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Submitted on 1 Jan 1990

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L’INSTABILITÉ DES ONDES SE PROPAGEANTDANS UN MILIEU PIÉZOÉLECTRIQUE

M. Planat

To cite this version:M. Planat. L’INSTABILITÉ DES ONDES SE PROPAGEANT DANS UN MILIEUPIÉZOÉLECTRIQUE. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C3), pp.C3-207-C3-217.�10.1051/jphyscol:1990322�. �jpa-00230750�

COLLOQUE DE PHYSIQUE Colloque C3, supplément au a017, Tome 51, ler septembre 1990

L'INSTABILITÉ DES ONDES SE PROPAGEANT DANS UN MILIEU PIEZOELECTRIQUE

M. PLANAT

Laboratoire de Physique et Métrologie des Oscillateurs du CNRS associé à l'Université de France-Comté-Besançon, 32, avenue de l'observatoire, F-25000 Besançon, France

Résumé - On étudie la propagation non linéaire et dispersive des ondes piézoélectriques transverses horizontales dans les deux cas de l'excitation par un réseau métallique (lignes à retard) puis par deux électrodes uniformes parallèles (résonateurs). Les équations d'enveloppe en amplitude et en phase sont établies et la stabilité des ondes étudiée,

Abstract - We study the nonlinear dispersive wave prcpagûticn for shear horizontal piezoelectric waves for both cases of excitation from a metallic lattice (delay lines) then from two parallel electrodes (resonators). Envelope equations for amplitude and phase are established and the stability of waves is studied.

I - INTRODUCTION

Pour étudier la stabilité des ondes se propageant dans les milieux piézoélectriques, il est nécessaire d'introduire les non linéarités inhérentes à la propagation ainsi que la dispersion : celle-ci peut être due aux conditions d'excitation (conditions aux limites, nature du transducteur source) ou à la microstructure du milieu de propagation.

ijans la première partie, on s'intéresse à la propagation des onaes transverses émises par un ~ransducteur métallique périodique de longueur finie déposé sur un 1/2 espace de quartz. Le fait important est que, dans l'approximation géométrique, la périodicité spatiale rend les ondes dispersives seulement lorsque le milieu est anisotrope. A partir des équations d'enveloppe pour les ondes quasi-monochromatiques, on met en évidence divers types d'instabilité longitudinale e t ~ransversale confirmées expérimentalement [ l , 21.

I h n s la deuxième partie, on étudie le cas des résonateurs à ondes transverses excités à partir d'une niétallisation uniforme. On montre que dans un milieu anisotrope tel que le quartz, la microstructure de la polarisation électrique induit un couplage dispersif entre les ondes acoustiques et électro- magnétiques. En s'intéressant tout particulièrement aux modulations de phase, on établit une base physique plausible pour le problème encore irrésolu des fluctuatiüns de basse fréquence en llf dans les résonateurs [3 ] .

2 - ONDES TRANSVERSES EMISES PAR UN TRANSDUCTEUR PERIODIQUE DEPOSE SUR UN SUBSTRAT DE QUARTZ DE COUPE Y-Z

Dans cette configuration cristalline, seules les ondes transverses sont couplées piézoélectriquement au transducteur d'excitation [4,51. L'étude de leurs propriétés non linéaires est tout à fait récente [l, 2,6,71. Lorsque le transducteur d'excitation est très long, la propagation a lieu avec le nombre d'onde k suivant la direction d'interférence constructive 0, donnée par la relation [8,1,21:

En d'autres termes, l'angle de la propagation est fixé par la fréquence appliquée f, de façon à ce que l'on ait V, = f A, cos O,, où Ad2 est la périodicité spatiale du transducteur périodique.

La relation de dispersion pour les ondes progressives se propageant dans la direction r s'écrit donc I l , 21

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990322

C3-208 COLLOQUE DE PHYSIQUE

où W ( k ) s'obtient à partir de la courbe de lenteur dans laquelle on utilise la relation (1) :

2 2 u2 w 2 ( k ) = CG k; + C,(k2- k;) + 2 C , k , ( k - k , )

tandis que le deuxième terme est l'anisochronisme :

3 q = --', k 2 L 1 1 avec y = -CZ + C2% + -C-

8 O OCa 2 6

Pour le cas d'un résonateur (voir § 3), le coefficient 318 se transforme en 9/32 et l'ordre de grandeur des non linéarités s'obtient à partir du coefficient C = )3y/8C6,J = 10 [I l l . Le coefficient q est inférieur à O pour les coupes de'type AT et supérieur à O pour les coupes de type BT [12].

