LIFE ANNUITY, LIFE INSURANCE AND NET PREMIUM

(Dosen : Azwir Arifin , Msc , FSAI , AAAIJ)

BAB III

LIFE ANNUITY

3.1 ANNUITY CERTAIN DAN LIFE ANNUITY

Pada Bab pembungaan telah kita kenal berbagai jenis pembayaran

berkala yang tidak ada kaitannya dengan hidup atau matinya

seseorang.

Pembayaran berkala tersebut kita namakan Annuity Certain.

Dalam Bab ini akan kita bahas “Life Annuity” yaitu pembayaran

berkalan yang pembayarannya dikaitkan dengan hidup atau matinya

seseorang.

Pada dasarnya jenis dan hubunngan life annuity ini serupa dengan

annuity certain yang telah diuraikan pada bab Pembungaan, dilihat

dari saat dan jangka waktu pembayarannya adalah sebagai berikut :

1). Annuity Due, Jika pembayaran dilakukan pada tiap awal

periode.

2). Annuity Forborne, Jika pembayarannya ditunda selama

jangka waktu tertentu.

1). Immediate Annuities, Jika pembayaran pertam adilakukan

segera.

2). Deferred Annuities, Jika pembayarannya ditunda selama

jangka waktu tertentu.

1). Limited Annuity (Temporary Annuities), Jika

pembayarannya dilakukan maksimum sampai batas waktu

tertentu.

2). Perpetuel Annuity (Whole Life Annuities), Jika

pembayarannya dilakukan selama hidup.

3.2 PURE ENDOWMENTS

Dalam teori kemungkinan, apabila adalah merupakan kemungkinan

seseorang untuk mendapatkan suatu pembayaran tertentu seharga ,

maka hasil perkalian dan yaitu disebut harapannya

(expectation). Sekarang jika pembayaran tersebut ditunda selama

tahun, maka Nilai Awal dari harapannya tersebut adalah

dimana adalah factor diskonto dengan suatu dasar bunga tertentu.

NILAI AWAL tahun

Kalau kita anggap bahwa akan menerima pembayaran

seharga pada akhir tahun jika dia hidup sampai saat tersebut,

maka situasi ini adalah sama dengan situasi tersebut diatas, hanya

dalam hal ini kemungkinan untuk mendapatkan tersebut adalah

kemungkinan hidup selama tahun, yaitu . Dengan demikian

Nilai Awal adalah .

Jenis pembayaran ditunda ini disebut tahun-pure endowment sebesar

.

Nilai Awal pada usia dari suatu tahun. Pure endowment sebesar 1,

symbol-nya ditulis , sehingga :

. ……………………………………. (3.1).

Nilainya dapat dihitung langsung dengan menggunakan daftar

mortalita dan daftar bunga.

Meskipun demikian dalam praktek agar perhitungan lebih mudah

dilaksanakan, lazimnya digunakan Commutation Coloumn yang

menunjukkan angka-angka sebagai hasil gabungan unsure mortalita

dan bunga. Untuk lebih jelasnya dapat diikuti uraian berikut ini.

Dari persamaan :

Jika ruang kanan kita kalikan dengan (nilainya =1) akan didapat

persamaan baru :

Commutation Symbol atau nilai pengganti untuk adalah ,

maka

= …………………………………………………………………….. (3.2)

Selanjutnya dapat kita tulis ………………………… (3.3)

Contoh Soal :

1. Berapa Nilai Awal dari uang sebesar $ 5.000,- yang akan diterima

seseorang yang sekarang berusia 20 tahun jika ybs. Hidup pada

usia 40 tahun. Dasar bunga adalah 3%, Daftar Mortalita yang

digunakan adalah 1958 CSP Table.

Diberikan : (1+0,03)20 = 1,8061.1123

1958 CSO Table 120 = 9.664.994

140 = 9.241.239

Perhitungan :

n – 20 tahun $.

5.000,-

x= 20 tahun x=40 tahun

5000. 20E20 =

=

Nilai Awal = US$ 2.647,00

2. Apabila , berapa Nilai Awal dari 15 tahun Pure

Endowment sebesar $.1.000,- bagi orang yang berusia 36 tahun

jika dasar bunga adalah 3%.

Diketahui bahwa v15 untuk adalah 0.6418.6195

Perhitungan :

Nilai Awal $.1.000,-

X = 36 n=15 tahun

x=51 thn

Nilai Awal = US$ 561,63

3.3 LIFE ANNUITIES DENGAN PEMBAYARAN TAHUNAN

Suatu pembayaran berkala yang dilakukan tiap tahun terus menerus

selama hidup dinamakan Whole Life Annuity. Jika pembayarannya

dilakukan tiap akhir tahun sebesar 1, maka Nilai Awal dari Whole Life

Annuity tersebut dinyatakan dengan Symbol : .

