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LÓGICA DE 1º ORDEN PARA BACHILLERATOLÓGICA DE 1º ORDEN PARA BACHILLERATOLÓGICA DE 1º ORDEN PARA BACHILLERATOLÓGICA DE 1º ORDEN PARA BACHILLERATO
Jorge Luís Hidalgo Romero Miguel Jaldo Girela
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Depósito legal: J-536-2006 ISBN: 84-690-3089-2
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A nuestras familias, por estar siempre ahí, a nuestro lado
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I. LENGUAJE NATURAL Y LENGUAJE FORMAL
La diferencia entre lenguaje natural y lenguaje formal se puede realizar
partiendo de lo siguiente: el primero es el que heredamos a la vez que lo aprendemos
(desde la infancia) y, el segundo es un lenguaje (o lenguajes) que se debe fabricar o
elaborar con una finalidad específica, diferenciada de la utilidad para la vida cotidiana
del ser humano. Los lenguajes naturales son las lenguas creadas y recreadas muchas
veces en el devenir de la historia de la humanidad siendo transmitidas a cada sujeto, en
lo esencial en los primeros años de la vida. Estamos hablando de lenguas tales como el
castellano, el gallego, el inglés, etc... En sentido más técnico entendemos por lenguaje
natural u ordinario aquel que se emplea cotidianamente en una determinada comunidad
de personas y que sirve de vehículo transmisor para la comunicación de las personas
entre sí.
El lenguaje ordinario sirve para todo ámbito de expresión y se distingue por su
enorme posibilidad y riqueza comunicativa, en que ningún otro vehículo puede llegar a
expresar toda la gama de situaciones traducidas en sentimientos, deseos, órdenes, etc.
Aquí, vemos una característica (o la característica) inherente a tal lenguaje que es la
flexibilidad, su elasticidad. El lenguaje natural llega, en este punto, a su cumbre con las
expresiones poéticas y literarias.
Pero frente a estas llamadas ventajas del lenguaje natural se alzan algunos
inconvenientes de los que incomodan a los científicos. Entre estos inconvenientes se
encuentra la evidente ambigüedad del lenguaje natural, lo que puede desembocar, en
algunos casos, en informaciones erróneas, o la dificultad consiguiente a la hora de
querer hallar la exactitud exigida en muchos supuestos; de lo que se puede deducir de
un modo general que la ambigüedad es un rasgo general del lenguaje natural.
Un ejemplo de ello se puede ver en el caso extremo de la paradoja del
mentiroso, que se expresa mediante el siguiente enunciado (o equivalentes)
“Yo soy un mentiroso”
Si a este enunciado se le atribuye el valor veritativo de verdadero, tendríamos
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que “Es verdad” que “es un mentiroso” con lo cual está mintiendo, de lo que se deduce
que no dice la verdad, por el simple hecho de que es un mentiroso y no puede decir la
verdad. Con lo que tendríamos que es verdadero que no dice la verdad: una expresión
contradictoria.
Pero ahora le otorgamos el valor veritativo de falsedad. Es decir, “es falso” que
“es un mentiroso”·, obtendríamos que no es un mentiroso, y que dice la verdad, con lo
que tendríamos “es falso que dice la verdad”, otra expresión contradictoria. Tanto en un
caso como en otro obtenemos una contradicción.
Este caso es un caso extremo, aunque no es normal que nos encontremos con
paradojas. En cualquier caso, lo que tiene que quedar claro es que pueden darse tales
situaciones con el uso de este lenguaje, lo que le va a impedir ser el instrumento
científico de precisión que la ciencia desearía. La paradoja la obtenemos cuando dos
proposiciones que son contradictorias, se implican mutuamente. Para que esto no ocurra
una propuesta consistiría en introducir una norma que nos permita la formación de
enunciados y la construcción de nociones con esa clase de reflexibilidad.
La existencia de paradojas va a posibilitar el redoblamiento del interés por la
construcción de lenguajes más exactos, es decir, lenguajes artificiales, estos lenguajes
pueden posibilitar un estudio más exacto de las paradojas. El lenguaje natural es en
definitiva muy poco eficaz para determinados fines, los de la ciencia, en que se anhela
un alto grado de eficacia, operatividad y precisión. Si es eficaz para los propósitos que
mencionamos anteriormente, los relacionados con la vida del ser humano.
Ante esto se ha de aclarar lo siguiente sobre los lenguajes artificiales (o lenguaje
formal):
1. Con estos lenguajes no se quiere sustituir en bloque el lenguaje natural: éste por
gozar de un estatuto histórico-racional, es impensable que pueda sustituirse en
miles de situaciones y circunstancias humanas y es que el hombre utiliza el
lenguaje para fines científicos, pero también para otro tipo de actividades más
ordinarias: alabar, interrogar, para dar cuenta de sus sentimientos, etc.
2. Cuando estamos hablando de lenguaje artificial no estamos aludiendo a otro tipo
de lenguaje como pudiera ser el Esperando (y parecidos), pues éste surge como
lengua supranacional que intenta ser un vehículo de mejor entendimiento, entre
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individuos de diferentes nacionalidades, es decir, no nace para resolver los
problemas que tiene el lenguaje natural, pues sigue teniendo los problemas del
lenguaje natural, pues es una lengua natural como el inglés, castellano, etc.
Los lenguajes artificiales son modos artificiosos de expresión construidos por la
Lógica y las Matemáticas con el objeto de poder formular con mayor exactitud las
relaciones entre los objetos que estudian las distintas disciplinas. Los lenguajes
artificiales son lenguajes constreñidos a un arca de expresión bastante reducida,
pensada para simbolizar y formular un determinado número de cosas.
I.1. LENGUAJE OBJETO Y METALENGUAJE
Con esta diferenciación de lenguaje-objeto y metalenguaje no se va a hacer una
nueva clasificación de los lenguajes, sino más bien es una clasificación que va paralela
a la anterior. Partamos del siguiente ejemplo.
A. Hoy llueve
B. “Hoy llueve” es una oración que consta de dos palabras
En A tenemos una oración o enunciado que dice algo acerca del mundo, lo que
se puede denominar realidad extralingüística. Mientras que en B tenemos un enunciado
que puede dividirse en dos partes “Hoy llueve” y, “es una oración que consta de dos
palabras”, en la primera parte hablamos de la realidad extralingüística, y en la segunda
parte utilizamos el lenguaje para hablar o hacer referencia del mismo lenguaje. Pues
bien, cuando utilizamos el lenguaje para hablar acerca del mundo externo, o de nosotros
mismos, es decir, de la realidad extralingüística, lo denominamos lenguaje-objeto,
pero cuando lo utilizamos para referirse al propio lenguaje lo denominamos
metalenguaje.
Con lo que tenemos que el lenguaje-objeto es la lengua o lenguaje sobre el que
se hablan, aluden o dicen cosas y, el metalenguaje es el lenguaje en el que se dicen,
cuando se está hablando sobre una lengua. Tenemos que tener muy presente que se
establece una diferencia tajante: hay un lenguaje concreto y hay otro que siempre se
utiliza para describir o hablar acerca del primero de los dos. Es aquí donde está
justificado que se hable de una jerarquía de lenguajes, puesto que, a su vez, puede
especificarse un nuevo lenguaje para hablar acerca de ese metalenguaje, es decir, se
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puede llegar por este camino a una jerarquización hasta el infinito.
Esta distinción es paralela a la de uso y mención de las palabras. Usamos las
palabras para referirnos a la realidad extralingüística, y las mencionamos cuando nos
referimos con ellas a las propias palabras (al lenguaje).
II. LÓGICA DE PRIMER ORDEN: PROPOSICIONAL Y DE PREDICADOS
La lógica es una herramienta de cálculo deductivo donde se especifican los
elementos y los procedimientos bajo los cuales será posible obtener una o más
expresiones lingüísticas de lenguaje lógico, a partir de otras expresiones lingüísticas. En
la expresión “cálculo deductivo” entendemos por deducción el paso de unos
enunciados a otros. A este proceder se denomina en lógica argumento.
Un argumento se define como un segmento lingüístico de cierta complejidad en
el cual a partir de ciertos subsegmentos iniciales se sigue necesariamente un
subsegmento final. Los subsegmentos iniciales de un argumento se denominan
premisas y el subsegmento final conclusión.
Ilustramos la definición con un ejemplo: Víctor es un alumno de 1º de
Bachillerato que circula con su moto por la calle y se encuentra a su amiga Silvia, y
ésta le pregunta sorprendida: “¿tú, Víctor, con una moto? ¿Por qué la tienes si no
trabajas?” Víctor le responde: “Mi padre me aseguró que si aprobaba este curso, me
regalaría una moto. He aprobado el curso. Así que me ha regalado la moto que ves.
La respuesta de Víctor se puede entender como un argumento por el cual le
explica a su amiga Silvia por qué disfruta de una moto. El argumento se puede formular
del siguiente modo:
Si Víctor aprueba el curso, su padre le regalaría una moto.
Víctor aprueba el curso
Luego su padre le regala una moto
Este argumento consta de dos subsegmentos iniciales o premisas (“Si Víctor
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aprueba el curso, su padre le regalará una moto” y “Víctor aprueba el curso”) y de un
subsegmento final (“Su padre le regala una moto”). Es la composición de estos
subsegmentos la que constituye el segmento lingüístico o argumento.
Pues bien, todo argumento va a ser analizado por la lógica. Si se toma como
unidad mínima de análisis las proposiciones o enunciados en su totalidad, estaremos
ante una lógica de enunciados o proposicional. Pero si se toma como unidad mínima de
análisis del argumento los términos de esas proposiciones, entonces estaremos ante una
lógica de predicados.
La lógica de enunciados va a definir enunciados como toda expresión verbal
que posee un sentido completo y del cual se va a poder decir que es bien verdadero o
bien falso. Es decir, un enunciado es una expresión que contiene un verbo conjugado,
con o sin sintagma verbal, y susceptible de verdad o falsedad.
Un enunciado es simple o atómico si contiene un solo verbo conjugado
mediante el cual un solo predicado afirma algo de un solo sujeto. Un enunciado es
compuesto o molecular si contiene dos o más enunciados atómicos.
Por tanto, la lógica de enunciados se encargará de dictaminar sobre la verdad o
falsedad de una proposición tomada en su totalidad, así también como las relaciones
que se produzcan entre las proposiciones. En ningún caso analizará la organización
interna de aquéllas, análisis que sí va a ser realizado por la lógica de predicados.
La lógica de predicados va a tratar los términos que conforman las
proposiciones. Tales términos se refieren a individuos (personas, objetos....) o a
propiedades de individuos (propiedades que vienen dadas por el verbo), así también
como a las relaciones entre individuos, es decir, que un mismo predicado puede poner
en relación a dos o más individuos.
