lineáris algebra ii

7/23/2019 Lineris algebra II.

1/50

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Matematika pldatr 7.

Lineris algebra II.Csordsn Marton, Melinda


2/50


Matematika pldatr 7.: Lineris algebra II.Csordsn Marton, MelindaLektor: Dr. Pfeil, Tams

Ez a modul a TMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztssel a GEO-rt projekt keretben kszlt.A projektet az Eurpai Uni s a Magyar llam 44 706 488 Ft sszegben tmogatta.

v 1.0

Publication date 2010

Szerzi jog 2010 Nyugat-magyarorszgi Egyetem Geoinformatikai Kar

Kivonat

A modul a vektortr aximinak, bevezetsvel, majd az ehhez szorosan kapcsold fogalmak az altr, agenertorrendszer, bzis, dimenzi trgyalsval kezddik. Ezt kveten megismerkednk a lineristranszformci fogalmval, foglalkozunk a mtrixok sajtrtkeivel s sajtvektoraival. Kitrnk a tlhatro zottegyenletrendszerek megoldsra, s ehhez kapcsoldva a lineris regresszira. Vgl egy gyakorlatialkalmazst, a lineris programozst ismerhetjk meg.

Jelen szellemi termket a szerzi jogrl szl 1999. vi LXXVI. trvny vdi. Egsznek vagy rszeinek msolsa, felhasznls kizrlag aszerz rsos engedlyvel lehetsges.


3/50

iii


Tartalom

7. Lineris algebra II........................................................................................................................... 11. 7.1 Bevezets ........................................................................................................................ 1

2. 7.2 Vektortr ......................................................................................................................... 1

2.1. 7.2.1 Feladatok ......................................................................................................... 3

3. 7.3 A bzistranszformci s alkalmazsai ........................................................................... 53.1. 7.3.1 Vektorrendszer rangjnak a meghatrozsa..................................................... 83.2. 7.3.2 Kompatibilits ................................................................................................. 83.3. 7.3.3 Mtrix rangjnak a meghatrozsa .................................................................. 93.4. 7.3.4 Lineris egyenletrendszerek megoldsa bzistranszformcival..................... 93.5. 7.3.5 Homogn lineris egyenletrendszerek megoldsa bzistranszformcival ... 113.6. 7.3.6 Feladatok ....................................................................................................... 11

4. 7.4 Lineris lekpezsek ..................................................................................................... 174.1. 7.4.1 A mtrixok s a lineris lekpezsek sszefggse ....................................... 184.2. 7.4.2 Sajtrtk, sajtvektor.................................................................................... 204.3. 7.4.3 Feladatok ....................................................................................................... 22

5. 7.5 Lineris programozs .................................................................................................... 245.1. 7.5.1 Feladatok ....................................................................................................... 31

6. 7.6 Tlhatrozott egyenletrendszerek.................................................................................. 366.1. 7.6.1 Tlhatrozott egyenletrendszer megoldsa slymtrix alkalmazsval......... 376.2. 7.6.2 Feladatok ....................................................................................................... 38

7. 7.7 A lineris regresszi ...................................................................................................... 407.1. 7.7.1 Feladatok ....................................................................................................... 42

8. ............................................................................................................................................ 44

9. 7.8 sszefoglals ................................................................................................................ 44


4/50

iv


A tblzatok listja1. ...................................................................................................................................................... 42

2. ...................................................................................................................................................... 42

3. ...................................................................................................................................................... 42

4. ...................................................................................................................................................... 42

5. ...................................................................................................................................................... 436. ...................................................................................................................................................... 43


5/50

1


7. fejezet - Lineris algebra II.1. 7.1 Bevezets

A hetedik modul a Nyugat-magyarorszgi Egyetem Geoinformatikai Kar Matematika II. tantrgynak linerisalgebra tananyaga alapjn kszlt.

A modul feladatgyjtemny jellegen, a fldmr-fldrendez nappali s levelez tagozatos hallgatk linerisalgebra tananyagt feladatok segtsgvel dolgozza fel. Ezeknek a feladatoknak egy rsze msfeladatgyjtemnyekben is megtallhat, de olyan specilis feladatokat is kzlnk, amelyeket a karon szerzetttbb ves oktati tapasztalataink alapjn megoldsra rdemesneks hasznosnak talltunk. Javasoljuk, hogy azokaz rdekld Olvask, akik mg tbbet szeretnnek gyakorolni, hasznljk az irodalomjegyzkben felsoroltknyveket s pldatrakat is.

A modul a jobb ttekinthetsg kedvrt rvid alfejezetekre tagoldik. Minden fejezet, ill. alfejezet elmletisszefoglalval kezddik. Brmennyire fontos elmleti anyagrl is van sz, a terjedelemre val tekintettel,trekednnk kellett a tmrsgre, ezrt bizonytsok a modulban nem szerepelnek. Ugyancsak a terjedelemre

val tekintettel egyes tmkat nem trgyalunk teljes rszletessgben, csak egy kis zeltt adunk, amely, hafelkelti az Olvas rdekldst tovbbi tanulmnyozs utn vlik majd teljess.

A modul szervesen kapcsoldik az elz modulban trgyaltakhoz, s tovbbi elemekkel egszti ki azokat. Amodul a vektortr aximinak bevezetsvel, majd az ehhez szorosan kapcsold fogalmak, az altr, agenertorrendszer, a bzis s a dimenzi trgyalsval kezddik. Ezt kveten foglalkozunk a linerislekpezsekkel, ezek sajtrtkeivel s sajtvektoraival. Rviden, bizonytsok nlkl bemutatjuk a lineris

programozs norml feladatnak megoldst grafikus s szimplex mdszerrel. Kitrnk a tlhatrozottegyenletrendszer megoldsra, s ehhez kapcsoldva a lineris regresszira. A lineris regresszit csakrintlegesen, mint a tlhatrozott egyenletrendszer specilis esett trgyaljuk, mert ez a krdskr azugyanezen program keretben kszlt, Dr. Zvoti Jzsef Valsznsg s matematikaistatisztika cmtanknyv s feladatgyjtemnyben rszletesen szerepel.

A modulban szerepl feladatok megoldsa csak minimlis elkpzettsget ignyel. A feladatok a fogalmak,ttelek, mdszerek megrtst, begyakorlst segtik el. Ezrt minden fogalomhoz, ttelhez, mdszerhezrszletesen kidolgozott feladatmegoldsok kapcsoldnak. Ha a mintafeladatok megoldsa egyeseknektlsgosan is kidolgozottnak tnik, akkor gondoljanak arra, hogy ez a feladatgyjtemny levelez stvoktatsban rsztvev hallgatk szmra is kszlt, akikneknincs mdjuk kontaktrn megszerezni ezeket azismereteket. Egyes anyagrszeknl, a figyelem felkeltse rdekben, kzvetlenebb szhasznlattal, hosszabbszveges magyarzattal tallkozunk. Tesszk mindezt azrt, hogy a mr sokszor visszakszn tpushibkat afeladatok megoldsa sorn az Olvask ne kvessk el.

Ebben a modulban is f clunk, hogy az Olvas sikerlmnnyel gazdagodva sajttsa el az j ismereteket, rezzemeg a matematika szpsgeit, lehetsgeit, hogy kedvvel, nbizalommal s hittel alkalmazza ezeket szakmaimunkja sorn.

2. 7.2 VektortrEbben a fejezetben egy olyan algebrai fogalmat, a vals vektorteret vezetjk be, amelynek segtsgvel alineris egyenletrendszerek elmlete ltalnosabban, absztrakt megkzeltsben trgyalhat.

Egy nemres halmazt valsvektortrnek nevezzk, ha az albbi aximk teljeslnek:

A halmazon rtelmezve van egy sszeads mvelet, amely brmely elemprhoz egyrtelmen

hozzrendel egy -beli -vel jellt elemet.

Az sszeads tulajdonsgai:

i. Az sszeads kommutatv, azaz brmely elemre


6/50

Lineris algebra II.

2


ii.Az sszeads asszociatv, azaz brmely elemre

iii.Ltezik nullelem, azaz van olyan , amellyel brmely elemre

iv.Minden elemnek ltezik ellentettje, azaz brmely elemhez ltezik olyan amelyre

A vals szmok halmaza s a halmaz kztt rtelmezve van egy skalrral val szorzsnak nevezett mvelet

az albbi mdon: brmely s elemprhoz egyrtelmen hozzrendelnk egy -beli elemet,

amelyet -vel jellnk.

