limbaje si automate

Limbaje Formale, Automate si Compilatoare

Curs 4

2014-15

LFAC (2014-15) Curs 4 1 / 44

Curs 4

1 Corectitudinea algoritmului de determinare a relatiei

2 Proprietati de nchidere pentru clasa limbajelor de tip 3

3 Expresii regulate

4 Automatul echivalent cu o expresie regulata

Algoritm

5 Gramatici si limbaje independente de context

LFAC (2014-15) Curs 4 2 / 44

Corectitudinea algoritmului de determinare a relatiei

Curs 4



3 Expresii regulate


Algoritm


LFAC (2014-15) Curs 4 3 / 44


Algoritm pentru determinarea relatiei

//initializarea tablourilor,

se marcheaz a perechile F (Q F ) si (Q F ) F

1.for (i=0; i


9.for (i=0; i


Algoritm pentru determinarea relatiei

// qi si qj devin separabile si la fel toate

// perechile de stari dependente de qi,qj

update separabil(qi , qj){

separabil[qi , qj] = 1;

for ((qi , qj ) lista[qi , qj]){

if (separabil[qi , qj ] == 0)

update separabil(qi , qj );

}

}

LFAC (2014-15) Curs 4 6 / 44


Corectitudinea algoritmului

Teorema 1

Algoritmul se termina ntotdeauna si n final se obtine, pentru orice

doua stari qi si qj , 0 i < j n: separabil[qi , qj ] = 1 ddaca qi sep qj

LFAC (2014-15) Curs 4 7 / 44



Teorema 1



(=) Se arata ca:

P(k) : Pentru orice doua stari qi si qj (0 i < j n) separabile de catre un cuvant w

cu |w | k ((qi ,w) F , (qj ,w) 6 F ), are loc:

separabil[qi , qj ] = 1.

Inductie dupa |w |.

LFAC (2014-15) Curs 4 7 / 44



Teorema 1



(=) Se arata ca:

pentru oricare doua stari qi , qj (0 i < j n) pentru care separabil[qi , qj ] = 1, are

loc:

qi sep qj .

Inductie asupra momentului n care algoritmul face separabil[qi , qj ] = 1.

LFAC (2014-15) Curs 4 7 / 44

Proprietati de nchidere pentru clasa limbajelor de tip 3

Curs 4



3 Expresii regulate


Algoritm


LFAC (2014-15) Curs 4 8 / 44


Inchiderea la intersectie

Daca L1, L2 L3, atunci L1 L2 L3

Fie A1 = (Q1,1, 1, q01,F1) si A2 = (Q2,2, 2, q02,F2) automate

deterministe astfel ncat L1 = L(A1) si L2 = L(A2).

Automatul A (determinist) care recunoaste L1 L2:

A = (Q1 Q2,1 2, , (q01, q02),F1 F2)

((q1, q2), a)) = (q1, q2) ddaca

1(q1, a) = q1

2(q2, a) = q2

LFAC (2014-15) Curs 4 9 / 44


Inchiderea la diferenta

Daca L L3 atunci L = ( \ L) L3

Fie A = (Q,, , q0,F ) automat cu L(A) = L.

Automatul A care recunoaste L = L(A):

A = (Q,, , q0,Q \ F )

LFAC (2014-15) Curs 4 10 / 44


Inchiderea la diferenta

Daca L L3 atunci L = ( \ L) L3

Fie A = (Q,, , q0,F ) automat cu L(A) = L.

Automatul A care recunoaste L = L(A):

A = (Q,, , q0,Q \ F )

Daca L1, L2 L3 atunci L1 \ L2 L3 : L1 \ L2 = L1 L2

LFAC (2014-15) Curs 4 10 / 44


Inchiderea la produs

Fie A1 = (Q1,, 1, q01, {f1}) si A2 = (Q2,, 2, q02, {f2})

automate cu o singura stare finala astfel ncat L1 = L(A1) si

L2 = L(A2).

