lib romer ma

ii

© Fisica I – Mecánica Marco A. Merma Jara Sobre el Autor Marco A. Merma Jara, es formado en Física, por la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, UNMSM, en Lima, Perú. Actualmente es docente de la Facultad de Ciencias Físicas de la UNMSM, se dedica a la enseñanza universitaria de la física desde 1999, para estudiantes de ciencias e ingenierías. Esta versión digital es de libre uso, para estudiantes de ciencias e ingenierías. Lima Perú 2012

iii

Prefacio Los fenómenos de la naturaleza, desde siempre han causado el interés y la

necesidad de comprenderlos por el hombre, desde que esta presente en la tierra ha

buscado la forma de entenderlos y para ello ha creado técnicas y loas ha mejorado cada

vez más y más.

La observación del medio y la percepción a través de los sentidos ha llevado a

desarrollar posteriormente disciplinas como la astronomía y es a partir de allí, de la

percepción del movimiento, en la necesidad de interpretar como acontece , como se

desarrolla logra cuantificar esa realizada concreta que cada día observaba.

Así nace la mecánica como una disciplina para estudiar el movimiento de los

cuerpos, este estudio se lleva acabo desde varios puntos de vista, primero considerando

solamente el movimiento como tal, atendiendo a su trayectoria, luego se estudia el

movimiento atendiendo a la causa y los efectos que se producen y para ellos la

mecánica se ha clasificado convenientemente para abarcar lo necesario y suficiente para

entender el como y porque del movimiento mecánico.

Lima, Agosto del 2012

Marco A. Merma Jara [email protected]

iv

Contenido

Pág. Carátula .................................................................................. i

Prefacio ................................................................................... iii

Capitulo 1 Física y Mediciones ................................................................ 1-7

Capítulo 2 Vectores .................................................................................. 1-12

Capítulo 3 Cinemática .............................................................................. 1-22

Capítulo 4 Estática ................................................................................... 1-13

Capítulo 5 Dinámica ................................................................................. 1-21

Capítulo 6 Trabajo y Energía .................................................................. 1-12

Capítulo 7 Impulso y Momento Lineal ................................................... 1-10

Capítulo 8 Movimiento de Cuerpos Rígidos .......................................... 1-15

Capítulo 9 Gravitación ............................................................................. 1-9

Apéndices

Notas de Aula - 1 - Marco A. Merma Jara

Capítulo 1

Física y Mediciones 1. Introducción

La física es una ciencia exacta que trata sobre la naturaleza de las cosas, para ello la

física utiliza el método científico. La física así como la ciencias esta dentro del

paradigma del positivismo científico

El positivismo es una corriente o escuela filosófica que afirma que el único

conocimiento auténtico es el conocimiento científico, y que tal conocimiento solamente

puede surgir de la afirmación de las teorías a través del método científico.

2. El Objetivo de la Física

El objetivo de la física es la de explicar la naturaleza de las física hacienda uso del

método científico

3. Método Científico

El método científico fue enunciado por primera vez por Francis Bacon. Los pasos

sintetizados del método científico, para encontrar la solución a los objetivos que busca

ae pueden sintetizar en tres pasos

4. Física y Otras Disciplinas Científicas

La física con la biología da origen a la biofísica, física y geología resulta la disciplina

de la geofísica

Física y Sociedad

La física como disciplina científica tiene una gran responsabilidad frente a la sociedad,

desde que

Física y Tecnología

Los avances de la tecnología tiene que ver directamente con el desarrollo de la física.

Observación Experimentación Ley Física

Física y Mediciones FISICA I Marco A. Merma Jara

Notas de Aula - 2 - http://mjfisica.blogspot.com

Clasificación de la Física

La física a través de la historia de la ciencias se ha ido clasificando de acuerdo al

desarrollo de las disciplinas

• Mecánica • Ondas • Acústica • Termodinámica • Electricidad y Magnetismo • Óptica • Física Nuclear • Física Moderna: física relativista, física cuantica

5. Sistema de Unidades

Sistema Internacional de Unidades

En al década de los 60s la comunidad científica se reúnen y acuerdan uniformizar las

unidades de medida y conviene crear el sistema internacional de unidades.

Este sistema es arbitrario y lo adoptan las comunidades, países, regiones, naciones que

deseen hacer uso de ella.

Magnitudes Fundamentales en el Sistema Internacional de Unidades

Las magnitudes fundamentales del sistema internacional de unidades son siete y dos

magnitudes complementarias.

Tabla 1. Sistema Internacional de Unidades

Magnitud Unidad Símbolo

Longitud Metro m

Masa Kilogramo Kg

Tiempo Segundo s

Cantidad de materia Mol mol

Temperatura absoluta Kelvin K Intensidad luminosa Candela cd

Intensidad de corriente eléctrica Ampere A

Magnitudes Complementarias en el sistema Internacional de Unidades

Para el sistema internacional de unidades las magnitudes complementarias se muestran

en la tabla 2

Tabla 2. magnitudes Complementarias SI

Magnitud Unidad Símbolo Angulo plano Radian rad Angulo sólido Estereorradián srad

Marco A. Merma Jara FISICA I Física y Mediciones

http://mjfisica.blogspot.com - 3 - Notas de Aula

Sistema Ingles de Unidades

Tabla 3. Sistema Ingles de Unidades

Magnitud Unidad Símbolo Longitud Pies ft Fuerza Libra lb tiempo Segundo s

Nota

El símbolo de la unidad de longitud es en el sistema ingles, sin embargo en este texto

utilizaremos la versión traducida al español piesfeetft ==

Factor de Conversión

Para realizar las conversiones de unidades entre sistemas diferentes usamos el factor de

conversión, un método sencillo y fácil de utiliza, es necesario conocer las equivalencias

entre las magnitudes de los sistemas en los cuales se des hacer la conversión.

Longitud Masa 1 pie = 12 pulg 1Kg = 1000g 1 pulg = 2,54 cm 1 yarda = ¿??? Cm 1 milla = 1609 m

6. Mediciones

Medir es compara dos magnitudes, una desconocida y otra conocida y tomando como

referencia, como patrón.

Cifras Significativas

El valor numérico que se obtiene en las mediciones directas es leído muchas veces en

un instrumento analógico en el que aparecen una o varias escalas.

Al expresar la lectura solo se debe reportar aquellas cifras que pueden leerse

directamente en la escala respectiva del instrumento.

Cada uno de los dígitos que se obtiene de la medición se denominan cifras

significativas, estas están integradas por aquellas cifras de las que se esta seguro

Cifra estimada



Si es que un extremo de una longitud por ejemplo, de un objeto medido queda entre dos

divisiones y la distancia entre ambas es lo suficientemente amplia para que el operador

la pueda apreciar.

Mediciones y Errores

Error en la Medición

Cuando se realiza una medición en el laboratorio, las mediciones están afectadas por

fluctuaciones que llevan a obtener registros que pueden diferir uno del otro aun si se

realiza una misma medición para un mismo objeto por ejemplo longitud.

Nota.

El error se refiere en el sentido estadístico. Por otro lado algunos autores o comunidades

de científicos prefieren usar la denominación de incertidumbre en ves de error.

Mediciones directas

Son aquellas que se obtiene mediante el uso de instrumentos de medida creados para tal

fin

Ejemplo 1

En un experimento utilizando una regla graduada en mm se mide la longitud del

diámetro de una placa circular y se obtienen los datos mostrados en la tabla 4

Tabla 4 Medida (mm) Diámetro 2.34

Mediciones indirectas

Son aquellas que se obtiene a partir de mediciones directas haciendo usgo de formulas

matemáticas.

Ejemplo 2

De la tabla 4 el área de la placa circular a partir de la fórmula 2)4/( DA π=

Propagación de los errores en las mediciones

Si la magnitud z viene determinada por la medida de varias magnitudes ,,, rqp ... con

la que está ligada por una función ...),,( rqpfz = . Entonces el error de la magnitud z

viene dado por la siguiente expresión.



...r

f

q

f

p

frqpz +��

��

� >∂∂<+��

�

��

�>

∂∂<+��

�

��

�>

∂∂<=

222

σσσσ

Los casos más frecuentes se presentan en la suma, resta, multiplicación y división.

Error en la Suma

22yxzyxz σσσ +=+=

Error en la Resta

22yxzyxz σσσ +=−=

Error en el Producto

22

��

��

�+�

�

��

�==yxz

xyz yxzσσσ

Error en la División

22

��

��

�+�

�

��

�==yxzy

xz yxz

σσσ

Error en la potencia

2

22

2

��

��

�+�

�

��

�==y

mx

nz

yxz yzzmn σσσ

7. Análisis Dimensional

Dimensiones de la longitud

Tabla 5 Magnitud Dimensión longitud L Masa M Tiempo T

Principio de homogeneidad

Este principio establece que las operaciones entre magnitudes se deben llevar a cabo

entre sus iguales, es decir si se suma longitudes lo que se adiciona debe ser de la misma

naturaleza

Suma

LLLLL =++++ ,,.....



Producto

nTTTT =))....((

Donde n es el numero de veces que se esta presente la magnitud T

División

1−= LTT

L

Es aplicable la regla algebraica de las potencias.

Cantidades Adimensionales

Las constantes, números, funciones trascendentales, logaritmos, funciones

trigonométricas son adimensionales

Ejemplo

La funcion trigonométrica seno de un ángulo y el valor del logaritmo de un nuecero

real, ambos al aplicarse a magnitudes físicas son adimensionales

1)]30([ =osen

1][log =x

Ejemplo

La magnitud de la velocidad angular se expresa en rad/s, si la magnitud es

srad /20=ω esto es equivalente a escribir )/1(20 s=ω , ya que la dimensión del

radian es la unidad.

8. Ejercicios

1. Si el valor de la velocidad de un móvil es de 40 km/h expresar esta rapidez en el sistema inglés de unidades.

2. Si la medida del largo L y ancho D de una placa rectangular fueron realizados utilizando un instrumento de precisión, determinar el área de la placa correctamente expresada.

3. Las medida directa del largo de un cuaderno fue de 17.20 cm., entonces determine el error de la medición y diga entre que valores fluctúa el valor de la medición?

9. Problemas Propuestos

1. Si la medida para el diámetro de una moneda se obtuvo 2.8 cm. (a) Determine el error en la medición, (b) establecer entre que valores se encuentra el valor verdadero del diámetro de la moneda, (c) encuentre el valor del área de la cara de la moneda y expresarlo correctamente.



2. Una regla graduada en milímetros es empleada para medir el largo de un lápiz. Si el valor obtenido es de 12.4 cm. a) ¿Cuánto vale la incertidumbre absoluta en la medición? b) ¿Cuánto vale la incertidumbre relativa?

3. ¿Cuál es la distancia más pequeña que puede ser medida por una regla de 30 cm graduada en milímetros para que la incertidumbre porcentual sea igual al uno por ciento?

4. En un experimento para medir la aceleración de la gravedad se empleó un péndulo. Si el período se midió con una incertidumbre porcentual del 3% y la longitud del péndulo con un 4%. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual del valor medido de g?

10. Referencias

1. Física Universitaria, Vol 1, Sears, Zemansky, Young, Freedman, Pearson, México, 1999

2. Introducción a la Metodología Experimental, 2da edición, Gutierrez Aranceta, Limusa, México 1999

Marco A. Merma Jara - 1 - Notas de Aulas

CCaappííttuulloo 22

VVeeccttoorreess

1. Introducción

Un vector es un elemento de las matemáticas que se caracteriza porque tiene propieda-

des fundamentales, magnitud, dirección y sentido. Un vector se puede representar en

forma geométrica o analítica..

En física los vectores son asociados a magnitudes que requieren de sus propiedades, así

la velocidad, aceleración, fuerza, impulso, momento lineal, etc., son magnitudes físicas

que están asociados con vectores.

2. Representación de un vector

Un vector se puede representar mediante coordenadas en el espacio o también en forma

geométrica, los vectores son muy útiles en física porque tienen propiedades que repre-

sentan perfectamente una magnitud física.

2.1.Representación Analítica

Si tenemos un sistema de coordenadas cartesianas con origen en O, y P es un punto de

coordenadas. Un vector esta representado por las coordenadas ( 0, 0, 0)x y z− − − donde

(0,0,0)son las coordenadas del origen..

También este vector se puede escribir por

Fig. 2.1 Representación analítica

( , , ) (0,0,0)OP P O x y z= − = −��

(2.1)

Marco A. Merma Jara FISICA I Vectores

http://mjfisica.blogspot.com - 2 - Marco A. Merma Jara

Se representa por medio de una terna de puntos asociado a un sistema de coordenadas

cartesianas.

2.2.Representación Geométrica

Se representa por medio de un segmento de recta orientado y usualmente se le asocia

una letra para identificarlo, la letra asignada esta adornado con una flecha en la parte

superior, A�

y se lee vector A, como se ilustra en la figura 1.1

Fig. 2.2. Representación geométrica de un vector

El tamaño del segmento de recta esta asociado con la magnitud del vector, esta relacionado en

forma proporcional, es decir si el segmento es grande la magnitud lo es y si es pequeña también

la magnitud física lo es.

La magnitud del vector se representa por medio de la letra solamente, así A es la magnitud del

vector

3. Módulo de un vector

Si x y zA=(A ,A ,A )�

es un vector en el espacio, el módulo del vector se determina por la siguien-

te relación

2 2 2x y zA= A +A +A (2.2)

4. Vectores unitarios

Se denominan así a aquellos vectores cuya magnitud es siempre la unidad. Se acostum-

bra a representar letras acompañadas de un símbolo como cabeza (circunflejo) por

ejemplo wvu ˆ,ˆ,ˆ , etc.

Si x y zA=(A ,A ,A )�

es un vector, el vector unitario se define de la siguiente forma

A

ˆAAu =�

(2.3)

Aquí la magnitud es A Aˆu = u 1= , es siempre la unidad.

Vectores FISICA I Marco A. Merma Jara

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Observaciones

- EL vector unitario da la dirección del segmento de reta orientado.

- Siempre esta en la misma dirección del vector que lo contiene

- Un vector unitario sirve para dar dirección

Consecuencia

Todo vector se puede expresar en función de su vector unitario, y su magnitud así

AˆA = A u�

(2.4)

4.1.Vectores unitarios cartesianos

Si consideramos un sistema cartesiano como el que se ilustra en la figura 2.3, se asocian

en las direcciones de los ejes , ,x y z los vectores unitarios cartesiano ˆˆ ˆi,j,k respectiva-

mente.

Fig. 2.3 Vectores unitarios cartesiano i,j,k

5. Componente de un vector

Consideremos un vector en dos dimensiones, como se ilustra en la figura 2.3. Las com-

ponentes de un vector se obtienen haciendo una proyección del vector sobre los ejes x e

y así la componente de un vector siempre será un número y representa una longitud de

un segmento proyectado por el vector.

Fig. 2.4. Componentes de un vector



xA es la componente del vector A en el eje x

yA es la componente del vector A en el eje y

xA A cos�= (2.5)

yA Asen�= (2.6)

6. Vectores Componentes

Para obtener los vectores componentes, es necesario orientar a las componentes del vec-

tor así, si las componentes del vector A son xA y yA los vectores componentes serán,

xA�

, yA�

, en la figura 1.4 se ilustran los vectores componentes.

xˆA Acos� i=

� (2.7)

yˆA Acos� j=

� (2.8)

Fig. 2.5. Vectores componentes

7. Dirección de un Vector

La dirección de un vector en dos dimensiones, esta dado por el ángulo de inclinación

respecto del eje x+ , así en la figura 2.5 la función trigonométrica tangente dada por la

razón de las componentes en la vertical y la componente en la horizontal, permite el

cálculo del ángulo que determina la dirección del vector. y

x

Atg� =

A

Fig. 2.6. Dirección de un vector



y

x

A� = arc tg

A

� ��

(2.9)

8. Expresión Cartesiana de un Vector

Un vector se puede representar en términos de los vectores unitarios cartesianos y las

componentes, entonces

x yA = A A+� � �

ˆ ˆA=Acos� i + Asen� j�

(2.10)

En general en tres dimensiones la expresión cartesiana esta dado por

x y zA = A A A+ +� � � �

9. Cosenos Directores

En tres dimensiones para dar la dirección de un vector se hace con respecto a los tres

ejes coordenados, es decir hay tres direcciones, este conjunto de direcciones está dado

por los cosenos directores.

Si x y zA = (A , A , A )�

Fig.2.7. Cosenos directores

Las componentes del vector A sobre cada uno de los ejes es

y

z

x

A =Acos

A =Acos

A =Acos�

βγ (2.11)



De aquí los cosemos directores so

cos xA

Aα = , cos yA

Aβ = , cos zA

Aγ = (2.12)

Calculando la magnitud del vector A se tiene

2 2 2xA= A y zA A+ +

El vector unitario es

yx zA

AA AA ˆ ˆ ˆu = i + j + kA A A A

=�

La magnitud del vector unitario siempre es la unidad

22 2y2 x z

A

AA Aˆ|u | + +

A A A

� �� = � ��

De las ecuaciones (2.12) se desprende una propiedad de los cosenos directores

2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = (2.13)

10. Operaciones con Vectores

Las operaciones permitidas para los vectores son la suma en el caso de la representación

geométrica, es decir se pueden operar con vectores de manera geométrica

10.1.Suma y Resta Geométrica de Vectores

Si A�

y B�

son dos vectores que están representados en la figura, entonces si se desea

sumar estos se procede de la siguiente manera:

Método del Paralelogramo

Se trazan paralelas a los vectores, las suma es el vector que sale del punto de unión de

los vectores y llega al punto de unión de las paralelas que se han trazado., en la figura 7

el vector resultante es R A B= +��



Fig. 2.8 Suma de vectores por el método del paralelogramo

De la ley de cosenos, el módulo de la resultante está dado por

2 2 2 cosR A B AB θ= + + (2.14)

Método del Polígono

Si A�

, B�

y C�

son vectores de direcciones arbitrarias, el vector suma se obtiene de la

unión de los vectores, colocando uno a continuación del otro manteniendo su dirección.,

el vector resultante es el vector que une el punto de partida del primer vector con el pun-

to de llegada del ultimo vector que forma un polígono, el vector suma o resultante cierra

el polígono, en la figura 1.8 l, la resultante es R A B C= + +� ��

Fig. 2.9. Suma de vectores por el método del polígono

Negativo de un Vector

Si A�

es un vector entonces existe un vector A−�

tal que la suma de los vectores es el

vector nulo, es decir ( ) 0A A+ − =� � �

. La resta de vectores, es la suma con el vector

opuesto.

Geométricamente el vector A−�

es opuesto al vector A�

, en la misma dirección.



Fig. 2.10. Resta de vectores por el método del polígono

10.2.Suma y Resta Analítica de Vectores

Suma y Resta por Componentes

Si ˆˆ ˆx y zA A i A j A k= + +

� y ˆˆ ˆ

x y zB B i B j B k= + +�

, si S�

es el vector suma y D�

es el vector

resta, entonces

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )x x y y z zS A B i A B j A B k= + + + + +�

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )x x y y z zD A B i A B j A B k= − + − + −�

10.3.Producto de Vectores

El producto de vectores se da de dos formas, uno es conocido como producto escalar y

el resultado siempre es un número (escalar) y otro es el producto vectorial y el resultado

siempre es otro vector.

Producto Escalar o Interno

Dados dos vectores A, B su producto escalar o interno se define como el producto de

sus módulos por el coseno del ángulo que forman, esto es

A B cosAB θ⋅ =� �

, con 0 θ π≤ ≤ (2.15)

Geométricamente, el producto escalar de dos vectores, da la contribución de un vector

sobre el otro.

Propiedades del Producto Escalar

Si A, B y C� ��

son vectores y m un escalar, entonces se cumplen

A B B A⋅ = ⋅� ��

( )A B C A B A C⋅ + = ⋅ + ⋅� � � � ��

( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A Bm m m m⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅� � � ��

m es escalar



1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii ; 0ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ ikkjji

22A A AA⋅ = =

� � �

A B 0⋅ =� �

, si son perpendiculares entre si

Producto Vectorial o Externo

Dados los vectores B,A��

, su producto vectorial o externo es otro vector BAC��

×= . El

módulo de A B×� �

es el producto de los módulos por el seno del ángulo θ que forman.

