Lezione 2Esempi di funzioni

Funzioni iniettive, suriettive, bigettive

Funzioni costanti, lineari, quadratiche

Esempio

• Misura della circonferenza conoscendo il raggio𝑓: [0, +∞) → 𝑅

𝑟 ↦ 2𝜋𝑟𝑓 𝑟 = 2𝜋𝑟 e chiamando 𝑓 𝑟 = 𝑝 si ha 𝑝 = 2𝜋𝑟

• r è la variabile indipendente e p è la variabile dipendente.

• Con abuso di notazione, si può chiamare la legge 𝑝 (anzi che 𝑓) ottenendo 𝑝 𝑟 = 2𝜋𝑟.

• La misura della circonferenza assume valori in tutto 𝑅?

No, infatti, essendo il dominio della funzione 𝐷 = [0,+∞), l’immagine della funzione è

𝑓 𝐷 = 0,+∞ ⊆ 𝑅

Esempio: caduta libera di un corpo

• La velocità di un corpo in caduta libera varia man mano che il corpo cade, ovvero al passare del tempo. Le due variabili messe in relazione sono il tempo 𝑡 (variabile indipendente) e la velocità 𝑣 (variabile dipendente perché il suo valore dipende dall’istante di tempo 𝑡 considerato)

• Siano 𝑣0 la velocità iniziale e 𝑔 l’accelerazione di gravità,

𝑓: [0, +∞) → 𝑅𝑡 ↦ 𝑣0 + 𝑔𝑡

oppure 𝑓 𝑡 = 𝑣0 + 𝑔𝑡

𝑣 = 𝑓(𝑡) da cui 𝑣 = 𝑣0 + 𝑔𝑡

OSS: Spesso si dà alla legge lo stesso nome della variabile dipendente, e si scrive

𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑔𝑡 anzi che un più generico 𝑓 𝑡 = 𝑣0 + 𝑔𝑡

Funzioni iniettive e funzioni suriettive

• Una funzione 𝑓: 𝐴 → 𝐵 si dice iniettiva se

∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓(𝑥2)

o equivalentemente∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2

• Una funzione 𝑓: 𝐴 → 𝐵 si dice suriettiva o surgettiva se∀𝑏 ∈ 𝐵 ∃𝑎 ∈ 𝐴: 𝑏 = 𝑓 𝑎

o equivalentemente se 𝑓 𝐴 = 𝐵, ovvero se l’immagine coincide col codominio.

• Una funzione 𝑓: 𝐴 → 𝐵 si dice biiettiva o bigettiva o corrispondenza biunivoca se f è iniettiva e suriettiva.

Esercizio

• Dire se le funzioni sono iniettive e/o suriettive.

𝑓1: 𝑅 → 𝑅

𝑥 ↦ 𝑥2𝑓2: [0, +∞) → 𝑅

𝑥 ↦ 𝑥2

𝑓3: [0, +∞) → [0, +∞)

𝑥 ↦ 𝑥2𝑓4: 𝑍 → 𝑍

𝑥 ↦ 𝑥2

𝑓5: 𝑁 → 𝑍

𝑥 ↦ 𝑥2𝑓6: 𝑁 → 𝑁

𝑥 ↦ 𝑥2

Sol: 𝑓1, 𝑓4 né iniettiva né suriettiva; 𝑓2, 𝑓5, 𝑓6 iniettiva e non suriettiva; 𝑓3 bigettiva

Grafico di una funzione

• Sia 𝑓:𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅 una funzione, si definisce grafico di 𝒇 il sottoinsieme del piano cartesiano

Γ𝑓 = 𝑥, 𝑓 𝑥 ∈ 𝑅2: 𝑥 ∈ 𝐷 ⊆ 𝑅2

Il dominio si rappresenta sull’asse delle ascisse, il codominio sull’asse delle ordinate.

Funzioni costanti e funzioni lineari (polinomiali di 1° grado)

• Funzione costante: 𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅

𝑥 ↦ 𝑎ovvero 𝑓 𝑥 = 𝑎, con 𝑎 ∈ 𝑅.

• Funzione lineare: 𝑓:𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅

𝑥 ↦ 𝑎𝑥 + 𝑏

ovvero 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 , con 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0.

Esempi

Si disegnino i grafici di

• 𝑓: 𝑅 → 𝑅 definita da 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥

• 𝑔: 𝑅 → 𝑅 definita da 𝑔 𝑥 = 2

da cui si ricava che i grafici di queste due funzioni sono le rette di equazioni 𝑦 = 1 − 𝑥 e 𝑦 = 2.

(Digressione) Equazione della retta

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 oppure 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

• Equazione della retta passante per il punto (𝑥0, 𝑦0):

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥𝑜)

• Formula per trovare il coefficiente angolare di una retta che passa per i punti

𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) e 𝐵 = (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵):

𝑚 =𝑦𝐵−𝑦𝐴

𝑥𝐵−𝑥𝐴

Applicazioni

• Sia data la legge

𝑙 𝑡 = 0,0012𝑡 + 100,628

che descrive come varia la lunghezza di un binario di acciaio al variare della temperatura. Dopo aver rappresentato il grafico della funzione in un dominio opportuno, si determini

a) la lunghezza del binario alla temperatura di 20°C

b) a quale temperatura il binario sarà lungo 100,712 m.

• Soluzione:

a) 𝑙 20 = 0,0012 ⋅ 20 + 100,628 = 100,652 m

b) 𝑙 𝑡 = 100,712, ovvero si cerca 𝑡 ∈ 𝑅:

0,0012𝑡 + 100,628 = 100,712

Applicazioni

• Dai dati sperimentali è noto che alla temperatura di 21°C una sbarra di metallo è lunga 100,128 m e che alla temperatura di 61°C è lunga 100,161 m. Poiché la legge che descrive la dilatazione è con buona approssimazione lineare, determinare la lunghezza della sbarra di metallo alla temperatura di 34°C.

• Soluzione:

𝑙 − 100,128 =100,161 − 100,128

61 − 21(𝑡 − 21)

da cui 𝑙 = 100,128 + 0,000825(𝑡 − 21) e quindi

𝑙 𝑡 = 100,128 + 0,000825(𝑡 − 21)

𝑙 34 = 100,128 + 0,000825 34 − 21 = 100,139

Funzioni polinomiali di secondo grado

• Funzione polinomiale di 2° grado:

𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅

𝑥 ↦ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

ovvero 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0.

Esempio: Si disegnino i grafici di

• 𝑓: 𝑅 → 𝑅 definita da 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 − 1

• 𝑔: 𝑅 → 𝑅 definita da 𝑔 𝑥 = 1 − 𝑥2

da cui si ricava che i grafici di queste due funzioni sono le parabole di equazioni

𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 e 𝑦 = 1 − 𝑥2.

(Digressione) Equazione della parabola

• La parabola 𝑝 è:𝑝 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2: 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅

Oss. Non si usa in genere la notazione di insieme, ma direttamente l’equazione di secondo grado in due variabili che la descrive.

• Vertice: punto di coordinate − 𝑏2𝑎, − 𝑏2

4𝑎+ 𝑐

• Asse di simmetria passante per il vertice

• Se 𝑎 > 0 la parabola ha la concavità verso l’alto

• Se 𝑎 < 0 la parabola ha la concavità verso il basso