Ley de Gauss M

Ley de Gauss E

Ley de Faraday

Ley de Ampere-Maxwell

0=⋅∇ Brr

0=∫∫ ⋅ ABrr

d

libreρ=⋅∇ Drr

encerradalibreQd =∫∫ ⋅ ADrr

Número de ecuaciones< Número de Incógnitas

∫∫∫ ⋅−=⋅SS

ddtdd ABlE

rrrr

)(C

∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅SS

condS

ddtddd ADAJlH

rrrrrr

)(C

dtdBEr

rr−=×∇

dtd

condDJHr

rrr+=×∇

1Br

2Br

x(r

⋅1B

x(r

⋅2B

ε1

μ

ε2

μ

x

j)),ρ

xx (r(r⋅=⋅ 2BB1

ε1

μ1

ε2

μ

x

1Dr

2Dr

j)),ρ

lsuperficiaxx ρ)(r(r=⋅−⋅ 12 DD

ε1

μ1

ε2

μ

x

2Er

1Er

x(r

×2E

x(r

×1E

j)),ρ

xx (r(r×=× 2EE1

ε1

μ1

ε2

μ

x

j)),ρ

lsuperficiajxx)(r(r

=×−× 12 HH

1Hr

2Hr

CondicionesCondiciones de de contornocontorno o o fronterafrontera

RELACIONES CONSTITUTIVAS O MATERIALES

MEDIOS LINEALES E ISÓTROPOS

EDrr

ε= ( 2212

0 NmC1085.8 −=≡ εεvacío )

EJrr

σ= (dieléctricos o aisladores: 0≈σ ; conductores: 0≠σ )

HBrr

μ= ( 27

0 AN104 −=≡ πμμvacío ; paramagnéticos: 1

0>μ

μ ;

diamagnéticos: 10

<μμ ; no-magnéticos: 1

0≈μ

μ )

≡ε permitividad dieléctrica o constante dieléctrica ≡μ permeabilidad magnética ≡σ conductividad

MEDIOS LINEALES Y ANISÓTROPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS

En ese caso, la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética son tensores (Cada uno resulta diagonal en algún sistema de coordenadas, llamado sistema principal)

HBrr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

μμμμμμμμμ

=

333231

232221

131211

EDrr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

εεεεεεεεε

=

333231

232221

131211

MEDIOS NO LINEALES ISÓTROPOS

La relación entre los campos no es lineal. Dentro de estos medios, están los medios quirales o con actividad óptica, siendo las relaciones constitutivas

( )EβEε'Drrrr

×∇+= ( )HβHμBrrrr

×∇+=

MEDIOS “ZURDOS” (LEFT HANDED MEDIA)

La luz parece propagarse en dirección opuesta a la de la propagación de la energía. Pueden ser isótropos o anisótropos. La constante dieléctrica y/o la permeabilidad magnética son NEGATIVAS

LA ECUACIÓN DE ONDAS Y LA VELOCIDAD DE LA LUZ

Medios materiales lineales, isótropos, homogéneos Libres de cargas y corrientes

00 =⋅∇⇒=⋅∇ HBrrrr

00 =⋅∇⇒=⋅∇ EDrrrr

tt ∂∂

−=×∇⇒∂∂

−=×∇HEBEr

rrr

rrμ

tt ∂∂

=×∇⇒∂∂

=×∇EHDHr

rrr

rrε

2

2)()()(ttt ∂

∂−=

∂×∇∂

−=∂∂

×∇−=×∇×∇EHHErrrr

rrrrμεμμ

EEEE 22)()( ∇−=∇−⋅∇∇=×∇×∇rrrrrrrrr

zEyExE zyx(r(r(vrr

)()()( 2222 ∇+∇+∇≡∇ Edonde

00 =⋅∇⇒=⋅∇ HBrrrr

00 =⋅∇⇒=⋅∇ EDrrrr

tt ∂∂

−=×∇⇒∂∂

−=×∇HEBEr

rrr

rrμ

tt ∂∂

=×∇⇒∂∂

=×∇EHDHr

rrr

rrε

022 =

∂∂

−∇tEE

2 rrμε 02

2 =∂∂

−∇tHH

2 rrμε

Las componentes del campo eléctrico y el campo magnético cumplencon una ecuación de ondas, cuya velocidad de fase es με

1=u

Existencia de relación entre Campos Eléctricos, Campos Magnéticos y Luz

ANTECEDENTES

1) Efecto Faraday2) Velocidad de la luz y unidades “eléctricas”3) Propiedades de ondas electromagnéticas

Ep

Ep

Ep

Ep

EsE

“Si un vidrio se pone en un fuerte campo magnético, cambia el plano de polarización de la luz cuando luz LP pasa en una dirección en la cual el campo tiene una componente”.

EFECTO FARADAY (1821)

B

B

Velocidad de la luz c(m/s) “Cociente de unidades eléctricas”

001

εμ(m/s)

Fizeau...............................314.000.000 Weber........................310.740.000 Aberración, paralaje.........308.000.000 Maxwell.....................288.000.000 Foucault............................298.360.000 Thomson....................282.000.000

“ Se manifiesta que la velocidad de la luz y el cociente de unidades son cantidades del mismo orden de magnitud. Ninguna de ellas ha sidodeterminada con tal grado de precisión que nos permita asegurar que una es más grande o chica que la otra. ....La concordancia de los resultados parece inducir que la luz es una perturbación electromagnética que se propaga de acuerdo con las leyes electromagnéticas”.

Demostró la posibilidad teórica de la existencia de ondas electromagnéticas que viajarían a una velocidad casi igual a la de la luz.

MAXWELL (1864-…)

022 =

∂∂

−∇tEE

2 rrμε

Usó una bobina y un capacitor (jarrade Leyden) y una zona de chispazos(cuyos polos estaban formados por 2 esferas de 2 cm de radio) para producir una descarga entre esos polos, oscilando a una frecuencia determinada por la inductancia y la capacidad.

Detectó la radiación en la bobinade prueba: una espira de alambrede cobre con esferas de bronce separadas centésimas de milímetro

HERTZ (1886-....)

La polarización de la luz es afectada por los campos magnéticos

Existe la posibilidad teórica de la existencia de ondas electromagnéticas con velocidades semejantes a la de la luz

Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894)Alemania

Descubrió ondas que eran sin dudas electromagnéticas y cuyas propiedades eran similares a la de la luz(interferencia, reflexión y refracción).

NATURALEZA DE LA LUZNATURALEZA DE LA LUZ

OJO FAROL (fuego visual)

EMPÉDOCLES y PLATÓN (~400 a.C.): emanación etéreaEUCLIDES (~300 a.C.): rayo visualARISTÓTELES (~300 a.C.): fuego puede cambiar el estado del aire de transparente en potencia a transparente en acto. (hasta siglo XVII)DEMÓCRITO, LUCRECIO (~400 a.C.): granizada de partículas; las imágenes se

desprenden de los objetosCierre de la Academia Platónica (~500 d.C.)

ALHAZEN (~1000 d.C.): cámara oscura, la luz entra a los ojos, rayos útiles para estudio de la luzLEONARDO DA VINCI (~1500 d.C.): el ojo es una cámara oscuraKEPLER (~1600 d.C.) geometría cámara oscura, explicación ojo-visiónGALILEO (~1600 d.C.) “La luz no es Dios”, luz “fría”???? ¿ y Aristóteles?DESCARTES (~1600 d.C.) : Las reglas de la naturaleza son las reglas de la mecánica, la luz es el movimiento del plenum

HUYGENS (~1600): la luz es una vibración

NEWTON (~1700): Los rayos de luz son cuerpos emitidos por sustancias brillantes

EULER (~1750): “Los rayos de luz solar son respecto del éter lo que el sonido es respecto del aire”YOUNG (~1800) Principio de InterferenciaFRESNEL (~1800) Polarización (transversal), Difracción (a partir de Interferencia)FARADAY (~1800): unidad de la Naturaleza; vinculación entre luz, sonido y efectos eléctricos????. Idea de onda en Inducción; vibraciones del éter son movimientos de las líneas de fuerzaMAXWELL (~1870): la luz puede ser una onda electromagnética

1) Dos personas se miran: las partículas deben seguir la misma trayectoria en dirección contraria2) El sol irradiara gran cantidad de partículas: se consumiría3) ¿Cómo pasan tantos corpúsculos por el agujero de la cámara oscura sin afectar la imagen?