Nilai Awal dari Whole Life Annuity ini tidak lain adalah merupakan

jumlah Nilai Awal dari Pure Endowment ( dimulai sampai

dengan

Untuk lebih jelasnya dapat digambarkan sebagai berikut :

Dengan demikian maka :

………………………………………+

…………………………………………………………………… (3.4)

Menurut persamaan (3.3) :

Maka dapat dinyatakan pula dengan :

………………………………………………………………

(3.5)

Untuk memudahkan perhitungan sebagaimana halnya dengan

yang dinyatakan dengan Commutation Symbol , maka untuk :

atau juga dinyatakan

dengan Commutation Symbol tertentu, yaitu

Dengan demikian,

…………………………………………………

(3.6)

Dengan memasukkan persamaan (3.6) kedalam persamaan (3.5)

didapat persamaan :

(3.6)

(3.5)

………………………………………………………………………

(3.7)

Dari uraian diatas terlihat jelas bahwa dengan adanya Commutations

Symbol dan perhitungan Life Annuities dapat lebih dipermudah,

misalnya untuk menghitung Nilai Awal Whole Life Annuity tdak usah

menggunakan rumus :

Tetapi menggunakan rumus (3.7) yang lebih sederhana.

Commutation Symbol dan tersebut disusun dalam bentuk table

menurut usia dimulai dari 0 sampai yang tertua.

Untuk menyusun tabel tersebut digunakan rumus dimana

diambil dari Daftar Bunga dan dari Daftar Mortalita.

Untuk menyusun tabel diturunkan rumus :

…………………………………………(3.8)

Sebagai contoh dibawah ini digambarkan cara penyusunan tabel

dan untuk 1958 C.S.O Table dengan

X 1x Vx Dx=vx.1x Nx=Nx+1+Dx

0

1

2

3

4

5

.

.

.

95

96

97

98

99

10.000.000

9.929.200

9.911.725

9.896.659

9.882.210

9.868.375

97.165

63.037

37.787

19.331

6.415

1,0000.0000

0,9708.7379

0,9425.9591

0,9151.4166

0,8884.8705

0,8626.0878

0,0603.2032

0,0585.6342

0,0568.5769

0,0552.0164

0,0535.9383

10.000.000,0

9.640.000,0

9.342.751,4

9.056.844,9

8.780.215,6

8.512.546,9

5.861,0

3.691,7

2.148,5

1.067,1

343,8

288.963.016,7

278.963.016,7

269.323.016,7

259.980.265,3

250.923.420,4

242.143.204,8

12.112,1

7.251,1

3.559,4

1.410,9

343,8

Dalam penyusunan Tabel dengan menggunakan rumus

diatas, dapat dimulai dari usia muda ke usia tinggi ataupun sebaliknya,

tetapi untuk penyusunan Tabel dengan rumus

haruslah dimulai dari usia tua ke usia muda.

Contoh soal :

1. Nyatakan dengan 1 dan v

Penyelesaian :

2. Seseorang yang berusia 95 tahun mempunyai uang kontan

sekarang sebesar Rp. 1.000.000,-. Berapa dia akan mendapat

pembayaran tiap akhir tahun selama dia hidup jika uang tersebut

dibelikan Whole Life Annuity (gunakan tabel tersebut diatas).

Perhitungan :

Rp. 1.000.000,-

3. Buktikan :

Bukti :

(-)

Bentuk kedua dari Life Annuity adalah Temporary Life Annuity, yaitu

Whole Life Annuity yang pembayarannya terbatas maximum selama

jangka waktu tertentu. Dengan demikian, dapat pula kita katakana

bahwa suatu pembayarn berkala tahunan selama n tahun jika tetap

hidup adalah n-tahun Temporary Life Annuity.

Jika pembayaran tiap akhir tahun dan besarnya tiap pembayaran

adalah 1, maka Nilai Awalnya dinyatakan dengan Symbol :

Untuk mengetahui rumus dapat dilihat gambaran dibawah ini.

……………………………………………………………………………

…..(3.9)

Dengan menggunakan rumus

Maka : =

Kita lihat sekarang persamaan-persamaan sebagai berikut :

(-)

Rumus (3.10) =

=

Dengan dimasukkan persamaan diatas, akan didapat :

=

= ……………………………..(3.10)

Contoh soal :

Buktikan : = + .

Bukti = + .

= + .

= +

=

=

3. Nilai Awal pada usia 30 tahun dari 5 tahun Temporary Life Annuity

Forborne adalah sebesar Rp. 500.000,-

Nyatakan pembayarn tiap akhir tahun tersebut dengan

Commutation Symbol D.

Perhitungan :

Pembayaran tiap akhir tahun =

Bentuk ketiga dari Life Annuity adalah n-tahun deferred life annuity.

Ini adalah suatu Life Annuity yang pembayaran pertamanya

ditangguhkan n tahun. Dengan demikian suatu n-tahun Deferred

Life Annuity untuk (x) yang pembayarannya akhir tahunan,

pembayaran pertamanya akan dilakukan pada usia .

Nilai Awalnya dinyatakan dengan Symbol , gambarannya

adalah :

=

=

………………………………………………………………(3.11)

Rumus (3.11) tersebut dapat dinyatakan pula dalam Commutation

Symbol.

=

=

=

Sedangkan,

Maka, …………………………………………………………….

(3.12)

Kalau diperhatikan ternyata bahwa n-tahun deferred life annuity

merupakan selisih antara Whole Life Annuity dan n-tahun

Temporary Life Annuity, hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut :

- =

= ……………………………………………………………

(3.13)

Lebih lanjut dapat dibuktikan pula bahwa n-tahun deferred life

annuity adalah merupakan nilai awal dari n-tahun Pure Endowment

sebesar , atau dapat pula disebut sebagai Nilai Awal dari

pada usia (x); Pembuktiannya dapat diperhatikan uraian dibawah

ini :

= ………………………………………………………

(3.14)

Suatu deretan pembayaran akhir tahunan pada (x) yang akan

dimulai pada usia x+n+1 dan berlangsung selama m tahun jika x

masih hidup disebut n-tahun deferred m-tahun Temporary Life

Annuity.

Nilai Awalnya dinyatakan dengan Symbol :

=

……………………………………………………………………..(3.15)

Selanjutnya dapat kita tulis,

=

(-)

-

…………………………………….

(3.16)

Contoh Soal :

Seseorang yang pada saat ini berusia 30 tahun, mendapat

pembayaran sebesar Rp. 1.000,- tiap akhir tahun, pembayaran

pertama dimulai pada saat dia berusia 35 tahun. Lamanya

pembayaran adalah 15 tahun jika dia masih hidup pada saat itu.

Berapa Nilai Awal pembayaran tersebut pada saat ini?

Nyatakan jawabannya dalam Commutation Symbol D dan N.

Perhitungan :

N=4 thn m=15 thn 1000,-

1000,-1000,-………..

30 34 35 49

x = 30 )

n = 4 )

m = 15 )

P = Rp. 1.000,- )

Whole Life Annuity, Temporary Life Annuity dan Deferred Life

Annuity yang telah diuraikan diatas adalah “ Life Annuity Forborne”

yaitu yang pembayarannya dilakukan tiap akhir tahun, Nilai

Awalnya dinyatakan dengan symbol :

Berikut ini akan kita bahas Life Annuity yang pembayarannya

dilakukan tiap awal tahun yaitu Life Annuity Due. Nilai Awalnya

lazim ditulis : .

Untuk jelasnya dapat digambarkan sebagai berikut :

………………………………………………………………..

(3.17)

Selanjutnya dari (3.17) dapat diuraikan,

=

…………………………………………………………..

(3.18)

Nilai Awal n-tahun Temporary Life Annuity Due :

…………………………………………………………….(3.19)

(-)

-

………………………………………………………..(3.20)

Nilai Awal n-tahun Deferred Life Annuity Due :

=

=

…………………………………………………………(3.21)

=

= …………………………………………..

(3.22)

Nilai Awal n-tahun Deferred m-tahun Temporary Life Annuity Due :

=

=

………………………………………………………………(3.23)

Kita lihat,

(-)

……………………………………………………..

(3.24)

Contoh soal :

Buktikan :

1.

2.

3.

4.

Bukti :

1.

2.

3.

4.

=

LIFE ANNUITY DENGAN INSTALLMENTS (Pembayarannya lebih dari

satu kali tiap tahun)

Dalam praktek sering kali pembayaran berkala dilakukan tiap

setengah tahunan, kwartalan dan bulanan.

Selanjutnya dapat kita cari Nilai Awal pada usia x dari Whole Life

Annuity sebesar 1 yang akan diangsur m kali tiap tahun. Jika

suatu pembayaran sebesar akan dilakukan tiap tahun

kepada x sepanjang yang bersangkutan hidup dan pembayaran

pertama dimulai pada usia , maka Nilai Awalnya ditulis

dengan Symbol : , rumusnya dapat kita turunkan sebagai

berikut :

=

=

Batas tertinggi lazimnya ditulis sebagai suatu batas

tertinggi dari fungsi hidup.

Dengan demikian maka,

= …………………………………………………….

(3.25)

Selanjutnya dapat diuraikan,

=

=

………………………………………………(3.26)

Dari rumus diatas kita ambil potongan tahun ke , maka akan

didapat Commutation Function

Apabila Commutation Function tersebut kita anggap sebagai

fungsi linier, maka dengan interpolasi linier akan didapat

gambaran perhitungan seperti dibawah ini :

Dari gambar diatas dapat dilihat,

Dimana,

Maka,

Identik dengan perhitungan ini akan didapt pula nilai dst.

Selanjutnya ,

(+)

Jumlah

Apabila kita ambil t=0,1,2………………………pada persamaan diatas

dan kita tulis kembali persamaan,

Akan didapat,

=

………………………………………………………………..

(3.27)

Nilai Awal dari n-tahun Deferred Life Annuity Forborne sebesar 1, yang

pembayarannya dangsur m kali setahun, symbol ditulis : .

Rumusnya dapat diturunkan dengan menggunakan persamaan,

Yang identik pula dengan,

…………………………………………………..

(3.28)

Dengan demikian maka,

…………………………………..(3.29)

Demikian pula Nilai Awal dari n-tahun Temporary Life Annuity Forborne

sebesar 1, yang pembayarannya diangsur m kali setahun, dapat

diturunkan dengan menggunakkan persamaan,

Yang identik dengan,

………………………………………………

(3.30)

Maka Nilai Awalnya adalah,

=

…………………………..(3.31)

Untuk mengetahui Nilai Awal dari n-tahun Whole Life Annuity Due

sebesar1,

Yang pembayarannya diangsur m kali tiap tahun dapat kita uraikan

sebagai berikut :

Nilai Awal ………………………………..(3.32)

t=0 menunjukkan bahwa pembayaran sebesar 1/m telah dilakukan

pada awal periode yaitu pada usia x, maka

…………………………………………………….

(3.33)

………………………………………………………..(3.34)

maka

………………………………………………………(3.35)

Kita ketahui bahwa,

Maka,

………………………………………………………..(3.36)

Selanjutnya n-tahun Deferred Life Annuity Due sebesar 1, yang

pembayarannya diangsur m kali tiap tahun, Nilai Awalnya dinyatakan

dengan . Nilai Awal ini dapat kita hitung dengan menggunakkan

rumus :

Yang identik dengan

Maka,

………………………………………………..

(3.37)

Nilai Awal n-tahun Temporary Life Annuity Due sebesar 1, yang

pembayarannya diangsur m kali setahun, symbolnya ditulis .

Dengan menggunakkan rumus,

Yang identik dengan,

Maka,

………………………………………

(3.38)

Rumus-rumus diatas dapat pula dinyatakan dalam D dan N seperti

dibawah ini :

Life Annuity Forborne.

………………………………………………………(3.39)

……………………………………………….(3.40)

……………………………(3.41)

Life Annuity Due

………………………………………………………(3.42)

………………………………………………..(3.43)

……………………………..(3.44)

Contoh Soal :

1. Hitung Nilai Awal suatu Life Annuity yang pembayarannya

sebesar Rp. 500,- tiap akhir 3 bulan selama A yang sekarang

berusia 50 tahun masih hidup. Nyatakan dalam N dan D.

Perhitungan : x=50 tahun; m=4; P= Rp. 500,- x 4= Rp.

2.000,-

Nilai Awal

2. Nyatakan dengan D dan N, Nilai Awal suatu Annuity sebesar

Rp. 10,- tiap akhir bulan untuk usia 30, pembayaran pertama

pada usia 40 dan pembayaran dilakukan bulanan selama 10

tahun.

Perhitungan :

30 40 41 50

10 10

120

Nilai Awal

Variable Annuity

Suatu pembayaran berkala yang berubah jumlah pembayarannya

selama masa pembayaran disebut Variable Annuity.

Suatu pembayaran berkala akhir tahunan dimana pembayaran

pertamanya adalah 1 dan bertambah dengan 1 tiap tahun pada

tahun berikutnya sepanjang (x) hidup, yaitu 1 untuk usia x+1, 2

untuk usia x+2, 3 untuk usia x+3 dst………, disebut Increasing

Life Annuity Forborne.

Nilai Awalnya ditulis dengan Symbol :

Gambarnya adalah sebagai berikut :

Jenis lain dari Increasing Life Annuity, adalah suatu pembayaran

berkala yang jumlah tiap pembayarannya bertambah 1 selama n

tahun pertama, tetapi setelah masa n tahun tersebut dilewati,

jumlah tiap pembayaran adalah masa yaitu n-tiap tahun.

Jika pembayarannya dilakukan akhir tahunan selama x hidup,

maka Nilai Awalnya adalah :

Dengan jelas dapat kita lihat bahwa :

……………………………………………

.(3.50)

Kalau kita uraikan lebih lanjut maka,

………………………………………………………..

(3.51)

Nilai Awal suatu pembayaran berkala akhir tahunan yang jumlah

pembayaran pertamanya adalah n, tetapi menurun sebesar 1 tiap

tahun sampai akhir tahun ke-n jika x hidup, symbolnya adalah :

= ………………………………………

(3.52)

Contoh soal :

Carilah Nilai Awal dari :

1. Increasing Life Annuity Due

2. n-tahun Temporary Increasing Life Annuity Due

3. Pembayaran berkala Awal Tahunan yang jumlah pembayarannya

bertambah 1 selama n tahun pertama, tetapi setelah masa n tahun

jumlah pembayarannya adalh n tiap tahun.

Catatan : Halaman ini adalah tambahan untuk halaman 22,

sebelum Contoh Soal.

Nilai Awal Whole Life Annuity Forborne untuk (x) dalam mana jumlah

pembayaran pertama adalah n, dan berkurang dengan 1 tiap tahun

sampai mencapai 1, dan setelah itu pembayaran berkala berlangsung

dengan jumlah sebesar 1 tiap tahun, Nilai Awalnya adalah

Kita dapatkan bahwa,

……………………………………………..(3.53)

Selanjutnya dari (3.53) kita peroleh,

…………………………………..

(3.54)

4. n-tahun Temporary Decreasing Life Annuity Due

5. Whole Life Annuity Due untuk (x) dalam mana jumlah pembayaran

pertama adalah n, dan berkurang dengan 1 tiap tahun sampai

mencapai 1, dan setelah itu pembayaran berkala berlangsung

dengan jumlah sebesar 1 tiap tahun. .

Dan nyatakan dalam Commutation Symbol D,N dan S.

JAWABAN

1.

2.

3.

4.

5.

SOAL-SOAL LIFE ANNUITY

1. Buktikan bahwa :

Bukti :

2. Buktikan bahwa :

Bukti :

3. Buktikan bahwa :

4. Buktikan bahwa :

Bukti :

+

===================

5. Tulis Symbol Nilai Awal dari Life Annuity dibawah ini :

a. Nilai Awal pada usia 35 dari Annuity sebesar 1 per annum,

pembayaran pertama pada usia 42.

b. Nilai Awal pada usia 35 dari 15 tahun temporary life annuity

due sebesar 10 tiap bulan.

c. Nilai Awal pada usia 40 dari Life Annuity sebesar 1 yang akan

dibayarkan tiap 6 bulan, pembayaran pertama pada akhir 3

bulan.

Jawaban :

a.

b.

c.

6. Hitung Nilai awal dari suatu pembayaran pada usia 34 sebesar Rp.

100,- tiap tahun selama 26 tahun, dan selanjutnya sebesar Rp.

200,- tiap tahun selama 4 tahun, pembayaran pertama dilakukan

akhir tahun.

Nyatakan dalam Commutation Symbol

Jawaban :

34 60 61 64

100 100 200

26 4

Nilai Awal :

7. Seseorang yang berusia 30tahun akan menerima Rp. 10.000,-

apabila dia hidup sampai usia 40 tahun. Dia ingin menukar

pembayaran tersebut dengan life Annuity yang dimulai pada usia

65. Nyatakan dalam Commutation Symbol jumlah yang akan dia

terima tiap tahun dari Life Annuity tersebut.

Jawaban

8. Nyatakan dalam Commutation Symbol Nilai Awal pada usia x dari

25 pembayaran berkala dimulai pada usiax sebesar 1 dan

bertambah tiap tahun sebesar 0,1 selama 5 tahun, pembayaran

keenam dan seterusnya adalah sama.

Jawaban :

X x+1 x+5 x+6 x+24

1 1 1 1 1

0,1………………………………… 0,5 0,5

0,5

1

Nilai Awal