La dirección de C�

esta dado por el vector perpendicular al plano que forman A�

y B�

y

sus sentido es tal que ,A B y C� ��

forman un triedro, entonces

|A B| senAB θ× =� �

, con 0 θ π≤ ≤ (2.16)

Propiedades del Producto Vectorial

Si A, B y C� ��

son vectores y m un escalar, entonces se cumplen

ABBA��

×−=×

( )A B C A B A C× + = × + ×� � � � ��

( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A Bm m m m× = × = × = ×� � � ��

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi i j j k k 0× = × = × = ; jikikjkji ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ =×=×=×

ˆ ˆ ˆi j k

A B x y z

x y z

A A A

B B B

× =� �

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )y z x y x z z x x y y xi A B A B j A B A B k A B A B= − − − + −

Productos Triples

Por medio de los productos escalares y vectoriales de tres vectores , ,A B C� ��

se establecen

propiedades para mayor facilidad en las operaciones entre vectores, estas propiedades

Propiedades de los Productos Triples

( ) ( )A B C A B C⋅ ≠ ⋅� � � ��

( ) ( ) ( )A B C B C A C A B⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×� � � � � ��



( ) ( ) ( )A B C A C B A B C× × = ⋅ − ⋅� � � � � ��

( ) ( ) ( )A B C A C B B C A× × = ⋅ − ⋅� � � � � ��

10.4.Sistemas de Vectores Recíprocos

Dados los sistemas de vectores a,b,c��

y a',b',c'��

estos se denominan recíprocos cuando se

cumples las siguientes condiciones

a a' b b ' c c ' 1⋅ = ⋅ = ⋅ =� ��

a' b a' c b' a b' c c' a c' b 0⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =� � � ��

Sin embargo la condición necesaria y suficiente para que dos vectores sean recíprocos

es que:

b c

a'a b c

×=×

� ��

��

(2.17)

c a

b'a b c

×=×

� ��

��

(2.18)

a b

c'a b c

×=×

��

��

(2.19)

Donde a b c 0⋅ × ≠��

10.5.Derivadas de Vectores

La derivada de un vector A�

respecto de un escalar, tal como el tiempo t, es el límite al

cual tiende el cociente entre el incremento de dA�

de A�

y el incremento correspondiente

dt de t, al tender a cero dt entonces se escribe

0lím t

dA A

dt t∆ →∆=∆

� �

(2.20)

Reglas de Derivadas para Vectores

Las reglas de la derivada apara los vectores son similares al de las reglas para los núme-

ros reales.

Si A�

y B�

son dos vectores, es decir funciones vectoriales que dependen del tiempo,

entonces

( )d A B dB dA

A Bdt dt dt

× = × + ×� ��

� �

Si α es un escalar



( )d A dA

dt dt

α α=� �

11. Ejercicios

1. Demostrar que el producto escalar es conmutativo

12. Problemas

Problema 11.1 Demostrar que el producto de dos vectores en forma escalar es conmu-

tativa (a) Analíticamente, (b) En forma Geométrica.

Problema 11.2 Demostrar que el producto vectorial de dos vectores A�

y B�

no es con-

mutativa. (a) Analíticamente, (b) Geométricamente.

Problema 11.3 Demostrar que el vector resultante de dos vectores A�

y B�

tiene por

magnitud (módulo) R , dado por la expresión 2 2 2 cosR A B AB θ= + + , donde θ es el

ángulo que forman los vectores A�

y B�

Problema 11.4 Si A�

y B�

son dos vectores, entonces muestre que cuando son perpendi-

culares entones 0A B• =� �

Problema 11.5 Si A�

y B�

son dos vectores Mostrar que el producto vectorial se puede

escribir según ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )y z x y x z z x x y y xA B i A B A B j A B A B k A B A B× = − − − + −� �

, donde

( , , )x y zA A A y ( , , )x y zB B B son las coordenadas de los vectores A y B respectivamente.,

ˆˆ ˆ, ,i j k son los vectores unitarios cartesianos.

Problema 11.6 Un punto P(x,y) está en el plano xy , el vector ˆ ˆr xi yj= +� esta dirigido

radialmente o sea a partir del origen, describa su desplazamiento con respecto a dicho

punto. Halle un vector i de magnitud unitaria en la dirección del vector de desplaza-

miento r�

del punto P, como se ilustra en la figura.

Fig. 211

( , )P x y

i θ

Y

)θ

r�

ˆri

X



Problema 11.7 Demuestre que son paralelos los vectores ˆˆ ˆ3 2A i j k= − +�

y

ˆˆ ˆ4 12 8B i j k= − + −�

.Escribir la torsión en un punto t=0 de la cuerva

Problema 11.8 Un barco viaja 30 Km. hacia el norte, luego 40 Km. hacia el oeste, de-

termine el desplazamiento del barco durante este recorrido.

13. Referencias

[1] Análisis Vectorial, Teoría y 480 problemas resueltos, Murray R. Spiegel, McGraw-Hill, México 1970

[2] Análisis Vectorial, M. I. Krasnov, A. I. Kiseliov, G.I. Makarenko, Editorial MIR, Moscú 1981

[3] Estática, J. L. Meriam, Editorial Reverté S. A., Barcelona 1982 [4] Fundamentos de la Teoría Electromagnética, Reitz, Milford, Christy, Addison Wes-

ley Iberoamericana, Wilmington Delaware, E.U.A, 1986 [5] Física Para Ciencias e Ingeniería, Vol. 1, Jhon P. McKelvey, Howard Grotch, Pri-

mera Edición, Harla, México, 1980.



CCiinneemmááttiiccaa 1. Introducción

Es conveniente describir el movimiento en una dimensión en términos de espacio y

tiempo sin considerar las causas que lo originan, esta parte de la mecánica recibe el

nombre de cinemática.

A partir de la experiencia cotidiana nos damos cuenta que el movimiento representa el

cambio continuo de la posición de un objeto. La física estudia tres tipos de movimien-

tos: traslacional, rotacional y vibratorio. En la mayoría de las situaciones los objetos se

pueden considerar como partículas, lo que matemáticamente se define como un punto

sin tamaño, desde luego no se aplica para todos los casos, pero es totalmente válido

asumir un objeto como partícula, esto es un sistema idealizado que representa muy bien

el fenómeno real para los fines de estudio del movimiento a nivel básico.

2. Movimiento en una Dimensión

Consideremos una partícula que esta confinada a moverse a lo largo el eje x, con rapi-

dez v hacia el lado derecho en la dirección x+ .

Fig. 3.1 Partícula confinada a moverse en una dimensión, a lo largo del eje x

3. Desplazamiento, Velocidad, Rapidez Promedio

El movimiento de una partícula se conoce por completo si su posición en el espacio se

conoce en todo momento.

Consideremos una partícula que se mueve a lo largo del eje x positivo desde el punto A

hasta el punto B . En el punto A la posición es 1x y el tiempo es 1t y en el punto B la

posición es 2x y el tiempo es 2t . Como se ilustra en la figura 3.2

Cuando la partícula se mueve desde el punto A hasta el punto B se define el despla-

zamiento como 12 xxx −≡∆ . Además sea 12 ttt −=∆

2 1x x x∆ ≡ − (3.1)

Marco A. Merma Jara FISICA I Cinemática


2 1t t t∆ ≡ − (3.2)

Fig. 3.2 Movimiento en una dimensión

El desplazamiento 12 xxx −≡∆ , es positivo si 21 xx > , y es negativo si 21 xx <

3.1 Velocidad Media v< >�

La velocidad media se define como el cambio de la posición en un intervalo de tiempo,

es decir

2 1

2 1

ˆ ˆx xxv i i

t t t

−∆< >= =∆ −

�

(3.3)

Las dimensiones de la velocidad son [ ] 1v LT−= , en el sistema internacional 1−ms , en el

sistema británico spies/

Observaciones

• El desplazamiento no debe confundirse con la distancia recorrida ya que este es

diferente de cero para cualquier tipo de movimiento.

• La pendiente de la gráfica tx − físicamente representa la velocidad media

3.2 Velocidad Instantánea v�

Cuando el intervalo de tiempo transcurrido es muy pequeño, la razón de cambio del

espacio en el tiempo, se conoce con el nombre de velocidad instantánea

La expresión se escribe así

2 10 0 0

2 1

ˆ ˆ ˆt t t

x xx dxv lím v lím i lím i i

t t t dt∆ → ∆ → ∆ →−∆= < >= = =

∆ −� �

(3.4)

Cinemática FISICA I Marco A. Merma Jara

Notas de Aulas - 3 - http://mjfisica.blogspot.com

4. Aceleración Media

Para saber si el cambio de la posición de un cuerpo en el tiempo fue rápido o lento se

define una cantidad física vectorial denominado aceleración media, que indica la razón

de cambio de la razón de cambio de posición en el tiempo.

2 1

2 1

ˆ ˆv vva i i

t t t

−∆< >= =∆ −

�

(3.5)

5. Aceleración Instantánea a�

Cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño, entonces estamos hablando de una

razón de cambio instantáneo, se define la aceleración instantánea.

2 10 0 0

2 1

ˆ ˆ ˆt t t

v vv dva lím a lím i lím i i

t t t dt∆ → ∆ → ∆ →−∆= < >= = =

∆ −� �

(3.6)

6. Ecuaciones del movimiento

Considerando que la partícula esta confinada a moverse a lo largo del eje +x. Conside-

rando el cálculo diferencial hallaremos las ecuaciones del movimiento, para cualquier

instante del tiempo.

6.1 Posición

De la ecuación (3.4) se tiene

ˆdxv i

dt=�

Considerando que la partícula inicia su movimiento e el instante 0ot = , con rapidez

inicial

0ov ≠ , entonces tenemos

dx vdt=� �

Del cálculo integral se tiene

0 0

f fx v

x v

d x v dt=� ��

De aquí se halla la expresión de la posición de la partícula para cualquier instante del

tiempo t



0

0

fv

f

v

x x v dt= + ��

(3.7)

6.2 Velocidad en términos del tiempo


ˆdva i

dt=�

De aquí podemos escribir

dv adt=� �

Del cálculo diferencial e integral se tiene

0 0

f fv t

v t

d v a dt=� ��

Evaluando la expresión se obtiene finalmente

0

0

ft

f

t

v v a dt= + ��

(3.8)

6.3 Velocidad en términos de la posición

De la ecuación (3.6) por la regla de la cadena del cálculo diferencial se puede escribir

así

ˆdv dxa i

dt dx=�

De aquí la relación de dx

vdt

= , sustituyendo queda ˆvdva i

dt=� , preparando para el calcu-

lo integral

0 0

ˆf fv t

v t

vdv i a dt=� ��

Finalmente

0

2 20

ˆ ˆ 2fx

f

x

v i v i a dx= + ��

(3.9)



7. Movimiento Unidimensional con velocidad constante

Un caso particular del movimiento unidimensional es aquel que se realiza con velocidad

constante, es decir la elucida siempre mantiene constante un valor y una dirección. En

ese caso a lo largo de l eje +x

Entonces considerando que la velocidad sea constante. En la ecuación (3.7), se tiene

0

0

ft

f

t

x x v dt= + ��

Evaluando la integral queda finalmente

0 0( )f fx x v t t= + −� � �

(3.10)

Esta es la única ecuación para este caso. Lo cual lleva conclusiones interesantes párale

movimiento.

La posición de la partícula es directamente proporcional con el tiempo. Entonces

• Para trayectorias recorridas de la misma longitud, los tiempos empleados son los

mismos

8. Movimiento Unidimensional con Aceleración constante

Otro caso del movimiento unidimensional, es cuando se da que la aceleración tiene un

valor constante durante el recorrido.

Las ecuaciones par este tipo de movimiento en esencia son las mismas ecuaciones gene-

rales halladas con la particularidad que el valor de la aceleración es constante

8.1 Velocidad en términos del tiempo

De la ecuación (3.8) entonces se puede escribir

0

0

ft

f

t

v v a dt= + ��

De aquí se tiene

0 0( )f fv v a t t= + −� � �

(3.11)

8.2 Velocidad en términos de la posición


0

2 20

ˆ ˆ 2fx

f

x

v i v i a dx= + ��



De donde escribimos finalmente

2 2

0 0ˆ ˆ 2 ( )f fv i v i a x x= + −�

(3.12)

8.3 Posición para cualquier instante del tiempo

De la ecuación (3.7) y la ecuación (3.11) sustituyendo, da

0

0 0 0( )fv

f f

v

x x v a t t dt� �= + + −� ��

Evaluando se tiene

20 0 0 0

1( ) ( )

2f f fx x v t t a t t= + − + −� � � �

(3.13)

8.4 Velocidad media y velocidad promedio

De las razón de las ecuaciones (3.11) y (3.12) se tiene

2 20 0

0 0

( ) ( )ˆ 2( )

f f

f f

v v x xi a

v v a t t

− −=

− −��

Finalmente, ordenando

0 0

0

( ) ( )

( ) 2f f

f

x x v v

t t

− +=

− (3.14)

En este caso la velocidad media coincide con el promedio aritméticos de las velocidad

es, denominado velocidad promedio. Esto es valido solo si la aceleración es constate.

9. Carácter vectorial de la aceleración

La aceleración como razón del cambio de la velocidad en el tiempo puede cambiar de

signo o lo que es lo mismo decir de orientación. Consideremos la partícula confinada a

moverse en la dirección del eje x+

9.1 Movimiento Acelerado

En el instante inicial la velocidad es 0v�

y en el instante final la velocidad es fv�

, conside-

remos que 0fv v>



Fig. 3.3

Analizando el cambio del vector velocidad

Fig. 3.4

El cambio de la velocidad esta dirigido hacia la derecha, por lo que la razón de cambio

va

t

∆=∆

��

esta dirigido hacia la dirección positiva del eje x

En este caso se dice que el sistema esta acelerado

9.2 Movimiento Desacelerado

En el instante inicial la velocidad es 0v�

y en el instante final la velocidad es fv�

, conside-

remos que 0fv v<

Fig. 3.5

Analizando el cambio de velocidad

Fig. 3.6

Se dice que el movimiento es desacelerado o retardado, también se usa la palabra “dece-

lerado”.

10. Movimiento de Caída libre

Un caso especial de movimiento unidimensional con aclaración constante, es cuando la

el valor de la aceleración es igual al valor de la aceleración de la gravedad, es decir

29.81 /a g m s= =

v∆�0v�

fv�

0v�

fv�

x+

0v�

fv�

x+

v∆�fv�

0v�



La gravedad cambia con la altura respecto del nivel de referencia, pero en este caso se

considera el valor estándar así mismo se desprecia la resistencia del aire, para el movi-

miento de cuerpo en caída libre.

Consideremos un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura H, con

velocidad inicial de valor 0v , como se ilustra en la figura

Fig. 3.7

Si y es una posición cualquiera para la partícula que se lanza, entonces esta se puede

determinar por la ecuación (3.13)

20 0

1

2y y v t gt= + −

Cuando la partícula ha llegado al piso en el punto B el tiempo transcurrido es el tiempo

total que demoró la caída.

Entonces cuando y H= − , el tiempo es ABt t= que representa el tiempo que la partícula

estuvo en el aire.

Entonces

20

10

2AB ABH v t gt− = + −

De aquí

20

10

2 AB ABgt v t H− − =

La solución es 2

0 0 2AB

v v gHt

g

± +=

0v

(0 , 0 )

fv

B

ˆ( )g g j= −�

H

A



Se considera solo el valor positivo para el tiempo, físicamente el tiempo con valor nega-

tivo no tiene sentido.

10.1 Altura Máxima

La partícula, cuando alianza siempre una posición vertical respecto del piso, donde se

detiene y luego retorna verticalmente.

Para determinar el valor del máximo valor de la posición y , usaremos el criterio de

máximos y mininos para funciones., puesto que ( )y y t=

Entonces

20 0

1

2y y v t gt= + −

Calculando la primera derivada e igualando a cero

0 0dy

v gtdt

= − =

Se halla el valor crítico, el cual puede hacer máximo a la función ( )y y t=

0vt

g=

Calculando la segunda derivada, para decidir si es máximo (o mínimo)

2

20

d yg

dt= − <

El hecho que la segunda derivada sea menor que cero, indica que el valor critico para t

hace máximo a la función ( )y y t=

Sustituyendo el valor critico pata t en la ecuación de la posición, con 0 0y = y

0CRITICO

vt t

g= =

. 2

0 00

1

2MAX

v vy v g

g g

� � � �= −� �

A B A B

Finalmente da

20

2MAX

vy

g=

11. Movimiento en Dos Dimensiones

El movimiento en dos dimensiones esta dado por la composición de los movimientos de

cada una de las dimensiones



La curva en le espacio bidimensional si representa la trayectoria seguida por el cuerpo.

En la figura se considera dos instantes, uno en le punto A y otro en le punto B.

Fig.3.8

11.1 Vector posición y desplazamiento

ˆ ˆr xi yj= +�

(3.15)

El vector desplazamiento es

B Ar r r∆ = −� � �

11.2 Velocidad Media y Velocidad Instantánea en 2D

rv

t

∆< >=∆

��

(3.16)

ˆ ˆr x yv i j

t t t

∆ ∆ ∆< >= = +∆ ∆ ∆

��

Cuando 0t∆ → se tiene la velocidad instantánea

0 0t t

r drv lím v lím

t dt∆ → ∆ →∆= < >= =∆

� ��

X

Y

0

r∆�

B

Ar�

Br�

A



11.3 Aceleración Media e Instantánea en 2D

va

t

∆< >=∆

��

(3.17)

ˆ ˆyxvvv

a i jt t t

∆∆∆< >= = +∆ ∆ ∆

��

Cuando 0t∆ → se tiene la aceleración instantánea

0 0t t

v dva lím a lím

t dt∆ → ∆ →∆= < >= =∆

� ��

11.4 Ecuación de la trayectoria

Para determinar la ecuación de la trayectoria en 2 dimensiones usualmente se debe co-

noce las funciones de la posición con el tiempo así, ( )x x t= y ( )y y t=

Ejemplo

Si 3 1x t= + y 2 3y t= + , entonces de ambas relaciones se puede escribir la ecuación de

la trayectoria quedando una relación ( )y y x=

1

2( ) 33

xy

−= +

Es la ecuación e la trayectoria de la partícula

12. Movimiento de Proyectiles

Consideremos un cuerpo que es lanzado desde e punto 0 con velocidad vo con un ángu-

lo θ respecto del eje X+ .

Fig. 3.9 movimiento de proyectiles

)θ

Y

X

ˆ( )g g j= −�

0v�

0xv�

0xv�

0xv�

0xv�

0xv�

0yv�

0yv�

0yv�

0yv�



La velocidad de lanzamiento en términos de sus vectores componentes se puede escribir

0 0 0x yv v v= +� � �

0 0 0ˆ ˆcosv v i v sen jθ θ= +�

Movimiento horizontal

Se realiza con velocidad constate, tal que en todo instante del tiempo la posición esta

dada por

0( cos )x v tθ= (3.18)

Movimiento Vertical

En cualquier instante del tiempo la posición de la partícula esta dada por la ecuación

20

1( s )

2y v en t gtθ= −

(3.19)

De las ecuaciones (3.18) y (3.19)se halla la ecuación de la trayectoria y esta dada por

2

2 20

1

2 cos

xy xtg g

vθ

θ= −

(3.20)

13. Movimiento Curvilíneo

El movimiento más general es aquel que describe una trayectoria curvilínea arbitraria.

Fig. 3.10 Movimiento curvilíneo

Aquí ,N T son los ejes perpendiculares móviles, normal y tangencial respectivamente,

ρ es el radio de curvatura, C es el centro de curvatura, v�

es la velocidad lineal en un

ínstate del tiempo como se ilustra en la figura.

X

Y

C

ρ

ρ

v�

N

T

ds

dθ



En cualquier instante del tiempo se puede escribir para la velocidad lineal

ˆTv vu=� (3.21)

Si ˆ ˆ,N Tu u son vectores unitarios en las direcciones de los ejes Normal y Tangencial, ˆ ˆ,i j

vectores unitarios cartesianos en los ejes x e y respectivamente.

La aceleración de la partícula para cualquier instante del tiempo estará dado por

ˆ( )Td vudv

adt dt

= =��

�

Aquí la velocidad lineal no es constante, así mismo el vector unitario Tu también no es

constante, ambos varían conforme el tiempo transcurre. Por lo tanto

ˆˆTT

du dva v u

dt dt= +

��

(3.22)

Si ds es la longitud del camino recorrido en el tiempo. Entonces el espacio ds se puede

expresar

ds dρ θ=

En el intervalo de tiempo ds, escribimos

ds d

dt dt

θρ=

v d

dt

θρ

= (3.23)

Por otro lado el vector unitario tangencial y normal se puede expresar en términos de los

vectores unitarios cartesianos ˆ ˆ,i j

Fig. 3.11 vectores unitarios tangencial y normal en términos de vectores unitarios cartesianos

ˆTu

j

i

)θ

j

i−

ˆNu

θ�



ˆ ˆˆ cos

ˆ ˆˆ cos

T

N

u i jsen

u isen j

θ θθ θ

= +

= − + (3.24)

Calculo de ˆTdu

dt

De las ecuaciones (3.24)se escribe

ˆ ˆ ˆ ˆ( cos )T

N

du d disen j u

dt dt dt

θ θθ θ= − + =

Entonces en la ecuación (3.22) se tiene

ˆ ˆN T

d dva v u u

dt dt

θ= +�

� �

De la ecuación (3.23) finalmente hallamos la expresión de la aceleración en el movi-

miento curvilíneo

2

ˆ ˆN T

v dva u u

dtρ= +�

(3.25)

El primer término se denomina aceleración centrípeta o normal y esta relacionado con el

cambio e dirección de la velocidad e le movimiento curvilíneo.

