Lezione 8Lezione 8

Chernoff Bound

Siano XSiano X11,…X,…Xn n n variabili casuali indipendenti tali che n variabili casuali indipendenti tali che

Pr[XPr[Xi i =1]=p=1]=pii

Pr[XPr[Xi i =0]=1-p=0]=1-pii

E[XE[Xii]= p]= pii

Consideriamo la variabile casuale Consideriamo la variabile casuale e poniamoe poniamo

= E[X]= = E[X]=

Allora abbiamo Allora abbiamo > 0 > 0

0<pi<1

n

iiXX

1

2

2

1

])1(Pr[

)1(])1(Pr[

eX

eX

n

iip

1

Chernoff Bound

EsempioEsempio

Supponiamo di lanciare 100 volte una monetaSupponiamo di lanciare 100 volte una moneta

Sia XSia Xii la variabile casuale la variabile casuale

Abbiamo quindi Pr[XAbbiamo quindi Pr[Xii=1]=1/2 e E[X=1]=1/2 e E[Xii]=1/2 per tutte le i.]=1/2 per tutte le i.

Allora conta il numero delle teste in 100 lanci.Allora conta il numero delle teste in 100 lanci.

=E[X]=50=E[X]=50

Calcoliamo un upper bound sulla probabilità che X>60Calcoliamo un upper bound sulla probabilità che X>60

Pr[X>60]=Pr[X>(1+0.2) Pr[X>60]=Pr[X>(1+0.2) ]<(e]<(e0.20.2/1.2/1.21.21.2))50500.3930.393

n

iiXX

1

croce; lancio iesimol',0

testa;lancio iesimol',1

iX

2

2

1

])1(Pr[

)1(])1(Pr[

eX

eX

Chernoff Bound

Nella lezione precedente ci siamo posti una domandaNella lezione precedente ci siamo posti una domanda

Quanti nodi ci sono in Quanti nodi ci sono in 22bb/n identificatori?/n identificatori?

Nel nostro sistema ci sono n nodiNel nostro sistema ci sono n nodi..

Pr[XPr[Xii=1]=(2=1]=(2bb/n)/2/n)/2bb=1/n=1/n

Pr[XPr[Xii=0]=1- Pr[X=0]=1- Pr[Xii=1]=(n-1)/n=1]=(n-1)/n

E[XE[Xii]=1/n]=1/n

T; a appartienenon nodo iesimol',0

T; a appartiene nodo iesimol',1

iX

2

2

1

])1(Pr[

)1(])1(Pr[

eX

eX

22bb/n/n

T

22bb/n/n

T

Chernoff Bound

X conta quanti nodi cadono in TX conta quanti nodi cadono in T

=E[X]=1/n*n=1=E[X]=1/n*n=1

Proviamo che non ci sono più di O(logn / log log n) nodi.Proviamo che non ci sono più di O(logn / log log n) nodi.

n

iiXX

1

T; a appartienenon nodo iesimol',0

T; a appartiene nodo iesimol',1

iX

2

2

1

])1(Pr[

)1(])1(Pr[

eX

eX

2

ln2ln42/1

ln41

lnln

lnlnln

ln4

lnln

lnlnln

ln4

lnlnlnlnln

ln4

lnlnlnlnlnlnln

ln4ln

lnlnln

lnln

ln4

lnln

ln4

lnln

ln4lnln

ln4

lnln

ln4

lnln

ln4

lnln

ln4

1lnln

ln4

1

ln

lnln

ln4

lnln

lnlnln4

lnlnln4

lnlnln4lnln

ln4Pr

neee

e

e

e

eee

n

n

n

ne

nne

nn

e

nn

e

n

nX

nnn

n

n

n

n

n

n

nn

n

nnn

nn

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Chernoff bound =1 e/4<1

n>e2e

4 ln n / ln ln n =O(log n / log log n)

H-ChordChordChord Sia n=2Sia n=2bb, per ogni 0 , per ogni 0 ≤ i < b, il nodo x è connesso ai nodi ≤ i < b, il nodo x è connesso ai nodi

((x+2x+2ii) mod 2) mod 2bb;; Il grado è b;Il grado è b;

Il diametro è b;Il diametro è b;

APL è b/2; APL è b/2;

R-Chord n=2R-Chord n=2b b [MNW04][MNW04] Sia n=2Sia n=2bb, per ogni 0 , per ogni 0 ≤ i < b, sia≤ i < b, sia r rxx(i) un intero scelto in (i) un intero scelto in

maniera casuale dall’intervallo [0,2maniera casuale dall’intervallo [0,2 ii), il ), il nodo x è connesso nodo x è connesso ai nodi (ai nodi (x+2x+2ii+r+rxx(i)) mod 2(i)) mod 2bb;;

