Álgebra - trigonometria Álgebra€¦ · trigonometria 1. um dos catetos de um triângulo...
TRANSCRIPT
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
1
b = 5
C
H
m n c = 6
a = 4
A B
Álgebra Trigonometria
1. Um dos catetos de um triângulo retân-
gulo mede 20cm, e o outro é igual a 4
3
do primeiro. Calcule a medida da hipote-nusa.
2. Um dos catetos de um triângulo retân-gulo mede 6m e a sua projeção sobre a hipotenusa é igual a 3,6m. Calcule a me-dida da hipotenusa.
3. Dado o triângulo da figura abaixo, calcule os valores de m e n.
4. O triângulo ABC da figura abaixo é retângulo em B e AC BD ⊥ . Sabendo que r = 4cm e x = 2cm, calcule h, y e s.
5. A hipotenusa de um triângulo mede
26m e a razão dos catetos é 12
5. Calcule
a medida da projeção do menor cateto sobre a hipotenusa.
6. Dado o triângulo ABC da figura abai-xo, calcule a medida da projeção de a sobre b.
7. O piloto de um avião começou a acio-nar o sistema de travagem à altura de 800m da pista. Sabendo que a direção da linha de rumo do avião, na descida para a pista, faz um ângulo de 30º com o solo, calcule a distância d percorrida pelo avi-ão desde o início da travagem até chegar ao solo.
8. Na figura abaixo, calcule x e y.
9. Calcule a área do triângulo da figura abaixo:
30º 45º
5
10. Calcule o valor de x, indicado na fi-gura abaixo.
x
300 60
0
100
11. Determine o valor de AB , indicado na figura abaixo.
A
300
50
600
B 12. Dado o triângulo retângulo ABC, calcule senα e cosα
C
α
3
B 4 A
A
B
C
a
b
c
a = 150cm b = 100cm c = 80cm
A
B
C D
r
x
s
y
h
y 45º
60º
9
x
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
2
13. Calcule o lado AB do triângulo abai-xo.
B
4
A
C
45
3 2
14. Os lados de um triângulo medem
32 , 6 e 33 + . Determine o ângulo
oposto ao lado que mede 6 .
15. Num triângulo de vértices A, B, e C, BC = a, AC = b, Â = 45º e B = 30º. Sen-do a + b = 1 + 2 , calcule a e b.
16. Determine a medida do ângulo α in-dicado na figura abaixo.
α
2
45o
1 17. Num triângulo ABC os ângulos B e C são agudos. Se a hipotenusa mede 3cm
e sen C = 2
1sen B , calcule as medidas dos
catetos.
18. Calcule o lado de um triângulo eqüi-látero de 2cm de altura.
19. Qual o perímetro do quadrado que tem a diagonal igual a m63 ?
20. Calcule o coseno do ângulo α, assi-nalado na figura abaixo.
2
1
α
21. Uma escada apoiada em uma parede, num ponto que dista 3m do solo, forma, com essa parede, um ângulo de 30º. Cal-cule a distância da parede ao "pé" da es-cada, em metros.
22. Um arame de 18m de comprimento é esticado do nível do solo (suposto hori-zontal) ao topo de um poste vertical. Sa-bendo-se que o ângulo formado pelo a-rame com o solo é de 30º, calcule a altu-ra do poste.
23. Um triângulo retângulo tem a hipote-nusa e um dos catetos medindo, respecti-vamente, cm32 e 3cm. Calcule a medida do ângulo oposto ao cateto dado.
24. Calcule o valor de x na figura abai-xo.
100 x
30
30
25. Qual é o valor de x na figura abaixo?
40
x
6030
26. Considerando um triângulo eqüiláte-ro de vértices A, B e C, onde os lados medem x e a altura mede h, determinar sen600, cos 60º e tg60º.
27. Com os dados do exercício anterior, construir uma tabela que forneça o seno, o coseno e a tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º.
28. Determine os valores de x e y nas fi-guras abaixo:
Y
30
X
4
a)
B
360
y
x
b)
5
30
y
x
c)
29. Obtenha x na figura abaixo.
2 x
3045
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
3
30. Um observador vê uma torre vertical de 100m de altura, sob um ângulo de 60º. Qual a distância aproximada que o sepa-ra dessa torre? 31. Obter o valor de x na figura abaixo.
x
100
4530
32. O piloto de um avião localiza, por meio de seu radar, um objeto na Terra que forma 30º com a horizontal. Passa-dos 2,5 segundos, o aviador nota que es-te ângulo passa a ter 45º. Determinar a que altura (constante) está o avião, sa-bendo que sua velocidade (constante) é de 1440km/h (400m/s).
33. Sendo α a medida de um ângulo agu-
do e senα = 3
1, calcular cosα e tgα.
34. Se tgα = 2, calcular senα e cosα.
35. Sendo α a medida de um ângulo agu-
do e cosα = 4
1, calcule senα e tgα.