El segundo termino es la aceleración tangencial y esta relacionado con el cambio de la

magnitud de la velocidad en le movimiento curvilíneo.

13.1 Consecuencias

• Cuando ρ → ∞ la componente normal de la aceleración se hace nula quedando

solo la componente tangencial, el cual significa que el movimiento es totalmente

rectilíneo.

• Cuando C es fijo entonces el radio de curvaturaρ permanece constante, y se

genera un movimiento en trayectoria de circunferencia, denominado movimiento

circular, por el barrido del radio de curvatura.

13.2 Magnitud y dirección de la aceleración en el movimiento curvilíneo

Considerando las componentes de la aceleración en el movimiento curvilíneo, la magni-

tud esta se determina así



2 2

T Na a a= +� � �

(3.26)

Y la dirección esta dado por

N

T

aarc tg

aθ

� �= �

A B (3.27)

Calculo de la magnitud de aceleración tangencial

De las ecuaciones (3.21) y (3.25) si realizamos el producto escalar de v�

ya�

se tiene

ˆ ˆ ˆ( )T T T N N Tv a vu a u a u va• = • + =� �

T

v aa

v

•=� �

�

Cálculo de la aceleración normal

De las ecuaciones (3.21) y (3.25) si realizamos el producto vectorial de v�

y a�

, se tiene

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )T T T N N N T Tv a vu a u a u va u u× = × + = ×� �

La magnitud entonces es

N

v aa

v

×=

� �

�

(3.28)

Calculo del radio de curvatura

De la ecuación (3.28) y la expresión de la aceleración normal

4

2

v

v aρ =

×� �

(3.29)

Calculo del radio de curvatura a partir de la ecuación de trayectoria

Cuando se conoce la ecuación de la trayectoria, ( )y y x= , el radio de curvatura en cual-

quier punto de la trayectoria se puede determinar por

32 2

2

2

1dy

dx

d y

dx

ρ

� �� +� � � A BA B=



14. Movimiento Circular

Consideremos una partícula que describe una trayectoria circular, un observador esta en

el origen de coordenadas como se ilustra en la figura

Fig. 3.12. Movimiento circular

14.1 Velocidad Media e Instantánea Angulares

t

θω ∆< >=∆

0 0t t

dlím lím

t dt

θ θω ω∆ → ∆ →∆= < >= =∆ (3.30)

14.2 Aceleración Media e Instantánea angulares

t

ωα ∆< >=∆

0 0t t

dlím lím

t dt

ω ωα α∆ → ∆ →∆= < >= =∆ (3.31)

14.3 Relación entre velocidad y aceleración angular

2

2

d d d d

dt dt dt dt

ω θ θα � �= = =� A B (3.32)

r�

r�

,s∆

)θθ∆

X

Y

O



14.4 Ecuaciones del movimiento circular

Posición angular

De la ecuación (3.30) se puede escribir

d dtθ ω=

0

0

ft

f

t

dtθ θ ω= + � (3.33)

Velocidad angular en términos del tiempo

De la ecuación (3.31) escribimos

d dtω α=

De donde se obtiene

0

0

ft

f

t

dtω ω α= + � (3.34)

Velocidad angular en términos del tiempo

La ecuación (3.31) y considerando que d

dt

θω = escribimos de la forma siguiente

d d d

dt d d

ω θ ωα ωθ θ

� �= =� A B

De donde

d dω ω α θ=

Realizando la integral se tiene

0

2 20 2

f

f dθ

θ

ω ω α θ= + � (3.35)

14.5 Movimiento Circular con velocidad angular constante

Cuando la velocidad angular es constante, en la ecuación (3.33)se tiene

0 0( )f ft tθ θ ω= + −

Aquí el barrido angular es directamente proporcional al tiempo transcurrido, lo cual

significa que para tiempos iguales los espacios angulares barridos siempre son los mis-

mos.



14.6 Movimiento Circular con aceleración angular constante

Para el caso, cuando la aceleración angular sea constante, en la ecuación (3.34) se tiene

0 0( )f ft tω ω α= + − (3.36)

De la misma forma para la ecuación (3.35), con la aceleración angular constante halla-

mos que

2 2

0 02 ( )f fω ω α θ θ= + − (3.37)

De las ecuaciones (3.36) y (3.37)

0 0

0 2f f

ft t

ω ω θ θ− +=

− (3.38)

Esta relación solo es válida cunado la aceleración angular es constante.

De las ecuaciones (3.33) y (3.36) para hallar la posición angular se tiene

0

0 0 0( )ft

f f

t

t t dtθ θ ω α� �= + + −� ��

De donde finalmente se obtiene

20 0 0 0

1( ) ( )

2f f ft t t tθ θ ω α= + − + − (3.39)

15. Expresiones vectoriales para la velocidad y Aceleración angular

Si el espacio recorrido en trayectoria circular es dsy el ángulo barrido es dθ , y el radio

de giro r constante entonces la relación entre estas es

ds rdθ= (3.40)

Fig. 3.13. Velocidad y aceleración angulares, representación vectorial

X

) dθr ds

ω�α�

X

Y

Y



La aceleración en este movimiento esta dado por la suma de las componentes normal y

tangencial y la velocidad tangencial esta dado por

ˆTv vu=�

Cuando el intervalo de tiempo es pequeño, en el límite la magnitud del la razón de cam-

bio del vector desplazamiento y la razón de cambio del espacio recorrido dsdan

0 0t t

r slím lím

t t∆ → ∆ →∆ ∆=∆ ∆

�

dr ds

dt dt=

De aquí

ds

vdt

=

De la ecuación (3.40)

d

v rdt

θ=

La velocidad angular es /ds dtω =

v r rω ω= = (3.41)

La aceleración angular es

dv da r r

dt dt

ω α= = =

a r rα α= = (3.42)

Considerando un observador en el origen de coordenadas

Velocidad angular

De la figura R rsenθ= , sustituyendo en la ecuación (3.41)

v R r senω ω θ= =

Es la magnitud del producto vectorial

v rω= ×��

(3.43)

Esta relación es valida solo si r y θ son constantes.



Aceleración angular

De la ecuación (3.43) con ω� constante, la aceleración angular se obtiene así

( )dv d r dr

adt dt dt

ω ω×= = = ×��

��

Finalmente

a vω= ×�� (3.44)

Alternativamente se puede escribir

( )a rω ω= × ×� ��

Si la velocidad angular no es constante, la aceleración angular se determina por

( )dv d r dr d

a rdt dt dt dt

ω ωω×= = = × + ×� ��

��

De la expresión alternativa de la velocidad

( )a r rω ω α= × × + ×� � ��

(3.45)

Fig. 3.14 vectores velocidad angular y aceleración angular

16. Movimiento Relativo

Cuando se tienen dos sistemas móviles y se desea medir la posición de uno de ellos con

respecto l otro, es preciso establecer algunas reglas para obtener dichas posiciones. Esto

constituye un movimiento relativo.

Consideremos el siguiente sistema donde e 0 hay un observador fijo, en A un observa-

dor móvil, y un evento en B, el cual se pretende medir desde A o desde B.

θ�r�

R�

0 X

Y

Z

v rω= ×��

a vω= ×��



Fig. 3.15 Movimiento relativo

/ 0Ar�

Es la posición de A medido por 0

/ 0Br�

Es la posición de b medido por 0

/B Ar�

Es la posición de B medido por A, es una posición relativa. De la figura se puede

escribir para el vector

/A B A Br r r+ =� � �

De donde tenemos

/B A B Ar r r= −� � �

La velocidad relativa es

/B A B Av v v= −� � �

(3.46)

La aceleración relativa es

/B A B Aa a a= −� � �

(3.47)

De la figura se puede obtener que

/ /B A A Br r= −� �

Y como consecuencia de las ecuaciones (3.46) y (3.47)

/ /B A A Bv v= −� �

/ /B A A Ba a= −� �

17. Problemas

P17.1 Una partícula describe una trayectoria rectilínea horizontal y su velocidad se ex-

presa como it)t(v ˆ106 2 −= , donde t se expresa en segundos. Si la partícula se mueve hacia la izquierda cuando st 2= calcular (a) la aceleración de la partícula cuando st 2= (b) el desplazamiento de la partícula cuando se encuentra en el intervalo comprendido

X

Y´X

0´

0

´Y

Evento

Ar�

Br�

A

B

/B Ar�



entre styt 31 == (c) la distancia total recorrida durante el intervalo comprendido entre styt 31 ==

P17.2 La magnitud de la aceleración de una partícula que se mueve sobre una línea re-

cta varía de acuerdo con la ecuación sa 12= donde a se expresa en metros por se-gundo por segundo y s es la distancia en metros entre el origen y la partícula. Cuando el tiempo es st 2= la partícula se encuentra a 16 m a la derecha del origen, su velocidad es de sm /32 dirigido hacia la derecha y su aceleración es de 248 sm / hacia la dere-cha. Calcular (a) la velocidad y aceleración cuando la partícula es localizada en st 3=

P17.3 La aceleración de una partícula cuyo movimiento es rectilíneo se expresa median-te la ecuación kva −= donde a se expresa en metros por segundo por segundo y v es la magnitud de la velocidad en metros por segundo y K es una constante. Cuanto 0=ot

la velocidad y posición de la partícula son respectivamente oo xv , Calcular (a) las ex-

presiones para la posición, velocidad y aceleración de la partícula en términos de t (b) si mxo 20= hacia la derecha y 120 −= sk . encuentre el valor de t cuando 0=x y los

valores correspondientes a la velocidad y la aceleración.

P17.4 La posición de una partícula cuyo movimiento es rectilíneo se define mediante la

ecuación 2ˆ 4sen 0 2r i ( . t)=� donde r y t se expresan en metros y segundos respectiva-mente. La cantidad 0.2 se expresa en radianes por segundo. Si se consideran positivos los desplazamientos hacia la derecha Calcular (a) la velocidad cuando 2t s= (b) la aceleración cuando 2t s= (c) el desplazamiento durante el intervalo 0 3t y t s= =

P17.5 La aceleración de una partícula cuyo movimiento es rectilíneo se calcula median-

te la ecuación ia vk ˆ=

�, donde a se expresa en metros por segundo por segundo, v es la

magnitud de la velocidad en metros por segundo k es una constante. La partícula se

encuentra en el origen cuando 0=t y su velocidad es iov calcular (a) la ecuación para

la posición en función del tiempo (b) cuales son las dimensiones de la constante k

P17.6 La velocidad de una partícula cuyo movimiento rectilíneo se expresa por

ikt)t(v ˆ−= 23�

donde v y t se expresan en metros por segundo y segundos respectiva-

mente. El vector de posición de la partícula en el origen es mix 8−=�

cuando 0=t y

ix ˆ16−=�

cuando st 4= Calcular (a) la aceleración de la partícula cuando st 2= (b) la distancia total recorrida por la partícula cuando se mueve en el intervalo de tiempo entre

st 1= y st 5=

18. Referencias

[1] Física Universitaria, Sears, Zemansky, Young, Freedman, Addisson Longman Lati-noamericana, Vol I, 9na Edición, Santafe de Bogotá, 1999.

[2] Física Para Ciencias e Ingeniería, Tomo I, Primera Edición, Jhon P. McKelvey, Howard Grotch, Harla, México, 1980.

[3] Ingeniería Mecánica, Dinámica, 7ma Edición, R. C. Hibbeler, Prentice-Hall Hispa-noamericana S. A., México 1996.



EEssttááttiiccaa 1. Introducción

Cuando un cuerpo está quieto se dice que esta en equilibrio o estático, para interpretar

esa realidad en la mecánica se establecen condiciones de equilibrio, las cuales no dan a

entender como es que un cuerpo o un sistema puede conseguir el equilibrio mecánico.

El equilibrio mecánica es muy importante sobre todo en la ingeniería, en la construcción

de estructuras estables, como puentes, edificios, etc.

2. Fuerza

Toda interacción entre sistemas constituye una fuerza, esta fuerza puede aparecer como

producto del contacto o también aparece por la interacción a distancia, en la figura 4.1

se ilustran estas fuerzas.

Fig. 4.1 Fuerzas, a distancia y en contacto directo

Las fuerzas se presentan por contacto directo o a distancia.

2.1. Unidades de Medida

En el sistema internacional de Unidades la fuerza se mide en Newton (N)

2

KgmN

s=

En el sistema Ingles de unidades la fuerza se mide en libras

3. Primera ley de Newton

Establece que todo sistema en reposo o movimiento tiende a mantener su estado a no ser

que alguna fuerza externa desequilibre su estado actual.

F�

F�

F�

F�

línea de colisión

Estática FISICA I Marco A. Merma Jara


Fig. 4.2 Fuerzas sobre un cuerpo de masa m

Donde n es un entero

1

0n

ii

F=

=��

4. Tercera Ley de Newton

Toda fuerza que actúa sobre un sistema le corresponde otra fuerza de la misma magni-

tud de la misma dirección pero de sentido contrario.

Fig. 4.3 Fuerzas de acción y reacción

Las fuerzas de acción y reacción siempre actúan sobre cuerpos diferentes.

Ejemplo Conceptual

Un televisor de peso P�

esta sobre una mesa, como se ilustra en la figura 4.4, y el dia-

grama de fuerzas se indica para la mesa y el televisor.

Si el peso del televisor e considerado como la fuerza de acción, entonces, esta es la ac-

ción de la atracción de la tierra sobre este, por tanto la fuerza de reacción debe ser la

fuerza de atracción del televisor hacia la tierra.

1v�

1v�

1m 2m

2/1F�

1/2F�

1F�

2F�

3F�

�nF�

4F�

Marco A. Merma Jara FISICA I Estática

http://mjfisica.blogspot.com - 3 - Notas de aula

Fig. 4.4 Fuerzas de Acción y Reacción

5. Composición de fuerzas

Si localizamos un conjunto de fuerzas 1 2F ,F , n,... F� � �

en el espacio, desde un sistema de

coordenadas con origen en O, estos vectores siempre serán posibles de expresar en

términos de los vectores unitarios cartesianos, como una combinación lineal de estos y

las magnitudes de los vectores que se puedan involucrar, es decir es posible hacer una

composición de estos, prestaremos atención a las fuerzas que actúan sobre un punto y a

las fuerza que se encuentran distribuidas

5.1. Fuerzas concurrentes

Denominaremos así a las fuerzas que están aplicados en un mismo punto, como se ilus-

tra en la figura 4.2, entonces la fuerza resultante es la suma vectorial, obtenida de

acuerdo a las reglas para suma de vectores.

Fig.4.5 Sistema de fuerzas sobre un cuerpo

La resultante de las fuerzas es

1 2 nR F F F= + + +� � � �

�

Esto es

1

n

ii

R F=

=��

(4.1)

2F�

3F�

4F�

5F�

6F�nF

�

1F�

�

TvP�

/Mesa TvN�

/Tv MesaN�

MesaP�

1 /Piso TvR�

2 /Piso TvR�



Con 1,2,i n= � donde n es entero

5.2. Equilibrio de una partícula

Una partícula esta en equilibrio, cuando la suma vectorial de todas las fuerza que actúan

sobre ella es nula, es decir la resultante es cero o nulo.

1

0n

ii

R F=

= =��

(4.2)

Esta relación usualmente es conocida como la primera condición de equilibrio mecáni-

co.

Entonces en cada una de las componentes, la resultante para cada una de ellas también

es nula

1

1

1

0

0

0

n

x ixi

n

y iyi

n

z izi

R F

R F

R F

=

=

=

= =

= =

= =

�

�

�

� �

� �

� �

(4.3)

Consideremos una partícula como se ilustra en la figura 4.3, la cual esta estático, anali-

zando las fuerza que actúan sobre la partícula, en el equilibrio se establece que

0N T W+ + =� � �

Asociando un sistema de coordenadas cartesianas en el punto donde están actuando las

fuerzas, para determinar las componentes

Fig. 4.6. Partícula en equilibrio

La ecuaciones para cada una de las direcciones son

ˆ( ) 0

ˆ( cos ) 0

x

y

F T Wsen i

F N W j

θ

θ

= − =

= − =��

�

� (4.4)

)θ )θ

W

NT



Fig. 4.7 Diagrama de fuerzas, en composición

5.3. Fuerzas Paralelas

Dado un conjunto de fuerzas, ,...FF 21 ++��

que tienen la condición de ser paralelas entre

sí, se denominan fuerzas no concurrentes. Consideremos el siguiente sistema una barra

rígida homogénea como se ilustra en la figura 4.8

Fig. 4.8 Fuerzas paralelas

6. Cuerpo rígido

Si tenemos un cuerpo rígido se considera su tamaño y forma. Entonces este cuando es

afectado por fuerzas, entonces para garantizar el equilibrio mecánico es preciso estable-

cer que este no va realizar rotación alguna.

6.1. Torque de una fuerza o Momento de Torsión

Cuando se tienen fuerzas que están actuando sobre un cuerpo rígido, entonces la ten-

dencia a rotación de cuantifica mediante el torque. Esta es una magnitud vectorial, si F

es la fuerza sobre un punto del cuerpo rígido, como se ilustra en la figura.

cosW θ

N

Ts nW e θ

θ

1R�

2R�

W�



Fig. 4.9 Torque de una fuerza

Se define el torque ó momento de torsión τ

r Fτ = ×��

(4.5)

Según la tendencia de rotación del cuerpo debido a la fuerza que actúa, el momento de

torsión toma signos convencionales. Por ejemplo si rota en el sentido horario asignare-

mos signo positivo, por el contrario si rora en el sentido horario asignaremos signo ne-

gativo.

Fig. 4.10 Signos del Momento de Torsión

6.2. Magnitud del Momento de Torsión

De la ecuación (4.5), podemos establecer la magnitud del producto vectorial entre r�

y

F�

de tal forma que se puede escribir

r F rFsenτ θ= × =��

(4.6)

Y de la figura 4.9 las componentes de la fuerza F�

a los largo de la línea de acción del

radio vector r�

son

// cosF F

F Fsen

θθ⊥

==

r�

F�) θ

O

τ+ � τ− �



En la siguiente figura se ilustran estas componentes de la fuerza que origina el momento

de torsión.

Fig. 4.11 Componentes de la fuerza que origina torque o momento de torsión

De la figura 4.11 se puede apreciar que la fuerza perpendicular al radio vector es final-

mente que contribuye a que un sistema pueda rotar, por lo que en términos de magnitu-

des se acostumbra llamar momento de una fuerza al producto del valor de la fuerza y la

distancia perpendicular a esta, desde el punto de rotación

Así el momento de la fuerza F�

esta dado por rFsen rFθ ⊥=

En general el momento de torsión se determina así

ˆˆ ˆ

x y z

i j k

r F x y z

F F F

τ = × =��

(4.7)

Y el resultado es otro vector perpendicular al plano formado por r�

y F�

7. Equilibrio de un Cuerpo rígido

Para garantizar que un cuerpo rígido alcance el estado de equilibrio mecánico, se debe

considerar además del equilibrio de fuerzas concurrentes. El equilibrio de rotación es

decir asegurar que el cuerpo no gire. Para ello se precisa que la suma de todos los mo-

mentos de torsión sobre el sistema sea nula. Es decir

0ii

τ =��

(4.8)

Entonces se alcanza el equilibrio mecánico total cuando

0

0

ii

i

F

τ

=

=

�

�

�

� (4.9)

r�

F�) θ

O

//F�

F⊥

�

X

Y



Ejemplo

Una barra rígida homogénea de longitud L y masa M esta sujeta a fuerzas que actúan

sobre ella. Analizar el sistema en equilibrio mecánico.

Fig. 4.12

Realizando el diagrama de fuerzas para cada parte del sistema

Fig. 4.13

Para garantizar el equilibrio de traslación

Las ecuaciones de equilibrio para cada una de las partes del sistema son

Para m1 0F =��

1 1T m g= (i)

Para m2 0F =��

2 2T m g= (ii)

Para m3 0F =��

3 3T m g= (iv)

Para la Barra 0F =��

1 3 2T T Mg T+ = + (v)

Para garantizar el equilibrio de rotación

En A 0τ =��

2 3 02

LMg T a T L

� �+ − =� ��

(vi)

1m g� 2m g

�

1T�

Mg�

1T�

2T�

2T�

3T�

3m g�

3T�

L

a b

3m2m

1m

A B



En B 0τ =��

2 1 02

LMg T b T L

� �− − − =� ��

(vii)

De las ecuaciones (i), (ii), (iii), (iv), (v), (vi) y (vii). Se determina los valores de las ten-

siones en las cuerdas.