Pour une onde quasimonochromatique de fréquence wo et de nombre d'onde ko, l'enveloppe @(r,s,t) des modulations (où r est la dimension longitudinale et s la dimension transversale) s'écrit [21:

où w' , et w", sont respectivement la vitesse de groupe linéaire et la concavité de la courbe de dispersion, et sont calculés en k,.

Lorsque q w ' , > O, les modulations transverses sont instables et le milieu est focalisant (dans le cas contraire, il défocalise). De même lorsque qww0 > O, les modulations longitudinales sont instables et l'on s'attend à une instabilité de modulation.

Ces phénomènes sont étudiés théoriquement sur les figures 1 à 3. Le tracé de la courbe de lenteur (Fig. 1) montre que le dispositif va présenter une fréquence de coupure à la fréquence fo = 126 M H z lorsque O , = 24.2" correspondant à une direction d'énergie 0 , = O. A cette fréquence, la dispersion est maximale (Fig. 2) puis décroît progressivement lorsque l'on accroît la fréquence d'excitation.

Sur la figure 3 on a représenté la distance x,e à laquelle l'instabilité longitudinale est maximale, ainsi que les amplitudes Ul et U2 des solitons longitudinaux et transversaux lorsque l'amplitude d'excitation est a = 100 A et la durée de l'impulsion excitatrice t = 100 ns. Leurs expressions analytiques sont respectivement :

où ug est la vitesse de groupe en régime non linéaire et L la longueur du transducteur.

1 s " Fig. 1 : Courbe de lenteur polir la coupe Y-% d u quartz

1 2 6 M H z

Fig. 2 : Relation de dispersion pourla coupe Y-Z du quartz avec un transducteur périodique

O

Vig . 3 : Distance x,p d'instabilité longitudinale maximale, amplitude U2 du soliton transverse pour L = 4,5 mm et amplitude U1 du soliton longitudinal pour a = 100 A et -6 = lOOns en fonction du nombre d'onde de la porteuse

La figure d montre la réponse à une impulsion de 100 ns, d'amplitude 6 V à la fréquence porteuse 129 MHz. On voit que l'onde est morcelée en différents paquets eux-mêmes instables. D'un point de vue linéaire, cela peut être interprété approximativement comme l'interférence entre l'onde de surface et le premier mode de volume satisfaisant aux conditions aux limites (correspondant à l'idée de premier rebond : voir Fig. 4a de la référence 8). Du point de vue non linéaire présenté ici, la réponse représente l'enveloppe de l'onde et celle-ci est instable transversalement et longitudi- nalement. L'instabilité longitudinale disparaît progressivement lorsque la fréquence croît, par contre l'instabilité transversale réapparaît sous la forme d'une réponse en plusieurs paquets d'onde, correspondant à l'idée de plusieurs rebonds : cela est illustré sur la figure 4- obtenue par une excitation à la fréquence porteuse de 190 MHz.

COLLOQUE DE PHYSIQUE

. . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . 1- :

Fig. 4 : Képonse en impulsion à f, = 18.9 MHz ( c = 100 ns, a = 6 V)

Sur la figure 6 on voit le spectre de Fourier de cette réponse. Chacun de ces paquets d'onde est par ailleurs sensible aux modifications de la longueur et de l'amplitude de l'impulsion excitatrice [l, 21. Mais un certain nombre d'interrogations subsiste quant à l'interprétation des observations. La théorie proposée s'appuie sur la notion unidimensionnelle de rayon et ne tient pas compte des conditions aux limites d'annulation de la contrainte sur les surfaces limites.

Des travaux récents [61 font apparaître sur le plan théorique une IoEalisation non linéaire de l'onde transverse à la surface du milieu dans le régime de dispersion anormale (ce qui est précisément le cas de la coupe Y-Z du quartz). Les équations d'enveloppe pour une onde guidée sont également établies à la référence [91 e t la possibilité de solitons guidés est établie.

