Álgebra ii práctica (clase...

Algebra II Practica (clase 7)

Guido Arnone

Universidad de Buenos Aires

8 de Mayo de 2020

Prerrequisitos

Para leer estas diapositivas se recomienda haber leıdo el apunte teoricohasta 1.7.18 (inclusive).

G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08

Algunos Ejemplos de Acciones

En los ejemplos 1.7.3 del apunte teorico vimos que tenemos una accionS(X ) y X definiendo ϕ · x = ϕ(x). Tambien sabemos que si G y X esuna accion y H ≤ G , restringiendo se tiene inducida una accion H y X .

En particular, si H ≤ S(X ), se tiene una accion H y X definiendoϕ · x = ϕ(x) para cada ϕ ∈ H, x ∈ X .

Tomando X = Rn y H = O(n) ≤ S(Rn), una transformacion ortogonalT ∈ H actua en un punto x ∈ Rn vıa T · x := T (x).


Algunos Ejemplos de Acciones (cont.)

De forma similar, tenemos una accion de O(n) en los subconjuntos de Rn,

O(n)×P(Rn)→ P(Rn)(T , S) 7−→ T (S) = {T (x) : x ∈ S}

EjercicioVerificar que esto define una accion.

En estos terminos, el estabilizador de un subconjunto S ⊂ Rn es elsubgrupo O(n)S = {T ∈ O(n) : A · S = S} = {T ∈ O(n) : T (S) = S}. Esdecir, son las transformaciones ortogonales que fijan a S, lo que habıamosdefinido como el grupo de simetrıas de S.






En estos terminos, el estabilizador de un subconjunto S ⊂ Rn es elsubgrupo O(n)S = {T ∈ O(n) : A · S = S} = {T ∈ O(n) : T (S) = S}.

Esdecir, son las transformaciones ortogonales que fijan a S, lo que habıamosdefinido como el grupo de simetrıas de S.






En estos terminos, el estabilizador de un subconjunto S ⊂ Rn es elsubgrupo O(n)S = {T ∈ O(n) : A · S = S} = {T ∈ O(n) : T (S) = S}. Esdecir, son las transformaciones ortogonales que fijan a S, lo que habıamosdefinido como el grupo de simetrıas de S.



Consideremos ahora un ejemplo analıtico. Tomamos el siguiente conjuntode soluciones a una ecuacion diferencial,

X = {y : R→ R : y ∈ C 1(R), y ′ = y2 + 38y}.

Aquı tenemos una accion R y X vıa (s · y)(t) := ys(t) = y(t + s).

Ejercicio (que usa un poquito de analisis)Verificar que ys ∈ X y que lo anterior define una accion.Probar que z ∈ Oy si y solo si existe s ∈ R tal que y(s) = z(0).Sugerencia: usar el teorema de existencia y unicidad.Intuitivamente, si pensamos a y como un proceso que depende deltiempo (digamos, en segundos) lo anterior nos dice que su orbitaconsiste en el mismo proceso, pero comenzando s segundos mas tarde(al menos para s > 0).



Antes de seguir, veamos un ejemplo mas. La conjugacionc : z ∈ C→ z ∈ C es una biyeccion de orden 2. Se tiene una accionZ2 y C, dada por

[0] · z := z , [1] · z := c(z) = z .

EjercicioVerificar que la anterior es una accion.Calcular Oz para cada z ∈ C.Calcular los puntos fijos CZ2 de esta accion.


Orbitas

Recordemos que si tenemos una accion G y X , se tiene una relacion deequivalencia en X , donde x , y ∈ X son equivalentes si y solo si existeg ∈ G tal que g · y = x .

Intuitivamente, dos elementos de X sonequivalentes si podemos ”transformar uno en el otro a traves de la accion”.

Cada clase de equivalencia es una orbita: si x ∈ X , entonces su clase deequivalencia es

Ox := {g · x : g ∈ G}.

Ası, el conjunto X es union disjunta de orbitas de la accion.


Orbitas

Recordemos que si tenemos una accion G y X , se tiene una relacion deequivalencia en X , donde x , y ∈ X son equivalentes si y solo si existeg ∈ G tal que g · y = x . Intuitivamente, dos elementos de X sonequivalentes si podemos ”transformar uno en el otro a traves de la accion”.

Cada clase de equivalencia es una orbita: si x ∈ X , entonces su clase deequivalencia es

Ox := {g · x : g ∈ G}.

Ası, el conjunto X es union disjunta de orbitas de la accion.


Orbitas (cont.)

Tiene sentido entonces preguntarnos cuales o cuantos son los elementos deX salvo equivalencia.

