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Lezioni del Corso diFondamenti di Metrologia

3. L’Incertezza di Misura

Università degli Studi di CassinoFacoltà di Ingegneria

Università degli Studi di Cassino Corso di Fondamenti di Metrologia

IndiceIndice

1. Incertezza di Misura2. Propagazione delle Incertezze3. Errore Massimo Tollerato


Incertezza di Misura

Alcune definizioni di Incertezza

Parametro, associato al risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando (VIM, 1993)Stima di valori caratterizzante il campo di valori entro cui cade il valore vero del misurando (VIM, 1984)Valutazione quantitativa dell’errore possibile nel valore stimato del misurando fissato un assegnato livello di confidenza (probabilità)



EA-4/02 Expression of the uncertainty of Measurement in Calibration, 1999UNI CEI ENV 13005 Guida all’espressione dell’incertezza di misura, 2000

La ISO Guide (recepita in Italia come UNI CEI ENV 13005: 2000) classifica le incertezze di misura in due gruppi distinti:

– Tipo A: comprende quelle incertezze di misura la cui valutazione può essere basata su metodi statistici (oggettivi).

– Tipo B: comprende quelle incertezze la cui stima è basata su “altri metodi”; ciò, inevitabilmente, implica elementi di valutazione di tipo soggettivo.



Incertezza di tipo A

– Ripetizione della misura– Modello distribuzione statistica– Stima dei parametri della distribuzione– Stima dell’incertezza tipo

Modello della Misura (incertezza di tipo A)

1. misura come media delle ripetizioni2. valutazione dello scarto tipo delle misure3. stima dell’incertezza di tipo A

aumentando il numero di misure (n) diminuisce il contributo dell’incertezza di tipo A

∑= ixn

x 1

nsxsxu x

222 )()( ==

( )∑ −−

= 22

11 xx

ns ix



Esercizio: Misura della massa incognita mediante una bilancia elettronica.L’osservatore effettua misure ripetute in modo tale da rendere evidenti le cause di incertezza che si vogliono stimare (es. collocando la massa in posizioni diverse, ripetendo le misure durante un periodo sufficientemente lungo da comprendere le variazioni di temperatura, ecc.)

Tabella delle misure (g)

x(1) =100.0568 x(14) = 99.96014x(2) = 99.99646 x(15) = 99.92793x(3) = 99.93649 x(16) = 99.93853x(4) = 99.99458 x(17) = 100.0021x(5) = 100.0761 x(18) = 99.97930x(6) = 99.99119 x(19) = 100.0216x(7) = 99.98705 x(20) = 99.97158x(8) = 99.99824 x(21) = 100.0437x(9) = 100.0437 x(22) = 99.96122x(10) =99.98410 x(23) = 99.99166x(11) =100.0140 x(24) = 99.95460x(12) = 100.0120 x(25) = 100.0684x(13) = 99.96027



la migliore stima della massa incognita viene fornita dalla media delle 25 misurazioni:

la stima dell’incertezza di tipo A può essere semplicemente ricavata sulla base della stima dello scarto tipo del campione (confidenza al 95%)

In questo caso nulla possiamo dire sull’incertezza dovuta al campione di riferimento o alla stabilità dello strumento. In tal caso solo una stima a priori di tali componenti di incertezza consentirà una stima sufficientemente affidabile della fascia di incertezza.

gi

ixX 995.9925

1)(

25

1=∑

==

( ) gs

Ugi

Xixs 016.025

2040.025

12)(

24

1===∑

=−=



Incertezza di tipo B

Le sorgenti di informazione per la stima dell’incertezza tipo B sono le conoscenze a priori che l’operatore di misura può reperire anche in modi diversi come :

dati di misure precedentiesperienza o conoscenza circa il comportamento di materiali o strumentispecifiche del costruttoredati di taratura o di altri certificati;incertezza assegnata a dati di riferimento presi in manuali o banche dati e bibliografia scientificaprevisioni circa le variazioni di grandezze d’influenza o della grandezza d’ingresso stessa (es., comportamento dinamico).



Modello della Misura (incertezza di tipo B)

Individuare le cause di erroreCorreggere l’errore probabile Individuare l’intervallo (a, b) entro il quale può essere contenuto l’erroreIpotizzare la distribuzione di erroreStimare l’incertezza tipo(Calcolare numero di gradi di libertà)



Esercizio:Misura con un’unica pesata della massa incognita effettuata mediante una bilancia elettronica con una portata pari a 120 g.E’ possibile stimare le incertezze solo come di tipo B.

Fonte di incertezza Incertezza tipoGrandezza di riferimento 0.05 mgStabilità (3 mesi) 0.1 mgEccentricità 0.3 mgInfluenza della temperatura (a 20 ± 5 °C) 0.4 mgLinearità 0.2 mgRipetibilità 0.1 mgRisoluzione 0.1 mg

gc

uUgi

iB

uc

un

136,12568.01

2)( =⋅==∑=

=



Si potrebbero immaginare due casi limite:

– il caso di una singola misurazione (o una invariabilità del risultato della misura), in cui è impossibile stimare le incertezze di tipo A e tutte le cause di errore vengono stimate mediante l’approccio probabilistico di tipo B

– il caso di misure numerose in cui tutte le grandezze di influenza vengono fatte variare in modo casuale al fine di stimare a posteriori le cause di incertezza statisticamente come incertezze di tipo A e considerando nulle le incertezze di tipo B.



