Lezioni di Campi Elettromagnetici

Sandra Costanzo, Giuseppe Di Massa

Dip. Elettronica, Informatica e SistemisticaUniversita della Calabria,87036 Rende (CS) - Italy

Indice

1 Le Equazioni di Maxwell 2

1.1 Contesto storico e scientifico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Equazioni di Maxwell in forma differenziale . . . . . . . . . . . . 31.3 Le Equazioni di Maxwell in forma integrale . . . . . . . . . . . . 51.4 Interpretazioni ed Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Corrente di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2 Forza elettromotrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.3 Spira rettangolare in un campo b . . . . . . . . . . . . . 91.4.4 Condensatore piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Continuita dei campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Relazioni Costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1 Relazioni costitutive per mezzi lineari . . . . . . . . . . . 141.6.2 Relazioni costitutive ed Equazioni di Maxwell . . . . . . . 15

1.7 Onde in mezzi ionizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.1 Plasma freddo senza collisioni . . . . . . . . . . . . . . . 171.7.2 Plasma freddo con collisioni . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Teorema di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 Principio delle immagini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10 Teorema di Equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11 Teorema di Reciprocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Onde Piane 26

2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Soluzione dell’equazione d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Incidenza Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 Incidenza Normale su mezzi con perdite . . . . . . . . . . 322.4 Incidenza Obliqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.1 Polarizzazione Perpendicolare . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.2 Polarizzazione Parallela . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.3 Trasmissione Totale: angolo di Brewster . . . . . . . . . 37

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Capitolo 1

Le Equazioni di Maxwell

1.1 Contesto storico e scientifico

Faraday ha ideato, in modo empirico, attraverso le linee di forza, la nozione dicampo come continuum entro lo spazio di forze espandentesi ovunque e tali

da determinare i fenomeni elettrici che vi hanno luogo.La costruzione del nuovo edificio, ovvero la costruzione di una teoria dei

campi, spetta a James Clark Maxwell.Le equazioni che legano fra di loro le grandezze elettriche furono studiate e

rielaborate da Maxwell e hanno preso il nome di Equazioni di Maxwell. Esse hannorappresentato un passo importante nell’approccio unificato alla comprensionedei fenomeni fisici. Furono giudicate l’avvenimento piu importante verificatosidai tempi di Newton in poi e cio non soltanto per la dovizia di contenuti maanche perche esse hanno fornito il modello di un nuovo tipo di legge (Einstein,Infeld). Nel contesto storico in cui furono studiate, le Equazioni di Maxwellrappresentarono la riaffermazione della fisica del continuo (dagli stoici con lateoria del neuma) rispetto a quella atomistica di Democrito.

Le ricerche di Maxwell hanno spaziato in molti settori della scienza. A talproposito si vuole ricordare il suo contributo alla teoria cinetica dei gas. Maxwellintuı che le proprieta macroscopiche dei gas si spiegavano ammettendo velocitadiverse in direzione e grandezza e che bisognava tener conto delle velocita con-siderandole in media e non uguali fra di loro come si era fatto fino ad allora. Daqui l’importanza della distribuzione statistica delle velocita, ossia quello che verrachiamato il teorema della distribuzione di Maxwell che fornisce la probabilita cheuna molecola sia compresa fra u ed u+ du data la temperatura del gas. Questofu il punto di partenza della teoria cinetica dei gas.

Maxwell rilevo il risultato di due fisici tedeschi, Weber e Kohlrausch, cheavevano calcolato, nel 1857, il rapporto fra unita elettrostatica ed elettrodinamica

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della carica elettrica, ottenendo una velocita uguale a 310.740 Km/sec, e laparagono con la velocita della luce misurata da Fizeau nel 1849 (c= 314.858Km/sec). Da tale intuizione Maxwell dedusse che le Onde ElettroMagnetiche ela luce si propagano con la stessa velocita.

E’ importante sottolineare come questo risultato sia scaturito nel contestoconcettuale che assumeva un mezzo materiale come mediatore della propagazionedelle azioni a distanza, concezione che possiamo dire viene annichilita dalla for-mulazione matematica delle Equazioni di Maxwell, che non prevedono la suaesistenza.

Successivamente, utilizzando i risultati fin allora conosciuti, viene costruito,sotto questa nuova luce, un modello atto a spiegare il trasporto di energia permezzo di onde elettromagnetiche.

I risultati di Maxwell, essenzialmente teorici dovranno aspettare il 1888 peressere verificati sperimentalmente da Heinrich Hertz che studiando gli effetti dellaforza elettrica sui dielettrici, come gli aveva suggerito Helmholtz, dimostro che leonde elettromagnetiche esistono e si propagano con velocita finita pari a quelladella luce.

1.2 Equazioni di Maxwell in forma differen-

ziale

Le leggi dell’elettricita e magnetismo furono stabilite nel 1983 da James ClerkMaxwell:

∇× e(r, t) = −∂b(r, t)

∂t(1.1)

∇× h(r, t) =∂d(r, t)

∂t+ j(r, t) (1.2)

∇ · d(r, t) = ρ(r, t) (1.3)

∇ · b(r, t) = 0 (1.4)

Nelle equazioni precedenti le grandezze coinvolte sono:

• e campo elettrico [V olt/m]

• h campo magnetico [Ampere/m]

• d induzione elettrica [Coulomb/m2]

• b induzione magnetica [Weber/m2]

3

• ρ densita di carica [Coulomb/m3]

• j densita di corrente [Ampere/m2]

La densita di carica e definita come la carica esistente in un volumetto ∆V

ρ = lim∆V →0

Q

∆V(1.5)

mentre la densita di corrente e definita come la corrente attraverso un areola ∆S

j = lim∆S→0

i

∆S(1.6)

I campi, la induzioni, le cariche e le correnti sono quantita incognite dello spazio edel tempo che debbono soddisfare le equazioni di Maxwell [1.1-1.4] per assegnatecondizioni al contorno. Alcune di queste quantita possono essere specificate inuna regione dello spazio e in un certo intervallo di tempo. Quando cio avviene,esse vengono dette sorgenti del campo, (normalmente si tratta di correnti ecariche). La corrente che appare nella [1.2] puo essere decomposta in

j = j′ + j0

(1.7)

dove j0e la parte di corrente dovuta alle sorgenti mentre j′ e quella indotta dagli

stessi campi elettromagnetici.Le equazioni [1.1-1.4] comprendono grandezze puramente elettromagnetiche enon tengono conto delle forze di mutua interazione. A cio provvede l’equazionedella forza di Lorentz

f = ρe+ j× b (1.8)

L’equazione della continuita della corrente

∇ · j = −∂ρ

∂t(1.9)

e ricavabile dalle Equazioni di Maxwell. Infatti dalla divergenza dell’equazione[1.2], sapendo che ∇ · ∇ × h = 0 ed utilizzando l’equazione [1.3], otteniamol’equazione [1.9].

