libro de matemu00c1tica bu00c1sica xerox ic 2013

7/21/2019 Libro de Matemu00c1tica Bu00c1sica Xerox Ic 2013

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UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA (UCA)Facultad de Ciencias Econmicas y Empresariales

Departamento de Ciencias Bsicas

Matemtica BsicaMdulo Autoformativo 1


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Asignatura: Matemtica Bsica

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UCA (Universidad Centroamericana)

Autor del contenidoIng. Jos Maria Rodrguez Prez

DiagramacinMsc. Sandra Palacios Rodrguez

ImpresinXEROX - UCA


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ndicePresentacin de la asignatura de Matemtica Bsica.............................................. 10

Objetivos generales de la asignatura ................................................................................ 11Esquema de contenido de la asignatura ........................................................................... 12

Estrategias metodolgicas................................................................................................. 13Unidad I:Teora de conjuntos...................................................................................... 14

Presentacin de la unidad I ............................................................................................... 15Objetivos de la unidad I ..................................................................................................... 16Esquema de contenido de la unidad I ............................................................................... 16A. Conjunto .................................................................................................................. 18

1. Conceptos bsicos ...................................................................................................... 18a. Definicin ........................................................................................................... 18b. Notacin ............................................................................................................. 18c. Pertenencia ........................................................................................................ 18

2. Descripcin de conjuntos ............................................................................................ 19a. Por extensin ..................................................................................................... 19b. Por comprensin ................................................................................................ 19

3. Clasificacin de conjuntos ........................................................................................... 19a. Conjuntos finitos e infinitos ................................................................................. 19b. Conjunto universo o referencial .......................................................................... 20c. Conjunto vaco ................................................................................................... 20

4. Relaciones entre conjuntos ......................................................................................... 21a. Subconjunto ....................................................................................................... 21b. Conjunto potencia .............................................................................................. 21c. Igualdad de conjuntos ........................................................................................ 22d. Comparabilidad .................................................................................................. 22e. Conjuntos Disjuntos ........................................................................................... 22

5. Presentacin de la relacin entre conjuntos ................................................................ 23a. Diagramas de Venn-Euler .................................................................................. 23

Actividad de Autoaprendizaje No. 1 ................................................................................... 23B. Operaciones entre conjuntos ................................................................................. 25

1. Definicin de unin de conjuntos ................................................................................. 252. Definicin de interseccin de conjuntos ...................................................................... 253. Definicin de diferencia de conjuntos (Complemento Relativo) ................................... 264. Complemento .............................................................................................................. 265. Numero de elementos de un conjunto (Cardinalidad) .................................................. 27

a. Correspondencia biunvoca ................................................................................ 27b. Cardinalidad ....................................................................................................... 28

c. Cardinalidad de (A

B

C) .............................................................................. 29Actividad de autoaprendizaje No. 2 ................................................................................. 304

Unidad II: Aritmtica bsica para los negocios......................................................... 38

Presentacin de la unidad II .............................................................................................. 39Objetivos de la unidad II .................................................................................................... 39Esquema de contenido de la unidad II .............................................................................. 40A. Situaciones problemticas de aritmtica .............................................................. 41


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1. Nmeros fraccionarios (o quebrados) ......................................................................... 41a. Fraccin propia .................................................................................................. 42b. Fraccin impropia .............................................................................................. 42c. Fracciones equivalentes .................................................................................... 43

2. Orden en los nmeros fraccionarios .......................................................................... 445B. Fraccin decimal ..................................................................................................... 46

Actividad de autoaprendizaje No. 1 ................................................................................... 47C. Operaciones con fracciones .................................................................................. 48

1. Suma y diferencia de fracciones ................................................................................. 482. Multiplicacin de fracciones......................................................................................... 493. Divisin de fracciones ................................................................................................. 494. Fracciones complejas.................................................................................................. 50

Actividad de autoaprendizaje No. 2 ................................................................................... 51D. Razones ................................................................................................................. 533

1. Introduccin ................................................................................................................ 532. Definicin .................................................................................................................. 544

E. Proporciones ........................................................................................................... 56

1. Definicin .................................................................................................................... 562. Trminos ..................................................................................................................... 56F. Regla de tres .......................................................................................................... 577

1. Definicin .................................................................................................................... 572. Regla para la resolucin de problemas ....................................................................... 57

Actividad de autoaprendizaje No. 3 y 4 ........................................................................... 599G. Porcentajes .............................................................................................................. 60

1. Tanto por ciento ........................................................................................................ 6112. La razn de dos nmeros expresada como un porcentaje. ......................................... 613. Cambio porcentual en una cantidad ............................................................................ 62

Actividad de autoaprendizaje No. 5 ................................................................................. 666H. Notacin Cientfica (Potencias De 10) ................................................................. 699

1. Por qu empleamos notacin cientfica? ................................................................. 6992. Cmo escribir los nmeros en notacin cientfica? ................................................. 6993. Operaciones con potencias 10 .................................................................................... 71

Actividad de autoaprendizaje No. 6 ................................................................................... 71

Unidad III. lgebra..................................................................................................... 722

Presentacin de la unidad III ........................................................................................... 733Objetivos de la unidad III ................................................................................................... 73Esquema de contenido de la unidad III ............................................................................. 74A. Los nmeros reales y propiedades de campo ..................................................... 76

1. Definiciones ................................................................................................................ 762. Tipos de nmeros que se utilizan en lgebra ............................................................ 786

B. Expresiones algebraicas, conceptos bsicos ...................................................... 781. Trmino ....................................................................................................................... 79

a. Grado de un trmino .......................................................................................... 79b. Trminos semejantes: ........................................................................................ 79

2. Clasificacin de las expresiones algebraicas .............................................................. 80a. Monomio ............................................................................................................ 80b. Polinomio ........................................................................................................... 80

1) Trminos ................................................................................................... 80


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2) Grado de un polinomio .............................................................................. 813. Valor numrico de una expresin algebraica ............................................................... 824. Traduccin de enunciados .......................................................................................... 83

Actividad de autoaprendizaje No. 1 ................................................................................... 84C. Operaciones algebraicas ........................................................................................ 86

1. Adicin y sustraccin de expresiones algebraicas ..................................................... 867Actividad de autoaprendizaje No. 2 ................................................................................... 88

2. Potenciacin.............................................................................................................. 89a. Exponentes enteros ........................................................................................... 89b. Propiedades de los exponentes ......................................................................... 89c. Exponente cero: a0= 1 ....................................................................................... 90d. Exponente fraccionario ...................................................................................... 90e. Exponente negativo ........................................................................................... 90f. Exponentes racionales ....................................................................................... 91

Actividad de autoaprendizaje No. 3 ................................................................................... 913. Multiplicacin de expresiones algebraicas ................................................................... 92

b. Definicin de multiplicacin de un binomio por otro binomio ............................. 92

c. Definicin de multiplicacin de un polinomio por otro polinomio ......................... 924. Divisin de expresiones algebraicas ........................................................................... 96a. Teorema ............................................................................................................ 96b. Polinomio - monomio ......................................................................................... 96c. Polinomio - Polinomio ........................................................................................ 96

AProductos Notables ....................................................................................................... 100d. Divisin sinttica ................................................................................................ 98

Actividad de autoaprendizaje No. 5 ................................................................................... 99E. Factorizacin de polinomios .............................................................................. 1000

1. Definiciones .............................................................................................................. 1002. Casos de factorizacin .............................................................................................. 101

a. Factor comn ................................................................................................... 101

b. Diferencia de cuadrados .................................................................................. 102c. Trinomio cuadrado perfecto ............................................................................. 102d. Trinomio de la forma x2+ bx + c ....................................................................... 103e. Trinomio de la forma ax2+ bx + c ..................................................................... 103f. Suma o diferencia de cubos perfectos ............................................................. 104g. Agrupacin de trminos ................................................................................... 105h. Descomposicin en factores por evaluacin .................................................... 106

Actividad de autoaprendizaje No. 6 ................................................................................. 109H. Fracciones algebraicas ...................................................................................... 1099

1. Simplificacin de fracciones algebraicas ................................................................... 1092. Adicin de fracciones algebraicas ............................................................................. 1103. Adicin de fracciones de distinto denominador ......................................................... 110

Actividad de autoaprendizaje No. 7 ................................................................................. 1114. Multiplicacin y divisin de fracciones algebraicas .................................................... 1125. Divisin de fracciones algebraicas ............................................................................ 113

Actividad de autoaprendizaje No. 8 ................................................................................. 114I. Radicales ............................................................................................................... 115

1. Definicin de radical .................................................................................................. 1152. Simplificacin de radicales ........................................................................................ 1153. Operaciones con radicales ........................................................................................ 116


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4. Racionalizar el denominador de una fraccin ............................................................ 118a. Primer caso ...................................................................................................... 118b. Segundo caso .................................................................................................. 118c. Tercer caso ...................................................................................................... 119d. Cuarto caso...................................................................................................... 119e. Quinto caso ...................................................................................................... 120