H-Chord H-Chord Sia H() una funzione di hash (es SHA) che mappa un Sia H() una funzione di hash (es SHA) che mappa un

identificatore in nell’intervallo [0,1), il nodo x è connesso identificatore in nell’intervallo [0,1), il nodo x è connesso con i nodi x+2con i nodi x+2ii++H(x)2H(x)2ii mod 2 mod 2bb;;

H-ChordR-Chord vs H-ChordR-Chord vs H-Chord

R-Chord 2i 2i+1

H-Chord

2i+2

2i 2i+12i+2

H-ChordClaimClaim

Per ogni nodo sPer ogni nodo sii S, la probabilità che un S, la probabilità che un

vicino di svicino di si i I I è almeno d’/2è almeno d’/2pp..

P’=Pr[P’=Pr[JJkk(s(sii))I I per qualche 0 ≤ k < bper qualche 0 ≤ k < b] ≥ ] ≥ d’/2d’/2pp

ProvaProva

Consideriamo il generico vicino di s, sConsideriamo il generico vicino di s, s ii..

Denotiamo con dDenotiamo con dii la distanza fra s la distanza fra s ii e t. e t.

Sia pSia pii tale che 2 tale che 2ppii ≤ ≤ ddi i < 2< 2ppii+1+1

Due casi:Due casi:

1.1. d-d’≥d-d’≥ssii+2+2ppii

22pp ≤ d < 2≤ d < 2p+1p+1

p > (log n) / log (log n)p > (log n) / log (log n)II = (d-d’, d] = (d-d’, d]d’=d’=

|S|=p|S|=p

n

nd

log

loglog

sd

2p 2p+1

I

s td

2pi 2pi+1

Isi

ddii

d-d’

pi≤p

di≤d

ClaimClaim

Per ogni nodo sPer ogni nodo sii S, la probabilità che un S, la probabilità che un

vicino di svicino di si i I I è almeno d’/2è almeno d’/2pp..

P’=Pr[P’=Pr[JJkk(s(sii))I I per qualche 0 ≤ k < bper qualche 0 ≤ k < b] ≥ ] ≥ d’/2d’/2pp

ProvaProva

1.1. d-d’≥d-d’≥ssii+2+2ppii

L’unico jump di sL’unico jump di sii che può cadere in che può cadere in II è il jump (p è il jump (pii+1)-esimo, infatti il +1)-esimo, infatti il

jump (pjump (pii+1)-esimo +1)-esimo [s[sii+2+2ppii, s, sii+2+2ppii+1+1).).

In particolare il jump (pIn particolare il jump (pii+1)-esimo appartiene a +1)-esimo appartiene a I I con probabilità |con probabilità |II|/2|/2ppii = =

d’/2d’/2ppi i ≥≥ d’/2d’/2pp

sd

2p 2p+1

I

s td

2pi 2pi+1

Isi

ddii

d-d’

pi≤p

22pp ≤ d < 2≤ d < 2p+1p+1

p > (log n) / log (log n)p > (log n) / log (log n)II = (d-d’, d] = (d-d’, d]d’=d’=

|S|=p|S|=pddii≤d, ≤d, pi≤p

n

nd

log

loglog

H-Chord

ClaimClaim

Per ogni nodo sPer ogni nodo sii S, la probabilità che un S, la probabilità che un

vicino di svicino di si i I I è almeno d’/2è almeno d’/2pp..

P’=Pr[P’=Pr[JJkk(s(sii))I I per qualche 0 ≤ k < bper qualche 0 ≤ k < b] ≥ ] ≥ d’/2d’/2pp

ProvaProva

2.2. d-d’<d-d’<ssii+2+2ppii

sd

2p 2p+1

I

s t

d

2pi 2pi+1

Isi

ddii

d-d’

22pp ≤ d < 2≤ d < 2p+1p+1

p > (log n) / log (log n)p > (log n) / log (log n)II = (d-d’, d] = (d-d’, d]d’=d’=

|S|=p|S|=pddii≤d, ≤d, pi≤p

n

nd

log

loglog

H-Chord

ClaimClaim

Per ogni nodo sPer ogni nodo sii S, la probabilità che un S, la probabilità che un

vicino di svicino di si i I I è almeno d’/2è almeno d’/2pp..

P’=Pr[P’=Pr[JJkk(s(sii))I I per qualche 0 ≤ k < bper qualche 0 ≤ k < b] ≥ ] ≥ d’/2d’/2pp

ProvaProva

2.2. d-d’<d-d’<ssii+2+2ppii

In questo caso sia il jump p-esimo che il jump (p+1)-esimo In questo caso sia il jump p-esimo che il jump (p+1)-esimo possono cadere in possono cadere in I.I.