Volvamos al ejemplo anteriormente expuesto. Centrándonos en la primera
premisa del argumento (Si Víctor aprueba el curso su padre le regalará una moto), la
lógica proposicional sólo tendría en cuenta las dos proposiciones en su totalidad, es
decir, por un lado “Víctor aprueba el curso” y por otro “su padre le regalará una moto”,
además de la relación que ambos tienen (la de implicación). Sin embargo la lógica de
predicados centraría su análisis en los términos que aparecen en las proposiciones, es
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decir, en los predicados o propiedades (aprobar el curso, regalar una moto), en los
individuos (Víctor, su padre) y en las relaciones entre individuos (el predicado “regalar
una moto” pone en relación a Víctor con su padre), además de las relaciones que se dan
entre ambos predicados (al igual que la lógica de enunciados).
Es esta unidad mínima de análisis lo que constituye la distinción básica entre
ambas lógicas. Como consecuencia de esta distinción, señalamos la segunda distinción
importante: el simbolismo. La lógica de predicados utiliza una versión simbólica
diferente, aunque conserva signos introducidos para la lógica proposicional (signos
lógicos). Estos signos inmutables en ambas lógicas se denominan conectores, es decir,
conectan unos enunciados con otros. Estas partículas conectivas son los elementos
invariables (también llamadas constantes) de todo argumento, además de ser las
mismas a ambas lógicas. Pero la lógica de predicados introducirá unos signos en el
momento en que los predicados refieran a cosas generales o particulares, o sea, cuando
el predicado cuantifica. Por eso, la lógica de predicados, además de los conectores,
tendrá en cuenta los cuantificadores, novedad ésta por la que la lógica de preciados se
le denomina también lógica cuantificacional, mientras que la lógica de enunciados va a
ser denominada lógica de conectores (o juntones).
De estas dos importantes distinciones no hay que sacar la conclusión de que
ambas lógicas son distintas. En realidad la lógica proposicional es la parte fundamental
y básica de la lógica en general, y la lógica de predicados la ha de presuponer. De ahí a
que se haga imprescindible conocer las cuatro principales características comunes a las
dos lógicas:
1. Se tratan de lenguajes artificiales, y como tales se componen de símbolos
formales, reglas de formación de fórmulas y reglas de transformación de
fórmulas.
2. Doble nivel de formalización, es decir, formalizar argumentos tanto a nivel de
elementos variables del argumento (enunciados o predicados) como a nivel de
sus elementos constantes (que como ya sabemos son los conectores).
3. Doble nivel de análisis, a saber, sintáctico y semántico. A nivel sintáctico se
determina la validez o corrección de un argumento mediante el cálculo
deductivo en su forma de deducción natural. A nivel semántico, se determina la
validez o corrección de un argumento mediante las interpretaciones (dotar de
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significado a los signos). Este doble análisis será detallado en los apartados
posteriores.
4. Se basan en el principio de bivalencia, el cual se formula del siguiente modo:
“Para todo enunciado se podrá decir que posee un
determinado valor de verdad; en concreto, tendrá
valor de verdad positivo si el enunciado es
verdadero y valor de verdad negativo si el
enunciado es falso”.
III. LÓGICA PROPOSICIONAL
III.1. LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Un lenguaje para el ámbito de la lógica se estructura en tres niveles diferentes:
símbolos formales, reglas de formación de fórmulas y reglas de transformación de
fórmulas.
III.1.a. Símbolos formales
En primer lugar se ha de poseer una lista de los símbolos que se estará permitido
utilizar en este lenguaje. Se trata de algo así como el alfabeto del lenguaje formal.
Símbolos lógicos
Negador: ‘¬’ Condicional: ‘→’
Coyuntor: ‘∧∧∧∧’ Bicondicional: ‘↔’
Disyuntor: ‘∨∨∨∨’
Símbolos no lógicos
Letras enunciativas: p, q, r, s, t, etcétera
Símbolos auxiliares
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Paréntesis: ( )
III.1.b. Reglas de formación de fórmulas
Toda lengua natural, además de poseer un léxico, posee una gramática que
indica qué tipos de combinaciones de los signos tenidos en cuenta por el léxico son
adecuadas.
Para los lenguajes formales como la lógica de enunciados esta regla también es
válida y se tendrá que especificar qué tipos de combinaciones de estos símbolos
mencionados son adecuados. A estas combinaciones se les va a denominar de una
forma genérica fórmulas.
Para hacer referencia a cualquier fórmula que se adecue a las reglas de
formación se utilizarán como símbolos las primeras letras del alfabeto griego: ∀, ∃, (, ∗,
etcétera (minúsculas). Teniendo en cuenta que cada letra del alfabeto griego puede ser
sustituida por una expresión o fórmula de la lógica proposicional.
Una fórmula o expresión bien formada de nuestro lenguaje es un símbolo o una
serie de símbolos que se atiene o atienen estrictamente a las siguientes reglas de
formación:
1. Una letra enunciativa es una fórmula (, ,..)
2. Si es una fórmula, entonces ¬ es una fórmula
3. Si y son fórmulas, entonces:
∧∧∧∧ es una fórmula
∨∨∨∨ es una fórmula
→→→→ es una fórmula
↔↔↔↔ es una fórmula
Además, el uso adecuado de los paréntesis es una regla que permite la
formación de fórmulas. En la nomenclatura de esta lógica proposicional y con los
signos propios de ésta lógica sería del modo siguiente:
1. Una letra enunciativa es una fórmula (p, q, ...)
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2. Si p es una fórmula, entonces ¬p es una fórmula
3. Si p y q son fórmulas, entonces:
p ∧ q es una fórmula
p ∨ q es una fórmula
p → q es una fórmula
p ↔ q es una fórmula
III.1.c. Reglas de transformación de fórmulas
Como se ha indicado anteriormente la lógica es una herramienta abocada a la
obtención de unas conclusiones a partir de unas premisas; la forma de obtener estas
conclusiones deberá estar rígidamente establecida y, con este fin, se deben hacer
explícitas las reglas adecuadas de transformación de unas fórmulas en otras (las reglas
concretas que se van a utilizar quedarán especificadas posteriormente).
Con todo esto, símbolos formales, reglas de formación de fórmulas y reglas de
transformación de fórmulas queda completado el lenguaje de la lógica proposicional, de
forma que todo aquello que se salga fuera de estas reglas podrá ser considerado como
ilícito dentro de la lógica de enunciados.
III.2. SÍMBOLOS LÓGICOS
Los símbolos lógicos son los nexos composicionales por medio de los cuales a
partir de letras enunciativas se podrá obtener fórmulas mediante la combinación de las
primeras con los símbolos ateniéndose en todo momento a las mencionadas reglas de
formación de fórmulas.
Así, a partir del símbolo lógico ‘∧’, denominado conjuntar, y de las letras
enunciativas ‘p’ y ‘q’ va a ser posible obtener la fórmula ‘p ∧ q’.
Teniendo como base el principio de bivalencia, el siguiente punto a considerar
va a consistir en estudiar qué valor de verdad va a poseer una fórmula en función de los
valores de verdad de los enunciados componentes, para lo cual se va a analizar uno por
uno cada cual de los signos lógicos considerados.
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III.2.a. Negador
El símbolo ‘ ¬ ‘ recibe el nombre de negador, pudiendo ser considerado como la
versión lógica de la partícula ‘no’ u otras de significado parecido propias de los
lenguajes naturales.
El negador, en tanto que función proposicional que asigna valores de verdad a la
fórmula que afecta dependiendo del valor de verdad de ésta, responde a la siguiente
regla:
“Si un enunciado es verdadero (valor de verdad positivo), su negación es
falsa (valor de verdad negativo); y si un enunciado es falso (valor de
verdad negativo) su negación será verdadero (valor de verdad positivo)”.
El modo de especificar escuetamente esta regla consiste en construir una tabla
de verdad para el símbolo lógico en cuestión; una tabla de verdad es un esquema en el
que se especifican los valores de verdad (V para el positivo y F para el negativo)* de la
fórmula en cuestión a partir de los valores de los enunciados que componen la fórmula
y de las reglas de cada símbolo.
Así, la tabla de verdad* *, para el negador es la siguiente:
¬
V F
F V
En signos de nuestra lógica
p ¬p
V F
F V
* Interpretación semántica.
** Posteriormente se explicará como se construye una tabla de verdad.
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III.2.b. Conyuntor
El conyuntor se simboliza con el símbolo ‘∧’ y básicamente viene a significar
lo que la partícula ‘y’ u otras similares en el lenguaje natural.
El conyuntor, en tanto que función, se atiene a la siguiente regla:
“Una conjunción afirma la verdad de sus componentes, por lo tanto, es
verdadera cuando sus componentes son verdaderos; en los demás casos
será falsa”.
Al igual que se hacía para el negador (y, en general, para todo conector), las
condiciones de verdad de la conyunción se pueden representar mediante tablas de
verdad:
∧
V V V
V F F
F V F
F F F
En signos de nuestra lógica
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
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En las dos primeras columnas se indican, ordenadamente, las cuatro
combinaciones posibles de verdad y falsedad para las fórmulas y (o, p y q). La
tercera columna indica los valores de verdad que convienen, para cada uno de los
cuatro supuestos, a la conyunción de ambas proposiciones.
III.2.c. Disyuntor
Este conector se simboliza con el signo ‘∨’. A la hora de buscar una
transcripción al lenguaje natural de esta función proposicional se encuentran ciertos
problemas, ya que aunque está en correspondencia con la ‘o’ y partículas similares
(bien....bien...; ora....ora), el hecho de que estas partículas en el lenguaje natural puedan
ser usadas tanto de forma exclusiva (cuando la disyunción establece que uno de sus
miembros es falso y el otro verdadero, sin dejar de que las dos miembros sean
verdaderos), como de una forma inclusiva (cuando permita que los dos miembros sean
verdaderos simultáneamente), es una fuente de problemas a la hora de realizar la
traducción a un lenguaje artificial. Para ilustrar este fenómeno se pueden exponer los
siguientes ejemplos:
a) Uso exclusivo del disyuntor en el lenguaje natural: “o aprueba o
suspende”. Donde una posibilidad o alternativa elimina o excluye
necesariamente a la otra alternativa.
B) Uso inclusivo del disyuntor en el lenguaje natural: “o viene Juan o viene
Pedro”. Una alternativa no excluye o elimina necesariamente a la otra
alternativa.
Para evitar todo tipo de ambigüedad y en aras de claridad, vamos a adoptar el
disyuntor en su uso inclusivo, y a partir de ahí se podrá definir, si hiciese falta, el
disyuntor exclusivo.
Así pues, la regla para el disyuntor, para construir su tabla de verdad, es la
siguiente:
“La disyunción de dos enunciados es verdadera cuando alguno de sus
miembros es verdadero (o los dos); solo cuando ambos sean falsos, la
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disyunción será falsa”.
La tabla de verdad queda como sigue:
∨
V V V
V F V
F V V
F F F
En signos de nuestra lógica
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Podemos definir ahora la disyunción exclusiva del modo siguiente:
( ∨ ) ∧ ¬ ( ∧ ) ; (p ∨ q) ∧ ¬ (p ∧ q)
III.2.d. Condicional
Mediante el símbolo ‘→’ se va a simbolizar el conector denominado
condicional, el cual se puede considerar como una traducción más o menos acorde a la
construcción “si ...., entonces ...” del lenguaje natural.
