CAPITULO I FUNDAMENTOS DE LA MECNICA CLSICA ANTECEDENTES La Mecnica es una parte de la Fsica que estudia el movimiento de los cuerpos. La Mecnica llamada clsica, en contraposicin a las que han aparecido recientemente, como la cuntica o la relativista, tiene por principios la ley del paralelogramo y las leyes de Newton, que se originaron en el siglo XVII.Bosquejo histrico En la antigedad, la Mecnica (mquina) formaba parte de la Filosofa. Se ocupaba del estudio del movimiento de los cuerpos, pero atendiendo a sus causas remotas. Los griegos estudiaron los movimientos de los cuerpos celestes, las mquinas simples, los momentos de las fuerzas y poco ms. En la baja edad media aparecieron algunas teoras acerca de los movimientos de los astros y del mpetu. Una figura central es la de Galileo Galilei que descubre la inercia de los cuerpos. Christian Huygens estudia el movimiento curvilneo de la partcula y, en especial, la componente normal de la aceleracin. El ingeniero holands Simon Stevin establece el principio que lleva su nombre, tambin llamado ley del paralelogramo. Pero es Sir Isaac Newton (1642-1727) quien revoluciona no solamente la Mecnica, sino la actividad cientfica toda con su descubrimiento de la ley de la gravitacin universal y su formulacin de las tres leyes o axiomas del movimiento. Son notables las ecuaciones propuestas por Lagrange para la resolucin de problemas analticos. Los nombres de Varignon, Hooke, DAlembert, Euler y Steiner tienen tambin una gran importancia en el desarrollo de la Mecnica clsica.La ley de la gravitacin universal, es decir, la ley de la pesadez de todos los cuerpos, se puede establecer de la siguiente manera: todos los cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa Simblicamente suele representarse as:

F F m1 m2 r

en donde F es la fuerza de atraccin, fuerza de gravedad o peso; G, la constante de gravitacin universal, cuyo valor, en el Sistema Internacional de Unidades (SI) es G=6.673(10-11 ) m3 /kg s2 , y m1 y m2 las masas de los cuerpos en cuestin. La fuerza de gravedad entre dos muebles, dos automviles, etc. Es pequesima y suele despreciarse. En cambio, la fuerza que la Tierra ejerce sobre los cuerpos que se hallan en su superficie s es considerable y es la fuerza que recibe en nombre de peso por antonomasia. El peso de un automvil pequeo, por ejemplo, es del orden de una tonelada. Dado que esta fuerza depende de la constante G, de la masa de la Tierra y del radio de sta, es ms prctico expresar el peso de un cuerpo de masa m en la forma (P=mg).en donde g es el producto de la constante de gravitacin universal por la masa de la tierra dividido entre el cuadrado del radio terrestre:

y corresponde al valor de la aceleracin tpica de la gravedad; ordinariamente se considera de 9.81 m/s2 , que equivale a 32.2 ft/s2 .

Como la ley de la gravitacin universal establece que la fuerza de atraccin entre dos cuerpos, es decir, el peso, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, podemos escribir la siguiente igualdad: en donde R es el radio de la Tierra y H la altura buscada. R + H es la distancia al centro de la Tierra que produce que el peso sea la mitad del que tiene a una distancia R. Obteniendo la raz cuadrada de ambos miembros y dando a R un valor de 6370 km, tenemos

Divisin de la Mecnica clsica

Esttica: estudia el equilibrio de los sistemas de fuerzas. Dinmica: se ocupa propiamente el movimiento de los cuerpos. Si slo estudia el movimiento, sin atender a sus causas, se trata de la Cinemtica. Y la Cintica relaciona el movimiento con las causas que lo producen.Conceptos bsicos (2) Cuerpo: porcin limitada de materia. Materia: lo que ocupa un lugar en el espacio. Movimiento: cambi de posicin de un cuerpo (3). Posicin: lugar. Cuerpo rgido: es el cuerpo cuyas partculas mantienen fija su distancia entre ellas. Este concepto es una idealizacin muy til en el estudio de la Mecnica clsica. Partcula: es un punto dotado de materia; o bien, un cuerpo que carece de dimensiones. Igual que el concepto anterior, se trata de una idealizacin. La Mecnica newtoniana considera que los cuerpos estn constituidos por infinidad de partculas unidas una con otras, sin espacios entre s. Fuerza: la accin de un cuerpo sobre otro capaz de alterar su movimiento. Equilibrio: es el estado de un cuerpo en el que unas fuerzas compensan a otras. Fuerzas Dijimos arriba que es la accin de un cuerpo sobre otro, pero no cualquier accin, sino la que puede producir, suprimir o cambiar el movimiento de los cuerpos involucrados. Se trata justamente de la causa de dicho movimiento y, por tanto, su comprensin es central en los estudios de Mecnica. Las fuerzas son realidades fsicas muy comunes. Todos los cuerpos que conocemos estn sujetos a fuerzas. Los objetos que nos rodean sufren generalmente las acciones de otros objetos. Por ejemplo, la silla en que estamos sentados est sujeta a la accin de la Tierra, o sea, su propio peso, la fuerza que nuestro cuerpo ejerce sobre ella, y las que el suelo produce sobre cada una de las patas. Otro ejemplo: si deseamos abrir la puerta, debemos dar vuelta a la perilla, que es ejercer una fuerza, y jalar la puerta: segunda fuerza. Las caractersticas de una fuerza son: 1. Magnitud: es el tamao o intensidad de la fuerza. A veces se denomina mdulo 2. Lnea de accin: o soporte, es la recta sobre la que acta la fuerza. 3. Sentido: define hacia qu lado de la lnea de accin acta la fuerza.

