lezioni di meccanica del volo 7 - equilibrio, controllo e ... · volo simmetrico ( = 0), per cui...

Lezioni di Meccanica del Volo7 - Equilibrio, controllo e stabilitalongitudinali in volo rettilineo

L. Trainelli

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Indice

1 INTRODUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1 Equazioni generali del volo rettilineo . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Equazioni del volo rettilineo stazionario . . . . . . . . . . 51.2 Regola di trasporto del momento di beccheggio . . . . . . . . . . 52 EQUAZIONI COSTITUTIVE LONGITUDINALI . . . . . . . . 72.1 Necessita del controllo longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Condizioni per l’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Equilibrio dell’ala isolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.3 Equilibratore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Equazioni costitutive a comandi bloccati . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Condizioni per l’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Leggi costitutive in forma non omogenea . . . . . . . . . . 132.2.3 Leggi costitutive in forma omogenea . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Comandi bloccati e comandi liberi . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Punti caratteristici a comandi bloccati . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Punto neutro longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2 Punto di controllo longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.3 Espressione generale del momento di beccheggio . . . . . 172.3.4 Schema semplificato delle azioni aerodinamiche . . . . . . 18

2.4 Trimmaggio longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.1 Soluzione del trimmaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2 Espressioni alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 STABILITA STATICA E CONTROLLO LONGITUDINALI . . 203.1 Stabilita statica a comandi bloccati . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 Condizione di stabilita statica longitudinale . . . . . . . . 213.1.2 Margine di stabilita statica longitudinale . . . . . . . . . . 223.1.3 Stabilita statica dell’ala isolata . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.4 Stabilizzatore orizzontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Modello a due superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1 Portanza e momento dell’intero velivolo . . . . . . . . . . 263.2.2 Portanza e momento delle due superfici . . . . . . . . . . 273.2.3 Velivolo di architettura tradizionale . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Controllo longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.1 Effetto della stabilita sul trimmaggio . . . . . . . . . . . . 343.3.2 Variazioni con la velocita equivalente . . . . . . . . . . . . 353.3.3 Intuitivita dei comandi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.4 Escursione baricentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Curve aerodinamiche trimmate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.1 Portanza trimmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.2 Polare trimmata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Prove di volo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5.1 Determinazione del punto neutro . . . . . . . . . . . . . . 42

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22 marzo 2011(Versione 2.0)

1 INTRODUZIONE 4

Problem - Aircraft handles funny.Action - Aircraft warned to “Straighten up, fly right, and be serious.”

– one of the ‘QANTAS squawks’ (from the Internet).

1 INTRODUZIONE

In questa sezione consideriamo l’analisi dell’equilibrio, del controllo (ossia il mo-do in cui si realizza l’equilibrio) e della stabilita (ossia della tendenza naturale apermanere in equilibrio) per le condizioni di volo rettilineo uniforme simmetrico.Si tratta delle condizioni di volo in assoluto piu importanti per caratterizzare ilcomportamento del velivolo, a partire dalle quali si puo estendere l’analisi allecondizioni di volo in manovra.

L’analisi concerne le condizioni di volo piu semplici e frequenti, in cui l’equi-librio laterodirezionale e identicamente soddisfatto essendo tutte nulle le azioniaerodinamiche applicate al di fuori del piano di simmetria materiale del velivolo(devianza, momento di rollio, momento d’imbardata). Pertanto, consideriamosolo le azioni aerodinamiche che hanno effetto sull’equilibrio longitudinale, ossiaquelle agenti nel piano di simmetria materiale del velivolo (resistenza, portanza,momento di beccheggio).

L’analisi si limita alle condizioni di volo per cui le incidenze sono moderate(angoli ‘piccoli’ in senso matematico). Cio non rappresenta necessariamente unlimite significativo, in quanto la grande maggioranza dei velivoli e progettataper essere impiegata in condizioni normali in una gamma di incidenze ampia-mente compresa nei limiti per cui l’andamento della portanza e del momento dibeccheggio puo essere ritenuto lineare.

1.1 Equazioni generali del volo rettilineo

Per completezza, richiamiamo le equazioni di equilibrio relative ad un genericovolo rettilineo centrato:

mV = T cosα−D −W sin γ,

0 = T sinα+ L−W cos γ,

0 =MG,

(1)

dove T rappresenta la spinta (o trazione), D la resistenza aerodinamica, L laportanza, m la massa, W = mg il peso e MG il momento di beccheggio alcentro di massa G, mentre V e la velocita di volo e γ l’angolo di rampa.

Queste equazioni rappresentano, nell’ordine, il bilancio delle forze in dire-zione tangenziale al moto (ossia la direzione del vettore velocita di volo V), ilbilancio delle forze in direzione normale al moto ed infine il bilancio dei momentiin beccheggio riferiti al baricentro. Le ipotesi che soggiaciono alla scrittura delleequazioni precedenti sono

1 INTRODUZIONE 5

• volo simmetrico (β = 0), per cui tutte le azioni latero-direzionali sononulle e le equazioni di equilibrio alla traslazione laterale e alle rotazioni dirollio e d’imbardata si riducono ad identita banali;

• contributo al momento in beccheggio delle azioni propulsive trascurabili,per cui compare il solo momento di beccheggio aerodinamico al baricentro.

Si e inoltre assunto per comodita l’asse corpo longitudinale coincidente con l’asseorientato del vettore spinta T.

Naturalmente, le condizioni di volo rettilineo si evincono dalla mancanzadi un termine inerziale relativo all’accelerazione centripeta nella seconda equa-zione, quelle di volo centrato dalla mancanza di un termine inerziale relativoall’accelerazione angolare nella terza equazione.

1.1.1 Equazioni del volo rettilineo stazionario

Imponendo il moto uniforme, V = 0, otteniamo:

0 = T cosα−D −W sin γ,

0 = T sinα+ L−W cos γ,

0 =MG.

(2)

Tali equazioni si semplificano significativamente se si assume che il volo si svolga

• ad incidenze moderate, α� 1 rad;

• ad efficienze aerodinamiche medie o elevate, E ≥ O(1).

Entrambe queste condizioni sono ampiamente verificate nella stragrande mag-gioranza delle condizioni di volo livellato d’interesse.

Applicando tali condizioni, si puo assumere che, trascurando T sinα rispettoa L e ponendo T cosα ≈ T , tutta la spinta agisca in direzione della velocita divolo:

0 = T −D −W sin γ,

0 = L−W cos γ,

0 =MG.

(3)

Queste equazioni reggono quindi il volo stazionario orizzontale (γ = 0), in salita(γ > 0), ed in discesa (γ < 0).

1.2 Regola di trasporto del momento di beccheggio

La regola generale di trasporto dei momenti, applicata al momento di beccheg-gio, consiste nella seguente formula:

MQ =MP + (xbQ − xbP )Z − (zbQ − zbP )X, (4)

1 INTRODUZIONE 6

dove abbiamo espresso il risultante delle forze aerodinamiche in componentirispetto agli assi del riferimento solidale,

F = X ebx + Z ebz, (5)

ed analogamente il vettore distanza da P a Q,

Q− P = (xbQ − xbP ) ebx + (ybQ − ybP ) eby + (zbQ − zbP ) ebz. (6)

In condizioni di volo simmetrico, i piani xbzb e xaza coincidono, ovvero coincido-no gli assi yb e ya. L’unica differenza tra il riferimento solidale ed il riferimentoaerodinamico consiste quindi in una rotazione di α nel piano di simmetria ma-teriale del velivolo. Valgono dunque le seguenti relazioni tra i versori dei sistemidi riferimento Fb e Fa, per comodita scritte in forma matriciale:[

ebxebz

]=

[cosα − sinαsinα cosα

] [eaxeaz

], eby = eay. (7)

Pertanto, la relazione tra le componenti della forza aerodinamica rispetto ai dueriferimenti solidale ed aerodinamico e data da

X = −D cosα+ L sinα,

Z = −D sinα− L cosα.(8)

Sfruttando la definizione di efficienza aerodinamica, E := L/D, possiamo riscri-vere le equazioni precedenti nella forma seguente:

X = −D cosα (1 + E tanα) ,

Z = −L cosα

(1 +

tanα

E

).

(9)

Tali espressioni si semplificano significativamente se si assume che il volo sisvolga

• ad incidenze moderate, α� 1 rad;

• ad efficienze aerodinamiche medie o elevate, E ≥ O(1).

Applicando la prima condizione, che consente di confondere cosα con l’unita etanto sinα, quanto tanα con l’angolo α, otteniamo:

X = −D (1 + Eα) ,

Z = −L(

1 +α

E

),

(10)

sicche, applicando la seconda condizione, possiamo ritenere il rapporto (α/E)trascurabile rispetto all’unita, mentre in generale non possiamo fare lo stessoper il prodotto (Eα):

X = −D − Lα,Z = −L.

(11)

2 EQUAZIONI COSTITUTIVE LONGITUDINALI 7

Di fatto, questo significa quindi che si trascura (Dα) rispetto a L.Sotto le ipotesi citate, la regola del trasporto per il momento di beccheggio

risulta data da

MQ =MP − (xbQ − xbP )L+ (zbQ − zbP ) (D + Lα)

=MP −(

(xbQ − xbP ) + (zbQ − zbP )

(1

E+ α

))L,

(12)

e quindi puo essere ulteriormente semplificata nella formula seguente:

MQ =MP − (xbQ − xbP )L, (13)

quando si considerino punti con ordinate molto prossime tra loro (ad esempiopunti posti sull’asse di rollio xb), oppure condizioni di volo ad efficienza elevata.Ricordiamo che

L = qdS CL,

MP = qdS cCMP,

(14)

dove qd = ρ V 2/2 rappresenta la pressione dinamica di volo, S la superficie alaredi riferimento del velivolo, c la corda media aerodinamica (MAC) del velivoloe (CL,CMP

) i coefficienti di portanza e momento di beccheggio al polo P .Pertanto, dividendo entrambi i membri per il prodotto (qdS c), otteniamo laregola del trasporto per il coefficiente di momento di beccheggio:

CMQ= CMP

− (ξbQ − ξbP ) CL, (15)

dove ξb := xb/c rappresenta un’ascissa adimensionale lungo l’asse di rollio.Per alleggerire la notazione, d’ora in avanti, si omettera l’apice b per le ascisse

x e ξ.

2 EQUAZIONI COSTITUTIVE LONGITUDINALI

Le equazioni costitutive longitudinali sono le espressioni che mostrano la di-pendenza delle componenti longitudinali di forza e momento aerodinamici (inparticolare della portanza e del momento di beccheggio) dalle grandezze che,in condizioni di volo rettilineo uniforme simmetrico, caratterizzano il campoaerodinamico che si sviluppa attorno al velivolo stesso:

• densita dell’aria alla quota di volo,

• velocita di volo,

• angolo d’incidenza,

• angolo di deflessione dell’equilibratore,

• numeri di Mach e Reynolds,


nonche dalle grandezze che descrivono la superficie ‘bagnata’ del velivolo, ossiala superficie di riferimento (superficie della pianta alare) ed opportuni parametricaratterizzanti forma e finitura locale di tale superficie.

L’accoppiamento delle equazioni costitutive con le equazioni di equilibrio cor-rispondenti consente di risolvere il problema del trimmaggio,1 ossia, ad esempio,determinare i valori degli angoli d’incidenza e di deflessione dell’equilibratoreche consentono di ottenere l’equilibrio del velivolo in volo ad un certo angolo dirampa con un dato valore del carico alare, della quota e della velocita.

2.1 Necessita del controllo longitudinale

In questa sezione ci interessiamo al modo in cui e possibile ottenere l’equilibriodel velivolo in volo rettilineo uniforme simmetrico, ed in particolare dimostria-mo che cio e praticamente irrealizzabile per la maggior parte dei velivoli sequesti hanno una geometria fissata, mentre l’adozione di un’opportuna superfi-cie mobile, detta equilibratore, rappresenta il metodo piu semplice e diretto perequilibrare il velivolo in tutte le condizioni di volo d’interesse.