Este símbolo, al igual que ocurría para el conyuntor y el disyuntor necesita de
dos fórmulas para ser usado adecuadamente (tercera regla de formación de fórmulas); y
de estas dos fórmulas, a la que aparece delante del símbolo se le denomina
ANTECEDENTE , y a la otra, que aparece detrás del símbolo, CONSECUENTE.
La regla del condicional, para la construcción de la tabla de verdad, es la que
sigue:
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“Un condicional es falso sólo en el caso en que el antecedente sea
verdadero y el consecuente falso; en los demás casos, el condicional será
verdadero”.
La tabla de verdad queda como sigue:
→
V V V
V F F
F V V
F F V
En signos de nuestra lógica
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Para no plantear problemas de tipo semántico (problemas, por cierto muy
escabrosos), se ha definido el condicional desde el punto de vista extensional (y no
intencional). Según este criterio hay que atenerse estrictamente al valor de verdad de las
proposiciones sin que sea tenido en cuenta para nada el contenido de éstas ni las
posibles relaciones entre sus contenidos.
III.2.e. Bicondicional
Mediante el símbolo ‘↔’ se simboliza el conector denominado bicondicional, el
cuál puede considerarse como una transcripción al lenguaje formal de la construcción
‘... si y sólo si ...’, propia del lenguaje natural.
La función proposicional se rige, para la construcción de la tabla de verdad, por
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la siguiente regla:
“Un bicondicional es verdadero si ambos miembros son verdaderos o
son falsos; en los demás casos, el bicondicional será falso”.
La tabla de verdad es la siguiente:
↔
V V V
V F F
F V F
F F V
En signos de nuestra lógica
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
III.3. CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE VERDAD
A partir de una fórmula cualesquiera en lógica de enunciados se va a poder
construir su tabla de verdad siguiendo los cuatro pasos siguientes:
a) En primer lugar habrá que especificar qué letras enunciativas aparecen
en la fórmula en cuestión; estas deberán colocarse individualmente al
principio de la tabla de verdad y justo debajo de ellas se deberán
construir todas las combinaciones posibles de valores de verdad entre
estas, por medio de una serie de líneas, cuyo número deberá ser igual a 2
elevado al número de letras enunciativas diferentes*.
* Tal y como se ha hecho con los conectores.
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b) En segundo lugar, se deben rellenar ese número de líneas especificado
asegurándose que están presentes todas las combinaciones entre los
valores de verdad.
c) A partir de estas líneas iniciales y siguiendo las tablas de verdad
expuestas en el apartado III (tablas de verdad de los conectores), se
deben construir las columnas intermedias.
d) Y, por último, a partir de las columnas intermedias se debe llegar hasta
la columna final, siguiendo siempre el mismo procedimiento, es decir,
teniendo en cuenta los conectores implicados en cada caso y los valores
de verdad y las fórmulas a las que afectan.
Según las características de la columna final de cada fórmula van a aparecer
casos especiales. Para diferentes fórmulas van a aparecer diferentes tablas de verdad y
estas van a oscilar en un continuo que va desde que la columna final está formada por
completo por signos V a que esté formada únicamente por signos F. A las primeras
(cuando todos los casos son verdaderos) se les denomina tautologías, dando a entender
que siempre son verdaderas independientemente de los valores de verdad de los
enunciados componentes. A las fórmulas del segundo tipo (cuando todos los casos son
falsos) se les llama contradicciones, ya que para cualquier combinación de los valores
de verdad de los enunciados o fórmulas componentes van a ser falsas. Para los casos
más habituales (es decir, cuando no son ni tautologías ni contradicciones) se les
denomina a las fórmulas, fórmulas indeterminadas, ya que hay combinaciones de los
valores de verdad de los enunciados componentes donde el resultado es verdadero y
otros donde es falso. Veámoslo mediante el siguiente ejemplo:
Hacer la tabla de la verdad de la siguiente fórmula:
(p ∧ q) → ¬ (p ∨¬ q)
Comencemos, siguiendo los pasos especificados
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p q ¬q (p ∧∧∧∧ q) p ∨∨∨∨¬ q ¬ (p∨∨∨∨¬ q) (p∧∧∧∧ q) →→→→ ¬ (p ∧∧∧∧¬
q) V V F V V F F
V F V F V F V
F V F F F V V
F F V F V F V
Se ha seguido el procedimiento especificado, y hemos obtenido una fórmula
indeterminada, pues en la última columna tenemos tres casos donde el valor de verdad
es V y uno donde es F.
Otro ejemplo, la fórmula es: p→ (q ∧¬ t)
p q t ¬ t q ∧∧∧∧¬ t p →→→→ (q ∧∧∧∧¬ t)
V V V F V V
V V F V V V
V F V F F F
V F F V V V
F V V F V V
F F V F F V
F V F V V V
F F F V V V
En este caso también se obtiene una fórmula indeterminada, hay siete casos
donde V es lo que se obtiene en la columna final y, uno donde es F lo que se obtiene.
Es muy importante al construir las tablas de verdad ir del conector de menor amplitud
(el que afecte a menos letras enunciativas) hasta el de mayor amplitud (el que más
letras enunciativas abarque), teniendo muy en cuenta los paréntesis, pues pueden hacer
variar el resultado final de la tabla de verdad.
III.4. SIMBOLIZACIÓN EN LÓGICA DE ENUNCIADOS
Como con anterioridad se expuso la lógica de enunciados se caracteriza por
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llevar a cabo una simbolización de los elementos variables de los argumentos tomando
como unidad mínima los enunciados.
Esto hace que el proceso de simbolización se convierta en una tarea bastante
poco compleja, antes bien, únicamente habrá que asignar letras enunciativas concretas y
distintas a cada uno de los enunciados que aparezcan en la proposición a formalizar,
para posteriormente transcribir mediante signos lógicos convenientes la estructura de
ésta.
A continuación se va a ejemplificar este proceso para un caso concreto (también
se construirá la tabla de verdad para el enunciado formalizado)
“Es falso que si llueve entonces hace sol”
El primer paso para simbolizar % es concretizar los enunciados simples o no
compuestos que en ella aparecen, que no son otros para este caso que “llueve” y “hace
sol”, para los cuales se puede convenir que sean simbolizados por las letras predicativas
“p” y “q” respectivamente.
De acuerdo con lo que se ha expuesto con relación a los símbolos lógicos, la
traducción final al lenguaje artificial de la lógica de enunciados sería como sigue:
¬ (¬ p ∨ q)
Y se lee:
Es falso que (si no llueve entonces hace sol)
Con este enunciado ya simbolizado se puede construir una tabla de verdad
siguiendo los criterios expuestos en el apartado anterior. En primer lugar, el número de
letras predicativas es dos, con lo cual el número total de líneas de la tabla deberá ser
cuatro (22= 4; o sea 2 combinaciones de dos elementos, V y F, tomados de dos en dos,
es decir, para p y q).
A continuación se deberán asignar todas las combinaciones posibles de valores
de verdad de estos enunciados:
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p q
V V
V F
F V
F F
con lo cual quedan cubiertas todas las posibilidades:
a) que tanto “p” como “q” sean verdaderas
b) Que “p” sea verdadero y “q” falso
c) que “p” sea falso y “q” sea verdadero
d) que “p” y “q” sean falsos
Por último hay que construir sucesivamente las diferentes columnas
intermedias, teniendo en cuenta en cada una de ellas el símbolo lógico implicado (ir de
menor amplitud, al de mayor) y, los valores de verdad que en cada línea asumen los
enunciados en las líneas iniciales y subsiguientes:
p q ¬ p ¬ p ∨∨∨∨ q ¬ (¬ p ∨∨∨∨ q)
V V F V F
V F F V F
F V V V F
F F V F V
Esta tabla nos viene a decir que la fórmula compleja ¬ (¬ p � q) es verdadera
para el caso en que tanto p como q sean falsos, y será falsa para cualquier otro caso. “Es
falso que si no llueve entonces hace sol” es verdadero únicamente para el caso en que
es falso tanto que llueve (p) como que hace sol (q), con lo que tenemos que es una
fórmula indeterminada.
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III.5. REGLAS BASICAS DEL CÁLCULO DEDUCTIVO
Ya se han estudiado los símbolos formales y se han especificado las reglas de
formación de fórmulas; así, pues, el siguiente paso deberá ser exponer las reglas de
transformación de fórmulas.
A todo conjunto de reglas sistemáticamente ordenado se le llama cálculo
deductivo (cálculo lógico); cálculos lógicos se han construido muchos y no todos
consideran las mismas reglas. Siguiendo la axiomatización de Gerhard Gentzen se
van a introducir dos reglas primitivas para cada uno de los conectores; una de
introducción del conector en cuestión y otra de eliminación de éste.*
Introducción Eliminación
Negador DN DN
Conyuntor I.C. E.C.
Disyuntor I.D. E.D.
Condicional --- MP/MT
Bicondicional I.B. E.B.
Donde: DN / Doble negación
MP / Modus ponens
MT / Modus Tollens
Además de estas reglas se van a introducir las siguientes:
Repetición: R
Tertium non datur: T.N.D.
Negación del disyuntor: N.D.
Negación del conyuntor: N.C.
Negación del condicional al conyuntor: N.C.C.
* Aunque no hay regla explícita de introducción del condicional, si hay una regla intuitiva de tal conector, y es la siguiente: “Si tengo una hipótesis cualquiera y de ella se sigue , puedo escribir como nueva fórmula →
25
Introducción del disyuntor en el antecedente: I.D.A.
A continuación se va especificar el esquema lógico al que cada una de estas
reglas responde, asumiendo que por y se van a entender cualesquiera fórmulas que
se pueden construir según las reglas descritas (se pondrá al lado de la fórmula
esquemática, la misma pero con letras enunciativas de nuestro cálculo de modo
ejemplificativo).
La relación de deducibilidad se indica mediante una barra horizontal, de forma
que las fórmulas situadas sobre esta barra serán las premisas o fórmulas sobre las que
actúa la regla, y la fórmula situada debajo de la barra será la fórmula que se obtiene a
partir de las fórmulas anteriores. Si la barra es doble indica que la relación de
deducibilidad se da en los dos sentidos (de arriba a abajo y, de abajo a arriba).
1. Repetición: R
en signos de p R
nuestro cálculo p R
2. Doble negación: DN
en signos de p DN
¬¬ nuestro cálculo ¬¬p DN
3. Introducción del conjuntor: I.C.
en signos de p
! nuestro cálculo ! q
∧ p ∧ q I.C.
26
4. Eliminación del conyuntor: E.C.
∧ / ∧ en signos de p ∧ q / p ∧ q
nuestro cálculo p q E.C.
5. Introducción del disyuntor: I.D.
/ en signos de p / q
∨ ∨ nuestro cálculo p ∨ q p ∨ q I.D.