En deuxième lieu, nos efforts s'orientent actuellement vers la prise en compte de la piézoélectricité dans le modèle [IO]. Dans un milieu faiblement piézoélectrique tel que le quartz, l'excitation des ondes est due à la discontinuité périodique de la polarisation électrique sous le transducteur e t la relation de dispersion adéquate résulte donc de ce processus d'excitation.

Fig. 5 : Réponse en impulsion à 129 M t l z ( L = 100 ns, a = 6 V)

Fig. 6 : Spectre de mode &mulé dans les expériences impulsives

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3 - ONDES TRANSVERSES AU SEIN D'UN RESONATEUR A QUARTZ DE COUPE Y

a) Approximation linéaire non dispersive

Les ondes transverses horizontales (cisaillement d'épaisseur) peuvent être excitées à l'aide d'électrodes uniformes sur les deux faces d'une plaque de quartz de coupe Y et d'épaisseur h. Dans l'approximation quasistatique, le déplacement mécanique transverse ul et le potentiel électrique satisfont aux relations différentielles [Il] :

e t lorsque y = f h/2 :

c ,u i2 + esQ2 = O

@ = + <Po12 cosot

A partir de l'expression pour le déplacement mécanique :

D = e26 - c z @ = - Q I A 2

(9) 2

où Q = C <Po cos wt est la charge sur l'électrode, on peut exprimer la constante diélectrique effective E et le courant électrique i par les relations C = E AIh et i = A D2(h).

Résolvant le système (7)-(8), nous obtenons :

- - - o_ù li2 = e2 1 C , E~~ est le coefficient de couplage électromécanique et C3, = C + ez,2/r22. Puisque K2 est petif, les6frequences de résonance sont app-imativement donnees parTa série harmonique w, = (2n + l)nV~lh, où n = 0,1,2,3, ... et VT = dc661p.

b) Introduction de la dispersion spatiale

Dans la théorie classique de la piézoélectricité, on n'introduit pas le couplage entre l'onde acoustique et l'onde électromagnétique. Cette hypothèse s'appuie sur la différence importante entre les vitesses de la lumière e t du son. Ce couplage a été introduit par Mindlin [12,131 qui a calculé le rayonnement électromagnétique pour le cas d'une coupe de quartz de coupe Y vibrant en cisaillement d'épaisseur. Ce couplage modifie légèrement la vitesse des deux ondes mais ne les rend pas dispersives.

Un couplage de type différent se produit lorsque l'on tient compte des effets microscopiques. Puisque la polarisation électrique est proportionnelle au déplacement relatif entre le "coeur" ionique et la "coque" électronique e t que l'approximation des ondes longues introduit le gradient des dépla- cements, on trouve aussi des gradients de polarisation i151. Dans les cristaux centrosymétriques les gradients de polarisation créent un effet de couche limite et donc une capacité anormale dans les films minces [16]. Dans les cristaux centrosymétriques du type ferroélectrique, ils permettent d'expliquer la présence d'un nouveau mode de propagation dit mou [17,15]. D'autre part, tout cristal r,e pcusédant pas de centre de symétrie fait apparaître une activité optique et acoustique. Comme dans le cas correspondant des ondes optiques, la dégénérescence est levée pour les ondes transverses se propageant le long d'un axe de symétrie acoustique, si bien qu'au lieu d'une onde dégénérée à polarisation rectiligne, on obtient deux ondes à polarisation circulaire ayant des directions opposées de rotation du vecteur polarisation. Par conséquent, le plan de polarisation de l'onde transverse tourne au cours de la propagation. Cet effet a été calculé [18] pour le cas des ondes transverses se propageant le long de l'axe Z en accord avec les expériences de diffusion Brillouin [19].

