Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 2 La fsica es una ciencia que estudia las propiedades de la materia y de la energa,considerandotansololosatributoscapacesdesermedidos.Esuna ciencia emprica. Todo lo que sabemos del mundo fsico y de los principios que rigensucomportamientohasidoaprendido atravsdelaobservacindelos fenmenos de la naturaleza, convalidado con el mtodo cientfico. La prueba definitiva de cualquier teora fsica es su concordancia con las observaciones y mediciones de los fenmenos fsicos (mtodo experimental). MEDICIONES Para la fsica y la qumica, en su calidad de ciencias experimentales, la medidaconstituyeunaoperacinfundamental.Susdescripcionesdelmundo fsicoserefierenamagnitudesopropiedadesmedibles.Lasunidades,como cantidadesdereferenciaaefectosdecomparacin,formanpartedelos resultados de las medidas. Cada dato experimental se acompaa de su error o, almenos,seescribensuscifrasdetalmodoquereflejenlaprecisindela correspondiente medida. MAGNITUDES Y MEDIDA ElgranfsicoinglsLordKelvinconsiderabaquesolamentepuede aceptarse como satisfactorio nuestro conocimiento de algo,si somos capaces deexpresarlomediantenmeros.Auncuandolaafirmacin deKelvintomada al pie de la letra supone la descalificacin de valiosas formas de conocimiento, destaca la importancia del conocimiento cuantitativo. La operacin que permite expresar una propiedad o atributo fsico en forma numrica es precisamente la medida. MAGNITUDES, CANTIDAD Y UNIDAD Lanocindemagnitudestinevitablementerelacionadaconlade medida.Sedenominanmagnitudesaciertaspropiedadesoaspectos observablesdeunsistemafsicoquepuedenserexpresadosenforma Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 3 numrica.Enotrostrminos,lasmagnitudessonpropiedadesoatributos medibles. La longitud, lamasa,elvolumen,la fuerza, lavelocidad, lacantidadde sustancia son ejemplos de magnitudes fsicas. La belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras razones porque no es posible elaborar una escala y mucho menos un aparato que permita determinar cuntas veces una persona o un objeto es ms bello que otro. La sinceridad o la amabilidad tampoco lo son. Se trata de aspectos cualitativos porque indican cualidad y no cantidad. Una cantidad de referencia se denomina unidad y el sistema fsico que encarna la cantidad considerada como una unidad se denomina patrn. LA MEDIDA COMO COMPARACION Lamedidadeunamagnitudfsicasupone,enltimoextremo,la comparacindelobjetoqueencarnadichapropiedadconotrodelamisma naturaleza que se toma como referencia y que constituye el patrn. La medida de longitudes se efectuaba en la antigedad empleando una vara como patrn, es decir, determinando cuntas veces lalongitud del objeto amedircontenaaladepatrn.Lavara,comopredecesoradelmetrode sastre, ha pasado a la historia como una unidad de medida equivalente a 835,9 mm.Estetipodecomparacininmediatadeobjetoscorrespondealas llamadas medidas directas. Confrecuencia,lacomparacinseefectaentreatributosque,aun cuandoestnrelacionadosconloquesedeseamedir,sondediferente naturaleza.Taleselcasodelasmedidastrmicas,enlasquecomparando longitudessobrelaescalagraduadadeuntermmetrosedeterminan temperaturas. Esta otra clase de medidas se denominan indirectas. TIPOS DE MAGNITUDES Entrelasdistintaspropiedadesmediblespuedeestablecerseuna clasificacinbsica.Ungrupoimportantedeellasquedanperfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante un nmero seguido de launidadcorrespondiente.Estetipodemagnitudesrecibenelnombrede magnitudes escalares. La longitud, el volumen, la masa, la temperatura, son sloalgunosejemplos.Sinembargo,existenotrasqueprecisanparasutotal definicinqueseespecifique,ademsdeloselementosanteriores,una direccinounarectadeaccinyunsentido:sonlasllamadasmagnitudes vectoriales.Lafuerzaesunejemploclarodemagnitudvectorial,puessus efectosalactuarsobreuncuerpodependernnoslodesucantidad,sino tambin de la lnea a lo largo de la cual se ejerza su accin. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 4 Aligualquelosnmerosrealessonutilizadospararepresentar cantidadesescalares,lascantidadesvectorialesrequierenelempleodeotros elementosmatemticosdiferentesdelosnmeros,conmayorcapacidadde descripcin. Estos elementos matemticos que pueden representar intensidad, direccin y sentido se denominan vectores. Las magnitudes que se manejan en la vida diaria son, por lo general, escalares. SISTEMAS DE UNIDADES Enlascienciasfsicastantolasleyescomolasdefinicionesrelacionan matemticamente entre s grupos, por lo general amplios, de magnitudes. Por elloesposibleseleccionarunconjuntoreducidoperocompletode ellasdetal modoquecualquierotramagnitudpuedaserexpresadaenfuncindedicho conjunto.Esaspocasmagnitudesrelacionadassedenominanmagnitudes fundamentales, mientras que el resto que pueden expresarse en funcin de las fundamentales reciben el nombre de magnitudes derivadas. Cuando se ha elegido ese conjunto reducido y completo de magnitudes fundamentalesysehandefinidocorrectamentesusunidades correspondientes,sedisponeentoncesdeunsistemadeunidades.La definicin de unidades dentro de un sistema se atiene a diferentes criterios. As la unidadha deserconstantecomocorrespondeasufuncindecantidad de referencia equivalente para las diferentes mediciones, pero tambin ha de ser reproducible con relativa facilidad en un laboratorio. As, por ejemplo, la definicin de amperio como unidad de intensidad de corrientehaevolucionadosobrelabasedeestecriterio.Debidoaquelas fuerzassesabenmedircon bastanteprecisinyfacilidad,en la actualidadse define el amperio a partir de un fenmeno electromagntico en el que aparecen fuerzasentreconductorescuyamagnituddependedelaintensidadde corriente. EL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS (SI) Lascondicionesdedefinicindeunsistemadeunidadespermitirael establecimientodeunaconsiderablevariedaddeellos.As,esposibleelegir conjuntos de magnitudes fundamentales diferentes o incluso, aun aceptando el mismo conjunto, elegir y definir unidades distintas de un sistema a otro. Desde unpuntodevistaformal,cadacientficoocadapaspodraoperarconsu propio sistema de unidades, sin embargo, y aunque en el pasado tal situacin se ha dado con cierta frecuencia (recurdense los pases anglosajones con sus millas, pies, libras, grados Fahrenheit, etc.), existe una tendencia generalizada a adoptar un mismo sistema de unidades con el fin de facilitar la cooperacin y comunicacin en el terreno cientfico y tcnico. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 5 Otrossistemassonelcegesimal-centmetro,gramo,segundo-,el terrestre o tcnico -metro-kilogramo, fuerza-segundo-, el Giorgi o MKS - metro, kilogramo,segundo-yelsistemamtricodecimal,muyextendidoenciencia, industriaycomercio,yqueconstituylabasedeelaboracindelSistema Internacional. El SI es el sistema prctico de unidades de medidas adoptado por la XI ConferenciaGeneraldePesasyMedidascelebradaenoctubrede1960en Pars.Trabajasobresietemagnitudesfundamentales(longitud,masa,tiempo, intensidaddecorrienteelctrica,temperaturaabsoluta,intensidadluminosay cantidaddesustancia)delasquesedeterminansuscorrespondientes unidades fundamentales (metro, kilogramo, segundo, ampere, Kelvin, candela y mol). De estas siete unidades se definen las derivadas (coulomb, joule, newton, pascal, volt, ohm, etc.), adems de otras suplementarias de estas ltimas. Las unidades base del Sistema Internacional de Unidades son: MAGNITUD BASENOMBRESIMBOLO longitud masa tiempo corriente elctrica temperatura termodinmica cantidad de sustancia intensidad luminosa metro kilogramo segundo Ampere Kelvin mol candela m kg s A K mol cd UNIDADES DERIVADAS Ciertasunidadesderivadashanrecibidounosnombresysmbolos especiales.Estasunidadespuedenasmismoserutilizadasencombinacin conotrasunidadesbaseoderivadasparaexpresarunidadesdeotras cantidades.Estosnombresysmbolosespecialessonunaformadeexpresar unidades de uso frecuente. coulomb(C):Cantidaddeelectricidadtransportadaenunsegundopor una corriente de un amperio. joule(J):Trabajoproducidoporunafuerzadeunnewtoncuandosu punto de aplicacin se desplaza la distancia de un metro en la direccin de la fuerza. newton (N): Es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de1kilogramo,lecomunicaunaaceleracinde1metroporsegundo,cada segundo. pascal(Pa):Unidaddepresin.Eslapresinuniformeque,actuando sobreunasuperficie plana de1metrocuadrado,ejerceperpendicularmentea esta superficie una fuerza total de 1 newton. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 6 volt(V):Unidaddetensinelctrica,potencialelctrico,fuerza electromotriz. Es la diferencia de potencial elctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre esos puntos es igual a 1 watt. watt(W):Potenciaqueda lugaraunaproduccindeenergaiguala1 joule por segundo. ohm (): Unidad de resistencia elctrica. Es la resistencia elctrica que existeentredospuntosdeunconductorcuandounadiferenciadepotencial constantede1voltaplicadaentreestosdospuntosproduce,endicho conductor,unacorrientedeintensidad1ampere,cuandonohayafuerza electromotriz en el conductor. weber (Wb): Unidad de flujo magntico, flujo de induccin magntica. Es el flujo magntico que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en 1 segundo por decrecimiento uniforme. MAGNITUD DERIVADANOMBRESIMBOLO EXPRESADAS EN TERMINOS DE OTRAS UNIDADES DEL SI EXPRESADAS EN TERMINOS DE LAS UNIDADES BASE DEL SI ngulo planoradinrad m.m-1=1 ngulo slidoestereorradinsr m .m-2=1 frecuenciahertzHz s-1 fuerzanewtonN m.kg.s-2 presin, esfuerzopascalPaN/m m-1.kg.s-2 energa, trabajo, calorjouleJN.mm .kg.s-2 potencia, flujo de energawattWJ/sm .kg.s- temperatura CelsiusCelsiusC K Longitud 1 ao luz= 9,460 73x1015 m 1 milla (mi) = 1 760 yd = 5 280 ft = 63 360 in = 1 609,344 m 1 ngstrom () = 1x10-10 m 1 pie (ft) = 12 in = 0,304 8 m 1 pulgada (in) = 0,025 4 m 1 micrn () = 1x10-6 m 1 prsec (pe) = 3,085 678x1016 m 1 yarda (yd) = 3 ft = 36 in = 0,914 4 m 1 milla, nutica = 1,852 km = 1 852 m Masa 1 grano = 6,479 891x10-5 kg 1 slug (slug) = 14,593 9 kg 1 libra (lb) = 16 oz = 0,453 592 4 kg 1 onza (oz) = 2,834 952x10-2 kg 1 ton, mtrica (t) = 1 000 kg Tiempo 1 ao = 365 d = 8 760 h = 525 600 min = 31 536 000 s 1 ao [sideral] = 3,155 815x107 s 1 ao [tropical] = 3,155 693x107 s 1 da (d) = 24 h = 1 440 min = 86 400 s Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 7 1 da [sideral] = 8 616,409 s 1 hora (h) = 60 min = 3 600 s 1 minuto (min) = 60 s 1 minuto [sideral] = 59,836 17 s ESTATICA Es la parte de la mecnica que estudia las leyes del equilibrio. Vectores: Son modelos matemticos. Sea el vector V, representa una cantidad fsica y, se compone de: 1.Mdulo: (magnitud) valor numrico y absoluto del mismo, expresa la cantidad que representa el mismo y se le asigna una unidad. 2. Direccin: recta de accin, que segn el sistema de referencia posee una inclinacin . 3.Sentido:segnelsistemadereferencia,tendrsignopositivoo negativo. 4.Origen:puntodeaplicacin.Muchosdelovectoresenlafsicason deslizablesloquesignificaquepuedencarecerdepuntodeaplicacin, movindose por su recta de accin o direccin. Fuerza: es el ente fsico capaz de modificar el estado de movimiento de uncuerpo,tambindeformndolo(aunqueenestecursoestudiaremosslo cuerpos rgidos, indeformables). Es una magnitudvectorial (que se representa conunvector)ysuunidadenelSistemaInternacionaleselNewton(N= kilogramo.metro/seg2).LlamaremosResultantedeunsistemaalasuma vectorial de un sistema de vectores de algn tipo (eventualmente a las fuerzas aplicadas a un cuerpo). Una resultante importante de analizar es el Peso de los cuerpos. Primera Condicin de Equilibrio o de Equilibrio Traslacional.Lasumaalgebraicadelasfuerzasaplicadasauncuerpoenuna direccin cualquiera es igual a cero. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 8 VECTORES Sidospersonashacenfuerzasenla mismadireccinysentido,susfuerzasse suman.Losvectoresquerepresentansus fuerzas tambin se suman y el resultado de esa suma se denomina Resultante, Res.Enestecaso,laresultantetienela mismadireccinysentidoquelasfuerzas originalesysumduloesigualalasumade ellos. Res= F1 + F2 F = F1 + F2 Por ejemplo, si el grande empuja con una fuerza de 15 kgf y el chico con una fuerza de 8 kgf, la cosa funciona como si hubiese una sola persona empujando con una fuerza de 23 kgf . (23 = 15 + 8) Sidospersonashacenfuerzasenla mismadireccinperoconsentidosopuestosla resultantetendr lamismadireccindeambas, elsentidodelamsgrande(mdulomayor)y sumduloserigualalarestaentrelos mdulos F = Res=F1 F2 Laoperacinsiguellamndosesuma.Yla resultante se sigue llamando sumatoria. Por ejemplo, si el grande empuja con una fuerza de 15 kgf y el chico resiste conunafuerzade8kgf,lacosafuncionacomosihubieseunasolapersona empujando con una fuerza de 7 kgf . (7 = 15 8). Si dos personas tiran de una caja con sogas confuerzasdedistintaintensidad,ytambin, condistintasdirecciones,lacajareacciona como si una sola soga estuviera tirando de ella, eslafuerzaresultante,quetendruna direccin intermedia y un mdulo que se puede obtener grfica o analticamente. Hay que destacar que la suma de vectores, salvo en los casos unidireccionalescitados ms arriba, no ocurre como si de nmeros se tratara.PorejemploennuestrocasolafuerzadeF1= 15 kgf , el otro una de F2 = 8 kgf , y la resultante, o sea, la suma de ambaspuede valer, digamos, 19 kgf , dependiendo del ngulo que forman F1 con F2. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 9 VECTORES - MULTIPLICACION POR UN NUMEROLosvectorespuedenmultiplicarseporunnmero(real)cualquiera.Por ejemplo,sitenemosunvectorVylomultiplicamospor3,elresultadoesun nuevovectorquetienelamismadireccinyelmismosentidoqueV,yun mdulo 3 veces mayor. De modo que multiplicar por un nmeroesunaoperacinqueslo afecta al mdulo de los vectores. Enmuchoslibrosdetextoa estaoperacinselallamaproducto porunescalar(peronoloconfundas conproductoescalar,queesotra cosa).

Laoperacinlaescribiramosas(usandosmboloscorrectosparalos vectores, es decir, con flechita arriba): V . 3 = 3 V = U Elnmeroporelquesemultiplicanonecesariamentedebeserentero. Por ejemplo: V . 3,54 = 3,54 V Elnmeroporelquesemultiplicaunvectorpuedeser negativo.Enese caso adems de alterar el mdulo, invierte el sentido.

Elsignomenosdelescalar cambiaelsentidooriginaldelvector departidadelaoperacin. Simblicamente: V . (-3) = -3 V = W

Esta operacin permite expresar cualquier vector en funcin de otro.

SUMA DE VECTORES, MTODO GRFICOParasumargrficamentedosvectoreshaydosmtodos.El primero se llama mtodo del paralelogramo. Consisteencolocar losdosvectores quesedeseansumarenunmismoorigen, luegoconstruirunparalelogramo(un cuadrilteroqueposeesusladosno consecutivosparalelos)tomandocomo lados los dos vectores. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 10 Elvectorsumaesaquelquetiene origenenelmismoorigendelosvectores quesesumanyextremoenelvrtice opuestodelparalelogramo.Coincideas, conunadelasdiagonalesdel paralelogramo. A + B = S Laotradiagonalse correspondecon larestade los vectores.Larestanoes conmutativa,conlosvectores tampoco: B A =R1 A B =R2 Elsegundomtododesumarvectoressellamamtododela poligonal y consiste en dibujar un vector a continuacin de otro: Loquetienedebuenoelmtodode la poligonal es que se puede iterar repetidas vecessinmuchadificultadparasumarun nmerograndedevectores.(Unpocoms laborioso es el del paralelogramo. Elvectorsuma,tambinsuele llamarse resultante.

DESCOMPOSICIN DE VECTORESParapoderoperaranalticamenteconvectoresesapropiado previamentehaceruna descomposicin,en componentesparalelasa los ejes de un sistema de referencia.

Supongamosquetenemoselvector A,quepodrarepresentarcualquier magnitudvectorial:unafuerza,una velocidad,unaaceleracin...Para descomponerlonecesitamosprimeroun sistema de referencia, x-y.PorelextremodeAtrazorectas paralelas a los ejes.

Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 11 Cuandoesasrectascortanlosejes quedadefinidounpunto(llamado coordenada)queeselextremodelos vectores componentes de A.Entoncesquedandefinidaslas componentesdeA,tambinllamadas proyecciones de A sobre los ejes del SR.

En el ejemplo, el mdulo de Ax vale 7 y el mdulo de Ay vale 2. La componente de A sobre el eje x suele recibir el nombre Ax. Y la componente sobre el eje y, Ay. Se calculan usando los conceptos de la trigonometra. Entreelvectororiginalysuscomponenteshayestablecidas ciertas relaciones matemticas, por ejemplo la relacin pitagrica: Ax + Ay = A En el ejemplo, el mdulo de A resulta valer 7,28 PREGUNTAS CONCEPTUALES 1) Si se tira de los extremos de una cuerda en equilibrio con dos fuerzas iguales y de direccin opuesta, por qu la tensin total en la cuerda es cero? 2)Uncaballoestenganchadoauncarro.Comoel carrotiradel caballohaciaatrs conlamismafuerzaquestetiradelcarro,porqunopermaneceelcarroenequilibrio, independientemente de lo que tire el caballo? 3)Cmosepuedeempujarhaciaabajoelpedaldeunabicicletaylograrquela bicicleta se mueva hacia adelante? EJERCICIOS 1) Calcular para la fuerza de la figura y tomando 1 cm = 5 N: a) Hallar grficamente las componentes horizontal y vertical. b) Verificar analticamente. Respuesta: a) 25,7 N y 30,6 N 2) Un bloque se arrastra hacia arriba por un plano inclinado 20 sobre la horizontal con una fuerza F que forma un ngulo de 30 con el plano. Determinar: a) El valor de F para que su componente Fx paralela al plano sea de 16 N. b) El valor de la componente Fy perpendicular al plano. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 12 Respuesta: a) 18,5 Nb) 9,2 N 3) Utilizando el mtodo de descomposicin vectorial, hallar la resultante y el ngulo que forma el siguiente sistema de fuerzas: F1= 200 N en el eje x dirigida hacia la derecha F2 = 300 N, 60 por encima del eje x, hacia la derecha F3 = 100 N, 45 sobre el eje x, hacia la derecha F4 = 200 N en la direccin negativa del eje y Respuesta: 308 N y 25 4) Dos fuerzas F1 y F2 actan sobre un punto, F1es de 8 N y su direccin forma un ngulo de 60 por encima del eje x en el primer cuadrante, F2 es de 5 N y su direccin forma un ngulo de 53 por debajo del eje x en el cuarto cuadrante, determinar: a) Las componentes de la resultante. b) La magnitud de la resultante. c) La magnitud de la diferencia F1 - F2. Respuesta: a) 7,01 N y 2,93 N, b) 7,6 N, c) 11 N 5) Dos hombres y un muchacho quieren empujar un bloque en la direccin x de la figura, los hombres empujan con las fuerzas F1 y F2. a) qu fuerza mnima deber emplear el muchacho para lograr el cometido? b) qu direccin tendr dicha fuerza? Respuesta: a) 46,6 N, b) perpendicular a x 6) Dos pesos de 10 N estn suspendidos en los extremos de una cuerda que pasa por una polea ligera sin rozamiento. La polea est sujeta a una cadena que cuelga del techo. Determinar: a) La tensin de la cuerda. b) La tensin de la cadena. Respuesta: a) 10 N, b) 20 N 7) Puede estar un cuerpo en equilibrio cuando sobre l acta una fuerza?. Dibuja un ejemplo. 8) Un globo se mantiene en el aire sin ascender ni descender. Est en equilibrio?, qu fuerzas actan sobre l?. 9) Segn el caso de la figura determinar el peso del cuerpo suspendido si la tensin de la cuerda diagonal es de 20 N. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 13 Respuesta: 14,1 N 10) El bloque A de la figura pesa 100 N, el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es de 0,30. El bloque B pesa 20 N y el sistema est en equilibrio. Determinar: a) El valor de la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A. b) El peso mximo que puede tener el bloque B para que el sistema permanezca en equilibrio. Respuesta: a) 20 N, b) 30 N 11) Un bloque es arrastrado hacia la derecha a velocidad constante por una fuerza de 10 N que acta formando un ngulo de 30 sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y le superficie es de 0,50. Cul es el peso del bloque?. Respuesta: 22,3 N 12) Hay que bajar una caja fuerte de 2000 N a velocidad constante por una de 4 m de longitud, desde un camin de 2 m de altura. El coeficiente de rozamiento entre la caja fuerte y la rampa es de 0,30. Determinar: a) Hay que empujar o frenar la caja? b) Qu fuerza paralela a la rampa es necesaria? Respuesta: a) Frenar, b) 480 N 13) Se levanta un cuerpo de 200 kgf mediante un plano inclinado de 2,8 m de largo y 1,5 m de altura. El extremo de la cuerda que sube el cuerpo, se adapta a un torno, cuya manivela es de 0,8 m y el radio del torno es de 0,2 m. Cul es la potencia aplicada al torno, para mantener el sistema en equilibrio? Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 14 Respuesta: 26,75 kgf CINEMATICA GLOSARIO Cinemtica. Disciplina cientfica que se dedica a estudiar el movimiento en s mismo, prescindiendo de la naturaleza del mvil. Posicin,x:Lugarqueunmvilocupaenelespacio.Ntesequelos mvilestpicosdelacinemticasonmvilespuntuales,notienenvolumen, ocupan nada, son un punto. Las posiciones se indican en cualquier unidad de longitud. Desplazamiento,(X2X1),X12:Diferenciaentredosposiciones(la posicinposteriormenoslaposicinanterior).Habitualmentesedice"final menos inicial"; no est mal del todo pero induce a error, porque la gente tiende a pensar que se trata del inicio y del final del movimiento, y generalmente no es as. Lo importante es restar la posicin que el mvil ocupa despus, menos la que ocupa antes. Instante de tiempo, t:Momento nico e irrepetible en el transcurso del tiempo.Elinstantenoduranada:niunsegundo,niunmicrosegundo,niun nanosegundo. Intervalodetiempo,(t2t1),t12:Tambinllamadolapso,tardanza, duracin,etc.Setratadeltiempoquetranscurreentredosinstantes.Se obtiene restando el instante posterior menos el instante anterior. Hay gente que dice"tiempofinalmenostiempoinicial".Noestdeltodomalperoinducea error,porqueda apensarquesetratadelfinal delmovimientoydelprincipio del movimiento, y generalmente no lo son. Velocidad media, Vm: Es el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalodetiempocorrespondiente.Semideencualquierunidaddelongitud dividida cualquier unidad de tiempo, por ejemplom/s. Se trata de un concepto bastanteparecidoalconceptonaturaleintuitivoquetenemosdevelocidad, cuandohablamosdevelocidadconunamigo.Peronoesexactamentelo mismo.SloeslomismosinosestamosrefiriendoaunMRU(VER DEFINICION DE RAPIDEZ). Velocidad,ovelocidadreal,ovelocidadinstantnea,V:Esel cocienteentreundesplazamientoyelintervalodetiempocorrespondiente siempreycuandoelintervaloconsideradoseamuy,muypequeito.Perola ideaesbiensimple:eslavelocidadcomnysilvestrequetodosconocemos. Laque indicaelvelocmetrode losautomviles,porejemplo.Ojo:solamente coincide con la velocidad media en el MRU! (VER DEFINICION DE RAPIDEZ). Aceleracinmedia,am:Eselcocienteentreunincrementooun decrementodevelocidadyelintervalodetiempoenelqueesavariacin transcurre. Se mide en cualquier unidad de velocidad dividida cualquier unidad de tiempo. Por ejemplo m/s. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 15 Trayectoria: Sucesin de posiciones por las que va pasando un mvil.Ecuacinhoraria,x=f(t):Cualquierfuncinmatemticaentreel conjuntodelasposiciones,x,yelconjuntodelosinstantesdetiempo,t.Tal relacinbienpuedeestarrepresentandounmovimiento.Losmovimientos tpicostienenecuacioneshorariastpicas.Debidoalaversatilidadyala precisindelamatemtica,yporsucapacidaddealmacenaje,laecuacin horaria es la herramienta ms importante para hacer cinemtica. Esquema:Herramientacinemticautilsima,queconsisteendibujarla trayectoriayconsignarsobreellalainformacincinemticadelaquese disponga,enlaproximidad(lomsjuntoposible)delaposicin correspondiente.Es lamssencilla de las herramientascinemticas.Tiene la capacidad de organizar espacial y temporalmente toda la informacin de la que sedispone,inclusodelosdatosquesebuscan.Tienelavirtuddeordenary nombrar todo lo que interviene en un problema, ya sea dato o incgnita. Lo que estenelesquemanosepierde.Unesquemabienhechoycompletoes garanta casi absoluta de que el ejercicio estar bien resuelto. Movimiento rectilneo uniforme, MRUSe trata del tipo de movimiento ms sencillo que se pueda imaginar. Su nombre lo caracteriza: la palabra rectilneo indica que la trayectoria coincide con una recta; y la palabra uniforme que la velocidad, V, del mvil es constante. Segn el esquema Un mvil animado con un MRU avanza distancias iguales en tiempos iguales. Un grfico posicin en funcin del tiempo, de un MRU es el siguiente: Cualquier recta oblicua bien puede representar un MRU. Si la funcin es creciente y decimos que se trata de un movimiento de avance. Si la recta se inclina hacia abajo, representa un movimiento de retroceso. Si la recta fuese horizontal representara un mvil que no cambia la posicin, est detenido o en reposo. Tambin lo incluimos dentro de los MRU. La orientacin prohibida es la vertical: indicara que el mvil se encuentra en infinitas posiciones en un mismo instante... imposible. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 16 La recta no necesariamente debe pasar por la posicin X =0 en el instante t =0. Inventemos un ejemplo, cuyos datos voy a volcar es esta Tabla de Valores:x (m) t (s)09 -1215 180 12324-3 Si representamos los puntos en un grfico aparece el que tenemos ah abajo. Lomsimportantedel MRU,esquesitomamos cualquierdesplazamientoylo dividimosporelintervalode tiempocorrespondienteaese desplazamiento,siemprenos va a dar el mismo nmero; ese cocienteesconstante (independientedelospares queelijasparaconsiderarel desplazamientoyel intervalo)...esecocienteesla velocidadmedia,Vm,(queen elMRU-ysloenelMRU- concuerda con la RAPIDEZ). Delatabladevalores elijamosalazarundospares cualesquierayarmemosel cociente.Porejemploel segundoyeltercerrenglnde la tabla. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 17 Lo importante es que respetes la correspondencia entre cada posicin y su instante. En el MRU -y slo en l- no hace falta recordar que se trata de la velocidad media y lo vamos a llamar directamente velocidad, V.La herramienta cinemtica que describe con mayor precisin y generosidad los movimientos es la ecuacin horaria. En los MRU tiene siempre esta pinta:x =xo +v ( t to ) x y t son las variables. Si no aparecen, no hay ecuacin horaria. El resto: xo , V y to , son constantes, o sea nmeros. Pero no son variables, son constantes!. Ennuestro ejemplodemsarriba lavelocidaderaV = 2 m/s,ypodramos tomar comoxo y to los que figuran en el cuarto rengln de la tabla ya que el nico requisitoquedebentenerxoytoson:corresponderseentresyserperteneral movimiento. Nuestra ecuacin quedara as:x =12 m 2 m/s ( t 3 s ) eso es una ecuacin horaria, no cabe duda, porque contiene x y contiene t. Adems te puedo asegurar que xo =12 m, V = 2 m/s y to =3 s. Tambin podramos haberla armado eligiendo el quinto rengln de la tabla:x =24 m 2 m/s ( t+3 s )

x (m) t (s)09 -1215 180 12324-3 85 Siacualquieradelasdosecuaciones(queen realidadsonlamisma)lehacemoslamisma pregunta,nosdarnlamismarespuesta.Por ejemplo; dnde se hallara el mvil en el instante t6 = 5s...Encualquieradelasdos,dondedicet escribimos5 s, luego hacemos la cuentita, y del otro lado del igual aparece x6 = 8 m.

Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 18 Una ecuacin horaria es una expresin capaz de decirte en qu posicin se encuentra un mvil en cualquier instante de tiempo. Es un almacn de informacin cinemtica,guardainfinitosparesdeinformacinposicin-tiempo.Sideun movimientocualquiera,conocslaecuacinhoraria,yaest,esemovimientono tiene ms secretos para vos.

IMPORTANTE

Lavelocidadpropiamentedicha,llamadavelocidadreal,(avecestambin velocidad lineal o velocidad tangencial) no es un concepto sencillo de definir matemticamente.Hayquehacerusodeherramientasmatemticas sofisticadas como el lmite, o la derivada. Por suerte en el MRU no hace falta, porquecoincideplenamenteconelconceptodevelocidadmedia,que matemticamente es una pavada.PorquelmodelodeecuacinhorariadelMRUtienelaformaquetiene? Sencillamente,silagrficadeunMRUesunarectaoblicua,entoncesla funcinmatemticaquedescribeesemovimientonopuedeserotraquela funcin de una recta... y eso es justamente lo que es.Lainclinacindelarecta(alosfsicoslesgustallamarlapendiente)nos informa sobre la rapidez del movimiento: cuanto ms inclinada ms rpido es el movimiento; cuanto menos inclinada ms lento es.

Movimiento rectilneo uniformemente variado, MRUV Se trata de un tipo de movimiento muy caracterstico, que adems de sencillo, aparecebastanteseguidoenlanaturaleza.Sunombrelocaracteriza:lapalabra rectilneoindicaquelatrayectoriacoincideconunarecta;ylapalabravariado alude a la velocidad, que ya no es constante... pero que vara uniformemente .

La velocidad -ahora variable- ya no se puede igualar a la velocidad media. En elesquemaobservamos:entiemposiguales,aumentosigualesdevelocidad.Los desplazamientosyanosoniguales,dadoqueamayorvelocidad,tendremos mayores desplazamientos. La flecha de abajo del ciclista representa la velocidad. Un grfico velocidad-tiempo tpico de un MRUV podra ser el siguiente:Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 19 UnarectaoblicuabienpuederepresentarunMRUV.Sila inclinacin es como sta la llamamos ascendente o creciente y decimosquesetratadeunmovimientodeaumentode velocidad;yalainversa:descendenteodecreciente,quese correspondecondisminucionesdelavelocidad.Perola inclinacinnadanosinformasobresielmvilavanzao retrocede.Parasabersielmvilavanzaoretrocedehayqueprestar atencin al signo de la velocidad (o sea, grficamente: si est arriba o abajo del eje de los tiempos). Si la recta fuese horizontal representara un mvil que no cambia la velocidad, y en ese caso se tratara de un MRU. Aunque parezca ridculo tambin lo incluimos dentro de los MRUV. La orientacin prohibida es la vertical: indicara que el mvil posee infinitas velocidades en un mismo instante. Larectanonecesariamentepasaporlaposicinv =0enelinstantet =0. Como ves, lavelocidadse comporta en el MRUV como laposicin en elMRU.Seguro que hay una ecuacin horaria (la llamamos segunda ecuacin horaria) que describe cmo vara la velocidad a travs del tiempo: V =Vo +a ( t to ) vvytsonlasvariables.Sinoaparecen,fuiste;nohayecuacinhoraria.El resto:vo ,ayto ,sonconstantes,oseanmeros.vo yto sonunavelocidad cualquieraqueelmviltengayelinstanteenquelahayatenido(osea,se corresponden entre s). Ya es la magnitud que describe el cambio de velocidad y se llama aceleracin. Justamente, la caracterstica fundamental delMRUV es a =cte. Gracias a eso, podemos calcularla como una aceleracin media, am. Lgicamente, el plato fuerte delMRUV es su primeraecuacin horaria, que describe cul es la posicin del mvil en cualquier instante de tiempo. Es sta: x =xo +vo ( t to ) + a . ( t to ) x y t son las variables. El resto: xo , Vo , a y to , son constantes, o sea nmeros (con unidades). Con suerte te dan el valor de esas constantes. Si no te los dan, tal vez los puedas encontrar. Pero no son variables, son constantes!. Veamos un ejemplo. Supongamos un MURV en el que xo =10 m , vo =2 m/s , a = 2 m/s y to = 4 s Sus ecuaciones horarias seran las siguientes: Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 20 x =10 m +2 m/s . ( t 4 s ) 1 m/s . ( t 4 s )v =2 m/s 2 m/s . ( t 4 s )

t (s) x (m) v (m/s)-23814 01410 226 4102 6102 826 Tambin voy volcando los valores encontrados a sendos grficos posicin-tiempo y velocidad-tiempo Si la aceleracin es positiva la velocidad (no la rapidez) aumentar siempre y en forma constante. La grfica de posicin ser una parbola de concavidad positiva.Rapidez es el mdulo de la velocidad (la cantidad sola, sin el signo Si la aceleracin es negativa (como en nuestro ejemplo) la velocidad (no la rapidez) disminuir siempre y en forma constante. La grfica de posicin ser una parbola de concavidad negativa.

LOS GRAFICOSSonunaherramientacinemticautilsima;nuncadejesdehacerlosconcada ejercicioqueresuelvas.Sonherramientastanclarasydidcticasquehoytodoel mundo explica sus cosas con grficos. En cinemtica SE DEBEN HACER SIEMPRE DE ESTA FORMA!!!!: de a tres, posicinenfuncindeltiempo,velocidadenfuncindeltiempoyaceleracinen funcindeltiempo.Enelordenenquelosescrib,encolumnados,yconlamisma escala de tiempo. Te lo muestro con este ejemplo Levoyairdandovaloresaty obteniendolasposicionesy velocidadescorrespondientesa esosinstantes.Ylosvoy volcando en la tabla. Por ejemplo donde dice tescribo -2 s, y hago lacuentita.Ladeposicin meda 38m,(tuvequeescribir-2s dosveces)yladevelocidad14 m/s. Y as. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 21

1ro.- posicin tiempo 2do.- velocidad tiempo 3ro.- aceleracin - tiempoEsteordennoesarbitrario,tienesulgica (fundamentado en el hecho que cada funcin es la derivada de la anterior). El hecho de que estn encolumnados y con la misma escala de tiempo te ofrece informacin simultnea en un solo golpe de vista, y te permite pensarcosasinteresantes.Porejemplolacurva deposicin,ladearriba:elnicomomentoen que la curva no tiene inclinacin es en el instante inicial; justo ah el segundo grfico te dice que la velocidad es cero. Avecessombreamosalgunasreas.Los grficossuelenalbergarmuchams informacinquelaquemuestranenprimera instancia. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 22 Nuevamentedeatres,enelmismoorden, encolumnados, y con la misma escala de tiempo. Siempreempezconeldeaceleracin, que es el ms fcil, luego el de velocidad y por ltimo el de posicin. Vas a ver cmo, hacerlos en ese orden te ayuda a no cometer errores. Siempre el de abajo (que es el ms fcil) ayuda a predecir el de arriba (que es ms difcil). Los problemas de tiro oblicuo se representan con6grficos:laternadeloshorizontalesyla terna de los verticales. Conlaprcticavasaverquelosgrficos tienenunapotencialidadinsospechada.Hay muchamsinformacinquelaquetedan aparentemente. .Curiosidades geomtricas en cinemtica Es comn en cinemtica estudiar el movimiento de dos cuerpos que se muevenindependientementeparaencontrarelpuntoenquesustrayectorias coinciden. Enalgunasocasionessellegaaresultadoscuriososqueelprofesor puede utilizar para despertar el inters de sus alumnos. Losdosproblemassiguientesrequierenparasusolucindeun conocimientoelementaldelacinemticaen unadimensinysuresultadono deja de llamar la atencin. Problema 1 En el momento en que se encienda la luz verde de un semforo de transito arranca desde el reposo un automvil con una aceleracin constante aA0-2. En el mismo instante, un camin que se mueve con una velocidad constante Vc0 alcanza y rebasa el automvil. Un cierto tiempo despus el automvil alcanza al camin. A qu velocidad ir el automvil en ese instante? Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 23 GRFICA DE TRAYECTORIA Cuando el automvil alcanza al camin su velocidad es del doble de la del camin Qu Curioso no? Se puede visualizar en la grfica de V vs t que para que las dos reas sean iguales la velocidad media del automvil debe ser igual a la velocidad media del camin. Problema 2: En el momento en que se encienda la luz verde de un semforo de transito arranca desde el reposo un automvil con una aceleracin constante aA0-F. En el mismo instante, un camin que se mueve con una velocidad constante Vc0 se encuentra a una distancia X atrs del automvil; el camin alcanza al automvil en un punto P, para un instante despus de ser dejado atrs por el automvil. A qu distancia del punto de partida del automvil, es ste ltimo alcanzado por el camin? Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 24 GRFICA DE TRAYECTORIA Cuando el camin alcanza al automvil, ste ha recorrido una distancia igual a la distancia a la que se encontraba el camin por detrs del auto Qu Curioso no? Es fcil visualizar en la grfica V vs t que el desplazamiento del camin es el doble del auto Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 25 CAIDA DE CUERPOS Una de las consecuencias ms resistidas sobre los movimientos libres es la cuestin del signo de g. Es comprensible, porque todo el mundo piensa que si un cuerpo sube libremente debe tener una aceleracin distinta de cuando baja libremente. Sin embargo el signo de g depende exclusivamente del SR, y para nada de lo que haga el mvil.

El signo de g depende exclusivamente del sistema de referencia (SR) y NO de si el mvil sube o baja.Si elegimos un SR positivo hacia arriba... g = 10 m/s Si elegimos un SR positivo hacia abajo... g = + 10 m/s

El motivo es bien sencillo: la aceleracin de los cuerpos libres, g, siempre apunta hacia abajo... haga lo que haga el cuerpo. Luego en un SR que apunte hacia arriba g debe ser negativo, y en un SR que apunte hacia abajo g debe ser positivo.

Pensenuncuerpoquearrojshacia arriba con toda tu fuerza y el cuerpo regresa atumanodespuesdeunrato.Una experiencia sencilla. Te consta que al salir de tumanolohacemuuuyrpido,despuesse vadeteniendo,llegaunmomentoenquese detiene por completo (justo ah deja de subir yempiezaabajar)yluegoemprendeel caminoderegreso...primerolentamente despuscadavezmsrpido.Hastaaqu vamos bien? Bueno, para ms datos: llega a tumanoconlamismarapidezquelaque parti. Bueno,ahoravamosaasignarle velocidades(estimadas,inventadas)para7 momentosdiferentes(lospuntosrojos): apenassale,yaalcanz1mdealtura,ya esta2mdealtura,alcanzlaaltura mxima,vuelveapasarporlos2m,ahora estadevueltaa1myporltimollegade nuevo a tu mano.

Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 26 SilasvelocidadeslasasignoconunSRqueapuntahacia arriba, podran ser (no te olvides que son velocidades estimadas)... 10, 6, 2, 0, -2, -6, -10... (en las unidades correspondientes).Aigualalturaigualrapidez(mdulodelavelocidad).Yloms importante:ConunSRqueapuntahaciaarribalasvelocidadesde bajada (en naranja) son negativas (movimiento de retroceso). Yacvienelaconclusin:laVELOCIDAD(nolarapidez) siempredisminuye(-10esmschicoque-6).Luegolaaceleracin debe ser negativa durante TODO el viaje, tanto a la subida como a la bajada.

Ahora volvemos a inventar velocidades pero evaluadas desde un SR que apunta hacia abajo. Ac la aceleracin de la gravedad debe ser positiva, de modo que debemos encontrar que la velocidad siempre aumenta. Veamos. Las velocidades iniciales, de subida, deben ser negativas (flechas celestes) ya que representan un retroceso para ese SR. Y las velocidades de bajada (naranjas) deben ser positivas (avance segn nuestro SR).Podran ser: -10, -6, -2, 0, 2, 6, 10 (con las unidades correspondientes).Y ahora, fijate: la VELOCIDAD (no la rapidez) SIEMPRE aumenta, tanto durante la subida como durante la bajada... luego la aceleracion debe ser siempre positiva. No importa si el cuerpo sube o baja... la velocidad aumenta en todo momento.

Porltimo,cmotendramosquegraficarELMISMO MOVIMIENTOdenuestroejemplo(untirovertical)condosSR diferentes: apuntando hacia arriba (izquierda) y apuntando hacia abajo (derecha).

Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 27 IMPORTANTE

Laaceleracindecadadeloscuerpossobrelasuperficie terrestredependeladealturaalaqueestncayendo.Esmayor cuanto ms cerca de la superficie (del nivel del mar) se encuentra. De todosmodosvaramuypoco.Elvalor,queadoptaremosparala ejecucindelosproblemas,msaproximadoparaelniveldelmar sobre las latitudes centrales es 9,81 m/s. Ejemplo: Tiro oblicuo Un jugador de ftbol efecta un saque de arco. La pelota pica enlacancha60mmsadelantey4segundosdespusdehaber partido.Hallarlavelocidaddelapelotaenelpuntomsaltoycon qu velocidad llega a tierra. Cuntas ecuaciones horarias describen este problema?Tres,como todo TO. Para hallarlas basta con reemplazar las constantes (to ,xo,yo,Vx,Voy,yg)delasecuacionesgeneralesdelostiros oblicuos: x = xo + Vx ( t to ) y = yo + Voy ( t to ) + g ( t to ) vy = Voy+ g ( t to ) Enelesquema,enelglobitoquehabladelpunto0,estn todas las constantes que necesitamos para armar las ecuaciones que describen el movimiento del cuerpo.x = Vx. t y = Voy. t 5 m/s . t Vy = Voy 10 m/s . t

Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 28 x1 = Vx . t1 [1] y1 = Voy . t1 5 m/s . t1 [2] 0 m/s = Voy 10 m/s . t1 [3] 60 m = Vx . 4 s[4] 0 m = Voy. 4 s 5 m/s . 16 s [5] V2y = Voy 10 m/s . 4 s [6]

Estas son las ecuaciones especializadas para los instantes que a vos te interesan.Quedunsistemadetantasecuacionescomoincgnitas (6x6),enlasquelasincgnitas,sisabemosinterpretarlas,sonlas que nos pide el enunciado del problema. De la ecuacin [4]Vx = 60 m / 4 s = 15 m/slomismohacsconla[5],quetambintieneunasola incgnitaVoy = 80 m / 4 s = 20 m/ssabiendo cunto vale Voy vamos a la [3] y despejamos t1 t1 = 20 m/s / 10 m/s = 2 sContodosestosdatosrecinhalladosnosvamosalas ecuaciones [1] y [2] x1 = 15 m/s . 2 s = 30 mPor ltimo:y1 = 20 m/s. 2 s 5 m/s . 4 s = 20 mlonicoquefaltaesinterpretarqueenelpuntomsaltola velocidaddelcuerponoesotraquesuvelocidadenx,yaqueah, justo ah, su velocidad vertical es cero v1 = vx = 15 m/s Por ltimo, de [6] V2y = 20 m/s 10 m/s . 4 s = -20 m/s Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 29 ParahallarV2hayquecomponerV2yconVx.Aplicandoel teoremadePitgoras...ybuscandoelarcocuyatangentevaleV2y/ Vx... v2 = 25 m/s ; 2 = 59

RESUMIENDO LOS MOVIMIENTOS. PARTICULARIZACIONES 1)M.R.U.V. Acelerado: a > 0 xf = xo + vo.t + .a.t (Ecuacin de posicin) Vf = Vo + a.t (Ecuacin de velocidad) Vf = Vo + 2.a.x 2)M.R.U.V. Retardado: a < 0 xf = xo + Vo.t - .a.t (Ecuacin de posicin) Vf = Vo - a.t (Ecuacin develocidad) Vf = Vo - 2.a.x 3)Cada libre: Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la friccin del aire) cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleracin constante. En este caso, la aceleracin es aproximadamente de 9,8 m/s . Al final del primer segundo,el cuerpo habra cado 4,9 m y tendra una velocidad de 9,8 m/s. Al final del siguiente segundo, el mismo cuerpo habra cado 19,6 m y tendra una velocidad de 19,6 m/s. En la cada libre el movimiento acelerado donde la aceleracin es la de la gravedad y carece de velocidad inicial. a = g Vo = 0 Vf = .g.t (Ecuacin de posicin) Vf = g.t (Ecuacin de velocidad) Vf = 2.g.y 4)Tiro vertical: Movimientoaceleradodondelaaceleracinesladelagravedadyla direccin del movimiento, puede ser ascendente o descendente. a = g Vo 0 Vf = yo + Vo.t - .g.t (Ecuacin de posicin) Vf = Vo - g.t (Ecuacin de velocidad) Vf = Vo - 2.a.y Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 30 5)Tiro parablico: Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ngulo con la horizontal. Debido a lagravedad,lapelotaexperimentaunaaceleracinconstantedirigidahacia abajoqueprimeroreducelavelocidadverticalhaciaarribaquetenaal principioydespusaumentasuvelocidadhaciaabajomientrascaehaciael suelo.Entretanto,lacomponentehorizontal delavelocidad inicialpermanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en direccin horizontal hasta que alcanza el suelo.Lascomponentesverticalyhorizontaldelmovimientoson independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parbola. Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U. En eje x: Vx = constante a = 0 En eje y: a = g Vo 0 MODELOS DE ECUACIONES HORARIAS (DE TODOS LOS TIPOS DE MOVIMIENTOS QUE APARECEN EN EL CURSO) Modelo de ecuacin horaria del MRU x = xo + V ( t to ) Modelos de ecuaciones horarias del MRUV x = xo + Vo ( t to ) + a ( t to )2 V = Vo + a ( t to ) Modelos de ecuaciones horarias de los movimientos libres verticales (MLV) y = yo + Vo ( t to ) + g ( t to )2 V = Vo + g ( t to ) Modelos de ecuaciones horarias del TIRO OBLICUO (TO)x = xo + Vx ( t to ) Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 31 y = yo + Voy ( t to ) + g ( t to ) Vy = Voy+ g ( t to ) Si mirs todas las variables de cada ecuacin, vas a ver que se trata de una sola ecuacin, la del MRUV. La del MRU es la misma pero con la aceleracin igual a cero. PREGUNTAS CONCEPTUALES 1)Cul de los dos movimientos representados tiene mayor velocidad?, por qu? Respuesta: El movimiento 1 es el ms rpido (teniendo en cuenta que se comparan en la misma grfica). Porque V = x/t Para el caso 1: V 1 = x1/t1 Para el caso 2: V 2 = x2/t2 Para compara hacemos t = t1 = t2. Entonces para un mismo lapso de tiempo notamos que x1 > x2. 2) Es cierto que si en un movimiento rectilneo uniforme la velocidad es el doble que en otro, la grfica x = f(t), trazada en un mismo par de ejes, tiene el doble de pendiente que en el primer caso?, por qu? Respuesta: Si, ya que: V = x / t Si V1 = x1 / t1. Si V2 = x2 / t2. Por ejemplo para V1 sea el doble que V 2 significa que: V1 = 2.V2 Para compara hacemos t1 = t2. Reemplazamos: V1 = x1 / t1 (pendiente del movimiento 1). V2 = x2 / t1 (pendiente del movimiento 2). Aplicamos la igualdad: V1 = 2. V 2 x1 / t1 = 2.x2 / t1 x1 = 2.x2 Nos dice que recorre el doble de espacio en el mismo lapso de tiempo. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 32 3) En un grfico x vs t: Qu relacin existe entresu pendiente y la tangente trigonomtrica? Respuesta Lapendienteeslaraznentreeldesplazamientoeneleje"x"yelperodode tiempo en el eje "t" entre dos punto de la grfica de velocidad. Esta grfica tiene una inclinacin determinada por un ngulo (), la tangente de es la velocidad. tg = x / t = V. PREGUNTAS CAPCIOSAS

Un cuerpo apoyado sobre una mesa... est sometido a la aceleracin de la gravedad?Se podr demostrar que las dos ecuaciones que escrib en este apunte son la misma? Entonces... ser que cada movimiento tiene una y solo una ecuacin horaria que lo describe... pero esa ecuacin horaria se puede escribir de infinitas formas diferentes?Qu movimientos de la naturaleza conocs, que sean MRU?Puede un cuerpo arrancar desde el reposo e ir cada vez ms rpido con una aceleracin negativa? (Ojo, que la respuesta es SI). EJERCICIOS 1)A cuntos m/s equivale la velocidad de un mvil que se desplaza a 72 km/h? Datos: V = 72 km/h 2) Un mvil viaja en lnea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s durante 9 s, y luegoconvelocidadmediade480cm/sdurante7s,siendoambasvelocidadesdelmismo sentido: a) cul es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?. b) cul es la velocidad media del viaje completo?. Datos: v1 = 1.200 cm/s t1 = 9 s v2 = 480 cm/s t2 = 7 s a) El desplazamiento es: x = V . t Para cada lapso de tiempo: x1 = (1200 cm/s).9 s x1 = 10800 cm x2 = (480 cm/s).7 s x2 = 3360 cm El desplazamiento total es: Xt = X1 + x2 Xt = 10800 cm + 3360 cm

Xt = 14160 cm = 141,6 m Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 33 b) Como el tiempo total es: tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s Con el desplazamiento total recin calculado aplicamos: V = xt / tt = 141,6 m/16 s v = 8,85 m/s 3)Resolverelproblemaanterior,suponiendoquelasvelocidadessondedistinto sentido. a) Si son de distinto sentido: Xt = X1 - x2 Xt = 10800 cm - 3360 cm Xt = 7440 cm = 74,4 m b) v = xt/tt v = 74,4 m/16 s v = 4,65 m/s 4) En el grfico, se representa un movimiento rectilneo uniforme, averige grfica y analticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s. Datos: v = 4 m/s t = 4 s v = x / t x = v . t x = 4 m/s . 4 s x = 16 m 5) Un mvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t1 = 0 s y t2 = 4 s, sus posiciones son x1 = 9,5 cm y x2 = 25,5 cm. Determinar: a) Velocidad del mvil. b) Su posicin en t3 = 1 s. c) Las ecuaciones de movimiento. d) Su abscisa en el instante t4 = 2,5 s. e) Los grficos x = f(t) y v = f(t) del mvil. Datos: t1 = 0 s x1 = 9,5 cm t2 = 4 s x2 = 25,5 cm a) Como: v = x / t v = (x2 - x1) / (t2 - t1) v = (25,5 cm - 9,5 cm) / (4 s - 0 s) v = 16 cm / 4 s v = 4 cm/s b) Para t3 = 1 s: v = x / t x = v.t x = (4 cm/s).1 s x = 4 cm Sumado a la posicin inicial: x3 = x1 + x x3 = 9,5 cm + 4 cm x3 = 13,5 cm Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 34 c) x = 4 (cm/s).t + 9,5 cm d) Con la ecuacin anterior para t4 = 2,5 s: x4 = (4 cm/s).t4 + 9,5 cm x4 = (4 cm/s).2,5 s + 9,5 cm x4 = 19,5 cm 6) Una partcula se mueve en la direccin del eje x y en sentido de los x > 0. Sabiendo que la velocidad es 2 m/s, y su posicin es x0 = -4 m, trazar las grficas x = f(t) y V = f(t). Datos: v = 2 m/s x0 = -4 m 7)Unautopartedelreposo,alos5sposeeunavelocidadde90km/h,sisu aceleracin es constante, calcular: a) Cunto vale la aceleracin? b) Qu espacio recorri en esos 5 s? c) Qu velocidad tendr los 11 s? Datos: v0 = 0 km/h = 0 m/s vf = 90 km/h = (90 km/h).(1000 m / 1 km).(1 h / 3600 s) = 25 m/s t = 5 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t / 2

a) De la ecuacin (1): vf = a.t t =vf/a a = (25 m/s)/(5 s) a = 5 m/s

b) De la ecuacin (2): x = v0.t + a.t /2 = a.t /2 = (5 m/s ).(5 s) / 2 x = 62,5 m c) para t = 11 s aplicamos la ecuacin (1): vf = (5 m/ ).(11 s) vf = 55 m/s 8)Unmotociclistapartedelreposoytarda10senrecorrer20m.Qutiempo necesitar para alcanzar 40 km/h?. Datos: V0 = 0 m/s t = 10 s x = 20 m Vf2 = 40 km/h = (40 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 11,11 m/s Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 35 Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t /2 De la ecuacin (1): vf = a.t t =Vf/a (3) Reemplazando (3) en (2): x = (vf / t).t / 2= vf.t / 2 = 2.x / t = 2.(20 m)/(10 s) vf = 4 m/s Con ste dato aplicamos nuevamente la ecuacin (1): a = (4 m/s) / (10 s) a = 0,4 m/s Finalmente con la aceleracin y la velocidad final dada: Vf2 = v0 + a.t = a.t t = Vf2/a = (11,11 m/s)/(0,4 m/s ) t = 27,77 s 9) Un mvil se desplaza con MUV partiendo del reposo con una aceleracin de 51840 km/h , calcular: a) Qu velocidad tendr los 10 s? b) Qu distancia habr recorrido a los 32 s de la partida?. c) Representar grficamente la velocidad en funcin del tiempo. Datos: V0 = 0 km/h = 0 m/s a = 51840 km/h = (51840 km/h ).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s).(1 h/3600 s) = 4 m/s t1 = 10 s t2 = 32 s Ecuaciones: (1) Vf = V0 + a.t (2) x = V0.t + a.t / 2 a) De la ecuacin (1): Vf = (4 m/s ).(10 s) Vf = 40 m/s b) De la ecuacin (2): x = (4 m/s ).(32 s) / 2 x = 2048 m c) 10)Unautomvilpartedelreposoconunaaceleracinconstantede30m/s, transcurridos 2 minutos deja de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar: a) Cuntos km recorri en los 2 primeros minutos?. b) Qu distancia habr recorrido a las 2 horas de la partida?. Datos: v0 = 0 m/s a = 30 m/s t1 = 2 min = 120 s t2 = 2 h = 7200 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t /2 a) De la ecuacin (2): x1 = (30 m/s ).(120 s) /2 = 216000 m x1 = 216 km b) De la ecuacin (1) hallamos la velocidad a los 2 min: vf = (30 m/s ).(120 s) vf = 3600 m/s A partir de ahora la velocidad es constante, por lo tanto: v = 3600 m/s Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 36 pero vf = v0 para la segunda parte y para un tiempo de: t = t2 - t1 t = 7200 s - 120 s t = 7080 s Primero calculamos la distancia recorrida con una velocidad constante: x2 = v.t x2 = (3600 m/s).(7080 s) = 25488000 m x2 = 25488 km Ahora calculamos la distancia recorrida durante los 7200 s sumando ambas distancias: x = x1 + x2 = 216000 m + 25488000 m = 25704000 m x = 25704 km 11) Un mvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25 s, y recorre una distancia de 400 m hasta detenerse. Determinar: a) Qu velocidad tena el mvil antes de aplicar los frenos?. b) Qu desaceleracin produjeron los frenos?. Datos: t = 25 s x = 400 m vf = 0 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t /2 a) De la ecuacin (1): vf = v0 + a.t 0 = v0 + a.t a = -v0/t (3) Reemplazando (3) en (2): x = v0.t + a.t /2 = v0.t + (-v0/t).t /2 = v0.t - v0.t/2 = v0.t/2 v0 = 2.x/t vf = 2.(400 m)/(25 s) vf = 32 m/s

b) Con ste dato aplicamos nuevamente la ecuacin (1): a = (-32 m/s)/(25 s) a = -1,28 m/s 12)Unauto marchaauna velocidadde90km/h.El conductoraplica losfrenosenel instante en que ve el pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegaralpozo.Determinaraqudistanciadelobstculoelconductoraplicolosfrenos, suponiendo que la aceleracin fue constante. Datos: v0 = 90 km/h = (90 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 25 m/s vf = 0,2.25 m/s = 5 m/s t = 4 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t /2

De la ecuacin (1): vf = v0 + a.t a = (vf - v0)/t a = (25 m/s - 5 m/s)/(4 s) a = 5 m/s Con la aceleracin y la ecuacin (2): x = (25 m/s).(4 s) + (5 m/s ).(4 s) /2 x = 60 m 13)Unautomvilpartedelreposoconunaaceleracinconstantede3m/s, determinar: a) Qu velocidad tendr a los 8 s de haber iniciado el movimiento?. b) Qu distancia habr recorrido en ese lapso?. Datos:a = 3 m/s Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 37 t = 8 s v0 = 0 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t /2

a) De la ecuacin (1): vf = (3 m/s ).(8 s) vf = 24 m/s

b) De la ecuacin (2): x = (3 m/s ).(8 s) /2 x = 96 m 14) Grafique, en el movimiento de frenado de un auto, V = f(t). Suponga a = -1 m/s y V0 = 10 m/s. Del grfico calcule el tiempo que demora en detenerse. Datos: a = -1 m/s v0 = 10 m/s Como la aceleracin es la pendiente de la recta: t = 10 s 15)Unmvilsedesplazasobreeleje"x" con movimientouniformemente variado.La posicin en el instante t0 = 0 s es x0 = 10 m; su velocidad inicial es v0 = 8 m/s y su aceleracin a =-4 m/s . Escribir las ecuaciones horarias del movimiento; graficar la posicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo; y calcular (a) la posicin, (b) velocidad y (c) aceleracin para tf = 2 s. Datos: t0 = 0 s x0 = 10 m v0 = 8 m/s a = -4 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + a.t (2) x = v0.t + a.t / 2 Las ecuaciones horarias son: vf = 8 m/s + (-4 m/s ).t x = 10 m + (8 m/s).t+ (-4 m/s ).t / 2 a) x = 18 m b) vf = 0 m/s c) 0 m/s Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 38 Empleando las ecuaciones horarias para t = 2 s: 16) Analizar los movimientos rectilneos a y b representados en las siguientes grficas: Si la posicin en t = 0 es 5 m para el movimiento a y 50 km para el b, expresar analticamente las ecuaciones del movimiento a partir de los datos incluidos en las grficas. Datos: x0a = 5 m x0b = 50 km Es un movimiento uniformemente desacelerado. La aceleracin se obtiene de la pendiente de cada recta. Las ecuaciones para (a) son: vf = 20 m/s + (-2,67 m/s ).t x = 5 m + (20 m/s).t + (-2,67 m/s ).t /2 Las ecuaciones para (b) son: vf = 200 km/h + (-20 km/h ).t x = 50 km + (200 km/h).t + (-20 km/h ).t /2 Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 39 17) Grafique x = f(t) para un mvil que parte de x = 6 m con v0 = 2 m/s y a = -0,2 m/s . Datos: x = 6 m v0 = 2 m/s a = -0,2 m/s Las ecuaciones horarias son: vf = 2 m/s + (-0,2 m/s ).t x = 6 m + (2 m/s).t + (-0,2 m/s ).t /2 x = 6 m + (2 m/s).t - (0,1 m/s ).t t (s)x (m) 06 17,9 29,6 311,1 412,4 18) Determinar grficamente la aceleracin en los siguientes grficos: En los tres primeros grficos es nula. El grfico inferior derecho no es funcin. 19) De estos dos grficos, cul representa el movimiento ms veloz? y por qu? Para analizar o comparar grficos siempre se debe tener en cuenta lo que se representa en cada eje, as como la escala y las unidades en cada eje. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 40 Son grficos de posicin en funcin del tiempo y se representan rectas, por lo tanto se trata de dos movimientos con velocidad constante, en ste caso la pendiente de la recta es la velocidad, para el caso: v = x / t v1 = x1 / t1 v1 = 10 m / 4 s v1 = 2,5 m/s v2 = x2 / t2 v2 = 10 m / 2 s v2 = 5 m/s El grfico (2) representa un movimiento ms veloz. 20) Cul de los dos movimientos representado, el (1) o el (2), tiene mayor velocidad?, por qu? Para analizar o comparar grficos siempre se debe tener en cuenta lo que se representa en cada eje, as como la escala y las unidades en cada eje. Como no tiene los ejes graduados no se puede emitir un resultado. 21) Hallar las pendientes de las tres rectas, expresndolas en las unidades correspondientes, luego analice si es correcto graficar a la izquierda del eje vertical. v1 = x1 / t1 v1 = (x1f - x10) / (t1f - t10) v1 = (40 km - 0 km) / (1 h - 0 h) v1 = 40 km/h v2 = x2/t2 v2 = (x2f - x20) / (t2f - t20) v2 = (10 km - 2 km) / ( 4 s - 0 s) v2 = 2 km/s v3 = x3 / t3 v3 = (x3f - x30) / (t3f - t30) v3 = (0 m - 12 m) / ( 8 s - 0 s) v3 = -1,5 m/s No se puede graficar a la izquierda del eje vertical, no existe el tiempo negativo. Responder el siguiente cuestionario: Pregunta n 1) Qu tipo de movimiento es la cada de los cuerpos?. Pregunta n 2) Cuando un cuerpo cae libremente, cmo varia su velocidad?. Pregunta n 3) Cuando un cuerpo cae libremente, cmo varia su aceleracin?. Pregunta n 4) Cmo se produce la cada de los cuerpos en el vacio?. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 41 MOVIMIENTO EN EL PLANO 1) Un piloto, volando horizontalmente a 500 m de altura y 1080 km/h, lanza una bomba. Calcular: a) Cunto tarda en or la explosin?. b) A qu distancia se encontraba el objetivo?. Se recuerda que en tiro parablico y tiro oblicuo el movimiento en el eje "x" es rectilneo uniforme, mientras en el eje "y" es uniformemente variado (asociar con tiro vertical y cada libre). Donde no se indica se emplea g = 10 m/s . Datos: vx = 1080 km/h = 300 m/s g = 10 m/s . v0y = 0 m/s h = 500 m Ecuaciones: (1) v fy = v0y + g.t (2) h = v0y.t + g.t /2 (3) vx = x/t El grfico es:

El tiempo que tarda en caer la bomba lo calculamos de la ecuacin (2): t = 10 s La distancia recorrida por la bomba a lo largo del eje "x" ser: vx = x/t x = vx.t x = (300 m/s).(10 s) x = 3000 m Es la respuesta al punto (b). En el mismo instante que la bomba toca el suelo el avin pasa sobre ella, es decir 500 m sobre la explosin. Si la velocidad del sonido es 330 m/s: vx = x/t t = x/vx t = (500 m)/(330 m/s) t = 1,52 s La respuesta al punto (a) es: t = 10s + 1,52 s t = 11,52 s 2) Un avin que vuela a 2000 m de altura con una velocidad de 800 km/h suelta una bomba cuando se encuentra a 5000 m del objetivo. Determinar: a) A qu distancia del objetivo cae la bomba?. b) Cunto tarda la bomba en llegar al suelo?. c) Dnde esta el avin al explotar la bomba?. Se recuerda que en tiro parablico y tiro oblicuo el movimiento en el eje "x" es rectilneo uniforme, mientras en el eje "y" es uniformemente variado (asociar con tiro vertical y cada libre). Donde no se indica se emplea g = 10 m/s . Datos: vx = 800 km/h = 222,22 m/s v0y = 0 m/s h = 2000 m d = 5000 m Ecuaciones: Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 42 (1) v fy = v0y + g.t (2) h = v0y.t + g.t /2 (3) vx = x/t El grfico es:

a) Primero calculamos el tiempo que demora en caer, de la ecuacin (2): h = g.t /2 t = 2.h/g t = 20 s Luego con la ecuacin (3) obtenemos el punto de impacto: vx = x/t x = vx.t x = (222,22 m/s).(20 s) x = 444,44 m Por lo tanto el proyectil cae a: d = 5000 m - 444,44 m d = 555,55 m b) Es el tiempo hallado anteriormente: t = 20 s c) Sobre la bomba, ambos mantienen la misma velocidad en el eje "x". 3) Un proyectil es disparado desde un acantilado de 20 m de altura en direccin paralela al ro, ste hace impacto en el agua a 2000 m del lugar del disparo. Determinar: a) Qu velocidad inicial tena el proyectil?. b) Cunto tard en tocar el agua?. Se recuerda que en tiro parablico y tiro oblicuo el movimiento en el eje "x" es rectilneo uniforme, mientras en el eje "y" es uniformemente variado (asociar con tiro vertical y cada libre). Donde no se indica se emplea g = 10 m/s . Datos: v0y = 0 m/s h = 20 m d = 2000 m Ecuaciones: (1) v fy = v0y + g.t (2) h = v0y.t + g.t /2 (3) vx = x/t El grfico es:

Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 43 a) De la ecuacin (3) despejamos el tiempo: t = x/vx (4) y reemplazamos la (4) en la (2): vx = 1000 m/s b) De la ecuacin (4): t = x/vx t = (2000 m)/(1000 m/s) t = 2 s 4) Una pelota esta rodando con velocidad constante sobre una mesa de 2 m de altura, a los 0,5 s de haberse cado de la mesa esta a 0,2 m de ella. Calcular: a) Qu velocidad traa?. b) A qu distancia de la mesa estar al llegar al suelo?. c) Cul era su distancia al suelo a los 0,5 s?. Se recuerda que en tiro parablico y tiro oblicuo el movimiento en el eje "x" es rectilneo uniforme, mientras en el eje "y" es uniformemente variado (asociar con tiro vertical y cada libre). Datos: v0y = 0 m/s h = 2 m t = 0,5 s d = 0,2 m Ecuaciones: (1) v fy = v0y + g.t (2) h = v0y.t + g.t /2 (3) vx = x/t El grfico es:

a) De la ecuacin (3): vx = (0,2 m)/(0,5 s) vx = 0,4 m/s b) De la ecuacin (2) hallamos el tiempo que tarda en caer: h = g.t /2 t = 2.h/g Reemplazamos en la ecuacin (3): x = 0,253 m Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 44 c) Aplicando la ecuacin (2) obtenemos la distancia recorrida: h = g.t /2 h = (10 m/s ).(0,5 s) /2 h = 1,25 m Por lo tanto estar a 0,75 m del suelo. 5) Se dispara un perdign con un rifle de aire comprimido, desde lo alto de una colina. El proyectil parte con una velocidad de 50 m/s, en una direccin que forma un ngulo de 37 con la horizontal, despreciando el rozamiento, determinar: a) La posicin del perdign a los 2 s, 5 s y 8 s despus de haber partido, respectivamente y representar en un diagrama X-Y. b) Las componentes de los vectores velocidad en los instantes anteriores, representar dichos vectores, en el diagrama anterior, en las cuatro posiciones conocidas. c) Instante, posicin y velocidad en el momento en que se encuentra al mismo nivel que el de partida. d) Sin hacer cuentas, justifique entre que instantes de los especificados cree Ud. que el proyectil alcanzar la mxima altura, qu velocidad tendr all?, calclelo ahora y verifique su hiptesis. e) Con toda la informacin anterior, dibujar la trayectoria del proyectil y escribir la ecuacin de la misma. Respuesta: a) (80 m;40,4 m), (200 m;27,5 m) y (320 m;-73,6 m) b) (40 m/s;10,4 m/s),(40 m/s;-19 m/s) y (40 m/s;-48,4 m/s) c) 6,12 s; (244,8 m;0 m) y (40 m/s;-60 m/s)d) 3,06 s y 0 m/se) 0,75.x - 0,003.x/m 6) Desarrollar el problema anterior para un ngulo de partida de 53. Respuesta: a) (60 m;60,4 m), (150 m;77,5 m) y (240 m;6,4 m)b) (30 m/s;20,4 m/s), (30 m/s;-9 m/s) y (30 m/s;-38,4 m/s)c) 8,16 s; (244,8 m;0 m) y (40 m/s;-60 m/s)d) 4,08 s y 0 m/s e) 1,33.x - 0,005.x/m 7) Un gato maulla con ganas, instalado sobre un muro de 2 m de altura, Pedro est en su jardn, frente a l y a 18 m del muro, y pretende ahuyentarlo arrojndole un zapato. El proyectil parte con una velocidad de 15 m/s, formando un ngulo de 53 con la horizontal, desde una altura de 1,25 m, determinar: a) A qu distancia por encima de donde estaba el gato pas el zapato? b) A qu distancia al otro lado del muro lleg el zapato? Respuesta: a) 3,65 mb) 4,95 m 8) Un jugador de ftbol efecta un saque de arco, la pelota pica en la cancha 60 m ms adelante y 4 s despus de haber partido. Hallar la velocidad de la pelota en el punto ms alto y con que velocidad llega a tierra. Respuesta: a) 15 m/sb) (15 m/s;-19,6 ms)

Respuesta: a) 2,57 s b) -37 32 17"c) 15,13 m/sd) 13,65 m 10) Susana arroja horizontalmente su llavero desde la ventana de su departamento, y Gerardo lo recibe a 1,2 m de altura sobre el piso, 0,8 s despus. Sabiendo que Gerardo se encuentra a 4,8 m del frente de la casa de Susana, hallar: a) A qu altura del piso parti el llavero? b) Con qu velocidad lleg a las manos de Gerardo? Respuesta: a) 4,34 mb) (6; -7,84) m/s Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 45 11) Un esquiador que se desliza por una rampa inclinada 30 llega al borde con cierta velocidad. Luego de un segundo de vuelo libre, retoma la pista, ms abajo, 4,33 m delante del borde de la rampa. Determinar: a) Qu velocidad tena en el borde de la rampa? b) Con qu velocidad lleg a la pista?. c) Qu desnivel haba entre el borde de la rampa y la pista?. Respuesta: a) 5 m/sb) 7,4 m c) (4,33; -12,3) m/s 12)Unejecutivoaburridoseentretienearrojandohorizontalmentebollosdepapel, desde una altura de 1,2 m, hacia el cesto que tiene 2 m frente a l al otro lado del escritorio, para esto debe superar la esquina del escritorio que se encuentre a 75 cm sobre el piso y a 1 m delante de l, teniendo en cuenta que el cesto tiene 40 cm de alto por 40 cm de dimetro, determinarentrequvaloresdebeencontrarselavelocidaddepartidadeunbolloparaque ingrese en el cesto. Respuesta: (5,5 0,5) m/s 13) Un malabarista muestra su destreza, manteniendo continuamente en el aire cuatro platos, los recibe con su mano izquierda, a 80 cm del piso, y los lanza con su mano derecha, desde la misma altura y a 1,2 m de donde los recibi. Los platos alcanzan una altura mxima de 4 m sobre el nivel del piso, hallar: a) Con qu velocidad los arroja?. b) Con qu velocidad pasan por el punto ms alto?. c) Si tarda 0,2 s en pasarlos de una mano a otra, estimar cada cunto tiempo recibe un plato. Respuesta: a) (0,74; 7,92) m/sb) (0,74; 0) m/sc) 0,46 TIRO VERTICAL 1) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s. a) Cul ser su velocidad luego de haber descendido 3 s?. b) Qu distancia habr descendido en esos 3 s?. c) Cul ser su velocidad despus de haber descendido 14 m?. d)Sielcuerposelanzdesdeunaalturade200m, encuntotiempoalcanzarel suelo?. e) Con qu velocidad lo har?. Datos: v0 = 7 m/s t = 3 s y = 200 m h = 14 m Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t /2 (3) vf - v0 = 2.g.h

a) De la ecuacin (1): vf = (7 m/s) + (10 m/s ).(3 s) vf = 37 m/s b) De la ecuacin (2): h = (7 m/s).(3 s) + (10 m/s ).(3 s) /2 h = 66 m c) De la ecuacin (3): vf = 18,14 m/s d) De la ecuacin (2): 0 = v0.t + g.t /2 - y Aplicamos la ecuacin cuadrtica que dar dos resultados: Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 46 t1 = 5,66 s t2 = -7,06 s (NO ES SOLUCION) e) De la ecuacin (3): vf = 63,63 m/s 2) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/s, luego de 4 s de efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/s. a) Cul es la altura mxima alcanzada?. b) En qu tiempo recorre el mvil esa distancia?. c) Cunto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?. d) Cunto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?. Datos: v0 = 100 m/s vf = 60 m/s t = 4 s y1 = 300 m y2 = 600 m Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t /2 (3) vf - v0 = 2.g.h

a) Para la altura mxima vf = 0, de la ecuacin (3): -v0 = 2.g.h h mx = -vf /(2.g) h mx = -(100 m/s) /[2.(-10 m/s )] h mx = 500 m b) De la ecuacin (1) y para vf = 0: t = v0/g t = (-100 m/s)/(-10 m/s ) t = 10 s c) Recordemos que en tiro vertical, cuando un objeto es lanzado hacia arriba y luego cae, cuando vuelve a pasar por el punto de partida posee la misma velocidad que en el momento del lanzamiento pero con sentido contrario (vf = -v0). Podemos asegurar que el resultado pedido es el doble del tiempo que requiri para alcanzar la altura mxima. t = 20 s e) No puede alcanzar una altura de 600 m porque la mxima es de 500 m. Para h = 300 m empleamos la ecuacin (2): 0 = v0.t + g.t /2 - y Aplicamos la ecuacin cuadrtica que dar dos resultados: t1 = 3,68 s t2 = 16,32 s (NO ES SOLUCION) 3)Unautochocaa60km/hcontraunaparedslida,desdequalturahabraque dejarlo caer para producir el mismo efecto?. Usar g = 10 m/s . Datos: vf = 60 km/h vf = 16,67 m/s v0 = 0 m/s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t /2 (3) vf - v0 = 2.g.h De la ecuacin (3): vf /2.g = h h = (16,67 m/s) /[2.(-10 m/s )] h = 13,9 m Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 47 4)Selanzaunapelotadetenishaciaabajodesdeunatorreconunavelocidadde5 m/s. a) Qu velocidad tendr la pelota al cabo de 7 s?. b) Qu espacio habr recorrido en ese tiempo?. Datos: v0 = 5 m/s t = 7 s Ecuaciones: (1) vf = v0 + g.t (2) y = v0.t + g.t /2 (3) vf - v0 = 2.g.h a) De la ecuacin (1): vf = 5 m/s + (10 m/s ).(7 s) vf = 75 m/s b) De la ecuacin (2): y = (5 m/s).(7 s) + (1/2).(10 m/s ).(7 s) y = 280 m 5) Desde el balcn de un edificio se deja caer una manzana y llega a la planta baja en 5 s. a) Desde qu piso se dejo caer, si cada piso mide 2,88 m?. b) Con qu velocidad llega a la planta baja?. Respuesta: a) 43b) 50 m/s 6)Sedejacaerunapiedraenunpozoyalcabode10sseoyeelchoquecontrael fondo, si la velocidad del sonido es de 330 m/s, cul es la profundidad del pozo?. (1) vf = g.t (2) h = g.t /2 El tiempo es el tiempo total, es decir el que tarda la piedra en caer mas el que tarda el sonido en llegar hasta el punto de partida de la piedra: t = tp + ts = 10 s ts = 10 s - tp (3) La distancia que recorre el sonido es igual a la distancia que recorre la piedra: hT = hs = hp (4)Para el sonido: vs = hs/ts hs = vs.ts (5) Para la piedra hp = g.tp /2 (6) Igualando (5) y (6): vs.ts = g.tp /2 (7) Reemplazando (3) en (7): Reemplazando por los datos: Resolvemos la ecuacin cuadrtica: Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 48 tp2 lo descartamos porque el tiempo negativo no existe. En la ecuacin (6) reemplazamos con tp1 y resolvemos: hp = 383,3 m Respuesta: 383,3 m 7) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 29,42 m/s y 49,02 m/s respectivamente. Determinar: a) Cunto demor en recorrer la distancia entre A y B ?. b) Cul es la distancia entre A y B ?. Respuesta: a) 2 s b) 78,44 m/s 8)Desdequalturadebecaerelaguadeunapresaparagolpearlaruedadeuna turbina con velocidad de 30 m/s?. Respuesta: 45 m 9)Uncuerpocaelibrementedesdeunavinqueviajaa1,96kmdealtura,cunto demora en llegar al suelo? Respuesta: 19,8 s 10) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 25 m/s y 40 m/s respectivamente. Determinar: a) Cunto demor en recorrer la distancia entre A y B ?. b) Cul es la distancia entre A y B ?. c) Cul ser su velocidad 6 s despus de pasar por B ?. Respuesta: a) 1,5 s b) 48,75 m c) 100 m/s 11) Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 s en llegar al suelo. Calcular: a) A qu altura estara esa terraza. b) Con qu velocidad llegara la piedra al piso. Respuesta: a) 180 m b) 60 m/s 12) De qu altura cae un cuerpo que tarda 4 s en llegar al suelo?. Respuesta: 80 m Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 49 ALCANCE Y ENCUENTRO 1)Enunaesquina,unapersonavecomounmuchachopasaensuautoauna velocidadde20m/s.Diezsegundosdespus,unapatrulladelapolicapasaporlamisma esquina persiguindolo a 30 m/s. Considerando que ambos mantienen su velocidad constante, resolver grfica y analticamente: a) A qu distancia de la esquina, la polica alcanzar al muchacho? b) En qu instante se produce el encuentro? Respuesta: a) 600 m b) 30 s 2) En un instante pasa por A un cuerpo con movimiento rectilneo uniforme de 20 m/s. Cinco segundos despus, pasa en su persecucin, por el mismo punto A,otro cuerpo animado demovimientorectilneouniforme,develocidad30m/s.Cundoydndeloalcanzar?, resolver grfica y analticamente. Respuesta: a) 200 m b) 15 s 3) Un mvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, en el mismo instante sale de la localidad B hacia A otro a 60 km/h, A y B se encuentran a 600 km. Calcular: a) A qu distancia de A se encontraran?. b) En qu instante se encontraran?. Respuesta: a) 342,8 m b) 4,285 h 4) Un mvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, 90 minutos despus sale desde el mismo lugar y en su persecucin otro mvil a 27,78 m/s. Calcular: a) A qu distancia de A lo alcanzar?. b) En qu instante lo alcanzar?. Respuesta: a) 600 km b) 7,5 h 5) Dos mviles pasan simultneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre si 3 km, con velocidades va = 54 km/h y vb = 36 km/h, paralelas al segmento AB y del mismo sentido. Hallar analticamente y grficamente: a) La posicin del encuentro. b) El instante del encuentro. Respuesta: a) 9 kmb) 10 min 6) Dos mviles pasan simultneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entre si 6 km, con velocidades va = 36 km/h y vb = 72 km/h, paralelas al segmento AB y del sentido opuesto. Hallar analticamente y grficamente: a) La posicin del encuentro. b) El instante del encuentro. Respuesta: a) 2 km b) 200 s 7)DospuntosAyBestnseparadosporunadistanciade180m.Enunmismo momento pasan dos mviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con velocidades de 10 m/s y 20 m/s respectivamente. Hallar analticamente y grficamente: a) A qu distancia de A se encontraran?. b) El instante del encuentro. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 50 Respuesta: a) 6 s b) 60 m 8)Enunaobraenconstruccinsetiraverticalmentehaciaarribadesdelos15mde altura un martillo con velocidad inicial de 40 m/s, en el mismo momento, a 8 m de altura, sube unmontacarga con velocidadconstantede2 m/s,si el martillonopudoseratajado, cunto tiempo despus y a que altura chocar con el montacarga?. Respuesta: a) 7,93 s b) 23,86 m 9) Se largan dos ciclistas, uno con velocidad constante de 40 km/h, el otro partiendo del reposo con una aceleracin de 1000 km/h , calcular: a) Cundo el primer ciclista ser alcanzado por el segundo?. b) A qu distancia de la salida?. c) Qu velocidad tendr el segundo ciclista en el momento del encuentro?. Respuesta: a) 4 min 48 s b) 3,2 kmc) 80 km/h 10) Un automovilista pasa por un puesto caminero a 120 km/h superando la velocidad permitida, a los 4 s un polica sale a perseguirlo acelerando constantemente, si lo alcanza a los 6000 m, calcular: a) Cunto dura la persecucin?. b) Qu aceleracin llevaba el polica?. c) Qu velocidad tena el polica en el momento del encuentro?. Respuesta: a) 4 min 48 sb) 3,2 km c) 80 km/h 11) Un motociclista detenido en una esquina arranca con aceleracin de 0,003 m/s. En elmismomomentounautomvillopasaysigueconunavelocidadconstantede70km/h, calcular: a) Cunto tarda el motociclista en alcanzar al automvil? b) A qu distancia de la esquina ocurre esto? Respuesta: a) 3 h 36 min b) 251,94 km 12) El maquinista de un tren que avanza con una velocidad v1 advierte delante de l, a unadistanciad,lacoladeuntrendecargaquesemueveensumismosentido,conun velocidadv2constante,menorquelasuya.Frenaentonces,conaceleracinconstante, determinar el mnimo valor del mdulo de dicha aceleracin, para evitar el choque. Respuesta: (v1 - v2) /(2.d) 13) Un jugador de ftbol ejecuta un tiro libre, lanzando la pelota con un ngulo de 30 conrespectoalahorizontalyconunavelocidadde20m/s.Unsegundojugadorcorrepara alcanzar la pelota con una velocidad constante, partiendo al mismo tiempo que ella desde 20 m msdelantedelaposicindedisparo.Despreciandoeltiempoquenecesitaparaarrancar, calcular con qu velocidad debe correr para alcanzar la pelota cuando sta llegue al suelo. Respuesta: 7,52 m/s 14)Enelinstanteenqueunsemforodaluzverde,unautomvil,quehabaestado detenido en el cruce, arranca recto con una aceleracin constante de 2 m/s. Al mismo tiempo una camioneta, con velocidad constante de 10 m/s, le da alcance y lo pasa. Determinar: a) A qu distancia de su punto de partida el automvil alcanzar a la camioneta? b) A qu velocidad lo har? Respuesta: a) 100 m b) 20 m/s Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 51 DINAMICA Estudiaelmovimientodelosobjetosydesurespuestaalasfuerzas. Las descripciones del movimiento comienzan con una definicin cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la velocidad, la aceleracin, la masa y la fuerza. IsaacNewtondemostrquelavelocidaddelosobjetosquecaen aumentacontinuamentedurantesucada.Estaaceleracineslamismapara objetos pesados o ligeros, siempre que no se tenga en cuenta la resistencia del aire (rozamiento). Newtonmejor este anlisis al definir la fuerza y la masa, y relacionarlas con la aceleracin. Para los objetos que se desplazan a velocidades prximas a la velocidad de la luz, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teora de la relatividad deAlbertEinstein.Paralaspartculasatmicasysubatmicas,lasleyesde Newton han sido sustituidas por la teora cuntica. Pero para los fenmenos de la vida diaria, las tres leyes del movimiento de Newton siguen siendo la piedra angular de la dinmica (el estudio de las causas del cambio en el movimiento). Las leyes del movimiento de Newton Primera ley de Newton Principio de Inercia: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimientouniformeyrectilneoanoserqueseaobligadoacambiarsu estado por fuerzas impresas sobre l. Elquelafuerzaejercidasobreunobjetoseaceronosignifica necesariamentequesuvelocidadseacero.Sinoestsometidoaninguna fuerza, un objeto en movimiento seguir desplazndose a velocidad constante. En consecuencia, un cuerpo con movimiento rectilneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma, un objeto en movimiento no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre l. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por loquesiestacambiaesporquesobreesecuerposehaejercidounafuerza neta. Paraquehayaequilibrio,lascomponenteshorizontalesdelasfuerzas queactansobreunobjetodebencancelarsemutuamente,ylomismodebe ocurrir con las componentes verticales.Recordar:Para calcular la fuerza total, hay que sumar las fuerzas como vectores. Primera Condicin de Equilibrio en el plano: La sumatoria de todas las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo, debe ser nula. Fx =0 Fy =0 Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 52 Luego enunciaremos la Segunda Condicin de Equilibrio, referida a los momentos o giros que pueden producir un sistema de fuerzas, sobre un cuerpo. Segunda ley de NewtonPrincipiodeMasa:elcambiodemovimientoesproporcionalala fuerza motriz aplicada y ocurre segn su recta de accin. Si sobre un cuerpo de masam acta una fuerza F, esta se acelera con una aceleracin a. las tres magnitudes anteriores se relacionan a travs de la ecuacin: F= m . a Unafuerzanetaejercidasobreunobjetoloacelerar,esdecir, cambiarsuvelocidad.Laaceleracinserproporcionalalamagnituddela fuerzatotalytendrlamismadireccinysentidoquesta.Laconstantede proporcionalidad es la masam del objeto. La masa es la medida de la inercia de un cuerpo y es una constante universal.Unidades: En el Sistema Internacional de unidades (SI), la aceleracin a semideenm/s(metroporsegundocuadrado),lamasamsemideenkg (kilogramo), y la fuerza F en N (newton). Unnewtonsedefinecomolafuerzanecesariaparasuministrarauna masa de 1 kg una aceleracin de 1 metro por segundo cada segundo.Unobjetoconmsmasarequerirunafuerzamayorparauna aceleracindadaqueunoconmenosmasa.Lamasa,midelainerciadeun objeto (Inercia: su resistencia a cambiar la velocidad),En particular para la fuerza peso: P = m.g Diferencias entre PESO y MASA MasaPeso Magnitud EscalarMagnitud Vectorial Propiedad de un CuerpoFuerza: Interaccin entre dos cuerpos Invariable con respecto a su posicin Vara con respecto a la posicin relativa con otro cuerpo y el lugar de la Tierra en que se encuentra (o del Universo) Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 53 Tercera ley de Newton Principio de Accin y Reaccin: si sobre un cuerpo se aplica una fuerza F, llamada accin, este devolver una fuerza - F, igual y contraria, llamada reaccin.Es importante destacar que accin y reaccin, llamadas Par de Fuerzas, son fuerzas aplicadas sobre distintos cuerpos. Cuandoauncuerposeleaplicaunafuerza(accinoreaccin),este devuelveunafuerzadeigualmagnitud,igualdireccinydesentidocontrario (reaccin o accin). Porejemplo,enunapistadepatinajesobrehielo,siunadultoempuja suavementeaunnio,nosloexistelafuerzaqueeladultoejercesobreel nio, sino que el nio ejerce una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el adulto.Sinembargo,comolamasadeladultoesmayor,suaceleracinser menor. LastresleyesdeNewtonnospermitenestudiarelmovimientodelos cuerposapartirdelasfuerzasqueactansobreellos.Esnecesarioque conozcamos cules son esas fuerzas y su descomposicin segn los ejes en la direccin del movimiento y perpendicular a l. Lasprincipalesfuerzasquenosvamosaencontraralestudiarel movimiento de un cuerpo son: el peso, la Normal y la fuerza de rozamiento (en estecursonolotendremosencuenta).Veamoscadaunadeellaspor separado.El Peso(m . g) El peso es la fuerza de atraccin gravitatoria queejercelaTierrasobreloscuerposquehay sobreella.Enlamayoradeloscasossepuede suponerquetieneunvalorconstanteeigualal productodelamasa,m,delcuerpoporla aceleracindelagravedad,g,cuyovaloresta consideradocomo9.8m/s2(promediodelos puntos de la Tierra)y est dirigida siempre hacia el suelo.Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 54 Enlafiguradeladerechaaparecenalgunosejemplosquemuestran hacia donde est dirigido el peso en diferentes situaciones: un cuerpo apoyado sobreelsueloyuncuerpoquesemueveporunplanoinclinado.Elpeso siempretienesentidohaciaelsuelohaciael suelo.La Normal(N) Cuando un cuerpo est apoyado sobre una superficieejerceunafuerzasobreellacuya direccinesperpendicularaladelasuperficie. DeacuerdoconlaTerceraleydeNewton,la superficie debe ejercer sobre el cuerpo una fuerza de la misma magnitud y direccin, pero de sentido contrario.Estafuerzaeslaquedenominamos Normal y la representamos con N.Enlafiguradelaizquierdasemuestrahaciadondeestdirigidala fuerzanormalen losdosejemplosque aparecanen la figuraanteriorparael peso.Comoyahemosdicho,siempreesperpendicularalasuperficiede contactoyestdirigidahaciaarriba,esdecir,haciafueradelasuperficiede contacto. Sobre un plano inclinado, la descomposicin vectorial del P del cuerpo, genera Px y Py, segn las direcciones tangencial y normal del plano. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 55 Fuerza normal al plano e igual pero de sentido contrario a la componente normal al plano, de la fuerza peso. N = m . g . cos . Centro de gravedad En cuanto al tamao o peso del objeto en movimiento, no se presentan problemasmatemticossielobjetoesmuypequeoenrelacinconlas distanciasconsideradas.Sielobjetoesgrande,seempleaunpuntollamado centro de masas, cuyo movimiento puede considerarse caracterstico de todo el objeto. Si el objeto gira, muchas veces conviene describir su rotacin en torno a un eje que pasa por el centro de masas. Elcentrodegravedadobaricentroocentrodemasas,esunpunto donde puede suponerse encontrada todo el rea, peso o masa de un cuerpo y teneranteunsistemaexternodefuerzasuncomportamientoequivalenteal cuerpo real. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE AlahoraderesolverunproblemadeDinmica,loprimeroquehemos dehaceresvercualessonlasfuerzasqueactansobrecadaunodelos cuerposqueaparezcanenelproblema.Unavezhechoesto,representarel Diagramadecuerpolibreparacadaunode loscuerposquehayanoesms querepresentarparacadacuerpoporseparado lasfuerzasqueactansobre l. Veamos un ejemplo de como hacer esto.Consideremos el sistema que mostramos en el dibujo, formado por dos cuerpos A y B apoyados sobreelsuelo.SupongamosquesobreA ejercemosunafuerzaFtalcomoapareceenel dibujo.Suponiendoquenoexisterozamiento, vamos a tratar de calcular la aceleracin con la que se mueve cada uno de los dos cuerpos.Enprimerlugar,talcomohemosdichoantes, hay que ver cuales son las fuerzas que actan sobre cada cuerpo. Estas fuerzas sern:Lospesosdecadaunodeloscuerpos,cuyo valoreselproductodelamasadelcuerpoporla aceleracindelagravedadyqueestndirigidos hacia abajo. Lasnormalessobrecadaunodeloscuerpos que estn dirigidas hacia arriba,Sobre el cuerpo B la fuerza que A realice sobre l, FAB y sobre el cuerpo A, debido a la Tercera ley de Newton, la fuerza que B realizar sobre A como Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 56 reaccin,FBA.Lossentidosdeestasfuerzassonlosquesemuestranenel dibujo y sobre el cuerpo A, la fuerza F que le estamos aplicando nosotros.Unavezhechoesto,representarlosDiagramasdecuerpolibrees bastante sencillo. Slo hay que ir dibujando para cada cuerpo por separado, las fuerzas que actan sobre l, tal como se muestra en las dos figuras siguientes: El siguiente paso para resolver el problema consiste en hacer uso de la SegundaleydeNewtonpararelacionarlasfuerzasqueactansobrecada cuerpoconlasaceleracionesdecadaunodeellos.Comolasfuerzasson vectores,habrqueaplicarlaSegundaleydeNewtonparacadaunadelas componentesdelafuerza(generalmentelascomponentesxey).Paraello elegiremos un sistema de referencia. Esto no es ms que decidir que direccin ser el eje x y cal el eje y y cuales sern los sentidos positivo y negativo. Una vez decididos cuales sern los ejes de coordenadas, slo tenemos que escribir la ecuacin F = m.a para cada eje.ComencemosconelcuerpoA.Enprimer lugar,vamosaelegir losejesdecoordenadas.En estecasoesfcilhacerlaeleccin,elejexser paralelo al suelo y el eje y perpendicular a ste, tal comosemuestraeneldibujo.Tomaremoscomo positivaslapartederechadelejexylaparte superior del eje yVamosaaplicarahoralaSegundaleyde Newton en cada uno de los ejes.Enelejey,lasfuerzasquehaysonla Normal y el Peso con sentido contrario. De acuerdo con el convenio que hemos decidido antes, la Normal ser positiva y el Peso negativo. Tenemos as:NA - mA g = mA aAy