Pensemos en algn objeto que tengamos presente, por ejemplo el escritorio en el que traba-jamos. Su peso, digamos de 40 kg, es una fuerza que la Tierra ejerce sobre l y que conoceremos completamente, pues su magnitud es de 40 kg (si en efecto eso pesa); su lnea de accin es una recta vertical que pasa por el centro de gravedad del escritorio; y su sentido es hacia abajo.Pero tambin se puede hablar de las siguientes tres caractersticas: 1. Magnitud: o tamao 2. Direccin: es el ngulo que su lnea de accin forma con respecto a una recta conocida, generalmente la horizontal. 3. Posicin: un punto de su lnea de accin.

Tomando nuevamente el ejemplo del peso del escritorio: su magnitud es de 40 kg, su direccin es de 90 a partir de la horizontal en el sentido de las manecillas del reloj (o simplemente vertical hacia abajo), y su posicin es el centro de gravedad del escritorio. Los efectos de las fuerzas pueden ser Externos: los movimientos de los cuerpos. Internos: los esfuerzos y las deformaciones. La Mecnica de los cuerpos rgidos, que estamos estudiando, slo considera los efectos externos. Clasificacin de las fuerzas Segn su modo de actuar, las fuerzas pueden ser: Por contacto A distancia. Las fuerzas de gravedad y las electromagnticas son de este tipo. Para efectos prcticos, las nicas fuerzas de gravedad que se tienen en cuenta son los pesos de los cuerpos. Distribuidas: son las que se aplican en una superficie. Suelen representarse mediante un rea sobre el cuerpo en estudio.

Concentradas: se consideran aplicadas en un solo punto. Se trata generalmente de fuerzas reales que actan sobre superficies muy pequeas, despreciables en comparacin con otras dimensiones del problema; o de fuerzas tericas, como las resultantes de los sistemas de fuerzas. Se representan mediante un segmento dirigido de recta.

Clasificacin de los sistemas de fuerzas La siguiente clasificacin ser la que emplearemos en nuestro estudio, atendiendo a las lneas de accin de las fuerzas. Las fuerzas en el plano son las que se estudiarn en dos dimensiones; las del espacio, en tres. A. FUERZAS EN EL PLANO 1. Colineales 2. Concurrentes 3. Paralelas 4. No concurrentes ni paralelas B. FUERZAS EN EL ESPACIO 1. Concurrentes 2. Paralelas 3. Sistema general de fuerzas Los sistemas colineales y concurrentes los agruparemos en el captulo de resultantes de fuerzas que actan sobre la partcula. Mientras que los sistemas de fuerzas paralelas y de fuerzas no concurrentes ni paralelas quedarn en el captulo de resultantes de fuerzas que actan sobre el cuerpo rgido. Composicin de fuerzasUna parte importante del curso de Esttica trata del proceso de composicin de fuerzas. Para entenderlo, es necesario conocer los siguientes conceptos. Sistemas equivalentes de fuerzas: son aquellos que producen los mismos efectos externos. Resultante: es el sistema equivalente ms simple. Composicin de fuerzas: es el proceso terico por el que se transforma un sistema de fuerzas en otro ms simple. Tambin se suele llamar reduccin de fuerzas. La obtencin de la resultante es una composicin de fuerzas. Resolucin de fuerzas: consiste en transformar un sistema de fuerzas en otro ms complejo. Tambin se llama descomposicin. La resultante, o sistema resultante de un sistema de fuerzas, como es el equivalente ms simple, tiene que ser irreductible. Como se demostrar en el curso, deber ser una fuerza o un par de fuerzas, si se trata de fuerzas en el plano, o una fuerza, un par de fuerzas, o una fuerza y un par, en el caso de las fuerzas en el espacio. Un sistema de fuerzas est en equilibrio si no produce ningn efecto externo al actuar sobre un cuerpo. Como es evidente, la resultante de un sistema de fuerzas en equilibrio es nula. Par de fuerzas es un sistema formado por dos fuerzas paralelas, de la misma magnitud, pero de sentido contrario. Como se deduce de lo que dijimos en el prrafo anterior, es irreductible. Se llama equilibrante a un sistema igual al resultante, pero de sentido contrario, puesto que bastara aplicarlo a un sistema para convertirlo en un sistema de fuerzas en equilibrio. PRINCIPIOS DE LA MECNICA CLSICA Por principio de una ciencia se entiende aquel fundamento o base a partir del cual se deducen los conocimientos. Estos principios pueden ser axiomas, hiptesis, leyes, etc. Como ningn con-tenido de una disciplina es anterior a los principios, stos son indemostrables: se aceptan como verdaderos. Si el desarrollo de la ciencia muestra que los resultados que se obtienen coinciden con la realidad, quedar confirmada la veracidad de los principios. La Mecnica clsica se funda en cuatro principios: la ley del paralelogramo y las tres leyes de Newton. 1. Ley del paralelogramo

La ley del paralelogramo, que tambin se conoce como principio de Stevin por haber sido formulado por el ingeniero militar flamenco Simon Stevin (1548-1620), establece lo siguiente: La resultante de dos fuerzas que concurren en un punto se encuentra en la diagonal del paralelogramo construido con dichas fuerzas, y pasa por dicho punto.

