

mcos 2(kx − ωt)

=1

4µv ω2 y2

m

car cos2(kx − ωt) = 1/2

On trouve le meme taux moyende transmission pour l’energiepotentielle .

Puissance moyenne : tauxmoyen auquel les 2 sortesd’energie sont transmises par uneonde :

P = 2

dEc

dt

=1

2µvω2y2

m

Onde transversale : puissancemoyenne : P = 1

2

√µFTω2y2

m

Onde longitudinale : puissancemoyenne : P = 1

2

√ρBAω2y2

m

L’ energie transport ee est pro-portionnelle au carr e de l’ampli-tude.


Exemple : Puissance moyenneUne corde de masse lineique µ=525 g/m est etiree avec une tension FT de45 N. Une onde dont la frequence f et l’amplitude ym sont 120 Hz et 8,5mm respectivement, se propage le long de cette corde. Calculer la puissancemoyenne transmise par cette corde ?

SOLUTION : Calculons d’abord la frequence angulaire ω et la vitesse de pro-pagation de l’onde,v :

ω = 2πf = (2π)(120Hz) = 754rad/s

v =

√√√√√√√FT

µ=

√√√√√√√ 45N

0, 525kg/m= 9, 26m/s

Nous pouvons calculer la puissance moyenne :

P =1

2µvω2y2

m

=1

2(0, 525kg/m)(9, 26m)(754rad/s)2(0, 0085m)2

= 100W


Principe de superposition pour les ondes

y′(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)

Dans la r egion ou deux ouplusieurs ondes de m emetype se superposent, l’onderesultante est la sommealgebrique des contributionsde ces ondes en chaquepoint.Les ondes continuent a sedeplacer independammentl’une de l’autre.L’onde resultante n’est pas engeneral une onde sinusoıdalesimple mais une onde compo-site.


Analyse de FourierJean-Baptiste Fourier (1786-1830) a explique comment le principe de su-perposition peut etre utilise pour analyser des ondes nonsinusoıdales. Se-lon Fourier, toute fonction p eriodique de frequence f (fonction dont lastructure est reproductible a intervalles reguliers) peut etre decomposee enune somme de sinusoıdes avec des amplitudes et des phases appropriees.

y(t) = a1 sin (ωt + φ1) + a2 sin (2ωt + φ2)

+a3 sin (3ωt + φ3) + .... =∞∑

n=1an sin (nωt + φn)

= 1 fondamentale + harmoniques

avec ω = 2πf ou f est la frequence de la fonctionanalysee. Le premier terme a la meme frequence f :c’est le fondamental ou premier harmonique. Le termesuivant de frequence f2 = 2f est appele deuxiemeharmonique etc. Les amplitudes et les dephasagesdependent de la fonction y(t) consideree.

Il nous suffira de savoir qu’une fonction quelconque y(t) de periode Tpeut toujours etre d ecompos ee en une fondamentale de m eme periodeet ses harmoniques.


Les conditions aux limites : r eflexion

Considerons une corde de longueur finie, dont une des extremites est tenuefixe (a gauche) ou completement libre (a droite).

En rencontrantun obstacle fixe, l’energie ne peutque se reflechir. L’onde reflechie trans-porte toute l’energie incidente : yi +yr = 0. Elle a donc meme amplitude,meme longueur d’onde MAIS signeoppose. Elle est dephasee de 180◦.

La corde monte jusqu’a ce quetoute l’energie soit emmagasineeelastiquement. La corde descend en-suite, produisant une onde reflechiede meme amplitude, meme longueurd’onde et de meme signe.


Les conditions aux limites : absorption et transmission– Absorption

Si l’extremite d’une corde dissipe de l’energie par frottement ou autre pro-cessus, l’impulsion reflechie a moins d’energie. Donc l’amplitude est pluspetite.

– TransmissionQuand une onde passe d’un milieu a un autre de caracteristiques differentes,une redistribution de l’energie se passe.

Cas (a) : Soit une impulsion ondulatoirese propageant sur une corde de faiblemasse lineique et rencontrant l’interface avecune deuxieme corde de plus grande masselineique. La plus grande inertie de la 2emecorde gene le mouvement au point de jonc-tion. Le second milieu exerce une force dereaction qui s’oppose au mouvement et pro-duit une onde reflechie inverse (dephasage180◦).


