libro estadistica experimental - severo palacios

ESTADISTICA EXPERIMENTALAplicada a ciencia e ingeniería

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Palacios C. Severo

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ESTADÍSTICAEXPERIMENTALAplicada a ciencia e ingeniería

© PALACIOS C. SeveroCEO Proceso [email protected]@hotmail.com(+511) 996696214, Lima – Perú(+5152) 952672846, Tacna – Perú(+505) 84566216 – Centro América

Primera edición:

ISBN:Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N°

© PALACIOS C. Severo – CONCYTEC en la presente ediciónTiraje: 1000 ejemplares

Subvención CONCYTEC N°

Consejo Nacional de Ciencia, Tecnología e Innovación Tecnológica-CONCYTEC

Presidente: Dr. Augusto Mellano MéndezAv. Del Aire 485, San Borja, Lima – PerúTelefax: (51) 01-2251150www.concytec.gob.pe

Impreso por:

Derechos Reservados. Prohibida la reproducción de esta publicaciónpor cualquier sistema conocido sin la autorización escrita del autor; ydel editor en la presente edición.

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La presente obra esta dedicada a la Memoria de:

Juan de la Cruz Palacios AvendañoAdelaida Calisaya Flores

Luz Lucila Zeballos ArgandoñaCamila Palacios Zeballos

Ceferina Chambilla ChambillaGustavo Vallenas Casaverde

“Con mucho amor a quienes amor nos dio, que Dios lo tenga en sugloria y nosotros en nuestro corazón”

Palacios C. Severo

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Un reconocimiento muy especial al Rector de laUniversidad Nacional Micaela Bastidas de Abancay

Dr. Leoncio Carnero Carnero


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CONTENIDO

CONTENIDO Página

§1I.II.III.IV.V.VI.VII.VIII.IX.

X.XI.XII.

XIII.XIV.XV.XVI.XVII.XVIII.XIX.

§2I.II.III.IV.V.VI.VII.VIII.IX.X.XI.

PrólogoIntroducciónEstadística básicaIntroducciónRecopilación de datosCuestionario como fuente de datosPresentación de datosAnálisis de datosDistribución de frecuenciaCriterios de distribución de frecuenciaMedias de tendencia centralMedidas de disepersiónProblemasEstimación de parámetrosDiferencias significativasDispersión de los datos problemasProblemasDistribucionesIntervalos de confianzaMuestreoMétodos de muestreoToma de decisionesPrincipios para la toma de decisiónPlanificaciónProblemasAnálisis de regresiónIntroducciónMétodos de mínimos cuadradosModelos de regresiónModelo de regresión lineal con k variablesRegresión lineal simpleRegresión lineal múltipleRegresión polinomialRegresión polinomial cuadráticaRegresión no linealCoeficiente de correlación múltiple R²Prueba de significancía

9111313141515161719192629393940435054555559626264676767707071737475767777

Palacios C. Severo

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§3I.II.III.IV.V.VI.VII.VIII.IX.X.XI.XII.XIII.XIV.

§4I.II.III.IV.a)b)c)

V.

VI.

VII.

VIII.

IX.X.

XI.XII.§5I.II.

ProblemasPrincipios de diseño experimentalIntroducciónTipo de experimentosUnidades experimentales y muéstralesFuente de variaciónControl de la variación del no tratamientoPropiedades del diseño estadísticoReplicaciónAleatorizaciónControl localClasificación de los diseñosEstrategia del diseñoDiseño de tratamientosDiseño de muestreoEstudio experimentalProblemasDiseño experimental aplicado a cienciasIntroducciónLimitacionesPredicciónDiseño experimentalDiseño aleatorizadoDiseño unifactorial con n nivelesDiseño de parcelas divididasProblemasDiseño totalmente aleatorizadoProblemasDiseño de bloques aleatorizadosProblemasDiseño cuadrado latinoProblemasDiseño cuadrado greco – latinoProblemasPrueba de intervalos múltiples de DuncanDiseño doble reversoProblemasEstimación de parámetros del modeloPolinomio ortogonalMétodos de análisisIntroducciónMétodos no paramétricos

8183838486879092969799101103104105106110111111111112113113114118121129131134141143147151153154154157158159161161162


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III.IV.V.VI.

§6I.

II.III.IV.

V.VI.VII

VIII.

IX.

X.XI.XII.XIII.XIV.XV.

XVI.XVII.XVIII.

XIX.

XX.

XXI.XXII.A.B.C.

D.

Prueba U de Mann – WhitneyPrueba H de Kruskal – WallisMétodos multivariablesCorrelación de SpearmanProblemasDiseños experimentales aplicado a ingenieríaIntroducciónProblemasDiseños bifactorialesComparación múltipleDiseño anidadoProblemasDiseños factorialesDiseño factorial 2n

Diseño factorial 2²ProblemasDiseño factorial 2³ProblemasDiseño factorial 2k replicadoProblemasDiseño 2k con pruebas centralesDiseño confundidoDiseño factorial 2k con dos bloquesDiseño factorial 2k con cuatro bloquesDiseño factorial 2k con bloques replicadosAlgoritmo de YatesProblemasDiseño factorial fraccionadoMedio fraccionado del diseño 2k

Cuarto fraccionado del diseño 2k

ProblemasDiseño Plackett – BurmanProblemasDiseños factoriales 3n

ProblemasDiseños rotablesDiseños rotables con dos factoresDiseño trigonalDiseño pentagonalDiseño hexagonalProblemasDiseño octogonal

162165166168171173173176177180182184186188189195205221225228231233233235236237239244245247250258263266270275275275276276280281

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E.

F.G.

§7I.II.III.IV.V.VI:VII:VIII:IX.X.XI.XII.XIII.

Diseño compuesto centradoProblemasDiseño experimental comercial – EXCODiseño SeveroDiseño factorial centrado de dos factoresDiseño Factorial centrado de tres factoresDiseño rotable centrado de n factoresProblemasSuperficie respuestaIntroducciónSuperficie respuestaPolinomio de primer ordenPrueba de significanciaPrueba de falta de ajusteMáxima pendiente ascendentePolinomio de segundo ordenCaracterización de la superficie respuestaDiseño de superficie respuesta cuadráticoSuperficie de respuesta cuadráticaExploración de superficie respuestaPunto estacionarioCriterio de formas cuadráticasAnexoReferencias

282291295298300305308311323323323324325326328331333340350354367368387393


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PRÓLOGO

El objetivo primordial del presente libro es presentar los conceptospara diferentes situaciones reales que se ven a diario en el campo so-cial, industrial y experimental. Se ha concebido primordialmente comoun texto introductorio en planificación y control de operaciones a nivellaboratorio, bach e industrial. También se ha proyectado como unlibro de referencia para agronomomos, alimentarios, pesqueros, bio-logos, medicos, civiles, geógrafos, ambientalistas, mecánicos, mineros,metalurgistas y químicos de Pre, Postgrado y Maestría, practicantes ycientíficos encargados de la planificación y operación de sistemasproductivos tanto en la ciencia como en la ingeniería.

El libro es el resultado de conferencias ofrecidas en diferentes centrosacadémicos latinoamericanos. Se ha intentado resaltar los conceptostécnicos y afirmando sin duda y sin excusas que la presentación esexactamente fidedigna. Se presentan los conceptos que considero pue-den contribuir más a la comprensión de los principios, con referenciaa los que pueden realizarse con los conocimientos básicos y las posibi-lidades e instrumentos de la tecnología actual.

Se ha intentado presentar un marco conceptual que estimule la habili-dad del lector de las diversas ramas del saber (Biología, Medicina,Ciencias Sociales, Economía, Administración, Ingenierías y áreas Téc-nicas) para entender la manera en que los factores (variables) interac-túan en un sistema real de trabajo.

La orientación del libro, no esta matemáticamente sofisticado. Losconocimientos previos necesarios como el cálculo, probabilidades yestadística descriptiva. En algunas secciones se realiza el uso de ope-raciones elementales de matrices.

El libro está diseñado como un manual dividido en partes con capítu-los para su mejor comprensión. Se propone servir como fuente de refe-rencia para tratar casos específic0s de los lectores.

Los ejemplos resueltos (fueron desarrollados aplicando los programasestadísticos Statgraphics Centurion y ESPC elaborado para el presentelibro), sirven para ilustrar y ampliar las teorías, sin lo cual el lectorsentiría un vació. Las demostraciones de procesos industriales se in-

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cluyen en ello. Los problemas suplementarios completan la revisióndel material tratado en cada tema.

El material cubre un curso habitual con el fin de flexibilizar, ampliar ymejorar los sistemas curriculares, siendo este un libro de consultapara interés de otros temas.

No deseo finalizar sin agradecer a mi amigo Luis Solórzano Espinolapor la revisión minuciosa y detallada de la presente edición del pre-sente libro, su tiempo y esfuerzo es un aporte a la ciencia y tecnolgíacomo él siempre viene desarrollando en las aulas con los estudiantesde pre grado.

Finalmente deseo agradecer a CONCYTEC por tan importante aportea la educación a nivel de nuestro país, así mismo estoy en deuda conmuchas universidades latinoamericanas gubernamentales como pri-vadas por la cooperación para la elaboración del presente, de igualmanera con prestigiosos colegas por su colaboración para la culmina-ción de tan importante tema.

Palacios C. SeveroCEO Proceso SEVEROMóvil: (+511) [email protected]

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INTRODUCCIÓN

Si su trabajo tiene que ver con la investigación científica – tecnológi-ca (ciencias e ingeniería). Probablemente se ha dado cuenta que lamayoría de los libros de estadística (básica y avanzada) son abstrac-tos y no ayudan mucho en el tratamiento de la base de datos, perousted sabe que el proceso al cual estudia funciona (de manera eficientey sin problemas), es por ello que se tuvo que realizar el esfuerzo a finde brindar al amable lector un texto con características nuevas a finde poder llenar muchos vacíos, los cuales son parte de la experiencia.

Lo que desea saber el investigador es como analizar e interpretar losdatos de un proceso para tomar una decisión sobre los rangos ópti-mos, pero necesita saber cómo llevar a cabo una prueba experimental(laboratorio, bach e industrial); sabe que la estadística experimentalle ayudara a seleccionar los rangos (niveles) y variables (factores)significativas del procesos innovativo, pero requiere ideas sobre comoseleccionar estos. En la presente obra le explicaremos y despejaremossus dudas.

La palabra estadística se origina, en las técnicas de recolección, orga-nización, conservación, y tratamiento de las diversas bases de datospropios, con que los antiguos gobernantes controlaban sus súbditos ydominios económicos. Estas técnicas evolucionaron a la par con eldesarrollo de las matemáticas utilizando sus herramientas en el pro-ceso del análisis e interpretación de la información.

Estadística Experimental aplicada a ciencia e Ingeniería, el libro queen esta ocasión presento a los lectores de habla hispana, es un impor-tante aporte. Por lo útil y por la novedad de su enfoque, a la falta debibliografía. Para comprender los beneficios que pueden derivarse dela utilización de los conceptos (fundamentos) presentados, convienetener presente la complejidad creciente de nuestras industrias (auto-matización), impuesta por los diferentes factores que están incidiendoen el cambio vertiginoso que caracteriza a nuestra época (competitivi-dad) y que, en mayor o menor grado, con mayor o menor velocidad,llega a todas las regiones y países del mundo. Veamos algunos de losfactores de complejidad en operaciones industriales. La planta recibeórdenes de producción que deban ser procesados y cumplidos en un

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lapso determinado, utilizando recursos internos y externos casi siem-pre escasos.

La importancia de los resultados, anticipado en la toma de decisiones,empieza a buscar respuestas a otro tipo de preguntas ¿Qué es lo me-jor? ¿Cómo optimizar un determinado conjunto de variables paraalcanzar un fin específico? Que significan nuestros datos y que gradode confianza podemos tener en ello visto una predicción.

El mundo actual requiere otras herramientas analíticas, aquellas quenos permitan crear modelos (lenguaje de comunicación) y definir re-laciones entre diversos factores (interacciones). Esto requiere entreotras cosas que podamos guardar conjuntos particulares de datosaparte de las rutinas de análisis (numérico y sostenible) que se reali-cen en base a ella.

El presente texto no pretende teorizar el saber estadístico, desde luego,no es un libro para estadísticos, ya que, adrede se obvia el rigor cientí-fico de lo expuesto en beneficio de la sencillez necesaria para el neófito;con un lenguaje coloquial se conduce al lector a través del contenido, apartir de dos o tres ejemplos que ilustran la aplicabilidad de los temastratados.

El avance tecnológico en la informática ha contribuido enormementeal desarrollo de la estadística, sobre todo en la manipulación de lainformación, pues en el mercado existen paquetes estadísticos de exce-lente calidad, como el SAS, SPSS, SCA, Statgraphics, amén de otros,que corren en un ordenador sin mayores exigencias técnicas, permi-tiendo el manejo de grandes volúmenes de información y de variables.


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§1ESTADÍSTICA BÁSICA

(...) Conseguimos obtener así la fórmula estadística para conocer aproxima-damente la posición de un electrón en un instante determinado. Pero, perso-nalmente, no creo que Dios juegue a los dados.

Albert Einstein

I. INTRODUCCIÓN

En las últimas décadas la estadística ha alcanzado un alto grado dedesarrollo, hasta el punto de incursionar en la totalidad de las cienciase ingeniería; inclusive, en la lingüística se aplican técnicas estadísticaspara esclarecer la paternidad de un escrito o los caracteres más rele-vantes de un idioma.

La estadística es una ciencia auxiliar para todas las ramas del saberhumano; su utilidad se entiende mejor si tenemos en cuenta que losquehaceres y decisiones diarias embargan cierto grado de incerti-dumbre y la estadística ayuda en la incertidumbre, trabaja con ella ynos orienta para tomar las decisiones con un determinado grado deconfianza.

Los críticos de la estadística afirman que a través de ella es posibleprobar cualquier cosa que sucede en la naturaleza, lo cual es un con-cepto profano que se deriva de la ignorancia en este campo y de lopolifacético de los métodos estadísticos. Sin embargo muchos investi-gadores tendenciosos han cometido abusos con la estadística, elabo-rando investigaciones de intención, teniendo previamente los resulta-dos que les interesan mostrar a personas ingenuas y desconocedorasde los hechos. Otros, por ignorancia o negligencia, abusan de la esta-dística utilizando modelos inapropiados o razonamientos ilógicos yerróneos que conducen al rotundo fracaso de sus investigaciones.

A veces nuestras vidas parecen estar controladas por estadísticas. Deinformes sobre el tiempo, lectura de las presiones sanguíneas, todostenemos que ver rutinariamente con una amplia variedad de medidasestadísticas.

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El análisis estadístico es útil para la investigación (tecnológica y cien-tífica), pues ayuda a resumir e interpretar el gran volumen de cifrasque resultan aún en la encuesta más pequeña. Los principios estadísti-cos que se usan en la investigación provienen en gran escala de lasciencias sociales, economía e ingeniería.

Como resultado hay gran cantidad de libros enteros sobre estadística,probablemente más que sobre cualquier otro aspecto de la investiga-ción.

El propósito de la presente obra es darle a usted una visión panorámi-ca de los tipos de medidas estadísticas más importantes que se usan. Siusted requiere información más detallada, consulte algunos de losmuchos libros buenos en estadística que están disponibles1.

Aunque existen centenares de medidas y pruebas estadísticas que pue-den utilizar los investigadores, nosotros estudiaremos los de ampliaaplicación para desarrollar los trabajos prácticos.

II. RECOPILACIÓN DE DATOS

El primer paso para describir un fenómeno natural es reunir los datosestadísticos necesarios. La fuente de los datos puede clasificarse comointernas o externas.

Los datos internos incluyen estadísticas sobre las operaciones de laempresa, tales como estadísticas de producción, comercialización,transformación, etc.

Los datos estadísticos no vinculados con el funcionamiento de la em-presa propiamente dicha se llaman datos externos.

La gerencia de producción de una fábrica de fundición puede necesitarinformación sobre la cantidad de cierto metal en el mercado nacional,con el propósito de estimar las ventas a 10 años plazo.

Hay enormes cantidades de datos comerciales, empresariales, farma-céuticos, que pueden consultarse en las bibliotecas públicas y en lasuniversidades.

El gobierno es el mayor editor de estadísticas anuales, mensuales,semanales, diarias. Una publicación anual del Instituto Nacional de

1 Ver referencias bibliográficas


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Estadística contiene más de mil páginas de datos sobre precios, educa-ción, producción y otros puntos, que son de utilidad para los que pro-cesan datos: economistas, analistas y demás profesionales.

III. CUESTIONARIO COMO FUENTE DE DATOS

Los datos estadísticos relativos a la opinión corriente de los consumi-dores sobre determinados programas de televisión, nuevos productos,candidatos políticos y otros, no pueden hallarse en publicaciones. Porello, este tipo de información debe reunirse a través de la entrevistapersonal, por cuestionarios o algún otro medio. La ventaja de ello es elalto porcentaje de respuestas posibles. Sin embargo, es por regla ge-neral más costosa que enviar cuestionarios por correo.

Las firmas de analistas y consultores saben que es inconveniente elformulario postal como instrumento para recopilar datos por ser rela-tivamente bajo el porcentaje de respuestas a ciertos cuestionarios.

La conveniencia principal del cuestionario como técnica de recopila-ción de datos es sus costos relativamente bajo.

IV. PRESENTACIÓN DE DATOS

Gráfica de líneas simples y de barras simples. Cualquiera deestos dos tipos de gráfico puede utilizarse ventajosamente para repre-sentar la tendencia general de la producción.

El cúmulo de datos estadísticos dentro de una empresa, de fuentespublicadas, o recopilados por entrevistas personales, no está usual-mente apta para un análisis. Los datos deben organizarse y presen-tarse en una tabla o gráfico, antes de efectuar ningún análisis ni in-terpretación. Si se necesitan cifras exactas de un informe convendríapresentar los datos en una tabla. En caso contrario, es preferible ungráfico para atraer la atención del lector.

Gráfico de líneas múltiples y de barras múltiples. La tendenciao movimiento de las exportaciones de dos comercializadoras se puedenrepresentar gráficamente.

Gráfico de barras de componentes. El gerente de ventas de unaembotelladora desea graficar el total de ventas en tres años y tambiénla variedad de los productos en relación con el total. Podría utilizar ungráfico de líneas o un gráfico de barras.

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Gráfico de barras bi direccionales. Para indicar los cambiosporcentuales puede utilizarse un gráfico bi direccional, que también esútil para ilustrar ganancias y pérdidas, producción o ventas cobre lonormal o bajo lo normal de un período a otro. Por ejemplo, se repre-sentan los cambios porcentuales de ventas correspondientes a cincoaños de ventas:

Sucursales Ventas CambioPorcentual2005 2010

Mercado Central 10 8 -20Mercado Sur 5 7 +40Mercado Norte 2 4 +100Mercado Este 6 3 -50Mercado Oeste 10 11 +10

V. ANÁLISIS DE DATOS

Un análisis de datos suele seguir los siguientes pasos:

Análisis exploratorio de datos: Estadística descriptiva de cadavariable por separado. Se obtienen medidas de tendencia central, va-riabilidad, representación gráfica, etc. Se pretende conocer cada va-riable así como detectar errores, valores extremos.

Estadística Bivariable: Estudia las relaciones entre pares de va-riables, utilizando estadísticos como el coeficiente de correlación Chi–cuadrado, t de Student, etc. y representaciones gráficas diversas.

Análisis Multivariante: Analiza simultáneamente dos o más va-riables. Los métodos pueden ser predictivos cuando existe una varia-ble criterio o independiente que se explica o identifica por un conjuntode variables independientes, predoctoras o explicativas (Regresiónlineal, Regresión cuadrática, análisis discriminante, análisis de va-rianza) o reductivos cuando se estudian las relaciones entre un con-junto de variables o casos sin que exista una variable a identificar(componentes principales, análisis factorial, correspondencia binaria,correspondencia múltiple).

Usos de variables en el análisis

Las variables pueden ser definidas para medir una determinada sali-da o respuesta o bien para explicar por que se obtiene una determina-da salida. Por ejemplo en el estudio de una enfermedad, las variablesedad, antecedentes, severidad del estado, tratamiento son variables


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explicativas o independientes. Las variables discretas sana/no sana esla variable dependiente.

En ciertos análisis exploratorios todas las variables se usan como unúnico conjunto, sin distinción entre independientes y dependientes.

Análisis apropiado de datos

Son dos motivos por lo que resulta difícil la elección de la técnica esta-dística adecuada para un investigador con datos reales.

El primero es que los libros de estadística y los cursos curriculares sepresentan en un orden lógico desde el punto de vista de la enseñanzade las materias, pero desde el punto de vista del proceso del análisis dedatos.

La segunda es que los datos reales contienen mezcla de tipos de datosque hacen la elección del análisis arbitrario.

Una buena estrategia consiste en aplicar diferentes análisis al mismoconjunto de datos, lo que nos proporcionará información variadasobre el fenómeno en estudio.

Para decidir el análisis apropiado se clasifican las variables como:

Independiente frente a dependientes Nominal u ordinaria frente intervalos

VI. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA

Los problemas industriales abarcan una gran masa de datos cuantita-tivos a los que deben darse ciertas formas significativas antes de po-der efectuar ningún análisis e interpretación. Una forma de uso co-rriente es la distribución de frecuencia. Existen dos tipos de variables,a saber: discretas y continuas. El análisis de la distribución de fre-cuencia se refiere a datos continuos.

Ordenamiento

Los datos que se haya sin agrupar son difíciles de analizar. Sea, porejemplo, determinar los ingresos bajos y los elevados y un punto cen-tral de concentración, si lo hubiere.

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Por lo tanto es esencial, para analizar las entradas, organizar los da-tos que están sin agrupar en una forma agrupada llamada distribu-ción de frecuencia.

Según la naturaleza de la variable estudiada las distribuciones defrecuencias pueden ser:

Datos no agrupados: se presentan cuando el número de valoresque puede presentar la variable no es muy elevado, y en ese caso po-demos observar todos los valores de esa variable. Este caso se presen-ta cuando la variable es discreta y continua no presenta excesivosvalores.

Datos en intervalos: se presenta cuando la variable es continua ocuando es discreta pero con elevado número de valores. En esta situa-ción se agrupan dichos valores en intervalos o clases. Los intervalos senotan: ii ee 1 es intervalo i-ésimo.

Se llama amplitud del intervalo a la distancia que existe entre los ex-tremos.

1 iii eea

Se llama marca de clase al punto medio de un intervalo. Este punto esimportante porque es el representante del intervalo.

211

ii

i

eex

Se llama densidad de frecuencia de un intervalo a la frecuencia co-rrespondiente a cada unidad de la variable en dicho intervalo.

i

ii a

nd

Los intervalos se suelen tomar abiertos por la izquierda y cerrados porla derecha, salvo el primero que se toma cerrado por los dos lados.

En este tipo de distribuciones se pierde parte de la información al


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agruparlas en intervalos, ya no se puede hablar de valores concretossino de intervalos.

Cuanto mayor sea la amplitud de los intervalos menos intervalos ha-brá, y por tanto menos precisión tendremos. En cambio, cuanto menorsea la amplitud de los intervalos menos intervalos habrá, y mayorserá la precisión, sin embargo la distribución será mas grande y másdifícil de manejar.

Intervalo de clase

Con el propósito de preparar una distribución de frecuencia a partirdel ordenamiento y el apuntado, los ingresos podrían agruparse arbi-trariamente en clases con un intervalo digamos 250 dólares. Este va-lor se denomina amplitud de clase. El intervalo de clase es, sencillo, laamplitud de los ingresos mensuales para cada clase. Una maneraconveniente de determinarlo es encontrar la diferencia entre los lími-tes inferiores de dos clases adyacentes o la diferencia entre las marcasde clase adyacente.

VII. CRITERIOS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA

En la práctica, la cantidad total de clases varía usualmente de un mí-nimo de 5 a un máximo de 20. El hecho de que sean muy pocas o mu-chas clases no nos aclara la característica esencial de los datos. Porejemplo, si organizamos los ingresos de los operadores de computado-ras solamente en dos clases:

Ingreso Mensual (US$) Cantidad de operariosDe 250 a 400De 400 a 600

2523

Un análisis de distribución de frecuencia no revelaría mucho acerca dela estructura de los ingresos de los operarios.

Siempre que sea posible, el intervalo entre todas las clases se la distri-bución de frecuencia deberá ser igual. Los intervalos desiguales origi-nan problemas al graficar y al calcular promedios y otras mediasestadística.

VIII. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Una medida de tendencia central es un número que representa el valorcentral de un conjunto de valores. Habitualmente, estas medidas se

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llaman promedios. He aquí algunos ejemplos: el ingreso promedio deuna familia, es de US$ 1500 por año; para el peso promedio de 60fardos de fibra de llama utilizados para el tejido de alfombras y undiámetro promedio de pistones maquinados durante un jornal.

En el presente se consideran las herramientas estadísticas que máscomúnmente se usan:

Media aritmética

Generalmente se le llama media o promedio. La media es simplementela suma de una serie de datos numéricos dividida por el número totalde ellos.

Es apropiado usar la media cuando los resultados son simétricos ytienen una distribución normal. Pero existen casos que estudiaremos acontinuación:

Datos no agrupados: Si los datos no están agrupados la mediaaritmética se calcula tomando todas las mediciones y dividiendo lasuma por el número de éstos.

Datos agrupados: La resistencia a la tracción de varios filamentosson 6, 6, 7, 7, 8, 8, y 9,4. Estos valores se agrupan en una distribuciónde frecuencia.

El punto medio de cada clase se usa para representar la clase. El pun-to medio de la clase se multiplica entonces por el número de frecuenciaen esa clase. La suma de estos productos se divide por la cantidad totalde datos para obtener la media aritmética.

Ejemplo 1.1La tabla 1.1 muestra los puntajes de tres artículos en una prueba dedegustación, usando preguntas cualitativas de escalas, a fin de cuanti-ficar los valores.

Todos los productos probados tienen la misma media. La media de 20es esta escala es bastante descriptiva de la distribución normal delproducto 1, pero sería engañoso si se usara para describir el producto2 ó el producto 3. La mayoría de los resultados en una investigacióntienen una distribución normal (es decir, en forma de campana alre-dedor de un punto medio) pero otras distribuciones son lo bastante


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comunes como para que se deba verificar siempre, antes de usar lamedia, si ésta es en realidad descriptiva.

n

XX i ni ,...2,1

La media tiene otra debilidad sobre la que se debe estar alerta: se veafectada por las observaciones extremas.

Tabla 1.1 Puntaje de tres productos en preguntas de degustaciónNivel de

degustaciónProducto

1 2 354321

105

705

10

2020202020

0505000

Media 20 20 20

Ejemplo 1.2Si los ingresos de dos profesionales se promedian con los ingresos dediez peones, el ingreso para todos los doce será de más de US$ 250,que obviamente es una cifra engañosa, si se evita usar la media paradatos que no tengan una distribución normal o para datos que inclu-yan observaciones extremas, ésta es la medida estadística más útilpara describir el promedio.

Tabla 1.2 Mano de obra por día para cada productoPersonal Jornal (US$) Producto 1 Producto 2

CalificadoSemi calificadoNo calificado

20105

853

852

Media aritmética ponderada

Permite calcular un promedio que toma en cuenta la importancia o elfactor que tiene cada valor sobre el total. Todas las medias aritméticasson ponderadas. Si no se dan factores específicos a todos y cada unode los valores de la serie.

i

ii

m

mXX

Ejemplo 1.3Una empresa desea contratar tres tipos de personal: calificado, semicalificado y no calificado, para la producción de ciertos artefactos. La

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gerencia desea conocer el costo promedio de mano de obra por díapara cada producto.

El promedio aritmético simple es:

21 0160,0661,1644,0 XXY

El costo de mano de obra promedio del producto 1 es,

$72,18735867,11 US

Y para una unidad del producto 2 es,

222 FeAgOFeAg

El análisis de esta manera es incorrecto, ya que no se toma en cuentaque se trabaja con diferente personal.

Ejemplo 1.4Se compra material de construcción a tres empresas comercializado-ras siendo sus costos: 80 kilo a 0,5 dólares por kilo, 20 kilo a 0,7 dóla-res y 10 kilos a 0,9 dólares.

Determine el precio promedio por kilos de alambrón.

Tabla 1,3 Precio por kilo de alambrónPrecio por kilo (Xi) Kilo comprado (mi)

0,50,70,9

802010

Total 110

Aplicando la fórmula

i

ii

m

mXX

kiloUSX /$5727,0110/10...110/80/110/109,0...110/8,05,0

Comparando con el promedio simple

10/9001 XX


23

kiloUSX /$5727,0110/109,0207,0805,0

Media armónica

Es el inverso del valor medio, se la utiliza con frecuencia para la medi-ción y análisis de flujos volumétricos.

iX

nH1

Ejemplo 1.5Calcular el flujo volumétrico medio (FVM) de dos bombas que entre-gan combustible 10000 litros a razón de 500 litros por minuto y10000 litros a razón de 100 litros por minuto, n = 2

min/7,166100/1500/1

12 litrosH

El resultado también puede obtenerse calculando el tiempo necesariopara bombear 10000 litros con los dos flujos volumétricos y dividien-do el resultado por el número total de litros bombeados, es decir:

r1 = 10000/500 = 20 minr2 = 10000/100 = 100 minFVM = (10000 + 10000)/120 = 166,7 l/min

Obsérvese que el valor medio es de 300 litros por minuto, casi el doblede la media armónica.

Media geométrica

La media geométrica Xg es la n-raíz de los productos de la n observa-ciones medidas, de amplia utilidad en economía.

nig XX

En forma logarítmica

n

nLogXXLog i

g

Una aplicación importante es determinar el incremento porcentualpromedio en ventas, producción u otras variables correspondientes aun lapso dado.

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Una modificación de la fórmula es:

1Pr1

1

Lapsoimer

LapsoÚltimoLog

nXLog g

Ejemplo 1.6Supongamos que durante cinco años de una economía inflacionaria,las entidades crediticias pagan tasas altas de interés de 10, 20, 25, 30y 40 por ciento.

Hallar la tasa de interés promedio anual de un depósito de 1000 dóla-res.

Tabla 1.4 Economía inflacionariaAño Tasa de interés Factor de crecimiento Ahorro al final de año (US$)

12345

1020253040

23

3,545

1000*2 = 20002000*3 = 6000

6000*3,5 = 2100021000*4 = 84000

84000*5 = 420000

El factor de crecimiento anual, será:

añocadavecesX 5,35/545,332

Pero 3,5 = 1 + 25/10

Corresponde a una tasa de interés promedio de 20% anual.

Entonces, el depósito de 1000 dólares crecerá en cinco años:

75,216/1584/41394137 22222 columnaSC

Este es un valor excedente al real en más de US$ 10521 - 8,75 un errormuy considerable.

Usando la media geométrica, el factor de crecimiento promedio Anualcorresponde a una tasa de interés promedio de 235% anual o 3,35 = 1+ 235/100 entonces el depósito de 1000 dólares crecerá en cinco añosa:

25,9416/1584/36563135 22222 ootratamientSC


25

Siendo está la media más apropiada para el caso.

Media cuadrática

De un conjunto de números Xn es denotado por la raíz cuadrada de lamedia cuadrática y es definida como:

n

XX q

2

Ejemplo 1.7Evalué los datos que se muestran a continuación 1, 5, 7 y 9

24,6qX

Mediana

Se llama mediana de una variable estadística a aquel valor de la va-riable tal que el número de observaciones menores que él es igual queel número de observaciones mayores. Se nota Me y se puede conside-rar como el punto de abscisas cuya ordenada en la curva vale ½.

ii

iie

i

i

i

ie an

NNeM

n

a

NN

eM

CC

AC

BB

AB

11

1

1 2/

2/´

´

´

´

Datos no agrupados: La mediana es el valor correspondiente a unpunto de una escala con respecto al cual la mitad superior agrupaigual cantidad de valores que la mitad inferior. Para determinar lamediana de datos no agrupados se ordenan, en primer lugar, de me-nor a mayor.

Palacios C. Severo

26

Datos agrupados: Ordenar algunas observaciones no agrupadas demenor a mayor y elegir el valor central representa poco trabajo. Sinembargo, si son muchas las observaciones siempre es un problemaordenarla y encontrar el punto medio. En cambio, en datos cuantitati-vos es posible clasificarla directamente en clases y hallar una aproxi-mación de la mediana en función de la distribución de frecuencia re-sultante.

La mediana se puede clasificar con la fórmula siguiente:

if

FnLMediana

2/

Donde:

L Límite inferior de la clase en que se ubica la medianan Cantidad de datosF Frecuencia acumulativa para la clase inmediata inferiorf Frecuencia en la clase mediai Amplitud del intervalo de clase

Ejemplo 1.8Ordene los valores por su magnitud, obtenga la mediana. 92,3 92,692,5 92,8 92,4.

Resulta ser la mediana 92,5

Moda

La moda es la única medida que se puede definir para caracteres cua-litativos. Se define la moda de una distribución como aquel valor quese ha presentado más veces, es decir, es aquel que su frecuencia abso-luta es máxima.

Si la distribución es agrupada en intervalos se habla de intervalo mo-dal.

Una moda en una distribución no tiene por qué ser única, puede habermás de una en una misma distribución, y entonces se habla de distri-buciones bimodales, trimodales, o en general plurimodales.

Datos no agrupados: El modo se define como el valor de la obser-vación que aparece con mayor frecuencia. Cuando existe solo un mo-


27

do, la distribución se llama unimodal, si existen dos valores que apa-recen con frecuencia, la distribución recibe la denominación bimodal.

Datos agrupados: El modo observado para datos agrupados enuna distribución de frecuencia es el punto medio de la clase en dondese encuentra el mayor número de frecuencia.

IX. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión nos van a informar sobre el grado de es-parcimiento de la distribución, es decir, nos van a decir si los valoresque aparecen están más o menos concentrados. Por tanto, nos vaninformar también sobre el grado de representatividad de la medida deposición, pues cuanto más concentrados estén los valores que toma lavariable mejor representará un solo valor a toda la distribución.

Varianza

La varianza es una medida de dispersión que mide el grado de espar-cimiento de una distribución alrededor de la media aritmética. Cuantomás grande sea la varianza más esparcidos estarán los valores de lavariable. La varianza se suele notar σ2 y se calcula:

iiii fXX

N

nXX²

²²

Al igual que en la media aritmética los Xi representan a los valores dela variable si es una distribución no agrupada y a las marcas de clasesi es una distribución agrupada en intervalos.

La varianza es la suma de las desviaciones de los valores de la varia-ble sobre la media aritmética ponderada por las frecuencias. Por lotanto, cuanto menor sea la varianza más agrupada estará la distribu-ción en torno a su media aritmética.

La varianza viene expresada en las mismas unidades que la variablepero al cuadrado.

Desviación típica

La desviación típica se define para obtener una medida de dispersiónque venga expresada en las mismas unidades que la variable. Se defi-ne como la raíz cuadrada de la varianza.

Palacios C. Severo

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²

Coeficiente de variación

Tanto la varianza como la desviación típica son medidas de dispersiónabsoluta, es decir, nos hablan de la dispersión de la variable que esta-mos estudiando, pero no nos permiten comparar la dispersión de dosdistribuciones distintas.

El coeficiente de variación es una medida de dispersión relativa quenos va permitir comparar dos distribuciones distintas, se define comoel cociente entre la desviación típica y la media aritmética.

XCV

El coeficiente de variación es un coeficiente adimensional y solo sepuede definir cuando la media aritmética es distinta de cero.Para comparar la dispersión de dos distribuciones basta con compa-rar sus coeficientes de variación, aquella que su coeficiente de varia-ción sea menor es la que esta más concentrada en torno a su mediaaritmética.


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Problemas

(1) Un operario que trabaja a jornal gana por mes US$ 150, otromes US$ 120 y otro mes US$ 140.¿Cuánto gana en promedio mensualmente?

(2) Los ingresos sobre ventas en una tienda comercial se evalúancada semestre. Los siguientes datos representan, los ingresos(en dólares) por cada mes: 300, 280, 350, 320, 290 y 325Determine el ingreso medio de la muestra.

(3) Durante dos semanas se ha observado la temperatura en °C almedio día, siendo los resultados:

12 10 14 18 9 8 108 9 11 10 11 10 11

Determine la temperatura media de la muestra.(4) Calcular la media de los datos agrupados:

Y 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50n 3 4 6 2 2 3 1 1 2 2 4

(5) Un grupo de micro empresarios, trabajan con obreros eventua-les. Ciertos días trabajan con seis, ocho y cuatro.En la mayoría de las veces trabajan con siete obreros, siendo entotal ocho micro empresas.Cuál es el promedio de obreros por micro empresa

(6) Supongamos que se han registrado 50 observaciones referentesa los pesos de 50 garrafas de gas licuado, la muestra fue obteni-da de la producción por hora y las unidades están dadas en ki-logramo9.8 9.3 9,5 9,2 9,4 9,2 9,3 9,3 9,5 9,49,2 9,3 9,5 9,3 9,4 9,3 9,2 9,1 9,3 9,39,4 9,5 9,4 9,4 9,2 9,4 9,6, 9,6 9,3 9,19,4 9,2 9,5 9,3 9,2 9,3 9,2 9,3 9,4 9,69,4 9,3 9,4 9,3 9,4 9,3 9,3 9,4 9,2 9,4Calcule el peso promedio de las garrafasSi el peso estándar es de 10 kilos cuanto de gas falta en prome-dio

(7) La temperatura registrada en un vivero, a cierta hora de un díacualquiera, en grados centígrados, fueron 30, 32, 39, 32, 33, 31,38, 37, 32 y 31.Determine la media en grados Fahrenheit.

(8) Un proyecto económico muestra que el consumo de alimentos deun barrio marginal de 350 personas es en promedio de US$ 120mensuales. Halle la media del gasto diario en alimentación.

(9) El ingreso percapite mensual en un país es US$ 250. El sectordel magisterio constituye el 60% de la población que percibe el

Palacios C. Severo

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2/5 del ingreso total. Calcule el ingreso medio por habitante delsector.

(10) Una empresa A tiene 80 empleados con un sueldo promediomensual de 180 dólares por empleado. La empresa B tiene 120empleados con un sueldo promedio mensual por empleado de200 dólares por empleado, calcular:Cuál es el sueldo promedio mensual de las dos empresas en con-juntoSe agrega una tercera empresa con 40 empleados y un sueldopromedio mensual de 250 dólares por empleado.¿Cuál es el sueldo promedio de las tres empresas en conjunto?

(11) Se compran 100 kilos de carne de res a 2,3 dólares por kilo, 50kilos de carne de cerdo a 2,8 dólares por kilo y 20 kilos de carnede cordero a 1,8 dólares por kilo. Un plato de Buffet tiene un cos-to de 8 dólares en donde se incluyen los tres tipos de carnes a ra-zón de 1:0,5:0,2 respectivamente.¿Determine el promedio de platos Buffet que podrán prepararsey cuanto de carne sobra?

(12) Una empresa industrial fabrica azulejos a 60 dólares por metrocuadrado, jarrones a 20 dólares la unidad y floreros a 5 dólarespor unidad. Un decorador desea adquirir dichos productos perocuenta tan sólo con 500 dólares y tiene un ambiente de 20 me-tros cuadrados.¿Determine el promedio de cada producto para la decoracióndel ambiente?

(13) Un proyecto minero posee cuatro ingenios auríferos. El ingenioA tiene una ley de cabeza de 8 gramos por tonelada y trabajan20 mineros. El ingenio B tiene una ley de cabeza de 4 gramospor tonelada y trabajan 12 mineros. El ingenio C tiene una leyde cabeza de 12 gramos por tonelada y trabajan 25 mineros. Elingenio D tiene una ley 2 gramos por tonelada y trabajan 25mineros.¿Determine la media aritmética y la media geométrica de la leyde cabeza?Si el costo real del oro es de 30,2 dólares por gramo.¿Evalué el costo de mano de obra, siend0 la relación de produc-ción de A=2B, C=5D, A=3D en cada ingenio?¿En que ingenio se trabaja a perdida?

(14) Se tiene sospecha de que en las aguas subterráneas las concen-traciones de nitritos superan las normas establecidas para lacrianza de peces, dicha concentración es de 0,03 mg NO2/l. Paratratar de verificar la sospecha, se midieron los niveles de nitritos


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en diez puntos aleatorios del acuífero y se obtuvieron los si-guientes datos.

0,02 0,05 0,03 0,05 0,04 0,06 0,07 0,03 0,04 0,03Estime el nivel de confianza al 90% que las concentraciones denitritos superan las normas establecidas para que sea factible laexistencia de vida piscícola en la zona.

(15) Los datos obtenidos de una muestra aleatoria simple de tamaño30 de la distribución X, porcentaje de incremento del contenidode alcohol en la sangre de una persona, después de ingerir cua-tro cervezas es.

2,41X 1,2s

Calcular un intervalo de confianza del 90% para el porcentajemedio de alcohol en la sangre de una persona, después de tomarcuatro cervezas.Si se calcula un intervalo de confianza del 95%, cual será el demayor o menor amplitud.

(16) El 2000 se reforestaron más de 3 millones de acres con dos milmillones de plantas de viveros. Una grave sequía durante las si-guientes estaciones mató a muchas de estas plantas. Se obtuvouna muestra de 1000 plantas y se descubrió que 300 estabanmuertas. Obtener un intervalo de confianza del 90% de la pro-porción de plantas del vivero muertas. Utilizar dicha informa-ción para estimar el número de plantas muertas en la población.

(17) La capacidad de los equipos de vidrio producido en una deter-minada empresa de vidrio tiene una distribución normal. Unamuestra aleatoria de 7 de ellas dio como resultado un varianzade 62 mililitros. Dar una estimación, mediante un intervalo deconfianza del 95% de la varianza de la capacidad del equipo devidrio que fabrica dicha empresa.

(18) Se quiere estudiar la eficacia de un tratamiento para eliminaruna bacteria de un pino. En una muestra aleatoria de 150 pinossometidos al tratamiento, 118 resultaron sanos. En otra muestraaleatoria de 130 pinos no tratados, los pinos sanos fueron 91.Construir un intervalo de confianza del 95% para la diferenciaen la taza de pinos sanos entre los tratados y los no tratados.A que conclusión llega respecto a la efectividad del tratamiento.

(19) Para estudiar el rendimiento de dos tipos de cereales se hacen 20determinaciones en parcelas donde se ha sembrado cereal del ti-po A y 18 determinaciones en parcelas con cereales tipo B con losresultados siguientes.

áreaKgX A /5,14 áreaKgsA /23,3

áreaKgX B /3,15 áreaKgsB /85,1

Palacios C. Severo

32

Son igualmente efectivos para el cultivo los cereales A y B al ni-vel de confianza del 90%

(20) Se realizó un estudio para comparar en lácteos el contenido desodio en el plasma y en leche. Se obtuvieron las siguientes obser-vaciones sobre el contenido de sodio (mili moles por litro de le-che), en 10 envases aleatoriamente seleccionadas.

Envase 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10LechePlasma

93147

104157

95142

81141

95142

95147

76148

80144

79144

87146

Hallar un intervalo de confianza del 95% de la diferencia mediade los niveles de sodio en los fluidos del lácteo

(21) En el departamento de control de calidad de una empresa, sequiere determinar si ha habido un descenso significativo de lacalidad de su producto entre las producciones de dos semanasconsecutivas a consecuencia de un incidente ocurrido durante elfin de semana. Deciden tomar una muestra de la producción decada semana, si la calidad de cada artículo se mide en una esca-la de 100, obtienen los resultados siguientes:

Semana I 93 86 90 90 94 91 92 96Semana II 93 87 97 90 88 87 84 93

Suponiendo que las varianzas de la puntuación en las dos pro-ducciones son iguales, construye un intervalo de confianza parala diferencia de medias al nivel de 95%.Interpreta los resultados obtenidos.

(22) Sospechamos que nuestro cromatógrafo está estropeado, y que-remos determinar si los resultados que nos proporciona son losuficientemente precisos. Para ello, realizamos una serie de 8mediciones del contenido de una solución de referencia que, sa-bemos, contiene 90% de un determinado compuesto. Los resul-tados que obtenemos son:

93,3 86,8 90,4 90,1 94,9 91,6 92,3 96,5Construir un intervalo de confianza al nivel de 95% para la va-rianza poblacional. ¿Qué conclusiones podemos realizar?

(23) Se ha hecho un estudio sobre la proporción de enfermos de cán-cer de pulmón detectados en hospital que fuman, obteniéndoseque de 123 enfermos 41 de ellos eran fumadores. Obtener un in-tervalo de confianza para dicha proporción. Estudiar si dichaproporción puede considerarse igual a la proporción de fuma-dores en la población si ésta es de un 29%.

(24) Para estudiar la efectividad de un medicamento contra la diabe-tes se mide la cantidad de glucemia en sangre antes y después dela administración de dicho medicamento, obteniéndose los resul-tados siguientes:


33

Antes 7,2 7,3 6,5 4,2 3,1 5,3 5,6Después 5,2 5,4 5,3 4,7 4,1 5,4 4,9

Estimar la reducción producida por el medicamento.(25) Eres el encargado de un departamento de producción en una

fábrica y recibes un lote de 2000 piezas necesarias para la fa-bricación de un artículo. Tienes la responsabilidad de aceptar orechazar el lote, si estimas que la calidad de éste no es suficiente.El fabricante te asegura que, en este lote, no hay más de 100 pie-zas defectuosas, pero decides tomar una muestra para estimarla proporción de las mismas.a) ¿Cuántas piezas decides examinar para que, con un nivel deconfianza del 95%, el error que cometas en la estimación de laproporción poblacional de defectuosas no sea mayor que 0.05?b) Si decides tomar una muestra de 100 artículos escogidos alazar en el lote y realizas el recuento de piezas defectuosas en es-ta muestra, encontrado 4 artículos defectuosos.Construye para la proporción de defectuosos en el lote, un inter-valo de confianza al nivel de 95% de confianza. ¿Se debe recha-zar el lote?

(26) Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente auna matriz de 15 estímulos fueron los siguientes:

448 460 514 488 592 490 507 513 492534 523 452 464 562 584 507 461

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmen-te, determine un intervalo de confianza para la media a un nivelde confianza del 95%.

(27) Se considera una población representada por una variante ε, desuerte que la media poblacional es igual a 25 y la varianza po-blacional es igual a 240. Supuesto extraídas muestras de tama-ño 100, muestreo aleatorio simple, determinar la probabilidadde que el estadístico media muestral, Ax, este comprendido entrelos valores 23; 55 y 28,1.

(28) La duración aleatoria de las unidades producidas de un artículo,se distribuye según la ley normal, con desviación típica igual aseis minutos. Elegidas al azar cien unidades, resulto ser la dura-ción media de 14,35 minutos. Elaborar el intervalo de confianzadel 99% para la duración media de las unidades producidas.

(29) Se estudiaron 40 muestras de aceite crudo de determinado pro-veedor con el fin de detectar la presencia del níquel medianteuna prueba que nunca da un resultado erróneo. Si en 5 de dichasmuestras se observo la presencia de níquel ¿podemos creer alproveedor cuando asegura que a lo sumo el 8% de las muestrascontienen níquel?

Palacios C. Severo

34

(30) La resistividad eléctrica de ciertas barras de aleación de Cromo-molibdeno es una variable N(12,5; 4,1).Un investigador acabade calibrar un aparato que mide dicha resistividad y para com-probar que lo ha hecho bien utiliza el sistema consistente en me-dir cuatro barras y aceptar que el calibrado es bueno si encuen-tra al menos un valor inferior y otro superior a 12,5.Determinar el nivel de significación del contraste que esta lle-vando a cabo. ¿Es sensible el contraste a una mayor o menordispersión de la variable resistividad?

(31) En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala deextroversión tienen una media de 32,7 puntos y una desviacióntípica de 12,64.a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo deconfianza, a un nivel del 90%, para la media de la población.b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el má-ximo error que podríamos cometer al tomar como media de lapoblación el valor obtenido en la estimación puntual.

(32) En una muestra aleatoria de 90 pacientes se mide el nivel deglucosa en sangre en ayunas. Se obtiene 132X mg/dl y s2=109.Construir el intervalo de confianza al 95%.

(33) Para evaluar una vacuna para la gripe se selecciona un grupode 200 individuos de riesgo. Se eligen 100 de ellos y se les sumi-nistra la vacuna; de ellos 10 pasan la gripe. Construir un inter-valo de confianza al 95% para la probabilidad de pasar la gripesi se esta vacunado. En los otros 100 pacientes sin vacunar lapasan 20. ¿Es eficaz la vacuna?

(34) Se analizan 9 zumos de fruta y se ha obtenido un contenido me-dio de fruta de 22 mg por 100 cc de zumo. La varianza poblacio-nal es desconocida, por lo que se ha calculado la desviación típi-ca de la muestra que ha resultado ser 6,3 mg de fruta por cada100 cc de zumo. Suponiendo que el contenido de fruta del zumoes normal, estimar el contenido medio de fruta de los zumos tan-to puntualmente como por intervalos al 95% de confianza.

(35) Una firma comercial encuesta a 100 individuos para conocer susopiniones sobre la elección de dos productos alternativos A y Brecientemente fabricados. El resultado de la encuesta arroja queel producto A lo han elegido 55 individuos y el producto B 45.Hallar un intervalo de confianza al 95% para la proporción deindividuos que eligen cada producto.

(36) En un proceso de fabricación de pilas alcalinas se sabe que suduración media es de 1100 horas y que dicha duración sigue unadistribución normal. El nuevo proceso busca reducir la disper-


35

sión de la duración de las pilas por lo que se hace necesarioconstruir intervalos de confianza para la citada dispersión concoeficientes de confianza 90% y 98%.Construir dichos intervalos a partir de una muestra de tamaño20 cuya dispersión es 2240 horas.

(37) Se sabe que la longitud de los diámetros de los tornillos fabrica-dos por una máquina sigue una distribución normal y se buscaun intervalo en el cual se encuentre la variabilidad de las longi-tudes de los tornillos fabricados por la máquina con una proba-bilidad del 80%.Construir dicho intervalo sabiendo que una muestra de 16 torni-llos presenta una variabilidad cuantificada en 30.

(38) Un granjero dispone de dos criaderos diferentes A y B con va-rias granjas cada una para la cría de pollos. Con el objetivo deestudiar la mortalidad de los pollos en las dos criaderos observael número de pollos muertos tomando una muestra de 4 granjasen el criadero A y otras 4 granjas en el criadero B obteniendo lossiguientes resultados:

Nº de pollos muertos en las granjas del criadero A: 16 14 13 17Nº de pollos muertos en las granjas del criadero B: 18 21 18 19

Suponiendo normalidad en los criaderos, se trata de estudiar sila mortalidad de los pollos puede considerarse diferente en losdos criaderos con un nivel de confianza del 95%.Resolver el problema bajo la hipótesis adicional de varianzasiguales en los criaderos.

(39) Al analizar 40 muestras de una aleación de bajo punto de fusiónde tipo “babit” se ha detectado ausencia de cadmio en 12 de ellas.Determinar un intervalo de confianza para la proporción demuestras de dicha aleación que no contienen cadmio.

(40) La cantidad de azufre encontrado en plantas secas de mostazasigue una distribución normal X. se ha observado una muestrade extensión 9 con los siguientes resultados

0,7 0,8 0,6 0,95 0,65 1 0,9 0,2 0,55.Si aceptamos como valor de σ el valor calculado de la desviacióntípica muestral S ,¿Cuál sería el tamaño mínimo de la muestra que habría de serconsiderada para que el intervalo de confianza al 95% para elnivel medio de azufre tenga una longitud inferior a 0,1?

(41) La pérdida de peso de un determinado producto dietético en 16individuos después de un mes fue (en kg):

3,2 2 2,5 3,3 5 4,3 2,9 4,13,6 2,7 3,5 4,2 2,8 4,4 3,3 3,1

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36

Determinar un intervalo de confianza para la varianza con nivelde confianza del 99%, si la pérdida de peso es aproximadamentenormal.

(42) Se consideran lo siguientes tiempos de reacción de un productoquímico, en segundos:

1,4 1,2 1,2 1,3 1,5 1,3 2,2 1,4 1,1Obtener un intervalo de confianza del 90% para el tiempo dereacción. Suponer la variable normal con desviación típica po-blacional conocida σ = 0,4.

(43) El tiempo, en minutos, que esperan los clientes de un determina-do banco hasta que son atendidos sigue distribución normal demedia desconocida y desviación típica igual a 3. Los tiempos queesperaron diez clientes elegidos al azar fueron los siguientes:

1,5 2 2,5 3 1 5 5,5 4,5 3 3Determinar un intervalo de confianza de coeficiente de confian-za 0,95, para el tiempo medio de espera.

(44) La duración en minutos de un determinado viaje es una variablealeatoria con distribución normal de media desconocida y des-viación típica igual a 3. En una muestra tomada al azar de diezrealizaciones del viaje en cuestión se obtuvieron los siguientestiempos:

10,1 6,5 5,5 7,9 8,2 6,5 7,0 8,1 6,9 7,7a) Realizar la estimación de máxima verosimilitud de la dura-ción media del viaje.b) Calcular la probabilidad de que, en valor absoluto, la diferen-cia entre media estimada la real sea menor que 1 minuto.

(45) Las velocidades de difusión del bióxido de carbono a través de laporosidad del suelo son distintas.

Arenoso 20 27 22 23 23 28 23 26 22 26 20 19 22Arcilloso 19 30 32 28 15 26 35 18 25 35

Comprobar si se puede afirmar que las velocidades de difusiónson distintas al nivel de confianza del 95%

(46) Una transformadora de productos lácteos recibe diariamente laleche de dos granjas. Se desea estudiar la calidad del productoacopiado, se extraen dos muestras al azar y se analiza el conte-nido en materia grasa, obteniéndose los siguientes resultados.

Granja A %7,8AX 22 %02,1As 33An

Granja B %9,10BX 22 %73,1Bs 27Bn

Se pide construir un intervalo de confianza del 95% para la dife-rencia del contenido medio en grasa de leche de ambas granjas.

(47) En una determinada raza de ganado vacuno los terneros incre-mentan 12 kg. de peso cada semana, en los primeros meses de


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vida. Para comprobar se sometió al pesado de ocho terneras alcumplir las cuatro semanas y posteriormente dos semanas.Ternero 1 2 3 4 5 6 7 8Peso 4 semanasPeso 6 semanas

130138

125140

128139

127141

129137

123137

131142

130142

Comprobar si la suposición es cierta calculando los intervalos deconfianza al 95% para la diferencia media de peso.

(48) Se ha realizado un estudio sobre la tasa de supervivencia depájaros adultos en trópico y en zonas templadas. Inicialmente semarcaron 500 pájaros adultos en las patas y se liberaron a unaregión tropical. Un año después, se volvió a capturar 445. Supo-niendo que los no recuperados fueron victimas de un depreda-dor, la tasa de supervivencia estimada de un año para los pája-ros adultos en la región es 0,80. Un experimento similar en otrazona templada, dio como resultado de 252 de los 500 pájaroscon una tasa de supervivencia estimada de 0,504.Hallar un intervalo de confianza del 90% de la diferencia en lastasas de supervivencia de un año para las dos zonas.

(49) Una muestra de tamaño 10 de una población de mujeres presen-ta una altura media de 172 cm. y una muestra de 12 varones deotra población presenta una altura media de 176,7 cm. Sabiendoque ambas poblaciones son normales con varianzas 225 y 256respectivamente, se trata de analizar si con una probabilidaddel 95% se puede asegurar que los varones son más altos en me-dia que las mujeres o viceversa.

(50) Los responsables municipales de la salud miden la radiactividaden el agua de una fuente natural en una zona abundante en gra-nito. Realizadas 12 mediciones en diferentes fechas del año seobservó una media de 3,6 picocurios con una desviación típicade 0,82.Determinar, al 95% y al 99%, intervalos de confianza para laradiación media y para la varianza.

(51) En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala deextroversión tienen una media de 32,7 puntos y una desviacióntípica de 12,64.a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo deconfianza, a un nivel del 90%, para la media de la población.b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el má-ximo error que podríamos cometer al tomar como media de lapoblación el valor obtenido en la estimación puntual.

(52) Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente auna matriz de 15 estímulos fueron los siguientes:

448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513,

Palacios C. Severo

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492, 534, 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye normalmen-te, determine un intervalo de confianza para la media a un nivelde confianza del 95%.

(53) De una población cuya distribución se desconoce se obtiene unamuestra aleatoria de 2000 valores en que la media muestral re-sulta ser 225 y la desviación típica muestral 10.Suponiendo que la varianza muestral coincida con la de la po-blación, estimar un intervalo para la media de la población conun nivel de confianza del 95%

(54) En una muestra de 100 personas de un barrio de Lima se haobservado una proporción de 0,18 personas que leen el periódicodiariamente. ¿Puede ser que la verdadera proporción de perso-nas que leen el periódico en ese barrio sea 0,20?


39

X. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

Otra cosa que los investigadores tratan de hacer con frecuencia esobtener inferencias sobre la población con base en los resultados deuna experiencia a partir de una muestra. El hecho de que 50 personasen una prueba prefieran el producto A al producto B por un margende dos a tres, es importante solo en la medida en que le permita con-cluir en que la población como un todo también prefiere el producto A.Esto es se llama inferencia estadística, tomar una decisión sobre lapoblación entera en base a las características de una muestra.

Para hacer una inferencia sobre la población, usted debe de aplicar unlímite de confianza o un intervalo de confianza al resultado que encon-tró en el estudio.

Ejemplo 1.9En un estudio X se encontró que el 30% de los informantes tienen co-nocimiento del producto A, es poco factible que exactamente el 30% dela población entera tenga ese conocimiento del producto A, pero lacifra de la población deberá estar cerca del 30%. Sí la muestra es losuficientemente grande y estuvo bien tomada. A la diferencia entre losresultados de la muestra y la población se la llama error muestral.

El intervalo que se conexa al resultado de la encuesta para estimar oinferir la cifra de la población se llama intervalo de confianza.

XI. DIFERENCIAS SIGNIFICATIVAS

A veces en un proyecto de investigación se propone comparar resulta-dos entre dos muestras. Las comparaciones más comunes son:

Dos o más subgrupos dentro de una misma muestra

¿Tienen las personas con ingresos superiores de US$ 10000, opinionesdiferentes de las que tienen las personas con ingresos por debajo deSus 10000? ¿Son distintas las evaluaciones de productos confecciona-dos por los varones a las evaluaciones hechas por las mujeres?

Muestras tomadas en diferentes puntos en el tiempo

¿Aumentó el conocimiento del producto durante el año pasado? ¿Es laparticipación en las Universidades mayor de lo que era hace cincoaños? Lo primero que usted hace, es observar los resultados en formasimple y directa.

Palacios C. Severo

40

Si las respuestas de los hombres y mujeres son iguales, usted no nece-sita de una prueba estadística adicional. Si la participación en lasUniversidades no ha cambiado desde hace cinco años usted ya tieneuna respuesta.

Pero si los resultados son distintos entre cualquiera de sus sub-gruposentonces usted tiene que confrontar dos preguntas básicas ¿Es la dife-rencia de los resultados tan pequeña como para sugerir que ésta pro-bablemente ocurrió por azar? está si usted repite la prueba. ¿Hay unabuena probabilidad de que el resultado sea el contrario? ¿Es el resul-tado lo bastante grande como para que probablemente sea el resulta-do de una verdadera diferencia? sí usted repite la prueba varias veces,¿Es muy factible que ésta resulte igual cada vez?

Antes de hacer una prueba estadística, usted debe tener una hipótesises decir una relación que usted querrá probar como verdadera o falsa.En estadística, usualmente se supone que dos poblaciones son igualeshasta que se pruebe lo contrario. Esto se llama hipótesis nula.

Empezamos con la hipótesis nula, si la diferencia entre dos muestrases lo bastante pequeña como para que fácilmente pudiera haber ocu-rrido por azar, entonces la hipótesis nula no puede ser rechazada yusted debe concluir que la diferencia entre las dos muestras no es es-tadísticamente significativa al nivel de significación del 95 por ciento(o cualquier nivel de, significación que usted elige). En cambio, si ladiferencia en los resultados de la toma de datos es tan grande que noes factible que esto haya ocurrido por azar, usted rechaza la hipótesisnula y concluye que la diferencia entre las dos muestras es estadísti-camente significativa al nivel de significación del 95 por ciento.

Además de estas medidas de la diferencia en dos muestras, hay otraspruebas estadísticas que son útiles para evaluar diversas clases deresultados.

XII. DISPERSIÓN DE LOS DATOS PROBLEMAS

La varianza mide la dispersión de los datos con respecto a la mediaaritmética y la desviación estándar es simplemente la raíz cuadradapositiva de la varianza. Daremos las definiciones para su aplicación.

Datos no agrupdos: La varianza también se basa en desviaciones apartir de medias. Para hallar la varianza a de un producto, se eleva alcuadrado las desviaciones a partir de las medias 2XX , luego también


41

se suman 2 XX y se promedian dividiendo por el número total deproductos, o sea n.

n

XXi

2

Como la media verdadera no se conoce prácticamente, la desviaciónestándar verdadera es una magnitud teórica. Sin embargo a puedeobtenerse aproximadamente a partir de la desviación estándar esti-mada S(X).

1

2

n

XXXS i

En el análisis estadístico se utiliza una cantidad denominada gradosde libertad que designaremos para el futuro como GL. Esta cantidadpermite tener en cuenta y corregir, desde el punto de vista matemáti-co, las restricciones impuestas a los valores. En este caso al calcular ladesviación estándar, el número n de observaciones ésta fijado y ladesviación estándar estimada se puede calcular a partir de la media.De la n observaciones sólo n-1 pueden variar, el último valor quedadeterminado por X y n. Por lo tanto al estimar la desviación estándara partir de una muestra de la población de datos, solo hay n-1 gradosde libertad. Elevando al cuadrado la desviación estándar estimada setiene la varianza estimada 2XS .

Ejemplo 1.10Se han realizado cinco análisis de un producto para determinar laconcentración de un componente X. Los resultados fueron: 98 97,7 8796 y 93 32,94X

54,45

6,4719396877,9798 222222

XS

Datos agrupados: Para ilustrar el cálculo de la desviación estándarpara datos agrupados veamos los siguientes jornales de obreros. Enprimer término se hallan los puntos medios X de cada clase de jornal.Luego se eleva al cuadrado las 2XX se multiplican por el número ade-cuado de frecuencia de clase para dar 2

Xf .

Palacios C. Severo

42

22

Xn

fXXS

Jornal (US$) Cantidad (f) X 2X

2Xf Xf

3 a 55 a 77 a 9

253

468

163664

32180192

83024

Total 10 404 62

$4,110

62

10

4042

USXS

La desviación estándar puede emplearse como denominador comúnpara colectar la dispersión de las dos distribuciones y la representati-vidad de las dos medias.

Otra aplicación es la desviación estándar como instrumento de análi-sis se da en su relación con la media de una distribución normal. Unarelación se halla en función del porcentaje de observaciones dentro deuna desviación estándar debajo de la media y una desviación estándarincluye un 95% de las observaciones. La )(3 SX incluye alrededor de99,7% de las observaciones.

Desviación media

Otra medida de la dispersión de los valores es la desviación mediareal, se trata simplemente de la media aritmética de las desviacionesde las medias sin tener en cuenta lo siguiente:

iXXmd

n

medianaX

Para una desviación normal, la desviación estándar verdadera esaproximadamente igual 1,25 veces la desviación media.

Ejemplo 1.11Calcular la desviación media del ejemplo 1.10.

md = 3,456

La dispersión de los resultados será ±3,456


43

Problemas

(55) Calcule el valor medio, mediana y moda de la siguiente distribu-ción de datos:

X Y110 -119

100 – 10990 – 9980 – 8970 – 7960 – 6950 – 5940 – 4930 – 3920 – 2910 - 19

1025

101394501

(56) Se recibe materia! de dos fuentes de abastecimiento. Los análisisde muestras provienen de las dos fuentes que se indican a conti-nuación. Se desea saber si se justifica que existe diferencia entrelas dos fuentes.

Fuente 1 85 74 76 88 73 84 77Fuente 2 79 71 75 77 79 77 78

(57) El análisis de gas natural indica el siguiente concentrado de CO2

en volumen: 24,6 23,7 23,4 23,8 24,1 23,9¿Calcule el intervalo de confiabilidad de la media verdadera?

(58) En una refinería de plata, se analiza el contenido de plata en losresiduos para establecer su concentración en los lingotes. Lasmuestras obtenidas durante dos turnos dieron los resultados.

Hora 1 2 3 4 5 6 7 8Turno 1 89 92 98 97 98 97 97 98Turno 2 87 87 97 97 97 98 97 97

Trate de saber si la diferencia entre los análisis de los dos turnoses significativa.

(59) La información obtenida de cuatro reactores químicos diferen-tes, acerca del efecto de la temperatura sobre cierta reacción esla siguiente:

Temperatura(°C)

Rendimiento del reactor1 2 3 4

800900980

10,410,912,1

12,910,811,6

11,710,612,8

13,513,510,2

Determinar mediante análisis de varianza de dos caminos, si lavarianza entre los reactores y entre la temperatura es altamentesignificativo.

(60) Un fabricante de hipoclorito sabe que la cantidad de cloro con-tenido en su producto decrece con el tiempo y eventualmente se

Palacios C. Severo

44

estabiliza en torno al 0,3%. El fabricante desea estimar la canti-dad de cloro en el hipoclorito para un tiempo dado, con el fin deinformar a los vendedores y retirar el producto caducado. Paraello se analizan sobre los porcentajes de cloro disponible porunidad de producto restante de 8 a 42 semanas después de fa-bricado.

Semanas desde lafabricación Cantidad disponible de cloro (%)

81012141618202224262830323436384042

0,490,480,460,450,440,460,420,410,420,410,410,40,410,400,410,400,390,39

0,490,470,460,430,430,450,420,410,400,400,400,400,40

0,380,40

0,480,450,430,43

0,430,400,400,41

0,38

0,470,43

Realizar el análisis de regresión y anotar la ecuación del modelolineal, el coeficiente de correlación.

(61) Se sabe por experiencia, que el incremento de peso de los em-briones de pollo al transcurrir el tiempo sigue la ley de tipo ex-ponencial.En un experimento se obtuvieron los pesos (gramos) de un em-brión desde el sexto día de su nacimiento hasta e decimosextoque aparecen a continuación.

Día 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Peso 0,02 0,05 0,07 0,13 0,18 0,26 0,43 0,74 1,13 1,88 2,81

Crear una tabla con la variable días y peso con datos anteriores.Realizar un análisis de regresión para comprobar que valoressiguen la ley exponencial.Gráfique los datos y la línea de regresión ajustada.Estime el peso de un pollo a los 7,5 a los 16 y a los 18 días de sunacimiento. Justificar si alguna de las estimaciones obtenidas espoco fiable.

(62) En la siguiente tabla se refiere al número Y de bacterias porunidad de volumen presentes en un cultivo después de X horas.

X 0 1 2 3 4 5 6Y 32 47 65 92 132 190 275


45

Ajustar los datos a una curva del tipo Y = aXb

Calcular los valores del coeficiente de correlaciónVisualizar la línea de regresión y los datos obtenidosEstimar el valor de Y para un valor de X = 3,5

(63) La tabla adjunta muestra cinco observaciones de un fenómenocinético

U 103 102 10 1 0,1T 0 1 2 3 4

El investigador sugiere un modelo de ajuste del tipo U = ke-bT

Estimar los parámetros k y b.(64) La presión de un correspondiente a diferentes volúmenes V se

dan en la tabla.V (cm³) 50 60 70 90 100P (Kg/cm²) 60 54 46 24 10

Obtenga por regresión el coeficiente de correlación de los mode-los lineales, exponenciales y cuadráticos.

(65) En una reunión medica se probo con una droga fue tomada por14 personas, de las cuales 6 lo hacen por primera vez y 8 ya sonhabituales de ella. La droga produjo en el primer grupo sueñosde duración 11, 12, 13, 16, 17 y 15 horas, mientras que en el se-gundo grupo 8, 7, 9, 10, 6, 7, 9 y 8 horas.a) Media y desviación típica de cada grupob) Formar el estadístico que se distribuye según una t de Studentde 12 grados de libertad, sabiendo que las poblaciones tienen lamisma media y desviación típica.

(66) Según una encuesta realizada sobre una muestra de 2500 per-sonas elegidas al azar, el 80% está decidido a votar en las últi-mas elecciones.a) ¿Puede ser cierto que llegue a votar el 85% de la población?b) Con un 99% de nivel de confianza ente qué valores estará elporcentaje de los votantes de la población

(67) Suponga que de una población consistente en los valores 0, 2, 4,6 y 8, se toman muestras de tamaño 2 con reemplazo.

X Frecuencia Frecuencia relativa02468

11111

1/5 = 0,21/5 = 0,21/5 = 0,21/5 = 0,21/5 = 0,2

Demostrar que es razonable aproximar la distribución muestralde por una distribución normal, una vez que se conoce la mediay la desviación estándar de la distribución muestral.

(68) En un experimento de laboratorio se mide el tiempo de unareacción química. Se ha repetido el experimento 98 veces y se

Palacios C. Severo

46

obtiene que la media de los 98 experimentos es de 5 segundoscon una desviación de 0,05 segundos. ¿Cuál es la probabilidadde que la media poblacional m difiera de la media muestral enmenos de 0,01 segundos?

(69) Se establece un control de calidad para un proceso de produc-ción de balas. Se ha dispuesto que cuando el proceso está bajocontrol, el diámetro de las balas es de 1 cm., con una desviacióntípica de 0,003 cm. Cada hora se toman muestras de nueve ba-las y se miden sus diámetros. Los diámetros de media de diezmuestras sucesivas, en centímetros, son:

1,0006 0,9997 0,9992 1,0012 1,00081,0012 1,0018 1,0016 1,0020 1,0022

Establecer cuáles son los límites de control y explicar qué con-cluyes sobre el proceso de producción en estos instantes.

(70) Un investigador quiere estimar la media de una poblaciónusando una muestra suficientemente grande para que la proba-bilidad de que la media muestral no difiera de la media pobla-cional en más del 25% de la desviación típica sea 0,95. Hallar eltamaño de muestra necesario.

(71) La efectividad en días de un determinado antibiótico, sigue unadistribución normal de media 14 días y desviación típica desco-nocida. Fue administrada a 16 enfermos, obteniéndose una des-viación típica muestral de 1,4 días. Determinar la probabilidadde que la efectividad media en la muestra no supere los 3 días,que es el tiempo mínimo de efectividad requerido.

(72) Se realiza un análisis de la duración de 40 pilas alcalinas obte-niéndose los siguientes resultados:

Duración Xi Frecuencia absoluta nj

1,55 – 1,951,95 – 2,452,45 – 2,952,95 – 3,453,45 – 3,953,95 – 4,454,45 – 4,95

214151053

Ajustar las duraciones de las pilas alcalinas a una distribuciónnormal con media 3,5 y desviación típica 0,7.

(73) Un estudio de genética con reses consistió en varios machosapareados con grupos separados de hembras.Cuando nacían terneros, se usaban en un estudio de pesos here-ditarios. En la siguiente tabla se presentan los pesos al nacer deocho terneros de cada uno de los cinco grupos de apareamiento.

Macho Peso al nacer177 61 100 56 113 99 103 75 62


47

200201202203

75585759

102605646

956067

120

1035759115

985758115

1155912196

9854101105

9410010175

Escriba el modelo lineal, explique cada término, calcule el análi-sis de varianza y muestre los cuadrados medios esperados.Pruebe la hipótesis nula Ho: σ2 = 0 para los machos.

(74) Los datos del ejercicio 3.5 corresponden a las concentraciones decolesterol en análisis de laboratorio a 2 muestras de cada uno de8 pacientes.Suponga un modelo aleatorio para el estudio. Escriba el modelolineal, explique cada término, calcule el análisis de varianza ymuestre los cuadrados medios esperados.Estime las componentes de la varianza para pacientes y mues-tras y determine intervalos de confianza medios al 90%.

(75) Un patólogo de plantas tomó cuatro muestras, de 3 libras cadauna, de lotes de 50 toneladas de semilla de algodón acumuladaen varias cosechas durante la temporada de limpia. Las mues-tras se analizaron en el laboratorio para buscar aflatoxin, quees una toxina producida por organismos asociados con las semi-llas.A continuación se proporcionan las concentraciones de aflatoxinen partes por billón para las muestras de ocho lotes.

Lote Afloxin (ppb)3469 – 723849 – 523721 – 243477 – 803669 – 723873 – 763777 – 803461 - 64

3956642938112310

571383556649011

6325882153345

23

6631715181102037

(76) Suponga que los lotes y sus muestras son efectos aleatorios. Es-criba el modelo lineal para el estudio, explique los términos, cal-cule el análisis de varianza completo y muestre los cuadradosmedios esperados.

(77) Piense en problemas de investigación en su área de interés querequieran muestras (u observaciones) de la unidad experimentaldebido a que no sea posible medir la unidad en su totalidad.Escriba un modelo lineal para su estudio; identifique los térmi-nos y bosqueje el análisis de varianza, muestre las fuentes de va-riación, los grados de libertad y los cuadrados medios espera-dos.

(78) Se realizó en conjunto un estudio sobre cartuchos para filtradode partículas de alta energía, usados en respiradores comercia-

Palacios C. Severo

48

les para protección contra partículas de materia. Una pruebaespecífica incluyó tres filtros elegidos al azar de cada uno de dosfabricantes, se hicieron tres réplicas de prueba independientesde cada filtro, las medidas fueron el porcentaje de penetraciónpor medio de una prueba estándar de aerosol.

Fabricante I Fabricante IIFiltro 1 2 3 4 5 6

1,121,101,12

0,160,110,26

0,150,120,12

0,910,830,95

0,660,830,61

2,171,521,58

Escriba un modelo lineal para este estudio, explique los térmi-nos, calcule el análisis de varianza y muestre los cuadrados me-dios esperados.Pruebe la hipótesis de que no existen diferencias entre la pene-tración porcentual promedio de los filtros de los dos fabricantes.Calcule las medias, sus errores estándar y las estimaciones delintervalo de confianza de 95% para las medias de cada fabrican-te.

(79) Un científico de suelos estudió el crecimiento de plantas de ceba-da en tres niveles diferentes de salinidad en un medio controla-do. Tenía dos contenedores réplica de cada tratamiento, en undiseño totalmente aleatorizado y midió tres plantas de cada ré-plica. Los pesos en seco de las plantas, en gramos, son los si-guientes:

Salinidad Contenedor Peso (g)Control

6 barras

12 barras

123456

11,297,375,644,204,833,28

11,086,555,983,344,772,16

11,108,505,694,215,662,69

Escriba un modelo lineal para un análisis de datos, explique lostérminos, calcule el análisis de varianza y muestre los cuadra-dos medios esperados.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias delos niveles salinos.Calcule el error estándar de una media de nivel salino.Haga una partición de las sumas de cuadrados para la salini-dad en dos sumas de cuadrados polinomiales ortogonales (linealy cuadrática), cada una con 1 grado de libertad y pruebe la hi-pótesis nula de que no hay regresión lineal o cuadrática.

(80) El índice de porosidad es una medida usada por los científicos desuelos para ayudar en la predicción del movimiento, almace-namiento, disponibilidad del agua y las condiciones de oxigena-


49

ción del subsuelo. Un científico de suelos usó un diseño de mues-treo especial para tomar muestras del suelo de una de las gran-jas experimentales de la universidad para medir el índice de po-rosidad del suelo. Se hizo una partición de la granja en camposde aproximadamente 4 hectáreas, cada una con 8 secciones. Elplan de muestreo incluyó una selección aleatoria de los camposdentro de las secciones. A continuación se presenta el índice deporosidad de cada sub muestra:Campo Sección Porosidad Campo Sección Porosidad

1

2

3

4

5

6

7

8

12345678910111213141516

3,8465,6295,0874,6214,4113,3573,9915,7665,6773,3334,3554,9402,9834,3965,6033,683

3,7122,021

6,2924,810

9

10

11

12

13

14

15

1718192021222324252627282930

5,9425,0145,1434,0613,8354,5844,1934,1253,0743,4833,8674,2126,2474,730

2,9644,398

Suponga que todos los efectos son aleatorios. Escriba un modelolineal para el estudio, explique cada término, calcule el análisisde varianza para los datos y muestre los cuadrados medios es-perados.Estime las componentes de la varianza para campos, secciones ymuestras.

Palacios C. Severo

50

XIII. DISTRIBUCIONES

Al tratar con grandes cantidades de datos, es conveniente ordenarlosde tal manera que la frecuencia de la aparición de rangos de valoresdados, puedan ser tabuladas y graficadas.

Este ordenamiento se realiza estableciendo rangos llamados interva-los de clase la frecuencia relativa de los intervalos de clase se denomi-na distribución empírica y se utilizan para estimar las distribucionesteóricas.

Ensayos estadísticos

Existen varios tipos de ensayos estadísticos que se emplean para de-terminar si la diferencia entre dos conjuntos de valores es real y signi-ficativa o a errores azarísticos.

Ensayo t

La distribución t de Student aparece al comprobar la hipótesis de lamedia de una totalidad general de distribución normal siendo incógni-ta la varianza.