Automatul A (cu -tranzitii) care recunoaste L1 L2:

A = (Q1 Q2,, , q01, {f2})

LFAC (2014-15) Curs 4 11 / 44


Inchiderea la reuniune

Fie A1 = (Q1,1, 1, q01, {f1}) si A2 = (Q2,2, 2, q02, {f2})

automate cu o singura stare finala astfel ncat L1 = L(A1) si

L2 = L(A2).

Automatul A (cu -tranzitii) care recunoaste L1 L2:

A = (Q1 Q2 {q0, f},1 2, , q0, {f})

LFAC (2014-15) Curs 4 12 / 44


Inchiderea la iteratie

Fie A = (Q,, , q01, {f}) automat cu o singura stare finala astfel

ncat L(A) = L.

Automatul A (cu -tranzitii) care recunoaste L (= L(A)):

A = (Q {q0, f},, , q0, {f})

LFAC (2014-15) Curs 4 13 / 44


Inchiderea la operatia de oglindire

Fie A = (Q,, , q0, {qf}) automat cu o singura stare finala.

Automatul A (cu -tranzitii) care recunoaste L(A)R :A = (Q {q0},,

, q0, {q0}):(q1,a) = q2 ddaca (q2,a) = q1 (inversarea arcelor n graful detranzitie)(q0, ) = qfdaca L(A), atunci (q0, ) = q0

LFAC (2014-15) Curs 4 14 / 44

Expresii regulate

Curs 4



3 Expresii regulate


Algoritm


LFAC (2014-15) Curs 4 15 / 44

Expresii regulate

Expresii regulate - definitie

Reprezentarea limbajelor de tip 3 prin expresii algebrice

Definitie 1

Daca este un alfabet atunci o expresie regulata peste se defineste

inductiv astfel:

, , a (a ) sunt expresii regulate ce descriu respectiv limbajele

, {}, {a}.

Daca E, E1, E2 sunt expresii regulate atunci:

(E1|E2) este expresie regulata ce descrie limbajul L(E1) L(E2)(E1 E2) este expresie regulata ce descrie limbajul L(E1)L(E2)(E) este expresie regulata ce descrie limbajul L(E)

LFAC (2014-15) Curs 4 16 / 44

Expresii regulate

Expresii regulate - definitie

Reprezentarea limbajelor de tip 3 prin expresii algebrice

Definitie 1

Daca este un alfabet atunci o expresie regulata peste se defineste

inductiv astfel:

, , a (a ) sunt expresii regulate ce descriu respectiv limbajele

, {}, {a}.

Daca E, E1, E2 sunt expresii regulate atunci:

(E1|E2) este expresie regulata ce descrie limbajul L(E1) L(E2)(E1 E2) este expresie regulata ce descrie limbajul L(E1)L(E2)(E) este expresie regulata ce descrie limbajul L(E)

Ordinea de prioritate a operatorilor este , , |

LFAC (2014-15) Curs 4 16 / 44

Expresii regulate

Exemple

(a|b)|(c|d) {a, b, c, d}

(0|1) (0|1) {00, 01, 10, 11}

ab {anbk |n, k 0}

(a|b) {a, b}

(0|1|2|...|9)(0|1|2...|9) descrie multimea ntregilor fara semn

(a|b|c|...|z)(a|b|c|...|z|0|1|2...|9) descrie multimea identificatorilor

Doua expresii regulate E1,E2 sunt echivalente, si scriem E1 = E2 daca

L(E1) = L(E2)

LFAC (2014-15) Curs 4 17 / 44

Expresii regulate

Proprietati

(p|q)|r = p|(q|r)

(pq)r = p(qr)

p|q = q|p

p = p = p

p| = p|p = p

p = p =

p(q|r) = pq|pr

(p|q)r = pr |qr

|pp = p

|pp = p

LFAC (2014-15) Curs 4 18 / 44

Expresii regulate

De la o expresie regulata la automatul finit

Teorema 2

Pentru orice expresie regulata E peste exista un automat finit (cu -

tranzitii) A, astfel ncat L(A) = L(E).