A skalrral val szorzs tulajdonsgai:

i. Brmely s esetn

ii.Brmely s esetn

iii.Brmely s esetn

iv.Brmely esetn .

A halmaz elemeit vektoroknak, elemeit skalroknak nevezzk. A vektorokat vastag betkkel fogjuktovbbra is jellni.

A vektortr megadshoz megadjuk a vektorok halmazt, rtelmeznk kt mveletet az sszeadst s askalrral val szorzst, s ellenrizzk, hogy az aximk teljeslnek-e.

Pldk vektorterekre:

1. Az origbl indul sk illetve trvektorok a szoksos vektorsszeadsra s skalrral val szorzsra nzve.

2. Az tpus mtrixok, az elz modulban bevezetett mtrixmveletekre nzve.

3. A vals szmsorozatok, a szoksos mveletekre nzve.

Egy vektortr egy nemres rszhalmazt altrnek nevezzk -ben, ha maga is vektortr

ugyanazokra a -beli mveleteknek -beli megszortsaira nzve.

Az altr nem egyszeren rszhalmaza az adott vektortrnek, mert az altr defincija sokkal mlyebb

kvetelmnyeket tmaszt. Annak az eldntsben, hogy altr-e segt a kvetkez ttel:

Egy vektortrben egy Wnemres rszhalmaz pontosan akkor altr, ha

i. esetn

ii. esetn

Legyen vektortr, s .


7/50

Lineris algebra II.

3


Ekkor a vektort az vektorok skalrokkal kpzett lineris kombincijnaknevezzk.

Az vektorokat a vektortr genertorrendszernek nevezzk, ha minden eleme elll az

vektorok lineris kombincijaknt.

Az vektorok ltal generlt altren az vektorok sszes lineris kombinciinak a halmazt

rtjk. Ezek alteret alkotnak, amit -nel jelljk.

Az vektorok linerisan sszefggk, ha vannak olyan skalrok, amelyek nem

mind nullk, s .

Az vektorok linerisan fggetlenek, ha csak akkor teljesl, amikor

minden . Azaz

Egy vektor linerisan fgg az vektoroktl, ha elllthat az vektorok lineriskombincijaknt.

Bzisonlinerisan fggetlen genertorrendszert rtnk.

Az vektortr trivilis bzisnak nevezzk az egysgvektorokbl llbzist.

Belthat, hogy egy vektortrben brmely kt bzis azonos elemszm.

Egy vektortr dimenzijnegy bzisnak az elemszmt rtjk. Ha a vektortrnek nincs vges bzisa, akkor

a dimenzija vgtelen. A tr dimenzija 0.

Az vektorrendszer rangja , ha az vektorok kztt tallhat linerisan fggetlen, de mrnem.

Az vektorok ltal generlt altr dimenzija az vektorrendszer rangja.

Legyen egy rgztett bzis vektortrben. Ekkor minden egyrtelmen felrhat

alakban. Az skalrokat a vektornak a bzis szerinti koordintinaknevezzk.

2.1. 7.2.1 Feladatok

1. Egy polinomot -fel, a polinom fokszmt -fel, a polinom egytthatit -vel a fegytthatt -neljelljk.

Ha az s , akkor jelentse a kt

polinom sszegt az , s ha , akkor jelentse a

polinom skalrral val szorzatt a .

Vektorteret alkotnak-e a vals egytthats polinomok albbi rszhalmazai a vals test felett?


8/50

Lineris algebra II.

4


a. A pontosan 10-ed fok polinomok:

b. A legfeljebb 10-ed fok polinomok:

c. A legalbb 10-ed fok polinomok .

2. Dntsk el, hogy a vals szmsorozatok albbi rszhalmazai vektorteret alkotnak-e, ha a mveleteket a

szoksos mdon rtelmezzk. A szmsorozatokat -nel jelljk.

a. A korltos sorozatok.

b. A konvergens sorozatok.

c. A monoton nv sorozatok.

d. A monoton sorozatok.

3. Dntsk el, hogy az . fggvnyek albbi rszhalmazai vektorteret alkotnak-e? A fggvnyek

sszeadst s skalrral val szorzst a szoksos mdon rtelmezzk.

a. A folytonos fggvnyek.

b. A periodikus fggvnyek.

4. Melyek igazak az albbi lltsok kzl?

a. Ha egy genertorrendszerhez egy tetszleges vektort hozzvesznk, akkor ismt genertorrendszertkapunk.

b. Ha egy legalbb ktelem genertorrendszerbl egy tetszleges vektort elhagyunk, akkor ismtgenertorrendszert kapunk.

c. Minden legalbb ktelem genertorrendszerben van olyan vektor, amelyet elhagyva a maradk vektoroktovbbra is genertorrendszert alkotnak.

d. Ha egy genertorrendszerben van kt azonos vektor, akkor ezek egyikt elhagyva a maradk rendszertovbbra is genertorrendszer marad.

e. Ha egy genertorrendszerben van kt azonos vektor, akkor ezek mindegyikt elhagyva a maradk rendszertovbbra is genertorrendszer marad.

f. Egy legalbb ktelem genertorrendszerben akkor s csak akkor van olyan vektor, amelyet elhagyva amaradk vektorok tovbbra is genertorrendszert alkotnak, ha a genertorrendszer valamelyik elemefelrhat a tbbi elem lineris kombincijaknt.

5. Hogyan vltoznak egy vektor koordinti, ha a bzisban

a. kt elemet felcserlnk,

b. az egyik bziselemet egy nemnulla skalrral megszorozzuk,

c. az egyik bziselemhez egy msik -szorost hozzadjuk.

6. Adjuk meg az sszes olyan vektort, amelynek a koordinti brmely bzisban ugyanazok.

7. Tekintsk -ban a bzist. Adjuk meg ebben a bzisban az , vektorok

koordintit!


9/50

Lineris algebra II.

5


8. Adott kt vektor: . Hatrozzuk meg az vektor koordintit az bzisravonatkozan!

Megoldsok:

1. a) nem, b) igen, c) nem.

2. a) igen, b) igen, c) nem, d) nem.

3. a) igen, b) nem.

4. a) igaz, b) hamis, c) hamis, d) igaz, e) hamis, f) igaz.

5. a) A megfelel kt koordinta megcserldik.

b) Az adott koordinta -val szorzdik.

c) Ha az eredeti koordintk s , akkor az j koordintk s lesznek.

6. Csak a nullvektor ilyen.

7. Keressk azokat az koordintkat, amelyekre

Legyen akkor

A keresett koordintk: , a msik kt vektor esetben rendre s

Ellenrzs:

8.

Teht az vektor koordinti az bzisra vonatkozan: .

3. 7.3 A bzistranszformci s alkalmazsai

A 7.2.1 fejezet 8. feladat megoldsnl lthattuk, hogy lehetsg van a vektortr egyik bzisrl egy msikbzisra ttrni. Megmutattuk, hogy szmthatjuk ki egy adott vektor koordintit ebben az j bzisban.


10/50

Lineris algebra II.

6


A vektortr egy bzisrl a vektortr egy msik bzisra val ttrst bzistranszformcinak nevezzk. Abzistranszformcinak azt a specilis esett, amikor a kt bzis csak egy vektorban tr el egymstl elemibzistranszformcinaknevezzk.

Legyenek a vektortr egy bzisa. Legyen tetszleges vektor, amelynek

koordinti az adott bzisra vonatkozan . Belthat, hogy ha , akkorvektorok is bzist alkotnak vektortrben. A vektor annyi bzisvektor

helyre vihet be, ahny zrustl klnbz koordintja van.

Vizsgljuk meg, hogy az j bzisra val ttrs milyen vltozst okoz egy tetszleges vektorkoordintiban.

Legyen tetszleges vektor, amelyek a bzisvektorok fel-hasznlsval az

alakban, a vektor pedig a

alakban rhat.

Fejezzk ki a vektort ( egyenletbl:

Az gy kapott vektort helyettestsk a egyenletbe:

A kapott egyenletbl az -val szorzs, s a lehetsges sszevonsokat kveten a kvetkez egyenletetkapjuk:

+

.

A jobb ttekinthetsg kedvrt foglaljuk az eredmnyeket az albbi tblzatba:


11/50

Lineris algebra II.