Por lo anterior, la cantidad de elementos noequivalentes coincide con la cantidad de orbitas distintas de G y X .

Cuando X y G sean finitos, veremos que podemos calcular esta cantidad apartir de los elementos que quedan fijos al actuar por cada elemento delgrupo. Si G y X es una accion y g ∈ G , notamos

X g = {x ∈ X : g · x = x}

a los elementos de X que quedan fijos al actuar por g .


Orbitas (cont.)

Tiene sentido entonces preguntarnos cuales o cuantos son los elementos deX salvo equivalencia. Por lo anterior, la cantidad de elementos noequivalentes coincide con la cantidad de orbitas distintas de G y X .


X g = {x ∈ X : g · x = x}



Orbitas (cont.)


Cuando X y G sean finitos, veremos que podemos calcular esta cantidad apartir de los elementos que quedan fijos al actuar por cada elemento delgrupo.

Si G y X es una accion y g ∈ G , notamos

X g = {x ∈ X : g · x = x}



Orbitas (cont.)



X g = {x ∈ X : g · x = x}



El Lema de Burnside

Lema (de Burnside)Sea X un conjunto y G un grupo, ambos finitos. Dada una accionG y X, se tiene que

|X/G | = 1|G |

∑g∈G|X g |.

Idea de la Demostracion.Notamos que X g tiene el mismo cardinal que{(g , x) ∈ G × X : gx = x} donde g esta fijo, ası que∑

g∈G |X g | = #{(g , x) ∈ G × X : gx = x , g ∈ G} =∑

x∈X |Gx |.Usamos que |Gx | = |G |/|Ox | para ver que la ultima suma coincidecon |X/G | · |G |.


El Lema de Burnside


|X/G | = 1|G |

∑g∈G|X g |.


g∈G |X g | = #{(g , x) ∈ G × X : gx = x , g ∈ G} =∑

x∈X |Gx |.

Usamos que |Gx | = |G |/|Ox | para ver que la ultima suma coincidecon |X/G | · |G |.


El Lema de Burnside


|X/G | = 1|G |

∑g∈G|X g |.


g∈G |X g | = #{(g , x) ∈ G × X : gx = x , g ∈ G} =∑

x∈X |Gx |.Usamos que |Gx | = |G |/|Ox | para ver que la ultima suma coincidecon |X/G | · |G |.


Lema de Burnside (cont.)

Antes de seguir, veamos un ejemplo.

Consideremos X un conjunto finito de cardinal n y p un primo. Se tieneuna biyeccion ϕ : X p → X p que asigna (x1, . . . , xp) a (xp, x1, . . . , xp−1).

Esto induce una accion Z y Y = X p vıa n · y = ϕn(y). Como p · y = ypara todo y ∈ Y , mas aun se tiene Zp y Y vıa [n] · y = n · y .

EjercicioSi m 6≡ 0 en Zp, entonces Y [m] solo contiene a las p-uplas con todas lascoordenadas iguales. En particular, |Y [m]| = |X | = n.

Como por otro lado Y [0] = Y e |Y [0]| = np, usando el lema de Burnside yel ejercicio es |Y /Zp| = np+(p−1)n

p . Una interpretacion informal es que sien una mesa circular de p sillas sentamos a personas de n paıses distintos,y solo nos importa de que paıs es cada persona, estamos contando lasformas de sentarlos salvo rotaciones.


Lema de Burnside (cont.)

Antes de seguir, veamos un ejemplo.

Consideremos X un conjunto finito de cardinal n y p un primo. Se tieneuna biyeccion ϕ : X p → X p que asigna (x1, . . . , xp) a (xp, x1, . . . , xp−1).Esto induce una accion Z y Y = X p vıa n · y = ϕn(y). Como p · y = ypara todo y ∈ Y , mas aun se tiene Zp y Y vıa [n] · y = n · y .

EjercicioSi m 6≡ 0 en Zp, entonces Y [m] solo contiene a las p-uplas con todas lascoordenadas iguales. En particular, |Y [m]| = |X | = n.

Como por otro lado Y [0] = Y e |Y [0]| = np, usando el lema de Burnside yel ejercicio es |Y /Zp| = np+(p−1)n

p . Una interpretacion informal es que sien una mesa circular de p sillas sentamos a personas de n paıses distintos,y solo nos importa de que paıs es cada persona, estamos contando lasformas de sentarlos salvo rotaciones.


Acciones a Derecha

Una accion a derecha de un grupo G en un conjunto X es una aplicacion· : X × G → X que cumple las siguientes propiedades:

Para todo x ∈ X , es x · 1 = x .Dado x ∈ X y g , h ∈ G , es (x · g) · h = x · gh.