Les conditions aux limites : absorption et transmissionMais le 2eme milieu se deplace aussi. Une frac-tion de l’energie incidente parait dans le secondmilieu sous la forme d’une onde transmise. Lesvitesses des impulsions dans les 2 cordes sontdifferentes car les 2 cordes ont la meme tensionmais des masses lineiques differentes.

Cas (b) : Si le premier milieu est plus denseque le deuxieme, la situation ressemble a celleavec une extremite libre. Il n’y a alors aucunchangement de phase de l’onde reflechie parrapport a l’onde incidente et l’onde transmise aune plus grande longueur d’onde.

Si l’onde incidente est periodique, l’onde transmise aura la meme frequencemais une vitesse differente, donc λ different (v = λ f ). Plus la densite dumilieu est grande, plus petite est la longueur d’onde. Le fait que les frequencesdes ondes incidente, reflechie et transmise sont les memes est vrai quelle quesoit la nature de l’ebranlement (mecanique, lumineux...).


Interf erences d’ondesOn reserve le terme interference a la superposition d’ondes coherentes, ondesqui sont synchrones (meme ω) et dont le dephasage relatif ne varie pas avecle temps.Supposons qu’on envoie 2 sinusoıdes coherentes dans la meme direction lelong d’une corde tendue. Le resultat va dependre de la maniere dont les deuxsinusoıdes sont dephasees (decalees) l’une par rapport a l’autre.

y1(x, t) = ym sin (kx − ωt)

y2(x, t) = ym sin (kx − ωt + φ)

D’apres le principe de superposition :

y′(x, t) = ym sin (kx − ωt)

+ym sin (kx − ωt + φ)

= [2ymcos1

2φ] sin (kx − ωt +

1

2φ)

car (sin p + sin q) = 2 sin 12(p + q) cos 1

2(p − q). L’onde resultante est aussi

une sinusoıde voyageant dans la meme direction, mais qui differe des ondesoriginales par : (1) sa phase et (2) son amplitude. Pour φ = 0◦ : interferencetotalement constructive. Pour φ = πrad(180◦) : interference totalement des-tructive. Il n’y a aucun mouvement de la corde.Universite de Geneve 11 -23 C. Leluc

Les ondes stationnaires

Supposons une corde de longueur L fixee a une extremite.Si une onde sinusoıdale rencontre cette extremite, il y aura une onde reflechiequi sera l’image symetrique inversee de l’onde incidente ; deux ondes sontdonc presentes sur la corde et se propagent dans des directions opposees.

Les ondes incidente et reflechie se combinent pour produire une onde sta-tionnaire caracterisee par des positions fixes ayant un deplacement nul lesnoeuds et des positions fixes ayant des deplacements maxima les ventres .


Representation math ematique des ondes stationnairesSoit 2 ondes sinusoıdales de meme longueur d’onde et amplitude, se propa-geant en sens inverse (posons φ = 0)

y1(x, t) = ym sin (kx − ωt) et y2(x, t) = ym sin (kx + ωt)


y′(x, t) = ym sin (kx − ωt) + ym sin (kx + ωt)

y′(x, t) = [2 ym sin kx] cos ωt

Le terme entre crochets peut etre interprete comme l’amplitude de l’oscillationd’un element de corde a la position x. On voit que cette amplitude varie avecla position x, ce qui n’est pas le cas pour une onde sinusoıdale progressive.Cette fonction ne represente pas une onde progressive (y = h(kx ± ωt))mais une onde stationnaire . L’amplitude de cette onde sera nulle pour desvaleurs de k telles que sin kx = 0. Les valeurs des noeuds sont a :

kx = nπ avec n = 0, 1, 2....

x = nλ

2pour n = 0, 1, 2

De meme, on aura des ventres, aux positions :

x = (n +1

2)λ

2pour n = 0, 1, 2....


Les ondes stationnaires sur une corde tendueSi la corde est fixee aux 2 extremites, on impose un 2eme point fixe ay(x = L, t) = 0. Il doit y avoir au moins 2 noeuds. Ceci limite les frequencesauxquelles une onde stationnaire se produira le long d’une corde ; elle ne peutse produire que si L est un multiple entier de λ/2.

