leya_testes 5+5

AvAliAção

55

Teste 1

1. Considera a tabela de verdade seguinte, em que a , b e c são proposições.

a b c

V V V

V F F

F V F

F F V

Qual das proposições seguintes pode ser a proposição c ?

(A) a ‹ b ⇒ a › b (B) a › b ⇒ a ‹ b

(C) a ⇒ a › b (D) a › b ⇒ a

2. Seja p a proposição «A Maria namora o Pedro.», seja q a proposição «A Maria gosta do mar.» e seja r a proposição «O Pedro faz surf.»

Sabendo que a proposição «A Maria não namora o Pedro ou, se gosta do mar, então o Pedro não faz surf.» é uma proposição falsa, pode concluir-se que:

(A) A proposição p é verdadeira e as proposições q e r são falsas.

(B) As proposições p e r são verdadeiras e a proposição q é falsa.

(C) As proposições p , q e r são falsas.

(D) As proposições p , q e r são verdadeiras.

3. Sejam A = {x Z : 4 – 3x ≤ 1} e B = {x Z : x2 ≤ 4} .

Qual dos conjuntos seguintes é igual a A B ?

(A) {2} (B) {0, 1, 2} (C) {–2, –1, 0} (D) {–2, –1, 0, 1}

4. Seja U um conjunto e sejam p(x) e q(x) condições de domínio U . Considera a pro-posição Ax U, p(x) ‹ q(x) .

Qual das seguintes proposições é equivalente à negação desta proposição?

(A) Ax U, p(x) ‹ q(x) (B) Ax U, p(x) › q(x)

(C) Ex U : p(x) ‹ q(x) (D) Ex U : p(x) › q(x)

5. Seja s a área da superfície do cubo representado na figura ao lado e seja [EB] uma diagonal espacial desse cubo.

Qual das expressões seguintes representa EB ?

(A) s2

12 (B) s2

6 12 (C) 3s2

2 (D) 3 s

6

Grupo I

Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, escolhe a única opção correta.

EE.2015.0008.07.01XEQ mat 10 - Cad Exercícios

T_dt_01

1.a prova20 mai 2015

Paulo Amorim

E H

C

F G

A B

D

Cotações

1. 10

2. 10

3. 10

4. 10

5. 10

1.a 20

1.b 10

1.c 30

2.a 5

2.b 5

2.c 5

3.a 10

3.b 15

3.c 15

4.a 10

4.b 10

5. 15

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 1 · Texto • Pág. 1/2

1. Considera as proposições:

a: «O meu cão é doutor.»b: «Dois mais dois é igual a cinco.»c: « 2 é um número racional.»

a) Escreve, em linguagem simbólica, proposições equivalentes às proposições seguintes.

a1) «Dois mais dois é igual a cinco ou o meu cão não é doutor.»

a2) «O meu cão não é doutor, mas dois mais dois também não é igual a cinco.»

a3) «Dois mais dois é igual a cinco se o meu cão for doutor.»

a4) «Se dois mais dois é igual a cinco, então o meu cão é doutor.»

b) Duas das proposições referidas em a) são equivalentes. Quais são essas proposições?

c) Considera a proposição a ⇒ b › c .

c1) Traduz esta proposição em linguagem corrente.

c2) Determina o valor lógico da proposição e justifica a tua resposta.

c3) Escreve, em linguagem simbólica, uma proposição equivalente à negação da pro-posição dada, em que não figurem as operações ⇒ e › .

2. Seja A = {–3, –2, 1, 3} . Indica, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições seguintes.

a) Ex A : –x > 1

b) Ex A : (x + 1)2 > 4

c) Ax A, x3 ≥ 1

3. Resolve cada uma das equações seguintes e apresenta as soluções na forma de fração com denominador racional.

a) 8x3 + 1 = 0

b) 5x = x + 2

c) 3x2 + 2x = 3

4. Considera o número 4 9 . Escreve este número na forma de:

a) potência de base 3;

b) raiz de índice 6.

5. Num quadrado [ABCD] , de lado 4, inscreveu-se o retângulo [EFGH] , como se apresenta na figura ao lado. Sabe-se que FB = BG = 1 .

Determina o perímetro do retângulo [EFGH] e o comprimento das suas diagonais.

Apresenta os valores pedidos na forma ab , sendo a e b nú-meros naturais maiores do que 1.

Grupo II

Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares, explica os raciocínios e justifica as conclusões.


T_dt_02


Paulo Amorim

A

E

B

G

CD H

F

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 1 · Texto • Pág. 2/2

AvAliAção

55

Teste 2

1. Seja P(x) um polinómio de grau maior do que 1 tal que P(–2) = 0 .

Considera as afirmações I, II e III.

I. «O polinómio P(x) é divisível por x + 2 .»

II. «O polinómio P(x) é divisível por 2x + 4 .»

III. «Existe um polinómio A(x) tal que P(x) = A(x) × (x + 2) .»

Podemos afirmar que:

(A) Só a proposição I é verdadeira.

(B) Só a proposição II é falsa.

(C) As três proposições são verdadeiras.

(D) As três proposições são falsas.