2

1

²1

2

2

1

)(

n

N

X

na

n

Xf

Ejemplo 1.12Consideremos los datos del ejemplo 1.10, se trata de saber si la dife-rencia entre el valor medio y el supuesto valor medio 96 es significati-va.

4

:

54,4

03,2

32,94

GL

Hipótesis

XS

XS

X

o

82,0

XS

Xt o


51

El valor tabulado de t para un nivel de significación del 99% y 4 GL, esigual 3,75, como el valor calculado de t es inferior al valor tabulado, lahipótesis no es rechazada.

Chi-cuadrado

Esta prueba puede utilizarse para comparar los resultados de unaencuesta con frecuencia teórica o esperada.

´

´ 2

2

f

ffX

Ejemplo 1.13La alimentación de flujo continuo que se realiza a cuatro reactoresindustriales que han sufrido un total de cuarenta fallas durante unaño, la distribución de las fallas, por bombas fue:

Bomba 1: 16Bomba 2: 9Bomba 3: 6Bomba 4: 9

El capataz de mantenimiento sostiene que la bomba 1 ha sufrido unnúmero excesivo de fallas, en comparación con los resultados poste-riores se trata de saber si esta afirmación es justificada.

Como hay cuatro categorías posibles de números y como el númerototal está dado, el número de GL es tres. Esto corresponde a un núme-ro de probabilidades aproximadamente igual a 0,25 e indica que, sitodas las bombas operan en las mismas condiciones, el valor del Chi-cuadrado sería de 5,4 es decir una vez cada cuatro, por la sola accióndel azar. Por lo tanto la probabilidad que la hipótesis de mantenimien-to esta equivocado es del 25 por ciento en la población, La prueba pue-de usarse siempre que los resultados, las respuestas o los encuestado-res se pueden organizar en varias categorías.

Distribución F

El análisis de varianza que se realiza mediante el ensayo F permite laseparación de la varianza total de un proceso, en sus componentes.

Con el ensayo F el número de GL correspondiente a las dos varianzasno necesita ser idénticas.

Palacios C. Severo

52

La mayoría de los textos de estadística tabulan valores de F para losniveles de probabilidad 0,05 y 0,01. El número de GL, con la varianzaen el numerador, se indica normalmente en la parte superior de latabla, mientras que el número de GL con la varianza en el denomina-dor se encuentra en la columna de la izquierda.

Ejemplo 1.14Para un ensayo de laboratorio de rutina, se ha propuesto un procedi-miento analítico simplificado. Es necesario determinar si el procedi-miento propuesto arroja los mismos resultados que el convencional, esdecir, si los valores medios de un ensayo por duplicado son iguales y sila precisión del ensayo propuesto es igual al antiguo.

Convencional Propuesto89,789,689,589,689,8

89,889,689,489,590,089,789,2

013,0)(

4

64,89

21

1

XS

GL

X

07,0)(

6

6,89

22

1

XS

GL

X

Los valores medios de las muestras con los dos métodos son similarespero la diferencia con la varianza es significativa al nivel del 0,05 deprobabilidad. Consultado la tabla de valores F indica el valor de 6,2para el nivel de probabilidad correspondiente y el número de GL exis-tente.

Para determinar si los valores de varios conjuntos de medición, esnecesario el cálculo de varianza de los valores medios de los conjuntos.Si la varianza de los valores medios es sólo normal resulta.

Ejemplo 1.15Tres reactores ubicados en diferentes lugares, que emplean sin em-bargo el mismo proceso. Se desea saber si los valores medios corres-pondientes a los tres reactores son similares.

Entre valores medios

825,32 XS


53

Entre conjuntos

3988,02

XS

59,92

2

XS

XSF

Reactor 1 2 310,410,011,811,2

11,612,412,911,9

9,8010,910,410,1

Suma de conjunto 43,4 48,8 41,2Media 10,85 12,2 10,3

61,1490/2 KSC

96,1482/2 KX

2,14922X

La tabla F para los GL establecido indica los valores de 4,26 y 8,02respectivamente. Como el valor calculado es mayor que el valor tabu-lado, se concluye que los valores medios de los tres reactores son signi-ficativamente diferentes.

Logaritmo normal

La distribución logarítmica normal es de amplio uso en la física esta-dística, geología estadística, estadística económica, biología.

Logística

La función de distribución se diferencia un poco de la función normalde distribución, se utiliza en las investigaciones médico-biológicaspara analizar la eficiencia de diferentes medicamentos, nutrientes,venenos, etc.

Pareto

La distribución de Pareto encuentra amplia aplicación en los proble-mas de la estadística económica.

Weibull-Gnedenko

Se usa con frecuencia en la teoría de fiabilidad para describir el tiem-po de funcionamiento sin fallo de los instrumentos.

Palacios C. Severo

54

Pearson

Se usa ampliamente en la estadística matemática para suavizar lasdistribuciones de los datos empíricos.

XIV. INTERVALOS DE CONFIANZA

El desarrollo del análisis estadístico implica la determinación teóricade la distribución de ciertos valores, como el valor medio, la desvia-ción estándar y la varianza, que se puede esperar si sólo actúa al azar.La teoría estadística constituye una herramienta poderosa, para de-terminar, en un grado razonable de certidumbre, si las diferenciasobservadas son debidas al azar. Por definición:

Reordenando Intervalo de confianza

Xn

Z

nXZ

/

Por lo tanto, para un cierto nivel de probabilidad que determina elvalor de Z, puede afirmarse que el intervalo de confiabilidad de es-tará dado por,

n

ZX

n

ZX

Si no se conoce la desviación estándar verdadera, aún puede determi-narse un intervalo de confiabilidad. Esta estimación utiliza la distri-bución t en lugar de la distribución Z porque el concepto t incluye lavariación adicional introducida por la estimación de la desviaciónestándar, reordenando:

n

XtSX

n

XtSX

Ejemplo 1.16Establecer el intervalo de confiabilidad para la media verdadera delos datos del ejemplo 1.10.

6,4

78,2

54,4

4

99,0

95,0

t

t

XS

GL


55

Nivel Intervalo

%95 68,8896,995/54,478,232,94 y

%99 94,8465,1035/54,460,432,94 y

Se observa que para un nivel de confiabilidad del 95% será más co-rrecto afirmar el resultado del análisis como ± 5,64 por ciento en lu-gar de 94,32%.

XV. MUESTREO

Nadie necesita beber todo un vaso de leche dañada para poder decirque esta mala - una muestra es suficiente.

Realizar un muestreo es más barato y más rápido que hacer un censode toda una población. Y en la mayoría de los casos, desde luego, to-mar una muestra es la única alternativa factible para la investigaciónsimplemente no es práctico pensar siquiera en encuestas a toda lapoblación. Pero si la muestra se desarrolla con propiedad, ésta puedeproporcionar suficiente precisión para propósitos de toma de decisio-nes.

El muestreo en la investigación requiere estas dos dimensiones:

a) Seleccionar las unidades de la población que se incluirá en el es-tudio.

b) Interpretar los resultados del estudio con el fin de estimar losparámetros de la población a partir de los datos de la muestra yprobar hipótesis, usualmente sobre la diferencia entre dos mues-tras o entre una muestra y un resultado esperado.

XVI. MÉTODOS DE MUESTREO

Hay dos grandes métodos de muestreo: Probabilístico y no probabilís-tico.

a) Muestreo probabilístico

Este es el tipo de muestreo más objetivo y científico. Un requisito delmuestreo probabilístico es que cada unidad en la población tenga unaprobabilidad igual y conocida a ser seleccionada para la muestra. Elcriterio de investigador no debe influir en la selección de los informan-tes. Hay varias formas de muestreo:

Palacios C. Severo

56

Muestreo simple al azar

Es el tipo más básico. Implica seleccionar informantes completamenteal azar; es tal como si los nombres se sacarán de un sombrero. Ob-viamente, esto requiere un marco de muestreo perfecto; es decir, unalista completa de todas las unidades en el universo.

Muestreo estratificado al azar

Implica primero agrupar la población en segmentos homogéneos yluego hacer el muestreo de datos de cada segmento o estrato.

Muestreo de agregados

Implica tomar muestras de grupos de entrevistados como unidad y nocomo elemento individual. Con el fin de lograr eficiencia en entrevistasde muestreo a muestreo.

Muestreo sistemático

Se incluye cada n-ésimo elemento de la población en la muestra. Estees un procedimiento común que se puede combinar con un muestreo deagregados y muestreo estratificado.

La ventaja principal del muestreo probabilística es su precisión. Es elmejor camino para desarrollar una muestra que sea perfectamenterepresentativa de la población. El muestreo probabilística tiene variasdesventajas importantes que resulta su utilización amplia:

a) Para seleccionar una muestra probabilística es necesario teneruna lista o un marco de muestreo, correspondiente a toda la po-blación.

b) A pesar de los mejores intentos de muestreo, los errores de norespuesta pueden afectar la precisión del resultado.

c) El muestreo probabilística es muy costoso de realizar, es espe-cial para estudios de muestra a muestra.

Errores

Si bien es cierto que buenos métodos de muestreo pueden producirresultados muy costosos, ninguna muestra es absolutamente precisa.


57

Ejemplo 1.17Supongamos que una muestra probabilística local indica que el 40%de los hogares entrevistados se tiene un gato para erradicar las ratastransmisoras del virus Hanta. Es poco probable que un censo de todoslos hogares revele que exactamente en el 40% de ellos haya un gato. Sila muestra original fue bien tomada, bien ejecutada y fue suficiente-mente grande hay una buena probabilidad de que el número real dehogares con gatos, revelado al censo esté cerca del 40%; pero proba-blemente no será exacta mente esa cifra.

Estos errores o diferencias entre los resultados de la encuesta y lascifras comparables de la población, viene de dos fuentes: factor demuestreo y factor no muéstrales.

Error de muestreo

En el ejemplo 1.17 sobre posesión de gatos es posible medir el errormuestral del estudio y anexar un límite de confianza a la cifra de laencuesta, a fin de estimar los datos de la población total.

Supongamos que el estudio sobre la posesión de gatos ha utilizado unamuestra probabilística de 1000 hogares. En este caso la cifra de 40por ciento de poseedores de gatos tendría un intervalo de más o menos3 por ciento a un nivel de confianza del 95 por ciento. En otras pala-bras las probabilidades son 95 en 100 de que el intervalo de confianzaincluya el verdadero porcentaje de hogares que poseen gatos, en lapoblación total.

Eso es el error de muestreo: el intervalo que debe anexarse a cualquierresultado de una encuesta, debido a que proviene de una muestra.

Las muestras grandes tienen menos errores de muestreo que las mues-tras pequeñas.

Error no muestral

La importancia y el impacto del error no muestral generalmente sonsub-estimados por los investigadores, Entre los errores no muéstralesse pueden mencionar lo siguiente:

a) Incapacidad de localizar informantes correctos.b) Negativa de los informantes a empezar la investigación.c) Terminación de la encuesta por los informantes durante la in-

vestigación porque consideran que es muy larga, muy tediosa.

Palacios C. Severo

58

d) Mentiras intencionales de los informantes.e) Mala memoria, suposiciones insesgadas.f) Mal entendimiento del procedimiento.g) Manipulación por parte del investigador.h) Sesgos introducidos por el investigador.i) Errores de anotación.j) Errores de codificación.

Es decir, la precisión de los mejores métodos de muestreo probabilísti-co pueden anularse por algún problema de alguna de estás áreas. Sinembargo, el impacto de estos errores potenciales no muéstrales enmayor parte se pasa por alto en todo muestreo. Para solucionar loserrores muéstrales, consiste básicamente en una planeación cuidadosay una atención estrecha a los detalles de realización del proyecto.

Error en la predicción

En un diagrama de dispersión en el que no todos los puntos caen en lalínea de regresión. Si todos los puntos hubiesen caído sobre la recta ysi la cantidad de observaciones hubiera sido lo suficientemente gran-de, no se habría dado error en la predicción del proceso. La predicciónperfecta es prácticamente inexistente. Aún en los casos que nos ocupa,existen factores que no son de predicción perfecta, quizás se deba acausas de imperceptibilidad en la composición de los factores.

Lo que necesita, entonces, es una medida que pudiera indicar hastaqué punto es precisa la predicción de Y, basada en X, o viceversa, cuánimprecisa podría ser. Esta medida se llama error de estimación.

2

2

N

YYS

p

yx

Syx representa la desviación estándar de las Y sobre la base de las X.

Esta medida de error es similar a la desviación estándar que mide ladispersión alrededor de un promedio; el error de la estimación mide ladispersión alrededor de una línea promedio, llamada línea de regre-sión.

b) Muestreo no probabilístico

Existen tres tipos de muestreo no probabilística:


59

Muestreo por conveniencia

Deja la selección de los informantes primordialmente a los investiga-dores.

Muestreo por criterio

Implica seleccionar únicamente cierto tipo de informantes para parti-cipar en el estudio.

Muestreo por cuotas

Se estructura la muestra de tal modo que incluya números específicosde informantes con características que se sabe o se cree que afecta altema de la investigación.

XVII. TOMA DE DECISIONES

Los ejecutivos de muchas empresas están empezando a tomar en seriola importancia de las aproximaciones cuantitativas en la toma de de-cisiones.

Este es un cambio importante. Así probablemente no es por puro acci-dente que el tema esté ganando importancia en la gestión empresarial- investigación - consultoría.

El énfasis se debe a las herramientas estadísticas que reducen la incer-tidumbre de la toma de decisiones, con problemas que pueden ser par-cialmente estructuradas.

Estas herramientas intentan ir más allá que simplemente proporcio-nen información del que tome la decisión. El fin es el de ayuda a que sepueda alcanzar una decisión reconociendo, por supuesto, el juicio pro-fesional.

Los problemas que se ajustan bien a los sistemas de toma de decisionesson aquellas en las que existe suficiente estructuración de forma quelas ayudas analíticas sean de gran utilidad requiriendo siempre eljuicio del profesional.

Un aspecto muy importante de toma de decisiones es que se da la efec-tividad más que la eficiencia. Entonces hay que aumentar el número

Palacios C. Severo

60

de posibles soluciones para que el ejecutivo pueda mejorar la efectivi-dad de una decisión.

El informe sobre evaluación de los distintos resultados para la tomade decisiones como un punto clave para la implementación de los gru-pos de trabajo que han de compartir la información. Distinguiendoespecialmente las tareas administrativas - gestión de calendario -planificación - agenda.

Principios de decisión

Cuando existe una situación en el cual se pueden distinguir dos o másalternativos, una decisión consiste en seleccionar una de estas alterna-tivas de acción excluyente el otro a los otros.

Con esta definición podemos proceder a examinar el proceso completode toma de decisiones, el cual puede concebirse integrando por lassiguientes etapas:

a) Recolección de datos.b) Establecimiento de alternativas.c) Asignación de medidas de utilidad para cada alternativa en re-

lación con algún criterio de efectividad.d) Decisión (selección de una alternativa).e) Aplicación de la alternativa.

Este proceso de complemento general, podría descomponerse en deci-sión de diseño y operativo y para dicho propósito, decisiones persona-les.

Ejemplo 1.18Consideremos un proceso de una persona que está próximo a salir desu casa, para ir al trabajo un día cualquiera de agosto y desea deter-minar si ponerse abrigo y, en tal caso cual de ellos.

Recolección de datos

Nuestro individuo se asoma a la ventana y observa que el sol brillapero a través de nubes espesas. A través del noticiero de su televisor seinforma que la temperatura actual es de 8°C y que se predice alcanza-rá un máximo de 12°C. La oficina metereológica menciona un 40% deprobabilidad de lluvia.


61

Sabe que ira y volverá en movilidad al trabajo y que tendrá que cami-nar dos cuadras entre la ruta y su oficina. No tiene paraguas paraprotegerse.

Establecimiento de alternativa

La alternativa del individuo basado en su disponibilidad de vestuario:

a) Usar un sobre todo.b) Usar un impermeable, yc) No usar ningún abrigo.

Asignación de medidas con algún criterio de efectividad

El criterio de efectividad del individuo, será en este caso el de comodi-dad personal, que es una medida subjetiva. El determinará a conti-nuación, de alguna manera intuitiva, la utilidad de su comodidadpersonal para cada alternativa.

Decisión (selección de la alternativa)

Supongamos que el individuo, en camino al trabajo, ha asignado me-didas de utilidad para cada alternativa, de tal manera que una deellas posee una utilidad mayor que cualquiera de las otras, la decisióno selección de una alternativa, se tomará en favor de aquella que ten-ga la mayor medida de utilidad.

Si dos alternativas tienen igual medida de utilidad y esta es mayor quela de la tercera, se deberá emplear entonces algún método aleatorio deselección. En este caso el lanzamiento de una moneda podría servir.

Ejecución de la alternativa escogida

En nuestro ejemplo la ejecución es sencilla. El hombre toma el abrigoescogido de su armario o simplemente se va al trabajo si ha decididono llevar abrigo.

Visto de esta manera el proceso de decisión entramos ahora a estable-cer algún principio general de utilidad en el diseño de la estructura delas decisiones en un sistema Montecarlo. Alguno de estos principiospuede aparecer obvios o triviales, y sin embargo no violados con fre-cuencia en el diseño.

Palacios C. Severo

62

XVIII. PRINCIPIOS PARA LA TOMA DE DECISIONES

1. Los datos son base necesaria para la decisión. Sin algún dato esimposible establecer alternativas o asignar medidas de utilidada las mismas.

2. Los datos recolectados deben ser de dos clases: aquellos que sir-ven para establecer las alternativas y los que se pueden usarapara fijar las medidas de utilidad.

3. Los datos recolectados deben se directamente aplicables o talesque, mediante una transformación, puedan hacerse aplicablespara el criterio de efectividad que se usan.

4. Suponiendo que se ha establecido alternativas y asignado medi-das de efectividad, los datos adicionales serán útiles que afectanlas utilidades asignadas.

5. La recolección de datos deberá tomarse antes de establecer al-ternativas y averiguar utilidades. Aunque este principio pareceobvio, realce la exigencia frecuentemente escuchada acerca de laoportuna recolección de datos.

6. La exactitud que se requiera en los datos en función de las técni-cas utilizadas parece asignar medidas de utilidad a las alterna-tivas. Este principio refuerza el análisis de la sensibilidad de losmodelos matemáticos. Sin un modelo dado es relativamente sen-sible a un parámetro dado, o si este parámetro es ponderado li-geramente, se disminuye la exigencia de exactitud.

7. Asumiendo que, para una decisión determinada, las cinco eta-pas del proceso de decisión están bien definidas y que esta deci-sión es de naturaleza repetitiva, la totalidad del proceso de deci-sión puede delegarse a un nivel más bajo de la organización. Nó-tese que en cada uno de estos casos debe tomarse una decisiónde diseño. Las alternativas son: Retorne al proceso de decisión odelegarlo a un sistema automático. AL tomar la decisión, el di-señador del sistema deberá asignar medidas de utilidad a las al-ternativas.

XIX. PLANIFICACIÓN

La planificación de una operación propone asegurar que todos losrecursos necesarios para producir, se encuentran y en las cantidadesnecesarias y, además, que el desperdicio de los recursos sea mínimo.

El plan de operaciones suministra solo el marco general dentro delcual las actividades específicas habrán de desarrollarse.


63

En torno al plan de operaciones asigna recursos disponibles a los dife-rentes requerimientos de producciones.

Tipos de planificación

Existen diferentes categorías de planeamiento para diferentes perío-dos:

Planificación a largo plazo

Se relaciona con el mantenimiento de la línea apropiada por medio dela investigación y desarrollo, y en el suministro de las factibilidadespara las actividades. El plan incluye planeamiento para al expansión,modernización.

Planificación intermedia

Se relaciona con la asignación de recursos a las necesidades del pro-yecto, tales como la adquisición de materiales, equipos y nuevos pro-ductos.

Planificación a largo plazo

Establece programas que asignan recursos, a los proyectos actuales.Este tipo de plan, que usualmente cubre seis meses a dos años, estable-ce el nivel general de actividades.

Palacios C. Severo

64

Problemas

(81) Calcular los valores tα correspondientes a una distribución t deStudent en los siguientes casos:a) El área a la derecha de tα es 0,20 y n = 10b) El área a la izquierda de tα es 0,40 y n = 8c) El área a la derecha de tα es 0,05 y n = 50

(82) Calcular los valores de Fα correspondientes a una distribución Fde Snédecor en los casos siguientes:a) α = 0,01 y (2,8) grados de libertadb) α = 0,05 y (7,3) grados de libertad

(83) Elegidas 26 personas al azar de una población y sometidas a untest de modernismo dan como media 40X y 6S . Se quiere sabersi la verdadera media de la población puede ser tan alta como44.

(84) El fabricante de una dieta de adelgazamiento dice que su pro-ducto permite una reducción media de peso de 3,5 kg. Con obje-tivo de investigar su eficacia, se seleccionaron al azar 40 perso-nas, observando en ellas el peso antes de aplicar la dieta, X y elpeso después de acabar el tratamiento, Y, lo que proporcionóuna varianza para la diferencia de

40

1

23 8,139

1YXYXS iid

Si suponemos que tanto X como Y siguen distribuciones norma-les, determinar la probabilidad de que los individuos de la mues-tra haya una reducción media de masa de 3 kg.

(85) La efectividad en días de un determinado antibiótico, sigue unadistribución normal de media 14 días y desviación típica desco-nocida. Fue administrada a 16 enfermos, obteniéndose una des-viación típica muestral de 1,4 días. Determinar la probabilidadde que la efectividad media en la muestra no supere los 3 días,que es el tiempo mínimo de efectividad requerido.Preocupados por una posible subestimación de la varianza po-blacional, que podría llevar a subestimar la probabilidad de queno se alcance la efectividad mínima, se desea determinar la pro-babilidad de que con una muestra de 16 enfermos se subestimela varianza en más de un 20%. Si la muestra es de 61 pacientes,esta probabilidad ¿aumenta o disminuye?Determinar el tamaño de muestra necesario para que la proba-bilidad anterior sea 0,05.

(86) En una muestra de 19 individuos se observa que un determinadotrastorno emocional se produce a partir de una edad media de


65

50 años y una desviación típica de 6 años. Se supone que esta-mos ante un fenómeno que sigue la ley normal.Fijar los límites del intervalo de confianza para la varianza conun nivel de confianza del 99%Realizar lo mismo que en el apartado anterior para n = 200

(87) En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejorel tipo de actividades de ocio que gustan más a sus habitantes.Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar.Explicar qué procedimiento de selección sería más adecuado uti-lizar: muestreo con o sin reposición.Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrioviven 2500 niños, 7000 adultos y 500 ancianos, posteriormentese decide elegir la muestra anterior utilizando un muestreo es-tratificado. Determinar el tamaño muestral correspondiente acada estrato.

(88) Sea la población de elementos 22 24 26Escriba todas las muestras posibles de tamaño dos, escogidasmediante muestreo aleatorio simple.Calcule la varianza de la población.

(89) La variable altura de las alumnas que estudian en una escuelade idiomas sigue una distribución normal de media 1,62 m y ladesviación típica 0,12 m. Cuál es la probabilidad de que la mediade una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1,60 m

(90) Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo productoalimenticio en 16 comercios, elegidos al azar en un barrio de unaciudad, y se han encontrado los siguientes precios:

95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100,99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110.

Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen se-gún una ley normal de varianza 25 y media desconocida:¿Cuál es la distribución de la media muestral?Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media po-blacional.

(91) La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 per-sonas de una ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de laspersonas de esa ciudad es una variable aleatoria que sigue unadistribución normal con varianza σ2 = 0,16 m2.Construye un intervalo, de un 95% de confianza, para la mediade las estaturas de la población.Cuál sería el mínimo tamaño muestral necesario para que pue-da decirse que la verdadera media de las estaturas está a menosde 2 cm de la media muestral, con un nivel de confianza del 90%

Palacios C. Severo

66

(92) Las ventas mensuales de una tienda de electrodomésticos sedistribuyen según una ley normal, con desviación típica US$900. En un estudio estadístico de las ventas realizadas en los úl-timos nueve meses, se ha encontrado un intervalo de confianzapara la media mensual de las ventas, cuyos extremos son US$4663 y US$ 5839.¿Cuál ha sido la media de las ventas en estos nueve meses?¿Cuál es el nivel de confianza para este intervalo?

(93) Se desea estimar la proporción, p, de individuos daltónicos deuna población a través del porcentaje observado en una muestraaleatoria de individuos, de tamaño n.Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es igualal 30%, calcula el valor de n para que, con un nivel de confianzade 0,95, el error cometido en la estimación sea inferior al 3,1%.Si el tamaño de la muestra es de 64 individuos, y el porcentajede individuos daltónicos en la muestra es del 35%, determina,usando un nivel de significación del 1%, el correspondiente in-tervalo de confianza para la proporción de daltónicos de la po-blación.

(94) En una población una variable aleatoria sigue una ley normalde media desconocida y desviación típica 2.Observada una muestra de tamaño 400, tomada al azar, se haobtenido una media muestra al igual a 50. Calcule un intervalo,con el 97 % de confianza, para la media de la población.Con el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debe te-ner la muestra para qué la amplitud del intervalo que se obten-ga sea, como máximo, 1?

(95) Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de lasnueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detec-taron 21 vacías.Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afir-mación de la marca?Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacíasy 1-α = 0,95, ¿qué tamaño muestral se necesitaría para estimarla proporción de nueces con un error menor del 1% por ciento?

(96) La duración de las bombillas de 100 W que fabrica una empresasigue una distribución normal con una desviación típica de 120horas de duración. Su vida media está garantizada durante unmínimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene unavida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01,¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?


67

§2ANÁLISIS DE REGRESIÓN

La falacia del cuadro estadístico estriba en que es unilateral, en la medida enque representa sólo el aspecto promedio de la realidad y excluye el cuadrototal. La concepción estadística del mundo es una mera abstracción, y esincluso falaz, en particular cuando atañe a la psicología del hombre.

Carl Jung

I. INTRODUCCIÓN

Las técnicas estadísticas estudiadas hasta ahora tenían por objetofundamental la comprobación de ciertas hipótesis.

Un campo más útil e importante del análisis estadístico en el diseñoconsiste en el desarrollo de modelos matemáticos que representensituaciones físicas. Este tipo de análisis se denomina análisis de regre-sión, se ocupa de desarrollar una cierta relación matemática que in-cluye el modelo matemático, su significación estadística y su confiabi-lidad.

Se puede demostrar que está íntimamente relacionada con el modelodel análisis de varianza.

II. MÉTODOS DE MÍNIMOS CUADRADOS

Se predice una variable dependiente en función de una variable inde-pendiente simple; en muchos problemas de este tipo la variable inde-pendiente se observa sin error o con error que es despreciable se com-para con el error de la variable independiente.

Ejemplo 2.19Al medir la cantidad de óxido formado en la superficie de un menajede aluminio, las variables de anodinado electrolítico suelen ser canti-dades, pero la medición del espesor del óxido anodizado esta sujeto avariables aleatorias consideradas.

Palacios C. Severo

68

Así, a pesar que la variable independiente puede ser estable en X, lasmediciones repetidas de ella pueden atribuirse a diversas causas,principalmente a errores de medición y a la existencia de otras varia-bles incontrolables capaces de influir en el valor de X cuando este fija.En esta forma la medición del espesor de la capa anodizada puedenvariar en toda la superficie para el mismo período a la misma varia-ble ejecutada.

Estudiemos el caso de regresión Y sobre X lineal, esto es, para cual-quier X dada la media de la distribución de las Y esta dada por:

XY

ε es el valor de una variable aleatorizada y podemos elegir a tal que lamedia de la distribución de esta variable aleatoria sea igual a cero.

Ejemplo 2.20Consideremos una regresión de Y sobre X sea lineal, suponiendo unfenómeno físico de tensores, se flexiona variando la carga.

X 1 2 3 4 5 6Y 35 64 96 124 156 182

Consideremos n pares de observaciones (Xi,Yi), deseamos determinarla línea que de el mejor ajuste. Si predecimos y por medio de la ecua-ción:

bXbY o

Donde

iIi YY


69

Puesto que no podemos minimizar cada εi por separado, debemostratar de hacer una sumatoria Σεi; tan cerca de cero como sea posible,minimicemos la suma de cuadrados de las εi.

2 ioi bXbY

Nótese en la figura, que la minimización de la suma de cuadrados delas distintas verticales a partir de los puntos respecto a la línea. Unacondición necesaria para que exista un mínimo relativo es la acumu-lación de las derivadas parciales con respecto a bo y b.

02 iioi XbXbY

012 ioi bXbY

Siendo las ecuaciones normales,

ioi

XbnbY1

2

1 iiojiXbXbYX

Este conjunto de ecuaciones lineales con la incógnita bi denominadoscasos normales, da los valores para la línea con el mayor ajuste a unconjunto de datos.

Ejemplo 2.21Ajuste una línea recta a los datos por el método de mínimos cuadra-dos, utilice para estimar el coeficiente de evaporación de una gota decombustible, cuando la velocidad del aire proveniente de una turbinaes de 190 cm/seg.

X 20 60 100 140 180 220 260 300 340 380Y 0,18 0,37 0,35 0,78 0,56 0,75 1,18 1,36 1,17 1,65

2000X

532000²X

35,8Y

4,2175XY

Palacios C. Severo

70

bb

bb

o

o

53200020004,2175

20001035,8

Resolviendo

bo = 0,069, b = 0,0038

segmmY /²79,0)190(0038,0069,0

III. MODELOS DE REGRESIÓN

En las aplicaciones de la estadística se exige estimar el carácter de ladependencia entre las variables estadísticas observadas.

Ejemplo 2.22Entre los parámetros de los procesos tecnológicos, la producción aca-bada, la luminosidad de las estrellas y sus dimensiones, la cantidad deprecipitación fluvial en sectores, el rendimiento de cosecha, el engordede ganado, la recuperación de material valioso de un mineral, latransformación de un producto, etc.

bLogXbLogY

bXbLogY

XbXbXbbY

XbXbbY

XbXbXbbY

bXbY

XbXbbY

bLogXbY

XbXbXbbY

XbbY

bXbY

o

o

ijijijijiio

nniio

ijijiiiiiio

o

jio

o

ijijiiiiiio

iio

o

2

32

2

/1

.../1

/1

/1

En este caso, el problema fundamental consiste en el aislamiento de losdatos experimentales con ayuda de curvas especialmente elegidasllamadas líneas o superficie de regresión que con mayor o menor se-guridad caracteriza la dependencia de correlación entre las variablesen observación.


71

Las funciones más usadas en el análisis de regresión estadística son:

IV. MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON K VARIABLES

Generalizando el modelo de regresión lineal de dos y tres variables, elmodelo de regresión de K-variables que tiene la variable dependienteY y K- 1 variables independientes X1, X2, …, Xk, puede escribirse desiguiente manera.

ikkiio XbXbbY 11...

Donde:

bo es el interceptobi a bk-1 son las pendientes, yεi la perturbación

La regresión lineal se debe interpretar como ya se ha visto, nos pro-porciona la media o valor esperado de Y condicional a los valores fijos(en muestras repetidas) de X1, X2, ..., Xk-1 es decir E(Y/X1,X2, ..., Xk-1)

V. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Determina la relación entre una sola variable de regresión X y la res-puesta Y. Usualmente se supone que la variable X es continua y con-trolada por el investigador. Si el experimento esta diseñado se eligenlos valores X y se observan los valores correspondientes a Y.

El valor esperado de Y para cada valor de X es:

bXbXYE o )/(

En donde los parámetros de la recta bo son constantes desconocidas.Se supone que cada observación Y puede describirse mediante el mo-delo,

bXbY o

Donde ε es un error aleatorio con media cero y varianza δ2.

Los parámetros del modelo bo y b pueden estimarse mediante míni-mos cuadrados si se tiene n pares de datos.

Palacios C. Severo

72

Ejemplo 2.23El forjado de hierro a cierta temperatura afecta en la dureza del tem-plado, para investigar esta relación se ha tomado las siguientes mues-tras:

X 6 9 11 13 22 26 28 33 35Y 68 67 65 53 44 40 37 34 32

89,48

33,20

7701

23232²

440

4665²

183

Y

X

XY

Y

Y

X

X

Suma de cuadrados de los factores:

118²1839/146658/12 XS

11,215²4409/1232328/12 Y

S

Suma de cuadrados de los productos cruzados

71,155)440(1839/177018/1 XYS

11,215²9/440232328/1 YYS

La pendiente es:

32,1118/71,1551 b

En el origen:

89,48Ybo

XXbYYi

33,2032,189,48 XY

XY 23,173,75


73

La prueba de significancía de regresión de los datos, es:

Tabla 2,5 Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo Ft(99%)

RegresiónError

205,539,58

17

205,531,3688

150,153 > 12,2

Total 215,11 8 R² = 95,54%

VI. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

Muchos problemas de regresión en la vida real son con más de dosvariables.

El problema general se ajusta al modelo lineal,

kko XbXbXbbY ...2211

Se conoce como regresión lineal múltiple.El método de mínimos cuadrados se usa para estimar los coeficientesde regresión, las ecuaciones normales en el método son:

YXbXbXXbXXbX

YXbXXbXbXXbX

YXbXXbXXbXbX

YbXbXbXNb

o

o

o

o

33232321313

23322221212

13312211211

332211

Ejemplo 2.24Determine la función múltiple de la relación entre dos factores X1 y Xza partir de los siguientes datos:

1X2X Y 2

1X 22X 21 XX YX1 YX 2

47912

1258

7121720

164981

144

14

2564

4144546

2884153240

72485160

32 16 56 290 94 159 505 276

81 X 42 X 14Y

Ecuación normal

2769415916

50515929032

5616324

21

21

21

bbb

bbb

bbb

o

o

o

Resolviendo la determinante obtenemos los coeficientes:

Palacios C. Severo

74

bo = 0,6440b1 = 1,6610b2 = 0,0169

Resultando el modelo lineal múltiple

21 0160,0661,1644,0 XXY

El procedimiento para el análisis de varianza es:

Tabla 2.6 Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo Ft(95%)

RegresiónError

95,5562,444

21

47,7782,444

19,55 > 19

Total 98,000 3 R² = 97,51%

Se concluye que al menos una variable afecta significativamente a laregresión.


Regresiónbo

b1

b2

Error

95,556784,00011,0360,0012,444

21111

47,778784,00011,0360,0012,444

19,55320,78

4,52<1

>><

19161161

Total 894,007 6

VII. REGRESIÓN POLlNOMIAL

La aplicación práctica de la regresión polinomial tiene un objeto esen-cial el incremento de los grados de alisamiento que exige realizar denuevo todos los cálculos.

En este caso es útil emplear los polinomios ortogonales en el modelo:

ijijijijiio XbXbXbbY 2

Aplicando el criterio de mínimos cuadrados, igualando a cero las deri-vadas parciales de Y con respecto a los coeficientes bo, b1,.. .,b12,reacomodando algunos términos, se tiene las k+1 ecuaciones norma-les.


75

Resolviendo el sistema, por cualquier método, se obtiene bo, b1, b2,...,b12 que son los estimadores mínimos cuadrados que nos permiten es-timar Y a partir de la ecuación matriz.

YXXXXbXXbXXbXXbXXbbXX

YXXXbXbXXbXbXXbbX

YXXXbXXbXbXXbXbbX

YXXXbXbXXbXbXXbbX

YXXXbXXbXbXXbXbbX

YXXbXbXbXbXbNb

o

o

o

o

o

o

2122

2112

321222

3111

22122

21121

22

32112

4222

22

2111

322

2211

22

212

3112

22

2122

41112

212

311

21

222112

32222

2111

2222112

122

11222122

3111212

2111

21122222

21112211

Las pruebas estadísticas son las mismas que para los casos de regre-sión múltiple con sólo dos cambios en los grados de libertad, en lugarde un F con (r-2, n-r) grados de libertad tendremos una F con (r-k-1,n-r) grados de libertad, donde k es el grado del polinomio que se ajus-ta.

VIII. REGRESIÓN POLINOMIAL CUADRÁTICO

Un polinomio de grado k en una variables

ijijiiiiiio XbXbXbbY 2

que se aplica para estimar los efectos polinomiales de un factor cuanti-tativo.

Ejemplo 2.25Ajustar los siguientes datos a un polinomio de segundo orden restandomil al factor X y 23,2 al factor Y, para facilitar los calculas:

X 850 860 870 890 890 900 910 920 930 940 950Y 0 8,2 16,6 27 39,7 52,8 68,6 82,5 99,6 108,5 128,5

desarrollando un artificio matemático para X, siendo

10/9001 XX

X1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Y 0 8,2 16,6 27 39,7 52,8 68,6 82,5 99,6 108,5 128,5

0X

1102X

Palacios C. Severo

76

8,1429XY

92092 YX

8,886Y

92901958011

8,14290110

8,886110011

21

21

21

bbb

bbb

bbb

o

o

o

resultando los coeficientes

bo = 76,64b1 = 13b2 = 0,3974

el modelo polinomial de segundo orden es:

²3974,01664,76 XXY

reemplazando con el valor original

²003474,08,1378,11952 XXY

IX. REGRESIÓN NO LINEAL

Es una práctica común de la ingeniería bosquejar parejas de datossobre varias clases de hojas para graficar, con el fin de determinar sipara una escala de transformación adecuada, los puntos caerán cercade una línea recta. De ser así el tipo de transformación nos lleva a unaforma funcional de la ecuación de regresión y las constantes necesa-rias pueden determinarse aplicando el método de mínimos cuadradosa los datos transformados. Sí un conjunto de datos que consta de npuntos se linealiza cuando son graficados sobre el papel semi logarít-mico indica que la curva de regresión es exponencial para cualquier Xconsiderada, la medida de la distribución de las Y está dada por αβX,entonces la ecuación predictiva será:

XLogLogLogY

Ejemplo 2.26Una fabrica de llantas decide analizar una variedad de sus productospara saber cuanto tiempo se puede usar después de un recorrido es-tándar.


77

Recorrido 1 2 5 10 20 30 40 50Porcentaje 98,2 91,7 81,3 64 36,4 32,8 17,7 11,3

ΣX = 158ΣX² = 5530ΣLog Y = 130312ΣXLog Y = 2121224

LogbLogb

LogbLogb

o

o

55301582121224

1588130312

cuya solución es

XLogY 0188,0002,2

en forma exponencial: XY )96,0(100

X. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE R2

En el caso de dos variables se define R2 como la bondad de ajuste de laecuación de regresión; es decir, nos da la proporción o porcentaje devariación total en la variable dependiente Y explicada por las varia-bles independiente X.

Este sentido de R2 puede fácilmente extenderse a modelos de regresiónde más de dos variables. Por consiguiente, en el modelo de tres varia-bles estamos interesados en conocer la proposición de las variables enY explicada conjuntamente con las variables X1 y X2. El valor que nosda esta información se conoce como el coeficiente de correlación múl-tiple y se denota por R2, conceptualmente es igual que R2.

La suma total de cuadrados es igual a la suma de cuadrados de lasdependientes más la suma de cuadrados residuales. Por definición.

totalerror SCSCR /²

Dado que los valores de la ecuación son generalmente computados enforma rutinaria, R2 puede calcularse fácilmente. Note que R2 estacomprendido entre 0 y 1. Si es uno, significa que la línea de regresiónajustada explica el ciento por ciento de la variación de Y. De otro lado,si es cero, el modelo no explica nada de la variación en Y. Típicamente,sin embargo, R2 esta entre estos valores extremos.

Palacios C. Severo

78

Se dice que el ajuste del modelo es mejor mientras más cerca de unoestá R2.XI. PRUEBAS DE SIGNIFICANCIA

No podemos utilizar la prueba t para verificar la hipótesis conjuntasegún la cual las pendientes de las distintas variables son simultá-neamente cero. Sin embargo esta hipótesis conjunta puede verificarsemediante la técnica de ANAVA y puede demostrarse del modo siguien-te.

Recordemos la identidad (ver el libro Manual de la Teoría del DiseñoExperimental publcado por el Autor).

SCtotal tiene como es costumbre N-1 grados de libertad.SCresidua tiene N-3 grados de libertad por motivos ya conocidos ySCerror tiene 2 grados de libertad en razón de que es función de b1 y b2.

Por lo tanto, siguiendo el procedimiento ANAVA, podemos elaborarlas tablas.

)3/(/2/ 22211 NXYbXYbF iiiii

Tabla 2.8 Cálculo de análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo

RegresiónError

iXYbXYb i 222111

2i

23N

GLSC / 2// GLSC

Total 2iY 1N R² = iXYbXYb i 222111

/ 2iY

Puede demostrarse ahora que bajo el supuesto de que los εi distribui-dos normalmente y de que la hipótesis nula b1=b2=0, la variable.

La aplicación práctica de la regresión tiene por objeto esencial el in-cremento de los grados del modelo, el alizamiento exige realizar calcu-las precisos.

Para estimar los parámetros:

1312221121 ,...,,...,,,...,,,, bbbbbbbYo

residualerrortotal SCSCSC


79

Para obtener los coeficientes aplicamos las matrices aquí detalladas,

FUNCIÓN MATEMÁTICA: DISEÑO FACTORIAL 22

Y 1X 2X 21X 2

2X 21 XX YX1 YX 2

Y1

Y2

Y3

Y4

1111

-+-+

--++

1111

1111

+--+

-+-+

--++

Y 4 4 4 YX 1 YX 2

YXXbXXbbX

YXXXbXbbX

YXbXbNb

o

o

o

2

2

222112

1212

2

111

2211

Ejemplo 2.27Evalué los datos

4bo = 300 bo = 754b1 = 30 b1 = 7,74b2 = 10 b2 = 2,5

Y X1Y X2Y65807085

- 65+ 80- 70+85

- 65- 80+ 70+ 85

Σ 300 Σ 30 Σ 10

Resultando el modelo

18,116/4,1532,1010...4,93,9 22222 totalSC

FUNCIÓN MATEMÁTICA: DISEÑO FACTORIAL 23

Y 1X 2X 3X 21X 2

2X 23X YX1 YX 2 YX 3

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Y7

Y8

11111111

-+-+-+-+

--++--++

----++++

11111111

11111111

11111111

-+-+-+-+

----++++

----++++

Y 8 8 8 8 YX 1 YX 2 YX 3

YXXbXXbXXbbX

YXXXbXbXXbbX

YXXXbXXbXbbX

YXbXbXbNb

o

o

o

o

3

2

333223113

2323

2

222112

1313212

2

111

332211

Palacios C. Severo

80

Ejemplo 2.28Evalué los datos

8bo = 548,74 bo = 68,598b1 = - 0,86 b1 = - 0,118b2 = 4,24 b2 = 0,538b3 = - 2,48 b3 = - 0,31

Y X1Y X2Y X3Y68,7269,0669,4467,7567,9368,7368,7268,39

Σ 548,74 - 0,86 4,24 - 2,48

el modelo es:

321 31,053,011,059,68 XXXY

FUNCIÓN MATEMÁTICA: DISEÑO HEXAGONAL

Y 1X 2X 21X 2

2X 41X 4

2X 22

21 XX

YX 21 YX 2

2YX1 YX 2 YXX 21

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Y7

Y8

Y9

111111111

Y 9 0 0 3 2,9 2,3 2,3 0,75 Σ Σ Σ Σ Σ

Para mayor detalle ver el tópico de Diseño Hexagonal.

FUNCIÓN MATEMÁTICA: DISEÑO COMPUESTO CENTRADODE DOS FACTORES

Y 1X 2X 21X 2

2XYX 2

1 YX 22

YX1 YX 2 YXX 21

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6

Y7

Y8

Y9

Y10

Y11

11111111111


81

Y12

Y13

11

Y 13 0 0 8 8 Σ Σ Σ Σ ΣProblemas

(97) Se dan los datos correspondientes al tiempo de secado de ciertobarniz y a un aditivo que reduce el tiempo de secado, al aplicarlosobre un producto que es novedoso.Barniz 0 1 2 3 4 5 6 7 8Secado 12 10,5 10 8 7 8 7,5 8,5 9

(98) Se realiza un tratamiento a un cierto tipo de aleación, requi-riendo cierta fuerza de ruptura, dicho producto es una piezacomo parte de un componente de autopartes.

Fuerza 38 48 85 59 40 60 68 53Aleación 1 2 3 4 1 2 3 4Fuerza 31 35 42 59 18 34 29 42Aleación 1 2 3 4 1 2 3 4

(99) Los datos corresponden al tiempo que tardan diez técnicos enensamblar computadoras por las mañanas, los cuales trabajan8 horas como jornada laboral.

Tiempo 11,1 10,3 12,0 15,1 13,7 18,5 17,3 14,2 14,8 15,3Maquina 10,9 14,2 13,8 21,5 13,2 21,1 16,4 19,3 17,9 19,0

(100) Al problema (98) adicione otra aleación siendo los datos:Aleación 5 5 5 5 10 10 10 10Aleación 15 15 15 15 20 20 20 20

(101) Al problema (99) adicione los datos de trabajo en la tardeTarde 9,6 15,1 12,6 24,5 12,8 22,1 15,6 21,6 16,9 20,6

(102) Un gerente de ventas tiene la responsabilidad de seleccionarnuevos vendedores.Con el fin de lograr una mejor selección posible de un grupo deaspirantes, diseño un test. Su objeto era predecir el volumen deventas de un individuo sobre la base del puntaje. Sin embargopara determinar si existía alguna relación entre su test y lasventas pidió a varios vendedores antiguos que se sometieran altest.En la tabla se registran los puntajes de sus respectivos test y susventas semanales.

Vendedor Test Venta semanalNatanielAlbertoHugoEmilioCarlos

34234

57464

a) Cuál es la variable dependiente

Palacios C. Severo

82

b) Represente gráficamente con las variables independientes ydependientes.

c) Determine la ecuación de la recta.d) Si Nataniel es un aspirante al puesto a vendedor. Obtuvo 3

puntos en el test, sobre la base de la ecuación de regresión.¿Cuál será la cifra de sus ventas semanales medias segúnpronóstico?

e) Obtenga el coeficiente de correlación e interprete.(103) Supongamos que una ecuación de regresión múltiple es:

EDCBAY 7,047,314,218,2106,018,16 Qué significa el coeficiente 3,47Qué significa cada uno de los coeficientes de los factoresQué significa 16,18 en la ecuación de regresiónSi todos los factores se hacen cero cual es el valor inicial con quese empieza el desarrollo de la ecuación de regresión.

(104) Interprete un coeficiente de correlación igual a 0,99 0,98 0,880,79 0,67 0,56 0,45 -0,89 -0,78 -0,06


83

§3PRINCIPIOS DE DISEÑO

EXPERIMENTAL(...) Demostrar que la realidad nos pasa delante de los ojos como un relato, enel que hay diálogos, enfermedades, amores, además de estadísticas y discur-sos.

Tom Wolfe

I. INTRODUCCIÓN

Diseñar estadísticamente un experimento, es realizar una prueba ouna serie de pruebas, buscando caracterizar las variables o factoresde mayor influencia en un ensayo de interés, evaluado a través devarias variables respuesta tal que, si deliberada o sistemáticamente seintroducen cambios controlados en algunas de las variables explicati-vas del proceso, siempre sea posible observar o cuantificar los cambiosque éstos generan en las variables respuesta buscando adicionalmen-te, minimizar el efecto de las variables no controlables, procurandocon ello estabilizar y minimizar la variabilidad de las respuestas.

Aunque la aplicación o uso del diseño experimental se da en cualquierárea del conocimiento, este debe cumplir las siguientes fases:

1. Caracterización de un proceso. En esta fase, se busca determi-nar los rangos de las variables o factores controlables de mayorinfluencia en las variables respuesta que a la vez minimizan elefecto de las variables no controlables (factores o variables).

2. Depuración y optimización de un proceso ya caracterizado. Enesta fase se hallan los niveles de los factores estudiados que pro-porcionan la respuesta óptima a la solución del proceso caracte-rizado en la fase anterior.

Palacios C. Severo

84

En cualquier aplicación de la estadística en el diseño y análisis de unexperimento, es necesario que quienes lo desarrollen entiendan clara-mente el problema objeto de estudio, que posean un amplio conoci-miento del material experimental a usar, que conozcan las posibilida-des existentes para procesar los datos y además posean el conocimien-to estadístico necesario para interpretar adecuadamente los resulta-dos del experimento.

II. TIPOS DE EXPERIMENTOS

Se clasificó los experimentos como pertenecientes a dos tipos.

a) El experimento absoluto en el cual el interés principal es la esti-mación y las propiedades físicas de la población a ser estudiada.Estas propiedades se esperan que sean constantes, de acá eltérmino absoluto. En estos experimentos un factor singular esestudiado frecuentemente para examinar un número reducidode niveles de un factor. La selección de los tratamientos se hacegeneralmente mediante procesos aleatorios, por tanto, si el ex-perimento puede ser repetido, el mismo grupo de tratamientosno necesariamente será utilizado.Por esta razón, el tratamiento es considerado una variable alea-toria y el modelo señalado es un modelo de efectos aleatorios oModelo II, bajo el cual se detectan y estiman componentes devariación asociada a una población compuesta.

b) El experimento comparativo. Frecuentemente cuando se estudiaun grupo de tratamientos, los resultados absolutos varían errá-ticamente mientras que los resultados relativos permanecen ra-zonablemente estables. En tales situaciones es posible establecer,que en circunstancias similares se espera que ciertos tratamien-tos sean sustancialmente mejores que otros. En tales campos dela experimentación, los experimentos tienden a ser comparati-vos y tienen un interés secundario dado por los resultados abso-lutos. La teoría estadística del diseño de experimentos se rela-ciona inicialmente con este tipo de experimentos.

Los experimentos comparativos son básicamente experimentos en loscuales los tratamientos se comparan por sus efectos medios sobre unavariable respuesta con el objeto principal de determinar cuál de elloses mejor en algún sentido. El propósito de este tipo de experimento esproveer información necesaria para tomar decisiones administrativassatisfactorias. La principal característica de este tipo de experimenta-ción es que todos los tratamientos de interés están incluidos en el expe-


85

rimento. Consecuentemente, la estructura matemática básica es elmodelo de efectos fijos ya que bajo experimentos repetidos se seleccio-narían los mismos tratamientos. En este caso, es de interés la detec-ción y estimación de relaciones constantes entre las medias del univer-so de objetos considerados, Para estos modelos, el interés primordiales probar varias hipótesis relacionadas con las medias de los trata-mientos.

El experimento comparativo comienza con un planteamiento exactodel problema a ser resuelto. Esto es, se debe hacer una especificacióndetallada de los objetivos del experimento con una formulación preci-sa de la hipótesis a probar.

Es insuficiente solamente establecer en forma simple comparar estostratamientos. Esta especificación define la población a la cual las con-clusiones serán aplicadas, determina los factores, tratamientos y susniveles, especifica las variables respuesta a ser medidas y establece lasdiferencias críticas a ser detectadas. Sin estas especificaciones, ningúnexperimento podrá ser diseñado adecuadamente.

Como lo fundamental en la decisión sobre las hipótesis son los experi-mentos planeados, es necesario que se tenga en cuenta las siguientescaracterísticas generales para estos ensayos.

1. Simplicidad: Acá se debe tener en cuenta que tanto la selecciónde los tratamientos como la disposición experimental deberá ha-cerse lo más simple posible.

2. Grado de precisión: El experimento deberá tener la capacidadde medir diferencias entre tratamientos con los grados de preci-sión que desee el investigador. Para cumplir con este propósitose deberá tener entonces un diseño apropiado y un número derepeticiones adecuado.

3. Ausencia de error sistemático: Se debe planear un experimentocon el propósito de asegurar que las unidades experimentalesque reciban un tratamiento no difieran sistemáticamente deaquellas que reciben otro, procurando de esta manera obteneruna estimación insesgada del efecto de tratamientos.

4. Rango de validez de las conclusiones: Las conclusiones deberántener un rango de validez tan amplio como sea posible. Los ex-perimentos que contribuyen a aumentar éste rango son los ex-perimentos replicados y los experimentos con estructuras facto-riales.

Palacios C. Severo

86

5. Cálculo del grado de incertidumbre: En todo experimento existealgún grado de incertidumbre en cuanto a la validación de lasconclusiones. El experimento deberá ser concebido de modo quesea posible calcular la posibilidad de obtener los resultados ob-servados debidos únicamente al azar.

III. UNIDADES EXPERIMENTALES Y MUÉSTRALES

El elemento básico en los experimentos comparativos es la unidadexperimental. Este concepto se usará en la siguiente definición.

Los elementos sobre los cuales se hacen las mediciones y a los cualesun tratamiento puede ser asignado independientemente se denominaunidad experimental y al conjunto de unidades experimentales se lesdenomina material experimental. Cada unidad experimental contieneuna o más unidades muéstrales en las cuales las condiciones experi-mentales planeadas previamente se realizan.

Ejemplo 3.29a) En un experimento agrícola para evaluar el rendimiento de al-

gunas variedades de olivo, la unidad experimental puede seruna porción de terreno de tamaño óptimo preestablecido,usualmente denominada parcela, o un número de plantas o unnúmero de mazorcas.

b) En un estudio farmacéutico, un paciente sometido a un trata-miento de un fármaco puede ser considerado como una unidadexperimental.

c) En un trabajo de plaguicida la unidad experimental puede serun insecto, una colonia o toda una especie. En general la defini-ción de la unidad experimental depende de los objetivos de la in-vestigación.

Por definición, las unidades experimentales deben estar en capacidadde recibir diferentes tratamientos.

En la conducción del experimento existen dos grupos de variables.

1) Las variables respuestas que proporcionan las mediciones delexperimento, las cuales varían debido a la diversidad presenteentre las unidades experimentales.

2) Las variables explicativas que influyen en las respuestas y que sedenominan factores. Entre estos existen los denominados facto-res de clasificación que según sus valores definen los niveles declasificación sobre los cuales se hace la inferencia.


87

Por su naturaleza las unidades muéstrales de la misma unidad expe-rimental deben recibir el mismo tratamiento, consecuentemente laasignación del tratamiento a estas unidades muéstrales no es inde-pendiente.Esta distinción es importante dado que para hacer inferencia sobre losefectos del tratamiento, se requiere tener un conocimiento de la esti-mación de la variabilidad inherente al material experimental, estavariabilidad es conocida como el error experimental. Esta estimaciónes dada por la variación entre unidades idénticamente tratadas lascuales inicialmente pudieron haber sido tratadas de manera distinta.Solo la unidad experimental considerada como un todo satisface esterequisito. La variación entre las unidades experimentales provee unaestimación del error experimental. En general, la variación entre uni-dades muéstrales dentro de las unidades experimentales es un valormuy pequeño al calcular los errores de estimación de los efectos deltratamiento.

IV. FUENTES DE VARIACIÓN

Los tratamientos se asignan a las unidades experimentales para de-terminar si tienen un efecto sobre la respuesta de interés. Cualquierefecto podrá resultar en diferencias sistemáticas de respuesta entreunidades experimentales. Será obvio que para detectar estas diferen-cias, las unidades experimentales deberán ser lo más homogéneasposibles; esto es, que la variación entre unidades experimentales uni-formemente tratadas va a ser menor en relación con las diferencias detratamiento. Si esto no ocurre, la variación de las unidades experi-mentales pueden resultar en un fracaso para encontrar diferencias detratamientos; los cuales van a ser importantes para la investigación.

Desafortunadamente, las unidades experimentales generalmente noserán homogéneas porque, ellas poseen diferentes propiedades físicasinherentes para una o más características. Frecuentemente detrás delcontrol del experimentador, estos factores inherentes causan diferen-cias sistemáticas entre las unidades experimentales creando fuentes devariación no deseadas. Estas fuentes son de escaso interés práctico yno están relacionadas con el estudio. Por esta razón, se conocen comofuentes extrañas de variación. No es necesariamente cierta que todasestas fuentes de variación sean conocidas por el experimentador. Sa-bemos que estos factores pueden ser usados para clasificar las unida-des experimentales en subgrupos más homogéneos, aunque también

Palacios C. Severo

88

son conocidos como factores de clasificación, hasta tanto ellos sean deinterés para el experimentador.

Mientras el error experimental es una variación aleatoria, no todavariación aleatoria es error experimental.

La variación entre unidades muéstrales dentro de las unidades expe-rimentales es también una variación aleatoria, pero, no debe dárselemucho valor al juzgar los efectos de los tratamientos. Los tratamientosson parte de la estructura de la unidad experimental y hay una dife-rencia básica entre la clasificación y los factores de tratamiento. Losfactores de clasificación son propiedades inherentes a la unidad expe-rimental y solo raramente pueden ser cambiados por el experimenta-dor.

Cada combinación específica de niveles de factores se denomina tra-tamiento.

Ejemplo 3.30Se planea un experimento para evaluar el rendimiento de un tubércu-lo en función del tipo de variedad V1, V2 y V3 y los nutrientes N y P alos niveles (10; 30) y (20; 40) respectivamente. Los posibles 12 trata-mientos VNP son:

)40,30,(

)40,10,(

)40,30,(

)40,10,(

)40,30,(

)40,10,()20,30,()20,30,()20,30,(

)20,10,()20,10,()20,10,(

3

3

2

2

1

1

321

321

V

V

V

V

V

VVVV

VVV

El concepto de tratamiento implica que:

1. Cualquier unidad experimental esta en capacidad de recibircualquier tratamiento.

2. La asignación de tratamientos a la unidad experimental esta ba-jo el control del experimentador.

Bajo esta definición, en un experimento que compare medicamentospor ejemplo, el género nunca podrá ser considerado como un factor(tratamiento). El género de un sujeto particular es una propiedadintrínseca del sujeto que no podrá ser asignado al experimentador.Los medicamentos, sin embargo, constituyen un tratamiento dado quea cada sujeto incluido en el estudio (unidad experimental) se le puedeasignar un medicamento.


89

La distinción entre tratamiento y factores de clasificación no es abso-luta. Estos tratamientos serán aplicados a muestras de madera consuperficies ásperas o suaves. La superficie de madera no representaun factor tratamiento a menos que el experimentador pueda especifi-car los tipos de superficies de las piezas. Así, si el experimentador tieneuna oferta de pedazos ásperos de madera y puede decidir cuales sonsuaves, entonces el tipo de superficie será un factor tratamiento. Si eltipo de superficie es una propiedad intrínseca de las especies madera-bles elegidas, entonces será un factor de clasificación.

Como afirman Cochran y Cox (1957), los tratamientos deben tener lassiguientes particularidades:

1. Presentar la finalidad, es decir si pretende simplemente mostraral ganador entre los diferentes tratamientos o si además sedesean encontrar indicios acerca del comportamiento de los tra-tamientos. Un caso particular, es el ensayo con un fertilizantecompuesto de dos sustancias A y B principalmente. El resultadono muestra si la efectividad del fertilizante se debe a alguno delos dos componentes o a los dos conjuntamente. Será necesarioun experimento más extenso, con tratamientos adicionales queden luces sobre éste hecho. Si el propósito es encontrar el mejorde los tratamientos prácticos, entonces ciertos tratamientospueden omitirse por su no practicidad.

2. La respuesta en algunos casos, puede deberse a las condicionesbajo las cuales se aplica un tratamiento dependiendo del mediocircundante a este, tal vez habrá un favorecimiento en su efectosobre las unidades experimentales. Esta situación es muy fre-cuente en trabajos con sustancias químicas aplicadas sobre sue-los, en los que su efecto sobre las plantas se ve comprometidocon los componentes del terreno, o de las plantas mismas. Luegodebe decirse si habrá controles sobre el terreno, por ejemplohomogenizando el suelo mediante la aplicación de estos compo-nentes en cantidades considerables (estas decisiones se tomanprevio un análisis de suelos). No se debe perder de vista la po-blación sobre la cual se desea hacer inferencia, porque un pro-cedimiento como el descrito, tal vez cambie la población objeti-vo.

3. Los tratamientos propuestos, generalmente no son los que en lapráctica se prueban. Por desconocimiento, por descuido, pormateriales, instrumentos, etc., se obtienen tratamientos diferen-tes a los de interés. Un caso muy común es cuando un tratamien-

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to está definido para ser aplicado de una forma específica y re-sulta aplicándose de otra; por ejemplo una sustancia para con-trolar plagas, la cantidad aplicada puede ser alterada, o el mo-mento de su aplicación puede ser diferente. Aquí, de una parte seha modificado la dosis, y de otra, el tiempo hace que los anima-les a controlar estén posiblemente en una etapa de su desarrollodiferente a la prevista.Siendo extremistas, se puede afirmar que la mayoría de los tra-tamientos en el acto no corresponden a la definición original;por más cuidado que se tenga en mantener una cámara de mu-chas temperaturas, se procura naturalmente, que estas esténmuy cerca de 20oC durante el ensayo, por ejemplo.

4. En muchos experimentos se presenta la necesidad de un trata-miento testigo o control. Este término se refiere a un tratamien-to en el que no se tiene un interés particular, pero puede servirde comparación para revelar si los demás tratamientos son efec-tivos. Se recomienda la inclusión de un testigo cuando las condi-ciones físicas, químicas, ambientales, etc., donde se apliquen lostratamientos enmascaran la relevancia de éstos; por ejemplo, elcaso donde la fertilidad de un terreno sea muy alta tenderá a es-conder el efecto del nutriente adicional. Otras situaciones se pre-sentan en animales, en los cuales sus rasgos genéticos, condicio-nes fisiológicas o morfológicas, no revelarán claramente la efec-tividad de las dietas en la ganancia de peso. Otra justificaciónpara la consideración de un testigo suele ser cuando existe undesconocimiento muy alto acerca de la efectividad de los trata-mientos objetos de estudio.

V. CONTROL DE LA VARIACIÓN DEL NO TRATAMIENTO

Para hacer valida la comparación entre tratamientos, se deben sepa-rar los efectos de fuentes extrañas de variación de los efectos de tra-tamientos y de la estimación del error experimental. Si esto no se pue-de hacer, se obtendrán estimaciones sesgadas tanto de las diferenciasde tratamientos como del error experimental.

Lo que se necesita son métodos a través de los cuales la variación de-bida a fuentes distintas a los tratamientos sea controlada, de tal formaque los efectos de tratamiento puedan ser estimados en forma seguray adecuada. Los métodos que hacen esta distinción, están referencia-dos en forma conjunta como control del error.


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El objetivo principal de estos métodos, es obtener un estimador inses-gado del error experimental resultante de mejorar la precisión aso-ciada con la estimación de diferencias de tratamiento. Estos métodospueden ser técnicos (experimentales) o estadísticos.

Los métodos técnicos son aquellos impuestos por el experimentador.Selección de más unidades experimentales homogéneas. Esto incluyehacer condiciones ambientales más uniformes para mantener las va-riables potenciales constantes. El criterio para la selección del mate-rial deberá ser el de obtener el máximo beneficio con unos recursosdados (generalmente escasos). Sin embargo, el experimentador estalimitado a la disponibilidad de material con el cual debe realizar elestudio, aunque tenga pocas alternativas de elección en la unidad ex-perimental a ser usada. Consecuentemente, el uso de más unidadesexperimentales homogéneas no siempre es posible. Las unidades expe-rimentales deben ser lo más representativas de la población para lacual el experimento va a sacar conclusiones.

Por esta razón, controlando experimentalmente algunos factores ex-traños y manteniéndolos constantes en algún valor específico puedeseriamente limitar la aplicabilidad de los resultados experimentales.

La técnica experimental es responsabilidad del experimentador y debeser siempre examinada para asegurar que esta sea lo más precisaposible. En la mayoría de ocasiones, la variabilidad asociada con unatécnica determinada es relativamente pequeña, y hasta ahora solo seha podido obtener un muy limitado mejoramiento en la precisión delexperimento. Hay casos, donde los errores de técnica aumentan consi-derablemente la variabilidad. Tales errores deben prevenirse pero nosobredimensionarse.

Las técnicas estadísticas son métodos que deben obtener ventajas delas características de las unidades experimentales (diseño experimen-tal) y cuando hay información disponible adicional de tipo cuantitati-vo o cualitativo se tienen más ventajas. Una función básica de los di-seños de experimentos es la de reducir la necesidad de control exactodel ambiente experimental, dado que el control de dichos factores escostosa y tediosa. Es a través del diseño de experimentos que las fuen-tes conocidas de variabilidad se controlan. Esto se consigue arreglan-do las unidades experimentales en subgrupos más homogéneos cono-cidos como bloques los cuales están basados en valores comunes de losfactores de clasificación. Haciendo esto, algunas de las variacionesnaturales entre unidades experimentales son asociadas con otro factor

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cuya contribución a la estimación del error experimental puede sereliminada.

En muchos experimentos la precisión de la comparación de tratamien-tos puede ser aumentada usando variables concomitantes y/o auxilia-res, este tipo de análisis, conocido como el análisis de varianza se re-comienda usar cuando la variación entre unidades experimentales es,en parte, debida a la variación en algún otro carácter medible no sufi-cientemente controlable, para ser usada en la asignación de unidadesexperimentales a los bloques sobre las bases de resultados similares.Frecuentemente, la agrupación de estas variables cuantitativas enbloques, construidos a partir de rangos de valores no es efectiva yaque la variación dentro de bloques puede ser más grande. Más aún, sepuede requerir mucho más grados de libertad para controlar estefactor. Este aumento de los grados de libertad puede ser usado paraestimar el error experimental.

El control estadístico a través del uso del bloqueo y/o el análisis de lavarianza elimina la variación debida a fuentes extrañas conocidas. Esa través de la aplicación de la aleatorización, como las fuentes de va-riación desconocidas para el experimentador pueden ser controladas.El concepto de aleatorización y su función se discuten mas adelante.

Como última consideración, el incremento en la repetición, no reduceel error de la varianza, pero mejora la precisión de las estimacionesdado que el error estándar se disminuye proporcionalmente a la raízcuadrada del tamaño de la muestra. Este incremento en la cantidad dereducción que debe realizarse aumentando las replicaciones, solo de-berá realizarse cuando todas las demás opciones han sido eliminadasy la precisión deseada no ha sido obtenida.

VI. PROPIEDADES DEL DISEÑO ESTADÍSTICO

Finney (1955) establece que por el diseño de experimentos se entiende:

a) Especificaciones de las unidades experimentales a las cuales lostratamientos han sido aplicadas.

b) Especificaciones de mediciones que pueden ser tomadas en cadaunidad experimental.

Selección de un grupo de tratamientos para comparación. Mientras laresponsabilidad principal es del experimentador, la estadística contri-buye respecto a la elección óptima de las combinaciones de tratamien-


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tos a ser usadas, por ejemplo, en un experimento factorial fraccionadoo en la exploración de superficies de respuesta. Esto se conoce como undiseño de tratamientos.

La asignación de los tratamientos a las unidades experimentales(aleatorización), esto es lo que caracteriza el diseño estadístico de ex-perimentos.

El diseño estadístico de experimentos es esencialmente el plan paraponer a funcionar el experimento, especificando el arreglo de las uni-dades experimentales en el tiempo y/o espacio y el patrón de observa-ciones que van a reportar información.

El diseño, por lo tanto, es una secuencia compleja de etapas tomadaspara garantizar que los datos serán obtenidos de la forma que permi-tan un análisis objetivo, soportado en inferencias válidas respecto alplanteamiento del problema, el cual debe ser lo más preciso posible yademás viable económicamente.

El diseño de un experimento es una función importante, dado que nin-guna técnica estadística puede revelar información no implícita ini-cialmente en los datos.

Para cualquier grupo de datos, el análisis apropiado de los mismos esdeterminado por el diseño de experimentos. La habilidad, por lo tanto,de obtener un análisis significativo se basa inicialmente en la forma enque se han recolectado los datos. Un buen diseño experimental, esaquel que proporciona la información requerida con el mínimo esfuer-zo experimental. Muchos criterios han sido propuestos para contarcon un experimento estadísticamente válido. En general, los requisitosestadísticos para el buen diseño de experimentos son:

Proveer estimaciones insesgadas para los efectos del tratamien-to. Hasta donde es posible la comparación de tratamientos de-ben estar libres de sesgos sistemáticos. Es la comparación detratamientos el interés principal, por lo tanto es de primordialimportancia que estas comparaciones reflejen diferencias debi-das a los tratamientos, y no a las diferencias inherentes a lasunidades experimentales. Es importante que el experimento estediseñado para asegurar que las unidades experimentales quereciban un tratamiento especifico no difieran de otros trata-mientos.

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Requerir que la precisión asociada con la estimación de efectoseste de terminada al mismo tiempo que las estimaciones mis-mas. En este sentido, el experimento esta auto contenido. Paraesto, debe haber una medición del error experimental. Esta es-timación es necesaria para asegurar la significancía estadísticade las diferencias de tratamientos. Si esta estimación no es in-sesgada, se presentará una pérdida de eficiencia del experimen-to lo cual conllevara a un desperdicio de tiempo, materiales ydinero. Si el experimento no provee una estimación del error ex-perimental, será necesario usar una estimación de un experi-mento previo. La validez del procedimiento se basa en el hechoque la magnitud del error experimental deberá permanecer in-variante desde el último experimento (un supuesto que frecuen-temente es insostenible).

Las comparaciones de tratamientos, deben de ser lo suficientementeprecisas para detectar las mínimas diferencias de importancia prácti-ca para el investigador. Cuando se comparan tratamientos, si existenunas mínimas diferencias esto proveerá una ganancia real. Así, si untratamiento debe ser cambiado por otro, este debe ser mejor, aunquesea por una mínima diferencia. Claramente el experimento deberátener suficiente precisión para detectar tales diferencias o de lo con-trario no tiene sentido realizarlo. La precisión de un determinado ex-perimento dependerá de:

1. La variabilidad intrínseca del material experimental y de la pre-cisión del trabajo experimental.

2. La cantidad de replicaciones del tratamiento, y3. El diseño del experimento. Las conclusiones tienen un rango amplio de validez. Las

condiciones encontradas en la práctica, nunca serán exac-tamente las obtenidas cuando se lleva a cabo el experimento.Deben procurarse que las conclusiones sobre los resultadosdel experimento se hagan sobre condiciones similares delexperimento. Si las conclusiones se aplican, deberá haberconfiabilidad de que las condiciones donde se apliquen seansimilares. Cumpliendo esto el experimento debe tener unrango amplio de validez. Entre más amplio sea el rango decondiciones investigadas en el experimento, mayor será laconfiabilidad de estas conclusiones cuando no cumplan lascondiciones de homogeneidad, en aquellos casos donde lascondiciones sean algo distintas.


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Se debe tener cuidado, para verificar que la organización delexperimento no se torne muy compleja y tener en cuentaademás que si un grupo de tratamientos no es investigadototalmente, no se podrán obtener conclusiones significati-vas.

El diseño debe ser lo más simple posible para alcanzar los objetivos delexperimento. La selección del diseño depende de la naturaleza de lasfuentes de variación en el material experimental. Se debe elegir el di-seño más simple posible que permita controlar adecuadamente la va-riabilidad conocida. A medida que el diseño experimental se torna máscomplejo, hay una menor flexibilidad haciendo difícil la organizaciónlo cual puede llevar a cometer errores cuando se realiza el experimen-to. Entre más simple el diseño, más fácil será llevar a cabo ajustes porlas equivocaciones que siempre suelen aparecer.

Una consecuencia general de los experimentos comparativos es quepuede conducir a decisiones administrativas, mientras es verdad quela hipótesis nula para igualdad de efectos de los tratamientos siempreserá rechazada dados determinados recursos, se debe recordar que elmanejo de la no significancía implica equivalencia. Algunas accionesdeberán tomarse siempre sobre la base de los resultados obtenidos;bien sea, mantener todo tal cual o cambiar por un nuevo tratamiento.

Las decisiones diarias son un proceso de dos etapas:

1. Examen (análisis) de las probabilidades asociadas a los datosestimados con las conclusiones (acción estadística).

2. Basados en estos resultados, se toma la decisión para implemen-tar una acción (decisión de gestión).

El trabajo del estadístico es el de presentar las probabilidades de laprimera etapa lo más acertadamente posible para lograr minimizar elnúmero de decisiones incorrectas a tomar en la segunda etapa.

Un buen diseño de experimentos puede ser obtenido al aplicar losprincipios básicos establecidos por Fisher (1935). Ellos son:

1. Replicaciones de algunos o todos los tratamientos para estimarla magnitud del error experimental.

2. Aleatorización de los tratamientos a las unidades experimenta-les para tener así una estimación válida del error experimental

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así como estimaciones insesgadas de los efectos de los trata-mientos.

3. El uso del control local de fuentes de variación extrañas conoci-das a través del uso de sub-grupos homogéneos de unidades ex-perimentales.

En el diagrama de Fisher, según las condiciones del experimento, seescoge el diseño experimental, se formula un modelo lineal apropiadoy se lleva a cabo el análisis estadístico basado en la escogencia deldiseño y del modelo.

Diagrama de Fisher Principios de la experimentación

Para mayor claridad se lleva a cabo en las siguientes secciones unaexplicación más amplia de estos principios.

VII. REPLICACIÓN

Es el proceso de repetir en condiciones similares el experimento paracada tratamiento se denomina replicación. Cuándo el número de re-plicaciones es igual para todos los tratamientos el diseño se denominabalanceado, en caso contrario se dice que es desbalanceado. Un núme-ro adecuado de replicaciones permite al experimentador obtener unaestimación del error experimental.

La replicación es la asignación del mismo tratamiento a más unidadesexperimentales, o sea que hace referencia al número de unidades ex-perimentales de cada tratamiento, no al número de observaciones. Elpropósito de la replica es proveer una estimación del error experimen-tal. Se obtiene de comparar unidades experimentales tratadas igualpero que antes del experimento tenían la oportunidad de ser tratadasde manera diferente. Las múltiples mediciones tomadas en una unidadexperimental no satisfacen esta definición, dado que esto no es replica-ción; las repeticiones reducen la variación asociada con mediciones


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y/o errores muéstrales, pero no proveen ninguna información rela-cionada con los errores experimentales.

Además de proveer una estimación de error experimental, las replica-ciones aportan la precisión del experimento al reducir el error están-dar asociado con la comparación de tratamientos. Esto se desprendedel hecho que la varianza de la media disminuye inversamente pro-porcional a la raíz cuadrada del número de replicas. Esto provee unaforma para controlar el tamaño de la varianza del error.

A pesar de que el incremento en el número de replicaciones da preci-sión a las estimaciones, éstas no se pueden incrementar indefinida-mente. Un punto para su disminución se alcanza cuando el incrementoen los costos de la experimentación no es compensado con una reduc-ción en la varianza. Cuando el número de replicas se torna demasiadogrande, y las diferencias entre tratamientos detectadas son demasiadopequeñas, la importancia práctica que resulta es una pérdida de re-cursos valiosos.

Las replicaciones también proveen formas para incrementar el rangode las condiciones estudiadas en el experimento. No hay requisitospara que las replicaciones sean adyacentes en tiempo o espacio, dadoque cuando se usan conjuntamente con el control local se puede inves-tigar un mejor rango de condiciones experimentadas.

VIII. ALEATORIZACIÓN

La aleatorización es fundamental para que el diseño de un experimen-to sea válido. Es el procedimiento que permite que cada unidad expe-rimental tenga iguales condiciones para recibir cualquier tratamiento.Esto no significa que el experimentador podrá escribir como quiera laidentificación de tratamientos (nombres o símbolos) en el orden que sele ocurra. La aleatorización es un proceso físico que asegura que cadatratamiento tenga igual probabilidad de ser asignado a cualquierunidad experimental. Este es el punto en el cual, el procedimiento ex-perimental con las leyes de azar son explícitamente introducidas. Deacuerdo con Brownlee (1957) una de las principales contribucionesque el estadístico puede hacer es insistir en la aleatorización del expe-rimento.

La aleatorización es necesaria ya que provee las bases para obtenerun tests válido de significancía al destruir cualquier sistema de corre-

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lación que pueda existir entre las unidades experimentales. Un supues-to valido que resalta el análisis de varianza es que los errores experi-mentales son independientes. Es bien sabido que los errores asociadoscon las unidades experimentales adyacentes en tiempo y/o espacioestán correlacionados. Una correlación positiva entre las unidadesexperimentales va a tener una mayor varianza del tratamiento que silas observaciones fueran independientes. Consecuentemente la proba-bilidad del error tipo I será mayor que el valor preestablecido. Conuna correlación negativa, los efectos son opuestos a aquellos con unacorrelación positiva. Con la asignación de tratamientos al azar con lasunidades experimentales, posiblemente sujetas a las restricciones, elefecto de la correlación se disminuye entre las unidades experimenta-les. La aleatorización no hace que los errores sean independientes peroasegura que, en promedio, las correlaciones sean cero. Como resulta-do, los datos pueden ser analizados si el supuesto de independencia delos errores es verdadero.

Una segunda función de la aleatorización es la de proveer medios pa-ra evitar sesgos en la estimación del error experimental y los efectosde tratamiento. La estimación del error experimental se obtiene com-parando las unidades experimentales tratadas de manera similar.Para que esta estimación sea válida, es necesario garantizar que lasunidades experimentales tratadas de manera similar no sean diferen-ciables de manera relevante de las unidades experimentales tratadasde manera distinta. La forma de asegurar que la estimación del errorsea válida se obtiene realizando una asignación aleatoria de los tra-tamientos.