Stimati i diversi contributi di incertezza (tipo A e B) si procede alla loro composizione in un unico valore uC (incertezza composta:

L’incertezza estesa viene calcolata moltiplicando l’incertezza tipo per il fattore di copertura (k) che corrisponde ad una assegnata probabilità di copertura (livello di confidenza).

I laboratori esprimono l’incertezza estesa con un fattore di copertura k tipicamente pari a 2 (che corrisponde ad un livello di confidenza circa pari al 95%)

221

22 ........ nBBAC uuuu +++=

CC ukU ⋅=


Processo di misura e stima dell’incertezza

1. Definizione dell’equazione della misura2. Correzioni3. Cause di incertezza4. Stima incertezza tipo A5. Stima incertezze tipo B6. Stima gradi di libertà7. Scelta livello di confidenza e fattore di copertura8. Calcolo incertezza composta estesa9. Espressione del risultato della misura e relativa incertezza




Processo di misura e stima dell’incertezza


Propagazione delle Incertezze

la grandezza misurata (uscita) Y è funzione di altre N grandezze X1, X2, …, XN (ingressi, grandezze di influenza) mediante una relazione funzionale f:

Y=f (X1,X2,…,Xn)

le grandezze Xi possono essere interpretate sia come grandezze misurate, sia come grandezze di influenza per la misura

La funzione f dell’equazione di misura non rappresenta semplicemente il principio fisico di misura, ma l’intero metodo di misura e quindi contiene tutte le grandezze che contribuiscono all’incertezza di misura (i.e. operatori, ambiente, misurando, procedura).



L’errore Ey complessivo degli N contributi errori Exi Sulla base dell’equazione di misura ed utilizzando come modello matematico unosviluppo in serie di Taylor di punto iniziale xm approssimato ai solitermini del primo ordine è possibile ricavare :

∑=

⋅∂∂

=⋅∂∂

++⋅∂∂

+⋅∂∂

=n

iX

iX

nXXY in

EXfE

XfE

XfE

XfE

121

...21

Per errori non correlati si dimostra che l’incertezza composta è :

ci coefficienti di sensibilità (poiché descrivono quanto una variazione nella stima di un generico ingresso Xi influenzi la stima della grandezza in uscita Y, cioè quanto questa sia sensibile alla stima dell’ingresso in questione)ui(Y) contributi di incertezza su Y derivanti dalle incertezze u(Xi)

∑∑∑===

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=n

ii

n

iii

n

ii

i

YuXucXuXfYu

1

2

1

22

1

22

2 )()()()(


Operatore Matematico

Legame Funzionale

Legge di propagazione

Somma e Differenza ∑

==

n

iiXY

1 ∑=

=n

1i)iX(2u)Y(2

cu C

Prodotto e Rapporto ∏

==

n

1iiXY ∑

== ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

1i)iX(2u

2

iX

Y)Y(2

cu C

Potenza αXY = )X(2u)1(2X2)Y(2u CC

−α⋅⋅α=

Logaritmo XY log=

2X

)X(2u)Y(2u C

C =

Leggi di propagazione per legami funzionali semplici



Nel caso in cui uno o più errori (quindi incertezze) siano correlati tra loro è necessario utilizzare la seguente relazione:

avendo indicato con: - u(Xx,Xj) la covarianza associata alle stime di Xi e Xj

- r(Xi,Xj) il coefficiente di correlazione tra Xi e Xj

)()(),(2)(

),(2)()()(

1

1 11

22

1

1 11

22

2

1

2

ji

n

i

n

ijjiji

n

iii

n

i

n

ijjiji

n

iii

n

ii

i

XuXuXXrccXuc

XXuccXucXuXfYu

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=

=⋅⋅+⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

∑ ∑∑

∑ ∑∑∑−

= +==

−

= +===

Propagazione delle incertezze: il caso di grandezze correlate



Esercizio 1:Propagazione delle incertezze in una misura di superficie

si voglia misurare, mediante una misura indiretta, l’area incognita di un rettangolo, avente superficie di dimensioni x1 e x2.

la superficie è il prodotto delle misure delle due dimensioni x1=1,5m ed x2=1,0 m:l’incertezza associata alla determinazione dell’area A, sarà, dunque, funzione delle incertezze associate alle misure di x1 ed x2, secondo la relazione:

)2

(22

2)(2

2

1)(2

21 1 XC

uX

AX

Cu

X

AAuXXA C ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=⋅=


1) coefficienti di sensibilità sono pari a:

. 2) incertezze (tipo A) delle due dimensioni

3) propagando le due incertezze

4) l’incertezza tipo composta sarà:

5) la superficie incognita risulterà:

mxmx

)04,00,1()02,05,1(

2

1

±=±=

12

21

xxfx

xf

=∂∂

=∂∂

22

2

2

21

2

1

2C u

xfu

xf)A(u ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

( ) ( ) m06.02)04.0(25.1202.020.1)A(cu ±=+=

2)06,05,1( mA ±=


Il flusso di energia termica viene valutato mediante la misura della differenza di temperatura ∆T e della portata di fluido termovettore V che fluisce nell’intervallo di tempo. K è un coefficiente termico che si calcola secondo la norma UNI EN 1434-1

Modulodi calcolo

Tm

Tr

UTENZA

2

1

V

V

Q K T dV= ⋅Δ ⋅∫

Un contatore CET è quindi costituito da due sensori di temperatura del fluido (in ingresso ed in uscita dall’utenza termica in esame), un misuratore di portata (generalmente volumetrico) ed un modulo di acquisizione, calcolo e totalizzazione

Il Contatore di Energia Termica CET

V&


2

1

,

,

1

, ,

( )

1 ( )

1 ( )

( , ) ( ) ( , )

R f

R i

r

m

i u

p

p

n

p i i p i ii

T

R f R i T

T

p pm r T

i i m r r p m r

Q m h m h hdh c dT vdp

dh c dT

Q Vc Td V c T

T dTT T

c c T dTT T

K K T T T c T T

θ

θ

ρ θ ρ θ

ρ ρ

ρ

=

= Δ = −

= +

=

= Δ = Δ Δ

=−

=−

= =

∑∫

∫

∫

& & &

& &

1( )

n

i i m r ii

Q K V T T θ=

= − Δ∑ &


2

1

V

V

Q K T dV= ⋅Δ ⋅∫2 2 2 2

Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

tQ k V T

t

u u u uQ K V T

ISO Guide

l’incertezza relativa di questo strumento raramente risulta inferiore al 3-4% e può talvolta raggiungere il 10%

Determinazione dell’incertezza di misura di un CET


Esercizio 2:Propagazione delle incertezza in una misura di energia termica (CET)

Si valuti l’incertezza nella misura dell’energia termica ceduta ad un ambiente attraverso un termoradiatore, utilizzando un Contatore di Energia Termico (CET) di tipo diretto, basato cioè sul bilancio entalpico del fluido termovettore.

incertezza di taratura dei sensori di temperatura (Pt500) utilizzati u T =±0,2 °C (k=2) E max in taratura per i sensori di temperatura (da Certificato) E max,T =0,3 °C incertezza di taratura del sensore di portata volumetrico 2% VL E max in taratura per il sensore di portata (da Certificato) E max,V = 0,5 m 3 /h calore specifico dell’acqua (medio) c = 4,186±1% kJ/kgK densità dell’acqua nell’intervallo di misura (media) ρ = (1000±15) kg/m 3

portata volumetrica misurata V=3,957 m 3 /h temperatura di mandata misurata T m = 74°Ctemperatura di ritorno misurata T r = 76°Cenergia termica fornita con relativa incertezza E = ?


Massimo Errore Permesso

errore massimo tollerato MPE (Maximum Permissibile Error, OIML-V2) nella verifica delle prestazioni degli strumenti di misuralimite di tolleranza SL (Specification Limit, ISO/FDIS 14253-1), conformità delle tolleranze geometriche di un pezzo meccanico

In metrologia legale occorre verificare la conformità sia al momento della fabbricazione (verifica prima), sia periodicamente in campo o in laboratorio (verifica periodica).

Uno strumento (prodotto) si considera conforme quando l’errore di misura E, valutato per appropriati valori del suo campo di misura (proprietà), èinferiore a quello massimo tollerato MPE (intervallo di tolleranza):

⏐E⏐ = ⏐X - Xrv ⏐< MPE



La verifica non è mai un’operazione che porta ad un risultato certo dal momento che non esiste metodica di misura, nè tanto meno di taratura, che abbia incertezza pari a zero.

Esiste un rischio quantificabile di accettare uno strumento (prodotto) non conforme o, viceversa, di scartare uno conforme.

Il giudizio di conformità è quindi connesso al livello di confidenza con cui effettuiamo le verifiche in questione.

⏐E⏐ = ⏐X – Xrv⏐ < MPE - U



Per evitare di avere un’ elevata probabilità di scartare strumenti (prodotti) conformi, è necessario mantenere un rapporto ottimale tra MPE ed U. Convenzionalmente, in Metrologia Legale, questo rapporto è pari a:

⏐E⏐ = ⏐X – Xrv⏐ < MPE - U , con U<1/3 MPE

Verifica prima degli strumenti di misura: a) strumento conforme; b) strumento non conforme



Verifica metrico legale:

errore massimo tollerato in verifica MPEVerrore massimo tollerato in servizio MPES (pari a 2 volte MPEV)

Verifica periodica degli strumenti di misura:(casi a-d conformi, casi e-f non conformi)

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