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Ley de Fourier

t < 0

x

y

y = Y

y = 0T0

t = 0

T0 T1

t > 0( , )T t y

T0 T1

t ( )T y

T0 T1y

dTq k

dy

Q

Q

Q

Y

T

tA

Q

*

Y

TTk

tA

Q )(

*

10

Ecuación general para conducción

Coordenadas rectangulares

t

TcS

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

xpzyx

)()()(

Coordenadas cilíndricas

t

TcS

z

Tk

z

Tk

rr

Trk

rrpzr

)()(

1)(

12

Coordenadas esféricas

t

TcS

Tk

senr

Tsenk

senrr

Trk

rrpr

))((

1)(

1)(

12222

2

2

CONDUCCION UNIDIMENSIONAL EN ESTADO

ESTACIONARIO

Consideremos la conducción de calor a través de las paredes de una casa durante un día de invierno. Se sabe que se pierde calor de forma continua hacia el exterior a través de la pared en forma normal a su superficie y no tiene lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en otras direcciones.

El espesor pequeño de la pared hace que el gradiente de temperatura en esa dirección sea grande. Además, si las temperaturas dentro y fuera de la casa permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de la pared de una casa se puede considerar como estacionaria y unidimensional.

Pared rectangular planaDistribución de temperatura

T1

T2

0)(

x

Tk

xx

112)( )( Te

xTTT x

e

x

Flujo de calorq

)( 21

e

TTkq

k (ctte)

Pared rectangular plana

Distribución de temperatura

T1

T2

e

x

Flujo de calor

q

(k ≠ctte) bTakx

?q

Pared rectangular planaResistencia térmica por conducciónT1

T2

e

x

q

(k =ctte)

e

TTAkq

)(' 21

Reordenando

Ak

e

TTq

)(' 21

Resistencia Termica

TCR

Tq

'

Ak

eRTC

RTC

q’

h2

Pared rectangular plana con convección

Resistencia térmica por convecciónTα1

Tα2

e

x

q(k =ctte))(' 11 TTAhq

Reordenando

Ah

TTq

1

)(' 11

Resistencia Termica

TCR

Tq

'

AhRTC

1

R2

q’

h1

R1 R3

h2

Pared rectangular plana con convección

Resistencia térmica totalTα1

Tα2

e

x

q(k =ctte) 321 RRRRT

Flujo se calor

321

21 )('

RRR

TTq

Resistencias termicas

1

1

1

AhR

Ak

eR 2R2

q’

h1

R1 R32

3

1

AhR

El lado exterior de un muro de ladrillo de 0,1 m de espesor (k = 0,7 W/mK) se expone a un viento frio a 270 K con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 40 W/m2 K. En el lado interior del muro el aire esta a 330 K, con un coeficiente de transferencia de calor por convección de 10 W/m2 K. Determine el flujo de calor en estado estable, así como las temperaturas de las superficies interior y exterior del muro.

h2

Paredes en serie

Resistencia térmica totalTα1

Tα2

e1

x

q(k =ctte) 4321 RRRRRT

Flujo se calor

4321

21 )('

RRRR

TTq

R2

q’

h1

R1 R4

e2

R3

k4

k3

k2

Paredes en paralelo

Resistencia térmica total

k1

x

41 RRRR eqT

32

111

RRReq

R1R4

R3

R2

h2

Coeficiente global de transferenciaResistencia térmica totalTα1

Tα2

e1

x

q’(k =ctte)22

2

1

1

1

11

AhAk

e

Ak

e

AhRi

Flujo se calor

TUAq 'R2

q’

h1

R1 R4

e2

R3

Cuando el área es constante

)11

(1

22

2

1

1

1 hk

e

k

e

hARi

iRU

1

Coeficiente global de transferencia

Consideremos la conducción estacionaria de calor a través de un tubo que fluye agua caliente. Se sabe que se pierde calor de forma continua hacia el exterior a través de la pared del tubo en forma normal a su superficie y no tiene lugar alguna transferencia de calor significativa en ella en otras direcciones.

Recuerde que la transferencia de calor en cierta dirección es impulsada por el gradiente de temperatura en esa dirección.

Sistemas Radiales : Tubo

La pared compuesta de un horno, consiste en tres materiales, dos de los cuales son de conductividad térmica conocida, kA y kC , y de espesores conocidos e1 y e3. el tercer material B que se intercala entre A y C tiene espesor conocido e2, pero conductividad kB

desconocida. En condiciones de estado estable, las mediciones indican que la pared de la superficie externa en el material C es de 20ºC y la superficie interna del horno está a 600ºC, con una temperatura del aire en el horno de 800ºC. Se sabe que el cieficienteconvectivo en el interior del horno es de 25 w/m2 ºK. Calcular el valor de kB.