La aleatorización también provee estimaciones insesgadas de los efec-tos de tratamiento al controlar los efectos de fuentes de variación des-conocidas. Esto provee la seguridad de haber asignado adecuadamen-te estas fuentes de variación, las cuales deben ceñirse a normas dondeel experimentador no tiene ni el tiempo ni el conocimiento para inves-tigar, pero que de otra forma, podrán conducir a conclusiones erra-das. Esta es la única forma de asegurar que la comparación entretratamientos no sean sesgadas por un tratamiento que fue asignadode manera premeditada, para hacer mejores o peores algunas unida-des experimentales. La aleatorización romperá cualquier patrón aso-ciado con factores desconocidos de tal forma que ningún tratamientoserá favorecido frente a los demás. La aleatorización nunca elimina lavariación causada por factores extraños desconocidos, pero distribuye


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sus efectos en promedio, equitativamente sobre todos esos factoresextraños.

Finalmente, la aleatorización es necesaria para abolir los sesgos per-sonales, conscientes e inconscientes, de las personas que intervienen enel experimento, incluyendo al experimentador. La historia cuenta conun gran número de experimentos en Inglaterra sobre efectos de comi-da suplementaria para colegios de niños de distritos pobres que fueroninválidos porque la selección de los niños fue dejada en manos de losprofesores. Parece ser que se les asignó el mejor suplemento a los ni-ños más desnutridos.

Hay un problema que aparece al aplicar la aleatorización cuando elnúmero de unidades experimentales es muy pequeño. En estos casos esposible que los arreglos producidos por la aleatorización aparezcan alexperimentador como bien, deseables o inaceptables. Por ejemplo, lasecuencia:

XXXYYYZZZ

Es apenas una forma de las 1670 secuencias posibles de tres trata-mientos con tres replicas en el tiempo. Este patrón sin embargo, pro-bablemente no será aceptado por la mayoría de experimentos. Talrelación sugiere, una falta de conocimiento por parte del experimen-tador. Youden (1964) sugiere tres formas para manejar esta dificul-tad, todas ellas, colocando restricciones a la aleatorización:

1) Incorporar al diseño de experimentos la condición que hace elarreglo inaceptable, esta sería la mejor forma para manejar elproblema. Tal vez no sea práctico o deseable, sin embargo, paraintroducir estas futuras restricciones al diseño puede ocurrirque:

a) Pierde grados de libertad en la estimación del error expe-rimental debido a la eliminación de la otra fuente de va-riación que puede no estar completamente compensada.

b) El experimento se vuelve más complicado, oc) Que se hayan usado hasta ahora distintos sistemas de

agrupación.2) Rechazar arreglos extremos cuando ellos ocurran y re-

aleatorizar: el mayor problema aquí será el de determinar sub-jetivamente lo que es un arreglo extremo. Si esto se puede hacer,entonces esta será una solución más razonable.

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3) Seleccionar un diseño al azar de un grupo predeterminado dearreglos aceptables.

IX. CONTROL LOCAL

Al proceso de clasificación de las unidades experimentales en gruposhomogéneos, se le denomina Control Local.

Ejemplo 3.31Un ejemplo de control local en el ejemplo 3.30 puede ser controlar elnivel de fertilidad del terreno. Para esto se determinan unidades ho-mogéneas de terreno llamadas bloques según el grado de fertilidad,cada bloque se subdivide en parcelas de igual área preferiblemente ysobre estas se aleatorizan los tratamientos buscando que cada unidadexperimental reciba un único tratamiento y que la totalidad de lostratamientos estén en el bloque (caso de bloques completos).

Una función primaria del diseño de experimentos es el de reducir elcontrol exacto del ambiente experimental debido a que tal control esun hecho costoso y tedioso, y presume que todos los factores que influ-yen han sido identificados.

La función principal del control local es la de eliminar los efectos defuentes conocidas de variación extrema.

El control se acompaña del bloqueo de las unidades experimentales. Elbloqueo es un arreglo de unidades experimentales en grupos más ho-mogéneos, basados en características comunes, de los factores de cla-sificación. Los tratamientos se asignan a las unidades experimentales,basadas en la estructura de bloques, así el uso de control local colocaalgunas restricciones en la aleatorización de tratamiento a las unida-des experimentales. Para alcanzar la máxima eficiencia con el blo-queo, es necesario el conocimiento relacionado con varios factoresextraños que afectan las unidades experimentales, información quesolo el experimentador puede proveer.

El bloqueo a las unidades experimentales se debe hacer de tal maneraque se asocien a fuentes asociadas de variación extrema con diferen-cias entre bloques, en este caso se debe cumplir que:

1) Una estimación más precisa del error experimental debe ser ob-tenida, puesto que la contribución de estos factores, extraños seeliminan, introduciendo además eficiencia al experimento debi-


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do a que se podrán detectar menores diferencias entre los tra-tamientos y

2) Las comparaciones de tratamiento no serán sesgadas por dife-rencias en las unidades experimentales debido a los factores ex-ternos.

La aplicación de control local (bloqueo) no remueve el requisito dealeatorización, solo impone restricciones al tope de aleatorización quese llevará a cabo.Para todos los diseños, la asignación aleatoria de tratamientos a lasunidades experimentales dentro de los límites impuestos por el controllocal es esencial para poder tener así una interpretación válida de losresultados.

La relación de los tres principios básicos de un buen diseño de experi-mentos es la clave de la estructura que provee una estimación delerror experimental y a través de la aleatorización, se asegura la vali-dez de las estimaciones y de las pruebas de significancía. La replica-ción también trae consigo una reducción de los errores de la estima-ción directamente por medio de la relación n/ e indirectamente através de la determinación de un sistema de control local.

X. CLASIFICACIÓN DE LOS DISEÑOS

El diseño de un experimento depende solamente de los supuestos rela-cionados con las propiedades de las unidades experimentales; esen-cialmente tales características, determinan las restricciones que debenser colocadas al aleatorizar los tratamientos a las unidades experi-mentales, las cuales a su vez determinan el tipo de diseño experimen-tal, los cuales pueden ser clasificados como: sistemáticos y al azar.

Los diseños sistemáticos poseen un patrón regular para la asignaciónde tratamientos a las unidades experimentales. Las razones dadaspara usar un diseño sistemático frecuentemente son:

1) Simplicidad, siendo extremadamente sencillo de aplicar.2) Provee muestreo adecuado del material experimental.3) Lleva a colocaciones inteligentes u ordenamiento natural de los

tratamientos.4) La aleatorización no es necesaria, dada que la heterogeneidad

de las unidades experimentales por si solas aleatorizan los efec-tos de tratamientos.

Las desventajas de los diseños sistemáticos son:

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1) El arreglo de los tratamientos, puede combinarse con un patrónen variaciones no controladas que producen errores sistemáti-cos en la estimación de los efectos del tratamiento.

2) No hay una estimación válida de la varianza del error.

En los experimentos al azar, la aleatorización elimina esta desventaja,esta es la razón para que estos experimentos sean de tanta importan-cia. Estos experimentos pueden ser subdivididos, de acuerdo con lassiguientes restricciones: ninguna (irrestricto), única y múltiple. Deacuerdo con las restricciones impuestas los diseños pueden ser clasifi-cadas como completos e incompletos, dependiendo si los tratamientosocurren con la misma frecuencia o no, dentro de cada restricción quese le impone al experimento que se ha definido. Los diseños de bloquesincompletos serán clasificados después como balanceados o parcial-mente balanceados, dependiendo de la varianza asociada con lascomparaciones pareadas.

Al seleccionar un diseño, se deberá elegir el más simple posible quesatisfaga los requisitos del experimento elegido. Si ningún diseño co-nocido esta disponible para el análisis, este deberá ser construido. Unaxioma básico es el de diseñar para el experimento y no experimentarpara el diseño. Hay investigadores que piensan que la elección deldiseño y/o tratamientos experimentales deberán ser limitados paraaquellos que aparecen publicados en la literatura especializada, deesta forma se forzó innecesariamente al experimentador a modificarel experimento y ajustarlo al diseño conocido. Aún cuando un diseñoestándar haya sido usado para determinar si los objetivos del experi-mento han sido logrados, siempre se hace necesario la verificación ysu análisis estadístico.

1. Sistemático. Los tratamientos son asignados a las unidades ex-perimentales de acuerdo a algún patrón predeterminado. Talesdiseños no proveen estimaciones válidas del error experimental.

2. Aleatorizados. La asignación de los tratamientos a las unidadesexperimentales depende de algún patrón de aleatorización. Solopara estos diseños, las técnicas de análisis de varianza son vali-das.a) Irrestrictos. La aleatorización no está restringida a ningún

arreglo de las unidades experimentales.b) Restricción Única. La aleatorización se restringe a un único

requisito determinado en el arreglo de las unidades experi-mentales. Estos son los diseños de bloques.


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c) Balanceado. Se obtiene la misma precisión para cada par decomparaciones entre tratamientos.

d) Parcialmente Balanceado. La precisión no es constante paracada par de comparaciones, pero depende de los tratamien-tos involucrados.

e) Restricciones múltiples. La aleatorización se restringe a doso más requisitos localizados en los arreglos de las unidadesexperimentales. La misma subclase general existe para estosdiseños como en el caso de los diseños de bloques.

XI. ESTRATEGIA DEL DISEÑO

En la selección de un diseño experimental se debe tener en cuenta lascaracterísticas propias de la disciplina en donde se realiza; a pesarque los principios estadísticos son los mismos, las estrategias frecuen-temente son distintas.

La estrategia experimental depende del tiempo para realizar el expe-rimento, el costo de la experimentación y la cantidad de variación enel material experimental, como así mismo el factor climático a la cualse someten los experimentos.

El hecho de que no haya una única estrategia de experimentación,puede ser ilustrada por la comparación entre los experimentos agríco-las y los industriales.

En general, los experimentos agrícolas:

1. Requieren un tiempo más largo, frecuentemente meses, y en al-gunos casos se extienden hasta años, cuando se relacionan concultivos perennes

2. Por ejemplo. Usualmente presentan una mayor variabilidad en-tre las unidades experimentales. Es casi imposible alterar o mo-dificar estos experimentos una vez ha comenzado. Consecuente-mente, el campo de la experimentación agrícola debe estar auto-contenido, y así frecuentemente involucran diseños más am-plios, comprensivos y complejos, de tal manera se puede obtenermucha información de cada experimento.

Por el otro lado, la mayoría de experimentos industriales satisfacenque:

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1. La capacidad para realizar experimentos pueden ser muy rápi-dos, el tiempo de intervalo puede ser solo uno o unos pocos díasinclusive horas, y

2. La variación natural entre las unidades experimentales es gene-ralmente muy pequeña.

Más aún la mayoría de la experimentación se hace secuencialmente,dado que los resultados están disponibles para su análisis antes determinar el experimento. Como resultado, hay una gran flexibilidad.Como cada observación o grupo de observaciones están disponibles, lasituación puede ser revisada antes de comenzar un próximo grupo deensayos. Con base en los resultados, una decisión como que hacer lue-go permite hacer ajustes respectivos en el diseño de experimentos.

Consecuentemente, se puede usar secuencias de experimentos máspequeños, y simples, esta es una ventaja.

Box (1957) notó una paradoja interesante respecto al diseño de pro-gramas experimentales; el único tiempo en el cual el programa deexperimentación puede ser diseñado adecuadamente es después dehaber sido culminado. Es común encontrar en la culminación de unprograma que:

1. Una o más variables probablemente hayan sido omitidas del ex-perimento.

2. Una o más variables originalmente incluidas en el experimentoaparezcan con un pequeño efecto, por lo tanto no son tan impor-tantes como se pensó al principio.

3. Un diseño experimental más complejo se necesita para solucio-nar adecuadamente los problemas.

4. Algunas transformaciones a las variables podrán ser apropia-das.

La experimentación deberá involucrar indeterminaciones como elhecho que dos experimentadores, que estudian el mismo problema,tendrán la misma opinión relacionada con estos items. Si determinarauna serie de normas sobre sistemas de experimentación rígidos quepuedan abolir estas dificultades, tendrán como único resultado el sa-crificio en el conocimiento del experimentador, su experiencia e ima-ginación.

XII. DISEÑO DE TRATAMIENTOS


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Cada uno de los diseños que controlan el error mencionados en la ta-bla 3.9 se usa con el fin de comparar los tratamientos entre si. Sinembargo los tratamientos son seleccionados según alguna estructura,en particular una estructura factorial, la cual se refiere al diseño delos tratamientos. Estos se seleccionan de acuerdo a las metas ó intere-ses de la investigación, el material experimental y los factores dispo-nibles. La escogencia de los tratamientos estará enmarcada dentro deun apropiado diseño que controle el error. Dentro de la estructurafactorial de tratamientos se conocen dos clases. Las estructuras facto-riales simétricas y las estructuras factoriales asimétricas. En la pri-mera, se tienen k factores cada uno s niveles, donde s es un entero, eneste caso se tienen sk tratamientos. En la segunda estructura, se tienenk1 factores con s1 niveles, k2 factores con s2 niveles, … km factores consm niveles, el cual tiene en total jk

j

m

jmk

m

kk sssst 12

21

1 ... tratamientos.

Tabla 3.9 Efecto de diseño de control del errorFactores de control del

diseño aleatorizado Tipo de diseño Caracterización

0 Diseño completamentealeatorizado

1 Diseño en bloquealeatorizado

1. Diseño Bloque Aleatorizado.2. Diseño Bloque Aleatorizado

generalizado3. Diseño Bloque Incompleto4. Diseño Bloque extendido5. Diseño Bloque por franjas.

2 Diseño cuadradolatino

1. Diseño cuadrado latino.2. Diseño cuadrado latino

incompleto3. Diseño Cross - Over

3Diseño cuadradolatino replicado.Cuadrado grecolatino

>3 Cuadrado latino mu-tuamente ortogonales

Cuando se desea reducir el tamaño del experimento considerado pormotivos muchas veces de tiempo y costos, se trabaja con un diseño detratamientos factorial fraccionado.

XIII. DISEÑO DE MUESTREO

Lo más importante de un diseño de control del error con sub muestreoes la separación del error experimental y el error observacional (o de

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106

muestreo), o más precisamente, la separación de la varianza del errorexperimental y el observacional.

La noción de sub muestreo puede obviamente ser extendida a más deun nivel, por ejemplo, para cada unidad experimental se puede teneralgunas unidades muéstrales y luego para cada unidad muestral sepueden tener algunas unidades observacionales.

XIV. ESTUDIO EXPERIMENTAL

Para que el experimento sea exitoso, se deben tener en cuenta lo si-guiente:

1) Conocimiento claro del material experimental. Aunque parezcaobvio en la práctica, no siempre el desarrollo de un problemarequiere de experimentación ni es simple presentar un claro yapropiado estado del problema. Es necesario abordar todas lasideas sobre los objetivos del trabajo. Un claro estado del pro-blema frecuentemente contribuye a un mejor entendimiento delfenómeno y a una solución del problema.

2) Escogencia de factores y niveles. El experimentador debe selec-cionar las variables independientes o factores a ser estudiados,estos pueden ser cuantitativos o cualitativos. En el caso cualita-tivo hay que tener en cuenta como se controlarán estos valoresen los valores de referencia y como van a ser medidos. Es impor-tante seleccionar los rangos de variación de los factores y elnúmero de niveles a considerar, los cuales pueden ser predeter-minados o escogidos aleatoriamente del conjunto de los posiblesniveles.

3) Selección de las variables respuesta según los objetivos. En la es-cogencia de la variable respuesta o variable dependiente, el ex-perimentador ha de estar seguro que la respuesta a medir real-mente provee información sobre el problema de interés. Es nece-sario suministrar la forma como se mide esta variable y de serposible la probabilidad de ocurrencia de estas medidas.

4) Selección del diseño experimental. Este paso es de primordialimportancia en el proceso de investigación. Se debe indicar ladiferencia a la respuesta verdadera (que tan lejos se admite larealidad de lo observado), que se desea detectar y la magnitudde los riesgos tolerados (grado de confiabilidad), en el orden aescoger un tamaño de muestra apropiado (replicaciones); esprocedente señalar también el orden de recolección de los datosy el método de aleatorización a emplearse. Siempre es necesariomantener un equilibrio entre la exactitud y los costos. Se deben


107

recomendar planes que sean eficientes estadísticamente y eco-nómicamente viables. En la conducción de un estudio experi-mental es de esencial importancia la escogencia del diseño, estaescogencia depende de cuatro componentes:El diseño de tratamientos. En esta etapa se determinan los tra-tamientos a ser medidos en el estudio, es decir se establecen cua-les y cuantos tratamientos se deben aplicar teniendo en cuentala naturaleza del experimento. El interés del investigador en elsentido de decidir cuántos factores deben incluirse, cuántos nive-les de factores se deben identificar en cada factor y cuál es elrango razonable de cada factor. Los aspectos del diseño de tra-tamientos están estrechamente ligados con el diseño para con-trolar el error.Diseño de control del error. Por diseño de control del error seentiende la distribución aleatoria de los tratamientos en un planexperimental usando la regla de asignación aleatoria de los tra-tamientos a las unidades experimentales. Como ejemplos de con-trol de error se tienen los diseños completamente aleatorizados,bloques completos aleatorizados y cuadrados latinos. La esco-gencia del diseño depende de la variabilidad de las unidades ex-perimentales, la estructura de estas unidades y la precisión de laestimación deseada por el investigador.Estructura del control del error. Por esta se entiende la asigna-ción aleatoria de los tratamientos a las unidades experimenta-les.Muestreo y diseño de observaciones. Hace referencia a determi-nar el número de observaciones tomadas por tratamiento y uni-dad experimental, lo cual caracterizará los planes experimenta-les, con sub muestreo.Una vez definidas los componentes anteriores, la respuesta delvector R para el análisis seleccionado satisface la formulacióndel modelo estadístico apropiado está íntimamente relacionadocon la estructura del diseño de tratamientos, el diseño del con-trol del error y el muestreo de las observaciones.El diseño seleccionado se asocia a un modelo lineal de la forma

XY si el modelo es de efectos fijos, se descompone la va-riabilidad de la respuesta (variabilidad total) como una parti-ción ortogonal de las diferentes fuentes de variabilidad, es decir,

q

itotal iSCSC

1

)(

Palacios C. Severo

108

Donde:

YYSCtotal ´ y YPYSC Xii ´)( siendo tii

tiXi XXXXiP )( , i=1, …, q el

proyector ortogonal en el espacio columna deiX ; y para

iX elbloque X asociado con el i-ésimo factor de clasificación 421 :...:: XXXX

5) Conducción del experimento. Es el proceso de muestreo de reco-lección de datos. Sé entenderá que en el proceso haya un ajusteal plan (control). En la mayoría de las veces, la realización de unexperimento no es lo suficientemente fiel al proyecto de investi-gación, porque surgen situaciones no consideradas previamen-te, como en el caso de un cultivo atacado por plagas, el agota-miento producido sobre una unidad experimental que se estaevaluando, o la aparición de una característica no determinada.De todas formas, se debe tener en cuenta si estos imprevistos al-teran los propósitos del ensayo; de otra forma hay que tenerlosen cuenta en el análisis de los resultados.

6) Análisis de datos. Las variables que intervienen, o mejor, que seprocura sean considerados en un ensayo, pueden relacionarsematemáticamente de alguna forma. El problema no está en laconsecución de una expresión matemática sino en que tanto ex-plica la realidad dicha expresión. Es preferible renunciar a unbello modelo que aceptar una realidad deformada por el. En es-ta etapa se busca una fórmula matemática que explique el com-portamiento de una(s) variable(s) a través del comportamientode otras. Existen técnicas estadísticas, como el análisis de regre-sión que suministran estas relaciones. Se debe buscar que el mo-delo se analice junto con el especialista que lo está investigando.Una vez se ha seleccionado el diseño experimental, se establecela matriz de diseño X, el vector de parámetros β y se asocia a unmodelo XY el cual generalmente resulta ser de rango in-completo y estimado por el método denominado mínimos cua-drados a través de una matriz inversa generalizada de X. Parala estimación del modelo y análisis estadístico de los datos, sedebe tener en cuenta:

1. Estimación del modelo. Estimar mediante los métodos demínimos cuadrados o máxima verosimilitud los paráme-tros asociados al modelo, en este último método, se tieneen cuenta la distribución de la variable respuesta; por estemotivo la mayoría de los desarrollos realizados en estetexto se hacen asumiendo que la variable respuesta sigue


109

una distribución normal multivariada. Cuando el modeloes de rango incompleto, se realizan cálculos muy similaresal caso de rango completo, con lo cual simplemente los es-timadores son adaptados a este modelo.

2. La teoría de estimabilidad. Conocer los principales crite-rios para caracterizar las funciones estimables.

3. Pruebas de hipótesis. Conocer la estructura distribucionalde los estadísticos de prueba para las hipótesis de interés.

Una parte del análisis es el chequeo adecuado del modelo pro-puesto, lo cual conlleva a un examen crítico de las bases del mo-delo estadístico y su relación con los supuestos. En esta etapa re-cientemente el computador ha jugado un papel importante.Existen diferentes procedimientos y paquetes estadísticos quefacilitan el análisis de los datos. Un paquete estadístico es unconjunto de programas elaborados para el procesamiento de in-formación, los cuales se manipulan por medio de una serie deinstrucciones y comandos dirigidos a resolver problemas de laestadística. Entre los paquetes estadísticos de más amplia difu-sión en el área experimental podemos mencionar: el SPSS (Sta-tistical Package for Social Science), SAS (Statistical AnalysisSystem), Statgraphics.

7) Conclusiones y recomendaciones. Hecho el análisis de los datos,el experimentador puede extraer conclusiones (inferencia) sobrelos resultados.Las inferencias estadísticas deben ser físicamente interpretadasy su significancía práctica evaluada.Las recomendaciones deben de hacerse con base en los resulta-dos. En la presentación de estos se deben evitar el empleo determinología estadística seca y en lo posible presentar los resul-tados de manera simple. La elaboración de gráficos y tablas evi-ta la redacción de resultados y recomendaciones extensas y con-fusas.

Palacios C. Severo

110

Problemas

(105) Desarrolle un bloque completo para el ejemplo 3.31 para el con-trol del nivel de fertilidad del terreno.

(106) Determine el bloque de fertilidad para cada bloque que se subdi-vide en parcelas.

(107) Que los tratamientos del problema 100 sean unidades experi-mentales y reciban un único tratamiento y que estén por blo-ques.

(108) Una empresa farmacéutica desea evaluar por bloques una nue-vo producto para el control de la natalidad para ello recurre aun investigador conocedor del tratamiento de dichos productos.El análisis lo desarrolla en una comunidad cercana a la pobla-ción y obtiene datos que se tienen que corroborar a nivel macro.Se desea determinar el mejor bloque con el producto.

(109) Una capsula para el tratamiento del AH1N1 esta siendo probadaen una población para el cual se desarrolla un diseño por blo-ques, y cada bloque se subdivide en zonas de tratamiento. Sedesea determinar el bloque en donde se desarrolla con efectivi-dad el tratamiento de dicha capsula.

(110) Un plaguicida para el control de la mosca blanca se viene apli-cando en la zona agrícola de la población en donde se comprobóque dicha mosca viene desarrollando una plaga sin control. Sedesea desarrollar un diseño por bloques a fin de contrarrestardicha plaga.

(111) Un producto químico se desea probar para el control de la mos-ca de la fruta, el investigador desea desarrollar un diseño porbloques en diversas zonas agrícolas, para el cual trabaja en va-rios puntos con dicha plaga. Se desea evaluar dicho diseño conbloques a fin de eliminar dicha plaga.


111

(112) Un investigador se encuentra con un problema doble, ya que lasiembra de un producto viene infectado por una plaga, como asímismo las semillas están contaminadas con un producto quími-co que no permite el desarrollo sustancial de la planta. Para ellodesarrolla un diseño por bloques a fin de descartar dichos malesy obtener un buen producto al cosechar.

§4DISEÑO EXPERIMENTAL

APLICADO A CIENCIASNo existe la suerte. Sólo hay preparación adecuada o inadecuada para hacerfrente a una estadística.

Robert Heinlein

I. INTRODUCCIÓN

Fenómenos naturales. Al fin de esta definición y revisada correspon-den a la meta de la mayoría de los proyectos de investigación en lasciencias de la ingeniería.

Y como se logra todo esto. En la ciencia esto se hace a través de expe-rimentos definidos. La definición de experimento científico es unaprueba que se hace a fin de demostrar una verdad conocida o por co-nocer, examinar la validez de una hipótesis, o determinar la eficaciade algo previamente ensayado. Los físicos, químicos agrónomos, me-talurgistas, mineros, geólogos, y muchos científicos comparten el obje-tivo de entender y predecir causa y efecto.

II. LIMITACIONES

Palacios C. Severo

112

Los científicos en ciencias de la ingeniería tienen más facilidad enconstruir y llevar a cabo sus experimentos que los investigadores enlas ciencias sociales. Las sustancias químicas y los tubos de ensayo sonmás fáciles de controlar que los consumidores y las campañas de pu-blicidad. Algunas de las diferencias entre ambas ciencias que creaobstáculo para un experimento perfecto son:

Dispositivos imperfectos de medición: Los científicos puedenmedir y pesar sus resultados. En cambio las ciencias sociales a menu-do tienen que obtener sus datos preguntando a sus sujetos (cualitati-vos).Influencia de la medición en los resultados: Cuando se pesa untubo de ensayo esto no afecta ni altera el tubo de ensayo. Pero cuandose pregunta a una persona si alguna vez ha oído a un artista popularesto si afecta a la persona, pues habiendo escuchado anteladamente nolo asociaría.

Limitaciones de corto tiempo: Los científicos a menudo se demo-ran años, generaciones y hasta siglos en hacer descubrimientos con-cluyentes. En cambio casi todos los problemas de la sociedad requie-ren soluciones en días, semanas, a lo sumo en meses. Por esto, rara vezexiste el tiempo o el dinero para realizar un experimento en formatranquila y detallada.

Complejidad y control de las variables: El resultado esperado detodos los esfuerzos es el resultado de muchos factores diferentes queincluyen el producto, el precio y venta. Cada uno de estos factores a suvez, esta afectado por muchas otras. Comprenden o siquiera identifi-car, todas las posibles causas es virtualmente imposible, y más aún elpoder controlar con precisión en un experimento continuo.

Por esto y otras razones la experimentación científica de las cienciasde la ingeniería proporciona un estándar para los experimentos ysiempre que sea posible se debe tratar de traer los atributos de esosexperimentos para la aplicación

III. PREDICCIÓN

Los proyectos de investigación pueden considerarse en una jerarquíasegún el grado en que proporcionan hallazgos predictivos, la jerar-quía tiene tres etapas:


113

Investigación descriptiva: Simplemente plantea lo que existe odescribe algo que ha ocurrido en el pasado. No intenta inferir causa yefecto.

Investigación evolutiva: Añade juicio de valor a los datos descrip-tivos a fin de crear una dimensión de comparado con. Determina sialgo es mejor. Añade un elemento analítico implícito de causa y efecto.

Investigación predictiva: Da significado absoluto a los resultadosde las investigaciones. Pone causa y efecto en el tiempo futuro. Si ustedhace esto, entonces sucederá tal y tal caso.La investigación siempre aspira a alcanzar este nivel predictivo.

Los experimentos en la investigación constituyen un forma de moverlos proyectos a lo largo de las jerarquías y hacerla evaluativo y, aveces hasta predictivo.

IV. DISEÑOS EXPERIMENTALES

El uso del diseño experimental es esencial en el tratamiento de unida-des experimentales (cuantitativo) en investigación científica.

Si deseamos comparar n poblaciones se efectúa los diseños experimen-tales. Dichos diseños son conjuntos de reglas (estructurado) que sirvenpara asociar unidades experimentales.

Las unidades experimentales son datos a los cuales se aplica una cau-sa y efecto.

Para el análisis de las unidades experimentales procedemos a descri-bir cada uno de los diseños.

a) DISEÑO ALEATORIZADO

Todo experimento se determina por cierto complejo de condiciones, loscuales bien se crean artificialmente o bien se realizan independiente-mente de la voluntad del experimentador, y por los resultados del ex-perimento, es decir, por unos sucesos determinados que se observancomo resultado de haberse ejecutado dicho experimento de condicio-nes. Un experimento se considera dado, si están determinadas suscondiciones e indicado los sucesos.

Palacios C. Severo

114

Los experimentos se pueden dividir a grandes rasgos en dos clases.

En una de ellas las condiciones del experimentador determinan el mo-do unívoco la aparición o no de los sucesos que se emplean. Los resul-tados de tales experimentos pueden pronosticarse de antemano a basede las leyes de las ciencias naturales. Los experimentos de esta índolese denominan deterministas.

En otra clase de experimentos, con iguales condiciones, es posible laaparición de los sucesos que entre si se excluyen. El estudio teórico detales experimentos constituye precisamente el objeto de la teoría pro-babilística, esta última lleva el nombre de experimento aleatorio.Ventajas

b) Se pueden trabajar con un pequeño número de muestras de lapoblación, sin que esto disminuya la exactitud de los datos.

c) Se elimina la influencia del factor tiempo (cinética) sobre los re-sultados del experimento, las variantes cambian de lugar en losdiferentes períodos.

d) Es económico, ya que se trabaja con pocas muestras de la pobla-ción.

b) DISEÑO UNIFACTORIAL CON n NIVELES

En dichos diseños se analizan ciertos experimentos que se usan paracomprobar dos condiciones. A menudo se denominan experimentos decomprobación simple, los datos tienen pequeñas variaciones.

En la experimentación donde participan dos clases distintas de equi-pos, probeta, muestras, etc. con dos métodos distintos de niveles. Mu-chos experimentos de estos tipos implican más de dos niveles del fac-tor. En el presente explicaremos con detalle los diseños aleatorizados.

Ejemplo 4.32Se desea maximizar la fibra de llama que se emplea en una manufac-tura de alfombras. Se sabe por experiencia que la resistencia es influi-da por el porcentaje de algodón presente, además se sospecha queelevar el contenido de algodón incrementará la resistencia, el conteni-do de algodón debe variar aproximadamente entre 10 y 40 por cientopara que la alfombra resultante tenga otras características de calidadque se desean.


115

Se desea probar muestras a cinco niveles de porcentaje de algodón 15,20, 25, 30, 35 por ciento. Así mismo, decide ensayar cinco muestras acada nivel de contenido de algodón.

Este es un experimento unifactorial con a=5 niveles del factor y n=5repeticiones. Las 25 corridas deben hacerse al azar.

Se elige un número aleatorio entre 1 y 25 ver tabla 4.10. Supóngaseque este número es 8. Entonces la observación número, 9 (20% dealgodón) se corre primero. El proceso se repite hasta que se ha asig-nado una posición en la secuencia de prueba a cada una de las 25 ob-servaciones.

Tabla 4.10 Influencia del % de algodón a la fibra de llama% algodón Corrida experimental Total Media

1520253035

16111621

27

121722

38131823

49141924

510152025

La secuencia de pruebas aleatorizadas es necesaria para evitar que losresultados sean contaminados por los efectos de variables inconve-nientes desconocidas, que puedan salir del control durante el experi-mento. Supongamos que se corren las 25 pruebas en el orden no alea-torizado original (esto es, las 5 muestras con 15 por ciento de algodónse prueban primero, luego las 5 muestras con 20 por ciento de algodóny así sucesivamente).

Tabla 4.11 Maximizar la fibra de llama por la Influencia del % de algodón% algodón Corrida experimental Total Media

1520253035

71214197

718182510

1512182211

1118191915

918192311

49778810854

9,815,417,621,610,8

Total 376 15,04

Si la maquina que dan los resultados presenta un efecto de calenta-miento tal que ha mayor tiempo de funcionamiento menor lectura setendrá (influencia perturbadora), entonces dicho efecto contaminarálos datos de respuesta e invalidará el experimento. Si se efectúa enorden aleatorio.

Es bueno representar gráficamente los datos experimentales, en lafigura se muestran los diagramas de dispersión a cada nivel de por-centaje de algodón.

Palacios C. Severo

116

Diagrama de dispersión

Interpretando la gráfica indica que la resistencia aumenta con el au-mento del algodón, hasta un valor aproximado de este último de 30por ciento. Más halla del 30 por ciento ocurre un notable decrementoen la resistencia. No hay una fuerte evidencia que sugiera que la va-riabilidad en la resistencia al rededor del promedio dependa del por-centaje de algodón.

En base a este sencillo análisis gráfico, sospechamos que:

a) El porcentaje de algodón influye en la respuesta, yb) Un porcentaje aproximado de 30 por ciento de algodón daría

por resultado la máxima resistencia.

Análisis de varianza

Si se desea comparar a-tratamientos o niveles de un factor único. Larespuesta que se observa en cada uno de los tratamientos es una va-riable aleatoria. Los datos se muestran en la tabla 4.10

Es útil describir las observaciones mediante el modelo estadístico2

ijiijY nji ,...,4,3,2,1,

Donde:

Yij es el ij-ésima observación,µ es un parámetro común a todos los tratamientos denominados

media global,Ti es un parámetro único para el i-ésimo, yεij es el componente aleatorio del error.

2 Polinomino ortogonal


117

Nuestro objetivo será probar una hipótesis apropiada con respecto alos efectos del tratamiento, y hacer una estimación de ello. Para pro-bar la hipótesis, se supone que los errores del modelo son variablesaleatorias independientes con distribución normal, con media cero yvarianza δ2. Se supone que esta última es constante para todos losniveles del factor.

Este modelo se denomina, análisis de varianza de clasificación en unsentido porque sólo se investiga un factor. Además se requiere que elexperimento se realice en orden aleatorio, de manera que el medio enque se usan las unidades experimentales (tratamiento) sea lo másuniformemente posible. Por lo tanto, este diseño experimental es undiseño completamente aleatorizado.Para ilustrar este análisis de varianza, recordemos que deseamosdeterminar si al variar el contenido de algodón es una fibra de llamainfluye en la resistencia.

La suma de cuadrados requeridos para el análisis de varianza se cal-cula como sigue:

NYYSC iIJtotal /22

NYnYSCiIJotratamient

// 22

otratamienttotalerror SCSCSC

Donde

SCtotal suma de cuadrados del totalSCtratamiento suma de cuadrados del tratamientoSCerror suma de cuadrados del errorΣYij sumatoria de los componentes del tratamientoΣYi sumatoria total de los tratamientosn número de datos por columnaN número total de datos del tratamiento

96,63625/3761115...77 22222 total

SC

76,47525/3765/54108887749 222222 otratamientSC

20,16176,47596,636 error

SC

En la tabla 4.12 se muestran los resultados del procedimiento.

Palacios C. Severo

118


% algodónError

475,76161,20

420

118,948,06

14,76 > 4,43

Total 636,96 24 R² = 74,6923%

Hay que notar que la media de cuadrados entre tratamientos (118,94)es mucho mayor que la media de cuadrados dentro del tratamiento(8,06). Esto indica que es probable que las medias de tratamiento seaniguales. Más formalmente, es posible calcularlas razón Fo=14,76 ycomparando con Ft(99%)=4,43, debe rechazarse Ho y concluir que lamedia de tratamientos difieren; en otras palabras el porcentaje dealgodón en la fibra de llama afecta significativamente su resistenciamedia.c) DISEÑO DE PARCELAS DIVIDIDAS

Los diseños en parcelas divididas y subdivididas se emplean frecuen-temente en experimentos factoriales en las que las condiciones delmaterial experimental, o las operaciones experimentales contempla-das dificultan el manejo de toda la combinación de factores.

El diseño básico de una parcela dividida involucra la asignación detratamientos de un factor a parcelas principales o parcelas grandes,las cuales se disponen en diseños experimentales clásicos.

Los experimentos de parcelas divididas se utilizan cuando se quieredar mayor precisión o importancia a un factor en comparación conotro. Este diseñó se divide en parcelas denominado grande y chicascorrespondiendo a estas últimas la mayor precisión. En algunas oca-siones este es el diseño óptimo a elegir ya sea porque un factor requie-re de áreas grandes para su evaluación o por razones económicas:láminas de riego y variedad de arroz, sistema de cultivo y fertiliza-ción.

Cabe mencionar que la diferencia entre un experimento factorial y unode parcela dividida está en el proceso de aleatorización de los trata-mientos. Así mientras que en un diseño factorial se hacen todas lascombinaciones de tratamiento y se distribuyen aleatoriamente a lasunidades experimentales, en el experimento de parcelas divididasprimero se distribuyen aleatoriamente los tratamientos de las parce-las grandes y luego los tratamientos de las parcelas chicas dentro delas parcelas grandes.

Ejemplo 4.33


119

Se desea estudiar el efecto de la frecuencia de corte (parcela grande) ytres alturas de corte (parcela chica) en una producción de materiaseca del pasto.

El primer paso es localizar el área donde se realizará el experimento.Si el terreno es homogéneo entonces es factible utilizar un diseño com-pletamente al azar, si el terreno muestra un gradiente de variación lasolución pudiera ser un diseño de bloque al azar.

Tabla 4.13 Experimento de parcelas divididasFrecuenciaCorte (días)

AlturaCorte (cm)

ReplicasI II III IV

20 510155

3,693,723,66

5,983,202,85

5,373,902,60

6,304,513,83

23,3415,3312,94

Total 13,07 12,03 11,87 14,64 51,6140 5

1015

6,483,8611,15

7,924,543,54

4,744,423,91

6,305,063,66

25,4417,8822,26

Total 21,49 16,00 13,07 15,03 65,5860 5

1015

4,905,343,40

5,734,285,47

12,006,164,78

8,566,343,75

31,1922,1217,40

Total 13,64 15,48 22,94 18,65 70,71

Tabla de doble entrada para totales de tratamiento

Altura de corteFrecuencia corte 5 10 15 Total

204060

23,3425,4431,19

15,3317,8822,12

12,9422,2617,40

51,5665,6870,71

Total 52,60 55,33 79,97 187,90

Factor de corrección

73,980

36

41,35306

36

²90,187FC

Suma de cuadrados debido a las replicas

FCSC replica

9

²31,48²88,47²51,43²20,48

79,173,98052,98273,9809

71,8842replicaSC

Palacios C. Severo

120

Suma de cuadrados debido a las parcelas grandes (frecuencia de cor-te)

FCSC pg

12

²71,70²58,65²61,51

29,1673,98012

90,499974,430059,2663

replicaSC

Suma de cuadrados debida a las parcelas chicas (altura de corte)

FCSC pch

12

²60,52²33,55²97,79

88,3773,98012

76,276640,306120,6395

pchSC

Suma de cuadrados debida a las interacciones de los tratamientos(frecuencia de corte y altura de corte)

pchpg SCSCFCSC

4

²40,17...²33,15²34,23int

71,888,3729,1673,9804

45,4174int SC

FCSC ppgx

3

²65,18²94,22...²03,12²07,13Re

52,4773,98025,102873,9803

74,3084Re ppgxSC

44,2929,1679,152,4752,47 pgreperrorpg SCSCSC

FCSCtotal ²75,3²78,4...²98,5²69,5

01,14973,98074,1129 totalSC

intSCSCSCSCSC pchpgxreptotalerrorpch

9,5471,888,3752,4701,149 errorpchSC

Tabla 4.14 Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo

ReplicaFrecuencia corteError pgAltura corteInteracción (f x a)

1,7916,2929,4437,888,71

32624

0,608,154,9018,942,19

1,65

6,210,72


121

Error pch 54,90 18 3,05Total 149,01 35

Los efectos de bloque (replica) y frecuencia de corte se prueban utili-zando la SCepg; mientras que los efectos de altura de corte (parcelachica) y de la interacción de frecuencia de corte de altura de corte seprueban utilizando la SCepch.

65,190,4

15,8

.

. pgerror

cortfre

CM

CMFC

72,005,3

19,2

.

int pcherrorCM

CMFC

Problemas

(113) Un industrial textil utiliza un gran número de telares. Se deseaque los telares sean homogéneos con el objeto de producir telasde resistencia uniforme. El industrial supone que, aparte de lavariación usual en la resistencia de la tela en muestras del mis-mo telar, puede existir una variación significativa de la resisten-cia entre los distintos telares. Para investigar esto, seleccionacuatro telares al azar y realiza cuatro determinaciones de la re-sistencia. Este experimento es realizado en orden aleatorio.Realice un análisis de varianza y vea si existe diferencia signifi-cativa.

Telar Corrida experimental Total1234

98919695

97909596

99939799

96929598

390366383388

(114) Una fabrica de calzados cuenta con cinco tipos de cuero curtido.Cada cuero tiene una forma de proceso. Para investigar se esco-gen cinco cueros al azar, y se mide la cantidad de cuero produ-cido en cinco tiempos diferentes. Obteniéndose los datos.

Cuero Corrida experimental Total12345

14,013,914,013,613,8

14,013,814,213,813,6

14,213,914,114,013,9

14,014,014,013,913,8

14,114,013,913,714,0

70,369,670,269,069,1

Estime la varianza del error experimental

Palacios C. Severo

122

(115) Se pide a cuatro químicos qué determinen el contenido de nitró-geno de un fertilizante cada uno realiza tres determinaciones ylos resultados son los siguientes:

Químico Corrida experimental Total1234

44,4945,1544,7244,20

44,0445,1344,4844,10

44,3844,8845,1644,55

133,41135,16134,36132,85

Difieren significativamente los resultadosQue análisis químico debe ser seleccionado.

(116) Un ingeniero de producción esta interesado en maximizar unaaleación. Sabe por experiencia que la aleación contiene 3 ele-mentos metálicos. Desea determinar si variando el contenido deun elemento metálico se incrementa la resistencia a la corrosión.Por bibliografía sabe que el contenido de dicho elemento metáli-co debe variar entre 10 a 30 por ciento para que la aleación ten-ga buenas características.

% metal Corrida experimental Total12345

923191811

1518191119

127

147

19

2211151218

10177

1825

6876746692

Existe diferencia significativa entre las medias(117) Una panadería desea averiguar la tendencia de sus productos

para el siguiente año, bajo las siguientes encuestas, para la di-versidad de sus productos en cinco diferentes distritos.

Producto Corrida experimental Total1234

200700300400

150200150800

300180100600

100500200150

700300250350

0,890,790,960,85

Describa las observaciones con un modelo matemáticoExiste diferencia significativa entre las mediasSi existe diferencia aplicar las pruebas de Duncan

(118) Se desea evaluar el rendimiento de los estudiantes de cinco cole-gios en cuatro materias A: matemáticas, B: física, C: química yD: lenguaje

Materia Colegio NotaABCD

20181525

30252035

25182732

29352735

27333235

50403543

(119) Se realizó un estudio de ingeniería de tránsito sobre los retrasosen las intersecciones con semáforos en las calles de una ciudad.


123

Se usaron tres tipos de semáforo: a) programado, b) semiauto-mático y c) automático.Se usaron cinco intersecciones para cada tipo de semáforo. Lamedida de retraso utilizada fue el promedio de tiempo que cadavehículo permanece detenido en cada intersección (segun-dos/vehículo). Los datos son los siguientes:

Programado Semiautomático Automático3837313635

1821192623

1611191117

Escriba el modelo linealCalcule el análisis de varianza.Calcule las medias de mínimos cuadrados del retraso en el trán-sito y sus errores estándar para cada tipo de semáforo.Calcule el intervalo de confianza del 95% estimado para las me-dias de los tipos de semáforo.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias deretraso para los tipos de semáforo; a un nivel de significación de0.05, con la prueba F.Escriba las ecuaciones normales para los datos.

(120) Se llevó a cabo un experimento para probar los efectos de unfertilizante nitrogenado en la producción de lechuga. Se aplica-ron cinco dosis diferentes de nitrato de amonio a cuatro parce-las (réplicas) en un diseño totalmente aleatorizado. Los datosson el número de lechugas cosechadas de la parcela.

Tratamiento Lechuga0

50100150200

104134146147131

114130142160148

90144152160154

140174156163168

Escriba el modelo lineal estadístico para este estudio y expliquesus componentes.Calcule el análisis de varianza.Calcule el intervalo de confianza del 95% estimado para las me-dias de los niveles de nitrógeno.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias delos niveles de nitrógeno con una prueba F a un nivel de signifi-cancía de 0.05.Escriba las ecuaciones normales para los datos.Este experimento se llevó a cabo con un diseño totalmente alea-torizado de las parcelas en un arreglo rectangular. Muestre una

Palacios C. Severo

124

aleatorización de los cinco tratamientos con nitrógeno de las 20parcelas, usando una permutación aleatoria de 1 a 20.

(121) Un fisiólogo de animales estudió la función pituitaria de las ga-llinas, bajo el régimen estándar de muda de pluma forzada queusan los productores de huevo para mantenerlas en producción.Se usaron 25 gallinas en el estudio. Cinco se utilizaron para lamedición, una previa al régimen de muda forzada y una al finalde cada una de las cuatro etapas del régimen. Las cinco etapasdel régimen fueron:

1. Premuda (control),2. Ayuno de 8 días,3. 60 gramos de salvado al día durante 10 días,4. 80 gramos de salvado al día por 10 días y5. Mezcla de malta durante 42 días.

El objetivo era dar seguimiento a las respuestas fisiológicas aso-ciadas con la función pituitaria de las gallinas durante el régi-men para explicar por qué vuelven a producir después de unamuda forzada. Uno de los compuestos medidos fue la concentra-ción de suero T3. Los datos de la tabla son las medidas de sueroT3 en las cinco gallinas sacrificadas al final de cada etapa delrégimen.

Tratamiento Suero T3PremudaAyuno60 g salvado80 g salvadoMezcal malta

94,198,8197,2102,983,1

90,5103,6207,3117,589,6

99,4115,3177,5119,987,8

73,6129,1226,1112,196,4

74,4117,6222,8101,182,2

Escriba el modelo lineal estadístico para este estudio y expliquelas componentes del modelo.Calcule el análisis de varianza.Calcule un intervalo de confianza de 95% estimado para las me-dias de los tratamientos.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias delos cinco tratamientos con la prueba F a un nivel de significan-cía de 0,05.Escriba las ecuaciones normales de los datos.Este experimento se llevó a cabo en un diseño totalmente aleato-rizado, con una gallina en cada una de las 25 jaulas. Proporcio-ne una asignación aleatoria de los cinco tratamientos a las 25jaulas, con una permutación aleatoria de los números 1 a 25.

(122) Se recolectaron datos de estudiantes de pedagogía en cuanto asu uso de ciertas estrategias de enseñanza estudiadas antes desus prácticas. Había 28 estudiantes que habían aprendido las


125

estrategias (9 en 2002, 9 en 2003 y 10 en 2004). El 2001 había 6profesores que no habían aprendido el uso de estas estrategias yse usaron como grupo de control.El investigador registró el número promedio de estrategias porsemana que cada estudiante usaba durante sus prácticas. El in-vestigador quería saber si el número de estrategias usadas va-riaba con el tiempo.

Número promedio de estrategias usadasControl 2001 2002 2003 2004

6,95,615,99,87,85

7,310,68,68,78,87,111,27,3

10,5

10,97,56,87,67,85,78,95,97,3

7,514,96,15,25,7

14,29,35,67,3

10,8Escriba el modelo lineal estadístico para este estudio y expliquelas componentes del modelo.Calcule el análisis de varianza.Calcule un intervalo de confianza del 95% estimado para lasmedias de los tratamientos.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias delos cuatro tratamientos, con la prueba F a un nivel de signifi-cancía de 0.05.Escriba las ecuaciones normales de los datos.

(123) En cierto estudio de calibración de espectroscopia de absorciónatómica, las medidas de respuesta fueron las unidades de absor-ción de un instrumento según la cantidad de cobre diluido enuna solución ácida. Se usaron cinco niveles de cobre con cuatroréplicas del nivel cero y dos réplicas de los otros cuatro niveles.En la siguiente tabla se dan los datos de espectroscopia para ca-da nivel de cobre como microgramos de Cu/mililitro de solución.

Cobre mg/ml0,00 0,05 0,10 0,20 0,500,0450,0470,0510,054

0,0840,087

0,1150,116

0,1830,191

0,3950,399

Escriba el modelo lineal estadístico para este estudio y expliquelas componentes del modelo.Calcule el análisis de varianza.Calcule las medias de mínimos cuadrados y sus errores estándarpara cada tratamiento.

Palacios C. Severo

126

Calcule un intervalo de confianza del 95% estimado para lasmedias de los tratamientos.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias delos cinco tratamientos, con la prueba F(95%).Escriba las ecuaciones normales de los datos.

(124) Considere el experimento del ejercicio 121. Suponga que se per-dieron algunas gallinas durante el transcurso del mismo, lo quedio como resultado el siguiente conjunto de observaciones.

Tratamiento Suero T3PremudaAyuno60 g salvado80 g salvadoMezcal malta

94,198,8197,2102,983,1

90,5103,6207,3117,589,6

99,4115,3177,5119,987,8

73,6129,1

112,196,4

117,6

101,1

Escriba el modelo lineal estadístico para este estudio y expliquelas componentes del modelo.Calcule el análisis de varianza.Calcule las medias de mínimos cuadrados y sus errores estándarpara cada tratamiento. ¿Cómo afectó la pérdida de gallinas alas estimaciones de las medias?Calcule un intervalo de confianza de 95% estimado para las me-dias de los tratamientos.Pruebe la hipótesis de que no hay diferencia entre las medias delos cinco tratamientos; con la prueba F a un nivel de significan-cía de 0,05.Escriba las ecuaciones normales de los dato

(125) Utilice los datos del ejercicio 51 para determinar cuántas galli-nas necesitaría el biólogo en cada tratamiento para rechazar lahipótesis nula a un nivel de significancía de 0.05, si la diferenciaentre el tratamiento de control y cualquier tratamiento nuevo esde 30 unidades de T3.

(126) Use los datos del ejercicio 49 para determinar cuántas intersec-ciones necesita el ingeniero de tránsito con cada tipo de semáfo-ro para rechazar la hipótesis nula a un nivel de significancía de0.01, si los retrasos medios respectivos en los tres tipos de señalfueron 20, 18 y 16 segundos.

(127) Se quiere probar el efecto de cinco dietas en el aumento de pesoen cerdos pero se tiene diferente peso inicial en las unidades ex-perimentales. Aquí el factor peso inicial es medible y no puedeutilizarse como un criterio de clase (nivel de un factor) por loque es mejor utilizar un diseño completamente al azar con pesoinicial de las unidades experimentales como covariables. De es-ta manera se ajusta respecto a peso inicial, se tiene más grados


127

de libertad para el cuadrado medio del error y se maneja un di-seño más sencillo. Si además del peso inicial, la edad se los ani-males fuese otro factor de importancia podría incluirse teniendoasí un diseño completamente al azar con dos covariables.

(128) Suponga que un investigador en fisiología esta interesado enplanear un experimento para medir el efecto del área necróticasobre la fotosíntesis de 8 variedades de café susceptibles a la ro-ya. Planea usar parcelas experimentales de 4 plantas en un loteubicado en una pendiente del 70 %. Por experimentos anterioresse sabe que la roya es más agresiva en la zonas bajas que en estecaso además son las más húmedas y por lo tanto más favorablespara el desarrollo de la enfermedad. El investigador cuenta con320 plantas y solo puede sembrar grupos de 32 plantas paradistribuirlas a lo largo de la pendiente. Por otra parte cuenta so-lo con 8 equipos para la medir la fotosíntesis y decide medir en-tre 10:00 y 10:15 a.m. Se sabe que tarda en medir la fotosíntesisde cada hoja afectada 3 minutos. ¿Qué diseño experimental lerecomendaría al investigador? De acuerdo con lo recomendado,indíquele como hacer el análisis de los datos y las comparacio-nes de tratamientos.

(129) Un investigador plantea la hipótesis de que el gusano blanco dela papa se puede controlar biológicamente usando tres especiesde nematodos. Para su aplicación, quiere ensayar tres sistemasdiferentes: en la superficie, en la parte media y en el fondo decada matera formando un círculo. La efectividad del sistemapuede variar de acuerdo con el nematodo. Para evitar compleji-dad, el investigador esterilizara el suelo, aplicara soluciones nu-tritivas a todas las materas e infestara cada matera con igualnúmero de larvas. La infestación con las larvas se hará 8 díasdespués de la floración del cultivo de papa y la aplicación de losnematodos se hará 15 días antes de la infestación. Se consideróla matera con 2 kg de suelo y una planta, como unidad experi-mental. Por tratamiento va a tener 10 unidades experimentalesen un invernadero.Qué diseño experimental recomendaría.Como asignaría los tratamientos a las unidades experimentalesQue variable(s) mediríaEscriba una tabla de análisis mostrando solamente las fuentesde variación y los grados de libertad.Son los factores cualitativos o cuantitativosConsidere los factores aleatorios y escriba como calcular lascomponentes de varianza y las pruebas de F

Palacios C. Severo

128

(130) Para determinar la permanencia del controlador biológicobeauveria bassiana sobre las hojas del cafeto después de unaguacero, se piensa hacer un experimento en el cual se usará unsolo simulador de lluvia para despachar una misma cantidad deagua con diferentes tiempos de duración, para una intensidaddada. Los tiempos de duración son: 30, 60 y 90 minutos en ho-ras de la tarde. Se asperjarán 3 dosis del hongo (108, 1010 Y1012 esporas por mililitro) debidamente calibradas, donde seespera tener una distribución uniforme del número de gotas porcentímetro cuadrado en las hojas. La unidad experimental esta-rá constituida por 10 plántulas de 6 meses de edad. Se quieremedir el número de esporas promedio en 5 campos de la hoja. Elsimulador de lluvia logra regar 30 plantas a la vez. El investi-gador cuenta con 450 plantas para su experimento. ¿Que diseñoexperimental recomienda? ¿Qué le indicaría al investigador pa-ra hacer el análisis de los datos?

(131) Suponga que un ingeniero está interesado en la comparación detres procesos químicos para la manufactura de cierto compues-to. Se sospecha que la impureza de la materia prima usada en elproceso puede afectar el producto final, sin embargo se esperaajustar el proceso al final del análisis. Usando un diseño comple-tamente aleatorizado con 15 unidades experimentales obtuvo lasiguiente información:

Tratamiento Impurezas Producción1

2

3

4,12,91,54,12,26,82,73,86,45,66,62,23,53,54,6

12,510,39,612,611,311,58,67,211,68,96,84,85,67,56,2

Estime la línea de regresión para cada tratamientoLleve a cabo la prueba de hipótesis de que las tres líneas de re-gresión tienen la misma pendienteObtenga la estimación combinada de la pendiente.Obtenga las medias sin ajustar y ajustadas de los tratamientos ycompárelos comentando los resultados respectivos.


129

Obtenga la tabla de análisis de la varianza e interprete cada unode los resultados de esta tabla.

(132) A continuación se analizan los datos de un experimento en cañade azúcar. En las parcelas grandes se ensayaron dos tratamien-tos.C: Con compuesto orgánicoS: Sin compuesto orgánicoEn las sub parcelas se ensayaron cuatro tratamientos.1 Testigo.2 Cal 1,5 Ton/ha.3 Cal 3,0 Ton/ha.4 Cal 4,5 Ton/ha.La respuesta de interés fue el rendimiento del campo en kilo-gramos por parcela chica de 100.8 m2, y se generó la variable R:para el rendimiento de caña en toneladas por hectárea.

V. DISEÑO TOTALMENTE ALEATORIZADO

Se usa cuando los datos tienen pequeña variación, y además cuando elnúmero de tratamientos también es pequeño.

Si tenemos N-tratamientos, y queremos ubicar n-elementos para losN-tratamientos procedemos de la siguiente manera.

Se eligen aleatoriamente n-unidades experimentales para aplicarle untratamiento digamos t, luego tenemos n-elementos de las Nn-n restan-tes para aplicarles el tratamiento t2 y así sucesivamente hasta agotarlas Nn unidades experimentales.

En muchos problemas es necesario diseñar experimentos en los quepueda controlarse sistemáticamente la variabilidad producida pordiversas fuentes extrañas.

Ejemplo 4.34Se desea determinar la alimentación de terneras con productos distin-tos para el engorde artificial. El experimentador ha decidido obtenercuatro observaciones para cada alimentación.

Solo existe un factor - alimentación artificial, y el diseño de un factorcompletamente aleatorizado consiste en asignar aleatoriamente cadauno de los 4x4=16 ensayos a una unidad experimental, o sea la ali-mentación de terneras, el engorde artificial correspondiente.

Palacios C. Severo

130

Por lo tanto, se requerirán 16 formas de alimentación para realizareste experimento, una para cada ensayo.

En principio existe un problema serio en el diseño. Como las ternerasson distintas, las unidades experimentales contribuyen a la variabili-dad observada en la lectura de alimentación.

Como resultado, el error experimental reflejará tanto el error aleato-rio como la variabilidad entre los animales.

Tabla 4.15 Datos de alimentación de ternerasTernera Corrida experimental Total Media

1234

9,39,49,29,7

9,49,79,49,6

9,69,89,510

109,99,7

10,2

38,338,837,839,5

9,5759,7009,4509,875

Se desea que el error experimental sea lo más pequeño posible; enotras palabras, se busca sustraer del error experimental la variabili-dad producida por las terneras. Un diseño que logre esto requiere queel experimentador pruebe cada alimentación, una vez, en cada uno delas cuatro terneras diferentes.

El diseño que aparece en la tabla 4.15, se conoce como diseño aleatori-zado. La respuesta observada es el incremento de peso diario en gra-mos.

El análisis estadístico se lleva a cabo en función de la prueba F, el va-lor de Fo se compara con el valor de Ft en función de los grados delibertad de los tratamientos y del error experimental.

Debemos calcular la varianza total y descomponerla para el trata-miento y el error.

18,116/4,1532,1010...4,93,9 22222 total

SC

395,016/4,1534/5,398,373,383,38 22222 ootratamientSC

785,0395,018,1 errorSC


131

12:

31:

151:

416:

nNError

noTratamient

NTotal

nNGL


TernerasError

0,3950,785

312

0,1280,065

1,96 < 5,95

Total 1,18 15 R² = 66,5254%

El análisis de la prueba F indica que puede ser rechazado la hipótesisHo por lo que puede afirmarse que existe diferencia entre las mediasde los tratamientos comparados; sin embargo el investigador puedeconcluir entre cuales tratamientos es que existe diferencia.

Problemas

(133) Un técnico textil desea probar el efecto que tiene cuatro produc-tos químicos sobre la resistencia de un tipo de tela. Como puedehaber variabilidad entre un rollo de tela y otro, decide utilizarun diseño aleatorizado, seleccionando cinco rollos al azar y lesaplica los cuatro productos químicos en orden aleatorio. A con-tinuación, se proporcionan los resultados de la resistencia.Analice estos datos y haga las conclusiones apropiadas.

Químico Corrida experimental Total Media1234

73737573

68676871

74757875

71727375

67706869

(134) Se emplean cuatro laboratorios para realizar un análisis quími-co como parte de un estudio, para determinar si los laboratoriosdan en promedio los resultados mínimos, se le envía a cada unouna muestra del mismo material. Los resultados analíticos son:

Análisis Corrida experimental Total Media1234

58,764,557,361,4

62,756,160,958,2

55,960,359,160,3

60,760,959,258,1

61,463,155,262,3

Existe diferencia significativa entre los laboratoriosRealice un análisis de varianza

Palacios C. Severo

132

(135) Tres diferentes soluciones para lavar están siendo comparadascon objeto de estudias su efectividad en el retraso de crecimientode bacterias en envases de leche. El análisis se realiza en un la-boratorio y sólo puede efectuarse tres pruebas en un sólo día, elexperimentador recupera las observaciones durante cuatro díasy los datos aparecen a continuación.

Químico Corrida experimental Total Media123

13165

18171

394422

22244

(136) Se desea estudiar la adición sistemática para la obtención depeltre (aleación de estaño, plomo, cobre antimonio) de muy bue-na calidad, se comparan cinco estándares con el suministro deestaño (Sn) y cobre (Cu): a) Sn=92, Cu=2; b) Sn=93, Cu=1; c) Sn=93, Cu=2; d) Sn=94, Cu=1, e) Sn=94, Cu=2

Aleación Corrida experimentalABCDE

1,181,451,361,451,96

1,201,231,231,782,12

1,031,761,411,561,78

0,921,621,251,741,83

1,271,341,511,672,07

1,241,601,441,461,76

(137) Se realizó una prueba de la vida útil, a temperatura acelerada,de un tipo de calentador tubular. Se probaron seis calentadores,cada uno a cuatro temperaturas distintas: 1520°F, 1620°F,1660°F y 1708°F. Se registró el número de horas transcurridashasta que se presentó falla en los 24 calentadores utilizados en elestudio.

temperatura Horas hasta la falla1520162016601708

19531190651511

21351286837651

24711550848651

472721251038652

613425571361688

631428451543729

Investigue las suposiciones necesarias para un análisis de va-rianza de los datos.Realice un análisis de varianza de los datos transformados, yhaga una partición de la suma de los cuadrados de la tempera-tura en contrastes polinomiales ortogonales, para determinar lamejor relación entre la temperatura y su variable de respuesta.Como las temperaturas de prueba tenían espaciamientos de-siguales, use los siguientes coeficientes de contraste:

Temperatura 1520 1620 1660 1708LinealCuadráticaCúbica

-0,7730,382-0,078

-0,051-0,6370,584

0,238-0,328-0,765

0,5850,5830,259

(138) Un entomólogo contó el número de huevos que pone cada una delas 15 hembras de polillas en días sucesivos, en tres variedades


133

de gusano de tabaco (USDA, campo y resistente). Los siguientesdatos son el número de huevos puestos en el tercer día despuésdel apareamiento de cada hembra en cada variedad.

Variedad Número de huevos por polillaUSDACampoResistente

4482110

906276

9

28415143

227787

1

6341826

48118127

3691

161

137151294

USDACampoResistente

2900

522253348

319610

242014

26127521

56600

734153218

El entomólogo desea realizar un análisis de varianza del núme-ro de huevos.

(139) Un criador de plantas evaluó la capacidad de enraizar de nueveclones de pasto en un experimento de laboratorio. Cultivó dosréplicas de cada clon en una solución oxigenada en un diseño to-talmente aleatorizado.

Clon Replica I Replica IIEnraizado No enraizado Enraizado No enraizado

123456789

15131361614898

495151424850565540

111164129181016

535358605255465448

El cultivador quiere analizar la proporción de cultivos enraiza-dos o la proporción de nodos enraizados.

(140) Dada la siguiente muestra aleatoria de N = 15 observaciones,ordenadas de menor a mayor:

14,3 16 17,3 17,5 17,8 18,7 18,8 18,920 20,8 21,4 22,7 23,2 25,6 27,8

Determine los valores f y sus cuantiles normal estándar.Grafique las observaciones contra los cuantiles normal están-dar.Interprete la gráfica respecto a la forma de la distribución apartir de la cual se muestrearon las observaciones.

(141) Dada la siguiente muestra aleatoria de N = 16 observaciones,ordenadas de menor a mayor:

2 3 4 5 10 28 34 3539 63 87 97 112 156 188 253

Determine los valores f y sus cuantiles normal estándar.Grafique las observaciones contra los cuantiles normal están-dar.

Palacios C. Severo

134

Interprete la gráfica respecto a la forma de la distribución apartir de la cual se muestrearon las observaciones.

VI. DISEÑO DE BLOQUES ALETORIZADOS

El concepto de bloques fue introducido en agricultura; al observarseque los campos experimentales en agricultura marcaban una hetero-geneidad de fertilidad, lo que complicaba la asignación de los trata-mientos de un punto a otro, de aquí que el bloque permitía la particiónde la variabilidad inherente en el campo experimental después de laasignación de los tratamientos en las siguientes componentes:

1. Diferencias entre tratamientos-Variación entre tratamientos.2. Variación dentro de bloques.3. Variación entre bloques.

De esta forma nació el concepto de diseño en bloque completos aleato-rizados. El término bloque es usado más ampliamente para referirse aun grupo de unidad experimental que tienen un conjunto de caracte-rísticas que provocan un problema efectivo de respuesta, una vez quehan sido aplicados los tratamientos.

El diseño de bloques aleatorizados constituye una de las variantespara el agrupamiento de las unidades experimentales que se utilizancuando en la conformación de los grupos en un experimento de com-


135

paración por grupos, se detecta que existen diferencias en cuanto auna característica determinada entre los objetos. A partir de ello seestructura la formación de los grupos, en función de establecer blo-ques de tratamiento semejantes en cuanto a las características encuestión para que compongan cada bloque en forma aleatoria en cadauno de los grupos experimentales posteriores.

Esta distribución permite llevar a cabo un control más preciso de losefectos de esta característica variable a través del agrupamiento enbloques elevando con ello la precisión del experimento.

Ejemplo 4.35Se realizo un experimento con el objeto de comparar el efecto del su-ministro de diferentes niveles de concentrado a las aves de corral paralo cual se aplicaron las siguientes variantes:

A; Sin concentrado (dieta normal)B: 250 gramos de concentrado por cada kilo de ave vivaC: 300 gramos de concentrado por cada kilo de ave vivaD: 500 gramos de concentrado por cada kilo de ave viva

El experimento se monto utilizando 80 aves de corral, los que fueronagrupados en 5 bloques de acuerdo al peso inicial, que vario entre 1 a2 Kg. teniendo en cuenta este agrupamiento se formaron unidadesexperimentales de cuatro aves por corral.

Lográndose obtener los resultados en el aumento de peso diario du-rante la prueba (alimento de concentrado), expresado en Kg/día depeso vivo.

Concentrado Bloque Total MediaI II III IV VABCD

0,81,01,21,4

1,01,11,31,4

0,91,01,11,8

0,81,11,31,6

1,01,31,11,8

4,55,568

0,91,11,21,6

Total 5,2 4,8 4,4 4,8 4,8 24

6,120/244,16,1...9,01 22222 total

SC

3,120/245/865,55,4 22222 otratamientSC

08,020/245/8,48,44,48,42,5 222222 bloqueSC

Palacios C. Severo

136

22,008,03,16,1 errorSC

121:

41:

31:

191:

5420:

mnNError

mBloque

noTratamient

NTotal

mnNGL


ConcentradoBloqueError

1,300,080,22

3412

0,430,020,018

23,45

1,09

><

5,955,41

Total 1,6 19 R² = 81,25%

Al comparar los resultados de los valores de F encontramos que losefectos de los tratamientos resultan significativos lo que indica queexiste una influencia diferente entre los efectos de las diferentes dietascomparadas en cuanto al incremento de peso diario de las aves decorral durante las pruebas.

Referente al efecto del agrupamiento en bloque resulto no significativopor lo que las aves de corral se comportan en forma semejante inde-pendiente de su peso inicial del experimento.

A partir de los resultados podemos concluir desde un punto de vistabiológico el efecto obtenido con la utilización de concentrados en ladieta para aves de corral, sin embargo debe de estudiarse con deteni-miento los factores que provocan los resultados obtenidos al compararlas dietas.

Ejemplo 4.36Un agrónomo desea determinar el efecto de diferentes fuentes de ni-trógeno en la producción de una materia seca sobre cebada forrajera.Hay cinco fuentes a ser comparadas: (NH4)2SO4, NH4NO3, CO(NH2)2,Ca(NO3)2 y NaNO3 y con un tratamiento control sin nitrógeno. Sedeseo aplicar los resultados sobre un rango bastante amplio de condi-ciones, se hicieron ensayos sobre cuatro tipos de suelo.

Para el diseño experimental se eligió un diseño en bloques completa-mente aleatorizado con los tipos de suelo como factor de bloqueo, selocalizaron seis parcelas en cada uno de los cuatro tipos de suelo, y se


137

asigno aleatoriamente los tratamientos a las parcelas dentro de cadatipo de suelo. La variable de interés es la producción de cebada bajovarias fuentes de nitrógeno.

Los datos obtenidos de realizar este experimento se presentan en latabla 4.18.

Tabla 4.18 Producción (kg/parcela) de cebada bajo varias fuentes de nitrógenoTipo de suelo

Tratamiento I II III IV(NH4)2SO4

NH4NO3CO(NH2)2Ca(NO3)2

NaNO3Control

32,130,125,424,126,123,2

35,631,527,133,031,024,8

41,937,133,835,633,826,7

35,430,831,131,431,926,7

Las sumas de cuadrados se obtienen de la siguiente manera:

ij

ij

ijtotal n

YYSC

2

2

494518324

²2,74052,23323 totalSC

ij

ij

ijotratamient

n

YY

bSC

2

21

256153324

²2,740²4,110²8,122²1,124²4,117²5,129²145

4

1otratamientSC

ij

ij

ijbloque

n

YY

tSC

2

21

192748324

²2,740²3,187²9,208²183²161

6

1bloqueSC

bloqueotratamienttotalerror SCSCSCSC

456166192748325615334945183 errorSC

Palacios C. Severo

138


SueloTratamientoError

19274832561533456166

3515

64249451230630411

21,1316,85

>>

5,424,56

Total 4945183 23 R² = 90,7755%

Ejemplo 4.37Un agricultor rocía hojas de manzana con diferentes concentracionesde un compuesto de nitrógeno, luego determina la cantidad de nitró-geno que permanecía en las hojas inmediatamente después de la apli-cación y al final de ciertos tiempos preestablecidos.

La finalidad de este experimento fue determinar la rapidez a la que elnitrógeno es absorbido por las hojas, hubo dos reproducciones de cadatratamiento según se muestra en la tabla 4.20

Tabla 4.20 Cantidad de nitrógeno que permanece después de la aplicaciónConcentración de nitrógeno

Tiempo N1 N2 N3

t0

t1

t2

2,292,540,460,190,000,26

6,805,943,031,000,751,16

8,759,522,492,041,401,81

Asumiendo un bloqueo por tiempos, al llevar a cabo el análisis de va-rianza y probar la hipótesis de interés H0: µN1 = µN2 = µN3, los resulta-dos del ANOVA se muestran en la tabla 4.21

91757618

²43,50²83,5²21,9²84,35

6

1

bloqueSC

35113618

²43,50²01,26²68,18²74,5

6

1otratamientSC

309755²21,3..²74,12²83,42

12884143 errorSC

1715741412880233045617640162853167exp ererrorSC

147126214128802884143 totalSC


139

Con base en éstos resultados, se obtiene la tabla 4.21 y a partir de laésta, se concluye que la permanencia de nitrógeno en las hojas se veafectada por la cantidad de nitrógeno aplicada, pues Fo = 4,09 < Ft(95%)

= 6,9. Por otro lado, al parecer los tiempos (bloques) difieren de mane-ra significativa, ya que el cuadrado medio es grande en relación con elerror experimental.

Tabla 4.21 Análisis de varianzapermanencia de nitrógeno en las hojas

Fuente SC GL CM Fo Ft(95%)TiempoNitrógenoError expError

91757635113617157430975

2249

458788175568428933441

10,694,09

><

6,946,94

Total 1471262 17 R² = 88,3383%

Ejemplo 4.38Un ingeniero químico piensa que el tiempo de reacción de un procesoquímico en donde los reactantes actúan espontáneamente esta en fun-ción directa del tipo de catalizador empleado, se emplean cuatro tiposde catalizadores a fin de realizar el presente estudio.

Tabla 4.22 Tiempos de reacción del procesoLote de materia prima

Catalizador I II III IV Yoi

1234

73-

7375

747575-

-676872

7172-

75

218214216222

Yoj 221 224 207 218 Yoo=870

Se están investigando cuatro catalizadores, en cuatro lotes de materiaprima y se observa el tiempo de reacción. Los datos obtenidos se pre-sentan en la tabla 4.22

Para este conjunto de datos se tiene r = 3; k = 3 y el número de vecesque cada par de tratamientos aparece en el mismo bloque es:

2

3

23

1

1

t

kr

Este diseño en bloques incompletos balanceado tiene una eficienciarelativa con respecto al DBCA de:

Palacios C. Severo

140

889,033

42

kT

tE

Prefiriendo de esta forma bloques incompletos balanceados.

Para comprobar la hipótesis H0: τ1 = τ2 = τ3 = τ4, se construyen lasdiferentes sumas de cuadrados con base en la estructura de las si-guientes matrices:

444443

2xx JIC 443

8xI 44

1

3

8xI

Con base en estos resultados, se encuentra que:

810012

²87063156 totalSC

550012

²870²218²224²207²221

3

1bloqueSC

227540016498124

1

ajustratSC

En la tabla 4.23 se resumen los resultados anteriores a través del aná-lisis de varianza. Puesto que Fo = 11,66 > Ft(95%) = 5,41, se concluye queel catalizador empleado tiene un efecto significativo sobre el tiempo dereacción.

325550022758100 bloquetrattotal SCSCSCSCerrorajus

Tabla 4.23 Análisis de varianza para los tiempos de reacción del procesoFuente SC GL CM Fo Ft(95%)

BloqueTratamiento(ajus)Error

55002275325

335

183375865

28,211,6

><

5,415,41

Total 8100 11 R² = 95,9876 %


141

Problemas

(142) Se describe un experimento en el cual se determinó el factor deforma para distintos embutidos a seis niveles de velocidad. El in-terés se concentro en las diferencias potenciales del equipo, y lavelocidad se consideró una variable problemática.

Embutido Velocidad12345

0,780,830,830,830,75

0,750,860,890,880,76

0,770,810,890,860,76

0,800,850,920,790,86

0,810,920,950,980,78

0,780,850,931,140,97

(143) Un fabricante produce nutrientes en cuatro reactores se sabeque cada reactor tiene sus propias características de procesa-miento de modo que cada reactor se considera una variableproblemática en cualquier corrida experimental en la fabrica-ción que implica más de un reactor. El ingeniero de planta sos-pecha que la velocidad de agitación influye en la homogeniza-ción y dilución de los productos sólidos. Cada reactor puede ope-rar a cuatro velocidades de agitación distinto.

Palacios C. Severo

142

Se efectuó un diseño de bloques aleatorizados para una empresaexportadora, los datos son:

Agitación Reactor5

101520

6926

5693

814147

4569

Existe alguna evidencia de que la velocidad de agitación influyaen la disolución de los productos.Que recomienda usted al ingeniero de planta respecto a la elec-ción de la velocidad de agitación y el reactor para este proceso.Existe alguna evidencia de que la velocidad de agitación influyaen la disolución de los productos.Que recomendaría usted al ingeniero de planta respecto a laelección de la velocidad de agitación y el reactor del proceso.

(144) Se emplean cuatro laboratorios para efectuar un análisis quími-co. Como parte del estudio para determinar si los datos dan unpromedio en los resultados, se le envía a cada uno una muestradel mismo material, los resultados son:

Análisis Laboratorio12345

58,761,460,959,158,2

62,764,563,159,260,3

55,956,157,355,258,1

60,760,360,961,462,3

Existe alguna diferencia significativa entre los laboratorios.(145) Se estudia el rendimiento de cuatro detergentes diferentes. Se

obtuvieron las siguientes lecturas de blanqueo para 12 cargas delavado distribuidos en tres modelos de lavado.

Detergente LavadoABCD

45474842

43465037

31525549

(146) Considere un experimento de 10 tratamientos y 5 replicacionesen el diseño experimental de bloques completos al azar. Muestreun plan de la aleatorización de los tratamientos en las réplicas(Bloques).

(147) Quince variedades de maíz fueron sembradas en una estaciónexperimental, con el propósito de seleccionar los de mayor pro-ducción. El ensayo se realizó teniendo en cuenta una estructurade bloques. Se midió el rendimiento de maíz tonelada/unidad desuperficie y los resultados del ensayo se resumen en la siguientetabla:

Fuente SC GL CM Fo


143

BloqueVariedadError

238033,14 7,38

Total 7082935

VII. DISEÑO CUADRADO LATINO

El diseño en bloques aleatorios es adecuado cuando una fuente de va-riabilidad extraña se elimina comparando un conjunto de mediasmuéstrales. Una Característica importante de este tipo de diseño es subalance, que se logra asignando el mismo número de observaciones acada tratamiento de cada bloque. La misma clase de balance puedelograrse en otros tipos de diseño más complicados, en los cuales esconveniente eliminar el efecto de varias fuentes extrañas de variabili-dad.

El diseño cuadrado latino se usa para eliminar dos fuentes de variabi-lidad problemática, en otras palabras, permite analizar sistemática-mente por bloques en dos direcciones. En este diseño los renglones ycolumnas representan, en realidad, dos restricciones a la aleatoriza-ción. En general, un cuadrado latino PxP, es un cuadrado que contieneP renglones y P columnas, dada una de la P2 celdas contiene una de lasP letras que corresponde a un tratamiento, y cada letra aparece unasola vez en cada renglón y columna, ejemplo.

Palacios C. Severo

144

BCAED

AEDBC

CDBAE

DAECB

EBCDA

CBAD

BADC

ADCB

DCBA

CAB

ABC

BCA

,,

Su utilidad esta determinado por la búsqueda de ejercer un controlefectivo de posibles fuentes de error en el experimento, derivadas éstasfundamentalmente de las características individuales del materialexperimental; se puede ampliar las posibilidades de control a dos po-sibles fuentes, con lo que resulta comparativamente con los diseñosanteriores.

Esta posibilidad de control de dos fuentes de error determinado por elagrupamiento de las unidades experimentales en un sistema de distri-bución bi direccional; de tal manera ejecutado, que permita una for-mación de los grupos que componen cada variante del experimento,con una distribución equitativa, teniendo en cuenta dos posibles fuen-tes de error.

Ejemplo 4.39Se realizó un experimento para investigar la influencia entre los tiem-pos medios para ensamblar 4 tipos de equipos aspersores distintos.Hay dos fuentes de variación moderada que afectan la respuesta, lavariación entre los operarios y el efecto de la fatiga.

Si una persona ensambla una serie de dispositivos durante un ciertotiempo, se desea evaluar dichas influencias.

