libro de topografia

1

CAPTULO 1.- GENERALIDADES.

1.1. Definicin e importancia de la Topografa.

La topografa es una ciencia aplicada que se encarga de estudiar las

posiciones de un terreno o lugar de la tierra en forma relativa o absoluta. Esta

ciencia estudia los mtodos y procedimientos para realizar mediciones sobre

terrenos relativamente pequeos y plasmarlos en forma grfica y a escala en

un plano, con todas las caractersticas necesarias para proyectar obras de

arquitectura y de ingeniera civil.

Aprender topografa es de suma importancia para todas las personas que

requieran realizar estudios de ingeniera civil, arquitectura, o cualquier

carrera de ingeniera que sea afn a las obras de construccin.

1.2. Tipos de Levantamientos.

Estos pueden ser Topogrficos o Geodsicos.

Topogrficos: Son aquellos que por abarcar superficies reducidas pueden

hacerse despreciando la curvatura de la tierra, sin error apreciable.

Geodsicos: Son levantamientos en grandes extensiones que hacen

necesario considerar la curvatura de la tierra.

Los levantamientos topogrficos son los ms comunes y los que ms nos

interesan en este curso. Los geodsicos son motivo de estudio especial al

cual se dedica la Geodesia.

Dentro de los levantamientos Topogrficos se encuentran:

Levantamientos de terrenos en general: Tienen por objeto marcar linderos

o localizarlos, medir y dividir superficies, ubicar terrenos en planos generales

ligando con levantamientos anteriores, o proyectar obras y construcciones.

Topografa de vas de comunicacin: Es la que sirve para estudiar y

construir caminos, ferrocarriles, canales, lneas de transmisin, acueductos,

etc.

2

Topografa de Minas: Tiene por objeto fijar y controlar la posicin de

trabajos subterrneos y relacionarlos con las obras superficiales.

Levantamientos Catastrales: Son los que se hacen en ciudades, zonas

urbanas y municipios, para fijar linderos o estudiar las obras urbanas.

Levantamientos Areos: Son los que se hacen por medio de la fotografa,

generalmente desde aviones, y se usan como auxiliares muy valiosos de

todas las otras clases de levantamientos. La Fotogrametra se dedica

especialmente al estudio de estos trabajos.

1.3. Aplicacin de la topografa.

La teora de la Topografa se basa esencialmente en la Geometra Plana,

Geometra del espacio, Trigonometra y Matemticas en general. Adems del

conocimiento de estas materias, se hacen necesarias algunas cualidades

personales, como por ejemplo: Iniciativa, habilidad para manejar los

aparatos, habilidad para tratar a las personas, confianza en s mismo y buen

criterio general.

Precisin: Todas las operaciones en topografa estn sujetas a las

imperfecciones propias de los aparatos y a las imperfecciones en el manejo

de ellos; por lo tanto ninguna medida en topografa es exacta, y es por eso

que la naturaleza y magnitud de los errores deben se comprendidas para

obtener buenos resultados.

Comprobaciones: Siempre en todo trabajo de Topografa, se debe buscar

la manera de comprobar las medidas y los clculos ejecutados. Esto tiene

por objeto descubrir equivocaciones y errores, y determinar el grado de

precisin obtenida.

Notas de campo: Es la parte ms importante del trabajo de campo en

Topografa. Las notas de campo deben tomarse siempre en libretas

especiales de registro, y con toda claridad para evitar el tener que pasarlas

posteriormente, es decir, se toman en limpio, y consecuentemente no se

pasan en limpio.

3

Deben incluirse la mayor cantidad de datos complementarios posibles

para evitar confusiones o malas interpretaciones, ya que es muy comn que

los clculos o dibujos los hagan personas diferentes a las encargadas del

trabajo de campo.

1.4. Poligonal y tipos de poligonales.

La poligonal es una figura geomtrica que contiene como elementos

ngulos y distancias. Una poligonal puede ser cerrada o abierta, estas

pueden contener lados rectos y curvos.

Poligonales cerradas. En topografa las poligonales cerradas se utilizan

para determinar lmites de terrenos de propiedad, que plasmados en un

plano llevarn todos los datos necesarios para su identificacin y de esa

manera poder realizar cualquier tipo de proyecto y construccin.

La figura 1.4.1. muestra un ejemplo de una poligonal cerrada, que para

efectos de convertirse en un levantamiento, deber llevar datos adjuntos,

tales como: ngulos interiores o exteriores, rumbos magnticos o

astronmicos, distancias de los lados, coordenadas, superficie, ubicacin y

localizacin, etc.

Figura 1.4.1. Plano de levantamiento topogrfico.

2911'

363

2'

992

3'

10536'

904

2'

SUP: 620

.85 M

PERIMET

RO: 135.0

2 M

3

2

1

5

4

N 4

8 0

0' 0

0" E

S 85 52' 05" W

S 0

3

26' 10" E

N 3

2 3

5' 15" W

38

15

38,02

20

24

S 57 35' 33" E

4

Poligonales abiertas. Normalmente son lneas rectas quebradas,

utilizadas en topografa para realizar estudios y proyectos de construccin

como vas de comunicacin: carreteras, calles, avenidas, caminos, lneas de

alcantarillado, de agua potable, de transmisin (elctrica, telfono, fibra

ptica, cable, etc.), aeropuertos, puertos.

Estas poligonales tienen como caracterstica principal un origen y un

destino, y nunca cierran sobre si mismas. Para fines de levantamiento

topogrfico debern contar con todos los datos necesarios tales como:

orientacin magntica o astronmica de cada uno de sus lados, coordenadas

ecuatoriales de sus vrtices, ngulos de deflexin, distancias de sus lados,

etc.

La figura 1.4.2. muestra un ejemplo de una poligonal abierta, que pudiera

ser utilizada para cualquier tipo de proyecto de construccin de obra civil o

arquitectnica.

5

1.5. Errores.

Orgenes de los errores: Pueden ser instrumentales, personales y/o

naturales.

Los errores se dividen en dos clases: Sistemticos y accidentales.

Sistemticos: Son los que, para condiciones de trabajo fijas en el campo,

son constantes y del mismo signo y por tanto son acumulativos, por ejemplo:

en medidas de ngulos, aparatos mal graduados o arrastre de graduaciones

en los trnsitos; en medidas de distancias y desniveles, cintas o estadales

mal graduados, catenaria, cinta inclinada, mala alineacin, error por

temperatura, etc..

Accidentales: Son los que se cometen indiferentemente en un sentido o

en otro, y por tanto es igualmente probable que tengan signo positivo o

negativo. Ejemplo: en medidas de ngulos, lecturas de graduaciones,

visuales descentradas de la seal; en medidas de distancias, colocacin de

marcas en el terreno, variaciones en la tensin de la cinta, apreciacin de

fracciones, etc. Muchos de estos errores se eliminan porque se compensa.

El valor ms probable de una cantidad medida varias veces, es el

promedio de las medidas tomadas, o media aritmtica. Esto se aplica tanto a

ngulos como a distancias y desniveles.

1.6. Medidas de distancias.

Las medidas de distancias pueden hacerse:

- Directas (con cinta).

- Indirecta (con Telmetros).

Medidas directas.

Logmetros (cintas de acero, cintas de lienzo, cintas de fibra de vidrio,

cadenas).

Las distancias con que se trabaja y que se marcan en planos, siempre

son horizontales.

6

Por tanto, las distancias siempre que se puede, se miden horizontales o

se convierten a horizontales con datos auxiliares (ngulo vertical o

pendiente).

Empleo de la cinta en medida de distancias.

-Terreno horizontal.

Se va poniendo la cinta paralela al terreno, al aire, y se marcan los tramos

clavando estacas o fichas, o pintando marcas en el terreno en forma de

cruz. (Ver la figura 1.6.1.).

Figura 1.6.1.

Al medir con longmetro es preferible que ste no toque el terreno, pues

los cambios de temperatura al arrastrarlo, o al contacto simple, influye

sensiblemente en las medidas.

Las cintas de acero en general estn hechas para que con una tensin de

aproximadamente 4 kgs. por cada 20 mts. de longitud, den la medida

marcada. Esta tensin se mide con dinammetro en medidas de precisin, y

las cintas deben compararse con la medida patrn. Para trabajos ordinarios

con cinta de 20 o 30 metros, despus de haber experimentado la fuerza que

se necesita para tensarla con 4 5 kgs. No es necesario el uso constante del

dinammetro.

7

-Terreno inclinado.- Pendiente constante.

Puede ponerse la cinta paralela al terreno, y deber medirse tambin el

ngulo vertical o pendiente para despus calcular la proyeccin horizontal.

(Ver la figura 1.6.2.).

Figura 1.6.2. Terreno inclinado.

Tambin puede medirse por tramos, poniendo la cinta horizontal a ojo. (Ver

figura 1.6.3.).

Figura 1.6.3. Terreno inclinado medido con cinta y plomada.

plomadahilo con

8

-Terreno irregular.

Siempre se mide en tramos horizontales para evitarse el exceso de datos

de inclinaciones de la cinta en cada tramo. (Ver figura 1.6.4.).

Figura 1.6.4. Terreno irregular.

El alineamiento de los puntos intermedios entre los extremos de una lnea,

puede hacerse: a ojo (con balizas o con hilo y plomada) o empleando aparato

(trnsito). Ver la figura 1.6.5 de una baliza.

Figura 1.6.5. Baliza.

2, 2.50 0 3 m.

metlico

regatn

BALIZA

9

PRACTICA No. 1. Levantar una perpendicular a una lnea a un punto

dado (A) de sta.( Mtodo de la regla 3,4,5).

PROCEDIMIENTO:

Paso 1. Se traza y se mide la lnea base. (Ver figura 1.6.6.).

Paso 2. Sobre la lnea base se posiciona un punto (A) clavando una

estaca; de este punto se levantar la lnea perpendicular. (Ver figura

1.6.7.).

Paso 3. Con una sola cinta se forma un tringulo rectngulo. Se

emplean lados de 3, 4 y 5 metros o mltiplos de ellos. Con una sola cinta

se puede formar el tringulo, sostenida por tres personas, una en la marca

(3), otra en la (7) y otra juntando la (0) y la (12). (Ver figura 1.6.8.).

