libro setimo 2014

5/24/2018 Libro Setimo 2014

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Colegio Internacional Canadiense

Sptimo Ao

Lic. Mauricio Ramrez Herrera, 2014


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Copyright 2014 Mauricio Ramrez Herrera

PUBLISHED BYMAURICIORAMREZHERRERA

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Primera Impresin, Diciembre 2013


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Contenido

1 Nmeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Operaciones con Nmeros Naturales 9

1.1.1 Adicin de Nmeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Sustraccin de Nmeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.3 Multiplicacin de Nmeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.4 Divisin de Nmeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.1.5 Potencias de Nmeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.1.6 Operaciones Combinadas con Nmeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.2 Teora de Nmeros 41

1.2.1 Algoritmo de la Divisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.2.2 Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.2.3 Factores, Divisores y Mltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.2.4 Nmeros Primos y Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.2.5 Descomposicin Prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.2.6 Mnimo Comn Mltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.2.7 Mximo Comn Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


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2 Nmeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.1 Orden en los Nmeros Enteros 78

2.1.1 Recta Numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.1.2 Los smbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.2 Valor Absoluto de un nmero entero 91

2.3 Opuesto de un Nmero Entero 95

2.4 Operaciones con Nmeros Enteros 97

2.4.1 Adicin de nmeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.4.2 Sustraccin de nmeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.4.3 Multiplicacin de nmeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.4.4 Propiedades de la Adicin y la Multiplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.5 Potencias de un Nmero Entero 109

2.5.1 Ley de Signos para una Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.5.2 Leyes de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.6 Radical de un nmero entero 119

2.6.1 Ley de signos para un radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.7 Operaciones Combinadas 123

3 Geometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.1 Conceptos Primitivos 129

3.1.1 Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.1.2 Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.1.3 Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.2 Conceptos Fundamentales 131

3.2.1 Puntos Colineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.2.2 Puntos Coplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.2.3 Rectas Coplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.2.4 Segmento de Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


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3.2.5 Segmento de Recta Congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2.6 Punto Medio de un Segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2.7 Semiplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2.8 Rayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.2.9 Semirrecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.2.10 Rectas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.2.11 Rectas Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.2.12 Rectas Concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.3 Postulados 137

3.4 Cuerpos o Slidos Geomtricos 147

3.4.1 Propiedades de los poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3.5 ngulos 154

3.5.1 Clasificacin de los ngulos de acuerdo con su medida . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.5.2 ngulos complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.5.3 ngulos suplementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.5.4 Clasificacin de los ngulos de acuerdo con su posicin . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.6 Tringulos 1813.6.1 Teorema de la desigualdad Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

3.6.2 Clasificacin de Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

3.6.3 Propiedades de los Tringulos Issceles y Equiltero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

3.7 Cuadrilteros 201

3.7.1 Clasificacin de los Cuadrilteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

3.7.2 Los Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

3.7.3 Los No Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3.7.4 ngulos Internos de un Cuadriltero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.8 reas de un Cuadriltero 214

3.8.1 Frmulas para calcular al rea y el permetro de un cuadriltero . . . . . . . . . . 214

3.8.2 reas Compuestas y Sombreadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216


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3.9 Sistema de Ejes Coordenado o Sistema Cartesiano 220

3.10 Punto medio entre dos puntos 221

4 lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4.1 Sucesiones 223

4.2 Proporcionalidad Inversa 230

5 Estadstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2355.0.1 Mtodos Estadsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.1 Tipos de Estadstica 236

5.2 Elementos de la Estadstica 238

5.2.1 Poblacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.2.2 Muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.2.3 Dato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.2.4 Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.3 Clasificacin de Variables 239

5.3.1 Variables Cuantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.3.2 Variables Cualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

5.3.3 Distribucin de Frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.3.4 Representaciones Grficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243


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1 Nmeros Naturales

Cada uno de los nmeros positivos enteros1, 2, 3, . . . reciben el nombre deNMEROS NATURALESoNMEROS CARDINALES.

Los nmeros naturales se utilizan para el conteo de objetos. El conjunto de todos los nmerosque se utilizan para el conteo reciben el nombre de C ONJUNTO DEN MEROSNATURALES, sedenota por N, y es equivalente al simbolo Z+.1

Algunos matemticos eligen incluir el CEROen este conjunto aunque no hay un criterio claro alrespecto.

El conjunto de los nmeros naturales es cerrado para la Adicin y la Multiplicacin, esto significaque toda suma y todo producto de nmeros naturales sern a su vez nmeros naturales. Para la restay divisin esto no ocurre.

Un conjunto infinito de objetos cuyos elementos puede ordenarse en de manera similar a losnmeros naturales se conoce como CONTABLE. No todos los conjuntos infinitos son contables.

H Antes de que surgieran los nmeros para la representacin de cantidades, el ser humano usotros mtodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudosde cuerdas, o simplemente los dedos.

Ms adelante comenzaron a aparecer los smbolos grficos como seales para contar, porejemplo marcas en una vara o simplemente trazos especficos sobre la arena.

Pero fue en Mesopotamia alrededor del ao 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigiosde los nmeros que consistieron en grabados de seales en formas de cuas sobre pequeostableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado.

De aqu el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeracin fue adoptado mstarde, aunque con smbolos grficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma.En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en laantigua Roma adems de las letras, se utilizaron algunos smbolos.

1El conjunto Z se estudiar mas adelante


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8 Nmeros Naturales

Quien coloc al conjunto de los nmeros naturales sobre lo que comenzaba a ser una baseslida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los deriv de una serie de postulados (loque implicaba que la existencia del conjunto de nmeros naturales se daba por cierta), quedespus precis Peano dentro de una lgica de segundo orden, resultando as los famosos cincopostulados que llevan su nombre.

Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de nmeros naturalespartiendo de principios ms fuertes. Lamentablemente la teora de Frege perdi, por as decirlo,su credibilidad y hubo que buscar un nuevo mtodo.

Fue Zermelo quien demostr la existencia del conjunto de nmeros naturales, dentro de suteora de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con unamodificacin de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de nmerosnaturales como ordinales segn von Neumann.

AD1. Pagando con monedas de 5, 10, 25, 100, 500 y billetes de 1000 y 2000.

Francisco es cajero en un supermercado, l entrega monedas de5,10,25,100,500

y billetes de1000 y2000. al dar vuelto a los clientes. l siempre entrega la menorcantidad posible de billetes. Complete el siguiente cuadro para saber cuntas monedas ybilletes de cada tipo retir el cliente en cada caso.

Vuelto 5 10 25 100 500 1000 200039852040367515383207720327303270

2. Si Francisco slo entrega monedas de 5 y billetes de1000 ante el pedido de losclientes porque se le acabaron las monedas y billetes de otras denominaciones. El cajerosiempre entrega la menor cantidad posible de monedas. Cmo podran componerse lassiguientes cantidades?

3240 8075 1045

3. El cajero ahora slo tiene monedas de5 y de10. Siempre entrega la menor cantidadposible de monedas. Cmo podran componerse las siguientes cantidades?

1475 30030 42125

Los nmeros naturales incluyen nmeros como1, 2, 3, 4, 5 . . . Por esto, tambin reciben el nombrede Nmeros Contables. El Nmero Natural mas pequeo es el 1 el nmero natural mas grande noest definido. Es as como el concepto de los nmeros naturales nos da la nocin primitiva y bsicade infinito, que es uno de los conceptos mas importantes en matemtica. Adems de conteo, losnmeros naturales tambin se utilizan para representar el orden o posicin de elementos.

Puesto que el Conjunto de Nmeros Naturales completo est contenido en el Conjunto de losNmeros Reales, el de los Nmeros Enteros, el de los Nmeros Racionales, por tanto el Conjunto delos Nmeros Naturales es un subconjunto de todos estos conjuntos.


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1.1 Operaciones con Nmeros Naturales

Como este un contenido que ya se ha trabajado en otros niveles, vamos a abordar el tema desde laperspectiva de los problemas de aplicacin.

1.1.1 Adicin de Nmeros Naturales

Ejemplo 1.1 Adicin deN. Horacio ha caminado ya 15 cuadras y deber caminar una mspara llegar al colegio. Cuntas cuadras caminar en total Horacio?

Solucin Horacio caminar en total las 15 cuadras que ya camin mas la que le falta para llegar ycomo 15 ms 1 es 16, entonces caminar 16 cuadras en total.

Procedimiento Hay que sumar 15 ms 1.Operaciones 15 + 1=16Respuesta Horacio caminar 16 cuadras en total.

Ejemplo 1.2 Adicin deN. Boris lleva 6 semanas entrenando y debe entrenar 5 semanasms. Cuntas semanas entrenar Boris en total?

Solucin Boris entrenar las 6 semanas que lleva hacindolo ms las 5 que le quedan por entrenar.Como 6 ms 5 es 11, entonces entrenar 11 semanas en total.

Procedimiento Hay que sumar 6 ms 5Operaciones 6+5=11Respuesta Boris entrenar 11 semanas en total.

Ejemplo 1.3 Adicin deN. Pablo ha ahorrado $12.000 durante el ao y acaba de recibir$3500 por un trabajo. Cunto dinero tiene en total?

Solucin Pablo tiene en total los $12.000 que tena ahorrados ms los $3.500 que acaba de recibir.Como 12.000 ms 3.500 son 15.500, entonces en total tiene $15.500.

Procedimiento Hay que calcular la suma de 12.000 y 3.500Operaciones 12.000+3.500= 15.500Respuesta Pablo tiene en total $15.500

Ejemplo 1.4 Adicin deN. Los cuatro hijos de doa Marta formaron una sociedad, a la

que aportaron las siguientes cantidades: $250.000, $100.000, $200.000 y $320.000. Qu capitaljuntaron los hijos de doa Marta?

Solucin El capital que juntaron es la suma de las cantidades que aportaron cada uno de los hijos.Como la suma de 250.000, ms 100.000 ms 200.000 ms 320.000 es 870.000, entonces

juntaron $870.000 entre todos.Procedimiento Hay que sumar las cuatro cantidades que se indican.Operaciones 250.000+100.00+200.00+320.000=870.000Respuesta Entre todos los hermanos juntaron un capital de $870.000


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10 Nmeros Naturales

Ejercicio 1.1 A continuacin se le presentan adiciones con nmeros naturales, realice cada unade acuerdo a lo que se le solicita.

1. Realice las siguientes operaciones

(a) 30 + 1=

(b) 29 + 1=

(c) 121 + 1=

(d) 129 + 1=

(e) 3.000 + 1=

(f) 30.300+ 1=

(g) 3 + 8=

(h) 9 + 6=

(i) 5 + 8=

(j) 4 + 3=

(k) 7 + 6=

(l) 8 + 4=

(m) 3000 + 1000=

(n) 2900 + 1000=

(o) 12100 + 10.500=

(p) 12900 + 1500=

(q) 3.000 + 1500=

(r) 30.300 + 15.700=

(s) 8000 + 7000 + 1000=

(t) 2500 + 5500 + 2500=

(u) 5000 + 800 + 200=

(v) 6500 + 500 + 900=

(w) 4000 + 3000 + 500=

(x) 7000 + 700 + 70=

2. Desarrolle los siguientes problemas indicando en cada caso El procedimiento, La operacin con su resultado y La respuesta del problema.