λ =2 L

n, pour n = 1, 2, 3.....

Les frequences possibles correspondantes(f = v/λ) sont :

fn = nv

2L= n f1

La frequence la plus basse,f1, correspond aumode fondamental (ou premier harmonique)et la frequence fn a l’harmonique d’ordre n.

f1 =v

2L=

1

2L

√√√√√√√FT

µLa longueur d’onde est donn ee UNIQUEMENT par la longueur de lacorde, mais la fr equence d epend aussi de la vitesse v, qui est donn eepar la tension et la masse lin eique .Universite de Geneve 11 -26 C. Leluc

Applications : instruments de musique a cordes

Galilee comprit qu’une cordevibrante “fait vibrer l’air quil’entoure”, produisant un sonde meme frequence que lacorde. Les cordes vibrantesne peuvent pas ebranler unegrande quantite d’air, car ellesn’emettent pas elles-memesdes sons de grande intensite.A cause de cela, elles sont tou-jours couplees a des caissesde resonance (comme dansles pianos, violons et guitares).


Les ondes stationnaires dans un tuyau

On observe egalement des ondes stationnaires pour des ondes longitudi-nales (ondes sonores) dans un tuyau (instrument de musique). Une extremitefermee correspond a un noeud de deplacement et a un ventre de pression.Une extremite ouverte correspond a un ventre de deplacement et a un noeudde pression.Pour un tuyau ferm e aux deuxextr emit es : les frequences desmodes normaux sont :

fn =n v

2L(n = 1, 2, 3...)

Pour un tuyau ouvert aux 2 extremites,le resultat est le meme a l’exceptionde l’emplacement des noeuds.Pour un tuyau ouvert a uneextr emit e : les frequences desmodes normaux sont :

fn =n v

4L(n = 1, 3, 5...)

ou v est la vitesse du son dans l’air.Universite de Geneve 11 -28 C. Leluc

Le son

L’idee que le son est un phenomene ondulatoire est tres ancienne.L’onde sonore est longitudinale car elle se propage dans des fluides qui n’ontaucune raideur. Une onde mecanique transversale ne peut donc pas s’y pro-pager car un fluide ne donne pas prise au cisaillement. Comme la matiere nese deplace pas avec l’onde, la vitesse de celle-ci peut etre tres grande.Le son se propage dans tout milieu qui peut reagir elastiquement. La regionentre source et detecteur doit contenir une quantite de matiere suffisante pourtransmettre l’ebranlement : Le son ne se propage donc pas dans le vide .

Materiau Vitesse (m/s)Air (20◦) 343Air (0◦) 331Helium 1005

Hydrogene 1300Eau 1440

Fer et Acier ∼ 5000Verre ∼ 4500

Aluminium ∼ 5100La vitesse du son d ependdu milieu

La vitesse du son dans un gaz parfait,v =

√√√√γPρ

, est donc independante de la

frequence (heureusement pour les concerts !).Le domaine audible pour l’oreille humaine est :20 Hz a 20000 Hz.f ≥ 20000Hz : ultrasoniques (Chauve-souris sont sensibles a des frequences jus-qu’a 100000 Hz)f ≤ 20 Hz : infrasoniques (tonnerre, tremble-ments de terre..).


Audition des sons– Un son pur est la sensation auditive produite par une

onde harmonique simple s(x, t) = sm sin (kx − ωt)(ex : le diapason).

– Un son quelconque correspond a une perturbation denature periodique qui peut etre decomposee en une fon-damentale et des harmoniques (serie de Fourier). L’oreillehumaine est capable de percevoir la fondamentale etchaque harmonique separemment. Les differentes ampli-tudes relatives des harmoniques caracterisent le timbredu son produit. Les dephasages φn ne jouent pas de roledans la perception. Une note produite par un piano a unspectre de frequence tres different de celle d’un chanteuret l’oreille distingue facilement le chanteur de l’accompa-gnateur, meme quand les sons sont emis simultanement.

– La hauteur du son est liee a la frequence de sa fonda-mentale (f =1/T) : son grave → f < 200Hz, son aigu→ f > 1000Hz.