Le Equazioni di Maxwell non sono tutte indipendenti. Se applichiamo l’oper-atore di divergenza all’equazione [1.1] otteniamo l’equazione [1.4]. Le incognitenelle equazioni [1.1 -1.4] sono e,h,b,d, j′ con due equazioni vettoriali ed unascalare indipendenti. Abbiamo bisogno di ulteriori relazioni affinche il sistemaammetta una sola soluzione.

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1.3 Le Equazioni di Maxwell in forma inte-

grale

Le equazioni [1.1-1.4] possono essere scritte in forma integrale:

∮

L

e · t dl = − ∂

∂t

x

A

b · n dA (1.10)

∮

L

h · t dl =x

A

j · n dA+x

A

∂d

∂t· n dA (1.11)

{

S

d · n =y

V

ρ dV (1.12)

{

S

b · n = 0 (1.13)

Le equazioni [1.10] e [1.11] possono essere ricavate dal flusso dalle equazioni[1.1] e [1.2] attraverso una superfice A racchiusa dalla linea L e la successivaapplicazione del teorema di Stockes al primo membro.Le equazioni [1.12] e [1.13] possono essere ricavate dall’integrale volumetricodalle equazioni [1.3] e [1.4] esteso al volume V racchiuso dalla superfice S e lasuccessiva applicazione del teorema di Gauss al primo membro.

Figura 1.1: Superfici e Volumi di integrazione

Per dare un aspetto alle equazioni [1.10-1.13] piu vicino alle leggi conosciutein altri ambiti disciplinari introduciamo la grandezze:

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q(t) =y

V

ρ(r, t) dV (1.14)

ϕm =x

A

b(r, t) · n dA (1.15)

ϕe =x

A

d(r, t) · n dA (1.16)

i(t) =x

A

j(r, t) · n dA (1.17)

Nelle equazioni precedenti le grandezze coinvolte sono:

• q carica [Coulomb]

• ϕm flusso magnetico [Weber]

• ϕe flusso elettrico [Coulomb]

• i corrente [Ampere]

Le ultime definizioni permettono di scrivere le Equazioni di Maxwell in formaintegrale [1.10-1.13] come segue:

∮

L

e · t dl = −∂ϕm

∂t(1.18)

∮

L

h · t dl = i(t) +∂ϕe

∂t(1.19)

ϕe = q(t) (1.20)

ϕm = 0 (1.21)

Le equazioni [1.20] e [1.21] esprimono la legge di Coulomb : il flusso dell’in-duzione attraverso una superfice chiusa S che racchiude un volume V e ugualealla carica totale contenuta nel volume, non esistono cariche magnetiche isolate.L’equazione [1.18] esprime la legge di Lentz Neumann: l’integrale curvilineo lungouna curva chiusa L che circonda una superfice A del campo elettrico e ugualealla variazione temporale del flusso dell’induzione magnetica.L’equazione [1.19] esprime la legge di Ampere Faraday: l’integrale curvilineo lun-go una curva chiusa L del campo magnetico che circonda una superfice A e ugualealla somma delle corrente e la variazione temporale del flusso dell’induzioneelettrica.

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1.4 Interpretazioni ed Applicazioni

1.4.1 Corrente di spostamento

L’equazione [1.11] e la legge di Ampere generalizzata che include il termine dellacorrente di spostamento di Maxwell; essa stabilisce che l’integrale di linea delcampo magnetico su una traiettoria chiusa (forza magnetomotrice) e uguale allacorrente di conduzione, do convenzione o di spostamento che passa attraverso ilcontorno.

LL’equazione [1.11] nel caso statico si riduce a

∮

L

h · t dl = i(t) (1.22)

ovvero la legge della Circuitazione di Ampere come era conosciuta prima cheMaxwell aggiungesse il termine della corrente di spostamento.

Figura 1.2: Calcolo della corrente di spostamento

Il termine della corrente di spostamento ci permette di spiegare certi fenomeniche sarebbero risultati inconsistenti se avessimo incluso la sola corrente di con-duzione nelle leggi del campo magnetico. Si consideri, ad esempio, il circuitocomposto dal generatore a-c ed il condensatore della figura 1.2. Si suppongadi voler valutare l’integrale di linea del campo magnetico lungo la linea a-b-c-d.Se applichiamo la legge descritta nell’equazione [1.22] otteniamo la corrente chepassa nel filo nel caso del flusso applicato alla superfice S1 e zero nel caso dellasuperfice S2, risultato chiaramente inconsistente. Per trovare un risultato con-gruente, cioe sempre lo stesso valore di corrente quando il flusso e calcolato su

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S1 o su S2 devo aggiungere alla [1.22] il termine di corrente di spostamento cosıcome previsto dall’equazione di Maxwell [1.22].

1.4.2 Forza elettromotrice

Consideriamo una spira rettangolare di larghezza d e lunghezza l che ruota convelocita angolare ω intorno ad un asse perpendicolare ad un campi di induzionemagnetica b come indicato in figura [1.3]. Valutiamo la f.e.m indotta nella spira.

Figura 1.3: Spira rettangolare

Il flusso di b

ϕm ={

A

b(r, t) · n dA (1.23)

con A superfice della spira.

ϕm = BA cos θ = BA cos(ωt) (1.24)

La f.e.m, dalla prima equazione di Maxwell, diventa

e = −∂ϕm

∂t= ωBA sinωt (1.25)

L’equazione [1.25] e alla base della teoria delle macchine generatrici sia in correntealternata che in corrente continua

Nel seguito si riporta la soluzione di alcuni esercizi evidenziando come prob-lemi, normalmente risolti con approcci apparentemente diversi, posso essereriportati direttamente alle equazioni di Maxwell

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1.4.3 Spira rettangolare in un campo b

Una spira rettangolare e immersa in campo con induzione magnetica ortog-

onale al piano della spira:

b = b0ecxeatz (1.26)

Si calcoli la tensione letta da un voltmetro inserito lungo la spira

Figura 1.4: Spira rettangolare in un campo b

Si consideri la prima equazione di Maxwell in forma integrale

V (t) =

∮

L

e · t dl = − ∂

∂t

x

A

b · n dA (1.27)

Sostituendo l’espressione dell’induzione magnetica [1.26] nel flusso presente nellaseconda parte dell’equazione [1.27] otteniamo l’espressione della tensione

V (t) = − ∂

∂t

x

A

b0ecxeat dxdy (1.28)

V (0) = b0aL

ce

cd2 2 sinh

cd

2(1.29)

1.4.4 Condensatore piano

Un condensatore a facce piane e parallele ha come dielettrico il vuoto. La

distanza fra le piastre varia con legge:

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d = 10−3 + 10−4 sin 2π400t [m] (1.30)

Il condensatore e connesso ad un tensione continua di 1000 V. Trovare la

corrente che fluisce fra le piastre.