Es decir, si se desea conocer la resultante de las fuerzas F1 y F2 que concurren en el punto A, se representan a escala y se dibuja un paralelogramo cuyos lados son esas dos fuerzas. En la diagonal que contiene al punto A queda determinada la magnitud (a la misma escala empleada) y la direccin de la fuerza resultante buscada.Corolario

Dos fuerzas colineales, de la misma magnitud y de sentido contrario estn en equilibrio. Si el ngulo que forman dos fuerzas cuya lnea de accin pase por el punto A crece hasta aproximarse a los 180, la diagonal del paralelogramo va reduciendo su longitud. Cuando las dos fuerzas estn contenidas en la misma lnea, la resultante ser nula, es decir, el sistema estar en equilibrio. 2. Primera ley de Newton (4) La primera ley de Newton, tambin conocida como ley de la inercia, fue redactada como sigue: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o de movimiento rectilneo uniforme, a menos de que sea obligado por fuerzas externas a cambiar ese estado. A la luz de esta ley, podemos afirmar que una partcula est en estado (i. e., en una situacin estable) de equilibrio cuando se encuentra en reposo o se mueve en lnea recta con velocidad constante (5). Tambin, que es necesaria la accin de otro cuerpo para producir una alteracin del movimiento; o sea, que un cuerpo es incapaz por s mismo de lograrlo: de ah su nombre de ley de la inercia (del latn intertia, = incapacidad). En Mecnica se entiende por inercia la oposicin de un cuerpo a cambiar su estado de reposo o de movimiento rectilneo uniforme. Es proporcional a la masa del cuerpo. 3. Segunda ley de Newton La versin original de la segunda ley de Newton es la siguiente: El cambio del movimiento es proporcional a la fuerza motriz externa, y ocurre segn la lnea recta en la cual se imprime esa fuerza. Al hablar de cambio del movimiento Newton entenda cambio de la cantidad de movimiento. Dicha cantidad es el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad: mv. Como la velocidad es una cantidad caracterizada por su magnitud y su direccin, tambin lo es la cantidad de movimiento: son cantidades vectoriales (que escribiremos con negritas). Esta ley se puede expresar matemticamente as: F = kd(mv)/dtPuesto que la masa no es funcin del tiempo, se puede escribir F = kmdv/dtY dado que si se deriva la velocidad con respecto al tiempo se obtiene su aceleracin, la expresin anterior se convierte en F = kmaSi se elige un sistema de unidades consistente, en el cual la unidad de fuerza produzca la unidad de aceleracin a la unidad de masa, se logra que la constante de proporcionalidad k sea igual a uno, y se llega a una expresin muy prctica: F = maLas aplicaciones de esta ley se estudiarn en el curso de Dinmica. Corolario No se alteran los efectos externos si a un sistema de fuerzas se le aade o se le suprime otro sistema en equilibrio. 4. Tercera ley de Newton (6) La ltima de las leyes de Newton, que l llama axiomas del movimiento, recibe el nombre de ley de la accin y la reaccin y establece una sola proposicin de dos maneras diferentes: Para toda accin hay siempre una reaccin igual y contraria: o bien, las acciones mutuas de dos cuerpos son siempre iguales y de sentido contrario. Tres ejemplos servirn para ilustrar el contenido de esta ley. Accin: un florero ejerce sobre el mueble en que se halla una fuerza de magnitud F dirigida hacia abajo; reaccin: el mueble ejerce una fuerza de magnitud F dirigida hacia arriba. Accin: un estibador empuja una caja con una fuerza de intensidad Q hacia el norte: reaccin: la caja empuja al estibador hacia el sur con una fuerza de intensidad Q. Accin: la rueda trasera de una bicicleta empuja el pavimento hacia atrs con una fuerza de tamao P; reaccin: el pavimento empuja la rueda de la bicicleta con una fuerza de tamao P hacia adelante. Aunque con estas cuatro leyes quedan completos los principios de la Mecnica newtoniana, demostraremos a continuacin un teorema muy til para el estudio de la Esttica. Teorema de la transmisibilidad de las fuerzas

Consideremos un menhir sujeto a la accin de la fuerza F, cuya lnea de accin es AB, y que produce ciertos efectos externos. Vamos a aadir al menhir otras dos fuerzas de magnitud F en la misma lnea de accin, pero de sentido contrario, para que no se alteren los efectos externos que sufre el menhir (Cf. corolario de la segunda ley de Newton). Observamos que la fuerza original y la que tiene un sentido contrario constituyen un sistema en equilibrio, que podemos suprimir sin que se alteren los efectos externos. De modo que la fuerza F aplicada en el punto A produce los mismos efectos que aplicada en B. O sea que hemos demostrado lo siguiente: Las fuerzas pueden deslizarse sobre su lnea de accin sin que se alteren los efectos externos que producen. Este teorema nos permite deducir que basta conocer un punto cualquiera de la lnea de accin de una fuerza para que se determine, o bien su posicin, o bien su lnea de accin. NOTAS DEL CAPTULO I (1) Este resultado esta redondeado a la tercera cifra significativa, segn advertimos en el prefacio. (2) Los conceptos de espacio y tiempo se han omitido porque sus definiciones han sido objeto de un sinfn de discusiones y teoras que exceden las pretensiones de este curso. Adems, consideramos que se trata de conceptos intuitivos y que el estudiante no requiere de ellos ninguna definicin. San Agustn dice Qu es entonces el tiempo? Si nadie me lo pregunta, lo s. Si quiero explicrselo a quien me pregunta, no lo s. (Confessiones XI, XIV). Los escolsticos definen el tiempo como numerus motus secundum prius et posterius (la medida del movimiento segn un antes y un despus). (3) Nos referimos exclusivamente al movimiento local de los cuerpos. Movimiento, en general, es el acto del ser en potencia en tanto que est en potencia. (4) Las versiones originales de los enunciados de las tres leyes aparecen en la serie de ejercicios de este captulo. (5) Nadie ignora que los cuerpos que nos rodean y que decimos que estn quietos, no estn realmente en reposo, pues se mueven junto con la Tierra. Por la misma razn, un cuerpo sobre la Tierra difcilmente puede moverse en lnea recta. No obstante, la aceleracin que sufren los cuerpos en tales condiciones podemos conocerla y es prcticamente imperceptible, de modo que sabemos que no se comete un error significativo si consideramos que estn en reposo o dotados de movimiento rectilneo uniforme. Por otro lado, quin puede sealar algn punto del universo que se halle en reposo? (6) Conviene tener en cuenta que Newton, al formular sus leyes, piensa en lo que nosotros entendemos por partcula, pues prescinde de las dimensiones de los cuerpos, aunque se trate de unos tan grandes como son los planetas.

FUNDAMENTOS DE LA MECNICA CLSICATRABAJO 011. Diga cul es el objeto de estudio de la Mecnica clsica y a qu ciencia pertenece. 2. Adems de la clsica o newtoniana, qu otras ramas de la Mecnica se cultivan actualmente? 3. Enuncie la ley de la gravitacin universal y escriba su expresin matemtica. 4. Qu es el peso de un cuerpo? Cmo se designa su posicin? 5. Si un cuerpo que pesa 100 kg sobre la superficie de la tierra se eleva 2000 km, cunto pesar? Considere que el radio de la tierra mide 6370 km. (Sol. 57.9 kg) 6. Sabiendo que la luna dista de la Tierra una longitud de sesenta radios terrestres (R = 6370 km), calcule a qu distancia d del centro de nuestro planeta debe colocarse un cuerpo de masa m para que las fuer-zas de atraccin que la tierra y la luna ejerzan sobre l sean iguales. La masa de la tierra es seis veces mayor que la de la luna. (Sol. 271 000 km)

7. Enumere las divisiones de la Mecnica clsica, segn el tipo de cuerpos que estudia. 8. Cmo se subdivide el estudio de los cuerpos rgidos? 9. Diga qu estudia la Esttica. 10. Defina los siguientes conceptos: a) cuerpo; b) materia; c) movimiento; d) posicin; e) cuerpo rgido; f) partcula; g) fuerza; h) equilibrio. 11. Cules son las tres caractersticas de una fuerza? 12. Dos fuerzas tienen la misma magnitud y la misma direccin. Para que sean iguales, qu otra caracterstica deben tener en comn?

13. Dos fuerzas tienen la misma magnitud y la misma lnea de accin. Para que sean iguales, qu otra caracterstica deben tener en comn?

14. Explique la diferencia entre una fuerza concentrada y una fuerza distribuida. 15. Qu son sistemas de fuerzas equivalentes? 16. Defina el concepto de resultante de un sistema de fuerzas. 17. El sistema resultante de un sistema de fuerzas, puede estar constituido por: a) cuatro fuerzas? b) dos fuerzas cualesquiera? c) una fuerza? d) un par de fuerzas? e) una fuerza y un par de fuerzas? 18. Qu significa que un sistema de fuerzas est en equilibrio? 19. Si el sistema resultante de un sistema de fuerzas es nulo, est en equilibrio el sistema? 19. Diga en qu consiste componer un sistema de fuerzas. 20. Qu se entiende por resolucin de un sistema de fuerzas? Qu otro nombre recibe este proceso? 21. Qu se entiende por par de fuerzas, o par simplemente? 22. Qu se entiende por principio de una ciencia? 23. Enumere los principios de la Mecnica clsica. 24. El principio de Stevin o ley del paralelogramo, qu enunciado tiene? 25. Determine la magnitud y la direccin de la fuerza resultante de las dos que actan sobre al menhir de la figura, dibujando a escala un paralelogramo con dichas fuerzas.

(Sol.890 N, 17)

FUNDAMENTOS DE LA MECNICA CLSICATRABAJO 02El enunciado de las leyes de Newton, tal como aparece en los Philosophi Naturalis Principia Mathematica, es el siguiente:LEX I. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare. Esta ley, que recibe el nombre de ley de la inercia, se puede traducir as: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o de movimiento rectilneo uniforme, hasta que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar ese estado. a) En qu estados se puede encontrar una partcula para estar en equilibrio? b) Qu se entiende por movimiento rectilneo uniforme? c) Qu significa la palabra inercia? d) En la Mecnica clsica, qu se entiende por inercia?; de qu depende la inercia de un cuerpo? LEX II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impress, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Cuya traduccin es como sigue: El cambio del movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa, y ocurre segn la lnea recta en la cual se imprime esa fuerza. a) En esta ley, qu se entiende por movimiento o, mejor, cantidad de movimiento? b) Modernamente, el cambio de la cantidad de movimiento se sustituye por el producto de la masa por la razn de cambio de la velocidad al tiempo. Qu nombre recibe esta razn? c) Qu nombre reciben ahora tanto las fuerzas impresas como las motrices impresas? d) Con qu palabra se designa a la lnea recta en que ocurre el cambio del movimiento? e) Generalmente la segunda ley de Newton se expresa matemticamente as: F = kma, donde tanto F como a son vectores. De qu manera se logra que la constante de proporcionalidad k sea igual a 1? f) Cules son los dos corolarios de la ley del paralelogramo y de la segunda ley de Newton que resultan tiles a nuestro propsito de estudiar el equilibrio de los sistemas de fuerzas y de transformar dichos sistemas?g) Demuestre la segunda ley de Newton. LEX III. Actioni contrariam semper et qualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse quales et in partes contrarias dirigi. Y su traduccin es: Para toda accin hay siempre una reaccin igual y contraria: o bien, las acciones de dos cuerpos son siempre iguales y se dirigen hacia partes contrarias. a) En el enunciado de esta tercera ley se habla dos veces de igualdad. Qu caractersticas de las fuerzas o acciones deben ser iguales? b) A qu caracterstica de las fuerzas se refiere el hecho de que la accin y la reaccin se dirijan hacia partes contrarias? c) Qu tipo de ser o ente puede ejercer una fuerza o accin? Qu cosa o criatura es capaz de sufrir una fuerza o reaccin?

CAPITULO IIESTUDIO DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS Y DIAGRAMAS DE CUERPO LIBREEQUILIBRIO DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS Seguiremos estudiando solamente los sistemas de fuerzas en el plano. De antemano podemos decir que un sistema de fuerzas est en equilibrio si su resultante es nula, es decir, que los efectos externos que sufre un cuerpo son los mismos si est sujeto a ese sistema o no est sujeto a ninguna fuerza. Las ecuaciones analticas que deber cumplir ese sistema son

Manifestaciones del equilibrio de un cuerpo Antes de pretender investigar si un sistema de fuerzas satisface las ecuaciones de equilibrio, es necesario observar las condiciones mecnicas del cuerpo para saber si, efectivamente, se encuentra en estado de equilibrio. Cuando estudiamos la primera ley de Newton vimos que tanto un cuerpo en reposo como uno que se mueva en lnea recta con velocidad constante estn en equilibrio. Pero adems de estas dos, hay otras dos condiciones que muestran que el cuerpo est en equilibrio: la rotacin uniforme de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa, y la rotacin uniforme de un cuerpo alrededor de un eje que contiene su centro de masa, el cual se mueve en lnea recta con velocidad constante. Estas dos ltimas manifestaciones quedarn demostradas una vez que estudiemos la Cintica de los cuerpos rgidos. Es decir, las manifestaciones del equilibrio de un cuerpo son cuatro: 1. El reposo. Por ejemplo, los pupitres del aula, el edificio de la Facultad, el ngel de la independencia. (1) 2. El movimiento rectilneo uniforme. Un ejemplo sera un carro del metro que se moviera en un tramo recto de va con una velocidad constante de 80 km/h. 3. La rotacin uniforme de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pase por su centro de masa. Por ejemplo, el impulsor de una bomba de agua que gira a 600 rpm, o una polea de una mquina que gire con una velocidad angular constante. 4. La rotacin uniforme de un cuerpo alrededor de un eje que contenga su centro de masa, el cual se mueva en lnea recta con velocidad constante. Pongamos por ejemplo la rueda de un automvil, que se mueva con rapidez constante en una carretera recta. Si un cuerpo no se encuentra en alguna de estas cuatro condiciones, no puede estar en equilibrio. Problemas isostticos y problemas hiperestticos Dijimos arriba que un sistema de fuerzas en equilibrio debe satisfacer las siguientes tres ecuaciones:

Pero ser imposible resolver un problema de Esttica en el que aparezcan cuatro incgnitasSe llaman problemas isostticos aqullos cuyo nmero de incgnitas es igual o inferior al nmero de ecuaciones de equilibrio disponibles. Son hiperestticos los que tienen un nmero de incgnitas mayor que el de ecuaciones de equilibrio disponibles. La Esttica slo se ocupa de problemas isostticos. Apoyos usuales Aunque las formas como se pueden conectar los cuerpos entre s son innumerables, existen ciertos tipos de apoyos o conexiones entre un cuerpo y su entorne que resultan de especial inters para nuestro curso. Los agruparemos segn el nmero de incgnitas que presentan. Apoyos que esconden una sola incgnitaApoyo libre o simple, superficie lisa

Collarn en varilla lisa. Perno en ranura lisa

Apoyos que esconden dos incgnitas Apoyo fijo, articulacin, superficie rugosa.

La direccin de las reacciones en estos apoyos es desconocida. En vez de trabajar con la magnitud y la direccin como incgnitas, se suele recurrir a la descomposicin de las fuerzas desconocidas en sus componentes cartesianas, lo cual facilita generalmente el planteamiento de los problemas. La reaccin de las superficies rugosas se descompone casi siempre en una componente perpendicular (o normal) a la superficie y en otra tangencial o fuerza de friccin. De ah la letras con que se designa la magnitud de esas componentes en el diagrama. Las superficies lisas son incapaces de ejercer esta fuerza de friccin. Apoyos que esconden tres incgnitasDIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE El instrumento ms importante con el que debemos contar para la resolucin de problemas tanto de Esttica como de Cintica (es decir, de aqullos en los que intervienen fuerzas), es el diagrama de cuerpo libre. Su grande importancia radica en que las leyes de Newton, puesto que se refieren a fuerzas externas, se cumplen en cuerpos o en sistemas de cuerpos separados de los que actan sobre ellos: si no se conocen con claridad los lmites del cuerpo en estudio, es imposible determinar las fuerzas externas que puedan alterar su estado. El diagrama de cuerpo libre es un dibujo de un cuerpo aislado y de las fuerzas externas que actan sobre l. Conviene recordar que las fuerzas externas son aquellas que otros cuerpos ejercen sobre el cuerpo en estudio. Aunque conforme vayamos resolviendo problemas de equilibrio iremos adquiriendo prctica en la elaboracin de los diagramas de cuerpo libre, daremos a continuacin algunos ejemplos.EJEMPLOSEjemplo1. La barra de la figura pesa 350 kg y su centro de gravedad es el punto G. Est articulada en el extremo A y libremente apoyada en B. Dibuje su diagrama de cuerpo libre.

Ejemplo2. En cuerpo A de la figura se encuentra sobre una superficie rugosa, mientras que B se halla en una lisa. La cuerda que los une pasa por una polea. Suponga que tanto la cuerda como la polea son ideales; es decir, que la cuerda tiene masa despreciable y es inextensible, y que la polea, adems de tener masa depreciable, puede girar sin friccin alrededor del perno. Dibuje los diagramas de cuerpo libre de A, B y la polea.

Ejemplo3. El camin de la figura pesa 20 toneladas y la caja que transporta, 15 toneladas. El camin asciende por una pendiente del 3%. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la caja y otro del camin.

Equilibrio de los sistemas de fuerzas colineales Para determinar completamente la resultante de un sistema de fuerzas colineales basta emplear la ecuacin R= F. Si el sistema de fuerzas est en equilibrio, entonces la ecuacin que debe cumplirse es:F =0.Puesto que se dispone de una sola ecuacin de equilibrio, en un problema isosttico slo podr aparecer una incgnita, tal como se aprecia en los siguientes ejemplos. Ejemplo4. Una gra levanta a un trabajador de la compaa de luz, metido dentro de una canastilla, con una velocidad constante de 1.2 m/s. Si se sabe que el trabajador pesa 72kg y que la tensin de la cuerda es de 254 kg, cul es el peso propio de la canastilla?

Ejemplo5. Tres cajas A, B y C, de 120, 90 y 60 lb de peso cada una, respectivamente, estn apiladas, cuando un muchacho trata de levantar la caja C jalndola hacia arriba con una fuerza de 20 lb. Para esta condicin, calcule todas las fuerzas externas que actan sobre cada uno de los tres cuerpos.

Teorema del cuerpo sujeto a dos fuerzas Pensemos en un cuerpo sujeto a dos fuerzas de la misma magnitud, pero de direcciones arbitrarias, como se muestra en la figura. Es evidente que el sistema de fuerzas no est en equilibrio, puesto que colocada una a continuacin de la otra, se requiere de una fuerza ms que vaya del origen de la primera a la punta de la segunda. Partiendo de este hecho, puede concluirse el siguiente teorema:

F F

Si un cuerpo en equilibrio est sujeto solamente a dos fuerzas, tales fuerzas son de la misma magnitud, colineales y de sentido contrario. Este teorema se aplica en muchsimos casos, pero son de especial inters los de las cuerdas y los de barras de peso despreciable que estn articuladas sus dos extremos.

Ejemplo6. La mnsula de la figura soporta un gran peso P, de modo que los pesos propios de las barras son despreciables. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de cada una de ellas.

Tensin y compresin La barra AB de la mnsula del problema anterior se podra sustituir por una cuerda, un cable o una cadena y se conseguira el mismo resultado de soportar la carga P. En cambio, no se puede sustituir as la otra barra. La razn es que la barra AB est ejerciendo una tensin, mientras que la BC est sujeta a compresin. Se llama tensin (o traccin) a la fuerza que trata de alargar la longitud de un cuerpo; compresin, a la que trata de acortarla. (Tambin se llaman tensin y compresin los esfuerzos que soportan esos cuerpos por la accin de las respectivas fuerzas.) (3) Equilibrio de los sistemas de fuerzas concurrentes El estudio de las resultantes de los sistemas de fuerzas concurrentes lo dividimos en dos partes: primero estudiamos el caso de sistemas de slo dos fuerzas, luego de ms de dos. Ahora dividiremos el tema del equilibrio tambin en dos: la primera parte se referir a cuerpos sujetos a tres fuerzas, las segunda, a ms de tres fuerzas. A) Equilibrio de cuerpos sujetos a tres fuerzas concurrentes Para determinar la resultante de dos fuerzas concurrentes hemos empleado la ley del tringulo: colocbamos una fuerza a continuacin de otra y la resultante una el origen de la primera con la punta de la segunda. Para que el sistema original de dos fuerzas quede en equilibrio, bastar aadirle una fuerza igual a la resultante, pero de sentido contrario. En el tringulo, basta colocar a continuacin de la segunda fuerza una tercera que llegue al origen de la primera. As tendremos un tringulo cerrado. Utilizando las leyes de senos y cosenos, los problemas de equilibrio de cuerpos sujetos a tres fuerzas se pueden resolver con suma facilidad, como en los ejemplos siguientes.

Ejemplo7. Sabiendo que el dinammetro de la figura marca 80 kg, determine el peso del cuerpo Q y la tensin en la cuerda AC.

Ejemplo8. Los cuerpos mostrados estn en reposo. El cilindro A pesa 26 lb. Calcule el peso del collarn B, sabiendo que la barra vertical es lisa.

Teorema del cuerpo sujeto a tres fuerzas Imaginemos un cuerpo sujeto a tres fuerzas, dos de las cuales concurran en un punto, como se muestra en la figura. La tercera fuerza, cuya lnea de accin no pasa por dicho punto, produce cierto momento con respecto a l, lo cual impide que el cuerpo pueda estar en equilibrio. Con esta reduccin al absurdo hemos demostrado el siguiente teorema: Si un cuerpo en equilibrio est sujeto solamente a la accin de tres fuerzas, y dos de ellas son concurrentes, la tercera tambin es concurrente. Ejemplo9. Las barras de la figura tienen peso despreciable y estn unidas mediante articulaciones. Determine la magnitud y la direccin de las reacciones en los apoyos A y B.

B) Equilibrio de cuerpos sujetos a ms de tres fuerzas concurrentes En la determinacin de las resultantes de ms de dos fuerzas concurrentes, recurrimos a la descomposicin de cada fuerza en sus componentes cartesianas para obtener las componentes cartesianas de la resultante buscada, y luego componamos estas ltimas. Las ecuaciones que nos sirvieron fueron

y por tanto, las ecuaciones que debern satisfacerse son

Es decir la suma algebraica de los componentes de todas las fuerzas del sistema en dos direcciones perpendiculares debe ser igual a cero. Ejemplo10. La placa-unin de la figura, de peso despreciable, est en equilibrio por la accin de los cuatro perfiles soldados sobre ella. Diga qu fuerza Q debe ejercer el cuarto perfil, y cul es el valor del ngulo .

Equilibrio de los sistemas de fuerzas paralelas

Tuvimos necesidad de emplear dos ecuaciones para determinar la resultante de los sistemas de fuerzas paralela:

Lo cual implica que, si el sistema de fuerzas se halla en equilibrio, debe cumplir con las dos siguientes ecuaciones: que quiere decir que la suma algebraica de las fuerzas del sistema es nula, y que la suma de los momentos de todas las fuerzas, con respecto a cualquier punto, es tambin igual a cero. Pero se pueden emplear las dos ltimas ecuaciones, que significan que los momentos de las fuerzas con respecto a dos puntos suman cero, siempre y cuando esos dos puntos no estn contenidos en una lnea paralela a las lneas de accin de las fuerzas del sistema. La ventaja de elegir dos ecuaciones de momentos para la resolucin de los problemas es que los resultados que se obtienen son independientes uno del otro.

Ejemplo11. La viga de la figura est sujeta a la accin de las tres fuerzas mostradas. Sabiendo que su peso es despreciable, determine la magnitud de la reaccin del apoyo B y la distancia d a la que se encuentra del extremo A.

Ejemplo12: El botador de la figura es de peso despreciable. El clavadista pesa 200 lb. Calcule las reacciones en los apoyos A y B.

Podemos comprobar de la siguiente manera: -400+600-200=0 200=200

Como se aprecia en el problema anterior, aunque el apoyo A sea una articulacin, la reaccin no tiene componente horizontal, pues no acta sobre el botador o trampoln ninguna otra fuerza que la compense para mantener el equilibrio. Podemos generalizar esta observacin, estableciendo el siguiente corolario del teorema del cuerpo sujeto a tres fuerzas. Corolario (del teorema del cuerpo sujeto a tres fuerzas) Si un cuerpo en equilibrio est sujeto solamente a la accin de tres fuerzas, y dos de ellas son paralelas, la tercera tambin es paralela. Otra manera de visualizar este corolario es que si la tercera fuerza no fuera paralela a las otras dos, concurra con ambas, y estaramos en el caso de las tres fuerzas concurrentes.

Ejemplo13. La mnsula de la figura est formada por dos barras de peso despreciable, unidas por articulaciones. Determine las reacciones de los apoyos A y B.

Ejemplo 14. Los cuerpos de la figura estn en reposo y A pesa 100 lb. Sabiendo que las cuerdas y las poleas son ideales (de peso despreciable, inextensible aqulla, sin friccin en los pernos stas), calcule el peso del cuerpo B y la reaccin del perno sobre la polea E.

Equilibrio de los sistemas de fuerzas no concurrentes ni paralelas Estudiaremos a continuacin el caso ms general de los sistemas de fuerzas cuyas lneas de accin estn contenidas en el mismo plano; los anteriores son casos particulares. La completa determinacin de la resultante de un sistema de fuerzas no concurrentes ni paralelas se logra mediante las tres siguientes ecuaciones:

de modo que si un sistema de fuerzas est en equilibrio debe satisfacer las siguientes tres ecuaciones:

As como en el caso del equilibrio de las fuerzas paralelas, la ecuacin de la suma algebraica de las fuerzas se puede sustituir por una de momentos, tambin para la resolucin de problemas de equilibrio de sistemas de fuerzas no concurrentes ni paralelas las ecuaciones de proyecciones se pueden cambiar por ecuaciones de momentos; si se eligen dos ecuaciones de momentos, los puntos respecto a los cuales se midan no deben estar contenidos en una lnea paralela al eje de las proyecciones cuya ecuacin se ha de utilizar; si se opta por tres ecuaciones de momentos, los centros no deben estar alineados. Todo esto porque no resultaran ecuaciones independientes y el problema simplemente no se podra resolver.

Ejemplo 15. La barra de la figura es de peso despreciable. Calcule la tensin de la cuerda y la magnitud y direccin de la reaccin en la articulacin B.

