linearis transzform´ aci´ ok´ (bevezetes a sz´ am´ ´ıt aselm´ … · 2013. 10. 29. ·...

Linearis transzformaciok(Bevezetes a szamıtaselmeletbe I.)

Dr. Karasz Peter

Obudai Egyetem, Neumann J. Informatikai Kar

MERNOK INFORMATIKUS SZAKESTI TAGOZAT

2013/14. oszi felev

Karasz P. (OE NIK) Linearis transzformaciok 2013/14. oszi felev 1 / 32

Tartalom

1 Linearis lekepezesek, transzformaciokLinearis lekepezesekLinearis transzformaciokKepter, magterSajatertek, sajatvektor

Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis lekepezesek

Tartalom

Linearis lekepezesek

Linearis lekepezes

V1 es V2 ugyanazon T test feletti vektorterek.A ϕ : V1 → V2 fuggveny linearis lekepezes, ha

∀a, b ∈ V1 eseten ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b),

(azaz ϕ osszegtarto);

∀λ ∈ T ,∀a ∈ V1 eseten ϕ(λa) = λϕ(a),

(azaz ϕ aranytarto).

Megjegzes: ϕ un. vektorter-homomorfizmus (muvelettarto lekepezes; bovebben majdaz Algebrai strukturak c. fejezetben).

Peldak

V1 := C1(R) ϕ(f ) = f ′

(C1(R): R-en ertelmezett, egyszer folytonosan derivalhato fuggvenyek)

Linearis lekepezes, mert

(f + g)′ = f ′ + g′ es (λf )′ = λf ′.

(Egy kis analızis ismetles: Mit tudunk mondani V2-rol?)

Linearis lekepezes

∀a, b ∈ V1 eseten ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), (azaz ϕ osszegtarto);

∀λ ∈ T ,∀a ∈ V1 eseten ϕ(λa) = λϕ(a), (azaz ϕ aranytarto).

Peldak

V1 := C1(R) ϕ(f ) = f ′

(f + g)′ = f ′ + g′ es (λf )′ = λf ′.

Linearis lekepezes

Peldak

V1 := C1(R) ϕ(f ) = f ′

(f + g)′ = f ′ + g′ es (λf )′ = λf ′.

Linearis lekepezes

Peldak

V1 := C1(R) ϕ(f ) = f ′

(C1(R): R-en ertelmezett, egyszer folytonosan derivalhato fuggvenyek)Linearis lekepezes, mert

(f + g)′ = f ′ + g′ es (λf )′ = λf ′.

Peldak (folyt.)

ϕ : R3[x ]→ R2[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

Laplace-transzformacio: ϕ : V1 → V2, ϕ(f ) = f .

f + g = f + g es λf = λf .

(Mit tudunk mondani V1, V2-rol?)

Transzponalas: ϕ : Rm×n → Rn×m, ϕ(X) = XT .

(A + B)T = AT + BT es (λA)T = λAT .

Peldak (folyt.)

ϕ : R3[x ]→ R2[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

Laplace-transzformacio: ϕ : V1 → V2, ϕ(f ) = f .

f + g = f + g es λf = λf .

Peldak (folyt.)

ϕ : R3[x ]→ R2[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

Laplace-transzformacio: ϕ : V1 → V2, ϕ(f ) = f .Linearis lekepezes, mert

f + g = f + g es λf = λf .

Peldak (folyt.)

ϕ : R3[x ]→ R2[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

f + g = f + g es λf = λf .

Peldak (folyt.)

ϕ : R3[x ]→ R2[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

f + g = f + g es λf = λf .

Transzponalas: ϕ : Rm×n → Rn×m, ϕ(X) = XT .Linearis lekepezes, mert

Linearis lekepezesek, transzformaciok Linearis transzformaciok

Tartalom

Linearis transzformaciok

Linearis transzformacio

ϕ linearis lekepezes linearis transzformacio, ha V1 = V2.

Peldak

ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre

ϕ(u) ϕ(v)

ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)

ϕ(λv) = λϕ(v)

Peldak

ϕ(u) ϕ(v)

ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)

ϕ(λv) = λϕ(v)

Peldak

ϕ(u) ϕ(v)

ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)

ϕ(λv) = λϕ(v)

Peldak

ϕ(u) ϕ(v)

ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)

ϕ(λv) = λϕ(v)

Peldak

ϕ(u) ϕ(v)

ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)

ϕ(λv) = λϕ(v)

Peldak

ϕ(u) ϕ(v)

ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)

ϕ(λv) = λϕ(v)

Peldak

ϕ(u) ϕ(v)

ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v)

ϕ(λv) = λϕ(v)

Peldak (folyt.)

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z.

Linearis transzformacio, mert

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z.

ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.

NEM linearis transzformacio, mert

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z. Linearis transzformacio, mert

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z.

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

z1 + z2 = z1 + z2;

λz = λz.

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z.

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z.

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z.

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. Linearis transzformacio, mert

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ(z1 + z2) = (1− 2j) (z1 + z2) = (1− 2j) z1 + (1− 2j) z2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);

ϕ(λz) = (1− 2j) (λz) = λ (1− 2j) z = λϕ(z).

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2.

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2. NEM linearis transzformacio, mert

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);

ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

z1 + z2 = z1 + z2;λz = λz.

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p(x)) = p′(x).

ϕ : Rn×n → Rn×n, ϕ(X) = XT .

ϕ(z1 + z2) = (z1 + z2)2 6= z21 + z2

2 = ϕ(z1) + ϕ(z2);ϕ(λz) = (λz)2 6= λz2 = λϕ(z).

Peldak (folyt.)

ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesre

2v = ϕ(v)

2v = 2ϕ(v)

ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)

NEM linearis transzformacio.

ϕ : Rm×n → Rm×n, ϕ(X) = X + C, ahol C 6= 0 adott matrix.

ϕ(X1 + X2) = (X1 + X2) + C 6= (X1 + C) + (X2 + C) = ϕ(X1) + ϕ(X2);ϕ(λX) = (λX) + C 6= λ (X + C) = λϕ(X).

Peldak (folyt.)

2v = ϕ(v)

2v = 2ϕ(v)

ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)

Peldak (folyt.)

2v = ϕ(v)

2v = 2ϕ(v)

ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)

Peldak (folyt.)

