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Lecture Notes inMathematicsEdited by A. Dold and B. Eckmann
867
Seminaire d'AlqebrePaul Dubreil etMarie-Paule MalliavinProceedings, Paris 1980(33eme Annee)
Edite par M.P. Malliavin
Springer-VerlagBerlin Heidelberg NewYork 1981
EditeurMarie-Paule MalliavinUniversite Pierre et Marie Curie - Mathematiques10, rue Saint Louis en l'Ile, 75004 Paris, France
AMS Subject Classifications (1980): 05A15,12A85, 13F15, 13G05,13H15, 13N05, 14D99, 14FlO,14H99, 14L30, 16A08,16A15,16A27,16A33, 16A38, 16A39, 16A62, 16A 72, 16A 74,17 B35, 20 B25, 20ClO,20 C20, 20 G05, 22 E35, 58A 10,58 B20, 58 C40
ISBN 3-540-10841-6 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New YorkISBN 0-387-10841-6 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen BibliothekSeminaire d' Aigebre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin:Proceedings! Serninaire d'Alqebre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin. -Berlin; Heidelberg; New York: Springer33.1980. Paris 1980: (33.annee). - 1981.(Lecture notes in mathematics; Vol. 867)ISBN 3-540-10841-6 (Berlin, Heidelberg, New York);ISBN 0-387-10841-6 (New York, Heidelberg, Berlin)NE:GT
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole orpart of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting,re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine orsimilar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German CopyrightLaw where copies are made for other than private use, a fee is payable to"Verwertungsgesellschaft Wort", Munich.
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1981Printed in Germany
Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr.2141/3140-543210
Liste des auteurs
J. Alev p. 351 - M. Bayart p . 174 - G. Besson P> 130 - J.E. Bjork p.148 -
F. Couchot p . 380- J.P. Van Deurenp. 295- D. Eisenbud p.141 -
J.\<. Fischer p . 365 - R.M. Fossum p , I - J. Van Geel p , 295 - A.W. Goldie p , 396
L. Gruson p. 234 - W.H. Hesselink p . 55 - C.U. Jensen p. 234- T. Kimura p. 38 -
A. Levy-Bruhl-Laperriere p. 98 - M. Lorenz p. 406- I.G. Mac Donald p. 90 -
G. Musili p . 441 - F. Van Oystaeyen p , 295- K.W. Roggenkamp p.42l -
C.S. Seshadri p , 441 - C. Schoeller p , 214 - A. verschoren p. 319.
TABLE DES ttATIERES
Robert M. FOSSUM- Invariant Theory, Representation theory, Commutative
Algebra - menage a trois
Tatsuo KIMURA - On the construction of some relative invariants for
GL(n) (n=6,7,8) by the decomposition of the Young diagrams 38
Wim H. HESSELINK - Concentration under actions of algebraic groups
I.G. Mac DONALD - Some Conjectures for root systems and finite Coxeter
groups
Anne LEVY-BRUHL-LAPERRIERE - Spectre du de Rham-Hodge sur l'espace
projectif quaternionique
55
90
98
IV
G. BESSON - Groupe de Lie p-adique, Immeuble et Cohomologie
David EISENBUD - Report on normal bundles of curves in P3
130
141
Jan-Erik BJORK - The Bernstein class of modules on algebraic manifolds 148
Thierry LEVASSEUR - Anneaux d'operateurs differentiels 157
Marc BAYART - Factorialite et series formelles irreductibles II
Colette SCHOELLER - Homologie d'anneaux locaux de dimension
d'immersion 3
L. GRUSON et C.U. JENSEN - Dimensions cohomologiques reliees aux
foncteurs l'm(i)
J.P. Van DEUREN, J. Van GEEL et F. Van OYSTAEYEN - Genus and a Riemann-
Roch Theorem for non-commutative function fields in one
variable
A.VERSCHOREN-Pour une geometrie a l gSbr i que non commutative
174
214
234
295
319
Jak ALEV - Sur la formule de Molien dans certaines algebres enveloppantes 351
Joe W. FISHER - Semi-prime ideals in Rings with finite group actions
revisited
COUCHOT - Les modules artiniens et leurs enveloppes quasi-
injectives
Alfred W. GOLDIE - The reduced rank in noetherian rings
Martin LORENZ - Prime ideals in Group Algebras of Polycyclic-by-finite
Groups : Vertices and Sources
365
380
396
406
v
K.W. ROGGENKAMP - Structure of integral group rings
c. MUSILI et C.S. SESHADRI - Standard Monomial theory
publi avec Ie concours de :
Universit Pierre et Marie Curie,
Premiere Section de l'Ecole Pratique des Hautes Etudes,
Centre National de la Recherche Scientifique.
PREVIOUS VOLUMES OF THE "StMINAIRE PAUL DuBREIL" WERE PUBLISHED IN THE
421
441
LECTURES NOTES, VOLUMES 536 (1976), 641 (1977), 740 (1978) AND 7fJi (1979).
Invariant Theory, Representation Theory, Commutative
algebra-menage a trois
Robert M. Fossum
The purpose of this lecture is to give a survey of some of the inter-
esting relationships between selected topics involved in the area mentioned in
the title. Cognoscenti are aware of the fundamental interactions and know that
several lecture years can be devoted to each area. Thus it is not possible to
delve deeply into each subject.
One can consider these topics to live in the house of algebraic geometry-
and it is in this sense that they form a menage a trois. I have picked three
problems to discuss and have tried to show how these are related. In keeping
with the anology, this would be similar to the examination of the more super-
ficial daily life of a human menage a trois while ignoring or, at best, alluding
to the more important relationships that bind the threesome together.
The discussion will proceed in historical order. There are five
sections:
I. Elliptic curves - my favorite example.
II. N-ary R-forms
II!. Symmetric groups
IV. Invariants in positive characteristic
V. Problems.
This report should be considered preliminary to a longer survey which will
examine more deeply the topics involved. The effort has been supported by
the United States National Science Foundation.
Dedicated to Barbara
2
I. Elliptic CUrves - My favorite example
I begin with a discussion of elliptic curves, as found in [Mumford
and Suominen (1972)], because it is classical, illustrates one method of obtain-
ing examples and shows the relationship between the topics at a level many can
understand.
Let k be an algebraically closed field of characteristic I 2, 3.
An elliptic curve E over k is, by definition, a complete nonsingular curve
of genus 1. A study of the cohomology theory of E leads to the discovery of
a double covering1
1T : E -> IPk•
If TI' : is another double cover-
ing, there is an automorphism y of IPI
such that 1T' = Y 0 1T. Conversely,
any automorphism Y yields another (isomorphic) double covering. The branch
locus of is denoted by Then1
is in if and only if1T B . P in IPk
B1T
-11T (p) consists of exactly one point. Again it can be shown that B consists
1T
of 4 distinct points
{( )} B1T
Conversely, given 4 distinct points B as above, there is an elliptic curve
and a double covering 1T: E -> IPI
with branch locus B. So the branch loci
determine elliptic curves, up to isomorphism. Thus to study elliptic curves /k,
we can study sets of 4 distinct points in If we want functions on the
space of elliptic curves that are constant on isomorphism classes and distinguish
isomorphism classes, it should be enough to consider functions on that
somehow depend on sets of 4 distinct points, no matter how they are ordered,
but are also invariant when those points are moved about by Aut(IP1).
We can begin to normalize by finding y E Aut (IP1) = PGL
2(k)such that
3
Y( a1
0I)
b11
yr a 2 ] = ( ] 1l b2
Y[ a3 [ 1 ]
b3
0
Then Y[ a4] [ ] ,\b4
where ,\ # O,l,co Let B,\ = {O,l,co,'\}.
(Such a y is the matrix
[
- b l (a 3b2-a2bl), a 1 (a3b2-a2b 3)}
-b3(alb2-a2bl)' a3(alb2-a2bl)
y [:44] = f(alb4-a4bl) (a3b2-a2b3)],(a
3b4-a4b3)(alb2-a2bl)
(alb4-a4bl)
(a3n 2-a2b3)
(alb2-a2bl)
(a3b4-a4bs) ,
the cross-ratio between the four points.)
Then
so
The extension k(x) + k(x,y) corresponding to this normalized double
covering is y2 = x(x-l) (x-,\).
The group of permutations on four letters S4 acts on the branch locus
just permuting the points. If S4 is generated by its neighbor transpositions
slB,\ {l,O,co,'\}
s2B,\ {O,co,l,'\}
s3B,\ {O,l,-l,co}.
4
For any w E 54' we can find yw E PGL2 (k) so that
y (w{O» 0w
y (w{l» 1w
y (w(co»Then w
y (wC\» =: >..W.w
A calculation shows
1 - >..
1 - >...
In particular we get an action
where U1
lP - {O,l,co} defined as above. This action extends to all of1
lPk
by
1
o
o
1, etc.
Let1
lP = Proj (k [X, Y]) and consider how 54 acts on Proj{k[X,Y]). In general
if f{X,Y) is homogeneous and w E 54' the rule is
for So we calculate:
5
* a a X(b-a) b - a(slX) (b) X(sl (b» b
* a(SlY) (b) b. Hence
* *SIX Y - X, slY Y.
Likewise
* *s3 X Y - X, s3 Y Y,
and
* *s2X X s2Y X - Y.
The general action then is
*w f(X,Y) * *few x,w y).
It is clear that
In particular, we have the I-forms
V kX + kY
and a (linear) action
S4 x V + v,
which extends to an action
S4 x s· (V) + S' (V)
on the symmetric algebra S'(V) of v.
dimk
V = 2 and that V is an irreducible repre-
sentation of S4 over k. (The representation is not faithful. It is clear
that fixes each element, and therefore the normal subgroup V generated
by s ls3 is in the kernel of
S3 + GL(V) is an injection.)
S4 + GLk(V). The quotient group is S3 and
6
There are now two exercises. The first is to determine the quotient
]pl E
(or if we want the faithful action
if it exists.
The second is to determine the ring of invariants
53k[X,Y]
(where we have used the faithful action).
Then we must compare the two. The second problem is an easy exercise.
Let1 2 2 2
P(X,y) = 6 Tr(X ) = X - XY + Y and
since then char (k) 2,3, the homomorphism
E k[X,Y]53
-+ k(X,Y]
is surjective. Since! I'L w(g)6 wES3
x3
- xp(x,y) - Q(X,Y) 0
given by E(g)
and
it follows that
(k[X,Y]: k[P,Q]) < 6.
Hence
k [p,Q]53
k[X,Y]
7
We can use this to help in the solution of the first exercise. For
we have a map
proj(k[X,Y]) + proj k[P,Q].
Since deg P 2 and deg Q 3, we know that
proj k[P,Q]
Consider the map
. [3 2]Pro] k P ,Q
a _ [28p {a , b ) 3 jgotten by alb) - 2' This is well defined since
Q(a,b) )implies that a = a = b. It is also clear that
Let us examine the fibres. It is clear that
p(a,b) o Q(a,b)
-1a (00)
-1 w W 3a (0) = {(l)' (l)} where w + 1 a
a-1 3] = , }.
The remaining points have complete fibres, namely
where
j (;")28 (;.,2_;"+1)3
;.,2(;"-1) 2
8
Consider II'l_ {Do} and its pre image under cr·
1II' - {Do}.
Since II'l _ {Do} = ,,1 with
1jA = Spec k [j]
considered as the complement of2
Q = 0, and since1
II' {O,l,oo}
Spec k[x,(x(x-l»-l], we get an induced action of on
-1k [x, (x Ix-T) 1
given by
Let p Ix) x(x-l) + 1 and q(x) = x(x-l). Again a calculation shows that
k[x,(X(X-l»-l] = k[2 8
q(x)
The map jA 1 - {O,l} jAl defined by
crO.)3
j(;\.)
q(;\.)2
is that induced by-1
k[j] T k [x,q(x) ] is given by j -+ j (x) •
So the elliptic
Then j (E) = 28 p(;\.) 3
inq(;\.)2
then E ;; E'.
curve E determines a branch locus {O,l,oo,;\.} C II'1•
jAl is an invariant of E. If j (E) = j (E'),
9
Geometry: The family of elliptic curves over k is isomorphic to
jAl= Spec(k[j]). (A coarse moduli space for elliptic curves.) This is
the classical j-invariant.
Invariant Theory: We have seen several actions of 53 (and 54) on commutative
rings, computed the invariants and seen how this helps to determine the geometric
quotients.
Representation Theory: The action of 53 (and 54) on the linear terms
of k[X,Y] arises from a 2 dimensional representation of 53. This group has
three irreducible representations (when char (k) f 2,3), nameJy the trivial
and alternating l-dimensional representations, and this two dimensional
representation.
Commutative Algebra: The ring of invariants of 53 acting on k[X,Y] is
again a polynomial ring, whose properties are quite well understood.
10
II. N-ary R-forms
Let k be a field and variables. An R-form
is a homogeneous polynomial of degree R in k[Xl, .•• ,XN1. A general form
can be written
II=(il,··· ,iN)
I = il+···+iN=R
iNXN
where the AI are considered to be variables. Let g
in GLN(k) and let it act on the variables {xi} by
be an e lemen t
N
Ij=l
g .. x .•J
*We define an action of g on the AI' denoted g AI by
and then extend this action to all polynomials in k [{A } I I ].I I =RLet
k[{AI}].
If X: GLN(k) kX
is a linear character, an element F in SN,R
in a x-relative invariant if
*g F X(g)F
for all g in GLN(k) and it is an absolute invariant if
*g F F
for all g.
Consider the exact sequence
11
since X(g) : (det g)b for some n E ZZ, it follows that a relative invariant
for GLN(k) is an invariant for SLN(k).
(If k: k, or if k has Nth roots, then relative invariants can
be recovered from SLN(k)-invariants. Notice that for A E kX, the action
of A-IdN
on AI is given by
If F is homogeneous of degree g in SN,R' then So
if F is a relative invariant, then
and, provided F a, then Nm -Rq. Let g E GLN(k) and write
g
where gl E SLN(k). Also let p ged(N,R) with N
and Then
*If F is an SLN(kJ-invariant, then g F *AF
F is a relative invariant for X(g) : det(g)M.)
Cayley first asked to find all relative invariants - he wanted an
algorithm, and many authors have studied the problem since Cayley and Sylvester
began their investigations over 100 years ago. Faa de Bruno [1876] lists those
who made contributions up to that time and Schur [1968], Popp [1977] and
Springer [1977] have more recent bibliographies.
An algorithm to find these invariants led to the symbolic method
for writing the invariants, but the computations became much too difficult to
12
SN,R
PN,R
In particular, let
Not much progress has been made in explicitly describing theseSLN(k)
denote the ring of
carry out.
invariants.
invariants.
The following list is known
k.
k [de t.I A. ,)]lJ
where
Ii,j
x.A .. x ,l lJ J
is the 2-form, A, . = A., and thenlJ Jl
(A, .)lJ
is the general symmetric bilinear
form. These calculations, as well as the next two can be found in Schur [1968].
Explicit generators and relations (syzygies) are known for
R < 6
P •3,R'
R < 3
Shioda [196 7] has found generators for P2,7' P2 8 and P3,4·j{ ,
(In N = 2, write f(xl,x2) I R-i i thatcase = AiX l
x2
so Ar-i,ii=O
A .• )l
In fact in case N = 2, R = 3, just as in the case N 2, R 2,
the discriminant of the form is the only invariant.
In case N = 2, R 4, there are 2 algebraically independent
invariants:
The Apolare16 P, where
and the Hankel determinant:
13
Al A2 12A
O3A
l2A
2AO """4 6
detAl A
2A3 = _1_ det 3A
l2A
23A
3"""4 ""6 """4 (12) 3A2
A3 A4
2A2
3A3
12A46 """4
= _4_ {72 AOA2A4
+ 9 AIA2A3 - + -
(12) 3
4=: --2 Ql (AO'··· ,A4)·(12)
It follows that
which is also invariant.
Consider two special cases:
Then
P(O,l,-(1+;\) ,;\,0) = ;\2 - A + 1 and
Ql (0,1,-(1+;\) ,;\,0)(;\+1) (2;\-1) (1.-2)
Weierstrass:
Then
It is clear that there is a relation with elliptic curves.
14
In particular
kID] where
D
where P, Ql
are as above. (From the previous section
or
2 3 2Ql
4p - 27Q .)
The problems stated here can be framed in a representation theoretic
picture. Let V be a finite dimensional vector space over k. (He wr i.te
(the contragredient representation).of G as does its dual space
N = V.) Let G SLk(V), the space of k-automorphisms of V of deter-
minant 1. Then the Rt h
symmetric power, SR(V), affords a representation
R *S (V)
Then consider the ring of symmetric powers of
when a basis of V is chosen.
R *S (V) •
Then
This is just SN,R
is the ring of invariants
of SN,R by the G-action. Theth
q homogeneous component of is
So we can ask for the decomposition of this space into its irreducible G-sub-
spaces. There is an invariant if there is an irreducible subspace of dimension
1 (over k). (Some restrictions on k are necessary. We assume k k and
char (k) = 0, for example.)
The irreducible G-representations are parameterized by sequences
ml2 m2 2···2 m
N_l2 0 (of weights) cf. [Hartshorne (1966)]. So it would
be sufficient to know the decompositions of these symmetric spaces in order
to calculate the invariants.
15
For G = with V = 2, the algebra of the irreducibles is well
known. (Suppose char (k) = 0 and that we have then identified sq(w*) = sq(W) *.
For problems that arise in case char k = P > 0 see IV and [Alrnkvist-Fossurn
(1978)].) The irreducible G-modules are sq(V) for 0 q. Furthermore we
know that for q p
sq+p-2v (V) ,
v=O
a decomposition of G-modules.
(This is the "formula of Clebsch-Gordan" [Springer (1977), p. 50]. It has a
rather simple proof, that we give in the appendix. It goes by induction from
the decomposition
From this formula, it follows that the "binomial coefficient"
[ ] :=
is a well defined representation of G and that
sr (sq(V»sq+v-l(V» ]
-sq-l (V)
andsq-l(V)
!l.r(sq(V» ]-sr-l (V)
16
Apply this to the case R = 2.
sl (S2 (V)) s2 (V)
s2 (S2 (V))S2(V) 9 S3(V) s5 (v) Gl S3(V) Gl Sl(V)
So(V) @ sl (V) Sl(V)
S4(V) Gl So(V) (I-invariant)the discriminant
S2(V) @ S3(V) @ S4(V)
So(V) @ Sl(V) @ S2(V)
In general
S3 (V) @ s4 (V)
Sl(V)
s6 (V) Gl S2 (V) •
S7(V) Gl S5(V) Gl S3(V) Gl Sl(V)
sl (V)
and there is an invariant only in case r is even, and then only one of theml
So it must be the power of the invariant from S2(S2(V)).
What about R = 3.
1 3 3S (S (V)) S (V).
4 3S (S (V))
There is an invariant, the discriminant again.
17
In case R 4
800S (V) @ S (v) @ S (V), yielding an invariant, proportional
to P.
yielding an invariant proportional to Ql.
the component being an invariant corresponding to2
P .
The general problem can be stated: Determine the decomposition of
the representations sq(SR(V)) into irreducible representations.
The ideal theoretic properties of the invariant rings are now better
understood, due largely to the following result by [Hochster and Roberts (1974)].
Theorem. Let G be a linearly reductive affine linear algebraic group over
a field K (of arbitrary characteristic) acting K rationally on a regular
noetherian K-algebra S. Then the ring of invariants SG is
In case char (k) = 0, the group SLk(V) is semi-simple provided
dim V 2, and linearly reductive. By [Fogarty (1969) V Ex. 5] the ring of
invariants in the theorem above will be factorial if S is factorial. Then
by [Murthy (1964)], the ring sG will be Gorenstein.
Theorem. The ring of invariants
is a factorial Gorenstein ring (in case char (k) 0) •
18
(See also Geyer's paper in [Popp (1974)] where these problems are
considered in case char (k) = P > 0.)
We conclude this section with a brief mention of the geometry involved.
For more details see [Mumford-Suominen].
The group SLk(V) acts on V and hence on IP (V), the space of lines
through 0 in V. Hence there is a diagonal action of SLk(V) on a product
and this action commutes with the natural action of the symmetric group SR
on this product.
Let W SR(V) and define a map O:IP(V)XR -+ IP(w) by
all a1 2
al R
0 a2l
a 22a2R (b. . ) where
11" .1
N
aNl
aN2
aNR
R
ITj=l
(a .. X + ••• + a .X )1) 1 N) N L
i + .. ·+i =R1 N
iX NN
Note that this action is equivariant, when W gets its SL (V)K
structure through the action on V.
(On the affine level, this is just
Let IP (V) (R) = IP (V) xR /SR. SO there is induced a map
IP(V) (R) -+ IP(W) •
19
Now we want to study the projective space lP(w)
action. If 2 = dim V, then
lP (V) (R) -
with an action of SL2(k).
with this SLk(V)-
For R = 4 we are "close" to the study of elliptic curves. For
even R > 4 this is related to the study of hyperelliptic curves.
summary and Conclusion
Geometry: There is an action of SL2(k)
on and in general an action
(N+R-l) -1
of SLN(k) on lP N whose orbit spaces, although not always well
defined have subsets that are interesting algebraic sets. In case R 4
and N = 2, one can get a coarse moduli space (see [Mumford-Suominen, 4,
Prop. 2]) for elliptic curves.
Invariant Theory: The action of GLk(V) and SLk(V) on SR(V) induces
actions of these groups on the symmetric algebras S· (SR(V)). Those invariants
have been studied for many years.
Representation Theory: The irreducible representations of SL(V) and GL(V)
are well known. The "Algebra" of these representations can aid in finding
the dimensions of the space of invariants.
Commutative Algebra: The (V) invariants of S· (SR(V)) form a Gorenstein
unique factorization ring, and a regular ring.
20
Appendix: Proof of the Clebsch-Gordan Formula.
Let char k = 0. Suppose V is a vector space over k. Let (r,s)
be a pair of integers and define
Then define
dr: Mr,s + Mr-l,s+ls
byrL (_l)r-l vI 11 •••11 vJ.' 11 •••11 vi=l r
@V.WJ.
for vi E V and w E SS (V). It is clear that each is GLk(V) -equivariant.
Define also
e S: Mr,s + Mr+l,s-lr
sL (wllvi) @ vl···vi .. ·vs•i=l
It is clear thats
er
is also equivariant. A calculation shows that
dr+ls-l
(r+s) Id.
Hence the complex
is exact and splits as a GLk(V)-sequence. Apply this to the case dim V
get the complex which is GLk(V)-split.
° + M2,r+s-2 + Ml,r+s-l + MO,r+s + 0,
2 to
since Mr,s ° for r > 2. Hence
21
as GLk(V)-modules.
Theorem (Clebsch-Gordan Formula): There is a decomposition (m < n)
as GLk(V)-modules.
m
al
v=O
sn+m-2v (V)
Proof. Go by induction on m. The case m = I is the formula above.
If general, suppose the formula holds for m. Then
Hence we get
m
al
v=O
sn+rn-2v (V) @ V.
m( al
v=O
But
msn+m-2v+I(V» al ( al
v=O
sn+m-2v-I(V» •
n m-lS (V) @ s (V)
m-lal
v=O
n+m-2v-1S (V)
by the induction hypothesis.
As the modules S r (V)
that
are irreducible GLk(V)-modules, it follows
m--Lal sn+m+1-2v (V)
v=O
(unless rn + I > n, in which case the argument is left for the reader to
complete • II
22
III Symmetric Groups
In this section we turn to the study of representations of finite
groups, in particular the symmetric groups S .n
Let V be a vector space over k. (In general we could consider
a k-module in case k is not a field.) Suppose G is a group and
is a group homomorphism yielding a representation of Gover k. Suppose
n EN and set
n times
V'&1k
As before G acts on by the diagonal action, viz.
Identify Sn with the permutations of
u ,a. ... ,n}
for g in G and v , E V.],
(acting on the right of elements) • '!henn
V becomes an S -n
module by
for w E S. Note that the G and S actions commute.n n
Suppose W is a right representation of Sn
over k, that is W
is a right kS -module.n
'!hen the set
(W,Tn(V» =: W(V)n
becomes'a G representation over k. If W is a left representation, then
Tn (V) W =: W[V]
kSn
23
is also a representation of Gover k. These are called the Schur
functors of V.
Examples: The Nth symmetric power of V. Let W kUl
be the free
k-module of rank 1 with wul = ul
for all w ES giving the left actionn
of S on w (for all n) • This is the trivial kS -module. Then the Nthn n
symmetric power of V is the Schur functor
:= ..;'-(V) 8 kul•kS
n
The Nth exterior power of V. This module is usually defined as
then
modulo the submodule generated by all tensors of thequotient of V
form vI 8 v28···8 w 8 w 8···8 v
n"In case Q C k, we can get the Nth
exterior power
:=n
n(ku_l,T (V»
where u w =-1
(-1) .QAw) u-1 is the alternating representation of S "n
82Set S2(V) := HornS (kul,V ).
2 82 82In general, let i v: Hom
kS(kul,V ) V denote the inclusion
2defined by
for
This map is GLk(V) equivariant. For general N Ern, and for 1 < i < N,
let
Define e.: W.l l
v8N by
24
Im(e)and then
module of
N-le: III
i=leN
v
eNW. V as the sum of the e.. Then
l l
generated by the tensors mentioned above. So
is the sub-
:= Coker e.
This defines the exterior powers in terms of Schur functors, independently
of the characteristic. (Note: Let S3 (V)
(III.l)
tion maps along the inclusions
induce homomorphisms
and
The following sequence of modules and maps is a complex that is acyclic
at least when C k.
o -+ S3(V) --r
All the maps are GLk(V) equivariant.
Now it follows that (WI III W2)
(V) = WI (V) III W2(V)
as G-modules.
So to know all schur functors, it is sufficient to know the indecomposable
Schur functors. In case m k, these are obtained from the irreducible
representations of s .n
(See [Macdonald (1980) 1.)
once we have a representation of G on V and then on the W(V),
we can form the symmetric algebra over k on W(V) and ask for the invariants.
In Case G = SLk(V) , and W kul,
we are back to Cayley's problem,
to determine the SLk(V) invariants of S·(SR(V)). Or we can consider
25
representations Sm + GLk(V) and then the associated representations of
Sm on the Schur functors of V. These lead back to other topics in classical
invariant theory.
Examples: Let m be an integer, m > 1, and suppose V = m. (We
want k for some of the calculations.) Then Sm acts on V by per
muting a basis of V, the regular representation of V over k. Then
S·(V) = k[Xl, ••• ,Xml, a polynomial ring. It is well known that
Ss ' (V) m
wherem-rr (l + X.t) =:i=l
The El, ••• ,Em
are the elementary symmetric functions in the Xl' ••• ,Xm•
Let !', = -rr (x. X.). Then it is also classical thati <j J
As ' (V) m = k [E
l,••• ,Em'!',]
(where Am is the alternating subgroup of S i ,m
The vector space V is
decomposable as an Smmodule, in characteristic zero, and in any case
contains nontrivial S submodules.m
Let V have basis and let Then
kal
is the trivial one dimensional representation of V. Let
for i :; 2,3, ...... ,moo Let s.J.
be the transposition in Sm
that interchanges i and i + 1. If we suppose that-1
m E k, then
V decomposes into V = kal Sml,l'
spanned by fl, ... ,f
m_l•Note that
where is the submodule
26
sl f l-f
l
sl f if. - f l
for i > 1l
s.f. f. for jI' {i,i+l}l J J
s.f. f i+l.l l
Hence indeed Am_l,l
and fi
+ e l ei+l•
is an S -submodule.m
Also
Thus it can be seen that
v
o
in case m- l E k ,S
It is now an easy task to compute S·(Sm_l,l) m For it follows
that
S· (V)
Ss' (V) m
SkeEl] B s"(s 1 1) m
k m-,
1,2, ••• ,m-l. Then the Zl""'Zm_l
:::: 1, .... . 1m..forin S· (V)1
Yj
X j - mEl
Xi+l - Xl Yi+l - Yl for iLet Z.l
Define
generate S'(Sm_l,l) as an algebra. The map S'(V) S'(Sm_l,l) given by
(Z + •• -+ Z )m 1 m-l
X2
z - (z +••• + Z )1 m 1 m-l
27
is Sm equivariant with kernel generated by El"
Hence
a polynomial ring, where, by Er(Z), we mean
E (Z) := E (- (Zl +" .. + Z ) Z ml
(Zl + ••. + Zm_l)"'" i ,r r m m-l' 2
In the particular cases m = 2, we get
If m = 3, we get
and
Let
E2(-X,Y,X-Y)
= -p(x,y)
(See §I).
E3(-X,Y,X-Y)
= -Q(X,Y)
and we get
Also taking Zl = A, Z2 = 1 gives
1 1E3 (Z) := 27 (A+l) (2A-l) -2) = 27 Ql (A)
from §II.
In general, let Yl
- (Z +" •• + Z )m 1 m-l
Z - (Z + •.• + Z )1 m 1 m-l
Then z - +•.• + Z )m-l m 1 m-l
It follows that
28
- (y +•.• + Y ) •1 m-l
for < m - 1 and
E.(Yl,···,Y 1) - E. l(Yl'···'Y l)ElJ m- J- m-
Our representation of S onm
is given by
s.Y.J
Y.J
if {i,i+l} and i < m - 1.
s.Y,
Y.
and
if i < m - 1
The ring of invariants
for r < m and
(The Ei
are the elementary symmetric functions.)
It is probably time to state a result due to Chevalley [1955] found
in Bourbaki (1968).
29
Say g E GLk(V) is a pseudo-reflexion if
rk(IdV
- g) = 1.
A reflection is a pseudo-reflexion.
Theorem (Chevalley): Suppose the finite subgroup G CGLk(v) is generated by
pseudo-reflections. Then the subring of invariants
S. (V)G
is a polynomial ring generated by V elements (provided char k 0) •
So in case char k = a, the calculations above explicitly find these
invariants. The exercises in the same section of Bourbaki yield an example
in positive characteristic where the above theorem is not true.
We mention several other results that are of interest in the
case of finite groups. Again assume char (k) = a and G C Glc (V), with
V < 00. Then G acts on the homogeneous components of the symmetric
algebra S.(V), SO the ring of invariants is a graded ring.
For a graded ring A = An' let the Hilbert-Poincare series ben>O
given by
PA(t) l rk (A ) t r,
r=Ok r
an element in 2Z[[tll
Theorem (Molien (1897» : Let A S. (V)G. Then
PACt)1 l
-1
(G:l)det (l-gt)
gEG
When G
30
5m
and V is the regular representation, then
for A = s.(V)G. When we consider the representation S and consider5 m-l,lm
A = S. (S 1 1) , thenm- ,
2 -1 m -1(l-t) • •• (l-t) •
On the other hand, consider the irreducible representation of 55 of dimen-
sion 5 corresponding to the partition (3.2), in characteristic zero. The
Mo1ien series is
(1_t2 «1_t3) (l_t4) (1_t5 ) (1_t6)
d -1which is not of the form IT(l-t i) and hence the ring of invariants is
not a polynomial ring.
Summary:
Geometry. The irreducible representations of the symmetric groups induced
actions of these groups on projective spaces. The orbit spaces sometimes
classify families of varieties, ego elliptic curves.
Invariant Theory. The classical symmetric functions are invariants for the
regular representation of 5 .n
In characteristic zero, the invariants form
a Cohen-Macaulay ring, but not necessarily a GOrenstein ring. And the ring
need not be factorial.
Representation Theory. The representations of the symmetric groups are well
understood [James].
31
Commutative Algebra. The invariant rings form a wealth of examples that
can be used to substantiate or defeat conjectures. The algebra of the
representations of the symmetric groups is used to find resolutions of deter-
minantal ideals [Lascoux (1978), Nielsen (1978), (1979)].
IV. Invariants in positive characteristic.
The problems encountered in invariant theory when the ground field has
positive characteristic are manifold. In the first case, there are few linearly
reductive groups, so the Hochster-Roberts result does not hold. In the following
discussion, the field k is assumed to have characteristic p > 0. The pro-
blems arise already when one considers cyclic p-groups. So another restric-
tion will be to consider unipotent actions of order a power of p.
Let V be a finite dimensional vector space over k, say
V = r, and suppose u, V + V satisfies (U-Id)r 0, and r is the
minimal such number, Then there is a basis of V such that
ue.J
and
for 1 < < r - 1
then a quick calculation shows that
n+luP Id.
Let jJ n+lp
group ring
denote the multiplicative cyclic group of ordern+l
p Then the
n+lkll - -1).
r- n+lp
32
maximal ideal is generated by
n-i-L
since (" -1)n+l
(T-l)P this group ring is a local artin ring whosen+l
T - 1, modulo (T-l)P Hence all of the
indecomposable modules are known; namely they are indexed by dimension and
v k[T]/(T-l)rr
forn+l
1 < r < p
Let S. (V )r
denote the symmetric algebra on Vr
over k ,
What is ?
Wn+lS. (V ) p
r
Wn+l-action.p
There is a
problem:
In fact there are several ancillary problems.
Geometry. Suppose X is a smooth variety over k and G is a finite group
of automorphisms of X. Then X/G need not be smooth. Classify all the
singularities. (These are known in case char (k) = 0.)
Representation Theory. Let W be a representation of s .m
the decom-
position into indecomposables of
8mV ?
s. (W @
Sm
Commutative Algebra. What are the properties of the algebra of invariants
Wn+lv&n) p ?
(The same question can be asked for the completion of this algebra at the
irrelevant maximal ideal.'
This last question has some answers.
Theorem. The algebraslJ n+l
S. (w @ V m) p
Sm
33
are factorial.
The proof of this theorem depends upon the fact that
and a computation of the ideal class group due to Samuel [1964].
Theorem. Let M denote the irrelevant maximal ideal of the algebra. Then
depthMs , (W @
Sm
(W @ Vern),
Sm
This is a result of Ellingsrud and Skjelbred [1978].
Since dim&II u n+l
S. (W @ V ) P
Sm
this result shows that there are many examples, in characteristic p > 0,
of factorial rings that are not Cohen-Macaulay.
Almkvist and Fossum (1978) have made many calculations of the Hilbert-
Poincare sereis of the ring of invariants.
andlJ n
S. (V ) pn
p
And they have completely described the decompositions of the symmetric powers
of the indecomposables Vr
for 1 < r
The problem in general is very difficult, partly because we cannot
find a satisfactory generalization of the Clebsch-Gordan formula.
We conclude this section by referring the interested reader to
Almkvist (1980).
34
V. problems
In this section some of the remaining problems are discussed.
Classical Invariant Theory. Find the invariants of the N-ary R-forms.
Geometry and Representation Theory. Let be an irreducible complex
representation of s .n
Then Sn
acts on the projective space
with orbit space !P(SI'/ Sn. What is the geometric meaning of this orbit
space? Does it classify some nice family of varieties?
Representation Theory and Commutative Algebra. Again let SI be an irreducible
representation of .s n ' Find the invariants of the symmetric algebra S· (SI) •
When is this ring Gorenstein, factorial or a complete interaction.
Problems in Characteristic p > o. Let V be an indecomposable representa-
tion of in characteristic p > O. Find the decomposition of Sn(V)
and An (V) for all n. Are the completions of the invariant rings factorial?
Let characteristic (k) = p > 0 and suppose f(X,Y) is a formal
group on k [[tjj • Thenthe V :=k[[tll/(tn,
ncan be multiplied, viz.
Vne V
m'and these become k[[tll-modules of finite length over k[[tjj
through f(X,Y). What are the deocmpositions of the symmetric and exterior
powers?
The case above is f(X,Y)
Can one speak of invariants?
x + Y + XY, giving the cyclic groups.
35
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to cornbinatorics. Bull. (New Series) Amer. Math. Soc. 1, 475-571.
On the construction of some relative invariants for GL(n) (n=6,7,8)
by the decomposition of the Young diagrams
Tatsuo KIMURA
Introduction.
Let V be a vector space spanned by skew-tensors u. 1\ U. 1\ ukn 1 J
(1 s: i < j < k s: n) over a field k on which Gn = GLCn, k) acts by
p (g) (ui
1\ u. 1\ uk) = guo 1\ gUj1\ gU
kwhere gUi = L urgr i for g = (gij) E G
J 1 nr
For n = 6,7,8 and k = [, the triplet (Gn,
P, Vn)
is a reduced irreducible
regular prehomogeneous vector space (See Sato-Kimura [1]). In particular,
any relative invariant of (G , p, V ) is uniquely written as the formn n
cf (x)m withn
xC E k and m E 1. where is an irreducible homogeneous
polynomial of degree 4 (resp. 7,16) for n = 6 (resp. 7,8). In this paper,
first we shall construct an n x n matrix whose entries are homogeneous
polynomials of degree 2 (resp. 3,6) for n = 6 (resp. 7,8). Next, we shall
construct another n x n matrix whose entries are also homogeneous
polynomials of degree 2 (resp. 4,10) for n = 6 Crespo 7,8). Finally, we
shall show that = is a non-zero scalar matrix and
= fn(x) "In (n = 6,7,8). All constructions are based on the decomposition
of the Young diagrams in the following sense. First, all Young diagrams
in this paper appear in the symmetric tensor of 8, and hence they correspond
to some polynomials on V Now, for three Young diagrams A, B, C, we sayn
that B x C is a decomposition of A (notation : A B x C) when A appears
in the symmetric tensor of Band C. This implies that polynomials for
A can be obtained from those for Band C. For n = 6, this was first
39
done by M. Sato. We shall review his results in §l in the form convenient.
for later use. For n = 7, the construction of was first done also
by M. Sato, and that of was done by the author (See T. Kimura [8]).
However, in this paper, we shall in the different but
simpler way than in [8]. The main result for n = 7 is described in §2.
In §3, we shall investigate the relative invariant for n = 8.
The author would like to express his hearty thanks to Professor Mikio
'SATO who kindly explained his work for n = 6, and to Professor Herbert
POPP for his encouragement and stimulation.
§l. We shall review the M. Sato's results for n = 6 (See [1]). The
existence of the relative invariant of degree four corresponds to the
fa,t that th, 'yom,t,i, tao'o, ,'eEl) ,ontain, l6. On tho
other hand, S2 contains corresponds to the fact that
there exists a 6 x 6 matrix whose entries are quadratic forms in
X V6 satisfying det for g GL(6). Since there
exists no relatively invariant quadratic form, we have = O. The
d"om,o'ition , §j" , ,o'""ond' to tho fa,t that .C')'
= f6(x)'I 6
for x V6.
The explicit construction of is given as
follows. For x = xi j k
Ui
A Uj
A Uk' we shall define the partiali<j<k
derivations a byaUi
(1.1)
Then, by setting axx = E Yi we have
i 1
40
(1. 2) X 1\ X Ei,j
qJ .. (x) y. v .1J 1 J
where V. 1\ u.J J
Now qJ(x) is given by qJ(x) (qJ .. (x)) . For Xo ul 1\ u2
1\ u3
+ u4
1\ Us 1\ u6'
1J
we have
(1
I 0
(1. 3) qJ(xo) -1 and f6(x
O)1.
0 -1-1 J
§2. Since
71gdeg f
77, the symmetric tensor S
7(!3) contains
U has a decompo s i t i on I J1'r,I )6. This
implies there exists a 7 x 7 symmetric matrix qJ(x) (resp. qJ*(x)) satiafying
t 2 t -1 -1qJ(p(g)x) = det gogqJ(x) g (resp. qJ*(p(g)x) = (det g) 0 g qJ*(x)g for
g E GL(7), whose entries are homogeneous polynomials in x of degree three
(resp. four).
as follows.
The matrix qJ(x) = (qJ .. (x))1J
is first obtained by M. Sata
(2.1) X 1\ X 1\ X = E qJ .. (x)y.y.w where w = u ll\oool\u7.i, j 1J 1 J
We shall prove that the matrix (qJ .. (x)) is a desired one.1J
Proposition 2.1. qJ(p(g)x) det gogqJ(x)tg for g E GL(7).
Proof. Note that qJ .. (x)w1J
ax axx 1\ 1\ au.'
1 JHence we have
(2.2) <P •• (p (g)x)w1J
41
7 ax(gu
l,'",gu
7)A z: ••• gu )g.
s=l aus l' , 7 1S
7 ax1\ z (-"-)(gul,··· ,gu7)g ..t=l oUt j t
Let Emn
be the matrix unit with (m, n)-entry 1, all remaining entries zero.
For m F n, and g = exp t Emn
, we have <P •. (dp(E )x)w1J mn
ax ax ax ax a2x
(u A --) 1\ -"--u. A + X A (0. -- + U A )m dun 0 ou am au m au au.1 J n n 1
axA --
duoJ
ax ax a2x+ x A-- 1\ (oJ'm au + urn A au au.)
aUi n n JO. <P. (x) + O. <p. (x) .1m nJ Jm 1n
2ax ax ax a x axNote that, for m F n, urn A A A + X A urn A au au. A
n 1 J n 1 J
axIn fact, denoting by the part of1
which does not contain i. e. , axau:-
1
the first term u AUm au au.- n n
n 1
2 2A _a_x_ + u A A 1\ ,
aunauj
m au un au au. dU. nn n 1 J
the second term -Um
A Uau n
n
a2xA au au.' and the third term
n J
C-- [Cl
• c
7
]the proposition holds. For a diagonal matrix E SL(7),
one can easily check that <P" (p (C)X)1)
42
c .c . <p,,(X).1) 1)
Q.E.D.
Example 2.2. For
(2.3)
-6 0 0
0 0 313
0 313
0
where 13
Remark 2.3. For x be the 6 x 6
skew-symmetric matrix whose entries are xi j k
(j,k # i), and Pf(xi)
the
Pfaffian of Xi' Then we have <P i i (x) = ±6Pf(Xi)
for i = 1,···,7.
Now we shall construct <P*(x) according to the following decomposition
(2.4) I- If, .:The diagram for n = 7 corresponds to the following quadratic
forms (i, j, k i,···, 7).
(2 •.5),
X /I XiE f.k(x)y.v. k, where
i,j,k) 1 J
C l 0
V j k /I uj /I Uk w.
For a diagonal matrix c = in SL(7), we have
(2.6)i c..f)'k(P(C)x) = _1_ f: (x) for i, j, k 1,···,7.
C{k j k
Lemma 2.4. For m f n, we have
43
C2.7)i
f·k·Cdp(E )x)J mn
Proof. Since ifjk(x)w = x 1\ U. 1\ uk' we haveau. J1.
i (u 1\'ax axf'k(dp(E )x)w 1\ -1\ U. 1\ ukJ mn m au. Jn 1.
+ X 1\ [oima2x
+ u 1\ au au.] 1\ u. 1\ ukau m Jn n 1.
s , ilk(x)w - [(u. 1\ax
Cu. 1\a2x
1\-+ x 1\ au au.)] 1\ u 1\ uk'1.m J au au. J mn 1. n 1.
For = n, the last term i-fmk(x)w. If j, k f n, then the last term
-[u. 1\J aUn
U 1\n
o.
Q.E.D.
Now we define the 7 x 7 symmetric matrix
(2.8)7 i jL f .(x)f.t(x).
i,j=l sj 1.
Proposition 2.5.2 t -1 -1
(det g) • g for g E GL(7).
Proof. For a scalar matrix CI7,
it is clear. For a diagonal matrix
[
CI
• 0 ]c = in
o c7
SL(7), we have <P*st(p (c)x) = _1_ <P* . (x)csct st
by (2.6).
44
For m F n, by Lemma 2.4, we have
l:i,j
£i.(dp(E }x}fj +s j mn i t
l:i,j
(dp(E )x}SJ 1t mn
o l:sn i,j
z fn.f j 0 z fi. -0j sj mt tn i,j SJ 1m sn mt
holds for g " exp t Emn
0tn i.e., the proposition
Q.E.D.
Example 2.6. For in Example 2.2, the values iXo fjk(XO)are zero except
1 1 1 3 6 2 4 5 7 2 3 4f 25 f 36 f 47 f57
f 24 -2, £67 f 56 f 34 f 23 2, f 12 f 13 f 14 1,
5 6 7f 15 f 16 f 17 -l. Hence we have
-6 a a
(2.9)
Remark 2.7. Note that is a relative invariant in u. (Vi F s) for GL(6).1
Main Theorem (for n = 7) (I) There exists a polynomial map of degree
three from V7
to 7 x 7 symmetric matrices satisfying
t= (det g for g E GL(7).
This .. (x) ) is given by x" " = .. (x}w (i, j1J aUi aUj 1J
1, ···,7).
45
(2) There exists a polynomial map of degree four from V7 to 7 x 7
symmetric matrices satisfying = (det g)2.tg-1 for
g E GL(7). This (x) is given by (x)1)
7 s tL f.t(x)f. (x)
s.t=l 1 S)
i axwhere f.k(x)w = x:». _/\ U. /\ uk (L, j, k = 1.···.7).) aUi
)
(3) (x) = (x) (x) satisfies that 3 -1= (det g) for
g E GL(7). Moreover, is a scalar matrix and the relative invariant
Proof. (1) and (2) have been proved. By (2.3) and (2.9), we have
and hence Since the orbit p(G)x Ois
Zariski-dence (See [1]). is a scalar matrix. The remaining part is
obvious. Q.E.D.
deg f 8 = 16. the symmetr
gi{'i_'gl{6r(§), contains
It has a decomposition
This implies that there exists a 8 x g symmetric matrix (resp.
satisfying = (det for g E GL(8) (resp , =
4 t -1 -1(det g) • g ) whose entries are homogeneous polynomials in x of
degree six (resp. ten). We shall first construct according to the
decomposLt i on "I'"r, 7{r· Th. Young d i azram r
corresponds to the following polynomials
degree three.
46
kf .. (x)1J
(d , j, k 1.··· .8) of
(3.1) X A X A X
oIt is easy to check that for c
o
E SL(8). we have
(3.2)
Lemma 3.1.
k _ cic j kfiJ·(cx) - f .. (x).c
k1J
For m # n. we have
(3.3)k
f .. (dp(E )x)1J mn
o. fk. + o. - 0 ..1m nJ Jm In nk 1J
Proof. Since Ox ax we havex A A A Uk'1 J
kf .. (dp(E )x)w1J mn
ax ax a a2x ax ax- [(Uk A -) A - A + X A (u A ) A + X Aau au
I· au. k au au. ai:l:""
n J n 1 J 1
assertion.
AU.m
Since the last term is 0kn we obtain our
Q.E.D.
(3.4)
Now we shall define the 8 x 8 symmetric matrix
8 s tL f.t(x)f .(x).
s,t:l. 1 SJ
.. (x)) by1J
Proposition 3.2.
47
2 t<P(p (g) x) = (det g) • g<P(x) g for g E GL(8).
Proof. For a diagonal matrix, it is clear from (3.2). Therefore it is
enough to show infinitesimally for g = exp t E (m # n), i.e., <P .. (dp(E )x)1J
= 0. <P .(x) + 0. <P.. By Lemma 3.1, <p.. (dp(E )x)" E [0 ft. + O. ftam nj jm un 1J mn s,t1t sm mj Jmsn
s + E [0. fS + 0 fS - 0 ft = O. <P . + O. <P., Q. E.D.nt sJ s,t 1m nt tm in ns it sj 1m nJ Jm 1n
the values k (i ,;; j)A U7 + U3 A U6
A U8
+ U4
A Us A u6 'f .. (x
O)1J 1J1 1 1 2 2 2 = -3are zero except f 17 1, f 18 = -1, f 56
3 ; f27
1, f28
= 2, f 46
3 3 3 4 4 4 5 5 = 2,f 37-2, f
38 -1, f45 -3; f
471, f
48 = -1, f 23 -3 ; f57
= 1, f58
5 3 6 -2, 6 6 7 = £7 7 7 = -3f 13; f 67
f68
-1, f 123 ; f
77 78 2, f 14f36
;
8 8 -2, f8 8 Then, (3.4), we havef 87f 88 14
f25
= 3. by
-30 I0 30 I
30 0-3030 0
3020 10
010 20
Now we shall construct according to the following decomposition.
The first Young diagram of the right-hand is related with the relative
invariant for GL(7). This Young diagram for n. = 8 implies that there exists
48
a polynomial map G of degree seven from x Ex, 'ku, 1\ U. 1\ uk toi<j<k 1J 1 J
satisfying O(p(g)x)e (x) = Ei,j ,k
(g*u.) (g*uk)J .
F. 'k(x)u, ·u. ·Uk1J 1 Jt -1where g* = g
(det g)3 E F, 'k(x)(g"'u.).i,j,k 1J 1
for g = GL(8). In particular, for mFn, we have
(3.7) F.. k(dp(E )x) = -0. F 'k(x) - 0, F. k(x) - Ok F,. (x).1J mn an mj In am n 1Jm
Note that Fttt(X) is a relative invariant in uj's ( j F t) for
kThe last Young diagram in (3.6) corresponds to fij(x) in (3.1).
the 8 x 8 symmetric matrix = by1)
(3.8) (x) = E F. (x)fj (x) + E F, (x)fi (x).1J s , t i s t st s , t J st s t
GL(7).
We shall
Proposition 3.4. 4 t -1 -1= (det g) • g <P*(x)g for g E GL(7).
Proof. For a diagonal matrix, it is clear. For m F n, we have
E F, (x)fj (dp(E )x)t 1st st mnS,
E (_0. F - ° F. -s,t 1n mst sn 1mt
E F, (dp(E )x)f j (x) +t rsr mn sts,
of. ) fj + E F (<5 fj + ° fjtn 1sm st s,t ist sm nt tm sn
we obtain our assertion.
s .r" )n) st
-° L F fjins,t mst st
Q.E.D.
° E Fnjs,t ist st'
Therefore, the problem has been reduced to the construction of the polynomials
F. 'k(x) of degree seven satisfying (3.7). We do this siillilarly as the1J
previous sections, i.e., we use the following decompositions.
(3,9)
(3.10) x
49
Note that the Young diagram in (3.10) corresponds to the relative invariant
for GL(6). The Young diagram r for n = S corresponds to the following
For a diagonal matrix
quadratic forms
c
W.
ifjkR.(X)'
E where v]'kR. II u]' II uk II uR.i,j,k,R. ] 1 ] R.
[c l..0) i n SL(S), we haveo Cs
X II X =(3.11)
for m # n.
If n # j,k,R., then the last term
II u j II uk II uR.'
ax a2x
11---11---] IIaUn aunau iax ax
11---11---+ XIIau au.n 1
Since
[Un
Hence we have
a a2x[0 _x_ + U II ] IIim au m au au.
n n 1
= n, then the last termIfO.U II U II U II unm j k ..
a2II X ]
au au.n 1
i axProof. Note that fjkR.(x)w = x II II uj II uk II UR.'
1
i ax axf.kn(dp(E )x)w = u II --- II --- II U II U] '- mn m aUn aUi j k
u. II Uk II uR. = O. f\ (x)w + - X II] rm ] R. aUn aUi
ax[au- II Un
n
ifjkR.(x) is alternating with respect to j,k,R., the remaining part is obvious.
Q.E.D.
The n ::::: S corresponds to the polynomials
Fii',jjl of degree four given by
(3.13) F.. , .. I (x) s t (See (3.10)).E f .. , (x) f .. , (x)11 ,]]. s,t 11 t ]] s
Then by (3.12) and Lemma 3.5, we have
50
(3.14) for c = [c1• 0] E SL(8).o c
8
(3.15) F.. , ",(dp(E )x) = -0 ,F, ,,-0 .,F... ,-o.F .. , ,,-0 "F .. , ..11,JJ IDn nl.IDl.',JJ' m UTI,JJ UJ 11 ,IDJ UJ 11,Jm
In particular, F (x) is a relative invariant in u,(!i F s,t) for GL(6).st, ts l.
Now we
(3.16)
shall construct F, 'k(x) according to (3.9),l.Ji
F, i k (x) E f, , ' ,(x) F", k i (x) ,1,J i',j' 1 J Jl. , J
i.e. ,
(3.17) F1'J'k(X) 'k(x) + k'(x) + ,.(x).1, J J, 1 , l.J-v
Clearly Fi,jk i,kjand hence in (3.17) is symmetric with respect
to i,j,k.
Lemma 3.6. F, 'k(x) in (3.17) satisfies (3.7).1J
F, 'k(dp(E )x)l.,J mnBy Lemma 3.1 and (3.15), we have i
E [0., f " +i' , j , 1 ID nj
- <5 ,tJ",].. F.. , k i + l: ki - c "F, k"-na l. J J l. , J i' j' l. J nj IDl. , J ru JID, Ji i 'loo ,F .. , ,,- c "F .. , kID] = l: f "F, k i + E f" F.. , kID - c ,F i k - cr. knJJl.,IDJ nJ j r : , "nJ JID,J i,l.nJl., n1ID,J njl.,m'
Ji :Ii i 'J<
-E f "F, k i - C .i-. , - l: f" F .. , kID = -0 F - 0 .i-. k-j' nj JID, J nj l.,JID j' l. n Jl. , ni mj j k nj l.,ID
o , . Therefore by (3.17), our assertion is obvious. Q.E.D.nj 1, JID
Proof.
Example 3.7. For in Example 3.3, the values i(j < k < l)Xo f
j H(x
O)are
1 1 1 1 1 1 2zero except f 568 -f567
= 2, f 125 = -s136 = -f178 f 468 -2,
2 2 2 3 3 3 3 4 4 2,f214
f 236 = -f2781 f
457-2, f
314f325
f378
-1 ; f238 = -£237
4 4 4 5 5 5 5 6 = -2,£425 -£436 £478 = 1 £138 = -2, f 514 £536 £578 1 ; £127
6 6 6 7 = -2, 7 7 7 8 = 2,£678 -f614 -f625 = 1 ; f
368f 714 f
725 £736 = 1 ; f 257
f8 8825 = f 836 = -1.
51
Hence the values F.. , .. , (xO)
(i < iI, j < j',1.1. , J J
i J') are zero except F12, 45 F F F13,46 15,24 16,34 -F23, 56 -F26, 35
2 j F12, 37 = -F13 , 28 F14 , 25 F14 , 36 F17, 23 F18 , 23 -F25, 36 -F45, 67
F46, 58 -F47, 56 = -F48, 56 4; F14 , 14 = F17, 48 = F18, 47 = F25, 25 F27, 58
F28, 57 F36 , 36 F37, 68 F38, 68 = F78, 78 = 6 ; -F12, 38 = F13 , 27 = F45, 68
-F46, 57 = 8 ; F27, 57 = F38, 68 -12. Hence, together with in
Example 3.3, we obtain that (x ) = 0 except = = =i,jk 0 1,23 2,13 3,12
-42, F1, 47 = = 42, = = = -42,
= F = -42 F = = = 42 F = = = 42,8,25 ' 3,67 6,37 7,36 ' 4,56 5,46 6,45
F7, 78 = F8, 77 = -84, F7, 88 = r 8, 78 = 84. Therefore, we have F147 = F367
F456 = -F123 = -F14&= -F258
= 126 and F788 = -F778 = 252. Therefore,
by (3.8). we obtain that
1o -1
(3.18) 2520 x-1
-1
o
o
-1 o
-2 1
1 -2
with (3.5), we have
(3.19) = -(75600)18 = -24.33'52'7'1
8,
Main Theorem (for n = 8). (1) There exists a polynomial map of degree
six from V8
to 8 x 8 symmetric matrices satisfying
for g E GL(8). This <V(x) = .. (x))1.J
is given by .. ex)1.J
1: (x) ft . (x)t 1.t SJ
5,
where
(2) There exists a polynomial
symmetric matrices satisfying
52
map (j)* of degree ten from VS to
4 t -1 -1<p* (p (g)x) = (det g) 0 g <p* (x)g
s x S
for
g E GL(S). This <P* (x) = (<p-:- 0 (x)) is given by 0 l: (F 0 fj +1J 1J P,y 1PY Py
fi -v i s tFj py pyL where F 0 i k l: fo I 0 I l: f 00, f kj's
and1,J i:j' 1 J S,t J1 t 1J 1,J
'V '"F. k' + Fk ... HereJ, 1 ,1J
(3) = <p(x)<p*(x)
i ax= x A aU
iAU j A Uk A
6 -1satisfies = (det g) °go(x)g for
g E GL(S). Moreover, is a scalar matrix and the relative invariant
6 -1Proof. It is clear from (1) and (2) that (g)x) = g)
6for g E GL(S). By (3.19), we have = -75600 0 (det g) oIS'
Since (GS' PS' Vs) is a prehomogeneous vector space with Xo as its
generic point, is a scalar matrix on the Zariski-dense orbit, i.e.,
is a scalar matrix everywhere.
the previous arguments.
The remaining parts are obvious from
Q.E.D.
In general, the relative invariants
i,j,k, one can take and also <p*. =1J
Remark 3.9.
Remark 3.10.
If one can say that
Fi j k =
i k1,Jis symmetric with respect to
jl: Fo tf .t
1S sts,of prehomogeneous
vector spaces are, up to a constant multiple, uniquely determined by their
characters. Thanks to this fact, the b-functions (See [3], [4]) and
the Fourier transforms (See [5], [6]) of fn(x) have been already calculated
without knowing its explicit form. They describe the functional equations
53
of zeta-functions obtained from fn(x). The number of orbits of (Gn, P,
Vn)
is 5 (resp. 10, 23) for n = 6 (resp. 7, 8) (See [7]).
References
[1] M. Sato and T. Kimura, "A classification of irreducible prehomogeneous
vector spaces and their relative invariants"
Nagoya Math. J. Vol. 65, (1977), 1-155.
[2] H. Weyl, Classical Groups, Princeton University Press, 1964.
[3] T. Kimura, "The b-functions and holonomy diagrams of irreducible regular
prehomogeneous vector spaces", to appear.
[4] I. Ozeki, "On the Microlocal Structure of a Regular Prehomogeneous
Vector Space Associated with GL(8)", to appear.
[5] M. Muro, "Some prehomogeneous vector spaces with relative invariants
of degree four and the formula of the Fourier transforms, Preprint.
[6] M. Muro, "On the prehomogeneous vector spaces (GL(7), A3)
and
(Spin(14) x GL(l),(half-spin rep.) x AI) and the formulas of the Fourier
transforms of the relative invariants", Preprint at RIMS-29l, Kyoto
University, June 1979.
[7] G. B. Gurevich, Foundation of the Theory of Algebraic Invariants,
P. Noordhoff-LTD, Groningen, 1964.
[8] T. Kimura, On the relative invariant for GL(7) on the skew-tensors
of rank three, Preprint.
Nagoya University, JAPAN
and
Grenoble University
FRANCE
Present address: Tsukuba University
CONCENTRATION UNDER ACTIONS OF ALGEBRAIC GROUPS
by Wim H. HESSELINK
Table of contents
O. Introduction
Part one : Concentration in affine varieties
I. The Hilbert-Mumford criterion
2. The theorem of Kempf and Rousseau
3. The stratification of N(V)
Part two : Concentration in schemes
4. Concentration in centered G£(I)-schemes
5. Regularity of the concentrator
6. Concentration under the action of a group scheme
7. The sheaf of buildings of a separated group scheme
8. Concentration under the action of a split torus
9. Optimal concentration over fields
10. A construction of Grothendieck
References
56
o - Introduction
0.1 - This paper consists of two formally almost independent parts. In part one we
consider actions of linear algebraic groups on affine varieties over an algebraica-
ly closed field. This part is mainly a survey of [13,15] . It concludes with a gene-
ralization of the main result of [13], which is fully proved. In part two the main
ingredients of the theory are generalized to more or less arbitrary actions of group
schemes on schemes. Here the reader may need good acquaintance with the scheme
theory of [7,9] .
0.2 - Part one: Concentration in affine varieties. By concentration we mean the
following phenomenon. Let G be an algebraic group acting on a variety V with
an invariant subvariety C. If m E IN and 11 : G9,( I) -+ G is a one-parameter sub-
group, the concentrator V(Il,m) consists of the points v E V such that 11 (O)v is
well defined and that 11 (t)v E C modulo powers t n with n . The union of the
concentrators is the concentrated cone N(V). The of N(V) are said to be
concentrated or C-unstable. If G is reductive, V is affine and C is closed,
then the Hilbert-Mumford criterion gives equivalent conditions for a point v E V
to be concentrated. See section I and [ 151 .
Optimal concentration is introduced in section 2 . Given v E N(V) the problem
is to find a concentrator which contains v and minimizes a certain cost function
q • After an elementary exemple the Kempf-Rousseau theorem is stated, cf. [15,19]
Our stratification of the concentrated cone N(V) is described in section 3
The exposition follows [13] closely. Rather unexpectedly to me, some cheap but
possibly far-reaching generalizations of [13] are obtained. If both V and Care
smooth we get desingularizations of the closures of the strata.
0.3 - Part two: Concentration in schemes. Formally, this part is independent of
part one. Here the scheme-theoretic foundations of concentration are layed. If 11
is an action of the group scheme G9,(I)Z on a scheme V with an invariant subsche-
me C, the concentrator V(Il,m) is defined as a contra-variant set-valued functor
on the category of the schemes. Under suitable conditions V(Il,m) turns out to be
representable. If the scheme V is separated then V(Il,m) is a subfunctor of V
Usually however, the representing scheme is not a subscheme of V. In section 5
we obtain conditions on V,1l and C which imply that Vell,m) is (representable by)
a regular scheme. This generalizes a theorem of Bialynicki-Birula, ct. [2] . Some
commutative algebra is used here.
Let 11: G9,( I) S -+ G be a morphism of group schemes over a base scheme S.
57
If G acts on an S-scheme V with an invariant sub scheme C, we get a concentra-
tor V(w,m) as above. The concentrator G(w,m) of the interior action of G on
itself with C = G , is a group functor in a natural way. Moreover the group func-
tor G(w,m) acts on the concentrator V(w,m). In section 7 the vector building
Vb(G,S) is constructed. It may be considered as a partition of the set of the pairs
(w,m) such that V(w,m) = V(v,n) holds whenever (w,m) and (v,n) belong to the
same class 6 E Vb(G,S). The cost function q mentioned above is a morphism from
the associated sheaf Vb(G) to the sheaf of the locally constant rational functions.
If G is a split torus over a connected affine scheme S the determination
of the concentrators in V reduces to linear inequalities in the space of the
weights. The exposition in section 8 is original, but the ideas go back to [2,15,17].
The Kempf-Rousseau theorem on optimal concentration mentioned above is generalized
and proved in section 9 . We are forced to work with a reductive group G over a
field k acting on a separated k-scheme V. The condition that V is affine, can
be weakened slightly. Section 10 serves as an appendix. It contains a construction
of Grothendieck with a discussion of some aspects not mentioned in the available
reference.
0.4 - As usual we refer to [7,9,10,11] by the symbols EGA or S G A followed
by the appropriate sequence of numbers. As we use the new edition [9] of EGA I ,
our schemes are not necessarily separated. In part one the varieties are meant to be
separated schemes of finite type over the given field. So they are not necessarily
reduced or irreducible.
0.5 - A conversation with Bialynicki-Birula greatly inspired me in the research
which led to part two. Part one grew out of a lecture delivered in Paris on invi-
tation of 11me Malliavin. I am thankful for the opportunity she offered me, to
publish the two parts together in the Seminaire Dubreil. I dedicate this paper to
the memory of my son Mark Hessel who lived and died only four weeks old during the
preparation of this manuscript.
Part one Concentration in affine varieties
I - The Hilbert-Mumford criterion
1.1 Let G be a linear algebraic group over an algebraically closed field k,
cf. [3] or [14] . A triple (V,p,C) consisting of an affine variety V, an
action p: G x V + V and a G-invariant closed subvariety C is called an affine
centered G-variety. The subvariety C is called the center. If V is a finite
58
dimensional vector space, p is a linear action G + G£(V), and C is an invariant
sobspace then (V,p,C) is called a centered G-space.
Let (V,p,C) be an affine centered G-variety. We shall write g v = p(g,v).
Consider a morphism of algebraic groups A: G£(I) + G and a point v E V . We
write lim A(t) v = w if there is a morphism of varieties h : A I+ V with
h(O) = wand h(t) A(t) v for all t 0 . Here G£(I) is embedded in the affi-
ne line in the obvious way. A point v E V is called concentrated if there
exists a morphism of algebraic groups A: G£(1) + G and a point c E C with
lim A(t) v = c • The set of the concentrated points is called the concentrated cone
N(V) •
1.2 Theorem (Hilbert-Mumford). Let G be reductive. Let (V,p,C) be an affine
centered G-variety. The following conditions on v E V are equivalent
a) v E N(\i') •
b) the closure of the orbit Gv meets the center C.
c) f(v) = 0 for every G-invariant function f which vanishes on C .
The implications a band b c are trivial. The implication c b is a
consequence of the theorem of Haboush, cf. [6] 4(b). The implication b a is
proved in [15] 1.4 . Under the assumptions of the theorem it follows that 1'1 (V)
is a G-invariant closed subvariety of V.
1.3 Exanple Let p E ,,2 (the affine plane) be a fixed non-zero vector. Let G be
the stabilizer of p in the group G£(2) . Let C = {O} Then the cone 1'1(81.2) is
not closed.
1.4 Example Consider G = S£(2) acting by substitution on the space V of the
cubic forms v in two variables x and y. So we have (g v) (x,y) =v «xy).g)
where the dot means a matrix multiplication. We use the co-ordinates a,B,y,o on
V given by :
v =
It is known that the ring of the invariant functions on V is generated by the
function
If we put C = {a} it follows from 1.2 that 1'1 (V) consists of the points v with
f(v) = 0 . Now the variety 1'1 (V) has singularities. In fact, it is not normal.
59
3Remark (D. Bartels). Now let C be the orbit of x in v, which is not closed.2The closure of the orbit of v = x y meets the set C but there is no morphism of
algebraic groups A: G9,(l) -+ G with lim A(t.) v E C . So in theorem 1.2 the condi-
tion that C is closed, cannot be dropped.
2 - The theorem of Kempf and Rousseau [15,19] .
2.1 Let G be a reductive group and let v be a concentrated point of a G-module
V (here C = {O}). On a conference Les Plans sur Bex, Switzerland, March 1977,
Kempf formulated an optimality criterion which defines a not too large class of
morphisms A: G9,(l) -+ G with lim,\ (t)v = 0 . An elementary exposition is given
in [18] . He need a slightly different procedure. Our optimal class A (v) consists
of "fractional" one-parameter subgroups, or co-weights. Let us first give an example.
2.2 Example Ternary quartic forms Let
3 x 3 matrices with determinant one. Let
matrices in G. A one-parameter subgroup
G = be the group of the complex
T be the subgroup of the diagonal
,\ of T is of the form
with a + b + C = 0 and a,b,c E Z . If we also admit a,b,c E II) with a + b + C = 0,
then it is called a fractional one-parameter subgroup of T. Let M(G) be the set
of all fractional one-parameter subgroups of G. We use a norm q : M(G) -+ II)
satisfying :
(i) If A= [a,b,c] then q(A) = a 2 + b2 + c2
(ii) If A(t) = g ll(t)g-l then q(A) = q(lJ} .
Let V be the G-module of the homogeneous forms v of degree 4 in the indetermina-
tes x,y,z with the action:
(gv)(x,y,z) = v«x,y,z).g) .
The weight vectors of the spaceijk 'h"x y z t i , J ,k <'" 0 and
tric_co-ordinates in the plane
weights :
V with respect to T are the 15 monomials
i+j+k = 4 . Using the tripels (i,j,k) as barycen-
X(T) II) we get an equilateral triangle of
60
+-------"f--------'I,-------'l;---------<'t- (400)"u X4
(004)
Now consider v = x4
+ 2 X3y 2 x y3 - y 4 . This form only uses the four encircled
weights. The one-parameter subgroup [1,1,-2] sends v to zero
uCt) v = (t; -> 0) •
Now we want to minimize q (A) under the constraint that A(t) v = O(t), where a
is the Landau symbol. So the fractional one-parameter subgroup 1;= [1/4,1/4,1/2]3
is better. However there still is a better one. As v = (x +Y) (x - y), there is
a substitution gE G with gv= x3y
. Now n= [5/14, - 1/14, - 4/14] satisfies
net) gv= t gv = OCt) and q Cn) < q(EJ . Therefore A E B(G) given by
ACt) = g-I n(t)g satisfies A(t) v = OCt) and q(A) <q(l;). It turns out that
A is optimal in the sense of 2.6 below.
The plane M(T) of the fractional one-parameter subgroups of T is the dual
of X(T)@ . The norm q induces an inner product on M(T) and hence an identi-
fication of M(T) with X(T) • This identification has been used to draw ,sand n as vectors in the above diagram.
2.3 Let G be a linear algebraic group. The set of morphismsof algebraic groups
A: -> G is denoted Y (G). The set M(G) is obtained by a localization pro-
cedure. In fact, if A E Y(G) and m Ell, let mAE Y(G) be g i.von by mA (r ) =
A(tm).
On Y(G) XN the equivalence relation "u is defined by
m) "u (v,n) n = m V
M(G) denote the set of the co-weights. The interior action of-I
int(g)h = ghg , extends to an action of G on M(G) also
61
The equivalence class of (W,m) 1S called the fractional one-parameter subgroup or
co-weight w/m. Let
G on itself given by
denoted by into
Choose a maximal torus T i.n G . The set Y (T) is considered as a ;[-module
and M(T) is identified with the vector space Y (T) Q 01. A map q: M(G) -+ 01 is
called a norm if we have
(i) The restriction of q is a positive definite quadratic form on the vector
space M(T).
(ii) If A E M(G) and g E G then q(int(g)A) = q(A) .
Let V be a G-module. Every co-weight A = w/m induces a grading V
where r E 01 and
V A = Iv E V W(t )mr
} .v t vr,
If V is faithful, the map qv : 11 (G) -+01 given by
qV(A) := L: r2
dim(V A)r,
is a norm on M(G) It follows that a norm on M(G) exists.
2.4 Let (V,p,C) be an affine centered G-variety. Let A = w/m be a co-weight. The
concentrator V(A) is the set of the points v E V such that W(t ) v belongs to
C , modulo powers t n with n >m , and that lim W(t)v exists. The formal defini-
tion is postponed to section 4 If (V,p,C) is a centered G-space, the grading
introduced in 2.3 enables us to write
If (V,p,C) is an affine centered G-variety, we may construct a centered G-space
(V' ,p',C') and a G-equivariant closed immersion j : V -+V' such that C is the
schematic inverse image j-I(C'). Then the concentrator V(A) is the schematic
inverse image j-I(V'(A». See 4.3(b) and 8.5 below, or [IS] .
2.5 An important special case is the G-variety (G,int,G). Now the concentrator
G(A) is a closed subgroup of G. It consists of the elements g E G such that
lim A(t) g A(t)-I exists. If G is reductive, G(A) is a parabolic subgroup of G,
cf , [17] p , 55
There is an equivalence relation '"V on M(G) such that A '"V Wholds if and
only if there is g E G(A) with W= int(g) A . The quotient set is called the
vector building Vb(G). If A E M(G) its equivalence class is denoted [A] E Vb(G).
If V = (V,p,C) is an affine centered G-variety then G(A) stabilizes V(A) . In
particular, if A '"V W then V(A) = V(W) and G(A) = G(W) . See 7.1 below.
62
2.6 Now we fix a norm q : M(G) , cf. 2.3 . Let X be a subset of an affine
centered G-variety (V,p,C) . The set X is said to be concentrated if there is
A E M(G) with X C V(A) . We define
q*(X)
II. (X)
inf {q(A)
{A E M(G)
A E M(G)
X C V(A)
XCV(A)}
q(A) = q*(X)}
A co-weight A is called optimal if A E II.(X) .
Theorem (Kempf-Rousseau [15,19J ). Let X be a concentrated subset of an affine
centered G-variety (V,p,C).
a)
b)
c)
/l.(X)
If
If
is a non-empty union of equivalence classes in M(G) .
T is a torus in G, then M(T) n II.(X) contains at most one element.
G is reductive then A(X) E Vb(G).
Below in 8.6,8.9 and 9.4 we shall prove generalized versions of this theorem.
2.7 Example Let V = A3 and C {a} . Let G C G£(V) be the solvable group of
the matrices
x (t , a)
[
t o a Ja t aa a t-2
t E k \ {a}, a E k
We use the norm q = qv cf. 2.3 Let v E V be the point (1,0,0). Clearly
A E M(G) given by A(t) = x(t,O) is optimal. The class [AJ only contains A
itself. Choose g = x(l,a) with a # a . Since gv = v the co-weight = int(g)A
is also optimal. Since W# A , this shows that in 2.6(c) the reductivity assump-
tion cannot be dropped.
3 - The stratification of N(V)
3.1 In this section we assume that G is reductive and equipped with a norm
q : M(G) , and that (V,p,C) is an affine centered G-variety. Recall that N(V)
is a G-invariant closed subvariety of V, cf. 1.2 . Let X be a concentrated
subset of V. By 2.5 and 2.6 we nay define P(X) : = G(A) and SeX) : =V(A)
where AEII.(X) is chosen arbitrarily. It is clear that SeX) is concentrated with
II.(S(X» = II.(X) • Therefore we have XC seX) = S(S(X». The set X is called
saturated if X = SeX). Clearly SeX) is saturated, it is called the saturation
of X. The parabolic subgroup P(X) is called the Kempf group of X. It satis-
fies P(X) {g EGg X CS(X) J
see [13] 2.8 • If v is a concentrated point of V we write q*(v) q*({v}),etc.
63
3.2 Lemma a) The number of conjugacy classes of saturated subsets of V is finite.
b) If X is saturated then X and GX are closed in V
c) If s E (Q then {v E V q* (v ) < s } is closed in V
The proof of (i3] 2.9 is easily adapted to this situation. Some facts related to
(a) and (b) are contained in 8.9 and iO.2 below.
3.3 In the cone N(V) we define two equivalence relations
x y A(x) = A(y)
x y there is g E G with A(g x) = A(y)
The set [x ]: = {y E N(V) I y x} is called the blade of x. The set
G [x ] = {y E N(V) I y x } is called the stratum of x. Using lemma 3.2 we obtain
the following proposition cf. [i3 j 4.2 .
3.4 Proposition Let v E N(V)
a) l v l = {x E S(v) I q*(x) = q*(v)}
b) The blade [v] is open in the closed set S(v)
c) G[v] {xEGS(v) q*(x) =q*(v)}
d) The stratum G[v] is open in the closed set G S(v)
e) N(V) is a finite disjoint union of the strata.
3.5 Let v E N(V) . Put Y = G [vl and Z
T: GXP(v) S(v)->Z
G S(v) . Consider the map
The lefthand side is the quotient of G x S(v) under the right P(v)-action
(g,x)p = (gp,p-ix). Let [ g,x ] the P(v)-class of (g,x) . The morphismrepresent
is given by T[ g,x 1 = gx Since G/P(v) is a projective variety, the morphism
is proper. See action iO below. The following result is an immediate generalization
of [i3] 4:5 .
Proposition The inverse image T -i y is equal to G xP(v) [ v l . The restriction
T: T-i(y) Y is a proper bijective morphism. Therefore it is a finite morphism
and a universal homeomorphism, cf. EGA III 4.4.2 and IV 2.4.5
3.6 Theorem Assume char(k) o . Then the restriction is an
isomorphism.
Proof By 3.5 and EGA IV i5.2.3 and i7.9 it suffices to prove that the res-
triction of T to T-iy is an unramified morphism. The morphism T is G-equivariant.
If x E [v ] then Iv l = [x ] . Therefore it suffices to prove that the morphism T
is unramified at the point [i, v ]
64
We may choose a centered G-space and a G-equivariant closed immersion
j V such that C is the schematic inverse image j-I(C '), see the remark
in 8.5 below. If ,\EM(G) then V('\) = j-I (V' (,\», see 4.3(b) below. It follows that
A(x) = A(j(x» for every x EV . So we have P(v) = P(j(v» and S(v) = j-IS(j(v».
h P(v) ()' . E P(j(v» ('(» . f f iT erefore G x S v a s a closed subvar i.e t y OI G x S J v . So r t su i.c es
to show that the morphism
r ": G x lO(j (v) S(j (v) V
is unramified at the point [ I,j (v) ] . This means that the tangent mapping d " at
this point should be injective. So it suffices to prove the following lemma.
3.7 Lemma Assume char(k) = 0 . Let V = (V,p,C) be a centered G-space. Let
v E N(V). Let and E(v) denote the Lie algebras of G and P(v), respectively.
Then we haveE(v) = {X E XvES(v)}
Proof Choose ,\ EA(v). This co-weight ,\ induces gradings V = L Vr and = L&r
with r E see 2.3 . It is clear that gr Vs C Vr +s and that E(v) = L r and
thatv E S(v) = L r ;;;'1 V + L r ;;;'0
Cr r
If X EE(v) then it is cbvious that X v E S(v) Suppose
X vE S(v) . Write X = L r ;;;'m X with Xr E and X f 0r m
X E £ \ E(v) satisfies
, so that m < 0
Lie algebra . By theis a nilpotent element of the semi-simpleNow Xm
theory of Jacobson-Morozov, cf. [5] § II, we can choose H E and Y E such
that [H,Xm] 2 Xm ' [H,Y] - 2 Y and [Xm'Y] = - H • Let K be the connected
subgroup of G such that its Lie algebra k is spanned by Xm,Y and H Let
S C K be the centralizer of H, that is the torus with Lie algebra k H The
tDrus Im('\) in G normalizes K and anQ it centralizes Hand S. So we
have a reductive group L = Im(,\) K of semi-simple rank I , with a maximal torus
T = Im(,\) S Let II be the character group of T , let {J,w} be the Weyl group
of L with respect to T and let {a,- a} be the root system. We may assume that
X E £ and Y E £ It follows thatm --a --a
(a,'\) =m<O
Let ,) be the inner product on M(T) such that
We use this inner product to identify
for all E M(T).
M(T) = M(T)* 110 •
A finite subset of II is called a diagram. If E is a T-module and e E E , the
diagram R(e) is defined as the smallest subset R of II with eEL rrE R Err
65
If R is a diagram and E M(T) we define :
: = inf 11 E R} .
Vinovo
xm
we haveXvES(v)Since
Since V and Care L-modules, we have a quotient module U = vic. Let u E U
denote the image of the point v E V • Since v E YeA) we have (R(V),A) > 0 and
(R(U),A) >1 . Since A is optimal, we have q ru) > q(A) for every u E M(T) with
> 0 and > I •
Coming back to the O1-grading of V induced by A , we write v = Z vr with
v E V and u = Zu with u E Ur r r r r
and Xm
u l = 0 in U . By the representation theory of = (2) in characteris-
tic zero, it follows that (R(vo),a) > 0 and (R(ul),a) > 0 . On the other hand it
is obvious that :
and
Now we obtain a positive number E such that for every rational number t with
0';;;; t < E the co-weight A+ t a satisfies (R(v) > 0 and (;Z(u) > 1
The optimality of A implies that
+ 2(a,A)t 2+ q(a)t .
It follows that (a,A) > 0 . This contradicts the inequality (a,A)
earlier.
m < 0 obtained
3.8 A variation of the definitions If v E N(V), let the c-blade [v]o be defined
as the connected component of the blade [v] which contains the point v . The closure
of [v f is called the c-saturation S (v) . The variety GIvl 0 is called the------ 0
c-stratum of v
By 3.5 the c-stratum is a connected component of the stratum. It is easy to
see that G S (v) is the closure of the c-stratum G[v] 0 , and that Gx P(v) lvl 0. . 0 . -1 0 1i.s the r.nve r s e arnage T (G[vl ). It seems possible that T- (G S (v» is larger
othan Gx P (v) S (v). The cone N(V) is a disj oint union of the c-blades. It is a
ofinite disjoint union of the c-strata.
are
3.9 The regular case Assume that C is regular and contained in the regular locus
of V. By a generalization of a theorem of Bialynicki-Birula, see 5.8 below, all
concentrators are regular. So the saturation S(V) and the bundle G xP(v) S(v)
regular. In particular the connected components are irreductible. Therefore the
c-saturation So(v) is a connected component of S(v), so it is regular as well.
Both the c-blade b]o and the c-stratum G [v]o are irreductible.
Assume moreover that char(k)
between G l v f and G xP(v) [v f
66
o . By 3.6 the morphism T induces an isomorphism
So the c-stratum G[v]o is a regular and connec-
ted subvariety of N(V) with closure G So(v). The morphism
T G xP(v) So (v) -+ G So (v )
is a desingularization it is proper and birational, and the variety on the lefthand
side is regular.
Remark In [131 section 4, we considered the regular case 'Ihere moreover the center
C consists of one point. Then the distinction between blades and c-blades, etc ... ,
vanishes. This distinction also vanishes if (V,p,C) is a centered G-space. For then
concentrators are linear and hence connected.
Part two Concentration in schemes
4 - Concentration in centered G£(I)-schemes
4.1 In this section G is the multiplicative group scheme G£(I) over , with
co-ordinate ring 2: [T, T -I] . It is an open subscheme of the affine line ,A
Spec (2: [T]). He consider fA as a monoid scheme wi t h multiplication v: J1I. xA -+,A
given by the co-morphism v* with v* (T) = T0 T . Let 0 and <: be the mor ph i sms
Spec (Z) -+ IA given by the co-morphism with O*(T) = ° and <:*(T) = 1 . If mE]'I
we define the closed subscheme
= Spec(Z[T] / (Tm»
A centered G-scheme V is a triple (V, u , C) where V is a scheme, ]1: Gx V -+ V is
an action of G on V, and C is a G-invariant sub scheme of V, to be called the
center. The concentrator functor ¢ of a centered G-scheme V at speed m E]'I is
defined such that for every scheme X the set ¢(X) consists of the morphisms
f : tA x X -+ V satisfying the condi tions :
a) The restriction
b) The restriction
f I GxX equals ]1 (-,fC<:,-»
f IfA(m) x X factorizes over the center C
It is clear ¢ is a contravariant functor from the category (Sch) of the schemes
to the category of the sets. If X is a scheme, one easily verifies that the pre-
sheaf on X given by U -+ ¢(U) is a sheaf. So ¢ is a sheaf on (Sch) in the sense
of EGA I 2.4.3.
If X is a scheme let heX) be the functor Hom(?,X). In many cases the func-
tor ¢ is representable by a scheme Y wi th an i sornorphi.sm c 'U h(Y), see EGA 011 •
67
Representability of ¢ by Y means the existence of E ¢(Y) such that for every
scheme X and every f E ¢ (X) there is a unique morphism y : X -+Y with f = (7 ,y) .
Then the scheme Y is called the concentrator scheme.
The realization morphisms i,p : ¢ -+h(V)
p(f) = f(O,-). By condition (b) the morphism
are defined by i(f) = f(s,-) and
p factorizes over the sub functor h(C)
4.2 Proposition Let (V,w,C) be a centered G-scheme. Assume that V is affine and
that C is closed in V. Then ¢ is representable by an affine scheme Y and the
realization morphism i: Y -+V is a closed immersion.-I
Proof. Let B be the co-ordinate ring of V Let p: B -+B[ T, T ] be the co-mor-
phism of the multiplication u : Gx V -+ V . \Je can write
pCb) P (b) Tnn
b E B
since w is an action the mappings Pn are the projections correspondins to a
Z-grading I B of the ring B . Let J be the ideal of the closed subschemen
C •
since C is G-invariant, J is homogeneous, say J = I Jn
Since ¢ is a sheaf on the category (Sch) of the schemes, "e may restrict ¢
to the category (Aff) of the affine schemes without loosing information, cf. EGA
1.2.3.6 . so let X = Spec(R) be an affine scheme and let f: AxX -+ V be a
morphism. The co-morphism u B -+ R[T] of f can be written
u(b) u (b) Tnn
b E B
The morphism f (c , -) has co-morphism u I : B -+ R "i th u I Iu . So the morphismn
W(-,f(s,-)) has the co-morphism u" B -+ R[T,T- 1] given by
u"(b) = \'LnEZ u'(p(b))Tnn
bE B
Now condition 4.I(a) is equivalent to the condition that u u" So it folIous
from 4.1 (a) that u' (\' B ) = 0 . The restriction f I A(rn) X X has co-morphismLn < 0 n
u : B -+ R[T] /(Tm) given by u = u(mod(Tm)). This restriction factorizes over C if
and only if u(J) = 0 . So we have f E ¢(X) if and only if
u(b) = I::;;, u' (p (b)) r"0:::::--0 n
u ' (\' B + \' J )Ln < 0 n Ln <m n o
bE B
Since u determined by u'
It is clear that the subfunctor
the realization morphism i: ¢ -+ h(V) is injective.
i ¢ of h(V) is represented by the closed subs-
cherne of V given by the ideal generated by :
68
4.3. Let and be the concentrator functors at speed m of centered
G-schemes (V,W,C) and (V' ,W' ,C'), respectively. Let V V' be a G-equiva-
riant morphism with a restriction jl : C C'
of functors with j*(f) = jf . Let (i,p) and
of and , respectively. We clearly have
. Let j* be the morphism
(i',p') be the realization morphism
h(V') xh(C') .
Proposition Assume that : V V' is an immersion. The morphism j* is injec-
tive, so that is isomorphic to j* C
a) If j I induces an open immersion of C into j -I (C') , then we have
j*(i',p,)-I h(V x C)
b) If is a closed immersion and C = j-1(C '), then j* = (i') -1 h(V)
c) If and j I are open immersions, then j* = (p ,)-1 h(C)
Proof a) and b). Let X be a scheme and f E Assume i'(f) E h(V)(X).
i'(f) : X V' factorizes over V and V is G-invariant
Assume either that
C = j-I (C') . Since
p'(f) E h(C)(X) or that is a closed immersion and
the restriction r ] c x X factorizes over V . So the subscheme f- I (V) of k. x X
contains GxX and is therefore schematically dense and open, cf. EGAI54. In
the first case f- I (V) also contains the set OxX In the second case f -I (V)
is closed. Any how we have f- I (V) = IA x X So there is a unique morphism g :
A x X V with f = jg . It is clear that the restriction g IA(m) x X factorizes
over j-I(C') . In the first case we know that g(O,-) factorizes over C . In both
cases it follows that g E and j*(g) = f
c) Now let and p'(f) Eh(C)(X). The complement E of V in V'
is a G-invariant closed subset of V' . Since p'(f) : X C' factorizes over C
and E n C = 0 , the image of f does not meet E. So there is a unique
g : IA x X -+ V with f = jg • Since g(O,?) factorizes over C and f IA(m) x X
factorizes over C', we obtain g E and f = j*(g)
4.4. Lemma Let (V,p,C) be a centered G-scheme. Let (Va)a E I and (Ca)a E I be
families of G-invariant open subschemes V and C, respectively, with
Co. C Va for every
of (Va,p,Ca)trator functor of
a E I , and U Co, = C . Assume that the concentrator functors
at speed m are representable by schemes Yo, . Then the coneen-
(V,p,C) at speed m is representable by a scheme Y and the
canonical morphisms y ya
form a family of open immersions which covers Y •
69
Va 4 V induce inclusions ¢a 4 ¢
X is a scheme and f : heX) 4 ¢ is a
so that¢ (X)is identified with an element of
Proof. By 4.3(c) the inclusions ja-1
which identify ¢a with p (h(e )). If_I a
morphism of func tors, then f ¢a is representable by the open subscheme
X p(f)-I (e) of X. Here fa ap(f) is a morphism X 4 e . The family (Xa)a is a covering of X. So the mor--
.aphisms J are representable by open immersions, cf. EGA 0
1.1.7.7,and they form
a covering of ¢ . As ¢ is a sheaf on the category (Sch) of the schemes, the asser-
tions follows from EGA 1.2.4.3.
4.5. A is called locally affine if every G-invariant open subset
U of V is covered by G-invariant affine open subsets of U. In 8.7 below it
will be proved that it suffices to cover V itself by G-invariant affine open
subsets.
Theorem Let be a locally affine centered G-scheme. The concentrator
functor ¢ at speed m is representable by a scheme Y . The realization morphiso
(i,p) : Y 4 V X e is an immersion. The morphism i: Y 4 V is Loca l Ly Lnncr s i.ve .
morphism p : Y 4 e is affine.
Proof Let U be the largest open subset of V such that e is closed in U
is G-invariant it has a covering by G-invariant affine open subsets vCi,
the concentrators ¢a
is representable
4.2By
is a closed immersion and
V x C is covered by the family (Va x ea) a
CnVa
4.4 the concentrator ¢
in
CaBy
Y 4 V x ca a a
So (i,p) : Y4VXC is an immersion, c f , EGA 14.2.4.
i : Ya
4 Va are immersions, the morphism i: Y 4 V is
every a the restriction Pa Ya
4 Ca
is affine and
e = U Ca
this proves that p Y 4 C is affine.
Ya
Y . The image (i,p) Y
locally immersive. For-I
y = p (C). Sincea a
We use the notation of 4.4 with
by a scheme
are representable by schemes
For every a the morphism-I
Ya
= (i,p) (Va x Ca)
.
Since the restrictions
Since U
4.6 Examples with curves over an algebraically closed field k . In the examples
(a) and (b) the action is locally affine. The third curve is the easiest example
of a not locally affine action. In all cases we choose the center C equal to the
curve itself. As condition 4.1 (b) is trivially satisfied, the speed m is irrelevant.
a) Let P be the projective line over k with homogeneous co-ordinates [r,s]
Let u : Gx]J:> 4]> be the action with t [r,s] = [r,ts] , so that 0= [1,0] and
= = [0,1] are the invariant points. The concentrator scheme Y is the sum of the
affine line and the singleton {co}. The realization (i,p) = Y 4 p2 is not a
closed immersion. The morphism i : Y 4]> is bijective and not an immersion.
70
b) Let 3 be the non-separated line over k uith a double origin. It is obtained
as the quotient of the SUD Y {O,l} x of two lines, under the equivalence
relation with (a,s) (I,s) whenever s fa. The action t(r,s) (r,ts) of G
on Y induces an action of G on Z It turns out that Y is the concentrator
scheme of with i: Y Z as the quotient morphism.
c) Independently, Bialynicki-Birula and Luna showed me the following example. In
the G-scheme W of example a) we identify the points a and = to obtain a cubic
curve V over k with a double-point c . The quotient morphism n : JP --> V indu-
ces an Lsoraorphi.sm between 1'\ {O,co} and v\{c} . It satisfies Tf-l(c) {O,co} .
Since the scheme V is separated there is at most one action u : Gx V V such
that Tf V is equivariant. Assume for the moment that the action on V
exists. Then is not locally affine, since the only invariant open neighbour-
hood of the double-point c is V itself.
The existence of can be proved as follows. lie may assume that V is the3closed subvariety given by the equation x (x+y)yz in the projective plane with
The point c has co-ordinates [0,0,1]homogeneous co-ordinates [x,y,z]
Now consider the affine G-variety
UI
E I ab a}
be the invariant open subset Ui' {(o,O)}.U
0' : U Uz
be the equivariant open immersion
Let S be the union of UI and Uz with U and
0' • Then S is a union of two projective lines whichidentified throughO'(U)
with the action t(a,b) (r a ,t-Ib). Let
Let Uz be a copy of UI
. Let
given by 0' (a,b) (b-I,a- I).
intersect in the two double-points PI and Pz of UI and Uz ' respectively.
Let : UI V be the morphism given by
(a,b) [(a+b) (a+b-I), a_b Z, (a+b-I)3]
since
phism
-I -I(b ,a ) on U, the morphism extends uniquely to a mor-
: S V • One verifies that is a twofold etale covering. Using
S GA VIII one proves that the action of G on S descends to V
The concentrator scheme of the G-action on S is a sum of two affine lines.
Again using descent theory one verifies that the concentrator scheme of V is an
affine line The realization morphism i: V is bijective but not locally
immersive.
5 - Regularity of the concentrator scheme
5.1 In this section we use the conventions of 4.1 . In particular, G is
over . We define an A-scheme to be a pair such that V is a scheme and
u : .II. xV V is an action of the monoid . So we have
71
a) ]1(v,?)
b) ]1(t:,?)
]1(?,]1) : lAx/AxV-"V
lv: V-"V
of an /A-scheme (V,]1) is defined as the equalizer Ker (0, IV)
is the morphism ]1(0,?) . Clearly a : V -" V factorizes over
The basis Vo
where 0: V -" V
a projection ]10 V-"Vo
is called an /A-bundle if every point v E Vo has an open
such that the A-scheme ]1:1 U is isomorphic to anin Vo
with an action ]1' given by :
The lA-scheme (V,]1)
neighbourhood U
A-scheme ArxU
u)
for every triple of morphisms t: X -"/A , a : X -"/Ar, u X -" U . The weights
w(l), ... ,w(r) are positive integers which may depend on the point v in a locally
constant way.
5.2 Let be the concentrator functor of a centered G-scheme (V,]1,C) at speed m.
If X is a scheme and f E and t E h(A)(X), let tf E be given by :
tf f (v(t,-) ,-)
This defines a mophism of functors h(A)X , which is anaction of the mor.o i d functor
h( /A) on the set functor . As in 5.1 the basis is defined as the equalizer of
the two morphisms of functors 0, I : -" So is a subfunctor of with a
projection ]10o
5.3
tor
Lemma
h(C)G
a) The realization morphism p : -" h(C)
of the G-invariant sections of h(C) .
factorizes over the subfunc-
b)
c)
The basiso
The morphisI:l p
is the equalizer of the morphisms i,p
induces an isomorphism =h(C)G .o
-" h(V) •
Proof a) Let X be a scheme and f E Let v· be the restriction v I GXI!
of the multiplication V of A . The equalizer E of the morphisms f (v',?) and
]1 (? ,f) from GxI!. XX to V is a sub scheme of GXA XX . Since it contains
GXGx X , the subscheme E is schematically dense and open. Let j : GXX -" GxAxX
be the closed immersion with j(g,x); (g,O,x) . Now j-IE is an open subscheme
of the group scheme GXX over X • One verifies that j-I E is the stabilizer
of the section p{f ) E h(C) (X) . So it is an open subgroup scheme of Gx X over X,
and therefore it is equal to G x X . This proves that p (£) is G-invariant (and
that E; GxlA x X) .
b) and c) Let 0/ be the equalizer Ker(i,p). It is clear that C 0/ • By part(a)
we have a morphism p : 0/ -" h(C)G . If X is a scheme and c E h(C)G(X) we may
72
define q(c) E "'o(X) by q(c) = cP2 where P2 : is the projection. CLear ly
q is a morphism of functors h(C)G '" with p q (c) = c for every c E h(C)G(X).o
Consider f E 'I'(X). Then i(f) = p(f). So by 4.1 (a) the restriction r ] c x X
equals )..l(-,p(f». By part (a) it follows that r ] c x X equals the restriction of
qp (f) = p(f) P2 to GxX. Now it follows from lemma 5.4 below that qp (f) = f .
This proves that '" = 'I' and that p: 'I' h(C)G is bijective.o
5.4 Lemma Let CJ: X Sand 11: A <X S be morphisms of schemes. Let
P2 A x X X denote the projection. Assume that the restrictions of T and CJP2
to G x X are equal. Then T = P2 .