EjercicioProbar que dar una accion a derecha es lo mismo que dar un morfismo degrupos Gop → S(X ). Concluir que una accion a derecha de G en X esprecisamente una accion a izquierda de Gop en X.


Acciones a Derecha


Para todo x ∈ X , es x · 1 = x .

Dado x ∈ X y g , h ∈ G , es (x · g) · h = x · gh.



Acciones a Derecha


Para todo x ∈ X , es x · 1 = x .Dado x ∈ X y g , h ∈ G , es (x · g) · h = x · gh.



Acciones a Derecha (cont.)

Como antes, si X x G es una accion a derecha se define una relacion deequivalencia en X donde x ∼ y si y solo si x = y · g para algun g ∈ G .

Las clases de equivalencia de esta relacion se dicen orbitas de la accion, ysi x ∈ X entonces su orbita es Ox := {x · g : g ∈ G}.

Notamos X/G al conjunto de orbitas y X g := {x ∈ X : x · g = x} paracada g ∈ G .



Como antes, si X x G es una accion a derecha se define una relacion deequivalencia en X donde x ∼ y si y solo si x = y · g para algun g ∈ G .Las clases de equivalencia de esta relacion se dicen orbitas de la accion, ysi x ∈ X entonces su orbita es Ox := {x · g : g ∈ G}.

Notamos X/G al conjunto de orbitas y X g := {x ∈ X : x · g = x} paracada g ∈ G .



Estas definiciones coinciden con las anteriores, cuando pensamos en unaaccion a derecha como una Gop-accion a izquierda.

Esta interpretacionsirve para recuperar los teoremas que ya sabemos ciertos para acciones aizquierda. Por ejemplo,

Lema (de Burnside)Sea X un conjunto y G un grupo, ambos finitos. Dada una accionX x G, se tiene que

|X/G | = 1|G |

∑g∈G|X g |.



Estas definiciones coinciden con las anteriores, cuando pensamos en unaaccion a derecha como una Gop-accion a izquierda. Esta interpretacionsirve para recuperar los teoremas que ya sabemos ciertos para acciones aizquierda. Por ejemplo,

Lema (de Burnside)Sea X un conjunto y G un grupo, ambos finitos. Dada una accionX x G, se tiene que

|X/G | = 1|G |

∑g∈G|X g |.



Damos la definicion de accion a derecha principalmente para trabajar conel ejemplo que sigue:

EjemploSea G y X una accion a izquierda e Y un conjunto. Se tiene entoncesuna accion a derecha en las funciones Y X de X a Y , del siguiente modo:si f : X → Y es una funcion, definimos

(f · g)(x) := f (g · x).

EjercicioVerificar que la anterior es una accion a derecha.


Coloreos

Vamos a concentrarnos ahora en el ejemplo anterior para

Y = [[k]] := {1, . . . , k}.

Dado un conjunto X , diremos que una funcion c : X → [[k]] es unk-coloreo de X . Intuitivamente, pensamos a [[k]] como una lista de colores,y ası ”c pinta a x ∈ X de color c(x)”.

Por ejemplo, tenemos una biyeccion entre 2-coloreos y subconjuntos de Xvia

c ∈ [[2]]X 7→ c−1({1}) ∈ P(X ).

Concretamente: para dar un subconjunto de X , pintamos del primer colorlos elementos que seleccionamos, y del segundo los que no.


Coloreos


Y = [[k]] := {1, . . . , k}.

Dado un conjunto X , diremos que una funcion c : X → [[k]] es unk-coloreo de X .

Intuitivamente, pensamos a [[k]] como una lista de colores,y ası ”c pinta a x ∈ X de color c(x)”.


c ∈ [[2]]X 7→ c−1({1}) ∈ P(X ).



Coloreos


Y = [[k]] := {1, . . . , k}.

Dado un conjunto X , diremos que una funcion c : X → [[k]] es unk-coloreo de X . Intuitivamente, pensamos a [[k]] como una lista de colores,y ası ”c pinta a x ∈ X de color c(x)”.


c ∈ [[2]]X 7→ c−1({1}) ∈ P(X ).



Coloreos (cont.)

Ahora supongamos que en nuestro conjunto X actua (a izquierda) ungrupo G . Como vimos, esto induce una accion (a derecha) en [[k]]X , losk-coloreos de X .

Por lo tanto, tiene sentido la nocion de k-coloreos equivalentes para estaaccion, y podemos preguntarnos cuantas formas de colorear a X con a losumo k colores hay, salvo equivalencia. Veamos un ejemplo.