8. Centro de Masa

Se puede considerar un cuerpo, que esta constituido por muchas partículas, cada una de estas,

está afectado por la atracción de la gravedad terrestre, si im es la masa de cada una de estas

partículas, el valor de la fuerza de atracción gravitatoria es i iW m g= llamado peso, entonces la

masa total del sistema es

1

n

ii

M m=

=� (4.10)

Fig. 4.14 Partículas formando cuerpos

El peso resultante del sistema esta dado por

1

n

ii

W m g=

=��

(4.11)

La posición del centro de masa esta dado por

1

1

n

i ii

CM n

ii

rm gr

m g

=

=

=�

�

�

�

� (4.12)

De donde se puede expresar, cada coordenada del centrote masa en tres dimensiones, es

decir

( , , )CM CM CM CMr x y z=�

Donde

im g�

O x

y



1 1 1

1 1 1

, ,

n n n

i i i i i ii i i

CM CM CMn n n

i i ii i i

x m y m z mx y z

m m m

= = =

= = =

= = =� � �

� � � (4.13)

Cuando el número de partículas aumenta, el tamaño de cada una de ellas se hace infini-

tesimalmente pequeño, por lo que la suma finita es reemplazada por la suma infinitesi-

mal y cada partícula se considera un elemento diferencial de la masa. Entonces se tiene

para las coordenadas del centro de masa.

CM

rdmr

dm= ��

(4.14)

Considerando que las coordenadas del centro de masa en el espacio están dadas por

( , , )CM CM CM CMr x y z=�

Entonces las posiciones para cada una de ellas esta dado por

, ,CM CM CM

xdm ydm zdmx y z

dm dm dm= = =� � ��

(4.15)

Las masas pueden estar formando líneas, áreas y volúmenes, por lo que es adecuado

considerar la densidad de masa para cada caso.

8.1. Distribuciones de Masa Lineales λ

Si la masa M esta distribuida a lo largo de una línea de longitud L, es preciso definir la

densidad de masa lineal.

Fig. 4.15

Entonces la densidad de masa por unidad de longitud esta dado por

L

Mλ =

(4.16)

,dx dm L

0x

x



Y para la muestra infinitesimal es dx

dmλ = . Si la distribución de masa es uniforme, en-

tonces se dice que es homogénea, y se cumple L dx

constanteM dm

λ = = = , caso contrario

la densidad es una función de la posición, es decir ( )xλ λ= .

8.2. Distribuciones de masa superficiales σ

Si la masa M distribuida esta formando una superficie A, se define la densidad superfi-

cial de masa

Fig. 4.16

La densidad superficial esta dado por

M

Aσ =

(4.17)

Y si para la muestra elemental infinitesimal esta dad o por dAdm/=σ , solo si la distri-

bución de masas es uniforme entonces también se cumple que .M dm

constA dA

σ = = =

Aquí también si la densidad no es uniforme, esta depende de la posición, es decir se

expresa por ( , )x yσ σ=

8.3. Distribuciones de masa volumétricas

Consideremos una distribución de masa M en un volumen V, entonces la distribución de

la masa en el volumen esta dado por la densidad volumétrica de masa y se calcula por

M

Vρ = (4.18)

Y para una muestra infinitesimal dentro de la distribución de volumen se expresa por la

ecuación dm

dVρ = , entonces aquí también solo si la distribución de asa es uniforme en

todo el volumen se puede establecer la igualdad .M dm

constV dV

ρ = = =

dAdm

A



Y en caso que la muestra no sea uniforme la densidad depende de la posición, es decir

( , , )x y zρ ρ=

Fig. 4.17

9. Problemas

Problema. 9.1 Calcular las componentes de la tensión del cable indicada que se ejerce

sobre la viga de masa despreciable, en el extremo derecho.

Fig. 4.18 Problema 9.1

Solución

Si consideramos un sistema coordenado en el pivote, el vector T para la tensión en la

cuerda se puede escribir en términos de los vectores unitarios cartesianos como

x yˆ ˆi jT T T= − +

�. El diagrama de fuerzas para la barra

,M V

,dm dV

T

T1T

R

WA B

(θ

1T

T

R

T

W

(θ

W�

1l 2l

L 1T

BA



Para la barra 0F =��

esto implica 0xF =��

y 0yF =��

, entonces las ecuaciones de

equilibrio para este caso son

1

1

cos 0

0

R T

T sen T

θθ

− =− =

(a)

Para el bloque 0yF =��

, entonces

0T W− = (b)

También de la condición para la no rotación del sistema, la suma de los momentos de

torsión deben ser nulos. Es decir

En el punto A 0Aτ =��

, esto es

1 1( )( ) 0TW T sen lθ− = (c)

En el punto A 0Bτ =��

, esto es

1 1 2 1( ) ( ) 0T l l T l− + − = (d)

De las ecuaciones (a), (b), (c), (d), se determinan os valores de la tensión e sus compo-

nentes a lo lago de x e y.


Problema 10.1. El sistema mostrado se encuentra en equilibrio, determinar la fuerza de

rozamiento máximo, tal que el bloque se desliza sin volcarse.

11. Referencias

[1] Física, Mecánica, Marcelo Alonso & Edward Finn, Fondo Educativo Interamericano

S.A., México 1970

[2] Física, Vol. I, Raymond A. Serway, McGraw-Hill Interamericana Editores, Santafé

de Bogota, 1997

[3] Física Universitraria, Vol. I, Francis W. Sears, Mark W, Zemansky, Hugh D.

Young, Roger A. Freedman, Addison Wesley Longman de Mexico S.A., 1999



DDiinnáámmiiccaa

1. Introducción

El movimiento de los cuerpos, estudiado desde el punto de vista de las causas que lo

originan y efectos que se producen, son estudiados por la parte de la mecánica que se

denomina dinámica. Esta dinámica esta orientado a sistema idealizados, donde los cuer-

pos, objetos, sistemas son considerados como partículas.

Las leyes del movimiento fueron enunciadas por Isaac Newton. En le caso de la dinámi-

ca la relación de causa efecto esta en la segunda ley, que establece una relación entre la

fuerza, masa y a aceleración del sistema, también es preciso mencionar que las leyes de

Newton solo son válidas dentro de un limite para la velocidad, si esta es mucho menor

que la velocidad de luz. La dinámica Newtoniana es prácticamente una de las leyes fun-

damentales dentro de la mecánica para el estudio del movimiento de los cuerpos.

2. Fuerza

Se entiende por fuerza a la cantidad física que resulta de la interacción entre dos cuer-

pos, esta interacción puede ser por contacto directo o a distancia.

Las fuerzas pueden aparecer por interacción directa, es decir contacto o sin la presencia

de ello, en como se ilustra en la figura 5.1

(a) (b)

Fig. 5.1 (a) Fuerzas a distancia (b) Fuerzas por contacto directo

3. Leyes de Newton

Las leyes que gobiernan los fenómenos mecánicos, fueron enunciadas por Newton, es-

tas se resumen en tres leyes conocidas como las leyes de Newton.

F�

F� N

�

P�

r

m m

Marco A. Merma Jara FISICA I Estatica


3.1.Primera Ley

Si un conjunto de fuerzas concurrentes nF,...,F,F��

21 actúan sobre un sistema de masa m

y tiene como resultante nF,...,FFR��

+++= 21 y esta resultante de fuerzas es cero. En-

tonces el sistema se encuentra en reposo (equilibrio) o se mueve con velocidad constan-

te.

Fig. 5.2 Fuerza sobre un sistema de masa m

Así si la resultante es cero, las fuerzas forman un polígono cerrado y el sistema esta en

reposo, es decir no hay fuerza que modifique ese estado mecánico.

O también si la suma de fuerzas es cero, entonces el sistema puede estar en movimiento

con velocidad constante, como se ilustra en la figura 5.3

Fig. 5.3. Movimiento con velocidad constante, en trayectoria rectilínea

Es importante establecer que equilibrio no implica reposo necesariamente, como se observa el

sistema de la figura 5.3 esta en movimiento, pero esta en equilibrio, ya que la suma de las fuer-

zas sobre este es cero.

Entonces se dice que un sistema permanece en reposo o movimiento con velocidad constante.

Mientras no haya alguna fuerza que modifique ese estado.

3.2.Segunda Ley

Si un sistema de masa m es afectada por fuerzas, y la suma vectorial de dichas fuerzas

es diferente de cero, entonces el sistema será afectado por una aceleración, que tiene la

misma dirección de la fuerza resultante.

En la figura 5.4 se ilustra el sistema y las fuerzas que están actuando.

m1F�

1F�

2F�

2F�

3F�

4F�

3F�

4F� 5F

�

5F�

6F�

7F�

7F�

6F�

xv�

m x



Fig. 5.4 Fuerza desequilibrante sobre un sistema de masa m

La fuerza desequilibrante 1 2 3 4RF F F F F= + + +� � � � �

del sistema se ilustra en la figura 5.5

Fig. 5.5 Fuerza desequilibrante

Como resultado la fuerza resultante tienen alguna dirección, como la que se muestra en

la figura 5.5 y esta fuerza genera una aceleración a�

que están relacionados entre si.

Entonces se establece que la magnitud de la aceleración del sistema es directamente

proporcional con la fuerza resultante

a dp F

La aceleración es directamente proporcional a la inversa de la masa

1

a dpm

Como consecuencia de estas razones se tiene

F

a dpm

De aquí se puede expresar la reilación

F

a cm

=

Donde c es una constante de proporcionalidad, en este caso 1c = , entonces

F

am

=

En forma vectorial sería

m

1F�

2F�

3F�

4F�

m

1F�

2F�

3F�

4F�

1F�

2F�

3F�

4F�

RF�



Fa

m=

��

Esto indica que la aceleración y la fuerza están e la misma dirección.

Usualmente la segunda ley de Newton es utilizado de la siguiente forma

RF ma=� �

(5.1)

En general la fuerza resultante RF�

tiene componentes, así para el sistema cartesiano se

deben escribir R Rx Ry RzF F F F= + +� � � �

, entonces las ecuaciones para la fuerza se escriben

ahora así

x x

y y

z z

F ma

F ma

F ma

=

=

=

��

� �

� �

� �

(5.2)

Otra forma de expresar a segunda ley de Newton es mediante la cantidad de movimien-

to, , considerando que dv

adt

= en la ecuación (5.1)( )dv d mv

F mdt dt

= =

3.2.1. Cantidad de movimiento o momento lineal p�

Se define a la cantidad de movimiento p�

como e producto de la masa por la velocidad

de esta es una cantidad vectorial.

p mv=� �

Finalmente se expresa

dp

Fdt

=�

� (5.2)

La fuerza es la razón de cambio del la cantidad de movimiento de un sistema.

3.2.2. Dirección de la fuerza resultante

Aunque esta claro que la fuerza resultante y la aceleración están en la misma dirección

es importante mencionar que para realizar el diagrama de fuerzas es necesario el reco-

nocimiento hacia donde esta orientada la aceleración e un sistema. Como se ilustra en la

figura 5.6 esta siempre tiene la misma dirección de la fuerza resultante.



Fig. 5.6 Dirección de la aceleración y la fuerza resultante

3.3.Tercera ley

Consideremos un sistema donde solo hay dos partículas de masas 1m y 2m , y estas solo

interactúan entre si, como se ilustra en la figura 5.7

Fig. 5.7. Interacción solo entre dos partículas

“A toda fuerza aplicada sobre un sistema, le corresponde otra fuerza que tiene la misma

dirección, igual magnitud pero de sentido contrario”

Las magnitudes de las fuerzas

1/ 2 2 /1F F=� �

(5.3)

La dirección de la fuerza

1/ 2 2/1F F= −� �

(5.4)

En la figura 5.7 se observa que las fuerzas sobre cada una de las masas se deben a la

acción de la otra, por eso las fuerzas de acción y reacción actúan siempre sobre cuerpos

diferentes.

4. Masa Inercial

La masa inercial se define a partir de la segunda ley de Newton así maF = , entonces la

masa esta expresado como a

Fm =

1F�

2F�

3F�

4F�

5F� RF

�

ma�

m

2m

1m

1/2F�

2/1F�



Fig. 5.8

Se dice entonces que un sistema tiene una inercia grande cuando es mas difícil de cam-

biar su estado mecánico ya sea de reposo o movimiento, y caso contrario cuando es fácil

de cambiar su estado se dice que su inercia es poca y esta relacionado con la denomina-

da masa inercial.

5. Masa Gravitatoria

La igualdad entre la masa inercial y la masa gravitatoria es un problema que llevo a

Einstein a la formulación de la teoría de la relatividad

De la ecuación (5.1), cuando la magnitud de la aceleración es igual la aceleración de la

gravedad, es decir a g= , entonces mgF = , de aquí gFm /= , este resultado se co-

noce como la masa gravitatoria y esta relacionada con la atracción que ejerce la tierra

sobre los cuerpos que se encuentran a su alrededor.

Fig. 5.9. Masa gravitatoria

6. Fuerzas de rozamiento

La fuerza de rozamiento es aquella que se opone al movimiento o posible movimiento

relativo de un cuerpo que se encuentra e contacto con otro. Para superficies secas esta

relación usualmente esta relacionado con la fuerza de reacción entre las superficies en

contacto en forma directamente proporcional

Fig. 5.10 Fuerza de Rozamiento

W mg=

mF�

F�

m

a�



La fuerza externa es aplicada sobre el cuerpo de masa m, esta no remueve mientras que

la fuerza aplicada no sea la suficiente para vencer la inercia.

Las fuerzas de fricción o rozamiento son la que impiden que l cuerpo se mueva rápida-

mente ya que esta siempre iguala en valor a la fuerza externa .hasta que es vencida por

esta finalmente y se produce el movimiento.

Las fuerza de rozamiento son de origen atómico y esta relacionado con las interacciones

entre los electrones de las superficies que se encentran en contacto., e la figura 5.11 se

hace una ampliación de la superficie donde esta actuando las fuerzas de rozamiento.

Fig. 5.11 Rugosidades de las superficies

6.1.Fuerza de Rozamiento estático

Cuando una fuerza actúa sobre un sistema, esta no s mueve inmediatamente, debido a

ala acción de la fuerza de rozamiento. Cuando ocurre esto entonces se define la fuerza

de rozamiento estático. Esta fuerza alcanza su valor máximo cuando el movimiento ya

se va a dar, entonces se dice que el movimiento es inminente.

E figura 5.12 se muestra el diagrama de fuerzas, si aun no se mueve el sistema cuando

la fuerza ya esta actuando se tiene

Fig.5.12

F f

N P

==

La magnitud de la fuerza de rozamiento f siempre es proporcional a la reacción normal

de las superficies en contacto.

f�

m

Sf�

F�

P�

N�



f dp N

De aquí se tiene el coeficiente de rozamiento estático Sµ

S Sf Nµ= (5.5)

Cuando S Sf Nµ= se dice que la fuerza estática alcanza su valor máximo y el movi-

miento del sistema es inminente.

En general la fuerza estática siempre es menor o igual al valor máximo que pude alcan-

zar.

maxS Sf f≤ (5.6)

6.2.Fuerza de rozamiento cinético

Si un sistema de masa m esta en movimiento, las fuerzas de fricción continúan actuando

en las superficies en contacto.

Fig. 5.13

En este caso la fuerza de rozamiento también es proporcional a la fuerza de reacción normal

entre las superficies en contacto, es decir

f dp N

El coeficiente de rozamiento cinético es kµ

k kf Nµ= (5.7)

En general siempre el coeficiente de rozamiento estático es mayor que el coeficiente de

rozamiento cinético, entonces

S kµ µ> (5.8)

En consecuencia la fuerza de fricción estática siempre será mayor que la fuerza de fric-

ción cinética

S kf f> (5.9)

mF�

kf�

N�

P�



La Máquina de Atwood

Cuando se tiene poleas móviles la relación de fuerzas, velocidades y aceleraciones de-

penden del tipo de conexión en la cual intervienen las poleas, George Atwwod, antes

que Newton hizo demostraciones sobre el movimiento con poleas.

Fig. Maquina de Atwood

Diagrama de fuerzas

Ecuaciones del Movimiento

Para 1m , � = amF 1

amgmT 11 =− ( i )

Para 2m , � = amF 2

amTgm 22 =− ( ii )

De las ecuaciones (i ) , (ii) la magnitud de la aceleración del sistema es

gmm

mma

12

12

+−

=

El Método de las Cuerdas

Cuando se tienen poleas móviles, la relación de las magnitudes de las velocidades, así

como las aceleraciones se establecen en términos de la relación de fuerzas. La máquina

de Atwood doble es un ejemplo ideal para ilustrar esta situación.

TT

gm1 gm2

a

a

1m 2m

1m2m

a



Para aplicar el método de las cuerdas es necesario tomar como referencia un punto fijo

del sistema, luego a partir de allí realizar las mediciones de las posiciones, y finalmente

establecer la razón de cambio de las posiciones de los cuerpos en movimiento.

Considerando como referencia la línea fija en (1), se miden las posiciones de las masas

32113 sssyL +++=

La razón de cambio de esta relación es

21 3vv −=

21 3aa −=

La razón de cambio de 321 ,, sss , es cero, ya que permanecen constantes durante el mo-

vimiento.

El signo indica la dirección de las velocidades y aceleraciones en el sistema en movi-

miento. La relación de aceleraciones esta en la misma relación de fuerzas que actúan

sobre cada una de las masas

7. Marcos de Referencia

Un marcote referencia se define por un punto fijo e el espacio, al cual se le asocia un

sistema de coordenadas y una escala de tiempo, como se ilustra en la figura 5.14

En este marco de referencia se asocia un observador a partir del cual se miden los eventos que

se quieren estudiar. Estos marcos de referencia también se denominan sistemas de referencia.

Estos pueden ser de tipo inerciales y no inerciales, las leyes del movimiento respecto de estos

marcos de referencia, sobre todo los no inerciales requieren de algún ajuste para precisar la ex-

plicación física de la dinámica para una partícula.

1m

1a

2m

2a

1y 1y 1y



Fig.5.14 Marco de referencia

7.1.Marcos de referencia inercial

Un sistema se dice que tienen un marco de referencia inercial cuando este esta fijo en u

punto es decir esta en reposo (en equilibrio), lo cual implica que también puede estar en

movimiento con velocidad constante.

7.2.Marcos de Referencia no inercial

Este marco de referencia se caracteriza porque el observador ubicado en le origen de

coordenadas tienen una aceleración. Entonces este marco de referencia es móvil, como

resultado de esto la ley del movimiento debe ser ajustada, corregida para satisfacer una

explicación física.

7.3.Movimiento de traslación rectilínea con marcos de no inerciales

Consideremos dos observadores localizados en dos marcos de referencia, uno inercial

0xyz, y otro no inercial localizado en 0´x´y´z´

Fig. 5.15

Una masa m esta colgando desde lo alto del interior de un vagón en movimiento con

aceleración a, hay dos observadores, describiremos desde el punto de vista de cada uno

de los observadores a la partícula de masa m que esta dentro del vagón.

� x

y

z

0

0 x

y

x

y

m

a

θ



7.3.1. Según el observador en le sistema 0xyx

El diagrama de fuerzas para este observador se muestra en la siguiente figura 5.16

Fig. 5.16

Las ecuaciones segunda la segunda ley de Newton serán

En el eje x, x xF ma=��

s nxT T e maθ= =

En el eje y, 0yF =��

cosyT T mgθ= =

La aceleración entonces esta dado por

(tg )a g θ= (5.10)

7.3.2. Según el observador en le sistema 0xyx

El diagrama de fuerzas para el observador que esta situado en le sistema acelerado seria

como se ilustra en la figura 5.16. Entonces implicaría que le sistema esta acelerado. Por

el contrario cuado se esta observado el sistema desde el vagón en movimiento acelera-

do, el observador siempre halla que esta quieto la masa m. por tanto se introduce una

corrección para satisfacer esta condición. Esta es la fuerza ficticia

Fuerza ficticia F

Esta fuerza no existe, solo se introduce como una corrección para tener una interpreta-

ción correcta de las leyes de Newton. Esto se hará siempre que se tenga un sistema de

referencia acelerado o marco de referencia no inercial.

El valor de la fuerza ficticia F siempre esta dado por producto de la masa del sistema

que se analiza por la aceleración del marco de referencia no inercial

F ma=

Y su dirección siempre es opuesta a la dirección de la aceleración del marco de referen-

cia no inercial.