Dans le cas général, l a dispersion spatiale couple toutes les ondes acoustiques se propageant dans une direction spécifique conduisant à une polarisation elliptique des ondes. Mais puisque l'excentricité des ellipses est faible, les ondes restent pratiquement à polarisation rectiligne mais subissent une dispersion de leur vitesse de phase 1201.

i>ans le cas des ondes se propageant au sein d'un résonateur de coupe Y, on peut se restreindre à l'étude du couplage entre les déplacements transversaux et longitudinaux ul, u2, les champs électriques E l , E2 et les polarisations P l , Pz. En utilisant l'approche de Mindlin 1181 e t puisque Ui, Pi et Ei ne sont fonction que de x2 et t, nous obtenons :

Dans le système ( I l ) , C6 , CJl, a, = ell-l = e2i1 et fll = -e2/c = e appartiennent à la théorie classique de la piézoélec$icité si bien qu'il ne subsiste que nouvelfes constantes dl d bll e t b,, lorsque la microstructure de la polarisation est prise en compte dans 1'a~~roximavion6~hes ondes longues.

Nous intéressant aux ondes à polarisation elliptique [la] et puisque la vitesse des ondes acoustiques est considérablement plus faible que celle de la lumière, des manipulations vectorielles élémentaires nous conduisent à la relation de dispersion :

On peut obtenir une estimation des constantes apparaissant dans la relation de dispersion. L'échelle de I'inhomogénéité spatiale est celle donnée par la taille a de la cellule unité. Pour le quartz, la distance entre les atomes Si et O est environ la moitié de la périodicité du réseau ; par conséquent :

2 pw - C!,k2 O -d, k2 f ~ l

O - Cll k2 -f11 -d,, k2

- d, k4 -fil k3 -(all + he6k2) k 2 + Poco2 0

fli -dl, k2 O 4%' + ç,,' + b,, k2)

dl1 Jll bffi 611 = a = 2.5 X 10-1°rn f i l fl, jll j l l

où d,,; = dl, = 0,25 volts; j,, = 6 m2/Fet bll = b,, = 15 X 10-1°m3/F.

= O (12)

Une relation de dispersion approximative peut être obtenue en négligeant l'effet de la piézoélectricité (6, = O). Dans ce cas, le mode de cisaillement d'épaisseur de vitesse V, ne se couple qu'au mode électromagnétique de vitesse V, et la relation de dispersion pour les deux modes s'écrit :

En utilisant les ordres de grandeur donnés en (13), on voit que le terme en d est environ 1013 fois plus faible que le terme en b6 . La contribution du premier est environ 2 X 1&. D'autre part, si on néglige les constantes dl , et J6, et que l'on prend en compte la piézoélectricité (fil * O), le mode de cisaillement d'épaisseur se couple seulement à la constante bll et cela conduit à une correction de l'ordre de 10-16. On voit d'après (12) que la constante piézoélectrique fl, assure le couplage entre les modes longitudinaux et transverses, conduisant à une polarisation elliptique des deux modes. Cependant, d'après la discussion ci-dessus, la dispersion principale provient du couplage avec le mode électromagnétique par les gradients de polarisation et le couplage au mode longitudinal peut être négligé.

C) Effets non linéaires

Les effets de propagation non linéaire dans les résonateurs à quartz ont été étudiés de nombreuses fois [ I l , 12,221. Ils s'appuient sur des travaux plus fondamentaux antérieurs [23].

Si l'on néglige l'interaction non linéaire avec le mode longitudinal, la relation de dispersion pour le mode de cisaillement d'épaisseur dans un résonateur sans piégeage d'énergie s'écrit [9,201:

COLLOQUE DE PHYSIQUE

où y = 112 C,, + C + 116 CG,, . Comme il a été dit précédemment, le coefficient y est supérieur à O pour les coupes de 8 E e AT et inférieur à O pour les coupes de type BT [12]. Puisque y = 1012 N/m2, l'ordre de grandeur du terme correctif est 5 X 10-l2 lorsque l'amplitude de la vibration est )'Y1 = 1 A. d) Modulations de phases induites par la dispersion non linéaire

D'après (14) et (15), la relation de la dispersion non linéaire pour les ondes acoustiques transverses s'écrit :

w = ~ v , [ I + o k 2 + (16)

ou a = 112 e,, b,, et v = 9y/32C,,. Notons que les deux effets ont le même ordre de grandeur lorsque I Y ~ = i A. Les équations d'enveloppe pour une onde quasimonochromatique se propageant a u sein du résonateur sont établies en réécrivant (16) sous la forme :