10

Figura 1.6.8.

5

(0)

(12)

4

(3)

3A

(7)

MATERIAL Y/O EQUIPO:

- Cinta mtrica topogrfica de 30 metros.

- Hilo fluorescente de albail.

- Estacas de fierro o madera.

- Cintilla topogrfica fluorescente.

- Marro de 4 libras.

PRACTICA No. 2. Levantar una perpendicular a una lnea a un punto

dado (A) de sta. (Mtodo del comps).

PROCEDIMIENTO:

Paso 1. Midiendo distancias iguales cualesquiera a ambos lados del punto

A, hacia los puntos B y C. (Ver figura 1.6.9.).

11

Paso 2. Posicionarse en cada uno de los puntos B y C y abrir un comps

hacia cada punto, del mismo tamao del lado o mayor de la mitad,

trasladando el comps hacia arriba o hacia abajo. (Ver figura 1.6.10.).

Paso 3. Donde se intersequen ambos arcos, esa ser la perpendicular de

la lnea base, trazada desde el punto A. (Ver figura 1.6.11.).

12







PRACTICA No. 3. Trazar un alineamiento entre dos puntos invisibles uno

de otro.

PROCEDIMIENTO:

Paso 1. Fuera del obstculo se traza AP y se mide, y su perpendicular por

(B), y tambin se miden: A-1, A-2, A-3, etc., donde convenga situarlos.

Paso 2. De aqu se calculan las distancias 1-1, 2-2, 3-3 normales a la

lnea auxiliar.

Paso 3. Levantando normales en 1, 2, 3 y 4, y con sus longitudes

conocidas, se fijan 1, 2, 3 y 4 que estn sobre la lnea AB.

Nota: Para todos los pasos anteriores ver la figura 1.6.11.

Figura 1.6.11.

13







Ejercicio 1.1. (Resuelto) Calcular el alineamiento 1-1', 2-2', 3-3', 4-4' entre

dos puntos invisibles e inaccesibles con los datos siguientes:

Acotacin metros

A-P=35, P-B=27, A-1=5, A-2=15, A-3=20, A-4=25

Desarrollo: de la frmula de relacin de tringulos, calcular cada uno de

los datos faltantes.

1

11

APA

BP, sustituyendo datos y despejando 1-1', se obtiene:

5

11

35

27 ; 1-1=3.9m para los datos faltantes se sigue el mismo

procedimiento.

;15

22

35

27 2-2=11.6m ;

20

33

35

27 3-3=15.4m ;

25

44

35

27

4-4=19.3m

Ejercicio 1.2. Calcular el alineamiento 1-1', 2-2', 3-3', 4-4' entre dos puntos

invisibles e inaccesibles con los datos siguientes:

Acotacin metros

A-P=50, P-B=45, A-1=10, A-2=25, A-3=33, A-4=40

Ejercicio 1.3. Calcular el alineamiento 1-1', 2-2', 3-3', 4-4' entre dos puntos

invisibles e inaccesibles con los datos siguientes:

Acotacin metros

A-P=70, P-B=60, A-1=20, A-2=36, A-3=44, A-4=52

14

CAPTULO 2.- PLANIMETRA.

2.1. Levantamientos con cinta, medida de ngulos.

En todo trabajo de levantamiento lo primero que debe hacerse es un

reconocimiento de la zona donde se trabajar, para definir vrtices del

polgono, visibilidad, aparatos e instrumentos necesarios, personal, tiempo,

etc.

Es conveniente comentar que para los levantamientos con el uso

exclusivo de la cinta, se debe adquirir cierta habilidad del topgrafo, adems

de considerar que estos levantamientos no son de gran precisin, por lo

tanto, solo deben de tomarse en cuenta solo para trabajos preliminares y de

reconocimiento.

Entre los mtodos de levantamientos de terrenos con cinta, se encuentran

los siguientes: base triangulado (triangulaciones), lado de liga, coordenadas,

radiaciones, entre otros.

METODOS DE LEVANTAMIENTO CON CINTA EXCLUSIVAMENTE.

a.) Polgono de base triangulado.

Sea un permetro cualquiera irregular:

Se traza un polgono de apoyo o poligonal, por ejemplo A, B, C, D,

E, F, A.

El polgono debe tener el menor nmero de lados posible, y ser cerrado.

(Ver figura 2.1.1.).

15

Figura 2.1.1.

E

D

F

A B

C

Es indispensable que en cada punto sea visible el anterior y el que le

sigue.

El polgono debe seguir aproximadamente el permetro. Conviene trazarlo

de tal modo que las distancias del permetro por levantar, a sus lados y

vrtices, no sean mayores que la longitud de la cinta de que se dispone.

Para transformar el polgono en una figura rgida se sigue el

procedimiento de Triangulacin.

Se miden longitudes (lados y diagonales).

Los tringulos deben ser bien conformados, es decir, lo ms cerca posible

del Equiltero. Debe evitarse ngulos menores de 20.

PRACTICA No. 4. Levantamiento con cinta de un polgono cerrado con el

mtodo Base Triangulado.

PROCEDIMIENTO:

Paso 1. Reconocimiento del terreno. Se verifica si el terreno est en

condiciones para aplicar correctamente el mtodo.

16

Paso 2. Se traza y se mide los lados y diagonales de la poligonal,

formando tringulos. (Ver figura 2.1.2.).

A

B

C

D

E

diagonales

dia

gon

ale

s

lados

figura 2.1.2

Paso 3. Levantamiento de detalles con relacin al polgono, dentro o fuera

del mismo. Estos pueden ser edificaciones, ros, canales, o cualquier objeto

que no sea fcil de remover. Con los detalles y las referencias se formarn

tringulos. (Ver figura 2.1.3).

A

B

C

D

E

figura 2.1.3

CONSTRUCCION

MONUMENTO

dist

dist

dist d

ist

dist

Paso 4. En gabinete se calculan los ngulos interiores de los tringulos

del polgono y de los detalles. Los ngulos interiores se utilizan para dibujar

lo levantado.

17

Paso 5. Se calcula la superficie.

Paso 6. Se dibuja todo lo levantado. El dibujo debe llevar los datos

mnimos necesarios tales como: orientacin, plano de localizacin, detalles,

referencias, ngulos y distancias. (Ver figura 2.1.4.).

ESC. SIN ESCALA

H. NOGALES, SONORA FECHA: 24 / SEPTIEMBRE / 2007

ACOTACION : METROS

DIBUJO EN INGENIERIA CIVIL

ARTURO MORALES QUINTERO

ING. REFUGIO SOTO JOCOBI

INSTITUTO TECNOLOGICO DE NOGALES

LEVANTAMIENTO 06

2911'm

ts

36

32

'mts

99

23

'mts

10536'mts

904

2'm

ts

SUP: 620

.85 M

PERIMET

RO: 135.0

2 M

3

2

1

5

4

N 4

8 0

0' 0

0" E

S 57 35' 33" E

S 85 52' 05" W

S 0

3

26

' 1

0" E

N 3

2 3

5' 1

5" W

COORDENADAS

PUNTO X Y

1

2

3

4

5

0.00

11.15

43.23

19.27

20.47

32.02

42.05

21.69

19.96

0.00

TERRENO PROPIEDAD DEL

UBICADO EN LA COLONIA CHULA VISTA

MANZANA 14, LOTE C NOROESTE

LEVANTO, DIBUJO Y CALCULO

Lugar: Nogales, Sonora, Mxico.

Fecha: 20 de Abril del 2005

Acotacin: Metros

Sr. Snchez

Ing. Refugio Soto Jocobi

38mts

15m

ts

38,0

2m

ts

20

mts

24mts







18

Frmulas para calcular los ngulos y superficie de los tringulos. La suma

de las superficies de los tringulos ser el total de la superficie del polgono.

a+b+cbc2

cos

s(s-a)

(s-b) (s-c)

2=

Atan

s(s-a)A=

2 bc

s=

sen (s-b) (s-c)A

=cb

C

2

aB

A

superficie = ))()(( csbsass ; donde "s" es el semipermetro y a, b, y c

son los lados del tringulo.

Dentro de cada tringulo, y en el polgono total, la suma de ngulos

interiores debe ser: ngulos interiores = 180 (n-2); n = nmero de lados o

ngulos.

Ejercicio 2.1.(resuelto) Calcular ngulos interiores y superficie del

tringulo con los datos siguientes: (acotacin en metros).

50.25a , ,80.26b 40.27c

A

B C

b c

a

19

Desarrollo: Se calcula:

-El semipermetro, 2

cbas

;

2

40.2780.2650.25 ; ms 85.39

-Los ngulos interiores del tringulo, en este caso utilizaremos la frmula

de senos:

bc

csbsAsen))((

2

)40.27)(80.26(

)40.2785.39)(80.2685.39(

32.734

)45.12)(05.13( =

32.734

4725.162 221255.0 47038.0 )47038.0(

21

senA

37.31328

'''2

OA 2)'''( 37.31328

OA

75.3756

'''OA

70.698

)45.12)(35.14(

)40.27)(50.25(

)40.2785.39)(50.2585.39())((

2 ac

csasBsen

)50567.0(

250567.02557.0

70.698

6575.178 1senB

2)(

2 48.32223048.322230'''''' OO

BB

96.44560

'''OB

40.683

)05.13)(35.14(

)80.26)(50.25(

80.2685.39)(50.2585.39())((

2 ab

bsasCsen

)52347.0(

252347.027402.0

40.683

2675.187 1senC

2)(

2 65.55333165.553331'''''' OO

CC

29.51763

'''OC

La sumatoria de los ngulos del tringulo:

000018029.5176396.4456075.3756

'''''''''''' OOOO

20

-La superficie:

))()(( csbsassSuperficie

)40.2785.39)(80.2685.39)(50.2585.39)(85.39(

49.92909)45.12)(05.13)(35.14)(85.39(

mSuperficie2

81.304

Ejercicio 2.2. (Resuelto). Calcular ngulos interiores y superficie del


,90.54a ,60.48b 90.60c


-El semipermetro, 2

cbas

2

90.6060.4890.54 s

ms 20.82


de cosenos:

74.2959

)30.27)(20.82(

)90.60)(60.48(

)90.5420.82)(20.82()(

2cos

bc

assA

)87074.0(2

87074.0758195.074.2959

06.2244cos

1 A

A

B C

b c

a

21

2)(2 27.17272927.172729

'''''' OOAA

54.345458'''O

A

41.3343

)60.33)(20.82(

)90.60)(90.54(

)60.4820.82)(20.82()(

2cos

ac

bssB

)90889.0(2

90889.08268.041.3343

92.2761cos

1 B

2)(2 96.51382496.513824

'''''' OOBB

91.431749'''O

B

14.2668

)30.21)(20.82(

)60.48)(90.54(

)90.6020.82)(20.82()(

2cos

ab

cssC

)81007.0(2

81007.065621.014.2668

86.1750cos

1 C

2)(2 78.50533578.505335

'''''' OOCC

41.554771'''O

C


000018055.41477191.43174954.345458'''''''''''' OOOO

-La superficie:


)90.6020.82)(60.4820.82)(90.5420.82)(20.82(

86.1606028)30.21)(60.33)(30.27)(20.82(

mSuperficie2

292.1267

22

Ejercicio 2.3.(Resuelto). Calcular ngulos interiores y superficie del


,60.76a

,50.78b

90.80c


-El semipermetro, 2

cbas

= mss 00.118

2

90.8050.7860.76


de tangente:

)60.41)(00.118(

)10.37)(50.39(

)40.7600.118)(00.118(

)90.8000.118)(50.7800.118(

)(

))((

2tan

ass

csbsA

)5464.0(2

5464.02985.080.4908

45.1465tan

1 A

2)(

2 32.5392832.53928'''''' OO

AA

65.101857

'''OA

)50.39)(00.118(

)10.37)(60.41(

)50.7800.118)(00.118(

)90.8000.118)(40.7600.118(

)(

))((

2tan

bss

csasB

)5754.0(

25754.033112.0

00.4661

36.1543tan

1 B

2)(

2 01.3552901.35529'''''' OO

BB

A

B C

b c

a

23

02.65057

'''OB

)10.37)(00.118(

)50.39)(60.41(

)90.8000.118(00.118

)50.7800.118)(40.7600.118(

)(

))((

2tan

css

bsasC

)61266.0(

261266.03753.0

80.4377

20.1643tan

1 C

2)(

2 41.38293141.382931'''''' OO

CC

81.165962

'''OC


000018081.16596202.6505965.101857'''''''''''' OOOO

-La superficie:


90.8000.118)(50.7800.118)(40.7600.118(00.118

96.7193600)10.37)(50.39)(60.41)(00.118(

mSuperficie2

089.2682

Ejercicio 2.4. Utilizando la frmula de los senos, calcular ngulos

interiores y superficie del tringulo con los datos siguientes: (acotacin en

metros).

,62.15a

,32.17b

29.14c

A

B C

b c

a

24

Ejercicio 2.5. Utilizando la frmula de los cosenos, calcular ngulos


metros).

,99.33a

,11.38b

21.35c

Ejercicio 2.6. Utilizando la frmula de la tangente, calcular ngulos


metros).

,23.75a ,54.69b 96.71c

A

B C

b c

a

A

B

C

b c

a

25

b.) Polgono con lado de liga.

Cuando no pueden medirse todas las diagonales, puede emplearse el

mtodo lado de liga. (Ver figura 2.1.5).

Figura 2.1.5.

HcA

ba

A clados de liga

GF

ba

CA

B

E

D

Se miden a, b, c, en cada vrtice; (b es el lado de liga).

Si se miden dos lados iguales, el de liga resulta una cuerda de crculo de

radio "a", y el ngulo se calcula as:

)

2(2

1

a

bA sen

En esta forma quedan definidos los ngulos del polgono de apoyo.

La superficie dentro del polgono se calcula sumando la de todos los

tringulos.

PRACTICA No. 5. Levantamiento con cinta de un polgono cerrado con el

mtodo lado de liga.

PROCEDIMIENTO:

Paso1.Reconocimiento del terreno. Se verifica si el terreno est en

condiciones para aplicar correctamente el mtodo.

Paso 2. Se traza y se mide los lados del polgono.(Ver figura 2.1.5).

26

Paso 3. Se traza y se mide los lados de liga. (Ver figura 2.1.5).

Paso 4. Levantamiento de detalles con relacin al polgono, dentro o fuera

del mismo. Estos pueden ser edificaciones, ros, canales, o cualquier objeto

que no sea fcil de remover. Con los detalles y las referencias se formarn

tringulos. (Ver figura 2.1.3).

Paso 5. Con los datos obtenidos de los lados de liga, se calcula los

ngulos interiores del polgono.

Paso 6. Con los ngulos interiores y las distancias de los lados, se dibuja

el polgono. En el dibujo a escala se traza y se mide diagonales, con las

cuales se forman tringulos.

Paso 7. Se calcula la superficie de cada tringulo formado, con el

mtodo de base triangulado. La superficie total ser la suma de todos los

tringulos.

Paso 8. Se dibuja todo lo levantado. El dibujo debe llevar los datos

mnimos necesarios tales como: orientacin, plano de localizacin, detalles,

referencias, ngulos y distancias. (Ver figura 2.1.4).







Ejercicio 2.7 (resuelto). Calcular los ngulos interiores del polgono con la

frmula del mtodo lado de liga, con los datos siguientes:

27

B

C

E

55

5

5

55

5

5

5

5

7.94

6.62

8.75

8.02

8.80

-Calcular el ngulo A:

)56090491.52(2794.02

10

94.72

)5(2

94.72

111

sensensenA

52.1807105

'''OA

-Calcular el ngulo B:

)45258311.41(2662.02

10

62.62

)5(2

62.62

111

sensensenB

6.185482

'''OB

-Calcular el ngulo C:

)16354711.61(2876.02

10

76.82

)5(2

76.82

111

sensensenC

82.2305122

'''OC

-Calcular el ngulo D:

)32151496.53(2802.02

10

02.82

)5(2

02.82

111

sensensenD

90.3438106

'''OD

28

-Calcular el ngulo E:

)64236343.61(2880.02

10

80.82

)5(2

80.82

111

sensensenE

02.517123

'''OE

Ejercicio 2.8 (resuelto). Calcular los ngulos interiores del polgono con la

frmula del mtodo lado de liga, con los datos siguientes:

A

B

C

DF

7

7

77

7

7

7

7

77

7

7

9.56

13.44

13.03

9.82

10.61

13.82

-Calcular el ngulo A:

)0673.43(26829.02

14

56.92

)7(2

56.92

111

sensensenA

56.40886'''O

A

-Calcular el ngulo B:

)7398.73(296.02

14

44.132

)7(2

44.132

111

sensensenB

5.4628147'''O

B

29

-Calcular el ngulo C:

)5464.68(29307.02

14

03.132

)7(2

03.132

111

sensensenC

33.3405137'''O

C

Calcular el ngulo D:

)5417.44(270143.02

14

82.92

)7(2

82.92

111

sensensenD

46.00589'''O

D

Calcular el ngulo E:

)27565.49(275786.02

14

61.102

)7(2

61.102

111

sensensenE

69.43398'''O

E

Calcular el ngulo F:

)80236.80(29871.02

14

82.132

)7(2

82.132

111

sensensenF

1736161'''O

F

Ejercicio 2.9. Calcular los ngulos interiores del polgono con la frmula

del mtodo lado de liga, con los datos siguientes:

B C

D

F

99

9

9

9 9

9

9 9

9

9

9

11.23

17.04

13.51

14.20

14.26

15.44

30

Ejercicio 2.10. Calcular los ngulos interiores del polgono con la frmula

del mtodo lado de liga, con los datos siguientes:

B

C

D

E

F

G

10 10

10

10

10

10

1010

10

10

10

10

10

10

17.41

14.76

18.21

19.018.23

9.34

9.37

2.2. Concepto de azimut, rumbo y declinacin magntica.

Direcciones de las lneas y ngulos horizontales.

La direccin de una lnea se puede definir por el Rumbo o por su Azimut.

Ambos pueden ser magnticos o astronmicos. Los datos astronmicos se

consideran invariables, y tambin se les llama verdaderos.

Rumbo es el ngulo que forma una lnea con el eje Norte-Sur, contado de

cero a 90, a partir del Norte o a partir del sur, hacia el Este o hacia el Oeste.

(Ver figura 2.2.1.).

31

Figura 2.2.1.

S

N

SE7300'

AW

D

SW

P

NW NE

E

C

SW 48

53'

NE 48

53'

Rum

bo di

recto

AB

W

S

B

E

N

Tomando la lnea AB, su rumbo directo es el que se obtiene,

estacionndose en A y visando el punto B.

El rumbo inverso es el que tiene el sentido opuesto, o sea el de BA.

Azimut es el ngulo que forma una lnea con la direccin Norte-sur,

medido de 0 a 360 a partir del norte, en el sentido del movimiento del reloj.

nicamente en el primer cuadrante coinciden el Rumbo y el Azimut en

valor numrico.

Las direcciones magnticas se obtienen con brjula. La figura 2.2.2.

muestra como se mide el azimut de las lneas.

Figura 2.2.2.

S

B

W A

N

E

32

Declinacin Magntica es el ngulo formado entre la direccin Norte-

Astronmica y la Norte-Magntica. Cada lugar de la Tierra tiene una

Declinacin que puede ser hacia el Este o hacia el Oeste, segn se desva la

punta norte de la aguja magntica.

El meridiano de un lugar de la Tierra sigue la direccin Norte-Sur

Astronmica.

La declinacin magntica en un lugar puede obtenerse determinando la

direccin astronmica y la magntica de una lnea; tambin se puede obtener

de tablas de posiciones geogrficas que dan la declinacin de diversos

lugares y poblaciones, o mediante planos de curvas isognicas.