7


1. bra

A knnyebb szmols kedvrt tekintsk t a kvetkez formalizmust.

Az vektor koordintit az j bzisban az albbiak szerint hatrozzuk meg: A generl elem sorban lv

koordintt, azaz koordintt osztjuk a generl elemmel.

Az vektor els koordintjt az j bzisban gy hatrozhatjuk meg, hogy a tblzatban, a piros kerettel jellt

tglalapban, csak a tglalap cscsaiban lv elemekkel kell szmolnunk. Az koordintbl kivonjuk a nyllal

jellt elemek szorzatnak s a genertor elemnek a hnyadost. Az koordinta meghatrozshoz majdhasznljuk a zld tglalapot, az eljrs hasonl. A tbbi koordinta is kiszmolhat egy -egy megfelel tglalap

cscsaiban tallhat szmokkal dolgozva.

Plda: Adott kt vektor, . Ezeknek a vektoroknak a koordinti az trivilis

bzisra vonatkoznak. Hatrozzuk meg az vektor koordintit az bzisra vonatkozan.


12/50

Lineris algebra II.

8


2. bra

Teht .

3.1. 7.3.1 Vektorrendszer rangjnak a meghatrozsa

Egy vektorrendszer rangjnak a meghatrozsa a vektorrendszerben tallhat linerisan fggetlen vektorok

szmnak megllaptsval trtnik. Az elz modulban mr lttunk erre megoldsokat, de most ezt a feladatotaz elemi bzistranszformcival fogjuk vgezni. Ltni fogjuk, hogy ez a megolds azzal az elnnyel jr, hogykevesebb szmolssal jutunk ugyanahhoz a vgeredmnyhez.

Plda: Tekintsk az vektorokat. llaptsuk meg avektorrendszer rangjt, s adjuk meg, hogy milyen sszefggs van a vektorok kztt!

Tekintsk az albbi tblzatot. Els lpsknt az vektor kerl az vektor helyre. Az els sorbl mrvlasztottunk generl elemet, ezrt csak a msodik, harmadik vagy negyedik sorbl vlaszthatunk ismt. Amsodik sor minden eleme nulla, s nullt nem vlaszthatunk generl elemnek. A vlasztshoz szba jhet

sor a harmadik s a negyedik. Mi a harmadik sort vlasztottuk. Ezrt a kvetkez lpsben az vektor kerl az

vektor helyre. Tovbbi transzformcit mr nem tudunk vgezni, mert a msodik s a negyedik sorban csak

nullk szerepelnek. Az j bzis: amelybenfelrhatjuk j koordintit.

3.2. 7.3.2 Kompatibilits

A vektor kompatibilis az vektorok ltal generlt altrrel, ha eleme ennek az altrnek, azaz

felrhat az vektorok lineris kombincijaknt.

Plda: Legyen s .

llaptsuk meg az vektorrendszer rangjt, s dntsk el, hogy a vektor kompatibilis-e az

vektorokkal. rjuk fel a vektort az vektorok lineris kombincijaknt.

A megoldst elemi bzistranszformcival vgezzk.


13/50

Lineris algebra II.

9


4. bra

Mivel az vektorok mindegyike felrhat az lineris kombincijaknt, a vektorrendszer rangjakett.

Mivel , ezrt kompatibilisaz vektorrendszerrel.

3.3. 7.3.3 Mtrix rangjnak a meghatrozsa

A hatodik modulban definiltuk, hogy az mtrix oszloprangja , ha oszlopvektorai kztt tallhat

linerisan fggetlen, de -nl tbb linerisan fggetlen oszlopvektor mr nem.

Az mtrix sorrangja , ha sorvektorai kztt tallhat linerisan fggetlen, de -nl tbb linerisanfggetlen sorvektormr nem.

Belthat, hogy egy mtrix oszloprangja s sorrangja egymssal megegyezik, ezrt ezeket rviden a mtrixrangjnak nevezzk. Ennek ismeretben a mtrix rangjnak a meghatrozshoz elegend a mtrixoszlopvektoraibl ll vektorrendszer rangjt meghatrozzuk, amely ugyangy trtnik, mint ahogy azt a 7.3.1fejezetben bemutattuk.

Plda: Hatrozzuk meg az mtrix rangjt!

5. bra

A mtrix rangja kett.

3.4. 7.3.4 Lineris egyenletrendszerek megoldsabzistranszformcival

Az lineris egyenletrendszer pontosan akkor megoldhat, ha a vektor kompatibilis azegytthatmtrix oszlopvektortervel.

Plda: Oldjuk meg elemi bzistranszformcival a kvetkez egyenletrendszert!


14/50

Lineris algebra II.

10


A szmtsokat az elz pldk alapjn vgezzk, de a tblzatban az os zlopvektorok alatt azoszlopvektorokhoz tartoz ismeretleneket is jelljk.

Tovbb, a generl elem oszlopt is tovbb szerepeltetjk a tblzatban gy, hogy a generl elem helyett 1 -etrunk, az sszes tbbi elem pedig nulla. Ltni fogjuk, hogy ezzel a jellssel az utols tblzatbl a linerisegyenletrendszer megoldsa knnyen lthatv vlik.

A tblzat elksztst kveten az egyenletrendszer megoldsnak befejezshez tbb lehetsg kzl

vlaszthatunk. Az egyik lehetsg szerint abbl indulunk ki, hogy a vektor felrhat az vektorok

lineris kombincijaknt, tovbb s .

Tudjuk, hogy az egyenletrendszer gy rhat, hogy , ahol az

egytthatmtrix oszlopvektorai s az ismeretlenek.

Helyettestsk az egyenletbe a vektorokra kapott sszefggsket:

Az egyenletet nullra reduklva s rendezve azt kapjuk, hogy:

Mivel az vektorok linerisan fggetlen rendszert alkotnak, ezrt a lineris fggetlensg defincijaszerint:

ahol szabad ismeretlenek.

Ez a megolds szemlletesen mutatja a lineris fggetlensg s az egyenletrendszer megoldhatsga kzttikapcsolatot. A bzistranszformci lpseit tartalmaz tblzat pedig egy gyors s ttekinthet szmolsialgoritmust mutat az oszlopvektorok kztti sszefggsek megllaptsra.

Tudunk azonban egy ennl mg gyorsabb megoldst is bemutatni. Az elemi bzistranszformci lpseinlvoltakpp mindig egymssal ekvivalens egyenletrendszereket rtunk fel. Az utols tblzathoz tartozegyenletrendszer:

Termszetesen ezt soha nem kell gy lernunk, de a jobb megrts kedvrt most tegyk meg. Vegyk szre,hogy ha Gauss elimincival oldottuk volna meg a feladatot ugyanehhez az eredetivel ekvivalensegyenletrendszerhez jutottunk volna, nmileg hosszabb szmols utn. Innen a megolds mr az ismertalgoritmus szerint folyik:

ltalnos megolds:

Szabad ismeretlenek: .

Az utols tblzat els sorbl felrjuk, hogy .

A tblzat msodik sorbl felrhatjuk, hogy: .


15/50

Lineris algebra II.

11


Kttt ismeretlenek: s .

Partikulris megolds: szabadon vlaszthat. Legyen pl. ekkor .

Bzismegolds: A szabad ismeretleneket nullnak vlasztva: .

Leolvashat, hogy az egytthatmtrix rangja kett.

3.5. 7.3.5 Homogn lineris egyenletrendszerek megoldsabzistranszformcival

Az homogn lineris egyenletrendszernek akkor van trivilistl klnbz megoldsa, ha azegytthatmtrix oszlopvektortere linerisan sszefgg rendszert alkot.

Plda: Oldjuk meg az albbi homogn lineris egyenletrendszert:

A bzistranszformci tblzata hasonl az elzekhez, de itt a vektort nem szerepeltetjk, mert ez atranszformci sorn vgig nulla marad.

ltalnos megolds:

Szabad ismeretlen: .

A tblzat msodik sornak utols rsze alapjn felrhatjuk, hogy: .

A tblzat els sornak utols rsze alapjn felrhatjuk, hogy .

Kttt ismeretlenek: s .

Partikulris megolds:

A szabad ismeretlen vlasztsa esetn s .


Oldjuk meg az albbi lineris egyenletrendszereket elemi bzistranszformcival.