Proof. Let E be the equalizer Ke r Ct ,CJP2)' It is a snbscherne of !Ii.. x X and it
contains Gx X • So it is a schematically dense open subscheme of IAx X
cf. EGA I 5.4 . Now it suffices to prove that E contains all points of .
So we may assume that X = Spec(k) where k is a field. We can choose an affine
open S' of T(O) in S . The morphisms T and CJ factorize over S'.
So we may assume that S = S' . Since S is now separated, E is closed and hence
equal to x X .
5.5. Assume that", is representable by a concentrator scheme Y .The action of
h(A) on '" induces an action of A on Y , so that Y is an A-scheme. The basis
Yo represents "'0sents the functor
By 5.3 it is equal to the equalizer Ker(i,p) . It also repre-
h(C)G , so we may identify Y = CG .o
Assume that the scheme C is separated, or that the action of G on C is
locally affine. Then the functor h(C)G is representable by a closed subscheme CG
of C. In the first case we may refer to SGA 3 VIII 6.5 (e). The second case is
proved with the methods of 4.5 .
B
is aBo
is a maximal ideal of
Z-graded noetherian ring. Assume that the subringaBLet
local ring with maximal ideal t\ and that M= 110
+ Bn
a) If P' C P are finitely generated E-modules, we have
5.6 Lemma
P = P' + liP
b) Let
(B/J)l1
PIf = P'll <=? P = P'
J be a homogeneous ideal in B . Assume that the local rinGs BIf and
are regular. Fix mE IN and put L = L Bn
+ L In
. Then (B/LB)1jn<o n<rn
is also regular.
= 0 for all n < 0 . Then Bo
graded polynomial Bo-algebra
of positive degree.
c) ASSUi.1e that
noetherian and
Bll
is regular and that Bn
regular. B is isomorphic to a
with T1, ... ,T r homogeneous
is
73
Let x be a homogeneous element of
we may assume that P' = a . If P = MP thereProof a) Replacing
is d E M such that
P by P/P'
{l-d)P = a cf. [11 p.20, so that
P There is b E B
PM = a . Assume PM = awith bx = a and bEf 11 .
isb x = a for all n. Since bn 0
P = a . If P = a then P = MP
Then we haveE Bn
x = a . This proves
Write b = 2:b with bn n
invertible it follows that
trivially.
b) Since J is homogeneous it is contained in M . We may choose homogeneous ele-
ments xI" .. ,xr in J xr+1""'xs in M
form a basis of U+(12)
/I1L and that x' 1"" ,x' s
cases over the field B/ll. Since the local rings
we haveand
such that the images xj, ... ,x;
form a basis of l1/t12
, in both
Btl and (B/J)I_l are regular,
By part (a) it follows thatsee the proof of
L . So, if the degree of a homogeneous
xl, ... ,xr generate
generated by theB
is generated by the setL'
be the ideal in
the idealdeb)
EGA a IV I 7 . I . 9
is denoted by
xI, ... ,xsgenerate M Let L'
which belong to the subspaceX.l
b E B
and thatJ
elements
element
X.l
or i .;; r and d(x.)<m}l
Since the ideal L'11 is generated by regular parameters, the local ring (B/L')11
is regular. So it suffices to prove that L' = LB . By part (a) it suffices to
prove L C L' + IlL . Let b E Bn
with n < a . Then b EM, so we may write
b = xib i with d(x i) + d(b i) = n . For every i we have d(x i) < a or
d(bi)
< a , so that xibi
E L'UML . This proves bEL' + IlL HOI. let b' E Jn
with n <i m . We may write b' = ,r x b' withL.i=1 i i
For every
i .;; r ue have
b'EL'+ML
d(xi) < m
Therefore
or d (b ' i) < aLCL'+11L.
so that x.b'. EL'UMLl l
This proves
c) This part is well known but we give a proof for the lack of a reference. Let
x x be homogeneous elements of M such that the images form a basis of I1/M2
l' ... , s
over B/M. Since BM
is regular it follows from part (a) that (xI" .. ,xs) is a
B-regular sequence generating M. We may assume that xI"" ,x t E 110
and that
d(xi) I whenever i t + I Then the sequence (xI'" .,xt) is Bo-regular and
it generates Mo over Bo
So Bo
B/2:n>o
Bn
is a noetherian regular local ring
of dimension t. Put r = s - t . lie clearly have a surjective morphism
<P : Bo [TI, .. ·,Tr] -+B with <P(Ti)
= xt+ i
Since Bo [TI, ... ,T r] is a domain
of dimension s , the map <P is bijective. If we give Ti
the degree of x t+i '
then <P is an isomorphism of graded Bo-algebras.
74
5.7 Proposition Let (V,V) be an A-scheme. Assume that the projection Vo
: V Vo
contained in the regular locus of
is regular.
Vo
isVo
V . Then (V,V) is an A-bundle and the basis
is locally noetherian and thatVis an affine morphism, that
Bn
S-I Bo
positiveis a regular local ring and there are homogeneous elements xI" ",xr of-I -)-1
degree in S B such that the morphism from S B [TI, ... ,T] to S B whicho r
to xi' is an isomorphism. Choose So E S and homogeneous elements
in B with xi = ti/so The morphism
sends T.
t l , .. ·, t r
Proof We may assume that V is affine. Then V is affine as well, say witho
coordinate ring B . The action V corresponds to a positive grading B = In;;;.o
The projection Vo
: V Vo
corresponds to the injection Bo
B . Let v E Vo
correspond to a prime ideal p of B Put S = B \p . The localizationo 0
S-I B is a graded ring which satisfies the assumptions of 5.6(c). Therefore
\0 (T.) t.t,
is such that S-I is an isomorphism. By EGA I 6.6.4 there is s E S such that
the localization s-I is an isomorphism. Thus we have a trivialization of a
neighbourhood of V.
5.8 Theorem Let (V,V,C) be a locally affine centered G-scheme.Assume that V is
locally noetherian and that CG is contained in the regular locus of both V and
C . Fix m EE . The concentrator scheme Y at speed m is an A-bundle and its
basis Y = CG is regular.o
Proof By the proof of 4.5 we may assume that V is affine, and hence noetherian,
and that C is closed in V By 4.2 the concentrator is represented by a closed
subscheme Y of V. By 5.5, Y is a noetherian affine A-scheme. By 5.7 it remains
to prove that Yo
is contained in the regular locus of Y •
In the notations of 4.2 the co-ordinate ring of V is a Z-graded ring
B = L: Bn' the center C is given by a homogeneous ideal J and the concentrator Y
corresponds to the ideal LB where L In<o B + In<m J A point v E Y corres-n n 0
ponds to a prime ideal P = P + Info B with J Cp The local rings & = Bp0 n 0 0 V,v
and t'C = (B/J)p,v _I
graded ring S B
are regular. Put S = B \p . Application of lemma 5.6(b) on theo 0
yields that the local ring crY,v = (B/LB)p is regular. So v
is a regular point of Y
5.9 Remarks Theorem 5.8 is a generalization of a theorem of Bialynicki-Birula,
cf. [2] 4.1 . He considered the case that V is of finite type over an algebraical-
ly closed field and that C V. The regularity of the invariant sub scheme CG
holds more generally, cf. [8]
75
6. Concentration under the action of a group scheme
6.1 Let G be a group scheme over a base scheme S. Clearly, G£(I)S is a group
scheme over S Let Y(G,S) denote the set of the morphisms of group schemes
u : G£(l)S --> G If A,lJ E Y(G,S) commute, tze define A+ u E Y(G,S) by:
(Ie + lJ)( t ) A(t) u Ct) u (t.) A(t)
then mlJ E Y(G,S)for every section t : X --> G£(I)S' If lJ E Y(G,S) and mE Z
is defined by mu (t ) = u (t)m . As muLt i.pl i.ca t i.on wi t h mE:N turns out to be
injective, we get an equivalence relation on Y(G,S) x N with (lJ,m) (v,n)
if and only if nlJ = mV. The equivalence class of (lJ,m) is called the co-weight
lJ/m • The set of the co-weights is denoted M(G,S). We consider Y(G,S) as a subset
of M(G,S) by the identification lJ = lJ/l • The partially defined addition on Y(G,S)
extends to a partially defined addition on t1(G,S). The interior action int(g)h =
-Ighg of G on itself induces an action of the group of sections G(S) on M(G,S)
If G is commutative, Y(G,S) is a Z-module and H(G,S) = Y(G,S) is a vector
space over
6.Z A centered G-scheme (V,p,C) a triple such that V a scheme over S ,that p : GX
SV-->V is an action over S and that C is a G-invariant subscheme
of V , to be called the center. If u E Y(G,S) and mE 1iI , the concentrator
functor V(lJ,m) is defined as the concentrator with respect to the center C and
the speed m of the action lJ given as the composition :
We give V(lJ,m) the structure of an S-functor through the morphism h(o) i
V(lJ,m) --> h(S) , where 0: V --> S is the structural morphism of V So if X is an
S-scheme, V(u ,m) (XiS) consists of the elements f E V(lJ,m) (X) such that i (f) :
X --> V is an S-morphism. By lemma 5.4 this condition is equivalent with the condi-
tion that f: A x X --> V is an S-morphism where x X is identified with the
S-scheme AS x SX
It follows that p: V(lJ,m) --> h(C) is a morphism of S-functors. For if
f E then p(f) : X --> C is an S-morphism. Since the Yoneda functor h
commutes with fibered products we get a morphism (i,p): V(lJ,m) --> h(VxSC),
6.3 Proposition a) The morphism (i,p) : V(lJ,m) --> h(VXSC) is injective.
b) If V is separated over S, then i : V(lJ,m) --> h(V) is injective.
Proof. Let fl,f Z E V(lJ,m) (X). Assume
or that V is separated over S. Let
i(f l) = i(f Z)' Assume either that p(f l) =p(fZ)
E be the equalizer Ker(f l ,fZ)' It follows
76
from 4.1 (a) that E contains G£(I) x X , so it is a schematically dense open sub
scheme of Ax X . If P (f I) = p (f 2) then E conta i.ns all points of JA x X If V
is separated over S then E is closed in JA x X , cf. EGA I 5.2.5 . So in both
cases we have E = JA x X and hence f 1 = f 2
6.4 Definition We use the realization morphism (i,p) to identify the concentrator
V(Jl,m) with a subfunctor of h(V x SC). Now we have V(IJ,m) = V (v,n) whenever
(lJ,m) (v,n), cf. 6.1 . In the locally affine case this follows by reduction to 4.2.
The general proof requires descent theory cf. SGA VIlIS. Now we may define
V(A) V(IJ,m) if A is a coweight represented by
The group scheme G itself is considered as the centered Gscheme (G,int,G).
Since the interior action int works by automorphisms the concentrator G(A) is a
subgroup functor of the group functor h(GxSG) over S . Let h(GxSG) act coordinate
wise on h(VXSC), Then we have the following lemma, which goes back to [17] .
6.5 Lemwa V(A) is G(A)invariant.
Proof Write A IJ/m with IJ E Y(G,S) and mEN. We consider V(A) = V(Jl,m) and
and k E G(A) (XiS). So we have Smorphisms f: A x X > V and
G(A) = G(Jl,m)
f E V(A)(X/S)
in the abstract sense of 6.2 Let be an Sscheme. Consider
k : JA xX > G . Condition 4.1 (a) may be expressed by
k (r , x )-I
u Ct) k(E,X) u Ct) f(t,x) = lJ(t) f(E,X)
for every scheme X' and every pair of morphisms t: X' > G£(l) , x : X' > X . The
product kf : A x X > V satisfies :
kf(t,x) = k(t,x) f(t,x) .
So it is an Smorphism satisfying 4.1 (a). Condition 4.1(b) reads as follows. If
t X' >1.. factorizes over A(m) then f(t,x) factorizes over C for every
x X' > X . Since C is Ginvariant it follows that k f (t,x) factorizes over C
as well. This proves that k f E V(A) (XiS). In this way we get an action of G(A)
on V(A) over S. It obvious that the morphisms of the actions commute with the
realization morphisms of 6.4
6.6 Remark on base change Let U > S be a morphism of schemes. Then GU is a
group scheme over U and (VU,pu,CU) is a centered GUscheme. If A E M(G,S) then
AU E M(GU'U) is defined in the obvious way. One verifies that V(A)U = VU(AU)'
6.7 Problem Let V be affine over S and let C be closed in V. Then V(A) is
representable by an Sscheme Y. Assume that V and C are smooth over S. Does
it follows that Y is smooth over S?
77
7 The sheaf of buildings of a separated group scheme
7.1 In this section G is a separated group scheme over a base scheme S. Let
(V,p,C) be a centered G-scheme Hhich is separated over S. If A E I1(G,S) He use
the injective morphism i : V(A) h(V) to identify the concentrator V(A) with
a subfunctor of h(V), see 6.4(b). This identification is called the separated reali-
zation of V(A)
Similarly, GCA) is identified ,lith a subgroup functor of h(G) . It f ol Lows
from 6.5 that the subfunctor V(A) of h(V) is invariant under the action of the
subgroup functor G(A) of h(G) . Using 5.3 we get a morphism of group functors
p G(A) GA , wher e GA is the centralizer of A . Let GCA) be the kernel of+A
p Clearly G(A) is the semi-direct product of G(A)+ and G
If A,V E lI(G,S) and g E G(A) (S) are such that V = int(g) A , then
V(V) = g V(A) = V(A) and in particular G(V) = G(A) . So we have an equivalence
relation on Il(G,S) such that A V if and only if V = int(g) A with
g E G(A)(S). The set of the equivalence classes is called the vector building Vb(G,S).
The class of A is denoted [A]. The concentrators V([ A] ) ;= V(A) and
G([ A]) ;= G(A) are clearly well-defined subfunctors of h(V) and h(G), respecti-
vely. It is easy to see that G([A])+;= G(A)+ is also well-defined.
7.2 If X is an S-scheme, GX
is a separated group scheme over X. So ue nay define
Y(G,X) ;= Y(GX'X) , M(G,X) ;= M(GX'X) and Vb(G,X) := Vb(GX'X) . The functors
Y(G,?) , M(G,?) and Vb(G,?) are considered as pre-sheaves on the category (Sch)/S
be the associated (f p q c) -sheaves
Y(G,?) is already a sheaf we have
= M(G,X) . If not then M(G,X)
of the S-schemes. Let reG) , and Vb(G)
on (Sch)/S, cf. SGA 3 IV 4.3 and 6.3. As
reG) = Y(G,?) . If X is quasi-compact then
is contained in and the other elements of need unbounded denomi-
nators.
Consider A V in 11(G,X) . Since GX(A) (X) is the semi-direct product of
GX(A)+(X) and ci(X), there is a unique g E GX(A)+(X) with w= int(g) A . It fol-
lows that Vb(G,X) is contained in Vb(G) (X)
Remark If (V,p,C) is a separated centered G-scheme and 0 E Vb(G)(S), one may use
6.6. to define a concentrator-sheaf V(o) . We shall not use this here.
7.3 Lemma Assume that G is reductive, cf. S GA 3 XIX 2.7 , and that S is affine
Then Vb(G)(S) = Vb(G,S)
is a parabolic subgroup of GX with unipotent
Let Q = Par(G,?) be the (fpqc)-sheaf such
subgroups of GX' see S GA 3 XXVI 3 . The
Proof If o EVb(G,X) then GX(o)
radical GX(o)+, see SGA 3 XXVI 6.1
that Q(X) is the set of the parabolic
78
morphism of pre-sheaves Vb(G,?) Q mapping 0 E Vb(G,X) to GX(o) E Q(X) induces
a morphism of sheaves P: Vb(G) Q
Consider 0 E Vb(G)(S) . Let F be the subsheaf of such that F(X)
consists of the co-weights A E with [A1= Ox . Let R be the unipotent
radical of P(o) . If A, u E F(X) then G(A)+ = RX
and there is a unique gE R(X)
wi th u = int (g) A . So F is a principal homogeneous R-sheaf . By S GA 3 XXVI 2.2 ,
it is trivial. So there is a co-weight A E I1(G,S) wi t h 0 = [A 1 • This proves that
o E Vb(G,S).
Remark I have the impression that Vb(G)(S) = Vb(G,S) holds already if G is a
smoOth affine group scheme over an affine scheme S . I need a positive answer to 6.7.
7..4 Lemma Let j : T G be a monomorphism of group schemes over S and assume
that T is commutative. Then Vb(T) = is a sheaf of vector spaces over mand the induced morphism j* : Vb(T) Vb(G) is injective.
Proof The first assertion is trivial. It suffices to prove that the map from Y(T,S)
to Vb(G,S) is injective. Let A, tJE Y(T,S) have the same image in Vb(G,S). Choose
g E G(A)(S) with u = int(g)A . Put V = A - tJ t.n YeT,S), cf. 6.1 . He have:
-I -]V (t ) = A (t ) g A (t ) g
-1(int (A (t ) )g)g
for every section t of G£(I)S' Since g E G(A)(S) there is an S-worphism
f : AS G entending v: G£(l) S G . Since v is a morphism of separated group
schemes over S, it follows that v is trivial, so that A= tJ
Remark So we may consider Vb(T) as a subsheaf of Vb(G). If T is a maximal
locally-split subtorus of G the space Vb(T,S) is called an apartment of Vb(G,S).
If G is of finite presentation over S, the buildin3 Vb(G,S) is the union of the
apartments, s ee SGA 3 IX 2.11 and 6.8.
7.5 The interior action of G on itself induces an action of the sheaf of groups
h(G) on the sheaf of buildings Vb(G) . Let be the (fpqc)-sheaf such that
is the ring of the locally constant functions on X with values in
A morphism of sheaves q: Vb(G) is called a norm if for every S-scheme X the
following conditions hold :
a) Let 0 E Vb(G) (X) . If g E h(G)(X) then
is non-negative. If q(o) = 0 on X , then
q(int(g)o)
<5 = 0
q(o) . The function q( 0)
b) If j : T GX
is a morphism of group schemes over X and T is commutative,
the expression
defines a bilinear form 6 on the Vb(T) (X)
79
7.6 Proposition Let U 4 S be a finite morphism, faithfully flat and of finite
presentation. Let F be a locally free and let p: Gu
4 G£(F) be a mor
phism of group schemes over U . Assume that the kernel of p is quasifinite over U.
Then there is an associated norm on Vb(G) .
Construction Let X be an Sscheme. Put Z = X xSU . The projection p : Z 4 X
is faithfully flat, finite and of finite presentation. If F' is a locally free
crZDodule, the direct image p*F' is a locally free and rank(p*F') is a
locally constant rational function on X, cf , [I] p . 123. Now let <5 E Vb(G) (X).
Assume that X is small enough, so that <5 = 1 with E Y(G,X) and mEN.
The action p u Z of G£(l)Z on the e"zmodule FZ induces a direct sum decomposi
tion FZ = L(FZ)n such that p u Z(t) acts on (FZ)n by multiplication with tn
Now we define :
One verifies that q(<5) is independent of the choice of the pair If X is
arbitrary, the function q(<5) is welldefined at least locally on X, so it is
welldefined on X. The verification that q is a norm is left to the reader.
Compare 2.3.
7.7 Applications a) Assume that G has a Lie algebra L which is a locally free
BSmodule, and that the adjoint action G 4 G£(L) has a quasifinite kernel. The
associated norm q = qL might be called the Killingnorm. In this case U = S.
b) If G is semisimple then case a) applies, cf. SGA 3 II 4.11 and XXII5.7.14.
c) Assume that S is locally noetherian and normal (or geometrically unibranche),
and that G is reductive. Then Vb(G) admits a norm. In fact, let T be the co-
radical of r'" , cf. S GA 3 XXII 6.2 . The torus T splits over some finite etale
covering U of S, cf. S GA 3 X 5.15. NOvl there is a free
injective morphism TU
4 Put F = Lu
ffi F' where L
G . Then qF is a norm on Vb(G).
crUmodule F' with an
is the Lie algebra of
7.8 Example The two tori of S GA 3 X I. 6 do not admit norms. Let me br i.s f l y
describe the second one. Let S be a curve over an algebraically closed field with
two irreducible components SI and S2 which meet in two points PI and PzClearly S is covered by the two open subsets U. = S\{p.} . The intersection
l l
DI n u2 is the disjoint union of the two open subsets V. = S\ s. . Flow the torusl l
T over S is defined as follows. restriction Tlui
is Ui with
coordinates (v,wi).
The restriction Tluln U2 has coordinates
(v,w). The restriction maps are Given by viVo = v , w. IV. w if i jJ l J 2
and = vu . The sheaf F = Vb(T) satisfies F(Ui)
F(Vj)
= 11l • For the sets
80
i .;; j the restriction
a -- [II °111has the matrix )
definite quadratic form
This is impossible. So T
U.,V. are connected and T splits over each. IfJ
F(Vj)
is the identity. map F(U2) F(V I )
Thereforea norm q on Vb(T) would induce a positive2 2q : with q(a(x)) = q(x) for every x E .
does not admit a norm.
8 Concentration under the action of a split torus
8.1 In this section T is a split torus over a connected affine scheme S with
a free Z-module of finite rank. The co-ordinate ring of T
co-ordinate ring k Let IT be the group of the characters His
is identified with the
group algebra k [IT] • Let Y be the dual Z-module of IT through the duality ( , )
We may identify Y = Y(T,k). If 1T E IT ,and y E Y ,and t is a section of
G9,(I\ then we have 1T(y(t)) = t(1T,lJ) See SGA 3 VIII. tlow let H be the
vector space Y Then we have :
M H(T,k) = Vb(T,k)
8.2 A locally trivial vector bundle V over S with a linear action
p: T Aut(V/S) is called a T-bundle. The co-ordinate ring of a T-bundle V is
be the set of
the symmetric algebra Sk(F) on the module F
k-module F is projective and of finite type. If
of the linear functions on V . The
Toft
let F1T
for all sections
1T E IT
1T (t.) f(v)f(p(t)v) =withf E Fthe linear functions
and v of V. Now F is a direct sum L: F1T . So the k-modules F1T are proj ec-
tive and of finite type, and the set ReV) = {1T E IT I F1T " o j is finite. If 1T E IT
let F1T be the quotient F/L:X"1T F
XThe symmetric algebra Sk(F
1T)is the co-ordi-
nate ring of the sub-bundle V1T
of V which contains the sections v of V with
pet) v = 1T(t) v for every section t of T. Clearly V1T" ° if and only if
1T E R(V) . The bundle V is the direct sum I V with 1T E R(V) .1T
If R CIT, we define V [R] := L: 1T E R V1T
. If v : X V is a morphism of
schemes the diagram R(v) is defined as the smallest subset R of IT such that
v factorizes over the sub-bundle V [R] . Clearly, R(v) is contained in R(V), so
it a finite set .
8.3 We define a centered T-bundle to be a triple (V,p,C) such that (V,p) is a
T-bundle and C is a T-invariant sub-bundle. If 1T E IT then clearly (V1T,1T,C1T) is
a centered T-sub-bundle with action plV = 1T1T
Consider A EM. We use the realization morphism (i,p) to identify the concen-
tor scheme V(A) with a closed sub s cheme of the T-i:>undle V l!l C = Vx SC , see 4.2
and 6.4 . First \Je determine the concentrator schemes V1T(A)
of the centered
81
T-bundles (VlI,11
,Cll) If (11 ,A) ;;;. I then VlI(A) = V (!) 0 If 0< (11 ,A) < I
11then V (A) = C11 (!) 0 If (11 ,A) = 0 then VlI(A) is the ioage, say DlI , of the
11diagonal morphism 1':.: C ->C (!) C If (n ,A) < 0 then VlI(A)
= 0 It Eo l.Lows11 11 11
that :V(lI) = I (V (!) 0) + I C (!) 0) + I DlI
(lI,A);;;'1 11 O«lI,A) <I 11 (lI,A)=O
iV(A) I V +(lI,L;;;.o Cn(lI,A);;;'1 n
3.4 A finite subset of II is called a diagram. A pair 0= (0 1,02) of diagrams
with 01 C 02 is called a two-diagrao. The set of the two-diagrams is ordered by
co-ordinate wise inclusion.
Let be a centered T-bundle. If 0 is a two-diagram we define the
sub-bundle V[O] := + C[02] , see 8.2 . If v: X -> V is a morphism of
scuemas t he r e is a unique smallest two-rd i agr am 0 = 0 (v ) such that v factori-
zesover V[0] . l>lehave 0(V) = (Il(pv) , :lev)) "here p: V->V/C is the
quotient oorphiso.
8.5 Lemma Let (V,p,C) be a centered T-scheme. Assume that V is affine and of
finite type over k, Assume that C is closed in V and of finite presentation
over V . Then there is a centered T-bundle (V' ,pI ,C') and a T-equivariant clo-
sed Lmrne r s i.on j : V -> V' such that C = j-I (C') •
Proof By SGA I [,.7.3 the coordinate ring B of V is mul t i e-gr ad ed , say
B = 2: Bn
wi.th 11 ElI, such that BlI
consists of the functions b E B w i t h
b(p(t)v) = 11 (t) b(v) for every section t of T and every section v of V
As V is of finite type over k we may c aoo s e a finite set of horncg eneous
generators xl'··· ,xmof the k-algebra B Let J be the ideal of C As C
is of finite presentation over V the ideal J is finitely generated, Since C
is I-invariant we may choose a finite set of homogeneous generators xm+ 1' · · ,xn
Assume that Xi E BlI(i)
, Then lYe define the centered T-bundleof the ideal J
(V' , P , , C' ) by:
VI = A\ C'={u!" 0+1 wn
o } .
p' = diag (n(l), 11(2), ... , lI(n))
We clearly have a T-equivariant closed inmersion
given by :
V -e- V' vIi th C = j -1 (c ' )
Remark One may use Cartier's leoma on dual actions, cf. [17] p.25, to give a simi-
lar construction in the case of an arbitrary affine group scheme over a field
82
instead of a torus over a ring.
8.6 Let (V,p,C) be a centered "-scheme over S . Assume that V is affine and
of finite type over S and that C is closed in V and of finite presentation
over V. Let q: M be a positive definite quadratic form. If v: X V
is a morphism of schemes let 11(v) be the set of the elements A E M such that
v factorizes over the subscheme iV(A) of V, and let
*q (v) ; inf {q(A) I A E II(v) }
*An element A E !I(v) wi.th q(A) ; q (v ) is called optiQal for v . If A E 11
is optimal for some morphism v, then A is called balanced for (V,p,C) .
Proposition a) Let v: X V be a morphism such that tl(v) is non--enp ty .
Then there is a unique co-we i.gat; A E II which is optimal for v
b)The number of co-we i gh r s A which are balanced for (V,p,C), is finite.
Proof. Choose a T-equivariant closed immersion j 6f V into a centered
T-bundle (V' ,p' ,C') such that C; j -I (C) . By 4.3 (b) we have ll(v) ; 11Cjv)
for every morphism v : X V So we may assume that (V,p,C) itself is a centered
T-bundle. If R is a diagram and A E:1 we define
(R,A) ; inf {(rr,A) rr E R }
Let a ; o(v) be the two-diagram of a morphism v : X 4 V. It follows from 8.3
that we have11(v) ; {A E II I (OJ ,A) >
If Al and A2 are different elements of II(v) wi t h qUI) q(AZ)' then
+AZ)
belongs to l1(v) and q(A) <q(A 1). This proves the uniqueness of
an optimal co-weight A • The existence follows from the finiteness of the sets
0 1 and O2 ' see [IZ] section 3 .
The number of co-weights which are balanced for (V,p,C), is bounded by the
number of two-diagrams a such that is contained in the finite set R(V).
3.7 A I-scheme (V,p) is called locally affine if every T-invariant open subset
U of V is covered by T-invariant affine open subsets of U.
Lemma Let (V,p) be a I-scheme which is covered by I-invariant affine open subsets.
Then (V,p) is locally affine.
Proof We may assume that V is affine. Let U be a T-invariant open subset of
V . Its compleQent E is considered as a reduced closed subscheme of V. By
EGA I 4.6.2. the sub scheme E is T-invariant. As in 8.5 the coordinate ring B
of V is multi-graded, say B; Z Brr
' and the ideal J of the subscheme E is
83
homogeneous. So we may choose a set L of generators of the ideal J
Now U is covered by the T-invariant affine open subsets D(f) = {p E V I f Ef p }
with f E L
T is diagonalizable.2 . d kon the affine plane over a flel ,
It is essential that the group schemea)Remarks
For example, the usal action of
is not locally affine.
b) Sumihiro has obtained normality conditions on the k-scheme V which
imply that any torus action p on V is locally affine, cf. [20] 3.11. An example
of a not locally affine torus action lS given in 4.6(c).
fies To UTI C TZ and
centered T-bundle, let
3.8 A triple of diagrams T = (To,T1,TZ)
is called a three-diagram if it satis-
To n T1
= 0 . If T is a three-diagram and (V,p,C) is a
V [T] be the sub-bundle of V ffi C given by :
V [T]
where D is the image of the diagonal morphism C -+ C ffi C If R is a diagram
and A EH, let T (A,R) be the three-diagram defined by :
T (A,R) { 1IE R (11,A) O}0
TI (A,R) {11 E R (11,A) ;;. [}
TZ(A,R) {11 E R (11, A) ;;. O}
If R contains R(V) then V [T(A,R)] is equal to the realization of V(A) in
V ffi C , cf , 8.3
8.9 Let (V,p,C) be a locally affine centered T-scheme. If A E t1 the concentra-
tor functor V(A) is representable by a subscheme V(A) of Vx k C cf. 4.5 .
Proposition Assume that V is locally of finite type over k ,that C is local-
ly of finite presentation over V, and that C is quasi-compact. Then the num-
ber of different concentrator schemes V(A) in V x kC is finite.
Proof Just as in the proof of 4.5 we choose a T-invariant open subset U of V
such that C is a closed subscheme of U. We choose a covering (Va) a E I of U
by T-invariant affine open subsets. Now Ca:=
C n Va is a closed subscheme of
Va . The family (Ca)a E I is an affine open covering of C. Since C is quasi-
compact we nay assume that the index set I is finite. By 8.5 we may choose
centered >:-bundles (V'a' pIa ,C ') and T-equivariant closed immersions ja: Va -+
with Ca = .
84
If A E M the concentrator V(A) 1S a closed subscheme of the open subscheme
U (VaX k Co.) of VXkC. By 4.3. we have
Put R = U R (V'a) , cf. 8.2 . By 8.8 the concentrator scheme r: (A) is equal to
V'ah(A,R) ] . This proves that V(A) = V(lJ) holds whenever T (A,R) = T (lJ,R) .
So the number of different concentrator schemes is bounded by the number of three
diagrams r. with T 2 CR.
9 Optimal concentration over fields
9.1 In this section G is a reductive algebraic group over a field k. We choose
a fixed norm q : Vb(G) ' cf. 7.7(c) . We identify
be a separated centered Gscheme. A morphism of kschemes
= • Let (V,p,C)
v : X V is said to
be concentrated if there is °E Vb(G,k) with v E V(6)(X), see 7.1. We define:
q*(v,k) = inf {q(o) I °E Vb(G,k) , v E V(o)(X)}
If v E V(o)(X) and q(o) = q*(v,k) then ° is called optimal.
9.2 Lemma Let T be a maximal split ktorus in G
a) Every split ktorus in G is G(k)conjugate to a sub torus of T.
b) Let 6 E Vb(G,k). Then °E Vb(T,k) if and only if T C G(o)
c) Let 01'02 E Vb(G,k). Then there is a split ktorus T' in G such that
01'02 E Vb(T ' ,k).
Proof (a) See [4[4.21
and mEN. By [4 ] 11.6
(b) Assume T C G(o) .
there is 8 E G(o)(k)
Write 6 = [lJ/m] with lJ E Y(G,k)
such that int(g)lJ E •
Therefore °E Vb(T,k), see remark 7.4. The other implication follo"s from the
commutativy of T .(c) By [4] 4.13 the intersection G(ol) n G(02) contains a
maximal split ktorus I' of G. Now (b) implies 01'02 E Vb(T ' ,k) .
Remark This is well kno,'ll. It seems to me that the parts (a) and (b) remain
valid if the field k is replaced by a ring k such that every projective
kmodule of finite type is free, compare SGA 3 XXVI 6 and [ 16] . Part (c)
fails already if the field k is replaced by an artinian local ring, cf. example
8.6 (d) be l ow.
9.3 Proposition Let T be a maximal split ktorus in G. Let U be a Tinva
riant affine open subset of V Assune that U is of finite type over k and
that C is a closed subscheme of U Let v be a morphism of schemes
with q*(v,k) <00. Then there is a unique optimal °E Vb(G,k).
Proof If VI
85
x V is a morphism and TI is a k-torus in G, let
f(vl,T') := inf {q(o) I 0 E Vb(T I ,k) , v' E V(O) (X)}
By 9.2 we have
q*(v,k) = inf {f(v,int(g-I)T) I g E G(k)}
If g E G(k) then f(v,int(g-I)T) = f(gv,T). Let H be the subset of G(k) of
the elements g with f(gv,T) <00 . Then we have
q*(v,k)= inf {f(gv,T) I g E H}
Now use the notations of 7.1
Y = Y(T,k) and M = Vb(T,k)
fying the assumptions of 8.6
So IT is the character group of T, and
Clearly (V,p,C) is a centered T-scheme sat is-
By 4.3(c) we have V(o) = V(o) for every 0 E M.
Therefore, if g E H, the morphism gv X V factorizes over U and :
Theorem Let T be a maximal K-torus in GK
. Let V be a T-invariant affine
finite type over K and that CK is
be a k-rnor pb i sm with q* (v ,K)< 00
v E V(o) (:;) and q (0) = q* (v ,K). In
f (gv, T) = inf {q(o) I 0 E 11 , gv E V(o)(X)}.
By 8.6(b) the number of values f(gv,T) wi t h g E H is finite. So there is
hE H wi t h q* (v,k) = f(hv,T) By 8.6 (a) there is 0' E !1 with hv E V (0' ) (X)
and f(hv,T) = q(o'). Now 0 = int(h-I)o' is an optimal element for v
As for the uniqueness of the op t i.na l 0, by 'J.2(c) we may assume that G=T.
Then clearly we may assume that V = V • Now we are reduced to the case of 8.6(a).
9.4 Let K be the separable closure of the field k. It follows from 7.3 that
the building Vb(G,k) may be identified with the invariant subset of Vb(G,K)
under the action of the Galois group r of Kover k. Since q is a morphism
of sheaves the map q = qK is r-invariant and the map qk is the restriction
q I Vb(G,k). If 0 E Vb(G,k) then V(o)K VK(o) by 6.6. If v: X V is a
morphism of k-schemes we define q*(v,K) := q*(vK,K) . It is obvious that
q*(v,K) q*(v,k).
open subset of VK.
Assume that U is of
a closed subscheme of V. Let v J, V
Then there is a unique 0 E Vb(G,k) with
particular q*(v,k) = q*(v,K)
Proof Since K is separably closed the torus
unique 0 E Vb(G,K) with vK E VK(o) (XK) and
r-invariant, so 0 E Vb(G,k). It follows that
o is trivial.
T is split. By 9.3 we have a
q(o) = q*(v,K). Clearly 0 is
v E V(o)(X). The uniqueness of
86
9.5 Remarks In respect to Kempf's theorem, c f , [15] , the new features are
(I) the field K is only separably closed, (2) we are able to concentrate a
morphism v : X V , not just a point v E V(k), (3) the scheme is not necessa
rily affine. All three points are essentially trivial. The points (I) and (2)
were introduced in [12] . Point (3) depends on the rather artificial introduction
of an intermediate affine scheme U . This generalization is nonempty and in
some sense bestpossible, but as yet I have no applications.
9.6 Examples a) Let G = GQ,O\ with the obvious norm. Let (P,u ,C) be the
centered Gscheme consisting of the projective line P, the action u of 4.6(a) ,
and the center C = {O,"'} . Fix a point v E :JP (k) outside of the center. There
are two unequal optimal elements in Vb(G,k).For the element v does not know
how to choose be twe en 0 and 00 as a possible target. New C is closed and
affine, though not contained in an invariant affine open subset of :JP
b) If k C K is an inseparable field extension, we may have
q*(v,K) f. q*(v,k), see [12] 5.6
c) As for the dependence of the choice of the norm, we refer to [12]
section 7 and [13] 4.10 .
with the zero section as a center. Let
sense if the field k is replaced by a ring k
be a local ring with a maximal ideal m f. 0 •
d) Definition 9.1 makes good
Let G = SQ,(2)k act on
V E V(k/m) be the point
a f. awith
o (mod m).vI = I (mod m) and
is optimal. Choose
with a connected spectrum. So let k
V = 1A2k
with coordinates
The coweight A with A(t) = diag(t,t I)
and put g = n We have gv = v , so that jl = int(g)A is optimal as
well. However l u l f. [ A] in Vb(G,k). In fact V(jl) = g V(A) f. V(A)
chemes of V.
as subs
10 A construction of Grothendieck, cf. SGA 3 XIII
10.1 Let G be a group scheme over a scheme S, acting on an Sscheme V.
P be a subgroup scheme of G, acting on an Sscheme X. Let
be a Pequivariant morphism of Sschemes. l,e consider the rightaction of P-I
(gp,p x). All Sschemes are identi
(Sch) Is of the Sschemes. Let Gx Px
on the product Gx SX given by (g,x) p =
fied with (fpqc)scheaves on the category
Let
be the (fpqc) quotient sheaf (G x SX)Ip . We clearly have a commutative diagram
of (fpqc)sheaves:
moreover
87
p
G x SX G x·X
I jGx SV G x Pv
The lefthand square is a pull-back The T is given by
g j(x). The identification is given by (gP,gv). The mor-
phism 1T is the projection.
Assume that G/p is representable by an and that the
G G/P is faithfully flat and If the morphism j : X V is
quasi-affine it f o l.Lows from SGA 1 VIn 7.9 that G x P;, is representable. If
is a closed immersion then G x Px is a closed sub s cherne of GX Pv
10.2 Now a s sume that G is reductive and that P is a parabolic subgroup,
cf. SGA 3 XIX 2.7 and XXVII. Then G/p is a projective S-scheme, so that
1T is a proper morph i sn , Therefore, if j : X V is a closed iomersion, then
T is proper. In that case the schematical image of T is a "ell-defined closed
subscheme of V, cf. EGA I 6.10.5 . This image is independent of the choice
of the parabolic subgroup P normalizing X . So it may be denoted GX
88
REFERENCES
Recall tha t EGA [9, 10], SGA 1 [ 11 ] and SGA 3 [7 1
1 - Altman, A., Kleiman,S. Introduction to Grothendieck duality theory. Lecture
notes in math. 146, Springer Verlag, Berlin 1970.
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of Hath. 98 (1973) 480 - 497.
3 - Borel, A.: Linear algebraic groups. Benj ami n , New York, 1969.
4 - Borel,A. ,Tits,J. : Groupes reductifs. PubL, l1ath. de l'IHES 27 (1965) 55-152.
5 - Bourbaki,N.: Groupes et algebres de Lie, chapitres 7 et 8. Hermann, Paris 1975.
6 - Demazure, H. : Demonstration de la conj ecture de Humford [d' apre s W. Haboush]
Seminaire Bourbaki, expo 462. Springer Verlag, Berlin 1976.
7 - Demazure,H., Grothendieck, A : Schemas en Groupes (SGA 3). Lecture notes in
math. 151, 152, 153, Springer Verlag, Berlin 1970.
8 - Fogarty,J., Norman,P. : A fixed-point characterization of linearly reductive
groups. In contributions to algebra. Academic Press, New York 1977,
p , 151 - 155.
9 - Dieudonne,J.A. : Elements de Geometrie Algebrique I. Sprin-
ger Verlag, Berlin 1971.
10 - J.A. : Elements de Geometrie Algebrique. Publ.
Hath. de l'I.H.E.S. 11,20,24,22,32 (1961 - 1967).
11 - Grotbendieck,A : Revetements etales et groupe fondamental (SGA I). Lecture
notes in math. 224. Springer Ver I ag , Berlin 1971.
12 - w.n. : Uniform instability in reductive groups.J. reine U. ange-
wandte Hat h , 303/304 (1973) 74-96.
13 - Hesselink,\'.H. : Desingularizations of Varieties of nullforms. Inventiones
math. 55 (1979) 141 - 163.
14 - Humphreys,J.E. : Linear algebraic groups. Springer Verlag, New York 1975.
15 - Kempf,G.R. : Instability in invariant theory. Annals of tlath. 103(1973)
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16 - Lam,T.Y. : Serre's conjoncture. Lecture notes in math. 635. Springer Verlag
Berlin 1978.
17 - tlumford,D.: Geometric Invariant Theory. Ergebnisse Bd 34. Springer Verlag,
Berlin 1965.
18 - Ness,L. Mumford's numerical function and stable projective hypersurfaces.
In : Algebraic geometry. Copenhagen 1978. Lecture notes in math.
732. Springer Verlag, Berlin 1979, p. 417-453.
89
19 - ltousseau,G : lmoeubles spheriques et theorie des invariants. CR. Acad. Sc.
Paris 236, A 247 - 250 (1973).
20 - Sumi.hi ro sll , : Equivariant completion II. J. of Hath. Kyoto Univ. 15 (1975)
573-605.
Groningen, february 1980.
SOME CONJECTURES FOR ROOT SYSTEMS AND FINITE COXETER GROUPS
I.G. MACDONALD
A. "Dyson's conjecture" and generalizations.
In 1962 F.J. Dyson [2] conjectured that the constant term in
(I) II1 .;;; i I
-I ku. )J
(where u l , ... ,unare independent variables and k is a positive integer)
should be
(nk) ! I (k!) n .
This conjecture was soon proved by various people [3] [4] [10], and more gene
rally that the constant term in
(2) II (Ii/j
-I a i u. u. )
1 J
(where the a i are arbitrary nonnegative integers) is equal to
When an
k , (2) reduces to (I) .
I shall discuss some possible analogues and generalizations of (I). I do not
know whether there are corresponding analogues of (2). For a more detailed account
of these and similar conjectures, see [7].
The fractions
type An_1
. So let
real Hilbert space
91
u. in (I) remind one of the roots of a root system ofJ
R be any reduced root system, spanning a finite-dimensional
V of dimension and let W be the Weyl group of R,
which acts on V and hence on the symmetric algebra S(V) . It is well-known
that the subalgebra S(V)W of W-invariants is generated by algebraically
independent homogeneous elements 'l'i
of W is equal to the product of the
of degrees d) , ... ,di
' and that the order
d.
Example. - The set of vectors v. - v , (i f. j) in IRn (where "r- ...... ,vn is theJ
standard bas is of IRn) is a root system of type An-l
In this example V is
the hyperplane xI + ... + x = 0 in fRn , W is the symmetric group S actingn .n
V by permuting the coordinates, and take '1'.i + ••. +
t,foron we may = xl x
ni = 2, ..• n , so that the degrees d. are
t.2,3, ... n .
For each root a E R we introduce a formal exponential ea , which may
be regarded as the element cotresponding to a in the group sing l1Q] of the
lattice Q("" generated by R r n V
Conjecture (Cl). For each integer k 0 , the constant term in
should be equal to
Q, rdl.)II k .i=1
In the example above, theae are
v.-v.e J -I
u. u.J
wherev.
u. = e , andi
in agreement with (I) .
)." =(nk)!
(k l )n
92
It is enough to prove (C1) for the irreducible root systems. I cannot do this
in general however, (C1) is true
(a) for all Rand k = or 2 ;
(b) for R of classical type (A,B,C,D) and any k .
Before coming to these verifications, we shall write (C1) in an equivalent
form. Let G be a compact connected Lie group, T a maximal torus in G ,and R
the root system of (G,T). We may regard the ecx as characters of the torus T.
Choose a system R+ of positive roots and write
1I(t )
for t E T , so that
is a positive real-valued fonction on T , which occurs in Weyl's integration
formula Ie f(x) dx = MIT f(t) !lI(t) 12dt
in which f is any continuous class-function on G ,and dx, dt are normalized
Haar measures.
The conjecture (C1) is then equivalent to
(C1')
for all integers k > 0 .
(kd i )i=1 k)
The equivalence of (C1) with (Cl ') follows form the fact that integration
over T kills all but the trivial character, hence picks out the constant term.
We may remark that (Cl ') makes sense if the integer k 1S replaced by a complex
number s with Re(s) > 0 , and the binomial coefficients on the right are repla-
ced by the appropriate combination of gamma functions.
In order to verify (C1 ') for types B,C and D we shall use an integral
formula due to Selberg [91, which generalizes Euler's beta integral. Let a,b,c
be complex numbers satisfying
93
Re(a) > -I Re(b) > -I Re(c) > - , Re(a)+1, , • n n-I
and let In(a,b,c) denote the integral
Re(b)+I)n-I
fo
l... fo
lI IT (x.-x.) ,2c dXj ••• dx
1 i. i e j i. J n
Then Selberg's formula
In(a,b,c)n
ITf(rc+l) f(a+(r-l)c+l) f(b+(r-l)c+l)
f(c+l) f(a+b+2+(n+r-2)c)
If we make the substitution x.i.
r... fo 0
sin2 8. in Selberg's integral, it becomesi.
nIT (sin2a+1e. cos 2b+18.) IT Isin(8.-8.)sin(8.+8.)!2Cd8 j ... d8I i i.<j i J i J n
When R is of type B,C on D the integral in (CI ') is of this form, for suitable
values of a,b,c, and hence can be evaluated by Selberg's formula.
B. "q-analogues" of Dyson's conjecture.
Many familiar functions have q-analogues : the gamma function, hypergeometric
function, etc. For a simple example, a q-analogue of the binomial coefficient :
(n) n(n-I) (n-r+ I)r 1.2 r
is the "q-binomial coefficient" (or Gaussian polynomial) obtained by replacing each
integer s in the above expression by I+q+ ... +qs-I
(l_qn) (l_qn-I) (l_qn-r+l)
(l-q) (l_q2) (I_qr)
is in fact a polynomial in
binomial coefficient when
q , with integer coefficients, and reduces to the usual
q 1 •
In this vein, a q-analogue of the conjecture (Cl) is
Conjecture (C2). For each positive integer k , the constant term (i.e. involving q
94
but not the ea) in the product
k i-I iIT IT (I - q e-a) (I - q ea)+
aE R i=1
should be equal to
R,
[k:iJITi=1
Clearly (C2) implies (CI) by setting q = I
I have less evidence for (C2) than for (CI). It is true for types Al and A2and all values of k (Andrews [I]) also for all Rand k 1,2.
Conjecture (C2) can be reformulated as a statement about a compact Lie' group G;
it is equivalent to
fGk-l R, k-l km.+j
Conjecture (C2') . det IT (I _ qJ Ad(x» dx IT IT (I _ q 1 )
j=1 i=1 j=l.
where as before dx is normalized Haar measure on G and the m. are the exponents1
of the Weyl group W of G (so that m. = d.-I)1 1
For a proof that (C2) <=> (C2') , we refer to [7]
When k = I , (C2') is clearly true (both sides are equal to I). When k 2,
on replacing q by -q the assertion is that
f det(1 + q Ad(x» dxG
9.IT (I + qi=1
2m.+!1 )
GHere the left-hand side is the Poincare polynomial of the graded algebra (Ag) ,
where g is the Lie algebra of G; but it is well-known (via de Rham cohomology)- G * *that (Ag) H (G ; ffi), and that H (G is an exterior algebra generated by
elements of degrees 2mi+I(1
< i < R,). Hence (C2') and therefore (C2) and (CI) are
true for any root system Rand k = 1,2
Finally, we way remark that (C2) and (C2') make sense and are true when k +00.
In this case (C2) asserts that the constant term in the formal infinite product
95
is equal to
. -9,IT (I _ q1)
i=l
and this assertion is equivalent to the main theorem of [5] for the affine root
system S(R) . Likewise ,when k (C2') is the equivalent assertion that
IT det(l - qj Ad(x» dxj=l
I .
Thus the conjecture (C2) may be regarded as a truncated version of the main
theorem of [5] , for an affine root system of type S(R) . One can formulate an
analogous conjecture for the other types of affine root systems [7].
C. Mehta's conjecture and generalizations
In his book Random Matrices [8] , Mehta conjectured that
(3)nIT (rk)!---rr-r=l
for any positive integer k (or more generally for a complex number k with
Re(k) > 0). Here dx = dx1..• dX
nis Lebesgue measure, Ixl 2 = xf + ... +
and D(x) = IT (x.-x.)i<j 1 J
Bombieri observed that (3) can be established by use of Selberg's integral.
Put k) (where a > 0) if we then let
a + we obtain (3) .
To generalize (3), let G be a finite Coxeter group, i.e. a finite group of
isometries of mn generated by reflections r in hyperplanes through the origin.n
The equations of these hyperplanes are of the form h (x) = I a. x. = 0r i=l 1 1
Normalize each hr(up to sign) by requiring that I = 2 , and let P(x) hr(x)
be the product of these normalized linear forms, the product being over all
reflections r in G. As before, let di
be the degrees of the fundamental poly-
nomial invariants of G.
96
Conjecture (C3). (21T)n / 2 n (kd i ) !
II -k-!-'i=!
When G is the symmetric group
(C3) reduces to (3) above.
S , acting on Rn by permuting the factors,n
When G is a dihedral group (so that n = 2), the conjecture (C3) can be
verified directly (e.g. by transforming to polar coordinates in the integral).
When G is of Bn
or type Dn,
(C3) is true for all k (A. Regev), again
by use of Selberg's integral. Finally, (C3) is true for k = and G a Weyl
group [6].
97
REFERENCES
[1] G.E. ANDREWS.Problems and Prospects for Basic Hypergeometric Functions, inTheory and Application of Special Functions,ed. R. Askey, Academic Press (1975).
[2] F.J. DYSON.J. Math. Phys. 3(1962) 140-156.
[3] 1.J. GOOD.J. Math. Phys , 11 (1970) 1884.
[4] J. GUNSON.J. Math. Phys. 3(1962) 752-753.
[5] I.G. MACDONALD.Affine root systems and Dedekind's n-function, Inv. Math.15 (1972) 91-143.
[6] I.G. MACDONALD.The volume of a compact Lie group, Inv. Math. 56 (1980) 93-95.
[7] I.G. MACDONALD.Some conjectures for root systems and finite Coxeter groups,to appear.
[8] M.L. MEHTA.Random Matrices, Academic Press (1967).
[9] A. SELBERG.Norsk Mat. Tidsskrift 26 (1944) 71-78.
no ] K. WILSON.J. Math. Phys., 3(1962) 1040-1043.
Queen Mary College
University of London
Department of Pure Mathematics
Mile End Road
LONDON E 4 N S
SPECTRE DU DE RHAM-HODGE SUR L'ESPACE
PROJECT IF QUATERNIONIQUE
par Anne Levy-Bruhl-Laperriere
Le but de cette etude est de determiner par des methodes de representations
d'algebres de Lie, Ie spectre du de Rham-Hodge sur les formes differentielles de
l'espace projectif quaternionique. Les theoremes 12 et 17 Ie donneront pour les
formes de degre I et 2.
O. Generalites. La methode utilisee pour obtenir ces resultats repose sur Ie
theoreme, dernont r e dans [4) et (5) :
Theoreme O. Soi t G groupe de Lie compact semi-simple d f algebre de Lie
K sous-groupe ferme d' algebre de Liel' R un supplementaire de t dans
, .!!:. dual de compLex i f i e , On. suppose que C..4y,EJ C f,[f,rlCJy. Soit
,FI) l'espace des fonctions Gao de G dans F
1= I\s r.; N F
P -- '1%oS sx '\S .. I, sont K-equivariantes pour la representation II '" A
'\%110
etant representation adjointe de K dans etant une
representation de K dans F. Soit AG
l'operateur de de Rham-Hodge.
99
designent composantes irreductibles de
on a :
G telles que rIK contient 1\ Jp ll:s 1\, Ar
pour toutes les repre-q
{(hy+2bGIhf ),irreductibles r de
Spectre AG
sentations
-G1\G,F1)
oil
Dans
po ids dominant de 13 representation irreductible f de 1a demi-
sornrne des racines positives de 'tt ( I) le produit scalaire dans dual
de la de Cartan de chois i.e .
Pour demontrer ce theoreme, le resultat suivant dG a A. Ikeda et
Y. Taniguchi (2] a ete utilise:
Proposition 1. Soit (G,K) une paire symetrique (compacte) oil G un groupe
de Lie semi-simple connexe compact. On munit M G/K de metrique
riemannienne G-invariante obtenue par restriction de l'oppose de la forme de
Killing. de soit 4 l'operateur de Laplace M defini par cette met r i que ,
Alors, en identifiant CID(I\PM) a /;CID(G, K ; i\P on a
A -c
C etant l'element de Casimir de
Ce resultat peut s'etendre au cas oil G est un groupe de Lie semi-simple,
connexe, unimodulaire, K est un sous-groupe maximal compact,cornrne nous le prou-
verons dans la proposition 3 suivante. Soient alors l'algebre de Lie de G,
..,. l' a Lgeb r e de Lie de K. Soi t B la forme de Ki lling de et 1'. i: orthogonal
de -+ dans pour la forme de Killing B. On a alors
avec
B est negative definie sur positive non degeneree sur 1'.'
Soi t (Xi) I' i'm une base orthonormale de .p.
une base pseudo-orthonormale de (B(X ,X )-7 a a-I) .
100
On a alors
(Xi ,X) L- aXc ..
m4a'ni.j a
(X ,X.] L c j X.a
" i'ma,i J
l'invariance de la forme B conduit a
m<a,fn
B«(X. ,X.],X ) + B«(X. ,eX ,x.l]) aJ a a J
G sur M G/K. (;"'( 1\s M) et
NIX 0(
v *01 (g) (Y j " " ,Ys) (lC co (Y j " " ,Ys)
(g)
pour g appartenant a G, Y] ," "Ys
appartenant a etant considere
comme 1 'ensemble des formes l i.nea i r es sur nulles sur -t ., t;Jl(G, 1\ s <.E:)) est de t e rminee par le s ys t eme de fonctions
;"': Ill(X. , ... ,X. ) , 14i]4 ...
Munissons M de la metrique riemannienne G-invariante provenant de la
(I) t 1c"f'
(2)a i
c .. caj
carq
Soit 1C la projection de
sont identifiees par :
restriction de l'opposee de la forme de Killing a E et soit dm la mesure sur M
definie par la metrique riemannienne.
Si T, 't'6.t;<Xl(i\sM) () L2
posons:JM
OU <,> sur "sM denote l'extension canonique de la metrique hermitienne de M.
Dans toute la suite on ne considerera que des formes
c' es t-a-dire les formes a support compact dans M.
Considerons sur G une mesure de Haar bi-invariante dg. On a
J II AS Xalors K dg< +Q). Sur " .... (G;" !&t)) , cons i de r ons le produit scalaire
defini par
Alors il existe une constante c (voir (7) page 380)
- ... * •
Puisque on a I{) et '+ClO • Sur
considerons l'operateur D defini par
(Dill) (X. , ••• ,X. )II ls+1
101
s+] I "L (_l)u- x. "l(X' ... X.... X. )u=1 lU II lU lS
... i mp+
sUPP't compact,
,vOn a a l o r s dOl = DC' , DC 't:ClO(/'.sM), ceci provenant du fai t que (Ed',] C+.
Soit D* l'operateur defini par:
m(X.•.. X. ) = - L: X
kE.(Xk,X.... X. )
II ls-1 k=1 II ls_1
1.$ i 1...... i p_ I " n .
D* est l' adjoint de D ; en effet pour te1s que
'i&t;'G, l\s compact,
"l.£l;«I(G, I\s-1
J .... X. ).t (_I)u-I X. "l(X' , ...X....X. )\G I: 1 1 lS u« l lU 1] lU lsi
= Sf . r.. Jr(tC-l)uXi ''''Xi ») "'lCXi ''''X i ""Xi dg,Ill], ... ,lS'1ll Gl'u=1 u 1 s 1 u s
d ' ap r e s (4J page 379.
1 n- (s-I)! L I (I: ... x. ) '''l(X' ... x. )dgUjl""\_lfm G k=1 J 1 J s - 1 J 1 J s - 1
*CD .
Posons 40 = DD* + D*n. On a a10rs :
A Po A O .. ",,*C-HI ''')M = c que1s que soient
et meme que1s que soient be<'<>(AsM) telles que
et J <0l.,0() dm <+00M
donc
Lemme 2. Pour tout
102
IM
< dm <: +CO on a
= A°'Oll
-cec
ou C est l'element de Casimir de G.
Preuve : Soient ... "i s6m, OC a support compact
, ... X. )11
1S
m 2
k=l 1 1 s
m
-L: Xk(DCl) (Xk'X, ... X. )k=l 1] 1 s
Nous allons utiliser les proprietes de la base (Xl'" .Xn) de
consideree : [Xi'X j ] L X si 1& i, .is m1J a
m4a'n
[xa,XJ L cj X. 51 14i$m, m z a a n
1$ j,-m a,i J
t: t<_I)U-lk=! u=l
pour
n
L k X OC(Xk,x., ... x. ,...X. )a=:m+l u a 1. lU 1 8
, car
103
x "'(X. , ••. X. ) (g)a 1) 1
S
_ d- dt (Ol(g) (exp t X .X. , ... exp t X .X. »a 1 1 a 1 s t=o
sL. (-I) u-] «(g) «(X ,X. }X. , ... X. , ... X. )u=1 a 1 u 1 1 1 u 1 S
car [X ,X. JE:P, m- l a a s na 1 -U
14"i$mu
d'ou
m s
LL.k=1 u=l
(-1) u-lnr: .: Xa C«Xk,x l,··· ,Xi"" ,Xi)
a=m+l 1U u s
i: t: (_l)u-l ta=m+l u=l k=l
n
+La=m+1
X X Ol (X. , ... X. )a a 1
11S
n
La=m+)
X2 ",(X. , ... X. )a 1[ 1 s
a ken utilisant (*)car ei k - c
a iu un
2 t: 2AOa: = -(- L Xk Ol + Xk Of)k=m+l k=l
or l'element de Casimir C de If vaut
m2 t 2
C L X - Xk puisque Btl'- est definie positivek=l k k=m+l
et que est definie negalive.
Nous avons done montre que quel que soit
au C est l'element de Casimir de
104
Proposition 3. Soit G un groupe de Lie semi-simple, unimodulaire, K un
maximal compact. En identifiant
-c
au C est l'element de Casimir de et
I. Etude du groupe symplectique et de quelques
Dans ,2n considerons la forme alternee de matrice
J C . . .)dans la base (f
l,... f
2n).Soit le groupe de cette forme. L'algebre
de Lie, sp(n,[), de est l'algebre des matrices complexes (2n,2n)
de la forme
X2
et X3
symetriques.
et de[ e . .+e. . ,1+n,J J+n,1
En designant par (e ) la base usuelle de l'algebreij
sp(n,a:) 11 pour base la reunion de [e .. -e. " ,1,J J+n,l+n
[ e .. +e.. ,1,J+n J,1+n 1
11 est bien connu (cf. (5) page 140) que si on pose
h.. e .. - e. . 1/ n11 11 l+n,l+n
eIll. -W.
1 J
e .. - e. .1J J+n,1+n
irfj
eul . +u1. e. + e. . i<j1 J
1+n,j J+n,1
e -14. -ell. e. + e. i< j1 J
l,j+n J , i +n
e -2111.e. e 2u1. ei+n,i
1l,i+n
1
nalors it II: h i i est une s cus-ra l geb r e de Car t an de les
105
racines relatives it l' sont :
et on peut prendre pour base des racines positives
1.1. Forme de Killing sur sp(n,t)
La forme bilineaire symetrique dans sp(n,C) definie par
(X,Y) Tr XY
est invariante. En effet
Trace ([A,C] It, B) + Trace(A lC.[B,C)
Trace (AC B-C AB) + Trace (A B C-A C B) 0
Elle est donc proportionnelle it la forme de Killing sur
(cf. (3) exercice 3.9 page 104). On a donc pour tout2
(X,Y) . sp(n,t)
B(X,Y) OITrace(XY).
Calculons OC en po s an t X Y
On a AdX.AdX (MI I M2 ) ( 0 14M2)
Trace(Ad X 0 Ad X) 4(n2+n) cx2n et oc. 2(n+J)
Proposition 4. Dans sp(n,t) la forme de Killing est donnee par
B(X,Y) 2(n+l) Tr(XY).
1.2. Poids dominants des representations irreductibles de dimension finie
de
On a (oJi-Uli+I)(h) B(h, (hi-hi+ l» quel que soit hi.Jr2h
(2wn) (h) B(h, 4(n+7» quel que soit h e.Jy
106
Si IX et sont deux elements de A.(:(IX I = B(ha ,
Un poids de est de la forme
A= m1W1+·· .+mnUln
ml .+(m j+ ... +mi) (Wi-Uli+ 1)+·· .+(m1+·· .+mn)uJn
et est dominant si et seulement si :
(I) {pour
(I.,
tout i
+2ll.1n ) 6:'"
(allll.-Ul. 1)2 1- 1-+
(Wi wi+ jllD i -ali+l)
La condition (1) est equivalente a+
{
m, -m. 1 4i Z1- 1-+
+m liZn
Ceci est encore equivalent a :+
miEoZ que1 que s-o i t i.
Proposition 5. Les po ids dominants representations irreductibles de
dimension finie de sont
et
1.3. Inclusion de Sp(1 dans
Considerons dans les sous-espaces vectoriels et
(II: f i f i +n) et considerons Ie sous-groupe de Sp(n,() conversant
globalement ces deux sous-espaces vectoriels : i1 est isomorphe a
Sp(I Sp(n-l ,11:), son a Lgeb r e de Lie est sp(l,iI:) ill sp(n-l , ensemble
107
des matrices de la forme
ou X42
et X24
sont
s yme t r i.que s ,
On a
= sp(1 £
OU P a pour base fe -e . e -ei, I n+ 1, i +n' I, i n+i, n+ I
e +e " 2, i'" nJ .n+ I, i n+i, I or
Recherchons quelle es t la representation "0; pour 2 i n
reI I-en+ I , n+ I' e i , I-en+ I , i +n J
[ell-e I I' e l .+e. IJn+ ,n+ ,n+l 1,n+
-e +ei, I i+n,n+l
[e -e , e 1 . +e . I] = - (e I . +e . I)11 n+l,n+l n+,l n-e i , ,ll+l n- i ,
[en+ 1, I' e l .-e. 1 en+1,i+el,n+i,11+n,n+l
[en+ l, I' e. 1-e .] 01, 1+n, l+n
[en+I,I' el
. +e. ] en+l,n+i-ei,1,n+l 1,n+1
[e n+ 1 I' e I . +e . 1 0, n+,l n+l,l
[el ,n+I' e l . -e. 1 0,1 l+rr,n+l
reI ,n+I' e. -e . 1 -e -r e .1,1 l+n,l+n I, i+n 1,n+1
[el ,n+I' el
.+e. ] 0,n+l 1,n+l
[e l ,n+I'e .+e.] e l, i-
en+i,n+1n+l,l n t i , l
On remarque que c'est la somme de 2(n-l) fois la representation de
de poids dominant WI (cette representation est bien de dimension 2).
Action de sp(n-I,t)
108
sur £.: on suppose et
on note Ie symDole de Kronecker.1
Pour 2 $ is n , 2" j of n on a :
e -e )I,k n+k,n+1
[e .. -e. . , e I +e 111,J J+n,1+n n+,k n+k,
pour 2 i j n on a :
\,1- Sk en+l,i+nJ J
ej+n,n+1- e I ,j1 1
e i,n+l+ e 1 , i+nJ J
- e j+n, I- e
n+l,j1 1
[e . .+e. ., e +e J1,n+J J,n+1 n+l,k n+k,l
[ e . .+e. . ,1, n+ J J , rr- i
[ e . .+e. . ,1,n+J J,n+1
e -e ]k , I n+l,k+n
e -e JI,k n+k,n+1
e +e 1l,n+k k,n+1
o
e - e - S i e - gj eJ i,n+1 1 j ,n+l k I,n+j k l,n+
o
e + e s: e - sj eJ i , I 1 j , I - k n+ 1 , n+ j k n+ I , n+ i
[en+i,j+ej+n,i' el,k-en+k,n+1J 0
[en+i,/ej+n,i' e 1 ,n+k+ek,n+IJ = e n+ i ,n+l+ en+ j ,n+l- e 1 ,j- e1,i
[ e . . +e. ., e +e ] = 0n+1,J J+n,1 n+l,k n+k,1
On remarque en p a r t i cu l i e r que pour 2 S i of n
( e -e e -r e ] = k e - S eii i+n,n+i' k , I n+l,k+n i i , I 1 n+l,i+n
e +e ] = b e. + e .l,n+k k,n+l 1 1,n+! 1 l,n+1
e +e ] = - 6 e k en+l,k n+k,l+n 1 i+n,l+n- i n+l,i
109
Lemme 6. La representation irreductible de
poids dominant 2(n-I).
de dimension finie de
Preuve : La dimension de cette representation est donnee par la formule de
Weyl.
n01)0
n (bKloo.)et)O
n-lou 6 = L. (n-i)lIJ. .K
i=1i,
La dimension vaut done
IT x (Ulj +5K!WI+Ulj ) ] (WI +bK!211l1)
2'Hn-] ('KllIlI-Lllj) (SKlUll+lOj) (,sKJ2Ull )
Proposition 7. L'action de
2 (n-I).
sur E. par ad est la somme de deux
fois representation irreductible de sp(n-I dont poids dominant est
Preuve : Les sous-espaces
lD -e ) (i)2'kfn I,k n+k,n+1
[.:':."'i' i!n-! i .(i) [(en+l,k+en+k,I)] et
c:(e +e )'J sont de dimension 2(n-I),k,n+1 l,n+k
sont
stables sous l'action de sp(n-] ,[) et contiennent la representation de poids
dominant llJI.
Remarquons que la representation de poids dominant WI est sa propre
duale : en effet les poids de cette representation duale sont les opposes de
ceux de wI c'est-ii-dire {.:':.Uli,
Uisn-lJ, ce sont exactement les poids de
la representation de poids dominant wI'
1.4. Representation de Sp(l X Sp(n-I .e: et etude de
Le travail de J.Y. Lepowsky ([6] pages 67 ii 69) caracterise les poids
dominants des representations irreductibles de sp(n-I (i) sp(l Ce sont les
110
formes lineaires de la sous-algebre des matrices diagonales de
sp(l,t) appartenant a la famille :
((m2, .. ·,mn) correspondant a l'action de sp(n-I On peut alors enoncer le
resultat suivant :
Proposition 8. La representation adjointe Ao
de
dans E irreductible de poids dominant WI+"'2 propre dua l e ,
Preuve : La representation Ao
contient la representation irreductible de
sp(1 ,f) sp(n-I,t) de poids
l'action de donnent
w+W . Les images du vecteur e -e sousI 2 2,1 n+1 ,2+n
[a:(ek, ]-en+ 1 ,k+n) il(en+k, l+en+ 1,k)]' et
sous l'action de sp(l,f) , e2 j+el
2' vecteur de poids wj
sous l'action,n+ ,n+
de sp(n-I,Il). La representation obtenue est done exactement la representation
irreductible de sp(n-l de poids dominant Elle
coincide avec sa duale.
1.5. Decomposition d'une representation de sp(n,f) restreinte a
sp(l,f)
Le resultat suivant est du a J.Y. Lepowsky ([6], page 71 et 72, theoreme 6
et co ro l La i r a)
poids dominant d'une representation
aiWi poids dominant d'une representationn
p = L b.W.i=l
sp(l,f) sp(n-l,f). La multiplicite de representation de
n,,= r:i=l
irreductible de
irreductible de
Theoreme 9. Soit
poids dominant de sp(l l!l sp(n-] ,il) dans la restriction
111
a sp(l,() ffi de la representation de sp(n,() de poids dominant An
vaut 0 sauf si L (a.+b.) appartient! 27/ et s i.-- - i:::;;:l L
2 i" n--J
alors, cette multiplicite vaut
meA , p)
-F (1-(-b -A + t. A.)-l ; A2,
A3,••. ,A
n)
n-I 2 1 I i=2 l
identiques dans k boites distinctes de capacites respectives tl, ..• ,tk
et vaut
(
k- I - IL I+s -= L (_l)JL[LG{1,2, ... k) k-I
oil
si x.( y.
es t le cardinal de L, ()Y
est le coefficient du binome et vaut a
1.6. Etude de A2.p
On a vu au paragraphe 1.4 que la representation r de Sp(n-l,()
dans l'espace vectoriel eJ [(e. I-e l c i ) ffi (e I .+e . 1)12$i..$n i , n- ,l+n n+,l rr- i , J
eJ (((e l .-e. ) l!l (e. I+el .)] est i r r educ t i bLe et de poids2'ifn ,l n+l,n+1 l,n+ ,n+l
dominant De plus sa restriction a se decompose en la somme
directe de deux representations irreductibles de de poids dominant
identique : w2.
Proposition 10. La representation pAp se decompose des represen-
tations irreductibles de Sp(l de poids dominants respectifs
112
Preuve : a) Les poids de la representation r sont tous de multiplicite 1 et
constituent l'ensemble !?= ' Les poids
de la representation rA I' sont done les elements de la famille :
{(fl+Ej)Wj+£iCIJi+ejWj' Z$i<j$n, (£I'£i)E.{+I,-l}Z,
(fj ,fj) &: (+1 ,-I]Z}U{(el+E.j)l.IIl + ciwi+ciw
i,Z$i4'n, (E.l ,c i
) &:{ +1 ,-llZ ,
(Ej,Ei)6(+I,-llZ,
(f.I,fi) " (Ej,Ei)j·
On remarque que les seuls poids dominants de cette famille sont
ZClJj +CIJZ+1Il
3de multiplicite
lUZ+11)3 de multiplicite Z
ZClJ1
de mul t i.p l.i c i te n-l
ZClJZ
de mul tip lid te
0 de multiplicite Z{n-r l )
On voit que ZW1+CIJ
Z+W
3et ZClJ
Zsont les poids dominants de deux representations
i r r educ t i b l.e s contenues dans I' AI' car ZwZ
n'est pas un poids de la repre-
sentation de poids dominant ZW1+CIJZ+W3
alors que ZClJl,CIJZ+W3
et 0 en sont.
b) Etudions la multiplicite m(wZ+CIJ3)
du poids dans la
representation de de poids dominant ZW1+WZ+ClJ3
en
utilisant la formule de Freudenthal «(IJ page IZZ) :
[ ( ZW1+Ul
Z+1II
3+6 , Zw +W +10 +&)-(Ul +111 +, W +10 m(W
Z+W3)IZ3
cI)
Z L .L m(llIZ+1I13+iOl)(vJ
Z+1ll
3+ i d.,OC )
0l)0 FI
En fait le calcul se limite a
n
et on obtient : S = 1111+ L (n+l-i) Wi'i=Z
[Z Z Z Z ,1
d'ou: 9+n +(n-I) -(l+n +(n-I) )J m((l)Z+1ll3) = 16
113
Etudions la multiplieite du poids W +wZ 3
dans la represen-
tation de de poids dominant
[(ZWZ ZWZ+&) - (o.IZ+Ul
3+&,U)Z+Ul
3m' (ul
Z+1Il
3)
Z t .f m(lI)Z+w3+iOl)
(UlZ+W
3+i Ol ,0l )
CX)O FI
Z J' Z 4
d'ou
[ Z Z Z Z](n+l) +(n-l) -en +n) m'(clJZ+w3)
4
et :
On remarque done que la somme des multiplieites du poids dans les
representations irreduetibles de Sp(l,t) XSp(n-l,t) de poids dominants
respeetifs ZII)I +IOZ+U)3 et ZUJZ
est exaetement egale a la muLt i.p Li.c i t e du poids
IOZ+clJ3 dans pAp. La representation de Sp(1 ,1I) J' Sp(n-I ,(I:) de poids
dominant (1)Z+UJ3
n' intervient pas dans la deeomposi tion de II II II.
c) Etudions maintenant la multiplieite du poids ZWI
dans la represen-
t a t i on i.r r cduc t i.b Le de Sp(I ,a:)"'Sp(n-l ,0:) de poids dominant Z"1 +ul3·
Les raeines positives (pour Ie ehoix donne en 1.4) sont les
{Zlllj, ZSj'kln, Ek = I} .
ZclJl +a)z+uJ3+S)-(ZclJl +.5, m(U)I)
lID
m(ZU)1 -z; U) .) (ZlI,'ll +ZiI4., ZCIO.)i=1 J J J
LUjfn
fi=1
= Z
r.ZSj<k'n
E. = + Ik -
+ Z
=uJ+uJ-Z;1IlZ 3 j
or
car
m(ZWI+ZiUl
j)= 0 pour
(Zull+II7
Z+uJ
3)- (ZiU)/Zw
l)
i:> 1 si j,,1Z, pour si j =Z
114
. +• w -w.+w..-CL\-2(1-j)W, Ei 6
2 Jj J J
ear
; UlZ-ilO/lI.3 E. A+ pour i.$ j
pour i' l.
(j k )
et i> 1 et j;2
ear ZID +U! +ID-iuJ +iul -ZII1 ; u12+(JJ.3+ iuJk-i(J).123j k I J
; (uJZ- W ) +3 L (Uls-lIIs
+ j ) + -Z3 2111n-i [(WJ,-WJ'+j)+" . + (uJk_j-Wk)]3
; 2
done [(Z""I +w2+ul3+b,2ull +ul2+113+S) - (Zollj+b , ZWj+I)l m(ZlOj )
r. m(ZUlI+ZIO,) (2Cl.l1+2u>,
,2CO.)Z4:j sn J J J
+ Z
+ 2
L. m(ZWI+ul/UV (2uJj +uJ/llIk, Ul/liVaj<Jqn
r. m(Zwj+uJj-UV (2Wj+Wj-uJk,uJj-uJk)
Z.j4k'n
+ Z m(2U1j +Z (uJj -llV) (ZIII +Z (uJj -uV ' Uj -It)2,j 4k.fn
d'ou (4n-4) m(Zu.lI) ; 8 L m(ZuJ,+2Wj)+4
L2<j-1n k'n
+4 L m(ZuJ]+W,-llV + 8 L. m(2Ul1+Z(Wj
-U\.))Z,j<kEn J Z.:j,k'n
En utilisant Ie fait que des poids eonjugues sous l'aetion du groupe de Weyl
ont meme multiplieite, la multiplieite eherehee vaut :
4(n-l)m(2Wj) ; 8(n-Z)m(ZuJ j+2U1Z)+4(n-l)(n-Z)m(Zw
I+w2+w3)
+ 4(n-Z) (n-3)m(Zul]+ZW3-2W4).
II nous faut done ealeuler :
m(ZwI+ZuJZ) et m(Z1l11+2W3-ZW4)
ZUl] +ZIIIZ
ZIIJI+Ul
Z+1.11
3+ (uJ
2-Ul
3)
115
= 2m(2lDI +lI.l3) (21.01+2ul2+lI.l2-113 'U02
2 10 aet m(2u.11+2uJ2) = -4 = a .
Recherchons +203 -2«.'4> ; comme les poids +2U13-2Ul4 et -2U3
sont conjugues et comme la multiplicite du poids est nulle, on
en deduit :
+2ul3-2l1.l4) a
don c I = n-2!
n'est pas un poids de la representation i r r educ t i b l e de Sp(l ,1t»)(Sp(n-1 ,II:)
de poids dominant On en deduit donc que la somme des multiplicites
du poids 2Ul1 dans les representations de poids dominants et
2ul2 est n-2, elle est n-l dans 11 Ap. La representation i r r educ t i.bl e de
poids dominant intervient donc avec la multip lici te 1 dans pAP:
d) Etudions la multiplicite du poids a dans la representation pAp. Un
simple calcul de dimension donne
4(n-l) [4(n-I)-I) = dim p +dimo - d i.rn P +k di.mc2 I 12 13 r-4
ou designe les dimensions des representations irreductibles de
Sp(l,Ol(Sp(n-l,(:) de poids dominants valant,pour i=I, 2U1 j+uJ2+Uj,pour
i=2 , 2uJ2, pour i=2 , 2"'1' pour i=4 , a et ou k des i.gne la mul t i.p I i c i t e
de la representation irreductible de poids dominant a dans la decomposition
Les calculs de dimension donnent :
dimfj 3(n-2) (2n-l) 6n2-15n+6
dimP2 2n2-3n+1
dimP3 3
dimP4
d'ou k + 8n2
- 18n + 10 = 8n2
- I8n + 10
k o.
116
La multiplicite de la representation de poids dominant 0 dans
est o.
2. Spectre du de Rham-Hodge l'espace projectif quaternionique.
Le theoreme 0 nous conduit a rechercher les representations irreductibles
de Sp(n,() qui, restreintes a contiennent la
tion etudiee a la proposition 8. Le theoreme 9 nous permet de trouver ces
representations.
2.1.1. Proposition 1 1. Les representations irreductibles de qui
lorsqu'on restreint a contiennent la representation
de Sp(l ,() llo Sp(n-I ,1:) de poids dominant IOI+UJZ
la contiennent avec
multiplicite ) et ant pour poids dominants respectifs.
a(UJj+UJZ)
(a+Z)101+alll
Z
(a+ I )11.I) +alOZ+11I
3
De plus leurs dimensions respectives sont
2a+2n-)(2n-)(2n-2)
3(2a+2n+l)(2n-1) (Zn-2)
a(a+2) (a+n) (a+2n) (a+2n-2)
(2n-I)(n-2)(2n-3)2(n-l)
Preuve: En appliquant le theoreme 9 avec b)=b2=)
,b3=.•• =b
n=Oune
representation de de poids dominant a)UJ1+... +anIOn conviendra si et
seulement si :
117
a \ -max (az ' \ ) a
min(az' \)-max(a3,O) .. a
Deux cas se presentent
alors on doit avoir
d'ou
on doit alors avoir
d'ou les representations de poids dominants
(I)
(Z) a\u1\+aZU)Z+W3
a\-l d'ou a3
d'ou les representations de poids dominants
a
n11 reste la condition L. (a.+b.)&Z7
i;\ L L
d'ou pour (I)
Calculons dans chacun de ces cas la multiplicite de la representation de poids
dominant W\+wZ de sp(\ ffi dans la restriction de ces
representations irreductibles de a $
IFn-l (2(l-Zp+ I)
118
1,0 ... O)-F I ; 1,0 ... )n- L
Fn- l (l-pI, 0 ...O)-F
n_l{r-p-r l
si p=O
1,0 ... 0) -I si p=O
autrement
d'ou les poids
\
a(UlI +WZ)
(a+Z)WI+aUJZ
m( (a Z+Zp+I )Ull +aZIOZ+ul3 ,WI +!Al.z)
I I= Fn_ l (2(l-Zp-l) ; 0,0 ... 0) - Fn_ 1(2(-I-Zp-l+0)-1 ; 0, ... 0)
Fn_I(-p; 0, •.. 0) - Fn_I(-p-Z ; 0, ... 0)si
si
p=O
plo
d'ou le poids (a+I)IOI+aWZ+W3
m(aUJI = 0 quel que soit a.
La dimension d'une representation de de poids dominant
k1+n-(kZ+n-l))( IT
k1+n-(n+l-j) k1+n+kZ+n-1TT
kl+Zn+l-j
n-(n-l)3Sj,n
n-(n+l-j) Zn-l3fjSn
Zn+I-j
kl+nIT
kZ+n-I-(n+l-j)IT
kZ+n-l+n+l-j kZ+n-l
n3fjsn
n-I-(n+l-j)3fj'Sn
n-l+n+l-j
(kl-kZ+l) (kl+kZ+Zn-l)
Zn-I
(kl+n-I) (k l +Z) (k l+n+I) (k l +Zn-Z)
(n-I) Z (n+I) (Zn-Z)
(kZ+n-Z) (kZ+I)(kZ+n) (kZ+Zn-3)(n-Z) I (n) (Zn-3)
(kl-kZ+I) (kl+kZ+Zn-l) (k1+Zn-Z) ... (kl+Z) (kZ+I) ... (kZ+Zn-3)Zn-l X (Zn-Z)! X (Zn-3)!
(k\-kZ+I) (k\+kZ+Zn-l)
(2n-l) (Zn-Z)
kl+Zn-Z( Zn-3)
kZ+2n-3
( Zn-3)
La dimension de la representation de Sp(n,[) de poids dominant
Za+Zn-l
(Zn-l) (Zn-Z)
119
(a+zn-Z) (a+Zn-3)l. Zn-3 Zn-3
3(Za+Zn+l)(2n-l) (Zn-Z)
(a+Zn)l.Zn-3 (
a+zn- 3)Zn-3
La dimension d'une representation irreductible de de poids dominant
(k1+n+n+l-j) (k1+n)-(n+l-j)]1:I (n+n+l-j) (n-(n+l-j»
(k1+n+kZ+n-l) (k1+n-kZ-n+l)
(Zn-l)
(k 1+n+k3+n-Z)(k 1+n-k3-n+Z)
It -"------;-("""Zn----;;Z')";;'"z-----"----='--Z(kl+n) Z(kZ+n-l) Z(k 3+n-Z)
Zn X 2(n-l) x 2(n-2)
(kZ+n-l+n+l-j)
(2n-j) (j -Z)
(kj+2n+l-j)(kl+j-l)(kZ+Zn-j)(kZ+j-2)(k3+2n-j-l)(k3+j-3)
(2n+l-j) (j-l) (2n-j) (j-Z) (Zn-j-l) (j-3)
X (kj+k2+2n-l) (k 1-k2+1) (k 1+k3+2n-2) (k j-k3+2) (k1+n) (k 2+n- 1) (k 3+n-Z)
2(2n-l) (2n-Z)n(n-l) (n-Z) (Zn-3)
(k 1+2n-3) (kl+3)
(k2+2n-4) (kZ+Z) (k 3+2n-S) (k 3+1)(2n-3) 3lCZ It (Zn-4) 2 It (2n-S) 1
X (k l+k Z+2n-l) (k1-kZ+l) (k j+k3+Zn-Z)(k l-k3+Z) (k2+k3+2n-3) (kZ-k 3+1)
(Zn-l) (Zn-Z) (2n-3)
k 1+2n-3 1
(Zn-S ) (Zn-3) (2n-4)
120
(k 1-k2+1) (kl-k3+2)(k2-k3+1)(kl+k2+2n-l) (k l+k3+2n-2) (k2+k3+2n-3)
(2n-l) (2n-2) (2n-3) 2 (2n-4) 2
X(k l+2n-3) (k2+2n-4)2n-5 2n-5
2.1.2. Theoreme I 2. Le spectre du de Rham-Hodge formes de degre
de l'espace projectif quaternionique est forme de :
a(a+2n-l)4(n+l) de mul tip Eci te 2a+2n-l fi+2n-2) (a+2n-3)
(2n-l) (2n-2) \ 2n-3 2n-3
2a +a(2n+l)+2n+2
4 (n+ I)de multipEcite
3(2a+2n+l)(2n-l) (2n 2) (
a+2n) ra+2n-3)2n-3 \ 2n-3
2a2+4an+4n-3
8 (n+ 1) de mul tip Eci te
a(a+2) (a+n) (a+2n) (a+2n-2)
(2n-l) (n-2) (2n-3) 2 (n-l)
Preuve Pour:
(a+2n- 2) (a+2n-4)2n-5 2n-5
ou a est un entier non nul----------
(a+2)ull
(a+ I )WI+aul
2+ul
3
calculons
n(aUlI+aW2+2 L (n+l-i)W
i/aw
l+aUl2)i=1
a(a+2n-l)((a+2n)a+(a+2n-2)a) = 4(n+l)
((a+2)WI+a(A)2+2 t (n+ l-i)uJi I (a+2)ul 1i=1
1= 8(n+l) ((a+2+2n) (a+2)+(a+2n-2)a)
121
I (ZaZ+a(4n+Z)+4n+4) I (}+a(Zn+l)+Zn+Z)= 8(n+l) = 4(n+l)
( (a+ I )U11+atJ.2+W:3+Z t (n+ I-i)Ui I (a+ 1)UJtaulz -+W3 )i=1
I= 8(n+l) ((a+I)(a+I+Zn)+a(a+Zn-Z)+Zn-4)
I Z= 8(n+l) (Za +4an+4n-3)
Z.Z. Formes de degre Z.
Z.Z.I. Proposition 1.3. Les representations irreductibles de Sp(n,lE) qui.,
restreintes a Sp(n-l,iE), contiennent la representation irreductible
de poids dominant pour poids dominants respectifs :
(a+Z)"'1 a ifl*
(a+ I )WI+aLIlZ+"'3 a
(a+Z)1U1 +uJ3+W
4a' IN*
Leurs dimensions sont respectivement :
3(Za+Zn+l)(Zn-l) (Zn-Z) (
a+zn) (a+Zn-3)Zn-3 Zn-3
a(a+Z) (a+n) (a+Zn) (a+Zn-Z)Z
(Zn-I) (n-Z) (Zn-3) (n-])(a+zn - z)Zn-S C
a+zn- 4)2n-S
3a(a+l) (a+3) (a+4) (a+Zn-3) (a+Zn-Z) (a+2n) (a+Zn+l) (Za+Zn+l) (a+zn-z) (a+Zn-s)Z Z Zn-7 Zn-7
Z(Zn-l) (Zn-Z) (Zn-3) (Zn-4) (Zn-S) (Zn-6)
Preuve: Dne representation irreductible de Sp(n,lE) de poids dominant
alU1l+azl.llz+a3w3+" .+anU1n contient lorsqu'on la restreint a Sp(l ,l:) It Sp(n-I ,IE)
la representation de poids dominant si:
Al a l - 0
AZ min(aZ,I) - 0
A3 min(a3, I) - 0
122
n
et La.+4 .2'Z.
o i",4 donc a3"1
est
impossible d'ou; a34 1 et
si a3
0 on a a4
0
o ou
la condition t: a. Eo 2'1:r,
donne les puids de la forme
pE.1N
p GIN
r6.1N
o-max(l 0 est impossible.
11 nous reste a trouver la multiplicite de la representation irreductible de
poids 2a1I+W2+W3
dans la restriction de ces representations a Sp(l ,[) X Sp(n-] ,11:).
c) a61N* p6.lN.
F ( 1 (2 2) 0 0) F (.l(-2-2p)-1n-l"2 - p ; , . . . - n- I 2
Fn- 1
(l-p ; 0, ... 0) - Fn_ 1
(-2-p ; 0, ... 0)
0,0 ... 0)
Or Fk(s
Fk(s
Fk(O
d'ou
0,0 ... 0) 0 si sf0 et si
kt l,t2,···tk)
0 si 0 Fk(s .tl,t2,
.. ·tk)
0 si s <L. t.r,
ktl, t 2,···tk)
0 si L.t. f 0i"l i,
0, .•• 0) - Fn-1(-2-p 0, ... 0)
o
si
si pfl
Seuls les poids de la forme (a+2)WI+aUl
2
du poids est alors I.
aelN* interviennent et la mul t i.p l.i.c i t e
123
proposition 10 et vaut
elle a ete calculee dans la preuve de la
3 (2a+2n+ I)(2n-l) (2n-2) (
a +2n) (a+2n-3)2n-3 2n-3
pE.1N
1 1Fn- 1
(2(2-2p-l+l) ; 1, 0, ... 0) - Fn- 1
(2(-2p-1-2+1)-1
Fn_l(I-p 1, O... 0) Fn_ l(-p-2
; 1, O.•. 0)
Fn-l (I-p 1, 0 .•. 0) si p=O
<,0 p#O
1, O... 0)
Seuls les poids de la forme (a+l)ull+aw2+CL!:l' aE.lN;t' sont tels que la mul t i.p Li c i t e
de est non nulle et vaut 1.
La dimension de ces representations a deja ete calculee (proposition 10)
et vaut :
a(a+2) (2a+2n) (a+2n) (a+2n-2)2
(2n-l) (2n-2) (2n-3) (n-2) (n+l) (n+2)(a +2n - 2)2n-S ,
('l+2n-4)l.. 2n-S
0, ... 0)
Fn-l (I-p 0, •.. 0) - Fn-l(-2-p 0, ... 0)
0 si p#l
<,si p=l
Seuls les poids de la forme (a+ 2 )Ull
+ 1113+ul
4a 6.lN
x , pE:.1N conviennent et la
multiplicite de 2ull+Ul2+W3
est alors 1. La dimension d'une telle representation
est :
y.
( (a+2)Wl
+U13+W
4+61W
i) ( (a+2 )Ul
l+atll
2+Ul
3+1ll
4+S jill i +tIl
j)
(S (1,1. til.) (S[ui, +Ul. )J i. J
( (a+2 lull +a1ll2+tIl
3+w
4+ I'2ul
i)
(S( 2wi)
124
[n+a+2-(n+a-I)] [n+a+2-(n-l)] 1\ [(n+a+2)-(n+l-j)]5 $j
IT (n-(n-j+I»2fjfn
(n+ a+2+n+a-lJ [n+a+2+n-l] [n+a+2+n-2] IT((n+a+2+n+l-j)]X. 2(n+a+2)
Tt (n+n-j+!) 2nUj
(n+a-I)-(n-2)] TT [(n+a-I)-(n+l-j)]X 2(n+a-l)
2 (n-I)
x(n+a-l+n-I)(n+a-l+n-2) lIT (n+a-I+n+l-j)
rr (n 1't-n-- j"l )36J
X 2(n-l)2(n-2)
(n-l)-(n-23 TT[(n-I)-(n-l-j)] L(n-I)+(n-2UTf (n--! +n-I-j)ii5 jl!'5
TT (n 2 (n-j+l» (n-2+(n-j+l))
IT (n-2)-(n-j+l)] (n-2)+n-j-l]l( j'tS [(n-3)-(n-j+I)] [(n-3)+n-j-l]
2(n-2)2(n-3)
3a(a+I)(a+3)(a+4)(a+2n-3)(a+2n-2)(a+2n+I)(2a+2n+l)
2(n-I)(2n-l)(2n-Z)(2n-3)(2n-4)2(2n-S)2(2n-6)
Proposition 1.4. Les representations irreductibles de Sp(n,[) restreintes
! Sp(l ,11:) l' Sp(n-! ,11:) , contiennent representation irreductible de poids
dominant 2lU1
ant pour paids dominants
(a+ 2)lU2+aw2
a £IN
La multiplicite de la representation de poids dominant 2wI
dans leur
restriction a Sp(n-I,Il) est et leur dimension vaut---
Preuve Puisque
3(2a+2n-l){Zn-r l ) (2n-2) (
a+2n) (a+2n-3)2n-3 2n-3
b. = 0 on doit avoir
Ai = min(ai,bi)-max(ai+l,bi+l)
donc des poids de la forme
125
a. ° i q3
et p .lN.
Recherchons la mUltiplicite de la rerpesentation irreductible de poids dominant
21.111 dans les restrictions a Sp(J ,II:) Sp(n-l ,«:).
= rOI
Fn_I(I-p 0, ...0) l
1Fn_ 1
(2(-Z-Zp)-1
si pil
si p=1
0, ...0)
donc les poids oonvenables sont de la forme
aE.lN.
La mUltiplicite trouvee est 1. La dimension a deja ete calculee.
Proposition IS. Les repesentations irreductibles de Sp(n,a:) restreintes
a Sp(n-I,a:) contiennent la representation irreductible de poids
dominant Z(J)Z ont pour poids dominants :
ablN-£o,lj.
La mUltiplicite de la representation de poids dominant
restrictions est et leurs dimensions respectives sont
n(Zn+l)
(n+l) (Zn+I)(Zn-I)(n-2)2
Zlllz dans leurs
a(a-I) (Za+Zn-l) (a+2n) (a+Zn-l)2(Zn-l) (Zn-Z) (Zn-3) (Zn-4) C
a+Zn- 3\ ,a+Zn-4,Zn-si \. Zn-s/
Preuve: On doit avoir pour une representation de Sp(n,a:) de poids dominant
Al °AZ °
126
o pour 4.
Deux cas se presentent a2
2 et a2l-2
a) aZ
<: Z Al
AZ
aZ-a
3,:- 0 et alors a
Z7, a
3"7,- 0
d l ou a2
I et a3
au a3
= 0
aZ
0 et a3
0n
Cas IX) si aZ= 0 on a a
3= 0 donc a l /r
2 et L (a.+b.)62:li=l
donc a I= Zp p&lN1:' ; et Ie poids est de Ia forme Zpll\ .
Calculons la muitiplicite de Z«2 dans Ia restriction.
I IFn- I (Z(-(Zp-Z) ; 0, ... 0) - Fn-I (Z(-(Zp-2»-1 0, ... 0)
or
Fn_l(-p+l ; 0, ... 0) - Fn_l(-p; 0, ... 0)
pf.IN1:', donc cette rnul t i pLi c i t e est nu l l e sauf pour p=l au elle vaut i .
La representation trouvee est de po ids dominant
Cas d'ou a3
= 0 au
o , on doit avoir : al+l - 271 d 'au at
Le poids est de la forme:
La multiplicite cherchee est :
2p+l et al,:-
2 donc
I IFn- I (Z(-(2p+I-Z)+I) ; I, 0, ... 0) - F
n_ 1(Z(-(Zp+l-Z)+l)-I I, O... 0)
Si
I, 0, .•• 0) - Fn-l (r-p-' I
a3
= I ; on doit avoir
1,0...0)=0
2p avec P "IN:!:.
Le poids est de la forme :
La multiplicite cherchee est :
IFn-rl (Z( - (Zp-2»
I0, 0 ... 0) - F
n_ I(Z(-(Zp-2)-1 0, ... 0)
= Fn- 1(-p+I ; 0, ... 0) - Fn- l (-p-I ; 0, ... 0)
est non nulle pour p et vaut diors I.
127
La representation trouvee est de poids dominant I 2W1+W2+W3]
On a done a etudier les cas possibles pour a3
: 0,1,2.
Cas
A. = 0l
p61N ,
La mUltiplicite cherchee vaut
1 1Fn_ 1(2(-2p+2) ; 2, 0 .. .0) - F
n-1(Z(-2p+2)-I ; 2, 0 ...0)
Fn-I (-P+ 1 2, 0 ... 0) - Fn- 1(-p ; 2, 0 .•. 0) = 0 car -p+l4' I .. 2.
Cas ; on a alors a1
La multiplicite cherchee vaut
1Fn_ 1(2(-2p-l+I)
11,0... 0) - F
n_1(2 (- 2p- l+ l ) - 1 I, O... 0)
= a
I, 0 ••. 0) - Fn_1(-p-l I, 0 ... 0)
La multiplicite cherchee vaut ,car AI=2p
, A2=0, Ai=O
Cas ; on a alors a =1 p'-IN
1Fn_ 1(2(-2p)
et est nulle sauf pour p=O
; 0, ... 0) - Fn_1(-p-l ; 0, ...0)
auquel cas elle vau t I.