Sia Sia I = A I = A B B dove A=(d-d’, sdove A=(d-d’, sii+2+2ppii) e B=[s) e B=[sii+2+2ppii,d],d]

Ovviamente |A|+|B|=d’.Ovviamente |A|+|B|=d’.

s t

d

2pi 2pi+1

Isi

ddii

d-d’

22pp ≤ d < 2≤ d < 2p+1p+1

p > (log n) / log (log n)p > (log n) / log (log n)II = (d-d’, d] = (d-d’, d]d’=d’=

|S|=p|S|=pddii≤d, ≤d, pi≤p

n

nd

log

loglog

A B

H-Chord

ClaimClaim

Per ogni nodo sPer ogni nodo sii S, la probabilità che un S, la probabilità che un

vicino di svicino di si i I I è almeno d’/2è almeno d’/2pp..

P’=Pr[P’=Pr[JJkk(s(sii))I I per qualche 0 ≤ k < bper qualche 0 ≤ k < b] ≥ ] ≥ d’/2d’/2pp

ProvaProva

2.2. d-d’<d-d’<22ppii

Sia C l’insieme (Sia C l’insieme (ssii+2+2pi+1pi+1 – 2|A| – 2|A|,,ssii+2+2pi+1pi+1))

In H-Chord se il (pIn H-Chord se il (pii+1)-esimo jump di s+1)-esimo jump di sii cade in C allora cade in C allora

il pil pii-esimo jump di s-esimo jump di si i cade in A.cade in A.

Siamo interessati a calcolare la probabilità che il (pSiamo interessati a calcolare la probabilità che il (p ii+1)-esimo jump di s+1)-esimo jump di sii cade cade

in C o in B.in C o in B.

s t

d

2pi 2pi+1

Isi

ddii

d-d’

22pp ≤ d < 2≤ d < 2p+1p+1

p > (log n) / log (log n)p > (log n) / log (log n)II = (d-d’, d] = (d-d’, d]d’=d’=

|S|=p|S|=pddii≤d, ≤d, pi≤p

A=(d-d’, sA=(d-d’, sii+2+2pipi))

B=[sB=[sii+2+2pipi,d],d]

n

nd

log

loglog

A B C

H-Chord

ClaimClaim

Per ogni nodo sPer ogni nodo sii S, la probabilità che un S, la probabilità che un

vicino di svicino di si i I I è almeno d’/2è almeno d’/2pp..

P’=Pr[P’=Pr[JJkk(s(sii))I I per qualche 0 ≤ k < bper qualche 0 ≤ k < b] ≥ ] ≥ d’/2d’/2pp

ProvaProva

2.2. d-d’<d-d’<22ppii

Sia Sia QQ l’evento “il (p l’evento “il (pii+1)- esimo jump di s+1)- esimo jump di sii cade in C” cade in C”

Sia Sia RR l’evento “il (p l’evento “il (pii+1)-esimo jump di s+1)-esimo jump di sii cade in B” cade in B”

Siamo interessati a calcolare la Pr[QSiamo interessati a calcolare la Pr[QR]=Pr[Q]+Pr[R]-Pr[QR]=Pr[Q]+Pr[R]-Pr[QR]R]

s t

d

2pi 2pi+1

Isi

ddii

d-d’

22pp ≤ d < 2≤ d < 2p+1p+1

p > (log n) / log (log n)p > (log n) / log (log n)II = (d-d’, d] = (d-d’, d]d’=d’=

|S|=p|S|=pddii≤d, ≤d, pi≤p

A=(d-d’, si+2pi)A=(d-d’, si+2pi)

n

nd

log

loglog

A B

Q RQR

C

Ma questa volta QQR è vuoto.R è vuoto.

H-Chord

ClaimClaim

Per ogni nodo sPer ogni nodo sii S, la probabilità che un S, la probabilità che un

vicino di svicino di si i I I è almeno d’/2è almeno d’/2pp..

P’=Pr[P’=Pr[JJkk(s(sii))I I per qualche 0 ≤ k < bper qualche 0 ≤ k < b] ≥ ] ≥ d’/2d’/2pp

ProvaProva

2.2. d-d’<d-d’<22ppii

Pr[QPr[QR]= R]= Pr[Q]+Pr[R]-Pr[QPr[Q]+Pr[R]-Pr[QR]R] = =Pr[Q]+Pr[R]Pr[Q]+Pr[R]

s t

d

2pi 2pi+1

Isi

ddii

d-d’

22pp ≤ d < 2≤ d < 2p+1p+1

p > (log n) / log (log n)p > (log n) / log (log n)II = (d-d’, d] = (d-d’, d]d’=d’=

|S|=p|S|=pddii≤d, ≤d, pi≤p

A=(d-d’, si+2pi)A=(d-d’, si+2pi)

n

nd

log

loglog

A B C

pppp

ddBABCiii 2

'

2

'

2

2

2

H-Chord

Perchè H-Chord e non R-Chord?Perchè H-Chord e non R-Chord?