Adjuk meg a partikulris s bzismegoldst is!

Milyen sszefggsek mondhatk az egytthatmtrix oszlopvektorterre? Kompatibilis-e a vektor azegytthatmtrix oszlopvektortervel? Mennyi az egytthatmtrix rangja?

1.

2.


16/50

Lineris algebra II.

12


3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Hatrozzuk meg az paramterek rtkt gy, hogy az albbi lineris egyenletrendszereknek

a. ne legyen megoldsa

b.pontosan egy megoldsa legyen,

c. vgtelen sok megoldsa legyen!

10.

11.

12.

Megoldsok:


17/50

Lineris algebra II.

13


1.

A bzistranszformci tblzata:

Az egytthatmtrix oszlopvektorterre mondhat lltsok:

Az egytthatmtrix rangja .

ltalnos megolds:

Kttt ismeretlenek: , .

Szabad ismeretlenek: .

Bzismegolds:

Partikulris megolds: .

2.


10. bra


Az egytthatmtrix rangja

ltalnos megolds:

Kttt ismeretlenek:


18/50

Lineris algebra II.

14



Bzismegolds:

Partikulris megolds:

3.


11. bra

Az egytthatmtrix oszlopvektorai linerisan fggetlen rendszert alkotnak.

Az egyenletrendszernek egy megoldsa van:


4.

12. bra


Az egytthatmtrix rangja

ltalnos megolds:

Kttt ismeretlenek:


19/50

Lineris algebra II.

15



Bzismegolds:

Partikulris megolds: .

5.

13. bra

Az egytthatmtrix oszlopvektorai linerisan fggetlen rendszert alkotnak.

Az egyenletrendszernek egy megoldsa van: .


6.

14. bra

Az egyenletrendszernek nincs megoldsa, mert a kkkel jellt sor tilos sora:

.

7. ltalnos megolds: szabad ismeretlenek,

kttt ismeretlenek.

8.

A homogn lineris egyenletrendszer tblzata:


20/50

Lineris algebra II.

16


15. bra



ltalnos megolds:

Kttt ismeretlenek:

Szabad ismeretlenek:

9. ltalnos megolds: szabad ismeretlen.

Kttt ismeretlenek: .

10.

A bzistranszformci alkalmazsa sorn kapott paramtereket tartalmaz tblzat:

16. bra

a. Ha s , akkor az utols egyenlet alak, ezrt nincs megolds.

b. Ha , akkor egyrtelm megoldst kapunk.

c. Ha s , akkor az utols egyenlet alak, teht az egyenletrendszernek vgtelensok megoldsa van.

11. a) Ha s , akkor nincs megolds.

b) Ha , akkor egyrtelm megoldst kapunk.

c) Ha s , akkor vgtelen sok megolds van.

12. a) Ha s , akkor nincs megolds.


21/50

Lineris algebra II.

17


b) Ha , akkor egyrtelm megoldst kapunk.

c) Ha s , akkor vgtelen sok megolds van.

4. 7.4 Lineris lekpezsek

Legyenek s vektorterek. Az fggvnyt (homogn) lineris lekpezsnek nevezzk, hamvelettart, azaz

1. minden esetn ,

2. minden s esetn .

A lineris lekpezs teht minden elemhez egyrtelmen hozzrendel egy elemet. Ahol ez

nem idzhet el flrertst, az helyett -t fogunk rni.

Vezessk be a kvetkez jellst: a lineris lekpezsek halmazt jelljk -vel. Ekkor

jelli a lineris lekpezsek halmaznak egyik elemt.

Ha s , akkor a vektort az vektor skpneknevezzk. Ha nem injektv lekpezs, akkornem egyrtelm.

A mveleteket azrt jelltk klnbz sznekkel, mert a pirossal jellt sszeads s skalrral val szorzs a -

beli, a zld pedig a -beli mveletet jell.

A lineris lekpezs sszegtartsbl s skalrszorzat tartsbl knnyen belthat, hogy a nullelemet, az

ellentettet s a lineris kombincit is megtartja, azaz, ha jelli a -beli nullelemet, s jelli a -beli

nullelemet, akkor

i. ,

ii. ,

iii.

Az lineris lekpezs kptere a kpelemek halmaza, rtkkszlete, azaz

Az lineris lekpezs magtere a nullvektorra kpez elemek halmaza, azaz

Belthat, hogy altere -nek, s altere -nek.

Specilisan azokat a lineris lekpezseket, amikor , a vektortr lineris transzformciinak

nevezzk. Lineris transzformci esetn elfordulhat, hogy a kptr nem a teljes , tovbb tbb vektornak islehet ugyanaz a kpe.

Vezessk be a kvetkez jellst: a lineris transzformciinak halmazt jelljk -vel, ekkor

azt jelenti, hogy a lineris transzformci.


22/50

Lineris algebra II.

18


Pldklineris transzformcikra

1. Tekintsk a hromdimenzis teret, s legyen . jelentse az sk tengely krl adott

irny s adott szg elforgatst. Brmely vektornak az az vektor felel meg, amelybe az illet vektoraz adott forgats rvn tmegy. Nem nehz beltni, hogy az 1) s a 2) felttel teljesl. Igazoljuk az 1)

felttelt. azt jelenti, hogy az vektort sszeadjuk, azutn pedig a kapott vektort elforgatjuk.Az viszont azt jelenti, hogy -et s -t elbb elforgatjuk, s csak azutn sszegezzk. Vilgos,hogy az eredmny mindkt esetben ugyanaz.

2. Tekintsk azt a lineris transzformcit, amely minden -beli vektorhoz hozzrendeli az

skra vonatkoz tkrkpt.

3. Legyen s legyen mtrix. Feleltessk meg minden vektornak az

vektort, amelyet gy kapunk, hogy az vektort szorozzuk az mtrixszal, ez a hozzrendels az

egy lineris transzformcija.

4. Tekintsk a legfeljebb -ed fok polinomok dimenzis vektrortert. Legyen , ahol apolinom derivltja. Ez a transzformci lineris, ugyanis

1. ,

2. .

A lineris transzformcik kztt klnleges szerepet jtszik a kvetkez kt egyszer transzformci:

Az lineris transzformcit egysgtranszformcinak vagy identitsnak nevezzk, ha mindenvektornak nmagt felelteti meg, azaz

A lineris transzformcit zrustranszformcinak nevezzk, ha minden vektornak azrusvektort felelteti meg.

Ha egy lineris lekpezs klcsnsen egyrtelm megfeleltetst ltest s kztt, akkorizomorfizmusnaknevezzk. Az izomorfizmus mr a magtrrl s a kptrrl felismerhet. Belthat, hogy egy

lineris lekpezs pontosan akkor izomorfizmus, ha s .

Kt vektorteret izomorfnak neveznk, ha van kzttk izomorfizmus. Ha vektortrizomorf vektortrrel,

azt a -vel jelljk.

Az izomorf vektorterek algebrai szempontbl megklnbztethetetlenek egymstl. Az izomorfia reflexv,szimmetrikus s tranzitv, azaz

i.

ii.ha akkor ,

iii.ha s , akkor .

Belthat, ha s vges dimenzij vektorterek, akkor s pontosan akkor izomorf, ha .

4.1. 7.4.1 A mtrixok s a lineris lekpezsek sszefggse


23/50

Lineris algebra II.

19


A fejezetben csak vges dimenzij vektorterekkel foglalkozunk. A lineris lekpezsek egyik fontos

tulajdonsga, hogy ha bzis a vektortrben, s tetszleges elemek a

vektortrben, akkor pontosan egy olyan lineris lekpezs ltezik, amelyre

azaz amely a bziselemeketrendre a elemekbe viszi.

Ennek a ttelnek a felhasznlsval a lineris lekpezseket ltalban gy adjuk meg, hogy a bziselemek kpeitvlasztjuk meg. Belthat, hogy klcsnsen egyrtelm megfeleltets van a vges dimenzijvektortereklineris lekpezse s a mtrixok kztt. Ez a fontos ttel lehetv teszi, hogy a lineris lekpezseketmtrixokkal adjuk meg, ugyanakkor minden mtrix egy lineris lekpezst is reprezentl. gy lekpezsekrevonatkoz lltsokat mtrixok segtsgvel igazolhatunk. Gyakorlati alkalmazsokban lekpezsek helyettszinte mindig mtrixokkal dolgozunk.