Le déplacement mécanique prend alors la forme :

u b , t ) = a p j ( k o y - o O t ) Y I b , t ) + e z p j ( - k u y - o 0 1 ' t) Y ( - y t) (18)

où les deux termes correspondent respectivement aux ondes incidente e t réfléchie. L'enveloppe complexe de la vibration est solution de l'équation non linéaire de Schrodinger écrite dans le repère en mouvement sous la forme :

Dès quel'enveloppe YI pour l'onde incidente est déterminée, la solution pour le résonateur s'obtient à partir de (18). Nous étudions le cas où le produit -go", est inférieur à 0, c'est-à-dire b,, est supérieur à O si bien que les modulations sont stables. En suivant une démarche due à V.I. Karpmann [25], nous allons montrer que les modulations d'amplitude et de phase peuvent être découplées. Pour cela, nous cherchons des solutions sous la forme :

Y , = d a ~ ~ i . i e u . , t ) i (20)

En utilisant (20) dans (19) e t en séparant parties réelle et imaginaire, nous obtenons le système d'équations couplées :

I.'approximation de Karpmann consiste à remplacer le terme [~2(p1'2)ldy2]lp1n par son approximation [ i~~l-,"]/2po.

En dérivant l'équation (21b) et en posant:

le système (21) se transforme en :

La résolution du système (23) se fait en deux étapes. On cherche d'abord l'onde simple satisfaisant au système (23) sans second membre et l'on trouve (avec la condition initiale p = po pour u = O) :

d'où l'équation :

La prise en compte du terme au second ordre se fait sous forme approchée en supposant :

où p(u) est la solution correspondant à l'onde simple et a(x, y) est un terme correctif du second ordre. En utilisant les expressions (24) et (26) dans (23) et en éliminant a h , y), nous obtenons la nouvelle équation [25] :

ut + [ x o + f ~ ] S + p ~ y y Y = O OY 8 = - 1 1 8 ~ " (27)

qui, avec l'aide de (21a), permet d'obtenir successivement les modulations de phase et d'amplitude.

Nous cherchons les solutions del'équation de Korteweg de Vries (27) sous la forme :

Dans ces conditions, le profil 5 de l'onde satisfait à l'équation différentielle :

(1124 x,) c2 + V (5 ) = H

avec :

1 1 V ( Q = - t 3 - - x t 2 + ~ E ,

6 2

où G et H sont des constantes d'intégration. La forme d'onde c correspond à la dynamique d'une particule dans un potentiel cubique ayant la forme de la figure 7a.

La résolution de l'équation (29) est classique (22). Choisissons le cas où l'énergie H est nulle. L'équation (29) s'écrit alors :

(1/4 x,) i2 = 5 (a, - U(5 - a , + a2) (30)

où < = 0, < = a i > O et 5 = a i - a 2 < O sont les zéros de V(U. L'équation (30) s'intègre à l'aide des fonctions elliptiques. L'équation différentielle (30) est représentée dans le plan de phase (5, E,! à l'aide de la figure 7b. Les solutions périodiques bornées correspondent à des rotations autour du point S. Le profil des ondes de phase prend la forme :

En introduisant le nombre d'onde K = d a 2 X, et la fréquence correspondante Cl, l'équation (31) se reécrit sous la forme :

COLLOQUE DE PHYSIQUE

avec la relation de dispersion :

La solution (31) correspond aux oscillations entre les deux zéros consécutifs O et ai de V(5). La longueur d'onde est :

Dans ces expressions Cn est la fonction elliptique jacobienne et Kts) l'intégrale complète de première espèce de module S . Dans la limite des petites oscillations autour du centre S, s -+ O , Cn -+ cos, donc s disparaît de la relation (33) et nous obtenons des oscillations sinusoïdales dispersives de longueur d'onde A, = 2nlK autour de la valeur - a i / 2 .