Scriviamo l’equazione di continuita della corrente [1.9] in forma integrale

y

V

∇ · j dV = − ∂

∂t

y

V

ρ dV (1.31)

i(t) = −∂q(t)

∂t(1.32)

Per il condensatore piano

q(t) = V C(t) = V ε0S

d(1.33)

La sostituzione della [1.33] nella [1.32] ci da:

i(t) = V ε02πS400 10−4 cos (2π400t)

[10−3 + 10−4 sin (2π400t)]2(1.34)

Si noti che la corrente [1.34] non e sinusoidale.

1.5 Continuita dei campi

Si consideri lo spazio suddiviso da superfice illimitata S in due zone caratterizzateda valori diversi della permeabilita magnetica e della costante dielettrica ε1, µ1e ε2, µ2. Se si vuole studiare il comportamento dei campi elettromagnetici allasuperfice di discontinuita e necessari servirsi delle equazioni di Maxwell in formaintegrale [1.10-1.13].Vogliamo stabilire la continuita del campo elettrico e magnetico usando le equazionidi Maxwell [1.10] e [1.11]. Sia A la superfice rettangolare, illustrata in figura 1.5,di dimensioni l x δ abbastanza piccole da poter considerare in esse costanti icampi, l’equazione

∮

l x δ

h · t dl =x

A

j · n dA+∂

∂t

x

A

d · n dA (1.35)

diventa

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Figura 1.5: Mezzi 1 e 2. Superfice di separazione

(h1 − h2) · ic =x

A

j · in dA+∂

∂t

x

A

d · in dA (1.36)

Poiche J e d sono finiti alla discontinuita per δ → 0 e l’area tende a 0, se nonvi sono sorgenti sulla discontinuita il secondo membro della [1.35] tende a zero:

(h1 − h2) · ic = 0 (1.37)

Posto ic = iA × in dalla [1.37] otteniamo:

(h1 − h2) · iA × in = 0 (1.38)

da cui

h1 × in = h2 × in (1.39)

Analogamente partendo dalla equazione di Maxwell [1.11] otteniamo per ilcampo elettrico

e1 × in = e2 × in (1.40)

Le componenti tangenziali dei campi elettrici e magnetici, in assenza disorgenti sulla superfice di separazione sui due mezzi, sono continue.

Consideriamo un volumetto in cui possiamo considerare costanti le induzioni,Fig. 1.6.

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Figura 1.6: Mezzi 1 e 2. Superfice di separazione

{

S

d · n =y

V

ρ dV (1.41)

Nel caso di assenza di cariche sulla superficie e per δ → 0 la precedentediventa

d1 · in = d2 · in (1.42)

In modo analogo per l’induzione magnetica

b1 · in = b2 · in (1.43)

Le ultime due equazioni ci dicono che, in assenza di cariche sulla superfice,le induzioni elettrica e magnetica sono continue.

Nel caso di correnti sulla superfice di separazione

(e2 − e1)× in = −jmS(1.44)

(h2 − h1)× in = −jS (1.45)

1.6 Relazioni Costitutive

Le Equazioni di Maxwell [1.1-1.4] presentano un numero di incognite superi-ore al numero delle equazioni indipendenti. Le equazioni indipendenti sono tre,due vettoriali ed una scalare, corrispondenti a sette equazioni scalari mentre le

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incognite sono quindici. Per rendere determinato il problema occorrono altreotto relazioni scalari che mettano in relazione fra loro le incognite del problema.Queste relazioni, dette relazioni costitutive, dipendono dalla natura del mezzo.L’esperienza e la compatibilita con le leggi note indicano la scelta delle seguentirelazioni:

b ⇒ h

d ⇒ e

j′ ⇒ e

Si potrebbero studiare dipendenze di altro tipo quali ad esempio:

b ⇒ (h, e)

d ⇒ (h, e)

j′ ⇒ e

Nel seguito ci limiteremo ad esaminare la dipendenza piu semplice. Il tipo didipendenza e legata alla natura del mezzo, nel senso che la sua composizionee c.ratterizzazione determinano il legame funzionale. Le relazione che andremoa considerare fra i vettori saranno del tipo causa-effetto e pertanto dovrannosoddisfare il principio di causalita ovvero che le azioni non si possono propagarea velocita superiore a quella della luce. Ulteriori vincoli vengono dalle proprietadi simmetria e dal tipo di relazione causa-effetto:

Proprieta di simmetria

omogeneita

{spazialetemporale

isotropia

Relazione causa effetto

linearita

dispersivita

{spazialetemporale

Descriviamo in dettaglio le proprieta indicateLinearita. Un mezzo si dice lineare quando ad una combinazione lineare dicause, corrisponde la combinazione lineare degli effetti secondo gli stessi coeffi-cienti.Omogeneita. Un mezzo si dice omogeneo nello spazio quando le sue caratteris-tiche sono indipendenti dal punto considerato, ovvero quando ad una traslazione

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spaziale della causa corrisponde un effetto traslato della stessa quantita. In modoanalogo un mezzo si dice omogeneo nel tempo quando in ogni punto le carat-teristiche del mezzo non variano nel tempo, ovvero ad una traslazione temporaledella causa corrisponde un uguale traslazione dell’effetto.Isotropia. Un mezzo si dice isotropo quando la relazione fra causa ed effetto(supposta di tipo vettoriale), non dipende dalla direzione della causa ovvero aduna rotazione della causa corrisponde una uguale rotazione dell’effetto. Nel casodi mezzo lineare l’isotropia equivale a richiedere che l’effetto sia allineato con lacausa qualunque sia la direzione di quest’ultima.Dispersivita. Un mezzo si dice dispersivo nel tempo se l’effetto all’istante tdipende solo dal valore della causa allo stesso istante di tempo. Analogamenteun mezzo si dice dispersivo nello spazio se l’effetto in un punto dipende solo dalvalore della causa nello stesso punto.

1.6.1 Relazioni costitutive per mezzi lineari

Nel caso di mezzi lineari si possono specificare maggiormente le caratteristicheevidenziate nelle relazioni costitutive. Dalla teoria generale dei sistemi linearisi ha infatti che sotto l’ipotesi il sistema sia continuo, la relazione fra ingressou(r, t) ed uscita v(r, t) supposti per semplicita di tipo scalare, ovvero fra causaed effetto, si puo sempre porre nella forma:

v(r, t) =

∞∫

−∞

g(r, r′, t, τ)u(r, τ)dr′dτ (1.46)

La funzione g e la risposta del sistema ad un impulso unitario applicato al puntor′ all istante t e viene detta funzione di Green del sistema.