Legyen a vektortr egy bzisa , s legyen a vektortr egy bzisa . Egy

lineris lekpezs s bzispr szerinti mtrixn azt a -es

mtrixot rtjk, amelynek -edik oszlopban az vektornak a bzis szerinti koordinti

llnak. Ezt a mtrixot -vel jelljk.

Rszletezve:

Ekkor .

Az mtrix oszlopvektorai az bziselemek kpei bziselemek segtsgvelfelrva. A mtrix termszetesen fgg a bzisok vlasztstl, ugyanis ms bzispr esetn a mtrix is vltozik.

Lineris transzformcik esetn, ha a bzis az , n. trivilis bzis, akkor az jells helyett

rviden az jellst alkalmazzuk.

A hatodik modulban definiltuk a szm-n-esek, az oszlopmtrix ill. az oszlopvektor fogalmt. Megmutattuk,

hogy ezek kztt klcsnsen egyrtelm megfeleltets van.

A tovbbiakban megmutatjuk, hogy ha ismert egy lineris lekpezs mtrixa, akkor egy tetszleges

-beli vektornak hogy adhatjuk meg a -beli kpt.

Legyen vektortr egy bzisa az s legyen egy tetszleges vektor. Tudjuk, hogy a

vektor felrhat az vektorok lineris kombincijaknt, teht

alakban. A szmokat a vektor bzisra vonatkoz koordintinak nevezzk.

Ltni fogjuk, hogy clszer a vektor koordintit oszlopmtrixban felrni, s mivel a koordintk fggnek abzis vlasztstl, rdemes a jellsben azt a bzist is szerepeltetni, amelyben a vektor koordintit felrtuk:


24/50

Lineris algebra II.

20


Legyen a vektortr egy bzisa az s legyen a vektortr egy bzisa ,

lineris lekpezs, s tetszleges vektor.

Ekkor

ahol a jobb oldalon kt konformbilis mtrix szorzata ll, ugyanis s , teht a

szorzs eredmnye: .

Plda

Lineris lekpezs-e az az lekpezs, amely minden vektorhoz az vektort

rendeli hozz. Vlasszuk -ban az trivilis bzist. Ha lineris lekpezs, adjuk meg a lekpezs

mtrixt, s a vektor kpnek koordintit a trivilis bzisban! Mi lesz a lekpezs kptere smagtere?

Ellenrizzk, hogy teljesl-e az felttel!

Mivel , teht a lekpezs lineris transzformci,

amely, mint geometribl mr ismert, az skra val merleges vetts.

Mivel:

a lekpezs mtrixa: .

A vektor merleges vettettjnek a koordinti:

.

, teht az sk.

(teht a koordintj pontok), vagyis a harmadik tengely.

4.2. 7.4.2 Sajtrtk, sajtvektor


25/50

Lineris algebra II.

21


Ebben a fejezetben vges dimenzis vektorterek olyan lineris transzformciival foglalkozunk, amelyekhezltezik olyan nemnulla vektor, melyet a transzformci a skalrszorosba kpez, azaz e vektorok atranszformci sorn a sajt egyeneskben maradnak. Ezeket a vektorokat sajtvektoroknak, a megfelelskalrt, azaz a nagyts mrtkt sajtrtknek nevezzk.

Egy skalrt az lineris transzformci sajtrtknek neveznk, ha ltezik olyan

nemnulla vektor, amelyre .

Egy nemnulla vektort, az lineris transzformci sajtvektornak neveznk, ha ltezik olyan

skalr, amelyre .

A sajtrtk defincijban a nullvektort mindenkppen ki kell zrni, mert az minden -ra fennll,

vagyis a kikts nlkl minden sajtrtk lenne.

A sajtvektoroknl teht a sajtrtk egyrtelmsge miatt rdemes kihagyni a nullvektort, mert gy belthat,hogy minden sajtvektorhoz csak egy sajtrtk tartozik.

A sajtrtkek krbl nem zrtuk ki a skalrt. A nulla pontosan akkor sajtrtke -nak, ha, a sajtvektorok pedig a magtr nemnulla elemei.

Egy adott sajtrtkhez tartoz sszes sajtvektor s a nullvektor alteret alkotnak. Ezt az alteret a -hoz tartozsajtaltrneknevezzk. A sajtrtk defincija alapjn a sajtaltr nem llhat egyedl a nullvektorbl.

A kvetkez ttel a sajtrtkek megkeressheznyjt segtsget:

Legyen lineris transzformci s bzis -ben. Egy skalr akkor s csak

akkor sajtrtke -nak, ha az mtrix determinnsa nulla:

Ugyanis akkor s csak akkor sajtrtk, ha van olyan vektor, amelyre , azaz .

Ezzel ekvivalens az homogn lineris egyenletrendszer, amelynek akkor van trivilistl

klnbz megoldsa, ha

Az lineris transzformci karakterisztikus polinomjn a polinomot

rtjk, amely fggetlen a -beli bzis vlasztstl.

Plda: Hatrozzuk meg az mtrixszal megadott lineris transzformci sajtrtkeit s ahozzjuk tartoz sajtvektorokat!

A karakterisztikus polinom: , ennek a msodfok egyenletnek a megoldsai s

A sajtrtkekhez tartoz sajtvektorok:

sajtrtk esetn:


26/50

Lineris algebra II.

22


ahol

.

sajtrtk esetn:

ahol


1. Legyen az a lineris transzformci, amely a vektoroknak az skra val vettsbl ll.

Lttuk, hogy trivilis bzisban a transzformci mtrixa: . Hatrozzuk meg ugyanennek a

transzformcinak a mtrixt az bzisra vonatkozlag, ahol

2. Legyen a vektortregy bzisa , s legyen a vektortr egy bzisa . Hogyan

vltozik meg egy lekpezs mtrixa, ha a megfelel bzisban

a. -t s -t felcserljk,

b. -t s -t felcserljk,

c. helyett -t vesznk, ahol ,

d. helyett -t vesznk, ahol ,

e. helyett -t vesznk,

f. helyett -t vesznk?

3. Hatrozzuk meg az albbi mtrixokkal megadott lineris transzformcik sajtrtkeit s a hozzjuk tartozsajtvektorokat!

a.

b.

c.

d.


27/50

Lineris algebra II.

23


e.

f.

Megoldsok:

1. A transzformci mtrixa j bzisban: .

2. a) Az els kt oszlop felcserldik.

b) Az els kt sor felcserldik.

c) A harmadik oszlop -val szorzdik.

d) A harmadik sor -val osztjuk.

e) A harmadik oszlophoz hozzaddik a msodik oszlop -szrse.

f) A harmadik sorbl levonjuk a msodik sor -szrst.

3. a)

.

.

A karakterisztikus polinom: , ennek a msodfok egyenletnek a megoldsai s

A sajtrtkekhez tartoz sajtvektorok:

sajtrtk esetn:

ahol .

sajtrtk esetn:

ahol .

b) Nincsenek vals sajtrtkek.


28/50

Lineris algebra II.

24


c)

.

.

A sajtvektorok:

ahol .

d) .

A -hoz tartoz sajtvektor: ahol .

A -hez tartoz sajtvektor: ahol .

A -hz tartoz sajtvektor: ahol .

e) .



A -hz tartoz sajtvektor: ahol .

f) A sajtrtk:

A -hez tartoz sajtvektor: ahol

5. 7.5 Lineris programozs

A lineris programozs ltalnos feladata lineris fggvny szlsrtknek keresse bizonyosfelttelek mellett. A felttelek lineris egyenletek, vagy egyenltlensgek s a vltozkra vonatkoz

nemnegativitsi kvetelmnyek ltal meghatrozott konvex polider. A gyakorlati feladatok ltalban akvetkez n. normlalakban adottak.


29/50

Lineris algebra II.

25


Legyen lineris fggvny, azaz adott mellett . Keressk ennek az n.clfggvnynek a maximumt az albbi felttelek mellett:

Az mtrixot technolgiai egytthat mtrixnak, elemeit technolgiaiegytthatknak nevezzk.

A vektor a kapacitsvektor, a vektor elemei a clfggvny egytthati.

Ha az ismeretlen kielgti a feladat s feltteleit, s a clfggvny rtke maximlis e

felttelek mellett, akkor neve optimlis megolds. Elfordulhat, hogy tbb optimlis megolds is van, akkoralternatv optimumrl beszlnk. Termszetesen az is elfordulhat, hogy a feladatnak nincs megoldsa.

