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Forze gravitazionali

Leggi di Leggi di KepleroKepleroL’ esistenza di una forza gravitazionale tra corpi materiali e’ stata provata in modo indiretto a partire dallo studio dei pianeti del sistema solare.

• Intorno al 1540 Copernico avanzò l'ipotesi eliocentrica del sistema solare:

• i moti dei pianeti furono oggetto di numerose e accurate misure da parte di Brahe (tra il 1576 e la fine del secolo),

• Keplero formulò tra il 1600 e il 1620, le sue tre leggi.

1) I pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al sole che occupa uno dei fuochi dell'ellisse, figura 11.6a.

2) La velocità areale con cui il raggio vettore che unisce il sole ad un pianeta descrive l'orbita è costante, figura 11.6b.

3) II quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'ellisse: T2 = ka3

Deduzione della forza gravitazionaleDeduzione della forza gravitazionaleLe tre leggi di Keplero danno una descrizione puramente cinematica del moto dei pianeti, ma non descrivono la forza responsabile del moto. La spiegazione dinamica (ossia la deduzione della forza a partire dallo studio del moto) fu proposta da Newton nel 1666 e resa nota nel 1687. Da essa prese corpo la teoria della gravitazione universale

• Se si assume che le orbite dei pianeti siano circolari (r= cost) e se la velocità areale è costante, il moto di un pianeta è circolare uniforme: infatti, per la prima legge di Keplero :

La forza che agisce sul pianeta, e lo forza a percorrere una traiettoria circolare con velocità costante, deve essere esclusivamente centripeta,

T è il periodo di rivoluzione, m la massa del satellite e r il raggio dell'orbita del pianeta. • Utilizzando la terza legge di Keplero T2 = kr3 si ottiene:

ossia la forza esercitata dal sole sui pianeti, è inversa mente proporzionale al quadrato della distanza dal sole .

0ωθω ==dt

dCost=

Deduzione della forza gravitazionaleDeduzione della forza gravitazionaleLa forza esercitata dal sole sulla terra può quindi essere scritta

e, nell'ipotesi che una formula simile valga per qualsiasi coppia di corpi, la forza esercitata dalla terra sul sole sarà :

e, per il il principio di azione e reazione |FTS| = |FST|.

Dall'eguaglianza si ottiene mTkS = mSkT. Definendo la costante

abbiamo per il modulo della forza sole-terra : (11.3)

E la direzione è quella della retta congiungente il sole alla terra.

Newton ipotizzò che si trattasse di una formula universale ed enunciò la legge di gravitazione universale:

date due masse qualsiasi, di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza mutua, tra di esse agisce una forza attrattiva diretta lungo la retta congiungente le due masse, il cui modulo dipende direttamente dal prodotto delle masse e inversamente dal quadrato della distanza.

La costante di proporzionalità γ = 6.67 10-11 m3/kgs2 è una costante universale, che non dipende dai valori delle masse e dalla geometria del sistema, ma è caratteristica dell'interazione gravitazionale.

Innumerevoli verifiche sperimentali, soprattutto in campo astronomico, hanno confermato la correttezza dell'ipotesi. La prima misura diretta della forza di gravità è stata effettuata da Cavendish nel1798 mediante una bilancia di torsione

La (11.3) per un corpo di massa m posto sulla terra, che è un corpo sferico di massa mT e raggio rT e’:

La formula è valida se si ammette che un corpo a simmetria sferica eserciti una forza come se la massa fosse tutta concentrata nel suo centro.

D'altra parte F = mg per cui:

Newton non conosceva né il valore di γ né la massa della terra. Tuttavia, era noto il periodo di rotazione della luna e una stima astronomica della distanza terra/luna. Per il sistema terra-luna, si può scrivere:

per la forza esercitata dalla terra sulla luna, centripeta per la luna; segue γmT = ωL rL

2 = 2π/TL rL2. Dunque dal periodo di rotazione

della luna attorno alla terra ( 29 giorni = 2.36 106s) e dalla distanza terra-luna,(3.84108m) è possibile determinare il prodotto γmT e quindi di g.

Al tempo di Newton il valore stimato per la distanza terra-luna era sbagliato e solo dopo una misurazione astronomica si poté trovare un buon accordo.

Relazione tra costante gravitazionale ed accelerazi one di gravitRelazione tra costante gravitazionale ed accelerazi one di gravit àà

Proprietà della forza gravitazionaleProprietà della forza gravitazionale

La forza gravitazionale e’ una forza a lungo range : pur decrescendo con l’inverso della distanza dalla massa che la genera, e’ presente in tutto lo spazio. Questo rappresenta una modifica delle proprietà dello spazio in cui la forza e’ prodotta e si esprime dicendo che nello spazio e’ presente un campo di forze

E’ una forza centrale: in ogni punto dello spazio la sua direzione passa sempre per un punto fisso (centro della forza) e il suo modulo dipende solo dalla distanza dal centro OP = r = F(r)ur. Corpi soggetti a questo tipo di forze hanno la proprietà di conservare il momento angolare L.

Da questa legge di conservazione deriva la seconda legge di Keplero. Infatti.

