Matematikos istorija

Vilius Stakenas

VU MIF

2014

Tikimybiu teorijos raidos apžvalga

Azartiniai lošimai

Lošimai kauliukais buvo žinomi Artimuju Rytu tautoms irAntikos graikams.Kortos Europoje – po kryžiaus karu.Kortu karaliai: kryžiu – Dovydas, širdžiu – Karlas, vynu –Aleksandras Makedonietis, bugnu – Julius Cezaris.Pirmosios loterijos – Kinijoje.

Gyventoju ir turto surašymai

Surašymus vykde Izraelio karaliai, Romos imperatoriai.Pirmas surašymas Europoje – Viljamas Užkariautojas1085-1086 Anglijoje.1532 m. Londone pradeta registruoti gyventoju mirtis.

Pirmieji uždaviniai apie atsitiktinumus

Luca Paciolis (1494):Du lošejai meto moneta, vienas gauna taška, kai moneta atvirstaherbu, kitas – kai skaiciumi. Visa lošimo banka laimi tas, kaspirmas surenka n tašku. Deja, lošima teko nutraukti, kailaimetojas dar nebuvo aiškus. Pirmasis lošejas turejo p, antrasis– q tašku. Kaip pasidalyti banka?

Girolamo Cardano (1501-1576)

„Liber de ludo aleae“Klasikinis tikimybes apibrežimas

Johnas Grauntas (1620-1674)„Natural and Political Observations Made upon the Bills ofMortality“. Ši 1662 metais pasirodžiusi veikala galime vadintipirmaja statistikos knyga.

Pirmoji mirtingumo lentele

Amžius Žmoniu skaicius0 1006 64

16 4026 2536 1646 1056 666 376 1

Edmondas Halley (1656-1742)

Breslau gimimo ir mirties duomenu analize.Kokia tikimybe, kad keturiasdešimties metu amžiaus žmogusgyvens dar bent septynis metus?

Chevalier de Méré (1607– 1684) klausimai

Lošejas laimi tada, kai viena akute atvirsta nors viena karta,metus kauliuka keturis kartus. Ar salyga palanki lošejui?Metome lošimo kauliuku pora ir laimime tada, kai abu jieatvirsta sienelemis su viena akute? Kiek kartu reikia mestikauliukus, kad lošimas taptu palankus lošejui?De Méré nuomone: reikia mesti 24 kartus.

B. Paskalio ir P. Fermat laiškai apie bankouždavini

Du lošejai meto moneta, vienas gauna taška, kai moneta atvirstaherbu, kitas – kai skaiciumi. Visa lošimo banka laimi tas, kaspirmas surenka n tašku. Deja, lošima teko nutraukti, kailaimetojas dar nebuvo aiškus. Pirmasis lošejas turejo p, antrasis– q tašku. Kaip pasidalyti banka?

Paskalio trikampis

n-ojoje istrižaineje yra n+1 skaicius. Šiuos skaiciusmatematikoje priimta žymeti

C0n,C

1n, . . . ,C

n−1n ,Cn

n, arba(

n0

),

(n1

), . . . ,

(n

n−1

),

(nn

).

1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 61 3 6 10 151 4 10 201 5 151 61

Paskalio taisykle

Banko dalybu dviems lošejams taisykle, kai pirmajam ikinumatytos sumos truksta n, o antrajam m tašku.Parinkime r = n+m−1-aja trikampio istrižaine ir sudarykimetokias jos skaiciu sumas:

A =m−1

∑j=0

Cjr, B =

n−1

∑j=0

Cjr.

Banka lošejams teisinga padalyti santykiu A : B.

Christianas Huygensas (1629-1695)

Pirmaja knygele, skirta tikimybiu teorijai, paraše olandumatematikas Christianas Huygensas (1629-1695). Lotyniškaiknygele vadinasi „Libellus de ratiociniis in ludo aleae“, ji 1657metais buvo išspausdinta kaip Huygenso mokytojo F. vanSchooteno knygos priedas.