– Un bruit est un ebranlement acoustique de natureaperiodique et ne peut etre decompose en serie de Fou-rier.

la3 = 440Hzpar a) la flute b)la trompette c)lesaxo d) le violon.


Representation math ematique des ondes longitudinales

Une onde sonore, se deplacant a travers un tube rempli d’air, a la vitesse v, estconstituee d’une succession periodique de compressions et de depressionsen mouvement. Au passage de l’onde, un element de fluide d’epaisseur, ∆x,oscille de droite a gauche en un mouvement harmonique simple autour de saposition d’equilibre.

A l’instant montre en (b), cet element estdeplace vers la droite d’une distance, s,par rapport a sa position d’equilibre. Sondeplacement maximum est sm, soit vers ladroite ou la gauche. Ce deplacement estdonne par :

s(x, t) = sm cos (kx − ω t)

sm est l’amplitude du deplacement qui estparallele a la direction x de propagation del’onde (on ecrit s(x, t) pour eviter d’ecrirex(x, t)).


Representation math ematique des ondes longitudinales

Quand l’onde se deplace, la pression en un point donne, varie aussi sinusoıda-lement. On peut donc considerer les ondes longitudinales du point de vue desvariations de pression plutot que du deplacement. Une onde sonore peuts’exprimer comme une variation de pression par rapport a la pressionatmosph erique :

∆P (x, t) = ∆Pm sin (kx − ωt)

∆Pm = (vρω)sm = B sm k = B sm (2π

λ)

v etant la vitesse du son. La pression estdephasee de π/2 ou λ/4 par rapport audeplacement. Une valeur negative de ∆Pcorrespond a une dilatation de l’air, et unevaleur positive a une compression.

∆Pm est l’amplitude de pression : elle represente les variations maximales etminimales de la pression par rapport a la pression atmospherique. ∆Pm estbeaucoup plus faible que la pression atmosph erique.


Exemple : variation de pression

La variation de pression maximale que l’oreille humaine peut accepter pourdes sons intenses est 28 Pa (ce qui est tres petit par rapport a la pres-sion atmospherique, ∼ 105Pa). (a) Calculer l’amplitude de deplacement desmolecules d’air pour un tel son a une frequence de 1000 Hz ? (b) Repeter cescalculs pour la variation minimale de pression qui est de 2, 8 × 10−5Pa.

(a)

sm =∆Pm

vρω=

∆Pm

vρ(2πf)

=28Pa

(343m/s)(1, 21kg/m3)(2π)(1000Hz)= 1, 1 × 10−5m

(b) On trouve sm =1, 1 × 10−11m, ce qui est environ un dixieme du rayon d’unatome typique. L’oreille est un detecteur tres sensible.


Fronts d’onde et intensit eLes courbes reliant de proche en proche les points d’une onde qui ont le memeetat de vibration (c-a-d les points qui vibrent en phase) sont les fronts d’onde .Les ondes sonores sont a 3 dimensions. Les sur-faces formees par les points qui vibrent en phase,i.e les fronts d’onde, sont spheriques. L’energiesonore est distribuee sur le front d’onde et dansle cas d’une onde spherique isotrope, cette distri-bution d’energie est uniforme dans toutes les di-rections. Ce qui caracterise l’onde est l’intensit esonore ,I, qui est l’energie qu’elle transporte parunite de temps et par unite de surface. On peutmontrer que

I =1

2

√ρBω2s2

m =∆P 2

m

2ρ ven W/m2

Soit une onde spherique qui se propage en s’eloignant de sa source. La su-perficie du front d’onde (4πR2) augmente. Comme c’est la meme puissancequi se repartit sur une surface de plus en plus grande, l’intensite de l’ondediminue en raison inverse du carre de la distance a la source. C’est la loi en1/R2.