θ

mg�

ˆcosyT T jθ=�

ˆxT Tsen iθ=�

T�

θ =x

y

m



ˆ( )F F i= −�

De tal forma que las una de todas las fuerzas en todas las direcciones siempre sea nulo,

asegurando así lo que el observador del vagón describe como realmente esta com-

portándose el sistema de masa m que cuelga del techo.

Las ecuaciones que describen el sistema son

En el eje x 0xF =��

, Con F ma=

F Tsenθ=

En el eje x 0yF =��

cosT mgθ =

De aquí se obtiene el valor de la aceleración del sistema, esto es

( )a g tgθ= (5.11)

Fig. 5.17

Se tiene entonces que en ambos caos el valor de la aceleración siempre es el mismo, lo

cual indica la invariabilidad de las leyes de la física para este caso.

7.4.Movimiento de rotación con marco de referencia no inercial

Consideremos ahora un sistema que se encentra en rotación con rapidez constante y de

nuevo están allí los observadores situados e dos marcos de referencia, uno inercial y

otro no inercial.

Fig. 5.18

θ

mg�

ˆcosyT T jθ=�

ˆxT Tsen iθ=�

T�

θ =x

y

mF�

x

y

0

y

x0 m



Una cuerpo de masa m esta sobre una plataforma que gira con velocidad angular constante ω ,

la plataforma es rugosa y el coeficiente estático es kµ . Analizaremos el sistema desde el punto

de vista de los marcos e referencia 0xyz inercial, y el sistema 0´ ´ ´ ´x y z .

7.4.1. Según e observador localizado en 0xyz

El diagrama de fuerza para este observado se ilustra en la figura 5.19

Fig. 5.19

En el eje x, xF ma=��

kf ma=

Con k kf Nµ=

En el eje y, 0yF =��

, P mg=

N P=

De estas dos ecuaciones podemos hallar el valor e la aceleración, esta dado por

ka gµ= (5.12)

7.4.2. Según el observador localizado en 0´ ´ ´ ´x y z

El diagrama de fuerzas para el observador no inercial se muestra en la figura 5.20, pero como el

observador inicial aprecia al sistema de tal forma que no hay movimiento, para cada una da las

direcciones la resultan de as furas debe ser cero, y para garantizar este hecho se introduce la

fuerza ficticia F, cuyo valor ya conocemos, es el producto de la masa del sistema analizado por

la aceleración del marco de referencia no inercial.

Fig. 5.20

kf�

P�

N�

m

y

x

N�

P�

kf�

kf�

P�

N�

m

´y

x

N�

P�

kf�

F�



Las ecuaciones para el equilibrio serán

En el eje x´, ´ 0xF =��

, con k kf Nµ=

kF f=

En ele eje y´, ´ 0yF =��

, con P mg=

N P=

De donde se obtiene le valor de la aceleración

ka gµ= (5.13)

Nuevamente de las ecuaciones (5.12) y (5.13) los resultados siempre son los mismos. Las leyes

de la física no han cambiado.

Usualmente preferiremos resolver las situaciones dinámicas por considerando los marcos de

referencia inerciales, ya que ahí no precisa realizar ninguna corrección a la ecuación dinámica

para satisfacer un estado dinámico.

En el caso del movimiento de rotación con marcos de referencia no inerciales, a la fuerza ficti-

cia se denomina fuerza centrífuga, como ya mencionamos esta fuerza no existe.

8. Problemas Resueltos

Problema 8.1 Una esfera de masa m se encuentra colocada sobre una barra

rígida vertical de masa despreciable, si en el instante 0t = se inicia el mo-

vimiento, para qué ángulo con la vertical la esfera se desprende de la barra?

Fig. 5.21

Solución

Analizando el sistema en una posición intermedia, cuando el ángulo es θ , la fuerza en

la dirección de la aceleración tangencial es θsenmg , luego se puede escribir

mm

R

m

θ cosmg θ θ mg senθ

mg

N

x

y



mR0

β

B

A

dt

dvmmg =θcos , si se multiplica y divide por θd en el segundo miembro de la igual-

dad se tiene θ

θd

dvmvmg =cos , lo que es lo mismo dv

R

vmgdvmdmg == ωθθcos

Sea α es el ángulo para el cual la masa se desprende de la barra.

Entonces dt

dθω = , integrando para θ entre 0 y α se encuentra la relación

( )2

00

cos2

vv

gRαθ � �

− = � ��

, evaluando se encuentra el valor de la velocidad

)cos( α+= 122 Rgv (i)

La fuerza en la dirección de la aceleración radial o normal θcosmg , por lo que se es-

cribe la expresión del movimiento como R

vmmgN

2

=− αcos , en el instante que se

desprende la fuerza de reacción normal es nulo, la ecuación se reduce a

2 cosv mgR α= (ii)

De (i) y (ii) se obtiene ��

��

�=3

2cosarcα

Problema 8.2 Una esfera de masa m se suelta desde el punto A

como se muestra en la figura, la superficie semiesférica no ofre-

ce resistencia, la esfera no se desliza, (a) hallar la velocidad de la

esfera cuando se encuentre en el punto B. (b) determine el tiem-

po transcurrido cuando la esfera se encuentra en el punto B

Solución

Realizando el diagrama de fuerzas en una posición intermedia cuando el ángulo barrido

es δ se tiene.

Fig. 5.22

A lo largo del radio del semicírculo, F ma=��

N

mg

δ

cosmg δ

N

mg senδ δx

y



2v

N mg sen mR

δ− = (i)

A lo largo de la tangente, F ma=��

cosdv

mg mdt

δ = (ii)

Con

dv dv ds dv

vdt dt ds ds

= = , ( )ds R dδ= (iii)

De la ecuaciones (ii) y (iii)

0

2 2cosBv Rg Rgsendβ

βδ δ= =�

De la ecuación (ii) y con δ β= cuando Bt t=

0

0

2 1

cos cos cos

B

B

v

t dv Rg sen sendt

Rg Rg Rg

β ββ β β

= = =��

1

cosB

sent

Rg

ββ

=

Problema 8.3 Una esfera atada de una cuerda lon-

gitud L, se suelta desde la posición que se indica en la

figura, calcular la fuerza de tensión en el punto más bajo de su recorrido

Solución

El diagrama de fuerzas para una posición intermedia del recorrido de la masa, cuando el

ángulo barrido sea θ

Cuando la masa alcanza el punto mas bajo de la trayectoria, el ángulo barrido ser 90º

Fig. 5.23

Las ecuaciones para el sistema son

A los largo de la tangente, F ma=��

mL

θ

Tθ

cosmg θmg senθ

x

y

mg

T



dv

mg sen mdt

θ = (m)

A los largo de la aceleración normal, F ma=��

2

cosv

T mg mL

θ− = (n)

De las ecuaciones (m) la velocidad es

902 2

02 2

o

ov v Lg sen d Lgθ θ= + =�

De la ecuación (n) con 90oθ =

2 2

( cos90 ) 2o v LgT m g m mg

L L= + = =

Problema 8.4 Un motor sube una caja de masa 40 Kg. Si la fuerza

varía de acuerdo a la gráfica mostrada, hallar la velocidad cuando

24t s= , si el motor actúa desde 0t s=

Solución

El diagrama de fuerzas para cada una de las partes del sistema

Para el bloque de masa m, yF ma=��

2F mg ma− =

De aquí con dv

adt

=

12 24

0 0 12

1( (2 ) (2 ) )

vdv F mg dt F mg dt

m= − + −� � �

LA fuerza tiene un comportamiento diferente en cada tramo de tiempo, de 0 a 12 segun-

dos la fuerza es directamente proporcional al tiempo, de 12 a 24 segundos la fuerza es

constante. Entonces

0 12

12 24o

c

zt F tF

F t

+ ≤ ≤= A ≤ ≤B

En la ecuación (*), finalmente la velocidad es

F F

2F

2F

mg F

F

12 24

24

( )F N

( )t s



12 24

0 12

1( (2( ) ) (2 ) )o cv zt F mg dt F mg dt

m= + − + −� � (*)

Problema 8.5 Una masa m esta localizada en la parte interior de un cono

que gira con velocidad angular constate ω , si el coeficiente de rozamiento

estático es Sµ , entre las superficies en contato del bloque y el interior del

cono. Hallar la velocidad angular para la cual el bloque permanece quieto

dento del cono, sin resbalar.

Solución

Realizando el diagrama de fuerzas del sistema se tiene

Fig.5.25

Las ecuaciones son

Para el eje x, xF ma=��

, con radio de giro r hsenθ=

2cos SN f sen m rθ θ ω− = (*)

Para el eje y, 0yF =��

cosSNsen f mgθ θ+ = (**)

De las ecuaciones (*) y (**), y con S Sf Nµ=

cos

cosS

S

seng

hsen sen

θ µ θωθ θ µ θ

−=−

Si la velocidad es mas grande, el bloque también puede deslizarse hacia arriba a lo largo

del interior del cono, por lo que queda hacer un análisis, cuando la fuerza de rozamiento

esta orientado en sentido contrario

Así se halla la velocidad máxima y mínima a la que pueda rotar el sistema, haciendo

que la masa siempre permanezca fijo e la posición indicada.

m

θ h

N

mg

Sf

Nsenθ

cosN θ

mg

cosSf θ

Sf senθr




Prob.9.1 Sobre una mesa horizontal lisa se halla una barra metálica de longitud L y

masa M, la cual puede desplazarse por la mesa sin fricción, se ata de un extremo una

cuerda y otra barra igual en libertad, como se ilustra en la figura. El sistema se pone en

movimiento, (a) hallar la fricción en la polea.

Fig. Prob 9.1 Fig. Prob 9.2

Prob. 9.2 Una barreta con masa M se encuentra sobre una mesa horizontal lisa por la

cual puede moverse sin fricción. Sobre la barreta se halla un cubo con masa m que se

apoya en un pequeño saliente O como se ilustra en la figura. ¿Cuál será el máximo valor

de la fuerza F aplicada a la barreta que no causa el vuelco del cubo?

Prob. 9.3 Cada caja de la figura pesa 50 libras y se puede ignorar la fricción. Si las ca-

jas empiezan a moverse desde el reposo en 0t = , determinar la magnitud de las veloci-

dades de sus velocidades y la distancia que se han movido desde su posición inicial en

1t = s

Fig. Prob 9.3 Fig. Prob 9.4

Prob.9.4 La masa del bloque A y del bloque son 15 kg. y 30 kg. Respectivamente, y los

coeficientes de fricción entre todas las superficies son 0.4Sµ = y 0.35kµ = . ¿Cuál es la

fuerza máxima F que se puede aplicar sin que el bloque A se deslice respecto del blo-

que B? ¿Cuál es la aceleración resultante?

Fig. Prob 9.5

L

L

F

mM

F

A

B30 (o

)30o

F



Prob. 9.5 En la figura la caja de 100 libras esta inicialmente en reposo. Los coeficientes

de fricción entre la caja y las superficies en contacto son 0.2Sµ = y 0.16kµ = . Deter-

minar la distancia que recorre la caja desde la posición inicial en 2 segundos si la fuerza

horizontal es 90F = libras.

10. Referencias

[1] Física Universitaria, Sears, Zemansky, Young, Freedmann, Pearson, Mexico, 1999.

[2] Dinámica, Ingeniería Mecánica, R. C. Hibeller, Prentice-Hall Hispanoamericana,

México 1997.

[3] Física, Vol. I, Mecánica, Marcelo Alonso, Edgard Finn, Fondo Educativo Interame-

ricano, S.A., México 1970.

[4] Olimpiadas de Física de la Unión Soviética, Slobodetski, V. A. Orlov, Vneshtorgiz-

dat, Moscú, 1982.

[5] Dinámica, Mecánica para Ingeniería, Bedford Fowler, Addisson Wesley Iberoame-

ricana, Wilmington Delaware, 1996.



TTrraabbaajjoo yy EEnneerrggííaa 1. Introducción

Trabajo mecánico es una cantidad física de tipo vectorial, mide la acción de una fuerza

cuando traslada un cuerpo o sistema desde una posición inicial hacia otra final.

2. Trabajo Mecánico

El trabajo mecánica es una magnitud escalar y se define como la capacidad que tiene

una fuerza para trasladar un cuerpo desde una posición inicial hacia otra posición final.

El trabajo mecánico para el intervalo finito se determina por la ecuación

rFW��

∆•=∆

Cuando el desplazamiento es infinitesimalmente pequeño, entonces el trabajo se calcula

por

� •=f

irdFW��

3. Unidades de medida

El trabajo se mide en Joules, que se simboliza con la letra J, en honor a jemes Presscot

Joule, físico inglés.

En el sistema internacional de Unidades se mide en Joule

JNmrFW === ]][[][

En el sistema inglés de unidades se mide en lb pie

W∆

F�

r�

∆θ)

Marco A. Merma Jara FISICA I Trabajo y Energía


pielbrFW == ]][[][

En este sistema lb pie no tiene ningún nombre en particular

4. Signos del Trabajo

El trabajo mecánico puede tomar signo positivo o negativo, dependiendo del producto

escalar entre la fuerza y el desplazamiento.

Físicamente podemos determinar el signo del trabajo considerado las direcciones y

sentidos de la fuerza que realiza el trabajo y el vector desplazamiento.

Caso 1

Si la fuerza y el desplazamiento están en la misma dirección y en le mismo sentido

entonces el trabajo es positivo

0>W

Caso 2

Si la fuerza y el desplazamiento están en la misma dirección pero opuestas, entonces el

trabajo es negativo

0<W

Caso 3

Si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares, entonces el trabajo de la fuerza es

CERO o nulo

0=W

5. Interpretación Geométrica del Trabajo

Si graficamos la fuerza en función del desplazamiento obtenemos una curva, y si

calculamos el área bajo la curva F vs x, el valor calculado representa el valor del trabajo

mecánico para la fuerza.

Trabajo y Energía FISICA I Marco A. Merma Jara


Fig.a Fig.b

Fig a. Si la fuerza es variable, en la figura mostrada, el área se determina por la integral

�=xf

xiFdxArea

Fig b. Si la fuerza es constante, el área se determina por

FxArea=

6. Energía Mecánica

Se defina la energía mecánica E a la suma de las energías cinética de traslación K , y la

energía potencial gravitatoria V.

VKE +=

K . Energía cinética de traslación

V: energía potencial gravitatoria

7. Trabajo y Energía Cinética

Para una fuerza que traslada un cuerpo desde una posición inicial hacia otra final, es

posible cuantificar el trabajo en términos de sus rapideces o valores de la velocidad en

las posiciones inicial y final.

22

2

1

2

1if mvmvW −=

Se define la energía cinética de traslación K

2

2

1mvK =

La energía cinética de traslación K depende únicamente del valor de la velocidad, es

decir es una función del valor de la velocidad )(vKK = , y la masa de una cantidad

constante, por tanto para las posiciones final e inicial la energía cinética

respectivamente son fK , iK

Area Area



El trabajo se puede escribir en términos de la energía cinética de traslación

KW ∆=

El trabajo es igual a la variación de la energía cinética de traslación, entre los puntos

inicial y final.

Este resultado se conoce como el teorema del trabajo y la energía cinética.

Importante

El teorema del trabajo y la energía cinética es válido para cualquier tipo de fuerzas, es

decir si la fuerzas es constante o si la fuerza es variable.

8. Trabajo y Energía Potencial Gravitatoria

Considerar una partícula que cae libremente, y tomando como nivel de referencia el

piso, como se ilustra en la figura, la única fuerza que realiza trabajo sobre la partícula de

masa m es el peso, la atracción gravitatoria de la tierra.

El trabajo del peso sobre la partícula de masa m es

ygmW��

∆•=

La magnitud del desplazamiento es )( fi yyy −=∆ entonces el trabajo

fifi mgymgyyymgW −=−= )(

Se define la energía Potencial gravitatoria V, al producto mgy

mgyV =

La energía potencial gravitatoria depende únicamente de la posición vertical, por lo que

en las posiciones inicial i final la energía potencial gravitatoria respectivamente es iV

Y fV

iy

fy

..RN



(θ

L

Entonces el trabajo en términos de la energía potencial gravitatoria es igual al valor

negativo de la variación de la energía potencial gravitatoria.

VW ∆−=

Este resultado es aplicable únicamente al peso, por eso también este resultado se conoce

como el trabajo del peso.

Ejemplo

Una partícula de masa m de 2 kg, rueda desde lo alto de un

plano indinado liso donde L = 5m, si parte del reposo,

determinar el trabajo realizado por el peso cuando la

partícula ha llegado al piso. La inclinación del plano es 30º

Solución:

El trabajo del peso se determina en cualquier caso por el negativo de la variación de la

energía potencial gravitatoria y considerando el nivel de referencia en la parte mas baja

que corresponde al piso.

θθ mgLsenmgLsenmgW =−−= ])0([

9. Trabajo en resortes

Consideremos un resorte de constante de fuerza k, inicialmente sin deformar cuya

longitud es ox

�=xf

xiFdxW

22

2

1

2

1if kxkxW −=

UW ∆=

10. Trabajo Neto

El trabajo neto es la suma algebraica de todos los trabajos realizados por cada una de las

fuerzas que intervienen en un sistema en movimiento.

kF

xix fx



Si un sistema de masa m es afectada por n fuerzas de magnitudes nFFF ,...,, 21 en

diversas direcciones durante su movimiento, entonces en trabajo neto se calcular por

FnFFNETO WWWW +++= ...21

Algunos de los trabajo pueden resultar con signo negativo, positivo y hasta pueden

presentarse trabajos nulos.

11. Potencia Mecánica

La potencia mecánica es la razón del trabajo realizado por unidad de tiempo.

Potencia media e instantánea

Patencia media

t

WP

∆∆>=<

Potencia instantánea

vFP��

•=

Unidades de medida

En el sistema internacional

Watts

J

s

mNvFP ==== ]][[][

En el sistema ingles

s

pielbvFP == ]][[][

Hps

pielb =550

Hp: es la unidad inglesa para la medida de la potencia, Hp. Horse Power (caballo

fuerza). La equivalencia entre el sistema internacional e ingles esta dada por

WHp 746= .

El kilowatt-hora (KWh)

Es la unidad comercial usual de energía eléctrica. Un kilowatt-hora es el trabajo total

realizado en 1 hora (3600 s) cuando la potencia es 1 kilowatt, así



MJJss

JsWKWh 6.3106.31036)3600)(10(1 653 =×=×==

Eficiencia e

La eficiencia es un coeficiente adimensional, se determina por la relación entre a

potencia entregada por un sistema y la potencia utilizada. El coeficiente de eficiencia

esta entre los cero y la unidad es decir

10 << e

ENTREGADA

UTIL

p

Pe =

Potencial Útil UTILP

Es la potencia que se utiliza para desarrollar trabajo durante el movimiento de un

sistema

Potencia entregada ENTREGADAP

Es la potencia que posee un sistema para entregar y ser capaz de desarrollar trabajo

durante el movimiento de un sistema.

12. Conservación de la Energía

La energía de un sistema es la suma de todas las energías conocidas, incluyendo la

energía mecánica, esta energía total no se crea ni se destruye solo se transforma, y esto

constituye el principio de conservación de la energía.

Fuerzas Conservativas

Para establecer el principio de conservación de la energía mecánica es necesario que las

fuerzas que actúan sobre un sistema sean conservativas, necesariamente..

Definición 1

Una fuerza se dice que es conservativa cuando el trabajo realizado por esta fuerza es

independiente del camino recorrido. Es decir solo depende las posiciones inicial y final

medidos respecto de un nivel de referencia arbitrario.

Definición 2

Una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado por dicha fuerza en un circuito

cerrado es nulo

Definición 3



Una campo de fuerzas F es conservativa cuando existe una función potencial escalar

V(r), tal que

dr

rdVF

)(−=

Donde )(rV es la función potencial (campo escalar) que depende de la posición

Ejemplo 1:

Partículas de masas iguales se lanzan desde lo alto de un edificio, con diferentes valores

para las velocidades de lanzamiento.. Determinar el trabajo sobre cada una de las masas,

si la altura del edificio es H.

Aquí figura

Para la masa m1 el trabajo

W=- ( m1g(0) - m1gH) = mgH Para la masa m2 el trabajo

W=- ( m2g(0) - m2gH) = mgH Para la masa m3 el trabajo

W=- ( m3g(0) - m3gH) = mgH

El trabajo sobre la masa m1=m2=m3=m siempre da el mismo resultado, porque no

depende del camino que recorren las masas, sino solamente las posiciones inicial y final

respecto del nivel de referencia.

