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Lineare Gleichungssysteme:Theorie, Anwendungen, Verallgemeinerungen
Karlheinz Spindler Studiengang Angewandte MathematikHochschule RheinMainStudienort Wiesbaden
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Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe: Aus 72%-igem und 96%-igem Alkohol sollen 50 Liter 80%-igen Alkohols hergestellt werden. Wieviele Liter der beiden ursprünglichen Sorten müssen verwendet werden?
Lösung: x = Anzahl der Liter des 72%-igen Alkoholsy = Anzahl der Liter des 96%-igen Alkohols
Gesamtflüssigkeitsmenge: Menge an reinem Alkohol:
Ergebnis:
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Lineares Gleichungssystem
Solche Gleichungssysteme treten häufig in praktischen Anwendungen auf.
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Mechanik: Gleichgewichtsbedingungen• Summe aller Kräfte gleich Null• Summe aller Drehmomente gleich Null
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Elektrodynamik: Kirchhoffsche Regeln• Die Summe aller in einen Knoten einfließenden Ströme ist Null.• Die Summe der Spannungsabfälle entlang einer Masche ist Null.
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Computertomographie
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Prinzip der ComputertomographieÄnderung der Intensität von Röntgenstrahlung beim Durchgang durch eine Folge homogener Materialien:
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Erste Bestrahlung
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Zweite Bestrahlung
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Dritte Bestrahlung
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Resultierendes Gleichungssystem:
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Systematische Untersuchung linearer Gleichungssysteme
Rang eines Gleichungssystems: maximale Anzahl linear unabhängiger Gleichungen l
• Rangbestimmung• Elimination linear überflüssiger Gleichungen• effektive Bestimmung der Lösungsmenge • ggf. Ermittlung „bestmöglicher“ Näherungslösungenl
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Ausgleichsrechnung:
Wenn ein Gleichungssystem mit mehr Glei-chungen als Unbekannten gegeben ist, sucht man eine „bestmögliche“ Näherungslösung.
Typische Anwendung: Herausfiltern von Fehlern bei einer Reihe von Messungen zur Bestimmung von Zustandsvariablen.
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Magische Quadrate
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DeterminantenJeder (n x n)-Matrix A läßt sich eine Zahl det (A) mit folgenden Eigenschaften zuordnen:
• ist det(A) von Null verschieden, so hat jedes Gleichungssystem Ax=b genau eine Lösung;
•ist det(A)=0, so hat jedes Gleichungssystem Ax=b entweder gar keine oder mehr als eine Lösung.
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Lösen polynomialer Gleichungssysteme
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DatenkompressionOriginal:
JPEG, 1102 x 821, Rang = 821
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Welche Methode wird zur Datenkompression angewandt?
• Darstellung eines JPEG-Bildes durch dessen Grauwertmatrix (hier von der Größe 1102 x 821) • Singulärwertzerlegung dieser Matrix • optimale Approximation durch Matrizen von niedrigerem Rang
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r=1; 0.2 % r=2; 0.4 % r=5; 1.1 %
r=10; 2.1% r=20; 4.3 % r=40; 8.5%
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Die Behandlung linearer Gleichungssysteme erfordert nur die Anwendung der Grundrechenarten.
Man studiert daher allgemein Rechenbereiche, in denen die Grundrechenarten unbegrenzt ausführbar sind.
Einführung des Körperbegriffs
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Körper
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Körper Beispiele
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Lights out!www.2flashgames.com/play/f-35.htm
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Zustand des Spiels
Zustandsänderung durch Umschalten des i-ten Feldes:
Mehrfache Zustandsänderung:
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Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal
Beobachtung: Sind a und b mit Zirkel und Lineal konstruierbar, dann auch –a, a+b, 1/a und ab.
Mit anderen Worten: Die konstruierbaren Zahlen bildet einen Teilkörper der Menge der reellen Zahlen.
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Warum ist das so?
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Wie konstruiert man neue Zahlen aus alten?
• Schnittpunkt zweier Geraden: lineare Gleichung• Schnittpunkt Gerade/Kreis: quadratische Gleichung• Schnittpunkt zweier Kreise: quadratische Gleichung
Eine Menge bereits konstruierter Punkte sei gegeben, und es sei K der von diesen Punkten erzeugte Körper. Wird ein Punkt x konstruiert, der noch nicht in K liegt, so gilt
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Delisches Problem: Würfelverdoppelung
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Lineare Algebra: systematische Untersuchung linearer Gleichungssysteme bzw. der Lösungs-mengen solcher Systeme.
Kommutative Algebra/Algebraische Geometrie:Systematische Untersuchung polynomialer Glei-chungssysteme bzw. der Lösungsmengen sol-cher Systeme.
Dimensionsbegriff: wird plötzlich sehr problematisch.
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3x²y + y³ = x² + y²
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(x² + y² + z²)² = 4 (x² + y²)
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Mannigfaltigkeiten als deformierte lineare Räume
Analysis/Differentialgeometrie: Zurückführung nichtlinearer auf lineare Probleme
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Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!