La declinacin sufre variaciones que se clasifican en: seculares, anuales,

diurnas e irregulares. Las tres primeras son variaciones que sufre con el

tiempo, y por eso es importante cuando se usa orientacin magntica, anotar

la fecha y la hora en que se hizo la orientacin.

Las variaciones irregulares no se pueden determinar, pues se deben a

atracciones locales o tormentas magnticas y pueden ser variaciones muy

grandes.

BRJULA.

Generalmente son aparatos de mano. Pueden apoyarse en tripi, o en un

bastn, o en una vara cualquiera.

Las letras E y W de la cartula estn invertidas debido al movimiento

relativo de la aguja respecto a la caja. Las pnulas sirven para dirigir la visual,

a la cual se va a medir el Rumbo.

Para leer el rumbo directo de una lnea se dirige el Norte de la caja al otro

extremo de la lnea, y se lee el rumbo con la punta norte de la caja.( Ver

figura 2.2.3.).

33

Figura 2.2.3.

E W

pnula

S

meridiano

magntico

pnula

N

vis

ual

Condiciones que debe reunir una brjula.

-La lnea de los ceros Norte-Sur debe coincidir con el plano vertical de la

visual definida por las pnulas.

Si esto no se cumple, las lneas cuyos rumbos se miden quedarn

desorientadas, aunque a veces se desorienta a propsito para eliminar la

declinacin.

La recta que une las dos puntas de la aguja debe pasar por el eje de

rotacin, es decir, la aguja en s debe ser una lnea recta.

Se revisa observando si la diferencia de las lecturas entre las dos puntas

es de 180, en cualquier posicin de la aguja.

Se corrige enderezando la aguja.

El eje de rotacin debe coincidir con el centro geomtrico de la

graduacin.

Se revisa observando si la diferencia de lecturas de las dos puntas es de

180 en alguna posicin y en otras no. El defecto consiste en que el pivote de

giro de la aguja se haya desviado. Se corrige enderezando el pivote

convenientemente, en el sentido normal a la posicin de la aguja que acuse

la mxima diferencia a 180.

34

Nota: Los ajustes que se le hagan a la brjula, conviene que se le hagan

en taller, para evitar que la aguja se desmagnetice.

La aguja debe quedar apretada cuando no se usa, para que no se golpee

al transportarla y se doble el pivote.

USOS DE LA BRJULA.

Se emplea para levantamientos secundarios, reconocimientos

preliminares, para tomar radiaciones en trabajos de configuraciones, para

polgonos apoyados en otros levantamientos ms precisos, etc.

No debe emplearse la brjula en zonas donde queda sujeta a atracciones

locales (poblaciones, lneas de transmisin elctrica, etc.).

REGISTRO DE CAMPO

Trabajo:______________ Lugar:_________________

Fecha:___________________

Estacin

Punto visado Rumbo

Magntico

observado

Longitud Observaciones

A B NE 51 1/4 123.50 A. mojonera

de

De concreto

A H SE 21 1/2 Rumbo Ledo

A las 9:30

B C

B A

C D

35

REGISTRO DE GABINETE

Rumbo

magntico

calculado

ANGULOS

Ntese que los ngulos slo se leen con aproximacin de o de de

grado a lo sumo, estimado a ojo.

Para levantamientos muy rpidos, de poca precisin, pueden tomarse

rumbos saltando las estaciones pares, o las impares.

El mejor procedimiento consiste en medir, en todos y cada uno de los

vrtices, rumbos directos e inversos de los lados que all concurran, pues as

por diferencia de rumbos se calculan en cada punto el valor del ngulo

interior, correctamente, aunque haya alguna atraccin local. Con esto se

logra obtener los ngulos interiores del polgono, verdaderos, a pesar de que

haya atracciones locales, que en caso de existir, slo producen

desorientacin de las lneas.

PRACTICA No. 5. Levantamiento topogrfico de un polgono con brjula y

cinta por el mtodo de itinerarios.

PROCEDIMIENTO:

1. Se miden rumbos hacia atrs y hacia delante en cada vrtice. (rumbos

observados). Se miden distancias de los lados.( Ver figura 2.2.4.).

36

Figura2.2.4.

el polgono

sentido en que

se recorre

G

F

H

A

B

E

DC

2. A partir de estos rumbos, se calculan los ngulos interiores, por

diferencia de rumbos, en cada vrtice.

3. Se escoge un rumbo base (que puede ser el de un lado cuyos rumbos

directo e inverso hayan coincidido mejor).

4. A partir del rumbo base, con los ngulos interiores calculados se

calculan nuevos rumbos para todos los lados, que sern los rumbos

calculados.

En el inciso (4) debe verificarse que:

ngulos interiores = 180 (n-2)

Si hay error, este no deber exceder la tolerancia, que para este caso es:

T = a n = n

En esta frmula "a" es la aproximacin del aparato que se considera de

1/2, y (n) el nmero de ngulos medidos.

5. Calcular la superficie del polgono por el mtodo base triangulado.

6. Dibujar lo levantado con todos los datos y especificaciones.

37


- Brjula de reflexin






Ejercicios para aprender a obtener rumbos y azimuts a partir de ngulos

interiores y exteriores y un rumbo o azimut como base. Tambin obtener

ngulos con los rumbos o azimuts de todos los lados.

Ejercicio 2.11. A partir del rumbo de la lnea AB y los ngulos interiores

del polgono, obtener los rumbos faltantes.

A

B

C

5522'

712'

5336'

-Calcular el rumbo del lado BC:

Haciendo estacin en B, se obtiene el rumbo indirecto AB=SW3006.

Con el ngulo interior B=5622 y el rumbo indirecto AB, se calcula el rumbo

directo BC.

06302255'' OO

rumboBC

1625'O

SErumboBC

38

-Calcular el rumbo del lado CA:

Haciendo estacin en C, se obtiene el rumbo indirecto de BC=NW2516.

Con el ngulo interior C=5336 y el rumbo indirecto BC, se calcula el rumbo

directo CA.

36531625 '' OOrumboCA

5278'O

NWrumboCA

Ejercicio 2.12. A partir del rumbo de la lnea AB y los ngulos interiores

del polgono, obtener los rumbos faltantes.

-Calcular el rumbo del lado BC:

Haciendo estacin en B, se obtiene el rumbo indirecto AB=SW4949.

Con el ngulo interior B=8923 y el rumbo indirecto AB, se calcula el rumbo

directo BC.

49492389 '' OOrumboBC

3439'O

SErumboBC

39

-Calcular el rumbo del lado CD:

Haciendo estacin en D, se obtiene el rumbo indirecto de BC=NW3934.

Con el ngulo interior C=7356 y el rumbo indirecto BC, se calcula el rumbo

directo CD.

56733439180 '' OOOrumboCD

30113180'OO

rumboCD

3066'O

SWrumboCD

-Calcular el rumbo del lado DA:

Haciendo estacin en D, se obtiene el rumbo indirecto de CD=NE6630.

Con el ngulo interior D=10423 y el rumbo indirecto CD, se calcula el

rumbo directo DA.

306623104 ' OOrumboDA

5337'O

NWrumboDA

Ejercicio 2.13 (no resuelto). A partir del rumbo de la lnea AB y los

ngulos interiores del polgono, obtener los rumbos faltantes.

40

Ejercicio 2.14 (no resuelto). A partir del rumbo de la lnea AB y los ngulos

interiores del polgono, obtener los rumbos faltantes.

41

2.3. Descripcin del teodolito mecnico, electrnico y estacin total.

Teodolito mecnico.

El teodolito, es el aparato universal para la Topografa, debido a la gran

variedad de usos que se le dan. Puede usarse para medir y trazar ngulos

horizontales y direcciones, ngulos verticales, y diferencias en elevacin;

para la prolongacin de lneas; y para determinacin de distancias. Aunque

debido a la variedad de fabricantes de teodolitos, stos difieren algo en

cuanto a sus detalles de construccin, en lo que respecta a sus

caractersticas, esencialmente son sumamente parecidos. Es un instrumento

de medicin mecnico-ptico universal, que sirve para medir ngulos

verticales y, sobre todo, horizontales, mbito en el cual tiene una precisin

elevada. Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y

desniveles.

Es porttil y manual, est hecho con fines topogrficos e ingenieriles,

sobre todo en las triangulaciones. Con ayuda de una mira y mediante la

taquimetra, puede medir distancias. Bsicamente, el teodolito actual es un

telescopio montado sobre un trpode y con dos crculos graduados, uno

vertical y otro horizontal, con los que se miden los ngulos con ayuda de

lentes. (Ver figura 2.3.1).

Figura 2.3.1. Teodolito mecnico.

42

Los teodolitos se clasifican en teodolitos repetidores, reiteradores y

teodolitos-brjula.

Los teodolitos repetidores han sido fabricados para la acumulacin de

medidas sucesivas de un mismo ngulo horizontal en el limbo, pudiendo asi

dividir el ngulo acumulado y el nmero de mediciones.

Los teodolitos reiteradores llamados tambin direccionales tienen la

particularidad de poseer un limbo fijo y solo se puede mover la alidada.

Los teodolitos-brjula, como dice su nombre, tiene incorporada una

brjula de caractersticas especiales. La brjula es imantada en la misma

direccin al crculo horizontal. La graduacin es de 0-180 con gran

precisin.

El teodolito tiene tres ejes principales y dos secundarios.

Ejes principales.

-Eje vertical de rotacin instrumental S-S (EVRI).

-Eje horizontal de rotacin del anteojo K-K (EHRA).

-Eje ptico Z-Z (EO).

El eje vertical de rotacin instrumental es el eje que sigue la trayectoria

del cenit-nadir, tambin conocido como la lnea de la plomada, y que marca

la vertical del lugar.

El eje ptico es el eje donde se enfoca a los puntos. El eje principal es el

eje donde se miden ngulos horizontales. El eje que sigue la trayectoria de la

lnea visual debe ser perpendicular al eje secundario y este debe ser

perpendicular al eje vertical. Los discos son fijos y la alidada es la parte

m vil. l ecl metro tambin es el disco vertical.