Actividad de autoaprendizaje No. 9 ................................................................................. 120J. Ecuaciones lineales y cuadrticas ...................................................................... 122

1. Definiciones .............................................................................................................. 1222. Propiedades de las ecuaciones ................................................................................. 123

a. Propiedad de adicin y sustraccin .................................................................. 123b. Propiedad simtrica ......................................................................................... 123c. Propiedad de multiplicacin ............................................................................. 123d. Propiedad de divisin ....................................................................................... 124

3. Ecuaciones equivalentes ........................................................................................... 1244. Ecuaciones lineales .................................................................................................. 124

a. Definicin ......................................................................................................... 124b. Ecuaciones lineales en una variable ................................................................ 124c. Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales en una variable ................... 126

5. Ecuaciones literales .................................................................................................. 1266. Ecuaciones con radicales .......................................................................................... 127

Actividad de autoaprendizaje No. 10 ............................................................................... 1287. Problemas de aplicacin ........................................................................................... 1298. Problemas resueltos ................................................................................................. 130

Actividad de autoaprendizaje No. 11 ............................................................................... 1339. Ecuaciones cuadrticas ............................................................................................ 134

a. Resolucion de una ecuacin cuadrtica ........................................................... 135b. Mtodos para resolver una ecuacin cuadrtica .............................................. 135

1) Solucin de ecuaciones cuadrticas por factorizacin ............................ 1352) Solucin de ecuaciones cuadrticas (frmula general) ........................... 137

10. Ecuaciones que dan lugar a ecuaciones cuadrticas ................................................ 138Actividad de autoaprendizaje No. 12 ............................................................................... 140K. Sistemas de ecuaciones lineales ......................................................................... 141

1. Ecuaciones de primer grado con dos variables ......................................................... 141a. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables .................................. 142b. Solucin algebraica de sistemas de ecuaciones 2 2 ..................................... 142

1) Mtodo de eliminacin o por suma y resta .............................................. 143c. Representacin grfica de un sistema de dos ecuaciones con dos variables... 145

1) Que las rectas se corten ......................................................................... 1452) Las rectas son paralelas y no hay puntos de interseccin ....................... 1463) Las ecuaciones tienen infinitos puntos comunes. .................................... 146

d. Sistemas de ecuaciones que contienen fracciones .......................................... 146Actividad de autoaprendizaje No. 13 ............................................................................... 1482. Ecuaciones de primer grado con tres variables ......................................................... 149

a. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables .................................. 150b. Solucin algebraica de sistemas de ecuaciones 3 3 ..................................... 150

1) Mtodo de eliminacin o suma y resta .................................................... 150Actividad de autoaprendizaje No. 14 ............................................................................... 152

c. Sistemas de ecuaciones lineales 3 3 que contienen smbolos de agrupacin153


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d. Sistemas de ecuaciones lineales 3 3 que contienen fracciones .................... 153Actividad de autoaprendizaje No. 15 ............................................................................... 155

3. Sistema de ecuaciones formado por una ecuacin lineal y una ecuacin cuadrtica 156a. Solucin algebraica de un sistema formado por una ecuacin lineal y una

ecuacin cuadrtica ......................................................................................... 156b. Procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones lineal y una cuadrtica157

Actividad de autoaprendizaje No. 16 ............................................................................... 159L. Desigualdades y valor absoluto .......................................................................... 159

1. Definiciones y notacin ............................................................................................. 1592. Propiedades de orden de los nmeros reales ........................................................... 160

a. Teorema 1 ....................................................................................................... 160b. Teorema 2 ....................................................................................................... 161c. Teorema 3 ....................................................................................................... 161d. Teorema 4 ....................................................................................................... 161e. Teorema 5 ....................................................................................................... 161

3. Presentacin grafica del conjunto de los reales......................................................... 162a. Intervalos ......................................................................................................... 162b. Desigualdades lineales .................................................................................... 163c. Solucin de sistemas de desigualdades en una variable.................................. 165

Actividad de autoaprendizaje No. 17 ............................................................................... 166d. Desigualdades cuadrticas .............................................................................. 166e. Otro tipo de desigualdades .............................................................................. 168f. Mtodo de la raz para resolver desigualdades ................................................ 169

Actividad de autoaprendizaje No. 18 ............................................................................... 1724. Valor absoluto ........................................................................................................... 172

a. Definicin ......................................................................................................... 172b. Propiedades del valor absoluto ........................................................................ 173

Actividad de autoaprendizaje No. 19 ............................................................................... 173

Un id ad IV: In tr oducc in a las Fu nci ones .................................................................... 174

Presentacin de la unidad IV ........................................................................................... 175Objetivos de la unidad IV ................................................................................................. 175Esquema de contenido de la unidad IV ........................................................................... 175A. Conceptos bsicos ............................................................................................... 176

1. Definiciones .............................................................................................................. 176Actividad de autoaprendizaje No. 1 ................................................................................. 180

2. Funciones ................................................................................................................. 180a. Clasificacin de funciones ................................................................................ 180

1) Funciones algebraicas ............................................................................ 1812) Funciones racionales e irracionales ........................................................ 1813) Funciones enteras y racionales ............................................................... 181

4) Funciones trascendentes ........................................................................ 182b. Grfica de una funcin ..................................................................................... 182

1) Sistema de coordenadas cartesianas ..................................................... 1822) Definicin (grfico de una funcin) .......................................................... 1833) Interceptos .............................................................................................. 1844) Simetra .................................................................................................. 1845) Funcin creciente y decreciente .............................................................. 185

B. Tipos de funciones ............................................................................................... 186


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1. Funcin lineal ............................................................................................................ 1862. Paralalelismo y perpendicularidad ............................................................................. 1873. Funcin constante ..................................................................................................... 1884. Funcin idntica ........................................................................................................ 1885. Forma general de la ecuacin lineal .......................................................................... 1896. Construccin de la ecuacin de la recta .................................................................... 190

Actividad de autoaprendizaje No. 2 ................................................................................. 192C. Funciones como modelos matemticos ............................................................. 192

1. Funcin de oferta, funcin de demanda y punto de equilibrio .................................... 192a. Qu es oferta y qu es demanda? ................................................................. 192b. Punto de equilibrio ........................................................................................... 195

Actividades de Autoaprendizaje No. 3 ............................................................................. 1982. Funcin de costos lineal ............................................................................................ 198

Actividades de Autoaprendizaje No. 4 ............................................................................. 2014. Funcin de ingreso y funcin de utilidad ................................................................... 201

Actividades de Autoaprendizaje No. 5 ............................................................................. 206Bibliografa y recursos didcticos .................................................................................... 206


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Presentacin de la asignatura deMatemtica Bsica


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Sean bienvenidos todos y todas:

El curso de Matemtica Bsica consta de cuatro unidades: Teora de conjunto, Aritmtica,

lgebra e Introduccin a las funciones y est diseado de forma que se fortalezcan los temas

donde los estudiantes que ingresan a nuestra universidad presentan mayores debilidades, estoles permitir obtener un mejor desempeo y xito en el estudio de su carrera.

El estudio de los contenidos de esta asignatura le permitir a todos los estudiantes de las

diferentes carreras contar con herramientas bsicas para el estudio de las matemticas,

estadsticas, clculos, fsicas, qumicas, investigacin de Operaciones y otras asignaturas afines

a cada carrera que requieren de un lenguaje apropiado como el de la matemtica para

desarrollar el pensamiento lgico y abstracto.

La Matemtica Bsica pretende incorporar tambin, aunque con temas bastante bsicos, los

elementos de racionalidad y objetividad que se requieren para el anlisis y la toma de

decisiones.

Objet ivos g enerales de la asignatura

Al finalizar este curso los estudiantes sern capaces de:

1. Consolidar los conocimientos de los contenidos matemticos bsicos adquiridos en elbachillerato.

2. Desarrollar su capacidad de abstraccin en la construccin de modelos matemticossencillos.

3. Interpretar grficos de funciones asociados a modelos econmicos.

4. Evaluar objetivamente mediante tcnicas cuantitativas, la solucin de un problema.

5. Integrarse eficazmente al trabajo en equipo.

6. Demostrar razonamiento lgico y precisin en el trabajo.

7. Adquirir hbitos de estudio de forma sistemtica y permanente.


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Esquema de contenido d e la asign atura

Unidad I: Teora de conjuntosEn la unidad se establecern una serie de conceptos que son de uso comn al enunciar

definiciones y teoremas a lo largo del estudio de la matemtica y otras ramas de la ciencia.Tambin estudiaremos las operaciones entre conjuntos y el concepto de cardinalidad,enfocndolos principalmente a las aplicaciones que tienen dentro de la rama de la estadstica.

El desarrollo de los ejercicios es muy sencillo sin embargo brindan una gran oportunidad paradesarrollar el sentido analtico de las operaciones y los conceptos desarrollados a lo largo de launidad, el desarrollo de esta habilidad ser til en cualquier aspecto del desempeo profesionalde los estudiantes.