2v = ϕ(v)

2v = 2ϕ(v)

ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)

Peldak (folyt.)

2v = ϕ(v)

2v = 2ϕ(v)

ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)

Peldak (folyt.)

2v = ϕ(v)

2v = 2ϕ(v)

ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)

Peldak (folyt.)

2v = ϕ(v)

2v = 2ϕ(v)

ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)

ϕ(X1 + X2) = (X1 + X2) + C 6= (X1 + C) + (X2 + C) = ϕ(X1) + ϕ(X2);

ϕ(λX) = (λX) + C 6= λ (X + C) = λϕ(X).

Peldak (folyt.)

2v = ϕ(v)

2v = 2ϕ(v)

ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)

Peldak (folyt.)

2v = ϕ(v)

2v = 2ϕ(v)

ϕ(2v) 6= 2ϕ(v)

Linearitas szukseges feltetele

Ha ϕ linearis transzformacio, akkor ϕ(0) = 0.

ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)

0 = ϕ(0)

Megjegyzes: Ha ϕ : V1 → V2 linearis lekepezes, akkor ϕ(0V1 ) = 0V2 .

Peldak

ϕ : R2 → R2, tukrozes y = 2 egyenesreϕ([

])= [ 0

4 ] 6=[

]⇒ NEM linearis transzformacio.

Eltolasok, azaz a ϕ(x) = x + c, (c 6= 0) tıpusu fuggvenyek NEM linearistranszformaciok; (mint ahogy a matrixos peldaban lattuk).

A feltetel csak szukseges, de nem elegseges. A ϕ : C→ C, ϕ(z) = z2

transzformacio eseten ϕ(0) = 02 = 0, de lattuk, hogy nem linearis.

ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)

0 = ϕ(0)

Peldak

])= [ 0

4 ] 6=[

ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)

0 = ϕ(0)

Peldak

])= [ 0

4 ] 6=[

ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)

0 = ϕ(0)

Peldak

])= [ 0

4 ] 6=[

ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)

0 = ϕ(0)

Peldak

])= [ 0

4 ] 6=[

Transzformacio matrixa

Miert jo a linearitas?

V bazisa: B(b1, . . . ,bn). Ekkor v = λ1b1 + . . .+ λnbn =

[ λ1...λn

Ha ϕ : V → V linearis transzformacio,

ϕ(v) = ϕ(λ1b1 + . . .+ λnbn) = ϕ(λ1b1) + . . .+ ϕ(λnbn) =

= λ1ϕ(b1) + . . .+ λnϕ(bn) ,

azaz barmely v vektor kepe a bazisvektorok kepeinek v (eredeti) koordinataival vettlinearis kombinacioja.

Matrixalakban:

ϕ(v) =

ϕ(b1) . . . ϕ(bn)

︸︷︷︸

λ1...λn

︸︷︷︸

Transzformacio matrixa

Miert jo a linearitas?

V bazisa: B(b1, . . . ,bn). Ekkor v = λ1b1 + . . .+ λnbn =

[ λ1...λn

Ha ϕ : V → V linearis transzformacio,

ϕ(v) = ϕ(λ1b1 + . . .+ λnbn) = ϕ(λ1b1) + . . .+ ϕ(λnbn) =

= λ1ϕ(b1) + . . .+ λnϕ(bn) ,

azaz barmely v vektor kepe a bazisvektorok kepeinek v (eredeti) koordinataival vettlinearis kombinacioja.Matrixalakban:

ϕ(v) =

ϕ(b1) . . . ϕ(bn)

︸︷︷︸

λ1...λn

︸︷︷︸

Megjegyzesek

A linearis transzformaciot egyertelmuen meghatarozza, hogy abazisvektoroknak mi a kepe.

A fenti levezetes konstruktıv: megadja hogyan kell a transzformacio matrixateloallıtani (es hogyan kell ”hasznalni”).

A matrix tıpusa: n × n, ha dim V = n.

A transzformacio matrixa erosen fugg attol, hogy melyik bazisban ırjuk fel.

A kepvektorok kiszamıtasa egy matrixszorzast jelent (amely csak szamokszorzasabol es osszeadasabol all), ezert a szamıtogepi vegrehajtasa igen gyors.

(A modszer teljesen analog linearis lekepezesek eseten. Ekkor a matrix abazis-parra jellemzo, tıpusa n ×m, ha dim V1 = m es dim V2 = n.)

Megjegyzesek

Peldak

Origo koruli, α szogu forgatas (sıkban). B(i, j)

αϕ(j) α

+60◦

ϕ(i) =

[cosαsinα

]ϕ(j) =

[− sinα

[cosα − sinαsinα cosα

Forgassuk el a v =[

]vektort origo korul 60◦-kal:

ϕ(v) =F60◦v =

[cos 60◦ − sin 60◦

sin 60◦ cos 60◦

] [1−2

12 −

[ 1−2

[ 12 +√

32 − 1

2,232−0,134

Peldak

j ϕ(i)

ϕ(j) α

+60◦

ϕ(i) =

[cosαsinα

ϕ(j) =

[− sinα

Forgassuk el a v =[

ϕ(v) =F60◦v =

[cos 60◦ − sin 60◦

sin 60◦ cos 60◦

] [1−2

12 −

[ 1−2

[ 12 +√

32 − 1

2,232−0,134

Peldak

j ϕ(i)

αϕ(j) α

+60◦

ϕ(i) =

[cosαsinα

]ϕ(j) =

[− sinα

Forgassuk el a v =[

ϕ(v) =F60◦v =

[cos 60◦ − sin 60◦

sin 60◦ cos 60◦

] [1−2

12 −

[ 1−2

[ 12 +√

32 − 1

2,232−0,134

Peldak

j ϕ(i)

αϕ(j) α

+60◦

ϕ(i) =

[cosαsinα

]ϕ(j) =

[− sinα

Forgassuk el a v =[

ϕ(v) =F60◦v =

[cos 60◦ − sin 60◦

sin 60◦ cos 60◦

] [1−2

12 −

[ 1−2

[ 12 +√

32 − 1

2,232−0,134

Peldak

j ϕ(i)