El eje horizontal de rotacin del anteojo o eje de muones es el eje

secundario del teodolito, en el se mueve el visor. En el eje de muones hay

que medir cuando utilizamos mtodos directos, como una cinta de medir, y

as obtenemos la distancia geomtrica elevada y si medimos directamente al

suelo obtendremos la distancia geomtrica semielevada; las dos se miden a

partir del eje de muones del teodolito.

43

El plano de colimacin es un plano vertical que pasa por el eje de

colimacin que est en el centro del visor del aparato; se genera al girar el

objetivo.( Ver figura 2.3.2.).

Figura 2.3.2. Ejes principales de un teodolito.

Ejes secundarios.

-Lnea de fe.

-Lnea de ndice.

Partes principales.

-Niveles: El nivel es un pequeo tubo cerrado que contiene una mezcla de

alcohol y ter, una burbuja de aire; la tangente de la burbuja de aire ser un

plano horizontal. Se puede trabajar con los niveles descorregidos.

44

-Precisin: Depende del tipo de teodolito que se utilice. Existen desde los

antiguos que varan entre el minuto y medio minuto, los modernos que tienen

una precisin de entre 10, 6, 1 y hasta 0.1.

-Nivel esfrico: Caja cilndrica tapada por un casquete esfrico. Cuanto

menor sea el radio de curvatura sern menos sensibles; sirven para obtener

de forma rpida el plano horizontal. Estos niveles tienen en el centro un

crculo, hay que colocar la burbuja adentro del crculo para hallar un plano

horizontal bastante aproximado. Tienen menor precisin que los niveles

tricos, su precisin est en 1 como mximo aunque lo normal es de 10 o

12.

-Nivel trico: Si est descorregido nos impide medir. Hay que calarlo con

los tornillos que lleva el aparato. Para corregir el nivel hay que bajarle un

ngulo determinado y despus estando en el plano horizontal con los tornillos

se nivela el ngulo que hemos determinado. Se puede trabajar descorregido,

pero hay que cambiar la constante que da el fabricante. Para trabajar

descorregido necesitamos un plano paralelo. Para medir hacia el norte

geogrfico (se miden azimuts, si no se tienen orientaciones) utilizando el

movimiento general y el movimiento particular.

Sirven para orientar el aparato y si se conoce el acimutal se sabrn las

direcciones medidas respecto al norte.

-Plomada: Se utiliza para que el teodolito est en la misma vertical que el

punto del suelo.

-Plomada de gravedad: Bastante incomodidad en su manejo, se hace

poco precisa sobre todo los das de viento. Era el mtodo utilizado antes de

aparecer la plomada ptica.

-Plomada ptica: Es la que llevan hoy en da los teodolitos, por el ocular

se ve el suelo, y as se pone el aparato en la misma vertical que el punto

buscado.

45

-Limbos: Discos graduados que permiten determinar ngulos. Estn

divididos de de 0 a 360 grados sexagesimales, o de 0 a 400 grados

centesimales. En los limbos verticales se pueden ver diversas graduaciones

(limbos cenitales). Los limbos son discos graduados, tanto verticales como

horizontales. Los teodolitos miden en graduacin normal (sentido dextrgiro)

o graduacin anormal (sentido levgiro o contrario a las agujas del reloj). Se

miden ngulos cenitales (distancia cenital), ngulos de pendiente (altura de

horizonte) y ngulos nadirales.

-Nonius: Mecanismo que nos permite aumentar o disminuir la precisin de

un limbo. Se dividen las "n" divisiones del limbo entre las "n" divisiones del

nonio. La sensibilidad del nonio es la diferencia entre la magnitud del limbo y

la magnitud del nonio.

Micrmetro: Mecanismo ptico que permite hacer la funcin de los nonios

pero de forma que se ve una serie de graduaciones y un rayo ptico

mediante mecanismos, esto aumenta la precisin.

Partes accesorias.

-Trpodes: Se utilizan para trabajar mejor, tienen la misma X y Y pero

diferente Z ya que tiene una altura; el ms utilizado es el de meseta. Hay

unos elementos de unin para fijar el trpode al aparato.

Los tornillos nivelantes mueven la plataforma del trpode; la plataforma

nivelante tiene tres tornillos para conseguir que el eje vertical sea vertical.

-Tornillo de presin (movimiento general): Tornillo marcado en amarillo, se

fija el movimiento particular, que es el de los ndices, y se desplaza el disco

negro solidario con el aparato. Se busca el punto y se fija el tornillo de

presin. Este tornillo acta en forma radial, o sea hacia el eje principal.

-Tornillo de coincidencias (movimiento particular o lento): Si hay que visar

un punto lejano, con el punto no se puede, para centrar el punto se utiliza el

tornillo de coincidencia.

46

Con este movimiento se hace coincidir la lnea vertical de la cruz filar con

la vertical deseada, y este acta en forma tangencial. Los otros dos tornillos

mueven el ndice y as se pueden mover ngulos o lecturas acimutales con

esa orientacin.

Movimientos del teodolito.

Este instrumento, previamente instalado sobre el trpode en un punto del

terreno que se denomina estacin, realiza los movimientos sobre los ejes

principales.

Movimiento de la alidada: Este movimiento se realiza sobre el eje vertical

(S-S), tambin presente en los instrumentos de todas las generaciones de

teodolito. Permite al operador girar el anteojo horizontalmente, en un rango

de 360.

Movimiento del anteojo: Este movimiento se realiza sobre el eje horizontal

(K-K) y permite al operador girar desde el punto de apoyo hasta el cenit,

aunque estos casos son muy raros ya que mayormente se abarca un rango

promedio de 90.

Caractersticas constructivas fundamentales.

Para realizar un buen levantamiento topogrfico se deben considerar las

siguientes condiciones:

-Cuando el teodolito se encuentre perfectamente instalado en una

estacin, el eje vertical (o eje principal S-S) queda perfectamente vertical.

-El eje de colimacin (Z-Z) debe ser perpendicular al eje horizontal (K-K).

-El eje horizontal (K-K) debe ser perpendicular al eje vertical (S-S).

47

Teodolito electrnico.

Es la versin del teodolito ptico, con la incorporacin de electrnica para

hacer las lecturas del crculo horizontal y vertical, desplegando los ngulos

en una pantalla eliminando errores de apreciacin, es ms simple en su uso,

y por requerir menos piezas es ms simple en su fabricacin y en algunos

casos su calibracin.

Las principales caractersticas que se deben observar para comparar

estos equipos hay que tener en cuenta la precisin, el nmero de aumentos

en la lente del objetivo y si tiene o no compensador electrnico. ( Ver figura

2.3.3.).

Figura. 2.3.3. Teodolito electrnico

48

Estacin total.

Se denomina estacin total a un aparato electro-ptico utilizado en

topografa, cuyo funcionamiento se apoya en la tecnologa electrnica.

Consiste en la incorporacin de un distancimetro y un microprocesador a un

teodolito electrnico. (Ver figura 2.3.4.).

Algunas de las caractersticas que incorpora,, y con las cuales no cuentan

los teodolitos, son una pantalla alfanumrica de cristal lquido (LCD), leds de

avisos, iluminacin independiente de la luz solar, calculadora, distancimetro,

trackeador (seguidor de trayectoria) y la posibilidad de guardar informacin

en formato electrnico, lo cual permite utilizarla posteriormente en

ordenadores personales. Vienen provistas de diversos programas sencillos

que permiten, entre otras capacidades, el clculo de coordenadas en campo,

replanteo de puntos de manera sencilla y eficaz y clculo de acimutes y

distancias.

Funcionamiento.

Vista como un teodolito, una estacin total se compone de las mismas

partes y funciones. El estacionamiento y verticalizacin son idnticos, aunque

para la estacin total se cuenta con niveles electrnicos que facilitan la tarea.

Los tres ejes y sus errores asociados tambin estn presentes, el de

verticalidad, que con la doble compensacin ve reducida su influencia sobre

las lecturas horizontales, y los de colimacin e inclinacin del eje secundario,

con el mismo comportamiento que en un teodolito clsico, salvo que el

primero puede ser corregido por software, mientras que en el segundo la

correccin debe realizarse por mtodos mecnicos.

El instrumento realiza la medicin de ngulos a partir de marcas

realizadas en discos transparentes. Las lecturas de distancias se realizan

mediante una onda electromagntica portadora con distintas frecuencias que

rebota en un prisma ubicado en el punto a medir y regresa, tomando el

instrumento el desfase entre las ondas.

49

Algunas estaciones totales presentan la capacidad de medir "a slido", lo

que significa que no necesita un prisma reflectante.

Este instrumento permite la obtencin de coordenadas de puntos respecto

a un sistema local o arbitrario, como tambin a sistemas definidos y

materializados. Para la obtencin de estas coordenadas el instrumento

realiza una serie de lecturas y clculos sobre ellas y dems datos

suministrados por el operador. Las lecturas que se obtienen con este

instrumento son las de ngulos verticales, horizontales y distancias. Otra

particularidad de este instrumento es la posibilidad de incorporarle datos

como coordenadas de puntos, cdigos, correcciones de presin y

temperatura, etc.

La precisin de las medidas es del orden de la diezmilsima de gonio en

ngulos y de milmetros en las distancias, pudiendo realizar medidas en

puntos situados entre 2 y 5 kilmetros segn el aparato y la cantidad de

prismas usada.

Genricamente se les denomina estaciones totales porque tienen la

capacidad de medir ngulos, distancias y niveles, lo cual requera

previamente de diversos instrumentos. Estos teodolitos electro-pticos hace

tiempo que son una realidad tcnica accesible desde el punto de vista

econmico. Su precisin, facilidad de uso y la posibilidad de almacenar

informacin para descargarla despus en programas de CAD ha hecho que

desplacen a los teodolitos, que actualmente estn en desuso.

Por otra parte, desde hace ya varios aos las estaciones totales se estn

viendo desplazadas por equipos GNSS (Sistema Satelital de Navegacin

Global, por sus siglas en ingls) que abarca sistemas como el GPS, antes

conocido como Navstar, de E.E.U.U., el GLONASS, de Rusia, El COMPAS

de China y el GALILEO de la Unin Europea.

