Levezetések klasszikus nulladrendű logikai kalkulusban

Molnár Attila

2008. november 21.

Ebben az óravázlatban a nulladrendű logikai kalkulusbeli tételek levezetéséről esik majd szó. Követ-kezzen egy gyors összefoglaló az eddig tanultakból:

1. Emlékeztető

1.1. Induktív definícióFelfedeztük magunknak az induktív definíciót1, amivel alkalmunk nyílt arra, hogy egy fogalmat olyanmódon definiáljunk, hogy megadunk néhány speciális objektumot, melyekről kikötjük, hogy azok afogalom alá tartoznak – ezek alkotják az ún. bázist –, majd belőlük származtatjuk az összes többifogalom alá tartozó dolgot egy szabály – az ún. bővítési szabály – segítségével.

1.2. SzintaxisA jólformált formula fogalmát így már induktívan definiálhatjuk, méghozzá a következőféleképpen. Ne-vezzük a jólformált formulák összességét wff-nek, azt pedig, hogy egy x jel jólformált formula, a göröglétige (’eszti’) nyomán jelöljük így: x ∈ wff. Ha két összesség közül az egyik része a másiknak, azt ⊆-naljelöljük. A jólformált formulákon belül az atomi jólformált formulákat, azaz a további részre nem bonthatóformulákat awff-fel jelöljük majd. A metanyelvi kondicionálist pedig most →-val jelöljük, melyhez hanem írunk zárójeleket, akkor jobbról kell kezdődik a sorrend. Ekkor a jólformált formulák (és az atomijólformált formulák szimultán) induktív definíciója:

Bázis:{

awff ⊆ wff{

Bázis: p ∈ awffBővítési szabály: X ∈ awff→ X ′ ∈ awff

Bővítési szabály:{

X ∈ wff→∼ X ∈ wffX ∈ wff→ Y ∈ wff→ (X ⊃ Y ) ∈ wff

A továbbiakban a következő jelölési konvencióval fogunk élni:

p =def pp′ =def qp′′ =def rp′′′ =def s

...(A &B) ⇔def ∼ (A ⊃∼ B)

(A ∨ B) ⇔def (∼ A ⊃ B)(A ≡ B) ⇔def ((A ⊃ B) & (B ⊃ A))

1.3. SzemantikaA szintaxisra, azaz a jólformált formulákra eztán szemantikát építettünk; meghatároztuk egy szabálytarra vonatkozólag, hogy bizonyos indulófeltételek mellett mely formulát nevezzük igaznak és melyethamisnak. Erre az igazságérték-tulajdonításra, az ún. interpretációra a | · | jelölést fogjuk használni,

1: Nevezik még rekurzív definíciónak is, sőt néha még (kissé tévesen, egy nála általánosabb definíciófajtával keverve)generatív definíciónak is.

1

méghozzá a következőképpen: Az |X| = i azt jelenti majd, hogy X igaz, ugyanígy pedig h-val. Ezt ahozzárendelést is induktívan határozzuk meg:

Bázis: X ∈ awff→ |X| ∈ {i, h}

Bővítési szabály:

|X| = h → | ∼ X|=def i|X| = i → | ∼ X|=def h

|X| = i → |Y | = i → | (X ⊃ Y ) |=def i|X| = i → |Y | = h → | (X ⊃ Y ) |=def h|X| = h → |Y | = i → | (X ⊃ Y ) |=def i|X| = h → |Y | = h → | (X ⊃ Y ) |=def i

Itt |X| ∈ {i, h} alatt azt értettük, hogy |X| igaz vagy hamis.

1.4. Centrális szemantikai fogalmakA szemantika segítségével már beszélhetünk az ún. centrális logikai fogalmakról:

Kielégíthetőség: Egy Γ formulahalmaz kielégíthető, ha van olyan interpretáció, mely esetben mindenformulája igaz.

Kielégíthetetlenség, ellentmondásosság: Egy Γ formulahalmaz ellentmondásos, ha nem kielégíthe-tő.

Következményreláció: Egy Γ formulahalmazból következik egy A formula, ha mindig, mikor a Γ-beliformulák igazak, a konklúzió is igaz. Azaz minden olyan interpretációban, melyben Γ elemei igazak,A is igaz. A Γ-t ebben a szerepben premisszahalmaznak, A-t pedig konklúziónak szokás nevezni.Vagy másképp: Γ elemei és ∼ A ellentmondásos formulahalmazt alkotnak.Jelölése: Γ =⇒ A

Ekvivalencia: Az A és B formulák ekvivalensek (jelölése: A ⇐⇒ B), ha ugyanazon interpretációkbanigazak (illetve hamisak).