Unidad II: Aritmtica bsica para los negociosTodos los temas que se desarrollarn en la segunda unidad, que estn relacionados con laaritmtica, son fundamentales como herramienta operativa en el planteamiento, resolucin y

anlisis de problemas, no cabe duda que las operaciones con fracciones y decimales son deuso frecuente en nuestra vida profesional y cotidiana. Tambin se estudiarn otros conceptosque sin duda tienen un mayor alcance y relevancia, como las razones y los porcentajes, queson herramientas de anlisis en todas las disciplinas y un medio para brindar informacinpertinente sobre muchos estudios.

Unidad III: lgebraSin duda alguna todos reconocemos que el lenguaje de las ciencias es la matemtica y su ejefundamental es el lgebra, a la que muchos denominan aritmtica simblica, la que nos permiteconstruir modelos simblicos de una situacin que nos interese estudiar o un problema,facilitando su anlisis y permitindonos proponer alternativas de solucin efectivas y factibles,esto sin mencionar que existen situaciones que sin el apoyo de la matemtica sera imposible

estudiar.Al igual que otro idioma, el lgebra est llena de conceptos, teoremas, definiciones, procesosalgortmicos, etc. que son esenciales para hacer un buen uso de este lenguaje, sin embargo,todos ellos pueden ser afianzados y reforzados a travs de una buena lectura y el desarrolloprctico de ejercicios, que generalmente siguen el esquema de un modelo, facilitando as suaprendizaje.

Unidad IV: Introduccin a las funcionesLas funciones son la principal herramienta para la construccin de modelos abstractos que nospermitan representar de forma aproximada la realidad que estamos estudiando, por lo tanto esesencial que conozcamos sus principales caractersticas, tanto analticas como geomtricas, detal forma que al seleccionarlas o construirlas, estas respondan a las de la realidad que se quieremodelar.

Comenzaremos analizando modelos sencillos pero el proceso de anlisis ser de carctergeneral de tal forma que tambin se podr utilizar al estudiar otros modelos ms complejos.Tambin introduciremos en esta, unidad como en todas las anteriores, problemas bsicos deaplicacin para ir experimentando la importancia de estas herramientas.


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Estrategias metod olgicas

Las caractersticas del contenido de esta asignatura permiten que su desarrollo seaeminentemente prctico, donde los estudiantes podrn afianzar los aspectos tericos a partir delos ejercicios propuestos, tomando como ejemplo los ejercicios resueltos en cada tema.

Es esencial que las definiciones o conceptos se construyan a partir de una lluvia de ideas yaque todos los estudiantes tienen conocimiento previo de los mismos, aunque no los tengan bienfijados. Esto permitir apropiarse ms fcilmente de ellos.

Al desarrollar el tema de los conjuntos es esencial orientar a los estudiantes que utilicen losdiagramas de Venn como elemento grfico de ayuda ya que estos brindan una mayorcomprensin de las relaciones entre conjuntos, operaciones con conjuntos y la cardinalidad. Sedebe establecer de forma introductoria la relacin entre la teora de conjuntos y su aplicacin enestadstica de tal forma que el estudiante comprenda que esta vinculacin le facilitar el estudiode la misma al cursarla.

En la unidad de aritmtica se desarrollan los elementos tericos y prcticos con los que conms frecuencia se encuentran los estudiantes, como las operaciones con fracciones, tambines una buena oportunidad para que recopilen material como peridicos, revistas, boletinesinformativos, u otra fuente de informacin, que les permita constatar la utilidad de losporcentajes, razones y proporciones en nuestro diario quehacer y en el ejercicio de suprofesin.

Es tambin muy importante que, en esta unidad, el estudiante aprenda a razonar sobre elsentido lgico de los resultados, al trabajar con fracciones y decimales, de modo que aunque noconozca el resultado de una operacin pueda evaluar el sentido de este.

Otro aspecto en el que es oportuno incidir al tratar esta unidad es en el uso apropiado de lacalculadora para que les permita agilizar el proceso de resolucin de los ejercicios.

En la unidad de lgebra se debe insistir en la ejercitacin y presentacin de diferentes variantesen los ejercicios para que puedan efectuar con destreza cualquier operacin algebraica oresolver una ecuacin o sistema de ecuaciones con precisin.

En esta unidad los estudiantes deben desarrollar los hbitos de razonamiento, tratando deformular modelos sencillos de problemas que se puedan resolver utilizando las ecuaciones,desigualdades o sistemas de ecuaciones, esto permitir establecer coherencia entre el lenguajecotidiano y el simblico que se ir haciendo ms complejo conforme se haga ms complejo elproblema y el mtodo utilizado para resolverlo.

El tema de funciones solo pretende familiarizar a los estudiantes con conceptos que sern muycomunes al estudiar las funciones en los cursos posteriores, por lo cual se tratar de fijarlos apartir de la discusin, ejemplificacin y principalmente de la presentacin de diferentes tipos degrficas donde se puedan constatar visualmente los elementos geomtricos asociados a cadauno de esos conceptos, tambin estudiaran aqu la recta y sus principales caractersticasgeomtricas.


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Unidad I:Teora de conjuntos


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Presentacin d e la unidad I

Todos tenemos una idea de lo que es un conjunto, ya que con frecuencia empleamos esta

palabra. Por ejemplo, podemos referirnos a un conjunto de libros, a un conjunto musical, al

conjunto de los nmeros enteros, etc.

La palabra conjunto nos sugiere una serie, coleccin o grupo de cosas, pero tambin puede

utilizarse para sealar una serie o grupo de ideas como es el caso de los nmeros, ya que

podemos hablar del conjunto de los nmeros pares, el conjunto de los nmeros negativos, el

conjunto de los nmeros reales, etc.

Como muchos otros conceptos en matemticas, el trmino conjunto es bsico, pero muy difcil de

definir sin embargo resulta evidente que todos tenemos el conocimiento intuitivo de que conjunto

es cualquier coleccin o lista bien definida de objetos, por esa razn partiremos de una definicin

que se adapte a lo que intuitivamente se percibe de Conjunto.

Al concluir esta unidad ser evidente la importancia que tiene el concepto de conjunto en el campo

de la estadstica, sin embargo, a lo largo de nuestros estudios de clculo iremos encontrando y

diversas utilidades de los conjuntos.


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Objet ivos d e la un idad I

Al finalizar esta unidad los estudiantes sern capaces de:

1. Analizar la relacin entre un grupo de objetos o datos, utilizando como base terica larelacin entre conjuntos.

2. Efectuar operaciones con conjuntos, para desarrollar la capacidad de establecerlas alrelacionar conjuntos de datos de diferente naturaleza.

3. Resolver problemas sobre cardinalidad de conjuntos a travs de tablas de contingencia yque le servirn para el desarrollo de conceptos bsicos de probabilidad que utilizar enestadstica.

Esquema de c ontenido de la un idad I

A. Conjunto

1. Conceptos bsicosa. Definicinb. Notacinc. Pertenencia

2. Descripcin de conjuntosa. Por extensinb. Por comprensin

3. Clasificacin de conjuntosa. Conjuntos finitos e infinitosb. Conjunto universo o referencialc. Conjunto vaco

4. Relaciones entre conjuntos

a. Subconjunto

b. Conjunto potencia

c. Igualdad de conjuntosd. Comparabilidade. Conjuntos Disjuntos

5. Presentacin de la relacin entre conjuntosa. Diagramas de Venn-Eulerb. Diagramas lineales

B. Operaciones entre conjuntos1. Definicin de unin de conjuntos2. Definicin de interseccin de conjuntos3. Definicin de diferencia de conjuntos (Complemento Relativo)4. Complemento5. Numero de elementos de un conjunto (Cardinalidad)

a. Correspondencia biunvocab. Cardinalidadc. Cardinalidad de (A B C)


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Conjunto

La Teora de conjuntos es una rama de las matemticas a la que el matemticoalemnGeorgCantor dio su primer tratamiento formal en elsiglo XIX.El concepto de conjunto es uno de losms fundamentales en matemticas, incluso ms que la operacin de contar, pues se puede

encontrar, implcita o explcitamente, en todas las ramas de las matemticas puras y aplicadas.En su forma explcita, los principios y terminologa de los conjuntos se utilizan para construirproposiciones matemticas ms claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como elde infinito.

Conceptos bsicos

Definicin

Entenderemos por conjunto a una agrupacin o coleccin de personas, animales o cosas,con la propiedad de que, para cualquier persona, animal o cosa dada, es posible decir si staes miembro o no de la coleccin.

Notacin

Usaremos letras maysculas para designar conjuntos (A, B, C, .) y letras minsculas paradesignar miembros (a, b, c,..), que pueden o no pertenecer al conjunto.

Pertenencia

De los objetos que constituyen un conjunto diremos que pertenecen a l. Esta relacin depertenencia se simboliza por que se lee "pertenece a". As si A, es un conjunto y "a" unmiembro de A escribimos: a Aque se lee "a pertenece al conjunto A". Los objetos quepertenecen a un conjunto se llaman sus elementos. Si un elemento no est en un conjunto

se escribir: a Aque se lee "a" no pertenece al conjunto A.