2.1.1 Condizioni per l’equilibrio

Assumiamo le equazioni costitutive delle azioni aerodinamiche e propulsive re-lative alle condizioni di volo rettilineo per un velivolo di geometria fissata:

T = T (h, V, δT ),

D = D(h, V, α),

L = L(h, V, α),

MG =MG(h, V, α),

(16)

essendo h la quota di volo, V la velocita di volo, α l’incidenza di volo e δT ilparametro di manetta del propulsore. Si tratta della forma piu generale possi-bile, che include le dipendenze dalla pressione dinamica qd(h, V ) := ρ(h)V 2/2,dal numero di Mach M(h, V ) := V/a(h) e dal numero di Reynolds Re(h, V ) :=ρ(h)V l/µ(h).

Associando tali equazioni costitutive alle equazioni d’equilibrio 3,

T (h, V, α, δT ) = D(h, V, α) +W sin γ,

L(h, V, α) = W cos γ,

MG(h, V, α) = 0,

(17)

si osserva facilmente che il problema dell’equilibrio e sovracondizionato e, ingenerale, non ammette soluzione. Cio per effetto della coesistenza della secondae della terza equazione, tra loro linearmente indipendenti. Infatti, se una delledue risulta soddisfatta per una terna di valori (h, V, α), l’altra in generale nonpotra esserlo.

1 Termine del gergo aeronautico italiano derivato dall’inglese “to trim”, che significa“ordinare, regolare” nel linguaggio comune, ed “equilibrare” nel linguaggio aeronautico.


Rendiamo piu esplicite queste considerazioni con un esempio immediato:supponiamo che il velivolo sia stato progettato per eseguire una crociera in vololivellato alla quota h e alla velocita V con un peso W . La seconda equazionechiaramente determina in modo univoco l’incidenza di equilibrio α che consentel’equilibrio verticale, mentre la prima, dato α, consente la determinazione delparametro di manetta δT che assicura l’equilibrio tangenziale. Inoltre, la ternadi valori (h, V, α) soddisfa la condizione di centraggio, ossia la terza equazione.Supponiamo ora di voler modificare uno dei parametri (h, V,W ) che identificanotale punto di progetto, ad esempio il peso, mantenendo gli altri costanti. Al nuo-vo peso W la seconda equazione associera, essendo invariati quota e velocita, unnuovo valore dell’incidenza α e di conseguenza la prima equazione determineraun nuovo valore del parametro di manetta δT . La terna di valori (h, V, α) peronon potra soddisfare la condizione di centraggio, verificata invece per la terna(h, V, α).

Quanto appena esposto comporta la necessita di introdurre nelle equazionicostituitive almeno un’ulteriore parametro che permetta di modificare i valoridei risultanti delle azioni aerodinamiche una volta che si fissino quota, velocitadi volo e peso del velivolo.

2.1.2 Equilibrio dell’ala isolata

Per illustrare piu chiaramente il ragionamento precedente, consideriamo un ve-livolo costituito soltanto da un’ala (ala isolata) in volo livellato subsonico. Datoche la prima delle equazioni di equilibrio 3 risulta disaccoppiata dalle altre duee puo essere intesa, ai fini dello studio dell’equilibrio, come l’equazione che defi-nisce il parametro di manetta necessario, consideriamo qui solo l’equilibrio ver-ticale e quello al beccheggio avendo fissato i valori (h, V,W ) per quota, velocitae peso:

L = W,

MG = 0,(18)

essendo

L =1

2ρ V 2S CL

MG =1

2ρ V 2S cCMG

.

(19)

Le equazioni di equilibrio si scrivono dunque in forma adimensionale

CL =2

ρ

W

S

1

V 2,

CMG= 0.

(20)

Supponiamo che sia il centro di massa G, sia il centro aerodinamico A dell’alaappartengano all’asse di rollio: applicando la regola di trasporto dei momenti,

CMG= CMA

− (ξG − ξA) CL, (21)


otteniamo per l’equazione di centraggio

CMA= (ξG − ξA) CL, (22)

e quindi, dall’equilibrio verticale,

CMA= (ξG − ξA)

2

ρ

W

S

1

V 2, (23)

ossia

ξG − ξA =CMA

2

ρ

W

S

1

V 2

. (24)

Dunque, perche l’ala sia contemporaneamente equilibrata verticalmente e cen-trata, deve sussistere la relazione precedente, che impone che il centro di massasi trovi ad una precisa distanza dal centro aerodinamico.

Ricordiamo che il centro aerodinamico, nelle ipotesi di volo subsonico, eun punto materiale.2 Essendo CMA

una costante, la distanza tra il centro dimassa ed il centro aerodinamico dipende dai valori assunti dalla terna (h, V,W ).Cio comporta che, modificando uno dei valori (h, V,W ), si debba cambiare laposizione del baricentro, il che e praticamente irrealizzabile per la maggior partedei velivoli.3

2.1.3 Equilibratore

Scartata la possibilita di variare significativamente, e in modo pilotato con l’op-portuna rapidita di attuazione, la posizione del centro di massa del velivolo,l’unica altra possibilita che si presenta e quella di far variare il coefficiente dimomento di beccheggio al centro aerodinamico CMA

. Trattandosi di una ca-ratteristica aerodinamica, tale coefficiente dipende essenzialmente dalla formadell’ala, sicche una sua variazione puo essere ottenuta modificando la geometriadell’ala. Questo puo essere ottenuto mediante

• una deformazione distribuita di torsione di una porzione della superficiealare, oppure

• l’introduzione di un flap la cui deflessione sia controllabile con continuita,ossia l’equilibratore (elevator), anche detto timone di profondita.

2 Il centro aerodinamico assume una posizione costante rispetto ad un riferimento solidale alvelivolo in regime subsonico, M < Mcrit, ed in regime supersonico, M > Msup, mentre cambiaposizione in regime transonico. Per un’ala costituita da profili sottili, il centro aerodinamico sitrova al quarto di corda dal bordo d’attacco della corda media aerodinamica in volo subsonico,in mezzeria della corda media aerodinamica in volo supersonico.

3 Al contrario, questo e il meccanismo di controllo longitudinale utilizzato sui deltaplani,dove il pilota, attraverso l’azione delle braccia sul manubrio, puo regolare la posizione delcentro di massa del velivolo in modo da consentire l’equilibrio in tutto l’inviluppo di volod’interesse.


La prima soluzione, pur essendo molto antica,4 e stata abbandonata nel secoloscorso ed e attualmente allo studio per lo sviluppo di progetti avanzati di velivolimorphing, ossia capaci di cambiare la loro forma in relazione alle manovre daeseguire.

La seconda soluzione rappresenta di fatto la soluzione adottata per la stra-grande maggioranza dei velivoli costruiti fino ad oggi. L’equilibratore e unasuperficie mobile posta sul bordo d’uscita di una superficie portante, incerniera-ta su un asse solidale alla superficie stessa nel senso della sua apertura, in mododa poter ruotare di un angolo δe. Per tale angolo, detto deflessione dell’equi-libratore, assumiamo un verso positivo concorde a quello dell’incidenza (ossiaper deflessione verso il basso). Inoltre, assumiamo che l’origine per δe sia laposizione non deflessa dell’equilibratore, quando questo si trova allineato con lasuperficie portante su cui e incernierato.

Una deflessione positiva dell’equilibratore comporta una variazione positivadella portanza, mentre una deflessione negativa ne comporta una variazionenegativa. La deflessione dell’equilibratore viene comandata dal pilota attraversoil movimento longitudinale della barra (control stick): per barra in avanti si hadeflessione positiva, mentre per barra indietro si ha deflessione negativa.

La superficie portante su cui si dispone l’equilibratore dipende dall’architet-tura del velivolo:

• in un velivolo senza impennaggi orizzontali (ad esempio un tutt’ala, oppurecerti velivoli con ala a delta tipo Dassault Mirage), gli equilibratori nonpossono che trovarsi sull’ala; in taluni casi, le funzioni dell’equilibratore edell’alettone vengono assolte da una sola superficie per ogni semiala, dettaelevon (elevator+aileron);

• in un velivolo con impennaggi orizzontali (sia posti dietro l’ala, comenei velivoli di architettura tradizionale, sia davanti, come nei velivoli ‘ca-nard’), l’equilibratore viene disposto sull’impennaggio perche cio consentedi contenerne le dimensioni e la rotazione.

Per quanto riguarda la seconda soluzione, notiamo che – estendendo il ragio-namento svolto per l’ala isolata – lo scopo dell’equilibratore e modificare ilmomento di beccheggio rispetto al centro aerodinamico del velivolo, che si trovain prossimita dell’ala. Pertanto, maggiore e la distanza dell’equilibratore dall’a-la, minore sara la forza necessaria a creare una data variazione di momento, equindi minore sara la superficie e/o la deflessione dell’equilibratore.

2.2 Equazioni costitutive a comandi bloccati

2.2.1 Condizioni per l’equilibrio

In termini del tutto generali, possiamo introdurre le equazioni costitutive per irisultanti delle azioni aerodinamiche agenti nel piano di simmetria del velivolo

4 Era stata utilizzata dai fratelli Wright nei loro Flyers per realizzare il controllo in rollio,ossia al posto degli alettoni, mediante deformazione elastica della struttura alare attuata datiranti.


in volo rettilineo uniforme simmetrico in termini dei parametri (α, δe), oltre chedelle condizioni di volo date dai parametri (h, V ).

Queste leggi costitutive possono essere ricavate nei modi piu diversi:

• attraverso stime derivanti dai diversi contributi associati alle componentidel velivolo (ali, impennaggi, fusoliera, etc.);

• attraverso analisi numeriche, utilizzando metodi che fanno riferimento aduna gerarchia di modelli di aerodinamica computazionale di complessitacrescente (linea portante, superficie portante, metodi a pannelli, metodialle differenze finite, ai volumi finiti, agli elementi finiti, etc.);

• attraverso la riduzione al velivolo in esame dei dati dedotti da esperimentisu modelli scalati in galleria del vento;

• attraverso prove di volo con il velivolo stesso.

In ogni caso, l’introduzione dell’equilibratore modifica le equazioni costituti-ve 16, trasformandole nelle seguenti:

D = D(h, V, α, δe),

L = L(h, V, α, δe),

MG =MG(h, V, α, δe),

(25)

per cui, associandole alle equazioni d’equilibrio 3,

T (h, V, α, δT ) = D(h, V, α, δe) +W sin γ,

L(h, V, α, δe) = W cos γ,

MG(h, V, α, δe) = 0,

(26)

si osserva come, dati (h, V, γ,W ), l’insieme della seconda e della terza equazionepermettono di determinare la coppia (α, δe) e, a valle di cio, la prima equazioneconsente la determinazione di δT . Pertanto, in linea di principio quanto vistorisolve interamente il problema del trimmaggio longitudinale, almeno per quantoconcerne valori per (α, δe, δT ) effettivamente ottenibili.

Come risultera chiaro nel seguito, per un velivolo di architettura tradizionalecon ala e impennaggi orizzontali molto distanti (dell’ordine di alcune MAC),si puo supporre, in via preliminare, che la deflessione dell’equilibratore nonalteri significativamente la portanza globale del velivolo, e quindi l’equilibrio allatraslazione verticale, pur mantenendo un effetto fondamentale nell’equilibrio albeccheggio. In una tale situazione, la seconda equazione sostanzialmente servea determinare l’incidenza di volo, mentre la terza equazione fissa il valore delladeflessione dell’equilibratore.

A questo punto, e necessario dettagliare la forma assunta dalle equazionicostitutive del velivolo, in particolare rispetto alle variabili (α, δe).


2.2.2 Leggi costitutive in forma non omogenea

Ci concentriamo inizialmente su portanza e momento di beccheggio:

L = L(h, V, α, δe) =1

2ρ V 2S CL(α, δe,M,Re),

MP =MP (h, V, α, δe) =1

2ρ V 2S cCMP

(α, δe,M,Re),

(27)

Per queste componenti possiamo assumere che, per angoli d’incidenza e dideflessione dell’equilibratore ‘moderati’, ossia piccoli in senso matematico,

α� 1 rad,

δe � 1 rad,(28)

la dipendenza da tali angoli sia lineare:

CL = CL,αα+ CL,δeδe + CL0,

CMP= CMP ,αα+ CMP ,δe

δe + CMP 0,(29)

avendo indicato con la notazione •,? ≡ ∂ •/∂? la derivata parziale della funzione• rispetto alla variabile ?.

Nelle equazioni precedenti, dette leggi costitutive in forma non omogenea,i coefficienti CL,α, CL,δe , CL0, CMP ,α, CMP ,δe

, CMP 0 sono funzioni dei soliparametri (M,Re):

L,α =1

2ρ V 2S CL,α(M,Re),

L,δe =1

2ρ V 2S CL,δe(M,Re),

MP ,α =1

2ρ V 2S cCMP ,α(M,Re),

MP ,δe =1

2ρ V 2S cCMP ,δe

(M,Re).