Ejemplo 2:

0=→BAW

Ejemplo 3:

Si la energía potencial elástica de un resorte es 2

2

1)( kxxU = , donde k es la constante de

fuerza o de rigidez, x es la deformación. Entonces la magnitud de la fuerza asociada a

este campo escalar es

kxdx

xdUF −=−= )(

Lo que corresponde a la fuerza recuperadora en el resorte.

Las dos primeras definiciones son necesarias pero no suficientes, en tanto que la tercera

definición es necesaria y suficiente, es la mas fuerte.



Principio de Conservación de la Energía Mecánica

La energía mecánica de un sistema permanece constante solo si en el sistema existen

fuerzas conservativas.

fi EE = 㻌

ffii VKVK +=+ 㻌

Trabajo de Fuerzas Conservativas, energía Disipada

La energía mecánica en una colisión solo permanece constante cuando el choque es

elástico, en todos lo demás casos la energía mecánica no permanece constante.

La energía faltante después de la colisión se transforma en otros tipos de energía

diferente a la energía mecánica, usualmente en energía luminosa, calorífica, térmica.

Esta energía que sale del sistema se denomina energía disipada.

EQ ∆−=

Donde Q es la energía disipada, el signo menos indica que sale del sistema, E , es la

energía mecánica del sistema.

13. Ejercicios

1. Demostrar que el teorema del trabajo y la energía cinética es también válido para

una fuerza constante.

2. Demostrar que el trabajo mecánico solo se debe a las fuerzas que están en la misma

dirección del desplazamiento.

3. Demostrar que el trabajo del peso se calcula en cualquier caso por el negativo de la

variación de la energía potencial gravitatoria respecto de un nivel de referencia

tomado arbitrariamente.

4. Demostrar que el trabajo de una fuerza deformadora sobre un resorte está

determinada por la variación de la energía potencial elástica

5. Demostrar que cuando un resorte es deformado por compresión, el trabajo sobre el

resorte está determinado por el negativo de la variación de la energía potencial

elástica.

6. Demostrar que sobre un resorte al ser deformado ya sea por estiramiento o por

compresión, el trabajo neto es cero



(θ

L

7. Demostrar que toda fuerza que es normal al desplazamiento no realiza trabajo

alguno, es decir hace trabajo nulo o cero.

8. Consideremos el caso de la figura mostrada, donde una partícula de masa m rueda

sobre el plano, partiendo del reposo en la parte mas alta, el coeficiente de

rozamiento cinético entre el plano inclinado y la masa es kµ . Determinar el trabajo

neto sobre la partícula durante el recorrido a lo largo del plano indinado.

Fig. Ejercicio 8 Fig. Ejercicio 10

9. Demostrar que la potencia mecánica instantánea para un sistema mecánico se

calcula por la ecuación FvP = , donde F es la magnitud de la fuerza y v es la

magnitud de la velocidad.

10. Un motor eléctrico instalado en lo alto de un soporte, entrega una potencia de 500

W, y cuando levanta un bloque de 80 Kg., verticalmente con rapidez constante de

0.5 m/s. entonces determinar la eficiencia del motor. Si la aceleración de la gravedad

tiene el valor de 9.81 m/s2

14. Problemas

1. Un viejo cubo de roble con masa de 6.75 kg cuelga en un pozo del extremo de una cuerda, que pasa sobre una polca sin fricción en la parte superior del pozo, y usted tira de la cuerda horizontalmente del extremo de la cuerda para levantar el cubo lentamente 4.00 m a) ¿Cuánto trabajo efectúa usted sobre el cubo al subirlo? b) ¿Cuánta fuerza gravitacional actúa sobre el cubo? c) ¿Qué trabajo total se realiza sobre el cubo

2. Distancia de paro. Un automóvil viaja por un camino horizontal con rapidez v0 en el instante en que los frenos se bloquean, de modo que las llantas se deslizan en vez de rodar. a) Use el teorema trabajo-energía para calcular la distancia mínima en que puede detenerse el auto en términos de v0, g y el coeficiente de fricción cinética Kµ entre los neumáticos y el camino. b) ¿En qué factor cambiaría la distancia mínima de frenado, si i) se duplicara el coeficiente de fricción cinética, ii) se duplicara la rapidez inicial, o iii) se duplicaran tanto el coeficiente de fricción cinética como la rapidez inicial?

3. En un día invernal, un bodeguero está empujando cajas hacia arriba, por una tabla áspera inclinada con un ángulo θ sobre la horizontal. La tabla está cubierta en parte con hielo, y hay más hielo cerca de la base de la tabla que cerca del tope, de modo que el coeficiente de fricción aumenta con la distancia x a lo largo de la tabla:



AxK =µ donde A es una constante positiva y la base de la tabla está en x = 0. (Para

esta tabla, los coeficientes de fricción cinética y estática son iguales, µµµ == SK )

El bodeguero empuja una caja tabla arriba, de modo que sale de la base de la tabla con rapidez v = 0. Demuestre que cuando la caja se detiene, permanecerá en reposo

si θθ

cos

3 22

A

gsenvo ≥

4. Potencia del corazón humano. El corazón humano es una bomba potente y muy confiable; cada día admite y descarga unos 7500 L de sangre. Suponga que el trabajo que realiza el corazón es igual al requerido para levantar esa cantidad de sangre a la altura media de una mujer estadounidense (1.63 m). La densidad (masa por unidad de volumen) de la sangre es de 33 /1005.1 mKg× a) ¿Cuánto trabajo realiza el corazón en un día?, b) ¿Qué potencia desarrolla en watts?

5. Coeficientes de fricción variables. Una caja resbala con una rapidez de 4.50 m/s por una superficie horizontal cuando, en el punto P, se topa con una sección áspera. Aquí, el coeficiente de fricción no es constante: inicia en 0.100 en P y aumenta linealmente con la distancia después de P, alcanzando un valor de 0.600 en 12.5 m más allá de P. a) Use el teorema trabajo-energía para obtener la distancia que la caja se desliza antes de pararse. b) Determine el coeficiente de fricción en el punto donde se paró. c) ¿Qué distancia se habría deslizado la caja si el coeficiente de fricción, en vez de aumentar, se hubiera mantenido en 0.100?

6. Considere un resorte con un extremo fijo que no obedece fielmente la ley de Hooke. Para mantenerlo estirado o comprimido una distancia x, se debe aplicar al extremo libre una fuerza sobre el eje x con componente 32 cxbxkxFx +−= . Aquí k=100

N/m, b=100 N/m2 y c =12,000 N/m3. Observe que x > 0 cuando se estira el resorte y x < 0 cuando se comprime. a) ¿Cuánto trabajo debe realizarse para estirar este resorte 0.050 m con respecto a su longitud no estirada? b) ¿Cuánto trabajo debe realizarse para comprimirlo 0.050 m con respecto a su longitud no estirada? c) ¿Es más fácil estirar o comprimir este resorte? Explique por qué en términos de la dependencia de Fx en x. (Muchos resortes reales tienen el mismo comportamiento cualitativo.)

7. Barra giratoria . Una barra delgada y uniforme de 12.0 kg y longitud de 2.00 m gira uniformemente alrededor de un pivote en un extremo, describiendo 5.00 revoluciones completas cada 3.00 segundos. ¿Qué energía cinética tiene esta barra? (Sugerencia: los diferentes puntos de la barra tienen diferente rapidez. Divida la barra en segmentos infinitesimales de masa dm e integre para obtener la energía cinética total de todos estos segmentos.)

8. Un camión de remolque tira de un automóvil 5.00 km por una carretera horizontal, usando un cable cuya tensión es de 850 N. a) ¿Cuánto trabajo ejerce el cable sobre el auto si tira de él horizontalmente? ¿Y si tira a 35.08 sobre la horizontal? b) ¿Cuánto trabajo realiza el cable sobre el camión de remolque en ambos casos del inciso a)? c) ¿Cuánto trabajo efectúa la gravedad sobre el auto en el inciso a)?

9. Un obrero empuja horizontalmente una caja de 30.0 kg una distancia de 4.5 m en un piso plano, con velocidad constante. El coeficiente de fricción cinética entre el piso y la caja es de 0.25. a) ¿Qué magnitud de fuerza debe aplicar el obrero? b) ¿Cuánto trabajo efectúa dicha fuerza sobre la caja? c) ¿Cuánto trabajo efectúa la fricción sobre la caja? d) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza normal sobre la caja? ¿Y la gravedad? e) ¿Qué trabajo total se efectúa sobre la caja?

10. Suponga que el obrero del ejercicio 6.3 empuja hacia abajo con un ángulo de 308 bajo la horizontal. a) ¿Qué magnitud de fuerza debe aplicar el obrero para mover la



caja con velocidad constante? b) ¿Qué trabajo realiza esta fuerza sobre la caja si se empuja 4.5 m? c) ¿Qué trabajo realiza la fricción sobre la caja en este desplazamiento? d) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza normal sobre la caja? ¿Y la gravedad? e) ¿Qué trabajo total se efectúa sobre la caja?

11. Un pintor de 75.0 kg sube por una escalera de 2.75 m que está inclinada contra una pared vertical. La escalera forma un ángulo de 30.08 con la pared. a) ¿Cuánto trabajo realiza la gravedad sobre el pintor? b) ¿La respuesta al inciso a) depende de si el pintor sube a rapidez constante o de si acelera hacia arriba de la escalera?

12. Dos botes remolcadores tiran de un buque tanque averiado. Cada uno ejerce una fuerza constante de 1.80 3 106N, uno 148 al oeste del norte y el otro 148 al este del norte, tirando del buque tanque 0.75 km al norte. ¿Qué trabajo total efectúan sobre el buque tanque?

13. Dos bloques están conectados por un cordón muy ligero que pasa por una polea sin masa y sin fricción (figura 6.30). Al viajar a rapidez constante, el bloque de 20.0 N se mueve 75.0 cm a la derecha y el bloque de 12.0 N se mueve 75.0 cm hacia abajo. Durante este proceso,¿cuánto trabajo efectúa a) sobre el bloque de 12.0 N, i) la gravedad y ii) la tensión en el cordón? b) sobre el bloque de 20.0 N, i) la gravedad, ii) la tensión en el cordón, iii) la fricción y iv) la fuerza normal? c) Obtenga el trabajo total efectuado sobre cada bloque.

14. a) ¿Cuántos joules de energía cinética tiene un automóvil de 750 kg que viaja por una autopista común con rapidez de 65 mi/h? b) ¿En qué factor diminuiría su energía cinética si el auto viajara a la mitad de esa rapidez? c) ¿A qué rapidez (en mi/h) tendría que viajar el auto para tener la mitad de la energía cinética del inciso a)?

15. Cráter de meteorito Hace aproximadamente 50,000 años, un meteorito se estrelló contra la Tierra cerca de lo que actualmente es la ciudad de Flagstaff, en Arizona. Mediciones recientes (2005) estiman que dicho meteorito tenía una masa aproximada de Kg81043.1 × (unas 150,000 toneladas) y se impactó contra el suelo a 12 km/s. a) ¿Cuánta energía cinética pasó este meteorito al suelo? b) ¿Cómo se compara esta energía con la energía liberada por una bomba nuclear de 1.0 megatones? (Una bomba de un megatón libera la misma energía que un millón de toneladas de TNT, y 1.0 ton de TNT libera 4.184 3 109J de energía.)

15. Referencias

[1.] Física Universitaria, Vol. I, F. Sears, Zemansky,Young, Freedman, 12va edición, Pearson, Mexico 2009

[2.] Física I, Notas de Aula, Marco A. Merma Jara, Universidad Nacional del Callao, 2005.



II mmppuullssoo yy MMoommeennttoo LLiinneeaall 1. Introducción

El impulso es una cantidad física de tipo vectorial, que mide el cambio brusco del

estado mecánico de un sistema en un instante del tiempo. Este tiempo usualmente es

muy pequeño.

2. Impulso I�

El impulso es una cantidad física vectorial, que indica el cambio brusco del estado

mecánico de un sistema. La magnitud de la fuerza crece y decrece bruscamente en un

intervalo de tiempo pequeño

�=tf

tidtFI��

Donde F�

, es la fuerza variable, t es el tiempo.

3. Unidades de Medida

En el sistema internacional de unidades, la fuerza se mide en Newton

NstFI == ]][[][

En el sistema ingles de unidades, la fuerza se mide en Libras

slbtFI .]][[][ ==

Graficando las Fuerzas

Fig.a Fig.b

F F

tt

Área Área

Impulso y Momento Lineal FISICA I Marco A. Merma Jara


4. Interpretación Geométrica del Impulso

El área bajo la curva F vs. t representa la magnitud del impulso

En la fig.a el área bajo la curva F vs. t representa el valor del impulso producido por la

fuerza variable que crece y decrece bruscamente en un instante del tiempo

�= FdtArea

En la fig b el área bajo la cueva >< F�

vs. t∆ Representa el impulso de la fuerza media

en el intervalo de tiempo. Este impulso así calculado es exactamente igual en valor ala

producida por la fuerza variable

tFArea ∆><=

Al ser iguales los impulsos en valor podemos escribir

tFFdtArea ∆><== �

5. Impulso y Momento lineal

Durante una interacción, el impulso se puede calcular mediante la variación del

momento lineal

pppI if

��∆=−=

fp�

Cantidad de movimiento final, un instante después de la colisión, ip�

Cantidad de

movimiento inicial, un instante antes de la colisión. Este resultado se conoce como el

teorema del impulso y momento lineal

Como consecuencia se puede calcular la velocidad después de la colisión por

�+=+=tf

tiiif Fdtm

vm

Ivv

1��

�� (*)

Ejemplo

Una bala de masa 10g sale de un revolver con una

velocidad i=v ˆ200�

m/s, si la fuerza en el

impacto varia en función del tiempo según la

grafica de la figura mostrada. Determinar (a) La

función )(tFF = a partir de la gráfica, (b) El 2.0 4.02.0

40

80

)(NF

210)( −×st

Marco A. Merma Jara FISICA I Impulso y Momento Lineal


impulso durante el impacto, (c) La velocidad de rebote.

Solución

La función )(tFF = se determina hallando la ecuación de la recta que forman el

triangulo, uno con pendiente positiva y el otro con pendiente negativa.

��

<<<<

=4.02.0

2.00

t

tF

El impulso en el impacto será

NsidtdtI )ˆ(1016 24.0

2.0

2.0

0

−×=+= ��

La velocidad de rebote, de la ecuación (*) es

smiiv f /)ˆ1016(10

1)ˆ200( 2

2 ��

��

A ×+= −�

Otra forma de resolver el problemas es utilizando interpretación geométrica del

impulso, en la grafica F vs t, el área del la curva representa el valor del impulso

NssNI 22 1016)104.0)(80( −− ×=×=

Y el valor de la velocidad de la ecuación (*)

smiiv f /)ˆ1016(10

1)ˆ200( 2

2 ��

��

A ×+= −�

Se debe obtener el mismo resultado.

6. Fuerza media >< F�

Es posible encontrar una fuerza promedio, constante tal que produzca e el mismo

impulso que una fuerza variable, que actúa en el mismo intervalo de tiempo. De la fig.b

tFI ∆>=<

De donde se tiene

dtFt

It

Ftf

ti�∆=

∆>=<

�� 11

7. Principio de Conservación del momento lineal

En una colisión ya sea elástica o inelástica el momento lineal siempre permanece



constante, solo es necesario verificar que el sistema sea cerrado o aislado.

Sistema aislado

Se dice que un sistema es aislado o cerrado, cuando no se consideran las fuerzas

exteriores al sistema, solo las fuerzas internas.

Fig. 1 Sistema aislado, donde solo hay interacciones internas

8. Conservación del Momento lineal

La cantidad de movimiento permanece constan solo si el sistema es cerrado

Ctepp fi ==��

9. Colisiones o Choques

Durante una colisión o choque de dos partículas de masas 1m y 2m , con velocidades

iniciales iv1

�y iv2

� respectivamente. La energía mecánica del sistema puede permanecer

constante o no puede permanecer constante, dependiendo del tipo de colisión o choque.

Para cualquier situación, la cantidad de movimiento o momento lineal siempre

permanece constante. Solo es necesario verificar una condición, que el sistema sea

aislado o cerrado.

Coeficiente de restitución e

La medida de una colisión para poder clasificarlo se realiza por medio de un numero

adimensional, este numero se denomina el coeficiente de restitución e

1m1m

2m2m

1/2F�

2/1F�

1/2F�

2/1F�

iv1

�

iv2

�2m1m



( )( ) ii

ff

i1

f2

vv

vv

v

V=e

21

12

2/

1/��

��

�

�

−−

=

El valor de “e” esta entre cero y la unidad, es decir

10 << e

a) Colisiones elásticas ( e = 1 )

En una colisión elástica el coeficiente de rozamiento es igual a la unidad, la cantidad de

movimiento permanece constante así como la energía mecánica también permanece

constante.

• El momento lineal permanece constante

• La energia cinética permanece constante

b) Colisiones inelastic as ( 0 < e < 1 )

En una colisión inelástica la cantidad de movimiento permanece constante, mientras que

la energía mecánica no permanece constante. Hay transformación de energía mecánica

en otros tipos de energía (calor, sonido, luz)

Si e = 0 se dice que la colisión es completamente inelástica o plástico. En este tipo de

colisiones la energía mecánica no permanece constante y se caracteriza porque

inmediatamente después de la colisión los cuerpos que colisionan quedan unidos y se

mueven con una velocidad común

• El momento lineal permanence constante

• La energia cinética no permanece constante

10. Energía Disipada en colisiones

Cuando la colisiones inelástica, parte de la energía mecánica se transforma en otros

tipos de energía como energía calórico, sonora, luminosa, y se dice que la energía se ha

disipada hacia el medio exterior al sistema en cuestión

11. Colisiones en dos Dimensiones

Cuando dos partículas colisionan en dos dimensiones el momento lineal permanece

constante y hay que considerar las direcciones en cada dimensión



Antes del choque

Durante el choque

Después del choque

El momento lineal permanece constante en los ejes x e y respectivamente y las ecuaciones correspondientes son

xfxi pp��

=

yfyi pp��

=

12. Sistema G y Sistema L

Cuando los observadores de un evento se encuentran en marcos de referencia inerciales

se denomina que el sistema es L, sistema Laboratorio.

Cuando el observador se encuentra en el centro de masa del sistema de partículas, se

dice que el sistema es G.

13. Velocidad y Aceleración del centro de masa

Cuando se tiene “n” partículas en movimiento o colisionando, la posición del centro de

masa esta dad por la relación

n

nnCM mmm

vmvmvmv

++++++

=...

...

21

2211

��

La aceleración del centro de masas será

n

nnCM mmm

amamama

++++++=

...

...

21

2211

��

X

Y

iv2

�iv1

�

1m 2m

fv1

�

fv2

�

2m

1m

2m



14. Momento angular para una partícula que rota alrededor de un eje

El momento angular para una partícula de masa m que rota al

rededor de un eje que pasa por el centro del circulo en O, está dado

por el producto del vector de posición y el momento lineal, el

producto es vectorial (producto cruz)

prL��

×=

15. Impulso Angular J�

El impulso angular es la cantidad física vectorial que indica el cambio brusco de estado

de una partícula en la rotación al rededor de algún eje.

ω��

IJ =

Donde I es el momento de inercia del sistema, ω�

es la velocidad angular.

16. Principio de Conservación del Impulso Angular

Cuando el sistema es aislado, entonces el impulse angular permanece constante

fi jj��

=

Teorema del Impulso angular y el momento angular

Lj��

∆=

17. Ejercicios

1. Demostrar que el trabajo de fuerzas no conservativas es igual al negativo de la

variación de la energía mecánica del sistema

2. Si un campo de fuerzas F es conservativo, entonces mostrar que existe un campo

escalar tal que la fuerzas del sistema es igual al gradiente de la energía.

3. Mostrar que el impulso de una fuerza, es posible encontrar una fuerza promedio

constante tal que produce el mismo impulso que la fuerza variable.

4. Mostrar que para un sistema cerrado el momento lineal del sistema permanece

constante, para cualquier instante del tiempo.

5. Dos masas m1 y m2 con velocidades v1i, v2i se acercan como se ilustra en la figura, si

el choque o colisión es inelástica donde e = 0.6, determinar las velocidades de las

masas m1 y m2 inmediatamente después de la colisión

r�

O

v�

m



6. Demostrar para un cuerpo rígido en rotación alrededor de un eje, que el impulso

angular es igual al cambio del momento angular

7. a) ¿Qué magnitud tiene el momento lineal de un camión de 10,000 kg que viaja con

rapidez de 12.0 m>s? b) ¿Con qué rapidez tendría que viajar una vagoneta de 2000

kg para tener i) el mismo momento lineal? ii) ¿la misma energía cinética?