Lošimo verte – atsitiktinio dydžio vidurkis

Huygensas: jeigu yra p galimybiu laimeti a ir q galimybiulaimeti b dydžio suma, tai tokio lošimo verte yra

ap+bqp+q

.

Uždavinys iš Huygenso knygeles

A ir B pakaitomis meto lošimo kauliuku pora. A laimi, jeigugauna metimo akuciu suma lygia 6 anksciau negu B gaunaakuciu suma lygia 7. Kokios A ir B laimejimo tikimybes, jeiguA pradeda lošima?

Jacobas Bernoullis (1654-1705)

„Ars Conjectandi“ – apie 20 metu rašyta tikimybiu teorijosknygaKetvirtoji knygos dalis: „Ketvirtoji spejimo meno dalis, kuriojeišdestyta, kaip ši moksla taikyti pilietiniams, moraliniams irekonominiams klausimams“

Didžiuju skaiciu desnis

Teorine ir statistine tikimybesDidžiuju skaiciu desnis susieja šias dvi tikimybes: jeigustatistine tikimybe apskaiciuota atlikus daug nepriklausomubandymu, tai labai tiketina, kad ji mažai skirsis nuo „teorines“,t. y. matematiškai apskaiciuotos tikimybes.

Didžiuju skaiciu desnis

Jeigu bandymas yra simetriško lošimo kauliuko metimas, o musdomina ivykis, kad atvirs daugiau kaip 4 akutes, tai apskaiciavegausime p = 1

3 . Tarkime, kauliuka ketiname mesti n kartu,ivykio pasirodymu skaiciu (jo iš anksto nežinome) pažymekimeSn. Tada pn =

Snn bus statistine tikimybe. Tegu ε > 0 koks nors

mažas skaicius. Kiek yra galimybiu ivykti ivykiams

|p−pn|< ε, |p−pn| ≥ ε?

Bernoulis irodo: kad ir koki dideli skaiciu C > 0 parinktume,šiu ivykiu galimybiu skaiciu santykis bus didesnis už C, jeigutik n parinksime pakankamai dideli.

Abrahamas de Moivre’as (1667-1754)

Pagrindinis de Moivre’o matematinis veikalas – knyga „TheDoctrine of Chance“, skirta tikimybiu teorijai. Ji buvo išleistatris kartus 1718, 1738 ir 1756 metais. Šioje knygoje pirmakartpasirodo nepriklausomu ivykiu apibrežimas. De Moivre’asnepriklausomais ivykiais pavadina ivykius „kurie nesusijetarpusavyje, ir vieno iš ju pasirodymas nedaro itakos kito ivykiopasirodymo tikimybei“.

Abrahamas de Moivre’as (1667-1754)

Paskutiniajame papildytame leidime išdestytas pagrindinis deMoivre’o rezultatas, kuri jis atskiru leidiniu paskelbe 1733metais. Tai Bernoullio didžiuju skaiciu desnio patikslinimas,tapes vienu svarbiausiu tikimybiu teorijos desniu – centrinesribines teoremos prototipu.

Pierre-Simonas Laplace’as (1749-1827)

Laplace’o dvitomio veikalo „Analizine tikimybiu teorija“(„Théorie Analytique des Probabilités“) pirmasis leidimas sudedikacija Napoleonui Bonapartui buvo išleistas 1812 metais.Ivairiausiu analizes irankiu (integralu, skirtuminiu irdiferencialiniu lygciu...) taikymas tikimybiniams uždaviniamsspresti. Laplace’as ieškojo ir rado daugybe nauju tikimybiuteorijos taikymo sriciu: astronomija, demografija, klaidu teorija...

Siméon Denis Poisson (1781-1840)

„Recherches sur la probabilité des jugements en matiérecriminelle et en matiére civile“ („Kriminaliniu ir civiliniuteismo nuosprendžiu tikimybiniai tyrinejimai"). Joje Poissonasnagrineja klausima, kuri apytikriai galime suformuluoti taip:kokia tikimybe, kad teismu nuosprendžiai teisingi?Puassono desnis

Brauno judesys

Robertas Brownas (1773–1858): žiedadulkiu judejimo skystyjestebejimai.

