lezione n. 4corso di fisica b, c.s.chimica, a.a. 2001-02 1 energia potenziale elettrica lavoro...

Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

1

Energia Potenziale Elettrica

Lavoro compiuto per spostare una carica puntiforme q0 nel campo elettrico della carica puntiforme q (q0 << q)

aaaa

r

dr

q0F q0 E

q0 E

aaaa

r

r+dr

dr

r̂

Lavoro compiuto da F dW Fdr q0E dr

Lavoro totale sul percorso 12:

W12 qq0

40

ˆ r drr 2

1

2

ˆ r dr dr

W12 qq0

40

drr 2

r1

r2

Da cui: W12 qq0

4 0

1r2

1r1

Non dipende dal cammino di

integrazionema solo dagli estremi


2

La forza elettrostatica è conservativa

W12 U2 U1U2 = energia potenziale del punto 2

U1 = energia potenziale del punto 1

U2 U1 q0 Edr1

2

Unità di misura di U nel sistema SI: joule (J)

Nel caso di un campo elettrico E generico

La Forza elettrica è conservativa W12 non dipende dal cammino di integrazione percorso della carica

q0 nel campo generato dalla carica q.

Se il punto P1 coincide con P2 (percorso chiuso)

Circuitazione di F = 0 Forza elettrica conservativa ma poichè

Allora anche la circuitazione di E = 0 Campo elettrico conservativo

W12 U2 U1 0 W12 Fdr l 0

F dr l q0 E dr l 0


3

Potenziale elettrostaticoDefinito come Energia potenziale per unità di carica

Uq0

Unità di misura nel sistema SI: volt=joule/coulomb (V = J C-1)

Differenza di potenziale elettrico 2 1 W12

q0

U2 U1

q0

r1 1 0

2 1 q

4 0

1r2

1r1

Nel caso della carica puntiforme

Di solito si sceglie la condizione al contorno di potenziale nullo all’infinito, per cui

1

4 0

qr

Nel caso di una distribuzione continua di carica, il potenziale vale:

dove

1

4 0

dqr

(dq dV; dq dS; dq dl)


4

Le unità di misura - l’elettron-Volt

Dalla definizione di potenziale si evince che esso è il lavoro per unità di carica necessario per portare l’unità di carica dall’infinito alla posizione r

Dal punto di vista dimensionale è un’energia per unità di carica

Pertanto il potenziale si misura in volt = joule / coulomb

1 joule rappresenta il lavoro (cioè l’energia) necessario per spostare l’unità di carica (1 coulomb) attraverso la d.d.p. di 1 volt.

Una definizione alternativa, usata in fisica atomica, consiste nel definire l’unità di misura del potenziale nel modo seguente: il lavoro (cioè l’energia) necessario per spostare la carica elementare (1|e| =1.6 10-19 coulomb) attraverso la d.d.p. di 1 volt. Tale lavoro è pari a 1.6 10-19 joule, e tale valore viene chiamato elettron-volt (eV).

Pertanto 1 eV = 1.6 10-19 J (l’eV è un’unità di misura dell’energia).

Inoltre, si ricorda che, per definizione di potenziale,

Quindi dove Llunghezza, e pertanto l’unità di misura del campo elettrico è, oltre che newton/coulomb, anche volt/m (ovviamente numericamente le due grandezze sono equivalenti).

q

U

rE d12 LE


5

Superfici equipotenziali e linee di forza

Esempi

Campo elettrico uniforme Carica puntiforme Dipolo elettrico

Le superfici equipotenziali sono definite come il luogo dei punti per cui = costante

Le linee di forza sono “linee” tangenti in ogni punto alla direzione del campo elettrico


6

Come calcolare il potenziale, dato E?

Si è visto che cioè U2 U1 q0 Edr1

2

rE d12

Tale risultato è indipendente dal percorso

Nel caso in cui, poi, si scelga 1=0 la formula si semplifica in:

rE d2

Nel caso della carica puntiforme, si ha:

r

qd

r 04

rE


7

Esempio: potenziale di distribuzioni sferiche

Guscio sferico o sfera conduttrice Sfera uniformemente carica

All’interno il campo elettrico è

All’esterno, il campo elettrico è

come nel caso di una carica puntiforme.

Il potenziale all’interno va calcolato come somma di due contributi, uno relativo a r<R, dove il campo elettrico è Eint, e l’altro per r>R, dove il campo elettrico vale Eest:

Il potenziale all’esterno invece va calcolato solo per r>R, dove il campo elettrico vale Eest:

r

Q

r

Q

r

drQdrEV

rrr estr estest

002

0 4

1

44

drE

0int E

204 r

QEest

All’interno il campo elettrico è

All’esterno, il campo elettrico è

come nel caso di una carica puntiforme.

Il potenziale all’interno va calcolato come somma di due contributi, uno relativo a r<R, dove il campo elettrico è Eint, e l’altro per r>R, dove il campo elettrico vale Eest:

Il potenziale all’esterno è uguale al caso del guscio sferico poichè le distribuzioni a simmetria sferica, per la legge di Gauss, possiedono lo stesso campo di una carica puntiforme posta al centro della distribuzione.

204 r

QEest

R

Q

r

drQdrEdrEV

RR est

R

rR est

R

r0

20

intintint 440

drEdrE

30

int 4 R

QrE

3

0

22

230

intintint

8

3

4

R

rRQ

r

dr

R

rdrQ

drEdrEV

R

R

r

R est

R

rR est

R

r

drEdrE


8

Il potenziale in un campo elettrico uniforme

Data la particolare geometria del sistema, si ha subito:

E pertanto la d.d.p. risulta essere:

Dove “d” è la distanza di integrazione.