(a) Andrs ha desarrollado 5 ejercicios de su tarea de Matemtica y le falta desarrollaruno ms para terminar. Cuntos ejercicios tena la tarea?

(b) Joaqun tiene comprado 19 regalos para esta Navidad pero le falta uno para completarsus compras. Cuntos regalos deber comprar Joaqun en total?

(c) Guillermo ha trabajado ya 4 horas y le queda una hora ms para salir. Cuntas horastrabajar Guillermo en total hoy?

(d) Ricardo ha jugado 4 partidos de tenis y le falta uno para terminar la ronda. Cuntospartidos jugar en total Ricardo en esta ronda?

(e) Valentina ha atendido a 5 pacientes en su consulta mdica y slo le queda uno poratender. Cuntos pacientes atender en total Valentina?

(f) Andrs ha desarrollado 5 ejercicios de su tarea de Matemtica y le falta desarrollar

seis ms para terminar. Cuntos ejercicios tena la tarea?(g) Joaqun tiene comprado 9 regalos para esta Navidad pero le faltan 3 para completar

sus compras. Cuntos regalos deber comprar Joaqun en total?

(h) Guillermo ha trabajado ya 4 horas y le quedan otras 4 horas para salir. Cuntas horastrabajar Guillermo en total hoy?

(i) Ricardo ha jugado 4 partidos de tenis y le falta uno para terminar la ronda. Cuntos


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partidos jugar en total Ricardo en esta ronda?

(j) Valentina ha atendido a 7 pacientes en su consulta mdica y le quedan 4 por atender.Cuntos pacientes atender en total Valentina?

(k) Don Ernesto tiene un campo de 6.500 metros cuadrados y le ofrecen otro al lado de5.000 metros cuadrados. Con cuntos metros cuadrados quedara don Ernesto si locomprara?

(l) La seora Constanza vendi 12.300 ayer en su quiosco . Si hoy vende 10.000,cuanto habr vendido en total en los dos das?

(m) Eulogio es un hombre muy generoso, todas las semanas le da1.200 a un hombre muypobre y 500 a una humilde anciana. Cunto dinero regala Eulogio a la semana?

(n) Anglica tena ahorrado 13.900 pero su padre le acaba de regalar5000 por estar decumpleaos. Cunto dinero tiene ahora Anglica?

(o) Don Juan ha viajado hoy 350 Km. y maana piensa viajar 400 Km. ms. Cuantohabr viajado en total entre ayer y hoy?

(p) Antonio, Pedro y Mario son tres hermanos que desean hacer un regalo a su madre. Siaportan2.000,4.500 y3.500 respectivamente, con cunto dinero cuentan para elregalo?

(q) Joaqun acaba de cumplir doce aos. Sus padres le regalaron 18.000, su to Panchole obsequi5.000 y su ta Mara10.000. Cunto dinero recibi Joaqun para sucumpleaos?

(r) Los amigos del barrio quieren comprar una pelota de ftbol. Pedro dijo que aportaba1500, Jos1200, Marcos1600 y Diego1700. De cunto dinero disponen los

amigos para comprar el baln?(s) El hobby de Ricardo es juntar monedas de distintos lugares del mundo. Su coleccin

est formada por 18 monedas espaolas, 25 italianas, 13 alemanas, 9 francesas, 83holandesas y 19 suizas. Cuntas monedas posee en total Ricardo?

(t) La Sra. Gabriela acaba de comprar una botella de vino de2500, una bebida de800,una bolsa de papas fritas de500 y una bolsa de man de400. Cunto pag entotal?

(u) Carlos hace sociedad con su hermano Franco aportando15.000 y9.000 respectiva-mente. Juntan entre ambos ms de 25.000?

(v) Un pequeo ascensor puede llevar hasta 200 kilos de peso. Pueden subirse juntos ysin correr peligro, Jorge de 63 kilos, Pedro de 58 kilos, Vernica de 53 y Beatriz de30 kilos?

(w) Los amigos de un barrio quieren comprar una pelota de ftbol que cuesta4800.Pedro dijo que l aportaba1500, Jos1200 y Marcos1600. Les alcanza el dineropara comprar la pelota?


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12 Nmeros Naturales

(x) Pablo viva en el extranjero y lleg a vivir al sur de Chile. Luego de 12 aos setraslad a Santiago donde vive hace 11 aos. Complet ya 25 aos en Chile?

(y) Carlos parti ayer de Santiagbo y recorri 500 Km. hacia el Sur. Si hoy recorre otros400 Km. Alcanzar a llegar a Osorno que queda a 913 Km. de Santiago?

3. Considere la siguiente situacinREQUERIMIENTO DECALORASLos requerimientos diarios de caloras, por edad y sexo, son los siguientes:

Edad Varones Mujeres11 a 14 aos 2500 Kcal. 2200 Kcal.15 a 18 aos 3000 Kcal. 2200 Kcal.

Se tiene la siguiente tabla donde figuran las caloras de algunos alimentos:

Alimento Kcal. Alimento Kcal.1 taza de leche entera 160 1/2 taza de acelgas cocidas 221 taza de leche descremada 100 1/2 taza de acelgas crudas 51 yogurt con fruta 165 1/2 taza de arvejas 781 yogurt con sabor 148 1/2 taza de remolachas 371 huevo 79 1/2 taza de brcolis cocidos 251 trozo carne de res 158 1 porcin de maz 871 trozo de posta 135 1 porcin de repollo crudo 251 porcin de pollo con piel 176 1 porcin de zanahoria 381 porcin de pollo sin piel 120 1 tomate 301 hamburguesa asada 286 1 papa mediana 1051 salchicha 1 alcachofa 78

1 trozo de corvina 79 1 flan 1701 trozo de pizza 180 1 jalea 901 porcin de papas fritas 220 1 helado 1801 plato de arroz 100 1 vaso mediano de Coca Cola 401 plato de fideos 200 1 vaso mediano de Sprite 351 plato crema esprragos 200 1 vaso mediano de Fanta 421 pan pita regular 192 1 vaso mediano de jugo 491 bollito de pan 140 1 vaso jugo 751 paquete galletas saladinas 116 1 taza de uva blanca 1021 paquete galletas soda 115 1 pltano mediano 1001 sorbeto 100 1 durazno 33

1 empanada de carne molida 480 1 barra de chocolate de 30 gr 1511 cuacharadita de:aceite 44 (para una ensalada 88 Kcal)azucar 44 (para una taza de t 40 Kcal)margarina 44 (para un pan pita 100 Kcal)mermelada 44 (para un bollito de pan 30 Kcal)


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Responde las siguientes preguntas, en base a los datos expresados en la tabla anterior

(a) Si Juan Pablo consumi, a la hora de almuerzo, los siguientes alimentos: Un plato de crema de esprragos

Un tomate, con dos cucharaditas de aceite Una pechuga de pollo con piel

Una porcin de papas fritas

Un vaso de Coca Cola

Cuntas kilocaloras consumi?

(b) Magdalena almorz: Un plato de fideos

Un huevo

Un yogur con frutas

Un vaso de Fanta

Cuntas caloras consumi Magdalena?

(c) Alberto desayun: Una taza de leche entera con dos cucharaditas de azcar

Un bollito de pan con margarina y mermelada

Un vaso de jugo

En cambio, su hermana desayun:

Una taza de leche descremada con dos cucharaditas de azcar

Un yogur con sabor

1 galletas saladinas con margarina

Cul de los dos hermanos consumi ms caloras?

(d) Escribe un men a tu gusto, para un da completo que incluya: desayuno, merienda,almuerzo, caf y comida, con alimentos elegidos de la tabla y cuyo total de calorascorresponda a los requerimientos calricos de la tabla segn sexo y edad.

(e) Discute con tus compaeros acerca de la importancia de la alimentacin, tanto para

la salud como para la esttica.


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14 Nmeros Naturales

1.1.2 Sustraccin de Nmeros Naturales

Ejemplo 1.5 Sustraccin deN. A Daniel slo le falta por resolver 1 de los 12 ejercicios dematemticas que el profesor dio al grupo. Cuntos problemas ha resuelto Daniel hasta ahora?

Solucin Daniel ha resuelto un problema menos que los 12 problemas que le dio el profesor. Como12 menos 1 es 11, entonces ha resuelto 11 problemas.

Procedimiento Hay que restar 12 menos 1.Operaciones 12 1=11Respuesta Daniel ha resuelto 11 problemas hasta ahora.

Ejemplo 1.6 Sustraccin deN. Hugo vive a 7 cuadras de su colegio. Si ya ha caminado 4cuadras, cuntas cuadras le faltan por recorrer?

Solucin A Hugo le faltan por recorrer la diferencia entre las 7 cuadras que lo separan del colegio ylas 4 que ya recorri. Como 7 menos 4 es 3, entonces le quedan 3 cuadras por recorrer.

Procedimiento Hay que restar los dgitos 7 y 4.Operaciones 7 4=3Respuesta A Hugo le faltan 3 cuadras por recorrer.

Ejemplo 1.7 Sustraccin deN. La seora Clara va a pagar una cuenta de agua de3.500con un billete de 10.000. Cunto vuelto deben darle?

Solucin Deben darle la diferencia entre los 10.000 con que pag y los3.500 que debe cancelar.Como 10.000 menos 3500 es 6500, entonces deben darle 6.500 de vuelto.

Procedimiento Hay que restar 10000 menos 3500.

Operaciones 10000 3500=6500Respuesta Deben darle 6500 de vuelto.

Ejemplo 1.8 Adicin y Sustraccin deN. Enrique compr una bebida de750, una bolsade papas fritas de620, un tarro de caf de1.320 y un paquete de galletas de350. Si pag sucompra con un billete de 20.000, cunto le darn de vuelto?

Solucin Debern darle la diferencia entre los20.000 del billete y la suma total de la compra.Como la suma de 750 ms 620 ms 1320 ms 350 es 3040 y como 20.000 menos 3040 es16.960, entonces le darn 16.960 de vuelto.

Procedimiento En primer lugar hay que sumar 750, ms 620, ms 1.320, ms 350.

Luego hay que restarle el resultado anterior a 20.000Operaciones 750 + 620 + 1.320 + 350=3040;

20.000 3040=16.960Respuesta Le darn 16.960 de vuelto.


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Ejercicio 1.2 A continuacin se le presentan sustracciones con nmeros naturales, realice cadauna de acuerdo a lo que se le solicita.

1. Realice las siguientes operaciones

(a) 20 1=(b) 19981=(c) 45 1=(d) 17 1=(e) 20001=(f) 3001=(g) 7 8=(h) 6 3=(i) 3 2=(j) 9 5=

(k) 8 6=(l) 5 2=

(m) 8.000 7.500=(n) 75002.500=(o) 48001500=(p) 19951880=(q) 19 13=(r) 60 53=(s) 400 + 300 500=(t) 400 (250 + 45) =

(u) 4.000 + 2600700=(v) 500250 + 580 360=

(w) 40 + 5525 + 50=(x) 2 + 6 4 + 9 1=

2. Desarrolle los siguientes problemas indicando en cada caso El procedimiento, La operacin con su resultado y

La respuesta del problema.(a) Pedro se sac un 5 en la prueba de lenguaje pero el profesor decidi bajarle un punto

por la mala ortografa. Con qu nota se qued Pedro?

(b) Mara est corrigiendo las pruebas de sus alumnos y slo le falta por corregir unpaquete de los 8 que tena para corregir. Cuntos paquetes ha corregido hasta ahora?

(c) A Valentina le falta atender un slo paciente de los 20 que tena que atender. Cuntosha atendido hasta ahora?

(d) En 1996 falleci el pap de Jorge que llevaba un ao enfermo. Cundo se habaenfermado el pap de Jorge?

(e) Rosita tiene 16 aos y su hermano Antonio tiene un ao menos. que edad tieneAntonio?

(f) Valeria se encontr con Cristina en el cine a las 4 de la tarde y compraron entradaspara la funcin de las 6. Cunto rato tuvieron que esperar para ver la pelcula?


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16 Nmeros Naturales

(g) Gustavo trabaja poniendo msica en las fiestas de su colegio. Este ao ha puestomsica en 8 fiestas pero slo le han pagado por 5. Cuntos pagos le deben a Gustavo?

(h) Cristbal tiene 5 semanas de vacaciones, las 3 primeras se ir con sus paps al campo.Cuntas semanas le quedan a Cristbal para hacer planes con sus amigos?

(i) En el colegio, Delia tiene 8 profesores de distintos ramos, 3 de los cuales son hombresy el resto mujeres. Cuntas profesoras tiene Delia?

(j) Tania veranea en Algarrobo desde hace 7 aos. Hace 5 aos su amiga Antoniacomenz a veranear ah para compartir con ella. Cunto tiempo verane Taniasin Antonia Matas naci en enero del 2000 y Juan naci en enero de 1991. Qudiferencia de edad tienen?

(k) En una librera, al comienzo del da haba 13.500 artculos de oficina. Si a la hora decerrar slo quedaban 2.519, cuntos artculos se vendieron en el da?

(l) El estadio nacional tiene 60.000 asientos. Si dos das antes del partido se haban

vendido 37.503 entradas cuntas quedaban para vender?

(m) Una empresa produce 3.323 poleras diarias de lunes a viernes y el da sbado produceslo 1576. Cuntas poleras ms se producen los das de semana?

(n) Vicente debe viajar 407 Km. de Santiago a Chilln. Luego de dos horas ha recorrido110 Km. Cuantos Km. le faltan para llegar?

(o) Paula compr un lpiz de270 y un cuaderno de230, cunto dinero le dieron devuelto a Paula si pag con un billete de 2000?

(p) Juan Pablo gan este mes30.000 por unas clases y25.000 por otro trabajo. Si gast18.000 en salir un fin de semana y 4.000 en un regalo de cumpleaos. Cunto

dinero le queda?(q) Marta y Andrs empezaron una relacin hace justo 1 ao; pero han terminado varias

veces. La primera vez por dos semanas, la segunda vez por 3 das y la tercera vez por6 das. Cuntos das de relacin cumplen hoy Marta y Andrs?

(r) Camilo fue la estrella de su equipo en el ltimo partido de ftbol en que ganaron 27goles contra 4. El hizo todos los goles salvo 4 que hizo Ral y 3 que hizo Matas.Cuantos goles convirti Camilo?

(s) Ana Mara y sus amigos estn organizando una fiesta y calculan que les saldr 17.000.Si Gabriela aporta 3.000, Josefina 6.000, Germn 4.000 y Rodrigo 2.000, cuntodinero deber poner Ana Mara para completar la cifra presupuestada?


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3. Considere la siguiente situacinDISTANCIA ENTRE CIUDADES

Desde San Jos hacia el norte las siguientes ciudades estn ubicadas en el kilomtraje quese indica. (medido desde la ciudad de San Jos)

San Jos Alajuela Grecia Naranjo San Ramn San Carlos0 Km 20 Km 46 Km 48 Km 59 Km 95 Km

Y las siguientes estn ubicadas de San Jos al sur:

Ciudad Coln Orotina Herradura Parrita Quepos Ciudad Corts26 Km 55 Km 100 Km 145 Km 170 Km 218 Km

(a) Calcule la distancia desde Alajuela a Grecia, la distancia desde Ciudad Coln aOrotina y la distancia desde San Carlos a Ciudad Corts.

(b) Si de Paso Canoas est a 110 Km. de Ciudad Corts, a qu distancia est Paso deCanoas de San Jos?

(c) Si San Marcos est a 76 Km. al sur de Ciudad Coln, a qu distancia se encuentraSan Marcos de San Jos?

(d) Construya el siguiente cuadro de distanciasCiudadCorts

Orotina SanJos

Alajuela Naranjo SanCarlos

Ciudad CortsOrotinaSan JosAlajuelaNaranjo

San Carlos

PROYECTO

Comparando los precios que pagamos

Este proyecto se entrelaza directamente con el concepto de antecesor y sucesor, as como con la

suma, resta y orden de nmeros naturales. La comparacin de los precios le da sentido y utilidad alas operaciones de suma y resta de cantidades de all su inclusin en este libro.

El proyecto procura que se organice un trabajo de investigacin en relacin con los lugares dondehabitualmente los alumnos y alumnas, as como sus grupos familiares, hacen sus compras. De estemodo, se responde a los intereses cercanos del grupo, porque se recurre a la vida cotidiana de cadalocalidad. Su informe final podra ser pblicado en un mural de la institucin por la importancia deltema.


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18 Nmeros Naturales

El proyecto se relaciona, en lo esencial, con la Unidad Estadistica y Probabilidad.

DESCRIPCIN DELPROYECTO

El desarrollo de este proyecto consistir en recolectar, procesar y presentar informacin cuanti-tativa sobre los precios cobrados por artculos de consumo masivo segn marca, lugar y forma depago.

OBJETIVOSESPECIFICOS

El alumno adquirir conocimientos y desarrollar habilidades para:

1. Formular preguntas de intencin matemtica.

2. Recolectar datos sobre precios de algunos artculos.

3. Comparar precios de acuerdo a marcas, forma de pago y lugar de compra.4. Tabular y graficar datos obtenidos en la investigacin.

5. Graficar en diferentes maneras los resultados de la investigacin.

6. Calcular e interpretar porcentajes.

OBJETIVOSTRANSVERSALES

El alumno adquirir habilidades para:

1. Organizarse y trabajar en grupos.

2. Codificar una informacin relativa al tema del proyecto.

3. Organizar salidas a terrenos.

4. Presentar resultados.

PROPUESTA PARA LA REALIZACIN DEL PROYECTO

Los pasos sugeridos podrn ser ajustados por cada liceo segn sus propias necesidades yposibilidades de ejecucin.

1. Cada grupo decide qu rubro considerar en su proyecto:comida, muebles, ropa, otros, luego

de lo cual se organiza en grupos de no ms de 6 personas.2. El grupo decide qu aspectos de esos rubros se considerarn:marcas, lugares, cantidades,

otros.

3. Luego disea, prepara y aplica los instrumentos para realizar la investigacin (encuestas,entrevistas, salidas a terrenos, otros).

4. El grupo ordenar los datos en tablas y grficos.


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5. Es el momento de interpretar los resultados y proponer alternativas de solucin.

6. Se organizar una exposicin para la comunidad educativa, puesto que es un tema de inters.

TABLA DEDESEMPEO PARA LA EVALUACIN DEL PROYECTO

Competencia DesempeoMnimo

DesempeoIntermedio

DesempeoAceptable

Desempeoptimo

Habilidad pararecolectar,comparar, selec-cionar, ordenare interpretar losdatos de la reali-dad encontradosen el proceso de

investigacin.

El estudianterecolectadatos, perono sabecomo rela-cionarlos.

El estudianterecolectay ordenadatos queprovienende la investi-gacin, perono obtiene

informacinnueva apartir deellos.

El estudianteconstruyegrficos,puedecalcular por-centajes y/opromedios,pero necesita

ayuda parainterpretarestos datos.

El estudiantees capaz decomparar,seleccionar,ordenar,interpretar,proyectar ysocializar los

resultados delos proble-mas a partirde los datosobtenidosen la investi-gacin.

Sugerencias para quienes trabajen en este proyecto. . .

Si un grupo de alumnos decide conocer el precio de un producto de lnea blanca, segn marcas

y segn el sector donde se ubica la tienda, pueden elegir el refrigerador. Consultarn el precio delmismo modelo en 4 marcas diferentes y en 3 tiendas distintas.

Los datos que obtengan pueden ser parecidos a los siguientes:

Gullo Casa Gris Casa FelizMaden 120 120 118Altas 140 130 120

Frigoder 155 145 135Guirpul 185 180 No disponible

Los precios estan indicados en miles de colones.

Este resultado puede expresarse en grficos de barras.


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20 Nmeros Naturales

1.1.3 Multiplicacin de Nmeros Naturales

Ejemplo 1.9 Multiplicacin de N. Marta entren hoy 20 minutos. Si maana quiere duplicareste tiempo, cuntos minutos deber entrenar para lograrlo?

Solucin Maana deber entrenar los 20 minutos que entren hoy multiplicados por 2. Como 20por 2 es 40, deber entrenar 40 minutos.

Procedimiento Hay que multiplicar 20 por 2.Operaciones 20 2=40Respuesta Marta deber entrenar 40 minutos maana.

Ejemplo 1.10 Multiplicacin deN. La seora Olga comenz su negocio vendiendo 40empanadas al da y ha triplicado sus ventas. Cuntas empanadas vende cada da doa Olga?

Solucin La cantidad de empanadas que vende hoy la Sra. Olga equivale a las 40 empanadas que

venda al principio multiplicada por 3. Como 40 3 = 120, entonces hoy vende 120 empanadas.Procedimiento Hay que multiplicar 40 3.Operaciones 40 3=120Respuesta La Sra. Olga vende 120 empanadas cada da.

Ejemplo 1.11 Multiplicacin deN. Si en cada piso de un edificio hay cuatro departamentosy el edificio tiene nueve pisos, cuntos departamentos tiene el edificio?

Solucin El nmero de departamentos del edificio equivale a los 4 departamentos de cada piso porlos 9 pisos. Como 4 x 9 = 36, entonces el nmero de departamentos es 36.

Procedimiento Hay que multiplicar 9 por 4.

Operaciones 9 4=36Respuesta El edificio tiene 36 departamentos.