Fizikine teorija: A. Einšteinas, M. Smoluchovskis.N. Wieneris: Brauno judesio matematika – tikimybiu teorija.

Rusu matematikai

Pafnutijus Lvovicius Cebyšovas (1821-1894)Aleksandras Michailovicius Liapunovas (1857-1918)Andrejus Andrejevicius Markovas (1856-1922)Charakteringuju funkciju metodasMarkovo grandines

Statistikai: Karlas Pearsonas (1857-1936)

Laikotarpiu nuo 1893 iki 1912 metu Pearsonas paraše 18straipsniu, kuriuose matematika taikoma evoliucijos teorijosklausimams tyrineti. Šiuose darbuose išdestyti metodu, kuriuosgaletume pavadinti statistikos klasika, pagrindai – regresines irkoreliacines analizes, chi-kvadrat testu...

Karlas Pearsonas (1857-1936)

K. Pearsonas kartu su W. Weldonu ir F. Galtonu 1901 metaisisteige žurnala „Biometrika“, skirta gyvybes evoliucijosreiškiniu statistiniams tyrimams. Steigeju nuomone „evoliucijostyrimo problema yra statistikos uždavinys“.Nuo 1906 metu Pearsonas emesi organizacines veiklos, kuriostikslas, jo žodžiais tariant,„ ... padaryti statistika taikomosios matematikos šaka su savaterminologija ir technika, ugdyti statistikus kaip mokslininkus... ir apskritai – paversti statistika šioje šalyje iš diletantužaidimu lauko solidžiu mokslu, kuriuo niekas negaletu užsiimtineigijes atitinkamo išsilavinimo...“

Statistikai: Williamas Gossetas (Student)(1876-1937)

Mažu imciu statistikos metodai, t-testai

Statistikai: Ronaldas Aylmeris Fisheris(1890-1962)

Darbas Rothamstedo eksperimentineje žemes ukio stotyje.Šioje stotyje buvo atliekami ilgalaikiai bandymai ir stebejimai,siekiant ivertinti trašu efektyvuma ir pagerinti augaluderlinguma. Duomenu buvo sukaupta daug, reikejo juos vertintiir daryti išvadas.Jo 1925 metais išleista knyga „Statistiniai metodai mokslodarbuotojams“ (Statistical Methods for Research Workers).Maždaug 50 metu ji išleista net 14 kartu.

Tikimybiu teorijos pagrindu klausimas

1919 metais Richardo von Miseso straipsnyje apie tikimybiuteorijos pagrindus rašoma taip: „ ... dabartine padeti galimaapibudinti tik taip: tikimybiu teorija nera matematinedisciplina.“

Tikimybiu teorijos pagrindu klausimas

Richardas von Misesas (1883-1953): kolektyvai.Pavyzdžiui, simetriško lošimo kauliuko, kurios sienelessužymetos skaiciais 1,2,3,4,5,6, metymo bandyma atitiktuMiseso „kolektyvas“

i1, i2, i3, . . . , ij ∈ {1,2,3,4,5,6},

turintis tokia savybe: jeigu aj(n), j = 1,2, . . . ,6, reiškia kiekielementu ik = j, k ≤ n, tai aj(n)/n→ 1/6, kai n→ ∞.

Andrejus Nikolajevicius Kolmogorovas (1903 -1987)

Jo nedidele 1933 metais vokieciu kalba parašyta knygele„Tikimybiu teorijos pagrindai“ iš tikruju yra pagrindai, kuriuos,nors ir ne iš karto, bet pripažino visi, kas tyrineja ar taikotikimybiu teorija.Tikimybiu teorija – mato teorijos atvejis.

Tikimybiu teorija Lietuvoje

Jonas Kubilius (1921-2011)Vytautas Statulevicius (1929-2003)Bronius Grigelionis (1935-2014)