50

Las ventajas del GNSS topogrfico con respecto a la estacin total son

que una vez fijada la base en tierra no es necesario mas que una sola

persona para tomar los datos, mientras que la estacin total requera de dos,

el tcnico que manejaba la estacin y el operario que situaba el prisma; y

aunque con la tecnologa de Estacin Total Robtica, esto ya no es

necesario, el precio de los sistemas GNSS ha bajado tanto que han ido

desplazando a aquellas en campo abierto. Por otra parte, la estacin total

exige que exista una lnea visual entre el aparato y el prisma (o punto de

control), lo que es innecesario con el GNSS, aunque por su parte el GNSS

requiere al operario situarse en dicho punto, lo cual no siempre es posible. La

gran ventaja que mantiene la Estacin Total contra los sistemas satelitales

son los trabajos bajo techo y subterrneos, adems de aquellos donde el

operador no puede acceder, como torres elctricas o riscos, y que con

sistemas de medicin sin prisma de hasta 3000 m (a la fecha), estos

levantamientos se pueden hacer por una persona y desde un solo punto,

aunque en este aspecto los Escneres Lser y la tecnologa LIDAR han

estado ganado terreno.

Por lo tanto, no siempre es posible el uso del GNSS, principalmente

cuando no puede recepcionar las seales de los satlites debido a la

presencia de edificaciones, bosque tupido, etc. Por lo dems, los sistemas

GNSS RTK (Cenemtico de Tiempo Real, por sus siglas en ingls) ya

igualan e incluso superan la precisin de cualquier estacin total, salvando

los errores acumulables de stas ltimas, permitiendo adems

levantamientos de puntos distantes incluso a 100 kms sin problema. En el

futuro se percibe que la eleccin entre un equipo GNSS o bien una estacin

total estar mas dado por la aplicacin en si, que por los lmites tecnolgicos

que cada instrumento presente.

51

Figura 2.3.4. Estacin Total

-Nomenclatura y funciones de una estacin total.

Pantalla.

La pantalla utiliza una matriz de puntos LCD con 4 lneas y 20 caracteres

por lnea. En general, las tres lneas superiores muestran los datos medidos

y la ltima lnea muestra la funcin de cada tecla que vara segn el modo de

medicin.

52

Contraste e iluminacin.

El contraste e iluminacin de la pantalla puede ser ajustado. Ver MODO

SP CIAL (Modo Men), o en el "Modo de Tecla strella.

El calentador (Automtico).

El calentador automtico incorporado funciona cuando la temperatura est

abajo del 0C. Esto incide en la velocidad del despliegue a temperaturas bajo

0C. Para poner ON/OFF el calentador, vea seccin el Calentador ON /

OFF. El tiempo de operacin se reduce si el calentador se usa.

Ejemplo.

Modo de medida angular Modo de medida de distancia

ngulo V: 90o

10' 20"

ngulo H: 120o

30' 40"

Unidades en pies Unidades en pies y pulgadas

ngulo Horizontal: 120 30' 40"

Distancia reducida: 123.45ft

Diferencia de altura: 12.34ft

V: 90o

10'20" HD: 1203040 0 R T INGR P1

V: 90o

10'20" HD: 1203040 0 R T INGR P1

V: 90o

10'20" HD: 1203040 0 R T INGR P1

HD: 120o

30'40" DH* 65.432 m DV: 12.345 m MED. MODO S/A P1

V: 90o

10'20" HD: 1203040 0 R T INGR P1

ngulo Horizontal: 120 30' 40" Distancia reducida: 65.432m Diferencia de altura: 12.345m

HD: 120o

30'40" DH* 123.45 ft DV: 12.34 ft

M D. MODO S/A P1

HD: 120o

30'40" DH* 123.04.6fi DV: 12.03.4fi

M D. MODO S/A P1

ngulo horizontal : 120o

30' 40" Distancia reducida : 123ft 4in 6/8in Diferencia de altura : 12ft 3in 4/8in

53

Smbolos de la Pantalla.

Smbolo Significado Smbo

lo

Significado

V ngulo Vertical * MED funcionando

HD ngulo Horizontal

Derecho

m Unidades en etros

HI ngulo Horizontal

Izquierdo

ft Unidades en pies

DH Distancia Reducida fi Unidades en pies y pulgadas

DV Diferencia de Altura Bluetooth es el sistema de

comunicacin. (Este smbolo es marca

registrada por Bluetooth y aparece

en pantalla con la marca

de la batera cuando la

estacin total se comunica por

Bluetooth.)

DI Distancia Inclinada

N Coordenada N

E Coordenada E

Z Coordenada Z

Teclado de Operacin.

54

Teclas Nombre de

la tecla

Funcin

Tecla

Estrella

El Modo de tecla Estrella se usa para

presentar o desplegar las siguientes

opciones.

1 contraste del Pantalla 2 iluminacin de

Retculo

3 Luz de fondo 4 Correccin de

Compensador

5 Punto Lser Gua (Solo para los

modelos con esta opcin) 6

Configuracin del Modo Audio

Medida de Coordenadas Modo de medicin de coordenadas

Medida de Distancias Modo de medicin de la distancia

ANG Medida de

ngulos

Modo de medicin angular

MENU Tecla de

Men

Alterna los modos men y normal. Para

determinar las mediciones en diversas

aplicaciones y ajustar en el modo de

men.

ESC Tecla

Escape

Vuelve al modo de medicin o al

modo anterior desde el modo actual.

Para pasar directamente al modo de

REGISTRO DE DATOS o al modo de

REPLANTEO desde el modo de

medicin normal.

55

Tambin se puede utilizar para

registrar datos durante el modo de

medicin normal.

Para seleccionar la funcin de la

tecla ESC, ver captulo 16. MODO DE

SELECCIN.

POWER Encendido Enciende y apaga (ON/OFF) la batera.

ENT Tecla

Entrada

Presionar al final de la introduccin de

valores.

F1~F4 Teclas

Especiales.

(Teclas de

funcin)

Responden al mensaje mostrado.

56

Figura 2.3.5. Partes de una Estacin Total.

Tornillo de seguridad de la manilla de transporte

Manilla de transporte

Puntos de gua

Marca central del instrumento

Telescopio de plomada ptica (Opcional)

Tornillo de nivelacin

Perilla de seguridad de la base nivelante Base nivelante

Tornillo de ajuste del nivel circular

Nivel Circular

Pantalla

Lente objetivo

57

Figura 2.3.6. Partes de una Estacin Total.

Colimador

Perilla de enfoque del telescopio

Sujetador del telescopio

Pieza ocular del telescopio

Freno del movimiento vertical

Tornillo tangencial vertical

Nivel tubular

Pantalla

Botn de seguridad de la batera

Batera

Marca central del instrumento

Tornillo tangencial horizontal

Freno del movimiento horizontal

Conector de batera externa

Puerto serial

58

2.4. Mtodos de levantamiento.

Para representar grficamente los terrenos que levantamos es necesario

el apoyo de figuras geomtricas, puntos, lneas rectas, curvas, coordenadas,

etc. En esas condiciones podemos apoyarnos en poligonales abiertas o

cerradas, desde las cuales recopilar las mediciones lineales y angulares que

nos permitan representar grficamente la porcin de terreno con todos sus

detalles.

- ngulos Interiores.- Consiste en medir todos los ngulos interiores del

polgono. Es especialmente adecuado para polgonos cerrados.

Tiene la ventaja de permitir que los ngulos se midan por repeticiones o

reiteraciones, lo cual no ocurre con los otros mtodos.

Condicin angular:

Suma de ngulos interiores = 180 (n-2).

- Deflexiones.- Consiste en medir el ngulo de deflexin en cada vrtice.

Deflexin es el ngulo que forma en un vrtice la prolongacin del lado

anterior con el lado siguiente.

Estableciendo el sentido en que se va a recorrer el polgono; habr

deflexiones derechas e izquierdas.

Este sistema es especialmente adecuado para polgonos abiertos como

los que se emplean en vas de comunicacin.

En cada vrtice se ve el punto de atrs, se da vuelta de campana y se gira

la deflexin para ver el punto adelante.

Condicin angular: La suma de deflexiones de un polgono cerrado es

igual a 360, considerando signos contrarios para deflexiones derechas e

izquierdas. En polgonos abiertos, el control angular solo puede hacerse

comprobando las direcciones de los lados, mediante rumbos astronmicos,

cada cierto nmero de lados.

59

- Conservacin de Acimuts.- Este mtodo se emplea para cualquier clase

de polgonos.

Con el aparato en posicin directa, se orienta el aparato en el primer

vrtice (magnticamente o astronmicamente), para medir con un vernier el

azimut del primer lado, despus conservando en el vernier esta lectura, se

traslada el aparato al punto siguiente, y al ver el de atrs en posicin inversa,

queda el anteojo sobre la lnea cuyo Azimut se tiene marcado. Se vuelve el

anteojo en posicin directa, y as se logra que el aparato quede en una

posicin paralela a la que tuvo en el punto de atrs, o sea que el cero queda

otra vez orientado al Norte; y dejando ah fija la graduacin (movimiento

general apretado), se afloja el tornillo del movimiento particular y puede

medirse el Azimut de la siguiente lnea, con el vernier. As se contina el

procedimiento recorriendo ordenadamente los vrtices.

Trazo y prolongacin de alineamientos con teodolito.- Con vuelta de

campana, alternando posiciones para vista atrs y adelante con objeto de no

hacer acumulativo cualquier error de la lnea de colimacin que no se haya

apreciado al ajustar el aparato.(Ver figura 2.4.1).

Figura 2.4.1. Trazo y prolongacin de alineamiento.

A

I

B

CD

D I

D

Revisando en cada estacin la marca fijada adelante, con dos vueltas de

campana. (Ver figura 2.4.2.).

60


A

D

B

I

I D I

ID

C

D

D

Cuando hay un obstculo, puede procederse como se ilustra salvando el

obstculo con lneas normales al alineamiento, o desvindose un ngulo ()

cualquiera.


d

d

90

90

d

&

180-2&

90

90

&

d

Como determinar la distancia entre dos puntos cuando son estos

inaccesibles pero visibles. (A y B).- Se mide una longitud conveniente segn

lo permita el terreno (CD) y desde sus extremos se miden ngulos a (A) y a

(B). (Ver figura 2.4.4.).