Sensibilit e de l’oreille humaineLa sensibilite de l’oreille humaine s’etend en frequence de 20 a 20000 Hz et enintensit e entre 10−12 et 1 W/m2. C’est une plage de fonctionnement incroya-blement etendue pour un detecteur. La sensibilite en intensite n’est pas uni-forme sur tout le domaine de frequence. On admet en general 1 W/m2 commeseuil de douleur et 10−12 W/m2 comme seuil d’audition. Sans doute a causede l’ampleur de cet eventail, notre perception sonore n’est pas directementproportionnelle a l’intensit e. Il est vrai que plus l’intensite est grande plus leson semble fort. En fait pour produire un son percu de volume sonore double,il faut une onde sonore d’une intensite ∼10 fois plus elevee. L’oreille est sen-sible au logarithme de l’intensite. C’est la loi de Fechner qui postule que lasensation physiologique est proportionnelle au logarithme de l’excitation.

Ainsi un etre humain percoit le vo-lume sonore d’une onde d’intensite10−2W/m2 comme environ 2 fois pluseleve que celui d’une onde sonored’intensite 10−3W/m2 et comme envi-ron 4 fois plus eleve que celui d’uneonde sonore d’intensite 10−4W/m2.


Sensibilit e de l’oreille humaine (suite)

A cause de cette relation entre la sensation subjective volume sonore etla quantite mesurable intensite, on exprime d’ordinaire le niveau d’intensitesonore a l’aide d’une echelle logarithmique.

On definit le niveau d’intensit e duson, β, en decibel (dB) comme le rap-port de l’ intensite I du son a l’intensiteIo = 10−12W/m2 (seuil d’audition)

β = 10 log10 I/Io

Puisque log10 1 = 0, le niveau d’in-tensite du seuil d’audibilite est β =10 log10 1 = 0 dB. L’etendue totalede la gamme d’intensite audible cor-respond a 120 dB.

Source sonore Niveau (dB) Source sonore Niveau (dB)Avion a reaction 140 Concert de Rock ∼120Marteau piqueur 110 Circulation sur autoroute 75

Conversation normale 60 chuchottement 20


Sensibilit e de l’oreille humaine (suite)

10 log10 I/Io = β

– Pour I = 10−6 W/m2

β = 10 log10

10−6 W/m2

10−12 W/m2 = 10 log 10106 = 10(6) = 60 dB

– Pour I = 10−12 W/m2 = Io, β = 0 dB– Pour I = 10−8 W/m2, β = 40 dB– Pour I = 1 W/m2, β = 120 dB

Supposons qu’on augmente l’intensite d’un son de I1 a I2 dont les niveauxsonores sont β1 et β2. La variation du niveau sonore est

∆β = β2 − β1 = 10 log10 (I2

Io

) − 10 log10 (I1

Io

) = 10 log10 (I2

I1

)dB

En augmentant l’intensit e d’un facteur 10, on augmente le niveau sonorede 10 dB. Si l’intensit e augmente d’un facteur 100, on augmente le niveausonore de 20 dB. Si on double l’intensit e, le niveau sonore n’augmenteque de 3 dB.Universite de Geneve 11 -37 C. Leluc

Exemple : sensibilit e de l’oreille humaine

Considerons 10 violons identiques, chacun de niveau 70 dB. Quel sera leniveau sonore s’ils jouent ensemble ?

SOLUTION : Considerons d’abord le cas de 2 violons :

β = 10 log10 (2I

Io

) = 10 log10 2 + 10 log10 (I

Io

)

et le niveau sonore est (3 dB + 70 dB). Ainsi en doublant l’intensite, le niveausonore augmente de 3 dB.Avec 3 violons jouant ensemble, le niveau sonore s’eleve a 75 dB ; avec 4, ils’eleve a 76 dB ; avec 5, il s’eleve a 77 dB ; avec 10, il s’eleve a 80 dB. Dixviolons produisent une intensite 10 fois celle d’un seul violon et donc 10 dB enplus et ceci correspond a doubler le volume sonore percu.


Exemple : variation de l’intensit e en 1/R2

Le niveau d’intensite a 30 m d’un avion a reaction est de 140 dB. Quel est leniveau d’intensite a 300 m ?