On a done c ornme poids : Iawl+aUl2+2Ul3]
avec aE.IN-£O, I}
Les dimensions des representations trouvees ant ete deja toutes caleulees
preeedemmen t ,
2.2.2. Theoreme 16. Les representations irreductibles de restreintes
a Sp(n-I,t) contiennent l'une des composantes irreductibles de
ant pour poids respectifs :
(a+2)UJl+aW
2
(a+ I )W1+aUl2+W
3
aGIN-fO, I}
a 6. IN-r0 j
128
a6.IN-£Oj
et chacune d'entre elles ne contient dans sa restriction l'une des
composantes irreductibles de J\Zp excepte representations de poids dominants
qui contiennent Z pour a entier naturel.
Preuve: C'est le condense des trois propositions de Z.Z.I.
2.Z.3. Theoreme 17.
Le spectre du de Rham-Hcdge leG formes de degre Z de l'espace
projectif quaternionique est forme de
(i) (aZ+a(Zn+l)+Z(Zn+l») avec a GIN ,
6(Za+Zn+l) (a+Zn) (a+Zn-3)de multiplicite (Zn-I)(Zn-Z) Zn-3 Zn-3
(ii) [aZ+a(Zn-I)+Zn-Z] avec I}
a(a-I) (Za+Zn-l) (a+Zn) (a+Zn-l) Ca+Zn-de multiplicite2(2n-l) (Zn-Z) (Zn-3) (2n-4) Zn-S (a+Zn- 4)Zn-S
(iii) 1 (aZ+Zna+Zn-l]4 (n+ I) avec aE.lN-lOI
de mUltiplicite a(a+Z) (a+n) (a+Zn) (a+Zn-Z)
(n-I) (n-Z) (Zn-I) (Zn-3)Z(a+Zn- Z) (a+Zn-4)Zn-S Zn-S
(iv) (aZ+Zna+4n-Z]
avec a EiIN-(OJ de multiplicite
(a+Zn-z) (a+zn-s)
Z(Zn-l) (Zn-Z) (Zn-3) (2n-4)ZCZn-S)Z(Zn-6) Zn-7 Zn-7
Preuve: Ce sont les memes calculs que pour la demonstration du theoreme 12
mais appliquees aux resultats du theoreme 16.
129
Bibliographie :
[I] J.E. Humphreys. Introduction to Lie Algebras and representation theory.
Springer Verlag, 1972.
(2] A. Ikeda et Y. Taniguchi. Spectra and eigenforms of the Laplacian on Sn
and pn([).
Osaka Journal of Math 15 (1978)
pages 515-546.
[3J N. Jacobson. Lie algebras. Interscience, New-York, 1962.
(4] A. Levy-Bruhl-Laperriere. Spectre du de Rham Hodge sur l'espace projectif
complexe. Seminaire d'algebre Paul Dubreil. Lecture
Notes 641, pagesI63-188.
(5J A. Levy-Bruhl-Laperriere. Spectre du de Rham Hodge sur les formes de degre
superieur a 1 sur l'espace projectif complexe.
Bulletin des Sciences Mathematiques, 104, 1980,pages 135-143.
[6] J.Y. Lepowsky. Representations of semi-simple Lie groups and an enveloping
algebra decomposition. P.H.D. 1970, resume dans:Bulletin of
the American Malh. Society, 1971, volume 77, pages 601-605.
[7] Y. Matsushima et S. Murakami. On vector bundle valued harmonic forms and
automorphic forms on symmetric riemannian
manifolds. Annals of Maths, volume 79,no2,
1963, pages 365-416.
GROUPE DE LIE p-ADI0UE, IMMEUBLE ET COHOMOLOGIE
G. BESSON
Les relations qui existent entre la cohomologie d'un groupe de Lie reel
et celIe de son algebre de Lie sont connues depuis longtemps. Pour un groupe de
Lie reel G d'algebre de Lie un sous-groupe compact maximal K de r,
d'algebre et un sous-groupe r discret de r" Borel [ I] a notamment defini
et etudie un homomorphisme jf : R) H*(f : R) (G agissant trivia le-
ment sur R).
Recemment, J.L. Dupont [4] a donne une interpretation explicite de cet
homomorphisme : il associe a un cocycle relatif de modulo une forme
harmonique G-invariante sur Ie quotient G/K et de la un cocycle sur r.Lorsque l'on a cherche a obtenir dans Ie cas p-adique (ou plus generale-
ment dans Ie cas d'un corps muni d'une valuation discrete et complet) des
resultats analogues a ceux du cas reel, il s'est avere que l'objet susceptible
de remplacer l'espace symetrique G/K etait l'immeuble de Bruhat-Tits T du
groupe G. L'immeuble T est un complexe polysimplicial dont chaque cellule est
un produit (fini) de simplexes, dont l'existence a ete demontree pour un groupe
reductif G sur un corps muni d'une valuation discrete a caracteristique
residuelle differente de 2 ou a corps residuel parfait [ 5] .
Le but de cet article est de preciser dans ce cas une construction
(semblable a celIe de Dupont) qui associe a tout cocycle simplicial G-invariant
sur T un cocycle sur r. A un complexe hypersimplicial, c'est-a-dire a un
ensemble semi-simplicial dont chaque simplexe est un complexe polysimplicial
(voir definition plus precise ci-dessous), on associera d'abord deux complexes
doubles dont on demontra l'isomorphisme. Ce resultat sera ensuite utilise dans
la construction proprement dite.
131
1 - LES DEUX COMPLEXES.
Definition - On appelle complexe hypersimplicial X la donnee d'une suite Xpde complexes polysimpliciaux et pour tout p la donnee de p+! morphismes de
complexes polysimpliciaux Ei:
Xp
7 Xp_ l
!, .. . ,p). Si designe Ie
simplexe standard de dimension p, l'operateur Ei
correspond a l'inclusion
Ei : 7 de la i-erne face.
Definition - On appelle n-cochaine sur X une suite de n-cochaines
sur Ie produit x X verifiant pour tout p et tout . . . ,p lesp
conditions :
(1)
C'est en fait ce que l'on peut appeler par analogie avec [4] une n-cochaine
de la realisation II xII de X en un complexe polysimplicial definie comme
quotient de ..u x X par les identifications : x E, rv T x Ei(E,) pour
p pp-!
tout p, tout simplexe T de , toute ce llule E, de X et toutp
1, ... ,p.
ou
X. On peut decomposer
(k+£)-cochaines nulles
oi.
et
l'ensemble des n-cochaines sur
ou Ck£(X) est l'ensemble des
£-cochaines surest l'ensemble des
On notera Cn(X)
Cn(X) en $ Ck£(X)
pour tout p en dehors des cellules obtenues comme produit d'un k-simplexe de
et d'une £-cellule de Xp'
Soient et dX
les operateurs cobords
respectivement sur et Xp ; Ie cobord sur x Xp
est
d x id± id et est donc Ie complexe total associe au
complexe double (C (X) x id, i d x dX)'
Considerons par ail leurs Ie complexe double (ek£(X) ;
(_l)ii.
Theoreme - Les deux complexes doubles (Ck£(X)k£
(X) ; o,dX)
sont isomorphes.
Demonstration. De f i n i s s ons ;): Ck£(x) 7 t;k£(x) par
pour toute cellule E, de dimension £ de xk'
On verifie que J x id) ooJ .
En effet, si E, est une £-cellule de Xk+!
et si E Ck£(X),
i j (E. E,)i. i,
xi,
(k+!) x E,)
i, i.x E,)
132
L'egalite resulte alors de la condition (I).
Par ailleurs,:r commute clairement a. dX'
c I es t-is-d i r e
J 0 (i d x dX) = dX 0 :J .Avant de definir l'application inverse de J, introduisons quelques
notations. Toute suite I = (iO,i) , ... ,ik), 0 < i o < i) <une inclusion naturelle que l'on note ))1 : 6
k-+ 6P : si
Isuite complementaire de
... < ik< p, definit
(j) ,j2'''' ,jQ) est la
{ } I j) j 2 j Q, de f idans O,l, ..• ,p E E .•• E . On e 1n1t
de meme u = E. E.... E. . On note YI
la k-cochaine sur tl qui vautI Jl J 2 JQ,
sur Ie simplexe vI( 6k)
et s'annule sur les autres k-simplexes. Enfin pour
1= (io, ... ,ik) on pose III = k.
Definissons alors l'homomorphisme -+ CkQ,(X) par
-t(w) (p)
G(w) (p)
o si p < k
I YIIII=k
Ie{ 0, ... , p}
*x VIew) Sl p ;" k.
Soient T un k-simplexe de 6P- 1 et une Q,-cellule de xp
IIII=k
IC {o, ... ,p}
IIII=k
IC {o, ... , p}I:)\i
x1
ce qui permet de verifier la condition (I) pour (par exemple en choisissant
la numerotation des sommets de telle sorte que i=p).
De plus, t(w)(k) = I YI x = Y{o, ... ,k}III=k
IC{O, •.. ,k}
x W . Done
= w .
Inversement, pour un k-simplexe T de et une Q,-cellule de
(to:!(<P)) (p ) (T x I YI(T);J(<P)III=k
IC{O, •.. ,p}
(<P)(VI
= <p(k)(6k x WT IT
ou IT designe l'ensemble d'indices correspondant aux sommets de T . D'ou, en
133
utilisant la condition (I)
<p(P)(T x
II - L'HONOMORPH1SME jr
Considerons maintenant un corps F muni d'une valuation discrete a
corps residuel parfait ou de caracteristique differente de 2. Soient G un
groupe reductif sur F, T son immeuble de Bruhat-Tits et r un sous-groupe
discret de G. Notons Nr (resp. Nr) l'ensemble semi-simplicial dont Ie
p-is i.rnp Lexe est Nl'{p) = { (YI,... ,Y
p)E rP} (resp. Nr(p) = { (Yo,Y I, ... ,Yp)
E r P+I})
et dont les morphismes "faces" sont definis par
E·(YI,oo.,Y) = (YI,oo.,Y. I'Y'Y' I'Y' 2'oo.,Y)p t. p(resp. E. (y , ... ,Y ) = (y , ... ,7., ... ,yp» et notons TI: NT + Nr la projection
0 p 0 i.. . - - - - --1 - --I - -'-1de f i n i.e par TI(Y , ... ,y) - (y Y
I'Y
jY2, ... ,y 1Y ). C'est un fibre principal
o p 0 p- pde groupe r qui a ete Hudie notamment par Segal [6] . A ce fibre principal,
on associe Ie fibre (de fibre 1), ii : Nr x rT + Nr oil Nf x rT est lecomplexe
hypersimplicial defini par (Nf xr T)p = NT(p) xr
T.
Si <p est un q-cocycle r-invariant sur T a valeurs reelles, on en
deduit un q-cocycle ::PE Cq(Nr "r T), la restriction i?(p) de i? ax NT(p) xr T etant simplement obtenue par image reciproque de <p dans
5P x Nr(p) x T et passage au quotient en utilisant l'invariance de <p.
Dans la suite, toutes les cohomologies seront a valeurs reelles et on
omettra de Ie preciser. Notons ztop l'espace topologique sous-jacent au
complexe polysimplicial Z.
Lemme j - On ales isomorphismes :
(i) H(C*(Nf) '" H*(IINrll t oP)
(ii) H(C*(tIT "r T)) '" H*(IINT "r TtoPII).
Le premier point est clair car H(C*(Nf) = H*(IINrII) (c f , [7]). Pour (ii),
il faut tout d'abord justifier l'ecriture du second membre. L'action de r sur
T se prolonge naturellement a Tt oP (chaque cellule de T etant un produit
de simplexes, elle est naturellement parametree par les coordonnees barycentriques
de ses facteurs ce qui permet de definir Ie prolongement par linearite) ; cela
donne un sens a tIT xr
Tt oP. Par ailleurs, si y = {y ,E.} est un ensemblep
semi-simplicial dont les simplexes Y sont des espaces topologiques, on peut dep
maniere analogue au cas des complexes hypersimpliciaux definir sa realisation,
no t ee encore lIyll, comme quotient de J.L. x Y par les relations
Ei(T) x T x Ei
pour tout p, tout point T tout point
134
de Y et tout i=O, ... ,p. II est alors facile de voir quep
II Nr "r TtOPIl = II Nr "r Til top et Ie lemme en r es uI te puisque
HCC*CNT "r T)) = H*CIINT "r Til).
Lemme 2 - On ales isomorphismes
Ci) ::J: HCC*CNT "r T» ';' "r T»
(Li.) :J : HCC"'CNf) HC/;"'CNf).
Cela resulte de la premiere partie en prenant comme complexe hypersimpli-
cial X respectivement NT xr T et Nr.
Lemme 3 - On ales isomorphismes :
Le premier decoule a nouveau de resultats generaux Ccf. [7]) et Ie second
du fait que la fibre Tt oP du fibre NT x Tt oP + Nr est contractile.rD'oll Ie diagramme commutatif
+ H*(IINr "r TtoPIl ) 'C H*(IINrll--;p
(;*(T) r + HCC*cNT xr T» HCC*CNf) )
:J+2 :J +2
H(I;*(Nr Xr T») + HCG"'CNf) H*cf)
xr
Tt oP»
et l'isomorphisme p'" peut etre induit par une section p du fibre
liNT xr
TtoPIl + IINrll t oP. Se donner la section p revient ii se donner pour tout
p une section pCp) de la projection (6P)toP x NTCp) xr
Tt oP + C6P)toP x Nrcp)
telle que Ie diagramme suivant commute pour tout i=O, ... ,p:
It p(p)o(cix'd) t(6P- ) op x Nr(p) c. C6P) top x NrCp) "r T op
Ctop-I)top
lidXE i lidXE i
i x i d) 0 (p-l) t topx Nr(p-I) __(E __ (6P) op x NT(p-l) xr
T
de construire une
suiterep) :
II est alors equivalent, en identifiant Nr NT/rCp) d I 1" . I' . 1 r -' ,r app slmp es
C6P)toP x Nr(p) + Tt oP telles que
rCp) 0 CE i x id) = r(p-I) 0 (Ld x Ei)
135
sonet
induit
dans
T», leur image
et
Si est un cocycle simplicial f-equivariant de Tt oP
image reciproque sur liN[ xfTtoPII, il est immediat que
par passage au quotient par f. Si en particulier la classe de* - top * -H xf T II) correspond I celle de dans H(C (Nf x
fcommune dans H*(f) est representee par une q-cochaine notee
definie pour tout cr = (Y1, ... ,Yq)
E Nf(q) par
= x 0) = x 0»
ou 0 est un relevement de 0 dans Nf(q), c'est-a-dire 0
et Yi = Yi_IY"iI , i=I, ... ,q.
Choisissons arbitrairement un sommet ° de T et une contraction
g : [0, II x Tt oP -+ Tt oP de Tt oP sur ° le long des geodesiques
(g([ 0, 11 x {x}) est la geodesique de x I 0). si t est un point de (6q) top
de coordonnees barycentriques (t ,tI, ... ,t ), posons s. = t.+t. 1+' .. +t . Ono q 1 1 1+ q
definit alors pour 0 = (y , ... ,y ) E NT(q) et 0 = (Yj, ••• ,y ) E Nf(q)
o q q
r(q)(t,0)=y-I g (yg (yg ... g (y) ... »o sl 1 s2/s
12 s3/S Sq/s q
2 q-let r(6q x 0) est le simplexe de TtoP dont les sommets sont
0'YIO'YjY20""'YIY2' .. yqO.
11 ne reste plus qu'a construire . Pour cela, en adaptant une idee
de Whitney [91 on va associer a toute n-cochaine sur Tune n-forme
differentielle wP = n qui sera de classeco
C sur le complementaire du
squelette de codimension de T. Soit 8 = 81x ... x 8
kune n-cellule produit
des simplexes 8 I, ..• ,8kde dimension respective n
l, ... ,n
k.On definit d'abord
la n-forme n8 dont le support est et(8), c'est-a-dire la reunion des espaces
topologiques fermes sous-jacents aux cellules de dimension maximale dont 8
est une face. Si 8 = 8 Ix ... x 8
kx... x89, est l'une d'elles, oil les 8 i sont
numerotes de telle sorte que 8i
so it une face de 8i
pour i=l, ... ,k, la
cellule 8 s'identifie en fait a 8 1 x ... x x ... x 89, oit , pour
i=k+l, ... ,9"les 8. sont des O-simplexes. On pose alors1 9,
n8 / top = 'fJ(8). (\ Xi8 1=1
ou Xi est la forme differentielle definie comme suit : en designant par
les coordonnees barycentriques des simplexes 8., on definit sur1
x·1 n , !1
n.1
L:\=0
Enfin on pose n = Ln 8, la somme etant etendue a toutes les n-cellules 8 de
T. C'est en tout point de Tt oP une somme finie.
136
00
Remarquons maintenant que les coordonnees Wi A
sont des fonctions C
sur l'adherence de toute cellule de dimension maximale, ce qui donne un sens
a la differentielle exterieure dT)e de T)e Rappelons par ailleurs que
peut definir sur l'operateur cobord de la maniere suivante. Notons 8
la cochaine qui vaut 1 sur la cellule 8 et 0 ailleurs. Pour tout
i=I, ... ,Jl, soient 8. = [p , ... ,P ]1 a n.
1
quelconque du simplexe 8. contenant1
8. : alors1
une face
'"d8Jl
Li=l
E:.
(-1) 1 L (8jX ... xG. jx8. x0. IX .. . X8n ) '"8 1- a.p 1+ '"
ip
au E.1
Lemme 4 - L'operation W de Whitney commute avec le cobord
W(d<P) = d(W<P).
Puisque T) = W<p est en tout point une somme finie de T)8' il suffit
'"de Ie montrer lorsque <p = 8 donc T) = T)8' Dans ce cas,
Jl E.
dn8 = L (-I) l X]A... AX· ]AdX·AX· lA... AXn eti=) 1- 1 1+ '"
dXi = (ni+l) !dWioA... AdW i n .. D'autre part,1
Jl E.
L (-]) \)A... AXi_1i=l
'"W(d8) A ( L X' p ) AX· ]A... AX•.8 1. 1+ '"ip
Le lemme resultera donc de l'egalite dXi = L Xi P. Or,8i P
(W dW. A... +P 10 In.
1
n.1
L A... + L (-I )A+]8 10 In. A=O-iP 1
n.1
LW.,dW. A... AdW.A=O 1" 10 lni
L A... +8
1 In.-iP a 1
L A... AdW. +8
10 In.-iP 1
n.1
LA=O
n.A 1
(-I) L1 j =0
(On a utilise dans le calcul le fait que la somme des coordonnees barycentriques
dans 8i
est egale a ), donc que la somme des differentielles est nulle).C.Q.F.n
137
On a vu que n = W<P00
est une forme C sur Ie complementaire du
squelette de codimension I de T et que pour toute cellule e de dimension
maximale, on pouvait pro longerYetop
a l'adherence e t op de e t op en00
une forme C Les prolongements construits a partir de deux cellules
adjacentes e et e' ne coincident pas sur e t op n e' top = F ; cependant
eti :
leur restriction (en tant que forme differentielle) a la frontiere commune F
definit une meme forme sur F. Plus precisement, si
i' : F + e,top sont les deux inclusions, on a Ie
Lemme 5 - i:l«n1--) = iI e t op I e' top
Si e et e' sont deux cellules de et(8), Ie resultat pour n8
vient de ce que la differentielle exterieure commute a l'image reciproque
et que i:l<W = i'xW, d'ou i:l<dw = i'xdW pour toute coordonnee barycentrique W
de e . Si seule e est une cellule de etC 8), il f au t verifier que
iX(nl ) = 0 : cela resulte de la nullite sur F de l'une au moins deslet o p
coordonnees barycentriques Wi A
de 8. Le resultat pour n s'en deduit par
Li.nea r i.t e .
Le lemme 5 permet de definir sans ambiguite la n-cochaine simpliciale
deduite de <p; en conservant toujours la notation n = W<p , on associe a toute
n-cellule P de Tt oP l'integrale de n sur P :
.p(p) Inp
I W<pP
Lemme 6 - Si <p est un cocycle de T, alors est un cocycle de Tt oP.
En effet, Ie lemme 5 permet d'ecrire comme une somme d'integrales
dont les domaines sont contenus chacun dans l'adherence d'une cellule de
dimension maximale. L'application de la formule de Stokes et du lemme 4 donne
Ie resultat cherche.
Lemme 7 - si
alors
p est la cellule de
<P(po) .
correspondant a la cellule de T,
Par linearite, on peut supposer que <p II faut alors montrer que
I n8 = 0 8' Si P 1 8, ou bien it(80, ou bien pest contenu dans lap - p - 0
frontiereode et(8) : dans Ie premier cas la nullite de Ipn8
est evidente, et
dans Ie second elle resulte du lemme 5.
Si Po
La demonstration
- Si 8 =
9, on se ramene immediatement au cas ou Po = 8 est un simplexe.
(classique) se fait alors par recurrence sur la dimension de 8.
[ P], on veri fie bien que ([ P]) = Wp (P) = 1.
138
'"d O' '"8 +
Si dim 8 = n ;.
'"T f fI =P 8
1, so it 8'
fp
W(dCh =
une face
'"f d(W8')P
de 8; alors
'"= fa8
W8 ' = f8 , fl 8 ' I.
l'irnage reciproque de
cohomologie dans H'''cliN[ "rLa f-invariance de
est f-invariantTde
Proposition - Le cocycle simplicial rp de Tt oP ainsi associe au cocycle
l'image reciproque \jJ de ljJ sur liN[ "r TtoPIl et
sur liN[ "r Til induisent des classes de
TtOPII) et H(C"(Nr xf
T» qui se correspondent.
ljJ resulte des definitions lineaires de l'action
de f sur Tt oP et de la construction de W .
D' ap r es le lemme 7, la restriction l;"(IINf "r TtoPII) -e- C'\Nf "r T)
dont on sait qu'elle induit un isomorphisme en cohomologie envoie sur
Cela demontre la proposition.
On peut conclure la discussion precedente en le
Theoreme - L'application qui a un n-cocycle f-invariant sur T aSSOC1e
le n-cocycle sur f defini par
(Y1,···,Yn) t+ fll(Y1, ... ,yn) ljJ(lI(YI, ... ,yn»
(ou ljJ est le coclycle simplicial sur Tt oP associe a comme defini ci-des-
sus,
Tt oP
Le seul point restant a verifier est en effet que S1 est un cobord
sur T, alors ljJ est un cobord sur Tt oP , ce qui resulte du lemme 4.
Remarque I - Un cas particulier interessant est celui ou l'immeuble T est un
arbre (c'est-a-dire ou le groupe G est de rang semi-simple I). On peut alors
preciser davantage le cocycle ljJ et donc l'homomorphisme jf'
5i est un O-cocyle sur T, c'est une fonction constante sur les
sommets de T puisque l'immeuble est connexe par le procede precedemment
decrit, on lui associe la fonction constante lp sur Tt oP qui prend la meme
valeur. Ce resultat est d'ailleurs le meme quelle que soit la dimension de T.
Les I-cocycles sur T sont des fonctions sur l'ensemble des aretes de T.
5i 8 est l'une d'elles, ou les coordonnees barycentriques sont Wo et WI'
la forme fI = est definie sur 8t oP par flJ = WdWI-WldW . 0uant auxJ8toP 0 0
I-simplexes de Tt oP
qui interviennent effectivement dans le calcul de jf' ce
sont les r(61
x 0) dont les deux extremites sont a et YIO. La geodesique
entre ces deux points est une reunimfinie de simplexes de T et
139
jr(<'o)({ Y1}) est egal a la somme des valeurs de <,0 sur les E,v
Remarque 2 - Dans l'article qui a inspire celui-ci [4] Dupont considere
l'homomorphisme compose
ou G est un groupe de Lie reel connexe, K un sous-groupe compact maximal,
et leurs algebrsde Lie respectives et r un sous-groupe discret de G
(Ie premier homomorphisme, en fait un isomorphisme, est dli a Cheval ley et
Eilenberg [3]). De plus Van Est a demontre par ailleurs [8] que
ou Hct(G,R) est la cohomologie continue de G a valeurs dans R, d'ou un
homomorphisme
Or Borel et Wallach [2] ont demontre recernrnent dans Ie cas p-adique l'existence
d'un isomorphisme
de la cohomologie continue de G dans la cohomologie du complexe des cohaines
reelles G-invariantes sur T.
Si E Hq
(G R) e t s i <,0 es t un q-cocyc1e G-invariant sur Tct '
representant l'image de la construction precedente permet donc de definir
un homomorphisme
analogue a celui du cas reel.
BIBLIOGRAPHIE
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[3] C.Chevalley and S.Eilenberg. Cohomology Theory of Lie Groups and LieAlgebras. Trans. of Am. Math. Soc. 68 (1948), p.8S-124
140
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9 H.Whitney. Geometric Integration Theory. Princeton University Press.(1957).
G.BESSONUniversite Pierre et Marie Curiecouloir 45-46 5eme etage
4, Plece Jussieu75230 Paris Cedex 05
REPORT ON NORMAL BUNDLES OF CURVES IN W3
by
David
There has recently been a little flurry of activity devoted to an
apparently new corner of the hoary subject of smooth curves in projective
3-space, namely the study of the normal bundles of such curves. The subject is
still embryonic, but there are many concrete and interesting problems. I wish
here to surrey the results obtained ro far, which treat curves of degree 65
and rational curves.
Throughout curves will be non singular, and everything will take
place over though this last is probably inessentiel.
A good deal of the activity in this subject seems to have been triggered
by a remark of Grauert, to the effect that one had (18 months ago) no single
example of a curve in whose normal bundle was indecomposable.
What would be the simplest possible such example? Smooth curves of
degrees I, 2, or 3 are rational or complete intersections, and every vector
bundle over WI' decomposes. The only non-rational smooth curves of degree 4 are
the elliptic quartics obtained as the intersection of two quadric surfaces,
which again have decomposable normal bundles because they are complete
intersection So one must go to degree 5 for the first interesting examples.
I am grateful to the hospitality of the SFB for theoretical mathematics in Bonn,on
whose premises I learned most of what is contained in this report.
142
There are two sorts of non-rational smooth curves of degree 5 in
(by Castel-nuovo or by R-R directly) : the elliptic curves and curves of
genus 2 (hyperelliptic curves). Now, hO (5 points on an elliptic curve) 5
- so there is a natural embedding in W4 - and the elliptic quintics are
projections of this. On the other hand the hyperelliptic curves are not
projections, and in fact they are arithmetically normal; i.e. Ho«(PC(n))
is integrally closed and we will treat these hyperelliptic curves first.
Now
10 + I - 2 9.
So such a curve lies on a unique, singular or non singular, quadric,
The distinction between hyperelliptic curves an smooth
singular conics is fundamental, as one can see in another way
and an
let C be
genus 2 curve, K (of degree 2) its canonical series.If D is a divisor of
degree 5, then hO
D = 4 and IDI= . Thus of the 5 points of D we may
choose 3 to come from 2K; if a 4 t h does too, then the image of C in W3
lies on a quadric cone
,,,1
\
143
(a hyperplane section of the cone through the vertex is 2 lines and
meets the curve in 5 points). If only 3 points of D are in 2K, then
the image of C in P3 lies on a nonsingular quadric, isomorphic to
1P 1)C.lP l' as a divisor of class 0,2);
2-1+--
K
3-1
Theorem (Van de Ven -Comptes Rendus- Spring 1979). If C is nonsingular
curve of degree 5 and genus 2 in W3
' then
only if C lies on a singular quadric.
NC decomposes if and
In the situation of the Theorem, it is easy to write equations for
C , so one can "see" the normal bundle of C very directly as
in fact, if C lies on a non singular quadric
144
XOX3-X jX2, then its equations are the 2 x 2 minors of a matrix of the form
( Xo XlQl)
X2 X3 Q2
while if
minors of
C lies on a singular quadric then its equations are the
where in each case Q] ,Q2 are quadratic forms ; and if Q, ,Q2 are chosen such
that the curve defined by the minors of one of these matrices is smooth, then
it is hyperelliptic of the correct type. But I do not know how to recover
Van de Ven's result by this method.
What about the elliptic case? This was first treated incorrectly,
but eventually the beautiful story became clear in a paper of Ellingsrud and
Laksov ; as we have mentioned, elliptic quintics ln are obtained by
projection of "the" elliptic quintic C in 11'4 from a point p 6 E'4 (The notion
of "the" elliptic quintic in 1E'4 is justified by the fact that any two divisor
classes of the same degree on an elliptic curve differ by an automorphism of the
curve). So for each pc lP4' not in the secant locus Sec (C) of C, we let
be the projection of C from p and we write Np
for its normal bundle. A
Chern class computation shows that if N decomposes, then it does so as
M M :f:,2
19 M-1 M £,2, where M is a bundle of degree 0 and ;t;, isa a athe bundle corresponding to the hyperplanesection of C in 11'4' The main
result is :
CP
Theorem. (Ellingsrud-Laksov-Comptes Rendus-to appear). For each line bundle Ma
of degree 0 on C there is a quintic hypersurface 11'4' such that :
] ) Ha
M-]a
aM,.:!:.l2) U = IE' 4 n Sec (C) if M I-
Ma a
a a aa
3) c Sec C M (!J in which case Sec Ca
a a4) For any p "IF4-Sec C iff there is an exact sequence
of vector bundles. a
M-] M :tJ,2_> 20 --'> Np --> Mo
__a
145
suitable
5).!! M2
f- iPo
(conjecturally
the sequence above splits ; if
for all) p c HH - Sec C, Np
o
M2 = (:) , then foro
is indecomposable.
A second proof of this result has been found by Van de Ven and my
self; its key point is to exploit the fact that all the equations of C in
are of the same degree (2), and all the relations on them are generated by
linear relations. In fact, the homogeneous ideal of C is generated by the
4){4 Pfaffians of a matric of the form :
0 0 Xo Xl X3
0 0 Xl X2
X4
-Xo -Xl 0 A B
-Xl -X2
-A 0 C
-X3
-X4
-B -C 0
where A, B and C are linear forms depending on the embedding chosen for
C in IP4 .
So far, because of our quest for indecomposable normal bundles, we have
left out what ought to the first and simplest case of all, the case of
rational curves. Last fall, Van de Ven and I set out to plug this gap, and I
now want to describe some of the results we have obtained.
a and b
a + b = deg (det B)
First of all, any rank 2 bundle on /PI is of the form
B = (Oi' (a) 6) C911' (b) for some integers a and b. The numbers11' 1are ana ytlC but not topological invariants of the bundle, but
is, and it is correspondingly easier to compute.
Every rational curve of degree n in 11'3 is the projection from
some c of "the rational normal n-vi c " C In (up to ambient
automorphisms), so we may parametrize every thing by projection centers p, and
induced by
is obtained from
isomorphic to
a + b = 4n-2.
1P3,
and Np
for its normal bundle. The
NC
by factoring out a sub-bundle
P, and one computes easily from this
then
inn--Lc
NPn-4 16) COlI' (1)
n C0
1P(a) 6) (b),
1 I
for a rational
NP
that if
write CP
normal bundle
the general C to havep
and this is in fact the case.
n-I,tn» . So the firstst
146
From general principles, one now expects
Np
= <PW
(Zn-I) (j) (ow (Zn-I), a "balanced bundle",
I I n n-l(Example: the curve parametrized by (s, s t,
question is : how unbalanced can N bep
With the above notation, if C is smooth and n 3, thenp
Proposition: n+3 $ a,b 3n-S.
One now can construct examples to show that every a,b subject to
the above conditions actually occurs as the normal bundle of a smooth rational
curve. One way to evaluate the computations is to use the following result,
which gives a geometric description of a and b
Theorem: Let C be a smooth, rational curve of degree n, T(C) its
tangent surface (the union of its tangent lines, which is a surface of degree
Zn-Z). Let L be a line meeting T(C) transversely and consider r c CJ<.L,
r [ (C, p) ITC .3 P Jo «Zn-I)+a) (j) 0«Zn-l)-a) iff r
of degree {n-rl ) - a.
lies on the graph of a map
Using this we can exhibit an interesting example of a maximally
unbalanced curve
Example. Let D be the twisted cubic, T(D) its tangent surface. T(D) is the
projection of a ruled surface S of degree 4 in IPS (S is J<. WI' embedded
linearly in the first factor and quadratically in the second). Let H be the
hyperplane section on S, R the ruling. The divisor H + (n-4)R is very ample
for all n 4, and is a rational curve (since intersection with rulings induces
an isomorphism with WI)' The general divisor in this class will project to a
smooth rational n-ic C in lying on T(D) and meeting each tangent
line once. We claim that NC
= (n+3) (j) (0 (3n-S). To check this, let L1 1
be a general line in lP3,
and consider the map ep: C -7 L obtained by
carrying z 6: C to TT(D) ,zn L L. If, for some z G C, TC,z () L r, then
clearly 'f (z) = z , By the Theorem, it will be enough to show that lfJ is a
map if degree 3 ; or equivalently, that the number of points z C for which
TT(D),z contains a given point, is 3. But, as a local computation shows,
TT(D),z is just the osculating plane of D at the point of D whose tangent
passes through z . Since the dual curve to D has degree 3, we are done. II
147
(known to Van de Ven and me for
Added in Proof : After the above was written, I have became aware of
papers by Ghione and Sacchiero, and Sacchiero (Preprints, Univ. of Ferrara),
giving bounds on the normal bundles of rational curves with ordinary singularities
n=3), and some (singular) examplesn
of such curves.
The Bernstein class of modules on algebraic manifolds
By Jan-Erik Bjork
Introduction
In [1] and [2] a remarkable theory about the \oleyl algebra An(C) ; and its
modules was established by I.N. Bernstein. In these notes we discuss how his results
can be extended when toe affine space c'' is replaced by a non-singular algebraic mani-
fold, always defined over the complex field.
These extensions of Bernstein's results are based upon a study of filtered
rings whose associated graded rings are commutative regular noetherian rings. The
whole theory is developped in [3 , Chapter 2 and 3] and here we shall review
the essential results, leaving out most details of the proofs. In Section 1 we
discuss this general class of filtered rings, while the remainder of these notes
is devoted to the study of the rings of differential operators on non-singular
affine algebraic varieties.
I. - Resular filtered rings
Let A be a ring which is equipped with a filtration L = { Lo'
L1, ••• } •
This means that Lo
is a subring of A -containing the unit element 1- and
c and uv;;'O
Lv
A , and finally the inclusions
hold for all pairs k and v;;' 0 . Of course, the inclusions mean that if Q E Lie
and if P E Lv then the product QP E Lk+v .
149
Starting from this filtration on A we obtain the associated graded ring
gr(A)
This leads to :
1.1. Definition A is called a regular filtered ring if A is equipped with a fil
tration L: such that gr(A) is a regular commutative noetherian ring.
1.2. The dimension of gr(A) . If m is a maximal ideal in the regular noetherian
ring gr(A) , then the localisation gr(A)m is a regular local ring and it has some
dimension which may depend on the choice of m From now on we shall make the sim
plifying assumption that gr(A) has a pure dimension, which means that there exists
some integer w such that dim(gr(A)m) = w for all maximal ideals m in gr(A) .
Of as a definition of the dimension of the local rings gr(A)m we can
take the Krull dimension or the maximal number of a system of parameters or the
dimension of tae vector space m!m2 over the residue field gr(A)!m.
1.3. The integer When A is a regular filtered ring and gr(A) has some pure
dimension w , then it follows that the global homological dimension of gr(A) is
equal to w. It follows easily that the ring A is left and right noetherian i.c e .
one sided ideals of A are finitely generated and that the ring A also has a
finite global homological dimension which is ,,;; w . In many interesting examples a
strict inequality holds here and we put
= gl. dim(A) so that w
and it is the carewhere strict inequality holds which will be of particular interest.
Examples of regular filtered rings A for which < ware given in Section 2 .
1.4. The dimension of finitely generated Amodules. From now on A is a regular
noetherian ring where gr (A) has some pure dimens ion W • Let us now consider a
finitely generated left Amodule M . (The case with finitely generated right
Amodules can be treated in the same way, so we restrict the attention to left
Amodules).
A filtration on M consists of an increasing sequence of additive subgroups
{fv}, where r
v{O } ;Vhen v : : 0 and Ufv = M and hold
for all k > 0 and all v .
When r = {rv
150
is a filtration on M we can introduce the associated graded
gr(A)-module: grr(M) = ffi rv/rv_ 1
. We say that r is a good filtration if and only
if grr(t-n is a f i ni t e l y generated gr(A)-module.
Remark M can always be equipped with some good filtration. For example if
... generate M as an A-module and if we put rv
= Lv + •.• + Lv for
v> 0 , while rv
= 0 when v <: 0 , then { rv
is a good filtration.
Suppose now that r is some good filtration on M . Then grr(M) is a fini-
tely generated gr(A)-module and we can compute its Krull dimension and define the
integer :
d r un = Kr. dimgr (A) (gr r (M) .
In general, M can be equipped with many different good filtrations. But it
turns out that the integers d r (M) do not depend on the choice of r, i.e. we have
the equalities d r (N) = d;] (1-1) for all pairs of good filtrations rand;] on M.
This common integer is therefore denoted by dUn and simly called the dimen-
sion of the A-module M .
Remark See [3, Chapter 3 Section 31 for more details. In particular Lemma 6.2.
in [3, Chapter 31 proves the claim above.
1.5. The integer j(M) . When M is a :initely generated left A-module then the
vExt-groups ExtA (M,A) are defined for all v> 0 . If = gl. dim(A) then
Ext: = 0 for all v Besides, using the fact that gl. dim (A) is finite,
it can be proved that at least one of these Ext-groups is non-zero and this leads to:
Definition Put j (11) inf i v > 0 Ext: (M,A) 0 }
At this stage we can announce an important result which connects the two inte-
gers d (M) and j (t1) :
1. 6. Theorem The equali ty d(M) + j (,.1) w holds for every finitely generated
left (or right) A-module 11
The proof of theorem 1.6. requires several steps and the details appear in
[ 3, Chapter 3 ] See In particular Theorem 7. J In [ 3, Chapter 3 ]
151
Using Theorem 1.6. and the observation 0 j(M) holds we obtain
1.7 Corollary If M is a (non-zero) finitely generated A-module then d(t1);;;' (,.)-;1.
Remark Of course, this inequality is only interesting in the case when < (0 • The
inequality in 1.7. is called Bernstein's inequality and it leads to :
1.8. The Bernstein class P, (A) whi ch consists of tile family of all finitely gene-
rated left or right A-modules 11, satisfying d (M) = u- ,'L •
We can prove some facts about in the Bernstein class. In fact, using
the proof of Theorem 1.6. we first obtain a duality between left and right A-mo-
dules in the Bernstein class. The result is
1.9. Theorem If 1I E
class, then the right
to! (;1*,A) .
9.l Q (A), i . e. if 1I is a left A-module in the Bernstein
A ' l w-p ,.-noau e ExtA (M,A) = M E P, rCA) and finally
Finally, using this duality and tae fact that tae ring A is left and right
noetaerian, it is not difficult to prove that modules in the Bernstein class also
satisfy the descending chair. condition on and this gives :
1.10. Corollary If M E P, (A) then 11 has a finite length as an A-module, i.e.
there exists a finite composition series
o = Ho
c c c ;1t
\..here 1\_1 are A-submodules of 11
and the factor modules 11/1\_1 are irreducible for all
Remark See [3, Chapter 3, Section 7.12J for more details.
1.11 Some open problems The finiteness pro?erty of modules in P, (A) suggests the
following questions.
Problem 1 - Let M and tl be two left A-modules whi.ch both E P, (A) . Consider nowvthe Ext-groups ExtA (M,N) which are defined for all v;;;' 0 , and they vanish when
v > 1_1. These Ext-groups are modules over Z(A) ,where Z(A) is the center of
the ring A, i.e. the subring which consists of all central elements a in A ,i.e
elements for whi ch ax = X a for all x in A .
V (Is it true that u,N)
152
are finitely genrated Z(A)-modules
Remark Starting form a left M
$ (A) we can also consider the Tor-groups
in $ (A) and a right A-module N in
"orA (N,M) and ask the same questionv
as above, i.e. whether these groups are finite:y generated Z(A)-modules for all
O';;v';;ll
These two problems are directly related to each other. In fact, using the duali-
ty between $ £ (A) and $ r (A) we can prove that :
vExtA (M,N) TarA (H*, N) hold for all pairs Hand N in $ n (A)ll-v N
and these isomorphisms show that the question posed in Problem I is equivalent to
the sioilar question for Tor-groups.
Remark See [3, Chapter 3, Theorem 7.15] for the isomorphism above.
A final Remark Problem I seems to be quite difficult to settle when it is posed
in such a generality. If we make the additional assumption that Z(A) is a field
contained in La and that gr(A) is a finitely generated algebra over its subfield
Z(A), then it is very likely that Problem I has a positive answer.
For example, in Section 2 below we shall study a family of regular filtered rings
where this condition on Z(A) is satisfied and establish the finite-dimensionality of
the Ext-groups Extv
(H,N) when 1'1 and N both E $ (A) .
2. - The rings 'l! (V)
Let us consider a non-singular affine algebraic variety V, defined over the
complex field WL can assume that V is connected also and thus V is the locus
of some prime ideal in a polynomial ring [zl ... zN] . In fact, this follows
from the wellknown fact that V always can be imbedded into some affine space eN
so that V appears as an algebraic submanifold of and then the Nullstellen
Satz shows that V = -I (0) = { z E , p(z) = 0 for all p E 1'} , where l' is
some prime ideal in C [zl .. . zN]
The dimension of V is defined as the Krull dimension of the [z] -module
[z] / and it is well known that this dimension equals the dimension of V
where V is viewed as a complex analytic manifold.
153
This integer is denoted by dim (V) and usually we shall put n dim (V) .
equal to n
if m is a
that m =
2.2 The Lie
ring A(V)
2.1 The ring A(V) This is the ring of regular affine functions on V, i.e. we
can put A(V) C [z] /? when V = ? -1(0) as above. Since V is non-singular
it follows that A(V) is a regular noetherian ring and A(V) has pure dimension
= dim(V). The maximal ideals of A(V) correspond to points on V , i.e.
maximal ideal in A(V) there exists a unique point on V such
{f E: A (V) : f = 0 }
==--==-=-...:a::.;l::..!g2-e::.;b::.;r::.;a= j (V) This is the Lie algebra of C-linear derivations on the
Since V is non-singular it can be proved that j (V) is a finitely
generated and projective A(V)-module whose rank = dim (V) . Geometrically the ele-
ments in j (V) are so called affine vector fields on the algebraic manifold V
and they generate the (complex) tangent spaces for all points in V
We refer to [3, Chapter 3, Section 2 ] for more details. In particular to
theorem 2.2. there.
2.3 The ring (V) This is the ring of differential operators on V .
By definition (V) is the ring of operators on A(V) which is gene-
rated by the derivation operators from j (V) and the "zero-order multiplication
operators" defined by elements from the ring A(V) itself.
2.4 An example If V is the affine space then A(V) = [ [ zi ... zn] and
and
here j (V)
operators a.J
is the free A(V)-module of rank
a/a zj , j = I , 2 , oon . Thus
a aI"'" n
n generated by the usual derivation
is the [-algebra generated by
iQentity operator. So in the ring we see that the elements
do not commute. In fact, the commutators
Leibniz's rule shows that and
is the
a. and z .J J
where
for all polynomials p
a. +J
+z.a.(f)J J
a .z. = z.J J J
a.z , - z. a. = 1 for eachJ J J J
a.(z.f) = fJ J
Deans that the operatorthis
The non-commutative ring is denoted by An
and it is called the
Heyl algebra in n varia'ules, with coefficients in II: • I-Ie refer to [.3 ,Chapter I]
for a detailed study of . Among those results ,ve mention Stafford's Theorem
which asserts that everyone-sided ideal of An
can be generated by 2 elements.
154
2.5. ':he L-filtration on 9J(V) ar..d the ring gr( 9J (V)) . By definition 9J (V) is
a ring of differential oper£tors and it has a natural filtration 9 where
Zo = A(V) are the zero-oreer differential operators, while L1
are the first order eifferential operators, and In general Lk
the operator Q has order < k }
A(V) + 1 (V)
Q E 9) (V)
It is easily seen that L = S +k k
wher e is the a:-subspace of
9J(V) generated by all k-fold products of elenents from 1('1)
Next, using the fact that the Lie a:gebra 1('1) contains enough vector fields
to generate the tangent spaces at all points in V, it follows easily that the
associated graded ring: gr( 9)(V)) = ffi Lvi Lv_ 1
can be identified with A(T*(V))
where 1*('1) is the cotangent bundle over V .
Jf course, here T*(V) is an algebraic whose dimension is 2cim(V)
and we conclude that gr(9) (V)) lS a regular noetherian ring of pure dimension
equal to n = din (V) . In particular 9J (V) is a regular filtered ring
where we can apply the results from section 1 • To do this we first need
2.6 The equality g1. dime 9J(V)) = dim(V). In the case ,.,hen '1= a:n so that
9J(a:n)
= A (a:) it was proved by J-E Roos inn
4 that the global homological
dimension of the Weyl algebra A ((1;)n
is equal to n It is not difficult to
generalize the methods of his proof to the case when A (a:)n
is replaced by 9J (V)
and then prove gl.dim(9) (V)) = n = dim(V), for every non-singular affine alge-
braic variety V defined over the cOT.p:ex field a:.
In fact, this follows from a quite general result in [3, p.83]
2.7 The Bernstein class P, (V). If dim (V) = n then dim(gr(9J (V)) = 2n so with
the no t a t i ons from Section 1 we have IN = 2n, wh i Le the integer Id = gl. dime 9) (V))
is Wl2 = n .
This gives the Bernstein class p, (9)('1)) which consists of finitely generated
left (or right) 9)(V)-modules M satisfying d(M) = . To simplify the subsequent
notations we put : P, (V) =% (9) (V)) .
V = a:n
so that 9J (V) = An(a:) then I.N. Bernstein proved that if 11
and N belong to the Bernstein class of left An(a:)-modules, then the Ext-groups
155
are finite-dimensional complex veccor spaces. Actually 3e"nstein didn
not state this explicitly, but the proof is an easy consequence of his results in
[ 2 J • See also [3, Chapter I, Section 6 J for this deduction.
Starting from this result we can generalize it to arbitrary non-singular affine
varieties, always defined over the compiex field t, and arrive at :
2.8. Theorem ll. 11 and N E: 'lJ (V) then
complex vector spaces for all
(V) (lI,N)
dim (V) .
are finite-dimensional
Remark We refer to [ 3, Chapter 3 1 for the details of the proof.
2.9 Some examples The result in Theorem 2.8 was xnovro before in special cases.
In fact, when V is given we can consider t'1.e affine p-forms SiPeV) for all
0 IP "" 0 • Here we put Si (V) ; A(V) and now Si (V) ; HomA(V) ( :leV) ,A(V» and so on
Usi ng t rie exterior differential mappings f r oru Sip (V) -- Sip+ I (V) we get the
complex
Si* (V) : 0 rI0 (V) -- rI I (V) . .. __ rln (V) __ 0 ,
which is called the algebraic de Rham complex on V.
The cohomology groups of this complex are denoted by and they are
called the algebraic de Rham cohomology groups. Using Desingularisation,
A.Grothendieck proved that they are finite dimensional complex vector spaces for
all 0";;; p ,.;;; n
In [ 5 J , 110nsky found an eleme:ltary proof of this finite-dimensionality.
Remark Actually, Grothendiecx's result was more precise because he proved that
are isomorphic to the usual Cech cohomology groups Xp(V,C) with values in
the constant sheaf ( over the manifold V
Using the ring (V) and looking upon A(V) as a left (V)-module it is
easily seen ttat :
(V) S!! (V) (A(V), A(V»
and besides tte left (V)-moiule A(V) belong to the Bernstein class 'lJ (V).
156
So with these traductior-s we see that Theorem 2.8. gives a far more ger-eral
finiteness theorem. In particular this is so because the Bernstein class $ (V)
contains modules 11 which r-eed not be finitely generated as modules over the
then the ring of fractions :
subring
A(V)
= A(V)o
of 'lJ (V) . For exanp Ie, if
A(V) [ f-I]
f is an arbitrary element of
is a left 'lJ (V) -module.
Indeed, if 8 EO'lJ (V) then the ([-linear derivation 8 extends to a ([-linear
derivation on this ring of fractions, and so on. It is not a priori obvious that
A(V)[f-l] is a fir-itely generated 'lJ (V)-module. However, this can be proved
-Iand it also turns out that A(V) [f ] belongs to the Bernstein class $ (V) and
nence Theorem 2.8. applies to such 'lJ (V)-modules also.
.10 A problem Is Stafford's '::heorem true for the ring 'lJ (V) s i., e. is it true
that everyone-sided idea: in the ring 'lJ (V) can generated by 2 elements ?
REFEREilC ES
[I] Bernstein I.N. The analytic continuation of generalized functions 'lith
respect to a Funz , Anal , Akad. (1972), 26-40
[2 ] Bernstein I. N. 110:lules over the ring of differential operators. A study
of fundamental solutions with constant coefficients Ibid 2,(1971), 1-15.
[3 ]
[ 5 ]
BJORK J.E.
ROOS J.E.
MONSKY P.
Rings of Operators. North-Eolland.
Math. Library Series Vol. 21 (1979)
Determination de la globale des
a l.geb r es de Weyl C.R. Acad . Sci. Paris 274 (1972)23 -26
Finiteness of de Rham cohomology. Amer . Math.
Journ. 94 (1972), 237-245.
Anneaux d'operateurs differentiels
par Thierry LEVASSEUR
Nous exposons ici des analogues algebriques de certains theoremes de
J.M. Kantor concernant l'anneau des operateurs differentiels sur une variete
analytique ; principalement Ie theoreme decrivant l'anneau des operateurs diffe
rentiels sur une variete quotient de l'espace affine kn par un sous groupe fini
de GL(n,k), (partie III de l'expose).
Nous commencerons par rappeler certains resultats classiques en theorie des opera
teurs d i f f e r en t i e l.s a Lgebr i.que s , (partie I de l'expose).
I) Generalites sur les operateurs differentiels
I. I) Rappels sur les modules de differentielles, d'apres CSJ
Soit k un anneau commutatif et A une kalgebre commutative. Si M est
un Amodule l'isomorphisme HomA(A A, M) est defini par
(a LiI: b) = au Cb ) pour a et b dans A; oil A A est un
Amodule par la multiplication sur la premiere composante. Notons aussi que
est muni de la structure de A A module definie par:
£(a LiI: b)ui (x ) = a u(bx) pour a,b,xcA,
Il existe une suite exacte : 0 I A A A ? 0 oil pea LiI: b) = ab
si, a,bfiA et I ker p =f!; a. LiI: b.1 a .b . = 0] . Posons : jl : A Ii A, K
jl(a) aLiI: 1 et j2: A A A , j2(a) = I E a ; de sorte que
j2(a) a E I + (j2 jl)(a), nous noterons d l'application j2 jl . Il est
facile de voir que I est enge.ndr e conune ideal par les fda, aeA] e t que l'on a
une decomposition en SOmme directe de Amodules: A A = I (A I).
Si aEA et on notera iu,a]' l'element de de f i.n i. de
la maniere suivante : [u,aJ' (x) = u(ax) au(x) xu(a), pour tout x A
Si M = A et on pose [u l,u2) u l 0 "z "z 0 u l ' de so r t e
que dans ce cas = u.a a.u u(a) = lu,aJ u(a).
Definition I Si q EO:ll definissons (A,M) en posant :
0 si et s i q>O,
158
si et (A,I1) pour tout a dans A. Nous dirons que
est l'ensemble des derivations d'ordre inferieur ou egal a q.
On a - 0 = (A,M)c I) (A,M)c ... c (A,I1)C ...
- est un A-module a gauche et si alors
u(I)=O.
- Les derivations d'ordre I sont evidemment les derivations usuelles.
Lorsque M = A , nous ecrirons au lieu de
Proposition 2 - Soit si les conditions suivantes sont
equivalentes
(I)
( 2)
(4)
uE (A,M)
N 1) = 0 et (Iq+
l)0
q+l0 et u( I) = 0I . u
II existe un homomorphisme de A modules
que Ie diagramme suivant soit commutatif
fI
q+TI
tel
oii d ' est la composee de d et de l'applicationI
I q+TI
(5) Quelque soit (xo
on a
u(x x )o q
q
ES=!
Preuve - cf. [S] prop. A.I.l.
Li 1< . .< is
x .... x . u tx .•. .••. "i.i. I 0 1
x )q
Definition 3 - On appelle
et l'on pose /q) = d ' :A/k
Jl. (q) : = IA/k Iq+1
.5l.(q)
A -7 A/k
Ie A-module des differentielles d'ordre q,
ou d' est definie en prop. 2. (4)
Ai.ns i Sl. (q)A/k
A-module M
159
lq)est un A-module enge nd r e par les tdA/k(a), ac;A], et pour tout
il existe un isomorphisme de A-modules a gauche :
qui a f
t\ (q)HomA(.>I.A/k '
fait correspondre
M) (A,M),
f 0 d(q)A/k
Signalons les proprietes suivantes
Prop osi tion 3 -
I) Si S est une partie multiplicative de A on a des isomorphismes de S-I A
modules :
S-1 A 5l.(q)A/k
S-I a (q )A/q
.st(q)
S-I A/k
2) si k A B est une suite d'homomorphismes d'anneaux il existe une
suite exacte :(I) (I) (I)
.stA/k IllA B 5t B/ k --) Sl B/A 0
3) si a est un ideal de A
modules : B 5l (q ) 5l. (q)A/k B/k
et B = il existe un epimorphisme dea '
0 , pour -tout qe z
B
(2) Si iiI' A 2
4) si k est un corps et K une extension separable de type fini de k Ie
degre de transcendance de K sur k est egal a JL (1) , et si K est algebri-.st (q) K/k
que sur k , = 0 pour tout q , (en particulier on a = 0) .K/k
Preuve - cf. [SJ Appendice A
1.2 - Anneaux d'operateurs differentiels
So it A une k-algebre commutative. Si M est un A-module, nous avons remarque
qu'un element de s'annule sur l'element unite, c'est-a-dire appartient
a H0n\(A,M) = = Un op e r a t eur d i f fe ren t i e l. sur A doit
etre un element de ; remarquons que est un anneau qui con-
tient A et = A e H0n\(A,A), Somme directe de A-modules. Le sousco (q)
A-module a gauche de Hom (A,A), A Derk
(A), est un sous-anneau pour laK q=!
composition en effet :
Proposi tion I -
(1) Quelques soient a dans A , Ii dans (A), on a
fJ. •a E A (A)
(q)appartiennent a Der
k(A), alors
160
Preuve - (I) Provient de l'egalite: A. a = r e ,aJ' + e Is » A (a)
(Z) S'obtient par recurrence sur l'ordre a l'aide des formules suivantes
["'1 I::.Z' a)' = Q1
r: Az, aJ' + [A) ,aJ' /},Z + /},1 (a) AZ
+
+ /},Z(a) Ll] + (t.], AZ(a)]' ,
e t :
D'ou l'on peut poser
Ie A-module a gauche
d'ordre inferieur ou egal a
Diffk
A et nous designerons par
ensemble des operateurs differentiels
q
A + \J est appele anneau des operateurs diffe-
A Ie noterons(q)
A l& Derk
(A),
rentiels de la k-algebre
Definition Z - L'anneau
Remarques - 1) En tant que A-modules on a : = A l& A)
Z) Nous aurions pu de f i.n i r par recurrence : si Pest
Ar-Li.nea i re et si pour tout aeA, si q>O,
(c f . lKJ).
Definition 3 - Nous noterons I' anneau , appcle anncau des parties
principales d'ordre q.
a +
Proprietes de Diffk
A :
I) Comme A-module P1/k est isomorphe a A 1 l& , et si l'on note
l'homomorphisme d'anneaux : A P1/k defini par
d1/k(a) = classe de (] a = a 1 + nous avons
pour tout a dans A
De plus les A-modules et HomA(p1/k'
A)
element D de HomA (P1/k' A) on fait correspondre
sont isomorphesq
DodA/ k
a tout
2) si S est une partie multiplicative de A, on a
A) S-I A (Il Hom -I (S-I Sl. S-IA) (c f , 1.1
d - "f" . SA. "est e nous aurons un de
prop. 3). Doric si Sl. (q )_) A/kSA-modules
161
Ij/lq+1 , on a done un gradue associe,
_ _II__In
et S·Cn(I»l'anneau l'algebrenelN In+1 ' A A/k
II existe un homomorphisme surjeetif d'algebres :
3) L'anneau P1/k est filtre par lesq .
q II IJgr PA/k j=o Ij+1 . Notons gr PA/k
s ymet.r i.que du A-module SI.
Cx)
lier il suffit que
tout q e IN •
---7' gr PA/k ' qui envoie
soit de type fini pour que les
sur gr P1/k . En partieu-
5\. Cq) Le soient pourA/k
est eommutatif.
4) L'anneau Diffk A
sition I son gradue
est gradue
gr DiffkCA)
par les A-modulesII
= q Diffq- 1CA)k
et d'apres la propo-
5) Reprenons S une partie multiplicative de A, et soit P un element de
alors il definit un element de ; en effet pour q=O e'est
elair et pour q .. O on pose, si S-lf6S- IA
cho i s i et
Diffk(A) Diff
kC5-IA) •
o , eet homomorphismeest eonstituee de non diviseurs de5En partieulier si
est injeetif.
On verifie que cette definition ne depend pas du representant
que eette formule donne bien un element de
On a alors de maniere evidente un homomorphisme d'anneaux
1.3) Application: Anneaux de polynomes et algebres de type fini
Conservons les notations de I. I
dCa) = I N a - a N I , si aEiA
soit A une k-ia l.geb re et d: A ---7' I
On prouve facilement Ie lemme :
Lenme : Si n(aI' ... , an) 6 A alors
n
d(aI,···,a) = Ln 5=1
al...
i l < .. < in
Aa.
I
1\a. a
n
So i t L un ensemble et Ei L ,
On peut eerire A A = k I Xl III I
es t engendr e par les £d(a), ac;, A1
des i nde t e rmi.nees , A = ktX'il' e L]
I III XII J = k [ XII' dXIl] , comme l' ideal
on a grace au lemme 1 :
I
dCL: Gl. I Xl) = }:; Celements de A) (monomes en d X,1l) pour l:: ""I XIE: A
On a alors faeilement dans les hypotheses precedentes
162
(I) 1A-module stAlk = 12 est libre sur A
sont libres de base les classes modulo
Proposition 2 - Le
de merne des 5l. (q)A/k
dX" de degre inferieur au ega I a q •
de base1 q+ 1
( I ) ..X",II 'OL],
des monomes en
Remarquons que si F = r: <41
F(X+dX).
est la classe modulo 1q+1 de
Proposition 3 - si A est une k-r a Lg eb re de type fini les Sl sont des
A-modules de type fini, si de plus k est noetherien les A-modules A sont
aussi de type fini.
Preuve - Si A est quotient de k [Xl ) ... , X J la proposition 3 de 1.1 montre5l.(q)
nque les sont de type fini ; si k est noetherien A I' est aussi done les
A/ks on t egalement de type fini.
n ,
tels que
on a alors pour tout
';)= Di
i.
ai
dans A ,
donne
avec
Remarque 3.1 - Soit A une k-ea l geb r e telle que 5).(1) soit libre de rangA/k
(kLX I , ... , Xn1 par exemple), et soient 21
, ... , 2n
fd ( I) Z; . I ]. b d '" ( 1)t L; = , ... , n une ase e ; no tons
base duale, ainsi D.(d(J) Z.) = cl ... L'isomorphismei J
o d(l) et toute derivation s'eerit de maniere uniqueA/k
Examinons les consequences de ce tte remarque sur DiffkA Pour eela introduisons
les notations suivantes ; si A est une k-ra Lgebr e et L dans A tels/1) 5\.(1) IN (L)que les Z'A engendrent
A/k , pour pE: on notera
t P"=1T p
p p! (p)[p l , p! ( ) si q<sp et = 0 si q p'i\ q q! (p-iq ) ! q
qE" (L)P d (rn)
ppour et enfin Zp = 1f Z :l (Z)p (dm Z-Z) p =1f d(m)(Z) II
Jl :l '4mdans PA/kNous poserons = d (m) 2}1 et r P d(m) (Z)p
On a Ie theoreme ([GJ chap. IV - Th. 16.11.2) :
Theoreme 4 - Avec
( i) oS). (I)A/k
de 1.2 propriete
les notations precedentes il y a equivalence entre :(I)
est libre de base (d Z,,) i\ '" L et l'homomorphisme (;:),
3, est bijectif ;
163
(ii) II existe une
Dp(zq) = (:) zq-p pour
famille (D) (L)P p61N
P,qEl'l(L) (Xll:).
d'elements de telle que
De plus, si (ii) est verifie, la famille (D) est uniquement determinee par (xx)p
t -' f i D D = DoD = (p+q)! D (L)e ven p 0 q q P p! q! p+q' pour p,q 1N .
si L est fini les Dp' Ipl Em forment une base du A-module pour
tout m .l'l
et L fini, les Dp
il n'est pas vrai qu'un
on a Ie resultat suivant :oNeanmoins en caracteristique
Remarquons que dans Ie cas (i) lesm
PA/k, et si Ipl =
remarque 3.1, mais
{p pour forment une base du A-module
ne sont autres que les k de lai.
operateur differentiel d'ordre quelcon-';)
que puisse s'ecrire comrne une combinaison I i ne a i re de puissances desi,
Theoreme 5 - Soit k
fini telle que 51. (I)A/k
f if;. p tel que
un corps de caracteristique 0, A une k-algebre de type
soit un A-module projectif, alors pour tout P Spec A il
Af verifie la condition (ii) du theoreme 4.
n , si l'on prend
de la remarque 3.1 four-i.
qui verifie Ie theoreme 4 (ii).pour
( I)SlAf/k soit libre de rang
!'I (I)"I.. Af/k ' les
tel quef if;. P
£/1) Zl , ..• , d(l) ZnS, base de
nissent la famille [D = 1., rrp p. oIZJl
Preuve - II existe
Remarquons que dans ce cas
(q :ois) et Ie gradue de
symet r i que de I) (A)
. q . I) . 1( )on a globalement : = ... A
Diffk(A) (1.2 pr opr i e t e 4) est isomorphe a l'algebre
qui est un A-module projeetif (d. [SwJ t.heor eme 18.2).
Coro llaire 6 -
I) si k est un corps de caracteristique 0 et A une k-algebre de type
fini integre Diffk(A) est un anneau integre, (cf. [BJ page 5).
2) Si A k t XI , •.• , XnJ ; Diff
k(A) = k (Xl
l'algebre de Weyl a 2n generateurs,
;)"aX]
nest
Preuve -
1) Si K est Ie corps des fractions de A, est un espace vectoriel
de dimension finie, n, done d'apres Ie theoreme 5 il existe DI
, ... , Dn tels que
Diffk
K soit erigend r e sur K par DI
, ... , Dn
son gr adue pour l' ordre e t an t un
164
anneau de polynomes a n variables, Diffk
K est integre et par la propriete 5)
de 1.2 on deduit que c'est aussi Ie cas de Diffk(A).
2) Evident.
Donnons une autre description de Diffk(A)
fini sur un corps de caracteristique 0: A
R = k I:Xl , ••• , XnJ .
lorsque A es tk (Xl' ... ,Xn ')
I
une k algebre de type
,I ideal de
Remarquons que si Rest une k-algebre commutative quelconque et I un ideal de
R tout ope ra t eur , l!J , de tel que A(I)e I de f i n i t un ope r a t e ur deR
la k algebre I' d'ordre m. Lorsque A est comme ci-dessus Diffk(R) = An(k)
et nous poserons :
= ; I
mtels que P = ao«(ilX) avec ac( I] ; Diffk(I) =V Diffk(I) et
m
I Diffk(R) = U I
m
Alors :
Theoreme 7 - On a Diff:(A)I Diff:(R)
pour tout m et Diffk(A)
Diffk(I)
I Di ffk(R)
Preuve - analogue a (K) chap. IV Theoreme 2 .
Pour terminer rappelons que la condition"
une condition de lissite sur A:
.st(I)A/k
est un A-module projectif" est
siest regulier de dimension n
de rang n.
Theoreme 8 - Soit A k-algebre k, de caracteris-
tique 0 algebriquement clos. Alors l'anneau A
I . Sl (I) d' i fet seu ement A/k est un A-mo ule
Preuve - cf. [HJ Chap. II - Th. 8.15.
II) Faisceaux d'operateurs differentiels, et applications
11.1) En ce qui concerne schemas, varietes, faisceaux, on suivra la
terminologie de [HJ . En particulier si k est un corps algebriquement clos de
165
caracteristique 0, un schema (X, integre de type fini est une variete si
(X, 8'X) es t s ep are et l' app lication diagonale A: X X xk X es tune immersion
fermee.
Le but de ce paragraphe est de donner une version algebrique des theoremes du
chapitre III de [KJ • Nous noterons k un corps algebriquement clos de caracte
ristique 0
Si (X, est une v ari.e t e sur k, l' application diagonale A: X 7 X X
p os s ede un comorphisme qui sur tout ouvert affine V = Spec A de X est l' applica
tion A '\ A A de 1. 1 • On ve r i f i e (d. (GJ Chap. IV, § 16) que pour tout m
il existe des faisceaux d'anneaux et de modules et qui sont des
coherents tels que sur tout ouvert affine D Spec A on a :
(f.)mS X/keD) .n. (m) (D)
X/k
Ie faisceau dual, c'est un
. mDlff
X/kon obtient un faisceau d'anneaux qui est un
(En fait (X, schema suffit pour faire ces construc
Homtl'X
Diff:(A) .
On note alors
coherent e t
. mDlffX/k
(D) =
CIOEn posant DiffX/k = V
m=o"'Xmodule quasicoherent.
tions) .
Le theoreme 8 de 1.3 se traduit alors par
Proposi tion I Si (X, est une
localement libre de rang n = dim X
s ingul iere.
On a aussi (Th. 5 - 1. 3) .
S\. ( l )variete sur k, X/k est un tl'Xmodule
si et seulement si la variete X est non
de dimension nk
tel que Diffx/k(U)
d'elements depar une famille libresoit engendre sur(I)
Derk
((o/X (D) ) .
Proposition 2 Si est une variete non singuliere sur
pour tout x E; X , i 1 exis te un ouvert affine D con tenant x
11.2) Dn theoreme de prolongement
Soit ty: (X, S"X) (Y, sy) un isomorphisme entre deux varietes sur k si V
est un ouvert de Y et PEDiffy/k(V) soi t D er- 1(V) ; on definit un element
<f:t(P) de Diffx/k(D) par la formule
166
(x)x<t (p) (g 0 I.f) peg) 0 If pour tout
Done tout operateur differentiel sur Y possede une image inverse sur X definie
par (x). Nous allons essayer de construire cp:t(P) lorsque If n 'est plus neces
sairement un isomorphisme.
Soient (X, I9'X)' (Y, deux v ar i e t e s , 1T": X Y un morphisme qui est, en
dehors d ' un s ous r s chema f e rrne propre Z de X , une i.mmer s ion ; done 1!"(X \ Z) es t
un sousschema ouvert d'un sousschema ferme, T, de Y.
Si Vest un ouvert affine de If(X\Z) c'esti'idire un ouvert affine de T,
laisse stable
de f i n i r a ,..*(P)
Yoperateur differentiel sur
l'ideal I on pourra definir
sur U = V-I (V).
d l ap r es L' hypo t.hes e il existe un ouvert affine de Y , soit W = Spec B , telB
que V = Tn West de la forme Spec I OU I est un ideal de B. si P est un
on a PE DiffY/ k
(W) et s i P
P sur V et la condition (x)
Definition] Si P verifie l'hypothese precedente, on dira que P se restreint
1f(X\ Z).
est uniquement determine par les
; c t es tadire que, avec les nota
pour Ipf q est une base de
x = h ( pour I Ip I ,p
Done siP se res treint i'i lr(X \ Z) i 1 p os s e de une image inverse T*(P) de f i n i e
sur X \ Z
Supposons X et Y non singulieres et essayons de trouver une ecriture locale de
1r:t(P). La question etant locale on peut supposer que X = Spec A(X), Y = Spec A(Y)
avec A(X), A(Y) r e gul i.e r s de dimensions n et m ; si 11": X Y , on note fLe como rp h i sme A(X) qui fait de A(X) un A(Y)module. A l'aide de la
proposition 2 de II.] on peut encore supposer que Diffk
A(X) est engendre par
dI
, ... , dn
et Diffk
A(Y) par D] , ... , Dm
' en tant qu' a l geb r e s sur A(X) et
A(Y) respectivement. si q est un entier, un element Ii de
(q ) () » - «q)Derk (A Y , A(X HomA(Y) J'l. A(Y) /k ' A(X»
images d'une base du A(Y)module libre
tions du Theo r eme 4 de 1.3, s i (d(q)(Z»p =Sp
P1(Y)/k' A est uniquement determine par les
V"'f\lm .
de :<V# 0 Dl' , rV > =:; pour tout 2J, l'ElNm
, on voit que A)/, u
xl' 0 Dl' sont deux elements de A(X» qui prennent
Compte tenu
et L:1,,1 qpel'lm
les memes valeurs sur les )) e lNm
, done sont egaux.
S i f.> Ii INn
c dans
, I , on aoP' 0
A(X) avec ,;>(3 0 lr #
167
v# e De<q) (A(Y), A(X»
; E c V# 0 DP •P
donc il existe des
Le probleme est donc le suivant si P est un operateur differentiel sur A(Y)
e t que 1 'on veut de f i.n i r rrx(p) sous la forme r; bJb "d fb , que sont les bp ? On
sait que ce s on t des f onc t i ons r egu l i e re s sur X\Z et rr:t(p) est de f i.n i par
la condition: (x) V*(P) (if#' (f ) ; 1r# (P(f» pour fEiA(Y).
si P s' e c r i, t ao( Do( avec all( E A(Y), (x) equivaut a
l: b (\ ('JP 0 rr # ) (f) ; 11'# a V # 0 Dd. (f) ,r: .r. rJ..
lorsque l'on cherche 1T:t(P) sous la forme precedente. On obtient ainsi
c (1f 11' 0 DF) (f) ; J; trf1' acl
(1T#p ...
et par un i c i.te de l'ecriture suivant les 1t# 0 Dll , on a pour tout
Le probleme est ainsi de resoudre un systeme d'equations dans A(X) qui aura des
solutions dans le corps des fractions de A(X), ces solutions etant des fonctions
r egu.l i.e r e s sur X\Z
Pour examiner le cas ou X et Y ne sont pas necessairement non singulieres nous
aurons besoin de la proposition suivante
Proposition 2 - Soit X une variete normale, T un sous-schema ferme tel que :
CodimX si P est un operateur differentiel d'ordre q sur X"\T il se
prolonge de maniere unique en un operateur differentiel d'ordre q sur X
Preuve - si l'on prouve la proposition pour q;O, il suffira de terminer comme
dans [KJ page 34. La question etant locale on peut supposer X affine. On a une
suite exacte de cohomologie locale a support dans T:
Puisque X est normale et T de codimension au moins 2 on a
prof dim lXX ) pour tout xET.,x ,x
iDonc HT(X, e-'X) ; a si i< 2 , d'ou le r e s uLta t puisque les ope ra t eur s di.f f e re rr-
tiels d'ordre a sur X\Z sont les elements de r"I(X\Z,
168
y
schema regulier affine. Dans ce cas Yet
done 11": Xr e g
kN est une immersion en
dehors de XregO Z . L'operateur F sur Y provient d'un op er a t.eur de kN
Xr e g(I. 3 Theor eme 7), et l' image inverse 1T (F) coincide sur avec lJ" (F).
D'apres ce qui a ete fait dans Ie cas non singulier, s'ecrit localement
'); b,.'d' oii les bib sont des fonctions r eg u l i e re s sur xreg\Z, et rationnelles
sur xregt\Z .
x \ Z que i ' on veut de cr i.re sur 7.
kf.T1,···,TNJaffine egale a Spec J
est un s ous-r s chema f e rme de kN
Comme la codimension du lieu singulier, T, de X est superieure ou egale a 2,A.-
la propos ition 2 de II. 2 p erme t d ' affirmer que ". (F) se pro longe en un op e r a t.eu r
di.f f e ren t i.e I sur X\ Z qui coincide avec Sur Z, localement les denomi>
nateurs des bp vont aussi admettre un prolongement a Z tout entier.
Definition 3 - Lorsque verifie les proprietes precedentes, on dira que
lr-"\F) ores t a coefficients ra tionne Is" sur Z.
D'ou :
Theoreme 2 - Soient X et Y deux va r i e t e s , X normale, 11": X Y un
morphisme qui est une immersion en dehors d'un sous-schema ferme propre, Z , de X .
Si F est un operateur differentiel sur Y qui se restreint a 1T'(X\Z), a Lor s P
possede une image inverse 11' qui est un operateur differentiel sur X \ Z et
"est a coefficients rationnels" sur Z
11.3 - Singularites quotients, d'apres LKJ
Soit k un corps algebriquement clos de caracteristique O. Rappelons quelques
definitions et proprietes concernant les morphismes etales (cf. (S.C.A]).
Soient X et Y deux schemas de type fini sur k, f un morphisme X Y ,
xEiX , y = f(x).
Definition 1 - On dit que
,st(I) = 0 •o /0x,x Y,y
f est etale en x si es t plat sur et
169
On a ((S.G.AJ expose I)
Proposition 2 - Soit f: X Y un morphisme de varietes ; xEX , y = f(x).
si f est etale en x, X est non singuliere en x si et seulement si Y l'est
en y, et si f est dominant l'ensemble des points ou f est etale est un ouvert
non vide de X
On obtient alors
Proposition 3 - Soit f
Supposons f etale en
eomorphisme de f, ff::!'
x Y morphisme de varietes ; x :X
x et x e Xr e g
, I' ouvert regulier de X
induit des isomorphismes :
y = f(x).
si f'fF est Ie
IilO 0x,xY,y
'" n. (I)°X,x/k
et
51. (I)A/k
A et B , respeetivement. De plus d'apres I.]
modulesBune suite exaete de
A = ° ,B = ° ,n = dim A '" dim B , f# A B ,Y,y X,xsont libres de rang n sur
Preuve - si
et Sl (I)B/k
prop. 3, on a
Sl.(I) ElA
BA/k
3. (1) S\. (1)B/k BIA ° ---'> °
Si N = ker <f on voit aisement que N est un Br-mod ul.e de torsion, mais eomme B
integre, .sl. ( I) (1)est N
= ° , doneB/k SI.A/k lilA B
En dualisant(1)
B) B(I)
A) , B est plat sur A ,(J).B/k' Iil RomA(S\.A/kcar
done Der (1) (B) iliA 1) (A).k
Corollaire 4 - Soit f
ou f est etale en x
X -----.,. Y un morphisme de var i e te s , x6Xr eg
, y = f(x)
si q61N il existe un ouvert U de X eontenant x,
un ouvert V de Y eontenant y sur lesquels f est etale et
(1)0X,X Iilo Der (oy ) ee qui
y y ,y0Y,y se prolonge par l'interme-
'dl
, ... , ()n est une base de
obtenus forment une base de
Preuve - D'apres la proposition 3 : Der(I)(O )k X,X
implique en partieulier que toute derivation de
diaire de en une derivation de • si(I) ,x
Der k (OY ) sur 0y ,les prolongements ainsi,y ,y
G de GL(n,k) operant sur l'espace affine kn ,
Soit X = Spec R ; kn , l'action de G detinit
Spec RG
au RG
est l'anneau des invariants.
170
d'apres l'isomorphisme precedent. D'autre part et
engendrent Diffk(Ox,x) et Diffk(Oy,y) (cf. 1.3 Theoreme 4), en
particulier on a : 0X,x laO ,y) pour tout q6t'l.Y,y
Puisque Xr e g
est un ouvert de X , ainsi que I' ensemble des points ou f es t
etale et les Ox et 0y modules Diffi/k et . f q sont cohe rent s obtientque fY/ kon
les ouverts U et V de i ' erionce ,
Considerons un sous-groupe fini
done sur R; k r. Xl , ... , XnJ .
une variete quotient y; X/G =
Rappelons que RG
est une k-algebre de type fini normale. Notons K Ie corps
des fractions de R, alors KG est Ie corps des fractions de RG
l'extension
K;)KG
etant galoisienne de groupe G.
Notons '1r: X Y I ' app lica t i on quotient ; 1T es t un morphisme fini sur j e c tif,
l'ensemble des points ou Vest etale est un ouvert non vide de X, nous noterons
Z Ie ferme, propre, complementaire de cet ouvert.
Si pEX, on note Gi(p) = l¥EG/VaER '(Ca) - a(,i p] Ie groupe d'inertie de p,
si Gi(p) ; {11 alors rr est etale en p
On a vu que Di ffkCR) ; AnCk) , L'<a l g eb r e de Weyl, et si Pe An (k) on de f i n i t ,
pour tout '66 G , un operateur p'i en posant : ;t.pct- 1f) pour tout
f dans R . Ainsi Ie groupe G opere sur An(k), et cette operation respecte
l'ordre des operateurs differentiels.
Avec les notations qui precedent, Ie probleme est de determiner les liens qui
existent entre Diffk(RG)
et AnCk)G . On a Ie theoreme suivant, semblable au
tho 4, chap. III de tKJ compte tenu du t h eo r eme de prolongement a Lgebr i.q ue
demontre en 11.2
An(k)
A (k)Gn
Theoreme 5 -
Ca) Pour qu'un element de
il suffit qu'il appartienne ainduise un operateur sur il faut et
(b) II existe un homomorphisme injectif : AnCk)G Diffk(RG)
(c) L'injection precedente est une surjection si et seulement si Ie groupe G
ne contient pas de pseudo-reflexion differente de l'identite.
Preuve - par un lemme
171
Lemme 6 - Si P 6 (R) et Pest RG-lineaire, alors P = 0 .
P (_x ) I P( )P = x.done
D'autre part
Sl car l'extension K:>KG
est
P(x)
Preuve - Nous savons qu'il y a une injection
et Der(q)(K) = 0R R KG
algebrique de type fini, separable (cf. I. I, prop. 3). 11 suffit done de verifier
que si alors P est KG lineaire; mais ceci est evident car Sl
Ret xEK on a f3
Demonstration du theoreme 5 :
(a) Si PeA (k)G alors quelques soient tEG et feR on an
P( .f) = ')f .P(f), donc si flSRG,
P(f) = ¥ .PU), et PEDiffk(RG).
Re c i.p r oquemen t soit tel que p(RG)e RG
. Posons P = a + A avec
P(I)=a,onobtient a_RG,et A P-a veri-
fie a (RG)
eRG . 11 suffi t done de mon trer /),. . A (k) G . Prccedons par recurrencen
sur q ; si q = 0 alors Ii = 0 j si , pour tout '6 E G on a quelques
soient aERG
et XER,
(,A't -I!.) (ax) ¥£ULa]' o(-'x) + a J!, + '6 -1 x J!,(a)]
- (A, a]' (x) - a A (x ) - x A(a)
On ve r i f i e a i semen t que (A, aJ'
(A ,aJ''lf =(O,a)' ce l a donne
(A"lf -A)(ax) (x).
A E A (k) Gn
(RG)CRG
et ainsi par hypothese de recurrence
/f.[b,a]'(x)=(A, aJ'(x), d'ou
Done A'l! - A Der(ci) (R), et par le lemme 6,R
(b) 11 s'agit de mon t r e r que si PEA et P(RG)
= 0 alors P = 0 .
Si P = a +A avec a6R = 0 implique a = O. Montrons
que A est RG
lineaire ce qui donnera A = 0 . On procede par recurrence sur
on a A(af) = (A, aJ' (f) + ali(f) + fA(a) pour tout aERG
et fER. Par
recurrence et puisque A (a) = 0 , on obtient A (af) = a A (f).
q ,
( c) Montrons que si 'I EiG\t I] et si {f fixe un hyperp lan H , alors
Diffk(R
G)contient strictement A (k)G On peut supposer que
nH = fx = (xI
n 0] qui If, ... , xn)Ek IX I= , ce donne pour :
¥(XI, .. -, X ) = ce XI' X
2X ) ou C. est une racine p-ieme de l' uni t e ,
n np f- I
Posons P
f i xee par
IGI 2:pEG
¥ , done il
, remarquons que si
Ai' N Pf6 R telle que f = f(X" X
2
f ERG alors f est
172
Alors P. An(k), mais
- 1 L:P(f) - TGT P 6G
done PCf)P
TGT r pCh)PErG
au h
l: _P--.-pErG V(XI)p
p(Xl'
I
Reciproquement si G ne contient pas de pseudo reflexion differente de l'identite
montrons que DiffkCRG)
= An(k)G .
Si qEI'l, x 6 Z Le corollaire 4 de 11.3 i.mpl i que qu'il existe des ouverts U et V
con tenant respectivement x et y = lr(x) tels que
diviseraitf
k Xn
ce qui donnerait
cherchee.
'1(X.) - X. of 0 , eti
f 6 k Xl + ... +
la contradiction
lineaire il existerait x.i.
XI + ••• + k Xn ' par suite
fixant un hyperplan, d'ou
)f(X.)-X.(iki.
que '66G \£ 13
Soit P de f i n i t un element de Diffilk(V), done par l'isomorphisme
precedent un element de DiffilkCU), ceci etant valable pour tout x Z on a
ainsi de f in i une image inverse lI'::t(P) sur x vz . D'apres La proposition I de 11.2
il suffit de verifier que pour obtenir 1T"xCP) sur X , done 1T::tCP)
dans AnCk) qui evidemment coincidera avec P sur RG . II s'agit done de montrer
que Z ne contient pas de points p tels que la hauteur de p soit J • s'il
n'en e t a i t pas ainsi P = fR ; P6Z i mpl i que r a i t Gi(p) of [11 , et il existerait
fixant point par point R; en particulier puisque l'action de G estp
tel que
173
References
[B] J. Becker - Higher derivations and the Zariski-Lipman conjecture.
Proceedings of Symponia in Pure Mathematics. Vol. 30, (1977).
[G] A. Grothendieck - Elements de Geometrie algebrique. Chap. IV, quatrieme
partie. Publ. I.H.E.S. nO 32 (1967).
[H] R. Hartshorne - Algebraic Geometry. Springer Verlag (1977).
[K] J.K. Kantor - Formes et operateurs differentiels sur les espaces analytiques
complexes. Bull. Soc. Math. France. Memoire 53, (1977).
is.G.A] Revetements etales du groupe fondamental - Lee. Notes in Math. nO 224
Springer Verlag (1971).
(S] S. Suzuki - Differentials of Commutative rings.
Queen's Paper pure and applied Math, (1971).
[SwJ M.E. Sweedler - Groups of simple algebras
Publ. Math. I.H.E.S. nO 44, (1974).
Universite Pierre et Marie Curie
Mathematiques. U.E.R. 47 - Tour 45-46
4, Place Jussieu
75230 PARIS CEDEX 05
FACTORIALITE ET SERIES IRREDUCTIBLES II.
par Marc BAYART
On trouvera ci-apres la suite de l'article [I ]. Consacree cette fois aux
classes de congruence des series irreductibles, notre etude resoud par l'affirma-
tive, lorsque l'anneau A contient la conjecture:
"Si A est factoriel, l'ensemble des irreductibles de A [[T]] est ouvertpour
la topologie T-adique".
Autrement dit
si f = Ln E: IN
a Tn est irreductible, il existe un entier N tel que toutes lesn
series g, ayant memes coefficients que f jusqu'a l'ordre N inclus, soient
egalement irreductibles, quels que soient leurs autres termes.
Nous renvoyons a la table des matieres en ce qui concerne les diverses etapes
de la demonstration, notons seulement les expressions particulierement simples des
nombres de classes pour les reductions modulo Tn+ ] , lorsque f(O) est "petit"
( § § IV, V, VI).
Ce resultat montre que, pour les series formelles, l'irreductibilite est une
propriete de "caractere fini", en ce sens qu'elle ne fait intervenir qu'un nombre
fini de coefficients. On peut se demander si les anneaux factoriels A tels que
A [[ T]] soit egalement factoriel ne sont pas justement ceux pour lesquels la
relation de divisibilite verifie une propriete analogue.
175
Indiquons, par ailleurs, que les anneaux En (§§ V et VI) semblent jouer un
role essentiel dans la factorialite de A [[ T ]]; ils ont en outre l'avantage d'etre
integres - contrairement aux A [[ T ]]/(Tn+1)
- et de traduire convenablement
l'irreductibilite modulo Tn+ ] . Leur etude approfondie devrait, elle aussi, rensei-
gner sur les liens existant entre factorialite de A et de A [[ T ]], peut-etre
permettrait-elle egalement de definir la notion d'''invariant caracteristique"
conjecturee par P. SAMUEL dans [ 7 ].
176
TABLE DES MATIERES
§ IV - REDUCTIBILITE MODULO Tn+1.
Enonce du Theoreme (T): l'ensemble des irreductibles de A [[ T]] est ouvert pour
la topologie T-adique.
IV. I - Definitions et premiere reduction.
Series reductibles, inversibles, irreductibles modulo Tn+ 1; ordre
d'irreductibilite; si A est principal, critere pour que l'ordre
d'irreductibilite d'une serie soit 1; relations entre ordred'irreduc-
tibilite et ordre reduit lorsque A est un anneau de valuationdiscre-
te complet; reductibilite de f modulo in+ ] f(O) = 0 •
IV. 2 - Conditions suffisantes pour (T).
Definition des enonces (EN); la conjonction des (EN) implique (T);
si (EO) est vrai, tous les (EN) Ie sont.
IV. 3 - Localisation et completion.
(EO) "passe" du local au global; il suffit de Ie demontrer pour un
anneau de valuation discrete complet ("cas reduit").
§V - ETUDE DU CAS REDUIT.
V. I - Notations et rappels.
Valuation p-iad i que , theoreme de preparation, po l ynfime quasi- distingu2;
decomposition en irreductibles quasi-distingues; polygone de Newton,
cas d'un polynome irreductible.
V. 2 - Decomposition du denominateur.
L'enonce (E); il implique (EO)' et il suffit de demontrer (E) pourun
denominateur g irreductible et quasi-distingue (enonce(E'».
V. 3 - Demonstration de (E').
Deux methodes differentes selon que g est au non homogene en
formisante) et T.
§ VI - CAS PARTICULIERS ET CONSEQUENCES.
VI. I - Valeurs explicites de r(F,N).
Valeurs uniformes minimales; elles conviennent lorsque f(O) ne con-
tient pas de facteur bicarre.
177
VI. 2 - Traductions de (T).
Cardinal de l'ensemble des classes d'irreductibles associees a un
I r reduc t i.bLe d ' ordre N; etude des anneaux lBn
; si une infini t e d'entre
eux sont factoriels, A[[ T]] l'est aussi; substitutions de polynomes
au lieu de series.
§ VII - APPENDICE.
VII. 1 - P're l i.mina i re s .
Polygone de Newton; proprietes geometriques; definition des p-divi-
seurs; somme, produit et division euclidienne.
VII. 2 - Lrreduc t i b i l i te .
Theoreme VII.2.1 : si un polynome est irreductible, son polygone de
Newton a un unique segment non vertical.
BIBLIOGRAPHIE.
178
§ IV - REDUCTIBILITE MODULO Tn+!
Dans ce §, A designe, sauf mention contraire, un anneau factoriel; on suppose
de plus que les elements de sont inversibles dans A : autrement dit, A est une
factorielle.
On se propose de demontrer Ie resultat suivant
(T)L'ensemble des elements irreductibles de A[[ T]] est ouvert pour la topologie
T-adique.
(T) revient a dire que :
(T')Si la serie fest irreductible dans A[[ T ]], il existe un entier N tel que,
pour tout g appartenant a A[[ T]], la relation "g := f [rN+1] " en t r a i ne que g est
elle aussi irreductible.
IV. I - DEFINITIONS ET PREMIERE REDUCTION.
IV. 1.1 - Definitions.
Si f appartient a A[[ T]] et n E ]\I, nous dirons que fest !leducUbLe. (resp .
-<-YtveA6-<-bLe.) moduLo Tn+! si, et seulement si, l'ensemble des f + Tn+I.R-R apparte-
nant a A[[ T]] - contient au mains un element reductible (resp. inversible); autre-
ment dit si il existe au moins un g, congru a f modulo Tn+ l, qui soit reductible
(resp. inversible).
Comme f(O) est Ie terme constant commun a taus les f + Tn+ 1. R, les enonces"f . ." 11 u- l, 11 n+lest fest inversible modulo T ,tous les f + T . R sont
inversibles", sont equivalents.
Par ailleurs, si fest reductible dans A[[ T]], elle l'est modulo Tn+] pour
toute valeur de n. La reciproque est fausse lorsque n est fixe soit p un element2
i r r educ t i b l e de A, et posons f p - T; on voit a i s emen t que fest .ir r ed uc t i.bLe ,
par contre, fest congrue a p2 modulo T et est done reductible modulo T.
fest dite moduLo Tn+! lorsqu'elle n'est ni inversible, nireduc-
tible modulo Tn+!; cela signifie que toutes les series g telles que g := f [Tn+ l]
s.ont irreductibles. Bien entendu, si fest irreductible modulo Tn+ l, elle l'est
aussi modulo Tm+1
pour tout m n, et f elle meme est alors irreductible. Nous
appellerons done O!ld!le. de f Ie plus petit entier N, si il existe,
tel que f soit Lr reduc t i bLe modulo rN+1; ce l.a revient a dire que fest irreductible
modulo TN+I
mais reductible modulo TN. Observons que (T) affirme que toute serie
irreductible a un ordre d'irreductibilite.
Enfin, si fest irreductible (resp. reductible, inversible) modulo Tn+], il
en est de meme pour u c f , pour tout u inversible dans A[[ T]] ; en particulier, si f
179
a un ordre d'irreductibilite, u.f aussi et ils sont egaux.
IV. I. 2 - Exemples.
Dne serie a 0 pour ordre d'irreductibilite si, et seulement si, son terme
constant est irreductible. En effet, si f = 1: an r", toute decomposi tion de "o estnE IN
une decomposition de f modulo T, et reciproquement; d'ou I 'equivalence.
Lermne IV. 1.2 - Soil A uri al'lY!cau pJUnc;.pa£, f = 1: an' r" a pou»: O!1.dJLcnE IN
d'VuLeduilib-UUe 1 !.>-t, U MLI£vne.nt !.>-t :
a) ao e.!.>t pJUmaJ.!1.c - a dJ.!1.c d'un VuLeduilibtc -
U non VuLeduilibtc, U
S) a 1 e.!.>t p!1.vnJ.C!1. ave.c "o
Demonstration. Condition necessaire : si fest irreductible modulo T2,
elle est
irreductible (cf. IV.I.I), donc aOest reduit d'apres Ie lermne I 222 de [I J,c'est
a dire de la forme: aO
= u.pk; u inversible dans A, p irreductible dans A, k appar-
tenant a TI* . De plus k est superieur ou egal a 2, sinon l'ordre d'irreductibilite
serait I. Si aln'est pas premier avec a
O'il est de la forme a
l= a.p, a E A;
alors :
k-l + a. T) [T2 Jf =: p.(u.p
et aucun des termes du second membre n'est inversible : contradiction.
Condition suffisante : avec les notations ci-dessus, supposons que
aO u.pk, k 2, et que alest premier a p. Par l'absurde, si
bO et Co etant de plus non inversibles, chacun d'eux est donc multiple de p ;
par suite a l = bO.c 1 + cO.bll'est egalement, contradiction fest irreductible
modulo T2.
Par contre, Ie debut de ce nO montre qu'elle est reductible modulo T,ce
qui acheve la demonstration du lermne.
Dans ce troisieme exemple, et jusqu'a la fin de ce on , nous supposerons,pour
simplifier, que A est un anneau de valuation discrete, d'uniformisante p, et qu'il
est complet pour la topologie p-adique. Rappelons (cf.[ 4 J) qu'un polynomedistingue
est un polynome unitaire dont tous les autres coefficients appartiennent a l'ideal
p.A et que tout f non nul appartenant a A[[ TJJ s'ecrit de maniere unique:
180
:IN, u inversible dans A[[ T]], P poLyndme di s t i ngue ,
est Ie eontenu de f, e'est A dire Ie PGCD de ses coefficients; deg(P) estrordre
r edui. t de f. p-k - on di ra, par abus de langage, ordre r edui t de f - c ' es t A dire la
valuation de l'image eanonique de f.p-k dans (A/p)[[ T ]]. Cela etant, on a
kf = P u(T).P(T), k E
kP
Lemme IV. 1 .2.2 - A e.tant un anneau de va£.ua-tion db.,Cl1-e;(:e c.omptet, Mit f
-U1Aeduc.tible daYiJ.> A[ [ T]], de ;(:eAme c.OYiJ.>;(:ant non nut et non bvte-
duc.tibte.. MOM, f.,-t t' O!LeVte d' bvteduc.tibilite de f e.w;(:e., il ef.>;(:
f.,Upvue.uJl. ou ega£. a .6On on.dne. fteduit.
Demonstration. Remarquons d'abord que Ie cas au f(O) est irreduetible a ete etudie
en toute generalite au debut de ee nO; quant A celui au f(O)=O, il sera traite
au IV .13.
Designant par v la valuation p-adique de A, les hypotheses entrainent quep
v (f(O» est superieur au egal A 2; par suite, Ie eontenu de fest 1 car, sinon,ppdiviserait f et Ie quotient, ayant un terme constant multiple de p, ne serait pas
inversible. f est done de la forme u(T) .P(T), u inversible dans A[ [ T J J et P
1 - di . - - 0 0 s-I spo ynome as t i.ngue , note P=p.,.,O+ ... + P''''s_I.T .+ T
Vu la remarque de la fin du IV.I 1, il suffit de raisonner sur P. or
( 0 Q s-I) [Ts ]PO' p. "'0+ "·+"'s_I·T
et So n'est pas inversible, puisque vp(SO)= vp(aO)- 1 . Ainsi, Pest reduetible
modulo TS , d'ou Ie lemme.
2 2Montrons que l'inegalite du Lemme peut etre stricte: soit f = P +2p.T+(l-p).T •
Son ordre reduit est 2, puisque I-p est inversible dans l'anneau local A. Or fest2 3eongrue A (p+T)(p+T-T) modulo T done l'ordre d'irreduetibilite de f, si il
existe, est strietement superieur A 2.
IV. 1.3 - Cas au f(O)=O.
D'apres Ie IV.I 1, (T) signifie que toute serie irreduetible a un ordre d'ir-
reduetibilite, soit, par eontraposition, que pour tout f appartenant A A[[ T JJ,non
nulle et non inversible, on a :
(Tf) si, pour tout n E , fest reduetible modulo Tn+], alors fest reduetible.