36. Sendo α a medida de um ângulo agu-do e tgα = 3, calcule senα e cosα.
37. Sabendo que senα + cosα = 4
5,
calcule senα.cosα. 38. Expresse em rad:
a) 60º
d) 150º
g) 45º
j) 315º
b) 210º
e)12º
h)120º
k) 330º
c) 450º
f) 2º
i) 15º
l) 310º
39. Expresse em graus:
a) 3
10πrad
d) 20
πrad
g) 8
πrad
j) 6
4πrad
m) 4
3πrad
b) 2
11π rad
e) 3
4π rad
h) 3
5πrad
k) 12
πrad
c) 9
πrad
f) 5
3π rad
i) 6
7πrad
l) 8
7πrad
40. Calcule o comprimento de uma cir-cunferência de raio 30cm. (π = 3,14)
41. Sabendo que uma pessoa dá 4 voltas em torno de um canteiro circular de 1,5 m de raio, calcule a distância percorrida pela pessoa.
42. Sabendo que o comprimento de uma circunferência é de 32πcm, calcule seu diâmetro.
43. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro. Qual o número de voltas e-fetuadas pelas rodas quando o automóvel percorre 9,891km. (π = 3,14)
44. Em cada caso a seguir, são dados o comprimento l do arco AB e o raio r da circunferência. Calcule a medida do arco em radianos.
a) l = 0,5m, r = 0,25m b) l = 2cm, r = 0,04cm c) l = 6cm, r = 2cm d) l = 0,105cm, r = 0,42cm
45. Qual o raio de uma circunferência na qual o arco de 6 rad mede 2cm?
46. Qual é o comprimento de um arco que subtende um ângulo central de 45º numa circunferência de raio r = 10cm. Adote π = 3,14.
47. Num círculo de raio r = 30cm, um arco cujo comprimento é 6cm subtende um ângulo central cuja medida é α. De-termine α (em rad).
48. Sabe-se que, em um segundo, um ponto situado na periferia de uma polia descreve um arco que subtende um ângu-lo central de 12πrad. Se o raio dessa po-lia é 2,5m, qual será a distância percorri-da por esse ponto em um segundo?
49. O ponteiro dos minutos de um reló-gio mede 8cm. Qual é a distância que sua extremidade percorre durante 25 minu-tos?
50. Uma curva, numa linha férrea, deve ser traçada em círculo. Qual a medida r do raio deste círculo para que os trilhos mudem 25º de direção numa distância de 120m?
51. Admitindo ser a Terra uma esfera de raio r = 6375km, determine a distância do equador a um ponto situado a uma la-titude 30º N.
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
4
52. Considere um hexágono regular ins-crito numa circunferência. Determine em radianos a medida
A
BC
D
E F
O
a) do menor arco AB
b) do maior arco BF
c) do arco AD
53. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando es-te marca 12h15min.
54. Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando es-te marcar 15h25min.
55. Qual é o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 9 horas e 10 minutos?
56. Determine o maior ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às:
a) 14h45min b) 18h40min
57. Determine a que quadrante perten-cem os arcos:
a) 1300º
d) 2410º
g) 3
4π
b) 440º
e) 8
17π
h) 4
21π
c) 1340º
f) 7
8π
58. Expresse todos os arcos que têm ex-tremidades coincidentes em:
a) 3
π
c) 1200º
e) 3300º
g) 450º e 225º
b) 5
2π
d) 4
3π
f) 90º e 2700º
h) 3
π e
3
4π
59. Calcule a 1a determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côn-gruos a:
a) 1550º
d) -3190º
g) 3
71 πrad
b) 930º
e) 4
32 πrad
h)8
92 π− rad
c) -2165º
f) 2
15πrad
60. Verifique se são côngruos os seguin-tes pares de arcos:
a) 14900 e -10300
b) 9
19πrad e
9
26-
πrad
c) 3
14πrad e
3
19πrad
61. Determine os arcos positivos: a) menores que 900º e côngruos a
2140º
b) menores que 4π e côngruos a 6
56π
rad
62. Em qual quadrante está a extremida-de do arco de:
a) 1750º b) 3
19πrad c) -3010º
63. Um arco côngruo de 5
137π rad é:
rad5
c) rad 3 b) rad5
2 )a
ππ
π
rad5
7 e) rad 2 )d
ππ
64. Determine o valor do seno e do cose-no dos seguintes arcos:
a) 135º
e) 240º i) -240º
m) -30º
q) 450º
t) 6
13π
b) 120º
f) 225º j) -330º
n) -90º
r) 4080º
u) 4
11π
c) 330º
g)-120º k) -225º
o) 750º
s) 7π
v) 2
7π
d) 300º h) -150º l) -45º p)1125º
65. Calcule o número
6cos
6sen
6sen
6cos-
=Aπ
−π
π−
π
66. Determine o valor de B na expressão
dada por ( )
π−
−+
11cos405sen
315sen0801cos=B
o
oo
.
67. Determine o valor de:
sen 1260º, cos 1260º e tg 1260º.
68. Determine: 4
17gt e
4
17cos ,
4
17ens
πππ
69. Determine o valor de: sen(-1380º), cos(-1380º) e tg(-1380º).
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
5
70. Calcule:
3cos.cos
3cos
4cos8cos
ππ
π+
π−π
71. Calcule o valor da cotg45º, sec45º e cosec45º.
72. Calcule o valor de:
cotg3
π, sec
3
π e cosec
3
π.
73. Determine: cotg990º, sec990º e cosec990º.
74. Calcule o valor de cotg(-1740º).
75. Qual o valor de sec6
13π e cosec
6
13π.
76. Se x = 180º, calcule o valor de:
2
xsen 5
senx 22
xcosec 5
y−
=
77. Calcule cos2x + cos5
x + cos
15
x , sa-
bendo que x = 2
5π.