61

Figura 2.4.4. Determinar distancia entre dos puntos inaccesibles e

invisibles.

auxiliar

A

auxiliarC se mide

D

se calcula AB en el tringulo

despus por Ley de Cosenos

calcular por Ley de Senos, y

cuyos elementos se pueden

As se forman dos tringulos

C

D C

ACB o en el ADB.

A

D

B

B

2.5. Agrimensura.

La agrimensura fue considerada antiguamente la rama de la topografa

destinada a la delimitacin de superficies, la medicin de reas y la

rectificacin de lmites. En la actualidad la comunidad cientfica internacional

reconoce que es una disciplina autnoma, con estatuto propio y lenguaje

especfico que estudia los objetos territoriales a toda escala, focalizndose

en la fijacin de toda clase de lmites. De este modo produce documentos

cartogrficos e infraestructura virtual para establecer planos, cartas y mapas

dando publicidad a los lmites de la propiedad o gubernamentales. Con el fin

de cumplir su objetivo, la agrimensura se nutre de la topografa, geometra,

ingeniera, trigonometra, matemticas, fsica, derecho, geomorfologa,

edafologa, arquitectura, historia, computacin, teledeteccin.

62

Origen.

A lo largo de la evolucin de esta disciplina los agrimensores se han

servido de diversos instrumentos especficos de su actividad. Entre ellos

destac durante siglos la escuadra de agrimensor, que permita establecer

las dimensiones de diferentes ngulos en varias direcciones.

La agrimensura ha sido un elemento esencial en el desarrollo del entorno

humano, desde el comienza de la historia registrada (En el 5000 A.C.); es un

requisito en la planificacin y ejecucin de casi toda la forma de la

construccin. Sus aplicaciones, actuales, mas conocidas son el transporte,

edificacin y construccin, comunicaciones, cartografa, y la definicin de los

lmites de la propiedad o gubernamentales

Las tcnicas de la agrimensura se han aplicado a lo largo de gran parte

de nuestra historia escrita. En el antiguo Egipto, cuando el Nilo inundaba sus

riberas y las granjas que se encontraban sobre las mismas, se establecieron

lmites por simple geometra. La casi perfecta cuadratura y orientacin norte-

sur de la Gran Pirmide de Guiza, construida en el 2700 a. C., confirma que

los egipcios dominaban la agrimensura.

Registro de tierras en Egipto (3000 A. C.). Bajo los romanos los

agrimensores se establecieron como una profesin, y crearon las divisiones

bsicas del imperio, as como el registro de los impuestos de las tierras

conquistadas (sobre el ao 300). En Inglaterra, el Domesday Book por

Guillermo I de Inglaterra (1086) Cubra toda Inglaterra. Figuran nombres de

los propietarios de las tierras, superficie, calidad de la tierra, e informacin

especfica sobre el contenido de la zona y sus habitantes. No inclua mapas

mostrando la exacta localizacin de las tierras. El catastro de la Europa

continental se cre en 1808. Creado por Napolen Bonaparte, "Un buen

catastro ser mi mayor logro en mi derecho civil", de Napolen I. Contena el

nmero de parcelas de la tierra, su uso, su valor. 100 millones de parcelas de

tierra, se triangularon y midieron hacindose mapas a escala de 1:2500 y

1:1250.

63

Rpida propagacin por Europa, pero sobre todo debido a los problemas

en los pases del Mediterrneo, los Balcanes y Europa oriental ocasionados

por los gastos de mantenimiento del catastro y conflictos. Las mediciones a

gran escala son un prerrequisito para realizar un mapa. A fines de los 1780s,

un equipo de la cartografa de Gran Bretaa, inicialmente bajo el General

William Roy comenz la Principal de la triangulacin de Bretaa utilizando el

teodolito Ramsden. En Espaa, en el siglo XIX, Javier de Burgos apoy la

creacin de las Academias de las Nobles Artes, para expedir ttulos de

agrimensores.

Tcnicas.

Histricamente, se midieron distancias de mltiples formas; como unir los

puntos con cadenas de una longitud conocida, por ejemplo, la cadena de

Gunter o cintas de acero o invar. Con el fin de medir las distancias

horizontales, estas cadenas o cintas se tensaban de acuerdo a la

temperatura, para reducir el pandeo y la holgura. Los ngulos horizontales se

midieron utilizando una brjula, que proporciona una inclinacin magntica

que se poda medir. Este tipo de instrumento posteriormente se mejor, con

unos discos inscritos con mejor resolucin angular, as como el montar

telescopios con retculos para ver con ms precisin encima del disco (vase

teodolito). Adems, se aadieron crculos calibrados que permitan medir de

ngulos verticales, junto con los vernieres para medir las fracciones de

grado. El mtodo ms simple para medir alturas es con un altmetro

(bsicamente un barmetro); utilizando la presin del aire como indicador de

alturas. Pero para la agrimensura se necesitaba mejorar la precisin. Con

este fin se han desarrollado una multitud de variantes, tales como los niveles

exactos. Los niveles son calibrados para dar un plano exacto de diferencias

de alturas entre el instrumento y el punto en cuestin que se mide, por lo

general, mediante el uso de una barra de medicin vertical.

64

A finales de los 1990s se utilizaban como herramientas bsicas en la

agrimensura sobre el terreno, la cinta mtrica para medir las distancias ms

cortas o diferencias de cotas; y un teodolito fijado en un trpode para medir

ngulos (horizontales y verticales), en combinacin con la triangulacin.

Partiendo de un punto de referencia, donde se conoce su ubicacin y cota,

se miden distancias y los ngulos de otros de los que se quiere conocer su

ubicacin y cota. Un instrumento ms moderno es la estacin total, que es un

teodolito electrnico con un dispositivo de medicin de distancia (EDM).

Desde la introduccin de las estaciones totales se han ido cambiando los

todos dispositivos pticos y mecnicos por electrnicos, con un ordenador

porttil y software. Las modernas estaciones top-of-the-line ya no requieren

un reflector o prisma (utilizados para devolver los pulsos de luz al medir

distancias) para devolver las mediciones de distancia, son totalmente

autmatas, y puede incluso enviar un e-mail con los datos al ordenador de la

oficina y conectarse a un sistema global de navegacin por satlite, tales

como el conocido GPS. Aunque los sistemas GPS han aumentado la

velocidad en la toma de datos de la agrimensura, todava slo tienen una

precisin de unos 20 mm. Adems los sistemas GPS no funcionan en zonas

con una densa arboleda. Es por esto que las estaciones totales no han

eliminado por completo los instrumentos anteriores. La robtica permite a los

agrimensores recoger mediciones precisas sin tener que contratar a ms

trabajadores, mirando a travs del telescopio o grabar datos. Una forma ms

rpida de medir (sin obstculos) es ir en un helicptero con localizacin

acstica por lser, combinado con el GPS para determinar la altura del

helicptero. Para aumentar la precisin, se colocan balizas en el suelo (a

unos 20 km). Este mtodo alcanza una precisin de unos 5 mm. Con el

mtodo de triangulacin, lo primero que se tiene que conocer es la distancia

horizontal al objeto. Si no se conoce o no se puede medir directamente, se

calcula como se explica en el artculo triangulacin.

65

Entonces, la altura de un objeto se puede obtener mediante la medicin

del ngulo entre la horizontal y la lnea que une un punto a una distancia

conocida y la parte superior del objeto. Para determinar la altura de una

montaa, se debe tomar como referencia el nivel del mar, pero aqu las

distancias pueden ser demasiado grandes y la montaa puede que no se

vea. As pues, en primer lugar se debe determinar la posicin de un punto,

entonces vamos hasta ese punto y realizamos una medicin relativa, y as

sucesivamente hasta que se alcance la cima de montaa.

Agrimensura como carrera.

Los principios bsicos de la agrimensura han cambiado poco a lo largo de

los siglos, pero los instrumentos utilizados por los agrimensores han

evolucionado enormemente. La ingeniera, en especial la ingeniera civil,

depende en gran medida de los agrimensores. Siempre hay caminos, diques,

muros de contencin, puentes o zonas residenciales por construir, donde los

agrimensores estn involucrados. Determinan los lmites de la propiedad

privada y los lmites de las distintas divisiones polticas. Tambin ofrecen

asesoramiento y datos para los sistemas de informacin geogrfica (SIG),

bases de datos informatizadas que contienen informacin sobre las

caractersticas y lmites del terreno. Los agrimensores debern poseer un

conocimiento minucioso de lgebra, clculo bsico, geometra y

trigonometra. Tambin deben conocer las leyes que regulan los catastros, la

propiedad y los contratos. Adems, deben ser capaces de utilizar los

delicados instrumentos con exactitud y precisin.

66

2.6. Mtodos para el clculo de superficies.

Mtodos analticos para el clculo de superficies:

-Dobles Distancias Meridianas o Longitudes (D.D.M.).

-Dobles Distancias Paralelas o Latitudes (D.D.P.)

-Coordenadas.

Para el clculo de superficies por los mtodos antes descritos, se

requieren como datos los rumbos calculados y las distancias de los lados de

una poligonal cerrada.

Pasos a seguir para el clculo de superficies:

1.- Clculo de Latitudes y Longitudes.

Con el rumbo y la distancia de cada lado, se calculan las proyecciones al

norte-sur (latitudes) y este-oeste (longitudes).

Las latitudes son el resultado de multiplicar el coseno del rumbo por la

distancia; y las longitudes son el resultado de multiplicar el seno del rumbo

por la distancia. (Ver figura 2.6.1.).

Figura 2.6.1. Latitudes y longitudes.

LONGITUD A-B

S

LA

TIT

UD

A-B

RUMBO

WA

E

B

N

67

2.- Clculo del error de Latitud y el error de longitud y el error de Cierre.

El error de Latitud se obtiene del resultado de la diferencia de sumatorias

de las proyecciones norte-sur.

El error de Longitud se obtiene del resultado de la diferencia de

sumatorias de las proyecciones este-oeste.