(30)

I termini noti CL0, CMP 0 rappresentano evidentemente i valori assunti dai coef-ficienti di portanza e momento di beccheggio al polo P quando sia l’incidenza,sia la deflessione dell’equilibratore sono nulli. Date le convenzioni sul segno de-gli angoli (α, δe), che sono assunti entrambi positivi a cabrare, ossia nel versopositivo di rotazione nel piano di simmetria del velivolo xbzb, le derivate CL,α,CL,δe risultano entrambe positive: la portanza del velivolo aumenta sia per au-mento dell’incidenza, sia per aumento della deflessione dell’equilibratore. Nullapuo essere detto, invece, sul segno delle derivate CMP ,α, CMP ,δe

finche non sispecifica la posizione del polo P . Nel seguito vedremo come caratterizzare inmodo significativo le derivate del momento di beccheggio.


2.2.3 Leggi costitutive in forma omogenea

La foma non omogenea delle equazioni costitutive mostra una dipendenza dallaconvenzione (arbitraria, ancorche significativa) sull’origine scelta per contare gliangoli (α, δe), attraverso i termini noti CL0, CMP 0.

Allo scopo di ottenere una forma equivalente, ma che si dimostra piu con-veniente per gli sviluppi analitici seguenti, e utile svincolarsi dalla convenzionesull’origine delle rotazioni. Per far cio, definiamo i valori (α0, δe0) corrispon-denti ad un sistema equivalente a zero, ossia a risultante e momento risultantecontemporaneamente nulli:

CL,αα0 + CL,δeδe0 + CL0 = 0,

CMPCMP ,αα0 + CMP ,δe

δe0 + CMP 0 = 0.(31)

La soluzione di queste equazioni, intese come un sistema nelle incognite (α0, δe0),[CL,α CL,δe

CMP ,α CMP ,δe

] [α0

δe0

]= −

[CL0

CMP 0

], (32)

fornisce

α0 = −CL0CMP ,δe

− CL,δeCMP 0

∆,

δe0 = −CL,αCMP 0 − CL0CMP ,α

∆,

(33)

essendo ∆ il determinante della matrice dei coefficienti del sistema:

∆ := CL,αCMP ,δe− CL,δeCMP ,α. (34)

Va rimarcato che quest’ultima grandezza non dipende dal polo P , in quanto perla regola di trasporto dei momenti di beccheggio abbiamo

CMP= CMQ

− (ξP − ξQ) CL (35)

e, derivando rispetto a α e δe, otteniamo

CMP ,α = CMQ ,α− (ξP − ξQ) CL,α,

CMP ,δe= CMQ ,δe

− (ξP − ξQ) CL,δe .(36)

Di conseguenza, e immediato osservare che

CL,αCMP ,δe− CL,δeCMP ,α ≡ CL,αCMQ ,δe

− CL,δeCMQ ,α, (37)

per qualsiasi coppia di punti P,Q posti sull’asse di rollio. Col medesimo argo-mento si dimostra anche l’indipendenza dal polo P dei numeratori nelle eq. 33,per cui i valori (α0, δe0) risultano funzioni dei soli parametri (M,Re). Noti(α0, δe0), possiamo sostituire le espressioni

CL0 = −(CL,αα0 + CL,δeδe0

),

CMP 0 = −(

CMP ,αα0 + CMP ,δeδe0

),

(38)


nelle espressioni delle leggi non omogenee 29, ottenendo

CL = CL,α(α− α0) + CL,δe(δe − δe0),

CMP= CMP ,α(α− α0) + CMP ,δe

(δe − δe0).(39)

Ci riferiamo alle equazioni precedenti come leggi costitutive in forma omogenea.Le variabili delle equazioni costitutive in forma omogenea sono gli angoli di

incidenza ‘assoluta’ (α−α0) e di deflessione ‘assoluta’ dell’equilibratore (δe−δe0).Questi, al pari dell’angolo d’incidenza assoluta di un profilo alare, non dipendonodalla convenzione sull’origine scelta per le rotazioni. In altre parole, fissatauna certa direzione della velocita di volo, mentre i valori α e δe cambiano sesi cambiano le direzioni degli assi del riferimento solidale, i valori (α − α0) e(δe − δe0) non cambiano.

2.2.4 Comandi bloccati e comandi liberi

La trattazione che segue, basata sulle dipendenze funzionali evidenziate nelleequazioni precedenti e detta tradizionalmente formulazione a comandi bloccati(stick-fixed oppure control-fixed formulation). Con questa locuzione intendiamoche assumiamo che l’azione di controllo longitudinale consista in un controllo ‘inposizione’, ossia che il pilota, agendo sulla barra, sia in grado di imporre il valoredella deflessione dell’equilibratore e di mantenerlo indefinitamente, ‘bloccando’quindi la superficie di controllo. Questo e un modo di idealizzare la realta, acui se ne oppone un altro in cui si assume che l’azione di controllo longitudinaleconsista in un controllo ‘in forza’, ossia che il pilota sia in grado di imporre ilvalore del momento che si oppone a quello generato dall’equilibratore sull’asse incui e incernierato (momento di cerniera). Un caso particolare di questo secondomodo di idealizzare la realta (che di fatto vede il pilota effettuare un controllo inposizione per sforzi di barra ridotti, e progressivamente un controllo in forza persforzi di barra crescenti) consiste nel supporre che il pilota non eserciti alcunaazione sulla barra, per cui si ha la formulazione a comandi liberi (stick-freeoppure control-free formulation).

La trattazione a comandi liberi, per quanto non comporti alcuna difficoltaspeciale, non viene presa in considerazione in questo corso.

2.3 Punti caratteristici a comandi bloccati

La natura stessa delle equazioni costitutive, essenzialmente la loro caratteristi-ca di linearita rispetto agli angoli (α, δe), consente di determinare due puntisull’asse solidale longitudinale che permette una notevole semplificazione deiprocedimenti analitici relativi alle questioni di equilibrio, controllo e stabilita.

Uno di questi punti, il punto neutro (neutral point), rappresenta una nozioneclassica, solitamente introdotta pero soltanto quando si affronta il problemadella stabilita statica longitudinale; l’altro, il punto di controllo (control point),non e generalmente documentato nella letteratura disponibile sulla Meccanica


del Volo, con l’eccezione di alcuni articoli scientifici recenti,5 e viene introdottoqui in ragione della perfetta dualita che manifesta rispetto al punto neutro, eche si rivela assai utile nella manipolazione delle equazioni costitutive.

2.3.1 Punto neutro longitudinale

Data l’espressione delle eq. 29 ovvero 39, ci chiediamo se esista un punto sull’assedi rollio rispetto al quale il momento di beccheggio non dipenda dall’incidenza.Questo punto, detto punto neutro longitudinale a comandi bloccati N , verificaquindi la condizione seguente:

CMN ,α = 0. (40)

Derivando rispetto a α la regola di trasporto dei momenti di beccheggio (eq. 361)e ponendo Q = N , abbiamo

CMP ,α = −(ξP − ξN ) CL,α, (41)

per qualsiasi polo P , e quindi la posizione del punto neutro longitudinale risultadalla formula

ξN − ξP =CMP ,α

CL,α, ∀P. (42)

Notiamo che, essendo il secondo membro dell’equazione precedente funzione deisoli parametri (M,Re), cio comporta che anche la posizione del punto neutrodipende soltanto dal numero di Mach e dal numero di Reynolds. In particolare,con l’eccezione delle condizioni transoniche e nella gamma di numeri di Reynoldsd’interesse per il volo atmosferico, il punto neutro e di fatto un punto materiale.

Come si vede, la nozione di punto neutro rappresenta l’estensione al velivolodella nozione di fuoco, o centro aerodinamico, di un profilo alare. Per questomotivo, il punto neutro e anche indicato come centro aerodinamico del velivolo.

2.3.2 Punto di controllo longitudinale

Analogamente a quanto fatto per il punto neutro longitudinale, ci chiediamose esista un punto sull’asse di rollio rispetto al quale il momento di beccheg-gio non dipenda dalla deflessione dell’equilibratore. Questo punto, detto puntodi controllo longitudinale a comandi bloccati C, verifica quindi la condizioneseguente:

CMC ,δe= 0. (43)

Derivando rispetto a δe la regola di trasporto dei momenti di beccheggio (eq. 362)e ponendo Q = C, abbiamo

CMP ,δe= −(ξP − ξC) CL,δe , (44)

5 Si tratta di lavori in cui viene pubblicato l’approccio introdotto dal Prof. Marco Borri(Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale, Politecnico di Milano), nel corso di ‘Meccanica delVolo’ (Vecchio Ordinamento), gia a partire dai primi anni ’90.


per qualsiasi polo P , e quindi la posizione del punto di controllo longitudinalerisulta dalla formula

ξC − ξP =CMP ,δe

CL,δe, ∀P. (45)

Per il punto di controllo vale lo stesso discorso fatto per il punto neutro: essendoil secondo membro dell’equazione precedente funzione dei soli parametri (M,Re),cio comporta che anche la posizione del punto di controllo dipende soltanto dalnumero di Mach e dal numero di Reynolds. In particolare, con l’eccezione dellecondizioni transoniche e nella gamma di numeri di Reynolds d’interesse per ilvolo atmosferico, il punto di controllo e di fatto un punto materiale.

2.3.3 Espressione generale del momento di beccheggio

L’introduzione del punto neutro e del punto di controllo consente di esprimerele derivate del momento di beccheggio rispetto ad un generico polo P come

CMP ,α = (ξN − ξP ) CL,α,

CMP ,δe= (ξC − ξP ) CL,δe ,

(46)

ossia come momenti dei vettori d’intensita CL,α e CL,δe applicati in N e C,rispettivamente. Dato che CL,α e CL,δe sono grandezze positive, notiamo cheCMP ,α risulta positivo se il polo P si trova dietro (ossia a poppavia) del puntoneutro N e negativo se si trova davanti (ossia a proravia). Lo stesso per CMP ,δerispetto al punto di controllo C.

L’espressione del momento di beccheggio, dunque, a partire dalla secondadelle eq. 39, diviene

CMP= (ξN − ξP ) CL,α(α− α0) + (ξC − ξP ) CL,δe(δe − δe0) (47)

rispetto ad un generico polo P . In particolare, per il punto neutro abbiamo

CMN ,δe= (ξC − ξN ) CL,δe , (48)

e quindi il momento di beccheggio al punto neutro, funzione del solo angolo dideflessione dell’equilibratore, oltre che di (M,Re), risulta

CMN= (ξC − ξN ) CL,δe(δe − δe0). (49)

Analogamente, per il punto di controllo abbiamo

CMC ,α = (ξN − ξC) CL,α, (50)

e quindi il momento di beccheggio al punto di controllo, funzione del solo angolod’incidenza, oltre che di (M,Re), risulta

CMC= (ξN − ξC) CL,α(α− α0). (51)


La distanza adimensionale (ξN − ξC) che compare nelle formule precedenti edetta lunghezza aerodinamica longitudinale del velivolo.

E immediato verificare che la grandezza ∆ definita attraverso l’eq. 34 si puoscrivere nella forma seguente,

∆ = −(ξN − ξC) CL,αCL,δe , (52)

utilizzando le eq. 46 (tale forma manifesta chiaramente l’indipendenza di ∆ dalpolo P gia dimostrata).

2.3.4 Schema semplificato delle azioni aerodinamiche

L’espressione 47 rappresenta uno strumento molto utile per l’analisi delle condi-zioni di equilibro, controllo e stabilita. Infatti, essa consente un’interpretazioneintuitiva e del tutto generale dei risultanti del campo di forze aerodinamicheagenti sul velivolo.

Consideriamo la grandezza

La := L,α(α− α0), (53)

detta portanza d’incidenza (attitude lift), assieme al suo corrispondente coeffi-ciente adimensionale

CaL :=La

qdS= CL,α(α− α0), (54)

e la grandezzaLc := L,δe(δe − δe0), (55)

detta portanza di controllo (control lift), assieme al suo corrispondente coeffi-ciente adimensionale

CcL :=Lc

qdS= CL,δe(δe − δe0). (56)

Il sistema di forze aerodinamiche agenti sul velivolo puo essere quindi intesocome equivalente ad un sistema estremamente semplice, composto dalle soleforze di

• portanza d’incidenza La, dipendente soltanto dall’angolo d’incidenza α,applicata nel punto neutro N ;

• portanza di controllo Lc, dipendente soltanto dall’angolo di deflessionedell’equilibratore δe, applicata nel punto di controllo C.

