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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Proprietà dei nuclei
Lezione 2
Classificazione dei nuclei
• I nuclei sono costituiti da protoni e neutroni. • La carica del nucleo è data dal numero di protoni:
– numero atomico Z – determina le proprietà chimiche dell’atomo risultante – di solito indicato attraverso il simbolo dell’elemento
chimico • La massa del nucleo dipende principalmente dal numero di
nucleoni: – numero di massa A – somma di Z e del numero di neutroni N
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9Be Berillio: Z=4
Numero di massa A=9 Neutroni N=A-Z=5
N.B.: se fosse necessario indicare esplicitamente Z, useremo la notazione:
AZX
Classificazione dei nuclei
• Nuclei con lo stesso Z ma diverso N sono detti isotopi dello stesso elemento.
• Nuclei con lo stesso A, ma diverso Z, sono detti isobari.
• Nuclei con lo stesso N, ma diverso Z, sono detti isotoni.
• Un nucleo con determinati valori di A e Z può trovarsi in stati eccitati, isomeri o risonanze, da cui solitamente decade nello stato fondamentale emettendo radiazione elettromagnetica (raggi γ)
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N→ Z→
BNL Nuclide Map http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/
Carta dei Nuclidi
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BNL Nuclide Map http://www.nndc.bnl.gov/nudat2/
20983Bi
Masse dei nuclei
• La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei costituenti:
• La differenza di massa è dovuta all’energia di legame (binding energy) dovuta alle forze nucleari:
– Il fatto che la massa del sistema sia minore delle sue componenti ne garantisce la stabilità.
• Una quantità fisicamente importante è l’energia media di legame per nucleone:
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M (A,Z )< Zmp + (A− Z )mn
B.E. / c2 =M (A,Z )− Zmp − (A− Z )mn
mp = 938.27 MeV / c2
mn = 939.57 MeV / c2
BA= −
B.E.A
=Zmp + (A− Z )mn −M (A,Z )"# $%c
2
A
Spettrometro di massa
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• Per la misura di masse atomiche si usano spettrometri di massa • Il principio di funzionamento è il seguente
– una sorgente di ioni • gli atomi sono ionizzati e accelerati
– un selettore di velocità • solo le particelle che viaggiano in linea retta
attraversano i collimatori • La forza elettrica e la forza magnetica
si bilanciano
– uno spettrometro magnetico • masse diverse hanno raggi diversi
sorgente di ioni selettore v
!v
!FE = q
!Ev
!FB = q
!v ×!Bv
!FE = −
!FB
spettrometro magnetico
qvB = mv2 R
mv = qBR
m = q BvEvBR
collimatori
v = EvBv
!Bv
!Ev
R
Spettrometro di massa
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• Interessano precisioni sulle masse ~0.1 MeV. – ~10-6 per atomi con A~100
• Per poter determinare la massa con precisione occorre – misurare con precisione R – misurare con precisione Ev, Bv, B
• stabilità ed uniformità
• Si ottengono precisioni migliori per rapporti di masse – si utilizzano due molecole che hanno
circa la stessa massa; ad esempio: – si possono utilizzare le stesse regolazioni
di E e B per le due molecole – Le molecole passano attraverso le stesse
regioni dell’apparato
• Il rapporto delle masse dipende solo dai raggi:
• Il carbonio consente numerose possibilità di realizzare le masse volute.