El espesor pequeño de la pared del tubo hace que el gradiente de temperatura en esa dirección sea grande. Además, si las temperaturas dentro y fuera del tubo permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de la pared se puede considerar como estacionaria y unidimensional.En este caso, la temperatura de la pared del tubo presentará dependencia solo en una dirección (es decir la dirección r) y se puede expresar como T(r).

Sistemas Radiales: Tubo

Sistemas Radiales: TuboDistribución de temperatura

0)(1

r

Trk

rrr

T2

T1

r1

r2

Sistemas Radiales: TuboDistribución de temperatura

Ctteqr )(T2

T1

r1

r2

dr

dTkAq '

1

2

21

ln

)(2'

r

r

TTLkq

L

)2

)ln((

)('

12

21

Lk

rr

TTq

Lk

rrRTC

2

)ln( 12

Sistemas Radiales: Tubo

T2

T1

r1

r2

RTC

L

Considerando convección

22

12

11

21

2

1)

2

)ln((

2

1

)('

hLrLk

rr

hLr

TTq

T1

r1

r2

R2

Tα1Tα2h1

h2

R1 R3

321

21 )('

RRR

TTq

Paredes compuestas

24

342312

11

21

2

1)

2

)ln(()

2

)ln(()

2

)ln((

2

1

)('

hLrLk

rr

Lk

rr

Lk

rr

hLr

TTq

CBA

54321

21 )('

RRRRR

TTq

h1

h2

24

134

123

112

1

1

1 1)ln()ln()ln(

1

1

hr

rrr

k

rrr

k

rrr

k

r

h

U

CBA

)()(

' 211121

TTAU

R

TTq

i

Referida al área interiorEn general:

1

44332211 )( iRAUAUAUAU

Sistemas Radiales: EsferaConsideremos la conducciónestacionaria de calor a travésde una capa esférica quecontiene. Si la temperaturadel interior de la esfera esmayor a la temperaturaexterior, se sabe que sepierde calor de formacontinua hacia el exterior através de la capa de la esferaen forma normal a susuperficie.

El espesor pequeño de la capa de la esfera hace que el gradiente de temperatura en esa dirección sea grande. Además, si lastemperaturas dentro y fuera de la esfera permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de la pared esférica se puede considerar comoestacionaria y unidimensional.En este caso, la temperatura de la pared de la esfera presentara dependencia solo en una dirección (es decir la dirección r) y se puede expresar como T(r).

Sistemas Radiales: Esfera

Sistemas Radiales: EsferaDistribución de temperatura

0)(1 2

2

r

Trk

rrr

T2

T1

r1

r2

Ctteqr )( 2

dr

dTkAq '

T2

T1

r1

r2

24 rA

21

21

11

)(4'

rr

TTkq


)4

11(

)('

21

21

k

rr

TTq

21

12

4 rkr

rrRTC


T2

T1

r1

r2

RTC

Considerando convección

2

2

221

12

1

2

1

21

4

1)

4(

4

1

)('

hrkrr

rr

hr

TTq

T1

r1

r2

R2

Tα1Tα2h1

h2

R1 R3

321

21 )('

RRR

TTq


Se tiene un tubo de acero(k=60.7 W/mºK) de 48 mm de diámetro exterior y 34mm de diámetro interior que transporta un refrigerante. La temperatura de la pared interior del tubo es de -15ºC. Se desea que la ganancia de calor que tiene el refrigerante a través del tubo desnudo se reduzca en un 25%, forrando la tubería con un aislante de conductividad térmica 0.74 W/mºK. La temperatura del aire ambiente es de 21ºC y el coeficiente convectivo 20 W/m2 ºK. Calcular el espesor de aislante requerido.

EJEMPLO

Sistemas Radiales: TuboArea Media Logarítmica:

T2

T1

r1

r2

1

2

21

ln

)(2'

r

r

TTLkq

L

2

1

21ln

lnA

A

AAAm

T2

T1

r1

r221

21

11

)(4'

rr

TTkq


21AAAmG

Area Media Geométrica:

Sistemas con área variable

A

dx

xAm

Area Media:

Radio critico de aislamiento

Considere un tubo cilíndrico hueco y solido con aislamiento como se muestra en las figuras.

q’

q’


q’

q’

rhLk

rrRTC

2

1

2

)ln( 1 0

r

RTC

h

kr RADIO DE AISLAMIENTO CRITICO

q’

q’


Espesor Económico Obtener el coste total mínimo cuando se aísla una

pared para disminuir el flujo de calor.