αϕ(j) α

+60◦

ϕ(i) =

[cosαsinα

]ϕ(j) =

[− sinα

Forgassuk el a v =[

ϕ(v) =F60◦v =

[cos 60◦ − sin 60◦

sin 60◦ cos 60◦

] [1−2

12 −

[ 1−2

[ 12 +√

32 − 1

2,232−0,134

Peldak

j ϕ(i)

αϕ(j) α

+60◦

ϕ(i) =

[cosαsinα

]ϕ(j) =

[− sinα

Forgassuk el a v =[

ϕ(v) =F60◦v =

[cos 60◦ − sin 60◦

sin 60◦ cos 60◦

] [1−2

12 −

[ 1−2

[ 12 +√

32 − 1

2,232−0,134

Peldak

j ϕ(i)

αϕ(j) α

+60◦

ϕ(i) =

[cosαsinα

]ϕ(j) =

[− sinα

Forgassuk el a v =[

ϕ(v) =F60◦v =

[cos 60◦ − sin 60◦

sin 60◦ cos 60◦

] [1−2

12 −

[ 1−2

[ 12 +√

32 − 1

2,232−0,134

Peldak

ϕ : R3 → R3, z tengely koruli, α szogu forgatas. B(i, j, k)

ϕ(i)α

ϕ(i) =[ cosα

sinα0

]ϕ(j) =

[− sinαcosα

]ϕ(k) =

cosα − sinα 0sinα cosα 0

.ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)

ϕ(1) = 1 = 1 =

]ϕ(j) = j = − j =

[0−1

[1 00 −1

ϕ : R2 → R2, tukrozes x tengelyre. B(i, j) Tx =

[1 00 −1

Peldak

ϕ(i)α

ϕ(i) =

[ cosαsinα

ϕ(j) =

[− sinαcosα

ϕ(k) =

ϕ(1) = 1 = 1 =

]ϕ(j) = j = − j =

[0−1

[1 00 −1

Peldak

ϕ(i)α

ϕ(i) =[ cosα

sinα0

]ϕ(j) =

[− sinαcosα

ϕ(k) =

ϕ(1) = 1 = 1 =

]ϕ(j) = j = − j =

[0−1

[1 00 −1

Peldak

ϕ(i)α

ϕ(i) =[ cosα

sinα0

]ϕ(j) =

[− sinαcosα

]ϕ(k) =

ϕ(1) = 1 = 1 =

]ϕ(j) = j = − j =

[0−1

[1 00 −1

Peldak

ϕ(i)α

ϕ(i) =[ cosα

sinα0

]ϕ(j) =

[− sinαcosα

]ϕ(k) =

ϕ(1) = 1 = 1 =

]ϕ(j) = j = − j =

[0−1

[1 00 −1

Peldak

ϕ(i)α

ϕ(i) =[ cosα

sinα0

]ϕ(j) =

[− sinαcosα

]ϕ(k) =

ϕ : C→ C, ϕ(z) = z (konjugalas). B(1, j)

ϕ(1) = 1 = 1 =

]ϕ(j) = j = − j =

[0−1

[1 00 −1

Peldak

ϕ(i)α

ϕ(i) =[ cosα

sinα0

]ϕ(j) =

[− sinαcosα

]ϕ(k) =

ϕ(1) = 1 = 1 =

]ϕ(j) = j = − j =

[0−1

[1 00 −1

Peldak

ϕ(i)α

ϕ(i) =[ cosα

sinα0

]ϕ(j) =

[− sinαcosα

]ϕ(k) =

ϕ(1) = 1 =

ϕ(j) = j =

− j =

[0−1

[1 00 −1

Peldak

ϕ(i)α

ϕ(i) =[ cosα

sinα0

]ϕ(j) =

[− sinαcosα

]ϕ(k) =

ϕ(1) = 1 = 1 =

]ϕ(j) = j =

− j =

[0−1

[1 00 −1

Peldak

ϕ(i)α

ϕ(i) =[ cosα

sinα0

]ϕ(j) =

[− sinαcosα

]ϕ(k) =

ϕ(1) = 1 = 1 =

]ϕ(j) = j = − j =

[0−1

[1 00 −1

Peldak

ϕ(i)α

ϕ(i) =[ cosα

sinα0

]ϕ(j) =

[− sinαcosα

]ϕ(k) =

ϕ(1) = 1 = 1 =

]ϕ(j) = j = − j =

[0−1

[1 00 −1

Peldak

ϕ(i)α

ϕ(i) =[ cosα

sinα0

]ϕ(j) =

[− sinαcosα

]ϕ(k) =

ϕ(1) = 1 = 1 =

]ϕ(j) = j = − j =

[0−1

[1 00 −1

Peldak

ϕ(i)α

ϕ(i) =[ cosα

sinα0

]ϕ(j) =

[− sinαcosα

]ϕ(k) =

ϕ(1) = 1 = 1 =

]ϕ(j) = j = − j =

[0−1

[1 00 −1

Peldak

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)

ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =

[1−2

]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =

[1 2−2 1

ϕ : R3[x ]→ R3[x ], ϕ(p(x)) = p′(x) (derivalas). B(1, x , x2, x3)

ϕ(1) = 0 =

]ϕ(x) = 1 =

= 2x =

= 3x2 =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

Peldak

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)

ϕ(1) =

(1− 2j) 1 = 1− 2j =

[1−2

ϕ(j) =

(1− 2j) j = 2 + j =

[1 2−2 1

ϕ(1) = 0 =

]ϕ(x) = 1 =

= 2x =

= 3x2 =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

Peldak

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)

ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =

[1−2

]ϕ(j) =

(1− 2j) j = 2 + j =

[1 2−2 1

ϕ(1) = 0 =

]ϕ(x) = 1 =

= 2x =

= 3x2 =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

Peldak

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)

ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =

[1−2

]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =

[1 2−2 1

ϕ(1) = 0 =

]ϕ(x) = 1 =

= 2x =

= 3x2 =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

Peldak

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)

ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =

[1−2

]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =

[1 2−2 1

ϕ(1) = 0 =

]ϕ(x) = 1 =

= 2x =

= 3x2 =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

Peldak

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)

ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =

[1−2

]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =

[1 2−2 1

ϕ(1) = 0 =

]ϕ(x) = 1 =

= 2x =

= 3x2 =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

Peldak

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)

ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =

[1−2

]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =

[1 2−2 1

ϕ(1) =

ϕ(x) =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

Peldak

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)

ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =

[1−2

]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =

[1 2−2 1

ϕ(1) = 0 =

]ϕ(x) =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

Peldak

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)

ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =

[1−2

]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =

[1 2−2 1

ϕ(1) = 0 =

]ϕ(x) = 1 =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

Peldak

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)

ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =

[1−2

]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =

[1 2−2 1

ϕ(1) = 0 =

]ϕ(x) = 1 =

= 2x =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

Peldak

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)

ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =

[1−2

]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =

[1 2−2 1

ϕ(1) = 0 =

]ϕ(x) = 1 =

= 2x =

= 3x2 =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

Peldak

ϕ : C→ C, ϕ(z) = (1− 2j) z. B(1, j)

ϕ(j) ϕ(1) = (1− 2j) 1 = 1− 2j =

[1−2

]ϕ(j) = (1− 2j) j = 2 + j =

[1 2−2 1

ϕ(1) = 0 =

]ϕ(x) = 1 =

= 2x =

= 3x2 =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

Peldak

ϕ : R2 → R2, x tengellyel parhuzamos, λ parameteru nyıras. B(i, j)

λ ϕ(j) ϕ(i) =

]ϕ(j) =

Nx,λ =

[1 λ0 1

ϕ : R3 → R3, xy sıkkal parhuzamos, v(vx ; vy ) vektoru nyıras. B(i, j, k)

ϕ(i) =[

]ϕ(j) =

]ϕ(k) =

[ vxvy1

Nxy,v =

1 0 vx

0 1 vy

.Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.

Peldak

λ ϕ(j)

ϕ(i) =

ϕ(j) =

Nx,λ =

[1 λ0 1

ϕ(i) =[

]ϕ(j) =

]ϕ(k) =

[ vxvy1

Nxy,v =

1 0 vx

0 1 vy

Peldak

λ ϕ(j) ϕ(i) =

]ϕ(j) =

Nx,λ =

[1 λ0 1

ϕ(i) =[

]ϕ(j) =

]ϕ(k) =

[ vxvy1

Nxy,v =

1 0 vx

0 1 vy

Peldak

λ ϕ(j) ϕ(i) =

]ϕ(j) =

]Nx,λ =

[1 λ0 1

ϕ(i) =[

]ϕ(j) =

]ϕ(k) =

[ vxvy1

Nxy,v =

1 0 vx

0 1 vy

Peldak

λ ϕ(j) ϕ(i) =

]ϕ(j) =

]Nx,λ =

[1 λ0 1

ϕ(i) =[

]ϕ(j) =

]ϕ(k) =

[ vxvy1

Nxy,v =

1 0 vx

0 1 vy

Peldak

λ ϕ(j) ϕ(i) =

]ϕ(j) =

]Nx,λ =

[1 λ0 1

ϕ(i) =[

]ϕ(j) =

]ϕ(k) =

[ vxvy1

Nxy,v =

1 0 vx

0 1 vy

Peldak

λ ϕ(j) ϕ(i) =

]ϕ(j) =

]Nx,λ =

[1 λ0 1

ϕ(i) =

ϕ(j) =

ϕ(k) =

[ vxvy1

Nxy,v =

1 0 vx

0 1 vy

Peldak

λ ϕ(j) ϕ(i) =

]ϕ(j) =

]Nx,λ =

[1 λ0 1

ϕ(i) =[

]ϕ(j) =

]ϕ(k) =

[ vxvy1

Nxy,v =

1 0 vx

0 1 vy

Peldak

λ ϕ(j) ϕ(i) =

]ϕ(j) =

]Nx,λ =

[1 λ0 1

ϕ(i) =[

]ϕ(j) =

]ϕ(k) =

[ vxvy1

Nxy,v =

1 0 vx

0 1 vy

Peldak

λ ϕ(j) ϕ(i) =

]ϕ(j) =

]Nx,λ =

[1 λ0 1

ϕ(i) =[

]ϕ(j) =

]ϕ(k) =

[ vxvy1

Nxy,v =

1 0 vx

0 1 vy

Megjegyzes: Lathato, hogy egy 2D eltolas 3D nyıraskent felırva linearistranszformacio. Hasonloan, a 3D eltolasok pedig 4D nyıraskent linearisak; ez az(egyik) oka, hogy a 3D grafikai eljarasok 4D-ben dolgoznak.

Peldak

λ ϕ(j) ϕ(i) =

]ϕ(j) =

]Nx,λ =

[1 λ0 1

ϕ(i) =[

]ϕ(j) =

]ϕ(k) =

[ vxvy1

Nxy,v =

1 0 vx

0 1 vy

Peldak

ϕ : R3 → R3, λ = (λx ;λy ;λz) parameteru skalazas a megfelelo tengelyekmenten. B(i, j, k)

ϕ(k)ϕ(i) =

[λx00

]ϕ(j) =

[ 0λy0

]ϕ(k) =

[ 00λz

λx 0 00 λy 00 0 λz

.Megjegyzes: Ha λx = λy = λz , akkor a transzformacio kozeppontoshasonlosag.

ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes (projekcio) x tengelyre. B(i, j)

ϕ(i)ϕ(j)

ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =

[1 00 0

Tovabbi peldak eloadason.

Peldak

ϕ(k)ϕ(i) =

[λx00

ϕ(j) =

[ 0λy0

ϕ(k) =

[ 00λz

λx 0 00 λy 00 0 λz

ϕ(i)ϕ(j)

ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =

[1 00 0

Peldak

ϕ(k)ϕ(i) =

[λx00

]ϕ(j) =

[ 0λy0

]ϕ(k) =

[ 00λz

λx 0 00 λy 00 0 λz

Megjegyzes: Ha λx = λy = λz , akkor a transzformacio kozeppontoshasonlosag.