6. Eliminación del disyuntor: E.D.
∨ / ∨ en signos de p ∨ q / p ∨ q
! ! nuestro cálculo ! !
¬ ¬ ¬ p ¬ q
q p E.C.
7. Modus ponens: M.P.
→ en signos de p → q
! nuestro cálculo ! p
q M.P.
8. Modus Tollens: M.T.
→ en signos de p → q
! nuestro cálculo ! ¬ ¬ q
¬ ¬ p M.T.
27
9. Introducción del bicondicional: I.B.
→ en signos de p → q
! nuestro cálculo ! → q → p
↔ p ↔ q I.B.
10. Eliminación del bicondicional: E.B.
↔ ↔ en signos de p ↔ q p ↔ q
→ → nuestro cálculo p → q q → p E.B.
11. Tentium non datur: T.N.D.
∨ ¬ en signos de p ∨¬ p T.N.D.
nuestro cálculo
12. Negación del conyuntor: N.C.
¬ ( ∧ ) en signos de ¬ (p ∧ q)
¬ ∨ ¬ nuestro cálculo ¬ p ∨ ¬ q N.C.
13. Negación del disyuntor: N.D.
¬ (∨) en signos de ¬ (p ∨ q)
¬∧¬ nuestro cálculo ¬ p ∧ ¬ q N.D.
14. Introducción del disyuntor en el antecedente: I.D.A.
→ en signos de p→ q
! nuestro cálculo ! → t →q
(∨)→ (p∨t)→q I.D.A.
28
15. Negación del condicional a la conyunción:
¬ (→) en signos de ¬ (p →q)
∧ ¬ nuestro cálculo p ∧¬ q N.C.C.
III.6. DEDUCCIONES
Con las reglas anteriormente expuestas se ha preparado el terreno para iniciar la
construcción de deducciones en lógica de enunciados.
En una deducción se pretende obtener una conclusión a partir de unas premisas,
y en caso de que se pueda obtener diremos que las premisas implican lógicamente la
conclusión; la relación de implicación, a nivel sintáctico, queda simbolizada por medio
del signo “⊢”. Por ejemplo, para simbolizar que las premisas y implican
lógicamente la fórmula-conclusión (, se escribirá: , ⊢ ).
La forma de obtener la conclusión consistirá en partir de las premisas y a partir
de ellas ir obteniendo, mediante la aplicación de las reglas la transformación de
fórmulas, la conclusión.
Esto debe llevarse a cabo paso a paso, y cada paso deberá escribirse en una línea
distinta, en la cual además de la fórmula obtenida deberá aparecer un número que
indique la fila en la que se está así como la justificación de cómo se ha obtenido la
fórmula (es decir, para el nombre de la regla de transformación empleada para la
obtención de la fórmula).
Veamos los tipos de líneas que aparecen en una deducción:
a) Línea utilizable: toda fórmula que aparezca sola o precedida por un
interrogante tachado
29
b) Línea interrogada: aquellas que están precedidas por un interrogante.
c) Línea marcada: aquéllas que están precedidas por una o más barras
verticales (marcas)
Así, una deducción de una fórmula “” a partir de un conjunto de fórmulas
es una sucesión de líneas en la cual la primera línea es “¿” (con el interrogante
tachado) y todas las restantes líneas están marcadas.
Para la deducción de una fórmula “” a partir de un conjunto de premisas ΓΓΓΓ
deben de seguirse una serie de reglas, a saber:
1. Tras las premisas, debe haber una línea que indique “¿” (nos
preguntamos por la conclusión)
2. Para cualquier fórmula bien construida (que sigue las reglas de
formación de fórmulas) se podrá escribir como línea interrogada: “¿ .
3. Si “” pertenece al conjunto de las premisas, se podrá escribir como
línea utilizable “”.
4. Si “¿” es una línea ya escrita, como línea inmediatamente siguiente se
puede escribir: “¬” (para las deducciones indirectas).
5. Si “¿ → ” es una línea ya escrita, como línea inmediatamente
siguiente se puede escribir: “”.
6. Finalmente, cualquier línea utilizable, como su propio nombre indica,
puede utilizarse cuantas veces sea necesario en la deducción, no siendo
así con las líneas marcadas o interrogadas.
Con estas reglas que rigen la construcción de una deducción, nos encontramos
en perfectas condiciones para enfrentarnos a cualquiera de ellas. No obstante, es
práctico saber que existen tipos de deducciones (que no son sino estrategias, artimañas),
para el caso en que surgen complicaciones en el desarrollo deductivo.
30
III.6.1. Tipos de deducciones
Existen dos tipos de deducciones: directa e indirecta (o deducción con
supuestos provisionales). A lo largo del desarrollo del tema (en este apartado de lógica
de enunciados) se ha dado por supuesto la forma directa de una deducción. Pero puede
ocurrir, y de hecho ocurre, que con esta forma directa no podamos deducir la
conclusión de las premisas. Es por ello que se recurre a formas indirectas de deducción.
La forma directa consiste en llegar a la conclusión de una manera directa, sin
estrategias y, utilizando sólo las premisas que nos son dadas. Es la forma más clara y
precisa de deducir.
Veámoslo con un ejemplo:
1. Si lo uno está en movimiento, este habrá de ser o, de movimiento sin
cambio en el estado o, de movimiento de alteración.
2. No puede tratarse de un movimiento de alteración, porque lo uno dejaría
de ser uno.
3. Si se trata de lo primero tendría que ser o bien movimiento de rotación
sobre uno mismo o bien movimiento de traslación. Ninguna de las dos
cosas ocurre.
4. Luego lo uno no está sujeto a ningún tipo de movimiento.
Lo primero que hay que hacer es simbolizar estos enunciados del lenguaje
natural mediante signos lógicos, es decir, transcribir estos enunciados al lenguaje
formal. Esto se hace, como ya se ha visto, mediante letras enunciativas. La
transcripción sería de la siguiente forma:
P ≡ lo uno está en movimiento
q ≡ movimiento sin cambio
r ≡ movimiento de alteración
s ≡ movimiento de rotación
t ≡ movimiento de traslación
31
En nuestro lenguaje formal, las premisas (1, 2, 3) y la conclusión (4) quedarían
de la siguiente forma (teniendo en cuenta que las premisas son enunciados compuestos,
y por tanto, habrá que detectar los conectores de las oraciones simples):
1. p → (q ∨ r)
2. ¬ r
3. q →(s ∨ t)
4. ¬ (s ∨ t)
5. ⊢ ¬ p
A continuación de la línea 5 escribimos la línea: “¿¬p” (es decir, nos
preguntamos por ¬p). Pues bien, mediante la deducción directa partimos de “¿¬p” y
llegamos a “¬p”; y tras ello, se tacha la interrogación de la línea “¿¬p” (esto significa
que hemos deducido “¬p” a partir de las premisas). La deducción está terminada. Es así
como se procede.
1. p →(q ∨ r)
2. ¬ r
3. q → (s ∨ t)
4. ¬ (s ∨ t)
5. ⊢¬ p
6. ¿¬p
7. ¬ (s ∨ t) R. premisa 4
8. ¬ q M.I. premisa 3 y 7
9. ¬ r R. premisa 2
10. ¬ q ∧¬ r I.C. 8. 9.
11. ¬ (q ∨ r) N.D. 10
12. p → (q ∨ r) R. premisa 1
13. ¬ p M.T. 12, 11
q.e.d.1
En la deducción de forma indirecta se puede proceder de tres maneras:
a) En el caso de que la conclusión sea un condicional (ver regla 5 de 1 Las siglas q.e.d. significan “queda ejercicio demostrado”
32
deducciones). En este caso se supone el antecedente y a partir de él, y
utilizando las premisas, llegamos al consecuente.
Ejemplo:
1. p ∨¬ q
2. p → r
3. ⊢q → r
4. ¿ q → r
5. q
6. ¿ r
7. ¬¬ q D.N. 5
8. p ∨¬ q R. premisa 1
9. p E.D. 8, 7
10. p→r R. premisa 2
11. r M.P. 10, 9
q.e.d.
En este caso cuando se obtiene el consecuente del condicional interrogado, es
cuando se concluye la deducción o, mejor dicho, cuando se da por demostrada la
deducción. En palabras más técnicas, en la línea 4 nos preguntamos por la conclusión,
que es un condicional; y como tal, damos por supuesto el antecedente (línea 5). A
continuación nos preguntamos por el consecuente (línea 6). Una vez llegado al
consecuente, ya podemos tachar el interrogante de la línea 6 (cerrando las líneas
marcadas en esa deducción). Esta deducción nos demuestra que r es una consecuencia
de q; por tanto hemos llegado a la conclusión y tachamos el interrogante de la línea 4,
que era la conclusión que teníamos que demostrar.
En el caso de que sea un bicondicional lo que ha de hacerse es demostrar las dos
direcciones de la flecha del bicondicional, en cada sentido, como un condicional normal
(como anteriormente se ha procedido), y obtener como última línea el bicondicional,
como resultado de una I.B. (Introducción del bicondicional) de las líneas donde estén
los condicionales demostrados, es decir, precedidos por el interrogante tachado, con
esto quedará la deducción demostrada y concluida.
b) En el caso en que entre las premisas tengamos una disyunción. En este
caso, el procedimiento es suponer, en primer lugar, uno de los términos
33
de la disyunción de la premisa; a partir de él debemos llegar a la
conclusión. A continuación, suponemos el otro miembro de la
disyunción y a partir de él también debemos llegar a la conclusión. Si de
los dos términos de la disyunción llegamos, por separado, a la
conclusión, podemos decir que la deducción está acabada. Ejemplo:
1. p → q
2. q → r
3. s → t
4. s ∨ p
5. ⊢ r ∨ t
6. ¿ r ∨t
7. s supuesto línea 5
8. ¿ r ∨ t
9. r M.P. 3, 7
10. r ∨ t I.D. 9
11. p supuesto línea 5
12. ¿ r ∨ t
13. q M.P. 1, 11
14. r M.P. 2, 13
15. r ∨ t I.D. 14
q.e.d.
c) Tercer caso: reducción al absurdo. Quizás sea este caso el menos
intuitivo a primera vista pero, al mismo tiempo, el más usado de las
formas indirectas. Consiste en negar la conclusión, como supuesto y, si a
partir de este supuesto podemos llegar a una contradicción en cualquiera
de sus líneas (∧¬), negamos el supuesto del cual hemos partido,
supuesto que niega la conclusión. Por tanto, al negar el supuesto lo que
hacemos es afirmar la conclusión. Es lo mismo que demostrar una teoría
en función de la falsación de tal teoría. Si de la teoría negada se extraen
contradicciones, se refuta y, por sentido común, se afirma la teoría sin
negar (aquí entra en juego la regla de la doble negación).