COSTOS:

Costo de pérdida (o ganancia) de calor

Costo del sistema de aislamiento

Coste por perdida de energía

Espesor

Coste por aislamiento

PerdidaoAislamientTotal CCC Coste total

Espesor optimode aislamiento

Espesor Económico

Consideraciones para la selección de un aislante:

Superficies CALIENTES -> Evitar pérdidas de calor :

Selección de la forma física

Temperatura lado caliente

Conductividad térmica

Resistencia al deterioro mecánico

Resistencia a la absorción de humedad

Inflamabilidad

Eliminación y/o reutilización

Riesgos a la salud

Espesor Económico

Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor

Disminuir el calor que ingresa, que podría eliminarse refrigerando la instalación ó donde exista líquidos sometidos a su propia presión de vapor saturado, para disminuir el incremento de su presión

Para impedir ó disminuir la condensación superficial

Para evitar que un fluido cambie de estado por bajas temperaturas

Espesor Económico

Consideraciones para la selección de un aislante:

Superficies FRIAS -> Evitar ganancia de calor

Selección de la forma física

Temperatura de los lados frio y caliente

Dilatación y contracción térmica

Conductividad térmica

Permeabilidad

Riesgos a la salud

Criterios para elegir espesor de aislamiento

SUPERFICIE CALIENTE SUPERFICIE FRIA

Pérdida Térmica máxima permisible

Espesor económico

Razones de seguridad

Máximo incremento de calor permisible

Espesor económico

Limitación de la condensación superficial

Espesor económico Calcular el espesor óptimo de aislamiento para una tubería de 6.8

pulgadas de diámetro exterior. La temperatura de la superficie del tubo es de 288ºC y la del lado exterior del aislante debe ser de 32ºC. El coeficiente de conductividad térmica del material aislante es de 0.062 kcal/mhºC y el costo de pérdida de energía de 1.5x10-4 $us/kcal. El costo del material es:

Horas Funcionamiento por año: 8000 Periodo de amortización:10 años Restitución de capital : 10%

a --- Años de amortización m --- Restitución de capitalz --- Período de amortización R --- Horas Funcionamiento anual

Grosor (cm)

Costo ($us)

3.8 415

5.08 510

6.35 620

7.60 760

8.90 910

10.15 1090

zm

a1

1

'aRyqC micaPerdidaTer

OTROS MÉTODOS:

Amortización progresiva

Coste marginal

(Investigar….)

Espesor económico

Superficies extendidas

Superficies extendidas Se usan superficies extendidas o aletas con el fin de

incrementar la razón de transferencia de calor de una superficie, aumentando el área total disponible para la transferencia de calor.

En el análisis de las aletas, se considera estado estacionario sin generación de energía en la aleta y se supone que la conductividad térmica (k) del material permanece constante.

Superficies extendidasArea de treansferencia

)(' TThAq s

Ts

Ta

h

0''' convdxxx dqqq

dx

dTkAq Cx

dxdx

dTA

dx

dk

dx

dTkAq CCdxx )(

)(' TThdAdq Sconv


0)()( TTdx

dA

k

h

dx

dTA

dx

d SC


0))(1

()1

(2

2

TTdx

dA

k

h

Adx

dT

dx

dA

Adx

Td S

C

C

C

Ecuación de energía para conducción unidimensional en una superficie extendida.


0)(2

2

TTkA

hP

dx

Td

C

Aleta con área uniforme

CkA

hPm 2

mxmx eCeCTT 21

0))(1

()1

(2

2

TTdx

dA

k

h

Adx

dT

dx

dA

Adx

Td S

C

C

C


0)(2

2

TTkA

hP

dx

Td

C

Condiciones frontera

mxmx eCeCTT 21

Tb

x

L

x=0 T=Tb

x=L ?


)cosh(

))(cosh(

mL

xLm

TT

TT

b

A)Extremo adiabático


)(

))(()(

mLsenh

xLmsenhmxsenh

TT

TT

TT

TT

b

L

b

B)Temperatura definida

T=TL


)()/()cosh(

))(()//))(cosh(

mLsenhmkhmL

xLmsenhmkhxLm

TT

TT

b

C)Convección

T=TL Lx

CLCdx

dTkATThA

)(


mx

b

eTT

TT

D)Extremo muy largo

T=Tα

L

Flujo de calor

0

'

x

Cbdx

dTkAq

q’b

)tanh()(' mLTThPkAq bCb

Efectividad de una aleta

)(

'

TThA

q

bC

bf

q’b

Se justifica el uso de aleta si la efectividad es mayor a 2

Estudiar: Eficiencia de aletas

Ejemplo

Una aleta de cobre (k = 386 W/mºK) de 15 cm de largo, 5 cm de ancho y 1cm. de espesor, tiene una temperatura en la pared de 204ºC. La aleta se encuentra en un cuarto cuya temperatura del aire es de 21ºC. Calcule el calor perdido por la aleta, (considerar frontera adiabática) si el coeficiente de transferencia de calor entre su superficie y el aire que la rodea es igual a 27,7 W/m2 ºK . Calcular la efectividad de la aleta.