78. Determine o valor de expressão:
π−
π−
π+
π+
π2cos
42sen
4cos
4sen
79. Calcule A, sendo:
A = sen3x + cos4x - tg2x, para x =2
π.
80. Determine o valor da expressão:
y = cos
π−
2
9 - 3tg3π + sen
π−
2
5
81. Determine o período da função:
f(x) = tg
π−
4x
82. Se x, y∈R, x + y =2
π e x - y =
6
π,
calcule o valor de t = cosycosx
senysenx
−
+.
83. Que valores m pode assumir, para que exista o arco x satisfazendo a igual-dade senx = m - 4?
84. Determine os valores reais de m para que exista um número real x que satisfa-ça as igualdades:
a) sen x = 7m - 20 b) sen x = 3m +4
c) sen x + 2m = 9
85. Determine K, de modo que se verifi-
que a igualdade senx = 3
1-K2.
86. Determine os valores reais que m po-de assumir para que exista um número real x que satisfaça as igualdades:
a) cosx = 1 - 6m
b) cosx = 2m + 5
c) cosx + 2m = 5
87. Determine K, de modo que se verifi-
que a igualdade cosx = .2
1+K4
88. Para que valores de m as equações a seguir têm conjunto-solução não-vazio?
a) cosx = -2 + 6m c) cos2x = 2
3m2 +
b) cosx = 2m - 6 d) 3
10m4
2
xcos
−=
89. O período de y =
π+
8x2sen é:
90. Determine o período das funções:
a) y = sen8x c) y = sen5
x
b) y = sen10x d) y = sen5
π+
6x4
91. Determine o período das funções: a) y = cos6x c) y = 1 + cos3x
b) y = cos7
x4 d) y = 5cos
π+
74
x
92. Determine o período de cada uma das funções:
a) y = 2 + cos
π+
2
x d) y=1+cos3x
b) f(x) = cos
π+
2x e) y = 2 + cosx
c) f(x) = - cos2
x f) y = cos
π+
2x3
93. Determine o período das funções :
a) y = tg
π−
5x3 b) y = tg4x
c) y = tg
π+
3x5 d) y = tg
3
x
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
6
94. Determine o domínio de cada uma das funções:
a) y = cotg(3x)
b) y = 2 sec
2
x
c) y = -3 cosec
π+
2x2
d) y = cotg
π+
42
x
95. Determine o domínio de cada uma das funções:
a) y = tg2x b) y = tg
π+
2x
c) y = 2.tg
π−
2x2 d) y = 1 + tg3x
96. Construa o gráfico e determine o domínio e o conjunto-imagem das fun-ções, no intervalo (0, 2π):
a) y = 1 + senx b) f(x) = -1 + senx
c) y = -senx d) y = -1 - senx
e) y = 1 - senx f) y = 2 + senx
97. Construa o gráfico e determine o pe-ríodo das funções:
a) y = sen2x c) y = 1 + sen2x
b) y sen2
x d) y = 1 - sen
2
x
98. Construa o gráfico das seguintes fun-ções, no intervalo (0, 2π), dando o domí-nio, a imagem e o período:
a) y = 3senx b) y = 2 - senx
c) y = sen
π−
2x d) y = 2sen
4
x
99. Esboce, em um período, o gráfico das seguintes funções:
a) y = 4 cosx b) y = - cosx
c) y = 3 cos 2
x d) y = 5 + cos x
e) y = cos
π−
3x
100. Simplifique as expressões:
a) .secacosa.cotga
caa.tga.cosesen b)
xcosecx.sen
xsecx.cos2
2
c) tgx.cotgx.cosx.cosecx
101. Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
a) senx.cosecx=1 b) cosx.tgx=senx c) tgx + cotgx = tgx .cosec²x d) (1 + tg²x)(1 - sen²x) = 1 e) 1 + tg²x = tg²x . cosec²x
f) 1ecxcos
senx
xsec
xcos=+
g) tg²x + cos²x = sec²x - sen²x
102. Expresse senx em função de cotgx.
103. Expresse cosx em função de cotgx.
104. Se cos²x =1xtg
12 +
e cos²x =1 -
sen²x, expresse senx em função de tgx.
105. Determine o valor de cosa para:
a) sena = 5
1 e a ∈ IIQ
b) sena = 3
2− e a ∈ IVQ
c) sena = 5
2− e a ∈ IIIQ
d) sena = 2
1 e a ∈ IQ
e) sena = 7
3− e a ∈ IVQ
f) sena = 5
3 e a ∈ IIQ
106. Determine o valor do sena para:
a) cosa = 7
1 e a ∈ IVQ
b) cosa = 4
3− e a ∈ IIIQ
c) cosa = 7
2 e a ∈ IQ
d) cosa = 2
1− e a ∈ IIQ
e) cosa = 2
2 e a ∈ IVQ
f) cosa = 2
3− e a ∈ IIIQ
107. Sabendo que cosx = 2
1, calcule o
valor de y = xsececxcos
1gxcot
−
−.
108. Se senx = 3
1, calcule o valor da ex-
pressão y = gxcottgx
xcosxsec
+
−.
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
7
109. Sendo senx = 3
1, com 0 ≤ x ≤
2
π,
calculeo valor de y = .ecxcos1
tagxxcos.senx
−
−
110. Dado cosx = 4
1, calcule o valor de:
gxcot1
ecxcos.xsecxsecy
2
−
−=
111. Calcule as demais funções em cada caso:
a) cosx = 2
1, x ∈ IQ
b) secx = 4
5, x ∈ IVQ
c) tgx = 4
3, x ∈ IQ
d) cosx = 25
7, x ∈ IVQ
112. Dado cosx = -2
1, com
2
π < x < π,
calcule o valor de senx.
113. Sendo senx = 2a − e cosx = a - 1, determine a.
114. Sendo senx =5
2, com 0 < x <
2
π, cal-
cule cosx e tgx.
115. Os valores de a para que se tenha, simultaneamente, senx = a e cosx = a 3 são:
116. Calcule:
a) senx, sendo π<x<2
3π e secx = - 2.
b) tgx, se 2
3π<x<2π e coscx = 2- .
c) secx, se π < x < 2
3π e senx =
25
7- .
d) cosecx, se 2
π < x < π e tgx =
4
3− .
e) cosecx, sendo tgx=4
3− e senx>0.
f) secx, se senx = 3
1 e x ∈ IQ.
g) cotgx, se senx = 13
5 e x ∈ IQ.
117. Dado cosx = 5
1− ,
2
π < x < π, calcu-
le senx, tgx e cotgx.
118. Se senx = 3
1, 0 < x <
2
π, determine
cotgx.
119. Se cotgx = 1, com 0 < x < 2
π, calcu-
le senx e cosecx.
120. Calcule o valor das expressões:
a) y = 9.cos²x + cosecx + 8
xgcot 2
, sa-
bendo que senx = 3
1 e x ∈ 2º Q.
b) y=)xsecxtg(4
xeccos2122
2
−, sendo cosx =
5
2 e
x ∈ 4º Q.
c) y = gxcot4
tgx3senx5 +, sendo cosx =
5
3 e x
∈ 4º Q.
d) y = 3ecxcos5
xtg21xcos25 22
+
+, sabendo que
senx = 5
2 e x ∈ 2º Q
e) y = 2xcos25
xsengxcot42
2
−
+, se tgx = 2 e x
∈ 3ºQ.
121. Calcule o valor de:
a) m , se secx = m e cosx = 2
m
b) a , se cosecx = a e secx = a
2.
c) m , se tgx = 2m + 1 e cotgx = m
1.
d) a, se senx = 2
a e tgx = 1a − .
e) a, se senx = a
1a + e tgx = 1a + .
f) m, se senx = 5
1m + e cosx =
5
m2.
122. Simplifique as expressões:
a) sen(2
π - x) b) cos(
2
π - x)
c) sen(x - 2
π) d) cos(π + x)
e) tg(π + x) f) tg(π - x)
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
8
123. Calcule o valor das seguintes ex-pressões:
a) oo
oo
240cos)45(gcot
330tg30sen
+−
+
b) oo
oo
150eccos)30sec(
45sen45cos
+−
+
c) oo
oo
315cos.225sen
120sec.135gcot
d) ooo
ooo
300eccos.240sec.210cos
45gcot.45tg.45sen
e)oooo
oooo
180sen6360sen790cos20cos4
360cos5270sen180cos390sen2
+−+
−+−
f) oo
o
0sec)675(tg3
7cos1470sen
+−
π+
g)
3sen
3cos
3cos
3sen
π+
π
π−
π
h)
6
5sen
6sen
3
2sen
3sen
π+
π
π+
π
i)
π−+
π
6sen
6sen
124. Calcule y em cada caso:
a) y = x2secx3sec
1xcos2
+
+, sendo x =
3
π.
b) y = x8tg2
x5cosx2sen2
22
+
+, sendo x =
4
π
c) y = x4tg
x2cossenx2
−, sendo x =
6
7π
125. Simplifique as seguintes expres-sões:
a) ( ) ( )
π
+
π
−
π
+
π−π−π
x2
3sen.x
2
3sen.x
2sen
x2
sen.xcos.xsen
b) ( ) ( )
( ) ( )xsec.xcos
xeccos.xsen
−−
−−
c) ( ) ( )
( ) ( )x2gcot.xtg
xcos.xsen
+π−
π+π−
d) ( )
( ) ( )x2cos.xsen
xsen.x2
sen
−π−π
+π
−
π
e) ( ) ( )x2cos.xsen
x2
cos.2
xsen
+π−
−
π
π+
f) ( ) ( ) ( )
( )x3tg.x2
cos
x4cos.xtg.xsen
−π
−
π
−π+π−π
126. Simplifique cada uma das expres-
sões, sabendo que ,2
kx
π≠ com k ∈ Z:
a) ( )x3sen.x
2sen
)xcos().x(sen
+π
+
π
+π−π
b) ( )x2cos
x2
cos)x(sen
−π
−
π+−π
c) ( )
−
π+
−
π
−−π
x2
senx2
cos
xcosx2cos
d) ( )
( )x2sen
x2
cosxsen
−π
−
π+−π
127. Calcule: a) sen75º b) cos15º c) cos105º d) cos15º e) tg75º f) 15º
128. Dados senx=5
3, seny=
4
3− , 0<x<
2
π e
π < y < 2
3π. Calcule:
a) sen(x + y) b) cos(x + y) c) tg(x + y) d) cos(x - y)
129. Sabendo-se que tg x = 3 e tg y = 2, determine:
a) tg(x + y) b) tg(x - y) 130. Aplicando as fórmulas da adição, calcule:
a) cos105º b) tg15º c) sen6
5π
131. Usando as formulas da adição, mos-tre que:
a) cos
−
πx
2 = senx
b) sen xcosx2
=
−
π
c) sen(π + x) = - senx d) cos(π - x) = - cosx e) cos(2π - x) = cosx
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
9
132. Simplifique a expressão: y = sen(135º + x) + sen(135º - x)
133. Exprima em função de senx e cosx as expressões:
a) sen(4π + x) b) cos(5π + x) c) sen(4π - x) d) sen(3π - x)