Veamos cómo funciona la reducción a lo absurdo en el ejemplo que pusimos
34
para la forma directa:
1. p →(q ∨ r)
2. ¬ r
3. q → (s ∨ t)
4. ¬ (s ∨ t)
5. ⊢ ¬ p
6. ¿¬p
7. ¬ (¬ p) *
8. p D.N. 7
9. q ∨ r M.P. 1,8
10. q E.D. 9,2
11. (s ∨ t) M.P. 3,10
12. ¬ (s ∨t) R. 4
13. ¬ [¬ (¬ p)] Negación del supuesto línea 7
14. ¬ p D.N. 13
q.e.d.
IV. LÓGICA DE PREDICADOS
Hemos dicho que una diferencia entre la lógica de predicados y la lógica
proposicional es la simbología estricta que aquélla ofrece. Los símbolos lógicos y
auxiliares van a permanecer inmutables, no siendo así los símbolos no lógicos.
El léxico simbólico de la lógica de predicados es muy específico, razón ésta por
la que nos vemos obligados a distinguir tres tipos de símbolos:
* Variables individuales, hacen referencia a un individuo determinado.
* Constante individual, hacen referencia a individuos concretos
* Predicados o relatores.
Las constantes individuales o designadores son los símbolos que van a hacer
referencia a un objeto o individuo concreto. La relación implicada a nivel sintáctico es
la de referencia o designación. Utilizaremos las letras minúsculas a, b, c, ... etc.
* Por la regla 4 de las deducciones.
35
Un predicado o relator va a ser aquél símbolo que seguido de un número
determinado de designadores va a originar una sentencia, entendiendo por ésta toda
expresión lingüística de la que se puede decir que es verdadera o falsa. Se simboliza
con las letras mayúsculas P, Q, R,... etc.
Hablaremos de relatores n-ádicos en función del número de designadores que
necesite para formar la sentencia y se indicará con un sobreíndice cuando se considere
necesario. Así habrá relatores o predicados monádicos, diádicos, triádicos, etc.
Las variables (asumiendo la noción matemática de variable y traducida más o
menos a una terminología lógica) son constructos cuya función va a ser la de simbolizar
cualquier cosa o evento que pueda considerar dentro del UNIVERSO DE DISCURSO
asociado a la variable. Las variables se simbolizarán mediante las últimas letras,
minúsculas del alfabeto latino: u, w, x, y, z.
Si en una sentencia sustituimos un designador por una variable, al resultado es
lo que llamamos fórmula abierta. Así, sustituyendo el designador ‘a’ por la variable ‘x’
en la sentencia ‘Pa’ (se lee: P de a) obtenemos la fórmula abierta ‘Px’ (se lee: P de x).
Lo propio de la lógica de predicados es que se puede cuantificar. Cuantificar
consiste en poner una cantidad a las variables, es decir, en señalar la cantidad de
individuos (ya sean todos o alguno/s del universo del discurso asociado a la variable). A
la vista de lo anterior se puede decir que estas dos expresiones “todos” y “algunos” se
las conoce con el nombre de cuantificadores. La razón del nombre está clara: por medio
de ellas indicamos cuántos individuos poseen una cierta propiedad o entre cuántos
individuos se da una cierta relación.
Tenemos dos cuantificadores: el cuantificador universal (o generalizador) y el
cuantificador existencial (o particularizador). Sus símbolos son /\ (se lee “para todo”)
y \/ (se lee “para algún”). Los lógicos alemanes suelen usar los símbolos ≠ para el
generalizador y para el particularizador.
Los cuantificadores se utilizan siempre acompañados de una variable, variable
que designa objetos de una clase determinada. Si el cuantificador cuantifica sobre todos
los objetos de esa clase escribiremos “/\x” (se lee “para todo x ó “todos los x”). Si el
36
cuantificador cuantifica solo sobre alguno o algunos de los objetos de la clase (que es lo
mismo que decir que particularizamos sobre al menos un objeto de la clase, entonces
vamos a escribir “\/ x” (se lee “para algún x”, “hay un x” ó “existe un x tal que”).
Llamaremos variables ligadas a aquéllas variables afectadas por algún
cuantificador (como x en la expresión “/\xPx”); llamaremos variables libres a aquéllas
otras a las que ningún cuantificador alcanza (como y en la expresión “/\xPxy”).
Como nos encontramos ante una lógica de primer orden, la cuantificación sólo
se va a llevar a cabo al nivel de las constantes individuales o designadores por medio de
las variables, en oposición a las lógicas de orden superior, que llevan a cabo una
cuantificación de los predicados. A continuación vamos a señalar los cuatro modelos
básicos de enunciados en la lógica cuantificacional. Si hacemos intervenir la negación
tendremos:
1. Enunciados universales afirmativos
2. Enunciados universales negativos
3. Enunciados particulares afirmativos
4. Enunciados particulares negativos
1. Universal afirmativo: /\xPx (Todos los x son P)
2. Universal negativo: /\x (¬ Px) (Ningún x es P)
3. Particular afirmativo: \/xPx (Algún x es P)
4. Particular negativo: \/x (¬Px) (Algún x no es P)
V. LA VALIDEZ DE LOS ARGUMENTOS: DIAGRAMAS DE VERDAD E INDEPENDENCIA
Un formalismo, como es la lógica de enunciados y como es la lógica de
predicados, es, en principio, un mero juego de signos y de combinaciones de signos
desprovistos de toda significación, como hemos podido comprobar en los apartados
anteriores. Esto es el nivel sintáctico del formalismo. En este nivel, un argumento es
válido (correcto o concluyente) cuando su conclusión es deducible de sus premisas. El
que su conclusión sea deducible de sus premisas se prueba ofreciendo una deducción
mediante la cual inferimos la conclusión de las premisas.
37
Ahora bien, podemos interpretar un formalismo atribuyendo significado a sus
signos. Este es el nivel semántico del formalismo. Un formalismo interpretado se
convierte en un lenguaje formal. Si en sintaxis estudiamos los formalismos con
independencia de toda significación, en semántica serán las interpretaciones el objeto
de estudio.
En lógica proposicional interpretar va a consistir en explicitar todos los valores
de verdad de las fórmulas de un argumento mediante las tablas de verdad de las
conectivas. En lógica de predicados interpretar un formalismo consiste principalmente
en indicar un universo o conjunto no vacío de individuos, al que referirán nuestras
variables, y en asignar a cada constante individual del formalismo un individuo del
universo, y a cada relator del formalismo una relación en el universo.
Pues bien, en este nivel semántico un argumento es válido si su conclusión es
consecuencia de sus premisas; es inválido si su conclusión es independiente de sus
premisas. Probar la invalidez o incorrección de un argumento, a nivel semántico,
consistirá entonces en probar la independencia de la conclusión respecto del conjunto
de premisas. Veamos a continuación las pruebas de invalidez o independencia cuyos
pasos son los mismos para ambas lógicas.
Pruebas de independencia en la lógica de enunciados
Ante cualquier argumento procederemos de la forma siguiente:
1. Interpretamos la conclusión de tal forma que la interpretación no
satisfaga la conclusión, es decir, daremos valores de verdad a la fórmula
con el fin de que se haga falsa.
2. A continuación comprobamos si con esta interpretación se hacen
verdaderas las premisas, o sea, si la interpretación satisface a cada
premisa.
3. Si la conclusión es insatisfacible por la interpretación que satisface al
conjunto de premisas, el argumento es inválido, y por tanto,
independiente la conclusión del conjunto de premisas.
Sea el siguiente argumento:
38
p →(q ∧r)
⊢ p
q ∧ r
Si interpretamos “p” con el valor de verdad “F” la conclusión se hace falsa, o
sea, la interpretación no satisface la fórmula conclusión. Desde esta interpretación,
tendremos que dar valores de verdad a las premisas con el objetivo de hacerlas
verdaderas. Así, si a “q” le damos el valor “V” y a “r” el valor “V” la conjunción de la
fórmula-premisa “q ∧ r” se hace verdadera, y consecuentemente se hace verdadera la
fórmula-premisa “p → (q ∧r)”. Con esta interpretación, que no satisface la fórmula-
conclusión y sí satisface las fórmulas-premisas, el argumento es inválido, es decir, la
conclusión es independiente de las premisas.
La interpretación se puede representar mediante un diagrama de verdad, que es
como sigue:
p → ( q ∧ r) q ∧ r ⊢ p
F V V V V F
Pruebas de independencia en la lógica de predicados
Los pasos para las pruebas de independencia en la lógica de predicados son los
mismos que en la lógica de enunciados. Sin embargo, la interpretación debe ser más
precisa, ya que en las fórmulas aparecerán variables, constantes individuales y
relatores. Se hace necesario, por tanto, una serie de conceptos y sus símbolos
correspondientes.
Designaremos con el símbolo U (universo de discurso) a la clase o conjunto no
vacío de individuos al que referirán las variables. Se utilizan los signos numéricos 0, 1,
2, ... como referentes de los individuos e irán dentro de unas llaves ({ }) que indica el
concepto de clase.
Designaremos con el símbolo I a la interpretación tanto de las constantes
individuales como de los predicados o relatores. Para simbolizar la interpretación de
una constante individual escribiremos I (a) (si es “a” la constante) y utilizaremos los
signos numéricos de nuestro universo de discurso, o sea, I(a)= {1}, por ejemplo, si
asignamos el individuo 1 a la constante individual a. Para simbolizar la interpretación
de un predicado monádico (predica de un solo individuo) escribiremos I(p)= {1} (si “p”
39
es el predicado y 1 el individuo). Si el predicado es diádico (relaciona a dos individuos)
utilizaremos una díada, es decir un par ordenado de los individuos del discurso que se
relacionan. Este símbolo “< >” representa la díada.
Veamos como se realiza una prueba de independencia en lógica de predicados
con el siguiente ejemplo:
Sea el siguiente argumento:
/\x (Hx ∨ Axx)
⊨ Aab
Ha ∧ Hb
Nota: El símbolo “⊨” representa el concepto de consecuencia.
Busquemos una interpretación que no satisfaga la conclusión. Podría ser ésta:
U= {0, 1}
I(a)= 0
I(b)= 1
I(A)= {<0,0>, <1,1>}
I(A) no satisface la fórmula Aab, pues tal interpretación pone en relación a cada
individuo del universo (0,1) consigo mismo, y no a uno con otro (esto último haría
satisfacible la fórmula). Ahora veamos si esta interpretación satisface las premisas, para
lo cual debemos interpretar el predicado “H”. Si I(H)= {0,1}, la interpretación satisface
la segunda premisa; con I(A)= {<0,0>, <1,1>} satisface la premisa primera. Luego la
interpretación queda de la siguiente manera:
U= {0,1}
I(a)= 0
I(b)= 1
I(A)= {<0,0>, <1,1>}
I(H)= {0,1}
Con tal interpretación queda demostrada la independencia de la conclusión
respecto de sus premisas. Por tanto, la conclusión no es una consecuencia del conjunto
de premisas.