2. Num plano em que está fixado um referencial o.n. xOy , considera a reta r definida pelos pontos A(2, –5) e B(3, –5) .

Qual das equações seguintes define a reta que passa no ponto P(4, 6) e é perpendicular à reta r ?

(A) x = 4 (B) x = 6 (C) y = 4 (D) y = 6

3. Na figura ao lado está representada, num plano em que está fixado um referencial o.n. xOy , a elipse definida

pela equação x2

75 +

y2

48 = 1 . O centro da elipse é a ori-

gem do referencial e os seus vértices pertencem aos eixos coordenados. Os pontos A e B são os focos da elipse. O ponto P pertence à elipse.

Qual é o perímetro do triângulo [ABP] ?

(A) 43 (B) 83 (C) 123 (D) 163

4. Num plano em que está fixado um referencial o.n. xOy , considera a reta r definida

pela equação y = – 12

x + 2 e o ponto A(0, 1) .

Seja B um ponto tal que o segmento de reta [AB] está contido num dos semiplanos abertos cuja fronteira é a reta r .

Quais podem ser as coordenadas do ponto B ?

(A) (0, 3) (B) (4, 1) (C) (–2, 2) (D) (–3, 4)

5. Seja a um número real positivo. Considera os números x = a13 e y =

a5 .

Seja z tal que z × x–2 = y . Qual é o valor de z ?

(A) a3 × 6 a (B) a9 ×

6 a (C) a53 (D) a

415

Grupo I



T_dt_03


Paulo Amorim

OA B

P

x

y

Cotações

1. 10

2. 10

3. 10

4. 10

5. 10

1.a 15

1.b 15

2.a 10

2.b 10

2.c 15

3.a 15

3.b 15

3.c 15

4.a 15

4.b 15

5. 10

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 2 · Texto • Pág. 1/2

1. Seja P(x) = 2x4 – x3 – 5x2 –3 um polinómio.

a) Determina o polinómio A(x) tal que P(x) = A(x) × (x2 – 2x) + 2x – 3 .

b) Escreve na forma de um produto de polinómios do 1.º grau o polinómio B(x) = P(x) – 2x + 3 .

2. Considera o polinómio P(x) = 2x3 + 3x2 – 1 .

a) Seja T(x) o polinómio definido por [P(x)]2 – P(x) . Qual é o grau do polinómio T(x) ?

b) Verifica que –1 é raiz de P(x) e determina a sua multiplicidade.

c) Seja A(x) = 2 – x . Determina o conjunto-solução da condição A(x) × P(x) < 0 .

3. Seja a R \ {3} . Num plano em que está fixado um referencial o.n. xOy , considera o ponto A(–2, a – 3) e o ponto B(1, –1) .

a) Determina os valores de a para os quais o ponto A pertence à circunferência de centro no ponto B e raio 13 .

b) Seja C a imagem do ponto A pela reflexão de eixo Ox . Determina os valores de a para os quais o triângulo [ABC] tem área 15.

c) Admite agora que a = 1 .

Escreve a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB] e mostra que o centro da circunferência definida pela equação x2 + y2 – 2x + 12y = 0 pertence a essa reta.

4. Na figura ao lado está representado, num plano em que está fixado um referencial o.n. xOy , um quadra-do [ABCD] inscrito numa circunferência c .

Sabe-se que B(–4, 4) e D(–3, –3) .

a) Define analiticamente o círculo determinado pela circunferência c .

b) Determina a área da região colorida.

5. Considera a proposição: «Seja qual for o polinómio P(x) , se P(x) tem exatamente duas raízes distintas, então P(x) é um polinómio do segundo grau.»

Mostra que se trata de uma proposição falsa.

Grupo II



T_dt_04


Paulo Amorim

O

B

A

D

C

y

x

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 2 · Texto • Pág. 2/2

AvAliAção

55

Teste 3

1. Considera, num referencial o.n. do plano, a reta r de equação y = –3x + 2 .

Em qual das opções estão as coordenadas de um vetor diretor da reta r ?

(A) (–3, 2) (B) (3, –2)

(C) (1, –3) (D) (–3, 1)

2. Considera, num referencial o.n. xOy , o vetor u→ (–1, 3) e um ponto A .

Sabe-se que o ponto A pertence à reta de equação y = x + 1 e que o vetor →OA é coli-

near com o vetor u→ .

Qual é a abcissa de A ?

(A) –4 (B) – 14

(C) 4 (D) 14

3. Na figura ao lado está representada, em referencial o.n. xOy , a reta r definida pela equação y = mx + 3 .

A reta r interseta os eixos coordenados nos pontos A e B e o triângulo [AOB] tem área 9.

Qual é o valor de m ?

(A) –2 (B) 2

(C) – 12

(D) 12

4. Considera, num referencial o.n. Oxyz , a reta s de equação:

(x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 0), λ R

Qual das condições seguintes define uma reta estritamente paralela à reta s ?