In modulo ;

Ossia

P

ur

r

0)( =×=×= rurFrL

rFdt

dquindi

θθr vr)v(vrvrL mmm ×=+×=×=

Costm =×= vrL

dt

dmr

dt

dmrrmvrL

θ

θθ ⋅=⋅=⋅= 2

Costdt

dA

dt

dr ==⋅ 22 θ

vvrvθθθθ

E’ una forza conservativa. Questa e’ una proprietà comune a tutte le forze centrali . Infatti il lavoro della forza per uno spostamento da un punto A ad un punto B dello spazio vale:

Proprietà della forza gravitazionaleProprietà della forza gravitazionale

)()()()( AB

r

r

B

A

B

A

rfrfdrrFdrFWB

A

−=⋅=⋅=⋅= ∫∫∫ sudsF r

La forza gravitazionale ha la stessa dipendenza spaziale della forza elettrostatica che e’ alla base della struttura atomica. Questa analogia e’ stata utilizzata, all’ inizio del 900, per proporre un modello “orbitale” della struttura dell’ atomo che ha dato spiegazione di molti dati sperimentali ed ha costituito la base della fisica atomica

Energia potenziale gravitazionaleEnergia potenziale gravitazionale

(11.5)

(11.8)

II lavoro compiuto durante lo spostamento ds di una massa m2 sulla traiettoria nel campo di una massa m1

II segno negativo indica che la forza gravitazionale è attrattiva ossia con verso opposto ad u1

il prodotto scalare u1 • ds (figura 11.17), è pari alla proiezione di ds su u1 e quindi a dr, variazione del modulo della distanza tra m1 e m2 a seguito dello spostamento ds. Pertanto

Il lavoro non dipende dalla traiettoria, ma solo dalle posizioni iniziale e finale,

A

B

L’ energia potenziale del campo campo gravitazionale si definisce in un modo univoco in tutto lo spazio assumendo che il suo valore per r→∞ tenda a zero. Dall’ equazione precedente si ottiene ,

Il valore negativo dell’ energia potenziale indica c he e’ necessario compiere un lavoro contro la forza di gravità per allontanare la massa m 2 dalla massa m 1

Energia potenziale gravitazionaleEnergia potenziale gravitazionale

Esempio Due masse ml e mz si trovano a distanza molto grande, praticamente infinita; la massa m1 è fissa, la massa m2 ha energia cinetica Ek,in = 1/2 m2v0

2 Calcolare la velocità della massa quando è a distanza r da m1

Soluzione L'energia meccanica iniziale del sistema delle due masse è Em = Ek in = 1/2 m2v0

2, mentre quando le masse distano r tra loro l‘ energia meccanica vale:

Eguagliando le due espressioni si trova:

II risultato è vero qualunque sia la traiettoria seguita da m2 nel campo di m1 perché la forza e’ conservativa

Calcolare la velocità di fuga di un corpo dalla terra.

Soluzione Nella condizione iniziale abbiamo un corpo di massa m sulla superficie terrestre, con energia cinetica Ek in = 1/2 mv2. Si vuole che il corpo arrivi a distanza infinita con velocità v0 > 0. Scriviamo la conservazione dell'energia meccanica per il valore v0 :

Il valore minimo di v, detto vF, (velocità di fuga), corrisponde a v0 = 0. Si trova

indipendente dalla massa del corpo. Poiché rT= 6.37 • I06 m, abbiamo vF= 11.2 km/s = 4 • I04 km/h .

La stessa formula vale per qualsiasi altro pianeta, con gli appropriati valori di massa e raggio. Nel caso della luna si trova, per esempio, vL = 2.4 km/s = 8.5 • I03 km/h.

Velocità di fuga dal campo gravitazionaleVelocità di fuga dal campo gravitazionale

Moti di satellitiMoti di satellitiUn satellite di massa m descrive un'orbita circolare di raggio r attorno ad un pianeta di massa M; con un periodo di rivoluzione T = 2πω. Calcolare il valore della massa M del pianeta e l'energia del satellite.

Soluzione La legge di Newton F = ma applicata al satellite si scrive

Vediamo che, noto il valore di γ, la massa del pianeta si può dedurre da misure sul moto del satellite. il risultato non dipende dalla massa del satellite. ks = T2/r3 è detta la costante del satellite .

L'energia cinetica del satellite è:

L’energia totale del satellite e’

ossia;

022

<=+−= pp

p EE

E

L’ energia totale del satellite e’ negativa perché l’ energia potenziale (che lega il satellite al pianeta) e’ maggiore della sua energia cinetica,(che tende allontanarlo). Si dice che il satellite si trova in uno stato legato . L’ energia Em si dice energia di legame

Moti di satelliti terrestriMoti di satelliti terrestri

Da con

Velocità orbitale

Periodo di rotazione

Energia di legame

Forza gravitazionale :

s

m

r

7102×=

sr 2/371014.3 −−×=

2

214104

s

mmT ×=⋅γ

Jr

m2

14102×−=

Nrr

mF

2

17

214 104

104×=×=

Se la velocità del satellite è inferiore alla velocità orbitale, questo percorre una traiettoria sub orbitale inizialmente di tipo parabolico.

Un satellite artificiale di massa m = I03 kg descrive un'orbita circolare intorno alla terra. per ad un raggio r

Moti di satelliti terrestriMoti di satelliti terrestri

Un satellite si dice geo-stazionario se percorre la sua orbita in un giorno ( )

Il raggio dell’ orbita deve essere ::

Ossia ad un’ altezza di circa 36,000 kM dalla superficie terrestre.

Per un satellite che orbiti nell’ atmosfera (h < 100 km << rT) si può assumere r ~ rT.. Pertanto: