Finance de marché et Finance de marché et mathématiques: un mathématiques: un

mariage réussimariage réussiPatrick ROGERPatrick ROGER

LARGELARGEUniversité Louis PasteurUniversité Louis Pasteur

roger@cournot.u-strasbg.frroger@cournot.u-strasbg.fr

Constat et conséquencesConstat et conséquences L’être humain (et l’investisseur en L’être humain (et l’investisseur en

particulier) et son environnement particulier) et son environnement sont trop compliqués pour sont trop compliqués pour pouvoir être décrits parfaitementpouvoir être décrits parfaitement

Nécessité de modéliser Nécessité de modéliser Recours aux Recours aux outilsoutils mathématiquesmathématiques

Les problèmes des Les problèmes des financiersfinanciers

Comment les investisseurs prennent-Comment les investisseurs prennent-ils leurs décisions?ils leurs décisions?

Quel est le processus de formation Quel est le processus de formation des prix des actifs financiers?des prix des actifs financiers?

Quels contrats permettent de Quels contrats permettent de répartir les risques?répartir les risques?

Comment évaluer et gérer ces Comment évaluer et gérer ces contrats?contrats?

Comment répondre à ces Comment répondre à ces questions?questions?

Hypothèses sur le comportement et Hypothèses sur le comportement et l’environnementl’environnement Préférences (relation d’ordre)Préférences (relation d’ordre) Attitude face au risque : Livret A ou grille de Attitude face au risque : Livret A ou grille de

loto ? (variables aléatoires)loto ? (variables aléatoires) Prise en compte du temps (processus Prise en compte du temps (processus

stochastiques)stochastiques) Acquisition d’informations (règle de Bayes, Acquisition d’informations (règle de Bayes,

filtration)filtration) Prise de décisions (optimisation non linéaire)Prise de décisions (optimisation non linéaire)

Clotûre de Wall Street le 9 août 2007

ExempleExemple120 140110 120

100 9090 70

X Y

ou ou ?X Y Y X X Y

Trajectoires possibles du Trajectoires possibles du CAC40CAC40

5520

5540

5560

5580

5600

5620

5640

5660

0 5 10 15 20 25

Comportement Comportement d’optimisationd’optimisationmax ( )E U W

0

max ( )T

tt t

t

E u c

Remarque : Si T est la date de votre décès, T est un temps d’arrêt (contacter un actuaire qui vous donnera des précisions)

Les processus de prixLes processus de prix Equilibre : OFFRE=DEMANDE Equilibre : OFFRE=DEMANDE

(Théorème du point fixe)(Théorème du point fixe)

Dow Jones : 10/09/2007Dow Jones : 10/09/2007

Dow Jones le 7/09/2007Dow Jones le 7/09/2007

6 juin 2002

Une journée bien ordinaire à la Bourse de Paris

Mouvement brownien géométrique (trajectoires continues)

Source des cours : FININFO

Expulsion deThierry Henri

Fin dumatch

Coupe du Monde 2002FRANCE-URUGUAY6 juin 2002

Mouvement brownien géométrique + processus de Poisson

La répartition des La répartition des risquesrisques

AFP août 2007 : Les centres de AFP août 2007 : Les centres de bronzage pris d’assaut pour cause de bronzage pris d’assaut pour cause de météo désastreusemétéo désastreuse

Boursier.com août 2007 - Effet Boursier.com août 2007 - Effet dépressif sur les ventes de bière d'une dépressif sur les ventes de bière d'une météo désastreuse sur le nord-ouest météo désastreuse sur le nord-ouest de l'Europe : "2007 sera en effet une de l'Europe : "2007 sera en effet une année extraordinairement difficile"année extraordinairement difficile"

La répartition des La répartition des risques (cont.)risques (cont.)

Création de dérivés climatiquesCréation de dérivés climatiques http://www.cme.com/trading/prd/weather/http://www.cme.com/trading/prd/weather/

index.htmlindex.html

1

max ;0 10000€

max( ;0) 10000€Echéance du contrat1

Température au jour Température de référence (à convenir)

T T

T T

t

t ss

t

Y X K

Z K XT

X xt

x tK

Question 1 : quel est le processus suivi par ?Question 2 : Combien vaut ?t

YY

Les fameux Les fameux « subprimes »« subprimes »

La banque A prête à 10000 emprunteurs (immobiliers)La banque A prête à 10000 emprunteurs (immobiliers) Elle « groupe » ces 10000 emprunts dans une Elle « groupe » ces 10000 emprunts dans une

structure adéquate «Mortgage backed securities » et structure adéquate «Mortgage backed securities » et vend le tout à une banque B.vend le tout à une banque B.

La banque B découpe en tranches le MBS et revend La banque B découpe en tranches le MBS et revend les tranches à des institutions financières (hedge les tranches à des institutions financières (hedge funds ou fonds spéculatifs) C,D,E.funds ou fonds spéculatifs) C,D,E.

C, D, E groupent ces tranches avec d’autres produits C, D, E groupent ces tranches avec d’autres produits pour construire des fonds de fonds et émettent des pour construire des fonds de fonds et émettent des notes indexées sur ces fonds de fondsnotes indexées sur ces fonds de fonds

Des banquiers et des assureurs achètent ces notes et Des banquiers et des assureurs achètent ces notes et les mettent dans leurs SICAV (monétaires les mettent dans leurs SICAV (monétaires dynamiques)dynamiques)

Les fameux subprimesLes fameux subprimes

L’évaluation des contrats L’évaluation des contrats dérivésdérivés

( , )( , ) ( , )

t t

t t t t

Y f X tdX X t dt X t dB

1) Evaluation de par raisonnement d'arbitrage2) Evaluation de par le lemme d'Itô3) Egalisation de (1) et (2) EDP parabolique5) Condition aux bornes "propre" Solution analytique6) Pas de condit

t

t

dYdY

ion aux bornes Solution numérique

Les dangers des Les dangers des mathématiques en financemathématiques en finance

Constat : les hypothèses des modèles ne Constat : les hypothèses des modèles ne sont jamais vérifiées sur les marchés, sont jamais vérifiées sur les marchés, surtout dans les périodes agitées!surtout dans les périodes agitées!

L’approche probabiliste néglige souvent L’approche probabiliste néglige souvent les interactions entre agents les interactions entre agents économiqueséconomiques

Même si vous êtes parfaitement Même si vous êtes parfaitement rationnel, votre voisin ne l’est peut-être rationnel, votre voisin ne l’est peut-être pas!pas!

Conclusion : le concours de Conclusion : le concours de beautébeauté

Choisissez un nombre entier Choisissez un nombre entier XX entre entre 0 et 100 de façon à ce que 0 et 100 de façon à ce que X X soit le soit le plus proche possible de 2plus proche possible de 2Y/Y/3 ou 3 ou Y Y est est la moyenne des nombres choisis par la moyenne des nombres choisis par les participants. les participants.

Merci de votre attention

La Bourse de Paris accroît ses pertes après l'emploi américain

PARIS (Reuters, 07/09/2007, 14h49) - La Bourse de Paris accroît sensiblement ses pertes après l'annonce de la suppression de 4.000 emplois aux Etats-Unis en août.Vers 14h43, le CAC 40 qui perdait environ 0,5% avant l'annonce, cédait 1,66% à 5.484,23 points.Au mois d'août, 4.000 emplois ont été supprimés aux Etats-Unis alors que le marché attendait 110.000 créations. Les 92.000 créations d'emploi annoncées pour juillet on été révisées en baisse à 68.000. Le taux de chômage est inchangé à 4,6%.