e) cos
−
πx
2
3 f) sen
+
πx
2
5
134. Se tgA=2 e tgB=1, ache tg(A - B).
135. Se tg(x + y) = 33 e tgx = 3, calcule tgy.
136. Se tgx = 2.tgy, expresse tg(x + y) em função de tgy.
137. Simplifique a expressão definida
por y = ( )
π−
−π
2
3xcos.senx
xcos.xcos?
138. Simplifique a expressão:
( )
( ).
x2
sen.x5cos
x2
cos.xsen
y
−
π+π
−
π+π
=
139. Qual o valor de tgx de modo que
tg(45º+x)+tg(x-45º)=2, com 0 < x < 2
π?
140. São dados sen20º = 0,3420, cos20º = 0,9397 e tg20º = 0,3640. Determine:
a) sen40º b) cos40º c) tg40º
141. Sabendo que cos40º=0,7660, sen40º=0,6428 e tg40º = 0,8391, calcule cos80º, sen80º e tg80º.
142. Se π < x < 2
3π e sen x =
4
3- , de-
termine: a) sen2x b) cos2x c) tg2x
143. Sabendo que cosy = 5
3, senx =
13
12 e
2
3π < y < 2π e
2
π< x < π, determine:
a) sen2y b) cos2x
c) tgx e tgy d) tg2x e tg2y
144. Sabe-se que sen²a + cos²a = 1. De-termine, então:
a) cos2a em função de cosa. b) cos2a em função de sena.
145. Aplicando as fórmulas que foram obtidas no problema anterior, resolva:
a) se cosa = 2
1, com 0 < a <
2
π, calcu-
le o valor de cos2a.
b) Dado sena = 2
3, com 0 < a <
2
π,
determine cos2a
146. Resolva os problemas:
a) Se tgx = 2
1, calcule tg2x e cotg2x.
b) Se tg2a =1, calcule tga.
147. Calcule sen2x, se senx = 4
3 e x é
um arco do 2º quadrante.
148. Se cosx = 5
2, com 0 < x <
2
π, calcu-
le sen2x e cos2x.
149. Demonstre as identidades trigono-métricas:
a) tga.sen2a = 2sen2a b) sen2x.cotgx = cos2x + 1 c) 1 + tga.tg2a = sec2a
150. Sabendo que tga = 4
1, calcule tg2a e
cotg2a.
151. Calcule sen2x, sabendo que tgx + cotgx = 3
152. Transforme em produto: a) cos4x + cos2x
b) sen5x + sen7x
c) sen3y – seny
d) sen7y + sen5y + sen3y + seny
153. Simplifique as expressões:
a) y = °+°
°+°
30con50cos
25cos55cos
b) y = °
°−°
45cos.2
20sen70sen
c) y = ycosxcos
senysenx
+
+
d) y = senysenx
ycosxcos
+
−
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
10
154. Transforme em produtos as expres-sões:
a) sen55º - sen35º b) sen45º - sen25º c) cos70º + cos 20º d) cos45º - cos25º
155. Transforme em produto as expres-sões:
a) sen4x + sen2x b) sen5x - senx c) sen3x + sen5x d) sen7x - senx e) cos2x + 1
156. Simplifique y =°+°
°−°
40sen10sen
80sen30sen
157. Usando as fórmulas de fatoração,
simplifique a expressão: y = .ycosxcos
ycosxcos
−
+
158. Simplifique y = °−°
+
20sen70sen
20cos70cos oo
.
159. Transforme as seguintes expressões em produto:
a) 1 - cos60º
b) sen
π+
3x + sen
π−
3x
c) cos2x + cos6x d) 1 + sen60º e) 1 + cos30º f) sena + sen5a + 2.sen3a
160. Transforme em soma os seguintes produtos:
a) senx.sen2x b) cos2x.cos3x c) cos2x.sen3x d) cos(x + 60º).cos(x - 60º) e) cos(x - 90º).sen(x + 90º)
161. Simplifique:
y = )150xcos()150xcos(
)150x(sen)150x(senoo
oo
−−+
−++
162. Calcule y = x3cosxcos
x3sensenx
−
+, sabendo
que o valor da cotgx é 7
4.
163. Resolva para x ∈ [0, 2π[:
a) senx = - 2
2 b) cosx =
2
3
c) senx = 2
1− d) cosx =
2
1−
e) senx = -1 f) cosx = 0
g) cosx = -1 h) senx = 1
i) cosx = 1 j) senx = - 2
3
l) cosx = 2 m) senx = -4
n) cosx = 2
7
164. Resolva cosx = 2
1, para x ∈ R.
