lima, julio de 2014

Matemática básica para administradores

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Authors Curo, Agustín; Martínez, Mihály

Publisher Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)

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http://hdl.handle.net/10757/652880

Lima, julio de 2014

© Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Segunda publicación: julio de 2014Impreso en el Perú - Printed in Peru

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)Centro de Información

Curo, Agustín y Martínez, Mihály. Matemática básica para administradores.Lima: Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC), 2013ISBN de la versión impresa: 978-612-4191-10-7ISBN de la versión e-book en PDF: 978-612-4191-55-8

MATEMÁTICAS, LÓGICA MATEMÁTICA, MATRICES, ECUACIONES, FUNCIONES DE VARIABLE REAL, FUNCIONES LOGARITMICAS, FUNCIONES EXPONENCIALES

510.711 CURO

Corrección de estilo:Diseño de cubierta: Diagramación:

Jessica Vivanco L.Germán Ruiz Ch.Diana Patrón Miñán

Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, ni en todo ni en parte, ni registrada en o transmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, sin el permiso previo, por escrito, de la editorial.

El contenido de este libro es responsabilidad de los autores y no refleja necesariamente la opinión de los editores.

Editor del proyecto editorialUniversidad Peruana de Ciencias Aplicadas S. A. C.Av. Alonso de Molina 1611, Lima 33 (Perú)Teléf: 313-3333www.upc.edu.pePrimera edición: marzo de 2013Segunda edición: julio de 2014

Libro electrónico disponible en http://www.upc.edu.pe/ebooks

Contenido

Prólogo 7

Introducción 8

Unidad 1: Introducción a la lógica 11

1.1. Lógica proposicional 11

1.2. Análisis de argumentos 20

1.3. Estrategias y resolución de problemas 30

1.4. Conjunto de los números reales. Ecuaciones 43

1.5. Ecuación de segundo grado. Ecuación polinómica 53

1.6. Ecuaciones racionales e irracionales reducibles a ecuaciones de primer y segundo grado 63

1.7. Aplicaciones de ecuaciones de primer y segundo grado 73

1.8. Logaritmos 83

1.9. Aplicaciones de las exponenciales y logaritmos al interés compuesto 89

1.10. Sistema de ecuaciones de dos variables 96

1.11. Intervalos e inecuaciones de primer grado 106

1.12. Inecuaciones polinomiales y racionales 121

Unidad 2: Matrices 132

2.1. Definición. Tipos y operaciones básicas 132

2.2. Aplicaciones de operaciones con matrices 147

2.3. Sistema de ecuaciones lineales. Determinantes y la regla de Cramer 154

2.4. Sistema de ecuaciones lineales. Método de reducción de matrices 161

2.5. Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales 170

Unidad 3: Gráfica de ecuaciones en el plano 177

3.1. Sistema de coordenadas rectangulares 177

3.2. Ecuación de la recta 184

3.3. Aplicaciones de rectas 195

3.4. Desigualdades en dos variables 202

3.5. Programación lineal 216

Unidad 4: Funciones reales de variable real 230

4.1. Funciones 230

4.2. Gráfica de funciones 241

4.3. Lectura de gráficas 254

4.4. Transformaciones gráficas de funciones 268

4.5. Aplicaciones de la función lineal y las transformaciones de gráficas 284

4.6. Función cuadrática 293

4.7. Función polinomial 304

4.8. Aplicaciones de funciones polinomiales. Optimización 313

4.9. Razón de cambio promedio y variación porcentual 320

4.10. Aplicaciones: Elasticidad, precio de la demanda 330

4.11. Operaciones con funciones 341

4.12. Composición de funciones 349

4.13. Aplicaciones de las operaciones con funciones 361

4.14. Función inversa. Relación implícita 368

4.15. Aplicaciones de la función inversa y la relación implícita 380

Unidad 5: Función exponencial y logarítmica 386

5.1. Función exponencial 386

5.2. Función logarítmica 398

5.3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 409

5.4. Aplicaciones de funciones exponenciales 415

Respuestas 427

Bibliografía 480

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas 7

Prólogo

Matemática básica para administradores es un libro que se enfoca en desarrollar una forma diferente de enseñar el curso inicial de Matemática a los futuros administradores. En este libro, los autores ponen en práctica la innovadora idea que tienen para hacer que los alumnos participen de manera activa en el desarrollo de las clases.

La gran dificultad de los estudiantes en el aprendizaje de la matemática a nivel universitario es el reto más importante con el que los profesores deben actualmente lidiar. ¿Por qué los alumnos tienen tanta dificultad para aprender matemática a nivel universitario? Esta es la gran pregunta que los docentes han tratado de responder desde hace mucho tiempo. Este libro no espera dar respuesta a esta pregunta, sino que plantea una solución y esta es que el alumno sea un participante activo de su propio aprendizaje, interiorizando la filosofía educativa de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC).

Los profesores Agustín Curo y Mihály Martínez han logrado plasmar en este libro toda su experiencia en la docencia universitaria y —con el apoyo de todos aquellos profesores que de una u otra forma colaboraron con la maduración del curso que se dicta en la UPC— han logrado redondear un conjunto de ejercicios que muestran toda su intención de que el estudiante logre obtener los resultados esperados. Todos los profesores que han dictado el curso de Matemática Básica para Administración se han desatacado por su preocupación constante en el nivel de aprendizaje que deben lograr los estudiantes de las carreras de Administración y, a través de una metodología participativa, han sido capaces de atraer la atención de los alumnos en la resolución de problemas de matemática.

El presente libro es una prueba de lo importante que es hacer participar al estudiante en su propio proceso de aprendizaje. Los profesores Curo y Martínez, a través de ejercicios y problemas, logran captar la atención de sus alumnos y así desarrollar una técnica de enseñanza que obtiene mejores resultados a medida que el estudiante se identifica con la necesidad de su propio involucramiento en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Matemática básica para administradores es un libro que brindará a los estudiantes una herramienta muy positiva para incrementar los resultados que puedan lograr en el curso. Sin duda alguna, este libro será fundamental para mejorar los resultados hasta hoy obtenidos tanto dentro como fuera de la UPC.

Fernando Sotelo Director del Área de Ciencias

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

8 Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Introducción

1.1 Materiales y herramientas de trabajo

La presente obra tiene por objetivo ayudar al alumno en su camino al aprendizaje de la matemática básica. Los contenidos que la conforman son los que normalmente se desarrollan en un primer curso para los estudiantes de Administración y Negocios, y van desde una introducción a la lógica de proposiciones y análisis de argumentos, transitando por el álgebra elemental y las matrices, hasta las funciones reales de variable real, concluyendo con las funciones exponenciales y logarítmicas. Esperamos que le sea útil al autor no solo como un manual de ejercicios, sino como una guía teórico-práctica que le permita entender los conceptos sobre los que se fundamenta cada tema y aplicar lo aprendido a sus análisis administrativos.

Todos los temas tratados aquí tienen una estructura similar de aprendizaje que consta de tres partes muy marcadas e importantes: la base teórica, el cálculo algebraico y geométrico, y la modelación y resolución de problemas de situaciones del contexto real en el ámbito de administración.

Una de las piezas fundamentales de nuestra obra es la base teórica sobre la que descansa cada tema tratado. En ella, aunque de manera breve, se justifican los procedimientos realizados para la obtención de resultados; el análisis de los errores cometidos; el porqué de las operaciones realizadas, de la discriminación de soluciones, de la interpretación de resultados; etcétera.

Otra parte elemental de nuestra obra es la referida al cálculo algebraico y al geométrico. Los diversos ejemplos planteados en el libro permiten realizar operaciones elementales que poco a poco irán desarrollando la destreza en el cálculo. Los ejemplos planteados no se han concebido bajo la idea de aumentar la complejidad de ellos de modo abstracto, sino de crear ejemplos que al resolverlos desarrollen diferentes tipos de razonamientos que involucren el conocimiento de otros conceptos, para así evitar cálculos engorrosos. El cálculo algebraico, debido a su amplitud, permite encontrar diferentes caminos y procedimientos para obtener una solución, pero enfocar dicho cálculo bajo un aspecto geométrico genera otro tipo de habilidades sumamente importantes, sobre todo, referidas a la interpretación. Por ejemplo, plantear una ecuación lineal en dos variables cobra vida cuando se le asocia a la gráfica de una recta en el plano y, eso no es todo, al enfocar la gráfica de la recta como una función lineal se pueden apreciar visualmente sus diferentes características. En este libro se presentan distintos métodos de graficación y de interpretación gráfica, de modo que constantemente se puede transitar entre diferentes registros de representación, lo que permitirá a los lectores una mejor aprehensión de la información en cada tema tratado.

La modelación de problemas de situaciones reales en el ámbito de administración es también uno de los aportes de este libro de trabajo. Se han adaptado en el libro todos los temas matemáticos, de naturaleza abstracta, a situaciones del contexto real. Los problemas de modelación planteados utilizan conceptos estudiados en los cursos de las carreras de Administración y Negocios. Entre ellos destacan los conceptos de costos, ingresos, utilidades, oferta, demanda, impuestos, elasticidad, etc. La riqueza de estos problemas se basa en poder aplicar la matemática a situaciones reales en las cuales se entrelacen la teoría matemática, el enfoque algebraico, la interpretación gráfica y los conceptos administrativos, siendo el principal objetivo que los lectores analicen situaciones y basen sus resultados dentro del dominio de la matemática.


Introducción

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Muchos de los temas aquí desarrollados siguen una secuencia lógica que se puede encontrar en cualquier otro texto de la misma naturaleza, sin embargo, en algunos temas se ha creído conveniente cambiar el orden sin alterar el orden lógico de los mismos. Por ejemplo, el tema de determinantes y la regla de Cramer se presenta antes del desarrollo de sistemas de ecuaciones lineales (SEA) por el método de la eliminación de Gauss. Esto tiene una explicación, la regla de Cramer solo resuelve cierto tipo de sistemas de ecuaciones lineales mientras que el método de eliminación Gauss resuelve todos estos sistemas.

Por otro lado, se han incorporado al inicio algunos aspectos fundamentales de la lógica que ayudarán al estudiante a entender los conectivos lógicos más usados y sus valores de verdad para obtener proposiciones equivalentes, y las reglas básicas de inferencia lógica para utilizarlas adecuadamente a entender la lectura de un problema, analizar argumentos y hacer conclusiones válidas a partir de ciertas premisas.

La forma como se presentan los contenidos de cada tema y el modo de guiar a los lectores en la resolución de los ejemplos y de los problemas planteados son fruto de los estudios, experiencia, reuniones constantes de discusión e intercambio de ideas de los autores; es también consecuencia de los diálogos y críticas constructivas de los docentes del curso de Matemática Básica para administradores de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas, así como de los materiales de clase desarrollados por ellos y por los autores. Todo esto permitió desarrollar un libro de matemática que escapa del tradicional libro teórico y aplicativo. Hoy damos vida a este libro que pretende llegar más allá en materia de enseñanza.

Características pedagógicas

En cada sección se ha tratado de incorporar, en la medida de lo posible, el modelo pedagógico de la Universidad, que es el modelo MATE: motivación, adquisición, transferencia y evaluación. En las definiciones y en cada explicación de conceptos, resolución de ejemplos y problemas, se ha hecho un esfuerzo por utilizar un lenguaje sencillo cercano al estudiante, justificando cada paso, incorporando métodos constructivos y reflexivos en el aprendizaje. Los ejemplos están presentados en orden creciente de dificultad y variados. Se destaca en la obra la forma como se estructuran los problemas. Cada tema empieza con un ejemplo desarrollado en el que se explican los conceptos involucrados en la resolución; luego, se plantea otro ejemplo en el que el lector va siendo guiado por el mismo libro en su desarrollo. El objetivo es que el estudiante aprenda a resolver ejemplos de forma ordenada, racional y que, en ese proceso, sienta un libro amigable que promueva el aprendizaje autónomo.

En la mayor parte de la obra, se ha tratado de cerrar un bloque con una sección de aplicaciones.

Reconocimientos

Deseamos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes profesores con quienes compartimos el dictado del curso de Matemática Básica (ADM) de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas en estos últimos años y que aportaron con sus comentarios, críticas constructivas, y en la resolución y comprobación de soluciones de los ejercicios que han sido valiosos en el desarrollo del curso: Edith Giovanna Arce Cortez, Luis Leoncio Barboza Carape, Mónica Luz Cabrera Ortega, Raúl Chávez Aquino, Reynaldo Hugo Cortez Zevallos, Alejandro Wálter de la Cruz Sánchez, Gloria Angélica Elena Espinoza


Agustín Curo Cubas y Mihály Martínez Miraval | Matemática básica para administradores

Colán de Herrera, Jairo Yamil Esquivel Ortiz, Luis Demetrio Fernández Basaldua, Marie Cosette Girón Suazo, Magna Julia Guerrero Celis, Jorge Luis Guzmán Aguilar, Juan Guillermo Herrera García, Nelly Kau Kau, Johnny Alberto Malaver Ortega, David Alberto Maldonado Carrasco, Hortensia Mamani Cosco, Renzo Patricio Mere Donayre, Fernando Damián Montesinos Andreses, Armando Alfredo Novoa Allagual, Eduardo Ortiz Chauca, Aldrín Ethel Peña Lizano, Erick Jozsef Pozsgai Hernani, Jorge Humberto Prado Linares, Óscar Reynaga Alarcón, Claudio Felipe Ríos Ibarra, Juan de Dios Saavedra Farfán, David Sáenz López, Jorge Raul Silva Santisteban Chero, Ángel Felipe Soto Valdivia, Mario Saúl Tiza Domínguez, Alberto Uchasara Quispe, Carlos Eleodoro Valencia Segura, Cecilia Lina Vidal Castro y Edwin Villogas Hinostroza.

Queremos agradecer también a nuestros revisores Marie Cosette Girón Suazo, Erick Jozsef Pozsgai Hernani y Héctor Viale Tudela, por sus contribuciones en esta obra. Un agradecimiento muy especial a los profesores Gloria Angélica Elena Espinoza Colán de Herrera y Juan Guillermo Herrera García, quienes desde un inicio estuvieron apoyándonos y colaborando de manera muy estrecha disponiendo de su valioso tiempo; al profesor Jorge Luis Guzmán Aguilar por su importante aporte en las secciones de Lógica y al profesor Erick Jozsef Pozsgai Hernani por su revisión minuciosa y sugerencias detalladas.

Finalmente, queremos agradecer a Fernando Sotelo Raffo, director del Área de Ciencias de la Universidad, por su confianza y la oportunidad de hacer realidad esta obra, asimismo, agradecemos a los colegas profesores a tiempo completo de Matemática del Área de Ciencias por su apoyo.


Unidad 1: Introducción a la lógica

1.1 Materiales y herramientas de trabajo

El estudio de la lógica de proposiciones ha venido a menos en estos últimos tiempos. En las escasas oportunidades en que se desarrolla, se realiza enfatizando en la parte algebraica de la determinación de valores de verdad o simplificando expresiones proposicionales complejas. Poco se detiene en el estudio reflexivo de los conectivos lógicos y las expresiones proposicionales equivalentes. Por ejemplo, sean las siguientes expresiones:

• No es cierto que voy a la biblioteca o a la cafetería.• No voy a la biblioteca o no voy a la cafetería.

¿Son equivalentes estas expresiones? En esta sección se hace un estudio elemental de las proposiciones, los conectivos y sus valores de verdad, y las proposiciones equivalentes.

1.1. Lógica proposicional

Un enunciado es toda frase u oración que se utiliza en el lenguaje común. Algunos enunciados son afirmaciones, órdenes, interrogaciones, exclamaciones, etcétera.

Ejemplo 1

a. La UPC tiene más de 15 000 estudiantes.b. ¡Feliz aniversario!c. La tolerancia para ingresar al aula de clase en la universidad es de 15 minutos.d. ¿Cuál es la nota mínima para aprobar un curso en la universidad?e. Prohibido fumar en clase.f. Esta proposición es falsa.

Una proposición es un enunciado que puede ser calificado, o bien como verdadero o bien como falso, pero no ambos a la vez.

Ejemplo 2

a. La inflación del Perú en el año 2011 fue menor al 3 %.b. Ya se firmó el TLC entre Perú y Japón.c. La economía se divide en microeconomía y macroeconomía.d. Hoy estudio para el examen de Matemática y escucho música instrumental.



e. Voy a la biblioteca o a la cafetería.f. Si el precio del producto es mayor al precio de equilibrio, entonces hay exceso de oferta.

Ejemplo 3

Indique con un check los enunciados que sean proposiciones:

a. ¿Usted habla italiano?b. Prohibido fumar en lugares públicos como este.c. Toda ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales.d. La captura del terrorista Abimael Guzmán fue en el año 2000.e. A quien madruga Dios le ayuda.f. Dios es misericordioso.g. En un monopolio, los precios de los artículos suben.h. El PBI crecerá 5,4 % durante el periodo 2011-2012.i. Esta proposición es falsa.

Las proposiciones simples son aquellas que tienen un solo componente, es decir, no se pueden separar en dos proposiciones. Se les denota con las letras minúsculas p, q, r, etcétera. A la verdad (V) o falsedad (F) de la proposición se le llama valor de verdad.

Por ejemplo, las proposiciones:

a. La inflación del Perú en el año 2011 fue menor al 3 %.b. Ya se firmó el TLC entre Perú y Japón.c. La economía se divide en microeconomía y macroeconomía.

son simples, ya que expresan una sola idea. A estas proposiciones se les puede simbolizar así:

p: La inflación del Perú en el año 2011 fue menor al 3 %q: Ya se firmó el TLC entre Perú y Japón.r: La economía se divide en microeconomía y macroeconomía.

Una proposición compuesta es aquella que está formada por dos o más proposiciones simples, llamadas componentes de la proposición compuesta. Estas proposiciones simples están unidas o relacionadas por no, y, o, si..., entonces…, etcétera, llamados conectivos o conectores.

Por ejemplo, las siguientes proposiciones:

a. Hoy estudio para el examen de Matemática y escucho música instrumental.b. Voy a la biblioteca o a la cafetería.c. Si el precio del producto es mayor al precio de equilibrio, entonces hay exceso de oferta.

están formadas por dos proposiciones simples, la primera: «Hoy estudio para el examen de Matemática» y «hoy escucho música instrumental», separadas por el conector y; la segunda: «Voy a la biblioteca» o


Unidad 1 | Introducción a la lógica

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«voy a la cafetería», separadas por el conector o; la tercera: Si «el precio del producto es mayor al precio de equilibrio», entonces «hay exceso de oferta», separadas por el conector entonces.

Sin embargo, existen proposiciones que dan la impresión de ser compuestas, pero no lo son, porque no se pueden separar en dos proposiciones simples, tal es el caso de la siguiente proposición:

Alicia y Juan son hermanos.

Ahora considere la proposición «El promedio ponderado de mis cursos es mayor que 15». La negación se obtiene intercalando la palabra no o anteponiendo la expresión no es cierto que en la proposición, así:

«El promedio ponderado de mis cursos no es mayor que 15», o«No es cierto que el promedio ponderado de mis cursos es mayor que 15».

La negación de una proposición verdadera es falsa y la negación de una proposición falsa es verdadera.

Conectivos lógicos

Para simplificar el estudio de las proposiciones lógicas, se utilizan símbolos para los conectivos lógicos, los cuales se muestran en la tabla:

Proposición Conectivo Símbolo Significado

Negación No ~ Cambia el valor de verdad de una proposición simple.

Conjunción y ∧Indica que se deben dar las dos proposiciones.

Disyunción inclusiva (Débil) o ∨

Indica que se debe dar una de ellas o ambas proposiciones a la vez.

Disyunción exclusiva (Fuerte)

o… o �Indica que se debe dar una de ellas pero no ambas proposiciones a la vez.

Condicional Si …,entonces

→Indica en las proposiciones una relación de causa – efecto.

Bicondicional Si y solo si ↔Indica que se da una relación de causa-efecto y viceversa.

Formalización de proposiciones lógicas

Es el procedimiento mediante el cual se identifican proposiciones simples y conectivos lógicos que se enlazan formando fórmulas organizadas con signos de agrupación.



Ejemplo 4

Sean las proposiciones:

p: Voy a la biblioteca.q: Voy a la cafetería.

Formalice las siguientes proposiciones:

a. Voy a la biblioteca o voy la cafetería. p ∨ q

b. Voy a la biblioteca y voy a la cafetería.c. Si voy a la biblioteca, entonces voy a la cafetería.d. No voy a la biblioteca.e. O voy a la biblioteca o voy a la cafetería.f. Voy a la biblioteca si y solo si voy a la cafetería.

A continuación, se presenta una tabla con algunos términos del lenguaje natural que designan conectivos equivalentes a los mencionados anteriormente.

Proposición Término Formalización

NegaciónNo p

Es falso que pEs absurdo que p

~p

Conjunciónp pero q

p aunque qp sin embargo q

p ∧ q

Disyunción inclusiva (Débil)p a menos que q

p salvo que qp excepto q

p ∨ q

Disyunción exclusiva (Fuerte)O p o q

p o solamente qp o únicamente q

p ∆ q

Condicional

p entonces qSi p, q

p implica qp por lo tanto q

p es suficiente para qq si p

q porque p q es necesaria para p

p → q

Bicondicionalp si y solo si q

p siempre y cuando qp equivale a q

p ↔ q



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Ejemplo 5

Formalice las siguientes proposiciones:

a. La utilidad marginal es positiva, pero disminuye conforme aumenta el consumo.Simbolizando cada proposición simple se tiene:p: La utilidad marginal es positiva.q: La utilidad marginal disminuye conforme aumenta el consumo.Formalización: p ∧ q

b. Cuando aumenta el precio de un bien, disminuye la cantidad demandada del mismo.

c. La utilidad total aumenta a menos que aumente el costo fijo.

d. El costo promedio disminuye salvo que el nivel de producción no aumente.

e. Subió el precio de las verduras porque subió la gasolina.

f. No es cierto que hoy es martes y hay reunión de coordinación de curso.



g. Si voy a la clase o solamente a la biblioteca, implica que no iré al cine.

h. Cuando la demanda aumenta y la oferta disminuye, el precio de equilibrio baja.

i. No es cierto que suba el precio del pan porque suba el precio de la gasolina, salvo que el gobierno no pueda controlar la inflación.

Valores de verdad de las proposiciones

Sobre la base de los valores de verdad de las proposiciones simples, se determinan los valores de verdad de las proposiciones compuestas.

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ∆ q p ↔ q

V V V V V F V

V F F V F V F

F V F V V V F

F F F F V F V

Ejemplo 6

Dadas las proposiciones p, q y r falsas, determine el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta:

(∼ p ∨ ∼q) ∆ (∼ r → q)



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Ejemplo 7

Para hallar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r, si se sabe que es falsa la siguiente proposición compuesta:

(p ∨ r) → ∼(∼ p ∧ q)

debemos identificar el conectivo principal, que es el condicional →. Por lo tanto:

• Si la proposición ( p ∨ r ) → ∼ ( ∼ p ∧ q ) es F, entonces ( p ∨ r ) es V y ∼ ( ∼ p ∧ q ) es F. • Luego, ( ∼ p ∧ q ) es V, por lo tanto, ∼ p es V y q es V. Así p es F.• Como ( p ∨ r ) es V, donde p es F, se tiene que r es V. • En conclusión, p es F, q es V y r es V.

Ejemplo 8

Halle el valor de verdad de las proposiciones p, q y r, si se sabe que la siguiente proposición compuesta es falsa:

p ∧ ∼ [ ( r ↔ ∼ p) ∨ ∼ q ]

Ejemplo 9

Halle el valor de verdad de las proposiciones p, q y r, si se sabe que la siguiente proposición es verdadera:

( ∼ p ∨ q ) ∨ ( ∼ r → ∼ p )

Ejemplo 10

Considere la siguiente proposición:«Si la demanda de un bien aumenta, entonces el precio del bien aumentará; salvo que si la crisis económica continúa, entonces habrá más pobreza».



a. Formalice la proposición compuesta.

b. Analice el valor de verdad de la proposición, asumiendo que todas las proposiciones simples son verdaderas.

c. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición si la demanda del bien no aumenta y no hay más pobreza?

d. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición si la crisis no continúa ni el precio del bien aumenta?



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Ejercicios 1.1

1. Determine qué enunciados son proposiciones. Luego, clasifíquelas como simples o compuestas y formalice.

a. El pisco es peruano.b. Prohibido fumar en lugares públicos como este.c. 3 + 5 > 7d. Alemania y China son potencias económicas.e. Estados Unidos y México son países fronterizos.f. Es falso que Arequipa sea un país y Cuzco su capital.g. La familia promueve el bienestar, aunque también la prosperidad de todos sus miembros.h. Seré un profesional de éxito porque estudio en esta universidad.i. Si la carne de avestruz es cara, su crianza no tiene razón de ser.j. El que tengamos un amplio intercambio comercial con Europa conlleva a que nos afecte su

crisis financiera.k. En la medida que estudies, triunfarás.l. Es falso que si la importación afecta la inversión interna, el crecimiento poblacional

afectará al PBI.m. La jalea real es el alimento especial de las abejas reinas o solo de las obreras.

2. Suponga que p y r son falsas y q es verdadera. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. (∼ p ∧ ∼ q ) → ( p ∧ ∼ r )b. ( p → ∼ q ) →( ∼ p ∧ ∼ r )c. ( p → ∼ q ) ∧ ( p → r )

3. Si (∼ p ∧ ∼ q ) es verdadera, halle el valor de verdad de [( p ∨ ∼ q ) → (∼ p ∨ q )]

4. Halle el valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s, sabiendo que:

a. [(r ∨ p) ∧ ∼ q ] → p es falsab. (s ∧ p) ∨ [(p → q) ∨ ∼ r] es falsa

5. ¿Se puede afirmar que la proposición [(∼ p ∨ ∼ q ) ∧ p] → ∼q siempre es verdadera?

6. Considere la siguiente proposición:«Si el salario mínimo aumenta, entonces habría más desempleo de los obreros menos calificados. Sin embargo, si la población tuviera mejores ingresos, entonces consumiría más bienes».

a. Identifique las variables y formalice mediante un lenguaje simbólico.b. Suponga que el salario mínimo no aumenta, la población no incrementa sus ingresos y que las demás

proposiciones simples son verdaderas. ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición compuesta?c. Si la proposición compuesta es verdadera, y el primer antecedente y el segundo consecuente

son falsos, halle los posibles valores de verdad de las demás proposiciones simples.



1.2. Análisis de argumentos

Suponga la siguiente situación:

Hoy en la mañana, le dije a mi novia que mi jefe me había convocado a una reunión, seguramente, para aumentarme el sueldo.

Le hice la siguiente promesa: «Si me suben el sueldo, entonces me caso contigo». Ella, feliz e ilusionada, espera noticias en la noche. Desafortunadamente, al llegar a su casa, le dije: «No me subieron el sueldo».

Usted, ¿qué puede concluir de esto? ¿Significa que no me voy a casar con ella?

En esta sección se observarán algunas reglas básicas de inferencia lógica que permitirán analizar argumentos y hacer inferencias válidas.

Cuantificadores

A menudo se encuentran enunciados con palabras o expresiones que indican cantidad. Las palabras todos, cada uno, ninguno se denominan cuantificadores universales y las expresiones existe, algunos, hay al menos uno se llaman cuantificadores existenciales.

Por ejemplo, considere la proposición: Todos los estudiantes de Ciencias son extrovertidos. La negación se escribiría así: «No todos los estudiantes de Ciencias son extrovertidos», o lo que es lo mismo decir: «Existen algunos estudiantes de Ciencias que no son extrovertidos».

Ahora, considere la proposición: Algunas preguntas del examen son difíciles. La negación se escribiría así: «No es cierto que algunas preguntas del examen son difíciles», o lo que es lo mismo decir: «Todas las preguntas del examen no son difíciles».

Como se observa, la negación de un cuantificador universal es el cuantificador existencial y la negación de un cuantificador existencial es el cuantificador universal.

Proposiciones equivalentes

Dos proposiciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad para todas las situaciones posibles. Si p y q son las proposiciones equivalentes, se simboliza p ≅ q.



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Ejemplo 1

Se demuestra que p → q ≅ ∼ q → ∼ p utilizando la tabla de verdad.

p q p → q ∼ q → ∼ p

V V V F V F

V F F V F F

F V V F V V

F F F V V V

Ejemplo 2

Determine que:

a. ∼ ( p ∨ q ) ≅ ∼ p ∧ ∼ q b. ∼ ( p ∧ q ) ≅ ∼ p ∨ ∼ q

p q ∼ ( p ∨ q ) ∼ p ∧ ∼ q

V V

V F

F V

F F

p q ∼ ( p ∧ q ) ∼ p ∨ ∼ q

V V

V F

F V

F F

Resumiendo, se tienen las siguientes equivalencias:

i. p → q ≅ ∼ q → ∼ p ii. ∼ ( p ∨ q ) ≅ ∼ p ∧ ∼ q iii. ∼ ( p ∧ q ) ≅ ∼ p ∨ ∼ q

Ejemplo 3

Escriba de manera equivalente las siguientes proposiciones:

a. Si la crisis económica continúa, entonces habrá más pobreza.

Formalizando: p: La crisis económica continúa. q: Habrá más pobreza.



Se tiene que p → q ≅ ∼ q → ∼ p. Entonces, escribimos de manera equivalente:

«Si no habrá más pobreza, entonces la crisis económica no continúa».

b. No es cierto que voy a la biblioteca o a la cafetería.

Formalizando: p: Voy a la biblioteca. q: Voy a la cafetería.

Se tiene que ∼ ( p ∨ q ) ≅ ∼ p ∧ ∼ q. Entonces, escribimos de manera equivalente:

«No voy a la biblioteca ni a la cafetería».

Ejemplo 4

Escriba de manera equivalente las siguientes proposiciones:

a. Cuando aumenta el precio de un bien, disminuye la cantidad demandada del mismo.

b. No es cierto que la utilidad total aumenta a menos que aumente el costo fijo.

c. Hoy no es martes y no hay reunión de coordinación del curso.

Inferencia lógica

Un argumento lógico es un juicio, en el que a partir de una serie de proposiciones llamadas premisas (leyes, reglas, suposiciones, etcétera), se llega a una proposición llamada conclusión. Cuando se razona a partir de las premisas de un argumento para obtener una conclusión, se pretende que el argumento sea válido.



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Los siguientes ejemplos muestran algunos argumentos. (La premisa está sobre la línea horizontal y la conclusión, debajo).

a. Si el sábado hay examen, entonces hoy empiezo a estudiar.El sábado hay examen.∴ Hoy empiezo a estudiar.

b. Si me suben el sueldo, me caso contigo.No me subieron el sueldo.∴ No me caso contigo.

Cuando la conclusión y las premisas son verdaderas, un argumento es válido. Un argumento no válido es una falacia.

A continuación, se describen algunas formas de razonamiento más comúnmente empleadas, llamadas reglas de inferencia.

1. Modus ponendo ponens (MPP)

p → q p∴ q

Por ejemplo, considere las dos siguientes premisas:Si el Estado incrementa los sueldos, la población demandará más de los bienes.El Estado incrementa los sueldos.

Para determinar una conclusión válida, se formalizarán las premisas. Sea p «El Estado incrementa los sueldos» y sea q «La población demandará más de los bienes». Las premisas pueden escribirse simbólicamente:

p → q p

Según la regla MPP, se escribe la concusión válida q «La población demandará más de los bienes».

2. Modus tollendo tollens (MTT)

p → q ∼ q∴ ∼ p

Por ejemplo, considere las dos siguientes premisas:Si me suben el sueldo, me caso contigo.No me caso contigo.



Para determinar una conclusión válida, se formalizarán las premisas. Sea p «Me suben el sueldo» y sea q «Me caso contigo». Las premisas pueden escribirse simbólicamente:

p → q ∼ q

Según la regla MTT, se escribe la conclusión válida ∼ p «No me suben el sueldo».

3. Silogismo hipotético puro (SHP)

p → q q → r∴ p → r

Por ejemplo, considere las dos siguientes premisas:Si aumenta el sueldo, se incrementa la demanda.Si se incrementa la demanda, suben los precios.

Para determinar una conclusión válida, se formalizarán las premisas. Sea p «Aumenta el sueldo», sea q «Se incrementa la demanda» y sea r «Suben los precios». Las premisas pueden escribirse simbólicamente:

p → q q → r

Según la regla SHP, se escribe la concusión válida p → r «Si aumenta el sueldo, suben los precios».

4. Silogismo disyuntivo (SD)

p ∨ q p ∨ q ∼ p ∼ q∴ q ∴ p

Por ejemplo, considere las dos siguientes premisas:Voy a la biblioteca o a la cafetería.No voy a la biblioteca.

Para determinar una conclusión válida, se formalizarán las premisas. Sea p «Voy a la biblioteca» y sea q «Voy a la cafetería». Las premisas pueden escribirse simbólicamente:

p ∨ q ∼ p



25

Según la regla SD, se escribe la conclusión válida q «Voy a la cafetería».

Ejemplo 5

Proporcione una conclusión válida para las siguientes premisas:

a. Si el maestro eleva la calidad de la enseñanza, entonces se genera el progreso que el Perú necesita. El maestro eleva la calidad de la enseñanza, por lo tanto…

Sea p «El maestro eleva la calidad de la enseñanza».Sea q «Se genera el progreso que el Perú necesita».Las premisas pueden escribirse simbólicamente:

p → q p∴ q

Según la regla MPP, se escribe la conclusión válida q «Se genera el progreso que el Perú necesita».

b. Si se eleva la cotización del dólar, se devalúa el nuevo sol. No se devalúa el nuevo sol. Por lo tanto…

c. Los precios se elevan siempre que la demanda aumenta. La demanda no aumenta. En consecuencia…

d. Estudias para el examen final o desapruebas el curso de Lógica. Apruebas el curso de Lógica. Por lo tanto…



e. Si se elevan los impuestos, habrá déficit. Habrá desocupación si hay déficit. Por lo tanto…

f. Si la selección de fútbol de Perú gana todos sus partidos, se clasifica para el mundial. Si Perú se clasifica al mundial, sus jugadores se cotizan mejor. La selección de fútbol gana todos sus partidos. Por lo tanto…

Sea p «La selección de fútbol de Perú gana todos sus partidos». Sea q «El Perú se clasifica para el mundial».Sea r «Los jugadores de la selección se cotizan mejor».Las premisas pueden escribirse simbólicamente:

p → q q → r p∴ r

Según la combinación de las reglas MPP y SHP, se escribe la conclusión válida r «Los jugadores de la selección se cotizan mejor».

g. Cuando estudias para los exámenes, apruebas el curso de Lógica. Si eres un estudiante responsable, estudias para los exámenes. Eres un estudiante responsable. Por lo tanto…

h. No será separado del aula a menos que guarde su teléfono celular. Si no es separado del aula, atenderá la clase. No guarda su teléfono celular. Por lo tanto…



27

i. Si haces tu examen con lapicero, tienes derecho a pedir recalificación. Si estás seguro de tus respuestas, harás tu examen con lapicero. No tienes derecho a pedir recalificación. Por lo tanto…



Ejercicios 1.2

1. Escriba la negación de las siguientes proposiciones:

a. Todas las clases de Lógica son interesantes.b. Algunos textos del sílabo son de consulta.c. Cada estudiante trae sus apuntes de clase.d. Existen calculadoras solares.e. Juan es puntual o pierde su trabajo.f. Nelly es servicial y Gloria, amable.g. Ni Juan ni David son egoístas.h. José va a la reunión o no le suben el sueldo.

2. Escriba una proposición equivalente a las siguientes:

a. Si Noé promueve el negocio, entonces se opone al pensamiento de Pedro.b. No es cierto que hoy devuelvo los libros y me condonan la multa.c. Ni las políticas de Estado son malas, ni el costo social es alto.

3. Escriba la negación de las siguientes proposiciones:

a. Raúl triunfa o se retira del torneo.b. Ana aprueba el curso y Luis no pierde su empleo.c. Alex asiste a clase o no será del equipo de trabajo.

En los siguientes ejercicios, determine, en caso de ser posible, la conclusión que haga válido el argumento.

4. Se encuentran exonerados de ITF los depósitos en las cuentas de ahorro si el depósito es de remuneraciones. Juan no recibió un depósito de remuneraciones. Por lo tanto...

5. Si se realizan transferencias de fondos, entonces la transacción se verá afectada por el ITF. José realizó una transferencia de fondo. Por lo tanto…

6. Juan no gana utilidades porque no arriesga en su inversión. Ocurre que Juan gana utilidades. Luego…

7. Subió el precio del pan porque subió el precio de la gasolina. Si subió el precio del pan, el gobierno no podrá controlar la inflación. Por consiguiente…

8. Cuando la información es relevante, esta debe ser guardada para futuras referencias. La información debe ser fácilmente recuperable porque se guarda para futuras referencias. Cierta información no es fácilmente recuperable. En consecuencia…



29

9. No es posible que la inseguridad en las carreteras se incremente y las primas de los seguros vehiculares disminuyan. Pero la inseguridad en las carreteras se incrementa. Por lo tanto…

10. Si la demanda crece, entonces las compañías se expanden. Las compañías no se expanden o los obreros no tienen más horas de trabajo. Pero se da que los obreros tienen más horas de trabajo. Por lo tanto…

11. Sube el precio del pan porque subió el precio de la gasolina. Sube el precio de la gasolina o el gobierno no puede controlar la inflación. El gobierno controla la inflación. Luego…

12. Si el alumno es memorista y predomina la exposición del docente, entonces el alumno se convierte en un ente receptor y acumulador de conocimiento. Si el alumno es un ente receptor y acumulador de conocimientos, entonces no será libre de expresar su opinión. Por lo tanto…



1.3. Estrategias y resolución de problemas

Los jóvenes de esta generación son muy prácticos: tantean, experimentan, y si se percatan que se da con cierta frecuencia, tienden a generalizar un resultado sin tener cuidado de que no siempre es posible. Ante la necesidad de resolver problemas, se presentan dos formas de razonamiento: el inductivo y el deductivo.

Razonamiento inductivo

Una conjetura es una suposición que se construye sobre la base de observaciones o experimentaciones repetidas de un patrón o proceso particular. La conjetura puede ser verdadera o falsa. En ese sentido, el razonamiento inductivo se caracteriza por llegar a una conclusión general (mediante una conjetura), a partir de observaciones repetidas de casos específicos o particulares.

Una conjetura por medio del razonamiento inductivo es falsa si hay una situación en la que no se aplique. Este es un contraejemplo.

Por ejemplo, considere la siguiente secuencia de números naturales:

1; 4; 7; 10; …

El patrón más probable es que cada número, a partir del segundo, se obtiene al sumar tres al anterior. Efectivamente, esta es la regla. Ahora considere la siguiente fórmula para los números naturales:

p = n2 – n + 41

Al asignarse los primeros valores naturales para n a esta fórmula, se obtienen números primos.

n p

1 41

2 43

3 47

4 53

… …

10 131

20 401

… …



31

Se puede conjeturar que esta fórmula proporciona números primos para cada valor de n natural. Pero para n = 41 se tiene p = 412, que ya no es primo. Se ha encontrado un contraejemplo para la conjetura; por lo tanto, es falsa.

El razonamiento inductivo no garantiza un resultado verdadero, pero sí proporciona un medio para hacer una conjetura. Nunca se puede estar seguro de que lo que es cierto para ciertos casos particulares será cierto en general.

Razonamiento deductivo

El razonamiento deductivo se caracteriza por la aplicación de principios o leyes generales a casos particulares.

Por ejemplo, la fórmula que se utiliza para calcular la suma de los primeros n números naturales 1; 2; 3; … está dada por:

S n nn = +( )1

2

Así, para hallar la suma de los primeros 24 números naturales, se toma n = 24 y se reemplaza en la fórmula:

S24

24 24 1

2300= + =( )

Como se observa, se utiliza una fórmula general y se aplica al caso particular.

Ejemplo 1

Se usará un argumento deductivo para obtener la suma Sn de los primeros n números enteros positivos.

Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + (n – 1) + n

Esta suma también se puede reescribir como:

Sn = n + (n – 1) + . . . + 3 + 2 + 1

Al sumar miembro a miembro se tiene:

2Sn = (n + 1) + (n + 1) + . . . + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)

2Sn = n(n + 1) implica que Sn n

n = +( )1

2



Ejemplo 2

Deduzca una fórmula para la suma de los primeros n números.

a. Enteros positivos pares.b. Enteros positivos impares.

Resolución de problemas

George Pólya (1888-1985) desarrolló un importante estudio en técnicas para la resolución de problemas. En su obra clásica Cómo plantear y resolver problemas (How to solve it), se presenta un proceso de cuatro pasos para resolver problemas:

1.° Entender el problema. Comprender de qué trata y qué se está solicitando en el problema. Es recomendable leer el problema más de una vez y analizarlo cuidadosamente.

2.° Formular un plan. Determinar cuál es el plan adecuado para abordar el problema. Se pueden emplear algunas de las siguientes estrategias: elaborar una tabla o un diagrama, buscar un patrón, hacer un bosquejo, usar el sentido común, utilizar el método de prueba y error, etcétera.

3.° Poner en práctica el plan. Llevarlo a cabo una vez que se ha encontrado el problema. Ser perseverante si nuestro plan falla o si aparecen obstáculos en el camino.

4.° Revisar y comprobar. Analizar si la respuesta es razonable de acuerdo al contexto del problema.

Uso de tablas

Problema 1

Un científico comprobó que la población de un determinado tipo de bacterias se duplica por cada minuto transcurrido. Si en un momento dado la población es de 1 000 bacterias, ¿cuántas bacterias habrá en la población transcurridos tres minutos? ¿Y después de quince minutos?

El problema se puede reformular de la siguiente manera: el número inicial de bacterias es igual a 1 000 y este valor se duplica en el transcurso de un minuto. El nuevo valor se duplicará en el siguiente minuto y así sucesivamente.



33

Se utilizará una tabla para responder a la primera pregunta.

Minuto Población 0 1 000

1 2 000

2 4 000

3 8 000

De la tabla se obtiene que la población será de 8 000 bacterias después de tres minutos.Para responder a la siguiente pregunta, se puede observar que existe un patrón de crecimiento

a partir del tiempo transcurrido. La siguiente tabla muestra dicho patrón:

Minuto Población 0 1 000 1 000 ∙ 1 = 1 000 ∙ 20

1 2 000 1 000 ∙ 2 = 1 000 ∙ 21

2 4 000 1 000 ∙ 4 = 1 000 ∙ 22

3 8 000 1 000 ∙ 8 = 1 000 ∙ 23

… … …

15 → 1 000 ∙ 215

De la tabla se obtiene que la población será de 32,8 millones de bacterias aproximadamente transcurridos 15 minutos.

Problema 2 Una pareja de esposos colocó un par de conejos recién nacidos en una jaula: una hembra y un macho. Durante el primer mes, los conejos no pueden tener crías, pero a partir del segundo mes empezaron a producir una pareja de conejos por mes. Si cada pareja de conejos se reproduce de la misma forma, ¿cuántas parejas de conejos habrá luego de seis meses? ¿Cuántas parejas de conejos habrá después de un año?

Complete el siguiente cuadro y responda a las preguntas:

Mes Nro. de pares al inicio

Nro. de nuevos pares producidos

Nro. de pares al final del mes

123456… … … …12



Resolución de atrás hacia adelante

Problema 3

Cada semana José acostumbra ir al casino con sus amigos. La primera semana duplicó su dinero, pero luego perdió $ 20. A la semana siguiente, triplicó lo que tenía y perdió $ 140. La semana siguiente volvió a intentarlo y perdió la mitad de lo que tenía y regresó a su casa con $ 500. ¿Con cuánto dinero empezó José en la primera semana?

Para determinar con cuánto dinero José empezó la semana, se resolverá el problema de atrás hacia adelante. Puesto que llegó a su casa con $ 500 y representa la mitad con la que inició la tercera semana, José empezó la tercera semana con:

500 ∙ 2 = 1 000 dólares

Antes de perder los $ 140 la segunda semana, tenía los $ 1 000 anteriores más los $ 140 que perdió. Estos $ 1 140 representan el triple de lo tuvo al empezar la segunda semana. José empezó la segunda semana con:

(1 000 + 140) / 3 = 380 dólares

Si se repite este proceso una vez más para la primera semana, se obtiene que José empezó la primera semana con:

(380 + 20) / 2 = 200 dólares

La solución obtenida se puede verificar realizando las siguientes operaciones:



35

Semana 1: (200 ∙ 2) – 20 = 380Semana 2: (380 ∙ 3) – 140 = 1 000Semana 3: 1000 / 2 = 500

Este problema se pudo trabajar utilizando una ecuación algebraica, pero este método de ir hacia atrás puede aplicarse fácilmente.

Problema 4

Miguel fue a la librería (ubicada a una cuadra de su casa) y compró un libro que costó S/. 60. Luego, tomó un taxi para ir a la universidad y gastó la sexta parte de lo que le quedaba; el almuerzo en la universidad le costó S/. 10. Después usó la mitad de lo que le quedaba aún en pagar una deuda contraída con un amigo. Finalmente, se fue a su clase con S/. 40 en la billetera. ¿Cuánto dinero tenía Miguel antes de comprar el libro?

Uso de diagramas

Problema 5

Todos los sábados, en un parque de Pueblo Libre, se reúne un grupo de chicos para jugar fútbol. A veces juegan uno contra uno, dos contra dos, y así, dependiendo del número de chicos que salga a jugar. Si cuando se arman los dos equipos, la tradición es que cada uno de los integrantes de uno de ellos salude a cada uno de los integrantes del equipo contrario con un apretón de mano, ¿cuántos saludos se efectuarán si juegan dos equipos de tres integrantes cada uno? ¿Cuántos saludos habrá en un partido oficial de fútbol (11 jugadores por equipo)?



Para resolver este problema, se puede utilizar el siguiente diagrama:

Nro. de jugadores por equipo Diagrama Nro. total de

saludos

1 1

2 4

3 9

Se efectuarán nueve apretones de mano en total.Para responder a la siguiente pregunta, observe el patrón que se genera:

Nro. de jugadores por equipo Nro. total de saludos

1 1 = 12

2 4 = 22

3 9 = 32

… …

11 112

El número total de saludos resulta de elevar al cuadrado el número de jugadores por equipo. Finalmente, en un partido oficial habrá 112 = 121 apretones de mano.

Problema 6

Por su cumpleaños, María realizó una fiesta en su casa e invitó a todas sus amigas del barrio y de la universidad. Si solo asistieron cuatro amigas de María a la fiesta, y todas se saludaron con un beso en la mejilla, ¿cuántos saludos se efectuaron? Y si asistieran 60 amigas, ¿cuántos saludos se efectuarían?



37

Búsqueda de patrones

Problema 7

Un profesor ofrece clases particulares para alumnos universitarios. En vista de que enseña muy bien y lo recomiendan constantemente, el número de alumnos a los que enseña por semana se ha ido incrementando, formando una sucesión aritmética de la siguiente manera:

4; 8; 12; 16; …

a. ¿En qué semana tendrá 28 alumnos? ¿Y cuándo tendrá 108 alumnos?Para responder a la primera pregunta, se puede completar la sucesión, ya que el número de términos pedido es pequeño: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28. Se concluye que en la séptima semana habrá 28 alumnos.Para responder a la segunda pregunta, se debe encontrar un patrón que nos permita calcular el número de semanas sin completar la sucesión.

Semana Nro. de alumnos por semana

1 4 = 4 ∙ 1

2 8 = 4 ∙ 2

3 12 = 4 ∙ 3

4 16 = 4 ∙ 4

… …

n 108 = 4 ∙ n



A partir de los resultados de la tabla, se obtiene que el profesor enseñará a 108 alumnos en la vigésimo séptima semana.

b. ¿A cuántos alumnos enseñó en la décimo quinta semana?A partir del análisis de la tabla, se obtiene que el profesor tuvo 4 ∙ 15 = 60 alumnos en la décimo quinta semana.

c. ¿A cuántos alumnos habrá enseñado en total en el transcurso de veinte semanas?Lo que se debe hacer en esta pregunta es sumar el número de alumnos desde la primera semana hasta la semana vigésima. Primero, se calcula el número de alumnos de la vigésima semana.

4 ∙ 20 = 80 alumnos

Luego, se hallará la suma S que representa el número total de alumnos.

S = 4 + 8 + 12 + 16 + … + 80

Un artificio que se puede emplear para sumar sucesiones aritméticas es el siguiente:

S = 4 + 8 + 12 + 16 + … + 76 + 80 + S = 80 + 76 + 72 + 68 + … + 8 + 4 2S = 84 + 84 + 84 + 84 + … + 84 + 84

20 veces

Se obtiene que 2S = 84 ∙ 20. Finalmente, S = 840 alumnos.

Problema 8

La ganancia de una empresa ha ido aumentando cada año en progresión aritmética. Si el primer año se obtuvo una ganancia de $ 10 000 y el sexto año, $ 24 000, ¿cuánto ganó en el tercer año? ¿Y en total hasta el octavo año?



39

Problema 9

El número de alumnos de un grupo de estudio ha aumentado progresivamente. La siguiente sucesión muestra el total de alumnos por semana en dicho grupo desde que se inició hasta que cerró por mantenimiento:

10; 18; 26; … 410

a. ¿Cuántas semanas atendió a los alumnos el grupo de estudio?b. ¿Cuántos alumnos recibieron clases en ese lapso de tiempo?c. Si cada alumno pagó S/. 5 por clase, ¿cuál fue el ingreso que obtuvo el grupo durante ese periodo

de tiempo?

Uso del ensayo y error

Problema 10

El tatarabuelo de Javier vivió en el siglo xviii. En una reunión familiar, el padre de Javier le hizo el siguiente comentario: «Tu tatarabuelo tenía x años en el año x3». ¿En qué año nació el tatarabuelo de Javier?



Uso del sentido común

Problema 11

Dos monedas actuales de Perú suman, en conjunto, S/. 1,5. Una de ellas no es una moneda de S/. 1. ¿Cuáles son estas dos monedas?

Uso del tanteo

Problema 12

Manuel llevaba en una carpeta varias hojas que había fotocopiado. De un momento a otro se tropezó y la cuarta parte de las hojas cayó en un charco de agua, el triple de la raíz cuadrada del número de hojas cayó en la pista y solo nueve hojas quedaron en el fólder. ¿Cuántas hojas llevaba Manuel en el fólder?

Uso de ecuaciones

Problema 13

La diferencia de edades entre Luis y Juana, actualmente, es de 15 años. Hace 5 años, la edad de Luis era la mitad de la edad de Juana. ¿Qué edad tiene Luis?



41

Ejercicios 1.3

1. El número de alumnos matriculados por año en el curso Deportes de una universidad ha ido aumentando progresivamente. La siguiente sucesión muestra el número de alumnos por año en dicho curso desde que se inició en el año 2000:

50; 75; 100...

a. ¿Cuántos alumnos se matricularon en 2006?b. ¿En qué año el número de matriculados será de 350 alumnos? c. ¿Cuántos alumnos en total se matricularon desde el inicio del año 2000 hasta el final del año

2012?

2. Antes de iniciar cada ciclo de la universidad, los profesores del curso de Matemática Básica se reúnen en la primera coordinación de curso. Por cortesía, los profesores se saludan entre ellos con un apretón de mano y saludan con un beso en la mejilla a cada profesora. Las profesoras también se saludan con un beso en la mejilla.

a. Si el curso está formado por cuatro profesores y dos profesoras, ¿cuántos saludos de mano y de beso en la mejilla hubo en la primera reunión de coordinación? Asuma que todos los profesores y profesoras se saludan.

b. Responda a la misma pregunta (a) si el curso está formado por 20 profesores y 15 profesoras. Asuma que todos los profesores y profesoras se saludan.

3. En determinado momento del día, José mira su reloj y comenta: «El tiempo que ha transcurrido del día es igual a la tercera parte de lo que falta para que acabe». ¿Qué hora marcaba el reloj de José?

4. El padre de Luis le dijo a su hijo: «Hoy te voy a dar S/. 1; mañana, S/. 2, y así sucesivamente hasta que la suma alcanzada llegue a tener cuatro dígitos».

a. ¿Después de cuántos días el padre de Luis dejará de darle propina?b. Si Luis gasta S/. 1 cada día, ¿cuánto dinero ahorrará?

5. Alonso llevaba en su bolsillo varias monedas de un sol. Como estaba apurado, fue corriendo a su casa y se tropezó con una cáscara de plátano. La tercera parte de las monedas cayó en el pasto, la sexta parte en la pista, el doble de la raíz cuadrada del número de monedas se perdió y solo seis quedaron en su bolsillo. ¿Cuánto dinero le queda finalmente a Alonso?

6. La diferencia de edades entre Raúl y André, actualmente, es de 15 años. Hace 10 años, la edad de André era el doble de la edad de Raúl. ¿Cuánto sumarán sus edades dentro de 8 años?



7. Un especialista ha analizado el crecimiento de una población de determinado tipo de bacterias. Si inicialmente había 200 bacterias y cada minuto se triplicaba en número respecto del minuto anterior, entonces:

a. ¿Cuántas bacterias habrá en la población dentro de cuatro minutos?b. ¿Cuántas bacterias habrá en la población luego de 12 minutos?



43

1.4. Conjunto de los números reales. Ecuaciones

Miguel compra cámaras fotográficas a $ 350 y las vende a $ 460. Si la meta de Miguel es obtener $ 10 000 de ganancia, ¿cómo se podría calcular el número de cámaras que debe vender para lograr su objetivo?

El problema planteado involucra una serie de algoritmos y conceptos matemáticos que se deben tomar en cuenta para obtener una solución. Como ayuda se plantean las siguientes preguntas: ¿Cómo se relacionan los datos dados en el problema? ¿Se puede definir una variable que represente el número de cámaras fotográficas compradas? ¿Se puede obtener un resultado que no sea un número entero positivo?

Para resolver el problema anterior y tener una base teórica de por qué se toman ciertas decisiones, es necesario definir lo siguiente: el conjunto de los números reales, cómo se presentan las respuestas y cómo se resuelven ecuaciones, en particular, ecuaciones de primer grado. A continuación, se abordarán todos estos cuestionamientos.

El conjunto de los números reales se denota por R y tiene los siguientes subconjuntos numéricos:

• Números naturales (N). Sus elementos son los siguientes:

N 1; 2; 3; = { }

• Números enteros (Z). Sus elementos son los siguientes:

{ }Z 2; 1; 0; 1; 2;= − −

• Números racionales (Q). Sus elementos son los números que pueden expresarse por el cociente de dos enteros a y b.

Q R / , Z, Z, 0ax x a b bb

= ∈ = ∈ ∈ ≠

• Números irracionales (I). Sus elementos son los números que no pueden ser expresados por el cociente de dos enteros a y b.

I R / , Z, Z, 0ax x a b b

b = ∈ ≠ ∈ ∈ ≠



Figura 1.1. Diagrama de los números reales

N Z

Q

R

I

Ejemplo 1

Marque con una X el recuadro al que corresponde cada número.

N Z Q I R

0,25

−3

π

0,333…

Valor absoluto

El valor absoluto de un número real a, denotado por a , se define como:

, si 0, si 0

a aa

a a ≥

= − <

Si se aplica la definición, se tiene =5 5 y − = − − =3 3 3( )

Observación. El valor absoluto de a nunca puede ser negativo.

Por ejemplo, si se sabe que b a< , para expresar b a− de forma equivalente sin las barras de valor absoluto, primero se determina el signo de b a− :

b a 0b a< ⇒ − <

Luego, se aplica la definición:

b a b a a b− = − − = −( )

5

−273

−6



45

Ejemplo 2

Si b a0< < , para expresar aba b−

de forma equivalente sin las barras de valor absoluto, se analiza

el numerador y denominador por separado:

• b a ab< < ⇒0 0....... , por definición: ab = .........................................................................................................• b a a b< < ⇒ −0 0( )....... , por definición: a b− = ............................................................................................

Finalmente, aba b−

= ........................................................................................................................................................

Ejemplo 3

Escriba las siguientes expresiones, equivalentemente, sin las barras de valor absoluto.

a. Si a b 0< < , entoncesa b b+ − =

b. Si a b 0< < , entoncesa b+ =

c. Si < <a b0 , entoncesa b− =

d. Si a b0< < , entoncesa b− =

e. Si a b 0< < , entoncesa b− =

f. Si a b 0< < , entoncesa b b− + =



g. Si a b 0< < , entonces

− =b1a

h. Si < <a b0 , entoncesa ba b

+−

=

Cálculo y estimación

Cuando se realizan operaciones algebraicas con números, dentro de un ejercicio o problema, se obtienen respuestas numéricas.

El cálculo, obtenido mediante el uso de lápiz y papel o por intermedio de la calculadora, permite obtener el valor numérico de una operación matemática.

La estimación es la manera como se presenta el cálculo. Esta estimación variará dependiendo si el número obtenido presenta o no unidades.

Estimación de números y redondeo de decimales

Solo nos interesa el valor del número obtenido ya que no tiene unidades. A continuación, se presenta un ejemplo que especifica cómo debemos expresar el cociente de la operación división.

Por ejemplo, la respuesta que se obtiene al dividir 15 entre 10 o 3 entre 2 se puede presentar de diferentes formas: 15

10; 3

2; o 1,5; 1,50; entre otras. Si se especifica que la respuesta debe expresarse como

fracción, se utilizará cualquiera de las dos primeras o alguna otra semejante a ellas. En cambio, si se puntualiza que la respuesta debe darse con decimales, se puede utilizar cualquiera de las dos restantes.

Se puede dar el caso de que el número presentado como respuesta, obtenido con la calculadora, tenga más de un decimal, incluso infinitos decimales. En estos casos se redondeará el número como se muestra en los siguientes ejemplos:

Sea N 48,23748912475= el número obtenido de una operación matemática:

• Si se desea expresar la respuesta usando dos decimales, primero se restringe N a tres decimales: 48,237. Luego, como el tercer decimal (7 en nuestro ejemplo) es mayor o igual a 5, la respuesta será 48,24.

Sea M ,195300234= −34 el número obtenido de una operación matemática:

• Si desea expresar la respuesta usando tres decimales, primero se restringe M a cuatro decimales: 34,1953. Luego, como el cuarto decimal (3 en nuestro ejemplo) es menor a 5, la respuesta será 34,195.



47

Ejemplo 4

Exprese los siguientes números aproximando a uno, dos y tres decimales.

Número Un decimal Dos decimales Tres decimalesa. 2,125589779

b. −23,5995087

c. 95,0185346

Estimación de números que presentan unidades

Las respuestas numéricas obtenidas al realizar operaciones algebraicas dentro de un contexto de modelación dependerán de la situación problema y lo que representa ese resultado. Nos interesa saber el valor del número obtenido, las unidades que posee y el conjunto numérico al que pertenece.

En los problemas de modelación, los resultados obtenidos pueden representar lo siguiente: número de objetos, número de personas, dinero, tiempo, longitudes, áreas, etcétera. Cada uno de los resultados anteriores tiene sus propias unidades: unos se restringen a los enteros positivos y otros a los reales positivos.

Por ejemplo, si cada gaseosa cuesta S/. 2 y en la billetera hay S/. 10, se pueden comprar 10

25=

gaseosas. Sin embargo, si se tienen en la billetera S/. 5, se pueden comprar 5

22 5= , gaseosas. Es claro que

el número de gaseosas es un número entero positivo y no admite una respuesta con decimales. Dentro del contexto de la pregunta, solo se podrían comprar dos gaseosas y esta sería nuestra respuesta, ya que si se redondea a tres gaseosas, nos faltaría dinero.

Por ejemplo, si usted va a la tienda y gasta S/. 54 en la compra de 20 chocolates, podemos

determinar que cada chocolate costó 54

202 7= , , es decir, S/. 2,7. Resulta evidente que el número que

representa el precio de cada chocolate es un número real positivo. Dentro del contexto de la pregunta, el precio de cada chocolate es S/. 2,7 y esta sería nuestra respuesta, ya que si se redondea a S/. 3 cada chocolate, se hubiera gastado S/. 60 y eso no se afirma en el problema.

Frente a un ejercicio algebraico, se obtienen respuestas que no siempre tendrán sentido real al evaluarlo en el contexto del problema. Es por esta razón, que interpretar y estimar el resultado numérico es de vital importancia para la solución del problema.

Ejemplo 5

Responda según el contexto de la pregunta.

Problema Operación Respuesta

a.Usted vende balones de fútbol a un precio de S/. 70 por balón. Si desea obtener un ingreso de S/. 5 000, ¿cuántos balones debe vender?



Problema Operación Respuesta

b.Si una persona compra un carro a $ 15 000 y lo vende a $ 12 500, ¿cuánto dinero pierde en la transacción?

c.En una mueblería, cada silla se vende a S/. 60. Si José tiene S/. 350 en su billetera, ¿cuántas sillas podrá comprar?

d.Una jaula puede albergar en total siete palo-mas. ¿Cuántas jaulas similares se necesitan como mínimo para albergar 106 palomas?

e.

Al terminar una carrera de autos en la que participó, Pedro se dio cuenta de que había re-corrido 71 950 m en total. Si la carrera totalizó 79 vueltas, estime en metros el recorrido de una vuelta. (No use calculadora).

f.

En un pueblo A, de 236 780 habitantes, 119 569 son hombres. En un pueblo B, de 45 034 habitantes, 23 013 son mujeres. Sin utilizar la calculadora, determine qué ciudad contiene una mayor proporción de hombres.

Ecuaciones

Las ecuaciones son enunciados en los que dos cantidades o expresiones algebraicas son iguales. Por ejemplo:

• 2 3 3 2x x− = +

• xx

x− + =24 3

• x x− =4 3

Conjunto de valores admisibles (CVA)

Son los posibles valores que toma la variable que hacen que la expresión exista. Por ejemplo:

• El CVA de la ecuación xx

2 2

15

−−

= es igual a R − { }1 , porque el único valor que hace que la expresión no exista es x 1=

• El CVA de la ecuación x − =1 3 es igual a 1;+ ∞ , porque todos los valores de x menores que 1 hacen que la expresión no exista.



49

Conjunto solución (CS)

Son los valores que toma la variable del CVA que hacen verdadera la igualdad. Por ejemplo: • El CS de la ecuación 20 5 5− =x es igual a { }3 , porque es el único valor real que hace verdadera la

igualdad ( 5 = 5 )• El CS de la ecuación x2 4= es igual a −{ }2 2; , porque son los únicos valores reales que hacen

verdadera la igualdad ( 4 = 4 )

Para resolver una ecuación, se deben efectuar algunas operaciones para reducirla a otra equivalente, en la que su solución se obtenga de manera directa o quede lista para aplicarle algún método de resolución.

Clasificación de las ecuaciones

Ecuación condicional. Aquella que presenta un número finito de soluciones. Por ejemplo, el conjunto solución de la ecuación 2 3 9x − = es igual a 6.

Ecuación identidad. Aquella que presenta infinitas soluciones. Por ejemplo, el conjunto solución de la ecuación 3 3 3 1x x− = −( ) son los reales.

Ecuación imposible. Aquella que no presenta solución real. Por ejemplo, el conjunto solución de la ecuación 2 3 2 1x x− = +( ) es vacío.

Ecuación de primer grado

Es una ecuación de la forma ax + b = 0, donde a ≠ 0. La solución de dicha ecuación es xba

= − .Por ejemplo, para resolver la ecuación 6 3 4 5x x− = + , se dejan los términos que incluyan x a un lado, las constantes en el otro y se despeja x:

6 3 4 5

2 8

4

x xxx

− = +==

Finalmente, se tiene que el CS = { }4 .

Ejemplo 6

Para resolver la ecuación x x x2

1

3

5

6+ + = , se pueden simplificar los denominadores. Primero, se

multiplica la ecuación por el mínimo común múltiplo (MCM):

MCM = ……. ⇒ ( )( ) ( )x x x2

1

3

5

6+ + = ⋅ ⇒ ...........................................................................................................

Luego, se obtiene el CS = .................................................................................................................................................



Ejemplo 7

Responda concretamente y justifique su respuesta.

a. ¿Cuál es el valor de b que hace que la ecuación 3 2 5− = −bx x sea una ecuación imposible?

b. Dada la ecuación ax x+ = −1 1 2 , ¿qué valor o valores de a hacen que la ecuación sea de tipo identidad, condicional o imposible?

Ejemplo 8

Resuelva las siguientes ecuaciones y clasifíquelas según el tipo de solución.

a. 2 1 5 3 2( ) ( )x x+ = − −

b. x x x5 4

23 1

10+ = + −( )

c. x x x− + = − −2

2 31

4

6

d. x x x6

2

2

1

4

2

3− − = +

e. a x b a a bx( ) ( )+ = + −2

2 , donde a y b son constantes.



51

Ejercicios 1.4

Resuelva las siguientes ecuaciones:

1. 4 2 4 8− + =( )x

2. 3 22

36 2( )s s− = −

3. 2 42

3

4

34x x x− − = −

4. 1 2 6 3 3 2 5 4− − = − +( ) ( )x x

5. x x x−( ) − = −2 4 3 12 2 2( )

6. ( )( ) ( )x x x x x+ − + = +1 4 2 3

7. ( )− − = +x x2 42 2

8. 2 1

3

1

2

x x− = +

9. 22

6

3

2− − = −x x

10. 23 5

10

3

5− − = −( )x x

11. x x− − = −3

22

2

3

12. 2 13

3

6

41

t t+ − − =

13. 6 9

4

3 9

52

2 4

3

( )t t t t− + − − = + −

14. 9 9

101

3 5

2

23

5

( )t t t− + = − − +

15. 2 1

3

1 4

6

3 2

4

x x x− = + − −

16. 2 1

3

1

2 2

x x x− = + +



17. 4 3

2

17(2 1)

14

x x x+ − − = +2 3

7

En los siguientes ejercicios, considere a, b y c constantes.

18. ax b a bx+ = −2 2

19. a x b x b a b a c( ) ( ) ( )+ + − = −2

20. b xa

axb 2

x bx a

− + + + = +

21. 3 2 9 32( ) ,a x ax a a− + = + ≠

22. x a x a a a x−( ) − + = −2 2 7( ) ( ), a 0≠



53

1.5. Ecuación de segundo grado. Ecuación polinómica

A continuación, se presenta el siguiente problema: El señor Carranza se dedica a la venta de pantalones en una tienda comercial ubicada

en Lima. Por fiestas navideñas, hace buenas ofertas en toda su mercadería. Por ejemplo, el descuento del precio de los pantalones dependerá del número de unidades que un consumidor compre. Si x es el número de pantalones vendidos por el señor Carranza, y estos se venden a un precio de 200 – 10x dólares por unidad, ¿cómo se podría calcular el mínimo número de pantalones que se debe vender para obtener un ingreso de $ 1 500?

Es claro que el señor Carranza obtiene su ingreso multiplicando el número de unidades vendidas por el precio de cada pantalón según la expresión dada. Para hallar el número de pantalones que permite obtener un ingreso de $ 1 500, se resolverá una ecuación cuadrática.

Si bien es cierto que para desarrollar la ecuación se pueden dar valores a la variable hasta aproximarla a un ingreso de $ 1 500, esto se vuelve muy complicado si el número de pantalones está expresado en cientos de unidades. Es mejor aprender diferentes métodos de resolución para resolver ecuaciones de este tipo.

Ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática

Es una ecuación que tiene como forma general ax bx c2 0+ + = , donde a, b y c son coeficientes reales y a 0≠ . Por ejemplo:

• x x2 4 3 0− + =• x2 9=

• x x2 3 2− =

Una ecuación cuadrática está formada por el término cuadrático ( )ax2 , el término lineal ( )bx y el término independiente ( )c .

Una ecuación cuadrática se puede resolver por el método de factorización, por fórmula general o completando el cuadrado.

Método de factorización

Parte de la idea de expresar la ecuación cuadrática como un producto de factores igual a cero, de modo que se pueda aplicar la siguiente propiedad de los números reales:

ab 0 00a b= ⇔ = ∨ =



Entre los métodos de factorización figuran:

i. Diferencia de cuadrados En este método están presentes el término cuadrático y el término independiente relacionados por el signo menos. Su factorización se muestra a continuación:

x c x c x c2 2 0 0− = ⇒ − + =( )( )

Por ejemplo, para resolver la ecuación x2 9 0− = , se procede de la siguiente manera:

x xx x

x xx x

2 2 29 0 3 0

3 3 0

3 0 3 0

3 3

− = ⇒ − =− + =

− = ∨ + == ∨ = −

( )( )

CS = −{ }3 3;

Complete los espacios en blanco y las líneas punteadas.

x x2 2 212 0 0− = ⇒ − = ⇒( ) ...............................................................................................................................................................................................................................

CS = ................................................................................................................

ii. Factor comúnEn este método están presentes el término cuadrático y el término lineal. Su factorización se muestra a continuación:

ax bx x ax b2 0 0+ = ⇒ + =( )

Por ejemplo, para resolver la ecuación x x2 3 0− = , se procede de la siguiente manera:

x x x xx xx x

2 3 0 3 0

0 3 0

0 3

− = ⇒ − == ∨ − == ∨ =

( )

CS = 0 3;{ }

Complete las líneas punteadas.

4 6 02x x− = ⇒ ..............................................................................................................................................................................................................................................................................

CS = ........................................................................................................................................



55

iii. Aspa simpleConsiste en encontrar los múltiplos de a y c, de la ecuación ax2 + bx + c = 0 tal que al multiplicarlos en aspa y operarlos, se obtenga b.Por ejemplo, para resolver la ecuación 22 5 3 0x x− − = , se procede de la siguiente manera:

2 5 3 02x x− − = ⇒ + − =+ = ∨ − =

= − ∨ =

( )( )2 1 3 0

2 1 0 3 0

12

3

x xx x

x x 2x +1 x -3 CS = −{ }1

23;

Complete los espacios en blanco y las líneas punteadas.

2 10 02x x+ − =

⇒ ............................................................................................................................... ................................................................................................................................ CS = ................................................................................................................................

Ejemplo 1


a. ¿El conjunto solución de la ecuación x x x x( ) ( )+ = −2 4 es {1}?

b. ¿El conjunto solución de la ecuación 4 92x =

es 3

2

?

c. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación 4 1 02x + = ?



Ejemplo 2


a. 81 16 02x − =

b. x x x( ) ( )− = −3 3 2

c. x x2

3

9

6

3

2− − =

d. x x−( ) − +( ) =2 2 3 02 2

e. x x−( ) − −( ) =1 2 3 02

f. ax a b x b2 0+ + + =( ) , a y b constantes.

Por fórmula general

Se utiliza la fórmula (1) para resolver la ecuación cuadrática ax bx c2 0+ + =

x b b aca

= − ± −2 4

2 ........................(1)



57

El discriminante ( ∆) de una ecuación cuadrática es igual a ∆ = −b ac2 4 . Este permite determinar el número de soluciones que posee la ecuación:

• Si ∆ > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes.• Si ∆ = 0, la ecuación tiene una única solución real.• Si ∆ < 0, la ecuación no tiene solución real.

Por ejemplo, para resolver la ecuación x x2 6 3 0+ + = , primero se definen los valores de a, b y c, y, luego, los reemplazamos en la fórmula (1).

abc

== ⇒=

1

6

3

x =− ± −

= − ± = − ±( ) ( ) ( )( )

( )

6 6 4 1 3

2 1

6 24

23 6

2

Finalmente, se obtiene el conjunto solución igual a CS = − + − −{ }3 6 3 6;

Ejemplo 3

Para resolver la ecuación 2 3 4 02x x− − = usando la fórmula general, primero se determinan los valores de a, b y c (con su signo):

a

b

c

............

............

............

===

, luego, se reemplazan en x =−( ) ± ( ) − ( )( )

( )2

4

2 y

se obtiene: x = ...................... Finalmente, se tiene que el CS = ............................

Ejemplo 4


a. ¿Para qué valores de m la ecuación x x m2 2 0+ + = tiene una única solución real?

b. ¿La ecuación x2 4 0+ = tiene dos soluciones reales diferentes?



Ejemplo 5


a. 3 18 27 02x x+ + =

b. − + + =3 5 02x x

c. ( )( )x x− − =2 1 2 1

Método de completar el cuadrado

Este método consiste en sumar una misma cantidad a ambos miembros de la ecuación para obtener un trinomio cuadrado perfecto. Por simplicidad, se considerará el coeficiente del término cuadrático igual a 1 (a 1= ).

Por ejemplo, para resolver la ecuación 2 2 8x x+ = por el método de completar el cuadrado, se procede de la siguiente manera:

Se suma 1 a ambos lados:

Se obtiene el cuadrado perfecto:

Se hace la diferencia de cuadrados:

Se aplica la propiedad:

Se halla el conjunto solución:

Nota: La cantidad N que sumamos a ambos lados de la ecuación se calcula así:

Nb2

2

=

, donde b es el coeficiente del término lineal de la ecuación cuadrática. En el ejemplo anterior,

se sumó 1 porque b 2= ⇒ N =

=2

21

2

x x2 2 1 8 1+ + = +

x x+( ) = ⇒ +( ) − =1 9 1 9 02 2

x x+ −( ) + + =1 3 1 3 0( )

x x− = ∨ + =2 0 4 0

x x= ∨ = − ⇒ = −{ }2 4 4 2CS ;



59

Ejemplo 6

Para resolver la ecuación x x2 6 7− = , usando el método de completar el cuadrado, se procede de la siguiente manera:

Primero, se determina N y se suma a ambos lados de la ecuación:

N 2

2

=

⇒ ............................ = .................

Luego, se obtiene el cuadrado perfecto: ........... ..... ........... .....( ) = ⇒ ( ) − =2 20

................................................................................................................. .................................................................................................................Finalmente, se halla el CS = ..................................................................................................

Ejemplo 7

Resuelva las siguientes ecuaciones por el método de completar cuadrado:

a. x x2 4 12 0− − =

b. 2 12 14 02x x− − =

Ecuaciones polinómicas

Un polinomio P, de grado n en la variable x, tiene la forma P x a x a x a x an 11

1n

nn

o( ) = + + + +−− … , con

a 0n ≠ , donde los exponentes de la variable x son enteros no negativos y las constantes 1 1, ; ... ,o n na a a a− reales. Estas se denominan coeficientes del polinomio.

Una ecuación polinómica tiene la forma P(x) = 0 y para resolverla se debe expresar como un producto de factores lineales o cuadráticos irreductibles iguales a cero; de modo que, por propiedad, cada factor pueda ser igual a cero. Los valores de x que hacen cero cada factor se denominan ceros de P o raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0.



Por ejemplo, para resolver la ecuación 3 3 02 3x x x− + − = , se procede de la siguiente manera:

Se agrupa de a dos:

Se factoriza cada grupo:

Se aplica el factor común:

Se aplica la diferencia de cuadrados:

Se iguala cada factor a cero:

Se expresa el conjunto solución:

Ejemplo 8Para resolver la ecuación x x x3 2 4 4 0+ − − = , se procede de la siguiente manera: x2 4 0(..........) (...........)− = , ¿cuál es el factor común? ………………………………..................................................(............)(............) = 0 , ¿se puede seguir factorizando la expresión? ………………….......................................(............)(............)(............) = 0 ……………………………………………………………………………………...............................................................................x =.…, x =…., x =…. Finalmente, CS = ……………………………………………..

Ejemplo 9


a. r r r3 2 1 0+ − + =( )

b. 2 2 3 3 03 2x x x+ + + =

c. y y y5 4 16 16 0+ − − =

3 3 02 3x x x− + − =

3 1 1 02 2( ) ( )x x x− + − =

( )( )x x2 1 3 0− + =

( )( )( )x x x− + + =1 1 3 0

x x x− = ∨ + = ∨ + =1 0 1 0 3 0

CS = − −{ }3 1 1; ;

x x x3 2 4 4 0+ − − =



61

Ejercicios 1.5


1. x x2 3=

2. x x2 3 10 0− − =

3. 3 5 2 02x x+ − =

4. 6 13 28 02x x− − =

5. x x2 8 9+ =

6. x x2 6 13 0− + =

7. 3 2 3 3 02m m− + =

8. ( )x + =4 492

9. 10 19 15 02x x+ − =

10. x x2 4 9+ = −

11. x x2 1 0+ + =

12. ( ) ( )x x+ − = +1 2 12

13. ( )x x− = −1 72

14. 5 1 2 2 7 82( ) ( )x x x− − − = −

15. ( ) ( )( )2 3 2 3 22x x x− = − +

16. ( )( ) ( )( )4 1 2 3 2 3 2x x x x− − = − +

17. 2 13

3

6

41

2t t+ − − =

18. x x x2 23

22

2

3

− − = −

19. x x x( )+ = + −1

2

2

23



20. x x2 3 1

2

2

3− + =

21. ax abx a2 0 0− = ≠, , donde a y b son constantes

22. 2 2 02x bx ax ab− + − = , donde a y b son constantes

23. r r r3 2 4 1 0+ − + =( )

24. 4 4 9 9 03 2x x x+ − − =

25. y y y5 4 9 9 0+ − − =

26. r r r3 2 4 4 0− + − =

27. r8 16 0− =



63

1.6. Ecuaciones racionales e irracionales reducibles a ecuaciones de primer y segundo grado

Cuando se habla de los costos de producción de una empresa, se puede afirmar que el costo total de producción aumenta según se produzcan más artículos. Si se desea calcular cuál es el costo que genera en promedio producir un artículo, se debe dividir el costo total de la producción entre el número de artículos producidos.

Por ejemplo, si el costo total (en dólares) de producir x polos es igual a 20x + 2 000, ¿cómo se podría calcular el número de unidades que se deben producir para que el costo promedio por unidad sea igual a 30 $/polo?

Para obtener una respuesta, se debe plantear una ecuación diferente a las anteriores. En esta ecuación la variable x se encuentra tanto en el numerador como en el denominador de una expresión. A este tipo de ecuaciones se les denomina ecuaciones racionales y para resolverlas se deben aplicar algunos conceptos matemáticos tales como ecuaciones lineales, cuadráticas o polinómicas, conjunto de valores admisibles, mínimo común múltiplo, entre otros. Además, en este capítulo se trabajará con ecuaciones irracionales y bicuadradas, y se detallarán los procedimientos para resolverlas.

La particularidad de estas ecuaciones es que se reducen a ecuaciones de primer o segundo grado, luego de realizar ciertas operaciones algebraicas.

Ecuaciones racionales

Son ecuaciones que presentan expresiones de la forma P xQ x

( )

( ), siendo P x( ) y Q x( ) polinomios con

Q x( ) ≠ 0 . Por ejemplo, para resolver la ecuación 2

2

3

2

8

42x x x−+

+=

−, se siguen los siguientes pasos:

i. Primero, se factorizan los denominadores (si ya están factorizados o los factores son irreductibles, ir al paso ii) con el objetivo de determinar el CVA y el MCM.

2

2

3

2

8

2 2x x x x−+

+=

− +( )( )

ii. Luego, se hallan el { }CVA R 2;2= − − y el MCM = − +( )( )x x2 2

iii. Después, se multiplica a ambos lados de la ecuación por el MCM y se resuelve la ecuación:

2 2 3 2 8

5 10 2

( ) ( )x xx x

+ + − == ⇒ =

iv. Finalmente, se obtiene que el CS = ϕ porque x 2= no pertenece al CVA.



Ejemplo 1

Para resolver 2

1

1

2

6

2

2

2x xx

x x−+

+=

+ −, se siguen los siguientes pasos:

i. Primero, se factoriza el denominador: 2

1

1

2

6 2

x xx

−+

+=

( )( )

ii. Luego, se halla el CVA =…………. y el MCM =………………………………iii. Después, se multiplica a ambos lados de la ecuación por el MCM y se resuelve:

iv. Finalmente, el CS =……………………………………………………………….........................................................

Ejemplo 2


a. ¿El conjunto solución de xx

x2 1

11

−−

= + es R?

b. En la siguiente ecuación xx x( )+

++

=2

1

41

2 2,

¿el { }CVA R 2= − ? y ¿el MCM = + −( )( )x x2 2 ?

c. En la siguiente ecuación3 1

5( 2)

x xx x x+ −

+ =−

, ¿el MCM = 2 ( 2)x x −



65

Ejemplo 3


a. xx x

+−

+−

=2

4

1

21

2

b. x

x xx

x x−−

−= −

− +2

1

3

5

5 62

c. 1

2

3

2

2

x x x−−

+=

d. x

x x x+−

−=

−1

2

1

2

12



e. x

x xx

x x x−

− ++

−=

−1

3 2 2

2

22 2

f. x xx

− −−

= −2

42

2

Ecuaciones irracionales

Son ecuaciones en las que la variable está dentro de uno o más radicales. Para resolverlas se eliminan las raíces elevando los dos miembros al cuadrado. En ocasiones hay que repetir este proceso varias veces.

Por ejemplo, para resolver la ecuación 1 3+ − =x x , se siguen los siguientes pasos:

i. Primero, se despeja la raíz (si ya está despejada ir al paso ii): 3 1− = −x xii. Luego, se eleva al cuadrado ambos miembros y se resuelve la ecuación:

( ) ( )3 12 2− = −x x 3 2 1

2 0

2 1 0

2 0 1 0

2 1

2

2

− = − +− − =− + =

− = ∨ + == ∨ = −

x x xx xx x

x xx x

( )( )

iii. Después, se reemplazan ambos valores en la ecuación original para verificar que cumplen:

2 2 2x = ⇒ =1 3 1x = − ⇒ = −

iv. Finalmente, se obtiene que el CS = { }2 porque para x 1= − se tiene que 3 1≠ − .



67

Para resolver 2 1 22x x− + = , se siguen los siguientes pasos:

i. Primero, se despeja la raíz: 2 12x − = ………………………………………………………………………………

ii. Luego, se eleva al cuadrado y se resuelve: ( )2 12 2x − = ………………………………………………………

iii. Después, se reemplaza la solución en la ecuación: .....................................................................................iv. Finalmente, el CS = ...................................................................................................................................................

Ejemplo 5


a. ¿El conjunto solución de la ecuación x − = −3 1 es {4}?

b. ¿El conjunto solución de la ecuación 4 4 2 1x x− = − es R?

Ejemplo 6


a. 1 3 0− + =x

Ejemplo 4



b. − = +x x 11

c. 2 4 13x x+ + =

d. x x− + − =1 2 1

e. x x+ − = −1 1 3

Ecuaciones bicuadradas

Son aquellas ecuaciones que para reducirlas a una ecuación de segundo grado, se puede utilizar un cambio de variable.

Por ejemplo, para resolver la ecuación x x4 25 4 0− + = , se siguen los siguientes pasos:i. Primero, se escoge el cambio de variable: a x 2=ii. Luego, se expresa la ecuación en términos de a y se resuelve:

a a2 5 4 0− + = a -4 ⇒ − − =

− = ∨ − == ∨ =

( )( )a aa a

a a

4 1 0

4 0 1 0

4 1

a -1

iii. Después, se regresa a la variable original y se halla el conjunto solución:

Como x a=2 , entonces x2 4= , donde x 2= ± x2 1= , donde x = ±1

iv. Finalmente, se obtiene que el CS = − −{ }2 1 1 2; ; ;



69

Para resolver ( )x x1

3 2

1

3 6 0+ − = se siguen los siguientes pasos:

i. Primero, se escoge el cambio de variable: a = .........................................................................................................

ii. Luego, se expresa la ecuación en términos de a y se resuelve:

iii. Después, se regresa a la variable original y se halla el conjunto solución:

iv. Finalmente, el CS = ...................................................................................................................................................

Ejemplo 8 Resuelva las siguientes ecuaciones:

a. 2 3 1 04 2x x− + =

Ejemplo 7



b. 3 4 04 2x x+ − =

c. ( ) ( )n n− − − + =2 2 9 04 2

d. ( ) ( )x x+ = + +1 15 1 168 4

e. 4 11 3 04 2x x− −− − =

f. 2 6 02 5 1 5x x/ /+ − =



71

Ejercicios 1.6


1. 5

2

2

1x x+=

−

2. 2

3

3

7

7

3 7x x x x−+

−=

−( ) −( )

3. x2

22

2x x−

= +−

4. x

xx

x2 4

2

3

7 2

3 6−− = −

−

5. x

x x xx

x x++

−+

= −− −

1

2

3

2

12 4

62 2

6. xx x x x−

−−

= −− +2

2

3

2

5 62

7. 5

4

8

1

2

3 22 2 2x x x x−−

−=

− +

8. 1 1

1

8

3x x+

−=

9. x

xx

x2 21

3

7+= −

−

10. 1

2

1

21

x x++

−=

11. 7

1

2

1

1

70

x x−−

−+ =

12. ( )x x− − − − =3 2 3 3 9

13. x x− + =4 3 0

14. 7 5 8− =x



15. 7 5− = −x x

16. 2 1 1+ + = −y y

17. 2 1 1y y+ = +

18. 3 3 6 3 2 1y y− = − +

19. x x+ + + =3 5 2 2

20. 2 1 8 2x x+ − + = −

21. 5 2 3x x= −

22. x x4 2 6 0− − =

23. 3 5 1 04 2x x− + =

24. 36 97 36 04 2x x− + =

25. 3 4 42 5 1 5x x/ /− =

26. ( ) ( )xx

xx

− − − + =47

412 02



73

1.7. Aplicaciones de ecuaciones de primer y segundo grado

Hasta este momento se han desarrollado varios tipos de ecuaciones, los cuales nos permiten hallar soluciones que se encuentran en diferentes conjuntos numéricos. Para resolver ecuaciones aplicadas en un contexto real económico, primero se deben conocer los términos que se emplearán para generar dichas ecuaciones. Hemos mencionado en capítulos pasados los términos ingreso, costo y ganancia porque son utilizados frecuentemente en el hablar cotidiano. ¿Quién no ha comprado en una tienda o ha vendido algún producto que considera obsoleto? A continuación, se detallan los pasos a seguir en la resolución de problemas de modelación y los términos más empleados en su desarrollo.

Un problema de modelación en matemática es un problema que presenta un texto, datos, conceptos, preguntas, ecuaciones, etcétera, los cuales se deben interpretar y apoyar en la matemática para resolverlo. Para esto, se deben seguir las siguientes reglas:

• Lea detenidamente el enunciado.• Identifique la variable.• Exprese las incógnitas en términos de la variable y relacione las cantidades. • Establezca la o las ecuaciones.• Resuelva la ecuación y analice las posibles respuestas en el contexto del problema.• Escriba la respuesta completa con unidades.

Términos usados en negocios

Sea q el número de unidades que se producen y venden, definimos:Costo fijo (CF). Es la suma de todos los costos que no dependen del nivel de producción.Costo unitario (CU). Es el costo de producir cada unidad.Costo variable (CV). Es la suma de todos los costos dependientes del nivel de producción.Costo total (C). Es la suma de todos los costos. C = CV + CF C = CU ∙ q + CF

Precio de venta (p). Es el precio al que se vende cada unidad.Ingreso total (I). Es la retribución que percibe un productor por la venta efectuada a un consumidor (cliente). I = p ∙ q

Utilidad (U). La utilidad del productor es el monto resultante que se obtiene de restar los costos de producción al ingreso obtenido en la venta efectuada.

U = I – C U = p ∙ q – (CU ∙ q + CF) U = (p – CU) q – CF



Si la utilidad es positiva ( U > 0 ), entonces U es ganancia. Si la utilidad es negativa ( U < 0 ), entonces U es pérdida. Volumen mínimo de producción (VMP). Es el menor número de unidades (q) que se debe producir y vender para recuperar lo invertido. Se puede obtener el valor de q de dos maneras: igualando la utilidad a cero ( U = 0 ) o igualando el ingreso y el costo ( I = C ).

Para desarrollar un problema de modelación que involucre el costo, el ingreso o la utilidad, es fundamental distinguir en la pregunta si se deben determinar sus ecuaciones o evaluar valores en ellas. Para ello, es necesario reconocer cuáles son los datos brindados en la lectura y relacionarlos con sus respectivas ecuaciones. El siguiente ejemplo nos ayudará a distinguir y utilizar los datos, de forma apropiada, antes de hacerlo en un problema contextualizado.

Complete el cuadro según los datos dados.

Precio de venta

en $(p)

Costo unitario

en $(CU)

Costo fijo en $(CF)

Ecuaciones(I, C y U)

Nro. de unidades

(q)

Ingresoen $(I)

Costototalen $(C)

Utilidaden $(U)

a. 10 8 100I qC qU q

== += −

10

8 100

2 100

40 400 420 −20

b. 20 15 500ICU

===

100

c.I qC qU

== +=

100

30 700 200

d. 20ICU

===

40 2 000 1 000

e. 75 1 000ICU

===

50 3 000

f. 50ICU q

=== −20 400

2 200



75

Precio de venta

en $(p)

Costo unitario

en $(CU)

Costo fijo en $(CF)

Ecuaciones(I, C y U)

Nro. de unidades

(q)

Ingresoen $(I)

Costototalen $(C)

Utilidaden $(U)

g.IC qU

== +=

10 100 500 0

h. 5I qCU

===

17 5,

3 500 1 000

Problema 1

La empresa «Mi balón» se dedica a la producción y venta de balones de fútbol. Se sabe que los costos fijos de la empresa ascienden a $ 2 000 y el costo unitario de producción es de $ 50. Además, el precio de venta de cada balón es de $ 70.

a. Determine las ecuaciones de costo, ingreso y utilidad por la producción y venta de balones de fútbol.Se define q como el número de balones de fútbol producidos y vendidos por la empresa. A partir de los datos del texto, se pueden determinar las ecuaciones de costo, ingreso y utilidad:

C qI qU I C q q U q

= +== − = − + ⇒ = −

50 2000

70

70 50 2000 20 2000( )

Observación. Las ecuaciones de ingreso, costo o utilidad deben quedar definidas en términos de una variable (en nuestro caso de q).

b. Halle el costo, ingreso y utilidad si se producen y venden 200 balones de fútbol.Se reemplaza q = 200 en las ecuaciones halladas en (a) y se obtiene:

C I U= = =$ ; $ ; $ 12000 14 000 2 000

Observación. Si se halla el ingreso, costo o utilidad para un determinado valor numérico de la variable, la respuesta será numérica.

c. Determine el volumen mínimo de producción.El VMP es el mínimo número de balones que se deben producir y vender para que la utilidad sea cero. Para determinarlo, realizamos lo siguiente:

U qq

= ⇒ − ==

0 20 2000 0

100



Por lo tanto, el VMP es igual a 100 balones.

d. Determine el número de balones que se deben producir y vender para obtener una ganancia igual al 20 % del costo total.Se utiliza un lenguaje simbólico que represente los datos de la pregunta: (U C= 0 2, ). Luego, se reemplaza U y C por sus respectivas ecuaciones y se halla el valor de q:

U C q qqq

= ⇒ − = +=

=

0 2 20 2000 0 2 50 2000

10 2 400

240

, , ( )

Finalmente, se deben producir y vender 240 balones.

Problema 2

El ingeniero Rodríguez es dueño de la empresa «Papa Huayro Eraser», la cual se encarga de la producción y venta de borradores de papa. El costo fijo de producción es $ 3 000 y el ingreso por la venta de 2 000 borradores es $ 10 000.

a. ¿Cuál es el precio de venta de cada borrador? Se sabe que el ingreso se obtiene multiplicando el número de borradores vendidos por el precio de venta de cada borrador. Al reemplazar los datos en la ecuación de ingreso se tiene:

I p q= ⋅

......................................................................................=....................................................................................................

El precio de venta es igual a $ …………………………………………………. b. Si se sabe que producir 500 borradores le cuesta a la empresa $ 4 500, ¿cuál es el costo

unitario? Se sabe que el costo total de la empresa se obtiene sumando al costo variable el costo fijo. Al reemplazar los datos en la ecuación de costo se tiene:

UC C q C= ⋅ + F

......................................................................................=....................................................................................................

El costo unitario es igual a $……………………………………………………

Problema 3

Una empresa produce agendas para llevar el registro de impuestos personales. Cada agenda se vende a $ 8. Los costos fijos realizados por la división son de $ 25 000 y el costo de producir cada una es de $ 3.



77

a. Determine las ecuaciones de costo e ingreso de la producción y venta de agendas.b. ¿Cuál es el volumen mínimo de producción? c. ¿Cuántas agendas se deben vender para que la empresa logre una ganancia de 10 % del costo total

de producción de las agendas?

Problema 4

La empresa «Tintán» se encarga de la producción y venta de tintes para el cabello. Producir cada unidad le cuesta a la empresa $ 15 y el costo total de producir 200 tintes es de $ 5 000. Además, cada uno se vende a $ 25.

a. ¿Cuál es el valor del costo fijo? b. Determine las ecuaciones de costo e ingreso.c. ¿Qué utilidad se obtiene al vender 50 tintes? d. ¿Cuántas unidades se deben vender para obtener una ganancia de $ 4 000?e. ¿Cuántas unidades se vendieron si se perdió $ 1 000?f. ¿Cuántas unidades se deben vender para obtener una ganancia igual al 15 % del costo?g. ¿Cuál es el mínimo número de tintes que se debe vender para obtener ganancias? ¿De cuánto es

dicha ganancia? h. ¿Cuál es el máximo número de tintes que se debe vender y aún así generar pérdidas? ¿De cuánto es

dicha pérdida?



Problema 5

Una compañía de bienes raíces es propietaria de un edificio de 96 departamentos que se alquilan cada uno a $ 550 mensuales. Se sabe que por cada $ 25 mensuales de aumento en el alquiler, tres departamentos quedan desocupados.

a. ¿Cuántos incrementos de $ 25 se deben realizar en el alquiler para obtener un ingreso de $ 54 600?Se sabe que el ingreso mensual de la compañía se obtiene multiplicando el alquiler por el número de departamentos alquilados. Este ingreso varía según se incrementa el alquiler, por tal motivo se aplicará un razonamiento inductivo y se determinará dicho ingreso en términos del número de incrementos.

Se define la variable x: número de incrementos de $ 25 en el alquiler.

Nro. de incrementos

Alquiler por departamento ($)

Nro. de departamentos Ingreso

0 550 96

1 550 25 1+ ( ) 96 3 1− ( )

2 550 25 2+ ( ) 96 3 2− ( )

... ... ...

x 550 25+ ( )x 96 3− ( )x I x x= + −( )( )550 25 96 3

Se iguala el ingreso a $ 54 600 y se resuelve la ecuación:

( )( )550 25 96 3 54 600

75 750 1 800 0

6 4

2

+ − =− + =

= ∨ =

x xx x

x x



79

b. ¿Cuántos departamentos quedarían sin alquilar según los incrementos hallados en (a)?Si se realizaran 4 incrementos de $ 25, quedarían sin alquilar 3(4) = 12 departamentos.Si se realizaran 6 incrementos de $ 25, quedarían sin alquilar 3(6) = 18 departamentos.

c. ¿A cuánto ascenderá el menor alquiler según los incrementos hallados en (a)?Si se realizaran 4 incrementos de $ 25, la renta sería de 550 25 4 650+ =( )

Si se realizaran 6 incrementos de $ 25, la renta sería de 550 25 6 700+ =( )

La menor renta será de $ 650.

d. ¿Se podrá alquilar un departamento a $ 1 375?Igualando el alquiler a $ 1 375, se determina el número de incrementos realizados:

550 25 1375

33

+ ==

( )xx

Como se realizaron 33 incrementos, el número de departamentos que se puede alquilar es:

96 3 33 3− = −( )

Se concluye que, bajo las condiciones del problema, no se alquilaría ningún departamento a esa renta.

Problema 6

Juan compra correas de cuero a $ 30 y las vende a $ 40. En la actualidad tiene en stock 50 correas. Sabe, por experiencia, que por cada aumento de $ 4 en el precio de venta, deja de vender una correa. Si Juan desea obtener una ganancia de $ 2 000, entonces:

a. ¿Cuántos incrementos de $ 4 en el precio tendrá que realizar?

Se sabe que la ganancia de Juan por la venta de correas se obtiene restando de su ingreso el gasto ocasionado por la compra de dichas correas. Como la ganancia varía según el número de incrementos, nuestra variable queda definida así:

x: número………………………………………………..

xPrecio de venta (p)

en $

Número de correas (q) Ingreso (I) en $ Gasto (C)

en $Ganancia (G) en $

0 40 50 2 000 1 5001 40 + 4(1) 50 - 1(1) (40 + 4(1))(50 - 1(1)) 1 5002... ... ... ... ...x G = I - C



Se iguala la ganancia a $ 2 000 y se resuelve la ecuación:

Se pueden realizar………………………………………………………………….

b. ¿A qué precio deberá vender las correas?

c. ¿Cuántas correas venderá a ese precio?

d. ¿Por qué el gasto no varía?

e. Suponiendo que vende lo obtenido en la parte (c), y remata las correas sobrantes a $ 35, ¿cuál será

su ganancia máxima?



81

Ejercicios 1.7

1. El señor Linares se dedica a la producción y venta de carteras. El costo fijo de producción es de $ 3 000 y producir cada una cuesta $ 20.

a. Si cada cartera se vende a $ 30, ¿cuál es la ecuación de utilidad?b. ¿Cuántas unidades se deben vender para obtener una ganancia de $ 4 000?c. ¿Cuántas unidades se deben de vender para obtener una ganancia igual al 20 % del ingreso?d. Si la empresa obtiene pérdidas cuando el número de unidades vendidas está en el intervalo

0;m , ¿cuál es el valor de m?

2. El señor Ríos es dueño de la óptica «Ojitos de gato», que se dedica a la producción y venta de lentes de contacto de diferentes colores. Producir cada lente de contacto le cuesta $ 50 y el costo fijo asciende a $ 1 200. Se sabe además que su ingreso por la venta de 10 lentes de contacto es $ 800.

a. Halle el precio de venta de cada lente de contacto.b. Determine la ecuación de utilidad.c. ¿Cuál es el mínimo número de lentes de contacto que debe vender el señor Ríos para que

obtenga ganancias?d. ¿Cuántos lentes de contacto debe vender el señor Ríos para que su ingreso sea el 60 % del costo

total?

3. La empresa «Don balón» se dedica a la producción y venta de balones de fútbol. Se sabe que el costo fijo de la empresa es de $ 2 000, y el costo unitario de cada balón es de $ 50. Además, el ingreso por la venta de 80 balones es $ 5 600.

a. Demuestre que el precio de venta es de $ 70.b. Determine el volumen mínimo de producción.c. Determine el número de balones que se deben producir y vender para obtener una ganancia

igual a al 15 % del costo total.

4. La empresa «Dolce&Gamarra» se dedica a la producción y venta de finas billeteras de cuero. Los costos fijos de la empresa ascienden a S/. 20 000 y el costo total de producir 1 000 billeteras es de S/. 60 000. Se sabe además que cada billetera se vende en S/. 90.

a. ¿Cuál es el costo unitario?b. Determine la ecuación de utilidad y halle el volumen mínimo de producción.c. ¿Cuántas unidades se deben vender para obtener una ganancia igual al 25 % del costo?

5. La compañía «Fa» produce focos ahorradores de muy buena calidad y mayor durabilidad. Los costos fijos mensuales realizados por la compañía ascienden a $ 4 000 y el costo unitario de producción es de $ 2. Se sabe además que el volumen mínimo de producción es de 2 000 focos.



a. Demuestre que el precio de venta es $ 4.b. ¿Cuál debe ser el nivel de ventas para que la compañía logre una ganancia de 20 % del costo

total de producción de focos ahorradores?c. Determine el número máximo y mínimo de focos ahorradores que deben venderse, de tal modo

que se obtenga una utilidad entre $ 10 000 y $ 12 000.

6. Una cadena internacional de restaurantes abrirá sus puertas a los comensales limeños en el distrito de Pueblo Libre. La suma de los costos mensuales por alquiler de local, salario de empleados y servicios ascienden a S/. 5 000 y cada plato de comida se vende a S/. 15. Por estadísticas, se sabe que si se venden 3 000 platos de comida al mes se gana S/. 11 500. ¿Cuál es el costo de elaborar cada plato en dicho local?

7. Un restaurante se ubica en el distrito de Miraflores. Los costos fijos mensuales ascienden a S/. 10 000 y el costo por elaborar cada plato de comida es de S/. 10. Por estadísticas, se sabe que la empresa recupera lo invertido al vender 1 600 platos de comida al mes. ¿A cuánto se vende cada plato en dicho restaurante?

8. Roger EPG tiene un negocio de alquiler de autos. En su local tiene 50 camionetas. Si el alquiler es de $ 400 por día, se alquilan todas las camionetas. Sin embargo, por cada incremento de $ 20 por día , se quedará sin alquilar dos camionetas. Roger quiere obtener un total de $ 19 760 diarios por concepto de alquiler. Determine el alquiler que debe cobrarse por cada camioneta.



83

1.8. Logaritmos

Expresar un número como potencia de otro, por ejemplo, 9 en base 3 ( 9 32= ) o 64 en base 4 ( 64 43= ), etcétera, se reduce a encontrar un exponente al que hay que elevar un número, llamado base, para obtenerlo. El problema surge cuando el exponente no se obtiene de forma directa. ¿Cómo podríamos encontrar dicho exponente?

Se intentará dar respuesta a la pregunta tratando de encontrar el exponente al que hay que elevar el número 2 para obtener el número 6, es decir, resolver la ecuación 2 6x = .

La siguiente tabla muestra cómo se aproxima al número 6 dándole valores a x:

x 2,5 2,6 2,59 2,58 2,583 2,5852x 5,656… 6,062… 6,020… 5,979… 5,991… 6,0001…

Un valor aproximado de x será 2,585, pero no es el real. ¿Cómo se podría hallar el valor real de dicho exponente? En este capítulo se aprenderá cómo hacerlo.

Ejemplo 1

a. Para expresar log28 3= en forma exponencial, usando la definición, elevamos la base al resultado y

lo igualamos a 8, es decir, 2 83 = .

b. Para expresar 25 51

2 = en forma logarítmica, usando la definición, igualamos el logaritmo de 5 en

base 25 a 1

2, es decir, log255

1

2= .

Definición

El logaritmo de N en base b es el exponente x al que debe elevarse la base b para obtener el número N, es decir:

logb N x= , si y solo si, b Nx = , donde N 0> , b > 0 y b ≠ 1

Las dos ecuaciones de la definición son equivalentes. La primera ecuación ( logb N x= ) es la forma logarítmica y la segunda ecuación ( b Nx = ), la forma exponencial.

Conocer la definición de logaritmo es importante porque nos permitirá:

• Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.• Hallar los puntos de intersección de las gráficas de funciones logarítmicas y exponenciales

con los ejes coordenados.• Hallar el tiempo en problemas de interés compuesto, de curvas de aprendizaje, de curvas

logísticas, etcétera.



Ejemplo 2

Complete el cuadro expresando en forma logarítmica o exponencial cada uno de los siguientes ejercicios:

Forma logarítmica Forma exponencial

a. 3 10 = log51 0=

b. a cb = logx y w=

c. 1

20 25

2

= , log3

1

273= −

d. ( )31

9

2− = log1

2

1

42=

e. x ya b+ = log ( )m x y n+ =

Propiedades

Las propiedades de logaritmos ayudan a simplificar expresiones, entre ellas figuran:

• loga1 0=

• loga a = 1

• logaxa x=

• a xaxlog =

Por ejemplo, para hallar el valor numérico de la expresión log loga bab

+ 1 , se procede de la siguiente manera:

Primero, se expresa dentro del logaritmo a y b1 en base a y b, respectivamente:

log loga ba b1

2 1+ −

Luego, se aplica la tercera propiedad: 1

21

1

2+ − = −( )

Ejemplo 3

Para hallar el valor numérico de la expresión ·2log 1 logx y xx

x− , se procede de la siguiente

manera:

Primero, se expresa xx

en base x: …………… Luego, se aplican las propiedades de logaritmos

según corresponda y se obtiene: ………………………………………….



85

Ejemplo 4

Halle el valor numérico de las siguientes expresiones:

a. 2log

3

12log

b b

a a+

b. 3 41log loga aaa

+

c. 4

22

log ( )2log 4

b

b

b bb

⋅

Observaciones:

• Al logaritmo en base 10 de N, se le conoce como logaritmo decimal y su expresión equivalente es log N .

• Al logaritmo en base e de N, se le conoce como logaritmo natural y su expresión equivalente es lnN .• Para calcular algunos logaritmos, se puede usar la fórmula de cambio de base:

log logloglog log

ab

a

x x Ln xxb b Ln b

= = = . Esta fórmula se usa cuando la calculadora no tenga incorporada la

función loga b .

Ejemplo 5

Use su calculadora para encontrar los siguientes logaritmos:

a. 2log 50 = ……………………………b. log1 000 = ……………………………c. 3log 0,25 = ……………………………d. ln20 = ……………………………e. log 10e = ……………………………f. 0,3log 0,9 = ……………………………g. 5log 100 = ……………………………h. 2log ( 2)− = ……………………………



Ecuaciones exponenciales

Son aquellas ecuaciones en las cuales la incógnita se encuentra en el exponente. Por ejemplo, para resolver la ecuación 12 8x − = , se pueden utilizar dos formas diferentes:1.a forma. Se aplica la definición y se expresa en forma logarítmica:

12 8x − = ⇒ 21 log 8x − =

2log 8 14

xx

= +=

2.a forma. Se colocan a una misma base las expresiones a ambos lados de la ecuación. Luego, se igualan los exponentes:

12 8x − = ⇒ 1 32 2x − =

1 34

xx

− ==

Observaciones:

Sólo aplicaremos la segunda forma si las expresiones a ambos lados de la igualdad, se pueden expresar en la misma base.

Ejemplo 6

Para resolver la ecuación 2 32 3 8x−⋅ = , se siguen los siguientes pasos:Primero, se despeja el exponencial: …………………………………………………………..……………………………Luego, se aplica la definición: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..Finalmente, se determina el CS = …..…………………………………………….…………………………………………

Ejemplo 7

Responda concretamente y justifique su respuesta

a. Dada la ecuación ·r tA Pe= , ¿se puede afirmar

que lnln

Ptr A

= ?

b. ¿Es correcto afirmar que 2

3( 3) 9 log 9 2−− = ⇒ = ?



87

Ejemplo 8


a. 44 5 2x−⋅ =

b. 2 3 12 48

x x x− −⋅ =

c. 2 33 10x − =

d. 22 1 2

3xe − =

e. 2(3 ) 3 6 0x x− − =(sug.: realice el cambio de variable 3x = a)

f. 210 3 10 2 0x x− ⋅ + =



Ejercicios 1.8

1. Escriba en forma logarítmica:

a. 24 16=

b. 39 729=c.

13125 5=

d. 07 1=

e. 1

2 1819

− =

f. 24 a=

g. 2 16b =

h. xb y=

2. Escriba en forma exponencial:

a. 6log 1 296 4=b. 5log 125 3=

c. 43log 82

=

d. 10log 0,01 2= −e. log 1b b =

3. Encuentre el valor de a en cada uno de los siguientes ejercicios:

a. log 81 2a =

b. log 27 3a =

c. 41log2

a = −

d. 93log2

a = −

4. Use su calculadora para calcular los siguientes logaritmos (redondee a dos decimales):

a. log 25b. log 60c. log 1 000d. log 0,25

e. log 16−f. log 625g. 2log 20h. 3log 100

5. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a. 13 27x + =

b. 4 1464

x− =

c. 2 310 200x + =

d. 2 3 12

2x x− − =

e. ( )32 44 8x x+ + =

f. 4 3 12 4 (64)x x x− −⋅ =



89

1.9. Aplicaciones de las exponenciales y logaritmos al interés compuesto

¿Quién no ha ido alguna vez a un banco a realizar una transacción, retirar dinero, abrir una cuenta, etcétera? Suponga que se acerca a un banco para abrir una cuenta y realizar un depósito de dinero, y la persona que lo atiende le ofrece una tasa de interés compuesto de 6 % anual por su dinero. Como usted sabe de porcentajes, puede calcular que el interés ganado por su dinero en un año será igual al 6 % del dinero que deposite, por ejemplo, si deposita $ 2 000, ganará $ 120 el primer año. El problema para usted será calcular cuánto ganará de intereses en un periodo de 5 años.

El proceso realizado por usted, para el primer año, probablemente fue mental, pero para los siguientes años el cálculo se hace más engorroso. ¿Cómo podría hallar el interés ganado por su dinero en el periodo de tiempo planificado sin la necesidad que lo haga año por año?

Interés simple

Se caracteriza porque el interés generado por un capital no es invertido nuevamente en cada periodo de tiempo. Por ejemplo, si se invierte un capital de $ 1 000 a una tasa de interés simple de 5 % anual en un tiempo de 4 años, del gráfico se observa que los intereses ganados en cada periodo de tiempo ( 1 2 3, ,I I I e 4I ) son iguales, retirando luego de 4 años un monto de $ 1 200.

1 000

0 1 2 3 4

1 000 1 000 1 000 1 000

I1 = 50 I2 = 50 I3 = 50 I4 = 50 ITotal = $ 200

De forma general, el interés I ganado al depositar un capital P a una tasa de interés simple de i % anual en un periodo de tiempo de n años es igual a:

I P i n= ⋅ ⋅

Luego de dicho periodo de tiempo, se retirará un monto A igual a:

(1 · )A P I P i n= + = +

Interés compuesto

Se caracteriza porque el interés que produce una cantidad de dinero invertida (o capital) se invierte nuevamente, de modo que también genere intereses. Es decir, el interés se convierte en capital en cada periodo. Por ejemplo, si se invierte un capital de $ 1 000 a un interés compuesto de 5 % anual en un



tiempo de 4 años, del gráfico se observa que los intereses ganados en cada periodo de tiempo ( 1 2 3, ,I I Ie 4I ) van aumentando, retirando luego de 4 años un monto de $ 1 215,506.

1 000

0 1 2 3 4

1 050 1 102,5 1 157,625 1 215,506

I1 = 50 I2 = 52,5 I3 = 55,125 I4 = 57,881 ITotal = $ 215,506

De forma general, si se invierte un capital P por n periodos de tiempo a una tasa de interés compuesto de i % por periodo, el monto A (llamado también capital compuesto o valor futuro) y el interés ganado I (también llamado interés compuesto) obtenidos en ese periodo de tiempo están dados por:

(1 )nA P i= + , I A P= −

Si r es la tasa de interés anual (o tasa nominal) y se compone (o capitaliza) m veces al año durante t años, la tasa y el tiempo se ven afectados por el factor m, de modo que:

rim

= y n m t= ⋅

La siguiente tabla muestra los valores de m según la composición de la tasa:

Composición mAnual 1

Semestral 2Trimestral 4Bimestral 6Mensual 12

Diaria 360

Problema 1 El señor Ramírez visitó tres bancos con el fin de decidir en cuál de ellos depositará $ 1 000 por un periodo de 5 años.

a. Si el banco A le ofrece una tasa de interés simple anual de 10 %, ¿cuál es el monto que retirará el señor Ramírez en dicho periodo de tiempo? ¿Cuánto ganará de interés?Para hallar el monto (A) que retirará el señor Ramírez y el interés (I) que ganará su dinero en el periodo de tiempo señalado, se reemplazarán los datos en las fórmulas de interés simple:

(1 )A P i n= + ⋅ ⇒ 1 000(1 0,1(5))A = + ⇒ $ 1500A = I A P= − ⇒ 1500 1 000I = − ⇒ $ 500I =



91

b. Si el banco B le ofrece una tasa de interés compuesto anual de 10 %, ¿cuál es el monto que retirará el señor Ramírez en dicho periodo de tiempo? ¿Cuánto ganará de interés? Para hallar el monto (A) que retirará el señor Ramírez y el interés (I) que ganará su dinero en el periodo de tiempo señalado, se reemplazarán los datos en las fórmulas de interés compuesto:

(1 )nA P i= + ⇒ 51 000(1 0,1)A = + ⇒ $ 1 610,51A =

I A P= − ⇒ 1 610,51 1 000I = − ⇒ $ 610,51I =

c. Si el banco C le ofrece una tasa de interés anual de 10 % compuesto trimestralmente, ¿cuál es el monto que retirará el señor Ramírez en dicho periodo de tiempo? ¿Cuánto ganará de interés? Como la tasa anual se compone trimestralmente (m = 4), se debe hallar la tasa trimestral y expresar el tiempo en trimestres:

10 %10 % anual 2,5 % 4

ri i im

= ⇒ = = ⇒ = trimestral5 años · 4(5) 20t n m t n= ⇒ = = ⇒ =

Para hallar el monto (A) que retirará el señor Ramírez y el interés (I) que ganará su dinero en el periodo de tiempo señalado, se reemplazan los datos en las fórmulas de interés compuesto:

(1 )nA P i= + ⇒ 201 000(1 0,025)A = + ⇒ $ 1 638,62A = I A P= − ⇒ 1 638,62 1 000I = − ⇒ $ 638,62I =

d. ¿En qué banco le conviene al señor Ramírez depositar su dinero?Luego de comparar los montos finales o los intereses ganados en cada banco, al señor Ramírez le conviene depositar su dinero en el banco C.

Problema 2

Si se depositan S/. 20 000 al 3,5 % anual compuesto semestralmente por 8 años, determine:

a. El capital compuestoPara determinar el capital compuesto (A), primero se reconocen las variables dadas en el texto. P = S/. ........../ . .........

............ años. Entonces · ....... semestres....... % anual. Entonces .......% semestral

P Smt n m tr i

=== == =



Luego, se reemplaza en (1 )nA P i= +

b. El interés que ganó en ese lapso de tiempoEl interés ganado es igual a / .I A P I S= − ⇒ = S/. ……………………………………..

Problema 3


a. A partir de la fórmula (1 )nA P i= + , despeje el tiempo n.

b. Usted deposita $ P en un banco por 3 años. La tasa es de i % anual los dos primeros años y de j % el tercer año. Determine el capital compuesto, luego de ese periodo, en términos de P, i y j.



93

Problema 4

Si se invierten $ 1 000 a una tasa de interés anual del 4 % compuesto mensualmente, ¿en cuánto tiempo se debe retirar el dinero para que se incremente en 40 %?

Problema 5

Miguel depositó sus ahorros, que ascienden a $ 4 000, en una financiera que ofrece una tasa de 4,5 % de interés anual compuesto bimestralmente. Si los intereses que ganó fueron de $ 500, ¿cuánto tiempo estuvo su dinero invertido?



Problema 6

Se contrata un fondo de inversión para la educación de un niño y se establece que será por medio de un solo pago, de modo que al cabo de 10 años habrá en el fondo $ 40 000. Si el fondo gana interés a una tasa de 6,5 % anual compuesto semestralmente, ¿cuánto dinero debe pagarse al fondo?

Problema 7

La señora Neyra depositó en un banco un capital de $ 10 000 a una tasa de 6 % anual compuesto mensualmente por 4 años. Luego de ese periodo de tiempo, se acercó al banco y le ofrecieron una tasa de 7 % anual, pero sin componerla mensualmente. Si la señora Neyra retiró un monto de $ 15 563,94, ¿cuántos años transcurrieron desde que hizo el depósito?

Problema 8

Teresa piensa depositar en un banco un capital de $ 5 000 para retirar, en el menor tiempo posible, $ 8 000. El banco A le ofrece una tasa de 20 % anual compuesto trimestralmente y el banco B, una tasa de 25 % anual compuesto semestralmente. ¿Qué banco debería elegir?



95

Ejercicios 1.9

1. José, alumno de la UPC del curso Matemática Básica, guardaba todas sus propinas en una alcancía. Luego de la clase «Aplicaciones de la exponencial al interés compuesto» regresó a su casa y la rompió. Su objetivo era depositar sus ahorros por 5 años en alguna entidad y ganar intereses.

José fue con sus S/. 1 000 a dos bancos y obtuvo la siguiente información:

• Banco A: ofrece una tasa de interés de 5 % compuesto anual.• Banco B: ofrece una tasa de interés de 4,9 % anual compuesto trimestralmente.

¿En qué banco le conviene depositar su dinero? ¿Por qué?

2. El señor Chang es dueño del banco «TDG», que ofrece una tasa de interés de 8 % anual compuesto trimestralmente. El señor Chang cuenta con un capital de $ 10 000 que desea invertir en el banco y así ganar un interés de $ 1 716 en un tiempo determinado.

a. Halle el capital compuesto o monto final. b. Halle el tiempo que estuvo su dinero en el banco para ganar dicho interés.

3. El señor Rodríguez desea depositar en un banco un capital de $ 10 000 por 6 años. Un asesor

financiero del banco le ofrece una tasa de 5 % anual compuesto mensualmente por los primeros 4 años y de ahí en adelante una tasa de 6 % anual compuesto semestralmente. ¿Cuál es el interés ganado por su dinero en dicho lapso de tiempo?

4. Si se invierten $ 2 000 en un banco a un interés anual del 10 % compuesto trimestralmente, ¿cuánto tiempo debe permanecer el dinero en el banco para retirar $ 2 500?

5. Si se invierten $ 5 000 a una tasa de interés anual del 3 % compuesto semestralmente, ¿en cuánto tiempo debe retirar su dinero para que se incremente en 40 %?

6. El señor Rojas desea obtener un interés del 20 % de su capital invertido en un banco que ofrece una tasa de 5,5 % anual compuesto trimestralmente. ¿Cuánto tiempo debe permanecer su dinero en el banco?

7. El banco A ofrece una tasa de interés de 6 % anual y el banco B, una tasa de interés del 5 % anual compuesto semestralmente. Si se deposita un capital de $ 5 000 en cada uno de los bancos, ¿en cuál de ellos es más rápido ganar un interés de $ 1 000?



1.10. Sistema de ecuaciones de dos variables

En los capítulos anteriores, se han resuelto ecuaciones con una sola variable. Existen situaciones en las que se trabaja con dos variables. Por ejemplo, Manuel compró dos departamentos: uno en el distrito de Pueblo Libre y el otro, en San Miguel; gastó en ellos un total $ 50 000. Luego de 4 años vendió el departamento de Pueblo Libre al triple de su valor original, y el de San Miguel, al doble. Si obtuvo por la venta $ 130 000, ¿cómo se podría determinar cuánto le costó cada uno de los departamentos?

Es probable que, a partir de la pregunta, se utilicen dos variables diferentes que representen el costo de cada uno de los departamentos. Esto generará dos ecuaciones que forman un sistema de ecuaciones en el que se relacionen ambas variables. La nueva interrogante será: ¿cómo resolvemos dicho sistema? A continuación, se presenta cómo se define un sistema de ecuaciones y los diferentes métodos para resolverla.

Sistema de ecuaciones lineales

Se llama sistema de ecuaciones lineales de dos variables a cualquier conjunto de dos ecuaciones de primer grado con dos variables:

1 1 1

2 2 2

a x b y ca x b y c

+ = + =

, donde 1 2 1 2 1 2, , , , ,a a b b c c son constantes.

El conjunto solución de dicho sistema está formado por los valores de x e y, tales que al reemplazarlos en ambas ecuaciones se obtiene una igualdad. Se denota como un par ordenado siguiendo el orden del abecedario, es decir, CS { }( ; )x y= . También puede darse el caso que el sistema no tenga solución, CS = ϕ , o que presente infinitas soluciones. Para este último caso, se tendrá que hacer una parametrización.

Método de igualación

Este método consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones, igualarlas y resolver la ecuación resultante.

Por ejemplo, para resolver el sistema 6 (i)

3 2 (ii)x yx y

− = + =

, se puede despejar la variable x de ambas ecuaciones:

6x y= + de (i)2 3x y= − de (ii)

Luego, las igualamos y se resuelve la ecuación:

6 2 3y y+ = −4 4 1y y= − ⇒ = −



97

El valor de y se reemplaza en alguna de las ecuaciones (i) o (ii) y se obtiene el valor de la otra variable: 5x = . Finalmente, el conjunto solución será CS { }(5; 1)= − .

Ejemplo 1

Para resolver el sistema de ecuaciones lineales 4 2 12 (i)3 4 (ii)

x yx y

+ = − =

, se puede despejar y: De (i) se obtiene: y = ………………………………………... De (ii) se obtiene: y = ………………………………………...

Luego, se igualan y se resuelve la ecuación:

Finalmente, el CS=…………………………………………………………………….

Método de sustitución

Este método consiste en despejar una de las variables de una ecuación, reemplazarla en la otra y resolver la ecuación resultante.

Por ejemplo, para resolver el sistema 2 3 (i)

3 5 (ii)a b

a b+ = −

− =

, se puede despejar a de (i): 3 2a b= − − y se reemplaza en (ii): 3( 3 2 ) 5b b− − − = .

Luego, se resuelve la ecuación resultante:

3( 3 2 ) 59 6 57 14 2

b bb b

b b

− − − =− − − =− = ⇒ = −

El valor de b se reemplaza en alguna de las ecuaciones (i) o (ii) y se obtiene el valor de la otra variable: 1a = . Finalmente, el conjunto solución será CS { }(1; 2)= − .



Para resolver el sistema de ecuaciones lineales 3 8 (i)

3 20 (ii)a b

a b− =

− =

, se puede despejar la variable

b de (ii): ……………… y se reemplaza en (i)…………………….

Luego, se resuelve la ecuación resultante:

Finalmente, el CS=…………………………………………………………………….

Ejemplo 2

Método de eliminación

Este método consiste en multiplicar cada ecuación del sistema por un número no nulo; de modo que, al operarlas (sumarlas o restarlas), una de las variables se elimine. Finalmente, se resuelve la ecuación resultante.

Por ejemplo, para resolver el sistema 3 (i)

3 2 2 (ii)m n

m n− =

+ =

, se multiplica (i) por − 3:

3 3 93 2 2

m nm n

− + = − + =

y, luego, se suma a (ii) logrando eliminar la variable m. Después, se resuelve la

ecuación resultante: 75 75

n n= − ⇒ = −

El valor de n se reemplaza en alguna de las ecuaciones (i) o (ii) y se obtiene el valor de la otra

variable: 8

5m = . Finalmente, el CS 8 7( ; )

5 5 = −

.

Ejemplo 3

Para resolver el sistema 2 3 4 (i)3 4 7 (ii)

m nm n

+ = + =

, se puede eliminar la variable n multiplicando (i) por

− 4 y (ii) por ….. Luego, el sistema es 8 12 16m nm n

− − = − + =

. Después, se suman ambas ecuaciones y se resuelve la ecuación resultante:

Finalmente, el CS=…………………………………………………………………....



99

Todos los ejemplos anteriores presentan una única solución. Ahora se analizarán algunos ejemplos que presentan conjunto solución vacío e infinitas soluciones.

Por ejemplo, para resolver el sistema 3 (i)2

2 2 1 (ii)

x y

x y

+ = + =

, se multiplica (i) por 2 y (ii) por 12

resultando: 612

x y

x y

+ =

+ =

.

Luego, se igualan ambas expresiones x + y y se obtiene que 6 = 12 , lo cual es falso. Por lo tanto, la

solución es vacía y se expresa como CS = ϕ .

Ejemplo 4

Para resolver el sistema 1 (i)2 36 2 4 (ii)

x y

x y

+ = + = −

, se multiplica (i) por …. y se ordena (ii).

Luego, se resuelve el sistema resultante:

Finalmente, el CS =……………………………………………………………………

Por ejemplo, para resolver el sistema2 1 ...(i)

32 2 3 ...(ii)

x y

x y x

+ = + = +

, se multiplica (i) por 3 y se ordena (ii)

resultando: 2 32 3

x yx y

+ = + =

.

Se observa que el sistema está formado por dos ecuaciones iguales, por tal motivo, presenta infinitas soluciones {(1; 1), (3; 0), (5, −1), ...}. Cuando el sistema presenta esta característica, se deben parametrizar las variables, es decir, expresar cada una en términos de una sola letra. Si usamos la letra t, la solución queda parametrizada de la siguiente manera:

{ }CS (3 2 ; ), R3 2

y tt t t

x t=

⇒ = − ∈ = −

Note que las tres soluciones antes mencionadas se obtienen para t = 1, 0 y −1, respectivamente.



Ejemplo 5

Para resolver el sistema (i)

2

(ii)2

x y x

y x y

+ = + =

, se multiplica (i) e (ii) por …. y se ordenan.

Luego, se resuelve el sistema resultante:

Finalmente, el CS = …………………………………………………………………...

Ejemplo 6

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a. 2 5 26 10 4

x yx y

− = + = −

b. 3( 1)4 2 6x y x

x y− = +

+ = −

c. 3

22 5

ba

b a

− = − = −



101

d. 2 ( 1)2 ( ) ( 1)x y x

x y y+ = −

+ = +

Sistema de ecuaciones no lineales

Se llama sistema de ecuaciones no lineales de dos variables a cualquier conjunto de dos ecuaciones en las que al menos una de ellas, no es lineal.

Por ejemplo, para resolver el sistema 2 3 (i)

2 4 (ii)x yy x

− =

= +

, se reemplaza la variable y de (ii) en (i)

reduciendo el sistema a una ecuación cuadrática en x:

2 (2 4 ) 3x x− + =

Luego de resolver la ecuación, se obtienen los valores de x que la satisfacen:

2 4 5 0( 5)( 1) 0

5 0 1 05 1

x xx x

x xx x

− − =− + =

− = ∨ + == ∨ = −

Cada valor hallado de x, se reemplaza en (ii) y se obtiene el valor de y que corresponda.

5 221 2

x yx y

= ⇒ == − ⇒ = −

Finalmente, el conjunto solución será CS { }(5;22),( 1; 2)= − − .

Ejemplo 7

Para resolver el sistema 2 3 3 (i)

1 (ii)y xy x

+ =

+ =

, se despeja la variable x de (ii) y se reemplaza en (i).

Luego, se resuelve la ecuación cuadrática resultante.

Finalmente, el CS = …………………………………………………………………...



+

Observación. Recuerde que las soluciones de un sistema de ecuaciones de dos variables se expresan como pares ordenados.

Ejemplo 8

Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

a. 2 2( 2) 8

2x y

x y + + =

+ =

b. 2 2

2 2

93 5

x yx y

+ =

− =

c. 2 2( ) 3 ( )

2x y x y

y x + − = −

= −

A continuación, se presentan algunos problemas de modelación en los que intervienen sistemas de ecuaciones en dos variables.

Problemas de modelación que se resuelven usando sistemas de ecuaciones

Problema 1

Manuel compró dos departamentos: uno en el distrito de Pueblo Libre y el otro en San Miguel. Gastó en total $ 50 000. Luego de 4 años, vendió el departamento de Pueblo Libre al triple de su valor original, y el departamento de San Miguel, al doble. Si obtuvo en total $ 130 000 por la venta de ambos departamentos, ¿a cuánto vendió cada uno de ellos?

Se definen las variables x e y como los costos de los departamentos en Pueblo Libre y San Miguel, respectivamente. Luego, se plantea el siguiente sistema de ecuaciones y se resuelve:

50 000 ...(i) 2 2 100 0002(i) (ii)

3 2 130 000...(ii) 3 2 130 000x y x yx y x y

+ = − − = − ⇒ − + ⇒ + = + =

30 000 20 000x y= ⇒ =



103

Luego de resolver el sistema por el método de eliminación, se obtiene que el departamento de Pueblo Libre se vendió en $ 90 000, y el de San Miguel, en $ 40 000.

Problema 2

Enrique es dueño de una empresa que confecciona camisas. El costo por los materiales como tela, hilo, botones, tinte, etcétera, utilizados para la confección de cada camisa es, aproximadamente, S/. 40. El pago mensual que realiza la empresa por alquiler de local, pago de trabajadores y servicios suma S/. 10 000. Si el costo por confeccionar cada camisa disminuye en S/. 5 y el costo fijo aumenta en S/. 1 000 (manteniendo la misma producción), el costo total mensual de la empresa no varía. ¿A cuánto asciende el costo total mensual de la empresa?

Problema 3

Ana le dice a María: «El día de hoy tengo en Facebook el doble de amigos que tú». A lo que María le responde: «Si mañana acepto las 400 solicitudes de amistad que tengo en espera, tendrías la tercera parte de amigos que yo». ¿Cuántos amigos aceptados en Facebook sumarán Ana y María el día de mañana?



Ejercicios 1.10

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos variables y, luego, compruebe su respuesta.

1. 2 3 1

2 3 21x yy x

− = + =

2. 5 2 27 3 6

x yx y

+ = + =

3. 0,2 0,5 1,6

0,3 0,4 0,1x y

x y+ =

− + = −

4. 52 10

x yax y

+ = + =

; donde a es constante

5. 2 3 53 2 5

x y b ax y a b

− = − − = +

; donde a y b son constantes

6. 1

2 32

4 9 3

x y

x y

− = − =

7.

2 5 4 ( 2)3 5

3 5 3 34 6

x y x

x y

− + + = − + − =

8. 3( 2) 3 7 4( 1) 28( 4) 2( 6) 9

p q pp q p q

− + − = + + − − − = + −

9. 0,3 0,6 0,180,5 0,2 0,54

x yx y

− = + =

10. 3 5 142 7 32

x yx y

+ = − − =

11. 13 5 02 27 0

x yx y

+ = − =

12. 22 2 6

x yx y

− = −− + =



105

13.

3 5 2 3 14 5

2 2 1 132 3

x y

x y y x

− + − = + − − − =

14. 2 2

2ax by aa bx y

ab

+ = ++ =


15. 1x y

a bx y ab a b

− = − =


16. 15 4 4251 19 45

x yx y

+ = − =

17. 2 3 53 2

x y m nx y n m

− = − − = +

; donde m y n son constantes

18. 2 2 1

5

y y x

x y

− + =

+ =

19. 2 2

571 184

xy

x y

= + =

20. 2 2

2ax by a bbx ay ab

+ = +

+ = ; donde a y b son constantes

21. 2

2

2 4 02 2 0

p p qp p q

− − + =

− + − =

22. 2 2 1

5

y y x

x y

− + =

+ =

23. 2

2

31

x yx y

+ =

− = −



1.11. Intervalos e inecuaciones de primer grado

«Multipolo» se dedica a la producción y venta de polos multicolores. Los costos fijos de la empresa ascienden a $ 12 000 y la producción de cada polo cuesta $ 8. El precio de venta por polo en el mercado es $ 20. ¿Cómo se podría calcular el mínimo número de polos que se deben vender para que la empresa gane más de $ 10 000? Si la empresa desea ganar menos de $ 30 000, ¿cuántas unidades como máximo deberá vender?

En el problema no se desea calcular el número de polos vendidos para que la utilidad sea igual a $ 10 000 o $ 30 000. Las expresiones «más de» y «menos de» (y otras más), que anteceden a las cifras antes mencionadas, hacen referencia a un símbolo distinto al de igualdad. Estamos en el caso de desigualdades. Se espera después de estudiar del siguiente capítulo, que el alumno sea capaz de resolver inecuaciones lineales aplicando propiedades matemáticas y, además, pueda expresar las soluciones de formas diferentes.

Relación de orden en los números reales

Una desigualdad establece que un número es menor que otro. Sean a y b dos números reales cualquiera, entonces:

Símbolo Se lee También se lee

a b< a menor que b b mayor que a

a b> a mayor que b b menor que a

a b≤ a menor o igual que b b mayor o igual que a

a b≥ a mayor o igual que b b menor o igual que a

Intervalos

Son subconjuntos de los números reales. Se pueden representar usando desigualdades o, gráficamente, en la recta numérica real. Los intervalos pueden ser de longitud finita o infinita.

De longitud finita (intervalo finito)

Un intervalo es de longitud finita si un subconjunto de los números reales está comprendido entre dos números llamados extremos del intervalo. Según sus extremos, un intervalo finito se puede representar de la siguiente manera:

• Si ambos extremos pertenecen al intervalo, se usan los siguientes símbolos: corchetes [ ], desigualdades ≤ ≥ o una bola cerrada • , si es gráficamente.

• Si ambos extremos no pertenecen al intervalo, se usan los siguientes símbolos: corchetes, ] [, desigualdades < > o con una bola abierta , si es gráficamente.

• Si uno de los extremos pertenece al intervalo y el otro no se usa una combinación de los anteriores.



107

Sean a y b los extremos de un intervalo y x un número arbitriario de dicho intervalo, entonces:

Notación Desigualdad Gráfica

] [ ; a b a x b< <a b

[ [ ; a ba x b≤ <

a b

] ] ;a ba x b< ≤

a b

;a b a x b≤ ≤a b

Ejemplo 1

Complete el siguiente cuadro:

Notación Desigualdad Gráfica¿Cuál es el menor y mayor valor entero

del intervalo?

a. 1;3− 1 3x− ≤ ≤ –1 3Menor valor = -1Mayor valor = 3

b. [ [2;5 2 5x≤ <Menor valor =Mayor valor =

c.–4 0

Menor valor =Mayor valor =

d. 9,3 3x− < < −Menor valor =Mayor valor =

e. ] ] 0;4,5Menor valor =Mayor valor =

f.

Menor valor = -5Mayor valor = 2Dé una posible res-puesta si el intervalo es abierto.



De longitud infinita (intervalo infinito)

Un intervalo es de longitud infinita si un subconjunto de los números reales presenta un extremo a un lado y al otro uno de los infinitos ( +∞ o −∞ ).

Sea a el extremo de un intervalo y x un número que pertenece a dicho intervalo, entonces:


] [ ; a + ∞ x a>

a + ∞

[ [; a + ∞ x a≥a + ∞

] [; a−∞ x a<a− ∞

] ] ;a− ∞ x a≤a− ∞

Ejemplo 2

Complete el siguiente cuadro:


¿Cuál es el menor y mayor valor entero

del intervalo, si existen?

a. [ [2; + ∞ 2x ≥2 + ∞

Menor valor = 2 Mayor valor = ----

b. ] [; 1−∞ − 1 x− >Menor valor =Mayor valor =

c.0− ∞

Menor valor =Mayor valor =

d. 4,9 x− <Menor valor =Mayor valor =

e. ] ] ;3− ∞Menor valor =Mayor valor =

f.

Menor valor = ----Mayor valor = 4(Se sabe que el interva-lo es abierto). Dé una posible respuesta.



109

Operaciones con intervalos

Las operaciones básicas que se realizan con intervalos son las de unión ( ∪ ) e intersección ( ∩ ).

Por ejemplo, sean A y B dos intervalos tales que A [ [2;6 = y B 3;4= − . Para determinar los intervalos C A B= ∩ (conformado por los elementos comunes a A y B) y D A B= ∪ (conformado por los elementos que pertenecen a A o a B), primero podemos graficar A y B en la recta numérica (ver figura 1.2).

Figura 1.2

AB

–3 2 4 6

Luego, se obtiene que C 2;4= y el intervalo [ [D 3;6 = − .

Ejemplo 3

Dados los intervalos ] [M 0;= + ∞ y N 4;2= − , para determinar los intervalos P M N= ∩ y Q M N= ∪ , primero podemos graficar M y N en la recta numérica:

−4 0 2

Luego, se obtiene que P M N= ∩ = ……………………………………………………………………………………… Q M N ................= ∪ =…………………………………………………………………………………………¿Cuál es el mayor y menor número entero de P? ……………………………………………………………………¿Cuál es el mayor y menor número entero de Q? ……………………………………………………………………

Ejemplo 4


a. Dados los intervalos ] [M ;4 a= y N 3;b= − , si se sabe que ambos intervalos tienen cinco números enteros, ¿cuál es el valor de a + b?

b. Dados los intervalos ] [A 3;6 = − y ] [B 5;7 = , ¿se puede afirmar que el intervalo P A B= ∩ no tiene elementos?



c. Dados los intervalos ] [D 1;3 = y ] [E 4;6 = , ¿se puede afirmar que el intervalo F D E= ∪ solo tiene dos elementos?

Ejemplo 5

a. Dados los intervalos ] [A 7;3 = − , [ [B 2;7 = − y

] [C 0; = + ∞ . Determine D, E, F y G e indique, si existen, el menor y mayor enteros.

i. D A B C= ∩ ∩

ii. E A B C= ∪ ∪

iii. F (A B) C= ∩ ∪

iv. G (B C) A= ∪ ∩

b. Dados los intervalos ] [A ; 3 = − ∞ − , [ [B 1;5 = −

y ] [C 2; = + ∞ . Determine D, E, F y G e indique, si existen, el menor y mayor enteros.

i. D A B C= ∩ ∩



111

ii. E A B C= ∪ ∪

iii. F (A B) C= ∩ ∪

iv. G (B C) A= ∪ ∩

Inecuaciones

Las inecuaciones son enunciados en los que dos cantidades o expresiones algebraicas se relacionan mediante alguno de los siguientes símbolos: <, >, ≤ o ≥. Por ejemplo:

• 2 7x x− < −

• 2 5 6 0x x− − >

Conjunto solución (CS)

Son aquellos valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad. El conjunto solución se expresa, generalmente, usando intervalos.

Por ejemplo, si se pregunta qué valores de x se pueden reemplazar en la inecuación 1 3x − > , es probable que la primera respuesta sea 5 y, luego, otros números mayores a 5, sin darse cuenta que la

inecuación es verdadera para todo ] [ 4; x ∈ + ∞ .Para resolver una inecuación, se deben efectuar algunas operaciones para reducirla a otra

equivalente, en la que su solución se obtenga de manera directa o quede lista para aplicarle algún método de resolución.



Propiedades de las desigualdades

Para resolver una inecuación lineal con una incógnita, se debe despejar la variable a un lado de la inecuación y las constantes al otro. Las siguientes propiedades permiten efectuar tales operaciones:

1. Si a < b, y c es cualquier número real, entonces a + c < b + c.2. Si a < b, y c es cualquier número real positivo, entonces: a ∙ c < b ∙ c.3. Si a < b y c es cualquier número real negativo, entonces a ∙ c > b ∙ c.

Inecuaciones lineales con una incógnita

Una inecuación lineal en la variable x es aquella que puede escribirse de la forma:

0ax b+ < , donde a y b son constantes y 0a ≠ .

Para resolverla, se debe despejar la variable x utilizando correctamente las reglas vistas anteriormente. Generalmente, se espera que la solución sea un intervalo de valores, pero también puede darse el caso de obtener un conjunto solución vacío o infinitas soluciones.

Por ejemplo, para resolver la inecuación 2(3 2 ) 2 1x x− > − − , se deben realizar ciertas operaciones con el fin de despejar x:

6 4 2 177 22

x x

x x

− > − −

> ⇒ >

Finalmente, se tiene que el 7CS ; 2

= − ∞ .

Para resolver la inecuación lineal 1 2( 1)2

x x x+ ≤ − < , se puede separar en dos inecuaciones y resolver cada una de ellas de forma individual. A continuación, se muestra dicho proceso:

1 2( 1) 2( 1)2

1 4 4 2 2

5 3 25 23

x x x x

x x x x

x x

x x

+ ≤ − ∧ − <

+ ≤ − ∧ − <

≤ ∧ <

≤ ∧ <

La intersección de sus soluciones individuales se muestra gráficamente en la figura 1.3.Siendo este el conjunto solución de la inecuación planteada.

Figura 1.3

253

+ ∞− ∞



113

Por lo tanto, el 5CS ;2 3

=

Ejemplo 6

Para resolver la inecuación 1 212 3

x x+ −− > , se halla el MCM = …..…… y se multiplica a ambos

términos de la inecuación:

Finalmente, se tiene que el CS = ……………………………………………………….

Ejemplo 7


a. Dada la inecuación ax b> , donde 0a b< < , ¿cuál es el conjunto solución?

b. ¿El conjunto solución de la inecuación 2( 2) 2 3x x− ≤ + es vacío?

c. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación

4 232

xx ++ < ?

d. Dada la inecuación 2 3x x< , ¿se puede afirmar que el RCS = ?



Ejemplo 8

Resuelva las siguientes inecuaciones:

a. 2 3 223 5

x x− −≥ −

b. 1 2(3 2 ) 3( 1)x x x− − < + +

c. 1 2( 1) 242

x x+ −≤ −

d. 12 23

x x+≤ ≤ −

e. 3 24 24

x +− < ≤

f. 2 5ax + > ; si:

i. 0a >ii. 0a <



115

g. 2 3ax bx− > − , si a b< .

Ejemplo 9

Por ejemplo, para determinar el intervalo al que pertenece x a partir de la expresión 3 2 3;2x − ∈ − , se usa la notación de desigualdades:

3 2 3;2 3 3 2 2x x− ∈ − ⇒ − ≤ − ≤

Luego de sumarle 2 a cada término de la inecuación y multiplicarlo por 13

, se obtiene la variable x entre

dos números: 1 43 3

x− ≤ ≤ .

Por lo tanto, 1 4;3 3

x ∈ − .

Ejemplo 10

Para determinar el intervalo al que pertenece x a partir de la expresión [ [3 0;5 2

x+ ∈ , se empieza usando la notación de desigualdades:

[ [3 0;5 2

x+ ∈ ⇒ ………………….., luego se resuelve:

Finalmente, x ∈……………………………………………………………………………………………………………………



Ejemplo 11

Determine el intervalo pedido.

a. Se sabe que 3 5;3x− ∈ − , ¿a qué intervalo pertenece x?

b. Se sabe que ] [2 1;5 x ∈ , ¿a qué intervalo pertenece 1 − 3x?

c. Se sabe que ] [2 4 2;1 3

x− ∈ − , ¿a qué intervalo

pertenece 12

x − ?

Problemas de modelación que involucran resolución de inecuaciones

A continuación, se utilizarán las inecuaciones lineales en problemas de modelación.

Problema 1

«Multipolo» se dedica a la producción y venta de polos multicolor. Los costos fijos de la empresa ascienden a $ 12 000 y el costo de cada polo, a $ 8. El precio de venta por polo en el mercado es $ 20.

a. Determine las ecuaciones de costo e ingreso de la empresa en términos del número de polos producidos y vendidos.Las ecuaciones de costo e ingreso son 12000 8C q= + e 20I q= , respectivamente, donde q es el número de polos producidos y vendidos.



117

b. ¿Cuál es el mínimo número de polos que se deben vender para que la empresa gane más de $ 30 000?Primero, se obtiene la ecuación de utilidad.

20 (12000 8 ) 12 12000U I C q q U q= − = − + ⇒ = −

Luego, se plantea la siguiente inecuación y se resuelve:

12 12000 30 000 3500U q q= − > ⇒ >

Finalmente, se deben producir y vender 3 501 polos. Se agrega un polo más a la respuesta porque con 3 500 polos la ganancia es $ 30 000 y no mayor.

Problema 2

Se ha modelado el costo C (en dólares) de una empresa con la siguiente ecuación: 250 30 000C x= + , donde x es el número de televisores producidos. Se sabe, además, que cada televisor se vende a $ 480, y que todo lo que se produce se vende. La empresa quiebra si pierde dinero y se espera ganar como máximo $ 620 000.

a. ¿Cuáles son los números mínimo y máximo de televisores que se deben producir y vender para que la empresa no quiebre?

b. ¿Cuál es el máximo número de televisores producidos y vendidos que ocasionarían que la empresa quiebre?



Problema 3

José se dedica a elaborar y vender helados de lúcuma. Gasta, aproximadamente, S/. 1,8 en la compra de lúcuma, leche, azúcar, palitos y envolturas para preparar cada helado. También le paga a su mamá S/. 200 mensuales por el uso de la refrigeradora. El mes pasado su ingreso fue menor a S/. 1 512, pero ganó más de S/. 400. Si José vende cada helado a S/.3, ¿cuántos helados pudo haber vendido el mes pasado?



119

Ejercicios 1.11

Determine el conjunto solución, en notación de intervalo, y representación, en forma geométrica, sobre la recta de los números reales, para los ejercicios del 1 al 20.

1. 3 5 11x− ≤

2. 8 5 3x x− > +

3. 4 9 2 7x x+ ≥ − +

4. 1 17 24 3

x x+ ≤ −

5. 4 3 5 1x≥ + > −

6. 2 11 33 2

x x+ > −

7. 2 13( ) 55 3

x x− ≤ −

8. 5 3 13 3x x− < +

9. 1 34 23 4

x x− ≤ +

10. 14 4 2 14x− ≤ − ≤

11. 3 1 2 55 2 3 6

x x+ ≤ −

12. 5 3 18 2 7 9x x x− < − ≤ +

13. 12 3 54

x− < + ≤

14. 2 2 3 1 33 5 2

x x x− − +< <

15. 3 5 12 4 5x x+ ≤ ≤ −

16. 2 (6 5) (3 2)(4 1)x x x x+ < − +



17. 4 03 2x

≥+

18. 2 0

4 3x− <−

19. 3 02 x− <−

20. 2 2a x a b x b− ≤ − , si a < b < 0

21. La empresa de «Don Jorge» se dedica a la producción y venta de casacas. Los costos fijos ascienden a $ 12 000. El costo de cada casaca es $ 20 y el precio de venta, $ 50. ¿Cuántas casacas como mínimo se deben vender para obtener una ganancia mayor a $ 30 000?

22. Los costos fijos de una empresa ascienden a $ 15 000 y producir 625 relojes genera un costo de $ 40 000. Si cada reloj se vende a $ 100, ¿cuántos relojes como mínimo se deben vender para ganar más de $ 30 000?

23. El costo de producir refrigeradoras se modela con la siguiente ecuación: 200 40 000C x= + . Si cada refrigeradora se vende a $ 450, ¿cuántas refrigeradoras se deben vender para obtener ganancias que no sean mayores a $ 3 500?

24. El señor Pablo no sabe si alquilar una camioneta o un auto por un mes. El alquiler de una camioneta es de $ 400 por mes y consume $ 0,8 por kilómetro recorrido. Alquilar un auto cuesta $ 300 al mes y consume $ 0,9 por kilómetro recorrido. ¿A partir de qué kilometraje se justifica la compra de una camioneta?



121

1.12. Inecuaciones polinomiales y racionales

Suponga que la ecuación 22 200 1 000U q q= − + − permite calcular la utilidad (en dólares) que genera la producción y venta de q unidades de un producto. ¿Cómo se podría determinar el número de unidades que se deben vender para obtener una ganancia de por lo menos $ 3 000?

Primero, se debe distinguir del problema la expresión por lo menos, que dentro del contexto significa «mayor o igual». Esto permitirá plantear la siguiente inecuación:

22 200 1 000 3000q q− + − ≥ . Note que la expresión es una cuadrática; por eso, surge aquí una nueva pregunta: ¿qué método permitirá resolver este tipo de inecuaciones?

Método de puntos de referencia

Es un método que se aplica en la resolución de inecuaciones polinómicas y racionales. Se basa en la ley de signos para el producto (o división) de dos números reales:

Si 0 y 0 0Si 0 y 0 0Si 0 y 0 0Si 0 y 0 0

a b a ba b a ba b a ba b a b

> > ⇒ ⋅ > > < ⇒ ⋅ < < > ⇒ ⋅ < < < ⇒ ⋅ >

Para aplicar este método, es necesario pasar todos los términos a un lado de la desigualdad y luego factorizar la expresión algebraica. Esto permitirá encontrar los valores de la variable que hacen cero cada factor. A continuación, se plantea una expresión factorizada que servirá como guía en nuestra explicación:

( 2)( 3)

2 0 3 02 3

x x

x xx x

+ −↓ ↓

+ = ∨ − == − ∨ =

Los números −2 y 3 son llamados valores de referencia y son los únicos valores que hacen que la expresión sea cero. Esto implica que la expresión será un número con signo (dependiendo de los signos de cada factor) para el resto de valores reales.

Al ubicar estos valores referenciales en la recta real, se generan tres intervalos abiertos: I1, I2 e I3(ver figura 1.4).

Figura 1.4

−2 3

I1 I2 I3

+ ∞− ∞

Cabe destacar que, en cada intervalo abierto, cada uno de los factores es positivo o negativo.El objetivo de aplicar el método de puntos de referencia es encontrar el signo de la expresión

en cada uno de los intervalos generados por los valores referenciales. En la siguiente tabla, tabulamos algunos valores de x de cada intervalo para ver los signos de la expresión:



x −5 −4 −3 −1 0 1 2 4 5 6

(x + 2) (x −3) 24 14 6 −4 −6 −6 −4 6 14 24

Por lo tanto, para determinar el signo de la expresión, se tabula un valor arbitrario de cada intervalo en cada uno de los factores.

Finalmente, se concluye que la expresión ( 2)( 3)x x+ − es positiva en la unión de intervalos

] [ ] [; 2 3; − ∞ − ∪ + ∞ y negativa en el intervalo ] [2; 3 − .

Inecuaciones polinomiales

Son inecuaciones de la forma 11 1 0... 0n n

n na x a x a x a−−+ + + + < , donde 0na ≠ (también puede expresarse

con los símbolos >, ≤ o ≥). Por ejemplo, para resolver la inecuación factorizada 2(1 )( 3) 0x x− + ≥ , primero se hallan los

valores referenciales:

2

(1 ) 0 1( 3) 0 3

x xx x

− = ⇒ =+ = ⇒ = −

Luego, se ubican dichos valores en la recta para determinar los signos del polinomio en cada intervalo (el procedimiento se muestra en la tabla inferior).

1–3

Intervalo Valor arbitrario Evaluación Signo

; 3− ∞ − 4x = − 2(1 ( 4))( 4 3) 5− − − + = +

3;1− 0x = 2(1 0)(0 3) 9− + = +

1;+ ∞ 2x = 2(1 2)(2 3) 25− + = − −

Figura 1.5

1–3

–++

Finalmente, se tiene que el CS ;1= −∞ .

Observación. En la gráfica de la figura 1.5, se coloca una bolita cerrada en los valores referenciales porque al reemplazarlos en la expresión se obtiene que 0 0≥ y es correcta.

2I 1I 3I



123

Ejemplo 1

Para resolver la inecuación 3 23x x> , sumamos –3x2 a ambos términos dejando el 0 a la derecha. Luego, se factoriza la expresión resultante y se hallan los valores referenciales.

3 0


;0− ∞

0;3

3;+ ∞

Finalmente, el CS = ……………………………………………………….

Ejemplo 2


a. ¿Cuál es el conjunto solución de ( )22 1 0x − + > ?

b. ¿Cuál es el conjunto solución de ( )23 4x + ≤ − ?

c. ¿Cuál es el conjunto solución de ( )25 0x + ≤ ?



d. ¿Cuál es el conjunto solución de ( )25 0x − > ?

e. ¿Se puede afirmar que 2 4x > y 2x > tienen el mismo conjunto solución?

f. ¿Se puede afirmar que el conjunto solución de ( 1) ( 2)x x x x+ > + es vacío?

Ejemplo 3

Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

a. 2(2 ) (5 ) 0x x− − <

b. 2 ( 4)(1 ) 0x x x− + ≥

c. 39x x>



125

d. 2( 2) 2 ( 2)x x x− ≥ −

e. 3 24 4 0x x x− + − ≤

f. ( 3)( 2) 6x x+ − ≤

g. 2( 3) 9x − >

Inecuaciones racionales

Son inecuaciones de la forma ( ) 0( )

P xQ x

> , con ( )P x y ( )Q x polinomios y ( ) 0Q x ≠ (también puede

expresarse con los símbolos <, ≤ o ≥).

Por ejemplo, para resolver la inecuación factorizada 2(4 ) 0

(1 )xx

− ≥−

, primero se hallan los valores referenciales:

2(4 ) 0 4

(1 ) 0 1x xx x

− = ⇒ =− = ⇒ =

Luego, se ubican dichos valores en la recta para determinar los signos de la expresión en cada intervalo (el procedimiento se muestra en la tabla de la siguiente página).

1 4




;1− ∞ 0x =2(4 0) 16

(1 0)− =−

+

1;4 2x =2(4 2) 4

(1 2)− = −−

−

4;+ ∞ 5x =2(4 5) 1

(1 5) 4− = −−

−

Figura 1.6

1

+ – –

4

Finalmente, el ] [ { }CS ;1 4 = − ∞ ∪ .

Observación. En la gráfica de la figura 1.6, se coloca una bolita cerrada en x = 4 porque al reemplazarlo en la expresión se obtiene que 0 0≥ y es correcto. Por el contrario, se coloca una bolita abierta en x = 1 porque no pertenece al CVA.

Uno de los errores frecuentes cometidos en esta parte es pensar que el desarrollo de inecuaciones racionales es similar al desarrollo de ecuaciones racionales. Vea lo que sucede en la inecuación anterior si se multiplica por el mínimo común múltiplo (MCM) del denominador:

22(4 )(1 ) · (1 ) · 0 (4 ) 0

(1 )xx x xx

−− ≥ − ⇒ − ≥−

Se obtiene que el { }CS R 1= − lo cual es falso.En inecuaciones racionales usamos el concepto de MCM para reducir la suma o resta de

expresiones racionales en una sola fracción. Eliminar los denominadores generalmente implica una pérdida de posibles soluciones.

Ejemplo 4

Para resolver la inecuación 2 1

1x

x>

+ se tiene que expresar como una sola fracción a un lado y el cero al otro:

2 2 ( 1)1 0 0 01 1 1

x x xx x x

− +− > ⇒ > ⇒ >+ + +



127

Luego, se determinan los valores referenciales, se ubican en la recta y se hace el análisis de signos. (Se sugiere usar un cuadro).


Finalmente, el CS = …………………

Ejemplo 5


a. ¿El conjunto solución de 1 0x

> es { }R 0− ?

b. ¿Se puede afirmar que 1 2xx x− < y 3x < tienen el

mismo conjunto solución?

c. ¿Cuál es el conjunto solución de 2

2 04

xx

≤+

?



Ejemplo 6


a. 3

2 2

( 5) 0( 16)

xx x

− + ≥+

b. 2

1 09x

x− <−

c. 2

2

2 1 4x xxx

+ + ≤

d. 2

9 16x x

≤−

Por ejemplo, para determinar el intervalo al que pertenece x a partir de la expresión

] [2 1 3; x − ∈ + ∞ , primero se utiliza la notación de desigualdades:

] [2 21 3; 1 3x x− ∈ + ∞ ⇒ − >

Luego, se resuelve la inecuación polinómica mediante el método de puntos de referencia:

2 21 3 4 0x x− > ⇒ − >( 2)( 2) 0x x− + >



129

Figura 1.7

+ +–

2–2

Por lo tanto, a partir de gráfica de la figura 1.7, se concluye que ] [ ] [; 2 2;x ∈ −∞ − ∪ + ∞ .

Ejemplo 7

Para determinar el o los intervalos al que pertenece x a partir de la expresión ] ]1 ;2 x

∈ − ∞ , primero se utiliza la notación de desigualdades:

] ]1 ;2x

∈ − ∞ ⇒ …………………... Luego se resuelve:

Finalmente, x ∈………………………………………………………………………..

Ejemplo 8

a. Se sabe que [ [26 3; x− ∈ − + ∞ , ¿a qué intervalo(s)pertenece x?

b. Se sabe que 2 1;1xx+ ∈ − , ¿a qué intervalo (s)

pertenece x?



Ejercicios 1.12


1. 23 0x x− ≥

2. 2 8 15x x≥ −

3. (2 3) 5x x + ≥

4. 2 2( 1) 2x x x+ > +

5. 2 5 36x x+ >

6. 2 1 0x x+ + >

7. ( 4) 8x x − <

8. 2 (2 )(3 7) 0x x x− + ≤

9. 2 3 28 0x x− − <

10. 22 5 12 0x x+ − ≥

11. 2 2 7 0x x+ + >

12. 2( 1) 6x − <

13. ( 2)( 1)( 3) 0x x x+ − + ≥

14. 4 (1 ) 1 0x x+ + ≤

15. 212 9 4x x− >

16. 2( 1)( 2) ( 4) 0x x x+ − + <

17. 3 5–2x

x≥

18. 203 1x

−<−

19. 12 45x

<

20. 5 63 1

x xx x

+ +≤+ +



131

21. 2

2 2

( 5)( 9) 0( 4 21)( 25)

x xx x x

− − ≥− + +

22. 2

4

( 2) ( 6) 0( 4)

x xx

− − ≥−

23. 02 1

ax− ≤

+, si a > 0


Unidad 2: Matrices1.1 Materiales y herramientas de trabajo

2.1. Definición. Tipos y operaciones básicas

A menudo, se presentan situaciones en las que se debe tener información ordenada, precisa y simplificada, con el fin de tomar buenas decisiones o, por lo menos, entender cuál es la situación real del problema.

Se plantea la siguiente situación: el alcalde de cierta ciudad decidió reubicar un mercado, el más grande de la ciudad, a una zona más amplia, limpia y segura. Los comerciantes del mercado no estaban de acuerdo con esta medida y, vencidos los plazos, no se trasladaron al nuevo local. Se optó por desalojar a los comerciantes con apoyo de la policía y los comerciantes ofrecieron resistencia. Después de tres días se logró el desalojo, pero con graves consecuencias de muertes y heridos de algunos policías y comerciantes. Los noticieros locales cubrieron la información del desalojo, lo cual generó diversas reacciones en los pobladores de la ciudad, que se manifiestan en una encuesta hecha después de los acontecimientos.

Ante la actual gestión del alcalde Vilarón, una encuesta de 1 520 personas reveló que de los encuestados del mismo partido del alcalde, 293 aprueban su desempeño, 196 no lo aprueban y 201 no opinaron. De los que pertenecen a los partidos de oposición, 157 aprueban el desempeño del alcalde, 231 no lo aprueban y 92 no opinaron. De los independientes, 147 lo aprueban, 131 no lo aprueban y 72 no opinaron.

¿Es fácil entender la información del resultado de las encuestas sobre la gestión del alcalde? ¿Cómo ordenar esta información para que sea más clara?

Aquí solo un ejemplo de los muchos que existen en los negocios, donde tener la información ordenada es fundamental, no solo por la sistematización de la información, sino por las operaciones a las que se accede más fácilmente, tales como sumas, productos, etcétera.


Unidad 2 | Matrices

133

Por ejemplo, a matriz 3 5

4 7−

=

A es de orden 2 × 2; por lo tanto, tiene cuatro elementos y son los siguientes:

a11

3= − , a12

5= , a21

4= y a22

7=

Ejemplo 1

Considere la matriz 2 1 0 9 5 3

=

− A

La matriz A = (aij), de orden 3 × 3, definida por

≥<−

=jij

jijiaij si,−3

si,2 puede ser expresada,

explícitamente, determinando sus elementos según la condición.

Observe que cuando en los índices ocurre i < j, se utiliza 2i – j, y cuando i > j, se utiliza 3 – j.

a11 = 3 – (1) = 2 a12 = 2(1) – 2 = 0 a13 = 2(1) – 3 = −1 a21 = 3 – (1) = 2 a22 = 3 – (2) = 1 a23 = 2(2) – 3 = 1 a31 = 3 – (1) = 2 a32 = 3 – (2) = 1 a33 = 3 – (3) = 0

Entonces 2 0 12 1 12 1 0

− =

A

Definición

Una matriz de orden m × n es un arreglo rectangular de números colocados en m líneas horizontales (filas) y n líneas verticales (columnas).

11 12 1

21 22 2

1 2

...

.... . ... .. . ... .

...

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

=

A

También se representa en forma simbólica como ( )ij m na ×=A , donde m × n es el orden de la matriz. Los subíndices de aij indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i), y el segundo, la columna (j).

Es una matriz de orden……., tiene ….. elementos y son los siguientes:a

112= , a

12= ..... , a

13= ..... , a

21= ..... , a

22= ..... y a

23= .....



Ejemplo 2

Determine la matriz A = (aij), de orden 3 × 3, cuyos elementos están dados por:

2, si2 , si

, si 2

ij

i ji j i ja

i i j

> − == <

Como la matriz de orden 3 × 3 tiene tres filas y tres columnas, 11 12 13

.... .... ....

.... .... ....

a a a =

A

Así, para los elementos aij, donde i < j se muestran los valores. Al completar la matriz para i > j se obtiene:

1 1 / 2 1 / 2.... .... 2/ 2.... .... ....

=

A

Matrices iguales. Las matrices A y B, de orden m × n, son iguales si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas matrices son iguales.

Es decir, ( )ij m na

×=A y ( )ij m n

b×

=B son iguales si se cumple que a bij ij= para todo i, j.

Por ejemplo, estas matrices de orden 2×2, 1 23 0

=

A y

05 46 / 2 0

=

B son iguales.

Ejemplo 3

Si las matrices de orden 2×2,2

4x y

x y+

= − A y

3 22 1x

=

B son iguales, entonces se determinan los

valores de x e y que lo hacen posible.

Se igualan los elementos correspondientes:

x + y = 3, 4 = 2x, de aquí se deduce que x = ….; por lo tanto, y = …. …… = 1.

Tipos especiales de matrices

Matriz nula. Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos.

Notación: ( )ij m na

×=0 , donde aij =0 para cada i, j.


Unidad 2 | Matrices

135

Muestre dos ejemplos de matrices nulas, una de orden 2 × 2 y otra de orden 2 × 3.

..... .....

..... .....

=

0 , ..... ..... .......... ..... .....

=

0

Ejemplo 4

Si1 0

0 2x y

x+ +

= − 0 , entonces se determinan los valores de x e y que la hacen posible.

Se iguala a cero cada elemento, así:

x + y + 1 = 0, ………… = 0, de aquí se deduce que x = ….; por lo tanto, y = ….

Matriz fila. Es una matriz que tiene n columnas y una sola fila, es decir, de orden 1 × n.

Muestre dos ejemplos de matrices fila, una de orden 1 × 2 y otra de orden 1 × 3.

Matriz columna. Es una matriz que tiene m filas y una sola columna, es decir, de orden m × 1.

Muestre dos ejemplos de matrices columna, una de orden 2 × 1 y otra de orden 3 × 1.



Matriz cuadrada. Es una matriz que tiene el número de filas igual al número de columnas, es decir, de orden n × n. Las entradas a11, a22, etcétera, constituyen la diagonal principal.

Muestre dos ejemplos de matrices cuadradas, una de orden 2 × 2 y otra de orden 3 × 3.

Matrices cuadradas particulares

Matriz diagonal. Es la matriz cuadrada ( )n ij n na

×=A , donde aij =0 para i ≠ j y cualquier valor para las

otras entradas aij.

Muestre dos ejemplos de matrices diagonales, una de orden 2 × 2 y otra de orden 3 × 3.

Matriz identidad. Es la matriz cuadrada ( )n ij n na

×=I , donde a

i j

i jij ==≠

10,,sisi

Muestre dos ejemplos de matrices identidad, una de orden 2 × 2 y otra de orden 3 × 3.


Unidad 2 | Matrices

137

Matriz triangular superior. Es la matriz cuadrada ( )n ij n na

×=A , donde aij =0 para i > j y cualquier

valor para las otras entradas.

Muestre dos ejemplos de matrices triangulares superiores, una de orden 2 × 2 y otra de orden 3 × 3.

Matriz triangular inferior. Es la matriz cuadrada ( )n ij n na

×=A , donde aij =0 para i < j y cualquier valor

para las otras entradas.

Muestre dos ejemplos de matrices triangulares inferiores, una de orden 2 × 2 y otra de orden 3 × 3.

Operaciones con matrices

• Suma de matrices. Sean ( )ija=A y ( )ijb=B matrices de orden m × n. La suma de A y B es la matriz( )ij ija b+ = +A B para todo ij.

Por ejemplo, si4 6 71 2 4

=

A y

3 2 10 2 5

=

B , entonces

4 3 6 2 7 11 0 2 2 4 5

+ + + + = + + +

A B =7 8 81 4 9

Ejemplo 5

Calcule la suma A + B si1 1 25 7 05 3 1

− = −

A y 3 1 24 0 62 5 1

= −

B



Producto de un escalar por una matriz. Sean ( )ija=A una matriz de orden m × n y un escalar. Se define el producto αA como la matriz ( )ijaα α=A para todo ij.

Por ejemplo, si4 6 71 2 4

=

A , entonces

4 6 7 3(4) 3(6) 3(7) 12 18 213 3

1 2 4 3(1) 3(2) 3(4) 3 6 12

= = =

A

Ejemplo 6

Si4 6 71 2 4

−= − −

A y 3 2 10 2 5

=

B , determine:

a. –2A

b. A + 2B

Nota. Sea la matriz ( )ija=A , entonces ( )ija− = −A es la matriz opuesta de A.

• Sustracción de matrices. Sean ( )ija=A y ( )ijb=B matrices de orden m × n. La sustracción de las matrices A y B se define por A – B = A + (–B).

Esto es, A – B = ( )aij + ( )−bij = ( )a bij ij− para todo ij.

Ejemplo 7

Sean las matrices 3 2

2 3x y x x y y

yx y x x x y− − +

= = + − − + A B . Si A + B = I,

determine A – B.


Unidad 2 | Matrices

139

• Transpuesta de una matriz. Sea ( )ija=A una matriz de orden m × n. La transpuesta de A es la matriz AT de orden n × m con elementos aji , es decir, AT= ( )aji .

Por ejemplo, sean las matrices 4 6 71 2 4

=

A y

1 35 40 2

− =

B , entonces:

T

4 16 27 4

=

A y T 1 5 03 4 2

= −

B

Propiedades

Sean A y B matrices m × n. Si c y d son números, entonces:

1. c(A + B) = cA + cB 2. (c + d)A = cA + dA 3. (cd)A = c(dA)4. 0A= 0

Ejemplo 8

Calcule A + 2B, 2A – B y 3AT – 2I si 1 2 34 5 57 9 8

=

A y 2 1 04 1 56 8 7

− = −

B



• Producto de matrices

Sean las matrices A, de orden m × p, y B, de orden p × n. El producto AB es la matriz ( )ij m nc

×=C , de

orden m × n, cuya componente cij-ésima es el producto de la fila i-ésima de A y la columna j-ésima de B; es decir:

( )× × ×m n m p p n ij m nc

×= ⋅ =C A B

donde c a a aij i i ip= 1 2...

bb

b

j

j

pj

1

2

...

= a b a b a bi j i j ip pj1 1 2 2+ + +... = a bik kj

k

p

=∑

1

Note que para que el producto se pueda realizar, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B, entonces la matriz resultante sería de orden m × n.

Ejemplo 9

Sean 2 3

2 1 13 4 3 ×

=

A y

3 2

2 31 45 2

×

=

B


Unidad 2 | Matrices

141

Para efectuar el producto AB, el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. El producto es una matriz de orden 2 × 2.

2 33 2

2 32 1 1

1 43 4 3

5 2××

=

AB = c cc c

11 12

21 22 2 2

×

= ... ...... ...

Donde los elementos cij se obtienen de la siguiente manera:

• c11: (primera fila de A) × (primera columna de B)

c11

2 1 1

2

1

5

= [ ]

= 2(2) + 1(1) + 1(5) = 10

• c12: (primera fila de A) × (segunda columna de B)

c12

3

4

2

= [ ]

=..... ..... ..... …………………=…...

• c21: (segunda fila de A) × (primera columna de B)

c21= [ ]

=..... ..... .....

.....

.....

.....

…………………=…...

• c22: (segunda fila de A) × (segunda columna de B)

c22= [ ]

=..... ..... .....

.....

.....

.....

…………………=…...

Ahora, para efectuar el producto BA, se observa que el número de columnas de B coincide con el número de filas de A; por lo tanto, este producto también se puede efectuar.¿De qué orden es la matriz producto BA? …………..



Ejemplo 10

Si al efectuar la operación matricial 5 3× 2m n p p× × ×+A B C , se obtiene 2m ×D , ¿cuál es el valor de m – n + p?

Ejemplo 11

Determine el orden de cada uno de los siguientes productos matriciales. En caso exista el producto, efectúe.

a b) )2 4

6 8

1 2 3

0 1 2

1

5

12

2

10

7

2

3

9

4

6

1

−

[ ]

c d) )

5

2

4

1 0 61 0

0 1

3 2

1 4


Unidad 2 | Matrices

143

Propiedades del producto de matrices

Si todas las sumas y productos están definidos, se cumple:

1. AI = IA = A Identidad2. A (BC) = (AB) C Asociativa3. A (B+C) = AB + AC Distributiva4. (A+B) C = AC + BC Distributiva5. A2 = AA Potencia

Nota. La multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, en general AB ≠ BA.

Ejemplo 12

Sean las matrices3 21 4

= −

A y 1 25 0

− =

B . Calcule:

a. AB = 3 21 4−

... ...... ...

=

... ...

... ...

b. BA = 1 25 0

−

... ...... ...

=

... ...

... ...

c. A2 = AA = ... ...... ...

... ...... ...

=

... ...

... ...

Ejemplo 13

Sean2 1 42 2 0

=

A y

3 42 11 2

=

B . Simplifique la expresión E = T23 4( )+ +AB AB I



Ejemplo 14

Determine la matriz B si se sabe que su primera fila es [1 0] y que:

1 01 0

=

AB y

1 2 22 1 0

− =

A

Ejemplo 15

Sea 0 1 11 0 11 1 0

=

A . Determine una matriz B si B = A2 – 2I – A.

Advertencia para el producto de matrices

• Si AB = 0, no implica que A = 0 o B = 0. • Si AB = AC, no implica que B = C.

– En general (A + B)2 ≠ A2 + B2 + 2AB, ya que AB ≠ BA. – En general (A + B)(A – B) ≠ A2 – B2, ya que AB ≠ BA. – Para toda matriz cuadrada A, se define An = AAA…A, n factores.


Unidad 2 | Matrices

145

Ejercicios 2.1

1. Calcule A + B, A – B y 3A si se sabe que:

a. 2 1 6 5

,3 7 2 3

− = = −

A B

b. 1 0 2 2

,5 4 3 7

− − = =

A B

c. 3 2 5 2 1 6

,4 0 3 4 2 3

− = = −

A B

d. 1 2 3 1 2 34 0 0 , 4 4 4

6 8 96 8 9

− − − = − = − − −

A B

2. Calcule AB y BA si es posible.

a. 2 1 6 5

,3 7 2 3

− = = −

A B

b. 3 2 5 2 1 6

,4 0 3 4 2 3

− = = −

A B

3. Determine la matriz X si:

2 1 3 1 4 32

1 5 0 2 0 4− −

+ = − X

4. Determine X si:

1 0 2 23 2

5 4 3 7− −

− + = −

X

5. Calcule A – 2B, AB y A2 si:

4 1 3 1 2 32 5 0 , 5 0 36 8 1 5 2 1

− − − = = −

A B

6. Sean:3 2

1 3 5y 1 5

2 4 64 3

− − = = −

M N

Determine la matriz a bc de f

=

A si MT+ N – A = 0.

c. 1 2 3 1 2 34 0 0 , 4 4 46 8 9 6 8 9

− − − = − = − − −

A B

d. 1 3

1 2 3 44 2 ,

0 3 2 11 5

− − = = −

A B



7. Calcule AB y BA si:

[ ]21

1 2 3 4 y11

= = − −

A B

8. Si A y B son matrices de 3 × 4, C una matriz de 4 × 3 y D una matriz de 3 × 3, ¿cuáles de las siguientes expresiones no tienen sentido?

a. ACb. AC – Dc. (A–B)Cd. (AC)D

9. Halle la matriz A, sabiendo que es triangular superior, sus elementos son positivos y AAT = 2B, donde:

5 3 03 2 00 0 2

=

B

e. A(CD)f. A2

g. (CA)2

h. C(A + 2B)


Unidad 2 | Matrices

147

2.2. Aplicaciones de operaciones con matrices

En las aplicaciones no es suficiente considerar solo el orden de las matrices para efectuar operaciones, se debe tener en cuenta además la coherencia.

Problema 1

En un fin de semana, tres familias van a una pastelería. La primera familia pidió 3 tortas heladas, 2 pies de manzana y 3 gelatinas; la segunda familia pidió, 2 tortas heladas, 1 pie de manzana y 2 gelatinas; la tercera familia pidió 4 tortas heladas, 2 pies de manzanas y 1 gelatina.

a. Obtenga una matriz A, de orden 3×3, que exprese el número de tortas heladas, pies de manzana y gelatinas que consume cada familia.

Se denotará con F a las familias, T a las tortas heladas, M a los pies de manzana y G a las gelatinas. Si los datos de consumo de cada familia se colocan en filas, entonces una matriz A quedará determinada por:

T M G

1

2

3 3 3

F 3 2 3F 2 1 2F 4 2 1

×

=

A

b. Si las tortas heladas cuestan S/. 4 cada una; los pies de manzana, S/. 3 y las gelatinas, S/. 2, escriba una matriz de precios y determine, mediante el producto de matrices, cuánto gastó cada familia en la pastelería.

Si se denota con P a la matriz columna de precios de cada tipo de postre, entonces:

3 1

T 4M 3G 2

×

=

P

Para determinar cuánto gastó cada familia mediante el producto de matrices, se multiplicará el número de postres de cada tipo que consumió cada familia con el precio de cada postre.

Así, el producto es el siguiente:

T M G

F T F

F M F

F G F

1 1

2 2

3 33 3 3 1 3 1

3 2 3 4 242 1 2 3 154 2 1 2 24

× × ×

= =

AP

La primera familia gastó S/. 24; la segunda, S/. 15 y la tercera, S/. 24.



Problema 2

El contratista «Maldonado Hnos.» ha recibido pedidos de materia prima, para fabricar casetas de vigilancia para el distrito de la ciudad. Para ello, se construirán 15 casetas personales, 10 casetas estándar y 4 casetas centrales. Las materias primas que se utilizarán en cada tipo son aluminio, madera y vidrio. Las cantidades de unidades usadas en cada una de ellas se muestran en el siguiente cuadro:

Personal Estándar CentralAluminio 8 11 5

Madera 20 15 12

Vidrio 10 12 10

a. Exprese, mediante una matriz C, el número de casetas según el estilo y, en otra matriz Q, la cantidad de cada materia prima utilizada según el tipo de caseta.

Si se considera a C la matriz columna del número de casetas, entonces:

₁₃.....

.....

.....

×

=

Ce

Es

Pe

C y

............

............

............

=

CeEsPe

Vi

Ma

Al

Q

₃₃ ×

También se podría optar por una matriz fila C.

b. ¿Qué producto de matrices muestra la cantidad de cada tipo de materia prima requerida?

CQ no es posible, ya que no cumple la condición para el producto de matrices.QC sí cumple la condición y, además, el producto tiene sentido.

Si C fuera una matriz fila, entonces QC no se podría efectuar. Sin embargo, CQ sí, pero ¿tendrá sentido? ...............

c. Determine las unidades de materia prima requeridas para realizar el pedido.

.......

.......

.......

.....

.....

.....

.

............

............

............

=

=

Vi

Ma

Al

Ce

Es

Pe

Vi

Ma

Al

CeEsPe

QC

₃₃ × ₁₃ × ₁₃ ×

El número de unidades de aluminio es ….; de madera, …… , y de vidrio, ……


Unidad 2 | Matrices

149

Problema 3

Una empresa utiliza tres tipos de materia prima, N1, N2 y N3, en la elaboración de dos productos (P1 y P2). El número de unidades de cada materia prima usados por cada unidad de P1 son 7, 8 y 5, respectivamente, y por cada unidad de P2 son 12, 10 y 7, respectivamente.

Suponga que la empresa produce 40 unidades de P1 y 50 unidades de P2 diariamente.

a. Determine una matriz M que represente la cantidad de materia prima de cada tipo utilizada en cada unidad de producto.

b. Determine una matriz Q que represente la producción diaria de P1 y P2 y utilice el producto de matrices para hallar el consumo diario de las materias primas.

c. Si los costos por unidad (en dólares) para N1, N2 y N3 son 10, 13 y 15, respectivamente, ¿cuáles son los costos de la materia prima por unidad de P1 y P2?

d. ¿Cuál es la cantidad total gastada diariamente en materia prima en la producción de P1 y P2?



Problema 4

Una fábrica de cocinas de cuatro hornillas y un horno dispone de dos plantas de fabricación, una en Lima y otra en Trujillo, en las cuales fabrica tres tipos de cocina: a gas, eléctrica y por inducción, de tres colores: blanco, crema y negro. En el año 2011, la producción fue la siguiente: la planta en Lima produjo mensualmente 320 cocinas a gas de color blanco, 150 de color crema y 75 de color negro; del tipo eléctrica, 200 de color blanco, 250 cremas y 250 negras, y del tipo de inducción, 100 blancas, 75 cremas y 200 negras. La capacidad de producción mensual para la planta de Trujillo, en el 2011, está dada por la matriz B.

Blanco Crema Negro

A gas

Eléctricas

Inducción

200 150 100300 250 100150 180 150

=

B

a. Determine una matriz de orden 3×3 que represente la producción total mensual de esta fábrica.

b. Si para el 2012 se espera elevar la producción en Lima en un 20 % y disminuir en Trujillo en un 15 %, determine la nueva matriz 3 × 3 de producción mensual.

c. Los precios en dólares de cada modelo, sin importar el color, en Lima y en Trujillo son los mismos y se representan por la matriz C. Determine una matriz de orden 2 × 1 que represente los ingresos mensuales obtenidos en cada ciudad, Lima y Trujillo, en el año 2011, si se venden todas las cocinas que se producen.

[ ]A gas Eléctricas nducciónI

220 380 450=C


Unidad 2 | Matrices

151

d. El gerente de la fábrica decidió donar un porcentaje del total de sus ingresos por la venta de toda

la producción de diciembre del 2011, representado en la matriz [ ]Lima Trujillo

0,12 0,08=D , para comprar regalos a los niños más pobres en cada ciudad. Determine, mediante multiplicación de matrices, la cifra que se donó en cada ciudad en diciembre del 2011.



Ejercicios 2.2

1. Una empresa encargada de producir balones ha aceptado un pedido para producir 300 balones de fútbol, 200 de básquet y 100 de vóley. Las materias primas que se utilizan en cada tipo son cuero y plástico. La tabla 1 muestra el número de unidades de cada materia prima que se utilizará en cada tipo de balón, y la tabla 2, el precio (en dólares) por unidad de materia prima:

Tabla 1

Fútbol Básquet VóleyCuero 3 4 2Plástico 2 3 2

Tabla 2

Costo ($)Cuero 8Plástico 6

a. Escriba una matriz Q que muestre el pedido por cada tipo de balón y determine, a través del producto matricial, la cantidad de cada materia prima que se requiere para realizar dicho pedido.

b. Determine, a través del producto matricial, el costo total que gastará la empresa para producir todos los balones.

2. La fábrica «Chinchín’s her» produce a mano tres modelos de zapatos de caballero. Cada par de modelo rockero requiere 5 horas de confección y 2 horas de acabado; el modelo clásico, 3 horas de confección y 1 hora de acabado, y el modelo sport, 4 horas de confección y 1 hora de acabado. El costo por hora de mano de obra de confección es de S/. 15 y de acabado S/. 10.

a. Elabore una matriz H que proporcione el número de horas de confección y acabado para cada par de zapatos según modelo. Además, construya una matriz C que muestre el costo por hora de confección y acabado.

b. Mediante el producto de las matrices H y C, obtenga la matriz de costos de producir un par de zapatos de cada modelo.

3. Tres familias, A, B y C, van a ir de vacaciones a una ciudad en la que hay tres hoteles, H1, H2 y H3. La familia A necesita dos habitaciones dobles y una sencilla; la familia B, tres habitaciones dobles y una sencilla, y la familia C, una habitación doble y dos sencillas.Los precios, en soles, de las habitaciones en cada hotel se muestran en la siguiente tabla:

H1 H2 H3Habitación doble 80 100 50Habitación sencilla 50 60 30


Unidad 2 | Matrices

153

a. Elabore una matriz M que proporcione el número de habitaciones (dobles o sencillas) que necesita cada una de las tres familias, y una matriz P que contenga el precio de cada tipo de habitación en cada uno de los tres hoteles.

b. Obtenga, mediante producto de matrices, el gasto diario que refleje lo que tendría que pagar cada una de las tres familias en cada uno de los tres hoteles.

4. Mihaly y Agustín le organizaron una fiesta a Nancy por su cumpleaños, pero, como había ley seca

por elecciones, compraron solamente jugo y gaseosa. Mihály compró tres botellas de gaseosa y dos de jugo, y Agustín compró dos botellas de gaseosa y cuatro de jugo. La botella de gaseosa costaba S/. 7 y la de jugo S/. 6.

a. Escriba una matriz Q que muestre lo que compraron Mihaly y Agustín. b. Escriba una matriz P que muestre el precio por botella y, a través del producto matricial,

determine la cantidad de dinero que gastó cada uno. c. Si Mihaly y Agustín pagaron con un billete de S/. 50 y S/. 100, respectivamente, y en la fiesta les

devolvieron el 20 % de lo que gastaron, usando operaciones con matrices, determine cuánto dinero tienen actualmente.

5. La compañía de peluches «J&H» recibió un pedido del parque de diversiones Magic World: 900

pandas gigantes y 1 200 conejos. La gerencia de J&H ha decidido confeccionar 500 pandas y 800 conejos en su planta de Lince y el resto en Surco. Cada panda requiere de un 1,5 m2 de felpa y 30 m3

de relleno, y cada conejo, 2 m2 de felpa y 35 m3 de relleno. La felpa cuesta $ 4,5 por metro cuadrado, y el relleno, $ 0,20 por metro cúbico. Determine:

a. La matriz 2 2Q × , que indique la cantidad que se producirá en cada planta, y la matriz 2 2M × , que señale la cantidad de material requerido en cada modelo.

b. La cantidad de cada tipo de material que se debe adquirir en cada planta mediante producto de matrices.

c. El costo total de cada planta para cubrir el pedido mediante producto de matrices.

6. Las tres sucursales de la cadena de la tienda «Calzamoda» venden zapatos, zapatillas y botas. La tienda 1 vende 900 pares de zapatos, 600 pares de zapatillas y 750 pares de botas al mes. La tienda 2 vende, en pares, 1 500 zapatos, 900 zapatillas y 950 botas al mes. La tercera tienda vende, en pares, 1 150 zapatos, 825 zapatillas y 800 botas. Si se venden los zapatos a S/. 120 cada par, las zapatillas en S/. 100 el par y las botas a S/. 150 el par, encuentre los ingresos mensuales en cada una de las tiendas a través del producto de matrices.



Muchos de los problemas se reducen a resolver un sistema de ecuaciones lineales. Se ha visto en la educación secundaria métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables, tales como el método de igualación, sustitución, eliminación, etcétera.

En esta sección, se desarrollará la regla de Cramer para resolver, bajo ciertas condiciones, un sistema de n ecuaciones lineales con n variables; incluso el valor de cada variable se puede determinar independientemente de las otras. Esta regla se basa en un concepto sobre las matrices cuadradas, llamado el determinante.

Definición

Un sistema de ecuaciones lineales (SEL) es una colección de dos o más ecuaciones lineales, cada una con dos o más variables. Una solución de un SEL consta de valores de las variables, para los cuales cada ecuación resulta un enunciado verdadero.

Sea el SEL

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + =

Este SEL se puede representar de forma matricial como:

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn n m

a a a x ba a a x b

a a a x b

=

o AX = B,

donde

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

=

A

es la matriz de coeficientes del sistema,

1

2

n

xx

x

=

X

es

la matriz de variables y

1

2

m

bb

b

=

B

es la matriz de números independientes de la variable.

2.3. Sistema de ecuaciones lineales. Determinantes y la regla de Cramer


Unidad 2 | Matrices

155

a. 2 3 1

2 23 2

x y zx y z

x y z

− + =− + + = + − = −

... ... ... 1... ... ... 2... ... ... 2

xyz

= −

b. 4 5 1

6 2x y z

x y z− + =

− + + =

=

Determinante de una matriz

Sea A una matriz cuadrada, el determinante de A se denota por det(A) o |A|.

Para una matriz A = [a], de orden 1 × 1, se define det(A) = a.

• Determinante de una matriz 2 × 2

Para la matriz A = 11 12

21 22

a aa a

, se define por 11 1211 22 21 12

21 22

det( )a a

a a a aa a

= = −A

Por ejemplo, si2 31 5

=A , entonces |A| = (2)(5) – (1)(3) = 7

• Determinante de una matriz 3 × 3

El determinante de una matriz 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

=

A se define por:

11 12 1322 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 1332 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a= = − +A

Observe que la matriz de orden n − 1, correspondiente al elemento a1j, se obtiene eliminando la fila 1 y la columna j de la matriz A.

Ejemplo 2

Para calcular el determinante de la matriz 2 1 42 4 01 0 1

=

A

Ejemplo 1

Represente en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:



En general, para calcular el determinante de una matriz cuadrada A, se puede utilizar el desarrollo de cualquier fila o columna de A, pero tomando en cuenta el signo de los coeficientes determinado por (–1)i+j. En el ejemplo último, se desarrolló la primera fila:

11 12 1322 23 21 23 21 221 1 1 2 1 3

21 22 23 11 12 1332 33 31 33 31 32

31 32 33

( 1) ( 1) ( 1)a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a a a aa a a

+ + += = − + − + −A

Ejemplo 3

Halle los determinantes de las siguientes matrices:

a. 2 1 01 3 43 0 1

= − −

A

b. 3 2 02 8 30 0 1

= − −

A

Primero, se desarrolla según la definición: |A| = 4 0 ... ... ... ...

(2) (1) (4)0 1 ... ... ... ...

− +

Luego, se tiene |A| = (2)(4) – (1)(2) + (4)(−4) = −10


Unidad 2 | Matrices

157

Regla de Cramer

Para un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, considere lo siguiente:

D: matriz de coeficientes del sistema.Dj: matriz obtenida al reemplazar la j-ésima columna de D por la columna de constantes.

Si 0≠D , entonces el sistema tiene una única solución y se puede usar el método.La solución del sistema está dada por:

xx =DD

, yy =DD

, …, zz =DD

La regla de Cramer tiene la ventaja de poder determinar el valor de cada variable independientemente de las demás, sin embargo, tiene una desventaja: solo se puede resolver el SEL siempre que el determinante de la matriz de coeficientes sea diferente de cero, es decir, 0≠D .

Ejemplo 4

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales por la regla de Cramer.

2 3 50

x yx y

+ = − =

Si la matriz de coeficientes es2 3.... .....

=

D y su determinante

2 3.......

.... ....= =D ,

¿Se puede aplicar la regla de Cramer?……¿Por qué?........................................

5 3.....

0 1x = =−

D y 2 .....

......1 .....y = =D

.......x = = e ........y = =

Entonces, el CS = {(……;……)}



Ejemplo 5

Resuelva el SEL 3

2 43 2 6

x y zx y zx y z

+ + = + + = + + =

por la regla de Cramer.

Ejemplo 6

¿Se puede resolver el SEL 2 4 6

2 32 1

x y zy z

x y z

+ + = + = + + =

por la regla de Cramer?

Ejemplo 7

Determine el valor o valores de a para que 5

2 3 10x ayx y

+ = + =

tenga solución única.


Unidad 2 | Matrices

159

Ejemplo 8

Determine el valor de x del SEL 2 3 34 4 7 36 6 5 3

x y zx y zx y z

− − = + + =− + + = −

Ejemplo 9

Al resolver un SEL por la regla de Cramer, se obtiene2 31 1x =

−D y

4 25 1y =D . Deduzca un sistema

de dos ecuaciones con dos variables.

A partir de xD y yD , se observa que la columna de términos independientes es 21

y la matriz de

coeficientes es 4 35 1

−

Por lo tanto, un SEL es 4 3 25 1

x yx y

+ = − =

.

Ejemplo 10

Al resolver un SEL por Cramer, se obtiene 13 3 4

4 1 24 5 1

x

−=

− −D y

2 3 131 1 43 5 4

z

−=

−D .

Deduzca un sistema de tres ecuaciones con tres variables.



Ejercicios 2.3

1. Evalúe cada uno de los siguientes determinantes:

a. 4 00 2−

b. 8 05 0

c. 1 7 90 5 40 0 10

− −d.

3 2 10 0 01 5 8

−

−

2. Dadas las matrices 2 13 2

− = −

M y3 01 2

−= −

N , calcule el determinante de cada una de ellas.

3. Determine los valores del número real x para que el determinante de la matriz1 1

2 2

x

x

−=

+ A

sea diferente de cero.

4. Sea matriz1 bc bc x

= +

A . Determine todos los valores de x para los cuales el determinante es 1.

5. ¿Para qué valor de a el determinante de la matriz 1 1 42 1 01 3 1

a

a

+ − = − − −

A es igual a 1?

6. Dada la matriz 1 1 10 1 15 1 0

−

, halle su determinante.

7. Halle el determinante de la matriz1 2

2 2 2 41 3 3

x xx x

+ = +

A

8. Mediante la regla de Cramer resuelva:

a. 2 3 11

2 2x yx y

− = −

+ = − b. 5 73 4 18

x yx y

+ =

− =

c. 2 4 15

3 6 152 3 11

x y zx y zx y z

+ + =

+ + = + − =

d. 5 3 2 18

4 2 43 2 11

x y zx y zx y z

− + = + + = − − + =

e. 2 3 1

2 63 2 13

x y zx y zx y z

− − = −

+ + = + − =

f. 2 72 2 0

3 17

x y zx y zy z

+ − = −

− + = + =


Unidad 2 | Matrices

161

2.4. Sistema de ecuaciones lineales. Método de reducción de matrices

En la sección anterior, se presentó un método para resolver un sistema de n ecuaciones lineales con n variables, pero este método no resuelve todo tipo de sistema de ecuaciones lineales. ¿Qué pasaría si el determinante de la matriz de coeficientes del sistema fuera igual a cero? ¿Qué ocurriría si el número de ecuaciones fuera distinto al número de variables? Ahora se utilizará un método equivalente al de eliminación, pero basado en las matrices y las operaciones elementales entre filas. Este método es más rápido y sencillo para hallar soluciones en estos casos.

Para un sistema de ecuaciones lineales

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + =

,

se define la matriz aumentada del SEL a

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...

...

n

n

m m mn m

a a a ba a a b

a a a b

Ejemplo 1

Escribir la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.

a. 2 3 1

2 23 2

x y zx y zx y z

− + =

− + + = + − = −

..... ..... ..... .......... ..... ..... .......... ..... ..... .....

b. 4 5 1

6 2x y z

x y z− + =

− + + =

Operaciones elementales sobre las filas de una matriz

i. Intercambio de filas de una matriz (Fi ↔ Fj)

Por ejemplo, si deseamos intercambiar la fila 1 con la fila 2 hacemos lo siguiente:

1 2F F3 1 52 6 1

↔ →

2 6 13 1 5



Ejemplo 2

1 2F F

1 3 4 ..... ..... .....0 2 7 ..... ..... .....6 5 1 6 5 1

↔

− →

ii. Multiplicación de la fila de una matriz por un escalar diferente de cero (cFi)

Por ejemplo, si deseamos multiplicar por 3 la fila 2, hacemos lo siguiente:

23F3 1 5 3 1 5 3 1 52 6 1 2(3) 6(3) 1(3) 6 18 3

→ =

Ejemplo 3

21F2

3 1 5 3 1 52 6 1 ..... ..... .....

− →

iii. Suma de un múltiplo de una fila de una matriz a una fila diferente de esa matriz (Fj →cFi + Fj)

Por ejemplo si deseamos multiplicar por (–4) a la fila 1 y sumarla a la fila 2, hacemos lo siguiente:

2 1 2F 4F F3 1 5 3 1 5 3 1 52 6 1 4(3) 2 4(1) 6 4(5) 1 10 2 19

→− + → = − + − + − + − −

Ejemplo 4

3 1 32 1 2 F (1/3)F FF 2F F

1 3 4 ..... ..... ..... ..... ..... .....0 2 7 ..... ..... ..... ..... ..... .....6 5 1 ..... ..... ..... ..... ..... .....

→ +→ +

− → →

Se dice que dos matrices son de fila equivalentes si una de ellas se obtiene de la otra mediante transformaciones elementales por fila.


Unidad 2 | Matrices

163

Forma escalonada de una matriz

Se denomina forma escalonada de una matriz si cumple las siguientes condiciones:

i. El primer número diferente de cero de cada fila, leyendo de izquierda a derecha, es 1. Se llama elemento inicial.

ii. El elemento inicial de cada fila se encuentra a la derecha del elemento inicial de la fila inmediata superior.

iii. Todas las filas nulas se encuentran en la parte inferior de la matriz.

Ejemplo 5

Indique, encerrando en una circunferencia, el elemento inicial en cada una de las siguientes matrices escalonadas.

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

=

A , 1 0 00 0 00 0 0

=

B , 1 0 7 00 1 5 0

=

C ,

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1 0

=

D

Las matrices A, B y C son matrices escalonadas por filas; pero la matriz D no es una matriz escalonada por fila, pues la posición 43 1d = y debería ser 0.

Ahora, construya dos matrices escalonadas, una de orden 3 × 3 y otra de orden 3 × 4.

=

N =

M

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial, se usan operaciones elementales por filas con el objetivo de llegar a una matriz en forma escalonada. Esta técnica se llama método de reducción de matrices.

Ejemplo 6

Utilizaremos el método de reducción de matrices para resolver el SEL 3

2 43 2 6

x y zx y z

x y z

+ + = + + = + + =

a. La matriz aumentada es 1 1 1 32 1 1 43 2 1 6

b. Al aplicar operaciones elementales por filas se obtiene:



3 1 32 1 2 F 3F FF 2F F

1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 32 1 1 4 0 1 1 2 0 1 1 23 2 1 6 3 2 1 6 0 1 2 3

→− +→− +

→ − − − → − − − − − −

3 2 3F F F

1 1 1 30 1 1 20 0 1 1

→− +

→ − − − − −

c. Se observa que de la última matriz se obtiene: 321

x y zy z

z

+ + = − − = − − = −

d. Finalmente, de la última ecuación se obtiene z = 1, se reemplaza este valor en la segunda ecuación –y – (1) = –2 y se obtiene y = 1. Luego, se reemplazan estos valores en la primera ecuación: x + (1) + (1) = 3, de la cual se obtiene x = 1.

Por lo tanto, el CS = {(1; 1; 1)}

Ejemplo 7

Utilizaremos el método de reducción de matrices para resolver el SEL2 4 62 4 6

2 1

x y zy z

x y z

+ + = + = + + =

.

a. La matriz aumentada es 1 2 4 6..... ..... ..... .......... ..... ..... .....

b. Al aplicar transformaciones elementales por filas, se obtiene:

3 1 3 3 2 3F F F F F 2F

1 2 4 6 1 2 4 6..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .......... ..... 2 5 ..... ..... 0 .....

→− + → + → → − −

c. De la última matriz se obtiene el sistema 2 4 6

................ ..... .............. .......

x y z+ + = = =

d. Finalmente, de la última ecuación se deduce que: ………………………..

Así, el CS = ……..

Ejemplo 8

Resuelva el SEL 2 6

33 2 9

x y zy z

x y z

+ + = + = + + =


Unidad 2 | Matrices

165

Luego de ordenar el sistema de ecuaciones lineales, se aplican operaciones elementales entre las filas de la matriz con la finalidad de reducirla a escalonada.

3 1 3 3 2 3F F F F F F

1 2 1 6 1 2 1 6 1 2 1 60 1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 31 3 2 9 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

→− + →− + → →

¿Es esta una matriz escalonada?.......................

La ecuación que se deduce de la última fila se puede escribir como 0 ∙ z = 0.

Se observa que esta ecuación se cumple para cualquier valor real de z, es decir, para todo z ∈ R.

Se utiliza un parámetro t para representar a cualquier número real. Por ejemplo, sea z = t.

Se reemplaza este valor en la segunda ecuación y + (….) = 3, y

el valor de y en términos de t es y =……….

Luego, se reemplazan los valores de y e z en la primera ecuación: x + 2(……) + (…) = 6.

El valor de x en términos de t es x =…..…..

En resumen, {(…..; ….. ; t ) / t ∈ R }

Si se plantean como condición que los valores de x, y e z son enteros positivos, entonces se analiza a partir de z = t.

Para t = 1, se tiene z = …., y = …., x = ….,

t = 2, se tiene z = …., y = …., x = ….,

t = 3, se tiene z = …., y = …., x = …., pero aquí y ya no es positivo.

Por lo tanto, CS = {(....;....;....),(....;....;....)}



Ejemplo 9

Resuelva el SEL 2 3 6

4 8 12 25x y zx y z

+ + =

+ + =.

Al reducir la matriz aumentada 2 1 2F 4F F1 2 3 6 1 2 3 64 8 12 25 ..... ..... ..... ....

→− + →

a. ¿Qué se obtiene en la segunda fila? ............................

b. ¿Cómo queda la última ecuación? …………………..

c. ¿Qué valor o valores toma z? ………………………..

d. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema? .................

Ejemplo 10

a. Resuelva el SEL 3 6

2 14 3 5 5

x y zx y zx y z

+ − = − + = − + + =

.

b. Al aplicar operaciones elementales sobre la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales, se obtuvo 2 1 1 4

0 3 4 70 0 0 5

− −

. ¿Cuál es su conjunto solución?


Unidad 2 | Matrices

167

c. Resuelva el SEL 3 6

2 15 4

x y zx y zx y z

+ − = − + = − − − =

.

d. Resuelva el SEL 2 3 1

2 3 65 6 6

x y zx y z

x y z

− + = − + − =− − + = −

.



e. Resuelva el SEL 2 6 52 3 3

6 5 6 7

x y zx y z

x y z

+ + = − + = − + =

.

f. Resuelva el SEL 4 2 3

2 5 128 5 11 30

x y zx y z

x y z

+ − = − − + = + + =

.


Unidad 2 | Matrices

169

Ejercicios 2.4

1. Resuelva mediante reducción de matrices.

a. 2 5

2 5 8x y

x y+ =

− = − b. 2 0

3 65 10 5 0

x y zx y z

x y z

+ − = − + =− − + =

c. 2 4 6

2 32 1

x y zy z

x y z

+ + = + = + + =

d. 3 2 4 0

3 14 2 2 3

x y zx y zx y z

− + = − + = + − =

e. 2 7

2 4 32

x y zx y z

y z

+ + = − = + + =

f. 2 8

4 32 2 12

x y zx y z

x y z

− + = − = + − − =

g. 3 4

2 76 5 3( )

x y zz y xy x z

− + = − = − − = +

h. 3 5 6

5 7 24 3

x y zx y z

y z

+ − = + = − − =

i. 1

3 45 5 1

x y zx y z

x y z

+ + = − − = + + = −

j. 3 5

2 8 41

x y zx y z

x y z

− − = − + = + + − = −

k. 2 2 5

2 4 3x y z

x y z− + =

+ − = −

2. Observe cada una de las matrices aumentadas como la matriz de un sistema de ecuaciones lineales. Sin resolver el sistema, diga si tiene una única solución, infinitas soluciones o no tiene solución.

a. 3 2 50 1 3

−

b. 2 1 4 60 4 1 50 0 2 1

− −

c. 3 3 0 40 1 3 20 0 0 0

− − −

3. Al resolver un SEL por el método de reducción, se obtuvo la matriz aumentada:

2 1 1 40 0 3 120 2 0 4

− − −

¿El CS de dicho sistema es ( ){ }2; 2; 4− − ?

4. Determine los valores de a, b y c si se sabe que la ecuación 2y ax bx c= + + tiene como conjunto solución los pares ordenados (–2; –32), (1; 4), (3; –12).



2.5. Aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales

Problema 1

Una empresa produce tres tipos de zapatos para dama: económico, estándar y de lujo. Para fabricar cada par de zapatos, se necesitaron unidades de caucho, cuero y cuerina, tal como se indica en la siguiente tabla:

Caucho (Und.) Cuero (Und.) Cuerina (Und.)Económico 1 2 1Estándar 1 3 1De lujo 1 5 2

La compañía tenía en stock 400 unidades de caucho, 1 500 de cuero y 600 de cuerina. Si la compañía utilizó todas sus unidades de materiales, ¿cuántos pares de zapatos de cada tipo se fabricaron?

Después de leer el problema y entender de qué trata, se empezarán a definir nuestras incógnitas a partir de la pregunta.

Sean x el número de pares de zapatos económicos, y el número de pares de zapatos estándar y z el número de pares de zapatos de lujo.

Si se dispone de 400 unidades de caucho y para cada par de zapato económico se utiliza una unidad. Entonces, en x pares de zapatos, se usarán x unidades; en y pares de zapatos estándar, y unidades, y en z pares de zapatos de lujo, se usarán z unidades. Así, se tiene la ecuación:

x + y + z = 400

Del mismo modo, se dispone de 1 500 unidades de cuero; por lo tanto, se tiene la ecuación:

2x + 3y + 5z = 1 500

Igualmente, se dispone de 600 unidades de cuerina. Así, se tiene la ecuación:

x + y + 2z = 600

Luego, el SEL es 400

2 3 5 15002 600

x y zx y zx y z

+ + = + + = + + =

y resolviendo se tiene:

2 1 2

3 1 3

F 2F F

F F F

1 1 1 400 1 1 1 4002 3 5 1500 0 1 3 7001 1 2 600 0 0 1 200

→− +

→− +

→

De aquí se obtiene que z = 200, y = 700 – 3(200) = 100 y x = 400 – (100) – (200) = 100Por lo tanto, se fabricaron 100 pares de zapatos económicos, 100 pares de zapatos estándar y 200 pares de zapatos de lujo.


Unidad 2 | Matrices

171

Problema 2

La siguiente tabla muestra las horas de producción que requieren un auto, una camioneta y una moto en cada departamento de la empresa «Jogu S. A.» y el total de horas disponibles de cada una de ellas.

Autos Camionetas Motos DisponibilidadEnsamblado mecánico 1 2 1 95 horasEnsamblado electrónico 3 5 2 240 horasAcabados 2 4 1 175 horas

¿Cuántos autos, camionetas y motos se producirían si se utilizaran todos los recursos?



Problema 3

«Hogar Center» aprovecha la fuerte demanda navideña para distribuir y vender arbolitos de navidad. Para ello, lanza al mercado tres modelos: económico, comercial y exclusivo. El primer modelo pesa 4 kg y viene en una caja de 1 m3, el segundo pesa 10 kg y tiene una caja de 2 m3 y el último modelo pesa 20 kg y su caja mide 3 m3. Cada uno de los camiones de entrega tiene 80 m3 de espacio y puede contener un máximo de 480 kg. Para que un camión esté totalmente cargado, ¿cuántas cajas de cada modelo debe llevar?

Aquí, los datos están dispersos y se deben ordenar en una tabla de la siguiente manera:

Económico Comercial Exclusivo TotalPeso (kg) 4 10 20 480Volumen (m3)

Se definen las variables: x = n.° de cajas del modelo ……………………y = n.° de cajas …………………………………z = n.° de cajas …………………………………

Del enunciado se obtienen las ecuaciones:

4 10 20 480...... ....... ...... ........

x y z+ + = + + =

Resolviendo el SEL:

...... ...... ...... ........

...... ...... ...... ........

Respuesta:


Unidad 2 | Matrices

173

Problema 4

Juan decide invertir una cantidad de S/. 45 000 en la bolsa; para ello, compra acciones de tres empresas, A, B y C. Invierte en A tanto como en B y el doble de C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A se han revalorizado un 1 %; las de B, un 2 %, y las de C han perdido un 5 % de su valor original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido una ganancia de S/. 300. Determine cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas.



Problema 5

La fábrica «J&M S. A.» cuenta con 500 unidades de aluminio, 996 de madera y 620 de vidrio, para confeccionar tres tipos de casetas para vigilancia: personal, estándar y central. Cada caseta personal utiliza 8 unidades de aluminio, 20 de madera y 10 de vidrio; una caseta estándar, 11 unidades de aluminio, 15 de madera y 12 de vidrio, y una caseta central, 5 unidades de aluminio, 12 de madera y 10 de vidrio. ¿Cuántas casetas de cada tipo se pueden confeccionar utilizando todas las unidades de aluminio, madera y vidrio existentes en la fábrica?


Unidad 2 | Matrices

175

Ejercicios 2.5

1. En la Bolsa de Valores de Lima, un inversionista le indica a su corredor que todas sus acciones pertenecen a tres compañías: Atajov, Edelsur y Ferroperú, y que hace dos días el valor de todas ellas disminuyó en $ 350, pero que ayer aumentaron en $ 600.El corredor recuerda que hace dos días, cada acción de Atajov y Edelsur bajo en $ 1 y $ 1,5, respectivamente, pero que Ferroperú incrementó en $ 0,5 cada acción. También recuerda que ayer cada acción de Atajov subió $ 1,5, cada acción de Edelsur bajó $ 0,5 y Ferroperú incrementó $ 1 por acción.

a. Con los datos del problema, ¿el corredor podrá determinar exactamente la cantidad de acciones que posee el inversionista en cada compañía?

b. Si además el inversionista indica que en Ferroperú posee un total de 200 acciones, ¿cuántas acciones posee en cada empresa?

2. Una plaga ha atacado las plantaciones de una empresa agrícola. Para controlarla se usan tres productos químicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 del B y 8 del C. En el mercado existen tres tipos de pesticidas, X, Y, Z, que combaten este tipo de plaga. Un galón de marca X contiene los químicos A, B y C en las proporciones de 1, 2 y 1 unidades, respectivamente. El galón de marca Y contiene los químicos en las proporciones de 2, 1 y 3 unidades, respectivamente, y uno de marca Z los contiene en la cantidad de 3, 2 y 1 unidades, respectivamente. ¿Qué cantidad de cada marca debe adquirir la empresa para fumigar las plantaciones con las cantidades exactas de los químicos requeridos para el control de la plaga?

3. La empresa «Souvenir S. A.» quiere producir tres tipos de recuerdos: lapiceros, polos y llaveros. Para fabricar un lapicero se necesitan 2 minutos en la máquina I, 1 minuto en la máquina II y 2 minutos en la máquina III. Un polo requiere un 1 minuto en la máquina I, 3 en la máquina II y 1 en la III. Un llavero requiere 1 minuto en la máquina I y 2 minutos en cada máquina II y III. Hay 3 horas disponibles en la máquina I, 5 horas disponibles en la máquina II y 4 horas en la III para procesar un pedido. ¿Cuántos recuerdos de cada tipo debe fabricar la compañía para utilizar todo el tiempo disponible?

4. Una fábrica de muebles posee tres aserraderos, A, B y C, en las cuales se corta madera a razón de 60 m3, 45 m3 y 30 m3 por día, respectivamente. La madera se distribuye a dos fábricas de muebles M y N que necesitan 65m3 y 70m3 por día, respectivamente. Los costos de transporte en dólares por metro cúbico desde los aserraderos hasta las fábricas se muestran en la siguiente tabla.

Hasta la fábrica M Hasta la fábrica NA 1,5 3,0B 3,5 2,0C 2,9 1,9

Considere que:



– Toda madera cortada por día en los aserraderos se debe emplear para satisfacer la demanda diaria de las dos fábricas.

– Los costos de transporte de la madera recibida por la fábrica M desde el aserradero A son iguales a los costos de transporte de la madera recibida por la fábrica N desde el aserradero B por día.

– Los costos totales de transporte de la madera desde los aserraderos a las fábricas ascienden a $ 242 por día.

Determine las cantidades de madera transportadas desde los aserraderos A, B y C a las fábricas M y N.

5. Una persona trata de conocer, mediante ciertos datos, el costo de tres productos, A, B y C, que un amigo suyo ha comprado:

Dato 1: si compro una unidad de A, dos de B y una de C, me gasto S/. 900.Dato 2: si compro a unidades de A, a + 3 unidades de B y tres de C me gasto S/. 2 950.

a. ¿Hay algún valor de a para el cual estas dos pistas no son compatibles? b. Si en el dato 2 se toma a = 4, ¿es posible saber el costo de cada uno de los productos?

Dato 3: el amigo le dice finalmente que el producto C vale 5 veces lo que vale el producto A y que en el dato 2 se tiene a = 4.

c. ¿Cuánto valen A, B y C?

6. En la última feria de dulces y alfajores del norte del Perú, Carmen envasó y vendió 60 cajas de alfajores: pequeños (250 gr), medianos (500 gr) y grandes (1 kg). Ella indicó que habían 5 cajas más de tamaño pequeño que las de tamaño mediano. Sabiendo que el precio por kilogramo de alfajor es de $ 40 y que el importe total de la venta fue de $ 1 250, determine cuántas cajas de cada tipo se envasaron y vendieron.

7. Una tienda de Lima se especializa en mezclas de café. El dueño desea preparar bolsas de un kilogramo que se vendan en $ 8,5 combinando granos de Colombia, Brasil y Perú. El costo por kilogramo de estos cafés es de $ 10, $ 6 y $ 8, respectivamente. En cada bolsa, la cantidad de café de Colombia debe ser el triple de la cantidad de café de Brasil. Obtenga la cantidad de cada tipo de café en la mezcla.


Unidad 3: Gráfica de ecuaciones en el plano

Existe una expresión muy conocida que dice: «una imagen vale más que mil palabras». Esta afirmación es muy cierta. Imagínese que usted es el gerente de su empresa y revisa un informe sobre la evolución de sus costos totales e ingresos por la producción y venta de sus artículos. A usted le demandará tiempo para leer el documento, procesar y analizar la información si solo le presentan párrafos de escritura, tablas, cuadros, etcétera. Pero con un gráfico, fácilmente podrá observar a golpe de vista lo que ocurre, analizar y tomar decisiones. A continuación, se desarrollarán los elementos necesarios para trazar gráficas en el plano cartesiano.

Un sistema de ejes coordenados rectangulares se forma cuando dos rectas perpendiculares se intersecan entre sí. También se denomina sistema de coordenadas cartesianas.

Figura 3.1

IVIII

II I

4

5

3

2

1

–1–1–2

(–3; 1)

(2;–2)

(4;2)(1;2)

(2;4)

–3–4

–2

–3

10 2 3 4 5

Y

X

Cada pareja de números (1; 2), (−3; 1) y (2; −2) es ejemplo de un par ordenado y se corresponde con un punto del plano. A los dos números se les llama componentes del par ordenado o coordenadas del punto. Observe que el punto correspondiente al par (4; 2) es diferente del punto correspondiente al par (2; 4). Los ejes forman cuatro cuadrantes.

3.1. Sistema de coordenadas rectangulares



En la figura 3.1, la recta horizontal se llama eje X; y la recta vertical, eje Y. El punto común 0 se denomina origen.

El punto P con coordenadas a y b reales se escribe P(a; b). Al número a se le llama abscisa de P y se ubica en el eje X, al número b se le denomina ordenada de P y se encuentra en el eje Y.

Ejemplo 1

Ubique los siguientes puntos en el sistema de coordenadas rectangulares:

A(5; 2) B(−3; 2)C(0; 3)D(−2; −3)E(3; −1)F(1; 0)G(−4; 9/2)

H( 20; 5)

Ejemplo 2

a. Si (ab2; −b) ∈ III cuadrante; entonces se puede deducir que ambas componentes son negativas, es decir, ab2 < 0 y −b < 0. De lo anterior, se obtiene que a < 0 y b > 0. Así, se determina a qué cuadrante pertenecen los siguientes pares ordenados:

(a; b) ∈ II (−a; b) ∈ ….. (−b; a) ∈ ….. (a − b; ab) ∈ …..

b. si ( 2

ab

; b) ∈ II cuadrante, ¿en qué cuadrante se ubica el punto (ab; −b)?

Ecuaciones y gráficas

Generalmente, se relacionan dos cantidades, representadas por variables, mediante una ecuación o fórmula.

Una solución de una ecuación E(x; y) = 0 en dos variables x e y es un par ordenado (a; b) de números, tal que la sustitución del primer número en x y el segundo número en y proporciona un enunciado verdadero.

4

5

3

2

1

–1–1–2–3–4

–2

–3

10 2 3 4 5

Y

X


Unidad 3 | Gráfica de ecuaciones en el plano

179

Por ejemplo, (2; −1) es una solución de la ecuación y = −2x + 3, porque cuando se sustituye a x por 2 y a y por −1 se obtiene:

−1 = −2(2) + 3 −1 = −1

que es un enunciado verdadero.

Definición

La gráfica de una ecuación es el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas son soluciones de la ecuación.

Ejemplo 3

Dada la ecuación y = −2x + 3 a. Determine cuáles de los siguientes puntos son soluciones:

A(0; 3) síB(3; −3) C(1; −2) D(−1; 5) E(3/2; 0)

b. Trace la gráfica de la ecuación haciendo su respectiva tabulación.

x −2 −1 0 1 2y 7 5 3

En el ejemplo, el punto de intersección de la gráfica con el eje X es (3/2; 0), y el punto de intersección de la gráfica con el eje Y, (0; 3). Se puede observar la característica que tienen estos puntos.

Interceptos con los ejes coordenados

• Los puntos de la gráfica que intersecan al eje X son de la forma (a; 0), donde a se obtiene de y = 0 en la ecuación.

• Los puntos de la gráfica que intersecan al eje Y son de la forma (0; b), donde b se obtiene de x = 0 en la ecuación.

4

5

3

2

1

–1–1–2–3–4

–2

–3

10 2 3 4 5

Y

X



Ejemplo 4

Trace la gráfica de la ecuación y = 4 – x2 y señale las intersecciones con los ejes coordenados.Para graficar la ecuación, se necesitan obtener algunos pares ordenados que sean soluciones de

la ecuación. Para ello, se elabora una tabla y se dan algunos valores arbitrarios a x, luego se calculan los valores correspondientes de y en la ecuación y, por último, se forman los pares (x; y).

x y (x; y)−2 0 (−2; 0)−1 3 (−1; 3)0 412

Las intersecciones con los ejes coordenados aparecen en las celdas sombreadas producto de la tabulación. Pero no siempre ocurre de esa manera.

Ejemplo 5

Trace la gráfica de la ecuación 2y x= + y señale las intersecciones con los ejes coordenados.Si se tomaran valores de x menores a −2, no se obtendrían valores reales para y; ya que resultarían

raíces de números negativos. En este caso, solo se tomarán valores de x mayores o iguales a −2, de preferencia aquellos que hacen que la raíz sea exacta.

x y (x; y)−2−1027

4

5

3

2

1

–1–1–2–3–4

–2

–3

10 2 3 4 5

Y

X

4

5

3

2

1

–1–1–2–3

–2

–3

10 2 3 4 5

Y

X



181

Ejemplo 6

Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones:

a. 22xy = −

b. y = x2 − 3

c. y = x2 − 3x

d. y = 2x

e. x = y2 – 3



Ejercicios 3.1

1. Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano:

A(−2; 0) B(3; −1)C( 13 ; 2) D(−5/2; 4)E(0; 17 ) F(1; e)

2. Determine las coordenadas de los puntos que se muestran en la siguiente figura:

B

C

10 2 3 4 5–3–4 –2 –1–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

E

F A

Y

D

X

G

3. Indique cuales de los siguientes puntos son soluciones de la ecuación y = 2x − x2.

a. (1; 1) b. (0; 0)c. (2; 0) d. (0; 2)e. (−1; −1) f. (1/2; 3/4)

4. Si el punto 2

( ; )a bb a

está en el III cuadrante, indique en qué cuadrante se encuentran los siguientes

puntos:

a. A(b – a; b) _____b. B(a; ab) _____c. C(a − 1; a − b) _____

5. Para cada ecuación, obtenga al menos cuatro soluciones.

a. y = 2 + x2

b. y + x = 2 c. y = 2 – x2

d. y – 2 = x e. y2 = x + 2



183

6. Relacione las ecuaciones del ejercicio anterior con las siguientes gráficas:

–10

0

1

1

1

2

0 1 2

2

1

2

1

2

3

2

3–1

I

II

III

–2

–1

–2

–2

–1

–1

–2

–2

–3

–1–2–3

Y

Y

X

Y

X

X

7. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones y determine sus interceptos con los ejes coordenados.

a. y = 3b. y = xc. y = x2

d. y = x3

e. y = x

f. y = 1x

g. x + 2y = 4h. y2 = x + 2



3.2. Ecuación de la recta

En la figura 3.2, se muestran las gráficas de dos líneas rectas no verticales, con diferente inclinación, que representan al costo y al ingreso en términos de la cantidad de unidades producidas y vendidas. Se observa que cuando la cantidad producida y vendida es mayor a 40 unidades, el ingreso es mayor al costo, por lo que se empieza a tener ganancias. Para que esto ocurra, la recta del ingreso debe estar más erguida que la del costo.

¿Cómo se mide esta inclinación de las rectas?Esta inclinación de las rectas se mide utilizando un concepto llamado pendiente.

Figura 3.2

400

500

600

S/.

Unid.

I

C300

200

100

100 20 30 5040 60 70

Y

X

Pendiente de una recta

Sea L una recta no vertical, tal como se muestra en la figura 3.3. Tomando como referencia cualquier punto de la recta, al hacer un cambio o variación (∆x) de x

se produce un cambio o variación (∆y) en y. Por lo tanto, la pendiente m de la recta L se define como la razón del cambio de y en relación al cambio de x, es decir:

cambio decambio de

y ymx x

∆= = ∆



185

Figura 3.3

Y

X

Δ�

Δ�

En la recta de la figura, si cada cuadrícula es una unidad, entonces m = 23

.

Ejemplo 1

Utilizando el concepto de pendiente, trace las gráficas de las rectas L1 y L2 que cumplen las siguientes condiciones:

a. L1 pasa por A(1; 2) y tiene pendiente m1 = 13

.

Para graficar a partir de A(1; 2) y la pendiente m1 = 13

yx

∆ =∆

, se ubica el punto B(4; 3).

b. L2 pasa por A(1; 2) y tiene pendiente m2 = −2.

Ahora, a partir de A(1; 2) y la pendiente m2 = 21

yx

∆ −=∆

, se ubica el punto C(…; …).

4

5

3

2

1

–1–1

–2

10 2 3 4 5 6

Y

X



Sea L una recta no vertical (ver figura 3.4) que pasa por los puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2). La pendiente m de la recta se calcula mediante la siguiente fórmula:

2 1

2 1

y yymx x x

−∆= =∆ −

Para la recta L de la gráfica, los puntos P1 y P2 son (2; 2) y (5; 4), respectivamente; entonces:

m = 4 2 25 2 3

− =−

Figura 3.4

Y

X

Δ�

Δ�

0 1

1

2

3

4

5

6

–1

2 3 4 5 6 7

P�(�2;�2)

P₁(�1;�1)

Ejemplo 2

Ubique los puntos A(−3; 0), B(2; 2), C(−3; 4) y D(3; 2) y determine la pendiente de los segmentos AB y CD.

4

5

3

2

1

–1–1–2–3 10 2 3 4

Y

X



187

Ejemplo 3

Ubique los puntos E(−3; 3), F(4; 3), G(2; 2) y H(2; −3) y determine la pendiente de los segmentos EF y GH.

4

5

3

2

1

–1–1–2–3 10 2 3 4

Y

X

Conclusión:A partir de los resultados obtenidos acerca de los signos de las pendientes en los ejemplos 2 y 3, se puede concluir que:

• Si m > 0 la recta L es ………………………… • Si m < 0 la recta L es …………………………• Si m = 0 la recta L es …………………………• Las rectas verticales no tienen pendiente definida.

A continuación, se presentarán tres formas de la ecuación de una recta, cada una con sus características particulares, pero equivalentes, las cuales se podrán usar según conveniencia o preferencia.

Forma punto-pendiente

Considere la recta L no vertical (ver figura 3.5) que pasa por el punto (x0; y0) y tiene pendiente m. Cualquier punto de la recta se puede representar por el par P(x; y) de variables x e y. Ahora, por

definición de pendiente se tiene:

0

0

y ym

x x−

=−

De aquí se obtiene la ecuación y – y0 = m(x – x0)



Figura 3.5

Y

X

P(�;�)

(�0;�0)

Por ejemplo, sea L una recta que pasa por los puntos A(2; 3) y B(–1; 9). Para determinar la ecuación de la recta L, se tomará como punto de paso a cualquiera de los dos, por ejemplo, A(2; 3).

Con los puntos A y B, se calcula la pendiente m = 9 3

( 1) (2)−

− − = −2.

Luego, la ecuación de L que se busca es y – 3 = –2(x – 2).

Forma ordenada en el origen

Ahora, al simplificar la ecuación anterior se llega a y = –2x + 7. Se observa que:

• La pendiente m = –2 aparece como coeficiente de la variable x. • Para x = 0 se obtiene y = 7, es decir, la recta interseca al eje Y en y = 7.

Esto sugiere la otra forma de la ecuación de la recta y = mx + b.



189

Ejemplo 4

En la figura 3.6, se muestran las rectas L1 y L2, cuyas ecuaciones son:

L1: b = −1 y m = ½, entonces 1 12

y x= −

L2: ………………………………………

Figura 3.6

Y

X

0 1

1

–1–1

2

�2�12

–2

–2

–3

3

3

4

4

5 6

Ejemplo 6

Determine la ecuación y trace la gráfica de la recta que:

a. Pasa por (0; 1) y tiene pendiente m = ½.

b. Pasa por los puntos (0; 3) y (5; −3).



c. Pasa por el origen y por el punto (3; 2).

d. Pasa por los puntos (0; 2) y (4; 2).

Ecuación general de la recta

A la ecuación Ax + By + C = 0, donde A y B no son ceros simultáneamente, se le denomina ecuación general de la recta.

Por ejemplo, 2x + 3y – 6 = 0 es una recta, donde despejando la variable y se obtiene2 23

y x= − + ,

con la cual 23

m = − y su gráfica interseca al eje Y en b = 2.

Rectas horizontales y verticales

En la ecuación general de la recta, si A = 0, la ecuación de la recta es horizontal, y si B = 0, la ecuación de la recta es vertical.Las ecuaciones de las rectas de la figura 3.7 son las siguientes:

L1: y = 3, para cualquier valor de x. L2: x = 2, para cualquier valor de y.

Figura 3.7

Y

X

0 1

1

–1

–1

2

�2

�1

2

–2

–2

3

3

4

4

5

5



191

Ejemplo 6

Halle la ecuación de las rectas que cumplen las siguientes condiciones:

a. Pasa por el punto (−1; 3) y es vertical.

b. Pasa por el punto (2; 5) y es horizontal.

Posiciones relativas de dos rectas

Dadas las rectas no verticales L1 y L2, cuyas pendientes son m1y m2, respectivamente, se deduce que:

• L1 y L2 son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente, es decir, m1= m2.• L1 y L2 son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es −1, es decir, m1 × m2 = −1.

Por ejemplo, si una recta tiene pendiente 123

m = − , entonces la pendiente de la recta perpendicular es 32

m = .

Ejemplo 7

Halle la ecuación de la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta 4x − 6y = 12.

Ejemplo 8

Halle la ecuación de la recta que pasa por (3; −2) y es perpendicular a la recta 4x + 2y = 9.



Ejemplo 9

Halle la ecuación de la recta que pasa por la intersección de L1: 3x + 5y = 9, L2: 2x – 5y = 1 y es perpendicular a L1.



193

Ejercicios 3.2

1. Halle la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas:

a. 3x + 2y − 7 = 0b. y = 3x + 5c. 4x + 5y = –20d. y + 2 = –4(x – 1)

2. Analice la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

a. 2x + 3y – 4 = 02x – 3y + 5 = 0

b. x – 2y + 1 = 02x – y + 3 = 0

c. 3x – 2y = 9 –3x + 2y = 1

d. 3x + y = 5x = 3y – 12

3. Encuentre las coordenadas del punto de intersección de las rectas: 3x – 4y = 5 y x + 2y = 5

4. Halle la ecuación de la recta L, que pasa por A(1; 5) y es paralela a la recta L1: 2x + y + 2 = 0.

5. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; –3) y es paralela a la recta que une los puntos (4; 1) y (–2; 2).

6. La recta L1: 3x + ny – 7 = 0 pasa por el punto A(3; 2) y es paralela a la recta L2: mx + 2y – 13 = 0. Calcule m y n.

7. Halle la ecuación de la recta paralela a la recta 3x + 4y + 2 = 0 que pasa por el punto (2; 3).

8. Determine el valor de m para que las rectas mx + y =12 y 4x – 3y = m + 1 sean paralelas.

9. ¿Qué pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las anteriores?

a. y = 3x – 2 , 6x – 2y = 0b. x = –2, y = 4c. x = 2(y – 2), y = –1/2(x – 1)d. 2x + 5y = 3, 10x – 4y = 7



10. En cada caso, encuentre la ecuación de la recta que pasa por (2; –1) y que:

a. Pasa por (–3; 5).b. Es paralela a 2x – 3y = 5.c. Es perpendicular a x +2y = 3.d. Es perpendicular al eje Y.

11. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas x + 2y = 1 y 3x + 2y = 5, y que es paralela a 3x – 2y = 4.

12. La recta L es perpendicular a la recta 2x + 3y = 6 y pasa por el punto (–3; 1). ¿En qué punto interseca L al eje Y?

13. Determine la ecuación de la recta que intercepta en su punto medio y en forma perpendicular al segmento que une a los puntos (7; 6) y (3; –2).

14. Una recta pasa por (3; 2) y su intersección con el eje Y (que es distinta de cero) es el doble de su intersección con el eje X. Halle la ecuación de la recta.

15. Halle el valor de k para el cual la recta kx – 3y = 10:

a. Es paralela a la recta y = 2x + 4.b. Es perpendicular a la recta y = 2x + 4.c. Es perpendicular a la recta 2x + 3y = 6.



195

3.3. Aplicaciones de rectas

Problema 1

Las ecuaciones del costo total y del ingreso obtenidas por la producción y venta de q unidades de un artículo están dadas por:

C = 4q + 80I = 6q en soles

a. Determine la ecuación de la utilidad.Se sabe que U = I – C = 6q – (4q + 80). Así, U = 2q – 80

b. Grafique las tres rectas, C, I, U, en el sistema de coordenadas de la figura 3.8.Si se sabe que las gráficas de C e I pasan por el punto de equilibrio, entonces:

I = C ⇒ 6q = 4q + 80 qe = 40, I = 240

Además, la gráfica de I pasa por b = 0 y la de C, por b = 80.

También, la gráfica de U pasa por b = –80 y por (40; 0), ya que el VMP = qe = 40.

Figura 3.8

0

80

20–80

40

C, I, U(S/.)

q (unidades)

240

160

60

320

80

480

400

560

640

100



Problema 2

Las ecuaciones del ingreso y de la utilidad de producir y vender q unidades de un artículo están dadas por:

U = 4q − 500I = 6q en soles

a. Determine la ecuación del costo total.b. Grafique las tres rectas en el sistema de coordenadas de la figura 3.9.c. Ubique en la gráfica el VMP.

Figura 3.9

0

200

50–200

–400

–600

100

C, I, U(S/.)

q (unidades)

600

400

150

800

200

1 200

1 000

250



197

Problema 3

Una PYME está interesada en producir un nuevo producto. Para ello, dispone de la información gráfica en la figura 3.10.

• La pendiente de la recta C señala que el costo por producto es $ 3.• La pendiente de la recta I indica que el ingreso por producto es $ 5.

El gerente del Departamento de Análisis de Costos desea saber:

a. ¿Cuántas unidades debe producir para recuperar la inversión?b. ¿Cuál es la ganancia obtenida por la venta de 550 unidades del producto?

Figura 3.10

q (unidades)

I$ C

U

500



Problema 4

El costo C de fabricar x artículos está dado por la ecuación C = 45x + 6 000 dólares. Cada artículo puede venderse en $ 60.

a. ¿Cuál es el ingreso por la venta de 500 artículos? ……………………………………………………………………b. Halle la ecuación del ingreso I por la venta de x artículos ………………………………………………………c. Halle la ecuación de la utilidad U por la venta de x artículos ……………………………………………………d. ¿Se obtendrá ganancia o pérdida al vender 500 artículos? ………………………………………………………e. En un mismo sistema de coordenadas, grafique C, I y U ……………………………………………………………

a. I = p · x = (60)(500) = $ …………… b. I = 60xc. U = ………………………………..

U = ………………d. Para x = 500, se tiene

U = ………………………………..e. Se necesita el punto de equilibrio.

Problema 5

Suponga que las ventas de un comerciante, aproximadas por una ecuación lineal, fueron de $ 800 000 en el 2002 y de $ 1 200 000 en el 2007. (Considere que x = 0 corresponde al 2002).

a. Encuentre una ecuación que permita estimar las ventas anuales del comerciante.b. Use esta ecuación para aproximar las ventas del 2012.c. El comerciante estima que abrirá una nueva tienda cuando las ventas sobrepasen los $ 2 150 000.

¿Cuándo ocurrirá esto?



199

Problema 6

Después de 4 años, el precio de un automóvil, cuyo valor se deprecia linealmente, se reduce a $ 16 000, y después de 6 años, a $ 8 400.

a. Determine el valor de la pendiente de la recta. ¿Qué significa este valor?b. ¿Cuál es el valor inicial del automóvil?c. Determine la ecuación que exprese el valor del automóvil en cualquier año. d. Grafique dicha ecuación.



Ejercicios 3.3

1. Considere las gráficas del costo y del ingreso en soles, en términos del número de unidades x de un producto.

a. ¿Cuál es el volumen mínimo de producción?b. ¿Cuál es el precio de venta del producto?c. ¿Cuál es la utilidad para x igual a 10?d. Determine la ecuación de la utilidad.

0–50

50

100

150

200

250

300

Costo total

Ingreso

(25;275)

–100

5 10 15 20 25 30 35x (unidades)

S/.

2. Considere las gráficas del costo, ingreso y utilidad, en términos del número de unidades x de un producto.

a. ¿Cuál es el precio de venta del producto?b. Determine la ecuación del costo total.c. ¿Cuántas unidades se deben producir y vender para obtener una utilidad de $ 200?

–800

80

U

C

I

x (unidades)

1 200

$



201

3. Una compañía dedicada a la fabricación de artículos de limpieza señala que el costo unitario de cada producto es de $ 15. Además, el costo fijo es de $ 840. Si cuando se producen 150 unidades la utilidad es de $ 210, entonces:

a. Demuestre que el precio de venta es $ 22. b. Determine las ecuaciones del costo total, ingreso y utilidad, sabiendo que siguen un

comportamiento lineal.c. Determine el volumen mínimo de producción.d. Grafique las tres ecuaciones en un mismo plano cartesiano.

4. Una compañía de artefactos eléctricos vende cada licuadora a $ 270 y obtiene una ganancia del 35 % sobre el costo unitario. Si sus costos fijos mensuales ascienden a $ 18 000.

a. Demuestre que el costo unitario es $ 200. b. Determine las ecuaciones de ingreso y costo total, si estas son lineales. c. Grafique las ecuaciones de costo, ingreso y utilidad.

5. Una computadora se deprecia, de modo que luego de un año de adquirida su valor es de $ 300 y al

final del tercer año, $ 120.

a. Determine la ecuación lineal que exprese el valor de la computadora V, en dólares, en términos de los años t, luego de haber sido adquirida.

b. Halle el valor de la computadora a los 4 años de haber sido adquirida.



3.4. Desigualdades en dos variables

Suponga que su padre le da S/. 100 para comprar x gaseosas de la marca A e y gaseosas de la marca B, que cuestan S/. 4 y S/. 5, respectivamente.

Si su padre le indica que gaste todo el dinero, la ecuación

5x + 4y = 100, donde x, y > 0

permitirá determinar las combinaciones de gaseosas que podría comprar. Por ejemplo, se podrían comprar 25 gaseosas de B y ninguna de A, o 12 gaseosas de A y 10 de B, o 20 gaseosas de A y ninguna de B, etcétera. Estas y otras combinaciones se pueden representar gráficamente como los puntos de recta mostrados en la figura 3.11

Cabe destacar que los puntos de la recta son de coordenadas enteras no negativas.

Figura 3.11

(�; �)

(12; 10)

25

20

Y

X

Por otro lado, si su padre le indica que no es necesario que gaste todo el dinero, la desigualdad 5x + 4y < 100, donde x, y > 0

permitirá determinar las combinaciones de gaseosas que podría comprar. Por ejemplo, se podrían comprar 5 gaseosas de A y 8 de B gastando S/. 57, o 10 gaseosas de A y 4 de B gastando S/. 66, etcétera. Estas y otras combinaciones se pueden representar gráficamente como la región sombreada por debajo de la recta mostrada en la figura 3.12.



203

Figura 3.12

(�; �)

(5; 8)

25

20

Y

X

La región sombreada representa a todas las combinaciones de puntos en el plano de coordenadas enteras positivas que hacen que el gasto sea menor o igual a S/. 100.

También puede darse la posibilidad que usted necesite S/. 100 o más para comprar un determinado número de gaseosas de cada tipo, entonces la desigualdad

5x + 4y > 100, donde x, y > 0

permitirá determinar las combinaciones de gaseosas que no podría comprar. Por ejemplo, no se podrían comprar 15 gaseosas de A ni 18 de B porque gastaría S/. 147, tampoco 10 gaseosas de A ni 14 de B porque gastaría S/. 106, etcétera. Estas y otras combinaciones se pueden representar gráficamente como la región sombreada por encima de la recta mostrada en la figura 3.13.

La región sombreada representa a todas las combinaciones de puntos en el plano (de coordenadas enteras positivas) que hacen que el gasto sea mayor o igual a S/. 100.

Figura 3.13

(�; �)

(15; 18)

25

20

Y

X



A diferencia de las desigualdades con una variable, en las que las soluciones se representan usando intervalos sobre la recta real, las soluciones para desigualdades con dos variables se representan con una región en el plano cartesiano.

La región sombreada solo representa al conjunto de infinitos puntos del plano que al ser reemplazados en la inecuación dan como resultado una expresión verdadera.

De aquí en adelante, se expresará el conjunto solución de una inecuación con dos variables gráficamente (región sombreada).

La siguiente pregunta encierra lo que se tratará en este capítulo: ¿Cómo podríamos determinar la solución gráfica de una desigualdad con dos variables?

Definición

Una desigualdad lineal con dos variables x e y puede escribirse en cualquiera de las siguientes formas:

• ax + by < c

• ax + by < c

• ax + by > c

• ax + by > c

Al trazar una recta en el plano, se divide en dos semiplanos. La solución de una desigualdad lineal con dos variables será el conjunto de puntos que pertenecen solo a uno de esos semiplanos (puede incluir o no los puntos de la recta). El siguiente ejemplo nos ayudará a decidir qué semiplano es la solución.

Para determinar el conjunto solución de la desigualdad 2 3 6x y+ ≤ , se traza primero la recta 2 3 6x y+ = (ver figura 3.14) para definir los dos semiplanos (uno de ellos será la solución). Para ello, se usa una tabulación:

Figura 3.14x y0 23 0

10–1–1

1

2

3

2 3 4

Y

X



205

Luego, se elige un punto cualquiera que no pertenezca a la recta y se reemplaza en la desigualdad. Como muestra se tomará el punto (1;0) .

Figura 3.15

(1;0) 2(1) 3(0) 6

2 6⇒ + ≤

≤

Como el resultado es verdadero (2 6)≤ y el punto tomado pertenece al semiplano ubicado debajo de la recta, se concluye que todos los puntos ubicados en dicho semiplano, al reemplazarlos en la desigualdad, darán un resultado verdadero. Por lo tanto, la región sombreada en la figura 3.15 será su conjunto solución.

Observaciones. La recta de la figura 3.14 se traza de forma continua porque el símbolo de la desigualdad es ≤, es decir, todos los puntos de la recta son también parte de la solución. Si el símbolo no tuviera la igualdad, la recta se trazaría de forma punteada. En el ejemplo anterior, también se podría haber tomado el punto de prueba )2;3( que pertenece al otro semiplano. Al reemplazarlo en la desigualdad, se obtiene lo siguiente:

(3;2) 2(3) 3(2) 612 6

⇒ + ≤≤

Como el resultado es falso, ningún punto de dicho semiplano es solución de la desigualdad.

10–1–1

1

2

3

2 3 4

Y

X



Para determinar el conjunto solución de la desigualdad 2x y− < , primero se graficará la recta 2x y− = usando tabulación:

x y

¿La recta trazada es continua o punteada? …………………………Punto de prueba: ……………….....Evaluación: ……………………….

Ejemplo 1

3

2

1

–1

–2

–3

–1–2–3–4 10 2 3 4

Y

X

Ejemplo 2

Determine el conjunto solución de las siguientes desigualdades lineales:

a. y > −2

b. x − 3y > 9

c. x < 2y + 4



207

d. x > 3

Para determinar el conjunto solución de una desigualdad no lineal, se usa el mismo procedimiento empleado para desigualdades lineales, lo único que va a cambiar es la forma de la gráfica, que no será una recta.

Por ejemplo, para determinar el conjunto solución de la desigualdad 2y x< , primero se traza la gráfica de la curva 2y x= (ver figura 3.16) usando tabulación:

Figura 3.16

x y−2 4−1 10 01 12 2

Luego, se elige un punto cualquiera que no pertenezca a la curva y se reemplaza en la desigualdad. Como muestra se tomará el punto )2;0( .

Figura 3.17

2(0;2) 2 (0)2 0

⇒ <<

Como el resultado es falso (2 0)< y el punto tomado pertenecía a la región comprendida entre las ramas de la curva, se concluye que todos los puntos ubicados en dicha región, al reemplazarlos en la desigualdad, darán un resultado falso. Por lo tanto, la región sombreada en la figura 3.17 es su conjunto solución.

10–1–2–1

1

2

3

4

2

Y

X

10–1–2–1

1

2

3

4

2

Y

X



Observaciones. La curva de la figura 3.16 se traza de forma punteada porque el símbolo de la desigualdad es <, es decir, todos los puntos de la curva no son parte de la solución.

Ejemplo 3

Para determinar el conjunto solución de la desigualdad 2 2y x≥ − , primero se grafica la curva 2 2y x= − usando tabulación:

x y

Punto de prueba: …………………………Evaluación: ………………………………

3

2

1

–1

–2

–3

–1–2–3–4 10 2 3 4

Y

X

Sistema de desigualdades lineales y no lineales

La solución de un sistema de desigualdades es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen, de manera simultánea, todas las desigualdades dadas. El conjunto solución del sistema es la región sombreada formada por la intersección de las regiones de las desigualdades individuales.

Por ejemplo, para determinar el conjunto solución del sistema de inecuaciones lineales 2 5

2

x yxy

+ <

≥ se trazan primero las rectas 2 5x y+ = e 2

xy = en el mismo plano (ver figura 3.18) usando

tabulación: Figura 3.18

2 5x y+ = x y

0 51 3

2xy = x y

0 02 1

10–1–1

1

2

3

4

5

2 3 4

Y

X



209

Luego, se elige un punto cualquiera que no pertenezca a las rectas y se reemplaza en las desigualdades. Se puede tomar para ambos el punto(2;3) . Las figuras 3.19 y 3.20 muestran las regiones de ambas desigualdades.

(2;3) 2(2) (3) 5

7 5 (Falso)⇒ + <

<

2(2;3) 32

3 1 (Verdad)

⇒ ≥

≥ Figura 3.19 Figura 3.20

Finalmente, la región sombreada en la figura 3.21, por ser la intersección de las regiones anteriores, es el conjunto solución del sistema de desigualdades.

Figura 3.21

10–1–1

1

2

3

4

5

2 3 4

Y

X

10–1–1

1

2

3

4

5

2 3 4

Y

X

10–1–1

1

2

3

4

5

2 3 4

Y

X



Ejemplo 4

Para determinar el conjunto solución (o región factible) del sistema de inecuaciones lineales 2 3y x

y x+ ≥

<, se trazan primero las rectas 2 3y x+ = e y x= en el mismo plano usando tabulación:

x y

x y

Punto de prueba: ………………….Evaluación: ……………………….

4

5

3

2

1

–1–1–2–3–4–5

–2

–3

–4

–5

10 2 3 4 5

Y

X

Ejemplo 5

Determine el conjunto solución de las siguientes desigualdades lineales:

a. 2 3 122 2

x yy x

+ ≥ − <

b. 33

yx

y

≥ <



211

c. 2

21

y xxy

− ≥ < ≥ −

d.

2 21

2

y xxy

+ ≥ < ≥ −

Ahora, se determinará el sistema de desigualdades lineales a partir de una región sombreada, la cual puede estar limitada o no por las gráficas de algunas rectas o curvas.

La figura 3.22 muestra una región limitada por tres rectas:

• La recta vertical tiene por ecuación 2x = − . Como su trazo es punteado y la región tiene valores de x mayores a −2, la desigualdad es 2x > − .

• La horizontal tiene por ecuación 3y = − . Como su trazo es continuo y la región se da para valores de y mayores a −3, la desigualdad será 3y ≥ − .

• La recta inclinada corta al eje Y en 1y = y su pendiente es igual a 1m = − ; por lo tanto, su ecuación es 1y x= − + . Como su trazo es continuo y el punto (0;0) CS∈ , se concluye que la desigualdad es

1y x≤ − + .



Figura 3.22

10–1–2–1

–2

–3

1

2

3

4

2 3 4

Y

X

Finalmente, el sistema que genera dicha región será 23

1

xyy x

> − ≥ − ≤ − +

Ejemplo 6

Dada las siguientes regiones, determine los sistemas de desigualdades lineales que las generaron.

a. Figura 3.23

10–1–2–1

–2

–3

1

2

3

2 3 4

Y

X



213

b. Figura 3.24

10–1–2–1

1

2

3

4

5

6

2 3 4

Y

X

c. Figura 3.25

10–1–2–1

–2

–3

–4

1

2

3

4

2 3 4

Y

X



Ejercicios 3.4

1. Grafique el conjunto solución de cada inecuación.

a. 4x + y < 8b. y < −2c. 2x + 5y < 20d. 4x − y > 8e. x < 3f. 2x − 5y > −20g. 3x + y <0

2. Grafique el conjunto solución de los sistemas dados.

a. 4 82 3 1

x yx y

+ ≤ + ≤

b. 11

x yy x

− < − <

c. 4 8

20

x yx y

x

+ ≤ − ≤ − ≥

d. 4

25

x yxy

− > < > −

e. 2 5 204 22

0; 0

x yx y

x y

+ ≤ + ≤ ≥ ≥

f. 2 5 20

2 10

x yx y

y

+ ≤ − ≥ ≥

g. 2 6

5 2

x yx y

y x

+ ≤ ≤ ≤ +



215

h. 2 3 123 6x yx y

y x

− > + > − >

3. Dadas las siguientes regiones, determine el sistema de desigualdades lineales que las generó.

a.

1

1

1–1

–2

2 3 4 5

2

3

10 2 3 4 5–1–1

–2

–2

–3–4–5–6–7

Y

X

Y

X

b. 1

1

1–1

–2

2 3 4 5

2

3

10 2 3 4 5–1–1

–2

–2

–3–4–5–6–7

Y

X

Y

X



3.5. Programación lineal

En la vida real, se espera que una persona al comprar una serie de productos intente abaratar sus gastos. De igual manera, un vendedor desea obtener la mayor ganancia por vender sus productos. Los problemas que abordan estos temas se denominan de optimización.Ahora, ¿qué sucede cuando el problema presenta las siguientes especificaciones?Una empresa fabrica y vende pantalones y casacas de dos materiales: algodón y piqué. Para fabricar cada pantalón, se necesitan 2 unidades de algodón y 1 de piqué. Para fabricar cada casaca, necesitan 1 unidad de algodón y 3 de piqué. Los precios de venta de un pantalón y una casaca son $ 30 y $ 25 respectivamente. Si debe usar como mínimo 80 unidades de algodón y como máximo 120 unidades de piqué, ¿cuántos pantalones y casacas se deben fabricar para maximizar el ingreso?

Este problema requiere de un razonamiento y planteamiento más elaborados. Para ello, se pueden hacer las siguientes preguntas: ¿De qué forma se ordenan los datos del problema según las restricciones dadas? ¿Qué método se puede emplear para resolver problemas de optimización? En el presente capítulo, se brindarán las herramientas necesarias para hacerlo.

La programación lineal es uno de los métodos cuantitativos más utilizados en el proceso de toma de decisiones en el campo de los negocios. Optimiza (maximiza o minimiza) una función lineal que está sujeta a restricciones también lineales.

Todo problema en el que se requiera encontrar un valor máximo (o mínimo) de un modelo lineal que esté sujeto a ciertas restricciones es un problema de programación lineal (PPL).

A continuación, se expone un enfoque geométrico de la programación lineal.

Problema 1

Un comerciante se dedica a la compra y venta de escritorios. Un escritorio marca A cuesta $ 80, requiere 8 m2 de área de piso y genera una utilidad de $ 120; por otra parte, cada escritorio marca B cuesta $ 40, requiere 6 m2 de piso y genera una utilidad de $ 80. El comerciante no puede gastar más de $ 560 en los escritorios y el área destinada en su depósito para colocarlos es como máximo de 72 m2. Se desea maximizar la utilidad generada por la venta de escritorios dentro de las limitaciones impuestas de área y dinero, y determinar el número de escritorios de cada tipo que se debe comprar.

Primero, se organizará la información dada en una tabla que muestre los datos de cada tipo de escritorio:

Escritorio A Escritorio B Totales disponibles

Costo ($) 80 40 560Área (m2) 8 6 72

Utilidad ($) 120 80



217

Para resolver el problema, se considerará que x e y denotan los números de escritorios de marcas A y B, respectivamente, que debe comprar. Como el número de objetos comprados no es negativo, entonces:

0 e 0x y≥ ≥

Estas restricciones son llamadas condiciones de no negatividad.El costo por todos los escritorios marca A es 80x, y por los de marca B, 40y. La suma de estos

costos no puede ser mayor a $ 560, de modo que:

80 40 560x y+ ≤

El área ocupada por todos los escritorios marca A es x8 , y por los de B, y6 . La suma de estas áreas no puede ser mayor a 72 m2, de modo que:

8 6 72x y+ ≤

La utilidad generada por todos los escritorios marca A es 120x , y por los de B, 80y . La suma de estas utilidades forma la función utilidad (U) expresada como:

120 80U x y= +

Esta función U es llamada función objetivo.En resumen, se desea maximizar la función objetivo:

120 80U x y= +

sujeta a un conjunto de restricciones para las variables x e y:

80 40 5608 6 72

00

x yx y

xy

+ ≤ + ≤ ≥ ≥

La figura 3.26 muestra la región que satisface, de manera simultánea, todas las restricciones. Como las rectas se trazan en el primer cuadrante, se recomienda hallar, para graficarlas, sus respectivos puntos de intersección con los ejes coordenados. A esta región se le llama región factible.



Figura 3.26

10–1–2

2

4

6

8

10

12

14

A

BC

D

2 3 4 5 6 7 8 9

Y

X

Si se despeja la variable y de la función objetivo del problema 1, se obtiene la ecuación

32 80

Uy x= − +

que define una familia de rectas paralelas de pendiente 32

− e intersección con el eje Y 0;80U

, la cual

varía según los cambios de U. Por ejemplo, si 480U = , se obtiene la recta 3 62

y x= − + graficada en la

figura 3.27. Esta recta, llamada línea de isoutilidad, proporciona todas las combinaciones posibles que permiten obtener una utilidad de $ 480. Se observa que esta línea tiene infinitos puntos en común con la región factible, mientras que la línea de isoutilidad para 1120U = no tiene puntos en común con dicha región.

Figura 3.27

10–1–2

2

4

6

8

10

12

14

A

BC

D

U = 1 120

U = 480

2 3 4 5 6 7 8 9

Línea de isoutilidadmáxima

Líneas de isoutilidad

Y

X



219

Lo que se busca es la línea de isoutilidad máxima, que será la recta más lejana al origen, y que tenga al mismo tiempo, al menos, un punto en común con la región factible.

De la figura 3.27, se observa que el punto A cumple tales condiciones, obteniéndose en ese punto la máxima utilidad.

Si una región factible queda contenida dentro de un polígono, como lo muestra la figura 3.27, se le llama región factible acotada, y si posee al menos un punto, se dice que es no vacía.

Finalmente, se concluye que:

Una función lineal definida sobre una región factible acotada no vacía tiene un valor máximo (mínimo) que puede encontrarse en un vértice.

Para resolver nuestro problema 1, basta con evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y el vértice en donde la utilidad sea mayor será la solución óptima (conclusión tomada bajo la lógica del teorema anterior).

Los cuatro vértices tienen coordenadas A (3; 8), B (7; 0), C (0; 0) y D (0; 12)= = = = . El vértice C es el origen de coordenadas; el vértice B, la intersección de la ecuación 80 40 560x y+ = con el eje X; el vértice D, la intersección de la ecuación 8 6 72x y+ = con el eje Y, y el vértice A se obtiene resolviendo el sistema generado por ambas rectas:

80 40 5608 6 72

x yx y

+ = + =

Luego, se evalúa la función objetivo 120 80U x y= + en cada uno de los puntos:

(A) 120(3) 80(8) 1 000(B) 120(7) 80(0) 840(C) 120(0) 80(0) 0(D) 120(0) 80(12) 960

UUUU

= + == + == + == + =

Así, la máxima utilidad será de $ 1 000 y se obtendrá comprando tres escritorios marca A y ocho escritorios marca B.



Un grupo de alumnos decidió fabricar y vender dos tipos de peluches, cuy y chanchito. La tabla que se muestra a continuación detalla la ganancia (en dólares) que se obtendrá por la venta de cada peluche y el número de horas de trabajo que se necesita por cada uno en las etapas de relleno y costura.

Cuycito Chanchito Totales Disponibles

Relleno 1 1Costura 1 2

Ganancia 20 15

Si los tiempos máximos establecidos en las etapas de relleno y costura fueron de 100 horas y 140 horas, respectivamente, ¿cuál es el número de peluches de cada tipo que se deben vender para maximizar las ganancias?

Definimos las variables: x: …………………….…., y: ……………………………..Función objetivo: G: …………….Restricciones:

≥≥ 0;0

..............................

..............................

yx

Tabulación de rectas:

x y x y

Evaluación de vértices y respuesta:

Problema 2

8

10

12

14

16

(x10)

(x10)

6

4

2

–220 4 6 108 12 14 16



221

En general, todo problema de programación lineal ya formulado presenta:Función objetivo. Función lineal Z ax by= + , que se debe maximizar o minimizar de acuerdo al

objetivo del problema. Se maximiza lo que está a favor y se minimiza lo que está en contra.Restricciones. Sistema de desigualdades lineales que representan los recursos disponibles. Condición de no negatividad. Variables no negativas ; 0x y ≥A continuación, el desarrollo de un problema de programación lineal que presenta una región

factible no acotada.

Problema 3

Un grupo de alumnos está planeando confeccionar dos tipos de juguetes, carro y trencito, para donarlos a un nido por navidad. La tabla que se muestra a continuación detalla el costo (en soles) que generará la producción de cada juguete y el número de unidades de madera y metal que necesita cada uno.

Carrito Trencito Totales disponibles

Madera 4 2 160Metal 2 3 120Costo 40 30

La universidad les ha puesto una condición: «Deben usar como mínimo 160 unidades de madera y 120 unidades de metal». ¿Cuántos juguetes de cada tipo deben fabricar para minimizar los costos?

Para resolver el problema, se considerará que x e y denotan los números de carritos y trencitos, respectivamente, que deben fabricar. Como el número de objetos comprados no es negativo:

0 e 0x ≥ ≥y

La cantidad de madera necesaria para fabricar todos los carritos es 4x; y por todos los trencitos, 2y . Toda la madera necesaria no puede tener un costo menor a $ 160, de modo que:

4 2 160x y+ ≥

De manera similar, la restricción para el metal es 2 3 120x y+ ≥ .Se desea minimizar la función costo (C): 40 30C x y= +

sujeta a las restricciones para las variables x e y:

4 2 1602 3 120

00

x yx y

xy

+ ≥ + ≥ ≥ ≥

La figura 3.28 muestra la región que satisface de manera simultánea todas las restricciones.



Figura 3.28

–10

10

20

30

40

50

60

70

80 A

B

C20 40 60 80

Y

X

Se evalúa la función objetivo 40 30C x y= + en cada uno de los puntos:

(A) 40(0) 30(80) 2 400(B) 40(30) 30(20) 1 800(C) 40(60) 30(0) 2 400

CCC

= + == + == + =

Así, el mínimo costo será de $ 1 000 y se obtendrá fabricando 30 carritos y 20 trencitos.

Problema 4

Un avicultor va a una tienda a comprar un alimento para sus gallinas que contiene dos nutrientes, A y B. Los mínimos necesarios son 160 unidades de A y 80 unidades de B. La bolsa de marca Gallina Forte cuesta $ 7 y contiene 3 unidades de A y 1 unidad de B; la bolsa de marca Gallina Fast cuesta $ 4 y contiene 2 unidades de A y 2 de B. Si el avicultor desea minimizar el costo, ¿cuántas bolsas de cada marca debe comprar?

Resuma la información dada en la tabla: Se definen las variables: x: ………………….….………. y: ……………………………...Función objetivo: C: …………….

Restricciones: ............................................................

0; 0x y

≥ ≥



223

Tabulación de rectas:x y x y


–10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Y

X

Problema 5

Una empresa fabrica pantalones y casacas de dos materiales: algodón y piqué. Para fabricar cada pantalón, se necesitan 2 unidades de algodón y 1 de piqué. Para fabricar cada casaca, necesitan 1 unidad de algodón y 3 de piqué. Los precios de venta de un pantalón y una casaca son $ 30 y $ 25, respectivamente. Si debe usar como mínimo 80 unidades de algodón y como máximo 120 unidades de piqué, ¿cuántos pantalones y casacas se deben fabricar para maximizar el ingreso? ¿Cuál será el ingreso mínimo?



Problema 6

El señor Ramírez fabrica mesas y camas en Huánuco. La ganancia obtenida por la venta de una cama es S/. 134, y por la de una mesa, S/. 20. Al mes se producen como mínimo 10 camas y como máximo 60; también se producen como máximo 10 docenas de mesas y, de forma combinada, a lo más 160 unidades. ¿Cuántas unidades de cada tipo debe producir mensualmente para maximizar sus ganancias?

Problema 7

Resuelva el siguiente problema de programación lineal, donde x representa el número de lapiceros; y, el número de lápices, y z, el costo.

0,

93

5:.

53

≥

≤+≥++=

yx

yx

yxas

yxzMin



225

Programación lineal de soluciones múltiples

Algunas veces, una función objetivo alcanza su valor óptimo en más de un punto factible, en cuyo caso se dice que existen soluciones óptimas múltiples.

Si dos vértices consecutivos dan el mismo valor máximo o mínimo de la función objetivo F(x; y), entonces todos los puntos comprendidos entre estos dos vértices son solución del problema de programación lineal.

Problema 8

La compañía de transportes «RapiSeg» tiene dos tipos de servicio de transporte de pasajeros en la ruta de Lima a Huánuco: el servicio clásico y el servicio VIP. Ambos servicios representan para la compañía un ingreso de $ 4 000 por servicio. La compañía puede realizar al día, como máximo, 8 servicios clásicos y 6 servicios VIP, pero en total no puede realizar más de 10 servicios. ¿Qué combinación de servicios maximizará su ingreso diario?

Para resolver el problema, se considerará que x e y denotan el número de servicios clásico y VIP, respectivamente. Como el número de servicios no es negativo: 0 e 0x ≥ ≥y .

Se desea maximizar la función ingreso (I): 4 000 4 000I x y= +

sujeta a un conjunto de restricciones para las variables x e y:

86

100; 0

xyx yx y

≤ ≤ + ≤ ≥ ≥

La figura 3.29 muestra la región que satisface de manera simultánea todas las restricciones.



Figura 3.29

–1

1

2

3

4

5

6

7

A B

C

DE1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Y

X

Se evalúa la función objetivo 4 000 4 000I x y= + en cada uno de los puntos:

(A) 4 000(0) 4 000(6) 24 000(B) 4 000(4) 4 000(6) 40 000(C) 4 000(8) 4 000(2) 40 000(D) 4 000(8) 4 000(0) 32000(E) 4 000(0) 4 000(0) 0

IIIII

= + == + == + == + == + =

Se observa que el ingreso máximo diario es de $ 40 000 y se obtiene al reemplazar la función objetivo en los puntos B y C. Por lo tanto, la solución es el conjunto de puntos que pertenecen al segmento BC .

Finalmente, el ingreso máximo responde a las siguientes combinaciones: 4 servicios clásicos y 6 servicios VIP, 5 servicios clásico y 5 servicios VIP, 6 servicios clásicos y 4 servicios VIP, 7 servicios clásicos y 3 servicios VIP, y 8 servicios clásicos y 2 servicios VIP.



227

Problema 9

En una urbanización se van a construir departamentos de dos tipos: dúplex y simples; para ello, la empresa constructora dispone de un máximo de $ 18 millones. Se sabe que el costo de un departamento tipo dúplex es $ 300 000 y el de uno simple, $ 200 000. Si la municipalidad exige que el número total de departamentos no sea superior a 80 y que el beneficio obtenido por la venta de cada departamento dúplex y simple sea $ 60 000 y $ 40 000, respectivamente, ¿cuántos departamentos de cada tipo deben construirse para obtener el máximo beneficio?

Se definen las variables: x: ………………………..…, y: ……………………………Función objetivo: G: …………….Restricciones:

≥≥ 0;0

..............................

..............................

yx

Tabulación de rectas:

x y x y


40

50

60

70

80

90

100

30

20

10

–10100 20 30 5040 60 70 80 90 100



Ejercicios 3.5

1.

. 5 72 3 45

. . 3 2, 0

Máx z x yx y

s a x yx y

= ++ ≤

− ≥ ≥

2.

. 2 590

4 3 250. .

2 225, 0

Máx z x yx y

x ys a

x yx y

= ++ ≤

+ ≤ + ≤ ≥

3.

. 4 63 3

5. .

7, 0

Máx z x yx y

x ys a

yx y

= −− ≤

+ ≥ ≤ ≥

4.

.4 3 129 11 99

. .8

, 0

Mín z x yx yx y

s axx y

= ++ ≥

+ ≤ ≤ ≥

5.

. 20 302 103 4 24

. .8 7 56

, 0

Mín z x yx yx y

s ax y

x y

= ++ ≤

+ ≤ + ≥ ≥

6.

. 3 22 53 4

. .2 3

, 0

Mín z x yx yx y

s ax yx y

= ++ ≥

+ ≥ + ≥ ≥



229

7. Para el siguiente problema, considere que x representa el número de motos; y, el número de camionetas, y z, el ingreso.

. 1,52 3 20

4. .

6, 0

Mín z x yx y

xs a

yx y

= ++ ≤

≤ ≤ ≥

8. Para el siguiente problema, considere que x es el número de alfombras; y, el número de sillas; z el costo.

. 4 64 9

3 14. .

2 3 20, 0

Mín z x yx y

x ys a

x yx y

= ++ ≥

+ ≥ + ≥ ≥

9. Un empresario va a comprar chocolates que contienen maní, cocoa y almendras. Los mínimos necesarios son 320 unidades de maní, 400 unidades de cocoa y 160 unidades de almendras. Una compañía ofrece dos marcas de chocolate: cada bolsa de la marca Chocomaní cuesta $ 8, contiene 6 unidades de maní, 10 de cocoa y 2 de almendras. La marca Chocoalme cuesta $ 6 cada bolsa, y contiene 4 unidades de maní, 4 unidades de cocoa y 4 unidades de almendras. Si se desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos dados, ¿cuántas bolsas de cada marca debe comprar?

10. El fondo Editorial de la UPC planea producir textos para los cursos de Matemática Básica y Lógica. Las horas requeridas por cada texto para impresión y encuadernación se muestran en la tabla:

Impresión Encuadernación

Matemática Básica 4 2Lógica 2 3

El Departamento de Impresiones indica que se disponen como máximo de 200 horas para imprimir y de 240 horas para encuadernarlos. La utilidad obtenida por la venta de cada libro de Matemática Básica y Lógica es de $ 2,50 y $ 3, respectivamente. Si se desean maximizar las utilidades, ¿cuántos textos de Matemática Básica y Lógica se deben producir?


Unidad 4: Funciones reales de variable real

Es frecuente encontrar cantidades que se describan en términos de otras, por ejemplo:

• El interés I (ganancia) al invertir un dinero a una tasa de interés anual r capitalizado mensualmente depende del tiempo transcurrido t de la inversión. ¿Cuál es la regla para obtener el interés en términos de t?

• La cantidad demandada q de un producto está relacionada con su precio p, es decir, la cantidad demandada de un artículo depende del precio unitario del mismo. ¿Qué características debe tenerlaregladecorrespondenciaparaquereflejeestecomportamiento?

• El costo total C de un producto está en función del número de unidades q que se producen (entre otras variables que se pueden mencionar).

En cada uno de estos ejemplos, se identifican variables que tienen algún tipo dedependencia entre ellas y que toman valores dentro de un conjunto determinado.

4.1. Funciones

Definición

Una función f es una regla en la que a cada elemento de entrada x de un conjunto se le asigna un único elemento de salida y.

Al conjunto de elementos de entrada, se le denomina dominio de f y se denota dom(f). Al conjunto de elementos de salida, rango de f ; se denota ran(f).

Figura 4.1

Observe que el valor de la variable y depende del valor de la variable x mediante la regla f (ver figura4.1). Esta dependencia se expresa por y = f(x). Entonces se dice que y es la variable dependiente y x, la variable independiente. Al valor f(x) se le llama «imagen de x», y a x, «preimagen de f(x)».

Una función real de variable real es aquella cuyos valores de entrada y salida son números reales.

Entrada

x

Regla f

Salida

y x f y


Unidad 4 | Funciones reales de variable real

231

Ejemplo 1

Enlafigura4.2a,semuestraunafunciónf que relaciona a los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B.

f es una función porque para cada elemento x de A solo le corresponde un único elemento y de B.Se observa que dom(f)=A={1;2;3;4}yran(f)=B={1;4;9;16}.Además, por ejemplo, de f(3)=9sepuededecirque9eslaimagende3,yque3,lapreimagende9.Como f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9yf(4)=16,entonceslaregladecorrespondenciaf(x) de f se puede

expresar por f(x) = x2 para todo x de A.

Figura 4.2a

A

f

B

1.2.3.4.

.1

.4

.9

.16

Ahora,observelafigura4.2b.Enestecaso,lareglaestablecidaporlasflechasnocorrespondeauna función, puesto que para x = 3 no le corresponde solo uno, sino dos elementos de B. Por lo tanto, nocumpleladefinicióndefunción.

Figura 4.2b

A B

1.2.3.

.2

.3

.5

.6

f

Ejemplo 2

Considere la función g={(–1;5),(0;2),(1;3),(2;1),(3;5)}.Esta función está representada en términos de pares ordenados (x; y). La regla y = g(x) se aprecia

enlafigura4.3.Observe que g(–1)=5yg(3)=5,esdecir,parax=–1seleasignaunúnicoelementoy=5,del

mismo modo que para x = 3. Se observa que dom(g)={…;…;…;…;…}yran(g)={…;…;…;…}Es casi imposible determinar una ecuación para la regla de correspondencia g(x).



Figura 4.3

–1. .1

.3

.2

.5

0.1.2.3.

g

Ejemplo 3

Observe la correspondencia hqueseilustraenlafigura4.4.

Figura 4.4

.2

.4

.6

.8

1.2.

3.

h

¿Esta correspondencia hdefineunafunción?¿Por qué?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ejemplo 4

Considere ahora la función fdefinidaporf(x) = 2x–1para–1<x <5.Se puede determinar que dom(f) = ………. y ran(f) = ………..Además, la imagen de x = 3 es ……… y la preimagen de y = 2 es ………..

Ejemplo 5

Para la función fdefinidaporlareglaf(x) = 3 – x2, se tiene:

a. f(–5)=3–(….)2 =b. f( 3 ) = c. f(2a) =d. f(a+1)=e. f(5–x) =

Si la correspondencia f está dada por:f = {(a; 1), (b; 2), (c; 3)} ¿qué condiciones debe cumplir a, b y c para que f sea una función?



233

Figura 4.3

–1. .1

.3

.2

.5

0.1.2.3.

g

Ejemplo 3

Observe la correspondencia hqueseilustraenlafigura4.4.

Figura 4.4

.2

.4

.6

.8

1.2.

3.

h

¿Esta correspondencia hdefineunafunción?¿Por qué?

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ejemplo 4

Considere ahora la función fdefinidaporf(x) = 2x–1para–1<x <5.Se puede determinar que dom(f) = ………. y ran(f) = ………..Además, la imagen de x = 3 es ……… y la preimagen de y = 2 es ………..

Ejemplo 5

Para la función fdefinidaporlareglaf(x) = 3 – x2, se tiene:

a. f(–5)=3–(….)2 =b. f( 3 ) = c. f(2a) =d. f(a+1)=e. f(5–x) =

Si la correspondencia f está dada por:f = {(a; 1), (b; 2), (c; 3)} ¿qué condiciones debe cumplir a, b y c para que f sea una función?

Ejemplo 6

Para cada una de las funciones f y g,definidasporf(x) = 2 – 3x, y g(x)=5–3x2, determine:

a. (1 ) (1)f h fh

+ − = 2 3(1 ) ( 1)h

h− + − −

=2 3 3 1h

h− − +

= 3hh

−= –3

b. ( ) ( )f x h f xh

+ − = 2 3( ) (2 3 )x h xh

− + − − =

c. (2 ) (2)g h gh

+ − =

d. ( ) ( )g x h g xh

+ − =

Función definida por tramos

Existenfuncionesquesepuedendefinirportramos,esdecir,quetienenunafórmulaparacadapartediferente del dominio.

Ejemplo 7

Para la función f,definidapor 2

2, si 1( )

3, si 1x

f xx x

≤ −= − > −

, si se quieren determinar algunos valores de la

función f en algunos valores de la variable x, hay que tener en cuenta el tramo en el que se encuentra x.Por ejemplo, f(–3) = 2, ya que como x = –3, se debe reemplazar en el tramo x <–1obteniéndose

el valor y = 2. Para calcular f(1), sedebereemplazarx=1enel tramodondex>–1obteniéndose f(1)=(1)2 – 3 = –2.

¿Y cuál es el valor de f(–1)?……………………Dom(f) =………….

Ejemplo 8

Para la función fdefinidapor 2

2 3, si 3 1( ) , si 1 2

3, si 2

x xf x x x

x

+ − ≤ < −= − − ≤ < ≥

,

determine:

a. f(–2) = ……..; f(1)=……..; f(2) = ……..; f(3) = ……..b. Dom(f) =………….



c. Los valores x del dominio tal que:i. f(x) = –2 ii. f(x) = 3

Funciones con dominio implícito

Cuandonoseespecificaeldominiodeunafunciónf, entonces se considera que el dominio es el conjunto devaloresdelavariableindependienteparaelcuallafunciónestádefinida.

Ejemplo 9

Determine el dominio de las siguientes funciones:

a. f(x) = 3Para cualquier valor de entrada x, la función siempre tiene el valor de salida y = 3; por lo tanto, dom(f) = R.

b. g(x) = x2 – x–6Para cualquier valor de entrada x,lafunciónsiempreestádefinida;porlotanto,dom(g) = R.

c. h(x) = 35x −

Para x=5,seobtieneunadivisiónentre0locualnoesposible;porlotanto,lafunciónh no está definidaparaesevalor, sinembargo, síestádefinidaparacualquierotro.Luego, dom(h) = R – {5}.

d. j(x) = 2x −Laraízcuadradadeunnúmeroestádefinidasoloparanúmerosnonegativos,esdecir, sedebecumplir x – 2 > 0, donde x > 2; por lo tanto, dom(j) = [2; +∞ [.



235

Ejemplo 10

Determine el dominio de las siguientes funciones:

a. f(x) = 25

x −

¿Puede ser cero el numerador? ………..

b. g(x) = 2

34

xx x−

¿Puede ser cero el denominador? ………..

c. h(x) = 2

24

xx

−−

¿Puede ser cero el denominador? ………..

d. f(x) = 6 25

x−

¿Puede ser negativa la cantidad subradical? ………..

e. g(x) = 2

19

x

x

−

−¿Puede ser negativa la cantidad subradical?

¿Puede ser cero?………..

f. h(x) = 53x

x−−



g. j(x) =11

xx

−+

Igualdad de funciones

Dos funciones f y g son iguales y se escribe f = g, si se cumplen las siguientes condiciones:

1. El dominio de f es igual al dominio de g.2. Para todo x en el dominio de f y g, se tiene f(x) = g(x).

Ejemplo 11

a. Las funciones f y gdefinidasporf(x) = x(x – 2) + 2x y g(x) = x2 son iguales, porque tienen el mismo dominioRyalsimplificarlaexpresióndef(x) se obtiene g(x), es decir, f(x) = g(x).

b. Las funciones f y gdefinidasporf(x) = x + 2, y g(x) = x+2para1<x<5nosoniguales,porque,apesar de tener la misma regla de correspondencia, f(x) = g(x), presentan diferente dominio, dom(f) = R y dom(g)=]1;5[.

Ejemplo 12

Determine si las siguientes funciones son iguales:

a. f(x) = x+1;

g(x) =2 1

1xx

−−



237

b. f(x) = x+1;

g(x) =1, si 1

2, si 1x x

x+ ≠

=



Ejercicios 4.1

1. ¿Cuáldelassiguientesreglasdefinenay como función de x?

a. x –2 –1 0 1 2

y 4 1 0 1 4

b. x –2 –1 0 1 2

y –2 1 0 –1 –2

2. Sedefinelafunciónf por f(x)=1–2x. Determine:

a. f(–3) b. f(3a) c. f(a + 3) d. f(3 + h) – f(3)

3. Sedefinelafuncióng por g(x) = x2 – 3x. Determine:

a. g(–2) b. g(2a) c. g(a + 2) d. g(2 + h) – g(2)

4. Dada la función fdefinidapor:2 3 , 1

( )3/ , 1

x xf x

x x− ≤

= >

Determine:

a. f(–1)b. f(2)c. 3f(1)–2f(0)d. f( f(–1)–3)

5. Dada la función fdefinidapor:

2

2 3, 3 1( ) 1 , 1 2

1, 2

x xg x x x

x x

− − ≤ < −= − − ≤ < − ≥



239

Determine:

a. g(–2)b. g(–1)+g(5)c. g(2) – 3g(1)d. g(1–g(2) )

6. Determine ( ) ( )f x h f xh

+ − en cada caso.

a. f(x)=5–2xb. f(x) = 2 – 3x2

c. f(x) = 3x – x2

7. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a. f(x)=4b. g(x) = x2–1c. v(t) = t –3

d. f(x) = 4 25 3

xx

−−

e. 2( ) xf xx x

=−

f. 2

1 2( )3

mG mm

−=+

g. 2

3 7( )2

nH nn n

+=+ −

h. 2

1( )6

xf xx x

−=− −

i. 1( )A r

r=

−

j. ( ) 2W s s= −

k. ( ) 3 2f x x= −

l. 3( ) 9h u u= +

m. f(x) = 24 x−

n. f(x) = 29 x+



o. 2( ) 2 3I y y y= − −

p. 3( )2

yF yy

−=+

q. 5( )

2xf x

x−=−

8. Analice si las siguientes funciones son iguales.

a. f(x) = 2x–1;g(x) = 24 1

2 1xx

−+

b. f(x) = x + 3 ; g(x) = ( ) 3x x +c. f(x) = (x – 2)2; g(x) = (2 – x)2



241

4.2. Gráfica de funciones

Como ya se pudo apreciar en la sección 3.1, «una imagen vale más que mil palabras». Adiferenciadelagráficadeecuaciones,lasgráficasdefuncionessoncasosparticularesdebidoalacaracterísticaqueladefine:noesposiblequeaunvalordeentradalecorrespondandosvalores de salida. Esta condición permite realizar interpolaciones, proyecciones y tendencias de comportamientos de las variables dependientes.

Por ejemplo, considere la siguiente situación problemática:El ingeniero Valdez, dueño de una empresa que se dedica a la fabricación de polos, le pidió

al gerente del Departamento de Producción que elaborara una tabla en la que se indiquen el número de polos fabricados al mes y el costo total invertido. Para ello, el gerente tomó muestras de algunos meses y elaboró la siguiente tabla:

Nro. de polos (cientos) 1 2 3 4 5 6 7 8 9Costo total (miles de $) 3 5 4 6 8 6 9 10 10,5

Los valores en la tabla no permiten ver de manera rápida cómo es que los costos totales dependen de la fabricación de polos.

–1

12

9

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

10

C (miles)

q (cientos)

11



Al ubicar los puntos de la tabla en el plano de la figura, donde el eje X representa elnúmero de polos producidos en cientos de unidades, y el eje Y, el costo total en miles de dólares, se obtiene una nube de puntos.

• ¿Se puede determinar de manera aproximada cuál es la relación entre las variables costo y número de polos?

• ¿Cuál es la ecuación de esta relación?• ¿Sepuedeusarestarelacióndedependenciaparaestimar loscostosdeproducir12000

polos? Enestasección,sedesarrollaránloselementosparaanalizarlasgráficasdefunciones.

Definición

Lagráficadeunafunciónf eslagráficadelaecuacióny = f(x) para todo x en el dominio de f.

Enlafigura4.5,semuestralagráficadeunafunciónf, dado que para cada valor de x le corresponda un único valor de y.

Asimismo,en lagráficade f, se pueden leer los valores f(x) observando la ordenada y para valores de x.

Porejemplo,enlafigura4.5setiene:

f(–2) = 1, f(–1) = 0, f(0) = 2

Además, se localiza el dominio de f en el eje horizontal y su rango en el eje vertical.Para este ejemplo, dom(f)=[–3;4[yran(f)=[–1;3].

Figura 4.5

2

3

4

1

1 2 3 4 5–1–1

–2–3

Y

X



243

Prueba de la recta vertical

Unagráficacorrespondealadeunafunciónsitodarectaverticallaintersecaalomásunavez.Silarectaverticalcortaalagráficaenmásdeunpunto,significaque,paraunmismovalordex, le corresponde más de un valor de y,loquecontradiceladefinicióndefunción.

Ejemplo 1

Enlafigura4.6,semuestrandosgráficas,laprimera(a)nocorrespondeaunafunción,mientrasquela segunda (b), sí.

Figura 4.6

(a) (b)

2

3

1

–1

–2

–3

1 2 3 4–1–2–3

2

3

1

–1

–2

–3

1 2 3 4–1–2–3

Y Y

XX

Ejemplo 2

Tracelagráficadef(x) = x2–1,paraxdeA={–1;0;1;2}.

Tabulando se tiene:

x y–1 00 –112

Note que dom(f) = A y ran(f) = …………….–1

–1–2

–2

–3 1 2 3 4 5

1

2

3

4

Y

X



Ejemplo 3

Tracelagráficadef(x) = 12x + ,para–3<x <4.

Tabulando se tiene:

x y

Note que dom(f)=]–3;4]yran(f) = ………….

Ejemplo 4

Tracelagráficadef(x) = 3, para x>–1.

Tabulando se tiene:

x y

Note que dom(f) = ………. y ran(f) = ………

Ejemplo 5

Tracelagráficadef(x) = x− .

Tabulando se tiene:

x y


–1–1

–2

–2

–3 1 2 3 4 5

1

2

3

4Y

X

–1–1

–2–3 1 2 3

1

2

3Y

X

–1–1

–2–3–4 1 2 3 4

1

2

3

4 Y

X



245

Ejemplo 6

Tracelagráficadef(x) = 1x

.

Tabulando se tiene:

x y

Note que dom(f) =………. y ran(f) = ………

Ejemplo 7

Tracelagráficade 2

2, si 1( )

3, si 1x

f xx x

≤ −= − > −

.

Tabulando se tiene:

x y


–1–1

–2

–3

–4

–2–3–4 1 2 3 4 5

1

2

3

4 Y

X

–1–1

–2

–3

–4

–2–3–4 1 2 3 4 5

1

2

3

4 Y

X



Ejemplo 8

Tracelagráficade 2

2 3, si 3 1( ) , si 1 2

3, si 2

x xf x x x

x

+ − ≤ < −= − − ≤ < ≥

Tabulando se tiene:

x y


Ejemplo 9

Enlasiguientefigura4.7,semuestralagráficadeunafunciónf.

Figura 4.7

2

3

1

–1

–2

–3

1

(1; 2, 5)

2 3 4 5 6–1–2–3

Y

X

Determine:a. Dom(f) y ran(f) b. f(–2), f(0), f(1)yf(3)c. Los valores de x para los que f(x) = 0d. Los valores de x positivos para los que f(x)=–1e. Los valores de x para los que f(x)<0

–1–1

–2

–3

–4

–2–3–4 1 2 3 4 5

1

2

3

4 Y

X



247

a. dom(f)=[–3;5]–{1}yran(f)=[–2;2;5[b. f(–2) = ……, f(0) = ……, f(1)=……,f(3) = ……c. Los valores de x para los cuales f(x) vale cero son x = 0 y x = 2.d. Los valores de x son 3 < x <5o,ennotacióndeintervalo,…………e. Los valores de x son –3 < x<0y2<x <5o,ennotacióndeintervalos,……….∪ ………..

Ejemplo 10

Para la función f ,cuyagráficasemuestraenlafigura4.8,determine:

Figura 4.8

2

3

1

–1

–2

1 2 3–1–2–3–4

Y

X

f

a. f(–1)–3f(0) + f(–3) = b. El valor de la función en x = 3 c. dom(f) =d. ran(f) =e. Los valores de x tal que f(x) = –2 f. El intervalo donde la función es positiva:



Ejemplo 11

Para la función g,cuyagráficasemuestraenlafigura4.9,determine:

Figura 4.9

2

3

1

–1

–2

1 2 3 4 5–1–2

Y

X

g

a. g(5–g(4))b. Dom(g) =c. Ran(g) = d. Los valores de x tal que g(x)=–1e. Los valores de a tal que g(a) = 3f. Los valores de x tal que –2 < g(x) <–1

Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Paradeterminarel comportamientodeuna funciónenun intervalo, sedebeobservar lagráficadeizquierdaaderechaendichointervalo.Así,silagráficaasciende,sedicequeescreciente,ysidesciende,es decreciente.



249

Ejemplo 12

Observelagráficadelafunciónfquesemuestraenlafigura4.10.

• fescrecienteen[–2;1[.• fesdecrecienteen[–3;–2]yen]1;3].• fesconstanteen[3;5].

Además, se puede decir que:

• El mínimo valor de f en su dominio es y = –2 y ocurre cuando x = –2.• No tiene valor máximo.

Figura 4.10

2

3

1

–1

–2

–3

1 2 3 4 5 6–1–2–3

Y

X

f

Definición

Una función f es creciente en un intervalo I, si para cada par de valores a; b de I, donde a<b, entonces f(a)<f(b).

Una función f es decreciente en un intervalo I, si para cada par de valores a; b de I, donde a<b, entonces f(a) > f(b). Una función f es constante en un intervalo I, si para cada par de valores a; b de I, donde a≠b, entonces f(a) = f(b).



Ejemplo 13

Tracelagráficade2, si 1

( )3 2 , si 1x x

f xx x

+ <= − >

y determine:

a. Dom(f) =

b. Ran(f) =

c. Intercepto con los ejes:

d. Intervalos de crecimiento:

e. Intervalos de decrecimiento:

f. Valores máximo y mínimo:

g. Valores de x donde f(x) > 0:



251

Ejercicios 4.2

1. Tracelagráficadelasfuncionesdefinidaspor:

a. f(x) = x(4–x), para x entero

b. 1( )g xx

= , para x > 0

c. h(x) = |x–1|,para0<x<4

d. p(x) = 3 x−

e. 2 , 1

( )1, 1

x xf x

x x

− ≤= − >

f. , 0

( ) 2, 0 12 , 1

x xg x x

x x

− <

= − < < − ≥

2. Dadalagráficadelafunciónfquesemuestraenlafigura:

2

3

1

–1

–2

–3–4 –1 1 2 3 4 5–2

Y

X

f

determine:

a. Dom(f) y ran(f)b. Intercepto con los ejesc. Intervalos de crecimientod. Intervalos de decrecimientoe. Intervalos donde f es constantef. El valor de f(–1)+f(0) g. Los valores de x donde f(x) = 0h. Los valores de x donde f(x)<0



3. Tracelagráficade:

2

, si 1( )

( 1) , si 0x x

f xx x

< −= − ≥

y determine:

a. Dom(f) y ran(f)b. Intercepto con los ejesc. Intervalos de crecimientod. Intervalos de decrecimientoe. Valores máximo y mínimof. El valor de f(–2) + f(2)

4. Tracelagráficadefdefinidapor:

2 , 1( ) 1, 1 2

1 , 22

x xf x x

x x

− <

= ≤ ≤ + >

y determine:

a. Dom(f) y ran(f)b. Intercepto con los ejesc. Intervalos de crecimientod. Intervalos de decrecimientoe. Valores máximo y mínimo de ff. El valor de f(0) + f(1)+f(4)

5. Considerandolagráficadelafunciónf :

2

3

4

1

–3–4–5 –1–1

–3

–2

1 2 3 4 5 6–2

Y

X

f



253

determine:

a. Dom(f) y ran(f)b. Los intervalos de crecimiento c. Intervalo donde f es constante d. Intervalos de decrecimiento e. Intervalos donde f es positivaf. f(1)–f(3) + f(–2) g. Intercepto con la recta y = –2h. Los valores a<0,talquef(a) = 3i. Los valores de x, tal que f(x) = 0



4.3. Lectura de gráficas

La información puede llegar a una persona de forma escrita, de forma oral, por medio de tablas, gráficamente,etcétera.Elusodegráficaspermitetransmitirlainformacióndemaneraconcisay,alavez, por ser visual, se puede realizar otro tipo de análisis a partir de ella.

Analice tres casos de cómo puede presentarse cierta información:

Caso 1. Se ha calculadoque a unpuebloA llegó el siguientenúmerode turistas por año: el 2004arribaron10000 turistas; el 2005, el númerode turistas se incrementóen4000; el 2006,20000turistas;el2007,elnúmerodeturistasdisminuyóen20 %;el2008,llegaron23000turistas;el2009,25000turistas;el2010,20000turistas,yel2011,26000turistas.

Caso 2. La siguiente tabla muestra el número de turistas que visitó al pueblo A por año:

Año 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011Nro. de turistas 10000 14000 20 000 16000 23 000 25000 20 000 26000

Caso 3.Elsiguientegráfico(verfigura4.11)muestraelnúmerodeturistasquellegóalpuebloAporaño:

Figura 4.11Turistas en el pueblo A (2004-2011)

2004

5 000

0

10 00010 000

14 000 16 000

20 000

20 000

26 000

23 000

25 000

15 000

20 000

25 000

30 000

2005 2006 2007

Años

Núm

ero

de tu

rist

as

Turistas en el pueblo A (2004 - 2011)

2008 2009 2010 2011



255

Sepuedeobservardelagráficalosiguiente:elmayornúmerodeturistasllegóelaño2011,delaño2007al2008elaumentodelnúmerodeturistasfuemayorqueenotrosaños,delaño2009al2010disminuyó en mayor cantidad, etcétera. Si bien es cierto que este análisis se pudo realizar en cada uno delostrescasos,elmétodográfico(caso3),porsermásvisual,permiteobtener la informacióndeformamásrápidaqueenloscasos1y2.

Gráfica de líneas

Lagráficadelíneasdelafigura4.12muestralarelaciónentreeltamañodeundepartamento,enmetroscuadrados, y el precio, en dólares. Por ejemplo, si se quiere determinar el costo de un departamento de 90metroscuadrados,hayquebuscar90enlaparteinferiordelagráfica.Elpuntoquecorrespondea90metroscuadradostieneunaalturaequivalentea110000enlaescalaverticaldelaizquierda.Estosignificaquesedebepagar$110000poreldepartamento.

Figura 4.12Venta de departamentos

70

70 000

0

90 000110 000

120 000140 000

170 000

220 000

80 90 100

Tamaño del departamento (m2)

Valo

r ($)

Venta de departamentos

120 130 140

50 000

100 000

150 000

200 000

250 000

Ejemplo 1

Apartirdelagráficadelíneasmostradaenlafigura4.12,respondalosiguiente:

a. ¿Cuántosmetroscuadradosmideeldepartamentosiustedlocompróa$140000?



b. Ustedhacompradodosdepartamentosdedistintostamañosyhapagado$250000porambos,¿qué tamaño tiene cada uno?

c. La relación entre el tamaño del departamento y su precio se modela, aproximadamente, mediante la siguiente función: f(x)=–62500+1859,58904x. ¿Cuál es la diferencia entre el costo real y el costo aproximado (usando la función f) de un departamento de 80 metros cuadrados?

Ejemplo 2

Apartirdelagráficadelíneasmostradoenlafigura4.13,respondalosiguiente:

Figura 4.13 Tipo de cambio nominal

(Nov. 11-Sep. 12)

2 636

2 672 2 670

2 603

2 7062 697

2 6932 684

2 658

2 671

2 617

Nov. 11

2 620

2 600

2 640

2 660

2 680

2 700

2 720

Ene. 12 Mar. 12 May. 12

Tipo

de

cam

bio

banc

ario

Tipo de cambio nominal

(Nov 11 - Sep 12)

Jul. 12 Sep. 12

AdaptadodeBCR2012



257

a. ¿Cómointerpretaríaelprimeryelúltimopuntodelafigura4.13sobrelabasedelaescalamostradaen los ejes coordenados?

b. ¿Entre qué meses el tipo de cambio nominal disminuye?

c. ¿Entre qué meses el tipo de cambio nominal disminuyó con mayor rapidez?

d. ¿Sepodríaafirmarqueeldólarseguirábajandoamedidaquepasaeltiempo?¿Porqué?



Ejemplo 3

Lafigura4.14muestraelporcentajededesaprobadosporciclodelcursoMatemáticaBásicaenunauniversidad del país.

Figura 4.14

2010 -1 2010 - 2 2011 - 1 2011 - 2 2012 - 1 2012 - 2

5 %5 %

8 %

0 %

Porc

enta

je

10 %10 %

15 %15 %

20 %

27 %

25 %

30 %

35 %35 %

40 %

Porcentaje de desaprobados por ciclo

a. Enelciclo2011-2sematricularon1000alumnos,¿cuántosaprobaronelcurso?

b. ¿Sepuedeafirmarqueenelciclo2012-1hubomenosdesaprobadosqueenelcicloanterior?¿Porqué?

c. ¿En qué ciclo se obtuvo el mayor porcentaje de aprobados? ¿Y en qué ciclo el menor?



259

d. Enelciclo2010-2hubo280alumnosdesaprobados,¿cuántosaprobaron?

e. Sientotalhubo2700alumnosmatriculadosentrelosciclos2010-2y2011-2,¿cuántosaprobaronelcursoenelciclo2011-1?

Ejemplo 4

La figura4.15muestra el crecimientoporcentualdealumnosmatriculados enunauniversidaddelPerúrespectoalañoanterior.Porejemplo,elaño2009elnúmerodealumnosmatriculadosaumentóen50 %respectodelaño2008,esdecir,sienesteañoelnúmerodealumnosmariculadosfue1000,enelaño2009hubo1500.

Figura 4.15Crecimiento porcentual de alumnos respecto al año anterior

2007 2008 2009 2010 2011 2012

10 %10 %

0 %

20 %20 %

30 %

50 %

Años

Porc

enta

je d

e al

umno

s mat

ricu

lado

s

30 %40 %

50 %

60 %60 %

70 %70 %

80 %

Crecimiento porcentual de alumnos respecto al año anterior



a. ¿Cómointerpretaríaelprimeryelúltimopuntodelagráficamostrada?

b. Sienelaño2010sematricularon2000alumnos,¿cuántoshuboenel2011?

c. ¿Enelaño2012hubomenosalumnosmatriculadosqueenelaño2011?¿Porqué?

d. ¿Sepuedeafirmarqueelaño2011huboelmayornúmerodealumnosmatriculados?¿Porqué?

e. Si en el año2013 se esperaque sematriculen8000alumnos, ¿quéporcentaje colocaría en lagráficaparael2013?(Sugerencia:utiliceelvalorhalladoenlapreguntab).



261

Ejemplo 5

Lafigura4.16muestraelcrecimientoporcentualdelsueldodeJosérespectoalañoanterior.

Figura 4.16Crecimiento porcentual del sueldo respecto al año anterior

2007 2008 2009 2010 2011 2012

5 %5 %

0 %

10 %10 % 10 %

Años

Porc

enta

je d

e su

eldo

15 %

20 %20 %

30 %

25 %25 %

30 %

35 %

Crecimiento porcentual del sueldo respecto al año anterior

a. ¿Cómointerpretaríaelprimeryelúltimopuntodelagráficamostrada?

b. Sienelaño2010elsueldodeJoséfuede$2000,¿cuálfuesusueldoenel2011?

c. ¿Enlosaños2008y2009Josétuvoelmismosueldo?¿Porqué?



d. ¿EnquéañoJosétuvoelmayorsueldo?¿Porqué?

e. Sienelaño2013Josétendráunsueldode$4000,¿quéporcentajecolocaríaenlagráficaparaesteaño? (Sugerencia: utilice el valor hallado en la pregunta b).

Ejemplo 6

Lafigura4.17muestralastemperaturasalolargodeundíadeinviernoenciertopueblodelasierradel Perú.

Figura 4.17Temperatura en un pueblo de la sierra del Perú

–3

–2

–1

1

2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

3

4

5

6

Temperatura(en °C)

Horasdel día

Y

X

a. ¿A qué hora del día la temperatura fue de 2 °C? ………………………………………….b. ¿A qué hora del día la temperatura fue de 0 °C? ………………………………………….c. ¿A qué hora del día se alcanzó la máxima temperatura? …………………………………d. ¿A qué horas del día la temperatura fue constante? …………………………………..e. ¿A qué horas del día la temperatura estuvo bajo cero? …………………………………..f. ¿A qué horas del día la temperatura estuvo creciendo? ………………………………….g. ¿A qué horas del día la temperatura creció con mayor rapidez? …………………………



263

Ejemplo 7

La figura 4.18muestra la utilidad, enmiles de dólares, de la empresa «Lapimat» por la venta delapiceros, expresado en cientos de unidades.

Figura 4.18Utilidad de la empresa «Lapimat»

–30

–20

–10

10

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

30

40

50

Utilidad(en miles de $)

Lapiceros(en cientos

de unidades)

Y

X

a. ¿Cuántos lapiceros se deben vender para maximizar la utilidad? ………………………..……………………………b. ¿Cuál es la máxima utilidad que se puede obtener? …………………………………………………………………………c. ¿Cuál es la ganancia que se obtiene al vender 700 lapiceros? …………………………………………………………..d. ¿Cuál es el máximo número de lapiceros que se deben vender y aún obtener ganancias?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………e. ¿Cuál es el volumen mínimo de producción? …………………………………………………………………………………f. ¿Cuántoslapicerossedebenvenderparaganar$30000?………………………………………………………………g. ¿En qué intervalo se puede hablar de ganancia? ……………………………………………………………………………h. ¿En qué intervalo la utilidad creció con mayor rapidez? …………………………………………………………………



Ejemplo 8

Lasiguientegráfica,verfigura4.19,muestraelnúmerodeturistasquelleganaunaciudaddelPerúentrelosaños2000al2010.(Asumaenelplanoquex = 0 representa el año 2000).

Figura 4.19Turistas que visitaron una ciudad del Perú

10

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

30

40

50

60

70

Número de turistas (en miles)

Años

Y

X

a. ¿Cuántos turistas llegaron a dicha ciudad en el 2002? ……………………………………………………………………b. ¿Sepuedeafirmarqueelnúmerodeturistasaumentócadaaño?¿Porqué?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………c. Entrelosaños2004y2008,¿cuántosturistasllegaronporañoaproximadamente?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………d. ¿Entre qué par de años consecutivos el turismo aumentó en mayor cantidad?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………



265

Ejercicios 4.3

1. Apartirdelgráficodelíneasmostradoenlafigura,respondalosiguiente:

Turistas en el pueblo A

2004

5 000

0

10 00010 000

14 000 16 000

20 000

20 000

26 000

23 000

25 000

15 000

20 000

25 000

30 000

2005 2006 2007

Años

Núm

ero

de tu

rist

as

Turistas en el pueblo A (2004 - 2011)

2008 2009 2010 2011

a. ¿Quédescribeelgráficomostradoenlafigura?b. ¿En qué año el número de turistas fue mayor? c. ¿Entre qué años consecutivos se tuvo el menor y mayor aumento de turistas en el pueblo A?d. Sidel2011al2012hubounaumentodeturistasigualalaumentoquehuboentrelosaños2007y

2009,¿cuántosturistasvisitaránelpuebloAel2012?



2. Lagráficadelíneasdelafiguramuestralasutilidadesqueobtuvolaempresa«Mi&Ma»del2006al2011.

Utilidades de la empresa «Mi&Ma»

2006

200

0

400

600

800

1 000

1 200

2007 2008 2009

Utilidades de la empresa Mi&Ma

Utili

dade

s (en

mile

s de

$)

Años

2010 2011

200

300

500

600

800

1 100

Apartirdelgráficodelíneasmostradorespondalosiguiente:

a. ¿Enquéañolaempresaobtuvounautilidadde$800000?b. ¿Cuálfuelautilidadtotalobtenidaporlaempresaentrelosaños2007y2010?c. Supongaque el año2012, la utilidad aumenta respecto al año anterior lamisma cantidadque

aumentóel2009conrespectoal2008.¿Cuálserálautilidadelaño2012?d. ¿Entre qué años consecutivos se obtuvo el menor y mayor aumento en las utilidades?



267

3. Lasiguientefiguramuestraelcrecimientoporcentualdealumnosmatriculadosenunauniversidaddel Perú respecto al año anterior.

Crecimiento porcentual del alumnado respecto al año anterior

2007

10 %

0

20 %20 % 20 %

30 %

50 %

40 %

10 %

30 %

40 %

50 %

60 %

2008 2009 2010

Crecimiento porcentual respecto al año anterior

2011 2012

Porc

enta

je d

e al

umno

s

Años

a. ¿En los años 2007 y 2008 hubo el mismo número de alumnos matriculados en la universidad?b. ¿Sepuedeafirmarquedelaño2010al2012elnúmerodealumnosmatriculadosdisminuyó?c. Sienelaño2006sematricularon2000alumnos,¿cuántoshuboenel2007?d. ¿Sepuedeafirmarqueelaño2010huboelmayornúmerodealumnosmatriculados?



4.4. Transformaciones gráficas de funciones

¿Quélesucederíaalagráficadelcostototalsiaumentaraodisminuyeraelcostofijo?¿Cómoafectaríaalagráficadelademandadeunartículosielgobiernoestablecieraunimpuestodelmontofijo?Paraconocercómosetransformaunagráficasenecesitadelastransformacionesgráficasdefunciones.

El trazado de la gráfica de una función compleja puede simplificarse si se reconoce que la gráficasolicitadaresultadelatransformacióndelagráficadeunafunciónmássencillallamadafunciónbásica.

Aquí,lasgráficasdealgunasdelasfuncionesbásicas

1. Función constante

Regla de correspondencia: f(x) = c Figura 4.20 Por ejemplo, f(x) = 2

Dom(f) = ………………………… Ran(f) = ………………………….

Creciente en: …………………….

Decreciente en: ………………….

2. Función identidad Figura 4.21

Regla de correspondencia: f(x) = x

Dom(f) = ………………………… Ran(f) = ………………………….



2

3

4

1

–1

–2

1 2 3–1–2–3

Y

X

2

3

4

1

1 2 3 4–1–1

–2

–3

–2–3–4

Y

X



269

3. Función cuadrática Figura 4.22

Regla de correspondencia: f(x) = x2

Dom(f) = ………………………… Ran(f) = ………………………….



4. Función cúbica Figura 4.23

Regla de correspondencia: f(x) = x3

Dom(f) = ………………………… Ran(f) = ………………………….



2

3

4

5

1

1 2 3 4–1–1

–2

–2–3

Y

X

1

2

1 2 3 4 5

3

4

5

6

7

8

–1–1

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–2–3–4–5

Y

X



5. Función raíz cuadrada Figura 4.24

Regla de correspondencia: f(x) = x

Dom(f) = ………………………… Ran(f) = ………………………….


Decreciente en: …………………….

6. Función valor absoluto Figura 4.25

Regla de correspondencia: f(x) = | x |

Dom(f) = ………………………… Ran(f) = ………………………….



7. Función recíproca Figura 4.26

Regla de correspondencia: f(x) = 1x

Dom(f) = ………………………… Ran(f) = ………………………….



1

1

2

3

4

2 3 4 5–1–1

–2

–2

Y

X

1

1

2

3

4

2 3 4–1–1

–2

–2–3

Y

X

1

1

2

3

4

2 3 4–1–1

–2

–3

–2–3-4

Y

X



271

Función lineal afín

Lasfuncioneslinealesafinessonaquellascuyaregladecorrespondenciapuedeescribirseenlaforma:

f(x) = mx + b, donde m y b son constantes, dom(f) = R y ran(f) = R, excepto cuando m = 0

Lasgráficasdeestasfuncionessonrectasenlasquem es la pendiente y b es la ordenada del punto (0; b)pordondelagráficaintersecaalejeY.

Recuerde que si:

• m>0,entonceslagráficaes………………….• m<0…………………………………………• m = 0 …………………………………………

Ejemplo 1

Tracelasgráficasdelassiguientesfunciones:

a. f(x) = 2x–1b. g(x) = 2

2x−

c. h(x) = –2

–1–1

–2

–3

–4

–2–3–4 1 2 3 4

1

2

3

4 Y

X

Ahora, en cada caso aparece la gráfica de una función básica.Mediante tabulación, trace lasgráficasdelasnuevasfuncionesqueseindican,luego,comparelasgráficasdeestasúltimasconlasiniciales y escriba sus conclusiones acerca de los resultados.



Traslaciones

1. Enlafigura4.27,semuestralagráficadelafunciónbásica f(x) = x2.Sobreelmismoplanografique:

Figura 4.27

(a) y = f(x) + 2, es decir, y = x2 + 2 (b) y = f(x) – 3, es decir, y = x2 – 3

1

1

2

3

6

5

4

2 3 4 5–1–1

–2

–3

–2–3–4–5 –5 1

1

2

3

6

5

4

2 3 4 5–1–1

–2

–3

–2–3–4

Y

X

Y

X

Conclusión:La gráfica de f(x) + 2 resulta de trasladar a la gráfica de f(x) dos unidades hacia …..……..……... Lagráficadef(x) – 3 resulta de…..…………………alagráficade f(x) tres unidades hacia …..……..……...

2. Enlafigura4.28,semuestralagráficadelafunciónbásica f(x) = x2.Sobreelmismoplanografique:

Figura 4.28

(a) y = f(x – 2), es decir, y = (x – 2)2 (b) y = f(x + 3), es decir, y = (x + 3)2

1

1

2

3

5

4

2 3 4 5–1–1

–2–3–4–5 1

1

2

3

5

4

2 3 4 5–1–1

–2–3–4–5

Y

X

Y

X

Conclusión:La gráfica de f(x – 2) resulta de trasladar a la gráfica de f(x) dos unidades hacia…..……..…….. Lagráficadef(x + 3) resulta de…..…………………alagráficade f(x) tres unidades hacia …..……..……..



273

Ampliaciones y contracciones

3. Enlafigura4.29,semuestralagráficadelafunciónbásica f(x) = |x|. Sobreelmismoplanografique:

Figura 4.29

(a) y = 2f(x), es decir, y = 2|x| (b) 1 ( )2

y f x= , es decir, 1 | |2

y x=

1

1

2

3

5

4

2 3 4–1–1

–2–3–4 1

1

2

3

5

4

2 3 4–1–1

–2–3–4

Y

X

Y

X

Conclusión: Lagráficadey = 2f(x) resulta deampliaralagráficade f(x) verticalmente. Lagráficade 1 ( )

2y f x= resulta de…..…………………alagráficade f(x) verticalmente.

Reflexiones

4. Enlafigura4.30,semuestralagráficadelafunciónbásica ( )f x x= .Sobreelmismoplanografique:

Figura 4.30

(a) y = – f(x), es decir, y x= − (b) y = f(– x), es decir, y x= −

1

1

2

3

2 3 4 5–1–1

–2

–3

–2–3–4–5 1

1

2

3

2 3 4 5–1–1

–2

–3

–2–3–4–5

Y

X

Y

X



Conclusión:Lagráficadey = – f(x) resulta dereflejaralagráficade f(x) respecto al eje …... Lagráficade ( )y f x= − resulta de…..…………………alagráficade f(x) respecto del eje.…..Resumen. ¿Cómosetransformalagráficadey = f(x) con c > 0?

y = f(x) + c

y = f(x) – c

y = f(x – c)

y = f(x + c)

y = – f(x)

y = f(–x)

y = cf(x), con c>1

y = cf(x),con0<c<1

Ejemplo 2

Enlafigura4.31,semuestralagráficadef.Paratrazarlagráficade:

y = f(x) + 2

sedebetrasladarcadapuntodelagráficadefdosunidadeshaciaarriba.Luego,segraficauniendolospuntossiguiendolaformadelagráficadef.

Figura 4.31

1

1

2

3

4

2 3 4–1–1

–2

–3

–2–3–4

Y

X

f



275

Ejemplo 3

Enlafigura4.32,semuestralagráficadef.Tracelagráficade:

y = f(x – 1)

¿Quétransformaciónsedeberealizaralagráficadef ?

…..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……

Figura 4.32

1

1

2

3

4

2 3 4–1–1

–2

–3

–2–3–4

Y

X

f

Ejemplo 4


y = – f(x)


…..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……



Figura 4.33

1

1

2

3

4

2 3 4–1–1

–2

–3

–2–3–4

Y

X

f

Ejemplo 5


y = f(–x)


…..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……

Figura 4.34

1

1

2

3

4

2 3 4–1–1

–2

–3

–2–3–4

Y

X

f



277

Ejemplo 6


y = 2f(x)


…..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……………..……

Figura 4.35

1

1

2

3

4

2 3 4–1–1

–2

–3

–2–3–4

Y

X

f

Ahora, se realizarán gráficas de funciones más complejas, que resultan de combinar variastransformacionesdeunafuncióninicialqueseconsiderabásica.Paraello,unavezidentificadaestaúltima, se debe determinar cuál es la secuencia adecuada de transformaciones para aplicarla.

Ejemplo 7


g(x) = f(x + 1)–2

se deben realizar dos transformaciones:

• una traslación de una unidad a la izquierda: y1 = f(x + 1)y• una traslación hacia abajo de dos unidades: y2 = f(x + 1)–2.



Figura 4.36

1

1

2

3

4

2 3 4–1–1

–2

–3

–2–3–4

Y

X

f

Ejemplo 8


g(x) = 2 – f(x – 3)

se debe realizar la siguiente secuencia de transformaciones:

• y1 = • y2 =• y3 =

Figura 4.37

1

1

2

3

2 3 4–1–1

–2

–3

–4

–2–3–4

Y

X

f



279

Ejemplo 9

Enlafigura4.38,semuestralagráficadef.Observequelagráficaesigualaunacuadráticay = x2 que ha sido trasladada en:

• dos unidades a la izquierda y• una unidad hacia abajo.

f(x)=........................,–4< x≤0

Figura 4.38

1

1

2

3

–1–1

–2–3–4

Y

X

f

Ejemplo 10

Determine la regla de correspondencia y el dominio de la función f, cuya gráfica es la de una raízcuadradaalaqueseaplicarontransformacionesysemuestraenlafigura4.39.

Figura 4.39

1 2 3 4

1

2

–1–1

–2

–2–3

Y

X

f



Ejemplo 11

Tracelasgráficasdelassiguientesfuncionesutilizandotransformacionese indicandosudominioyrango:

a. ( ) 3 2f x x= − +

Primero,seidentificalafunciónbásica 0y x= .Luego, se aplican las transformaciones:

• 1 2y x= +

• 2 2y x= − +

• 3 3 2y x= − +

Dom(f) =Ran(f) =

b. g(x) = 2 – (x – 3)2

Función básica:Transformaciones:

• y1 =• y2 =• y3 =

Dom(g) =Ran(g) =



281

c. h(x) = –2 + 2| x –3|

Función básica:Transformaciones:

• y1 =• y2 =• y3 =

Dom(h) =Ran(h) =



Ejercicios 4.4

1. Apartir de la gráfica de la función f que semuestra en cada figura, trace la gráfica de lassiguientes funciones:

a. y = f(x + 2)b. y = f(x – 1)c. y = f(x) – 2d. y = f(x) + 1e. y = – f(x)f. y = 2f(x)g. y = 2 – f(x) h. y=–0,5f(x) + 2i. y = f(–x) – 3

2

3

4

5

1

–3 –1–1

–3

–2

–4

1 2 3 4 5 6 7–2

Y

X

f

2

3

4

1

–1–1

–3

–2

–4

1 2 3 4 5 6–2

Y

X

f

2. Halle laregladecorrespondenciade las funciones,cuyasgráficassemuestranen lassiguientesfiguras:

2

3

1

–1–1

–2

–3

1 2 3 4 5 6–2

Y

X

f

2

1

–1–1

–2

–3

1 2 3 4 5 6–2

Y

X

g



283

2

1

–1–1

–2

–3

1 2 3 4–2–3–4

Y

X

h

3. Utilicelastécnicasdetransformaciónparagraficarlassiguientesfunciones:

a. f(x) = x – 2b. f(x) = x2 – 3c. f(x)=0,5x3 d. ( ) 2f x x= +

e. ( ) 3f x x= −f. ( ) 1 2f x x= + −

g. f(x)=1+(x – 1)2

h. 1( )

2f x

x=

−i. f(x) = (x – 2)3+1j. f(x) = – x2 + 3k. ( ) 1f x x= − +



4.5. Aplicaciones de la función lineal y las transformaciones de gráficas

Costo marginal

Es el costo de producir un artículo adicional a nivel de producción. Entonces, en una función de costo lineal C(x) = mx + b, la pendiente m representa al costo marginal y el intercepto beselcostofijo.

Problema 1

Supongaqueelcostototaldeproducir10carterasesdeS/.220,mientrasqueelde100carterasesdeS/.1300.Suponiendoqueelcostoeslineal.

a. ¿Cuál es el costo de producir cada cartera?b. ¿Cuál es el costo adicional o costo marginal por cartera?c. Determine la función de costo total C(x) de producir x carteras.d. Grafiquelafuncióncostoindicandosudominioyrango.



285

Problema 2

Elcostomarginaldeproducirunmedicamentoesde$10porunidad,mientrasquede100unidadesesde$1500.DeterminelafuncióndecostoC, suponiendo que es lineal.

Oferta y demanda lineales

A continuación, se presentarán algunos conceptos económicos básicos que ocurren en el mercado, tales como demanda, oferta, equilibrio de mercado e impuesto.

Demanda. Es la relación entre el precio y la cantidad demandada de un bien determinado en un periodo dado. A mayor precio del artículo, los consumidores demandarán menos unidades.

Por ejemplo, sea p = f(q)=50–2q la función de demanda de un artículo donde p es el precio unitario en soles, y q, la cantidad demandada en unidades.

Si p = 20, entonces q=15;esdecir,sedemandarán15unidades,cadaunadeellasaunpreciodeS/.20.Ahora,sip = 30, entonces q=10;esdecir,sedemandarán10unidadesconunpreciodeS/.30cada una.

Oferta. Es la relación entre el precio y la cantidad ofrecida de un bien determinado en un periodo dado. A mayor precio del artículo, los productores ofrecerán más unidades.

Por ejemplo, sea p = f(q) = 30 + 2q la función de oferta de un artículo donde p es el precio unitario en soles, y q, la cantidad ofertada en unidades.

Si p=40,entoncesq=5;esdecir,seofrecerán5unidades,cadaunadeellasaunpreciodeS/.40Ahora, si p=50,entoncesq=10;esdecir,seofrecerán10unidadesconunpreciodeS/.50cadauna.Lasgráficasdelaofertaydelademandaseobservanenlafigura4.40.



Figura 4.40

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Precio en S/.

Unid.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Y

X

Equilibrio de mercado. Situación en la que las cantidades demandas y ofertadas se igualan. Entonces, qe denotará la cantidad de equilibrio, y pe, el precio de equilibrio.

Por ejemplo, el punto de equilibrio se obtiene al igualar las ecuaciones de oferta y demanda:

30 + 2q=50–2q ⇒ qe=5unid. y pe=S/.40.

Impuestos. Constituyen un instrumento de política económica que regula el monto transado en el mercado. El impuesto puede ser dirigido a la demanda o la oferta.

Impuesto de monto fijo. Impuesto de una misma cuantía que pagan todas las personas.

Si se considera una función de oferta p = S(q)yunimpuestodemontofijoT dirigido a ella, la nueva oferta que incorpora el impuesto queda determinada por:

pf = S(q) + T



287

Problema 3

Sea la función p = f (q)= −0,6q+12,dondep representa precio en dólares, y q, la cantidad de un bien en unidades.

a. ¿Es una función de oferta o de demanda? b. Grafiquelafuncióneidentifiquesudominio.

Problema 4

Sean las siguientes ecuaciones de oferta y demanda:

Oferta: p = 3/2 q + 1soles Demanda: p = 11– q soles

a. ParaunpreciodeS/.10,¿quéocurreenelmercado?,¿excesodeofertaodemanda?,¿decuántoesel exceso?

b. Halle el precio y la cantidad de equilibrio.c. Tracelasgráficasdelaofertaylademanda.



Problema 5

Una empresa dedicada a la confección de prendas de vestir íntimas ofrece una docena de sus productos a$360.Siofreciera16deellos,entoncessuprecioseríade$38porcadauno. a. Determine la función oferta sabiendo que mantiene un comportamiento lineal.b. ¿A partir de qué precio se ofrecen productos al mercado?c. Dé una interpretación económica a la pendiente.

Problema 6

Laempresa«Orofino»oferta5artículosaunpreciode$120cadaunoycuandoofrece15artículos,elprecioasciendea$220porunidad.

La demanda de los artículos de joyería está dada por la ecuación p= – 6q +150,dondep está en dólares y q representa los artículos demandados.

a. Determine la función de la oferta sabiendo que tiene un comportamiento lineal.b. Grafiquelaofertaylademandaenunmismoplanocartesiano,indicandoelpuntodeequilibrioy

el ingreso del vendedor en el equilibrio.



289

Problema 7

Siguiendoelproblemaanterior,debidoalacrisisfinancierainternacional,elEstadoperuanoadoptalamedidadeaplicarunimpuestodemontofijoalosdeartículosdejoyería.Elimpuestoesde$20porcada unidad, manteniéndose el comportamiento de la demanda. a. Determine la nueva función de oferta.b. Tracelagráficadelanuevaofertahaciendousodetraslaciones,apartirdelagráficadelaoferta

obtenida en el ejercicio anterior. c. ¿Cómo afecta el impuesto al equilibrio de mercado?d. Calcule el ingreso del vendedor en el equilibrio después de aplicado el impuesto.

Problema 8

Las ecuaciones de oferta y demanda de un bien están dadas por p =0,1q + 20; p =–0,2q + 80, donde p está en soles y q en unidades.

a. Si se fijaun impuestodeS/.6porunidadproducidamanteniendo lamisma funcióndemanda,determine el nuevo punto de equilibrio.

b. ¿Cuánto varía el ingreso del vendedor del bien después de aplicado el impuesto?



291

Ejercicios 4.5

1. La señora Zoila Kitchen desea introducir una nueva marca de cocinas en el mercado aprovechando elDíadelaMadre.Lagráficadelademandadecocinassemuestraenlafigura y los precios de oferta se tabularon en la tabla. (Se sabe que la oferta y la demanda son lineales).

Nro. de cocinas 0 40Precio por unidad (S/.) 200 600

0 20–20 40 60 80 100 120

200

400

600

800

1000p

q

a. TracelagráficadelaofertaenelplanodelafiguraeindiquequéocurreenelmercadoaunpreciodeS/.400.¿Existeexcesodeofertaoexcesodedemanda?Determineelexceso.

b. Determine la regla de correspondencia de la función demanda.

2. Los señores Hugo, Paco y Luis se dedican a la fabricación de almohadas hechas con plumas de pato. Ellos desean ingresar al mercado y así competir con las empresas del señor Donald, y de don Pato y su pandilla. Laofertasemodelóusandounafunciónlineal,comosemuestraenlagráfica,dondelacantidadofrecida se expresa en decenas de unidades, y el precio, en soles.

20

0

180p (soles)

q (decenas)

160

2 4 6 8 10 12

20

40

60

80

100

120

140



a. Determine la regla de correspondencia de la oferta.b. Grafiquelademandalineal(enelmismoplanoquelaoferta)sisesabequeelpreciodeequilibrio

esdeS/.80,ylademandamáxima,de80unidades.c. ParaunpreciodeS/.120,¿quéocurreenelmercado:existeexcesodeofertaodedemanda?

¿De cuántas unidades es dicho exceso?d. Determine el ingreso del vendedor en el equilibrio. e. SidebidoalacrisisfinancierasefijaunimpuestodeS/.60porunidadproducidamanteniendo

la misma función de demanda, ¿cuál es el cambio porcentual del ingreso del vendedor en el equilibrio luego del impuesto? Interprete el resultado.

3. El mercado que se analizará a continuación está conformado por solo dos compradores: Carlos y Pamela. La siguiente tabla muestra información respecto de las cantidades demandadas por ambos,asícomodelascantidadesofertadasdelmercadoparaelmesdeagostode2012.Sesabeademás que la oferta y la demanda tienen un comportamiento lineal.

Precio unitario($)

Cantidad demandada por Pamela y Carlos

Cantidad ofertada en el mercado

0 50 104 30 3010 0 60

a. Tracelasgráficasdelaofertaylademanda.(Useunaescalaadecuada).b. ¿Cuál es la ecuación de demanda?

c. Si la ecuación de oferta es 25

1 −= qp , ¿qué tipo de desequilibrio se genera cuando el precioesde$5?



293

4.6. Función cuadrática

En muchas situaciones, es de interés encontrar los valores óptimos, es decir, valores máximos o mínimos, por ejemplo, minimizar el tiempo, la distancia, etcétera, maximizar el ingreso, cobertura, etcétera. En los negocios, principalmente, por ejemplo, para una función utilidad U por producción y venta de q unidades de cierto artículo, convendría saber qué cantidad q permite obtener la mayor utilidad. Para una función de costo total C por inventarios, en la cual intervienen costos de transporte y almacenaje, costos de envío, convendría saber el tamaño del lote (q unidades) que minimiza el costo total.

La obtención de este óptimo, generalmente, no es sencilla, requiere de herramientas matemáticas más elaboradas; pero cuando se trata de las funciones cuadráticas sí lo es. ¿Cómo se obtiene este óptimo en las funciones cuadráticas? Este es el tema que se desarrollará en esta sección.

Las funciones cuadráticas son aquellas funciones cuya regla de correspondencia puede escribirse en la forma:

f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a≠0.

El ejemplo más simple de función cuadrática es la función básica f(x) = x2. Otros ejemplos son

f(x) = x2 – 3x+5, g(t) = –3t2+5t y p(q) = – q2+400;sinembargo,2

1( )h xx

= no es una cuadrática.

Considere la función f(x) = (x – 2)2+1,cuyagráficasemuestraenlafigura4.41.

Figura 4.41

2

3

4

5

6

1

0–1

1 2 3 4 5

x = 2

(0;5)

V(2;1)

f

–1–2

Y

X

Esta función se puede expresar en la forma:

f(x) = x2–4x+5,dondea=1,b=–4yc=5.



ObservequelagráficaintersecaalejeYenelpunto(0;5).ElpuntoV(2;1)sellamavérticeylarecta x=2eselejedelagráfica.

Lagráficadelafuncióncuadráticaf(x) = ax2 + bx + c se llama parábola y tiene las siguientes características:

• Interseca al eje Y en (0; c). • Vértice en V(h; k) cuyas coordenadas están dadas por

2bha

= − y k = f(h).

• Eje vertical de ecuación x = h.Lagráficaessimétricaaesteeje.

Además: Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba. Si a<0,laparábolaseabrehaciaabajo.

Figura 4.42

k

k

v

v

h

h

Y

X

Y

X

Dom(f) = R y ran(f) = ………….. Dom(f) = R y ran(f) = …………… El mínimo valor de f: ………… El máximo valor de f: …………. El valor mínimo ocurre en x = …. El valor máximo ocurre en x = ….

Ejemplo 1

Determine los valores máximo o mínimo y rango de las siguientes funciones:

a. f(x) = x2–6x + 7Como a = 1 es positivo, la parábola se abre hacia arriba y, por lo tanto, tiene un mínimo en

6 32 2(1)bha

−= − = − = . El valor mínimo es k = f(3) = (3)2–6(3)+7=–2ynotienevalormáximo.

Además, ran(f)=[–2;+∞[.

b. g(x) = –x2+3,1< x <4Como a=–1esnegativo, laparábolaseabrehaciaabajoy,por lo tanto, tendríaunmáximoen

0 02 2(1)bha

= − = − = . Pero este valor de hnoseencuentraeneldominio1< x <4sinoalaizquierda,

entoncescomolagráficaestádecreciendo,elmáximoseobtieneenx=1yelmínimoenx=4.Porlo tanto, el valor máximo es g(1)=2,yelvalormínimo, g(4)=–13.Además,ran(f)=[–13;2].



295

Ejemplo 2

Determine los valores máximo o mínimo y rango de las siguientes funciones:

a. f(x) = –x2+4x

a =…Se abre hacia………….

b. g(x) = –x2 + x + 2


c. h(x) = 2x2–12x+1para x < 2.




Ejemplo 3

Paragraficarlafunciónf(x) = x2–4x + 3, se debe analizar su comportamiento.Como a=1espositivo,entoncesseabrehacia………..Interseca al eje Y en el punto ………..

Para 4 22(1)

h −= − = , se tiene k = f(2)=–1,porlotanto,tienevérticeenV(….;…).

LospuntosdondeintersecaalejeXseobtienenresolviendolaecuaciónf(x) = 0.

x2–4x + 3 = 0 ⇒ x = … , y x = …,

porlotanto,intersecaalejeXen(….;…)y(….;…)

–1–1

–2

–2

–3 1 2 3 4 5

1

2

3

4Y

X

Ejemplo 4

Tracelagráficadelassiguientesfunciones:

a. f(x) = –x2–4x+12



297

b. g(x) = 2x2+4x–1

c. g(x) = –2x2+6x

Las funciones cuadráticas f(x) = ax2 + bx + c se pueden escribir de otras formas, por ejemplo:

• f(x) = a(x – h)2 + k, donde las coordenadas del vértice son V(h; k).• f(x) = a(x – x1)(x – x2), donde x1 y x2sonlasabscisasdelospuntosqueintersecanalejeX.

Ejemplo 5

Paradeterminarlaregladecorrespondenciadelaparábolaquesemuestraenlafigura4.43,seoptarápor la forma:

f(x) = a(x – h)2 + k



Figura 4.43

–1–1

–2

1 2 3 4 5

1

2

3

4Y

X

f

SeobservaqueV(2;–1),esdecir,h = 2 y k=–1.Para hallar a,setomaunpuntopordondepasalagráfica,porejemplo(0;1),ysereemplazaen

la fórmula, así:

1=a(0 – 2)2 +–1

De aquí se obtiene a=½=0,5.Entonces,f(x)=0,5(x – 2)2 –1.

Ejemplo 6

Determinelaregladecorrespondenciadelaparábolaquesemuestraenlafigura4.44,sisesabequea=–1,5

Figura 4.44

1 2

1

2

3

–1–1

–2–3–4

–2

Y

X

f

f



299

Ejemplo 7

Halle la regla de correspondencia de la función cuadrática f que tiene las siguientes características:

a. Suvérticees (1; –2)e intersecaal ejeXenelpunto (2; 0).

f(x) = a(x – )2 –

f(x) = (x – )2 –

b. Vértice en el eje Y, y pasa por los puntos (2; 0) y(1;1).

f(x) = a(x – )2 –

Ejemplo 8

Suponga que se tiene una función cuadrática fconvalormáximode2ycuyagráfica(verfigura4.45)intersecaalejeXenx=1,x=5.Entonces,laregladecorrespondenciadef tendrá los factores (x–1)y(x–5),porlotanto,f(x) tendrá la forma:

f(x) = a(x–1)(x–5)

Para determinar el valor de a, tome en cuenta que su eje pasa por el vértice y el punto medio de x=1,x=5.Asíh = 3 y por dato k = 2 se obtiene V(3; 2).

El vértice satisface la función, entonces:

2 = a(3–1)(3–5)⇒ a=–1/2

Entonces, f(x)=–0,5(x–1)(x–5).



Figura 4.45

1 2

1

2

3 4 5–1

–2

–3

Y

X

f

Ejemplo 9

Halle la regla de correspondencia de la función cuadrática f que tiene las siguientes características:

a. Tieneunvalormínimode–1eintersecaalejeXen los puntos (–3; 0) y (0; 0).

b. IntersecaalejeXenlospuntos(–2;0),(1;0)yalejeYen(0;1).



301

Ejemplo 10

Determine la regla de correspondencia de la función f,cuyagráficasemuestraenlafigura4.46.

Figura 4.46

1 2

1

2

3

3

–1–1

–2

–2–3

Y

X

f



Ejercicios 4.6

1. Establezca cuales de las siguientes funciones son cuadráticas.

a. f(x) = 3(x–1)2

b. g(x)=5x–2 – xc. h(t) = 2t(t–1)+3td. p(x) = (x2+1)2

e. 2 5( )3

xf x −=

f. 2

2( )3 1

g xx x

=− +

2. Determine los valores máximo o mínimo, intersección con los ejes coordenados, rango y trace la gráficadelassiguientesfunciones:

a. p(x) = –(x + 3)2 b. f(x) = x2–6x+4c. g(x) = –2x2+4x+1d. h(x) = 2(x + 1)2 – 3e. f(x) = –(x – 3)2 – 2f. p(x) = 2x(x + 1)–3

3. Halle la función fcuyagráficaeslaparáboladelasfiguras.

a. b.

2

3

4

1

–1–1

–2

–3

1 2 3–2–3–4

Y

X

f

2

3

1

–1–1

–2

–3

1 2 3 4 5 6

Y

X

f



303

c. d.

2

3

1

4

5

6

–1–2–3–4–1

–2

1 2 3 4 5

Y

X

f

4. Hallelafuncióncuadráticacuyagráficatienelassiguientescaracterísticas:

a. V(–3;2)ypasapor(2;1).b. V(1;0)ypasapor(0;2).c. Pasapor(–3;1),(–1;2)y(1;1).d. IntersecaalejeXenx = 2, x=5ypasapor(0;–3).e. IntersecaalejeXenx=–1,x=4ytieneunvalormínimode–2.

5. Tracelagráficadelassiguientesfunciones:

a. f(x) = 2x2

b. f(x)=1,5x2

c. f(x) = x2

d. f(x)=0,5x2

e. f(x)=0,25x2

2

3

1

4

5

6

–1–2–3–4–1

–2

1 2 3 4 5

Y

X

f



4.7. Función polinomial

Las funciones polinomiales, definidasapartirdeexpresionespolinomiales,aparecenenformanatural en muchas aplicaciones cotidianas. También son útiles para aproximar funciones complicadas en la matemática aplicada. Hasta aquí, se han estudiado funciones polinomiales de grado entero n≤2,ahoraseveráparan > 2 entero.

Una función polinomial de grado entero no negativo n es una función cuya regla de correspondencia está dada por un polinomio de la forma:

f(x) = anxn + a1xn–1 + . . . + a1x + a0, donde a0, a1, . . . an son constantes y el coeficienteprincipal

an≠0.

Como ejemplo, se tiene a las siguientes funciones:

f(x) = x3 – 2x + 4,degradon=3ycoef.principal1.

p(x) = –2x4 + 5x3 + x – 3, de grado n=4ycoef.principal–2.

Gráfica de una función polinomial

Aúnno se tienen lasherramientasnecesariaspara trazar la gráficadeuna funciónpolinomial con n > 2, sin embargo, a partir de los elementos que se han trabajado en las funciones estudiadas hasta ahora, se puede realizar un buen bosquejo, por ejemplo, para:

f(x) = anxn + a1xn–1 + . . . + a1x + a0, con an≠0

EsfácilverquesugráficaintersecaalejeYenelpunto(0;…).Ahora,observelagráficadecadafunción(verfigura4.47),ydetermineelgradoyelsignodel

coeficienteprincipal.



305

Figura 4.47

a. f(x)=0,5x2

Y

X

1

2

3

1 2 3–1–2–3–1

Grado de f = ………Coef. principal = …………

b. f(x) = –x2 + 2

Y

X

1

2

1 2–1–2–1


c. f(x) = x4 – 2

Y

X

1

1 2 3–1–2–3–1

–2


Describalaformadelagráficasegúnelgradoysignodesucoeficienteprincipal.……………………………………………………………………………………………..…………..…………..…………..…………..…………..…………………………………………………………………………………..…………..…………..…………..…………..…………..…

Nuevamente,observelagráficadecadafunción(verfigura4.48),ydetermineelgradoyelsignodelcoeficienteprincipal.

Figura 4.48

d. f(x)=0,5x3

Y

X

1

1 2–1–1

–2

–3

2

3

Grado de f = ……… Coef. principal = …………

e. f(x) = –x3

Y

X

1

1 2 3–1–2–3–1

–2

2


f. f(x) = x3–1

Y

X

1

1 2 3–1–2–3–1

–2

–3


Describalaformadelagráficasegúnelgradoysignodesucoeficienteprincipal.……………………………………………………………………………………………..…………..…………..…………..…………..…………..…………………………………………………………………………………..…………..…………..…………..…………..…………..……..…………………………………………………………………………………..…………..…………..…………..…………..…………..…



Enconclusión,lagráficadeunafunciónpolinomialf es una curva suave y continua que se extiende sobretodoelejeX,puessudominioesR.Laformadelagráficadependedesielgradon es par o impar ydelsignodelcoeficienteprincipalan.

Ejemplo 1

Enlafigura4.49,semuestrangráficasdetresfuncionespolinómicas.Indiquesielgradoesparoimparyelsignodelcoeficienteprincipal.

Figura 4.49

a. f(x) = axn + x4+ x

Y

X

1

1–1–1

–2

–3

2

3

n…........ a……

b. f(x) = axn + 2

Y

X

1

1 2 3–1–2–3–1

–2

2

n…........ a…...

c. f(x) = axn + 2

Y

X

1

1 2 3–1–2–3

2

3

4

n…........ a……

Ejemplo 2

Paratrazarlagráficadef(x) = x3 – x2–6x, se sugiere el siguiente procedimiento:

Paso1:Determinargradoysignodelcoeficienteprincipal. Grado n = 3 y a=1>0.(Permitirávisualizarlaformaquetendrálagráfica).

Paso 2: Factorizar f(x)paraobtenerlosvaloresdereferencia.(SoninterceptosconelejeX). f(x) = ………………….. ⇒ x =….., x =….., x =….. InterceptoconelejeX:(….;….),(….;….),(….;….) Intercepto con el eje Y: (0;….)

Paso 3: Signo de f(x) en cada intervalo generado por los valores de referencia. Se toman números de prueba en cada intervalo.

−2 0 3



307

Paso4:Tabulaciónygráfica

x

y

Nota. Grafique, usando una escalaadecuada, indicando los puntos donde interseca a los ejes.

Ejemplo 3

Tracelagráficadelassiguientesfuncionespolinomiales:

a. f(x) = (x–1)2(x + 2)

Valores de referencia:Interceptos:

Signo de f(x):

Tabulación:

x

y

b. g(x)=4–2x4 + 7x2

Y

X

Y

X



c. p(x) = x4 – 2x2

Ejemplo 4

Determinelaregladecorrespondenciadelafunciónpolinómicadegrado3,cuyagráficasemuestraenlafigura4.50.

ObservequelagráficadefintersecaalejeXenx1= –2 y en x2=1,entonces(x – –2) y (x–1)sonfactores de f(x), donde x = 2esunaraízdemultiplicidad2,yaquenocruzaelejeX.

Por lo tanto, f(x) = a(x + 2)2(x – 1).Para determinar el valor de a,setomaunpuntodelagráfica,porejemplo(0;4),ysereemplaza

en f(x).

4=a(0 + 2)2(0 – 1)⇒ a=–1



309

Así, el polinomio de grado 3 es f(x) = –(x + 2)2(x – 1).

Figura 4.50

2

3

4

5

1

0–1

1 2 3–1–2–3

f

Y

X

Ejemplo 5

Halle la regla de correspondencia de la función fpolinómicadegrado4,cuyagráficasemuestraenlafigura4.51.

Figura 4.51

2

3

1

–1

–2

1 2 3–1–2–3

f

Y

X

Ejemplo 6

¿Aquéfunciónpertenecelagráficadelafigura4.52?(Puedehabermásdeunarespuesta).

a. 21( ) ( 1)( 2)( 1)2

f x x x x= − − − +

b. 21( ) ( 1)( 2)( 1)2

f x x x x= − + − +



c. 21( ) ( 1) ( 2)( 1)2

f x x x x= − − − +

d. 2( ) ( 1) ( 1)(1 )2xf x x x= − + −

Figura 4.52

2

1

–1

–2

–3

1 2 3–1–2

f

Y

X



311

Ejercicios 4.7

1. Encadaunodelossiguientesejercicios,hagaunesbozodelagráficadelafunciónpolinómica.

a. 2( ) ( 5)f x x x= −

b. 2( ) ( 1) ( 3)f x x x= − −

c. 31( ) ( 1) (3 )4

f x x x= + −

d. 2 21( ) ( 2) ( 3)12

f x x x= + −

e. 3 2( ) 1f x x x x= + − −

f. 3 2( ) 3 4 12f x x x x= + − −

g. 3 2( ) 6f x x x x= − −

h. 4 2( ) 3 4f x x x= − −

i. 4 3( ) 2 8 16f x x x x= − − +

j. 5 3( ) 9f x x x= −k. 2 4( ) 9f x x x= −

2. Halle la regla de correspondencia de las funciones polinómicas de grado 3 que se muestran en las figuras.

a. b.

2

1

–1

–2

–3

–4

1 2 3–1–2–3

f

–4

Y

X

2

1

–1

–2

–3

–4

1 2–1–2–3

g

–4–5

Y

X



3. Hallelaregladecorrespondenciadelasfuncionespolinómicasdegrado4quesemuestranenlasfiguras.

a. b.

2

3

1

–1

–2

1 2 3–1–2–3–4

fY

X

2

1

–1

–2

–3

–4

1 2 3 4 5–1–2

g

Y

X

2;2

–5

4. Halleunafunciónpolinómicadegrado3,cuyasgráficastienenlassiguientescaracterísticas:

a. IntersecaalejeXenx = –3, x = 0, x =1,ypasaporelpunto(–2;3).b. IntersecaalejeXenx = –2, x=0,pasapor(–1;1)ytienecoeficienteprincipala > 0.

5. Halleunafunciónpolinómicadegrado4,cuyasgráficastienenlassiguientescaracterísticas:

a. IntersecaalejeXenx = –3, x = 0, x =1,x = 2, y pasa por (–2; 3).b. IntersecaalejeXenx = 3, x = 0, x=1,pasapor(2;3)yesnonegativaen]0;3[.



313

4.8. Aplicaciones de funciones polinomiales. Optimización

Problema 1

En una fábrica de pulseras para damas, la utilidad semanal, en cientos de dólares, está dada por U(x) = – 2x2+60x – 120,dondex es el número de cajas de pulseras vendidas.

a. ¿Cuántas cajas debe de producir y vender para maximizar su utilidad? b. ¿Cuál es el mayor número de cajas que puede vender y aún obtener ganancia?

Problema 2

LafunciónpolinomialdefinidaporA(x)=–0,012x3+1,02x proporciona la concentración aproximada de alcohol, en décimos de porcentaje, en la sangre de una persona promedio, x horas después de tomar cercade10onzasdepisco.Lafunciónes,aproximadamente,válidapara0≤ x ≤9.

a. TracelagráficadeA(x).b. Estime el tiempo de máxima concentración de alcohol.



Problema 3

Unadministradortienerentado16departamentosdeunedificioa$480cadauno.Descubrióque,cadaincrementode$40enlarentamensual,traecomoconsecuenciaundepartamentovacío.Determine:

a. El ingreso como función del número de incrementos del precio.b. ¿Cuántosincrementosde$40produciránelingresomáximoparaeledificio?¿Cuáleseseingreso

máximo?

a. Sea n=n°deincrementosde$40.Se hace un listado de incrementos del precio y se observa qué sucede con el número de departamentos rentados.

Precio ($) Nro. de dptos. rentados480 16

480+40 16–1480+40(2) 16–2480+40(…) 16–…

… …480+40(n) 16–n

Delaúltimafila,sepuedegeneralizarelprecioyelnúmerodedepartamentosrentadosentérminos de n.Ahora, como I = p∙q, entonces en términos de n queda:

I =………………………. =………………….. I =………………………., para 0 < n < …..



315

b. Como el ingreso I es una función cuadrática, entonces el máximo vendrá a ser el vértice, por lo tanto:

h =

k =

Respuesta:

Problema 4

Descuento por grupo

Unaagenciaofreceviajesengrupoarazónde$60porpersonaparalosprimeros30 participantes. Paragruposmásgrandes,hastade90,sehaceundescuento.

A continuación mostramos los seis tipos distintos de descuentos que se pueden realizar.

Descuento tipo 1

Cadaintegranterecibeundescuentode$0,5.DeterminelafuncióningresoI e indique de cuántas personas debeserelgrupoafindequeresulteelmáximoingresoparalaagencia.Tracelagráficadelingreso.



Descuento tipo 2

Cadaintegranterecibeundescuentode$0,5porcadaparticipante;porejemplo,con32turistas,elcostoporpersonaesde$44.DeterminelafuncióningresoI e indique de cuántas personas debe ser el grupoafindequeresulteelmáximoingresoparalaagencia.Tracelagráficadelingreso.

Descuento tipo 3

Cada integrante recibe un descuento de $ 0,5 por participante después de los primeros 30; porejemplo,con32turistas,elcostoporpersonaesde$59.DeterminelafuncióningresoI e indique de cuántaspersonasdebeserelgrupoafindequeresulteelmáximoingresoparalaagencia.Tracelagráficadelingreso.



317

Descuento tipo 4

Losgruposqueexcedanlos30integrantesrecibenundescuentode$0,5.DeterminelafuncióningresoIeindiquedecuántaspersonasdebeserelgrupoafindequeresulteelmáximoingresoparalaagencia.Tracelagráficadelingreso.

Descuento tipo 5

Losqueexcedanlos30integrantesrecibenundescuentode$0,5porparticipante;porejemplo,con32turistas,elcostoporcadaunodelosdosqueexcedenelgrupode30esde$44.Determinelafuncióningreso Ieindiquedecuántaspersonasdebeserelgrupoafindequeresulteelmáximoingresoparalaagencia.Tracelagráficadelingreso.



Descuento tipo 6

Losqueexcedenlos30integrantesrecibenundescuentode$0,5porparticipantequeexcedelos30;porejemplo,con32turistas,elcostoporcadaunodelosdosqueexcedenelgrupode30esde$59.Determine la función ingreso Ieindiquedecuántaspersonasdebeserelgrupoafindequeresulteelmáximoingresoparalaagencia.Tracelagráficadelingreso.



319

Ejercicios 4.8

1. EldirectordeunteatrosabequesicobraS/.30porlocalidad,podríacontarcon500espectadores.YquecadadescuentodeS/.1,lesupondría100personasmás.Determinelasgananciasobtenidasen función del número de descuentos del precio.

2. La utilidad, en soles, por la venta de libros de una empresa se modela con la función cuadrática ( )U x , donde x es el número de libros vendidos. Se sabe que si no se vende ningún libro, la empresa

pierdeS/.1000ysisevenden200libros,seobtienelagananciamáximaqueesS/.3000.

a. Determine la regla de correspondencia de la función utilidad.b. Grafiquedichafunción.

3. Unapequeñaempresasededicaalacomprayventadelapiceros.LaempresaloscompraaS/.4cadauno.SilosvendeaS/.10,podríavender1000lapiceros,yporcadaincrementodeS/.1enelprecio, vendería100 lapicerosmenos.Determineelnúmerode incrementosnecesariosparaobtener la mayor utilidad.

4. Luego de un estudio demercado sobre un determinado producto, si el precio es de $ 30, nose demanda ningún producto, y al precio de $ 20, se demandan 5 unidades. Suponiendo uncomportamientolinealdelademanda,tracelagráficadelafuncióningresoydetermineelprecioal cual el ingreso es máximo.

5. Sielpreciodeunproductoes$20,sedemandarán5unidades,ysielprecioesde$14,sedemandarán8 unidades (la demanda tiene un comportamiento lineal). Inicialmente, la función de oferta p(q) se modelaba con la función cuadrática básica, pero, luego, debido a la situación económica, se aplicó unimpuestode$6alpreciodelaoferta.Determine:

a. La regla de correspondencia de la función oferta luego del impuesto.b. Determine el punto de equilibrio luego del impuesto.

6. La regla de correspondencia de la función demanda de un producto es 2: ( ) 8 20D p q q q= − + . El preciodelanzamientodelproductoalmercadoesde$4yseofrecen2unidadesdelproductoaunpreciode$8.Determine:

a. La regla de correspondencia de la función oferta suponiendo comportamiento lineal.b. El equilibrio de mercado.c. Grafiquelasfuncionesofertaydemanda.Indiqueeltramoracionalmenteeconómico.

7. La regla de correspondencia de demanda p(q) de cierto artículo se modela con una función cuadráticadevértice(0;25).Sesabequeaunpreciode$9,sedemandan4unidades.Determine:

a. La función demandab. La función ingresoc. Grafiquelafuncióningreso.(Estimeelnúmerodeproductosquesedebevenderparaobtener

el ingreso máximo).



4.9. Razón de cambio promedio, variación porcentual y aplicaciones

Existen dos conceptos muy importantes y que tienen aplicación en diferentes contextos, tal como la razón de cambio promedio y el cambio porcentual. Por ejemplo, si al incrementar la producción aumentó el costo total, ¿cómo determinar en cuánto se incrementó en promedio el costo por unidad? ¿En qué porcentaje se incrementó? Estos conceptos se verán a continuación.

Razón de cambio promedio

La razón de cambio promedio de f(verfigura4.53)cuandox varía de x0 a x1sedefinepor:

1 0

1 0

( ) ( )f x f xfx x x

−∆ =∆ −

Note que este cociente se puede expresar por:

1 0

1 0

y yf yx x x x

−∆ ∆= =∆ ∆ −

,

queeslapendientedelarectasecantealagráficadef en los puntos (x0; y0) y (x1; y1).

Figura 4.53

f (�₁)

f (�0)

∆y

∆x

�0 �1

f

Y

X



321

Ejemplo 1

Para la función f,cuyagráficasemuestraenlafigura4.54,determinelasrazonesdecambiopromediode f cuando x varía de:

a. x0=1ax1=4Para x0=1setieney0 = f(1)=2,5yparax1=4se tiene y1 = f(4)=–1.Porlotanto:

1 0

1 0

( 1) (2,5) 3,5 1,174 1 3

y yfx x x

−∆ − − −= = = ≈∆ − −

b. x0=1ax1= 3

fx

∆ =∆

……………

c. x0=1ax1= –2

fx

∆ =∆

……………

Figura 4.54

1

2

3f

31–1–1

–2

–2

–3

–3

2 4 5 6

Y

X

Ejemplo 2

Ahora, para la función fdefinidaporf(x) = x2 –3x+5,determinelasrazonesdecambiopromediodef cuando x varía de:

a. x0=1ax1= 3 b. x0=1ax1=–1

(3) (1)

3 1f f fx

∆ −= =∆ −

………… fx

∆ =∆

…………



Cambio o variación porcentual

El cálculo de la variación porcentual es sumamente útil para ver el crecimiento o decrecimiento porcentual de algún factor en comparación a un comportamiento anterior.

Si una cantidad V cambia de un valor inicial ViaunvalorfinalVf , entonces, el cambio porcentual de V se simboliza por ∆ %Vysedefinepor:

% 100 %f i

i

V VV

V−

∆ = ⋅

Por ejemplo, si Vcambiade80a85,entonces, 85 80 % 100 % 6,25 %80

V −∆ = ⋅ =

Ejemplo 3

Ahora, si se tiene la función fdefinidaporf(x) = x2 –3x+5,determineelcambioporcentualdef cuando x varía de:

a. x0=1ax1= 3

(3) (1) % ·100 %(1)

f fff−∆ = = ……..….

b. x0 = 3 a x1=1

(1) (3) % · 100 %(3)

f fff−∆ = = …………

Ejemplo 4

Delagráficadef,verfigura4.55,six cambia de x = 2 a x =4operarios,determine:

Figura 4.55

Nro. de doncenas de pantalones producidos diariamente

1

2

3

4

55,5

6

0 31 2 4 5

Y

X

Nro. deoperarios

1,5



323

a. La razón de cambio promedio de f e interprete.

(4) (2)4 2

f f fx

∆ −= =∆ −

………..

b. El cambio porcentual de f.

(4) (2) % 100 %(2)

f fff

−∆ = ⋅ = ………

Problema 1

Las ganancias anuales de cierta compañía fueron A(t)=0,1t2+10t + 20 millones de dólares, t años despuésdesuformaciónen1990.

a. ¿A qué razón de cambio promedio crecieron las ganancias anuales con respecto al tiempo desde 1993hasta1995?

b. ¿Cuáleselaumentoporcentualdelasgananciasdelacompañíadesde1993hasta1995?



Problema 2

Lasdivisas,enmillonesdedólares,generadasporelturismointernoentrelosaños2000al2009,sepueden aproximar por la función f(x)=60+35 x , donde x representa los años de estudio a partir del año 2000.

a. Halle el valor de f(0). ¿Qué representa? b. ¿Enquéañolasdivisasgeneradasseránde$200000000?c. Halleelcambioporcentualdelasdivisasdel2002al2009.d. Hallelarazóndecambiopromediodelasdivisasdel2001al2004einterprete.

Problema 3

El Departamento de Recreación de un distrito rural planea crear un área de excursión para sus pobladoresyvisitantesalolargodelaautopista.Serárectangular,tendráunáreade5000m2 y se cerrará por los tres lados no adyacentes a la vía. Exprese el número de metros de cercado que se necesita como una función de la longitud del lado no cercado.

A continuación se muestra un esquema del área de excursión. Sea x = medida del largo en metros y = medida del ancho en metros

La longitud de la cerca es L = x + 2y, considerando un lado no cercado

Por dato, el área x∙y=5000,dondey = ………

x

y



325

Luego, L(x) = x + ………, en función de la longitud x del lado no cercado

Para el dominio tome en cuenta que x > 0. Por lo tanto,

L(x) = x + ………, x > 0.

Problema 4

Unaempresatelefónicaofreceunplantarifariode$30almesparaunteléfonocelular.Esteincluye300minutos libres y por cada segundo adicional se cobra un centavo. Exprese una función que modele el costo mensual si consume x segundos.

Note que el costo mensual depende del rango en que esté el consumo x. Además, los centavos se tienen que convertir en dólares.

• Si 0 < x <18000,entoncesC = 30• Si x>18000,entoncesC = 30 + ……….

Seobservaunafuncióndefinidaportramos

........, ............( )

............, ............C x

=

Problema 5

A partir de la información que se da en la figura 4.56, determine las funciones de costo, ingreso y utilidad.

Figura 4.56

600

U

C

I

0

–400

80

Y

X

$

q(Unid.)



Problema 6

Unfabricantevendebilleterasa$12porunidad.Loscostosfijossonde$1600mensualesyelcostoporbilleteraesde$8.Determine:

a. Las funciones costo total, ingreso y utilidad en términos del número de unidades producidas.b. Larazóndecambiopromedioyelcambioporcentualdelcostocuandoseproducende50a60

billeteras. c. El volumen mínimo de producción y su ingreso.d. Tracelagráficadelastresfuncionesenelmismosistemadecoordenadas.



327

Ejercicios 4.9

1. Considerandolagráficadelafunciónf :

2

3

4

1

1–1–1

–2

–2

–3

–3

–4–5 2 3 4 5 6

Y

X

Determine la razón de cambio promedio y el cambio porcentual de f cuando x varía:

a. de x=1ax=4yb. de x=1ax = 3

2. Dada la función fdefinidaporf(x) = 2x – 3, determine la razón de cambio promedio de f cuando x varía:

a. de x=1ax = 3 yb. de x=1ax = 2

3. Apartirdelainformacióngráfica,sielvolumenmínimodeproducciónocurrecuandoseproducen40unidades,determine:

a. La funciones de utilidad y costo.b. Elingresoporlaventadelas50primerasunidades.

5

$ (miles)

Unid.(decenas)

U

CI

0

–2

4



4. Unfabricantepuedeproducirciertoartículoauncostode$6.Sielpreciodeventaporunidadesde x dólares y se estima que los consumidores demandarán 30 – x artículos al mes, entonces:

a. Demuestre que la función ganancia es G(x) = –x2 + 36x – 180.b. Determine los niveles de venta para obtener ganancia. c. Grafiquelafuncióngananciaydetermineelmáximovalor.

5. La empresa de gas natural «Gascusa» tiene la siguiente tarifa para el consumo de gas natural en residencias unifamiliares:Cargoporserviciomensual:$8Cargo por distribución:

• Primeros120litros:$0,20porlitro• Porcadalitroadicionala120:$0,15porlitro.• Cargodegas:$0,10porlitro

a. ¿Cuál es el cargo por consumir 80 litros en un mes? b. ¿Cuáleselcargopor500litrosenunmes? c. Construya una función que relacione el cargo mensual C, para x litros de gas.

6. Enunprocesodeproducción, el costopromediodeproducir1000unidades es $6 y el costototalalproducir2000unidadesesde9000dólares.Sielpreciodeventaporunidadesde$5,ysuponiendo que la función costo total sigue un comportamiento lineal, determine:

a. Elcostounitario,elcostofijoylafuncióncostototal b. La función utilidad

7. Se desea cercar un terreno al lado de un río, pero uno de los lados no requiere cerca, pues está frentealrío.Paraesto,secuentaconuncercoperímetrode400m.Expreseeláreadelterrenoenfunción de uno de los lados.

8. ElcostounitariodeproducirunaagendaesdeS/.12.Luegodeproducirlas,sefijaunpreciodep soles, y se observa que a este precio se venden 80 – p agendas. Encuentre las funciones de costo, ingreso y utilidad.

9. Una municipalidad desea rehacer sus tarifas para el parqueo vehicular. Los automóviles que estén estacionadosde0a30minutospagaránS/.0,5.Apartirde30minutosyhasta2horaspagarán

( )1 2050

x + , donde x son los minutos que permanece estacionado. Finalmente, para tiempos

mayoresa2horas,latarifaseráplanaconunmontodeS/.4.

a. Halleunafuncióndefinidaportramosparaelcostodelatarifaenfuncióndelosx minutos que el automóvil permanece estacionado.

b. ¿Cuálseráelcostodeestarestacionado24minutos,60minutosy200minutos?c. Grafiquelafunciónparalasprimeras4horas.



329

10. Las tarifas que cobran dos agencias que alquilan vehículos, para dos autos idénticos son las siguientes:AgenciaA:S/.80(incluidoelseguro)másS/.1porcadakmrecorrido.AgenciaB:S/.60(incluidoelseguro)másS/.1,2porcadakmrecorrido.Si x es el número de kilómetros recorridos, determine:

a. Una función que exprese la tarifa de cada agencia en términos del número x de kilómetros recorridos.

b. Determine para qué intervalos de x, alquilar en una agencia resulta más económico que alquilar en la otra.

11.Desde el inicio del año, el precio de una unidad de cierto equipo de sonido ha tenido un alza constantede$10mensual.Elprimerodenoviembre,elpreciounitariollegóa$900.Expreseelprecio P de una unidad del artículo como una función del tiempo medido en meses y determine el precio unitario al principio del año.

12. En ausencia de restricciones ambientales, la población de cierta localidad crece a una tasa T proporcional a su tamaño N. Exprese la tasa de crecimiento de la población como una función de su tamaño.

13. La velocidad T a la que se propaga una epidemia en una comunidad de N personas es conjuntamente proporcional a la cantidad de personas x que han contraído la enfermedad y al número de personas sanas. Exprese esta tasa como una función de la cantidad de personas que han contraído la enfermedad.



4.10. Aplicaciones: Elasticidad, precio de la demanda

Suponga que dos empresas, separadas en el tiempo 20 años, se dedicaron a la producción y ventadegaseosas.Siambasempresasaumentaronsuspreciosdeventaen20 %,¿encuáldeellas se espera que el número de gaseosas vendido sea menor ? En este capítulo, se conocerá y utilizará la herramienta que nos permita responder a esta pregunta.

Según la ley de demanda, un descenso en el precio de un bien genera que la cantidad demandada se eleve. La elasticidad precio de la demanda mide el grado en que la cantidad demandada responde a una variación del precio.

La elasticidad precio de la demanda )( dη se calcula dividiendo la variación porcentual de la cantidad demandada por la variación porcentual del precio. Es decir,

=

Cambio porcentual en la cantidad demandada de bien

Cambio porcentual en el precio del bien

nd

Si se asume que la letra Q representa a la cantidad demandada, y la letra P, al precio por unidad demandada, la elasticidad precio de la demanda se puede expresar de la siguiente manera:

% % d

QQ Q

PPP

η

∆∆= =

∆∆

Como la cantidad demandada de un bien se relaciona negativamente con su precio, la variación porcentual de la cantidad demandada siempre tiene el signo contrario al de la variación porcentual del precio.

Al calcular la elasticidad precio de la demanda entre dos puntos A y B, se encuentra un problema: la elasticidad precio de la demanda del punto A al punto B parece que es diferente a la elasticidad precio de la demanda del punto B al punto A. Por ejemplo:

Punto A: P=$30,Q=10unidades Punto B: P=$40,Q = 8 unidades

Si vamos del punto A al punto B, la elasticidad precio de la demanda es igual a:

8 10 % 10 0,640 30 %

30

f i

id

f i

i

Q QQQQ Q

P P PPP P

η

−∆ −∆= = = = = −

∆ − −∆

dη



331

Calcule ahora la elasticidad precio de la demanda del punto B al punto A.

Ejemplo 1

Considere la misma demanda del ejemplo anterior.

Punto A: P=$30,Q=10unidades Punto B: P=$40,Q = 8 unidades

Del punto B al punto A, la elasticidad precio de la demanda es igual a:

% %

f i

id

f i

i

Q QQQQ Q

P P PPP P

η

−∆∆= = = =

∆ −∆..............................

Observe que la elasticidad precio de la demanda entre los puntos A y B varía según cual se considere primero como punto de partida. Para evitar este problema y facilitar el cálculo de la elasticidad precio de la demanda, se utilizará el método del punto medio.

Método del punto medio

El cálculo de la elasticidad precio de la demanda entre dos puntos por medio de la fórmula anterior generaalgunosproblemas.Parafacilitarestecálculoseutilizarálafórmulasimplificadadelaelasticidadprecio de la demanda (esta fórmula se puede emplear del punto A hacia B, de B hacia A o entre A y B).

prom.

prom.

% % d

QQQ

PPP

η

∆∆= =

∆∆

Donde: Qprom. y Pprom.sonlospuntosmediosdelosnivelesinicialyfinaldeQ y P, respectivamente. Por ejemplo, para calcular la elasticidad precio de la demanda entre los puntos A y B del ejemplo

anterior mediante este método, se procederá de la siguiente manera:

prom.

prom.

8 10 % (8 10)/ 2 0,7840 30 %

(40 30)/ 2

d

QQQ

PPP

η

∆ −∆ += = = = −

∆ −∆+

Este resultado sería el mismo si vamos de B hacia A. Para los ejemplos propuestos a continuación, se empleará el método del punto medio.



Ejemplo 2

Elgráficodelafigura4.57muestralademandadecocinasagas,encientosdeunidades.Determinelaelasticidad precio de la demanda cuando el precio varía entre p=$400yp=$600.

Figura 4.57

p ($)

400

600

800

1 000

1 200

200

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Y

X

q (cientos deunidades)

Ejemplo 3

Determine la elasticidad precio de la demanda, a partir de los datos de la tabla.

Nro. de autosPrecio por auto

(miles de $)10 2515 18



333

Interpretación

Suponga que la elasticidad precio de la demanda, cuando el precio varía en el intervalo [a; b], es igual a –2, entonces:

% 2 % 1d

QP

η ∆ −= =∆

Delafórmulasededucequeelnúmero1representaunavariacióndelpreciode1 %,y–2,unavariacióndelacantidaddemandadade–2 %.

Por lo tanto, una interpretación del valor de la elasticidad precio de la demanda sería la siguiente: «Parael intervalodepreciosanalizado, si elprecioaumentaen1 %, la cantidaddemandada

disminuiráen2 %».

Nota. Se puede tomar cualquier otro incremento porcentual en el precio. Este es solo referencial.Porejemplo, si elprecioaumentaen5 %,paraunaelasticidadpreciode lademanda igual a–2, lacantidaddemandadadisminuiráen10 %.

Ejemplo 4

Suponga una variación del precio en el intervalo [a; b]. Interprete el valor de la elasticidad precio de la demanda en los siguientes casos: a. 5,0−=dη

Interpretación:«Paraelintervalodepreciosanalizado,sielprecioaumentaen2 %,lacantidaddemandada……………….en……%».

b. 5,1−=dη

Interpretación:«Paraelintervalodepreciosanalizado,sielprecioaumentaen…….%,lacantidaddemandadadisminuyeen3 %».



c. 1−=dη

Interpretación:«Paraelintervalodepreciosanalizado,sielpreciodisminuyeen3 %,lacantidaddemandada…………….en…….%».

d. =dη ……..

Interpretación:«Paraelintervalodepreciosanalizado,sielprecio…………….en4 %,lacantidaddemandadaaumentaen2 %».

Ejemplo 5

Silaelasticidadpreciodelademandaesiguala–0,8cuandoelprecioaumentade$5 a$8,¿enqué

porcentaje varía la cantidad demandada?

Relación entre la elasticidad precio y el ingreso

Se utiliza para medir la variación porcentual del ingreso en relación a cambios porcentuales de la cantidad demandada y del precio.

Por ejemplo, en un tramo de precios analizados, si el precio aumenta en 1 %, la cantidaddemandadadisminuiráen2 %.Paraestimarel cambioporcentualdel ingreso (I), se procede de la siguiente manera:

Primero, se indican los valores iniciales:

, e · .i i i i ip q I p q=

Luego,secalculanlosvaloresfinales:

0,01 1,01f i i ip p p p= + =

0,02 0,98f i i iq q q q= − =

· 1,01 · 0,98 0,9898 · 0,9898f f f i i i i iI p q p q p q I= = = =



335

Finalmente, se halla la variación porcentual del ingreso:

0,9898 % · 100 · 100 1,02 %f i i i

i i

I I I II

I I− −

∆ = = = −

Porlotanto,elingresodisminuiráen1,02 %.

Ejemplo 6

Se ha determinado que la elasticidad precio de la demanda, para un intervalo de precios dado, esiguala–1,5.Sielprecioaumentaen2 %,parahallarcomovaríaelingresoseprocederádelasiguiente manera:

Valores iniciales: , e · .i i i i ip q I p q=Valoresfinales:

fp = ..............................................

fq = ...............................................

fI = ...................................................................................

Finalmente, se halla la variación porcentual del ingreso:

% · 100f i

i

I II

I−

∆ = = ………………………………

Porlotanto,elingreso…………………en…………..%.

Ejemplo 7

Elgráficodelafigura4.58muestralademandadeunproducto.Sielpreciovaríaentrep=25yp=5,yse sabe que la elasticidad precio de la demanda en ese intervalo de precios es igual a

3

4− .



Figura 4.58

55 A

B

q (en cientosunidades)

p

25

0 2

Y

X

a. ¿Cuántasunidadesdelproductosedemandanalpreciode$25?b. ¿Cómo interpretaría la elasticidad?c. ¿Cuál es el cambioporcentual del ingreso si el precio aumenta en3 %? (Trabaje con lamisma

elasticidad planteada). d. ¿Cuántas unidades se pueden demandar como máximo?



337

Ejemplo 8

Las figuras4.59(a)y4.59(b)muestran lasgráficasde lademandaenelmercadodeunamarcadegaseosa antes y después del año 1990, respectivamente. Calcule la elasticidad (precio) arco de lademandaparaunaumentoenelpreciodeS/.2aS/.2,5encadacaso.¿Porquépodríandarseestosresultados?

Figuras 4.59

(a) (b)

2

2,5

q (miles)

p (soles)

1

0 2 4 5 6

Y

X

2

(2,5;2,5)

q (miles)

p (soles)

1

0 2 4 5 6

Y

X



Ejemplo 9

La función de demanda de un producto es 0,5 25p q= − + , donde p está en soles. Calcule la elasticidad arcoentreS/.15y20,S/.12y13yS/.5y10.¿Losvaloresobtenidos,envalorabsoluto,sonmenores,igualesomayoresque1?

Ejemplo 10

La función de demanda de un producto es 2100p q= − , donde p está en soles. Calcule la elasticidad arcoentreS/.84y91yS/.19y36.



339

Ejercicios 4.10

1. Las demandas de tres productos diferentes, A, B y C, se presentan de la siguiente manera:

Demanda A: 5 250p q= − +Demanda B:

q (unid.) p (soles)15 15025 100

Demanda C:

p (S/.)

100

150

200

50

0 10 20 30 40

Y

X

q (unidades)

Halle la elasticidad arco de la demanda de los productos A, B y C, cuando el precio varía entre p=S/.100yp=S/.150.

2. La función de demanda de un producto es 30p q= − + , donde p está en soles. Calcule elasticidad arco entre:

a. S/.15y20b. S/.12y13c. S/.14y16

Calcule la variación del ingreso para las elasticidades halladas anteriormente. (Asuma que el precio aumentaen1 %).

3. Enelmercadodepolos,aunpreciode$30porpolo,sedemandan100polos,yaunpreciode$40por polo, la demanda disminuye a 80 polos.

a. Determine la ecuación de demanda de polos.b. Determine la elasticidad (precio) arco de la demanda cuando el precio varía entre p=$60y

p=$70



c. Interprete el resultado hallado en b.d. ¿Enquéporcentajevaríaelingresosielprecioaumentaen3 %?(Utiliceelresultadohallado

en (b).

4. Lasfigurasmuestranlasgráficasdelademandaenelmercadodeunjuegodemesaantesydespuésdel año 2000, respectivamente. Calcule la elasticidad (precio) arco de la demanda para un aumento enelpreciode$80a$100encadacaso.

p ($)

40

60

80

100

20

0 20 40 60 80 100

Y

X

q (unidades)

40

60

80

100

q (unidades)

p ($)

20

0 20 40 60 80

Y

X



341

4.11. Operaciones con funciones

A menudo ocurre que se necesitan efectuar operaciones entre funciones, por ejemplo, a partir deloscostosfijosycostosvariablesseobtieneelcostototal;deladiferenciaentrelasfuncionesdeingresoycostototal,lafunciónutilidad.Aúnmás,demanerageneral,apartirdelasgráficasdedosfuncionesseobtienedemaneraaproximadalagráficadesuma,diferencia,productoyhasta cociente de ellas. ¿Cómo es posible esto? En esta sección se desarrollará este tema.Dadas dos funciones, estas se pueden combinar mediante operaciones y generar una nueva función.

Por ejemplo, suponga que se tienen las funciones f y gdefinidaspor:

f(x) = 2x–1yg(x) = x – 2x

Sumando las ordenadas f(x) y g(x) se obtiene f(x) + g(x) = x –1.Estaoperacióndefineunanuevafunciónf + g,definidapor(f + g)(x) = f(x) + g(x).Recuerde que una función f queda determinada por su regla de correspondencia f(x) y dominio.

Luego, por la forma en que se obtiene (f + g)(x), los valores de x deben estar en ambos dominios de f y g, es decir, en la intersección de los dominios de f y g.

En general, dadas las funciones f y g,sedefinenlasoperacionesdesuma(f + g), diferencia (f – g),

producto (f ⋅ g) y cociente fg

como sigue:

• (f + g)(x) = f(x) + g(x)• (f – g)(x) = f(x) – g(x)• (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)

• ( )( )( )

f f xxg g x

=

El dominio de las funciones f + g, f – g y f ⋅ g está dado por dom(f)∩dom(g) y el dominio de fg

está dado por dom(f)∩dom(g) – { x ∈R/g(x)=0}.

Por ejemplo, sean f y gdefinidasporf(x) = 3x+3,–4<x≤2,yg(x) = x2–1,–2≤x<4.Determinelasfunciones f + g y f /g:

a. (f + g)(x) = (3x + 3) + (x2–1)=x2 + 3x + 2Dom(f + g) = dom(f)∩dom(g)=]–4;2]∩[–2;4[=[–2;2]Por lo tanto, (f + g)(x) = x2 + 3x+2,–2≤x ≤2



b. (f /g)(x) = 2

(3 3) 31( 1)

xxx

+ =−−

Dom(f /g) = dom(f)∩dom(g) – { x ∈R/x2–1=0}=[–2;2]–{1;–1}

Por lo tanto, (f /g)(x) = 31x −

, con xen[–2;2]–{1;–1}

Ejemplo 1

Sean f y gdefinidasporf(x) = 2x + 2 y g(x) = x2 + x. Determine f + g, f ⋅ g y f /g.

Ejemplo 2

Sean f y gdefinidasporf(x)=2/x y g(x) = x2 – x. Determine f – g, f ⋅ g y f /g.



343

Ejemplo 3

Apartirdelagráficadelasfuncionesf y gquesemuestraenlafigura4.60,seobtienelagráficadelafunción f + g.

Como dom(f)=[–3;4]ydom(g)=[–4;3],entoncesdom(f + g)=[–3;3].Significaquelagráficadef + gestarádefinidasobreesteintervalo.

Ahora, para cada xde[–3;3]enlagráfica,secalculaf(x) + g(x) y se marca con un punto este resultado. Por ejemplo, para:

• x = –3 se tiene f(–3) + g(–3)=3+(–1,5)=1,5,obteniendoelpunto(–3;1,5)

• x = –2 se tiene f(–2) + g(–2) = 2 + (–2) = 0, obteniendo el punto (–2; 0), etcétera.

Figura 4.60

2

3

4

5

1

–1

–2

1 2 3 4

f

g

–1–2–3–4

Y

X

No es necesario escribir este cálculo punto por punto, puesto que a veces no se sabe el valor que tiene la función en un punto; en ese caso solo se hace un estimado. Luego, se marcan los puntos en el cuadroyseunenadecuadamente.Paranuestroejemplo,comolasgráficassonporcionesderectas,entonces al sumar se obtienen también porciones de rectas.

Ejemplo 4

Dadalasgráficasdelasfuncionesf y gquesemuestranenlassiguientesfiguras,tracelagráficade:



a. f + g Figura 4.61

Dom(f) =

Dom(g) =

Dom(f + g) =

Ran(f + g) =

b. f – g Figura 4.62

Dom(f) =

Dom(g) =

Dom(f – g) =

Ran(f – g) =

c. f + g Figura 4.63

Dom(f) =

Dom(g) =

Dom(f + g) =

Ran(f + g) =

2

3

4

1

–1

–2

–3

–4

1 2 3 4 5

f

g

–1–2–3–4–5

Y

X

2

3

4

1

–1

–2

–3

–4

1 2 3 4 5

f

g

–1–2–3–4–5

Y

X

2

3

4

1

–1

–2

–3

–4

1 2 3 4 5

f

g

–1–2–3–4–5

Y

X



345

d. f ⋅ g Figura 4.64

Dom(f) =

Dom(g) =

Dom(f ⋅ g) =

Ran(f ⋅ g) =

2

3

4

1

–1

–2

–3

–4

1 2 3 4 5 6

f

g

–1–2–3–4

Y

X



Ejercicios 4.11

1. Calcule la suma, la diferencia, el producto y el cociente de f y g con cada par de funciones. Luego determine el dominio de las funciones resultantes.

a. f(x) = (x – 2)2 y g(x)=4x – x2

b. f(x) = x(x – 3) y g(x) = 3x c. f(x) = x(x–1)yg(x) = x–1

d. 2( ) ( 1)f x x= + y 1( )

1g x

x=

− e.

1( )1

f xx

=− y

1( )1

g xx

=−

f. ( ) 1f x x= − y 1( )

2g x

x=

+

g. ( ) 1f x x= + y ( ) 1g x x= −

h. 2( ) 1f x x= − y 2

1( )1

g xx

=−

i. 2( ) 1f x x= + y ( ) 3g x x= −

j. ( ) 1f x x= − y ( ) 1g x x= −

2. Apartirdelosgráficosde f y g, determine:

a. Lagráficadef + g.

b. El dominio de fg

.

c. El dominio de gf

.

d. La regla de correspondencia y el dominio del producto f ∙g.

2

3

4

5

1

0–1

–2

–3

–4

1 2 3 4 5 6

f

g

–1–2–3–4–5

Y

X



347

3. Dadaslasgráficasdef y gquesemuestran,tracelagráficade:

a. f + g y f ⋅ g

2

3

4

5

1

–1

–2

–3

1 2 3 4 5

f

g

–1–2–3–4–5

Y

X

b. f – g y f ⋅ g

2

3

4

5

1

–1

–2

–3

1 2 3 4 5

f g

–1–2–3–4–5

Y

X

c. f + g y f ⋅ g

2

3

4

5

1

–1

–2

–3

1 2 3 4 5

f g

–1–2–3–4–5

Y

X



d. f – g y f ⋅ g

2

3

4

1

–1

–2

–3

–4

1 2 3 4

f g

–1–2–3–4–5–6

Y

X



349

4.12. Composición de funciones

Es frecuente encontrar cantidades que se describan en función de otras. Por ejemplo, el precio de los pasajes de combi depende del costo del petróleo, y este, a su vez, de la demanda de barriles extraídos. A partir de esto, se puede inferir que el precio del pasaje de combi depende de la demanda de barriles extraídos. Así existen cantidades que se componen de otras.

Para entender la idea de composición, se tomará la función 2( )g x x= , que transforma toda entrada x en x2, y la función ( ) 3f x x= , que a toda entrada x la multiplica por 3. Al aplicar f a la salida de la función g,talcomosemuestraenlafigura4.65.

Figura 4.65

g f

f○g

x 3x2x2

se genera una nueva función (que se denotará por f○g), que a cada entrada x asigna una salida 23x . Esta nueva función se denominará función compuesta de f con g.

Definición

Dadas las funciones f y g, la función compuesta de f y g, denotada por f ○g,estádefinidapor:

(f ○g)(x) = f (g(x))

siendo el dominio de f ○g el conjunto de todos los números x del dominio de g, tales que g(x) está en el dominio de f.

Estadefiniciónindicaquecuandosecalcula(f ○g)(x), primero se aplica a x la función g, que da como resultado g(x) y, luego, a g(x) se le aplica la función f, queda como resultado f (g(x))

Lafigura4.66muestradichocomportamiento:

350 UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas

AgustínCuroCubasyMihályMartínezMiraval|Matemáticabásicaparaadministradores

Figura 4.66

El dominio de f ○gsecalcula,usandoladefinición,delasiguientemanera:

Dom (f ○g) = {x /x ϵ Dom (g) ˄ g(x) ϵ Dom (f )}

Comosehavistoanteriormente,lasfuncionessepuedenexpresarusandotablas,gráficas,reglasde correspondencia, etcétera, y las funciones compuestas no son la excepción.

A continuación, se desarrollarán ejemplos de evaluación de funciones compuestas.

Ejemplo 1

Dadas las funciones f y g expresadas por tablas:

x –1 0 1 2 x –2 –1 3 2f(x) –2 1 5 4 g(x) –1 1 2 –1

Para evaluar una composición de estas funciones en un valor de x, se procederá de la siguiente manera:

a. (f ○g)(–1)=(f (g(–1))=f (1)=5b. (f ○g)(–2) =……………………c. (g○f)(–1)=……………………d. (g○g)(–2) =……………………e. (f○f)(3) =……………………..f. (g○f)(0) =…………………….

Ejemplo 2

Dadas las funciones f y g expresadas como pares ordenados: f { }( ) (1;2), (2;4), ( 1; 2), (0;1), ( 2;5)f x = − − − y

g { }( ) ( 2;4), (1;2), (4; 2), (2; 1), (0;0)g x = − − − . Para evaluar una composición de estas funciones en un valor de x, se procederá de la siguiente manera:

fog

fg

Dom (g) Ran (g) Dom (f) Ran (f)

UniversidadPeruanadeCienciasAplicadas

Unidad4 | Funcionesrealesdevariablereal

351

a. (f○g)(1)=(f (g(1))=f (2)=4b. (f○g)(0) =……………………c. (g○f)(–1)=……………………d. (g○g)(–2) =……………………e. (f○f)(3) =……………………..f. (g○f)(–2) =……………………

Observación. En(e)y(f),delosejemplos1y2,nosehapodidoencontrarunvalornuméricodelafunción compuesta al evaluarlos en un valor de x. Esto se debe a que dichos valores evaluados no pertenecen a sus respectivos dominios.

Ejemplo 3

Dadas las funciones f y g, cuyas reglas de correspondencia son [ ]( ) 2 3, 6;5f x x x= − ∈ − y ( ) 4g x x= − . Para evaluar una composición de estas funciones en un valor de x, se procede de la siguiente manera:

a. (f○g)(1)= ( (1)) (3) 3f g f= =b. (g○f)(–3) =…………………..c. (g○f)(0) =……………………d. (f○f)(3) =..…………………..e. (f○g)(–3) =………………….. f. (g○f)(8) =……………………

Ejemplo 4

Dadas las funciones f y g, cuyas reglas de correspondencia son 2 3, 2

( )5 , 4 8x x

f xx x

− ≤=

− < ≤

y ( ) 4g x x= − . Para evaluar una composición de estas funciones en un valor de x, se procede de la siguiente manera:

a. (f○g)(4)=f (g(4))=f (0) = –3b. (g○f)(–3) = …………………….c. (f○g)(29)=……………………..d. (g○f)(–4)=……………………...e. (f○g)(1)=……………………....f. (g○f)(7) =………………………

Ejemplo 5

Observelasgráficasdelasfuncionesf y g mostradasenlafigura4.67.Paraevaluarunvalordeterminadode x en una composición de estas funciones, se procede de la siguiente manera:



a. (f○g)(1)=f(g(1))=f(3)=9b. (g○f)(0) = …………………….c. (g○f)(–2) =………………....d. (f○f)(–1)=………………….e. (f○g)(3) =…………………..f. (g○f)(3) =………………......

Figura 4.67

2

3

4

5

6

7

8

9f

g

1

–1

–2

1 2 3 4 5 6 7–1–2–3–4

Y

X

Ejemplo 6

Dadaslasgráficasdelasfuncionesf y gmostradasenlafigura4.68.Paragraficarlafuncióncompuesta f ○ g, se usa el método de tabulación, en el que se evaluarán todos los valores enteros comprendidos en el dominio de g, incluso los extremos, y luego se tomarán los valores de g que pertenecen al dominio de f.

Figura 4.68

2

3

4

5

6

7

8

9

1

–11 2 3 4 5 6 7 8

gf

–1

Y

X



353

Gráfica de f ○ g

Primero, se determinará el dominio de la función g.

Dom (g): [ ]1;8−

Esto se debe a que en la composición ( )x Dom g∈ .

x –1 0 1 2 3 4

f(g(x)) 4 7 8 7 4 –1

Si se tabula x = 5,f(g(5))=f(6)yf noestádefinidaenx =6.

Lo mismo sucede para { }6;7;8x = . Por lo tanto, no necesariamente todos los valores de x del dominio de g pertenecen al dominio de la función compuesta f ○ g.

Lafigura4.69muestralagráficadef ○ g.

Figura 4.69

2

3

4

5

6

7

8

1

0–1

1 2 3 4 5

fog

–1–2

Y

X

Ahora,segraficarálacomposicióndeg ○ futilizandolasfuncionesenlafigura4.68

Dom(f)=………

x

g(f(x))



Delosejemplos1,2,3,4,5y6seconcluyequeexistenvaloresdex donde la función compuesta noestádefinida,estosedebeaquedichosvaloresnopertenecenasudominio.

La regla de correspondencia de una composición de funciones se halla reemplazando la regla de correspondencia de una de ellas en la variable de la otra.

Ejemplo 7

Dadas las funciones ( ) 2 3f x x= − , 2( ) 2g x x= − y ( ) 3h x x= − . Determine la regla de correspondencia de las siguientes funciones compuestas:

a. (f○g)(x) = 2 2 2( ( )) (2 ) 2(2 ) 3 1 2f g x f x x x= − = − − = −b. (g○f)(x) = ……………………………………………..c. (f○h)(x) = ……………………………………………..d. (g○h)(x) = ……………………………………………..e. (h○f)(x) = ……………………………………………..

Paradeterminareldominiodeunacomposicióndefunciones,sedebesaberaplicarladefinicióny recordar, para el desarrollo, cómo se expresa un intervalo con desigualdades y cómo se resuelve.

Ejemplo 8

Dadas las funciones f, g y h, cada una con su dominio respectivo: Dom(f), Dom(g) y Dom(h). Plantee el dominiodelacomposicióndefuncionesusandoladefinición:

a. Dom (f○g) = { }/ ( ) ( ) ( )x x Dom g g x Dom f∈ ∧ ∈b. Dom (g○f) = ……………………………………………..c. Dom (f○h) = ……………………………………………..d. Dom (g○h) = ……………………………………………..



355

Enelprocesodehallareldominiodeunacomposición,utilizandoladefinición,muchasvecessellega a una parte donde tenemos que resolver una inecuación. Recordemos, completando la tabla del ejemplo9,lovistoanteriormenteeneltemadeinecuaciones.

Ejemplo 9

Intervalo Inecuación Resolución

a. [ ]2 1 1;5x + ∈ − 1 2 1 5x− ≤ + ≤ 2 2 4 1 2x x− ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤

b. ] [2 4 ;0x − ∈ −∞

c. [ [3;1

xx

∈ + ∞−

Apartirdelodesarrolladoenlosejemplos7,8y9,sedeterminarálaregladecorrespondenciay dominio de una composición de funciones.

Por ejemplo, para determinar g○f conocidas las reglas de correspondencia y dominios de las

funciones f y g: ( ) 1, Rf x x x= + ∈ y [ [( ) 2 3, 1;5g x x x= − ∈ − , se procederá de la siguiente manera:

Regla de correspondencia:

(g○f)(x) = (g (f(x)) = g (x+1)=2( 1) 3x + − , por lo tanto, (g○f)(x) = 2 1x −

Dominio:

Pordefinición:

Dom(g○f) = { }/ ( ) ( ) ( )x x Dom f f x Dom g∈ ∧ ∈ …(1)

Luego de reemplazar los dominios Dom(f) = R y Dom(g) = [ [1;5− ,enladefiniciónplanteada(1)se tiene:

Dom(g○f) = [ [{ }/ R ( 1) 1;5x x x∈ ∧ + ∈ −

Como [ [( 1) 1;5x + ∈ − , se debe encontrar a qué intervalo pertenece x. Para esto, se expresa el intervalo en notación de desigualdades:

[ [( 1) 1;5 1 1 5 2 4x x x+ ∈ − ⇒ − ≤ + < ⇒ − ≤ <

Los intervalos a los que pertenece x son los siguientes:

R 2 4x x∈ ∧ − ≤ <

Luegodegraficarlosysombrearsuintersección(verfigura4.70)



Figura 4.70

−2 4 + ∞− ∞

se obtiene que Dom(g○f) = [ [2;4− .

Observación. Un error que se comete frecuentemente al hallar el dominio de una función compuesta es pensar que el dominio de (g○f) se calcula intersecando los dominios de f y g, lo cual no es cierto:

Dom(g○f) ≠ Dom(g) ∩ Dom(f) = [ [1;5− .

Ejemplo 10

Dadas las funciones f y g, cuyas reglas de correspondencia son ( ) 2f x x= + y ( ) 2 4g x x= − . Para determinar f○g, se procederá de la siguiente manera:

• (f○g)(x) = ………….………………………, Dom(g) = …., Dom(f) = ……………..

• Dom(f○g) = { }/ ............................................................x

Finalmente, Dom(f○g) = ………….

Ejemplo 11

Determine a partir de las funciones dadas la función compuesta pedida.

a. [ [2( ) 2, 1;f x x x= − ∈ + ∞ ,[ [( ) 3, 2;g x x x= + ∈ + ∞ .

Determine g○f.



357

b. ] [( ) 2 , 5; 1h x x x= ∈ − − ,

[ [( ) 2, 4;j x x x= − ∈ + ∞ . Determine j○h.

c. 1( )

2m x

x=

−,

( ) 2p x x= + . Determine p○m.

En algunos ejemplos, se debe determinar la regla de correspondencia de una función, conocidas las reglas de correspondencia de otra función y de la composición entre ambas.

Por ejemplo, dadas las funciones ( ) 2f x x= − y ( ) 3 2g x x= + , para determinar una función h tal que (h○f)(x) = g(x), se procederá de la siguiente manera:

Primero, se plantea la composición: (h○f)(x) ( ( )) (2 ) (2 ) 3 2h f x h x h x x= = − ⇒ − = +Luego, se elige una sustitución algebraica: 2 2x a x a− = ⇒ = −

Después, se expresa todo en función de a: ( ) 3(2 ) 2 ( ) 8 3h a a h a a= − + ⇒ = −

Finalmente, la función h será: ( ) 8 3h x x= −



Ejemplo 12

Dadas las funciones ( ) 2 4f x x= − y ( ) 5g x x= − . Halle h, tal que (h○f)(x) = g(x).

Por ejemplo, dadas las funciones ( ) 3 2f x x= − y ( ) 1 4g x x= − , para determinar una función h tal que (f○h)(x) = g(x), se procederá de la siguiente manera:

Primero, se plantea la composición: (f○h)(x) ( ( )) 3 ( ) 2f h x h x= = −

Luego, se igualan las funciones: 3 ( ) 2 1 4h x x− = −

Finalmente, se despeja la función 4( ):3 ( ) 3 4 ( ) 13

h x h x x h x x= − ⇒ = −

Ejemplo 13

Dadas las funciones ( ) 4f x x= − y ( ) 5 2g x x= − . Halle h tal que (f○h)(x) = g(x).

4( ):3 ( ) 3 4 ( ) 13

h x h x x h x x= − ⇒ = −



359

Ejercicios 4.12

1. Sean 2( )f x x= y ( ) 1g x x= − . Evalúe:

a. (g○f)(2)b. (g○f)(1)c. (f○g)(5/4)d. (g○f)(–2) e. (f○g)(1/2)f. (g○f)(1/3)g. (f○g)(2)h. (f○g)(1)

2. Determine f○g, g○f y f○f en cada caso:

a. ( ) 2f x x= − , ( ) 3g x x= −

b. 2( ) 3f x x x= − , ( ) 2 5g x x= −

c. 2( ) 3f x x= − , ( ) 1g x x= −

d. ( )1

xf xx

=− , ( ) 2g x x= −

3. Dadaslasgráficasdelasfuncionesf y g,comosemuestraenlafigura,halle:

2

34

5

6

7

89

1

–1–2

1 2 3 4 5 6 7

f

g

–1–2–3–4

Y

X

a. (f○g)(–1)b. (g○f)(–3) c. (g○f)(5)d. (f○f)(3) e. (g○g)(2)



f. (g○f)(–4)g. f(x) y Dom(f) h. g(x) y Dom(g) i. g○f

4. Encuentre las funciones ( )f x y ( )g x , de tal forma que cada función composición f○g sea como están escritas.

a. (f○g)(x) 2

15x

=+

b. (f○g)(x)2

13x

=−

c. (f○g)(x)31

2x = −

5. Dadas las funciones ( ) 3 5f x x= + y ( ) 32xg x = − , determine la función h(x) tal que se cumpla:

a. (f○h)(x) = ( )g xb. (h○f)(x) = ( )g xc. (g○h)(x) = ( )f xd. (h○g)(x) = ( )f x



361

4.13. Aplicaciones de las operaciones con funciones

Costo promedio

Si C(x) es el costo total de fabricar x artículos, entonces el costo promedio por artículo está dado por:

( )( ) C xC xx

=

Importante:

• Si el número de unidades producidas x aumenta, el costo promedio por artículo disminuye.• El costo promedio nunca es menor que el costo marginal.

Problema 1

Elcostomarginaldeproducirunmedicamentoesde$10porunidad,mientrasqueelcostototaldeproducir100unidadesesde$1500.

a. Encuentre la función de costo total C(x) suponiendo que es lineal.Sisedefinex como el número de medicamentos producidos, el costo total lineal se expresa como

( )C x mx b= + , donde m es el costo marginal y b es elcostofijo.A partir de los datos del texto, se sabe que m =10ysepuedeplantear:

1500 10(100) 500b b= + ⇒ =

Porlotanto,lafuncióncostototalquedadefinidacomo ( ) 10 500C x x= +

b. ¿Cuál es la razón de cambio promedio del costo?

Larazóndecambiopromediodelcostoes10$/unidad.Estosedebeaquelafuncióncostoeslineal.

c. Halleelcostopromedioporunidadalproducir50,500y1000unidades.

La función costo promedio es:

( ) 10 500 500( ) ( ) 10C x xC x C xx x x

+= = ⇒ = +



Luego, se tabula ( )C x (expresadoen$/unidad)enlosvalorespedidos:

x ( )C x

50 20500 111000 10,5

Se observa que, a medida que se producen mayores cantidades, el costo promedio por unidad disminuye,peronuncallegaráavaler10$/unidad.

Problema 2

Elcostopromediodeproducir50poloses40$/unidadyelcostofijo,$1000.Sisesabequeelcosto total tiene un comportamiento lineal, determine:

a. ¿Cuál es el valor del costo marginal?Sea m el costo marginal (pendiente de la ecuación del costo total).

Primero, se plantea la función costo promedio: ( )( ) C xC xx

= =

Luego, se reemplazan los datos del texto y se obtiene m:

b. ¿Cuál es el costo total de producir 80 polos?

c. ¿Cuál es el costo promedio de producir 80 polos?



363

Problema 3

Elcostototaldeproducir100libroses$7000yproducir20libroscuesta$3000.Sisesabequeelcosto total tiene un comportamiento lineal, determine:

a. ¿Cuáleselvalordelcostofijo?b. ¿Cuáleselcostopromediodeproducir60libros?

Problema 4

La función 300p q= − + representa el precio de cada celular, en dólares, en función al número de celulares, q, que una compañía está dispuesta a comprar a una empresa de telefonía.

El costo promedio de la empresa telefónica, en dólares por unidad, generado al producir q

celularesestádefinidoporlafunción2 000( ) 180C q

q= + .

a. Determine el ingreso en función al número de unidades vendidas. b. Determine el costo total en función al número de unidades producidas.c. ¿Cuál es el volumen mínimo de producción?d. ¿Cuál es la utilidad máxima obtenida por la empresa de telefonía? ¿A qué precio se vendió cada

celular?e. Grafiquelafunciónutilidad.



Problema 5

El número de personas F que asiste al circo se modela con la función [ ]( ) 3 20, 0;45F q q q= + ∈ , donde q es el número de niños presente. A su vez, el número de niños presente en el circo está en función al número m de personas de la tercera edad que pagaron su entrada, bajo la siguiente relación:

[ ]( ) 2 1, 0;10q m m m= + ∈ .

a. Determine la regla de correspondencia de la composición F○q.Al componer F con q se obtiene:

(F○q)(m) ( ( )) (2 1) 3(2 1) 20F q m F m m= = + = + +

(F○q)(m)=6m + 23

b. ¿Qué representa la composición F○q?Representa el número de personas que asiste al circo en función al número de personas de la tercera edad que pagaron su entrada.

c. Determine el dominio de F○q.Primero,sehallaeldominiousandoladefinición:

Dom (F○q) { }/ ( ) ( ) ( )m m Dom q q m Dom F= ∈ ∧ ∈

[ ] [ ]{ }/ 0;10 2 1 0;45m m m∈ ∧ + ∈

Luego, se halla el intervalo al que pertenece m a partir de la expresión:

[ ] [ ]2 1 0;45 0 2 1 45 0,5;22m m m+ ∈ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ∈ −

De la intersección de los intervalos [ ]0;10 y [ ]0,5;22− , se obtiene que el dominio de la composición

es igual a Dom(F○q) [ ]0;10= .

Problema 6

La función [ ]2( ) 100 2 , 0;30I q q q q= − ∈ , modela el ingreso obtenido (en dólares) por la venta de

q pantalones. La función [ ]( ) 2 12, 0;50q x x x= + ∈ , permite calcular el número de pantalones vendidos respecto al número de pantalones producidos x.

a. Determine la regla de correspondencia de la composición I○q. ¿Qué representa?Se tiene que (I○q)(x) = I(q(x) …………………………………………………..Representa …………………………………………………………………………..



365

b. Determine el dominio de I○qDom (I○q) = ………………………………………………………………………..

Problema 7

La ganancia G, en dólares, al invertir n dólares en la bolsa, se modela usando la siguiente función: [ ]( ) 3 , 1 000; 5000G n n n= ∈ .LacantidaddedineroqueinvertiráMaríaenlabolsaesunporcentajede

la herencia z que le dejarán sus padres y se modela con la función [ ]( ) , 0;10 0004zn z z= ∈ .

a. Determine la regla de correspondencia de la composición G○n. ¿Qué representa?b. Determine el dominio de G○n.c. ¿CuáleslamáximagananciaqueobtendríaMaría?

Problema 8

La nota [ ]( ) 2,5 , 0;8N t t t= ∈ , obtenida por un alumno en la PC4 está en función del número t de horas semanales de estudio. A su vez, el número de horas semanales de estudio se modela con la

función [ ]( ) 8 , 0;800100

xt x x= − ∈ , donde x representa el número de amigos agregados al Facebook.

Finalmente, la función [ ]2( ) , 0;30x b b b= ∈ , determina el número de amigos agregados al Facebook en función al número b de mensajes de texto enviados diariamente desde su BlackBerry.



a. ¿Qué representa la composición N○t?b. ¿Qué representa la composición t○x?c. ¿Qué representa la composición N○t○x?



367

Ejercicios 4.13

1. Una empresa determina que el costo promedio de producir q unidades está dado por 350( ) 8C qq

= + dólares/unidad.

a. Determineelcostototaldeproducir40unidades.b. Determineelcostodeproducirlaunidad40.

2. Elcostototaldeproducir10poloses$350yproducir20poloscuestaentotal$400.Sisesabequeelcostotieneuncomportamientolineal,¿cuáleselcostopromediodeproducir15polos?

3. El costo y utilidad de una empresa al producir y vender cierto producto se modela con las funciones

C(q)=50q+400yU(q) = –2q2 + 30q–400soles,respectivamente.Halle:

a. El ingreso de la empresab. La función demandac. ¿Cuántas unidades debe vender la empresa para que obtenga un ingreso máximo?

4. Enunestudiodemercado,seobservaque,cuandosuproductosevendeaS/.80porunidad,sevenden100unidadescadamesy,cuandoelpreciosubeaS/.100,solosevenden90unidadesmensualmente.Si el precio de venta se relaciona linealmente con las cantidades vendidas, entonces:

a. Grafiquelafuncióningreso.b. ¿A qué precio se obtiene el ingreso máximo?

5. A Luis le enseñaron en el colegio que la temperatura se puede expresar en grados Kelvin, K, en grados Centígrados, C, y en grados Fahrenheit, F. Además, aprendió las siguientes transformaciones: de grados Centígrados a grados Kelvin mediante la función ( ) 273K C C= + , y de grados Fahrenheit

a grados centígrados utilizando la relación 5( ) ( 32)9

C F F= − .

a. Determine la transformación de grados F a grados K.b. ¿AcuántosgradosKelvinequivale95gradosFahrenheit?

6. La función [ ]200( ) 30 , 1; 500C q qq

= + ∈ , modela el costo promedio (en dólares por unidad) por

la producción de q polos. La función [ ]( ) 10 , 10; 100q t t t= ∈ , permite calcular el número de polos producidos respecto al tiempo t (en minutos) que demora su producción.

a. Determine la regla de correspondencia de la composición C○q. b. Determine el dominio de C○q.



4.14. Función inversa. Relación implícita

Es frecuente encontrar cantidades que se describen en función de otras. Por ejemplo, el sueldo varía según el número de horas que trabaja; de igual forma, la nota obtenida en un examen varía según el número de preguntas correctas, etcétera.

De los ejemplos anteriores, se puede expresar una cantidad en función de otra y viceversa, pero no siempre ocurre eso. Debe existir alguna condición que nos asegure poder hacerlo.

Para entender la idea de inversa, se analizarán las funciones f y g expresadas como conjuntos. En la figura4.71(a), cadaelementodel conjuntoA tiene supropia imagenenel conjuntoB.En la figura4.71(b),laimagendeloselementosp y qes4yder es5.

Figura 4.71 (a) (b)

f

abc

pqr

gBA

1 4

523

C D

Enlafigura4.71(a).,sepuedeencontrarunanuevafunciónquevayaahoradeBhaciaA,dondecada elemento del conjunto B tenga su propia imagen en el conjunto A. A esta función se le llamará inversa de f y se denotará por 1f − .Sisehacelomismoenlafigura4.71(b),lanuevarelaciónharíaqueelelemento4delconjuntoDtengadosimágenes:p y q,delconjuntoC,loquecontradiceladefiniciónde función.

Entonces, la condición necesaria para que exista la inversa de una función es que dicha función relacione los elementos uno a uno entre dos conjuntos. Si ocurre esto, se dice que la función es biunívoca.

Definición

Una función f, con dominio D, es una función biunívoca si cumple una de las siguientes condiciones:

i. Si a b≠ en D, entonces ( ) ( )f a f b≠ .ii. Si ( ) ( )f a f b= , entonces a b= en D.



369

Paraprobaranalíticamentesiunafunciónesonobiunívoca,seutilizaráladefinición,porejemplo:

• La función ( ) 2 3f x x= − es biunívoca en R porque cumple cualquiera de las condiciones. Si , Ra b ∈ tal que ( ) ( ) 2 3 2 3f a f b a b a b= ⇒ − = − ⇒ = , cumple la condición (ii).

• La función 2( )f x x= no es biunívoca en R porque no cumple ninguna de las condiciones. Si 2a = y 2b = − , tal que 2 2 (2) ( 2) 4f f≠ − ⇒ = − = , no cumple la condición (i).

Paraprobargráficamente si una función es o no biunívoca, se traza una recta horizontal a la gráficadelafunciónysilacortaalomásenunpunto,comoenlafigura4.72(a),seconcluyequeesbiunívoca;casocontrario,comolomuestralafigura4.72(b),noloes.

Figura 4.72

(a) (b)

Y

X

Es biunívoca

Y

X

No es biunívoca

Por ejemplo, para determinar si la función [ [( ) 2 , 1;4f x x x= − ∈ − esbiunívoca,segraficausando

el método de tabulación:

x –1 4

f(x) 3 –2

Seobservaquelafunciónesbiunívoca,porquealtrazarunarectahorizontal(verfigura4.73)lacorta en un solo punto.

Se puede concluir que una función decreciente en todo su dominio es biunívoca.



Figura 4.73

2

3

1

0–1

–2

1 2 3 4–1

Y

X

Ejemplo 1

Para determinar si la función ( ) 1 2g x x= + + esbiunívoca,segraficausandotransformaciones

o tabulación:

x –2

g(x) 1

¿Sepuedeafirmarquetodafuncióncrecienteensu dominio es biunívoca? ¿Por qué?

………………………………………………………………………………………………………..……………………………………

2

3

4

5

1

–11 2 3–1–2

Y

X

Ejemplo 2

Respondaconcretamenteyjustifiquesurespuesta.

a. Sea f una función creciente para [ [0;x ∈ + ∞ , ¿se puedeafirmarquef es biunívoca?



371

b. El vértice de una función cuadrática g se ubica en el punto (–2;4),¿sepuedeafirmarqueg es

biunívoca para [ ]2;4x ∈ − ?

c. ¿Sepuedeafirmarquetodafunciónpolinómicade grado impar es biunívoca?

Ejemplo 3

Indique,apartirdesusgráficas,silassiguientesfuncionessonbiunívocas.

a. [ [2( ) ( 1) 2, 0;f x x x= − − ∈ + ∞

b. 2; 0 2

( )2 4; 2 4x x

g xx x− ≤ ≤

= − < ≤



Función inversa

Sea una función f que relaciona los elementos de dos conjuntos A y B. Si una función g lleva los elementos delconjuntoBalconjuntoA,comosemuestraenlafigura4.74,sedicequelafuncióng es la inversa de la función f.

Figura 4.74

f

f (1)

f (3)

f (2)

g

Dom (f) Ran (f)

Ran (g) Dom (g)

A B

1

3

2

Definición

Si f es una función biunívoca, entonces existe la función inversa de f, que se denota por 1f − Su regladecorrespondenciaquedadefinidapor:

1( )x f y−= si y solo si ( )y f x=

donde: Dom ( 1f − ) = Ran (f ) y Ran ( 1f − ) = Dom (f )

Para determinar la regla de correspondencia de la inversa de la función f, se deben seguir los siguientes pasos:

a. Verificarquef sea biunívoca.b. Escribir ( )y f x= y despejar x en función de y. NotaDe forma opcional, se puede realizar la siguiente composición que sirve para comprobar que las funciones son inversas. Dicha composición debe resultar la identidad: i. 1( ( ))f f x x− = , para todo xϵDom( 1f − )

ii. 1( ( ))f f x x− = , para todo xϵDom( f ) Por ejemplo, sea la función [ [( ) 4 2 , 1;2f x x x= − ∈ − , para determinar la regla de correspondencia de la inversa 1f − ,sudominioyrango,ygraficarlaenelmismoplanojuntoconf, se procederá de la siguiente manera:



373

Segraficaf para saber si es biunívoca (o concluimos que sí lo es porque la función, al ser lineal de pendiente negativa, es decreciente). Para ello, se tabula: Figura 4.75

x –1 0 1 2

f(x) 6 4 2 0

Luego, se intercambian los componentes de los pares ordenados de la tabla anterior, y se obtiene la tabulación de

1f − :

x 6 4 2 0

f –1(x) –1 0 1 2

2

3

4

5

6

1

–11 2 3 4 5 6

f –¹

f

y = x

–1

Y

X

Apartirdelagráficadef, se puede hallar el dominio y rango de 1f − :

] ][ [

1

1

( ) ( ) 0;6

( ) ( ) 1;2

Dom f Ran f

Ran f Dom f

−

−

= =

= = −

Para determinar la regla de correspondencia de 1f − , se hace lo siguiente:Se despeja x: 4 2y x= −

42 42

yx y x −= − ⇒ =

La inversa 42

yx −= se puede representar también utilizando la notación 1f − de la siguiente

manera: 1 4( )2

xf x− −= .

Enlafigura4.75,ademásdemostrarlasgráficasdef y 1f − , se observa que ambas funciones se reflejan,unarespectodelaotra,atravésdelarectapunteadaqueeslafunciónidentidad.Alreflejarlospuntosdelagráficadef respecto de la recta y = x, seobtienenlospuntosdelagráfica 1f − , motivo por el cual se realizó el intercambio de componentes de los pares ordenados para su tabulación.

Observación. Para trazar una recta solo se necesita tabular un par de puntos. Para efectos didácticos, en el problema anterior, se tabularon más puntos.



Ejemplo 4

Sea la función [ ]( ) 4 , 4;5g x x x= + ∈ − . Para determinar la regla de correspondencia de la inversa 1g− , sudominioyrango,ygraficarlaenelmismoplano juntocong, se procede de la siguiente manera:

Segraficag por tabulación:

x

g(x)

Segrafica 1g− por tabulación:

x

g –1(x)

A partir de la gráfica de g, se puede hallar el dominio y rango de 1g− :

Dom ( 1g− ) = ………………………Ran ( 1g− ) = ………………………

Se determina la regla de correspondencia de la inversa de la función g:

2

3

4

5

6

7

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

1 2 3 4 5 6 7–1–2–3–4–5–6

Y

X

Ejemplo 5

Respondaconcretamenteyjustifiquesurespuesta.

a. Dada la función ( ) 2 3 6f x x= − − , ¿cuál es el rango de la inversa de f?



375

b. Dada la función ( ) 2 3f x x= − , ¿en qué punto la

gráficade 1f − interseca al eje Y?

Ejemplo 6

Determine en cada caso: la regla de correspondencia de la función inversa, su dominio y rango, y grafiqueenelplanoambasfunciones.

a. ] [2( ) ( 1) 2, 1;h x x x= + − ∈ − + ∞

b. ] ]( ) 2, 3;33xk x x= − ∈ −



Ejemplo 7

Lafigura4.76muestralagráficadelafunciónf. Calcule lo siguiente:

a. 1

1

( ) .........................( ) ..........................

Dom fRan f

−

−

==

Figura 4.76

b. Tabule para ( ):f x

x

f(x)

c. 1

1

( 1) .........................(( ))(5) ...................

ff f

−

−

− ==

d. Grafique 1f −

2

3

4

5

1

–2

–3

–4

1 2 3 4 5 6 7–2–3

f

–4

Y

X

–1–1

Relación implícita entre dos variables

Se dice que hay una relación implícita entre las variables x y y si ninguna de ellas se presenta en términos de la otra. Por ejemplo:

2 3 0xy y+ − =

Si se despeja una variable en función de la otra, se determina una función explícita. Por ejemplo:

32

yx

=+

Por ejemplo, para determinar una función explícita a partir de la siguiente relación implícita 2 ( 1)x y x y+ = − , se despeja la variable y:



377

23

3(1 ) 31

x y xy xy xy x

xy x x yx

+ = −− = −

− = − ⇒ = −−

Ejemplo 8

Determine la(s) función(es) explícita(s) que corresponde(n) a las relaciones implícitas.

a. ( 1) (2 )x y y x− = −

b. 2 22 6x y− =

c. 2 22 3 8 0y x+ + =

d. 3 2 54 1

x yx y

− +=+ −



Ejercicios 4.14

1. Determine si las siguientes funciones son biunívocas:

a. 2 4( )

2xf xx

−=−

b. 2( ) 1g x x= −c. 1( )

3h x

x=

−

d. ( ) 3 1f x x= − −e. ( ) 1g x x= −f. ( ) 2h x = −

2. Compruebe si f y g son funciones inversas:

a. ( ) 3 2f x x= − ; 2( )

3xg x +=

b. ( ) 2f x x= + ; 2( ) 2, 0g x x x= − ≥c. 2( ) 6 , 0f x x x= − ≤ ; ( ) 6g x x= − − d.

6( )1

xf xx

+=−

; 6( )1

xg xx

+=−

3. Determine la función inversa de fygrafiqueambasfuncionesenunmismoplano:

a. ( ) 3 2, 1 2f x x x= − − < <b. ( ) 1; 1 10f x x x= − − ≤ ≤

c. 2( ) 2 1, 1f x x x x= − + ≥

d. ( ) 2 1, 0f x x x= − ≤

e. ( ) 3f x x= − −

f. 2( ) 3, 0f x x x= − ≤

4. Apartirdelgráficodelafunciónf determine:

a. 1( 2)f − −b. 1( ( 2))f f− −c. El dominio de 1f −

d. El rango de 1f −

e. Lagráficade 1f −



379

2

1

0–1

1–1–2

Y

X

5. Determine la(s) función(es) explícita(s) que corresponde(n) a las siguientes relaciones implícitas:

a. 3 2 4 1xy x y+ − =b. 2 1x y− =

c. 2 24 9x y+ =

d. 2 2 3 2 2 0x y x y y x− + − =

e. 2 21x y yy x

− = −



4.15. Aplicaciones de la función inversa y la relación implícita

Suponga que el precio de demanda se modela con la función 2200p q= − , donde q es el número de unidades demandadas. Observe que el precio depende del número de unidades demandadas. ¿Cómo se podría hacer para determinar el número de unidades demandadas en función del precio de demanda? En los siguientes problemas se trabajará en ello.

Problema 1

Uninvestigadorprivadocobra$100porlaconsultay$40porhorasiaceptaelcaso.Sesabe,porsurécord personal, que se demora máximo tres días (72 horas) en resolverlo.

a. Determine la función H que representa los honorarios del investigador en función al número de horas transcurridas hasta que resuelve el caso. Sedefinelavariablex como el número de horas transcurridas hasta que se resuelve el caso. Como la función H es lineal, entonces:

[ ]( ) 40 100, 0;72H x x x= + ∈

b. ¿Cuáles serán el mínimo y máximo honorarios que podrá recibir el investigador? Comomínimocobrará$100(obtenidoalevaluarH en 0x = )ycomomáximo,$2980(obtenidoal evaluar H en 72x = ).

c. Determine la inversa de H.En un problema de modelación, determinar la inversa de una función implica despejar su variable independiente. Por lo tanto,

[ ]40 100

10040 100 , 100; 2 98040

H xHx H x H

= +−= − ⇒ = ∈

d. ¿Qué describe la inversa de H?Describe el número de horas transcurridas hasta que resuelve el caso en función a los honorarios recibidos.



381

Problema 2

Unaagencia cobraS/.100poralquilarunode susautos.Almomentode firmarel contrato,el señor Castillo no leyó las letras pequeñas que estipulaban: «Si recorre como máximo 200 kilómetros,nohabrárecargopormantenimiento.Delocontrario,deberápagarS/.2porcadakilómetro adicional a los 200 ya recorridos».Halle el monto M que pagará el señor Castillo en función al número de kilómetros recorridos.

: .......................................x

........................., 0 200( )

........................., 200x

M xx

≤ ≤= >

Determine la inversa de M para un recorrido mayor a 200 km. ¿Qué representa?

Problema 3

La señora Vidal, dueña de los locales de comida rápida L1, L2, L3 y L4, se ha reunido con los encargados de cada uno de los locales para conversar acerca de las ganancias por año de su empresa.

• El encargado del local L1comentóquecadaañoganó$5000.• El encargado del local L2dijoqueelprimerañoganó$2000ylossiguientesaños$1000másque

el año anterior.

• El encargado del local L3 señaló que sus ganancias se modelan con la función 20Ut = , donde t

representa el tiempo (en años) en función de la utilidad U(en$)obtenida.• El encargado del local L4mostrósusgananciasgráficamente(verfigura4.77).

Figura 4.77

4

5

3

2

1

0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000U

t Y

X



a. Determine la ganancia obtenida por año en cada local. Asuma que los locales llevan 5 añosatendiendo al público.

b. Determine la función ganancia total (GT) de la señora Vidal por año.c. ¿CuántoganólaseñoraVidalenel4o año?

Problema 4

Laempresa«Estampa2S. A.»sededicaalafabricaciónyventadepolosperuanosparaexportaciónconmotivos de inclusión social.

• El gerente de producción modeló el número de polos producidos q en función al costo promedio 1 000

10q

C=

−

(en$/unidad)obteniendolasiguientefunción 1 00010

qC

=−

.

• Elgerentedeventasmostróelingresodelaempresagráficamente(verfigura4.78).

Figura 4.78

1 600

I ($)

p ($)

1 200

800

400

0 20 40 60 80 100

Y

X



383

a. Determine el costo total C en función al número de polos producidos.b. Determine el ingreso I en función al precio.c. Determine la ecuación de demanda de polos.d. Determine la utilidad U en función al número de unidades producidas y vendidas. (La variable q

también representa el número de unidades vendidas).

Problema 5

Un fabricante puede vender q unidades de su producto a p dólares por unidad, con q y p relacionadas por:

200 4 400 150q p q p= − − ⋅

Determine:

a. La función precio en términos de la cantidad.b. La función inversa del precio. ¿Qué representa esta función inversa?



Problema 6

Las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto están dadas por:

4 2q p= − y 6 94p p q q+ ⋅ = − donde p está expresado en dólares y q en miles de unidades. Determine:

a. El precio en función al número de unidades demandadas.b. El precio y la cantidad de equilibrio.c. La función ingreso en términos del precio.



385

Ejercicios 4.15

1. Uningenierocobra$100por2horasdetrabajoy$280por5horas.Determine:

a. La función lineal C que modela los honorarios del ingeniero en términos de las horas trabajadas.b. La inversa C e indique qué representa.c. Evalúe500enlainversadeC e interprete el resultado.

2. Aunpreciode$10sedemandan100artículosyaunpreciode$20,sedemandan80artículos.Determine:

a. La función de demanda lineal en términos de la cantidad demandada. b. La inversa de la demanda e indique qué representa.c. El ingreso en función de la cantidad demandada.d. El ingreso máximoe. El precio al cual se obtiene el ingreso máximo.

3. El costo promedio se modela con la función: 50( ) 20C qq

= + y la ecuación de demanda es1 402

q p= − + , donde p está en dólares. Determine:

a. La inversa de la función costo total. b. La inversa de la demanda.c. La función utilidad en términos del número de unidades.d. La utilidad máxima.e. El precio al cual la utilidad es máxima.

4. Un fabricante vende q unidades de su producto a p dólares por unidad, con q y p relacionadas por:

q · p + 200q+150p = 3 000

Encuentre:

a. La función cantidad en términos del precio.b. La función inversa de la cantidad. ¿Qué representa esta función inversa?

5. La demanda de polos está dada por 21D: 205

p q= − , donde p está expresado en dólares y q en cientos de unidades. Determine:

a. La cantidad demandada en función del precio.b. Aunpreciode$15,¿cuántasunidadessedemandarían?


Unidad 5: Función exponencial y logarítmica

La función exponencial cumple un papel muy importante no solo en matemática, sino también en economía, finanzas, estadística y otras áreas de estudio donde es aplicable.

Gráfica de funciones exponenciales con b > 1

La función exponencial ( ) 2xf x = tiene base igual a 2. Para graficarla se usa el método de tabulación. Es importante tabular números positivos y negativos para observar mejor su comportamiento.

x –2 –1 0 1 2

( )f x 0,25 0,5 1 2 4

Las funciones exponenciales de base 1>b

presentan las siguientes características:

• R( )Dom f =• ] [( ) 0;Ran f = + ∞• Son crecientes y positivas en todo su dominio.• Sus gráficas intersecan al eje Y en el punto (0;1).• A medida que x aumenta positivamente, el valor de

la función aumenta exponencialmente.

5.1. Función exponencial

4

5

6

Y

X

3

2

1

–1–4 –2–3 –1 1 2 3

f

0=y

Figura 5.1

Definición

La función f de variable real x definida por:

( ) xf x b= , donde 0b > y 1b ≠

se denomina función exponencial.


Unidad 5 | Función exponencial y logarítmica

387

• A medida que x disminuye negativamente, el valor de la función se aproxima cada vez más a cero.• La recta horizontal trazada de forma punteada tiene por ecuación 0y = y recibe el nombre de asíntota

horizontal. En la figura 5.1, se puede observar que la gráfica de f se le aproxima, pero nunca la corta.

Ejemplo 1

Para graficar la función ( ) 3xf x = , se usa tabulación:

x

( )f x

4

5

6Y

X

3

2

1

–1–4 –2–3 –1 1 2 3 4

Ecuación de la asíntota: ………………………

Gráfica de funciones exponenciales con 0 < b < 1

La función exponencial 1( )2

x

f x = tiene base igual a 1

2. Para graficarla, se usa el método de tabulación.

Es importante tabular números positivos y negativos para observar mejor su comportamiento.

x –2 –1 0 1 2

( )f x 4 2 1 0,5 0,25

Las funciones exponenciales de base 0<b< 1 presentan las siguientes características:

• R( )Dom f =

• ] [( ) 0;Ran f = + ∞

• Son decrecientes y positivas en todo su dominio.• Sus gráficas cortan al eje Y en el punto (0;1).• A medida que x disminuye negativamente, el valor

de la función aumenta exponencialmente.

4

5

6

7

y = 0

f

3

2

1

–1–2–3 –1 1 2 3 4

Y

X

Figura 5.2



• A medida que x aumenta positivamente, el valor de la función se aproxima cada vez más a cero. (Ver figura 5.2).

Ejemplo 2

Transformaciones de funciones exponenciales

La gráfica de una función exponencial puede estar relacionada con otra por medio de una transformación (traslación, reflexión, ampliación, reducción o una combinación de ellas). Las figuras 5.3 y 5.4 muestran dos tipos distintos de transformaciones:

Figura 5.3 Figura 5.4

4

5

3

2

1

–1

–2

–2–3 –1 1 2 3 4

Y

X

x

xf

=21

)(

2

21 −

=x

y

4

5

3

2

1

–1

–2

–3

–2–3 –1 1 2 3 4

Y

X

xxf 2)( =

32 −= xy

Para graficar la función 1( )3

x

f x = , se

usa tabulación:

x

( )f x

Ecuación de la asíntota: ………………………

4

5

6Y

X

3

2

1

–1–4 –2–3 –1 1 2 3 4



389

Por ejemplo, para trazar la gráfica de la función ( ) 2 2xf x = + usando transformaciones, primero se debe identificar la función básica 0y y, luego, las técnicas aplicadas a ella que generen nuevas funciones.

figura 5.5• 0 2xy =• 1 2 2xy = +

Una vez hecha la tabulación en la función básica, se ubican los puntos en el plano y se unen suavemente con una curva. A continuación, se aplica la técnica que consiste en trasladar todos los puntos tabulados dos unidades hacia arriba.

x –2 –1 0 1 2

y0 0,25 0,5 1 2 4

La función exponencial presenta las siguientes características:

• R( )Dom f = y ] [( ) 2;Ran f = + ∞ .• Su gráfica (ver figura 5.5) corta al eje Y en el punto (0;3).• La ecuación de la asíntota horizontal es 2y = .

Observación. La asíntota horizontal de una función exponencial varía siempre que haya una traslación vertical.

4

5

6

7

3

2

1

–1–2–3–4 –1 1 2 3

�=2

��

��

Y

X



Ejemplo 4


a. Dada la función ( ) 2xf x = , ¿cuál es la ecuación de la asíntota de la gráfica de la función g si se sabe que ( ) ( 2) 1g x f x= − − ?

b. Las gráficas de las funciones ( ) xf x a b= − y

( ) 3 4xg x = + tienen la misma asíntota horizontal y la gráfica de f interseca al eje X en 2. ¿Cuál es el valor de a + b?

Para graficar la función 21( ) 3

2

x

f x+

= − , se identifica la función básica y las técnicas aplicadas

a ella.

• y0 = ……………………………..• y1 = …………………………….. • y2 = ……………………………..

Se tabula en la función básica:

x

y0

Ecuación de la asíntota: …………….

( ) .........................................( ) ...........................................

Dom fRan f

==

Puntos de intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados:0 (0) 2,75x y f= ⇒ = = −

2 2

12

1 1( ) 0 3 0 3 2 log 32 2

x x

y f x x+ +

= = ⇒ − = ⇒ = ⇒ + =

3,58x⇒ = −

4

5

3

2

1

–1–1–2–3–4–5

–2

–3

–4

–5

1 2 3 4 5

Y

X

Ejemplo 3



391

Ejemplo 5

Trace las gráficas de las siguientes funciones usando transformaciones e indique para cada una de ellas el dominio, el rango, la ecuación de la asíntota y las intersecciones de la gráfica con los ejes coordenados.

a. 1( ) 23

x

f x = −

• y0 = ……………………………..• y1 = …………………………….. • y2 = ……………………………..

Dom( )f = ……………………........................Ran( )f = …………………….........................Ecuación de la asíntota: ……...…...…...….Intersecciones de la gráfica de f con los ejes: …................

b. 2( ) 1 2xg x += −

• y0 = ……………………………..• y1 = …………………………….. • y2 = ……………………………..• y3 = ……………………………..

Dom( )g = ……………………........................Ran( )g = ……………………........................Ecuación de la asíntota: ……...…...….....Intersecciones de la gráfica de g con los ejes: .................

c. 31( ) 4

2

x

h x−

= −

• y0 = ……………………………..• y1 = ……………………………..



• y2 = ……………………………..• y3 = ……………………………..

Dom ( )h = ……………………........................Ran ( )h = ……………………..........................Ecuación de la asíntota: ……...…...….....Intersecciones de la gráfica de h con los ejes: .................

Función exponencial con base e

La función exponencial con base 2,718281828459...e = se conoce como función exponencial natural. Para graficarla, utilizamos la siguiente tabulación: Figura 5.6

x –1 0 1 2

f(x) = ex 0,37 1 2,72 7,39

• R( )Dom f =• ] [( ) 0;Ran f = + ∞• Es creciente y positiva en todo su dominio.• Su gráfica (ver figura 5.6) corta al eje Y en el

punto (0;1).• La ecuación de su asíntota horizontal es 0y = .

4

5

6

7

8

3

2

1

–1–2–3 –1 0 1 2 3

Y

X0=y

f



393

Ejemplo 6

Para graficar la función 3)( 1 −= +xexf , se identifica la función básica y las técnicas aplicadas a ella.

• 0y = ……………………………..• 1y = ……………………………..• 2y = ……………………………..

Se tabula en la función básica:

x

y 0

Ecuación de la asíntota: …………..( ) .......................................

( ) .........................................Dom fRan f

==

Puntos de intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados:0x y= ⇒ = …………………………………………………………………………...

( ) 0y f x= = ⇒

Gráfica de funciones exponenciales usando tabulación

El método de graficación que a continuación se presenta permite obtener la gráfica de una función exponencial tabulando directamente en dicha función. Este método se usará con mayor frecuencia en problemas de modelación.

Para obtener una gráfica aproximada a la real, se deben seguir las siguientes indicaciones:

• Determinar la asíntota horizontal.• Tabular algunos puntos para dar mayor precisión a la gráfica. Esto nos permitirá cambiar la escala

de los ejes según sea el caso.• Hallar las intersecciones con los ejes coordenados. • Unir los puntos con una curva suave.

4

5

3

2

1

–1–1–2–3–4–5

–2

–3

–4

–5

1 2 3 4 5

Y

X



Por ejemplo, para graficar la función 0,5( ) 5 3 xf x −= − , cuando no se especifica ningún método de resolución, se procede de la siguiente manera:

Figura 5.7• Primero, se tabula la función f para distintos

valores de x y se ubican los puntos en el plano:

x –2 –1 0 1 2

( )f x 2 3,27 4 4,42 4,67

• Luego, se determina la ecuación de la asíntota 5y = .

• Por último, se hallan las intersecciones de la gráfica de f (ver figura 5.7) con los ejes coordenados:Intercepto con el eje Y: 0 4x y= ⇒ =

Intercepto con el eje X: 0,50 5 3 0xy −= ⇒ − = 0,5

3

3 50,5 log 5 2,93

x

x x

−⇒ =⇒ − = ⇒ = −

Ejemplo 7

4

5

y = 5

3

2

1

–1

–2

–2–3 –1 1 2 3 4

Y

X

Para graficar la función 0,64( ) 3 4xg x −= − , se procede de la siguiente manera:Primero, se tabula la función g:

x

g(x)

Ecuación de la asíntota: ...................................Intersección de la gráfica con el eje Y: .......Intersección de la gráfica con el eje X: .......

4

5

3

2

1

–1–1–2–3–4

–2

–3

–4

–5

1 2 3 4

Y

X



395

Ejemplo 8


a. ¿Cuál es el valor de B si la gráfica de la función 0,267( ) 2 xg x B e= + ⋅ interseca al eje Y en 3?

b. ¿Cuál es el valor de k si la gráfica de la función( ) 2 3 k xf x e ⋅= − interseca al eje X en 4?

Ejemplo 9

Dada la función 0,23( ) 10 (2 )xf x A −= − para 0≥x , determine:

a. El valor de A si se sabe que (0) 3f =b. El valor de f cuando 5x =c. El valor de x si ( ) 8f x =d. La gráfica de la función f y la ecuación de su asíntota



Ejemplo 10

Dada la función ( ) 5 2(3 )k xf x ⋅= + para 0≥x , determine:

a. El valor de k si se sabe que (1) 6f =b. El valor de f cuando 2x =c. El valor de x cuando ( ) 5,1f x =d. La gráfica de la función f y la ecuación de su asíntota



397

Ejercicios 5.1

1. Trace la gráfica de las siguientes funciones usando transformaciones. Luego, indique el dominio, el rango y la ecuación de la asíntota de cada función.

a. 21( ) 2

3

x

f x+

= +

b. 3( ) 3 4xf x −= −

c. 31( ) 3

2

x

f x+

= −

d. 2( ) 2 3xf x += − −

e. 21( ) 4

3

x

f x−

= − − f. 1( ) 3xf x e −= − +

2. A partir de la gráfica de la función f, trace las gráficas de las siguientes funciones:a. ( ) ( 2)g x f x= −

b. ( ) 1 ( 3)h x f x= + +c. ( ) ( 3)i x f x= − −d. ( ) 3 ( 1)j x f x= + −e. ( ) 2 ( 2)k x f x= − − −

4

5

6

3

2

1

–1

–2

–3

–2–3 –1 1 2 3 4

Y

X

f

f. ( ) 4 ( 2)l x f x= − +g. ( ) ( )m x f x= −h. ( ) ( 2)n x f x= − +

3. Trace las gráficas de las siguientes funciones usando tabulación:

a. ( ) 0,2( ) 20 5 2 xf x −= +b. 3( ) 0,2(3 ) 4xf x −= −

c. ( ) 0,4( ) 100 40 2 , 0xf x x−= − ≥

d. 1 0,234( ) 6 2 xf x += +e. ( ) 0,22( ) 200 85 2 , 0xf x x−= − ≥f. ( ) 0,103( ) 1 000 300 , 0xf x e x−= − ≥

4. Dadas las condiciones, grafique las siguientes funciones:

a. ( ) 20 . , 0k xf x A e x⋅= − ≥ , si se sabe que f(0) = 10 y (5) 15f =b. ( ) 3 , 0k xf x B e x⋅= − ≥ , si se sabe que (0) 15f = y (10) 17f =c. ( ) 100 , 0k xf x C e x⋅= − ⋅ ≥ , si se sabe que (0) 10f = y (40) 60f =



5.2. Función logarítmica

En el capítulo anterior, se trabajó con la función exponencial y, según sus gráficas, se reconoció que eran funciones biunívocas, es decir, tienen inversa. ¿La función logarítmica será la inversa de la función exponencial? ¿Cómo se puede determinar?

Definición

La función f de variable real positiva x (llamada tambien argumento) definida por:

( ) logbf x x= , donde b > 0 y 1b ≠

se denomina función logarítmica.

Gráfica de funciones logarítmicas con b > 1

La función logarítmica 2( ) logf x x= tiene base igual a 2. Para graficarla se tabulan valores de x mayores a cero y, de preferencia, que sean potencia de 2.

x 1/4 1/2 1 2 4

( )f x –2 –1 0 1 2

Las funciones logarítmicas de base b>1 presentan las siguientes características:

• ] [( ) 0;Dom f = + ∞• R( )Ran f =• Son crecientes en todo su dominio.• Sus gráficas cortan al eje X en el punto (1;0) .• A medida que x se aproxima a cero, el valor de la

función se hace cada vez mayor negativamente.• La recta vertical trazada de forma punteada tiene

por ecuación 0x = y recibe el nombre de asíntota vertical. En la figura 5.8, se puede observar que la gráfica de f se le aproxima pero nunca la corta.

1 2 3 4 5 6

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–1 0

Y

X

f

0=x

Figura 5.8



399

Ejemplo 1

Para graficar la función 3( ) logg x x= , se usa la tabulación:

x

g(x)

Ecuación de la asíntota: ..............................

4

3

2

1

–1–1

–2

–3

–4

10 2 3 4 5 6 7 8 9

Y

X

Gráfica de funciones logarítmicas con 0 <b < 1

La función logarítmica 12

( ) logf x x= tiene base igual a 12

. Para graficarla se tabulan valores de x

mayores a cero y, de preferencia, que sean potencia de 12 .

Figura 5.9

x 1/4 1/2 1 2 4

( )f x 2 1 0 –1 –2

Las funciones logarítmicas de base 0 1b< < presentan las siguientes características:

• ] [( ) 0;Dom f = + ∞• R( )Ran f =• Son decrecientes en todo su dominio.• Sus gráficas cortan al eje X en el punto (1;0) .• A medida que x se aproxima a cero, el valor de la

función se hace cada vez mayor positivamente.• En la figura 5.9, se observa que la gráfica de f se

aproxima a la asíntota vertical pero nunca la corta.

4

3

2

1

–1

–2

–3

–1 0 1 2 3 4 5 6

Y

X

f

0=x



Ejemplo 2

Para graficar la función 13

( ) logg x x= , se usa la tabulación:

x

g(x)

Ecuación de la asíntota: ..............................

4

3

2

1

–1–1

–2

–3

–4

10 2 3 4 5 6 7 8 9

Y

X

Transformaciones de funciones logarítmicas

La gráfica de una función logarítmica puede estar relacionada con otra por medio de una transformación (traslación, reflexión, ampliación, reducción o una combinación de ellas). Las figuras 5.10 y 5.11 muestran dos tipos de transformaciones:

Figura 5.10 Figura 5.11

Por ejemplo, para trazar la gráfica de la función 2( ) log ( 2)f x x= − usando transformaciones, primero se identifica la función básica 0y y, luego, las técnicas aplicadas a ella que generan nuevas funciones:

4

3

2

1

–1

–2

–1 0 1 2 3

Y

X

xxf log)( =

xy log2 += 3

2

1

–1–1 0 1 2 3 4 5

Y

X

xxf 1,0log)( =

)2(log 1,0 −= xy



401

• 0 2logy x=

• 1 2log ( 2)y x= −

Una vez hecha la tabulación en la función básica, se ubican los puntos en el plano y se unen suavemente con una curva. A continuación, se aplica la técnica que consiste en trasladar todos los puntos tabulados dos unidades hacia la derecha.

x 1/4 1/2 1 2 4

y0 –2 –1 0 1 2

La función logarítmica presenta las siguientes características:

• ] [( ) 2;Dom f = + ∞• R( )Ran f =• Su gráfica (ver figura 5.12) corta al eje X en el punto (3;0).• La ecuación de la asíntota vertical es 2x = .

Observación. La asíntota vertical de una función logarítmica varía siempre que haya una traslación horizontal.

Ejemplo 3Para graficar la función 1

2

( ) log ( 2) 3f x x= + − , primero se identifica la función básica y las técnicas

3

4

2

1

–1

–2

–3

0 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

2=x

y0

y1

Figura 5.12

aplicadas a ella:

• 0y = ……………………………...• 1y = ……………………………… • 2y = ……………………………...

Luego, se tabula en la función básica:

x

0y

4

5

3

2

1

–1–1–2–3–4

–2

–3

–4

–5

1 2 3 4

Y

X



Ecuación de la asíntota: …………….( ) ..........................................

( ) ...........................................Dom fRan f

==

Puntos de intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados:

0 (0) 4x y f= ⇒ = = −3

1 12 2

1( ) 0 log ( 2) 3 0 log ( 2) 3 22

y f x x x x = = ⇒ + − = ⇒ + = ⇒ + =

1,875x⇒ = −

Ejemplo 4


a. Dada la función 2( ) logf x x= , ¿cuál es la ecuación de la asíntota de la función g si se sabe que ( ) ( 3) 1g x f x= − − ?

b. Sean ( ) 2 log ( )af x x b= + + y 2( ) log ( 1)g x x= − funciones que tienen la misma asíntota. Si la gráfica de f pasa por el punto (3;4) , ¿cuál es el valor de a b+ ?

Ejemplo 5

Trace las gráficas de las siguientes funciones usando transformaciones e indique para cada una de ellas el dominio, el rango, la ecuación de la asíntota y las intersecciones de la gráfica con los ejes coordenados.

a. 2( ) 3 logf x x= −

• 0y = .....................................• 1y = .....................................• 2y = .....................................



403

Dom( )f = ............................................Ran( )f = ..............................................Ecuación de la asíntota: ................Intersecciones de la gráfica de f con losejes: ….....

b. 12

( ) 2 log ( 2)g x x= − −

• 0y = .....................................• 1y = .....................................• 2y = .....................................• 3y = .....................................

Dom( )g = ............................................Ran( )g = ..............................................Ecuación de la asíntota: ...............Intersecciones de la gráfica de g con losejes: .......

c. 3( ) 3 log ( 4)h x x= + +

• 0y = .....................................• 1y = .....................................• 2y = .....................................• 3y = .....................................

Dom( )h = ............................................Ran( )h = .............................................Ecuación de la asíntota: ..............Intersecciones de la gráfica de h con losejes: .......



Inversa de la función logarítmica

Si x1 y x2 son dos números que pertenecen al dominio de la función logarítmica f(x) = logb x , entonces se cumple al menos una de las dos propiedades siguientes:

i. Si 1 2x x≠ , entonces 1 2log logb bx x≠ .ii. Si 1 2log logb bx x= , entonces 1 2x x= .

Esto implica que la función logarítmica es biunívoca y, por consiguiente, posee inversa. Asimismo, es importante mencionar que la inversa de la función logarítmica es la función exponencial y viceversa.

A continuación, se demostrará lo mencionado:Para determinar la regla de correspondencia de la inversa de la función ( ) logbf x x= , se debe

despejar x en función de y:

log yby x x b= ⇒ =

De igual forma, para determinar la regla de correspondencia de la inversa de la función ( ) xg x b= , se debe despejar x en función de y:

logxby b x y= ⇒ =

Ejemplo 6

a. Para determinar la regla de correspondencia de la inversa de la función 3( ) 2 log ( 1)f x x= + + , se procede de la siguiente manera:

Se despeja x: 32 logy x= +

b. Para determinar la regla de correspondencia de la inversa de la función 2 3( ) xf x e −= , se procede de la siguiente manera:

Se despeja x: 2 3xy e −=



405

Ejemplo 7

Determine la regla de correspondencia de la inversa de las siguientes funciones:

a. 3( ) 2 log ( 5)f x x= + −

b. 12

( ) 2 3log ( 1)f x x= − −

c. 4 1( ) 3 10 xf x += −

d. ( ) 5 ln(3 4 )f x x= − −

Por ejemplo, para determinar la regla de correspondencia, el dominio y el rango de la inversa de la función 2( ) log ( 1)f x x= − , y graficar ambas funciones en el mismo plano, se procede de la siguiente manera:



Primero, se grafica f mediante tabulación: Figura 5.13

x 1,5 2 3 5

( )f x –1 0 1 2

Luego, se intercambian los componentes de los pares ordenados de la tabla anterior y se obtiene la tabulación de f ―1:

x –1 0 1 2

1( )f x− 1,5 2 3 5

A partir de la gráfica de f, se puede hallar el dominio y el rango de f ―1:

] [R1

1

( ) ( )( ) ( ) 1;

Dom f Ran fRan f Dom f

−

−

= == = + ∞

Para determinar la regla de correspondencia de f ―1, se siguen los siguientes pasos:Se despeja x:

2log ( 1)y x= −1 2 2 1y yx x− = ⇒ = +

La inversa 2 1yx = + se puede representar también utilizando la notación f ―1 de la siguiente manera: 1( ) 2 1xf x− = + .

En la figura 5.13, además de observar las gráficas de f y f ―1, se puede notar que una es el reflejo de la otra a través de la recta punteada que es la función identidad. Al reflejar los puntos de la gráfica de f respecto de la recta y = x, se obtienen los puntos de la gráfica f ―1, motivo por el cual se realizó el intercambio de componentes de los pares ordenados para su tabulación.

4

5

6

3

f -1

f

y = x

2

1

–1–1–2–3

–2

–3

–4

10 2 3 4 5 6 7

Y

X



407

Para determinar la regla de correspondencia, el dominio y el rango de la inversa 1g− de la función 1( ) 2 3xg x += − , y así graficar ambas funciones en el mismo plano, se procede de la siguiente

manera:

Primero, se grafica g por tabulación:

x

g(x)

Luego, se grafica g−1 por tabulación:

x

g―1(x)

Después, a partir de la gráfica de g, se halla el dominio y el rango de g−1:

Dom (g−1) = ......................................................Ran (g−1) = ........................................................

Finalmente, se determina la regla de correspondencia de g−1:

Ejemplo 8

4

5

3

2

1

–1–1–2–3–4

–2

–3

–4

–5

1 2 3 4

Y

X



Ejercicios 5.2

1. Trace la gráfica de las siguientes funciones usando transformaciones. Indique el dominio, el rango y la ecuación de la asíntota de cada función.

a. 2( ) 2 log ( 1)f x x= + −

b. 12

( ) log ( 2) 3f x x= + −

c. 3( ) 3 log ( 2)f x x= − − +

d. 13

( ) 1 log ( 2)f x x= − −

e. ( ) log( 5)f x x= +

f. ( ) 2 lnf x x= −

2. A partir de la gráfica de la función f, grafique las siguientes funciones:

a. g(x) = 1+f (x)b. ( ) ( 1)h x f x= − −c. ( ) 2 ( 2)i x f x= − + +d. ( ) ( )j x f x= −

e. ( ) 1 ( 2)k x f x= − − +f. ( ) 3 2 ( )l x f x= +g. ( ) 0,5 ( 1)m x f x= −

3. Determine la regla de correspondencia de inversa de las siguientes funciones:

a. 5( ) 1 log ( 2)g x x= + +b. ( ) 2 3log( 1)h x x= − − −c. 2( ) 4 3xi x −= −d. 1

2

( ) log ( 2)j x x= −

e. 2 11( ) 2

3

x

j x−

= + f. ( ) 1 2ln( 5)k x x= − −g. 4 3( ) 2 xl x e −= +

4. Determine la inversa de las siguientes funciones y grafique ambas en el mismo plano. Indique el dominio, el rango y la asíntota.

a. 2( ) 1 logf x x= +b. ( ) 2 ln( 1)g x x= + −c. 1

2

( ) log ( 2) 1i x x= − +

d. 1( ) 1 2xj x += −

e. 21( ) 1

2

x

k x−

= −

f. 3( ) 3 2xl x −= − +

g. 3( ) 2xm x e −= −

4

f3

2

1

–1

–2

–3

–4

–1 0 1 2 3 4 5 6

Y

X



409

5.3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En el libro se han resuelto diferentes tipos de ecuaciones, en donde se han aplicado propiedades de los números reales y algunas propiedades de logaritmos. Con lo aprendido hasta el momento, ¿se podría resolver la ecuación 23 3

2log log (3 ) 2x x− − = ? Posiblemente no, pero en este capítulo se aprenderán otras propiedades de logaritmos para poder lograrlo.

Las ecuaciones exponenciales presentan la incógnita como exponente. Las ecuaciones logarítmicas presentan la incógnita como base o como argumento del logaritmo. Por ejemplo:

• 22 3 10,5 2x x− +=

• 22log ( 4) 3x − =

Para resolverlas se necesita conocer y aplicar algunas propiedades de logaritmos y exponenciales.

Propiedades de logaritmos

Nos ayudan a reducir expresiones logarítmicas que se presentan en forma literal y, en algunos casos, nos facilitan el cálculo sin la necesidad de usar una calculadora. Entre ellas figuran:

• log log logb b bxy x y= +

• log log logb b bx x yy

= −

• log lognb bx n x=

• 1log logn bb

x xn

=

Por ejemplo, para hallar el valor numérico de la expresión 2

22log ( 4) log

4b bbE a

a= − +

−,

aplicando propiedades, se procede de la siguiente manera: Primero, se agrupa la suma de logaritmos de igual base:

2 2

2

( 4)log( 4)ba bE

a−=−

Luego, se simplifica la expresión: 2logbE b=Finalmente, se halla el valor numérico de E: 2E =

Asimismo, se deben considerar las siguientes propiedades:

• log 1 0b =• log 1b b =

• log xb b x=

• logb xb x=



Ejemplo 1

Para hallar el valor numérico de la expresión 2

23log loga a

bA ba

= − aplicando propiedades, se procede de la siguiente manera:Primero, se agrupa la resta de logaritmos de igual base:

Finalmente, se halla el valor numérico de A.

Ejemplo 2

Halle el valor numérico de las siguientes expresiones usando las propiedades de logaritmos.

a. 21 log log ( )2 b bA z b z= −

b. ( )2log log loga aa b bb b= −B

c. ( )2log 1 1bC b= + − + ( )2log 1 1b b− −



411

Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas debemos aplicar algunas propiedades que permitan reducirlas a ecuaciones lineales, cuadráticas, racionales, irracionales u otras en las que es factible utilizar ciertos métodos para su resolución. Entre ellas figuran:

• log yb x y x b= ⇔ = (definición de logaritmo)

• Si x y= , entonces log loga ax y= .• Si log loga ax y= , entonces x y= .• Si x yb b= , entonces x y= .

Por ejemplo, para resolver la ecuación logarítmica 2 2log log ( 1) 1x x+ − = , se procede de la siguiente manera:

Primero, se agrupa la suma de logaritmos en la misma base en un solo logaritmo.

2 2log log ( 1) 1x x+ − =

[ ]2log ( 1) 1x x − =

Luego, se usa la definición y se expresa la ecuación sin logaritmos.

[ ] 12log ( 1) 1 ( 1) 2x x x x− = ⇒ − =

Después, se resuelve la ecuación resultante.2 2 0x x− − =

( 2)( 1) 0x x− + =

2 1x x= ∨ = −

Finalmente, se reemplazan los valores hallados de x en la ecuación original.

2 2

2 2

2: log 2 log (2 1) 1 1 11: log ( 1) log ( 1 1) 1

xx

= + − = ⇒ == − − + − − =

La ecuación no tiene solución para 1x = − , porque no existe el logaritmo de números negativos. Por lo tanto, CS { }2= .

Observación. Las soluciones obtenidas se reemplazan en la ecuación inicial debido a que las funciones logarítmicas presentan ciertas restricciones.

Para resolver la ecuación exponencial 2 3 24 0,5x x− −= , se procede de la siguiente manera:Primero, se colocan en la misma base ambas expresiones de la ecuación:

( ) ( )2 3 22 12 2x x− −−=

Luego, se multiplican los exponentes.4 2 3 22 2x x− − +=



Después, se aplica la propiedad de igualdad de bases.4 2 3 2x x− = − +

Finalmente, se resuelve la ecuación resultante.3 2 2 4x x− = −

2x = −

Por lo tanto, CS { }2= − .

Ejemplo 3

a. Para resolver la ecuación logarítmica 3 3log log (3 ) 2x x− − = , se procede de la siguiente manera:Primero, se agrupa la resta de logaritmos de igual base: …………………………………..Luego, se aplica la definición y se resuelve la ecuación:

b. Para resolver la ecuación exponencial 2 2 43 9 27x x⋅ = , se procede de la siguiente manera:

Primero, las expresiones se colocan en base 3:..............Luego, se aplica la propiedad de igualdad de bases y se resuelve la ecuación resultante:

Ejemplo 4


a. ¿Se puede afirmar que las ecuaciones 2

5 5log log 16x = y 5 52log log 16x = tienen el mismo conjunto solución?

b. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación 2

5 52log ( 1) log ( 1)x x+ = + ?

c. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación 3 249 7x x+= ?



413

Ejemplo 5


a. 2 2log log 3x x− =

b. 22 3 5 0x xe e− − =

c. 2 21 log (2 2) log ( 1) 12

x x− − − =

d. ( )23 3

1log 2 log 11

xx

= − − −

e. 23 5x x−=

f. [ ]22 2log ( 1) 3log ( 1) 4x x− − − =



Ejercicios 5.3

1. Desarrolle las siguientes expresiones usando propiedades de logaritmos:

a. 22log ( )A B

b. 2

3logax

y z ⋅

c. 1

3 2 4log 3b r m⋅

d. 2

3log

1x

x

+

e. ln x y

f. 2log axb

g. log( 10 )x yx y ⋅⋅ ⋅

h. ( )log log aa b b

2. Reduzca las siguientes expresiones a un solo logaritmo usando propiedades:

a. 51 log ( 2)x+ +

b. 14log log( 1)2

x x− +

c. 1 12log log 12

xx

− +

d. 23 3 3

1log ( 4) log 2log3

x xx

− − ++

e. 1 1log loga ab bb b

−

f. 1log log loga a ab c b ba

+ −

g. 1 12log 6 log 32 log2 9m m m− +

h. 2 4 8log 5log 3logx y z+ +

3. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:

a. 3 31 log (2 ) log ( 1)x x+ − = −

b. log log( 1) log6x x+ + =

c. 3 32log ( 2) log 0x x− − =

d. 2 21 log (2 2) log ( 1) 12

x x− − − =

e. 2 14 0,5(2 )x x +=

f. 1 2 13 2x x− +=g. 16 9x x +=

h. 2 2 2 22 8x x xx e x e e⋅ + ⋅ ⋅ =

i. 2

01

x xx e x ex

⋅ − ⋅ =−

j. 2 3 3 2 0x x⋅ − ⋅ =

k. 21( 1)(2 3) 02

x xe − − =

l. 22(1 log ) 4 0x− − =

m. 2 21 log (2 2) log ( 1) 12

x x− − − =

n. ( )23 3

1log 2 log 11

xx

= − − −



415

5.4. Aplicaciones de funciones exponenciales

Crecimiento y decrecimiento exponenciales

El crecimiento y el decrecimiento exponenciales se modelan con la función 0( ) k tQ t Q e ⋅= , donde:

t: tiempo k: tasa o razón de crecimiento exponencial − Si k es positivo, el crecimiento es exponencial (ver figura 5.14(a)). − Si k es negativo, el decrecimiento es exponencial (ver figura 5.14(b)).Qo: es la cantidad presente en t = 0 (valor inicial).Q(t): es la cantidad presente en el tiempo t.

Figura 5.14

tQ₀

Q₀

k > 0k < 0

Q(t)

Q(t)

t

(a) (b)

Problema 1

A inicios del año 1950, la empresa «Mediciones S. A.» modeló el crecimiento de una población mediante la función 0,04055( ) 10 tN t e= , donde N representa la población, en millones de personas, y t el tiempo, en años, que ha transcurrido desde el inicio de 1950.

a. Halle la cantidad inicial de habitantes de la población.La cantidad inicial de habitantes se obtiene evaluando la función N en t = 0. Por lo tanto, la población inicial fue de 10 millones de personas.

b. ¿Cuántos habitantes hubo, aproximadamente, a inicios del año 1960?A inicios del 1960 (se evalúa la función N en t = 10) hubo, aproximadamente, 15 millones de personas.

c. ¿En qué año hubo 30 millones de personas?Primero, se determina el tiempo transcurrido hasta llegar a esa población:

0,04055 0,04055( ) 30 10 30 30,04055 ln3

27

t tN t e et

t

= ⇒ = ⇒ =⇒ =⇒ ≈

Como el tiempo fue, aproximadamente, de 27 años, la población llegó a ser de 30 millones a inicios del año 1977.



d. Grafique la función N(t)Figura 5.15

20

25

30

35

N(t)

t

15

10

5

–1–1 0 5 10 15 20 25 30

Para graficar la función N(t), se debe emplear el método de tabulación. Para ello, se ubica en una tabla los resultados obtenidos en las preguntas anteriores:

t 0 10 27

( )N t 10 15 30

Como t representa el tiempo, la gráfica de N(t) se traza para 0t ≥ (ver figura 5.15). Es importante recordar que la ecuación de la asíntota de N(t) es 0y = .

Problema 2

Las ventas de una determinada compañía han disminuido año tras año, luego de la crisis mundial. Su ingreso I, en miles de dólares, se modela con la función 0,4( ) 200 tI t e −= , donde t representa el tiempo transcurrido, en años, a partir de la crisis.

a. ¿Cuál fue el ingreso de la compañía al inicio de la crisis mundial?Se evalúa I en t =……. El ingreso fue igual a…………………………………….

b. ¿Cuál fue el ingreso de la compañía 2 años después de la crisis?Se evalúa I en t =……. El ingreso fue igual a…………………………………….

c. ¿Cuánto tiempo transcurrió desde que empezó la crisis para que el ingreso de la compañía se redujera a la cuarta parte? Al inicio de la crisis, el ingreso de la compañía fue de $…….. y luego de un tiempo se redujo a $ ………………………………………………………………..



417

Para determinar el tiempo, se reemplazarán los datos en la función I y se resuelve la ecuación resultante:

d. Grafique el ingreso I.

t

I(t)

N(t)

t

Problema 3

La depreciación de una máquina que costó $ 30 000 se modela con la función 0,04( ) tV t Ae −= , donde V es el valor de la máquina, en dólares, y t el tiempo, en años, que transcurre desde que se compró.

a. ¿Cuál es el valor de A? b. ¿Cuánto vale la máquina luego de 10 años de comprada? c. ¿Al cabo de cuánto tiempo el valor de la máquina se reduce a la tercera parte de su costo original? d. Grafique la función V.



Composición continua

El capital compuesto A generado al depositar un capital P durante t periodos de tiempo a una tasa de interés de r % compuesta continuamente está dada por:

r tA P e ⋅= ⋅Por ejemplo, para determinar el interés ganado en 4 años al depositar en el banco $ 10 000 a una

tasa de 8 % anual compuesto continuamente, se procede de la siguiente manera:0,08(4)10 000 13771,28 13771,28 100 000 3771,28A e I= = ⇒ = − =

Por lo tanto, se ganarán $ 3 771,28 de interés.

Problema 4

¿A qué tasa de interés anual compuesto continuamente se deben depositar $ 2 500 para retirar $ 40 000 dentro de 15 años?

Para determinar la tasa de interés r, primero se deben reconocer las variables dadas en el texto:

....................................................................................................................................................................................................

Pt

== ..............................................................

.................................................................................................................................A=

Luego, se reemplaza en r tA P e ⋅= ⋅ y se resuelve la ecuación resultante:

Problema 5

El día que nazca Andrea, su abuelo hará un depósito de $ 5 000 en una cuenta bancaria a una tasa de 3,5 % anual compuesto continuamente. ¿Cuántos años tendrá Andrea el día que el dinero depositado por su abuelo gane $ 10 000 de interés?



419

Curva de aprendizaje

En producción industrial, la administración a menudo debe estimar de antemano el número total de horas-hombre que requerirá, con la finalidad de producir un número determinado de unidades de su producto. Esto se requiere para establecer el precio de venta, la fecha de entrega, la concertación de un contrato, etcétera.

Una herramienta que con frecuencia se utiliza para tal predicción se denomina curva de aprendizaje.

La función definida por: ( ) k tL t A B e− ⋅= − ⋅ , donde A, B y k son constantes positivas,

mide el rendimiento en el tiempo t siendo A el rendimiento máximo. Con frecuencia, describe la relación entre la eficiencia de un individuo al realizar una tarea y el

tiempo de entrenamiento recibido.La figura 5.16 muestra la gráfica de una curva de aprendizaje.

Figura 5.16

t

A

L(0)

k·tBeAtL −−=)(

Máximo rendimiento esperado

Observación. «A largo plazo» un individuo se aproxima a su máximo rendimiento A y el tiempo de entrenamiento adicional solo resultará en una mejora marginal.

Problema 6

El ingreso de una empresa, en miles de dólares, por la venta de polos se modela con la función 0,25( ) 20 tI t B e −= − ⋅ , donde t es tiempo, en años, que el producto ha estado en el mercado. Además,

antes de ponerse a la venta en varios locales, ya se habían vendido cientos de ellos generando un ingreso de $ 4 000.

a. ¿Cuál es el valor de B?Se puede asumir que al inicio ( 0)t = ya se contaba con un ingreso de $ 4 000 ( 4)I = . Por lo tanto:

04 20 16B e B= − ⋅ ⇒ =



b. ¿Cuál fue el ingreso de la empresa luego de estar el producto tres años en el mercado?Al evaluar la función I en 3t = , se obtiene

0,25(3)(3) 20 16 12,44213I e−= − =

El ingreso fue de $ 12 442,13.c. Grafique la función I. ¿Qué sucede con el ingreso a largo plazo?

Para graficar la función I, se puede emplear el método de tabulación. Para ello, se ubican en una tabla los resultados obtenidos en las preguntas anteriores:

t 0 3 6

I(t) 4 12,4 16,4

A largo plazo, el ingreso de la empresa será como máximo de $ 20 000, aproximadamente. Es importante trazar la asíntota de la función porque se puede observar la tendencia de la curva en el tiempo (ver figura 5.17).

Problema 7

16

20

24

y = 20

I12

8

4

–4–3 0 3 6 9 12 15 18

I (miles $)

t (años)

La producción diaria de un trabajador nuevo en cierta tarea en la línea de montaje, se modela con la función 0,3( ) 25 tN t B e −= − ⋅ , donde N representa el número de artículos producidos por día después de t días de entrenamiento. Además, se sabe que un trabajador sin experiencia produce 2 artículos diarios.

a. ¿Cuál es el valor de B?Según los datos del texto, un trabajador sin experiencia ( .....)t = produce ......N = artículos diarios. Luego:

b. ¿Cuántos artículos diarios producirá después de 5 días de entrenamiento?Luego de cinco días de entrenamiento ( .....)t = , producirá:

Figura 5.17



421

c. Si en cierto día el trabajador ha producido 12 artículos en un día, estime cuántos días de entrenamiento ha tenido.El trabajador ha producido ......N = artículos en un día luego de t días de entrenamiento. Para hallar el valor de t, se reemplazan los datos en la función ( )N t y se resuelve la ecuación resultante:

d. Grafique la función N y estime el número máximo de unidades diarias que producirá un trabajador con mucho tiempo de experiencia.Se ubican en la tabla los resultados obtenidos en las preguntas anteriores:

t

N(t)

Problema 8

Se estima que al invertir x miles de dólares en publicidad se venderán, aproximadamente, 0,1( ) 50 xQ x A e−= − ⋅ miles de unidades de cierto artículo. Sin embargo, si no se invierte dinero en

publicidad, igual se venderían 10 000 unidades.

a. ¿Cuál es el valor de A?b. ¿Cuántas unidades se venderían si se invirtieran $ 6 000 en publicidad?c. ¿Cuánto debe invertirse en publicidad para generar ventas de 35 000 unidades?d. Trace la gráfica de Q e indique cuántas unidades se espera vender como máximo si se invierte

mucho dinero en publicidad.

N(t)

t



Problema 9

Se estima que la cantidad de personas que ha visto la película The social network se modela con la función P(t) = 80 ―Bek.t, donde P es el número de personas, en millones, que ha visto la película y t el tiempo, en días, que la película está en cartelera después de su estreno. Los programas de espectáculos indican que 20 millones de personas en todo el mundo fueron al estreno.

a. ¿Cuál es el valor de B?

b. Si luego de 15 días que la película está en cartelera han asistido en total 50 millones de personas, ¿cuántas personas asistieron a ver la película después de 1 mes? (Asuma un mes de 30 días)



423

c. Esboce la gráfica de P y estime cuál será el ingreso máximo obtenido por la película si la entrada general se fijó en $ 5 por persona.



Función logística

Se usa un modelo logístico cuando se presentan factores que evitan que la población exceda un valor límite M (limitación de alimentos, espacio de vivienda, etcétera).

Las funciones definidas por:

( )1 c t

MN tb e− ⋅=

+ ⋅, donde M, b y c son constantes positivas

son llamadas curvas logísticas.

La figura 5.18 muestra la gráfica de una curva logística.

Figura 5.18

Observación. La curva logística primero sube abruptamente como una curva exponencial, luego, gira y se aplana.

Problema 10

Se ha estimado que dentro de t años, la población de cierto país será 0,06

10( )1 1,5 tN t

e −=+

millones.

a. ¿Cuál es la población actual?La cantidad inicial de habitantes se obtiene evaluando la función N en t = 0. Por lo tanto, la población actual es de 4 millones de personas.

b. ¿Cuál será la población dentro de 50 años?Dentro de 50 años (se evalúa la función N en t = 50) habrá, aproximadamente, 9,3 millones de personas.

c. ¿Qué le pasará a la población a largo plazo? A largo plazo, la población llegará como máximo a 10 millones de personas.

t

M

1nb c

N (0)

M2

c·tb·eMtN

−+=

1)(

Asíntota horizontal N(t) = M



425

Problema 11

El número de personas que se entera de un accidente automovilístico en un distrito limeño

de 6 000 habitantes se modela con la función logística ( )1 c t

MN tb e − ⋅=

+ ⋅, donde t, en horas, es

el tiempo que pasa desde el fatídico suceso. Según las noticias, 200 personas presenciaron el accidente y, luego de una hora, un tercio del distrito estaba enterado del suceso.

a. ¿Cuál es el valor de M?Como N modela el número de personas del distrito, entonces M = ………………

b. ¿Cuál es el valor de b?Como 200 personas presenciaron el accidente, entonces t = …… Luego, se reemplazan los datos en la función y se despeja b:

c. ¿Cuál es el valor de c?Según los datos del problema,………….. personas se enteraron del accidente luego de una hora. Para hallar el valor de c, se deben reemplazar los datos en la función y despejar:



Ejercicios 5.4

1. Se espera que la población de focas crezca exponencialmente de acuerdo con la fórmula N(t) = 3 000e0,035t, en la que t representa los años que trascurren a partir de 1990.

a. ¿Cuál será la población de focas en el año 2000?b. ¿Luego de cuánto tiempo se duplicará la población de focas que hubo el año 1990?

2. Una niña cae en un lago en el que la temperatura del agua es –5 °C. La disminución de su temperatura corporal se modela con la función T(t) = 36e―0,04t, donde t se expresa en minutos. ¿Luego de cuánto tiempo fue rescatada si tenía una temperatura de 25 °C? Grafique la función T.

3. Se invierte un capital de $ 15 000 a una tasa de interés de 4 % compuesto continuamente. ¿Luego de cuánto tiempo se obtendrá un interés de $ 2 500?

4. La función ( ) 250 250 k tA t e ⋅= − calcula la cantidad A de palabras que aprende un adolescente en un tiempo t. Se sabe por experiencia que un adolescente aprende 30 palabras en 4 minutos.

a. Determine el valor de k.b. ¿Cuántas palabras aprenderá el adolescente, aproximadamente, en 10 minutos?c. ¿En cuánto tiempo aprenderá 100 palabras?

5. La librería «La Mar» ha modelado la venta de libros mediante la siguiente función: 0,1( ) 25(1 )tM t e −= − , donde M es el número de libros vendidos (en miles de unidades) y t, el tiempo (en meses) transcurrido desde su apertura.

a. ¿Cuántos libros ha vendido la librería después de un año de atención al público?b. ¿Cuántos meses deberán pasar para que pueda vender 20 000 libros?c. Trace la gráfica de M. ¿Qué sucede a largo plazo?

6. El peso P (en kilogramos) de un hipopótamo se modela mediante la siguiente función: 0,08 2( ) 3000(1 )tP t Ae −= − , donde t ( en años) es la edad del hipopótamo.

a. Si se sabe que un hipopótamo pesa 187,5 kilos cuando nace, ¿cuál es el valor de A?

b. ¿Cuánto pesará un hipopótamo luego de 4 años?

c. Si un hipopótamo pesa 1 500 kg, ¿cuántos años se espera que tenga?

d. ¿Qué sucede con el peso del hipopótamo a largo plazo?

7. El crecimiento de una población de pulgas se modela con la función 0,25

1000( )1 249 t

B te −=

+, donde t se

expresa en días.

a. ¿Cuántas pulgas habían inicialmente?b. ¿De cuántas pulgas estará conformada la población luego de 20 días? c. ¿Cuánto tiempo pasará para que la población esté conformada por 600 pulgas? d. ¿Cuál será la población de pulgas a largo plazo?


Respuestas

Ejercicios 1.1

1. a. Sí. Simple. p b. No c. Sí. Simple. p d. Sí. Compuesta. p ∧ q e. Sí. Simple. p f. Sí. Compuesta. ∼(p ∧ q) g. Sí. Compuesta. p ∧ q h. Sí. Compuesta. q → p i. Compuesta. p → q j. Sí. Compuesta. p → q k. Sí. Compuesta. p → q l. Sí. Compuesta. ∼( p → q) m. Sí. Compuesta. p ∆ q 2. a. V b. V c. V

3. V

4. a. p es F, q es F y r es V b. p es V, q es F, r es V y s es F

5. Sí

6. a. (p → q) ∧ ( r → s) b. V c. r es F y q es V o F

Ejercicios 1.2

1. a. Existen algunas clases de Lógica que no son interesantes. b. Todos los textos del sílabo no son de consulta. c. Algunos estudiantes no traen sus apuntes de clase. d. Todas las calculadoras no son solares. e. Juan no es puntual ni pierde su trabajo. f. Nelly no es servicial o Gloria no es amable. g. No es cierto que Juan o David son egoístas. h. José no va a la reunión y le suben el sueldo.

2. a. Si Noé no se opone al pensamiento de Pedro, entonces no promueve el negocio. b. Hoy no devuelvo los libros o no me condonan la deuda. c. No es cierto que las políticas de Estado son malas o el costo social no es alto.

3. a. Raúl no triunfa y no se retira del torneo. b. Ana no aprueba el curso o Luis pierde su empleo. c. Alex no asiste a clase y será del equipo de trabajo.

4. No se puede concluir.

5. La transacción de José se vio afectada por el ITF.

6. Juan arriesga en su inversión.



7. Si sube el precio de la gasolina, entonces el gobierno no puede controlar la inflación.

8. La información no es relevante.

9. Las primas de los seguros vehiculares no disminuyen.

10. La demanda no crece.

11. Sube el precio del pan.

12. Si el alumno es memorista y predomina la exposición del docente, entonces no será libre de expresar su opinión.

Ejercicios 1.3

1. a. 200 alumnos b. 2012 c. 2 600 alumnos

2. a. 6 saludos de mano y 9 besos en la mejilla. b. 190 saludos de mano y 405 besos en la mejilla.

3. 6 de la mañana

4. a. 45 días b. S/. 990

5. S/. 24

6. 81 años

7. a. 16 200 bacterias b. 106 288 200 bacterias

Ejercicios 1.4

1. { }CS = −6

2. CS R=

3. CS R=

4. { }CS = 1

5. CS =

14

6. { }CS = − 1


Respuestas

429

7. { }CS = 0

8. { }CS = 5

9. CS =

234

10. CS =

415

11. { }CS = 17

12. { }CS = −2

13. CS =

53973

14. CS =

717

15. CS =

12

16. CS = −

52

17. CS R=

18. { }CS = −a b

19. { }CS = − 2a c

20. CS − −= − −

2 2 2

2

2 22 2ba ab b

a ab b

21. { }CS = − 3a

22. CS = 3

a

Ejercicios 1.5

1. { }=CS 0;3

2. { }= −CS 2;5

3. = −

1CS ; 23

4. = −

7 4CS ;2 3



5. { }= −CS 1; 9

6. CS = φ

7. CS = φ

8. { }= −CS 3; 11

9. = −

3 5CS ;5 2

10. CS = φ

11. CS = φ

12. { }= −CS 1; 2

13. CS = φ

14. ± =

19 409CS8

15. =

3CS ;52

16. =

3CS ;12

17. CS = φ

18. { }= −CS 7;3

19. CS = φ

20. ± =

9 249CS12

21. { }=CS 0;b

22. = −

CS ;2a b

23. { }= − −CS 2; 2; 1

24. = − −

3 3CS ; ; 12 2

25. { }= − −CS 1; 3; 3

26. { }=CS 1


Respuestas

431

27. { }= −CS 2; 2

Ejercicios 1.6

1. { }=CS 3

2. { }=CS 6

3. CS = φ

4. CS = φ

5. CS = φ

6. CS = φ

7. − − − + =

3 2 31 3 2 31CS ;5 5

8. =

3 1CS ;2 4

9. − + =

4 7 4 7CS ;3 3

10. { }= − +CS 1 5;1 5

11. { }=CS 50

12. { }= +CS 17 2 13

13. { }CS 1;9=

14. = −

57CS5

15. { }=CS 6

16. CS = φ

17. { }=CS 0;4

18. CS = φ

19. { }= −CS 2



20. { }= −CS 19 4 23

21. { }=CS 9

22. { }= −CS 3; 3

23. { }=CS 1,43;0,23;0,482;1,197

24. = − −

2 2 3 3CS ; ; ;3 3 2 2

25. =

32CS. ;32243

26. { }= ± −CS 2 2 2;4; 1

Ejercicios 1.7

1. a. 10 30 000U q= − b. 700 carteras c. 600 carteras d. 299 carteras

2. a. $ 80 b. 30 12 000U q= − c. 401 lentes de contacto d. 144 lentes de contacto

3. a. $ 70 b. 100 balones c. 184 balones

4. a. S/. 40 b. 50 20 000U q= − y 400 billeteras c. 625 billeteras

5. a. $ 4 b. 3 000 focos ahorradores c. Entre 700 y 800 focos ahorradores

6. S/. 9,5

7. S/. 16,25

8. $ 520

Ejercicios 1.8

1. a. =4log 16 2 b. =9log 729 3 c. 1251log 53

=

d. =7log 1 0 e. 811 1log9 2

= − f. =4log 2a g. =2log 16 b h. =logb y x

2. a. 46 1 296= b. =35 125 c. =324 8 d. − =210 0,01 e. =1b b

3. a. a = 9 b. a = 3 c. a = 0,5 d. a = 1/27


Respuestas

433

4. a. 1,4 b. 1,79 c. 3 d. –0,6 e. No existe f. 2,8 g. 4,32 h. 4,19

5. a. x = 2 b. x = 7 c. x = (log200 – 3) /2 d. CS ={2 ; –1} e. CS ={–4 ; 3} f. CS = R

Ejercicios 1.9

1. a. Banco B, gana más intereses

2. a. $ 11 716 700 b. 2 años aprox.

3. $ 3 741,28

4. 2,26 años aprox.



7. Banco A Ejercicios 1.10

1. ( ){ }=CS 5;3

2. ( ){ }= −CS 6;16

3. ( ){ }=CS 3;2

4. Si ≠ 2a , ( ){ }=CS 0;5 ; Si = 2a , ( ){ }CS ;5 /x x x R= − ∈

5. ( ){ }= + −CS ;a b a b

6. ( ){ }=CS 4;3

7. ( ){ }=CS 7;3

8. ( ){ }=CS 5;8

9. ( ){ }=CS 1; 0,2

10. ( ){ }= −CS 2; 4

11. ( ){ }=CS 0;0



12. CS = φ

13. ( ){ }=CS 7;6

14. Si − ≠ 0a b con ≠ 0a , + − = CS ;a b a b

a b; si − = 0a b con ≠ 0a , ≠ 0b , ( ){ }= − ∈CS ;2 / Rx x x

15. Si − ≠2 2 0a b , ( ){ }=CS ;0a ; si =a b , ( ){ }= − ∈CS ; / Rx x a x ; si = −a b , ( ){ }CS ; / Rx x a x= − + ∈ , siempre que ≠ 0a y ≠ 0b

16. ( ){ }=CS 2;3

17. = − − 7 13CS ;5 5

n m n m

18. ( ){ }=CS 4;3

19. ( ) ( ){ }= − −CS 20; 28 ; 20;28

20. Si − ≠2 2 0a b y ≠ 0b , ( ){ }=CS ;a b ; si = 0a y ≠ 0b , ( ){ }=CS 0;b ; si = ≠ 0a b , ( ){ }CS ; 2 / Rx x a x= − + ∈ ;

si = − ≠ 0a b , ( ){ }CS ; 2 / Rx x a x= − ∈

21. ( ){ }=CS 1;3

22. ( ){ }=CS 4;3

23. ( ) ( ){ }CS 1;2 , 1;2= −

Ejercicios 1.11

1. [ – 8/5; +∞ [ –8/5

2. ] –∞; –11/4 [ –11/4

3. [– 3; +∞ [ –3 +

4. [ 108; +∞ [ 108 +

5. ] –2;1/3] –2 1/3

6. ] –24; +∞ [ –24 +


Respuestas

435

7. [–13/30 ; +∞ [ –13/30 +

8. ] –4/3 ; +∞ [ –4/3 +

9. ] –∞ ; 13/24 ] 13/24

10. [–3 ; 4] –3 4

11. ] –∞ ; 5/43 ] 5/43–

12. [ 1; 15/7 ] 1 15/7

13. ] –20; 8[ –20 8

14. ] 19/11 ; +∞ [ 19/11 +

15. ]– ∞ ; –8/5 ] –8/5–

16. ]–∞ ; –2/15 [ –2/15–

17. [–2/3 ; +∞ [ –2/3 +

18. ] –∞ ; 4/3 [ 4/3–

19. ]–∞ ; 2 [ 2–

20. ] –∞ ; 1/(a+b) [ 1/(a+b)–



21. 1 401 casacas

22. 751 relojes

23. Más de 160 refrigeradoras pero menos de 174.

24. Más de 1 000 kilómetros.

Ejercicios 1.12

1. [ ]=CS 0;3

2. ] ] [ [= −∞ ∪ + ∞CS ;3 5;

3. [ [ −= − ∞ ∪ + ∞

5CS ; 1;2

4. CS R=

5. ] [ ] [= − ∞ − ∪ + ∞CS ; 9 4;

6. CS R=

7. = − + + CS 2 3 2;2 3 2

8. [ [ −= ∪ + ∞

7CS ;0 2;3

9. ] [= −CS 4;7

10. ] ] = − ∞ − ∪ + ∞ 3CS ; 4 ;2

11. CS R=

12. = − + + CS 6 1 ; 6 1 13. [ ] [ [= − − ∪ + ∞CS 3; 2 1;

14. −=

1CS2

15. CS = φ


Respuestas

437

16. ] [= − −CS 4 ; 1

17. ] ]=CS 2;5

18. = − ∞ 1CS ;3

19. ] [ ] [= − ∞ ∪ + ∞CS ; 0 15;

20. ] [ −= − ∪ − + ∞

13CS ; 3 1;3

21. [ ] [ [= − ∪ + ∞CS 3 ; 3 5;

22. { } [ [= ∪ + ∞CS 2 6;

23. −= + ∞

1CS ;2

Ejercicios 2.1

1. a. A+B = 8 41 10

A–B = 4 65 4

− −

3A = 6 39 21

−

b. A+B = 1 28 11

−

A+B= 3 2

2 3 − −

3A =

3 015 12

−

c. A+B = 5 1 118 2 6

− −

A–B = 1 3 10 2 0

− −

3A = 9 6 15

12 0 9 −

d. A+B = 0 0 00 4 40 0 0

A–B = 2 4 68 4 4

12 16 18

− − − −

3A = 3 6 9

12 0 018 24 27

− −

2. a. AB = 14 74 36

BA = 27 29

5 23

b. No se pueden efectuar los productos AB ni BA

c. AB = 11 14 16

4 8 1216 52 67

− − − − − − −

BA = 11 22 24

4 40 4816 84 99

− − − − − −

d. AB = 1 11 3 14 2 16 181 13 13 9

− − − − −

No se puede

efectuar el producto BA

3. X = 4 7 95 5 8

− − −

4. X = 0 2/3

13/3 5−



5. A – 2B =

2 3 98 5 6

16 4 1

− − −

; AB =

16 2 1227 4 941 10 7

− − − − −

y A2 =

32 15 1518 23 646 42 19

6. A = 2 04 19 9

− −

7. AB = [ ]3− ; BA =

2 4 6 81 2 3 41 2 3 41 2 3 4

− − − − − − − −

8. a. Sí b. Sí c. Sí d. Sí e. Sí f. No g. Sí h. Sí

9. A = 1 3 00 2 00 0 2

Ejercicios 2.2

1. a. [ ]F B V

30 20 10=Q , se requieren 190 unidades de cuero y 140 de plástico b. $ 2 360

2. a.

C A

R 5 2MC 3 1MS 4 1

=

H

$

C 15A 10

=

C b.

$

R 95MC 55MS 70

=

HC

3. a.

D S

A 2 1B 3 1C 1 2

=

M

H1 H2 H3

D 80 100 50S 50 60 30

=

P b.

H1 H2 H3

A 210 260 130B 290 360 180C 180 220 110

=

MP

4. a.

G J

M 3 2A 2 4

=

Q b.

S/.

G 7J 6

=

C

S/.

M 33A 38

=

QP c. Actualmente tienen

S/.

M 23,60A 69,60

=

QP

5. a.

P R

L 500 800S 400 400

=

Q

F R

P 1,5 30R 2 35

=

M b.

F R

L 2350 43 000I 1400 26 000

=

QM c.

$

L 19 175I 11 500

=

CT

6.

/.

1 280 5002 412 5003 340 500

S

=

I


Respuestas

439

Ejercicios 2.3

1. a. –8 b. 0 c. –50 d. 0

2. 1; 6= − =M N 3. Para [ [ { }1; 2x ∈ + ∞ − 4. x = 14

5. Los valores son 1 193 1 1934 4

a a− + − −= ∨ =

6. El determinante es 1.

7. El determinante es 0.

8. a. { }CS ( 4; 1)= − b.

{ }CS (2; 3)= − c. { }CS (3; 2; 1)= d. { }CS (2; 2; 1)= −

e. { }CS (2; 3; 1)= −

f. 90 44 89CS ( ; ; )13 13 13

= −

Ejercicios 2.4

1. a. CS = ( ){ }1;2 b. CS = 12 4 6; ; , R7 7

t t t t − + − ∈

c. El sistema no tiene solución. d. CS = 1 37 17; ;

8 16 16

e. CS = ( ){ }3; 2; , Rt t t t+ − + ∈ f. CS = {(0; –7; 1)} g. CS = { } h. CS = {(1 ; 0; –3)}

i. CS = { } j. CS ={(–3; 2; 0)} k. CS = 7 10 11; ; , R5 5

t t t − ∈

2. a. Solución única b. Solución única c. Infinitas soluciones

3. Falso. Debe ser: ( ){ }3; 2; 4− −

4. a = – 4; b = 8; c = 0.



Ejercicios 2.5

1. a. No b. La empresa posee 300 acciones de Atajov, 100 de Edelsur y 200 de Ferroperú.

2. La empresa debe adquirir 4,2; 0,8 y 1,4 galones de pesticidas, X, Y y Z respectivamente.

3. La compañía debe fabricar 36 lapiceros, 48 polos y 60 llaveros económicos.

4. Desde A hasta M se utilizaron 60 m3; desde B a N 45 m3; desde C a M, 5 m3 y desde C a N, 25 m3.

5. a. Para a = 3 b. No c. El producto A vale 100 soles, el producto B vale 150 soles y el producto C vale 500 soles.

6. Se envasaron y vendieron 25 cajas de alfajores pequeños, 20 cajas de alfajores medianos y 15 cajas de alfajores grandes.

7. 3/8 kilogramos de Colombia, 1/8 kilogramos de Brasil y 1/2 kilogramos de Perú.

Ejercicios 3.1

1.

–3 –2

1

2

3

4

5

–1

–1 0 1 2 3 4

E

F

C

D

B

A

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A 4;1 ;B 3;3 ;C 3; 2 ;D 2; 3 ; E 1;2 ;F 2;1 ; G 0; 2− − − − − −

3. a. Sí b. Sí c. Sí d. No e. No f. Sí

4. a. ( )A ; ICb a b− ∈ b. ( )B ; IIICa ab ∈ c. ( )C 1; IIICa a b− − ∈

5. a. ( ) ( ) ( ) ( )0;2 , 1;3 , 1;3 , 2;6− b. ( ) ( ) ( ) ( )1;3 , 0;2 , 2;0 , 3; 1− − c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2;0 , 1;1 , 0;2 , 2;0 , 2; 2− − −


Respuestas

441

d. ( ) ( ) ( ) ( )3;1 , 2;0 , 0;2 , 1;3− − e. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2;0 , 0; 2 , 0; 2 , 2;2 , 2; 2− − −

6. Se tiene: I con c, II con d y III con e.

7. (Las divisiones en el plano son de una unidad)

a. Y

X

b. Y

X

c. Y

X

d. Y

X



e. Y

X

f. Y

X

g. Y

X

h. Y

X

Ejercicios 3.2

1. a. 32

m −= y 72

b = b. 3m = y 5b = c. 45

m −= y 4b = − d. 4m = − y 2b =

2. a. Se cruzan b. Se cruzan c. Son paralelas d. Son perpendiculares

3. El punto es ( )3;1 .

4. : 2 7L y x= − +

5. 1 8:6 3

L y x= − −

6. 1n = − y 6m = −

7. 3 9:4 2

L y x= − +

8. 43

m = −

9. a. Son paralelas b. Son perpendiculares c. Ni paralelas ni perpendiculares d. Son perpendiculares


Respuestas

443

10. a. 6 7:5 5

L y x= − + b. 2 7:3 3

L y x= − c. : 2 5L y x= − d. : 1L y = −

11. 3 7:2 2

L y x= −

12. 3 11:2 2

L y x= + , en 112

b =

13. 1 9:2 2

L y x= − +

14. : 2 8L y x= − + o : 2 4L y x= −

15. a. 6=k b. 32

k = − c. 92

k =

Ejercicios 3.3

1. a. VMP: 25x = unidades b. $ 11p = c. Hay una pérdida de $ 90 d. ( ) 6 150U x x= −

2. a. $ 15p = b. ( ) 5 800C x x= + c. 100x = unidades

3. a. p=$ 22 b. ( ) 15 840C x x= + ; ( ) 22I x x= ; ( ) 7 840U x x= − c. VMP: 120x = unidades

d.

2 640

840

–840120

C

U

IY

X

4. a. $ 200UC = b. ( ) 200 18 000C x x= + ; ( ) 270I x x= ; ( ) 70 18 000U x x= −

c.

69 427,8

18 000

–18 000

257,14

C

U

IY

X



5. a. ( ) 90 390V t t= − + b. ( ) ( )4 90 4 390 30V = − + = . El valor es de $ 30V =

Ejercicios 3.4

1. (1ra gráfica)

a. 4x + y ≤ 8 b. y ≤ –2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CS

–1

–2

–2 –1 0–4 –3 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y

X

–1

–2

1

2

3

–5

–4

–3

–6

Y

–2 –1 0–4 –3 1 2 3 4 5 6

X

CS

c. 2x + 5y ≤ 20 d. 4x – y ≥ 8

3

4

2

1

5

6

–3

–2

–1

–4

Y

3210–1 4 5 6 7 8 9 10

X

CS

–1

–7

–8

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1Y

0–3 –2 1 2 3 4 5 6 7

X

CS


Respuestas

445

e. x ≤ 3 f. 2x – 5y ≥ –20

–1

–3

–2

–1

1

2

3

4Y

0–2 1 2 3 4 5 6 7X

CS

Y

–1

–2

1

2

3

4

5

6

–5

–4

–3

–6

–2 –1 0–4 –3–5–7 –6–8–10 –9–11 1 2 3

X

CS

g. 3x + y < 0

1

2

3

4

5

6

–1

–2

–3

–2 –1 0–4–5 –3 1 2 3 4

Y

X

CS

2.

a. 4 82 3 14

x yx y

+ ≤ + ≤

b. 11

x yy x

− < − <

1

2

3

4

5

6

7

8

9

–2 –1 0–3 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y

X

CS

1

2

3

4

5

–2

–1

–3

–4

0–2–3 –1 1 2 3 4 5 6

Y

X

CS



c. 4 8

20

x yx yx

+ ≤ − ≤ − ≥

d. 4

25

x yxy

− > < > −

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

-2 -1 0-4 -3 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

CS

-1

-2

1

2

3

-5

-4

-3

-6

Y

-2 -1 0-3 1 2 3 4 5 6

X

CS

e. 2 5 204 22

0; 0

x yx y

x y

+ ≤ + ≤ ≥ ≥

f. 2 5 20

2 10

x yx yy

+ ≤ − ≥ ≥

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12

Y

XCS

3

4

2

1

5

6

7

–2

–1

–3

Y

3210–1 4 5 6 7 8 9 10

XCS


Respuestas

447

g. 2 6

5 2

x yx yy x

+ ≥ ≤ ≤ +

h. 2 3 123 6

x yx y

y x

− > + > − >

1

2

3

4

5

6 CS7

8

–1

–2

–2 –1 0–3 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

–1

–2

1

2

3

–5

–4

–3

–6

Y

–2 –1 0–3 1 2 3 4 65 7X

3. a. 20

2

yxy x

≤ ≥ − ≥ −

b. 1

22 3

yxy x

≤ − ≤ + > −

Ejercicios 3.5

1. El valor máximo es 112,5 y ocurre en (45/ 2; 0) .

2. El valor máximo es 416,67 y ocurre en (0; 250 /3) .

3. El valor máximo es –10 y ocurre en (2; 3).

4. El valor mínimo es 3 y ocurre en (3; 0).


6. El valor mínimo es 26/3 y ocurre en (7 /3; 1 /3) .


8. El valor mínimo es 40 y ocurre cuando hay 1 alfombra y 6 sillas o 4 alfombras y 4 sillas.

9. 40 bolsas de Chocomaní y 20 bolsas de Chocoalme.

10. Se deben producir 15 textos de MB y 70 textos de Lógica.



Ejercicios 4.1

1. a. Sí corresponde a una función, cuya regla de correspondencia es 2y x= b. Sí corresponde a una función.

2. a. ( 3) 7f − = b. (3 ) 1 6f a a= − c. ( 3) 5 2f a a+ = − − d. (3 ) (3) 2f h f h+ − = −

3. a. ( 2) 10g − = b. 2(2 ) 4 6g a a a= − c. 2( 2) 2g a a a+ = + − d. 2(2 ) (2)g h g h h+ − = +

4. a. ( 1) 5f − = b. 3(2)2

f = c. 3 (1) 2 (0) 7f f− = − d. 3( ( 1) 3)2

f f − − =

5. a. ( 2) 7g − = − b. ( 1) (5) 2g g− + = c. (2) 3 (1) 1g g− = d. (1 (2)) 1g g− =

6. a. –2 b. 3 6h x− − c. 3 2h x− −

7. a. ( ) RDom f = b. ( ) RDom g = c. ( ) R {0}Dom v = − d. 5( ) R { }3

Dom f = − e. ( ) R {0;1}Dom f = − f. ( ) RDom G = g. ( ) R { 2;1}Dom H = − − h. ( ) R { 2;3}Dom f = − − i. ( ) ] ;0[Dom A = − ∞ j. ( ) [2; [Dom W = +∞ k. 3( ) ] ; ]

2Dom f = − ∞ l. ( ) RDom h = m. ( ) [ 2;2]Dom f = − n. ( ) RDom f = o. ( ) ] ; 1] [3; [Dom I = − ∞ − ∪ +∞

p. ( ) ] ; 2[ [3; [Dom F = − ∞ − ∪ +∞ q. ( )Dom f =φ

8. a. No son iguales b. No son iguales c. Sí son iguales.

Ejercicios 4.2

1. a. b.

–1

–2

1

2

3

4

–5

–4

–3

–6

Y

–2 –1 0–4 –3 1 2 3 4 5 6 7X

1

2

3

4

–2

–1–2 –1 0 1 2 3 54

Y

X


Respuestas

449

c. d.

1

2

3

4

–2

–1–2 –1 0 1 2 3 54

Y

X

–3 –2

1

2

3

4

–1–1 0 1 2 3 4

Y

X

e. f.

–3 –2

1

2

3

4

–1–1 0 1 2 3 4

Y

X

1

2

3

–3

–2

–1–2 –1 0 1 2 3 4

Y

X

2. a. Dom(f) = [–4; 5[ – {–2}, ran(f) = [–2; –1[ ∪]1; 3]∪ {0} b. (0; –1) en el eje Y y el intervalo [–1; 0[ del eje X c. ]–2; –1[, [1; 5[ d. [–4; –2[ e. [0; 1[, [ [1;0− f. 0+–1=–1 g. [–1; 0[ h. [0; 5[

3. a. Dom(f) = ]–∞; –1[ ∪ [0; +∞[, ran(f) = ]–∞; –1[ ∪ [0; +∞[ b. Con el eje X (1; 0), y con el eje Y (0; 1) c. ]–∞; –1[ y [1; +∞[ d. [0; 1] e. Valor máximo: no tiene. Valor mínimo: no tiene f. –2+1= –1

1

2

3

–3

–2

–1–3 –2 –1 0 1 2 43

Y

X



4. a. Dom(f) = R, ran(f) = ]–∞; 0] ∪]2; +∞[ ∪ {1} b. con ambos en (0; 0) c. ]–∞; 0] y ]2; +∞[ d. [0; 1[ e. Valor máximo: no tiene. Valor mínimo: no tiene f. 0+1+3=4

1

2

3

–3

–2

–1–2 –1 0 1 2 3 4

Y

X

5. a. Dom(f) = [–5; 6], ran(f) = [–2; 4] b. [–5; –3] y [1; 4] c. [4; 6] d. [–3; 1] e. ]–5; –1[ y ]3; 6] f. 1 g. (1; –2) h. { }4; 2a ∈ − − i. –5, –1 y 3

Ejercicios 4.3

1. a. El número de turistas por año en el pueblo A b. 2011 c. Menor: 2008-2009. Mayor: 2007-2008 d. 35 000 turistas

2. a. 2010 b. $ 2 200 000 c. $ 1 200 000 d. Menor: 2006-2007 y 2008-2009. Mayor: 2010-2011

3. a. No b. No c. 2 400 alumnos d. No

Ejercicios 4.4

1. (1ra gráfica)

a.

–3 –2

1

2

3

4

–1–1 0 1 2 3

Y

X

b.

1

2

3

4

5

–10 1 2 3 54

Y

X


Respuestas

451

c.

1

2

3

–3

–2

–1–1 0 1 2 3 4 5

Y

X

d.

1

2

3

4

5

–10 1 2 3 54

Y

X

e.

1

–5

–4

–3

–2

–1–1 0 1 2 3 4 5

Y

X

f.

1

2

–1

3

4

5

6

7

8

9

–1 0 1 2 3 4 5 6

Y

X

g.

1

2

3

–3

–2

–1–1 0 1 2 3 4 5

Y

X

h.

1

2

3

4

–2

–1–1 0 1 2 3 54

Y

X



i.

1

2

–3

–2

–1

–4

–3 –2–4 –1 0 1

Y

X

1. (2da gráfica)

a.

1

2

3

–3

–2

–1–3 –2 –1 0 1 2 3

Y

X

b.

1

2

3

–3

–2

–1–1 0 1 2 3 4 5

Y

X

c. 1

–5

–4

–3

–2

–1–1 0 1 2 3 4 5

Y

X

d.

1

2

3

4

–2

–1

–1 0 1 2 3 54

Y

X


Respuestas

453

e.

1

2

3

–3

–2

–1–1 0 1 2 3 4 5

Y

X

f.

1

2

3

4

5

–2

–1

–3

–4

0–1 1 2 3 4 5

–5

Y

X

g.

1

2

3

4

–1–1 0 1 2 3 54

Y

X

h.

1

2

3

4

–1–1 0 1 2 3 54

Y

X

i. Y

–1

–2

–5

–4

–3

–2 –1 0–4 –3–5 1 2X



2. 2

2 ( 2) 2, 01( ) 2 1, ( ) ( 2) 1 y ( )2 2, 0

x xf x x g x x h x

x x− + + ≤

= − − = − − + = − >

3. a. f (x) = x – 2 b. f (x) = x2 – 3

1

2

3

4

–2

–1

–3

0–2 –1 1 2 3 4 5 6

Y

X

1

2

3

4

–1

–2

–3

–2 –1 0–4 –3 1 2 3

Y

X

c. f (x) = 0,5x3 d. f (x) = 2x +

1

2

3

4

–3

–4

–2

–1–3–4 –2 –1 0 1 2 3 4

Y

X

–2

1

2

3

4

5

–1–1 0 1 2 3 4

Y

X


Respuestas

455

e. f (x) = 3x − f. ( ) 1 2f x x= + −

–2

–1

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

1

2

3

4

5

–2

–3

–1–3–4 –2 –1 0 1 2 3 4

Y

X

g. f (x) = 1 + (x – 1)2 h. f (x) = 1

2x −

1

2

3

4

5

6

–2 –1–1

0–3 1 2 3 4

Y

X

1

2

3

–3

–2

–1–2 –1 0 1 2 3 4

Y

X

i. f (x) = 1 + (x – 2)3 j. f (x) = – x2 + 3

–2

1

2

3

4

5

–1

–2

–1 0 1 2 3 4

Y

X

1

2

3

4

–1

–2

–3

–2 –1 0–4 –3 1 2 3

Y

X



k. f (x) = 1x− +

1

2

3

–2

–1–1 0 1 2 3

Y

X

Ejercicios 4.5

1.

200

400

600

800

1 000

P

q

–200

0–20 20 40 60 80 100 120

Y

X

a. Exceso de demanda de 40 unidades b. p = 1000 – 10q 2. a. p = 40 + 10q b. Gráfica. c. Exceso de oferta de 60 unidades. d. I = 320 nuevos soles.e. disminuye en 50%.

20

40

60

80

100

120

140

160

180p (S/.)

0 2 4 6 8 10 12

Y

X

q (decenas)


Respuestas

457

3. a. Gráfica

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50 60

Y

X

b. p = 10 – 0,2q c. Exceso de oferta de 10 unidades

Ejercicios 4.6

1. a. Sí b. No c. Sí d. No e. Sí f. No

2. a. 2( ) ( 3)p x x= − + . V = (–3;0). Valor máximo f = 0. Intercepto con eje Y: (0;9)Intercepto con eje X: (–3;0). Dom: R Rango: ] –∞; 0]

–1

–2

–5

–4

–3

–6

–2 –1 0–4 –3–5–7 –6



b. 2( ) 6 4f x x x= − + V = (3;–5). Valor mínimo f = –5. Intercepto con eje Y: (0; 4). Intercepto con eje X: (3 5; 0)− y (3 5; 0)− . Dom: R Ran: [–5; +∞[

1

2

3

4

5

–2

–1

–3

–4

0–1 1 2 3 4 5 6 7

–5

Y

X

c. 2( ) 2 4 1g x x x= − + + .V = (1;3). Valor máximo: g = 3. Intercepto con eje Y: (0;1).Intercepto con eje X: (1 6 / 2; 0)− ,(1 6 / 2; 0)+ . Dom: R Ran: ]–∞; 3]

1

2

3

4

–2

–1

–3

0–2 –1 1 2 3 4 5 6

Y

X

d. 2( ) 2( 1) 3h x x= + − . V = (–1;–3). Valor mínimo: h = – 3. Intercepto con eje Y: (0;–1)Intercepto con eje X: ( 1 6 / 2; 0)− − , ( 1 6 / 2; 0)− + . Dom: R Ran: [–3;+∞[

1

2

3

4

–3

–4

–2

–1–3 –2 –1 0 1 2

Y

X


Respuestas

459

e. 2( ) ( 3) 2h x x= − − − . V =(3;–2). Valor máximo. f = –2. Intercepto con eje Y: (0;–11). Intercepto con eje X: no tiene. Dom: R Ran: ]–∞; –2]

–7–6

–8

–11–10

–9

–2–1

–3

–5–4

–12

1 2 3–1 0 4 5 6

f. ( ) 2 ( 1) 3p x x x= + − . V = ( 1 / 2; 7 / 2)− − . Valor mínimo: p = –7/2. Intercepto con eje Y: (0; –3). Intercepto con eje X: (( 1 7)/ 2; 0)− − , (( 1 7)/ 2; 0)− + . Dom: R Ran: [ [7 / 2;− + ∞

1

2

3

4

–1

–2

–3

–2 –1 0–4 –3 1 2 3

3. Las funciones son las siguientes: a. 21( ) ( 1) 32

f x x= − + + b. 1( ) ( 1)( 4)2

f x x x= − − −

c. 21 3 3( )4 4 2

f x x x= − + d. 21( ) ( )4

f x x x= −

4. a. 21( ) ( 3) 225

f x x= − + + b. 2( ) 2( 1)f x x= − c. 21( ) ( 1) 24

f x x= − + + d. 23( ) ( 7 10)10

f x x x= − − +

e. 28( ) ( 3 4)25

f x x x= − − −



5. a.

–3 –2

1

2

3

–1–1 1 2 3

b.

–3 –2

1

2

3

–1–1 1 2 3

c.

–3 –2

1

2

3

–1–1 1 2 3

d.

–3 –2

1

2

3

–1–1 0 1 2 3

e.

1

2

3

4

–3–4 –2 –1 1 2 3 4

Ejercicios 4.7

a.

30

40

20

10

50

–30

–20

–103210–1–2 4 5 6 7 8 9

Y

X

b.

–1

–2

1

2

3

–5

–4

–3

–6

Y

–2 –1 0–3 1 2 3 4 5 6X


Respuestas

461

c.

1

2

3

4

5

6

7

8

–1

–2

–3

Y

–2 –1 0–4 –3 1 2 3 4 5 6 7

X

d.

1

2

3

4

5

–1–3 –2 –1 0 1 2 3 4

Y

X

e.

1

2

3

–3

–2

–1–3 –2 –1 0 1 2 3

Y

X

f.

–4–5

123

–8–7–6

–9–10–11–12–13–14

–1

–2–3

–2 –1 0–4 –3–5–7 –6–8–10–9–11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y

X

g. Y

–1

–2

1

2

3

4

5

–5

–4

–3

–6

–7

-8

-9

–2 –1 0–3 1 2 3 4 5

X

h.

–1

–2

1

2

–5

–4

–3

–6

Y

–2 –1 0 1 2

X



i.

1617

151413121110987654321

–1–2 –1 0–3 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

j.

10

20

30

40

50

–20

–30

–40

–10–3–4–5 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Y

X

k.

10

20

30

–20

–30

–40

–50

–10–3–4–5 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Y

X

2. a. 22( 1) ( 1)y x x= + − b. ( 1)( 3)y x x x= − + +

3. a. 21 ( 1)( 2)2

y x x x= − + b. 2 25( 1) ( 3)2

y x x= − − −

4. a. 1 ( 1)( 3)2

y x x x= − + b. 2( 2)y x x= +

5. a. 1 ( 3)( 1)( 2)8

y x x x x= − + − − b. 23 ( 1) ( 3)2

y x x x= − − −


Respuestas

463

Ejercicios 4.8

1. Ganancia: 2( ) 100 2 500 15 000G x x x= − + +

2. a. U(x) = –0,1(x–200)2 +3 000

b.

1 000

2 000

3 000

–1 0000 100 200 300 400

x (unidades)

U (soles)

3. El número de incrementos para obtener la mayor utilidad es 2

4. I máx. = $ 112,5 para p = 15 unidades

102030405060708090

100110

–10–20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Y

X

5. a. 2 6p q= + b. (4, 22)

6. a. p = 2q+4 b. Peq. = 8; qeq. = 2 c. Gráfica:

10

20

0 1 2 3 4

Y

X



7. a. 2 25p q= − + b. 3 25I q q= − + c. Se deben vender tres productos aproximadamente.

5

I

q

Ejercicios 4.9

1. a. 1,667fx

∆ =∆

, % 250 %f∆ = − b. 1fx

∆ =∆

, % 100 %f∆ = −

2. a. 2fx

∆ =∆

b. 2fx

∆ =∆

3. a. 1 2,2

U x= − 3 2,4

C x= + b. $ 6 250

4. a. 6(30 ),C x= − (30 )I x x= − , 2 36 180G I C x x= − = − + − b. Se obtiene ganancia en el intervalo ]6; 30[ c. La máxima ganancia es de $ 144.

–200

–100

100

0 10 20 30 40

Y

X

5. a. $ 32 b. $ 139 c. 8 0,30 ; 0 120

( )14 0,25 ; 120

x xC x

x x+ ≤ ≤

= + >

6. a. 3 3 000,C q= + el costo unitario es de $ 3 y el costo fijo es de $ 3 000 b. 2 3 000U q= −

7. Sea x un lado del terreno, luego ( ) (400 2 ), 0 200A x x x x= − < <

8. 12(80 ),C p= − (80 )I p p= − y 2 92 960U I C p p= − = − + −


Respuestas

465

9. a.

0,50 ; 0 301( ) ( 20) ; 30 120

504; 120

x

f x x x

x

≤ ≤= + < ≤

>

b. S/. 0,50 soles, S/. 1,60 y S/. 4,00

c.

3

4

2

1

5

9060300 120 150 180 210 240

YS/.

X

min.

10. a. Agencia A: A(x) = 80 + x, x > 0, Agencia B: B(x) = 60 + 1,20x, x > 0 b. 0 100 ,x km≤ < le resulta más económica la agencia B, pero para 0 100 km,x≤ < le resulta más económica la agencia A.

11. ( ) 800 10 , 0.P t t t= + ≥ El precio unitario a inicios del año fue de $ 800.

12. ( )T N kN= , Rk ∈

13. ( ) ( )T x kx N x= − , 0k ≥ ;

Ejercicios 4.10

1. 1, 1,25, 1,67d A d B dCη η η= − = − = −

2. a. 1,4 % 0,414 %d Iη = − ∆ = − b. 0,71 % 0,2829 %d Iη = − ∆ = c. 1 % 0,01 %d Iη = − ∆ = −

3. a. 0,5 80p q= − + b. 4,33dη = − c. En el intervalo de precios dado, si el precio aumenta en 1 %, la cantidad demandada disminuye en 4,33 % d. % 10,39 %I∆ = −

4. Antes del 2 000 1,8dη = − . Después del 2000 4,5dη = − .

Ejercicios 4.11

1. a. 4f g+ = f g− = 22 8 4x x− + ·f g = 2 2( 2) (4 )x x x− − , Dom = R; /f g = 2 2( 2) /(4 )x x x− − ,

Dom ( /f g ) = { }R 4;0− b. f g+ = 2x f g− = 2 6x x− ·f g = 23 ( 3)x x − , Dom = R; /f g = ( 3)/3x − , Dom ( /f g ) = { }R 0− c. f g+ = 2 1x − f g− = 2 2 1x x− + .f g = 2( 1)x x − , Dom = R; /f g x= , Dom ( /f g ) = { }R 1−



d. f g+ = 2( 1) 1 /( 1)x x+ + − f g− = 2( 1) 1 /( 1)x x+ − − ·f g = 2( 1) /( 1)x x+ − , Dom = { }R 1− ; /f g =

2( 1) ( 1)x x+ − , Dom ( /f g ) = { }R 1− e. 0f g+ = f g− = 2/( 1)x− − ·f g = 21 /( 1)x− − , Dom = { }R 1− ; / 1f g = − , Dom ( /f g ) = { }R 1− f. f g+ = ( 1) 1 /( 2)x x− + + f g− = ( 1) 1 /( 2)x x− − + ·f g = 1 /( 2)x x− + , Dom = [ [1,+ ∞ ;

/f g = ( 1)( 2)x x− + , Dom ( /f g ) = [ [1,+ ∞ g. f g+ = 1 1x x+ + − f g− = 1 1x x+ − − ·f g = 1 1x x+ − , Dom = [ ]1;1− ; 1 / 1x x+ − , Dom ( /f g ) = [ ] { }1;1 1− − h. f g+ = 2 2( 1) 1 /( 1)x x− + − f g− = 2 2( 1) 1 /( 1)x x− − − · 1f g = , Dom = { }R 1− ± ; /f g = 2 2( 1)x − , Dom ( /f g ) = { }R 1− ± i. f g+ = 2( 1) 3x x+ + − f g− = 2( 1) 3x x+ − − .f g = 2( 1) 3x x+ − , Dom = [ [3,+ ∞ ; /f g =

2( 1)/ 3x x+ − , Dom ( /f g ) = [ [ { }3, 3+ ∞ −j. f g+ = 1 1x x− + − f g− = 1 1x x− − − ·f g = 1 1x x− − , Dom = {1}; /f g = no existe.

2. a.

1

2

3

–1–1 0 1 2

Y

X

b. ] [ { }1;2 1− − c. ] [1;2−

d. ( · )( ) ( 2)( 1 )f g x x x= + − − , Dom(f ∙ g)= ] [1;2−

3. a. f g+ f ∙ g b. f g−

1

2

3

4

5

–1–2 –1 0 1 2 3

Y

X

1

2

3

–1–1 0 1 2

Y

X

–1

–2

1

2Y

–2 –1 0 1 2

X


Respuestas

467

f ∙ g c. f g+ f ∙ g

–1

1

2Y

–2 –1 0 1 2

X

–2

1

2

3

–1–1 0 1 2

Y

X

1

2

3

–3

–2

–1–3 –2 –1 0 1 2 3

Y

X

d. f g− f ∙ g

–3 –2

1

2

3

4

–1 0 1 2

Y

X

1

–3

–2

–1–3 –2 –1 0 1 2

Y

X

Ejercicios 4.12

1. a. 3 b. 0 c. 0,25 d. 3 e. No existe f. No existe g. 1 h. 0

2. a. (f○g)(x) = 3 2x− − Dom(f○g) = ] ];3−∞ (g○f)(x) = 3 ( 2)x− − Dom(g○f) = [ [0;+ ∞ (f○f)(x) =

2 2x − − Dom(f○f) = [ [4;+ ∞

b. (f○g)(x) = 2(2 5 ) 3(2 5 )x x− − −

Dom(f○g) = R (g○f)(x) = 22 5( 3 )x x− − Dom(g○f) = R (f○f)(x) =

2 2 2( 3 ) 3( 3 )x x x x− − − Dom(f○f) = R

c. (f○g)(x) = 2( 1) 3x − − Dom(f○g)= [ [1;+ ∞ (g○f)(x) = 2( 3) 1x − − Dom(g○f) = ] ] [ [; 2 2;−∞ − ∪ + ∞

(f○f)(x) = 2 2( 3) 3x − − Dom(f○f) = R

d. (f○g)(x) = 21 2

xx−

− − Dom(f○g) = [ [ { }2; 3+ ∞ − (g○f)(x) = 2

1x

x−

− Dom(g○f) = 2;1

3

(f○f)(x) =

1 2x

x− Dom(f○f)= R – 11,2



3. a. 3 b. 3 c. 1 d. 3 e. 2 f. No existe g. [ ]( ) 4 , ( ) 4;5f x x Dom f= − = − h. [ ]( ) 2, ( ) 2;7g x x Dom g= + = − i. [ ](4 ) 2, ( ) 3;5x Dom gof− + = −

4. a. 1( )5

f xx

=+

2( )g x x= b. 1( )f xx

= 2( ) 3g x x= − c. 3( )f x x= 1( )2

g xx

=−

5. a. 8( )6 3xh x = − b. 5( ) 3

6xh x −= −

c. ( ) 6 16h x x= + d. 6 23x +

Ejercicios 4.13

1. a. $ 1 040 b. $ 16

2. $ 25

3. a. [ ]2( ) 2 80 , ( ) 0;40I q q q dom I= − + = b. 2 80p q= − + c. 20 unidades

4. a.

9 800

0 70

YI

X

q

b. p = $ 140

5. a. 5( 32) 2739

K F= − + b. 308 ºK

6. a. ( C ○q)(t) = 2030t

+ b. [ ]10; 50

Ejercicios 4.14

1. a. Sí b. No c. Sí d. Sí e. Sí f. No

2. a. Sí b. Sí c. Sí d. Sí


Respuestas

469

3. a. 1 2( ) ; 5 43

xf x x− += − ≤ ≤ b. 1 2( ) 1; 3 0f x x x− = + − ≤ ≤

1

2

3

4

–2

–3

–4

–5

–1–3–4–5 –2 –1 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4–1–2–3–4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

–1

–2

–3

c. 1( ) 1, 0f x x x− = + ≥ d. 1 1( ) , 12

xf x x− += ≤ −

12345678

–1

Y

–1 0 1 2 3 4 5 6 7X

–1

–2

–5

–4

–3

–6

–7

–2 –1 1

1

0–4 –3–5–7 –6

Y

X

e. 1 2( ) 3, 0f x x x− = + ≤ f. 1( ) 3 1, 3f x x x− = − + + ≥ −

12345678

–1–2

Y

–2 –1 0–3 1 2 3 4 5 6 7X

Y

–1

–2

1

2

3

4

5

–3

–2 –1 0–3 1 2 3 4 5X



4. a. No existe b. –2 c. [–1; 2] d. [–2; 1]e.

1

2

3

–2

–1–3 –2 –1 0 1 2 3

f -1

f

Y

X

5. a. 1 2( )3 4

xy f xx−= =

− b. ( ) 1y f x x= = − y ( ) 1y f x x= = − − c. 21( ) 9

2y f x x= = −

y 21( ) 92

y f x x= = − − d. ( )y f x x= = y 2

2( )y f xx

= = − e. ( )y f x x= = y ( )2xy f x= =

Ejercicios 4.15

1. a. ( ) 60 20C x x= − b. 130 3cx = + . Representa las horas trabajadas en función de los honorarios del

ingeniero. c. 8,6x = . Para que el ingeniero cobre $ 500, debe trabajar aproximadamente 9 horas.

2. a. 1 602

p q= − +

b. 2 120q p= − + . Representa la cantidad demandada en función del precio.

c. 21 602

I q q= − +

d. Ingreso máximo es $ 1 800 e. El precio donde se obtiene el ingreso máximo es $ 60

3. a. 520 2Cq = −

b. 2 80p q= − + c. 22 60 50U q q= − + − d. La utilidad máxima es $ 400 e. $ 50p =

4. a. 150 3 000200

pqp

− +=+

b. 200 3 000150

qpq

− +=+

. Representa el precio en función de la cantidad.

5. a. 5 100q p= − + , 0 20p≤ ≤ b. Se demandarían 500 unidades.


Respuestas

471

Ejercicios 5.1

1.a.

4

5

6

7

3

2

1

–1–1–2–3 10 2 3 4 5

Y

X

f x

Dom fRan f

y

x

( )

( )( ) ;

= +

=

= +∞] [=

+

2 13

22

2

R

Asíntota :

b. 3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–1–2–3 10 2 3 4 5

Y

X

f xDom fRan f

y

x( )( )

( ) ;

= −=

= − +∞] [= −

−3 4

44

3

R

Asíntota:

c.

3

4

2

1

–1

–2

–3

–4

–1–2–3–4–5–6 10 2 3

Y

X

f x

Dom fRan f

y

x

( )

( )( ) ;

= −

=

= −∞] [=

+

3 12

33

3

R

Asíntota:

d.

–1

–2

–5

–4

–3

–6

–7

–8

–2 –1 1

1

0–4 –3–5–7–8 –6

Y

X

f xDom fRan f

y

x( )( )

( ) ;

= − −=

= −∞ −] [= −

+2 3

33

2

R

Asíntota:

e.

–2

–4

–10

–8

–6

–12

–14

–16

–18

1

0 12 168–4 4

Y

X

f x

Dom fRan f

y

x

( )

( )( ) ;

= − −

=

= −∞ −] [= −

−

4 13

44

2

R

Asíntota:

f.

3

4

2

1

–1

–2

–3

–4

–1–2–3–4–5–6 10 2 3 4

Y

X

f x eDom fRan f

y

x( )( )

( ) ;

= − +=

= −∞] [=

−1 3

33

R

Asíntota:



2. a.

3

4

5

6

2

1

–1

–2

–3

–1–2–3–4–5–6 10 2 3 4

Y

X

b.

3

4

5

6

2

1

–1–1

–2–3–4–5–6–7 10

Y

X

c.

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–1–2–3–4 10 2 3 4 5

Y

X

d.

3

4

2

1

5

6

7

–1

Y

–1–2

–2

–3–4–5 0 1 2 3 4

X

e.

–4

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

1Y

–3–5 –2 –1 0 1 2 3 4X

f.

3

4

5

6

2

1

–1

–2

–1–2–3–4–5–6–7–8 10

Y

X


Respuestas

473

g.

1

2

3

4

5

6

–2

–10–1–2 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

h.

3

4

2

1

5

6

7

–2

–1

Y

3210–1 4 5 6 7 8 9

X

3. a.

30

25

55

60

65

10

15

20

5

–5

45

50

40

35

–10 –5 0–20 –15–25 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Y

X

b.

1

2

3

4

–2

–1

–3

–4

–5

10–1–2–3 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

c.

60

80

40

20

100

120

140Y

6040200–20 80 120 140

X

d.

2468

1012141618

–4 –2 0–8–10–12 –6 2 4 6

Y

X



e.

150

115

200

100

50

250

Y

150100500–50 200 250

X

f.

700750

1 000

500

250

Y

7505002500–250

X

4. a.

15

20

10

5

25

30

35Y

151050–5 20 25 30

X

b.

9

12

6

3

15

18

21Y

9630 12 15 18 21 24 27

X

c.

60

50

110

120

130

20

30

40

10

–10

90

100

80

70

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150

Y

X


Respuestas

475

Ejercicios 5.2

1. a.

1

2

3

4

5

–2

–10–1 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

f x xDom fRan f

x

( ) log( )( ) ;

( )

= + −

= +∞] [=

=

2 11

1R

Asíntota:

b. 3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-1-2-3 10 2 3 4 5

Y

X

f x x

Dom fRan f

x

( ) log ( )

( ) ;( )

= + −

= − +∞] [=

= −

12

2 3

2

2R

Asíntota:

c. 3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–1–2–3 10 2 3 4 5

Y

X

f x xDom fRan f

x

( ) log ( )( ) ;

( )

= − − +

= − +∞] [=

= −

3 22

2

3

RAsíntota:

d.

1

2

3

4

5

–2

–1 0 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

f x x

Dom fRan f

x

( ) log ( )

( ) ;( )

= − −

= +∞] [=

=

1 2

2

2

13

RAsíntota :

e.

1

2

3

–1–3–4–5 –2 –1 0 1

Y

X

f x xDom fRan f

x

( ) log( )( ) ;

( )

= +

= − +∞] [=

= −

55

5R

Asíntota:

f. Y

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5X

f x xDom fRan f

x

( ) ln( ) ;

( )

= −

= +∞] [=

=

20

0R

Asíntota :



2. a.

–1

–2

1

2

3

–3

Y

–1 0 1 2 3 4 5 6

X

b.

–1

–2

1

2

3

–3

Y

–1 0 1 2 3 4 5 6

X

c. 1

–1

–2

–3

–4

–5

–1–2–3 10 2 3 4 5

Y

X

d. 2

1

–1

–2

–3

–4

–1–2–3–4–5–6 10

Y

X

e.

3

4

5

6

2

1

–1

–2

–1–2–3–4–5–6–7 1 20

Y

X

f.

1

2

3

4

5

–2

–1

–3

10–1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

g.

1

2

3

4

5

6

–2

–1 0–1 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X


Respuestas

477

3. a. 1 1( ) 5 2xg x− −= − b. 2

1 3( ) 10 1x

h x− −

− = + c. 14( ) 2 log ( 3)i x x− = − + d. 1 1( ) 2

2

x

j x− = +

e. 113

1( ) 1 log ( 2)2

j x x− = + −

f. 1

1 2( ) 5x

k x e−

− = + g. ( )1 1( ) 4 ln( 2)3

l x x− = − −

4. a

1

2

3

4

5

–1

–2

–3

–3–4 –2 –1 0 1 2 3 4

Y

X

f x x− −=1 12( )

f x x( ) log= +1 2

b.

4

5

6

3

2

1

–2

–1–1–2–3 10 2 3 4 5

Y

X

g x ex− −= +1 2 1( ) g x x( ) ln( )= + −2 1

c.

1

2

3

4

5

–2

–1–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Y

X

i x x( ) log ( )= − +12

2 1i xx

−−

=

+1

112

2( )

d.

3

4

2

1

–1

–2

–3

–4

–1–2–3–4–5–6 10 2 3 4

Y

Xj x x( )= − +1 2 1

j x x− = − −12 1 1( ) log ( )

e.

4

5

6

7

3

2

1

–1–1–2–3 10 2 3 4 5 6

Y

X

k xx

( )=

−

−12

12

k x x− = + +112

1 2( ) log ( )

f.

1

2

3

4

5

6

–2

–1

–3

0–1–2–3–4 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

l x x( )= − + −3 2 3

l x x− = + +12 3 3( ) log ( )



g.

1

2

3

4

5

6

–2

–1

–3

0–1–2–3–4 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

m x ex( )= −−3 2

m x x− = + +1 2 3( ) ln( )

Ejercicios 5.3

1. a. 2 212log log2

A B+ b. 2log log 3loga a ax y z− − c. 1 2 1log 3 log log3 3 12b b br m+ +

d. ( )312log log 12

x x− + e. 1 1ln ln2 4

x y+ f. 2 2 21 1log log log2 2

x a b+ − g. log logx y xy+ + h. –1

2. a. ( )5log 5 2x + b. 4

log1

xx

+

c. ( )52log 10x d.

( )2

3 2

4log3

xx x

−

+ e.

21

logb

ba b

+ f.

11log

ca

a b + − g.

3log8m

h. ( )5/22log xy z

3. a. 7CS4

=

b. { }CS 2= c. { }CS 4= d. 3CS2

=

e. 1CS 0;2

=

f. log3 log2log2 2log3

x −=+

g. log9log6 log9

x =−

h. { }CS 4;2= − i. { }CS 0= j. { }CS 1= k. { }CS 0;1,58= l. 1CS ; 82

=

m. 3CS2

=

n. { }CS 10= −


Respuestas

479

Ejercicios 5.4

1. a. 4 257 focas b. 19,8 años

2. a. 9,11 minutos

b.

20

30

3640

10

0 10 3020 40 50 60

T

t

Y

X

3. 3,85 años 4. a. –0,032 b. 68 palabras aprox. c. 16 minutos aprox.

5. a. 17 470 libros aprox. b. 16 meses aprox. c. Se espera que venda 25 000 libros como máximo.

10

15

20

25

5

0 10 3020 40

M

t

Y

X

6. a. A = 0,75 b. 622,13 kilogramos aprox. c. 11,75 años aprox. d. Se espera que obtenga como máximo un peso de 3 000 kilogramos.

7. a. 4 pulgas b. 373 pulgas aprox. c. 23,7 días aprox. d. 1 000 pulgas.


Bibliografía

ACUÑA, Elia y MORI, Eliana (2009) Introducción a la lógica formal. Lima: UPC.

BRITTON, Jack y BELLO, Ignacio (1982) Matemáticas contemporáneas. 2a.ed. México: HARLA.

HAEUSSLER, Ernest y RICHARD, Paul (2007) Matemáticas para administración y economía. 10a.ed. México, D. F.: Pearson Educación.

HUNGDERFORD, Thomas y LIAL, Margaret (2000) Matemáticas para administración y economía. 7a.ed. México, D. F.: Pearson Educación.

KRUGMAN, Paul y WELLS, Robin (2006) Introducción a la economía: Microeconomía. España: Editorial Reverté S. A.

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SCHÖN, Donald (1992) La formación de profesionales reflexivos. 1a.ed. Madrid.: Ediciones Paidós.

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lima, julio de 2014

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