EdrEdrd cosrE

2

1

2

1

2

1

12 EdrEEdrdrE


9

Il potenziale di dipoloUn dipolo elettrico è un sistema composto da due cariche elettriche uguali ma di segno opposto poste alla distanza d.

Il potenziale è una grandezza additiva, per cui nel punto P, posto alla distanza r>>d, esso sarà dato da:

Data la relazione tra d ed r, si possono utilizzare le approssimazioni:

E quindi ottenere il valore finale per il potenziale:

)()(

)()(

0)()(0)()( 44

1

rr

rrq

r

q

r

qVVV

20

20

cos

4

1

4

cos

r

p

r

qdV

2)()()()( cos rrrrr

L’angolo è compreso tra l’asse del dipolo elettrico e la direzione di P.

La grandezza

p=qd

è definita

momento di dipolo elettrico

Si noti come per una carica puntiforme Vr-1 ed Er-2 mentre per un dipolo elettrico Vr-2 ed Er-3 (nella direzione dell’asse).

Questo avviene perché si fa sentire l’effetto della seconda carica di segno opposto


10

Il potenziale di un conduttore carico isolato

In un conduttore carico isolato E=0 in tutti i punti all’interno di esso, e tutta la sua carica giace sulla superficie del conduttore.

Dall’equazione che definisce il potenziale: rE d12

Si deduce che essendo E=0 allora il potenziale è uguale per tutte le coppie di punti possibili all’interno del conduttore.Ad esempio, per un conduttore a forma di guscio sferico campo elettrico e potenziale assumono l’andamento a fianco

Questo significa che le cariche elettriche in un conduttore, in presenza di campo elettrico, si ridistribuiscono sulla superficie in modo da assumere una configurazione equipotenziale.


11

L’effetto parafulmine

Consideriamo due sfere con cariche Q1 e Q2 e raggi R1 << R2 collegate tra loro (cioè si trovano allo stesso potenziale) e poste a grande distanza l’una dall’altra (quindi i loro campi elettrici non si influenzano l’uno con l’altro all’interno delle sfere).

L’uguaglianza del potenziale implica che:

Da cui si trova:

Per quanto riguarda i campi elettrici, il loro rapporto vale:

E tenendo conto della relazione precedente, si ha:

Dato che R1 << R2 , allora E1 >> E2 .

20

22

10

11 44 R

QV

R

QV

2

121 R

RQQ

220

2

210

1

2

1

4

4

R

QR

Q

E

E

1

2

2

1

R

R

E

E

Nel caso del parafulmine, R2 6000 Km è il raggio di curvatura della superficie terrestre mentre R1 1 cm può essere assunto come il raggio di curvatura della superficie di un’asta metallica che funge da parafulmine, per cui E1/E2 6 108


12

Potenziale dovuto ad una carica lineare

Una sbarretta lunga L e sottile (spessore<<L) è carica positivamente con densità lineare di carica data da

Il potenziale dovuto alla bacchetta in un punto P, alla distanza d da un suo estremo, può essere valutato integrando sulla bacchetta i contributi dovuti agli elementi infinitesimi dq:

Tale integrale vale:

dxdq

21

2200 4

1

4

1

dx

dx

r

dqdV

d

dLL

ddLL

dxx

dx

dx

dx

dxdVV

L

L

L

22

0

22

0

0

22

0

0 21

220

0 21

220

ln4

lnln4

ln4

4

4

1

Si ricorda che l’integrale seguente è risolubile come:

2

1

2

1

22

22ln

x

x

x

xdxx

dx

dx


13

Si consideri un disco di raggio R, carico con densità di carica superficiale =dq/dA. Il potenziale nel punto P, situato sull’asse del disco, è valutabile considerando dapprima il contributo di un anello infinitesimo del disco, di raggio R’ e larghezza radiale dR’, di area 2R’ dR’ e carico dq.

Essendo tutti i punti dell’anello alla distanza r dal punto P, il potenziale da essi generato vale:

Il potenziale dovuto a tutto il disco è quindi dato dall’integrale:

Potenziale dovuto ad un disco carico

''2 dRRdq

2

122

00 '

''2

4

1

4

1

Rz

dRR

r

dqdV

zRzdRRRzr

dqdVV

R

22

00

21

22

00 2'''

24

1


14

Ogni sistema di cariche possiede un’energia intrinseca immagazzinata nel sistema stesso: l’energia potenziale elettrica

L’energia potenziale elettrica è definita come il lavoro richiesto per costruire il sistema di cariche, spostando ciascuna carica da una distanza infinita alla propria posizione.

Ad esempio, si consideri un sistema di due cariche q1 e q2 poste alle distanze r1 e r2 da un arbitrario sistema di riferimento. L’energia potenziale elettrica di questo sistema è equivalente al lavoro necessario per portare la carica q2 dalla distanza infinita alla posizione r2 contro il campo elettrico creato da q1:

Nel caso vi siano tre cariche q1, q2 e q3, prima considero la coppia q1 e q2, per cui

Poi considero q3: per portarla alla posizione r3 debbo prima compiere lavoro contro il campo generato

da q1 e poi contro quello generato da q2

Per cui il lavoro complessivo vale

Nel caso generale di un sistema di N cariche

Energia potenziale elettrica

12

1

012 4

1

r

qV

120

2121212 4 r

qqqVLU

120

2112 4 r

qqU

130

3113 4 r

qqU

230

3223 4 r

qqU

230

32

130

31

120

21231312 444 r

qq

r

qq

r

qqUUUUL

N

ji ij

ji

r

qqU

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1

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