Remarquons, toujours d'apres Ie IV.II, que si u est inversible dans A[[ TJJ,(Ti)et
sont equivalents.
Nous par etudier Ie cas au f(O)=O:
Lemme IV.I.3 - Soit A un anneau quelconque et soit f appartenant a A[[T]], avec
f(O) = 0 • fest i r i eduatzi.b Le si, et seulement si, elle est de la
181
T.u(T), u iYtvvwible. daYiJ.> A[[T]]. VaYiJ.> c.e. C.M,.60Yt ondJ!.e. d'butedu.c.
tibLtUe e.xMde. e;t vaut 1.
Demonstration. D'abord, si fest i r r educ t i.bl.e et f(O)=O, T divise f done e.st.associe
a f et eelle-ei est bien de la forme T.u(T), u inversible. Reeiproquement, Test
irreduetible ear l'anneau quotient A[[ T ]]/T, isomorphe a A, est integre, etl'ideal
engendre par T est premier; par suite, tout element assoeie a Test irreduetible.
Quant a la seeonde assertion, il suffit d'etudier l'ordre d'irreduetibilite
de T. D' une part, toute s e r i,e congrue a T modulo T2 es t de la forme T+ b2•T
2+ ...
et est done irreductible d'apres la premiere partie de la demonstration: Test
irreduetible modulo T2 ; d'autre part T2 , qui est reduetible, est congru aTmoduloT.
En definitive, l'ordre d'irreductibilite de T est bien 1, d'oll Ie lemme.
Le lemme IV.13 montre que (Ti) est vrai pour tous les f de terme constant
nul. II l'est trivialement lorsque Ie terme constant est inversible, premise et
conclusion etant alors fausses. Seules restent done a etudier les f telles que
f(O) n'est ni nul, ni inversible. Dans ce qui suit, nOIlS de s i gne r ons par: A[[ 'I"] ]'
I 'ensemble des f E A[ [ T]] tels que f(O)# 0, A[ [ T]]" celui des f tels que f(O)
soit non nul et non inversible.
IV. 2 - CONDITIONS SUFFISANTES POUR (T).
IV. 2. 1- Soit N E :IN, notons (EN) l'enonce suivant: pour tous F, G, HE A[[ T ]]',
il existe un entier r(F,N):> Net deux parties finies I(F,G,H,N) c A/G(O),
J(F,G,H,N) c A/H(O) - notes r, I, J quand F, G, H, N sont fixes - tels que, pour
g et h E A[ [ T]], la relation
F _ g.h [Tr + l]
(e) g _ G [TN+1]
h _ H [TN+ 1]
entraine que la classe modulo G(O)(resp. H(O» du coefficient de
appartient a I (resp. J).
Cela pose, on a
PROPOSITION IV. 2. J. s: tous leA (EN) .6Ont vte.a..u." (T) I' eAt a.t.L6.6i.
Demonstration. D'apres Le IV.13, il suffit, pour tout f appartenant a AllT]]", de
montrrr que l'enonce "pour tout N, (EN)" implique (Ti).
Supposons done que, pour tout entier n, i I existe gn et hn dans A[ [ T ]]" tels que:
182
n+1 n k(I) f '= gn·hn[T l : gn = l: bk·T,h =
kElN n kn n
Donc f(O)= bO'cOet Ie lemme II 3.1 de [I] montre qu'il existe une
-] n10 de :IN et des un inversibles dans A (n E 10 ) tels que u .b O et
-I nindependants de n. Remplacer gn par un·gn et hn par un .hn permet
partie infinien .
un'cOde supposer que
(2)(1) est vraie et bnon
bO' Co = Co sont independants de n E 10 ,
Appliquons l'enonce (EO) a F f,G bo'
H = Co et posons r O = r(f,O). Alors, vu
que (2) entraine (e) des que nest sUDerieur ou ega I a r o' on a :
pour tout n E 10 , n> r o' TIbo
E I(f,bO'cO'O) et TIco
E J(f,bo'co'O),
Comme 10 est infini, il existe un II infini inclus dans 10n{rO,rO+1, ... J tel
que TIb et TIc soient constants pour n appartenant al l ; c'est a direqu'il. 0b 0 -1 et c 1 appartenant a A tels que :
(3) pour tout nEI l' - b l [bO] et '= b l [bo] et '= c 1 [cO]·
Si est de la forme b l + en multipliant gn(n E I 1)par et hnn
par (I + AI,T), (2) demeure et on a donc, en notant encore gn et hnles series
modifiees :
(4) pour tout nEI l' (1) est et
Soit N superieur ou egal a 1 et supposons trouves bO,···,bN et cO, ... ,cNappartenant a A, une partie infinie IN de et des gn' hn(n E IN) tels que:
_ [ n+1(5) pour tout n E IN,f = gn.hn T ] et
N N+l _ N N+1gn '= bO +., ,+ bN,T [T ]; h
n= Co + ... + cN·T [T ].
N NAppliquons alors (EN) a F = f,G = b
o+".+ bN,T, H=cO+.,,+cN'T et posons
avec N+! a la place de N. Cette recurrence definit deux series g
(5):d ' ap r e son a,de plus, pour tout entier N,
r N = r(t,N). On observe ici que (5) entraine (e) des que n est superieur ou ega I
a rN,
donc :
pour tout n E IN' n> rN, on a : TIbo
I(F,G,H,N)et TIco
J(F,G,H,N).
Pour la meme raison que ci-dessus, quitte a substituer a IN une partie infinie
IN+1 de IN n {rN,rN+l" .. J et a remplacer gn et hn par des series associees du
( ! An N+ ! ) - 1 , n N+1) . - I' dtype + N+!.T ·gn' (I + !\N+1·T .hn, on ab ou t i t a une re a t i on u type(5),
Kl: bk.T et
k E :IN
(6) pour tout n E IN,f _ g .hn n
[Tn+1]. '=g[TN+1],h '=h[TN+1]., gn n
Comme IN est non vide, que ses elements sont tous superieurs ou egaux a r N et que
ce dernier est superieur ou egal a N (cf. (EN))' (6) entraine que, pour tout N, f
est congru a gh modulo TN+!, autrement dit f = gh. De plus, g(O) et h(O) sont
183
associes aux gn(O) et hn(O) respectivement; par suite g et h ne sont pas inversi
bles, ce qui etablit (Tf) et la Proposition IV. 21.
IV.2.2 Nous montrons maintenant que, dans l'etude des (EN)' il suffit de cons i
derer Ie cas au N = O.
Demonstration. Soient donc N> I, F, G, H, des elements de A[[ T ]]'. Soient aussi
rj> I un entier qu'on fixera par la suite et g, h appartenant i A[[T]] tels que:
(I) F =: g.h [Trl(N+I)+l]; g =: G [TN+ 1] , h =: H [TN+I](et donc F _ G.H [TN+ I]).
Soient wl, ... ,wN+I les racines (N+I) iemes de l'unite, toutes distinctes ici
puisque, A etant une sa caracteristique est nulle, appartenant i
cloture algebrique du corps des fractions de A. D'apres (I), g et h sont de la
forme
(2) GN+I + TN+2.y(T),g + bN+I·T
h H + N+l + TN+2. neT) E M [ T ]].cN+I·T y et n
De plus, pour tout i E {1, .•• ,N+I}, F(W;T) _ g(w.T)h(w.T)[Trl(N+l)+I].L L
Donc , avec les notations de [ I ] ,III 1, et n = N+)
(3) f _ i.B [Trl(N+I)+)].
Mais on a vu (c f , Lemme 111.11 de [I]) que F, g, h sont respectivement de Ia f orrneN+I N+l N+I
FI(T ), gl(T ), hl(T ) avec F l , gl et hI appartenant i M[T]]. Par suite,
dans la relation (3), Ie module de la congruence est en fait (r1+)(N+I)
et, en y
substituant T i TN+ I, on obtient :
_ r +1(4) F I = gl.h l [T I l .
D' autre part, gl (0) = g(O)N+I, hI (0) = h(O)N+I, autrement d i t , compte tenu de
(I)
(5) g =: G(O)N+I [T]I
Quant au coefficient de T dans gl' c'est celui
(2), dans Ie produit des:
. N+ I [ ]; hI =: H(O) T.
de TN+ I dans g, c'est i dire,d'apres
N+lG(wiT) + bN+1T
+ W.TN+2y(w.T). lIne peut provenir que de
N+I N+lTI (G(WiT) + bN+IT ).i=1
On en deduit aisement que ce coefficient vaut :
(6) S + (N+I).bN+ I .(G(O»N; S etant Ie coefficient de TN+ I dans G.
De meme, si 0 est Ie coefficient de TN+ I dans H, celui de T dans hI est
(7) 0 + (N+). cN+I.
(R(O»N.
184
_ N+I N+IAppliquons alors (EO) a F i: G(O) ,H(O) ,gl,h l a la place de F, G, H, g,
h respectivement, en observant que la relation (e) decoule de (4) et (5) si l'on
prend rl
= r(F I ,0) qui ne depend effectivement que de F et de N,. Posons maintenant
r = rl(N+I), La relation (1) implique, d'apres ce qui precede, que
N N+I N+I(8) 11 N I(S+(N+I)bN I,G(O»E I(F1,G(0) ,H(O) ,0)
G(O) + +
N N+I N+I11 (0 + (N+l)cN+1,H(0) )EJ(FI,G(O) ,H(O) ,0).H(O)N+I
Soit v l'application de A dans lui meme qui, a tout x E A, associe
S + (N+l). x .G(O)N et remarquons que, vu la definition de S , V ne depend que de
G, H, N, De plus, les classes modulo G(O)N+I de v(x) et v(y) sont egales si, et
seulement si, G(O) divise (N+I), x, c'est a dire si les classes modulo G(O) de x
et y sont egales, puisque N+I est inversible dans A. On en deduit le diagramme
commutatif :
A
1IG(0) 1A/G(O)
v
v
et vest injective. Par ailleurs, la premiere partie de (8) s'ecrit - en designant
simplement par I le second membre - : V(1IG(0) (bN+I»appartient a I; autrement dit:
-I
1IG(0) (bN+ I) E V (I).
Et ce dernier ensemble est fini, puisque vest injective, On definit de meme W et
wet, en prenant :
N+I N+II(F ,G,H,N) = v (I(F I ,G(O) ,H(O) ,0»,
r(F,N) = r l(N+l), c'est a dire r(F1,0)(N+J);
-I
-IJ(F,G,H,N) = W (J(FI,G(O)N+l ,H(O)N+I,O»
on termine la demonstration de (EN) et de la Proposition IV. 22
Etant ainsi ramenes a la plus petite valeur possible pour N, les reductions
suivantes vont porter sur l'anneau des coefficients,
185
IV.3 - LOCALISATION ET COMPLETION.
Lemme IV. 3. I - POM que. (EO) Mil VllcU pOM rout: anne.au. - 6ac.toJUc£ -U -6u66il
qu' -U Mil VllcU foMqUe. A es: un anne.au. de. vafua-tion cU.-6CJtete..
Demonstration. Soient A un anne au factoriel et F, G, H appartenant a A[[ T ]]'.
Designons par {po liE I} un systeme representatif d'elements irreductibles de A.l
Pour tout i E I, s o i t Li
Le localise de A par L' i de a l - premier - APi: Li est un
anneau de valuation discrete, d'uniformisante Pi' c'est une si A l'est,
enfin A[ [T ]] est un sous-anneau de L. [[ T l l .t.
Soient ri,
Ii C Li/G(O)Li,
Ji
C Li/H(O)Liles resultats de l'application de
(EO) a F, G, H dans Li; observons que, si Pi ne divise pas F(O), il ne peut d i.vi s er ,
ni G(O), ni H(O), et que, ces derniers etant alors inversibles dans Li, Ii et J isont des singletons {a}. En definitive: les 1. et J. sont presque tous {a} et les
l l
r i correspondants valent 0 (revenir a la definition).
Cela e t ant , soit 0: A -+ n LiI' application diagonale et no tons
i c I
n : n L. -+ n L./G(O)L. Le "produit" des surjections naturelles. Soit x appartenantiEI l i e r ' l
a A, n(o(x»=O signifie que x appartient a tous les G(O)Li, c'est a dire a
G(O) c n L.) = G(O)A.i Ell
On deduit de ceci Ie diagramme commutatif :
n L./G(O)L.i Ell l
A
nG(o)l
AlG(O)
o- n L.i Ell
1 rr
et 8 est injective.
Posons alors r = sup (r.): r est bien defini puisque les risont presque tous
i Ell
nuls et, d'apres la remarque faite au debut de la demonstration, il ne depend que
de F. Designons par bJet c
Iles coefficients de T dans g et h respectivement. Si
I' on a :
r+1F_g.h[T ];g_G[T],h_H[T],
I d h . . r . + I I' - - (E )a ors, ans c aque Lila premlere congruence a lleu modulo T l et enonce 0'
applique aLi' montre que la classe de bl(resp. c
l) modulo G(O)L i (resp. H(O)L i)
appartient a la partie finie Ii (resp. Ji) . Autrement dit, en ce qui concerne b l :
186
11(0 (b I )) E 11 I.i E I 1
et, vu Ie diagrarnme commutatif precedent
-I
11G(O) (b 1) E
ce dernier ensemble etant de plus fini, puisque les Ii sont finis, presque tous
{a} et que 6" est injective, et ne dependant que de F, G, H d'apres sa construction.
On raisonne de meme pour cj' d'ou Ie lemme :
Lemme IV. 3. 2 - PaWl que- (EO) VlLcU poun: tout anne-all de- vaiua;Uon dMcAUe-, il
Wb 6-Lt qu' fJOd vnai. f I hypotheM fJuppfeme-ntcU!Le- que- c-uanne-au c-ompte-;!:.
Demonstration. Soit A un anneau de valuation discrete, d'uniformisante p; soient
F, G, H appartenant a A[[ T]] I et notons AIe complete de A pour la topologie
p-adique. A est un anneau de valuation discrete, pour la meme uniformisante
(c f . [3 ])et c'est une lQ-algebre si A l'est. Soient i e A/G(O)A et :leA/H(O)A
les resultats de l'application de (EO) a F, G, H dans A. Les fonctions naturelles
v et de A/G(O)A dans A/G(O)A et A/H(O)A dans A/H(O)A respectivement sont injec-
tives car, pour tout a appartenant a A, aAnA= aA (cf. [6]). Si on pose :-I -]
r = r,I = vO), J= on voit aus s i t St qu'ils permettent de verifier (EO)pour
F, G, H, dans A.
IV.3. 3 - Conclusion.
Les propositions et les lernmes ci-dessus ont ramene, en definitive, la
demonstration de (T) a celIe de (EO) dans un anneau de valuation discrete, complet
pour sa topologie naturelle : c'est Ie "cas reduit" dont l'etude va etre faite au
§ suivant.
187
§ 5 - Etude du cas reduit
V.I - NOTATIONS ET RAPPELS.
V.I. I - Dans ce §, A designera un anneau de valuation discrete, d'uniformisante
p , complet pour la topologie p-rad i.que , On note v la valuation p-adique et II = e-v
la valeur absolue associee. Toutes deux se prolongent a K, corps des fractions de
A, qui est un corps value complet. Rappelons que, pour taus x et y appartenant a
K, on a: v(x+y);;' inf(v(x),v(y») ; I x+y I,;;;; sup(lxl, Iyl) avec egalite lorsque
v(x)f v(y).
De plus (cf. [I], IV.I. 2) tout element non nul f de A[[ T]] s'ecrit de maniere
unique s ous la forme: f = pk.u(T).P(T); k E lN, u inversible dans A[[T]], P
polynome distingue.
Lorsque k = 0, fest irreductible dans A[[ T]] si, et seulement si, P l'est dans
A[[T]] et on sait (c f , [4]) que cela revient (i dire qu'ill'est dans A[T]. Nous
appaellerons pO£.ljnome qUiL6-<--fuungue tout element de A[ T] dont Le coefficient
directeur est inversible, Ie coefficient constant est une puissance de p et les
autres coefficients sont mUltiples de p.
Lemme V. II. SoU f E A[ [ T ]]' une !.lQ.lUe de te.JV1le c.OfUtaYL.t non nuL U ewte un
eYLtieJt. k e.t des pO£.ljnomv., buteduc.tib£.v., qUiL6-<--fuunguef.> P J ' ••• , Ph
te£.f.> que f f.>oU iL6f.>oc.-<-ee a pk, P j ... Ph.
Demonstration. D'apres la "mu l t i pl i ca t i vi t e " de la conclusion, on peut supposerque
fest irreductible (A etant un anneau de valuation discrete, A[[ T]] est factoriel).
Deux cas sont alors possibles ; au fest associee a p et il suffit de prendre h=O,
ou bien Ie contenu de fest 1, et fest associee a un polynome distingue irreduc-
tible, lequel a son tour l'est evidemment a un polynome quasi-distingue,irreducti-
ble lui aussi d'oll Ie lemme.
V.I. 2 - Polygone de Newton.
Soit U L u .r" un element de K[T], On note Supp(U) l'ensemlie desentiersn E lN n
n tels que un soit f 0 : Supp(U) est une partie finie de IN; "our tout n apparte-
nant a Supp(U), soit Mn
Ie point du plan de coordonnees (n,v(un)). L'intersec-
tion de tous les demi-plans sup er i eurs - c'est a dire de la forme y;;'A.x+jJ,Aet
u E contenant l'ensemble des Mnest, si UfO, une partie convexe et fe rmee
188
dont la frontiere est une ligne polygonale appelee Newton de U.
Ceci pose, on a Ie :
TREOREME V. 12. U danh A[T] U(O)# 0, de
Newton a un cote non
Pour ne pas interrompre l'enchainement des idees, la demonstration estdonnee
en Appendice. Notons seulement que Ie theoreme de Krasner (cf. [5]) est inapplica
ble i c i , vu que 1 'hypothese "A con t i en t (I)", qui s 'est transmise par localisation et
completion, entraine que la restriction a (I) de vest triviale. Par ailleurs, les
seuls poLyridme s i r r educ t i b l es de terme constant nul sont les A.T, A E K {O}, leur
polygone de Newton est une demidroite verticale.
V.2. DECOMPOSITION DU DENOMINATEUR.
V.2. I - Preliminaire.
Pour tout n E IN , no tons IBn l' ensemble des f appartenant a K[ [ T ]] dont
les coefficients de TO, ... ,Tn appartiennent a A. On trouvera une etude de E aun
§ VI; observons pour l'instant que :
Lemme V.2.1 Notonh (E) t'enonce "pOUlt tOM F E AU T JJ' et: GOEA {O},
un reF) [note r) une pantie 6inie I(F,GO)c A/GO
[notee I) tw que ta lLuaUon : g E M[ T ]]',g := Go [T] E:. EE ,g r
entlLaZne que ta daMe moduto Go du coe6Muent de T
a I". MOM, (E) (EO)'
Demonstration. Soient done F, G, H, appartenant a A[[ T ]]'. En appliquant (E) aF et G(O), puis F et R(O), on en deduit un entier r = reF) et deux parties finies
Ie A/G(O), J c A/R(O). Soient alors g et h appartenant a A[[ T]] tels que
F := g. h [Tr +1]; g =G [T l , h = H [T].
F a r+1Par suite, g qui est congru h modulo T , appartient a Er ; de plus g est congru
a G(O) modulo T. (E) entraine done que la classe modulo G(O) du coefficient de T
dans g appartient a I. On raisonne de meme pour h, d'ou Ie Lemme.
V.2. 2 Multiplicativite.
Notons Ir. l'ensemble des polynomes quasidistingues irreductibles dans
M T] ou M [ T ]], on a vu au V. I I que ce l a revient au meme . Pour tout entier
k I, soit Irk Ie sousensemble de ceux dont Ie terme constant est pk ; on
189
conviendra, en outre, de poser IrO= i ' ensemble des elements inversibles de A[ [ T ]] .
PROPOSITION V.2.2 - SoU (E ') ,f' enond. : "POuJl. tOM F E A[ [ T ]] I e:t GO E A- {oJ ,
-U exi.ss:« un e.n:tlVL r' = r' (F) et: une. paJttie. 6-i-YL-te.
I' = I'(F,GO)
c A/GO te.to que. fa :
g E Lr . , g ::: Go[ T] e:t'!:' E JB , e.YlUa-tne. que. fa c1.iL6!.le. modulog r
GO du. c.oe.6Mue.Ylt de. T daM g appaJttie.Ylt it I'."
(E') e.YlUa-tne. (E).
Demonstration. Soient done FE A[ [ T ]]' et GO un element non nul de A. Notons
9,= v(GO) : GO est as so c i e a e t , par suite, pour tout g appartenant a A[[ T]]
congru a Go modulo T - c'est a dire tel que g(O)= GO - la decompositionk
g = P .u(T).P 1• "Ph du lemme contient au plus polynomes quasi-distingues
irreductibles. En outre chacun d'eux, a priori dans Ir., appartient en fait a
Ir l u... U pour la meme raison, savoir la valuation du terme constant.
Pour tout j E {I" .. soient I'(F,pj) et r ' = r'(F) les valeurs
donnees par l'application de (E') a F pj,
Posons r = r ' et soit un element g de A[[ T ]]', decompose comme ci-dessus. Si
(1) g:::Go [T] ''!:'E:lB, g r
alors, a fortiori, pour tout i E {l, ... ,h},;, appartient a llir ; si l'on note1
.i.P, _ P 1 [T ] ; P
l' E tr ,
1 Ji
Jidone, d 'apres (E') applique a F et p
jila classe modulo p du coefficient de T
dans Pi appartient a .Ji
Notons A ; les coefficients de T dans u; P1"",Ph respectivement.
On a done :
(2) A E A pour tout i E {1, ... ,h},1f.pJ i 1 J i
Remarquons maintenant que r est deja connu - il ne depend effectivement que
de F - ; d'autre part, chacun des ji appartient a {I, .. et h appartient a
{o, ... d'apres ce qui precede. Par suite, (jl, ... ,jh) peut prendre au plus
I + valeurs possibles - et ce nombr e ne depend que de GO-
: on peut
done, pour terminer la demonstration, supposer que h et jl'" .,jh sont fixes
ayant trouve I(F,Go)' il ne restera plus qu'a prendre la reunion des parties
trouvees.Cela suppose soit
190
j.Si chaque xi appartient a p 1 A, alors v(x" ... ,xh) appartient a GO.A. On en deduit
un diagramme commutatif
nat.
v
h j.IT Alp 1
i=1
kOr, Ie coefficient de T dans g = p .u(T).PI··
'P h vaut
-I h -IGO.(A.(u(O» + r f) .• (P.(O» ),
i=1 1 1
done sa classe modulo GO est exactement TIG
(V(A I , ... ,Ah» , puisque u(O) est invero
sible, done elle vaut
Comme V ne depend que de jl , ... ,jh
c'est a dire, vu la relation (2),
V.3 DEMONSTRATION DE (E').
elle appartient a x ... ).J 1 J h
et Go' la Proposition est demontree.
(I) g
THEOREME V.3. 1 So.{ent F appaM:ertant a M[T ]]' eX. Go a A {oJ. NO.tOM peJ
.l'.e e.ontenu de F, s .l'.a va..l'.umo Yl de F (0) eX. .I'. .I'. 'oILdtte ILedu.{.t de
F. PeJ. SoU r=sup (s , 2.1'. + o ) , It ewte UYle pa.Jt.t.{e 6.{n.{e
I' = I' (F ,Go) c AIGo te.l'..l'.e que, pOUIL tout g, po.l'.yYlome qucv.,.{-d-i..J.,tin-
gue .{JtJteduc..t.{b.l'.e, .l'.a ILetmoYl
F Go [T] et g E I Br
e.n.t!LaZne que .l'.a c..I'.o.J.>M modulo Go du e.oe6Mc..{ent de T daM g,
appa.Jt.t.{ent a I'.
La demonstration se fait en deux etapes.
V.3. 2 ecv., ou g e4.t homogeYle, de degILe v(Go) '
D'apres les hypotheses, F est de la forme u.ps+aj.T+ ... et G=pt+ b l. T+ ...
avec u inversible dans A ; on a vu au lemme V.2. I que (I) equivaut a l'existence
d 'un h et d 'un R appartenant a A[ [ T]] tels que:
191
(I') g :: GO [T] et F = g.h + Tr+ 1
.R.
Supposons, pour l'instant, que g est homogene en p et T, de degre t, c'est a dire
que pt divise tous les coefficients de g(pT), soit encore: contenu (g(pT»=pt.
Observons qu'alors blest de la forme pt-I.S, S appartenant a A.
Substituons, dans (I '), pT aT; on obtient :
F(pT)- pr+l .Tr+ 1.R(pT)= g(pT).h(pT).
s 'Soit p Ie contenu du premier membre. On a s' < s, vu Ie terme constant de F
par suite, s etant au plus egal a r d'apres Ie choix de r, pS' est exactement de
F(pT). Le lemme d'Euclide, valable mutatis mutandis ici, montre que Ie contenu de
h(pT) est ps'-t. r+1 r+1
Soient FI,
gl' h] les quotients respect1fs de F(pT)-p T R(pT), g(pT) et
h(pT) par leurs contenus. On a :
et, en notant
l' egaLi t e :
les series reduites dans l'anneau (A/p)[[ T ]], on obtient
La division par les contenus montre que F I, gl et hI sont toutes trois differentes
de O. D'autre part, elles appartiennent en fait a (A/p) [ T], puisque dans chacune
les termes en Tk,k s+ I, initialement multiples de ps+l, sont restes multiples
de p et ont donne 0 par reduction. Enfin, ce qui precede montre que FIne depend
que de F, gl(O)= I et Ie coefficient de T dans gl est S.
Cela dit, (2) exprime que gl est l'un des diviseurs, a terme constant fixe
et egal a 1, du polynome Fldans l'anneau factoriel (A/p est un corps)(A/p)[T].
On sait qu'il n'existe qu'un nombre fini de tels polyn6mes ; a fortiori, il
II(F) telle que (1) entraine que !, c'est a direexiste une partie finie
TIp(S), appartient a II'
Or l'application de A dans A qui,
sation Ie diagramme commutatif :
a x, associet-j
p .x, donne par factori-
A
A/pA
v
v
.,
,
A
A/ptA
et on remarque que ne depend que de GO' De ce qui precede - c'est a dire que
(1) entraine que TI (S) E I" - on dedu i t que, si (I) est vrai, alors TI t(bl)=V(TI (S)pIp P
appartient a \1(11) .
192
Alors, I' = V(I") ne depend, comme on l' a vu, que de F et GO et convient pour tous1 1
les g homogenes appartenant aIr ..
Remarque. On observera que, dans cette premiere partie, le fait que g est irreduc
tible n'a pas ete utilise.
V.3. 3 Cah ou g pah homogene de degne t
Nous revenons a la relation (I) du V. 3 I
(J) g := GO [T J et .F:. E IEg r
en supposant que g est qua s isd i s t i ngue , i r r ad uc t i bLe et non homogene de d eg r e t ,
D'apres le Theoreme V. 11, son polygone de Newton comporte un seul segment non
vertical. Si :
t A-I AP = P +bl.T+ ... +bA_i.T + u.T, avec u inversible,
ce segment ne peut etre que MO
MA, avec M
O= (0, t ) et M
A= (A, 0), et on a
"¥
(3) ! <; A < to
1,
tsoit n + v(bn) > t + n(1Ib. to I\'\,
si A etait superieur ou egal a t, on aurait done n+v(bn» t et g serait homogene
En effet, pour tout n appartenant a {o, ... ,A},
Mn est audessus de la droite d'equation I + fdone v(b
n)est superieur ou egal a t _ t;n
de degre t, ce qui est exclu.
D'autre part, F s'ecrit sous la forme
(JF = p .u(T).FI(T); u inversible dans A[[ T JJ, F
1polynome distingue de
deg r e .t.
(ceci
Comme
resulte de la definition de l, cf.F .g appar t r ant; a E r si, et seulement
V.I.! et V.3.1).F
si, appartient a JBr
et comme (J
et F I ne dependent que de F, on supposera cidessous que F = p(J.F I.Soient alors n une cloture algebrique de K, corps des fractions de A et
notons E l'anneau des entiers algebriques de n.Designons par xI" ",xA les racines du polynome g dans n. Comme g est quasidistin
gue et irreductible, les xi sont tous distincts et appartiennent a E. Si Y1'" "Yl
sont les racines de Fl dans n, elles ne sont pas necessairement distinctes mais
193
appartiennent a E puisque FIest distingue. Soit enfin Q' l'extension finie
On sait (cf.[ 2 ]) que la valuation v de K se prolonge de maniere unique en une
valuation v de Q' et que l'anneau des entiers algebriques de Q' est exactement
l'anneau de v, c'est a dire l'ensemble E' des x E rl' tels que v(x»O. v est
dHinie de la f aco n suivante : si x appartient 11 Q' et siP est son po1ynfime minimal
(unitaire) sur K, alors :
v(x) v(P(O»
deg(P)
En particulier, on a- t(4) pour tout i E {I, ... ,A}, v(xi)= > O.
Cela etant, le fait que F appartient 11 E signifie queg r
FE IB r
u(T-x1)·· . (T-xA)
soitlB'r'
F(x. )__1_
ET-x.1
croissantes : pour tout
T-x.1
C'est 11 dire par division euclidienne de F par T-xique:
A fortiori, en notant 1 'anneau de f i n i comme IBr mais avec E' et Q' 11 la place
de A et K, la quantite ci-dessus appartient 11 . Comme les xi appartiennent 11 E'
et que u, inversible dans A, l'est dans E', on en deduit que pour tout
iE{I, ... ,A}, F EIB'r
encore par division suivant les puissancesF(xi)
j E {O, ... ,d, ---.r+!EE', c'est 11 dire que v(F(xi»
est superieur ou egal 11x.1
(j+l). v(xi). Comme v(xi) est> 0 (cf.(4», on a done
(5) pour tout i E{I, ... ,A},v(F(x.»>(r+ l).v(x.).1 1
Comme, par definition des Yj' on a: F=p0.F1=p0(T-y1) ... (T-Y.e.)' F(x i) vaut
p0(xi -yj) ... (x i -Y.e.)' Tous les termes de cette egalite sont dans E' et_ .e._
(6) v(F(x.» = o+ L v Cx. - y.).1 j=1 1 J
(7) V(F(x.» < 0+ e.v(x. - y. )1 1 Ji
Soity. tel quev(x.-y.)= sup({v(x.-y.)!j=l, ..• ,,£}). (6)J i 1 Ji 1 J
entraine que
194
Done, d l ap r es (5) et (7), L-;(x. - y. ) est superieur ou egal a (r+I).-;(x.)- 0,1 J i 1
done aussi (cf. (4) et le ehoix de r) a (2.e + 0) f - 0 et enfin, a r: aide de (3),
a 2L f. Autrement dit
(8) v(x. -yo )1 J i
2.-;(x.).1
Maintenant, eomme -;(x.) est strietement positif (ef. (4» et que1
-;(y. )= inf(-;(x. - y. ) ,-;(x.» (les deux termes sont differents a cause de (8», onJ i 1 J i 1
a done demontre que :
positive ou nulle d'apres (8) et (9), doneIIV'Ia une
(9) -;(y. )= -;(x.).Ji 1
y. - x.Ji 1
x .• y.1 J i
X.1
Mais alors
il appartient a E'.
Par ailleurs, la consideration de l'equation aux. inverses de g montre que-1 -I -t b 1
(xl) +... +(x>.) =-b1·p
=-C' autrement dito
x I- G ( L (-
o i= 1 xi
I >.- --»- G ( LYj . 0 i= 1
1
_1_).y.J.1
Par suite
(II) bl+Go(.£ _1_) appartient a Go.E'.1=1 Yj.
1
Or, le nombre de valeurs possibles pour GO(
--1_) est inferieur ou egal ai=l y j .
1
ne dependant que de F et GO' ainsi, A
1 ensemble des classes des -Go(
Li=1
.e + .e2+•.. + .et-I(suivant que >.= I, .. . ,t-I, voir (4) et le ehoix des y. ), quantite
Jique les valeurs obtenues. Soit c E' /GO.E'
--1_) modulo GO.E'. (I I) signifie que:yj.
1
"Si (I) est vraie, la elasse de blmodulo GO.E'
appartient a
Or, l'application naturelle v de A/GO.A dans E'/GO.E' est injective car, si x
appartient a Go.E' n A, on a done v(GO)
et x appartient a Go.A.
Posons done Ii = v1 La relation (1) entraine done que ITG (bl)appartiento
a Ii d' ap r es ce qu' on vient de dire, Ii ne depend que de F et GO' il convient dans
le cas etudie iei.
195
V.3. 4 - Conclusion.
oSSi l'on pose: I' = I; U Ii, il est evident d'apres les n 2 et 3, qui
recouvrent tous les cas possibles pour g E Ir., que I' convient : le Theoreme
V.3.] est etabli, done aussi, au moyen des reductions precedentes, le Theoreme(T).
§VI - CAS PARTICULIERS ET CONSEQUENCES
VI.I - VALEURS EXPLICITES DE r(F,N).
VI. I. I - On peut, en "remontant" les reductions successives faites aux § IV et V
sur l'enonce (EN)' trouver une majoration de l'entier r(F,N). Elle est, surtout acause de la methode utilisee en IV 2.1, tres grande. Nous allons plutot ci-dessous
borner inferieurement f(F,N) et trouver dans trois cas particuliers les valeurs
optimales. 11 s'agira dans tous les cas de valeurs uniformes en ce sens qu'elles
seront le minimum possible qui convienne a toutes les F ayant un terme constant
donne. Plus precisement :
Lemme V. I i . So.c; P un .6y.6teme. Jte.)Ylue.n.ta.U6 d' Ueme.rtU buteduc.tible..o daYlJ.> l'anne.au.
6ac.toJUe1. A. So-ie.nt N e.t k appaJtte.nant a IN • S-i l' e.Ylt-ie.Jt r 0" e..ot un
r(F,N)" pOUlt tOM le..o F E A[[ T]]' tei.J.> que. p0u:r- tout p E P,v'(D»E;;k,
a£.OM r o e..ot .6upeJUe.uJt au ega£. a (N+ l).k.
Demonstration. 11 suffi t evide=ent de trouver une s er i e F de ce type pour LaqueIle
(N+ I).k - 1 ne convient pas, c'est a dire telle que la relation (e), puisse etre
verifiee pour une infinite de classes du coefficient de TN+I dans g ou h.
Soient, par exemple, p un element de P et prenons respectivement F=pk,g = p,
H= pk-I. Pour tout ;x. appartenant a A, soient
= +' TN+ I h= k-rl , k-2 TN+I (_I)k-l,k-1 T(N+I)(k-l)g p f\. , P + f\P +... + f\ •
On a bien :
De plus, g.h - qui vaut pk+(_l)k;x.kT(N+l)k - est congru a F modulo
le coefficient de TN+ I dans g peut prendre toutes les valeurs possibles modulo p,
done une infini te des que Alp est infini : 1 I entier r = (N+I)k - I ne convient pas,
d'oil le Le=e.
Remarque. Lorsque A est une il en est de meme pour Alp et ce dernier
anneau est infini.
196
VI. l , 2 - Nous montrons maintenant que, pour les "peti tes" valeurs de k, on a en
fait une egalite.
THEOREME VI.]. 2 - Sod P un 1o!flotemfO !LfOyJJteMYttail6 d' elemfOYtt!.> -Ut!Leduc.tiblf'-!.> dart!.>
l' annfOau 6ac..toJUU A. SOifOYtt F, G, H appa!LtfOYtaYtt it A[ [ T ]] I U
NE :IN; notort!.> a l , •.• ,as If'-!.> fOXpOloaYtt!.> non nuU dart!.> la dec.ompo-
,odian fOn 6ac..tf'-UM -Ut!Leduc.tiblf'-!.> dfO F (0) U pOM rt!.> :
a = sup(al' ... ,as)' y = aJ••• as·
AloM, ,oi a f'-!.>t in6eJUfOUIL ou ega! it 3 : r(F,N)=a (N+I)c.onvifOYtt
POUIL F U If'-!.> c.a!Ldinaux dfO I(F,G,H,N) U J(F,G,H,N) ,oont in6e-
JUfOUM au egaux it y •
Demonstration. Remarquons d'abord que a(N+I) est ce qu'on a vu etre Ie minimum
possible qui ne dependeque de F(O). D'autre part, la demonstration du Lemme IV.3.]
montre que, si les entiers ri,
les parties Ii et Jicorrespondant aux localises
de A par les APi' alors r = sup(rl, ... ,r s) et l'image canonique de (Ijx ... xIs'
J1x ... xJs) conviennent dans A. Or, la definition de y et celIe de I et Jest
multiplicative, celIe de a et r associee a un "sup"; autrement dit, la conclusion
du Th eo r erne IV. I. 2 "passe du local au global". Comme 1 I hypothese que a es t .inf e-'
rieur ou ega1 a 3 se transmet, elle, aux localises, on conclut de ce qui precede
qu'il suffit de demontrer Ie Theoreme IV.I.2 lorsque A est un anneau de valuation
discrete, ce qu'on suppose desormais.
Cas oil a =0. Cela signifie que Fest inversible dans A[ [ T l l . Si
( ) - [N+I] g-_-G [TN+ 1] , u s a [TN+ 1]eo F =G.H T ,
et F=g.h [T] (ici, r = a(N+I)=O).
alors, g(O)h(O)= F(O) est inversible dans A : G, H, g et h sont des series inversi-
bles. Dans ce cas, A/G(O) = A/H(O) = { O} , a fortiori les cardinaux de I (F, G,H,N) et
J(F,G,H,N) sont inferieurs ou egaux a 1 ; d'oil Ie Theoreme dans ce cas.
Cas oil a = I. On a, cette fois :
Si on note an' bn et cn les termes generaux respectifs de F, g et h respectivement,
on a : "o= bO. cO' Comme "o es t as so c i e a p (l I uniformisante de A) par hypothese, I' un
des deux elements bo ou cO' par exemple bo' est inversible. Le raisonnement fait
au premier cas montre qu'alors Ie cardinal de I(F,G,H,N) est inferieur ou ega1 a 1.
Dans ce cas, vu que :
197
et que 1e terme entre parenthese est fixe d'apres (el) , ainsi que aN+ 1
, on obtient
que bO.cN+1 est constant modulo cO' 11 en est done de meme pour cN+ I' puisque
bO;H(O) est inversib1e et fixe. Par suite, 1e cardinal de J(F,G,H,N) estinferieur
au ega1 a 1, ce qui reg1e 1e second cas.
A cause de 1a longueur des deux demonstrations restantes, nous traitons
maintenant uniquement 1e quatrieme cas, ce1ui au a; 3, en indiquant ensuite
comment retrouver 1e cas au a; 2.
VI.l. 3 - Cas au a 3.
Nous suppa sons donc que :
g=G [TN+1J, h=H [TN+IJ, F=g.h [T3N+4J
et de plus, quitte a modifier G et H a partir de l'ordre N+2, que Fest congru aG.H modulo T3N+4 . Ecrivons g et h sous 1es formes respectives
g ; G + TN+ l. B ; h N+IH + T .y.
La relation "F=g.h T3N+4" s'ecrit donc (I) B.H+y.G+TN+IBY = 0 [T2N+3J.
Notons Bn, Yn' gn et hn 1es coefficients generiques respectifs de B ,y, G et H.
La conclusion revient a dire que 1e nombre de classes possibles pour BO modulo go
(resp. YO modulo hO) est fini. 11 suffit de demontrer1a premiere assertion car 1a
relation "BO.hO+ YO.go; 0" qui provient du terme constant de l' egalite precedente,
montre qu'e11e entraine 1a seconde.
Quitte a multiplier par des elements inversib1es - fixes - de A et aechanger
g et h, on peut supposer que
g(O) ; p, h(O) 2p •
On cherche donc 1e nombre de va1eurs possibles pour BO
modulo p.
Partons de 1a relation mentionnee ci-dessus, et qui s'ecrit
L'examen du coefficient de T dans (I) donne
si hI - EOg] n'est pas multiple de p,BO doit l'etre. Nous exc1urons desormaiscecas,
puisqu'il ne porte que sur une c1asse modulo p. On a donc une relation du type:
198
D'ou, en reportant :
Supposons trouves, en examinant les coefficients de T, ... ,Tj-1
(avec j N),
des elements de A, EO'" .,Ej_1
tels que:
j-I [Tj JE. IT ).gr
Remarquons deja qu'a cause de (2), EO, ... ,Ej_1
sont independants de S et Y • Le
coefficient de Tj dans (I) donne alors :
SOhj+ :L Srhs+gOYj + :L grYs O.r-i s« j
1
Soit, en utilisant (2) et (3)
SOhj+ go + :L SqEkgt - :L geEkSq O. D'ou
q;;;'1 .1>1
p et que So n'est pas multiple de p, il existe un Ej tel que
•• •+
Par consequent, les relations (2) et (3) sont vraies avec j+l a la place de en
particulier, pour N:
(4) h ( TN) [TN+IJ- EO +... + EN .g
Considerons Ie coefficient de TN+1 dans (I), Le seul "nouveau" terme est
SOYO' provenant de rN+ I' . On obtient done
- EOgN+ 1 -, .. - ENg,)+ ga(YN+ 1 + EOSN+I +.. ,
2 2ENS1)-EOSO 0 (car SaYa -EoSa) .
Cornme go = EO
a A tel que
199
p, et que 60n'est pas multiple de p, il existe un E
N+1appartenant
Examinons maintenant Ie coefficient de TN+2 dans (I). On obtient, de meme
que ci-dessus :
- EOgN+2 - ... - EN+Jg 1) + gO(YN+2 + E06N+2 +...
2... + EN+161)+ 60g 1 + (SOYI + SIYO)=O ; c'est a dire
2SO(gl - E 1) + 60(hN+2 - EOgN+2 - ... - EN+1g1 - 26 IEO)+
II s'agit la d'une equation du second degre dans Ie corps A/p,dont les coefficients
sont constants, puisque EO = go = p et que les Ei ne dependent pas de S et Y .
si les coefficients de cette equation ne sont pas tous multiples de p, elle a au
plus deux racines en So modulo p et Ie resultat cherche est etabli. Ecartons done
ce cas et supposons qu'on ait des egalites de la forme:
D'ou, en posant AO
= I et en reportant :
Supposons t r ouve s , en examinant les coefficients de TN+2, ... , TN+j (j ,;;; N)
dans (I), des elements de A : EN+2, ... , EN+j ; AO'"'' \-1 tels que:
(6) ( N+j) [N+j+I].h =: EO +... + EN+j T . g T ,
( ) j - 1 j - 1 [Tj ] .7 EO +... + Ej_ 1T =: (A
O+... + A
j_ 1T ).g
Cornme (I) entraine que yG + SH + TN+1SY est congru a a modulo TN+j+ 1 on deduit de
(6) et (7) que :
N+j(8) YO +... + YN+jT TN+ 1(A- a + ... + + •..
(Pour voir ceci,
200
on remplace H par (EO +... +N+j
EN.T ) G modulo+J
+••.
TN+j +1 et TN+II3Y par - TN+ 1 I3 rl3 congru a' TN+1132G( ' + + 1 Tj- I ) d 1G - 1\0 • • • 1\ • mo u 0
J -I
TN+j+ 1 ; on utilise les relations (4) et (5), ce qui donne
( (13 13 TN+j)( N+j) TN+1(AG Y + 0 + ... + N+j EO +... + EN+jT - 0
••• + 1 j-l)( 13. Tj- 1) 2 ) TN+j+ 11\. 1T 13 +... + congru a 0 moduloJ- 0 J-I
G(O) est non nul).
d'oll (8), puisque
La nullite du coefficient de TN+j+ 1 dans (1) entraine successivement que
130hN+j+l+gOYN+J'+I+ L I3Eg - L I3EI3,+r+s+q=N+j+l r s q r+s+r'=j r s r
r > 1 r> 1
+ 13 y. + ( L g \13 13 , - L g 13 E )= 0o J q+t+r+r'=j q r r q+r+s=N+j+l q r s
q>1 q>l
- 130(gIEN+j +... + gN+J=IEO) + L gqAtl3rl3r' -q+t+r+r'=j
q>l
- L gAS 13 , + 13 y. 0q+t+r+r'=j q t r r 0 J
r>l
... + + ... +
... + 13. (EO - gOAO» - gO( L . At l3r Sr , ) - 130 ( L .l3kE£)= 0J k+£=J
r> 1
Cette derniere equation, modulo p, a ses coefficients independants de 13 et Y, droll
deux valeurs au plus pour So modulo p - et la conclusion cherchee - sauf dans Ie
cas ou les coefficients sont tous multiples de p, crest a dire lorsque l'on a des
relations du type suivant :
201
d'ou l'on deduit (6) et (7) avec N+j+1 a la place de N+j.
Si, par consequent, l'examen des coefficients de TN+2, . . . , T2N+1 n'a pas
permis de conclure, c'est qu'il existe deux polyn6mes :
E EO +... + E2N+IT2N+l ; A = AO
+... + A2N+1T2N+l tels que
H _ E.G [T2N+2] et E = G.A[TN+ 1].
Comme ci-dessus, on tire de ces relations
Considerons alors Ie coefficient de T2N+2 dans (I). Le seul changement par rapport
au cal cuI fait au bas de la page precedente est que Ie terme SOYN+I devient2
SO(-SOEN+1 - ... - SN+IEO + SO),
On obtient done
- E2N+ 1g l)+ (un multiple de p) O.
Il s'agit, modulo p, d'une equation - unitaire - du t r o i s i.eme de gr e ; ellea auplus
trois solutions dans Ie corps Alp et ses coefficients ne dependent pas de S et Y ,
puisque E et A ne dependent que de G et H.
En definitive, suivant les valeurs de G et H, l e nombre de solutions possibles
pour So modulo pest (0), I, 2 ou 3 ; ceci achcve la demonstration du cas oil a =3.
VI. 1.4 - Cas ou a = 2. On prend alors r = 2N + 3 et on se ramene au cas ou gO=hO=p.
lei, EO vaut I, Ie debut de la demonstration demeure jusqu'a la premiere egalite
suivant (5) qui, ici, permet de conclure : EO etant egal a I, on obtient une
equation unitaire du second degre modulo p, dont les coefficients ne dependent
que de G et H, et Ie nombre de solutions possibles pour So est, en definitive, au
plus deux.
Le 'I'heo r sme VI.I.2 est en t i er ement; dernont r e ,
Remarque. On peut se demander si Ie Theoreme VI.l .2. est vrai pour toutes
les valeurs de a. On observe par ailleurs, dans la demonstration de VI.I.3 combien
Ie "pire" des cas, c'est a dire celui ou seul l'examen du terme en T2N+2
permet de
conclure, se rapproche d'un des exemples du Lemme VI. 1. 1, savoir la congruence:
3 2 2 2 3p = (p + A.T) (p - A.p . T + A . T ) [T ]
202
VI.2 - TRADUCTION DE (T).
VI.2. 1 - Cornmencons par une reformulation inunediate. Soit (an)nE IN une suite
d'elements de A, avec aO non inversible. Le systeme infini d'equations aux incon-
nues (xn) n E IN et (yn) n E IN :
xo·yo aO
xO•Y1 + xl ·yo a 1
(1)
an
n'a pas de solution non triviale (c'est a dire avec Xo et YO non inversibles) si,
et seulement si, il existe un entier N tel que Le sys t eme forme par les N+1prenieres
equations de (1) n'ait pas de solution non triviale ; ceci traduit Ie "caractere
fini" de l' i r r educ t i b i l i t e .
Par ailleurs, (T) montre qu'il y a "beaucoup" d'irreductibles non associes
dans A[[ T ]]. En fait, si fest irreductible et de terme constant non nul, soit N
son ordre d'irreductibilite (IV. 1. 1) et remarquons que, si A est une
l'anneau A/f(O) est infini (cf. VI.1.1 Remarque). On a :
Lenune VI. 2.1 - SoU A une SoU N £' oILdAe d'VUc.educ;U-
de fa f , avec f(O)# o.N+1
L 'eMe.mbfe du d'VUc.educ;Ubfu it f modulo T a
un cMcUna,( au ega,( it cMd«A/f(O)lN).
Demonstration. Soit E' un systeme complet de representants pour A/f(O), par
exemple les elements d'un supplementaire dans A du f(O).A. II suffit
de montrer que, si Fest l'ensemble des ideaux principaux de A[[ T]] engendres
par les g congrus a f modulo TN+ 1 et dont les coefficients, a partir du rang N+1,
appartiennent a E', alors Ie cardinal de Fest egal a celui de E' IN. Soit done :
S {g
et observons que tous les elements de S sont irreductibles. Soit v l'application
de S dans E,lN qui, a g note conune ci-dessus, associe la suite (bN+1,bN+2, •.. ). v
est surjective par definition; quant aI' i nj ec t i v i t e , si deux series ont lesmemes
termes a partir de l'ordre N+1 et sont toutes deux congrues a f modulo TN+1, elles
sont evidemment egales : vest une bijection.
Reste a voir maintenant que deux elements dis tincts de S ne peuvent etre
associes. Par l'absurde, supposons que h, de terme general Cu, soit associe a g
203
existe un u inversible dans A[ [ T ]] tel que :
g u.h soit k le premier entier tel que ck
# bk.
Necessairement, k est superieur ou egal a N+l, et on a
Comme h(O) = f(O) est different de 0, on deduit de ceci que u est congru a
modulo Tk, autrement dit, est de la forme:
ku = I + ukT + ...
L'egalite des coefficients dans g et u.h pour Tk donne donc .'
Par suite, bket ck sont congrus modulo cO' c'est a dire modulo f(O), en contra
diction avec le fait qu'ils sont differents et que E' contient un seul representant
de chaque classe.
En definitive, S est lui aussi un systeme complet de representants pour les
1 d l i 'd .bl f d 1 N+ 1 '1 d d i 1 Fc asses 1rre UCt1 es congrus a mo u 0 T et 1 a onc meme car 1na que ,
ce qui acheve la demonstration du Lemme.
VI. 2. 2 ETUDE DES ANNEAUX rs .P
Rappelons (cf. V. 2. I) que, pour tout n E IN, si on designe par K le corps
des fractions de A, lEn est l ' ensemble des elements de K[ [T ]] dont les'coefficients,
jusqu'a l'ordre n inclus, appartiennent a A. On voit aisement que lEn est un sous
anneau de K[ [ T]] et on a
( I ) A[ [T ]]e ... e JB elE e ... e :rn0
e K[[ T ]].# # n
#n]
# # #De meme, A[[T]], qui est l'intersection des rs et qu'on pourra noter JB
oo,s ' iden
ntifie naturellement a la limite projective lim JB associee aux inclusions de (I) .
0( n
Remarque. Aucun des anneaux lEn n I est no e t he r i.en soi t en effet a un element
de A non nul et non inversible et, pour tout k E :IN, soit :
Les I k sont evidemment des ideaux de JBn , la suite Ikest croissante (parce qu'il
en est ainsi des i de aux fractionnaires ak .A) et meme strictement croi.s s ant e vpu i sque
akI •Tn+] appartient a I mais pas a I . Cela s i.gnal e , (T) s ' enonce tres simIieD"ent:k+l k
204
(Til) un element de A[[ T]] = lBoo est i r r educ t i.bl,e s i , et seulement si, il existe
un N tel qu' il soit i r rcducc i bl e dans IBN.
En effet, on voit qu'un element de A[[ T]] est reductible (resp.inversible)modulo
TN+lsi, et seulement si, il l'est dans IBN.
Corollaire. Sad A une. lJ)-a1.ge.bfLe 6ac-toJUe.U.e es: .oupp0-60n6 que., pOU.!L une
-<-nMnde de. n E :IN, IBn Md 6adoJUe£. MotU A[ [ T ]] es: 6adoJUe£.
Demonstration. Montrons que tout element irreductible f de A[[ T]] engendre un
ideal premier. Soient g et h appartenant a A[[ T]] tels que f divise gh. Soit N
I' ordre d ' Lr r educ t i b i Li t e de f ; pour chacun des n ;;;. N tels que IBn soit factoriel,
t, qui est irreductible dans IBn' y divise soit g, soit h. L'une de ces deux even
tualites, par exemple la premiere, a lieu une infinite de fois ; autrement dit, Ie
quotient f appartient a une infinite de IBn' on en dedu i t a i sernent; qu 'il appartient
a A[ [ T ]] et Ie Corollaire est e t ab l i .
VI.2. 3 Substitutions.
Dans la recherche des substitues f(g(T),T) irreductibles d'un f irreductible
dans A[[X,Y]](cf. [1] 11.4.2), (1) permet de se restreindre aux polynomes :
Corollaire. Sad A une. lJ)-a1.gebfLe. 6adoJUetie.. Sad f un eleme.n.t de. A[[X,Y]].Lu
c.ondd-<.On6 .ou-<.van.tu Mn.t equ-<.va1.e.n.tu
a) -<.l e.x<..o.te. une. .oeJUe. g(g(O)=O) .tetie que. f(g(T) ,T) .ood -<.tL!Leduc..t-<.ble.
dan6 A[[T]],
S) -<.l e.x<..o.te. un polynome. P(P(O)=O) .te£ que. f(P(T),T) .ood -<.tL!Leduc..t-<.ble.
dan6 A[ [ T n.
Demonstration. II suffit de voir que a) S). Soit p l'application de A[[ T]] dans
lui meme qui, a toute serie ¢ , associe f(T.¢(T),T). La formule de Taylor montre
que p est continue pour la topologie Tadique. Par hypothese, l'image reciproque
par p de, l'ensemble I des irreductibles de A[[ T]] est non vide; c'est un ouvert,
puisque I est ouvert d f ap r es (T); il rencontre done A [T] qui est dense dans A([T]],
d'ou Ie resultat.
§ VII Appendice
VII.l PRELIMINAIRE.
VII.1. 1 Comme en V, A designe un anneau de valuation discrete, d'uniforrrisante p,
205
complet pour la topologie p-adique. K est Ie corps des fractions de A, v la valua-
tion p-adique et I I = e<. Rappelons les i negal i. t es , valables pour x et y apparte-
nant a K :
(1) vex + y) inf(v(x),v(y»
Avec egalite lorsque vex) # v(y).
Ix + y[ ,;;; Ix I + Iy I .
A tout polynome U non nul de K [T] est associe supp(U), ensemble des expo-
sants de T dont Le coefficient est non nul dans U, l e plus petit (resp.plus grand)
element de supp (11) est la valuation (resp. Ie degr e ) de U.
VII.I. 2 - U etant comme ci-dessus, soit p un reel strictement positif, on pose
p* (t1) = sup ({ I u Ipn I n E :IN} .n
(u est Ie coefficient de Tn dans U ). p* (D) existe puisque Ie support de D estn
fini, et on a l'interpretation geometrique suivante :
Lemme VII.I.2.1 - So..[en:t E K [T ] - {a} eX. p un ILee1. > O. S..[ N eAt te potygone
de l0Wton de D , -Log(p*(D» eAt t'oILdonnee a t'o!L..Lg..[ne de
t'unique d!Lode d'appu..[ de NUayan:t POUIL pen:te Log(p).
Demonstration. Puisque p*(U)= sup({1 u IpnlnE:IN}, on a :n
-Log(p*(D» = inf({v(u )- n.Log(p) In E IN}.n
Autrement dit, -Log(p*(D» est la plus grande ordonnee a l'origine possible pour
frontiere d'un demi-plan superieur contenant l'ensemble des points Mn(n,v(un». Vu
la definition de N.. (cf. V.1.2), la conclusion en resulte.
Lemme VII. I .2 . 2 - So..[en:t u eX. V appalLtenan:t a K[T ] et: p un ILee1. !.It!L..Lc.teme.n:t
pOJ.>..Lti6 • 0 n a :
p*(U + V) ,;;; sup(p*(U).p*(V» ; p*(UV) < p*(U).p*(V).
Demonstration. La premiere inegalite est evidente, compte tenu des definitions et
de (1). Observons d'ailleurs que, si U = 0, il n'a pas de polygone de Newton, mais
que p*(U) est neanmoins defini. si vn est Ie terme general du polynome V, celui de
UV est :
wn
L u .. v .•i+j=n J
Si on note encore la cloture algebrique de K, on aura encore, pour tout x E
(2)n
w .xn
206
i jL (U .• X )(V .•X).
1 J
Soit r %un rationnel strictement superieur a -Log(p) et notons z une racine
S-ieme de p dans si v et II II d e s i gnen t les uniques prolongements de v et I I aK' K(z) (cf. V.3.3), on a, d'apres (2) applique a x za
(3) Iw I .1Ix lin ';;sup({ Iu.l. II x Iii }).sup({!v. 1.llx Il j }).n 1 J
Mal' s zS -() a II II -rp, done v x B ret x e
rationnel r> -Log( ), on a :
On deduit de (3) que, pour tout
Definition. Soient P
(4) (e -r) * (UV) .;; (e -r) * (U). (e-r) * (V).
Lorsque U est fixe, l'application qui a A associe A*(U) est evidemment continue.
Comme l'ensemble des e-r,
pour r rationnel strictement superieur a -Log(p)est dense
dans ]O,p[, (4) implique
(5) p*(UV) .;; p*(U). p*(V).
Le Lemme est entierement etabli.
VII.I. 3 - p-diviseurs.
L a .Tn un polynome de degre d et p un reel stricte-n
ment positif. On dira que P est un si, et seulement si
En particulier, pour tout n E {O, ... ,d}, la I. pn .;; 1. D'autre part, d l ap r es len
Lemme VII.I.2.1, la droite d'appui de Np ayant pour pente Log(p) passe
c'est a dire par le sommet MO' de coordonnees °et (puisque laol l).Cette
droitepasse aussi par Md (d,v(ad» puisque la definition d'un p-diviseur entraine
que v(ad) d.log(p). Comme Moet Mdsont les "points extremes" du polygone de Newton
Np' on a demontre le
Lemme VII.1. 3 - p E K[ T l , «vee P(O) ,;, 0 et: p UVl !tee£. > o. p es: UVl
si., e;t f.,-t, MVl polygoVle de a UVl uvt-LQue
f.,egment VlOVl veAilc.al r -tVlUuf., daVlf.> la cVl.OUe d' eQUWOVl y x.Log(p).
VII. 1. 4 - Division euclidienne
Lemme VIr. 1:4 - Soit p un reel> 0 • Soient P un P-diviseur et U un po I qnome que1-
conque. Si Q et R sont i eepectii vement: 1e quotient et 1e reste de1a division eucl i.di.enne de Upar P,ana: p*(Q)<iJ*(U) et p*(R)<p* U).
207
Demonstration. On a donc : U = P.Q + R,R = 0 ou deg(R) < deg(P). Si U est nul ou de
degre strictement inferieur a celui de P, alors Q = 0, R = U et les inegalites sont
evidentes. Nous pouvons donc supposer que 0 = deg(U) - deg(P) est positif ou nul.
On raisonne par recurrence sur o. si u.Tn et v.Td sont les termes directeurs de U
et P respectivement, on sait que :
Qu n-dv.T + Q] (QI' quotient de la division euclidienne de
Or Ujest nul ou de degre strictement inferieur a celui de U, donc l'hypothese de
recurrence - qu'il etait par ailleurs inutile de verifier pour 0= 0 - montre que:
u n-d.;;; sup(p*(U)'P*(v· T .P»
d'apres Ie Lemme VII.1 .2.2
En outre, par definition
vaut aussi lui .pn puisque P est un p-diviseur. Par suite
(7) .;;; p*(U).v
(6) et (7) montrent que P*(QI)';;; p*(U). Enf i n , R=U-P.Q], donc
p*(R) .;;; sup(p*(U),P*(P) .P*(QI»
d'apres Ie Lemme VII. I .2.2 ; et ceci est inferieur ou egal a p*(U) vu la relation
precedente et Ie fait que P est un p-diviseur : la recurrence est etablie ; d'ou
Ie Lemme .
VII.2 - IRREDUCTIBILITE.
VII.2. I - Les notations etant comme ci-dessus, on se propose de demontrer Ie
THEOREME VII.2.1 - Si: U E K[T ] [ave.c. U(O);f 0) U;(: iJu1.educ.:tib'[e., -60n po,[ygone. de.
a un unique. J.>e.gme.n:t non VeJLUc.a,[.
Demonstration. Soit 0 Ie degre de U • Observons d'abord que cet enonce implique Ie
Theoreme V.I.2 vu que, pour un element de A[T) , irreductibilite dans A[T] etdansK[T] sont equivalentes. Par ailleurs, "ui tte a diviser U parU (0), ce qui re change
208
pas l'hypothese et translate son polygone de Newton, on peut supposer - ce qu'on
fera desormais - que U est de la forme :
VII.2.2 - Raisonnant par l'absurde, on suppose que Ie premier cote non vertical de
NU est Ie segment [MO,Md] avec
(I) 0 < d < 8 On pose
Soit p = exp(-pente de la droite MOMd);
ainsi la pente de cette droite est -Log(p).
Le Lemme VII.].3 montre que Po est un p-diviseur. De plus, si on pose G= P*(U-Po),on a :
(3) 0 < G < i ,
jlOlY9one. cleNe.... U
II
I
209
En effet, U - Po est non nul et, d'autre part, les points Mn,
pour n n'appartenant
pas a {O, ... ,d}, etant strictement au-dessus de la droite MOMd par definition du
polygone de Nexton, Ie Lemme VII.l .2.1 montre que -Log(o) est strictement positif.
Pour tout j E :IN, soi t 6. la droite d'equation :J
Notons Mn.J
y x.Log(p) - j.Log(o).
(resp. Mm.) Ie premier (resp. Ie dernier) des points representatifs MnJ
de U a etre strictement au-dessous de 6, et posonsJ
(4) I.J
[n.,m. ]J J
V.J
Comme -j .Log(o) tend vers + 00 avec j, il existe un plus petit entier t tel que
It [ O,cS ] ,
et on voit aussitot que :
"o 0, VI Po et, pour tout j E {I, ... ,t}
1,p*(U-U.) ,,; oj avec egalite si I.J J
(Pour la derniere inegalite, on observe que U - Uj
et, si n rf- [n.,m.]J J
ou egal a n.Log(p)
M est au-des sus de 6., c'estn J
j.Log(O), soit :
LA.r"nrf- [n.,m.] n
J Ja dire que V(A
n) est superieur
VII.2.3 - Montrons main tenant que, pour tout
et P. de K[T] tels que:J
E :IN, il existe des elements V. ,W.J J
U Pj'Vj + Wj,
Pj a meme polygone de Newton que Po
(Ri)
P*(Wj)
,,; oj,
support(P .. V.) c 1. et, si j ;;. 1,J J J
p*(P.-P. ),,; oj-1, p*(V.-V. 1)"; oj-1J J-1 J r
Pour j 0, Po est deja choisi (cf.(2)), po sons VA
COmme p*(U)=l, les relations (RO)
sont verifiees.
U.
210
Pour .i > I, prenons PI; PO' VI; I, WI; U-POou egal a 0 d'apres (5), (R
I)est verifie.
u - UI' Connne p*(W1)est i nfer i eur
Supposons prouves (Ro), ... ,(R.), avec j J. Soit K. le tronque de W. parJ . J
Ij+I' c'est a dire la somme de ceux des termes de Wj dont l'indice appartient aIj+1 ; soit Wj ; Wj - Kj. Ainsi
(6) W.J
W. + K.J J
support(K.)cI. I' support(W.)clo-I. i:J J+ J.(. J+
D'apres (R.) et (6), on aJ
u (P .. V. + K.) + W.J J J J
Par suite
P .. V. + K.J J J
p*(W.); p*(U-U. ),;;; oj+1J J+ I
De plus, connne K. est un tronque de Wj'(R. ) montre que
J J
(8) p* (K.) ,;;; oj.J
Cela fait, on a, d'apres le Lemme VII.I.4, des relations du type
K. P .. Y. +R. ; Y. et R. E K[T],J J J J J J
(9) R. ; a ou deg(R.) < deg(P.), done < d(cf.(R.»,J J J J
p* (Y .) ,;;; p* (K.) e t p* (R.) ,;;; p* (K.), done ,;;; oj .J J J J
(R.), (6) et (9) montrent que:J
U ; (P. + R.) (V. + Y.) + (W. - R. (V. + Y. - I».J J J J J JJ J
Posans
Pj+ lP. + R
j,J
00) Vj+ 1 V. + Y. etJ J
Wj+1W. - R. (V. + Y. - I) .J J J J
VII.2.4 - Verification de (R. 1)'J+
jestcar
ont meme
On a : Pj + 1P. + R., avec deg(R.) < deg(P.) et p*(R.) ,;;; oj < IJ J J J J
superieur ou egal a I (cf.(3), (9), (10». Par consequent, P. et P. IJ J+
degre, meme terme directeur ; enfin, tous les points representatifs de R. etantJ
au-dessus de Pj+1 et Pj ont meme polygone de Newton. Done, d'apres (Rj),Pj+1 a
V. J
211
meme polygone de Newton que PO' .
Quant a p*(wj+ I),
vu que P*(W)';;oJ+I et que P*(Rj).;;oj (c f , (7) et (9)),ona
• 1 •P*(W
j+ I).;; sup(oJ+ ,oJ'P*(V
j+ Y
j I)),
et il suffit d'etablir que P*(V. + Y. I) est inferieur ou egal a 0, ou encoreJ J
que P*(V. I) est inferieur ou egal a 0, puisque, d'apres (9) :J
P* (Y . ) .;; oj .;; o ,J
Or, on peut ecrire
j= Vj VI = L (V
k V
k_ I); donc
k=Z
P* (V. j)';; sup (P* (VZ V1) , ... , P*(V. V. j))'J J r
et, d'apres (RZ), ... ,(Rj) ceci est inferieur ou egal a sup(O, ... ,oj) donc a 0
(cf , (3)) •
En ce qui concerne Ie support de P. I' V, I'J+ J+connne P. I'V, j=P ..V.+R .. V. +
J+ J+ J J J J
PJ.+I.YJ.et que, d l ap r es (R.), Le support de P ..V. est inclus dans I.,etafortiori
J J J J
dans IJ.+1,
il reste a etudier R..V. et P. 1.Y .. Pour Ie premier, Ie support de R.J J J+ J J
est inclus dans II d'apres (9), donc tout interval Ie contenant Ie support d'un
polun6me du type P .. V contient aussi celui de R.. V, en particulier, Ie support deJ J
Rj,Vj est inclus dans Ij+I' Enfin, Ie support de Pj+ 1 'Yj est inclus dans I j+1 si,
et seulement si, il en est ainsi pour celui de P ..Y. (meme raison), c'est a direJ J
pour Kj Rj ; mais ce dernier point decoule de (6) et (9).
Pour terminer, comme Pj+ I
Pj
* (P _ P )';:: (j +1)1P j+1 j '" 0
= Rj,
on a bien:
et de meme pour Vj+ 1 Vj Y..J
Les (R.) sont ainsi etablis par recurrence.J
VII.Z. 5 Convergence.
Pour tout j E :IN ,
donc aussi support (V.)J
et W. ont tous un degreJ
on a, d l ap r e s (R.) : support (P .. V.) c 1 0 , support (W.)cI oJ J J c Jcc I.e. puisque P. est de valuation nulle. Ainsi, les P., V.. _. ° J J
ou egal a 0. Or, P = Po +... + po.T , on a
P*(P)= sup(!pol, ... ,IPol.po);;;'M.SUP(!pol, ... ,!pol),
avec M = inf(l,po).
Par suite, la convergence vers 0 pour p* entraine la convergence uniforme vers 0pour les coefficients.
212
j-l j-IDe ce fait, les relations: p*(P. - P. )<;;0 ,p*(V. -v. )<;; 0 montrent
J r 1 J J-I
que les suites (P.). E::IN et (V.). E::IN- ou p l.u t St leurs images canoniques - sontJ J J J 0+1
des suites de Cauchy dans l'espace K muni de la topologie-produit. K etant
complet, ce dernier espace l'est aussi : soient donc P et VIes limitesrespectives
de ces suites. De meme, Ie fait que p*(W.) soit inferieur ou ega I a oj montre que
la suite W. converge vers O. Comme la de KO+ 1 est separee et que laJ
multiplication de K est continue, on a, en definitive :
D = P.V.
Par ailleurs, les conditions sur l e polygone de Newton de P. "passent" a la limite:.J
P a meme polygone de Newton que Po et est donc un diviseur strict de D, contradic-
tion. Le Theoreme VII.2.1 est demontre.
213
BIBLIOGRAPHIE
[ 1 ] M. BAYART.- Eac t or i a l i t e et series formelles i r r educ t i bl e s I, Lecture Notes
in Mathematics n0795. Springer-Verlag 1979.
[2 ] BOREVITCH et CHAFAREVITCH.- Theorie des Nombres. Gauthier-Villars, Paris,1967.
[3 ] BOURBAKI.- Algebre Commutative, Chapitre 6 Valuations. Hermann, Paris,1964.
[4] BOURBAKI.- Algebre Commutative, Chapitre 7 : Diviseurs. Hermann, Paris, 1965.
[5] KRASNER.- Essai d'une theorie des fonctions analytiques dans les corps values
complets. C.R. Acad. Sc. Paris 222(1946),p. 37-40, 165-167, 363-365
et 581-583.
[6] NAGATA.- Local Rings. Wiley Interscience, New-York, 1962.
[7] SAMUEL.- On unique factorization domains. 1£1. J. Math. 5 (1961)p. 1-17.
Hare BAYART
Classes Preparatoires, Lycee Thiers
13232 MARSEILLE Cedex 1
Homologie d'anneaux locaux de
dimension d'immersion 3
par
C. SCHOELLER
Soit un anneau local noetherien, pour tout R-module M
noetherien, TorR(M,k) est un espace vectoriel sur k, gradue en degres po-
sitifs, de dimension finie en chaque degre. On appelle serie de Poincare du
R-module M, la serie
nb zn
bn
On sait etablir un calcul explici te de I)R(k) sous la forme
d'une fraction rationnelle dans un certain nombre de cas, par exemple lors-
que R est un anneau regulier, un anneau d'intersection complete, au un
anneau de Golod, ou lorsque la dimension d'immersion (c.a.d. de
Rest 2.
Divers contre-exemples ont ete recemment trouves, prouvant que
IlR(k)
n'etait pas toujours rationnelle [OJ,[2.).
Nous nous proposons ici d'explorer certains cas de rationalite,2
en particulier lorsque = 3, par l'utilisation de la formule de
changement d'anneau
Cette formule a ete etablie dans [3J lorsque R' est une intersection
complete quotient de R par un ideal E engendre par une partie d'un sys-
teme minimal de generateurs de Elle a permis de prouver la rationalite
de pR(M) pour tout R'-module M noetherien lorsque E etait monogene.
Nous nous proposons d'etudier Ie cas ou E sst engendre par deux elements
d'un systeme minimal generateurs de
215
1 - Generalites et notations.
Dans toute la suite sera un anneau local noetherien,
(x" ... ,xn) un systeme
l'ideal engendre par
minimal de generateurs de son ideal maximal et
(x 1'x). On dee i.gne r-a par l'anneaun- n
local quotient de R par Les images canoniques xi , ... de
x1 , ..• ,xn_2'forment un systeme minimal de generateurs de
On supposera que R' est une intersection complete.
Rappelons que, comme R-module, k admet une resolution minimale
qui est une R-algebre au sens de Tate [51 (c.a.d. une algebre differentielle
munie de puissances d i.vi.eeee }. La construction de 1. se fait "pas a pas" :
- au premier pas, on pose
1, dT.= x.l l l
i=1,2, ... ,n
R < T1, .• "Tn> est l'algebre exterieure construite sur T
1,... ,T
n;
est le complexe de Koszul de R;
- au deuxieme pas, on pose
i=1,2, ... ,r
est l'algebre des polynomes
k-espace
dU., j = 1,2, .•. ,8, formentJH (1(m-1)) et l'on posem-1
d'une base du
.
1.(m-1) telle que H (1(m-1)) ko
i < m-1 ; on passe a l(m) en rajoutant des varia-H.(r.(m-1)) = 0 pourl
U1 , ... ,Us'en degre m, de sorte que les
relevement dans Z d'une base dem-1
et
bles
un
les si forment un relevement dans Z1($(1))
vectoriel H1
)), et < 31"
.. ,3r>
divises en 31, ••• ,3
r,a coefficients dans
- au m-ieme pas, on a construit l'algebre
l.(m) = 1.(m-1) < U1' ... ,Us>,
cette notation representant
- l'algebre exterieure a coefficients dans 1(m-1) construite sur les U.,l
si m est impair,
- l'algebre de polynomes divises en U1, .•. ,U
s,a coefficients dans 1.(m-1),
si m est pair.
Nous n'aurons besoin ici que de la construction explicite des deux
premiers pas.
216
D'apres [3J, et selon nos hypotheses, il est possible de construire
par la methode de Tate, une R-algebre qui est une resolution minimale
de
pas
R' et s'identifie a une sous-algebre differentielle de (au premier
s'identifie clairement a R < Tn-1' r> . On posera F = Y(1).n
Par ailleurs, k, considere comme R'-module, admet une resolution
minimale qui est une R'-algebre ; en fait, R' etant une intersection
complete, on a
Enfin, toujours selon [3J, il existe un morphisme surjectif
: - II d'algebres differentielles sur R, induisant l'identite sur k.
Alors on peut construire une sous-algebre de n'est pas une sous
algebre differentielle) et des isomorphismes
1: R' -:: l,/
R
RDans ces conditions, pour tout R'-module M, on a
H(l, @ M) ::. S k ) S H(l,'S M)k
c'est a direR - R . R'Tor (k,M) - Tor (R' .k ) Tor (k,M).
kLorsque M est noetherien il en resulte la relation
R R R'n1 (M) = n1 (R').O (M).
2.1. Dans ce cas R' est un anneau de valuation discrete. On peut supposer
R' non regulier (s'il etait regulier, R/x3R
serait soit regulier, soit
intersection complete, et l'on pourrait conclure, d'apres [3J que BR(M)
est rationnelle pour tout R'-module M). Done il existe m E fi tel que,m / 0 et ,m+1_ 0x1 r x 1 - •
Nous preciserons d'abord la construction de 1(2) et
On pose
dOTj = 1
>, dOT.=l
dTj = xj
dT = x.i l
i 1,2,3
217
alors F = = R <T2,T3>,
est la sous algebre de E engendree par T2et T
3. 11 est clair que l'on peut prendre,
11(2) = R'< T;,S'> , 2 , dS'= s'= x;m T;
Par ailleurs, puisque x7+1E £, il existe dans Rune relation du
type
de sorte que s
se projette en
m+lxl + AX2+ f1
mX1T1+ AT
2+f1T
3s'. Dta pr-ea [3J
avec
est un cycle (et non un bord) de
on peut de plus, modulo un bord de
E qui
E,
supposer A et f1 dans l?.
Soit (s1"" ,sr) un relevement dans 21(F) d'une base de
H1
k, on a, pour tout i = 1,2, ... ,r, S.= aiT 2+
biT3
avec aix2+bix3=
O.l
On sait (cf. [3J) que l'on peut prendre
et
F < Sl"" ,Sr >
E < S1"",Sr'S >
aDs = 2i
dS = s.i l
dS s
de sorte que l'algebre i(2) n'est autre que R < T1,S
> , et 1(2)-
1£ morphisme d'algebres differentielles envoyant T1
sur T;, S sur S' et
les autres generateurs sur O.
2.2. Remarques sur l'homologie des R' modules.
Pour
par
Soit N un R'-module, on calcule
tout 0mp :2: on a, en appelant Ker
Nx 1mNx
1 dans
R'Tor (N,k) au moyen de N.
le noyau de la multiplication
2 N)2p+2
2 ("l'@ N)2p+1
B2p+2 1
B N)2p+l 1 1
11 en resulte que les isomorphismes naturels y H Y de I' ® N( ) 2p+ 2
sur "l2 e N, et S' p T;1l3l Y ..... T; I8i y de 12p+1e N sur "lie N induisent des
isomorphismes :
et e2p+1R' - R'Tor 2p+1(N,k) - Tor 1 (N,k).
218
Enfin, lorsqu'on a fait choix d'une decomposition de N en somme directe
est un R'-module libre et un R'-module annule parm
x1 ' on a
et
ou soc NT
R' ,... R'Tor2p+2(N,k) Tor 2 (N,k)
R' - R'Tor2p+1 (N,k) Tor1
(N,k)
designe le socle de NT.
R' TTor
2(N,k)
R' T'::: Tor
1(N ,k)
Tsoc N
2.3. Pour prouver la rationalite de OR(k), sous certaines hypotheses, nous
utiliserons les deux R'-modules
et
et des relations entre leurs homologies.
Nous designerons par 2 et B respectivement, les modules 21(F) et B
1(F)
de sorte que M -::: 2/B. Comme F = R < T2,T3
>, 2 et B sont les sous-modules
de R2
d.ef i n i s par
2
B
[(a,b)E: R2
[A(-x3,x2)
oJ ,
Enfin, comme R' est de valuation discrete, on utilisera une decomposition
rM Ell M.
i=1 l
de M en somme directe de modules monogenes
Ci S; m.i
De l'exactitude des suites
2.3.1 0 - R'-f 0
2.3.2 02
R 12. 0
2.3.3 0 B 0
2.3.4 o B M 0
il resulte, d'une les isomorphismes
tx . +1M. R'a RI/(X
1' l ), avec
l i
219
RTor 1 (B,k)n+
d'autre part l'exactitude de la suite longue
'In ;;, 0
Vn ;;, 0
2.3.5.
La partie de degre o de 2.3.5 donne en fait la suite exacte
o - TorR(B,k) - TorR(Z,k) - TorR(M,k) - 0 ;000
en effet, d'une part (-x3,x2)
engendre B, et d'autre part on a
2 2done Z C R , d'oll l'injectivite de B 0 k - Z
Nous nous proposons d'etudier le morphisme
2
de degre -2, defini par
il est clair que, si 0
tions
6 = a 0 0 pour tout n;;' O. En particulier,n+2 n+1 n+2
est nul, la suite 2.5. se scinde et que, des rela-
R( - R ( R(Tor Z,k) - Tor 1 A,k) $ Tor M,k)n n- n
TorR 2(R',k) TorR(Z,k)n+ nR - R R'Tor (A,k) - Tor (R' ,k) Tor (A,k)
1i'n > 0
'In ;;, 0
R - R R'Tor (M,k) - Tor (R',k) Tor (M,k)
il r esuLt e une relation rationnelle entre rl(R') , nR'
(A) et nR'
(M) et,
comme ces deux dernieres series sont rationnelles il en est de meme de la
premiere done de nR(k).
Rappelons que TorR(M,k) 0 M) M).
2.4. LEMME.
a. La restriction de 0 M) se factorise a traverso
\I flI H(l:l@ A).o _ R' Rt
b. Si on appelle 0 Tor (M,k) - Tor (A,k) le morphisme de
degre (-2) ainsi defini, les series associees a Ker 6 et 1m6 sont
220
des fractions rationnelles. Plus precisement, on a, pour tout p 2 2
Ker 52p
Ker 52 et
Ker 6 Ker 63tl
2p+1
1m 52p '::: Irn 54
1m 62P+1'::'. Im 53
On calcule au moyen de la suite exacte de complexes
A cause de la decomposition M'::'. @ M en somme directe de modules monogenes,i
on peut se contenter de prouver Ie lemme lorsque M est monogene et non
isomorphe a R' (Ie cas M R' etant trivial).
supposons done M monogene, engendre par (j image eanonique de 0 = (a,b)E Z,C/ - f- 0,
C/+1 -avec a x2+
b x = 0, et tel que x1
0 x1 0" = 0 pour un C/ < m. Un
3calcul simple utilisant la description de r' ci-dessus, montre que
@ M) se reduit done.0
, est la elasse d'homologie de
O.B2p+1et
R'x S,(P)SlM':::x M1 1
est la classe d'homologie deC'
6
2p au calcul de 6(C), ou
C = E M)
calcul de ou
1e ealcul de la restriction de
_en degr-e
-en degre 2p+1 au
C'= S(P)T1@
Caleul de 62p (C)
Par la methode elassique, dans la suite 2.4.1 on releve C en un
cycle z de Z ; on peut prendre z = 0, et l'on ap m
dz= (x1T1+ A T2+ T3)
0" ;
C/+1- C/+1Comme x1 0 0, on sait que x1 0 E B, autrement dit, il existe p'E R
tel que
ax2+
bx3= 0, il vient
A(a,b)
et l'on a, puisque
eomme A est dans
C/+1 ( )x1
a,b
C/ < m,
J2. on l'ecrit
p'(-x3'x)
p(-x3,x2
) avec
A = A'X2+A"X3
, et,
m-C/-1p = P'x1 De plus,
compte tenu de
221
On opere de meme pour et l'on obtient
A"a)T +2
Alors dz est un cycle de x 0 B et 0(') est la classe Z de dz dans
B). II reste a calculer (Z) au moyen de la suite exacte de
complexes
ouOn releve
o l, A l, R "I B O.
dz dans l, R en Z = wS(p-1)
w = pT + (A"b - A"a)T + - alors dZ1 2 3
On verifie aisement que ws = 0, et il reste
soit encore
est un cycle de
(px1+
Ab - vs(p-1)
est dans A et dZ E 'y Gll (i illl A)o
dZ =v = px
1+Ab -
2p - 2 de ®A,
62P
(C)= CIs(S(p-1)@v) dans H(l,@A)·
Alors
degre
2.4.2.
On deduit de ce calcul les resultats proposes dans Ie lemme pour
les degres pairs :
p, Ie diagramme
R'c 0 Tor 2 2(A,k) ,
o p-
etant independant deAv de
R'p 1, on a 62 Tor 2 (M,k)
popR' R'
: Tor2p(M,k)
Tor2p_2(A,k).
induit 62p
b) l'eIement
a) pour
done
enl.f,lZ
ci-dessous est commutatif pour p 3 :
R' R'Tor 2p(M,k) Tor 2p_2(A,k)
5182P s182P_2R' 64 R'
Tor 4 (M,k) Tor 2 (A,k).
Calcul de 62p+1(e') = a2po 02p+1 (C').
De fagon analogue et avec les memes notations, on releve C' dans
z'= S(P)T xaa et l'on obtient l'expression de dz' comme cycle1 1
222
Je B sous la forme :
dz "> [p'S(p)- (f1'b - f1"a)T1T3]S(P-1)} 6 (-x3,x2).
Alors 02p+1 (C') est la classe Z' Je Jz' Jans B) ; on calcule
a(z') en relevant Z' Jans R en
Z'= p'S(p)- xaU),.'b - ),." a)T T + (f1'b - f1l1 a)T T ]S(p-1)1 1 2 1 3
Le calcuI Je JZ', compte tenu Jes relations entre les Jivers coefficients,
Jonne
d'ou
avec v
p, on a des conclusions analogues
2.4.3.
aL'element x1vaux precedentes
6 (C' ) =cLs (S (p-1 )T xav)2p+1 1 1
Je A etant inJepenJant Je
Jans 18 A).
Va = 0,1, ... ,m.
Ceci acheve la Jemonstration Ju lemme, les series associees a Ker 6et a Im6 etant alors Ju type
K K' zf(z) = p(z) + -----2 + ---2
1-z 1-z
au p(z) est un polynome Je Jegre 2 a coefficients Jans Z, et (K,K') un
couple J' entiers •
2.4.4. Remargue sur Ie calcul Je 6
Designons encore par a = a T2+
b T3
Ie cycle Je E corresponJant a l'ele-
ment (a,b) Je Z.
Lorsqu'on effectue Ie proJuit s.o Jans E on obtient, en tenant
compte Je l'egalite = p(-x3,x2)
,
a a a ( )s.x1o = x1vT2T3-
x1J
PT1T2
T3
Par ailleurs, on verifie aisement que, A etant identifie a Z2(F) c Z2(E)
par l'application x x T2T3,
B2(E) n A
on a, pour tout a = 0,1, ..• ,m,
De meme, un calcul simple prouve que, si la classe a Je (a,b) Jans Ma a
est annulee par x1 ' alors on a x1 v = 0.
223
De ces diverses remarques, il resulte que la multiplication par s
induit deux morphismes
-
sf Soc - Soc
qui ne dependent que de la classe d'homologie s de s.
La description donnee ci-dessus pour 6 prouve alors que, pour
p 1, 6 s'identifie a s* et 62p+2 0 2p+1
phismes
a sf, compte tenu des isomor-
N) et
et N = A.
H (1.'0 N) Soc pour2p+1
N = M
Nous exprimerons ce resultat en disant que, en degre n 2, 6n est
la multiplication par s.
2.5. Le lemme suivant donne le calcul de 6 a partir de 6. Rappelons que
H(1. * M) (ij S k) g M) ; il suffit donc de calculer 6 pour tout
element de la forme u C , ou u E 81 k et CE H('f'$ M).
La mUltiplication dans F permet de definir le sous-module A' de
A par
Z1 (F).Z1(F) = A'T2T3est lensemble des elements deautrement dit A'
(a,b) et (a',b') verifient et
A de la forme ab'-ba' oU
Pour tout UE k et tout C E H on aq n
6(U \lil C) = U 6 C+ LI(UQC)
ou LI : (V \lil k)@ H(l.\S M) - H(l 8 A) est un morphisme de degre (-2)
possedant les proprietes suivantes :
a) Si U E k , alors LI(U.U E l,;(q-2)81 H(l.'S A)
b) Pour tout UE S k et D'E ij ,q - q'
= U LI(U'.C) + (-1 )qq'U'll(U.,)
c) il existe un representant de LI(UeC) dans
Z ("£0A).n+q-2 n+q-2
224
lorsque n = 2p et
est l'image dans M de l'element-comme precedemment, 0
le calcul de o(U C)
U un relevement de U dans On sait, d'apres [3J qu'ilK
Zu de la forme Z = u e 1 + L U. ,U i=1 l
qi+ = q et qi< q. Alors, on peut
dans 1 = EB ('v.mfj}!m') tel queq m+m'=q
zU" U modulofC.£ \I (8) R)E9 ( L \l 1: ,)1q m<qm m
dzuE ..£ \-1
(Vi)iEI une base du R-module libre lq_1' on poseSoit
existe dans 1 l' un cycleR R
ou, pour tout i, U E \I l' aveci s . q
l l
choisir un relevement Zu de U ® 1
Effectuons
C 0) ou,
(a,b) de Z.
Soit
dZU = L (A.X 2+ Al.E R, R.ill l
Alors Ue, se releve dans 1 Z en zU.z ou z = s(p)* (a,b), et
o(U C) est la classe dans B) de d(zU'Z) = dzU'z + (-1 )qzu.dZ.
Comme dzU'z = =V. S(P)(A.X2+
=V. s(P)(A.b -il l l il l l
(p-1) ( ) ('et zUdz = zu.wS Ig -x3'x2
ou west l' element d ef i.n i. en 2.4 dans le
calcul de 02P(C)), on ecrit d(zU'z) = u (-x3,x2)
E Z(l B)
avec u = =V. s(p) (;... b - + (-1 )qz wS(p-1). l l l Ul
et o(U @ C)= c Ls I du ) dans H("f ®A).
1e calcul de du donne, apres simplification,
(p) ( )du = L dV. S A.b -. l l ll
et, dans H(l * A) k) ® H(X'8A)
o(U e U = IT @[;'(C) + Ll(U.U
ou est la classe d'homologie de L dV S(P)(A.b -ill l'
un element de 1. A comme le prouve le calcul ci-dessous :
qui est bien
on decompose dV. sur une basel
(Wj
; j E J) de 1 ,soitq-2
2d zU= 0, on a =p ..
i lJ l°, 1/j E:: J
si l'on pose
par sui te
c.J
E p .. A. eti
d.J
225
E p .. on voit quei j ,
(c.,d.) E Z , etJ J
2.5.2.
E dV. S(P)(A.b - a) E W. S(p ) I&> (c ib - d.a) E '10® A' C XI&> A •i j J J J
En resume, on a
/) (D I&> VI&> + llCU I&> 2)avec 6(V I&> 2) cls [E w. s(p) ® (c i b - d.a)]
j J J J
2.5.1.
ou 'O. , W. S(p) E 11 (q-2) I&>:CJ J
et c.b - d i a E A'J J
Ces formu1es res tent va1ab1es lorsque p = 0 , 1; est a l ors 1a c1asse
dans Ml&>k de l' element 0' de M , 1ui-meme proj ection du cycle (a,b) de Z.
Par un ca1cu1 analogue, si z' = S(P)TI(a' ,b') est un re1evement dans
X I&> Z d'un element t, de H2p+ I(1C' I&> M), pour p:;;' 0, a1ors, pour UE1jm I&> k
et en uti1isant 1es memes notations que ci-dessus on trouve :
S(U I&> = UI&> 8(2') + t. (V I&>
avec !leU I&> = c1s [E W. S(P)Tj
I&> (c.b'-a'd.)],j J J J
'OJ E WjS(P)T
IE '/:f(q-2) I&> X ,
c.b' - a'd. E A' n soc A .J J
Les parties a) et c) du 1emme resu1tent c1airement des formu1es
2.5. I. et 2.5.2.
La demonstration de l'assertion b) est laissee au 1ecteur : i1 suffit
de calcu1er I&> 2) par 1a methode precedente en remarquant que l'on peut
utiliser Ie produit des cycles Zu et zu' pour re1ever V V' 1&>] dans
X q+q , •
2.6. Le lemme et les calcu1s ci-dessus conduisent a une mei11eure description
de /). On remarque d ' abord que s i , pour m > 2 ,
est l'isomorphisme canonique, a1ors, avec les notations ci-dessus
On posera W = (Wo
Wm(D) = L W.(c.,d.)j J J J
wI'" " wm , ... ) , avec o , et l'on appe11era
226
ad-bc = 0, de sorte que Ia multiplication de
Ie compose de
D'un autre cote, si
et de la projection canonique
*0= '1= 0.
i.e (c,d) = p(-x3,x2
) ,
induit une applica-E
est de degre -2 et
(a,b)E Z et (c,d)E B
; ainsi
R* : " @ k - Tor (M,k)
R RTor (Z,k) - Tor (M,k)
alors
tion de M M dans A si 0 est I'image canonique de (a,b) et 0' celIe
de (a' ,b') on posera 0 A 0'= ab'- ba'. II en resulte, en particulier, une
application de degre ° que l'on notera
un cyclez'= G a'm'z et
suivant que m'= 2p ou 2p+1),
est un cycle de M de classem
classe ;'(G = s(p)m'
z = l: W.o.j J J
1" M dem'
si
de
alors. J m' JJ
Avec ces notations on a, pour tout U @ k et 'E M)
Proposition
Si l'on note
- RH(l, 0 A) - Tor (A,k)
l'homomorphisme de degre -2 compose de
* f> Id : 1,; s k H(I.,g M) - H(L M) H(I.'@ M) et de
H(l, @ M) H(L' ' M) - H(I. @ A) , on a, pour tout U f= 1; k et
C E H(I.'0M)
6(0 @ (,) = U + 6(U ® C).
2.7. Etude de divers cas de rationalite de nR(k)
2.7.1. Proposition
La serie UR(k) est une fraction rationnelle dans les deux cas
est une surjectionR'
6 Tor (M,k)
suivants :
1. Lorsque la restriction 6 deR'
Tor (A,k);
2. Lorsque, pour tout couple (Z1'Z2) d'elements de H1(F) S k, il
existe des representants z1 z2 dans Z = Z1 (F) tels que
227
Gorollaire
Dans les deux cas ci-dessus nR(N) est une fraction rationnelle
pour tout R'-module N noetherien.
Demonstration.
La premiere hypothese implique la surjectivite de a. En effet,R'
on prouve, par recurrence sur m, que l'image de a contient Tor (A,k)m
pour tout m. Par hypothese, cette propriete est vraie pour m = 0 ; on la• • R' •U k, S E Tor (A,k) et C
m rGomme o(U @ C) = iJ @ + tl(U @ 0
suppose vraie pour tout m'< m. Soient alorsR' . .
un element de Tor (M,k) tel que a(C) = s.• • R'
avec tl(U C)E L Tor (A,k), utilisant l'hypothese de recurrencem'';;m-2 m
on en d8duit que U E: lina.
II en resulte que,
Ro - Tor (Z,k)m
pour tout m 2, la suite
R a R- Torm(M,k) _m Tor
m_2(A,k) - a
deduite de 2.3.5. est exacte. Gompte tenu de l'isomorphisme
TorR(Z,k) TorR 2(R' ,k); on obtient l'egalitem m-
z2[OR(R') + OR(A)J = oR(M) - co- c
1z
Rou co= M k, c1= Tor 1(M,k).
Gomme nR(M) = nR(R').OR' (M) et nR(A) = nR(R').nR' (A), il vient
Il(R') = (c - z2(1 +ll'(A))J.R' R' 0 R
Ainsi, U (M) et B (A) etant rationnelles, il en est de meme de n (R')
donc de nR(k) et de aR(N) pour tout R'-module N noetherien.
Dans la deuxieme hypothese proposee, on a evidemment tl O. Alors
o(U. cJ = U186( C) pour tous U E I,; to k et t E To/: (M,k). 11 en resul tem m
1m(a ) ::: [li 18 1m 6J , \fm 2m m-2
et Ker(a ) '::: [1.i & Ker 6J \fm 0m m
Gomme, par ailleurs, la suite exacte 2.3.5. nous donne en chaque degre m ala suite exacte courte
o - TorR 1(A,k)/Im a 3 - TorR(R' k) - Ker 6 - 0m+ m+ m' m+2on a
228
ou f(z) et g(z) sont les series associees aux espaces vectoriels Ker 6et Im6, C1 et
Les series f(z) et g(z) etant rationnelles (cf 2.4.) la rationalite de
aR(R') s'en deduit, ce qui acheve la demonstration de la proposition et de
son corollaire.
2.7.2 Exemples d'anneaux de dimension 3 dont la serie de Poincare
est rationnelle.
Nous conservons les notations des paragraphes precedents.
est Ie quotient d'un anneau regulier, par un ideal J ; on
appelle (X1'X2'X3)une famille de generateurs de m dont la projection
canonique est (x1,x2,x3),et r l'ideal (X
2,X3).Alors, par hypothese,
J=Gi/,+J',ou J'=Jnr et +t-'X2+i-1'X3,
t-'E:ih, i-1'EiIl,m;;'1.
Exemple : Pour tout r;;' 1, si on a Ii La fois ,9 =:J ;n2n et J'e mrlp alors
la serie nR(k) est rationnelle. En effet, la partie 2 de la proposition 2.7.1
s'applique puisque l'on peut choisir comme generateurs
eta.l
0, v(i,j).