m = q BvEvBR
160Gd ≈ C12H16 AC12H16 = 12 ×12 +16 ×1
m1 = qBvEvBR1
m2 = qBvEvBR2 C12H16
160Gd
m1 m2 = R1 R2
Masse atomiche
• Normalmente viene tabulato il peso atomico:
– include le masse degli elettroni e la loro piccola energia di legame Be: – espresso in unified atomic mass unit (u):
1/12 della massa di un atomo di 12C – 1 u = 931.49 MeV/c2 = 1.6605 × 10-27 kg – NA = 6.022142×1023 mol-1 è il numero di atomi contenuti in 12 g di 12C
• Si definisce eccesso di massa la differenza rispetto ad A u:
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Mass excess =m(A,Z )− A u
m(A,Z ) =M (A,Z )+ Zme −Be(Z ) / c2
Mass excess [keV/c2] Atomic mass [µu]
Isotopi e pesi atomici
• Uno spettrometro di massa può venire usato come separatore di isotopi. – sia come analisi di composizione – che come produzione di specifici nuclidi
• I pesi atomici degli elementi tengono conto dell’abbondanza isotopica. – Tipicamente differiscono da A di frazioni in 10-3, – eccetto quanto sono presenti diversi isotopi con
abbondanza comparabile.
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Energia di legame per nucleone
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Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons.
Energia di legame per nucleone
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Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons.
• Osservazione: – l’energia media di legame è
approssimativamente costante: B/A ~ 8 MeV
– l’interazione nucleare deve essere a corto range.
Interazioni a lungo e corto range
• Interazioni a lungo range (es. interazione Coulombiana): – una particella interagisce con tutte le altre
particelle presenti – energia della particella: A+1∝A – energia totale proporzionale al numero di
coppie: E∝A(A-1)/2
• Interazioni a breve range (es. legami molecolari)
– una particella interagisce solo con le particelle più vicine
– energia della particella: A+1~costante – energia totale proporzionale al numero di
particelle: E∝A
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Energia di legame per nucleone
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Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons.
• Osservazione: – esiste un massimo in corrispondenza del 56Fe. – Sotto tale A, è energeticamente conveniente
combinare nuclei leggeri in un nucleo pesante: • fusione nucleare • processo di nucleosintesi primordiale e stellare.
– Al di sopra i nuclei devono venire prodotti da altri meccanismi:
• esplosioni di supernovae.
Energia di legame per nucleone
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Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons.
• Osservazione: – L’energia media di legame presenta irregolarità
nella regione di basse masse: • modelli nucleari dovranno spiegare queste
proprietà
– In particolare 4He (Z=2, N=2) è più strettamente legato degli stati vicini:
• assenza di nuclei stabili con A=5 e 8 • possibilità di decadimenti α di elementi pesanti
Le barriere di massa A=5, A=8
• Energia di separazione – Energia minima necessaria da
fornire ad un nucleone per estrarlo dal nucleo.
– Per protoni:
– Per neutroni
• Sp(5Li) e Sn(5He) sono negative: – gli stati legati sono instabili.
• Infine abbiamo che: m(8Be)>2m(4He)
– tale nucleo decade immediatamente in due α
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N→ Z→
A=5
A=8
Sp ZAX( ) = m Z−1
A−1X( )+m 1H( )−m ZAX( )"
#$%c
2
Sn ZAX( ) = m Z
A−1X( )+mn −m ZAX( )"
#$%c
2
Stabilità dei nuclei
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Stabile
N Z Nuclei stabili
Pari Pari 156
Pari Dispari 48
Dispari Pari 50
Dispari Dispari 5
Stabilità dei nuclei
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Stabile
β+
β-
β- AZX→AZ+1X
β+ AZX→AZ-1X
Decadimenti β
Decadimenti tra nuclei isobari: • β-: AZ-1X→A
ZX+e-+νe
– permesso se: m(A,Z-1)>m(A,Z) • β+: AZX→A
Z-1X+e++νe
– permesso se: m(A,Z)>m(A,Z-1)+2me
• Cattura Elettronica (EC): AZX+e-→AZ-1X+νe