Il principio di causalita impone che l’effetto non possa precedere l’applicazionedella causa deve aversi che

g(r, r′, t, τ) = 0 per t < τ (1.47)

Poiche le azioni non possono propagarsi con velocita superiore a quella della lucec la [1.47], a rigori, va scritta nella forma

g(r, r′, t, τ) = 0 per t− τ <|r− r′|

c(1.48)

che si riduce alla [1.47] per c→∞.Alla luce delle ultime considerazioni la [1.46] diventa

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v(r, t) =

t∫

−∞

g(r, r′, t, τ)u(r, t)dr′dτ (1.49)

Se il mezzo e invariante nel tempo ad una traslazione temporale della causau(t − t0) corrisponde la stessa traslazione dell’effetto v(t − t0), di conseguenzala funzione di Green g(t, τ) = g[(t− t0)− (τ − t0)].

v(r, t) =

t∫

−∞

g(r, r′, t− τ)u(r′, τ)dr′dτ (1.50)

Nel caso di mezzo non dispersivo nel tempo la funzione di Green si riduce ag(t) = αδ(t) con δ(t) funzione di Dirac. L’equazione [1.50] diventa:

v(t) = α

t∫

−∞

δ(t− τ)u(τ)dτ = αu(t) (1.51)

Considerazioni analoghe alle precedenti si possono fare per mezzi dispersivinello spazio.

Si noti come, a rigori, quando si tiene conto del fatto che le azioni si propaganoa velocita finita, un mezzo dispersivo nello spazio non puo essere non dispersivonel tempo, nel senso da noi definito.

1.6.2 Relazioni costitutive ed Equazioni di Maxwell

Consideriamo un mezzo lineare, omogeneo, isotropo e non dispersivo nello spazio.Come causa assumiamo i vettori di campo e come effetto le induzioni.

d(r, t) =

t∫

−∞

ge(t− τ)e(r, τ)dτ (1.52)

b(r, t) =

t∫

−∞

gh(t− τ)h(r, τ)dτ (1.53)

j(r, t) =

t∫

−∞

gj(t− τ)e(r, τ)dτ (1.54)

Gli integrali nelle precedenti sono di convoluzione, di conseguenza la trasfor-mata di Fourier delle [1.52-1.54], utilizzando il Teorema di Borel,

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D(r, ω) = ε(ω)E(r, ω) (1.55)

B(r, ω) = µ(ω)H(r, ω) (1.56)

J′(r, ω) = σ(ω)E(r, ω) (1.57)

Le relazioni [1.55-1.57] permettono di scrivere le Equazioni di Maxwell neldominio della frequenza

∇× E(r, ω) = −jωµ(ω)H(r, ω) (1.58)

∇×H(r, ω) = jωε(ω)E(r, ω) + σ(ω)E(r, ω) + j0(r, ω) (1.59)

∇ · ε(ω)E(r, ω) = ρ (1.60)

∇ · µ(ω)H(r, ω) = 0 (1.61)

Il secondo membro dell’equazione [1.59] si riscrive, in forma compatta, come

[jωε(ω) + σ(ω)]E(r, ω) = jω

[ε+

σ

jω

]= jωε (1.62)

L’equazione [1.59] mediante l’espressione [1.62] diventa

∇×H(r, ω) = jωε(ω)E(r, ω) + j0(r, ω) (1.63)

ε viene detta costante dielettrica generalizzata.

1.7 Onde in mezzi ionizzati

Consideriamo un gas ionizzato nel quale la concentrazione di ioni ed elettronipossono essere considerate costanti. Si usa il termine plasma per un gas ionizzatonel quale le densita degli ioni e degli elettroni sono uguali ovvero un aggregatoneutro di particelle. Nel seguito si suppone che il plasma sia costituito da elettroniliberi e da ioni positivi monovalenti il cui numero complessivo sia indipendentedal tempo (plasma stazionario). Nel caso che il plasma sia costituito da solo duetipi di particelle cariche con una molto piu leggera dell’altra, come nel caso dellaionosfera, le particelle piu leggere sono le uniche a muoversi sotto l’azione delcampo elettromagnetico di frequenza abbastanza elevata. Le altre particelle sipossono ritenere praticamente ferme. In tal caso si parla di plasma ad un solocostituente, o ad un solo fluido; e questo il caso che consideriamo nel seguito.

La tabella seguente fornisce gli ordini di grandezza tipici della densita inequilibrio N0 e della temperatura degli elettroni in vari tipi di plasma.

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Tipo di plasma N0[m−3] T (0K)

Gas Interstellare 106 102

Ionosfera 108 − 1012 103

Corona solare 1013 106

Atmosfera solare 1018 104

Plasma per fusione 1018 − (1024 102

1.7.1 Plasma freddo senza collisioni

La corrente indotta, nel caso di particelle messe in movimento dai campi

j′ = Nqv(r, t) (1.64)

con v velocita del gas elettronico perturbato ed N numero di elettroni. Consid-eriamo la forza di Lorentz

f = ρe+q

V v × b (1.65)

con f densita di forza e V volume contenente il plasma. Integrando la [1.65] nelvolume V otteniamo:

F = qe+ qv × b (1.66)

Uguagliando la [1.66] con l’espressione della forza otteniamo

mN∂v(r, t)

∂t= Nq [e+ v × b] (1.67)

con m massa dell’elettrone.Se la velocita non e troppo elevata e il plasma non denso v×b e trascurabile.

Riscrivendo la [1.67] nel dominio della frequenza

jωmNV(r, ω) = NqE(r, ω) (1.68)

Sostituendo nella [1.64] scritta nel dominio della frequenza otteniamo

J(r, ω) =Nq2

jmωE(r, ω) (1.69)

Confrontando la [1.69] con la relazione costitutiva [1.57] otteniamo il valoredi σ(ω)

σ(ω) =Nq2

jmω(1.70)

e la costante dielettrica generalizzata

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ε = ε0 +σ

jω= ε0

(1 +

σ

jωε0

)= ε0

(1−

ω2pω2

)(1.71)

avendo posto la pulsazione di plasma ωp uguale a

ω2p =Nq2

ε0m(1.72)

Dall’esame dell’espressione [1.72] si deduce che il plasma si comporta comeun dielettrico dispersivo nel tempo

1.7.2 Plasma freddo con collisioni

Nel bilancio delle forze agenti sugli elettroni consideriamo la densita di forzadovuta alle collisioni.

f l = −mNνv (1.73)

con ν frequenza di collisione per agitazione termica. Si noti che νv e unaaccelerazione. Le equazioni [1.66] e [1.68] diventano

J(r, ω) = NqV(r, ω) (1.74)

jωmNV(r, ω) = NqE(r, ω)−mNνV(r, ω) (1.75)

Dalla equazione [1.75] ricaviamo la velocita

V =qE

jωm+mν(1.76)

L’espressione [1.76] sostituita nella densita di corrente [1.74]

J(r, ω) =Nq2

m (jω + ν)E(r, ω) (1.77)

da cui ricaviamo l’espressione della conducibilita

σ(ω) =Nq2

m (jω + ν)(1.78)

e della costante dielettrica generalizzata

18

ε = ε0

(1 +

σ

jωε0

)= ε0

[1 +

Nq2

m (ν + jω) jωε0

]

= ε0

{1−

ω2pω2 + ν2

− jω2pν

ω (ω2 + ν2)

}(1.79)

L’aver considerato la forza di collisione ha introdotto una parte immaginarianella costante dielettrica che e direttamente associata alle perdite.

