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SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO DACI-EPN

Caso de estudio: LGR Página 1

CASOS DE ESTUDIO

LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN:

Sea el siguiente sistema:

)3)(1()(

++=

ss

KsHG

1.- Encontrar el del LGR en el eje real:

0→k

2.- Hallar las asíntotas:

-1-3

jw

σ-2

3.- Encontrar los puntos de ruptura:

034)(

)3)(1(1)(1

2 =+++=++

+=+

KsssP

ss

KsHG

0)42(

)34( 2

=+−=

++−=

sds

dK

ssK

Recordar: Por definición existen 2

ramas, y los LGR empiezan en los

polos

mn

CEROSPOLOSA −

−= ∑∑σ

22

13 −=−−=Aσ1,,2,1,0)12(

180 −−=→+−

°= mnkkmn

Lβº90º270)112(

2

180

º90)102(2

180

1

1

−==+°=

=+°=

x

x

β

β



Por lo tanto el punto de ruptura es 2−=Bσ

4.- Hallar Kc si existe mediante el criterio de Routh – Hurwitz

Ks

s

Ks

+−+

3

4

31

0

1

2

Se obtiene el siguiente LGR

0→k

∞→k

SISTEMA DE TERCER ORDEN

Sea el sistema

)3)(1( ++=

sss

KGH


0→k


Si 3+K>0, entonces

K>-3

Como K es un valor positivo

siempre se cumple la condición

de estabilidad, y no existe cruce

con el eje imaginario

Los polos dominantes en

lazo cerrado se ubican de

acuerdo al valor de K, por

ejemplo si K=17 los polos se

encuentran en s=-2±4j

Recordar: Por definición existen 3

ramas, y los LGR empiezan en los

polos

333.13

130 −=−−=Aσ1,,2,1,0)12(

180 −−=→+−

°= mnkkmn

Lβ

º60º240)132(3

180

º180)112(3

180

º60)102(3

180

3

2

1

−==+°=

=+°=

=+°=

x

x

x

β

β

β




034)(

)3)(1(1)(1

23 =+++=++

+=+

KssssP

sss

KsHG

0)383(

)34(

2

23

=++−=

++−=

ssds

dK

sssK

Las raíces son:

s = -2.2153 para K= -2.1126

y s= -0.4514 para K= 0.6311

Por lo tanto el punto de ruptura es 4514.0−=Bσ


Ks

Ks

Ks

s

0

1

2

3

4

124

31

−−

5.- Corte con el eje imaginario

04 2 =+ Kcs

0124 2 =+s

Si 4

12 K− >0, entonces K<12 y K>0, entonces

0<K<12, siendo Kc=12

El punto de ruptura debe

encontrarse dentro del LGR del

eje real y debe pertenecer a un

valor de K>0

Se basa en la línea de s2 del

arreglo de Routh



s=±1.7321j

Siendo el LGR el siguiente:

-1-3

jw

σ-1.33 -0.4512

σB

1.73j

-1.73j

0→k

∞→

k

K=17

SISTEMA DE TERCER ORDEN CON POLOS IMAGINARIOS

Sea el siguiente sistema:

)22)(3(

)2()(

2 ++++=

sss

sKsHG





-2-3

jw

σ-1

j

-j

-1.5

σA β1


026)8(5)(

)22)(3(

)2(1)(1

23

2

=+++++=+++

++=+

KKssssP

sss

sKsHG

0))2(

1020112(

0))2(

)685()8103)(2((

))2(

685(

2

23

2

232

23

=+

+++−=

=+

+++−+++−=

++++−=

s

sss

ds

dK

s

ssssss

ds

dK

s

sssK

Las raíces son:

s= -2.3487 + 0.8447j

s= -2.3487 - 0.8447j

s= -0.8026


Ks

Ks

Ks

Ks

+

−+++

65

43465

81

0

1

2

3

5.12

2113 −=+−−−=Aσ

º90º270)112(2

180

º90)102(2

180

2

1

−==+°=

=+°=

x

x

β

β

Si los polos o ceros son

complejos se utiliza la parte real

para hallar las asíntotas

Nótese que no existe punto de

ruptura, pues ninguna de las

raíces corresponde a un LRG del

eje real

Como K es un valor positivo

siempre se cumple la condición

de estabilidad, y no existe cruce

con el eje imaginario



5.- Determinación de ángulos de partida


-2-3

jw

σ-1

j

-j

-1.5

σA

108.44º

-108.44º

Si 5

434 K+ >0 y K+6>0,

entonces K>-17/2 y K>-6, por lo tanto K>-6

∑

∑+

−=

ceros los desde complejo polo el hacia vectoresde ángulos

polos otros desde complejo polo el hacia vectoresde ángulos180pα

º45º56.26º90º180 +−−=pα

º44.108=pα



La Dra. Eleanor Arroway está a punto de hacer el descubrimiento más grande en la historia de

la humanidad usando el “Very Large Array” del “National Radio Astronomy Observatory”, un

radio telescopio formado por un arreglo de 27 antenas ubicadas en Nuevo México.