Ejemplo:

A = 1, 2, 3, 4, 5, en este caso 2 Apero 6 A

Ocurre a veces que un Conjunto tiene como elementos otros conjuntos.

Por ejemplo :

A= 2, 4, 6, a, c, d}. En este caso es correcto afirmar a pero a .

Si los elementos de un Conjunto son todos conjuntos, a este conjunto se le denomina

"Conjunto de Conjuntos" o "Familia de Conjuntos" y para diferenciarlos de los demsconjuntos, se utilizan letras cursivas para denotarlos.

Ejemplo:

A = 4,6,a,c,d. En este caso podemos afirmar 4,6Apero 4 A.
http://enciclopedia.us.es/index.php/Matem%C3%A1ticohttp://enciclopedia.us.es/index.php/Alemaniahttp://enciclopedia.us.es/index.php/Georg_Cantorhttp://enciclopedia.us.es/index.php/Georg_Cantorhttp://enciclopedia.us.es/index.php/Siglo_XIXhttp://enciclopedia.us.es/index.php/Siglo_XIXhttp://enciclopedia.us.es/index.php/Georg_Cantorhttp://enciclopedia.us.es/index.php/Georg_Cantorhttp://enciclopedia.us.es/index.php/Alemaniahttp://enciclopedia.us.es/index.php/Matem%C3%A1tico


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Descripcin de conjuntos

Un conjunto est correctamente representado cuando somos capaces de decidir si un elementodado pertenece o no al conjunto. As pues, puede representarse de dos maneras.

a. Por extensin

Podemos determinar un conjunto haciendo una enumeracin de sus elementos yencerrndolos entre llaves.

Ejemplo:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8}, V = {a, e, i, o, u}

Por c omprens in

Podemos determinar un conjunto a partir de una expresin que describa las caractersticasde sus elementos.

Ejemplo:

Sea B el conjunto que consta de todos los nmeros pares, lo escribiremos as:

B = x/x es un nmero par. Lo que se lee: B es el conjunto, formado por el elemento x, talque x es par. Tngase en cuenta que el smbolo / se lee tal o tales que y a partir de el sedescribe la caracterstica que debe tener el elemento x para pertenecer a B

Nota: No todos los conjuntos se pueden escribir por ambas formas, aunque hay recursospara escribir por extensin algunos conjuntos que tienen muchos elementos.

Por ejemplo :

El Conjunto N de los nmeros naturales, se puede escribir as:1) Por comprensin: N = x/x es un nmero natural, Por extensin: N =.1, 2, 3, 4, 5,...El Conjunto de los nmeros naturales menores que 10, se puede escribir as:2) Por comprensin: A = x / 0 x 10 Por extensin: A = 1,2,3,4,5,6,7,8,9

Clasificacin de conjuntos

Al trabajar con conjuntos es comn referirse de forma explcita o implcita a conjuntos concaractersticas muy particulares o especiales, estas caractersticas estn relacionadasgeneralmente con los elementos de dicho conjunto.

a.Conjunto s f in i tos e inf in i tos

Los conjuntos pueden clasificarse, segn el nmero de elementos que posea, en ConjuntosFinitos e Infinitos.

Un conjunto es Finito cuando al contar sus elementos el proceso de contar termina. De locontrario ser infinito.


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Ejemplo:Dados los conjuntos M: "Es el conjunto de los das de la semana" y Q = 2, 4, 6, 8,....M es un conjunto finito y Q un conjunto infinito.

Son ejemplo de conjuntos Infinitos, el conjunto de los nmeros Reales, el conjunto de puntossobre una recta, etc.

Conjunto universo o referencial

Definiremos ahora dos conjuntos que son de gran importancia dentro de la Teora deConjuntos.

En cualquier presentacin el Conjunto Universo o Universal representa la totalidad demiembros que pueden ser considerados como elementos de cualquier conjunto de lapresentacin o discusin. El Conjunto Universal o Referencial se denota por U.

Es evidente que pueden utilizarse distintos conjuntos universos en consideracionesdiferentes.

Por ejemplo :

En una investigacin sobre los hbitos de consumo de los nicaragenses podemosconsiderar el universo todas las personas residentes en el pas y a partir de ese universoconstruir diferentes conjuntos dependiendo de la caracterstica particular que se deseeresaltar, por departamento, por edad, por sexo, por ingresos econmicos, etc.

Pero si lo que queremos es hacer una investigacin sobre los hbitos de consumo de losestudiantes universitarios nicaragenses, podemos considerar el universo a todos losestudiantes de todas las universidades del pas y de igual manera formar conjuntos deestudios partiendo de alguna caracterstica particular, sexo, universidad, carrera de estudio,

etc.

Conjun to vaco

Es el conjunto que en cualquier presentacin no tiene elementos y se denota por o por { }.Si A es un conjunto que no contiene elementos, no es correcto escribir A = {}ya que eneste caso Aes el conjunto que contiene un elemento, el conjunto vaco y por consiguiente noes vaco.

Ejemplos:

A = {habitantes de Nicaragua de 200 aos}B = {x / x2+ 1 = 0 x R}

La proposicin de que el conjunto de los elementos que satisfacen una cierta condicin esvaca, es equivalente a la proposicin de que, no existen elementos que satisfagan lacondicin.


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Relaciones entre conjuntos

Al comparar conjuntos se pueden establecer las siguientes relaciones entre ellos.

a. Subconjunto

Si todos los elementos de un conjunto A pertenecen a otro B, diremos que A est contenidoen B o que A es un subconjunto de B y escribiremos esta relacin de la manera siguiente AB. Esta relacin se denomina tambin Inclusin.

Si A es un subconjunto de B, entonces, AB

No es correcto considerar la relacin a A ya que el smbolo " "es usado slo entreconjuntos los que se escriben con mayscula. La relacin adecuada entre ay A es a Aporconsiderarse "a" como un elemento del conjunto A.

Si cualquiera que sea x Ase verifica x Bentonces AB

Al igual que con el signo de pertenencia tambin podemos negar la inclusin de un conjuntoen otro tachando el smbolo. As ABse leer: "A no es subconjunto de B"

Ejemplos:1) Si A = {a, b, c, d, e, f, g}; B = {c, d, f} y C = {f, g, h}, Entonces B A, pero C A,

C B y B C.2) Si A = {1, 2, 3} los subconjuntos que se pueden obtener a partir del conjunto A son:

B = {1, 2, 3} o subconjunto propio. (Todo conjunto es subconjunto del mismo)C =, se considera subconjunto de todo conjunto.D = {1}, E = {2}, F = {3},G = {1, 2}, H = {1, 3}, I = {2, 3}

Como podemos notar existen 8 subconjuntos que se pueden obtener a partir delconjunto A que tiene 3 elementos.

Propiedades inmediatas de la Inclusin son las siguientes

1) Sea A, un conjunto cualquiera, entonces A A, es decir que todo conjunto essubconjunto de l mismo. Esta propiedad se conoce como "Propiedad Reflexiva"

2) Si A, B, C son tres conjuntos cualquiera y si A By B C, entonces, A C. Estapropiedad se conoce como "Propiedad Transitiva".

Conjunto potencia

Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado A. Se denota por2Aal conjunto potencia del cualquier conjunto dado A.

En general, si "n" representa el nmero de elementos de un conjunto, el nmero desubconjuntos que se pueden obtener de l, est dado por la frmula 2n.


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Ejemplo:

A = {1, 2, 3} tiene 3 elementos, entonces el nmero de subconjuntos que se obtienen de Asern, 23= 8 subconjuntos, incluyendo el conjunto vaco y el mismo A.

Ejemplo:

Sea A = 1,2, entonces 2A = 1,2,1,2,

Si un conjunto A es finito, es decir, que tiene nelementos, entonces el conjunto potencia deA, tendr 2nelementos y cada uno de ellos ser un conjunto.

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos A y B son iguales slo si tienen los mismos elementos, es decir, dados A y Bson iguales slo si A By B A. Todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro yviceversa.

Criterios de igualdad de conjuntos

1) A = B si para cualquier elemento x se cumple que x Asi y solo si x B2) A = B si ABy B A

Ejemplos:

1) Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 1, 2, 4}, entonces A = B. Un conjunto no cambia alordenar sus elementos.

2) Sean C = {5, 6, 5, 7} y D = {7, 5, 7, 6}, entonces, C =D. Un conjunto no cambia si serepiten sus elementos.

3) Sean E = {x / x 3x = 2 x R}, F = {2,1} y G = {1,2,2,1}, entonces, E = F = G. Noimporta el orden ni la repeticin de sus elementos.

Comparabi l idad

Dos conjuntos A y B se dice que son comparables, slo si A Bo B A, es decir si uno deellos es subconjunto del otro. De lo contrario sern "no comparables".

Ejemplo:

Dados A = {5, 6, 7, 8, 9}, D = {7, 5}, E = {4, 5, 6}; los conjuntos A y D son comparables y losconjuntos D y E son "no comparables"

Conjuntos Dis juntos

Si dos conjuntos A y B no tienen elementos en comn, es decir ningn elemento de A estaen B y ningn elemento de B est en A, se dice que A y B son disjuntos.