Dans le cas limite s -+ 1, Cn -+ sech, la solution correspond à la séparatrice dans la figure 7. L'onde est dite solitaire car sa longueur d'onde devient infinie.

s m a l l a m p l i t u d e w a v e

e

v e

w a v e

Figure 7 : Puits de potentiel e t plan de phase pour l'équation de Kortewegde Vr ies

On peut obtenir une estimation du module s qui représente la distorsion de forme de l'onde de phase et la période T = 2n/A0 aux très basses fréquences de modulation Q. En effet, en inté p a n t l'amplitude des modulations de phase est donnée par 8 = ailK = s"KIxo puisque K = d a x et s - c i i la2 . D'autre part pour les faibles valeurs de K et Q (correspondant aux fréquences de modu?ation Q < qp,,), on a R = oMq X , K . On peut donc relier le module s, la période T, l'anisochronisme qp, à la fréquence de modulation R et à 81 à l'aide des relations :

L'étude doit maintenant s'orienter vers la prise en compte de l'atténuation. On s'attend à ce que les solutions au voisinage de la séparatrice soit extrêmement sensibles aux perturbations. En effet, la séparatrice correspond à ce que les spécialistes des dynamiques chaotiques nomment une orbite homocline (puisque le col C est à la fois stable et instable). Depuis les travaux de Poincaré, ce type de trajectoire a fait l'objet d'innombrables travaux et conduit à une transition vers le chaos par une bifurcation globale de la trajectoire homocline et création d'ensembles invariants du type "fer à cheval" [26]. Les fluctuations de phase à spectre de puissance en 1/R observées dans les expériences devraient donc être reliées à ce type de scénario universel de transition vers le chaos.

REFERENCES

I'lanat, M. and Houmiriady, M., Appl. Phys. Lett. 55 (1989) 103. Planït , M . 2 in "Continuum Models and Discrete Structures" edited !>y G.A.Maugin. Longman Scientific and 'I'echnical, 1990. I'lanat, M., IEEE 1988 Ultrasonics Symp., IEEE Cat. 88 CH 2578-3, p. 379. Yen, K.H., Lau, K.F. and Kagiwada, R.S., IEEE 1979 Ultrasonics Symp., IEEE: Cat # 79 CH 1482-9, p. 776. Zhang, Y. and Planat, M., J . Appl. Phys. 67 (1990) 2257. Mozhaev, V.G., Phys. Lett. A 139 (1989) 333. Iladouaj, 11. et Maugin, G.A., C.R.A.S. 309 (1989) 1877. Floummady, M., Auld, B.A., liauden, D. et Bigler, E., J . Phys. Coll. C2, suppl. au no2, 51 (1990) 1245. Kirshar, Y.S. and Syrkin, ES. , "Shear horizontal elastic solitons in crystal plates", Preprint submitted to Appl. t'hys. I,etl, Zhang, Y. and Planat, M., Appl. Phys. 1,ett. 52 (1988) 456. 'I'iersten, H.F., J.'Acoust. Soc. Am. 59 (1976) 866. Gagnepin, J.J. and Bescon, R. in Physical Acouctics, vol. XI, Acad. Press, N.Y. (1976). Mindlin, R.D., Int. J . Solids Structures 9 (1973) 697. Ballato, A., 42nd Ann. Freq. Cont. Symp., IEEE Cat. # 88 CH 2588-2 (1988), p. 6. Maugin, G.A., "Continuum meehanics of electromagnetic solids", North Holland (1988). Mindlin, R.D., Int. J . Solids Structures 5 (1969) 1197. Anderson, P.W. in Fizika Dielectrikow, Ed. G.I. Skamavi, Akad. Nauk, SSSR, Fizikoestrii Inst. Lebedeva, Moscow ( 1960). Mindlin, R.D. and Toupin, R.A., Int. J. Solids Structures 7 (1971) 1219. I'ine, A.S., Phys. Rev. B. 2 (1970)2049. Vuzha, A.D. and I,yamov, V.E., Sov. Phys. Cryst. 22 (1977) 73. Bergé, B., Dolino, G., Vallade, M., Boissier, M. and Vacher, R., J . Physique 45 (1984) 715. Plariat, M., Théobald, G. and Gagnepain, J.J., L'Onde Electrique 60 (1980) 36. 'I'hurston, R.N., "Waves in Solids" in Handbuch der Physik, Acad. Press, N.Y., vol. VIa, 4 (1974). Witham, G.B., "Linear and nonlinear waves", John Wiley Sons (1974). Karpmann, V.I., "Nonlinear waves in dispersive media", John Wiley & Sons (1974), p. 467. Guckenheimer, J . and Holmes, P., "Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields", Springer Verlag, N.Y. (1983).