1.8 Teorema di Poynting

Consideriamo la divergenza del vettore s = e× h

∇ · s = ∇ · (e× h) = h · ∇ × e− e · ∇ × h (1.80)

Utilizzando le equazioni di Maxwell otteniamo

∇ · s+ e · ∂d∂t

+ h · ∂b∂t

+ e · J = 0 (1.81)

Considerando un mezzo non dispersivo possiamo porre J = σe+J0. Integrandol’equazione [1.81] in un volume V racchiuso da una superfice S

{

S

s·ndS+y

V

(e · ∂d

∂t+ h · ∂b

∂t

)dV+

y

V

σe2dV = −y

V

e·J0dV (1.82)

J0 e la corrente fornita dai generatori, e ·J0 e una densita volumetrica di potenzae di conseguenza

P0 = −y

V

e · J0dV (1.83)

la potenza fornita dai generatori. Analogamente

Pj =y

σe2dV (1.84)

e la potenza dissipata nel volume V.Se poniamo

∂we

∂t= e · ∂d

∂t

∂wm

∂t= h · ∂b

∂t(1.85)

19

We =y

V

wedV Wm =y

V

wmdv (1.86)

possiamo riscrivere la [1.82]

{

S

s · ndS +∂ [We +Wm]

∂t+ Pj = P0 (1.87)

La potenza fornita dai generatori P0uguaglia la potenza dissipata Pj + lavariazione temporale di We +Wm + la potenza che fluisce dalla superfice S.

Nel vuoto le relazioni costitutive ci permettono di scrivere la [1.85]

∂we

∂t= ε0e

∂e

∂t=

∂

∂t

[1

2ε0e

2

](1.88)

∂wm

∂t= µ0e

∂h

∂t=

∂

∂t

[1

2µ0h

2

](1.89)

Di conseguenza

wem = we + wm =1

2ε0e

2 +1

2µ0h

2 (1.90)

rappresenta l’energia immagazzinata nel volume V.

1.9 Principio delle immagini

La presenza di ostacoli, in particolar modo quando sono vicini agli elementi ra-dianti, puo cambiare in modo significativo le caratteristiche di radiazione delsistema. Nella pratica l’ostacolo piu comune che si incontra e il terreno ed ognionda diretta verso di esso viene riflessa con un coefficiente che dipende dallecaratteristiche del terreno stesso. Il terreno e un mezzo con perdite (σ 6= 0), lacui conducibilita cresce con la frequenza. Di conseguenza ci aspettiamo che essosi comporti come un buon conduttore per frequenze molto elevate. Per sempli-ficare la nostra analisi assumiamo che il terreno sia costituito da un conduttore

elettrico perfetto piano.Consideriamo un gruppo di sorgenti J,Jm ed i campi elettromagnetici prodot-

ti E,H. Siano le sorgenti ed i campi come al solito descritti in un sistema diriferimento cartesiano ortogonale (x,y,z) con l’asse z ortogonale al CEP.

Consideriamo la trasformazione

20

x′ = x

y′ = y (1.91)

z′ = −z

che corrisponde ad una riflessione rispetto al piano z=0. Il nuovo campo sara

E′x = −Ex ; H′

x = Hx

E′y = −Ey ; H′

y = Hy (1.92)

E′z = Ez ; H′

z = −Hx

Il campo E′,H′ e prodotto dalle sorgenti

J′x = −Jx ; J′

mx = Jmx

J′y = −Jy ; J′

my = Jmy (1.93)

J′z = Jz ; J′

mz = −Jmz

Se consideriamo il campo somma delle due soluzioni indicate

E1 = E+E′ (1.94)

H1 = H+H′ (1.95)

per z=0 abbiamo

E1x = E1y = H1z = 0 (1.96)

condizioni a cui deve soddisfare il Campo Elettromagnetico su un conduttoreelettrico perfetto.

Il risultato precedente ci suggerisce di esprimere i campi in funzione delleimmagini J′,J′

m

Con ragionamenti analoghi si possono considerare le immagini di correntimagnetiche in presenza di un conduttore elettrico perfetto.

1.10 Teorema di Equivalenza

Consideriamo un gruppo di sorgenti J,Jm interne ad un volume V racchiuso dauna superfice S (Fig. 1.9)

21

Figura 1.7: Sorgenti elettriche in presenza di un conduttore elettrico perfetto

Le correnti producono i campi elettromagnetici E,H all’interno ed all’esternodel volume V. Diciamo ES ,HS il valore che i campi assumono sulla superfice S.

Introduciamo un campo E1,H1 che abbia le seguenti caratteristiche

{(E1,H1) = 0, all’interno del volume V(E1,H1) = (E,H), all’esterno dal volume V

(1.97)

Introduciamo inoltre delle correnti su S

jS

= n×Hs (1.98)

jmS

= −n× Es (1.99)

I campi descritti in [1.97] sono soluzione delle equazioni di Maxwell, infattiall’esterno del volume V (E1,H1) = (E,H) ed e una soluzione delle equazioni diMaxwell, all’interno del volume V la soluzione e quella banale che e una soluzionedelle equazioni di Maxwell.

Sulla superfice S la soluzione e discontinua data la presenza delle correnti ela validita del principio di continuita dei campi.

Per il teorema di unicita la soluzione trovata e unica

1.11 Teorema di Reciprocita

Consideriamo due gruppi di sorgenti ed i campi da esse prodotte

∇× E1 = −jωµ ·H1 − Jm1 (1.100)

22

Figura 1.8: Sorgenti magnetiche in presenza di un conduttore elettricoperfetto

∇×H1 = jωε · E1 + J1 (1.101)

∇× E2 = −jωµ ·H2 − Jm2 (1.102)

∇×H2 = jωε · E2 + J2 (1.103)

Moltiplichiamo scalarmente le equazioni di Maxwell relative alle sorgenti 1 per icampi 2:

H2 · ∇ × E1 = −jωµ ·H2 ·H1 −H2 · Jm1 (1.104)

E2 · ∇ ×H1 = jωε · E2 · E1 − E2 · J1 (1.105)

−H1 · ∇ × E2 = jωµ ·H1 ·H2 +H1 · Jm2 (1.106)

−E1 · ∇ ×H2 = −jωε · E1 · E2 − E1 · J2 (1.107)

23

Figura 1.9: Volume contenente le sorgenti

sommando le equazioni [1.104-1.107] otteniamo

H2 · ∇ × E1 + E2 · ∇ ×H1 (1.108)

−H1 · ∇ × E2 − E1 · ∇ ×H2 = (1.109)

−jωH2 · µ ·H1 − H2 · Jm1 + (1.110)

jωE2 · ε · E1 − E2 · J1 + (1.111)

jωH1 · µ ·H2 + H1 · Jm2 − (1.112)

jωE1 · ε · E2 − E1 · J2 (1.113)

Nella precedente, nel caso di mezzo isotropico, possiamo semplificare i prodottidoppi (es.µ ·H2 ·H1 = µ ·H1 ·H2, etc. ) e riscrivere il primo membro usando

una nota identita vettoriale.