Ejemplo:

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {6, 7, 8, 9}. Los conjuntos A y B son disjuntos


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Presentacin de la relacin entre conjuntos

a. Diagramas de Venn-Euler

Muchas veces es ms sencillo representar o ilustrar las relaciones entre conjuntos a partir dediagramas en los cuales los conjuntos estn representados por figuras geomtricas planascerradas. Para esto se acostumbra trazar un rectngulo, que representar el conjuntoUniversal. A continuacin se grafican figuras planas dentro del rectngulo para representarlos conjuntos deseados, es de uso muy comn utilizar crculos. Los elementos del conjuntoconsiderado pueden ser especficamente dibujados o pueden quedar (implcitamente)sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntoscomo a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geomtrica, desprovistade validez lgica. Estos diagramas reciben el nombre de diagramas de Venn-Euler osimplemente diagramas de Venn.

A continuacin representaremos algunos conjuntos y sus relaciones utilizando estosdiagramas.

Ejemplos:

a. Supngase A B y A B, son comparables, entonces larelacin entre A y B se describe as:

b. Si A y B no son disjuntos, podemos representarlos comosigue:

c. Si A y B son disjuntos, es decir que no tienen elementos encomn, entonces su diagrama ser:

Ac t ividad de Autoaprendizaje No. 11. Utilice el mtodo extensivo para describir los siguientes conjuntos.

a. A = {x/x = 4}b. A = {x/x es positivo y x es negativo}c. B = {x/x es una letra de la palabra correcto}

d. E = {x/x = 3n - 2 , 2 < n < 6 , n N}e. C = {x/x = 9 y 2x = 4}f. Resultados posibles en el lanzamiento de un dadog. Todos los enteros positivos menores que 47 y divisibles por 12h. Todos los enteros positivos menores que 45 y mltiplos de 8 i. Los enteros positivos mltiplos de 7 y menores que 100

j. Los dgitos de su nmero telefnico.k. { x / x es mltiplo de 3, 4 < X < 17 }


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l. { x / x es primo menor que 11 }2. Utilice el mtodo comprensivo para describir los siguientes conjuntos:

a. A = {a,b,c,d,e}b. D = {3}c. B = {2,4,6,8,...}d. E = {2,5,10,17,26,37}

e. A = {0,3,8,15,24}f. F = {5,8,11,14}

3. Indique cules conjuntos son finitos y cules infinitos:a. El de los dos primeros nmeros enteros positivos impares.b. El de los nmeros enteros positivos impares menores que 5.c. El de todos los enteros positivos impares.d. El de las letras de la palabra Nicaragua.e. El conjunto cuyos elementos son 1 y 3.

4. Decir si son correctas o incorrectas las afirmaciones dadas:a. Todo subconjunto de un conjunto finito es finito ( )b. Todo subconjunto de un conjunto infinito es infinito ( )

5. Si D = {0,4,7} cules proposiciones son verdaderas? Si hay falsas, especifique.

a. 4 D ( ) b. 4 D ( ) c. 0 D ( ) d. D ( )

e. 0 D ( ) f. 4 = {4} ( ) g. 4 {4} ( ) h. 0 = ( )6. Cules afirmaciones son correctas o incorrectas?

a. {1,4,3} = {3,4,1} ( ) b. {1,3,1,2,3,2} {1,2,3} ( ) c. {4} { {4} } ( )d. {4} {{4}} ( ) e. {{4}} ( )

7. Dado A = {2,{4,5},4}, qu afirmaciones son verdaderas o falsas y por qu ?a. {4,5} A ( ) b. {5} A ( ) c. {4} A ( ) d. {4,5} A ( )e. 5 A ( ) f. 5 A ( ) g. 4 A ( ) h. {4} A ( )

8. Si B = {0, 1, 2}, hallar todos los subconjuntos de B y el conjunto potencia 2b.9. Sea M = {a, 1, 7}. Diga cules de las afirmaciones son correctas o incorrectas y si

alguna es incorrecta decir por qu?

a. a M b. 7 M c. {1}M d. {1} M10. Si A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4}, C = {2,4, 5} cules proposiciones son verdaderas?

a. A B ( ) b. A C ( ) c. B A ( ) d. B C ( )e. C A ( ) f. C B ( ) g. C C ( ) h. B ( )

11. Sean V = {d}, W = {c, d}, X = {a, b, c}, Y = {a, b}, Z = {a, b, d}. Establecer la verdad ofalsedad de las afirmaciones siguientes:a. Y X ( ) b. Y X ( ) c. Y X ( ) d. Y X ( )e. V X ( ) f. V X ( ) g. V X ( ) h. V X ( )


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Operaciones entre conjuntos

Al igual que en la aritmtica se definen, para los Conjuntos, ciertas operaciones bsicas que harncorresponder nuevos conjuntos a otros relacionados por dichas operaciones. Las operaciones quedefiniremos son: La Unin, Interseccin, Diferencia, Diferencia Simtrica y Complemento

1. Definicin de unin de conjuntos

La Unin de dos conjuntos A y B es otro conjunto que tiene como elementos los elementoscomunes y no comunes de A y B. La unin de los conjuntos A y B se representa por A B.

Algunos autores la escriben (A + B).

Ejemplo:

a. Si A = {a, b, c, d} , B = {c, d, e}, entonces, A B = {a, b, c, d, e}b. Si A = {a, b, c} B = {d, e} C = {a, d, f}, entonces, AB C = {a, b, c, d, e, f}

Observamos del ejemplo 1) que los elementos c y d no aparecen dos veces en el conjunto

resultante, lo cual seala una regla muy importante en la unin de dos conjuntos: "Loselementos que simultneamente pertenecen a ms de un conjunto no deben aparecer repetidoscuando se haga la unin de los conjuntos a los que pertenecen simultneamente, ya que dehecho existen una sola vez dentro del conjunto universo".

La notacin simblica de la Unin es: AB = {x/xA o xB}

Algunas propiedades inmediatas de la unin de conjuntos son:

a. A = A = A b. A A = A c. A B = B Ad. A (AB); B (AB) e. Si B A entonces A B = A

En el diagrama de Venn A Baparece rayado. Observe el grfico.

2. Definicin de interseccin de conjuntos

La Interseccin de dos conjuntos A y B es otro conjunto que tiene como elementos los elementoscomunes de A y B. La interseccin de A y B se representa por AB o (AB).

Ejemplo:

a. Si A = {a, b, c, d} y B = {c, d, e}, entonces, A B = {c, d}b. Si A = {a, b, c} y B = {d, e, f}, entonces, AB =c. Si A = {1, 2} y B = {1, 2, 3, 4}, entonces A B = {1,2} = A

Observaciones:

a. Si un conjunto es subconjunto de otro conjunto, la interseccin ser el conjunto menor.b. Cuando dos conjuntos son disjuntos su interseccin es vaca


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Notacin simblica: AB = {x/xA y xB}

Algunas propiedades inmediatas de la interseccin son.

a. A = b. A A = A c. A B = B Ad. (A B)A, (A B)B e. Si B A entonces A B = B

En el diagrama de Venn A B es el rea comn a ambos conjuntos.Observe en el grfico. A B: Lo cuadriculado

3. Definicin de diferencia de conjuntos (Complemento Relativo)

La diferencia de dos conjuntos A y B es otro conjunto que est formado por los elementos que

pertenecen a A pero que no pertenecen a B. Se denota, la diferencia entre A y B como (A B).

Ejemplo:

Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {2, 4, 6, 9, 10}, entonces, A B = {1, 3, 5} y B A = {9, 10}.

Obviamente B A es el conjunto de elementos que pertenecen a B y que no pertenecen a A.

Notacin simblica: A B = {x/x A y xB} y B A = {x/x B y x A}

En los diagramas de Venn A By B A son lasreas rayadas y sombreadas a la vez.

4. Complemento

El conjunto Complemento o Complementario de un conjunto dado A es otro conjunto pertenecienteal Conjunto Universal, que est formado por los elementos que nopertenecen al conjunto dado A.El conjunto complemento de A se representa por A'y se lee "A complemento".

Ejemplo:

Si U = {a, b, c, d, e, f} y A = {a, b, c}, entonces, A' = {d, e, f}

Notacin simblica = {x/x U y x A}

Algunas propiedades del Conjunto Complemento son:

a. ' = U b. U' = c. (A')' = A d. A A' = e. A A' = U


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En el diagrama de Venn, del Conjunto Complemento, se ha rayado ysombreado el complemento de A, o sea el rea exterior a A. Se supone queel conjunto universal U est representado por el rea del rectngulo.

En general podemos realizar cualquier operacinentre conjuntos utilizando diagramas de Venn. Alrealizar estas operaciones, los diagramas sepresentan de la siguiente forma estandarizadapara el caso de dos conjuntos o de tres conjuntos.