40
Hay que tener muy presente tanto los cuantificadores como las variables. Habrá
tantos individuos como variables en las fórmulas o constantes individuales. Si aparecen
generalizadores, habrá que incluir en la interpretación a todos los individuos del
universo del discurso para que satisfaga la fórmula. Si aparecen particularizadores,
podremos incluir al menos uno de los individuos para que quede satisfecha la fórmula.
VI. APÉNDICE: LA LÓGICA COMO SISTEMA FORMAL AXIOMÁTICO
En este apartado vamos a ver a la lógica como un sistema que es formal y
axiomático. Pero antes es conveniente definir que es un axioma, diferenciándolo del
concepto de teorema, y observando la relación que hay entre ambos conceptos.
Los axiomas (en la actualidad) son enunciados primitivos (también, a veces, se
les denomina postulados) aceptados como verdaderos sin probar su validez. Mientras
que los teoremas son enunciados cuya validez se somete a prueba. Axiomas y teoremas
son elementos integrantes de todo sistema deductivo. Normalmente la definición del
concepto de teorema requiere el concurso del concepto de axioma (como el de regla de
inferencia, ya que el teorema se deriva del axioma mediante las reglas de inferencia)
mientras que el concepto de axioma es definido por enumeración.
VI.1. LÓGICA Y LÓGICA MATEMÁTICA
Aquí se establece una diferencia entre las nociones de “lógica” y “lógica
matemática” para evitar confusiones, pues aunque son conceptos afines, delimitan áreas
y campos de estudio muy diferentes e independientes entre sí.
El tema del término lógica es el de la inferencia, estudiado o no con la ayuda de
lenguajes formales, siendo su punto de mira la semántica de las lenguas naturales. El
tema del término lógica matemática es el de las propiedades matemáticas de ciertos
sistemas formales y la teoría de los modelos de tales sistemas. A este campo de estudio
le compete también las conexiones de esos sistemas y modelos con estructuras
algebraicas y topológicas, y la investigación de la o las teorías de conjuntos.
41
Las dos disciplinas distintas parecieron fundirse de alguna manera a finales del
siglo pasado y principios de éste (de la mano de filósofos y lógicos como G. Frege, B.
Russell y Whitehead). Pero en la actualidad la relación es muy clara entre ambas
disciplinas, la lógica utiliza la lógica matemática (la teoría de conjuntos, la teoría de
modelos) como un instrumento auxiliar. Siendo la lógica matemática una parte de la
matemática que poco tiene que ver directamente con la lógica.
VI.2. AXIOMATIZACIÓN Y FORMALIZACIÓN DE LA LÓGICA
El sistema axiomático es, desde los tiempos de la geometría Griega (la
geometría de Euclides), la forma usual de presentarse el lenguaje formalizado. El tipo
de deducción que más frecuentemente se utiliza en la práctica es el natural. La
deducción natural se apoya en una variada serie de reglas de inferencia (que se
aproximan al uso “natural” u ordinario de las partículas lógicas (como en el apartado III
del presente tema se especifican)), para extraer consecuencias derivables de ciertas
hipótesis inicialmente aceptadas sin examen previo por parte del lógico. Todo el interés
del análisis y del control lógico se orientan exclusivamente a la extracción de
conclusiones. El contenido de las hipótesis (que también las podríamos denominar
premisas) es algo “en principio” indiferente desde el punto de vista de la deducción
natural.
En la práctica matemática y lógica a veces interesa someter también a un control
riguroso y estricto las hipótesis iniciales. Este control se efectúa escogiendo, de acuerdo
con un determinado criterio de racionalidad que se convenga en aceptar, unos
enunciados determinados de la teoría de que se trate, a los que se da el nombre de
axioma o postulado, y procurando a partir de entonces no admitir en la teoría en
cuestión otros enunciados que los que se deduzcan de los axiomas por inferencia lógica.
A los enunciados así obtenidos (deducidos) se les llama teoremas.
Tal tipo de deducción constituye el método axiomático. Una teoría axiomatizada
es, una teoría deductivamente ordenada en axiomas y teoremas según reglas de
inferencia. La axiomatización adquiere máximo rigor cuando va acompañada de la
formalización de la teoría (matemática lógica) que se trate de axiomatizar.
La formalización de una teoría es el resultado de llevar la exigencia de claridad
y explicitación del método axiomático a sus últimas consecuencias. No sólo eligen
42
formulan explícitamente los axiomas o puntos de partida de la prueba, sino que además
los medios o reglas admisibles de una prueba son explícitamente indicados, debiendo
consistir una prueba en una aplicación sucesiva y repetida de tales reglas a partir de los
axiomas dados. Con ello se alcanza un concepto plenamente riguroso de prueba.
Axiomas y teoremas se formulan en un lenguaje perfectamente precisado y cada
prueba se descompone en una sucesión de pasos extremadamente simples, cuyo control
se puede realizar de un modo absolutamente fácil y unívoco por medio de las reglas de
inferencia de ese lenguaje, que es un lenguaje formal. En vez de la aplicación
inconsistente de un “sentido común” o una experiencia matemática incontrolable
aparece la aplicación consistente de las reglas perfectamente controlables de la lógica.
La lógica se convierte así en el método u “órganos” de la matemática, con lo que nos
adentramos en el campo de lo que antes se denominó lógica matemática.
VI.3. ELEMENTOS Y PROPIEDADES DE UN SISTEMA FORMAL
AXIOMÁTICO
Todo sistema formal axiomático debe constar de estos cuatro ingredientes:
a) Una tabla de signos primitivos, o alfabeto.
b) Un repertorio de reglas de formación de fórmulas.
c) Una lista de axiomas o postulados, que son las fórmulas primitivas del
sistema.
d) Un repertorio de reglas de inferencia.
Los dos primeros ingredientes componen, por así decirlo, el lenguaje o “léxico”,
y los otros dos la “lógica”. Tanto a, como b y d, los hemos analizado en el apartado
III.d. del tema (con lo que para una mejor ilustración ver dicho apartado). El punto c al
final del capítulo se pondrá un ejemplo con una lista de axiomas de un sistema
axiomático (concretamente la teoría de conjuntos axiomatizada).
Las propiedades que poseen los sistemas formales axiomáticos son las
siguientes:
1. Consistencia: Un sistema es consistente cuando con sus reglas de
inferencia es imposible demostrar a partir de sus axiomas,
43
un teorema y su negación (dentro del sistema).
2. Completud: Un sistema es completo cuando con sus axiomas y sus
reglas de inferencia bastan para demostrar como teoremas
todas las verdades formales referentes a sus nociones
primitivas (verdades constituidas por medio de las reglas
de definición).
3. Decidible: Un sistema es decidible, con decisión efectiva, cuando
para toda fórmula de su lenguaje puede averiguarse, en
un número finito de pasos, si la fórmula es o no es un
teorema del sistema.
4. Independencia de los axiomas:
Un axioma de un sistema axiomático es independiente de
los demás axiomas, cuando no es demostrable como
teorema a partir de ellos.
Existe cierta reciprocidad entre el requisito de consistencia y el de completud.
El requisito de consistencia por respecto a un determinado cálculo (teniendo en cuenta
que cálculo puede ser entendido, según el contexto, como lenguaje, o también como
sistema), supone la exigencia de que toda fórmula deducible en ese cálculo (aquél
sistema) sea lógicamente verdadera. El requisito de completud, por su parte, supone la
exigencia de que toda fórmula lógicamente verdadera expresable en el simbolismo del
cálculo sea deducible en él.
Teniendo estas propiedades de los sistemas formales axiomáticos que
podríamos decir de los distintos cálculos, ¿cómo afectan estas propiedades a los
cálculos lógicos (lógica de enunciados y de predicados)?.
Por lo que se refiere a la lógica de enunciados cumple tanto con el requisito de
consistencia como con el de completud (en rigor, lo que habría que decir es que es
posible, y se ha hecho en múltiples ocasiones, presentar el cálculo de enunciados como
un sistema consistente). Reúne asimismo, el requisito de decibilidad: disponemos de
más de un procedimiento decisorio en este cálculo. Por ejemplo, se posee con el
procedimiento de las tablas de verdad.
Por lo que se refiere al cálculo de predicados de primer orden, podemos decir
también que reúne los requisitos de consistencia y completud toda fórmula derivable en
el cálculo de predicados de primer orden es lógicamente verdadera, y toda fórmula
44
lógicamente verdadera formulable en el lenguaje del cálculo de predicados de primer
orden no es decidible en su conjunto, lo son ciertos estratos como la lógica de
predicados monádicos (o ciertos conjuntos fórmulas), ciertos tipos de expresiones de la
lógica de predicados poliádicos.
VI.4. UN CONJUNTO DE AXIOMAS
El sistema axiomático que se pone como ejemplo es el ideado por Von
Neumann-Bernays-Gödel más el esquema de formación de clases formulado por Quine
(Siguiendo a Jesus Mosterin y, a A. Pérez Fustegueras en el curso 1987-88, cuando
asistimos al curso de Lógica II) (Se va a hablar de las nociones de conjunto, clases,
pertenencia, ... sin entrar en una definición detallada de dichos conceptos). (NBGQ)
desde entonces los axiomas son:
Axioma 1: /\u w ( ////\x (x u ↔↔↔↔ xw)→→→→u= w)
Se lee: Para todo “u” y “w”, si para todo x que pertenece a “u” si y solo si si x
pertenece a “w”, entonces u=w.
Es el axioma de extensionalidad, que intuitivamente dice que dos clases que
tienen los mismos elementos, son iguales, es decir, que son la misma clase. Así aunque
las definamos de distinto modo y asociemos con ellas ideas diferentes, dos clases que
coinciden en sus elementos son una y la misma clase.
Axioma 2: \/y /\x (x y ↔↔↔↔ Cx ∧∧∧∧φ(x))
Se lee: existe un “y” para todo “x” tal que x pertenece a y si y solo si x es un
conjunto y fi de x.
Este es el axioma de formación de clases o de comprehensión. Dice que para
cada fórmula φ(x) existe la clase de todos los conjuntos que satisfacen ν (x) (para cada
fórmula φ (x), en la que y no esté libre).
El segundo axioma es un esquema axiomático que representa un conjunto
infinito de axiomas. En efecto, un axioma es una fórmula, mientras que el axioma 2 no
es una fórmula, sino un esquema que da lugar a tantas fórmulas (y, por tanto, axiomas)
distintas cuantas fórmulas del formalismo escribamos en lugar de φ (x).
45
El axioma 2 garantiza, para cada fórmula φ(x), que existe al menos una clase de
todos los conjuntos que satisfacen (en este formalismo), se prueba que esta clase está
unívocamente determinada, es decir, que sólo existe una y solamente una, por lo cual le
podemos dar un nombre {x, φ (x)} (léase: la clase de los x, tales que φ(x)) o de otra
forma: {x ,φ(x)}= \/y ∧x (x y ↔Cx ∧ φ(x))
Axioma 3: /\xy (Cx ∧∧∧∧ Cy →→→→ C{x,y})
Se lee: Para todo “x” e “y”, si “x” es un conjunto e “y” es un conjunto, entonces la clase
“x” e “y” es un conjunto.