8. En el ejemplo conceptual 8.1 (sección 8.1), demuestre que el ve lero de hielo con

masa 2m tiene veces más momento lineal en la meta que el de masa m.

9. a) Demuestre que la energía cinética K y la magnitud del momento lineal p de una

partícula de masa m están relacionadas por la expresión mpK 2/2= , b) Un

cardenal (Richmondena cardinalis) de 0.040 kg y una pelota de béisbol de 0.145 kg

tienen la misma energía cinética. ¿Cuál tiene mayor magnitud de momento lineal?

¿Cuál es la razón entre las magnitudes del momento lineal del cardenal y de la

pelota? c) Un hombre de 700 N y una mujer de 450 N tienen el mismo momento

lineal. ¿Quién tiene mayor energía cinética? ¿Cuál es la razón entre las energías

cinéticas del hombre y de la mujer?

10. En una competencia varonil de pista y campo, la bala tiene una masa de 7.30 kg y se

lanza con una rapidez de 15.0 m/s a 40.0° por encima de la horizontal ubicada sobre

la pierna izquierda extendida de un hombre. ¿Cuáles son las componentes iniciales

horizontal y vertical del momento lineal de esa bala?


1. Una masa m1 cae libremente desde una altura H hacia una

plataforma de masa m2, que se encuentra debajo, como se ilustra

en la figura. Determinar la velocidad de m1 y m2 inmediatamente

después de la colisión si el coeficiente de restitución entre las

placas es 0.5

Solución

De la conservación del momento lineal

fi pp��

=

ffii vmvmvmvm 22112211

��+=+ (1)

Del coeficiente de restitución e

ffi vvve 121

��−= (2)

De la ecuación (1) y (2) resolviendo

1m

1m



La velocidad inicial de la masa m1 es )(21 jgHv i −=�

21

12

)1(

mm

vev i

f ++

=�

�㻌㻌㼥㻌㻌

21

1212

(

mm

vemmv i

f +−

=�

�㻌

2. Un bloque de masa m1, inicialmente esta en reposo y parte desde el punto A, con

rapidez cero, otro bloque de masa m2, esta

en el punto B, en reposo, si el coeficiente

de restitución entre los dos bloques es 0.6.

determinar las velocidades de cada uno de

los bloques después de la colisión.

Solución

Antes de la colisión en AB la energía mecánica es constante, entonces.

)ˆ(21 ighv i =�

En la colisión la cantidad de movimiento o momento lineal permanece constante.

Entonces

fifii vmvmvmvm 2212211

��+=+ (3)

Del coeficiente de restitución

ffi vvve 121

��−= (4)

Resolviendo las ecuaciones (3) y (4)

Las velocidades de las masas inmediatamente después de la colisión son

21

12

)1(

mm

vev i

f ++

=�

�㻌㻌㼥㻌㻌

21

1212

(

mm

vemmv i

f +−

=�

�㻌


3. Una bolsa de arena de masa 1m es soltada desde lo alto

como se ilustra en la figura, una caja de masa 2m está inicialmente en reposo en la superficie lisa. Si el coeficiente de restitución entre las bolas y la caja es 0.6. Determinar las velocidades de las masas después de la colisión.

4. Péndulo balístico. Una bala de rifle de 12.0 g se dispara a 380 m/s contra un péndulo balístico de 6.00 kg suspendido de un cordón de 70.0 cm de longitud. Calcule a) la distancia vertical que sube el péndulo, b) la

2m

1mL

1m

2m

B

A

mh 1=



energía cinética inicial de la bala y c) la energía cinética de la bala y el péndulo inmediatamente después de que la bala se incrusta en el péndulo.

5. Una bala de 5.00 g se dispara horizontalmente a un bloque de madera de 1.20 kg que descansa en una superficie horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es de 0.20. La bala queda incrustada en el bloque, que se desliza 0.230 m por la superficie antes de detenerse. ¿Qué rapidez tenía inicialmente la bala?

6. Un pez de 15.0 kg, que nada a 1.10 m/s, de repente engulle un pez de 4.50 kg que estaba estacionario. Desprecie los efectos de arrastre del agua. a) Calcule la rapidez del pez grande inmediatamente después de haberse comido al pequeño. b) ¿Cuánta energía mecánica se disipó durante esta comida?

7. Masa cambiante. Un vagón abierto de 24,000 kg viaja sin fricción ni impulso sobre una vía horizontal. Está lloviendo muy fuerte, y la lluvia cae verticalmente. El vagón originalmente está vacío y tiene una rapidez de 4.00 m>s. ¿Qué rapidez tiene después de acumular 3000 kg de agua de lluvia?

8. Dos patinadores, Daniel (65.0 kg) y Rebeca (45.0 kg) están practicando. Daniel se detiene para atar su agujeta y es golpeado por Rebeca, quien se desplazaba a 13.0 m/s antes de chocar con él. Después del choque, Rebeca se mueve a 8.00 m>s con un ángulo de 53.1° respecto a su dirección original. La superficie de patinaje es horizontal y no tiene fricción. a) Calcule la magnitud y dirección de la velocidad de Daniel después del choque. b) ¿Cuál es el cambio en la energía cinética total de los dos patinadores como resultado del choque?

9. Un astronauta en el espacio no puede utilizar una báscula o balanza para pesar los objetos porque no hay gravedad. Pero cuenta con dispositivos para medir la distancia y el tiempo de manera exacta. El astronauta sabe que su masa es de 78.4 kg, pero no está seguro de la masa de un enorme tanque de gas en el interior del cohete sin aire. Cuando el tanque se aproxima a él a 3.50 m/s, empuja su cuerpo contra éste, lo que disminuye la rapidez del tanque a 1.20 m/s (pero no invierte su dirección) y le da al astronauta una rapidez de 2.40 m/s. ¿Cuál es la masa del tanque?

20. Referencias

1. Física Universitaria, Vol. I, Sears, Zemansky, Young, Fredmann, 12va edición, Pearson, México, 1999.

2. Fisica I, Notas de Aula, Marco A. Merma Jara, Universidad Nacional del Callao, 2005.


Capítulo 8

Movimiento de Cuerpos Rígidos 1. Introducción

Un cuerpo rígido es un modelo idealizado de un sistema que posee tamaño y forma,

donde se asuma que este no sufre deformaciones por la acción de fuerzas externas. Así

por ejemplo si tomamos la distancia entre dos punto del cuerpo antes de someterlos a

fuerzas externas, después la distancia entre esos puntos permanece invariable.

Esto es una idealización, ya que en la realidad los cueros se deforman siempre en alguna

medida por acción de fuerzas externas.

2. Momento de Inercia

El momento de inercia I es una cantidad física de tipo escalar, e indica la facilidad o

dificultad que ofrece un cuerpo para cambiar su estado mecánico de rotación.

Cuando se calcula el momento de inercia de un sistema este siempre se mide respecto

de un eje de rotación.

Momento de Inercia para un sistema discreto de partículas

Cuando se tiene una distribución discreta de masas el momento de inercia respecto del

eje por donde pasa el eje de giro esta da por

�= 2ii rmI

Fig. Partículas que rotan alrededor de un eje fijo

Donde im es la masa de la i-ésima partícula y ir , es la distancia perpendicular desde la

i-ésima masa al eje de giro.

im

ir

Movimiento de Cuerpos Rígidos FISICA I Marco A. Merma Jara


Ejemplo

Tres masas puntuales 321 ., mmm está localizadas en los vértice de un triangulo

equilátero de lado L , las varillas son de masa despreciable. Determinar le momento de

inercia. (a) Cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa, (b) cuando el eje de

rotación pasa una de las alturas del sistema.

Solución

a) Cuando el eje pasa por el centro de masa CM, perpendicular al plano de la hoja

233

222

211 rmrmrmI CM ++=

2321 )(

3

3KgmmmmLI CM ++=

Donde 3

3321

Lrrr ===

b) Cuando el eje pasa por una de las alturas del triangulo equilátero

233

222

211 rmrmrmI Q ++=

221 00)

2

3( KgmLmI p ��

�

��

�++=

Marco A. Merma Jara FISICA I Movimiento de Cuerpos Rígidos


Momento de Inercia para una distribución Continua de Masa

Cuando la distribución de masas es continua se tiene un cuerpo rígido y el momento de

inercia se calcula por

�= dmrI O2

Fig. Rotación de un cuerpo rígido, distribución de masa continua

Donde r es la distancia del eje de rotación al elemento diferencial de masa dm

Ejemplo

Determinar el momento de inercia de una barra rígida homogénea de masa M y longitud

L, respecto de un eje que pasa por uno de sus extremos, como se ilustra en la figura.

Solución

Como la distribución de masa es homogénea la densidad lineal de masa λ es constante,

esta es una barra totalmente idealizada, entonces.

dx

dm

L

M ==λ

De donde el elemento diferencial de masa dmen términos de la densidad lineal de masa

es

dxdm λ=

Observación

Cuando la distribución de masa no es homogénea, se debe conocer la densidad lineal en

función de la posición

LM ,

x dxdm ,0

r

dm



En la ecuación para el momento de inercia

333

23

3

0

22 MLL

L

M

L

L

dxxdmxIL

O ===== �� λλ

Teorema de los ejes Paralelos o de Steiner

Conociendo el momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro de masa de

un sistema cualquiera, se puede conocer el momento de inercia respecto de cualquier

otro eje que pase por algún otro punto del sistema.

Fig. Teorema de los ejes paralelos.

El momento de inercia para un eje cualquiera por ejemplo que pasa por el punto O en

términos del centro de masa es

20 MdII CM +=

Donde M es la masa del cuerpo, d es la distancia de separación entre los ejes paralelos,

CMI es el valor del momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro de

masa del sistema

Ejemplo

El momento de inercia de una placa circular de masa M y radio R, homogéneo, respecto

de un eje que pasa por su centro de masa es 2

2MRI CM = . Determinar el momento de

inercia cuando la misma placa rota alrededor de un eje que pasa por un punto de su

perímetro perpendicular ala placa

Solución

LM ,

d

CM0



Fig. Placa circular en rotación al rededor de un eje fijo

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por uno de los puntos de su

perímetro.

222

0 2

3

2MRMR

MRI =+=

Importante .

Para utilizar este teorema es necesario conocer previamente el valor del momento de

inercia por un eje que pasa por el centro de masa del sistema.

3. Segunda Ley de Newton para Cuerpos Rígidos

ατ��

0I=�

Donde 0I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación, �τ�

es el momento

de inercia resultante, α�

, es la aceleración angular del sistema en rotación.

Ejemplo

Una barra homogénea se suelta desde la posición horizontal, rota respecto de un eje fijo

que pasa por el punto O desde el reposo determinar la velocidad de la barra cuando se

encuentra en posición vertical.

Solución

De la diagrama de fuerzas, la única fuerza que hace girar a la barra es su peso que actúa

en su centro de masa CM

LM ,

x dxdm,0



De la segunda ley de Newton para cuerpos rígidos

� = ατ��

OI

θωω

θθωθ

d

dI

d

d

dt

dIrmg OO ==)cos(

�� = fwddmgr

0

2

0cos ωωθθ

π

Of I

mgr=ω

La velocidad y la velocidad angular son proporcionales rv ω=

vrI

mgrv

O

ˆ��

��

�=

�

Donde v , es el vector unitario que da dirección al vector velocidad.

4. Trabajo y Energía en Cuerpos Rígidos

�= θτ dW

Donde τ , es el momento de torsión, y θd , es el ángulo barrido durante la rotación.

Aquí se debe considerar la fuerza que contribuye al torque y consecuentemente se

relaciona con al fuerza que realiza trabajo mecánico.

Ejemplo

Una barra rígida homogénea de longitud L y masa M, rota la rededor del eje que pasa

por el punto O, se suelta desde el reposo como se ilustra en la figura, determinar el valor

del trabajo sobre la barra cuando se encuentra totalmente vertical.

Solución

Para calcular el trabajo de una fuerza es necesario determinar que se encuentre en la

dirección del desplazamiento. Haciendo el diagrama de fuerzas

La fuerza que hace trabajo es la componente θcosMg .

LM ,

x dxdm ,0



El torque que hace posible la rotación se debe a la componente que hace trabajo.

Entonces

MgrdrMgW == � 2

0)cos(

π

θθ

5. Potencia en Cuerpos Rígidos

Consideremos que el trabajo mecánico para cuerpos rígido se realiza en un intervalo de

tiempo , la potencia mecánica será

θτ ∆=∆W

ωτθτ =∆∆=

tP

Donde ωes el valor de la velocidad angular. P es la potencia mecánica, τ , es el torque o momento de torsión.

6. Energía Cinética de Rotación

Consideremos un cuerpo rígido que rota la rededor de un eje fijo que pasa por un

extremo del cuerpo como se ilustra en la figura.

Fig. Cuerpo rígido en rotación, alrededor de un eje fijo

θcosMg

θMgsen

Mg

θ�

r θ)



La energía cinética de rotación del sistema está dado por

202

1 ωIK R =

Donde

ω , es el valor de la velocidad angular

0I , es el momento de inercia del sistema respecto del eje fijo que pasa por O

Ejemplo

Una barra homogénea de masa M, longitud L, rota alrededor de un eje que pasa por O,

como se ilustra en la figuras, si inicialmente esta horizontal y se suelta, determinar la

velocidad angular de la barra cuando se encuentra totalmente vertical.

Solución

Solo existen fuerzas conservativas, entonces la energía mecánica del sistema permanece

constante.

fi EE =

22

1

2

1 22 LMgIMgLI fOiO +=+ ωω

La velocidad angular en el punto inicial es cero. Entonces la velocidad angular cuando

esta totalmente vertical es

L

g

I

MgL

O

3==ω

Donde 3

2MLI O =

Energía mecánica en cuerpos rígidos en rotación

CMR VKE +=

Donde RK es la energía cinética de rotación y CMV , es la emergía potencial gravitatoria

de su centro de masa, respecto de un nivel de referencia.

LM ,

x dxdm ,0



7. Conservación de la Energía Mecánica en Cuerpos Rígidos que

Rotan Alrededor de un eje fijo

Si en el sistema están presentes solamente fuerzas conservativas, la energía mecánica

del sistema permanece constante para cualquier instante del tiempo.

CteEE == 21

fifTRASfRiiTRASLRi VKKVKK ++=++

En este caso la energía cinética es totalmente de rotación es decir 2

2

1 ωOR IK = , y la

energía potencial gravitatoria es con respecto al centro de masa del cuerpo rígido.

8. Momento Angular en Cuerpos Rígidos

Cuando un cuerpo rígido esta en movimiento de rotación, alrededor de un eje, el

momento angular está dado por

prL��

×=

Donde L�

, es el momento angular, r�

, es el vector posición del elemento de masa, p�

, es

el momento lineal del elemento de masa m

Fig. Momento angular de un cuerpo

r�

L�

v�

p�

R�

θ

x

y

z



9. Momento de Torsión

Cuando un cuerpo rígido rota alrededor de un eje, la rotación es originada por el

momento de torsión τ� , en términos del momento angular L�

, se calcular por

dt

Ld�

�=τ

El momento de torsión puede tomar signos positivo y negativo.

Positivo cuando el sentido de la rotación es horario

Negativo cuando el sentido de la rotación es antihorario

10. Impulso Angular en Cuerpos Rígidos

ω��

OIJ =

Donde OI , es el momento de inercia respecto del eje de rotación que pasa por el punto

del cuerpo designado con O

11. Teorema del Impulso y Momento Angular en Cuerpos Rígidos

LJ��

∆=

Donde L�

, es el momento angular del cuerpo rígido

12. Ejercicios

1. Para una distribución de discreta de masas puntuales que rotan alrededor de un eje

fijo demostrar que le momento de inercia está dada por �= 2iiO rmI , donde im es

la masa de la i-esima partícula, ir , es la distancia perpendicular de la i-ésima

partícula al eje de giro.

2. Demostrar que la energía cinética de traslación para un cuerpo rígido que rota

alrededor de un eje fijo está dada por la ecuación 202

1 ωIK R = , donde ω , es el

valor de la velocidad angular, 0I es el momento de inercia respecto del eje que pasa

por el punto O.

3. Demostrar el teorema de los ejes paralelos para un cuerpo rígido donde M es la

masa, D la distancia entre los ejes paralelos.



4. Demostrar que el impulso angular se puede expresar en términos de la variación del

momento angular, LJ��

∆=

5. Demostrar que el momento de torsión en términos del momento angular para un

cuerpo rígido que rota alrededor de un eje fijo esta dado por dtLd /��

=τ


1. En el sistema mostrado, las masa del bloque es 1m y la masa de la polea es M y

rota alrededor de un eje que pasa por su centro

de masa, (a) Determinar la aceleración lineal

del bloque de masa 2m , si 12 mm > , y el

coeficiente de frcción entre la superficie y el

bloque de masa 1m es 5.0=Kµ , (b) Determinar

el valor de la tension en la cuerda.

Solución

Diagrama de fuerzas para para m1, la polea y m2

Las ecuaciones pada cada caso de acuerdo a las leyes de Newton, para partícula y

cuerpos rígidos.

Para m1

amfT K 1=−

gmn 1=

nf KK µ=

Para la polea

αITRTR =−− )(

MgN =

1m

2m

RM ,

g�↓

MgT

N T

gm2

T

n

Kf

gm1

T



Para m2 amTgm 22 =−

Resolviendo de las ecuaciones (1), (2), (3)

La magnitud de la aceleracion lineal

gmm

mgma K

21

11

+−

=µ

La tensión en la cuerda es

gmm

mmT K

21

21 )1(

++

=µ

La magnitud de la acelracion angular de la polea es

I

TR2=α


1. Un cilindro uniforme sólido con masa de 8.25 kg y diámetro de15.0 cm gira a 220 rpm sobre un eje delgado sin fricción, que pasa a lo largo del eje del cilindro. Se diseña un freno de fricción sencillo para detener el cilindro empujando el freno contra el borde exterior con una fuerza normal. El coeficiente de fricción cinética entre el freno y el borde es de 0.333. ¿Qué fuerza normal debe aplicarse para detener el cilindro después de girar 5.25 revoluciones?

2. Una piedra cuelga del extremo libre de un cable enrollado en el borde exterior de una polea, como se muestra en la figura 10.10. La polea es un disco uniforme con masa de 10.0 kg y 50.0 cm de radio, que gira sobre cojinetes sin fricción. Se determina que la piedra recorre 12.6 m en los primeros 3.00 s partiendo del reposo. Calcule a) la masa de la piedra y b) la tensión en el cable.

3. Una piedra de afilar en forma de disco sólido con 0.520 m de diámetro y masa de 50.0 kg gira a 850 rev/min. Usted presiona una hacha contra el borde de la piedra con una fuerza normal de 160 N (figura 10.43), y la piedra se detiene en 7.50 s. Calcule el coeficiente de fricción entre el hacha y la piedra. Ignore la fricción de los cojinetes.

Fig. Prob. 3 Fig. Prob. 6.

4. Una cubeta con agua de 15.0 kg se suspende de una cuerda ligera, enrollada en un cilindro sólido de 0.300 m de diámetro y masa de 12.0 kg. El cilindro pivotea en un



eje sin fricción que pasa por su centro. La cubeta se suelta del reposo en el borde de un pozo y cae 10.0 m al agua. a) ¿Qué tensión hay en la cuerda mientras la cubeta cae? b) ¿Con qué rapidez golpea la cubeta el agua? c) ¿Cuánto tarda en caer? d) Mientras la cubeta cae, ¿qué fuerza ejerce el eje sobre el cilindro?

5. Un libro de 2.00 kg descansa en una superficie horizontal sin fricción. Un cordel atado al libro pasa por una polea de 0.150 m de diámetro, y está atado en su otro extremo a un libro colgante con masa de 3.00 kg. El sistema se suelta del reposo y se observa que los libros se mueven 1.20 m en 0.800 s. a) Calcule la tensión en cada sección del cordel. b) Calcule el momento de inercia de la polea con respecto a su eje de rotación.

6. Una caja de 12.0 kg que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción está unida a un peso de 5.00 kg con un alambre delgado y ligero que pasa por una polea sin fricción La polea tiene la forma de un disco sólido uniforme con masa de 2.00 km y diámetro de 0.500 m. Después de que el sistema se libera, calcule a) la tensión en el alambre en ambos lados de la polea, b) la aceleración de la caja, y c) las componentes horizontal y vertical de la fuerza que el eje ejerce sobre la polea.