Lo ms conveniente cuando se tenga muchas operaciones con conjuntos, es utilizar diferentesdiagramas para obtener el conjunto que especifica cada operacin; de ser necesario se puedenutilizar ms de un diagrama simultneamente.

Esto se puede mos trar con el siguiente ejemplo .

Represente grficamente el siguiente conjunto:(AB)(B C)'

5. Nmero de elementos de un conjunto (Cardinalidad)a. Cor resp on den cia biu nvo ca

Si los elementos de dos conjuntos pueden aparearse de tal manera que al elemento de unconjunto corresponda uno y solo uno de los elementos de otro conjunto, se dice que seestablece una relacin o correspondencia biunvoca. Es importante sealar que losconjuntos resultan ser equivalentes (tienen el mismo nmero de elementos) y nonecesariamente iguales.


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b. Cardinal idad

Al nmero de elementos que tiene un conjunto dado se le llama Cardinalidad.Si A es un conjunto, la cardinalidad de A se denota por n(A)y se lee "cardinalidad de A"Ejemplos:

1) Sea A = {a, b, c}, entonces, n(A) = 3. La cardinalidad de A es 3.Sea B = {c, d, e}, entonces, n(B) = 3. La cardinalidad de B es 3.

A + B = {a, b, c, d, e}, entonces, n(A + B) = 5. La cardinalidad de A + B es cinco.n(A) + n(B) = 3 + 3 = 6 y n(A + B) = 5

En este caso n(A) + n(B) n(A + B) porque hay un elemento comn a ambosconjuntos.

n(A+B) = n(A) + n(B) n(AB) y como, n(AB) = 1, entonces, n(A+B) = 3 + 3 1 = 5

2) Consideremos los siguientes conjuntos: A = {a, b, c}, B = { d, e, f}, entonces:

A+B = {a, b, c, d, e, f} n(A+B) = 6n(A) = 3, n(B) = 3 n(A) + n(B) = 6

En este caso n(A) + n(B) = n(A+B) porque no hay elementos comunes a ambosconjuntos, A y B son disjuntos.

De forma general el nmero de elementos de la unin de dos conjuntos est dado por laexpresin: n(A + B) = n(A) + n(B) - n(AB) y en el caso particular que AB = , n(AB) = 0,entonces, n(A + B) = n(A) + n(B).

Ejemplos:

Una compaa desea conocer las actitudes de los empleados acerca de dos tipos deincentivos que piensa establecer, A: "Incentivos para disminuir el ausentismo" y B:"Incentivos para incrementar la eficiencia del trabajo".

Se realiz una encuesta entre todo el personal que suma un total de 350 elementos de loscuales a 180 les parece bueno el plan Ay 275 manifiestan su aprobacin por el plan B. Sedesea conocer cul es el nmero de personas que aprueban ambos planes, si se sabe que20 no aprobaron ninguno de los dos?

Nmero de personas a favor de los planes: 350 20 = 330

Llamaremos Conjunto A al Plan A y Conjunto B al Plan B.n(A + B) = n(A) + n(B) n(AB)330 = 180 + 275 n(AB)n(AB) = 180 + 275 330 = 125 aprueban ambos planes.


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c. Cardinal id ad de (A B C)

Para el caso de tres conjuntos el nmero de elementos de la unin de ellos est dado porla frmula:

n(A + B + C) = n(A) + n(B) + n(C) n(AB) n(AC) n(BC) + n(ABC)

En muchos de los problemas de cardinalidad, se desea saber el nmero de elementosque pertenecen a un conjunto en general o de forma particular, en este caso, esrecomendable construir un diagrama de Venn donde se indique el nmero de elementosque contienen cada uno de los conjuntos que se pueden formar a partir de los conjuntosdados.

Ejemplo:Un jefe de publicidad ha entrevistado a 2,000 personas para apreciar los efectos detres programas de TV. del canal de televisin UCA. Al tabular la informacinrecaudada, el jefe tiene las boletas de encuesta las que le informan que:580 personas miraban el programa A

840 personas miraban el programa B920 personas miraban el programa C260 personas miraban los programas A y B220 personas miraban los programas A y C300 personas miraban los programas B y C100 personas miraban los programas A, B y C

Se pregunta:1) Cuntas personas miran solamente un programa de TV?2) Cuntas personas miran exclusivamente dos programas de TV?3) Cuntas personas no miran ninguno de los tres programas?4) Cuntas persona miran el programa A pero no el B?

Para resolver este ejercicio construiremos un diagrama de Venn donde quedenrepresentados el nmero de elementos que pertenecen a cada una de las trescategoras, a partir de tres conjuntos, dados de la siguiente manera. (Supondremostres conjunto A, B y C.1) Se debe partir colocando el nmero de elementos que tiene el conjunto (ABC)2) Procedemos ahora a colocar el nmero de elementos que pertenecen a los

conjunto AB, AC y BC de forma exclusiva, lo cual se obtiene restando a cadauno de estos conjuntos en general, el nmero de elementos de (ABC).n(ABC') = n(AB) n(ABC)n(ACB') = n(AC) n(ABC)n(BCA') = n(BC) n(ABC)

3) Por ltimo colocamos el nmero de elementos que pertenecen a cada uno de

los tres conjuntos A, B y C de forma exclusiva, lo que obtenemos restando acada conjunto en general, el nmero de elementos de los conjuntos de lospasos a) y b) que se intercepten con ellos.n(AB'C') = n(A) n(ABC') n(ABC)n(BA'C') = n(B) n(ACB') n(ABC)n(CA'B') = n(C) n(BCA') n(ABC)Los elementos que no forman parte de ninguno de los tres conjuntos, estn enel Conjunto Universo de la discusin. As:


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n(A) = 580 personas que miraban el programa An(B) = 840 personas que miraban el programa Bn(C) = 920 personas que miraban el programa Cn(AB) = 260 personas que miraban los programas A y Bn(AC) = 220 personas que miraban los programas A y Cn(BC) = 300 personas que miraban los programas B y C

n(ABC) = 100 personas que miraban los programas A, B y C

Respuestas a las pregun tas:1) Cuntas personas miran solamente un programa de TV?

Se refiere a aquellas personas que ven solamente un programa no importandocualquiera sea este: n(AB'C') + n(BA'C') + n(CA'B') = 200 + 380 + 500 = 1,080

2) Cuntas personas miran exclusivamente dos programas?

Se refiere a los que ven dos programas y no ms:

n(ABC') + n(AB'C) + n(A'BC) = 160 + 120 + 200 = 480

3) Cuntas personas no miran ninguno de los tres programas?

En este caso se toma el total de encuestados menos el nmero de elementos dela unin de los tres conjuntos o sea los que miran al menos un programa de TV.

No ven ningn programa = Total encuestados n(A + B + C), es decir:

No ven programas = 2,000 (580 + 840 + 920 - 260 220 300 + 100) = 340

4) Cuntas persona miran el programa A pero no el B?

En este caso no excluye que puedan ver el programa C: n(AB')= 200+120= 320

Otra forma muy comn, y ampliamente utilizada, para representar conjuntos, son las tablas decontingencia, estas tablas presentan de hecho, la cardinalidad de los conjuntos y de muchasrelaciones entre ellos ah representadas. Tambin nos encontramos con el hecho de quemuchas de las interrogantes planteadas, alrededor de la informacin presentada a travs deestas tablas, estn relacionadas con el nmero de elementos que tiene un conjuntodeterminado y se pueden, por lo tanto, responder estableciendo la cardinalidad del conjuntoque cumple con las especificaciones establecidas.

Existen diversas formas para abordar estos problemas, sin embargo, lo ms recomendable pararealizar de manera sencilla este proceso, es utilizar diagramas de Venn, planteando de formaindependiente las operaciones y relaciones solicitadas, mediante el sombreado de los conjuntosy operaciones indicadas entre ellos, y determinando el nmero de elementos en el conjuntofinal. Como descubrirn en el proceso, los resultados parciales o sub totales que se presentanen la tabla inicial, en la mayora de los casos, no ayudan a responder las interrogantesplanteadas aunque si a agilizar los clculos.

Otro aspecto importante que se debe mencionar, es que, encontraremos diversas formas dereferirnos a los conjuntos con que trabajaremos, sin embargo, se debe tener mucho cuidado por


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mantener las caractersticas expresadas en su representacin simblica, la cual en algunoscasos no ser muy sencilla de expresar verbalmente.

Los siguientes ejemplos mostraran una forma, que no es nica, de abordar este tipo deejercicios.

Ejemplo: PARMALAT est realizando un estudio de mercado para introducir un nuevoproducto en el pas con tres sabores diferentes. Para tal fin fueron encuestadas 190 personas,las cuales degustaron los productos, e hicieron una valoracin de los mismos, clasificndolosen tres categoras. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

producto (A) producto (B) producto (C) Totales

Excelente (E) 8 26 6 40

Bueno (N) 16 40 14 70

Malo (M) 6 62 12 80

Totales 30 128 32 190

Determine (interpretando los resultados) el nmero de personas en cada uno de los siguientesconjuntos: a) N(A C) b) BN c) E Aa)

Este conjunto representa a todas las personas que degustaron elproducto A o el producto B, e este caso 62 personas degustaron elproducto A o el C, pero sealamos anteriormente, este resultado noes importante, lo realmente importante es la parte sombreada deldiagrama.