Infatti, le equazioni 39 possono essere scritte nel modo seguente:

CL(α, δe) = CaL(α) + CcL(δe),

CMP(α, δe) = (ξN − ξP ) CaL(α) + (ξC − ξP ) CcL(δe),

(57)


ovvero in forma dimensionale:

L(α, δe) = La(α) + Lc(δe),

MP (α, δe) = (xN − xP )La(α) + (xC − xP )Lc(δe).(58)

L’utilita e l’estrema semplicita di questo risultato generale apparira chiaramentequando esamineremo le formule ottenute a partire da ipotesi specifiche sul tipo diconfigurazione aerodinamica del velivolo, come nel caso del tradizionale ‘modelloa due superfici’.

2.4 Trimmaggio longitudinale

Per ‘problema diretto del trimmaggio’ intendiamo qui la determinazione deivalori degli angoli d’incidenza e di deflessione dell’equilibratore (e quindi delcomando di barra longitudinale) che consentono di ottenere l’equilibrio del ve-livolo in volo ad un certo angolo di rampa con un dato valore del carico alare,della quota e della velocita di volo. Si tratta, come si vedra nel seguito, dellasoluzione di un sistema di due equazioni lineari a coefficienti costanti.

Problemi ‘inversi’ possono essere definiti scambiando alcuni dei dati noti conaltrettante incognite del problema diretto; ad esempio, ci si puo chiedere qualesiano l’angolo d’incidenza e la velocita di volo corrispondenti ad un dato valoredi deflessione dell’equilibratore per quota e carico alare noti. Un caso d’interesseper un tale problema e quello in cui si investighi la ‘trimmabilita’ del velivoloalle basse velocita.

2.4.1 Soluzione del trimmaggio

Se utilizziamo le espressioni 58 nelle equazioni di equilibrio 3, otteniamo

La(h, V, α) + Lc(h, V, δe) = W cos γ,

(xN − xG)La(h, V, α) + (xC − xG)Lc(h, V, δe) = 0.(59)

Risulta immediato concludere che, con l’eccezione del regime di volo transonico,le due forze La e Lc, dato un certo valore del peso e dell’angolo di rampa, devonoessere necessariamente costanti al variare di quota e velocita, essendo applicatein punti del velivolo che non variano con queste grandezze.

Da un punto di vista matematico, la soluzione del sistema precedente nelleincognite La e Lc porge

La =xG − xCxN − xC

W cos γ,

Lc =xN − xGxN − xC

W cos γ.(60)

Il rapporto tra La e Lc dipende quindi soltanto dalla posizione relativa del centrodi massa dai punti neutro e di controllo. Di conseguenza, dalle definizioni 53

3 STABILITA STATICA E CONTROLLO LONGITUDINALI 20

e 55, e immediato trovare l’espressione degli angoli d’incidenza e di deflessionedell’equilibratore al trim:

α =xG − xCxN − xC

W cos γ

L,α+ α0,

δe =xN − xGxN − xC

W cos γ

L,δe+ δe0.

(61)

Le equazioni precedenti si possono riscrivere introducendo il valore del coeffi-ciente di portanza di trim C∗L,

C∗L :=2

ρ

W

S

cos γ

V 2≡ 2

ρ0

W

S

cos γ

V 2EAS

, (62)

nella forma

α =xG − xCxN − xC

C∗LCL,α

+ α0,

δe =xN − xGxN − xC

C∗LCL,δe

+ δe0.

(63)

Per valutare questi angoli e la loro variazione con i parametri (h, V, γ,W ) risultafondamentale, noto il valore degli angoli (α0, δe0) dalle eq. 33, determinare ilsegno dei rapporti tra distanze caratteristiche che compaiono a secondo membro.Per questo, e necessario discutere quali siano le limitazioni per il posizionamentodel centro di massa, che derivano da vincoli di stabilita e di controllabilita.

2.4.2 Espressioni alternative

La soluzione del problema diretto del trimmaggio, naturalmente, puo essereottenuta a partire dalle equazioni costitutive in forma non omogenea. Infatti,utilizzando le espressioni 29 moltiplicate per qd nelle equazioni di equilibrio 3 eseguendo il procedimento visto sopra, otteniamo le espressioni alternative

α =(C∗L − CL0) CMP ,δe

+ CL,δeCMP 0

∆,

δe = −CL,αCMP 0 + (C∗L − CL0) CMP ,α

∆.

(64)

per gli angoli d’incidenza e di deflessione dell’equilibratore al trim. Confrontan-do le espressioni precedenti con quelle delle eq. 63, risulta immediato notare ladifferenza nell’interpretazione e nella valutazione dei diversi termini, e quindil’utilita dell’introduzione dei punti caratteristici.

3 STABILITA STATICA E CONTROLLO LONGITUDINALI

3.1 Stabilita statica a comandi bloccati

L’esame della stabilita longitudinale che sviluppiamo nel seguito si limita allasola stabilita statica. Con cio s’intende che siamo interessati a caratterizzare


il comportamento istantaneo del velivolo in risposta a piccole perturbazioni delsuo stato di equilibrio, e non all’effettiva storia temporale della risposta al di-sturbo, oggetto dell’analisi di stabilita dinamica. In altre parole, si caratterizzala semplice tendenza del velivolo a contrastare (se stabile) oppure accentuare(se instabile) l’effetto di una perturbazione di un suo stato di equilibrio, limita-tamente all’istante stesso del disturbo. Sebbene cio possa sembrare limitativo,osserviamo che la stabilita statica ha una rilevanza fondamentale nella caratte-rizzazione delle qualita di volo del velivolo ed e un presupposto fondamentaleper ottenere la stabilita dinamica.

3.1.1 Condizione di stabilita statica longitudinale

Consideriamo il velivolo in volo rettilineo uniforme simmetrico alla quota h,con velocita V , angolo di rampa γ e peso W . Il velivolo e centrato, ossia inequilibrio alla rotazione di beccheggio, ai valori (α, δe) degli angoli d’incidenzae di deflessione dell’equilibratore:

CMG(α, δe) = 0, (65)

dove (α, δe) dipendono da (h, V, γ,W ) e dalla posizione del centro di massa G,del punto neutro N e del punto di controllo C, come si e visto nello studio deltrimmaggio longitudinale. Nell’equazione precedente e nel seguito non conside-riamo la dipendenza del coefficiente di momento di beccheggio dai numeri diMach e Reynolds di volo, che al momento non sono significativi.

Ci vogliamo chiedere se la configurazione di equilibrio considerata e stati-camente stabile, ossia se nel momento in cui si produce una generica ‘piccola’perturbazione, il velivolo manifesti o meno la tendenza istantanea a ritornareverso la configurazione d’equilibrio. Questa tendenza comporta la generazionedi un sistema di forze che, almeno inizialmente, si oppongano alla perturbazione.

Supponiamo dunque che il velivolo sia sottoposto ad una perturbazioned’incidenza ∆α che sia piccola in senso matematico, ossia

|∆α| � 1 rad. (66)

Trattandosi di una piccola perturbazione, e supponendo che il valore stessod’incidenza di trim sia piccolo, possiamo senz’altro assumere che il momento dibeccheggio subisca una variazione lineare, proporzionale a ∆α. Inoltre, assu-miamo condizioni di comandi bloccati, ossia supponiamo che la perturbazioned’incidenza non comporti alcuna variazione del valore dell’angolo di deflessionedell’equilibratore: in altre parole, supponiamo che il pilota oppure un siste-ma di controllo automatico siano capaci di mantenere δe costante al valore ditrim mentre si produce la perturbazione in α. Sotto le ipotesi appena viste,otteniamo:

CMG(α+ ∆α, δe) = CMG

(α, δe) + CMG ,α∆α

≡ CMG ,α∆α.(67)


La variazione di momento di beccheggio conseguente alla perturbazione e dun-que data dalla derivata del momento stesso rispetto ad α per la variazione ∆α.Date le convenzioni sui segni dell’angolo d’incidenza e del momento di beccheg-gio, che risultano concordi, positivi nella direzione di rotazione positiva sul pianoxbzb di simmetria materiale del velivolo, e immediato dedurre che:

• se la perturbazione d’incidenza e a cabrare (∆α > 0), la stabilita staticaimplica che si generi un momento di beccheggio a picchiare (∆MG < 0);

• se la perturbazione d’incidenza e a picchiare (∆α < 0), la stabilita staticaimplica che si generi un momento di beccheggio a cabrare (∆MG > 0).

Pertanto, per avere stabilita statica, e necessario che la derivata del momentodi beccheggio sia negativa;

CMG ,α < 0. (68)

Un velivolo che soddisfi la relazione appena scritta e detto staticamente stabile,mentre se CMG ,α > 0 e detto staticamente instabile e se CMG ,α = 0 e dettoneutro rispetto alla stabilita statica.

La disequazione 68, detta condizione di stabilita statica longitudinale a co-mandi bloccati, rappresenta un risultato fondamentale, pur nella sua semplicita.Infatti, la stragrande maggioranza dei velivoli impiegati fino ad oggi e stati-camente stabile. La condizione di stabilita statica ha un’influenza capitale sututto cio che riguarda il velivolo, dalle prime fasi del progetto preliminare, finoall’operativita quotidiana, riflettendosi tanto su questioni legate alle prestazioni,alle qualita di volo, all’economia del volo, quanto sugli aspetti di sicurezza delvolo.

3.1.2 Margine di stabilita statica longitudinale

Le caratteristiche di stabilita statica longitudinale a comandi bloccati sono stret-tamente legate al centraggio, ossia al posizionamento del centro di massa delvelivolo. Infatti, la condizione di stabilita statica comporta un vincolo sullaposizione relativa tra il centro di massa ed il punto neutro: dato che per l’eq. 46abbiamo

CMG ,α = (ξN − ξG) CL,α, (69)

risulta, sostituendo l’espressione precedente nella condizione 68, che

(ξN − ξG) CL,α < 0, (70)

e quindi, tenendo presente che CL,α > 0, che

ξG − ξN > 0, (71)

ossia che la stabilita statica e assicurata se il centro di massa del velivolo e postodavanti (ossia a proravia) del punto neutro. La distanza orientata (ξG − ξN )e detta margine statico a comandi bloccati (stick-fixed static margin), sicche


la relazione 71 si esprime semplicemente richiedendo che il margine statico siapositivo. Possiamo chiamare questo requisito criterio pratico di stabilita staticalongitudinale a comandi bloccati.

In base a questo criterio, si vede che la stabilita statica del velivolo, unavolta fissate le sue forme aerodinamiche, e quindi la posizione del punto neutro,dipende da come il velivolo viene caricato. Chiaramente, maggiore/minore eil margine statico, maggiore/minore sara l’effetto di ‘richiamo’ esercitato dalmomento di beccheggio in risposta ad una perturbazione. Nel caso che il centrodi massa venga a trovarsi dietro al punto neutro, si ha instabilita statica e quindiil momento di beccheggio, invece di esercitare un contrasto iniziale, tende adamplificare la perturbazione, tanto piu quanto maggiore e il modulo del marginestatico (ora negativo).

Si intuisce quindi il significato della locuzione ‘punto neutro’ solitamenteutilizzata per il centro aerodinamico del velivolo: il punto neutro rappresenta laposizione del centro di massa che produce stabilita neutra.

3.1.3 Stabilita statica dell’ala isolata

Consideriamo un velivolo costituito soltanto da un’ala (ala isolata) in volo li-vellato subsonico. Infatti l’esempio dell’ala isolata, che attraverso il ragiona-mento fatto nella sezione 2.1.2 e servito a mostrare la necessita del controllolongitudinale, e quindi dell’equilibratore, ci sara utile a giustificare l’architet-tura piu diffusa nei velivoli, quella che prevede l’adozione di uno stabilizzatoreorizzontale.