∇ · (E1 ×H2 − E2 ×H1) = E2 · J1 −H2 · Jm1 +H1 · Jm2 −E1 · J2 (1.114)

Integriamo la [1.114] in un volume V racchiuso da una superfice S.

{

S

(E1 ×H2 − E2 ×H1) · ndS = (1.115)

y

V

(E2 · J1 −H2 · Jm1) dV +y

V

(H1 · Jm2 − E1 · J2) dV

Si dimostra facilmente che quando il volume V e racchiuso da un conduttoreelettrico perfetto, da un conduttore magnetico perfetto o comprende tutto lospazio il primo termine della [1.115] e nullo e quest’ultima diventa

24

y

V

(E2 · J1 −H2 · Jm1) dV =y

V

(E1 · J2 −H1 · Jm2) dV (1.116)

La reazione delle sorgenti 2 sulle sorgenti 1 e uguale alla reazione delle sorgenti1 sulle 2.

25

Capitolo 2

Onde Piane

2.1 Introduzione

La conseguenza piu appariscente delle equazioni di Maxwell e il fenomeno dellapropagazione elettromagnetica: una sorgente attiva in una certa regione spaziale,a partire da un certo istante temporale, e rilevabile sperimentalmente solo dopoun intervallo temporale finito non nullo. L’onda elettromagnetica puo, dunque,definirsi come segnale identificabile punto per punto ed istante per istante, chesi propaga con velocita finita [2] . Lo studio della propagazione elettromagneticaimpone di risolvere le equazioni di Maxwell prescindendo dalle sorgenti di ecci-tazione. Si considerano, in particolare, quelle soluzioni, denominate onde piane,i cui campi godono della proprieta di mantenersi costanti lungo la direzione dipropagazione. E immediato rilevare che una tale definizione non e in grado dirappresentare una situazione fisica reale. Ragionando in termini energetici si os-serva, infatti, che se i campi fossero costanti lungo la direzione di propagazione,lo sarebbero fino all’infinito, ed i generatori dovrebbero erogare una potenza in-finita. Pur rappresentando campi non realizzabili fisicamente, il concetto di ondapiana viene largamente utilizzato per due ragioni fondamentali. In primo luogo,i campi a grande distanza dalle sorgenti si comportano come onde localmente

piane, come prescritto dalla condizione di radiazione all’infinito. E sempre pos-sibile, inoltre, esprimere qualunque soluzione delle equazioni di Maxwell comesovrapposizione di un insieme infinito continuo di onde elettromagnetiche piane.

2.2 Soluzione dell’equazione d’onda

In un mezzo omogeneo, isotropo e illimitato, si considerino le equazioni diMaxwell ai rotori in assenza di sorgenti, nel dominio della frequenza:

26

∇× E = −jωµH (2.1)

∇×H = jωεE (2.2)

Si voglia determinare una soluzione per le suddette equazioni tale i campi dipen-dano dalla sola coordinata spaziale z, ossia:

E = E(z), H = H(z)

La suddetta condizione e equivalente ad imporre che:

∂E

∂x=

∂E

∂y= 0;

∂H

∂x=

∂H

∂y= 0

In generale, assegnato un vettore A = A(z), si puo scrivere:

∇× A =−∂Ay

∂z· x+ ∂Ax

∂z· y (2.3)

Applicando la [2.3] nelle equazioni [2.1] e [2.2], si ricava:

−dEy

dz= −jωµHx (2.4)

dEx

dz= −jωµHy (2.5)

−dHy

dz= jωεEx (2.6)

dHx

dz= jωεEy (2.7)

Ez = 0 (2.8)

Hz = 0 (2.9)

L’ipotesi iniziale E = E(z) e H = H(z) implica, dunque, che il campo nonabbia componenti lungo l’asse z e sia dato dalla sovrapposizione di due famiglieindipendenti, ottenute risolvendo i seguenti sistemi disaccoppiati:

dEx

dz= −jωµHy (2.10)

dHy

dz= −jωεEx (2.11)

27

dEy

dz= jωµHx (2.12)

dHx

dz= jωεEy (2.13)

Considerato il primo dei suddetti sistemi e derivando nuovamente la [2.10] rispet-to a z, si ricava :

d2Ex

dz2+ β2Ex = 0 (2.14)

dove β = ω√εµ e detta costante di propagazione.

La soluzione generale della [2.14], nota come equazione d’onda, e data dall’e-spressione:

Ex(z, ω) = E+x (ω) · e−jβz + E−x (ω) · ejβz (2.15)

ovvero dalla sovrapposizione di un’onda progressiva, viaggiante nella direzionepositiva dell’asse z, e di un’onda regressiva, viaggiante in direzione opposta.Sostituendo la [2.15] nella [2.10] si ricava l’espressione del corrispondente campomagnetico:

Hy(z, ω) =

[E+x (ω) · e−jβz − E−

x (ω) · ejβz]

η(2.16)

dove η =√

µ/ε rappresenta l’impedenza intrinseca del mezzo in cui avviene lapropagazione.Si osservi come campo elettrico e campo magnetico formino una terna destro-gira con la direzione di propagazione e stiano fra di loro in rapporto mediantel’impedenza η.La soluzione completa del problema in esame impone di determinare anche laseconda coppia di campi, Ey e Hx, ricavabile, con un procedimento del tuttoanalogo, dalle equazioni [2.12] e [2.13].La generalizzazione dei risultati ottenuti al caso di un’onda piana che si propaghilungo una direzione arbitraria r impone una soluzione del tipo:

E = E · e−jk·r (2.17)

H = H · e−jk·r (2.18)

28

dove k = kx · x+ ky · y + kz · z rappresenta il vettore di propagazione.Introducendo le espressioni [2.17] e [2.18] nelle equazioni di Maxwell si pervienead un’algebrizzazione delle stesse, in quanto l’operatore ∇ e sostituito dallaquantita −jk. In altri termini, si ricava:

k × E = ωµH (2.19)

−k × H = ωεE (2.20)

k · E = 0 (2.21)

k · H = 0 (2.22)

Le equazioni [2.21] e [2.22] mostrano che il campo elettrico ed il campo magneti-co sono entrambi ortogonali al vettore di propagazione. Manipolando la [2.19] siricava, inoltre:

k ×(k × E

)= ωµk × H ⇒ |k|2 · E = ω2εµE

da cui:

|k|2 = ω2εµ

Sempre dalla [2.19] e’ possibile dedurre l’espressione del campo magnetico H,ossia:

H =k × E

ωµ=

1

ηik × E (2.23)

Riassumendo i risultati ottenuti, e possibile affermare che, in presenza di un’ondapiana, valgono le seguenti proprieta:

1. campo elettrico e campo magnetico sono mutuamente ortogonali ed en-trambi ortogonali alla direzione di propagazione;

2. il rapporto tra i fasori di campo elettrico e di campo magnetico e pariall’impedenza intrinseca del mezzo.