M des cycles de la forme
b. dans de sorte que s.s.l l J
. 3 RExemple 2 : Sl J =:J , n (k) est rationnelle. Ce resultat est prouve dans
[1J. Une demonstration peut en etre faite en utilisant Ii la fois les resultats
ci-dessus et ceux de [3J suivant les differents cas possibles (il y en a 15)
(J., i = 1, ... ,m, del
II est
Exemple 3 : Dans cet exemple, l'application 6 est nulle bien que la condition
sur les cycles de 2.7.1. ne soit pas remplie.
I 3 2On prend R = R J avec J = (X1+X3(X2+X3),X2,X1X2,X1X3)'
clair que J =:J m4• On choisit comme generateun de 21(E)
2s = x1T1+(x2+x3)T3
t;l1= x2T2s2= x1T2s3= x1T3
Les s. sont dans 21(F) il leur correspond un systeme minimal de generateurs
l
M (x 2, 0)- (x
1,0) -
(0,x1 )pour o = , o = , o = et l'on a x
101
= 0 ,1 2 32 - -I 0 2- -I On verifie aisement quex1
O2 et x103
O. l'on a :
avec e1= x
1et e2 = x2x3•
R REB Tor (R' ,k) EB Tor (R' ,k) et
Enfin, pour les calculs de 6 et
229
A '::'. R' e1
EEl k e2
R ... Ret par suite Tor (M,k) - Tor (k,k)
TorR(A,k) '::'. TorR(R',k) EEl TorR(k,k).
on utilisera
sS1 = - x2x3 T2T301 A 02 = 0 = 01 A 03 '- - 2°2 A °3 = xi •
Calcul de 6. On appelle 0i l'image canonique de 0i dans M k et l'on a
HoP>@ M) ':: k 01 EEl k EEl k °3
'
H '::'. k s(p)o Vp> 02p 1
H M) '::'. k S(P)T 6 Vp 2 O.2p+1 1 1 '
Alors, pour p> 0, on a o(S(p)o) = - S(p-1)e et1 2
o(S(P)T ) = _S(p-1)T e Ainsi, 60= 6
1= 0 et 6 est injective pour tout
1 1 1 2· PP 2 2.
Calcul de Comme 0i A 01 = 0 pour i = 1,2,3, on voit que
Done est nulle sur
est nul lorsque C=R M). II
p>o P
S( p)o· S(P)T 01 ou 1°1' P .
reste a calculer 0.)l
pour
• 2 • •U Eo,. i = 2,3. Comme 01 A 02 = 01 A 03 = 0 et 02 A 03 = x1 ' $ 0i)
est la classe d'un cycle z de ®A dont les coefficients sont en fait2
dans x1R'. La classe d'un tel cycle est toujours nulle (utiliser les isomor-R... R' 2
phismes x1R - R' et Tor (x 1R,k ) - (x 1R,k) = lJ (x 1R/x1R)).En resume, est nulle et, pour tout n 0, on a
Ker 0n+2 '::'. ,k)S M) EEl (R' ,k) k 01 ) ,
... RIm 0 2 - Tor (k,k).n+ n
Calcul de la serie aR(k). On pose
OR(k) = b znn
230
Il' (k ) = Z znn;;'o
etl'ona Zbzn=(Zazn)(Zzn)n n
RPar ailleurs, din Tor (Z,k) = a 2. Alors, compte tenu de ces diverses
k n n+relations et des relations de dimensions donnees par la suite 2.3.5., on trouve
2an+1 = an+4 - 3an+2 Vn ;;, 0 I
3R R 23 2Rd'ou 2 z (R')-a
o]= B (R')- a
o-a 1z - a2z - a
3z- 3z [a (R')- a
o-a1z].
On trouve aisement : ao=
1, a 1= 2, a 2= 8 k) = 4 , et a3=
8 (cette
derniere valeur est obtenue a partir de = 1 , = 7
et de la suite en acte
R 52 R RTor 2(M,k) - A \8lk - Tor 1(Z,k) - Tor 1(M,k) - 0).
On en deduit :
et
Exemple 4 : dans ce cas
IlR(R') = 1/1-2z
RIl (k ) = 1/(1-2z)(1-z).
R = avec
( 3 2 ) 2 4 5)J = X1+(X2+X3)X3,X1X2'X1X2(X1+X3),X3(X1+X3 ,X3(X1-X2-X3),X1X3,X2 •
5On constate que = O. Avec Ie notations precedentes on peut prendre ;
2s = x
1T1+ (x 2+x3
)T3
s1= x1x2T2s2= x1(x1+x3)T2 '
s3= (x 1+x3)T 3 '
2s4= (x1-x2- X3) T3 '
4s5= x1T3 '
4s6= x2T2 '
M = k 01 Ell M' , avec M'= k 02Ell k 05 EB k 06 EB )03 EB )04 '
A'::'.ke1
On a alors
avec
et o. A°= 0 pour et (4,1).l j
s s1 = -x1x2x3T2T3
01 A 04 = - x1x 2x3
et ss = 0 Vi;;, 2i
23'
II resulte de la, en utilisant les decompositions
que
TorR(M,k) TorR(k,k)O, ffi TorR(M',k)
et TorR(A,k) TorR(k,k)e, ffi
R'est nulle sur Tor (M' ,k) et induit un isomorphisme de degre -2 de
R' -Tor (k,k)o,
R'sur Tor (k,k)e,.
Par ailleurs, la restriction de 6 a
TorR(k,k)e, : en effet, on sait d'une part que
d'autre part que l'image de la multiplication
TorR(k,k)01
a pour image"'" R' - R'6(Tor (k,k)O,) = Tor (k,k)e"
M@M -A est Ie sous module
Tol(k,k)e, •
Enfin, comme l'image de 6 est contenue dans TorR(k,k)e
1,on
aboutit aux conclusions suivantes valables pour tout n;" 0
ke 1, il suffit alors d'adapter Ie raisonnement fait pour demontrer la premiere
partie de la proposition 2.7.'. pour obtenir Ie resultat annonce. On voit queR'
6 induit un isomorphisme de degre -2 de @ L Tor (k,k)O, surm;,,2
Im(6 2) = TorR(k,k)e,n+ n
Ker(6 2) TorR 2(M,k)/TorR
2(k,k)01·n+ m+ n+
II en resulte, en utilisant la suite exacte longue 2.3.5., que est
une fraction rationnelle.
. _ / 23. Etude du cas ou = n > 3
Les resultats du paragraphe 2 se generalisent au moyen de calculs
analogues. La seule difficulte provient de ce que R'= n'est plus deR'
valuation discrete; on a done des expressions moins simples pour Tor (N,k)
lorsque N est un R'-module.
Avec des notations analogues, on a deux R'-modules M= H1(F) et
A ann xn_,n ann xn'
et l'on retrouve la suite exacte 2.3.5.
On prouve comme au paragraphe 2 que l'homomorphisme
R "'" R R' R R' "'" R6 : Tor (M,k) - Tor (R' ,k) @ Tor (M,k) - Tor (R' ,k) 0 Tor (A,k) - Tor (A,k)
de degre -2 possede les proprietes suivantes :R'
3.1. La restriction de 6 a Tor (M,k) definit, en fait, un homomorphisme
232
R' R'Tor (M,k) - Tor (A,k)
3.2. Pour tout U E et ,E M) on a
ou 6 est encore Ie compose de
v Id
3.3. Si, pour tout couple (z1,z2)
(Z1'Z2) de representants dans 21(F)
et de l'application
induite par la multiplication dans E.
d'elements de H1(F) il existe un couple
tels que z1z2 = 0 , alors 6 = o.
Enfin, il est possible de prouver la propriete suivante
3.4. Les series associees aux espaces vectoriels gradues Ker 6 et 1m 6sont rationnelles. C'est uniquement la demonstration de cette propriete qui
ne peut etre calquee sur celIe du §2., elle peut etre faite par les methodes
de [3J mais ne sera pas donnee ici.
La proposition ci-dessous resulte de ces diverses proprietes.
3.5 Proposition.
Avec les hypotheses du paragraphe 1 la serie nR(k) est une frac-
tion rationnelle lorsque, pour tout couple (z1,z2) d'elements de H1(F)il existe un couple (z1,z2) de representants dans 21(F) tels que z1z2= o.
Dans ces conditions, aR(N) est aussi une fraction rationnelle pour tout
R'-module N noetherien.
Une generalisation de certains de ces resultats, par des methodes
differentes, sera donnee ulterieurement [4J.
233
Bibliographie
[oJ D. ANICK - Construction d'espaces de lacets et d'anneaux locaux a series
de Poincare-Betti non rationnelles. C.R. Acad. Sc. Paris 162 (1980).
[1J J. BACKELIN et R. FROBERG - Studies on some k-Algebras giving the Poincare
series of graded k-algebras of length 7 and local rings of3embedding dimension 3 with = O. Preprint series Stockholm Univ.
[2J C. LOFWALL et J.E. ROOS - Cohomologie des algebres de Lie graduees et
series de POincare-Betti non rationnelles. C.R. Acad. Sc. Paris
162 (1980).
[3J C. SCHOELLER - Rationalite de certaines series de Poincare - Seminaire
d'Algebre Paul Duoreil Proc. Paris 1977-78. Lecture Notes in Math
740 p 323-384.
[4J C. SCHOELLER - Anneauxsemi-golodiens (a paraitre)
[5J J. TATE - Homology of noetherian rings ans locals rings. Ill. J. of Math.1
(1957) p 14-27.
C. SCHOELLER
Universite des Sciences et
Techniques du Languedoc
Institut de Mathematiques
Place Eugene Bataillon
34.060 Montpellier Cedex
DIMENSIONS COHOMOLOGIQUES RELIEES AUX FONCTEURS
L. Gruson et C.U. Jensen
Si qUid tamen olim scripseris
nonumque prematur in annum,
menbranis intus positis.
R un anneau unitaire et I un ensemble
ordonne filtrant a droite (en abrege f.a d.). Un I-systeme projectif
de R-modulus (a gauche) est une famille de R-modules {Ma}, a E I,
f aa
y •
tels que
si
est de R-homomorphismes {fa 13
:M13
.... Ma } , a :::. 13 ,
pour tout a E I et f = f fay al3 l3y
Si {r1a , fa 13
} et {Na,gal3} sont deux I-systemes projectifs, on
entend par une application (morphisme) de {Ma,fa 13} dans {Na , ga l3 }
une famille de R-homomorphismes {u } u : M .... N tels quea a a a
uafa 13 gal3ul3 si a < 13 .
Si R et I sont fixes, les I-systeme& projectifs et les rnor-
phisrnes introduits ci-dessus forment une categorie abelienne ayant
assez d'injectifs.
Le foncteur limite projective lim est un foncteur exact a
gauche de cette categorie dans la categorie des R-modules. On designe
par lim (n)-<-
Ie n i eme foncteur derive a droite de lim-<-
Un
de la theorie de ces foncteurs se trouve dans [14]. Une question fon-
damentale de ce domaine est d'obtenir des conditions pour l'annulation
de ces foncteurs. Si aucune condition n'est imposee aux modules
on a Ie resultat suivant: Soient I un ensemble ordonne f.a d. et n
un entier 0 ; alors lim(i)M-<- a o pour tout i > n et pour tout
I-systerne projectif de R-modules Masi et seulement si I contient
un sous-ensemble cofinal de puissance < (fr. n-1 •
Le cardinal des ensembles finis.) [10, 14, 16].
(Ici k -1 signifie
235
Cette situation se change totalement si l'on impose la restric-
tion que les modules Mexintervenant dans les systemes projectifs
soient de type fini (ou de presentation finie). Par exemple, si
R = g, l'anneau des entiers rationnels, alors pour
tout i > 1 et tout systeme projectif {M }ex
de g-modules de type
fini [18]. Plus generalement, Roos [16] a demontre pour tout anneau
commutatif et noetherien R de dimension globale finie que
lim(i)Mex = 0 pour tout i > Krull-dim R et pour change systeme pro-
jectif de R-modules de type fini. La question a ete posee de savoir
si ce theoreme reste vrai sans la condition: "R est de dimension
globale finie". Les resultats plus generaux de ce papier montrent que
la condition de regularite sur R est inutile pour la validite du
theoreme de Roos. On va donner de plus une generalisation non-commu-
tative.
Dans cet ordre d'idees nous allons obtenir d'autres resultats
qui disent, grosse modo, qu'un systeme projectif Mexne peut avoir
"trop de" foncteurs non-nuls si les modules Mex(ou les
groupes abeliens sous-adjacents) ne sont pas "trop larges".
En tant qu'applications explicites nous donnerons des resultats
en theorie des modules que l'on ne peut pas (probablement) prouver
sans la theorie de L-dimension. Par exemple, au paragraphe 7 nous
allons demontrer pour un anneau R noetherien a droite que de dimen-
sion projective de tout R-module a gauche plat est au plus egale a la
dimension de Krull-Gabriel (a droite) de R.
§10 contient des resultats caracterisant les anneaux de repre-
sentation finie parmi les anneaux artiniens.
La plupart des resultats de ce papier date des annees soixante-
dix: pour des raisons differentes nous avons suivi Ie conseil sage
mais quelque peu hasardeux d'Horace cite plus haut.
236
Table des matieres.
§1.
§2.
§3.
§4.
§5.
§5A.
La categorie D(R).
Sous-groupes de definition finie.
La L-dimension et l'annulation de lim(i)+-
Caracterisations dans le cas coherent.
Categories localement coherentes.
Une application concernant les modules de Mittag-Leffler et la
dimension finitiste d'un anneau noetherien.
§6.
§7.
§8.
Dimension injective de foncteurs exacts.
Bornes explicites de la L-dimension.
Resultats supplementaires concernant l'annulation de
et les cardinaux de groupes.
§9. La L-dimension des anneaux complets.
§10. La L-dimension globale d'un anneau.
1. La categorie D(R).
Soient R un anneau unitaire et Pf(R) la categorie des R-modu-
les a droite de presentation finie, consideree comme sous-categorie
pleine de la categorie de taus les R-modules a droite. Les fonteurs
additifs de Pf(R) dans la categorie Ab des groupes abeliens for-
ment une categorie de Grothendieck D(R) avec un generateur. On dit
qu'un objet A de D(R) est de type fini si la reunion de toute fa-
mille croissante de sous-objets propres de A est elle-rneme un sous-
objet propre de A 11 revient au merne de dire que tout
filtrant croissant de sous-objets de A, de borne supe r i eur c A,
contient A Les objets representables de D(R), c.a d. les fonc-
teurs de la forme M = HomR(M,-), (M E Pf(R)), sont des objets pro-
jectifs de type fini de D(R) et ils engendrent D(R). Reciproque-
ment, tout objet projectif de type fini de D(R) est le quotient d'un
237
objet representable, par consequent facteur direct d'un objet repre-
sentable. C'est facile de verifier que chaque facteur direct d'un ob-
jet representable est lui-meme representable. Donc, les objets repre-
sentable sont exactement les objets projectifs de type fini de D(R).
Un objet A de D(R) est dit coherent (dans la terminologie de
Roos [19])s'il est de type fini et si, pour tout morphisme u d'un
objet de type fini B de D(R) dans A, Le noyau Ke r (u) est de
type fini. En vertu des remarques precedentes il s'ensuit qu'un objet
A de D (R)
de Pf(R):
est coherent si et seulement s'il existe une suite exacte
o X y Z 0
telle que la suite correspondante de D(R)
o Z Y X A 0
est exacte (pour un morphisme convenable: X A) Donc les objets
coherents de D(R) sont exactement les foncteurs coherents introduits
dans [1]. En particulier, D(R) possede une famille de generateurs
coherents et est donc une categorie "localement coherente" dans ter-
minologie de [19]. (Nous revendrons plus tard a une description plus
detaillee des categories localement coherentes.)
A plusieurs occasions nous aurons besoin d'une suite spectrale,
explicitee pour les categories des modules en [14]. Soit (AQ
) , a E I,
un petit systeme inductif filtrant de D(R), de limite A; alors
pour tout objet F de D(R) il existe une suite spectrale
est une I-systeQe projectifEn particulier, si
f.a d. de R-modules de
, a E I ,
les foncteurs N = HOffiR(N , - )
Q Qfor-
ment un systeme inductif de D (R) • Puisque tout objet NQ
est pro-
jectif, la suite spectrale ci-dessus degenere en des isoQorphismes
238
lim(n)F(N ) Ext n (ll'm -N F)--- ex D(R) ex'
(n > 0) ,
,ou l'on a utilise l'isomorphisme canonique de Yoneda
Si H est un R-module a gauche, le foncteur M = - 0 R 11 de
Pf(R) dans Ab est un objet de D(R). Comme D(R) a suffisament
d'objets injectifs on peut introduire la definition suivante:
Definition. Pour un R-module (a gauche) M on appelle L-dimension
(notation L-dimR(M)) la dimension injective de M dans D(R): c'est
un entier ou le symbole + = .
(Remarque. La denomination L-dimension provient du rapport a l'annu-
lation des foncteurs lim(i)-<--
que nous allons etablir plus loin.)
Donnons une autre interpretation de la L-dimension. Rappelons
qu'une suite exacte de R-modules a gauche
....u
....v
est dite pur-exacte ou universellement exacte si la suite
est exacte pour tout R-module a droite X. On dit qu'un R-module
a gauche M est pur-injectif (ou relativement injectif) si toute
suite pur-exacte (*) ayant N1 = M est scindee. De meme un R-module
gauche Pest dit ?ur-projectif (ou relativement projectif) si
toute suite pur-exacte (*) ayant N = Pest s c i.ndee , 11 se trouve que Le s rro-3
dules pur-ep ro j ect.Lfs sont exactement les facteurs directs des sommes
directes de modules de presentation finie et les modules pur-injectifs
sont les modules algebriquement compacts [20], dont nous donnerons
plus tard une description detaillee.
Soit T le foncteur contravariant HOffiZ (- ' U/Z) de la categorie
239
des R-modules a gauche dans la categorie des R-modules a droite.
Alors pour tout R-module a gauche M l'application canonique
M T(T(M» est un monomorphisme pur et T(T(M» est un module pur-
injectif. Done tout module est sous-module d'un module pur-injectif
convenable, et lIon peut introduire la dimension pur-injective d'un
R-module M comme le plus petit n (un entier ou pour lequel
il existe une suite exacte
o M I Io 1
I 0n
ou Io,I1,"',In sont pur-injectifs et les suites exactes courtes
dont (**) se compose, sont pur-exactes au sens defini plus haut. Dans
ce cas on dit que (**) est une resolution pur-injective de M. Bien
entendu, la dimension pur-projective d'un rrodul,e est definiede la rcaniere
duale.
La relation entre L-dimension et dimension pur-injective est
donnee dans
Pour tout R-module (a gauche) M la L-dimension
est egale a la dimension pur-injective.
Demonstration. En vertu d'un argument standard ("dimension shifting")
l'assertion de la proposition est une consequence immediate de la ca-
racterisation suivante des objets injectifs de D(R).
pour un R-module a gauche pur-injectif
Un objet F
si F est de la forme F = M
M.
de D(R) est injectif si et seulement
Demonstration. Supposons d'abord que F est un objet injectif de
D(R). D'apres [8] Fest alors un foncteur exact droite de Pf(R)
dans Ab et done de la forme M pour un R-module a gauche M On
peut prendre M = F(R) avec la structure de R-module definie par
240
r v y = F()lr) [y] , y E F(R) M,r E R,
ou )lr est l'homothetie: )lr (r') = r r' , r' E R. Si u: M .... N
est un monomorphisme pur, alors u: M .... N est un monomorphisme de
O(R); M etant injectif u est inversible a gauche. L'inverse a
gauche correspondant a la forme v pour un homomorphisme v: N .... M .
Ici l' on a v 0 u = 1M ' autrement dit u est un monomorphisme
scinde, et il s'ensuit que M est pur-injectif.
Reciproquement, soit F un objet de OrR) de la forme F = M,
ou M est un R-module pur-injectif. Puisque OrR) a suffisament
d'objets injectifs, F M peut etre plonge dans un objet injectif.
En utilisant le resultat plus haut nous concluons qu'il existe un mo-
nomorphisme pur u: M .... N tel que N soit un objet injectif de
O(R). M est pur-injectif, u a un inverse a gauche v;
mais la relation v 0 u = 1M implique que v 0 u = 1 Par conse-M
quent, M etant facteur direct d'un objet injectif est lUi-meme un
objet injectif.
Bien que nous n'en ayons pas besoin danc ce papier nous faisons
mention de la generalisation suivante, dont nous omettons la demon-
stration.
a un isomorphisme
defini comme le
Exto7R) (M , N)iemen groupe du
nPextR(M,N). Ici
complexe HomR(M,g),
npextR(M,N)
ou 9 est
est
une resolution pur-injective de N.
Nous terminons cette section par le resultat suivant
Pour tout R-module a gauche M et tout objet cohe-
rent F de OrR) on a nExto (R) (F ,M) = 0 pour chaque n > 0 •
Demonstration. F a une resolution projective dans la categorie OrR)
de la forme
241
qui provient d'une suite exacte
de Pf(R).
En appliquant Le foncteur HOrm(R) (-,M) a (***) on obtient I'as
sertion de Ia proposition car M est exact a droite.
2. Sousgroupes de definition finie.
Avant de formuler nos premiers resultats concernant la Ldimen
sion et les foncteurs derives de lim nous aurons besoin de la notionof-
de "sousgroupe de definition finie" qui s I avere t.res utile sous plusieurs
rapports.
Pour un quotient coherent C de R HomR(R, ) dans la catego
rie OrR) et un Rmodule a gauche M on a un monomorphisme
HOrm(R) (C ,M) .... HOrm(R) de groupes abe Lf.e n s . En identifiant
HomO(R) (R,M) et Ie groupe abelien sousadjacent de M on peut re
garder Horm(R) (C,M) comme un sousgroupe additif de M. On dit
qu'un sousgroupe additif de M est de Rdefinition finie s'il in
tervient de cette maniere lorsque C parcourt les quotients cohe
rents de R
Nous allons donner une description plus explicite de cette no
tion.
Soit V un sousgroupe additif du Rmodule a gauche
M. Pour que V soit de Rdefinition finie dans M, il faut et il
suffit qu'il exist deux familIes finies d'elements
bl.' , 1 < i < ]1 , o , , 1 < j < v, dans R verifiant la condition1.J
suivante: Vest l'ensernble des m E M tels que Ie systeme lineaire
242
vb.m :L b. .x. (1 i < )1)
j=1 J
admette au moins une solution (xj)
E pV, (1 < j v)
Demonstration. Soit C un quotient coherent de R 11 existe une
suite exacte de D(R)
A .... R .... C .... 0(j)
ou A est un R-module a droite de presentation finie et (j) provient
d I un R-homomorphisme (j): R .... A • 11 existe une suite exacte courte
de Pf(R)
o .... G ....<X
L A .... 0
ou L est un R-module a droite libre de type fini et G est un R-
de generateurs de
y. =J
G
module a droite
et les elements
de type fini. Soient (ei)
,1 i )1 ,
)1
L eibi J.
, 1 < j < V , bi J.
E R,i=1
une base de
un systeme
L
A partir de (*) nous obtenons une suite exacte
A Q9R
M....(j) Q9 1M
Done i1 reste a calculer 1e groupe additif V = Ker((j) Q9 1M)
=
{m E MI Q9 1M)
(1 Q9 m) = a}. Soit (j): R .... L un R-hoQomorphisme tel
In. EM, 1 j v} ,J
alors)1
{mEMI :Le.b.)Q9mi=1 r,
j v}
pour des
)1Si (J)(1) = L e.b. , b , E R,
i=1 .L .i,
V = {m E MI((j) Q9 1M)
(1 Q9 m) E 1m((J) Q9 1M)
.. ) pour des m. EM,j=1 'i=1 J J
v{rn E M Ib , m, = :L b .. m i- , 1 < i < )1 ,
j=1 J -
que
Ceci prouve la necessite de la proposition 2.1. La suffisance
peut etre demontree de analogue. Nous en laissons les details
au lecteur.
243
Remarque 2.2. La description des sous-groupe de definition £inie
donnee en [11] n'est qu'une transformation immediate de la caracteri-
sation de la proposition 2.1.
Nous allons donner maintenant une description plus explicite des
sous-groupes de definition finie en certains cas. Hais d'abord, pour
illustrer les notions nous mentionnous des exemples triviaux.
Exemple 1. Soient R un anneau integre et K son corps des frac-
tions. Si M est un K-module quelconque, (0 ) et M sont les seuls
sous-groupes de definition finie. Ici M peut etre indiffereITment
considere comme un R-module ou un K-module.
Exemple 2. Soient R un anneau commutatif et I un ideal de R.
Si I est de type fini, I est un sous-groupe de definition finie.
La reciproque n'est pas vraie. (L'annulateur d'un element arbitraire
est un sous-groupe de definition finie.)
Exemple 3. Soient R un anneau quelconque et M un R-module a gauche.Pour tout ideal a droite de type fini I Ie sous-groupe additif 1M
de M est de definition finie.
Dans cet ordre d'idees nous allons prouver Ie resultat suivant:
Soient R un anneau coherent a droite et P un
R-module a gauche plat; alors les sous-groupes de R-definition finie
de P sont p.r ec i.s eme n t. ceux de la forme IP, I parcourant les Lde aux
a droi te de type fini de R.
Demonstration. D'apres l'exemple 3 il suffit de verifier que tout
sous-groupe V de R-definition finie de P a la forme IP pour un
ideal a droite de type fini I de R
En vertu de la proposition 2.1 il existent des elements b.l
1 < i < u , b ..= = lJ
des elements pEP
de R tels que
pour lesquels les equations
V soit l'ensemble
vLj=1
b .. x.1J J
244
(1 < i < ]J)
admettent une solution (x j), 1 j v , E Pv .
Soient L un R-module a droite libre de type fini de base
(ei) , 1 < i < ]J , et lP:R .... L le R-homomorphisme defini par
(jJ(r)]J
plus considerons sous-module de fini= L e.b. r . De le typei=1 1 1
]J
G de L erioendr e par (L e i b i j) , 1 j < v ,i=1
et soit K 1 'homo-
morphisQe canonique L .... L/G Puisque L/G est de presentation
finie et que R est coherent a droite, le noyau Ker(KlP) est un
ideal a droi te de type fini I de R.
Soient ()(, (resp. le monomorphisme naturel de I dans
R, (resp. de G dans L), et soit l'isomorphisme canonique
P .... R <ll>R P •
De l'exactitude de la suite
--+ --+ (L/G) <ll>R P
on deduit:
Ker(K(jJ Ql> 1p) = {p E PI (jJ <II> 1p) (1 <II> p) E <II> 1 p) } =
PI( \ v ( ]J \{p E eibi) <II> p = L L eibi j) <II> P. pour des p. E P\i=1 j=1 \i=1 J J
1 < j v} {p E PlbiP L b i j P j, 1 < i < ]J , pour des Pj E P-
j- -
j v} V
Comme P est plat, la suite
est exacte, et l'on en conclut
I Gl>R P R lPR
P ,
(()( <II> 1p) (K(jJ <II> 1 p)
-1V = Ker(K(jJ <ll>1 p) = 0
Ceci acheve la demonstration de la proposition 2.3.
Nous terminons cette section par une remarque dont nous aurons
besoin au paragraphe suivant.
Remarque 2.4. Soient A1
245
et A2
des R-homomorphismes
de R dans les R-ffiodules a droite de presentation finie A1
et A2,
et soient C1
et C2 les quotients coherents correspondants de R
dans la categorie D(R). Si
*gonale (r) = ,
* : R A1
A2
est l'application dia-
*et C est le quotient correspondant
de R
lation:
on a (dans le groupe additif du R-module a gauche M) la re-
De plus, nous ordonnons les quotients coherents de R en posant
C' C" (C' et C" etant des quotients coherents de R) s'il
existe un morphisme y de D(R)
R C'"y t
C"
tel que le diagrarnrne
soit cornrnutatif.
Si est un ensemble filtrant decroissant de sous-groupes de
R-definition finie du R-module a gauche M, les observations prece-
dentes montrent que les quotients coherents C de R pour lesquels
HomD(R) (C , M) E 1Y' forment un systeme inductif filtrant.
Remarque 2.5. En [12] on a donne une caracterisation des modules
qui satisfont a la condition des chaines descendantes pour les sous-
groupes de definition finie. On arrive par la aux modules M pour
lesquels M est un objet L -injectif de 0 (R) .
3. La L-dimension et l'annulation de lim(i).-<-
Dans cette section nous allons etablir des resultats importants,
qui relient la L-dimension aux foncteurs derives de lim pour
certains systemes projectifs de modules sur un anneau donne.
246
Theoreme 3.1. Soient R un anneau quelconque, M un R-module a
gauche et n un entier. Alors les conditions suivantes, (i) - (iv),
sont equivalentes:
(i) L-dimR(M) < n .
(ii) Pour tout s y s t.erne inductif filtrant (Ca) ,a E: I , d'objets
coherents de la categorie D(R) et tout entier p > n ,
. (p) -11m Homo (R) (C a ,M) '" 0 •
on a
(iii) Pour tout systeme inductif filtrant (Fa),a E: I I de R-modules
a gauche de presentation finie et tout entier p > n ,
lim (p) HomR(F ,M) '" 0 •
-<- a
on a
de sous-(iv) Pour tout ensemble filtrant decroissant (va),a E I,
groupes additifs de R-definition finie de M et tout entier
p > n, on a lim (p)v-<- a o
De plus, les conditions (i) - (iv) impliquent la suivante:
(v) Pour tout sys t erne projectif filtrant (Fa) ,a E I, de R-
on a
modules a droite de presentation £inie et tout entier p > n ,
lim (p) (F QP M) '" 0 .-<- a R
Demonstration. Soit (Ca),
a E I , un systeme inductif d'objets
coherents de D(R). En vertu de la proposition 1.4 la suite spectrale
du §1 degenere en des isomorphismes:
L'implication (i) (ii) en resulte immediatement.
L'implication (ii) (iii) est une consequence des deux lemmes
suivants.
Lemme 3.2. Si F et M sont des R-modules a gauche on a un isomor-
phisme naturel
247
Demonstration. 11 est facile de voir directement que l'homomorphisme
canonique HomR(F,M) HomD(R) (F,M) et bijectif lorsque Fest
libre. On obtient le resultat general en considerant une presentation
libre de F et appliquant un "diagram chasing" standard.
Lemme 3.3. Si F est un R-module a gauche de presentation finie,
l'objet F de D(R) est coherent.
Demonstration. Si L est un R-module a gauche libre de type fini,
est un R-module a droite et l'on a un
admetFPuisque
pour tout R-module aD(R) .dans
Y ill>R L
Y .,droite
*le module dual L = HomR(L,R)
*isomorphisme canonique HomR(L ,Y)
en particulier L = L
une presentation finie il s'ensuit que F est un ob]et coherent de
D(R) .
Revenons a la demonstration du theoreme 3.1. De fason pareille
l'implication (ii) (v) est une consequence de l'isomorphisme naturel
ou F parcourt les R-modules a droite de
presentation finie. De meme on obtient l'implication (ii) (iv) en
considerant le systeme inductif des quotients coherents C de R
tels que HomD(R) (C,M) E (Va)' (cf. la remarque 2.4).
Pour terminer la demonstration du theoreme 3.1 il suffit de
prouver les implications (iii) (i) et (iv) (i). Pour cela on
choisit une resolution injective de H dans D(R):
o .... M .... Io
11...... , .... I ....
P
Pour tout p 0 posons Kp = Ker (Ip + 1 .... I p + 2)' Comme tous
les objets qui apparaissent ici, sont des foncteurs exacts a droite
de Pf(R) dans Ab, il s'ensuit que I = I (R) et K =K (R) ,P P P P
ou Ip(R) et Kp(R) sont munis par la structure naturelle de R-
modules a gauche. Kn(R) peut ecrit cornrne limite inductive de
R-modules de presentation finie et l'on en obtient
248
puisque le foncteur tensoriel commute aux limites in-
ductives. La proposition 1.4, le lemme 3.3 et l'isomorphisme (*) im-
Par de-pliquent que la condition (iii) entralne
calage on en deduit
exacte de D(R)
n+1 =ExtD(R) (Kn,M) = 0
En particulier la suite
I ... K ... 0n n
est scindee, donc Kn-1 est injectif et L-dimR
M < n. Nous avons
ainsi etabli l'implication (iii) (i).
11 reste a verifier (iv) (i). Soit (**) une resolution injec-
tive minimale de M et conservons les notations plus haut. 11 suffit
alors de verifier que Kn
o . Supposons que K '*' 0 •nPuisque
K = K (R), ceci entra:Lne Kn (R)'*'
O. Soit x'*'
0 un element den n
Kn(R). Soit II E HOITn (R) CR, Kn) le I:\orphisme d e f i.n i. par II(f) = Kn(f)x,
f etant un homomorphisme E HomR(R,A) , A E pf (R) . Ici l'on a evi-
demment 1m II = R/Ker II '*'0 Tout objet de D(R), en particulier
Ker II est la reunion filtrante d'une famille (Yex) de sous-objets
de type fini. En tant que sous-objet de l'objet coherent R Yex est
lui-meme coherent. Par suite,
tients R/Yex
l'on a 1m II = lim(R/Y) ou les quo-->- ex
sont des objets coherents. Les groupes HomD(R) (R/yex,M)
forment un ensemble filtrant decroissant de sous-groupes additifs de
R-definition finie de M.
La condition (iv) et l'isomorphisme (*) impliquent
n+1ExtD(R) ( rm II ,M)
Par decal age on en obtient 1ExtD(R) (1m 1l,Kn_ 1 ) = O.
o .
Parce que
1m II Kn et que In
est une extension essentielle de Kn_ 1
(par la
minimalite de la resolution injective (**)), on conclut 1m II = 0 .
Donc l'hypothese K '*' 0nest contradictoire, et l'on a etabli l'im-
plication (iv) (i).
249
Remarque 3.4. En general, la condition (v) n'entra1ne pas les condi
tions (i) (iv). 11 existe des contreexemples meme dans le cas ou R
est l' anneau des entiers g.
Nous donnerons maintenant une description plus detaillee des mo
dules M pour lesquels Ldim M = 0 .
Theoreme 3.5. Soient R un anneau et M un Rmodule a gauche. Les
conditions suivantes sont equivalentes:
i.e. M est purinjectif.(i)
(ii)
LdimR(M) = 0
Pour tout systeme inductif filtrant
gauche et tout entier p > 0 on a
(N ) de Rmodules aa aEI
lim(P)HomR(N ,M) = 0 •< a
(iii) Tout systeme d'equations lineaires
L a"x.fEJ lJ J
mi
(i E I)
ou les a ..lJ
et les m.J
(x j ) jEJ E MJ
sont des scalaires presque taus nuls pour i fixe
sont des elements de M) admet une solution
des que, pour chaque partie finie I' de I
le systeme forme des equations d'indice appartenant a I' ad
met une solution.
(iv) Tout ensemble filtrant decroissant de varietes glineaires de
M, dont les directions sont de Rdefinition finie dans M,
est d'intersection non vide.
Demonstration. supposons (i) verifie et prouvons (ii). Si l'on pose
N = lim N on a N = lim N..,. a ..,. a Le lernme 3.2 et la suite spectrale
entrainent
est verifie.
lim (p) Hom (N M)< R a' o pour tout p > 0 , c.a d. (ii)
Supposons (ii) verifie et prouvons (iii). Pour une partie K de
I on note NK
le conoyau de l' application Rlineaire R(K) .... R(J)
definie par la matrice (a i j)
on obtient une suite exacte
250
En appliquant le foncteur HomR(-,M)
O () J , M(K)HomR NK,M MHom(d K, 1M)
ou l'iBage de HomR(dK
, 1M)
est le sous-groupe de MK forme des fa-
milles (mi)iEK tel que le systeme d'equations
LjEJ a .. x.
lJ Jm.
l(i E K)
ait une solution
Lorsque K parcourt les parties finies de I les groupes
forment des systemes pro-
jectifs (avec les applications eVidentes). Sous l'hypothese (ii) on a
par consequent l'application canonique
est surjective. L'interpretation plus haut de Im(HomR(dK,1 M))
im-
plique que la condition (iii) est verifiee.
Supposons (iii) veri fie et prouvons (iv). La condition (iv) sig-
nifie que pour tout ensemble filtrant d ec r o i.s s an t; (Va)' a E I, de
sous-groupes additifs de R-definition finie de M, 1 'application
canonique M lim M/Va est surjective. Pour la verifier, choisis-
sons un element y = (rna + V ) E lim M/Va il s'agit de trouver une
En vertusolution x du systeme de congruences x - rna E Va ' a E I •
de la proposition 2.1 chacune de ces congruences equivaut a un systeme
fini d'equations lineaires du type considere en (iii). D'apres (iii),
pour verifier que ces systemes ont une solution commune, il suffit de
verifier que toute conjonction finie de ces systemes a une solution,
ce qui est garanti par l'hypothese que (Va) est filtrant.
Finalement l'implication (iv) 9 (i) n'est qu'un cas special de
l'implication (iv) (i) du theoreme 3.1.
251
Remarque 3.6. L'equivalence (i) (iii) est bien connue (nous ne
l'avons redemontree ici que pour donner un exemple d'utilisation des
f'onc t.e urs derives de lim). A cause de (iii) on appelle aussi alge
briquement compact un module verifiant les conditions du theoreme
3.5. L'equivalence (i) (iv) est (probablement) nouvelle; elle
traduit la condition de compacite algebrique pour un Rmodule M en
termes d'une condition de completion de M relativement certaines
topologies glineaires.
Nous terminons cette section par quelques consequences irnrnediates
du theoreme 3.1.
Proposition 3.7. Soient t un entier, R un anneau quelconque et
M un Rmodule gauche. Si LdimR(M) t , alors n
ExtR(Q,M) = 0
pour tout Rmodule gauche plat Q et tout entier n > t . En par
ticulier, si M est algebriquement compact et Q est plat on a
nExrR(Q,M) = 0 pour tout entier n > 0 .
Demonstration. Q peut etre ecrit sous la forme Q = lim L-+ a pour un
systeme inductif (La) de Rmodules gauche libres de type fini
11 Y a une suite spectrale (cf. 14)
qui, vu la liberte des modules La
degenere en des isomorphismes
L'assertion de la proposition 3.7 resulte maintenant du theoreme 3.1.
Proposition 3.8. Soit R un anneau quelconque, et soit t un entier
tel que la Ldimension de tout Rmodule gauche plat est t
la dimension projective de tout Rmodule gauche plat et t
Alors
Demonstration. Soit P un Rmodule gauche plat et choisissons une
suite exacte:
252
sont libres. K est alors autornatique-
ment plat. on a pour tout R-module X
1ExtR(K,X)
D'apres la proposition 3.7 et l'hypothese on en conclut que
1ExtR{K,X) = 0 pour tout R-module a gauche plat X.
ecrit comme quotient d'un module libre:
o N L K 0
K peut etre
ou L est un R-module libre et N un R-module plat. Puisque
1ExtR(K,N) = 0 cette suite exacte est scindee, et Nest facteur di-
rect de L, en particulier un R-module projectif. Donc (***) est
une resolution de P de longueur t, et la dimension projective de
P est t . C.Q.F.D.
4. Caracterisations explicites dans le cas coherent.
Dans cette section nous allons preciser des resultats du para-
graphe precedent dans Ie cas, ou l'anneau R est coherent a droite
c.a d. tout ideal a droite de type fini est de presentation finie.
Lorsque R est coherent a droite il est facile de voir (et bien
connu) que la categorie Pf{R) des R-modules a droite de presenta-
tion finie est une categorie abelienne. Avant de formuler le theoreme
principal de cette section nous donnerons un resultat preliminaire.
Proposition 4.1. Soient R un anneau coherent a droite et P un
R-module a gauche plat. Alors il existe un monomorphisme purv
ou P est un R-module a gauche plat et pur-injectif (algebriquement
compact) .
253
Demonstration. Cornme nous avons observe plus haut la categorie Pf(R)
est abeLi.erme , et par suite (8) la c a t.eqo r i.e ;J) '= Sex (Pf (R) ,Ab) est
une categorie de Grothendieck. Le foncteur
et possede unepar Tp(X) '= X P , (X E Pf(R»,
Tp : Pf(R) .... Ab
appartient a fi)
defini
enveloppe injective dans J:l) • fj) est une s oua-ic at.eqor i.e re-
flexive de D(R) puisque Ie foncteur canonique .... D(R) admet un
vadjoint a gauche. Par suite Test injectif en tant qu'objet de
D(R) et donc, en vertu de la proposition 1.2, de la formev v vT(X) '= X P , (X E Pf(R» , P etant un R-module a gauche pur-injec-
tif. Parce que est un objet de £j)plat. Le foncteur canonique de dans
vil s'ensuit que Pest
D(R) preserve les monomor-v
phismes; on en conclut qu'il existe un monomorphisme pur p .... P .
C.Q.F.D.
Remarque 4.2. On pourrait donner une autre demonstration de la pro-
position 4.1 en prouvant que Ie bidual d'un
R-module a gauche plat P est plat des que R est coherent adroite.
Nous sornmes maintenant a de demontrer un resultat qui pre-
cise Ie theoreme 3.1 au cas coherent.
Theoreme 4.3. Soient R un anneau coherent a droite, P un R-mo-
dule a gauche plat et n un entier. Alors les conditions suivantes
sont equivalentes:
(i) L-dimR(P) n .
de R-mo-(ii) Pour tout systeme projectif filtrant (Fa)' a E I ,
dules a droite de presentation finie et tout entier p > n ,
on a lim(P) (F P) '= 0 •-<- a
de R-rno-(iii) Pour tout systeme projectif filtrant (La)' a E I ,
dules a droite libres de type fini et tout entier p > n ,
on a lim(P) (L P) '= 0 .-<- a
254
(iv) Pour tout R-module a gauche plat Q et tout entier p > n ,
on a = 0 .
Demonstration. En vertu du theoreBe 3.1 il suffit de prouver les
implications (iii) (iv) et (iv) (i)
Considerons d'abord l'implication (iii) (iv). Le R-module plat
Q peut etre ecrit Q = lim L->- a pour un systeme inductif de
R-modules a gauche libres de type fini. En utilisant une suite spec-
trale standard on obtient des isomorphismes
lim (p) Hom (L P)+- R a' , P > 0 .
Nous employons maintenant l'isomorphisme canonique HomR(La,P)
HomR(La,R) P et observons que pour tout a E I Ie R-module a
est libre de type fini. Grace aces isomorphismes
l'implication (iii) (iv) est claire. Finalement supposons que (iv)
est verifiee et prouvons (i). Par usage iteratif de la proposition
4.1 on conclut qu'il existe une suite universellement exacte (pur-
exacte) :
o .... P .... Io
C .... 0n
oii les modules It' 0 < t n-1 , sont pur-injectifs et plats, et
Ie module C est plat. Vu la proposition 3.7 on anm
0 0 n-1 0 R-module aExtR(Q, It) < t < , pour tout m > et tout
gauche plat Q Par consequent , sous 1 'hypothese (iv) on obtient
par decalage pour tout R-module plat Q:
o (**)
Puisque Cn
est plat, il resulte de la proposition 4.1 qu'il
existe une suite pur-exacte
vo .... C .... C .... C' .... 0n n (***)
255
0, et donc (***) et s c inde eD'apres
plat et C'ou
Cn
est pur-injectif et
(**) Ext1(C' ,C ) =R n
en tant que facteur direct devCn
est plat.
. Par suite,
est pur-injectif. Ceci entraine
que (*) est une resolution pur-injective de P de longueur n, i.e.
L-dimR(P) < n .
C.Q.F.D.
Pour terminer ce paragraphe, nous faisons mention du cas special,
ou Rest commutatif et coherent et P = R Alors on voit que
L-dimR(R) n si et seulement si lim(P)Ma
0 pour tout p > n et
tout systeme projectif filtrant (Ma) de R-modules de presentation
finie. En particulier, Ie theoreme ci-dessus montre que L-dimR(R)
la dimension injective de R en tant que module sur lui-meme. Donc,
si R est un anneau de Gorenstein de dimension n, on a
L-dimR(R) n Pour un anneau regulier on retrouve ainsi
les resultats de Roos [17, 18].
5. Categories localement coherentes.
Dans la section 1 nous avons introduit pour la categorie D(R)
les notions d'objet de type fini et d'objet coherent. Ces definitions
dex
si toute suite croissante (resp.
Aussi, comme dans Ie cas classique, on dit qu'un objet
est noetherien (resp. artinien)
se traduisent mot a mot dans une categorie generale de Grothendieck
[i).[jJ
est noetherien si et seulement si tout sous-objet de
decroissante) de sous-objets de
X de fj)X est stationnaire. Alors un objet
X
est de type fini.
On dit qu'une categorie de Grothendieck est
s'il existe une famille de generateurs coherents.
Nous mentionnous Ie resultat suivant (Roos [19], Lazard [15])),
qui nous sera utile:
256
Proposition 5.1. Soit une categorie localement coherente.
(i) Pour qu'un objet X de 2) soit coherent, il faut et il suf-
fit que Ie foncteur Hom(X,-): (Ab) commute aux limites
est limite inductive filtrante d'objets(ii)
inductives filtrantes.
Tout objet de g;coherents.
(iii) Pour tout objet coherent x de et tout sous-objet y de
X, l'ensemble des sous-objets coherents de Y est filtrant
croissant de borne superieure egale a Y. (En particulier,
tout sous-objet de type fini d'un objet coherent est lui-meme
coherent. )
Pour decrire les categories localement coherentes nous cons ide-
rons une petite categorie abelienne et la categorie
De plus,
Sex( (,Ab)
demontre en
des foncteurs exacts a gauche de -t dans
[7], est une categorie de Grothendieck.
(Ab) . Comme
est localement coh e r entc , en effet, les objets c ohe r-en t s de fj}sont exactement les objets representables C = Hom (C,-) , (C E
oppos e e r: op et
coherents de .
et la correspondance
formee des objets
fournit une equivalence entre la categorie
la sous-categorie pleine de
Reciproquement, si
qui forment une famille de generateurs de J9C C
est une categorie localement coherente,
la s ous-ec a t eqor i.e pleine if f o.rmee des objets cohe r e nt.s de fi)est une petite categorie abelienne telle que est equivalente a
Sex(CoP,Ab). (L'equivalence fj) ce est obtenue par la
correspondance F Hom (-, F), F E :ll . )Maintenant, soit
(c.a d. tout objet de
t'C.
une categorie abelienne noetherienne
est noe t.h e.r i.en ). [i) Sex( eOP,Ab) est
une categorie localement coherente pour laquelle b sous-categorie
pleine des objets cohe r en t.s est equivalente a donc noe t he r ienne,
Puisque les objets coherents de forment une famille de genera-
teurs de.fi), la categorie!il = Sex(CoP,Ab) est localement noe-
257
therienne, i.e. une categorie de Grothendieck ayant une famille de
generateurs noetheriens. D'autre part, si est une categorie 10-
calement noetherienne, (en tant que categorie localement cohe-
rente) est equivalente a au est la categorie
des objets coherents de La categorie etant localement noe-
therienne les objets coherents sont noetheriens, et par suite
est noetherienne et op est artinienne. Nous obtenons ainsi la
Proposition 5.2. [8] Une petite categorie abelienne est artin-
ienne si et seulement si est localement noetherienne.
La categorie D(R) introduite au §1 est localement coherente;
car les objets representables (et coherents) A,A E Pf(R), forment
un systeme de generateurs de D(R). Si l'on note C(R) la sous-ca-
tegorie pleine des objets coherents de D(R), les remarques ci-dessus
montrent qu'il y a une equivalence D(R) Sex[ (C(R))oP,Ab]. Cette
equivalence est obtenue en faisant correspondre a tout objet T de
D(R) le foncteur contravariant HomD(R) (-,T) de C(R) dans Ab .
Nous allons etudier cette equivalence plus precisement.
Lemme 5.3. Pour qu'un objet T de D(R) soit exact a droite, il
faut et el suffit que HomD(R) (-,T) soit un foncteur (contravariant)
exact de C(R) dans Ab.
Demonstration. Condition suffisante. Apartir d'une suite exacte de
Pf(R) :
nous arrivons a une suite exacte de C(R):
En vertu du theoreme general de Yoneda il y a un isomorphisme
canonique HomD(R) (A,T) T(A), A E Pf(R); done, l'exactitude de
HomO(R) (-,T)
258
entraine l'exactitude de
Condition necessaire. 11 suffit de montrer que le foncteur derive
a droite 1R HomO(R) (U,T) s'annulle pour tout U de C(R) et tout
objet exact a droite T de O(R). Puisque U est coherent il existe
une suite de Pf(R):
telle que la suite
soit exacte pour un morphisme convenable:
resolution projective de U dans O(R),
Bo
donc
U.
1R HomO(R) (U,T) est
le premier groupe de cohomologie du complexe:
Le foncteur T etant exact a droite, l'isomorphisme de Yoneda
HomO(R) (ji,T) T(Bi),i = 0,1,2,
1R HomO(R) (U,T) = O. C.Q.F.O.
implique irnmediatement
Les objets representables A, A E Pf(R), sont exactement les
objets projectifs de C(R). Par consequent on a
Lemme 5.4. La categorie C(R) a suffisamment d'objets projectifs,
et la correspondance A A fournit une equivalence entre la sous-
categorie pleine des objets projectifs de C(R)
posee Pf(R)oP.
Pour decrire les objets injectifs de C(R)
et la categorie op-
nous considerons un
R-module a gauche de presentation £inie M 11 Y a une suite exacte
259
sont des R-modules a gauche projectifs de type fini.
*En general, pour un R-module a gauche P designons par P le R-mo-
a * *dule droite HOillR(P,R) . Alors P et P1 sont des R-modules a
0
droite projectifs de type fini, et l'on a un isornorphisrne canonique
*HornR (P i ' X ) D< X QllR P. , i = 1 ,2, X E Pf(R) . En vertu de 1 'exactitudel
a droite du foncteur produit tensoriel nous en deduisons la suite
exacte:
Ceci rnontre que M = - QllR
M est un objet coherent de D(R).
est un foncteurDe plus, le lernrne 5.3 irnplique que HOillD(R) (-,M)
exact de C(R) dans Ab, i.e. M est un objet injectif de C(R).
Inversernent, nous allons dernontrer que tout objet injectif de
C(R) est de la forme M, M E Pf(R). D'apres ce qui on voit
facilement que tout objet coherent U de D(R)
sentation
admettant une pre-
ou Po et P1 sont des R-rnodules a droite projectifs de type fini,
est de la forme M, M E Pf(R). (On prend pour M le conoyau de
l'hornornorphisrne
En general, soit U un objet injectif de C(R). En tant qu'ob-
jet de C(R), U a une presentation
ou Ao et A1 appartiennent a Pf(R). Pour l'hornornorphisrne corres-
pondant a: Ao
A1
on fabrique aisement un carre cocartesien de
Pf(R)
(3po
E ..
ou les R-modules a droite Po
260
sont projectifs de type fini.
Le foncteur contravariant: A A de Pf(R)
forme Ie carre ci-dessus dans un carre cartesien:
BP1
P0
t: -j, -j, (J
1'.1ex
A0
dans C (R) trans-
qui induit un monomorphisme du conoyau Coker(a) U dans Coker(S).
D'apres les remarques precedentes on a Coker(S) M pour un module
convenable M de Pf(R) Puisque U est un objet injectif, U est
un facteur direct de M et par suite lUi-meme de la forme N, N E Pf(R).
Dans la proposition suivante nous formulons les resultats obte-
nus.
Proposition 5.5. La categorie C(R) a suffisarnrnent d'objets injec-
tifs et la correspondance M M definit une equivalence entre
Pf(R) et la sous-categorie pleine des objets injectifs de C(R).
II est maintenant facile de deduire Ie theoreme de dualite sui-
vant:
Theoreme 5.6. ("Theoreme de dualite"). Pour tout anneau R il Y a
une equivalence des categories C(R)oP C(RoP), ou ROP est
I' anneau oppose de R.
Remarque 5.7. Dans la terminologie de Roos [19] Ie theoreme dit que
les categories D(R) sont "conjuguees".
Demonstration du theoreme 5.6. Les categories C(R)oP et C(RoP)
sont abeliennes et admettent suffisamment d'objets injectifs. En
vertu des resultats precedents les sous-categories pleines corres-
pondantes formees des objets injectifs sont toutes deux equivalentes
a Pf(R). On en conclut par [8] que C(R)oP et C(RoP) sont equi-
valentes.C.Q.F.D.
261
SA. Une application concernant les modules de Mittag-Leffler et la
dimension finitiste d'un anneau noetherien.
Rappelons qu'un R-modlile (a gauche) M est un module de Mittag-
Leffler si tout homomorphisme de tout R-module de presentation finie
dans M admet un stabilisateur (cf. [12]). D'abord nous donnerons
une caracterisation exprimee dans le langage de la categorie D(R).
Proposition 5.8. Soit R un anneau quelconque. Pour un R-module a
gauche M les conditions suivantes sont equivalentes:
1) M est un module de Mittag-Leffler.
2) Pour tout R-module a gauche N de presentation finie et tout
R-homomorphisme a: N M il existe un R-module a gauche G de pre-
sentation finie et un R-homomorphisme B: N G tel que les morphis-
mes a: N M et B: N G de D(R) ont meme noyau.
3) M est un objet pseudo-coherent de D(R); c.a d. tout sous-ob-
jet de M de type fini est coherent.
Demonstration. L'equivalence 1) 2) est evidente. Supposons 2)
verifie et prouvons 3). Soit A un R-module a droite de Pf(R) et
cons i.de rons un morphisme )J: A M • 11 faut demontrer que Ker)J
est un objet de type fini de D(R). Le morphisme )J se factorise a
travers un R-module a gauche libre de type fini L, c.a d. il existe
un morphisme v: A L et un R-hoDomorphisme a: L M tel que
)J = av • En vertu de l'hypothese 2) il Y a un R-module G de Pf(R)
et un R-homomorphisme B: L G pour lequel Ker(a) Ker (e). Donc,
Ker )J = Ker Bv et Ker)J est de type fini puisque G et un objet
coherent de D(R) (cf. Prop. 5.5).
Supposons 3) verifie et considerons un R-homomorphisme
a: F M, F E Pf(R). L'image 1m a est un sous-objet de M de type
fini, et cornrne est pseudo-coherent, 1m a est un objet coherent.
D'apres la proposition 5.5 1m a peut etre plonge dans un objet in-
jectif de C(R), qui est de la forme G, G E Pf(R). Donc, il existe
262
un R-homomorphisme S: F G tel que Ker a
avons prouve 2).
En [13] on a demontre
Ker S et nous
Theoreme 5.9. Pour tout noetherien R on a
FPD(R) K-dim(R), ou FPD(R) est la dimension finitiste de R,
c.a d. le plus petit entier n tel que tout R-module de dimension
projective finie soit de dimension projective n et K-dim(R) de-
signe la dimension de Krull de R.
L'inegalite FPD(R) K-dim(R) est etablie par Bass [3]. L'in-
egalite inverse est prouvee en [13]; nous en donnerons ici une demon-
stration qui nous semble plus facile que celie de [13] et qui utilise
les resultats de cette section.
Comme il est montre dans [13] il suffit de voir que si M est
un R-module de type denornbrable de dimension projective finie, et si
est une resolution de M telle que P,l
soit projectif de type de-
nornbrable pour i < d = K-dim(R), alors A est projectif.
Dans cette situation la dimension faible ("Tor-dimension") de
est finie et donc d'apres [2] au plus egale aM
On en conclut que A est plat; comme le
sup prOf(R,) d."!- E: Spec (R)
module est de type
denombrable, il suffit de montrer que c'est un module de Mittag_Leff-
ler [13, (2.2.2)]. D'apres la proposition 5.8 il faut verifier que
A est un objet pseudo-coherent de D(R). Puisque RTord+1 (M,-) = 0
on obtient de (*) par decalage une suite exacte
qui montre qu'il suffit de prouver que le foncteur exact a gauche
RTord(M,-) est un objet pseudo-coherent de D(R).
Pour un R-rnodule X de type fini designons par X' le plus
263
grand sous-module de X
quotient correspondant.
miers associes a X",
de longueur finie et par x" = x/x' le
Si 1 i' 1 < i < t , sont les Ld eaux pre-
la hauteur de chaque?i
est au plus egale
en particulier
a d-1. Pour la dimension faible on en deduit que
Tor-dimR (M .) < d-1 pour __< i < t ,-1i "8 1 =
i = 0 pour 1.:'S i .:'S t
Ceci entraine que 0 en effet, supposons qU'il
existait un element E, * 0, E, E Pour tout i,
1 < i < t, il existe un element s. E R, s. "'I i tel que si E, = O.- 1 1t
Par consequent, il y a un element s E L Rs. tel que s i'=1 1
i < t . [ (4) , prop. 2, p. 70] • L'homothetie de X" , de rapport
est alors injective, et puisque R est exact a gauche,s , Tord(M,-)
l'homothetie de de rapport· s ,
donne la contradiction desiree.
est injective, ce qui
Nous sommes maintenant a meme de demontrer queRTord (M,-) est
pseudo-coherent. Pour cela il faut prouver que le noyau de tout mor-
phisme Rw: B Tord(M,-), B E Pf(R), est de type fini. Puisque
RTord(M,-) est exact a gauche, d'apres la remarque precedente on peut
supposer que B est de longueur finie. De plus on note que Ker(w)
est exact a gauche. Designons par la sous-categorie pleine de
Pf(R) formee des modules de longueur finie.
Dans la categorie tout sous-foncteur exact a gauche
de HomR(B,-) est representable par un module C de (en vertu
de la proposition 5.2). On en conclut aisement que
est une suite exacte de D(R).
Ceci acheve la demonstration que
pseudo-coherent.
RTord(M, -) , et done A est
264
6. Dimension injective de foncteurs exacts.
Soient -e une petite categorie abeLi.erine et.f) = Sex(C,AbJ
la categorie des foncteurs exacts a gauche de -(' dans Ab. Comme
deja utilise au paragraphe precedent !J) est une categorie de
Grothendieck. 11 est facile de voir que tout objet injectif de
est un foncteur exact de dans Ab. Si est artinien il est
Inversement, si tout foncteur exact de
prouve dans [8] que tout foncteur exact de
jet injectif de
dans Ab est un ob-
dans Ab est un objet injectif de il resulte aisement de [8 ]
que
5.2,
est localement noetherien et donc d'apres la proposition
est une categorie artinienne. Nous donnerons une formulation
differente de ce fait.
Pour la c a t e qo.r i e e on pose
d (t'J = sup (dim. in j$ (TJ J
la borne superieure etant prise sur l'ensemble des foncteurs
T: £ -+ Ab.
Les resultats ci-dessus peuvent reformules comme suit:
Theoreme 6.1. Une petite categorie abelienne est artinienne si
et seulement si = 0
Nous allons generaliser la partie "seulement si" du theoreme 6.1 en
considerant des categories dont les objets satisfont a une condition
plus faible pour les suites decroissantes de leurs sous-objets.
Definition 6.2. Soient n un entier >- et X un objet de la
petite categorie abelienne On dit que X est H -artinienn
si tout ensemble filtrant decroissant de sous-objets de X admet une
partie cofinale de cardinal f( n
(Pour n = - 1 on retrouve la notion d'objet artinien en vertu de la
convention generale que les ensembles finis sont de cardinal }( _1. J
Avant de formuler notre resultat principal de cette section con-
cernant les objets
265
f( -artiniens nous aurons besoin des considera-n
tions preliminaires.
Soit T: 1': ... Ab un foncteur exact. Comme = Sex ( 'If',Ab) est
une categorie de Grothendieck, tout objet de admet une enveloppe
soit
injective. On peut donc construire une resolution injective minimale
de T dans [J) ,i. e. une longue suite exacte
O ... T"'1 ... 1 ..... · ... 1 ......o n
telle que 10
soit une enveloppe injective de T et que 1n+1
une enveloppe injective de Tn = Ker(1n+1 ... 1 n+2) pour tout entier
n :;: O. Puisque T est un foncteur exact, la suite (*) de foncteurs
de -e dans Ab est "exacte par points", i.e. le complexe de
groupes abeliens
In
o ... T(X) ... 1o(X) ... 11(X) ... 1n(X) ...
est acyclique pour tout objet de -e. De plus, et Tn
sont
des foncteurs exacts pour tout entier n compte tenu de l'isomor-
phisme canonique de Yoneda (X,T) T(X) pour tout objet X de
l'exactitude de (**) implique que = 0 pour tout
entier n > O.
Maintenant nous sommes a meme de formuler
Theoreme 6.3. Avec les notations ci-dessus on a Tn+1 (A) = 0 pour
tout objet k n-artinien A de --C et tout entier n:;: - 1.
Avant de prouver ce theoreme nous inserons un lemme.
Lemme 6.4. Soient A un objet de -e et T un foncteur exact de
'C dans Ab. Si s est un element de T (A), on designe par ]J le
morphisme de Yoneda dans JV = de Avers T defini par
Alors
ou f E et X parcourt les objets de
ou Ba parcourt l'ensemble filtrant decrois-
sant de sous-objets de A pour lesquels s E 1m(Tia), i a etant le
monomorphisme canonique: B --> A •a
266
Demonstration du lemme 6.4. On voit aisement que les objets B de-a
crits dans Ie forment un ensemble filtrant decroissant. De plus,
evidemment il suffit de montrer que
Si l'on note par K a
Ker V = lim(A/B ).-+ a
Ie morphisme canonique A --> A/B aon de-
finit un homomorphisme
X E Tf',
en posant (j)x (£a) = f K pour f E Home (A/Ba,x) . En vertu de laa a a
definition des sous-objets B il s'ensuit que (j)x est un isomor-a
phisme pour tout objet X de Ceci termine la demonstration
du lemme vu Ie fait que les limites inductives de foncteurs de
Sex( r:,Ab) peuvent etre f o rrnee s "par points"
Demonstration du theoreme 6.3. Soient A un objet k -artinien den
"C'et un element de Tn+1 A On designe par V Ie morphisme de
A vers Tn+1 defini au lemme 6.4. Nous allons deduire une contra-
diction de l'hypothese 1m V * a .
Comme I n+ 1
ici que T_1 = T),
est une extension essentielle de Tn
on a une suite exacte non-scindee
a --> Tn --> G --> Ern V --> a
(on convient
ou G est l'image reciproque de 1m V dans I n+ 1. Par consequent
1(1m v,Tn) * a et par decalage on en conclut
D'apres Ie lemme 6.4 on peut ecrire 1m V Ba
n+2Ex t {i (Trn V, T) * a .
pour un ensemble
filtrant decroissant de sous-objets {Ba}
de A. En vertu de la re-
marque precedent Ie theoreme 6.3 la suite spectrale
p
m -ExtOl (lim B ,T)
iJ'{ -s- a
degenere en des isomorphismes (1m V,T) lim(m)T(Ba) pour tout
entier m; en particulier on a Extnl/l+ 2(Im V,T) lim(n+2)T(B )+- a
267
L'objet A n-artinien l'ensemble filtrant decroissant (Ba)
a une partie cofinale de cardinal
Goblot [10] ceci implique que 0 =
;:; k n. D' apr e s un t.hec r eme de
lim(n+2)T(B )+- a df
d'oll l'on obtient la contradiction cherchee.
Corollaire 6.5. So it n un entier > - 1 •
est f( n-artinien, on a ;:; n +
Si tout objet de
Demonstration. Le theoreme 6.3 montre que pour tout foncteur exact
T: .... Ab,
< n +
la resolution injective minimale de T est de longueur
C.Q.F.D.
Avant d'enoncer une autre consequence du theoreme 6.3 introdui-
sons une definition. On considere cornrne toujours une petite categorie
abeLaerme e . Si u est un ordinal, on definit par recurrence
transfinie sur
suivante: ...,I?& 0
u une sous-categorie
est formee des objets
epaisse de la man i.e r-eu
de longueur finie de -r:' ; si
u a un predecesseur v, est formee des objets de qui sont
de longueur finie dans la categorie quotient <.e; si u est un
ordinal limite, t'u est la reunion des -t'v pour v parcourant u
Definition 6.6. On dit que la dimension de la petite categorie abe-
lienne est definie si t' =- u pour tout ordinal u assez
grand. Si cette condition est verifiee, on appelle dimension de
et l'on note par le plus petit des ordinaux u tels que
Dans le cas contraire on ecrit =
Remarque 6.7. Si R est un anneau noetherien a gauche et est
la categorie des R-modules a gauche de type fini, co.i.ncLde
avec la dimension de Krull a gauche (au sens de Gabriel) de R
On montre a i s emen t; que, si -t' est artinienne, dim(-(') coin-
cide avec la dimension de Grull-Gabriel de la categorie localement
noe t.he r Lerine fj) = Sex c f , §5). 11 est clair que
dim( C) = dim(t'°P) .
268
Theoreme 6.8. Soient une petite categorie abelienne et T un
foncteur exact de dans Ab. Soit
une resolution injective minimale de T dans et posons
Tp = Ker(Tp+1 Tp+2) , P O. Alors les foncteurs Tp et I p+1
s'annullent sur les sous-categories introduites plus haut pour
tout p t, t etant un entier > 0 •
Demonstration. En vertu du theoreme 6.1 les foncteurs Tp et Ip+1
s ' annullent sur -Co pour tout p > 0 Puisque tous les foncteurs
sur la categorie quotient et
T etp I p+1' P 0 , sont exacts ils induisent des foncteurs T' etp
o T'o
I' ...n
est une resolution injective minimale du foncteur exact T' dans lao
categorie Sex ("C / (' ,Ab).o
En considerant la categorie on
obtient l'assertion du theoreme par recurrence sur t.
Corollaire 6.9. On a
abelienne
pour toute petite categorie
7. Bornes explicites de la L-dimension.
Nous allons donner des applications des resultats du paragraphe
precedent pour obtenir des bornes superieures pour la L-dimension en
certains cas explicites.
Theoreme 7.1. Soit R un anneau noetherien a droite, dont la dimen-
sion de Krull-Gabriel (a droite) est un entier n
L-dim(P) < n pour tout R-module a gauche plat P
Alors
269
Demonstration. Puisque P est plat, T(X) = X R® P, X E Pf(R), est
un foncteur exact de Pf(R) dans Ab. Cornme Rest noetherien a
droite, la categorie Pf(R) est abelienne, et T est un objet de
Sex(Pf(R),Ab). Soit
une resolution injective minimale de T dans Sex(Pf(R) ,Ab). Comnle
nous avons remarque au §6 la suite (*) est exacte "par points". Done,
elle est exacte en tant que suite de foncteurs additifs de
dans Ab, c.a d. (*) est une suite exacte de la categorie
Pf(R)
D(R)
(voir §1). Le foncteur canonique Sex(Pf(R) ,Ab) D(R) admet un ad
joint a gauche [8], par consequent tout objet injectif de
Sex(Pf(R) ,Ab) est injectif en tant qu'objet de D(R). Ceci implique
que (*) est une resolution injective de T dans la categorie D(R).
Puisque dim(Pf(R)) = n le corollaire 6.9 entraine que dim.inj'D(R)T
< n i . e. Ldim (P) < n . C.Q.F.D.
A l'aide de la proposition 3.8 on deduit du theoreme 7.1:
Corollaire 7.2. Soit R un anneau noetherien a droite, dont la di
mens ion de KrullGabriel (a droite) est un entier n. Alors la di
mension projective de tout Rmodule a gauche plat est n .
Remarque. Dans l'assertion de ce corollaire la notion de Ldimension
ne figure pas. Nous ne connaissons aucune demonstration directe du
corollaire. Dans le cas cornmutatif le resultat etait montre dans [13],
mais la preuve de [13] ne s'etend pas au cas noncornmutatif, parce
qu'elle utilise le fait que la dimension de Krull d'un anneau cornmu
tatif noetherien R coincide avec la dimension finitiste FPD(R).
Le corollaire suivant n'est qu'un cas particulier du theoreme
7.1 (cf. le theoreme 3.5):
Corollaire 7.3. Si R est un anneau artinien a droite, tout Rmodu
le a gauche plat (projectif) est algebriquement compact.
270
Donnons encore une application des resultats de §6.
Theoreme 7.4. Soient R un anneau noetherien a droite et (Ma ) un
systeme projectif filtrant de R-modules a droite de type fini. Si la
dimension de Krull-Gabriel de tout R-module Ma
est < n, pour un
entier n fixe, alors lim (i) M+- a o pour i > n . En particulier,
si la dimension de Krull-Gabriel a droite de R est un entier d
alors lim(i)M = 0+- a pour tout systeme projectif filtrant (Ma ) de
R-modules a droite de type fini.
Demonstration. Soit T le foncteur "oublieux" de la categorie
Pf(R) dans Ab. Nous considerons une resolution injective mi-
nimale de T dans
et posons Tp = Ker (Ipt1 --> I p+2) pour p O. Chacun des groupes abe-
liens T (R) ,I (R) et T(R) peut etre muni de facon canonique d'unep p
structure de R-module a gauche. (De cette maniere T(R) = R obtient
sa structure donnee en tant que R-module a gauche.) Les foncteurs
ci-dessus etant exacts, il existe des isomorphismes naturels
resp.
l'hypothese sur le systeme
I (X) "" XP
(Ma) on a
X En vertu de
pour chaque a,
(on utilise toujours les notations du §6). Done, grace au theoreme
6.8 on a T (X) = I 1 (X) = 0P p+
pour tout p > n, et l'on obtient
une suite exacte de systemes projectifs:
Puisque tout objet injectif de est injectif en tant
qu'objet de la categorie D(R), la proposition 1.2 montre que I (R)P
est pur-injectif (algebriquement compact) pour p > 0 Par suite, la
proposi tion 3.1 implique que lim (i) (Ma
Ql)R Ip(R) ) o pour i > 0 et
p > 0 • De la suite exacte (**) on done obtient par decalage que
lim (i) M-<- ex o pour tout i > n .
271
C.Q.F.D.
Le corollaire suivant n'est qu'une traduction dans Ie langage
des anneaux cowIDutatifs:
Corollaire 7.5. Soient R un anneau commutatif noetherien et (Ma )
un systeme projectif filtrant de R-modules de type fini. Alors
o pour tout i > sup(dim(supp M)). En particulier
o si i > K-dim(R) .
De meme on obtient pour les anneaux commutatifs:
Proposition 7.6. Soient R un anneau commutatif noetherien et P
un R-module plat. Si
pour tout ideal ..-t>( de R pour lequel dim "O( ;:; p - 1
est une resolution pur-injective minimale de P, alors A =AP P
(p > 1).
Les applications suivantes des resultats du paragraphe 6
concernent des rapports entre L-dimension et certains cardinaux asso-
cies a l'anneau. D'abord nous allons introduire des notions emsemblis-
tes pour une categorie. Soit f< un cardinal infini. Un ensemble or-
donne I est dit -filtrant si toute partie de I de cardinal f(
est majoree, i.e. pour toute partie I' avec II'I;:;}( il existe
un element de I tel que a;:; pour chaque ex E I'. Nous con-
s i derons une categorie de Grothendieck 9J localement de type fini,
i.e. £Q possede une famille de generateurs de type fini (par exemple
est reunion filtrante de sesla categorie D(R)). Tout objet de
sous-objets de type fini. Un objet de 5J est di t de type k si
tout ensemble f.< -filtrant de sous-objets de M, de borne supe-
rieure M, contient M II revient au meme que dire que M est
la reunion d'un ensemble filtrant, ayant au plus Ie cardinal M(
de sous-objets de type fini.
272
La demonstration du lemme suivant sera laissee au lecteur.
Lemme 7.7. Soit 1"1 un objet d'une categorie de Grothendieck locale-
ment de type fini. Les conditions suivantes sont equivalentes:
(L) Tout sous-objet de 1"1 est de type k
(ii) Tout ensemble filtrant croissant de sous-objets de a une
partie cofinale de cardinal k.
Definition 7.8. Un objet d'une categorie de Grothendieck localement
de type fini est dit F< -noetherien s'il satisfait aux conditions du
lemme 7.7.
Pour la categorie on voit facilement que la sous-categorie
pleine formee des objets >< -noetheriens est epaisse et stable par
sommes directes indexees par
Dans une categorie localement J< -noetherienne tout objet de type
J.( es t k -rioe t.ne r Lcn .
Theoreme 7.9. Pour un anneau quelconque R les conditions suivantes
sont equivalentes:
Le foncteur R = HomR(R,-) de Pf(R) dans Ab est un objet
f.< -noetherien de D(R) .
Le foncteur M = HomR(1"1,-) de Pf(R) dans Ab est un objet
(L)
(ii)
(iii)
D(R) est localement }< -noetherienne.
}<" -noetherien de D(R) pour tout R-module a droite de presen-
tation finie !"!
(iv) Pour tout objet coherent T de D(R) tout ensemble filtrant
croissant de sous-objets coherents de T dans D(R)
partie cofinale de cardinal f< "
a une
(v) Tout R-module a gauche est reunion filtrante de sous-modules
purs admettant une }( -presentation.
Les conditions (i)-(v) sont verifiees si card(R) < ;( •
273
Demonstration. L'equivalence des conditions (i)-(iv) est une conse-
quence de la proposition 5.1 et des remarques precedentes. Nous lais-
sons la demonstration au lecteur.
Supposons maintenant (i)-(iv) verifies et prouvons (v). Soit A un
R-module a gauche; nous allons voir que toute partie X de A telle
que card(X) f< est contenue dans un sous-module pur de A admet-
tant une )( -presentation. A peut etre ecrit COITme la limite d'un
systeme inductif de R-modules a gauche de presenta-
tion finie. Soit S l'ensemble des parties de I, filtrant pour
l'ordre induit, de cardinal < f( C'est facile de voir que S est
k -filtrant. Pour tout element J E S on pose A. = lim F AlorsJ -+ a.o.EJ
A = lim AJ et A = lim AJo De plus, soit QJ = Ker (AJ
-+ AJ) . Si
-+ -+JES JES
J et K sont deux elements de S tels que' J C K, on pose
QJ K Ker(AJ -+ AK) ·
Sous l'hypothese (i)-(iv) AJ
est ?< -noetherien pour tout
J E S ; donc est de type k Cornme Q = U QJ KJ K=>Jet S est
,'I -filtrant, on a QJ QJ K pour un K convenable. Pour tout J E S,
choisissons un majorant s(J) de J tel que Q = QJ,S (J) . SoitJ
J un element de S assez grand pour que X soit contenu dans la0
reunion des images des F (a. E J o) . On pose par recurrencea.
et K = J .n' evidemr:lent K est un element de S
DoncD'apres la construction de K il est iffiQediat que QK
= 0 .
AK -+ A est un monomorphisme pur; d'autre part AK
admet manifeste-
ment une k -presentation, et son image dans A contient X, cqfd.
Inversement, supposons (v) verifie; nous allons voir que tout
sous-objet Y de R est de type k . L'enveloppe injective de R/Y
est de la forme M ou M est un R-module a gauche pur-injectif. 11
existe un diagramme commutatif
274
R
+R:/y /' \)
ou west Ie monomorphisme canonique de R:/y dans M et west
Ie morphisme de Yoneda
u E HomR(R,X) et m
un sous-module pur N de M contenant m et admettant une -pre-
sentation; on peut donc trouver un sy s t erne inductif (F 0)' 0 E I, de
R-modules a gauche de presentation finie de limite N tel que
card(I) II existe un o E I et un element E Fo
tel que
cqfd.
dansFo
et Ie fait que
est de type HD(R)
13 > o , designe 1 'application canonique
= f 13 0 (mo ) ·Pour S > o , soit w13
Ie mor-
par Ws (v ) = v (1) III> mS
, v E HomR(R,X) . Alors
est l'application canonique defo
f 13 0 'Si
00.
N
FO
FS ' on pose mSphisme R F
Sdefini
Ker(w13) est on objet de type fini de
Y = Ker(w) = U Ker W13
montre que Y
Finalement, si card(R) < S< il est clair que l'ensemble des ob-
m
jets coherents de D(R) est de cardinal <)(, donc (iv) est veri-
fie.
Theoreme 7.10. Soir R un anneau satisfaisant aux conditions equi-
va1entes du t.heo r erne 7.9 avec t./ - C"r\ n etant un entier > 0 •
(Par exemp1e R peut etre un anneau de cardinal
L-dim M n + 1 pour tout R-module a gauche M
< X .) Alors= n
En particulier, la
dimension projective de tout R-modu1e a gauche plat est n + 1 •
Demonstration. Pour tout R-modu1e a gauche M Ie foncteur
et en vertu de l'equivalenceest un objet deM = - QIl MR
D(R) Sex(C(R)oP,Ab)
D (R),
(cf. §5) la dimension injective de M dans
D(R) est ega1e a la dimension injective de (-,M) dans
Sex(C(R)OP,Ab). Puisque M est exacte a droite, Ie foncteur
275
Horm (R) (- ,M) est exact (voir le lemne 5.3). La condition (iv) im-
plique que la categorie C(R)oP est >< n-artinienne. Le fait que
L-dim M n + 1 est maintenant une consequence du corollaire 6.5.
Parfois la propriete suivante des anneaux decrits au theoreme
7.9 est utile. Pour un cardinal infini >< un R-module a gauche M
est dit -algebriquement compact si tout systeme d'equations li-
neaires
L a .. x.j 1.J J
mi (iEI), (jEJ), card(J) < k,
on les a.. sont des scalaires presque tous nuls pour i fixe et1.J
adDet une solutionles mi sont des elements de M,
des que, pour chaque partie finie I' de I,
() E MJ
x j jEJ
le systeme forme des
equations d'indice appartenant a I' , admet une solution. En utili-
sant les arguments de la demonstration du theoreme 3.5 on voit que M
est -algebriquement compact si et seulement si l'application ca-
card(I) >(, de sous-groupes additifs
EVidemment cette condition signifie
est surjective pour tout ensemble filtrante
pour tout ensemble filtrant decroissant de sous-o
nonique
que
de R-definition finie de M
lim (1) V-<- ex
M -. lim r4/VaEI ex
decroissant (Vex)' ex E I
groupes de Rr-d e f i.n i, tion de M, on card ( I) J< .
Maintenant, soit R un anneau satisfaisant aux conditions du
theoreme 7.9, et considerons un ensemble filtrant decroissant (Vex)
de sous-groupes additifs de R-definition finie du R-module M agauche j{ -algebriquement compact. Les sous-objets coherents (Y) de
R dans D(R) pour lesquels HOrm(R) (R/Y,M) E (Vex)' forment un en-
semble filtrant decroissant. Done, grace a la condition (iv) du theo-
reme 7.9 l'ensemble (y) a une partie cofinale du cardinal J( , et
lim(1) s'annul--<-
utilisant le theoreme 3.1 et le fait que le foncteur
par consequent (Vex) a une partie cofinale de cardinal < oJ< En
le lorsqu'il s'annulle pour un sous-systeme cofinale du systeme donne,
276
on obtient le resultat suivant:
Theoreme 7.11. Soit R un anneau satisfaisant aux conditions equi-
valentes du theoreme 7.9. Alors tont R-module a gauche ;< -alge-
briquement compact est algebriquement compact, (pur-injectif).
Le resultat ci-dessus est d'un interet particulierRemarque 7.12.
dans le cas k k oEn effet, le theoreme 7.11 implique que
tout ultraproduit, par rapport a un ultrafiltre non-principal, d'une
famille quelconque de R-modules a gauche est algebriquement compact
sous l'hypothese que R satisfait aux conditions du theoreme 7.9
avec : (Pour etre rigoureux il faut supposer que tout ul-
trafiltre non-principal est "w-incomplet", ce qui est un axiome com-
patible avec les axiomes usuels de la theorie des ensembles.)
11 est une question ouverte de savoir si la reciproque du theo-
reme 7.11 est vrai. En particulier, il pourrait etre interessant de
savoir si un anneau R satisfait aux conditions du theoreme 7.9 dans
le cas ou tout ultraproduit, par rapport a un ultrafiltre non-princi-
pal, de R-modules a gauche est un R-module algebriquement compact.
8. Resultats supplementaires concernant l'annulation de lim (i)+-
est un anneau quelconque de cardinal
pour tout systeme projectif filtrant
et les cardinaux des grouoes.
La proposition suivante est une consequence immediate des resul-
tats du paragraphe precedent et du theoreme 3.1:
Proposition 8.1. Si R
< C/ alors lim(i)M : 0: nn' +- a
(Ma)
de R-modules (a droite) de presentation finie et tout
Dans cette section nous allons considerer des systemes projec-
tifs filtrants de groupes abeliens arbitraires
277
lim (i) A-<- a
pour tout a,
pour le nombre de foncteurs
et nous allons chercher des bornes
non-nuls.
Theoreme 8.2. Soit (Aa ) un systeme projectif filtrant de groupes
ab e Ld eri s de cardinal ;; f<t ' t etant un entier fixe 0 De plus,
soit T un foncteur exact
se generalisee du continu
de Ab vers Ab
H t2 = k t+1 '
En
on a
supposant l'hypothe-
lim(i)TA = 0 pour-<- a
tout i t + 3. En particulier, sous l'hypothese du continu
S<o.2 ?<1 pour tout systeme projectif filtrant (A
a) de groupes
ab e l.f.ens (au plus) denombrables on a lim (i) A = 0 pour chaque i __> 3.-<- a
des groupes abeliens de cardi-
Si
Demonstration.
nal S( t •
au plus k t+1
Soi t -e la c a t e qor Le
K t c »2 = rr t+1 toute groupe abelien de
sous-groupes, et donc tout objet de et
contient
I< t+1-,.artinien. Soit = la categorie des foncteurs exacts a
gauche de dans Ab. En vertu du corollaire 6.5 on a
pour toutiExt(i (X,T) = 0(T) t+2 Par consequent
X E C et tout i t + 3.
Si (Aa ) est un systeme projectif filtrant de groupes abeliens
de les foncteurs exacts a gauche A = Hom(A ,-)a a
forment un
systeme inductif d'objets de Or, il Y a une suite spectrale
(c f , §1):
lim(P) Ext q (A T) '* Ext;: (lim AN,T).-<- .:e a' p 1: ->-
'"Comme Aa est un objet projectif de t: pour tout a,
spectrale degenere en des isomorphismes:
la suite
ex (lim AN,T).-r: ->-
Donc pour tout n t + 3 on obtient:
278
(par des isomorphismes naturels) I ilet puisque
s'ensuit que
Hom", (A ,T) e"
exlim(n) TA-<- ex
TAex
° pour n > t + 3 . C.Q.F.D.
C'est une question ouverte de savoir si l'hypothese (generali-
see) du continu est en effet necessaire pour la verite de l'assertion
du theoreme 8.2. D'ailleurs , nous ignorons si les bornes des nombres
de foncteurs lim(i)-<-
non-nuls sont les meilleures possibles. Nous
allons seulement prouver dans le cas denombrable:
Theoreme 8.3. Pour tout corps K il existe un systeme projectif
filtrant
tel que
(Aex ) d'espaces vectoriels sur
lim(2)A *0.-<- ex
K de dimension denombrable
Demonstration. Nous par des preparations ensemblistes.
Soit l'ensemble des entiers positifs. On dit que deux parties X
et Y de ! sont "presque disjointes", si l'intersection X n Y
est finie ou vide. Nous aurons besoin du lemme suivant , dont la de-
monstration sera laissee au lecteur.
Lemme 8.4. Soient X ••• X et Y ••• Y des parties presquel' , n l' , mn m
disjointes de Si U X. c U Y. I alors n < m et toute par-i=1 l j=1 J
tie X. I ( 1 < i < n) est egale a une partie Y. I ( 1 < j < m) Enl J
n mparticulier , si U X. U Y. I les parties X. I ( 1 < i s n) ne
i=1 l j=1 J l
sont qu'une permutation des parties Y. I (1 j m) I
Jet n = m.
(7"'Soit maintenant ::J=. = (X ex ) une famille de parties presque disjointes
et soi t '2.f la famille des reunions finies des partiesde I
dans g: Les elements de forment - avec l'ordre evident - un
ensemble filtrant a droite. Si 11
r;-et 1 2 appartiennent a
1 1 :: 1 2 I il Y a une application lineaire canonique
est considere comme un sous-espace
Par ce moyen on obtient un systeme pro-d'un K-espace fixe
jectif filtrant I I E Les espaces complementaires
K(I) , lEY:- ,
279
forment avec les applications canoniques (restric-
tions) encore un systeme projectif. Ceci donne lieu a une suite ex-
acte de systemes projectifs
o -+ {K(li - I)} -+ {K(W} -+ {K(I)} -+ 0{(PI}
ou {K(li)} est le systeme projectif constant forme par {K(li)},
dont toutes les applications sont l'identite 1K(li ) .
l'application canonique (restriction) de K(li) sur
calage on en obtient un isomorphisme
(,')(1) designe
K(I). Par de-
"'" lim ( 1 ) K ( I) •-<-
Pour une choix convenable de nous allons demontrer que
Fm(1 ) K ( I) * 0 •
Dans ce but nous remarquons que le systeme {K(I)}, I E , est
un sous-systeme de {KI}, I E ,
projections naturelles.
dont les applications sont les
{K ( I ) } , I E rt,Dans ce qui suit nous appelons le systeme le
s y s t erne de sommes et le sys t erne {KI}, lEY, le systeme de pro-
duits.
De plus, nous rappelons que le foncteur derive lim(n)A d'un-<- ex
systeme projectif {Aex,fex B}
peut etre calcule comme le n i eme groupe
de cohomologie du complexe
An
nex < ... <ex0- - n
A exo.. ex
ndn
-+
oun+1L (-1) n
n=1 +
Designons les 1-cocycles du systeme de sommes, resp. du systeme
s pde produits, par c(I,T)' (I J), resp. par TI,T) (I J).
De meme, les O-cochaines sont designees par cS(I), resp. cP(I).
Dans les deux cas on a a1 (C) ( I , J ) = c(I) - reslc(J),(c=cS ou cPl.
280
Si c P est une O-cochalne du systeme de produits telle que 31(c
p)
soit une 1-cochalne du systeme de sommes, alors 31 (cp) est un 1-co-
cycle du systeme de sommes. Si c est une O-cochalne du systeme de
produits, alors pour tout I E c(1) est un element de Kll et les
supports, (c.a d. les parties de N sur lesquelles c(1) a des co-
ordonnees non-nulles) sont des parties de I. Donc, pour une O-co-
chalne cP du systeme de produits 31 (c) est un 1-cocycle de sommes
si et seulement si c(1) - res1c(J) est de support fini pour tout
couple I c J. Ainsi, pour prouver que il suffit de
construire une O-cochalne c du systeme de produits telle que
31 (c) ait des supports finis et 31 (c) n'est pas le cobord d'aucune
cochalne du systeme de sommes.
X E rrPour tout :r soit - pour un instant - c(X) un element
quelconque de Kll dont le support est une partie de X Tout I E z.tEn vertu du lemme 8.4
du systeme de produits. De plus,
a des supports finis. Deux O-cochalnes31 (c)
nU X ,X ET.
)1= 1 )1 )1
est une O-cochaine
I
c(X ))1
nL
)1=1lemme 8.4 montre que
peut etre ecrit
le
c(1)
du systeme de produits ont le meme cobord si et seulement si leur
difference appartient a lim K1 , srdonc nous allons choisir et
les c(X) d'une telle facon qu'il existe pour tout element de;)
lim K1 une partie X E pour laquelle c(X) - b(X) soit de sup-
port infini. Pour cela nous aurons besoin du lemme suivant.
Lemme 8.5. 11 existe deux familles distinctes et.2l de parties
presques disjointes de telles que pour toute partie T de
l'intersection AnT soit infinie pour un A convenable de ou
l' intersection B n T) soit infinie pour un B convenable de
[D.Supposons le lemme demontre et finissons la preuve du theoreme
sr : i? U 0.8.3. Dans les notations du lewme 8.5 nous posons Ceci
etant, soit C(X) la fonction caracteristique de X si X E et
soit C(X)
281
la fonction identique 0 si X E.$ 11 est facile de
si et seulement si
verifier que l'on en obtient un cocycle avec les proprietes desirees.
Demonstration du lemme 8.5. Soit le compactifie de
de l'ensemble muni de la topologie discrete. Pour toute partie A
de soi t A' = A" ou A d e s Lqrie l' adherence de A dans
Pour deux parties A et B de on a A' = B'
la difference symetrique de A et B est un ensemble fini. Les en-
sembles A' forment une base des parties ouvertes de . De
plus le sous-espace ferme de l'espace extremement discontinu
n'est pas extremement discontinu (voir [9] 6R); par consequent
il existe deux parties ouvertes disjointes -"0( et se. de N
dont les adherences ont une intersection non vide. Soit cI9 une fa-
mille de parties de telle que I(){ = U A', ou l' on peut sup-
poser que les parties A, A E e/f, sont presques disjointes. De
meme, soit une famille de parties presque disjointes de telle
que ;e = U B' EVidemment, et sont des familles dis-BE 23
tinctes de parties de !J • Soit !J = S U T , S n T 0 et supposons
que A n T soit fini pour toute partie A EcI1 et B n S soit fini
pour toute partie B E $ Ceci entrainerait que (AnS)'=A'
pour tout A Ecfi et (B n T) , = B' pour tout B E [j) . Donc
S' ?-;()1 et T' ::::> ;&. Ainsi S' et T' seraient deux parties fer-
mees disjointes contenant «» et ce qui contredit le fait
que les adherences de --at. et ont une intersection non vide.
Remarque 8.6. Une modification facile de la demonstration du theo-
reme 8.3 (on considere les valuations de Q) montre qu'il existe un
systeme projectif filtrant (Ao)
de sous-groupes du groupe aoditif
Q des nombres rationnels tel que lim (2) A * 0 •-+- 0
De meme on obtient le resultat plus general, dont nous omettons
la demonstration:
282
Proposition 8.7. R soit un anneau integre commutatif noetherien.
Alors R est semi-local et de dimension de Krull 1 si et seule-
ment si lim(i)A : 0 pour tout systeme projectif filtrant (Ao)
-<- 0
de R-modules sans torsion de rang fini et tout entier i > 1
9. La L-dimension des anneaux cOQplets.
Dans cette section nous allons considerer des rapports entre la
L-dimension d'un anneau et son complete pour une topologie adique.
Nous en rappel ant le resultat suivant de [14].
Theoreme 9.1. Pour un anneau noetherien commutatif R les condi-
tions suivantes sont equivalentes:
1) L-dim R = 0
2) lim(i)M : 0 pour tout systeme projectif filtrant-<- 0
de R-
modules de type fini et tout i > 0
3) R est un produit direct d'un nombre fini d'anneaux locaux com-
plets.
4) L'application canonique ,R)
tive.
est surjec-
Remarque. La formulation suivante curieuse de la condition 4) est
due a I. Beck. On dit qu'un anneau R a des sommes infinies bien
definies, si l'on peut attacher a toute suite d'elements de
un element L r. ERtel que les regles ordin-i=1 l
est un
r. coin-l
Li=1
blr. * ojl
lorsque
aires des sommes infinies res tent valables et tel que
L r. ,i=1 l
ensemble fini. Ceci etant, R a des SOffiQes infinies bien definies si
cide avec la somme algebrique
et seulement si la condition 4) est remplie.
Dans le cas general aucune caracterisation des anneaux de L-di-
mension zero n'est connue. Nous ne faisons mention que de deux resul-
283
tats speciaux:
proposition 9.2. Soit R un anneau regulier au sens de von Neumann
(absolument plat). Alors L-dim(R) = 0 si et seulement si Rest
auto-injectif a gauche.
Proposition 9.3. Soit R un anneau de valuation. Alors L-dim(R) = 0
si et seulement si R est maximal, c.a d., aucun anneau de valuation
S dominant R, S * R,
residuel que R. [5].
a meme groupe des valeurs et meme corps
Soient R un anneau de valuation et v la valuation correspon-
dante. Rappelons que Rest "w-pseudocomplet" si pour toute suite
d'elements de R telle que, pour on ait
v(a - a ) < v(a - an ), il existe un element a ERtel quen1 n2 n 2 3
pour chaque couple d'entiers m,n tels que
m > n • La demonstration du resultat suivant n'est qu'une applica-
tion facile du theoreme 3.1. Nous laissons les details au so in du
lecteur.
Proposition 9.4. Si R est un anneau de valuation w-pseudocomplet,
on a L-dim(R) 1.
Exemple 9.5. Soit R l'anneau des fonctions entieres a valeurs com-
plexes d'une variable. Tout ideal de R de type fini est principal;
par suite, pour chaque ideal maximal m de R la localisation Rm
est un anneau de valuation. 11 y a deux especes d'ideaux maximaux de
R pour tout a E l'ensemble des fonctions qui s'annullent en
a est un ideal maximal principal de R, et l'on obtient ainsi tous
les ideaux maximaux principaux de R La deuxieme espece se pre-
sente de la maniere suivante: Soit U un ultrafiltre non-principal
sur auquel appartient une partie fermee discrete de c·= '
alors
les fonctions entieres dont l'ensembles des zeros appartient a U
forment un ide al maximal non-principal de R, et l'on obtient ainsi
284
tous les ideaux rraximaux non-principaux de R En utilisant les
theoremes de Weierstrass et Mittag-Leffler on demontre que la locali-
sation Rm
est w-pseudocomplet si m est un ideal maximal non-
principal. De plus, c'est evident que la localisation
anneau de valuation discrete (de rang 1) non-complet si
Rm
m
est un
est prin-
cipal. Ceci etant, on voit que L-dim(Rm)
= 1 pour tout ideal max-
imal m de R
ne savons que
Nous iqnorons la valeur exacte de L-dim(R); nous
L-dim(R) 2 si l'on suppose l'hypothese du con-
tinu. Remarquons que les resultats plus haut res tent vrais si l'on
remplace R par l'anneau des fonctions analytiques dans un ouvert
connexe de <t.
Nous formulons maintenant le resultat principal de cette section:
Theoreme 9.6. Soient R un anneau coherent a droite et I un ideal
de type fini, engendre par un ensemble fini d'elements centraux. Si
Rest complet pour la topologie I-adique (c. a d. l'application ca-
nonique R .... lim R/I\!<-
est surjective), alors L-dim(R) = L-dim(R/I) .
Demonstration. 11 est facile de voir que R/I est coherent a droite.
Soit L-dim(R/I) = n et supposons d'abord que n <
theoreme 4.3 il existe un systeme projectif filtrant
(R/I)-modules a droite de presentation finie tel que
En vertu du
(Fa) de
lim (n) F * 0 •<- a
Puisque (Fa) peut etre considere comme un systeme projectif de R-
modules a droite de presentation finie nous en concluons L-dim(R)
Si n = il existe un ensemble infini d'entiers i pour lesquels
* 0 pour un systeme projectif convenable de (R/I)-
commemodules a droite de presentation finie. En considerant (Fa)
un systeme de R-modules on obtient L-dim(R) = 00 •
11 nous reste de montrer que L-dim(R) L-dim(R/I). Evidemment
on peut supposer que L-dim(R/I) = n est un nombre fini. Pour tout
systeme projectif filtrant (Aa,fa a)
de R-modules a droite libres
de type fini nous allons prouver lim(i)A = 0 pour chaque i > n<- a
Par [14]
285
lim(i}A peut etre calcule comme Ie iieme groupe de coho-+- a
mologie du complexe
->
ou
n Aa "'ao k
(a <:••• <:a )0- - k
k+i} + L (-l)V a A
a k + i v=i ao' .. a v a k + i
II faut demontrer que Ker oi Lm oi-i pour tout i > n . Pour
plus de brievete nous allons employer la notation 0
et par a nous desiqnons un element de n i et par b un element
de ni - i .