A lineris programozsi feladat grafikus s szimplex mdszerrel trtn megoldst a mintapldkon keresztlmutatjuk be.

1. Plda: Egy magyarorszgi divatcg klfldi megrendelsre dolgozik. Farmernadrgokat s kabtokatgyrtanak. A nadrgok elksztshez egy normarra, a kabtok elksztshez kt normarra van szksg.

A nadrg s a kabt mindegyikhez kt mter anyagra van szksg, de a nadrghoz mg 2m szegdszt ishasznlniuk kell, amit csak importbl tudnak beszerezni. Az zem napi 10 normarban tud termelni.Alapanyagbl napi 12 mter ll rendelkezsre, az import szegbl 8 mtert tudnak naponta beszerezni. Anadrgokon darabonknt 2000Ft, a kabtokon 3000Ft haszna van a cgnek. Hny nadrgot s kabtot

gyrtsanak, hogy a nyeresg maximlis legyen?

A jobb ttekinthetsg kedvrt foglaljuk a feladat adatait egy tblzatba:

17. bra

A tblzat segtsgvel a kvetkez matematikai modellrhat fel:

Tegyk fel, hogy darab nadrgot, s darab kabtot gyrtunk. Mivel negatv szm munkadarabot nemtermelnk, ezrt feltesszk, hogy

s .

Csak annyi termket gyrthatunk, amely normara, alapanyag s import tekintetben nem lpi tl azt akapacitst, amely a rendelkezsnkre ll. Ezen felttelek alapjn az albbi egyenltlensgeket rhatjuk fel:

normarra:


30/50

Lineris algebra II.

26


alapanyagra:

importra:

A maximalizland clfggvny , amit a kvetkezkppen jellhetnk:

maximlis.

Kiemelssel lthat, hogy a maximlis feladat megoldsai azonosak az eredetivel.

18. bra

A feladat grafikusmegoldsa:

A felttelek a sk egy poligonjt jellik ki. A poligon cscspontjait extremlis pontoknak nevezzk. Ezek a

feladatban A poligon minden bels s hatrol pontjamegolds, mert kielgti a feladatban meghatrozott feltteleket. E megoldsok kzl keressk az optimlisakat,vagyis azokat, amelyek az zem szmra a maximlis bevtelt jelentik. Ezeket a megoldsokat megkapjuk a

clfggvny brzolsval. A clfggvny minimuma az felttelek miatt nyilvn nulla. Elszr

brzoljuk a clfggvny zrushelyeit, amelyek a egyenlet egyenes pontjai. A feltteleknek

csak felel meg, ami azt jelenti, hogy nem gyrtunk semmit. Az egyenest prhuzamosan eltolva a

pozitv sknegyedben, az eltolt egyenes szakaszban metszi a poligont, majd csak a cscspontban.Belthat, hogy ez az optimlis megolds.

Az albbi tblzatban sszefoglaljuk a clfggvny rtkeit az extremlis pontokban:

19. bra

A grafikus megoldsbl lthat, hogy az az optimlis megolds, ha kt farmernadrgot s ngy kabtotgyrtanak. Ekkor a cg napi nyeresge maximlis, 16.000 Ft.

A grafikus megolds ebben az egyszer ktvltozs esetben nagyon kedveznek tnik. A gyakorlati letbentermszetesen tbb vltoz s tbb felttel esetben kell, hogy a megoldst megadjuk, amelyhez a grafikusmegolds mr nem alkalmazhat.


31/50

Lineris algebra II.

27


Az albbiakban ismertetett, szimplex mdszer szmtgpen is jl programozhat megoldst adja afeladatnak. A szimplex mdszer a grafikus elgondols tfogalmazsa. Mr kt dimenziban is lthat volt, hogyaz egyenesek metszspontjt mindig a kt egyenes egyenlete ltal alkotott lineris egyenletrendszermegoldsval nyertk. Visszavezethetjk teht a feladat megoldst a lineris egyenletrendszerek megoldsnakelmlethez.

A szimplex mdszer kezdtblja

Az a tblzat, amelynek a bal fels rsze a technolgiai egytthat mtrix, a jobb fels rsze a kapacitsvektor,az als sorban a clfggvny egytthati szerepelnek.

20. bra

A szimplex mdszer lpsei

1. A generl elem oszlopnak kivlasztsa: az als (piros) sorban csak nemnegatv elemhez tartoz oszlopvlaszthat. Ha az als sorban mr csak negatv szmok tallhatak, akkor az eljrs vget rt.

2. Egy oszlopban tbb elem tallhat, de ezek kzl nem lehet akrmelyik generl elem. A generl elemetgy kell kivlasztani, hogy az

csak pozitv lehet;

szk keresztmetszetet kell kpviselnie, teht a kapacitsoszlop minden elemt elosztom a kivlasztottoszlop ugyanazon sorban lv elemvel, s ezek kzl az lesz a generl elem, ahol ez a hnyados alegkisebb.

3. A generl elem helyre annak reciproka kerl.

4. A generl elem sort osztjuk a generl elemmel.

5. A generl elem oszlopt osztjuk a generl elemmel s szorozzuk -gyel.

6. A tbbi hinyz elemet az elemi bzistranszformcinl tanult lpsekkel szmoljuk ki.

A szimplex tblzatok:1. Plda Kiindul tbla: A(0,0) pont

Az als sor egyetlen eleme sem negatv, teht brmelyik oszlopot vlaszthatjuk. rdemes az oszlop

vlasztsakor egy msik szempontot is figyelembe venni. Ha az els oszlopot vlasztjuk, akkor az tengelymentn fogunk elindulni az irnyban. Ez az indul tblzattal egytt ngy szimplex tbla

kiszmtst fogja jelenteni. Ha a msodik oszlopot vlasztjuk, akkor az tengely mentn fogunk elindulni, gy

pontokon keresztl jutunk el a megoldshoz, amely az indul tblval egytt csak hrom szimplextblzat kiszmtst jelenti. Fontos, hogy megjegyezzk, ez a mrlegelsi lehetsg csak most a grafikusmegolds ismeretben lehetsges. Vlasszuk a msodik oszlopot. A generl elem kivlasztsa az n. szkkeresztmetszet szerint trtnik:


32/50

Lineris algebra II.

28


21. bra

A msodik tblzatban az egyenes, vagyis az tengely, s az egyenes metszspontjt szmtjuk ki.

22. bra

pont

Nyeresg: 15000Ft

Mivel az als sorban van nemnegatv elem, az algoritmust tovbb folytatjuk, most az s egyenesekmetszspontjt szmtjuk ki.

22. bra

pont

Nyeresg: 16000Ft

Teht kt nadrgot s ngy kabtot kell gyrtaniuk naponta.

2. Plda alternatv optimum meghatrozshoz

Egy zem ktfajta termk ellltsra alkalmas. Ksztsk el az zem maximlis nyeresget hoz termelsitervt, s szmtsuk ki a nyeresget az albbi informcik alapjn.


33/50

Lineris algebra II.

29


23. bra

Matematikai modell:

s

Clfggvny: maximlis.

Grafikus megolds:

25. bra

Az brrl lthat, hogy a megolds nem egy pont, hanem a szakasz. Ilyenkor alternatv optimumrlbeszlnk, ami azt jelenti, hogy a szakasz brmely egsz koordintj pontja megolds.


34/50

Lineris algebra II.

30


26. bra

Az zem gyrthat az A termkbl 6 darabot s a B termkbl 2 darabot vagy az A termkbl 5 darabot, s a Btermkbl 4 darabot a maximlis nyeresg elrshez.

Megolds szimplex mdszerrel:

27. bra

28. bra

29. bra

Az els oszlopbl ismt vlasztunk generlelemet.

30. bra

Ha az els oszlopbl megint vlasztannk generlelemet, akkor ismt a harmadik tblzatot kapnnk. Azalgoritmus vget rt.


35/50

Lineris algebra II.

31


Megolds: alternatv optimum. Az zem gyrthat az A termkbl 6 darabot s a B termkbl 2 darabot, vagy azA termkbl5 darabot s a B termkbl 4 darabot a maximlis nyeresg elrshez. Lehetsges megoldsokmg a CD l egsz koordintj pontjai is.