Por consiguiente cuatro operarios fueron seleccionados y cada unoensambla los cuatro dispositivos de acuerdo al siguiente diseño.

Filas Ensamblado TotalI II III IV1234

C=44B=41A=59D=58

A=41C=42D=41B=37

B=30D=49C=59A=53

D=40A=49B=34C=59

153181193207

Total 202 161 191 192 763

Tratamiento A B C DTotal 202 142 204 188Media 50,5 35,5 51 47


145

Partiendo de la base de datos obtenemos:

133016/7635953...4144 22222 totalSC

36516/7634/20719318115322222

filaSC

5,22616/7634/19219116120222222

columnaSC

62616/7634/188204142202 22222 otratamientSC

5,1126265,2263651330 errorSC

623:

31:

31:

31:

151:

416:

nNError

noTratamient

nColumna

nFilas

NTotal

nNGL

Como se aprecia en la tabla 4.24 del análisis de varianza la columnade fuente no resulto controlada significativamente ya que el valor de Fes menor que el Ft(99).


TratamientoFilaColumnaError

626365

226,5112,5

3336

208,66121,66

75,518,75

11,126,484,02

><<

9,789,789,78

Total 1330 15 R² = 76,5037%

Ejemplo 4.40Se presenta un experimento, en donde se probaron cuatro métodosdistintos, A, B, C y D, para preparar mezclas de concreto. Consistieronlos métodos de dos relaciones de cemento y agua, y dos duraciones demezclado. Los cuatro métodos fueron controlados por cuatro lotes ycuatro días. El concreto se coló en cilindros y se midió la resistencia ala compresión en kg=cm2, a los 7 días de almacenamiento en cámarasespeciales con 20°C de temperatura y 50% de humedad relativa. Losresultados del diseño que se uso se presentan en la tabla 4.25

Tabla 4.25 Resistencia del concreto a la compresión en kg=cm2

Días Ensamblado Total

Palacios C. Severo

146

I II III IV1234

A=303B=280C=275D=304

B=299A=321D=315C=293

C=290D=313A=319B=295

D=290C=282B=300A=305

1182119612091197

Total 1162 1228 1217 1177 4784

2854016

²47841433270 totalSC

1750016

²4784²1222²1140²1174²1248

4

1métodoSC

91516

²4784²1197²1209²1196²1182

4

1díasSC

745516

²4784²1177²1217²1228²1162

4

1loteSC

2670 lotedíastrattotalerror DCSCSCSCSC

Con base en los anteriores resultados, se llega a la tabla 4.26 y a par-tir de la misma, con un nivel de significancía del 5% el valor F es Ft(95%)> 4,75 y puesto que Fo = 13,1,

Se concluye que el método afecta la resistencia a la compresión. Ade-más, al parecer los días no difieren significativamente en dicha resis-tencia (cuadrado medio es pequeño en relación al del error), mientraslos lotes si, ya que el cuadrado medio es grande en relación con elerror.

Tabla 4.26 Análisis de varianza para la resistencia a la compresión en kg=cm2

Fuente SC GL CM Fo Ft(95%)DíaLoteMétodoError

9157455

175002670

3336

30524855833445

0,685.5813,1

<>>

4,754,754,75

Total 28540 15 R² = 90,6447%


147

Problemas

(148) Se encuentra en estudio el efecto que tienen 5 productos distintosA, B, C, D y E sobre el tiempo de reacción de un proceso. Cadalote de material nuevo es lo suficientemente grande para permi-tir que sólo se realicen cinco pruebas. Más aún cada prueba tar-da hora y media; por lo que solo se pueden realizar cinco ensa-yos al día.El investigador decide efectuar el experimento usando un diseñocuadrado latino con el fin de controlar sistemáticamente las va-riables: lote de material y día. Obteniéndose los siguientes datos.

Filas EnsambladoI II III IV V

12345

A=8C=11B=4D=6E=4

B=3E=8A=5C=10D=8

D=7A=3C=1E=6B=8

C=1D=7E=10B=6A=3

E=7B=2D=9A=8C=2

(149) Un ingeniero agrónomo está investigando el efecto que tienencuatro métodos de fumigado (A, B, C y D) sobre el tiempo de cu-

Palacios C. Severo

148

rado de una plaga. Se selecciono cuatro operarios para realizareste estudio.Por otra parte, el ingeniero sabe que cada método produce cier-to tipo de intoxicación, por lo que, el tiempo que se tarde en el úl-timo fumigado debe ser menor que el primero, independiente delmétodo.En otras palabras, se produce un patrón en el tiempo de fumi-gado. Para controlar esta posible fuente de variabilidad el inge-niero utiliza el diseño cuadrado latino:

Fumigado OperarioI II III IV

1α1β1µ1ε

C=2B=8A=9

D=14

D=7C=1B=11A=12

A=14D=18C=10B=10

B=10A=7D=5C=10

(150) Se va efectuar un estudio de los movimiento para determinar elmejor diseño de trabajo para montar computadoras, cinco dise-ño se hallan en estudio. Se seleccionan cuatro estudiantes en en-samblaje aleatoriamente entre un grupo de sesenta, se le enseñaminuciosamente a trabajar con los cinco diseños.

Estudiante Diseño de trabajoI II III IV V

1234

A=10B=5C=6D=4

B=3C=10D=12E=8

C=9D=5E=5A=4

D=14E=10A=10B=11

E=11A=6B=6C=5

Cada estudiante sigue cada diseño durante dos días y se registrael número de computadoras montadas:

(151) Se efectúa un experimento de soldadura, empleando el siguientearreglo:

Estudiante Diseño de trabajoI II III

123

A=14B=9,5C=11

B=16,5C=17A=12

C=11A=15B=13

(152) Se fabrica una cubierta de caucho para una avioneta y se expe-rimenta un cuadrado latino, el experimento es descrito:

Prueba MaquinaI II III IV

2314

A=251D=234C=236B=195

B=241C=273D=236A=270

D=227A=274B=218C=230

C=229B=226A=268D=225

(153) Una investigación describe los métodos de preparación de ciertoinsecticida. Se usa un diseño cuadrado latino para analizar.

Mezcla IngredientesI II III IV V VI VII


149

1234567

A=98B=69C=37D=65E=56F=113G=64

B=17E=67F=83G=60D=44C=15A=62

C=89A=70G=83E=91B=70D=65F=65

D=64G=70B=74F=56C=68A=51E=86

E=63F=111D=70C=61A=88G=83B=45

F=132D=60A=75B=59G=111E=57

C=100

G=244C=218E=169A=150F=220B=233D=187

(154) Una agencia de control supone que existe diferencia en el conte-nido de nitrato en lotes de fertilizante que son suministrados porun proveedor. Existe en estos momentos gran cantidad de lotesen el almacén. Se han elegido aleatoriamente cinco de estos. Me-diante un análisis químico sobre cada lote se obtienen:

Análisis LoteI II III IV V

12345

A=24,3B=24,4C=24,6D=24,9E=24,0

B=24,7C=24,3D=24,5E=24,4A=24,2

C=24,3D=24,9E=24,7A=24,5B=24,8

D=24,4E=24,4A=24,5B=24,4C=24,6

E=24,3A=24,4B=24,6C=24,4D=24,9

(155) En un fuelle de herrero se forjan 4 clases de aceros. A una mismatemperatura, aunque se sospecha que cada uno de los tipos deacero tiene un punto de caldeo, se trabaja con cada uno de ellosal temple, lográndose los siguientes resultados

Acero CaldeoI II III IV

1234

A=48C=41B=49D=46

B=43D=48A=45C=41

D=47A=43C=41B=46

C=41B=47D=49A=46

(156) Se evalúan tres muestras de tierra fertilizada con abono: quími-co, natural y compost. Siendo los resultados siguientes.

Abono FertilizanteI II III IV

QuímicoNaturalCompost

A=4,9B=5,1C=4,7

C=4,0A=5,3D=4,8

B=4,3D=4,8A=5,1

D=4,2C=4,1B=4,5

Analice y obtenga sus conclusiones.(157) Se realiza un experimento para determinar si la temperatura

(°C), de horneado afecta en el vidriado de cierto tipo de azulejo.El experimento proporciono los siguientes datos:

Temperatura VidriadoI II III IV

1300140015001800

C=23A=24D=25B=28

A=21B=22C=25D=23

B=24D=27A=29C=29

D=26C=25B=28A=27

Palacios C. Severo

150

(158) Se han preparado tres diferentes tipos de soluciones para elimi-nar el óxido de joyas (oro y plata). El análisis de realiza en unlaboratorio, usando un diseño aleatorizado por bloques.Los datos se recopilaron durante tres días.

Solución DíasI II III

123

A=13C=22B=9,5

B=44A=12C=22

C=16B=13A=39

(159) Se utilizan cinco reactores distintos sobre una solución galváni-ca de dorado electrolítico. Para evaluar se utilizan varios lotesque sólo permiten realizar cinco ensayos por día. La investiga-ción se realiza mediante un diseño cuadrado latino, con el fin decontrolar sistemáticamente las variables de material y día.

Reactor DíasI II III IV V

ABCDE

A=8C=6B=10D=2E=8

B=10E=1A=7C=7D=4

D=5A=3C=1E=8B=6

C=8D=7E=6B=2A=4

E=3B=8

D=10A=9C=11

(160) Se encuentra bajo estudio el efecto que tienen 5 reactivos distin-tos (A, B, C, D y E) sobre el tiempo de reacción de un procesoquímico. Cada lote de material nuevo es lo suficientementegrande para permitir que sólo se realicen 5 ensayos. Más aún,cada ensayo tarda, aproximadamente, 1 hora y media, por loque sólo pueden realizarse 5 ensayos por día. La investigadoradecide efectuar el experimento usando un diseño de cuadrado la-tino, con el fin de controlar las variables lote de material y día.Ella recolecta los siguientes datos:

DíaLote 1 2 3 4 5

12345

A=8C=11B=4D=6E=4

B=7E=2A=9C=8D=2

D=1A=7

C=10E=6B=3

C=7D=3E=1B=6A=8

E=3B=8D=5A=10C=8

Analice la tabla de ANOVADiga que otro diseño experimental pudiera utilizarse.Diga que recomendaría respecto a la elección del reactivo quí-mico, del día y lote para realizar el proceso químico en el menortiempo posible.Realice un análisis de los residuos.

(161) Complete la siguiente tabla de análisis de varianza, concluya einterprete. Se midió el rendimiento de trigo de 4 variedades (tra-tamientos) en kg/parcela.


151

Fuente SC GL CM Fo

FilasColumnasTratamientoError 2,72

1,445,0458,4

7Total 90,40

VIII. DISEÑO CUADRADO GRECO-LATINO

Consideremos un cuadrado latino NxN al que se le sobrepone un se-gundo cuadrado latino cuyos tratamientos se designan con letrasgriegas. Se dice que los cuadrados son ortogonales si al sobreponerseposeen la propiedad de que cada letra aparezca solamente una vez encada letra latina. Este diseño se denomina cuadrado greca-latino.

Cuadro ColumnaI II III IV

1234

AαBβCτDσ

BβCτDσAα

CτDσAαBβ

DσAαBβCτ

El análisis de varianza es muy similar al de un cuadrado latino.

Palacios C. Severo

152

El factor representado por la letra griega es ortogonal a los renglones,las columnas y los tratamientos de las letras latinas porque cada letragriega ocurre una sola vez en cada renglón, en cada columna y paracada letra latina. Por lo tanto, la suma de cuadrados debido al factorletra griega puede calcularse usando los totales de la letra griega. Elerror experimental se reduce en esta cantidad.

Ejemplo 4.41Un ingeniero sospecha que en el lugar de trabajo usado por cuatrooperarios puede representar una fuerte adición de variabilidad. Esposible introducir al lugar de trabajo α, β, τ, σ a como un cuarto fac-tor. Se produce el cuadrado greca latino que se muestra a continua-ción.

Montaje Operario YiI II III IV1234

Cβ=11Bα=8Aσ=9Dτ=9

Bτ=10Cσ=12Dα=11Aβ=8

Dσ=4Aτ=10Bβ=7

Cα=18

Aα=8Dβ=12Cτ=15Bσ=6

33424241

Total 37 41 39 41 158

75,17316/158157...109 22222 totalSC

25,1416/1584/41424233 22222 filaSC

75,216/1584/41394137 22222 columnaSCTratamiento A B C DTotal 35 31 56 36Media 8,75 7,75 14 9

25,9416/1584/36563135 22222 ootratamientSC

los totales de las líneas de montaje son:

Letra Griega Total de montajeαβτσ

Y1 = 45Y2 = 38Y3 = 44Y4 = 31

25,3116/1584/31443845 22222 montajeSC


153

25,3125,3125,9475,225,1475,173 error

SC

334:

31:

31:

31:

31:

151:

416:

nNError

noTratamient

nMontaje

nColumna

nFilas

NTotal

nNGL


TratamientoFilaColumnaMontajeError

94,2514,252,7531,2531,25

33333

31,414,750,9110,4110,41

3,0170,4560,087

1

<<<<

29,529,529,529,5

Total 173,75 15 R² = 82,0143%

En el análisis de varianza ninguna de las fuentes de variación contro-ladas resultaron significativas al análisis ya que los valores calculadosde F siempre son menores que los valores de Ft.

Problemas

(162) Se desea saber si hay diferencia entre cuatro combustibles usa-dos en cuatro sembradoras. Diseñar un experimento grecola-tino.

Montaje OperarioI II III IV

1234

Aα=14Bβ=16Cτ=19Dσ=15

Bβ=16Cτ=16Dσ=18Aα=11

Cτ=21Dσ=11Aα=16Bβ=15

Dσ=14Aα=23Bβ=16Cτ=15

(163) Con el fin de mejorar la calidad de las gallinas, se han añadidodos productos químicos en su alimentación. Las distintas canti-dades del primero se indican con A, B, C y D.Las del segundo por α, β, τ y σ. Se alimenta a las gallinas orde-nados en grupos de acuerdo con sus pesos iniciales 1 1,5 1,8 y 2

Palacios C. Severo

154

kilogramos y cuatro especies diferentes. El incremento de pesopor unidad de tiempo viene dado en el cuadro. Realice un análi-sis de varianza del experimento, sacar conclusiones de acuerdo asu criterio.

Especies PesoI II III IV

1234

Aα=3Bβ=4Cτ=8Dσ=6

Bβ=6Cτ=6

Dσ=10Aα=3

Cτ=10Dσ=5Aα=5Bβ=7

Dσ=6Aα=6Bβ=8Cτ=3

IX. PRUEBA DE INTERVALOS MÚLTIPLES DE DUNCAN

Procedimiento de uso amplio para comprobar las parejas de medias.Para aplicar dicha prueba en muestras del mismo tamaño, se dispo-nen en orden ascendente los a - promedios del tratamiento y se deter-mina el error estándar para cada promedio.

Ejemplo 4.42Consideremos los datos de la tabla 4.28, siendo el CMerror = 8,06 paraN=25 y n=5, el error tiene 20 GL, organizando los promedios Y detratamientos en orden ascendente se tiene

Y1 = 9,8Y5 = 10,8Y2 = 15,4Y3 = 17,6


155

Y4 = 21,6

Error estándar de cada promedio: 27,1/ nCMS erroriY

iYSrr *95,2)20,2( 05,005,0

iYSrr *10,3)20,3( 05,005,0

iYSrr *18,3)20,4( 05,005,0

iYSrr *25,3)20,5( 05,005,0

Tabla 4.28 Datos para tratamientoTratamiento Y1 Y5 Y2 Y3

Y 9,8 10,8 15,4 17,6Y4 21,6 11,8 10,8 6,2 4Y3 17,6 7,8 6,8 2,2Y2 15,4 5,6 4,6Y5 10,8 1

Y3 y Y2 no existe diferencia significativaY5 y Y1 no existe diferencia significativa

X. DISEÑO DOBLE REVERSO

En los experimentos de nuestro campo, sin duda, el estudio de la in-fluencia de diferentes factores sobre la producción de ciertos procesos;ocupa uno de los principales lugares por su importancia económica ysocial.

El costo alto de estos experimentos y su duración cuando se utiliza losmétodos por grupos, ha exigido estudiar y ampliar nuevas técnicasque permitan reducir los mismos.

Tales circunstancias han llevado a investigar un método experimentalen grupo-tratamiento, con el objeto de abaratar los costos y reducir eltiempo de ejecución de los mismos.

Estudios sobre la producción de leche, huevo, derivados de leche, em-pollado de huevos, mejoramiento genético, etc. Han permitido estable-cer una serie de particularidades propias de los mismos, las que uni-

Palacios C. Severo

156

das a las técnicas experimentales, han dado origen a diseños que lo-gran una medida importante al resolver los problemas planteados.

El diseño doble reverso cumple los principios fundamentales del méto-do de comparación por. grupo-tratamiento, aprovechando las carac-terísticas y la influencia de los diferentes factores sobre si misma.

Ejemplo 4.43Un total de 24 gallinas fueron seleccionadas para un experimento conel objeto de estudiar la influencia entre ponedoras y ordinarias. Coneste fin se utilizo el diseño doble reverso que tuvo sub tratamientosexperimentales de 30 días con duración semanal. Los tratamientos seidentifican como: (a) ponedoras y (b) ordinarias.

Tabla 4.29

Gallinas Sub experimentos d = I – 2II + IIII II II d1 d2 d2

123456789101112

b=6b=6a=9b=4

a=10a=7a=12a=9b=4b=3b=6a=8

a=7a=9b=3a=8b=12b=7b=4b=6a=15a=18a=9b=4

b=3b=2a=9b=2a=7

a=10a=15a=11b=4b=8b=7

a=12

12

-73198

12

-3-10

-10

-22-25-5

9100144100499

36164

48462525144

Total 47 -75 2114

Pasemos a continuación al análisis de los resultados de este experi-mento en relación a la producción de huevos por semanas.

Los datos en el caso se organizan de acuerdo al esquema que se siguióen el experimento.

Tratamiento Total MediaAB

18593

10,2823,25

206512/75472114 2 totalSC

33,124012/75476/7547 222 ootratamient

SC


157

67,82433,12402065 errorSC


TratamientoError

1240,33824,67

110

1240,3382,467

15,04 > 10,0

Total 2065,00 11 R² = 60,0644 %

En función de los resultados existe diferencia significativa en cuanto ala producción de huevos de las gallinas sometidas a tratamiento y estaen función de los datos obtenidos respectivamente.

Como puede apreciarse este diseño tiende a dar solución a las limita-ciones en los métodos precedentes. Este método fue desarrollado am-pliamente para la aplicación en estudios con más de 3 tratamientos yresulta de amplia utilidad en la práctica actual de trabajo.

Problemas

(164) Elabore el diseño doble reverso para 14, 15, 20 y 24 pruebas(165) Simule el proceso con tres fertilizantes (Compost, Turba y Quí-

micos) en la siembra de hortalizas.(166) Establezca la diferencia entre el diseño doble reverso y los dise-

ños aleatorizados.(167) Elabore el modelo del ejemplo 4.43(168) Aporte un criterio de evaluación útil del diseño doble reverso.(169) A los problemas de (156, 157, 158 y 159) elabore sus análisis de

varianza.

Palacios C. Severo

158

XI. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DEL MODELO

Las herramientas principales para el diagnóstico de modelos unifac-toriales esta basado en los residuos.

ijijij YY

Los residuos del i-ésimo tratamiento se determinan restando el pro-medio del tratamiento a cada observación dentro del tratamiento.

Usualmente la comprobación de linealidad del promedio consiste engraficar los residuos, tal como se muestra. Se recomienda que talcomprobación de diagnostico sea un paso de rutina en cada proyectode diseño experimental.


159

Ejemplo 4.44Analizar los datos de la tabla 4.10

Tabla 4.31 Valores originales y residuos% 1 2 3 4 5 Yi

15 7 -2,5 7 -2,8 15 5,2 11 1,2 9 0,8 9,520 12 -3,4 17 1,6 12 -3,4 18 2,6 8 2,6 15,425 14 -3,6 18 0,4 18 0,4 19 1,4 19 1,4 17,630 19 -2,6 25 3,4 22 0,4 19 1,4 23 1,4 21,635 7 -3,8 10 -0,8 11 0,2 15 0,2 11 0,2 10,8

Orden K εij PK=(K-1/2)/2512345678910111213141516171819202122232425

-3,8-3,6-3,4-3,4-2,8-2,8-2,8-2,6-0,8-0,8+0,2+0,2+0,4+0,4+0,4+1,2+1,4+1,4+1,4+1,6+2,6+2,6+3,4+4,2+5,2

0,020,060,100,140,180,220,260,300,340,380,420,460,500,540,580,620,660,700,740,780,820,860,900,940,98

Los residuos se organizan en forma ascendente y se calculan sus pun-tos de probabilidad acumulada Pk.

La gráfica de probabilidad normal se deja al lector para que lo desa-rrolle, con los residuos graficados contra Pkx100 en la escala verticalderecha.

En la parte inferior los puntos del residuo.

XII. POLINOMIO ORTOGONAL

Palacios C. Severo

160

Cuando los niveles de los factores son equidistantes, puede simplificar-se mucho el ajuste del modelo polinomial por el método de mínimoscuadrados. El procedimiento utiliza los coeficientes de los contrastesortogonales. Además del ajuste de mínimos cuadrados del polinomiose obtiene el efecto lineal, cuadrático, cúbico, cuártico y así sucesiva-mente, así como la suma de cuadrados del factor. Esto permite probarla contribución de cada término al polinomio.

Ejemplo 4.45Los datos de la tabla 4.32 en este problema el factor independiente,porcentaje de algodón, tienen cinco niveles equidistantes. La suma decuadrados de los efectos lineales, cuadráticos; cúbicos y cuárticos des-compone la suma de cuadrados de tratamiento y pueden ser incorpo-rados al análisis de varianza como se muestra. Cada efecto tiene ungrado de libertad y puede ser probado comparando su suma de cua-drados en la media de cuadrados del error.

% algodón Total detratamiento

Coeficiente de loscontrastes ortogonales Ci

Lineal Cuadrático Cúbico Cuártico1520253035

49778810854

-2-1012

2-1012

-120-2-1

1-46-41

τ 1 1 5/6 35/2 YCEfecto i

41 -155 -57 -100 22 / ii CnYCSC 33,62 343,21 64,98 33,95

El modelo polinomial cúbico ajustado a los datos es:

)()()( 332211 XPXPXPY o

04,1525/376/ NYSCo

82,0)10(5/41/ 2

1 ii CnYCSC

2143,2)14(5/155/ 2

2 ii CnYCSC

14,1)10(5/57/ 2

3 ii CnYCSC


161

Como se tiene a=5 niveles de X e Y entre los niveles, d=5 el modelo delpolinomio ortogonal es:

20/)7)5(3(5/255/25)6/5(14,1

12/155/252143,25/)25(82,004,152

22

XX

XXY

resultando el modelo

32 00786,04814,001,9611,62 XXXY


% AlgodónLinealCuadráticoCúbicoCuárticoError

475,95(33,62)(343,4)(64,98)(33,95)161,20

41111

20

118,9433,62

343,4064,9833,958,06

14,764,17

42,588,064,21

><>><

2,874,354,354,354,35

Total 637,15 28 R² = 74,6998%

Los efectos cuadrático y cúbico del porcentaje de algodón son signifi-cativos.

§5MÉTODOS DE ANÁLISIS

Las cosas complejas y estadísticamente improbables, son por naturaleza másdifíciles de explicar que las cosas simples y estadísticamente probables.

Richard Dawkins

I. INTRODUCCIÓN

Palacios C. Severo

162

No imite al ebrio que utiliza un poste de luz como apoyo, en vez deusarlo como iluminación. No deje que el ANAVA (análisis de varianza)se convierta en muleta de un trabajo de campo mal hecho o como sus-tituto de pensar. Recuerde estas pautas:

Adapte la técnica al problema, no el problema a la técnica: eviteenamorarse de un método y tratar de acomodarse siempre acualquier estudio. No se convierta en tecnócrata.

Los resultados son solo tan buenos como los datos: Las técnicasestadísticas no arreglan los malos datos. Por eso sea siemprecuidadoso en la elaboración del diseño y en la toma del vectorrespuesta.

Piense ante, no después de haber hecho el experimento: noamontone todo lo que se le ocurra en el computador con la espe-ranza de que éste lo clasifique y lo haga intangible para usted.Primero desarrolle hipótesis; luego ensaye sus preguntas. Puedeestar casi seguro de que siempre habrá algo que conseguir en untrabajo de investigación.

Considere la investigación: usted siempre aprende conformeavanza - sobre cosas que usted hubiera querido añadir y sobreotras que hubiera querido dejar por fuera. Una o dos etapas pi-loto mejorarán la calidad de un gran estudio final. El análisisestadístico es costoso; por eso, proceda en forma planificada.

Encuentre la forma de comunicar los resultados con claridad:La mayoría de los investigadores no están familiarizados conestas técnicas y por eso hay peligro de confundirlo con datos ycon jergas. Busque maneras de comunicar las técnicas y sus re-sultados en una forma fácil de entender.

Mantenga el análisis estadístico como un medio, no como un fin:"Correr un análisis conglomerado" no ayuda mucho si no con-tribuye al objetivo general del estudio. Empiece con el problema,no con la técnica.

Las técnicas estadísticas de análisis prueban ser herramienta muyvaliosa. Su papel más útil generalmente es complementar análisis yjuicios directos reuniendo variables complejas en un solo análisis. Esarriesgado hacer depender todo el estudio, de una sola técnica. Unprocedimiento mejor es experimentar con estas técnicas como partedel estudio hecho con otros fines; luego, proseguir con un estudio másgrande después de que el valor y la aplicabilidad de la técnica se ha-yan aprobado.


163

II. MÉTODOS NO PARÁMETRICOS

En la práctica aparecen situaciones en las que los requisitos no estánjustificados, como es el caso de una población fuertemente asimétrica.A causa de ello, se han creado métodos que son independientes de lasdistribuciones de la población y de los parámetros asociados.

Las pruebas no paramétricas se pueden usar como observaciones decontraste más complicada. Son especialmente útiles cuando se tratacon datos no numéricos, por ejemplo, cuando los consumidores colo-can productos por orden de preferencia.

III. PRUEBA U DE MANN-WHITNEY

Consideremos dos productos distintos de los cuales obtenemos dosmuestras, queremos decidir si hay o no diferencia entre las muestras,o sea, si proceden o no de una misma muestra poblacional. Es conve-niente una prueba no paramétrica consistente en los siguientes pasos:

1. Combinar todos los valores muéstrales en una ordenación as-cendente y asignar rangos a todos los valores. Si dos o másmuestras son idénticas, se le asigna a cada uno un rango que esla media de los rangos que los ubica con tal coincidencia.

2. Hallar la suma de los rangos para cada muestra, denominándo-lo Rn y los tamaños muéstrales Nn. Por conveniencia elegimos N1

al menor. Una diferencia significativa entre la suma del rangoR1 y Rz, implica una diferencia entre las muestras.

3. Para encontrar la diferencia entre las sumas de rangos, usa-mos:

jiRNN

NNU iii

ji

2

)19(

La distribución muestral U es simétrica y tiene una media

2ji

U

NN

y una varianza

12

)1(2 jiji

U

NNNN

Palacios C. Severo

164

Si Ni y Nj son ambas al menos iguales a 8, resulta que la distribuciónde U es aproximadamente normal

U

UUz

Esta normalmente distribuido con media cero y varianza 1. Un valorcorrespondiente a otra muestra viene dada por.

jiRNN

NNU iii

ji

2

)19(

Además

jiji NNUU

676,033 b

Donde:

N = Ni + Nj

Ejemplo 5.46Se desea determinar si hay diferencia entre los telares I y II, al nivel designificancía del 0,05.

Tabla 5.33 Datos de telares I y II12345

11,711,812,612,914,1

678910

14,715,215,916,116,9

1112131415

17,818,318,919,620,5

161718

22,724,225,3

Combinando los 18 valores de la muestra en ordenación ascendente,tal como se indica en la tabla 5.33, en la segunda fila se asignan losrangos.

Donde

10821 NN

Además

6510621 RR


165

101062/98108 U

402/10*8 U

67,12612/19*10*82 U

la distribución es

67,225,11/4010 z

Textil I Textil IIResistencia Rango Resistencia Rango

18,316,422,717,818,925,316,124,2

121016111318917

12,614,120,510,715,919,612,915,211,814,7

351518144726

Suma 106

Suma 65

como la hipótesis Ho que estamos estudiando es que no hay diferenciaentre los telares, entonces

96,196,1 zsiHo

Rechazamos y concluimos que hay diferencia entre los telares al niveldel 0,05.IV. PRUEBA H DE KRUSKAL-WALLIS

Con esta prueba podemos decidir si dos muestras provienen o no de lamisma población. Una generalización para k muestras de Kruskal-Wallis con sus pruebas.

La prueba puede describirse como: sean k muestras de tamaño Nk, consuma total N, supongamos que los datos de todas las muestras se or-denan y que las sumas de rangos para las k muestras son Rk respecti-vamente. Definido:

Palacios C. Severo

166

)1(3)1(

122

N

N

R

NNH

j

j

Ejemplo 5.47Una fabrica de tejidos desea comprar una de cinco maquinas diferen-tes. En un experimento diseñado para saber si hay diferencia en laeficacia de tales maquinas, cinco operarios expertos trabajan en cadamaquina un tiempo determinado.

Los resultados se escogen y ordenan en forma ascendente pero coloca-da por orden de presentación.

12,52,54

42485050

6,56,56,56,5

53535353

9101112

57606163

14141416

64646465

17,517,51921

68687072

2121232425

722

757782

ABCDE

6872604864

7253826165

7763645770

42535348757264506853

RangoABCDE

17,521102,514

216,5251116

241214919

16,52314

17,5

6,52,5214

6,5

7048,593

40,573

44,6H

Para K-1=4 grados de libertad al nivel de significación 0,05 296,0X .

Puesto que 6,44 < 9,49 no podemos rechazar la hipótesis de igualdadentre las maquinas. Podemos aceptar la hipótesis de que no hay dife-rencia entre las maquinas.

V. MÉTODOS MULTIVARIABLES

Cuando varias variables se analizan juntas, el procedimiento se llamaanálisis multivariable.

El primer paso analítico en la mayoría de los proyectos de investiga-ción es una tabulación cruzada directa de los resultados.


167

Las técnicas multivariables más utilizada en el análisis son:

Análisis de regresión múltiple Interacción automática Análisis discriminante Análisis de factores Análisis de conglomerados Escalas multidimensionales Análisis conjunta.

Las tres primeras técnicas miden la dependencia entre variables. Es-tos métodos tienen que ver con dos tipos de variables, y es importanteentender la distribución entre ellos.

Variables dependientesEstas son las variables que usted esta tratando de predecir o explicar.Un ejemplo típico es el volumen de utilización de un producto o deutilización de un cierto tipo de equipo.

Variable independienteEstas son las variables que explican o predicen diferencias en las va-riables dependientes.

Las otras cuatro técnicas, están diseñados para medir la interdepen-dencia entre las variables. En este método no hay variable dependien-te o independiente.

Análisis de regresión múltiple

Este tipo de análisis enfoca una ecuación de predicción que relacionauna variable dependiente y un conjunto de variables independiente.Esta es una de las técnica multivariable más básicas. Es muy útil parapredecir el intervalo de una variable dependiente.El procedimiento proporciona la ecuación correspondiente a la línearecta que mejor se ajusta a los datos. La ecuación de esta línea recta sepuede usar como ecuación de predicción.

La ecuación se desarrolla mediante un procedimiento conocido comomínimos cuadrados y corresponde a una línea recta, no es apropiadopara situaciones donde la relación entre las variables dependiente eindependiente no es lineal.

Interacción automática

Palacios C. Severo

168

Al igual que la regresión múltiple, la interacción automática es unmétodo para analizar la relación entre una variable dependiente yvarias variables independientes. Pero mientras el análisis de regresiónmúltiple produce una ecuación predictiva que describe la relación, lainteracción automática genera una serie de ecuaciones de dos vías,seleccionado en cada división la variable independiente que explica lamayor variación en la variable dependiente.

Análisis discriminante

El procedimiento determina las variables predictivas más estrechasque identifican a un subgrupo en la muestra, es decir, identifica lasvariables que son las discriminadoras entre los miembros de los sub-grupos cuyo comportamiento se quiere predecir. La técnica puedeusarse con variables de dos grupos.

Análisis de factores

Sirve para analizar las interrelaciones entre variables e intenta redu-cirlas a un conjunto más pequeño. En procesos sociales es común me-dir un gran número de datos, por esta razón se cree que en la mayoríade los casos todas estas variables son facetas de un número menor devariables subyacentes. El propósito del análisis de factores es estable-cer la cantidad de variables que sustenten el fenómeno.

Análisis de conglomerados

Define los grupos naturales de objetos que son similares dentro de unapoblación muestra. El análisis de conglomerado crea sub muestrascuyos miembros son similares entre ellos con los demás. Es decir iden-tifica conglomerados de unidades homogéneas.Escalas multidimensionales

Es un análisis matemático de percepciones y preferencias que losmiembros tienen en el espacio muestra.

Análisis conjunta

Es una técnica que separa de sus componentes los juicios globales delos informantes sobre alternativas complejas, tales como característi-ca de un producto.


169

VI. CORRELACIÓN DE SPEARMAN

Se utiliza este método para medir la correlación de dos variables X e Y.En lugar de usar valores precisos de las variables, o cuando tal preci-sión no es alcanzable, a los datos se les puede asignar un rango de 1 aN ordenándolo por su tamaño, importancia, preferencia, etc. Dichaasignación viene dada por:

)1(

61

2

2

NN

DrS

Ejemplo 5.48Se analiza agua contaminada de 10 estanques, además para ver laconfiabilidad de dicho análisis se procede a realizar los cálculos analí-ticos para ver su dispersión.

Laboratorio 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5Teórico 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6

Diferencia de rangos:

D -1 -2 -1 1 -1 3 1 2 -1 -1D2 1 4 1 1 1 9 1 4 1 1

8545,0)110(*10/)24*6(1 2 Sr

Indica que hay marcada relación entre los análisis de laboratorio yteórico.

Análisis de varianza

El análisis de varianza es una técnica que resulta útil para mejorar laprecisión de un experimento. Supongamos que en un experimento lavariable respuesta Y está relacionada linealmente con la variable in-dependiente X. Además, el experimentador no puede controlar la va-riable X pero puede medirla al mismo tiempo que a Y. Con el análisisde varianza se busca adaptar el valor observado de la respuesta paratomar en cuenta el efecto de la variable concominante. Si no se lleva acabo dicho ajuste, la variable concominante puede aumentar la mediadel cuadrado del error, con lo que hay mayor dificultad en la detecciónde diferencias reales en la respuesta debidos a los tratamientos. Por lotanto, el análisis de covarianza es un método para tomar en cuenta elefecto de algunas variables que no pueden ser controladas.

Palacios C. Severo

170

Ejemplo 5.49Se usan tres maquinas distintas para producir fibras para una empre-sa textil. El ingeniero de proceso esta interesado en determinar si exis-te diferencia en los resultados de la fibra producida por las tres ma-quinas. Sin embargo, la resistencia de la fibra depende del grosor de lamisma, siendo más resistente las fibras de mayor grosor. Se seleccionauna muestra aleatoria de cinco fragmentos para cada maquina sien-do. Y: resistencia de cada fibra y X: grosor.

Maquina I Maquina II Maquina IIIY X Y X Y X

3641394249

2025242532

4048394544

2228223028

3537423432

2123262115

207 126 216 130 180 106

40,436)5(3/6033234...4136 22222 YYSC

73,261)5(3/3621521...2520 22222 XXSC

60,282)5(3/603*36232*1534*21...41*2536*20 2222 XYSC

40,140)5(3/6035/180216207 2222 YY

13,66)5(3/3625/106103126 2222 XX

00,96)5(3/603*3625/180*106216*130207*126 XY

00,20640,14040,346 YYYYYY SC

50,19513,6673,261 XXXXXX SC

60,18600,9060,282 XYXYXY SC

27,4173,261/6,28240,346/ 22´ XXXYYY SCSCSCSC

99,276,195/6,186206/ 22 XXXYYYSC

28,1399,2727,41´ SCSC


171

11//1/´ naSCaSCSCFo

61,211/99,27/2/28,13 oF

86,211,2,90 F

954,06,195/6,186/ XXXY

08,7059,2/6,195/6,186// 22 errorXXXYo CMF

65,911,2,90 F

38,4013,242,25954,04,41111 XXYAjustadaY

42,4113,240,26954,02,43222 XXYAjustadaY

80,3813,242,21954,00,36333 XXYAjustadaY

Tabla 5.34 Análisis de varianza

Fuente GL SC Y GL CMX XY YMaquinaErrorTotal

21214

66,13195,60261,73

96,0186,6282,6

140,4206,0346,4

27,9941,27

1113

2,54

Maquinaajustada

13,28 2 6,64

Problemas

(170) Se dan los rangos de 10 estudiantes en mitad de semestre y a finde semestre obtenido en los exámenes de estadística.Compute el coeficiente de correlación de Spearman e interpréte-lo.

Estudiantes1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mitad de semestre 5 4 8 2 6 1 3 7 10 9Fin de semestre 4 1 10 5 6 9 7 8 2 3

Palacios C. Severo

172

(171) Una Empresa textilera desea comprar una de cinco maquinasdiferentes. En un experimento diseñado para saber si hay dife-rencia en la eficacia de tales maquinas, cinco operarios trabajanen cada maquina un tiempo determinado.Los resultados se escogen y ordenan en forma ascendente perocolocada por orden de presentación12

2,54

24283739

66,57

7,5

43455253

9101112

58626364

13141516

65666768

1717,51921

69717375

2324262832

7778798082

(172) Se analiza Aire contaminado de 10 Ingenios mineros, ademáspara ver la confiabilidad de dicho análisis se procede a realizarlos cálculos analíticos para ver su dispersión.

Laboratorio 12 8 9 7 9 18 6 9 3 5Teórico 11 6 12 4 12 14 4 6 4 6

(173) Se analiza Aire contaminado con ácido cianhídrico de una em-presa minera aurífera, además para ver la confiabilidad delanálisis químico se procede a realizar los cálculos analíticos pa-ra ver su dispersión.

Laboratorio 0,011 0,08 0,09 0,07 0,09 0,018 0,06Teórico 0,011 0,06 0,012 0,04 0,012 0,014 0,04

(174) Se usan tres maquinas distintas para producir Queso cremopara una empresa Lechera. La ingeniera a cargo de la investi-gación esta interesada en determinar si existe diferencia en losresultados del Queso cremoso producido por las doss maquinas.Se selecciona una muestra aleatoria de cinco fragmentos paracada maquina siendo. Y: sabor y X: dureza.

Maquina I Maquina IIY X Y X

0,310,400,320,490,48

0,290,270,220,200,39

0,490,450,300,420,41

0,200,290,270,350,29

2,00 1,37 2,07 1,40(175) Se usan tres maquinas distintas para producir Yogur para una

empresa Heladera. La ingeniera de proceso esta interesada endeterminar si existe diferencia en los resultados del Yogur pro-ducida por las tres maquinas. Se selecciona una muestra aleato-ria de cinco fragmentos para cada maquina siendo. Y: consis-tencia y X: sabor.

Maquina I Maquina II Maquina IIIY X Y X Y X3140

2927

4945

2029

3935

2826


173

324948

222039

304241

273529

494347

292419

200 137 207 140 213 126(176) Se dan los rangos de 10 estudiantes en mitad de semestre y a fin

de semestre obtenido en los exámenes de diseño experimental deuna Universidad Estatal del Sur del Perú.Compute el coeficiente de correlación de Spearman e interpréte-lo.

Estudiantes1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mitad de semestre 15 14 18 12 06 11 13 17 10 09Fin de semestre 14 11 10 15 06 09 07 08 12 13

§6DISEÑOS EXPERIMENTALES

APLICADO A INGENIERÍA

Palacios C. Severo

174

La estadística ha demostrado que la mortalidad de los militares aumentaperceptiblemente durante tiempos de guerra.

Alphonse Allais

I. INTRODUCCIÓN

En muchos procesos experimentales de carácter exploratorio, el in-vestigador se enfrenta con el problema de determinar el efecto de ungran número de variables. En estas condiciones, es necesario estable-cer un procedimiento aceptable para elegir las condiciones de cadauno de los ensayos experimentales.

La estrategia estadística en el diseño de experimentos consiste en elprocedimiento sistemático y controlado para desarrollar las combina-ciones correctas de condiciones variables para que el análisis resulteconfiable. En la industria se utilizan tres tipos de diseños fundamenta-les de experimentación estadísticamente diseñados, que son:

a) Diseños Factorialesb) Diseños Rotablesc) Operaciones Evolutivas

Se ha desarrollado un nuevo diseño de mucha utilidad para los proce-sos industriales al cual he denominado Diseño Severo.

Antes de estudiar con amplitud estos métodos conviene familiarizarsecon la nomenclatura utilizada en este campo del análisis estadístico.

A las variables experimentales las llamamos factores, el valor numéri-co del factor se denomina nivel. La combinación de factores que seutilizan en ciertos ensayos experimentales se llama tratamiento. Elresultado del ensayo se llama efecto.Si la cantidad de material que se procesa es limitada, de manera queresulta necesario utilizar varios lotes de material, cuyas característi-cas son similares pero no idénticas, cada lote se llama bloque. Si elmismo experimento se repite en las mismas condiciones se llama repli-ca.

La aplicación de estas técnicas a una estrategia experimental puedeilustrarse considerando la optimización de las consideraciones opera-tiva de un proceso.


175

Ejemplo 6.50Todo proceso científico, tecnológico y social esta vinculado bajo elsiguiente esquema:

a) El insumo varia por su calidad, cantidad y la variedad.b) El proceso varia si es continuo (dinámico) o Bach (estacionario).c) El control si es de calidad, de rendimiento o eficiencia (cualitativo o

cuantitativo).

Donde al variar el insumo en el proceso el control es muy distinto paracada caso.

Ejemplo 6.51Se lixivia un desecho minero conocido como cola (relave, desecho,desmonte) con alto contenido de plata, estaño, plomo y cobre. En me-dio ácido bajo dos procesos distintos:

a) Clorurado en donde los componentes lixiviados fueron com-plejos de plata.

b) Nitratado en donde se forma compuestos de nitrato de plata.Siendo el insumo el desecho de mineral a diferentes dosificaciones decloruros y nitratos.

El procedo viene a ser la disolución al dosificarse el cloruro o nitratoen medio ácido, a fin de disolver la plata en forma de complejo cloru-rado de plata o nitrato de plata.

El vector de control viene a ser la recuperación del metal valioso (pla-ta) de la cola (relave, desecho, desmonte).

Palacios C. Severo

176

La recuperación de la plata de los dos medios acuosos (insumo endonde esta la plata en forma ionica) se efectúa por medio de la preci-pitación (cementanción) con chatarra de hierro obteniéndose los si-guientes productos respectivamente.

222 FeAgOFeAg

222 FeAgFeAg

Dos productos distintos en donde el insumo es el mismo, produciendoun control distinto en la recuperación del metal valioso, en cada tipode medio acuoso.

Problema

(177) En un centro educativo se ve el rendimiento académico de losestudiantes alimentados y desnutridos, Obteniéndose el gráficoasintótico ascendente y descendente respectivamente.¿Evalué el insumo en el proceso de aprendizaje?

(178) Se procesa un mineral aurífero con dos reactivos con el fin deevaluar el rendimiento de recuperación de oro de dicho mate-rial.


177

¿Plante un diseño factorial para el presente proceso?(179) Se realiza la comparación de dos procesos para la recuperación

de oro, siendo el proceso convencional la cianuración y el proce-so innovativo el Proceso SEVERO.Plantee un diseño experimental para los procesos mencionados.

(180) Se tiene una solución ácida de cloruro de plata y desea precipi-tarse electrolíticamente dicho metal, se pide al lector que facto-res influyen en dicho proceso y a que niveles trabajaría.

(181) Al problema 169 en vez del proceso electrolítico se desarrolla elproceso de cementación con chatarra de hierro, que factores yniveles utilizaría para desarrollar el proceso.

(182) Se tiene una solución ácida de cobre, del cual se quiere recuperarel cobre por vía electrolítica, se pide que se evalué dos factores:densidad de corriente y concentración de cobre.¿Proponga un tipo de diseño?

(183) Se quiere recuperar cobre de una solución ácida, para el cual seadiciona chatarra de hierro, el cobre producto de dicha precipi-tación es de calidad comercial, a partir de dicho cobre se deseaproducir sulfato de cobre de calidad comercial.¿Elabore un diseño que produzca una sola variación con los dosproductos obtenidos?

II. DISEÑOS BIFACTORIALES

Por diseño Bifactorial se entiende aquel en el que se investigan todaslas posibles combinaciones de los niveles de los factores, en cada ensa-yo completo o réplica del experimento.

Por ejemplo, si existen a-niveles del factor A y b-niveles del factor B,entonces cada réplica del experimento contiene todas las ab combina-

Palacios C. Severo

178

ciones de los tratamientos. A menudo, se dice que los factores estáncruzados cuando éstos se arreglan en un diseño factorial.

El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta produ-cida por un cambio en el nivel del factor. Este se conoce como efectoprincipal.

Ejemplo 6.52Consideremos los datos de la tabla 6.34. El efecto del factor A es ladiferencia entre las respuestas promedio en el primero y segundo nivelde ese factor.

Tabla 6.34 Experimento factorial

a) Interactivo

b) Sin interacción

Numéricamente

5,62/542/1012 A

Interpretando este resultado nos indica que incrementando el factor Adel nivel 1 al 2 produce un cambio en la respuesta promedio de 6,5unidades.


179

Para el efecto B:

5,02/1242/105 A

Interpretando este resultado indica un decremento del factor B delnivel 1 al 2 produciendo un cambio en la respuesta promedio de -0,5unidades.

Como en este caso la diferencia en la respuesta entre los niveles de unfactor no es la misma en todos los niveles de otros factores. Cuandoesto ocurre existe una interacción entre los factores.

Gráficamente podemos visualizar este fenómeno,

Ejemplo 6.53Un investigador diseña un calefactor eléctrico para mantener cons-tante la temperatura de una Piscigranja debiendo este ser sometido aciertas variaciones de temperatura. El único parámetro de diseño queél puede seleccionar en este punto es el material de la cubierta de cale-facción, y tiene tres alternativas. Cuando el calefactor se manufacturay se envía a la Piscigranja, el investigador no tiene control sobre losextremos de temperatura a que será expuesto, sabe por experienciaque es probable que la temperatura influya en la duración efectiva delcalefactor.El investigador decide probar los tres materiales de la cubierta a tresniveles de temperatura ( 2°C, 8°C y 12°C). Se prueban tres calefactoresa cada combinación de material de la cubierta y temperatura y las 36pruebas se ejecutan al azar.

En la tabla 6.35 se presenta el experimento y los datos resultantes deduración observada de los calefactores.

Palacios C. Severo

180

Tabla 6.35 Datos para el experimento del calefactor eléctrico

Material Temperatura Yi2 8 12

1 2082

7058 230 150

126188126 623 138

168110160 576 1429

2 136106

122115 479 25

587045 198 130

74155180 539 1216

3 3480

4075 229 150

139174120 583 96

8210460 342 1154

Total 938 1404 1457 3799

79,7764636/37996082...7020 22222 totalSC

72.1068336/37994*3/115412161429 2222 materialSC

72,3911836/37994*3/14571404938 2222 aatemperaturSC

78,961372,3911872.1068336/37994/342...230 222

int eracciónSC

75,1823078,961372,3911872,1068397,77646 errorSC

En la tabla 6.36 se muestran los resultados del procedimiento.

Tabla 6.36 Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo Ft(99) Ft(95)Material 10683,72 2 5341,86 7,91 5,53 3,37Temperatura 39118,72 2 19558,36 28,97 5,53 3,37Interacción 9613,78 4 2403,94 3,56 4,14 2,74Error 18230,75 27 675,21Total 77646,97 35

Se concluye que no existe interacción para un Ft(99)=4,14 entre el tipode material y la temperatura. Además son significativas los efectosprincipales del tipo de material y la temperatura para Ft(99)=5,53. Encambio para Ft(95) existe interacción así como influencia de los efectosprincipales.


181

Gráfica de tipo de material contra temperatura.

Como una interpretación auxiliar de los resultados en este experimen-to resulta útil la construcción de una gráfica de las respuestas prome-dio en cada combinación del tratamiento.

El hecho de que las rectas no son paralelas indica una interacción sig-nificativa tan solo para Ft(95). En general a menos temperatura, ma-yor duración, independiente del tipo del material.

Al variar la temperatura de baja a intermedia la duración aumentacon el material tipo 2 mientras que disminuye con el material tipo 1 y3. Cuando la temperatura varia de intermedio a alta, la duración dis-minuye con los materiales tipo 3 y 2, mientras que con el tipo 1 per-manece sin cambio, al parecer, el material tipo 2 da los mejores resul-tados.

III. COMPARACIÓN MÚLTIPLE

Si el análisis de varianza indica que hay diferencia en el nivel medio delos renglones y columnas, es de interés llevar a cabo comparaciónentre las medias individuales de renglón y columna para describir lasdiferencias significativas.

Y22 = 9,8 Y32 = 10,8 Y12 = 15,4

Error estándar de cada promedio

99,124/21,675/ NCMS erroriY

Del apéndice obtenemos los valores críticos para 27 GL y 95% de signi-ficación

Palacios C. Severo

182

80,3799,12*91,2)27,2(05,0 r 75,3999,12*06,3)27,3(05,0 r

Tabla 6.37Tratamiento Y22 Y32

Yij 9,8 10,8Y12 21,6 11,8 10,8Y32 17,6 7,8

Y1 y Y3 no existe diferencia significativa

El modelo estimado para el presente caso es:

Material Y1Coeficientes de los contrastes ortogonales

Lineal Cuadrático123

142912161154

-101

1-21

r 1 3Efecto ΣCiY 275 151

SC[(ΣCiY)2/n ΣCi2] 12604,16 1266,72

164,25)6(3/151*3/

83,45)2(3/275/

52,10536/3799/

2

22

2

11

ii

ii

o

CnYCSC

CnYCSC

NYSC

El modelo del polinomio ortogonal es:

21 164,2535,7911,225 XXY

Tabla6.38 Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo Ft(65)

Material 10683,72 4 5341,86 7,91 > 3,36Lineal 12604,16 1 12604,16 18,66 > 4,22Cuadrático 1266,72 1 1266,72 1,83 4,22Error 18230,75 27 675,21Total 31

El efecto lineal es significativo.

22,59413intmod eraccióntempmaterialelo scSCSCS

765,0/mod

2 totalelo SCSCR


183

IV. DISEÑO ANIDADO

En ciertos experimentos multifactoriales, los niveles de un factor sonsimilares pero no idénticos pero diferentes del otro factor. Tal arreglose conoce como diseño anidado con los niveles del factor.

Ejemplo 6.54Un industrial compra materia prima por lotes a tres proveedores. Lapureza de la materia prima varia considerablemente, lo cual causaproblemas en el control del producto terminado. Se desea determinarsi la variabilidad en la pureza puede atribuirse a diferencias entre losproveedores. Cuatro lotes de materia prima de cada proveedor se se-leccionan al azar y se hacen tres determinaciones de la pureza sobrecada lote. Esto por supuesto, corresponde a un diseño anidado. Losdatos después de codificarse aparecen en la tabla.

Tabla 6.39Lote Proveedor I Proveedor II Proveedor III

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4949293

919089

919394

949793

949190

939795

929391

939695

959793

919395

949295

969594

Tlote 279 270 278 284 275 285 276 284 285 279 281 285Tproveedor 1111 1120 1130

31,14836/3361313935 2 totalSC

06,1536/33618*4/113011201111 2222 proveedorSC

92,698*4/1130112011113/285281...270279 2222222 loteSC

33,633/285281...270279313935 2222 errorSC

3436: mnNGL

351: NTotal

21:Pr moveedor

9)1(: nmLote

24)12(: mnError

Palacios C. Severo

184

Tabla 6.40 Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo Ft(99)

Proveedor 15,06 2 7,53 0,97 < 2,26Lote 69,92 9 7,77 2,94 > 2,26Error 63,33 24 2,64Total 148,31 35


185

Problemas

(184) Un ingeniero de procesos sospecha que el acabado de una piezano metálica (polietileno) depende de la alimentación y la tempe-ratura. Selecciona tres niveles de alimentación y eligió aleato-riamente cuatro niveles de temperatura a continuación se reali-za un experimento Bifactorial.

Alimentaciónm/min

Temperatura (°)160 180 200 240

0,508608076

746460

9910496

9810899

0,63599110111

1198892

1049995

928688

0,76299110107

9810488

114108110

10488102

Analice los datos.Elabore una gráfica de los residuos.Estime los componentes de varianza con la temperatura.

(185) Se estudian factores que influyen en la resistencia de ruptura deuna fibra. Se eligen al azar tres maquinas y dos operarios y serealiza un experimento Bifactorial usando la fibra de un mismolote de producción.

Operario Maquina1 2 3

1 110111

111109

114112

2 112115

114119

120117

(186) Un ingeniero electromecánico estudia la fuerza producida porun torno. Sospecha que los factores más importantes son las re-voluciones del motor y la alimentación. Se selecciona aleatoria-mente cuatro niveles de alimentación y se usan los niveles de ve-locidad de rotación baja y alta para representar las condicionesde operación extrema. Analice los datos.

VelocidadTorno

Rapidez alimentación0,15 0,30 0,45 0,60

980 2,852,80

2,862,87

2,942,88

2,832,86

1200 2,452,44

2,702,78

2,752,86

2,602,72

(187) Se realizó un experimento para determinar si la temperaturainfluye en la cocción de un azulejo ordinario producto de arcillascontaminadas.

Palacios C. Severo

186

Azulejo Temperatura °C800 850 900

198810261004

526538532

528547521

2106310801043

565510590

570565583

(188) Un fabricante esta estudiando la tasa de combustible para trestipos de estufas. Se seleccionan aleatoriamente tres lotes decombustible y se recopilan cuatro observaciones de la razón decalefacción en cada lote. Analice los datos y obtenga conclusio-nes.

LoteProceso I Proceso II Proceso III

1 2 3 1 2 3 1 2 315252026

16192820

13151714

35191714

27252421

25182117

25141520

27352129

33385450

(189) Un Ingeniero está estudiando el calibrado y afino de un emboloproducido por tres fresadoras. Cada fresadora tiene 2 ejes. Seseleccionan aleatoriamente cuatro componentes de cada eje.Analice los datos.

LoteProceso I Proceso II Proceso III1 2 1 2 1 2910816

15131914

10111312

10121114

1515148

9111212


187

V. DISEÑOS FACTORIALES

El término experimento factorial o arreglo factorial hace referencia ala constitución de los tratamientos o combinaciones de tratamientosque se desean comparar. Este término no afecta lo que se conoce comodiseño de tratamientos, pues este se refiere a la selección de factoresque se desean estudiar los niveles de los factores a ensayar y combina-ción de éstos.

De esta forma se debe dejar en claro que el diseño de tratamientos esindependiente del diseño experimental, el cual hace referencia a lamanera en que los tratamientos se aleatorizan a las diferentes unida-des experimentales y la forma como se controla la variabilidad natu-ral de las mismas. Así el diseño experimental puede ser completamentealeatorizado, bloques completamente aleatorizados, cuadrados lati-nos, etc., y para cada uno de éstos diseños se puede tener un arreglofactorial.

En muchos experimentos el éxito o fracaso del ensayo depende más dela selección de los tratamientos que se desea comparar que de la elec-ción del diseño. Sin embargo, la selección de ambos (del diseño y de lostratamientos) es importante por tanto ninguno de los dos debe descui-darse en la planeación del experimento. En un experimento factorialse investigan simultáneamente los efectos de cierto número de diferen-tes factores. La necesidad de estudiar conjuntamente varios factoresobedece principalmente a dos razones:

a. Encontrar un modelo que describa el comportamiento generaldel fenómeno en estudio. Esto se restringe al rango de variaciónde los niveles de los factores.

b. Optimizar la respuesta o variable independiente, es decir, en-contrar la combinación de niveles de los factores que optimizanesa respuesta.

Los tratamientos en el análisis factorial consisten en todas las combi-naciones se forman de los distintos niveles de los factores. Por ello, lacaracterística esencial que hace necesario el estudio conjunto de facto-res es la posibilidad de que el efecto de un factor cambie en presenciade los niveles de otro factor, es decir, que los factores interactúen, locual conlleva al concepto de interacción entre ellos.

Si se estudia un factor en forma separada el resultado puede ser dife-rente al que daría con un estudio conjunto, y es mas difícil describir elcomportamiento general o encontrar el óptimo.

Palacios C. Severo

188

Ejemplo 6.55Se presenta un experimento de factores por separado que consiste endeterminar las condiciones óptimas de almacenaje de los pescados enbarcos pesqueros. Los factores estudiados fueron: temperatura, dura-ción y método de empaque (proporción de hielo y pescado). La res-puesta de interés es una medida de la calidad del pescado al descar-gue.

Al investigar únicamente la temperatura se debe tener varios nivelesde temperatura y mantener constante la duración y el empaque aniveles arbitrarios. Una vez obtenida una temperatura óptima (man-teniendo los niveles constantes de duración y empaque) se investigaotro factor, por ejemplo el empaque con la temperatura óptima y unnivel arbitrario de duración. Si el empaque óptimo encontrado no es elque se seleccionó en la primera etapa se deberá estudiar de nuevo latemperatura haciéndose necesario ajustes sucesivos.

Si el tiempo de obtención de la variable respuesta es corto y barato sepuede seguir este procedimiento secuencial, en caso contrario es másconveniente el uso de experimentos factoriales.

Los diseños experimentales factoriales son ampliamente utilizados poragrónomos, químicos, metalúrgicos, físicos, economistas, sociólogos,industriales, ingenieros y científicos. Ya sea en el laboratorio, plantapiloto o nivel industrial.

Prueba CombinaciónNotación 2

A B C12345678

1ab

abc

acbc

abc

-+-+-+-+

--++--++

----++++

Los diseños factoriales son particularmente útiles en la primera fasedel trabajo experimental, cuando es comprobado que hay muchosfactores por investigar. Conlleva el menor número de corridas con lascuales pueden estudiarse n-factores en un diseño factorial completo.Debido a que sólo hay dos niveles para cada factor, debe suponerseque la respuesta (rendimiento, calidad, recuperación) es aproxima-damente lineal en el intervalo de los niveles escogidos de los factores.


189

Si cada variable es continua, existen dos niveles el superior e inferior.

Las notaciones arriba mencionadas son obtenidas para asignar losniveles superior e inferior de los factores. La combinación 1 indica quetodas las variables están en su nivel inferior. Las variables que noaparecen en el resto de combinaciones están en su nivel inferior. Lacombinación a indica los valores superior e inferior por + y - respecti-vamente. Un diseño experimental 2n puede combinarse geométrica-mente y cada combinación experimental corresponde a un punto en elespacio cartesiano cuyas coordenadas son ±1.

VI. DISEÑO FACTORIAL 2n

Los diseños factoriales se usan ampliamente en experimentos que in-cluyen varios factores cuando es necesario estudiar el efecto conjuntode los factores sobre la respuesta. Hay varios casos especiales del di-seño factorial que son importantes debido a su uso generalizado en eltrabajo de investigación y porque constituyen las bases de otros dise-ños de gran valor práctico.

El más importante de estos casos especiales es el de n factores, cadauno con sólo dos niveles. Si todos los factores se estudian con dos nive-les, se dice que es un experimento factorial 2n. Los niveles de estos fac-tores pueden ser cuantitativos o bien cualitativos.

La selección de únicamente dos niveles puede conducir a inferenciaserróneas.

Así cuando la respuesta se afecta en forma cuadrática, los niveles es-tudiados pueden indicar que no efecto el factor. Este es un riesgo quese corre al usar dos niveles por factor.

Diseño factorial 2n simple

Palacios C. Severo

190

En el caso de n = 2, se tiene el factorial más sencillo 22.

VII. DISEÑO FACTORIAL 22

A este diseño se le llama diseño factorial 22. Los niveles de los factorespueden denominarse arbitrariamente mínimo y máximo.

Se tienen cuatro tratamientos que se denotan por cualquiera de lossiguientes símbolos.

El primer diseño de esta serie, es aquel que tiene Sólo dos factores, A yB, Cada uno con dos niveles, con cuatro combinaciones en el plano.

Ejemplo 6.56Un investigador desea estudiar la influencia de la temperatura y eltiempo de acondicionamiento en un experimento. Su vector respuestaY¡ es la recuperación del proceso.

Factores NivelesA = Temperatura (°C)B = tiempo (min)

201

803

El número de experiencias de 22 = 4 y el diseño será:

Tabla 6.41 Notación de un diseño 22

Prueba CombinaciónDiseño Niveles

YiX1 X2 A B1234

1ab

ab

-+-+

--++

20802080

1133

65807085

El análisis del diseño 22 nos permite obtener información sobre losefectos e interacciones de las variables.

Efecto A = [-1+a-b+ab]/2 = [-65+80-70+85]/2 = 15Efecto B = [-1-a+b+ab]/2 = [-65-80+70+85]/2 = 5Interacción AB = [+1-a-b+ab]/2 = [65-80-70+85]/2 = 0

El efecto principal se calcula simplemente de las diferencias de lospromedios de las respuestas cuando el efecto A esta en su nivel supe-rior, menos el promedio de las respuestas cuando A está en su nivelinferior.

No existe interacción con los factores en estudio.


191

Ejemplo 6.57Se desea evaluar un proceso donde se estudian dos factores a tres ni-veles. Para evaluar el error se corren pruebas centrales.

A: 8 9 10B: 90 115 140

Tabla 6.42 Notación de un diseño 22 con pruebas centrales

Prueba CombinaciónDiseño Niveles

YiX1 X2 A B1234567

1ab

ab000

-+-+000

--++000

810810999

9090140140115115115

80828695899091

Para determinar la varianza media del error, evaluamos los puntos 5,6 y 7 bajo la siguiente expresión:

11

222

NN

Y

N

YS ii

1

6

270

2

919089 22222

S

Efecto A = (-80+82-86+95)/2 = 5,5Efecto B = (-80-82+86+95)/2 = 9,5Interacción AB = (+80-82-86+95) = 3,5

Ejemplo 6.58En una investigación se desea evaluar el efecto del SO2, sobre una po-blación cercana a una empresa minera que monitorea dicho contami-nante para lo cual estudia a la salida de la chimenea, la altura de lachimenea, la velocidad del viento y la distancia promedio a la pobla-ción respecto de la chimenea y la dirección del viento. Los niveles ele-gidos para evaluar cada uno de los factores son los siguientes.

FactoresNiveles

- 0 +Q: Tasa de emisividad (g/s)H: Altura de chimenea (m)V: Velocidad del viento (m/seg)X: Distancia (m)

80305

500

120457.5650

606010

800

La concentración de SO2 viene expresada por la relación:

Palacios C. Severo

192

2

221

6

5,0exp10

K

H

KvK

QC

Donde:

k1 = 36; k2 = 18,5: son constantes de proporcionalidad.

Ejemplo 6.59

Un estudioso desea conocer la influencia de la temperatura y el tiempode acondicionamiento en un experimento. Particularmente está intere-sado en entender como al elevar la temperatura del acondicionadorcambia las características del medio produciendo un conjunto de con-diciones no favorables para el proceso.

FactoresNiveles

- +A: Tiempo (min)B: Temperatura (°C)

3010

6030

Se evalúan dos factores fijados a dos niveles, es decir se decide utilizarun diseño factorial completo, en donde N = 2n = 22 = 4 experimentos.Los valores de las variables a experimentar se codifican con valores +1y –1. Con los recursos que se dispone se decide realizar el experimentopor triplicado. Los resultados se visualizan en la siguiente tabla.

Tabla 6.43 Notación de un diseño 22 replicadoPrueba A B Recuperación

1234

-+-+

30603060

--++

10103030

0,170,220,300,37

0,160,200,290,36

0,150,210,310,38

Tabla 6.44 Efecto e interaccionesEfectos Interacciones

A = 0,06B = 0,15

AB = 0,01Bloque = -0,015Bloque = 0,005

Basado en 1 grado de libertad


ABABBloqueError

0,01080,06750,0003

0,000350,00045

11126

0,01080,06750,0003

0,0001750,000075

144,00900,00

4,002,33

>><<

13,7413,7413,7413,74

Total 0,0794 11 R2 = 99,4332%


193

Ejemplo 6.60Se estudia un proceso electrolítico en donde interactúan dos factores:densidad de corriente y temperatura, en la tabla 6.46 se dan las res-puestas y los niveles de trabajo.

Tabla 6.46 Notación de un diseño 22 con pruebas centrales

PruebaExperimento

YX1 X2

1234567

0,50,70,50,70,60,60,6

646466

353535

68,7267,8569,6069,4468,7368,7268,74

Varianza del error

0001,06/16,2062/74,6872,6873,68 22222 S

el modelo lineal viene representado bajo un estudio de Yates.

2121 1775,06175,025,083,68 XXXXY

Ejemplo 6.61La remoción del cobre y la recuperación de cianuro de los efluentes decianuración son, sin duda de gran interés desde el punto de vista am-biental y económico.

En este ejemplo se estudian dos objetivos, el primero es la evaluaciónpreliminar de utilizar aminas para eliminar el cobre de las solucionesde cianuración por medio de la formación de un sólido que pueda se-pararse fácilmente por filtración. El segundo es hacer una evaluacióncon diferentes aminas seleccionando la mejor y realizar un diseñoexperimental 22 utilizando como variables el pH y la cantidad de reac-tivo adicionado para el compuesto que de mejores resultados en laevaluación preliminar.

Los experimentos preliminares consistieron en adicionar 0,025 g decada uno de los compuestos a 100 ml de solución a pH 12 y 8. Despuésde filtrar las soluciones con papel de filtrado lento (tamaño de poro de1,5 micrones) se analizó el cobre remanente por absorción atómica.Una vez seleccionado el mejor compuesto, se realizó un diseño de expe-rimentos factorial 22 utilizando como variables el pH (9 y 12) y la con-

Palacios C. Severo

194

centración del compuesto (0,25 y 5 g/L). Todas las pruebas de estediseño experimental se realizaron por triplicado.

Amina FórmulaQuartamin 2050Quartamin 60DodecilaminaQuartamin D86P

R-N(CH3)3ClR-N(CH3)3Cl

CH3(CH2)11NH2

2R-N(CH3)3Cl

NivelesFactores - +

X1: pH soluciónX2: Amina (g/L)

90,25

125

PruebaExperimento

Remoción cobre (%)X1 X2

1234

912912

0,250,25

55

9,510,05

60,2555,54

9,000,0961,6355,12

9,970,0561,2756,87

Efectos estimados para YEfectos Interacciones

X1: pH = -53,683X2: Amina = -7,318

AB = -2,1116Bloque = -0,305Bloque = 0,855

Errores estándar con 6 GL

El primer paso para interpretar los efectos principales es comprobarque la variación observada en la respuesta es debida a un efecto realde cada factor y no al error experimental. Para no entrar en detalles,se considera que los dos efectos no son significativos y que no parecenfruto de la imprecisión de la experimentación. No existe interacciónentre los factores.

Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo Ft(99)

X1: pHX2: AminaX1X2

BloqueError

8640,87160,67413,37741,126552,03945

11126

8640,87160,67413,37740,563270,3399

25421,18472,7039,361,66

>>><

13,7413,7413,7413,74

Total 8818,09 11 R2 = 99,9769%

Valor óptimo = 61,05Factor Bajo Alto ÓptimopHAmina

9,00,25

12,05,0

9,00,25


195

2121 2963,05712,11115,17327,215 XXXXY

De aquí puede verse que la amina y no así el pH afectan la eficienciade eliminación de cobre. Un aumento en la cantidad de amina incre-mentará la remoción de cobre, de la misma manera que lo hará unadisminución del pH.

El efecto más importante es el de la cantidad de amina, por lo quevaldría la pena explorar cantidades mayores a las estudiadas en estetrabajo.

9Amina

5

Gráfica de Efectos Principales para Y

0

10

20

30

40

50

60

Y

pH12 0.25

9

Amina=0.25Amina=5

Gráfica de Interacción para Y

0

20

40

60

80

Y

pH12

Amina=0.25

Amina=5

Grafico de efectos principales Interacción de efectos principales

En el gráfico de efectos principales vemos que el pH no tiene efectosignificativo, la Amina tiene efecto significativo.

No existe interacción en el rango (niveles) trabajado, pero existe in-teracción a niveles inferiores de ambos factores.

Contornos de la Superficie de Respuesta Estimada

9 9.5 10 10.5 11 11.5 12pH

0

1

2

3

4

5

Am

ina

Y0.0-8.08.0-16.016.0-24.024.0-32.032.0-40.040.0-48.048.0-56.056.0-64.064.0-72.072.0-80.080.0-88.0

Superficie de Respuesta Estimada

9 9.5 10 10.5 11 11.5 12pH

0 1 2 3 4 5

Amina0

20

40

60

80

Y

Y0.0-8.08.0-16.016.0-24.024.0-32.032.0-40.040.0-48.048.0-56.056.0-64.064.0-72.072.0-80.080.0-88.0

Gráfico lineal con punto óptimo Gráfico espacial con punto óptimo

En el gráfico lineal y espacial se puede visualizar la región óptima delproceso.

Palacios C. Severo

196

Problemas

(190) Se presume que el efecto del pH y la temperatura en el rendi-miento de cierta reacción química no son independientes. Paradeterminar el grado de relación entre los factores estudiados(pH, T), se realizó un diseño experimental 22 donde se evalúandos niveles de cada uno de estos factores y se mide el % de ren-dimiento de la reacción. Acá se muestran las condiciones del di-seño, la matriz del mismo y los resultados experimentales de 2determinaciones paralelas:

Rendimiento (%)pH T (°C) Replica I Replica II

--++

-+-+

45732330

47712633

Haciendo uso del análisis de varianza, confirme el resultado.Escriba la ecuación de regresión teniendo en cuenta solamentelos términos significativos.Analice los efectos principales de los factores estudiados y de lainteracción entre estos sobre el rendimiento mediante los gráfi-cos correspondientes.Determine las condiciones experimentales óptimas de T y pHque permiten obtener el mayor rendimiento.

(191) Se llevó a cabo una investigación para estudiar el efecto quetienen la concentración de un reactivo cR y la presencia de un ca-talizador K sobre el rendimiento de un proceso químico. El estu-dio se realizó mediante un diseño factorial 22 en las siguientescondiciones experimentales:

Rendimiento (%)cR mK Replica I Replica II Replica III-+-+

--++

28361831

25321930

27322329

Analice de manera cualitativa la significación de los factores deinterés (cR, mK) y la interacción cRmK sobre el rendimiento de lareacción estudiada y compruebe estadísticamente el resultadode su análisis.Escriba la ecuación de regresión obtenida. ¿Qué información lebrindan los signos de los coeficientes de la ecuación? ¿De que ti-po es la interacción cRmK?.Analice los gráficos de efectos principales de los factores estu-diados y de la interacción entre estos sobre el rendimiento. De-


197

termine las condiciones experimentales óptimas de cR y mK paraobtener el mayor rendimiento. Reporte el valor del rendimientoy su intervalo de confianza en estas condiciones.

(192) En la determinación potenciométrica simultánea de NH3 y CO2

con HCl se desea estudiar la influencia de Co(II) y Ni(II) presen-te en la muestra sobre los resultados obtenidos. Con este objetivose realizan dos diseños experimentales 22 para estudiar el efectode Co(II) y Ni(II) sobre la determinación del NH3 y sobre la de-terminación de CO2. Las condiciones del diseño son las siguien-tes:

NH3 CO2

Ni(II) Co(II) NH3 Ni(II) Co(II) CO2

-+-+

--++

75,936,766,836,2

76,136,566,536,3

-+-+

--++

56,956,756,556,8

57,256,456,756,7

Analice de manera cualitativa la significación de los factores deinterés (concentración de Ni y de Co) y la interacción entre estossobre el resultado de la determinación de cada uno de los com-puestos químicos analizados. Compruebe estadísticamente el re-sultado cualitativo obtenido.Escriba la ecuación de regresión obtenida. ¿Qué indican los sig-nos de los coeficientes de la ecuación? ¿Cómo es la interacciónNi(II) Co(II)?.Analice los gráficos de efectos principales de los factores estu-diados y de la interacción entre estos. Determine cuales son lascondiciones experimentales óptimas tal que no se afecte la de-terminación de NH3 y de CO2.

(193) Se desea estudiar el efecto sobre el rendimiento (expresado en %)de un proceso químico para obtener un compuesto inorgánico detres factores de manera simultánea: concentración de un reacti-vo, pH de la mezcla reaccionante y temperatura de reacción.Con este objetivo se diseña un experimento factorial 23 bajo lassiguientes condiciones experimentales:

C (mol/L) pH T (°C) Rendimiento (%)-+-+-+-+

--++--++

----++++

56,052,537,854,269,072,049,170,6

58,054,239,453,066,070,848,271,9

59,655,540,155,667,574,547,073,2

Afectan de manera significativa los factores estudiados el ren-dimiento del proceso bajo investigación

Palacios C. Severo

198

Actúan de manera independiente estos tres factores sobre elrendimiento de la reacciónCuáles son las condiciones experimentales óptimas

(194) Un método nuevo de determinación de manganeso (Mn) fuedesarrollado para conocer el contenido de este elemento en unmineral. Para validar el método se tomaron 8 muestras homo-géneas del mineral y se determinó el porcentaje en masa de Mnpor dos laboratorios diferentes. Los resultados obtenidos son:

A B Mn (%)-+-+

--++

1,701,751,681,72

1,721,771,671,73

Suponiendo que el contenido real de Mn en la muestra es de 1.71%, compare el mismo con cada una de las 2 medias experimen-tales (en caso de existir diferencias significativas entre estas).

(195) En muestras de licores amoniacales de níquel, obtenidos en laindustria niquelífera mediante la digestión de los minerales, sedeterminó el contenido de este elemento por tres métodos analí-ticos diferentes: gravimetría, colorimetría y complejometría.Los resultados en % de níquel se encuentran abajo:

A B C Mn (%)Gravimetría Colorimetría Complejometría

-+-+-+-+

--++--++

----++++

1,761,801,481,271,601,741,272,18

4,444,065,794,344,645,125,574,39

1,781,852,121,401,721,601,581,23

Cuáles de los métodos pueden emplearse para la determinaciónde Ni

(196) Consideremos un experimento donde el objetivo es estudiar larelación entre la frecuencia de oscilación de un reloj de cuarzopatrón y las condiciones de humedad y temperatura. En este ca-so el instrumento ya cuenta con un dispositivo para minimizarlos cambios de temperatura, dado que los fabricantes conocen suimpacto en la frecuencia de oscilación. Los factores selecciona-dos son temperatura (T) y humedad (H) y sus niveles de pruebase eligen de acuerdo a las condiciones del laboratorio; en estecaso los niveles de temperatura son (22oC, 24oC) y para la hu-medad (20%, 50%).


199

La variable de respuesta es la frecuencia de oscilación (Y). El di-seño experimental seleccionado es un factorial completo 22 conpunto central que se muestran a continuación.

PruebaTemperatura

(°C)Humedad

(%)Frecuencia

(Hz)123456

222422242323

202050503535

9,97069,9706997049,97029,97049,9692

En particular en el estudio presentado se muestra cómo evaluarexperimentalmente la incertidumbre dada por el fabricante deun equipo para verificar su magnitud en las condiciones delpropio laboratorio. Este tipo de estudios podrían llevar a mejo-ras tanto de los equipos como de las instalaciones del laborato-rio, buscando tener un menor impacto de las fuentes de incerti-dumbre detectadas como las más importantes.

(197) En la definición de las variables de estudio de electrodeposiciónde oro se tuvo en cuenta las condiciones impuestas por el proce-so previo de desorción de oro, sobre todo en aquellas que tienenque ver con el electrolito, como la concentración de oro, la con-centración de cianuro de sodio e hidróxido de sodio, la conducti-vidad, el pH y la temperatura. Con estas queda definida la refe-rencia base para la selección y rango de las variables de estudio.Entre las variables mencionadas se seleccionaron el potencialaplicado, la concentración de hidróxido de sodio y la Densidadde corriente catódica como las de mayor interés para este estu-dio, y como variables de respuesta se consideraron la eficienciade corriente, el consumo de potencia, la cinética de la deposicióndel oro y su recuperación.

FactoresNiveles

- +Potencial (Vols)NaOH (g/L)DC (A/cm³)

2,510

0,025

3,520

0,075

PruebaPotencial

(Vols)NaOH(g/L)

DC(A/cm³)

Consumoenergía(Watt-h)

Tiempo(min)

2,53,52,53,52,53,52,5

10102020101020

0,0250,0250,0250,0250,0750,0750,075

3,439,384,3313,943,299,385,73

115,078,7

108,576,078,978,7173,9

Palacios C. Severo

200

3,53,03,03,03,03,0

201515151515

0,0750,0500,0500,0500,0500,050

15,667,797,646,877,756,70

113,288,987,480,393,880,0

Se pretende minimizar el tiempo del proceso, de consumo deenergía (mayor eficiencia de corriente) y menor cantidad de hi-dróxido de sodio a fin de optimizar las condiciones por medio delas ecuaciones logradas. Esto redunda en un beneficio económi-co y practico para la recuperación electroquímica de oro.