– permesso se: m(A,Z)>m(A,Z-1) Tra due isobari contigui (|ΔZ|=1) è sempre permesso o un decadimento β- o un EC
– β+ sempre accompagnato da EC – sequenze di decadimenti fino a
raggiungere l’isotono più stabile: valle di stabilità
– se A pari, nuclei dispari-dispari decadranno in pari-pari
– possono esserci più nuclei pari-pari stabili
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N.B.: masse atomiche
Stabilità dei nuclei
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Stabile
β+
β-
emissione di n
α AZX→A-4Z-2X
α
Fissione spontanea
emissione di p
Momento magnetico
• Una particella può essere dotata di momento angolare: spin S • In una visione classica, in cui una distribuzione
di massa ruota con velocità angolare ω attorno al proprio asse:
– I = momento d’inerzia • Se abbiamo una corrispondente distribuzione di carica:
• la particella presenta anche un momento magnetico:
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S = dVρ(r) rsinθω( ) rsinθ( )∫
S = dVρ(r)v× r∫=ω dVρ(r)r2 sin2θ = I∫ ω
ρe(r) =QMρ(r)
µ = dVρe(r)v2πr
πr2 sin2θ( )∫
µ =Q2M
S
=Q2M
ω dVρ(r)r2 sin2θ∫
rsinθ
rsinθ
I=Qv/2πrsinθ I S
Momento magnetico
• In meccanica quantistica solo alcuni valori di S sono permessi:
• Il momento magnetico si può esprimere come – g fattore giromagnetico
• p, n, e (e ν) hanno tutti s=1/2 – possono trovarsi in due stati di Sz=±ℏ/2 – g=2 per particelle elementari di spin ½ – κ=g-2: anomalia magnetica
• Per l’elettrone:
• Per il protone:
• Per il neutrone:
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S = s(s+1) ! s = 0, 12 ,1, 32… Sz =m! m = −s,−s+1,…+ s
!µ = g Q!
2M
"S!
!
"#
$
%&
µe = µB =e!2me
Spesso gergalmente si dice S=sℏ
= 5.788381×10−11MeV / T ge ≈ 2
µp = 2.79µN = 2.79e!2mp
κ p = 3.58
µn = −1.91µNκn = −3.82
µN = 3.152451×10−14MeV / T
Magnetone di Bohr
Magnetone nucleare
Momento magnetico
• Nuclei stabili con A pari (tipicamente Z-N pari-pari) presentano S=0 – µ=0
• Nuclei con A dispari (Z-N pari-dispari/dispari pari) hanno valori osservati -3µN<µ<7µN. – molto minore del numero di nucleoni disponibili
• I momenti magnetici dei singoli nucleoni tendono a compensarsi l’uno con l’altro.
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Dimensione dei nuclei
• Primi studi sulla struttura interna del nucleone effettuati con esperimenti di scattering elastico e-nucleo
• Acceleratore lineare a Stanford • Serie di esperimenti con elettroni di
energia 150-550 MeV e diversi tipi di bersaglio.
• McAllister e Hofstadter, Phys. Rev. 102 851 (1956)
Premio Nobel nel 1961
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Cinematica
• Consideriamo un elettrone incidente su un nucleo a riposo. – Per fissare le idee definiamo l’asse
z come la direzione del moto. – Possiamo trascurare la massa
dell’elettrone. – mN massa del nucleo.
• L’elettrone scambia un fotone con il nucleo, trasferendogli un tetramomento q. – W massa dello stato adronico
finale:
Fenomenologia del Modello Standard delle Particelle Elementari Lezione 4- A. Andreazza - a.a. 2014/15 24
k = E 0 0 E( )!k = !E !E sinθ 0 !E cosθ( )p = mN 0 0 0( )q = E − "E − "E sinθ 0 E − "E cosθ( )
W 2 = p+ q( )2 =mN2 + 2 pq( )+ q2
e-e-
N adroni
Cinematica: Invarianti relativistiche
• Ci sono tre tetravettori indipendenti: p, k, k′ – Possono venire combinati a dare tre quantità scalari
• Energia nel centro di massa • Due a scelta tra:
– Momento trasferito – Per comodità si definisce Q2 come quantità positiva:
– Frazione di energia trasferita
– xB
• Caso elastico: – un vincolo aggiuntivo
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s = p+ k( )2 =mN2 + 2mNE
q2 = k − "k( )2 = −2 k "k( ) = −2E "E (1− cosθ ) = −4E "E sin2 12θQ2 = −q2
y =2 pq( )2 pk( )
=E − "EE
0 < y <1
x = Q2
2 pq( )0 < x <1
W 2 =mN2
W 2 = p+ q( )2 =mN2 + 2 pq( )+ q2 ⇒ mN
2 =mN2 + 2 pq( )+ q2 ⇒ x = −q2
2 pq( )=1
2E !E (1− cosθ )2mN E − !E( )
=1⇒"EE=
11+ E /mN( )(1− cosθ )
=1
1+ 2E /mN( )sin2 12θ
Sezione d’urto di Mott
• Quando si considera lo spin dell’elettrone, la sezione d’urto di Rutherford viene modificata.