Logikai igazság: Egy A formula logikai igazság (jelölése: =⇒ A), ha minden interpretációban igaz.

2. Kalkulus

2.1. BevezetőA logikai igazság fogalma a többihez hasonlóan igen fontos fogalom, ugyanis szoros kapcsolatban álllogikai következtetéseinkkel. Minden olyan formula, amelyet logika szabálynak, logikai törvénynek sze-retnénk hívni, tárgynyelvi alakban megjelenhet, mint logikai igazság. Pl. a De Morgan azonosság, azaz

∼ (A &B) ⇐⇒ (∼ A∨ ∼ B)

előáll a következő alakban:=⇒ (∼ (A &B) ≡ (∼ A∨ ∼ B))

Vegyük észre, hogy ezekre logikai igazságokra egy deduktív (vagy más néven arisztotelészi) definíciótadtunk? Vajon adhatunk-e ezekre is ugyanúgy induktív definíciót, ahogy az imént azt a jólformáltformulákkal és az interpretációval is tettük? Azaz meghatározhatjuk-e a logikai igazságoknak, mintspeciális jólformált formulák körét szemantikára, azaz ’igaz’-ra és ’hamis’-ra való hivatkozás nélkül?

A válasz igenlő. Be fogunk mutatni egy induktív definíciót, amely a logikai igazságok fogalmát hi-vatott induktívan definiálni. A klasszikus nulladrendű logika logikai igazságainak induktív definíciójátklasszikus nulladrendű kalkulusnak fogjuk nevezni. Látni fogjuk, hogy minden formula, amit ezzel a kal-kulussal elő fogunk állítani, logikai igazságok lesz. Ezt a megállapítást helyességi tételnek fogjuk nevezni.Azt a megállapítást pedig, hogy a kalkulus ezenkívül megadja az összes logikai igazságot is, pedig teljes-ségi tételnek fogjuk nevezni. Azt, hogy a helyességi tétel és a teljességi tétel teljesül, adekvátsági tételneknevezzük. Ez teszi lehetővé, hogy a szemantikai következményrelációnkat bármikor felcserélhessük a mostbemutatásra kerülő szintaktikai következményrelációval. A következőkben megkezdjük menetelésünketaz adekvátsági tétel felé.

2

2.2. A kalkulus magaA nulladrendű logikai kalkulusban kísérletet teszünk tehát a logikai igazságok induktív definíciójára. Azt,hogy egy A formula ebben a szintaktikai (kalkulusi) értelemben vett logikai igazság, a következőképpenfogjuk jelölni: ` A. Azt pedig, amennyiben egy B formula akkor logikai igazság, ha egy másik A formulais logikai igazság, a következőképpen jelöljük:

` A` B

. Ha egyetlen A helyett több ilyen feltételt is adunk, azt egymás fölé írással jelöljük, tehát pl. így:

` A` B` C

. Tehát a metanyelvi ’ha-akkor’-viszonyt egy vízszintes vonallal jelöljük, a metanyelvi ’és’-viszonyt pedigegymás fölé írással.

A nulladrendű logikai kalkulus e jelöléssel a következőképpen néz ki:

Bázis:

` (A ⊃ (B ⊃ A))` ((A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C)))` ((∼ A ⊃∼ B) ⊃ (B ⊃ A))

Bővítési szabály:

Γ ` AΓ ` (A ⊃ B)

Γ ` B

2.3. MegjegyzésekNéhány apróbb megállapítás a bázissal kapcsolatban:

• Az első formula igazából a konjunkcióról szól. Emlékezzünk arra, hogy még régen volt egy ilyenlogikai törvényünk:

(A ⊃ (B ⊃ C)) ⇐⇒ ((A &B) ⊃ C)

Eszerint a fenti báziselem valami ilyesmi lenne:

((A &B) ⊃ A)

Ez pedig nem más, mint ahogyan a konjunkcióból következtetni szoktunk. Párja ennek a

((A &B) ⊃ B) ⇐⇒ (A ⊃ (B ⊃ B))

A(z egyelőre szemantikai) dedukció-szabály segítségével ezt a következőképpen alakíthatjuk át:

(A &B) ⇒ A(A &B) ⇒ B

Minden logikai konstansra megvannak a rá jellemző következtetések. Amelyeket dedukciótétellelbizonyos kulcsfontosságú (jelen esetben csak kondicionálissal és negációval kifejezett) logikai igaz-ságokból nyerhetünk. Szolgáljon ezek közül a legfontosabbak megvilágítására a következő táblázat:

∼∼ A ⇒ A ! ⇒ (∼∼ A ⊃ A)A ⇒ ∼∼ A ! ⇒ (A ⊃∼∼ A)

(A &B) ⇒ A ! ⇒ (A ⊃ (B ⊃ A))(A &B) ⇒ B ! ⇒ (A ⊃ (B ⊃ B))(A ∨ A) ⇒ A ! ⇒ ((∼ A ⊃ A) ⊃ A)

∼ (A ⊃ B) ⇒ A ! ⇒ (∼ (A ⊃ B) ⊃ A)∼ (A ⊃ B) ⇒ ∼ B ! ⇒ (∼ (A ⊃ B) ⊃∼ B)

Ezeket a levezetések kapcsán mind útba ejtjük majd.

3

• A második báziselemet disztributivitási formulának is mondjuk, mivel olyan, mintha a kondicio-nális ’önmagára lenne disztributív’. Valójában inkább arról van szó, hogy lépten-nyomon használtDedukció-szabály levezetéséhez használt teljes indukciós bizonyításban éppen erre a formulára vanszükség.

• A harmadik báziselem lényegében a kontrapozíció szabályának egyik irányát fejezi ki tárgynyelven,és ez teszi majd lehetővé, hogy feltorlódó negációjeleket tüntethessünk el – azaz ezt fogjuk majdalaposan használni a negációtörvények levezetésekor. Az, hogy ő felelős a negációjelt manipulálólogikai igazságokért, onnan is látszik, hogy a három báziselem közül csak ebben van negáció.

A bővítési szabályban eleddig ismeretlen jelöléssel találkozhatunk: Γ ` A. Mivel a szemantikábanbeszéltünk premisszákból konklúzióra való következtetésről, itt is bevezetünk egy ennek megfelelő fo-galmat. (E két következményreláció viszonyáról fog szólni igazából az adekvátsági tétel.) Egy adottΓ formulahalmazból a levezethetőséget a következőképpen értelmezzük (és jelöljük): Γ ` A akkor éscsak akkor, ha A axióma, axiómaséma, netán Γ eleme (vagy séma esetén egyfajta része), avagy ezekbőlkapható meg a modus ponens véges sok alkalmazásával.

Most pedig következzen néhány fontosabb megállapítás. A bázisban nem formulák, hanem formu-lasémák vannak.2 Ez azt jelenti, hogy nem azt állítjuk, hogy az (A ⊃ (B ⊃ A)) formula egy logikaiigazság, hanem azt, hogy A helyére bármit helyettesítve logikai igazságokat kapunk. Úgy mondhatnánk,hogy nem három formuláról kötöttük ki, hogy logikai igazságok, hanem három bizonyos formájú formu-latípusról kötöttük ki, hogy az ilyen formájú formulák logikai igazságok. A fentiek alapján tehát logikaiigazságok a következők:

` (p ⊃ (q ⊃ p))` (q ⊃ (p ⊃ q))` (s ⊃ (r ⊃ s))` ((p ⊃ q) ⊃ (p ⊃ (p ⊃ q)))` ((∼ (r ⊃∼ s) ⊃ (∼ p ⊃ (p ⊃ s))) ⊃ ((∼ (r ⊃∼ s) ⊃∼ p) ⊃ (∼ (r ⊃∼ s) ⊃ (p ⊃ s))))

Tehát az alapsémákba bármely jól formált formulát behelyettesíthetünk, ha tartjuk azt az egyetlenszabályt, hogy azonos sémajelekbe azonos formulákat teszünk (tehát ugyanazokat az A-kba, a B-kbe,stb.). Vegyük észre, hogy bár három formulaséma van, meglehetősen végtelen sok formuláról posztulál-tuk, hogy logikai igazság.

Kicsit más a helyzet azonban a bővítési szabállyal, a modus ponensszel. Ott csak olyan formulákbóltudunk levezetni, amikről már beláttuk, hogy levezethetők. Tehát ott az A és (A ⊃ B) helyére csakmár levezetett formulákat helyettesíthetünk. Az ellenben, hogy A és B helyében ott konkrétan milyenformulák szerepelnek, édes mindegy; a lényeg, hogy A és (A ⊃ B) levezetettek legyenek.