(A) x = 1 ‹ z = 3 (B) x = 1 ‹ y = 2

(C) x = 3 ‹ z = 1 (D) x = 2 ‹ y = 1

5. No espaço, considera fixado um referencial o.n. Oxyz . Seja a um número real e sejam A(–3a, a, –1) e B(0, –2, 5) dois pontos.

Vamos designar por M o ponto médio do segmento de reta [AB] . Sabe-se que M per-tence ao plano xOz .

Quais são as coordenadas de M ?

(A) (–3, 0, 2) (B) (3, 0, 3)

(C) (3, 0, 2) (D) (–3, 0, 3)

Grupo I


y

x


T_dt_05


Paulo Amorim

y = mx + 3

O

A

B

Cotações

1. 10

2. 10

3. 10

4. 10

5. 10

1.a 15

1.b 15

2.a 10

2.b 10

2.c 10

2.d 10

2.e 10

3.a 10

3.b 10

3.c 10

3.d 10

3.e 10

4. 10

5. 10

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 3 · Texto • Pág. 1/2

1. Na figura ao lado estão representados um referencial o.n. xOy e uma circunferência de centro no ponto A(–1, 3) e que passa em B(3, 0) . Os pontos C e D pertencem à cir-cunferência, o ponto C tem ordenada igual à de A e o ponto D pertence ao eixo Ox .

a) Define, por meio de uma condição, a região colorida (incluindo a fronteira).

b) Determina as coordenadas do ponto do 1.o quadrante que define com A e B um triângulo retângulo em A , com área 25. (Designando esse ponto por E , tem em consideração que a reta AE deve ser paralela à mediatriz de [AB] ).

2. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. Oxyz , um sólido constituído por um cubo de aresta 4 e uma pirâmide quadrangular regular. O centro do cubo é a origem do referencial, as faces do cubo são paralelas aos planos coordenados e a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo. O volume do cubo é o triplo do volume da pirâmide.

a) Mostra que o vértice da pirâmide tem cota 6.

b) Escreve um sistema de equações paramétricas que defina a reta VF e determina o ponto em que a reta interseta o plano xOy .

c) Define analiticamente:

c1) o plano AED ; c2) a aresta [GH] .

d) Recorrendo a letras da figura, identifica os conjuntos de pontos definidos pelas con-dições:

d1) x = –2 ‹ y = 2 ‹ z = –2 d2) x = 2 ‹ z = –2

e) Completa:

e1) →DB +

→FA = ______ e2) H +

12

→EB –

→OH = ______

3. Fixado no espaço um referencial o.n. Oxyz , considera a pirâmide quadrangular reta [ABCDE] , de base quadrada [ABCD] e altura [DE] .

Sabe-se que: B(4, –3, –2) , E(–3, 4, 5) e →DE(2, 3, 6) .

a) Escreve uma equação vetorial da reta DE .

b) Escreve a equação reduzida da superfície esférica de centro no ponto B e que passa em E .

c) Mostra que o ponto D tem coordenadas (–5, 1, –1) .

d) Determina o volume da pirâmide.

e) Identifica o lugar geométrico dos pontos do espaço cujas coordenadas satisfazem a equação:

(x – 4)2 + (y + 3)2 + (z + 2)2 = (x + 3)2 + (y – 4)2 + (z – 5)2

4. Escreve na forma reduzida o polinómio A(x) , de grau 4, com duas raízes duplas de módulo 1 e tal que o resto da divisão inteira de A(x) por x é −2.

5. Escreve o número 2 2

2 na forma de potência de base 2.

Grupo II



T_dt_06


Paulo Amorim

O1

1

AC

D B

y

x


T_dt_07


Paulo Amorim

z

y

x

O

A B

C

H

G

E

F

D

V


T_dt_08


Paulo Amorim

z

y

x

A

C

E

B

O

D

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 3 · Texto • Pág. 2/2

AvAliAção

5Teste 45 1. Sejam A = {1, 2} e B = {a, b, c} dois conjuntos.

Quantas funções injetivas de A em B é possível definir?

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

2. Considera o conjunto A = {–1, 1, 3} e duas funções, f e g , de A em A . Sabe-se que:

• a função f é definida pela tabela:

x –1 1 3

f(x) 1 3 –1

• o gráfico da função g é {(–1, 3), (1, 1), (3, –1)} .

Qual das tabelas seguintes define a função g f–1 ?

(A) x –1 1 3

y –1 3 1

(B) x –1 1 3

y 3 –1 1

(C) x –1 1 3

y 3 1 –1

(D) x –1 1 3

y –1 1 3

3. Seja f : R → R uma função bijetiva. Sabe-se que f(3) = 2 e que a função inversa de f é definida por f–1(x) = –2x + b .

Qual é o valor de b ?

(A) –8 (B) –7 (C) 7 (D) 8

4. Seja f uma função de domínio R cujos zeros são −2 e 4 e seja g a função definida por g(x) = f(2x) .

Quais são os zeros da função g ?

(A) –4 e 8 (B) –1 e 2

(C) –8 e 4 (D) –2 e 1

5. No referencial da figura ao lado estão representados dois grá-ficos geometricamente iguais que são as representações gráfi-cas de duas funções f e g .

Atendendo aos dados da figura, qual das expressões seguintes define a função g ?