Ejemplo 1.12 Multiplicacin deN. El piso de la cocina de doa Berta tiene 30 corridas debaldosas con 25 baldosas cada una. Cuntas baldosas tiene en total la cocina de doa Berta?

Solucin Como tiene 25 en cada corrida entonces el total de baldosas ser 30 veces 25, es decir 30por 25. Como 30 por 25 es 750, entonces en total hay 750 baldosas.

Procedimiento Hay que multiplicar 30 por 25.Operaciones 30 25=750Respuesta Hay 750 baldosas en total.

Ejemplo 1.13 Multiplicacin deN. Manuel transporta 300 cajas de sopa. Cada caja trae 60cajitas con 25 sobres cada una, cuntos sobres transporta en total?

Solucin El nmero de sobres que trae cada caja es 60 por 25, es decir 1500. Por lo tanto el nmerode sobres que transporta Manuel es 300 por 1500, es decir 450.000.

Procedimiento Hay que multiplicar 300 por 60 por 25.


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Operaciones 300 60 25=450.000Respuesta En total transporta 450.000 sobres.

Ejemplo 1.14 Multiplicacin deN. Don Juan tiene dos terrenos contiguos, uno de 20 por100 metros y el otro de 30 por 100 metros. Cuntos metros cuadrados de tierra tiene don Juan entotal?

Solucin El nmero de metros cuadrados de la parcela es el producto del ancho por el fondo, como50 por 200 es 10.000, entonces la parcela tiene 10.000 metros cuadrados.

Procedimiento Hay que multiplicar 50 por 200.Operaciones 50 200=10.000Respuesta La parcela tiene 10.000 metros cuadrados.

Ejemplo 1.15 Multiplicacin deN. Cuntos metros cuadrados tiene una parcela de 50

metros de frente por 200 metros de fondo?

Solucin Don Juan tiene un terreno de 20 por 100 metros, es decir de 2000 metros cuadrados y elotro de 30 por 100, es decir de 3000 metros cuadrados. En total Don Juan tiene la suma delos 2000 metros cuadrados del primer terreno ms los 3000 metros cuadrados del segundo, esdecir tiene 5000 metros cuadrados.

Procedimiento Hay que calcular el producto de 20 por 100 y el de 30 por 100. Luego hay quesumar ambos resultados.

Operaciones 20 100=2.00030 100=3.0002.000 + 3.000=5.000

Respuesta Don Juan tiene en total 5.000 metros cuadrados.

Ejemplo 1.16 Multiplicacin de N. La Sra. Marta compr 7 docenas de huevos. Si ocup30 huevos para el cumpleaos de su hija, cuntos huevos le quedan?

Solucin Como la Sra. Marta compr 7 docenas de huevos, es decir 84 huevos y ocup 30 de ellos,entonces le queda la diferencia entre los 84 y los 30, es decir 54 huevos.

Procedimiento Hay que multiplicar 7 por 12 y al resultado hay que restarle 30.Operaciones 7 12=84

84

30=54Respuesta Le quedan 54 huevos.


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22 Nmeros Naturales

Ejemplo 1.17 Multiplicacin deN. Don Jos compr 12 bebidas a 280 cada una y 4paquetes de galletas a 240 cada una. Cunto recibi de vuelto si pag con un billete de 10.000?

Solucin El valor de la compra es 12 veces los 280 ms 4 veces los240. Como 12 por 280 es3.360 y 4 por 240 es 960 y como 3.360 ms 960 es 4.320, entonces el valor total de la compra

es de4.320. por ltimo como 10.000 menos 4.320 es 5. 680, el vuelto que recibi fue de5.680.

Procedimiento En primer lugar hay que multiplicar 12 por 280 y 4 por 240. Luego hay sumarambos resultados y restarle la suma a 10 mil.

Operaciones 12 280=33604 240=9603360 + 960=4320

10000 4320=5680Respuesta Recibi 5680 de vuelto.

Ejercicio 1.3 A continuacin se le presentan multiplicaciones con nmeros naturales, realicecada una de acuerdo a lo que se le solicita.

Realice las siguientes operaciones

1. 9 2=2. 20 2=3. 300 2=4. 45 2=5. 250 2=6. 2600 2=7. 9 3=8. 300 3=9. 1500 3=

10. 2500 3=

11. 20 3=12. 600 3=

13. 4 5=14. 6 7=15. 6 5=16. 9 9=17. 9 8=18. 9 3=19. 50 30=20. 4 60=21. 30 7=22. 100 35=

23. 1000 450=24. 2500 5=


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25. 20 10 39=26. 30 4 5 6=27. 6 10 20=

28. 8 1000 20=29. 12 7 3000=30. 12 2 100=31. 3 4 + 4 5=32. 30 2 + 60 2=33. 12 10 + 5 + 6=34. 2 5 + 4 6 + 4 7=

35. 100 30 + 200 60=36. 10 10 10 + 10 20 30=

37. 5 12 25=38. 35 10 50=39. 12 (3015) =

40. (300150) 10=41. 3 4 6=42. 10 40 2 30=43. 4 10 + 5 12 25=44. 23 1.000 20.000 + 3.000=45. 4 (300 + 120 150) =46. (400 + 112 180) 100=

47. 6 5 + 4 712=48. 100 4 2 70 + 130=

Desarrolle los siguientes problemas indicando en cada caso El procedimiento, La operacin con su resultado y La respuesta del problema.

1. Juan tiene un ahorro de 62.000 y su primo Pedro tiene el doble. Cunto tieneahorrado Pedro?

2. Mara estudi 3 horas para el examen de ingls, pero maana quiere duplicar el

tiempo. Cuntas horas deber estudiar maana para lograrlo?3. Jos alcanz a resolver ayer 12 ejercicios de matemtica, pero hoy quiere lograr

resolver el doble. Cuntos ejercicios deber resolver Jos hoy?

4. Ester tiene un capital de 60.000 y cree que si lo trabaja lo puede duplicar en un ao.Cunto dinero cree Ester que tendr al cabo de un ao si lo trabaja?

5. La Sra. Loreto parte el ao vendiendo 40 empanadas cada domingo. Si al cabo deun ao ha duplicado las ventas, cuntas empanadas estar vendiendo cada domingodespus de un ao?

6. En el colegio de mi hermana hay el triple de mujeres que de hombres. Cuntas

mujeres hay en el colegio si hay 250 hombres?7. Don Pedro tiene el triple de la edad de su hijo Toms. Si Toms tiene 14 aos,

cuntos aos tiene Don Pedro?

8. Rodrigo lleva 8 meses sin fumar. Si Clara lleva el triple Cuntos meses lleva Clarasin fumar?


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24 Nmeros Naturales

9. Carlos y su hermano Juan tienen una sociedad. Carlos aport el triple del capital queaport Juan. Si Juan aport 20.000. Cunto aport Carlos?

10. Arturo triplic las ventas de su empresa en 5 aos. Si parti vendiendo20.000diarios, cunto vende ahora?

11. Si Juan camina diariamente 8 cuadras. Cunto camina a la semana?

12. Mara trabaja 8 horas diarias. Cuntas horas trabaja en una semana de 5 das hbiles?

13. Sara corrige 5 trabajos en una hora. Cuntos trabajos corrigi anoche si se qued 3horas corrigiendo?

14. Cada auto tiene 4 ruedas ms una de repuesto Cuntas ruedas hay en 7 de estosautos?

15. Sandra tiene 3 hijas y quiere repartirles 6 lminas a cada una. Cuntas lminasnecesita?

16. Paula vende calugas en su colegio y gana10 por cada unidad. Si ayer vendi 180calugas, cunto dinero gan?

17. Samuel tarda 4 minuto en leer una pgina. Si el libro que debe leer tiene 281 pginas,cuntos minutos necesita para terminarlo?

18. Una modista confecciona 6 prendas al da. Cuntos prendas habr realizado en los20 das trabajados en el mes?

19. Si Daniel trota 45 minutos al da, cuntos minutos trota a la semana?

20. Andrea quiere regalarle un plato con 20 galletas a cada una de sus 11 amigas. Cuntasgalletas deber preparar ?

21. Doa Elena le da 15.000 al mes a cada uno de sus 4 hijos. Cunto gasta al ao?

22. Carmen camina 5 Km. diarios 6 das a la semana. Cuntos Km. camina al ao?

23. Don Miguel tiene 4 sitios de 20 m. por 30 m. Cuntos metros cuadrados tiene donMiguel en total?

24. Don Nicols hace 4 viajes al da transportando 36 cajas con 72 tarros de conservacada una. Cuantos tarros transporta Don Nicols al da?

25. En el condominio donde vive Sofa hay seis torres de 13 pisos. Si las torres tienen 4departamentos por piso, cuntos departamentos tiene el condominio?

26. Andrea desea alfombrar su pieza que tiene 4m. de largo y 3m. de ancho. Cuntosmetros cuadrados de alfombra necesitar comprar Andrea?

27. Un parlante de msica posee las siguientes dimensiones: 50 cm de largo, 35 cm deancho y 90 cm de altura. Cul es el volumen del parlante?

28. La cancha de ftbol del Estadio Nacional tiene 90 m. de largo por 60 m. de ancho.Qu superficie tiene la cancha?


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29. Don Vctor est construyendo un galpn cuadrado de 44m. por 44m. Cuntos metroscuadrados de baldosa deber comprar para el piso?

30. Las dimensiones de la maleta que llevar Marta de vacaciones son 90, 50 y 10centmetros. Qu capacidad tiene la maleta?

31. En una biblioteca hay dos estantes. Uno de 7 divisiones con 22 libros cada una y elotro estante de 12 divisiones con 25 libros. Cuntos libros hay en total?

32. En un teatro hay una rea central con 12 corridas de 15 asientos cada una y dos reaslaterales con 6 corridas de 8 asientos cada una? Cuntos asientos tiene el teatro?

33. Don Juan tiene en su pajarera 6 parejas de catitas y 8 parejas de canarios. Cuntospjaros tiene en total?

34. Carlos tiene slo dos porta CD, uno tiene 2 divisiones con 15 compartimentos cadauno y el otro 4 divisiones con 12 compartimentos cada uno. Cuntos CD puedeguardar Carlos?

35. En un restaurante se paga a los empleados6.000 diarios en jornada diurna y12.000por cada turno con noche. Cunto gan Pablo este mes trabajando 18 das y 4 turnos?

36. En la biblioteca de un colegio hay un slo estante de 8 divisiones con 30 libros cadauno. Si hoy estn prestados 32 libros, cuntos libros estn en la biblioteca?

37. Don Santiago tiene un terreno de 6 m por 70 m. Si decide construir una casa de 12 m.por 11m. Cunto terreno libre le quedar?

38. En la plaza de una villa que tiene 12m por 15 m. se decide hacer una multicancha de7 m. por 5 m. Cunto terreno libre quedar?

39. Don Pablo compr para su negocio 4 cajas de duraznos en conserva con 12 tarroscada una. Desde entonces ha vendido 32 tarros. Cuntos le quedan?

40. En un liceo hay 42 alumnos por grupo y dos grupos por nivel. Si hay que seleccionarlos 5 mejores alumnos para premiarlos, Cuntos alumnos de media quedarn sinpremiar?

41. Jorge compr un block de 100 hojas para sus pruebas y usa 5 hojas para matemticas,4 para lenguaje y 3 para estudios sociales. Si ha tenido 3 pruebas de matemtica, 4 delenguaje y 2 de estudios sociales, cuntas hojas le quedan?

42. Vernica comprar para recibir a sus amigos 4 bebidas de680 y 4 bolsas de papasfritas de 700. Si cuenta con 8.000, cunto le sobrar?

43. En la casa de Cristina hay un lbum familiar de 50 pginas con 4 fotos cada una. SiCristina saca diez foto en total, con cuntas fotos quedar el lbum?

44. Los padres de Cristina compraron una casa nueva. El terreno es de 30 m. por 20 m.Si la casa es de 10 m por 12 m. y la piscina es de 3 m. por 4 m. Cuanto terrenoqueda para el jardn?


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26 Nmeros Naturales

45. La Sra. Sara va a comprar 10 bebidas de700 y 1 una botella de licor de3.000. Sitiene un cupn de descuento de 500. cunto tiene que pagar por su compra?

En una casa

Se tiene el siguiente plano de una casa, donde cada cuadrado representa un cuadrado de 1metro por lado.

1. La cocina tiene 3 metros de ancho y tres metros de largo, determine cuntos metroscuadrados tiene y determine cuntos centmetros cuadrados tiene la cocina.

2. Si se quiere embaldosar el piso de la cocina completo, retirando los muebles yartefactos, entonces:

Cuntas baldosas de 20 x 20 cm. se necesitan si 25 baldosas cubren 1 metrocuadrado?

Cuntas baldosas de 25 x 25 cm. se necesitan si 20 baldosas cubren 1 metrocuadrado?

3. Calcule cunto dinero se necesita para alfombrar los tres dormitorios, si el metrolineal de una alfombra de 2 metros de ancho cuesta 5917.

4. Tambin, es posible colocar un cubre pisos en vez de alfombra, el cual es mseconmico. Si el metro de cubre pisos es de 1500 y el cubre pisos tiene un metrode ancho, cuntos metros se necesitan para cubrir el piso de los tres dormitorios ycunto sera el precio total?


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5. Si la altura interior de la casa es de 2 metros, calcule qu volumen interior tiene lacocina, el bao y el dormitorio 2.

6. Los artefactos de la cocina tienen las siguientes dimensiones:

El refrigerador 60 cm de ancho, 50 cm de fondo y 140 cm de alto La cocina mide 50 cm de ancho, 55 cm de fondo y 78 cm de alto

Qu volumen ocupan cada uno de estos artefactos?7. Qu volumen de agua se necesita para llenar, hasta el borde, la tina de bao si

las dimensiones de su interior son: 140 cm de largo, 55 cm de ancho y 38 cm deprofundidad?

8. Si la tasacin del metro cuadrado de construccin de la casa del plano es de 2 unidadesde fomento el metro cuadrado y si la unidad de fomento, al 23 de Septiembre del2002, vala16 455, determine el valor de tasacin de la casa en unidades de fomentoy en pesos y determine, en pesos, el valor comercial de la casa si dicho valor es 4

veces el valor de la tasacin.

Presupuesto: Vacaciones en las villas Para trabajar en grupos de 3 alumnos y, despus,poner en comn:

Las Cabinas Del Eclipse ofrecen, en arriendo, cabaas para grupos de 4 y 6 personas, losprecios incluyen el Impuesto de Venta y se indican en la tabla siguiente. La temporada altaes de Diciembre a Marzo y la temporada baja, de Abril a Noviembre.

Tabla de Precios con IVI Temporada Alta Temporada Baja4 personas 6 personas 4 personas 6 personas

Slo alojamiento 30000 40000 20000 30000

Alojamiento y desayuno 35000 50000 25000 45000Alojamiento y pensincompleta

78000 100000 65000 90000

Basndote en la tabla anterior, contesta las siguientes preguntas:

1. Cul es la diferencia de precios entre la temporada alta y la baja para cada una de lasopciones ofrecidas, tanto para grupos de 6 personas como para grupos de 4 personas?

2. Un grupo de 6 personas decide ir a las cabinas Del Eclipse en la temporada baja.

(a) Si el grupo estima que gastaran 2000, en total, por el desayuno de los 6integrantes cunto ms pagara, diariamente el grupo, si arrendara una cabaa

con el desayuno incluido?(b) Cunto saldra, al grupo, arrendar una cabaa con pensin completa por 7 das?

Y cunto, arrendar una cabaa pagando slo alojamiento? Calcula cul es elcobro adicional por pensin completa por los 7 das de arriendo.


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28 Nmeros Naturales

3. Un grupo de 12 personas decide ir a las cabinas Del Eclipse en la temporada alta ynecesitan saber:

(a) Cunto pagaran, en conjunto, las doce personas del grupo si:

arriendan tres cabaas para 4 personas, con pensin completa arriendan dos cabaas para 6 personas, con pensin completa

(b) Cul es la diferencia de precios entre la temporada alta y la baja, considerandolas dos alternativas anteriores?

(c) De cunto dinero debe disponer el grupo para arrendar 2 cabaas para 6 personaspor 7 das y en la temporada alta, si 6 de las personas la quieren slo conalojamiento y las otras 6 la quieren con desayuno incluido?

1.1.4 Divisin de Nmeros Naturales

Ejemplo 1.18 Divisin deN. Josefa compr una bolsa que traa 50 bolitas. Si las reparte enpartes iguales entre sus hijos Nicols y Cristbal, con cuntas se quedar cada uno?

Solucin Josefa debe repartir las 50 bolitas entre sus dos hijos, luego a cada uno le corresponden50 2=25 bolitas.

Procedimiento El total de bolitas es 50 y hay que calcular la mitad de 50.Operaciones 50 2=25Respuesta A cada uno le corresponden 25 bolitas.

Ejemplo 1.19 Divisin deN. Magdalena practica natacin. Si esta tarde debe dar 8 vueltas ala piscina, lo que equivale a un total de 400 metros, cunto recorre Magdalena en cada vuelta?

Solucin Para determinar la distancia que recorre Magdalena en cada vuelta, debemos dividir los400 metros recorridos, por el nmero de vueltas, que corresponden a 8.

Procedimiento Debemos dividir 400 por 8.Operaciones 4008=50Respuesta En cada vuelta, Magdalena recorre 50 metros.

Ejemplo 1.20 Divisin de N. Teresa quiere repartir, en partes iguales, 32 bolitas entre sus 5nietos. Si quiere repartir todas las bolitas, cul es el mximo de bolitas que puede dar a cada uno?

Solucin Para calcular el nmero mximo de bolitas que se pueden repartir, debemos dividir 32 quees la cantidad de bolitas, por 5 que es la cantidad de nietos.

Procedimiento Debemos dividir 32 por 5.Operaciones 32 5=6 y sobran 2.Respuesta Teresa puede repartir mximo 6 bolitas a cada nieto.


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Ejemplo 1.21 Divisin deN. Una empresa dispone de 20 empleados y los debe repartir en 3grupos con el mismo nmero de integrantes. Cuntos empleados quedarn necesariamente fuera?

Solucin Para calcular el nmero de integrantes que quedarn fuera debemos dividir 20 por 3 yconsiderar el resto de la divisin.Procedimiento Debemos dividir 20 por 3.Operaciones 20 3=6 y sobran 2.Respuesta Dos empleados quedarn fuera.

Ejemplo 1.22 Divisin deN. Manuel y Alejandra pasaron 552 horas en un crucero por elCaribe. Cuntos das dur el crucero?

Solucin Para calcular el nmero de das que dur el crucero, debemos dividir 552, que es lacantidad de horas que dur, por 24, que es la cantidad de horas de un da.

Procedimiento Debemos dividir 552 por 24.Operaciones 55224=23.Respuesta El crucero dur 23 das.

Ejemplo 1.23 Divisin de N. Claudio y Ricardo trabajan empaquetando platos por docenasen una fbrica de loza. Claudio dispone de 312 platos; Ricardo, de 492 y ambos empaquetan porseparado. Cuntas docenas empaquetan entre los dos?

Solucin Para determinar cuntas docenas empaquetan entre ambos, debemos primero calcularcuntas docenas empaqueta cada uno, dividiendo el nmero de platos que empaquetan por 12.Luego hay que sumar las docenas que empaqueta cada uno.

Procedimiento Para Claudio, hay que dividir 312 por 12 y para Ricardo, hay que dividir 492 por12. Luego se suman ambos resultados.

Operaciones 31212=26 492 12=41 26 + 41=67.Respuesta Entre los dos empaquetan 67 docenas.

Ejemplo 1.24 Divisin deN. Lorena le dio a su hijo2000 para que le comprara variasdocenas de huevos. Hecha la compra, recibi350 de vuelto. Cuntas docenas compr el hijo, sicada docena cuesta 550?

Solucin Para calcular el nmero de docenas que compr, hay que calcular la cantidad total gastada

y el resultado dividirlo por 550.Procedimiento Restamos 350 a 2000 para calcular el dinero gastado, luego dividimos el resultadopor 550.

Operaciones 2000350=1650 1650 550=3.Respuesta El hijo compr 3 docenas de huevos.


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30 Nmeros Naturales

Ejemplo 1.25 Divisin deN. Camilo va a distribuir los6000 que le regal su mam, encantidades iguales de Lunes a Viernes. Si diariamente Camilo hace dos viajes y cada uno de stos lecuesta 300, cunto dinero le quedar al da para gastar en otras cosas?

Solucin El dinero que le queda a Camilo es la diferencia entre lo que tiene para gastar diariamente

y lo que gasta en viajes.Procedimiento Cada da dispone de 6000 : 5 y gasta en viajes 300 + 300. La diferencia entre estos

resultados es lo que tiene para gastar.Operaciones 60005=1200

300 + 300=600

1200 600=600.Respuesta A Camilo le quedan 600 para gastar en otras cosas.

Ejemplo 1.26 Divisin de N. Clara dispone a la semana de 8 horas para estudiar. Si la mitad

de ese tiempo la dedica a Matemticas, cuntas horas dedica Clara a Matemticas en 3 semanas?

Solucin El nmero de horas dedicadas a Matemticas en 3 semanas corresponde al producto delas horas dedicadas a la semana que es 8 2, por las 3 semanas.

Procedimiento El nmero de horas dedicadas a Matemticas a la semana es8 2y, en 3 semanas,es el resultado anterior por 3.

Operaciones 8 2=44 3=12.

Respuesta En 3 semanas Clara dispone de 12 horas para Matemticas.


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Ejercicio 1.4 A continuacin se le presentan divisiones con nmeros naturales, realice cadauna de acuerdo a lo que se le solicita.


1. 24 2=2. 35422=3. 76802=4. 12162=5. (1242) 2=6. 528 (42) =7. 25 5=8. 12753=9. 111114 6=

10. 20008=11. 100017 9=12. 86415 7=13. 25 6=14. 36 7=

15. 25315=16. 16873=17. 14428=18. 198015=19. 28 5=20. 66411=21. 5348=22. 647

16=

23. 78512=24. 123421=25. 30012=

26. 25311=27. 5679=28. 16821=29. 14412=30. 198060=31. (6 + 16) 2=32. 16 (4 + 4) =33. (4 + 7) 11=34. (6 3) + (15 5) =35. (1506) + (20 4) =36. (2010) + (20 1) =37. (123) 3=38. (251) 12=39. (2102) 26=

40. (2010 10) 25=41. (2716 700) 36=42. (4568 36) 44=43. (1255) (8 + 7) =44. (183 + 5) 2=45. ((24 + 132) 98) 2=46. (560 + 280) (256 251) =47. 101010

5

(1001 + 101) =

48. ((159357 85265) 2) + 953157=49. 16 (9 3) =50. 14 (2211) =


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32 Nmeros Naturales

51. 7 (81 27) =52. 20 (10025) =

53. (105) 12=54. (639) 5=

Desarrolle los siguientes problemas indicando en cada caso

El procedimiento, La operacin con su resultado y La respuesta del problema.

1. Carlos y su hermano Javier vendieron una radio antigua y repartieron en partes igualesel dinero obtenido que fue 12500. Con cunto dinero se qued cada hermano?

2. Vicente se propuso contar cuntas ruedas haba en la tienda de bicicletas de su toGuillermo. Si cont 36 ruedas, a cuntas bicicletas corresponden?

3. Julin guarda, en uno de sus cajones, 24 calcetines de variados colores. A cuntospares de calcetines corresponden?

4. A comienzos de temporada una multitienda venda una chaqueta de cuero a25.300,

pero como es poca de liquidaciones, la rebajaron a mitad de precio. En cuntoqued la chaqueta?

5. En el grupo de Margarita, el nmero de nios es la mitad que el de nias. Si en elgrupo hay 22 nias, cuntos nios hay?

6. Eduardo compr 5 Kg. de pan en 2150. Cunto le cost cada kilo?

7. En el almacn de Don Luis venden queso a 2740 el kilo, cunto cuesta el cuarto?

8. Manuel con cinco amigos ms estn pensando en hacer una reunin en casa. Sigastan, en total,13254 y deciden dividir los gastos en partes iguales, cunto debepagar cada uno?

9. La familia de Loreto se compr un televisor en una casa comercial, a crdito, pagn-dolo en 8 cuotas mensuales iguales. Si pag un total de152.168, cunto pagmensualmente?

10. Francisco y Rodrigo son muy deportistas. El Sbado fueron a correr juntos, pero ladistancia que recorri Francisco fue el triple de la que corri Rodrigo. Si Franciscocorri 7.536 mt., cuntos metros corri Rodrigo?

11. Cul es el nmero mximo de personas, todas de 70 kilos, que pueden subir a unascensor que soporta una carga mxima de 450 kilos?

12. Una municipalidad desea repartir 100 libros entre 17 liceos de su comunidad de modo

que todos reciban la misma cantidad. Cul es el mximo de libros que puede repartira cada liceo?

13. Si el profesor de Lenguaje desea formar grupos de 3 alumnos, cul es el nmeromximo de grupos que puede formar con un grupo de 42 alumnos?

14. Un bus tiene capacidad para 38 personas sentadas y no puede llevar pasajeros de pie.Para desplazar a 400 personas, cuntos viajes realizar con la capacidad completa?


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15. Si se cuenta con 32 globos, cul es el nmero mximo de globos que puede repartirsea cada uno de los 5 nios que hay en la fiesta?

16. Don lvaro reparte 11 chocolates cada vez que van sus nietos. Si compra una cajacon 100, cuntos le sobrarn cuando ya no pueda repartir ms?

17. La profesora de5bsico reparte 80 hojas de un block entre sus 25 alumnos. Si le dael mismo nmero de hojas a cada uno, cuntas hojas le sobran?

18. Doa Berta hizo 100 empanadas para vender por docenas. Cuntas le sobrarn siquiere vender la mayor cantidad posible?

19. Pedro juega a los naipes con tres amigos y para hacer sus apuestas reparten una cajacon 50 fsforos en partes iguales. Cuntos fsforos sobran?

20. Si se dispone de 25 chocolates y se quieren repartir en partes iguales entre 5 nios,cuntos chocolates sobran?

21. Octavio necesita comprar 1840 metros de alambre para cercar 8 terrenos de igualtamao. Cuntos metros de alambre necesita para cercar cada terreno?

22. En la fiesta de cumpleaos de Ignacio se repartirn, en partes iguales, 253 globosentre 23 invitados. Cuntos globos recibir cada uno?

23. Entre Carola y Jaime juntaron 28 bolitas. Si deciden dividirlas en partes iguales, concuntas bolitas se quedar Carola?

24. El Ministerio de Salud dispone de 27600 vacunas contra el sarampin, las que deberepartir en partes iguales entre 23 consultorios de la Regin Metropolitana. Cuntasvacunas recibir cada consultorio?

25. Viajando de ida y vuelta entre dos ciudades, se recorren 3000 kilmetros de distancia.Cuntos kilmetros separan ambas ciudades?

26. En una biblioteca, hay 4 estantes con 60 libros de Historia y 120 de Filosofa. Si cadaestante contiene igual cantidad de textos de cada ramo, cuntos libros hay en cadaestante?

27. Pedro y Pablo trabajan en una empresa exportadora. Pedro debe embalar 5 kilos deuva por caja; y Pablo, 7 kilos de ciruelas por caja. Si Pedro dispone de 75 kilos deuva y Pablo de 63 kilos de ciruelas, cuntas cajas podrn embalar en conjunto?

28. Una profesora necesita imprimir 2 guas de Matemtica por alumno para el 4MedioA y 3 guas de Fsica por alumno para el 4Medio B. Si la profesora imprimi 60

guas de Matemtica y 90 de Fsica, cuntos alumnos hay en total en ambos grupos?29. En la fiesta de Pablito, se repartieron 36 collares entre las nias y 20 bolitas entre los

nios. Si cada nia recibi 3 collares; y cada nio, 2 bolitas, cuntos invitados tenala fiesta?


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34 Nmeros Naturales

30. Luis y Clara trabajan en la misma fbrica. Su labor es empaquetar juguetes en bolsasque contengan 7 unidades cada una. Si Luis debe empaquetar 175 juguetes y Clara154 juguetes, cuntas bolsas logran llenar entre los dos?

31. Alejandro se gan60000 en una rifa y se compr varios discos que estaban a precio

de oferta a5500. Si al hacer la compra le sobraron 10.500, cuntos discos comprAlejandro?

32. Una sala que tiene 81 asientos repartidos en 9 filas iguales se ocup para tomar unaprueba. Si sobraron 18 asientos y en cada fila se sent la misma cantidad de alumnosCuntos alumnos se sentaron por fila?

33. Felipe llev3000 para cancelar 3 entradas de una fiesta. Si recibi 1800 de vuelto,cunto costaba cada entrada?

34. Jos llev2000 para comprar manzanas. Si recibi500 de vuelto y el kilo costaba300, cuntos kilos compr?

35. Rosita tiene 130 globos para repartir entre sus amigas, pero se le reventaron 25. Sicada amiga recibi 5 globos, entre cuntas amigas reparti los globos Rosita?

36. El 5Bsico tiene 23 nias y 19 nios. Este ao, el establecimiento regal librosa los alumnos con promedio igual o mayor a 6.5. Si hay 18 libros para repartiry 33 alumnos del grupo bajo ese promedio, cuntos libros recibir cada alumnopremiado?

37. Jaime tiene 25 discos de rock, 12 de jazz y 18 de tecno. Para ordenarlos compr unarepisa con 5 estantes y puso igual cantidad de discos en cada uno. Al finalizar sutarea, Jaime sac 7 discos del primero para prestrselos a un amigo, cuntos discosle quedarn en ese estante?

38. Josefa tiene 15 manzanas y 5 naranjas para comer entre lunes y viernes. Cada maana,Josefa le da una fruta a su vecina Margarita, cuntas frutas le quedan para cada da?

39. Eliana cra perros. Para alimentarlos, mezcla 843 gramos de alimento A con 351gramos de alimento B. Luego, reparte la mezcla en partes iguales entre los 9 perros.Este domingo, Eliana vendi 3 perros, si contina preparando la misma cantidad decomida, cuntos gramos de alimento recibir cada perro a partir del lunes?

40. Despus de lavar, Doa Mara guarda los calcetines en una bolsa. Al revisarlos,ve que hay 24 calcetines rojos, 34 azules, 8 verdes y 16 amarillos. Si despus dehermanarlos, Doa Mara ve que hay 13 pares de calcetines en mal estado, cuntospares estn en buen estado?

41. Jorge compr un block de 100 hojas para sus Laura permanece 8 horas diarias en launiversidad, tiempo que distribuye, en partes iguales, en estudiar y asistir a clases.Cuntas horas dedica Laura al estudio en la universidad, de Lunes a Viernes?


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42. Rosita trabaja 6 horas al da en su oficina y toma clases de computacin en un instituto4 tardes a la semana. Si cada una de estas clases dura un tercio del tiempo que trabajadiariamente, cuntas horas semanales dedica a la computacin?

43. Una modista ocupa la cuarta parte de una pieza de gnero de 8 metros para confec-

cionar un pantaln. Si la modista es capaz de hacer 13 pantalones al da, cuntosmetros de gnero necesita diariamente?

44. En el casino de una empresa se utiliza una docena de huevos para cocinarle a 6trabajadores diariamente. Cuntos huevos consume cualquiera de estos trabajadoresen 3 das?

45. Doa Elena abri una caja de 24 bombones el sbado y la comparti con su esposo ysus 6 hijos en partes iguales. Si el domingo compartieron otra caja de igual tamao ytodos comieron la misma cantidad, cuntos bombones comi cada integrante de lafamilia el fin de semana?

Trabajo en GrupoPara trabajar en grupos de 3 alumnos y despus poner en comn:

La profesora del 1medio del liceo quiere dejar armados los grupos de trabajo para lasguas de sntesis y para esto tiene varias alternativas pero no est clara en cul es la mejor.El grupo consta de 42 alumnos.

1. Si quiere armar grupos de 6 alumnos.cuntos grupos armara?

2. Si quiere armar grupos de 7 alumnos.cuntos grupos armara?

3. Si considera que el ideal es que los grupos estn formados por 5 alumnos; en stecaso, cuntos alumnos quedaran sin grupo?

4. Si un da faltan 3 alumnos, cuntos grupos de 3 alumnos puede formar?5. Es posible formar grupos de a 4 alumnos, con todo el grupo? y de a 8 alumnos?

6. Haga un listado de todos los grupos posibles ( segn nmero de integrantes) que sepueden formar y calcule cuntos grupos se formarn con los 42 alumnos.

7. Averigua en tu grupo cul sera el nmero ideal de componentes por grupo de trabajoy cuntos grupos se pueden formar.

Venta de pastelesPara trabajar en grupos de 3 alumnos y, despus, poner en comn:

Un grupo del liceo decidi armar un pequeo stand con vente de pasteles, para recolectarfondos. En principio slo van a vender chilenitos, berlines y alfajores y queques. Losprecios son los siguientes:

Chilenitos 300Berlines 350Alfajores 320Queques 200


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36 Nmeros Naturales

1. Se vendieron 4200 en berlines y cada alumno compr slo un berln. cuntosalumnos compraron un berln?

2. Si hay a la venta 30 chilenitos y cada alumno de un determinado grupo compr 2chilenitos cada uno y quedaron 16, cuntos alumnos integraban el grupo?

3. Si un da obtuvieron 15500 por la venta de queques y chilenitos y 40 alumnoscompraron queques,cuntos alumnos compraron chilenitos?

4. El da en que la venta de alfajores fue mejor, se obtuvo 13440, cuntos se vendieron?

5. El da Martes se vendieron 12 alfajores menos que el del da Lunes, cuntos alumnoscompraron el da Martes, si el Lunes se obtuvo 5760 por la venta de los alfajores?

6. Un alumno tiene3000 semanales que debe distribuir de Lunes a Viernes, de formatal, que le alcance para220 de locomocin y para comprarse un alfajor. Cuntodinero le queda diariamente?

7. Haz una encuesta en tu grupo acerca de cuales son los dulces preferidos y porqu.

1.1.5 Potencias de Nmeros Naturales

Ejemplo 1.27 Potencias de N. Un cubo mgico tiene tres capas con tres filas de tres cuboscada una. Cuntos cubos tiene en total?

Solucin Cada capa tiene 3 veces 3 cubos, es decir 9 cubos. Por lo tanto en total tiene 3 veces 9cubos, es decir 27 cubos.

Procedimiento Hay que multiplicar 3 por 3 por 3Operaciones 3 3 3=27Respuesta En total tiene 27 cubos.

Ejercicio 1.5 A continuacin se le presentan potencias con nmeros naturales, realice cada unade acuerdo a lo que se le solicita.


1. 44 =4x4x4x4=

2. 75

=7x7x7x7x7=3. 103 =10x10x10=

4. 93 =

5. 204

=6. 28 =



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1. Si Marta divide una hoja de cuaderno en dos partes, luego junta los pedazos y loscorta en dos. Si este procedimiento lo repite cuatro veces. Cuntos pedazos de papeltendr luego de los cuatro cortes?

2. La Sra. Vernica tuvo tres hijos y cada uno tuvo a su vez tres hijos. Cuntos nietos

tiene la Sra. Vernica?

3. Cul es el volumen de una caja cbica de lado 40 cm.?

4. Si un decmetro tiene 10 metros, un metro tiene 10 decmetros, un decmetro tiene10 centmetros y un centmetro tiene 10 milmetros. Cuantos milmetros tiene undecmetro?

5. En un juego de ruleta hay tres tipos de ficha: las rojas, las verdes que equivalen a10 rojas y las amarillas que equivalen a 10 verdes. A cuntas rojas equivale unaamarilla?

1.1.6 Operaciones Combinadas con Nmeros Naturales

El orden para realizar operaciones es:

1. Operaciones entre parntesis

2. Multiplicaciones y divisiones

3. Sumas y restas

Si solo hay multiplicaciones y divisiones o solo hay sumas y restas, se realizan de izquierda aderecha.

Ejemplo 1.28 Operaciones Combinadas deN. Se repartieron todas las manzanas de unacaja entre 6 personas. Las 3 primeras recibieron 6 manzanas cada una; las 3 ltimas personasrecibieron, cada una, la mitad que las 3 primeras. Cuntas manzanas haba en la caja?

Solucin Para calcular el total de manzanas del cajn, hay que calcular primero lo que recibieronlas 3 ltimas y sumarle al total lo que recibieron las 3 primeras.

Procedimiento Las 3 ltimas recibieron6 2cada una. Luego, entre las 3 recibieron 3 3. Las 3primeras recibieron 6 3 y hay que sumar los totales de los dos grupos.

Operaciones 6

2=3

3 6=183 3=918 + 9=27

Respuesta La caja tena 27 manzanas.


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38 Nmeros Naturales

Ejercicio 1.6 A continuacin se le presentan operaciones combinadas con nmeros naturales,realice cada una de acuerdo a lo que se le solicita.


1. 3 [(5 + 9) 2] 7=2. 8 [(14 + 11): 5] 10=3. 4 [(33 + 9): 7] 7=

4. 6 [(12 + 12): 12] 9=5. 6 [(11 + 9): 10] 2=6. 5 [(25 + 5): 3] 9=


1. Magdalena reparti todos los globos que haba en su fiesta. A cada una de las 15mujeres le dio 2 globos, a cada uno de los 20 hombres 1 globo, y a cada uno de los8 nios le dio la mitad de lo que ya se haba repartido. Cuntos globos haba en la

fiesta de Magdalena?

2. La ta Cecilia reparti lpices entre los 6 nios que ella dirige y las otras 3 tas delnivel. Cada ta recibi 5 lpices y los nios recibieron el doble de lo que recibi cadata. Cuntos lpices se repartieron en total?

3. El lunes, Rafael le regal a cada uno de sus 2 amigos 3 bolitas. El martes les regal 2veces la cantidad de bolitas que el da anterior y el mircoles les dio la sexta parteque el martes. Cuntas bolitas le regal Rafael a sus 2 amigos?

4. El domingo, cada uno de los 5 nios de la familia Gutirrez comi 2 panes al almuerzoy 1 en la cena. Si el lunes los 5 consumieron el doble de lo que comieron el domingo,

cuntos panes comieron en total los 5 nios entre el domingo y el lunes?5. Jorge pedale 20 kilmetros en bicicleta el domingo. El lunes, anduvo la mitad de

esa distancia y el martes, 3 veces lo del da anterior. Cuntos kilmetros anduvoJorge en bicicleta entre esos 3 das?


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Ejercicio 1.7 Prctica General. Realice en cada caso las operaciones indicadas connmeros naturales.

1. 23 + 6=

2. 57 + 8=

3. 39 + 4=

4. 54 + 9=

5. 76 + 5=

6. 88 + 7=

7. 764=8. 525=9. 668=

10. 949=11. 257=12. 446=13. 3 9=14. 6 8=15. 7 7=

16. 9 6=17. 6 7=18. 8 8=19. 355=20. 639=21. 186=22. 324=23. 56

8=

24. 42

7=

25. (6 + 3) 5=26. (7 + 6) 3=27. 3 + 3 3=28. 6 + 4 8=29. 2 8 + 3 5=30. 6 7 + 8 5=31. 9 + 0=

32. 8 1=33. 7 0=34. (4 + 5) 6=35. (3 + 8) 8=36. (8 + 2) 6=37. 4 7 + 5 7=38. 3 9 + 5 9=

39. 6 7 + 4 7=40. 82 85 =41. 77 79 =42. 126 128 =43. 2319 2316 =44. 57 53 =45. 96 92 =46. 1310

135 =


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40 Nmeros Naturales

47. 2218 226 =48.

442

=

49.223

=

50.

1032

=

51.

2612

52. 32 43 =53. 82 62 =54. 19 23 =55. 24 114=56. 82 43 =57. 122 32 =58. 481 82 =59. 771 111 =60. 255 + 45 5=61. 215 + 40 5=62. 9012 6=63. 18 6 453 + 18=

64. 24 9 + 33327=65. 14 184826=66. 28 (2416) 2=67. 488 (88 + 32) 8=

68. 87 (39 12) 3=69. 16 + 6 (6 + 16 2) =70. 240 + 24 (48 + 40 8) =

71. 60 + 12 (28 20 4) =72. 74 72 =73. 52 51 =74.

213

=

75. 92 91 =76. 86 83 =77.

32

2

=

78. 22

53

=79. 102 53 =80. 64 52 =81. 92 33 =82. 140 =

83. 61 =

84. 110 =

85. 106 =

86. 9 3 + 6 (95 + 9)87. 10 + 8 7 (6 10 5)88.

72 74 7389.

573 5

90. En un partido de baloncesto, un jugador de 2,05 m de altura, ha encestado 12 canastas dedos puntos y 5 de tres puntos. Cuntos puntos anot?

91. En el nmero 611, se cambia la cifra de las decenas por un 7, y se obtiene un nuevo nmero.Cul es la diferencia entre estos dos nmeros?

92. Mi padre tiene 36 aos, mi madre 34 y yo 12. Cuntos aos tendr mi madre cuando yotenga 21 aos?

93. Ana es menos alta que Luca y ms que Alicia. Quin es la ms alta de las tres?

94. Al restar de 91 un nmero se obtiene otro formado por dos cuatros. Cul fue el nmerorestado?


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95. En mi casa hay 3 habitaciones. En cada habitacin estn 4 amigos y 2 gatos. Cada amigotiene 5 euros. Cuntos euros tienen mis amigos?

96. Mi hermano tiene 38 euros y yo tengo 45. El precio de cada disco es 7 euros. Cuntosdiscos puedo comprar, como mximo, con mi dinero?

97. Pepe tiene 37 aos y conduce un autobs en el que estn 11 viajeros. En la primera paradabajan 5 personas y suben 4. En la siguiente parada suben 8 y bajan 3. Con estas dosparadas, cuntos viajeros estn en el autobs?

98. David compra 17 paquetes de cromos y en cada uno hay 7 cromos. Separa los que no tieneque son 40 y el resto los reparte, a partes iguales, entre sus 4 primos. Cuntos cromosrecibe cada primo?

1.2 Teora de Nmeros

La teora de conjuntos es la rama de las matemticas que estudia el comportamiento de los conjuntosnumricos. Su principal aplicacin tiene que ver con la criptografa y el diseo de algoritmosaleatorios.

La aleatoriedad de estos algoritmos han permitido la construccin de la informtica como laconocemos hoy.

La mayor parte de esta teora se basa en aspectos como la divisibilidad de un nmero entre otroy determinar si un nmero es primo o no.

En la teora de nmeros, en ocasiones llamada aritmtica superior los nmeros primos y ladescomposicin en factores primos son especialmente importantes.

H La gran complejidad que se presenta al probar resultados relativamente simples en la Teorade Nmeros llevo al matemtico Karl Friedrich Gauss decir es justamente esto lo que leda a la aritmtica superiorese encanto que la ha convertido en la ciencia favorita de losgrandes matemticos, eso sin mencionar su inagotable valor, en lo que supera con creces aotras disciplinas matematicas.

Gauss, conocido comnmente como el prncipe de las matemticas, llam a las matemticasla reina de las ciencias y consider la Teora de Nmeros la reina de las matemticas.

1.2.1 Algoritmo de la Divisin

AD CONFITES DELIMN DEDUBAI

Marlon esta a cargo de la lnea de distribucin de una empresa que importa dulces y chocolatesdel extranjero. La mayor parte del tiempo el trabajo es rutinario y sencillo, no obstante de vezen vez se encuentra con situaciones complejas.

Hoy por ejemplo debe enviar una orden confites de limn importados de Dubai, que recinllegaron a la bodega, a las tiendas donde el pblico los adquiere.


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42 Nmeros Naturales

El seor Reyes, jefe de Marlon y administrador de la bodega, necesita distribuir de formaequitativa los confites antes de enviarlos por camin a las treces tiendas, localizadas por todoel pas.

A primera vista la situacin pareciese tan simple como dividir 1627 entre 13. Sin embargo, los

confites no estn sueltos, es decir no vienen todos en una bolsa, sino que llegaron distribuidosde la siguiente forma:

Esta caja contiene 16 cajas medianas, cada caja mediana contiene 10 barras y cada barracontiene 10 confites de limn. Para completar el embarque que lleg a la bodega, dos barras y7 confites empacados individualmente, o sea sueltos.

El Seor Reyes desea manipular lo menos posible los confites, y le pide a Marlon que distribuyaestos deforma equitativaaprovechando las presentaciones originales y abriendo la menorcantidadde estas.

Marlon est sumamente confundido, y necesita ayuda. Ayude a Marlon a cumplir con la tareaque su jefe le asign, de forma que cumpla con todos los requerimientos. Cuantas cajasmedianas, barras y unidades de confites recibir cada tienda? Cuantas unidades de confites de

limn recibir cada tienda? Le sobran confites a Marlon luego de distribuirlos?

Un algoritmo es una conjunto de reglas para resolver un problema matemtico el cual, si sehace de forma correcta, resultar en una respuesta correcta todas las ocasiones. Los algoritmosgeneralmente involucran la repeticin de una serie de pasos, como es el caso del algoritmo de ladivisin.

Con los algoritmos se busca principalmente que los estudiantes aprendan mas acerca de losnmeros, operaciones, y su lugar posicional cuando exploren la matemtica mediante diferentesmtodos. Los clculos aritmticos se realizan generalmente en una de las tres formas siguientes:mentalmente, usando papel y lpiz, o con una maquina (calculadora o baco).

El mtodo a utilizar depender del propsito del clculo. Si necesitamos un clculo rpido ypreciso, la calculadora ser nuestra aliada. Si el clculo es an mas fcil o es simplemente unestimado, podemos utilizar el clculo mental.

El aprendizaje de los algoritmos aritmticos han sido por muchos aos la base de los programasmatemticos de las escuelas primarias. Las razones obvias, la necesidad de que los estudiantesadquieran mtodos confiables y exactos de realizar clculos aritmticos, para la vida diaria, negociosy continuar estudios superiores.

La sociedad actual demanda mas de sus ciudadanos que el simple conocimiento. Nuestros

estudiantes se enfrentan a un mundo en el cual la competencia matemtica es esencial para elxito. Como lo muestra el ejemplo anterior, la competencia matemtica no es exclusiva de camposcientficos meramente o de profesiones ligadas a la ciencia, es tiempo ya de entender que estpresente en nuestro quehacer diario, sea cual sea nuestra lnea de trabajo.


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Teorema 1.1 Para cualquier para de nmeros naturalesaybexiste un par de nmerosnicosqyr, tal que

b=aq + r,r


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44 Nmeros Naturales

Reiniciamos el proceso, dividimos el nuevo dividendo entre el divisor

23 1 5-20 4

31

El resultado de la divisin, lo agregamos al dgito que ya se encuentra debajo del divisor

23 1 5-20 46

31

Multiplicamos el dgito que acabamos de obtener por el divisor y lo escribimos debajo de losdgitos del dividendo

23 1 5-20 46

31 31

30Restamos como se muestra a continuacin

23 1 5-20 46

31-30

1

Validamos de acuerdo al algoritmo de la divisin

231=5 46 + 1231=230+ 1

231=231

Ahora damos respuesta al problema, Cmo puede Susana distribuir 231 gomitas de forma equi-tativa en paquetes de cinco gomitas cada uno? Utilizando el algoritmo de la divisin Cuantospaquetitos formar? Susana formar 46 paquetitos y le sobrar una gomita.

Ejercicio 1.8 Resuelva cada uno de los problemas que se presentan a continuacin

1. Mi prima Margarita tiene una cantidad fija de anillos y muchas ganas de usarlos todos.Ponindose tres anillos por dedo, quedaran cuatro dedos desnudos. Pero ponindose un

anillo por dedo le sobraran ocho anillos. Cuntos anillos y cuntos dedos tiene mi primaMargarita?

2. En una bodega hay dos tipos de botellas, grandes y pequeas. Las grandes contienen doblecantidad vino que las pequeas. Disponemos de 12 botellas grandes, 7 llenas y 5 vacas,as como de 12 botellas pequeas, 7 llenas y 5 vacas. Se desean repartir las 24 botellasentre 3 personas, de modo que cada una reciba el mismo nmero de botellas de cada tipo yla misma cantidad de vino. Cmo se podr hacer el reparto?


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3. Dos hermanos reciben de regalo 3 barras de chocolate del mismo tamao, pero de distintossabores (naranja, fresa y caramelo). Se repartieron los chocolates de manera que a cadauno le toc la misma cantidad de cada uno de los sabores.Cmo hicieron la reparticin?

4. Hay 43 dulces que se quiere repartir a 8 nios. T odos los nios deben tener la misma

cantidad de dulces. Cuntos dulces tendr cada nio? Quedan dulces sin repartir?Cuntos?

5. Hay que colocar 17 galletas en 3 bolsas. Cuntas galletas hay que poner en cada bolsapara que todas tengan la misma cantidad de galletas? Cuntas galletas sobraron?

6. Hay que repartir 32 sandas en 10 canastas. Cuntas sandas hay que poner en cadacanasta para que en todas las canastas haya la misma cantidad de sandas? Cuntassandas sobraron?

7. Don Julio reparte en cantidades iguales un cajn de tomates entre sus 3 hermanos. Si en elcajn haba 27 tomates, cuntos tomates recibi cada uno?, por qu?

8. En una caja de galletas hay 12 galletas. Andrea reparte, en partes iguales, las galletas de lacaja entre sus 5 amigas. a) Cuntas galletas quedan en la caja?, sobran?, cuntas? b) Siuna de sus amigas no desea comer galletas, cuntas galletas recibira cada una?, sobran?,cuntas?

9. La familia Gonzlez est organizando un viaje a la playa para lo cual ocuparn los dosautomviles que tienen. Si irn de viaje 9 personas, podrn distribuirse en cantidadesiguales en cada automvil?, por qu?

10. Una mam quiere repartir 18 alfajores a 4 chicos en partes iguales, Cuntos alfajores ledar a cada uno?

11. Laura quiere repartir 9 hamburguesas en partes iguales, entre 4 amigos, Cuntas le dar acada uno?, Cuntas sobran?, Se puede seguir repartiendo?.

12. Jos quiere repartir 15 reglas en partes iguales, entre 7 amigos, Cuntas le dar a cadauno?, Cuntas reglas sobran?, Se puede seguir repartiendo?.

13. Pamela desea repartir todos su 89 chocolates entre sus 4 amigos.Cuntos chocolates tocaa cada uno?

14. Los 47 invitados a un matrimonio se repartieron, en partes iguales entre 9 autos. Cuntosiban en cada auto? Cuntos sobraron?

15. Agustn debe colocar 57 fotos en su lbum de fotos, si coloca 7 fotos por pgina Cuntaspginas necesita?


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46 Nmeros Naturales

1.2.2 Criterios de divisibilidad

Se dice que un nmero es divisible entre otro cuando ste lo contiene exactamente un nmero enterode veces. O sea, si dividimos un nmero entre otro nmero, el cociente debe ser un nmero entero ysu residuo debe ser cero.

Ejemplo 1.30 Divisibilidad de 100 entre 4. Se dice que 100 es divisible por 4, porque sucociente es 25 y el residuo es cero

100=4 25 + 0

Para facilitar el determinar la divisibilidad entre nmeros se empleancriterios de divisibilidad.Estos criterios son ciertas seales matemticas que nos permiten descubrir por simple observacin,

si un nmero es divisible por otro.

Divisibilidad por Criterio2 Un nmero es divisible por 2 cuando termina en cero, dos,

cuatro, seis u ocho.3 Un nmero es divisible por 3 cuando la suma de los valores

absolutos de sus cifras es un mltiplo de 3.4 Un nmero es divisible por cuatro cuando sus dos ltimas

cifras de la derecha forman un mltiplo de 4 o son ceros.5 Un nmero es divisible por 5 cuando termina en cero o 5.6 Un nmero es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3

al mismo tiempo.7 Un nmero es divisible por 7 cuando la diferencia entre el

doble de la ltima cifra y el nmero que forman las cifrasrestantes es mltiplo de siete.

8 Un nmero es divisible por 8 cuando sus tres ltimas cifrasde la derecha forman un mltiplo de 8 o son ceros.

9 Un nmero es divisible por 9 cuando la suma de los valoresabsolutos de sus cifras es mltiplo de 9.

10 Un nmero es divisible por 10 si su ltima cifra de laderecha es cero.

11 Un nmero es divisible por 11 cuando la diferencia entre lasuma de las cifras ubicadas en los lugares pares y las queocupan los lugares impares es mltiplo de once.

Existen algunos ejercicios interesantes aplicando los criterios de divisibilidad, veamos algunosejercicios resueltos.


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Ejemplo 1.31 Encontrar el valor de un dgito. Determina el valor o valores de a en elnumero a57asi se sabe que es divisible entre 2.

Analizamos el criterio de divisibilidad entre 2

Un nmero es divisible por 2 cuando termina en cero, dos, cuatro, seis u ocho.Analizamos la posicin de la letra a

cmo a se encuentra al inicio del nmero a57a, entonces no puede valer 0, por que seencuentra tambin de primera, por tanto quedara un numero de tres cifras.

Concluimos el valor de a

a puede entonces valer 2, 4, 6 u 8.Por tanto el nmero original tiene la posibilidad de valer 2572, 4574, 6576 u 8578.

Ejemplo 1.32 Encontrar el valor de un dgito. Determina el valor o valores de a en elnumero 2a341 si se sabe que es divisible entre 3.

Analizamos el criterio de divisibilidad entre 3

Un nmero es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es unmltiplo de 3.

Sumamos los dgitos del nmero

2 + a + 3 + 4 + 1=10 + a

El resultado debe s

libro setimo 2014

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