Este conjunto representa al total de personas que no catalogaron debueno a ninguno de los productos. Tenemos a 120 personas que nocatalogaron de bueno a ninguno de los tres productos. Observe queesta operacin es independiente de la anterior.

Finalmente este conjunto (la parte sombreada) representa al total depersonas encuestadas que no catalogaron ninguno de los tresproductos como bueno, pero que degustaron los productos A y C, entotal en este conjunto hay, 32 elementos (personas)

b)

Este conjunto representa a todos aquellas personas que nodegustaron el producto B, en total son 62 personas o elementos


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Este conjunto representa al total de personas que no catalogaron debueno a ninguno de los productos. Tenemos a 120 personas que nocatalogaron de bueno a ninguno de los tres productos.

Este conjunto representa a todas las personas que no degustaron elproducto B o no catalogaron de bueno a ninguno de los productos.Es la unin de los dos conjuntos y como puede observarse, loselementos repetidos no se cuentan dos veces. El conjunto tiene 150elementos.

c)

Este conjunto representa a todas las personas que degustaron al losproductos A o B o C, y lo catalogaron de Excelente. El conjunto tiene

40 elementos.

Este conjunto representa a todas las personas que degustaronnicamente el producto A, independientemente de la valoracin quehayan hecho de el. El conjunto tiene 30 elementos.

Este conjunto representa a todas las personas que degustaronnicamente el producto A o evaluaron como excelente a cualquiera delos tres productos, nuevamente, a pesar de haber elementosrepetidos, estos se cuentan nicamente una vez. Este conjunto tiene62 elementos.

Ejemplo: Se les pregunto a varias personas entre nios, jvenes y adultos, acerca de supreferencia sobre tres bebidas gaseosas. Sus respuestas, que se presentan resumidas en lasiguiente tabla, fueron las siguientes:

SODA NIOS(N) JOVENES(J) ADULTOS(A) TOTALESCOCA COLA(C) 15 32 65 112PEPSICOLA(P) 3 12 32 47BIG COLA(B) 8 23 28 59

TOTALES 26 67 125 218

Determinar: a) (J B ) b) ( N B ) C c) ( P U A ) C


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a)(J B)

Este conjunto representa a todas las personas entrevistadas queson jvenes y expresaron que su bebida preferida es la Big Cola.La cardinalidad de este conjunto es 23.

(J B)Este conjunto representa a todas las personas entrevistadas queson nios o adultos y que prefieren una bebida gaseosa distinta dela Big Cola. La cardinalidad de este conjunto es 21823 = 195.

b)(N B)

Este conjunto representa a todas las personas entrevistadas queson nios y eligieron a la Big cola como su bebida preferida. Lacardinalidad de este conjunto es 8.

C Los elementos de este conjunto son todas aquellas personas queno seleccionaron a la Coca Cola como su bebida preferida.La cardinalidad de este conjunto es 47 + 59 = 106.

(N B ) C Este conjunto est conformado por que, adems de ser nios, subebida preferida es distinta de la Coca Cola.La cardinalidad de este conjunto es 8.Observe que coincide con el primer conjunto encontrado(N B).

c)(P U A)

Este conjunto representa a todas las personas entrevistadas quetienen a la Pepsi Cola como su bebida preferida o son adultos.La cardinalidad de este conjunto es 140.

(N) (J) (A)

(C)

(P)

(B)

(N) (J) (A)

(C) 15 32 65

(P) 3 12 32

(B) 8 28

(N) (J) (A)(C)

(P)

(B)

(N) (J) (A)

(C)

(P)

(B)

(A) (B) (C)

(E)

(N)

(M) 8

(N) (J) (A)

(C)

(P)(B)


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C Los elementos de este conjunto son todas aquellas personas queno seleccionaron a la Coca Cola como su bebida preferida.La cardinalidad de este conjunto es 47 + 59 = 106.

( P U A ) CLos elementos de este conjunto los obtenemos eliminando, delgrupo de personas entrevistadas que tienen a la Pepsi Cola comosu bebida preferida o son adultos, a las que no seleccionaron a laCoca Cola como su bebida preferida.La cardinalidad de este conjunto es 65.

Act iv idad d e autoaprendizaje No. 2

1. Sea U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {4, 5, 6, 7} yD = {6, 7, 8, 9}. Determine:i. A B j. D A k. (A)' l. B C m. B D n. (AB)Co. B' D p. A B q. (AB)'

Cr. B' D' s. (AB)' t. A D

2. Complete las siguientes proposiciones siendo X un subconjunto arbitrario del Universo U.a. X U b. X U c. X d. X e. X X f. X Xg. X X' h. X X' i. U

j. X X k. U3. Ejercite grficamente utilizando un diagrama de Venn con tres conjuntos en la forma

estndar.

a. A (BC) b. (AB') C c. A' B'd. [(A B)'C]' e. (B C)'A f. (A B)(B C)g. A (BC) h. B -(AC) i. (A C)B'

4. Nadine Tracy condujo una encuesta a 75 pacientes admitidos en el centro de cardiologadel hospital de Massachussets, durante un perodo de dos semanas.Sea B = el conjunto de pacientes con presin arterial alta

C = el conjunto de pacientes con nivel de colesterol altoS = el conjunto de pacientes que fuman cigarrillos.La informacin de Nadine es la siguiente: n(B) = 47 n(BS) = 33 n(C) = 46 n(BC) = 31 n(S) = 52 n(BCS) = 21 n[(BC)U(BS)U(CS)]=51 Encuentre el nmero de pacientes que:a. tena presin alta o colesterol alto, pero no ambosb. tenan menos de dos de lo indicado en la lista

(N) (J) (A)

(C)

(P)

(B)

(A) (B) (C)

(E) 65

(N)

(M)


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c. eran fumadores, pero no tenan presin alta ni colesterol altod. no tuvieron exactamente dos de las indicaciones de la lista.

5. Ernesto Medina dirige un programa de ftbol en la UNAN Len. El primer da de latemporada se presentaron 60 jvenes y fueron clasificados por nivel de edad y por supreferencia en la posicin de juego, como se muestra en la siguiente tabla.

Posicin TotalesDefensa (D) Delantero (F) Centro (N)

EdadSecundaria (S) 11 6 8 25Preparatoria (P) 16 7 14 37Universidad (U) 6 9 3 15

Totales 33 22 25 80

Utilizando el conjunto de etiquetas (letras) en la tabla, encuentre el nmero de jugadoresen cada uno de los siguientes conjuntos.a. S G b. U N c. F U S

d. P (D U N) e. (P N) U (U D) f. N (P U)

6. Un estudio de las condiciones de vivienda del personal de la UniversidadCentroamericana, clasific al personal como: Directivos (D), Docentes de tiempocompleto (T) y administrativos (A), y la condicin de la vivienda donde habitan seclasific como: Casa propia (P), Alquilada (Q)y familiar (F). Los resultados del estudio sepresentan a continuacin resumidos en la tabla.

Tipo de viviendaTotales

P Q F

PersonalA 120 20 60 200T 140 5 30 175D 20 2 3 25

Totales 280 27 93 400

Determine el nmero del personal en cada uno de los conjuntos siguientes.

a. P F b. C U B c. D U Fd. (T U Q)(A U D) e. (P F) U (A D) f. Q (A U D)

7. A un grupo de 350 adultos, que participaron en una encuesta de salud, se les preguntosi llevan o no una dieta. Las respuestas por sexo fueron los siguientes.

Dieta / Sexo Masculino (M) Femenino (F) TotalesA dieta (D) 14 25Sin dieta (D) 159 152

Totales

Determine la cardinalidad de los conjuntos dados y represente estos conjuntos usando lasletras dadas y smbolos de operaciones de los conjuntos.

1. La persona encuestada no est a dieta2. La persona encuestada es un hombre que est a dieta3. La persona encuestada es una mujer o est a dieta4. La persona encuestada est a dieta, pero no es hombre5. La persona encuestada no est a dieta o es un hombre.6. la persona encuestada es una mujer


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8. La encargada de la cafetera de la UCA quera saber si la bebida que los trabajadores de laUniversidad preferan tomar a la hora del almuerzo, dependa de su edad, as que, realiz unaclasificacin de la bebida con que acompaaban el almuerzo y la edad, recopilando losnmeros resultantes en la tabla que se muestra.