El error de Cierre se obtiene del resultado de la suma del cuadrado de los

errores de Latitud y de Longitud.

3.- Balanceo de Latitudes y Longitudes.

El balanceo de latitudes y longitudes se hace corrigiendo las Latitudes y

las Longitudes y se obtienen por medio de la Regla de la brjula, utilizando

la frmula siguiente:

Permetro

(Error de Long. AB) X (Distancia AB)Correccin de Long. AB=

(Error de Lat. AB) X (Distancia AB)

PermetroCorreccin de Lat. AB=

Antes de realizar el balanceo, es conveniente verificar en la sumatoria de

latitudes y longitudes, cual resultado es mayor y cual es menor.

La correccin de latitud se le suma al lado norte, si de ese lado la

sumatoria fue menor y se le resta si fue mayor; lo mismo se hace para el sur.

La correccin de longitud se le suma al lado este, si de ese lado la

sumatoria fue menor y se le resta si fue mayor, lo mismo se hace para el lado

oeste.

Para comprobar el balanceo de Latitudes y Longitudes, la sumatoria de

Latitudes al norte debe ser exactamente igual que la sumatoria de Latitudes

al sur y la sumatoria de Longitudes al sur, debe ser exactamente igual que la

sumatoria de Longitudes hacia el oeste.

68

4.- Clculo de las DOBLES DISTANCIAS MERIDIANAS (D.D.M.).

Para obtener las D.D.M., primeramente se obtienen las Distancias

meridianas y estas ltimas se multiplican por dos.

Las Distancias Meridianas se obtienen con las Longitudes balanceadas,

haciendo un meridiano de referencia que se encuentre en el punto ms hacia

el oeste del polgono. La distancia meridiana de un lado en particular, es la

distancia dirigida desde el meridiano de referencia hasta el punto medio del

lado. (Ver figura 2.6.2.).

Figura 2.6.2. Distancias meridianas.

meridiano de referencia

distancia

punto medio

punto medio

meridiana

Para obtener la superficie del polgono, se multiplican las D.D.M. por las

latitudes, obtenindose dobles reas al N(+) y S(-); se restan las del norte

con las del sur y se dividen entre dos .

5.- Clculo de las DOBLES DISTANCIAS PARALELAS (D.D.P.).

Para obtener las D.D.P., primeramente se obtienen las Distancias

paralelas y estas ltimas se multiplican por dos.

Las Distancias Paralelas se obtienen con las Latitudes balanceadas,

haciendo un paralelo de referencia que se encuentre en el punto ms hacia

el sur del polgono.

69

La distancia paralela de un lado en particular, es la distancia dirigida

desde el paralelo de referencia hasta el punto medio del lado. (Figura 2.6.3.).

Figura 2.6.3. Distancias paralelas.

paraleladistancia

paralelo dereferencia

punto medio

punto medio

.

Para obtener la superficie del polgono, se multiplican las D.D.P. por las

longitudes, obtenindose dobles reas al E(+) y W(-); se restan las del este

con las del oeste y se dividen entre dos .

6.- Clculo de las COORDENADAS.

Se calculan las coordenadas en X y Y de cada punto de la poligonal,

sumando las longitudes y las latitudes respectivamente.

Se trazan los ejes coordenados X y Y en la poligonal, como lo muestra la

figura 2.6.4.

Figura 2.6.4. Coordenadas.

OD

E

X

C

B

A

Y

70

Una vez calculadas las coordenadas, se hacen productos cruzados hacia

arriba y hacia abajo. La sumatoria de productos hacia arriba menos la

sumatoria de productos hacia abajo, divididos entre dos, da como resultado

la superficie del polgono.

Ejercicio 2.15 (resuelto). Con los datos de los rumbos y distancias,

calcular el rea del siguiente polgono con los mtodos: D.D.M., D.D.P., y

COORDENADAS.

LATITUDES LONGITUDES

LADO DISTANCIA RUMBO COSENO SENO N(+) S(-) E(+) W(-)

A-B 168.01 NE 4120' 0.75088 0.66044 126.16 110.960

B-C 250.10 SE 6330' 0.446198 0.8949 111.594 223.823

C-D 246.40 SW 2240' 0.92276 0.38537 227.369 94.955

D-E 216.90 NW 6002' 0.4995 0.8663 108.341 187.904

E-A 118.30 NW 2930' 0.870356 0.4924 102.963 58.254

p= 999.71

337.459 338.963 334.783 341.113

Lat. A-B=(cos 4120)(168.01)

Error de latitud=337.459-338.963

Lat. A-B=126.16

Error de latitud=-1.5037

Long. A-B=(sen4120)(168.01)

Error de longitud=334.783-341.113

Long. A-B=110.96

Error de longitud=-6.33

71

CORRECC. DE LATS. CORREC. DE LONG LATS. BALANCEAD LONGS. BALANCE

LADO N(+) S(-) E(+) W(-) N(+) S(-) E(+) W(-)

A-B 0.25271 1.063 126.408 112.024

B-C 0.3762 1.584 111.218 225.407

C-D 0.37062 1.560 226.998 93.395

D-E 0.32625 1.373 108.667 186.531

E-A 0.17794 0.749 103.141 57.505

338.216 338.216 337.430 337.430

0 0

Error de cierre = (E lat.)+ (E long) Corr. De Lat.A-B=[(E. de lat)(dist A-B)]/(Perime)

Error de cierre = (-1.5037)+ (-6.3297) Corr. De Lat.A-B=[(-1,5037)(168.01)]/(997.71)

Error de cierre=6.50586

Corr. De Lat A-B=0.25271

Precisin=(Error de cierre)/(Permetro)

Precisin=(6.50586)/(999.71)

Corr. De Lon.A-B=[(E. de lon)(dist A-B)]/(Perim)

Precisin=1/0.0065077

Corr. De Lon.A-B=[(-6.3297)(168,01)]/(999.71)

Precisin=1:153.66

Corr. De Lon.A-B=1.063

DOBLES AREAS

DOBLES AREAS

LADO D.D.M. N(+) S(-) D.D.P. E(+) W(-)

A-B 112.024 14,160.739 550.024 61,615.92

B-C 449.455 49,987.41 565.214 127,403

C-D 581.466 131,991.7 226.998 21,200.5

D-E 301.540 32,767.442 108.667 20,270.6

E-A 57.505 5,931.11 320.475 18,428.8

52,859,28 181,979.1

189,019 59900

Area por D.D.M.= [(N+)-(S-)]/2

Area por D.D.P.= [(E+)-(W-)]/2

Area por D.D.M.= [(52,859.28)-(181,979.1)]/2 Area por D.D.P.= [(189,019)-(59900)]/2

Area por D.D.M.= 64,559.94

Area por D.DP.= 64,559.51

72

COORDENADAS PRODUCTOS

PUNTOS X Y

A 0 211808 23,727.6

B 112024 338216 0 114,124.4

C 337431 226998 25,429.25 55,395.6

D 244035 0 0 0

E 57505 108667 26,518.58 0

A 0 211.808 12,179.96

64,127.78 193,247.6

Area por COORDENADAS=()2

Area por COORDENADAS=(64,127.78-193,247.6)2

Area por COORDENADAS= 64,559.90

Ejercicio 2.16. Con los datos de los rumbos y distancias, calcular el rea

del siguiente polgono con los mtodos: D.D.M., D.D.P., y COORDENADAS.

LADO DISTANCIA RUMBO

A-B 115.25 NE 2610'

B-C 177.50 SE 8410'

C-D 148.50 SE 2911'

D-E 274.90 SW 4430'

E-F 152.10 NE 1550'

F-G 98.50 SW 6920'

G-A 138.90 NW 2410'

73

Ejercicio 2.17. Con los datos de los rumbos y distancias, calcular el rea

del siguiente polgono con los mtodos: D.D.M., D.D.P., y COORDENADAS.

LADO DISTANCIA RUMBO

A-B 108.50 NE 4120'

B-C 99.20 SE 7610'

C-D 92.90 SE 3922'

D-E 93.42 SE 0610'

E-F 103.40 SW 3115'

F-G 131.10 SW 7020'

G-H 80.15 NW 5320

H-I 131.90 NE 5100'

I-A 147.50 NW 4205

74

2.7. Problemas de divisin de superficies.

En distintas ocasiones, se presentan casos de dividir un terreno con

determinadas restricciones, como puede ser el caso de distribuir reas para

cuestiones testamentarias o cualquiera que sea la necesidad de dividir un

terreno en partes iguales o desiguales. Cuando el terreno tiene forma

regular, no es tan difcil hacerlo, solo es necesario utilizar los conocimientos

de trigonometra y geometra, como del propio ingenio. Como casi siempre

los terrenos se presentan en forma irregular y en ocasiones en formas muy

raras, se darn ejemplos para dividir superficies en terrenos irregulares.

Primero se darn ejemplos, de cmo resolver problemas de datos

faltantes en polgonos. Estos problemas se pueden presentar cuando se

olvid, o no fue posible, tomar algn dato de campo. Sin embargo, debe

procurarse no omitir datos de campo, pues en estos casos, las soluciones se

basan en que el polgono debe cerrarse forzosamente, y si existe algn error,

ste no se puede descubrir, y el trabajo queda defectuoso. Con estos casos

se pretende principalmente ilustrar la aplicacin de clculos con coordenadas

y rumbos.

75

Problemas de datos o medidas faltantes en polgonos cerrados.

- Falta rumbo y longitud de un lado.

Como todos los dems datos del polgono, ngulos, longitudes y rumbos

son conocidos, se pueden calcular proyecciones y coordenadas de todos los

vrtices; los datos faltantes del lado PM pueden calcularse simplemente as:

R= ang tan

Long. = X

X YP

mY -

p -

mX

p

F E

A

mm- Xp +

2

Y

2

Y- p MD

C

B

- Faltan longitudes de dos lados consecutivos.

En este caso y los siguientes, se pueden resolver calculando la longitud y

el rumbo de una lnea auxiliar entre los puntos extremos conocidos, formando

un tringulo dentro del cual se calculan los elementos faltantes,

libro de topografia

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