Liceo Scientifico “L. Garofano”

Capua (CE)

Indice degli argomenti trattati a scuola negli incontri del laboratorio

Aree di figure regolari: Misurazione di Aree di figure regolari: Misurazione di aree di figure regolari e di figure aree di figure regolari e di figure “strane”; teorema di Pick“strane”; teorema di Pick

misura dell’area di una superficie di misura dell’area di una superficie di cartoncino con contorno irregolare cartoncino con contorno irregolare utilizzando anche la bilancia digitale utilizzando anche la bilancia digitale e calcolando l’errore su tale misura; e calcolando l’errore su tale misura; calcolo di aree di superfici a contorno calcolo di aree di superfici a contorno curvilineo; valutazione e errorecurvilineo; valutazione e errore

Argomenti selezionati per la presentazione di oggi

- Un po’ di storiagli EgiziTaleteArchimede e il metodo di esaustione - Calcolo area segmento parabolico con:- Geogebra- Metodo Montecarlo

Un po’ di storia della Un po’ di storia della misuramisura

Che cos’è la misura?Che cos’è la misura?

Per misura intendiamo un confronto, Per misura intendiamo un confronto, diretto o indiretto, tra due grandezze diretto o indiretto, tra due grandezze fisiche omogenee, di cui una è scelta fisiche omogenee, di cui una è scelta

come unità.come unità.

Ma … la misura ha origini Ma … la misura ha origini molto antiche: essa è nata con molto antiche: essa è nata con

l’uomo.l’uomo.Vediamo come si è evoluta nei Vediamo come si è evoluta nei

secoli …secoli …

Prime civiltàPrime civiltà

Presso i primi popoli, la misura non Presso i primi popoli, la misura non aveva quel valore culturale che le aveva quel valore culturale che le attribuiamo noi oggi, ma aveva attribuiamo noi oggi, ma aveva come unico impiego quello come unico impiego quello economico: i commercianti economico: i commercianti barattavano le merci in base al loro barattavano le merci in base al loro valore e al loro peso; in questo valore e al loro peso; in questo contesto nascono le prime bilance contesto nascono le prime bilance rudimentali. rudimentali.

Ecco alcuni strumenti di misuraAll'estrema sinistra: bilancia rudimentale. Al centro: cubito reale egiziano pieghevole; è

uno dei più antichi strumenti di misurazione, suddiviso in 28 parti (18 mm ciascuno). La

borsa di cuoio (in basso) serviva per legarlo alla cintura.    

Gli EgiziGli Egizi

I problemi sono generalmente pratici, I problemi sono generalmente pratici, connessi con l’ingegneria edile, con connessi con l’ingegneria edile, con l’attività agricola e con censimenti e l’attività agricola e con censimenti e tassazioni. tassazioni.

Le formule sono molto semplici, non ci Le formule sono molto semplici, non ci sono spiegazioni ai procedimenti. sono spiegazioni ai procedimenti. L’aritmetica, l’algebra e la geometria L’aritmetica, l’algebra e la geometria non sono divise.non sono divise.

TaleteTaleteTalete nacque a Mileto, Talete nacque a Mileto, intorno al 625 a.C. Le intorno al 625 a.C. Le sue più grandi scoperte sue più grandi scoperte si sono basate su si sono basate su quanto apprese dalla quanto apprese dalla matematica egizia.matematica egizia.

Secondo una leggenda, Secondo una leggenda, Talete calcolò l’altezza Talete calcolò l’altezza di una piramide: fissò di una piramide: fissò un bastone nella sabbia un bastone nella sabbia e aspettò che l’ombra e aspettò che l’ombra di questo fosse della di questo fosse della stessa lunghezza del stessa lunghezza del bastone, quindi il bastone, quindi il triangolo individuato triangolo individuato era rettangolo isoscele.era rettangolo isoscele.

Di conseguenza anche il triangolo Di conseguenza anche il triangolo individuato dall’altezza della piramide e individuato dall’altezza della piramide e dalla sua ombra era dello stesso tipo. Così, dalla sua ombra era dello stesso tipo. Così, misurando la lunghezza dell’ombra e misurando la lunghezza dell’ombra e aggiungendo metà della base, Talete risalì aggiungendo metà della base, Talete risalì alla misura dell’altezza della piramide.alla misura dell’altezza della piramide.