Dall’imposizione dell’equilibrio verticale ed al beccheggio,

L = W,

MG = 0,(72)

abbiamo ottenuto la condizione necessaria seguente:

ξG − ξA =CMA

2

ρ

W

S

1

V 2

, (73)

essendo A il centro aerodinamico dell’ala, supposto appartenente all’asse di rolliocome il centro di massa G. Se ora imponiamo la condizione di stabilita statica,dato che per l’ala isolata il punto neutro N coincide con A, dev’essere

ξG − ξA > 0. (74)

La necessita di soddisfare contemporaneamente il requisito di equilibrio, eq. 73,e quello di stabilita statica, eq. 74, si riflette quindi in un vincolo sul coefficientedi momento di beccheggio al centro aerodinamico CMA

. In particolare, l’equi-librio e stabile soltanto se l’ala possiede un momento di beccheggio al centroaerodinamico positivo.

Il coefficiente di momento di beccheggio al centro aerodinamico per un’alae funzione della sua forma, ed in particolare della curvatura dei suoi profili.Considerando profili a singola curvatura:


• un’ala composta da profili a curvatura positiva, detti profili convessi oanche profili instabili, ha momento di beccheggio al centro aerodinamiconegativo, CMA

< 0;

• un’ala composta da profili a curvatura nulla, detti profili simmetrici oanche profili neutri, non svergolata, ha momento di beccheggio al centroaerodinamico nullo, CMA

= 0;

• un’ala composta da profili a curvatura negativa, detti profili concavi oanche profili autostabili, ha momento di beccheggio al centro aerodinamicopositivo, CMA

> 0.

Ora, le ali dotate di buone prestazioni aerodinamiche (ad esempio, elevati valoridi efficienza aerodinamica) sono quelle composte da profili convessi, e pertantosi tratta di ali instabili. In questo dunque consiste il ‘problema dell’equilibrio edella stabilita dell’ala isolata’: per un’ala aerodinamicamente conveniente, il po-sizionamento del centro di massa a poppavia del centro aerodinamico comportauna condizione di equilibrio instabile, mentre a proravia del centro aerodinamicocomporta l’impossibilita pratica di garantire l’equilibrio.

Ampliando il quadro offerto dall’uso di profili a singola curvatura, l’unicapossibilita che si presenta per ottenere un’ala isolata stabile consiste nel far ri-corso a profili a doppia curvatura (detti anche profili reflex ): questi profili sonosimili a profili convessi per la maggior parte dell’estensione in corda, salvo di-ventare concavi in una porzione in prossimita del bordo d’uscita. L’inversionedella curvatura consente quindi di rendere positivo il valore del coefficiente dimomento di beccheggio al centro aerodinamico, al prezzo di ridurre considere-volmente le capacita sostentatrici, in quanto, per incidenze positive, la porzioneconcava e chiaramente deportante.6

Un effetto analogo, in linea di principio, si ottiene con l’adozione di profiliconvessi, ma anche di un angolo di freccia molto pronunciato. In tal caso, l’alaviene fortemente svergolata, in modo che i profili sulla maggior parte della suaapertura portino, mentre quelli in prossimita dell’estremita alare deportino, svi-luppando cosı una distribuzione di forze che consente di ottenere un coefficientedi momento di beccheggio al centro aerodinamico positivo. Anche in questocaso, si ottiene un’ala con caratteristiche aerodinamiche inferiori a quelle che siavrebbero con l’ala diritta e/o senza svergolamento.

Nonostante la possibilita di ottenere ali stabili con scelte come quelle ac-cennate, l’architettura del velivolo senza coda, o addirittura tutt’ala,7 comportatali e tanti svantaggi da essere stato sempre scartata, con l’eccezione di pochis-simi velivoli che hanno raggiunto l’impiego operativo. Per questi velivoli, altre

6 Cio comporta svantaggi da quasi tutti i punti di vista: ad esempio, a parita di superficiealare, un’ala a doppia curvatura ha valori inferiori del coefficiente di portanza massimo (equindi maggiori della velocita di stallo) e dell’efficienza massima. Inoltre, costruttivamente epiu complessa e comporta difficolta, ad esempio, nel disporre sistemi di ipersostentazione sulbordo d’uscita.

7 Un velivolo senza coda puo essere composto dall’insieme di un’ala e di una fusoliera per iltrasporto del carico pagante. In un velivolo tutt’ala, la fusoliera non e presente, o comunquesi tratta di un elemento ‘annegato’ nella parte centrale dell’ala.


considerazioni relative alla loro missione (ad esempio nel caso di bombardieristrategici), hanno portato a preferire l’architettura tutt’ala con i suoi proble-mi a scelte che sono diventate tradizionali e che comportano l’adozione di undispositivo stabilizzatore.

3.1.4 Stabilizzatore orizzontale

Scartata la possibilita di ottenere un’ala isolata staticamente stabile, rimane lapossibilita di aggiungere al velivolo una seconda superficie portante, lo stabiliz-zatore orizzontale (stabilizer). Si tratta, di fatto, della soluzione adottata perla stragrande maggioranza dei velivoli costruiti fino ad oggi.

Lo stabilizzatore e una superficie fissa posta a poppavia dell’ala, opportuna-mente calettata sulla fusoliera, detta anche impennaggio orizzontale. L’effettoportante di questa superficie, al di la del contributo (generalmente negativo) allasostentazione del velivolo, fornisce l’essenziale contributo stabilizzante. Infatti,assumendo che la portanza Lh ed il momento di beccheggioMh

P sviluppati dal-l’impennaggio abbiano (come per l’ala) una dipendenza lineare dall’incidenza divolo,

Lh = Lh(h, V, α, δ) = Lh,α(h, V )α+ Lh,δ(h, V ) δ + Lh0 (h, V ),

MhP =Mh

P (h, V, α, δ) =MhP ,α(h, V )α+Mh

P ,δ(h, V ) δ +MhP 0(h, V ),

(75)

la regola di trasporto del momento di beccheggio consente di scrivere il contri-buto dell’impennaggio al momento di beccheggio baricentrale dell’intero velivolocome

MhG =Mh

Ah − (xG − xAh)Lh, (76)

dove Ah rappresenta il centro aerodinamico dell’impennaggio. Pertanto, deri-vando l’espressione precedente rispetto all’angolo d’incidenza, si ottiene

MhG,α = −(xG − xAh)Lh,α. (77)

L’equazione appena ottenuta descrive l’effetto stabilizzante della superficie inoggetto: infatti, essendo Lh,α inerentemente positivo, il contributo alla derivatadel momento di beccheggio baricentrale e negativa (ossia stabilizzante) se

xG − xAh > 0, (78)

ossia se il centro aerodinamico dell’impennaggio si trova dietro al centro dimassa del velivolo. Dato che il centro di massa del velivolo si trova in prossi-mita dell’ala, la condizione precedente e soddisfatta ponendo lo stabilizzatore apoppavia dell’ala. L’effetto stabilizzante sara dunque maggiore/minore quantomaggiori/minori saranno i valori del braccio (xG−xAh) e/o della pendenza dellacurva di portanza dello stabilizzatore Lh,α.

Incidentalmente, se il velivolo viene dotato di un impennaggio orizzontale,risulta conveniente che questa superficie diventi sede dell’equilibratore, cosicchel’impennaggio orizzontale assolve al doppio compito di equilibrare (attraverso la


sua parte mobile, l’equilibratore) e stabilizzare (attraverso la sua parte fissa, lostabilizzatore, indipendentemente dalla deflessione dell’equilibratore) il velivolo.

In alcuni casi, che in anni recenti si fanno via via piu frequenti, l’impennaggioorizzontale non ha una parte fissa ed una mobile, ma e tutto mobile, e vienedenominato stabilatore (stabilator, da stabilizer + elevator).

3.2 Modello a due superfici

Uno schema molto semplificato per caratterizzare il comportamento aeromecca-nico di una larga classe di velivoli nel loro piano di simmetria materiale e datodal ‘modello a due superfici’, nel quale il velivolo e idealizzato come la compo-sizione di un velivolo parziale (wing-body), composto da ala e fusoliera, e di unimpennaggio orizzontale (horizontal tail).

Questo schema e potenzialmente capace, pur in via preliminare, di dareconto del comportamento sia di velivoli dotati di coda, ossia con impennaggioorizzontale posto dietro l’ala (con funzione stabilizzante e di controllo), sia divelivoli con configurazione canard, ossia con impennaggio posto davanti all’ala(e quindi con funzione sostentatrice e di controllo). In questa trattazione ciconcentreremo sul primo caso, quello del velivolo di architettura tradizionalecon impennaggio posteriore.

3.2.1 Portanza e momento dell’intero velivolo

I risultanti delle forze aerodinamiche per il velivolo s’intendono dati da

L = Lwb + Lh,

MP =MwbP +Mh

P ,(79)

dove coll’apice wb indichiamo le grandezze relative al velivolo parziale e coll’a-pice h quelle relative all’impennaggio orizzontale. Come si vede, si tratta diuna semplice composizione per addizione, che non permette di considerare indettaglio l’interazione tra le due superfici (ala ed impennaggio orizzontale), senon attraverso una schematizzazione molto semplice, che discuteremo nel segui-to. Per semplicita, ometteremo le dipendenze dei coefficienti adimensionali dainumeri di Mach e Reynolds di volo nelle derivazioni seguenti.

Per le componenti Lwb e Lh adottiamo le seguenti equazioni costitutive:

Lwb =1

2qdS CwbL (α, δe),

Lh =1

2qhdS

hChL(α, δe),

(80)

dove i coefficienti di portanza dell’ala e dell’impennaggio orizzontale risultanodall’adimensionalizzazione della portanza dell’ala rispetto alle proprie grandez-ze di riferimento (qd, S), che per convenzione coincidono con le grandezze di


riferimento nominali dell’intero velivolo, e dall’adimensionalizzazione della por-tanza dell’impennaggio orizzontale rispetto alle proprie grandezze di riferimento(qhd , S

h), in generale distinte da quelle nominali.Analogamente, per le componenti Mwb

P e MhP assumiamo:

MwbP =

1

2qdS cCwbMP

(α, δe),

MhP =

1

2qhdS

hchChMP(α, δe),

(81)

dove vangono analoghe considerazioni a proposito delle adimensionalizzazionirispetto a (qd, S, c) e (qhd , S

h, ch).Ne segue che i coefficienti di portanza e momento di beccheggio dell’intero

velivolo risultano dati da

CL = CwbL + η σChL,

CMP= CwbMP

+ η σ κChMP,

(82)

dove (η, σ, κ) rappresentano i rapporti tra le pressioni dinamiche, le superfici inpianta e le corde media aerodinamiche di ala ed impennaggio orizzontale:

η :=qhdqd, σ :=

Sh

S, κ :=

ch

c. (83)

3.2.2 Portanza e momento delle due superfici

Nel quadro appena stabilito, resta da caratterizzare in dettaglio la dipendenzadei coefficienti di portanza e momento di beccheggio delle due superfici dagliangoli d’incidenza locali e di deflessione dell’equilibratore.

Per quanto riguarda l’ala, abbiamo

CwbL = awbαwb + bwbe δe,

CwbMP= CwbM

Awb− (ξP − ξAwb) CwbL ,

(84)

dove αwb indica l’incidenza aerodinamica del velivolo parziale, awb la pendenzadel coefficiente di portanza del velivolo parziale rispetto all’incidenza, bwbe lapendenza del coefficiente di portanza del velivolo parziale rispetto alla deflessionedell’equilibratore, Awb il centro aerodinamico del velivolo parziale, ossia il puntorispetto al quale il momento di beccheggio del velivolo parziale non dipendedall’incidenza.

Per quanto riguarda l’impennaggio orizzontale, abbiamo

ChL = ahαh + bhe δe,

ChMP= ChM

Ah− ξP − ξAh

κChL,

(85)

dove αh indica l’incidenza aerodinamica dell’impennaggio orizzontale, ah la pen-denza del coefficiente di portanza dell’impennaggio orizzontale rispetto all’inci-denza, bhe la pendenza del coefficiente di portanza dell’impennaggio orizzontale


rispetto alla deflessione dell’equilibratore, Ah il centro aerodinamico dell’im-pennaggio orizzontale, ossia il punto rispetto al quale il momento di beccheggiodell’impennaggio orizzontale non dipende dall’incidenza. Nella seconda delleeq. 85 risulta evidente che la distanza tra P e Ah e adimensionalizzata rispettoalla MAC dell’impennaggio orizzontale, e quindi la sua espressione attraversol’adimensionalizzazione rispetto alla MAC dell’ala tiene conto del rapporto κtra queste due lunghezze di riferimento.