165. Resolva, para qualquer x ∈ R:
a) cosx = - 2
1 b) cosx = 1
c) senx = 1 d) senx = 2
2
e) cosx = -1 f) senx = cosx
166. Resolva as seguintes equações tri-
gonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤ 2
3π.
a) senx = 0 b) senx = -1
c) senx = 2
1 d) senx =
2
2
e) senx = - 2
1 f) senx = -
2
2
g) sen2x = 0 h) sen4x = - 1
i) sen2x = 1 j) sen2x = 2
1
167. Resolva as seguintes equações tri-gonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤ 4π.
a) cosx = 2
1 b) cosx = -
2
1
c) cosx = 1 d) cosx = 0
e) cosx = -1 f) senx = 2
2
g) cosx = - 2
2 h) cos3x = -1
i) cos2x = 0 j) cos2x = 2
1
168. Determine a solução das equações trigonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π:
a) cosecx = - 2
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
11
b) sec2x = 2 c) cos2x + cosx = 0 d) 2sen2x = senx e) 2sen2x + cosx = 1 f) cos2x + cosx - 2 = 0 g) cos2x = 1 - senx h) sen2x + senx = 0 i) cos2x - cos2x = 0
169. Considerando 0 ≤ x ≤ 2π, resolva as equações:
a) sen2x = cosx b) cosx + sen2x = 0 c) cos2x = - sen2x d) cos2x + 1 = cos2x
170. Resolva para 0 ≤ x < 2π: a) cox5x + cos3x = 0 b) cos3x - cosx = 0 c) sen4x - sen2x = 0
171. Resolva para x ∈ [0, 2π[:
a) senx > 2
1 b) cosx ≥ -
2
2
c) senx > 0 d) cosx < 0
e) senx ≤2
3− f) cosx > -
2
1
g) senx < 2
2 h) cosx ≥
2
3
172. Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π:
a) senx ≥ -2
1 b) cosx ≥
2
1
c) tgx > 1 d) cosx > 2
3
e) senx ≥ 2
2 f) tgx < -1
g) cosx > - 1 h) cosx < 2
2.
173. Resolva, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, as seguintes inequações:
a) sen2x - senx ≥ 0 b) xcos < 2
1
c) tgx < 1
RESPOSTAS 1. 25cm 2. a = 10m 3. m = 2,25 e n = 3,75 4. h = 2 3 cm, y = 6cm
e s = 4 3 cm 5. 3,84m 6. 130,5cm 7. 1600m 8. x = 3 3 e y = 9 - 3 3
9. 6
25(3 + 3 )
10. 50 3 11. 75
12. senα = 5
4 e cosα =
5
3
13. 10 14. 300
15. a = 2 e b = 1
16. 450 17. 5
53 e
5
56
18. 3
34 19. 12 3
20. 2
3 21. 3 22. 9m
23. 600 24. 0 25. 3
320
26. sen600=2
3, cos600=
2
1
e tg600 = 3 27.
s c
t
300
2
1
2
3
3
3
450
2
2
2
2
1
600
2
3
2
1
3
28. a) x = 2 3 e y = 2
b) x = 6 e y = 3 3
c) x = 10 e y = 5 3
29. 2 3 30. 1003
3
31. 50( 3 +1) 32. 1000m
33. cosα=3
22 e tgα=
4
2
34. senα=3
52 e cosα=
5
5
35. senα=4
15 e tgα= 15
36.senα=10
103 e cosα=
10
10
37. 32
9
38. a) 3
π b)
6
7π
c) 2
5π d)
6
5π
e) 15
π f)
90
π
g) 4
π h)
3
2π
i) 12
π j)
4
7π
k) 6
11π l)
18
31π
39. a) 6000 b) 9900 c) 200 d) 90 e) 2400 f) 1080 g) 2203’ h) 3000 i) 2100 j) 1200 k) 150 l) 157030’ m) 1350 40. 88,40cm 41. 37,88m 42. 32cm 43. 4500voltas 44. a) 2 b) 50 c) 3 d) 0,25
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
12
45. 3
1cm 46. 7,85
47. 5
πrad 48. 94,20m
49. 20,93cm 50. 275,16m 51. 336,25km
52. a) 3
π b)
3
4π c) π
53. 82030’ 54. 47030′ 55. 1450 56. a) 187030′ b) 3200 57. a) III b) I c) III d) III e) I f) III g) III h) III
58. a) 3
π+2kπ b)
5
2π+2kπ
c) 1200+k.3600 d) 4
3π+2kπ
e) 3000+k.3600 f) 2
π+kπ
g) 4
π + kπ h)
3
π + kπ
Obs: k ∈ Z 59. a) α0=1100 α = 1100 + k.360° b) α0 = 2100 α = 2100 + k.360° c) α0 = 3550 α = 3550 + k.360° d) α0 = 500 α = 500 + k.360°
e) α0= 4
7π
α =4
7π+2kπ
f) α0 = 2
3π
α = 2
3π + 2kπ
g) α0 = 3
5π
α = 3
5π + 2kπ
h) α0 = 8
3π
α = 8
3π + 2kπ
60. a) S b) N c) N 61. a) 3400 e 7000
b) 6
7π e
6
19π
62. a) IVQ b) IQ c) IIIQ 63. e
64. a) 2
2, -
2
2
b) 2
3, -
2
1
c) -2
1,
2
3
d) -2
3,
2
1
e) -2
3,
2
3
f) -2
2, -
2
2
g) -2
3, -
2
1
h) -2
1, -
2
3
i) 2
3, -
2
1
j) 2
1,
2
3
k) 2
2, -
2
2
l) -2
2,
2
2
m) -2
1,
2
3
n) 1, 0
o) 2
1,
2
3
p) 2
2,
2
2
q) 1, 0
r) 2
3, -
2
1
s) 0, -1
t) 2
1,
2
3
u) 2
2, -
2
2
v) -1, 0 65. 2 + 3 66. 1 67. 0, -1, 0
68. 2
2,
2
2, 1
69. 2
3,
2
1, 3
70. 2 - 3 71. 1, 2 , 2
72. 3
3, 2,
3
32
73. 0, não existe, -1
74. 3
3 75.
