lÍmites
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teoria y practica de LimitesTRANSCRIPT
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LÍMITES
Vecindad de un punto
Definición.- Sea , se llama vecindad abierta o bola abierta de centro y radio δ>0 y se denota con B(a , δ ), al intervalo ¿a−δ ,a+δ>¿,
ie) B (a , δ )=¿a−δ ,a+δ>¿
ejem.
Propiedades
1) B (a , δ )={x∈ R talque|x−a|<δ }2) La intersección de 2 vecindades de a [B (a , δ 1 ) y B(a ,δ 2)] es una vecindad de a(
B(a , δ )), ie) B (a , δ )=B (a , δ1 )∩B (a ,δ 2) donde δ=mín {δ1 , δ2 }
Límite de una función
Definición.- Sea f :R→R una función y a un punto que no neceriamente pertenece a Df
pero que toda vecindad de a contiene puntos de Df ; se dice que el límite de f (x) es L ,
cuando x tiende hacia a
, y se escribe , cuando
∀ ε>0 ,∃ δ>0 tal q' ∀ x∈Df , x≠ a y a−δ<x<a+δ⇒L−ε< f ( x )<L+ε
Equivalente a
∀ ε>0 ,∃ δ>0 tal q' ∀ x∈Df ,0<|x−a|<δ⇒|f ( x )−L|<ε
O también
∀ ε>0 ,∃ δ>0 tal q' ∀ B (a ,δ )∩D f , x ≠a⇒ f ( x )∈ B(L , ε )
Propiedad de los límites.
Proposición.- Si x∈ R ,x ≥0 tal que x<ε paratodo ε>0 , entonces x=0
Teorema.- Unicidad del límite. El límite de una función, cuando existe, es único, ie), sí
limx→af (x )=L1 y lim
x→af (x)=L2⇒L1=L2
Teorema.- Conservación del signo. Sí el , existe una vecindad B (a , δ )
, tal que: f ( x ) y L tienen el mismo signo ∀ x∈B (a , δ ) , x ≠a .
Teorema.- Sí limx→af ( x )=L, existe una vecindad B (a , δ ) y un número M>0 ,tal que:
|f ( x )|<M , ∀ x∈B (a ,δ ) con x≠a
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Teorema.- Sí f y g son dos funciones tales que:
a) f ( x )≤g ( x ) ,∀ x∈ B (a , r ) con x≠a
b) ,
c) Entonces L≤M
, ie)
Teorema del Sandwich.- Sean f , g y h funciones tales que
a) f (x)≤g (x)≤h(x), ∀ x∈B (a , r )con x≠a.
b) ,
Entonces
Teorema.- Sean f y g son dos funciones tales que
a)
b) ∃M>0 tal que |g ( x )|<M ,∀ x∈ B (a , r ) con x≠a.
Entonces
Propiedades operacionales del límite
Teorema.- Sean f
y g
funciones tales que:Entonces:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
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Corolario.- Sí entonces
1)
2)
Corolario.- Sí entonces
limx→a
[ f (x)]n=[ limx→af ( x )]n=Ln
(sin≤0 , Ldebe ser diferente de cero)
Corolario.- Sí f ( x )=a0 xn+a1 x
n−1+…+an, donde a0 , a1 ,…,an son constantes,
Entonces limx→b
[a0 xn+a1 xn−1+…+an ]=a0bn+a1bn−1+…+an
Teorema.- Sí limx→af ( x )=L
, entonces Donde L≥0 y n
cualquier entero ó L<0 y n cualquier entero positivo impar.
PRÁCTICA DE LÍMITES
Calcular los siguientes límites
1.- donde
2.-
3-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
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9.-
10.-
11.-
12.-
13.-
14.-
15.-
16.-
17.-
18.-
19.-
20.-
21.-
22.-
23.-
Límites laterales.-
Definición.- Sea f ua función definida en el intervalo ¿a , c>¿ con c>a , se dice que L es el límite lateralf (x)cuando x tiende hacia a por la derecha y se denota por
Si dado ε>0, existe δ>0 tal que|f ( x )−L|<ε si0<x−a<δ
Definición.- Sea f ua función definida en el intervalo ¿c ,a>¿ con c<a , se dice que M es el límite lateral f (x) cuando x tiende hacia a por la izquierda y se denota por
Si dado ε>0, existe δ>0 tal que0<a−x<δ⇒|f ( x )−M|<ε
Teorema.-
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ie), existe límite de una función sí y sólo sí existen los límites laterales y son iguales.
En los siguientes ejercicios, trazar la gráfica y hallar el límite indicado si existe, en caso contrario justifique su respuesta.
1.-
i ¿
2.-
3.-
4.-
Límites al infinito
Definición.- Sea f :<a ,+∞>→R, una función y L∈R, se dice que L es el límite de f ( x )
cuando x
tiende a +∞
, y se escribe: , sí y sólo sí, dado
ε>0 ,∃ N>0 , tal que si x>N⇒|f ( x )−L|<ε
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Definición.- Sea g:←∞,a>→R, una función y L∈R, se dice que L es el límite de g ( x ) cuando
x tiende a -
∞, y se escribe: , sí y sólo sí, dado
ε>0 ,∃M>0 , tal que si x←M⇒|g (x )−L|<ε
Proposición.- Sí n es un entero positivo cualquiera, entonces
1) 2)
Proposición.- Sean f y g funciones definidas en ¿a ,+∞> y<b ,+∞>¿, respectivamente. Sí
, entonces:
1)
2)
3)
4)
EJERCICIOS
Calcular los siguientes límites infinitos
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
11.-
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12.-
Límites infinitos
Sea f una función definida en un intervalo abierto I que contiene al número a , a puede o no estar en el dominio de f .
Definición.- Se dice que el límite de f (x) es +∞ cuando x tiende al punto a, y se escribe
,, si dado k≫0
(tan grande como se quiera), δ>0
tal que 0<|x−a|<δ⇒ f ( x )>k
Definición.- Se dice que el límite de f (x) es −∞ cuando x tiende al punto a, y se escribe
, si dado k≫0
(tan grande como se quiera), δ>0
tal que 0<|x−a|<δ⇒ f ( x )← k.
En este caso de límites infinitos, también se puede hablar de límites laterales, ie
, ,
Proposición.- Sí es un entero positivo, entonces:
1)
2) ,
Definición.- Sea f una función cuyo dominio es A. El conjunto A, en 1) y 2), contiene a un intervalo de la forma ¿a ,+∞>¿, y en 3) y 4) contiene a un intervalo de de la forma ←∞ ,a>¿; con estas condiciones se define:
1)
2)
3)
4)
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Proposición.- Sea a un número real y
Entonces
1) a través de valores positivos de , entonces,
2) a través de valores negativos de , entonces,
3) a través de valores positivos de , entonces,
4) a través de valores negativos de , entonces,
En resumen
Proposición.- Sean f y g dos funciones tales que:
1)
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2)
3)
4)
5)
EJERCICIOS
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
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6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
11.-
12.-
Límites trigonométricos
Proposición.-
EJERCICIOS
1.- Esbozar la gráfica de las siguientes funciones, cuando
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Calcular los siguientes límites
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a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Algunos límites de las funciones trigonométricas inversas
Límites hiperbólicos
Ejercicios
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
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6.-
Proposición. Sea definida por , entonces
Proposición.- Si
Proposición.- Algunos límites notables-
Límites de la forma :
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Ejercicios
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
Definición de una función continua
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Sea f una función definida en el conjunto A⊂R y a∈ A.
Definición.- Se dice que f es continua en x=a si:
i
)∃ f (a) ii) iii)
Si por lo menos una de las 3 condiciones no se cumple para x=a, se dice que f es discontinua en a.
-Si una función f es discontinua en a de manera que existe pero
, la discontinuidad se llama discontinuidad evitable o removible, pues se
puede redifinir la función en f en a, de manera que , de modo que la función redifinida resultaría contínua en x=a.
-Si la discontinuidad en x=a no es removible se llama discontinuidad esencial y esta se presenta
cuando f (a )=limx→af (x) no existe o no es finito.
Definición.- f es continua en a sí:
Dado ε>0 ,∃ δ>0 tal quee∈ B(a , δ)⇒ f (x)∈B( f (a ) , ε ) ó
Dado ε>0 ,∃ δ>0 tal que|x−a|<δ⇒|f ( x )−f (a)|<ε
Definición.- (Continuidad en un conjunto): Una función f : A→Rse dice que es contínua en el conjunto B⊂ A cuando f es contínua en a, ∀a∈B .
Teorema.- Sean f y g dos funciones reales continuas en a, entonces:
a) K.f es continua en a, siendo k constanteb) f±g es contínua en ac) f.g es continua en a
d)fg
es contínua en a
e)1g
es contínua en a
f) |f| es contínua en a
Corolario.- Si f es una función polinomial,ie) f :R→R tal que:
f ( x )=a0 xn+a1 x
n−1+…+an , a0≠0, entonces es contínua, ∀ x∈R
Corolario.- Si f es una función racional, ie) f :R→R tal que:
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f ( x )=a0 x
n+a1 xn−1+…+an
b0 xm+b1 x
m−1+…+bnes contínua en DF={x∈R tal que(b0 x
m+b1 xm−1+…+bn)≠0 }
Teorema.- Sean f : A→R y g :B→R dos funciones tales que R f⊂B, si f es contínua en a y g
es contínua en b=f (a), entonces g∘ f es contínua en a.
Teorema.- Sean y g :B→R dos funciones tales que R f⊂B y verifican
i)limx→af (x )y ii)g es contínua en b
entonces: limx→ag ( f ( x ) )=g (limx→a f ( x ))=g(b)
Continuidad de funciones de funciones en intervalos
Definición.- Una función f :<a ,b>→R , es contínua en :<a ,b>¿ si es contínua en todo x∈<a ,b>¿
Definición
- Una función es contínua por la derecha en x=a sí limx→a+¿ f (x)=f (a )¿
¿
- Una función es contínua por la zquierda en x=a sí limx→a−¿ f (x)=f (a)¿
¿
Definición.- Una función f es contínua en ¿a ,b¿ sí:
- f es contínua en <a,b> y- f es contínua por la izquierda en b
Definición.- Una función f es contínua en ¿ sí:
- f es contínua en <a,b> y- f es contínua por la derecha en a
Definición.- Una función f es contínua en [a ,b] sí:
- f es contínua en ¿a ,b>¿ y- f es contínua por la derecha en a y- f es contínua por la izquierda en b
Propiedades de las funciones contínuas en intervalos cerrados
Teorema.- Sí: f :R→R , es una función contínua en [a ,b] y f (a ) . f (b )<0, entonces existe por
lo menos un punto un punto c∈<a ,b>¿ tal que f ( c )=0
Teorema.- Sí f es contínua en [a ,b] , entonces f es acotada en [a ,b].
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Teorema de Weierstrass.- Sí f es contínua en [a ,b] , entonces ella posee un punto de mínimo y un punto máximo en [a ,b], ie), existen x1 , x2∈[a ,b], tales que:
m=f (x1)=mín {f ( x ) tal que x∈<a ,b>}
M=f (x2)=máx {f ( x )tal que x∈<a ,b>}ó
f (x1 )≤ f ( x )≤ f (x2 ) ,∀ x∈[a ,b]
Teorema de los valores intermedios.- Sí f es contínua en [a ,b], m y M son el mínimo y el máximo de f en [a ,b] y d es tal que m<d<M , entonces existe c∈<a ,b>¿ tal que f ( c )=d
EJERCICIOS
1.- En los siguientes ejercicios, determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones.
a)
b)
c)
ASÍNTOTAS
Definición.- Si la distancia entre una recta y el punto que se mueve a lo largo de una
curva tiende a cero, cuando el punto tiende al infinito, la recta es llamada asíntota de la
curva; es decir, si
Proposición.- La recta es una asíntota vertical de la curva , si se cumple una de los siguientes enunciados:
a) b) c)
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Proposición.- La recta es una asíntota horizontal de la curva si se cumple una de las siguientes condiciones:
a) b)
Proposición.- La recta , es una asíntota oblícua de la curva sí y sólo sí una de las siguientes condiciones se cumplen:
a)
b)
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-