És most néhány szót az elnevezésekről. A kalkulus bázisának elemeit, ezt a három formulasémát spe-ciálisan ún. axiómasémának nevezzük. A Bővítési szabályt (amelyben a modus ponensre ismerhetünk)pedig levezetési szabálynak nevezik3, de mi csak leválasztás vagy modus ponens néven fogunk rá hivat-kozni. Azokat a formulákat, amelyeket a logikai axiómasémák behelyettesítései, vagy azokból nyerhető amodus ponens ismételt alkalmazásaival, a kalkulus tételeinek fogjuk nevezni. A tételek tehát azok, ame-lyek a logikai igazságok szerepét játszák. Tételsémák azon formulasémák, melyek összes behelyettesítésetétel. A kalkulus tehát a tételek induktív definíciója.

2.4. A megengedett lépésekA levezetés értelmezését jobban szemügyre véve új (de triviális) levezetési szabályokat is felfedezhetünk:Ha mondjuk Γ ` A, akkor jogosan következtethetünk arra is, hogy mondjuk Γ formuláiból és még a pformulából is levezethető A, hiszen A levezetése már Γ-ból rendelkezésre áll, így egy felesleges p premisszanem ront el semmit. 4 Triviális dolognak tűnik ez, de nagyon gyakran fogunk ehhez a lépéshez nyúlni.Meglévő premisszáink közé tehát felvehetünk új premisszákat is, de természetesen akár premisszasémákatvagy egész premisszahalmazokat is. Ezeket a meggondolásokat rendre így jelölhetjük:

Γ ` AΓ ∪ {p} ` A

,Γ ` A

Γ ∪ {B} ` A,

Γ ` AΓ ∪ ∆ ` A

2Eddig is használtunk implicite formulasémákat a szintaxisban illetve szemantikában.3: De hívják még következtetési vagy deriválási szabálynak is4Látni fogjuk ráadásul, hogy egy esetleges felbukkanó ellentmondásból ráadásul bármit le fogunk tudni vezetni, így

ilyen esetben még gyorsabb levezetésünk is lehet A-ra.

4

A másik levezetési szabály, amit felismerhetünk, szintén triviális: A premisszák levezethetők, hiszenmegkaphatók a premisszák, az axiómasémák és a modus ponens alkalmazásaival. Jobb híján ezt valahogyígy jelölhetném:

A ∈ ΓΓ ` A

Ekkor most már beszélhetünk arról, hogy milyen lépéseket is tehetünk a levezetések során.

• Behelyettesítünk egy formulát egy axiómasémába.

• Behelyettesítünk egy formulasémát egy axiómasémába.

• Behelyettesítünk egy formulát egy tételsémába.

• Behelyettesítünk egy formulasémát egy tételsémába

• Alkalmazzuk a modus ponenst két axiómára.

• Alkalmazzuk a modus ponenst két axiómasémára.

• Alkalmazzuk a modus ponenst két tételre.

• Alkalmazzuk a modus ponenst két tételsémára.

• Felveszünk egy premisszát.

• Felveszünk egy premisszasémát.

• Felveszünk egy premisszahalmazt.

• Levezetünk egy premisszát.

• Levezetünk egy premisszasémát.

Azaz lényegében:

� Behelyettesítünk.

� Modus ponenst alkalmazunk.

� Premisszákat veszünk föl.

� Premisszát vezetünk le.

A továbbiakban csak és kizárólag ezt a négy lépést fogjuk lépni a levezetéseink során. Ez az a négypont, amit masszírozni kell a tekintetünkkel, mikor egy levezetést szeretnénk végrehajtani.