Ricordiamo che, in generale i coefficienti di momento ridotti ai propri centriaerodinamici, tanto per il velivolo parziale, quanto per l’impennaggio orizzonta-le, dipendono linearmente dall’angolo di deflessione dell’equilibratore, pertantole eq. 842 e 852 comportano in generale una dipendenza lineare dei rispettivicoefficienti di momento da (αwb, δe) e (αh, δe).

3.2.3 Velivolo di architettura tradizionale

Trattiamo adesso il caso di un velivolo di architettura tradizionale, ossia in cuil’impennaggio ha funzione stabilizzante ed e quindi posto dietro l’ala.

Per poter specificare i parametri che entrano nelle leggi costitutive 84 e 85e necessario caratterizzare l’interazione aerodinamica tra l’ala e la coda, ed inparticolare stabilire la relazione tra i rispettivi angoli d’incidenza aerodinamicilocali e l’angolo d’incidenza nominale del velivolo. A questo scopo, consideriamoun velivolo in cui ala e coda siano sufficientemente separate da poter supporreche il campo aerodinamico del velivolo parziale non sia influenzato dalla presenzadella coda, cosicche possiamo assumere che:

• tanto il coefficiente di portanza, quanto il coefficiente di momento dibeccheggio del velivolo parziale non dipendano dall’angolo di deflessionedell’equilibratore (che assumiamo posto sull’impennaggio orizzontale):

bwbe =∂CwbL∂δe

= 0,∂CwbMP

∂δe= 0, ∀P ; (86)

• la velocita asintotica del flusso che investe l’ala coincida con la velocita divolo, cosicche l’angolo d’incidenza aerodinamica del velivolo parziale coin-cide con l’angolo d’incidenza nominale del velivolo, aumentato dell’angolodi calettamento (angle of incidence)8 del velivolo parziale, ossia l’angoloiwb formato tra il piano di portanza nulla del velivolo parziale e l’asse dirollio del velivolo:

αwb = α+ iwb. (87)

Pertanto, le leggi costitutive 84 possono essere scritte nella forma seguente:

CwbL = CwbL ,αα+ CwbL 0,

CwbMP= CwbMP ,α

α+ CwbMP 0,

(88)

8 Va fatta molta attenzione in riferimento ai testi anglosassoni, dove gli angoli d’incidenza edi calettamento sono ripettivamente denominati, traducendo letteralmente, ‘angolo d’attacco’e ‘angolo d’incidenza’.


con

CwbL ,α = awb,

CwbL 0 = awbiwb,

CwbMP ,α= −(ξP − ξAwb) awb,

CwbMP 0= CwbM

Awb− (ξP − ξAwb) awbiwb.

(89)

Per quanto riguarda il campo aerodinamico che si sviluppa sulla coda, sup-poniamo che, sotto l’influenza della presenza dell’ala,

• la velocita asintotica del flusso che investe l’impennaggio orizzontale siadeflesso verso il basso dalla presenza dell’ala di un angolo di downwashε rispetto a quello che investe il velivolo parziale, e quindi che l’ango-lo d’incidenza aerodinamica dell’impennaggio coincida con questo angolod’incidenza modificato per il downwash, aumentato dell’angolo di caletta-mento dell’impennaggio orizzontale, ossia l’angolo ih formato tra il pianodi portanza nulla dell’impennaggio orizzontale e l’asse di rollio del velivolo:

αh = α− ε+ ih. (90)

Nel modello di velivolo a due superfici in esame, quindi, l’effetto di interazio-ne aerodinamica tra l’ala e la coda e concentrato, oltre che nel tenere contodel rapporto η := qhd/qd, nel caratterizzare l’angolo di downwash. Quest’an-golo, contato secondo lo stesso verso dell’incidenza (ossia positivo a cabrare)rappresenta l’angolo di incidenza indotta dalla portanza dell’ala sulla coda, cheper portanze positive si traduce in una riduzione dell’angolo d’incidenza efficaceall’impennaggio orizzontale.9

La caratterizzazione analica di questa grandezza e un compito impegnativo,e non del tutto risolto in via generale, in quanto necessita di un considerevolelavoro di natura sia numerica, sia sperimentale. Per gli scopi che ci interessanoin questa trattazione, possiamo assumere di conoscere i coefficienti che compa-iono nell’espressione dell’angolo di downwash sviluppata in serie al prim’ordinerispetto all’angolo d’incidenza nominale:

ε(α) = ε,αα+ ε0, (91)

dove ε0 = ε,αiwb, cosicche il downwash si annulla quando il velivolo parziale non

sviluppa portanza.Mediante le ipotesi appena discusse, le leggi costitutive 85 possono essere

scritte nella forma seguente:

ChL = ChL,αα+ ChL,δeδe + ChL0,

ChMP= ChMP ,α

α+ ChMP ,δeδe + ChMP 0

,(92)

9 Si tratta del medesimo fenomeno di induzione aerodinamica che da origine all’inciden-za indotta sull’ala. Quest’ultima, in effetti, non e che l’angolo di downwash valutato incorrispondenza dell’ala stessa.


con

ChL,α = ah(1− ε,α),

ChL,δe = bhe ,

ChL0 = ah(ih − ε0),

ChMP ,α= −ξP − ξAh

κah(1− ε,α),

ChMP ,δe= dhe −

ξP − ξAh

κbhe ,

ChMP 0= ChM

Ah 0− ξP − ξAh

κah(ih − ε0),

(93)

dove abbiamo postoChM

Ah(δe) = dhe δe + ChM

Ah 0. (94)

Giunti a questo punto, abbiamo completato quanto necessario per esprimerei coefficienti delle leggi costitutive non omogenee 29 secondo il modello adottato.Infatti, abbiamo

CL,α = awb + η σ ah(1− ε,α),

CL,δe = η σ bhe ,

CL0 = awbiwb + η σ ah(ih − ε0),

CMP ,α = (ξAwb − ξP ) awb + η σ (ξAh − ξP ) ah(1− ε,α),

CMP ,δe= η σ

(κ dhe + (ξAh − ξP ) bhe

),

CMP 0 = CwbMAwb

+ (ξAwb − ξP ) awbiwb

+ η σ(κChM

Ah 0+ (ξAh − ξP ) ah(ih − ε0)

).

(95)

Nonostante l’aspetto articolato, si tratta di un risultato piuttosto semplice, chepermette di esprimere i coefficienti (CL,α,CL,δe ,CL0) e (CMP ,α,CMP ,δe

,CMP 0),e pertanto di quantificare tutte le grandezze viste a proposito delle equazionicostitutive e del trimmaggio, in funzione delle 15 grandezze seguenti:

• quantita geometriche:

σ, κ, ξAwb , ξAh , iwb, ih; (96)

• quantita aerodinamiche per il velivolo parziale:

awb, CwbMAwb

; (97)

• quantita aerodinamiche per l’impennaggio orizzontale:

ah, ChMAh 0

, bhe , dhe ; (98)


• quantita legate all’interazione aerodinamica ala/coda:

η, ε,α, ε0. (99)

Il progettista puo operare sui parametri aerodinamici del velivolo parziale edell’impennaggio orizzontale, nonche sui parametri geometrici, per ottenere undeterminato risultato in termini di coefficienti globali (e quindi di posizioni deipunti caratteristici, margine statico, etc.). In generale, sfuggono ad un controlloanalitico i parametri che caratterizzano l’interazione aerodinamica ala/coda.

Effetto stabilizzante dell’impennaggio orizzontale Consideriamo l’effetto sta-bilizzante dell’impennaggio orizzontale, allo scopo di valutare le azioni che per-mettono di aumentarlo o dimininuirlo. Dall’eq. 954 otteniamo al centro dimassa:

CMG ,α = (ξAwb − ξG) awb + η σ (ξAh − ξG) ah(1− ε,α). (100)

Risulta chiaro percio che l’effetto stabilizzante puo essere controllato in sede diprogetto agendo sui parametri (ξAh , σ, ah), ossia:

• avanzando/arretrando il piano di coda, il che fa aumentare/diminuireξAh e quindi il braccio del momento di beccheggio per unita d’incidenzaprodotto dallo stabilizzatore;

• ingrandendo/rimpicciolendo il piano di coda, il che fa aumentare/diminuireσ e quindi l’entita della portanza per unita d’incidenza prodotta dallostabilizzatore;

• aumentando/riducendo l’allungamento del piano di coda, il che fa aumen-tare/diminuire ah e quindi l’entita della portanza per unita d’incidenzaprodotta dallo stabilizzatore.

Spesso, l’eq. 100 viene scritta nel modo seguente,

CMG ,α = (ξAwb − ξG) CL,α − η vhah(1− ε,α), (101)

dove vh rappresenta il rapporto volumetrico di coda, definito da

vh := (ξAwb − ξAh)σ. (102)

Il rapporto volumetrico di coda e un classico parametro di progetto ed assumetipicamente valori compresi nell’intervallo [0.5÷ 1].

Posizione dei punti caratteristici Consideriamo l’eq. 461, associandogli leeq. 951,4:

ξN = ξP +CMP ,α

CL,α

= ξP +(ξAwb − ξP ) awb + η σ (ξAh − ξP ) ah(1− ε,α)

awb + η σ ah(1− ε,α)

=ξAwbawb + η σ ξAhah(1− ε,α)

awb + η σ ah(1− ε,α).

(103)


L’ultima relazione puo essere espressa elegantemente come segue:

ξN = ξAwb − τ

1 + τ(ξAwb − ξAh), (104)

dove abbiamo posto

τ := η σah

awb(1− ε,α). (105)

Questo parametro τ e un numero positivo, data la sua definizione, e normal-mente inferiore o anche molto inferiore all’unita, dato che tipicamente:

• η non si discosta molto dall’unita (e spesso leggermente inferiore se lacoda non e ‘soffiata’, ossia non si trova nella scia di un’elica, leggermentesuperiore se ‘soffiata’);

• il rapporto ah/awb non si discosta molto dall’unita, data la natura dei suoiargomenti;

• il rapporto σ := Sh/S e inferiore o anche molto inferiore all’unita.

Pertanto, e possibile verificare che la presenza dell’impennaggio fa arretrareil centro aerodinamico del velivolo dalla posizione assunta nel caso di velivoloparziale (ossia Awb) di una frazione della distanza tra ala e coda, che e possibilecontrollare mediante il parametro τ .

Consideriamo ora l’eq. 462, associandogli le eq. 952,5:

ξC = ξP +CMP ,δe

CL,δe

= ξP +η σ

(κ dhe + (ξAh − ξP ) bhe

)η σ bhe

=η σ

(κ dhe + ξAhbhe

)η σ bhe

.

(106)

L’ultima relazione puo essere quindi espressa come segue:

ξC = ξAh + κdhebhe. (107)

Risulta quindi che, nelle ipotesi date, il punto di controllo si discosta leggermentedal centro aerodinamico dell’impennaggio orizzontale, dato che

• il rapporto dhe/bhe e inferiore all’unita, data la natura dei suoi argomenti;

• il rapporto κ := ch/c e inferiore all’unita.

In particolare, se l’impennaggio orizzontale e composto da profili simmetrici (ilche rappresenta il caso piu frequente) ed in piu e tutto mobile, allora il momentodi beccheggio dello stesso non dipende dalla sua deflessione (che ha il significato


di un calettamento variabile) e quindi dhe = 0. In tal caso, il punto di controllocoincide rigorosamente con il centro aerodinamico dell’impennaggio orizzontale.

In generale, deduciamo che la lunghezza aerodinamica di un velivolo diarchitettura tradizionale e positiva,

ξN − ξC > 0, (108)

e ammonta grosso modo alla distanza tra l’ala e la coda.

Schema delle azioni aerodinamiche Da quanto visto, possiamo descrivere ilcampo di forze aerodinamiche agenti su di un velivolo di architettura tradizionalecome equivalente ad un sistema di forze composto

• da una forza Lwb ed un momento MwbAwb generati dal velivolo parziale,

applicati nel suo centro aerodinamico,

• e da una forza Lh ed un momento MhAh generati dall’impennaggio oriz-

zontale, applicati nel suo centro aerodinamico.