(A) –(f(x) + 1) (B) –(f(x) + 3)

(C) 3 – f(x) (D) 1 – f(x)

Grupo I



T_dt_09


Paulo Amorim

y

xO

1

2

1

f

g

Cotações

1. 10

2. 10

3. 10

4. 10

5. 10

1.a 10

1.b 10

1.c 10

1.d 10

2.a 15

2.b 15

3.a 15

3.b 15

4.a 15

4.b 15

5.a 10

5.b 10

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 4 · Texto • Pág. 1/2

1. Seja f a função bijetiva representada graficamente ao lado e seja g a função, de domínio R , definida por g(x) = 2 – x .

a) Determina (f g)(4) e f(2) + f–1(2) .

b) Representa graficamente a função inversa da função f .

c) Caracteriza a restrição da função f ao intervalo [2, 4] .

d) Determina o domínio e o contradomínio da função h , definida por h(x) = f(x + 1) – 3 .

2. Seja k um número real. Considera o polinómio P(x) = x4 + kx3 – 1 .

a) Mostra que, se P(x) é divisível por x + 1 , então a função f , de domínio R , definida por f(x) = x4 + kx3 – 1 é uma função par.

b) Considera k = 0 . Fatoriza o polinómio P(x) e determina o conjunto-solução da condição P(x) > 0 .

3. Seja f : R → R tal que f(x) = x2

+ 3 .

a) Mostra que a função f é bijetiva e define a sua inversa.

b) Seja A R . Determina A de modo que f A : A → [0, 4] seja uma função sobrejetiva.

4. Seja r a reta de equação y = –2x + 1 e sejam f e g duas funções.

Sabe-se que a função f é par e que a função g é ímpar.

O gráfico de f interseta a reta r no ponto de abcissa −2 e o gráfico de g interseta a reta r no ponto de abcissa −5.

a) Seja A o ponto em que o gráfico de f interseta a reta r e seja B o ponto em que o gráfico de g interseta a reta r . Escreve a equação reduzida da mediatriz de [AB] .

b) Qual é o valor de (g f )(2) ?

5. Seja A o conjunto de todas as funções reais de domínio R .

Indica o valor lógico de cada uma das proposições seguintes. Justifica as respostas.

a) Af A, f é par ⇒ f não é injetiva

b) Af A, f é injetiva ⇒ f é ímpar

Grupo II



T_dt_10


Paulo Amorim

y

xO

1

1

f

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 4 · Texto • Pág. 2/2

AvAliAção

55

Teste 5

Cotações

1. 10

2. 10

3. 10

4. 10

5. 10

1.a 15

1.b 15

1.c 15

2.a 15

2.b 15

2.c 15

2.d 15

3. 15

4. 15

5. 15

1. Seja f a função definida em R por f(x) = ax + b .

A função f é crescente e tem um zero negativo se e só se:

(A) a > 0 ‹ b > 0 (B) a > 0 ‹ b < 0

(C) a < 0 ‹ b > 0 (D) a < 0 ‹ b < 0

2. Considera as funções f , g , h e j representadas graficamente.


T_dt_11


Paulo Amorim

y

O xa

f

y

O xa

h

y

Oxa

g

y

xjO

a

Quais das funções atingem um extremo relativo em a ?

(A) f e j (B) g e h

(C) f e h (D) g e j

3. Seja f : R → R uma função e sejam A , B e C pontos do gráfico de f de abcissas a , b e c , respetivamente. Sabe-se que a < b < c e que o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo. Designemos por mr o declive de uma reta r .

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

(A) mAB × mBC > 0 (B) mAB × mBC < 0

(C) mAB – mBC < 0 (D) mAB – mBC > 0

4. Num plano em que está fixado um referencial o.n. xOy , considera a parábola de equa-ção y = 2(x + 1)2.

Qual das equações seguintes define uma reta que passa no vértice daquela parábola?

(A) y = x (B) y = 2x + 1

(C) y = x + 1 (D) y = –x + 1

5. Seja f uma função de domínio R . Num referencial Oxyz considera os pontos A(0, 1, 2) e B(f(0), f(1), f(2)) . A reta AB é paralela à reta definida pela condição x = –3 ‹ y = 4 .

Qual das expressões seguintes pode definir a função f ?

(A) f(x) = x (B) f(x) = –x(x – 2)

(C) f(x) = x(x – 1) (D) f(x) = –x(x – 1)

Grupo I


MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 5 · Texto • Pág. 1/2

1. Na figura ao lado está representado um quadrado [ABCD] com 4 dm de lado. Este quadrado é o esboço de uma peça decorativa constituída por uma parte em madeira (representada a castanho) e uma parte em espelho (representada a azul). A parte em espelho é constituída por três quadrados:• cada quadrado tem dois vértices sobre [AC] ;• o quadrado central tem o centro no centro do quadrado [ABCD] e tem lado x ;• os dois quadrados, um com um vértice em A e o outro com um vértice em C , são

geometricamente iguais.

a) Mostra que a área, em dm2, da parte em espelho é dada, em função de x , por

a(x) = 3x2 – 8x + 162

, x ]0, 4[ .

b) Mostra que a função a toma o valor mínimo quando os três quadrados em espelho são geometricamente iguais.

c) Determina os valores de x para os quais a área da parte em espelho é superior a 6 dm2.