(198) El reciclado electroquímico de los compuestos de partida en di-solución ácido se ha monitorizado por análisis de la DQO (de-manda química de oxígeno), cromatografía de placa fina, análi-sis de CG-MS y por espectroscopia de UV-VIS.El tiempo de cada electrólisis se ha calculado para circular lacantidad teórica de electricidad necesaria para oxidar comple-tamente el sustrato, a partir de las leyes de Faraday, y una con-centración de sustrato a tratar de 0,015 M en un volumen de 150cm3. El tiempo de reacción se ha prolongado para aquellos casosen que se observó un mejor comportamiento de la disminuciónde la DQO al aumentar la carga eléctrica.El plan experimental escogido para estudiar la influencia de lasprincipales variables de reacción es un diseño factorial completo23 con ocho barridos experimentales, donde las variables esco-gidas y sus niveles fueron la temperatura (25 y 40ºC), la con-centración de electrolito (50 y 96%) y la densidad de corriente(500 y 1000 A/m2).

FactoresNiveles

- +X1: Temperatura (°C)X2: Concentración (%)X3: DC (A/m²)

2550

500

4096

1000

PruebaTemperatura

(°C)Concentración

(%)DC

(A/m²) DQO12345678

2540254025402540

5050969650509696

500500500500

1000100010001000

32487725

3075285227756525867

4425La tecnología propuesta se presenta como una técnica universalpara degradar compuestos nitratados aromáticos en contra dela biodegradación, en la que las especies microbianas encarga-


201

das de degradar son específicas para cada contaminante con-creto y mucho más versátil y cómoda de escalar y diseñar a ni-vel industrial que tecnologías basadas en sistemas fotocalíticos.Del estudio experimental de la degradación de los sustratos departida se realizó en base al diseño de experimentos detalladosen la tabla adjunta. La influencia de las variables tenidas encuenta, temperatura, densidad de corriente y concentración deelectrolito, así como las interacciones entre ellas, se han estudia-do estadística y comparativamente.Se pide demostrar la influencia de dichos factores

(199) El propósito de este estudio fue evaluar la remoción de sólidostotales, presentes en la vinaza (destilado del alcohol), medianteprocesos de electrocoagulación-electroflotación utilizando elec-trodos de aluminio y como variables de operación pH inicial,concentración de electrolito y densidad de corriente.Las variables evaluadas fueron densidad de corriente (DC), pHinicial y concentración de NaCl como soporte electrolítico, todaslas variables en dos niveles.Los niveles usados para cada variable fueron: DC 20, 40 y 60mA/cm2; pH 4, 7 y 9; [NaCl] 0, 2000 y 4000 ppm.

FactoresNiveles

- 0 +X1: DC (mA/cm²)X2: pHX3: [NaOH] (ppm)

2040

407

2000

609

4000

PruebaDC

(mA/cm²) pH[NaOH](ppm)

Al(g)

% Sólidos totalesClarificado Espuma

1234567891011

2060206020602060404040

44994499777

0000

4000400040004000200020002000

0,06630,06590,02450,13010,21390,06480,06580,06470,21090,20910,2173

19,8120,9522,5922,0921,7315,0514,5615,2322,0016,8820,16

22,7323,4924,0023,7722,7717,2517,9218,6923,1216,8019,15

Que factor influye en el mayor desprendimiento de aluminio aldesarrollar la electrocoagulación-electroflotación.En que región del pH ocurre mejor el proceso.

(200) La investigación se desarrolló con las aguas residuales de unaindustria láctea de la región. Se tomaron muestras tanto deltanque de descargas, como del tanque de homogeneización; esteúltimo toma las aguas del tanque de descarga de las aguas resi-

Palacios C. Severo

202

duales de la empresa y las mezcla. A éstas se le analizaron: pH,DQO, conductividad eléctrica, grasas y aceites. Los análisis serealizaron el mismo día del muestreo; de acuerdo con los resul-tados, se decidió que las muestras de agua para la investigaciónserían recolectadas sólo del tanque de homogenización, por seréste el más representativo en las características fisicoquímicasdel agua residual láctea.La experimentación se llevó a cabo en un sistema para electróli-sis. Este sistema opera como reactor discontinuo a escala proto-tipo, con capacidad para tratar dos litros de aguas residuales.Consta de una celda electrolítica de dos litros en la que estánsumergidos los electrodos; estos electrodos son placas rectangu-lares metálicas de hierro y aluminio, dispuestas en paralelo yconectadas a una fuente de voltaje de corriente continua queproporciona la corriente eléctrica requerida para la electrocoa-gulación.

FactoresNiveles

- 0 +X1: pHX2: DC (A/m²)X3: tiempo (min)

532,43

5

737,83

10

843,23

15

Prueba pHDC

(A/m²)tiempo(min)

DQO(%)

1234567891011

58585858777

32,4332,4343,2343,2332,4332,4343,2343,2337,8337,8337,83

555515151515101010

75,7362,3646,5593,9970,8351,4477,2993,9943,8845,7942,15

La electrocoagulación se vislumbra como un tratamiento efi-ciente para la remoción de contaminantes en las aguas residua-les industriales, específicamente en el caso de la industria lácteacomo se muestra en esta investigación.Los tres factores bajo estudio (pH, densidad de corriente y tiem-po) tienen efecto significativo sobre la remoción de DQO. El di-seño de tres factores es bastante ajustado a los datos. En parti-cular, si se tienen niveles óptimos del estudio para pH, tiempo ydensidad de corriente.

(201) La planificación de los experimentos se realizó aplicando el di-seño experimental factorial 2n; se analizó la influencia de la


203

temperatura, la relación líquido/sólido y tiempo en la depura-ción de especies metálicas de efluentes, manteniendo fija la velo-cidad de agitación. Las variables de respuesta consideradas fue-ron: porcentaje de extracción de especies metálicas (E) y selecti-vidad (S). Esta última, se determinó como la relación entre larecuperación de un componente dado y el grado de dilución delmineral.La extracción de Ni, Co, Fe y Mn como residuo de la depuraciónde efluentes. Las condiciones experimentales y niveles de las va-riables se muestran en la tabla.

FactoresNiveles

- 0 +X1: Temperatura (°)X2: tiempo (h)X3: Líquido/Sólido (L:S)

3018

45210

60312

Condiciones fijas del experimento: Velocidad de agitación 600rpm; pH 4,06.Los modelos que regulan el proceso son:

9058,87²765,20625,01325,44475,62433,72 21321 RXXXXXYNi

5456,96²165,23425,0255,258,30333,81 21321 RXXXXXYCo

0524,90²61125,151625,10613,1724125,522625,636,71 3221321 RXXXXXXXYFe

9567,95²2425,34925,06675,45,62356,70 21321 RXXXXXYMn

Elabore un diseño experimental que satisfaga la depuración delefluente

(202) Los residuos sólidos de la lixiviación o colas constituyen un granproblema para el ecosistema de la región industrial; su trata-miento, disposición y manejo son objeto de estudios con el fin deencontrar alternativas para minimizar los impactos negativosal medio ambiente. Una cuestión de interés lo constituye la re-cuperación de plata y el cobre contenidos en las colas residuales,las cuales son consideradas un mineral de baja ley.Con el objetivo de recuperar especies metálicas de las colas delos procesos de lixiviación, ya sean las resultantes del procesoácido o del proceso amoniacal, se han realizado estudios de bio-lixiviación y lixiviación química con ácidos orgánicos produci-dos por los microorganismos en sus procesos metabólicos.En la tabla aparece la matriz experimental correspondiente alplan 23, y un experimento en el nivel central. Con este diseño deexperimento se obtuvo el comportamiento de las variables derespuesta Selectividad y Extracción de Ag y Cu. La selectividadse consideró como la relación entre la recuperación de un com-ponente dado y el grado de disolución total del mineral. En to-dos los experimentos se mantuvieron fijos los parámetros si-

Palacios C. Severo

204

guientes: relación líquido:sólido: L/S=12/1 cm3 de solución/g decola; velocidad de agitación: 630 rpm; tamaño de partículas (-0,149+0,074) mm. Se realizó el estudio del comportamiento ci-nético de la disolución del Ag y Cu. Las muestras de licor de lixi-viación se colectaron a determinados intervalos de tiempo, se fil-traron y analizaron por espectroscopia de absorción atómica.

FactoresNiveles


3011

4535

6059

PruebaT

(°)t

(h)L/S

(cm³/g)% Extracción

Ag Cu123456789

306030603060306045

115511553

111199995

62,9671,6069,0782,4064,2470,4563,7287,1278,63

77,3880,5377,9387,3977,5880,0977,3990,9180,10

(203) Se controlaron 3 variables que permitieron conocer las condi-ciones óptimas del reactor para obtener altos porcentajes dedescontaminación y realizar el escalamiento del reactor a nivelindustrial. Las variables escogidas para el estudio fueron:

FactoresNiveles

- 0 +X1: [H2O2] (ml/L)X2: Volumen a tratar (L)X3: [TiO2] (mg/L)

040

18

100

212

200

Prueba[H2O2](ml/L)

Volumen(L)

[TiO2](mg/L)

Radiación(W/m²)

pH Degradación(%)

1234567891011

02020202111

441212441212888

0000

200200200200100100100

36,544,518,0

44,8326,0361,8352,8335,4140,1750,8334,17

3,853,915,775,413,725,738,435,124,244,24,12

23,5246,197,39

33,0343,3431,8714,86,6216,819,8

14,84Para el estudio de estas variables se realizaron una serie de ex-perimentos donde la variable de respuesta fue el porcentaje dedegradación medido como el porcentaje de reducción en la DQO.


205

Del análisis de los datos obtenga el ANAVA, estime la respuestaóptima, además de la superficie de respuesta, que permiten ob-tener un modelo estadístico que describe el comportamiento delsistema de fotodegradación respecto a las variables experimen-tales estudiadas y que permitan establecer el grado de confiabi-lidad de los datos obtenidos.

(204) Se seleccionaron modelos lineales del tipo 2n, en los que n repre-senta el número de variables a estudiar. Para un diseño experi-mental con 3 variables (pH, dosis de coagulante y floculante), elnúmero de experimentos a realizar es igual a 8.En la tabla se especifica los niveles de cada experimento parauna pareja coagulante-floculante determinada. Como se obser-va en esta tabla los valores probados para el pH son 6 y 9, lasdosis de coagulante fueron 20 y 100 mg/L y las del floculante de0,1 y 1,0 mg/L.

PruebaFloculante

(mg/L)Coagulante

(mg/L)pH Concentración residual

Color DQO12345678

0,11

0,11

0,11

0,11

20201001002020100100

66669999

47,04513

22,5188,5180,540,540,5

84,575,060,555,5

105,5138,582,542,5

Debido a la buena calidad del efluente obtenido bajo las condiciones óp-timas determine el modelo de remoción de los parámetros y, con el finde disminuir el volumen de lodos y los costos del proceso, utilice dichomodelos para realizar un análisis de sensibilidad de respuesta con res-pecto a la variación de dosis para poder reducir la cantidad de coagu-lante a aplicar, de tal manera de conservar niveles de remoción acepta-bles para los derivados.

VIII. DISEÑO FACTORIAL 23

Palacios C. Severo

206

Cuando se tienen tres factores, A, B y C, con dos niveles cada uno, en-tonces hay un total de 8 tratamientos en investigación. Al diseño se lellama diseño factorial 23, y en este caso la representación geométricade las ocho combinaciones de tratamientos puede hacerse con un cubocomo se muestra

1 2

3 4

6

7 8

Diseño factorial 23 simple

Al igual que en el diseño factorial 22, existen tres notaciones diferentespara los ocho tratamientos que son de uso general. La primera es lanotación + y -, llamada con frecuencia notación geométrica. La se-gunda es el uso de las letras minúsculas para identificar las combina-ciones de los tratamientos. La tercera notación utiliza 1 y 0 para deno-tar los niveles alto y bajo, respectivamente, de los factores, en lugar de+ y -

En este diseño se estudian tres factores A, B y C cada uno a dos nivelescon ocho combinaciones de tratamiento que se representan gráfica-mente en un cubo.

En este tipo de diseño se asume el error al valor de la mayor combina-ción, abad.

Ejemplo 6.62En un autoclave se desarrolla un experimento a nivel planta piloto conla finalidad de evaluar la influencia sobre la taza de filtración de unproducto, se estudian tres variables.

A: Concentración, B: Temperatura y C: Presión.

Tabla 6.47 Datos para un diseño 23

Prueba A B C Combinación Y


207

12345678

-+-+-+-+

--++--++

----++++

1ab

abc

acbc

abc

7165606590958696

Tabla 6.48 Efecto e interaccionesEfectos InteraccionesA = 3,5B = -3,5C = 26,5

AB = 4,0AC = 4,0BC = 2,0

Error estándar 1 GL


ABCABACBCError

24,524,5

1404,532,032,08,04,5

1111111

24,524,5

1404,532,032,08,04,5

5,445,44

312,117,117,111,78

<<><<<

12,2512,2512,2512,2512,2512,25

Total 1530,0 7 R2 = 99,7059%

Ejemplo 6.63Al ejemplo 6.62 se le adiciona un factor de mezcla en un experimento anivel planta piloto para estudiar los efectos que influyen sobre la tazade filtración de un producto.

Tabla 6.50 Datos para un diseño 24

Prueba A B C D Combinación Y12345678910111213141516

-+-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--++

----++++----++++

--------++++++++

1ab

abc

acbc

abcd

adbd

abdcd

acdbcd

abcd

71656065909586968588688083857570


Palacios C. Severo

208

A = 3,25B = -7,75C = 12,25D = 0,75

AB = 2,25AC = -0,25BC = 1,25

AD = -0,25BD = -4,25CD = -14,25ABC = -2,75ABD = -1,75ACD = -4,25BCD = -0,75

ABCD = -1,25

Tabla 6.52 Matriz de variables independientesAB AC AD BC BD CD ABC ABD BCD ACD ABCD+--++--++--++--+

+-+--+-++-+--+-+

+-+-+-+--+-+-+-+

++----++++----++

++--++----++--++

++++----++++----

-++-+--+-++-+--+

-++--++-+--++--+

--++++--++----++

-+-++-+-+-+--+-+

+--+-++--++-+--+

Los efectos importantes son B, C y CD.


B 240,25 1 240,25 10,79 > 9,33C 600,25 1 600,25 26,98 > 9,33CD 812,25 1 812,25 36,51 > 9,33Error 267,00 12Total 1919,75 R2 = 86,09%

Ejemplo 6.64Se lixivia un mineral argentífero en una salmuera clorurada, de deseaevaluar tres factores con el fin de establecer el efecto significativo decada uno de dichos factores y el rango de cada uno de ellos,

A: NaCl (gr) 100 150B: H2SO4 (ml) 50 120C: FeCl3 (gr) 15 35

A B C Y100 50 15 68,71


209

150100150100150100150125125125

501201205050120120858585

15151535353535252525

67,3964,9362,1661,0565,8269,2170,3564,1364,8864,27

Tabla 6.55 Efecto e interaccionesEfectos interacciones

A = 0,45B = 0,92C = 0,81

AB =-1,27AC = 2,50BC = 5,42



ABCABACBCError

0,4141,6921,3123,22512,5

58,5617,792

1111114

0,4141,6921,3123,22512,5

58,5611,948

0,210,870,671,666,4230,21

<<<<<

21,2021,2021,2021,2021,2021,20

Total 85,798 10 R2 = 90,9175%

BCACABCBAY 0077,0005,00007,0243,1089,0054,083,86

Valor óptimo = 70,1382Factor Bajo Alto Óptimo

ABC

1005015

15012035

15012035

100B

120 35


65.2

65.4

65.6

65.8

66

66.2

Y

A150 50

C15 100

-

+

100 150

-

-+

-

+


62

64

66

68

70

Y

AB150

-+

AC

+

BC50 120

-

+

Efectos e interacciones significativas de factores principales

Palacios C. Severo

210

Contornos de la Superficie de Respuesta EstimadaC=25.0

100 110 120 130 140 150A

50

70

90

110

130

B

Y64.0-64.364.3-64.664.6-64.964.9-65.265.2-65.565.5-65.865.8-66.166.1-66.466.4-66.766.7-67.067.0-67.3

Contornos de la Superficie de Respuesta EstimadaB=85.0

100 110 120 130 140 150A

15

19

23

27

31

35

C

Y64.0-64.364.3-64.664.6-64.964.9-65.265.2-65.565.5-65.865.8-66.166.1-66.466.4-66.766.7-67.067.0-67.3

Contornos de la Superficie de Respuesta EstimadaA=125.0

50 70 90 110 130B

15

19

23

27

31

35

C

Y64.0-64.364.3-64.664.6-64.964.9-65.265.2-65.565.5-65.865.8-66.166.1-66.466.4-66.766.7-67.067.0-67.3

Superficie respuesta estimada en el plano con punto óptimo de factores principales

Superficie de Respuesta EstimadaC=25.0

100 110 120 130 140 150A

5070

90110

130

B

6464.5

6565.5

6666.5

67

Y

Y64.0-64.364.3-64.664.6-64.964.9-65.265.2-65.565.5-65.865.8-66.166.1-66.466.4-66.766.7-67.067.0-67.3

Superficie de Respuesta EstimadaB=85.0

100 110 120 130 140 150A15 19 23 27 31 35

C

64

65

66

67

68Y

Y64.0-64.364.3-64.664.6-64.964.9-65.265.2-65.565.5-65.865.8-66.166.1-66.466.4-66.766.7-67.067.0-67.3

Superficie de Respuesta EstimadaA=125.0

50 70 90 110 130B

15 19 23 27 31 35

C

6264

66

68

70

72

Y

Y64.0-64.364.3-64.664.6-64.964.9-65.265.2-65.565.5-65.865.8-66.166.1-66.466.4-66.766.7-67.067.0-67.3

Superficie respuesta estimada en el espacio de factores principales

Aplicación nanotecnologica

Actualmente el desarrollo de la nanotecnología está asociado a la dis-ponibilidad de nanoestructuras, o también, al dominio de las técnicasde fabricación de las mismas.

En este entorno han aparecido diferentes modos de abordar la fabri-cación de nanoestructuras. Se puede trabajar en sentido descendente(de arriba abajo), desprendiendo o añadiendo material a una superfi-cie para darle forma. O por el contrario, se puede partir desde el nivelmás elemental (sentido ascendente, de abajo arriba), desde átomos omoléculas que se ordenan espontáneamente cuando las condicionesson apropiadas, hasta estructuras más complejas. Así, entre los nue-


211

vos materiales que se pueden obtener con esta tecnología, tienen espe-cial importancia, los films cerámicos obtenidos por procesos de elec-trodeposición, bien sea electroforética o deposición electrolítica. Eneste último método se utilizan disoluciones de alta conductividad, lavelocidad de deposición es del orden de 1 a 1000 nm/min y el espesordel depósito varía de 1 a 104 nm, que puede controlarse variando eltiempo de deposición, el voltaje o la densidad de corriente, en cuanto ala uniformidad del depósito ésta se controla por el campo eléctrico.Además, en la deposición electrolítica catódica, los iones metálicos ocomplejos se hidrolizan por los OH– generados para formar óxido,hidróxido o peróxido, finalmente los depósitos de hidróxidos y peróxi-dos se pueden convertir en los óxidos correspondientes por tratamien-to térmico.

Dentro de estos materiales se ha observado que las películas muy finasde óxido de cinc, ZnO, un semiconductor de gap elevado, presentanpropiedades ópticas muy interesantes, lo que les hace especialmenteútiles para determinadas aplicaciones ópticas y opto electrónicas co-mo emisor de luz y diodos láser abarcando un amplio rango desde elrojo al ultravioleta debido a sus interesantes propiedades, particular-mente su amplio band-gap de 3,37 eV a 300 ºK.

En el presente ejemplo se ha aplicado una técnica de electrodeposiciónsobre un sustrato de vidrio conductor para obtener columnas de ZnO.

Ejemplo 6.65Con el fin de poder investigar, de forma rápida, la influencia que lasvariables del proceso (densidad de corriente, tiempo de exposición alelectrolito y temperatura de desarrollo del proceso) tienen en la for-mación y crecimiento de las columnas obtenidas, se diseño un modeloexperimental de tres variables a dos niveles (diseño factorial a dosniveles), de esta manera se ha conseguido optimizar el proceso. Esdecir, este método permite con muy pocas experiencias de laboratorioobtener la información suficiente para poder abordar, con garantíasde éxito, la fabricación de estas estructuras.

Las muestras se obtuvieron por electrodeposición, sobre un sustratode vidrio de entre 0,5 y 1 cm2, recubierto de una capa conductora deóxido de estaño y flúor.

Con el fin de poder controlar la densidad de corriente aplicada, eltiempo de exposición y la temperatura se utilizó un potenciostato-

Palacios C. Severo

212

galvanostato modelo 263 A y su correspondiente celdilla, introducidaen una manta calefactora con termostato.

El electrodo de referencia utilizado fue el de Ag/AgCl en una soluciónsaturada de KCl/AgCl y contraelectrodo de Pt.

Como electrolito se empleó una solución de concentración 510-3 M deZnCl2 y 0,1 M de KCl en agua desmineralizada. Durante todo el proce-so de electrodeposición se mantuvo la solución saturada de oxigeno.Los pH iniciales y final de la solución fueron 6,5 y 6,3 respectivamente.En la tabla se indican las variables a controlar.

FactoresNiveles

- 0 +X1: DC (mA/cm²)X2: Tiempo (seg)X3: Temperatura (°C)

160065

1,751200

75

2,51800

85

Prueba X1 X2 X3Altura(nm)

12345678

-+-+-+-+

--++--++

----++++

439281611902304256109687

Los valores de la variable respuesta, altura de las columnas expresadaen nanómetros (nm), se analizaron mediante el programa paracomputadoras STATGRAPHICS Centurion.

Efectos estimados para AlturaEfectos Interacciones

A: X1 = 165,75B: X2 = 257,25C: X3 = -219,25

AB = 268,75AC = 79,25BC = -139,25



A: X1

B: X2

C: X3

ABACBCError

54946,113235,596141,114445,319701,138781,13916,13

1111111

54946,113235,596141,114445,319701,138781,13916,13

14,0333,8024,5536,895,039,90

<<<<<<

161,4161,4161,4161,4161,4161,4

Total 490294 7 R² = 99,2013%


213

323121321 0116,0616,62986,06166,8562118,0083,74433,1271 XXXXXXXXXAltura


A: X1

B: X2

C: X3

160065

2,51800

85

2,51800

65

1X2

1800 85

Gráfica de Efectos Principales para Altura

320

370

420

470

520

570

620

Altu

ra

X12.5 600

X365

1

-+

1 2.5

--

+

-

+

Gráfica de Interacción para Altura

200

300

400

500

600

700

800

Altu

ra

AB2.5

-

+

AC

+

BC600 1800

-

+



X3=75.0

1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5X1

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

X2

Altura260.0-320.0320.0-380.0380.0-440.0440.0-500.0500.0-560.0560.0-620.0620.0-680.0680.0-740.0740.0-800.0800.0-860.0860.0-920.0

Contornos de la Superficie de Respuesta EstimadaX2=1200.0

1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5X1

65

69

73

77

81

85

X3

Altura260.0-320.0320.0-380.0380.0-440.0440.0-500.0500.0-560.0560.0-620.0620.0-680.0680.0-740.0740.0-800.0800.0-860.0860.0-920.0


600 800 1000 1200 1400 1600 1800X2

65

69

73

77

81

85

X3

Altura260.0-320.0320.0-380.0380.0-440.0440.0-500.0500.0-560.0560.0-620.0620.0-680.0680.0-740.0740.0-800.0800.0-860.0860.0-920.0

Superficie respuesta estimada en el plano con punto óptimo de factores principales

La formación y crecimiento de columnas de ZnO sobre un sustrato deFTO se favorece con tiempos largos de exposición (≈ 30 minutos) deéste al electrolito.

La densidad de corriente alta (≈ 2,5 mA/cm2) también favorece laformación y el crecimiento de las columnas. No obstante este factortiene menor influencia que el tiempo de exposición.

Palacios C. Severo

214

Superficie de Respuesta EstimadaX3=75.0

1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5X1

600800

10001200

14001600

1800

X2260

360

460

560

660

760

860

Alt

ura

Altura260.0-320.0320.0-380.0380.0-440.0440.0-500.0500.0-560.0560.0-620.0620.0-680.0680.0-740.0740.0-800.0800.0-860.0860.0-920.0


1 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5X1

6569

7377

8185

X3200

300

400

500

600

Alt

ura

Altura260.0-320.0320.0-380.0380.0-440.0440.0-500.0500.0-560.0560.0-620.0620.0-680.0680.0-740.0740.0-800.0800.0-860.0860.0-920.0


600 800 1000 1200 1400 1600 1800X2

6569

7377

8185

X3280

380

480

580

680

780

Alt

ura

Altura260.0-320.0320.0-380.0380.0-440.0440.0-500.0500.0-560.0560.0-620.0620.0-680.0680.0-740.0740.0-800.0800.0-860.0860.0-920.0

Superficie respuesta estimada en el espacio de factores principales

La temperatura alta (≈ 80 - 90 ºC) influye negativamente en la for-mación y crecimiento de las columnas. Siendo su efecto, en valor abso-luto, superior al de la densidad de corriente alta y menor al del tiempode exposición al electrolito.

El tiempo de exposición y la densidad de corriente, considerados enconjunto, favorecen mucho la formación de columnas. Su efecto, enconjunto, es del orden del de el tiempo considerado sólo y mucho ma-yor que el de la densidad de corriente, también, considerada sola.

Ejemplo 6.66Los recubrimientos compuestos de Ni-D fueron electrodepositadosdesde una suspensión de nanopartículas de diamante (tamaño pro-medio 4 nm-sintetizado por PlasmaChem) en una solución típicaWatts. Las nanopartículas se dispersaron en la solución medianteagitación magnética durante 24 horas y 5 minutos en el ultrasonidoantes de la electrodeposición. Los recubrimientos de Ni y Ni-D fueronaplicados sobre un sustrato de acero AISI 1016 el cual se limpió y de-capó según las normas ASTM B183 e ISO 9226. La electrodeposiciónse realizó empleando un electrodo de disco rotatorio acoplado a unpotenciostato-galvanostato y la temperatura de la solución se controlóempleando un baño termostatizado con recirculación. Una malla deplatino con suficiente área efectiva se empleo como ánodo inerte y unelectrodo de calomel saturado fue usado como electrodo de referencia.


215

Siguiendo un diseño experimental factorial 2n completamente aleatori-zado con replica, se depositaron los recubrimientos compuestos de Ni-D variando la densidad de corriente, la agitación del baño y la concen-tración de nanopartículas de Diamante en los niveles que se presentanen la tabla.

FactoresNiveles

- 0 +X1: DC (A/cm²)X2: Agitación (rpm)X3: Concentración (g/L)

240010

3,565015

590020

Prueba X1 X2 X3Espesor película

(µm)12345678

25252525

400400900900400400900900

1010101020202020

14401540143915

39,5

Los recubrimientos compuestos de Ni-D presentan mejor resistencia ala corrosión que los recubrimientos de Níquel puro, cuando son obte-nidos a altas velocidades de rotación del electrodo y alta concentra-ción de partículas en el baño.

Efectos estimados para PelículaEfectos Interacciones

A: X1 = 25,125B: X2 = 0,625C: X3 = -0,375

AB = -0,375AC = -0,375BC = 0,125



A: X1

B: X2

C: X3

ABACBCError

1262,530,781250,281250,281250,281250,031250,03125

1111111

1262,530,781250,281250,281250,251250,031250,03125

40401,025,09,09,09,01,0

>><<<<

12,2512,2512,2512,2512,2512,25

Total 1264,22 7 R² = 99,9975%

323121321 00005,0025,00005,00175,000225,0075,94625,4 XXXXXXXXXPelicula

Palacios C. Severo

216

Valor óptimo = 40.0625Factor Bajo Alto Óptimo

X1

X2

X3

2,0400,010,0

5,0900,020,0

5,0900,010,0

2X2

900 20

Gráfica de Efectos Principales para Pelicula

14

19

24

29

34

39

44

Pelic

ula

X15 400

X310 2

-+

2 5-

-

+

-+

Gráfica de Interacción para Pelicula

14

19

24

29

34

39

44

Pelic

ula

AB5

-+

AC

+

BC400 900

-+



2 2.5 3 3.5 4 4.5 5X1

400

500

600

700

800

900

X2

Pelicula14.0-17.017.0-20.020.0-23.023.0-26.026.0-29.029.0-32.032.0-35.035.0-38.038.0-41.041.0-44.044.0-47.0


2 2.5 3 3.5 4 4.5 5X1

400500

600700

800900

X214

19

24

29

34

39

44

Pelic

ula

Pelicula14.0-17.017.0-20.020.0-23.023.0-26.026.0-29.029.0-32.032.0-35.035.0-38.038.0-41.041.0-44.044.0-47.0

Superficie respuesta estimada en el plano y espacio de factores principales

La presencia de las nanopartículas en los recubrimientos de Níquel,mejora su microdureza hasta en un 243,3%.

La incorporación de nanopartículas de Diamante en la matriz de Ní-quel, tiene un efecto positivo sobre el proceso de electrodeposición,haciéndolo más eficiente.

El transporte de masa influye durante el proceso de electrodeposiciónde los recubrimientos compuestos Ni-D.

Las nanopartículas de Diamante cambian la morfología de los recu-brimientos de Níquel, haciéndolos más compactos.

Ejemplo 6.67El licor residual de la tecnología ácida de níquel y cobalto ocupa unlugar cimero entre los efluentes líquidos que poseen un mayor poten-

ESTADÍSTICA EXPERIMENTALAplicada a ciencia e ingeniería

217

cial de impacto ambiental en éste proceso debido a su alta acidez y a lapresencia de varios metales disueltos (Cr, Mn, Al, Zn, Fe, Ni, Co).

En el ámbito mundial uno de los aspectos principales a tener en cuentaal diseñar los procesos de recuperación de níquel y cobalto usando lalixiviación ácida a presión de minerales oxidados de níquel está rela-cionado precisamente con el tratamiento a realizar al licor residualque se genera.

Para realizar el estudio se utilizó una muestra compósito representati-va del licor residual de la tecnología ácida de níquel y cobalto, con uncontenido promedio de 8,2 g/L de H2SO4, 4,3 g/L de aluminio y 0,62g/L de cromo.

Como reactivo neutralizante se usó una muestra compósito represen-tativa de los sólidos residuales industriales del proceso carbonatoamoniacal, o sea, una muestra de la suspensión saliente de los alam-biques de destilación de amoniaco que se envía al depósito de colas. Enla tabla1 se muestra la composición química de dicha muestra. En ellase observa que el contenido de magnesio en dicha muestra fue 4,11%,siendo éste el elemento neutralizante principal.

En el estudio experimental se analizó la influencia de varias variablesen el proceso: la temperatura; la relación Mg/ácido, expresada engramos de magnesio contenidos en los sólidos residuales industrialescon respecto a los gramos de ácido libre en el licor residual; la inyec-ción de un agente oxidante, oxígeno del aire y la agitación.

Las principales respuestas que se analizan en el diseño son la neutrali-zación del ácido libre (H2SO4) y la precipitación del aluminio y el cro-mo del licor residual.

En el diseño de la matriz experimental se usó el método factorial com-pleto (2n). En la tabla se muestran las variables y los niveles usados.

FactoresNiveles

- 0 +X1: Temperatura (°C)X2: Relación Mg/ácido (g/g)X3: Agitación (Re)X4: Inyección aire (L/min)

701

80005

751,5

100007,5

802

1200010

La selección de la temperatura en el nivel medio de 75 °C estuvo basa-da en pruebas preliminares realizadas. La relación magnesio/ácido

Palacios C. Severo

218

fue establecida en el nivel básico en 1,5 gramos de magnesio conteni-dos en los sólidos residuales por gramos de ácido libre contenidos en ellicor residual. Dicho valor se determinó sobre la base de cálculos este-quiométricos con relación al ácido libre contenido en el licor residual ydel ácido que se genera durante la hidrólisis del aluminio y el cromo.El nivel mínimo de este parámetro se fijó en 1 g/g y el nivel máximo en2 g/g, para un intervalo de precisión de 33,33%.

La intensidad de agitación fue determinada mediante el número deReynolds, tomándose como nivel básico un valor de 10000 entre losregímenes transitorio y turbulento, con un grado de precisión de 20%,lo que corresponde a un Re de 8000 en el nivel mínimo y de 12000 enel nivel máximo. La inyección de aire se realizó para valorar su in-fluencia en la disminución del contenido de hierro en el licor neutrali-zado.

Se utilizó un reactor de 2 litros de capacidad de dimensiones estándarcon un coeficiente de llenado del 85%, para un volumen útil de trabajode 1,7 litros. En la tabla se muestra la matriz experimental descodifi-cada.

Prueba Temp(°)

Relación(Mg/ácido)

Agitación(Re)

Aire(L/min)

Al(g/L)

Cr(g/L) pH

12345678910111213141516

70807080708070807080708070807080

1122112211221122

800080008000800012000120001200012000800080008000800012000120001200012000

55555555

1010101010101010

3,664,302,590,782,570,230,202,642,270,850,201,042,640,972,092,14

0,120,620,310,140,320,060,060,320,320,140,061,040,310,150,310,33

3,661,203,353,603,333,773,853,333,383,603,803,573,233,593,383,52

Para realizar los experimentos se midió el volumen de licor residual yse adicionó al reactor, secalentó la solución hasta alcanzar la tempe-ratura de trabajo, se puso en funcionamiento el agitador y el compre-sor de aire, se adicionó la suspensión de sólidos residuales y se puso enmarcha el cronómetro inmediatamente. Finalmente se tomaron lasmuestras para los análisis químicos.


219

Se observa el incremento que tiene lugar en el pH del licor residual y ladisminución que se produce en el contenido de aluminio y cromo en ellicor. El pH aumenta de 1,2 a 3,47 y la concentración de aluminio ycromo disminuyen de 4,3 y 0,62 g/L a 1,5 y 0,21 g/L respectivamentecomo promedio general de todo el diseño.

La concentración promedio de Ni y Co en el licor obtenido en el diseñoes de 0,2 y 0,078 g/L respectivamente, produciéndose un incrementonotable en el contenido de estos elementos en el licor tratado, de modoque el licor que se obtiene constituye una fuente potencial para recupe-rar éstos metales de alto valor en el mercado.

En la tabla se muestra el porcentaje de disminución del ácido libre dellicor residual y de precipitación del aluminio y el cromo. También semuestra la disolución que tiene lugar de metales de los sólidos residua-les durante la neutralización.

Prueba Ácidolibre (%)

PrecipitaciónAl y Cr (%)

Disolución de metales(%)

H2SO4 Al Cr Ni Co Fe Mg Mn12345678910111213141516

99,499,799,599,199,099,799,498,799,199,499,599,099,099,599,698,8

37,592,969,933,622,893,165,922,938,863,378,825,024,272,492,136,9

35,385,566,636,736,785,864,738,539,762,171,136,939,767,885,141,8

43,025,218,127,422,421,316,522,628,016,219,420,720,417,620,526,2

43,640,434,145,840,134,932,840,846,533,638,339,440,133,635,844,3

4,32,61,73,72,42,81,52,33,81,52,22,22,21,72,63,3

27,124,621,031,532,222,521,527,633,320,422,830,428,920,722,033,9

49,534,223,849,433,724,320,729,447,124,629,530,931,822,825,641,9

En la tabla se muestran los valores obtenidos de R2, el error estándary las pruebas estadísticas Durvin Watson.

Estadigráfo Ni Co Fe Mg Al Cr H2SO4

R²Error estándarDarwin-Watson

98,772,791,65

99,860,641,48

99,510,232,20

99,631,141,83

99,962,072,10

99,664,431,60

97,960,281,76

Los valores de R2, indicativos de la proporción de la varianza de lasvariables de salida (Y) con respecto a las variables de entrada (X), son

Palacios C. Severo

220

altos en todos los casos, lo que denota un buen porcentaje de adapta-ción de los datos experimentales a los modelos lineales.Los resultados de la prueba estadística Durvin – Watson indican queno existe correlación significativa entre los diferentes efectos escogidoscomo independientes, ya que los valores obtenidos en este estadígrafoson mayores que el valor mínimo de 1,4 que se utiliza como patróncomparativo.

A continuación se presentan los modelos estadísticos de las variablesde salida. Los mismos presentan un nivel de confiabilidad o significa-ción estadística del 95% y se excluyen las variables e interacciones queno tienen una influencia estadísticamente significativa.

Modelos estadísticos de la precipitación del aluminio y el cromo dellicor residual

TemplAl 18,17Re35,4838,54%

))((Re07,852,8Re41,3586,55% TemplTemplaciónCr

y de la neutralización del ácido libre:

lAc Re462,028,99%

Modelos estadísticos de la disolución de magnesio, níquel, cobalto,hierro y manganeso del licor residual:

)(Re)(23,284,1Re70,827,26% TempTemplMg

lTempNi Re98,607,784,22%

))((52,156,139,4Re13,702,39% AireTempAireTemplCo

))(Re(27,0Re96,025,156,2% lTemplTempFe

))((05,545,10Re5,1345,32% relTempTemplMn

Donde:Temp = TemperaturaRel = RelaciónRe = Reynolds

En las ecuaciones anteriores se observa que la relación magne-sio/ácido y la temperatura son las variables que ejercen una mayor


221

influencia en el proceso. El aumento de la relación magnesio/ácidofavorece la neutralización del ácido libre y la precipitación del alumi-nio y el cromo que están disueltos en el licor residual e influye de for-ma negativa en la disolución de Mg, Ni, Co, Fe y Mn de los sólidosresiduales industriales.

El aumento de la temperatura favorece la precipitación del aluminio yel cromo del licor residual así como la disolución del Mg, Ni, Co, Fe yMn de los sólidos residuales industriales.

Existe una alta correlación entre las variables de entrada (temperatu-ra, relación magnesio/ácido, agitación y aire) y las respuestas de sali-da, siendo el valor de R2 superior al 98%.

Las variables que ejercen una mayor influencia sobre las respuestasanalizadas son la relación magnesio/ácido y la temperatura. No obs-tante la inyección de oxígeno del aire y el Reynolds ejercen tambiénuna influencia significativa sobre algunas variables.

El orden de influencia de las variables analizadas es en orden decre-ciente la relación magnesio/ácido, la temperatura, la inyección de airey la agitación.

A los 15 minutos de reacción, a la temperatura de 80 °C, relaciónmagnesio/ácido de 2 g/g, agitación, Re: 12000 y un flujo de aire de 10L/min., se neutraliza el 99,6% del ácido y precipita el 92,94% del alu-minio y el 85,54% del cromo.

Se recomienda completar la neutralización del licor residual con car-bonato e hidróxido de calcio y recuperar el níquel y el cobalto a partirdel licor neutralizado con los sólidos residuales.

Palacios C. Severo

222

Problemas

(205) En un estudio del rendimiento para el desarrollo de un procesose consideraron cuatro factores, cada uno a dos niveles: tiempo(A): 2,5 a 3, concentración (B): 14 a 18, presión (C): 60 a 80, ytemperatura (D): 225 a 250. Se corrieron dos replicas de un di-seño 24, y los datos resultantes se muestran en la siguiente ta-bla:

A B C D Replica I Replica II-+-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--++

----++++----++++

--------++++++++

12181313171520151025132419211723

14161517181419171322162521232226

Que factores y que interacciones influyen en el rendimiento.Elabore gráficas e interprete los efectos de los factores principa-les y las interacciones

(206) Un equipo realizó un estudio del rendimiento de un proceso paraestablecer los parámetros óptimos de operación. El equipo deci-dió considerar tres factores, cada uno a dos niveles. Se corrierondos réplicas y decidieron utilizar un diseño 23.A = Tiempo (2 h, 4 h)B = Concentración (10%, 20%).C = Presión (55 psi, 85 psi)

RendimientoA B C I II-+-+-+-+

--++--++

----++++

1218131617152015

1416151718141917

Que factores y que interacciones influyen en el rendimiento.Elabore gráficas e interprete los efectos de los factores principa-les y las interacciones


223

(207) Un investigador químico desea determinar las condiciones expe-rimentales óptimas para la determinación colorimétrica de Mnen un mineral. Tres de los factores más importantes que puedenafectar esta determinación son: la cantidad de oxidante añadi-do, la temperatura de calentamiento y la longitud de onda selec-cionada para medir la absorbancia de la muestra. Realiza unexperimento factorial 23 con diferentes niveles de los factores deinterés, obteniendo 8 determinaciones replicadas para todas lasposibles combinaciones estudiadas. A continuación se muestranlas condiciones del diseño y los resultados obtenidos:

Vox λ T Mn (%)-+-+-+-+

--++--++

----++++

0,450,870,660,880,240,630,550,73

0,460,890,660,900,220,650,550,73

0,440,890,680,910,250,610,510,71

Qué factores influyen significativamente de manera indepen-diente en el rendimiento de la reacciónQué interacciones entre factores son estadísticamente importan-tes y cómo son estasCuáles son las condiciones experimentales óptimas

(208) Se realiza un experimento factorial 24 en una planta piloto paraestudiar los efectos que se supone influyen sobre la rapidez defiltración de un producto. Se estudia el efecto de 4 factores, tem-peratura, presión, concentración de reactivo y rapidez de mez-clado. Los resultados del diseño se muestran a continuación:

FactoresFiltraciónA B C D

-+-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--++

----++++----++++

--------++++++++

457148656860806543

10045

10475867096

Palacios C. Severo

224

Plantee la ecuación de regresión teniendo en cuenta los resulta-dos de la tabla de ANOVA y el error de cada coeficiente.Actúan de manera independiente los factores estudiados. Inter-prete el gráfico de efectos principales y el de las interacciones.Halle el valor óptimo de rapidez de filtración junto a su interva-lo de confianza.Se puede simplificar este diseño 24 a un diseño experimental 23

Si su respuesta es positiva, realice partiendo de éste un diseño deexperimentos 23.

(209) Se aplicó un diseño factorial 24 para estudiar un proceso de co-rrosión selectiva con nitruro en un plasma corrosivo. En el pro-ceso se utilizó C2F6 como gas reactivo y se tomaron como facto-res de interés el espacio entre ánodo y cátodo (A), la presión enla cámara del reactor (B), gasto de C2F6 (C) e intensidad de lacorriente aplicada al cátodo (D). La variable de respuesta de in-terés es la rapidez de corrosión del nitruro de silicio. Los resul-tados obtenidos son los siguientes:

Factores Rapidez deA B C D Corrosión-+-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--++

----++++----++++

--------++++++++

5506696046506336426016351037749105286810758601063729

Estime los efectos de los diferentes factores sobre la rapidez decorrosión.Realice el ANAVA y determine los factores importantes para elrendimientoEscriba la ecuación de la regresión, teniendo en cuenta los inter-valos de confianza correspondientes.Determine las condiciones experimentales óptimas que permitenobtener la mayor rapidez de corrosión.Si no todos los factores son importantes, realice un nuevo diseño2k con k<4 y realice el análisis de varianza. Rescriba la ecuaciónde regresión.


225

(210) Se determinó el contenido de níquel en un mineral mediante latécnica de valoración complejométrica por dos vías diferentes:directa y retroceso. Los resultados obtenidos en % en masa son:

A B Ni (%)-+-+-+-+

--++--++

1,0110,9860,9920,9820,9900,9880,9970,994

0,9950,9980,9890,9950,9960,9990,9980,996

(211) Un fabricante de aleaciones de aluminio produce refinadores detextura en forma de lingotes. La compañía manufactura el pro-ducto en 4 hornos. Se sabe que cada horno tiene sus propias ca-racterísticas de operación, de modo que los hornos se considera-rán una variable problemática en cualquier corrida experimen-tal en la fundición que implique más de un horno. Los ingenierosdel proceso sospechan que la velocidad de agitación influye en eltamaño del grano del producto. Cada horno puede operarse a 4velocidades de agitación distintas. Se realiza un diseño de blo-ques aleatorizados para un refinado en particular bloqueando lavariable horno; los datos del tamaño de grano resultantes sonlos siguientes:

Velocidad de HornoAgitación (rpm) 1 2 3 4

5101520

8141417

4569

5693

6926

Analice la tabla de ANOVADiga si las sospechas del ingeniero son ciertas. Explique.Explique si fue conveniente bloquear el efecto de los diferenteshornos.Realice un análisis de los residuos

Palacios C. Severo

226

IX. DISEÑO FACTORIAL 2k REPLICADO

En una variedad del diseño factorial en donde el vector respuesta serepite o replica dos, tres, cuatro, veces.

El efecto se calcula multiplicando por el número de replicas. La sumade cuadrados se procede similarmente a los efectos.

Ejemplo 6.68Se lleva a cabo una investigación para estudiar los efectos que tienenla concentración y un catalizador sobre la reacción de un proceso.

Factores NivelesA = ConcentraciónB = Catalizador

151

202

Tabla 6.57 Datos para el diseño 22 replicadoPrueba A B Y1 Y2 Y3 Yt

1234

15201520

1122

31302918

19233632

32282527

82819077

33,28290817723/112*/1 1 baabnAEfecto k

66,08281907723/1 BEfecto

0,29082827723/1 ABnInteracció

El efecto A (concentración) es negativo, sugiere que al elevar la canti-dad de A, el proceso reducirá su rendimiento. El efecto B (catalizador)es positivo, sugiere que al elevar B del nivel inferior al nivel superior,incrementará el rendimiento. El efecto de la interacción es negativo.

Vamos a emplear el análisis de varianza para confirmar esta inter-pretación. Para el presente diseño existe un método especial para rea-lizar los cálculos del ANAVA.

33,1643/33,22*/112*/1 222 EfectoAnóbaabnSC kk

A

33,12*/112*/1 22 EfectoBnóababnSC kk

B

0,122*/112*/1 22 nABInteracciónóbaabnSC kk

AB


227

La suma total de cuadrados se determina de la misma manera que losdiseños aleatorizados.

k

iitotal nYYSC 2*/22

3234*3/3302732...1931 22222 totalSC

La suma de cuadrados del error, se calcula similarmente a los diseñosaleatorizados.

34,2931233,133,16323 errorSC

El análisis de varianza se presenta en la tabla 6.58


A 16,33 1 16,33 0,485 < 11,3B 1,33 1 1,33 0,039 < 11,3AB 12,00 1 12,00 0,356 < 11,3Error 293,34 8 33,67Total 323,00 11 R2 = 9,18%

Ambos efectos principales como la interacción no es significativa paraun 99% de significancía, que nivel de significancía debe tener efectos einteracciones.

Sí notamos que los factores principales afectan el proceso, pero en elanálisis no influye el efecto A. Para solucionar dicho fenómeno tansolo cambiamos los niveles de los factores que influyen, de la siguientemanera.

Factores NivelesA = ConcentraciónB = Catalizador

201

152

Tabla 6.59 Datos para el diseño 22 replicadoPrueba A B Y1 Y2 Y3 Yt

1234

20152015

1122

30311829

23193236

28322725

81827790

33,212*/1 1 baabnAEfecto k

66,08281907723/1 BEfecto

Palacios C. Severo

228

0,27782908123/1 ABnInteraccio

Ejemplo 6. 69Se lleva a cabo una investigación para estudiar los efectos que tienenla dosificación de reactivos químicos en un proceso

FactoresNiveles

- +A = Concentración XB = Concentración YC = Concentración Z

151

18

202

25

Tabla 6.60 Datos para el diseño 22 replicado

Prueba Diseño Y1 Y2 Y3 YtA B C12345678

1520152015201520

11221122

1818181825252525

3130291819233630

1923363232252527

3228252731272918

8281907782759075


A = -3,0B =+ 1,0C = -0,66

AB =-1,667AC =-0,66BC = 0,33Bloque = 0,416

Error estándar 1 GL


ABCABACBCBloqueError

54,006,0002,66616,662,6660,6660,583

546,083

111111215

54,006,0002,66616,662,6660,6660,292

36,406

1,480,190,070,460,070,020,01

<<<<<<<

4,544,544,544,544,544,543,68

Total 629,33 23 R2 = 13,22%

Todos los efectos principales como la interacción no es significativapara un 95% de significancía, así mismo el bloque de las replicas notiene significancía.


229

Problemas

(212) En un experimento dirigido a estudiar un sistema particular defiltración para carbón mineral, se agregó un coagulante a unasolución en un tanque que contenía carbón y lodo, lo cual fue en-tonces colocado en un sistema de recirculación con objeto de la-var el carbón. Se variaron tres factores en el proceso experimen-talA: Porcentaje de sólidos que circula inicialmenteB: Ritmo de flujo del polímeroC: pH del tanqueLa cantidad de sólidos en el flujo de entrada del sistema de puri-ficación determina cuan limpio queda el carbón. Se utilizarondos niveles de cada factor y se corrieron dos pruebas experimen-tales para cada una de las 8 combinaciones (n=2). Los porcenta-jes de sólidos en peso obtenidas son

Vector respuestaA B C Replica I Replica II-+-+-+-+

--++--++

----++++

4,6521,4212,6618,279,7313,186,51

18,23

5,8121,3512,5616,627,8812,876,2617,83

Suponga que todas las interacciones son potencialmente impor-tantes y realice un análisis completo de los datos. Utilice un nivelde significación de 0.01

(213) Los siguientes datos se obtuvieron de un experimento 23 con tresréplicas (n=3)

Vector respuestaA B C Replica I Replica II Replica III-+-+-+-+

--++--++

----++++

1215242317162428

1920161725192325

1016172721192920

Evalué todos los efectos factoriales. Utilice un nivel de significa-ción de 0.05

(214) Se llevó a cabo un experimento para determinar si existe o nouna diferencia significativa en la cantidad de aluminio alcanza-

Palacios C. Severo

230

da en el análisis entre cierto niveles de las siguiente variables deproceso.Tiempo de mezcla (T): 2 y 4 horasVelocidad de mezcla (V): 36 y 78 rpmCondición del Nitrógeno (C): seco y humedad relativa (72%)Estado físico del propulsor (E): no vulcanizado y vulcanizado

Estadofísico

Tiempomezcla

Velocidadmezcla

Condición delnitrógeno

Cantidadaluminio

--------++++++++

-+-+-+-+-+-+-+-+

++----++++----++

++-++---++-++---

16,316,016,216,116,016,015,515,916,7.16,116,315,815,915,915,615,8

Suponga que todas las interacciones de tres y cuatro factoresson despreciables y analice los datos. Utilice un nivel de signifi-cación de 0.05

(215) Se lleva a cabo un experimento para determinar el crecimientode plantas de poroto de acuerdo a tres factores: la profundidadde plantado de la semilla: 0,5 cm. y 1,5 cm., la frecuencia de rie-go: una y dos veces diarias y el tipo de poroto sembrado: peque-ño y grande.Se hacen tres réplicas del experimento y se obtienen los siguien-tes datos.

Profundidad Replica I Replica II Replica III0,5 6 7 61,5 4 5 50,5 10 9 81,5 7 7 60,5 4 5 41,5 3 3 10,5 8 7 71,5 5 5 4

Calcule los efectos correspondientes a los factores y a las inter-acciones. Interprete los resultados obtenidos y sugiera condicio-nes ideales para sembrar.

(216) Un ingeniero esta interesado en el efecto de la velocidad de corte(A), la dureza del metal (B) y el ángulo de corte (C) sobre la du-


231

ración de una herramienta de corte. Para ello se eligen dos nive-les para cada factor y se corren dos réplicas del diseño factorial23. La tabla siguiente presenta los datos de tiempo de duración(en horas) de la herramienta.

Combinación detratamientos

RéplicaI II

(1) 221 311a 325 435b 354 348

ab 552 472c 440 453

ac 406 377bc 605 500

abc 392 419Calcule los efectos correspondientes a cada uno de los factores.Determine cuáles de estos efectos son importantes usando la ta-bla de análisis de varianza.

X. DISEÑO 2k CON PRUEBAS CENTRALES

Palacios C. Severo

232

En un estudio factorial simple 2n estudiamos tan solo las combinacio-nes en el plano cartesiano y no vemos la influencia de los factores en lalinealidad supuesta de dicho factor. Por lo que adicionamos pruebascentrales a dicho diseño para evaluar el error aleatorio a dicha mues-tra así mismo evaluar la curvatura de la función matemática.

Tal como se ve en la figura, el plano factorial 1-2 y 3-4 está cruzadopor una línea de curvatura (Gauss).

1 2

3 4

5

3-4

1-2

5

Diseño Factorial 2n con pruebas centrales

El punto central 5, el cual sirve para evaluar el error aleatorio, tam-bién nos sirve para analizar la linealidad del modelo matemático. Porejemplo, en el punto 5 de intersección si no existe curvatura, el modeloes lineal, pero si el análisis nos indica que existe curvatura en el mode-lo por lo que desechamos el análisis lineal y continuamos con un tra-tamiento cuadrático aumentando pruebas experimentales al diseñoinicial (rotacional).

Existe un método para replicar ciertos puntos en un diseño factorial 2n

lo cual protegerá contra la curvatura además de permitir obtenerestimaciones de errores independientes. Dicho método consiste enagregar pruebas centrales al diseño 2n, para lo cual se hacen n répli-cas en el eje central. Un método importante para agregar las corridasde réplicas en el centro del diseño es que los puntos centrales no influ-yan en las estimaciones usuales de los efectos en un diseño 2n. Con unaobservación en cada uno de los puntos factoriales.

Sea YF el promedio de las cuatro corridas en los puntos factoriales ySea YC el promedio de las corridas del punto central.

Si la diferencia CF YY es pequeña, entonces los puntos centrales seencuentran en el plano, y no hay curvatura. Si CF YY es grandeentonces existe curvatura. Una suma de cuadrados para la curvaturacon un GL esta dado por:


233

CF

CFCFcurvatura nn

YYnnSC

Donde nF y nc es el número de puntos de la factorial y el central respec-tivamente (esta cantidad puede comprobarse con el cuadrado mediodel error para probar la curvatura).

2jjjjijiiio XAXXAXAAY

Donde:

Ajj son efectos cuadráticos.

Sí los puntos factoriales del diseño no son replicados, es posible em-plear los nc puntos centrales para construir una estimación del errorcon nc - 1 grados de libertad.

Ejemplo 6.70Se esta evaluando el rendimiento de un proceso. Existen dos variablesde interés, concentración de sulfato de cobre y temperatura en el pro-ceso de cabreado ácido. Se tiene duda acerca de la linealidad en laregión que se explora, se decide realizar un diseño factorial 22 con unasola replica en cada punto factorial, incrementándose cinco puntoscentrales.

70 8572,372,572,772,272,6

65 80

El cuadrático medio del error se calcula a partir de los puntos centra-les:

1/1/2 CiCerrorerror nYYnSCCM

46,725/6,722,727,725,723,72 CY

043,04/46,726,72...46,723,72 22 errorCM

El promedio de los puntos comprendidos en los puntos factoriales es:

754/85708065 FY

Palacios C. Severo

234

La diferencia entre el promedio del factorial y el promedio del centrales 2,54 resulta dicho valor muy grande, lo cual nos indica que existecurvatura.

La suma de la curvatura de los cuadrados se calcula de la ecuacióngeneral.

8,5054/54,254 curvaturaSC

Tabla 6.63 Análisis de varianza del diseño con punto centralFuente SC GL CM Fo Ft(99)

ABABCurvaturaError

225,0025,000,0050,80,17

11114

225,0025,0050,80,000,04

5325,56581,39

1270,000,00

>>><

21,221,221,221,2

Total 300,97 7

El análisis de varianza indica que ambos factores presentan efectossignificativos y que no hay interacción AB = 0, existe evidencia decurvatura en la respuesta de la región explorada.

XI. DISEÑO CONFUNDIDO

Un diseño confundido es una técnica mediante el cual se confunden,deliberadamente, ciertos efectos sin importancia, con el propósito defijar los efectos más importantes con mayor precisión. En el hecho, alcalcular el valor de un efecto o interacción confundido estamos calcu-lando la suma de los dos.

Las situaciones que requieren el uso del presente diseño:

a) Aquellos en los cuales no hay suficiente materia prima para efec-tuar una experimentación completa. En el diseño experimentalse denomina bloque a una agrupación homogénea de experi-mentos.

b) Aquellas en los cuales la experimentación se realiza usando dos omás tipos de maquinas.

XII. DISEÑO FACTORIAL 2K CON DOS BLOQUES

Si deseamos correr una sola replica del diseño 2n. Requerimos unacantidad de materia prima y cada lote de materia prima deberá cu-brir una prueba de las combinaciones de tratamiento.


235

Tabla 6.64 Diseño 24 con dos bloques, asignando las corridasBloque I Bloque II

(1)abacbcadbdcd

abcd

========

7165958688688370

abcd

abcbcdacdabd

========

6560908596758560

Σ 626 Σ 636Σ 1262

Por lo tanto se requieren n lotes de materia prima. Si estos lotes setratan como bloques, entonces debemos asignar la mitad de la n com-binaciones de tratamiento a cada bloque no replicado. Los efectos einteracciones se calculan idénticamente a un diseño factorial simpleno replicada.

Ejemplo 6.71Del ejemplo 6.67, el experimento factorial 24 deseamos tratarlo enbloques. Supongamos que no se pueden efectuar las 24 combinacionesen un mismo día. Decidiendo el experimentador realizar diariamenteocho combinaciones por bloque, por ser apropiado. Es lógico confun-dir la interacción de mayor orden ABCD con los bloques.

Tabla 6.65 Análisis de Varianza del BloqueFuente SC GL CM Fo Ft(99)

Bloque (ABCD)ABCDABACADBCBDCDError

6,2542,25

240,25600,25

2,2520,250,250,256,2572,25

812,25117,00

111111111114

6,2542,25

240,25600,25

2,2520,250,250,256,25

72,25812,25

0,211,148,21

20,520,080,690,010,01

0,0212,7427,77

<<>><<<<<<>

7,717,717,717,717,717,717,717,717,717,717,71

Total 1919,75 15

La suma de cuadrados del bloque

25,616/12628/638626 222 bloqueSC

25,42ASC 25,240BSC 25,600CSC 25,2DSC

25,20ABSC 25,0ACSC 25,0ADSC 25,6BCSC

25,72BDSC 25,812CDSC

Palacios C. Severo

236

Las sumas de cuadrados de los efectos e interacciones se proceden aanalizar por diferentes técnicas (ver algoritmo de Yates). Se ha decidi-do que las interacciones de tres factores son despreciables, por lo quela suma del error es:

BCDACDABDABCerror SCSCSCSCSC

11725,225,7225,1225,30 errorSC

Como podemos visualizar el bloque ABCD no influye en el análisis delas combinaciones de los tratamientos, siendo B, C y CD los efectos einteracciones que presentan significación, tal como concluimos en elmismo ejemplo del diseño 24.

XIII. DISEÑO FACTORIAL 2k CON 4 BLOQUES

Este tipo de diseño es de mucha utilidad cuando se desarrolla experi-mentos a nivel laboratorio y bach, el número de factores es relativa-mente grande con k>4.

Ejemplo 6.72Consideremos un diseño factorial 25, a cada bloque debemos asignarocho combinaciones de tratamiento correspondientes, requiriendo untotal de cuatro bloques para las 32 pruebas a desarrollar para efec-tuar el experimento.

Tabla 6.66 Diseño 25 con 4 bloques, asignando las corridasBloque I Bloque II Bloque III Bloque IV

1adbc

abeacecdebde

abcd

========

2,1522,0042,3011,9911,9781,9442,2152,161

adbece

abcbcd

abdeacde

========

2,0252,1702,0372,2102,2202,3321,8571,919

bc

aede

abdacdabcebcde

========

2,1112,2672,0332,0722,1462,1142,0251,898

eacbdcdab

adebce

abcde

========

2,0572,0132,1642,3012,0412,0572,2361,944

Σ 16,746 Σ 16,770 Σ 16,666 Σ 16,813Σ 66,995

01197,0 ABCDEbloque SCSC 0999,0errorSC 4898,0totalSC

Tabla 6.67 Análisis de Varianza del bloqueFuente SC GL CM Fo Ft(99)

Bloque (ABCD)ABC

0,01190,11730,00410,0167

1111

0,01190,11730,00410,0167

1,795517,5950,06152,505

<><<

4,544,544,544,54


237

DEABACADAEBCBDBECDCEDEError

0,00500,1311

0,00050,00260,00070,00140,00450,00030,00770,02390,03520,02660,0099

111111111111

15

0,00500,1311

0,00050,00260,00070,00140,00450,00030,00770,02390,03520,02660,0067

0,75019,6650,0750,3900,10150,2100,6750,0451,1553,5855,2503,990

<><<<<<<<<><

4,544,544,544,544,544,544,544,544,544,544,544,54

Total 0,4989 31

XIV. DISEÑO FACTORIAL 2k CON BLOQUES REPLICADOS

Es una variedad del diseño confundido en donde el vector respuesta serepite o replica dos, tres, …… veces.

Para entender mejor este tipo de diseño aplicaremos un ejemplo.

Ejemplo 6.73Se realiza un estudio para determinar los efectos que tienen tres va-riables A, B y C. Se efectúan sólo cuatro combinaciones de tratamien-to. Por lo tanto, cada réplica del diseño 23 debe recopilarse en dos blo-ques. Se realiza las reproducciones confundidas ABC en la replica I yAB en la replica II.

Tabla 6.68 Diseño 23 con bloques replicadosReplica I Replica II

1abacbc

====

68,7269,4467,9368,73

abc

abc

====

67,8569,6067,7568,72

1c

ababc

====

68,6668,1769,0268,66

abacbc

====

68,2269,1068,2668,66

Σ 548,74 Σ 548,75

0125,02*/1 2" k

ABC nbcacababccbaSC

0169,02*/1 2" k

AB nbcbaaccababcSC

0001,016/49,10978/75,54874,548 222 replicaSC

005516,000456,00506,0"" ABABCbloque SCSCSC

Palacios C. Severo

238

36655,4totalSCTabla 6.69 ANAVA diseño 2k con bloques replicados

Fuente SC GL CM Fo Ft(99)ReplicaBloque (replica)ABCAB (replica)ACBCABC (replica)Error

0,000010,053160,10402,536

0,86950,02690,20470,06500,01250,5027

1211111115

0,000010,027580,10402,536

0,86950,02690,20470,06500,01250,1005

9,94E<40,27431,0344

25,22388,64830,13812,03600,64650,1243

<<<>><<<<

7,716,947,717,717,717,717,717,717,71

Total 4,3665 15

Los efectos principales B y C son significativos, vemos que la replica ylos bloques no afectan el proceso.

XV. ALGORITMO DE YATES

Un método rápido para calcular los efectos e interacciones y que pro-porciona seguridad en el análisis de varianza posterior, de un diseñofactorial.

Construcción de Yates: La primera mitad de la columna se forma su-mando el vector respuestas por pares. La segunda mitad de la colum-na se forma restando el vector respuestas por pares (el segundo menosel primero) y así sucesivamente.

Las demás columnas se generan de la misma manera usando los datosde la columna anterior.

Los efectos se calculan dividiendo la última columna por 2n-1, donde nes el número de factores.

La suma de cuadrados se calcula, elevando al cuadrado los miembrosde la última columna y dividiendo por 2n.

Si en caso se realizan replicas en el proceso, entonces el calculo de losefectos deberá dividirse por k*2n-1, donde k es el número de replicas.De igual manera para el calculo de la suma de cuadrados multiplicarpor k*2n.

Ejemplo 6.74Los datos de la tabla 6.70, analizarlo aplicando la técnica de Yates.


239

Comprobacióna. La suma total de la vector respuesta deberá ser igual al primer

valor de la última columna, caso contrario se ha ejecutado unmal cálculo.

b. La suma total de la suma de cuadrados debe ser igual a la sumade cuadrados del total, de la siguiente manera.

Tabla 6.70 Algoritmo de YatesY I II III Efectos SC

1ab

abc

acbc

abc

68,7267,8569,6069,4467,7567,9368,7368,72

136,57139,04135,68137,45-0,87-0,160,18-0,01

275,61273,13-1,030,172,471,770,71-0,19

548,74-0,864,240,52-2,481,20-0,70-0,90

--0,2151,0600,130

-0,6200,300-0,175-0,225

-0,09242,24720,03380,76880,18000,06120,1012

548,74 3,4847

n

iitotal YYSC 2/22

Tabla 6.71 Yates modificadosY A B AB C AC BC ABC

68,7267,8569,6069,4467,7567,9368,7368,72

-+-+-+-+

--++--++

+--++--+

----++++

+-+--+-+

++----++

-++-+--+

Σ + 273,9 276,5 274,6 273,1 274,9 274,0 273,4Σ - 274,9 272,2 274,1 275,6 273,8 274,7 274,8

Diferencia -0,86 4,24 0,53 -2,48 1,2 -0,7 -0,9Efectos -0,22 1,06 0,13 -0,62 0,3 -0,18 -0,23

4847,34485,3763993,376422/22 n

iitotal YYSC

Palacios C. Severo

240

Problemas

(217) Se estudia la recuperación del cromo, níquel e hierro de losdesechos de acero inoxidable. La disolución de dicho acero serealiza electrolíticamente, siendo las variables pH y temperatu-ra, de acuerdo a los estudios termodinámicos el potencial de laaleaciones Ea = 2,897. Elabore el ANAVA y analice los efectos einteracciones del proceso.pH: 8,88 8,43 7,01 6,92T: 23,9 28,3 24,3 27,5Ed: 2,16 2,08 2,22 2,19

(218) Un relave con alto contenido de plata 300 g/ton, es tratado porflotación y cianuración siendo ambos procesos antieconómicos.Se procede a realizar un estudio de lixiviación en medio cloru-rante oxidante, siendo sus variables A: cloruro de sodio 50 - 150g/l, B: Tiempo 5 - 10 h, C: Ácido sulfúrico 5 – 0 g/l.Y: 89 87 84 79 86 88 83 82Elabore el diseño y analice.

(219) En un laboratorio de investigación se produce un derivado quí-mico, el investigador tiene interés en los efectos de los factoresA: H2SO4 87 - 93 %, B: Tiempo 15 - 30 min, C: catalizador 35 -45 min, D: Temperatura 60 - 80 °C.

(220) Un investigador en Bacteriología esta interesado en el efecto quetienen dos diferentes medios de cultivo y dos lapsos sobre el cre-cimiento de un virus en particular. Realiza un diseño factorial 22

en orden aleatorio.Analice los datos que se muestran. A: 21 - 37, B: 26 - 34.

(221) Se manufacturan circuitos integrados. El proceso básico de pro-cedimiento consiste en depositar una capa epitaxial en el tablerode silicio pulido.Los tableros se colocan dentro de una campana en el cual se in-troduce vapores químicos. El receptor se hace girar y se aplicacalor hasta que la capa epitaxial sea la adecuada. Se realizó unexperimento empleando dos factores, A: Gasto de arsénico 55 -59, B: Tiempo de depósito 1 - 2. Se corrieron cuatro replicas, y semidió el grosor de la capa epitaxialReplica 1: 14,1 13,8 14,8 14,2Replica 2: 16,1 13,8 14,7 14,9Replica 3: 13,9 14,0 14,8 14,4Replica 4: 13,9 13,2 14,8 14,9


241

(222) Se utiliza una aleación ligera de aluminio-titanio para la fabri-cación de componentes aeroespaciales. Se realizo un estudio so-bre agrietamiento a fin de determinar el efecto de cuatro facto-res sobre las grietas. Los factores son A: Temperatura, B: Con-tenido de titanio, C: Tratamiento térmico, D: Contenido de alu-minio. Se hicieron dos replicas de un diseño 24, se mide la longi-tud de grieta en mm.

Replica I Replica II1,71,41,31,61,21,21,41,22,01,81,71,41,81,31,41,3

1,91,41,51,51,31,21,41,22,11,81,91,51,91,21,21,3

Estime los efectos de los factores. Realice un ANAVA.Existe algún indicio de que algún factor influya en la variabili-dad de agrietamiento.

(223) Se realizó un experimento en una prensa de dispositivos paramicrocomputadoras. Se estudian 5 factores, cada Uno a dos ni-veles los factores son A: Tiempo, B: Revelado C: Dimensión D:Corrosión, E: Material.

1ab

abc

acbc

abc

========

810325018214461

dadbd

abdcd

acdbcd

abcd

========

610305315224565

eaebe

abece

acebce

abce

========

812355215204563

deadebde

abdecde

acdebcde

abcde

========

79

345516204060

Realice un ANAVAInterprete las interacciones significativasDesarrolle un diseño 25 y un diseño con bloques.

(224) En un estudio del rendimiento de un proceso se consideran 4factores, cada uno a dos niveles, A: Tiempo 2,5 - 3, B: Concen-tración 16 - 18, C: Presión 70 - 90, D: Temperatura 250 - 200.Se corre una sola replica de un diseño 24.Y: 12, 18, 13, 16, 17, 15, 20, 15, 10, 25, 13, 24, 19, 21, 17, 23Realice un ANAVA

Palacios C. Severo

242

Pruebe realizar un diseño por bloques e interprete.(225) Se elabora galletas, y se desea saber si las variables tienen in-

fluencia en el proceso siendo A: Material vidrio-aluminio, B:Homogenizado pala-batidor, C: Harina popular-extra. El vectorrespuesta es lo crocante. Analice los datos de las replicas.

Replica 1 11 15 19 16 10 12 10 15Replica 2 9 10 12 17 11 13 12 12Replica 3 10 16 11 15 15 14 13 12Replica 4 10 19 11 12 18 13 10 13

(226) Se desea realizar una investigación con el fin de estudiar la in-fluencia de tres factores en la vida media de un pesticida quími-co aplicado en el suelo. La unidad experimental lo constituiránrecipientes que contienen el suelo sobre el cual se aplica el pesti-cida. Los niveles de los factores a estudiar son los siguientes:

Factores Niveles- +

A: Temperatura (°C)B: Humedad (%)C: Suelo (%)

25151

35353

Se desarrollan replicas con la finalidad de evaluar la vida mediadel proceso, siendo los resultados experimentales:

Y1: 886, 188, 230, 130, 168, 65, 156, 32Y2: 850, 190, 235, 127, 170, 60, 160, 30

¿Cual de las variables independientes influyen en el proceso?¿Cuantas pruebas realizará para desarrollar el proceso?¿Que temperatura, humedad y tipo de suelo el pesticida no esnocivo?

(227) Se desea controlar la emisión gaseosa de SO2 de una planta pormedio de inyección de sosa calcinada en la parte superior delemisor. Dicho método funciona en el laboratorio, pero cuando seimplemento a nivel industrial, se formo ocasionalmente NO2,provocando un gas tóxico. Con el fin de investigar las condicio-nes bajo las cuales se produce, se diseño un experimento facto-rial considerando los siguientes factores a tres niveles:

Factores Niveles- +

A: Concentración de SO2 (ppm)B: Temperatura (°C)C: Concentración de O2 (%)D: Humedad (%)

015000

3000350

620

Se realiza el experimento con la finalidad de controlar la emi-sión de NO2, siendo los resultados experimentales:

130 150 210 200 110 180 110 150130 150 250 140 140 220 150 170

Además se desarrollaron pruebas centrales, siendo estos:470 740 830 730


243

¿Se desea eliminar la presencia de NO2, por lo que se quiere sa-ber que factores deben controlarse?

(228) Se desea investigar la influencia de cuatro factores en la vidamedia del problema 226. Se desea efectuar dos bloques con la fi-nalidad de mezclar los efectos.Se desea verificar los factores de mayor influencia en la vidamedia del proceso.A que temperatura, humedad y que tipo de suelo el pesticida noes nocivo.

(229) En un laboratorio de corrosión se desea evaluar la eficiencia deun inhibidor para disminuir la corrosión de una tubería de hie-rro, utilizada para el transporte de agua en la industria petrole-ra. Una de las variables de mayor importancia fue la tempera-tura promedio del agua que se usa como refrigerante y la otra laconcentración del inhibidor. Los niveles de ambos factores son:

Factores Niveles- +

A: TemperaturaB: Inhibidor

6010

9015

Las respuestas obtenidas en diversas probetas de hierro fue ladisminución del espesor a cierto tiempo de inmersión durante untiempo constante para todas las probetas.

40,2 54,7 29,6 28,8Desarrollando pruebas centrales con la finalidad de evaluar lavarianza del error: 38,6 37,8 37,1 39,0¿Mediante un diseño factorial aplique el mínimo ascenso paraaveriguar en que zona debemos realizar pruebas adicionalespara minimizar la corrosión de la tubería de hierro?

(230) Se desea minimizar la vida media del problema 226, por el cualse corrieron pruebas adicionales con la finalidad de optimizardicho proceso, siendo su vector respuesta:

462 298 424 343 247 479 219 313 256 402 491 292 250 484Así mismo se corrieron pruebas centrales siendo estas:

348 340 337¿Se desea conocer el modelo y su forma geométrica?¿Cuales son los niveles óptimos de las variables que eliminan lapermanencia del pesticida?

(231) Se desea maximizar la resistencia de un acero que depende dedos aleantes Mo y W.

Factores Niveles- +

A: Mo (%)B: W (%)

0.21.5

0.83.5

Palacios C. Severo

244

Un investigador decide experimentar pruebas secuenciales, paralo cual desarrolla las siguientes aleaciones:Suponiendo que la resistencia del acero es una función estable-cida por:

²25,4²²15,0151000 MoMoWR Se desea saber:Cual es la combinación óptima del aleante para alcanzar la má-xima resistenciaEn cuantas pruebas se puede llegar al máximo

(232) La eficiencia de un fertilizante depende de sus componentes mi-nerales del suelo que se va a utilizar. Un estudioso decide prepa-rar diversos tipos de suelos y aplicar el fertilizante a una varie-dad vegetal y la respuesta esta medida en función del rendi-miento del fertilizante. El contenido de los minerales varia en lossiguientes rangos:

Factores Niveles- +

A: Fósforo (%)B: Fertilizante (%)C: Nitrógeno (%)D: Carbono (%)

0.21.50.30.0

0.63.00.90.6

Suponiendo que la eficiencia del fertilizante se puede estimarmediante la siguiente relación.

2846405,0 5,15,0111005,0100 DADCTanCBBeE A

f

¿Diga cual es la combinación óptima del suelo al alcanzar sumáximo?¿En cuantas pruebas se alcanza al objetivo?

(233) Se desea estimar el efecto del SO2 sobre la población cercana auna fabrica monitoreando la concentración de este contaminan-te y considerando los siguientes factores: la tasa de emisividadQ del contaminante a la salida de la chimenea y la altura del lachimenea. Los niveles elegidos de cada uno de los factores sonlos siguientes:

Factores Niveles- +

A: Tasa de emisividad (g/s)B: Altura (m)

530

1060

Siendo el vector respuesta:140 180 200 310 130 320 170 300 280 270 265 275 266


245

XVI. DISEÑO FACTORIAL FRACCIONADO

Los diseños factoriales simples requieren cantidades excesivas detiempo, material, conviene encontrar otros diseños que requieran me-nores pruebas de diseño, pero que no desdeñar una gran cantidad deinformación sobre la naturaleza del vector respuesta que se expresacon los experimentos.

Los diseños factoriales fraccionados permiten lograr este objetivo. Sise está dispuesto a conformarse con una investigación algo menoscompleta, incluyendo los efectos principales y las interacciones de dosfactores y excluyendo los efectos de tres factores o interacciones dealto orden.

Los diseños factoriales fraccionadas se usan principalmente para ladepuración o selección, es decir, para identificar la variable más im-portante que influye en la respuesta.

En cualquier diseño que utilice menos pruebas de los que requiera unode tipo factorial completo, se tendrán los mismos efectos de confusión.Por ejemplo, un efecto principal se puede confundir con uno o másefectos de interacción de alto orden, esto es, la estadística que mide unejemplo principal puede ser igual a la estadística que determina algu-nos de los efectos de las interacciones. Por lo tanto, la estadística encuestión puede indicar que existe algún efecto, pero no señalará si estápresente el efecto principal, el de interacción o alguna combinaciónaditiva de efectos.

Todos los diseños, proporcionan estimaciones confusas. Por ejemplo,si los efectos cuadráticos y cúbicos, se confunden las estimaciones de lamedia y los efectos principales, respectivamente, siempre que no em-plee un diseño factorial de dos niveles, las tendencias y otros efectosconfunden las estimaciones.

Cualquier fenómeno emitido en un modelo ajustado confunde ciertosparámetros estimados en el modelo, sea cual fuere el tipo de diseñoempleado. Los buenos diseños factoriales fraccionados se arreglancuidadosamente de tal manera que la estimación de los efectos que sepiensa son importantes, se confunden por acción de los efectos que seconsideran no importantes.

Palacios C. Severo

246

Puesto que en la investigación es de interés los efectos principales, esfundamental que éstos no se confundan con otros efectos principales.En casi todos los diseños factoriales fraccionados comúnmente usados,los efectos principales se confunden con interacciones de alto orden.Por lo tanto si un experimentador utiliza uno de estos diseños paramedir los efectos principales, deberá estar dispuesto a suponer, cuan-do menos en forma tentativa, que las interacciones con las que se con-funden los efectos principales son cero o muy pequeñas.

Pocos experimentadores evitan usar los diseños factoriales fracciona-dos debido a la necesidad de hacer tales supocisiones respecto a losefectos de alto orden.