Collares

Podemos pensar en un collar de n cuentas cada una de k colores posiblescomo un k-coloreo de Gn.

Por ejemplo, sean n = k = 4 y pensemos a [[k]] como los colores rojo,azul, verde y naranja. Notemos G4 = 〈ω〉 con ω = e i2π

4 = i .En estos terminos el coloreo c(1) = 1, c(ω) = 2, c(ω2) = 3, c(ω3) = 2 secorresponde con el collar de la imagen:


Collares (cont.)

Ası como los definimos, hay distintas representaciones de lo que deberıaser un collar: rotaciones y reflexiones tendrıan que ser indistinguibles paranuestro modelo.

Por ejemplo, en la siguiente imagen se tiene el coloreo de antes a laizquierda y a la derecha el dado dado porc ′(1) = 2, c ′(ω) = 1, c ′(ω2) = 2, c ′(ω3) = 3,

Ambas funciones representan al mismo collar, pues uno es una rotacion delotro. Formalicemos esto en terminos de acciones.


Collares (cont.)

Tenemos una accion de Dn en Gn = 〈ω〉 con ω = e i2πn donde r rota 2π/n

grados y s refleja con respecto a la recta x = y . Concretamente, en losgeneradores de Dn la accion es

r · ωj := ωj+1, s · ωj := i · ωj .

Bajo esta accion, dos puntos de Gn son equivalentes si podemos obtener auno a partir de rotaciones y/o reflexiones del otro. Esto a su vez induceuna accion en los k-colores de Gn, es decir, en los collares, via

(f · r i s j)(x) := f (r i s j · x),

y dos funciones representan al mismo collar si son coloreos que pertenecena una misma orbita. En el ejemplo de antes, tenıamos que c ′ = c · r erauna rotacion de c.


Collares (cont.)



r · ωj := ωj+1, s · ωj := i · ωj .

Bajo esta accion, dos puntos de Gn son equivalentes si podemos obtener auno a partir de rotaciones y/o reflexiones del otro.

Esto a su vez induceuna accion en los k-colores de Gn, es decir, en los collares, via

(f · r i s j)(x) := f (r i s j · x),



Collares (cont.)



r · ωj := ωj+1, s · ωj := i · ωj .


(f · r i s j)(x) := f (r i s j · x),

y dos funciones representan al mismo collar si son coloreos que pertenecena una misma orbita.

En el ejemplo de antes, tenıamos que c ′ = c · r erauna rotacion de c.


Collares (cont.)



r · ωj := ωj+1, s · ωj := i · ωj .


(f · r i s j)(x) := f (r i s j · x),



Contando k-coloreos

Veamos ahora como dada una accion G y X podemos contar cuantasorbitas de k-coloreos de X hay.

Por el lema de Burnside la cantidad de orbitas de la accion inducida en[[k]]X es

|[[k]]X/G | = 1|G |

∑g∈G|([[k]]X )g |.

Queremos entonces dar una mejor descripcion de |([[k]]X )g | para cadag ∈ G .


Contando k-coloreos

Para esto, hacemos una definicion: si G y X es una accion, entonces paracada g ∈ G tenemos una accion inducida 〈g〉y X . Notamoso(g) := |X/〈g〉| a la cantidad de orbitas de esta accion.

EjemploConsideremos como antes D4 y G4. Aquı es

o(r) = 1, pues G4 = {1, ω, ω2ω3} = {ω, r · ω, r 2 · ω, r 3 · ω} = Oω.o(r 2) = 2 pues Oω = {ω, ω3} y Oω2 = {ω2, 1}.o(r 3) = o(r) = 1 pues 〈r 3〉 = 〈r−1〉 = 〈r〉.o(s) = 2 pues Oω = {ω, 1} y Oω2 = {ω2, ω3}.De forma similar o(rs) = 3, o(r 2s) = 2, o(r 3s) = 3 y o(1) = 4.


Contando k-coloreos



o(r) = 1, pues G4 = {1, ω, ω2ω3} = {ω, r · ω, r 2 · ω, r 3 · ω} = Oω.

o(r 2) = 2 pues Oω = {ω, ω3} y Oω2 = {ω2, 1}.o(r 3) = o(r) = 1 pues 〈r 3〉 = 〈r−1〉 = 〈r〉.o(s) = 2 pues Oω = {ω, 1} y Oω2 = {ω2, ω3}.De forma similar o(rs) = 3, o(r 2s) = 2, o(r 3s) = 3 y o(1) = 4.