2. Seja f a função definida por f(x) = x3 – 3x2 – 6x + 8 . O gráfico da função f interseta o eixo das abcissas em três pontos, que vamos designar por A , B e C . O ponto A é o que tem menor abcissa e o ponto C é o que tem maior abcissa. A abcissa de A é –2. Seja D o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas.

a) Determina a área do triângulo [BCD] .

b) A reta AD interseta o gráfico da função f num outro ponto, que vamos designar por E . Determina as coordenadas de E .

c) Seja g a função definida por g(x) = f(x + a) . Determina o conjunto dos valores de a para os quais a função g tem dois zeros negativos e um zero positivo.

d) Recorrendo à calculadora, determina os valores inteiros de b para os quais a equação f(x) = 4b tem exatamente três soluções. Apresenta o(s) gráfico(s) que visualizaste.

3. Considera a função f representada graficamente ao lado. A função f pode ser definida por f(x) = ax – b + c , sendo a , b e c números reais. Determina os valores de a , b e c .

4. Considera, num referencial o.n. xOy , os gráficos das funções f e g definidas, respe-tivamente, por f(x) = 2x + 1 e g(x) = 7 – x . Determina, por processos analíticos, as coordenadas do(s) ponto(s) em que os gráficos se intersetam.

5. É habitual considerar que cada ano na vida de um cão corresponde a sete anos na vida de um ser humano, mas também há quem afirme que essa relação não é adequada, pois os cães atingem a idade adulta até aos dois anos de vida. Um especialista nesta matéria defende que a correspondência deve ser definida da seguinte forma: cada ano do cão corresponde a 10,5 anos humanos, nos dois primeiros anos e, a partir dos dois anos, cada ano do cão corresponde a quatro anos humanos.Define a função i que relaciona a idade de um cão, em anos, com a correspondente idade dos humanos, de acordo com a teoria deste especialista, e calcula, em «anos huma-nos» a idade de um cão com dois anos de vida e com dez anos de vida.

Grupo II



T_dt_12


Paulo Amorim

D C

A B

x

x


T_dt_13


Paulo Amorim

y

xO

1

1

f

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 5 · Texto • Pág. 2/2

AvAliAção

55

Teste 6A

Cotações

1. 10

2. 10

3. 10

4. 10

5. 10

1.a 10

1.b 20

2. 15

3.a 15

3.b 15

4.a 15

4.b 15

4.c 15

4.d 15

5. 15

1. Sabe-se que 10

Σi = 1

xi = 32 . Qual é o valor de 10

Σi = 1

(2xi – 4) ?

(A) 24 (B) 26

(C) 60 (D) 62

2. A parábola representada no referencial ao lado tem vértice no ponto de coordenadas (3, 1) e é o gráfico da função f .

Seja g(x) = 3 – f(x + 2) .

Qual das expressões seguintes define a função g ?

(A) 0,5(x – 5)2 + 2 (B) –0,5(x – 5)2 + 3

(C) 0,5(x – 1)2 + 2 (D) –0,5(x – 1)2 + 3

3. Considera a função f : R → R definida por f(x) = x(x + 1)2 . Seja P(x) o polinómio tal que P(x) = (f f )(x) . Uma das raízes de P(x) é –1.

Qual é a multiplicidade desta raiz?

(A) 1 (B) 2

(C) 3 (D) 4

4. Considera a função g , de domínio R , definida por g(x) = x – 1 e a função bijetiva f representada graficamente ao lado.

Qual é o valor de (g f–1)(3) ?

(A) 0 (B) 1

(C) 2 (D) 3

5. Em qual das opções está representado o conjunto de pontos definido pela condição x2 + (y + 1)2 ≤ 4 ‹ x ≥ 1 ?

Grupo I



T_dt_14


Paulo Amorim

y

xO

1

1

f


T_dt_15


Paulo Amorim

y

xO

1

1

f


T_dt_16


Paulo Amorim

y

O x

1

1

y

O x

1

1

y

O x

1

1

y

O x

1

1

(A) (B)

(C) (D)

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 6A · Texto • Pág. 1/2

1. Um grupo de amigos da Berlenga está a estu-dar a duração das viagens de barco entre Pe-niche e a ilha da Berlenga e, com esse objetivo, registou a duração das viagens durante duas semanas. Os dados recolhidos foram organi-zados no histograma ao lado.

a) Quantas viagens demoram menos de 1 hora?

b) Com base no histograma, determina P60 . Apresenta o resultado arredondado às unidades e interpreta o valor obtido no contexto da situação descrita.

2. A média das classificações dos 30 alunos de uma turma de 10.º ano foi 12,3 com desvio padrão 4,6. Qual é o número máximo de alunos com classificação inferior a 10?