• Si ottiene la sezione d’urto di Mott:
• Se si considera un nucleone con spin ½:
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dσdΩ"
#$
%
&'Mott
=α 2 cos2 12θ4E 2 sin4 12θ
(EE
dσdΩ
=α 2
4E 2 sin4 12θ"EE ⇒
Correzione per tenere in conto che siamo nel sistema del laboratorio
dσdΩ
=α 2 cos2 12θ4E 2 sin4 12θ
"EE1+ Q2
2mN2 tan
2 12θ
#
$%
&
'( =
dσdΩ"
#$
%
&'Mott
1+ Q2
2mN2 tan
2 12θ
(
)*
+
,-
Formula di Rosenbluth
• Nel caso generale:
• Solitamente le funzioni W sono espresse in termine dei fattori di forma adimensionali F1 ed F2.
• Che si possono interpretare come i termini che definiscono il contributo della carica e del momento magnetico anomalo:
κ=g-2 nell’interazione e-p.
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dσdΩ
=α 2 cos2 12θ4E 2 sin4 12θ
"EE
W2 Q2( )
4mN2 +
W1 Q2( )
2mN2 tan2 12θ
#
$%%
&
'((
W1 Q2( ) =Q2 F1(q
2 )+κF2 (q2 )( )
2W2 Q
2( ) = 4mN2 F12 (q2 )+ κ2Q2
4mN2F22 (q2 )
!
"##
$
%&&
Interpretazione dei fattori di forma
• La sezione d’urto è proporzionale al quadrato dell’elemento di matrice
• Nel caso di scattering di Rutherford
• Per una generica distribuzione di carica normalizzata ρ(r):
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drρ(r) =1∫
f V i = drψ f* r( )V r( )ψi r( )∫
V r( ) =Ze2
4πε0rf V i = dre
i!p f ⋅r Ze2
4πε0re−i!pi ⋅r∫ =
Ze2
4πε04π!2
q2q = pi − p f
V r( ) = d !r Ze2ρ( !r )4πε0 | r − !r |∫
f V i = drei!p f ⋅r d "r Ze2ρ( "r )
4πε0 | r − "r |∫%
&'
(
)*e
−i!pi ⋅r∫ = dr d !r Ze2ρ( !r )
4πε0 | r − !r |∫ e−i!q⋅r
∫
= d !r ρ( !r )e−i!q⋅ !r
dr Ze2
4πε0 | r − !r |∫ e−i!q⋅(r− !r )
∫ =Ze2
4πε04π!2
q2!
"#
$
%& d 'r ρ( 'r )e
−i!q⋅ 'r
∫
Interpretazione dei fattori di forma
• Se il processo di scattering avviene non in un punto, ma su una distribuzione di densità compare un contributo dovuto alla propagazione delle onde piane corrispondenti alle funzioni d’onda della particelle incidente e di quella diffusa:
• Per particelle puntiformi • A basso momento trasferito, q≪1/r, e, sviluppando l’integrale, si ottiene una
serie di potenze in q:
– Assumendo ρ a simmetria sferica:
• Se q≫1/r, l’integranda oscilla fortemente e
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F(q2 ) = dre−i "k ⋅rρ(r)eik⋅r∫ = dreiq⋅rρ(r)∫F(q2 ) =1
F(q2 ) = dreiq⋅rρ(r) =∫ drρ(r) 1+ iq ⋅ r− 12q ⋅ r( )2 +...