El tercer axioma, llamado axioma del par, nos garantiza que el par formado por
dos conjuntos es a su vez un conjunto.
Axioma 4: /\xy (x====→→→→ \/y (y x ∧∧∧∧x ∩∩∩∩y====))
Se lee: Para todo “y”, si “y” no es una clase vacía, entonces existe “x” tal que
pertenece a “y” y la unión de “x” e “y” es igual a la clase vacía.
El cuarto axioma, llamado axioma de regularidad o de restricción, fue
introducido por Von Neuman. Este axioma dice que cada clase no vacía tiene un
elemento disjunto con ella. (Una clase es disjunta con otra si la intersección de ambas
es la clase vacía, es decir, sino tienen ningún elemento común). Este axioma prohíbe
que una clase sea elemento de sí misma.
Axioma 5: /\x (Cx →→→→ C℧℧℧℧x)
Se lee: Para todo “x”, si “x” es un conjunto, entonces la gran unión es un
conjunto.
El axioma quinto, llamado axioma de la gran unión, nos garantiza que la gran
unión de un conjunto es siempre a su vez un conjunto. De ahí se sigue, entre otras
cosas, que la “pequeña” unión de dos conjuntos es también un conjunto.
Axioma 6: /\f (Fn f ∧∧∧∧ CD1f →→→→ CD2f)
El axioma sexto dice que si el dominio de una función es un conjunto, también
su contradominio es un conjunto. Este axioma es el axioma de reemplazo y, fue
46
introducido por Fraenkel.
Axioma 7: Cϖϖϖϖ
Donde ϖ es la constante individual que designa la clase de todos los números
naturales. El séptimo axioma dice que ϖ es un conjunto, este axioma se conoce con el
nombre de axioma de la infinitud, por que postula la existencia de un conjunto infinito.
Axioma 8: /\y \/f (Fn f ∧∧∧∧ D1f = y ∧∧∧∧ /\x (x y ∧∧∧∧x==== →→→→ f(x) x))
El axioma octavo es conocido como el axioma de elección. Este axioma es
quizás el más conocido axioma de la teoría de conjuntos, fue propuesto por Russell en
1906 y utilizado por Zermelo para probar el teorema del buen orden en 1908.
El principio se formula de la siguiente forma: dada una colección cualquiera de
conjuntos no vacíos y disjuntos entre sí, existe una clase que contiene un elemento (y
solo uno) de cada uno de los conjuntos de la colección. Una formulación equivalente:
para cada clase hay una función que “elige” o selecciona un elemento de cada elemento
no vacío de esa clase.
Axioma 9: /\x (Cx →→→→ CPx)
El noveno axioma, y último, es el llamado axioma de las partes, postula que la
clase de las partes de un conjunto es a su vez un conjunto, fue introducido por Zermelo.
Con los nueve axiomas aquí presentados se puede demostrar bastantes teoremas
(cuya enumeración excede el presente trabajo dedicado a la presentación de la lógica de
enunciados), creando una teoría (una teoría es un tinglado sintáctico, un conjunto de
sentencias, de filas de signos que es susceptible de interpretación, o de interpretaciones)
axiomática de conjuntos lo suficientemente potente como para garantizar el desarrollo
de casi todas las teorías matemáticas conocidas. Todos los conceptos de la teoría
axiomática son definidos a partir de un solo concepto primitivo (el de pertenencia) y
todos los teoremas son probados a partir de los nueve teoremas (existen otros sistemas
axiomáticos y formales, pero son isomórficos entre sí).
47
VII. ACTIVIDADES
VII.1. SIMBOLIZACIÓN
Simbolizar los siguientes enunciados tanto en el simbolismo de la lógica
proposicional, como en lógica de predicados:
1. Hoy llueve y mañana no lucirá el sol.
2. Ni viene Juan, ni comprarás el libro.
3. Si viene Pedro, entonces iremos al cine.
4. Vendrás de vacaciones si y solo si apruebas.
5. O te compras un vestido o te compras el abrigo.
6. Mateo está casado con María pero ama a Luisa.
7. Si apruebas, o te vas de vacaciones o te compras el coche.
8. La limpieza es saludable.
9. El ajedrez ejercita la mente.
10. Si limpias los cristales, entrará más luz.
Limpia los cristales
48
Por lo tanto, entra más luz
11. El no estudiar significa suspender
No estudia
Por lo tanto, suspenderá
12. David está casado y Celia es su mujer
VII.2. TABLAS DE VERDAD
Realizar las correspondientes tablas de verdad para las siguientes fórmulas
(diciendo qué clase de fórmula tenemos después de ver su tabla de verdad).
1. ¬ (p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)
2. ¬ (p → q) ↔(p ∧ ¬q)
3. ¬ (p ↔q) ↔(p ↔¬q)
4. (p ↔ r) → (r → ¬p)
5. p ∧ (q ∨r) ↔ ((p ∧q) ∨ (p ∧r))
6. (p → q) ∧ (p ∧ ¬q)
7. (p ↔ q) ↔[(p ∧ ¬q) ∧(¬p ϖ q)]
8. (p ∧ q) ∨(¬t → p)
9. ¬ (p ∧ t) → (¬r ∧ p)
10. (p ∨ r) →(r ∨¬q)
49
12. (p ∧ r) ∨ (¬p ∨ q)
VII.3. PRUEBAS DE INVALIDEZ
Realiza las pruebas de independencia de los siguientes argumentos:
a) p →q
⊢¬q
¬p
b) p → q
r → q ⊢q
p ∨ r
c) p → (¬q ∧ r)
⊢¬p
q ∧ r
d) p → q
r → s ⊢q ∨ s
p ∨ r
e) /\x (Sx → Mx)
⊨¬Ma
¬Sa
f) (Pa →Pa ∧ Pb) ∨ (Pb →( Pa ∧ Pb))
⊨ (Pa ∨ Pb)→ (Pa ∧ Pb)
VII.4. DEDUCCIONES
Realizar las siguientes deducciones
50
1. Premisa 1ª = p ∧q
⊢ (p ∧ r) ∧ q
Premisa 2ª= q ∧ r
2. Premisa 1ª =p
⊢p ∧ q
Premisa 2ª =q
3. Premisa 1ª = p →q
⊢ t ∧ q
premisa 2ª = p ∧ t
4. Premisa 1ª =p ∧q
⊢q ∧ t
Premisa 2ª = t
5. Premisa 1ª =p ⊢p ∨ t
6. ⊢ (p → (q → p))
7. Premisa 1ª =p →q
⊢ p → t
Premisa 2ª =q →t
8. Premisa 1ª = t ∨ w
⊢ p → t
Premisa 2ª = ¬ w
9. Premisa 1ª=p →q ∨ r
⊢p →r
premisa 2ª = ¬ q
10. Premisa 1ª =q ↔ t
Premisa 2ª =q ↔ p ⊢ p → r
Premisa 3ª =r ↔t
51
CONCEPTOS
Lógica: La lógica es la ciencia que se ocupa de la indiferencia con la
ayuda o no de los lenguajes formales (o artificiales), teniendo su
centro de gravedad en la semántica de las lenguas naturales.
Inferencia: Se entiende por inferencia la extracción de una conclusión
(enunciado), a partir de unas premisas (enunciados), mediante
unas reglas (conocidas como reglas de inferencia).
Argumento: Segmento lingüístico de cierta complejidad, en el cuál a partir de
ciertos subsegmentos iniciales se sigue necesariamente un
subsegmento final.
Enunciado: Toda expresión verbal que posee un sentido completo y del cual
se va a poder decir que es bien verdadero o bien falso.
Deducción: Es el proceso o procedimiento en el que se derivan ciertos
enunciados de otros enunciados de un modo puramente formal
(en virtud de la forma lógica de los mismos).