Contando k-coloreos



o(r) = 1, pues G4 = {1, ω, ω2ω3} = {ω, r · ω, r 2 · ω, r 3 · ω} = Oω.o(r 2) = 2 pues Oω = {ω, ω3} y Oω2 = {ω2, 1}.

o(r 3) = o(r) = 1 pues 〈r 3〉 = 〈r−1〉 = 〈r〉.o(s) = 2 pues Oω = {ω, 1} y Oω2 = {ω2, ω3}.De forma similar o(rs) = 3, o(r 2s) = 2, o(r 3s) = 3 y o(1) = 4.


Contando k-coloreos



o(r) = 1, pues G4 = {1, ω, ω2ω3} = {ω, r · ω, r 2 · ω, r 3 · ω} = Oω.o(r 2) = 2 pues Oω = {ω, ω3} y Oω2 = {ω2, 1}.o(r 3) = o(r) = 1 pues 〈r 3〉 = 〈r−1〉 = 〈r〉.

o(s) = 2 pues Oω = {ω, 1} y Oω2 = {ω2, ω3}.De forma similar o(rs) = 3, o(r 2s) = 2, o(r 3s) = 3 y o(1) = 4.


Contando k-coloreos



o(r) = 1, pues G4 = {1, ω, ω2ω3} = {ω, r · ω, r 2 · ω, r 3 · ω} = Oω.o(r 2) = 2 pues Oω = {ω, ω3} y Oω2 = {ω2, 1}.o(r 3) = o(r) = 1 pues 〈r 3〉 = 〈r−1〉 = 〈r〉.o(s) = 2 pues Oω = {ω, 1} y Oω2 = {ω2, ω3}.

De forma similar o(rs) = 3, o(r 2s) = 2, o(r 3s) = 3 y o(1) = 4.


Contando k-coloreos



o(r) = 1, pues G4 = {1, ω, ω2ω3} = {ω, r · ω, r 2 · ω, r 3 · ω} = Oω.o(r 2) = 2 pues Oω = {ω, ω3} y Oω2 = {ω2, 1}.o(r 3) = o(r) = 1 pues 〈r 3〉 = 〈r−1〉 = 〈r〉.o(s) = 2 pues Oω = {ω, 1} y Oω2 = {ω2, ω3}.De forma similar o(rs) = 3, o(r 2s) = 2, o(r 3s) = 3 y o(1) = 4.


El teorema de enumeracion de Polya

En estos terminos, tenemos el siguiente resultado:

Teorema (Polya)Sea G y X una accion. Para cada k ∈ N, la cantidad de orbitas dek-coloreos de X es

Πk = 1|G |

∑g∈G

ko(g).

Idea de la Demostracion.Por las observaciones anteriores, resta probar que para todo k ≥ 1 es|([[k]]X )g | = ko(g). Para ver esto, usamos que f queda fijo por g sif (gx) = f (x) para todo x ∈ X , es decir, si f es constante cada orbita dela accion 〈g〉y X .





Πk = 1|G |

∑g∈G

ko(g).

Idea de la Demostracion.Por las observaciones anteriores, resta probar que para todo k ≥ 1 es|([[k]]X )g | = ko(g).

Para ver esto, usamos que f queda fijo por g sif (gx) = f (x) para todo x ∈ X , es decir, si f es constante cada orbita dela accion 〈g〉y X .





Πk = 1|G |

∑g∈G

ko(g).

Idea de la Demostracion.Por las observaciones anteriores, resta probar que para todo k ≥ 1 es|([[k]]X )g | = ko(g). Para ver esto, usamos que f queda fijo por g sif (gx) = f (x) para todo x ∈ X , es decir, si f es constante cada orbita dela accion 〈g〉y X .


Aplicaciones

A partir de esto, podemos contar la cantidad de collares de 4 cuentas,cada una de k colores posibles: aplicando el teorema de Polya a la accionD4 y G4 es

Πk = k4 + 2k3 + 3k2 + 2k8

y entonces por ejemplo hay Π5 = 120 collares de 4 cuentas, cada una de 5colores posibles.


Aplicaciones (cont.)

Π5 = 120.G. Arnone Algebra II Practica (clase 7) 2020/05/08

Un Ejercicio

En este sitio pueden encontrar un generador de collares de n cuentas y kcolores. Sobre el lema de Burnside, pueden pensar el siguiente ejercicio:

EjercicioSea G y X una accion transitiva, con G un grupo finito y X un conjuntofinito de cardinal mayor a 1. Probar que existe g ∈ G tal que g · x 6= xpara todo x ∈ X.


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