Soit a un element dans Ker 0 . Les (R/I}-modules a droite
de presentation finie (Aa/IAa) forment un systeme projectif, dont
(il .iemeIe foncteur derive lim iA IlA) est Ie l groupe de cohomologie-e- a a
du complexe qui provient de (*) en les modules
par AlIAa ... a a·· ·ao k 0 k
L'element a modulo I
Aao" 'ak
est alors un iieme
L-dom(R/l} = n <: i ,cocycle et, puisque
Done a - 0 ' bEl rfo
le systeme projectif
pour un bo
(lA 1l2A
)a a
a modulo I sera un cobord.
convenable. Ensuite, en considerant
de (RIl}-modules a droite de presen-
tation finie, on voit comme plus haut, qu' il y a un element b i E lJ-1
tel que En continuant de cette Qaniere nous
obtenons a = <5' b , oir b = bo+ b i + • .. est un eleQent bien de f Ln i,
de ni - i vu le fait que Rest complet pour la topologie I-adique.
Corollaire 9.7. Si l'anneau R[[Xi,···,Xn]] de series formelles est
coherent a droite, alors L-dim(R[[Xi,···,Xn]]) = L-dim(R}. En par-
ticulier, L-dim(R[[Xi,···,Xn]]} = L-dim(R} pour tout anneau R noe-
therien a droite.
Remarque 9.8. Dans le cas L-din(R) = 0 on voit directement - en
utilisant le theoreme 3.5 (iii) - que l'assertion du theoreme 9.6
286
reste vraie sans aucune condition de coherence. Plus generalement,
pour toute famille de variables (j E J, soit R[ [(X(j)]] l'anneau
des series formelles non restreintes, c.a d. le groupe additif sous-
est algebriquement compact en tant que module
jacent de R[[ (X(j)]]
l' anneau R[ [(X(j)]]
est (par abus de langage) Alors
(a gauche) sur lUi-meme si et seulement si Rest algebriquement com-
pact R-module (a gauche) .
10. La L-dimension clobale d'un anneau.
Jusqu'ici nous avons principalement considere la L-dimension d'un
module particulier sur un anneau R. Nous definissons la L-dimension
globale de R, no t ee L-gl-dim(R), comme sup(L-dim(H) la borne
superieure etant prise sur les R-modules a gauche M. (Cette dirr.en-
sion est parfois connue comme la dimension globale pure a gauche; la
dimension globale pure a droite de l'anneau R sera alors dans notre
notation L-gl.dim(RoP).) Avec les notions de §1 il s'ensuit que pour
tout entier t > 0 on a L-gl.dim(R) t si et seulement si
t+1 ,Pext R U",N) o pour tous les R-r::odules a gauche M et N. Bien en-
tendu, L-gl-dim(R) peut etre introduit - alternativement - a l'aide
de la dimension pur-projective (voir §1). De facon precise la dimen-
sion pur-projective d'un R-module a gauche Nest definie comme suit:
Pour un entier s 0 la dimension pur-projective de N est s
s'il existe une suite exacte pure
o P ... P P N 0s 1 0
ou les modules Pi' 0 i s, sont pur-projectifs. La L-dimension
globale de R sera alors la borne superieure des dimensions pur-pro-
jectives des R-modules a gauche.
La L-dimension globale L-gl.dim(R) a des rapports a la dimen-
sion globale de la categorie D(R) = Add(Pf(R),Ab) introduite en §1.
287
Proposition 10.1. Pour tout anneau R on ales inegalites:
L-gl.dim(R) < gl.dim D(R) < 2 + L-gl.dim(R).
Demonstration. Evidemrnent il suffit de prouver la seconde inegalite.
Tout objet T E D(R) a une enveloppe injective de la forme H, M
etant un R-module a gauche algebriquement compact. Par consequent il
existe une suite exacte dans D(R):
ou T' est exact a droite et donc de :La forme A pour un R-module a
gauche A convenable. Puisque dim. inj . D(R) A L-dim (A) L. gl.dirn(R),
il s'ensuit par decalage que dim.inj'D(R)T 2 +L-gl.dim(R). On en
obtient l'inegalite desiree.
En general, les inesalites ci-dessus n'admettent pas d'ameliora-
tion; on a des egalites en des cas particuliers seulement. Par exernple,
pour les anneaux artiniens on a Ie resultat suivant:
10.2. R soit un anneau artinien a droite. 5i Rest semi-
simple on a L-gl.dim(R) = gl.dim D(R) = 0
simple, alors gl.dimD(R) = 2+L-gl.dim(R).
5i R n'est pas semi-
Demonstration. 5i Rest semisimple, l'assertion est evidente. Donc,
soit R un anneau non-semisimple et supposons d'abord que
L-gl.dim(R) = O. En vertu de la proposition 10.1 on a gl.dim D(R) < 2.
Pour obtenir l'inegalite reciproque nons considerons un R-module a
gauche M, qui n'est pas projectif. Soit
L1.... L .... H .... 0 (*)13
0 a
une suite exacte, ou L et L1 sont des R-modules a gauche libres.0
La suite (* ) donne lieu a une suite exacte de D(R) :
Lo
288
a.M o •
Puisque M n'est pas projectif, les applications a et a. ne sont
pas scindees, et par consequent T = Ker(a) n'est pas un objet injec-
tif de D(R). Puisque L-gl.dim(R) = 0 Ie R-module L1 est alge-
briquement compact et L1
est on objet injectif de D(R). Si
T' = Ker CS) , il Y a une suite exacte
qui n'est pas scindee. Le fait que T n'est pas injectif implique que
dim.inj'D(R)T' 2. Par suite, gl.dim D(R) = 2 si L-gl.dirn(R) = 0
et R n'est pas semisimple.
Considerons maintenant Ie cas L-gl.dim(R) > 0 . Bien entendu,
nous pouvons supposer que L-gl.dim(R) est un nombre fini t Soit
un R-module a gauche tel que L-dim(M) = d i.m.. inj'D(R)M t Soit
Lo
.... M .... 0a.
une presentation libre de M et soit
Lo
.... M .... 0a.
la suite exacte correspondante de D(R).
Cornrne Rest artinien, il s'ensuit de la proposition 2.3 et du
theoreme 3.1 que tout R-module a gauche plat est algebriquement com-
pact. En particulier, les modules Lo
sont des modules alge-
briquement compacts, et Lo et L1 sont des objets injectifs de
D(R). Puisque dim.inj'D (R)M t > 0, on deduit de (**) par decal-
age que dim.inj'D(R)KerCS) 2+t. Donc, gl.dim D(R) 2+t
2 +L-gl.dim(R). La proposition 10.1 implique l'inegalite reciproque.
Ceci acheve la demonstration du theoreme 10.2.
II Y a encore un cas, ou la L-dimension globale d'un anneau R
est determinee par gl.dirn D(R). En effet, si Rest regulier au
289
sens de von Heumann tout objet de D(R)
et l'on en deduit:
Add (Pf (R) ,Ab) est exact,
Proposition 10.3. Si R est un anneau regulier au sens de von Neu
mann, alors gl.dim D(R) = L.gl.din(R) = 1.gl.dim(R).
Dans cet ordre d'idees nous faisons mention des resultats sui
vants, qui sont essentiellement equivalents au theoreme de Kulikof
[7] :
Proposition 10.4. Soit R un anneau de Dedekind (qui n'est pas un
corps) et soit D(R), resp. D' (R), la categorie des foncteurs ad
ditifs covariants, resp. contravariants de Pf(R) dans Ab. Alors
gl.dim.D(R) = 3 et gl.dim.D' (R) = 2.
En dehors des cas cidessus on connait peu d'estimations gene
rales de la Ldimension globale. Sous ce rapport nous signalons une
consequence immediate du theoreme 7.10:
Proposition 10.5. Pour tout entier non negatif n et tout anneau
R de puissance f.(n' on a Lgl. dim (R) < n + 1.
Exemple 10.6. Si R designe l'anneau des fonctions entieres(a va
leurs complexes) d'une variable on voit facilement a l'aide du theo
reme 4.3 que Lgl.dim(R) 2 si l'on suppose l'hypothese ducontinu,
la proposition 10.5 implique Lgl.dim(R) = 2 .
Nous donnerons maintenant une caracterisation des anneaux R
pour lesquels Lgl.dim(R) = 0
Proposition 10.7. Pour tout anneau R les conditions suivantes sont
equivalentes:
(i)
(ii)
(ii' )
Lgl.dim(R) O.
La categorie D(R) est localement noetherienne.
R est un objet noetherien de D(R).
(iii)
290
Tout R-module a qauche est somne directe de R-modules de pre-
sentation finie.
(iv) 11 existe un cardinal r< tel que tout R-module a gauche est
somme directe de R-modules engendres par au plus 1< elements.
(v) Tout R-module a gauche est sorrune directe de R-modules indecom-
posables.
(vi) Tout R-module a gauche est facteur direct d'une somme directe
de R-modules indecomposables.
Demonstration. L'equivalence (i) (ii) est une consequence de la
proposition 5.2, du lemme 5.3 et du theoreme 6.1. L'implication
(ii) (ii') est triviale, et sa reciproque vient du fait que la sous-
categorie epaisse de D(R) engendree par R contient les objet cohe-
rents. Si (i) est verifie, tout R-module M est,pur-projectif, i.e.
M est facteur direct d'une SOIDIDe directe I $ Mo
de R-modules Mo
de presentation finie. Alors l'objet injectif M de D(R) est fac-
teur direct de I $ Mo
d'autre part (ii) est verifie, donc en ver-
tu du theoreme d'echange pour les objets injectifs d'une categorie
localement noetherienne il s'ensuit que M est une somme directe
I $ F de facteurs directs de M Chaque F est un facteur di-0 0 0
rect de M et donc de presentation finie; M est alors la somme0
directe des modules F et (iii) est etabli. Si (iii) est verifie,0
tout R-module a qauche est pur-projectif, donc (i) est verifie. Les
implications (iii) (iv) et (iii) (v) et (iii) (vi) sont eviden-
tes, et leurs reciproques sont des consequences de la caracterisation
de [19] des categories localement noetheriennes. Ceci acheve la demon-
stration de la proposition 10.7.
Remarque 10.8. Si les conditions de la proposition 10.7 sont veri-
fiees, l'anneau Rest artinien a gauche. En effet, Rest noethe-
rien a gauche, car tout R-module a gauche de type fini est de presen-
tation finie; de plus, R est parfait a gauche, puisque tout R-module
291
a gauche plat est projectif. 11 est bien connu que ces conditions im
pliquent que Rest artinien a gauche.
Remarque 10.9. Par la methode de la demonstration de la proposition
10.7 on voit qu'un anneau R coherent a droite est parfait a gauche
si et seulement s'il existe un cardinal tel que tout Rmodule a
gauche plat est sornme directe de Rmodules engendres par au plus
elements. De meme, un anneau R coherent a droite est parfait a
gauche si et seulement si tout Rmodule a gauche plat est sornme di
recte de Rmodules indecomposables. En effet, au lieu de D(R) on
considere la categorie des foncteurs exacts a gauche et utilise les
caracterisations de [19].
Theoreme 10.10. Pour un anneau R les conditions suivantes sont
equivalentes:
(i) Lgl. dim (R) o = Lgl.dim(RoP) .
(ii) La categorie D(R) est localement finie, (c.a d., D(R) a
une famille de generateurs de longueur finie.)
(ii') R est un objet de longueur finie de D(R).
(iii) Rest artinien a gauche et l'enseroole des classes d'isomor
phisme de Rmodules a gauche indecomposables de type fini est
fini.
Demonstration. En vertu de la proposition 5.2, du lernme 5.3 et du
theoreme 6.1 la condition (i) exprime que les categories abeliennes
C(R) et C(RoP) sont artiniennes. La condition (ii) exprime que
C(R) consiste d'objets de longueur finie, i.e. C(R) est noethe
rienne et artinienne. Cornme les categories C(R)oP et C(RoP) d'a
pres Ie theoreme de dualite (theoreme 5.6) sont equivalentes, les
conditions (i) et (ii) sont equivalentes.
Cornme en 10.7 l'equivalence (ii) (ii') vient du fait que la
souscategorie epaisse de D(R) engendree par R contient les objets
coherents.
292
Supposons (ii) verifie. On choisit une suite de Jordan-Holder de
R tout objet simple de D(R) est isomorphe 1:1 l'un des quotients de
cette suite; l'ensernble des types d'objets simples de D(R) est done
fini. Le passage 1:1 l'enveloppe injective definit une bijection de
l'ensemble des types d'objets simples de D(R) sur l'emsernble des
types d'injectifs indecomposables de D(R), et le foncteur:
Pf(R) D(R), defini par M M, induit une bijection de ce dernier
ensemble sur l'ensernble des classes d'isomorphisme de R-modules inde-
composables (necessairement de type fini). Ceci prouve (iii) compte
tenu de la remarque 10.8.
L'implication (iii) (i) est une consequence d'un resultat de
Dlab et Ringel [6].
Remarque 10.11. L'hypothese dans la condition (iii) que R soit
artinien est importante pour la validite du theoreme 10.9. En effet,
corome nous a communique S. J¢ndrup il existe un anneau R qui n'est
artinien ni 1:1 gauche, ni 1:1 droite tel que R ne possede que deux mo-
dules (1:1 gauche) indecomposables de type fini. Cependant, dans le cas
commutatif il est facile de voir qu'un anneau Rest forcement artin-
ien si R ne possede qu'un nombre fini de modules indecomposables
de type fini.
Remarque 10.12. crest toujours une question ouverte de savoir si le
theoreme 10.10 reste vrai lorsque la condition (i) est remplacee par
la condition "unilaterale" L-gl.dim(R) = 0 .
293
BIB L lOG RAP HIE
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L. Gruson
3 Avenue des Chalets
F-75016 Paris
France.
C.U. Jensen
Matematisk Institut
Universitetsparken 5
DK-2100 K¢benhavn 0
Danemark.
GENUS AND A RIEMANN-ROCH THEOREM FOR NON-COMMUTATIVE
FUNCTION FIELDS IN ONE VARIABLE
J.P. VAN DEURENUniversite Catholique de Louvain, BelgiuG
J. VAN GEELUniversity of Antwerp, UIA, Belgium
F. VAN OYSTAEYENUniversity of Antwerp, UIA, Belgium
O. Introduc tion
After F.K. Schmidt proved the Riemann-Roch theorem over
arbitrary groundfields, the theorem became one of the pillars of
modern algebraic geometry. Recently, essential parts of the
machinery producing the interplay between ring theoretical methods
and geometric properties in the commutative case, have been
generalized to certain non-commutative rings. Let us mention
M. Artin' s work on the geometry of P. I. rings, cf. (2), which has
been complemented by results of F. Van Oystaeyen and A. Verschoren
c f . (1 J), (14), on the structural sheaves and "non-cor.uautative
varieties". On the other hand, J.P. Van De u r e n observed that
certain skewfields contain maximal commutative subfields of
arbitrary genus over the groundfiels, c f . (10). The combination
of all these results calls for a theory of divisors, genus and a
Riemann-Roch-type theorem linked to prime ideal spectra and non-
commutative valuations.
In this paper we consider skewfields which are finite
dimensional over a function field in one variable. The geometric
application we have in mind, only hintea at here, requires a more
general i.e. the study of central simple algebras over an
algebraic function field. But this s t u d y hinges upon the theory
of primes in algebras, c f , (11), (13), and we aim to come back to
this in another paper.
296
In a relatively unknown paper, E. Witt produced a Riemann-Roch
theorem, with applications to the zeta-function, for central simple
algebras over an algebraic function field in one variable but with
perfect groundfield. His results are based upon the definition of
the canonical class by means of the different D of the algebra
under consideration. Our s e ts. up , with an eye to geometry instead
of arithmetic, is based upon "valuations". Whereas in E. Witt's
paper, cf (16), the rolQ played by the ring of constants and non-
commutative valuations is not explicited, our paper is not
restricted to the perfect case but it contains not much information
on the canonical class. We do show that in the perfect case both
theories coincide.
Important examples are obtained by considering skewfields of
twisted polynomials where D is a skewfield, finite
dimensional over its center k' and is an automorphism of D
such thate
is inner for E N If k is the fixed<P some e
field of in k I then the genus of is I-n where
n = [ D : k ] In this case too our "geometrical" genus coincides
with E. Witt's genus. The classical example where -
stands for complex conjugation, has genus equal to -I (this
example is a nice easy example of a skewfield with many valuations
on it). The fact that negative genera occur is explained by the
existence of non-central commutative subfields.
The case K = leads the way to finding a relation
between the genus of K and the genus of the center
Z(K) of K . We obtain
NgZ(K)-n+1
where n is the k-dimension of a maximal k-algebraic subring in
K and N [K:Z(K) ]
I. Algebraic Function Fields of One Variable
Let K be an arbitrary field. A skewfield K containing k
in its center is said to be an algebraic function (skew-)field of
one variable over k if there is an x E K which is not-algebraic
over k and such that [K:k(x)] < <XJ.
297
Proposition 1.1
over
Let K be an algebraic function skewfield of one variable
k , then :
- K is finite dimensional over its center Z (K) .
2 - Z(K) is an algebraic function field of one variable.
3 - The transcendence degree of any commutative subfield of K
is at most equal to
Proof
I) Pick a non-algebraic Then k (x) is a commutative field
such that [K: k (x) ] < "". Since K a free k(x)-module of finite
finite dimensional over its center. Note
satisfies the polynomial identities of
which is not k-algebraic we have that
rank it follows tha t K
some matrix ring over
it follows that K is
tha t for every y E K
[K:k(y) ] < 00.
k (x) then by Posner 1 s theorem, cf (3),
2) By
hence
I, Z(K) contains an element
[Z(K):k(t)]<oo, i.e. Z(K)
t which is not k-algebraic,
is an algebraic function field
of one variable.
3) Obvious. Note also that every maximal commutative subfield
of K is an algebraic function field of one variable.
If K is an algebraic function skewfield over k then also
over kl
the algebraic closure of k in Z(K). Henceforth we
assume that k is algebraically closed in Z(K) (this is not a
real restriction). However, the set of k-algebraic elements
of K does not form a ring and we will have to find a suitable
Recall that a subringsubstitute for it.
a total subring of K if for each x E K
A of k
either x
is said to be
or x-I is
in A A valuation ring of K is a total subring which is inva-
riant under all inner automorphisme of K . For details on valua-
tion rings and maximal orders the reader is referred to
( 1 I ) •
(8) and
29B
Lemma 1.2.
Let A be a maximal order in K over a discrete valuation
ring ov
in Z(K) The following statements are equivalent to
one another
] ) AI r ad A is ask ew fie 1d .
2) If x E K then either x or-]
x is in A.
3) A is a valuation ring in K •
4) A is the unique maximal o -order inv
K •
5) Every left ideal of A is two-sided.
6) Let Z be the completion of Z(K) with respect to the
v- topology, then K = Z (:() KZ (K)
a skewfield.
Proof
Known. Recall that, if we have that K Mr(E), where E i s
a Z-central skewfield, then
where n is the unique maximal o -order in K.v
Remark ].3.
if they
subrings of a skewfield
are valuation rings
In his Ph.D.
a) Although in this paper the valuations on the center will
indeed be discrete, it may be worthwhile to point out some results
thesis,for arbitrary valuation rings ov
F. Van Oystaeyen mentioned that total
(finite dimensional over its center)
are domains of unramified pseudo-places J. Van Geel conjectured
that all total subrings of such skewfields are valuation rings
and this has recently been proved by P./>C. Cohn, (5).
b) A valuation ring Rv
in
function v K r , where
any skewfield K yields a valuation
r is an ordered but possibly non-
commutative group, such that v(xy) vex) * v(y) ( * the
grouplaw of r v(x + y) ;;;. inf {v(x) ,v(y)}
Conversely, to such a valuation function v on K there
corresponds a valuation ring R = {x E K, v (x) ;;;. 0 } wi th maximalv
ideal ( the Jacobson radical of Rv)
M {x E K, v (x) > o} , wherev
0 denotes the zero element of the group r
299
Let k stand for the set of k-algebraic elements in K.
Amongst the subrings of K which are contained in k we may
consider maximal subrings, say {1. , i E I} We shall fix a cer-
tain 1. from hereon and we wi 11 denote it by If x E 1
then from the minimal equation for x over k it follows that
hence-I
x El,i.e.l is a skewfield. Moreover, as
a subring of k,l satisfies a polynomial identity too, hence 1
is finite dimensional over its center Z(I); k ' , say. If
t E Z(K) - k then [K:k(t)] < co and hence [l(t) :k(t)] ; [ 1 . k] ....:: ....
Let us now fix notations as follows
N [ K: Z (K) ]
n [ 1 :k]
Some light is shed upon the relation between nand N by the
following :
Proposition 1.4.
N
Choose
Put r;
t E Z(K) such that
[Z(K)k' ek ' (t)]
r2
2n·Z·s
m
[ K:k(t)]
note that
[k': k]
is minimal, say equal to m •
r m . Then we have that:
where2
s is the dimension of the centralizer of 1 in k over
its center.
Proof
Since k'/k is algebraic whereas k
. Clearly,Consider R; 1 ® Z(K)k
with center C K' ® Z(K).k
algebraically closed in Z(K)
R is an Azumaya algebra
it follows that all zero-divisors
of C are nilpotent and the prime radical m of C is the unique
prime ideal of C Consequently Rm is the unique prime ideal
of R, i.e. R has constant rank equal to the p.i. degree of
Rm and this also equals [l:k'] the rank of R over the local
ring C, thus
and thus
n[k' :k]
r . [k': k]
[1: k'][ 1. Z (K) : k ' . Z (K) ]
r : [k' .Z(K) :k(t)]
;E.[k':k].m
[R/Rm : C/m]
l k ' .Z(K) :Z(K)]
By definition of
300
On the other hand, since 1.Z(K) is a subalgebra of K we
find that: N= [l.Z(K) : l(K)] [ZK(l.Z(K» Z(K)] where
ZK(l.Z(K» = ZKO)
[l.Z(K) Z(K)]
is the centralizer of 1
[l.Z(K) : k'Z(K)] [k'.Z(K)
in KNow
Z (K)] =
n[k' :k]
!. . [k': k ]m
nrm
. Combination of these results yields
the desired equality
N2 r
2n i s '2.[k':k].
m
o
Remark 1.5.
is a finite integral extension of Z(K), there-
In case either
that C = k ' Z(K)
K or k' is separable over k it follows
fore C is a field and the free composite k' .Z(K) "'" C
l.Z(K) "'" Z(K) In this case r=m and N=n.s2. [k':k]
cf. Section 2,In case K
within k' hence k'
k is the fixed field of
is separable over k and the above remark
applies. Moreover, with I=D , one easily verifies that2
s = 1
0v of Z(K)
has coeffi-
x E K is integral over some valuation ring
if and only if the minimal polynomial of x over K
and N=n. [k':k] . Note that in general, n,r,s depend on the
choice of after we have proved the Riemann-Roch theorem it
will show that in reality the choice of does not interfer
much.An
cients in 0v (cf. (8) for example). hence if we choose a maximal
0v-order Av
in K for each valuation ring av
of Z(K) then
QAv
consists of k-algebraic elements. With notations as before
Proposition 1.6
We have : I = {1 {A, A a maximal order over a k-valua tion
ring of K such that I C A
Proof
Suppose there exists t EnA which is not k-algebraic. Pick
a k-valuation ring a 1n Z(K) (t) such tha t t E- o and put
0 a n Z (K) . Since A Z(K)(t). 1 is finite dimensional overvZ (K) it is a skewfield 1n K
301
Pick a k-bas is {ll, .. ·,ln} for 1 The order 0[11, ••• , In ] is
contained in a maximal 0 -order AI of Av
Now pick a (left) bas is for K over A, {vl',·"vm}say. Up
to multiplying the v.,j=I, ... ,m , by a suitable central elementJ
in mv' we may assume that the structural constants over A are
in AI' i.e. v.v.J
kA .• v ki. j
is an 0 -order in K and as such, itv
is contained in a maximal 0 -order A of Kv 0
and it follows that t tt A whilst A :::> 1 .o 0
o
Remark 1.7
By the proposition and the remark preceding it, it follows
that amongst the maximal 0v-orders appearing in 1 n A wev v
may select one 0v-order for each k-valuation ring o ofv
Z (K) ,
without enlarging the intersection (1 is a maximal k-algebraic
subring in k!). Depending upon the choice of 1 we will now fix
our choice for the Av
pick t E Z(K)-k and denote by a EO <!G, the k-valuation
rings of Z(K) containing kIt]. Let S E:E, be the k -r v a l.u a-
tion rings of Z(K) containing k [t -I] out not t . Note that B
finite set since its cardinality is bounded by
is a Dedekind ring and the quotient fieldthen
[ k ( t ) s : k ( t)]
Z(K) Putink (t)
R
the separable closure ofis
is a
R =
where
of R is equal to Z(K) (note that this uses the classical
contai-
R-order in K, A say, such that A :::> 1 . Further, for each
one, equally easily, constructs a maximal OS-orderv
Riemann-Roch theorem on Z(K). One easily constructs a maximal
S E:E
ning 1 Put A equal to the central localization of-et
prime ideal Po. of R corresponding to 00. a EAv
tha t r-. A r\l', AS Ann Aao.EA a SE:E 13 E:E
at the
We have
302
If 0 is a k-valuation ring of Z (K) such tha t there exists av
valuation ring R of K wi th R II Z (K) = 0 then R isv v v v
amongst the A and AS selected since, by Lemma 1 .2. , it has toex
be unique maximal o -order inv
K and I Ck CRv
This shows
that the decomposition of
rings of K.
I we have chosen contains all valuation
For further use we will fix a
which is contained in A.
Z(K)-basis {u , ... ,u } for KI n
2. Valuations of an Algebraic Function Field of one Variable
a K-valuation ring inLet
R /rad Rv v
Rvwill de denoted by k
v
K
It is
The residue field
clear that kv
is a
finite extension of k and fv
[kv:k l is called the residue
class degree.
The following lemma may be considered "well-known"
Lemma 2.
If is a skewfieldwhich is algebraic over a commutative
field F then any non-trivial valuation on 6 induces a non-
trivial valuation on F
So
induces
vC
is
are facing, every k-valuation of K
By Lemma 1.2., the valuation ring Rv
cvoK , whereo -order in
cv
and by Proposition I. I.,Z (K)
1S the unique maximalKin
in the situation we
a k-valuation vC
on
a discrete valuation.
vof
is the valuation ring of Z (K) Let us denote by Mv
the
maximal ideal of Rv
and by the maximal ideal of oc
v
we recall that there esists an
is exactly the index of thee
M vv
From [8
R . MC
v vand it is clear that e
v
e E Nv
such that
value group of cv in the value group of v. If e =
vthen
cv
is said to be unramified, otherwise ev
is called the ramification
index of cv
The relative residue class degree isc
v[k : k
v cv
303
from [8] we recall
] 0 N
We also retain that ev
2 0 fc
vc
vfv
, where f [ k : k 1c cv v
lj; f and f finite numbers.c v c arev v
It is a well-known fact that a totally ordered group rcontaining an ordered subgroup of finite index which is isomorphic
to Z it itself isomorphic to Z hence it follows that every
k-valuation of K is a discrete rank one valuation.
Now some explicit calculations in the case K D(X,<P)
where D is a skewfield with center ZeD) = k', 'I' an automor-
phism of D such thate
'fJ is inner for some e (minimal as such)
the field of fractions of the skew polynomial ring
in N and k is the field fixed by 'I' within k' D(X,<P)
D [X,<P 1 ;is
details about some of the results frequently mentioned or used in
the sequel may be found in the papers by G. Cauchon, c f . (3), or
E. Nauwelaerts, F. Van Oystaeyen, c f , (7).
The ring D [x,<Pl is a Dedekind prime P.I. ring and also a
left and right principal ideal domain. From [7] we retain that
it is also a Zariski central ring, consequently all localizations
at prime ideals will be central localizations at the corresponding
prime ideals of the centre. In particular, D(X,<P) is obtained
from D [ X, '1'] by central localization of D [ X, '1'1 at 0, i. e.
K = { xc-]
C D [ X, 'I' ] E Z (R) } (denoting R for D [ X, 'I' ] ) •x , c
The centre of R, as determined by G. Cauchon, is equal to k [ T]
where T for some unit A In D inducing the inner auto-
morphism-e
'I' of D It is obvious that D(X,<P) is an algebraic
function skewfield of one variable with = D and Z (K) = K(T)
a purely transcendental field extension of k, i v e , of genus o
Every ideal of R is of the formm
E and cE Z(R)-(T).ReX , m N
Now if R is a k-valuation ring of K then R contains eitherv v
R = D X,<p R -]D [
-] -1The theory of lJedekind P.I.or X 'I'
rings yields tha t 0 has to be a localization of R or R- 1 atv
304
a prime ideal of R or-I
R resp. In R, prime ideals are either
(x) or an ideal generated by a central irreductible polynomial
c(T) in R- I, prime ideals are either (X-I) or an ideal genera-
ted by a central irreductible polynomial It is
clear that the localizations of R,(R- I), at central prime ideals
will contain X-I, (X) ; hence we obtain all localizations at
prime ideals of R or R- 1 in the list-)
R (X- I)
central irreducible in k [ T] If now p is such
that Rp is a completely prime ideal of R i . e . R-Rp is multi-
plicatively closed, then R(p)/rad R(p) is a skewfield and by
Lemma I .2. it follows then tha t R(p) is a k-valuation ring of K.
is a centralpwhereare
Conversely, since any k-valuation ring of K corresponds to a
ring listed above it follows that all k-valuation rings of
-)given by : R(X)' R _) and
(X )
irreducible polynomial i n k'{T] such that Rp is a completely
prime ideal.
be the valuation associated toI 0 Let
Then == R/(X) == D and therefore we
obtain 1/J cVx
n , f n •
The ramification index and we have en N where
n = [D: k ]
Let v _)X
be the valuation associated to
This case may be treated as
cit description
Write zEK as
Vxis possible here.
z = fg- I with f, g E R
However
i. e.
a more expli-
z = ( k Cl
i= I
. -Ib j X
J) with a. ,b. ED
Jand
aCl
o . Up to changing b ., j = IJ
S , (due to
some commutations with certain powers of X) we may rewrite
305
this as
Z =( :Ea a. X-a + i)i= 1 i.
with a f 0 anda
one easily derives
b' f 0B
that
since 'P is an automorphism. From this
v -1 (z)X
B-a
Let us write v00
instead of then
3° The case vp
Write P = Rp, RvP
MvP
i . e . the valuation vpis unramified.
Furthermore kv
RIP . The residue class degree ofp
equal to [ k {T J I (p) k J = degTP
and thus
>j; cvp
N , evp
fc
vp
fvp
Example 2.2.
Take K = Q;(X,-). A va l ua t i on of the center IR(X2) extends to
a valuation of K if and only if it corresponds to a prime ideal
c > 0 .
3. Divisors of Algebraic Functions Skewfields of one Variable
With notations as in Section , we have fixed a maximal
k-algebraic subring in K and we have that 1 =f"I{A.,J
E AU 9.l}
,the A. being maximalJ
o -orders inv.J
K such that the ov.J
run
through all the non-trivial k-valuations rings of Z(K) . Let 8
306
be the set {I\.. , j E A U B} and let V(K) be the set of k-valua-J
tion rings of K
that V(K) f ¢
note that V(K) C E . In this section we assume
We were unable to prove that V(K) f ¢ but we
conjecture that this is always the case in tne situation we have
here; all examples we have considered do satisfy this property.
Since in the special case of a perfect groundfield k, E.Witt's
theory also applies, we have defined geometric divisors (and not
just merely divisors) as follows: a geometric divisor d of K
is an element of the free abelian group generated by & such that
d = with n . = 0 if 1\.. EO & -V(K)J J J J
If v is a valuation
of K then v(d) will denote the coefficient of the valuation
ring I\.v
of v in d. The integer degd = :En fv v
is called the
degree of the divisor d . Let E be the intersection of those
A.J
in E-V(K) then E is an Rj-order of K where Rj is a
Dedekind ring with field of fractions equal to Z(K), R1is the
intersection of those k-valuation rings of Z(K) which do not
extend to a valuation of K. If all k-valuations of Z(K) extend
to K then we put R] Z (K) and E K .
To any y EO E* we may associate a (principal)
putting dey) = :Ev(y)1\. The divisor of zeroes ofv v
divisor by
Y EO E is
defined by putting z(y) = :E v(y) ,I\. ,and the divisor ofv(y»o v
poles of y may be defined as p(y) :E v(y),l\.v'v(y)<o
A divisor dl
divides a divisor d2(written d
11d 2) if and
for all v EO V(K)
If S is a subset of V(K) , put
red IS) {z EO K , v (z) ;;:. v(d) for all v EO S }
It is obvious tha t red Is) is a k-vectorspace and if
S C S' then red I S I ) C red IS)
Lemma 3. 1
Let S C V(K) be non-empty and finite, let dl[d 2
' then
dim deg dS
- deg dS
2 I
where.i,
Proof
Lv(d.)Av e S v
i I , Z
307
Since the analogue of the approximation theorem does hold for
valuations on K we may repeat the classical proof given in the
commutative case as it may be found for example in (6), p.Zl.
To a divisor d of K we associate a k-vectorspace
L (d) {z E E , v Cz ) ;;. v(d) for all v E V(K) } .
Lemma 3.Z.
For each divisor d of K we have that
led) = dimkL(d) is finite and if d] divides then
Proof
+
Let S be the subset of elements of V(K) appearing in d 1
or d Z ; clearly L(di)
C r ra] S) and also L(dZ) = L(d l) (I f(dZI S).i.
FromL (d 1 ) f( d] Is)
it follows that l(dj) -1(d
Z)L(dZ)
....
degd z - degd] On the other hand if we_choose
dZ
to be a multiple of the zero-divisor z and different from it, then
L(dZ)
= (0) and thus l(dl) < 00. 0
Lemma 3.3.
Take t E E* - 1 and put m = [K:k(t)] ,
Then degz (t ) = degp(t) = m ; in particular degd(t) 0
Proof
First note that if x E K is arbitrary then x
selected as in Section Indeed, write x =
is the Z(K)-basis for K selected in Section
is in almost all A.J
L c v u , , wherei= 1 i.
u.
Take any m+1 elements z I' . . . , zm+] of
m+l[K: k ( t)] m we have that q.(t)z.
j = j J J
1°) Let S be the subset of V(K) appearing in z(t).
f(zjS). Since
o with q.(t)Ek[t]J
308
having non-zero constant term (otherwiseand a tie a s tone q. ( t )J
multiply the equation by
q.(t) = q.(O) + tq.(t)J J J
-It
then
on the left). Write
Calculating "» (*)
(* )m+l
q.(O)z.j = 1 J J
m+ 1 I(0)- t q.(t)z. somme q. 0
j = 1 J J J o
for each v E S yields tha tv
m+lv q .. (O)z.)v j=1 J J
m+1
j = 1 J J
Thereforem+1
q.(O)z. E r(z(t)!S). Now using Lemma 3.1. onj = 1 J J
z ( t ) we obtain
degz(t) m •
The same inequality holds for pet) (change from t to t- I !)
n{A A :J t}j , j R = A n Z(K)
t tand note that almost
all A.J
are being used in the intersection yielding At
We know that Rtis a Dedekind ring with field of fractions equal
to Z(K) since t is non-algebraic (this is the Riernann- Ro c h
theorem in Z(K) and that At
is a maximal R -order in Kt,
An arbitrary left k(t)-basis for K, {y;, ... 'Ym} say, may be
multiplied by an element
it is easily seen that, puttingi = 1, ... , m Since A
of Rt
*E Z (K)
such that ;\yi E At '
we find a left k(t)-basis {Yl , ... 'Ym}
is contained in At
for K which
Obviouslyi -r k
t Yj E L(p(t) ) if i = 0, ... , k and j = 1 , ••• ,m .
Since the
we find :
are m(k+ 1) in number and k-linearly independent
(*) m(k+l) ,;;;;
Lemma 3.2.
309
-kl(p(t) ) ,;;;; l(p(t»
on p (t)-kl
-k+ degp(t)-degp(t) (using
So, as k grows arbitrarily large we see that (*) yields
deg pet) m • Together with we have now established that
deg pet) m and deg d(t) = 0
Corollary 3.4
We have an exact sequence of groupe
....... div K 0 where Div is the (additive1yo 0 0
written) group of divisors of K of degree 0
the group of divisor classes of degree O.
Proof
and Ko
is called
Since
i.e. in
*for every z E E
*1 it follows that
z A z-I E E is k-a1gebraic
*normal subgroup of E
Moreover it is clear that a commutator u,v
*is in all k-va1uation rings of K and in E hence in 1 there-
fore *contains the commutator subgroup of E (thus * *E /1
fits in Div !).o
*If K is commutative E
o
*K If K = [(X,-) for example,
as a matter of fact this holds for any as considered in
Section 2, then *E contains at least x since x and are
contained in all localizations at prime ideals of D or
but the latter rings are D-va1uation rings of
with exception only atD [X-I,
-ID [X ,
-I]
-J](X- 1 )
D (X) and
Note that X E K is in E if its mLnima1 polynomial over
Z(K) is of the form wi th ai
E R ; and
*E the converse followsif a is a unit ofn
from -a-I(xn- I + ...n
R then X is in
(Because if-I
an
is in one
of the maximal ideals of the k-va1uation rings over R then X-I
is in one of the maximal ideals of the selected orders over E,
contradiction).
310
*Thus elements of E with norm in R *are in E
central divisors of Z(K) of degree
The invariant subgroup * *R Ik of * *E 11 is the subroup of the
o which "extend" to divisors
tence of transcendental elements in and this is of course
of degree o of K In Riemann's theorem we only need the exis
* *E /l
garantueed by the above inclusion of * * * *R Ik in E /l
Theorem 3.5 (noncommutative version of Riemann's theorem).
There exists an integer g such that for each divisor d of
K we have l(d)+degd;;'" Ig and if degd is "large enough" then
we obtain l(d)+deg(d) ]g.
Proof
From (*) in the proof of Lemma 3.3. one
each t E E* -1* there exists an integer,
easily derives that foc
Q say, depending only
on t such that for every m E Z.
Denote by ]g the lower bound of l(p(t)m) +degp(t)m for
m E Z . From here on the proof runs along the same lines as the
proof of the Riemann theorem in the commutative case (of course
for principal divisors we use the d(t) with
The integer g defined above depends on the choice of 1, at
least so it seems. Let us denote by the genus as definded
above with respect to the chosen 1, let us put
1 maximal kalgebraic in K} , we call g the geometric genus
of K Note that we can always suppose 1 is chosen such that
kalgebraic subring of
has class number
Theorem 3.6.
If the field Z (K)
K is conjugated to
then every maximal
Horeover gl
does not depend on 1, i . e . and g does not depend
upon the choice of the maximal orders
Proof
A.J
for which 1 = 0A.J J
If Z(K) has class number
Z(K) with field of fractions
and R] is a Dedekind ring of
Z(K) then all maximal R1orders
of K are isomorphic (the number of isomorphyclasses divides
the class number !) and therefore conjugated.
311
a second choice of maximal
be
The
E fi, U5'l{A' . ,J
O.-orders such that nA = 1J j j
is fixed and let1First suppose that
substitution
R]-order E'
A +j J
for E
comes down to substituting a maximal
since the k-valuation rings of are
the unique maximal o -orders ofv
K and hence these remain fixed
and divisors with respect to E
under the change
for some "E K*
A -+A'j j
By our opening statement E'
are trans for-
med into divisors with respect to E' Obviously all k-dimensiore
we study remain unaltered and thus I-g remains the same. Secondly
chosen maximal is the intersection
let be another choice for
O.-orders A(I)J j
If
and write 1]=
E1
nA(I) for well-j j
which are not k-valuation rings ofof those
before, AEA-) for some However
K
Alil.-]
then, as
is then a
k-algebraic subring of E)
all k-valuation rings, thus
but k-algebraic elements are also in
A1A-1
C 1] follows.
But 1 C A-]l A , where /,-]1 I, a k-algebraic ring, impliesI I
that 1 -) 1 A As before it is easily verified tha t "conjuga-:-\ I
tion by A" will transform divisors with respect to
divisors with respect to E], I..e. for all divisors
E
d
into
I (d) ,
degd remain unaltered and so does g • o
We are now able to formulate the non-commutative version of
Riemann-Roch's theorem using repartitions. A repartition P of K
is a mapping of the set 1;' into K such that p(A.) E A. for almostJ J
all j E A U B The set at of repartitions of K is a k-algebra
and K may be identified with a subfield of R by identification
of 2 E K with P E R which is defined by P (A. ) = 2 Thez z J
k-valuations of K extend to "valuations" of R in a natural
way: v(P) v(P(Av» ' We say that a divisor d divides a repar-
t i o n P if and only if v(P) ;;.. v(d) for all v E V(K) and peA)
P (A) E A
Then A(d)
for every A E 1;' - V(K).
is a k-subspace of R.
={PER,dlp}
then A(d])=>A(dZ)
where S is the set of k-valuations appearing in dj
and it is easily verified that
312
is k-isomorphic
The following lemma follows easily from this and the fact that
k-valuations of K can be calculated with (approximation
as in the commutative case.
Lemma 3.7
Let d jl d2
be divisors of K , then
I 0 ) dimk
A( d])degd
2degd
lA( d2)
-
A(dj)+K
dimk A(d2)+K
(2 0 follows in a straightforward way f r.o m (A(d2) + K) (j A(d
j)
= A(d2) + L(d
j)) .
Theorem 3.9
Let d be any divisor of L then
Rdim
kA(d)+K
l Cd ) + degd + g-]
In particular for the zero-divisor z we obtain
d. R----A(z)+K
Proof
g + n -
Now similar to the proof on p. 34 of (6). Note that we have
denoted by g,n = [ l:k ] , but the above relations hold for
every choice of o
Finally let us consider the perfect case.
Theorem 3.10
If k is perfect then gj = g, for each choice of 1 and the
maximal a.-orders A.J J
such that 1 = 0A.J J
313
Proof
From E.Witt's Riemann-Roch theorem applied to a positive divi-
for each choice of 1sor we find that g I gw
since in (16) the definition of
In other words,
does not depend on the choice
of the maximal orders used in the construction we may choose these
orders in the way we did in this paper and thus we find gl gw'
4 The case K
We use the notations of Section 2 It has been established
that allows non-trivial k-valuations e. g. D (X)
separable extension. Therefore
simplifies to : N n [k': k ]
and D [ X-I -I A(X-I)
00
Since k is the fixed field of
sp it follows tha t k' /k is a
the formula of Proposition 1.4.
k' ZeD) under the automorphism
Put dm
-m A00
Due to the fact that K is obtained from D by inverting
central elements it is easy to adapt C . Chevalley's original
proof of the fact that the k-vectorspaces L(d ) are exactlym
given by {f E K , f E D , degxf .;; m} to this case.
Hence led ) n(m+I). Since degdm
nm we find, for largem
m l-g , and thus g 1 - n For example, if D F
is a commutative field, an automorphism of F such that
for e EIN (chosen minimal as such), then we have
and g I - yN
5 Genus Versus Genus of the Centre
If v EV(K) then ev
is the ramification index of v over
vC
(cL Section 1).
Lemma 5.
Let d v be a divisor ofv
K with nEe Zv v
Let
be the divisor of Z (K) given asc
nv
nv
ev
Then degd
314
Proof
for the latter equality one uses N
Clearly degd = N.degdCfollows.
de gd nC'IT fv v c c
v vN.
v cv
e 'ITv c
v
0
Let 6l. Z (K) be the k-space of all repartitions of Z(K) , while
the k-space of repartitions of K is now denoted by 6l.K
If d
is a divisor of K which has a divisor dC
associated to it in
Note that for the zero-divisor
resp.
A (cZ (K) d )
is the zero-divi-
corres-be the
czK,ofz
AK(d) and
and 6l. Z(K)
letthe above way, then we
ponding k-subspaces of
sor of Z(K). Fix a Z(K)-basis for K .
It is possible to define a k-linear map IT iR. N -+ iii. bZ(K) K' Y
putting P P (A .)J
P (0.)J
It is clear that P is a repartition of K Put
Because of our definition of "repartitions" it is easily checked
that IT is injective (note that this would have failed if repar-
titions were defined using valuations of K alone since not every
k-valuation of Z(K) extends to a k-valuation of K !).
Lemma 5.2
Let d be any divisor of K then
Proof
is not aif A.J
v(y - peA » ;;. nv v v
and let {AI"" ,As} be the finite number
E .It U :J3} where P (A.) If:- A. forJ J
define an assignement A --+ y. E K asj J
i.e. a k-valuation ring of K choose
d = vv
Write
of maximal orders in {A.J
some given P E RK
Now
follows if A. = AJ v
y. = Yv E K such thatJ
valuation ring but in the set then choose such
this as signement
Yj
A nor in thev
It is clear that
not of the formis
choose
E A.J
y. - p (A. ),J J
{AI'" .As }
that
set
315
defines a repartition, M say, of K such that M - P E AK(d)
It remains to be verified that ME RII
ring or in the set {A 1'" ,As}
iAk E Z(K)
we put y.l
If A. is a k-valuationl
A i u with
k=l k k
We may define repartitions
k-valuation rings of K,
of Z (K) as follows
Obviouslyc c
II (M I ' . • • ,MN) = M and o
Wri t t i n g down Riemann-Roch I s theorem for Z (K) , and for K as
we established it, yields
g k + n - 1 = d i mk
Rk
/ AK( z) + K
gz (K) = dimk RZ (K) / A z (K) (z) + Z (K)
Taking the direct sum of N-times the exact sequence :
o ---->- A z ( K) ( z) + Z ( K) ---->- RZ ( K) ---->- RZ (K) / A z ( K) ( z ) + Z ( K) ---->- 0 , and
counting k-dimensions afterwards, yields
Since
dimk (z)
(z) + Z(K)N)
+ Z(K)N •
11A z (K) ( z) + K we obtain :
o -+ (K) ( z) + Z (K) N -+ R ( K) -+
1m nl
,N / NRZ (K) A z(K) ( z )
I+Z(K)N---->-O
0---->- 11Z(K) (z) + K + K ---->- 0
with exact rows, where11
Az (K) (z) i s 11 Az(K) ( z )
Calculating k-dimensions yields :
(*) - d i 11/ A11 (, )Ng Z (K) - l mk R Z (K) ,Z + K
316
and on the other hand
gK + n-I = d i mk RK / AK( z ) + K = dimk(RII
+ AK(z) + K /AK(Z) + K)
d i mk (RII/ ( z) + K)- d imk( R
II n (AK(z) + Ky (z)+ K)
Combination of (* ) and (** ) yields
I dimk (RII n (AI( (z)
II + K )NgZ(K) -gk- n + + K)/AK(z)
So we have proved
Theorem 5.3
The genus
Corollary 5.4
gK of K is smaller than or equal to NgZ(K)-n+l.
Hence if o (as in the case then we have that
and we
Remark 5.5
We do not know of any example where NgZ(K)-n+1 F gK
feel tempted to conjecture that equality holds in general but
we will not do that here.
Remark 5.6
A "completely" irreducible curve in the sense of M. Artin (2)
or A. Verschoren (14). may be viewed as the set of maximal ideals
of some affine P.I. ring R which is obtained as /p •
where and are generic mxm matrices for some m • and P is
a completely prime ideal of the generic matrix ring
If we put K equal to the field of functions of R then the
above Riemann-Roch theorem has a geometric meaning. In a forthco-
ming paper the Riemann-Roch theorem and its consequences will be
derived for arbitrary central simple algebras over algebraic
function fields of one variable (extending E. Witt's results to
the non-perfect case) using primes of algebras (II). (13). Then
it will be possible to treat irreducible curves (i.e. P is just
a prime ideal).
317
Acknowledgement
J. VAN GEEL thanks the Department of Mathematics of Bedford
College (London) for the hospitality enjoyed there and,
in particular, Prof. Dr. P.M. COHN for his encouragement
and stimulating conversations.
318
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Structure of Algebras, A.M.S.1939.
Colloquim Publ.,
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July 1979.
POUR UNE GEOMETRIE ALGEBRIQUE NON-COMMUTATIVE
A. VERSCHOREN (x)
Universite d'Anvers.
UIA.
Cette note reprend quelques resultats recents en geometrie algebrique dite
"non-commutative", qui sont dus en grande partie a PROCESI, ARTIN, SCHELTER,
VAN OYSTAEYEN et l'auteur. Nous ne donnons aucune demonstration, mais nqus
renvoyons chaque fois aux sources du resultat et a [43J pour un expose plus
complet.
1 - Les representations d'un anneau non-commutatif, d'apres Artin.
(I. 1) Rappelons d ' abord quelques reflexions exp r irnee s par ARTIN dans [3 ,5J .
L'etude des varietes algebriques dans la theorie classique se reduit essentiellement
a celie des algebres affines commutatives sur un corps. Soit k un corps
(commutatif !) algebriquement clos. Une algebre affine sur k est une algebre R
qui est associative et de type fini sur k, c'est-a-dire qui a une presentation
de la forme :
R = k{X] , ... ,Xn}/I
ou I est un ideal bilatere de l'algebre k{X1, ... ,Xnldes polynomes non
commutatifs en n variables sur k. Afin d'etudier ces algebres, nous aurons
a considerer leurs representations.
(:t)L'auteur beneficie d'une bourse de recherche a l' N.F.W.O-CNRB
320
(1.2) - Au premier abord, on se limitera aux representations
de l'algebre affine R dans l'algebre des matrices de dimension n sur k.
Dne telle representation est dite irreductible si l'application est surjective.
D'autre part, deux representations sont equivalentes si elles ne different que
par un automorphisme de Mn(k). Le point essentiel est de remarquer que les
classes d'equivalence de representations irreductibles de R correspondent
biunivoquement a certains de ses ideaux maximaux. En effet, il est facile de voir
que la classe d'equivalence d'une representation irreductible est completement
determinee par son noyau qui est evidemment un ideal maximal de R. De
cette l'on obtient une partition:
.fl.. (R) =Al (R) U ... U Jl.oo(R)
ou est l'ensemble des ideaux maximaux de R et ou pour chaque entier
.n,aJR)
M de R ayant
contient les
n.
M (k) et oiln
n'ayant cette propriete pour aucun
Jl (R) consiste des ideaux maximauxn
est isomorphe a
positif n, l'ensemble
la propriete que RIM
ideaux maximaux de R
(1.3) - On peut mettre sur JL(R) la topologie de Zariski induite par celie de
5pec(R), l'ensemble des ideaux premiers de R. En particulier, les ensembles
ouverts de JL(R) sont de la forme
possede la structure d'une variete
LJ )tn(R) , on peut demontrer quen'ppour tout entier positif p. Ceci
est un ideal (bilatere !) de
ferme dans
fI. (R) l' unionp
est un sous-ensemble ferme de iteR)
R. 5i nous denotons par
1\ (R)P
implique que chaque JLn(R) est localement
a demontre dans [41 que chaque JLn (R)
algebrique (commutative, bien entendu).
A..'tTINMikeJL (R) .
Ioil
(1.4) - Nous voulons etudier jl(R) de topologique, afin d'en deduire
des proprietes structurales de R, comme on Ie fait dans Ie cas commutatif.
Neanmoins, ce point de vue est loin de donner des resultats convaincants dans
tous les cas. Citons d'abord quelques problemes qui peuvent se presenter a ce
sujet.
(1.4.1) Dans certains cas, tous les ensembles
I' exception de J\. W(R)
k{X, Y}I (XY-YX -1). L' etude
est inepte.
Jl (R) sont vides, an
pres. Exemple : l'algebre de Weyl
de ces exemples du point de vue des representations
321
(1.4.2) II est tout a fait evident que nous ne pouvons etudier qu'un
etre decrit comme un espace de dimension finie.
trouve que dimJt (R) = n2+1.
En contraste, s in
l'algebre des matrices generiques de dimension
a la fois, et on sait qu'en generalnombre fini de Jt(R) ne peut
Exemple : si R = k{.X,Yj, on- {J:(p) t: (P)l
R - k "'I ' ... , .. n J:2 2p, alors dim A(R) = np -(p -I),
cf.[29,31). Nous reviendrons plus tard sur cet exemple.
(1.4.3) Finalement, il est difficile, sinon tres difficile, de determiner la
structure exacte des JLn(R), meme dans les cas les plus elementaires. ARTIN et
SCHELTER ont surtout etudie ces espaces a l'aide de la notion de courbe
non-commutative, comme nous Ie verrons plus loin.
(1.5) - C'est a ce point-Ia qu'interviennent de naturelle les algebres
a identite polynomiale. En effet, il est bien connu qu'il existe des identites
polynomiales qui sont satisfaites par toute algebre de matrices de dimension n.
Ce sont des polynomes a coefficients dans 7, tels que toute substitution de
matrices, a la place des variables, du polynome considere se reduit a zero. Un
exemple type de tels polynomes est Ie polynome standard:
ou<r
(-I ) X\T(l ). .•. . XIJ"{m) •
II a la propriete d'etre une identite polynomiale pour les matrices de dimension
inferieure ou egale a n et ne l'est pas pour les algebres de matrices de
dimension superieure a n. Ainsi, si naus denotons par J l'ideal de Rn
engendre par toutes les substitutions d 'elements de R dans S2n' on voit que
n
R= R/J , quin
est une algebre a identite polynomiale. D'apres cette remarque evidente, il est
V(:::J n) =JL(R)-X!S = A (R/Jn) = JlI(R)U ... UJtn(R) .n
Donc s i nous voulons etudier .IL I (R) U ... UJL n (R) = 1\ n (R), c ' est-a-dire les
premieres composantes de JL(R), nous pouvons remplacer R par
clair que les algebres a identite polynomiale joueront un role de premier plan
dans l'etude des algebres affines;du point de vue geometrique.
(1.6) - Bien que nous connaissons (theoriquement, bien sur !) la structure des
differentes composantes JLn(R) du spectre maximal JL(R) -ce sont des
varietes algebriques ordinaires- Ie point essentiel est de decrire comment ces
pieces sont col lees ensemble. Le plan d'attaque moderne pour ce genre de probleme,
consiste a recoller des faisceaux structurals canoniques sur ces composantes ou
322
a mettre sur JL(R) lui-meme (au sur une partie An(R), dans notre point de
vue) un faisceau structural globalisant l'information connue sur chaque JLn(R).
En principe, il y a plusieurs de le faire, cornme nous le verrons plus bas.
Toutefois, le choix d'un faisceau convenable dependra directement de certains
criteres fonctoriels.
(1.7) - Considerons le probleme d'un peu plus pres. 5i nous voulons etudier les
algebres affines a partir de la structure de leur spectre maximal, le minimum
absolu que nous pouvons esperer, c'est qu'a un morphisme d'algebres corresponde
un morphisme (dual) entre les spectres maximaux correspondants. En general, ce
n'est pas le cas et c'est facile a voir. Nous pouvons y remedier de plusieurs
(1.7. I) Un morphisme d ' anneaux lfI: R 5 indui tune correspondance
non-vide JL(5)---()J1..(R). En effet, si M est un ideal maximal de 5,
1 'anneau R/lf-I (M) est non-trivial et ses i de aux maximaux (au, de f accn
qui y correspondent, sont ceux que l'on fait correspondre
peut etre considere
Requivalente, ceux de
a M. En plus, si ME:Jl.n(5)
cJL(5), alors
comrne un sous-anneau de Mn(k) et n'a done qu'un nombre fini d'ideaux maximaux.
11 en resulte que la correspondance qu'on vient de definir induit pour chaque
entier positif n une correspondance finie :
JL n (5)-----{) An (R)
qui, comrne on peut le demontrer, cf.(5], est algebrique par rapport aux
structures de var i e t e a Lgeb r i.que sur JL (5) et sur les jL (R). Au lieu den p
considerer des morphismes entre spectres maximaux, nous pouvons alors etudier
des correspondances entre ces espaces, afin d'en deduire des resultats algebriques.
Ce point de vue donne d'une part des resultats interessants comrne l'a indique
ARTIN, cf. [3,5J, mais d'autre part, comrne on le sait, on ne connait pas encore
tres bien le comportement des faisceaux par rapport aux correspondances.
(1.7.2) On peut se restreindre aux morphismes d'anneaux geometriques
rappelons (avec ARTIN et 5CHELTER, cf(6]) qu'un morphisme d'anneaux
..,: R --) 5 est di t geometrique si pour chaque ideal maximal M6Jl, (5) le
morphisme induit
R/If -I (M) S/M
est un isomorphisme. Un morphisme geometrique induit done un morphisme
.A. (5) --} J1.(R)
M If-I (M)
323
que l'on prouve facilement continu pour les topologies de Zariski. Comme exemple
on peut citer les extensions centrales. Autre exemple, si R est un sous-anneau
d'un anneau
engendre par
Q et_I
(X
'R est inversible dans Q, alors
et R donne un morphisme geometrique
I I anneau R \ c( -IJR R { 0(- [. Ces
morphismes geometriques ont des proprietes agreables, telles que la stabilite
pour les compositions et Le fait que If: R --" S est geome t r i que si et
seulement si, pour chaque ideal premier P e. Specn(S) I' image inverse <..p-I (P)
est contenu dans Specn(R) et cela pour tout entier positif n. Rappelons
d ' ailleurs que Specn(R) est l'ensemble des ideaux premiers P de R tels que2l!anneau R/P possede un anneau de fraction simple et de dimensin n sur son
centre; nous y reviendrons plus loin. Bien que l'emploi de ces morpnismes
ait donne des resultats convaincants, tels qu'une version non-commutative du
Theoreme Principal de Zariski du a ARTIN et SCHELTER, ils ne semblent pas
reellement interessant du point de vue faisceautique.
(1.7.3) On peut se restreindre aux extensions d'anneaux R S, ou,
rappelons-Ie, Ie morphisme est appele une extension (au sens de PROCESI,
cf[30,31]) si S est engendre en tant qu'anneau par 1f(R) et Ie centralisateur
ZR(S) = [s ISS ; "f(r) s = s \fer) quel que soit r RJ
Ces morphismes ont des proprietes proches de celles rencontrees pour les
morphismes geometriques et certains morphismes geometriques interessants, tels
que les extensions centrales, en sont des cas particuliers. En particulier,
une extension "f: R S induit un morphisme continu
a If : Spec (S) --4 Spec (R)
P y:>-I(p)
et, si R et S sont affines et a identite polynomiale, on obtient par
restriction un morphisme continu :
alf : n: (S)---tJL(R)
En effet, si M est un ideal maximal de S, on obtient une extension
'iT": k -> S S/M .
Si on applique a 'it' Le resultat bien connu de PROCESI [30,31] qui dit que si
Res = R£al, ••• ,anl est une extension de type fini entre anneaux premiers aidentite polynomiale, OU R est semi-simple et S est simple, alors Rest
simple et S est de dimension finie sur Ie centre de R, on obtient que S/M
est de dimension finie sur k. Mais alors son centre Z(S/M) l'est aussi, et
celui-ci est un corps, comme S/M est simple et a identite polynomiale. On
en deduit que Z(S/M) = k, puisque k est algebriquement clos par hypothese et
324
il en resulte que 8/M = M (k) pour un entier positif n. Gomme R/(il(M)
nest un anneau premier a identite polynomiale on sait, d'apres Ie theoreme de
Posner, que R/Cf-I (M) possede un anneau de fractions classique Q(R/c.p-I (M) )
et on obtient un diagramme commutatif :
Q(R/Cf-l (M» 8/M = M (k )
/nk
est Ie corps k. Gomme R est un anneau a
R/lf-I (M) est simple et que <p-I (M) est
est LaccorpsOn obtient que Ie centre de l'anneau central simple
d'ou = M (k) pour un entier positif-I p -I
centre de (M)C Q(R/lf (M»
identite polynomiale, on voit que
maximal.
p
Q(R/c.p-l (M) )
(qui divise n) et Ie
k,
Bien qu'on pourrait essayer de formuler (et de prouver !) des resultats
pour des morphismes plus gene raux que les extensions, Ie point essentiel et de
remarquer que, cote faisceaux, les extensions donnent des resultats tres
satisfaisants, comme nous Ie verrons plus loin.
(1.8) - Donnons une application des points de vue d'ARTIN et 8GHELTER. L'outil
essentiel dans leur attaque de problemes geometriques est la notion de courbe.
80it D un anneau de Dedekind, de type fini sur k et soit A un D-ordre
dans l'anneau des matrices Mn(K) ou K est Ie corps des fractions de D. On
appelle )leA) une courbe
Exemple. Soi t A = On calcule facilement son spectre
maximal Jl(A) qui consiste en les ideaux fA ou f f X est irreductible
dans k(X] , c'est-a-dire f = X-a avec a f 0 et les ideaux
P(X) (X)
((X) k(xl)Q = (k[X] (X»
(X) (X)
Nous voyons done que
dans notre exemple, ou
ouvert de JL (D) = J..Ik
JL(A) peut s' appliquer dans JL(D), avec D = k [X]
Jl2(A)
correspond homeomorphiquement a l'ensemble
qui consiste des points p avec la propriete :
Les autres points correspondent aux ideaux maximaux de A k(po) ou
Po = (X)C k(X). II est evident qu'on peut generaliser cette description a une
courbe arbitraire.
(1.9) - Appliquons maintenant ces idees a l'etude de la notion d'integralite.
Rappelons qu'on appelle un morphisme d'anneaux R 8 integral si
325
ch aque element s6. S satisfait a une relation
ou chaque mi
est un mot compose de s et d'elements de R et de degre en s
strictement inferieur a n. Le probleme est que, par opposition au cas commutatif,
on ne sait pas tres bien a quoi pourrait servir cette notion. En plus, il n'est
pas clair, par exemple, pourquoi le compose de deux morphismes integraux serait
integral lui-aussi. Ceci est en rapport avec le fait que, dire que S est un
R-module fini, n'a rien a voir avec l'integralite de S sur R dans le cas
non-commutatif. Pour des anneaux a identite polynomiale la situation est
beaucoup plus sympathique. Definissons d'abord un morphisme fini comme un
morphisme d' anneaux l.f: R S tel que le centre Z (5) de tout quotient S
de S qui est premier, satisfait a une identite polynomiale et qui est de
dimension de Krull egal a I, est integral sur R.
(1.10) - Quelques proprietes (cf. [5,7}).
(1.10.1) Un morphisme integral est fini
(1.10.2) 'f: R S est fini si et seulement si la correspondance
al.fJ: JL(S) --e.Q(R) est propre dans le sens que le cr i t ere valuatif en
geometrie algebrique commutative est satisfait, si on le traduit en termes de
courbes non-commutatives et on l'applique a la correspondance
(1.10.3) Si R S est un morphisme fini entre algebres affines,
oil S est a identite po Lynomia Le , alors If! est integral.
Soient maintenant R,S et T des algebres affines et supposons que S
et T sont a identite polynomiale. Si R S et l.j/: S T sont des
morphismes integraux, alors l.fJ : R T l'est aussi. En effet, comme S
et T sont des anneaux a identites polynomiales, on voit que tf et yJ sont
finis, done les correspondances a'f: JL (S) -----<:> .Jl(R) et ay;: JL (T)---o .JL (S)
sont propres. Evidemment le compose aU,rtf) :JL(T)---<>Jl(R) l'est aussi,
done est un morphisme fini, qui est integral puisque T satisfait a une
identite polynomiale.
D'autresresultatsde stabilite pour les morphismes integraux se deduisent
de la merne f acon , cf. [5,7] .
(1.11) - Dans leur papier recent [6] ART IN et SCHELTER mettent sur certains
"schemas" non commutatifs un faisceau d'anneaux. On part d'un schema(commutatif)
326
Z de faisceau structurel sur lequel est defini un faisceau quasi-coherent
d'algebres d'Azumaya En utilisant des techniques essentiellement dues a
GROTHENDIECK [i8] on de£init un espace t op oIog i que .4pt..c- (Ob) sur Z comme
suit. Si UCZ est un ouvert affine, ul5 (U) est une et
.APt<:. ({j;) est Le recollement des ApLC- ((;tr(U)). L 'espace ApLC- (c:t5) est alors
equipe d'un faisceau d'anneaux defini sur certains ouverts, c'est-a-dire ceux qui
sont image inverse d'ouverts affines de Z. Nous verrons plus loin comment on
peut etendre ce faisceau a tout ouvert, repondant ainsi a une question posee
dans (6). Le cas Ie plus important, auquel on peut appliquer cette construction
est Le schema Z = l'espace projectif de dimension n sur k , On appelle
espace projectif de dimension n sur un anneau R (qui n'est pas necessairement
commutatif) l'espace = (R Nk
(pn) equipe de son faisceau structurel.Q. IPn • A " "R Nk - ce qui, en fait, n'est defini que sur k Un schema Y
sur est un morphisme de schemas sur De tels schemas sont
definis par des k-morphismes cr et On peut demontrer qu'ils sont-Y
propres sur Spec(R) et ont une theorie cohomologique raisonnable. Nous
indiquerons plus loin une construction plus intrinseque de ces schemas, en
employant nos techniques de localisation.
Insistons sur Ie fait que ces considerations ont permis a ARTIN et
SCHELTER de demontrer une version non commutative du Theoreme Principal de
Zariski, cf. loco cit.
2 - Les representations d'un anneau non-commutatif, d'apres Procesi.
(2.1) - Une extension centrale ex: R Mn(K), oil R es t un anneau arbitraire
et K un corps commutatif, est parfois appelee representation absolument
irreductible de R. Deux representations absolument irreductibles
Of.: R --!> Mn(K)
existe un corps F
et R Mm(L)
contenant K et L
sont equivalentes si
et un F-automorphisme
m n
lfI de
et s'il
M (F)n
M (K):;--' n
R
qui rend Ie diagramme suivant commutatif
M (F)n
ilfMn(L) Mn(F)
PROCESI a demontre dans [38 que Ie noyau d'une representation absolument
irreductible est un ideal premier et que deux representations irreductibles Of.
et sont equivalentes s i et seulement s i. Ker ()( = Ker (3 • Cela nous donne
une correspondance biunivoque entre les classes d'equivalence de representations
327
absolument irreductibles de R et les ideaux premiers P de R tels que Rip
soit un anneau a identite polynomiale. Comme on l'a indique plus haut, on
denote par Specn(R) l'ensemble des ideaux premiers
aux representations absolument irreductibles de degre
i ' union U Spec (R).p
P
n
de R
et par
qui correspondent
L (R)n
(Z.Z) - De plus generale, fixons un anneau commutatif K et considerons
Ie foncteur Mn qui a chaque K-algebre S associe l'anneau de matrices Mn(S).
Un des themes principaux de la theorie des representations moderne (et
classique !) est d'etudier la representabilite du foncteur Mn.
En d'autres termes,
nous voulons construire un adjoint a gauche Vn
de Mn,
c'est-a-dire un foncteur
dans la categorie des K-algebres ayant la propriete que pour chaque paire de
K-algebres, R et S, on a une bijection fonctorielle
On voit facilement qu'un tel adjoint existe. Toutefois, il est evident que
l'ensemble est bien trop grand pour servir a une etude propre.
Ce qui nous mene a la definition d'equivalence de morphismes : R Mn(S):
ils sont equivalents s'il existe un K-automorphisme YJ de Mn(S) tel que
'{lf j = '-fZ' Nous cherchons a r ep r es en t er I e foncteur S...,.---.
ou est la relation d'equivalence qu'on vient de definir ;mais meme dans Ie
cas commutatif, on voit qu'une representation de ce foncteur dans la categorie
des K-algebres (ou, dualement, dans Ie categorie des K-schemas) ne peut exister
en general. Meme si l'on essaye de representer ce foncteur par un ouvert
convenable de Spec(Vn(R» stable sous l'action de AutK(Mn(S» sur lequel
ce quotient existe, PROCESI a demontre qu'on est force de naturelle de
considerer des algebres d'Azumaya de la suivante. Si A est une K-algbere
commutative et B une algebre d'Azumaya de rang constant egal a nZ
sur A, on
dit qu'un morphisme d'algebres R Best une representation absolument
irreductible de degre n sur A si I.{>(R)A = B, c'est-il-dire si l.f est une
sont dites equivalentes s'il existe un isomorphisme
extension centrale comme auparavant, deux representations
If Z : R ---+ BZ1(: B
jBZ
de A-algebres tel que
et
(Z.3) - Definissons Qn(R,A) comme consistant de toutes les classes d'equivalence
de representations absolument irreductibles de R qui ont degre n sur A. II
est clair que Qn
est un foncteur covariant en A et contravariant en R
si on se limite aux extensions centrales. En passant par une construction assez
elaboree, PROCESI a demontre que pour R fixe, Ie foncteur Qn
est
choisi, sous l'action du groupe algebrique defini par
(notation fonctorielle). De maniere plus specifique, nous
328
representable par un ouvert d'un schema affine, qui est Ie quotient d'un ouvert
de Spec(Vn(R» bien
ot (S) = AutS(M (S»n n
voulons que DR soit un ouvert de Spec(Vn(R» muni d'un faisceau d'algebres
d'Azumaya, tel que les morphismes d'espaces anneles DR
correspondent bijectivement aux elements de Qn(R,A).
(2.4) - Dne autre construction, beaucoup plus directe et intrinseque peut etre
donnee en utilisant certains resultats dus a FORMANEK [11, 311. Si R satisfait
aux identites des matrices de dimension n, on definit Ie centre de Formanek
F(R) de R comme Ie sous-anneau de R obtenu par evaluation de taus les
polynomes centraux, sans terme constant. On sait que de tels polynomes existent
(en abondance) comme l'ont demontre les constructions explicites de FORMANEK,
RAZMYZLOW et d'autres. On demontre assez facilement que Ie centre de Formanek
se comporte fonctoriellement et possede des proprietes importantes, dont les
principalessont les suivantes :
(2.4.1) une representation \.f R Mn(K) est absolument irreductible
si et seulement si If'(F (R» f O.
(2.4.2) Rest une algebre d'Azumaya de rang
seulement si F(R)R R.
2n sur son centre si et
(2.4.3) (R) V(F (R) ) •
(2.5) - Soit Rune A-algebre, au A est un anneau commutatif et ecrivons
r(R) = A + F(R), alors pour chaque F(R) on peut demontrer que
R est une a l geb r e d'Azumaya. Cela permet de definir de fac;:on
canonique un faisceau d'algebres d'Azumaya sur DR = Spec(P(R» - V(F(R» et
l'espace annele obtenu de cette fac;:on est isomorphe a l'espace DR qu'on vient
de mentionner, si on met sur celui-ci son faisceau d'algebres d'Azumaya
'"canonique. II en decatile que l'espace DR est homeomorphe a SpeCn(R) et que
la fibre en P du faisceau canonique est exactement Rp' la localisation
centrale en P.
(2.6) - Nous constatons done qu'on peut definir un foncteur contravariant en-v
associant a chaque R l'espace DR annele par son faisceau d'algebres
d'Azumaya locales, du mains, si on veille a se restreindre aux extensions
centrales. Toutefois, bien qu'il possede des proprietes tres agreables, cf. C3IJ,
329
ee foneteur n'a pas d'adjoint en general et n'est done que peU pratique du
point de vue geometrique.
Neanmoins l'etude de ee foneteur a permis a PROCESI de formuler et de
demontrer des resultats essentiels en geometrie algebrique non-commutative.
Citons en guise d'exemple Ie theoreme suivant :
(2.6.1) Si l'anneau premier R est une algebre a identite polynomiale de
type fini sur un corps K et si Z denote Ie centre de l'anneau simple de
fractions de R, alors
dim R deg trK
Z
si K se reduit au corps algebriquement clos k et done que Rest une
algebre affine, (2.6.1) dit simplement que la dimension topologique dem
variete algebrique irreductible JL(R) est Ie degre de transcendance (sur k)
du centre de "l'anneau simple de fonctions" de )\.(R). II est evident que ceei
ne fait que generaliser la theorie de la dimension des varietes algebriques bien
connue en geometrie algebrique commutative.
(2.7) - Dans la demonstration de (2.6.1) un emploi fondamental a ete fait du
Theoreme des Zeros de Hilbert non-commutatif (du a PROCESI et AMITSUR
[I, 30, 311) qui dit que chaque algebre R a identite polynomiale et de type
fini sur un corps est une algebre de Hilbert, c'est-a-dire que chaque ideal
primitif de R maximal, si R possede une identite polynomiale) est de co-
dimension finie et que chaque ideal premier de Rest l'intersection des
ideaux primitifs qui Ie contient. Geometriquement, cela dit que pour une telle
algebre l'ensemble des points fermes d'un sous-ensemble ferme V de Spec(R)
est dense dans V. Bien qu'on ne les a appele qu"exemples", ces resultats sont
bien sur d'une grande profondeur en toute geometrie non-commutative, puisque
toute la theorie des varietes algebriques non-commutatives repose sur eux.
(2.8) - Autre exemple : eomme toute algebre affine a identite polynomiale est un
quotient d' une a Lgeb r a de matrices generiques k [-;;n) , ... , ' i I es t
essentiel de bien connaitre les varietes
dans lesquelles toute variete algebrique non-commutative s'injecte. En employant
les techniques citees plus haut PROCESI a demontre dans [29, 3U que:
dim /Amn
330
dim •...• =
deg.trk Q(Z(k[ •...•
mn2 _ (n2_1).
Notons que Q(Z(kisin) ..... = Z(Q(kt5in) .....
= Z(k < ••..• 5 (n) > ). ou k <5" > es t le corps gauche des matricesm 1
gener1ques de dimension n. Le calcul explicite d'une base de transcendance de
Z(k < in) • >) -d I ou toute information pour m 2 es t a i.s emen t dedui te -
a ete fait par PROCESI pour n=2 [29. 31J et par FORMANEK pour n = 3.4
[13. 14J. Les techniques utilisees par FORMANEK dans ces deux derniers cas
offrent 1 I espoir d ' etre app l i cab l.es pour n "/4.
3 - La notion de variete en geometrie algebrique non-commutative.
(3.1) - Afin d'etudier les algebres affines du point de vue geometrique. nous
voulons mettre sur leur spectre maximal (ou premier. cela revient au meme) un
faisceau d'anneaux. Dans le cas commutatif des techniques de localisation
permettent de construire de canonique un faisceau d'anneaux locaux sur ce
spectre. En general ceci n'est pas possible. En effet. la situation ideakqu'on
voudrait atteindre est celle ou l'anneau R. que l'on suppose en particulier
premier, noetherien et satisfaisant a une identite polynomiale. s'injecte pour
chaque ideal premier P dans un anneau local Q a ideal maximal M, ayant
les memes proprietes que R et tel que QnM = P. Mais alors, un resultat
bien connu de JATEGAONKAR [21) dit queCIO CIO
(0) = n J(Q)n = n Mn .
n=o n=o
Comme peM, on voit que n pn = 0 et cela pour tout ideal premier P
ce qui n'est pas le cas en general. Pour le voir, il suffit de prendre
R = (k[XJ (X),,)k[X] k[XJ
et de remarquer que P est idempotent
(X)P = (k(X]
(X)k[X] )
(3.2) Nous ne pouvons done pas esperer obtenir un faisceau d'anneaux locaux sur
JL(R). Nous verrons plus loin comment remedier a cet inconvenient. Bien qu'on
puisse obtenir des resultats beaucoup plus generaux que ceux qui suivent, par
hypothese R sera toujours une algebre premiere, affine et a identite
polynomiale que l'on choisira noetherienne a gauche. On denotera par XR
331
son spectre maximal JL(R) et plus generalement par XI l'ouvert de Zariski
des ideaux maximaux P qui ne contiennent pas l'ideal (bilatere) I de R. II
est clair que XI ne depend que du radical rad I de I. A chaque ideal
premier P de R on peut associer un foncteur noyau symetrique idempotent
crR- P defini pour tout R-module a gauche M par :
(J""R_P M = [meM ilexiste
Rappelons qu'un foncteur noyau idempotent 0- est un foncteur exact a gauche
dans la categorie des R-modules a gauche qui possede la propriete que
= 0 pour tout M. Un tel foncteur est caracterise par son filtre
topologisant (0-) 'qui consiste des i de aux a gauche L de R tels que
o-(R/L) = R/L. On dit que cr est symetrique si .;t (0-) pos s ede une base de
filtre consistant d'ideaux bilateres. Le foncteur noyau orR_P
qu'on vient
de definir a comme filtre :
.t(R-P) = [L <:R il existe s¢P, Rs RCL}
(3.3) La theorie de la localisation par rapport a un foncteur noyau idempotent or
a ete discutee amplement [15, 16, 17, 23, 41]. Pour chaque module a gauche M on
trouve ainsi un module de quotients QoiM), qui est un module a gauche sur
l'anneau de quotients Dans Ie cas que nous etudions, on trouve ainsi
un anneau de quotients
qui, comme nous l'avons indique plus haut, n'est malheureusement pas un anneau
local en general.
(3.4) - De analogue, on associe a chaque ideal de R un foncteur noyau
idempotent 0""1 def i.n i par ;
CT"IM = {m 6M ; il existe nE: IN, Inm oj
ou par son filtre topologisant
Notons que ces definitions ne sont valables que dans Ie cas noetherien, la
definition generale se formulant en termes de radicaux. Comme l'ensemble
{In; n61N} est une base de filtre pour on voit que 1 'anneau de
quotients de R par rapport a I peut etre donne par ;
332
Vu que R est un anneau premier a identite polynomiale on sait, d'apres Ie
theoreme de Posner, que R possede un anneau simple de fractions Q(R) et il
est facile de voir que QI(R)CQ(R) est l'ensemble des qEQ(R) tels qu'il
existe un entier positif n pour lesquels Inq CR. On a une p r op r i e t e analogue
(3.5) si on associe a chaque ouvert de Zariski XI l'anneau de quotients
QI(R) , cela definit (avec des operations de restriction evidentes) un faisceau
d'anneaux erR sur XR· Ce faisceau possede les proprietes suivantes :
Remarquons qu'on peut proceder de la meme pour les modules a gauche
M afin de construire des faisceaux de erR-modules sur XR.
(resp. I) pour !teX] (resp. (X»,
R(X-a) OU a f< aEiIt et
oU
R ( 11: [x] (X» -'= (X) c [X] , et e c r i vons A
consiste en les ideaux maximaux
- Soit(3.6)
alors JI. 2 (R)
.IL] (R) = (p,Qj
P
La localisation de R en R(X-a) n'est autre que la localisation centrale
en (X-a). Les ideaux exceptionnels P et Q donnent :
A I K(I :1) K(A : I)QR_p(R) = ( p p ) QR_Q(R) ( p p )
K(A : I) K(I :1) I AP P
P P
oil K = II(X) , Le corps des fractions de a:CX] et
cons tate que QR_p(R) et QR_Q(R) ne sont pas des
au fait que la localisation associee
n'est pas parfaite.
K(U:V) = [x e» VXCU} On
anneaux locaux. Cela est dil
a O""R_P et a O""R_Q
(3.7) - On dit qu'on foncteur noyau idempotent (j induit une localisation
parfaite si Q(j est un foncteur exact, qui commute aux sommes directes ; de
fa90n equivalente, si pour tout R-module a gauche M on a
Q(1"' (M) = Q(1"' (R) OR M. Si la topologie de Zariski sur XR pos s ede une base
d'ouverts XI tels que orI induit une localisation parfaite, on cons tate
que chaque crR-P a la meme propriete. Ainsi, si Rest une algebre d'Azumaya
ou, plus generalement, un anneau Zariski central (cf. [42 ; est un
333
faisceau d Ianneaux locaux. Cela permet de traiter des exe.mples comme les
a Lgebre s de po Lynomes gauches a: [X,'l::] au est la conjugaison canonique
sur Remarquons que ces algebres ne sont pas des algebres d'Azumaya en
general.
(3.8) - Bien que Ie faisceau erR possede des proprietes agreables, il ne se
comporte pas fonctoriellement. Plus concretement, nous voulons associer a
chaque R un faisceau ayant la propriete de definir pour chaque extension
l.f: R ---" S un morphisme d Iespaces anrie l es f: (XS' e-S) -----'l' (XR' ifR)' et
pour Ie faisceau qulon vient de construire, ce n'est pas Ie cas, sauf dans des
cas speciaux comrne les exemples au est injectif au epimorphe et fidelement
plat cf. [48]. C'est a ce point la qu'interviennent de essentielle les
bimodules.
(3.9) - Dans (4] ARTIN definit un R-bimodule comrne un R-module bilatere M
qui est engendre comme R-module (a gauche ou a droite) par son centralisateur
est une extension exactement si
ZR(M) {m ; quel que soit r 6R rm mrS Ainsi un morphisme d'anneaux
S est un R-bimodule pour la
structure de R-module induite par La categorie des R-bimodules, denotee
par bieR) est une sous-categorie pleine de la categorie des R-modules
bilateres, , qui nlest cependant pas une categorie abelienne en
general. D'autre part, la categorie b(R) est une categorie de Grothendieck,=.
ce qui permet d'y faire de la localisation. On appellera foncteur noyau
idempotent dans bi (R) un sous foncteur If" de I Iinclusion i : 1;i(R) g,(R) ,
qui est exact a gauche et tel que pour tout R-bimodule M l'on ait
<r(M/a- M) O. En particulier, les foncteurs noyaux symet r i.que s If"R_P et <J"'r
qut on a dSf i.ni.s plus haut induisent des foncteurs noy aux idempotents dans
bieR) par restriction. Bien que bieR) ne soit pas abelienne, on peut y
etablir des resultats de localisation par rapport aces foncteurs noyaux,
grace a l'existence d'un adjoint a droite bi : 2i(R) de l'inclusion
canonique i. Ce foncteur associe a tout R-module bilatere M Ie R-bimodule
bi M RZR(M). On a etabli dans (43, 47J une theorie de la localisation
"relative" dans et d'autre categories, qui depend directement de
l'existence d'un tel adjoint.
(3.10) - On definit ainsi pour chaque foncteur noyau idempotent 0- dans
et chaque R-bimodule M un R-bimodule de quotients que lIon construit
approximativement cornme dans une categorie de Grothendieck. D'autre part, si orest induit par un foncteur noyau idempotent dans on peut demontrer qulon
334
a un isomorphisme canonique
bi
bau Q(f' es t la localisation dans (R). Si If' es t un foncteur noyau
idempotent dans R-mod., on voit facilement que induit un foncteur noyau
dans et que la localisation a gauche d'un R-module bilatere
M par rapport a (f' dans R-mod est muni canoniquement d'une structure
de R-module bilatere. Muni de cette structure, coincide avec Ie
localise de M dans b(R). En guise de conclusion, cela no us permet
de considerer les R-bimodules = bi QR_p(M) et = bi QI(M)
(3.11) - Comme nous l'avons fait plus haut, nous associons alors a l'ouvert
XI de l'anneau de quotients et on obtient de evidente un
prefaisceau d'anneaux separe , qui n'est pas un faisceau, en general. Appelons
Ie faisceau qui y est associe, alors on demontre que = R
A' bi Qbi (R) . d- I . P dElet que = R-P pour tout 1 ea e R. n p us, on peut
demont r e r [43,51] que Le couple (X, UR
1) se comporte fonctoriellement par
R-rappcrt a R, si on se restreint aux extensions d'anneaux bien-sur.
(3.12) - En geometrie algebrique commutative on fait un usage courant du fait
que Spec(R), au JL(R), est un espace localement annele, c'est-a-dire les
fibres du faisceau structurel sont des anneaux locaux. Dans la theorie
non-commutative On a vu que ce fait particulier n'est pas realisable, donc
nous aurons a faire appel a des considerations differentes. Reconsiderons donc
la theorie commutative. Nous partons de la suite exacte :
m __ tJ Ik(x) ----"> 0-x -x
pour les varietes algebriques sur
est son unique ideal maximal ; Ik(x)
au fJ-xet 11kx(Ik(x) = k
est la fibre en x du faisceau structure I // sur Ie schema X-xest Ie corps de fonctions en
k algebriquement clos). Si
x
x = P t: Spec (R) nous savons que t/x Rp' 1ft,x
On peut retrouver P comme au jp
localisant qui coincide avec Ie morphisme
et
tJ'-x
k(x) = (R/P)p = Rp/Pp'est Ie morphisme
335
mais aussi comme p
fJ sont local qui-x
.-1J p (ker"ITx)' Nous voyons que ce n'est pas Le fait que
est essentiel, mais la connaissance du morphisme
tr : (J --+ Ik(x). Rappelons maintenant un lemme bien connu , qui es dfi ax -xGROTHENDIECK (19]. Si (x,.!!.-x) est un espace anne l e et {Fx ; x6X} est une
famille telle que F soit un iJ -module (disons a gauche) pour tout xE.X,x -xalors il existe un faisceau de Gf, tel que pour tout autre
faisceau de nous obtenons une bijection
IT Hom o (..tx,F)x6X -x
Bien-sur rf est defini par r(u,1!J = n F pour tout ouvert U de X.x 6U x
Notons aussi que la meme construction peut etre modifie trivialement pour
d'autres structures que celIe de module. Cette remarque permet de globaliser
les morphismes
Ie faisceau de
associant a la
11" : fJ Ik(x)x -xJlx-algebres defini
famille :
('fT' x) x ex IT Hom tY-x
en un seul, en definissant icx comme
par la famille {Ik(x) ; x '"xl et en
(tr ,Ik(x))-x
Ie morphisme correspondant :
(3.13) - Cela nous mene a la definition d'un espace geometrique qui est un
systeme (X,J[X,3tX' ou (X, trX) et (X,dtX) sont des espaces anneles,
et ou 1CX est un morphisme de faisceau d'anneaux, du faisceau
structure I lrX dans Ie faisceau simple dtx. Si Rest une affine
etc •.. sur k, on peut y espace geometrique de
la suivante XR est Ie faisceau structurel qu'on vient de
definir et et qrR sont obtenus a partir de la famiIIe de morphismes
ou
de
Qbi (Rip)R-PPosner.
Q(R/p), comme on Ie voit facilement en utilisant Ie theoreme
336
(3.14) - A partir de cette situation, tout Ie formalisme de la geometrie
algebrique se deroule approximativement comme dans Ie cas commutatif. On definit
d'abord une notion de morphismes d'espaces geometriques, traduisant la notion
de morphismes d'espaces localement anneles en termes du second faisceau
structural On peut alors parler d'espaces geometriques isomorphes et
on appelle variete algebrique (sur k) un espace geometrique qui possede un
recouvrement d'ouverts mutueIIement non-disjoints tel que pour chaque ouvert
de ce recouvrement I'espace geometrique induit est isomorphe a un espaceb·
geometrique de la forme (JL(R), au Rest une k-algebre
premiere, affine et satisfaisant a une identite polynomiale. Avec cette
definition il est clair que nos varietes algebriques sont compactes et
irreductibles.
(3.15) - Quelques remarques sur Ie formalisme des varietes algebriques non-
commutatives.
(3.15.1) II est bien connu que dans Ie cas commutatif chaque ideal p
(eventuellement premier, si on veut se restreindre aux varietes irreductibles)
definit une immersion fermee de varietes JL(R) et inversement,
chaque immersion f ermee est essentiellement de cette forme. On voit a i nsi,
qu'un morphisme de varietes algebriques (commutatives !) f : Y X est
une immersion f e rmee si et seulement si pour chaque ouvert affine uex,
l'image inverse f-I(U) est affine et Ie morphisme
l"(U, trX) r (f- 1(U), I7x)
est surj ec t i f ,
La difference la plus importante entre Ie cas commutatif et Ie cas non-
commutatif est, qu'avec les definitions qu'on vient de donner, ces resultats
ne sont plus valables dans la situation non-commutative. En effet, a une
projection arbitraire
<it': R -----;) RIP
on ne peut plus associer (en general) une immersion fermee
a'ir : JL (Rip) -->J1.(R) ,
car cela impliquerait que pour chaque Q eJt(R) Ie morphisme associe
bi b i,QR-Q (R) -->QR-Q (Rip)
serait surjectif, et il est bien connu que si ffR-Q n'induit pas une localisation
337
parfaite dans ce n'est pas necessairement vrai. D'autre part, il est
naturel d'esperer que seuls les seraient des sous-varietes
algebriques de Jt(R), et il est clair que si l'on traduit la notion d'immersion
fermee de schemas ou de varietes algebriques commutatives en termes d'espaces
geometriques (en utilisant Ie second faisceau structural dt X) ' c'est
exactement cela que l'on obtiendra. Si on utilise cette notion de sous-variete
(ou dimension fermee) de consequente, on obtient un formalisme qui
ressemble de tres pres au formalisme commutatif. Ainsi les
sont des immersions fermees d'espaces geometriques pour tout n et on peut
demontrer que chaque sous-ensemble ferme et irreductible d'une variete
algebrique peut etre considere essentiellement de unique comme une
sous-variete fermee.
XI = {P .Jl. (R) ; I¢.d
0"1 induit
muni du faisceau
R, alorsest un ideal deISi
est appele un ouvert geometrique de XR si et seulement si
une localisation parfaite par R-bimodules. L'ouvert XI
structural induit est alors une sous-variete ouverte de XR'
Plus generalement,
une sous-variete ouverte d'une variete algebrique X est un espace geometrique
(y,lry,dfy,lry), ou Y est un sous-ensemble ouvert de X et ou les faisceaux
structurels sont induits par ceux de X et tel que Y soit muni de cette
d'une structure de variete algebrique sur k. Dans Ie cas commutatif,
chaque ouvert principal Xf' f EO R, produi tune sous-var i ete ouverte de la
variete JL(R). Comme les Xf forment une base de la topologie de Zariski
sur JL(R), on voit ainsi que chaque ensemble ouvert d'une variete algebrique
commutative est muni d'une structure de variete ouverte. Dans Ie cas non-
commutatif ce phenomene se presente souvent, mais n'est pas valable en general.
Parmi les anneaux qui ont une base d'ouverts geometriques, il nous faut
mentionner les anneaux Zariski centraux, cf. Du point de vue geometrique,
les anneaux les plus interessants sont ceux qui possedent cette propriete
d'avoir une base d'ouverts geometriques : leur faisceau structural est un
faisceau d'anneaux locaux et les projections canoniques R R/P
induisent pour chaque ideal premier Q de Rune application surjectivebi bi bi
QR-P(I'ft') : QR-Q (R) --7 QR-Q (R/P), c' es t.r-jl-ed i.r e les pr obLemes ment i.onne s en
(3.15.1) ne se produiBent pas.
(3.15.3) Regardons maintenant la notion de produit de varietes algebriques.
Par definition, un produit de deux varietes X et Y serait un objet y,
lui-meme une variete algebrique, possedent la propriete, que pour toute
variete algebrique Z, l'on ait une bijection
338
Hom(Z,X»)/. Hom(Z,Y) = Hom(Z,XXY) .
Bien que cela paraisse genant, des produits dans ce sens n'existent pas en
general, meme si X et Y sont affines. En effet, choisissons X = JL(R) ,
Y = ;L(S) alors on verifie, comme dans Ie cas commutatif que Ie seul candidat
possible pour X)I.Y est .JL (R Ilk S). Notons d' ap r es BERGMAN [8J que Ie produit
de deux algebres premieres sur un corps algebriquement clos est premier lui
aussi. En plus REGEV a demontre dans [33J que Ie produit tensoriel de deux
algebres a identite polynomiale sur un corps est a identite polynomiale. On
verifie alors aisement que Jl(R S) definit bien une variete algebrique
affine. Mais comme R Ilk S n'est pas un coproduit dans la categorie des
k-algebres et extensions, il est evident que )L(R Ilk S) ne peut etre un
produit de )L(R) et de .JL(S) en general. C'est pourquoi on definit Ie
produit geometrique de deux varietes algebriques X et Y comme la variete
algebrique X Y possedant la propriete suivante. si Zest une variete
algebrique et si Hom(Z; X,Y) est l'ensemble des couples
(<.f, If) . Hom(Z,X) )l.Hom(Z,Y)
tels que les morphismes r (1./) Eo Hom(r (X), r (Z» et r (1jI) c Hom( r (Y), r (Z»
commutent dans Le sens suivant : quels que so i t (x,y) r (X) )I. r (Y) on a :
r (lp )(x) r (41) (y) = r (ljI)(y) r (If) (x) ,
est(M,N)S) au pointbi "k
QS_N(S) par rapport a
demontrer que si les localisations par rapport a M et N
alors la fibre du faisceau structural surbi
exactement la de QR-M(R) Ilk
Qbi (M) Ilk Qbi (S) + Qbi (R) Ilk QbS_iN(N), c'est-a-dire que:R-M S-N R-M
alors Hom(Z,X Y) = Hom(Z ; X,Y). Comme X Y est de f i.n i. par une p r opr i e t e
universelle, deux produits geometriques de X et Y sont isomorphes. A partir
de la, on demontre aisement que Jt(R Ilk S) est Ie produit geometrique
de Jt(R) et de JL(S). Le formalisme des produits (resp. produits fibres)
en geometrie algebrique commutative reste valable, si on considere les produits
geometriques des vari.e t es non-commutatives. II est facile de voir, par
exemple, que si (M,N)E.Jl(R)X.}\..(S) = JL(R Ilk S), alors l'anneau de fonetions
au point (M,N) du produit ensembliste JL (R) x.JL(S) est exactement
II S(M,N) oil (resp. ks(N» est l'anneau des
fonctions de M (resp. N) par rapport a R (resp. S). Cela permet de
sont parfaites,
J!..(x, y)
339
oil
Si une des composantes d'un produit geometrique est une variete ordinaire
(c'est-a-dire commutative) on peut demontrer que ce produit geometrique est un
produit veritable dans la ca t egor i e des k -var i e t es aLgeb r i.que s , Cel a nous
permet d'etudier des exemples de varietes typiques, tels que les varietes
affines sur un anneau R (que l'on considere toujours affine, etc ..• ,
bien-sur I), definies par:
Nous verrons plus loin de les varietes projectives donnent d'autres applications
de cette construction. Pour plus de details, cf. [43,44].