Tú formas parte del equipo de la Dra. Arroway. Eres la(el) ingeniera(o) de control en el NRAO.

Un buen día, haciendo una revisión rutinaria del arreglo descubres que la antena número 16

tiene problemas para apuntar en la dirección indicada. Tu misión será rediseñar el sistema de

control de esa antena para garantizar su correcto funcionamiento.

Después de buscar en la documentación técnica descubres el diagrama de bloques que

describe el funcionamiento dinámico de la antena.

donde: Kp = 0.25, Kg =1/36, Km =1.5, am =1.2, K1 =150 , a = 8.

En este caso se va a realizar el análisis tanto de la respuesta transitoria como del lugar

geométrico, y se encontrarán la relación entre ambos.

Primero se obtiene la función de transferencia del sistema:



)8(

150

+s )2.1(5.1

+s s

1

)8)(2.1(

5625.1

++ sss

K

El análisis del sistema empieza con el LRG:

Los puntos más importantes del LGR se describen a continuación

Analizando el punto de ruptura

05625.16.98.9)(

)8)(2.1(

5625.11)(1

23 =+++=++

+=+

KssssP

sss

KsHG

0)144.6544.1292.1(

5625.1

)6.98.9(

2

23

=++−=

++−=

ssds

dK

sssK

Las raíces son:

s= -6.0000 K=- 49.6080

s=-0.5333 K=-1.5984

Por lo tanto el punto de ruptura es 5333.0−=Bσ


Ks

Ks

Ks

s

5625.18.9

5625.108.945625.18.9

6.91

0

1

2

3

−−

º60º240)132(3

180

º180)112(3

180

º60)102(3

180

3

2

1

−==+°=

=+°=

=+°=

x

x

x

β

β

β

067.33

2.180 −=−−=Aσ

Si 8.9

5625.108.94 K− >0, entonces K<60.21 y

1.5625K>0, entonces

0<K<60.21, siendo Kc=60.21

El punto de ruptura debe

encontrarse dentro del LGR del

eje real y debe pertenecer a un

valor de K>0



5.- Corte con el eje imaginario

05625.18.9 2 =+ Kcs

008.948.9 2 =+s

s=±3.0984j


Los polos dominantes se localizan dependiendo del valor que se le de a la constante K

)8)(2.1(

5625.1

++ sss

K

Así si K =1, se tiene polos reales y la salida es estable y al ser u sistema de tipo 1, el error de

posición es cero.

Se basa en la línea de s2 del

arreglo de Routh



Conforme K va aumentando, se tiene polos completos, si K=11.7; por lo que se presenta

máximo sobre pico.

Cuando K toma el valor de Kc (ganancia crítica), el sistema se vuelve marginalmente estable

por lo se obtiene la siguiente respuesta:



Finalmente, cuando K supera el valor de Kc (ganancia crítica), los polos dominantes se ubican

en el semiplano derecho, por lo que el sistema es inestable; esto se observa en la gráfica como

una magnitud creciente en el tiempo frente a una entrada paso.

Observe que el sistema al ser de tipo 1 posee error de velocidad:



ANÁLISIS DE SISTEMAS DE PRIMER ORDEN:

Red RC:

La función de transferencia en lazo cerrado es:

1

1

+=

RCsG ,

Procedamos a analizar este sistema:

En este caso lo que se conoce como constante de tiempo τ es igual a RC, y dependerá de estos

valores para determinar cuan rápido es el sistema:

El tiempo de establecimiento se establece a 4τ es decir a cuatro veces el producto de RC.

Si R=10KΩ y C=10uF, la función de transferencia es:

11.0

1

+=

sG o

10

10

+=

sG ,

Es decir el tiempo de es de 0.4 segundos. Y a los 0.1 segundos la respuesta a alcanzado el

63.2% de su valor final.

Analizando en estado estable, frente a una entrada paso se tiene lo siguiente:

Analizando el sistema se sabe que este es de tipo 1, por lo tanto el error ante una entrada

paso es 0 %

La función de transferencia de

este sistema esta dado por:

RCsG

1=

pp K

E+

=1

1 GHLimK sp 0→=



Que sucede ante una entrada tipo rampa:

Kv=1/τ; por lo tanto el Ev= τ=0.1=10%

sGHLimK sv 0→=v

v KE

1=



LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

NOTA: Para simular la respuesta a una entrada tipo rampa primero define una variable

integ con el siguiente comando de MATLAB:

integ = tf(1,[1 0])

Luego, si tu función de transferencia de lazo cerrado se llama M entonces ejecuta el siguiente

comando de MATLAB:

step(integ*M)

lgr

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