Ahora bien, los dos cuerpos se van a mover por el suelo, por lo que no habr movimiento en la direccin y. La aceleracin en esa direccin debe ser, por tanto, cero. Nos queda entonces:NA - mA g = 0 De aqu podemos obtener el valor de la normal para el cuerpo A:Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 57 NA = mA g Veamos que sucede en la direccin del eje x. Las fuerzas que hay son la fuerzaFqueaplicamosnosotrosylafuerzaqueelcuerpoBejercesobreA, FBA. La primera tendra sentido positivo y la segunda negativo, de acuerdo con losejesquehemoselegidoanteriormente.Deestamanera,alaplicarla Segunda ley de Newton obtenemos:F - FBA = mA aA

Conestaecuacinnopodemoscalcularnadamsporahora,yaque desconocemoscuantovaleFBA.Vamosaverentoncesquecuaciones obtenemos para el cuerpo B.Para el cuerpo B tomaremos elmismosistema de ejes que para A y el mismo criterio de signos. En el eje y procedemos exactamente igual que para el cuerpo A ya que tenemos la normal y el peso solamente. Igual que entonces, laaceleracinenelejeyserceropuestoqueelcuerponiselevantanise hunde en el suelo. Nos quedar entonces que:NB = mB g o sea, que la normal que acta sobre B es igual al peso de B.En la direccin x, la nica fuerza que acta sobre el cuerpo B es la que ejerce A sobre l, FAB. Por tanto, la Segunda ley de Newton nos dice que:FAB = mB aB

En esta ecuacin desconocemos tanto la fuerza como la aceleracin del cuerpoB.Ahorabien,porlaTerceraleydeNewton,lasfuerzasFAByFBA, tienenelmismovalor(aunquesentidocontrario,talcomolashemos representadoenlosdibujos).Adems,comolosdoscuerpossemueven conjuntamente,lasaceleracionestienenqueserlasmismasyaquesinolo fueran, los cuerpos se separaranal moverse uno ms rpido que el otro. Por tanto:aA = aB = aFBA = FAB

De esta forma, las ecuaciones para el eje xen los dos cuerpos quedan de la siguiente manera:F - FBA = mA aFBA = mB a Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 58 Conlocualtenemosunsistemadedosecuacionescondos incgnitas (ayFBA).Sisustituimosenlaprimeraecuacin elvalordeFBAquenosda la segunda ecuacin y despejamos la aceleracin obtenemos:a = F / (mA + mB) Hemos obtenido as la aceleracin con la que se mueven los dos cuerpos. PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE DINMICA 1.- Dibujar las fuerzas que actan sobre cada uno de los cuerpos. 2.- Representar el Diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo que aparezca en el problema (si hay ms de uno). 4.- Elegir los ejes de coordenadas para el clculo, procurando que uno de los ejes tenga la direccin del movimiento, el otro perpendicular. 5.- Elegir un criterio de signos. 6.- Escribir la Segunda ley de Newton para cada uno de los ejes 7.- Resolver el sistema de ecuaciones que nos aparece PREGUNTAS CONCEPTUALES 1) Si se tira de los extremos de una cuerda en equilibrio con dos fuerzas iguales y de direccin opuesta, por qu la tensin total en la cuerda es cero? 2)Uncaballoestenganchadoauncarro.Comoel carrotiradel caballohaciaatrs conlamismafuerzaquestetiradelcarro,porqunopermaneceelcarroenequilibrio, independientemente de lo que tire el caballo? 3)Cmosepuedeempujarhaciaabajoelpedaldeunabicicletaylograrquela bicicleta se mueva hacia adelante? 4) Defina el Newton. 5) Cul es la unidad de masa en el SIMELA? 6) Enuncia el principio de accin y reaccin. 7) Cmo enuncia el principio de masa?. 8) El peso es una constante o una variable del cuerpo?. VamosaverahoraunaseriedeejemplosdeproblemasdeDi nmica dondeaplicamoslosconceptosquehemosvistohastaahora.Engeneral, los problemas de Dinmica consisten en determinar las fuerzas que actan sobre uncuerpoylaaceleracinconlaquesemuevedichocuerpo.Paraestohay que hacer uso de la Segunda ley de Newton, que nos relaciona las fuerzas con la aceleracin.Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 59 EJERCICIOS 1)Calcularlamasadeuncuerpoquealrecibirunafuerzade20Nadquiereuna aceleracin de 5 m/s . Respuesta: 4 kg 2) Qu masa tiene una persona de 65 kgf de peso en: a) Un lugar donde la aceleracin de la gravedad es de 9,8 m/s . b) Otro lugar donde la aceleracin de la gravedad es de 9,7 m/s . Respuesta: 66,33 kg y 67,01 kg 3) Si la gravedad de la Luna es de 1,62 m/s , calcular el peso de una persona en ella, que en la Tierra es de 80 kgf. Respuesta: 13,22 kgf 4)Quaceleracintieneuncuerpoquepesa40kgf,cuandoactasobreluna fuerza de 50 N?. Respuesta: 1,25 m/s 5)Calcularlamasadeuncuerpoqueaumentasuvelocidaden1,8km/hencada segundo cuando se le aplica una fuerza de 60 kgf. Respuesta: 120 kg 6)Sialtirardeuna masa m1,staexperimentauna aceleracina, culdebeserla masam2queseagrega,comoindicalafigura,paraquetirandoconlamismafuerza,la aceleracin que logre el sistema sea a/2?. Respuesta: a.m1/(2.g +a) 7)LasmasasA,B,C,deslizansobreunasuperficiehorizontaldebidoalafuerza aplicada F = 10 N. Calcular la fuerza que A ejerce sobre B y la fuerza que B ejerce sobre C. Curso Introductorio: FsicaProf. Ivn Martnez 60 Datos: m A =10 kg m B = 7 kg m C = 5 kg Respuesta: 4,54 N y 3,18 N 8) Un cuerpo de masa m, se suelta en el punto ms alto de una superficie semiesfrica de 3 m de radio, y resbala sin rozamiento. Determinar el punto en cual deja de tener contacto con la superficie. Respuesta: 3 m 9)Unalpinistabajadeslizndoseporunacuerdademaneraquesuaceleracinde descenso es de 1/8 de g, calcular la tensin de la cuerda. Respuesta: 7/8 de su peso 10) Un paracaidista de 80 kgf de peso, salta a 5000 m de altura. Abre su paracadas a 4820myen10sreducesuvelocidadala mitad.Calcular latensinencadaunodelos12 cordones que tiene el paracadas. Respuesta: 240 N 11) Cul ser el peso de un cuerpo en un lugar donde la aceleracin de la gravedad es de 9,7969 m/s , si en un lugar donde la gravedad es normal pesa 30 N?. Respuesta: 29,97 N 2)Determinarelpesodeuncuerpoenunlugardondeg=980,66cm/s,siporuna fuerza constante de 16 N, posee una aceleracin de 8m/s . Respuesta: 19,61 m/s 3) A un cuerpo que pesa 50 N, se le aplica una fuerza constante de 10 N, determinar: a) Cul es su masa?. b) Qu acelera