ϕ(i)ϕ(j)

ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =

[1 00 0

Peldak

ϕ(k)ϕ(i) =

[λx00

]ϕ(j) =

[ 0λy0

]ϕ(k) =

[ 00λz

λx 0 00 λy 00 0 λz

ϕ(i)ϕ(j)

ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =

[1 00 0

Peldak

ϕ(k)ϕ(i) =

[λx00

]ϕ(j) =

[ 0λy0

]ϕ(k) =

[ 00λz

λx 0 00 λy 00 0 λz

ϕ(i)ϕ(j)

ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =

[1 00 0

Peldak

ϕ(k)ϕ(i) =

[λx00

]ϕ(j) =

[ 0λy0

]ϕ(k) =

[ 00λz

λx 0 00 λy 00 0 λz

ϕ(i) =

[ 10 ]

ϕ(j) =

[1 00 0

Peldak

ϕ(k)ϕ(i) =

[λx00

]ϕ(j) =

[ 0λy0

]ϕ(k) =

[ 00λz

λx 0 00 λy 00 0 λz

ϕ(i)ϕ(j)

ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =

[1 00 0

Peldak

ϕ(k)ϕ(i) =

[λx00

]ϕ(j) =

[ 0λy0

]ϕ(k) =

[ 00λz

λx 0 00 λy 00 0 λz

ϕ(i)ϕ(j)

ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =

[1 00 0

Peldak

ϕ(k)ϕ(i) =

[λx00

]ϕ(j) =

[ 0λy0

]ϕ(k) =

[ 00λz

λx 0 00 λy 00 0 λz

ϕ(i)ϕ(j)

ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =

[1 00 0

Peldak

ϕ(k)ϕ(i) =

[λx00

]ϕ(j) =

[ 0λy0

]ϕ(k) =

[ 00λz

λx 0 00 λy 00 0 λz

ϕ(i)ϕ(j)

ϕ(i) = [ 10 ] ϕ(j) =

[1 00 0

Osszetett transzformaciok

Adottak ϕ1, ϕ2 : V → V linearis transzformaciok az (ugyanabban a bazisban felırt) A1,A2 matrixokkal. V vektorain vegezzuk el elobb a ϕ1, majd a ϕ2 transzformaciot, azazalkalmazzuk a ϕ2 ◦ ϕ1 kompozıciojukat.

(ϕ2 ◦ ϕ1) (v) = ϕ2 (ϕ1 (v)) =

ϕ2 (A1v) = A2 (A1v) = (A2A1) v.

Tehat ϕ2 ◦ ϕ1 matrixa A2A1.

Figyelem!

Nagyon ugyeljunk a sorrendre; a matrixok szorzasa nem kommutatıv. Az elobbalkalmazando transzformacio matrixa all hatrebb a szorzatban, annak megfeleloen,hogy szorzaskor az ”hat” elobb a vektorra (ugyanugy, ahogy azt afuggvenykompozıcional megszoktuk).

(ϕ2 ◦ ϕ1) (v) = ϕ2 (ϕ1 (v)) = ϕ2 (A1v) =

A2 (A1v) = (A2A1) v.

Figyelem!

(ϕ2 ◦ ϕ1) (v) = ϕ2 (ϕ1 (v)) = ϕ2 (A1v) = A2 (A1v) =

(A2A1) v.

Figyelem!

(ϕ2 ◦ ϕ1) (v) = ϕ2 (ϕ1 (v)) = ϕ2 (A1v) = A2 (A1v) = (A2A1) v.

Figyelem!

(ϕ2 ◦ ϕ1) (v) = ϕ2 (ϕ1 (v)) = ϕ2 (A1v) = A2 (A1v) = (A2A1) v.

Figyelem!

Peldak

ϕ : C→ C, minden komplex szamot megszoroz (1− 2j)-vel, majd konjugalja.

ϕ1 : C→ C, ϕ1(z) = (1− 2j) z, A1 =

[1 2−2 1

ϕ2 : C→ C, ϕ2(z) = z, A2 =

[1 00 −1

Mivel ϕ = ϕ2 ◦ ϕ1, ezert ϕ matrixa:

A = A2A1 =

[1 00 −1

] [1 2−2 1

[1 22 −1

Peldak

ϕ : C→ C, minden komplex szamot megszoroz (1− 2j)-vel, majd konjugalja.

ϕ1 : C→ C, ϕ1(z) = (1− 2j) z, A1 =

[1 2−2 1

ϕ2 : C→ C, ϕ2(z) = z, A2 =

[1 00 −1

Mivel ϕ = ϕ2 ◦ ϕ1, ezert ϕ matrixa:

A = A2A1 =

[1 00 −1

] [1 2−2 1

[1 22 −1

Peldak

ϕ : R2 → R2, (meroleges) vetıtes α szogu egyenesre.

1 Forgassuk el a teret −α szoggel.2 Vetıtsunk az x tengelyre.3 Forgassuk vissza a teret α szoggel.

FαPx F−α =

] [1 00 0

] [cosα sinα− sinα cosα

[cos2 α cosα sinα

cosα sinα sin2 α

]. Pl.: P30◦ =

Peldak

1 Forgassuk el a teret −α szoggel.

2 Vetıtsunk az x tengelyre.3 Forgassuk vissza a teret α szoggel.

F−α =

] [1 00 0

[cosα sinα− sinα cosα

cosα sinα sin2 α

]. Pl.: P30◦ =

Peldak

1 Forgassuk el a teret −α szoggel.2 Vetıtsunk az x tengelyre.

3 Forgassuk vissza a teret α szoggel.

Px F−α =

[1 00 0

cosα sinα sin2 α

]. Pl.: P30◦ =

Peldak

Pα = FαPx F−α =

] [1 00 0

cosα sinα sin2 α

]. Pl.: P30◦ =

Peldak

] [1 00 0

cosα sinα sin2 α

Pl.: P30◦ =

Peldak

] [1 00 0

cosα sinα sin2 α

]. Pl.: P30◦ =

Peldak

] [1 00 0

cosα sinα sin2 α

]. Pl.: P30◦ =

Linearis lekepezesek, transzformaciok Kepter, magter

Tartalom

Kepter

A transzformacio es matrixanak rangja kozotti kapcsolat

ϕ : V → V linearis transzformacio; ϕ(V ): ϕ ertekkeszlete.

ϕ(V ) = {ϕ(v) | v ∈ V} ={

Av | v ∈ T n} = 〈a1, . . . , an〉 .

Tehat:

ϕ ertekkeszlete alter V -ben (V2-ben), ezert neve kepter, jele: Im(ϕ).