3. Considera, no espaço em que está fixado um referencial o.n. Oxyz :

• a superfície esférica de centro na origem do referencial e raio 5;

• um ponto A(x, y, z) pertencente à superfície esférica, com cota 3 e abcissa e ordenada iguais e positivas, e que é vértice de um prisma quadrangular regular, P , inscrito na superfície esférica e com as faces paralelas ao planos coordenados.

a) Mostra que as coordenadas do ponto A são (22, 22, 3) .

b) Define analiticamente a base superior do prisma P e escreve uma equação vetorial da reta que contém a diagonal espacial do prisma de que A é um extremo.

4. Considera a função f representada graficamente e definida por f(x) = 2x se 0 ≤ x ≤ 4

8 – x se x > 4

Um ponto B percorre o gráfico de f entre a origem do referencial e o ponto do gráfi-co de abcissa 4, nunca coincidindo com nenhum desses pontos. Os pontos A , C e D acompanham o ponto B de modo que [ABCD] seja sempre um retângulo, pertencendo os vértices A e D ao eixo das abcissas e pertencendo o vértice C ao gráfico da função.

a) Determina o perímetro do retângulo [ABCD] , quando a abcissa de B é igual a 1.

b) Mostra que o perímetro do retângulo [ABCD] é dado, em função da abcissa x do ponto B , por 16 – 2x .

c) Determina a área do retângulo [ABCD] quando o perímetro é 12.

d) Constrói um quadro de sinais e um quadro de variação (monotonia) para a função f .

5. Seja [ABC] um triângulo e seja [BD] a mediana relativa ao lado [AC] .

Mostra que →BD = 1

2(

→BA +

→BC) .

Grupo II



T_dt_17


Paulo Amorim

30 40 50 60 70 80 90

2468

1012141618

Núm

ero

de v

iage

ns

Tempo (minutos)

De Peniche à ilha da Berlenga


T_dt_18


Paulo Amorim

y

xO A D

CB

f

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 6A · Texto • Pág. 2/2

AvAliAção

55

Cotações

1. 10

2. 10

3. 10

4. 10

5. 10

1.a 15

1.b 15

2.a 15

2.b 15

3.a 10

3.b 10

3.c 10

3.d 10

4. 20

5.a 5

5.b 5

5.c 10

5.d 10

1. Considera a amostra ~x = (x1, x2, … , x21) . Sabe-se que 21

Σi = 1

x2i = 229 e que x = 3 .

Qual é o valor de sx (desvio padrão da amostra)?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2

2. Sejam a e b dois números reais positivos. Sabe-se que a– 1

6 = b .

Qual das expressões seguintes é equivalente a 3

a2 ?

(A) b–9 (B) b–4 (C) b– 1

9 (D) b– 1

4

3. Considera a função par f , de domínio R . Sabe-se que f(–3) = 0 . Seja g a função definida por g(x) = f(x + 2) . Qual dos seguintes pode ser o conjunto dos zeros de g ?

(A) {0, 2} (B) {–5, 5} (C) {–5, 1} (D) {–1, 5}

4. Seja a um número real. Considera a função f , de domínio R , definida pela expressão f(x) = (1 – a)x + 3 . O gráfico de f é uma reta paralela à bissetriz do 2.o quadrante.

Qual é o valor de a ?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

5. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma certa função g , de domínio R .

Em qual das figuras seguintes está parte da representação gráfica da função h , definida, em R , por h(x) = –g(x) + 1 ?

(A) (B) (C) (D)

1. Sejam f e g as funções, de domínio R , definidas por f(x) = 2 – x – 3 e g(x) = 2x – 1 .

a) Determina, por processos analíticos, as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos das duas funções.

b) Seja h(x) = 3f(x) + g(x) . Define a função h sem recorrer ao módulo, representa grafi-camente a restrição de h ao intervalo [–1, 4] e indica o contradomínio desta restrição.

Grupo I


Grupo II



T_dt_19


Paulo Amorim

y

xO

1


T_dt_20


Paulo Amorim

y

xO

y

xO

y

xO

y

xO

2 2 2

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 6B · Texto • Pág. 1/2

Teste 6B


T_dt_21


Paulo Amorim

z

y

x

OA

B

DC

V


T_dt_22


Paulo Amorim

x

10


T_dt_23


Paulo Amorim

O

2

4

6

1 2 3

%

t (horas)

MA

T 10 • 5 + 5 | Teste 6B · Texto • Pág. 2/2

2. Considera a função f definida por f(x) = x3 – x4 + x2 – x .

a) Verifica que –1 é zero da função e escreve f(x) como produto de polinómios de grau 1.

b) Resolve, sem recorrer à calculadora, a condição f(x) ≥ 0 .

3. Considera, num referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular [ABCDV] , cuja base está contida no plano xOy e cujo vértice tem cota positiva. Admite que o vértice A pertence ao eixo Ox e tem abcissa 6, que o vértice V tem abcissa e ordenada iguais a 6 e que AV = 10 .

a) Seja M o ponto médio de [BV] . Escreve uma equação vetorial da reta CM .

b) Determina a equação reduzida do plano mediador de [AB] .

c) O plano de equação z = 5 divide a pirâmide [ABCDV] em dois sólidos, um dos quais também é uma pirâmide. Determina o volume dessa pirâmide.

d) Determina a inequação reduzida da esfera de centro em V e cuja interseção com o plano xOz é um círculo de área 64L .

