lezione del 15 novembre 2006 retta passante per un punto p di direzione u equazione vettoriale :...

Lezione del 15 novembre 2006Retta passante per un punto P di direzione

uEquazione vettoriale : X=ku+P,

kEsempio: u=(1,1), P=(3,0)

kk

x

x ,

0

3

1

1

2

1

u

P

P+u

k=1

Retta passante per un punto P di direzione u

Esempio:

u=(1,1), P=(3,0)

,0

3

1

1

2

1

k

x

x

u

P

P+uk

P+3u3u

k=1 k=3


Esempio:

u=(1,1), P=(3,0)

,0

3

1

1

2

1

k

x

xk P+3u

P+u

P

u

3u

5u P+5u

P-u-uk=1 k=3

k=5 k=-1


Esempio:

u=(1,1), P=(3,0)

,0

3

1

1

2

1

k

x

xk P+3u

P+u

P

u

3u

5u P+5u

P-u-u

-4u

P-4u

k=1 k=3

k=5 k=-1

k=-4

Combinazione lineare di due vettori linearmente indipendenti

u

-u

v

-v

w=1u+2v 10, 20

1 0, 2 0

10, 2 0

1 0, 2 0

Funzioni di più variabili – Lezione introduttiva

Testi di riferimento per questa parte di programma

Cambini A., Carosi L., Martein L. Esercizi di Matematica Generale. Funzioni di più variabile. - Giappichelli 2003.

Cambini A., Martein L. Introduzione all'algebra lineare. Funzioni di più variabili reali - Ed. Libreria Sc. Pellegrini, Pisa, 1994

Elementi di topologia in n

Sia . L'intorno circolare di centro e raggio R è l'insieme dei punti aventi da una distanza minore di R

Se n=2. L'intorno circolare di centro e raggio R coincide con il cerchio di centro e raggio R, con esclusione dei punti della circonferenza che lo delimitano.

R


Sia è detto punto interno ad A se esiste un intorno di contenuto in A.

Sia è detto punto di frontiera di A se ogni intorno di contiene sia punti appartenenti ad A che punti che non appartengono ad A.

Punto interno Punto di frontiera


I punti interni di S sono i punti appartenenti alla regione colorata di giallo. Analiticamente:


I punti di frontiera di S sono i punti colorati di blu. Analiticamente:

N.B. I punti di frontiera non necessariamente appartengono all’insieme


Sia A è un insieme aperto se ogni punto di A è interno.

Sia A è un insieme chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera.

Nell’esempio precedente, S non è né aperto né chiuso


Sia A è un insieme limitato se esiste un intorno di raggio R e centro l’origine che lo contiene. Sia A è un insieme illimitato se non è limitato.

Insieme limitato Insieme illimitato


Sia A è un insieme compatto se è chiuso e limitato.

Esempio: A

Attenzione!!!!!!!

Non confondere aperto con illimitato e chiuso con limitato. I seguenti esempi mostrano che esistono insiemi chiusi ed illimitati ed insieme aperti e limitati.

H è chiuso e illimitato.

H

G è aperto e limitato.

G


Sia A è un insieme convesso se per ogni

Funzioni di più variabili a valori reali

Consideriamo una funzione

Dato un sottoinsieme una funzione f definita in A e a valori in R è una legge che associa ad ogni elemento associa uno ed un solo numero reale f(x).

Se n=2, con un leggero abuso di notazione, per indicare gli elementi di useremo indistintamente i simboli oppure (x,y).Se n=3, con un leggero abuso di notazione, per indicare gli elementi di useremo indistintamente i simboli oppure (x,y,z).

Esempi di Funzioni di più variabili a valori reali

dalla geometria: area del rettangolo

dall'economia: se un'impresa produce due beni, il costo totale dell'impresa dipende dalle quantità prodotte dei due beni.

Funzioni Cobb-Douglas : la produzione di un bene dipende dai due fattori produttivi K (capitale) ed L (lavoro).

dalla matematica finanziaria: la rata che pago per estinguere un debito dipende dall’ammontare del debito, dal numero delle rate, dal tasso di interesse pagato: R=f(D,i,n)

Campo di esistenza

Campo di esistenza: è l’insieme più grande di dove è possibile calcolare f(x).

Esempi

Campo di esistenza

Limiti e Continuità

Sia f una funzione a valori reali definita su un sottoinsieme Diremo che

se per ogni intorno circolare U di l esiste un intorno circolare V di x0 tale che

N.B. x,x0 sono due vettori e non due numeri reali.

Limiti e Continuità

Definizione di continuità: Sia x0A. Diremo che f è continua in x0 se f è continua in A se è continua in ogni punto di A. Proprietà delle funzioni continue.

La somma, la differenza ed il prodotto di funzioni continue sono funzioni continue;

Il rapporto di funzioni continue è una funzione continua con esclusione dei punti che annullano il denominatore.

l prodotto di composizione di funzioni continue è una funzione continua.

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