%(A) = dim Im(ϕ).

Peldak

sıkbeli forgatas: Fα =[

cosα − sinαsinα cosα

]⇒ %(Fα) =

Im(ϕ) =

⇒ dim Im(ϕ) =

Kepter

ϕ(V ) = {ϕ(v) | v ∈ V} ={

Av | v ∈ T n} = 〈a1, . . . , an〉 .

Tehat:

%(A) = dim Im(ϕ).

Peldak

]⇒ %(Fα) =

Im(ϕ) =

⇒ dim Im(ϕ) =

Kepter

ϕ(V ) = {ϕ(v) | v ∈ V} ={

Av | v ∈ T n} = 〈a1, . . . , an〉 .

Tehat:

%(A) = dim Im(ϕ).

Peldak

]⇒ %(Fα) =

Im(ϕ) =

⇒ dim Im(ϕ) =

Kepter

ϕ(V ) = {ϕ(v) | v ∈ V} ={

Av | v ∈ T n} = 〈a1, . . . , an〉 .

Tehat:

%(A) = dim Im(ϕ).

Peldak

]⇒ %(Fα) =

Im(ϕ) =

⇒ dim Im(ϕ) =

Kepter

ϕ(V ) = {ϕ(v) | v ∈ V} ={

Av | v ∈ T n} = 〈a1, . . . , an〉 .

Tehat:

%(A) = dim Im(ϕ).

Peldak

]⇒ %(Fα) = 2;

Im(ϕ) = R2 ⇒ dim Im(ϕ) = 2.

Peldak (folyt.)

30◦-os egyenesre vetıtes: P30◦ =

]⇒ %(P30◦) =

Im(ϕ) =

{[√3

]t | t ∈ R

⇒ dim Im(ϕ) =

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)

[0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

]⇒ %(D) =

Im(ϕ) =

R2[x ]

⇒ dim Im(ϕ) =

Eszrevetel

Vilagos, hogy dim Im(ϕ) = %(A) 6 n = dim V .Mi ”tortenik” a tobbi dimenzioval, hova ”tunnek”, amikor dim Im(ϕ) < n?

Peldak (folyt.)

]⇒ %(P30◦) = 1;

Im(ϕ) ={[√

]t | t ∈ R

}⇒ dim Im(ϕ) = 1.

[0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

]⇒ %(D) =

Im(ϕ) =

R2[x ]

⇒ dim Im(ϕ) =

Eszrevetel

Peldak (folyt.)

]⇒ %(P30◦) = 1;

Im(ϕ) ={[√

]t | t ∈ R

}⇒ dim Im(ϕ) = 1.

[0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

]⇒ %(D) =

Im(ϕ) =

R2[x ]

⇒ dim Im(ϕ) =

Eszrevetel

Peldak (folyt.)

]⇒ %(P30◦) = 1;

Im(ϕ) ={[√

]t | t ∈ R

}⇒ dim Im(ϕ) = 1.

[0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

]⇒ %(D) = 3;

Im(ϕ) = R2[x ] ⇒ dim Im(ϕ) = 3.

Eszrevetel

Peldak (folyt.)

]⇒ %(P30◦) = 1;

Im(ϕ) ={[√

]t | t ∈ R

}⇒ dim Im(ϕ) = 1.

[0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0

]⇒ %(D) = 3;

Im(ϕ) = R2[x ] ⇒ dim Im(ϕ) = 3.

Eszrevetel

Magter

A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} halmaz alter V -ben (V1-ben), hiszen

ϕ(v1 + v2) = ϕ(v1) + ϕ(v2) = 0 + 0 = 0 es ϕ(λv) = λϕ(v) = λ · 0 = 0.

A {v ∈ V | ϕ(v) = 0} alter neve magter, jele Ker(ϕ).

Peldak

sıkbeli forgatas: Ker(ϕ) =

⇒ dim Ker(ϕ) =

30◦-os egyenesre vetıtes: Ker(ϕ) =

{[−1√

]t | t ∈ R

⇒ dim Ker(ϕ) =

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)Ker(ϕ) =

{a0 | a0 ∈ R}

⇒ dim Ker(ϕ) =

Magter

Peldak

sıkbeli forgatas: Ker(ϕ) =

⇒ dim Ker(ϕ) =

{[−1√

]t | t ∈ R

⇒ dim Ker(ϕ) =

{a0 | a0 ∈ R}

⇒ dim Ker(ϕ) =

Magter

Peldak

sıkbeli forgatas: Ker(ϕ) = {0} ⇒ dim Ker(ϕ) = 0.

{[−1√

]t | t ∈ R

⇒ dim Ker(ϕ) =

{a0 | a0 ∈ R}

⇒ dim Ker(ϕ) =

Magter

Peldak

{[−1√

]t | t ∈ R

⇒ dim Ker(ϕ) =

{a0 | a0 ∈ R}

⇒ dim Ker(ϕ) =

Magter

Peldak

30◦-os egyenesre vetıtes: Ker(ϕ) ={[−1√

]t | t ∈ R

}⇒ dim Ker(ϕ) = 1.

{a0 | a0 ∈ R}

⇒ dim Ker(ϕ) =

Magter

Peldak

]t | t ∈ R

}⇒ dim Ker(ϕ) = 1.

{a0 | a0 ∈ R}

⇒ dim Ker(ϕ) =

Magter

Peldak

]t | t ∈ R

}⇒ dim Ker(ϕ) = 1.

ϕ : R3[x ]→ R3[x ] ϕ(p) = p′ (polinom-derivalas)Ker(ϕ) = {a0 | a0 ∈ R} ⇒ dim Ker(ϕ) = 1.

Dimenzio-tetel

Ha ϕ : V(1) → V(2) linearis transzformacio (lekepezes), akkor

dim Im(ϕ) + dim Ker(ϕ) = dim V(1).

V(1) V(2)ϕ

Im(ϕ)0

Ker(ϕ)

Dimenzio-tetel

V(1) V(2)

Im(ϕ)0

Ker(ϕ)

Dimenzio-tetel

V(1) V(2)ϕ

Im(ϕ)

0Ker(ϕ)

Dimenzio-tetel

V(1) V(2)ϕ

Im(ϕ)0

Ker(ϕ)

Linearis lekepezesek, transzformaciok Sajatertek, sajatvektor

Tartalom

Sajatertek, sajatvektor

A ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora az s ∈ V \ {0} vektor a λ ∈ Tsajatertekkel, ha

ϕ(s) = λs.