(3.16) - Avant de definir les varietes projectives, notons que dans beaucoup de
cas les constructions de PROCESI qu'on a rappele plus haut sont des cas speciaux
des notres. En effet, on a defini le centre de FORMANEK F(R) d'un anneau R
satisfaisant aux identites des algebres de matrices de dimension n par
evaluation de tous les polynomes centraux sans terme constant. Dans [35] ROWEN
considere l'anneau G(R) = F(R)R et il demontre que SpecM(R) = XG(R) (et
de analogue pour )tn(R) !). En plus, il prouve essentiellement qu'un
anneau semi-premier a identite polynomiale est birationnel sur son centre,
c I es t-a-dire qu' on peut trouver des ouverts XIC Spec (R) et YJc. Spec (C) ,
oil C est le centre de R, tels que XI et YJ
sont homeomorphes sous
la correspondance P pn C = p , On peut demont r e r qu 'ii suffit de choisir
(I,J) = (G(R),F(R)). Ainsi on deduit des resultats generaux dus a
VAN OYSTAEYEN (34] que pour chaque ideal premier P d ' un tel anneau R avec
la propriete G(R)¢P, le foncteur noyau crR_P
induit une localisation
parfaite dans bieR) et que est une algebre d'Azumaya de rang
constant sur son centre. Ce rang est exactement n2, oil nest le degre
P.I de R, cf. PROCESI [31] . Les remarques precedentes prouvent un peu plus
en effet, on peut en deduire que UR-p est induit par le foncteur noyau
central IrC_p
oil p = P() C, et on trouve que Qbi (R) = R , la localisationR-P p
centrale par rapport a p. On retrouve donc le resultat bien connu de SMALL,
qui di t que Q(Rip) = Rp Ipp pour tout P Spec (R), cf , [38J.n
(3.17) - Soit maintenant DR l'ouvert Jln(R) de Jl(R) muni du faisceau...! _ Pr bil . d . !'< bi- Jl. (R) t.n ui t par • Par sa construction et les remarques
precedentesn
DR est donc un espace localement annele en algebre d'Azumaya2
de rang n. On a vu que sous quelques hypotheses supplementaires les
340
morphismes d'espaces geometriques JL(R) sont classes par les
extensions R A. Comme Rest une algebre affine par hypothese, il est
clair que l'etude de Jtn(R) revient a celle de Specn(R), puique Rest
alors une algebre de Hilbert, c'est-a-dire on se retrouve dans la situation
de PROCESI (cf , (2.3». Ainsi, soit p :JL(A) DR un morphisme d'espaces
localement anneles, alors est un faisceau coherent d'algebres
Spec(A) definit
A tEn quesur
Spec(A), si on veut). Comme
B, on trouve un morphisme
sur(ouJ1. (A)
plus, par la definition de
qui par composition avec le morphisme canonique
d'Azumaya sur
un schema commutatif, i 1 existe une a Lgebr e d 'Azumaya B
soit le faisceau canonique associe avec B de la habituelle. En
r (\P') = r (D ,@) B,- R-r produit une
representation \(J: R --> B. En plus, puisque ce morphisme est obtenu a partir
d'un morphisme J1 JL (A) DR' on voit que -e factorise par A de la
suivante
B
ce qui prouve finalement que B = Atp (R), comme R r (tJ' ) es tune extension
centrale. Ainsi, si R est un anneau affine semi premier a identite polynomiale
qui satisfait aux identites des algebres de matrices de dimension n et si
1LR est l'espace localement annele obtenu sur )tn(R) = XG(R) par induction
de Jl(R), alors l'ensemble Qn(R,A) correspond bijectivement aux morphismes
JL(A) tt R. Notons que pour une algebre d'Azumaya R ayant les memes
proprietes, on trouve = Jl(R), et plus generalement, si crG(R) induit
une localisation parfaite dans alors 1bR
est une variete affine,
puisque dans ce cas :
biV.R =./l. (QG (R) (R»
Notons en conclusion que l'hypothese d'affinite sur R peut etre eliminee
dans les constructions qu'on vient de donner, en premier lieu comme
consequence du fait qu'on ne s'interesse essentiellement qu'a la partie de degre
n du spectre. Pour plus de details, le lecteur est prie de se renvoyer a
(43,51] .
341
4 - Quelques remarques sur les varietes projectives non-cornmutatives.
(4.1) - En guise de conclusion, rappelons la construction et quelques proprietes
des varietes projectives non-cornmutatives. Les remarques qui suivent retracent
essentiellement une partie du contenu de [44); pour un expose plus complet,
nous renvoyons a [43]. Nous partons d'un anneau R gradue positivement et
noe ther i en a gauche. Un foncteur noyau idempotent cr dans R-mod est di t
gradue si son filtre pos s ede une base de filtre qui consiste d'ideaux
a gauche gradues. Si est un foncteur noyau idempotent gradue, alors pour
tout R-module a gauche M on definit :
Q;(M)m = { x 6 Qa- (M) , il existe I
tel que quel que soit nE:lN, In xCjcr- (M)n+m} ou jcr: est Ie
morphisme localisant canonique. Le module des quotients gradue de M par rapport
a a- est defini par
+Qa- (M)
+III Q(j (M)
m!!" m
On voit aisement que +peut etre cons i.dc rf cornme une localisation dans la
des R-modules a gauche gradues, qui correspond
de canonique. II en+
es t un Qo-CR) -module
CT+
Qc;CM)
categorie de Grothendieck R-gr
a un foncteur noyau c:r g dans R-gr, a s s oc i e a+
decoule que est un anneau gradue et que
a gauche gradue pour tout Meo R-gr.
(4.2) - Si c est un element central homogene de R et S = {I ,c,c2, ••.1'
on peut associer a S un foncteur noyau a- de bien connue et on peut
demontrer que (j induit une localisation parfaite. On en deduit facilement
qu'il y a correspondance biunivoque entre les ideaux premiers gradues de R
qui ne contiennent pas l'element c et les ideaux premiers gradues de+
Qcr(R). En plus Qa- est une localisation centrale et Le centre Z(Q(J"' (R»
de QCT (R) se redui t au localise gr adue commutatif C: du centre C de R
par rapport a l'element homogene c.
(4.3) - Soit
que p$ R+ =
Proj(R) l'ensemble des ideaux premiers gradues de R tels
III Rn•
On met sur Proj(R) la topologie induite par la
topologie de Zariski de Spec(R), c'est-a-dire ses sous-ensembles ouverts
sont les :
ou I parcourt l'ensemble des ideaux de R. II est clair que X+(I) ne
depend que de la partie graduee strictement positive de I.
342
(4.4) - Nous allons construire un faisceau d'anneaux canoniques sur Proj(R)
muni de cette topologie de la suivante. A chaque ouvert X+(I) de
en effet, que X+(I) et
I, et il enpositive de+
noyaux 0'1 se correspondent biunivoquement. Si l'on associe a l'ouvert
X+(I) l'anneau des quotients on obtient de evidente un
prefaisceau d'anneaux gradues pour la topologie de Zariski sur Proj(R).
Comme Rest noetherien a gauche par hypothese, chaque ouvert de Proj(R) est
Proj(R) - ou on peut supposer que I = 1+ correspond un foncteur noyau
idempotent decrit par son filtre qui consiste des R-ideaux a
gauche L qui contiennent un R'<i.deaL gradue J tel que rad J::> 1+. On cons tate ,+erI
ne dependent que du radical et de la partie
decoule donc que les ouverts X+(I) et les foncteurs
quasi-compact, ce qui permet de demontrer que Ie prefaisceau Q+ est separe.-R
11 suit que Q+ s' inj e c t e dans son faisceau associe Lg; qui est un-Rfaisceau d'anneaux gradues. Rappelons quelques proprietes de ce faisceau
(4.4.1) pour chaque Pl;:Proj(R), on a a-;_p sup ; P6.X+(I)1
ou cr;_p est def i n i par son filtre ':&(<J;_p) qui est erigend r e par les
ideaux a gauche gradue contenus dans ;
(4.4.2) la fibre en P de et de est exactement
(4.4.3) si
c'est-a-dire que
R est un anneau premier, on cons tate que
Q+ est lui meme un faisceau.-R
L g; ,
On procede maintenant comme dans Ie cas commutatif. En effet, si
est un prefaisceau d'anneuax gradues sur un espace topologique X, alors Ie
sous-prefaisceau s, de 0\, de£ini par (U) = ) est un prefaisceau-'--'-0 - 0
lui meme ; de plus si [R, est un faisceau, fk en est un aus s i . De ce fait,--0
on voit que (L 0 est un faisceau d'anneaux sur Proj (R) qu'on pourrait
appeler structural. Si R est un anneau de Zariski central, on peut demontrer
que l'espace Proj(R) muni de ce faisceau structural est un "schema".
(4.5) - Nous allons modifier un peu nos techniques afin de les adapter a la
situation des anneaux a identite polynomiale. Nous supposerons dans ce qui
suit que R est un anneau a identite polynomiale, qui est gradue positivement
et noetherien a gauche. Nous imposons en plus, les conditions suivantes :
(4.5.1) R+C:rad RC+ ; cette condition dit essentiellement que Proj(R)
peut etre recouvert par des ouverts X+(Rc), ou c est un element homogene
343
de C+ et que l' application P ---') PnC definit un morphisme
Proj (R) --7 Proj (C) .
(4.5.2) C est engendre par C1 comme Co-algebre. Notons qu'il aurait
suffit de postuler que, pour tout element de degre t dans C+' il y a correspon-
dance biunivoque (et donc un homeomorphisme) entre les espaces
Spec(Q+(R)) et Spec(Q+(R) (t)), ou pour tout anneau gradue S on definitc c
set) = $ S.. Nous avons prefere l'hypothese un peu plus forte (4.5.2), celai£;l i t
simplifiant considerablement la plupart des demonstrations. En plus les
constructions de ARTIN et de SCHELTER qu'on a citees plus haut s'appliquent
notamment a des exemples qui satisfont a (4.5.1) et (4.5.2) comme nous le
remarquerons plus loin.
(4.6) - Nos hypotheses impliquent que Proj(R) peut etre recouvert par des
ouverts X+(Rc) ou c est homogene, central et de degre I. Comme on l'a vu+plus haut, le foncteur noyau idempotent gradue induit une localisation
f. +, + , ,
par et QRc n est autre que la localisation centrale Q. En+ c
ceci on peut prouver que les espaces X+(Rc) et Spec(Qc(R)o) sont homeomorphes,
si le premier est muni de la topologie induite par Proj(R) et le second de sa
topologie de Zariski.
I' = (Q+(R) I) , alorsc 0
canoniquement. Notons
En plus, si I est un ideal gradue de R et
les anneaux QI ' (Q+(R)) et Q;c(R)o s'identifient+ c 0
maintenant que Qlc(R)o n'est autre que l'anneau des
sections de X+ (Ic) du prefaisceau (Q +) sur Proj (R) et QI' (Q+ (R) )-Ro + co
est l'anneau de sectionsdu faisceau structural sur Spec(Qc(R)o) = Y sur
l'ouvert YI qui correspond a X+(Ic) sous l'homeomorphisme qu'on a
mentionne plus haut.
Qo(4.7) - On obtient le prefaisceau -R sur Proj(R) en associant a chaque
sous-ensemble ouvert X (I) l'anneau bi(Q+I(R) ), et on voit facilement que+ 0
Qo-R est un faisceau d'anneaux separe qui possede la propriete que pour chaque
X+(Rc) est exactement Ie
Rappelons maintenant un
un
est homogene, central et de degre I, on a
e: comme le faisceau as soc i e au-Ra l'ouvert
ouvert X+(Rc), ou c+ +
bi(QRc(R)o) = QRc(R)o' Nous definissons
prefaisceau La restriction de QO--n b i -R
prefaisceau structural (J sur Spec (Q+(R) ).-Qc(R)o c 0
resultat utile, mais tout-a-fait evident, sur les faisceaux ; soit
prefaisceau sur Un espace topologique X et soit {X'). ; ,, : 1\J un recouvrement
ouvert de X. Soit f?" - (? I le prefaisceau induit sur et soient
.-2> (resp. .:tA) les faisceaux sur X (resp. Xj. ) associes a f? (resp. (?)-A
344
alors ; -S IXA. En appliquant cette remarque, on obtient que la restriction
de o: a X+(Rc) est Le "'bon" faisceau structurel sur 5pec(Q+ (R» lorsque-R c 0
X+(Rc) et ce dernier espace topologique sont identifies. Modulo quelques
considerations tres evidentes, cela prouve donc qu'on peut munir Proj(R) d'une
structure de "schema non-commutatif" (notion non-definie dans Ie present texte).
Si Rest une algebre affine, on peut se testreindre aux ideaux maximaux. Le
sous-espace peR) de Proj(R) qui consiste en les points fermes de Proj(R)
et ainsi dote d'une structure de variete algebrique non commutative. Pour des
exemples concrets, Ie lecteur est prie de se rapporter a [43, 44). Notons
seulement que si Rest une algebre d'Azumaya graduee, alors Proj(R) et
Proj(C) sont homeomorphes, tandis que si tr est Ie faisceau structural sur
Proj(C), alors tr;; cr R.
(4.8) - On peut demont.rer (cf . loc. c i t . ) que Le "schema" Proj(R) (resp. la
variete projective se comporte fonctoriellement comme son analogue
commutatif. Nous n'entrons pas dans les details, mais citons neanmoins l'exemple
suivant. 50ient R et 5 deux anneaux premiers affines qui sont gradues
positivement, noetheriens a gauche et qui possedent une identite polynomiale.Comme
avant, on suppose que les conditions (4.5.1) et (4.5.2) sont satisfaites. Si
centre de R
est une extension graduee, ceci implique en particulier que Ie
s'applique dans Ie centre de S et que l'image inverse
d'un ideal premier (gradue) de S est un ideal premier (gradue) de R. Notons
Y ; Proj (R), X ; Proj (5) et U4l ; X+(tp(R+»CX, alors l..{J induit un
morphisme continu aappliquant 11'-1 (P). 5i 'lbc,oIf : Ulf ---?> Y en P sur
est Ie sous-schema ouvert de induit sur l'ouvert Utp , alors l.finduit un morphisme de "schemas non commutatifs" (ou de varietes algebriques
non commutatives, cela revient au meme dans notre contexte) :
affine et a; IPn I' espace
gauche,
Z ; IPnk
n+1 espaces affines :
identite polynomiale sur k. Comme dans (1.11), soit
projectif de dimension n sur k, couvert par les
(4.9) - Montrons maintenant comment la construction de ARTIN et de 5CHELTER
de l'espace projectif sur un anneau R, se reduit a nos techniques. Pour la
simplicite, soit R un anneau premier, noetherien a
u . (j;O, •.. , n) denotentJ
I 'anneau k[u ."" ,u .J,oj nj
diagrammes
T.J
est l'union des spectres obtenus a partir desil suit que
U. ; 5pec(k[u ., ... ,u .J), oil U •• ; u./u. e t oillesJ oj nj 1J 1 Jles coordonnees canoniques. 5i nous denotons par
d'anneaux et de localisations suivants :
345
T.
<,.>
T.J
T .. (i,j=O, ... ,n)
est un fmsceau d'algebres quasi-coherent sur Wn , alors
To' =i. J r,
Si
oil
Ai est une Ti-algebre et nous obtenons des diagrammes :
A.
<,A..
A./J
( i , j =0 , ••• ,n)
dont les morphismes sont des localisations centrales induites par les morphismes
des diagrammes (*) par produit tensoriel. L'espace est l'union
identifie Ie long de leurs sous-ensembles ouverts Spec (A.. ) •
(4.10) - L'espace projectif de dimension n sur Rest defini comme
= trwn) et les anneaux Ai qui Ie definissent sont les
R T; = R [u . , ... ,u .J-k L o i, n i.
Soit r . ---i> Wn
Le morph i sme structure I canonique, alors on a demontre dans
lac. cit. Ie resultat suivant :
(4.10.1) Soit R un anneau premier noetherien qui est affine et
satisfait une identite polynomiale sur k, soit S = R(y , ..• ,y] eta n
= R N_ t1 , alors-k -,pn
(4. 10. I. I) Proj (S)
demontre que
1i tout ouvert de
de Wn les faisceaux otr et
= r(r-l(u.),B-+s) .J - J -n
U de fR,coincident sur tout Quvert affineetLe fait que
(4.10.1.2) pour tout ouvert U.
o: coincident sur r-'-I(U.)-S J
If' (J'+*-S
c'est-1i-dire que r(U,D!;) = r(cl'l-I(U),
(J + = (J+ est une extension de <fl;;-S -R[Yo""'Yn]
346
(4.11) - A partir de ces notions, on peut reprendre dans un contexte non-
commutatif "tout" le formalisme des courbes et des varietes projectives. On
peut definir et etudier des versions non-commutatives des notions non-commutatives
des notions de morphismes propres et projectives, on peut etablir une theorie
cohomologique de ces varietes en utilisant une notion adaptee de faisceau
coherent, pour laquelle des principes generaux, tels que le theoreme de Serre,
ou la theorie de la dualite cohomologique restent valables, ce qui doit nous
mener a des resultats tels qu'un theoreme de Riemann-Roch non-commutatif, cf[431,etc ... Comme nous manquons de place pour traiter ces sujets ici et que de toute
cela nous menerait trop loin, nous renvoyons le lecteur a [43] et a des
papiers en preparation.
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Sur la formule de Molien dans certaines algebres enveloppantes.
J . AlEV
Introduction
Dans ce travail on etudie un analogue de la formule de
dans certaines algebres enveloppantes. Plus si G est
un groupe fini d'autornorphismes d'une algebre de Lie nilpotente I
G s' etend a I' algebre enveloppante U (,). Si , est abe l i.enrie
est un anneau gradue dont la serie de Hilbert est explici
citement donnee par la formule de en termes de l'action de
G Dans Ie cas nilpotent general nous introduisons une graduation
de fa90n a retrouver la forrnule de Holien pour
§1 Algebres de Lie nilpotentes graduees
1.1 SOit' une algebre de Lie nilpotente de dimension finie
p sur un corps K I de caractp.ristique o. Considerons
On def ini t sur , une fonction
q+l est l'indice deetpour
,1 q q+l
= /" .>,.::> "':>j:>c;. = (0).
ott r" =FJi If]nilpotence de ,
la suite centrale descendante de
(1.1.1.)
"hauteur" de la fa90n suivante
h(x) = sup {i I XE' i}1.2 Lemme: On a
si x t 0 / h(O) +00.
(i)
(ii)
h(x+y)? inf ih(x) Ih(Y)}
h(x+y) = inf h(x) Ih(Y)}
(iii) h( L»,»] h(y)+h(x)
si h(x) f h(y)
352
Preuve
(1' ) X+YE C(inf {h (x) , h (y)}resulte du fait que: _
(ii) Supposons que
Si X+YE,inf
h(x) > h(y).
{h(x) ,h(y)} +l , alors yer:+1
ce qui est contradictoire avec la definition de
h (y) •
(iii) resulte de l'inclusion
1.3 Considerons l'algebre de Lie
g"':J (fJf:- (fJ2 ,,3ou le crochet est defini par
9"1'j a s soc Lee a ?g.,. $1
[ x+(ji+l, Y+1 j+iJ = [x, y] +,i+j+l.
gA est une a l q ebr e de Lie nilpotente de ffieffie dimension
(1.3.1.)
(1. 3.2.)
que
Soit
, et on a :
(9' 'J) i e
e p,ep_ 1 ' ... ,e2,e 1
.
une base adaptee a la suite
(l.1.1.). ConsLde.rons l' application cf:, -- g..... ,. definie
et p roLoriqee a '/ par 1 ineari te. e,:L
d e s Lqrie la forme initiale de e i dans g't.1)'
1.4 Lemme: L'application <f est un isoffiOrphisIr.e d'algebres
de Lie si et seulernent si on a la propriete suivante :
guels que soient
pour les e k dans les relations de structure
et tels que A . 'k'" O.1J _
353
[e. ,el J
Preuve: Supposons que soit un isomorphiswe d'algebres
de Lie. Alors, on a :
qui est un
element homogene de degre
s'ensuit que tous les ek
h (e.) +h (e.) dans 9"- 11l J ,
sont homogenes de degre
h(e.)+h(e.)l J
dans Reciproquement, si
tandis que :
13. cP( [e., e .J)II J I l J
= L .. . k l J lJ ,l,Ja , J,
354
1.5 Definition: Une base adaptee qui verifie la propriete
du Lemme 1.4 sera dite base speciale et une algebre de
Lie nilpotente qui admet une base adaptee speciale est
dite graduee. On a alors : J!:! / .
Exemples : 1) g-"1 est graduee pour toute a Lq eb r'e de
Lie nilpotente 'J En effet, si e p,ep_ 1'" .,e2 Je 1est
une base adapt e e de 1:-' la base de S"-1 formee pa r les
formes initiales ei , , est speciale. On a en par-
ticulier : g"- (gA.'f ) pour tou te algebre de Lie
nilpotente , de dimension finie. Avec les notations du
[1] ,73 et' 5,5 sont q r a du e e s r tandis que
9"-/5 , c 'j 5 , 5 .1
-,siest filiforme2) On dit que'
dim f 1 - 1 , pou r 2<i'q. Dan' [ 6] , on c a r ao t e r L,e
les algebres de Lie filiformes graduees de toute dimen-
sion.
3) Dans [4J ' on d§finit 3 familIes infinies
d'algebres de Lie nilpotentes non filiformes par les
Ke.1
crochets suivants
3m+E
c;m,f., ou c= 0,1,-1 et muni
des crochets [e3i- 1, e 3 j+J '" e 3(i+j)
2e 3(i+j)+1 et - 2e3(i+j)_1'
355
§2 Graduations dans l'algebre enveloppante d'une algebre de Lie
nilpotente araduee.
Soit ,. une algebre de Lie nilpotente graduee de dimension
p sur K et
2.1 Definition:t1du type e.
11
monome e...... les e i une expression
00. les t.£N et au les i.1 J
ne sont pas taus distincts. C'est un element de l'ideal
d' augmentation de U('j ), l' a Lqe b r e enveloppante de , .
On appelle monome standard un Inonome dans
lequel on a
On peut attacher trois entiers au monome
m
1) Le degre total de m, note dim) et donne par
sd (rn) =L. t
J,
j=1
2) La hauteur de ill, notee him) et notee par:
sh (m) =2:: h (e. ) t,
j=1 1 j Jau hie. )
1.J
designe la hauteur definie dans 1.1.
3) Un entier note vim) rnesurant la deviation de In
par rapport au caractere d'etre standard. C'est par
le procede de redressement intervenant dans le
theoreme de Poincare-Birkoff-Witt qu'on le definit
356
Soit mt se.1 s
le maname considere.
Si apparait quelque part dans m, on appellera
le nombre de facteurs diffe-inversion de m en cet e1
rents de e1qui se trouvent a la droite de cet e 1
Faisons passer tous les e1
apparaissant dans m a
1 '·extreme droite. On obtient alors un moriome
avec
. Notons par vI (m) le nombre
total d'inversions faites avec des differents de e 1N
pour passer de m a
operation sur le moname
recommencer lat
e. k avec1 k
mem.e
procede se termine quand on arrive a un maname standard.
On peut alors definir :
v(m) = tr vk,(m)
(vk(m) = 0 si e k n'intervient pas dans m).
2.2 Proposition: Tout moname m de hauteur h(m) est combi-
naison lineaire de monames standard de hauteur h(m).
Preuve: La premiere partie de l'assertion est le theoreme
de Poincare-Birkoff-Witt applique a la base ep,ep_ 1'· .. ,e 1
La proposition donne l'information plus precise: a savoir
que la hauteur des monames standards qui apparaissent est
la rnerne que celle de m. La preuve se fait par recurrence
sur d(m)+v(rn).
Si
357
d(m)+v(m) = 1 ; alors m = e.J
et c'est clair.
Supposons ; Soit jo Ie plus petit entier tel
que
(2.2.1. )
v. (m) I O. On a alorsJ o
s-l... e.J o
avec
s-l. .. e.J o
s-l r ] t-1+ ... e . Le. , e k ek···Jo J o
D'apres Ie choix de la base
On a alors :
er r
avec
s-l t-1a) v( ... e. e k e. e k ... ) = v(m)-lJ o J o
Les monomes apparaissant dans cette SOITIDe sont de degre
total d (m) -1.
c) La hauteur de tout apparaissant dans la combinaison
lineaire de b) est h(m) .
On peut donc appliquer l'hypothese de recurrence a chacun
des terrnes qui se trouvent dans Ie membre droit de (2.2.1.)
et ainsi la proposition est demontree.
La proposition 2.2 implique que l'algebre enveloppante
d'une algebre de Lie nilpotente graduee est graduee par la
la hauteur. Remarquons que cette graduation depend de la
base speciale choisie comme Ie montre l'exemple de
definie par: [e1,e2] = e3.
En effet, e 3,e2,e 1 et
tj3'
e3,e2+e3,e1+e3 sont des bases speciales, wais elles defi-
nissent des graduations distinctes de U
358
Par contre, si<J3
Hn
designe l'espace des elements homogenes
de cegre n dans la graduation definie par la base speciale
la proposition 2.2 implique que dimk ne depend pas
de et que par consequent la serie de Hilbert :
H(U(") ,T) =L dimk
n 1
p h(e.)tr (l-T
i=l
est un invariant de
Soient cB= (ep, ... ,el) et (fp, ... ,f
l) deuxbaEes
speciales de l'algebre de Lie nilpotente graduee
alors :
On a
l!l ••• Ell '1 et ,q GlKq_1Ell ..•
est Ie sous-espace engendre par les00.
,= '1 q Ell 'q-l
, i (resp. t?t(i)
(resp. de hauteur i. II est facile de voir que les
Ibases af et definissent la meme graduation dans U()f) si
et seulement si = K i pour tout
Exemple : Ce cas se p r e s e n t e guano. C8 et $1 sont deux bases
de 94' provenant de deux bases adap t ee s de '1 ou , est
une algebre de Lie nilpotente quelconque. La graduation de
U(g'l'j ) definies par ces bases spec i.aLe s de g""j sera dite
principale.
§3 Groupes d'automorphismes finis d'une algebre de Lie nilpotente.
Soit G un 9roupe d'automorphismes fini d'une algebre
de Lie nilpotente :f- de dimension finie p sur un corps
de caracteristique nulle. G definit un groupe
K
0.' au t.orro rph i sme s G de
359
3.1 Lermne:
Preuve : Consid8rons l' application Y: G G.
SoH g e G t.q. g = idr;rti Alors :
i+lx-g(x) C , pour
Montrons par recurrence que
q+l-i
1 q+l- (i-l)
't
(g-l) i I,q+l-i
i
i)l,
1,
o pour
q+l-i
q+l- (i-I)
et par consequent,
q+l-i q+l-(i-l)
(g-l) (" ) c 1- . 11 s'ensuit par
recurrence
On a donc
que (g-l) i I .= o.q+l-l
g = l+n n nilpotent d 'ordre q .
Comme g est d'ordre fini cela implique n = 0 en
caracteristique nulle.
Remarque : La conclusion du tombe en defaut
caracteristique positive.
En effet, si car K = 2 , considerons l'automorphisme
de defini par
x ---,) x-z
y __
z ---,) Z
(f = id, tandis que (l"" est d' ordre fini et 0-'; id.
360
3.2 Lemme: Pour tout jf; G , il existe une base speciale c.e
g"'i qui d e f i n i. t la graduation principale de U (gil. idans laguelle 9 se diagonalise. (K algebriqueMent
clos) .
Preuve
pour
iII suffit de rewarquer que 9 r:
1 i q et qu' on peut diagonaliser g dans chacun des
sous-espaces
x IGI - 1. La
puisque g verifie Ie polyn6me
obtenue par juxtaposition
est speciale et definit la graduation principale de
U(gll.' ).
3.3 D'apres Ie lemme 3.2 G conserve la graduation
principale de U (g'l. , ). II est alors possible de con-
siderer la serie de Hilbert de
a Z ou
U (g'l- ';j- )G quL est egale
Hndesigne l'ensewble des
elements homogenes de degre n de
graduation principale.
dans la
3.4 TheoreMe On a la f o r muLe
1
h(J1(g))
) ... O-Sp(g)T -
ou §i(g), designe les p valeurs propres
cUstinctes de 9 et h (5i (g) ), designe la
hauteur dans g"J d' un vecteur propre relatif a la
361
valeur propre i (g) .
La preuve se fait a l'aide du lemme suivant :
3.5 Lemme: Si (g,Hn)
designe l'application lineaire
Preuve: Le lemme 3.2 fournit une base speciale
se diagona-principale de et dans laquelle 9
lise. 11 est alors clair aue les mon6mes standards en
les X. de hauteur1.
n forment une base de Hn
dans
telles que(9') E Kpropres donnees par
laquelle (g,Hn)
se diagonalise avec les valeurs
iii51 (g) "·5/h(§" (g))i =n.p p
Preuve du theoreme : Remarquons d'abord que
dim HG 1 tn =IGI r (g,Rn) ) . En effet, l'application
g£ G
1
IGI 9£G
realise la projection de Hn
sur
On a alors
= L (dim ) T n
Tn= 1.. L LI GI9 E G ns-o
362
p
i 1h (g) ) i.t p -
T ) ••• (')p (g) T
i (g))p p
)
=.LLIGI g£G
1
h(-5' (9))
(1- (9) T ) ••• (1- (9) T p )
3.6 ReIT'aroue Si a(g) designe l'endomorphisme lineaire
de defini par
h(X.@)1
T
p
l'expression 1jri = 1
1h({ i (ij))
1-(. (9) T1
devient
i
tout1
det (1-go- (9) • P.emarquons d'autre part, que pour
prend donc la forwe plus habituelle de la
La formule duqui ne depend pas de 9
9' E G, a-(g) n I est autre que la multiplication par T
i
dan' -;1+1
theoreme 3.4
fromule de Molien
1det (1-130")
363
§4 L'etude d'un
a) Considerons l'anneau de commutatif K[X)Y J z]
et G Ie groupe ou est defini par:
'l"(X) = Y x 'l"(Z) = -z.
La f ormu l e classique ce Folien donne
2
H(K [x Y, Z] GT ) 1 [ 1 +
det 1-T) ]l+T, , 2 det(l-TT) (l+T) 2 (l-T ) 3
b) Con s Lde rons U(7- 3) = K [XI Y/ z] avec XY-YX Z et
Ie mewe automorphisme que cans a). On obtient alors
G 1 [ 1H (U ( , 3) , T ) ="'2 + 1 ]det(l-CT)
ou est l'application definie par
2et = T Z. II vient
H(U('3)G, T) = +
21- T+T
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SEMI PRIME IDEALS IN RINGS WITH FINITE GROUP ACTIONS REVISITED
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Joe W. FISHER
The connections between the prime ideaL structure of a ring and that of its
subring fixed by the action of a finite group of automorphisms is studied. Such a
study was begun by Osterburg and the author in a paper with the same titLe. Recent
work by Lorenz and Passman has added new impetus to the study. We wi LL Look at their
work together with its ramifications.
Acknowledgment. I wouLd Like to thank Professor M.P. MaLliavin for inviting me to
participate in this seminare. Many thanks to Professor G. RenauLt for inviting me
to spend the spring quarter visiting at the University of Poitiers where this paper
was written. I aLso would like to acknowledge partial support from NSF grant
No. MCS -78-00904 and from the Taft Committee at the University of Cincinnati.
Let R be an associative ring with unity and let G be a finite group of
autornorphisrns acting on R. Throughout this paper we will assume that G is finite
and the order of G is invertible in R. By r9 we wi II mean the image of r under
in G. The fixed ring of R is RG = {r E R 9 = for all g in G}. Alsog r r
'e' denotes proper incLusion.
Our objective is to study the connections between the prime ideaL structu-
res of Rand RG• The foLLowing exampLe shows that prime ideaLs of R do not
366
contract to prime ideaLs of RG.
Example.. Let
: [a b1 [a -bl9 c dJ -c dJ
be a fieLd of characteristic not 2 and R =Mat2(F). Then
is an automorphism of order 2 and RG; F i F. Hence, the prime
ideaL zero in R contracts to zero in RG which is not prime. However, we note that
this prime in R does contract to a semiprime ideaL in RG.
(Bergman-Isaacs [1J)
(1) If R is semi prime, then RG is semiprime.
(2) If R is semiprime and L is a G-invariant ideaL of R with L n RG
L O.
0, then
If Q is a prime ideaL of R, then nQg n{Qg:g E G} is a G-invariant
semi-prime ideaL of Rand Qn RG = (nQ9) nRG. Set B = nQg. Then
(R/B)G = (RG+B) IB; RGI ([lnRG). Hence Qn RG is semi prime by Bergman-Isaacs' theorem.
SimiLarLy any G-invariant semiprime ideaL of R contracts to semiprime ideaL of RG•
The.ofte.m. (Fisher-Osterburg [2J) (Lncomparab i l i t y) If Q, :>Q2
are prime ideaLs of R,
then and G GQ1
n R :> Q2
n R •
By the pigeon-hoLe principLe, there exists gi in G
If nQi = then for some
such that
9,,92" " in
gi gi giQ2
:> .. :>Q, :>Q2
.
G.
Hence Q, = QZ'
If Q, n RG = Q2n RG, then pass moduLo to get nQi n O. By
Bergman-Isaacs' theorem, nQg = O.,
367
(Fisher-Osterburg [2]). If RG satisfies the ACC on semiprime ideaLs, then
R satisfies the ACC on semi prime ideaLs.
From the previous theorem, we immediateLy get the ACC on prime ideaLs of R.
Then we showed that every G-invariant semi prime ideaL of R was a finite intersec-
tion of primes. From this we showed that each semi prime ideaL of R was a finite
intersection of primes. Then an appLication of the Konig graph theorem compLeted
the proof.
Later the author proved in [3J that if R satisfies any "decent" chain
condition on G-invariant ideaLs, then R wouLd satisfy the same chain condition
on aLL ideaLs. In particuLar, ACC (DCC) on G-invariant semiprime ideaLs impLies
ACC (DCC) on aLL semiprime ideaLs. Hence the foLLowing theorem.
(Fisher [3]). If RG satisfies DCC on semiprime ideaLs, then R satis-
fies DCC on semiprime ideaLs.
At that point in time there were many nagging questions remaining concer-
ning semiprime ideals. Do the converses of the previous two theorems hold? Do the
prime ranks of Rand RG coincide? Is every contraction of a prime ideaL in RG
a finite intersection of primes of RG? ALL of these seemed formitabLe probLems
considering that "Lying Over" faiLed [2J. (In the above example there is no prime in
R Lying over the prime F $ 0 in RG). In [2J we answered these questions when
RG is contained in the center of R; however, this was LittLe soLace.
Lorenz and Passman [4] found the key to unLock this mystery in the theory
of skew group rings, i.e. crossed products with triviaL factor sets. ActuaLLy most
368
of what they did hoLds for arbitrary crossed products, but for the appLications
here we wiLL onLy need skew group rings.
The skew group ring R* G is the free Left R-moduLe L{Rg:g E G} with
basis G. MuLtipLication comes from that of G together with rg = grg for r in
R and g in G. Since we are assuming that !Gj-1 in R, we have an isomorphic
copy of RG sitting in R*G as an idempotent generated subring. More preciseLy,
-1 2 e(R * G)e = eRG = RGe ;; RG.set e = [GI L{9:9 E G}. Then e = e and
As is weLL-known for such idempotent generated subrings, the contraction
map, , gives a one to one correspondence between prime (primitive) ideaLs of R*G,
not containing e, and prime (primitive) ideaLs of RG;; e(R * G)e. This essentiaLLy
reduces the probLem of studying the prime (primitive) ideaL structures of Rand
RG to that of studying the prime (primitive) ideaL structures of Rand R* G. The
first resuLt in this direction was the foLLowing.
TheoJr.em. (Fisher-Montgomery [5J). If R is semiprime (s em i pr i mi t i veL; then R*G
is semiprime (semiprimitive).
For the prime ideaL structures, Let P be a prime ideaL of R* G. Then
P n R is a G-invariant ideaL of R and there exists a prime ideaL Q of R, unique
up to G-conj ugacy, such that P n R nQg [4, Lemmas 1.1, 3.1]. Hence P n R is
G-prime in the sense that if A and Bare G-invariant ideaLs of R with
ABc(PnR), then Ac(PnR) or Bc(PnR).
TheoJr.em. (Lorenz-Passman [4J).
(i) If Q is a prime ideaL of R, then there exists finiteLy many minimaL
primes P1'."'Pn over
369
nQg for each i. If
(in If P is a prime ideaL of R* G, then there exists finiteLy many mini-
maL primes P = P1, P2",.,Pn over
Again J1G1e(pnR)*G.
(PnR) *G with P. nR = PnR for each j ,1
Since we are assuming IGI-1 in R, in our situation, we actuaLLy have
(P n R) * G by Fisher-Montgomery's theorem.
CoJr.oUaJty. (Going Down). If A1
=> A2 are G-prime ideaLs of Rand P1 is a prime
ideal of R* G with P1 n R = A1, then there exists a prime ideaL P2 of R* G
and P2 n R
TheoJr.em. (Lorenz-Passman [4J) <IncomparabiLity). If pel are ideaLs of R*G with
P prime, then P nRc I n R.
Since we are mainLy interested in primes we have onLy stated these theorems
for primes however, we shouLd mention that they aLso hoLd for primitive ideaLs.
It shouLd aLso be noted that these theorems are easy to state but, they
are long and difficult to prove. By using them it is now easy to prove the foLLowing
theorem.
TheoJr.em. (Lorenz-Passman [4J). The prime (primitive) rank of R is equaL to the
prime (primitive) rahk of RG•
is a chain of primes in R, then
370
"IncomparabiLity". Then there exists a minimaL prime P overn
with
PnnR = and e¢Pn•
By using "Going Down" repeatedLy we get P1 cP2c",cPn
with P. n R = ConsequentLy p<P c p<P c ••• cp<p in RG• Therefore rank R " rank RG•1 1 1 2 n
ConverseLy, if is a chain of primes in RG, then
P1 C P2c ••• CPn is a chain of primes in R. By "Incomparabi Lity"
P1 nRcP2cRc ••• cPnnR. There exists primes Q1, ••• ,Qn in R such that
Pi nR = By taking appropriate transLates we may assume that Q1c Q
2c .•• cQn
and these inclusions must be proper. Hence rank R "rank RG•
APPLICATIONS OF LORENZ AND PASSMANS WORK
The first appLication yieLds a converse to our earLier theorem on the
ACC for semiprime ideaLs.
If R satisfies the ACC on semiprime ideaLs, then RG satisfies the ACC
on semiprime ideaLs.
First, we claim that every semiprime ideaL of R * G is a finite intersection
of prime ideaLs of R * G. Assume to the contrary that Q is a semiprime ideaL of
R * G which is not a finite intersection of primes. Amongst such Q, we may choose
one with Q n R maximaL, because R satisfies the ACC on semiprime ideaLs.
By hypothesis Q n R is a finite intersection of prime ideaLs. Hence there
exists primes P1, ••• ,Pnin R with Q n R
nn Then
i =1 1
(Q n R) * G
371
nn *G). By Lorenz-Passman there exists finitely many minimal
i =1 1
primes over each
(Q n R) * G, say
* G. So there exists finitely many minimal primes over1
T1,T2,···,Tk•
Every minimal prime over Q contains some T.• Let1
S.1
denote the inter-
section of all those minimal primes over Q which contain T.• Since1
Q is not a
finite intersection of minimal primes, some Si' say S1' must not be a finite
intersection of minimal primes. Consequently, T1 t S1' We have (Q n R) c (S1 n R)
for otherwise, «Q n R) * G) s T1 c S1 and they all contract to Qn R. This contradicts
Lorenz-Passman's "Incomparability". Hence we have a contradiction to the choice of
Q because Qc S1' (Q n R) c (S1 n R) and S1 is not a finite intersection of primes.
Second, it is immediate from the hypothesis and "Incomparability" that
R* G satisfies the ACC on prime ideals.
Third, we claim that every semi prime ideal of RG is a finite intersec-
tion of prime ideals of RG. Let S be a semiprime ideal of RG. Then is
a semiprime ideal of R* G and 4>-1 (S) is a finite intersection of primes of
R* G. The contractions of these primes yield finitely many primes of RG which
intersect in S.
Fourth, RG satisfies the ACC on primes because R *G does and is a
one to one correspondence.
FinaLly, an appLication of the Konig graph theorem [6, Theorem 7.7J
establishes that RG satisfies the ACC on semiprime ideals.
Question. Does there exists a converse to our earlier theorem on the DCC for semi-
prime ideals, i.e., if R satisfies the DCC on semi prime ideals, then does RG ?
372
As we showed earlier "Lying Over" in the usual sense fails for the pair
RG
s; R. However, if we modify the notion of "Lying Over" slightly, we not only get
"Lyi ng Over" for the pa i r RG >; R, but also "Goi ng Up" and "Goi ng Down". The idea
for such an approach comes from a paper of S. Montgomery [7J. First a lemma.
Lemma. Let Q be a prime ideal of R. Then Q n RG is a finite intersection of
primes of RG.
More precisely, if p"PZ""'Pn
are the minimaL primes in R *G
G n '"intersecting in (nQg)*G then QnR = n P:.
i =, 1
One must mereLy foLlow the isomorphisms R R.'cR*G and
there exists a prime ideaL Q in R, unique up to G-conjugacy, such that
RG ;' RGe = e(R * G)e to see that it works out as cLaimed.
(Lying Over). For each prime ideaL P in RG,
there exists a prime ideaL
Q in R, unique up to G-conjugacy, such that P is minimaL over Q n RG•
Let P, be the prime ideaL in R *G such that pt = P. By Lorenz-Passman,
P n R = nQg,and finitely many minimaL primes P"P
Z,•• "P
nin R * G intersecting in (nQg) * G.
By the above Lemma Q n RG = P n ••• We claim that P is minimaL over Q n RG•
Suppose that P2T2QnRG with T a minimaL prime over QnRG•
Then either T?P
or
then
T-2 for some1
-,P,24> (T):?P i
with z s : :Sn. If T2P, then P
which contradicts the minimaLity of
is minimal. If
(Going Up). If PZo>P, are prime ideals in RG
and Q1 is a prime ideaL
373
in R such that P, is minimal G then there exists prime idea l QZover Q, n R , a
in R with QZ:::> Q, and Pz minimaL Gover QZ n R
From the lemma we have finiteLy many minimal primes T"TZ,···,Tn in R*G
G nintersecting in (nQi) * G and (Q, n R ) n Since P, is minimal over
i =:, 1
G tP is equaL be a prime ideal in R* G withQ, n R , some say TV to P,. Let S,1
StP =: PZ' Then S, :::> T, and by "IncomparabiLity" (S,nR):::>(T,nR) =:g We know, nQ, •
that there is a prime ideaL QZ in R such that (S, n R) =: nQg and we may takeZ
QZ:::> Q, since some conjugate contains Q,. As in the above proof, Pz wi l L be mini-
mal over GQZn R ,
Theoltem. (Going Down), If PZ:::> P, are prime ideaLs in RG and QZ is a prime
idea lin R such that is minimaL over GQZ n R , then there exists a prime ideal
in R with and P, minimaL over
The technique of proof is simiLar to that used in proving "Going Up",
We wiLL use these notions of "Lying Over" and "Going Up" in proving that
Lorenz and Passman's theorem on prime rank is stiLL vaLid if the notion of prime
rank is extended to arbitrary ordinaLs. We define the classicaL KruLL dimension of R,
cL, KruLL dim R, as foL Lows: Let ;r (R)o
denote the set of maximaL ideaLs of R and
if a> a is an ordi na l Let for any S < a
and for aLL QESpec R, Q:::>P-impLies QE 6'S(R) for some S<a}. Then the
cl., KruLL dim R, if it exists, is the first a such that
Spec R u{fSCR):S,,;a}. See [6, p, 48].
374
(i) If R has classical Krull dimension, then RG
has classical Krull
dimension and c l . Krull dim RG =d. Krull dim R.
(ii) If RG
has classical Krull dimension, then R has classical Krull
dimension and cl. Krull dim R = cl. Krull dim RG•
(i) Suppose that cl. KrulL dim R = a. We use induction on a. If a = 0,
then the resuLt follows from Lorenz-Passman's prime rank theorem. Assume that the
result is true for every S < Ct. Let P £ Spec RG• We want to show that P £ YS(RG).
for some S,; a. Suppose that P ¢ }'S(RG)
for any S < Ct. Let P £ Spec RG
with P :0 P.o 0
By "Lying Over" and "Going Up" there exists Q :oQ in Spec R with P minimal0 0
over Q n RG
and P minimal over Q n RG• Since cl. KruLL dim R Ct and Qg:o Qg0 0
for each 9 E G, we have {Qg:g £ G} 3JS( R) for some S < Ct.
0
Hence cl. KrulL dim (R/nQg) = S foro
cl. Krull dim(RG/Q n RG) = S. Thenceo
S < Ct. By the induction hypothesis
P £ i? (RG) for some (J'; S < Ct. Now by defini-o (J
tion cl. Krull dim RG = Ct.
(ii) Suppose that cl. Krull dim RG = Ct. Again we use induction and the Ct=O
case is provided by Lorenz-Passman. Assume that the result is true for all S < Ct. If
Q E Spec R, then we need to show that Q £ is'S (R) for some S <:: Ct. Suppose that
Q f 11' S (R) for any S < a. Take Qo
£ Spec R wi th Qo:O Q. By "Incomparabi l i ty"
and Q n RG :0 Q n RG• By Lorenz-Passman' s theorem, we have thato
nQg. Hence eacho
T. n R]
P. n R1
and each
for Pi £ Spec R and each
for
P1 n PZn ••• nPn
* G = T1 n TZn••• nTm
for some sis n ..
We claim that cl. Krull dim (RG/Q n RG) < a. If V is a prime ino
375
RG!(Q G then V;2 n RGon R ), for some 1 ,; j ,; m because = Q and] J 0
v 2 :> for some j , Since cl. Krull dim RG = a, each E fr' (RG)J 1 J P
P < a. Since is finite, it follows that cl. Krull dim (RG!Q n RG)] 0
for some
< a.
By the induction hypothesis c l , Krull dim (R!nQg) <a. Thereforeo
for some B< a. By definition Q E I? (R)a
and so c l , Krull dim R a.
Question. One question which arises from this proof is the following: If R has
classical Krull dimension and Q is a prime ideal in R, then do the finitely many
minimal primes over Qn RG all lie in the same (RG) for some appropriate a?a
Recall that a ring is said to be Jacobson if every prime factor ring is
semiprimitive. In 1976 Armendariz and Lorenz [10J proved that if RG is Jacobson,
then R is Jacobson. Susan Montgomery [7J has noted that the converse of this
result follows from Lorenz-Passman's work.
The-oltern. If R is Jacobson, then RG is Jacobson.
Again by exploiting cj>, it is sufficient to prove that R* G is Jacobson.
Let P be a prime ideal of R* G. Then P n R is semiprime and hence semiprimitive.
Therefore by Fisher-Montgomery's theorem R* G/(P n R) * G :; (R!P n R) * G is semipri-
mitive. From Lorenz-Passman's work P is one of finitely many minimal primes inter-
secting in (P n R) * G. From (P n R) * G being an intersection of primitives, it is
easy to see that P is an intersection of primitives. Hence R* G is Jacobson.
We wi II need the following theorem in a moment.
376
The-altern. (Lorenz-Passman [8J). (Going Up). Let A1
c A2 be G-primes of Rand P1
a prime in R * G with P1 n R = A1. Then there exists a prime ideal P2 in R * G
We conclude this paper by proving one final theorem relating the primitive
ideal structure of RG to that of R. Recall that the set of all (left) primitive
ideals of R comes equipped with the Jacobson topology. Here a collection of primi-
tive ideals is closed if it is precisely the set of all the primitive ideals lying
over some ideal of R. We shall denote this space by Priv R. Priv R is a Baire space
if the countable intersection of dense open sets is always dense.
We define a Kaplansky ring to be a Jacobson ring in which the primitive
ideal space of every homorphic image of R is a Baire space. See [11J.
The-altern. If R is a left Noetherian Kaplansky ring, then RG is a Kaplansky ring.
First we note that RG is Jacobson by the previous theorem and left Noethe-
rian by well-knownness. Hence, by [11, lemmas 2 and 4J it suffices to prove the
following assertion. If is a prime ideal of RG and E I} is a countable1
collection of prime ideals of RG which property contain then there exists a
primitive ideal which does not contain any of the ideals Again by1
exploiting <j>, it is sufficient to prove that R* G satisfies this assertion. This
is precisely what Lorenz and Passman do in [8, Theorem 6J. We will reproduce it here
for the sake of completeness. By "Incomparability" each P. n R1
is a G-prime ideal
of R property containing P n R. By assumption Priv(R/P n R) is a Baire space.
Moreover P n R is semi prime and hence semiprimitive. By a slight generalization
377
of [11, Lemma 3], there exists a primitive ideaL T:::> P n R of R which does not
contai n any of the idea Ls Pin R. The "Goi ng Up" theorem app Lied to P and nTg
yieLds the existence of a prime ideaL Q of S with Q:::> P and Qn R = nTg• It
foLLows from [4, Lemma 4.1. (ii)] that Q is primitive. Since Q cLearLy does not
contain any of the Pi' the resuLt foLLows.
Question. If RG is a Left Noetherian KapLansky ring, then is R a KapLansky ring?
Even through R is not necessariLy Left Noetherian, there are onLy finite-
Ly many primes minimaL over any ideaL of R by Fisher-Osterburg [2, Theorem 2.10].
This is preciseLy the ingredient that Farkas needs for [11, Lemmas 2 and 4]. Hence
again, it wouLd suffice to take a countabLe coLLection {Qi:i E I} of prime ideaLs
of R which property contain a given prime ideaL Q and produce a primitive ideaL
which does not contain any of the ideaLs Q.•1
378
REF ERE NeE 5
1. Bergman. G.M. and I.M. Isaacs. Rings with fixed point free group actions,
Proc. London Math. Soc., 27 (1973), 69-73.
2. Fisher. J.W. and J. Osterburg. Semiprime ideals in rings with finite group
actions., J. Algebra, 50 (1978), 488-502.
3. Fisher. J.W. Chain conditions for modular lattices with finite group actions,
Can. J. Math., 31 (1979), 558-564.
4. Lorenz. M. and 0.5. Passman. Prime ideals in crossed products of finite groups.,
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J. Algebra, (to appear).
379
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10. Lorenz, M. Primitive ideaLs in crossed products and rings with finite group
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11. Farkas, D.R. Baire category and Laurent extensions, Can. J. Math., 31 (1979),
824-830
University of Cincinnati
Cincinnati, Ohio 45221
U.S.A.
Universite de Poitiers
Poitiers, France
21 Avri L 1980
LES MODULES ARTINIENS ET LEURS
ENVELOPPES QUASI-INJECTIVES
par
COUCHOT
Nous nous interessons d'abord aux modules artiniens coirreductibles sur
un anneau commutatif. Nous demontrons que ces modules sont quasi-injectifs, que
leur anneau d'endomorphismes est un anneau comrnutatif local noetherien comnlet
pour la topologie definie par l'ideal maximal, et que ces modules sont inJectifs
sur leur anneau d'endomorphismes. Ceci nous permet d'affirmer que sur un anneau
local noetherien et complet, tout module artinien coirreductible est iniectif
modulo son annulateur ; mais ceci n'est pas toujours verifie avec des hvnotheses
plus faibles comrne Ie montrent les exemples 1 et 2.
Dans Ie paragraphe 2, nous etablissons des resultats similaires avec des
modules uniseriels (l'ensemble des Sous-modules est totalement ordonne pour
l'inclusion) lineairement compacts (nour la touologie discrete) et extensions
essentielles d'un module simple.
Enfin dans Ie paragraphe 3, nous montrons aue si M est un A-module
artinien, son enveloppe quasi-injective M est un module artinien. Nous montrons
en outre qu'il existe un anneau semi-local A noetherien et complet pour la to-
pologie definie par son radical de Jacobson, tel que M et M aient une struc-
ture de A-modules aui coincident avec leur structure de A-modules, et tel aue Msoit l'enveloppe injective de M sur A. nn retrouve ainsi un resultat de (1)
sur la structure des modules artiniens.
Nous donnons un exemple de module M de lonpueur finie et coirreductible
sur un anneau non-commutatif, tel que M ne soit pas quasi-injectif et dont
l'enveloppe quasi-injective n'est pas un module artinien.
381
Tous les anneaux et modules consideres sont unitaires.
I. Quasi-injectivite des modules artiniens coirreductibles :
Dans tout ce paragraphe, sauf pour la proposition 1.8, l'anneau considere
est commutatif.
Theoreme 1.1. : Soit M un A-module artinien indecomposable. Alors les
les conditions suivantes sont eauivalentes :
1°) M est un module coirreductible.
2°) M est un module quasi-injectif.
Demonstration de 2 I : Si M n'est pas coirreductible, on a
E = EA(M) = EI@E2. Comme d'apres (8), M est stable pour tout endomorphisme de
E, on en deduit que M = (M EI) @ (M n E2) avec Mn Ei # {oJ pour i = I et
2. Done contradiction.
Avant de montrer I) 2), nous allons etablir les resultats suivants
Proposition 1.2.
Alors on a :
Soit M un module coirreductible de longueur finie.
1°) M est un module injectif modulo sur annulateur.
2°) On a EndAM= A/ann M'
Pour demontrer cette proposition, nous utilisons Ie lemme classique
suivant
Lemme 1.3. : Soient A un anneau local d'ideal maximal E l'enve-
loppe injective de :
long E.EndAE, et long A
1°) Pour tout A-module M de longueur finie, M et HomA(M,E) sont de
meme longueur.
2°) L'homomorphisme canonique de M dans HomA(HomA(M,E),E) est un iso-
morphisme si M est de longueur finie.
3°) Si A est un anneau artinien, on a A
Demonstration :
1°) se demontre par recurrence sur la longueur de M.
2°) l'homomorphisme canonique est injectif puisaue E est un cogenerateur
injectif, et on conclut d'apres I) en constatant que les deux modules sont de meme
longueur.
382
3°) On applique 2) en prenant M A.
Demonstration de la proposition 1.2. : Soit M un A-module coirreductible
de longueur finie. Alors AI s'identifie a un sous-module de Mn. On peutann M
donc supposer M fidele et A local artinien. (A, etant artinien, est un produit
fini d'anneaux locaux. Comme M est indecomposable, on en deduit que A est
local). Soit alors E EA(M). Alors E est isomorphe a l'enveloppe injective du
corps residuel de A. D'apres le lemrne 1.3., on a a annAM HomA(E/M,E). On en
deduit que M E.
Proposition 1.4. : Soient M
n > I, soi t Mn l' image reciproque de
de M sur M/M • Alors on a :n-l
un module artinien, Soc (M), et si
SOC (MI ) Dar l'eDimorphisme canoniqueMn_1
n 1'1 U 1'1nE.!N n
20) si N est un sous-module de M, on a N M n Nn n
3°) Pour tout homomorphisme f de M dans un module artinien N, on a
f(M ) N 'Qn 1.n n
Remarque 1.5. : La suite croissante des sous-modules est aDPelee
la suite de Loewy de M. s'il existe n tel que M Mn , alors nest appele
l'elevation du module M.
Demonstration de la proposition 1.4. :
est donc stationnaire. Donc 3n tel que
3b dans A tel que bx £. M etn+1
Mais puisque Ax n M Ax n Mn+l,on a
n
x e:Mn
1'1Soc ( 1
M) ,
net
puisqueMn:k
Mn
bx M . Donc contradictionn
aussi
1°) Soit x EM, x # o. Alors le sous-module Ax est un module noetherien.
La suite des sous-modules (Ax n M )n
Ax n Mn Ax n Mn+ l . Si x tMn, alors
est isomorphe a Soc
Nn
Mnn N
N II Mn+ 1 N n M
n+ 1
N N ("\ Mn n
N n Mn+ 1Nn
MIn N. Suppos on s aue
(N+M ) n M 1n n+ 0M • r"n
(N+Mn ) n Mn+
1M . On a doncn
N1
Soc N
M
Mn
N+M(__n) n
Mn
2°) On sait que
N+MSoc (__n)
Mn
Alors
d'oD Nn+ 1 N n Mn+ 1.
3°) se fait Dar recurrence sur n.
383
Fin de la demonstration du theoreme 1.1.
I) 2). Soient M un module artinien coirreductible, N un sous-module
de M, (Mn)n:;d et (Nn)n>1 les suites de Loewy de M et N respectivement, et
f : N ------> M un homomorphisme. Alors Vn )- I on a f (Nn)
<.:- Mn. Soi t f n = fiN .n
Soit gl un prolongement de f l a MI' Supposons construit gn un pro-
longement de f n a Mn. Considerons l'homomorphisme hn+ l:
Nn+1 +Mn ------> Mn+1 de-
finipar:hn+l(x+y)=f(x)+gn(y) ou XE:Nn+! et ye:.Mn·Alors hn+ 1 est
bien defini car Mnn N
n+ 1= N
n.Puisaue M
n+1est quasi-injectif, on Deut pro-
longer hn+1 en un gn+1 de Mn+1
dans Mn+l . On definit ainsi
un prolongement g de f a M par recurrence sur n.
Alors
Theoreme 1.6. Soient M un module artinien coirreductible, et H =EndAM.
I) M est un H-module injectif et cogenerateur.
2) H est un anneau commutatif local noetherien complet pour la tODologie
J-adique,ou Jest l'ideal maximal de H. Si (M) est la suite de Loewy den n)-I
M on H = 11'm A/, a +-- ann M .n
Remarque : Dans (7) ce resultat est demontre en Dartie en prenant comme
hypothese M artinien indecomposable et quasi-injectif. Nous donnons ici une
autre demonstration qui peut aussi s'appliquer a certains modules lineairement
compacts comme nous Ie verrons dans Ie paragraphe 2.
Avant de demontrer Ie theoreme 1.6, rappelons quelques definitions et
resultats.
Definitions 1.7. : Soient A un anneau (non necessairement commutatif),
M un A-module a gauche. On dit aue M est f -iniectif (ou absolument pur) sip I
pour tout A-module a gauche F de presentation finie, on a ExtA
(F,M) = O.
On dit que M est lineairement compact (pour la topologie discrete)
(resp. semi--compact) si toute famille filtrante decroissante (xi+Mi)i.,;:r OU pour
tout i, Xi M et Mi
est un sous-module de M (resp. l'annulateur dans M
d'un ideal a gauche de A) a une intersection non vide.
Alors M est un module injectif si et seulement si il est f -injectifp .
et semi-compact (voir (II) propositions 2 et 3).
384
si E est un A-module a gauche, alors la E-topologie de est la topolo-
gie lineaire sur M definie en prenant pour systeme fondamental de voisinages de
zero les noyaux des homomorphismes de M dans un produit fini de modules isomor-
phes a E.
Proposition 1.8. : Soient A un anneau (non necessairement commutatif),
M un A-module a gauche et H = EndA
M. On suppose que M est quasi-iniectif et
que tout module quotient d'un produit de modules isomorphes a M est separe pour
la M-topologie.
Alors on a :
I) Pour tout H-module a gauche F de presentation finie (resp. de type
fini) l'homomorphisme canonique de F dans HomA(HomH(F,M) ,M) est un isomorphisme
(resp. un epimorphisme).
2) M est un H--module a gauche f -r i.n j ect if.p
3) M est un H-module a gauche injectif si et seulement si M est un
A-module lineairement compact.
4) M est un H-module a gauche cogenerateur et injectif si et seulernent si
M est un A-module lineairement compact et extension essentielle d'un socle de
longueur finie.
Demonstration
I) On verifie d'abord Gu'on a bien un isomornhisme si F est un H-module
libre de type fini. On utilise ensuite une presentation de F et Ie fait que M
soit quasi-injectif pour conclure. (C'est-a-dire que M est Mn-injectif Vn).
2) Soient F un H-module a de presentation tinie,
a ---+ K L F ---+ 0, une suite exa c t e ou L est un H-module a gauche libre
de type fini et ou
S = HomA(-,M) et
K est par consequent de type fini. Notons T =
'3'F I 'homomorphisme canoniaue de F dans ST(1').
On a alors la suite exacte suivante
a ---+ T(F) T(L) T(K)
On en deduit Ie diagramme commutatif suivant
1Ext
H(F ,M) ---+ a
385
0 , K u , L v , F ---->- 0
CfKI jqp
ST(K) ST(u), ST(L) ST(v) , STep) 0
oil la dern i ere ligne est exacte puisque M est quasi-iniectif que T(L) est iso-
morphe a un produit fini de modules isomorphes 2 M et que T(K) est isomornhe aun sous-module d'un produit fini de modules isomorphes a M. (si M est quasi-in-
jectif, alors M est Mn-injectif \In).
Alors ST(u) 0 '3'K = "3'L 0 u est injectif et par consequent q'K est unI
isomorphisme. On en deduit que ST(u) est injectif et que S(ExtH(F,M» = o. OrI
ExtH(F,M) est isomorphe a un sous-module d'un module-quotient d'un produit fini1de modules isomorphes a M, et par consequent, ExtH(F,M) est separe pour la M-to-
Ipologie. D'oil ExtH(F,M) = O.
3) Soit N un sous-A-module de M. Puisque MIN est senare pour la M-to-
pologie, l'homomorphisme canonique de N dans TS(N) est un isomorphisme. Par
consequent tout sous A-module de M est l'annulateur d'un ideal a gauche de H.
On en deduit done 3) d'apres 1.7.
4) Supposons d'ahord que M soit un A-module lineairement compact et ex-
tension essentielle d'un socle de longueur finie. Alors M est un H-module aH,deJ
est la famille des ideaux a
J. On a anI\1 J= n ann/of J,. D'aores, AE. /\ A
Jf {a}, il suffit de montrer que VA £. /\,
J A J A) .
U JA, oil
AE:/\inclus dansHgauche de type fini de
gauche injectif et il suffit de montrer que pour tout ideal a gaucheH
on a IJ,M) f o. Or J
(13) (proposition 1*), pour avoir
\ f {a}, Or d ' ap r es I) on a
Reciproquement, soit (NA)A E /\ une famille filtrante decroissante de
sous-A-modules non nuls de M.
On a 1: annH NAS annH( () N
A) . Or d ' apre s 3), on a
A G../\ Ae.t;
Puisque M est cogenerateur injectif sur H on en deduit que
On en deduit que
conclure.
386
et on applique (13) (proposition 1*) pour
Proposition 1.9. : Soient A un anneau commutatif, M un A-module line-
airement compact et extension essentielle d'un module simnle S, l'ideal maxi-
mal de A annulateur de S. Alors M
Demonstration: Soit s s Soit S la multinlication par s
dans M. Puisque s 4-A1t' ker s n S = {n} et donc s est i n i ec t i ve . Soit
x £ M. Alors A/ est un anneau lineairement compact local (voir (2) exerciceannex)
21 c, p. 112). La multiplication par s dans Ax est donc biiective et il existe
y tel que: x = sy.
Demonstration du theoreme 1.6. : D'anres la proposition 1.9., on peut sun-
poser A local. Soient E l'enveloppe injective de "1, N un sous-module de Mn,
n entier ? I. Alors Yx G- Mn, x 4-N, 3f: Mn ---+ E tel aue f(x) # 0 et
feN) = {O}. Comme M est quasi-injectif, f(Mn) M. Par consequent Mn/N est
separe pour la M-topologie. On applique la proposition 1.8.
Soit (Mn) n G-IN la suite de Lcewy de M. Alors pour h <Go H, h(Mn) <;: Mn·Comme End
AM A/ann M on a H = lim A/ M Et M etant un H-module arti-n +-- annn n
nien, comme H EndHM, on en d edu i t le reste de 2, d'apres (10) .
Corollaire I. 10. : Soi t A un anneau local n<Etherien d' ideal maximal M(.
Alors si A est complet pour la topologie tout A-module M artinien
et coirreductible est injectif modulo son annulateur et on a EndAM= A/ann M.
est
Demonstration : Puisque
est lineairement compact et donc
la sui te de Loewy de M.
A est complet pour la topologie
A/ann M= A/ann M oiln
A-/t-adique,
(M) In n)
A
Remarque 1.11. : Soit M un A-module artinien coirreductible et fidele,
At(, l'annulateur de son socle. si M est un A-module injectif, alors
et on en deduit que est un anneau nffitherien.
Cependant on peut trouver des modules artiniens coirreductibles et fideles
sur des anneaux locaux non noetheriens.
Exemple I : Soient K un corps commutatif, C l'anneau K(X,Y) , ¥ l'i-
deal maximal CX+CY B l'anneau local CjJ , )10 sont ideal maximal, B le
complete de B pour la topologie AIL-adique, isomorphe a K((X,YJ]. Soit A le
387
sous-anneau de B forme des series formelles du type
ou P et Q sont des polynomes de K(Y) tels que
P(Y)Xf (X,Y) + Q(Y)
Q(O) f O. Alors
ou
A
f EO B et
est un an-
neau local non noe t he r i.en dont i ' ideal maximal .Jt. et A i>L et tel que B c;;. A B.
Voir (2) exercice 14 p. 119.
Soit M l'enveloppe injective sur B de . D'apres (10) est un
B-module artinien et c'est aussi un B-module. Done M est un A-module artinien
coirreductible et fidele (et non injectif).
On peut aussi trouver des modules artiniens coirreductibles, fideles et
non injectifs sur des anneaux locaux nretheriens.
Exemple 2 : Soient B l'anneau local de l'exemple I en supposant K al-
gebriquement clos de caracteristiques 0 et P(X,Y) = X(X2+y2) + X2 - y2.
Alors
l'ideal BP est premier. On sait qu'il existe u(X) tel que
I+X = (u(X))2. On a done P(X,Y) = (Xu(X)-Yu(-X))(Xu(X) + Yu(-X)) , Comme on peut+00
prendre le p remi er cce f f i.c i en t de u(X) egal a I, on a Xu(X) - Yu(-X) = X-Y+ 1: a ,n=2 n
ou an est un polynome homogene de degre n.
On considere la suite decroissante (I:'» d ' ideaux de B suivante,. n n)1
BX+ BY, B(X-Y) + ,-!tt-2 , et Vn '> 2
n-IB(X-Y + 1:
p=2
Soit E l'enveloppe injective sur B de Alors E est un B-module
artinien et EndBE =B= K( (X,YJJ d' apre s (10). On cons i de r e le sous-module H de
E, tel que M = U annEn)1
Alors annBM= () annB(annE fln)n)1
()n>,1
Puisque M est quasi-injectif, M est stable par les endomorphismes de E,
et done M est un a-module, On a done annBM=
dule de type fini N, on a 13 3BN isomorphe a
ann; = B F!n'B
annA Mn B. Comme pour tout B-mo-B
HomB(HomB(N,E),E), on a
a alors
Par consequent annBM () B f1n' Comme Best lineairement compact, on
A '" nann., M = () (B(Xu(X) - Yu(-X)) + it )
B n)1B(Xu(X) - Yu(-X)),
388
Comme l'ideal B(Xu(X) - Yu (-X» es t premier, on en dedu i t que annBM= BP.
Posons A = B/Bp. Alors M est un A-module artinien coirreductible et fidele. II
n'est pas injectif puisqu'il n'est pas f i de l e sur A =
BP
2. Quasi-injectivite de certains modules lineairement compacts et
Dans tout ce paragraphe, l'anneau A considere est
Definition 2.1. : On dit qu'un A-module M est uniseriel si l'ensemble de
ses sous-modules est totalement ordonne pour l'inclusion.
On dit qu'un A-module M verifie (P) si on ales proprietes suivantes
a) M est lineairement compact
b) M est extension essentielle d'un module simple
c) M est un module uniseriel
Avant d'etablir la quasi-injectivite des modules M verifiant (P) rappe-
Ions quelques definitions et resultats.
Definition 2.2. : On dit qu'un A-module M est prelineairement compact si
MIN est lineairement compact pour tout sous-module N non nul de M.
Theoreme 2.3.
tes sont equivalentes
Soit A un anneau uniseriel. Alors les conditions suivan-
1) A est un anneau auto-injectif
2) A est lineairement compact et tout element de A est soit inversible
so it un diviseur de zero.
C'est Ie theoreme 2.3. de (9).
Theoreme 2.4. : Soient A un anneau local, sur ideal maximal, E
l'enveloppe injective de Alors les conditions suivantes sont equivalentes
1) A est uniseriel et prelineairement compact
2) E est uniseriel
De plus, si ces conditions sont verifiees, E est un module lineairement
compact.
L'equivalence 1) 2) est une partie du theoreme principal de (5). Pour
la derniere assertion voir la proposition 4.4. de (14).
Theoreme 2.5.
quasi-injectif.
389
Soit M un module verifiant (P). Alors M est un module
Pour la demonstration, nous avons besoin du lemme suivant
Lemme 2.6. : Soient M un module verifiant les proprietes b) et c) de la
definition 2.1., N un sous-module de M, f: N M un homomorphisme : Alors
Vx E.- N, f (x ) E... Ax.
Demonstra tion : Ou bien f (x ) G.- Ax, au bien x E...Af (x ) . Supposons que
x G.. Af (x ) . Alors 3 A <=. A, tel que x = H(x) . Or il existe a E-A tel que
ax G:. Soc M = S, avec ax f O. Nous avons ann x ann f(x) = I et A/I est un
anneau uniseriel. Puisque ax E.. S, f(ax) GO. S. Si A appartient a l'ideal maximal
annulateur de S, on obtient que ax = Af(ax) = O. Contradiction. Par consequent
on a: Ax = Af(x).
Demonstration du theoreme 2.5. : Soient N un sous-module de M,
f : N M un homomorphisme. Considerons la famille {(P,g) au P est un
sous-module de M contenant N, g: P M un homomorphisme prolongeant f}.
On ordonne Phlp = g. Alors
de la suivante :
c:J1 est inductive. So i t
(P, g)
(P, g)
(Q,h) si et seulement si P S Q
un element maximal de ::F'.Suppa sons P f M. Alors .3 x Go M, x 1- P et donc P SAx. D'apres Ie
theoreme 2.3. , A/ann (x ) est auto-injectif, et donc Ax est un module quasi-in-
j e c t i.f , D'apres Ie lemme 2.6., g(P) c;. Ax. Donc on peut prolonger g a Ax, ce
qui contredit Ie caractere maximal de P. Done P = M.
Alors
Theoreme 2.7. Soient M un module verifiant (P), et H
I) H est un anneau commutatif et c'est un anneau uniseriel et lineaire-
ment compact.
2) M est un H-module injectif.
Demonstration: D'apres Ie lemme 2.6., H est un anneau commutatif. On
peut reprendre Ie debut de la demonstration du theoreme 1.6. pour verifier qu'on
a bien les conditions de la proposition 1.8. et en deduire que M est un H-module
injectif. Puisque M est un H-module cogenerateur injectif, en utilisant les re-
suI tats de (12), on en deduit que H est un anneau uniseriel et lineairement
compact.
390
Theoreme 2.8. : Soient un A-module fidele 101 verifiant (p),
l'ideal maximal de A qui annule le socle de M. Alors les conditions suivantes
sont equivalentes
I) M est un A-module injectif
2) est un anneau uniseriel et prelineairement compact.
Demonstration
I) 2) En utilisant la proposition 1.9., M est alors isomorphe aA
E ) et on en deduit le resultat en utilisant le theoreme principalAtn., "'lAJ1l
de (5).
2) I) D'apres le theoreme principal de (5), EA(M) est uniseriel.
Supposons M # EA(101). Alors -3 x Go EA(101), x ef M tel que M c. Ax. Alors M
s'identifie a un ideal propre de A/ et par consequent ann M # {O}.ann (x )
Contradiction.
Remarque 2.9. : Le module M de l'exeTIple 2 du paragraphe I verifie (P)
puisque pour tout n)1 long ) = I, et doncrn+1
M( n+I<:,)long /101
nd'apres
le lernrne 1.3. Et M est un exemple de module fidele verifiant (P), qui n'est
pas injectif.
Corollaire 2.10. : Soient A un anneau uniseriel et prelineairement com-
pact, M un A-module verifiant (P). Alors on a :
I) M est injectif modulo sur annulateur.
2) si ann M # {O} ou si A n'est pas integre, On a A/ann M = EndAM.
Demonstration: D'apres (5) A/ann M est alors un anneau uniseriel et
lineairement compact. 11 suffit alors d'appliquer le lernrne 2.6. pour avoir le
r e su l t.a t .
Remarque 2.11. : Dans les paragraphes 1 et 2 nous venons d'etablir que
certains modules lineairement compacts extension essentielle d'un module simple
sont quasi-injectifs.
Alors est-ce que tout module M lineairernent compact et extension essen-
tielle d'un module simple est quasi-injectif ?
391
Mais pour repondre a cette question, meme lorsque M est de type fini,
nous sommes amene a resoudre un probleme pose a la fois par dans (12) et
Goblot dans (6) :
Est-ce que tout anneau A lineairement compact et extension essentielle
d'un module simple est auto-injectif ?
3. Enveloppes quasi-injectives des modules artiniens
Definitions et rappels : Soient M un module, u un monomorphisme de M
dans un module M quasi-injectif. On dit que M est une enveloppe quasi-injective
de M, si pour tout monomorphisme v de M dans un module quasi-injectif N, il
existe un monomorphisme w: t1 ---+ N tel que v = wo u. Alors deux enveloppes
quasi-injectives de M sont isomorphes et si E est l'enveloppe injective de M,
A l'anneau des endomorphismes de E, alors AM est une enveloppe quasi-injective
de M.
Voir (3) (proposition 19.7. p. 64).
Soient M un module artinien sur un anneau commutatif A, A1i1, ... ,
les ideaux maximaux qui annulent les modules simples qui composent Ie socle de
M. Alors on a supp M = d'apres (I) proposition 1.2. On dit que
M est un module anti-primaire si son support ne contient qu'un seul ideal maximal.
On dit M = MIffi••• ffiM
pest une decomposition anti-primaire reduite de M si les
(M')I' est une famille de sous-modules anti-primaires de M tels que
supp Min sup M
j= ¢ si i f j. Alors tout module artinien admet une decomposition
anti-primaire reduite unique d'apres (I).
On se propose de demontrer Ie theoreme suivant
Theoreme : Soient M un module artinien,
de M, la suite de Loewy de M et A =
suI tats suivants
M une enveloppe quasi-injective
lim A/ M' Alors on ales re-+-- annn n
I) A est un anneau ncetherien semi-local complet pour la topologie
J-adique, ou J est Ie radical de Jacobson de A. Et M et M ont une structure
de A-modules qui coincident avec leurs structures de A-modules.
2) M est un module artinien et on a M
392
long M long (Soc 1') x long (AIann 1'),
4) Si I' = MI m... ffi Mp est une decomposition anti-primaire reduite de M,
on a M = 1'1 ffi•••mMp ' oil Mi est une enveloppe quasi-injective de Mi , pour tout
i
Demonstration: Soient E = EA(M), 1\ = EndAE.
M soit anti-prima ire et de longueur finie. Puisque M = M1,
Par consequent M C;; EA(M) • Or AI est un anneau
lann I'ann I'
est de longueur finie et ann I' est .A+l -primaire, oil .-H1.,artinien local car M
est l'ideal maximal du support de M.
Suppasons que
on a ann M = ann M.
est la longueur dup
EA
(1'), et quelann M
montrons que l' on a I' = U (ann I'n)
evident que 1\1' U annE (ann Mn ) .
demons t r a t i.on annE (ann Mn) est
I\Mn = annE (ann Mn) . On en con-
EA (AI .A-tt )P, oillann I'
en deduit que M
long EA (AI/l'ft ) = long AI .lann M ann M
Si M n'est pas de longueur finie,
oil (Mn ) est la suite de Lcewy de M. 11 est
Nous avons donc EA
(M)lann I'
socle de M. D'apres le lemme 1.3., on
Puis que EA(Mn) = E, d'apres la Jere partie de la
l'enveloppe quasi-injective de Mn
et on a donc
(resp. M c NP) et on an - n
la multiplication par
A. On en deduit donc
coincide
et par
Alors, il
pest la lon-
NP. Posons
oil
AIann Mn
et x -M (resp. 1').
Nn
appartenant a
aEA
= EA(A!«i-)' Alors E E'P
annE' (ann Mn) . Alors on a
(ann Mn). On a d'apres le lemme 1.3.,
clut que M U annE (ann Mn) ·
si supp M = {,#(} , soit E'
gueur du socle de M. Soit N = U
consequent EndAN = AIann M . Soientn
existe un n tel que x . annE (ann Mn)
x = xl+ ... +x oil x . .N, V .. Or surP J n J
avec la multiplication par un element a
ax = ax. Donc M et Mont une structure de A-module qui coincident avec leur
structure de A-module.
Puisque M est stable par tout endomorphisme de E, et que tout endomor-
phisme de M se pro lange a E, on peut prendre 1\ = EndAB. Alors 1\ est un
A-module libre de type fini, et on en deduit que M= I\M est un A-module artinien
et aussi un A-module artinien. Donc N est un A-module artinien coirreductible
393
et par consequent Nest A-cogenerateur injectif et A est un anneau local
rien complet.
Nous avons done etabli 1) Z) et 3) dans Ie cas ou M est anti-primaire.
une decomposition anti-primaire reduite de
est
A P A
A= IT A., ouj=1 J
ann M.J,n
la suite de Loewy de(M. ) IJ,n
pnann Mj,n' et commej=1
pIT AI et done
j=1 annMj ,n
Mn
AIannM
n
annOn a doncM.J, n
on en deduit que
PIIIj=1
Vj,
Mn
Soient M = MIIll... IllM.Ill... IllM
J Pl'ideal maximal de supp M.
J#C.
JM,
M.• On aJ
A1t.. -primaireJ
PIII /of j c:;j=1
A.-module injectif, on enJ
est unM.J
M.. Mais commeJ
PM s= III
j=1
est un A-module injectif et par consequent un A-module quasi-M.J
PIIIj=1
PIII E
A(M
J.» .
j=1E
injectif. On a done
A. = lim AI M.' Puisque pour toutJ +- ann
J, n
cteduit que
(on a
Remarques
I) Si /of est un module artinien anti-primaire et si M. = M11ll Hz, on n'a
pas toujours M MIIllM
Zcomme Ie montre l'exemple suivant. Soient K un corps,
x et y les images respectives de X et Y dans A, /of I Ie
sous-module A engendre par x, MZ
I.e sous-module de A engeridr e par y.
Alors on a MI
= /!II et MZ
= MZ'
Mais MjIII M
Zetant f i de l.e sur AI (xy ) on a
long (MIIII M
Z)= 6, alors que long (M
IIII M
Z)= 4.
Z) Si (Mn)n>1 est la suite de Loewy d'un module artinien M, on a tou-
j our s l'inclusion Mn,=,(M)n' mais on n'a pas t ouj our s l'egalite comme Le montre
l'exemple suivant.
Soient A = k(X,Y) x et y(X2, lIT, y 3) ,
les images respectives de X et Y dans A.
Alors on a
On a done
A = A3 et long (Soc A) = Z. Par consequent A= E2
ou E = EA(k).
(A) 2 Or EZ ann.A+L2 oil AI{ est l'ideal maximal de A. On a
AI k(X,Y]et d'apres Ie lemme 1.3. , on a long (A) 2 6. D'autre part
A 2(X2, lIT , y
2)
ann AZ
engendre Z AI k(X,Y]On a donc lonE; A = 4on a par x et y et
(X,Y2)ann A
Z 2
et par consequent
3) Le I) du theoreme avait deja ete demontre en partie dans (I).
4) Contre-exemple
394
Soient L un corps commutatif, K un sous-corps de
L. On considere l'anneau A des matrices carrees d'ordre 2 suivant :
A ( L L) et M le A-module 11 gauche ( L)0 K K
Alors M est Un A-module 11 gauche de longueur 2 et coirreductible. On a
L EndA
S si f n'est pas quasi-S = Soc M=(O)' L et EndA M = K. Donc L K, M
inj ectif. On a M ( L) et donc si (L: K) est infini, M n'est pas unL
A-module artinien.
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(8) R.E. JOHNSON - E.T. WONG: Quasi-injective modules and irreductible rings -
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(9) G.B. KLATT - L.S. LEVY: Pre-self injective rings - Trans. Amer. Math. Soc.
122 407-419 (1969).
(10) E. MATLIS : Modules with descending chain conditions - Trans. Amer. Math.
Soc. 97 495-508 (1960).
[11) E. 11ATLIS Injective modules over Prufer Rings - Nagoya Math. J. 15
57-69 (1959) .
(12) B.J.
(1970) .
Linear compactness and Morita Duality - J. Algebra 16. 60-66
395
(13) P. VAMOS: The dual of the notion of "finitely generated" - J. London
Soc. 49 (1968) p. 643-646.
(14) P. VAMOS: Classical rings - J. Algebra 34 114-129 (1975).
Manuscrit Ie 4 fevrier 1980
COUCHOT
Departement de
Esplanade de la Paix
Universite de Caen
14032 CAEN CEDEX
THE REDUCED PANK IN NOETHERIAN RINGS
A.W. GOLDIE
O. Introduction
This lecture introduces the concent of reduced rank of a module over a non
commutative noetherian ring and indicates a number of applications. In effect the
reduced rank of a module can be used to circumvent those difficulties which arise
in module theory due to the lack of classical localisations, provided that the
problem reauires only an analysis of composition length of modules once the loca
lisation has been
R is a ring whi ch is right noetherian (denoted here by maxrr ) • All right
Rmodules to be considered are finitely generated (f.g.) . The ring R is right
fully bounded (R F B) if in any prime f ac t or ring, every essential r i gh t ideal
contains a nonzero ideal. Rings uith polynomial identity are natural examples of
these rings.
Let T be an ideal of R, define :
&' (T) c E R ex EO T ==> x E T
, &(T) c E R xc E T ==> x E T
& (T) &' (T) n '& (T).
The elements of &(T) are said to be regular modulo T. For example, R is right
c E & (P) contains R d + P for some
Rx<I}.{x E RR
ann I
withc R + Pfully bounded when
d E & (P)
Let I be a right ideal then bound I
Reduced rank of a module
Let H be a f.g. right Rmodule. Then rank H = r , provided that M
contains a direct sum of r submodules (r 0) but no longer sum. It is known that
any direct sum S of uniform submodules is essential as a submodule of M if
and only if S has r uniform summands.
Let R be a semiprime ring, then define
p (If) = rank H composition length (M0RQ),
where Q is the quotient ring of R Note that Q is a semisimple artinian
ring. More generally when N is the nilpotent radical of the ring R then
397
define
p(M) PR (M) ,provided MN= 0IN
and generally when M Nk
P (M)
o , then
k-j
Ij=o
The definition for the case when N = 0 shows that p 01) is additive on short
exact sequences ; this clearly extends to the case of general rings and shows that
if we take any Loewy series of 11
then
o where 11. N .;;; M. 1J J +
The definition of p(M) can therefore be made in a manner independent of the
choice of series for M; it is an invariant of 11. We call it the reduced rank
of H.
Note that these definitions can be made under more general conditions. One
must have that rank H < 00 and that N exists (the lower nil radical is nil
potent) and R/N has a quotient ring. Thus, for example, that Rand M have
Krull dimension as modules or that R is a prime ring with polynomial identity
and rank M < 00 ; each suffices to give the existence of p(M) •
Note also that p 0-1) = 0 if and only for mE M there exists c E 1'1 (N)
wi th mc = 0 . Then M cons is ts of torsion elements. When M is a bimodule
f. g. on the left, then Md = 0 for some d E e(N) .
. Application to Gabriel Hrings
Theorem
(cx)
Let R be a ring with maxr. The following are equivalent
If (R) Spec R is bijective
¢(E)= ass E E Spec R If is the set of indecomposable injectives of R
(6) R is right fully bounded ;
(y) Cotertiary modules are isotopic
(6) R is a Gabriel Hring (For any f.g. M there exists a finite subset
398
kwith ann II = (\ (m
i».
i=]
The theorem is well known and most of it is given in Stenstrom's book on rirg
theory. However (6) (0) is not given there and was first proved by
G. Cauchon in [2]. The reduced rank nrovides a simnle proof of this part of
the theorem.
first observe that the f.g. module M can be takenTo prove that (6)== (0)
to be cycl i c, say R/I
,where I <1 Rr
Let I = K] (I ... n Ks
' wher e each
Pr K.
is a uniform module and Ki
<1 R . It is enoup:h to prove the result forr
R/R. ' so ,-Ie consider '1K ,where K <1 Rr
Lemma - Let R be a rine with max-r and rip:ht fully bounded. Let K be a rieht
ideal of R with a unlforD module. Take bound K = 0 •
Ass = [T"]
prime r).
(Ass R/K
is a s i.ngl e prime ideal P
We refer to stenstrom's book for the nroof ; this is part (y) of the theorem
(in the Lesieur-Croisot terminology). To prove that (0)
fo Llow i ng Lerrma
we need only the
Lemma - Let R be a rine Vlith max-r and be R F B . Let K be a ri£ht ideal
such that R;K is uniform and bound K = 0 Then for each a E R set
witha] , ... ,an _E_R _There exists a finite set{XER;axEK}.Ka
, then there exists an essential right ideal
with respect to the ring RIP' If
0 K n ... n Ka] a
n
Proof - Let {P } = Ass = Ass R/K
E of R with E P= O. Examine peE)
E En K all a E R then Ea o , since r.aER
Ka
= 0 . So let
has zero torsion. NowE
E n Ka]
1;' (P) , for XC E K x(c R + P) E K => x T E K
. ThenE
with respect to
(P < T <1 R) , which contradicts that P is the associated prime. Hence.J,
and we repeat with
399
E>EI1K >a1
so by the
o for all a E R . Then F
additivity of peE) there exists F
p (FIFnKa
essential , hence
n ... n Kan
2. The Principal Ideal Theorem
o .
F n Ka
n K such thatan
o . Now E is
There are a number of theorems ; these are generalisations of the commuta
tive case and of theorems obtained by Jategaonkar [5 1•
Theorem 2.1"" Let R be a prime ring which is right noetherian and has polynomial
identity. Let c E R be a regular element; then any minimal prime P over bd(cR)
for which c e(p) has height one (rank one). There is a least one
such prime.
This theorem was proved by Jategaonkar when c is a central element. In
this case c R = bd(c R) and c R P so that c tF 1? (P).
The general theorem is given in the present form because we may have
itself has no minimal primes. For example R = (Z [xl )2
2ZZ)
, and
R c R = R ,so that c R
and 0 :) , <hen
Now let R (
R c R R but bd(c R) = x R is prime of height 1.
however observe that height P is onewe have
bd (c R)
c E 1? (P)
(
2 Z
2Z
2Z)
2Zand for (':
. For P = (z 2Z )2 Z 2Z
ilsee also lL Chamar ie and Guy Haury C.R. 286 (1978), 609 611, for a principal
ideal theorem using other methods. This is a special case of theorem (2.1),
though I understand that a new generalisation has been obtained which does not
require that the ring be noetherian.
400
the theorem will apply. So in a sense, we may enquire whether the theorem is really
unfinished, or perhaps there exists an example for which c E1? (P) and height P >1.
Proof - Let B bound (c R) and 0 # Q< P be a prime ideal of R#
suppose
Q . Setthat 0 # 0 is a central element in
For large k, c-k (0 R) c -k-I ( fi R)
c-k ( 0 R)
kso set c a ,
{x E R ; ck x E s R }.
k large enough, and have
a2x E 0 R a x E fi R . Also bd (a R) ;;;, B
k
the same minimal primes. Now, as R-modules
so bd (a R) and bd (c R) have
aR + oR""a R and a R
}R
The module a R2+
fi R , considered as over the ringa R
R/ 2 k ' has a reduced rank pB
and the above shows that p (a2R
+ fi R) 0 . Hence this factor module is torsiona R + fiR
over the ring R/ vB ' where nilpotent radical of B .
are the minimal
primes over Band P PI' say.
Let 2ae a y + 0 Z ,where e E 1? ( ,rB). Now a E 1? (Q), since c E 1? (Q) as
c R > B Q . Thus e-ay E Q , hence
is proved.
ay E 1?(P) and a E e (P) • This part
Next suppose that for i 1, ... ,k ; then c E 1? ( IE).
by Cauchon's theorem above,
>
However I R I/cR
IX; I Ihl[%1
Isince c EO 1? (,IB) . Now R is known
to be ideal invariant, being fully bounded , and hence
... [%R+(/B)k! !/(RI
since (/B)k < c R for large k. The argument uses the notation IM I for
401
the Krull dimension of a R-module and results from Krause-Lenagan-Stafford
[ 6 ]
Theorem 2.2 - Let R be a right noetherian ring with an invertible ideal XI R .
If P is a prime ideal minimal over X then height P < 1 .
This theorem is from Chatters - Goldie - Hajarnavis - Lenagan [3] .
Proof - Let T be an overring of R; it is convenient to set T = 0 X-n
n=1
Taking P to be a orime ideal of R such that X 4 P thenX + P
Pis an inver-
tible ideal in w i, th inverse-I
X + P T
PTin the ring
T
PTAccordingly we can
reduce the problem to the case where R is a prime ring
So let height P > 2 in the prime ring R and let P Q 0, where
Q is a prime ideal. Let c be a regular element of R with cEQ . For large
n , c R n x2n < c Xn , because the ascending chain in R:
< R
must become stationary. Now P is minimal over Xn , so replace X by Xn
and
have c R n X2 < c X ; equivalently, c R n (X2 + c X) = c X .
Let p (M) be the reduced rank of a f. f';- module M over the ring R/X
and l e t
N the nilpotent radical of X
:::) cR )R II (X
2+ c X)
and
p(X2+CR)X + c X
p
o(x ·XC R} P(" : , X)
P (X ..' R) • P ( R/X•(c RO p
Thus P (X2+ c o. Let x E X andX + c R
dEe (N) with x dE x2 + c R , then
x dE 2 2X + (Q n X) = X + x Q . Thus
402
X-I x d X + Q P . Now
and dE t? (N) t? (P) , hence X-I x P . As x is any element of R, this
gives-I
R = X X P ; a contradiction.
In the argument we used p(_RX + cR ) X + cX
which requires proof.
Lemma 2.3 - Let A
tha t A X B , then
be Lg. rieht R - sub-modules of T \joo
X-n suchI
Proof - Let N =,IX as before. Evidently X N = N X. Suppose that A N B
hence A X N B X • Then is a natural lattice isomorphism -:
between subModules of and AX/BX
and it is enoueh to show that torsion
be a torsionmodules correspond. Let
where Y is either X
t Y N-Y N .
A/B
or X-I . Note Y N
Pi - module, then so isN
N Y and for t E T,
A Y / 'BY
Let aEAY , set K = {r E R ; ar E BY} ;;;. N >Ie need to prove that
K n t?(N) is not empty ; it is done here by proving that KI. is an essentialN
right ideal of RI. Let I <1R I> N and I ()K N Let s E IY -1 ,N r
s E y- I Now as E A Y y-I A so there exists c E 1;' (N) with asc E B and
asc Y Now sc y I y- I R , hence sc Y InK = N , hence
Ysc Now Ys I y- I ";;;R , so as c E 1;' (N) , then Ys N and s y
However is element of -Ihence y-I and it is done.s any I y , I = I
Corollary - Let R be a right noetherian rinE with a normal non-unit u and
P be a prime minimal over Ru = uR then height P
This is the original theorem of Jateeaonkar [5 l .
403
3. Rings of finite right global dimension
The fo l.Lowi.ng theorem is due do Brown - Haj arnavis - Hac-Eachan [1]
Theorem 3.1 - Let R be a right noetherian local ring of finite global dimension
on the right and set N to be its nilpotent radical. Then R/N is a full matrix
ring over a local domain and for each n E :IN there exists c E 1?(N) with n c ; 0 .
The theorem is a partial generalization of the classical result that a regular
local ring is an integral domain. Here one is able to prove that
ring and the analogy would be complete if it could be shown that N o
is a prime
When R
is left noetherian the result proves that Nc ; a for some c E 1? (N) Then,
of course, in some special cases the theorem can be completed. For example, when
R has an artinian quotient ring then c is regular and N a Again when R
has zero singular ideal then R a prime ring. For if Nk 0 Nk- 1 t- O ,
then Nk- 1 (N + c R) ; a and N + c R is right essential, so Nk- 1 is the singu-
lar ideal. But both of these cases are really special pleading, for example, in
the commutative case the singular ideal is N itself. Probably the must natural
such assumption is Ass RR consists of minimal primes ; this is weaker than that
of having a right artinian quotient ring.
Proof R is known to have a unique minimal projective module P , P ; e R ,
with 2be R-module, then obtain p (M) = k pep) fore = e M a Lg. we some
k E Z+ , where o is the reduced rank. \·fuen H is projective it is a direct
sum of copies of P and it is clear. So we shall prove the result by induction
on the projective dimension of M. Suppose that 0 -+ K -+ F -+ M-+ awith F free and proj dim K < proj dim M . Then
P (K) kl P (P) (induction)
p (F) = k2
p (P) k] , k2
E z+
Then p (M) = (k2- k]) p (P) , so it is done.
is exact
Now decompose R as e. R '" P , the e·
being primitive idempotents ; we prove that e i is a uniform module. Droppinge.Ni.
the subscript, choose x E e R with xR+eNeN uniform, then
404
+ P (x R) = P (e R)
so either p (x R) = 0eR
or p ( I x R) = 0 • If P (x R) = 0 then x c = 0 for
some cE i'?(N) , hence x E N and x E eN; a contradiction. Thus p (e R/xR)=O
so ed E x R for some d E 11 (N). This means that (x R + e N) IeN
is both
uniform and essential in e RIeN
We conclude that each is a uniform
module, as stated.
Let D E EndRtN
it is known tha t D
and
is an integral domain. As
(') ..... 8 e RIn e Nn
from which it follows that RIN
]Mn (D) and D is a local integral domain,
hence N is a prime ideal of R
P (R) = n p (P) and
o . Then forP (N)so that
Finally o N R R 0 is exact andIN
R eRRp ( IN) = n p ( leN) and p (R) = P (N) + P ( IN)
each n E N , there exists c E 1I(N) with ncO.
If R LS left noetherian, theni
N I i+lN
has a finite set of left genera-
tors with x. (d. R+N)J L
o for some diE 11 (N) . Thus
and o where dkE 11 (N) also.
405
"EFERENCES
[ 1] K. A. BROHN , C.R. HAJAANAVIS, A.B. MAC EACHAN
Noetherian rings of finite global dimension. Warwick Math Institute, 1978.
[2] G. CAUCHON Les T-anneaux, la condition (H) de Gabriel et ses consequences.
Comm . Algebra 4 (1976), 11-50.
[3] A.W. CHATTERS, A.W. GOLDIE, C.R. HAJARNAVIS, T.H. LENAGAN
Reduced rank in ncetherian rings. J. Algebra (to appear in 1980)
[ 4 ] A.W. GOLDIE Tors ion free modules and rings. J. Algebra 1 (1964), 268-287..
[5] A.V. JATEGAONKAR Relative Krull dimension and prime ideals in right
noetherian rings. Comm, Algebra 4 (1974), 429-468.