5

3. Levezetések

3.1. A tervEzeket tudván már megkezdhetjük a levezetések sorát. Azonban ehhez is először tervet alkotunk, amelyeta következő diagram próbál meg szemléltetni:

1. Kondicionális` (A ⊃ A)

��

2. Fordított kontrapozícióΓ ` (∼ A ⊃∼ B)

Γ ` (B ⊃ A)

��10. Monotonitás

Γ ` ACon (Γ)

Con (Γ ∪ {A})

3. Dedukció-szabályΓ ` (A ⊃ C)Γ ∪ {A} ` C

Γ ∪ {A} ` C

Γ ` (A ⊃ C)

��

//oo

vvnnnnnnnnnnnnnn

4. Negációtörvények` (∼∼ A ⊃ A)` (A ⊃∼∼ A)

��8. Ellentmondás

` (∼ B ⊃ (B ⊃ A))

�� ((QQQQQQQQQQQQQQ

Hf. Lánc-szabályΓ ` (A ⊃ B)Γ ` (B ⊃ C)Γ ` (A ⊃ C)

��

5. KontrapozícióΓ ` (B ⊃ A)

Γ ` (∼ A ⊃∼ B)

��

~~}}}}

}}}}

}}}}

}}}}

}}}}

}}}}

}}}}

}}

11. Elégséges feltételinkonzisztenciára

Γ ` AΓ `∼ A

¬Con (Γ)

++WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW

9.Negált

kondicionálisantecedense

` (∼ (A ⊃ B) ⊃ A)

6. Alternáció` ((∼ A ⊃ A) ⊃ A)

��

7.Negált

kondicionáliskonzekvense

` (∼ (A ⊃ B) ⊃∼ B)

12. Indirekt levezetésΓ ` A

¬Con (Γ∪ ∼ A)

¬Con (Γ∪ ∼ A)Γ ` A

Fentről indulunk, lefele haladunk, és a kis nyilak jelzik, hogy melyik tételhez melyik tételre vanszükség. A tételek és szabályok levezetése speciális alakot ölt majd. Formulák követik majd egymást,mellettük kis szavak. Minden formula mellett azok megjegyzések magyarázzák, pontosan honnan is vet-tük az adott formulát. Azt, hogy egy B formulát vagy formulasémát helyettesítünk egy formulasémábanA helyére, így jelöljük majd: B := A . A levezetések végét � jellel jelöljük. 5

5Ez kocka valójában nem más, mint a Q.E.D., azaz a quod erat demonstrandum rövidítése. Ez magyarul annyit tesz:Ezzel a tételt beláttuk.

6

3.2. A menetelés1. Tétel. ` (A ⊃ A)

Levezetés:

` (A ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma

` ((A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))) axiómaséma

` ((A ⊃ (B ⊃ A)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ A))) A := C

` ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ A)) modus ponens

` ((A ⊃ (B ⊃ A)) ⊃ (A ⊃ A)) B := (B ⊃ A)

` (A ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma

` (A ⊃ A) modus ponens

�

2. Tétel. (Dedukció-szabály)Γ ` (A ⊃ C)Γ ∪ {A} ` C

Γ ∪ {A} ` CΓ ` (A ⊃ C)

Levezetés:Vegyük először az első irányt:

Γ ` (A ⊃ C)Γ ∪ {A} ` C

Γ ` A ⊃ C feltétel

Γ ∪ {A} ` A ⊃ C felvettünk egy premisszát

Γ ∪ {A} ` A a premissza levezethető

Γ ∪ {A} ` C modus ponens

És most a másik irány:Γ ∪ {A} ` CΓ ` (A ⊃ C)

Válasszuk szét az eseteket aszerint, hogy mi lehet a C! Menjünk sorba, hogy a ` jel bal oldalán pontosanhonnan származhat! Lehet, hogy a ∪ jel bal oldalán van, azaz Γ-beli, lehet hogy a jobb oldalán van,azaz nem más, mint A, lehet aztán, hogy egyikből sincs, mivel logikai igazság, és végül lehet – ez alegvészesebb – hogy valahogy mindezekből vezethető le egy modus ponens alkalmazása által. Vezessükhát akkor le esetre lebontva:

(1) C logikai igazság: Azaz ` C. Ekkor:

` C feltevés

` (A ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma

` (C ⊃ (A ⊃ C)) A := C , B := A

` (A ⊃ C) modus ponens

Γ ` (A ⊃ C) bővítés premisszahalmazzal

(2) C nem más, mint A (azaz nézzük C := A -t):

` (A ⊃ A) ez az 1. tétel

Γ ` (A ⊃ A) bővítés premisszahalmazzal

(3) C egy premissza(séma): Azaz C ∈ Γ.