Bebida

TotalesCola(C)

T helado(T)

Refrescos Naturales(R)

16-22 (A) 9 6 4 19Edad 23-28 (J) 12 5 9 26

Ms de 28 (S) 5 8 2 15Totales 26 19 15 60

Encuentre el nmero de personas en cada uno de los siguientes conjuntos e indique de formaverbal, el conjunto al que se hace referencia de forma simblica.(a) S T (b) A' R (c) R' U S' (d) J' (C U R) (e) R' (S' C')

9. La siguiente tabla muestra 500 estudiantes de enfermera clasificadas segn lascalificaciones que obtuvieron despus de un examen de admisin y el prestigio de la escuela desegunda enseanza en la cual se graduaron, como lo constat un grupo de profesores:

Calificacin Prestigio de la segunda enseanza TotalDeficiente (D) Promedio (P) Superior (S)

Baja (B) 100 30 35 165Media (M) 30 135 80 245

Alta (A) 20 35 35 90Total 150 200 150 500

Exprese utilizando la notacin adecuada y determine el nmero de elementos que hay en lossiguientes conjuntos

a) Estudiantes que hayan obtenido una baja calificacin.b) Estudiantes que hayan obtenido una baja calificacin en el examen y se haya graduadode una escuela superior de segunda enseanza.

c) Estudiantes que hayan obtenido una baja calificacin en el examen dado que se hayagraduado en una escuela superior de segunda enseanza.

d) Estudiantes que hayan obtenido una alta calificacin en el examen o se haya graduadoen la escuela superior de segunda enseanza.

10- Se quiere fumigar contra una plaga en tres reas densamente pobladas. Se hizo una encuesta a190 residentes de estas reas para saber si estaban a favor o no de la fumigacin. Los resultadosfueron los siguientes:

rea I (M ) rea II (N) rea III (P ) TotalesA Favor(A ) 8 26 6 40

En contra (B ) 16 40 14 70

No opinaron (C) 6 62 12 80

Totales 30 128 32 190Determine el nmero de personas, en cada uno de los conjuntos dados:a) BP b) NCA c ) CAP


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11- Dada la siguiente tabla (ocu pacin vs. Ingreso fam il iar)Bajo (B) Medio (M) Alto (S) Totales

Ama de casa (A) 8 26 6 40Obrero (O) 16 40 14 70Ejecutivos (E) 6 62 12 80

Profesionales (P) 0 2 8 10Totales 30 130 40 200

Determine el nmero de personas en cada de uno de los siguientes conjuntos e indique de formaverbal, la caracterstica de los elementos que conforman dichos conjuntos.a) PS b) EM c ) SBA

16. El gerente de una tienda de ropa para dama determin la relacin entre el tipo de cliente yla forma de pago. Ha recopilado la informacin siguiente:

Cliente PagoTotal

Crdi to Con tad o

Habituales 70 50

No habituales 40 40Total

1 Exprese utilizando la notacin adecuada y determine el nmero de elementos que hayen los siguientes conjuntos:

a) Clientes que son consumidores habituales.b) Clientes pagan a crdito.c) Clientes que pagan de contado.d) Clientes que no sean consumidores habituales.e) Clientes que son consumidores habituales y compran a crdito.f) Clientes que son consumidores habituales y pagan de contado.g) Clientes que no son consumidores habituales y pagan de contado.

h) Clientes que son consumidores habituales o pagan de contado.i) Clientes que no son consumidores habituales o pagan a crdito.2 De los clientes que han pagado de contado, cuntos son clientes habituales?3 De los que son clientes habituales, cuntos han pagado de contado?

12. La siguiente tabla representa la clasificacin de 150 compaas de acuerdo con cuatrogrupos industriales, y respecto a si su rendimiento sobre la inversin est por encima o pordebajo del rendimiento promedio.

CategoraIndustrial

Rendimiento sobre el capitalTotalSuperior al promedio

(M)Inferior al promedio

(I)A 20 40

B 10 10C 20 10D 25 15

TotalDetermine el nmero de compaas que se encuentran en cada uno de los siguientesconjuntos:

1) MA 2) IC 3) BM 4) D 5) IC 6) BM 7) IB


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Unidad II: Aritmtica


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Presentac in de la un idad II

Para la lectura y comprensin de esta unidad no hacen falta grandes conocimientos de

matemtica, basta saber las reglas bsicas de la aritmtica. El contenido de la unidad es

variadsimo, va desde una numerosa coleccin de ejercicios de aritmtica como operaciones confracciones, razones y proporciones, hasta regla de tres y porcentajes.

Se ha procurado que el material que integra esta unidad tenga un enfoque nuevo y sencillo, donde

el estudiante encontrar problemas cotidianos de gran inters. Se propone adems, refrescar y

afianzar conocimientos pero en primer lugar pretende despertar en el estudiante el inters por

estos temas y contribuir a la consolidacin de los conocimientos y hbitos asimilados en la

secundaria.

Al igual que en otras ciencias, la solucin de los problemas que se abordarn aqu depender en

gran medida de la observacin y la experimentacin del problema, para descubrir cul es la teora

matemtica que se aplicar.

La matemtica constituye una manera de comunicar informacin. Es una manera de hablar; con

un poco de prctica, tambin usted podr hablar bien este lenguaje.

Objet ivos de la unid ad II

Al finalizar esta unidad ser capaz de:

1. Efectuar apropiadamente, auxilindose con el uso de su calculadora, operaciones confracciones y nmeros decimales.

2. Plantear correctamente problemas cotidianos haciendo uso de las operaciones ypropiedades de los nmeros reales.

3. Aplicar la regla de tres y los porcentajes en la solucin de problemas.


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Esquema de con tenido de la unidad II

A. Situaciones problemticas de aritmtica1. Nmeros fraccionarios (o quebrados)

a. Fraccin propiab. Fraccin impropiac. Fracciones equivalentes

2. Orden en los nmeros fraccionarios

B. Fraccin decimal

C. Operaciones con fracciones1. Suma y diferencia de fracciones2. Multiplicacin de fracciones3. Divisin de fracciones4. Fracciones complejas

D. Razones1. Situaciones problematicas2. Definicin

E. Proporciones1. Definicin2. Trminos

F. Regla de tres1. Definicin2. Regla para la resolucin de problemas

G. Porcentajes1. Tanto por ciento2. La razn de dos nmeros expresada como un porcentaje.3. Cambio porcentual en una cantidad

H. Notacin Cientfica (Potencias De 10)1. Por qu empleamos notacin cientfica?2. Cmo escribir los nmeros en notacin cientfica?3. Operaciones con potencias 10


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A. Situaciones problemticas de aritmtica

1. Usted se encuentra haciendo sus compras navideas en Almacenes SIMAN y observa queel producto que desea adquirir tiene un descuento promocional del 20%, pero adems, elvendedor le recuerda que si tiene su tarjeta CREDISIMAN, tambin se le aplica el 5% de

descuento, si realiza el pago con ella. Entonces cual ser el valor del artculo que deseaadquirir, si el precio original es de $ 350 dlares y todava hay que cargarle el 15% deimpuestos sobre ventas.

2. Por la crisis del medio oriente, el precio del galn de gasolina paso de C$89 crdobas aC$114.5 crdobas. Como asistente de Marketing de la empresa donde labora, se le solicitaque ajuste los precios de los productos que vende la empresa y que este incremento seaproporcional al 50% del incremento porcentual que sufri el galn de gasolina. Usted piensaque es un traga lenguas, pero su jefe le dice que espera su respuesta en media hora.

3. Es el cumpleaos de su mam, y usted decide prepararle un queque. La receta seala 5huevos, y usted, slo tiene 3. Por tanto, se conforma con las tres quintas partes de la receta

original. Ahora bien, cunto dan los53 de

431 tazas de harina?

4. El anuncio de una tienda dice, todos los artculos rebajados un 20%. Al pagar los artculosque seleccion, el dependiente la aplica el impuesto de venta del 15% y despus eldescuento anunciado, al ver esto, usted le pide que por favor le aplique primero el descuentoy despus cobre el impuesto de venta. El joven con una maliciosa sonrisa accede a supeticin. Es la fecha y se pregunta a que se debi.

Cuntos problemas, de aritmtica elemental, nos encontramos cotidianamente que nosresultan difciles de resolver?, Porcentajes?, Fracciones? Esta unidad pretende brindarleelementos que le permitirn hacer frente a estos problemas y otros muy relacionados, a travsde estrategias y conceptos muy sencillos del Aritmtica.

Nmeros fraccionarios (o quebrados)

Uno de los documentos manuscritos ms antiguos que se conoce es el papiro egipcio, escrito porel sacerdote Ahmes, hace 4000 aos. Este papiro nos revela el conocimiento de las fraccionespositivas por parte de los egipcios, y al leerlo se pone de manifiesto lo difcil que result, en unprincipio, la interpretacin de las fracciones.

Como es lgico, comprendan que significaba ,4

1,

3

1,

2

1 etc., pero no as el significado de las

fracciones de numerador distinto de 1, por ejemplo:11,

9,

7

4,

5

3 , etc., Por esta razn todas las

fracciones las expresaban como suma de fracciones de numerados 1; as 52 lo expresaban como

la suma de25

1

3

1 . Los griegos siguieron el mismo sistema que los egipcios, de numerador

constante e igual a 1 para las fracciones. En cambio, los babilonios y los rom

libro de matemu00c1tica bu00c1sica xerox ic 2013

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