Ricordiamo che, mentre assumiamo che la portanza generata dal velivolo parzia-le dipenda dalla sola incidenza α e che il corrispondente momento di beccheggioal centro aerodinamico del velivolo parziale non dipende ne da α, ne da δe,per l’impennaggio orizzontale abbiamo che la portanza dipende da entrambele grandezze (α, δe), mentre il corrispondente momento di beccheggio al centroaerodinamico dell’impennaggio orizzontale puo dipendere da δe:

Lwb = Lwb(h, V, α),

MwbAwb =Mwb

Awb(h, V ),

Lh = Lh(h, V, α, δe),

MhAh =Mh

Ah(h, V, δe).

(109)

Questa situazione, piuttosto articolata, comporta che nella soluzione del trim-maggio per (γ,W ) dati, non vi siano grandezze che si mantengono costanti alvariare di (h, V ).

Al contrario, nello schema semplificato presentato nella sezione 2.3.4, l’e-quivalenza del campo di forze aerodinamiche con il sistema composto dalle duesole forze La e Lc, applicate rispettivamente nei punti neutro e di controllo,consente ragionamenti particolarmente semplici, basati sulla costanza dei valoriassunti da tali forze. Naturalmente, alla portanza d’incidenza La(α) contribui-scono tanto la portanza del velivolo parziale, quanto la quota parte della por-tanza dell’impennaggio orizzontale che dipende dalla sola incidenza ‘assoluta’(α−α0), mentre alla portanza di controllo Lc(δe) afferisce la parte restante dellaportanza dell’impennaggio orizzontale, quella che dipende dalla sola deflessione‘assoluta’ dell’equilibratore (δe − δe0).


3.3 Controllo longitudinale

Lo studio della controllabilita longitudinale consiste nell’analisi delle possibilitadi equilibrare il velivolo e di variarne l’equilibrio entro i limiti ammissibili (ossiafino allo stallo dell’ala) in funzione dei diversi parametri che caratterizzano ilvolo rettilineo uniforme simmetrico: quota, velocita di volo, angolo di rampa epeso. Questi parametri infatti identificano i valori del coefficiente di portanzanecessario all’equilibrio.

3.3.1 Effetto della stabilita sul trimmaggio

Definiamo l’indice di stabilita statica a comandi bloccati e come il rapporto trail margine statico a comandi bloccati e la lunghezza aerodinamica del velivoloadimensionalizzata rispetto alla corda media aerodinamica di riferimento,

e :=xG − xNxN − xC

≡ ξG − ξNξN − ξC

. (110)

Questo rapporto ha una diretta influenza sui valori di trim di numerose grandez-ze, e risulta intrinsecamente piu significativo della nozione di margine statico,data da (ξG − ξN ).

Per un velivolo di architettura tradizionale, se stabile, l’indice di stabilitarisulta positivo, dato che lo sono sia il numeratore (margine statico positivo), siail denominatore (coda dietro l’ala), mentre se instabile e negativo. Il contrario sipresenta per un velivolo di architettura canard, ossia con impennaggi orizzontalidavanti all’ala, per i quali la lunghezza aerodinamica risulta negativa.

Per quanto detto, le eq. 60 possono essere riscritte come segue:

La = (1 + e)W cos γ,

Lc = −eW cos γ,(111)

da cui si deduce che, per un velivolo di architettura tradizionale stabile, la por-tanza d’incidenza risulta superiore a W cos γ, mentre la portanza di controllorisulta sempre negativa ed in modulo pari ad una frazione di W cos γ. Di con-seguenza, gli angoli d’incidenza e di deflessione dell’equilibratore al trim, dalleeq. 60, risultano

α = (1 + e)W

L,αcos γ + α0,

δe = −e W

L,δecos γ + δe0,

(112)

da cui, tenendo presente che normalmente risulta δe0 < 0, si deduce che la defles-sione dell’equilibratore al trim e sempre negativa (ossia verso l’alto). Cio indicache l’esigenza di stabilita statica longitudinale, comportando la necessita di uncontrollo deportante, determina uno scadimento delle prestazioni aerodinamicheglobali del velivolo e quindi dell’economia del volo, dato che e necessario svi-luppare una portanza d’incidenza maggiore rispetto a quanto necessario per la


pura sostentazione, in modo da compensare la deportanza di controllo. Questoscadimento e misurato dall’indice di stabilita, per cui, a parita di margine sta-tico, nel caso di un velivolo ‘compatto’ (con ala e coda vicine) risulta maggiorerispetto al caso di un velivolo allungato (con ala e coda separate da alcune MACdi riferimento).

Nel caso di un velivolo architettura tradizionale instabile, accade il contrario:la portanza d’incidenza risulta inferiore a W cos γ, mentre la portanza di con-trollo risulta sempre positiva; l’angolo di deflessione dell’equilibratore puo esserenegativo o positivo, e quindi il controllo longitudinale puo essere deportante oportante a seconda delle condizioni di volo.

Notiamo che dalle eq. 111, per velivoli caratterizzati da piccoli valori del-l’indice di stabilita (nel caso dei classici velivoli da trasporto di linea e e paria qualche centesimo), si giustifica facilmente l’approssimazione con cui si tra-scura il contributo della portanza di controllo per determinare l’incidenza altrim attraverso l’equazione di equilibrio verticale, utilizzando poi il valore tro-vato nell’equazione di equilibrio al beccheggio per ricavare la deflessione del-l’equilibratore al trim. Si puo andare oltre: per un velivolo di architetturatradizionale con ala e coda sufficientemente separate, si puo supporre che tra-scurare la portanza di controllo sia consistente col trascurare anche la quotaparte di portanza d’incidenza generata dall’impennaggio orizzontale, cosicchesi puo considerare l’equilibrio verticale garantito dalla sola ala, per poi tenereconto dell’impennaggio orizzontale nell’equilibrio al beccheggio.

3.3.2 Variazioni con la velocita equivalente

Gli angoli d’incidenza e di deflessione dell’equilibratore al trim dipendono da(h, V, γ,W ). In particolare, le eq. 112 mostrano che questi angoli variano linear-mente con W cos γ, mentre la variazione con (h, V ) si realizza attraverso L,α eL,δe :

L,α(h, V ) = qdS CL,α(M,Re),

L,δe(h, V ) = qdS CL,δe(M,Re),(113)

dove qd(h, V ) rappresenta la pressione dinamica di volo, M(h, V ) il numerodi Mach di volo e Re(h, V ) il numero di Reynolds di volo. Supponendo dipoter trascurare le variazioni delle derivate del coefficiente di portanza al variaredi (M,Re), ad esempio considerando condizioni di volo subsoniche, e possibileritenere che la dipendenza degli angoli (α, δe) al trim dalle variabili (h, V ) siadi propozionalita inversa rispetto alla pressione dinamica qd,

α = (1 + e)W

qdS

cos γ

CL,α+ α0,

δe = −e W

qdS

cos γ

CL,δe+ δe0.

(114)


Dato che la pressione dinamica puo essere rappresentata attraverso la velocitaequivalente VEAS,

qd =1

2ρ V 2 =

1

2ρ0V

2EAS, (115)

risulta conveniente caratterizzare le variazioni di (α, δe) al cambiare di quota evelocita attraverso la velocita equivalente.

Consideriamo due condizioni di volo a pari valori di (γ,W ), ma a diversi va-lori di velocita equivalente (VEAS1, VEAS2). Le variazioni degli angoli d’incidenzae di deflessione dell’equilibratore risultano:

α2 − α1 = (1 + e)2

ρ0

W

S

cos γ

CL,α

(1

VEAS22

− 1

VEAS21

),

δe2 − δe1 = −e 2

ρ0

W

S

cos γ

CL,δe

(1

VEAS22

− 1

VEAS21

),

(116)

e quindi, per VEAS1 < VEAS2 otteniamo sempre α1 > α2, dato che |e| e sempremolto inferiore all’unita, mentre δe1 < δe2 se e > 0 (ossia se si tratta di unvelivolo di architettura tradizionale stabile oppure un canard instabile) ovveroδe1 > δe2 se e < 0 (ossia se si tratta di un velivolo di architettura tradizionaleinstabile oppure un canard stabile).

3.3.3 Intuitivita dei comandi

L’architettura dei comandi di volo, per quanto riguarda il controllo longitu-dinale, e tale per cui il movimento della barra in avanti ruota l’equilibratoreverso il basso (ed induce quindi una picchiata), mentre il movimento della barraall’indietro ruota l’equilibratore verso l’alto (ed induce quindi una cabrata).

Ora, come si e visto, per un velivolo di architettura tradizionale, stabile, avariazioni della velocita equivalente di trim corrispondono variazioni dell’angolodi deflessione dell’equilibratore dello stesso segno, eq. 116. Pertanto, al cresceredella velocita equivalente di trim, la barra risulta spostata via via in posizionipiu avanzate, mentre al ridursi della velocita equivalente di trim, la barra risultaspostata via via in posizioni piu arretrate.

Pertanto, per un velivolo di architettura tradizionale, stabile, il comandodi volo longitudinale risulta ‘intuitivo’ nel senso che a posizioni di barra piuavanzate corrispondono velocita piu elevate e viceversa, analogamente all’effettoche si ottiene muovendo (rapidamente) la barra, per cui in picchiata la velocitatende ad aumentare ed in cabrata a diminuire, se non si provvede a regolareopportunamente la manetta.

Tale caratteristica si inverte nel caso di un velivolo canard stabile, e natural-mente anche per un velivolo di architettura tradizionale instabile. Per questo,normalmente una delle prime prove di volo per l’accertamento delle qualita divolo consiste proprio nella verifica dell’intuitivita o meno del comando longi-tudinale (e quindi della stabilita statica del velivolo) equilibrando il velivolo adiverse velocita equivalenti.


3.3.4 Escursione baricentrica

Le esigenze di stabilita statica longitudinale a comandi bloccati impongono un li-mite posteriore teorico alla posizione del centro di massa, dato dal punto neutro,corrispondente ad un valore nullo per l’indice di stabilita statica.

Le esigenze di controllabilita, dall’altro lato, conducono alla determinazionedi un limite anteriore teorico, e quindi ad un valore massimo ammissibile perl’indice di stabilita statica. Infatti, riscrivendo le eq. 112 in funzione del valoredel coefficiente di portanza di trim,

C∗L :=2

ρ

W

S

cos γ

V 2, (117)

otteniamo

α = (1 + e)C∗L

CL,α+ α0,

δe = −e C∗LCL,δe

+ δe0.

(118)

La seconda delle equazioni precedenti mostra che, dato il legame lineare tral’angolo di deflessione dell’equilibratore e l’indice di stabilita, all’aumentare diC∗L si richiedono, per un velivolo stabile di architettura tradizionale, deflessioninegative (verso l’alto) dell’equilibratore via via crescenti. Ora, il coefficiente diportanza di trim deve poter essere raggiunto in tutta la sua gamma di variazioneammissibile, ossia

0 < C∗L ≤ max CL, (119)

dove max CL corrisponde allo stallo dell’ala. Analogamente, la deflessione del-l’equilibratore e soggetta a limiti costruttivi,

δestop ≤ δe ≤ δestop⊕, (120)

dove tipicamente δestop = −δestop⊕ (massima deflessione negativa pari allamassima positiva, avendo assunto per δe = 0 la posizione non deflessa). Ne con-segue, vista l’eq. 1182, che la condizione piu gravosa si ha quando l’equilibratoree a fondo corsa verso l’alto e si vuole garantire l’equilibrio allo stallo,

δestop = −e max CLCL,δe

+ δe0. (121)

Cio comporta una condizione di massimo per l’indice di stabilita statica,

e ≤ efwd, (122)

essendo il valore massimo dato da

efwd :== −CL,δe(δestop − δe0)

max CL= −

CcLstop

max CL, (123)


con CcLstop := CL,δe(δestop − δe0) corrispondente alla portanza di control-lo per equilibratore a fondo corsa verso l’alto. Naturalmente, sara necessariogarantire che una tale condizione sia raggiunta senza che si verifichi lo stallodell’impennaggio orizzontale e che non siano superati opportuni limiti per glisforzi di barra, ossia le forze che il pilota o un sistema di controllo automaticodel volo devono esercitare per equilibrare il momento aerodinamico generatodall’equilibratore e trasmesso attraverso la cerniera di questa superficie mobile(momento di cerniera).