Megjegyzes: minden ϕ lin. transzf. eseten ϕ(0) = 0 = λ · 0.

ϕ(i) = iϕ(2i) = 2i

ϕ(ci) = ci

ϕ(j) = −j

ϕ(cj) = −cj

ϕ(v) 6= λv

Sıkban: x tengelyre tukrozes.

i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(i) = i.

2i sajatvektor 1 sajatertekkel: ϕ(2i) = 2i.

ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.

j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.

cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.

semmi mas vektor nem sajatvektor.

ϕ(s) = λs.

ϕ(i) = iϕ(2i) = 2i

ϕ(ci) = ci

ϕ(j) = −j

ϕ(cj) = −cj

ϕ(v) 6= λv

ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.

j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.

cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.

ϕ(s) = λs.

ϕ(i) = i

ϕ(2i) = 2i

ϕ(ci) = ci

ϕ(j) = −j

ϕ(cj) = −cj

ϕ(v) 6= λv

ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.

j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.

cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.

ϕ(s) = λs.

ϕ(i) = i

ϕ(2i) = 2i

ϕ(ci) = ci

ϕ(j) = −j

ϕ(cj) = −cj

ϕ(v) 6= λv

ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.

j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.

cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.

ϕ(s) = λs.

ϕ(i) = iϕ(2i) = 2i

ϕ(ci) = ci

ϕ(j) = −j

ϕ(cj) = −cj

ϕ(v) 6= λv

ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.

j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.

cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.

ϕ(s) = λs.

ϕ(i) = iϕ(2i) = 2i

ϕ(ci) = ci

ϕ(j) = −j

ϕ(cj) = −cj

ϕ(v) 6= λv

ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.

j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.

cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.

ϕ(s) = λs.

ϕ(i) = iϕ(2i) = 2i

ϕ(ci) = ci

ϕ(j) = −j

ϕ(cj) = −cj

ϕ(v) 6= λv

ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.

j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.

cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.

ϕ(s) = λs.

ϕ(i) = iϕ(2i) = 2i

ϕ(ci) = ci

ϕ(j) = −j

ϕ(cj) = −cj

ϕ(v) 6= λv

ci (c 6= 0) s.v. 1 s.e.: ϕ(ci) = ci.

j s.v. −1 s.e.: ϕ(j) = −j.

cj (c 6= 0) s.v. −1 s.e.: ϕ(cj) = −cj.

Sajat-alter

Azonos λ ∈ T sajatertekhez tartozo s ∈ V sajatvektorok es a 0 ∈ V alteret alkotnak:

ϕ(s1 + s2) = ϕ(s1) + ϕ(s2) = λs1 + λs2 = λ (s1 + s2) ;

ϕ(µs) = µϕ(s) = µ (λs) = λ (µs).

Megjegyzes: a tobbszoros sajatertekekhez tartozo sajat-alterek nem egyertelmuenviselkednek. Erre vonatkozoan lasd a fejezet vegen levo megjegyzest.

A sıkbeli, x tengelyre tukrozes

λ1 = 1 sajatertekhez tartozo sajat-altere: 〈i〉 (x tengely);

λ1 = −1 sajatertekhez tartozo sajat-altere: 〈j〉 (y tengely).

Sajat-alter

Azonos λ ∈ T sajatertekhez tartozo s ∈ V sajatvektorok es a 0 ∈ V alteret alkotnak:

ϕ(s1 + s2) = ϕ(s1) + ϕ(s2) = λs1 + λs2 = λ (s1 + s2) ;

ϕ(µs) = µϕ(s) = µ (λs) = λ (µs).

Megjegyzes: a tobbszoros sajatertekekhez tartozo sajat-alterek nem egyertelmuenviselkednek. Erre vonatkozoan lasd a fejezet vegen levo megjegyzest.

A sıkbeli, x tengelyre tukrozes

λ1 = 1 sajatertekhez tartozo sajat-altere: 〈i〉 (x tengely);

λ1 = −1 sajatertekhez tartozo sajat-altere: 〈j〉 (y tengely).

Sajatertekek kiszamıtasa

Legyen s ∈ V a ϕ : V → V linearis transzformacio sajatvektora λ ∈ T sajatertekkel;A ∈ T n×n a ϕ matrixa egy rogzıtett bazisban, s ∈ T n pedig s koordinatai ugyanabbana bazisban.

ϕ(s) = λs

As = λsAs− λs = 0

(A− λE) s = 0

Homogen linearis egyenletrendszert kaptunk, amelynek s = 0 mindig megoldasa.Nem-trivialis megoldast ugy kaphatunk, ha a linearis egyenletrendszernek nemegyertelmu a megoldasa. Ennek letezeset (pl. Cramer-szabaly alapjan) ugybiztosıthatjuk, ha

det (A− λE) = 0.

Ez a transzformacio sajatertek-egyenlete, vagy a sajatertekek karakterisztikusegyenlete.

ϕ(s) = λs

(A− λE) s = 0

det (A− λE) = 0.

ϕ(s) = λs

As = λs

As− λs = 0(A− λE) s = 0

det (A− λE) = 0.

ϕ(s) = λs

(A− λE) s = 0

det (A− λE) = 0.

ϕ(s) = λs

(A− λE) s = 0

det (A− λE) = 0.

ϕ(s) = λs

(A− λE) s = 0

det (A− λE) = 0.

ϕ(s) = λs

(A− λE) s = 0

det (A− λE) = 0.