SOLUTION : D’apres l’enonce, le niveau d’intensite a 30m, soit β1 vaut

β1 = 10 log10

I1

Io

= 10 (log10 I − log10 Io) = 140 dB

avec Io = 10−12W/m2 et I1 est l’intensite a 30m.A 300 m, soit 10 fois plus loin, l’intensite est egale a ( 1

10)2 = 1

100de ce qu’elle

est a 30 m, soit I2 = I1/100. Par consequent, le niveau d’intensite a 300m,soit β2 vaut

β2 = 10 log10

I1

100 Io

= 10 log10

I1

Io

− 10 log10 100 = 140 − 10 × 2 = 120dB

Meme a 300 m de l’avion, on est au seuil de la douleur auditive. Il faut mieuxmettre des protege-oreilles ! !


BattementsSi on ecoute, a quelques minutes d’intervalle, 2 sons dont les frequences sonttres proches, disons 552 et 564 Hz, on ne peut en general les distinguer. Maissi ces 2 sons atteignent notre oreille au meme instant, on entend un son dontla frequence est 558 Hz, la moyenne de 2 frequences. Mais son intensiten’est pas constante, elle augmente et diminue donnant des battements defrequence 12 Hz, la difference entre ces 2 frequences.Considerons 2 sons purs de meme amplitude, de frequences legerementdifferentes et dephases l’un par rapport a l’autre, se propageant dans la memedirection :

s1(x, t) = sm cos (k1x − ω1t) et s2(x, t) = sm cos (k2 x − ω2t + φ)


s′(x, t) = sm cos (k1x − ω1t) + sm cos (k2x − ω2t + φ)

= [2sm cos (∆k

2x −

∆ω

2t)] cos (kx − ωt)

avec φ = 0, ω = (ω1 + ω2)/2 et |ω1 − ω2| = ∆ω. On a des relations sem-blables pour les nombres d’onde k. Comme ω � ∆ω

2, on peut considerer cette

fonction comme une sinusoıde dont la frequence angulaire est ω et dont l’am-plitude est la quantite entre crochets, quantite non constante et de frequenceangulaire ∆ω

2(ou periode Tm = 2π/(∆ω/2)).


Battements (suite)En une position x particuliere, l’ampli-tude varie avec le temps de 0 a 2sm

avec une frequence de ∆ω/2. Un bat-tement se produit toutes les fois oucos ∆ω

2t egale +1 ou -1, ce qui se

produit 2 fois pour chaque repetitionde la fonction cosinus. La frequenceangulaire de battements, ωA, vautdonc :ωA = 2∆ω

2= |ω1 − ω2|. Et la

frequence des battements est donc :

fA = |f1 − f2|

Ce qu’on entend est la note porteusedont l’intensite passe par des maximaa la frequence des battements.

Les musiciens utilisent les phenomenes de battements pour accorder leursinstruments. Ils utilisent une frequence de reference et ajustent leur instrumentjusqu’a ce que les battements disparaissent : leur instrument est alors accorde.


Exemple : les battements

On utilise une sirene comme frequence de reference pour ajuster un diapa-son au la3. On reduit lentement la frequence de la sirene, ce qui produit un“vibrato”. La frequence de ce vibrato diminue et atteint un minimum lorsque lasirene a une frequence de 440 Hz. Alors le volume du son resultant varie entreun maximum et un minimum en 0,25s. Quelle est la frequence du diapason ?

SOLUTION : On a f1 = 440Hz et la periode des battements est de 0,25 s. Lafrequence de ces derniers est l’inverse de la periode, soit :

1

0, 25s= 4Hz = (f1 − f2) = 440Hz − f2

et f2 = 436Hz


Effet Doppler

Chaque sorte d’onde se propage dans un milieu homogene a une vitesseconstante qui depend seulement des proprietes physiques du milieu. Cela estvrai quelquesoit le mouvement de la source : elle emet l’onde qui se propage.Cependant, la perception de la fr equence d’une onde et de sa longueurd’onde peut etre modifi ee consid erablement par un mouvement relatifentre l’observateur et la source .

Nous avons tous observe un changement dans la frequence quand une am-bulance s’approche puis s’eloigne. La hauteur du son est plus elevee, lorsquela voiture s’approche que lorsqu’elle est immobile et encore plus grande quelorsqu’elle s’eloigne. Ce phenomene est appele effet Doppler .Soit vs la vitesse de la source et vo la vitesse de l’observateur. L’effet Dopplera lieu pour vs < v et vo < v, v etant la vitesse de propagation des ondes.