IL METODO DI ESAUSTIONEIL METODO DI ESAUSTIONE

Il Il metodo di esaustionemetodo di esaustione è un  è un procedimento logico-matematico, le cui procedimento logico-matematico, le cui basi furono poste da Eudosso di Cnido, basi furono poste da Eudosso di Cnido, ed è utilizzato per calcolare aree di ed è utilizzato per calcolare aree di varie figure geometriche piane. Esso varie figure geometriche piane. Esso consiste nella costruzione di una consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono successione di poligoni che convergono alla figura data. L'area della figura alla figura data. L'area della figura risulta essere quindi il limite delle aree risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni.dei poligoni.

……le sue originile sue origini Il termine esaustione non è usato dai greci ma Il termine esaustione non è usato dai greci ma

viene introdotto nel XVI secolo. Si riferisce al viene introdotto nel XVI secolo. Si riferisce al procedimento di costruzione della figura intermedia procedimento di costruzione della figura intermedia descritto sopra alla cui base sta l'assioma descritto sopra alla cui base sta l'assioma seguente: se da una qualsiasi grandezza si sottrae seguente: se da una qualsiasi grandezza si sottrae una parte non inferiore alla sua metà e se dal resto una parte non inferiore alla sua metà e se dal resto si sottrae ancora non meno della sua metà e se si sottrae ancora non meno della sua metà e se questo processo di sottrazione viene continuato questo processo di sottrazione viene continuato alla fine rimarrà una grandezza inferiore a qualsiasi alla fine rimarrà una grandezza inferiore a qualsiasi grandezza dello stesso genere precedentemente grandezza dello stesso genere precedentemente assegnata. Nasce, dunque, dalla necesità di assegnata. Nasce, dunque, dalla necesità di misurare qualsiasi cosa con strumenti che non misurare qualsiasi cosa con strumenti che non siano numeri.siano numeri.

E l’esaustione per Archimede?E l’esaustione per Archimede?

Un famoso esempio di applicazione del metodo di Un famoso esempio di applicazione del metodo di esaustioneesaustione è quello della quadratura del è quello della quadratura del cerchio effettuata da cerchio effettuata da ArchimedeArchimede. Egli però . Egli però utilizzò due metodi, quello di esaustione, utilizzò due metodi, quello di esaustione, inscrivendo poligoni regolari su di un cerchio di inscrivendo poligoni regolari su di un cerchio di raggio unitario, e il metodo di compressione, raggio unitario, e il metodo di compressione, circoscrivendo cioè i poligoni al cerchio. In realtà circoscrivendo cioè i poligoni al cerchio. In realtà Archimede non aveva trovato esattamente l'area Archimede non aveva trovato esattamente l'area del cerchio, ma aveva notato che man mano il del cerchio, ma aveva notato che man mano il numero dei lati aumenta, la loro lunghezza numero dei lati aumenta, la loro lunghezza diminuisce proporzionalmente. diminuisce proporzionalmente.

Il segmento ParabolicoIl segmento Parabolico  Nel trattato “La quadratura della parabola” Archimede prova Nel trattato “La quadratura della parabola” Archimede prova

che l'area del segmento parabolico (la parte di piano che l'area del segmento parabolico (la parte di piano compresa tra il segmento AB e la parabola) è uguale a 4/3 compresa tra il segmento AB e la parabola) è uguale a 4/3 dell'area del triangolo costruito sulla base AB e avente dell'area del triangolo costruito sulla base AB e avente stessa altezza del segmento parabolico. Egli costruisce stessa altezza del segmento parabolico. Egli costruisce sulle corde AC e BC due triangoli aventi per base la corda e sulle corde AC e BC due triangoli aventi per base la corda e per altezza quella del segmento parabolico staccato dalla per altezza quella del segmento parabolico staccato dalla stessa, e prova che l'area di AEC e CDB è un quarto stessa, e prova che l'area di AEC e CDB è un quarto dell'area di ABC. Costruendo triangoli sempre più piccoli dell'area di ABC. Costruendo triangoli sempre più piccoli sulle corde dei triangoli precedenti e sommando le aree di sulle corde dei triangoli precedenti e sommando le aree di tutti i triangoli, ottiene un'approssimazione via via migliore tutti i triangoli, ottiene un'approssimazione via via migliore del segmento parabolico. A ogni passo il numero dei del segmento parabolico. A ogni passo il numero dei triangoli inscritti raddoppia e l'area che si aggiunge è un triangoli inscritti raddoppia e l'area che si aggiunge è un quarto dell' area dei triangoli inscritti al passo precedente. quarto dell' area dei triangoli inscritti al passo precedente.

Ecco alcune cose che Ecco alcune cose che abbiamo sperimentato abbiamo sperimentato durante il laboratorio…durante il laboratorio…

Cosa significa effettuare una Cosa significa effettuare una MISURAMISURA

Per misura intendiamo un confronto, Per misura intendiamo un confronto, diretto o indiretto, tra due grandezze diretto o indiretto, tra due grandezze fisiche omogenee, di cui una è scelta fisiche omogenee, di cui una è scelta come unità.come unità.

Abbiamo, tra le altre cose, lavorato Abbiamo, tra le altre cose, lavorato con GeoGebra e con Excel che ci con GeoGebra e con Excel che ci hanno permesso di consolidare il hanno permesso di consolidare il concetto di area di una qualsiasi concetto di area di una qualsiasi superficie piana come elemento di superficie piana come elemento di separazione tra insieme delle aree separazione tra insieme delle aree dei plurirettangoli contenuti e dei plurirettangoli contenuti e contenenti, In particolare abbiamo contenenti, In particolare abbiamo affrontato:affrontato:

Area del Segmento ParabolicoArea del Segmento Parabolico

L’AREA DEL SEGMENTO L’AREA DEL SEGMENTO PARABOLICOPARABOLICO

Abbiamo utilizzato Abbiamo utilizzato GeoGebra GeoGebra per per verificare che l’area di Un segmento verificare che l’area di Un segmento parabolico corrisponde ai 2/3 dell’area del parabolico corrisponde ai 2/3 dell’area del rettangolo in cui il segmento è inscitto. rettangolo in cui il segmento è inscitto. Abbiamo disegnato una parabola e un Abbiamo disegnato una parabola e un rettangolo di 2 e ordinata 4. rettangolo di 2 e ordinata 4.

In questo modo, approssimando, possiamo In questo modo, approssimando, possiamo notare che per valori molto alti dello slider notare che per valori molto alti dello slider (cioè il numero dei rettangoli) la somma (cioè il numero dei rettangoli) la somma superiore e la somma inferiore coincidono. superiore e la somma inferiore coincidono. Facendo il rapporto tra l’area rilevata e Facendo il rapporto tra l’area rilevata e l’area del rettangolo, otteniamo il valore di l’area del rettangolo, otteniamo il valore di 2/3. L’esperimento ha confermato 2/3. L’esperimento ha confermato l’enunciato iniziale. l’enunciato iniziale.

Osserviamo graficamente il nostro ragionamento.

In questa diapositiva osserviamo come la somma superiore e quella inferiore coincidono.

Metodo MontecarloSi tratta di un metodo probabilistico che si usa per risolvere diverse Tipologie di problemi. Noi l’abbiamo utilizzato per verificare il teorema di Archimede.

SIMULAZIONE DI EXCEL

Presentazione Finale del Presentazione Finale del Nostro LaboratorioNostro Laboratorio

Alunni: Giada Dimitroff, Erica De Caprio, Alunni: Giada Dimitroff, Erica De Caprio, Antonio, Capolongo, Valeria Sorbo, Marco Antonio, Capolongo, Valeria Sorbo, Marco

Maione, Luigi Di Micco.Maione, Luigi Di Micco.

Liceo Scientifico Luigi Garofano – Capua (CE)

Coordinatrici del progetto:Prof.sse Chiappini Anna, Grella Filomena.