[6] G.KRAUSE, T.H. LENAGAN, J.T. STAFFORD
Ideal invariance and artinian quotient rings .. J. Algebra 55 (1978)
145-154.
[ 7 ] B. STENSTROM Rings of quotients. Springer-Verlag 1975.
Prime Ideals in Group Algebras of
Vertices and Sources
by
11ARTIN LORENZ
These notes represent a somewhat expanded version of a talk that I gave in
this seminar in November 79. The results presented here are joint work with
D.S. Passman.
In Section 1 we describe the machinery that has been developed to study prime
ideals in R[G] whith G polycyclic-by-finite. We briefly discuss Roseblade's
fundamental work on group algebras of orbitally sound groups and its extension to
general polycyclic-by-finite groups by Passman and the author. Although crossed
products have played an important role here and some results do in fact hold in
this more general setting, we will concentrate on group algebras here. Sections 2
and 3 contain previously unpublished material. The main purpose of these sections
is to illustrate the notions of vertex and source for prime ideals in K[G] that
were introduced in [4] . Our general point of view in Section 2 is to consider the
vertex of a prime P as being given and derive information about P. In particu-
lar, we will describe the set SpecH(K [G]) of all prime ideals in K [G ] having
a fixed vertex H. Section 3 is devoted to the catenarity problem.
Throughout these notes, G will always be a polycyclic-by-finite group and
K will be a commutative field.
407
§ I - Preliminary results
I. A - Induced Ideals ([ 6 ] , [4]). Let H be a subgroup of G and let L be an
ideal of K[H ]
ned in L K[G]
Then we let LG denote the unique largest ideal of contai-
that is
LG
= annK[G] (K[G] / L K[G]) = ngeG Lg
rz[G].
Any ideal of K[G] of the form I LG will be called an induced ideal or, more
precisely, induced from H Let trH: K[G ] K[H] be the proj ection map sending
L k g to L k g Then LG can also be characterized as the uniquege C g gEH g •
largest ideal of K[C] satisfying ITH(I) L . In particular, the above defini-
tion of LG is left-right symmetric. If H is normal in G, then the above
expression for LG becomes:
(1.1 ) (LG n K[H]) K[G] •
Thus, for an ideal of K[G] , being induced from a normal subgroup H of G is
the same as being controlled by R, in the usual sense. The basic result that we
will need is a follows :
(1.2) Theorem ([4, Theorem 1.7]) . Let N be a normal subgroup of G of finite
index, let Q be a prime ideal of K[N] and let A be any subgroup of G contai-
yields a I-I correspondence between the prime ideals
n Qa and the primes P of K[G] withaeA
ning t ae stabilizer of Q in
Then t ae induction map (.) G
T of K[A] with T n K[N]
G , that is A 2 {gEGg -I
Q = g Q g = Q }
p n K[N]= n Qg Moreover, if P = TG as above, then T is the unique minimalgeG
covering prime of P n K[A] with n Qg C1 Tn K[N ].g¢A
We remark that if N is normal in G of finite index and P is a prime
ideal of K[G ], then P n K[N] always has the form P n K[N] = n QggeG
for some
prime ideal Q of K[N] which is unique up to G-conjugacy.
Proof By Theorem 1.2 , P
408
TG for some prime T of K [A] and, by (1.1),
TG
= (TG n K [A l ) K [G] , since A is normal.
1. B - Orbitally Sound Groups (Roseblade [8 ]). A_ H of G is called
orbital if [G JNG(H)] < 00 . An orbital subgroup H is said to be isolated
orbital if and only if H is the only orbital subgroup M with M Hand
[M ; H] <00 . In general one defines, for H orbital in G,
< M I H S M SG M orbital, [M
One can show (see [8, p . 400/401]) that riG (H) : H] <00 and that iG(H) is
isolated orbital in G. Therefore, iG(H) is called the isolator of H in G. The
definition of iG(H) makes it clear that we have :
The group G is said to be orbitally sound if and only if all isolated orbital
subgroups of G are normal. The following important result is due to Roseblade.
(1.5) Theorem ([8, Theorem C2]). Set nio(G) = nH
JNG(H), where the intersec-
tion runs over all isolated orbital subgroups of G . Then nio (G) is an orbitaHy sound
characteristic subgroup of G of finite index. Moreover, nio(G) contains every
orbitally sound normal subgroup of G of finite index and every finite-by-nilpotent
normal subgroup of G.
409
Using the linearity of polycyclic-by-finite groups, Wehrfritz hasgiven an alter-
nate proof for the existence of an orbitally sound normal subgroup of G of finite
index. (See [2, § 2] ) •
I. C Standard Prime Ideals ( [3] ). We let 6
that is :
6 = {g E G I [ G : ltG(g) ] < 00 }
6 (G) denote the f. c. center of G,
For any ideal I of K [G ] we set It = {g E G I I - g E I } . Thus It is the
kernel of the natural map [G] II and hence is normal in G. Following
Roseblade [8] , I \vill be called faithful if It =<1> and almost faithful if rt
is finite. Note that any ideal I of K[ G] is the complete inverse image of a
faithful ideal in K [G II t] •
(1.6) Definition ([ 3» • A prime ideal P of K [G] is said to be standard if
and only if P = LG for some almost faithful prime ideal L of K[ 6]
In [3, Proposition 1.4] it is shown that for any almost faithful prime L
of K[ 6] the induced ideal LG is always prime in K[ G] Any standard prime
is in particular almost faithful. We call P virtually standard if the image of P
in K[ G I pt] is standard. Although the defining conditions seem to be very
restrictive, virtually standard primes do in fact occur quite often. Indeed,
Roseblade's theorem [8, Theorem C I ] can be stated as follows:
If G is orbitally sound then all primes of K [G ] are virtually standard.
A converse to this will be proved in Section 2 .
I.D Vertices and Sources of Prime Ideals ([4]) For any subgroup H of G we let
'VG(H)
denote the complete inverse image in I'G (H) of 6 ( l'lG (H) IH) • Thus, clearly,
'VG(H) l'G(E) and VG(H)/H is finite-by- abelian. Furthermore, if H is
410
orbital then so is Il G(H) and if H is isolated orbital then Il G(H) IH == z" for
some n. Finally, it is not hard to see that for isolated orbital subgroups HI
and H2 we have :
(1. 7) H C1- implies
([4, Lemma 3.1]). Let I be an ideal of K[G] and let N <l G . Then we say
that I is almost faithful sub N if and only if It C Nand [N: It] < 00
(1.8) Theorem ( [4, Theorem I, II, Ill] ). Let K be a field and let G be a
polycyclic-oy-finite group.
(i) (Existence) If P is a prime ideal of K[ G ], then there exists an isolated
orbital subgroup H of G and an almost faithful sub H prime ideal L of
with P
(ii) (Uniqueness) In the situation of part (i), H is unique up to conjugation
in G and, for a given R, L is unique up to conjugation by ]tiG(R)
(iii) (Converse) If H is an isolated orbital G and L is an almost
faithful sub H prime ideal of K [IlG(H)] then LG is a prime ideal of K [G] .
(1.9) Definition ([ 4]). Let P be a prime ideal of K [G] and let Hand L be
as in Theorem 1.8(i),(ii). Then we call H a vertex of P and write:
HG
vx(P)
Furthermore, we call L a source of P (corresponding to the vertex H).
If P is a given prime of K [G], then vx(P) can be obtained as follows.
Write P n K [nio (G) ] for some prime ideal Q of K [nio(G) ] • (Q is
unique up to G-conjugacy). Then we have:
(1. 10) vx(P)
( [4, Theorem 2.4(i) ] ). If H vx(P) is given, then the possible sources of P,
411
for this H, are obtained as follows. Set A JNG(H) . Then, by (1.4) and (1.10)
and so Theorem 1.2 implies that there exists a uniqueA JNG(Qt) StabG(Q)
prime ideal T of K [A ]
have :
with T n K[nio(G)] - n Qa and TG P- a A Then we
(1.11) The sources of P (for the given H) are precisely the minimal covering
primes of T n K [VG(H)] .
(See [4 , Theorem 2.4 (ii), proof].) The relations between P and its vertex H
and source L are of course quite interesting. For example, if Q(.) denotes the
classical ring of quotients, then the centers 3(Q(K[G]/P)) and 3(Q(K[VG(H) ] IL))
have the same transcendence degree over K, in short
(1.12) c i r . (P) c. r. (L)
(c.r. central rank; see [3 ].). It follows that, for K nonabsolute, P is
primitive if and only if L has finite codimension in K[VG(H)] . Finally, one can
give an expression for the height ht(P) of P involving a certain group theoretic
invariant, depending upon H vx(P) , and the central rank of L. For details we
refer to [4].
§ 2. - Vertices of Primes in K[G]
The vertex vx(P) of any prime P in K[G] is, by definition, an isolated
orbital subgroup of G. The following lemma shows that all isolated orbital
subgroup of G do in fact occur this way.
(2.1) Lemma Let H G be an isolated orbital subgroup of G. Then there exists
a prime ideal P in K[G] with vx(P) H.
Proof If is isolated orbital, then v (H) IH z"G
for some n and so the
augmentation ideal L (wH) K[ VG(H)] satisfies
Thus L is prime and is clearly almost faithful sub H. By Theorem 1.8(iii) we
412
conclude that p LG
is a prime ideal of K[ G I with vx(P) G H.
By definition of nio(G) , we have for any prime ideal P of K[ G I
(2.2) JNG (vx CP) 2 nio(G) .
The extreme case of a normal vertex is certainly of interest.
(2.3) Lemma Let P be a prime ideal of K [G I. Then vx(P) is normal in G if
and only if P is virtually standard.
Proof First assume that H vx(P) is normal In G and set \I \lG(H) . Then
\I<lG and, by Theorem 1.8, p LG for some prime ideal L of Kr \I I with
and there are only finitely many such subgroups. :hus
is a subgroip[H: n (Lt)g] <00, since eachgEG
\I ::J G , vie have P (P n K [ !! I) =Z [ G] and
by (I. I). In particular, it follows that
Since
p n K[ \II n G Lgge
n (L-hgc H. Note thatgEG ')-
of H of index [ n . Lt]
[H pt ] < 00 and, in particular, [Lt : pt ] < 00 Moreover, the definition of \I
easily implies that \I IPt . Thus, if K[G] - K [G/Pt] denotes the
map then \I to (G), L is a Irnos t; faithful in K[17] and P r;G . This
proves that P is virtually standard.
Conversely, assume that P is virtually standard and let D denote the comple-
te inverse image of to (G/pt) in G. Then P = LG for some prime L of K [ D ]
with [Lt : pt] < 00 • Let R/Pt be the torsion subgroup of D/Pt • Then
[H : pt J< 00 and H is easily seen to be isolated orbital and normal in G
In particular, L is almost faithful sub H , and since p = LG and D = \lG(H)
vle deduce from the Uniqueness Theorem (Theorem 1.8 (Li ) that H vx(P) . Thus
vx(P) is nornal in G, and the lemma is proved.
Recall that, by definition, G is orbitally sound if and only if all isolated
orbital subgroups of G are normal. Thus Lemmas 2.1 and 2.3 immediately give
the following result
413
(2.4) Corollary G is orbitally sound if and only if all primes in K[G] are
virtually standard.
Note that this contains Roseblade' s Theorem C I in [8] as the "only if"
-direction.
In the other extrema case, namely JNG(vx(P)) = nio (G) , we have
P = (P n K [nio(G)]) K[G] . This follows from the following slightly more general
observation, together with (1.1).
(2.5) Lemma Let P be a orime ideal of K[G] and let A be a subgroup of G with
Then P = IG for some prime ideal I of K[ A] .
Proof By Theroem 1.8(i), P is induced from VG
(vx(P)) and, since induction is
transitive, P is also induced from A . Thus there exists an ideal I of K [A]
with Ie = P Choosing I maximal wi t h this property we can get I to be prime.
K [A] containing I such that J I ,JZ S; I ,Indeed, if
then
and J Z are ideals of
G C I G = PC (JI.JZ)and hence or
,.,J; S; P . The maxi-
ma l i t y of I now yields JI
= I or JZ
I , as required.
!Jow consider prime ideals PI' and PZ' of K[G ] with PI S; Pz • Then it
follows from (1.10) that we have:
(2.6) C
n Q.ggeG
and hence
and so iG(QZt) ::J iG(Qlt) , since
now follows from (1.10). Note that (Z.6)
Qz 2 Q g for some g E G Replacing QII
assume that QZ 2 QI Thus Qzt 2 Qlt
iG(.) is monotonic ([8, § 3.1]) (Z.6)
and (I. 7) imply that
(up to G-conjugation, of course). For, if we write Pi n K[nio(G)] =
for suitable primes Qi
of K[nio(G) 1 , we see that QZ 2 nge G
QIg
by a G-conjugate if necessary, we may
(2.7)
414
We now consider the case vx(P 1)
H of G we set
vX(Pz) . For any isolated orbital subgroup
SpecH
(K [G I ) = { P E Spec(K [G I) I vx (P)G
H } ,
a nonempty subset of Spec (K [G] ), by Lemma Z. I. We have
Spec(K [GI ) UH
a disjoint union with H ranging over a complete set of non-conjugate isolated
orbital subgroups of G. Our goal is to describe SpecH(K[GI) for R a fixed
isolated orbital subgroup of G. Set A = WG(H) and V = VG(H) so that
H <1 V <l A and V/II = ls (A/H) • Note also that H is normal and isolated orbital
isthe latter since V/H is torsion-free abelian. Thus SpecH(K [vI)
defined and is in fact easily seen to be identical 'vith the set of all primes of
in V
K [V I which are almost faithful sub H . Now A acts on SpecH(K [V]) by
conjugation, and we let
JIf
Spec R (K [ VI) / A
denote the set orbits under this action. The A-orbit of L E Spec H(K[ VI ) will be
written as [L I We remark that each such orbit is finite. To see this, choose
a normal subgroup N of A with N S r.t and [H N ] <00 Then we have
M A/N) = V/N and thus there exists a subgroup X of A of finite index which
centralizes V/N Clearly, X S StabA(L) and so the latter has finite index in A.
For L1,
LZE Speca(K [V I define
[L 1].;; [ L
Z] if and only if L1C L a
Z
for some a E A
If [L1I .;; [LZ] .;; [L1 I , then T C L a C L b for suitableZ I
a,b E A , and the fact that [L] I is finite implies that we have equality througIDut
so that [ L1I [ LZI l:hus .;; defines a partial order on J Note that,H
surely, LG = (La)G for any L E Spec H(K [ VI ) and a E A Hence the induction
map (.) G can be defined on J H ' and Theorem 1.8 says that (.) G is a one-to-one
415
map of onto SpecH(K[G J). The pre image of P E SpecH(K[G J) is the set of all
sources of P corresponding to H.
(2.8) Proposition. The map
induces a I-I correspondence between these two sets such that for any
if and only if
Moreover, in this case
ht ([ LZJ G / [LIJ G) c.r. (LI) - c i r . (LZ)
Here, of course, ht([LZJG / [LIJG) denotes the height of the prime ideal
[ LZJ G / [LIJ G of K[G J / [LIJ G . Note also that c. r. (Li) is surely on invariant
of [LiJ , since the factor rings corresponding to the elements of [LiJ are pair-
wise isomorphic. In addition, we know by (I.IZ) that
c. r , ([ L.J G) •t,
Proof of (Z.8) The fact that (.)G is one-to-one and onto has been noted above,
and (.) G is clearly order preserving, i.e. [ LIJ [ LZJ implies [LIJG
S; [LZJG
It remains to show that, conversely, [L JG S; [L JG implies [ LIJ [ LZJ andI Z
to verify the height formula.
Write Pi = [Li JG (i = I, Z) and assume that P1 S; PZ . We reconstruct
by using (1.10) , (1.11) . Thus write n Kjn.io IC) J = n Q. gL gEG
for suitables primes Qi
of K[nio(G)] and, as we have remarked earlier, we may
assume that QI S; QZ . By (1.10), we have H iG(Ql t) = iG(Qzt) . As above, let
A = :ING(H) Then (1.4) yields A"2 ING(Q/) "2 StabG(Qi) "2nio(G) for i = I,Z,
and hence it follows from Theorem I.Z that P. = T. G for certain uniquely deter-
is the unique minimal covering prime of
n Q.a(i = I,Z). InaEA i.
which
contains
P. n K[A J
TZ "2 TI
. If not, then
with Ti n K[nio(G) J
. We claim that
T.i.
n GgEG\A Qi
does not contain
mined prime ideals Ti
of K[A]
fact, we know that
contains ngEG\A
416
and we obtain that Q a ;Z
TZ
n K[nio(G)] 2 ngEG\A
Q g . Therefore, QZ 2 Qlg for some g E G\ A so that
I
H i G(QZt)::> i «Q g)t) ; (i
G(Qlt»g ; Hg Since H is orbital, it follows that
G I
H Hg , contradicting the fact that g (j.A JNG(H) Thus we must have TZ 2 TI
,
and hence TZ n K[I7] 2 TIn K[I7] . (Here, 17; I7
G(H),as above). By (1.11), the
sources of Pi' for the given H, are precisely the minimal corering primes of
Tin K[17] (i I,Z) • Since any minimal covering prime of T
Zn K[I7] contains a
minimal covering prime of Tin K[ 17] , we conclude that [LZ]
;;;, [LI]
. This proves
the first assertion.
As to the height formula, first note that the members of any chain of primes
in K[G ] leading from to [L]G belong toZ
SpecH(K[ G]) , by (Z.6) . Thus,
by the foregoing, we conclude that
where the latter of course denotes the maximal length, n , of a saturated chain
Si E J H . Now each such chainSo
yields a chain
<=1=
< S=1= n
with
C I with*- nand
In E [LZ] , and conversely. Thus in order to complete the proof of the proposition,
it suffices to establish the following sub lemma :
Sublemma Let Hand 17 be as above and let I S; J be prime ideals of K [ 17]
which are almost faithful sub H Then ht(J/I) ; c.r. (I) - c.r. (J)
Proof We have It <I 17 and 17 lIt is finite-by-abelian, since [H: It] < 00
and I7/H is abelian. Let-: K[ 17]-K[17 /It] denote the natural map. Then ,I
and J are primes of K [ 17] with I S; J and c.r. (1) c.r. (I), c.r. (J);c.r. (J).
Moreover, ht (J I I) ; ht (J I 1), and so we may assume that 17 is f i.ni te-by-abelian.
In particular, 17 contains a torsion-free central subgroup Z of finite index. Now
X; In K[Z ] S; Y J n K1Z] are prime in K[Z] , and c.r.(X); c.r.(I),
c.r.(Y) = c.r.(J) (see [3, Lemma 4.3 ]). It is not hard to show that ht(J/I)
= ht(Y/X). Indeed, follows from Incomparability ([4, Lemma 1.3(ii)] , for
example), and ;;;, is a consequence of the more general Proposition 3.3 . Thus we
417
may assume that V = Z , and hence for some m. Since
the assertion is classical in this case (cf. [ 7 , p. 84/85] ), the sublemma, and
hence the proposition, are proved.
The above proposition shows that SpecR
(K[G]) and JR
may be identified for
our purposes. Moreover, as we have seen in the above sublemma, the situation in
J R is almost classical. So, for example, if n denotes the rank of the free abe-
lian group V/R , then we know that any prime ideal L of K[V] whi ch is almost
faithful sub R has central rank at most n . Thus, by (1.12), we have for any
P E SpecR
(K [G] ).
(2.9) c.r. (P) rank (V/R) = n .
Proposition 2.8 further implies that any chain of primes in SpecR(K[G]) has length
f. L of primes L. in K rvl with L.t = R for all in i,
K [V] -K[ VIR] denote the canonical map, then
can be embedded in KO For i = 1,2, ... ,n let E KO
Indeed, if we let
Vn
== z"= II <.x , >i=i
at most n. On the other hand, if K is nonabsolute then there always exists a
chain Lo ;t;: LI f.
denote the image of x. under this embedding, and for each Q, = 0,1, ... ,n let
<PII- K[Vj - K [vl be the K-algebra map given by <PQ,(x i) L = for i Q,
xi for i > Q, . Then each LQ, = Ker <PQ, is a faithful prime in
K [V] , and Lo f. LI f. ... j Ln . Thus for nonabsolute K we have:
(2.10) dim SpecR
(K [ G ]) rank (V /R) .
This is however no longer true if K is absolute. For, in this case the image of
V in every simple homomorphic image of K[ V] is finite. Another consequence of
Proposition (2.8) is that for any two given primes PI
all saturated chains PI = Qo f. QI f. Qr = P2
have length r = c.r.(pl) - c.r.(P
2)
c P2 in Spec R (K[ G] )
of primes Qi in K [G 1
§ 3 - Catenarity
It is an interesting question, whether or not the fact described in the last
paragraph of Section 2 holds quite generally in Spec (K [G ]) . That is, given any
two primes PI:; P2 in K [G l , do all saturated chains of primes
418
PI = Qo QI ; .. , t Qr
= Pz have the same length r = ht(PZ) - ht(P I ) ? In short,
are group algebras of polycyclic-by-finite groups G catenary Roseblade has
proved a positive answer to this for G orbitally sound or, slightly more generally,
for G a ?-group (see [8], [9] ). In this section we will show that our methods
do at least quite easily yield an extension, of Roseblade' s result from orbitally sound
to orbitally sound-by-finite nilpotent groups, that is polycyclic-by-finite groups
G with a normal subgroup N such that N is orbitally sound and GIN is finite
nilpotent.
Recall that two primes PI f Pz
of K [G] are called adjacent (or neighbors)
if there exists no prime in K [G] lying strictly between PI and Pz K [G]
catenary if and only if for any two adjacent primes PI f Pz of K [G ] we have
ht(PZ) = ht(P I) + I
(3.1) Lemma Let H be a normal subgroup of G of finite index and assume that
K [H] is catenary. Let PI f Pz
be adjacent primes of K [G] such that PI is
induced from H (i.e. PI = (PI n K [H]). K [G]) . Then ht(PZ) = ht(P I) + I
Proof For i = I,Z write Pi nK [H] = n Q.g for suitable primes Q; ofg G
K tH] such that QIf Q
Z. It is well-known (see for example [8, §8.1]) that
ht(Qi) = ht(Pi). Thus it suffices to show that ht(QZ) = ht(QI) + lor, since
K [H] is catenary, that QI
and QZ are adjacent. Assume otherwise so that
QI t Q QZ for some prime Q of K [H ] . Then we have
PlnK[H]= ng GQlg f I=ng G Qg f PZnK[H] = ng GQzg ,
where the inclusions are strict since all occuring intersections are finite. It
follows that PI = (PI n K [H]) K [G] f I K [G] (PZ n K [H]) K [G] f PZ'
Note that I K [G] is an ideal of K [G] and, moreover, every minimal covering
prime of I K [G] intersects K [H] in I (see [5, Lemma 4.1] or [8,Lemma 8]).
Since Pz contains such a minimal covering prime, P , we obtain that PI P Pz '
contradicting the fact that PI and Pz are adjacent. Thus QI and QZ have
to be adjacent, and the lemma is proved.
(3.2) Proposition Assume G is orbitally sound-by-finite nilpotent and let K
be any field. Then K [G] is catenary.
Proof Let N be an orbitally sound normal subgroup of G such that GIN is fini-
te nilpotent. We argue by induction on IG/N I . The case G = N is due to Roseblade
so we assume that G N • Let PI Pz be adjacent primes in K [G]. We have to
419
show that ht(PZ)
= ht(PI)
+ I For this, we may assume PI to be faithful. Indeed,
writing PinK[N] = n Q g for suitable primes Q. of K [N ] with QI S QZ'geG i
we have ht(Qi) = ht(Pi)
, and ht(QZ) =ht(QI) + holds if and only if QI and QZ
are adjacent, by Roseblade's result. Thus ht(PZ) ht(P I) + I if and only if QI
and QZ are adjacent, and the latt.er surely holds if and only if the images of QIand QZ under K [G]-K [G/plt] are adjacent. Thus PI will be faithful in the
following.
First assume that the vertex of PI' v x (P I)' is normal in G. Then, by
Lemma Z.3, PI is virtually standard. In particular, since PI is faithful, we
have PI (PI n K [11]) K [G 1, where 11 = I1(G) is contained in nio(G) , by (1.5).
Thus PI is induced from nio(G), and since K [nio(G)] is catenary, by Roseblade's
result, we may apply Lemma 3.1 to conclude that ht(PZ)
ht(P I) + I
Now assume that JNG(vx (PI)) is a proper subgroup of G. By (Z.Z), JNG(vx(PI))contains nio(G) and hence N . Since GIN is nilpotent, there exists a proper
normal subgroup H of G with H:: JNG(v x (P I)) . By Lemma Z. 5, PI is induced
from H and, by induction, K [H] is catenary. Thus Lemma 3.1 again yields
ht(PZ) = ht(P I) + I , and we are done.
We remark that group algebras of finitely generated abelian-by-finite groups
are catenary. This follows from work of Schelter on affine PI-rings ([ 10]) . We
close with a related result on certain crossed products. For the definition and
basic facts concerning crossed products we refer to [ 5] Here we just note that
if S R*G is a crossed product of the finite group G over the commutative
ring R , then G acts on R , and if P is a prime ideal of S , then
P n R n Qg for some prime ideal Q. of R ",hich is unique up to G-conjugacygeG
and satisfies ht(Q) = ht(P) (See [5, § 4]).
(3.3) Proposition Let R be a finitely generated commutative K-algebra and
and let S = R * G be a crossed product with G a finite group. Let PI S Pzbe primes in S and write P. n R = n O.g for suitable primes Q. of R ",ith
ge C r,
QI S QZ . If PI and Pz are adjacent then so are QI and QZ'
Proof Upon dividing out by (PI n R) S we may assume that PI n R = 0 . Set
T = S/P I and let P denote the image of Pz in T . Then R STand P has
height I in T Since G is finite, the fixed subring RG = {r E R I r g = r
for all g EGis a finitely generated K-algebra, as R is, and R is a finitely
generated module over RG. Moreover, RG is central in T. By the Noether norma-
lization theorem ( [7, p.91 ]), RG contains a subring V such that
420
V"'" K [XI ,XZ"" ,X 9,] for some Q and RG is a finitely generated module over V.
Therefore, T is a finitely generated module over the central subring
V"'" K [X I'XZ, ... ,X9,]'
Now assume, by way of contradiction, that QI Q QZ for some prime Q of
R . Then the Incomparability theorem ([ I, p.61 1) implies that °f= X Q n V
Xz = Qz n V • Note that X = (n Q g) n V = p n V , since V C RG . Noter- Z gEG Z
further that V is integrally closed and T is a prime PI-algebra, being a fini-
tely generated module over a commutative K-algebra. Hence, by Schelter [ 10 ,Theorem 3],
the Going Down theorem holds for the extension V T . Thus there exists a prime
ideal p' in T with p., P and p'n V = X In particular, 0 f= pI nv f P n V
and so 0 J P' P , contradicting the fact that P has height I . Therefore, we
conclude that QI
and Qz are adjacent, and the proposition is proved.
REFERENCES
[ I] M.F. ATIYAH and I.G. MACDONALD - Introduction to Commutative Algebra,Addison-Wesley, Reading, Mass. (1969).
[Z] D. FARKAS and R. SNIDER - Induced representations of polycyclic groups,Proc. LMS (3) 39 (1979) 193-Z07.
[3] M. LORENZ and D.S. PASSMAN - Centers and prime ideals in group algebras ofpolycyclic-by-finite groups, J. Algebra 57 (1979) 355 - 386.
[4] M. LORENZ and D.S. PASSMAN - Prime ideals in group algebras of polycyclic-by-finite groups, Proc. LMS (to appear).
[5] M. LORENZ and D.S. PASSMAN - Prime ideals in crossed products of finite groups,Israel J. Math. 33 (1979) 89-13Z.
[6] M. LORENZ and D.S. PASSt1AN - Addendum-Prime ideals in crossed products offinite groups, Israel J. Math. (to appear).
[7] H. MATSUMURA - Commutative Algebra, Benjamin, New York (1970).
[8] J.E. ROSEBLADE - Prime ideals in group rings of polycyclic groups,Proc. LMS (3) 36 (1978) 385-447.
[9] J.E. ROSEBLADE - Corrigendum-Prime ideals in group rings of polycyclic groups,Proc LMS (3) 38 (1979) ZI6-Z18.
[10] W. SCHELTER - Non-commutative affine PI-rings are catenary,J. Algebra 51(1978) 12-18.
Hartin LORENZFachbereich MathematikUniversitat Essen4300 ESSEN I
STRUCTURE OF INTEGRAL GROUP RINGS
K.W.Roggenkamp (Stuttgart)
In his important paper on the structure of blocks of defect one
R.Brauer in 1941 investigated as a main tool integral group rings in
order to pass from ordinary character theory to modular representation
theory - this is also nowadays one of the main applications of inte-
gral representation theory.
To state Brauer's result we need the following
Notation: Let G be a finite group, p a rational prime divisor of
IGlwith [GI=pan, p {n and T an irreducible complex representa-
tion of degree m _ O(pa-1). A field K is said to be a normal mini-
mally ramified splitting field for T if
(i) K is a normal extension of a such that the ramification
index of p in K is the same as the ramification index of
adjoining the character values of T to a.
In the same paper Brauer proved the existence of such a K.
(ii) Let now p lie above p in K and let Sp
be the locali-
sation of the ring of integers S of K at p. Moreover, it
is no restriction if we assume that T is realized in Sp
(iii) Let t denote the number of non-isomorphic modular constituents
of T i.e. different composition factors of T/pT
Theorem 0 (Brauer 1941,Theorem 11): The SrG-suomodules of L, the SpG-
lattice on which T acts, are linearly ordered
and the (absolutely) irreducible Sp/pG-modules Li_1/Li
pairwise non-isomorphic.
Supported by DFG grant.
are
422
where B is a separable order (L, e. p B
Gp t '!1 + P B. (This uses heavily (cr».
rad B ) and rad B =
(iv) Let e be a primitive idempotent in KP, then
(L) (rad(RI' e » t G'!1
(ii) [rad(RGe )1",
[rad(RG e )] '!1
(RGe)'!1
Proof: If S is the simple module, we have the exact sequence
o .... rad (RP e) .... RPe .... S ... 0
Since B is a block, it is a flat RP-module, and so we get
o ... B 0 RP rad RP e ... Be.... B 0 RP S .... 0
and B 0 RP S is a B-module (cf. (**», and so it is semi-simple; i.e.
B 0 RP rad RP s =' rad Be.
On the other hand, P is normal and s is central, thus B 0 RP rad RP e
is nilpotent modulo p RG; i. e.
B 0 RP rad RP e
But because of (ii) rad RP e "" RP e
Be rad B e
rad Be, this proves (i).
and so
proving (ii).
(v) If now e is a central primitive idempotent in KB, then
either Be -f 0 , in which case Be is even separable, or
11 e = 0 , in which case there exists a primitive idempotent e
of KP with e e e , and the statement follows from (iii).#
Remark: In order to describe the group ring RG one has to know how
the various projections RG e
the following
are linked together. For this we make
Definition: Let A be an R-order in the semi-simple K-algebra A .
A is said to be a Backstrom-order if there exists a hereditary R-order
r in A with rad I\. = rad r .
Remarks:one
(i) The good thing about Backstrom-orders is thatAcan write
them down explicitely, if one knows r and the embedding
423
ring of integers over R in D.
An R-order r in A is said to be hereditary if every submodule
of a projective r-Iattice is itself projective.
Theorem 1 (Auslander-Goldman 61, Harada 63, Brumer 63, Jacobinski 71):
For an R-order r in A the following are equivalent:
(i) r is hereditary
(ii) rad r is projective
(iii) {X E A: x r-ad r c: r ad r } = r
(iv)
r Morita
.. IT?: .. IT.,o]: '. . IT"n :.o m
Proposition 1: Let B be a block of RG with defect group P and
block idempotent such that
Q'.)P<lG
P is abelian
y.) every subgroup of P is G-invariant.
(L) If e is a central primitive idempotent in KB, then Be is
a hereditary order.
(d i ) If B/p B contains an absolutely simple module, then the
Schur-indices of all simple modules in KB are one.
Sketch of the proof:
(i) The hypotheses on P imply that every primitive idempotent e
in KP is central and G - invariant (y).
(ii) Because of RPe is a maximal order - in particular here-
ditary - observe that P operates on RPe via a primitive
pS_th root of unity.
(iii) (Michler 1975) If P is the augmentation ideal of P; i.e.
D is the kernel of the homomorphism RP R , then we have
an exact sequence of twosided B-modules
o Df B ... B .... 0 Ker (RG "* RG/P)
A/radA .. r/rad 1\
bra into another.
424
i.e. an embedding of one semi-simple P-alge-
(d t ) With the embedding A/rad A .... r /rad 1\ one can associate a valued
graph y , in the sense of Dlab/Ringel and the representation
theory of A is the same as that of the non-simple y-modules
(Ringel/Roggenkamp 1979).
Corollary: Let e be a primitive central idempotent/in GKp t 'Il and
write 'Il = 'Ill + 'Il2 according to the exact sequence (*)
Then RG(e + 'Il2) is a Backstrom-order.
Proof: One uses (iv) and the sequence (*) to show
rad RG(e + 'Il 2) 1/
Examples: 1.) Let G = C C be the Frobenius-group of order p qp q
p a rational prime and q a divisor of p-l . One should imagine G
as the semi-direct product of the group of primitive p-th roots of uni-
ty with the subgroup of order q of the Galois-group of K(6) over
K where 6 is a primitive p-th root of unity, acting. If we put
S FixC (R(b» , then RG has the following structure with p = rad S :q
RG
p
S :Sq
p
R for lSi$q andwhere R.1
S - R is the pullback ofp
S P R .. R
S q S/pS .... R/pR
One can use - in case q is also a prime - the local information to
write down the group ring lG explicitely. Let S be a primitive
425
This result can be phrased as follows: Let be the central idem-
potent of KG corresponding to T, then
(** )Morita
[
s p... p]p. • •. . .. ": . . . p
Sp' •••••• SI1t
Remarks: (i) The condition deg(T) =O(pa-l) implies that T be-
longs to a block of defect one.
(ii) If one works with an arbitrary splitting field L K then p
in C,",) must be replaced by
index.
sp where Sl is the ramification
(iii) E.C.Dade in 1966 has generalized Brauers results for blockS of
defect one to blocks with cyclic defect group, and he remarks
that he has not found an analogue to Brauers Theorem (11).
In his Habilitationsschrift W.Plesken (1980) has - using the
description of Peacock (1977) for blocks with cyclic defect
group - found the structure of
e in KG , in case KG
S G ep
is split
for a central idempotent
(iv) In applications - crystallographic groups, descriptions of units
in IG, automorphisms of IG it is often necessary to find
IG e resp. 1. G e ; and the difficulty is that there can occurp
skewfields.
So the aim of this talk is to give a description of blocks ofA
defect one, lp being the p-adic complete integers.
i. G ofP
We first fix the notation for the sequel and recall some results
about hereditary orders.
Notation: p is a rational prime and t p with field of quotientsA
0p denotes the p-adic completion of 7L , and R with fractions K
is a finite unramified extension of 1 We put R/pR Let A=(D)p n
be a simple K-algebra, D a skewfield and rl with IT o r ad o the
426
q-th root of unity, then
l[S ];pZ [s] lip 1 (q-l)
and if S FixC , we can form the pullbackq
l[S] Ii (S EllI-
and also the pullback
Ell S)
q-l -j
....
...
seq-i)
Il!pl (q-l)
l le l q z .... 1
... llql
The group ring then has the following form
p
lG
S
p
p
q
2.) Let G1 be the Frobenius-group of order 21, and form the pullback
1 .... .... 1
Ci the cyclic group of order i .
Let R = Z7 ' then the principal block of RG is isomorphic to RG1
and is described as above. There are two more algebraically cojugate
blocks B1 and B2 with
KB1 L Ell D
where L = a primitive 9 t h root of unity and D the unique
skewfield over F FixC (K(31r» of index 33
427
If S is the ring of integers in Land n the maximal order in
D , then S/rad S "" n/rad n = IF73 and 81 is the pullback
S 0 -+ S
o -+ 1F37
where F 3 is the field with 73 elements.7
Remark: If it is possible to write down in such an explicit way the
integral group rings, one ought to be able, to describe the group of
units in lG
So let us detour for a moment for some remarks on units of integral
group rings.
We denote by U(lG) the units in lG and by V(lG) the group of nor-
malized units; i.e. the units which have augmentation one. Since G
is a subgroup of V(lG) there are some questions connected with this
embedding (cf.Dennis (1976»:
(1) When does there exist an exact sequence
which is split by the embedding G -+ V(lG).
(2) When is Vo
torsion free. In all the examples which are known,
(1) and (2) have positive answers . (The symmetric group on
three letters - Hughes-Pearson 1972, the dihedral groups of odd
order - Miyata 1979, the alternating group on 4 letters - Allan
and Hobby 1979)
Zassenhaus showed in 1975 that the order of every unit of finite order
in V(lG) divides the exponent of G. This-together with the known
examples - lead Zassenhaus to conjecture.
(3a) If U is a finite subgroup of V(ZG), then U is isomorphic to
a subgroup of G.
428
(3b) Let u be a unit of finite order in V(lG) then there exist a
unit x E QG such that xux-1 E G.
It should be noted that if G has the property that Vo is torsion
free and IH IG
morphism problem.
then H G ; I . e. (2) is stronger than the iso-
In my opinion, the isomorphism problem has a general positive ans-
wer only for metabelian groups (Whitcomb 1968), and I think that (3a)
and (3b) are true for metabelian groups, but not in general.
In connection with (1) and (2) we have the following result.
Theorem 2: Let G = A 1 G be a metabelian Frobeniusgroup, G abelian
of exponent 2,3,4 or 6, then V is torsionfree.o
In order to sketch the proof we first show
Lemma 1: Let G = A G be a semi-direct product with abelian kernel
A , and assume there exists an isomorphism
w: V(ZG) ... G e.g. G of exponent 2,3,4,6 ,
then V(ZG) is described by the split exact sequence
1 .... V "* V(IG) "* G .... 10
where V is given by the split exact sequence0
1 .. U .. V .. V1.... 1
0 0
with V Ker cP and1
U {1 + x : x E a s } n V(IG)0
where a and g are the respective augmentation ideals of A and G.
Proof: We put
U1 { 1 + x: x Eat G} n V (1.G)
The pullback of the extension
.... 1
429
G
t cp
1 1 .. A =+ Y =+ v (ZG) 1
is split.
On the other hand we have the split exact sequence
1 .. U1
V (ZG) V (IG) ... 1
note that the right hand map is surjective, since G ... G is split.
Moreover, we have an epimorphism
tIr U1 ... A
defined as (1 + x) 1\1 x 1\1 0where
1\10: at G ... A
is induced by (a - 1) 1\10
= a Since Ker 1\10
a g 1\1 is a group
homomorphism, and we can form the pushout via 1\1
: 1 =+ A ... Y' V (IG) 1
1\1 t
1 U1V(IG) ... V (IG) 1
Then is a split exact sequence and V (IG) acts on A as G
Thus and are equivalen t, and we o b t aLn a commutative diagram
with exact rows and columns
1 1 1
1 ... A ... G =+ G .... 1
t 1\1 t cp
ID 1 ... UI V (IG) =+ V (IG) =+ 1
1 ... Uo ... Ker cp ... VI ... 1
1 1 1
430
This proves the lemma.
Remark: It should be noted that for abelian G by Higman's theorem
(1940)v (ZG)
with V1 free abelian.
The theorem is now proved by calculating Do and showing that it is
torsion free. Since that is rather technical, we shall here only prove
the simplest case: The following argument is due to A.Wiedemann.
Let G = CP
Cqbe the Frobenius-group from Example 1 and R = ZA
p'
Then it is easily seen that with A = CP
ag [i··.R
:1p 2 p .:: p
q
and
p R ... RI.. . .: • p '.:: ·.·R. .. .p p
q
By the usual localizing argument one finds that
t i + x
has only units of p'-order. To show that Do has no p-torsion, let ,
be a primitive p-th root of unity, and let be the minimum poly-
n omLaL of e - 1 then has degree q and
J.1 (X) xq mod(p)
and the coefficient of XO lies in 2p\p •
In particular if
is a unit of order(1 + A) P 1 and
A is the compagnion matrix of
det A E p'\.p2. I f now 1 + B
in (S) ,thenq
P with B E a g BfO Then the minimum polynomial and the cha-
racteristic polynomial of B coincide with : in particular
431
A and Bare
every element in
conjugate and so det B E
a g has determinant in
2p\p
2p
On the other hand
a contradiction. #
E.C.Dade in 1971 showed that there are two non-isomorphic metabe-
lian groups G,H such that KG KH for all fields K. Analyzing
the proof, one sees that I G I H for all primes p E max(l). Wep p
shall now exhibit a large class of metabelian groups G for which
(3a) and (3b) are false for V(l G)P
for every prime p, where lp
is the localization of l at p, but (1) and (2) are valid.
We shall now consider the following groups:
Let G1 be the Frobeniusgroup of order p q, where p and q are
rational primes and ql (p-1) . We then form the pullpback
1 -+ C -+ G1 ... C -+ 1p q
II
1 C -+ G ... C 2 .. 1p q
"-
and i = rad Ai
is unramified; i.e.andIs: i I = qpthen
Let now Di with ring of integers 0irad S .
We shall first describe the groupring lpG. For this we put
Fix (1 PJT) , and denote by p the maximal ideal of R.Cq p
Case 1: q2 r (p-1)
Let S = Ip[q,)rJ
"- S°i P
I
A
°i
be the unique skewfield with centre Q R = K of indexp lp
invariant i, 0 < i < q (cf. Hasse 1931) Then
We form the pullback
q and with
algebraically conjugate blocks Bi (Oi P S) ,Claim 1: i. G has q
p
432
A
blocks of defect one; Bo IpGl and q - 1
l<;i::<;;q-l .
Proof: Let . , O:::;iSq-l , be the central primitive idempotents in1.
A
Zp C since C is the centre of G , the . are also orthogonalq q 1.A
lpA q-l 1\) A
central idempotents in Z G and so G B II ( IT with B.P 0 i=l 1.
ipG i and Bl , ... , Bq_l are algebraically conjugate. We have to
A A -<:> A Gshow that the B. are blocks. Now, rad Z G = P IL G + Z <8I
Zc I and
1. p P P Pi G/radl G IF C 2 ",. IFq 8) IF (q-l) Since 13 / rad B "" i G1/radl Glp p p q p pq 0 0 p p
(cf. above) , there are at most q blocks. Hence except Bothere are q-l blocks which have each one isomorphism type of an inde-
composable projective module. Moreover, B. is a Backstrom-order with1.
graph .----. l<;i::<;;q-l. Since 0 B. 0 <8I A S 8) (simple algebra), thep 1. P Zp A
simple algebra must be a skewfield of index q and the centre is K,
lSi<;q-l
Case 2:
Hence the block structure is as claimed.
2q I (p-l) .
In this case one has still q blocks for lpG,A
80
, ••• , Bq_ l ' but
all blocks are algebraically conjugate to
We have
Bo
2QG "" (} IT Q IT Q (qJI) IT (Fix
CQ (PJl)) IT A
q q
where for q2 l' (p-l) , A is a skewfield D with centre Q <8IZR[lIrJ,
where R
"" l GP 1
FixC
z[PJI]q
Z G B IT Bl,
wherep 0
Bo
For 2q (p-l) A (Q <8I
ZR) q .
2... Q (qJI) IT A
This is clear, since the sequence
a ,. Z G ,.P
Z G1P .
a
is two-sided split.
Claim 3: Let
{l + x, x E Zp <8Iz CpIG} n V (Z G) ,p
then Ul(p) contains an elementary abelian subgroup C x Cp P
and
prime ideal in S
pletion. Moreover,
433
lying above qi and
Bo has defect 2 and
is the corresponding com-
lsi$r has defect 1 .
Proof: The sequence
o ... ... i G ....q 1. c 2 ..
q qo
is two-sided split and Bo i. C 2
q qis the principal block of defect 2.
We now consider the exact sequence,
A G A A
0 ... Zq 0Zc q I .. Zq G ... ZqG1
... 0
and restrict it to IqCp , which is a separable order. Then lq cp is
projective over i q Cp and we thus obtain the exact sequence
lo G A i q 0 z C lG A
0 ... ®ZC I 0 Z CC d ... ZqG1 0Z C C ... 0q q p P . P q P P
However, from the above remarks it follows that
rII (Rq , ) qi=1 1.
Now this is a separable order, and hence it follows that lq ®z cqtG
decomposes into blocks with defect one. From the structure of the ra-
tional group algebra it then follows thatA GZq ®Z Cq I decomposes into
r blocks B, which are again Backstrom-orders and have hence the1.
form described in the claim 4
From these results it follows readily that lqG decomposes into Bo
1 C 2 andq q
posable in
where the latter is 2-sided indecom-
II A (A as above)
and the only congruences are congruences modulo q.
Claim 5: B1 contains two primitive qth roots of unity, which are not
conjugate in OG in case 2q I (p-l) .
Proof: We write the elements in B1 as pair (xl' x 2 ) with xl E
(00ZR) q and x 2 EA. Then Bl contains a primitive q2_th root of
434
n v o. G)p
has torsion.
be the central idempotents corre-
From the above remark it follows that
(c-1)Hence
Zp cptG
11 $ 12
Now c t G is a cyclicpa @z 12 = A .
P
with Cp = (c> .
and
Proof:
wi th Q @z 11 = (0 @z R )P q
Z G-module generated by c-1p
with xi E Ii' Let e1 and
sponding to 01 @Z 11 and o . Since e i I. x. '" 0,+
1 1 - e ip(note p '" 2) , we conclude c (e1 + xl e 2 + x 2) with e. + x.
1 1
E Zp G Hence C x Cp "'" (e1 + xl , e 2 + x 2> S U1 (p) Sincep
U1 (p) lUo (p) C , Uo (p) can not be torsionfree.p
We remark that for the pullback H
1 ... C ...p
II
... 1
the corresponding subgroup U1 (p )
morphic to
1 "* C ... H ...P
C (n)p
C ... 1qn
< V(Z H)p
contains a subgroup iso-
We now consider our groupring ZG at the place q. (Here we do
not have to make the distinction q2 1 (p-l) or q2 l' (p-1). Let R
FixC Z[IJr] then q is unramified in R and so qR = Cl1' ... ,Cl rqwhere Cli are prime ideals in R - moreover, the residue class de-
gree of Cli is the smallest integer
put S = R[CV"Tl
f such that qf = l(p). We
IqG"-
131 , BClaim 4: decomposes into r + 1 blocks B0'
... , wherer
"-
tqc 2 B.B and , is the pullback0 1q
B.1
...
... (F f)q q
here denotes the completion of R atCl i ' and qi is the
435
unity corresponding to the generator of C 2' say (u1,u2) thenq
u 1q
= 1 and so (1,u2q) is a primitive q-th root of unity in H1
lying in the centre of A
If q2J(p-l),
= R [mJq
then A and
Then H1 is the pullback of
r(IT R/q. ) ... (IT s;q i) qi=l l. q
Then (Rq)q contains a primitive q-th root of unity, say u 1 corre-
sponding to the element of order q in G1
(Rq) (s-,., )q ql .. ·qr q we obtain a root of unity
(til'u2) is a primitive q-th root of unity in
and (1,u2q) are not conjugate in OG.
Let us summarize our results:
Via the injection
U2 such that the pair
H1 . Obviously (til'u2)
Proposition 2: Let G be the above semi-direct product C C2
p q ,2
V(lpG) V(lqG)q I (p-l) Then both and contain units of finite
order, which are not conjugate in OG to a group element. Moreover,
these units even lie in U1(p) and U1 (q) resp. U1 (p) contains a
subgroup Cp x Cp
Proposition 3: Let G be the semi-direct product Cp j C 2 ' q] (p-l)q
then there exists a split exact sequence
* 1 .. Vo
V(lG) G 1
and Vo is torsion free.
Proof: In view of Ll we know that we have the exact sequence (*)
and because of that lemma, it suffices to show that
U0 {1 + x: x E cp(\ } n V (1 G)
436
has no torsion.
Let e be the identity element in a cp g Then i.. e +p
i p cpg is a local order, and so Uocan only have p-torsion.
Let now Uo E U be an element of order p. If cp: ZG .... ZG1 is the0
canonical homomorphism. Then = 1 and hence
Uo
E {I + y: Y E cqt G} n Uo U But Cq is the centre of G
and so U contains only trivial units of finite order; i.e. units of
order q , thus = 1
We have now finished our detour on units in integral group rings and
return to the structure of blocks, and we keep the local notation as
introduced earlier. The handicap of Proposition 1 is that it assumes
"normal defect groups". In general one surpasses this by using Brauer-
and Green-correspondence. However, if D is the defect group of the
block B, and N = NG(D) , then in general - under Green-corresponden-
ce - a central primitive idempotent in KN will not correspond to a
central primitive idempotent. Moreover, W.Plesken has told me that
Prop.! is not valid without the assumption of normality (e.g. 81(2,8)
at p = 3). Nevertheless the analogue of Prop.l is valid for blocks of
defect one.
Theorem 3: Let B be a block of defect one in RG. Then
(L) If e is a central primitive idempotent in KB, then Be
is a hereditary order.,.
, where f= Ell r.i=l 1
rad B = rad r
is a hereditary order in KB
(ii) B is a Backstrom-order; i.e.'r@ (D.)i=l 1 n j
(iii) If P is an indecomposable projective B-module, then KP =
U Ell U' where U and U' are non-isomorphic simple KB-mo-
dules. Hence one can form the rational p-adic Brauertree
of
TP
B , whose vertices are the non-isomorphic simple KB-mo-
dules Ui' , and there is an edge between and
if there exists an indecomposable projective B-modu1e P
437
with KP Ui Uj . (This is a tree because of the injecti
vity of the Cartanmap.)
(iv) The vertices of T can also be identified with the herep
ditary orders {r) and a vertex i has order n in T0 P
i. e. there are n edges meeting in i if and only ifa
r. has exactly n nonisomorphic indecomposable projec1 0
tive r. modules.1 0
(v) B has .,. 1 nonisomorphic indecomposable projective mo
dules and 2(.,. 1) nonisomorphic indecomposable nonpro
jective lattices; these are the projective rimodules
(vi) If Sl'" "S.,._l are the nonisomorphic simple Bmodules,
then EndB(Si) = To is the same for and the
Schurindices of the simple KBmodule Uj ,
bounded by d = ITo: , I
are
(vii) If B has an absolutely simple module then T coincidesp
with the ordinary Brauertree To' In this case the skew
fields D. coincide with K except for the excep1
tional vertex
sion of K,
i o here D. is a totally ramified extenJo
and the ramification index of D. is theJ6
Remarks:
multiplicity of jo .
(i) extends the result of Brauer, mentioned in the beginning.
(ii) and (iii) were independently obtained by H.Jacobinski (1979).
(v) was for metacyclic groups obtained by
principal block by J.A.Green (1974).
Pu (1965) and for the
(vi) For the principal block D.H.Gluck (1979) has shown that the Schur
indices are one.
The ordinary Brauertree To of B is a dfold covering for our
Brauertree T E.q. The group of order 63 (Ex.2) has T : ...--. andp p
T . for the nonprincipal blocks here d = 30 . ----.For explicit calculations it should be noted that the ordinary Brauer
tree can be read off modulo from the charactertable of G,
and then the above results allow to write down the principal block.
438
It also should be noted that the results of Theorem 3 contain all
the known informations on the modular representation theory of blocks
of defect one - including results about liftability of modules.
Example 3: Let G = SueS) be the simple group of order 26.5.7.13
29120 . Then the Brauertree of the principal block has the form
164 35
14
A
If P = 13 and R = l13
block has the following form
S then the principal
(.")14p R pR pR pR
R R pR pR(R)1
R R R pR(S)35
PR R1 14
(R) 14
Some words to the proof, which may be found in detail in Roggen-
kamp (1979):
Let N = NG(D) where D is the defect group of B. It is then fair-
ly easy to prove the results for the blocks of RN (cf.Green (1974».
Green-correspondence is then used to prove (v). Now, B is contained
in a Backstrom-order A which has the same number of non-isomorphic
indecomposable modules as A, namely 2(T-I) . A careful analysis
of the module structure of A shows that A has altogether 3(T-I)
indecomposable lattices; by (v) this is also the number of non-iso-
morphic indecomposable B-lattices; hence A = B. The remainding
statements follow from combinatorical considerations.
439
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*Standard Mooomial Theory
By G. Musili and G.S. Seshadri
We give hen a survey of Geometry of G/p-I,••• ,IV (cf. [15],
[161, [17] , [22] ). The lIain aim ot these papers is to extend the
classioal. Hodge-Young standard monomial theory (ct. [10] , 1].1] ) or
SL(n) to the case of an arbitrary semi-simple linear algebraic
group G. Roughly speaking, the problem is to give an explicit basis
for the space HO(G/B,L) of sections of a line bundle L (in the
dominant chamber) on the f;l,a,g G/a of G (or more generally
for aO(I,L), where I is Ii SChubert subvarietl of G/a) in terms of
o 0some nioely chosen bases of H (G/B,Li) {or H (I,L-, », where L.(. are
the line bundles on G/a assooiated to the fundamental weights.
Because of the Borel-Weil theorem, whiah states that when the base-
field is of characteristic zero, any irreducible representation of G
ois of the form H (G/B,L), 11 particular cllse or our problem can be
viewed as finding explioit bases of any irreducible representation of
G (when the base field is of characteristic zero), in terms of some
onioely choaea ba88s of the fundamental representations (= H (G/B,L4.- ».Our results provide a complete solution to this problem when G is a
classioal group, &s well as partial anINers when G is emeptional.
Our original motivatioo to get at a standard monomial theory
for any semi-simple algebraio group G, which is an extension of the
Hodge-Young theory for SL(n J was to prove statements of the type
* This is an expanded version of a talk given by the second author in
d' alg9bre Paul Dubrell et Marie Paule Malliavin, 1980.
442
that Hi{I,L) =0, i > 0, L being in the daminant chamber and
that the singularities of I (I Schubert varlet,. in G/B) are
Cohen-l4aoaulay. Whm t.he base field is of characteristic sero,
these results have been proved by D...lIure (ct. [4] ) but when t.he
base field is of arbitrary characteristio, theY' are still not
proved in complete generality. When I is the Gras8IIl&nIlian, it
was realised that t.hese results are consequenoes of the Hodge-
Young t.heory, the iaportant. technical point being that this theo17
provided a good hold of the ideal theory of Schubert vari.ties in
the Grall8mannian (ct. [8], [12J, !i.8] , [20J ). It was therefore natural
to search tor a generalisation of the Hodge-Young standard .onomial
theory to the case of an arbitrary sem1-siaple algebraio group. As
a consequmce of our standard .onomial theo17, we shoW that if I
iis any Schubert variety in GIB' G a classical group, H (I,L) =0,i > 0, L being a line bundle in the dominant ch8Db81"; however
even in this case (i. e. G is classical), it has not been shOlm that
the singularities of Schubert variet,. I in GIB are Cohan-
Maoaulary (and normal), though there are man,.part1al results in this
direction (see Theor8lll 2.3 and Remark 2.4 later). The vanishing
theorem of Kunpt, namely that H1{GIB,L) = 0, i > 0, G anY' eem1-
sillple group and L any line in the dominant chamber, can be
deduced as a consequence of standard .0nOlllial theol'1 (o!. [13], [15] ),
Recall that a beautiful and abort proof of this reBUlt has been round
independently by Anders,en (cf. [1]) end Habonsh (cf. [7] ).
443
The forraulation or our standard mClQOII1al theory was arrived
at by suitably interpreting the work of De Concini and Prooesi OD
classical iDvariant theory (cf.[3]; G/p-II,[,17] ).
We take this occasion to poiDt out SQIU corrections 8l1d
modi!'icatiClQs to be made iD G/p-IV, (S88 Remarks 4.1, 5.1 and 5.2).
i 1. Bodge-Young theorx.
Let G = SL(n), B = the Borel subgroup of G cODsistiDg ot
the upper tri8l1gular matrices 8l1d T = the marlma] torus of G
cOQsistiDg of the diagonal matrices. Let P be a lllaxillal parabolic
subgroup of G with respect to B (i. e. an algebraic subgroup of G
contaiDing B,:f: G and maximal with these properties) so that G/p
is the Gr&ssaannian of r-dimensional subspaces of 811 D-d.iaenslonal
vector space tor 80me r, 1 r n, One knOllS that Pic GjP 2Z
and that a generator of this group can b. take to be _pl.; in fact
this geerator L is a very ample line bundle on GjP and its
sections give an iabedding of GjP into a projective space called
othe Plucker imbedding. Now H (GjP,L) is a G-module and the T-stabl.
* 0vectors in H (G/p,L) are called weight vectors and one has the
Dotion of highest and lOllest weight veotors (the highest weight vector
being B-stable and the lowest weight being B- !!table, where B- =theBorel subgroup opposite to B i.e. consisting of the lower triangular
matrices). Let t be a lowest weight vector iD aO(GjP,L) (f is uniquelJ
determined upto a constant). Let W = W(G) denote the Weyl group of G.
ODe S88S that the subgroup of W fixing the one dimensional linear
(*) i. e. the I-dimensional space spanned by the vector is T-stable
444
space spanned by t, is precisely the Weyl group W(P) at P.
The translates at r by W can therefore by indeDd by W,M(P)
and we set
pet) =1:. t , 1:£ W,M(P)
It is known that tP('t;)} are precisely the weight vectors and
they f01'l8 a basis of HO(GjP,L). The translates of the highest
or lOllest weight vector by W are called ,!!tremal weight vectors
(in the general context). NOlI HO(G,If,L) is a tundall80tal repre
sentation ot G =SL(n) and a basis ot this representation consists
ot .xtraal weight vectors. NOlI this property is not always true in
the general context (i.e. wben G:f: SL(n), G being a seaia1aple
algebraic group) and if this property is true W8 say that this
fundamental representatioo 1s ainusoule (and that the corresponding
aax1mal parabolic P as well as the fundamental weight are minuscule).
The Bstable closed subvarieties of G,If are called Schubert varieties
(in G/r); it is known that the number of Schubert varieties in G,If
is equal to. W,M(P) and hence the SChubert subvarieties can be
indexed as 1:(1:), 't W,M(p ). One has a canonical partial order and
the notion of length in W and W,M(P). Besides one has the property,
There i8 a unique 1l8.x1mal elemct in W,M(P) and the associated
Schubert variety 1s Gir. One can alao choose the indexing of Schubert
445
varieties (b, W/W(P» 80 that
l("t') =OOIllllOD aero _ of all 8I1eb that 1: W/W(P)
i.e.
Let Us call a Iftandard 10ung diagraa of length II on GjP (resp.l('t»
a subset or • elements of W/W(f) or the fora
W. call a Iftandard .ooomial or length
expre..ion or the foX'll
• on Gjp (resp. 1(1:» anI
P('tl) p(;) ••• p(f:.) such that
L 1 ••• >,'t"1I (resp. "t: 1:1 •••
Now a standard lIonom1al or length II on GjP (reap. I("C» represents
o( ID)( 0« IIan elellt!Jftt or H GjP,L resp. H 17:), L n. B1 the Hodge-Young
Iftandard lDonoadal theory, ve lDean e 8sential11 the follOlling
Theorem 1.1 : standard lROooadals or length II on l("t) form a basls
of HO(I('t"),LII
) . In particular
° II { ""')dill H (I(T ),L ) =#. It&Ddard Young diagrams or length II on I('l;')j'
o II r '"d1lll H (G/p ' L ) =-# l.standard Young diagrams of legtb II on G/p f'
a_ark 1.1 : It can be shown that ve have a canonical identification
446
or W,/W(P) with the following set of indices J
With this ident1ficatioo., the are the usual Plucker coordinates.
Reurk 1.2 J Theora. 1.1 is proved in the book of Hodge and Pedoe [uJ(see uS) [i.o] ) when the baae field is of characteristic zero. In
arbitrary characteristic, it has been proved by several authors (cf.[aJ,
W], 1isJ, JioJ ). The above theor_ solves the problem of giving
canonical bases for irreducible representations of 5L(n) whose
highest weights are IIU1tiples of fundamental weights, the base field
be1.Dg of characteristic zero. The case of an arbitrary irreducible
representation i8 dealt with in the next theorea.
Let WI' ••• be the Weyl groups or the distinct (a-L)
parabolic subgroups Pl, ••• ,P containing B such that
W'/wk 1 k ;
i ••• 1I'/w1 CS [(il) I 1 .s 11 n-1} I
W!W2 I 1 i 1 < o})
447
8&1 that 1:. (or, 1:) it
(1) k
Let us call a standard Young diagralll in W(or the flag variety
G/B) of .!n!. or (aulti degree) ••• '1Ih-l) a set of
1..= + +•• + .......elements froa Wt'll v ••• V Wt'ln-l or the fora
(1) 't'l 1: 2 ••• "C6 (in the sense defined above)
with the further condition that the first III el.ents •••
are in Wt'll' the next; el8lMtlts are in Wt'l2' the next; 113
.l_ants are in Wt'l3 etc. By a standard monomial of type ("l' .. '
on GIB' we lIean an expression
such that ('Z:'1'.'" 'rb ) is a standard Young diagr811 of type
••• in W. Let L4e Pic GIPi.' 1 i " (n-l), denote the
canonical ample generators of Pic GIP..:. Then a standard monOllial of
type ••• ,1In-l) can be identified with an element of
Then we have the following result
Theort! 1.2 1 standard monomials of type (11},'." '1Iln-l) form a basis
448
a_ark 1.3 I This theorem is proved by Hodge in [;wJ assuming that
the base field Is of characteristic zero. Thanks to the Borel.-Well
theorem by which every irreducible G-module i8 of the forao III
B •• ), II'; 0 for some choice of IIi' the above
theorem solves the problem of giving canonical bases of any
irreducible G-Ilodule in terms or some nice. bases of the fund8llental
representations when G =SL(n) and the base field 1s of characteristic
sero. Unlike Theorem 1.1, Hodge does not give an analogue of Theorem 1.2
for S Schubert variety in G/B; his proof gives it for a very special
clas8 of Schubert varieties in G/B. There 1s some difficulty in
giving an analogue for !& Schubert variety in G/B. The definition of
standard monomials on an arbitrary Schubert variety in G/B has to be
done with greater oare and this will be done in § 3.
8 2. Main results for the case of one maximal parabolic group.
Let Gll denote a semi-simple, simply-connected, Chevalley
group scheme over the ring of integers 1l and let Gk(or simply G) =x k denote the base ohange of G2Z by Spec k 2Z, k beingZ
an algebraically closed ground field. We fix a maximal torus subgroup
scheme f 2Z in and a Borel subgroup scheme Bll of Gll such that
T1l "+ Bll• We set
449
Relative to T and B, we talk of roots, weights etc. and we denote
by W the Weyl group. We write
11 (resp!l+ ) = system of roots (resp. eyat_ of positive roots)
S =I18t of simple •.• ,e(4' t=rank of G.
W. denote by ( , ) a W-invariut acalar product on BOII(T,!. )<!1Il = multiplioative group schelll8 of du-nsion ODe) and we write
* A(A,e( ) = (e( ,e() , e( E.L1.
We denote by Ga, Ba•.• etc. the base changes Gel = x
BeQ = etc.
The Iftable (resp B stable) olosed subsch8lll88 (resp. sub-
varieties) or (resp_ G/B) are known as Schubert subschemes
(resp. subvarieties) of (resp. G/B)' It is known that the number
of Sohubert subschemas (resp. subvarieties) in Gzz;/871
(resp. G/B) 1s
equal to. W and that they can be indexed aa (resp. X(-r:), 'l:e W
such that:
x4lr (1:') is ll- t'lat and X('t:) = ('t') x k.II
More generally, it PZZ; is a parabolic subgroup ach._ of Gll such that
p 2Z:::> Bll ao that the parabolio subgroup P =P2Z x k oontains B, we
call Bll (reap. B) stable olosed subaohfll1es (resp. subvarieties) of
Gl4k2Z (resp. GIP ) Sohubert subschemas (reap. subvarietie, of
(reap. GIP)' These oan be indexed by W/W(P) (W(I' ) =Wey1 group of 1')
such that ODe has :
is 2Z-t'lat and 1(1:) = x k •
450
Suppose that P 1s now a maximal parabolic subgroup of
G. We denote by L the ample generator of Pic G/p and by LZl
the ample (relative to 2Z) line bundle on G-o./p-o. such that L =LZl
x k.
One knows that p is associated to a fundamental weight fir i this
association can be done in such a aanner that the Gta. irreducible
aodule bas highest weight i(6}) (where i is the Weyl
involution - W'" , Iir being the ele.ent of maximal lengtb in W) ando 0 -
oODsequently of lowest weight - fi!. We say tbat P (resp. P resp.lU,
oresp. the fundamental representation H » is of classical
* 2\(tb,e:(11. \J LlI(I»,e:( )1 = (e:(,e:( ) ..$. 2 v e:( .
parabolicIt G is a classical group, flVery max1ma1Lsubgroup P or e- is of
classical type; in fact G is classioal if and only if every maximal
parabolio subgroup of G is of classical type. Further if G is anI
sED1-eaple algebraic group, it is easily seen that there is always a
maximal parabolio subgroup of G which is of classioal type. For
1" W!W(P), let us denote by [X(-r)] the element of the CbO\( ring Oh(G/p )
ot G/p determined by tbe Schubert variety X(1:") in G/p. Let H
denote the unique codimens1on one Sohubert subvariety of G/p (the line
bundle defined by H 1s L). It can be shown that
[1(1:)]· [H] =1: d- rx('t:)l a; > 0i."t! 'A.!]}
where-denotes IIUltiplication in Oh(G/p) and 't"1 runs over the set of
allAf w/'lI(P) such that X(A) is of oodiaension one in X(T). We call
451
d.;, the multiplicity of X( 1".;) in XC!). \Ie see that 2 since
p i8 of olassioal type (using a formula of ChevaUer. of. [4] • lis] ).
It can aho be seen easlly that d", = 1 it' ti} or P is minuscule.
A pair of al_ents ("l:_f) in W(W(P) 18 oalled an admissible
2a1r if either 't' = Cf' (in whioh case it is oalled a trivial admissible
pair) or't: '# cp and there exist • I i S. 'l;:E W,IW(P) such
that
(1) 7.: ='1: 1 '0. 1:8=f
(11 ) is 01' oodimension one in X(li,.J.) and the multi
pl1city of X( 't.i..} in X('l:'i_l) is 2.
Note that if P is minuscule. every admissible pair is trivial. Then
we have
Theorem 2.1 : There is a basis[P('r:.'P)} of HO(G71/Pll,L71) indexed by
admissible pairs tc.q) in W,IW(P) such that
(i) Per. ep) is a weight vector (under T7l) of weight =t(t;(&)t'P((i))
( 11 ) the canonioal rational morphism
is in faot a olosed 1IIImersion
(iii) set p(1:: 'if) =P(1:,f) 1, p('t',f) being the canonloal
1aage of P(1:,<p) in HO(GjP,L). Then the restriotion of
p(-r,lp) to the Sohubert variety x(a) is not identioallr
equal to zero if and only if e 't: •
452
Remark 2.1 I It 1s not true that the bas1s{P(-c, cp)J of HO(Gllh16,L2Z)
1s uniquely det81"1Dined (upto .tl) by the properties (1) and (iii).
However, when P is ainuscule, the basis [P(t,CP)J 1s uniqUely deter-
mined (upto !,l) and it is precisely the set of extremal weight vectors
in
Remark 2.2 I It 1s true that LP(1: o'f () , form a basis of
HO(X(9 ),L) (see Theorem 2.2 below ).
Let us call an expression of the type
a standard monomial of length m on a Schubert echae (reap. variety)
X2Z (6) (resp_ X(6» if we have
(i ) a '1:1 and
(11 )1:1 (;? 1 'r2 q.' 2 ••• "t: III (I:) m
We then say that
is a lftandard Young diagram on Izj e) (or I(6». We see that a standard
monomial of length m on I ZZ (6) (reap. I( 6» defines an element of
o( momH I 2Z ( 6 ), L2Z) (reap. H (1(6),L n. Then we have
lJleorem 2.2 I (1) standard monomials of length m on (resp. X(6»
453
i •(11)H(I(a),L )=0, i>O and
1 m(this implies by the semi-eontinuity theorem that H (Ia(a),L&) =0,
1 > 0, m 0 and this has been proved by Demazure [4] ).
R_ark 2.3 : Denote by ("r,tp) a standard YOWlg diagram on 1(9) ot
length II of the tora
Set
Then since standard 1IOD0mialS are weight vectors (under T2Z or T),
'Ie have the following character formula as an immediate consequence
of Theor_ 2.2 :
Character of H°(X(a),LII) =1: expZ('C,<p)J where ("t",rp) rWlS
over all standard Young diagrams on X(a) of length II.
/'.Th89rw 2.3 : The cone 1( a) over the Schubert variety (for the
projective illlbedding defined by (11) of Theorem 2.1 ) 1s Cohen-Macaulay
and normal (in particularX (a) is Cohen Macaulay and normal).
R_ark 2.4 : Theorem 2.3 has been proved by C. DeConcini and V. Laksbmibai [2].
"""The essential point to prove is that 1(9) is Gohen-Macaulay since one
454
..-""knOllS that I( 9) is non-singular in oodimension one. This theorem
uses Theorem 2.2 and also the ideas introduced bY' Eisenbud, De Oonoini
and frocesi (cf [6J) and constitutes a significant applioation of
standard monOllrl,.al theory. For particular cases of this theorem, see
Kempf [13] and GjP-III,[lS].
§ 3. Main results for the mixed case
Let G be nOlI a classical group of rank L • Let Pl"" 'P.l,
denote the set of maximal parabolic subgroups of G(::>B) taken in
sOlIe order which we fix in the equal. BY' a Young diagram of :zE! (or
multidegree) m =(ml, ••• ,m.t)' m.c: 0, we mean a pair (-rlcp) defined
as follows a
[
'1: =('t:iJ) , 1fI =(q>iJ)'
1 j 1 $. i P.. •
admissible pair in W!W(p i )
We saY' that a Young diagram (7:. rp) is standard on X( e) (or on xtJ. enfor e W (and written as e (1:',!p), if there is a pair
called a defining pair for (-c,rp), defined as follows:
(iii) e ... 3-f>t.j Bi,j+l ••
m m 1 •••. , , , , t.'1Il.. <.,m1-
(with respect to the partial order in the Wayl group W).
455
To a Young diagram ('l:.<p) of multi degree m, we define the monomials
p('I:,<p) = TI IT "4j )m
(reap. a similar definition for p('t,f»
where (resp. P('tiJ,<P'J» are the elements defined as in
Theorem 2.1. 'tie say that P(T,f» (resp. is a sta."ldard monomial
of type or multi degree m = •••mt) on (resp. X(El» if (-,;,tp)
1s standard on X( 8 ) ) of type m. Let (resp. Lm) denote the line
bundle on GIB) defined by
m mtL;:z = L1,2Z ••• L.t,2Z
m mt(resp. L = QP ••• a>Ll. )
where Li ;:z(resp. Li ) are the ample generators of Pio Gll/P. (resp.,
G/p;, ). We see that a standard monomial p(-r,cp) (resp. p("r,«p» of type m
o mon X
2Z(8) (resp. X( 8» defines an element of H e), L71 ) (resp.
o mOm 0 mH (X(9),L H. Note that the elements of H (X;:z,8),L2Z)(resp. H (X(8),L »
whioh are given by standard monomialsJare restriotions to 12Z (8) (resp.
o momI(8» of elements of H (G7.1;B?:l ,L7.1 ) (reap. H (GIB,L n. We have then
Theorem 3.1. (i) standard monomials of type m on ( 8) (resp. I( 8»o mom
form a basis of H (Xll(8), L2Z}(resp. H (1(8),L n.i m
(11)H(I(8),L
i. e. all the higher oohomologies of the restriotions to 1( 8) of any line
bundle in the dominant ohamber, are zero. (By the semi-eontinuity theorem
456
this implies the corresponding statement in characteristic zero, a
faot which has been proved by Demazure (of.[4]) for an arbitrary
semi-eimple G).
3.1. a If (-r,qJ) is a Young diagram in W with "t: = ('t":j ),
CP =(q>ij ), we set
X (-r,'P) = 1: 1: - + tfiJ(6l"iJ)1 ,< 1 ct,1 .$ j m.c.
Then we have the following oharacter formula as an immediate consequence
of Theorem 3.1.
Character ofo m
H (x( e ),1 ) = t up X ('rtf)
where runs over all standard Young diagrams on X(e) of type m.
o mRemark 3.2 a The basis of H (X(e ),1 ) given in Theorem 3.1 depends
UpOt'l. the order in which we have takem the maximal parabolic groupso m
PI"",P.e' Hence, for example, the basis of H (G/B,L ) depends upon
otwo things, first on the of a basis of H (G/Pi ,1" ) (cr. Remark
2.1; note that when G = SL(n) this basis is hOllever uniquely determined)
and secondly on the choice of an ordering of the maximal parabolio sub-
groups of G (oontaining B).
Let U denote the universal enveloping algebra or the Lie
algebra. Lie G of G • 1et Ul4 (resp. u; ,Ui> denote the canonio&1
2Z-forll in U 1. e. the 2Z- subalgebra of U spanned by
457
where c( E S, denote a Chevalier basis of Lie G
in the usual notation (of. [23] ). Let be a dominant weight and
let the a vector apace denote the finite dimensional irreducible
G. aodule with highest weight) • Let e), denote a highest weight
vector (determined uniquely upto a constant factor) in For -r E: W,
set
+V = Uzz eoc' = -r. a", 't:E' W
{we see that 1: £ W can be represented by a 2Z-valusd point of GZZ
since the "tleyl group soh8llle" W1l=N(T (N{T7L) =n01'lllaliser of
is a canst-ant group soh8llle, W being the underlying group. We ..ee
that eT
ia weU-datermined upto We write
V 2Z (wo) =V '71' Wo =the element of W of maximal length.1,(one has =VA, 2'l.
One mOIlS that V),,2Z ls a U2Z
stable 2Z-lIIOdule or equivalently a
"G2Z
- 2Z module". We have then the following (for classioal groups)
whioh was conjectured by Dell&zure for all semi-smple G (cf.[4]).
Theorem 3.2 a The 7L-submodule ("t") of V),z: is a direct suuand.
§ 4. Outline of proof of Theorell8 2.1 and 2.2.
Let us first outline the proof of Theorem 2.1. First one proves
tha character formula tor HO{X(6),L) (i.e. tha forllUla of aeaark 2.3 for
m =I) when the ground field is of characteristic zero. This 1s done by
induction on tha dimension of tha Schubert variety X( 6}. Let X( o} be
458
a Sohubert. subvariety of I( a) of codillension one of the form
6 = \( a, c< a simple root
Such an I( 6) is oalled a moving divisor in ;(a) (with respect
to c<) following Kempf (of. [13] ). To prove the required oharacter
formula, we suppose that this is true on X( 0). One then makes
use of the charaoter formula of Deaazure [4] whioh generalizes the
oharaoter formula or Wayl (when the ground field 1s of oharaoteristic
zero) to that of HO(I('t"),M), where I{-r) is an arbitrary Sohubert
variety X{t) c G/B, G being an arbitrary seml-simple group and M
is eny line bundle in the dominant chamber. We are then required to
oprove that this oharacter forlllUla of Demazure· for H (xC a),L) is
equal to the oharaoter formula of Remark 2.3 (.for the case m =1)by supposing that these two are the same for X( 0). This involves a
oounting argument (of. p. 300-301, GjP-IV,[i.6]) and one has to know
how admissible pairs on I( a) oould be obtained by knowing them on
X(6); the basic simple observat-ion in this connection being that .!!&
Schubert subvariety Iti\) of I(a) is of the form (ct.Lemma 1.9,
p. 104, [is] )
either X(j\) C X{ 6) or = xC with X(/4-)C X{ 0 ).
One in fact shows that an admissible pair on I( a) which is not
adJl1ssible on xC 6) is of the fOB (er. Lemma 3.11, p. 297, GjP-IV , [16] )
459
The next step 1s the construction of the basis elements
p(1:",,:» of. Theorem 2.1. Let us set
By the work of Dell8.zure [4], one knows that
fhe el_ent.{P(-r-,f>J constitute the basis dual to a basis {Q('l:,tpijof V (9) which wUl be chosen inductivel7; 1. e. the required basis
{Q(1:,cp)} 1s first asslUed chosen for V.,1:6) and then new basis elements
are chosen for V (e). Th91 are of the foX'll
SX.A Q(r...J or Q('I:.,,),
l Q(r,,,l b••1o .;.. of Vz!. 6)
We make use of the relation (cr. Lelllll& 5.2, p, 309,[i6])
U_0( ( 6> =VII1(e>J
U-o(,z (0) =vZl: (e)
wbere (resp. U_o() denotes the Zl:-subalgebra (resp. -subalgebra)n
at U7J: (resp. U) generated by 1_0( (resp. f1o(). Tbe property (111) otn -
Theor_ 2.1 can be translated into a property for the basis {Q('I:,qr>} of
460
v (e) and this property is agaUl checked inductive.q in its
construction (er, Lellll& 5.5, p. 312, G/p-IV, [16] ). By these consi-
derations we would get eleJMl1ts\'p('t",cp)} of such
that they are linearq independent over and generate V(4{e) and
their -reductions mod p" nl1JDely p('t",q) also reaain linearly inde-
opendent as .1_eats of H (X(e),L ) (the property (iii) of Theor_
2.1 is crucial for this purpo.. ). Then one gets that t p{'C, cp)J is
a basis of HO(X72{ e "Lll); however the fact that {P(T,f1 i8 a
basis of HO{ I( e ),L' 1s nat iuedi&te and follows only atter tM
property (11) of Theorem 2.2 i8 prO'led. It is to be remarked that the
property (11) of Theorell 2.1 is valid for any sea1-s1rlple group G
and uses a lemma of Deodbar (er, Prop. 5.7 and Lenaa 5.8, G,N-IV, I.i6] ).
We shall take up the proof of Theorem 2.2. One shows that
standard 1IOn0000al. in p('t,,,) on I{e) of length • are linearly
independent. The proof of this is formal and the idea is the same as
for the case of the GrasllIIIW1I1ian (cf.[20] also G,N-I,[22]); one has to
use in addition the ·special quadratic· relations, neely
2Crespo p{-r:,e,) =.= p(-r) on I('t'"»
On account of this; to shOll that standard 11000111&18 of length • on
fora a basis of it suffices to prove the
corresponding statement when the base field is i.e. it suffices toa III
show that the character of H (I (e ),L ) is as stated in Remark 2.3.
461
One eaeUy reduces this question to the case II = 2. The proof or thecharaater formula or Remark 2.3 tor the case II =2 is treated in the
same way as tar II =1 given above, except that the details tor this
case get a bit involved.
We w11l now indicate a proof of the statement that
1 IIH (X(9),L ) =0, i > 0, II O. This would also imply that standard
IIIOnomia1s or length II on l{ 9) form a basis of HO{I{ 9 ),LII ).
Because or the standard mnOllial theory already established, one gets a good
hold of the ideal theory of Schubert varieties (unions, intersections etc. )
and their hyperplane sections. The proof or the vanishing theorem is
again by incluction on dim l{ 9) and US8S standard arguments using
exact sequences (er, § 9, GjP-IY, [16J) and they are very s1Ja1lar to the
ones in 20 aDd GjP-III,[lS].
Remark 4.1 I The argument given in Theor8lll 8.3, GjP-IY, [i6]that l(-c)..is projectively normal is not complete (the proof only shcws that the dopth
at th. vertex of the cone over I( c) is 2) ;however this follows trOlll the
recent results of C. De Concin! and V. Lakshmlbai [2](8ge Theors 2.3).
Note that in the proof or Theorem 2.2 the considerations or normality
or depth do not enter (cr. 87 ,[is] and § 9,0.6]).
I 5. Outline of proof of Theor8lllS 3.1 and 3.2
The proof of the linear independence of standard mnomiala
of multi degree II on l{ 9) 10 GIB uses the existence or a uniqUll!l
* Th1e was pointed out by Hochster (as we learn frOIl Laksbllibai).
462
ux1ul (resp. minimal) defining pair for a given standard
Young diagram ip(,p> on x(e) (cf. Lelllllas ai.r and n.r' ,GjP-lV,[i6]);
otherwise the arguments for the proof of (i) of Theorem 3.1 run on the
same lines as for the case of a maximal parabolic subgroup given in § 4.
As in § 4, one proves first that standard IIOnomiale of Dllt1 degree II
o 81on IzJe) fOrID a basis of H This is done by proving the
correflPODd1ng statement when the base field is 'R.. This question 18
eaelly reduced to the case of tm (1,1) i. e.
The proof of the character formula of Remark 3.1 for type (1,1)
is almost the same as for the
proof of the character formula of Remark 2.3 for II =2 indicated above
(a proof of this is not given in GjP -IV, [16] ).
One then gets that the canonical map
is surjeotive. Now it can be shown that (it) implies Theorem 3.2
(Deraazure's conjeoture), the proof being the same (see Remark 5.1 below)
as in Remark 9.6, p, 337, GjP-IV,[i6]. Now by the work of Demazure [4J,
Theorerm 3.2 implies the "vanishing theoremR i.e. the assertion (11 ) ot
Theorem 3.1. Then as a consequence we see that standard monomials on
I( a J of lIult1degree II fOrID a basie of HO(I(e),LII ) whioh is one of the
assertions of Theorem 3.1. Oonsequently we get also that
is exact.
463
Re1II&rk 5.1 & Note that in the proof of Remark 9.6 in G/p-IV, 116]
(l.e. of Demazurel 8 conjecture) one has made use of the hypothesis
(**) above,whereas in the above outline of proof' of Theorems 3.1 and
Theorem 3.2, we deduced (._) after proving Theor8lll 3.2. One notes
however that the (weaker) hypothesis (it ) instead ot (**) would sutflce
in the proof' of R8lII&1'k 9.6 in GjP-IV, [16J.
NOlI by the work of Dema.zure [4J, Theorem 3.2 iapl1es the
"vanishing theorem" 1.e. the assertion (11) of' Theorem 3.1. (Note that
(n )follows a posteriad.
Remark 5.2 & In Remark 16.3, p. 361, GjP-IV',[161, 1t has been stated
that the vanishing theorem i.e. the assertion (ii) of Theorem 3.1 can
also be proved on the lines of the proof of the assertion (11) of
Theorem 2.2 indicated above in § 4. (note that the assertion in Remark
16.3,[16) is a little more general). This appears possible, at least
for the present caS6, though we have not worked out all the details.
By standard monomial theory one would. get a hold of the ideal theory
of Schubert varletiee and then to get at the required Tani8hing theorAIl,
one proceeds in the same way as in i 7.2, G/p -III, [I?] to get the
Kempf vanishing theorem.
§ 6. Classical invariant th80IT.
Consider the flag variety G/8 (or more gecerally G/p, p
being any parabolio 8I1bgroup of' G), G being an arbitrary
algebraic group. Recall that a Schubert cell (or Bruhat cell) is by
definition & B-orblt in GjP and that it is isomorphic to an affine
464
space. A Schubert variety in Gtp i8 just the Zariski closure (in
Gtp ) of a Schubert cell in Gtp. The big cell C in Gtp is just
the B-orbit in Gtp of the biggest dimension and the opposite big
o 0 •.2JU C in Gtp is by defin1tioo C =W"oC, IN0 an eleunt of G
representing the element of the Weyl group of largest length. If X
is any Schubert variety in G/p, the o'pposite big cell in X (resp.
the big cell in I) is by definition X" CO (resp. X n C). Note
that the opposite b1g cell in G/p is again a cell isomorphic to
the big cell. However the opposite big cell in a Schubert variety X
18 neoessarily isomorphio to the big cell in I which is again
isomorphic to an affine space. In fact the opposite big cell in X
omay have singularities. The opposite big cell C in G/p meets
o8"Iery Sohubert variety and the affine piece X (l C of X reflects
web of the singularity and inforlllation about X.
Consider now the Grassmannian G 2 of m dimensional linearm, II
subspaces of a 2m diaoosional linear space. We have then Gm, 2m =SL(211l)/p
* *where P 1s the parabolic subgroup, P = (0 *), 0 represents the zero
(m x II) Ilatr1L The big (or opposite big ) oell in G is an affine apace11,2.2
of d1mens100 II. Let us then Identify
Opposite b1g cell in Gm,211 space of (m x m) matrices.
In fact if Z is the subgroup
0], IEId
of SL(2m) aDd 't 1s the canonioal map SL{2m ) -7 SL(2m)/P , Jlaps Z
465
iSODlOrphioally onto the opposite big oell in Ga,2•• It can be shown
(o£.[17J,[21J ) that we have a canonioal bijeotive map
WJW(p ) II (!a(k) x !a(k»0.$ III
(k = 0 represents the element of 8Ill8J.lest length in W/W(p )}
where we recall (er, § 1)
We simply write for 1: E: 'l/W(P )
1: =«'&'),(j J) ; (..(.),<3) r.(k)
where ( (j» denotes the iaage of "C under the above canonical _p.
w. call (":), (j» the canonical duall?air assooiated to 'z=E W/W(P).
The dual pair reveres the order 1. e. if
. I,', t(; = «.c. ),(j H, 1: = «'C.) ,( j) ); 't, 't £ wJW(p )
then
(.c.) in the sense defined in § 1.
(j) " (j)'
Besides if p(.\.),(j) denotes the polynomial function
which assooiates to every (II x II) aatrix the determinant ot its .inor
corresponding to ( to. ), (j ) ; then we can oanonically identify p( -i.),( j )
466
owith the restriction of p(or) (the element or H (Gm,2m,L) associated
to t" Wf\o1(P), er. § 1) to the opposite big cell Mm·
Let nOlI Dk denote the closed subset of Mm defined by
the vanishing of all (n x n) minors such that n (k+l) ; Dk is
called a determinantal variety. Let'l: W!W(p) be the element defined
by a dual pair &s follows ;
rr = «l, ••• ,k), (l, ••• ,k»
It can be shOlln that
i.e. Dk is the opposite big cell of the Schubert variety 1(7:). Then &s
a consequenoe of standard aonanial theory (cf. Theorem l.l)we get (or.[3],
[17] ) a
The01'8ll 6.1 ; The coordinate ring Rk ot Dt has & basis consisting of
.-tandard IIIOncmials as follows I
.... ,. "
.:# of my (<I.), (-e.) ••• , or (j ),(J )', ••• is" k)
•••, .
< •••
Remark 6.1 a A particular case of the above theorem gives a basis of the
algebra of polynomials on Mm indexed by double Iftandard tableaux (cf.
Doubllet, Rota, stein r5J ).
467
Let Sp(2ra) denote the SlJlPletic .wgroup or 81(2m) or
rank m, which we take as the fixed point set of the in'101ution r
on SL(211) a
fr(A)=(O J) (tA).J. (0 J).J., J = ...-J 0 -J 0 \1. 0
Then Q =Sp(2. ) () P is also a aax1mal parabolic subgroup of Sp(2. )
and Sp(21l )!Q 18 the symplectic Graslllll8llQian rormed by I18Dma) (i. e.
or dimension .) isotroplo subspaaes or a 2m dimensional vector space.
We see that the subgroup Z or SL(21l) is o--stable and the fixed
.-point subset Z or z under a: ean be ideot1tled with the subset
(
Id 0) t.... (Id,Y )( 0, Y = J-XJ#
Y Id -J :) =0
and that Zr' ean be identified with the opposite big eell of Sp(21ft)!Q!
setting Y = JX , we have
i.e. the tr fixed subset or Z oan be identified with the space Sym
of all gmmetrlo (. xm) matrices. Thus we can identity Sym M,p with the
opposite big cell in Sp(2m yC. It can also be checked eas11y (or .[17] )
that
(.) W(Sp(2. )/W(Q) ={'1:E. )I 1':= «i ),(J» such that }
(1)={j)
and that in this identifioation of W(Sp(2.) ),A.1(Q) as a subset orW(SL(2.)¥W(p) , the oorresponding partial orders are preserved.
468
Because of (.) we 8ee that
q W{Sp(2m)rw{Q) x W(Sp{2m»/W(Q)
in fact,if
'AE W(SL(2m)f'\i(P), = then
Af-.+ (J'.,,J); f-= «.(.), (.;.n1
y =«.1 ),(j »Jare in W(Sp(2. )¥W(Q) •
Now the maximal parabolic group Q 1s not minuscule and hence there
are admissible pairs in W(Sp(2Dl) rw(Q) which are not trivial. In
fact, W8 have the following (cf. Lemma 5.1, G/p-II,[17] ).
Leama 6.1 & Let L = and cp = {(j ),(.1» be in W(Sp(2.)¥.t(Q)"
Then (T, ) is an admissible pair if and only if (.1) (i).
R-.rk 6.2 & Note that an admissible pair (-l:,rp) in W(Sp(2m )¥w'(Q )
can be identified with an element A in W{SL( 2.) ¥W(P ); in fact it
'r =«.1 ),(j))' q:>= ((i),(i», then the associated element A of
W( SL(2m ) i8 precisely the elelD8nt given by the dual pair « j ), (j ».Let us now define the el8IDct p('t",<p) in HO(Sp(2m )/QJL) asaociated to
the adldssible pair (1:',1') as the restriction of p(.1) E: HO(SL(2. ¥p,L)
to the subvariety Sp(2m ¥Q of SL(2m),Ip. It is not difficult to see
that [P(T, ff )} satiafy the propert18e ( 11) and (111) of Theor_ 2.1.
The [p{'t",9')} in fact provide a basis satisfying the properties of
Theora 2.1. NOW' the restriction of p(A) to Hm can be identified with
469
the function p(.i),(j) as we saw above. We write by the same ),(j )
the relftr1ctiClll of p(';'),(j) to
Let Sym =1\ () Sym ; we call this 8. !Jl1I!!!l!tric
deterainantal variety. The element
c: = «l, ..• ,k), u, ... ,k»
in fact lies in W(Sp(2a).vw(Q) and if X(-r) denotes the Schubert
variety in Sp(2. )/Q defined by 1: , it can be seen that I( 'C) f) Sym \a= Sym Dk
i. e. the symmetric determinantal variety Sym Dk is the opposite big
cell of the Schubert variety I(-r) of Sp(2m ¥Q. The preceding discuss-
ion together with Theorem 2.2 then yield the following (ct. [31, [17] ):
Theorem 6.2 l The coordinate ring of the symmetrio dete1'lDinantal
variety Slll Dk has a basis consisting of Iftandard IIlOnOllllals ae fo110118 l
.} p(';').,{j)" ••• ,
t < •••
Let nOlI I stand for the affine spaoe (represented by its
g8Olletrl0 points).
" vI =V x ••• x V x V x ••• x V, V ....ctor space of dimension n,L...- .... t..,
m times • times
Let Us take the canonical diagonal action of GL{n) on I and let
R denote the coordinate ring of I. Write
470
Consider then the oanonical morphism
defined by
% ...-..,. the matrix I<%..,yj> I
where < , > denotes the canonioal bilinear form on V % V". Then
we have (of. £"3), [81, [9J, [17] ):
Theorem 6.3 I The morphism factors through the determinant&! variety
Dn i.e. we have a oommutative diagram
Besides the morphism cp : 1-7Dn is surjective and we have a canonical
identification (through tp) of the coordinate ring of Dn with the sub-
ring RGL(n) of R formed by GL(n) invariants, 80 that by Theorem 6.1,
we get a basis of RGL(n) by standard monomials as in that theorem.
Let now 1 stand for the affine space (represented by its
geometric point s )
1 =V x ••• x V , V vector space of dimension 2n.\.....- ..... .J
m times
Consider the diagonal aotion of the orthogonal group o(2n) on X
471
(base field of characteristic t: 2 ). Let R =coordinate ring of I.
Consider the canonical morphism
y : X--t Sym I\ ' defined by
where < , > de."lotes a scalar product on V such that O(2n)
is the group preserving this scalar product. Then we have (01'.[3],
lJ.41 , [17] ).
Theorem 6.4 : The morphism factors through the symmetrio determinantal
variety Sym D2n 1. e• ..,e have a commutative diagram
Besides the morphism ep is surjective and we have a canonical identifi-
cation of the 8ubring RO(2n) of R formed by O(2n) invariants, so
0(20 )that by Theorem 6.2 we have a basis of R by standard monomials as
in that theorem.
Remark 6.3 : A s1mU.9,l" theorem holds for the canonical diagonal action
of Sp(2n) on V x ••• xV (m times), dim V =2n (er.[31,[17]).
Let us very briefly outlino a proof of Theorems 6.3 and 6.4. It
is easy to see that 1: factors through Dn (reap. Sym D2n
) and that '1: is
a GL(n) (resp. O(2n» (I.e. for the trivial action
ot: GL(n) (resp. O(2n» on D2n (resp. Sym D2n») 1: is a GL(n)
472
(resp. 0(2n) morphia.). Further, it is not difficult to see that.
over a non-empty zariski open subset of Dn (rasp. Sym D2n), ep is
a GL(n) (resp. 0(2n» prinoipal fibration (for this one takes II
sufficiently large and this would suffioe tor the proof of the theorem).
These considerations show that ep induces a canonioal biratiol!!:!
morphism
Gj l Speo R --? Dn (reap. Sym D2n )
We are required to show that j is an if!Omo.!:p.hism. It is not diffioult
to show that j is a finite this is an easy consequenoe of
the tact if x X and is semi-stable in the Sellse of Mumford,
Y(x)J' 0 (of. Mumf'ord [19] ). Obviously RG is a normal ring. Henoe
to show that j is an isomorph!SII it suffices to know that Dn (resp.
Sym D2n ) is a normal variety. This is a consequence of Theorem 2.3.
Remark 6.4 l The most important point in the above proof is the
nOraal.ltz of Dn (resp. Sym D2n) and in praotioe, in similar questions,
this appears to be the hardest to aohieve.
Remark 6.5 a Theorems 6.1, 6.2, 6.3 and 6.4 ( asp. 6.3 and 6.4, the caso
of the linear group is perhaps more classical, or. fa] ,[91 )were proved
by DeConoini and Prooesi, ot. [3]. However, there was no oonneotlon with
Sohubert varieties in [3J. The oonnection with Sohubert varieties,
especially for the ease of 8Dvariants under the orthogonal group was
noted in G/p -II, [17] . The basis written by De Conoini and Prooesi for
473
this oase provided the clue to index a basis of a non-minusoule
fundamental representation by means of admissible pairs (see Lemma
6.1 above and Lemma 5.1, [17J ) and the main results on standard
monomial theory (asp in § 2) \lere then conjeotured in G/p-II,[17].
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