Críticas a Teoría Corpuscular

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDAS

Cada componente de Er

y de Hr

cumple:

0122

2 =∂∂

−∇tV

uV

2

¿Es solución una onda plana: )()( 21 utVutVV +⋅+−⋅= rNrN r(r( con kNjNiN zyx

((((++=N

y kzjyix(((r

++=r ? rr

N()()(1 ϕVutVV ≡−⋅≡ rN r(

ϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕdd

EEENNNkji

EEEzyx

kji

EEEzyx

kji

zyx

zyx

zyxzyx

ENEr

(

(((((((((

rr×=

∂∂

∂

∂

∂∂

=

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ddu

tt

ddu

ttHHH

EEE

HHEE rrr

rrr

rrrr

−=∂∂

∂∂

=∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂

⇒== )(;)(

Reemplazando en las Ecuaciones de Maxwell

ϕddHNHr

(rr×=×∇

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ dd

zH

yH

xH

zH

yH

xH zyxzyx HNH

r(rr

⋅=∂∂

∂∂

+∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=⋅∇

)()(1 ϕVutVV ≡−⋅≡ rN r(

ϕddHNHr

(rr⋅=⋅∇

ϕddENEr

(rr⋅=⋅∇

ϕμ

ϕ ddu

dd HEN

rr(

=× ϕ

εϕ d

dudd EHN

rr(

−=×

0=⋅ϕd

dHNr

( 0=⋅

ϕddENr

(

Integrando respecto a ϕ para constante=N(

⇒⎭⎬⎫

=⋅=⋅−=×=×

00 HNENEHNHEN

r(r(

rr(rr(uu εμ Ondas transversales

Como με

1=u y HHHEENrrrrr(

εμ

μεμμ ====×

1u HErr

με =

Como la luz tiene el carácter de onda armónica: ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅= utsin rNAE r(rr

λπ2

( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−⋅ utj

erN

AEr(rr

λπ2

Im ( )utje

−⋅=

rNAE

r(rrλπ2

z

x

y

ε

ε’

α

β

*α

x

*αα

β

z

ε1

ε2

N

Campo eléctrico perpendicular al plano de incidenciaCampo magnético paralelo al plano de incidenciaDirección de propagación debe ser perpendicular a E y a H

( *N(

'N(

11

1με

=u

22

1με

=u

( )utje

−⋅=

rNAE

r(rr λ

π2

Onda incidente( )turNj

yyy eEeEE1

1

2

0

−⋅λπ

==r(

(r

cu

=νλ=λν

0ondaladeamplitud

posiciónvectorrondaladeavance

dedirecciónlaenversorN

medioelenvelocidadufrecuencia

medioelenondadelongitud

=

=

=

==ν=λ

Ar

r

(

Onda reflejada( )turNj

*yy

*y

**

eEeEE1

1

2

0

−⋅λπ

==r(

(r

Onda transmitida( )turNj

'yy

'y

''

eEeEE2

2

2

0

−⋅λ

π

==r(

(r

Condición de contornoSe conserva la componente tangencial del campo eléctrico en x=0

y'yy

*yyy eEeEeE ((( =+

( ) ( ) ( )

tx

turNj'

y

tx

turNj*

y

turNj

y

'*

eEeEeE

∀=

−⋅λ

π

∀=

−⋅λπ

−⋅λπ

=+0

2

00

2

0

2

02

21

11

1

r(r(r(

( ) ( ) ( )

tx

'z

'x

*z

*xzx tuzNxNj

'y

tx

tuzNxNj*

y

tuzNxNj

y eEeEeE

∀=

−+λ

π

∀=

−+λπ

−+λπ

=+

0

22

11

11

2

00

2

0

2

0

x

*α

β

z

ε1

ε2

N( *N

(

'N(

α

sobre la interfaz en todo momento

( ) ( ) ( )tuzNj'

y

tuzNj*

y

tuzNj

y

'z

*zz

eEeEeE2

21

11

1

2

0

2

0

2

0

−λ

π−

λπ

−λπ

=+

( ) ( ) ( )tuzNtuzNtuzN 'z

*zz 2

21

11

1

222−

λπ

=−λπ

=−λπ

tuzN\tuzNtuzN 'z

*zz 2

221

111

11

222222λ

π−

λπ

=λπ

−λπ

=λπ

−λπ

Como debe valer en todo momento y ω=πν=λνλπ

=λπ 222 u

⎪⎩

⎪⎨⎧

λ=

λ=

λ

ω=ω=ω'z

*zz NNN

211

21111

211 λβ

=λ

α=

λα sinsinsin *

211 λβ

=λ

α=

λα sinsinsin *

111

1με

==νλ u2

221με

==νλ u

00εμμε

== refraccióndeíndicen

*α=α

β=α sinnsinn 21βμε=αμε sinsin 21

Segunda Ley de Reflexión

Segunda Ley de Refraccióno Ley de Snell