$
%&'
()=∫
drρ(r) =1∫drρ(r)iq ⋅ r =∫ 0
−12
drρ(r) q ⋅ r( )2 =∫ −16q2 r2
Primo termine dello sviluppo: 0ggetto della misura di Hofstadter
F(q2 )→ 0 perq2 →∞
• La figura mostra uno schema semplificato della camera di scattering
• Gli elettroni normalmente attraversano la camera di scattering senza interagire con il bersaglio e vengono misurati dal rivelatore monitor che permette così di misurare il numero di elettroni di ogni impulso
La camera di scattering
• Occasionalmente gli elettroni interagiscono nel bersaglio
• Gli elettroni deflessi dell'angolo a cui è posto il rivelatore entrano nelo spettrometro.
• Lo spettrometro misura il momento per verificare lo scattering elastico:
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!EE=
1
1+ EmN
1− cosθ( )
Risultati per idrogeno
a) Sezione d’urto di Mott
b) Particella di Dirac
c) Sezione d’urto di Rosenbluth per protone puntiforme
La curva sperimentale indica una correzione: con
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F1 Q2( ) = F2 Q2( ) =1−Q
2
6rp2
rp2 = 0.74± 0.24fm
F1 Q2( ) = F2 Q2( ) =1
dσdΩ
=α 2
4E 2 sin4 12θ"EEcos2 12θ F1
2 +κ 2Q2
4mp2 F2
2#
$%%
&
'((+
Q2
2MF1 +κF2( )
2tan2 12θ
)
*++
,
-..
dσdΩ
=α 2
4E 2 sin4 12θ"EEcos2 12θ
dσdΩ
=α 2
4E 2 sin4 12θ"EEcos2 12θ 1+
Q2
2Mtan2 12θ
#
$%
&
'(
Risultati per particelle α
• Siccome il nucleo di He ha spin 0, il confronto viene fatto con la formula di Mott
– Scalata per Z2
• Anche in questo caso accordo con un fattore di forma:
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F1 Q2( ) =1−Q
2
6rHe2
rHe2 =1.60± 0.10fm
dσdΩ
=Z 2α 2
4E 2 sin4 12θ* cos
2 12θ
*F12 Q2( )
Un’analogia con l’ottica
• Il fenomeno è simile a quello della diffrazione: – Interferenza tra i fronti d’onda
diffusi dai vari centri di scattering
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Frosch et al, “Structure of the He4 Nucleus from Elastic Electron Scattering”, Phys. Rev. 160 874 (1967)
A(θ ) = dyei2πλysinθ
−d /2
d /2∫
x
y
θ
eik⋅x
k = 2πλ1,0( )
ρ x( ) = δ x( )ϑ d / 2− | y |( )
ei !k ⋅x
!k =2πλcosθ, sinθ( )
= dxρ x( )ei( !k −k)⋅x∫
• Gli studi sistematici sui nuclei furono completati da Hofstadter† negli anni 50 presso l’Università di Stanford – Ricostruzione di ρ(r) – Altri esempi di studi più recenti
• †R. Hofstadter, Electron Scattering and Nuclear Structure Rev. Mod. Phys 28 p.214 (1956)
• http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1961/hofstadter-bio.html
Altri nuclei
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197Au
16O 109Ag 208Pb
208Pb
Le dimensioni dei nuclei
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 2 A. Andreazza - a.a. 2015/16 35
• I risultati di molte misure delle dimensioni nucleari sono stati trovati in accordo con la legge empirica
• La conseguenza di questa legge empirica è che la densità della materia nucleare è costante
• La densità della materia nucleare è molto elevata
R = roA1/3 ro = 1.2 ×10−15m = 1.2 fm
V =43πR3 =
43πro3A
MA ≈ AmN
ρ =MAV
=AmN43πro3A
=mN43πro3
ρ ∼ 1014 g / cm3