7. Un poste delgado uniforme de 15.0 kg y 1.75 m de longitud se mantiene vertical mediante un cable y tiene unidos una masa de 5.00 kg como se ilustra en la figura, y un pivote en su extremo inferior. La cuerda unida a la masa de 5.0 kg pasa por una polea sin masa y sin fricción, y tira perpendicularmente del poste. De repente, el cable se rompe. a) Encuentre la aceleración angular del poste alrededor del pivote cuando el cable se rompe. b) La aceleración angular calculada en el inciso a) permanece constante conforme el poste cae (antes de que golpee la polea)? ¿Porqué? c) ¿Cuál es la aceleración de la masa de 5.00 kg después de que el cable se rompe? ¿Dicha aceleración permanece constante? Explique su respuesta.

8. Una varilla horizontal delgada de longitud l y masa M pivotea alrededor de un eje vertical en un extremo. Una fuerza de magnitud constante F se aplica al otro extremo, haciendo que la varilla gire en un plano horizontal. La fuerza se mantiene perpendicular a la varilla y al eje de rotación. Calcule la magnitud de la aceleración angular de la varilla.

Fig. Prob. 7 Fig. Prob. 10

9. Un aro de 2.20 kg y de 1.20 m de diámetro rueda hacia la derecha sin deslizarse sobre un piso horizontal a 3.00 rad/s constantes. a) ¿Qué tan rápido se mueve su centro? b) ¿Cuál es la energía cinética total del aro? c) Calcule el vector de velocidad de cada uno de los siguientes puntos, vistos por una persona en reposo en el suelo: i) el punto más alto del aro; ii) el punto más bajo del aro; iii) un punto al lado derecho del aro, a la mitad de la distancia entre la parte superior y la parte inferior. d) Calcule el vector de velocidad de cada uno de los puntos del inciso c), con excepción del visto por alguien que se mueve con la misma velocidad que el aro



10. Se enrolla un cordel varias veces en el borde de un aro pequeño de 8.00 cm de radio y masa de 0.180 kg. El extremo libre del cordel se sostiene fijo y el aro se suelta del reposo. Después de que el aro ha descendido 75.0 cm, calcule: a) la rapidez angular del aro al girar y b) la rapidez de su centro.

11. ¿Qué fracción de la energía cinética total es rotacional para los siguientes objetos que ruedan sin resbalar por una superficie horizontal? a) Un cilindro sólido uniforme, b) Una esfera uniforme, c) Una esfera hueca de paredes delgadas, d) un cilindro hueco con radio exterior R y radio interior R/2.

12. Un casco esférico hueco con masa de 2.00 kg rueda sin resbalar bajando una pendiente de 38.0°. a) Calcule: la aceleración, la fuerza de fricción y el coeficiente de fricción mínimo para que no resbale. b) ¿Cómo cambiarían sus respuestas al inciso a) si la masa se aumentara al doble (4.00 kg)?

13. Una esfera sólida se suelta del reposo y baja por una ladera que forma un ángulo de 65.0° abajo de la horizontal. a) ¿Qué valor mínimo debe tener el coeficiente de fricción estática entre la ladera y la esfera para que no haya deslizamiento? b) ¿El coeficiente de fricción calculado en el inciso a) bastaría para evitar que una esfera hueca (como un balón de fútbol) resbale? Justifique su respuesta. c) En el inciso a), ¿por qué usamos el coeficiente de fricción estática y no el coeficiente de fricción cinética?

14. Una canica uniforme baja rodando por un tazón simétrico, partiendo del reposo en el borde izquierdo. El borde está una distancia h arriba del fondo del tazón. La mitad izquierda del tazón es lo bastante áspera como para que la canica ruede sin resbalar, pero la mitad derecha no tiene fricción porque está lubricada con aceite. a) ¿Qué altura alcanzará la canica en el lado resbaloso, medida verticalmente desde el fondo? b) ¿Qué altura alcanzaría la canica si el lado derecho fuera tan áspero como el izquierdo? c) ¿Cómo explica el hecho de que la canica alcance más altura en el lado derecho con fricción que sin fricción?

15. Una rueda de 392 N se desprende de un camión en movimiento, rueda sin resbalar por una carretera y, al llegar al pie de una colina, gira a 25.0 rad/s. El radio de la rueda es de 0.600 m y su momento de inercia alrededor de su eje de rotación es de 0.800 MR2. La fricción efectúa trabajo sobre la rueda mientras ésta sube la colina hasta que se detiene a una altura h sobre el pie de la colina; ese trabajo tiene valor absoluto de 3500 J. Calcule h.

16. Bola que rueda cuesta arriba. Una bola de bolos (boliche) sube rodando sin resbalar por una rampa que forma un ángulo b con la horizontal. Trate la bola como esfera sólida uniforme, sin tomar en cuenta los agujeros. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la bola. Explique por qué la fricción debe tener dirección cuesta arriba. b) ¿Qué aceleración tiene el centro de masa de la bola? c) ¿Qué coeficiente de fricción estática mínimo se necesita para que la bola no resbale?

17. Un carrusel (tiovivo) con 2.40 m de radio tiene momento de inercia de alrededor de un eje vertical que pasa por su centro y gira con fricción despreciable. a) Un niño aplica una fuerza de 18.0 N tangencialmente al borde durante 15.0 s. Si el carrusel estaba inicialmente en reposo, ¿qué rapidez angular tiene al final de los 15.0 s? b) ¿Cuánto trabajo efectuó el niño sobre el carrusel? c) ¿Qué potencia media le suministró el niño?



18. El motor proporciona 175 hp a la hélice de un avión a 2400 rev/min. a) ¿Cuánta torca proporciona el motor del avión? b) ¿Cuánto trabajo realiza el motor en una revolución de la hélice?

19. Una rueda de afilar de 1.50 kg con forma de cilindro sólido tiene 0.100 m de radio. a) ¿Qué torca constante la llevará del reposo a una rapidez angular de 1200 rev/min en 2.5 s? b) ¿Qué ángulo habrá girado en ese tiempo? c) Calcular el trabajo efectuado por el torque. d) ¿Qué energía cinética tiene la rueda al girar a 1200 rev/min? Compare esto con el resultado del inciso c).

20. Un motor eléctrico consume 9.00 kJ de energía eléctrica en 1.00 min. Si un tercio de la energía se pierde en forma de calor y otras formas de energía interna del motor, y el resto se da como potencia al motor, ¿cuánta torca desarrollará este motor si usted lo pone a 2500 rpm?

21. Las puntas de carburo de los dientes de corte de una sierra circular están a 8.6 cm del eje de rotación. a) La rapidez sin carga de la sierra, cuando no está cortando, es de 4800 rev/min. ¿Por qué es despreciable la potencia desarrollada sin carga? b) Al cortar madera, la rapidez angular de la sierra baja a 2400 rev/min, y la potencia desarrollada es de 1.9 hp. ¿Qué fuerza tangencial ejerce la madera sobre las puntas de carburo?

22. a) Calcule la torca producida por un motor industrial que desarrolla 150 kW a una rapidez angular de 4000 rev/min. b) Un tambor de 0.400 m de diámetro y masa despreciable se conecta al eje del motor, y la potencia del motor se utiliza para levantar un peso que cuelga de una cuerda enrollada en el tambor. ¿Qué peso máximo puede levantar el motor, con rapidez constante? c) ¿Con qué rapidez subirá el peso?

15. Referencias 1. Física Universitaria, Vol 1, Sears, Zemansky, Young, Freedman, Pearson,

México, 1999 2. Dinámica, Ingeniería Mecánica, 7ma edición, R. C. Hibeller, Prentice-Hall,

México, 1997

Marco A. Merma Jara - 1 - Notas de Aula


GGrraavvii ttaacciióónn UUnniivveerrssaall 1. Introducción

Las leyes básicas que gobiernan las interacciones gravitacionales, son necesarias para

responder a las interrogantes por ejemplo sobre el movimiento de los planetas alrededor

del sol o el movimiento de la luna alrededor de la tierra.

2. Ley de Gravitación De Newton

En1687 Newton publicó la ley de la gravitación, que puede enunciarse así: “Toda

partícula de materia en el Universo atrae a todas las demás partículas con una

fuerza directamente proporcional al producto de las masas de las partículas, e

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.”

221

r

mmGF =

Donde 21,mm son las masas de los cuerpos celestes, r es la distancia de separación

entre los cuerpos, G es la constante de gravitación universal y su valor es

2

21110)10(6742.6

Kg

mNG −×=

Gravedad g (minúscula)

Es la aceleración debida a la gravedad, que relaciona el peso w de un cuerpo con su

masa m: mgw =

Constante de gravitación G (mayúscula)

Relaciona la fuerza gravitacional entre dos cuerpos con sus masas y la distancia entre

ellos. Decimos que G es una constante universal porque tiene el mismo valor para

cualesquiera dos cuerpos, sin importar dónde estén

Medida de la Constante de Gravitación G

F�

F�

r

2m1m

Gravitación FISICA I Marco A. Merma Jara

http://mjfisica.blogspot.com Notas de Aula 2

Para determinar el valor de la constante G, se debe medir la fuerza gravitacional entre

dos cuerpos de masas conocidas separadas por una distancia

Para cuerpos pequeños en el laboratorio se puede medir usando un instrumento llamado

balanza de torsión usado por Henry Cavendish en 1798.

Fig. Balanza de torsión

El Peso

El peso de un cuerpo es la fuerza de atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre él.

Ahora vamos a ampliar nuestra definición:”El peso de un cuerpo es la fuerza

gravitacional total ejercida sobre él por todos los demás cuerpos del Universo”

Fig. Masa pequeña en la superficie de un cuerpo grande de masa M y radio R

Al medir el peso de un cuerpo pequeño de masa m que esta sobre la superficie de otro

cuerpo de masa M y radio R. Se considera que el cuerpo es completamente simétrico.

Entonces la fuerza gravitatoria sobre el cuerpo pequeño es

2R

GMmFw g == (i)

También para un cuerpo de masa m en caída libre el peso esta dado por mgw = , de

donde

2R

GMg = (*)

M

m

R

M

Mm

m(φ

Espejo

Marco A. Merma Jara FISICA I Gravitación

Notas de Aula http://mjfisica.blogspot.com 3

Ejemplo 1

Determinar la masa de la tierra, sabiendo que su radio medio es KmR 6380= y la

aceleración de la gravedad 2/80.9 smg =

Solución

De la ecuación (*) KgG

gRM 24

2

1098.5 ×==

El valor aceptado actualmente es Kg2410974.5 × y se observa que el valor calcular es

coherente con el valor aceptado actualmente.

Importante

Cuando un cuerpo se encuentra por encima del radio de la tierra, la fuerza de atracción

entre la tierra y el cuerpo es calculado por la ecuación (i)

La Masa Inercial y Gravitacional

De acuerdo a la segunda ley de Newton se define la inercia y la medida de esta se da a

través de la masa, en este caso es la masa inercial.

Las leyes del movimiento son de validez general por tanto para toda clase de materia, ya

sean electrones, protones, neutrones.

La gravitación es una propiedad universal para todo tipo de materia por lo tanto se

puede considerar que la masa gravitacional es directamente proporcional a la masa

inercial.

m

m

inercialmasa

nalgravitaciomasaK g==

Si la constante K = 1, con unidades adecuadas, entonces la masa gravitacional y la masa

inercial se pueden usar indistintamente.

Medida de la Masa

Una forma de comparar las masas de dos cuerpos es introduciendo un tercer cuerpo

como referencia.

Fig. Comparación de masas m y m’ pr interacción gravitacional

En cada caso la fuerza gravitacional esta dado por

m

'mM

Mr

r

F

'F



2r

MmGF = y

2

''

r

MmGF =

La relación entre las fuerzas, da la relación entre las masas m y m’

'' m

m

F

F =

El principio de la balanza usa este método cuando el cuerpo de referencia es la tierra. La

balanza se encuentra en equilibrio cuando las dos fuerzas son iguales por tanto las

masas son iguales también. Esto constituye un método para medir masas.

GráficaDistancia vs Energia Potencial Gravitatoria

0

1E+12

2E+12

3E+12

4E+12

5E+12

6E+12

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000

Distancia de separacion (Km)

Ene

rgía

Pot

enci

al G

ravi

taci

onal

V(J

)

Fig. El peso disminuye con la distancia

3. Energía Potencial Gravitacional



Cuando la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo es constante en magnitud y

dirección la energía potencial se determina por la expresión

mgyV =

Donde )(yVV = es la función escalar energía potencial gravitatoria, m es la masa del

cuerpo, “y” es la posición del cuerpo respecto de un nivel de referencia.

Cuando una masa esta mas allá del radio de la tierra la fuerza gravitatoria esta

determinada pro 2/ rGMmFg = , donde M es la masa de la tierra, m la masa del cuerpo

y r la distancia de separación entre las masas.

Fig. La fuerza gravitacional es conservativa

En general r es cambiante por lo que es necesario una expresión mas general para

determinar la energía potencial gravitatoria para llevar un cuerpo de masa m desde 1r r1

hasta 2r es

r

GMmV −=

4. Movimiento de Satélites

Si se lanzara un proyectil horizontalmente cada vez con una velocidad mayor el alcance

horizontal podría aumentar cada vez más, si la rapidez de lanzamiento es lo

suficientemente grande y se lanza desde un punto lo suficientemente alto el cuerpo

puede seguir dando vueltas a la tierra sin tocar le suelo. Y se convierte en un satélite

terrestre, y es así como se mueve los satélites artificiales. Alrededor de la tierra.

En al figura las trayectorias 3,4,5 son circulares la rededor de la tierra, las trayectorias

6,7 son orbitas abiertas, el cuerpo ya no regresa mas al punto de partida.

.

1r

2r

gF�

Mm



Fig. Movimiento de satélites

Orbitas circulares de satélites

Fig., orbitas circulares de satélites

r

mv

r

GMm 2

2=

De donde se tiene

r

GMv =

Periodo

GM

r

GM

rr

v

rT

2/322

2 πππ ===

5. Leyes de Kepler

Los planteas cambian continuamente su posición en el cielo relativo al fondo estrellado,

todos los planetas están en orbitas alrededor del sol. Los primeros descubrimientos

sobre las órbitas de los planetas fueron descubiertas por Nicolás Copérnico en Polonia

en 1543, y la determinación de las orbitas planetarias fue realizado por le matemático

astrónomo Johannes Kepler entre 1601 y 1619.

Kepler descubrió tres leyes empíricas que describían con exactitud los movimientos de

los planetas:



Primera ley

Cada planeta se mueve en una órbita elíptica, con el Sol en uno de los focos de la elipse.

Fig. Planeta alrededor del sol

Donde s es el foco Segunda Ley

Una línea del Sol a un planeta dado barre áreas iguales en tiempos iguales.

Fig. Áreas barridas al orbitar un planeta

Tercera Ley

Los periodos de un planeta son proporcionales a las longitudes del eje mayor de sus

órbita elevadas a la potencia .3/2

SGm

aT

2/32π=

Donde ms es la masa del sol.

6. Ejercicios

1. Demostrar que la energía potencial gravitacional para llevar un cuerpo desde un punto inicial fuera de la tierra hacia otro punto final esta dado por la

expresión r

GMmV −= , donde V es la energía potencial gravitatoria, G es la

constante de gravitación, M es la masa de la tierra, m es la mas del cuerpo que es llevado.

7. Ejercicios Propuestos

1. ¿A qué distancia sobre la superficie terrestre la aceleración debida a la gravedad es de 0.980 m/s2, si en la superficie tiene una magnitud de 9.80 m/s2?



2. La masa de Venus es el 81.5% de la masa de la Tierra, y su radio es el 94.9% del radio de la Tierra. a) Calcule la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Venus con estos datos. b) Si una roca pesa 75.0 N en la Tierra, ¿cuánto pesará en la superficie de Venus?

8. Problemas propuestos

1. La estrella Rho1Cancri está a 57 años luz de la Tierra y su masa es 0.85 veces la del Sol. Se ha detectado un planeta en órbita circular en torno a Rho1Cancri, con un radio orbital igual a 0.11 veces el radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Calcule a) la rapidez orbital y b) el periodo orbital del planeta de Rho1Cancri.

2. En marzo de 2006, se descubrieron dos satélites pequeños en órbita alrededor de Plutón: uno a una distancia de 48,000 km y el otro a 64,000 km. Ya se sabe que Plutón tiene un satélite grande, Caronte, el cual orbita a 19,600 km con un periodo orbital de 6.39 días. Suponiendo que los satélites no se afectan mutuamente, encuentre los periodos orbitales de los dos satélites pequeños sin utilizar la masa de Plutón.

3. a) Demostrar que la distancia Sol-planeta en el perihelio es (1 2 e)a, que en el afelio es (1 1 e)a y que, por lo tanto, la suma de estas dos distancias es 2a. b) Cuando el planeta enano Plutón estaba en su perihelio en 1989, estaba casi 100 millones de km más cerca del Sol que Neptuno. Los ejes semimayores de las órbitas de Plutón y Neptuno son 5.92 3 1012m y 4.50 3 1012m, respectivamente, y sus excentricidades son 0.248 y 0.010. Calcule la distancia más corta de Plutón al Sol y la más grande de Neptuno al Sol. c) ¿Cuántos años, después de su perihelio en 1989, Plutón volverá a estar en su perihelio?

Fig. Prob. 3

4. En la figura mostrada, ¿qué magnitud y dirección tiene la fuerza gravitacional neta ejercida sobre la esfera uniforme de 0.100 kg por las otras dos esferas uniformes? Los centros de las tres esferas están en la misma línea. b) Según la tercera ley de Newton, ¿la esfera de 0.100 kg ejerce fuerzas de la misma magnitud que su respuesta al inciso a), pero con dirección opuesta, sobre cada una de las otras dos esferas?

5. Misión Aura . El 15 de julio de 2004, la NASA lanzó la nave espacial Aura para estudiar el clima y la atmósfera terrestres. Este satélite fue puesto en una órbita a 705 Km. sobre la superficie terrestre, y supondremos una órbita circular. a) ¿Cuántas horas le tomará a este satélite completar una órbita? b) ¿Qué tan rápido se mueve la nave espacial Aura? (Prob 12.28. Sears, Zemansky, vol 1, 12va edición)



6. Dos bolas de hierro, cada una con una masa de 10 Kg está en contacto. Encontrar su atracción gravitatoria. (b) Comparar con la atracción gravitacional de la tierra sobre cada bola, si uno trata de separar las dos bolas, se sentirá la atracción que ejercen entre si?. Sugerencia: usa la densidad del hierro.

7. Para una persona de 80 kg. Determinar su masa u su peso a 8000m sobre el nivel del mar.

8. un satélite artificial se desplaza en una orbita circular a una altura de 300 Km sobre la superficie terrestre. Encontrar (a) Su velocidad, (b) Su periodo de revolución, (c) su aceleración centrípeta.

9. un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia del centro de la tierra igual a seis veces el radio de la tierra. Calcular la velocidad que tendría al llegar a la superficie de la tierra.

10. Una persona adulta promedio tiene una masa aproximada de 70 kg. a) ¿Qué fuerza ejerce una Luna llena sobre ella, si está directamente arriba con su centro a 378,000 km? b) Compare esta fuerza con la fuerza que la Tierra ejerce sobre la persona.

11. Una masa puntual de 8.00 kg y una masa puntual de 15.00 kg están separadas 50.0 cm. Se suelta un partícula de masa m desde un punto entre las dos masas a 20.0 cm de la masa de 8.00 kg en la línea que conecta las dos masas fijas. Obtenga la magnitud y la dirección de la aceleración de la partícula.

12. Exploración de Europa. Hay evidencia contundente de que Europa, un satélite de Júpiter, tiene un océano líquido debajo de su superficie congelada. Muchos científicos creen que se debería enviar un vehículo explorador ahí para buscar señales de vida. Antes de lanzarlo, se debería probar tal vehículo bajo las condiciones de la gravedad en la superficie de Europa. Una forma de hacerlo consiste en colocar el vehículo explorador en el extremo de un brazo giratorio en un satélite en órbita terrestre. Si el brazo tiene 4.25 m de longitud y está fijo en uno de sus extremos, ¿con que rapidez angular (en rpm) debería girar para que la aceleración del vehículo fuera la misma, que la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Europa? La masa de Europa es de 4.8 x 1022 kg y tiene un diámetro de 3138 km.

13. Las estrellas de neutrones, como la que está en el centro de la nebulosa del Cangrejo, tienen aproximadamente la misma masa que el Sol, pero un diámetro mucho más pequeño. Si una persona pesa 675 N en la Tierra, ¿cuánto pesaría en la superficie de una estrella de neutrones que tuviera la misma masa que el Sol y un diámetro de 20 km?

14. Referencias 1. Física Universitaria, Vol 1, Sears, Zemansky, Young, Freedman, 12va

edición, Pearson, México, 1999 2. Física, Marcelo Alonso, Edgard Finn, Fondo Educativo Interamericano,

México, 1971

lib romer ma

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