3
32, 2
76. 1 77. 2
23 −
78. 2
23 − 79. 0 80. -1
81. π
82. 31
13
−
+ ou -2 - 3
83. 3 ≤ m ≤ 5
84. a) {m∈R/7
19≤ m ≤ 3}
b) {m ∈R/ -3
5 ≤ m ≤ -1}
c) {m ∈ R / 4 ≤ m ≤ 5} 85. -1 ≤ k ≤ 2
86. a) {m ∈R/0 ≤ m ≤ 3
1}
b) {m ∈ R / -3 ≤ m ≤ -2} c) {m ∈ R / 2 ≤ m ≤ 3}
87. -4
3 ≤ k ≤
4
1
88. a) 6
1≤ m ≤
2
1
b) 2
5 ≤ m ≤
2
7
c) -2
5 ≤ m ≤ -
2
1
d) 4
7 ≤ m ≤
4
13
89. π
90. a) 4
π b)
5
π
c) 10π d) 10
π
91. a) 3
π b) 7π/2
c) 3
2π d) 8π
92. a) 4π b) 2π c) 4π
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
13
d) 3
2π e) 2π f)
3
2π
93. a) 3
π b)
4
π
c) 5
π d) 3π
94. a) x ≠ k3
π
b) x ≠ π + 2kπ
c) x ≠2
k
4
π+
π−
d) x≠ π+π
− k22
95. a) x ≠ 4
π + k
2
π
b) x ≠ kπ
c) x ≠ 2
k
2
π+
π
d) x ≠3
k
6
π+
π
96. a) D = R, Im = [0, 2], p = 2π b) D = R, Im = [-2, 0], p = 2π c) D = R, Im = [-1, 1], p = 2π d) D = R, Im = [-2, 2], p = 2π e) D = R, Im = [0, 2], p = 2π f) D = R, Im = [1, 3], p = 2π 97. a) π b) 4π c) π d) 4π 98. a) D = R, Im = [-3, 3], p = 2π
b) D = R, Im = [1, 3], p = 2π c) D =R, Im = [-1, 1], p =2π d) D=R, Im = [-2, 2], p = 8π 99. solução do aluno 100. a) tg2x b) cotgx c) cotgx 101. demonstração
102. sen2x =xgcot1
12+
103. cos2x =xgcot1
xgcot2
2
+
104. sen2x = xtg1
xtag2
2
+
105. a) -5
62 b)
3
5
c) -5
21 d) 2
3
e) - 2 10
7 f) -
5
4
106. a) -7
34 b) -4
7
c) 7
53 d) 2
3
e) -2
2 f) -2
1
107. 2
1 108. 27
1
109. 72
2 110. 16
111. sen cos tag
a) 2
3 __ 3
b) -5
3 5
4 -4
3
c) 5
3 5
4 __
d) -25
24 __ -7
24
cotg sec cossec
a) 3
3 2 3
32
b) -3
4 __ -3
5
c) 3
4 4
5 3
32
d) -24
7 7
25 -24
25
112. 2
3 113. a = 2
114. cosx = 5
4 e tgx = 4
3
115. ±1/2
116. a) -2
3 b) -1
c) -24
25 d) 3
5 e) 3
5
f) -4
23 g) 5
12
117. 5
62 , -2 6 , -12
6
118. 2 2 119. 2
2 , 2
120. a) 19 b) -24
25
c) 3
8 d) 31
50 e) 15
14
121. a) m = ±2 b) não existe c) m = -1 d) a = 2 e) a = 2 ou a = 1
f) m = 2 ou m = -5
12
122. a) cosx b) senx c) -cosx d) -cosx e) tgx f) -tgx
123. a) 9
332 −
b) 6 -3 2 c) 1
d) -4
2 e) -4
1
f) 2
1 g) 2 - 3
h) 3 i) 0
124. a) -3
4 b) 4
3 c) -3
1
125. a) -tgx b) 1 c) -senx.cosx d) -1 e) -1 f) -secx 126. a) 1
b) xcos
xsen2 ou tgx.senx
c) 0 d) -2
127. a) 4
62 + b) 4
26 −
c) 4
62 − d) 4
62 +
e) 2 + 3 f) 2 - 3
128. a) 20
1273 −− b) 20
749 −
c) 749
1273
−
−− d) 20
974 −−
129. a) -1 b) 7
1
130. a) 4
62 −
b) 2 - 3 c) 2
1
131. demonstração
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
14
132. 2 cosx 133. a) senx b) -cosx c) -senx d) senx e) -senx f) cosx
134. 3
1 135. 10
3
136. ytg21
tgy32−
137. cotg2x