52
RESOLUCION DE ACTIVIDADES
VII.1. SIMBOLIZACION
ENUNCIADOS PREDICADOS
1. Hoy llueve= p P= llover
Mañana lucirá el sol= q Q= lucir el sol
p∧¬q /\ xy (Px ∧¬Qy)
2. Viene Juan= p Venir= P
Comprarás el libro= q Juan= a
¬p ∧¬q Comprar el libro= Q
¬Pa ∧ /\x ¬Qx
3. Viene Pedro= r Venir= R
Iremos al cine= s Pedro= a
r → s Ir al cine= S
\/x (Ra → Sx)
4. Vendrás de vacaciones= r Venir de vacaciones= R
Apruebas= s Aprobar= S
r ↔ s /\y (Ry ↔Sy)
5. Te compras un vestido= r Comprarse un vestido= R
Te compras un abrigo= t Comprarse un abrigo= T
r ∨ t /\x (Rx ∨ Tx)
6. Mateo está casado con María= p Estar casado= P María= b
Mateo ama a Luisa= q Amor= Q Luisa= c
p ∧ q Mateo= a
Pab ∧ Qac
7. Apruebas= r Aprobar= R
Te vas de vacaciones= s Irse de vacaciones= S
Te compras el coche= t Comprarse el coche= T
r → (s ∨ t) /\x (Rx ∧(Sx →Tx)
53
8. p Pa
9. p Pab
10. Limpiar los cristales= p Limpiar= P
Entrar más luz= q Entrar más= Q
p → q /\xPx → /\yQy
p /\xPx
⊢q ⊢/\yQy
11. El estudiar= r Estudiar= R
Suspender= s Suspender= S
¬r → s \/x (¬Rx → Sx)
¬r /\x ¬Rx
| s ⊢/\x Sx
12. David está casado= p Estar casado= P
Celia es su mujer= q Ser esposa= Q
p ∧q David= a
Celia= b
Pa ∧ Qba
VII.2. TABLAS DE VERDAD
1. ¬ (p ∨∨∨∨ q) ↔↔↔↔(¬p ∧∧∧∧ ¬q)
p q ¬p ¬q (p ∨∨∨∨ q) ¬ (p ∨∨∨∨ q) ¬p ∧∧∧∧¬q ¬()¬()¬()¬()↔↔↔↔()()()()
V V F F V F F V
V F F V V F F V
F V V F V F F V
F F V V F V V V
La fórmula es tautológica
54
2. ¬ (p →→→→ q) ↔↔↔↔ (p ∧∧∧∧ ¬q) p q ¬q p →→→→ q ¬(p →→→→q) p ∧∧∧∧ ¬q
¬ (p →→→→ q) ↔↔↔↔ (p ∧∧∧∧ ¬q)
V V F V F F V
V F V F V V V
F V F V F F V
F F V V F F V
La fórmula es una Tautología
3. ¬ (p ↔↔↔↔ q) ↔↔↔↔ (p ↔↔↔↔ ¬q) p q ¬q p ↔↔↔↔ q ¬(p ↔↔↔↔q) p ↔↔↔↔ ¬q ()()()()↔↔↔↔()()()()
V V F V F F V
V F V F V V V
F V F F V V V
F F V V F F V
La fórmula es una Tautología
4. (p ∧∧∧∧ r) →→→→ (r →→→→ ¬p) p r ¬p p ∧∧∧∧r r→→→→¬p ()()()()→→→→()()()()
V V F V F F
V F F F V V
F V V F V V
F F V F V V
la fórmula es una indeterminación
5. p ∧∧∧∧(q ∨∨∨∨ r) ↔↔↔↔ ((p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧r)) p q r q ∨∨∨∨ r p∧∧∧∧(q ∨∨∨∨r) p ∧∧∧∧ q p ∧∧∧∧ r (p∧∧∧∧q) ∨∨∨∨(p∧∧∧∧r) ()()()()↔↔↔↔()()()()
V V V V V V V V V
V V F V V V F V V
V F V V V F V V V
V F F F F F F F V
F V V V F F F F V
55
F V F V F F F F V
F F V V F F F F V
F F F F F F F F V
La fórmula es una Tautología
6. (p →→→→ q) ∧∧∧∧ (p ∧∧∧∧ ¬q) p q ¬q p →→→→ q p ∧∧∧∧¬q ∧∧∧∧
V V F V F F
V F V F V F
F V F V F F
F F V V F F
La fórmula es una contradicción
7. (p ↔↔↔↔q) ↔↔↔↔[[[[(p ∧∧∧∧¬q) ∨∨∨∨(¬p ∧∧∧∧q)] p q ¬p ¬q p ↔↔↔↔q p ∧∧∧∧ ¬q ¬p ∧∧∧∧ q (p ∧∧∧∧ ¬q) ∨∨∨∨ (¬p ∧∧∧∧q) ↔↔↔↔
V V F F V F F F F
V F F V F V F V F
F V V F F F V V F
F F V V V F F F F
La fórmula es una contradicción
8. (p ∧∧∧∧q) ∨∨∨∨(¬t →→→→p) p q ¬t p ∧∧∧∧ q ¬t →→→→p ∨∨∨∨
V V V V V V
V V F V V V
V F V F V V
V F F F V V
F V V F F F
F V F F V V
F F V F F F
F F F F V V
La fórmula es indeterminada
56
9. ¬ ((p ∧∧∧∧ t) →→→→ (¬r ∧∧∧∧p)) p t ¬r p ∧∧∧∧ t ¬r ∧∧∧∧ p ()()()()→→→→()()()() ¬(( ))
V V V V V V F
V V F V F F V
V F V F V V F
V F F F F V F
F V V F F V F
F V F F F V F
F F V F F V F
F F F F F V F
La fórmula es indeterminada
10. (p ∨∨∨∨ r) →→→→(r ∨∨∨∨¬q) p r ¬q p ∨∨∨∨ r r ∨∨∨∨ ¬q (p ∨∨∨∨ r) →→→→(r ∨∨∨∨¬q)
V V V V V V
V V F V V V
V F V V V V
V F F V F F
F V V V V V
F V F V V V
F F V F V V
F F F F F V
La fórmula es indeterminada
11. ¬ ((p ∧∧∧∧r) ∨∨∨∨(r →→→→¬q)) p r ¬q p ∧∧∧∧r r →→→→ ¬q ∨∨∨∨ ¬
V V V V V V F
V V F V F V F
V F V F V V F
V F F F V V F
57
F V V F V V F
F V F F F F V
F F V F V V F
F F F F V V F
La fórmula es una indeterminación
12. (p ∧∧∧∧ r) ∨∨∨∨ (¬p ∨∨∨∨q) p r q ¬p p ∧∧∧∧ r ¬p ∨∨∨∨ q ()()()()∨∨∨∨()()()()
V V V F V V V
V V F F V F V
V F V F F V V
V F F F F F F
F V V V F V V
F V F V F V V
F F V V F V V
F F F V F V F
La fórmula es una indeterminación
VII. 3. PRUEBAS DE INVALIDEZ
a) p →→→→ q
⊢⊢⊢⊢¬q
¬p
p →q ¬p ⊢¬q
│ │ │ │
F F F V
│ │
V V F
58
b) p →→→→ q
r →→→→ q ⊢⊢⊢⊢q
p ∨∨∨∨ r
p → q r →q p ∨r ⊢q
│ │ │ │ │ │ │
F F F F F F F
V V F
No hay independencia. Argumento válido
c) p →→→→ (¬q ∧∧∧∧ r)
⊢⊢⊢⊢¬p q ∧∧∧∧r
p →(¬q ∧ r) q ∧ r ⊢¬p
│ │ │ │ │ │
F F V V V V
│
F V F
V
d) p →→→→ q
r →→→→s ⊢⊢⊢⊢q ∨∨∨∨ s
p ∨∨∨∨ r
p → q r →s p ∨ r ⊢q ∨ s
│ │ │ │ │ │ │ │
F F F F F F F F
V V F F
No hay independencia. Argumento válido
e) ϖϖϖϖx (Sx →→→→Mx)
59
⊨⊨⊨⊨¬Ma
¬Sa
U= {0, 1}
I (a)= 0
I (S)= {1}
I (M)= {1}
f) (Pa →→→→ Pa ∧∧∧∧Pb) ∨∨∨∨ (Pb →→→→Pa ∧∧∧∧ Pb)
⊨⊨⊨⊨ Pa ∨∨∨∨Pb →→→→Pa ∧∧∧∧Pb
U= {0, 1}
I (a)= 1
I (b)= 0
I (P)= {0}
VII. 4. DEDUCCIONES
1. Premisa 1ª ≡≡≡≡p ∧∧∧∧ q
⊢⊢⊢⊢ (p ∧∧∧∧ r) ∧∧∧∧q
Premisa 2ª ≡≡≡≡q ∧∧∧∧r
1. p ∧ q premisa 1ª
2. q ∧ r premisa 2ª
3. ¿ (p ∧ r) ∧ q
4. q E.C. 1ª
5. p E.C. 1ª
6. r E.C. 2ª
7. p∧r I.C. 5ª,6ª
8. (p ∧r)∧q I.C. 7ª,4ª
q.e.d.
60
2. Premisa 1ª≡≡≡≡p
⊢⊢⊢⊢p ∧∧∧∧ q
Premisa 2ª ≡≡≡≡ q
1. p Premisa 1ª
2. q Premisa 2ª
3. ?p ∧ q
4. p ∧q I.C. 1ª, 2ª
q.e.d.
3. Premisa 1ª≡≡≡≡ p →→→→ q
⊢⊢⊢⊢t ∧∧∧∧ q
premisa 2ª ≡≡≡≡p ∧∧∧∧t
1. p →q Premisa 1ª
2. p ∧ t Premisa 2ª
3. ? t ∧q
4. t E.C. 2ª
5. p E.C. 2ª
6. q M.P. 1ª, 5ª
7. t ∧q I.C. 4ª, 6ª
q.e.d.
4. Premisa 1ª ≡≡≡≡p ∧∧∧∧ q
⊢⊢⊢⊢ q ∧∧∧∧ t
Premisa 2ª ≡≡≡≡ t
1. p ∧q Premisa 1ª
2. t Premisa 2ª
3. ?q ∧ t
4. q E.C. 1ª
5. q ∧ t I.C. 4ª, 2ª
q.e.d.
5. Premisa 1ª≡≡≡≡p ⊢⊢⊢⊢p ∨∨∨∨ t
1. p Premisa 1ª
2. ? p ∨ t
3. p ∨ t I.D. 1ª
q.e.d.
61
6. ⊢⊢⊢⊢ p →→→→((((q →→→→p)
1. ? p→p →(q → p)
2. p
3. ? q →p
4. q
5. p R. 2ª
q.e.d.
7. Premisa 1ª ≡≡≡≡ p →→→→q
⊢⊢⊢⊢p ���� t Premisa 2ª ≡≡≡≡ q →→→→t
1. p →q Premisa 1ª
2. q → t Premisa 2ª
3. ? p →t
4. p
5. q M.P. 1ª, 4ª
6. t M.P. 2ª, 5ª
q.e.d.
8. Premisa 1ª ≡≡≡≡ t ∨∨∨∨ w
⊢⊢⊢⊢ p →→→→ t
Premisa 2ª ≡≡≡≡ ¬ w
1. t ∨w Premisa 1ª
2. ¬ w Premisa 2ª
3. ? p →t
4. p
5. t E.D. 1ª, 2ª
q.e.d.
9. Premisa 1ª ≡≡≡≡ p →→→→((((q ∨∨∨∨r)
Premisa 2ª ≡≡≡≡ ¬ q ⊢⊢⊢⊢p →→→→r
1. p →(q ∨r) Premisa 1ª
2. ¬ q Premisa 2ª
3. ? p →r
4. p
5. q ∨ r M.P. 1ª, 4ª
6. r E.D. 5ª, 2ª
q.e.d.
62
10. Premisa 1ª≡≡≡≡q ↔↔↔↔t
Premisa 2ª≡≡≡≡q↔↔↔↔p ⊢⊢⊢⊢p →→→→ r
Premisa 3ª ≡≡≡≡r ↔↔↔↔t
1. q ↔ t Premisa 1ª
2. q ↔p Premisa 2ª
3. r ↔ t Premisa 3ª
4. ? ⊢ p →r
5. p
6. p →q E.B. 2ª
7. q M.P. 6ª, 5ª
8. q → t E.B. 1ª
9. t M.P. 8ª, 7ª
10. q → t E.B. 3ª
11. r M.P. 10ª, 9ª
q.e.d.
63
BIBLIOGRAFÍA
* Susanne K. Langer. “Introducción a la lógica simbólica”. Editorial Siglo
Veintiuno S.A. México. 1969.
* Manuel Garrido. “Lógica Simbólica”. Ed. Tecnos, Madrid, 1983.
* Daniel Quesada. “La lógica y su Filosofía”. Ed. Barcanova. Barcelona, 1985.
* Jesús Mosterin. “Lógica de primer orden”. Ed. Ariel, Barcelona, 1983.
* Jesús Mosterin. “Teoría axiomática de conjuntos”. Ed. Ariel. Barcelona, 1980.
* Alfredo Deaño. “Introducción a la lógica formal”. Ed. Alianza Universal.
Madrid, 1986.
* Juan José Acero, Eduardo Bustos, Daniel Quesada. “Introducción a la filosofía
del lenguaje”. Ed. Cátedra. Madrid, 1985.
* Alfred Tarski. “Introducción a la lógica”. Ed. Espasa-Calpe, S.A. Madrid, 1977.
* J. Lukasiewicz. “Para una historia de la lógica de enunciados”. Ed. Cuadernos
Teorema. Valencia, 1975.
64
I N D I C E
LÓGICA PROPOSICIONAL
I. Lenguaje natural y lenguaje formal 5
II. Lógica de Primer Orden.: proposicional y de predicados 8
III. Lógica proposicional 11
IV. Lógica de predicados 34
V. La validez de los argumentos: diagramas de verdad e independencia 36
VI. Apéndice: la lógica como sistema formal axiomático 40
VII. Actividades 47
Conceptos 51
Resolución de actividades 52
Bibliografía 63