Demonstratie: inductie structurala.

Daca E {, , a} (a ) atunci automatul corespunzator este

respectiv:

LFAC (2014-15) Curs 4 19 / 44

Expresii regulate

Demonstratie

E = E1|E2

E = E1E2

E = E1

LFAC (2014-15) Curs 4 20 / 44

Expresii regulate

Reprezentarea expresiilor regulate sub forma de

arbore

Intrare : Expresia regulata E = e0e1 . . . en1Precedenta operatorilor:

prec(|) = 1, prec() = 2, prec() = 3 (prec(()= 0).

Iesire : Arborele asociat: t .

Metoda : Se considera doua stive:

STIVA1 stiva operatorilorSTIVA2 stiva arborilor (care va contine arborii partiali construiti)Metoda tree(op, tS, tD)

LFAC (2014-15) Curs 4 21 / 44

Expresii regulate

Algoritmi = 0;

while(i < n) {

c = ei ;switch(c) {

case ( : { STIVA1.push(c); break; }

case simbol (din alfabet): { STIVA2.push(tree(c,NULL,NULL)); break; }case operator : {

while (prec(STIVA1.top())>=prec(c))

build tree();

STIVA1.push(c); break;

}

case ) : {

do { build tree(); } while(STIVA1.top()!= ();

STIVA1.pop(); break;

}

}

i++;

}

while(STIVA1.not empty()) build tree();

t = STIVA2.pop();

LFAC (2014-15) Curs 4 22 / 44

Expresii regulate

Algoritm

build tree()

op = STIVA1.pop();

tD = STIVA2.pop();

switch (op) {

case : {

t = tree(op, tD, NULL);

STIVA2.push(t); break;

}

case | , : {

tS = STIVA2.pop();

t = tree(op, tS, tD);

STIVA2.push(t); break;

}

}

LFAC (2014-15) Curs 4 23 / 44

Expresii regulate

Exemplu

a b|a (b|c)

LFAC (2014-15) Curs 4 24 / 44

Automatul echivalent cu o expresie regulata

Curs 4



3 Expresii regulate


Algoritm


LFAC (2014-15) Curs 4 25 / 44

Automatul echivalent cu o expresie regulata Algoritm

Automatul echivalent cu o expresie regulata

E = E1|E2

E = E1E2

E = E1LFAC (2014-15) Curs 4 26 / 44


Observatii

pentru orice aparitie a unui simbol din , cat si pentru , daca

acesta apare explicit n E , este nevoie de 2 stari n automatul

construit.

fiecare din aparitiile operatorilor | si dintr-o expresie regulata E

introduce doua noi stari n automatul construit

operatorul nu introduce alte stari

daca n este numarul de simboluri din E iar m este numarul de

paranteze mpreuna cu aparitiile simbolului , atunci numarul

starilor automatului echivalent cu E este p = 2(n m).

LFAC (2014-15) Curs 4 27 / 44


din orice stare i a automatului, se fac cel mult doua tranzitii:

(i ,a) = j ((i , ) = )(i , ) = {j} ((i ,a) = )(i , ) = {j , k} ((i ,a) = )

LFAC (2014-15) Curs 4 28 / 44


din orice stare i a automatului, se fac cel mult doua tranzitii:

(i ,a) = j ((i , ) = )(i , ) = {j} ((i ,a) = )(i , ) = {j , k} ((i ,a) = )

reprezentarea automatului echivalent cu o expresie regulata sepoate face cu 3 tablouri de dimensiune p, unde p este numarulstarilor (acestea sunt numerotate de la 1 la p):

simbol[i] = a: din starea i se face o tranzitie cu simbolul a (dacasimbol[i] = , (i ,a) = )next1[i] = j : din starea i se face o tranzitie catre starea j ((i ,a) = j ,daca simbol[i] = a, altfel j (i , ))next2[i] = k : din starea i se face o - tranzitie catre k((i , ) = {j , k} si next1[i] = j) .

LFAC (2014-15) Curs 4 28 / 44


Algoritm

Intrare : Expresia regulata E cu n simboluri dintre care m sunt

paranteze si aparitii ale operatorului produs;

Iesire : Vectorii simbol , next1, next2 de dimensiune p = 2(n m)

ce descriu automatul cu - tranzitii echivalent cu E , starea finala f ;

Metoda :

1. Se construieste arborele atasat expresiei E ;

2. Se parcurge arborele n preordine si se ataseaza nodurilor

vizitate, exceptand pe cele etichetate cu produs , respectiv

numerele 1, 2, . . . , n m;

LFAC (2014-15) Curs 4 29 / 44


Exemplu

E = a|b c

LFAC (2014-15) Curs 4 30 / 44


3. Se parcurge arborele n postordine si se ataseaza fiecarui nod No pereche de numere (N.i ,N.f ) care reprezinta starea initialarespectiv finala a automatului echivalent cu expresiacorespunzatoare subarborelui cu radacina N, astfel:

Daca nodul are numarul k (de la pasul 2) atunci:

N.i = 2k 1,N.f = 2k ;

Daca nodul este etichetat cu produs si S este fiul stang al lui N, iarD fiul drept, atunci:

N.i = S.i iar N.f = D.f

LFAC (2014-15) Curs 4 31 / 44


Exemplu

E = a|b c

LFAC (2014-15) Curs 4 32 / 44


4. for(j = 1..2(n m)) {simbol[j] = , next1[j] = next2[j] = 0}

LFAC (2014-15) Curs 4 33 / 44



5. Se parcurge din nou arborele obtinut n postordine.

Daca N este nodul curent iar S si D sunt fii sai, atunci, n functie de eticheta lui N, seexecuta urmatoarele:

LFAC (2014-15) Curs 4 33 / 44





Daca N este etichetat cu a (deci este frunza): (N.i, a) = N.f

simbol[N.i] = a, next1[N.i] = N.f

LFAC (2014-15) Curs 4 33 / 44







Daca N este etichetat cu |: (N.i, ) = {S.i,D.i}, (S.f , ) = N.f , (D.f , ) = N.f

next1[N.i] = S.i, next2[N.i] = D.i,

next1[S.f ] = N.f , next1[D.f ] = N.f

LFAC (2014-15) Curs 4 33 / 44










Daca N este etichetat cu : (S.f , ) = D.i

next1[S.f ] = D.i

LFAC (2014-15) Curs 4 33 / 44











next1[S.f ] = D.i

Daca N este etichetat cu (D nu exista n acest caz): (N.i, ) = {S.i,N.f},(S.f , ) = {S.i,N.f}

next1[N.i] = S.i, next2[N.i] = N.f ,

next1[S.f ] = S.i, next2[S.f ] = N.f

LFAC (2014-15) Curs 4 33 / 44











next1[S.f ] = D.i

Daca N este etichetat cu (D nu exista n acest caz): (N.i, ) = {S.i,N.f},(S.f , ) = {S.i,N.f}

next1[N.i] = S.i, next2[N.i] = N.f ,

next1[S.f ] = S.i, next2[S.f ] = N.f

6. f este starea pentru care next1[f] = next2[f] = 0

LFAC (2014-15) Curs 4 33 / 44


Exemplu

E = a|b c

LFAC (2014-15) Curs 4 34 / 44


Exemplu

LFAC (2014-15) Curs 4 35 / 44


Exemplu

a b c

1 {3, 5}

2

3 4

4 {2}

5 {6, 7}

6 {9}

7 8

8 {6, 7}

9 10

10 {2}

LFAC (2014-15) Curs 4 36 / 44



Teorema 3

Algoritmul descris este corect: automatul cu - tranzitii obtinut este

echivalent cu expresia regulata E.

Demonstratie:

Modul n care au fost alese perechile (i , f ) de stari pentru fiecare

nod al arborelui construit corespunde constructiilor din teorema 1.

Deasemenea, tranzitiile care se definesc n pasul 5 al algoritmului

urmaresc constructia din teorema 1.

Automatul obtinut este echivalent cu expresia data la intrare.

LFAC (2014-15) Curs 4 37 / 44

Gramatici si limbaje independente de context

Curs 4



3 Expresii regulate


Algoritm


LFAC (2014-15) Curs 4 38 / 44


Gramatici independente de context

Gramatici de tip 2 (independente de context): G = (N,T ,S,P)

N si T sunt multimi nevide, finite, disjuncte de neterminali(variabile), respectiv terminaliS N este simbolul de startP = {x u|x N,u (N T )} este multimea regulilor(productiilor).

Un limbaj L este de tip 2 (independent de context: L L2) daca

exista o gramatica G de tip 2 astfel ncat L(G) = L

LFAC (2014-15) Curs 4 39 / 44


Derivari extrem stangi/drepte

Fie G = (N,T ,S,P) si w L(G)

derivare extrem stanga pentru w : derivarea n care, la orice pas

se nlocuieste cel mai din stanga neterminal din cuvantul obtinut

derivare extrem dreapta pentru w : derivarea n care, la orice pas

se nlocuieste cel mai din dreapta neterminal din cuvantul obtinut

LFAC (2014-15) Curs 4 40 / 44


Exemplu

G = ({E}, {a, b,+, ), (},E ,P) unde:

P : E E + E |E E |(E)|a|b

Fie a + (b a)

Derivare extrem stanga:

E E+E a+E a+(E) a+(EE) a+(bE) a+(ba)

Derivare extrem dreapta:

E E + E E + (E) E + (E E) E + (E a)

E + (b a) a + (b a)

Exista derivari care nu sunt nici extrem drepte nici extrem stangi!

LFAC (2014-15) Curs 4 41 / 44


Arbori sintactici

Definitie 2

Un arbore sintactic (arbore de derivare, arbore de parsare) n

gramatica G este un arbore ordonat, etichetat, cu urmatoarele

proprietati:

radacina arborelui este etichetata cu S ;

fiecare frunza este etichetata cu un simbol din T sau cu ;

fiecare nod interior este etichetat cu un neterminal;

daca A eticheteaza un nod interior care are n succesori etichetati

de la stanga la dreapta respectiv cu X1, X2,..., Xn, atunci

A X1X2 . . .Xn este o regula.

Cazul n care regula este A reprezinta un caz special: nodul

etichetat cu A are un singur descendent etichetat cu .LFAC (2014-15) Curs 4 42 / 44


Arbori sintactici

Definitie 3

Frontiera unui arbore de derivare este cuvantul w = a1a2 . . . anunde ai , 1 i n sunt etichetele nodurilor frunza n ordinea de la

stanga la dreapta.

Arbore de derivare pentru un cuvant w: arbore de derivare cu

frontiera w.

Un X-arbore de derivare este un subarbore al unui arbore de

derivare care are eticheta radacinii X . Un arbore de derivare este

un S-arbore de derivare.

LFAC (2014-15) Curs 4 43 / 44


Exemplu

G = ({E}, {a, b,+, ), (},E ,P) unde:

P : E E + E |E E |(E)|a|b

a + (b a)Derivare extrem stanga:

E E + E a + E a + (E)

a + (E E) a + (b E) a + (b a)

Derivare extrem dreapta:

E E + E E + (E) E + (E E)

E + (E a) E + (b a) a + (b a)

Arbore de derivare pentru

a + (b a):

LFAC (2014-15) Curs 4 44 / 44
Corectitudinea algoritmului de determinare a relatiei Proprietati de nchidere pentru clasa limbajelor de tip 3Expresii regulateAutomatul echivalent cu o expresie regulataAlgoritmGramatici si limbaje independente de context

limbaje si automate

Documents