Γ ` C a premisszaséma levezethető

Γ ` (A ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma

Γ ` (C ⊃ (A ⊃ C)) A := C , B := A

Γ ` (A ⊃ C) modus ponens

7

(4) C-t levezetéssel nyertük. Tehát volt egy modus ponens, ami valahogy a következőképpen nézettki:

` B` (B ⊃ C)

` C

Tehát a C-t úgy vezettük le, hogy egy B és egy (B ⊃ C)) állt rendelkezésünkre. A C formulasémalogikai igazság-volta tehát attól függ, hogy vajon ez a bizonyos B illetve (B ⊃ C) az volt-e. Ekkorez maradt: Ahhoz, hogy levezessük (A ⊃ C)-t, – szemléletesen szólva – be kéne látnunk, hogy ez abizonyos A feltétele C feltételeinek is, nevezetesen B-nek és (B ⊃ C)-nek is. Azaz ha be tudnánklátni, hogy (A ⊃ B)-ből és (A ⊃ (B ⊃ C))-ből levezethető a kérdéses (A ⊃ C), akkor azt láttukbe, hogy a dedukciótétel érvényessége öröklődik a modus ponens alkalmazása során.

Mivel a lehetséges kezdőesetekre (triviális esetekre?) a dedukciótétel érvényességét már beláttukaz (1)− (3) pontokban, ha ezt az öröklődést is be tudnánk látni, akkor sikerülne belátni a deduk-ciótétel érvényességét az összes logikai igazságra.6

Bizonyítsuk hát az öröklődést, azaz a következőt:

` (A ⊃ B)` (A ⊃ (B ⊃ C))

` (A ⊃ C)

Γ ` (A ⊃ (B ⊃ C)) feltevés

Γ ` ((A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))) axiómaséma

Γ ` ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C)) modus ponens

Γ ` (A ⊃ B) feltevés

Γ ` (A ⊃ C) modus ponens

�

Itt jegyezzük meg, hogy a dedukció-szabályra igazából a dedukciótétel az elterjedt elnevezés, a továb-biakban mi is így hivatkozunk rá. A szabály elnevezést az indokolja, hogy ez nem a kalkulusnak tétele,hanem egy a kalkulusról szóló tétel. Az ilyen természetű megállapításainkat –lévén a metanyelv tételei– metatételeknek nevezzük.

3. Tétel. (Láncszabály)Γ ` (A ⊃ B)Γ ` (B ⊃ C)Γ ` (A ⊃ C)

Levezetés:Ennek a tételnek a belátása házifeladat. Valamelyik axiómasémát és a dedukciótételt szükséges a bizonyí-tásához, továbbá a szokásos levezetési lépéseket kell a két feltevésen alkalmazni, hogy megkapjuk belőlükΓ ` (A ⊃ C)-t. Ha ez sikerül, a láncszabályt beláttuk. Gyakorlásnak addig is érdemes továbbolvasni ajegyzetet.

Helyébe, hogy az építményünk megálljon a maga lábán, kerülőúton mégis bebizonyítjuk. Belátjuka láncszabály általánosítását, az ún. metszetszabályt, így a láncszabályt mint ennek speciális esetéthasználhatjuk majd fel. Következzen hát a metszetszabály:

Γ ` A∆ ∪ {A} ` BΓ ∪ ∆ ` B

6Ezt a bizonyítási módszert, nevezetesen hogy egy tétel állítását belátjuk a lehetséges kezdőesetekre, majd belátjuk,hogy a jelen esetben a logikai igazságok konstrukciója során (ez lenne a kalkulusbeli levezetés) öröklődik a tulajdonság,és ezzel vesszük bizonyítottnak a tételt, strukturális indukciónak nevezzük. Azért strukturális indukció, mert a struktúrakonstrukcióján ’kúszik föl’ az érvényesség. A középiskolában megismert teljes indukció is lényegében ez. A 0 szám a kez-dőesetű elem, a konstrukció pedig a természetes számok rákövetkezése. Ezért szerepelhetett anno a táblán az n := n + 1felirat annyiszor, mikor az öröklődés bizonyításán fáradoztak a diákok.

8

Tehát arról van szó, hogy a második premisszában szereplő A-t helyettesíthetjük egy olyan formulahal-mazzal, amely tudja A-t, azaz képesek vagyunk belőle levezetni (úgyszólván kicsomagolni). A metszet-szabály metszet-volta pedig abban áll, hogy a következtetés során a konklúzióhoz érvén már eltűnik,kimetsződik az A premissza.