CONDUCCION BIDIMENSIONAL

0)()(

S

y

Tk

yx

Tk

xyx


T1

T3

L

x

k (ctte)

y

W 0)()(

y

Tk

yx

Tk

xyx

SIN GENERACION DE CALOR

T4

T2


)/(

)/(1)1(2),(

1

1

LWnsenh

Lynsenh

L

xnsen

nyxT

n

n

UNA SOLUCION PARTICULAR

02

2

2

2

y

T

x

T

PARA k CONSTANTE :

Ecuación de La Place

Métodos Numéricos : Diferencias finitas

Ecuación de Laplace

Para el caso donde hay fuentes o sumideros de calor dentro del dominio bidimensional, se agrega un término adicional

02

2

2

2

y

T

x

T

yxfy

T

x

T,

2

2

2

2

Ecuación de Poisson

Técnica de solución

La solución numérica de las EDP elípticas procede en dirección inversa a la manera en que fue deducida la ecuación

Se sustituyen las derivadas parciales de la ecuación por diferencias finitas basadas en la discretización de la placa como una malla de puntos discretos, transformando la EDP en una ecuación algebraica de diferencias y

x0, 0

0, n+1m+1, n+1

m+1, 0

i, ji+1, ji-1, j

i, j-1

i, j+1

La ecuación de Laplace en diferencias

Las diferencias centrales basadas en el esquema de la malla son

2

,1,,1

2

2 2

x

TTT

x

T jijiji

2

1,,1,

2

2 2

y

TTT

y

T jijiji

i, ji+1, ji-1, j

i, j-1

i, j+1• Las cuales tienen errores de O[Δx2] y O[Δy2]

• Sustituyendo en la ec. de Laplace

• Para una malla cuadrada Δx = Δy

02

2

2

2

y

T

x

T0

222

1,,1,

2

,1,,1

y

TTT

x

TTT jijijijijiji

04 ,1,1,,1,1 jijijijiji TTTTT Cumple para todos los puntos internos de la malla


Las condiciones en la frontera en los extremos de la placa deben estar especificadas para obtener una solución única

Condición de frontera de Dirichlet es el caso más simple, se especifican valores constantes de la variable dependiente (Temperatura) en los bordes

Para el nodo (1, 1) el balance de energía es,

y

x0, 0

0, n+1m+1, n+1

m+1, 0

(1, 1) (2, 1) (3, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3)

T = 0ºC

T =

75º

C

T = 100ºC

T =

50ºC

04 1,10,12,11,01,2 TTTTT

Cond. Borde T0,1 = 75 T1,0 = 0

754 1,22,11,1 TTT


Determinando el balance de energía en cada uno de los nodos internos se obtiene un sistema de nueve ecuaciones algebraicas lineales con nueve incógnitas

y

x0, 0

0, n+1m+1, n+1

m+1, 0

(1, 1) (2, 1) (3, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3)

T = 0ºCT

= 7

5ºC

T = 100ºC

T =

50ºC

1504

1004

1754

504

04

754

504

04

754

3,33,22,3

3,33,23,12,2

3,23,12,1

3,32,32,21,3

3,22,32,22,11,2

3,12,22,11,1

2,31,31,2

2,21,31,21,1

2,11,21,1

TTT

TTTT

TTT

TTTT

TTTTT

TTTT

TTT

TTTT

TTT


Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene la distribución de temperatura en el interior de la placa

y

x0, 0

0, n+1m+1, n+1

m+1, 0

(1, 1) (2, 1) (3, 1)

(1, 2) (2, 2) (3, 2)

(1, 3) (2, 3) (3, 3)

T = 0ºC

T =

75º

C

T = 100ºC

T =

50ºC

71050.69

06402.76

58718.78

33999.52

11238.56

21152.63

88506.33

29755.33

00061.43

3,3

3,2

3,1

2,3

2,2

2,1

1,3

1,2

1,1

T

T

T

T

T

T

T

T

T

Ejemplo 2.8.- Considere la transferencia de calor en estado estacionario en un cuerpo sólido en forma de L, cuya sección transversal se da en la figura. La transferencia de calor en la dirección perpendicular al plano mostrado en la figura es despreciable. La conductividad térmica del cuerpo es 15 W/mºC.La Superficie izquierda esta aislada y la inferior se mantiene a una temperatura constante de 90ºC. La superficie superior

completa esta sujeta a convección hacia el aire ambiente a 25ºC, con un coeficiente de convección de 80 W/m2ºC y la superficie derecha esta sujeta a aislamiento. La red nodalconsta de 15 nodos igualmente espaciados con x = y = 1,2 cm. Determine lastemperaturas nodales .

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