138. tg2x 139. 2 -1 140. a) 0,6427 b) 0,9999 c) 0,8391 141. cos800 = 0,1743, sen800 = 0,9847 e tg800 = 5,6494
142. a) 8
73 b) -8
1
c) -3 7
143. a) -25
24 b) -
169
119
c) 5
14, -
3
4
d) -119
120,
7
24
144. a) 2cos2x – 1 b) 1 - 2sen2x
145. a) -2
1 b) -
2
1
146. a) tg2x = 3
4 e
cotg2x = 4
3
b) tga = 1 ± 2
147. sen2x = -8
73
148. sen2x = 25
214 e
cos2x = -25
17
149. demonstração
150. 15
8 e
8
15
151. 3
2
152. a) 2cos3x.cosx b) 2sen6x.cosx c) 2seny.cos2y d) 4cosy.sen4y.cos2y
153. a) o
o
10cos
15cos b) sen250
c) tg
+
2
yx
d) tg
−
2
yx
154. a) 2 cos100
b) 2sen100.cos350 c) 2 cos250
d) 2sen350.sen100 155. a) 2sen3x.cosx b) 2sen2x.cos3x c) 2sen4x.cosx d) 2sen3x.cos4x e) 2cos²x
156. y = -o
o
15cos
55cos
157.-cotg
+
2
yx .cotg
−
2
yx
158. y = cotg250
159. a) 2
1 b) senx
c) -2cos4x.cos2x d) 2sen750.cos150 e) 2cos²150 f) 4sen3a.cos²a
160. a) 2
1(cos3x - cosx)
b) 2
1(cos5x + 4cosx)
c) 2
1(sen5x + senx)
d) 2
1cos2x -
4
1
e) 2
1sen2x
161. - 3 162. cotgx
163. a) 4
5π,
4
7π
b) 6
π,
6
11π
c) 6
π,
6
11π
d) 3
2π,
3
4π
e) 2
3π f)
2
π,
2
3π
g) π h) 2
π
i) 0, 2π j) 3
4π,
3
5π
l) Ø m) Ø n) Ø
164. x = 3
π + 2kπ
ou x = 3
5π+ 2kπ
165. a) x = 3
2π+ 2kπ
ou x = 3
4π + 2kπ
b) x = 2kπ
c) x = 2
π + 2kπ
d) x = 4
π + 2kπ
ou x = 4
3π + 2kπ
e) x = π + 2kπ
f) x = 4
π + kπ
166. a) {0, 2π} b)
π
2
3
c)
ππ
6
5,
6 d)
ππ
4
3,
4
e)
ππ
6
11,
6
7
f)
ππ
4
7,
4
5
g) {0, π} h)
π
8
3
i)
π
4 j)
ππ
12
5,
12
167. a)
ππ
3
5,
3
b)
ππ
3
4,
3
2
c) {0, 2π} d)
ππ
2
3,
2
e) {π} f)
ππ
4
7,
4
g)
ππ
4
5,
4
3 h)
π
3
i)
ππ
4
3,
4 j)
ππ
6
5,
6
168. a)
ππ
4
7,
4
5
b)
ππ
6
5,
6
www.baluta.com.br ÁLGEBRA - TRIGONOMETRIA
Rua Baronesa, 705 - sala 206 - Praça Seca Telefone: 39022608 - 994306166
15
c) 2
π,
2
3π e π
d) 0, 6
π,
6
11π e π
e) 0, 3
4π,
3
5π e 2π
f) 0, 2π
g) 0, 2
π e π
h) 0, 3
4π,
3
5π e π
i) 0, π
169. a) 6
π,
2
π,
6
5π e
2
3π
b) 2
π,
6
7π,
2
3π e
6
11π
c) 8
3π +
2
kπ
d) 2
π e
2
3π
170. a) 8
π,
2
π,
8
3π e
2
3π
b) 0, 2
π, π
c) 0, 6
π,
2
π e 2π
171. a) 6
π ≤ x ≤
6
5π
b) 0 ≤ x ≤ 4
3π
ou 4
5π ≤ x ≤ 2π
c) 0 < x < π
d) 2
π < x <
2
3π
e) 3
4π ≤ x ≤
3
5π
f) 0 < x < 6
5π
ou 6
7π < x < 2π
g) 0 < x < 4
π ou
4
5π < x < 2π
h) 0 ≤ x ≤ 6
π ou
6
11π ≤ x ≤ 2π
172. a) 0 ≤ x ≤ 6
7π ou
6
11π ≤ x ≤ 2π
b) 0 ≤ x ≤ 3
π ou
3
5π ≤ x ≤ 2π
c) 4
π < x <
2
π ou
4
5π < x <
2
3π
d) 0 < x < 6
π ou
6
11π < x < 2π
e) 0 ≤ x ≤ 4
5π ou
4
7π ≤ x ≤ 2π
f) x ∉
ππ
2,
4 e
x ∉
ππ
2
3,
4
5
g) x ≠ π
h) 0 < x < 4
π ou
4
7π < x < 2π
173. a) S={x∈R/π≤ x≤2π}
b) π
<<π
∈3
2x
3/Rx ou
π
<<π
3
5x
3
4
c) π
<≤∈4
x0/Rx ou
π≤<π
2x4
7