ANKC-C 1

Lineární stabilita a teorie II. řádu• Sestavení podmínek rovnováhy na

deformované konstrukci• Konstrukce s a bez počáteční imperfekce• Výpočet s malými vs. s velkými deformacemi

ANKC-C 2

Zatěžovací dráhy [Šejnoha, Bittnarová, 2003]

ANKC-C 3

Teorie ideálního prutux

zℓ

F F• Vycházíme z diferenciální

rovnice ohybové čáry:

( )EIw M F w x′′ = − = − ⋅

Aproximace: ( ) ( )2

2sin sinx xw x A w x Al l l

π π π′′= ⇒ = −

Rovnice 2

2 sin 0xEI F Al lπ π

− + =

má netriviální řešení pro2

2 critEIF F

lπ

= =

Eulerovo kritické břemeno

ANKC-C 4

Teorie ideálního prutu• Hledání kritického břemene přímého prutu je z matematického

hlediska problémem vlastních čísel:

2

0

0

EIw F wFw wEI

w wα

′′ = − ⋅

′′ + =

′′ + =

Řešení tohoto problému je nekonečně mnoho, nás však zajímá nejmenší hodnota Fcrit, při níž dojde ke ztrátě stability konstrukce

ANKC-C 5

Vzpěrné délky• Zavádíme tzv. vzpěrnou délku Lcr

F

Lcr = ℓℓ

F

2ℓ

F

0,7ℓ

F

0,5ℓ

2

2critcr

EIFL

π=

crcrit

EILF

π=

ANKC-C 6

Lineární stabilita• Rozšíření hledání kritického břemene na celou konstrukci• Výpočet vzpěrných délek jednotlivých prutů v konstrukci a jejich

namáhání• Kritické zatížení je dáno λ-násobek zadaného referenčního zatížení• Různé tvary vybočení téže konstrukce při stejném zatížení - hledáme

tvar s nejnižším kritickým břemenem

F F

ℓLcr = 2ℓ Lcr = ℓ Lcr = 0,7ℓ

ANKC-C 7

Výpočet součinitele kritického zatíženíVycházíme z rovnováhy na elementu deformovaného prutu:

N

ℓ

N N

Nw

Q

Q

NQ l N w Q wl

⋅ = ⋅ ⇒ =

Příčné síly Q závisí na osové síle N. Protože N = λ Nref,, je i velikost Q funkcí součinitele λ.

Tyto doplňkové příčné síly se přičtou do matice tuhostiprutu K.

ANKC-C 8

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

l

EA EAl l

EI EI EI EIl l l lEI EI EI EIl l l l

EA EAl l

EI EI EI EIl l l lEI EI EI EIl l l l

− − − − − = −

− −

K

Matice tuhosti prutu v ohybu K

Matice geometrické tuhosti KG

(matice počátečních napětí Kσ)

Rovnici rovnováhy potom píšeme ve tvaru: ( ) 0λ− =GK K r

Tato soustava s nulovou pravou stranou má netriviální řešení pouze pokud je singulární, tedy když je její determinant roven nule:

( )det 0λ− =GK K Tento výraz je polynom proměnné λ, jeho nejmenšíkořen je součinitel kritického zatížení.

Reálně se řeší iterativně jako zobecněný problém vlastních čísel

ANKC-C 9

Příklad �

ANKC-C 10

Konzistentní Kσ

ANKC-C 11

Konzistentní Kσ

ANKC-C 12

Příklad �

ANKC-C 13

ANKC-C 14

ANKC-C 15

Příklad �

ANKC-C 16

Lineární statika

ANKC-C 17

Lineární stabilita

Neplatí superpozice!

ANKC-C 18

Imperfektní prut

Zvětšení vnitřních sil a průhybů vlivem stability:

{

01

11w w

λ

=−

„stabilitní zvětšení“

λ < 4(5) - konstrukce je nebezpečně štíhlá

4(5) < λ < 10 - uplatnění stabilitního zvětšení

λ > 10 - konstrukce není náchylná ke ztrátěstability

x

z

ℓ

F F

δ0

δ

w0

w• Počáteční stav w0 –

imperfektní tvar, vnitřní síly nulové

• Pro moment platí• Diferenciální rovnice

ohybové čáry ve tvaru: 0EIw Fw EIw′′ ′′+ =

critFF

λ =

ANKC-C 19

Imperfektní prut

• Průhyb ideálního prutu se při zatěžování nemění, po dosaženíFcrit skokem zdeformuje nade všechny meze

• Deformace imperfektního prutu při zatěžování vzrůstá, při dosažení hodnoty Fcrit takénekontrolovatelně vzroste

Fcrit

δ

F

Fcrit

F

δδ0

ANKC-C 20

Řešení odezvy konstrukcí pomocí teorie 2. řádu

Řešíme soustavu rovnic ve tvaru ( ) 0− =GK K rTato soustava není lineární, protože KG = KG(N) a N = N(r), tedy matice soustavy je funkcí řešení. Soustavu musíme řešit iterativně.

;ekv ekv= + = GKr f f f K rVyjdeme z tvaru

Iterace:

Postup výpočtu: 1)

2)

3)

4)

1i i i+ = + GKr f K r0 0 0 0, ,N= ⇒ GKr f r K

( ) ( )( )1 ,i i i i i i iN+ = + = =G G G GKr f K r K K r K r1i i ε+ − <r r

1i i= +

Konvergenční kritérium

Zpět na začátek

ANKC-C 21

Příklad �

ANKC-C 22

Příklad �

ANKC-C 23

Stabilita pomocí tabulek (Dcv.)

ANKC-C 24

LiteraturaByly použity slidy z přednášek a cvičení

[1] Doc. Dana Rypla z předmětu SM50

[2] Prof. Petra Konvalinky z předmětu ANKC-K

[3] Doc. Pavla Kuklíka z předmětu ANKC-C

a jeden obrázek ze skript PP20 [Šejnoha, Bittnarová, 2003]

ANKC-C 25

Pomůcky

ANKC-C 26

Pomůcky

ANKC-C 27

Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na matej.leps@fsv.cvut.cz.

Datum poslední revize: 24.11.2008Verze: 001