L i b r oR a z o n a mi e n t o M a t e m t i c oG r a c i a s AlG K U P O" A M O R . A S O F I A i i t tp s : / / w w w c o m / g k o u p s / G KOUP .ADU N 1/ Crditos:RubazZP r e S a n M a r c o s______ f o n o o e d i t q b i a lUNMSM - Centro PreuniversitariouC^ - c eC CJV VI0: ' i': : - 1 I l i : * ? # i-5 ;- ~^ >r- ^ 2 4T' 1' -i i f ! > '*- li'" ^g cI Vi i - ^ :i ^ I 3i ?:n~ 5*'-f S i u l i l1 1 1 i s * ! I 4^ i u(j axZNDICEIntroduccinunTringulo CAPITULODoduciivoCompuesto, Numeracin. Sifiloma do Ecuaciones Linalos con dos VariableAnguloi Formadopor Lneas Notable do un Tringulo.CAPITULOIIIVerdades y mentiras Crploantmtica. Inecuaciones Lineales con una Incgnita. Congruenciado Tringulo.CAPITULOIVOrdenamiento deInformacin,CuatroOporacionosAritmtica#,SntomadoInecuacionesLinealesenDo Variables.PropiedadesFundamntalosdola Bliectri/ydelaMedialn/CAPITULOVSecundo f ,S ^ tn,,mpr,f^0f,V VisoresdounNrnoro.Ecuaci onesdo Soflundo Grado.Goom(fjcfl,y Ba#o ^^^1137i,91i.* . - '/* ePropiedades Bsicas en los Paralelogramos y TrapeaosM^ gi os NumricosMximo Comn Divisor y Mni mo Comn Mttip*o. Teora de Exponorites. Proporcionalidad y Semej anza.CAPlTULOVIllInductivoSimpleFracciones.Mvi lesRel aci onesBsi casenunTri ngul oRectnguloCAPITULO IXElementos Recreativos. Porcentajes. Reloj es. Los Puntos Cardi nal es CAPlTULOXCorl e/a. SucesionesProgresiones Aritmticas. Ci rcunferenci a,CAPITULO XIPetadasyBalanzasSumasNotabl esProgresi onesGeomt r i casRuert.#. Poleas y Engranaj esCAPITULO XIIMximos y Mnimos. Cuadrado y Cubo Per f ect o*.Producto Not abl esTr a/o de Figura.CAPlTULOXIllCorte.Promedio..Mxi mo,yMnimosde AlgunasExpresin,,................. ,Irmules Bsi cas para ol Cl cul o do Ar eaCAPITULO XIV......137159195227251289325347369S u b a * /NDICEIntroduccinm T vo slple. Conjuntos. Eouaoiones Lineales con una Variable. Angulos deun Tringulo CAPITULODeductivo Compuesto.Numeracin.SistemadeEcuacionesLinealescondos Variablesngulos Formados porLneas Notables de un Tringulo.CAPITULO IIIVerdades y mentiras. Criptoaritmtica. Inecuaciones Lineales con una Incgnita Congruencia de Tringulos.CAPTULO IVOrdenamientodeInformacin.CuatroOperacionesAritmticas.SistemadeInecuacionesLinealesenDosVariables.PropiedadesFundamentalesdela Bisectriz y de la Mediatriz.CAPTULO VParentescos.Nmerosprimosydivisoresdeun Segundo Grado. Desigualdades Geomtricas y BaseunNmero.Ecuacionesde se media de un Tringulo.CAPTULO VITraslados.Divisibilidad.InecuacionesdeSegundoGradoenunaVariable.Propiedades Bsicas en los Paralelogramos y Trapecios.137CAPTULO VIIArreglos Numricos. Mximo Comn Divisory Mnimo Comn Mltiplo. Teora de Exponentes. Proporcionalidad y Semejanza.159CAPTULO VIIIInductivoSimple.Fracciones.Mviles.RelacionesBsicasenunTringulo Rectngulo195CAPTULO IXElementos Recreativos. Porcentajes. Relojes. Los Puntos Cardinales.227CAPTULO XCertezas. Sucesiones. Progresiones Aritmticas. Circunferencias.251CAPTULO XIPesadasyBalanzas.SumasNotables.ProgresionesGeomtricas.Ruedas,Poleas y Engranajes289CAPTULO XIIMximos y Mnimos. Cuadrados y Cubos Perfectos. Productos Notables. Trazosde Figuras.325CAPTULO XIIICortes.Promedios.MximosyMnimosde AlgunasExpresiones Algebraicas.Frmulas Bsicas para el Clculo de reas.347CAPTULO XIVFrecuenciadeSucesos.RazonesyProporciones.Factoriales.Propiedades Fundamentales para el Clculo de reas.369CAPITULO XVRotacinyTraslacindeFiguras.Proporcionalidad.Combi natori a.reasd Regiones Circulares.397CAPTULO XVIEcuacionesExponenciales.RutasyTrayectorias.Reglaoeparaleleppedos.433CAPITULOXVIICalendarios. Reparto Proporcional. Logaritmo. reas Laterales y Totales.461CAPTULO XVIIIOtrostemasdeRazonamientoLgico-Matemtico.Mezclas.Operadores Matemticos. Volmenes.493CAPITULO XVRotacinyTraslacindoFiguras.Proporcionalidad.Combinatoria. r e a s deRegiones Circulares.CAPITULO XVIRutasyTrayectorias.RogladeTres. Ecuaci onesExponenci al es.Paraleleppedos.3 9 7433CAPITULO XVIICalendarios. Reparto Proporcional. Logaritmo. reas Laterales y Totales.^CAPTULO XVIIIOtrostemasdeRazonamientoLgico-Matemtico.Mezclas.Operadores Matemticos. Volmenes.493INTRODUCCINpreuniversitaria.La calidad de las explicaciones y la variedad de ejercicios resueltos y propuestos garantiza que este manual se convierta en la herramienta esencial del estudiante que desee afianzar su competencia acadmica en este rubro crucialenlos examenes ce seleccin y admisin a los centros universitarios.El razonamiento lgico-matemtico necesario para dar solucin a un problema, simple o complejo, exige un pensamiento analtico, exacto, riguroso, metdico, segn el clsico enfoque cartesiano.Con ms de quinientas pginas,este volumencubrelasnecesidadesbsicas del estudiante preuniversitario y da el sello de garanta para un aprendizaje efectivo y eficiente,acordeconeldesarrollodeloscursospropedeticosdeloscentrosacadmicos.Elrazonamientolgico-matemticoesunejefundamentalenlaformacin preuniversitaria,puestoquetienequever,centralmente,coneldesarrollode habilidadescognitivasesencialesenelpensamientocientfico.Laoperacincon nmeros,convariables,conpropiedadestopolgicas,enhebralosconocimientos bsicos, pilares slidos para las ciencias, humanidades e ingenieras.Por ello,el curso de razonamiento lgico-matemtico tienepeso gravitanteen losexmenes,puestoqueesunaspectoqueevalaunacompetenciadeenorme potencial acadmico.Demodo que si unestudiante obtieneunbuenpuntaje enesta rea, ello es garanta de una buena performance en los estudiosuniversitarios.Este libro se compone de problemas giles, novedosos, redactados para motivar eldesarrollodelpensamientoenlos jvenesestudiantes.Dadalapresentacinde situaciones amenas propias de la vida cotidiana, estamos seguros de que la lectura de este libro ser agradable y ejercer un impactopositivo en el aprendizaje fluido de las rigurosas matemticas.JasL..oc.uuu,eirazonamientologicomatemticoope corolarios en un juego de la mente riguroso y apasionante.uvamente de otro enunciado operaconaxiomas,teoremas\CAPTULO IDeducti voSi mpl e.Conj unto,l i cuaci onesLi neal esconunaVar i abl e.ngul osdounTri ngul o.1.1.DEDUCTIVOSIMPl .lEn esta seccin vemos lo aplicacin del proceso deductivo a situaciones no tan complicadasydemnimadificultadalocualdenominamos"deductivosimple porquese requieren pocasvariables preposicionales y un razonamiento directo;por supuesto que tambin requerimos un poco de creatividad de los estudiantes.1.1.1.ProcesoDeductivoConcepto. II proceso deductivo consiste en analizar y relacionar un conjunto de enunciadosllamadospremisas,yapartir deellosllegaraunaconclusin.Nosotrosaqu veremos casos particulares de deducin en los cuales se usan bsicamente la estructura "si,entonces", y de manera implcita algunas leyes como la conmutatividad y asociatividadde la conjuncin do proposicionesDeduccin inmediata.Llamamos as al proceso mediante el cual la conclusin se obtiene de manera directa relacionando los datos o premisas.Ejemplo1'Si se tiene los siguientes enunciados:IEnundeterminadosorteo,losquetienennmerosparestienenposibilidadesde ganar algn premio.IIA Gaby y Katty les dieron nmeros impares.IIILa suma del nmero de Patty con el de Katty es un nmero impar.Entonces se concluye queA) Gaby tiene posibilidades de ganar algn premio,B) Patty tiene posibilidades de ganar algn premio.C) Gaby y Katty tienen posibilidades de ganar algn premio U) Katty tiene posibilidades de ganar algn premio) Gaby, Katty y Patty tienen posibilidades de ganar algn premioCAPTULO VITraslados.Divisibilidad.InecuacionesdeSegundoGradoenunaVariable. Propiedades Bsicas en los Paralelogramos y Trapecios.137CAPTULO VIIArreglos Numricos. Mximo Comn Divisor y Mnimo Comn Mltiplo. Teora de Exponentes. Proporcionalidad y Semejanza.CAPTULO VIIIInductivoSimple.Fracciones.Mviles.RelacionesBsicasenunTringulo RectnguloCAPTULO XIIICortes.Promedios.Mximos y Mnimos de AlgunasExpresiones Algebraicas. Frmulas Bsicas para el Clculo de reas.CAPTULO XIVFrecuenciadeSucesos.RazonesyProporciones.Factoriales.Propiedades fundamentales para el Clculo de reas.159195CAPTULO IXElementos Recreativos. Porcentajes. Relojes. Los Puntos Cardinales.227CAPTULO XCertezas. Sucesiones. Progresiones Aritmticas. Circunferencias.251CAPTULO XIPesadasyBalanzas.SumasNotables.ProgresionesGeomtricas.Ruedas,Poleas y Engranajes289CAPTULO XIIMximos y Mnimos. Cuadrados y Cubos Perfectos. Productos Notables. Trazos de Figuras.325347369INTRODUCCINRazonamientolgico-matemticoesunmanuaiquereneunconjuntode procedimientos tericos, tiles en la resolucin de problemas-modelos en la formacin preuniversitariaLa calidad de las explicaciones y la variedad de ejercicios resueltos y propuestos garantiza que estemanual se conviertaenlaherramienta esencial del estudiante que deseeafianzar sucompetenciaacadmicaenesterubrocrucialenlos exmenes de seleccin y admisin a los centros universitarios.El razonamiento lgico-matemtico necesario para dar solucin a un problema, simple o complejo, exige un pensamiento analtico, exacto, riguroso, metdico, segn el clsico enfoque cartesiano.Conmsdequinientaspginas,estevolumencubrelasnecesidadesbsicas del estudiantepreuniversitario y daelsello de garantaparaunaprendizajeefectivo y eficiente,acordeconeldesarrollodeloscursospropedeticosdeloscentros acadmicos.Elrazonamientolgico-matemticoesunejefundamentalenlaformacin preuniversitaria,puestoquetienequever,centralmente,coneldesarrollode habilidadescognitivasesencialesenelpensamientocientfico.Laoperacincon nmeros,convariables,conpropiedadestopolgicas,enhebralosconocimientos bsicos, pilares slidos para las ciencias, humanidades e ingenieras.Por ello,elcurso derazonamiento lgico-matemtico tiene peso gravitante en losexmenes,puestoqueesunaspectoqueevalaunacompetenciadeenorme potencialacadmico.De modo que si un estudiante obtiene unbuen puntaje en esta rea, ello es garanta de una buena performance en los estudiosuniversitarios.Este libro se compone de problemas giles, novedosos, redactados para motivar eldesarrollodelpensamientoenlos jvenesestudiantes.Dadalapresentacinde situaciones amenas propias de la vida cotidiana, estamos seguros de que la lectura de este libro ser agradable y ejercer un impactopositivo en el aprendizaje fluido de las rigurosas matemticas.Un objetivo importante del razonamiento lgico-matemtico en su aplicacin a la ciencia y a la vida cotidiana es el mtodo de justificacin de las inferencias. Es decir, se ocupaengranpartedeestablecertcnicasparamostrarqueundeterminado enunciado se sigue deductivamente o no se sigue deductivamente de otro enunciado, En ese sentido,elrazonamientolgicomatemticooperaconaxiomas,teoremas y corolarios en un juego de la mente riguroso y apasionanteINTRODUCCINRazonamientolgico-matemticoesunmanualquereneunconjuntodeLa calidad de las explicaciones y la variedad de ejercicios resueltos y propuestosleseeafianzarsucompetenciaacadmicaenesterubrocrucialenlosexmenesde seleccin y admisin a los centros universitarios.El razonamiento lgico-matemtico necesario para dar solucin a unproblema, simple o complejo, exige un pensamiento analtico, exacto, riguroso, metdico, segn el clsico enfoque cartesiano.Con ms dequinientaspginas,estevolumencubrelasnecesidadesbsicas del estudiante preuniversitario y da el sello de garanta para unaprendizaje efectivo y eficiente,acordeconeldesarrollodeloscursospropedeticosdeloscentros acadmicosElrazonamientolgico-matemticoesunejefundamentalenlaformacin preuniversitaria,puestoquetienequever,centralmente,coneldesarrollode habilidadescognitivasesencialesenelpensamientocientfico.Laoperaci ncon nmeros,convariables,conpropiedadestopolgicas,enhebralosconocimientos bsicos, pilares slidos para las ciencias, humanidades e ingenieras.Por ello,elcurso derazonamientolgico-matemticotienepesogravi tanteen losexmenes,puestoqueesunaspectoqueevalaunacompetenci adeenorme potencialacadmico.Demodoquesiunestudianteobtieneunbuenpuntaj eenesta rea, ello es garanta de una buena performance en los estudiosuniversitariosEste libro se compone de problemas giles, novedosos, redactados para motivar eidesarrollodelpensamientoenlosjvenesestudiantes.Dadalapresentacinde situaciones amenas propias de la vida cotidiana, estamos seguros de que la lecturav este libro ser agradable y ejercer un impactopositivo en el aprendizaje fluido de las rigurosas matemticas.ciencia v i t a ' ! ^Z rtante dfraz"aento lgico-matemtico en su aplicacin a la ciencia y a la vida cotidiana es el mtodo de justificacin de las inferencias. Es decirseenunc iado ^Z, a ,establ ecertcnicasParamostrarqueundeterminado En9U,deductl vamente o no se sigue deducti vamente de otro enunoado.corfilarincan' ei az0l i arni en*lgicomatemticooperaconaxi omas,teoremasy 1en un juego de la mente riguroso y apasionante.INTRODUCCINRazonamientolgico-matemticoesunmanualquereneunconjuntode procedimientos tericos, tiles en la resolucin de problemas-modelos en la formacin preuniversitaria.La calidad de las explicaciones y la variedad de ejercicios resueltos y propuestos aarantizaqueestemanualse convierta en laherramienta esencialdelestudiante que desee afianzar su competenciaacadmicaenesterubrocrucialenlosexamenesde seleccin y admisin a los centros universitarios.El razonamiento lgico-matemtico necesario para dar solucin a un problema simple o complejo, exige un pensamiento analtico, exacto, riguroso, metdico, segn el clsico enfoque cartesiano.Conmsde quinientaspginas,estevolumencubrelasnecesidadesbsicas del estudiante preuniversitario y da el sello de garantaparaunaprendizajeefectivo y eficiente,acordeconeldesarrollodeloscursospropedeticosdeloscentros acadmicos.Elrazonamientolgico-matemticoesunejefundamentalenlaformacin preuniversitaria,puestoquetienequever,centralmente,coneldesarrollode habilidadescognitivasesencialesenelpensamientocientfico.Laoperacincon nmeros,convariables,conpropiedadestopolgicas,enhebralosconocimientos bsicos, pilares slidos para las ciencias, humanidades e ingenieras.Por ello,elcursoderazonamientolgico-matemtico tienepesogravitanteen losexmenes,puestoqueesunaspectoqueevalaunacompetenciadeenorme potencialacadmico.Demodoquesiunestudianteobtieneunbuenpuntajeenesta rea, ello es garanta de una buena performance en los estudiosuniversitarios.Este libro se compone de problemas giles, novedosos, redactados para motivar eldesarrollodelpensamientoenlosjvenesestudiantes.Dadalapresentacinde situaciones amenas propias de la vida cotidiana, estamos seguros de que la lectura derigurosas m a t S TV ' * * * " * imPaC'PStV en 6' aPrendizaiede lasUn objetivo importante del razonamiento lgico-matemtico en su a n lira rin n ai=enea y a la vida cotidiana es el mtodo de justificacin depaengranpartedeestablecertcnicasparamostraraueundptprminaHnEnUensTsentfdo9eUa2oUCtiVaT nite " SS9U6 deductivante de otro enunciado.corolarios en uniueao de la m*n 9'Cmatemat,coPeraaxiomas,teoremasy 10b en un juego de la mente riguroso y apasionante.CAPTULO IDeduct i voSi mpl e.Conj unt os.Ecuaci onesLi neal esconuna Vari abl e.ngul osdeunTri ngul o.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------/1.1.DEDUCTIVOSIMPLEEn esta seccin vemos la aplicacin del proceso deductivo a situaciones no tan complicadasydemnimadificultadalocualdenominamosdeductivosimple porquese requierenpocas variablesproposicionales y unrazonamiento directo;por supuesto que tambin requerimos unpoco de creatividad de los estudiantes.1.1.1.Pr ocesoDeduct i voConcept o.El proceso deductivo consiste en analizar y relacionar un conjunto de enunciadosllamadospremisas,yapartirdeellosllegaraunaconclusin.Nosotrosaqu veremoscasosparticulares de deducin en los cuales se usan bsicamente la estructura s i..., entonces..., y de manera implcita algunas leyes como la conmutatividad y asociatividad de la conjuncin de proposiciones.Deducci ni nmedi at a.Llamamos as alproceso mediante el cualla conclusin se obtiene de manera directarelacionando los datos o premisas.Ej empl o1Si se tiene los siguientes enunciados:I.Enundeterminadosorteo,losquetienennmerosparestienenposibilidadesdeganar algn premio.II.A Gaby y Katty les dieronnmeros impares.III.La suma delnmero de Patty con el de Katty es unnmero impar.Entonces seconcluye que:A) Gaby tiene posibilidades de ganar algn premio.B) Patty tiene posibilidades de ganar algn premio.C) Gaby y Katty tienen posibilidades de ganar algn premio.D) Katty tiene posibilidades de ganar algn premio.E) Gaby,Katty y Patty tienen posibilidades de ganar algn premio." sP^ u n nO"* Pat^ ne posbi'idadesde fl3na r a,9Un P rem>s de9anaralgUriPrerUl0 2" " ClUSn:gt,y tiene Pc s i b ^ deSClav* ^ o uso de diagramas conjuntivas .se recomienda ei ualgunos..ninguno"- ^ a s s s s t s s s s rs s s - s r s s * ' ectcAcont i nuad,A(a m b i n esel ement oB-, indica queToa= odel conjuntoB.ainmpntos son comunes a los conjuntos Ay -a - son B Indica que algunos elementos"bPortan,o:A" se interseca parcialmente conB.III. NingnAes B.Indica que ningn elemento escomnalosconjuntosA y B. Por tanto: Ay "Bson disjuntos.Centropreunverstario.Ciuci?rff/sas-ResRelacin1m. De IIy"impar.2o.De Iypor tener Patty un nmero par,ando las premio**.III, Patty tieneun nmero par,puesn m e ro p a r +n u m e roXella tiene posibilidades de ganar algn p ^Conc!ISt i e n e p o s i b i l i d a d e s d e ganar algn premro.Clave;r r " rcomo usar ios diagramas:I.Todos los A son BInd ica que todo elemento del conjunto A tambin del conjunto B.Por tanto: A" se incluye en "B.es e^rner)iII.Algunos Ason B. Indica que algunos elementos son comunes a los coniunt B. Por tanto:"A" se interseca parcialmente con B.0s A yIII. Ningn Aes B.Indica que ningn elemento es comn a los conjuntosA y B. Por tanto: Ay Bson disjuntos.APTITUD MATEMTICAEj empl o 2Si:ii^njpuno*os c1ue da monedas de S/.1de propina es profesional, odos los que dan monedas de S/.5 de propina son profesionales.Se concluye que:A)Algunos de los que dan monedas de S/.1 dan monedas de S/.5.B)Ninguno de los profesionales damonedas de S/.5.C)Todos los que danmonedas de S/.1 dan monedas de S/.5.D)Algunos profesionales dan monedas de S/.1.E)Ninguno de los que damonedas de S/.5 da monedas de S/.1.Resolucin1.Denotamos:De I,se tiene:P =conjunto de profesionales,Q =conjunto de las personas que dan monedas de S/.1 de propina, y R=conjunto de las personas que dan monedas de S/.5 de propina.2.De II,se tiene:3.Del esquema anterior, es claro que R y Q son disjuntos,por ello:Ninguno de los que da monedas de SI. 5 da monedas de S/.1.Clave:EDeduccinsi mpl eeingenio.Aqu vemos aquellos problemas cuya solucin requiere ademsdeunrazonamientolgicosimpleyrpido,unpocodenuestracreatividad e ingenio.Ejempl o 3Para satisfacer sus deseos de fumar, un mendigo recoge colillas,y con 4 de ellas hace uncigarrillo.Siayer slopudoconseguir 25colillas,culeslamximacantidadde cigarrillos que pudo fumar ayer?A) 9B) 8C) 7D) 6E) 5UN^sMpreJn,y/,ersitanoCentroResolucin254_forma (Dcigarrillos, los fuma:1 6quedan 6 colillas +1colilla =7 colillas7 u _ forma (T) cigarrillo, lo fuma:31queda 1colilla + 3 colillas = 4 colillas4forma (?) cigarrillo, lo fuma:01le queda una colilla..Total de cigarrillos que pudo fumar ayer: 6 +1+1= 8.C|ave; e,,.2.problemas Resuel tosProblema 12 caramelos,nonecesariamente en eseaihoBeto y Coqui tienenytjene 2 caramelos est aburrido,S lrS T S *alPor su estado de nimo.Cuntos cai, y el que nene 3^caramtos?melos tienen Beto y A^A ,3B>6C>ResolucinResolvemos por deduccin inmediata.1.Como entonces:Betolehablaalque tiene 3caramelosyhablandelquetiene 2caramelos.- Beto tiene 5 caramelos, y -Aldo y Coqui tienen 2 y 3 caramelos,pero no necesariamente en ese orden.2.Como el que tiene 3 caramelos habla con Coqui, entonces: - Coqui tiene 2 caramelos, y- Aldo tiene 3 caramelos. Luego, Beto y Aldo tienen juntos:5 +3 =8 caramelos.Clave:DAPTITUD MATEMTICAProbl ema2Si:I-Todasmisprimas tienenms de 20 aos,y " Algunasdemisprimassonsolteras.Entonces seconcluye que:A)Todaslasmujeres solteras tienenms de 20 aos.B)Ninguna mujer mayor de 20 es soltera.C)Algunas de mis primas tienenms de 20 aos.D)Todasmisprimassonsolteras.E)Algunas mujeresmayores de 20 son solteras.Resol uci nDenotamos:M =conjunto de mujeres que tienen ms de 20 aos, P =conjunto demisprimas,y S=conjunto demujeres solteras.DeI,se tiene:De II, se presentan dos posibilidades:Pero laprimerano 6sposible porque estaramos afirmando que todas las solteras son mayores de 20,locuales falso(por ejemplo,las nias recinnacidas son obviamente solteras y menores de 20). Luego, el diagrama correcto es el de la segunda posibilidad, y as tenemos la conclusin: Algunas mujeres mayores de 20 son solteras.Clave:Eitro r7x =42% => x =6%ZapatosnegrosZapatosazulesNinegros ni azulpesr : ^ aunaecuacinequ' hasta que stralun miembro-s/aieWP'0 ,Pedr y Mario es 69 aos.Si la edad de Juan esel i 8^ Resol uci nDel problema se tiene que:Edad de J uan: 2JEdad de Pedro: JEdad de Mario: 2J- 6Adems,2J+J+2J- 6 =69=>5J=75=> J=15 Luego,la edad de Mario =2 (15) - 6 =24 aos.Cl ave: AEjemplo 2Carlos y Alberto empiezan a jugar teniendo Carlos el doble de dinero que Alberto. Cuando Carlos pierde SI. 400, entonces Alberto tiene el doble de lo que tiene Carlos. Con cunto empez Carlos?A) SI. 900B) SI.600C) SI.1000D) S/.800E) S/. 400ResolucinDel problema se tiene que:Carlos tiene: 2x Alberto tiene: xDe la suposicin tenemos que:x +400 =2 (2x - 400) x +400 =4X. QOO3x=1200Luego, Carlos tiene 2x =800^Clave: DAPTITUD MATEMTICA1.3.2.Pr obl emasResuel t os Pr obl ema1Un obrero por cada semana que trabaja ahorra S/.80,pero cuando deja solamente de trabajar un da por semana gasta S/. 40de sus ahorros. Si durante 12 semanas ahorr S/.360,en cuntas semanas no ahorr?A) 7B) 6C)5D) 8E) 4ResolucinNmero de semanas en el que no ahorro: x Nmero de semanas en el que ahorro:12 - x Del enunciado tenemos que:80 (12 - x) - 40x=360 96 - 8x - 4x =36 12x =60 x =5Clave:CProblema 2Se tienen dos grupos de monedas de pesos diferentes.El primero consta de 44 monedas de 8gcadamoneda,y elsegundo constade 40 monedasde10 gcadamoneda. Cuntas monedas debemos de intercambiar de ambos grupos para que adquieran igual peso los dos grupos y no vare el numero inicial de monedas de cada grupo?A) 12B)10C)18D)16E) 20ResolucinNmero de monedas de 8 gx+n: 44\-nNmero de monedas de 10 g/- n: 40 *+n ^J mero de monedas a intercambiar:nDel problema se tiene que:(44 - n) 8 +10n =(40 - n)10 +8n 176- 4n +5n =200 - 5n +4n 2n =24 n =12Clave:AProblema 3En una familia elpadre gana120 soles por hora y la madre gana110 soles por hora. Despus de 25 das trabajados el padre recibi 14 500 soles ms que la madre, puesto que labor 4 horas ms por da. Cuntas horas trabaj diariamente la madre?prei>n'/sitarloCentroHrenyc/horagana:110pesos , sl lnhaPrd!al1nadre:n +4Vo/hora gana:120pesde noras q^f trabaj Por dN S da o ,asqUe se tiene que:Delprob,e,, 1 , 0 =145025 (l 20n +4811n =58 I2n +48^=10Problema 4tarjetas navideas del mismo precio yS/. 5, pero para compQg/42) g/^A) S/. 30' ' 36C)SAResolucinCosto de c/u da las tarjetas:nDinero que tengo-=3611=3Por lo tanto tengo SI.35*ave- EProblema 5Todos mis pantalones son negros, menos cuatro, todos son azules, menos cuatro; todos son verdes, menos cuatro. Cuntos pantalones tengo en total?A) 5B) 9C) 6D) 8E) 7ResolucinNmero total de pantalones: nNegrosAzulesVerdes n =(n - 4) +(n - 4) +(n - 4) n =3n -12 2n =12 n =6.4.Mrifii~>.Clave. C.4.t.NGULOSDEUNTRINGULO 1.1. Conceptos Bsicos de TrinnniTringulosElementos de un tringulo. Los elementos bsicos del tringulo ABC sonLados:AB ,BCyACBVrtices: A , ByCngulos interiores: < A ,< Byen(1)p - 0 +p =90 =>2p - 0 =90...... (2)Dato p +0=60..................................................................... (3).Sumando (2) y (3):3p =150 =>p =50 en (3) =>0 =10Luego:p - 0 =40Clave:B1.4.3.Probl emasResuel tos Probl ema 1En la figura adjunta, a =16oy AB =BD =DE =EF =FC. Calcular el valor de 9.A) 48B) 50C) 52D) 54E) 56Resolucin---------------------------------------APTITUDMATEMTICA29BDF Completamos la medida de todos los ngulos interiores en los tringulos EFC, DEF, BDEyABD.EnelAABD:0 +4 cc+4 a =180 =>Q\= 180 - 8 a=>0 =180 - 8 (16) =>0 =52Clave:C30Centrop reunversitanounmsMprobi013Enla figuramostrada,EBC es unngulo equiltero ym< EDC =70". CalcularBA) 30B)15C) 20D) 25E) 35 A BCDes issceles =>2z =80=>z =4Q.ADCE esissceles x +z =y =70= > x=30Clave: AProblema 3En la figura adjunta, AB =BD =EC. Hallar ei valor de x.A) 10 BD=>2z=80=>z=40'x=20Clave:BProblema 4Dela figura adjunte, qu afirmacinAPTITUD MATEMTICAes verdadera?Resol uci nEn el A EDB prolongamosEB para formar un ngulo externo.En el A ABC:2x =y +z(por ngulo externo)Clave:B.PROBLEMASPROPUESTOSProbl ema1.A Carmen, Alicia,Betty y Diana se les asigna un slo nmero entero del 5 al 8a cada una de ellas.Si Alicia no tiene un nmero par, pero si tiene un nmero mayor queeldeDiana,yBettyyDianatienennmerospares,cuntosumanlosnmeros asignados aCarmen y Betty?A)14B)12C)11D)13E)15Problema 2.Sialgunosestudiantespracticandeportes, algunos estudiantes reciben S/. 30 de propina y todos los que reciben S/. 30 de propina practican deportes, entonces:A)Ninguno que practica deportes recibe S/. 30 de propina.B)Algunos estudiantes que practian deportes reciben SI. 30 de propina.C)Todos los que practican deportes son estudiantes.D)Ningn estudiante recibe SI. 30 de propina.E)Todos los que practican deportes y reciben SI. 30 de propina son estudiantes.Centro Preuniversitario UNMSMemblema 3Un nio que estaprendiendo a caminar avanza 4pasos y rPtr c a d a uno de sus pasos equivale a 30 cm. Si el nio repite esta peculiar formt Ce^2 hasta llegar a un punto situado a6 m de su punto de partida y todo su rJ o C a y L *recta,cuntos pasos habr dado?u recrndo fu',ri9renhasta llegara u,.lnea recta, cuntos pasos A) 52B) 56C)54D)5060otraPeroProblema 4.Javiertiene3cajasguales, en unade ellascoloca caramelose chocolates y en la ltima caramelos y chocolates. Luego las cierra y empaqueta^ momentoderotularlasseequivocaentodas.Qucajadebeabrirpararoti r al correctamente si slo puede extraer un dulce de dicha caja?ar'a$A)La que dice caramelos".B)La que dice chocolates".C)La que dice chocolates y caramelos.D)La que dice carameloso chocolatesindistintamente.E)Cualquiera de las cajas.Probl ema5.AZelmalepreguntaron:Culeslafechadetucumpleaos?",y e||acontest: Anteayer tena 29 aos y el prximo ao tendr 32 aos.Cuntos aos tiene Zelma y en qu fecha naci?A) 31aos y 31de diciembre.B) 31aos y1 de enero.C) 30 aos y 30 de diciembre.D)30 aos y1 de enero.E)30 aos y 31de diciembre.Problema 6. De un grupo de 90 estudiantes se sabe que: 12 prefieren matemticas, perono literatura; 27 prefieren literatura, pero no tienen 18 aos; 18 que no prefieren literatura no prefieren matemticas y tienen 18 aos; 7 prefieren literatura y tienen 18 aos, pero noprefieren matemticas, 4 prefieren matemticas y literatura y tienen18 aos. Cuntos estudiantes que no tienen 18 aos, no prefieren matemticas ni literatura?A)22B) 24C) 25D) 21E)20Problema 7. De 250 personas que viven en una ciudad se tiene la siguiente informacin^75 eran ayacuchanos, 92 eran huancanos,105 eran profesionales, de estos ltimos 4eran ayacuchanos y 36 huancanos. Cuntas personas de los que no son ayacuchano-no eran huancanos ni profesionales?A) 58B) 64C) 54D) 55E) 52Problema 8.eran peruanc de stos era pisados queA) 40Problema !sabe que d al nmero hembras aA) 228.Problem;entre ingi VisualB; Visual B;A) 8Probleide 40 A) S/.:Probiy Cari;A) S/Protse reunaA)SPrcobsSI.A)PrpesitoAP ro h lf oAPTITUD ma t e m t i c apleados que usaba terno no eran peruan>s-)408)390)420)35E)38sabe que de las h e ^b ^te sL a s o c dnd,hay 8400 cabezas de ganado ovino sea s a r a sA )228.B )2250C)2150D)2050E) 2350Probl ema10.Enuncentro superior tecnolgico de computacin estudian 67 alumnos entre ingresantes y regulares, de ellos 47 conocen Matlab, 35 Visual Basic y 23 Matlab y VisualBasic.CuntosestudiantesdeestecentrodeestudiosnoconocenMatlabni VisualBasic?A) 8B)10C) 9D) 7E) 12Pr obl ema11. El valor de cierto libro se duplica cada 10 aos. Si el valor del libro despus de 40 aos es SI.96,cul fue el valor inicial del libro?A) SI.3B)SI.6C)SI.4D) SI.5E) S/.7Pr obl ema12.Marcos le pregunta a Carla: Cunto has gastado de los SI.140 que te di? y Carla le contesta: He gastado las3/4partes de lo que no he gastado. Cuanto gasto Carla?A) SI.40B) SI.60C) SI.30D) SI.50E) SI.80una ganancia total de SI.7?A) SI100B) SI. 0,50C) SI. 0,60D) S/.0,65E)S/.0,70 Problema14.Unpadrevaa,r? " o r - " 3 cun,os eransus hi i os?A ) 8 'b) 5C>70)6E)9s s s s ^ S S s S ^ S i S ^ ^si el heladero vendi 70 paqefectuada?todos/. 2000.Cuanto gano^B) SI420C) SI. 320D) S/,360A) SI. 440B) b/- ^34CentrpreuvverstaouNMS1^projjlema16-EnlafigurarriostradaAB =BC=BP-Calcular el valor deA)5B)10C)15D)20E)30Problema17. En la figuraA) 15B) 20C) 40D)30E) 45adjunta, calcular el valor de x.Problema 18.En la figura adjunta, calcular el valor de x.A) 36'B) 40'C) 20cD) 30E) 32Problema19. En la figuraA) 8B) 10 c)15D) 18E) 5omostrada,AB =BC = AD.CalcularBel valor de x.Problema 20.En la figura adjunta,A)20B)12C) 15D) 16E)18A B +A D=BC .C alcularBelvalor de x.1.D2.B3. A4.CCLAVES5.E9.B13.B 17.D6. A 10. A 14.B 18.D7.C 11.B 15. C 19. B8.E 12.B 16.B 20. ACAPITULO IIDeduct i voCompuest o.Numer aci n.Si s t emadeEcuaci onesLi neal esconDosVar i abl es. n g u l o s Fo r mado s por LneasNot abl esdeunTr i ngul o.2.1.DEDUCTIVOCOMPUESTOEnestseccinveremosproblemas enlos cuales debemosrelacionar la informacin dada;comonombresde personascon alguna actividadu oficio que ellos realizan o el lugar de procedencia que nosotros llamaremos variables.La informacin que se recibe casi siempre est dada en forma desordenada, que aparenta no guardar ninguna relacin, pero haciendo uso del ingenio y de la deduccin lgica se podr obtener la relacin buscadaa partir de dicha informacin.2.1.1. Deducti voCompuest oconDatosExplcitos Ej empl o1Cuatroamigos,Gustavo,Alberto,Csar yRoberto,practicancadaunoun deporte diferente.(I)Gustavo quisiera jugar tenis en lugar de ftbol.(II)Alberto le pide prestadas las paletas de frontn a Roberto.(III)Csar nunca fue buen nadador.Qu deporte practica Csar?A) tenisB) ftbolC) natacinD) frontnE) bsquetResolucin Primera forma1 Se construye un cuadro de doble entrada,donde se coloca los nombres y los deportes diferentes (de preferencia en la primera columna van los nombres)NatacinFr ont nDel ejemp mediante1.ConstrNatacinFr ont ni^c^oportesj^lonibres]^Gustavo____Al ber t o__TenisCsarRoberto4Los dems espacios blancos de la tabla se llenan como consecuencia de los espj; ya marcados resumidos en la siguiente regla: Para cada par de variables, tantoe-horizontal como enla vertical debeir unsolo3 olapalabras yelresto decespacios completamos con xo con la palabra "no,luego se obtiene:" \Depor t esNombr es\FtbolFrontnNatacinGustavoAlbertomovRmRobertose concluye' Practica ftbol. 1Practica natacin Practica tenis. 0 Practica frontn.CentroPreuniversitarioUNMSMe/ cuadro de acuerdo a la informacin dada en el pr0b,e 2.Luego se empieza a llenar el cuaprctica ftbol,entonces entre Gusta*Rotert ~^entonces entre Roberto y fronton3 osi,luegoaDe ,a informacin (III) Csar no practica natacin,por lo tanto se deduce nia ,u E K S ? 61teniS' en,0nces en,re Albert0 y natac'n, y enrg" ^ ~ S^ UenCia de " *-pacta z o *,como en la vertical beTu^soioV o. ^Varables' tantenla pacos completamos con Vo con la palabra W ,luegoseobtiene.6'reS de '0Stabla se concluye:r- R n T r p r a a i ^ t e n sRObe^ o Z , n.S*3' 1" *Robeno p De b es impar> b - 3=>a =4Entonces en el ao19(a + b)(a + b)= 1977 edad Jaimito = 1977 - 1943 = 34 aos!.2.3. Obser vaci nImportan1.Siabc(x)3 a102 < N< 103SiNtiene kcifras=>10k'1< N< 10kPorejemplo:104|m=1,n =0, p=0=>m+n+p- a- x=1- 3- 5 =-7Ejemplo 3Encuntossistemas denumeracin3344 se denota con tres cifras?A) 43B) 41C) 420)45E, 44Resol uci nSeaNx=3334como Ntiene tres cifras=> x2 el sistema (1).Paraqueelsistema(1)tengaSn,n ta d o Po i '>./ *0. Para determinar la solucin se puede emnl nnin conocidos: adicin, sustraccin,sustitucin, igualacine t CUal9uQ^yj.Ejemplo 1El precio cel precio deA)S./.14B)S/15,5C)S/.13,5D) S/15 Resolucinu.j~rEl precio de seis metros de tela casimir es el mismo precio deisnrann de 10 m de tela de lanilla es S/. 60, cunto cuesta /mte>iS^ae,^Teroc,eec,e^S/13Costo de cada metro de tela casimir:x Costo de cada metro de tela de lanilla:y Del problema se tiene6x=15y=>x = - y10y = 60=>y = S/6En(1):x = (6) = 15( 1)Ejemplo 2C|ave:Nelson lanz um veces un dado.El mximo puntaj etotal quepudohaberobt120, pero obtuvo 66y slo sac puntaje par.Si3 vecesobtuvoelpunt aj e 6r 65veces obtuvo el puntaje 2?CuntasAj 10B) 6Resolucin'* *anzamientos veces que sali 4veces que sali 2n:#deP:#deC) 4D)15E)12APTITUD MATEMATICADel problema se tiene que:Puntaje mximo =6m =l20=> m =20 n +p +3 =20=> n +p =i 7 =^n =17_ p0)Adems se sabe que:3(6) +4n +2p =664n +2p = 48 =>2n +p =24(2)(1)en (2):2(17-p) + p =24 34 - 2p +p =242.3.2.P ro ble ma s R e s ue lto sP ro ble ma 1p= 10C \ave:AUn ganadero estaba indeciso entre comprar 72 ovejas o por el mismo precio 9 vacas y 9 toros, entonces con elmismo dinero decide comprarei mismo nmero de animales de cadaclase. Cuntosanimalescompr?A )30ResolucinB)27C)24D) 21E )18D:dineroque tiene 0:prec iodecadaoveja V :prec iode c adavaca T :prec iode c adatoro1)D = 720 = 9V + 9T =>80 = V + T2)D = x0 + xV + xTDe (1 ) y (2) : 720 = X0 + x (V + T) = x0 + 8 x03)720 = (9 x) 0x = 8 3x = 24-Clave:CProbl ema2Lasumadelascifrasdeunnmerodedosdgitoses12.Sielordendelosdgitosse invierte,el nmero resultante excede al nmero original en 36. Hallar el nmero original.A) 75B)57C)48D)56 E) 42Resol uci nN=aba+b=12=>a=12- b....(1)ba-ab= 36=>10b +a-10a - b =369 b - 9a = 36Centro Preuniversitario Simplificando:=4 ......(2)U N M S Mb-aen(2): b ' (1^ =16=>=8(1)en(2) : o - (=> 2b = 16=>b En (1)a =4=>N -48Problema 3^Se divide un mismo nmero entre 2 nmerosconsecutivos,obtenindocasos 45 de cociente. Si los 2 residuos suman 73,uno de ellos es0e arr^B)14C) 24D) 28E ) 4 5A) 12ResolucinDel problema se tiene que:N= q(45)^r1=(q +V 45 +r2Adems:r , h 7345q +r, r,- r 2r 45=45q + 45 + r2(1)De(1)y(2) se =>r1 =59 Luego r2=14 (2)t iene que:2r1 =n QCl ave:BProblema 4si no me quedo con ninguno?A) 780B) 360C) 390D) 420E)720Resolucin# decenas: x# docenas: yComproRegaloRecibo 10x2x12x VendoRegaloEntrego 12yy13y Recibo = Entrego 12x=13yvendo =12y = 432= > y = 36 En (V:12x= 13(36) =>x = 39 compro:10x = 390( 1)Clave: A2.4.NGULOSFORMADOSPORLNEASNOTABLES 2 4.1.Propi edades Bsi casAPTITUD MATEMATICA DE U NT R I N G U L Oi)ngul o f ormado por dos bi sectri ces interi oresE nto d o tri n g u lo la ma yo rmedidade\ngulofo rmadoporla s bis ectrices dedos n g u lo s in te rio re se sig ua la 90mslamitad delamedida de l terce rngulo interior.Bx=90+-2b)ngul o f or madopordosbi sect ri cesext er i oresE nto d o tri n g u lo lam e n o rme d id a de l n g u lo fo rm a d o p o rla s b is e c tric e s de dos n g u lo se xte rio re se sig u a la 90me n o slamita d delame d id ade l te rc e r ngulointerior.x= 90 2c)ngul of or madoporunabi sect ri z i nt eri or y otrabi sect ri z exteriorEnt odotri ngul olamenormedi dadel ngul o formadopor labisectriz deunngulo i nteri or ylabi sectri z deunngul oexterior esi gualala mi taddelamedi da del tercer ngul o i nterior.BU f i j M S M P r s u n W M O*itnrav una bisectriz /m formado por una altur yjg formado po r unaa((ura" ' &w *" - * *"*' * s, - r r S - *H DSiBHes altura del tringulo ABC_XXyBDes bisectriz del ngulo ABC e) ngulo formado por una al tura y una medi anaEn todo tringulo rectngulo la menor medida del ngulo formado por mediana que parten del vrtice del ngulo recto es igual a la di ferir, nUna a^ra..................c,ac,e/asVi/ni de los ngulos agudos.58I SiBHes altura del tringulo ABC j[y Mes punto medio de ACIEjemplo 1la figura adjunta,calcular A)126B)1 3 rQ1230)124E)125Resolucin'mMNP-gQo^48x =a- Q=66i(P.roPiedadb)mpRM=9p+ 663)Clave:CAP TITUDMATEMATICAE je m p lo 2En la figura adjunta.BMes mediana del tringulo ABC. Calcular el valor dex.A )30B)2230'BC )4 0 3 0 'D)32E )25Resol uci nAE nelA A B C :x=5 a -3 a =>x =2aE nelAA B C :5 a +3 a =902 a =2 23 0 '=>x =223 0 'Cl ave:B2.4.2. Probl emasResuel tos Probl ema1E nlafig u ra a d ju n ta , A B =B C =B D ,c a lc u la re lv a lo r d e x.A ) 12B )10C )6oD)9 oE )18Resol uci nA ABDesi sscel esEn elA ADC:x(propi edadc)=>m *D=2x A BCDesi sscel es =>m*B CD=2x+aPor ngul oexternoenelA ABE y elA CDE:a+ 40=a+4x => x =10CCl ave:B60Centropreun v1rsi taounmsmproblem*enla f'9uramostrada.calculargl valor de (x - y)-A) 15B) 16C) 17D) 18"E) 14Resolucin74. EnelAABC:x-yu-25 3o,(pr0pjedx= 90 -0 + p = 9 O=>y = 9 0 -x= 3 7 = * x - y =16ad b)Clave;Problema3En la figura adjunta, calcular el valor dex . A) 40B) 300)20D)15E)45ResolucinProlongamosBDyEPI hasta que se cortan en P C,2xEn ela ABE: m* DPF == x2A DFP : 4x +4x +x =180 =>x =20eClave:Ca p t i t u dm a t e m t i c aP ro b le m a 4E nlafig u ra mo s tra da ,c a lc ula relvalorde(o.+p+0).A ) 180B ) 360C ) 270D ) 120E )90Resol uci nB2vE ne lA A B D :B= =>0=y0 2x E ne lA E B C :P = =>p=xE ne lA s o m b r e a d o x+a +y=180 =>0+a +p=1 80 Cl ave:A.5.PROBL EMASPROPUESTOSPr o b l ema1.De tresami gos,sesabeque:Juanno est udi a enlaUni versi dad Catl i ca.Davi dno est enla Uni versi dad de San Marcos,el que est en la Uni versi dad Catl i ca no est udi a Ingeni er a Industri al , el que est en l aUni ver si dadde SanMar cos est udi a Ingeni er a Mecni ca.Davi d no estudi a Economa.Si laotraUni ver si dadesla Tcni ca delCal l ao,qu est udi a Toms y dnde?A)Economaenl aU.SanMarcos.B)Economaen l a U. Tcni ca delCall ao.C)EconomaenlaU.Cat l i ca.D) Ing.Mecni ca en l a U.Catl i ca.E)Ing.Mecni caenl aU.deSan Marcos.Problema2.Ci ncoami gasbuscarnt rabaj o,perodeci denhacerl oenci ncodistritos di f er ent es: LaMol i na,SanIsi dro,Puebl o Li bre,Li ma yMi rafl ores.Sise sabe que:-El sai ral aMol i na.-Lassuegr asdeCar menyMi ri anvi venenSanIsi dro,porlocual deci dennoir a es e di stri to.-Mi r i an vi ve enPuebl o Li bre..-Mni cavi veenLi ma yesl ani ca queha deci di dobuscar t rabaj oenel mi smo distritodonde vi ve.-ANanc yl e esi ndi f er ent e el distri to donde t rabaj ar .Centropreun*0esita"0L/ NMSMPodemos afirmar.A) M i r l a nbuscar Men Pueblo Ubr e c T e7aertT q u e Carmen buscar trabajo en Puebl o Ubr e.Problema 3.Alberto, Pedro, Jonathany Jorge postularan a las u n ive rsida d^ ,Lima, U. de San Marcos yU. Villarreal, ellos estudi aran matemtica, ar q u ,tec * S UNl, ra yperiodismo.lJr^7n,-mo. alabi sect r i zdel ngul oBAC.Endi chabi sectri zpomsT^ BHperpendiajlarHM// B yH // C con M enACyNen B CCalcula =i m^ HtraZam Scalcule el mayor valor entero de MNA)8GmB)? CmC>9 c D)10cmE)11cmProblema 19. Los ladosByAC|deun tringulo ABC miden 12 m y 24 m r es p ec t an t e Calcule el mayor val or entero que puede tomar la medida de la medianaMA>17mB)8mC>18mD) 20 mE)14mProbl ema20. En la figura mostrada, AC =20 cm. Calcule PQ.A) 12 cm BB)10cmC) 15 cmD) 11 cmE) 9 cm135PCentropreuniversitario1. A 2.03.B4.Bu n ms m5. A 6.07.C8. E9.0 10. c 11.B 12-cc l AveS13.C14.A15.D16.B17.B18.c19.a20. B136CAPTULO VITrasl ados.Di vi si bi l i dad.Inecuaci onesdeSegundoGradoenuna Vari able Pr opi edadesBsi casenlosParal el ogramos y Trapeci os.t r a s l a d o s1.Concept osBsi cosEn esta seccin hemos reunido una variedad de problemas y situaciones concernientes con la determinacin de la menor cantidad posible de desplazamientos y movimientos de figuras y objetos para obtener otros o para que verifiquen alguna propiedad o condicin previamente establecida. El propsito de esta seccin es revisar y ejercitar la habilidad e ingenio del estudiante para resolver este tipo de situaciones.Ej empl oSobreunamesahay10 vasos ordenados en fila e intercalados entre uno lleno con gaseosa y otro vaco, tal como lo muestra la figura. Por lo menos cuntos vasos deben ser movidos para alterar el orden de manera que queden los 5 vacos de un lado y los 5llenos del otro lado?0000000010Resolucin1ra. posibilidad:2a. posibilidad:3ra. posibilidad:8910Movemos los vasos 2, 4, 6 y 8 y los ponemos al lado del vaso 10o movemos los vasos 3, 5, 7 y 9 y los ponemos al lado del vaso 1. En cualquiera de estos casos movemos 4 vasos.Intercambiamos de posicin los vasos 2 y 7, tambin los vasos 4 y 9. Aqu tambin movemos 4 vasos.Cogemos el vaso 7, vaciamos la gaseolenel' a su lugar inicial; igualmente, cogemos el vasc >9 vacam en el vaso 4 y lo regresamos a su pos, con,ni cal.CentropreuniV*r s it a r i oUHM*11 2+...................movido2vasos(los numeradoscon7y9),y ^6 1.1. ProblemasResueltos Problema 1es |aj nr>r firhas circulares idnticas.Porlomeno* o.*Las figuras1 y 2ser cambiadas de posicin para formar |a f i g u ^sd l a s f i c h a s d e l a n g u iaA) 33)4C) 5D) 6E)2f i g . 2ResolucinEste tipo de ejercicios se resuelve por simetra y es sufi ciente mover 4 f i chas de la siguientemanera:Clave:BProblema 2Si el peso que puede llevar una canoa no excede los100kg,por lomenos cuntos viajes debe hacerse para que esta canoa logre llevar de una orilla a otrade un ro a2mujeres que pesan 50 kg cada una y a un hombre que pesa 70 kg?A) 8B) 7C)6D)5E) 4En cada viaje debe viajar la mayor cantidad dok ,,a persona de menor peso (alguien debl^ f ' deiPeonas y rpnsi: H (70 kg.) A (50 kg.) y B (50 kg).'C ndUC'endo la* * * haResolucinapt it udIC*certoDebe realizarse 5 viajes.pr obl ema3Clave: DPara una de sus recetas culinarias, doa Pepa requiere v3r t , * slodisponededos j arras,ambassingraduarde3v5Mmh4Wr s de a9uaSi veces como mnimo tendr que pasar el agua de una jarra a otra para o b t e ^ f ' 0U" taSrequerido?B)2C)3D)4E)5A) 1Resol uci nLos nmeros en las jarras indican la cantidad de litros que quedan en ellas al final de cada vez.llenarpasar 3 litros1ra.vez.vaciar5litros3 litrospasar 2litros2a.vez:5 litros3 litros3ra.Vez:5 litrosP \3 litrosSon suficientes 3 veces.Clave:Cuursit*C ^ D) 1 E>5C) 4B) 3A) 2B .* e x ' s po" >6.2.DIVISIBILIDADcaractersti casdelosnmerosquenosb, *- ** dl ,,bte por * permiten conocer,por siniH6.2.1.Divisibilidad de los Numero^nmero entero B,llamado divisor, sia ,,n nmero enteroAes divisiDiepr p em nlo,deci mos: 15 es divisible por S S a n T sresulta un c o c i e n ^cociente exactoel cuales^.y %esdivisor de 15". Porque 15 dwMde Qtro nmero entero B,si existe unDe ,gua, maneraunnumero^AC x B resulta el numero A. tercer nmero entero C,tal que ai mu,y2.2. Principios Fu n d am en t al es d e DivisibilidadPara las notaciones de divisibilidad y multiplicidad utilizaremos:Oa =bque significa aes mltiplo de b. A. Operaciones conMltiplos0 0 0a)n+n=n Ejempl o:15 +35=50APT' ^ mt EMAtic ,x3=55 +5=5O O Ob) n -n=nEj empl o: 24 - 14=1025 0 - 2 =2c) n xk= n (slendokun nmero entero).Ejemplo-d)[n]=n(siendo k un nmero entero).Ej empl o: ( 3)= ( 3) ( 3 }= (3m)(3n) = 3(3mn) = 3k = |kB.Pri nci pi o de Arqumi desSi elproducto de dosnmeros enterosA y B es mitini ^^ ^.0 0Ej empl o: 23xB=15=>B=15c. SiunNmero esMl ti pl o de VariosNmeros, entonces es Mltiplo del MCM deesosNmer osEj empl osSia"es mltiplo de 3; a" es mltiplo de 4ya" es mltiplo de 5, entonces aes mltiplo del MCM (3, 4, 5) es decir, mltiplo de 60.VVU -------------- ----Oa =3, a =4 ya =5z>a =MCM (3,4, 5) =60Si aes divisible por 5 y da 2 de residuo; y adems es divisible por 3 y da 2 de residuo entonces aes divisible por MCM (5, 3) =15yda 2 de residuo .D.TodoNmeroesMl t i pl odelosFactoresPrimos que lo Conforman y de CadaUnodel osDi vi sores delMismoEj empl oElnmero 24 tiene por factores primos a 2 y 3, entonces es mltiplo de 2 y es mltiplo de 3. A la vez es mltiplo de 4, 8, 6,12 y del mismo 24.6.3.3. Criterios de u,..~a) D iv is ib ilid a dpor 2n__ O OSea N=abcd=>N - 2 O d =2oceroN = 4Od=Ns ES aEjemplos232 es mcitplo de 2, de 4 y de 8 4262 es mltiplo de 2.b) Divisibilidad por5n01 0 d=5oceroSea N =abcd=>N " 5^N =25 cd=25 N =125 bcd=125EiemP' S1125 es mtltiplo de 5,de 25 y de125.4265 es mtltiplo de 5.c) Divisibilidad por 3n___ o ^ _SeaN=abcde=>N = 3 o a + b + c + d + e - 3o SN=9#a + b + c + d + e = 9Ejemplosoo234 es mltiplo de 3 y de 9,porque 2 +3 +4 =9=3y9o501es mltiplo de 3 porque 5 +0 +1=6 = 3d) Divisbilidad por 11(alternar signos + y, comenzando por las unidades)S e a N = M ^ N =n 0e-d +c-b +a =1ocero Ejemplos1331es mltiplo de11porque1- 3 +3 - 1= 0 55418 es mltiplo de 11 porque8- 1+4- 5 +5=11=11,Di visibili dadpor7(alternarla" APT'TuDmat pm. ,comenzandoporlasunidades)pl,cacnPor1 CA----------o'2consignos +SeaN=ab c d e.=, N = 7 (f +- (c + 3b + 2a)_Ej empl osl cero71 436 904 es mltiplo de 7, porque:1 X4 +3 x 0+2 x 9 - 1 x 6- 3x 3- 2x 4+1V!, oX 1 + 3 X7 = 21=717 024 es mltiplo de 7, porque:jX4 +3x2 +2xO- 1x7- 3x1=06 34. probl emasResuel t os Pr obl ema1En una conferencia de catedrticos de launiversidad hok*sesabequedeltotaldehombres,1/5 eranmdicosX n ' reun,dos 180 Personas.Si abogados, cuntas mujeres haban en la conferencia?"Qenieros y1/3 eranBM05C 17" I E)100Resolucin1)SeaNelnmero dehombres enla conferencia2)Debemos observarque las cantidades de hombres de cada profesin debe ser nmeros enteros,por lo tanto,Ndebe ser mltiplo de 5, de 7 y de 3 a la vez3)Al ser mltiplo de5,7 y 3 debe ser delMCM (5, 7,3) =1054)Elnicomltiplo deNdentro dela cantidad de personas (180) es105.5)Por lo tanto,elnmerodemujerespresentes es:180 -105 = 75Clave: CProblema 2Al restarle a un nmero de 5 cifras la suma de sus cifras, el resultado siempre resulta mltiplo de:A) 9B) 2C) 7D) 5E)6ResolucinSea:n =abcde =104a +103b +102c +10d +e =9+lla + 9+lib + 9+lic +9+lid +eClave:Dd+e) ein^er j ^ * C , +d ^' 9o es siempremltiplo deresultaneClav*uAClONEs DEs e g u n d o g r a d o e n UNA VARIABLE.3* Bs i c o s.conce^tCiituaciones pueden ser planteadas matemticamentemedianteinecuacionesi-3-1nwerse>s sgn una sola vanablereal. Estas inecuaciones en unavariabteVVienendesegul 9s formas.APTITUDMKfEMfcftCAtproW*3-(3,b+cCutn,0SnWe,0S C)9l a vez,hayent r e100 y 250?3y por7a0)10B)7A)6^ !Se , ^ * POr13X7 =21Mel nrner0p-entonce; r . a a * - * p L . . ^ ,nwN=21K 100165 x2+4x - 16 5> 0 _ (x +15)( x - 11) > 0-1511 40,quedax e .Luegoxmn=12 yPepe tiene 28 canicas como mnimo.Clave:BCentroP r e u n i v e r s i t a r io U N M S M6.4.PROPIEDADESBSICASEN LOSPARALELOGRAMOSYr Di RAP6.4.1. Paralelogramos TiposC/OsPara/e/ogramo o RomboideCuadradoTrapeciosTfaobfes cefe ,propiedades de losParalelogramosa) Las diagonales de un paralelogramo Sebisecan B,b) Las diagonales de un rectngulo miden iguales-------------cApTlTUD'C*C)Lasdiagonales de un rombo se cortan perpendicular,* ngulos interiores.Pena1Cularmente, y son bisectrices de ios[ac I bd !Dd) Las diagonales del cuadrado miden igual y se cortan perpendicularmente; adems sonbisectrices de los ngulos interiores.AC =BD y ACIBDCent*preonivrS'taoObservaci^:,ta HPotenuSaRela,lVa tud de lamediana relativa a la hipotenusa 6sEn(odotringulorec.rg ; ^ nusa.'9uaimi t adde la WSm.z=7.Luego; y+z - x=ngj emp'o2Enels ig u ie n te cuadrado mgico, determA)4B)2C)-2o)-4E)5Res o l u c i nPl nmero mgicodela distribucin esd auientes ecuaciones^or ser cuadrado519 13 +y +x +16 adobtenemo,14 +y +^+4 =5+y .2+w +z +7=38 Z+114 +y +z +4 =i 5+w+y+8Resolviendolasdospri merasecuacionesti n,mw=' V ; 2',7:,2, 2 '>'3; '* I d=-2Clave*.CComentari o.Los cuadradosmgicos son muv antinnrchinos y los indios antes denuestra eraLos rab^i PU?St que yalos Cocan los llevaronaOccidente donde unmonje griego, Moschooo,marendelos indios Yloel sigloXIV.En todomomento fueron atribuidas pro^edL8Vel03los cristianos matemticos" yesto explica su nombre; ytal creencia7s ma9'cas aestos seres nuestra pocapuestoque,hacealgunos aoslasUperstlclosanodesapareci encuadrados de este gnero en los pauelos conque ser I f camboVanas trazabandelos bombardeos.M secubnan lacabeza para protegerseObservacin. En general, se pueden definir de forma ani,lospolgonos mgicos de Vlados como tambinenel espacio? C ^fS cos ys.7.1.5.ProblemasResuel t os Problema1Hallar el valor de xque toma en la figura:165A) 1B) 2 C) 3oc r9cento ^M8-3)'=36 1" Fl9Ura,fl . 2)*=16 2*p9ura:! l 3r =43ra- F,9ura.x)2=9 =>X =2 4*Figura:(6 Pr0,,en,a.cul es el valor de V ?siguiente, cuaiEn la anatog18 ^^ ^3( 5) 12 6(11)24 1 (w)496,7C>5A)9Resolucin1.Fila:v ^ Ts -1= 9 2.Fila:JT772- 1=5 31.Fila:^ 6x24- 1 =11 4.Fila:^ 1 ^ 4 9 -1= w = * w =6Problema 3En la figura siguiente, hallar el valor de V :D)8C|E)6Clave: E1215 wA) 24B) 28ResolucinC) 21 D)25 E)30Para ias relaciones operacionales se toma primero el nmero de divisiones de la figura yqi^nr,8 lt'plica por un ^act0r- de tal modo que d como resultado el nmero de la parte supenor de la misma figura. Es decir:1ra Figura: 2x 2 =4 2a-Figura: 2x3 =6 3raFigura:3x4 =124a.F igura:3 x 5=155.Figura:4 x 6= w=>w = 24^ T u DMa t e mAt i c apropetepiernarrTlinar el valor de x -y,en la distribucin siguieme.A)5Resol uci n21 3562 4y383 2324B) 4 C) 3-jra.Col umna:22+62-2=38 2a.Col umna:12+22- 2 =3 3ra.Col umna:32 +42-2 =23 43.Col umna:52+y2-2=24 5a.Col umna:x2+32- 2 =11=>x = 2,y=1=>x +y=3D)6Clave:C72.MXIMO COMNDIVISOR Y MNIMO COMN MLTIPLO72.1. Mximo ComnDi vi sorEl mximo comn divisor de doso ms nmeros enteros positivos es el mayor divisor comn de dichos nmeros.Notacin. El Mximo Comn Divisor dea, b, c, dse denota MCD (a, b, c, d)EjemploCalcular el MCD (8, 12) - Los divisores positivos de 8 son: 1, 2, 4, 8- Los divisores positivos de 12 son: 1, 2, 3,4, 6,12- Los divisores postivos comunes de 8 y 12 son: 1,2,4- El mayor de ellos es 4. Luego el MCD (8, 12) =4Centro PrewRegla para hal l ar elMCD (Tcni ca A b r ev i ad a)Se escriben los nmeros uno a continuacin del otro.Se divide todos los nmeros por el menor factor primo c or r '.l os cocientes obtenidos se col ocan debaj o d e c ad a nmero 9 Ods e.sevuelveadividir dichoscocientesporotrofactor. resPectiVg s- sucesivamente hasta que los cocientesresultantessean^ Co,T|ne--El MCD es el producto de los nmeros primoscomunesPr" 71 sentreS. to,pues 24=6mltiplo de B (A = B)n'2.E! MCD de dos nomeros primos entre s es la -,Ejemplo. MCn /poc _ .3- Si varios _primos eni ejemplounidad".El MCD (8,12) = 4gntonces:apt it ud^ emat ic aA =adB =bda, b,C =cdcsonprinos entre4En una divisini nexacta el MCD del hwwdi vi sor (d) y elresi duo (r).,dendo (D)y de, divSQr ^es 'guai al MCD deldividendodivisor X /Didrq/ \residuocociente=>|MCD(D,d)=MCD(d,r)D =dq +r5 Si varios nmeros se multiplican o dividen onrnnmior^^ .mamo dividido respect i vament e por dicho nmero.numero. el MCD resulta multiplicadoEj empl osa) Hall ar elMCD (8k, 6k)Resol uci nMCD (8, 6) =2 n>MCD (8k, 6k) =kMCD (8, 6) =k (2) =2kb) Hallar el MCD(30k, 42k).ResolucinMCD (30k, 42k) =k . MCD (30, 42) =k . 6 =>MCD(30k, 42k) =6kc) Si el MCD (15k, 21 k,18k) =240, hallar k2170rnCentr r\, MCD (0,072; 0,088)d) Hallar el MU[Resolucin( 72. J ! ) = L .MCD (72,88) m = MCD1000J1000___L . 8 =0,008m~10006.MCD(A,B,C,D) = MCD(MCD(A,B),MCD(C,D))EjemploMCD (18,24,8,16) =MCD (MCD (18,24),MCD(8,16))= MCD(6,8)= 27.2.2. Mnimo Comn MltiploEl mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros enteros positivos es el menor de losmltiplos comunes diferentes de cero, de dichos nmeros .Notacin.El Mnimo Comn Mltiplo de a, b, c, dse denota MCM (a, b, c, d).EjemploHallar el MCM (2,6)- Los mltiplos de 2 son:0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,...- Los mltiplos de 6 son:0,6,12,18, 24,30,...- Los mltiplos comunes de 2 y 6 son:0,6,121824 -Elmenor de ellos es 6.Luego, el MCM (2,6) = 6Regla para hallar el MCM (Tcnica Abreviada,delotro.: S K & t T " * * - * . _____ cente se coloca6ntre el menor divisor pri modeal gunodeellos y el-Si algunos de ellos no spnSwl,0Srespectivamente. deNo.pueden d,vidir exactamentesecol ocael mi smonmeroeso hasta que todos los nmerosl l eguenalaUNIDAD.El MCM es el producto de todos los diviso, EjemP10fal l ar el MCM (2, 6).Res o l u c i nres Primos.APT'TUD mat emt icaLleganala unidadElMCM(2,6) = 2X3 = 672.3.PrPiedadeSi El MCM de dosnmeros A y B con A mltiplo de B (A =B )es el mayor de ellos.Ej empl o.MCM(2,6)-6;2 es divisor de 6.2.El cero esmltiplo de todonmero.3.ElMCMdedosnmeros primos entre si es igual al producto de dichos nmeros.Ej emplo.MCM(7,10)= 7(10)MCM(7,10)=70;7y10 son primos entre s.1714. Sean los nmeros a y b. MCD (a, b) =d y MCM (a, b) =ma) Se tiene que: a . b =d . m, es decir, el producto de 2 nmeros es igual al producto de su MCD por su MCM.Ejempl oMCD (6, 8) =2 y MCM (6, 8) =246 (8) =2 (24)48 =48cumpleb) Si se divide el MCM (a,b) =m, entre los nmero a y b por separados, los cocientes obtenidos son primos entre s.24-4ej^f10 es)S24= 24 =3,4y3sonprimosentresi. msnmeros es tambinmltiplo del M cM de5S,unn^gje/np'0*e5, ^ dedsomn =MCMMCD[ 3 10 2J~MCM(3,10,2)=^(610b) Hallar el MCM|^g g.1g J( 2 101"|MCM(2,10)10^ MCM[3 T '?J=MCD(3,9)~ T7.2.4 . ProblemasResuel tos Problema 1Se desea dividir un terreno rectangular que tiene 264 mde largo y 216 mde ancho en terrenos cuadrados iguales, de tal manera que se tenga la mnima cantidad de cuadrados Cul es esa cantidad?A) 85B)24C) 99D) 36E)40Resolucin1) Para obtener el mnimo nmero de cuadrados, stos deben tener la mayor reaposible, es decir, sus lados sern valores mximos.2) El valor numrico del lado de estos cuadrados debe dividir exactamente a los ladosdel terreno rectangular.CeflWurwve^'1ranopor lotanto,dbeme ha||arelMCD(2l 6,264).2162641081^254662733911El MCD (216, 264) =23x 3 -244) Es decir, el nmero de cuadrados es:216264^~24~x ~24~=9x11=99 cuadrados(ancho)(largo)Problema 2Clave: CRolando trabaja 5 das seguidos y descansa el da siguienteSi empez a trabaia lunes, cuntos das deben transcurrir para que le toque descansar un da domingo?***A) 48ResolucinB) 38C) 40 D) 42E) 411) Los descansos son cada 6das.2) Los domingos son cada7 das.3) Coincidirn en el MCM (6,7) = 42 das.4) El da 42 es domingo y descansa5) Entonces debe transcurrir:42 -1= 41das.transcurrirn 41dasProblema 3Si MCM(a, b) =143 MCD (a, b) y a +b =A) 92Clave: EB) 86^solucin1) Sea MCD (am- hia' )-d, entonces:1080, halllar a - b (a >b). c) 90D) 84E) 94aptitud matematica- =P.a=dp b- =q,b=dqPVqPrimos entre s2) Adems elMCM(a,b)= MCM(dp, dq) =dMCM(p,q)= dpqprimos3)Delpri mer dat odpq=143d =143= 1 1 x 1 3pqp =13 q=114) Del segundodato:a+b=1080 a > b = > 1 3 d +11d=1080r=>d 455) Por lo tanto: a =13 (45)b =11(45)... a- b =45 (13-11) =90Problema 4175Clave:CTres ciclistas parten al mismo tiempo y de la misma lnea de una pista circular. En cada vuelta tardaron1min12 s,1min 30 s y 1min 45 s respectivamente.Cuntas vueltas habr dado cada ciclista cuando haya pasado nuevamente por la lnea de partida?A)35, 28, 24B)36, 28, 28C) 35, 30, 24D) 35, 28, 26E) 36, 28, 24Resolucin1) Tiempos para dar una vuelta por cada ciclista: Primer ciclista:t1=1 min12 s =72 s Segundo ciclista:t2= 1 min 30 s =90 s Tercer ciclista:t3=1 min 45 s =105 s2) Pasarn simultneamente por la lnea de partida cuando el tiempo transcu MCM (72,90,105) =m segundos.Cefi*0Ai**tafioiN^sM10510510518 105 79 535 3c35MCM(72'90,105) m7x5x32x 2= =252oel 1'm=35vueltasciclista dio:28 vueltas^el 2- ciclista dio:g0JH-x 24 vueltas el 3- ciclista dio:105's s s r " "vezal tra ns c urrir m"s e gu n do s ,es decir,2520se-Clave: A7.3.TEORADEEXPONENTESFctaDartedelcaptulonospermitiradquirirdestrezapar asi mpl i f i carexpresiones algebraicas,empleandolaspropi edadesbsi cascor r espondi ent esalateorade exponentes. As mismo,calcularemoslosvaloresnumri cosdedi chasexpresiones yresolveremos ecuaciones cuando corresponda.7.3.1. TeoradeExponentesEs aquella teora basada en las leyes de la potenciaci n y radi caci n.7.3.2. PropiedadesfundamentalesI)am^1=arTHnIII)(am)n=amn=(an)m.mam-n >7 =a IV)(ab)n=anbnfa^anV)Ib)"7VII)an =- L ,ai o anVI)a=1,a* 0 VIII)Va" =(V a}"=a ;as 0 ,si n^ # = a ,si n es impares parIX)XDm/na[ aVb=7b aXIIDbn (b aX| rh - 7 - ./b- Xl"f e wXIV)nkmknapt it udMa t em t i c aObser vaci onesVSibc =n=>a- a2)-ab=-(ab)3)1j|axnJ a ^ ^ =7XXX+XX XXX.X4)X=Xesto por propiedad I y |||X*xXx+xx5) xesto por propiedad I y III Ejemplo 1Hallar la suma de losvalores de ux" en:xx.x= xA)1ResolucinY2 (O'2+ 2( ) = 2B) -1C) 0D) 2E) -29U -x2x2+ 2(-2)= 22Centro* * * * * * * * *UNMSM2'2+2=22/ . 4 -/ =2 '2- 1=>X- I=2 x= H(a=1 ; n 1=n ;1n=1) (Bases iguales,exponentesguales)La suma de los valores de x"escero.Ejemplo 2Sixx~1 =J2, hallar%/xclave;, ,A) 4ResolucinB) 20)1, - r=j i==wD)1/2Apl i cando:E)1/4Ejemplo 3= 4 1 / *=44~11 -1=>X =4=>x= 4\/x= 2va'ordexen=2C)2=an)D)-2E) 4Clave: BRes o l u c i n, 1- X=282v4(x' x)=(2) = ( 4 ) 4x"A =4 x/o\2(~2)=(-2)(*2) /.x =-2AP,cando [ a" -" mamn=(a'")nejemplo 4Simplificar:E=(6)10(-9)SJ 15)8j 30)7 12 H6)11 (5)16t- r1A) - 3/5B) - 5/3p\o/c' /5Di 5/3J 5/3E)1/5ResolucinClave:D180Resueltos73l P r o b,emaSproble^1S/mp/^carA)*B)y[ )(a-ba-bC) x + yD) xyResolucinHaciendo:a - b = c=>b-a=-cR f cc+ycX C +yCc+ y - cCJJL+ J Lf x cycxc+yc ci yc+x=xcycR=xyProblema 2Hallar el valor de x" enx=j/ 9/9A' 36,tC ,-2D)1/2ResolucinX' = 9xf i 9 ^xx=9xxx"1 = 32XxXx- 1 - 33-17 =9x=3E)X-'y-,Clave: DE) 2proSix3 ^ , hal l ar el val or de(x6) B)\2C) 2/3^ l ema3a p t i t u dmat ematA)f eResolucinD)4E)V3**=3^ x> x=^2Resol uci nX6 =^26 =22 _2=4Probl ema4Siaa= x.simplificar:Clave: DE=liaA) xx B)x*xC) x-1D) xE)1aaa+aa/ aaaaa E=i a =i aa* aE='a3 ' 3aav;=S(x)E= xClave:D, , tos segmentosproporcionalesconsisteendet er m 3e$!T sde lossegmentosdeterminadoscuandounsegme^ " nar>ara>.p a r t e s . ^segmento se puede dividir demuchasf ormas 0t oe* t ^ J j n ^^. cuando se traza una recta secante auntringulocada/adoes h- *"t' . a n *se traza una bisectriz interior en un tringulo,el /ado o p u e s t o * 0en do. cuando se trazan rectas paralelas que interceptan a dosrectas*ora eor/a cetos segmentos proporcionalesfue iniciadap o relm cuyoteoremapermitiqueseresuelvanproblemasden ? af er nf l co 0r empecemosarecordarelTeoremadeThale sysusimJ,sPr c f . V90 Tha,proporcionalidad y semejanza.Y ,mP' ' Canc/as^ o . 6n(J Vestud/0l?s7.4.1. Teorema deThalese ,S/ fres o ms recias pdeterminados en cadarienfos#52Enla figura,i . //L...,I " -2//L ? y Cp_4)7 F~4cm y4AC =9ARr .,V7cmCalcular DE. A) 7cmB>6,4cmC)6cmD)4cm 5 cmRes o l u c i nL Sesabeque; AC 9 Pore|TaoremaAdB7x+4; Thai-ab=~ ^= ~9x =4x +10 ^5x= 32 x = 6,4 DE=6,4cmISS Se ene qUeEj emp l o 2En la figura,L1H l 2 l 3/ / L 4 , hal l ar V .Clave: Bxy=122*y + X =6x +4LiL-2t-32(12) +x =6x +4=>x =4TeoremadelaBi sectri zInteri orIyr\!/a o \a/\ bB~_______mpnClave: A En la figura se cumpleque:a_ mb nCP: Bisectriz interior183Centropreuriverta"0Yeoreffl*del aBi sectriz ext er i orEn la figura seCumP|ePue- __mbnC E :Bisectriz exter0rEjemplo1En la figura,AB =12cmyBC = 9 cm.Hallar BD.A)5cmB) 6 cmC) 3 cmD) 3,5 cmE) 4 cmResolucin El A ABCespitagrico,entonces AC = 3 x 5 cm=15 cm P or el Teorema de laBisectriz Interiorx- l l - itenemos que:y 15 5P ero:x + y=9 =>y =9 - x x4 ^ 9- x55x = 36 - 4x9x = 36 :=>x = 4BD= 4cmClave:EAPTITUDjem p |0mat emat ic ar n untr i n g u lo A B C set i enequeA B =b o < R itiid de labi sect ri z interi or AR.cm(0n gitu auA )4cmB) 3c m C)2cmResolucin7.4.4. SemejanzadeT ringulos7mABC=36-ca,cu,ar,a D)^ c mE )JE,cmComoAB =BC =~*E lngulo AR C ~0 AR C ^es ngulo exterior delA AR Bentonces ma' r c =36"+36=75.' Los tringulos ARByRAC snn,=entonces BR = A R= A C =v6tes'X.Teorema de la B I - =- xxa-xx2+ax - a2= o ,2a2x+ax +I ax + -25aaa= - =>x+ -= _ V 5422x=|(V 5 - 1)v-(i/5+1)( V5-1)=>x =2A R =2cmClave: CDostringulossonsemejantessitienenlamismaforma,perononecesariamenteel mismotamao.P araquelostringulosseansemejantesesnecesarioquesustres ngulos sean respectivamente congruentes y sus lados homlogos sean proporcionales. Son ladoshomlogos aquellos que se oponen a los ngulos congruentes.BAA B C - A D E F AB _BC =^ d ' e f ' dfc * " * r ' " , , eT r i n g u l o sdeS"ianZunms mCrite"0 ' Crite' i 01^ " " ' ^ d o l csln9U'0Stienen dos ngul os congr uent es.A B B CD E ~E FA CDFs s a s s s s de los lados son proporci onal esyl osngul oscomprendj'dosPorkbbx kaayCriterio III.Cuando lostres lados son proporcionaleskcEjemplo1En los ladosByBCde un tringulo ABCseubicanlospuntosQyPdemodo queQP//AC y PAes la bisectriz del ngulo CPQ.SiP Q= 3myP B=8m.Hallar PC. A)3mB) 2,8 mC) 3,8 mD) 4,8mE)4m SealamQ P A=0 => mA P C = 9y comoQ P // C n>mP A C = 0 A AC P esissceles=> AC =PC=xComoQ P // C =>A Q B P - A ABC 8 3Luego:~ =---- rxx +824 =5x=> x =4,8 PC =4,8 m3x +24 =8xClave:DEjem p l 2APT,Tu d ma t e ma t ,c aEnun tri ngulo ABC,las al turasBEyCFmlden5mcalcular AC A) 35mResolucinB)5mC ) 4md )4,8S eaame" te.SAB = 6mE) 3 mm^ C=CtymACF =p =>mABE=3A E B ~ a C F A , entonces x_46 5 ^ 5x=24=> x = 4,8 A C =4,8m74 6.Probl emasResuel t os probl ema1En la figura, ABCDesunparalelogramo.Si QR =3 myRD =438PA ) - mB ) - mC lave:Dm,calcular PQ,C))3mE ) y mAPTITUD MATEMKTVCAP, ^ fS"an NMB) 3rmP M//bQ yAM = MC- HallarloP 0 = 8CpC =e m a^^s c e \e sA B C (A B= B C ), s obre, AC yB C \s econs \cieran\ospuntos \ t 3 ^ . m0Cj 0que :P Q esbis ectrizde\k p r vR Q es bis ectriz de)nA)2cmC)5crTlD)4cmaQM__ . ,Aolicamos el TeoremaPIIIBQ*Q M 6 2r wic =3k 0 _ k^ Q M * 2 k ^ A Q - kde ThaU'es.1___ x- 1 x = 4qBII PM=> 82Clave: Doj ^rm V4cm.Hallar x = 7X2. 7x =O=>* (x'C _>p =4(7cm)P =28 cm.rlaVe-.CEia 0)25QA6B)32k33 - a e * ' ' * 1*'"'Problema 2. t ^ .. iK> 7 8)11C) 14D) 16E)8Centrpreun*6L/ NMSMindicad^rst*n03E" 13 fiaros 'formadosy reunir otros cuatro nmeros sZ er ^l o sc u * * * r o s despues sumar ,os c.nco nmeros ^ n do , Sment5' *nJ Zener?C^I JV(segimsA) 39 8 ) 3 3C) 380)31 EJ 37elevadosepuedebucin siguiente, ^ . f ^ T c u Zcualquier nr0s formarrepetir)yobtener?tePblema 4De la siguiente distribucin triangular,hallar elvalor dex + y:A) 82B) 83C) 86D)85E)8413457 7 7 121410 abcde 11mxny16Problema5.J avier sale conIns cada10 das,conC nthiacada15das y con Pamela cada 25 das.Si sale con las tres un jueves, qu dasercuandovuelvaa salir con las tres juntas la siguiente vez?A) mircolesB) domingoC) juevesD)lunes E)sbadoProblema 6.Dos campanas A y B empiezan tocando s imultneamente y cada una toca aintervalos iguales, adems A da 8 campanadas en 28 horas y B da 8 en 21horas. Cuntas horascomo mnimo deben transcurrir para que vuelvan a toc ar simultneamente?A) 21B) 28C)12 D)15E)10Problema 7. Tres comerciantes recibieron el mismo nmero de botellasde vino. El primero recibi cajas de24botellascadauna;elsegundo,cajas de25botellas cadauna;y elfionh"0 n^aS debotellas cadauna.Siningunodelos comerciantes recibims de 800 botellas, cuntas cajas recibi el tercero?A) 15B)12C)30D)16E)18hiprnatienedostonelesunn*Pr^sar todo el vino, sin mezclar, en botella^ 6100y el ot en!f^osern necesarias?Dotellas de gual ^otro 8o litrosB )15C )gD)8E)12mni^0A) 20PT'TUd mk t EMAt ic adeD)8% una y cuntas vasijas se extrajeron de c a ^ ^ sse, * = a o ii e J r ! tida de sde tres r e r i n t - "* vas'ia paradA) 27 l; 32B) 42 I;36C) 181; 42problema10.Hallar el valor dek=A )1/26 ) 2 C >/ problema11.S implificarA ) 9B >1 /3D) 42 I; 37 4-0,5V5' 2D)4E) 421; 39E) 1/8r >\E m\ 8(:2x +828(2X)3c ) 3D )4E)2P roblema12.S ixx=2,hallar el valor dee _X*x +x+XA) 4B) 8c ) 16D) 32E) 64- 1 4$P roblema13.Sixx=(-8) (-80)3fhallar ( x-2-x '1)A) 3/4B)1/4Probl ema14.SiC) -1/4 D) 1/8E) 3/82 ^2 ^2 ^/ 2 7 7 7 =4! j(1631)33lhallar la suma de las cifras de n".n"radicalesA)5B)4C) 3D) 2E)1dr-?ARLas bisectrices interiores deProblema15.En un tringulo ABC ,se tiene que B- nlintnCip v QtalqueBP *KI-a r.m v NP = 5cm.H a l l a rAC.M n 9 a c i n^ ^ SiMN = 4 cm yNP A)15 cmB)14cm C ) 12c menpD ) 1 3cmE)8crnPr o b l e m a 17.Enu n t r i n g u l o A B C s e t r a z a n l a b i s e c t r i zprolongacin deA C yl am e d i a n a B M , l u e g o P Q i / m b Q n P rtci8 p c onp - .1 ^neQQ giQhiAByf inal menteQ RI I B C c o n R e n l a p r o l o n g a c i n dP a d o p r o l o n q a n-- SlAB =q _ 'ndomvec^calcularQR.1618A , j mB) T mC)3mD)5m3.5 mProblema 18. En la fig.mostrada.Hallar BF,siAB =16 m y BC = 4adems Mp =A) 2 mC)3 mB3M8B)1 mD) 4mE)6mProblema 19Fnrque losA) 18cmB ) 2 0cmlAPTITUD MKTEVAkl\ CKCLAVES5. B6.C7 . A8.C9.D10.A11. C12.C13. A. 1A.E 15.C 1 6 . 017.A18. B19. ECAPTULO ViliIn d u c t i v o Si mpl e.Fr acci ones.Mvi l es Rel ac i o n es Bs i c as enunTr i ngul oRect ngul o.1UCT| V 0 SIMPL E3.1.'ND'A travs de lostiempos las ciencias naturales v rtrde observacionesparticularessobre la* ~, matemtcas sehan h l a s E stemtodoq u , us an| !? a" * examnar s u s c o n j e t u r a s y lle ga r aconvertirlas en t i 08cienfcos,engeneral como R azonamiento Inductivo.E l razonamiento '6yes 0 teoremass econ, anlisis de unnmero limitado de s lto fiO T e sp a r a tg o * 1,1 se r Syle ga ra una conclusin.Enestapartedelc a pitulo aprenderemos autilizariresolucindepro ble ma s .E s importantes ealara,2 ' azo" amientoinductivoenla examinen,mejor c a pa c itado es taremospara llegar a una^ene aNza ^ StUacionesseCon el ra z o n a m i e n t oinductivo s e obtiene una conclusin nPsea verdadera y luego aplic a bleaotrass ituacionesanlnqU8 6sta conc|usinEstaco m p r o b a c i n enM atemticas econoceporI n d u r a n Su d0mostracin-llegaremosata lde mo s tra c i n,as umiremos quelac o nri,. w^atmatlca;nosotrosnouna infinidad de s ituacionesanlogas ,por ello el nombre de Inductivo S imple '^^811. ProcesoInduct i voC oncepto.E lra z o na mie nto induc tivo e s eln m r ^n riopara predecirresultados futuros.Se dice que va de lo particular a lo genZT*USar'SEjemplo 1Hallarlasumade las cifras de la potencia P.P =( 9999... 99 )2200 cifrasA)1800 B)900C)450D)2700E)360CentrpfgUWIV' -pesoluci'1S t"-tervemos, si efectuamos directamente laoperacine,-ronces debemos pensar en otra estrategia nar^ rces00........0>se"7nToncesdee"'^1i0St ,a potenciapat r n g e n e r a l q u e r e s u e l v a e lp ro b le mabasedelapoica induccin para descubrir ei, ~..0obtenemos para casos particulares simples yanM'SU cifras = 2(g)690108 Co^Qprimero= 98012 afras(SSr -9980013afrasi s 99980001 ( 9 9 9 9 3 ) ^ 9999800001(9999,)24afrass u m a d e c i f r a s =3 ( 9 )s u m a d e c i f r a s = 4 ( 9 )s umad e c i f r a s =5 ( 9 )Safrasanteriores concluimos paranuestro problema.Ejemplo 2a s n somb,eado *n, de crculos que ocupa la figura F *.A) 929 ResolucinB) 930C) 991D)992E)931La secuencia tiene una regularidad creciente delnmerodec rculossombreados y sombreados.Resolvamos el problema por induccin.Obtengamos primero resultados para las primeras figuras,como sigue.#c irc uio snosombreadosF v= -1+ 2+ 4=-U2(1+2)=-1+2x3F 2#circuiosno sombreados F,=-1+2+4+=- 1+2(1+2 +3) = - 1 +3 x 4=>#c irc u io s nos ombreados F = - 1 + 2 + 4 + 6 + 8iV------------------------,=- 1 + 2 ( 1 +2 +3+4 )= - 1 + 4 x 5Ahora.analizando io stre s re s u lta d o s o btenidos ,tenemos para ia figura F30.s o m b re a d o s - - 1+31x32- 991C lave:C812. Probl emasRes u el t o sProblema 1Hallar la suma de las cifras del producto P.R#OlU Int aoen los * c, " uPJ d o veamostresc a s o s p a r t i c u l a r e sr e p i t e n 103v e c e s . c a d a u n a d e l a s c i f r a s 2y9 Piorigmos 22x2 cifras222*a n o =2 1 9 5 6q j j3 cifrass u m a d ecfras9998= 1, 9T ? " * S U m a d e c i f r a s =3 cifras4cifrast4=U 3 ( 7 )2222 x 99998=22 2 1 9 5 M 64cifras5c i f ra st ibolastotai~ 1+(1+2)2 * 3 x 4ti ^las base=1+62x3Ma / !,(? +2>+ (1+2 +3)66o4pisos1 P o2ps o3pso4"pso ^ * bo,as ^ =1+^+^ + ^+^+^+(1+2+3 +4)_4 x 5 x 66#bolas base= 1+ 2+ 3+4 _4 x 52A naliz andolos re s ulta do s o btenidos paralapirmidedenpisosse tienen n(n+1)(n+2)# bolas total - qn(n+1)# bolasbase- ^Comon(n+1)(n+2)#bolas to ta l=1540=> -------------- --------------- =1540=>n(n+1)(n+2)=20x 21x 22 =>n= 20As se t i ene:2 0 x 2 1 -#bo la s b a s e - - -----------Cl ave: Cp ro b le m a 4E nels ig u ie n te a rre g lo tria n g u la rde le tras , cu ntas fo rma s dis tinta s sepuedeleer P O R S A N M A R C O S aig u a ld is ta n c ia deunale traaotraenc ada le ctura?po oR R RS S S SAAAAA NNNNNN M M M M MMMA A A A A A A AR R R R R R R R RC C C C C C C C C Co o o o o o o o o o oS s s s s Ss s S s s sn 2 D )2 - 1 E>2+1A) 22+1B)2 "c ) 2a pt it u dmat emt ic a201Cent*UNMS^Resollucin SAN MARCOS contiene12l etrasy d eb er P fenoerior del tringul o.P ro c e d e mo s nn- S ^ f la parte s upenorPrind^ lA# fo rma s le e rP O = 1+ 1=22 letras=22*1/ 1 21# formas le e rP O R = 1 + 2 +i = 2x23 letras= 2 3- iA/ AA A Af ! 3 1# formas leerPORS- 1 +3 +3+i = 2 x 2 x 24letras= 24-iA/ l / \=># formas leerPORSA- 1+ 4+6+ 4+1= 2 x 2 x 2 x 2SSSSV7 lS T =2 5- 1/\ /\/ \ /\AAAAA1 4641Analizando los nmeros obtenidos en la base del tringulo son el resultado de las lecturas finales,y estos nmerosnosrecuerdaeltringulodeP ascal.Luegoconcluimospara nuestro caso:#formasleerP ORSAN MARCOS.= 2 U ' 1 = 2 11 12 letrasClave:BUno del os c o n c ep t o s mat emt i c o sque rao-es|orefe rentealas fracciones .P or d e d rkS|!!mpre usamos enalumnosdelaulaA ingres aronalau n i v e r s i d l ^COnlosdems^treactividad fracciones yve re mo s s us a p l i c a c i o n e s ^ ? ^a'9Un Sg 21. Concept osB s i c o sDefini ci n.Una " fraccin" es cualquier par ordenadQes mltiplo de n. La fraccin se designa por medio del sirnbZV""sel l aman u m er ad o rd el af r ac c i nv e l n . w u no m / n - Eln mer o m"nse llama denominador de la misma.Obser vaci n.Toda fraccin es nmero racionaln I n te rp re ta c i n G r fic a de F ra c c io n e s E n el casdar unai nterpretaci ngrfi cadelas fracciones m?n2 Tm S entero positivo'Podemossm/nenlQs si guientescasos:a)S imn,la fraccin m/n expresa una porcin,ms de una unidad. Por ejemplo 7/5,podemos ver en el grfico:IFraccin Propia- Se dkx que la fraccin m/n es propi a,s,mj E>r51)x:nmero deentradas a palco, x: nmero de entradas a platea, 2x:nmero total de entradas.Q)No se venuc4)= * / < 2jf) = 1542 2 x =x + 5 x15i -(2x ),luego15( 2x)=>' = 1 5Cla''e:E8.3.MVILESni nroblemas sobre mvilesel e s tudia nte s lo n e c e s ita r c o no c e r i0 P 3rare|movimientorectil neouniforme,es decir,c u a n d o e lm vils e mueve ! Senc'a', S ." ***"*mismadistancia.e=V xtLa expresin querelacionalastres magnitudes ,donde.e=E spaciorecorridoV = Ve loci dad t = Tiempo empleadoEn este temasepuedenplantear divers os pro ble ma s c o n d i fe r e n te s va ria n te sVeamos algunos d e el los:1.Movimiento en Sentido Contrariopunto dee nc u e ntro( ^ T \i * -----------e o / 3 mE je m p lo 3En la figura, calcular AB.A)10^2 cmB)16cmC)16cmD ) 8V 2cmE)12 cmapt it u dmat emt ic aAH= a^ h b=2a 82= a(2a ) ^a *=3 2 ^ a = 4^* x2= (2a)2+ 82x2= 4a2+ 64 x2= 4(32)+ 64x =8^3Cl ave:E217 S e traz alamedianaC M => A M = MB= C M = 6m E nlo s C H M y C H A :y2=62=> x2-22=x2- 42= 48x =4 ^3Clave:DCefi*0UNMStfReso*lucin P or el T e o re ma de |aBis _ = =>f x= 5ky3k1y= 3k. P o r elT e o re ma de P tg0rasX2 =82+y22 5 k 2 =64+9^2 16k2=64 k=2 x10ectr,* VEjemplo 4n\ a figura AB = 24 cm yA C =18cmH allar P A A)10.12 cm6, 10.125 crr,C) 12,125 cm D) 10, 25 cm E, 12,15 cmRe soluci n2 4 cmEjemplo 5Clave.*En elACB,se tiene- (18)2= (24)n27182 = 24n=r>n = 2En elZXAQC,se tiene: n2=( 1 8 ) x ^i y - = (18)x27x=2 2x18=>lx=10125Clave: BSobre los ladosBC y AC de un tringulo rectngulo ABC recto en B,se toman los puntosq1am re^Pect'vamente. tal queM Nes perpendicular a C .Si AN =13m, NC =5m y BM =MC,hallar AB.A) 12 mB)13 mC)10 mD)8mE)16mReSolucin- ApTlTUD MATEMTICA ' CN,r=aZNaHa4 tUmraentonces:5 m VHA = 8m*E n el iA B CXj = AC x AH x=0 8 m)(8m) x=12m3. problemas Resuel tos problema 1nla figura< B M =M H 7 A H xE C = 27cm2- C a,cu,ar BH cmB )10c mC ) 1 2 c mE )8cmC lave:A S esabeque:A H xE C =27cm2E nel AA ME :M H 2=AHxHEE n elA a B C : B H 2= A H x H CB H 2= A H x( HE +E C)B H2= A HxHE+A Hx E CBH 2=MH2+27c m2B H J = & + 2 7 c m2Problema2En la figura,AN VH es un cuadrado, AP =2 cm yPH =5 cm.Calcular NM.BH 2=36c m2|BH=6c mNClave:DReso, lucinNVSe traza la diagonalNpfK a ^E nel Z^N MH: NM =xMH =y=>(L,/2)2=x2+y2 ,(1)En elZ^AP H:L2= (?2+c2x12- oo5)W=>L - 29c m2AN=NV= VH=A H=LE nlafig u ra : A Q =a=>Q H =L - a.A Q A N ^ Z ^A P H =>~=lL5A q m h ^ Z f ^A P H ==> 5cm=^a=:.5LJ L =1- i=(1- - ) cm =>5 cmL5y=3c m220Luego de(1)tenemos:x2= 2L2-y2x2=2x29cm2-9cm2x2=42cm2x=7cmClave: ARe s o l u c i napt it u dMat emt ic aMSean:AB= x AC=b AH = n9ubn=36 (j.2E n el1\ a b cx2=bnx2=3 6 |i2x= 6nAC M=>T -= ^-4p.nse tiene que:Problema 4Enuntri ngulo re c t ngulo ,laalturarelativaalahipotenusamide2m,lahipotenusa es dela longitud de uno de los catetos.C alcular la longitud del cateto mayor.Cl ave:DlongituddelaA)3m R e s o lu c i nC )2,5mD)E )4mSea:CA = x=> AB = x459x2Por el Teorema deP itgoras:BC2= ( x)2 - x2BC = x=> AC >BC 4En elb iABC se tiene que:(x)x - ( x)(2m)=>x^10 = mCl ave: B,sPOBLE*Sr m M e S a potencia P4Hallar la sumaProb,en1+ 2222-22+ 3333...33)P =100 cifras100 cifras100 cifrasB)800A) 40011 - ,100 cifras0 1800D) 900E )450A)400,biliar idnticasseformunarumapiramidal de baspi C 3 0 diferenc ian. n u n . s o l . b o la c u n , S S Z Z S t'***'0840 > E , 5 0 6A ) 380' mn nmero de puntos de interseccin den tringulos que tienen P roblema3.Sl elmax^ gsg|vg|or den?un vrtice comn es J bro,52C ) 5 1 D ) 4 9 E ) 5 0A) 48P roblema4.Determi na, las umadetas c ifra s de lp ro d u c to Pp=6666...66+9 99 9 . . ^99 30(Tcifras300cifrasn a o o D )1 8 0 0E ) 2 7 0 0A) 3600B) 450)P roblema5E nels iguientearreglo, de c u n ta s fo rm a s d is ti n ta s s e p u e d e leerSAN MAR C OS aigualdis tanciadeunale traao tra e nc a da le c tu raS OsS 0 C 0 sSOC R c 0 ss OCR A R c OSs 0 C R A M A R c OsS 0 cRAM N MA R C Osso c R A MN A NMA RC oSOCR A MNA S AN M A R cSO c R A MN A NMA R C oS0 C R A MN MA R c Oss OC R A M A R c O sS OC R A R c O SSOC R c O SS O C O sS O sA) 4 (2S+1)B) 4 (28-1)C) 4 (2-1)D ) 4 ( 2 9+1)E)4(29)pr obl ema 6.D o sgrifo sAy B llenan juntosunAPT'TUMATEMAt,Cade des age,s e ta rd a r a n enllenar el tanquevaci*n30 horasSiA es tandoel ta n q u eva c o ? 0horas E n cunto tiemB fueseP l l enara el grifoA ) 4 4 h B ) 5 0 h C ) 4 Q h2hE)54hP ro ble ma 7.M a nbe lga s ta c adas emana en alimentosy pasaje2l0quelere s ta lode s tin a aotras neces idades .S ien8 5 ^ ^9a" a' * *nuevoss oles . C u nto ga n a s emanalme nteM aribel? tleneahorrado1089A) SI .650B )S /.6 05C )S /.610Du )SI. 615E )S /.6 00P ro ble ma 8.AunC o lo q u io N a c io na l deM atemticaas is tieronprofesores,endonde se13observ que tra b a ja b a n enunivers idadesnacionales;187 en universidades particularesy la quintapa rtee nunive rs ida de snacionalesy particulares. C untos profesores asistieron a dicho Coloquio en total?A ) 320B )3 50C )340D)430E )420P ro b le ma 9.Lasuperficie que tiene laprovincia de Canas es las^ de lo que posee2Canchis mientras que Espinar es los- de lo que hacen Canas y Canchis juntos. Cul es la superficie de Canchis si entre Espinar y Canas hacen 20625 km2aproximadamente?A) 5360 km2 B)5675 km2 C) 5350 km2 D) 5750 km2 E) 5250 km2P ro b le m a 10. Abel y Beto tienen respectivamente 8 y 5 hectreas de terreno que desean2sembrar, cuando ya haban sembradoy de cada propiedad, contratan a un pen y partirde ese momento Abel, Beto y el pen trabajan en partes iguales. Cunto deben aportar Abel y Beto respectivamente para pagar al pen, si en total deben pagarle SI. 130?A) S /110; S/. 20B) SI.120; SI.10c ) SI. 100; SI. 30)SI. 90;S/.40E) SI.105;SI. 25CentroPreurv**oPreumv*-""*0mvii desdeLimaaHuaral.almismo temp0y ^ * ? 5a Huara'?kmD) 80 kmE) 90 kmB ) 55kmA ) 60 kmlo sd a s ala m is m a h o raylle g a ala P re Sanconia sale desu c a s atodod ^ costumbreyn e g a la s 7 horassProblerna,as28 horas.Hoyduplicarla, a qu hora hubiera llegado? S & o s u v a ' o c i d a d a n ,C) 6 h 3 0 m D ) 6 ^E)6 h 20 mB) 6h 40 mA ) 5 h 40 mo ueiocidad de 12 km/h llegara a su destino a ias ' s s s - "r stAQU p z s z x s s * - ' * '- *A)17 km/hB)14km/hC )15km/h D )13k m /h E )16km/hP r o b l e m a 14. U np a d r eys u hijo tra b a ja ne nla m is m a o fic in a . E lh i jo a lir d e s u cas a a o f i c i n a e m p l e a 3 0 minuto s y e l p a d r e 4 0 min u to s . E n c u n to s m in u to s a lc a n z a r el a su padres i s tes alecon d i r e c c i n a l a o fic in a 5 m in u to s a n te s ?A )14B )16C )12D )15E ) 2 4P ro ble ma 15.U nmvil pa rted e L imaaC h o s ic a a la s 13h o r a s c o n u n a v e lo c id a d de120 km/h;otromvilpa rti de C ho s ic a 8min u to s a n te s c o n u n a v e l o c id a d d e 9 0 km/hyse encuentranalas 13horas 42minuto s . Q u d i s ta n c ia r e c o r r i e lm v ilq u e partide C hosicahas tae l punto de e nc u e n tro ?A )85kmB )65kmC )80kmD )6 0 k m E ) 7 5 kmProblema 16.Cal cul arl a medi da del menor ngul oagudo d eun t r i ng ul o r ect ngul o sia aurarelativa alahipotenusa divide a staen doss egment os c u y as l ongi t udesestn en la relacin de1 esa3.A )15cB) 45C)30eD)37E)16*probl ema17.Enla figura,AE = 8 ^A )4mB)2mC )6mD)3mE)5ma p t i t u dMa t em t i c a10mC alcular ECp ro b le ma 18.E nlafig u ra , A B C DesunnaraielyBD=7m.H a lla r M P -M G 2,elo9ra" .A DF Ges un cuadrado,C D = 4mA)33m2B)32m2C )36m2D)24m2E )12m2P ro b le m a 19.E nlafig u ra , A M =1 cmyC N=8cm.H allar ACA )5^3mrB)5%/5mC )4^5mD)3%/5mE )2J 7m225P ro b le m a 20 . E n un tri n g u lo re c t ngulo ,lahipotenus amide25cmylasumadelas lo ngitude s de laa ltu ra re la tiva alahipotenus a y s uscatetosres ulta 47cm.Hallar la longitud delaa ltu ra .A )8c mB )18c mC )16cmD ) 1 0 c mE ) 1 2 c mCentropreuniversitariou n ms m4. E8 CCLAVES9 e 1 3 C 17- B1.D5 8 10. A 14 018 A2.D611.A 15. E 193.E7 8 12.B16 C 20. Ec a p t u l oIXE le m e n to s R e c re a tivo s . P o rc e nta je s .R elojes . L o s P u n to s C a rdina le s .9x=804)P or lota n to , lac a ja c o n tie n e 80 fic h a sP ro b le ma 4Aqupreciosedebevenderun par de zapatos para ganar el 30%, si al venderloen S/. 74 se pierde el 20%?A) S/.115,75B)S/.120,00 C) SI.120,25D) SI.125,00E)SI.125 ,2 5rcitarioUNMSM Centro PreunlverSltResolucin1)esoluciono nar 3 0 % d e b e v e n d e r s e e n e l 1 3 0 % d e s u c o s to . I / ' q?4representa 2 0 % m e n o s del cos toos ea80% de lc o s to .2)EntoncesgQ%.................... 74130%.................... x74(130)=s / 120,25 80Clave9.3.R E L O J E Si* v i d acotidiana,uno pregunta qu hora es?,algunas vecesit en algn momentoi dela wde je mp|o Q (ra s v e c e s |edm,relojest atrasado* contestan son las 7h25 m ^ ^^ d e res Q |ver e s t,d eSltuac0nesadelantado.La ldea de*ntosbsicosde circunferenciaydeltiempoquetranscurr ayudadealgunsco"ceP|Cgrem0S e ne s ta parte,generalmente elrazonamiento * - n de probiemas 9 3.1. Sobre ,as horas marcadas y ngu.os f ormados por .as maneci U as de, re,ojnmhie rna so u e re la c io n a n la h o ra marcadapor un reloj de agujascon elPara solucionar pro ble ma sq^ g | g u n a s c u e s ti o n e s b a s i c a s s bre lanqulo fo rma d o p o re s ta scircunferenciadelrelojys usdivis io ne s . 60 divisiones 60 minutos < > 3601div. 1m 6.Entre 2 marcas horarias consecutivas hay 5 divisiones,por lo tanto:5x6 = 30 En cada hora, trascurrida, el horario ha recorrido 5 divisiones,el minutero ha recomdo 60 divisiones y tiene: =^dlv~_1 donde:H= E spacio recorrido por el horario,m~60 div.~12O m=E spaciorecorridopor el minuteroDe (*) se establece: que el avance del horario es1/2 del avance delminutero. Dada una hora cualquiera, la hora de referencia ser la hora exacta anterior a dicha hora Por ejemplo:A las7 h 25 m, la hora de referencia ser las7 en punto.ne s tsP roblemaS 56Ut,asSl9u,entes relaciones:C uando el M inute roes t delante del Horario., J m -30Ha - 2Cuando el H o ra rioes t del ant e del Minutero.O11a o- 30H ~2mdondea0=me did a delngulo que forman lasmanecillas del reloj. E je mplo ^C untomideel ng u lofo rma do por las manecillas deun reloja las 6h 20 m?6B )50C )80D)75B)100A) 70R es olucinjL ahorade re fe re n c ia es la s 6horas ,es toesH=6. Ihorari oest del ante delminutero, entonces:2)C o moeinuiea =30H-m,m=20minut os3 ) . - > - T ( 2 0 , S 7 0 'Ejemplo 2*loela s 4de lamaana ,elminuteroadelantaa la marca de las 6yf o r m a c o n s U u t^ n g u loe nnme rode gradoss exages imalesigual al nmero de tra n s c u rrid o s d e s d e la s 3h?m ^h 2 5 mC )3h36mD ) 3 h 4 0 m E ) 4 hA) 3h2 0 mB) 3h2 b m'1R esol uci n1)H a re m o s u n g r fic o .2) Por dato, x =cc (numricamente)3) El minutero con la linea de la 6 formaun nanin' d e ta , f - a q e LCentro Preuniversitario UNMSM3)f+3=> a= 36l Luego, x =36 m.4 ) La hor a es 3 h 36 m.C|O b s e r v a c i n 'ave.^-Las12 h o r a s s e t o m a r n e nl a f r m u l a c o m o 0 h o r a s .-Como e l n g u l o a0 d e b es e rs i e m p r ep o s i t i v os ee s c o g e r l o ss i ae s t oes,s ia p l i c a n d o u n ad el a s f r m u l a s e n a l g n p r o b l e m a el"08C nven'emP ent onces s ea p l i c a l a o t r af r m u l a . a n 9 u l oSa|e nments- Adem s, e lh o r a r i oH t o m as l o v a l o r e s d e 0 a 11. 9atv09.3.2. Sobre Adelantos y AtrasosS ed e b et e n e re n c u e n t a q u eh a y u n a h o r a r e a l( h o r a c o r r e c t a )S ie lr e l o je s t a d e l a n t a d o , e n t o n c e sl ah o r aq u em a r c as e rl ah resto e s : a ' u r are a l m se l ^ , e ladelantoH O R A M A R C A D A =H O R A R E A L +A D E L A N T OS ie lr e l o je s t a t r a s a d o , e n t o n c e s l a h o r a q u ema rc a s e r la h o ra re a lme n o sel atraso e s t o es:H O R A M A R C A D A =H O R A R E A L-A T R A S O-Para qus un reloj marque nuevamente lahoraexacta d e b e r a d e la n ta r s e o atrasarse 12 horas o sea 720 minutos.E j e m p l o 3Dosrelojessesincronizanalas5horas,uno deellosseadelanta30segundos cada 20minutosyelotroseatrasa45segundoscadahora. C untosminutosestarn separados a las17 horas los minuteros de los relojes?A) 28B) 9C) 30D)18E) 27R e s o luc i n1) SeanA y B los relojes que se sincronizan alas 5 horas,5 horas----------------17horas12horas10 t an t o X=18mr es p ec t o al r el oj B.po r lo t an t o ,y =9m 4) Ti emp o d es ep ar ac i n =t , ^=x+y=27mConcl usi n:eatrasaadelanta ambmenHhsen H hsteparadn (a+b) mE je mplo 4Unrelojseadel ant a5mi nutoscada3 horas.Cuntose habradelantado al cabo de 15 horas?R esol uci nAdelanta5 m xCada3h15h15(5)x =m25hClave: A,P,en,ve UNMSMCentro5. v - r t Z S X Z * " * * sj S - t f - - c)21h30m .jjD e s e 6 horasR e s o l u c i n--------- 8:00 p.m.= 20 horast r a n s c u r r e n 14h2 ) A d e l a n t a C a d a5 m ______________ 1hx______________ 1 4 hx =5 (14; m =7 0 m = 1h 1 0 m3 ) H o r a m a r c a d a = H o r a r e a l + a d e l a n t o= 8 : 0 0 p . m . + 1h 1 0 m= 2 1 horas1 0 m9.3.3. Sobre E c u a c i o n e s Horari asC lave:BPara las o l u c i nd eesta clase de problemas n o s a y u d a re m o s d e u n g r fic o representado por u n a r e c t a , t o m a n d o como base u n da que tiene 24h o r a s y d e a c u e rd o a los datos d i v i d i r e m o s l a r e c t a e n partes.E j e m p l o 6S i lamitaddeltiempoquehatranscurridodesdelas7a.m.e s unatercerapartedel t i e m p o q u e f a l t a p a r a las 5 p.m. Qu hora es?A) 11 p.m.B)11a.m.C) 9 a.m.D)10 a.m.E )12m.ResolucinFalta transcurrir7:00 a.m.r N5:00a.m. V i----------------------- 1---------------------------------itiempo(10- x)transcurridoxX12)Por dato.= (10 -x).. x =4 h3)Son las 7:00 a.m.+4 h = 11.00 a.m.Cl ave:B9.3A. Pf 0probl emasR e s ue lto sapt it u dmat emt ic able maas deun reloj se encuentran separada* r wk a *,,BS.So St eh as aguj as?adasp- 5 4 0 segundos, tqungutoestar.formandoA ) * * 'B )75 C )58D)60E )54", lu c i nR es oinSformando540segundosaminutos: 3 1mTr540s- 540sx6 0 s9m1m--------9mX9 54probl ema2C lave:Eini de P lutin"s e a de la nt 8 minutos cada5 horas. A qu hora empez a adelantarse,r6| J eio h15mde la n o c h e ma rc a las 10h39m?sialas *v15mB )7h4 5 mC ) 7 h 2 5 m D ) 7 h 1 5 m E ) 7 h 3 5 mA ) 2 2 hResolucinMarca1)10h15m^ ^ 10 h39 m(noche)H a yu n a d i fe r e n c i a d e 39- 1 5 =24m2)A d e l a n to C a d a ( ti e m p o )8m 24m5hxx =15h3)Empez aadelantarse hace15 h.Hmarcada=H.real+ adelanto inoche10h15m 22h15m H.Real = 7h15mi15 hClave:Dot r9VC60W>P'8Unf'* re''a"0UNM: problema 3MasaSif u e r a n 4 h o r a s m s t a r d e , f a l t a r a p a ra a c a b a ro J K S l i- * m *temprano C p ^, , , , ^o , 7 h D ) a 5 ) 6 , ^ !Resolucin1) Hora: xoy_ /v+ 4)= 20-x x -4 P a ita r ax+ 4F altar ax + 472 )Por dato:20- x= ( 2 8 - x)/.x = 6 h3) Fal ta np a r a e lm e d i o d a : 1 2 - 6 =6 h.P r o b l e m a 4A qu hora entre las 2 y las 3 las agujas de unreloj se superponen?10A)15h15mB)14 h 11 mC )14h10mD ) 1 4 h 1 0 ~m E ) 1 4 h 1 0 ^mC lave:Resolucin1) La hora referencia! es H =2m2) Usando cualquiera de las formulas I y II (pag.237)11113) a = 0*. entoncesym = 30 H,esto es,ym= 30 (2)= 60m=H - 10 1011- 107 T m Se stJ Pe-U0Sp u n t o s c a r d i n a l e sClave:Ea pt it u dmat emt ic a n ta c *11o 4 . 1 r,ea c ine s la u bic a c i nde lo s cuatropuntos cardinales e i*p lplanocartesiano uao r i e ^aulu g a r d o n de no sencontremos .(honz nte)Lospuntos c a rd in a le s p rinc ipa le s s on NO R T E ,S U R , E S T E yO E S T E .O --------------- * EPunto de PartidaL o s punto sc olate rales son:N O R E S T E (N E ),N O R O E S T E (N O ),S U R E S T E (S E )y S U R O E S T E (S O ).S u s repres entac iones enelplanocartes iano,vergrfico.Notacin yUbi caci ndelngul oEOE O- ES{a)ES(a)0 N(a)0ObservacinPara los puntos colaterales el ngulo es 45, es decir: NE = N(45)E.S E= S (45)E,NO = N (45) O, SO =S (45) O9.4.2. Casos quesePresentanenlos ProblemasI) Cuando se di r i ge en f or ma vert i cal y/o horizontal Ejemplo 1Jos mina 3km al oeste,luego 6 km al norte y talmente, 5 km al oeste. l A " kilmetros del punto de partida se encuentra J os.E)9A) 14 B)8C)10D)7P i d en :O P. p a r a h a l l a r Q P c o m p l e t a m o s u nt ri n gu l or e c t n g u l oy l o r e s o l v e m o sp o rP i t a g r a s .q r = 8 ,P R =6 ; d e l O P R Q. Q p ' = P R T + Q R 2 ^ Q P = y / 6 2+ 8 2~=>Q P = 1 0ResolucinSI I ) C u a n d o s e d i r i g e f o r m a n d o n g u l o , e n e s t e c a s o C,aVe Cr e c t n g u l o s n o t a b l e s U S a r e r n o s t r rar,9ui0sT r i n g u l o s R e c t n g u l o s N o t a b l e sBAPTITUD mat emat ic ac oquito c am i n aconunabrujula enlamano,consecutivamente.- i - olc nroQ rU o n ___ _Ej empl o 2nods',quto car..............,reste,15male s te , 1 5 ^2mals uroes te,20ma| 'Q p m8'9ue: 2 al tancia de lpun todepa rtidas e encuentra C oquito? * ymal sureste, A quA ) 10J mB )10mC )5V 2mD)5E ) 0 ml:P unto de partidaF :P unto final Haciendo el grfico respectivo 1F=5mCl ave:DProblema1C armentie ne q u e ve n d e ra lguno s productos motivoporelcualdeberealizar elsiguiente recorrido: 3 kmal e s te , 2kmal norte,5 km al este, 3 km al norte, 3 km al este, 3 km al sur, 2 km al es te y, fin a lme n te2k m al sur, a cuntoskilmetrosdel punto de partida se encuentra?B )13C )12D)10 D is tanciadelpunto partida alpuntodellegadaes.3km +5km +3km +2km-13km2kmL legadaP roblema 2Pepito hace un recorrido de la siguiente manera:4 p a r ti d aTe encuentra? y, finalmente 20 m al este. A qu distancia del punto de partidan \ I f t mn \ 90mE )13mA) 15 mB) 21mC)^mCentropreunive\rsit anoo UNMSMResolucinE L legadaF o rm a mo s un tringulo rAA T E (T.Pitagoras).6c%*A E 2=12m2+9m2=>A E =J 225mpartida A E - 15mClav,P roblema36:A,A qu distancia del punto de partidas ee nc u e ntra una p e rs o n a q u e re c o rri k suroeste,10 kmalnorte,15kmhaciaelno rte 5 3 e s te ?A ) 7^k m B ) 5^k m C )5(5+ ) kmD )1 0 ^k mH a c ie n d o e lg r fic o r e s p e c tiv o tenemos: E lA O M A (T .P ita g o ra s ) .d 2=( 9 k m +5 k m) 2 +( 7 k m)2d =y 9 6 + 4 9 km d=J 2 4 5 k m d =7^5kmClave: AP roblemaC arlos deciderecorrer s u terrenoy c a mina 8kmalo e s te , 10k m n o r te 5 3 e s te , 20km aleste,10kms ur53oes teyfina lme nte 2kmalo e s te , a q u d i s ta n c ia d e lpuntode partidase encuentra?A) 12B) 10C) 8D)5 E)7Res ol u c i n20 kma p t i t u dma t ema t i c aj1 *'Punto de partida1F:P unto final___________Q *Distancia IF8 km IF =12 k m-2km = 10kmC lave:BPROBLEMASP R O P U E S T O Sproblema1.Las uma de los puntos delaspartessuperioresdeestascincof i r h h dominnoes igua lala s umadelo s puntos delaspartes,nferioresP araquedichas sumass e a nig ua le s , c ua nta sfic ha ss e debeninvertir? qasA) 2B )4C ) 5D)1E ) 3247Problema 2.D e s p u s d e la nz a r5 da do s enunames a,E dgardobserva que los puntos enlasc a ra s s u p e rio re s de lo s d a d o ss oncantidadesconsecutivas. C ul es la mxima s umade lo s p u n to sq u e p u e d ev e r E dgard?C )85D)88 E ) 90A) 80B )83 ? E nla fia u r a ha y9pa lito s def s fo ro delmis mo tamao.S i3deellossone / , , _d.26mC ) 25mD) 28mE )23mproblema13.Seti ene2relojes,elprimero seadelanta8minutoscada6horas vel segundo se retrasa 4 minutos cada 12 horas. Si al ponerlos a funcionar ambos marcan la misma hora.Dentrode cuantos das volvern a coincidir?A) 12B)20 C)18D)19E) 24Probl ema14.Eseniaingresalteatroalas16horasvaiandnu manecilla del horario de su reloj a girado exactamente 100. .Aqu hora salt del teatro?A)18 h10mD)19h20mB)20 h 20 m E) 21h 20 mC ) 19 h 40 m249Problema15.Unrelojse atrasa 2 minutos cada 6 horas. Si marca la hora exacta el 3 de enero delao 2002.Cundo volver a marcar la hora correcta?A) 5 abrilB) 4 abril C) 2 abril D)1 abril E) 3 abrilProbl ema16.Fel i pecami na3kmal este,luego 6 km al sur y, finalmente,5 km al este. A cuntos ki l metros delpunto de partida se encuentra Felipe?A) 15 B) 14 C) 22 D) 18E)10Probl ema 17. Carol camina sucesivamente: 2 kmal oeste, luego 8 kmall norte^espues 5 kmal este, 4 kmal sur, 3 kmal oeste y 3 kmal sur. Acuantos kilmetros del punt partida se encuentra Carol?A)0kmB)2kmC) 4 kmD) 1kmE) 3 kmCentro Preuniversitario UNMSMProblema18.Luiscaminaconunahn',., luego 3 km al este,despus 2 km ai * . J a enl am cJ 5teBH2jrm',U ai*hr, r . n' il > ' * SProblema20. MNPwnm" * . * e y - C Q ^ sOj20fcftJ 3^(5j4%,Cae/ %%%c" s ^ r r___ ^r b = 17+ 9 = 26+3+5+7+9=> x = ba= 2624Clave: CI ww.1. S i la razn es constante en la sucesin aritmtica se llama P R O G R E S I N gfado2. Toda sucesin aritmtica o polinomial tiene por ley de formacin un polino n" pudiendo ser lineal, cuadrtica, cbica, etc.A.1. Sucesin lineal (o de pri mer orden)Notacin:t,,t2,tg,t4,... , tn\ S \ y *APTITUD ma t e ma t ic adonde:t2=t, +rta =t2+r =t, +2rt. =t, +r =t, +3rtn=tn_l +r =t1+(n- 1)rpe donde se obtiene la frmula recurrente:0t=primer trmi