3. Plda: Oldjuk meg az albbi norml feladatot!


31. bra

32. bra

33. bra

A harmadik tblzat utols sorban csak negatv elemek vannak, ezrt a tblzat optimlis, s a feladatnak

egyetlen optimlis megoldsa van.

Az optimlis megolds ,

Nyeresg: 10 egysg.


1. Az albbi gazdasgi modellel megadott linerisprogramozsi feladatban hatrozzuk meg, hogy az egyestermkekbl mennyit kell termelni, hogy a haszon maximlis legyen!

rja fel a matematikai modellt! Szmtsa ki a megoldst

a) grafikus mdszerrel,

b) szimplex mdszerrel!


36/50

Lineris algebra II.

32


34. bra

35. bra

36. bra

2. Oldjuk meg az albbi norml feladatot!

Megoldsok:

1.a) Matematikai modell:

Clfggvny: maximlis.



37/50

Lineris algebra II.

33


37. bra

Nyeresg: 0

38. bra

Nyeresg: 1500

39. bra

Nyeresg: 1700

A tblzat utols sorban csak negatv elemek vannak, ezrt a tblzat optimlis s a feladatnak egyetlenoptimlis megoldsa van.


Nyeresg: 3400 egysg.

b) Matematikai modell:

Clfggvny: 1 maximlis.



38/50

Lineris algebra II.

34


40. bra

Nyeresg: 0

41. bra


Nyeresg: 1000 egysg.

c) Matematikai modell:

Clfggvny: maximlis.

42. bra

Nyeresg: 0

43. bra


39/50

Lineris algebra II.

35


Nyeresg: 1500

44. rba

Nyeresg: 1700

45. bra

Nyeresg: 1700

Alternatv optimum: szakasz minden egsz koordintj pontja megolds.

2. Megolds szimplex mdszerrel:

46. bra

47. bra


40/50

Lineris algebra II.

36


48. bra

A tblzat utols sorban egy pozitv elem tallhat, azonban ez az oszlop nem tartalmaz pozitv elemet, gyebbl azoszlopbl nem tudunk generl elemet vlasztani. A feladatnak nincs optimuma. (A clfggvny nemkorltos a lehetsges megoldsok halmazn.)

6. 7.6 Tlhatrozott egyenletrendszerekTlhatrozott egyenletrendszereknek nevezzk azokat az egyenletrendszereket, amikor a tbb az egyenlet, mint

az ismeretlen.

A mrnki gyakorlatban, gy pldul a geodziai mrsek sorn is, a nagyobb megbzhatsg rdekben aminimlisan szksges mrseknl tbb mrst vgeznek. A mrsi eredmnyeknek bizonyos matematikaifeltteleknek kell eleget tennik. Ilyen felttelek lehetnek, hogy a mrs sorn meghatrozott pontok egyegyenesre, egy skra, vagy egy ms bonyolultabb alakzatra, felletre illeszkedjenek. Az egyes mrsek sorn ahibk elkerlhetetlenek, ezrt a kapott egyenletek egymsnak ellentmondak. Termszetesen nem tudjuk, hogymelyik mrsnk hibs, mert akkor az annak megfelel egyenletet egyszeren elhagyhatnnk. Mivelnknyesen nem hagyhatunk el egyenleteket, olyan megoldst keresnk, amely a hibt valamilyen mate matikaiszempontrendszer szerint minimalizlja. Az egyenletrendszernek egy kzelt megoldst adjuk meg teht.

Legyen a lineris egyenletrendszer mtrixalakban , ahol a vektor jelenti a geodziai mrsekeredmnyeit vagy a mrsi eredmnyekbl szmtott mennyisgeket, pldul helykoordintkat. Azismeretlenek a keresett geodziai alakzat jellemz paramterei. A megolds alapgondolata, hogy azegyenletrendszert gy oldjuk meg, hogy minden mrt mennyisghez adjunk hozz egy javtst, amely az

ellentmondst kikszbli. gy , ahol az eltrsvektor vagy n. maradktag. Ha a javtott

egyenletrendszer , akkor az eltrsvektor alakban rhat. Gyakori, hogy azegyenletrendszer olyan megoldst keressk, ahol az eltrsvektor koordintinak ngyzetsszege

minimlis. Ezt a mdszert a legkisebb ngyzetek mdszerneknevezik.

A felttelnek megfelel megoldst szolgltat lineris egyenletrendszer a Gaussnormlegyenlet:

Plda:Hatrozzuk meg az albbi tlhatrozott egyenletrendszer legjobban kzelt megoldsait:

Legyen

A fenti jellsek felhasznlsval a Gauss normlegyenlet


41/50

Lineris algebra II.

37


49. bra

50. bra

Gauss normlegyenlet:

A normlegyenlet megoldsa a tlhatrozott egyenletrendszer kzelt megoldst adja: s .

. Az eltrsvektor: .

6.1. 7.6.1 Tlhatrozott egyenletrendszer megoldsa slymtrixalkalmazsval

Oldjuk meg az albbi tlhatrozott egyenletrendszert a megadott slymtrix alkalmazsval.

Slymtrix:

A tlhatrozott egyenletrendszer egyes egyenleteit felhasznlhatjuk klnbz sllyal is az n. slymtrixsegtsgvel. A slymtrix mindig diagonalmtrix, s az a szerepe, hogy a mrsek pontossgt slyozza. Aslyok a ftlban szerepl szmok. Jelen pldban az els, a msodik s a harmadik mrst reprezentlegyenletet hatos sllyal vesszk figyelembe, a kvetkez kt egyenletet hrmas sllyal, mg az utols egyenlet

pontossgt kettes sllyal szerepeltetjk.

A slymtrixos Gauss normlegyenlet:


42/50

Lineris algebra II.

38


Amegolds


1. Hatrozza meg az albbi tlhatrozott egyenletrendszer legjobban kzelt megoldst, s rja fel azeltrsvektort!

2. Adja meg az albbi tlhatrozott egyenletrendszerekhez tartoz normlegyenletet!

a.

b.

c. rja fel az 2/b feladatban megadott tlhatrozott egyenletrendszerhez tartoz normlegyenletet a

slymtrix felhasznlsval.

3. Az albb megadott ngy pont nem illeszkedik egy krre. rja fel a pontokhoz legjobban kzelt kregyenlett!

4. Adjuk meg annak a parabolnak az egyenlett, amely a megadott ngy pontot gy kzelti meg, hogy a hibkngyzetsszege a lehet legkisebb legyen!

Megoldsok:

1.


43/50

Lineris algebra II.

39


51. bra

52. bra


A normlegyenlet megoldsa:

2. A normlegyenletek:

a)

a.

3. A megadott ngy pont nem illeszkedik egy krre. rja fel apontokhoz legjobban kzelt kr egyenlett!

Induljunk ki az ltalnos kr egyenletbl: ; ahol a kr kzppontjnak a

koordinti, s a kr sugara. A kr egyenlete felrhat alakban is, ahol

Helyettestsk be a kr egyenletbe a megadott pontok koordintit, gy egy lineris tlhatrozottegyenletrendszerhez jutunk:


44/50

Lineris algebra II.

40



A kr egyenlete:

4. Adjuk meg annak a parabolnak az egyenlett, amely a megadott ngy pontot a gy kzelti meg, ho gy ahibk ngyzetsszege a lehet legkisebb legyen!

A parabola egyenlete: . Helyettestsk a megadott pontok koordintit az egyenletbe:

A Gauss normlegyenlet:

Javaslat: Az egyenletrendszert oldjuk meg inverz mtrix felhasznlsval Excel program alkalmazsval.

7. 7.7 A lineris regressziA tlhatrozott egyenletrendszerek egy specilis esetnek tekinthet a lineris regresszi. Adott n darab pont,

koordintik: ). Ezek a pontok nem illeszkednek ez egyenesre. Az a feladat. hogyanhatrozzuk meg a legkisebb ngyzetek mdszernek a felhasznlsval a pontokat legjobban megkzelt

egyenes, az n. regresszis egyenes egyenlett. Az egyenes egyenlete , ahol az valsparamterek.

Plda:

Az albbi tblzat egy szlltmnyozsi cg adatait tartalmazza. Vizsgltk az egyes szlltmnyoktvolsgnak s a szlltsidtartamnak a kapcsolatt. Hatrozzuk meg, milyen sszefggs llapthat meg aszllts tvolsga s idtartama kztt, ha lineris kapcsolatot tteleznk fel.