XVII. MEDIO FRACCIONADO DEL DISEÑO 2k

Se estudian a partir de k=3 factores en dos niveles cada uno, para locual utilizamos un diseño factorial fraccionado del tipo (1/2)n2k donden es la cantidad que debe disminuirse la fracción.

Ejemplo 6.75Si tenemos un diseño 23=8 pero queremos una media fracción por lotanto tendremos (1/2)*23=4 combinaciones de tratamiento.

Tabla 6.72 Primer media fracción del diseño 23

A B C Combinación-+-+

--++

+--+

cab

abc

Nótese que el diseño 23-1 se forma al seleccionar sólo las combinacionesde tratamiento que producen la multiplicación de signos, donde C=AB.

Es posible construir la combinación de tratamientos del diseño 2k-1

completo igualando el factor C por la interacción -AB, de amplia apli-cación cuando los efectos principales son negativos, pero tienen unagran influencia en el proceso.

Tabla 6.73 Segunda media fracción del diseño 23

A B C=-AB Combinación-+-+

--++

-++-

1acbcab


247

El uso del diseño factorial fraccionado a menudo conduce a una graneconomía y eficiencia en la experimentación, especialmente si los en-sayos pueden hacerse en sucesión. Por ejemplo, supongamos que seestán investigando k=5 factores (25 ensayos). Es preferible realizar undiseño fraccionado 25-1 (16 ensayos) analizar los resultados y decidir elmejor conjunto de ensayos que deben recopilarse después.

Ejemplo 6.76Consideremos el experimento de la autoclave, el diseño mostrado en latabla 6.74, consta de una réplica del diseño 24. En este estudio, los efec-tos principales B, C y la interacción CD resultaron diferentes de cero.

Utilizaremos el diseño 24-1con D=ABC. Para construir el diseño prime-ro se escribe el diseño base de 23 que se mueve en las primeras trescolumnas tal como se indican en la tabla.

Tabla 6.74 Diseño 24-1con D=ABCA B C D=ABC Combinación Y-+-+-+-+

--++--++

----++++

-++-+--+

1adbdabcdacbc

abcd

7188686583958670

Los efectos e interacciones se calculan idem a las factoriales norma-das.

BCDAA 5,270869583656888714/1

ACDBB 12

ABDCC 5,10

ABCDD 2

CDABAB 2,1

BDACAC 5,4

ADBCBC 0,1

Podemos concluir que los efectos principales B y C son grandes y quela interacción AB también es significativa.

Palacios C. Severo

248

Para ver la efectividad de este diseño investigaremos un diseño 25-1concinco factores.

Tabla 6.75 Diseño 25-1con E=ABCDA B C D E=ABCD Combinación Y-+-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--++

----++++----++++

--------++++++++

+--+-++--++-+--+

eab

abec

acebceabc

dadebdeabecdeacdbcd

abcde

12181316171520151025132411211723

Calculo de efectos e interacciones:

BCDEAA 5,5 ACDEBB 5,1 ABDECC 0,1

ABCEDD 25,2 ABCDEE 0,0 CDEABAB 75,1

BDEACAC 25,3 BCEADAD 0,5 BCDAEAE 25,0

ADEBCBC 25,1 ACEBDBD 0,1 ACDBEBE 75,0

ABECDCD 0,1 ABDCECE 25,0 ABCDEDE 0,0

Tabla 6.76 Análisis de varianza del diseño 25-1

Fuente SC GL CM Fo Ft(99)ADABACADError

121,0020,2512,2542,24

100,00256,00

11111

10

121,0020,2512,2542,24

100,0025,60

4,730,790,481,653,91

><<<>

3,293,293,293,293,29

Total 550,75 15

La suma de cuadrados del modelo es:

75,295mod ADACABDAelo SCSCSCSCSCSC

XVIII.CUARTO FRACCIONADO DEL DISEÑO 2k


249

Cuando hay un número grande de factores. Hay que considerar unafracción de un cuarto del diseño 2k este diseño contiene 2k-2 ensayos.

Este diseño se puede construir escribiendo primero las combinacionesde tratamiento asociado con el factorial completo con k-2 factores.Después se asocian las dos columnas adicionales con las interaccioneselegidas apropiadamente, que incluyen los primeros k-2 factores.

Los alias estructurados para un diseño 26-2 son:

ABCDFDEFBCEA ABDEFCDFACEB ACDEFBDFABEC ABCDEAEFFBCD BCDEFADFABCE ABCEFADEBCDF

BDEFACDFCEAB BDEFABDFBEAC ABCFBCDEEFAD ABCDFDFBCAE ABCDBCEFDEAF ABEDFACDECFBD

ABDEACEFCDBF BEFACFCDEABD CEFABFBDEACD

Ejemplo 6.77Se ha aplicado la técnica experimental para la optimización de unproceso en donde se consideran seis variables a dos niveles

A: 1 3 D: 8 10B: 5 15 E: 14 18C: 5 15 F: 22 38

Elegimos un diseño factorial fraccionado del tipo (1/2)226= 24 en queconfundimos los siguientes factores e interacciones E=-ABC, F=BCD.

Tabla 6.77 Diseño 26-2con E=ABC y F=BCDA B C D E=ABC F=BCD Combinación Y-+-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--++

----++++----++++

--------++++++++

-++-+--+-++-+--+

--++----++----++

1aefbefabfcdfacfbcbcedf

abefbdeabdcdeacdbcdf

Abcdef

92,090,091,091,290,392,090,289,592,392,890,790,491,692,691,692,0

Los efectos e interacciones son:

Palacios C. Severo

250

12,0A 87,0B 01,0C20,1D 66,0E 73,0F

17,0CEAB 43,0BEAC 16,0 BFAEBC27,0EFAD 32,0CFBD 43,0BFCD

66,0DEAF 17,0CEDABD 14,0 ABFACD

Obtenemos información clara sobre los efectos principales si se consi-deran que las interacciones de tercer orden y superior son insignifica-tivas. Respecto a las interacciones de segundo orden observamos queestán confundidas entre si y con interacciones de cuarto orden; suanálisis permitirá comprobar el comportamiento lineal de nuestrosvectores respuestas en la región experimental estudiada.

El análisis de varianza se muestra en la tabla 6.78. Para decidir si unavariable es o no significativa en el rango experimental estudiado, en elnivel de significancía del 99%, el cual nos proporciona esta seguridaden el análisis de varianza para el vector respuesta indican que A, C y Eno son significativas en los niveles elegidos y podemos suponer queestamos en el rango elegido para estas variables.

Tabla 6.78 Análisis de varianza para el diseño 26-2

Fuente SC GL CM Fo Ft(99)BDFAF+DEError

3.064.202,181,764,27

111111

3.064.202,181,760,39

7,8910,835,604,53

>>><

4,854,854,854,85

Total 15,47 15


251

Problemas

(234) Deseamos mejorar el rendimiento de un proceso, en un diseño25-2 se investigan 5 factores, confundiendo E= ABCD siendo suvector respuesta.

Y: 98, 99, 94, 82, 86, 92, 85, 90, 86, 90, 80, 90, 85, 81, 84, 93(235) Se trabaja a nivel Bach un proceso catalítico, se asume que la

respuesta de interés es la reacción de variables. Cuatro factoreshan sido propuestos como variables, a dos niveles.Aplique un diseño 26-3 siendo su nivel respuesta.

Y: 53, 83, 62, 77, 75, 84, 75, 86(236) Deseamos mejorar el rendimiento de un proceso, en un diseño

27-4 se investigan 7 factores, confundir D=AB, E=AC, F=BC,G=ABC.

Y: 70, 65, 80, 95, 88, 91, 85, 87(237) Se utiliza un diseño 25-2 para investigar el efecto sobre el rendi-

miento del proceso de A = temperatura de condensación, B =cantidad de material 1, C = volumen del solvente, D = tiempo decondensación y E = cantidad del material 2. Los resultados fue-ron los siguientes:

e = 23.2 ad = 16.9 cd = 23.8 bde = 16.8ab = 15.5 bc = 16.2 ace = 23.4 abcde = 18.1

Determine la relación generadora de este diseño.Escriba las relaciones de alias de este diseño.Calcule los efectos. Determine cuáles de ellos son importantes.Cómo llevaría a cabo el análisis para este experimento.

(238) Es posible diseñar un experimento 25-2 en el cual no se realiceninguna medición en la cual los factores A y C se encuentrenambos en alto al mismo tiempo?

(239) Usted acaba de ser contratado como jefe de planta en una fábri-ca de cerveza. Una de las primeras noticias que recibe es que elproceso tiene algunos problemas con el grado alcohólico de lacerveza, el cual es muy alto. La persona que ocupaba su puestoanteriormente había planteado la posibilidad de realizar un ex-perimento factorial fraccionado de la forma 24-1 para estudiar lasituación. La estructura de dicho experimento es la siguiente

A = tiempo de fermentación.B = % de cebada presente.

Palacios C. Severo

252

C = % de arroz presente.D = % de maíz presente.

(1), ab, c, abc, d, abd, cd, abcdEscriba la matriz de diseño del experimento anterior y diga cua-les efectos se encuentran confundidos.¿Es este un diseño ortogonal? ¿Cuál es la resolución del diseño?¿Qué críticas le merece esta estructura de experimentación?Si alguien le propusiera utilizar un experimento de la forma 24–2

para investigar esta situación, ¿qué le respondería usted?Un par de semanas después, ya un poco más calmado y con unmayor conocimiento del proceso, usted decide que existe unquinto factor influyente:E = tiempo de maduración.Escriba la matriz de diseño un nuevo experimento, esta vez de laforma 25-2, que permita tomar en cuenta este factor adicional yque evite los problemas presentados en el diseño anterior.Encuentre los efectos confundidos en este nuevo diseño. ¿Cuál esla resolución del mismo?¿Qué puntos se encuentran dentro de esta fracción?

(240) Usted está recién graduado y acaba de entrar a trabajar en laempresa Soda, la cual elabora galletas. La compañía ha presen-tado algunos problemas económicos en los últimos tiempos, asíque su misión es tratar de incrementar la calidad y la producti-vidad. Se le pide estudiar la influencia de tres variables sobre latextura de la galleta:A = tiempo en el horno.B = % de leche.C = tipo de harina (nacional o importada)Escriba la matriz de diseño para un experimento 23 (completo).A partir de esa matriz de diseño tome las siguientes medidas:

Nivel Textura(1) 10.0a 13.0b 8.0

ab 15.1c 11.0

ac 12.9bc 8.1

abc 15.0Determine cuáles de los factores son influyentes sobre la texturade la galleta.En los datos anteriores el factor C no es significativo. ¿Cómo po-dría interpretarse el diseño anterior en función de un diseño 22,donde sólo estuviesen involucrados los factores A y B?


253

(241) Usted es gerente de una planta de producción de detergentes. Sedetectó que un problema de llenado se debía a la variabilidad enla densidad del detergente, por lo que se decidió realizar un ex-perimento para determinar cuáles factores del proceso de pro-ducción afectan la densidad. Los factores (a 2 niveles) a conside-rar son los siguientes:

A = tiempo en la torre de secado.B = homogeneidad de la mezcla antes de entrar en la torre.C = tiempo de reposo del detergente antes de ser enviado a la

línea de empaque.D = contenido de carbonatos.E = velocidad del agitador de la mezcla.F = temperatura en la torre de secado.G = orden (normal o inverso) de adición de ciertos ingredien-

tes.(242) Debido a que cada corrida corresponde a un día de producción,

se decidió reducir el tamaño del experimento, de 27 = 128 corri-das, a una fracción de 27-3.Los resultados del experimento son los siguientes:

Nivel Densidad (g/ml)(1) 338.0

adg 388.5bdf 332.0

abfg 239.0cdfg 309.5acf 206.0bcg 343.5

acbd 333.5efg 342.0

adef 213.0bdeg 295.0abe 405.0cde 393.0

aceg 432.0bcef 325.0

abcdefg 193.5Diga cuál es la estructura de confusiones del experimento.Determine cuáles factores influyen significativamente en la den-sidad del detergente, así como cuáles interacciones (de segundoorden) son significativas.

(243) Una empresa de consultoría debe llevar a cabo para un clienteun estudio experimental para determinar los efectos de seis va-riables sobre las propiedades físicas de cierto tipo de asfalto.Llamemos A, B, C, D, E y F a esas variables.Si se lleva a cabo un diseño factorial completo a dos niveles¿cuántas corridas deben hacerse?

Palacios C. Severo

254

Escriba una cuarta fracción del diseño que requiera sólo 16 co-rridas. Escriba una relación generadora para este diseño.En el diseño que usted realizó, qué efectos están confundidos conA y con BD.

(244) Considere un diseño factorial fraccional 25-2. Estudie la estruc-tura de confusiones y la resolución de las fracciones que se ob-tienen de las siguientes formas:Partiendo de un 25 completo, se toman aquellos puntos donde lasinteracciones ABCDE y ABCD estén ambas a nivel alto.Partiendo de un 25 completo, se toman aquellos puntos dondedos interacciones de cuarto orden ABCD y BCDE estén en nivelalto.Partiendo de un 25 completo, tomando los puntos donde dos in-teracciones de tercer orden estén a nivel alto.Partiendo de un 23, asignando factores adicionales a dos inter-acciones de segundo orden, por ejemplo AB y AC.

(245) Suponga que se le presentan las siguientes alternativas:Correr un diseño 26 completo.Correr un diseño 26-2 replicado cuatro veces.Comente en que condiciones es preferible utilizar uno u otro

(246) Se describe un experimento en el cual se utilizó un diseño 25-1 conI = ABCDE para investigar los efectos de cinco factores sobre elcolor de un producto químico. Los factores son A: solven-te/reactivo, B: catalizador/reactivo, C: temperatura, D: purezadel reactivo y E: pH del reactivo. Los resultados fueron como si-gue:

Punto Color Punto Colore -0.63 d 6.79a 2.51 ade 5.47b -2.68 bde 3.45

abe 1.66 abd 5.68c 2.06 cde 5.22

ace 1.22 acd 4.38bce -2.09 bcd 4.30abc 1.93 abcde 4.05

Que efectos parecen ser significativosCalcule los residuos.Si uno o más de los factores son despreciables, contraiga el dise-ño 25-1 a un factorial completo con los factores significativos.Suponga que debe correr un experimento 25, pero que por res-tricciones en la elaboración de la materia prima debe hacerlo en4 bloques. Indique los puntos del diseño que deben desarrollarseen cada bloque y cuales efectos están confundidos con los blo-ques.


255

(247) Se estudia la influencia de 7 factores sobre la viscosidad de unaceite producido en una nueva planta experimental. Para ello seutilizó un diseño 27-3 donde I=-ABCE=BCDF=ACDG son los ge-neradores utilizados. Los resultados obtenidos son:Analice los resultados obtenidos y determine los factores signifi-cativos sobre la viscosidad.

Nivel Viscosidade 33,74

ag 35,90bf 32,53

abefg 35,38cfg 24,46acef 30,24bce 23,82abc 30,27defg 23,30adf 23,38bdg 20,67abde 23,17

cd 26,07acdeg 32,09bcdef 26,29

abcdfg 32,03En caso de poder correr una nueva secuencia de puntos, ¿cuálesescogería?

(248) Se describe un factorial fraccionado replicado para investigar elefecto de cinco factores sobre la altura libre de muelles de hojasutilizados en aplicación automotriz. Los factores son A: tempe-ratura del horno, B: tiempo de calentamiento, C: tiempo detransferencia, D: tiempo de inmersión y E: temperatura delaceite de templar. Los datos se presentan enseguida:

A B C D E I II II-+-+-+-+-+-+-+-+

--++--++--++--++

----++++----++++

-++-+--+-++-+--+

--------++++++++

7,788,157,507,597,547,697,567,567,507,887,507,637,327,567,187,81

7,788,187,567,568,008,097,527,817,257,887,567,757,447,697,187,50

7,817,887,507,757,888,067,447,697,127,447,507,567,447,627,257,59

Determine la estructura de confusiones para este diseño.

Palacios C. Severo

256

Cuáles son los puntos incluidos en este diseñoQué factores influyen en la altura libre mediaExiste evidencia de que alguno de los factores influya en la va-riabilidad de la altura libreAnalice los residuos de este experimento en cada caso y comentelos resultados.

(249) Se realiza un experimento para determinar la influencia de lapresión (A), temperatura (B) y concentración (C) sobre la visco-sidad de un detergente líquido. Para ello se ha decido utilizar undiseño 23 con una sola réplica, el cual debe desarrollarse en dosbloques. ¿Cuál de las siguientes dos opciones preferiría y porqué?Opción 1:

Bloque I Bloque II Bloque III Bloque IVa

abc(1)bc

bc

acab

Opción 2:Bloque I Bloque II Bloque III Bloque IV

(1)abc

bac

abc

abc

(250) Si alguien le propone correr un experimento 26 en ocho bloques,¿qué le diría?

(251) En un esfuerzo por incrementar la producción se realizó un ex-perimento en una planta de manufactura de dispositivos de se-miconductor. Se estudiaron cinco factores, cada uno a dos nive-les. Los factores y niveles son. A: apertura del diafragma (pe-queña, grande), B: tiempo de exposición (20% abajo y arriba delvalor nominal), C: tiempo de revelado (30 y 45 seg), D: dimen-sión de la pantalla (pequeña, grande) y E: tiempo de corrosiónselectiva (14.5 y 15.5 minutos). El experimento se corrió en dosbloques:

Bloque I Bloque IIPunto Producción Punto Producción

a 9 (1) 7b 34 ab 555c 16 ac 20

abc 60 bc 40d 8 ad 10

abd 50 bd 32acd 21 cd 18bcd 44 abad 61

e 8 ae 12abe 52 be 35ace 22 ce 15bce 45 abce 65ade 10 de 6bde 30 abde 53


257

cde 15 acde 20abcde 63 bcde 41

Indique que efectos están confundidos con el bloque.Identifique los efectos significativos y realice recomendacionessobre las condiciones de operación del proceso.Puede proyectarse este diseño en un 2k más pequeño.

(252) Se desea realizar un experimento 25-1, pero los lotes de materiaprima permiten correr un máximo de 10 puntos en cada uno.Indique como debería realizarse este experimento.

(253) Una planta química produce oxígeno licuando aire y separándo-lo en los diferentes gases que lo componen por medio de destila-ción fraccionada. La pureza del oxígeno obtenido es una funciónde la temperatura del condensador principal y del cociente depresiones entre la columna superior y la inferior. Las condicio-nes actuales de operación son temperatura (1) = -220ºC y co-ciente de presión (2) = 1.2. Usando los datos que se dan a conti-nuación, ajuste un modelo de primer orden, pruebe las hipótesisnecesarias para comprobar su ajuste y determine el camino deascenso máximo.

Temperatura(1)

Cociente depresiones (2) Pureza (%)

-225 1,1 82,8-225 1,3 83,5-215 1,1 84,7-215 1,3 85,0-220 1,2 84,1-220 1,2 84,5-220 1,2 83,9-220 1,2 84,3

(254) El diseño experimental para la lixiviación de minerales aurífe-ros mediante un Factorial Fraccionado 28-4, toma las siguientesvariables y rangos.

FactoresNiveles

- 0 +X1: Aglutinante (kg/t)X2: Sal oxidante (kg/t)X3: Tipo mineralX4: Humedad (%)X5: Aglomerante (kg/t)X6: Agente lixiviante ppmX7: Radio riego (l/h.m²)X8: tiempo curado (h)

50,11/210

0,02270516

100,81/114

0,068507,556

151,52/118

0,11341001096

Prueba X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 Y1234

-+-+

--++

----

----

-++-

-++-

-+-+

--++

76,380,886,284,3

Palacios C. Severo

258

567891011121314151617181920

-+-+-+-+-+-+0000

--++--++--++0000

++++----++++0000

----++++++++0000

+--+-++-+--+0000

-+--+--++--+0000

--+-+-+--+-+0000

++--++----++0000

79,185,782,281,981,887,571,979,381,687,485,084,285,985,683,085,7

Analice los datos de % de recuperación de oro de todas las pruebasestadísticamente para determinar el grado de influencia de cada va-riable independientemente y sus interacciones.


259

XIX. DISEÑO DE PLACKETT – BURMAN

Es posible construir diseños para investigar hasta K=N-1 factores consólo N ensayos, en donde N es un múltiplo de 4.

Frecuentemente estos diseños son útiles en la experimentación indus-trial. De particular importancia son las que requieren ocho ensayospara hasta siete factores y dieciséis ensayos para hasta quince facto-res. Se dice que este es una Variedad del diseño factorial fraccionado.

Estas variedades son muy útiles para estudiar factores que no hansido estudiados. El primer diseño es una fracción de un diseño 27. Estapuede construirse escribiendo primero los niveles positivo y negativode un diseño 23 completo con los factores ABC y después conocido losniveles de los otros cuatro factores con las interacciones de los tresfactores originales como aparece: D=AB, E=AC, F=BC, G=ABC.

El diseño constituye una fracción de dieciseisavo y, además, es unafracción principal los signos generadores son positivos.

Es posible utilizar los siete grados de libertad de este diseño.

Para estimar los siete efectos principales. Cada uno de estos factorestiene quince alias. Sin embargo, la estructura de los alias se simplificaconsiderablemente, si se supone que las interacciones de tres o másfactores son despreciables. Haciendo esta suposición, cada combina-ción lineal asociada a los siete efectos principales de diseño realmenteestima el efecto principal y tres interacciones bifactoriales.

A+BD+CE+FG B+AD+CF+EG C+AE+BF+DG D+AB+CG+EFE+AC+BG+DF F+BD+AG+DE G+CD+BE+AF

El diseños Plackett-Burman es útiles cuando N = 8, 12, 16, 20, 24, y 36.

A continuación se presentan los renglones de signos positivos y nega-tivos usados para construir los diseños de Plackett-Burman.

K=7 N=8 - - - - + + +K=11 N=12 + + - + + + - - - + -K=15 N=16 - - - - - - - - + + + + + + +K=19 N=20 + + - - + + + + - + - + - - - - + + -k=23 N=24 + + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - -K=35 N=36 - + - + + + - - - + + + + + - + + + - - + - - - - + - + - + + - - + -

Palacios C. Severo

260

El diseño de 12 corridas se proyectará en tres réplicas de un diseño 22

completo en cualquiera de los 11 factores originales.Tabla 6.79 Diseño PLACKETT-BURMAN para N=8 y k=7

Prueba A B C D E F G12345678

-+-+-+-+

--++--++

----++++

-++-+--+

++----++

+-+--+-+

+--++--+

Sin embargo, en tres factores el diseño proyectado es un factorial 23

completo más un factorial fraccionado 23-1.

Los diseños Plackett-Burman se obtienen escribiendo el renglón apro-piado N y k en forma de columna o renglón. Una segunda columna orenglón se genera a partir de la primera moviendo los elementos de lacolumna o renglón un lugar hacia abajo y colocando el último elemen-to en la primera posición. Simultáneamente, se genera una terceracolumna o renglón a partir de la segunda. Este procedimiento se con-tinúa hasta que se genera la columna o renglón k. A continuación seagrega un renglón de signos negativos para cada factor. Por ejemplo

ZXYYZX

YZXZXY

XYZXYZ

Los diseños de Plackett-Burman tienen estructura de alias muy intrin-cada. En un diseño de doce pruebas, cada efecto principal tiene todolos alias parcial y toda interacción de dos factores en la que no parti-cipe el mismo, la interacción AB tiene como alias los nueve efectosprincipales C, D, ...

Las propiedades de proyección de los diseños Plackett-Burman no sonextraordinariamente atractivas. Consideremos el diseño de 12 prue-bas. Este diseño se proyecta en tres replicas de un diseño 22 completoen cualquiera de los once factores originales. Sin embargo en tres fac-tores el diseño proyectado es un factor 23 completo más un factorialfraccionado.

Ejemplo 6.78


261

Se estudia la flotación de un mineral sulfurado de cobre. Los factoresque inicialmente se consideran importantes son: Colector (A), espu-mante (B), tiempo de acondicionamiento (C), agitación (D), tempera-tura (E), porcentaje de sólidos (F) y pH (G). Se consideran dos nivelesde cada factor. Se sospecha que sólo unos cuantos de estos siete sondespreciables. Se decide llevar a cabo el experimento con el propósitode identificar los factores más importantes para concentrar los estu-dios futuros sobre estos factores.

Tabla 6.80Diseño PLACKETT-BURMAN para N=8 y k=7Prueba A B C D E F G Y Y2

12345678

-+-+-+-+

--++--++

----++++

-++-+--+

++----++

+-+--+-+

+--++--+

929091

91,291,692

91,692

31,835,829,136,244,536,138,131,6

Donde:

Y porcentaje de recuperación.Y2 porcentaje de eficiencia de la recuperación, parámetro definido

Como

hC

YhCY

m

2

C = Ley de concentrado obtenidoCm= Ley de cabezah = Ley máxima de concentración obtenida

Con los datos es posible estimar los siete efectos principales y susalias:

FGCEBDALA 1 EGCFADBLB 2,0 DGBFAECLC 3

EFCGABDLD 2,2¡ DFBGACELE 6,2 DEDGBCFLF 2,0

AFBECDGLG 2,2

Los tres efectos más grandes son C, D, E. La interpretación más simplede datos es que los efectos principales de C, D y E son significativos.Sin embargo, esta interpretación no es única, ya que se pude concluir

Palacios C. Severo

262

lógicamente que C, D y la interacción CD o quizás D, E y la interacciónDE, o quizás C, E y la interacción CE son los efectos verdaderos.

Tabla 6.81 Diseño PLACKETT-BURMAN para N=8 y k=7Prueba A B C D E F G Y Y2

12345678

-+-+-+-+

--++--++

----++++

-++-+--+

++----++

+-+--+-+

+--++--+

9491

94,692,292,593,292,692,6

3,211,755,348,448,448,635,845,0

Obsérvese que CDE en una palabra es la relación definitiva para estediseño. Por lo tanto, este diseño no se proyecta en una factorial 23

completo en CDE; más bien, se proyecta en dos réplicas de un diseñofactorial fraccionado 23-1, de modo que las interacciones no puedansepararse de los efectos principales. Al parecer el experimentador notuvo éxito al escoger los factores. Si hubiese asignado el nivel A en vezde D y B en vez de E, el diseño se habría proyectado en un diseño 23

completo.

Para separar los efectos principales y las interacciones bifactoriales,se corre una replica fraccionada con todos los signos invertidos.

Los efectos estimados para está fracción será:

FGCEBDALA 2,4¡ EGCFADBLB 8,0¡ DGBFAECLC 4,1¡

EFCGABDLD 4,0¡ DFBGACELE 6,6¡ DEDGBCFLF 8,2¡

AFBECDGLG 8,0¡

Al combinar esta fracción con la original se obtiene las siguientes es-timaciones de los efectos:

Tabla 6.82i ½(Li+L´i) ½( Li+L´i)ABCDEFG

A = 1,6B = -0,3C = 2,2D = 0,9E = -2,0F = 1,3

G = -0,7

BD+CE+FG = -2,6AD+CF+EG = 0,5AE+BF+DG = 0,8AB+CG+EF = 1,3AC+BG+DF = 4,6BC+AG+DE = -1,5CD+BE+AF = -1,5

Ejemplo 6.79


263

El ejemplo 6.78 se desea estudiar mediante el diseño Plackett-Burmancon bloques.

Tabla 6.83 Diseño PLACKETT-BURMAN con bloquePrueba A B C D E F G Y

12345678

-+-+-+-+

--++--++

----++++

+--++--+

+-+--+-+

++----++

-++-+--+

929091

91,291,692

91,692

Bloque I Bloque IIdefabdacebcf

====

92,091,292,091,6

afgbegadgabcdefg

====

90,091,091,692,0

Σ 366,8 Σ 364,6Σ 731,4

605,08/4,7314/6,3648,366 222 bloqueSC

315,38/4,731926,91...9092 22222 totalSC

01,0 GBerror SCSCSC

125,0ASC 005,0BSC 125,1CSC

605,0DSC 845,0ESC 005,0FSC

Efectos:

25,0A 05,0B 75,0C 55,0D

65,0E 05,0F 55,0G


BloqueACDEError

0,6050,1251,1250,6050,8450,010

111112

0,6050,1251,1250,6050,8450,005

12125

225121169

><>>>

98,598,598,598,598,5

Total 3,315 7 R2 = 99,69%

Para el cálculo de los efectos e interacciones y suma de cuadrados, seprocedió por la técnica de Yates. Se ha decidido que las interacciones

Palacios C. Severo

264

de valores mínimos son despreciables, por lo que la suma del error setomo como la suma de cuadrados de B y F. Para el bloque se tomo lasuma de cuadrados de G.Problemas

(255) Al problema 193 del diseño factorial fraccionado. Evalué por elmétodo de Plackett-Burman y concluya las diferencias.

(256) Se estudia un proceso nuevo con siete factores aplique el método,siendo D=-AB, E=-AC, G=-ABC

Y: 94, 91, 94, 92, 93, 91, 94, 95(257) Se recupera oro por un método innovativo, se tienen siete facto-

res, aplique Plackett-Burman, tome G=-ABC. Se obtiene dos vec-tores respuesta.

Y1: 90,9 90,2 92,8 93,6 92,2 93,5 93,3 94,0Y2: 92,0 90,0 91,0 91,2 90,3 92,0 90,2 89,5

(258) Se lixivio una cola sulfurada con contenido de plata, plomo ycobre, en medio clorurante-oxidante, con el fin de aumentar lasolubilidad de la plata en forma compleja AgCI-. Efectuando elestudio de los diagramas de Pourbaix y estabilidad de los com-plejos. Estudiamos siete variables A: cloruro férrico, B: Clorurode sodio, C: Temperatura, D: gas cloro, E: Tiempo, F: tamañode grano, G: porcentaje de sólidos. Se decide efectuar el experi-mento con el propósito de identificar los factores importantes.

Y: 85 89 92 95 83 86 92 98(259) Se lixivio colas refractarias sulfuradas de oro con sales oxidan-

tes en medio ácido (Patente del Autor) siendo las variables A:cloruro de sodio B: ácido sulfúrico, C: agente oxidante D: tiem-po, E: tamaño de grano, F: porcentaje de sólidos, G: temperatu-ra. El experimento se efectuó en un tanque de agitación, Obte-niéndose el vector respuesta.

Y: 94 90 92 96 93 98 95 97(260) Se lixivio mineral refractario con contenido metálico valioso de

oro, rutilo, germanio, indio adicionando sales oxidantes (Paten-te del Autor) siendo sus variables A: porcentaje de sólidos, B:ácido sulfúrico, C: ácido clorhídrico, O: cloruro de sodio, E:Agente oxidante, F: tiempo de acondicionamiento, G: Tempera-tura. Se efectuó el experimento con el propósito de identificar losfactores importantes. Por ser un estudio innovativo se efectuódos bloques, siendo:

Bloque I, Y: 89 98 86 95Bloque II, Y: 90 85 88 92

(261) Desarrolle un método para un diseño Plackett-Burman con blo-que replicado.


265

(262) Es factible adicionar variables ficticias a un diseño de Plackett-Burman.

(263) Elabore un modelo matemático para los problemas 170, 171 y172.

(264) En una planta de tratamiento de agua, se estudia un nuevo filtroque presenta problemas en su implementación, de tal maneraque retarda el sistema de filtración. Después de realizar múlti-ples análisis se ha establecido que la causa se debe a

Factores Niveles- +

A: Tipo de aguaB: Temperatura de filtraciónC: RecicladoD: Flujo de adición de baseE: Material del filtroF: Tiempo de almacenamiento

PozoMedia

SíMediaNuevoMedio

CanalAltaNo

AltaUsado

AltoSe desea realizar la experiencia con el menor número de pruebasposibles y el menor tiempo posible, como mínimo 8 pruebas.¿Establezca la estructura Alias, y verifique que efectos estánmezclados entre sí y que efectos pueden estimarse como constan-tes?Suponiendo que las respuestas son las siguientes:Y1: 68, 78, 66, 81, 78, 41, 69, 39Y2: 70, 80, 63, 85, 80, 45, 71, 41¿A que factores se debe el retardo de la filtración?

(265) Una empresa tiene problemas en controlar el tamaño de ciertoproducto. Sus funcionarios han detectado que las variables es-tán provocadas por la distribución irregular de la temperaturadel horno de secado. Sin embargo en vez de resolver el problemadirectamente sugiere reducir la influencia de las variables sobrela temperatura, considerando los siguientes factores

Factores Niveles- +

A: Tipo de materia primaB: Granulometría del materialC: AglutinanteD: Material usadoE: Cantidad de cargaF: ColoranteG: Aditivo

OriginalFina

10

120430

UsadaGruesa

82

150634

Después de realizar múltiples ensayos se midió el número deproductos rechazados por cada 100.10, 21, 17, 15, 30, 5, 12, 25, 36, 45, 28, 16¿Como se reduciría el número de productos rechazados productode la mala distribución de la temperatura en el horno de secado?

Palacios C. Severo

266

(266) El diseño experimental para la lixiviación de minerales aurífe-ros mediante el Plackett-Burman, toma las siguientes variablesy rangos.

FactoresNiveles

- 0 +X1: Aglutinante (kg/t)X2: Sal oxidante (kg/t)X3: X4: Humedad (%)X4: Aglomerante (kg/t)X5: Agente lixiviante ppmX6: Radio riego (l/h.m²)X7: tiempo curado (h)

50,110

0,02270516

100,814

0,068507,556

151,518

0,11341001096

Se desarrolla el proceso con pruebas centrales.

7,850,836,859,85

9,812,827,851,793,842,868,803,76

C

F

Y

Y

Analice los datos de % de recuperación de oro de todas las prue-bas estadísticamente para determinar el grado de influencia decada variable independientemente y sus interacciones.


267

XX. DISEÑOS FACTORIALES 3n

La inclusión de más factores al diseño de tratamientos aumenta lacomplejidad de los patrones de interacción entre los factores de tra-tamiento. El número de combinaciones de tratamientos aumenta tantocomo se agregan factores al diseño, es decir, un diseño de tres factorescon a niveles de A, b niveles de B y c niveles de C, tiene abc combina-ciones. Un cuarto factor, D, con d niveles aumenta el número de tra-tamientos en un múltiplo de d.

El diseño con dos factores permite la investigación de la interacción deprimer orden o doble, AB. En el diseño con tres factores las dos inter-acciones de primer orden adicionales, AC y BC, amplían las inferen-cias del estudio y debe considerarse además una interacción de segun-do orden o de tres factores (o triple), ABC. Las interacciones de tercerorden o de cuatro factores como ABCD, introducen mayor compleji-dad en la estructura de la inferencia de la interacción.

Tabla 6.85 Cálculos de las particiones de sumas de cuadrados lineales y cuadráticasVarios Días Medias Sl Sq Dl Dq SlDl SlDq SqDl SqDq

0

6

12

142128142128142128

2,755,35

12,804,106,55

10,203,105,207,95

-1-1-1000111

111-2-2-2111

-101-101-101

1-211-211-21

10-1000-101

-12-10001-21

-10120-2-101

1-21-24-21-21

ijC

YPij

2

ijCPSC

Efectos

-4,76,07,2

-0,78

-4,618,02,3

-0,25

21,06,0

147,03,50

6,718,05,0

0,37

-5,24,013,5-1,30

-4,212,02,9

-0,35

2,712,01,2

0,23

3,136,00,5

0,09

22 //²ijijijij CijCCijC PYPEfectoPYPrSC

Cálculo de los coeficientes para contraste polinomial ortogonal de las interaccionesSl

Dl

-1-1

-10

-11

0-1

00

01

1-1

10

11

SlDl 1 0 -1 0 0 0 -1 0 1

Ejemplo 6.80

Palacios C. Severo

268

El camarón desova en el mar y los huevos se transforman en lamamientras son transportados a la costa, pasada la etapa larvaria en-tran en los estuarios, donde crecen con rapidez y se convierten en pre-adultos que emigran de nuevo al mar para alcanzar ahí su madurezsexual.

Como resultado de sus migraciones, el camarón encuentra una ampliavariación de la temperatura y salinidad durante su ciclo de vida, porlo que es de gran importancia conocer cómo afectan su crecimientopara entender su vida y ecología.

Cuando se realizó este experimento había un gran interés en el cultivocomercial del camarón y, desde el punto de vista de la acuacultura,otro factor importante era la densidad de almacenamiento en los tan-ques de cultivo, ya que esta afecta la competencia entre los ejemplaresadultos y jovenes.

Tabla 6.86 Aumento del peso de los camarones cultivados en acuariosT D S Aumento peso (mg)25

30

80

160

80

160

102540102540102540102540

8654439053

393249439249247324352188

5237129073

398265436245277305267223

7348239786

208243349330205364316281

Tabla 6.87 Análisis de varianza para el aumento de peso en los camarones cultivadosFuente SC GL CM Fo Ft(99)

TemperaturaSalinidadDensidadTSTDSDTDSError

15376,0096762,5021218,78

300855,178711,11674,39

24038,3969690,67

1212122

24

15376,0048381,2521218,78

150427,588711,11337,19

12019,192903,78

5,3016,667,31

51,803,000,124,14

<>>><<<

7,245,617,245,617,245,615,61

Total 537327,01 35

Tabla 6.88 Aumento de peso en cuatro semanas de camaronesDensidad

Temperatura (80°C) Temperatura (160°C)Salinidad (%) 25 35 25 35

KY


269

102540

70466359

408275243

71333252

331312231

220346271

Media TxD 298 309 219 291Las interpretaciones deben estar condicionadas a alguna medida designificancía estadística junto con la significancía biológica de lasrespuestas. Se requieren los errores estándar de las medias de celdas ymarginales para cualquier prueba estadística subsecuente de compa-raciones específicas; el error estándar para cualquier media es

nCMS eY / , donde n es el número de observaciones en la media y el

error estándar de la diferencia entre cualquier par de medias es nCMYYS eji /2 . Los errores estándar estimados para el experi-

mento de cultivo de camarón se muestran en la tabla 6.89

Media TxD Media DxSD S

T 10 25 40iY D 10 25 40

iY2535

71370

399293

306237

259300

80160

239201

370322

301242

303255

Interpretaciones de los efectos de los factores

La significancía de la interacción de estos factores indica que tempera-tura, salinidad y densidad se interrelacionan en cuanto a su efectosobre el crecimiento del camarón.

La interacción significativa de los tres factores implica que la interac-ción entre dos de ellos no es constante para los niveles del tercer fac-tor. Considere la interacción entre la densidad y la salinidad por sepa-rado, a temperaturas de 25 y 35°C, como se muestra en las gráficas demedias de celdas de aumento en el peso de los camarones cultivados.

Para interpretar los resultados se puede usar una comparación de losefectos simples de la salinidad sobre cada nivel de densidad y tempe-ratura, los efectos simples de la salinidad se estiman mejor como con-trastes polinomiales ortogonales lineales y cuadráticas para cadacombinación de temperatura y densidad.

Tabla 6.89 Errores estándar para las medias de celdas y marginalesTemperatura: a=2 niveles; Densidad: b= 2 niveles; Salinidad: c= 3 niveles

Medias de los factores principalesTemperatura

7,1218

78,2903

rbc

CMe

Salinidad

6,1512

78,2903

rab

CMe

Densidad

7,1218

78,2903

rac

CMe

Medias marginales de dos factores

Palacios C. Severo

270

Densidad por temperatura

0,189

78,2903

rc

CMe

Densidad por salinidad

0,226

78,2903

ra

CMe

Salinidad por temperatura

0,226

78,2903

rb

CMe

Medias de celdas

1,313

78,2903

r

CMe

SalinidadSalinidad

500

400

300

200

100

0

500

400

300

200

100

0

10 15 20 25 30 35 4010 15 20 25 30 35 40

x Densidad 80o Densidad 160

x Densidad 80o Densidad 160

x

x

x

x

xx

o

o

o

o o

o

25°C 35°C

Aumento en el peso de los camarones cultivados en un arreglo factorial de2x2x3 de temperatura, densidad y salinidad

Los coeficientes cuadráticos de salinidad se calcularon como contras-tes polinomiales ortogonales para las cuatro combinaciones de tempe-ratura y densidad, a partir de las medias de celdas de la tabla 6.86,con un patrón similar al que proporciona la tabla 6.88. Por ejemplo, elcoeficiente cuadrático de salinidad a 25°C y densidad de 80 es:

8,83

6

503

²1²2²1

359466270

con error estándar 7,12)3(6/,2903 . Las estimaciones de un ICS del95% se calcularon para los cuatro coeficientes según la 70,224,4,5,0 t

de Bonferroni.

Las estimaciones de un ICS del 95% para los coeficientes cuadráticosde una salinidad a 25°C son (-118,1; -49,5) para una densidad de 80 y(-91; -22,9) para una densidad de 160, mientras que las estimacionesrespectivas para esas densidades a 35°C son (-17,5; 51,1) y (44,6;24,0). Es claro que la cuadratura a 25°C es significativa, ya que el ICS


271

del 95% no incluye al 0; y no significativa a 35°C, pues esos intervalossí lo incluyen.

Problemas

(267) Los datos representan el porcentaje de hombres entre 55 y 64años con niveles auditivos de 16 decibeles por encima del cerométrico de sonido. Las categorías por renglón son los niveles desonido en ciclos por segundo (hertz) y las columnas describensiete categorías ocupacionales.

BA 1 2 3 4 5 6 7

iY yY i

1234567

2,11,7

14,457,466,275,24,1

6,88,1

14,862,481,794,010,2

8,48,4

27,037,453,374,310,7

1,41,4

30,963,380,787,95,5

14,612,036,565,579,793,318,1

7,93,7

36,465,680,887,811,4

4,84,531,459,882,480,56,1

6,65,7

27,358,875,084,79,4

-31,6-32,5-10,920,636,846,5-28,8

iY 31,6 39,7 31,4 38,7 45,7 41,9 38,5 2,38Y

yY i -6,6 1,5 -6,8 0,5 7,5 3,7 0,3

ip 6719 7730 5046 7776 6850 7313 7192

(268) Un proceso de producción química consiste en la primera reac-ción de un alcohol y una segunda reacción con una base. Serealizó un experimento factorial de 3x2, con tres alcoholes y dosbases, con cuatro reacciones réplica en un diseño totalmentealeatorizado. Los datos se reunieron como porcentaje de la reac-ción.

AlcoholBase 1 2 3

1 91,390,7

89,991,4

89,390,4

88,191,4

89,588,3

87,690,3

2 87,391,5

89,488,3

92,390,6

91,594,7

93,191,5

90,789,8

Escriba un modelo lineal para este experimento, explique lostérminos y calcule el análisis de varianza.Construya una tabla de medias de celdas y marginales.

(269) Una compañía probó dos métodos químicos para determinar laglucosa en el suero. Se usaron tres recipientes con suero para elexperimento, cada uno contenía distintos niveles de glucosa me-diante la adición de glucosa al nivel base. Se prepararon tresmuestras de suero de cada recipiente independientes del nivel deglucosa, con cada uno de los dos métodos químicos. Se midió la

Palacios C. Severo

272

concentración de glucosa (mg/dl) de todas las muestras en unacorrida del espectrómetro.

Método I Método IIGlucosa 1 2 3 1 2 3

42,543,342,9

138,4144,4142,7

180,9180,5183,0

39,840,341,2

132,4132,4130,3

176,8173,6174,9

Escriba un modelo lineal para este experimento, explique lostérminos, realice un análisis de varianza para los datos y calculelos residuales. ¿Es necesaria una transformación de los datos?Explique.Si es necesaria, calcule la transformación de los datos y el análi-sis de varianza respectivo.

(270) Se llevó a cabo un estudio del efecto de la temperatura sobre elporcentaje de encogimiento de telas teñidas, con dos réplicas pa-ra cada uno de cuatro tipos de tela en un diseño totalmente alea-torizado. Los datos son el porcentaje de encogimiento de dos ré-plicas de tela secadas a cuatro temperaturas.

Temperatura (°C)Tela 210 215 220 225

1234

1,82,22,83,2

2,12,43,23,6

2,04,24,43,3

2,14,04,83,5

4,65,48,75,7

5,05,68,45,8

7,59,813,210,9

7,99,213,011,1

Escriba un modelo lineal para el experimento y calcule el análi-sis de varianza.Divida la suma de cuadrados del efecto principal de la tempera-tura en particiones con 1 grado de libertad para las sumas decuadrados de regresión lineal y cuadrática.Haga una partición de sumas de cuadrados de la interaccióntemperatura x tela en sumas de cuadrados de interacción tem-peratura lineal x tela y temperatura cuadrática x tela y pruebela hipótesis nula de que no hay interacción para las respectivasparticiones.

(271) Se realizó un experimento de microbiología de suelos para de-terminar el efecto de la fertilidad del nitrógeno en la fijación denitrógeno por bacterias Rizhobium. El experimento se ejecutócon tres cosechas; alfalfa, soya y habas. Se inocularon dos plan-tas con el Rhisobium y se cultivaron en un frasco de Leonard conuna de las tres siguientes tasas de nitrógeno en el medio: 0,50 y100 ppm N. Se usaron cuatro réplicas de frascos de Leonard pa-ra cada una de las 12 combinaciones de tratamiento, los trata-mientos se arreglaron en un diseño totalmente aleatorizado enuna cámara de cultivo y se midió la reducción de acetileno para


273

cada tratamiento en la etapa de florecimiento de las plantas. Lareducción de acetileno refleja la cantidad de nitrógeno que fija labacteria en la relación simbiótica con la planta

CultivoNitrógeno Alfalfa Soya Habas

0

50

100

2,60,90,00,00,00,0

1,11,20,00,00,00,0

6,53,90,60,30,00,1

2,64,30,60,80,10,0

0,82,20,70,30,30,0

0,91,20,40,80,10,1

Escriba un modelo lineal para este experimento, explique lostérminos y calcule el análisis de varianza.Realice un análisis residual y determine si es necesaria unatransformación de los datos. Si lo es, transforme los datos y cal-cule el análisis de varianza para los datos transformados.Pruebe la hipótesis nula de que no hay efectos de interacción decultivo, nitrógeno o cultivo x nitrógeno.Divida la suma de cuadrados del efecto principal del nitrógeno yde la interacción nitrógeno x cultivo en particiones con 1 gradode libertad para regresión lineal y cuadrática.

(272) Un agrónomo realizó un experimento para determinar los efec-tos combinados de un herbicida y un insecticida en el crecimien-to y desarrollo de plantas de algodón (delta de hoja suave). Elinsecticida y el herbicida se incorporaron al suelo usado en loscontenedores de cultivo; se usaron cuatro contenedores cadauno con cinco plantas de algodón, para cada combinación detratamiento. Los contenedores se arreglaron dentro del inver-nadero en un diseño totalmente aleatorizado. Se usaron cinconiveles tanto de insecticida como de herbicida para obtener 25combinaciones. Los datos que siguen son las medias de celdaspara el peso de las raíces secas cuando las plantas tenían tressemanas.

HerbicidaInsecticida 0 0,5 1,0 1,5 2,0

020406080

122,082,7565,7568,0057,50

72,5084,7568,7570,0060,75

52,0071,5079,5068,7563,00

36,2580,5065,7577,2569,25

29,2572,0082,5068,2573,25

Cuadrado medio del error experimental = 174 con 75 GLCalcule las particiones de sumas de cuadrados de regresión con1 grado de libertad para las sumas de cuadrados de herbicida,insecticida e interacción. Calcule un polinomio de grado no ma-yor a la regresión cúbica para el herbicida o el insecticida.

Palacios C. Severo

274

(273) Se realizó un experimento sobre la duración de tela recubiertasujeta a pruebas con abrasivos normales. El diseño factorial de2x2x3 incluyó dos sustancias distintas (F1, F2) en tres proporcio-nes diferentes (25%, 50%, 75%) con y sin tratamiento de superfi-cie (S1, S2); se probaron dos especimenes réplica de cada una delas 12 combinaciones en un diseño totalmente aleatorizado. Losdatos corresponden a la pérdida de peso (mg) de los especime-nes de tela por la prueba de abrasión.

Tratamiento de superficie y sustanciaS1 S2

Proporciónsustancia (%) F1 F2 F1 F2

25

50

75

194208233241265269

239187224243243226

155173198177235229

13716012998155132

Escriba un modelo lineal para el experimento, explique los tér-minos y calcule el análisis de varianza.Prepare una tabla de medias de celdas y marginales con susrespectivos errores estándar.

(274) Un científico de suelos realizó un experimento para evaluar unared de resistencias de cuatro electrodos y calcular la electrocon-dutividad (EC) del suelo en celdas conductivas de acrílico espe-ciales. El objetivo del estudio era evaluar la relación entre la ECmedida y la salinidad del agua en el suelo con diferentes canti-dades de agua. Se incluyeron tres texturas básicas de suelo, yaque la EC es específica de la textura; se usaron dos celdas paracada combinación de tratamiento y los tres tipos de suelo fueronarena arcillosa, arcilla y barro. El agua salina, en tres niveles,se basó en la EC del agua a 2,8, y 16 dS/m (decisiemens/metro)y se establecieron tres niveles de contenido de agua en el suelo,0%, 5% y 15%. El experimento resultante fue un arreglo factorialde 3x3x3 con dos réplicas en un diseño totalmente aleatorizado;los siguientes son los valores de EC del suelo determinados conbase en las lecturas de la red de cuatro electrodos.

Salinidaddel agua

2 8 160 5 15 0 5 15 0 5 15

Arena

Arcilla

Barro

0,600,480,980,931,371,50

1,692,012,212,483,312,48

3,473,305,685,115,475,38

0,050,120,150,260,720,51

0,110,090,230,350,781,11

0,060,190,400,752,101,18

0,070,060,070,210,400,57

0,080,140,230,350,720,88

0,220,170,430,351,952,87


275

Escriba un modelo lineal para este experimento, explique lostérminos y calcule el análisis de varianza.Prepare una tabla de medias de celdas y marginales con susrespectivos errores estándar.

(275) Se colocaron cinco varillas de níquel de 1 mm de diámetro en unsujetador metálico en una suspensión de óxido de aluminio y seaplicó una tensión de 100 volts entre las varillas de níquel y elcontenedor con la suspensión de óxido de aluminio. Se registró elgrueso de la capa de óxido de aluminio depositada en las vari-llas a tres posiciones de altura de las varillas; los datos que si-guen son el grueso del depósito en micrones.

Posición sujetador varilla de níquelAltura 1 2 3 4 5

123

125126130

130150155

128127168

134124159

143118138

Escriba un modelo lineal para este experimento, explique lostérminos y establezca las suposiciones del modelo.Serán válidas las suposiciones del modelo para este experimentoAdmitiendo esas suposiciones como razonablemente válidas.Calcule el análisis de varianza para los datos.

(276) Un entomólogo realizó un experimento sobre la energía consu-mida por las abejas de miel al beber, para determinar el efectode la temperatura del ambiente y la viscosidad del líquido en elconsumo de energía.Los niveles de temperatura fueron 20, 30 y 40°C, la viscosidaddel líquido se controló por las concentraciones de sacarosa, queeran de 20, 40 y 60% del total de sólidos disueltos en el líquidoque bebían las abejas de miel. El entomólogo registró la energíagastada por las abejas en joules/segundo. Los datos que siguencorresponden a tres réplicas de cada uno de los nueve trata-mientos en un diseño totalmente aleatorizado.

Temperatura(°C)

Sacarosa (%)20 40 60

203040

3,16,07,7

3,76,98,3

4,77,59,5

5,511,515,7

6,712,914,3

7,313,415,9

7,917,519,1

9,215,818,0

9,314,719,9

Calcule las particiones de regresión de sumas de cuadrados con1 grado de libertad, las sumas de cuadrados para el % de saca-rosa y la interacción.

Palacios C. Severo

276

XXI. DISEÑOS ROTABLES

Para la forma de análisis de datos del modelo que sirve como ejemploconsiste sólo en adecuar una regresión de primer orden a los datos quegenera el experimento de simulación, un diseño factorial completo dedos niveles o un fraccionado, Plackett-Burman proporcionarán laprecisión suficiente para lograr una estimación de los coeficientes dela ecuación de regresión. No obstante si se adapta un polinomio desegundo orden o de un orden más alto a los datos de salida, un diseñofactorial fraccionado puede producir estimaciones de parámetros delos coeficientes de los términos elevados al cuadrado con una precisiónrelativamente baja.

Un diseño rotacional para ajustar un modelo de segundo orden debetener por lo menos tres niveles de cada factor. Existen muchos diseñosque podrían emplearse para ajustar un modelo de segundo orden.

Uno de los niveles, el central en el cual se repiten las pruebas experi-mentales, sirven para evaluar la varianza del error experimentaldesarrollado durante las pruebas y así mismo la variación de los di-versos tipos de materiales empleados en las pruebas experimentales.

En este tipo de diseños existen, los que sirven exclusivamente paraevaluar tan solo dos factores y otros para tres ó más factores. Se dife-rencias unos de los otros porque son exclusivos para sus tratamientosy sirven solo para tratar fenómenos cuadráticos, no sirven para tratarfenómenos lineales.

Los diseños para tres o más factores se pueden acondicionar paramodelar por bloque, o acoplar cualquier diseño que se desarrolle en elproceso de evaluación sistemática.

XXII. DISEÑOS ROTABLES DE DOS FACTORES


277

Es un diseño Ortogonal de primer orden, esta configurada en unafigura regular equilatera con k+1 vértices en k dimensiones, estás fi-guras se dan en el plano cartesiano.

A. DISEÑO TRIGONAL

Este es el diseño más simple que existe en los proceso de evaluación defactores de primer orden. Si k=3 es un triángulo equilátero regular.

X1 X2

1-0,50,5000

0-0,86-0,86

000

B. DISEÑO PENTAGONAL

Es uno de los más simples de segundo orden, los puntos experimenta-les corresponden a un pentágono.

Es un diseño con el cual se puede elaborar un nuevo tipo de análisis, sedeja al estudioso a fin de poder evaluar e interpretar un nuevo diseñopara el futuro, dicho diseño se puede aplicar desde dos factores a nfactores como una alternativa de diseño experimental.

Representación esquemática del Diseño Pentagonal

X1 X2

10,31-0,81-0,81

00,950,58-0,58

Palacios C. Severo

278

0,31000

-0,95000

C. DISEÑO HEXAGONAL

Es un diseño utilizado en investigación, cuando en el proceso se estu-dian solo dos factores, debiendo ser este siempre cuadrático, si el pro-ceso es lineal dicha técnica no es aplicable.Si el proceso en estudio tuviera tres o más factores, no se puede des-glosar y estudiar de par en par, es necesario para este caso desarro-llar la técnica del Diseño Compuesto Central o Estrella.

El diseño hexagonal consiste en desarrollar seis pruebas experimenta-les correspondientes a los vértices de un hexágono regular, siendonecesario replicar pruebas centrales para estimar el error experimen-tal.

Representación esquemática del Diseño Hexagonal

Este diseño es de amplia utilidad a nivel experimental, como su nom-bre lo indica, los puntos corresponden a un hexágono, considerando detres a cinco puntos centrales.

X1 X2

10,5-0,5-1

-0,50,5000

00,8660,866

0-0,866-0,866

000


279

Ejemplo 6.81Se estudia dos factores con valores reales, los cuales son codificadospor las ecuaciones de recta que se representan mediante las ecuacio-nes lineales que corresponden dos factores reales mediante las si-guientes funciones.

A = 0,375X1 + 1,125B = 1X2 + 2

X1 X2 A B Y Ycal Y - Ycal (Y-Ycal)2

10,5-0,5

-1-0,10,5000

00,860,86

0-0,86-0,86

000

1,51,310,940,750,941,311,251,251,25

22,872,87

21,131,13

222

93,989,688,883,381,989,390,890,289,3

94,5190,2888,4084,7081,8289,9390,1790,1790,17

-0,63-0,030,87

0,3970,0010,757

0,21 1,155

14,13/21,0155,1 2 errorSC

48,1109/1,79797,70706 2 totalSC

Tabla 6.90 Análisis de varianza de regresiónFuente SC GL CM Fo Ft(99)

RegresiónError

109,341,14

62

18,220,57

31,96 > 19,3

Total 110,48 8 R2 = 98,96%

Tabla 6.91 Análisis de varianza de ajusteFuente SC GL CM Fo Ft(99)

AjusteError

3,221,14

12

3,220,57

5,649 < 18,5

Total 4,36 3 R2 = 73,85%

Ejemplo 6.82Se procesa un mineral aurífero con sales oxidantes en medio ácido, sedesea evaluar que factores son significativos (cloruro y nitrato desodio), con el fin de llegar a establecer el óptimo de recuperación.

A: NaCl 25 50B: NaNO3 5 15

Efectos e interacciones CuadráticosA: NaCl = -6263,28B: NaNO3 = -2431,04

AA = -895,833BB = -229,854

Palacios C. Severo

280

AB = -508,721Errores estándar con 3 GL


A: NaClB: NaNO3

AAABBBError

13,013726,33129,86133

12,2524,66130,71333

111113

13,013726,33129,86133

12,2524,6613

0,237778

54,73110,7441,4751,52

103,72

>>>>>

34,1234,1234,1234,1234,12

Total 128,76 8 R2 = 99,446%

333 .06,4²597,4²866,2453,1166,53667,89 NaNONaClNaNONaClNaNONaClAu

La recuperación de oro depende de los dos factores para llegar al óp-timo, esto en forma lineal, pero los factores cuadráticos y la interac-ción tienen efecto negativo para la extracción de dicho metal precioso.

Valor óptimo = 92,0389Factor Bajo Alto ÓptimoNaCl

NaNO3

-1,0-0,28

1,00,86

1,0-0,28

25NaNO3

15

Gráfica de Efectos Principales para Au

-9300

-7300

-5300

-3300

-1300

Au

NaCl50 5

25

NaNO3=5

NaNO3=15

Gráfica de Interacción para Au

-11

-9

-7

-5

-3

-1(X 1000.0)

Au

NaCl50

NaNO3=5

NaNO3=15

Efectos significativos de factores princi-pales

No existe interacción entre ambos facto-res principales

En el gráfico de interacciones podemos establecer que ambos factoresestán en su máximo, y se mantienen como constantes ya que al incre-mental del nivel mínimo al máximo la extracción de oro decrese y esono es recomendable.

No existe interacción entre ambos factores, por lo que se puede mani-pular independientemente cada uno de ellos.


281


25 30 35 40 45 50NaCl

5

7

9

11

13

15

NaN

O3

Au-11000.0--10000.0-10000.0--9000.0-9000.0--8000.0-8000.0--7000.0-7000.0--6000.0-6000.0--5000.0-5000.0--4000.0-4000.0--3000.0-3000.0--2000.0-2000.0--1000.0-1000.0-0.0


25 30 35 40 45 50NaCl

5 7 911 1315

NaNO3-11

-9

-7

-5

-3

-1(X 1000.0)

Au

Au-11000.0--10000.0-10000.0--9000.0-9000.0--8000.0-8000.0--7000.0-7000.0--6000.0-6000.0--5000.0-5000.0--4000.0-4000.0--3000.0-3000.0--2000.0-2000.0--1000.0-1000.0-0.0

Superficie respuesta estimada en elplano con punto óptimo

Superficie respuesta estimada en el espacio

El óptimo de recuperación de oro es 92,0389, cuando se trabaja conun máximo de NaCl y un mínimo de NaNO3.

Problemas

(277) El estudio experimental que se presenta, estuvo orientado a de-terminar las granulometrías óptimas tanto en la etapa deRougher como de Scanvenger. Se desea optimizar la recupera-ción y el grado de concentración en función de la molienda.

6868687066646670721X

7676766868768484762X

Para optimizar estas dos variables, se obtuvo los modelos ma-temáticos:

21

2

2

2

1211 034,0083,022,013,105,27411,1 XXXXXY

21

2

2

2

1212 04,0063,0228,03,1215,34602,1 XXXXXY

Desarrolle el ANAVA y la superficie respuestaObtenga el óptimo cuando se alcanza un 66%

(278) Se estudia un experimento de flotación a nivel laboratorio sien-do sus factores A: tiempo, B: espumante.

3,842,9086,903,899,813,838,886,899,93:

12,112,112,131,194,075,094,031,15,1:

22213,113,1287,287,22:

Y

B

A

Obtenga el modelo del procesoAnalice aplicando el ANAVA

(279) Se efectuó un proceso electrolítico de fabricación de ocre, cuyorendimiento esta en función de dos variables A: cloruro de sodio,B: intensidad de corriente.

6,825,835,816,863,808,784,756,905,85:

5,425,425,423,273,275,427,577,575,42:

5,85,85,82,97,777,72,910:

Y

B

A

Palacios C. Severo

282

Obtenga el modelo del procesoAnalice aplicando él ANAVACree usted la temperatura influye en el procesoElabore el diagrama Eh-pHDe que color es el ocre producidoSin en vez de cloruro de sodio utiliza un electrolito de nitrato desodio, cual es el producto final.

D. DISEÑO OCTOGONAL

Es un diseño utilizado en investigación, cuando en el proceso se estu-dian tan solo dos factores, debiendo ser estos siempre cuadráticos(dinámicos), si el proceso es lineal dicho diseño no es aplicable.

Si el proceso en estudio tuviera más de tres factores, no se puede des-glosar y estudiar de par en par, es necesario para este caso desarro-llar otra técnica de análisis de Diseño.

Es un diseño de segundo orden, corresponde a un octágono regular enel plano.

Representación esquemática del Diseño Octogonal

Diseño de amplia utilidad a nivel experimental, como su nombre loindica, los puntos corresponden a un octágono considerando de tres acinco puntos centrales, para evaluar el error experimental.


283

X1 X2

-0,710,71-0,710,71

1-100000

-0,71-0,710,710,71

001-1000

Ejemplo 6.83Se estudian dos factores dinámicos de un proceso en donde se desarro-lla un novedoso trabajo, los cuales vienen establecidos mediante lasfunciones que a continuación se detallan.

A = 0,005X1 + 0,025B = 2X2 + 27,5

X1 X2 Y Ycal Y - Ycal (Y-Ycal)2

-1100

-0,71-0,710,710,71

0000

00-11

-0,710,71-0,710,71

0000

90,9092,2092,8093,6092,2093,5093,3094,0094,1094,3093,9094,00

91,3892,5993,0894,1991,8192,9393,1093,4994,0294,2094,0294,02

-0,08-0,280,120,02

0,0060,080,010,02

-0,22 0,0964

0834,04/22,00964,0 2 errorSC

48667,1112/111894,104320 2 totalSC


RegresiónError

11,402370,0843

83

1,4250,0231

50,7 > 27,5

Total 11,48667 11 R2 = 0,99266%

Palacios C. Severo

284

Tabla 6.94 Análisis de varianza de ajusteFuente SC GL CM Fo Ft(99)

AjusteError

1,52570,0843

13

1,52570,0231

54,24 > 34,1

Total 1,61 4 R2 = 0,9476%

E. DISEÑO COMPUESTO CENTRADO

Si se desea cuantificar el efecto de una variable y sus interrelacionespara un producto dado, se puede hacer la suposición de que la res-puesta que se quiere evaluar es una función de las variables más im-portantes que afectan el proceso y con base a ella se plantea un mode-lo matemático.

Representación esquemática del Diseño Compuesto Centrado

El modelo matemático que relaciona la respuesta buscada y las varia-bles estudiadas es del tipo.

kjiijkjjjjjjjiijiiiiiio XXXAXAXXAXAXAAY 32

Donde:

Y Estimación del vector respuesta buscadaAo, Ai, Aii, Aij, Ajjj, Aijk Son los coeficientes del modeloXi, Xij Valores de las variables codificadas

Para estimar los coeficientes del modelo se utiliza el diseño compuestocentrado rotacional que se construye a partir de tres componentes.


285

a-1) Un bloque factorial de 2k puntos, donde cada variable toma losvalores codificados -1 y +1, hasta cinco variables como máximo.

a-2) Un bloque factoriaI fraccionado 2k-1 puntos, donde cada variabletoma los valores codificados -1 y +1, cuando hay más de cincovariables.

b) Un conjunto de puntos adicionales cuyo número es 2k dondecada variable toma los valores codificados -2k/4 y +2k/4. La figu-ra formada por estos puntos se llama estrella.

c) Un punto central cuyos valores codificados es cero, este punto serepite las veces que sea necesario para la estimación del errorexperimental.

Para explicar el concepto de rotabilidad, supóngase que el punto (0,0,..., 0) representa el centro de la región en la cual la relación entre larespuesta buscada Ycal Y las variables independientes Xi que estánsiendo investigadas, está dada por la ecuación general que representauna superficie de alto orden.

De los resultados de cualquier experimento se puede calcular S(Y) delerror estándar de Ycal en cualquier punto de la superficie ajustada.Este error estándar será una función de las coordenadas del punto Xi,En un diseño rotacional, este error estándar es el número para todoslos puntos que están a la misma distancia L del centro de la región;esto para todos los puntos tales que:

CtteLXXX k 222

21 ...

Así para un diseño de tres variables se tiene que cada variable asumelos siguientes valores codificados:

-1, +1, 0, -2k/4 y +2k/4

La ecuación del tipo:

211222222

211112211 XXAXAXAXAXAAY o

La codificación de las variables se obtiene de:

b

aVX i

i

Donde:

Palacios C. Severo

286

Vi Nivel de la variable real escogidaa Valor de la variable en el punto centralb Amplitud del valor real

Podemos indicar que los valores -1 y +1 corresponden a los nivelesinferior y superior de un rango de experimentación encontrada biensea por investigación de referencias especializadas en el proceso estu-diado o por experiencia propia.

Los puntos estrella -2k/4 y +2 k/4 son puntos por fuera del rango y seincluyen con propósitos exploratorios.

El punto central con valor cero representa un nivel en el proceso con elque se supone se obtiene buenos resultados.Supongamos que un proceso depende de tres variables, una de lascuales es la temperatura con un rango de nivel de 30 a 50, se tieneque:

a - 1 = 30a + 1 = 50

El valor medio se obtiene por;

[30+50]/2 = 40 = a

Luego

82,5610/402

18,2310/402

10/40301

22

4/

11

4/

VV

VV

bb

k

k

Así tenemos los cinco valores de la temperatura, que se usarán en elbloque de experimentación; de igual manera se procede para las otrasvariables.

Ejemplo 6.84Se estudia la lixiviación (lavado) de un suelo salino para utilizar dichosuelo en la siembra de hortalizas. Aplicaremos dos variables A: lavadoalcalino y B: flujo de lavado.

X1 X2 A B Y- - 23 1,3 50,00


287

+-+

-1,41+1,41

0000000

-++00

-1,41+1,41

00000

372337204030303030303030

1,32,72,7221322222

85,6197,6285,7673,3976,9252,9282,5378,0284,6179,1264,8488,46


RegresiónError

1759,2478,8

57

351,868,4

5,14 > 3,97

Total 2238 12 R2 = 0,786%Ejemplo 6.85El efecto de las interacciones comparadas con los efectos del primer ysegundo orden estimado. Los efectos de alto orden no se pueden igno-rar. Por lo que efectuamos puntos extras para obtener un diseño desegundo orden.

A: 137 147 157B: 32,5 37,5 42,5C: 5,5 8,5 11,5

X1 X2 X3 Y02-20000

0002-200

000002-2

66,965,456,967,565,068,960,3

Para estimar los coeficientes bo, b11, b22, b33 obtenemos la ecuacióncorrespondiente.

9,1041408816

1,105584816

3,1041884016

97616161615

332211

332211

332211

332211

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

o

o

o

o

Obteniéndose

Palacios C. Severo

288

11,67o

b 944,11 b 906,02 b 069,13 b 539,111 b

264,022 b 676,033 b 088,312 b 188,213 b 212,123 b

Ejemplo 6.86Un investigador analiza un proceso en donde influyen dos factores:tiempo y temperatura.

Desea evaluar el efecto significativo de ambos factores.

A: tiempo (min.) 80 90B: Temperatura (°F) 170 180

A: tiempo B: Temperatura Y80908090

77,928992,0711

85858585858585

170170180180175175

167,929182,071

175175175175175

78,577,078,079,575,678,477,078,579,980,380,079,779,8

Efectos estimados para YEfectos e interacciones Cuadráticos

A: tiempo = 0,989949B: Temperatura = 1,03033AB: = 1,5

AA = 2,50248BB = -1,78252


Ambos factores tienen efecto sobre el proceso, pero el que tiene mayorefecto significativo es la temperatura, seguido del tiempo.

Existe interacción entre ambos factores, por lo que si se manipula unfactor el otro también es modificado.


A: tiempoB: TemperaturaAAABBB

1,960012,1216

10,89132,25

5,34129

11111

1,960012,1216

10,89132,25

5,34129

3,704,01

20,584,25

10,09

<<><>

5,595,595,595,595,59


289

Error 3,7051 7 0,5293Total 24,5277 12 R2 = 84,8942%

En la tabla del análisis de varianza podemos establecer que para un95% de la estadística de F, se puede notar que los dos factores princi-pales no tienen influencia en dicho rango. Pero los efectos cuadráticossi tienen influencia en dicho rango para un coeficiente de correlacióndel 84,8942 por ciento.

aTemperaturtiempoaTemperatur

tiempoaTemperaturtiempoY

.03,0²03505,0

²05,082069,935742,3283,935

En el modelo matemático se puede notar que la constante esta en sumáximo, el cual deberá de minimizarse hasta el valor medio de losniveles. Se ve que ambos factores tienen influencia para incrementarla constante hasta un valor positivo, la interacción también tiene efec-to significativo sobre el proceso.

Camino de Máximo Ascenso para Ytiempo Temperatura Y

85,086,087,088,0

175,000176,206177,825177,024

79,940080,098480,118680,0336

Al incrementar el tiempo en una unidad y la temperatura de igualmanera, se nota que a un tiempo de 88 minutos y una temperatura de177,024 °F se obtiene una respuesta de 80,0336, cercano al valor óp-timo de la maximización.


tiempoTemperatura

77,9289167,929

92,0711182,071

86,6416177,174

Al maximizar el proceso, se nota que para llegar al óptimo se requiereun tiempo de 89,9415 minutos y una temperatura de 177,174 °F, paraobtener un valor óptimo de 80,133.

Palacios C. Severo

290

80Temperatura

180


78

78.4

78.8

79.2

79.6

80

80.4

Y

tiempo90 170 80

Temperatura=170

Temperatura=180


77

77.5

78

78.5

79

79.5

80

Y

tiempo90

Temperatura=170

Temperatura=180

Efectos significativos con tendencia cua-drática

Existencia de Interacción en procesocuadrático

En la figura se puede notar que ambos efectos no tienden al máximo,ya que tienden al nivel promedio en ambos casos, al incrementar sobreel máximo la respuesta tiende a minimizarse, por lo que es necesariorealizar el estudio hasta el valor medio.

En la figura de interacción esta entre el valor mínimo y el valor pro-medio en ambos factores, por lo cual se confirma que deberá traba-jarse entre el valor medio y el promedio de ambos factores.En la figura del plano el óptimo esta a un tiempo de 87 minutos y unatemperatura de 177 °F para obtener una respuesta sobre 80.


80 82 84 86 88 90tiempo

170

172

174

176

178

180

Tem

pera

tura

Y77.0-77.477.4-77.877.8-78.278.2-78.678.6-79.079.0-79.479.4-79.879.8-80.280.2-80.680.6-81.081.0-81.4


8082

84 8688

90tiempo 170 172 174 176 178 180

Temperatura

77

78

79

80

81

Y

Y77.0-77.477.4-77.877.8-78.278.2-78.678.6-79.079.0-79.479.4-79.879.8-80.280.2-80.680.6-81.081.0-81.4

Superficie respuesta estimada en el plano Superficie respuesta estimada en el espacio

En la figura del espacio se puede establecer que para llegar al óptimo,ambos factores tienden al valor promedio de los niveles para llegar alóptimo.

Ejemplo 6.87Se investiga un proceso con el fin de optimizar los factores X1 y X2 sison significativos y los rangos en donde están dichos valores óptimos.Se dan los niveles de dichos factores y el vector respuesta.

X1: 1,5 8,5X2: 0,1 0,3


291

X1 X3 Y1,58,51,58,5

0,05029,9497

5,05,05,05,0

0,10,10,30,30,20,2

0,05850,3415

0,20,2

1,231,8911,0851,0950,8481,1322,1691,2281,4131,139

Efectos estimados para YEfectos e interacciones Cuadráticos

A = 0,2682B = -0,5680AB = -0,3257

AA = -0,2954BB = 0,4130



ABAAABBBError

0,14390,64540,09970,106110,194990,06629

111114

0,14390,64540,09970,106110,194990,01657

8,6938,946,026,4011,7

>><<>

7,717,717,717,717,71

Total 1,46927 9 R2 = 95,4879%

2122

2121 4653,0653,200120,0774,82519,0711,1 XXXXXXY

El vector respuesta depende del factor X1 para llegar al óptimo, esto enforma lineal, pero el factores cuadráticos X1 y la interacción tienenefecto negativo sobre dicho vector.

Camino de Máximo Ascenso para YX1 X2 Y5,06,07,08,09,010,0

0,20,115220,0025-0,1193-0,244-0,372

1,2761,73092,8534,7417,416

10,884


X1

X2

0,050250,05857

9,94970,34142

9,31950,0585

Palacios C. Severo

292

1.5X2

0.3


0.99

1.19

1.39

1.59

1.79Y

X18.5 0.1 1.5

X2=0.1

X2=0.3


1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Y

X18.5

X2=0.1

X2=0.3


Interacción en proceso cuadrático


0 2 4 6 8 10X1

0.1

0.14

0.18

0.22

0.26

0.3

X2

Y0.7-0.850.85-1.01.0-1.151.15-1.31.3-1.451.45-1.61.6-1.751.75-1.91.9-2.052.05-2.22.2-2.35


0 2 4 6 8 10X10.1 0.14 0.18 0.22 0.26 0.3

X2

0.7

1

1.3

1.6

1.9

2.2

Y

Y0.7-0.850.85-1.01.0-1.151.15-1.31.3-1.451.45-1.61.6-1.751.75-1.91.9-2.052.05-2.22.2-2.35

Superficie respuesta estimada en el planocon punto óptimo

Superficie respuesta estimada en el espa-cio

Problemas

(280) Se estudian tres variables A: 6 - 10, B: 70 - 90 y C: 780 - 1080rangos establecidos en base a experiencia.a) Analizar el bloque factorial: si existe curvatura, utilice el mé-todo de pendiente ascendente e incremente el bloque estrella.b) Analice el punto estacionario y el análisis canónico.

8359827679608062:FY

737575787677:CY

747875708253:Y

c) Obtenga el modelo correspondiente.d) Desarrolle el análisis de varianza.e) Analice, interprete y opine.

(281) Se estudian cuatro variables A: 1,5 - 3, B: 15 - 25, C: 0, 5 - 1, D:800 - 1000.Evalué tal como el problema 256.

(282) Se quiere evaluar un proceso en donde se nota la influencia dedos factores A: 400 - 600 y B: 3,5 - 5.

88929193899785908999899892:Y

Obtenga el modeloABBABAY 9,0²9,0²392

Analice mediante los métodos de punto estacionario y canónico.


293

(283) Un proceso electrolítico, cuyo rendimiento esta en función de lasvariables A: 20 - 40 Y B: 1 - 3. Obtenga el modelo y analice.

82838180818078759085:1X

(284) Con el estudio experimental se desea determinar las condicionesóptimas siendo sus factores

686868706664667072:1X

687676686876848476:1X

El modelo es:21

22

2121 034,0083,022,013,105,27411,1 XXXXXXY

(285) Se estudia un experimento a nivel laboratorio siendo sus facto-res.

13,113,113,131,194,075,094,031,15,1:1X

22213,113,129,29,22:2X

3,892,909,903,899,813,838,887,899,93:Y

Siendo el modelo21

22

2121 16,101,349,2539,4298,30 XXXXXXYCu

(286) Se estudia la lixiviación con ácido sulfúrico, de una calcina, ob-tenida y de la tostación en presencia de aire, con adición de óxi-do de calcio, en horno monosolera Bach, de un concentrado decalcopirita rico en pirita. La calcina es de la siguiente composi-ción: 15,91 % de cobre, 38,06% de hierro, 11,45% de azufre y3,55% de insolubles.

(287) Se estudia las variables A: concentración de ácido; B: tempera-tura, C: velocidad de agitación. Siendo su vector respuesta.

7375757877778359826779608062:Y

Obtenga el modeloAnalice el ANAVAAplique el método para evaluar la curvatura

(288) Dado el alto contenido de hierro de los licores de lixiviación, quese obtienen, se procede a la purificación del cobre con Lix 64N, apartir de licores con 3,59 g/l de cobre y 1,14 g/l de hierro, en loque se relaciona con el efecto de alguna variables como el pH,concentración de extracción, relación de fases, agitación y con-centración de ácido. Obteniéndose los modelos.

2122

2121 5,016,115,123,223,194,96 XXXXXXYCu

2122

2121 95,111,489,337,125,174,12 XXXXXXYFe

Analice mediante el ANAVAEstablezca los rangos de las variables

(289) Se quiere evaluar un proceso de tostación de un concentradosulfuroso de zinc, se requiere evaluar la temperatura y la adi-ción de aire, para la experimentación se evaluaron los factores

Palacios C. Severo

294

A: temperatura, B: aire. Siendo su vector respuesta.6,884,921,918,932,898,977,855,901,895,999,895,984,92:Y

Obtenga el modeloAnalice mediante el ANAVAEstablezca los rangos de las variables

(290) Considere el modelo de primer orden21 8,05,150 XXY

Donde 11 iX . Determine la dirección de máximo ascenso yplanifique un conjunto de experimentos siguiendo dicha direc-ción

(291) Los siguientes datos fueron recogidos por un ingeniero de plan-ta. La respuesta Y es el tiempo de filtrado, X1 es la temperaturay X2 es la presión.