Nous envisagerons les 3 situations suivantes :– 1) Source en mouvement, observateur au repos– 2) Source au repos, observateur en mouvement– 3) Source et observateur en mouvement (pas de demonstration)


1) Source en mouvement, Observateur au repos

En a), on a une source au repos qui emet 2 cretes d’ondes successives dontla 2eme onde vient d’etre emise. La distance entre les 2 cretes est λs et letemps entre chaque emission est T = 1

fs= λs

vou v est la vitesse de l’onde.

En b), la source bouge a une vitesse vs. Dans un temps T , la 1ere crete par-court une distance d = λs = v T . Dans le meme temps, la source parcourtune distance ds = vs T . La distance entre 2 cretes d’ondes successives, quiest la nouvelle longueur d’onde λo, est :

λo = d − ds = λs − vs T = λs − vs

λs

v= λs(1 −

vs

v)

La variation ∆λ vaut :∆λ = λo − λs = −vsλsv

.La variation de la longueur d’onde est propor-tionnelle a la vitesse vs de la source .La frequence entendue par l’observateur vaut :fo = v

λo= v

λs(1−vs/v)= fs

vv−vs

.

Comme le denominateur est plus petit que v, on afo > fs.Si la source s’ eloigne de l’observateur, ontrouve : fo = fs

vv+vs

et fo < fs.


2) Source au repos, Observateur en mouvement

L’effet Doppler se produit aussi quand la source est au repos et l’observateurbouge. Si l’observateur se rapproche de la source, la hauteur du son est pluselevee. Si, au contraire, il s’eloigne de la source, la hauteur du son diminue.Quantitativement, la variation de frequence est legerement differente de cellequ’on trouve dans le cas d’une source en mouvement.Dans ce cas, la distance entre les cr etes, la longueur d’onde λs, nechange pas. Mais la vitesse des cr etes par rapport a l’observateurchange . Si l’observateur se rapproche de la source, la vitesse des ondes parrapport a l’observateur est v′ = v + vo ou vo est la vitesse de l’observateur.La frequence percue par l’observateur est donc :

fo =v′

λs

=v + vo

λs

= fs (v + vo

v)

Si l’observateur s’ eloigne de la source,la vitesse relative est v′ = v − vo etfo = fs (v−vo

v)


Effet Doppler : Formule g enerale

On peut combiner les r esultats pr ecedents en une seule formule, valideaussi bien pour les cas ou la source/l’observateur est en mouvement quepour ceux ou l’observateur et la source bougent :

fo = fs

v ± vo

v ∓ vs

Les signes du dessus s’appliquent si la source et l’observateur se rapprochentl’un de l’autre et les signes du dessous s’ils s’eloignent.

L’effet Doppler n’est perceptible que si vo ouvs n’est pas negligeable devant v. Exemple :sirene des pompiers, la vitesse du vehiculen’est pas negligeable vis-a-vis de la vitesse duson.Le mouvement de la source reduit l’ecart entreles fronts d’onde successifs avancant dans lesens de ce mouvement.


Effet Doppler (suite)

Lorsqu’un obstacle en mouvement reflechit une onde sonore, la frequence del’onde reflechie est, a cause de l’effet Doppler, differente de l’onde incidente(voir exemple page 11-49). La combinaison de l’onde incidente et de l’ondereflechie produit une interference qui cause des battements. La frequence desbattements est egale a la difference des 2 frequences.

Il existe plusieurs applications de l’effet Doppler en medecine ou on utilisegeneralement des ondes ultrasoniques dans un domaine de frequences sesituant dans les megahertz ; par exemple, les ondes reflechies par les globulesrouges permettent de determiner la vitesse du sang.


Exemple 1 : effet Doppler

Une voiture roule a 20,0 m/s et emet un son de sirene de frequence 600 Hz.Determiner la frequence percue par un observateur immobile pendant que lavoiture s’approche et pendant qu’elle s’eloigne.