A keresett fggvny: , ahol jelli a szllts tvolsgt, s jelli a szllts idtartamt. Az

ismeretlenek , a keresett regresszis egyenesparamterei.

Az egyenes egyenlete: , ahov a tblzat adatait helyettestve az albbi tlhatrozottegyenletrendszert kapjuk:


45/50

Lineris algebra II.

41


53. bra

.

A normlegyenletek:

Adatokkal:

Megoldsuk:

A regresszis egyenes egyenlete: .

A paramterek rtelmezse: A paramter jelentse az rtkhez tartoz rtk. Ez a feladatokban nemminden esetben rtelmezhet, a fenti pldban sem.

Az paramter az egyenes meredeksgt jelenti, amely megmutatja, hogy az egy egysggel nagyobb

rtkhez tlagosan mennyivel nagyobb rtke tartozik.

Az adott pldban paramter jelentse az, hogy 1km-rel hosszabb t tlagosan msfl perccel nveli a

szlltsi idt.

Adjunk becslst, hogy egy 25km-re trtn szllts vrhatan mennyi id alatt trtnik:


46/50

Lineris algebra II.

42


=42 perc a becslt id.


1. Az albbi tblzat egy termlkt mlysgnek s a termlvz hmrskletnek a kapcsolatt mutatja.

1. tblzat -

Mlysg (m) 900 1000 1100 1100 1000 900 900 1000 1100

Hmrsklet 57 59 67 62 60 52 57 59 67

Adja meg azt a regresszis egyenest, amely a hmrskletet a mlysg fggvnyben jl kzelti! rtelmezze aparamtereket, s becslje meg, hogy egy 1200 m mly kt viznek mekkora a hmrsklete!

2. Egy tzelem minta alapjn vizsgltk a laksok alapterlete (m2) s havi vzfelhasznlsa (m3) kzttisszefggst. A minta adatai:

2. tblzat -

Alapterlet 38 38 51 51 55 55 55 73 79 105

Vzfogyaszts 10 5 15 20 20 15 25 35 25 30

Hatrozza meg a lineris regresszi fggvnyt, s rtelmezze a paramtereket!

Becslje meg egy 80 m2-es laks vzfogyasztst!

3. Az albbi tblzat mutatja egy biztost 10 zletktjnek az adott cgnl tlttt ideje s az egy v alatt

megkttt biztostsok szma kztti kapcsolatra vonatkoz adatai, ahol a biztostnl eltlttt vek

szmt pedig a kttt biztostsok szmt jelli.

3. tblzat -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

90 100 120 150 160 180 200 190 180 200


4. 10 elem minta alapjn vizsgltk a Suzuki Sedan 1,3 GL tpus gpkocsik letkora (v) s az eladsir (ezer forint) kztti kapcsolatot. (2004. v adatai)

4. tblzat -

letkor 3 1 6 4 4 5 0 1 7 2

r 1720 1800 1350 1600 1500 1550 2000 1750 1300 1700


Becslje meg egy 8 ves gpkocsi vtelrt!


47/50

Lineris algebra II.

43


5. Vletlenszeren kivlasztott vrosokban vizsgltk a npessg szma s a kzcsatorna-hlzatba

bekapcsolt laksok arnya kztti sszefggst. jelli a npessgszmot ezer fben, jelli a bekapcsoltlaksok arnyt szzalkban.

5. tblzat -

23 55 43 28 65 15 50 32 58 35 78 60 40 70 30

42 70 50 43 75 30 65 42 60 60 80 72 53 82 48


Megoldsok

6. tblzat -

Mlysg (m)

Hmrsklet

900

1000

1100

1100

1000

900

900

1000

1100

57

59

67

62

60

52

57

59

67

810000

1000000

1210000

1210000

1000000

810000

810000

1000000

1210000

51300

59000

73700

68200

60000

46800

51300

59000

73700

9000 540 9060000 543000

A tblzat adatainak felhasznlsval felrhat normlegyenlet:

Javaslat a normlegyenlet megoldshoz: a msodik egyenletet szorozzuk meg ezerrel, majd a kt egyenletetvonjuk ki:

A kapott rtket az eredeti egyenletrendszer msodik egyenletbe helyettestve addik.


48/50

Lineris algebra II.

44


A keresett regresszis egyenes:

A paramterek rtelmezse: nem rtelmezhet.

Az paramter jelentse, ha a kt mlysge 1 mterrel n, akkor a viznek a hmrsklete 0.05 -kal

emelkedik.

Becsls az 1200 mter mly kt hmrskletre: .

1. .

2. .

3. .

4.

8.

9. 7.8 sszefoglalsDntse el az albbi lltsokrl, hogy igazak-e vagy sem!

1. Ha az egyenletrendszer megoldhat, akkor oszlopvektorai linerisan fggetlenek.

2. Ha az egyenletrendszer megoldhat, akkor oszlopvektorai linerisan sszefggek.

3. Ha az mtrix oszlopvektorai linerisan fggetlenek, akkor az egyenletrendszer

tetszleges esetn megoldhat.

4. Ha az mtrix determinnsa nem nulla, akkor az egyenletrendszer tetszlegesesetn megoldhat.

5. Ha , s az egyenletrendszer megoldhat, akkor .

6. Ha az egyenletrendszer megoldhat, ahol , , akkor .

7. Ha az mtrix determinnsa nulla, akkor nem ltezik olyan vektor, amire azegyenletrendszer megoldhat.

8. Az mtrixnak sajtvektora az vektor.

9. Az mtrixnak sajtvektora az vektor.


49/50

Lineris algebra II.

45


10. Ha az mtrix ugyanazon sajtrtkhez tartoz sajtvektorai, akkor is sajtvektora

-nak.

11. Ha a vektor az mtrix sajtvektora, akkor az is sajtvektora -nak minden esetn.

12. Ltezik olyan lineris transzformci, amelynek nincs sajtrtke.

13. Ltezik olyan mtrix, amelynek a vektort kivve minden beli vektor sajtvektora.

Megoldsok:

1. hamis

2. hamis

3. hamis

4. igaz

5. hamis

6. hamis

7. hamis

8. igaz

9. igaz

10. igaz

11. hamis

12. igaz

13. igaz

IrodalomjegyzkBnhegyesin Topor - Gizella Bnhegyesi Zoltn : Az informatika matematikai alapjai, Mszaki Knyvkiad,

Budapest, 2000

Csernyk Lszl : Opercikutats II, Nemzeti Tanknyvkiad, Budapest, 2000,

Ernyes va, Mala Jzsef, Orosz gota, Racsmny Anna, Szakl Szilvia: Matematikai alapok, AULA,Budapest, 2007

Fagyajev D. K,- Szominszkij I. Sz : Felsfok algebrai feladatok, Mszaki Knyvkiad, Budapest, 1973

Flanigan Francis J, - L. Kazdan Jerry L.: Calculus II. Linear and Nonlinear Function, Spinger-Verlag, 1900

Freud Rbert : Lineris algebra, ELTE Etvs Kiad, Budapest, 2007

Gantmacher F. R. : The theory of Matrices I, AMS, Chelsea, Rhode Island, 1998

Gspr Lszl : Lineris algebra pldatr, Tanknyvkiad, Budapest, 1971

Gelfand I. M.: Eladsok a lineris algebrbl, Akadmiai kiad, Budapest, 1955

Horvth Pter: Feleletvlasztsos feladtok a matematika gyakorlatokhoz, Fiskolai Kiad, Dunajvros, 2006


50/50

Lineris algebra II.

Kirchner Istvn: Bevezets a lineris algebrba, Fiskolai Kiad, Dunajvros, 2003

Korps Attiln (1996): ltalnos statisztika I. s II, Nemzeti Tanknyvkiad, Budapest, 1996

Molnr Mtn, - Tth Mrtonn : ltalnos statisztika pldatr I. II, Nemzeti Tanknyvkiad, Budapest,2001

Sharnitzky Viktor : Mszaki Knyvkiad, Budapest, 2000,

Szelezsn Jnos, Veres Ferenc, Marosvsry Erika : Matematika 3, SZMALK Kiad, Budapest, 2001

Tth Irn : Opercikutats I, Nemzeti Tanknyvkiad, Budapest, 1999

lineáris algebra ii

Documents