X1 X2 Y-1 -1 54-1 1 451 -1 321 1 47

-1,414 0 50-1,414 0 53

0 -1,414 470 1,414 510 0 410 0 390 0 440 0 420 0 40

Qué tipo de diseño usó el ingeniero, cuáles son sus ventajas.Ajuste un modelo de segundo orden, verifique su validez y anali-ce la superficie ajustada.Cuáles serían sus recomendaciones si se desea minimizar eltiempo de filtrado.

(292) Se desea minimizar el valor de la ceniza en la pulpa de papel(una medida de las impurezas inorgánicas). Se estudian dos va-riables: temperatura en ºC y tiempo en horas. Estas variables secodifican como se indica a continuación:Estas variables se codifican como se indica a continuación:

115775

1

atemperaturX ,

5.13

2

tiempoX

Se lleva a cabo un experimento cuyos resultados se muestran acontinuación:

X1 X2 Y-1 -1 2111 -1 92-1 1 2161 1 99


295

-1,5 0 2221,5 0 480 -1,5 1680 1,5 1790 0 1220 0 1750 0 1570 0 146

Qué tipo de diseño experimental se ha usado. Es rotable.El modelo cuadrático ajustado es

2122

2121 5,05829,105281,63529,347059,580445,150 XXXXXXY

Fuente SC GL CM Fo Ft(99)ModeloError

30688,71478,22

56

6137,74246,37

24,91 > 8,75

Total 32166,92 11 R2 = 95,40¿Es bueno el ajuste de este modelo?Calcule el punto estacionario. ¿Qué tipo de punto es?(puede usar que los autovalores de la matriz son -6,8982802 y0,6201222)

10.582950.25

0.256.528158-

(293) Un ingeniero está investigando la influencia de la temperatura,la presión y la concentración del catalizador en tiempo que tar-da una reacción en llevarse a cabo. Tras varios experimentos, elinvestigador ajustó la función

23

22

2132

3121321

717,312,5091,6706,4

078,78089,13165,12241,54989,6630

XXXXX

XXXXXXXY

Usando un diseño central compuesto con cinco puntos centrales.Las variables codificadas son las siguientes:

8

350)(1

CatemperaturX

20

612)(2

psipresiónX

03.0

15.03

iónconcentracX

Hágale al ingeniero las sugerencias que considere adecuadas.

Palacios C. Severo

296

F. DISEÑO EXPERIMENTAL COMERCIAL – EXCO

En muchos países latinoamericanos, existe una discontinuidad en elproceso de transferencia de tecnología en el sector agropecuario. En lamayoría de los casos los resultados de las investigaciones efectuadas anivel de centros de investigación, estaciones experimentales, etc., noson sometidos a los diferentes pasos del proceso, los cuales conllevan ala adopción o revisión de la tecnología. Esta situación obedece a facto-res que casi siempre escapan al alcance de los investigadores. De allíse desprende la iniciativa de implementar procedimientos para lavalidación de resultados experimentales, que representen un avanceen el proceso de investigación. En este contexto se enmarca la metodo-logía del Diseño Experimental Comercial (EXCO).

El objetivo de el presente estudio es el de aplicar el Diseño EXCO en lavalidación de los resultados de un experimento en el que se investiga elefecto de la fertilización nitrogenada y la densidad de siembra en elcultivo de maíz.

Con el objetivo de determinar los mejores niveles de fertilización ni-trogenada y densidad de siembra en el cultivo de maíz), se llevó a caboun ensayo bajo el diseño experimental de bloques al azar con dos repe-ticiones, y unidades experimentales de 30 m2 con 10 m2 de área efecti-va. En cada bloque fueron distribuidos al azar 24 tratamientos, los


297

cuales fueron el resultado de la superposición de los diseños Factorial32, Compuesto Central Rotable (k=2, no=5) y Compuesto Central Rota-ble Doble Estrella con un nuevo núcleo estrella añadido (k=2, c=2,no=4).

Tratamientodiseño Nivel real Tratamiento

diseño Nivel real

ensayo 32 DCR DCRE D N ensayo 32 DCR DCRE D N123456789*10*11*12*

------465555

123456789101112

1234131415169101112

6666949460100808080808080

4020040

200120120

0240120120120120

13*14*15161718192021222324

55123789----

13-----------

--------5678

808066666694949470908080

120120

0120240

012024012012060180

D: Densidad de siembra (Plantas/ha)x 103 ; N: Nitrógeno (kg/ha); * Tratamientoscentrales

La situación antes descrita se aprecia fácilmente al observar la tablaanterior, en el que se ilustran las 24 combinaciones de los nivelesreales de los factores, comunes y no comunes para los arreglos de tra-tamiento señalados.

De forma simultánea al establecimiento del experimento, se sembróuna parcela comercial de 7000 m2 aproximadamente. A dicha parcelase le aplicó la combinación de niveles de los factores correspondientesal tratamiento central del ensayo.

Si la producción de la parcela arroja un valor comprendido en el in-tervalo de confianza generado a partir de las repeticiones del trata-miento central del experimento, se consideran validados los resulta-dos. Este intervalo de confianza está dado por la siguiente expresión:

1

)1(2/)1(2/

o

TC

GLnTC

o

TC

GLnTC

n

StX

n

StXP

Donde:

STC Desviación típica de la variable para las no réplicasdel tratamiento central.

no Número de réplicas del tratamiento central.

Palacios C. Severo

298

GLnt )1(2/ Valor tabulado de "t Student", a la derecha del cual

hay un área de a/2.1 – a Coeficiente de confianza.µ Parámetro a estimar.

Se realizó la validación general del experimento y para cada uno delos arreglos de tratamiento involucrados.

El la tabla 6.98 contiene la información del rendimiento obtenido paralas réplicas del tratamiento central del ensayo, el cual, como se expre-só en la metodología, es el mismo tratamiento aplicado a la parcelacomercial.

Tabla 6.98. Rendimiento (kg/ha de maíz al 12 % de humedad) para las replicaciones deltratamiento central del ensayo experimental

tratamiento Bloque Rendimiento tratamiento Bloque Rendimiento91011121314

111111

388633202929375041463263

91011121314

222222

488359725281466342564517

TCX 4239 Kg/ha µ = 0,05

STC 886,6 kg/ha no = 12

Con estos datos se calcularon los promedios y desviaciones típicasnecesarias para obtener los intervalos de confianza.

Intervalo de Confianza General

IC(95%): 3675,68 kg/ha 4082,32 kg/ha

Intervalo de Confianza para el Factorial 32

IC(95%): 2057,16 kg/ha 5586,70 kg/ha

Intervalo de Confianza para el Diseño Central Rotable

IC(95%): 3691,10 kg/ha 4799,51 kg/ha

Intervalo de Confianza para el Diseño Central Rotable Estrella

IC(95%): 3508,64 kg/ha 4912,36 kg/ha


299

El rendimiento de la parcela comercial fue de 3714 kg/ha, valor queestá comprendido en todos los intervalos de confianza generados apartir de los datos experimentales, por lo tanto se consideran valida-dos los resultados.

Ello implica que la respuesta obtenida a nivel experimental puede serreproducida en una escala mayor, bajo las mismas condiciones demanejo del cultivo. Trabajando en el campo hortícola han llegado aconclusiones similares y satisfactorias al aplicar la metodología.

Estos resultados son muy favorables ya que permiten hacer inferenciasobre la posibilidad de aplicación de tecnologías en medio real, cir-cunstancias en las que la inferencia a partir de los resultados experi-mentales solamente, se ve ciertamente limitada.

El diseño EXCO es aplicable en ensayos con el cultivo de maíz, permi-tiendo la formulación de recomendaciones más cercanas a la realidady facilitando el ajuste de los tratamientos con la finalidad de realizaruna mejor caracterización de la región de exploración en experienciasfuturas.G. DISEÑO SEVERO

Propuesto por el Autor, como un diseño de n-niveles para ajustar su-perficies respuestas lineales y polinomiales de una misma estructurade diseño.

Este diseño esta formado por los puntos medios de un cubo, dicha fi-gura geométrica es establecida para el presente estudio.

La figura geométrica de un diseño convencional es un cubo de 1 uni-dad por 1 unidad, en el caso del diseño SEVERO al cubo normal de 1por 1, se le achura los vértices, a partir del centro de los lados del cubo,tal como se visualiza en la figura.

Al cubo de 1 por 1 se le achura las aristas al medio del cubo, es decir ala mitad (0,5) obteniéndose de esa manera la siguiente figura geomé-trica.

Palacios C. Severo

300

Estructura del Diseño SEVERO

El presente diseño no solo trabaja con los máximos y mínimos tal co-mo los diseños convencionales (+1, -1), aquí se trabaja con el rango de+0,5 y -0,5 logrando con dicho rango disminuir en el consumo dereactivos, materiales, insumo, tiempo, etc.

Beneficiando de dicha manera cualquier proceso que se desarrolle enel ámbito experimental tanto a nivel de laboratorio como industrial.Es importante mencionar que el presente diseño nace como una he-rramienta para poder cuantificar los procesos productivos, ya que enestos momentos padecemos de insumos y sobre todo del tiempo nece-sario para desarrollar experimentos amplios.

Siendo los puntos extremos del nuevo vértice (puntos oscuros) los pun-tos factoriales y rotacionales y los puntos sobresalientes (puntos cla-ros) los puntos estrellas para una rotacional n factorial.

Observemos que el Diseño SEVERO no tiene puntos en los vértices dela figura creada por los niveles inferior y superior para cada variable.

Esto es ventajoso cuando los puntos en los vértices representan com-binaciones de factor-nivel por ser antieconómico e imposible de pro-bar debido a restricciones del proceso.


301

Geometría del Diseño SEVERO

Los efectos de las interacciones de tercer orden no existen en el presen-te caso, por estar confundidos.

Los diseños descritos son de mucha utilidad en procesos en donde elinsumo, personal y material son restringidos, ya que los niveles delproceso se acortan hasta en un cincuenta por ciento, siendo esto muyloable y económico para analizar cualquier investigación.

Se estudia en primer lugar el diseño factorial centrado con dos facto-res, en la tabla se muestran los valores codificados del diseño factorialcentrado con dos factores, principio fundamental del denominadodiseño Severo, además se ilustra gráficamente las coordenadas pordonde se desarrolla el presente trabajo.

DISEÑO FACTORIAL CENTRADO DE DOS FACTORES

Palacios C. Severo

302

X1 X2

-0,5+0,5-0,5+0,5

000

-0,5-0,5+0,5+0,5

000

El diseño factorial centrado de dos factores, se crean las siguientescondiciones, al establecer los puntos de los vértices (puntos oscuros) ycomo punto central el vértice (punto claro), como podrá notar que lospunto oscuros están configurados en los puntos extremos del nuevovértice del cubo, por lo cual viene a ser el punto central del cubo prin-cipal (±0,5) (similar al diseño factorial) y el punto central (0, 0) el cualforma la campana de Gauss.

De acuerdo a ello podemos visualizar que el punto central no recaedirectamente en el plano sino que esta formando una campana deGauss, con lo cual se establece que dicho punto no esta en el plano sinoen el espacio, lo cual favorece notablemente en el análisis no es comoen los diseños convencionales.

Esa pequeña diferencia entre el diseño convencional y el diseño pre-sente es una nueva alternativa para demostrar que el punto centralnos configura un diseño rotable directamente.

Ejemplo 6.88En un proceso de electrodeposición de cobre, se procedió a evaluar losfactores a tres niveles:

FactoresNiveles

- 0 +A: Voltaje (Voltios)B: Densidad corriente (A/m²)

130

235

340

Prueba X1 X2 A B Y123456

-0,5+0,5-0,5+0,5

00

-0,5-0,5+0,5+0,5

00

1,52,51,52,522

32,532,537,537,53535

858698978989


303

7 0 0 2 35 88

Los valores reales para desarrollar las pruebas experimentales, lasobtenemos utilizando la siguiente expresión:

b

aVX i

i

El análisis para el desarrollo del presente diseño fue se efectúo me-diante el programa ESPC plus statistics experimental for PC

Efecto EstimadoX1:A 0,0X2: B 12,0AB -0,5Errores estándar con 3 GL

Interpretación de los efectos3

Si visualizamos los signos de los efectos A y B, notamos que ambos sonpositivos, por lo tanto están en su nivel mínimo, por lo cual deberánser maximizado, es decir que ambos factores son variables, y deberánser optimizados y establecidos sus rangos de trabajo óptimo.

En este caso solamente estamos evaluando y no así optimizando, paradesarrollar la optimización deberá seguirse otro camino, el cual serádesarrollado en el próximo acápite.

El factor B es el que tiene mayor significancía por tener un mayorvalor numérico.

a) Caso Maximización

(+) Indica que la variable se encuentra al nivel mínimo y debe ser maxi-mizado hasta el óptimo y establecer su rango de trabajo.

(-)Indica que el factor ya no es una variable, por lo tanto viene a ser unaconstante en el proceso, por lo que se encuentra en el nivel máximo ydebe mantenerse como tal.

b) Caso Minimización

(+)Indica que el factor ya no es una variable, por lo tanto viene a ser unaconstante en el proceso, por lo que se encuentra en el nivel máximo ydebe de mantenerse como tal.

(-) Indica que la variable se encuentra al nivel mínimo y debe ser maxi-

3 Análisis de signos de los coeficientes de los efectos, según el caso.

Palacios C. Severo

304

mizado hasta el óptimo y establecer su rango de trabajo.

A fin de ver la influencia de los factores, se analiza la interacción4 delos factores, esto quiere decir si, existe cruce de información entre losfactores y a la vez estos puedan controlarse de una manera indepen-diente a fin de manipular el proceso.

Interpretación de la interacción5

Notamos que el signo de la interacción AB es negativo, esto nos indicaque no existe interacción, lo cual lo hemos deducido al visualizar queno existe intersección entre los valores numéricos, por lo tanto no exis-te cruce de información entre los factores en estudio.


(+) Indica que sí existe interacción entre las variables, uno depende delotro.

(-) Indica que no existe interacción entre las variables.


(+) Indica que no existe interacción entre las variables.

(-) Indica que sí existe interacción entre las variables, uno depende delotro.

Para corroborar los análisis desarrollados es que aplicamos el Análi-sis de Varianza del proceso.

Tabla 6.99 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(99%)

X1: A 0,0 1 0,0 0,0 < 98,49X2: B 144,0 1 144,0 436,37 > 98,49AB 0,25 1 0,25 0,75 < 98,49Curvatura 13,76 1 13,76 41,69 < 98,49Error total 0,66 2 0,33Total (corregido) 158,67 6 R2 = 90,2857%

El que tiene mayor significancía es B = X2, seguido de A = X1 para uncoeficiente de correlación del 90,2857%, el factor A tiene valor cero,por lo cual se le considera una constante en el rango de trabajo.

4 Es importante que no exista interacción, y de esa manera podamos trabajar con los factores principales.5 Análisis de signos de los coeficientes de las interacciones, según el caso.


305

La varianza del error viene a ser el cuadrado medio del error, siendoeste igual a 0,333 dicho valor es menor que la unidad por lo cual lavariabilidad de los datos es bastante adecuada para el trabajo reali-zado.

Él cálculo de la Suma de Cuadrados del Total se desarrolla mediantela siguiente relación:

N

YYSC i

iTotal

2

2

La suma de cuadrados del total nos sirve para comprobar que los va-lores: suma de cuadrados de los factores e interacciones, más el errordeben ser igual a dicho valor numérico.

El valor de F de tabla para un 99% de significancía es 98,49 vemosque el F experimental del factor principal B es mayor por lo tanto di-cho factor es significativo, por lo que se corrobora que dicho efectoprincipal está en su mínimo debiendo ser maximizados y a la vez am-bos son variables en el proceso.

Siendo el modelo matemático6 lineal para el presente análisis.

ABBAY 25,00,60,02857,90

La constante del modelo matemático, viene a ser el promedio de losvalores del vector respuesta, así mismo es el valor inicial del procesoen estudio, el signo negativo de la constante nos indica que esta en elmáximo y debe ser minimizado.


(+) Indica que dicho valor es el inicio del proceso y se encuentra en sumínimo y debe ser maximizado hasta el óptimo.

(-) Indica que es el máximo valor del vector respuesta, no se puede subirsobre dicho valor, más al contrario se puede bajar.


(+) Indica que es el máximo valor de la vector respuesta, no se puedesubir sobre dicho valor, más al contrario se puede bajar.

6 Análisis de signos de la constante del modelo matemático, según el caso.

Palacios C. Severo

306

(-) Indica que dicho valor es el inicio del proceso y se encuentraen su mínimo y debe ser maximizado hasta el óptimo.

En el modelo matemático también podemos visualizar que la interac-ción es negativa, o sea que no tiene influencia en el proceso. Ademáspodemos visualizar que los factores principales son positivos tal comose visualizo en el análisis de los factores principales.

Coeficiente de regresión para Y

ABBAY 25,00,60,02857,90

Interpretación del modelo matemático

Si A y B son iguales a cero, entonces el modelo será igual a la constan-te, si visualizamos el signo de dicha constante notamos que es positivo,lo cual nos indica que esta en su mínimo y debe maximizarse.

Optimizar Respuesta

Valor óptimo = 96,7857Factor Bajo Alto ÓptimoA -0,5 0,5 -0,5B -0,5 0,5 0,5


84

87

90

93

96

99

Y

A-0.5 0.5

B-0.5 0.5


83

86

89

92

95

98

Y

A-0.5 0.5

B=-0.5B=-0.5

B=0.5B=0.5

Efectos significativos de factores principa-les

Interacción de factores principales

En la superficie respuesta visualizando el gráfico (isolíneas), podemosinterpretar lo siguiente: el valor óptimo está a menor A y mayor B.


307


-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5A

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

B

Y83.0-84.584.5-86.086.0-87.587.5-89.089.0-90.590.5-92.092.0-93.593.5-95.095.0-96.596.5-98.098.0-99.5


-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5A

-0.5-0.3-0.10.10.30.5

B

83

86

89

92

95

98

Y

Y83.0-84.584.5-86.086.0-87.587.5-89.089.0-90.590.5-92.092.0-93.593.5-95.095.0-96.596.5-98.098.0-99.5

Superficie respuesta estimada en el plano conpunto óptimo

Superficie respuesta estimada en elespacio

La superficie respuesta a nivel espacial nos muestra la forma en queestán ubicados los puntos experimentales, así mismo la dirección en lacual se orienta el proceso.

Notamos que la zona de mayor recuperación se ubica a menor A ymayor B.

DISEÑO FACTORIAL CENTRADO DE TRES FACTORES

X1 X2 X3

-0,5+0,5-0,5+0,5-0,5+0,5-0,5+0,50000000

-0,5-0,5+0,5+0,5

0000

-0,5-0,5+0,5+0,5

000

0000

-0,5-0,5+0,5+0,5-0,5+0,5-0,5+0,5

000

Este es una nueva estrategia estadística elaborada para los procesosdonde se tiene tres factores, en este diseño se ahorra mucho tiempo,personal e insumo porque el factor de mayor orden no existe.

El presente es un aporte para que la industria logre mejorar su pro-ductividad y sea de gran provecho para los estudiosos.

Ejemplo 6.89Se evalúa el experimento del ejemplo anterior con tres factores a dosniveles.

Palacios C. Severo

308

FactoresNiveles

- 0 +A: Voltaje (Voltios)B: Densidad corriente (A/m²)C: Agitación (RPM)

130

700

235

1100

340

1500

Prueba X1 X2 X3 A B C Y123456789101112131415

-0,5+0,5-0,5+0,5-0,5+0,5-0,5+0,5

0000000

-0,5-0,5+0,5+0,5

0000

-0,5-0,5+0,5+0,5

000

0000

-0,5-0,5+0,5+0,5-0,5+0,5-0,5+0,5

000

1,52,51,52,51,52,51,52,52222222

32,532,537,537,535353535

32,532,537,537,5353535

11001100110011009009001300130090013009001300110011001100

858698978688989688899092898988

Interpretación de los efectos

Si visualizamos los signos de los efectos A, B y C, notamos que sonpositivos, por lo tanto están en su nivel mínimo, por lo cual deberánser maximizado, es decir que dichos factores son variables, y deberánser optimizados y establecidos sus rangos de trabajo óptimo.

Efecto EstimadoX1:A 0,0X2:B 7,25X3:C 27,75AB -0,25AC -0,5BC 0,125


En este tipo de diseño el efecto de tercer orden no existe. Por lo tanto lasuma de cuadrados para dichos efectos tampoco existe.

El que tiene mayor significancía es B, seguido de C para un coeficientede correlación del 98,47%.

Tabla 6.100 Análisis de varianzaFuente SC GL CM Fo Ft(95%)A: X1B: X2C: X3

0105,125

1540,125

111

0105,125

1540,125

0318,56

4667,05

<>>

98,4998,4998,49


309

ABACBCCurvaturaError

0,1250,5

0,0312513,140,66

11112

0,1250,5

0,0312513,140,33

0,381,51

0,09539.82

<<<<

98,4998,4998,4998,49

Total 1659,71 9 R² = 90,6%

Siendo el modelo matemático para el presente caso:

BCACBCBAY 0625,025,0125,0875,13625,30,06,90

Interpretación del modelo matemático

Si A, B y C son iguales a cero, entonces el modelo será igual a la cons-tante, si visualizamos el signo de dicha constante notamos que es ne-gativo, lo cual nos indica que esta en su máximo y debe minimizarse.


ABC

1,030,0

700,0

3,040,0

1500,0

1,20440,0

1500,0

El punto óptimo del presente proceso viene establecido por la tenden-cia de la hipótesis planteada en un principio, siendo esto que A está enel máximo debe de minimizarse, B y C deben de maximizarse y esta-blecer el óptimo.

En la superficie respuesta visualizando el gráfico (isolíneas), podemosinterpretar lo siguiente: el valor óptimo está a mayor B y C. Dejandoconstante al factor A.

A=2.0

B

C

Y81.0-83.083.0-85.085.0-87.087.0-89.089.0-91.091.0-93.093.0-95.095.0-97.097.0-99.099.0-101.0101.0-103.030 32 34 36 38 40

700

900

1100

1300

1500A=2.0

BC

Y

81.0-83.083.0-85.085.0-87.087.0-89.089.0-91.091.0-93.093.0-95.095.0-97.097.0-99.099.0-101.0101.0-103.0

30 32 34 36 38 40 700900

11001300

15007883889398

103108



En el grafico espacial podemos visualizar el comportamiento de lasisolíneas de igual manera, debe de incrementarse B y C, manteniendoconstante el factor A.

Palacios C. Severo

310

DISEÑO ROTABLE CENTRADO DE n FACTORESX1 X2 X3

-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

0000000

-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

00000

-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,50000

-0,750,75

000

El presente diseño rotable para ajustar un modelo de segundo ordendebe tener por lo menos tres niveles en cada factor. El presente diseñoes una alternativa frente a los diversos diseños existentes.

El presente diseño es simple en el proceso de evaluación de factoresdesde K>2, el diseño rotable esta extraído de la figura geométrica.

Ejemplo 6.90En un proceso electrolítico para la fabricación de sales de aluminio seprocedió a evaluar dos factores a tres niveles.

A: 0,75 1,25 1,5B: 1 2 3

Prueba X1 X2 A B Y1234567891011

-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

00000

-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

000

1,001,501,001,500,881,631,251,251,251,251,25

1,501,502,502,502,002,001,252,752,002,002,00

95,293,497,295,792,598,193,595,789,589,689,4

Si visualizamos los signos de los efectos A=X1, y B=X2, notamos que X2

tiene signo positivos, por lo tanto están en su nivel mínimo, por lo cual


311

deberán ser maximizado, es decir que dicho factor es variable, y debe-rán ser optimizados y establecidos sus rangos de trabajo óptimo, y elfactor X1 es una constante.

Efecto einteracciones

Efectoscuadráticos

A: X1 = -6,767B: X2 = 3,426AB = 0,45

AA = 12,572BB = 19,732


El que modelo matemático así como la falta de ajuste son significati-vos y por lo tanto se ajustan al proceso con un coeficiente de correla-ción del 82,611%.

Tabla 6.101 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(95%)A: X1B: X2AAABBBError

18,48024,0733

52,20020,0225

40,666816,745

111115

18,48024,0733

52,20020,0225

40,66683,34899

5,521,22

15,590,0112,14

<<><>

6,616,616,616,616,61

Total 96,2964 10 R² = 82,611%

Tabla 6.102 Análisis de varianza de falta de ajusteFuente SC Gl CM Fo Ft(95

%)Falta ajusteError

16,7250,02

32

5,5750,01

557,5 > 19,16

Total 16,745 5 R² = 82,611%

Siendo el modelo matemático para el presente caso:

21

2

2

2

1216,08617,9703,44426,38805,110097,194 XXXXXXY

Si X1, y X2 son iguales a cero, entonces el modelo será igual a la cons-tante, si visualizamos el signo de dicha constante notamos que es posi-tivo, lo cual nos indica que esta en su mínimo y debe maximizarse.

Valor óptimo = 103,886Factor Bajo Alto ÓptimoX1 0,88 1,63 1,63X2 1,25 2,75 2,75

El punto óptimo del presente proceso viene establecido por la tenden-cia de la hipótesis planteada en un principio, siendo que X1 esta en su

Palacios C. Severo

312

máximo y debe mantenerse constante y X2 tambien esta en su máximoy deben de minimizarse y establecer el óptimo.

Ambos factores tienen efecto significativo significativo en el proceso.

0.75B

3


89

92

95

98

101

104

Y

A1.5 1

0.75

B=1

B=3


97

100

103

106

109

112

Y

A1.5

B=1

B=3


Interacción en proceso cuadrático

No existe interacción entre ambos factores, por lo que cada factor esindependiente en el proceso, si se modifica el factor X1, se mantiene elfactor X2, y así sucesivamente.

En la superficie respuesta visualizando el gráfico (isolíneas), podemosinterpretar lo siguiente: el valor óptimo está a un valor máximo de X1y un valor promedio de X2.


0.75 0.95 1.15 1.35 1.55A

1

1.4

1.8

2.2

2.6

3

B

Y89.0-91.491.4-93.893.8-96.296.2-98.698.6-101.0101.0-103.4103.4-105.8105.8-108.2108.2-110.6110.6-113.0113.0-115.4


0.75 0.95 1.15 1.35 1.55

A

11.4

1.82.2

2.63

B89

93

97

101

105

109

113

Y

Y89.0-91.491.4-93.893.8-96.296.2-98.698.6-101.0101.0-103.4103.4-105.8105.8-108.2108.2-110.6110.6-113.0113.0-115.4



En el grafico espacial podemos visualizar el comportamiento de lasisolíneas de igual manera, debe de incrementarse X1 y manteniendoconstante el factor X2.


313

Problemas

(294) El estudio experimental que se presenta, estuvo orientado a de-terminar las granulometrías óptimas tanto en la etapa deRougher como de Scanvenger. Se desea optimizar la recupera-ción y el grado de concentración en función de la molienda.

X1 X2 Y-0,5+0,5-0,5+0,5

000

-0,5-0,5+0,5+0,5

000

72706664686868

Para optimizar estas dos variables, se obtuvo los modelos ma-temáticos:

21211 0,06,0020,68 XXXXY

Desarrolle el ANAVA y la superficie respuestaObtenga el óptimo cuando se alcanza un 68,4%

(295) Se estudia un experimento de flotación a nivel laboratorio sien-do sus factores A: tiempo, B: espumante.

3,842,908,903,899,813,838,886,899,93:

12,112,112,131,194,075,094,031,15,1:

22213,113,1287,287,22:

Y

B

A

Obtenga el modelo del procesoAnalice aplicando el ANAVA

(296) Se efectuó un proceso electrolítico de fabricación de ocre, cuyorendimiento esta en función de dos variables A: cloruro de sodio,B: intensidad de corriente.

6,825,835,816,863,808,784,756,905,85:

5,425,425,423,273,275,427,577,575,42:

5,85,85,87,97,777,72,910:

Y

B

A

Obtenga el modelo del procesoAnalice aplicando él ANAVACree usted la temperatura influye en el procesoElabore el diagrama Eh-pHDe que color es el ocre producidoSin en vez de cloruro de sodio utiliza un electrolito de nitrato desodio, cual es el producto final.

(297) Se quiere evaluar un proceso en donde se nota la influencia dedos factores A: 400 - 600 y B: 3,5 - 5.

88929193899785908999899892:Y

Obtenga el modelo

Palacios C. Severo

314

ABBABAY 9,0²9,0²392 Analice mediante los métodos de punto estacionario y canónico.

(298) Un proceso electrolítico, cuyo rendimiento esta en función de lasvariables A: 20 - 40 y B: 1 - 3.Obtenga el modelo y analice.

82838180818078759085:1X

(299) Con el estudio experimental se desea determinar las condicionesóptimas siendo sus factores

686868706664667072:1X

687676686876848476:1X

El modelo que gobierna el estudio experimental es:21

22

2121 034,0083,022,013,105,27411,1 XXXXXXY

(300) Se estudia un experimento a nivel laboratorio siendo sus facto-res.

13,113,113,131,194,075,094,031,15,1:1X

22213,113,129,29,22:2X

3,892,909,903,899,813,838,887,899,93:Y

Siendo el modelo21

22

2121 16,101,349,2539,4298,30 XXXXXXYCu

(301) Se estudia la lixiviación con ácido sulfúrico, de una calcina, ob-tenida y de la tostación en presencia de aire, con adición de óxi-do de calcio, en horno monosolera Bach, de un concentrado decalcopirita rico en pirita. La calcina es de la siguiente composi-ción: 15,91 % de cobre, 38,06% de hierro, 11,45% de azufre y3,55% de insolubles.

(302) Se estudia las variables A: concentración de ácido; B: tempera-tura, C: velocidad de agitación. Siendo su vector respuesta.

7375757877778359826779608062:Y

Obtenga el modeloAnalice el ANAVAAplique el método para evaluar la curvatura

(303) Dado el alto contenido de hierro de los licores de lixiviación, quese obtienen, se procede a la purificación del cobre con Lix 64N, apartir de licores con 3,59 g/l de cobre y 1,14 g/l de hierro, en loque se relaciona con el efecto de alguna variables como el pH,concentración de extracción, relación de fases, agitación y con-centración de ácido. Obteniéndose los modelos.

2122

2121 5,016,115,123,223,194,96 XXXXXXYCu

2122

2121 95,111,489,337,125,174,12 XXXXXXYFe

Analice mediante el ANAVAEstablezca los rangos de las variables


315

(304) Se quiere evaluar un proceso de tostación de un concentradosulfuroso de zinc, se requiere evaluar la temperatura y la adi-ción de aire, para la experimentación se evaluaron los factoresA: temperatura, B: aire. Siendo su vector respuesta.

6,884,921,918,932,898,977,855,901,895,999,895,984,92:Y

Obtenga el modeloAnalice mediante el ANAVAEstablezca los rangos de las variables

(305) Considere el modelo de primer orden21 8,05,150 XXY

Donde 11 iX .Determine la dirección de máximo ascenso y planifique el expe-rimento siguiendo dicha dirección

(306) Los siguientes datos fueron recogidos por un ingeniero de plan-ta. La respuesta y es el tiempo de filtrado, X1 es la temperaturay X2 es la presión.

X1 X2 Y-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

00000

-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

000

5445324750534751413940

Ajuste un modelo de segundo orden, verifique su validez y anali-ce la superficie ajustada.Cuáles serían sus recomendaciones si se desea minimizar eltiempo de filtrado.

(307) Se desea minimizar el valor de la ceniza en la pulpa de papel(una medida de las impurezas inorgánicas). Se estudian dos va-riables: temperatura en ºC y tiempo en horas. Estas variables secodifican como se indica a continuación:Estas variables se codifican como se indica a continuación:

115775

1

atemperaturX ,

5.13

2

tiempoX

Se lleva a cabo un experimento cuyos resultados se muestran acontinuación:

X1 X2 Y-0,50,5-0,5

-0,5-0,50,5

21192216

Palacios C. Severo

316

0,5-0,750,75

0000000

0,500

-0,750,75

00000

99222148168179122175157146130

Qué tipo de diseño experimental se ha usado. Es rotable.El modelo cuadrático ajustado es

2122

2121 5,05829,105281,63529,347059,580445,150 XXXXXXY

Fuente SC GL CM Fo Ft(99)ModeloError

30688,71478,22

56

6137,74246,37

24,91 > 8,75

Total 32166,92 11 R2 = 95,04¿Es bueno el ajuste de este modelo?Calcule el punto estacionario. ¿Qué tipo de punto es?(Puede usar que los autovalores de la matriz son -6,89 y 0,62)

10.582950.25

0.256.528158-

(308) Un ingeniero está investigando la influencia de la temperatura,la presión y la concentración del catalizador en tiempo que tar7

(309) da una reacción en llevarse a cabo. Tras varios experimentos, elinvestigador ajustó la función

23

22

2132

3121321

717,312,5091,6706,4

078,78089,13165,12241,54989,6630

XXXXX

XXXXXXXY

Usando un diseño central compuesto con cinco puntos centrales.Las variables codificadas son las siguientes:

8

350)(1

CatemperaturX

20

612)(2

psipresiónX

03.0

15.03

iónconcentracX

Hágale al investigador las sugerencias que considere.(310) Consideremos un experimento donde el objetivo es estudiar la

relación entre la frecuencia de oscilación de un reloj de cuarzopatrón y las condiciones de humedad y temperatura. En este ca-so el instrumento ya cuenta con un dispositivo para minimizarlos cambios de temperatura, dado que los fabricantes conocen suimpacto en la frecuencia de oscilación. Los factores selecciona-dos son temperatura (T) y humedad (H) y sus niveles de pruebase eligen de acuerdo a las condiciones del laboratorio; en estecaso los niveles de temperatura son (22oC, 24oC) y para la hu-medad (20%, 50%).


317

La variable de respuesta es la frecuencia de oscilación (Y). El di-seño experimental seleccionado es un factorial completo 22 conpunto central que se muestran a continuación.

PruebaTemperatura

(°C)Humedad

(%)Frecuencia

(Hz)1234567891011

-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

00000

-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

000

99,70699,70699,70499,70299,70499,69299,71599,65799,68799,68999,688

En particular en el estudio presentado se muestra cómo evaluarexperimentalmente la incertidumbre dada por el fabricante deun equipo para verificar su magnitud en las condiciones delpropio laboratorio. Este tipo de estudios podrían llevar a mejo-ras tanto de los equipos como de las instalaciones del laborato-rio, buscando tener un menor impacto de las fuentes de incerti-dumbre detectadas como las más importantes.

(311) En la definición de las variables de estudio de electrodeposiciónde oro se tuvo en cuenta las condiciones impuestas por el proce-so previo de desorción de oro, sobre todo en aquellas que tienenque ver con el electrolito, como la concentración de oro, la con-centración de cianuro de sodio e hidróxido de sodio, la conducti-vidad, el pH y la temperatura. Con estas queda definida la refe-rencia base para la selección y rango de las variables de estudio.Entre las variables mencionadas se seleccionaron el potencialaplicado, la concentración de hidróxido de sodio y la Densidadde corriente catódica como las de mayor interés para este estu-dio, y como variables de respuesta se consideraron la eficienciade corriente, el consumo de potencia, la cinética de la deposicióndel oro y su recuperación.

Factores Niveles- +

Potencial (Vols)NaOH (g/L)DC (A/cm³)

2,510

0,025

3,520

0,075

PruebaPotencial

(Vols)NaOH(g/L)

DC(A/cm³)

Consumo energía(Watt-h)

Tiempo(min)

123

-0,50,5-0,5

-0,5-0,50,5

-0,5-0,5-0,5

3,439,384,33

115,078,7

108,5

Palacios C. Severo

318

4567891011121314151617

0,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

0000000

0,5-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

00000

-0,50,50,50,50,50000

-0,750,75

000

13,943,299,385,73

15,667,797,646,877,756,705,96,86,96,7

76,078,978,7173,9113,288,987,480,393,880,082,179,479,879,6

Se pretende minimizar el tiempo del proceso, de consumo deenergía (mayor eficiencia de corriente) y menor cantidad de hi-dróxido de sodio a fin de optimizar las condiciones por medio delas ecuaciones logradas. Esto redunda en un beneficio económi-co y practico para la recuperación electroquímica de oro.

(312) El reciclado electroquímico de los compuestos de partida en di-solución ácido se ha monitorizado por análisis de la DQO (de-manda química de oxígeno), cromatografía de placa fina, análi-sis de CG-MS y por espectroscopia de UV-VIS.El tiempo de cada electrólisis se ha calculado para circular lacantidad teórica de electricidad necesaria para oxidar comple-tamente el sustrato, a partir de las leyes de Faraday, y una con-centración de sustrato a tratar de 0,015 M en un volumen de 150cm3. El tiempo de reacción se ha prolongado para aquellos casosen que se observó un mejor comportamiento de la disminuciónde la DQO (demanda química de oxígeno) al aumentar la cargaeléctrica.El plan experimental escogido para estudiar la influencia de lasprincipales variables de reacción es un diseño factorial completo23 con ocho barridos experimentales, donde las variables esco-gidas y sus niveles fueron la temperatura (25 y 40ºC), la con-centración de electrolito (50 y 96%) y la densidad de corriente(500 y 1000 A/m2).

FactoresNiveles

- +X1: Temperatura (°C)X2: Concentración (%)X3: DC (A/m²)

2550

500

4096

1000

PruebaTemperatura

(°C)Concentración

(%)DC

(A/m²) DQO12

-0,50,5

-0,5-0,5

00

32487725


319

3456789101112

-0,50,5

-0,750,75

000000

0,50,500

-0,750,75

0000

00

-0,5-0,5+0,5+0,5-0,5+0,5-0,5+0,5

3075285227756525867

44256320897

45606871

La tecnología propuesta se presenta como una técnica universalpara degradar compuestos nitratados aromáticos en contra dela biodegradación, en la que las especies microbianas encarga-das de degradar son específicas para cada contaminante con-creto y mucho más versátil y cómoda de escalar y diseñar a ni-vel industrial que tecnologías basadas en sistemas fotocalíticos.Del estudio experimental de la degradación de los sustratos departida se realizó en base al diseño de experimentos detalladosen la tabla adjunta. La influencia de las variables tenidas encuenta, temperatura, densidad de corriente y concentración deelectrolito, así como las interacciones entre ellas, se han estudia-do estadística y comparativamente.Se pide demostrar la influencia de dichos factores

(313) El propósito de este estudio fue evaluar la remoción de sólidostotales, presentes en la vinaza (destilado del alcohol), medianteprocesos de electrocoagulación-electroflotación utilizando elec-trodos de aluminio y como variables de operación pH inicial,concentración de electrolito y densidad de corriente.Las variables evaluadas fueron densidad de corriente (DC), pHinicial y concentración de NaCl como soporte electrolítico, todaslas variables en dos niveles.Los niveles usados para cada variable fueron: DC 20, 40 y 60mA/cm2; pH 4, 7 y 9; [NaCl] 0, 2000 y 4000 ppm.

FactoresNiveles

- 0 +X1: DC (mA/cm²)X2: pHX3: [NaOH] (ppm)

2040

407

2000

609

4000

PruebaDC

(mA/cm²) pH[NaOH](ppm)

Al(g)

% Sólidos totalesClarificado Espuma

1234567

-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,5

-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,5

-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,5

-0,5-0,5-0,5-0,5-0,5-0,5-0,5

19,8120,9522,5922,0921,7315,0514,56

22,7323,4924,0023,7722,7717,2517,92

Palacios C. Severo

320

891011121314151617181920212223242526

0,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

00000000

0,5-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

000000

0,5-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,50000

-0,750,75

0000

-0,50,50,50,50,50,50,50,50,5000000

-0,750,75

00

15,2322,0016,8820,1621,0122,1523,4218,9617,8712,0119,0113,515,712,614,815,617,215,715,8

18,6923,1216,8019,1518,1518,7519,2117,6515,2312,5417,2513,5714,2314,7816,7514,8919,2414,714,9

Que factor influye en el mayor desprendimiento de aluminio aldesarrollar la electrocoagulación-electroflotación.En que región del pH ocurre mejor el proceso.

(314) La investigación se desarrolló con las aguas residuales de unaindustria láctea de la región. Se tomaron muestras tanto deltanque de descargas, como del tanque de homogeneización; esteúltimo toma las aguas del tanque de descarga de las aguas resi-duales de la empresa y las mezcla. A éstas se le analizaron: pH,DQO, conductividad eléctrica, grasas y aceites. Los análisis serealizaron el mismo día del muestreo; de acuerdo con los resul-tados, se decidió que las muestras de agua para la investigaciónserían recolectadas sólo del tanque de homogenización, por seréste el más representativo en las características fisicoquímicasdel agua residual láctea.La experimentación se llevó a cabo en un sistema para electróli-sis. Este sistema opera como reactor discontinuo a escala proto-tipo, con capacidad para tratar dos litros de aguas residuales.Consta de una celda electrolítica de dos litros en la que estánsumergidos los electrodos; estos electrodos son placas rectangu-lares metálicas de hierro y aluminio, dispuestas en paralelo yconectadas a una fuente de voltaje de corriente continua queproporciona la corriente eléctrica requerida para la electrocoa-gulación.

FactoresNiveles

- 0 +X1: pHX2: DC (A/m²)X3: tiempo (min)

532,43

5

737,83

10

843,23

15


321

Prueba pHDC

(A/m²)tiempo(min)

DQO(%)

1234567891011121314151617

-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

0000000

-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

00000

-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,50000

-0,750,75

000

75,7362,3646,5593,9970,8351,4477,2993,9943,8845,7942,1544,2647,2548,2647,6248,0148,06

La electrocoagulación se vislumbra como un tratamiento efi-ciente para la remoción de contaminantes en las aguas residua-les industriales, específicamente en el caso de la industria lácteacomo se muestra en esta investigación.Los tres factores bajo estudio (pH, densidad de corriente y tiem-po) tienen efecto significativo sobre la remoción de DQO. El di-seño de tres factores es bastante ajustado a los datos. En parti-cular, si se tienen niveles óptimos del estudio para pH, tiempo ydensidad de corriente.

(315) La planificación de los experimentos se realizó aplicando el di-seño experimental factorial 2n; se analizó la influencia de latemperatura, la relación líquido/sólido y tiempo en la depura-ción de especies metálicas de efluentes, manteniendo fija la velo-cidad de agitación. Las variables de respuesta consideradas fue-ron: porcentaje de extracción de especies metálicas (E) y selecti-vidad (S). Esta última, se determinó como la relación entre larecuperación de un componente dado y el grado de dilución delmineral.La extracción de Ni, Co, Fe y Mn como residuo de la depuraciónde efluentes. Las condiciones experimentales y niveles de las va-riables se muestran en la tabla.

FactoresNiveles


3018

452

10

60312

Condiciones fijas del experimento: Velocidad de agitación 600rpm; pH 4,06.

Palacios C. Severo

322

Los modelos que regulan el proceso son:9058,87²765,20625,01325,44475,62433,72 21321 RXXXXXYNi

5456,96²165,23425,0255,258,30333,81 21321 RXXXXXYCo

0524,90²61125,151625,10613,1724125,522625,636,71 3221321 RXXXXXXXYFe

9567,95²2425,34925,06675,45,62356,70 21321 RXXXXXYMn

Elabore un diseño experimental que satisfaga la depuración delefluente

(316) Los residuos sólidos de la lixiviación o colas constituyen un granproblema para el ecosistema de la región industrial; su trata-miento, disposición y manejo son objeto de estudios con el fin deencontrar alternativas para minimizar los impactos negativosal medio ambiente. Una cuestión de interés lo constituye la re-cuperación de plata y el cobre contenidos en las colas residuales,las cuales son consideradas un mineral de baja ley.Con el objetivo de recuperar especies metálicas de las colas delos procesos de lixiviación, ya sean las resultantes del procesoácido o del proceso amoniacal, se han realizado estudios de bio-lixiviación y lixiviación química con ácidos orgánicos produci-dos por los microorganismos en sus procesos metabólicos.

(317) En la tabla aparece la matriz experimental correspondiente alplan 23, y un experimento en el nivel central. Con este diseño deexperimento se obtuvo el comportamiento de las variables derespuesta Selectividad y Extracción de Ag y Cu. La selectividadse consideró como la relación entre la recuperación de un com-ponente dado y el grado de disolución total del mineral. En to-dos los experimentos se mantuvieron fijos los parámetros si-guientes: relación líquido: sólido: L/S=12/1 cm3 de solución/g decola; velocidad de agitación: 630 rpm; tamaño de partículas (-0,149+0,074) mm. Se realizó el estudio del comportamiento ci-nético de la disolución del Ag y Cu. Las muestras de licor de lixi-viación se colectaron a determinados intervalos de tiempo, se fil-traron y analizaron por espectroscopia de absorción atómica.

FactoresNiveles


3011

4535

6059

PruebaT

(°)t

(h)L/S

(cm³/g)% Extracción

Ag Cu12345

-0,50,5-0,50,5-0,5

-0,5-0,50,50,5-0,5

-0,5-0,5-0,5-0,50,5

62,9671,6069,0782,4064,24

77,3880,5377,9387,3977,58


323

67891011121314151617

0,5-0,50,5

-0,750,75

0000000

-0,50,50,500

-0,750,75

00000

0,50,50,50000

-0,750,75

000

70,4563,7287,1278,6376,3577,2579,5677,9578,4579,3679,4679,58

80,0977,3990,9180,1085,2689,0189,9087,5488,6589,7489,8789,95

(318) Se controlaron 3 variables que permitieron conocer las condi-ciones óptimas del reactor para obtener altos porcentajes dedescontaminación y realizar el escalamiento del reactor a nivelindustrial. Las variables escogidas para el estudio fueron:

FactoresNiveles

- 0 +X1: [H2O2] (ml/L)X2: Volumen a tratar (L)X3: [TiO2] (mg/L)

040

18

100

212

200

Prueba[H2O2](ml/L)

Volumen(L)

[TiO2](mg/L)

Radiación(W/m²)

pH Degradación(%)

1234567891011121314151617

-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

0000000

-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

00000

-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,50000

-0,750,75

000

36,544,518,0

44,8326,0361,8352,8335,4140,1750,8334,1756,2557,256,355,755,955,2

3,853,915,775,413,725,738,435,124,244,24,124,254,723,984,254,264,28

23,5246,197,39

33,0343,3431,8714,86,6216,819,8

14,8418,3622,1521,8518,2518,9218,75

Para el estudio de estas variables se realizaron una serie de ex-perimentos donde la variable de respuesta fue el porcentaje dedegradación medido como el porcentaje de reducción en la DQO.Del análisis de los datos obtenga el ANAVA, estime la respuestaóptima, además de la superficie de respuesta, que permiten ob-tener un modelo estadístico que describe el comportamiento delsistema de fotodegradación respecto a las variables experimen-tales estudiadas y que permitan establecer el grado de confiabi-lidad de los datos obtenidos.

Palacios C. Severo

324

(319) Se seleccionaron modelos lineales del tipo 2n, en los que n repre-senta el número de variables a estudiar. Para un diseño experi-mental con 3 variables (pH, dosis de coagulante y floculante), elnúmero de experimentos a realizar es igual a 8.En la tabla se especifica los niveles de cada experimento parauna pareja coagulante-floculante determinada. Como se obser-va en esta tabla los valores probados para el pH son 6 y 9, lasdosis de coagulante fueron 20 y 100 mg/L y las del floculante de0,1 y 1,0 mg/L.

PruebaFloculante

(mg/L)Coagulante

(mg/L)pH Concentración residual

Color DQO1234567891011121314151617

-0,50,5-0,50,5-0,50,5-0,50,5

-0,750,75

0000000

-0,5-0,50,50,5-0,5-0,50,50,500

-0,750,75

00000

-0,5-0,5-0,5-0,50,50,50,50,50000

-0,750,75

000

47,04513

22,5188,5180,540,540,5

35,4633,2536,8739,4842,645,442,143,642,9

84,575,060,555,5

105,5138,582,542,5

36,8942,1545,2446,7844,746,847,847,948,0

Debido a la buena calidad del efluente obtenido bajo las condiciones óp-timas determine el modelo de remoción de los parámetros y, con el finde disminuir el volumen de lodos y los costos del proceso, utilice dichomodelos para realizar un análisis de sensibilidad de respuesta con res-pecto a la variación de dosis para poder reducir la cantidad de coagu-lante a aplicar, de tal manera de conservar niveles de remoción acepta-bles para los derivados.


325

§7SUPERFICIE DE RESPUESTA

En estadística, lo que desaparece detrás de los números es la muerte.Günter Grass

I. INTRODUCCIÓN

La metodología de superficie de respuesta es un conjunto de técnicasmatemáticas y estadísticas utilizadas para modelar y analizar pro-blemas en los que una variable de interés es influenciada por otras. Elobjetivo es optimizar las variables de interés.

Esto se logra al determinar las condiciones óptimas de operación delsistema.

II. SUPERFICIE DE RESPUESTA

La relación Y=f(X1, X2,…, Xk), entre Y y los niveles de los k factoresrepresenta una superficie. Con k factores la superficie está en k+1 di-mensiones. Por ejemplo cuando se tiene Y=f(X1) la superficie esta endos dimensiones como se muestra en la superficie de respuesta lineal,mientras que si tenemos Y=f(X1, X2) la superficie está en tres dimen-siones, esto se observa en la superficie de respuesta.


0 2 4 6 8 10X10.1 0.14 0.18 0.22 0.26 0.3

X2

0.7

1

1.3

1.6

1.9

2.2

Y

Y0.7-0.850.85-1.01.0-1.151.15-1.31.3-1.451.45-1.61.6-1.751.75-1.91.9-2.052.05-2.22.2-2.35

Superficie respuesta lineal Superficie respuesta espacial

Palacios C. Severo

326

Gráfica de contorno

La grafica de contornos facilita la visualización de la forma de unasuperficie de respuesta de tres dimensiones. En esta las curvas de losvalores iguales de respuesta se grafican en un plano donde los ejescoordenados representan los niveles de los factores. Cada curva repre-senta un valor específico de la altura de la superficie es decir un valorespecifico de Y. Esto se muestra en el grafico de contornos. Esta grafi-ca nos ayuda a enfocar nuestra atención en los niveles de los factores alos cuales ocurre un cambio en la altura de la superficie.

Región experimental

La región experimental especifica la región de los valores para losniveles de los factores. Esto se puede hacer empleando los niveles ac-tuales de operación para cada factor, si se desea explorar el vecinda-rio se incrementa y decrece el valor del nivel en una cantidad determi-nada.

III. POLINOMIO DE PRIMER ORDEN

Generalmente se desconoce la relación entre la respuesta y las varia-bles independientes, por ello requieren un modelo que aproxime larelación funcional entre Y y las variables independientes. Este modeloprovee las bases para un nuevo experimento que nos lleva hacia unnuevo modelo y el ciclo se repite. Si la respuesta se describe adecua-damente por una función lineal de las variables independientes seutiliza el modelo de primer orden.

kko XAXAXAAY 2211


0 2 4 6 8 10X1

0.1

0.14

0.18

0.22

0.26

0.3

X2

Y0.7-0.850.85-1.01.0-1.151.15-1.31.3-1.451.45-1.61.6-1.751.75-1.91.9-2.052.05-2.22.2-2.35

Grafico contornos


327

Los parámetros del modelo se estiman mediante el método de mínimoscuadrados. Una vez que se tiene los estimadores se sustituyen en laecuación y obtenemos el modelo ajustado.

kko XAXAXAAY 2211

Este modelo se utiliza cuando queremos estudiar el comportamientode las variables de respuesta únicamente en la región y cuando noconocemos la forma de la superficie.

IV. PRUEBA DE SIGNIFICANCÍA

Para estimar los coeficientes se requieren N>k+1 valores de respuestaY. El análisis de los datos de las corridas se presenta en una tabla deanálisis de varianza. La tabla presenta las diferentes fuentes de varia-ción que contribuyen a la variación total de los datos.

La variación total recibe el nombre de la Suma de Cuadrados TotalSC, se calcula de la siguiente manera:

2 YYSC ij

Donde

Yij es el valor observado de la ij-ésima corrida.

La suma de cuadrados se compone por la suma de cuadrados debido ala regresión y la suma de cuadrados no toma en cuenta el modeloajustado. La formula de la suma de cuadrados debido a la regresiónes.

2 YYSCcregresión

La suma de cuadrado error, que corresponde a la no tomada en cuen-ta, se calcula de la siguiente manera.

2 cijerror

YYSC

En la tabla se observa un análisis de varianza, en ella p representa elnúmero de términos del modelo ajustado

Palacios C. Severo

328

Tabla 6.103 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM

RegresiónError

SCregresión

SCerror

p-1N-p

SCR/p-1SCE/N-p

Total SCtotal N-1

La prueba de significancía de la ecuación de regresión ajustada tienela siguiente hipótesis nula Ho: Todas las As (excluyendo Ao) son cerocontra la alternativa HA: al menos una de las As (excluyendo Ao) esdiferente de cero.

La prueba supone que el error se comporta normalmente, en ésta seutiliza la prueba estadística F, el cual se calcula.

pN

SCp

SC

Ferror

regresión

1

Se compara con una F de tabla (95 ó 99%), si F calculada excede estevalor la hipótesis nula se rechaza con un nivel de confianza de γ. Estosignifica que la variación explicada por el modelo es significativamen-te mayor que la variación inexplicable.

Además de esta prueba se puede hacer un análisis de ajuste del modelocon la R² que es la proporción total de la variación de las Ys con res-pecto a la media que se puede explicar con la ecuación de regresiónajustada. Esta se calcula de la siguiente manera.

total

regresión

SC

SCR 2

V. PRUEBA DE FALTA DE AJUSTE

La falta de ajuste se presenta por la no linealidad o la curvatura de lasuperficie de respuesta, ésta no se detecta debido a la exclusión de lostérminos cuadráticos como 2

iii XB o de los términos de productos cru-zados

kjiijk XXXB que se refieren al efecto de la interacción entre los

factores.

La prueba de falta de ajuste requiere que el diseño del experimentosatisfaga:


329

1. El número de los distintos puntos del diseño n, debe exce-der el número de términos en el modelo ajustado, es decirn>k+1, y

2. Al menos e réplicas deben recolectar en uno o más puntosdel diseño para estimar la varianza del error.

Además, los valores del error aleatorio deben asumir una distribuciónnormal e independiente con una varianza común σ².

Al cumplirse las condiciones anteriores la suma de cuadrados delerror se compone de dos fuentes de variación. La primera es la falta deajuste del modelo ajustado (por la exclusión del término de mayororden) y la segunda es la variación del error puro.

Para calcularlas necesitamos la suma de cuadrados calculada de lasreplicas que recibe el nombre de error puro de la suma de cuadrados ysustraer de la suma de cuadrados del error éste para obtener la sumade cuadrados de la falta de ajuste.

2jijerrorpuro YYSC

Donde

Yij es la i-ésima observación del j-ésimo punto del diseño

errorpuroerrorefaltaajust SCSCSC

2 iiefaltaajust YYrSC

La prueba adecuada del modelo ajustado es:

nN

SCpn

SC

Ferrorpuro

efaltaajust

La hipótesis de suficiencia de ajuste con un nivel γ de significancía serechaza cuando el valor calculado del estadístico es mayor a Ftabla.

Cuando F calculada no es mayor al cuadrado medio residual es utili-zado para estimar σ² y también se usa para probar la significancíadel modelo ajustado.

Palacios C. Severo

330

Cuando la hipótesis de suficiencia de ajuste se rechaza, se debe de ele-var el grado del modelo aumentando términos de productos cruzadosy/o términos de mayor grado en X1, X2, … , Xk. Si se quieren puntosadicionales para estimar todos los coeficientes éstos se añaden. Secolocan los datos y se vuelve a hacer el análisis.

Si no se rechaza la hipótesis podemos inferir que la superficie es lineal.Una vez que se tiene la ecuación y se ha comprobado el ajuste se bus-can niveles que mejoren los valores de respuesta.

VI. MÁXIMA PENDIENTE ASCENDENTE

Frecuentemente la estimación inicial de las condiciones de operaciónóptima está alejada del óptimo real, en este caso se desea moverserápidamente a la vecindad del óptimo. El método de máxima pendien-te ascendente es un procedimiento para recorrer secuencialmente latrayectoria de la máxima pendiente, que nos lleva en dirección delmáximo aumento de la respuesta. Cuando se desea la minimización sehabla de la mínima pendiente de descenso.

La dirección de ascenso máximo es en la que Y aumenta más rápido,ésta es paralela a la normal de la superficie respuesta ajustada. Losincrementos a lo largo de la trayectoria son proporcionales a los coefi-cientes de regresión A1, A2, A3.

Los experimentos se llevan a cabo hasta que deje de observarse unincremento en la respuesta, entonces se ajusta un nuevo modelo deprimer orden con el que se determina una nueva trayectoria y se con-tinúa con el procedimiento. Finalmente, se consigue llegar a la cerca-nía del óptimo, esto ocurre cuando existe falta de ajuste del modelo deprimer orden.

Determinar trayectoria de máxima pendiente ascendente

Supongamos que el punto X1=X2=…= Xk=0

1. Se elige un tamaño de incremento en una de las variables delproceso, digamos ∆X j, usualmente se elige la variable de la quemás se sabe, o la que tiene el mayor coeficiente de regresión.

2. El tamaño de incremento en las otras variables es

j

j

ii

X

AA

X

3. Se convierte ∆X i de variable codificada a variable natural


331

Ejemplo 7.91Un investigador desea determinar las condiciones de operación quemaximicen el rendimiento de una reacción. Dos variables controlablesinfluyen en éste: tiempo y temperatura de reacción. Actualmente elproceso opera con un tiempo de reacción de 35 minutos y una tempe-ratura de 155 °F, lo que produce un rendimiento del 40%. El investiga-dor decide que la región de exploración sea de 30 a 40 minutos y 150 a160 °F.

En la tabla se muestran los datos, se utiliza un diseño factorial 2² au-mentado en cinco puntos centrales. Las observaciones centrales sirvenpara estimar el error experimental y permiten probar la adecuacióndel modelo de primer orden.

Variables codificadas Variables naturalesX1 X2 t T Y-+-+00000

--++00000

304030403535353535

150150160160155155155155155

39,340,040,941,540,340,540,740,240,6

Por método de mínimos cuadrados se obtiene:

21 325,0755,044,40 XXY

En la tabla se muestra el análisis de varianza, donde se observa que Fde regresión es significativa al 99%

Tabla 7.104 Análisis de varianza para el modelo de primer ordenFuente SC Gl CM Fo Ft(95%)RegresiónResidual

Falta ajusteError puro

2,8250,1772

(0,0052)(0,1720)

2624

1,4125

0,00260,0430

32,84

0,06

>

<

18,00

18,00

Total 3,0022 8 R² = 94,0976%

El modelo indica que hay que trasladarse 0,775 unidades en direcciónde X1 por cada 0,325 unidades en dirección de X2. Sabemos que la tra-yectoria pasa por el punto (X1=0, X2=0) y tiene pendiente 0,325/0,775.En el ejemplo se decide usar 5 minutos como incremento en el tiempode reacción lo que equivale a la variable codificada ∆X1=1.

Palacios C. Severo

332

Los incrementos a lo largo de la trayectoria son:

42,0)755,0/325,0(1 21 XyX

El investigador calcula puntos a lo largo de esta trayectoria y observael rendimiento en cada punto hasta notar un decremento en la res-puesta. Los resultados aparecen la siguiente tabla. Los incrementos demuestran tanto para las variables codificadas como para las natura-les, esto es porque las codificadas son más fáciles de manejar matemá-ticamente y las naturales son las que utilizamos para llevar a cabo elproceso.

Tabla 7.105 Pendiente ascendenteVariable codificada Variable natural

incremento X1 X2 t T YOrigen

∆Origen + ∆

Origen + 2∆Origen + 3∆Origen + 4∆Origen + 5∆Origen + 6∆Origen + 7∆Origen + 8∆Origen + 9∆Origen +1o∆Origen + 11∆Origen + 12∆

01,001,002,003,004,005,006,007,008,009,0010,0011,0012,00

00,420,420,841,261,682,102,522,943,363,784,234,625,04

355

404550556065707580859095

1552

157159161163165167169171173175177179

41,0042,9047,1049,7053,8059,9065,0070,4077,6080,3076,2075,10

Se observa un incremento en la respuesta hasta el décimo incremento,a partir del decimoprimero se produce un decaimiento en el rendi-miento. Por lo tanto se debe ajustar otro modelo de primer orden en lacercanía del punto (t=85, T=175)

Se ajusta un nuevo modelo de primer orden alrededor del punto (t=85,T=175). La región de exploración para t es 80 a 90 y para T es 170 a180. Por lo tanto las variables codificadas son:

5/)175(

5/)85(

2

1

TX

tX

Nuevamente se utiliza un diseño 2² con cinco pruebas centrales, losdatos se adjuntan en la siguiente tabla.


333

Variables codificadas Variables naturalesX1 X2 t T Y-+-+00000

--++00000

809080908585858585

170170180180175175175175175

76,577,078,079,579,980,380,879,979,8

El modelo de primer orden ajustado es:

21 50,000,197,79 XXY

En la tabla se muestra el análisis de varianza.

Tabla 7.106 Análisis de varianza para el modelo de primer ordenFuente SC Gl CM Fo Ft(95%)RegresiónResidual

Falta ajusteError puro

5,0011,12

(10,908)(0,212)

2624

2,50

5,4540,053

47,16

102,91

>

>

18,00

18,00

Total 16,1200 8 R² = 31,01%

El resultado de la prueba de falta de ajuste implica que el modelo deprimer orden no es una aproximación adecuada, por lo que se tratade una superficie con curvatura y logramos llegar a la cercanía delóptimo.

VII. POLINOMIO DE SEGUNDO ORDEN

El modelo de segundo orden es:

jiijiiiiio XXAXAXAAY 2

En éste caso los Ai son los coeficientes de regresión para el término deprimer orden, los Aii son los coeficiente para los términos cuadráticos,los Aij son los coeficientes para los términos con interacciones y ε es eltérmino del error aleatorio.

Los términos cuadráticos y las interacciones son de segundo orden. Elnúmero de términos en la ecuación esta dado por p=(k+1)(k+2)/2

Los parámetros del modelo se estiman mediante el modelo de mínimoscuadrados. Una vez que se tienen los estimadores se sustituyen en la

Palacios C. Severo

334

ecuación y obtenemos el modelo ajustado con valore óptimos de res-puesta.

jiijiiiiio XXAXAXAAY 2

La significancía de los coeficientes estimados y el ajuste del modelo seprueban con la estadística F.

Una vez verificado que el modelo tiene suficiente ajuste y que los coefi-cientes son significativos, se procede a localizar las coordenadas delpunto estacionario y se lleva a cabo un análisis más detallado del sis-tema de respuestas.

Punto estacionario

Suponiendo que se desea maximizar la respuesta, el máximo, si es queexiste, será el conjunto X1, X2, …, Xk tal que las derivadas parciales

0...21

kX

Y

X

Y

X

Y

Dichos puntos X1,o, X2,0, …, Xk,0 se denominan puntos estacionarios. Elpunto estacionario puede ser:

a) Un punto de máxima respuestab) Un punto de mínima respuestac) Un punto silla

a) Pendiente descendente

5 6 7 8 9 10X1

30

35

40

45

50

55

60

X2

Y44.0-47.047.0-50.050.0-53.053.0-56.056.0-59.059.0-62.062.0-65.065.0-68.068.0-71.071.0-74.074.0-77.0

b) Pendiente ascendente

5 6 7 8 9 10X1

30

35

40

45

50

55

60

X2

Y130.0-154.0154.0-178.0178.0-202.0202.0-226.0226.0-250.0250.0-274.0274.0-298.0298.0-322.0322.0-346.0346.0-370.0370.0-394.0

d) Silla de montar

4 6 8 10 12 14X1

8

9

10

11

12

X2

Y86.0-87.087.0-88.088.0-89.089.0-90.090.0-91.091.0-92.092.0-93.093.0-94.094.0-95.095.0-96.096.0-97.0

Grafica de punto estacionario de superficie respuesta de segundo orden ajustadoa) Máxima b) Mínima c) Silla de montar


335

Podemos obtener el punto estacionario usando la notación matricialpara el modelo de segundo orden.

aBXaXAY o

kkkk

k

k

kK AkAA

M

AkAA

AkAA

Ay

A

M

A

A

a

X

M

X

X

X

2/2/

2/2/

2/2/

21

22221

11211

2

1

2

1

En otras palabras, a es el vector (kx1) de coeficientes de regresión deprimer orden, y A es una matriz simétrica (kxk) cuya diagonal princi-pal está formada por los coeficientes de los términos cuadráticos pu-ros (Aii), mientras que los elementos fuera de ésta corresponden a unmedio del valor de los coeficientes cuadráticos mixtos (Aij, i≠j).

La derivada de Y con respecto al vector X igualando a cero es:

02

AxaX

Y

El punto estacionario es la solución de la ecuación, es decir:

aAX o1

2

1

Sustituyendo ésta en la ecuación matricial para el modelo de segundoorden tenemos:

aXAY ooo 2

1

VIII. CARACTERIZACIÓN DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

Habiendo encontrado el punto estacionario es necesario caracterizarla superficie de respuesta es decir determinar si se trata de un puntode respuesta máximo, mínimo o silla. La forma directa de hacer estoes mediante la gráfica de contornos del modelo ajustados, sin embar-go es útil un análisis más formal.

Como una alternativa se puede expresar la forma de la superficie res-puesta usando un nuevo conjunto de variables Z1, Z2, …, Zk cuyos ejesrepresentan los ejes principales de la superficie de respuesta, los cua-

Palacios C. Severo

336

les se interceptan en el punto estacionario como se observa. Esto dapor resultado el modelo ajustado.

2222

211 ... kko ZZZYY

Donde:

Zi Son las variables independientes transformadas, yλi Son constantes

Dicha ecuación se llama forma canónica.

Las λi son los valores propios y se obtienen de la matriz A.

6070

8090

óptimo

Superficie de respuesta en forma canónica

La naturaleza de la superficie de respuesta puede determinarse a par-tir del punto estacionario y del signo y magnitud de las λi. Si todas lasλi son positivas, entonces es un punto de respuesta mínima, si todas lasλi son negativas, entonces es un punto de respuesta máxima y si las λ i

tienen signos distintos entonces es un punto de respuesta silla.

Ajuste de superficie de respuesta

El ajuste y análisis de una superficie de respuesta se facilita con laelección apropiada de un diseño experimental.

Un diseño es el conjunto específico de combinaciones de los niveles delas k variables que se utilizan al llevar a cabo el experimento.

Ajuste del modelo de primer orden

Una clase única de diseño que minimiza la varianza de los coeficientesde regresión son los diseños ortogonales de primer orden. Por ortogo-


337

nal se entiende que los elementos fuera de la diagonal de la matriz soniguales a cero, lo cual implica que los productos cruzados de la colum-na de la matriz x son igual a cero.

Ajuste del modelo de segundo orden

Un diseño experimental para ajustar un modelo de segundo ordendebe tener al menos tres niveles de cada factor (-1, 0 +1). Así como eldiseño de primer orden se desea la ortogonalidad, en éste se desea quesea un diseño rotable. Se dice que un diseño es rotable cuando la va-rianza de la respuesta en algún punto es función solo de la distanciadel punto al centro y no es una función de la dirección.

La rotabilidad es una propiedad importante, dado que la finalidad dela superficie de respuesta es optimizar y desconocemos la localizacióndel óptimo, tiene sentido utilizar un diseño que proporcione estimacio-nes precisas en todas las direcciones.

Ejemplo 7.92La conversión de un proceso factorial con superficies de respuestalineal se ilustran con dos factores, presión y temperatura.

El diseño de tratamientos fue un factorial 22 con rango de temperatu-ra de 130 y 160°C y presión de 325 y 475 psi como factores principales,además se realizaron cuatro pruebas centrales a temperatura de145°C y presión de 400 psi para proporcionar una estimación de lavarianza del error experimental y evaluar si el modelo de respuestalineal es adecuado. Las combinaciones de tratamientos y el porcentajede conversión se muestran en la tabla 7.107.

Tabla 7.107 Conversión de un proceso con temperatura y presión

X1 X2Temperatura

(°C)Presión

(Psi) % conversión

-+-+0000

--++0000

130160130160145145145145

325325475475400400400400

824163221232024

Niveles de factores codificados

Los niveles de factores codificados proporcionan un marco de trabajouniforme para investigar los efectos de los factores en cualquier con-

Palacios C. Severo

338

texto experimental, ya que los valores reales de los niveles dependende los factores específicos en el estudio. Los niveles codificados de losfactores de un diseño factorial 2n son:

b

aVX i

i

Donde:

Vi Viene a ser el valor real del factor principala Viene a ser el valor promedio del factor principalb Viene a ser el salto o rango entre el mínimo nivel y el promedio

Los niveles codificados de temperatura (T) y presión (P) en la tabla7.107.

15

1451

TX

75

4002

PX

Estimaciones de las respuestas lineales

Las estimaciones de los coeficientes para el modelo de primer ordenson:

2032162484

1oA

832162484

11 A

432162484

12 A

Las estimaciones de los coeficientes lineales, A1 y A2, es la media de lasestimaciones del efecto factorial para una factorial 2n.

La varianza del error de las cuatro observaciones centrales del diseñoy una estimación del error estándar para las estimaciones de los coefi-cientes es

11

222

NN

Y

N

YS ii


339

334,3

12

88

3

24202321 222222

S

2

2S

N

NS

91,0334,34

42

S

Es importante el hecho de que la varianza del error tenga una estima-ción adecuada, con réplicas centrales del factorial. Si la varianza de larespuesta depende en alguna forma del nivel de factor, entonces serecomienda la réplica del diseño con las combinaciones a niveles alto ybajo del factor para detectar cualquier variabilidad heterogénea entrelas combinaciones del mismo.

Las estimaciones de los coeficientes de regresión indican que el incre-mento de la temperatura o la presión, aumentará el porcentaje deconversión. La ecuación estimada del modelo de primer orden es:

21 4820 XXY

La interacción entre temperatura y presión TxP mide la falta de ajustecon el modelo lineal y se representa mediante el término A12X1X2 en elmodelo cuadrático. La estimación del coeficiente A12 es un medio de lainteracción TxP, es decir:

032162484

112 A

El error estándar de A12 es 0,91, el mismo que para los coeficienteslineales. La componente de interacción estimada de 0 indica que tem-peratura y presión son independientes sobre el porcentaje de conver-sión.

Puntos centrales del diseño para curvatura de la superficie

Las pruebas centrales del diseño no sólo proporcionan una estimacióndel error experimental, también proporcionan un mecanismo paramedir el grado de curvatura en la región experimental. Sea FY elpromedio de las combinaciones del tratamiento del factorial 22 y CY elpromedio de los puntos centrales; existe evidencia de curvatura en lasuperficie de respuesta si la respuesta promedio en las coordenadas

Palacios C. Severo

340

del centro del diseño, CY es mayor o menor que la respuesta promedioen los niveles extremos de los factores, FY . La diferencia del valorabsoluto CF YY es una estimación de β11+β22, donde β11 y β22 son los

coeficientes de regresión cuadrática.

Las medias observadas son 20FY y 22cY , con una diferencia de

2 CF YY . El error estándar de la diferencia se estima como

29,1)4/14/1(334,3 ; la respuesta lineal parece describir de maneraadecuada la superficie de la zona.

En la gráfica de las curvas de nivel para la ecuación de respuesta li-neal estimada. Los valores de los contornos ascienden conforme au-mentan los niveles de temperatura y presión, las curvas de nivel cre-cientes indican que puede existir una combinación de temperatura ypresión para maximizar la conversión en una dirección perpendiculara las curvas.

Pendiente ascendente hacia una respuesta óptima

Por último, el investigador querrá determinar la zona de respuestaóptima; para hacerlo, se requiere localizar la región de niveles de losfactores que producen las condiciones óptimas. El método de pendien-te ascendente es un procedimiento desarrollado para llevar la regiónexperimental de la respuesta variable en una dirección de cambio má-ximo hacia el óptimo.

Con base en la ecuación lineal estimada21 4820 XXY , la trayec-

toria de mayor pendiente, perpendicular a las curvas de igual res-puesta, traslada 4 unidades en la dirección de X2 por cada 8 unidadesen la dirección de X1. De manera equivalente, la trayectoria tiene unmovimiento de 4/8 = 0,5 unidades en X2 por cada unidad de movi-miento en X1.

La trayectoria de mayor pendiente inicia en el centro del diseño con(X1, X2) = (0, 0). En la grafica de curvas de nivel, el centro del diseñopara los valores de temperatura y presión es (T, P) = (145, 400). Uncambio de ΔX1 = 1 unidad en la dirección X1 es un cambio de 15°C en latemperatura y ΔX2= 0,5 unidades en la dirección X2 es un cambio de37,5 psi en la presión.

El objetivo es moverse a lo largo de la trayectoria de mayor pendientehasta que se observe una respuesta máxima. El investigador realizará


341

experimentos con las combinaciones de temperatura y presión a lolargo de la trayectoria de mayor pendiente.

Gráfica de curvas de nivel para la respuesta lineal del % de conversión para temperatu-ra (T) y presión (P)

En la tabla 7.108 se muestran, los niveles de temperatura y presión, apartir de (T, P) = (145, 400), puntos centrales del diseño, con cambiosde 1 unidad en X1, y de media en X2, en el supuesto de que el investiga-dor desea realizar los cambios relacionados con la modificación deuna unidad en X1.

Tabla 7.108 Pendiente ascendente de región de respuesta máxima en % de conversiónPaso X1 X2 T P

01234

.

.

.

01234

.

.

.

00,51,01,52,0

.

.

.

145160175190205

.

.

.

400,0437,5475,0512,5550,0

.

.

.

Conforme el investigador avanza por la trayectoria de la pendienteascendente, el aumento en la respuesta es menor hasta que observauna disminución real en ella, lo que indicará que la región de respues-ta máxima está en la proximidad de esas condiciones de temperaturay presión. En este punto del proceso, se puede diseñar un experimentopara estimar una ecuación polinomial cuadrática que aproxime lasuperficie de respuesta.

Palacios C. Severo

342

IX. DISEÑOS DE SUPERFICIE RESPUESTA CUADRÁTICO

Una vez que se identifica la región de respuesta óptima, debe diseñar-se un nuevo experimento para caracterizar la superficie de respuesta.En general, la superficie se aproxima por medio de una ecuación cua-drática para determinar la curvatura de la superficie.

Los factoriales 2n o sus fracciones son diseños útiles para identificarlos efectos significativos y las regiones de respuesta óptima. Sin em-bargo, en la región de respuesta óptima, estos diseños no proporcio-nan información suficiente para estimar las ecuaciones de respuestacuadrática, pues se requieren al menos tres niveles para cada factor yel diseño debe tener 2/121 nnn puntos distintos para estimar losparámetros con un modelo de regresión cuadrática para aproximar lacurvatura.

Las propiedades de los diseños experimentales convenientes para laestimación de superficies de respuesta incluyen la capacidad paraestimar el error experimental y tener en cuenta una prueba de la faltade ajuste del modelo. Los diseños también deben proporcionar estima-ciones eficientes de los coeficientes del modelo y predecir las respues-tas.

En esta sección se estudian varias clases de diseños desarrollados conlas propiedades convenientes para la aproximación de la superficie derespuesta de segundo orden.

Factoriales 3n para estimar superficies cuadráticas

Los factoriales 3n se pueden usar para estimar las ecuaciones polino-miales cuadráticas, pero el número de combinaciones de tratamientosque requieren produce un experimento poco práctico de gran tamaño;pues mientras los diseños 3n con dos factores requieren sólo 9 combi-naciones de tratamientos, un diseño con tres factores requiere 27, yuno con cuatro factores requiere 81.

Diseños centrales compuestos a los factoriales 3n

Box y Wilson (1951) propusieron diseños centrales compuestos, querequieren menos combinaciones de tratamientos que los factoriales 3n,para estimar las ecuaciones de la superficie de respuesta cuadrática.Los diseños centrales compuestos son diseños de tratamientos facto-riales 2n con 2n combinaciones adicionales, llamadas puntos estrella,


343

a lo largo de los ejes coordinados de los niveles de factor codificados.Las coordenadas de los puntos estrella de los ejes del factor codificadoson (±α, 0, 0, …, 0), (0, ±α, 0, …, 0), . . ., (0, 0, 0, …, ±α). En general, seagregan m réplicas al centro del diseño en las coordenadas (0, 0, …,0).

Los diseños centrales compuestos se usan para aprovechar la experi-mentación secuencial, el primer paso de la secuencia consiste de unaserie de pruebas realizadas a lo largo de la trayectoria de mayor pen-diente, como la mostrada en la tabla 7.108 En algún momento, laspruebas conducen hacia un conjunto de niveles de factores que pro-porciona un máximo aparente en la trayectoria. Por ejemplo, supo-niendo que las respuestas en la trayectoria de mayor pendiente son lasque se muestran en la grafica de mayor pendiente, con una respuestamáxima de 36 observada en T = 190°C y P = 512,5 psi.