∆ ∪ {A} ` B feltevés

∆ ` (A ⊃ B) Dedukciótétel

Γ ∪ ∆ ` (A ⊃ B) felvettünk egy premisszahalmazt

Γ ` A feltevés

Γ ∪ ∆ ` A felvettünk egy premisszahalmazt

Γ ∪ ∆ ` B modus ponens

És hol van ebben a láncszabály? Vegyük elő mégegyszer a metszetszabályt:

Γ ` A∆ ∪ {A} ` BΓ ∪ ∆ ` B

Itt ha Γ :={A} , A := B , B := C , ∆:= ∅ , akkor a következőt kapjuk:

{A} ` B{B} ` C{A} ` C

Innen pedig a dedukciótétel háromszori alkalmazásával bizonyítható a láncszabály.

�

4. Tétel. (Fordított kontrapozíció)

Γ ` (∼ A ⊃∼ B)Γ ` (B ⊃ A)

Levezetés:

Γ ` (∼ A ⊃∼ B) feltevés

` ((∼ A ⊃∼ B) ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma

Γ ` ((∼ A ⊃∼ B) ⊃ (B ⊃ A)) felvettünk egy premisszahalmazt

Γ ` (B ⊃ A) modus ponens

�

5. Tétel. (Negációtörvények)` (∼∼ A ⊃ A)` (A ⊃∼∼ A)

Levezetés:

{∼∼ A,∼∼∼∼ A} ` ∼∼ A cilinderből premissza

{∼∼ A} ` (∼∼∼∼ A ⊃∼∼ A) Dedukciótétel

{∼∼ A} ` (∼ A ⊃∼∼∼ A) Fordított kontrapozíció

{∼∼ A} ` (∼∼ A ⊃ A) Fordított kontrapozíció

{∼∼ A} ∪ {∼∼ A} ` A Dedukciótétel

{∼∼ A} ` A mert x ∪ x = x` (∼∼ A ⊃ A) Dedukciótétel

` (∼∼ A ⊃ A) Negációtörvény

` (∼∼∼ A ⊃∼ A) A := ∼ A

` (A ⊃∼∼ A) Fordított kontrapozíció

9

�

6. Tétel. (Kontrapozíció)Γ ` (A ⊃ B)

Γ ` (∼ B ⊃∼ A)

Levezetés:

Γ ` (A ⊃ B) feltevés

` (∼∼ A ⊃ A) Negációtörvény

Γ ` (∼∼ A ⊃ A) felvettünk egy premisszahalmazt

Γ ` (∼∼ A ⊃ B) Láncszabály

` (A ⊃∼∼ A) Negációtörvény

Γ ` (A ⊃∼∼ A) felvettünk egy premisszahalmazt

Γ ` (B ⊃∼∼ B) A := B

Γ ` (∼∼ A ⊃∼∼ B) Láncszabály

Γ ` (∼ B ⊃∼ A) Fordított kontrapozíció

�

7. Tétel. (Ellentmondás)` (∼ B ⊃ (B ⊃ A))

Levezetés:

` (A ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma

` (∼ B ⊃ (∼ A ⊃∼ B)) A := ∼ B , B := ∼ A

∼ B ` (∼ A ⊃∼ B) Dedukciótétel

` ((∼ A ⊃∼ B) ⊃ (B ⊃ A)) Axiómaséma

∼ B ` ((∼ A ⊃∼ B) ⊃ (B ⊃ A)) felvettünk egy premisszasémát

∼ B ` (B ⊃ A) modus ponens

` (∼ B ⊃ (B ⊃ A)) Dedukciótétel

�

És most egy lélegzetvételnyi szünet.Vegyük észre, hogy ha sikerülne levezetni egy B formulát és annak ∼ B negáltját, akkor a fenti logikai

igazság segítségével két modus ponens távolságra vagyunk attól, hogy tetszőleges A-t le tudjunk vezetni.Ez azzal a következménnyel járna, hogy azon kísérletünk, hogy induktív módon, szemantikára valóhivatkozás nélkül elkülönítsük a logikai igazságok körét, kudarcot vall. Ugyanis ha bármilyen jólformáltformulát le tudunk vezetni, akkor ezzel magát a szintaxist definiáltuk (újfent)! Az olyan kalkulust, amelyerre képes – hogy tudniillik az összes jólformált formulát le képes vezetni – inkonzisztensnek nevezzük. Azolyan kalkulust pedig, ami nem inkonzisztens, konzisztensnek nevezzük. A rövidség kedvéért azt, hogyegy Γ formulahalmaz konzisztens a következőképp jelöljük: Con (Γ). Azt, hogy inkonzisztens, pedig akövetkezőféleképpen: ¬Con (Γ).