SOLUTION : Nous avons ici vo = 0 car l’observateur est immobile et la voitures’approche de l’observateur. Ainsi l’observateur percoit la frequence :

fo =vfs

v − vs

=(340m/s)(600Hz)

(340m/s) − (20, 0m/s)= 638Hz

Quand la voiture s’eloigne, il faut changer le signe de vs et l’observateur percoitla frequence :

fo = fs

v

v + vs

=(340m/s)(600Hz)

(340m/s) + (20, 0m/s)= 567 Hz

Ainsi quand la source et l’observateur se rapproche, la frequence percue estplus grande. Quand la source et l’observateur s’eloigne, la frequence percueest plus petite. C’est ce qu’on entend quand une voiture de police passe.


Exemple 2 : Effet Doppler

(a) Etablir l’expression du decalage de Doppler dans le cas d’une onde emisepar une source immobile, fs, reflechie sur une cible qui s’approche vers lasource et interceptee par un observateur immobile. (b) Application au cassuivant : une onde sonore de 1000 Hz est emise par une source immobilevers une cible qui s’approche. Si l’onde reflechie a une frequence de 1200 Hz,quelle est la vitesse de la cible ?

SOLUTION : (a) On a ici 2 effets Doppler superposes : l’onde recue par lacible, est decalee a fo, a cause du mouvement de la cible. Une onde estensuite emise avec la frequence fo, l’observateur la recoit decalee a fo′, denouveau a cause du mouvement de la cible qui joue maintenant le role d’unesource.Pour le 1er effet Doppler, la source est immobile (vs = 0), et la cible s’ap-proche a la vitesse vc = vo (on retrouve le cas contraire a la demonstration).Ainsi la frequence recue par la cible est :

fo = fs

v + vc

v


Exemple 2 : Effet Doppler (suite)

Pour le 2eme effet Doppler, l’observateur qui est repos vo = 0 et la cibles’approche de l’observateur (on retrouve le cas de la demonstration)

fo′ = fo

v

v − vc

Ces 2 decalages augmentent la frequence car la cible s’approche. Apres sub-stitution, on obtient :

fo′ = fs

v + vc

v − vc

(b) On peut developper l’expression precedente et extraire vc :

fo′(v − vc) = fs (v + vc)

v(fo′ − fs) = vc(fs + fo′)

vc =v(fo′ − fs)

fs + fo′=

(332m/s)(200 Hz)

(2200 Hz)= 30, 2m/s


Ondes de chocLes formules obtenues pour l’effet Doppler ont une limite vs < v et vo < v.Si l’une de ces conditions n’est pas verifiee, on trouverait une frequence fo

negative, ce qui n’est pas physique. Envisageons neanmoins ce qui se passe-rait si l’une de ces conditions n’est pas verifiee :– vs < v et vo > v. L’observateur se deplace plus vite que l’onde qui par

consequent ne peuvent pas le rattraper : il ne percoit donc rien.– vs > v et vo = 0 pour simplifier.

Pendant le temps tD − tA, la source aparcouru la distance AD= vs(tD−tA)et l’onde, la distance AA’= v(tD −tA). De meme, l’onde emise en Bs’est deplacee au temps tD de BB’ =v(tD−tB) alors que BD = vs(tD−tB)etc...Les triangles AA’D, BB’D, CC’Dsont semblables et sin α = AA′

AD=

BB′

BD... = v

vs. Donc toutes les ondes

emises entre A et D sont comprisesdans un cone d’ouverture α, le conede Mach.Universite de Geneve 11 -51 C. Leluc

Ondes de choc (suite)

Le rapport vs/v est appele le nombre de Mach , c’est le rapport de la vitessede l’objet a celle du son dans le milieu ou il se deplace.

Par exemple, le nombre de Mach d’unavion qui se deplace a 900m/s (3240km/h)dans la haute atmosphere ou la vitesse duson est de seulement 300 m/s est de 3 ; ondit alors que l’avion vole a Mach 3.Un avion dont la vitesse avoisine celle duson rencontre un mur d’ondes sonores.Unavion qui voyage a une vitesse superso-nique provoque un bruit et une perturba-tion de l’air sous forme d’onde de choc quicontient une quantite enorme d’energiesonore. Un bang supersonique ne durequ’une fraction de seconde mais l’energiequ’il contient suffit souvent a briser desvitres et a causer des dommages.


les ondes - unige

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