4. A partir de uma folha de cartolina pretende-se construir uma pirâmide quadrangular regular. A folha de cartolina é um quadrado com lado 10 e a planificação da pirâmide é do tipo da que se apresenta ao lado.

Qual é a aresta da base da pirâmide com maior volume que é possível construir nas con-dições apresentadas?

Na resolução deste problema deves percorrer as seguintes etapas:

• exprime a altura de cada face da pirâmide em função de x (aresta da base);

• exprime a altura da pirâmide em função de x ;

• escreve uma expressão que dê o volume da pirâmide em função de x e indica os va-lores que x pode tomar;

• recorre à calculadora gráfica para obteres o valor de x para o qual o volume da pirâ-mide é máximo e apresenta o gráfico que visualizaste na calculadora.

5. Uma estação de televisão quer diversificar os seus conteúdos e criar um canal que, no período entre as 16 horas e as 19 horas, dê apoio escolar a alunos do ensino secundário. No gráfico ao lado apresenta-se a percentagem de espetadores que tinham os seus televisores sintonizados para esse canal, t horas depois do início da emissão, até ao seu final, no dia de apresentação.

Responde às questões seguintes considerando a in-formação que pode ser recolhida do gráfico.

a) Qual era a percentagem de espetadores do canal às 16 horas?

b) A que hora dessa tarde é que a percentagem de espetadores que acompanhavam este canal atingiu o valor mínimo?

c) Durante quanto tempo é que a percentagem de espetadores esteve abaixo de 3%?

d) A percentagem de espetadores atingiu o máximo 10 minutos depois do início do apoio à disciplina de Matemática. A que horas teve início esse apoio?

Respostas Teste 1

Grupo I

1. (B)

2. (D)

3. (C)

4. (D)

5. (A)

Grupo II

1. a1) b › a

a2) a ‹ b

a3) a ⇒ b

a4) b ⇒ a

b) a1 e a3

c1) «Se o meu cão é doutor, então dois mais dois é igual a cinco ou 2 é um número racional.»

c2) Verdade, pois o antecedente da implica-ção é uma proposição falsa.

c3) a ‹ b ‹ c

2. a) Verdade, pois, por exemplo, –3 é solução

da condição –x > 1 , o que significa que a condição é possível.

b) Verdade, pois 3 é solução da condição (x + 1)2 > 4 , o que significa que a condi-ção é possível.

c) Falso, a condição x3 ≥ 1 não é universal em A pois, por exemplo, (–2)3 é igual a –8 e −8 é menor do que 1.

3. a) – 12

b) 5 + 12

c) 3 e 33

4. a) 3

12

b) 6 27

5. Perímetro 82 ; diagonal 25

Teste 2

Grupo I

1. (C)

2. (A)

3. (D)

4. (C)

5. (A)

Grupo II

1. a) A(x) = 2x2 + 3x + 1

b) B(x) = x(x – 2)(x + 1)(2x – 1)

2. a) Grau 6.

b) Tem-se P(–1) = 0 ; o polinómio P(x) é divisível por (x + 1)2 , mas não é divisível por (x + 1)3 , logo tem multiplicidade 2.

c) CS = ]–, –1[ –1, 12 ]2, +[

3. a) 0 e 4

b) –2 e 8

c) A equação reduzida da mediatriz é y = –3x – 3 , o centro da circunferência é o ponto de coordenadas (1, –6) e as suas coor-denadas satisfazem a equação y = –3x – 3 .

4. a) x + 72

2 + y – 1

22 ≤ 25

2

b) 12,5L – 25 (unidades de área)

5. Com efeito a proposição é falsa. Consideremos, por exemplo, o polinómio P(x) = x(x – 1)2 ; este polinómio tem exata-mente duas raízes distintas, zero e um, e é do terceiro grau.

Teste 3

Grupo I

1. (C)

2. (B)

3. (C)

4. (C)

5. (A)

Grupo II

1. a) (x + 1)2 + (y – 3)2 ≤ 25 ‹ 0 ≤ y ≤ 3 ‹

‹ y ≤ – 34

x + 94

b) (5, 11)

2. a) A altura da pirâmide é 4 e como a base está contida no plano de equação z = 2 , a cota do vértice é 4 + 2 .

b)

ax = 2λ dby = –2λ , λ R ; (3 –3, 0)dcz = 6 – 4λ

c1) y = –2

c2) y = 2 ‹ z = 2 ‹ –2 ≤ x ≤ 2

d1) {C, D}

d2) Reta AB .

e1) →EB

e2) B

3. a) (x, y, z) = (–3, 4, 5) + k(2, 3, 6), k R

b) (x – 4)2 + (y + 3)2 + (z + 2)2 = 147

c) D = E + →ED

d) 3433

(unidades de volume)

e) É o plano mediador do segmento de reta [BE] .