Trayectoria de mayor pendiente y un diseño central compuesto

Como segundo paso en la secuencia, el investigador realiza un nuevoexperimento factorial 22, con varias réplicas al centro del diseño (T, P)= (190; 512,5).

Si la diferencia CF YY calculada en el nuevo experimento indica un

alto grado de curvatura en la superficie, el tercer paso en el experi-mento secuencial consiste en pruebas adicionales del experimento enlo puntos estrella (±α, 0) y (0, ±α), mostradas con cuadros en la grafi-ca de mayor pendiente. Este último conjunto de combinaciones de

Palacios C. Severo

344

tratamientos en los ejes, junto con el factorial 22 y los puntos centrales,constituye el diseño central compuesto como resultado de la experi-mentación secuencial.

Una réplica de un diseño central compuesto consiste de nFN 2 com-

binaciones de tratamientos del factorial 2n, nN 2combinaciones de

tratamientos en los puntos estrella del diseño y m réplicas en el centropara obtener un total de mNNN F

observaciones.

Las coordenadas en los ejes codificados X1 y X2, para el diseño centralcompuesto con dos factores se muestra en la tabla 7.108, y la gráficadonde se describe la localización de las coordenadas para los nivelesde factores codificados del diseño central compuesto de dos y tres fac-tores. Debido a que cada factor tiene cinco niveles, se puede estimaruna ecuación cuadrática a partir de este diseño.

Codificado DiseñoX1 X2

-+-+

--++

Factorial

00

00

Estrella

0 0 Central

Además, como se vera en la siguiente sección, se puede evaluar cual-quier desviación significativa de la aproximación cuadrática.

Las mnN n 22 unidades experimentales necesarias para el diseñocentral compuesto con n factores son menos que las requeridas por losfactoriales 3n con tres factores o más. Así, los diseños centrales com-puestos son más económicos en cuanto al uso de materiales y propor-cionan la capacidad de estimar las ecuaciones de respuesta. Se puedenusar fracciones de los diseños 2n con interacciones de orden mayor conalias como base del diseño 2n cuando hay más factores en el estudio.

Diseños rotatorios exploratorio de superficie de respuesta

Una propiedad deseable al establecer cualquier diseño es la mismaprecisión para todas las estimaciones de las medias. Sin embargo, la


345

precisión de los valores estimados sobre la superficie de respuestabasada en la ecuación de regresión estimada no será constante entoda la región experimental. Una propiedad rotatoria desarrolladapara los diseños centrales compuestos requiere que la varianza de losvalores estimados sea constante en puntos equidistantes del centro deldiseño con coordenadas codificadas (0,0, ..., 0).

Diseños centrales compuestos a) dos factores y b) tres factores

La rotación de un diseño es importante en la exploración de una su-perficie respuesta porque la precisión de la superficie estimada nodepende de la orientación del diseño con respecto a la superficie res-puesta real o a la dirección de la búsqueda de las condiciones óptimas.Los factoriales 2n usados como diseño exploratorios para aplicar elmétodo de búsqueda de la mayor pendiente en zonas de respuestasóptimas son diseños rotatorios. Así, la orientación del diseño no difi-culta el método de búsqueda de la pendiente ascendente porque algu-nas respuestas se estiman con menor precisión que otras.

El diseño central compuesto es rotatorio estableciendo los valores delos puntos estrella como 4/1

2n , El valor de α para un diseño de dosfactores es 414,124 4/1 , y para un diseño de tres factores

682,18 4/1 . Si hay rF réplicas del factorial 2n y rα, réplicas de lascombinaciones estrella, una forma más general para α es 4/1

/2 rr nF , si se usa un factorial fraccionario 2n-p como base para

el diseño central compuesto, entonces 4/1/2 rr pn

F .

Palacios C. Severo

346

Ejemplo 7.93Establecida la trayectoria de mayor pendiente para el estudio de % deconversión en la tabla 7.109 se proporcionó una respuesta máxima enT = 190°C y P = 512,5 psi y debe construirse un diseño central com-puesto con centro en (T, P) = (190; 512,5); y que la relación entre lascoordenadas del diseño (X1, X2) y los niveles de temperatura y presión(T, P) se conservan como antes, donde un cambio de una unidad en X1,es 15°C y un cambio de una unidad en X2 es 75 psi. Con 2 , lascoordenadas del diseño y la temperatura y presión requeridas serán:

Codificado Original DiseñoX1 X2 T P-+-+

--++

175205175205

437,5437,5587,5587,5

Factorial

2

2

00

00

2

2

168211190190

512,5512,5406,4618,6

Estrella

0 0 190 512,5 Central

Punto estacionario en el centro del diseño

Como se estableció antes, la varianza de la superficie estimada no esconstante para toda la superficie. Box y Hunter (1957) mostraron queel número de puntos centrales en los diseños centrales compuestosrotatorios puede elegirse de manera que proporcione un diseño conprecisión uniforme para la superficie estimada de una unidad alrede-dor de las coordenadas del centro del diseño en la escala codificada.

Tabla 7.109 Diseños centrales compuestos rotatorios con precisión uniformeFactores 2 3 4 5 5 6 6Factor 2n 1 1 1 1 ½ 1 ½

FN

N

m

1,41445

1,682866

2,001687

2,378321010

2,0016106

2,828641215

2,37832129

N 13 20 31 52 32 91 53

Su razonamiento fue que el investigador está más interesado en lasuperficie de respuesta cerca del centro del diseño cuando un puntoestacionario de la superficie se localiza cerca del centro; el punto esta-cionario es un punto de respuesta máxima, mínima o con forma desilla. En la tabla 7.109 se muestran algunos diseños centrales rotato-rios compuestos con precisión uniforme.


347

Los diseños centrales compuestos requieren cinco niveles de cada fac-tor, codificados como - a, - 1, 0, 1, +a. En algunos casos, preparar cin-co niveles para algunos factores puede ser difícil, costoso y muchotiempo. El diseño de cubo con cara centrada es una variación del dise-ño central compuesto con a = 1 que requiere sólo tres niveles de cadafactor. Si se sustituye a = 1 en la tabla 7.109, el diseño de dos factoresse convierte en un factorial 32, diseño más atractivo cuando la regiónde interés tiene forma de cubo producida por este diseño en lugar de laregión esférica producida por el diseño central compuesto.

El diseño no es rotatorio, pero la ausencia de esta propiedad se com-pensa por el deseo de poder hacer inferencias cuboidales y por el aho-rro en recursos experimentales.

El cubo con cara centrada requiere menos corridas en el punto centralque el diseño central compuesto para lograr una varianza estable delos valores estimados en la región del diseño, pero debe recordarse quese necesitan corridas réplica en algún punto o puntos del diseño paraestimar la varianza del error experimental.

Un diseño de cubo con cara centrada para tres factores o más requieremenos combinaciones de tratamientos que los factoriales 3n; entonces,ésta es otra alternativa para los diseños 3n que requiere menos unida-des experimentales.

Diseños Box-Behnken, alternativa para los factoriales 3n

Box y Behnken (1960) propusieron una clase de diseños de tres nivelespara estimar las superficies de respuesta de segundo orden. Los dise-ños son rotatorios, o casi rotatorios, con menor número de unidadesexperimentales en comparación con los diseños 3n. Se forman con lacombinación de diseños 2n y diseños de bloques incompletos; los deta-lles de la construcción se encuentran en Box y Draper (1987) y los ni-veles de factores codificados para las combinaciones de tratamientosnecesarios en un diseño para tres factores, donde se presenta un con-junto completo de las combinaciones de tratamientos para un factorial2n para cada par de factores acompañados por el nivel 0 de los facto-res restantes. Se incluyen varias réplicas del centro del diseño (0, 0, ...,0).

Estos diseños son esféricos más que cuboidales puesto que los puntosdel diseño se encuentran en las orillas de un cubo en lugar de las es-quinas como los del diseño de cubo con cara centrada. El diseño de

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348

Box-Behnken sólo debe usarse si no se tiene interés en predecir lasrespuestas en las esquinas de la región cuboidal.

Factor A B CNivel codificado X1 X2 X3

Factorial 22

para A y B

-+-+

--++

0000

Factorial 22

para A y C

-+-+

0000

--++

Factorial 22

para B y C

0000

-+-+

--++

Central000

000

000

Diseños de bloques incompletos

Los diseños de bloques incompletos son útiles para reducir la varianzadel error experimental cuando el número de tratamientos es grande ocuando las condiciones experimentales impiden la ejecución de répli-cas completas bajo circunstancias constantes.

Box y Hunter (1957) presentaron las condiciones de bloques de losdiseños de superficie de respuesta de segundo orden, de manera quelos efectos de los bloques no afectan las estimaciones de los paráme-tros para la ecuación de la superficie de respuesta. Mostraron quedeben satisfacerse dos condiciones para que los bloques sean ortogo-nales a las estimaciones de los parámetros de la ecuación de la super-ficie de respuesta. Sea nb, el número de tratamientos en el b-ésimobloque; las dos condiciones necesarias son:

1. Cada bloque debe ser un diseño ortogonal de primer orden. Paracada bloque debe cumplirse la siguiente relación para cada parde variables de diseño x, y x,:

b

kk

n

kji njiXX

1

,...,1,1,00

2. La fracción de la suma de cuadrados total para cada variable dediseño que aporta cada bloque debe ser igual a la fracción de lasobservaciones totales colocadas en el bloque. Entonces, debe


349

cumplirse la siguiente relación entre las variables de diseño y elnúmero de observaciones para cada bloque:

niN

n

XX

Xb

N

ki

n

ki

k

b

k

,...,2,1

1

2

1

2

Una estrategia sugerida para los bloques de diseños centrales com-puestos coloca los tratamientos NF para el diseño 2n y mF puntos cen-trales en un bloque, y los N, tratamientos axiales con m, puntos cen-trales en un segundo bloque. Este arreglo de bloques satisface la pri-mera condición.

El diseño rotatorio central compuesto para dos factores dispuestos endos bloques se muestra en el siguiente cuadro. El primer bloque secompone de NF = 4 combinaciones de tratamientos del factorial de 2n

más mF = 2 puntos centrales, y el segundo bloque consiste en Nα = 4combinaciones de tratamientos estrella más mα = 2 puntos centrales.Los cálculos necesarios para evaluar la primera condición de un dise-ño de bloques ortogonal son las sumas de los productos cruzados entreX1, y X2 en cada bloque. Es sencillo verificar que ΣX1X2 = 0 en ambosbloques.

Factor A BNivel codificado X1 X2

Bloque I

-+-+

--++

Bloque II

+1,414-1,414

00

00

+1,414-1,414

Central000

000

Para el diseño completo:

12

1

12

1

22

2 8k k

i kkXX

y tanto para el bloque 1 como el bloque 2:

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350

6

1

6

1

22

2 4k k

i kkXX

El número de observaciones del tratamiento en los bloques 1 y 2 es n1 =n2 = 6 y el número total de observaciones es N = 12, con una razónn1/N = 6/12 = 1/2. La segunda condición, requiere de la razón de lassumas de cuadrados de X1 y X2 en cada bloque para que todo el expe-rimento sea igual a ni/N. Para ambos bloques la razón de la suma decuadrados es 4/8 = 1/2, que es equivalente a la razón para ni/N, portanto, el diseño es ortogonal.

Para que se satisfaga la segunda condición, debe cumplirse la siguien-te relación:

Fp

pn

1

12

Donde:

pα = ma/Nα y pF = mF/NF.

Para que el diseño satisfaga las dos condiciones y sea rotatorio 4/1

/2 rrFn . No siempre es posible encontrar un diseño que cumpla

con exactitud con )1(

²

1²

2

NN

Y

N

YS ii , pero en la práctica, los valores del

número de observaciones del diseño se pueden determinar de formaque se obtengan diseños con bloqueos casi ortogonales y rotatorios.Box y Draper (1987) ofrecen las proporciones relativas de rF y rα ne-cesarias para los diseños rotatorios y bloques ortogonales cuandopα=pF.

Para el diseño rotatorio central compuesto, la fracción de observacio-nes centrales en cada bloque es pα=pF=1/2 y 2 .

Al evaluar la condición de rotabilidad y ortogonalidad se tiene:

22/11

2/112

1

12

Fp

pn

Y 2 como lo requiere la rotabilidad.


351

Los diseños centrales compuestos rotatorios enumerados en la tabla7.110 se pueden colocar en diseños de bloques incompletos útiles paraobtener diseños centrales compuestos casi ortogonales y rotatorios. Elfactorial 2n o el factorial fraccionario 2n-p se coloca en uno o más blo-ques incompletos y las combinaciones de tratamiento axiales se colo-can en un bloque separado. En la tabla 7.108 se muestran el númerode bloques y el número de puntos centrales sugeridos en cada bloquepara el factorial 2n o el factorial fraccionario.

Tabla 7.110 Diseño de bloques incompletos para diseños centrales compuestosNúmero factores 2 3 4 5 5 6 6Fraccionado 2n 1 1 1 1 ½ 1 ½NF

mF

42

82

162

324

162

642

322

Número bloques 1 2 2 4 1 8 2aNα

mα

1,41442

1,68262

2,0081

2,378101

2,00104

2,828121

2,378124

Reducción del número de puntos de diseño

El costo, la dificultad y el tiempo con cierto tipo de experimentos pue-den obligar a reducir el tamaño del experimento, pero tal reducciónestá limitada por el modelo estadístico que estima la superficie de res-puesta. La ecuación de la superficie de respuesta de segundo ordenpara n factores tiene un término constante, n términos lineales, n tér-minos cuadráticos y n(n-1)/2 términos de interacción, con un total de(n+1)(n+2)/2 términos. Así, el número mínimo de puntos de un diseñopara estimar la superficie de respuesta de segundo orden es(n+1)(n+2)/2.

La mayoría de los diseños se basan en factoriales fraccionarios 2n-p

incrementados con puntos de diseño para estimar los modelos de su-perficie de respuesta de segundo orden. En muchos casos los diseños sesaturan con puntos de diseño con pocas o ninguna réplica y se requie-re una estimación independiente del error experimental para probarla eficacia del modelo de la superficie de respuesta, a menos que eldiseño tenga réplicas. Además, los diseños saturados no permitenprobar la falta de ajuste del modelo hipotético de la superficie de res-puesta de segundo orden.

Evaluación de los diseños de superficie de respuesta

Myers et al. (1992) usaron la predicción de la varianza de la ecuaciónde la superficie de respuesta de segundo orden para evaluar muchos

Palacios C. Severo

352

de los diseños conocidos de esta superficie, considerando que un diseñoera superior si la varianza de los valores pronosticados era menor quela de los otros diseños.

Los diseños centrales compuestos fueron superiores en general parasuperficies esféricas cubiertas por puntos de diseño. Cuando los dise-ños se restringieron a las regiones cuboidales (a=1), el diseño de cubocon cara centrada formado por el diseño central compuesto, en gene-ral, era superior que el diseño de Box-Behnken en la región cuboidal.

X. SUPERFICIE DE RESPUESTA CUADRÁTICA

Cuando se ha identificado la región de respuesta óptima mediante elmétodo de la pendiente ascendente o algún otro método de experimen-tación, suele ser necesario determinar la superficie de respuesta en esaregión de los factores. Con los diseños descritos en la sección anterior,se pueden realizar experimentos y obtener datos para estimar unaaproximación cuadrática de la superficie de respuesta.

La ecuación de respuesta estimada permitirá al investigador localizarun punto de respuesta estacionario que quizá sea un máximo, un mí-nimo o un punto de deflexión en la superficie. Un examen de las curvasde nivel indicará qué tan sensible es la variable de respuesta a cadafactor y el grado en que los factores afectan a las variables de respues-ta.

Ejemplo 7.94Una compañía usaría una nueva herramienta de corte que ofrece unproveedor, éste asegura que la nueva herramienta reducirá los costosde producción porque durará más que el modelo anterior y el costo dereemplazo de la herramienta se reducirá. La vida de una herramientade corte de metales depende de varias condiciones de operación comola velocidad del torno y la profundidad de corte.

Tabla 7.111 Duración de una herramienta, en función de la velocidad del torno y laprofundidad de corte como factores de tratamiento, en un diseño central compuesto

Codificados Originales Vida de he-rramientaX1 X2 Velocidad Profundidad

++--

2

2

0

+-+-00

2

600600200200683117400

0,1000,0500,1000,0500,0750,0750,110

15413216683156144166


353

0000000

2

000000

400400400400400400400

0,0400,0750,0750,0750,0750,0750,075

91167175170176156170

El ingeniero de planta había determinado mediante estudios anterio-res que la vida máxima de la herramienta se lograba, para la herra-mienta actual, con una velocidad de 400 y una profundidad de cortede 0,075. El ingeniero, que deseaba determinar la situación óptimapara la nueva herramienta, usó un diseño central compuesto en unexperimento para determinar la vida de la nueva herramienta al va-riar las velocidades del tomo y las profundidades de corte dentro de laregión de condiciones de operación óptimas urgentes para la vidamáxima de la herramienta. Los datos del experimento se muestran enla tabla 7.111.

Ecuación de superficie de respuesta estimada

El modelo de la superficie de respuesta de segundo orden se ajusta alos datos mediante los procedimientos de regresión de mínimos cua-drados.

La ecuación se puede estimar con un programa de computadora paraanálisis de regresión. La ecuación de la superficie de respuesta de se-gundo orden estimado para los datos de la vida de la herramienta dela tabla 7.111 es:

2122

2121 25,15625,21875,10385,26747,6169 XXXXXXY

Sumas de cuadrados para el análisis de regresión

La suma de cuadrados en el análisis de varianza para el modelo deregresión se muestra en la tabla 7.112. Las sumas de cuadrados parael modelo de segundo orden completo son:

946,1021

22

2121

,,,,

XXXXXXRSC

Se hace una partición de la suma de cuadrados de regresión en reduc-ciones para el modelo lineal y las componentes cuadráticas del mode-

Palacios C. Severo

354

lo, con el principio de particiones de sumas de cuadrados del modeloreducido y el modelo completo.

La partición para las componentes lineales del modelo, X1 y X2, o:

933,521

, XXRSC

Tabla 7.112 ANAVA para modelo se superficie respuesta cuadráticoFuente SC Gl CM Fo(99%)

RegresiónLinealCuadrático

ErrorFalta de ajusteError puro

1094659335013

371111260

523

835

2189,22966,51671,046,437,052,0

>>>

47,1863,9336,01

Total 11317 13 R² = 96,7217%

Es la suma de cuadrados de la regresión para el modelo reducido deprimer orden 2211 XAXAAY o

. La partición para las componen-tes cuadráticas es la diferencia entre la suma de cuadrados de regre-sión para el modelo completo y el modelo reducido, es decir:

5013593310946)( 2121

22

21

XXXXXXR

SC

Se hace una partición de la suma de cuadrados para el error, SCE =371 en dos partes. La suma de cuadrados para el error puro, SCE(error

puro) = 260, con 5 grados de libertad se calcula a partir de las seis répli-cas observadas en el centro del diseño con coordenadas de factor (V,D)=( 400; 0,075). Las suma de cuadrados para el error con los 3 gra-dos de libertad restantes, SCE(falta de ajuste) = 111, se pueden atribuir alerror en la especificación del modelo de superficie de respuesta. Comolos seis puntos centrales del diseño proporcionan una estimación delerror experimental puro, la suma de cuadrados designada como faltade ajuste se puede usar para probar la significancía de la falta deajuste en el modelo cuadrático.

Pruebas de hipótesis para el modelo de segundo orden

Las hipótesis de interés en el análisis son:

Significancía del modelo completo de segundo orden:

0: 12221121 AAAAAHo


355

1,4252

2,2189oF

Ho se rechaza, ya que Fo > F(95%) = 5,05

Significancía de las componentes lineales para el modelo:

0: 21 AAHo

04,5752

56,2966oF


Significancía de las desviaciones cuadráticas del modelo lineal:

0: 122211 AAAHo

1,3252

1671oF


Significancía de la falta de ajuste al modelo cuadrático:

71,052

37oF


El modelo de regresión cuadrática completo es significativo y la faltade ajuste al modelo cuadrático no lo es; entonces se puede concluir queel modelo de segundo orden es una aproximación adecuada a la super-ficie de respuesta real. Una gráfica de curvas de nivel del modelo desuperficie de respuesta cuadrático descrito en la grafica de curvas denivel muestra una superficie máxima con la máxima duración de laherramienta en el centro de las curvas.

Las coordenadas de la gráfica de las curvas de nivel se desplieganpara los valores codificados de los dos factores. La orientación de loscontornos indica cierta interacción entre la velocidad del torno X1 y laprofundidad de corte X2; por ejemplo, la vida de una herramienta de

Palacios C. Severo

356

corte de 150 se puede mantener para velocidades mayores, si se in-crementa X1 y se disminuye la profundidad de corte, X2.

Gráfica de curvas de nivel de la superficie de respuesta para la ecuación de respuesta enel experimento de la vida de la herramienta.

Las curvas también indican la sensibilidad relativa de la vida de laherramienta a los niveles de los factores codificados X1 y X2. Las cur-vas de la vida de la herramienta aumentan con mayor rapidez cercadel máximo sobre el eje de profundidades codificadas X2 que sobre eleje de las velocidades codificadas X1.

XI. EXPLORACIÓN DE SUPERFICIES DE RESPUESTA

La ecuación cuadrática significativa y la gráfica de curvas de nivel dela ecuación proporcionan un panorama general de la relación entre lavida de la herramienta y los dos factores del diseño, velocidad deltorno y profundidad de corte.

Las estimaciones de las coordenadas del punto estacionario en la su-perficie y una estimación de la respuesta en ese punto proporcionanuna definición más específica de la superficie de respuesta. En ocasio-nes, es útil conocer la dirección y cantidad de cambio hecho en uno ovarios niveles de los factores para lograr el cambio máximo en la res-puesta.

Es posible determinar de manera más específica la sensibilidad de larespuesta a los factores del diseño con la forma canónica de la ecua-ción de respuesta. Localizar las coordenadas del punto estacionario yderivar la forma canónica de la ecuación de respuesta requieren ciertoconocimiento de cálculo y álgebra matricial.


357

Sin embargo, los resultados de los cálculos se entienden cuando sepresentan con la forma gráfica de curvas de nivel.

Punto estacionario de la superficie de respuesta

Las coordenadas X1 y X2 del punto estacionario se obtienen de las de-rivadas parciales de la función de respuesta estimada respecto a X1 yX2. La respuesta estimada para la duración de la herramienta es:

2122

2121 250,15625,21875,10385,26747,6169 XXXXXXY

Las derivadas parciales se igualan a 0:

01

X

Y

02

X

Y

para producir las ecuaciones:

385,26625,212250,15

747,6250,10875,102

21

21

XX

XX

Las soluciones de las ecuaciones para X1 y X2 son X1S=-0,156 y X2S=-0,665. Estos valores son las coordenadas de la respuesta máxima so-bre la superficie en el punto estacionario indicado en la Gráfica decurvas de nivel.

La respuesta estimada en el punto estacionario se encuentra al susti-tuir X1S=-0,156 y X2S=0,665 en el modelo; la respuesta estimada en elpunto estacionario es.

25,177665,0156,0250,15

665,0625,21156,0875,10665,0385,26156,0747,6169 22

SY

Dado:

200/4001 VX

025,0/075,02 DX

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358

Los valores de la velocidad del torno (V) y la profundidad de corte (D)en el punto estacionario son:

8,368400200156,0 V

092,0075,0025,0665,0 D

Análisis canónico para simplificar la ecuación cuadrática

La forma canónica de una ecuación cuadrática es eficaz para visuali-zar la superficie y determinar la sensibilidad relativa de las variablesde respuesta a cada factor.

Es difícil visualizar la superficie mediante el examen de los coeficientesestimados para la forma normal de la ecuación de respuesta cuadráti-ca. De la misma manera, es difícil determinar los cambios necesariosen los niveles de los factores para producir un cambio específico en larespuesta.

El análisis canónico gira los ejes de las variables Xi a un nuevo sistemade coordenadas y el centro de este nuevo sistema se coloca en el puntode respuesta estacionario de la superficie. La forma canónica de laecuación con dos variables es:

222

211 ZZYY S

Donde:

Z1 y Z2 son las variables de los ejes rotados.

Observe que sólo se incluyen los términos cuadráticos de las variablescanónicas Z1 y Z2 en la forma canónica de la ecuación de respuesta.

La forma canónica para la ecuación de respuesta de la vida de la he-rramienta es:

22

21 92,658,2525,177 ZZY

Donde el centro del nuevo sistema de coordenadas se localiza en X1=-0,156 y X2=0,665 en el sistema de coordenadas original mostrado enla gráfica de curvas de nivel. Se determinó que la relación entre los dossistemas de coordenadas es:


359

5185,08877,04603,0 211 XXZ

4446,04603,08877,0 212 XXZ

Observe que los ejes canónicos Z1 y Z2 están orientados junto con lascurvas de nivel de la superficie. Los tamaños y signos de las λ, indicanel tipo de superficie de respuesta cuadrática que se estimó.

Los coeficientes λ, para la superficie de la vida de la herramienta sonλ1 =-25,58 y λ2 = -6,92, un examen de la superficie en la Gráfica decurvas de nivel revela que cualquier movimiento que se aleja del cen-tro del sistema de coordenadas Z1, Z2 tiene como resultado una dismi-nución en la respuesta. Así, cuando todos los coeficientes λ, son negati-vos la superficie es máxima, como en el caso de la superficie de la vidade la herramienta.

Si los coeficientes λ, son positivos, entonces el resultado de cualquiermovimiento que se aleja del centro del sistema de coordenadas Z1, Z2

es un incremento en la respuesta y la superficie es mínima como semuestra en la figura 7.2a. Si un coeficiente es positivo y los demásnegativos, digamos λ1 > 0 y λ2 < 0, entonces cualquier movimiento quese aleja de (0, 0) a lo largo del eje Z, aumenta la respuesta y si se alejapor el eje Z, la disminuye. Así, la superficie es minimax o con forma desilla en el punto estacionario. Si una de las λ1 = 0, la superficie es unacresta estacionara porque la respuesta no cambia en los ejes Z1.

Las longitudes de los ejes principales de las elipses formadas por lascurvas de nivel son proporcionales a 2/1

. Para la superficie de la vidade la herramienta 20,058,25

2/1

y 38,092,62/1

, y la superficie ajustadase atenúa a lo largo del eje Z, como se ve en la gráfica de curvas denivel.

Para explicarlo, supongamos que la velocidad del torno y la profundi-dad de corte para una vida máxima en las coordenadas 156,01 X y

665,021 X no eran prácticas. El menor cambio en la duración de laherramienta cuando cambian la velocidad del torno y la profundidadde corte se exhibe en la superficie en la dirección del eje Z2 cuando Z1 =0. Las coordenadas X1 y X2 en el eje Z2 cuando Z1 = 0 se pueden obte-ner de la primera ecuaciones canónica. La pérdida mínima en la vidade la herramienta se encuentra en los valores de X1 y X2 que satisfacen0,4603X1 + 0,887X2 - 0,5185 = 0.

Palacios C. Severo

360

Los coeficientes de X1 proporcionan información acerca de las relacio-nes de velocidad del torno y la profundidad de corte con la vida de laherramienta.

Considerando que los coeficientes para la ecuación que relacionan Z2

con X1 y X2, Z2 = 0,887X1 – 0,4603X2 + 0,4446. El par de coeficientes(0,8877; -0,4603) indican una compensación entre la velocidad deltorno y la profundidad de corte en la vida útil, porque en cierto grado,un incremento en la velocidad del torno se puede compensar con unadisminución en la profundidad de corte sobre el eje Z2.

La ecuación de respuesta estimada en forma original o en forma ca-nónica sólo es válida para la zona de los niveles de los factores inclui-da en el experimento.

Cualquier intento para estimar la vida de la herramienta fuera de loslímites acotados por las velocidades de 117 a 683 y las profundidadesde 0,04 a 0,1 1 será engañoso, por lo que es necesario un modelo derespuesta por completo diferente para determinar la duración de laherramienta fuera de la región de este estudio.

Ejemplo 7.95Se estudian dos factores a tres niveles, con la finalidad de maximizarla recuperación de iones metálicos contaminantes que se encuentranpresentes en un efluente natural a través de la resina AO, así mismo serequiere minimizar dicha contaminación natural.

El tercer nivel (central) sirve para evaluar la varianza del error de laspruebas desarrolladas experimentalmente. De esa manera tambiénevaluamos el error que cometemos cada uno de nosotros.

FactoresNiveles

- 0 +Resina Orgánica AOpH

0.42.5

0.63

0.83.5

En este caso se quiere optimizar el proceso por lo que deberá desarro-llarse los siguientes pasos:

Primero: visualizamos los factores y vemos el comportamiento indivi-dual de cada uno de ellos, en función del tiempo, con la finalidad depoder establecer la influencia que tienen las variables sobre el procesoy de esa manera desarrollar el análisis que nos reafirmara lo aconte-cido.


361

La Resina Orgánica AO en función del tiempo varía en forma polino-mial, por lo tanto es un factor cuadrático.

El pH de cualquier proceso en función del tiempo es siempre lineal.

Por lo tanto como una función cuadrática tiene mayor influencia sobreuna función lineal entonces el proceso es cuadrático.

Segundo: verificamos sí existe o no interacción en el proceso. Sí noexiste interacción entonces dicha prueba será acumulada en el análisisen el error.

Tercero: analizamos la varianza del error mediante las pruebas repe-tidas los cuales deberán ser mayores de 3 y menores de 6 experimen-tos para cualquier caso. La evaluación de la varianza del error sedesarrolla aplicando la siguiente relación:

1

²

1²

2

NN

Y

N

YS ii

Cuarto: visualizamos los valores del vector respuesta, tan solo losvalores del factorial, los puntos (1,3) y (2,4), intercalado, si los valores

Palacios C. Severo

362

son ascendentes el proceso es lineal, pero si los valores son descenden-tes el proceso el cuadrático. Lo cual confirmará o rechazará nuestrahipótesis planteada en primer término.

Prueba AO pH Y1234

5A5B5C

0.40.80.40.80.60.60.6

2.52.53.53.5333

75.9394.5830.3362.3470.8271.2869.71

Nota: al analizar el vector respuesta, solo los valores del factorial,tendremos en cuenta las siguientes características con el fin de poderestablecer la linealidad o cuadratura del proceso en estudio.

1...

100

100...1

ComportamientoAscendente

Lineal

Descendente

Cuadrático

Como notamos los valores del vector respuesta nos da una idea que elproceso es cuadrático, debiendo de confirmar dicho análisis numéri-camente, ver Análisis de Linealidad de los Factores.

Calculo de varianza

Para el cálculo de varianza deberá procesar los valores repetidos delvector respuesta:

64745,0

6

²81,211

2

²71,69²28,71²82,70²

S

2949,1264745,01²

21

NSSC

NGL

error

error

Interpretación: notamos que el valor de la varianza del error es pe-queño 0,64745, (tal como se visualiza en la campana de Gauss el errordebe fluctuar entre 0 a 1 para desarrollar un trabajo óptimo) por lo


363

tanto las pruebas del error demuestran que el proceso esta siendodesarrollado de una manera adecuada.

La campana Gauss, nos indica que el valor de la varianza del error seencuentra dentro del área de aceptación, si se ubica fuera de esta en-tonces el error que se comete no es aceptable para poder compararvalores con los factores.

Al realizar pruebas experimentales factoriales y centrales (error), seestablece la existencia de curvatura o linealidad, debiendo desarrollarla siguiente ecuación en valor absoluto a fin de comprobar lo estable-cido.

CF YY

Existen dos casos:

> 1, cuando es mayor de uno es cuadrático< 1, cuando es menor de uno es lineal

FY Representa el promedio de los valores del vector respuesta delfactorial.

CY Representa el promedio de los valores del vector respuesta de laspruebas centrales.

Como primera fase a fin de determinar cual de las variables son mássignificativas a cierto nivel, desarrollamos primeramente un diseñofactorial simple.

Con el fin de evaluar la variabilidad de los datos se corren pruebascentrales con la finalidad de evaluar el error cometido y establecer siexiste curvatura o linealidad, y posteriormente debe desarrollarse una

Palacios C. Severo

364

nueva técnica denominado Diseño Central Compuesto a fin de desa-rrollar el análisis estadístico.

Calculo de efectos e interacciones:

Efectos InteraccionesA = +25,33B = -38,92

AB = +6,68

Error estándar con 3 GL

Interpretación de los efectos

Como se quiere maximizar la extracción de los iones metálicos a travésde la resina AO, desarrollamos el siguiente análisis: visualizamos lossignos de los efectos de AO y pH.

El factor AO es positivo, por lo tanto está en su nivel mínimo, por locual deberá ser maximizado, es decir que este factor es una variable, ydeberán ser optimizado y establecido su rango de trabajo óptimo.



El factor pH es negativo, por lo tanto está en su máximo, ósea esta ensu punto óptimo, dicho factor viene a ser una constante con el valormáximo de su nivel, si incrementamos dicho factor en el proceso elvector respuesta decae.

Entonces debemos evaluar con mayor amplitud el factor AO paraestablecer el rango óptimo donde debe trabajar con mayor eficiencia.

Interpretación de la interacción

Notamos que el signo de la interacción AB es positivo, esto nos indicaque no existe interacción en el rango estudiado, por estar minimizan-do la contaminación en el efluente natural.


365

Análisis de linealidad de los factores

Seguidamente evaluamos la curvatura del proceso lo cual quedo esta-blecido a simple vista, cuando analizamos de una manera objetiva losvalores del vector respuesta, por lo que debemos reafirmarlo desarro-llando los cálculos necesarios, aplicando la siguiente relación, sí:

CF YY Es pequeño no existe curvatura

CF YY Es grande existe curvatura

795,65FY 6033,70CY

La diferencia es 4,8083 siendo este valor grande, por lo tanto existecurvatura

Análisis: los puntos factoriales de las pruebas los visualizamos defrente (1-2, 3-4), el punto central, de las pruebas repetidas, lo vemos decanto (5) con la finalidad de observar que no siempre se encuentra enel plano sino que este varía de acuerdo al trabajo desarrollado (obser-vamos que la curva de Gauss varia de 0 a 1), por lo que el valor de ladiferencia entre los promedios de los puntos factoriales y centralesdeben estar dentro de dicho rango. Visualizando nuestro experimentoverificamos que no se encuentra dentro del rango 0-1 por lo tanto esun proceso cuadrático.Por consiguiente

Los puntos centrales nos sirven para verificar la Linealidad supuestade los factores en el experimento. Así mismo nos sirve para analizar lavarianza del error experimental desarrollado durante el experimento,de tal manera de poder conocer cuanto error cometemos al desarro-llar los trabajos experimentales.

Palacios C. Severo

366

Como existe curvatura en nuestro proceso experimental, entoncesdebemos adicionar pruebas con la finalidad de desarrollar un análisisespacial. Dicho incremento de pruebas se denomina puntos estrella, laadición de dichas pruebas al diseño factorial con pruebas centrales sele denomina Diseño Compuesto Central.

Ejemplo 7.96De acuerdo al ejemplo 7.94, complementamos los puntos estrella oaxiales, los cuales están representados en el cuadro siguiente, segui-damente analizamos el diseño

Pruebas AO pH Y78910

0,3170,883

0,60,6

33

2,2933.707

50,6087,3489,9934,75

El hecho de haber adicionado pruebas estrella al diseño factorial conpruebas centrales, el nuevo diseño se denomina compuesto central, undiseño rotable que nos proporciona mucho más información que undiseño factorial simple.

El presente caso es con la finalidad de incrementar el rango de losniveles a ambos lados sin tener que mover los datos originales y a lavez establecer las condiciones necesarias del proceso a fin de visuali-zar los efectos, interacciones y cuadraturas en el amplio rango en es-tudio.

El rango de 0,317157 a 0,882843 de estudio para la resina (AO), nosamplia el ámbito al cual es importante desarrollar el proceso, asímismo el rango del pH de 2,29289 a 3,70711, como se podrá visualizaren el grafico, se puede establecer que el rango real en el cual estamosestudiando, ya que en el análisis inicial del diseño factorial el rangoera muy pequeño y con este nuevo diseño tenemos el rango real detrabajo.

Del valor total de pruebas del Diseño Compuesto Central vamos aanalizar los efectos principales, interacciones y cuadraturas los cualesse muestran a continuación en el cuadro adjunto:

Efectos einteracciones

Efectoscuadráticos

A =25,6545B =-38,990AB = +6,68

AA = -1,5708BB = -8,1707



367

Interpretación de los efectos:

Visualizamos los signos de los efectos de AO y pH:

Notamos que el factor AO es positivo, por lo tanto está en su nivel mí-nimo, el cual deberá ser maximizado, es decir que este factor es unavariable, y deberán ser optimizado y establecido su rango de trabajoóptimo.

El factor pH es negativo, por lo tanto está en su máximo, ósea esta ensu punto óptimo, dicho factor viene a ser una constante con el valormáximo de su nivel.

Efectos de factores principales Interacción de factores principales

Interpretación de la interacción:

Notamos que el signo de la interacción AB es positivo, esto nos indicaque dicha interacción esta en su mínimo, por lo tanto hay que maximi-zarlo, entonces no existe intersección entre los valores numéricos.

Análisis de las cuadraturas:

Notamos que el signo de la cuadratura AO y pH son negativos, estonos indica que ambas cuadraturas están en su máximo, entonces estánen el rango óptimo, con el valor máximo, por lo que viene a ser unaconstante en el proceso, además esto nos indica que existe curvatura,lo cual lo hemos deducido al desarrollar la diferencia entre los valorespromedios del factorial y la prueba central.

El análisis de varianza nos confirma lo desarrollado, así mismo elcoeficiente de correlación establece que el modelo matemático se ajus-ta al proceso, la varianza del error (cuadrado medio del error CM)

Palacios C. Severo

368

esta dentro de la curva de Gauss, podemos decir el trabajo esta biendesarrollado y se puede reconfirmar dicho proceso cuantas veces sea.

Tabla 7.113 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(99%)ABAAABBBError

1316,313040,493,4836

44,622494,2531,5546

111115

1316,313040,493,4836

44,622494,2530,3109

4233,599778,97

11,20143,52303,14

>><>>

16,2616,2616,2616,2616,26

Total 4498,3 10 R² = 99,9654%

El hecho de haber adicionado pruebas estrella al diseño factorial conpruebas centrales, el nuevo diseño se denomina Compuesto Central,un diseño rotable que nos proporciona mucho más información que undiseño factorial simple.

El presente caso es con la finalidad de incrementar el rango de losniveles a ambos lados sin tener que mover los datos originales y a lavez establecer las condiciones necesarias del proceso a fin de visuali-zar los efectos, interacciones y cuadraturas en el amplio rango en es-tudio.

El rango de 0,317157 a 0,882843 de estudio para la resina, nos ampliael ámbito al cual es importante desarrollar el proceso, así mismo elrango del pH de 2,29289 a 3,70711, como se podrá visualizar en elgrafico, se puede establecer que el rango real es el cual estamos estu-diando, ya que en el análisis inicial del diseño factorial el rango eramuy pequeño y con este nuevo diseño tenemos el rango real de traba-jo.

Modelo matemático

El primer paso consiste en desarrollar un modelo matemático, el cualdebemos analizarlo. Debido a la curvatura de la superficie respuesta,el experimento requiere un modelo cuyo grado sea mayor e igual a 2,para aproximar la respuesta cuando se encuentre relativamente cer-cana al óptimo.

AOpHpHAOpHAOY 4,33²3416,16²6356,190191,395009,120693,55

Determinación de condiciones óptimas

Se define las condiciones de operación óptima, maximizando o mini-mizando los resultados del mismo. Una condición inicial es remover


369

los niveles de operación y determinar los resultados óptimos mediantela aplicación de técnicas para determinar los nuevos niveles operacio-nales (pendiente ascendente o descendente).


AOpH

0,3171572,29289

0,8828433,70711

0,3171573,70711

El problema consiste en eliminar el contaminante del efluente, por loque se tiene que minimizar el contenido metálico de dicho efluente ymaximizar la extracción con la resina, por lo que optimizando el pro-ceso se puede dejar hasta un 8,47071% del contenido metálico y ade-más maximizando la capacidad de adsorción de la resina se llega has-ta un 99,8925% de eficiencia, lo cual es loable para la eliminación decontaminante metálico del efluente que se quiere reutilizar.

Si en la optimización intervienen dos o más variables independientes,frecuentemente puede prepararse superficies que muestren la relaciónexistente entre las variables.

Uno de los métodos de amplia aplicación es la máxima pendiente as-cendente o descendente.

XII. PUNTO ESTACIONARIO

Si se desea maximizar las respuestas del modelo ajustado, si existe,serán el conjunto de las Xi tal que las derivadas parciales sean igualesa cero. Dicho punto, es decir X1S, X2S, X3S ... XiS se denomina puntoestacionario

132121111

aXaXaX

Y

232221212

aXaXaX

Y

Desarrollando las derivadas parciales obtenemos la siguiente rela-ción:

0191,396832,324000,33

5009,124000,332712,39

21

21

XX

XX

Palacios C. Severo

370

Desarrollando matricialmente, obtenemos el punto estacionario:

X1 = 5,327X2 = 6,6377R(P) = 151,27

Una vez obtenido el punto estacionario (ósea la intersección del nuevoeje de planos Zi) debemos hallar el ángulo de giro de las nuevas coor-denadas, aplicando la siguiente relación:

2211

122AA

ATan

Reemplazando valores obtenemos:

"5,12´2621

Donde

R(P) viene a ser el punto estacionario, así mismo viene a ser el puntode intersección del nuevo eje real en el cual está inscrito el mode-lo matemático.

XIII. CRITERIO DE FORMAS CUADRÁTICAS

Se requiere como condición necesaria y suficiente para que la formacuadrática sea definida positiva es que se cumpla:

02221

1211 aa

aa

Para desarrollar la matriz derivamos por segunda vez la ecuacióndiferencia parcial, obteniéndose:


371

2712,39²

11

XX

Y4,33

²

21

XX

Y

4,33²

12

XX

Y6832,39

²

22

XX

Y

Entonces:

94,1672221

1211 aa

aa

Análisis del coeficiente de regresión:

La relación AO está en su mínimo por lo tanto tiende a ascender, el pHdel medio esta en su máximo por lo tanto tiende a bajar, dicho análisislo desarrollamos con la finalidad de poder establecer los niveles deascendencia o descendencia hasta llegar al valor óptimo. Al visualizarlos signos de las cuadraturas notamos que ambos tienen el signo nega-tivo por lo tanto deducimos que es una elipse o cáscara de huevo, y unelipsoide en el espacio.

Si la relación AO y el pH del medio fuesen cero, la recuperación delproceso está en su mínimo (R = 55,0693), por lo tanto hay que desa-rrollar la pendiente ascendente hasta llegar al óptimo (para el caso demaximizar la capacidad de adsorción de la resina, y si fuere el caso deminimizar la contaminación se tendrá que desarrollar la pendientedescendente).

Camino de Máximo Ascenso para yAO pH Y0,6

0,6350,67

0,7050,740,775

3,02,872,742,632,532,44

70,60377,46283,19987,90491,68594,659

Visualizamos el gráfico espacial que representa a un sector de la elipseestando la región óptima de recuperación en una relación AO a 0,8 yun pH de 2,5 lo cual confirma el análisis establecido, cuando es el casode maximizar la capacidad de adsorción de la resina, si fuere el casode eliminar el contaminante metálico se tendrá que trabajar con elvalor mínimo de AO y el valor máximo de pH. Se debe de analizar deacuerdo si se quiere maximizar o minimizar el proceso.

Palacios C. Severo

372

Estimated Response Surface

AO

pH

Y

30.0-38.0

38.0-46.0

46.0-54.0

54.0-62.0

62.0-70.0

70.0-78.0

78.0-86.0

86.0-94.0

94.0-102.00.4 0.5 0.6 0.7 0.8

2.52.7

2.93.1

3.33.5

30

50

70

90

110

Contours of Estimated Response Surface

AO

pH

Y

30.0-38.0

38.0-46.0

46.0-54.0

54.0-62.0

62.0-70.0

70.0-78.0

78.0-86.0

86.0-94.0

94.0-102.0

0.4 0.5 0.6 0.7 0.82.5

2.7

2.9

3.1

3.3

3.5



Tal como establecimos que la relación AO tiene que subir y el pH delmedio tiende a bajar con la finalidad de llegar a una alta capacidad deadsorción de la resina. En este caso se ha establecido que en un cuartopaso se llega a una recuperación de 99,743 variando la relación AO enforma ascendente con 0,87 y un pH descendente en 2,25 de esa mane-ra se obtiene dicha máxima capacidad de la resina.

En el presente grafico en el plano, se puede establecer claramente quela máxima capacidad de adsorción de la resina se ubica cuando semantiene constate en el mínimo nivel el pH y en el máximo nivel el AO,pero si se quiere la eliminación del contaminante metálico se tiene quetrabajar con el máximo nivel del pH y con el mínimo nivel del AO, conel fin de desarrollar un trabajo acorde al proceso a desarrollar.

El modelo matemático nos demuestra que inicialmente la contamina-ción se encuentra sobre 55,0693%, así que el factor de mayor signifi-cancía para eliminar dicho contenido metálico es la resina con unapendiente negativa de -19,6356, lo cual hace disminuir dicha contami-nación hasta un porcentaje adecuado para rehusar dicho productoacuífero.

Ejemplo 7.97Se desarrolla una investigación sobre la flotabilidad de un mineralsulfurado, se desea conoce los niveles óptimos de dos factores tiempode acondicionamiento y pH con la finalidad de optimizar la recupera-ción del mineral

NivelesFactores - 0 +

A: Tiempo (min)B: pH

5,08,5

6,59,5

8,010,5


373

Para n = 2 factores, se ha de utilizar un diseño central compuestoequivalente a 2²+2*2+5 = 13 pruebas experimentales, con cinco prue-bas centrales a fin de evaluar el error experimental y el error cometidopor el investigador.

Prueba A B Y12345678910111213

5.08.05.08.0

4.378688.62132

6.56.56.56.56.56.56.5

8.58.510.510.59.59.5

8.0857910.9142

9.59.59.59.59.5

75,97278

79,578,475,672

79,979,585,185

79,179,8


Efectos cua-dráticos

A = -1,59B = 5,193AB = 2,70

AA = -4,762BB = -5,812



5,05553,93539,445

7,2958,75638,304

111117

5,05553,93539,445

7,2958,7565,472

0,929,867,211,33

10,74

<><<>

5,595,595,595,595,59

Total 191,304 12 R² = 80,0199%

Camino de Máximo Ascenso para yA B Y

6,56,466,426,406,396,436,386,236,25

9,59,599,689,779,869,95

10,0410,1310,22

81,781,9282,0982,2082,2682,2882,2482,1481,97

Palacios C. Severo

374

Y

5

B=8.5

B=10.5

Gráfica de Interacción para y

71

73

75

77

79

81

83

A8

B=8.5

B=10.5

Y

5

B=8.5

B=10.5

Gráfica de Interacción para y

71

73

75

77

79

81

83

A8

B=8.5

B=10.5



ABBABAY 9,0²906,2²058,1965,51678,4953,190

A

B


5 5.5 6 6.5 7 7.5 88.5

8.9

9.3

9.7

10.1

10.5 y71.0-72.272.2-73.473.4-74.674.6-75.875.8-77.077.0-78.278.2-79.479.4-80.680.6-81.881.8-83.083.0-84.2

AB

Y


5 5.5 6 6.5 7 7.5 88.5

8.99.3

9.710.1

10.5

71

73

75

77

79

81

83

y71.0-72.272.2-73.473.4-74.674.6-75.875.8-77.077.0-78.278.2-79.479.4-80.680.6-81.881.8-83.083.0-84.2


Superficie respuesta estimada en el espacio


AB

4,3788,085

8,62110,914

6,4359,936

Ejemplo 7.98Se desea evaluar un lecho de filtración, para lo cual se estudian dosfactores, altura de lecho y velocidad de flujo

FactoresNiveles

- +A: Altura de lechoB: Velocidad de flujo

20140

30220

A B Y203020

140140220

6,225,579,51


375

30252525

220180180180

8,156,156,186,12

Efectos InteraccionesA = -1,005B = 2,935

AB = -0,355


Tabla 7.115 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(95%)ABABError

1.010028,61423

0,1260252,52207

1113

1.010028,61423

0,1260250,84068

1,2010,250,15

<><

10,1310,1310,13

Total 12,2723 6 R² = 79,4492%

ABBAY 00088,0058,0059,024,1

Camino de Máximo Ascenso para yA B Y25

25,526

26,527

27,528

28,529

180167,73153,93137,72116,8272,2966,68

230,66223,15

6,846,345,805,194,432,872,688,197,87


AB

20140

30220

20220

20B

220


5.3

6.3

7.3

8.3

9.3

Y

A30 140 20

B=140

B=220


5

6

7

8

9

Y

A30

B=140

B=220


Palacios C. Severo

376


20 22 24 26 28 30A

140

160

180

200

220

B

Y5.0-5.45.4-5.85.8-6.26.2-6.66.6-7.07.0-7.47.4-7.87.8-8.28.2-8.68.6-9.09.0-9.4


20 22 24 26 28 30A

140160

180200

220

B5

6

7

8

9

Y

Y5.0-5.45.4-5.85.8-6.26.2-6.66.6-7.07.0-7.47.4-7.87.8-8.28.2-8.68.6-9.09.0-9.4



Ejemplo 7.99Se desea estimar el efecto del SO2 sobre la población cercana a unafábrica de tostación de concentrados sulfurosos, con el fin de monito-rear dicho contaminante se han considerando los siguientes factores:Tasa de emisividad Q del contaminante a la salida de la chimenea y laaltura de la chimenea.

FactoresNiveles

- +A: Tasa de emisividad (g/s)B: Altura (m)

530

1060

A B Y5

105

103,9611,03

7,57,57,57,57,57,57,5

303060604545

2,3766,21

4545454545

140180200310130320170300280270265275266


Efectos Cua-dráticos

A = 104,675B = 93,4619AB = 35,000

AA = -57,4506BB = -47,4500



377


21913,617470,35740,031225,03915,652937,24

111117

21913,617470,35740,031225,03915,65419,605

52,2241,6313,682,929,33

>>><>

5,595,595,595,595,59

Total 52110,9 12 R² (%) = 94,3635

ABBABAY 466,0²105,0²596,41054,98757,68558,340

Camino de Máximo Ascenso para YA B Y

7,58,59,510,511,512,5

45,0050,6556,9964,1372,2381,78

271,2304,43328,08340,43338,87318,71

Valor óptimo = 341,554Factor Bajo Alto ÓptimoAB

3,96423,786

11,03533,213

10,85466,213

5B

60


190

210

230

250

270

290

310

Y

A10 30

5

B=30

B=60


130

170

210

250

290

330

370

Y

A10

B=30

B=60



5 6 7 8 9 10A

30

35

40

45

50

55

60

B

Y130.0-154.0154.0-178.0178.0-202.0202.0-226.0226.0-250.0250.0-274.0274.0-298.0298.0-322.0322.0-346.0346.0-370.0370.0-394.0


5 6 7 8 9 10A

30354045505560

B130170210

250290330370

Y

Y130.0-154.0154.0-178.0178.0-202.0202.0-226.0226.0-250.0250.0-274.0274.0-298.0298.0-322.0322.0-346.0346.0-370.0370.0-394.0



Palacios C. Severo

378

Ejemplo 7.100Los experimentos de lixiviación con sales oxidantes en medio acido aminerales auríferos procedentes de la Concesión Minera Huaracane –Moquegua - Perú, fueron realizados para establecer el efecto de losfactores de los agentes lixiviantes y el ácido sobre la disolución del orometálico.

Todas las pruebas se desarrollaron a temperatura ambiente y conagitación constante, y a un tiempo establecido.

El mineral previamente fue molido con la finalidad de liberar el oroque se encuentra incrustado, ya que dicho material se encuentra enforma microscópica encapsulado en cuarzo, con una ley promedio de15 g/t, las sales oxidantes en medio ácido sirven para desarrollar elproceso y son de calidad comercial (fertilizantes).

En todas las pruebas se llegan a desarrollar reacción exotérmica (es-pontánea) con el fin de acelerar el proceso de disolución del oro (ciné-tica).

El contenido de oro en la solución lixiviada se analizo por electrogra-vimétria. Para determinar el efecto de los factores se estudio a dosniveles la concentración de las variables con el fin de no interferir en elanálisis del oro.

FactoresNiveles

- +A: H2SO4

B: NaNO3

C: NaCl

1002070

1203090

Resultados y discusión

Al concluir con las pruebas experimentales, se procedió analizar laextracción de oro de l material aurífero, para lo cual se utilizó el pro-grama estadístico Statgraphics Plus, de cuyo tratamiento de datos seobtuvo la estimación de los efectos de cada uno de los factores siendoeste el resultado de dicho análisis:

Acido sulfúrico

El efecto de la concentración de ácido sulfúrico se estudia en el rangode 110 a 120, manteniendo constante la temperatura, el tiempo delixiviación así como la agitación del proceso.


379

El efecto de la concentración de ácido sulfúrico es positivo con unapendiente pequeña, evaluando dicho factor podemos llegar a la si-guiente conclusión, que dicho factor está en su mínimo nivel, debiendoser maximizado hasta llegar al óptimo, pero no deberá de exceder deun rango ya que el exceso de dicho producto también es perjudicial yantieconómico, con el fin de poder obtener una máxima extracción deoro del material aurífero.


EfectosCuadráticos

A: H2SO4 0.885365B: NaNO3 1.48441C: NaCl -12.7076AB 0.25AC 4.75BC 11.25

AA -7.32279BB -8.73692CC -18.6366

Nitrato de sodio

Los resultados obtenidos al desarrollar el experimento factorial con elfin de establecer el efecto de dicho factor, se llegan a la siguiente con-clusión, si se incrementa fuera del rango establecido se genera gasestóxicos de dióxido de nitrógeno, altamente contaminante para el me-dio ambiente.

El objeto de adicionar nitrato de sodio es la generación de ácido nítri-co, el cual al interactuar con el ácido clorhídrico genera agua regia insitu, compuesto altamente corrosivo, debiendo de controlarse la dosi-ficación de dicha sal a fin de evitar la formación de gases tóxicos.

El efecto de la concentración del nitrato de sodio esta en su nivel mí-nimo, debiendo maximizarse hasta llegar al óptimo y obtener buenasextracciones del material valioso.

Cloruro de sodio

La dosificación del cloruro de sodio es con la finalidad de producircloruro de nitrosilo y cloro naciente in situ, los experimentos se lleva-ron a cabo manteniendo constante la temperatura, el tiempo de lixi-viación así como la agitación.

La disolución del oro se incrementa al incrementarse la dosificación dedicha sal, la concentración tiene efecto significativo sobre la solubili-dad del oro, debido a que el ión cloro tiene habilidades de formar espe-cies complejas con el oro.

Palacios C. Severo

380

El efecto de dicha sal nos indica que esta en su nivel máximo, indicán-donos que al incrementarse sobre el máximo se disminuye la recupe-ración de oro.

Main Effects Plot for Au

82

85

88

91

94

97

100

Au

H2SO4100 120

NaNO320 30

NaCl70 90

Interaction Plot for Au

72

77

82

87

92

97

102

Au

AB100 120

- -+ +

AC100 120

--

+

+

BC20 30

-

-

+

+

Efectos medios de los factores en recupera-ción de oro, Proceso SEVERO

Interacciones de factores principales,Proceso SEVERO

Tal como visualizamos el análisis gráfico del efecto medio podemosestablecer que la mayor recuperación para el ácido sulfúrico y nitratode sodio este cercano al promedio, en cambio el cloruro de sodio estaen su máxima concentración debiendo de ser disminuido hasta llegaral óptimo.

Tabla 7.117 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(95%)

A; H2SO4

B: NaNO3

C: NaClAAABACBBBCCCError

2,67637,5231

551,334182,993

0,12545,125

260,497253,1251185,25604,753

1111111119

2,67637,5231

551,334182,993

0,12545,125

260,497253,1251185,2567,1948

0,040,118,212,720,003,883,77

17,64

<<><<<<>

5,125,125,125,125,125,125,125,12

Total 2827,15 18 R² = 78,6091%

Entre los factores en estudio existe interacción, por lo que no es posiblemanipular cada factor independientemente, ya que todos los factoresestán entrelazados para poder desarrollar el Proceso SEVERO.

El análisis de varianza (ANAVA) confirma la importancia que tienenlos factores, así mismo las interacciones y cuadraturas del proceso.

El modelo matemático, con un coeficiente de correlación aceptable, siigualamos a cero los tres factores, nos indica que la extracción de oro


381

está en su máximo, debiendo ser regulado este por las dosificacionesdel ácido sulfúrico y las sales oxidantes.

NaClNaNONaClSOHNaNOSOHNaCl

NaNOSOHNaClNaNOSOHAu

*112,0*023,0*002,0²093,0

²174,0²0366,0848,8389,0136,686,556

342342

342342

En el análisis gráfico se visualiza que la máxima recuperación de oroen encuentra señalada por el signo más que esta dentro de la zonaazul (98 a 99% Au). Debiendo de dosificarse adecuadamente con el finde llegar a dicha recuperación.

Contours of Estimated Response SurfaceNaCl=80.0

H2SO4

NaN

O3

Au89.0-90.090.0-91.091.0-92.092.0-93.093.0-94.094.0-95.095.0-96.096.0-97.097.0-98.098.0-99.0

100 104 108 112 116 12020

22

24

26

28

30

Estimated Response SurfaceNaCl=80.0

H2SO4 NaNO3

Au

10010410811211612020 22 24 26 28 30899193

959799

89.0-90.090.0-91.091.0-92.092.0-93.093.0-94.094.0-95.095.0-96.096.0-97.097.0-98.098.0-99.0

Respuesta en el Plano de extracción deoro con punto óptimo

Respuesta espacial de extracción de oro conpunto óptimo

Ejemplo 7.101Se desea evaluar un proceso de lixiviación por agitación de un mineralrefractario de oro, para lo cual se estudian tres factores que son losque influyen en el proceso de disolución del oro, siendo estos: tempera-tura, concentración del agente lixiviante y tiempo de agitación. Desa-rrollándose replicas en la respuesta de recuperación, a fin de contras-tar el grado de solubilidad del material valioso.

FactoresNiveles

- +A: Temperatura (°C)B: Concentración (%)C: Tiempo Agitación (Hr)

200,5

0,25

6011

En la tabla se muestra las dosificaciones con sus respectivos resulta-dos de recuperación del material valioso tanto para la prueba originalcomo para la replica, todos bajo las condiciones establecidas de varia-bles (factores) y constantes.

Palacios C. Severo

382

Temperatura(oC)

Concentración(%)

Tiempo agitación(Hr) Y

2060206020602060

0,50,511

0,50,511

0,250,250,250,25

1111

42,8356,9378,9281,0064,1772,1387,1788,25

2060206020602060

0,50,511

0,50,511

0,250,250,250,25

1111

41,6756,1478,3380,0063,3370,3786,6787,72

Los tres factores tienen efectos sobre el proceso, pero el de mayor efec-to significativo es la concentración seguido del tiempo de agitación yfinalmente la temperatura. Por lo que tengo que tener mucho cuidadocon los dos primeros factores.

-Efectos InteraccionesA = 6,18B = 25,06C = 12,99

AB = -4,711AC = -1,898BC = -5,108Bloque = -0,896


El block de pruebas desarrollado no tiene efecto significativo sobre elproceso, el hecho de haber corrido pruebas replicadas no tiene efectosobre el proceso.

Tabla 7.118 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(99%)ABCABACBCBloqueError

152,832515,27675,8788,7814,42

104,393,219,53

11111118

152,832512,27675,8788,7814,42

104,393,211,19

128,192107,15566,8874,4712,1087,562,69

>>>>>><

11,2611,2611,2611,2611,2611,2611,26

Total 3561,32 15 R² = 99,7322%

El análisis de varianza nos confirma la interpretación obtenida del losefectos principales sobre el proceso, si nos fijamos en F-Ratio, las fuen-


383

tes de los tres factores principales notamos que la concentración es elque tiene mayor efecto significativo seguido del tiempo de agitación yfinalmente la temperatura.

Notamos así mismo que el R2 es 99,7322 %, un coeficiente de correla-ción optimo para el proceso.

En referencia al valor del Error 1,19226, nos confirma que en el expe-rimento se han debido de realizar pruebas centrales a fin de establecerun error experimental de mayor utilidad en el experimento, en vez delas replicas realizadas.

BCACABCBAY 246,271265,0471,083,42996,855869,0698,13

En el modelo matemático nos fijamos en las constantes de los factoresprincipales, si A = B= C = 0, entonces Y = -13,6988. Nos indica que elvalor que ha de hacer crecer este valor hasta un valor positivo y seincremente hasta un máximo esta en función directa de la concentra-ción, seguido del tiempo de agitación y por último de la temperatura.

Camino de Máximo Ascenso para y

A B C Y40

41,6642,6442,8842,3441,0340,10

0,750,850,951,051,151,251,3

0,6250,6890,7310,8130,8520,8770,885

70,9777,2282,7387,2792,3496,8599,14

Partiendo del punto central de cada factor, se pude llegar al óptimovariando la concentración de 0,05 en 0,05 y se llega a un optimo del99,1413.

Valor óptimo = 87,6669Factor Bajo Alto ÓptimoABC

200,5

0,25

6011

2011

Como hemos establecido en las opiniones desde un comienzo, se llega ala conclusión que el óptimo del proceso para llegar en el presente casohasta un 87,6669 se tiene que trabajar con el valor mínimo de la tem-peratura, con una máxima concentración y un tiempo de agitaciónmáximo.

Palacios C. Severo

384

Main Effects Plot for Y

58

63

68

73

78

83

88

YTemperatura20 60

Concentracion0.5 1

Tiempo agitacion0.25 1

Efectos significativos de factores principales

Tal como hemos establecido en el análisis numérico, podemos visuali-zar gráficamente lo que hemos establecido en la parte analógica, sepuede observar que la mayor pendiente para poder obtener una má-xima reucperación lo tiene la concentración seguido del tiempo deagitación y finalmente la temperatura, por lo cual el que tiene mayorefecto significativo es la concentración, al cual hay que controlarlo entodo el proceso, esto no quiere decir que los otros factores no influyanen el proceso, por lo que se tiene que controlar hasta llegar al óptimode la recuperación.

Contours of Estimated Response SurfaceTiempo agitacion=0.625

Temperatura

Con

cent

raci

on

Y53.0-57.057.0-61.061.0-65.065.0-69.069.0-73.073.0-77.077.0-81.081.0-85.0

20 30 40 50 600.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Contours of Estimated Response SurfaceConcentracion=0.75

Temperatura

Tie

mp

o a

git

acio

n Y57.0-61.061.0-65.065.0-69.069.0-73.073.0-77.077.0-81.0

20 30 40 50 600.25

0.45

0.65

0.85

1.05

Contours of Estimated Response SurfaceTemperatura=40.0

Concentracion

Tie

mpo

agi

taci

on

Y53.0-57.057.0-61.061.0-65.065.0-69.069.0-73.073.0-77.077.0-81.081.0-85.085.0-89.0

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.25

0.45

0.65

0.85

1.05

Superficie respuesta estimada en el plano, manteniendo constante una variable

Para un tiempo de agitación constante en el promedio, se puede llegara un máximo de extracción manteniendo en su mínimo a la tempera-tura y en su máximo a la concentración.


385

Estimated Response SurfaceTiempo agitacion=0.625

TemperaturaConcentracion

Y

53.0-57.057.0-61.061.0-65.065.0-69.069.0-73.073.0-77.077.0-81.081.0-85.0

20 30 40 50 60 0.50.6

0.70.8

0.91

53

63

73

83

93

Estimated Response SurfaceConcentracion=0.75

TemperaturaTiempo agitacion

Y

57.0-61.061.0-65.065.0-69.069.0-73.073.0-77.077.0-81.0

20 30 40 50 600.25

0.450.65

0.851.05

60

64

68

7276

80

84

Estimated Response SurfaceTemperatura=40.0

ConcentracionTiempo agitacion

Y

53.0-57.057.0-61.061.0-65.065.0-69.069.0-73.073.0-77.077.0-81.081.0-85.085.0-89.0

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.25

0.450.65

0.851.05

49

59

69

79

89

Superficie respuesta estimada en el espacio manteniendo constante una variable

Para una concentración constante en el promedio, se puede llegar almáximo de extracción manteniendo en su mínimo a la temperatura yen su máximo al tiempo de agitación.

Para una temperatura constante en el promedio, se puede llegar almáximo de extracción manteniendo en su máximo al tiempo de agita-ción y en su máximo a la concentración.

Temperatura(oC)

Concentración(%)

Tiempo agitación(Hr) Y

2060206020602060

0,50,5

11

0,50,5

11

0,250,250,250,25

1111

42,8356,9378,9281,0064,1772,1387,1788,25

2060206020602060

0,50.5

11

0,50,5

11

0,250,250,250,25

1111

41,6756,1478,3380,0063,3370,3786,6787,72

Palacios C. Severo

386

El proceso es cuadrático, por lo tanto se tienen que realizar comple-mentariamente tres pruebas centrales para evaluar el error y seispruebas estrella a fin de completar el modelo cuadrático.

Ejemplo 7.102Diseño compuesto centrado para ejemplo 7.101


Efectos cua-dráticos

A = 9,631B = 21,465C = 20,886AB = -4,725AC = -1,785BC = -5,26

AA = -9,226BB = -2,703CC = -14,647


Tabla 7.119 Análisis de varianzaFuente SC Gl CM Fo Ft(99%)ABCAAABACBBBCCCError

316,7231573,081489,42239,94644,65136,372420,60655,3352604,631420,001

1111111117

316,7231573,081489,42239,94644,65136,372420,60655,3352604,63160,0002

5,2826,2224,824,000,740,110,340,92

10,08

>>><<<<<<

12,2512,2512,2512,2512,2512,2512,2512,2512,25

Total 4608,82 13 R² = 90,887%

BCACAB

CBACBAY

053,28119,0742,0

²078,52²631,21²0115,0746,118811,111592,11058,55

Camino de Máximo Ascenso para yA B C Y

40,041,0

0,750,779

0,6250,665

85,39387,858

6,3673,64

40404040

0,750,750,331,170,750,75

0, 6250,6250,6250,625

-0,00571,26

61,2585,3668,4796,5938,7192,57

404040

0,750,750,75

0,6250,6250,625

85,3685,0285,47


387

42,043,044,045,0

0,8130,8550,9190,583

0,7050,7440,7840,772

90,14892,35394,80282,541

Valor óptimo = 100,868Factor Bajo Alto ÓptimoABC

6,3640,329-0,005

73,6351,1701,255

41,0791,1700,776


67

72

77

82

87

92

97

Y

A20 60

B0.5 1

C0.25 1


52

62

72

82

92

102

Y

AB20 60

-

-

++

AC20 60

-

-

+

+

BC0.5 1-

-+

+

Efectoo de factores principales Interacción de factores principales

Superficie de Respuesta EstimadaC=0.625

20 30 40 50 60A

0.50.6

0.70.8

0.91

B61

71

81

91

101

Y

Y61.0-66.066.0-71.071.0-76.076.0-81.081.0-86.086.0-91.091.0-96.096.0-101.0101.0-106.0106.0-111.0111.0-116.0

Superficie de Respuesta EstimadaB=0.75

20 30 40 50 60A

0.250.45

0.650.85

1.05

C57

67

77

87

97

Y

Y61.0-66.066.0-71.071.0-76.076.0-81.081.0-86.086.0-91.091.0-96.096.0-101.0101.0-106.0106.0-111.0111.0-116.0

Superficie de Respuesta EstimadaA=40.0

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1B

0.250.45

0.650.85

1.05

C52

62

72

82

92

102

Y

Y61.0-66.066.0-71.071.0-76.076.0-81.081.0-86.086.0-91.091.0-96.096.0-101.0101.0-106.0106.0-111.0111.0-116.0

Superficie respuesta estimada en el espacio manteniendo constante una variable

Palacios C. Severo

388

Contornos de la Superficie de Respuesta EstimadaC=0.625

20 30 40 50 60A

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

B

Y61.0-65.065.0-69.069.0-73.073.0-77.077.0-81.081.0-85.085.0-89.089.0-93.093.0-97.097.0-101.0101.0-105.0

Contornos de la Superficie de Respuesta EstimadaB=0.75

20 30 40 50 60A

0.25

0.45

0.65

0.85

1.05

C

Y61.0-65.065.0-69.069.0-73.073.0-77.077.0-81.081.0-85.085.0-89.089.0-93.093.0-97.097.0-101.0101.0-105.0

Contornos de la Superficie de Respuesta EstimadaA=40.0

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1B

0.25

0.45

0.65

0.85

1.05

C

Y61.0-65.065.0-69.069.0-73.073.0-77.077.0-81.081.0-85.085.0-89.089.0-93.093.0-97.097.0-101.0101.0-105.0

Superficie respuesta estimada en el plano manteniendo constante una variable


389

ANEXO

Palacios C. Severo

390

p = 0.1 (99%)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4052.18 4999.34 5403.53 5624.26 5763.96 5858.95 5928.33 5980.95 6022.40 6055.93

2 98.50 99.00 99.16 99.25 99.30 99.33 99.36 99.38 99.39 99.40

3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.34 27.23

4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55

5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05

6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87

7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62

8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81

9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26

10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85

11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54

12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30

13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10

14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94

15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80

16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69

17 8.40 6.11 5.19 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59

18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51

19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43

20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37

21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31

22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26

23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21

24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17

25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13

26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09

27 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06

28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03

29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00

30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98

31 7.53 5.36 4.48 3.99 3.67 3.45 3.28 3.15 3.04 2.96

32 7.50 5.34 4.46 3.97 3.65 3.43 3.26 3.13 3.02 2.93

33 7.47 5.31 4.44 3.95 3.63 3.41 3.24 3.11 3.00 2.91

34 7.44 5.29 4.42 3.93 3.61 3.39 3.22 3.09 2.98 2.89

35 7.42 5.27 4.40 3.91 3.59 3.37 3.20 3.07 2.96 2.88

36 7.40 5.25 4.38 3.89 3.57 3.35 3.18 3.05 2.95 2.86

37 7.37 5.23 4.36 3.87 3.56 3.33 3.17 3.04 2.93 2.84

38 7.35 5.21 4.34 3.86 3.54 3.32 3.15 3.02 2.92 2.83

39 7.33 5.19 4.33 3.84 3.53 3.30 3.14 3.01 2.90 2.81

40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80

60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63

100 6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50

120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47

∞ 6.64 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32


391

p = 0,25 (97,5%)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 647.79 799.48 864.15 899.60 921.83 937.11 948.20 956.64 963.28 968.63

2 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 39.40

3 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42

4 12.22 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84

5 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62

6 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46

7 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76

8 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30

9 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96

10 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72

11 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53

12 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37

13 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.25

14 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.15

15 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.06

16 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99

17 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92

18 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.87

19 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82

20 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77

21 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.80 2.73

22 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.70

23 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.90 2.81 2.73 2.67

24 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.70 2.64

25 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61

26 5.66 4.27 3.67 3.33 3.10 2.94 2.82 2.73 2.65 2.59

27 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.80 2.71 2.63 2.57

28 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.90 2.78 2.69 2.61 2.55

29 5.59 4.20 3.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53

30 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51

31 5.55 4.16 3.57 3.23 3.01 2.85 2.73 2.64 2.56 2.50

32 5.53 4.15 3.56 3.22 3.00 2.84 2.71 2.62 2.54 2.48

33 5.51 4.13 3.54 3.20 2.98 2.82 2.70 2.61 2.53 2.47

34 5.50 4.12 3.53 3.19 2.97 2.81 2.69 2.59 2.52 2.45

35 5.48 4.11 3.52 3.18 2.96 2.80 2.68 2.58 2.50 2.44

36 5.47 4.09 3.50 3.17 2.94 2.78 2.66 2.57 2.49 2.43

37 5.46 4.08 3.49 3.16 2.93 2.77 2.65 2.56 2.48 2.42

38 5.45 4.07 3.48 3.15 2.92 2.76 2.64 2.55 2.47 2.41

39 5.43 4.06 3.47 3.14 2.91 2.75 2.63 2.54 2.46 2.40

40 5.42 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39

60 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27

100 5.18 3.83 3.25 2.92 2.70 2.54 2.42 2.32 2.24 2.18

120 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16

∞ 5.03 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05

Palacios C. Severo

392

p = 0.05 (95%)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88

2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40

3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79

4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96

5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74

6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06

7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64

8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35

9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14

10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98

11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85

12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75

13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67

14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60

15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54

16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49

17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45

18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41

19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38

20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35

21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32

22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30

23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27

24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25

25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24

26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22

27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20

28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19

29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18

30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16

31 4.16 3.30 2.91 2.68 2.52 2.41 2.32 2.25 2.20 2.15

32 4.15 3.29 2.90 2.67 2.51 2.40 2.31 2.24 2.19 2.14

33 4.14 3.28 2.89 2.66 2.50 2.39 2.30 2.23 2.18 2.13

34 4.13 3.28 2.88 2.65 2.49 2.38 2.29 2.23 2.17 2.12

35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11

36 4.11 3.26 2.87 2.63 2.48 2.36 2.28 2.21 2.15 2.11

37 4.11 3.25 2.86 2.63 2.47 2.36 2.27 2.20 2.14 2.10

38 4.10 3.24 2.85 2.62 2.46 2.35 2.26 2.19 2.14 2.09

39 4.09 3.24 2.85 2.61 2.46 2.34 2.26 2.19 2.13 2.08

40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08

60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99

100 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93

120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91

∞ 3.84 3.00 2.61 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83


393

Distribución Chi - Cuadradoalfa = área a la derecha de x2 (GL, alfa)

X~X2 (GL) P(X > X2(GL, alfa))

GLalfa

0.100 0.050 0.025 0.010 0.005

1 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794

2 4.6052 5.9915 7.3778 9.2104 10.5965

3 6.2514 7.8147 9.3484 11.3449 12.8381

4 7.7794 9.4877 11.1433 13.2767 14.8602

5 9.2363 11.0705 12.8325 15.0863 16.7496

6 10.6446 12.5916 14.4494 16.8119 18.5475

7 12.0170 14.0671 16.0128 18.4753 20.2777

8 13.3616 15.5073 17.5345 20.0902 21.9549

9 14.6837 16.9190 19.0228 21.6660 23.5893

10 15.9872 18.3070 20.4832 23.2093 25.1881

11 17.2750 19.6752 21.9200 24.7250 26.7569

12 18.5493 21.0261 23.3367 26.2170 28.2997

13 19.8119 22.3620 24.7356 27.6882 29.8193

14 21.0641 23.6848 26.1189 29.1412 31.3194

15 22.3071 24.9958 27.4884 30.5780 32.8015

16 23.5418 26.2962 28.8453 31.9999 34.2671

17 24.7690 27.5871 30.1910 33.4087 35.7184

18 25.9894 28.8693 31.5264 34.8052 37.1564

19 27.2036 30.1435 32.8523 36.1908 38.5821

20 28.4120 31.4104 34.1696 37.5663 39.9969

21 29.6151 32.6706 35.4789 38.9322 41.4009

22 30.8133 33.9245 36.7807 40.2894 42.7957

23 32.0069 35.1725 38.0756 41.6383 44.1814

24 33.1962 36.4150 39.3641 42.9798 45.5584

25 34.3816 37.6525 40.6465 44.3140 46.9280

26 35.5632 38.8851 41.9231 45.6416 48.2898

27 36.7412 40.1133 43.1945 46.9628 49.6450

28 37.91

Palacios C. Severo

394

T~t(GL) P(T > t(GL, alfa))

GLalfa

0.1000 0.0500 0.0250 0.0100 0.0050 0.0010 0.0005

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656 318.289 636.578

2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.328 31.600

3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.214 12.924

4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.610

5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.894 6.869

6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 5.959

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 5.408

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 5.041

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 4.781

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 4.587

11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 4.437

12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930 4.318

13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 4.221

14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 4.140

15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 4.073

16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686 4.015

17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646 3.965

18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610 3.922

19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.579 3.883

20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 3.850

21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527 3.819

22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505 3.792

23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485 3.768

24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467 3.745

25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450 3.725

26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 3.707

27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 3.689

28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 3.674

29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396 3.660

30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 3.646

31 1.309 1.696 2.040 2.453 2.744 3.375 3.633

32 1.309 1.694 2.037 2.449 2.738 3.365 3.622

33 1.308 1.692 2.035 2.445 2.733 3.356 3.611

34 1.307 1.691 2.032 2.441 2.728 3.348 3.601

35 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724 3.340 3.591

36 1.306 1.688 2.028 2.434 2.719 3.333 3.582

37 1.305 1.687 2.026 2.431 2.715 3.326 3.574

38 1.304 1.686 2.024 2.429 2.712 3.319 3.566

39 1.304 1.685 2.023 2.426 2.708 3.313 3.558

40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307 3.551

60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232 3.460

120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160 3.373

∞ 1.282 1.645 1.960 2.327 2.576 3.091 3.291


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Palacios C. Severo

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