Svantaggi R-Chord Come mantenere la lista dei vicini dei vicini? No fast bootstrap

In H-Chord non c’è nessun fattore random, in particolare ogni nodo conoscendo il suo vicino conosce i vicini del suo vicino.

O almeno può stimare le posizioni dei vicini del nostro vicino

H-Chord

Dato un nodo x, x conosce il suo vicino y, Dato un nodo x, x conosce il suo vicino y, dato y, x può calcolare H(y) e quindi può dato y, x può calcolare H(y) e quindi può calcolare per ogni 0calcolare per ogni 0≤≤i<b i<b y+2y+2ii++H(y)2H(y)2ii..

Tuttavia, quando il ring non è pieno, x non Tuttavia, quando il ring non è pieno, x non conosce l’esatta posizione dei vicini dei vicini conosce l’esatta posizione dei vicini dei vicini ma ne ha una buona stima.ma ne ha una buona stima.

La funzione di hash è uguale per tutti i nodi

H-Chord 2i 2i+12i+22i+1

H-Chord

H-Chord

0123456789

10

2 4 6 8 10 12 14 16 18

log N

ho

ps

Chord

R-ChordGreedyR-Chord NoN

R-Chord SP

H-ChordGreedyH-Chord NoN

H-Chord SP

H-Chord

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

log N

ho

ps

Chord

R-ChordGreedyR-Chord NoN

R-Chord SP

H-ChordGreedyH-Chord NoN

H-Chord SP

Perchè H-Chord e non Chord?Perchè H-Chord e non Chord?

Svantaggi R-Chord Come mantenere la lista dei vicini dei vicini? No fast bootstrap

Non è possibile fare fast bootstrap perché le tabelle di routing sono diverse, tuttavia se due nodi x, y generano due valori hash abbastanza vicini (H(x)H(y)) allora le loro tabelle sono simili.

I problemi sono:Cosa vuol dire “abbastanza vicini”

Come trovare un vicino con hash “abbastanza vicino”

H-Chord

Sistemi P2P uniformiVantaggi:Vantaggi: Facili da implementare e da analizzare;Facili da implementare e da analizzare; Algoritmo di routing semplice (greedy);Algoritmo di routing semplice (greedy); Routing locale, la procedura di lookup interessa solo i nodi Routing locale, la procedura di lookup interessa solo i nodi

che si trovano fra sorgente e destinazione; che si trovano fra sorgente e destinazione; Non c’è congestione sui nodi, vale a dire il traffico generato Non c’è congestione sui nodi, vale a dire il traffico generato

dai messaggi di lookup è più o meno uguale per tutti i nodi.dai messaggi di lookup è più o meno uguale per tutti i nodi. Fast bootstrap:Fast bootstrap:

Poiché tutti i nodi utilizzano gli stessi jump, è possibile utilizzare Poiché tutti i nodi utilizzano gli stessi jump, è possibile utilizzare la tabella di routing del proprio predecessore per velocizzare la tabella di routing del proprio predecessore per velocizzare notevolmente l’operazione di join;notevolmente l’operazione di join;

Svantaggi:Svantaggi: Sfortunatamente non sono gli algoritmi più efficienti.Sfortunatamente non sono gli algoritmi più efficienti.

Koorde base k

Scegliendo k = O(log n):Scegliendo k = O(log n): Grado = O(log n)Grado = O(log n) APL = O(log n / log (log n))APL = O(log n / log (log n))

SvantaggiSvantaggi Bisogna stimare n a priori;Bisogna stimare n a priori; Non è possibile cambiare il grado in un sistema attivo;Non è possibile cambiare il grado in un sistema attivo; E’ molto complicato stabilizzare la rete;E’ molto complicato stabilizzare la rete;

00

0112

11

10 b=2

k=3

02

2221

20

R-Chord

Vantaggi: Algoritmo di routing locale Algoritmo di routing semplice Efficiente Non è necessaria la stima di log n L’algoritmo di stabilizzazione è identico a quello

di Chord

Svantaggi Come mantenere la lista dei vicini dei vicini? No fast bootstrap

H-Chord

Vantaggi Algoritmo di routing locale Algoritmo di routing semplice Efficiente Non è necessaria la stima di log n L’algoritmo di stabilizzazione è identico a

quello di Chord

Svantaggi No fast bootstrap ????

Hc-Chord