29

2.3 Incidenza Normale

Consideriamo un’onda piana incidente su un’interfaccia di separazione tra duemezzi aventi parametri elettrici diversi, ripettivamente ε1, µ1 e ε2, µ2 (fig.2.1)Supponiamo che il campo elettrico incidente sia orientato lungo l’asse x e chel’onda incida normalmente sull’interfaccia z=0. Tali considerazioni consentonodi scrivere:

Ei = x · Eo · e−jβ1z (2.24)

H i = y · Eo

η1· e−jβ1z (2.25)

dove:

β1 = ω√ε1µ1, η1 =

√µ1ε1

Ei

x

z

e m1 1, e m2 2,

Figura 2.1: Incidenza Normale

Poiche il semispazio z > 0 e privo di sorgenti, la condizione al contorno all’infinitoimpone che in tale mezzo non vi sia campo riflesso, ma soltanto campo trasmesso,avente espressione:

Et = x · τ12Eo · e−jβ2z (2.26)

H t = y · τ12Eo

η2· e−jβ2z (2.27)

30

con:

β2 = ω√ε2µ2, η2 =

√µ2ε2

Nel semispazio z < 0 si ipotizza, invece, la presenza di un campo incidente e diun campo riflesso, quest’ultimo dato dall’espressione:

Er = x · Γ12Eo · ejβ1z (2.28)

Hr = −y · Γ12Eo

η1· ejβ1z (2.29)

Le uniche quantita incognite nel problema in esame sono rappresentate dai co-efficienti di riflessione Γ12 e di trasmissione τ12. Essi si ricavano imponendo lacontinuita delle componenti tangenziali dei campi sull’interfaccia z=0. In altritermini, si puo scrivere:

E1|z=0 = E2|z=0 (2.30)

H1|z=0 = H2|z=0 (2.31)

Sostituendo le espressioni dei campi nelle equazioni [2.30] e [2.31], si ricava:

Eo + EoΓ12 = Eoτ12 (2.32)

Eo

η1− EoΓ12

η1=

Eoτ12η2

(2.33)

da cui:

Γ12 =η2 − η1η2 + η1

(2.34)

τ12 =2η2

η2 + η1(2.35)

Si osservi come, nel caso di incidenza normale, i coefficienti di riflessione e ditrasmissione dipendano unicamente dai parametri elettrici dei due mezzi, ai qualisono legate le impedenze intrinseche η1,η2 che compaiono nelle espressioni [2.34]e [2.35].

31

2.3.1 Incidenza Normale su mezzi con perdite

Il problema esaminato nel paragrafo precedente puo essere facilmente estesoal caso in cui il secondo mezzo presenti una condubilita finita σ2 6= 0. Talesituazione comporta la presenza di perdite nel semispazio z > 0, dove la costantedi propagazione k2, di valore complesso, e data dall’espressione:

k2 = ω

√(ε2 +

σ2jω

)µ2 = β2 − jα2 (2.36)

In conseguenza di cio, il campo trasmesso risulta modificato come segue:

Et = xτ12Eo · e−jβ2z · e−α2z (2.37)

H t = yτ12Eo

η2· e−jβ2z · e−α2z (2.38)

La sua ampiezza risulta, pertanto, attenuata di un fattore esponenziale del tipoe−α2z. Si osservi inoltre, che l’impedenza intrinseca η2 assume anch’essa valorecomplesso, essendo fornita dall’espressione:

η2 =

õ2

ε2 +σ2

jω

=

√jωµ2

σ2 + jωε2

Per effetto delle perdite, nel semispazio z > 0 viene indotta una densita dicorrente data dalla formula:

J2 = σ2 · E2 = xσ2τ12Eo · e−jk2z (2.39)

L’intensita di tale corrente puo essere calcolata valutando il flusso di J 2 attraversola superficie 0 ≤ y ≤ ∆y, 0 ≤ z ≤ ∞, ossia:

∆I2 =

∆y∫

0

dy

∞∫

0

σ2τ12Eo · e−jk2zdz =σ2τ12Eo∆y

jk2(2.40)

La densita lineare di corrente vale, pertanto:

I2 =σ2τ12Eo

jk2(2.41)

La sua dipendenza dalla conducibilita σ2 non e cosi’ semplice come potrebbededursi dalla [2.41], in quanto τ12 = τ12(σ2) e k2 = k2(σ2).

32

2.4 Incidenza Obliqua

Consideriamo un’onda piana incidente con un angolo arbitrario θi su un’interfac-cia di separazione tra due mezzi aventi caratteristiche diverse (fig.2.1):In analogia a quanto determinato per l’onda piana incidente normalmente, elecito ipotizzare per i campi espressioni del tipo:

Ei = x · Eo · e−jki·r (2.42)

Er = x · Γ12Eo · e−jkr·r (2.43)

Et = x · τ12Eo · e−jkt·r (2.44)

Poiche siamo in presenza di un’onda arbitraria, non conosciamo a priori le di-rezioni dell’onda riflessa e di quella trasmessa; esse, infatti, vengono determinateimponendo le appropriate condizioni al contorno sull’interfaccia in esame:

x

z

e m1 1, e m2 2,

ki

kr

kt

qr

qi

qt

Figura 2.2: Incidenza Obliqua

A tal riguardo, possiamo scrivere:

E1|z=0 = E2|z=0

da cui:

Eo · e−j(kixx+k

iyy) + Γ12Eo · e−j(kr

xx+kryy) = τ12Eo · e−j(kt

xx+ktyy) (2.45)

33

Affinche l’uguaglianza [2.45] sia soddisfatta, indipendentemente dai valori deicoefficienti Γ12 e τ12, occorre che gli esponenti coincidano, ossia:

ki · x = kr · x = kt · x (2.46)

ki · y = kr · y = kt · y (2.47)

In particolare, dalla [2.46] si ricava:

kix = krx ⇒ k1sinθi = k1sinθr ⇒ θi = θr (2.48)

Analogamente, per l’onda trasmessa si ha:

kix = ktx ⇒ k1sinθi = k2sinθt (2.49)

Le equazioni [2.48] e [2.49] esprimono le leggi di Snell.La determinazione delle espressioni dei campi, in presenza di incidenza obliqua,prevede la distinzione di due casi fondamentali, dalla cui sovrapposizione e pos-sibile ricavare qualunque altra configurazione. Definito, pertanto, il piano diincidenza quale piano contenente la normale alla superficie di separazione ed ilvettore di incidenza, si ha:

1. polarizzazione perpendicolare quando il campo elettrico risulta or-togonale al piano di incidenza;

2. polarizzazione parallela quando il campo elettrico risulta parallelo alsuddetto piano.