Szamıtsuk ki annak a transzformacionak a sajatertekeit es sajatvektorait, amelynekmatrixa A =

[1 22 −2

det (A− λE) = det([

1 22 −2

]−[λ 00 λ

])∣∣∣∣ 1− λ 2

2 −2− λ

∣∣∣∣ = (1− λ) (−2− λ)− 4

λ2 + λ− 6 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −3

λ1 = 2

[1 22 −2

] [ xy]

= 2[ x

x + 2y = 2x

2x − 2y = 2y

−x + 2y = 0

2x − 4y = 0

x = 2y ⇒ s1 =

]t (t 6= 0)

[1 22 −2

1 22 −2

]−[λ 00 λ

∣∣∣∣ 1− λ 22 −2− λ

∣∣∣∣ = (1− λ) (−2− λ)− 4

λ2 + λ− 6 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −3

λ1 = 2

[1 22 −2

] [ xy]

= 2[ x

x + 2y = 2x

2x − 2y = 2y

−x + 2y = 0

2x − 4y = 0

x = 2y ⇒ s1 =

]t (t 6= 0)

[1 22 −2

1 22 −2

]−[λ 00 λ

])∣∣∣∣ 1− λ 2

2 −2− λ

∣∣∣∣ = (1− λ) (−2− λ)− 4

λ2 + λ− 6 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −3

λ1 = 2

[1 22 −2

] [ xy]

= 2[ x

x + 2y = 2x

2x − 2y = 2y

−x + 2y = 0

2x − 4y = 0

x = 2y ⇒ s1 =

]t (t 6= 0)

[1 22 −2

1 22 −2

]−[λ 00 λ

])∣∣∣∣ 1− λ 2

2 −2− λ

∣∣∣∣ = (1− λ) (−2− λ)− 4

λ2 + λ− 6 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −3

λ1 = 2

[1 22 −2

] [ xy]

= 2[ x

x + 2y = 2x

2x − 2y = 2y

−x + 2y = 0

2x − 4y = 0

x = 2y ⇒ s1 =

]t (t 6= 0)

[1 22 −2

1 22 −2

]−[λ 00 λ

])∣∣∣∣ 1− λ 2

2 −2− λ

∣∣∣∣ = (1− λ) (−2− λ)− 4

λ2 + λ− 6 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ2 = −3

λ1 = 2

[1 22 −2

] [ xy]

= 2[ x

x + 2y = 2x

2x − 2y = 2y

−x + 2y = 0

2x − 4y = 0

x = 2y ⇒ s1 =

]t (t 6= 0)

Pelda (folyt.)

λ2 = −3 ([1 22 −2

]−[−3 0

0 −3

]) [ xy]

4x + 2y = 0

2x + y = 0

y = −2x ⇒ s2 =

[t−2t

[1−2

]t (t 6= 0)

Megjegyzesek

A sajatertekek es sajatvektorok fuggetlenek attol, hogy milyen bazisban felırtmatrixbol szamıtjuk ki oket (invariansak; a definıciobol nyilvanvalo).

Az n × n-es valos szimmetrikus matrixoknak mindig van n db valos sajatertekuk.

A szimmetrikus matrixok kulonbozo sajatertekeihez tartozo barmelysajatvektorai merolegesek egymasra (vagyis a hozzajuk tartozo sajat-alterek ismerolegesek).Az elozo peldaban: s1 · s2 = [ 2

1 ] ·[

Pelda (folyt.)

λ2 = −3 ([1 22 −2

]−[−3 0

0 −3

]) [ xy]

4x + 2y = 0

2x + y = 0

y = −2x ⇒ s2 =

[t−2t

[1−2

]t (t 6= 0)

Megjegyzesek

1 ] ·[

Pelda (folyt.)

λ2 = −3 ([1 22 −2

]−[−3 0

0 −3

]) [ xy]

4x + 2y = 0

2x + y = 0

y = −2x ⇒ s2 =

[t−2t

[1−2

]t (t 6= 0)

Megjegyzesek

1 ] ·[

Pelda (folyt.)

λ2 = −3 ([1 22 −2

]−[−3 0

0 −3

]) [ xy]

4x + 2y = 0

2x + y = 0

y = −2x ⇒ s2 =

[t−2t

[1−2

]t (t 6= 0)

Megjegyzesek

1 ] ·[

Megjegyzesek (folyt.)

A sajatertek-egyenlet k -szoros gyokekent adodo sajatertekhez tartozosajat-alter dimenzioja 1-tol k -ig barmi lehet. Ellenorizzuk:

2 0 00 2 00 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: R3;

2 0 00 2 10 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i, j〉;

2 1 00 2 10 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i〉.

Ha a transzformacionak van n db kulonbozo sajaterteke, akkor van sajatbazisa(minden bazisvektor sajatvektor); ebben a bazisban felırt matrixa diagonalis:

λ1 0 0 ... 00 λ2 0 ... 00 0 λ3 ... 0...

......

. . ....

0 0 0 ... λn

.(Ha vannak egybeeso sajatertekek, akkor nem biztos; elozo pontban A1-nekvan, A2-nek es A3-nak nincs.)

A szimmetrikus matrixoknak mindig van ortonormalt sajatbazisuk.

2 0 00 2 00 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: R3;

2 0 00 2 10 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i, j〉;

2 1 00 2 10 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i〉.

λ1 0 0 ... 00 λ2 0 ... 00 0 λ3 ... 0...

......

. . ....

0 0 0 ... λn

2 0 00 2 00 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: R3;

2 0 00 2 10 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i, j〉;

2 1 00 2 10 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i〉.

λ1 0 0 ... 00 λ2 0 ... 00 0 λ3 ... 0...

......

. . ....

0 0 0 ... λn

2 0 00 2 00 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: R3;

2 0 00 2 10 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i, j〉;

2 1 00 2 10 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i〉.

λ1 0 0 ... 00 λ2 0 ... 00 0 λ3 ... 0...

......

. . ....

0 0 0 ... λn

2 0 00 2 00 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: R3;

2 0 00 2 10 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i, j〉;

2 1 00 2 10 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i〉.

λ1 0 0 ... 00 λ2 0 ... 00 0 λ3 ... 0...

......

. . ....

0 0 0 ... λn

2 0 00 2 00 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: R3;

2 0 00 2 10 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i, j〉;

2 1 00 2 10 0 2

]⇒ λ1,2,3 = 2, sajat-alter: 〈i〉.

λ1 0 0 ... 00 λ2 0 ... 00 0 λ3 ... 0...

......

. . ....

0 0 0 ... λn

linearis transzform´ aci´ ok´ (bevezetes a sz´ am´ ´ıt aselm´ … · 2013. 10. 29. ·...

Documents