Va detto che, ai fini pratici, normalmente viene determinata una posizionelimite arretrata del baricentro corrispondente ad un indice di stabilita eaft > 0,in modo da garantire un minimo di stabilita statica longitudinale. Pertanto,l’escursione baricentrica (center of gravity travel) ammissibile risulta data da

ξaftG ≤ ξG ≤ ξfwdG , (124)

essendo le posizioni limite anteriore e posteriore date in corrispondenza dei valoriminimo e massimo dell’indice di stabilita statica:

ξaftG := ξN + eaft(ξN − ξC),

ξfwdG := ξN + efwd(ξN − ξC).

(125)

Da quanto visto sopra, l’escursione baricentrica e tanto piu limitata quantomaggiore e il valore del coefficiente di portanza massimo del velivolo.

Si evince dai ragionamenti appena fatti che le nozioni di stabilita statica e dicontrollabilita comportano un certo conflitto: infatti, se si desidera un velivolomolto stabile si ha necessita di elevate forze di controllo (e quindi sforzi dibarra) per garantirne l’equilibrio, mentre se si desidera un velivolo facilmentecontrollabile, ossia che richieda ridotti sforzi di barra per il trim, si ottienenecessariamente una ridotta stabilita statica.

3.4 Curve aerodinamiche trimmate

Nell’analisi delle prestazioni del velivolo e fondamentale considerare le equazionidi equilibrio alle traslazioni orizzontale e verticale e quindi e necessario caratte-rizzare le equazioni costitutive per la resistenza aerodinamica e per la portanza.Dato che in buona parte dell’analisi delle prestazioni del velivolo si assumonocondizioni di volo rettilineo, uniforme, simmetrico, centrato, valgono tutti i ri-sultati discussi precedentemente. Una parte di questi sono peraltro estendibilianche al caso della virata corretta, ossia condizioni di volo curvilineo, uniforme,simmetrico, centrato.

Dato che interessano condizioni in cui si suppone soddisfatta l’equazione dicentraggio (MG = 0), questa puo essere utilizzata per eliminare la dipendenzadelle equazioni costitutive dall’angolo di deflessione dell’equilibratore in favoredell’angolo d’incidenza, ottenendo cosı una dipendenza dal solo α di trim. Lafunzione ottenuta per la portanza prende il nome di curva di portanza trimmata,mentre quella ottenuta per il coefficiente di resistenza in funzione del coefficiente


di portanza, una volta eliminato l’angolo d’incidenza, viene detta curva polaretrimmata.

In pratica, si tratta di usare l’equazione di centraggio per ricavare il valoredi δe al trim in funzione del valore di α corrispondente:

CMG(α, δe,M,Re) = 0 =⇒ δe = δ∗e (α,M,Re). (126)

Nota questa funzione, e possibile sostituirla nelle equazioni costitutive per por-tanza e resistenza ottenendo queste due grandezze in funzione della sola inci-denza, oltre che dei numeri di Mach e Reynolds di volo:

C∗L(α,M,Re) := CL(α, δ∗e (α,M,Re),M,Re

),

C∗D(α,M,Re) := CD(α, δ∗e (α,M,Re),M,Re

),

(127)

e quindi

CL = C∗L(α,M,Re),

CD = C∗D(α,M,Re).(128)

L’espressione della portanza cosı ottenuta e detta curva di portanza trimmata(trimmed lift curve). Essa quindi rappresenta il valore assunto dalla portanzaal variare dell’incidenza, sotto l’ipotesi che la deflessione dell’equilibratore siasempre tale da garantire l’equilibrio al beccheggio.

Inoltre, la dipendenza di CD da α nell’eq. 1282 puo essere eliminata in favoredella dipendenza da CL, esprimendo α in funzione di CL nell’eq. 1282. Pertanto,

CL = C∗L(α,M,Re) =⇒ α = α∗(CL,M,Re), (129)

quindi si sostituisce α nell’espressione della resistenza trimmata, ottenendo

C~D(CL,Re,M) := C∗D

(α(CL,Re,M),Re,M

), (130)

e quindi

CD = C~D(CL,Re,M). (131)

L’espressione della resistenza cosı ottenuta e detta curva polare trimmata (trim-med polar curve). Essa quindi rappresenta il valore assunto dalla resistenza alvariare della portanza, in condizioni di equilibrio al beccheggio.

Le curve di portanza trimmata e polare trimmata vengono quindi utilizza-te nel calcolo delle prestazioni, avendo risolto a priori la determinazione dellaposizione della barra necessaria per l’equilibrio. Naturalmente, dato che tan-to l’angolo d’incidenza, quanto l’angolo di deflessione dell’equilibratore al trimsono funzioni della posizione del centro di massa, le curve trimmate dipendo an-ch’esse da questo parametro. Di conseguenza, le prestazioni stesse del velivolorisultano dipendenti dalla posizione del centro di massa.


3.4.1 Portanza trimmata

Per la determinazione della portanza trimmata, si puo procedere come segue:dalle equazioni 111, eliminando il peso W , abbiamo

Lc = − e

1 + eLa, (132)

e quindi

L = La + Lc = La − e

1 + eLa =

1

1 + eLa. (133)

Ricordando la definizione La := L,α(α− α0), quindi abbiamo

L =1

1 + eL,α(α− α0) (134)

e dunque, se definiamo il coefficiente L∗,α := L,α/(1 + e), otteniamo

L = L∗,α(α− α0), (135)

ossia la funzione ‘trimmata’ L∗(h, V, α). In termini di coefficienti adimensionali,dunque

CL = C∗L,α(α− α0), (136)

ossia la funzione ‘trimmata’ C∗L(α,M,Re), dove

C∗L,α :=1

1 + eCL,α (137)

rappresenta la pendenza della curva di portanza trimmata (trimmed lift-curveslope). Si nota dunque che,

• per un velivolo di architettura tradizionale staticamente stabile (oppureper un velivolo canard staticamente instabile) si ha e > 0 e quindi lapendenza della curva di portanza trimmata e inferiore alla pendenza dellacurva di portanza ordinaria;

• per un velivolo di architettura tradizionale staticamente instabile (oppureper un velivolo canard staticamente stabile) si ha e < 0 e quindi la pen-denza della curva di portanza trimmata e superiore alla pendenza dellacurva di portanza ordinaria.

Quanto appena visto significa che, quando e > 0, pari incrementi di portanzasi ottengono con variazioni d’incidenza superiori nel caso trimmato rispetto aquello non trimmato, e questa riduzione di efficienza aerodinamica del velivoloe una conseguenza dell’effetto deportante della portanza di controllo. Questae la situazione di gran lunga piu frequente, ossia quella relativa a velivoli diarchitettura tradizionale staticamente stabili.

Invece, quando e < 0, pari incrementi di portanza si ottengono con varia-zioni d’incidenza inferiori nel caso trimmato rispetto a quello non trimmato, e


quest’aumento di efficienza aerodinamica del velivolo e una conseguenza dell’ef-fetto portante della portanza di controllo. Si tratta del caso dei velivoli canardstaticamente stabili.

La formula 137 indica che la differenza tra le pendenze della curva di portan-za ordinaria e trimmata e tanto piu piccola quanto minore e il valore dell’indicedi stabilita statica. In ogni caso, il centraggio (ossia il posizionamento del centrodi massa) influisce in modo che puo essere molto significativo sulle prestazionipuramente aerodinamiche del velivolo in condizioni trimmate. In particolare,per xG = xaftG abbiamo la minima differenza tra le curve di portanza ordinariae trimmata, mentre per xG = xfwd

G abbiamo la massima differenza.

3.4.2 Polare trimmata

Per la determinazione della polare trimmata, e necessario conoscere la dipen-denza della resistenza dall’incidenza e dalla deflessione dell’equilibratore. Nonsi tratta, come nel caso della portanza, di una dipendenza lineare, nemmeno pervalori ridotti di (α, δe), e non e possibile disporre di formule generali.

Pertanto, nel seguito consideriamo il caso del velivolo di architettura tra-dizionale, supponendo di conoscere in dettaglio la dipendenza della resistenzadi ciascuna superficie in funzione della portanza corrispondente, ossia le curvepolari delle singole superfici isolate (ala ed impennaggio orizzontale). In parti-colare, fissati i valori dei numeri di Mach e Reynolds di volo, avremo una curvapolare per l’ala e una famiglia di curve polari per l’impennaggio orizzontale, unaper ogni valore della deflessione dell’equilibratore:

CwbD = CwbD∗(CwbL ,M,Re),

ChD = ChD∗(ChL, δe,M,Re).

(138)

Dato che i coefficienti di portanza delle due superfici risultano dati da

CwbL = CwbL (α,M,Re),

ChL = ChL(α, δe,M,Re),(139)

e che la curva di portanza trimmata, eq. 136, permette di ottenere l’incidenzadi trim in funzione del coefficiente di portanza totale del velivolo,

α = α∗(CL,M,Re) =CL

C∗L,α+ α0, (140)

si possono scrivere entrambi i coefficienti di portanza come funzioni del coeffi-ciente di portanza totale del velivolo:

CwbL = CwbL(α∗(CL)

)= CwbL

~(CL),

ChL = ChL

(α∗(CL), δ∗e

(α∗(CL)

))= ChL

~(CL),

(141)

dove abbiamo omesso per brevita le dipendenze da (M,Re). Di conseguenza,essendo i coefficienti di portanza delle singole superfici esprimibili in funzione


del coefficiente di portanza del velivolo in condizioni trimmate, lo stesso valeper i coefficienti di resistenza attraverso le eq. 138:

CwbD = CwbD~

(CL),

ChD = ChD~

(CL),(142)

e quindi il coefficiente di resistenza totale del velivolo puo essere scritto nellaforma seguente

CD = CwbD~

(CL) + η σChD~

(CL), (143)

ovvero l’eq. 131.Vale un discorso analogo a quello fatto per la portanza trimmata: il cen-

traggio (ossia il posizionamento del centro di massa) influisce in un modo chepuo essere molto significativo sulle prestazioni puramente aerodinamiche del ve-livolo in condizioni trimmate. La polare trimmata risulta tipicamente peggioredella polare del velivolo parziale, almeno alle basse incidenze. Infatti, spessoper incidenze ridotte si ha non solo deportanza dovuta al controllo longitudi-nale, ma una complessiva deportanza dell’intero impennaggio orizzontale. Ciocomporta la necessita di un aumento della portanza fornita dall’ala rispetto alpeso del velivolo, e quindi un aumento della resistenza indotta dell’ala a cui siva a sommare quella dell’impennaggio orizzontale.

3.5 Prove di volo

Quanto discusso giustifica l’impiego di alcune prove di volo per determina-re sperimentalmente sul velivolo caratteristiche di stabilita e controllabilitalongitudinali.

Ad esempio, una verifica della stabilita statica di un velivolo consiste nel-l’equilibrarlo a due diverse velocita equivalenti, osservando la posizione dellabarra: se la barra viene posta piu avanti per velocita superiori cio conferma lastabilita statica positiva di un velivolo di architettura tradizionale.

3.5.1 Determinazione del punto neutro

Una tipica prova di volo di notevole importanza consiste nella determinazionedella posizione del punto neutro, eseguendo piu voli con diverse posizioni delcentro di massa ed equilibrando in ogni volo il velivolo a diverse velocita equiva-lenti. Riportando la posizione della barra per ognuno dei punti prova in ciascunvolo e possibile ottenere una stima del gradiente di barra rispetto al coefficientedi portanza di trim. Infatti, l’eq. 1162 puo essere scritta come segue:

δe2 − δe1 = − e

CL,δe(C∗L2 − C∗L1) , (144)

dove C∗L rappresenta il valore del coefficiente di portanza di trim:

C∗L :=2

ρ0

W

S

cos γ

V 2EAS

. (145)


Trattandosi di una relazione lineare, dall’eq. 144 deriva

∂δe∂C∗L

= − e

CL,δe, (146)

ossia la proporzionalita diretta tra il gradiente di barra rispetto al coefficientedi portanza di trim e l’indice di stabilita statica, e quindi la posizione del centrodi massa.

Pertanto, ottenute diverse stime di ∂δe/∂C∗L nei diversi voli per diverse posi-zioni del centro di massa, e lecito aspettarsi che tali valori si dispongano secondoun andamento lineare al variare di xG. Il valore di questo parametro che annullail gradiente di barra e dunque la posizione del punto neutro, per cui e = 0.

Avvertenza

Questo testo e fornito per uso personale degli studenti. Viene reso disponibile informa preliminare, a supporto per la preparazione dell’esame di Meccanica del Volo.E gradita la segnalazione di errori e refusi.

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