8. Tétel. (Monotonitás) Konzisztens formulahalmaz levezetett formulával való bővítése konzisztensmarad.

Γ ` ACon (Γ)

Con (Γ ∪ {A})

Levezetés:Indirekt: Tegyük fel, hogy

Γ ` ACon (Γ)¬Con (Γ ∪ {A})

10

Ekkor:Γ ∪ {A} ` B feltevés (inkonzisztencia)

Γ ` (A ⊃ B) Dedukciótétel

Γ ` A feltevés

Γ ` B modus ponens

Bármilyen B formulát le tudnánk tehát vezetni Γ-ból, ami Γ inkonzisztenciáját jelentené, ez azonbanellentmond egy feltevésnek, tehát ellentmondásos tagadni a metatételt.

�

9. Tétel. Formulahalmaz inkonzisztenciájára vonatkozó feltétel:

Γ ` AΓ `∼ A¬Con (Γ)

Levezetés:

` (∼ B ⊃ (B ⊃ A)) Ellentmondásnak hívott tétel

Γ ` (∼ B ⊃ (B ⊃ A)) felvettünk egy premisszahalmazt

Γ ` (∼ A ⊃ (A ⊃ B)) B := A A := B

Γ ` A feltevés

Γ ` (A ⊃ B) modus ponens

Γ ` ∼ A feltevés

Γ ` B modus ponens

Tehát Γ inkonzisztens.

�

10. Tétel. (Alternáció)` ((∼ A ⊃ A) ⊃ A)

Levezetés:

{(A ⊃ , ) (∼ A ⊃ A)} ` ∼ A cilinderből premisszát vezetünk le

{(A ⊃ , ) (∼ A ⊃ A)} ` (∼ A ⊃ A) premisszát vezetünk le

{(A ⊃ , ) (∼ A ⊃ A)} ` A modus ponens

{(A ⊃}) ` ((∼ A ⊃ A) ⊃ A) Dedukciótétel

{(A ⊃}) ` (∼ A ⊃∼ (∼ A ⊃ A)) kontrapozíció

{(A ⊃}) ∪ {∼ A} ` ∼ (∼ A ⊃ A) Dedukciótétel

{∼ A} ` ∼ (∼ A ⊃ A) mert x ∪ x = x` (∼ A ⊃∼ (∼ A ⊃ A)) Dedukciótétel

` ((∼ A ⊃ A) ⊃ A) Fordított kontrapozíció

�

11. Tétel. (Indirekt levezetés)Γ ` A

¬Con (Γ∪ ∼ A)

¬Con (Γ∪ ∼ A)Γ ` A

11

Levezetés:Elsőé:

Γ ` A¬Con (Γ∪ ∼ A)

Γ ` A feltétel

Γ∪ ∼ A ` A felvettünk egy premisszasémát

Γ∪ ∼ A ` ∼ A premisszasémát vezettünk le

¬Con (Γ ∪ {∼ A}) Az inkonzisztenciára vonatkozó elégséges feltétel miatt

Másodiké:¬Con (Γ∪ ∼ A)

Γ ` A

¬Con (Γ∪ ∼ A) feltétel

Γ ∪ {∼ A} ` A mert inkonzisztens

Γ ` (∼ A ⊃ A) Dedukciótétel

` ((∼ A ⊃ A) ⊃ A) Alternációs tétel.

Γ ` ((∼ A ⊃ A) ⊃ A) felvettünk egy premisszahalmazt

Γ ` A modus ponens

�

12. Tétel. (Negált kondicionális antecedense)

` (∼ (A ⊃ B) ⊃ A)

Levezetés:

` (∼ B ⊃ (B ⊃ A)) Ellentmondásos tétel

` (∼ A ⊃ (A ⊃ B)) A := B , B := A

` (∼ (A ⊃ B) ⊃∼∼ A) Kontrapozíció

` (∼∼ A ⊃ A) Negációtörvény

` (∼ (A ⊃ B) ⊃ A) Láncszabály

13. Tétel. (Negált kondicionális konzekvense)

` (∼ (A ⊃ B) ⊃∼ B)

Levezetés:

` (A ⊃ (B ⊃ A)) axiómaséma

` (B ⊃ (A ⊃ B)) A := B , B := A

` (∼ (A ⊃ B) ⊃∼ B) Kontrapozíció

12