2.4.1 Polarizzazione Perpendicolare

In presenza di incidenza obliqua con polarizzazione perpendicolare, la configu-razione del campo incidente e quella illustrata in fig.2.3:In particolare, il campo elettrico e dato dall’espressione:

Ei = y · Eoe−jk1(xsinθi+zcosθi) (2.50)

Il corrispondente campo magnetico si ottiene sostituendo la [2.50] nella [2.23]:

H i = (−xcosθi + zsinθi) ·Eo

η1e−jk1(xsinθi+zcosθi) (2.51)

34

x

z

e m1 1, e m2 2,

ki

kr

kt

qr

qi

qt

Ei

Hi

Er

Et

Hr

Ht

Figura 2.3: Incidenza Obliqua: Polarizzazione Perpendicolare

Procedendo in modo analogo, per il campo riflesso si ha:

Er = y · Γ⊥Eoe−jk1(xsinθi−zcosθi) (2.52)

Hr = (xcosθi + zsinθi) ·Γ⊥Eo

η1e−jk1(xsinθi−zcosθi) (2.53)

Infine, per il campo trasmesso:

Et = y · τ⊥Eoe−jk2(xsinθt+zcosθt) (2.54)

H t = (−xcosθt + zsinθt) ·τ⊥Eo

η2e−jk2(xsinθt+zcosθt) (2.55)

Le espressioni dei coefficienti di riflessione e trasmissione Γ⊥ e τ⊥ si determi-nano, al solito, imponendo la continuita delle componenti tangenziali dei campiall’interfaccia:

Ei|z=0 + Er|z=0 = Et|z=0H i

x|z=0 +Hrx|z=0 = H t

x|z=0

Sostituendo le espressioni dei campi nelle suddette condizioni, si ottiene:

35

Eo · e−jk1xsinθi + Γ⊥Eo · e−jk1xsinθi = τ⊥Eo · e−jk2xsinθt (2.56)

−Eo

η1cosθi · e−jk1xsinθi +

Γ⊥Eo

η1cosθi · e−jk1xsinθi =

τ⊥Eo

η2cosθt · e−jk2xsinθt(2.57)

Manipolando le espressioni [2.56] e [2.57], si ricavano le soluzioni:

Γ⊥ =η2cosθi − η1cosθtη2cosθi + η1cosθt

(2.58)

τ⊥ =2η2cosθi

η2cosθi + η1cosθt(2.59)

2.4.2 Polarizzazione Parallela

Nello studio dell’incidenza obliqua con polarizzazione parallela si procede in modoanalogo al caso precedente, ottenendo le configurazioni di campo illustrate in fig.2.4:Le espressioni dei campi incidente, riflesso e trasmesso assumono la forma:

Ei = (xcosθi − zsinθi)Eoe−jk1(xsinθi+zcosθi) (2.60)

H i = yEo

η1e−jk1(xsinθi+zcosθi) (2.61)

Er = (xcosθi + zsinθi) Γ‖Eoe−jk1(xsinθi−zcosθi) (2.62)

Hr = −yEoΓ‖

η1e−jk1(xsinθi−zcosθi) (2.63)

Et = (xcosθt − zsinθt) τ‖Eoe−jk2(xsinθt+zcosθt) (2.64)

H t = yEoτ‖

η1e−jk2(xsinθt+zcosθt) (2.65)

La determinazione dei coefficienti Γ‖ e τ‖ prevede nuovamente di imporre leappropriate condizioni al contorno sull’interfaccia, ovvero:

H i|z=0 +Hr|z=0 = H t|z=0Eix|z=0 + Er

x|z=0 = Etx|z=0

36

x

z

e m1 1, e m2 2,

ki

kr

kt

qr

qi

qt

Ei

Hi

Er

Et

Hr

Ht

Figura 2.4: Incidenza Obliqua: Polarizzazione Parallela

Sostituendo nelle suddette condizioni le espressioni dei campi precedentementedeterminate, si ricava:

Eocosθi · e−jk1xsinθi + Γ‖Eocosθi · e−jk1xsinθi = τ‖Eocosθt · e−jk2xsinθt (2.66)

Eo

η1· e−jk1xsinθi − Γ‖Eo

η1· e−jk1xsinθi =

τ‖Eo

η2· e−jk2xsinθt (2.67)

Risolvendo le equazioni [2.66] e [2.67], si ottengono, infine, le soluzioni:

Γ‖ =η2cosθt − η1cosθiη2cosθt + η1cosθi

(2.68)

τ‖ =2η2cosθi

η2cosθt + η1cosθi(2.69)

2.4.3 Trasmissione Totale: angolo di Brewster

Nell’ipotesi che l’interfaccia separi due dielettrici ideali di parametri ε1, µ1 e ε2, µ2,con ε2 > ε1, si vogliano determinare i valori dell’angolo di incidenza θi cheannullano il coefficiente di riflessione, distinguendo i due tipi di polarizzazione.Considerato il caso di polarizzazione perpendicolare, si puo scrivere:

Γ⊥ =η2cosθi − η1cosθtη2cosθi + η1cosθt

=cosθi − ncosθtcosθi + ncosθt

(2.70)

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dove n =√

ε2/ε1 rappresenta l’indice di rifrazione del secondo mezzo rispetto alprimo.Sostituendo la [2.49] nella [2.70], si ricava:

Γ⊥ =cosθi −

√n2 − sin2θi

cosθi +√n2 − sin2θi

(2.71)

Per θi = 0 si ha:

|Γ⊥| =n− 1

n+ 1

Posto, invece, Γ⊥ = 0, si ricava:

cos2θi = n2 − sin2θi

La suddetta equazione non ammette soluzioni reali, pertanto si conclude che lafunzione Γ⊥ risulta essere monotona crescente e non presenta punti di nullo.Nel caso di polarizzazione parallela, si puo scrivere:

Γ‖ =cosθt − ncosθicosθt + ncosθi

=

√n2 − sin2θi − n2cosθi√n2 − sin2θi + n2cosθi

(2.72)

Anche in questo caso, per θi = 0 risulta:

|Γ‖| =n− 1

n+ 1

Tuttavia, a differenza di quanto verificato nel caso di polarizzazione perpendico-lare, la funzione Γ‖ presenta dei punti di nullo. Si puo scrivere, infatti:

Γ‖ = 0⇒ n2 − sin2θi = n4cos2θi ⇒ sinθi =n√

n2 + 1(2.73)

L’angolo di incidenza che soddisfa la [2.73] e detto angolo di trasmissione totaleo anche di Brewster.

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Bibliografia

[1] C. De Marzo, Maxwell e la fisica Classica, Editori La Terza, 1978.

[2] G. Franceschetti, E Corti, Lezioni di Campi Elettromagnetici e Circuiti,Editori Liguori, 1965.

[3] G. Franceschetti,Campi Elettromagnetici, Boringhieri, 1983.

[4] S. Ramo, J. R. Whinnery, T. Van Duzer, Campi ed Onde nell’Elettronica

per la Telecomunicazioni, Franco Angeli Editore, 1982.

[5] B. : Kadomtsev, Phenomenes Collectifs Dans Les Plasmas, TraductionFrancaise Edition MIR, 1979.

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