4. –2x4 + 4x2 – 2

5. 2

78

Teste 4

Grupo I

1. (C)

2. (A)

3. (C)

4. (B)

5. (C)

Grupo II

1. a) (f g)(4) = 1 e f(2) + f–1(2) = –4

b)


sT_dt_01


Paulo Amorim

y

xO

1

1

f –1

f

c) f [2, 4] : [2, 4] → [–4, –1] tal que

f [2, 4](x) = – 32

x + 2

d) Dh = [–5, 3] e D'h = [–7, 0]

2. a) P(x) é divisível por x + 1 se e só se k = 0 ; nesse caso, f(x) = x4 – 1 e f(–x) = (–x)4 – 1 = x4 – 1 = f(x)

b) P(x) = (x + 1)(x – 1)(x2 + 1) ; CS = ]–, –1[ ]1, +[

3. a) Seja y um número real qualquer. Tem-se:

f(x) = y ⇔ x2

+ 3 = y ⇔ x = 2y – 6 . Portanto,

para qualquer número real y existe um único número real, 2y − 6 , tal que f(x) = y , o que prova que f é bijetiva; f −1 : R → R é a função definida por f−1(x) = 2x – 6 .

b) A = [–6, 2]

4. a) y = 12

x + 394

b) –11

MA

T 10 • Testes 5 + 5 | Respostas · Texto • Pág. 1/2

5. a) Verdade, pois, sendo a função par, objetos simétricos têm imagens iguais e, portanto, a função não é injetiva.

b) Falso, pois há funções injetivas, de domí-nio R que não são ímpares, como, por exemplo, a função f definida por f(x) = x + 1 .

Teste 5

Grupo I

1. (A)

2. (A)

3. (D)

4. (C)

5. (B)

Grupo II

1. a) a(x) = x2 + 4 – x2 2

× 2

b) Tem-se a(x) = 32 x – 4

3 2 + 16

3 e, portan-

to, a função a atinge o máximo em 43

,

que é a terça parte do lado do quadrado [ABCD] .

c) CS = 0, 23 ]2, 4[

2. a) 12 3 × 82

b) E(5, 28)

c) ]1, 4[

d)


sTdt_02


Paulo Amorim

y

xO

1

1

y =

(-0,78; 2,62)

(2,69; -2,58)

f(x)4

–2, –1, 0, 1 e 2 (números inteiros com-preendidos entre o mínimo relativo e o

máximo relativo da função 14

f )

3. a = – 32

, b = 1 e c = 2

4. (3, 4)

5. i(x) = a10,5x se 0 ≤ x ≤ 2 bc21 + 4(x – 2) se x > 2

21 anos e 53 anos.

Teste 6A

Grupo I

1. (A)

2. (C)

3. (B)

4. (D)

5. (C)

Grupo II

1. a) 33

b) 60% das viagens demoram menos de 58 minutos.

2. No máximo 7 alunos.

3. a) x2 + x2 + 32 = 25 ‹ x > 0 ⇔ x = 22 e, dado que o ponto P tem a abcissa e a ordenada iguais e tem cota 3, tem-se

P(22, 22, 3) .

b) z = 3 ‹ x ≤ 22 ‹ y ≤ 22 ;

(x, y, z) = k(22, 22, 3), k R

4. a) 14 (unidades de comprimento)

b) Tem-se AB = CD = 2x

e AD = BC = 8 – 2x – x .

c) 122 – 8 (unidades quadradas)

d)

5. Tem-se: →BA =

→BD +

→DA e

→BC =

→BD +

→DC

Portanto: →BA +

→BC = 2

→BD +

→DA +

→DC =

= 2 →BD + 0

→ = 2

→BD

→BA +

→BC = 2

→BD ⇔

→BD = 1

2 →BA +

→BC

Teste 6B

Grupo I

1. (B)

2. (B)

3. (C)

4. (C)

5. (D)

Grupo II

1. a) (0, –1)

b) Dh = R e h(x) = a–x – 4 se x < 2 bc5x – 16 se x ≥ 2

Gráfico de h[–1, 4]


sTdt_03


Paulo Amorim

y

xO

1

1

h | [-1, 4]

D'h[–1, 4] = [–6, 4]

2. a) f(x) = –x(x + 1)(x – 1)2

b) CS = [–1, 0] {1}

3. a) (x, y, z) = (9, 6, 4) + λ(–3, 6, –4), λ R

b) x + y = 12

c) 10,125 (unidades cúbicas)

d) (x – 6)2 + (y – 6)2 + (z – 8)2 ≤ 100

4. Altura de cada face: 5 – x2

Altura da pirâmide: 25 – 5x

Volume da pirâmide:

v(x) = 13

x225 – 5x , x ]0, 5[

O volume máximo é atingido em 4.


sTdt_04


Paulo Amorim

y

xO

1

1 4

≈11,9

5. a) 4%

b) Às 17 h 10 min.

c) Durante 1 h e 20 min.

d) Às 18 h.

Respostas

x 0 8 +

f 0 + 0 –

x 0 8 +

f Mín. Máx.§§

MA

T 10 • Testes 5 + 5 | Respostas · Texto • Pág. 2/2

leya_testes 5+5

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