ESTUDIO DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS Y DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRETRABAJO 03

1. Es el movimiento de la Tierra una manifestacin del equilibrio del sistema de fuerzas externas que acta sobre ella? (Sol. No) 2. Si en un problema de equilibrio, el nmero de incgnitas es mayor que el de equilibrio, tendr alguna solucin determinada el problema? (Sol. No) 3. Dos cuerpos A y B pesan, respectivamente 83 y 62 kg, equilibran a otros dos, C y D, como se muestra en la figura. Sabiendo que C pesa 120 kg y que los cuerpos estn unidos mediante una cuerda de peso despreciable que pasa por los centros de gravedad de todos ellos, calcule el peso de D y la tensin en cada tramo de la cuerda.

(Sol. PD = 25 kg; TAB = 62 kg; TBC = 145 kg; TCD = 25 kg)

4. Tres cilindros iguales de 2 ft de dimetro y de 70 lb de peso, estn colocados como se indica en la figura. Considerando lisas todas las superficies y que no existe ninguna fuerza de contacto entre los cilindros B y C, se pregunta cul es la tensin en la cuerda que une B con C y las reacciones de los planos sobre el cilindro A. (Sol. T = 40.4 lb; R1 = 121.2 lb 60; R2 = 121.2 lb 60)

5. Dos esferas A y B, cuyos radios y pesos respectivos son 1 m y 200 kg, y 2 m y 500 kg, estn colgadas de un techo mediante cuerdas iguales de 3 m como se ve en la figura. Cunto mide el ngulo ? Cul es la tensin en cada una de las cuerdas?

(Sol. = 61.8; TA = 176.5 kg; TB = 553 kg)

6. La fuerza horizontal P de la figura es de 100 lb y empuja a A para mantener en equilibrio a los dos cuerpos. Si A pesa 50 lb y todas las superficies en contacto son lisas, cunto pesa B? (Sol. 45 lb)

7. Mediante una polea A se suben cargas sobre un plano inclinado, como se muestra en la figura. Suponiendo que el plano es liso, determine la tensin T del cable AB y la compresin Q de la barra AC cuando una caja de 1 ton est subiendo con velocidad constante. (Sol. T = 1.366 ton; Q = 1.866 ton)

8. Determinar la tensin T del cable AB y la compresin C de la barra AC del mecanismo de la figura, sin considerar sus pesos propios. (Sol. T = 16 lb; C = 6.34 lb)

9. Cul es la fuerza nica que puede equilibrar a las cuatro que se muestran en el tablero? (Sol. 23.3 kg; 87.3)

10. Si las magnitudes de las fuerzas que tres de los resortes ejercen sobre A son de 25 kg cada una, cul debe ser el ngulo y cul la magnitud de la fuerza ejercida por el resorte atado a B para que se mantenga el 60 equilibrio?

(Sol. = 120; 48.3 kg ( = 330; 0 kg))

ESTUDIO DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS Y DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRETRABAJO 04

1. Si la lmpara de la figura pesa 27 lb, Cules son las reacciones en las articulaciones A y B ?

(Sol. RA = 36 lb; RB = 45 lb 36.9)

2. calcular las reacciones en los apoyos A y B de la estructura, cuando se encuentra bajo condiciones de carga que se indica. El peso de las barras es despreciable. (Sol. RA = 10 ton 30; RB = 10 ton 30)

3. Una barra homognea que pesa 150 lb est articulada en A y atada a una cuerda en B, como se muestra en la figura. Calcular las magnitudes de las reacciones en A y C. (Sol. RA = 120 lb; RC = 90 lb)

4. Calcular la reaccin en la articulacin A y el peso P del cuerpo que mantiene a la barra de la figura en equilibrio, sin considerar su peso propio.

(Sol. RA = 20.8 lb; 22.7; P=33.6 lb)

5. Si la viga de la figura y la pared en que se recarga son lisas, calcular la reaccin en la articulacin y en la pared, despreciando el peso de la viga.

(Sol. RB = 187.5 kg ; RA = 312 kg 53.0)

6. Calcular las reacciones en los apoyos A y B de la viga, de peso despreciable, que soporta las cuatro fuerzas mostradas.

(Sol. RA = 2100 lb ; RB = 1500 lb )

7. Si el peso de la viga de la figura es de 200 kg, el de la caja 75, y la tensin que debe soportar la cuerda A es de 100 kg, cul debe ser la tensin de la cuerda B y a qu distancia x de A debe colocarse para que el conjunto se mantenga en equilibrio? (Sol. TA = 175 kg; x = 17.85 m )

8. Calcular las reacciones de los apoyos A, B, C, y D de las vigas de peso despreciable que se muestran en la figura.

(Sol. RA = 39.2 lb ; RB = 111 lb ; RC = 105.7 lb; RD = 120.8 lb )

9. Calcule la magnitud F de la fuerza y la distancia x a la que se encuentra de A, si la viga mostrada tiene peso despreciable y se encuentra en equilibrio. (Sol. F = 23 kg; x = 6 m)

10. Si el peso de la viga homognea AB de la figura es de 21 kg, cul es la reaccin en la articulacin A, y cual la tensin T de la cuerda que la sujeta en B?

(Sol. RA = 10.5 kg ; T = 10.5 kg)

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UNIVERSIDAD TECNOLGICA MUNDIAL ESTTICA

Docente: Ing. Ronald Jacobi Lorenzo 28CAPITULO IIINMEROS COMPLEJOS

NMEROS COMPLEJOSTRABAJO 03

NMEROS COMPLEJOSTRABAJO 04

POLINOMIOSTRABAJO 05

POLINOMIOSTRABAJO 06Ecuaciones e inecuaciones

CAPITULO VSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES