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L’Interazione Elettrodebole Dinamica del Modello Standard Dipartimento di Fisica e Geologia Universit ` a degli Studi di Perugia [email protected] Novembre 2016

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L’Interazione ElettrodeboleDinamica del Modello Standard

Dipartimento di Fisica e GeologiaUniversita degli Studi di Perugia

[email protected]

Novembre 2016

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La storia

La teoria di gauge che descrive l’Interazione Elettrodebole e il frutto del lavoro di

Steven Weinberg(1933, USA)

Abdus Salam(1926-1996, Pakistan)

Sheldon Lee Glashow(1932, USA)

Nel 1979 fu loro conferito il premio Nobel.

”For their contributions to the theory of the unified weak andelectromagnetic interaction between elementary particles,including, inter alia, the prediction of the weak neutral current”.

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Il modello Weinberg-Salam-GlashowIl modello Weinberg-Salam-Glashow per l’Interazione Elettrodebole e unateoria di gauge con campi chirali, fermionici a spin 1/2 e con massa nulla.

Il gruppo di simmetria e SU(2)L×U(1)Y

SU(2)L −→ Isospin debole(Iw , Iw3)

U(1)Y −→ Ipercarica deboleYw

I Dalla dinamica dei decadimenti beta si evince che solo i campi dei fermionisinistrorsi (left-handed) si trasformano con operatori del gruppo SU(2)L.

I Le tre generazioni differiscono per la massa ma hanno le stesse proprieta.I E sufficiente considerare solo una generazione (due leptoni e due quark).

Leptoni sinistrorsiDoppietto di SU(2)L

lL =

(νee

)L

Leptoni destrorsi νeR , eR

νeR e presente solo se il neutrino hamassa non nulla.

Quark sinistrorsiDoppietto di SU(2)L

qL =

(ud

)L

Quark destrorsi uR , dR

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L’Ipercarica

Un campo fermionico di isospin debole IW e sapore f ha ipercarica debole Y (IW , f ).La struttura abeliana della simmetria di ipercarica ”viola” la flavor independence.

Y (IW , f ) 6= Y (I′W , f′) se (IW , f ) 6= (I′W , f

′).

In ogni settore si hanno 6 ipercariche diverse.

Y (1/2, q) = Y (qL) = Yq Y (0, u) = Y (uR) = Yu Y (0, d) = Y (dR) = Yd

Y (1/2, l) = Y (lL) = Yl Y (0, νe) = Y (νeR) = Yν Y (0, e) = Y (eR) = Ye

I La simmetria SU(2)L × U(1)Y del settore elettrodebole del Modello Standard espontaneamente rotta.

I I campi di gauge neutri a massa nulla di SU(2)L × U(1)Y si combinanolinearmente formando il campo del fotone.

I La combinazione e quella che si accoppia alla corrente elettromagnetica.I La carica elettrica Q si ottiene quindi come combinazione lineare dei numeri

quantici di isospin debole IW3 e ipercarica debole YW .

Q = a IW3 + b YW (a = 1) =⇒ Q = IW3 + b YW

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I vincoli dell’ipercarica

L’ipercarica Y (IW , f ) del campo fermionico di isospin debole IW e sapore f e vincolataI dall’invarianza chirale;I dalle condizioni di cancellazione dell’anomalia assiale.

lept

oni I campi lL, doppietto di isospin debole, νeR e eR , singoletti di isospin debole fanno

parte dello stesso stato fisico hanno, quindi, la stessa carica elettricaQ(lL, 1/2) = 1/2 + bYl = Q(νeR) = bYν

Q(lL,−1/2) =−1/2 + bYl = Q(eR) = bYe

}⇒ Yl = Yν −

12b

= Ye +1

2b

quar

k

I campi QL, doppietto di isospin debole, uR e dR , singoletti di isospin debole fannoparte dello stesso stato fisico hanno, quindi, la stessa carica elettrica

Q(qL, 1/2) = 1/2 + bYq = Q(uR) = bYνQ(lL,−1/2) =−1/2 + bYq = Q(dR) = bYe

}⇒ Yq = Yu −

12b

= Yd +1

2b

anom

alia

Le condizioni di cancellazione dell’anomalia assiale sono (Nc = numero di colori)

2Yq − Yu − Yd = 0 . . . . . . . . . . . . (condizione di carica dei quark)2Yq + Yl = 0

2(

NcY 3q + Y 3

l

)− Nc

(Y 3

u + Y 3d

)− Y 3

e − Y 3ν = 0

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Neutrini di Majorana e di DiracSe i neutrini sono particelle di Majorana, ν = ν, hanno carica elettrica e ipercarica nulla.

0 = Q(ν) = Q(lL, 1/2) = Q(νeR) = bYν =⇒ Yν = 0

Usando le condizioni dicancellazione dell’anomalia.

Yq = 16b Yu = 2

3b Yd =− 13b

Yl =− 12b Yν = 0 Ye =− 1

b

Fissando b = 1/2YW = 2(Q − IW3)

Campo νeL eL νeR eR uL dL uR dR

YW −1 −1 0 −2 1/3 1/3 4/3 −2/3

Se i neutrini sono particelle di Dirac:I non si hanno vincoli sulla carica;I l’ipercarica viene assegnata ai campi in base alle osservazioni sperimentali della

carica elettrica, seguendo la legge

YW = 2(Q − IW3) .

La teoria perde la capacita di predire le cariche elettriche dei campi.

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La lagrangiana del settore elettrodebole

LEW = LG + LF + LH

La lagrangianadi gauge LG = −

14

F aµνF aµν −

14

BµνBµν

Isospin debole SU(2)L

F aµν = ∂µW a

ν − ∂νW aµ − g2ε

abcW bµW c

ν

Campo di gauge: ~Wµ = (W 1µ,W 2

µ,W 3µ)

Ipercarica debole U(1)Y

Bµν = ∂µBν − ∂νBµ

Campo di gauge: Bµ

La lagrangianafermionica

LF =∑ψL

ψLi /DψL +∑ψR

ψR i /DψR

I fermioni destrorsi non siaccoppiano con l’isospin debole

DµψR =(∂µ + i

g1

2YW Bν

)ψR

g1 e l’accoppiamento di U(1)Y

I fermioni sinistrorsi hanno entrambi gliaccoppiamenti

DµψL =

[I2(∂µ+i

g1

2YW Bν

)+ig2

2· ~Wµ

]ψL

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Il settore di HiggsI La lagrangiana elettrodebole LEW contiene solo campi con massa nulla.I E una teoria di gauge matematicamente consistente ma non ha alcun

riscontro sperimentale, in quanto si osservano fermioni e bosoni con massa.I E necessario aggiungere alla lagrangiana originale un settore di Higgs.

Φ =

(φ+

φ0

) Il campo di Higgs e un doppietto complesso dell’isospindebole, con cariche elettriche Q+ = +1, Q0 = 0e ipercarica YH = 1.

Accoppiamento del campo di Higgs con i campi bosoniciLHG = (DµΦ)∗ DµΦ− V (Φ)

La derivata covariante ha la stessaforma di quella dei campi sinistrorsi. DµΦ =

[I2(∂µ+i

g1

2Bν)

+ig2~τ

2· ~Wµ

Potenziale o termine di auto-interazione di Higgs.µ2 e λ sono parametri positivi arbitrari. V (Φ) = −µ2Φ†Φ+λ

(Φ†Φ

)2

Accoppiamento del campo di Higgs con i campi fermionici

LHF = −guqLΦuR − gd qLΦdR − gν lLΦνeR − gelLΦεR+ h.c.

con Φ = iτ2Φ∗. Le costanti di accoppiamento gu , gd , gν , ge, sono arbitrarie.

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Rottura spontanea della simmetria

Lo stato fondamentale del campo di Higgs, Φ0, si ottiene minimizzando il potenziale

V (Φ0) = −µ2Φ†0Φ0 + λ(

Φ†0Φ0

)2= 0

in termini del valore di aspettazione del Φ nel vuoto. Ci sono due soluzioni

Banale: 〈Φ〉0 = 0 Non banale: 〈Φ†Φ〉0 =v2

2=

12µ2

λ

Una configurazione di vuoto del campo di Higgs che:

I verifichi la condizione 〈Φ†Φ〉0 =v2

2;

I rispetti al conservazione della carica.

〈Φ〉0 =

(0

v/√

2

)

I 〈Φ〉0 descrive la rottura spontanea della simmetria SU(2)L × U(1)Y .I Il valore di v , che rappresenta la scala di energia che caratterizza la grandezza

dell’effetto, non e predetto dalla teoria.

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Le masse dei fermioni e dei bosoni carichiI termini di massa generati dalla rottura spontanea della simmetria si ottengono scrivendola lagrangiana LH = LHG + LHF in termini del valore di minimo del campo di Higgs edelle combinazioni cariche dei campi di gauge

〈Φ〉0 =

(0

v/√

2

)W±µ =

W 1µ ± i W 2

µ√2

Lmass = −v√

2

(gu uu+gd dd +ge ee

)+(vg2

2

)2W +µ W−µ

+v2

8

(W 3µ Bµ

)( g22 −g1g2

−g1g2 g21

)(W 3µ

)

Le masse dei fermioni sono arbitrarie.La teoria non predice alcun valore. mf =

v√

2gf f = u, d, e, . . .

Le masse dei bosoni di gauge carichi W±. MW =v2

g2

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Le masse dei bosoni neutriLa rottura spontanea di simmetria determina un mescolamento dei bosoni di gauge neutri.La matrice di massa non e diagonale nella base dei campi neutri W 3

µ e Bµ

M0 =

(g2

2 −g1g2−g1g2 g2

1

)

Le combinazioni dei campi W 3µ e Bµ che diagonalizzano la matrice M0, ovvero gli

autovettori, sono

Zµ = cos(θW )W 3µ − sin(θW )Bµ Aµ = sin(θW )W 3

µ + cos(θW )Bµ

L’angolo θW si chiama angolo di mescolamento debole oangolo di Weinberg, e definito in termini delle costanti diaccoppiamento g1 e g2.

θW = arctan(

g1

g2

)

Gli autovalori della matrice M0 rappresentano lemasse dei campi neutri Zµ e Aµ. MZ =

v2

√g2

1 + g22 Mγ = 0

Il rapporto delle masse dei bosoni con massa e indipendentedal valore di aspettazione del vuoto del campo di Higgs v .

MW

MZ= cos(θW )

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La lagrangiana di interazione

Lint = −eAµJµem −GF√

2Jµch†Jchµ

Jµem = −∑

f =e,u,d,...

Qf f γµ f Corrente elettromagnetica dei fermioni carichi.

Jµch = νe γµ(1 + γ5) e + u γµ(1 + γ5) d + · · · Corrente debole.

Partendo direttamente dalla lagrangiana LF si ha

L′int = −g2√

2

(W +µ Jµch + W−µ Jµch

†)− g1 cos(θW )AµJµem + Lnw

L(f )nw = −

g2

2 cos(θW )Zµf

(g(f )

v γµ + g(f )a γµγ5

)f

Interazione debole neutra.g(f )

a e g(f )v sono gli accoppiamenti

assiale e vettoriale del fermione f .

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La costante di Fermi

g(f )v = I(f )

W3 − 2 sin2(θW )Qf g(f )a = I(f )

W3Costanti di accoppiamentoassiale e vettoriale del fermione f .

I Con θw = 0 si avrebbero g(f )v = g(f )

a . L’accoppiamento neutro dipenderebbe solodalla terza componente dell’isospin debole IW3.

I Sperimentalmente si osserva sin2(θW ) ' 0.23.I L’accoppiamento ge,µ,τ

v = −1/2 + 2 sin2(θW ) ' −0.04 e soppresso rispetto aquello assiale ge,µ,τ

a = −1/2.

I La carica elettrica dei leptoni (carichi) e la costante di Fermi possono essereespresse come

e = g1 cos(θw ) = g2 sin(θw ) GF =

√2g2

2

8M2w

I Da queste relazioni e dal valore sperimentale di GF si ottengono

M2W =

πα/√

2sin2(θW )GF

'(

37.281 GeVsin(θw )

)2v =

√1

√2GF

' 246.2 GeV

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La gauge di HiggsRiscriviamo il campo di Higgs nella forma

Φ(x) = ei ~τ2 ·~α(x)

(0[

v + H(x)]/√

2

)le funzioni αj (x) (j = 1, 2, 3) e H(x)sono reali e nulle nello stato di vuoto.

Facciamo la trasformazione di gaugeΦ(x) → e−i ~τ2 ·~α(x)Φ(x) =

(0[

v +H(x)]/√

2

)Q′kL → e−i ~τ2 ·~α(x)Q′kLU′R → U′R D′R → D′Rfe

rmio

nie

Φ {~Wµ → ~Wµ−~α× ~Wµ− 1

g2∂µ~α

Bµ → Bµboso

ni

Tale trasformazione elimina dalla lagrangiana la funzione ~α(x) e introduce per i campidi gauge dei termini di massa. In particolare si possono definire tre campi massivi duedei quali carichi

W±µ =W1µ∓i W2µ√

2Zµ =

gW3µ√g2

1 +g22

− g1Bµ√g2

1 +g22

Aµ =g1W3µ√

g21 +g2

2

+g2Bµ√g2

1 +g22

Le masse dei bosoni W± e Z sono

M2W + = M2

W− ≡ M2W =

g22v2

4M2

Z =

(g2

1 + g22)v2

4

Dopo la RSS rimane anche il campo scalare H che prende massa

M2H = 2m2 = 2λv2

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Gradi di Liberta

Il numero di gradi di liberta della teoria rimane lo stesso

Considerando che un bosone vettore con massa nulla ha solo due possibili stati dielicita (trasversale), mentre se ha massa diversa da zero si ha anche la polarizzazionelongitudinale quindi tre stati di elicita, passando dalla situazione iniziale, precedentealla RSS alla situazione finale avremo:

Prima della RSS Dopo la RSS

campo gradi di liberta campo gradi di liberta

W1µ, W2µ, 2×2=4 W +µ , W−µ 2×3=6

W3µ, Bµ 2×2=4 Aµ, Zµ 2+3=5

Φ 4 H 1

totale: 12 totale: 12

Degli iniziali quattro gradi di liberta del campo di Higgs Φ tre si “convertono” nellemasse dei bosoni vettori W± e Z , mentre il quarto e rappresentato dal campo scalaree neutro H(x).

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Mescolamento dei fermioniConsideriamo la lagrangiana LHF nel caso di un numero generico n di generazioni.

LHF = −n∑

α,β=1

(gαβu q′L,αΦu′R,β+gαβd q′L,αΦd ′R,β+gαβν l

′L,αΦν′eR,β+gαβe l

′L,αΦε′R,β

)+h.c

Stati di singoletto

~u′ = (u′, c′, t ′, . . .)~d ′ = (d ′, s′, b′, . . .)~ν′ = (νe, νµ, ντ , . . .)~e′ = (e′, µ′, τ ′, . . .)

Stati di doppietto

~q′ =

((u′d ′

),

(c′s′

),

(t ′b′

), . . .

)~l′ =

((νee′

),

(νµµ′

),

(νττ ′

), . . .

)

• I campi della lagrangiana originale non sono gli autostati di massa.

• Le matrici degli accoppiamenti generazionali gu,d,ν,e, non sono diagonali.• Dal meccanismo di rottura della simmetria si hanno le matrici n×n delle masse

m′αβf =v√

2gαβf ,

f = u, d , ν, eα, β = 1, 2, . . . , n .

Le matrici m′f e gf possono essere diagonalizzate rispetto agli autostati di massa.

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Diagonalizzazione delle matrici di massaConsideriamo la lagrangiana delle masse dei fermioni LF ,mass

LF ,mass = −n∑

α,β=1

(u′L,αm′αβu u′R,β+d

′L,αm′αβs d ′R,β+ν′L,αm′αβν ν′R,β+e′L,αm′αβe e′R,β

)+h.c.

Sia M una matrice complessa n×n =⇒ MM† e una matrice hermitiana

MM†vα = m2αvα

Autovettori ortonormali: {vα}nα=1

Gli autovalori {m2α}nα=1 sono non negativi

m2α = v†αMM†vα = |M†vα|2 ≥ 0

α = 1, 2, . . . , n .

La matrice unitaria U, di elementiUαβ = (vβ)α, diagonalizza MM† =⇒ m2 ≡ diag(m2

1,m22, . . . ,m

2n) = U†MM†U

MM† = Um2U†

MM† = Um2U† ⇒ U†MM†Um−1 = m ⇒ U†MV = m V ≡ M†Um−1

I La matrice V e unitaria: VV † = V †V = I.I Si ha una diagonalizzazione ”biunitaria”: m =diag(m1,m2, . . . ,mn) = U†MV

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Matrici di MassaLa matrice di massa del leptone m′f e diagonalizzata in mf dalle matrici unitarie Sf

L,R

m′f = SfL mf Sf†

Rf = u, d , ν, e

mu =

mu 0 0 . . .0 mc 0 . . .0 0 mt . . ....

......

. . .

md =

md 0 0 . . .0 ms 0 . . .0 0 mb . . ....

......

. . .

mν =

m1 0 0 . . .0 m2 0 . . .0 0 m3 . . ....

......

. . .

me =

me 0 0 . . .0 mµ 0 . . .0 0 mτ . . ....

......

. . .

Le relazioni tra le basi di sapore, f ′αL,R , e massa, fαL,R , sono

u′αL = (SuL )αβuβL

u′αR = (SuR)αβuβR

d ′αL = (SdL )αβdβL

d ′αR = (SdR)αβdβR

ν′αL = (SνL )αβνβL

ν′αR = (SνR)αβνβR

e′αL = (SeL )αβeβL

e′αR = (SeR)αβeβR

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La lagrangiana con gli autostati di massaLa lagrangiana delle masse negli autostati di massa ha la forma

LF ,mass = −n∑α

(uL,αmαα

u uR,α+dL,αmααs dR,α+νL,αmαα

ν νR,α+eL,αmααe eR,α

)+h.c.

= −n∑α

(uαmαα

u uα+dαmααs dα+ναmαα

ν να+eαmααe eα

)I La lagrangiana originale e scritta in termini degli autostati di sapore.I Le particelle sono prodotte da interazioni deboli in autostati di sapore.I Sperimentalmente si osservano stati asintotici, liberi, ovvero autostati di massa.

La trasformazione f ′αL,R → fαL,R non altera la struttura dellacorrente elettromagnetica e della corrente debole neutra.

Nel caso della corrente elettromagnetica dei leptoni si ha

Jµem(e′) = −∑nα=1 e′αγµe′α = −

∑nα=1

(e′L,αγµe′L,α + e′R,αγµe′R,α

)= −

∑nα=1

((eLSe†

L )αγµ(SeL eL)α + (eRSe†

R )αγµ(SeReR)α

)= −

∑nα=1 (eLαγ

µeLα + (eRαγµeRα) = −

∑nα=1 eαγµeα = Jµem(e)

Le matrici SfL,R che agiscono nelle spazio dei sapori commutano con le matrici di Dirac.

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Il mescolamento dei quarkIl mescolamento dei sapori ha effetto nelle correnti deboli cariche

dei quark Jµch, in cui si hanno accoppiamenti tra generazioni diverse.

In virtu della struttura uγµ(1+γ5)d , le correnti cariche hanno solo campi sinistrorsi.

Jµch =2∑nα=1 u′Lαγ

µd ′Lα=2∑nα=1(uLSu†

L )αγµ(SdL dL)α=2

∑nα,β=1 uLαγ

µVαβdLα

V ≡ Su†L Sd

L

La matrice di mescolamento V , detta matrice di mixing di Cabibbo,Kobayashi e Maskawa (CKM), e unitaria, in quanto prodotto dellematrici unitarie dei sapori sinistrorsi di tipo ”up” e ”down”.

E una matrice di mescolamentodelle componenti sinistrorse chedeterminano la corrente carica.

Jµch =2(uLγ

µdmixL +cLγ

µsmixL +tLγ

µbmixL +· · ·

)

dmixL = Vud dL + VussL + VubbL

smixL = Vcd dL + VcssL + VcbbL

bmixL = Vtd dL + VtssL + VtbbL

La presenza di mescolamento di sapori, ovvero una matrice CKM diversadall’identita e conseguenza del fatto che le matrici unitarie Su

L e SdL sono diverse.

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Parametrizzazione della matrice CKM1Una generica matrice unitaria n × n, U puo essere rappresentata in termini di unamatrice hermitiana H, n×n, come U = eiH . U ha lo stesso numero di parametri di H, n2

n(elem. diag.)

+ 2(n2 − n)/2(elem. non diag.)

= n2

La somma dei moduli quadri degli elementi di ogni riga o colonna e pari a uno. Per lak -esima riga: |Uk1|2 +. . .+ |Ukn|2 = 1 . I parametri possono essere distinti in angolie fasi. Ciascun elemento puo essere parametrizzato come prodotto di seni e coseni di

determinati angoli per una fase: Uij =∏

k,k′∈Iijsin θk cos θk′e

φij .

Il numero di angoli nθ coincide con il numero di parametri di una matrice n×n ortogonalee reale O, con Oij =

∏k,k′∈Iij

sin θk cos θk′ . Dalla condizione: OT O = I si ha la

rappresentazione O = eA dove A e una matrice reale antisimmetrica, i.e. AT = −A.

Il numero di parametri di A, che coincide conquello di O che, a sua volta, corrisponde alnumero di angoli di U, e dato dalla meta delnumero di suoi elementi non diagonali:

nθ =[#parametri di A] =n2 − n

2

Poiche il numero totale di parametridi U e n2, il numero di fasi nφ sara: nφ =n2 − nθ = n2 −

n2 − n2

=n2 + n

2

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Le fasi fisicheIl numero di fasi fisiche della matrice di mescolamento e minore di nφ.

La matrice V entra nella lagrangiana sempre moltiplicata per due spinori⇒alcune fasi possono essere riassorbite nella ridefinizione degli spinori stessi.

La corrente carica debole dei quark contiene 2 × ncampi fermionici: uLα, dLα, α = 1, 2, . . . , n.Ciascun campo e definito a meno di una fase arbitraria.

jµch = 2n∑

α,β=1

uLαγµVαβdLα

Il numero di fasi arbitrarie nella corrente carica debole e (2 × n − 1), poiche la la-grangiana e definita a meno di una fase globale. Le (2×n−1) fasi libere possonoessere scelte in modo da cancellare altrettante fasi della matrice V .

uLα → eiθuαuLα dLα → eiθd

αdLα Vαβ → ei(θdβ−θ

uα)Vαβ α, β = 1, . . . , n

Il numero di fasi fisiche, nFφ, della matrice di mescolamento V , ovvero quelle che non

sono eliminabili con un’opportuna ridefinizione dei campi fermionici, e pari a

nFφ = nφ−(2n−1) =

n2 +n2−(2n−1) =

(n−1)(n−2)

2

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La matrice 2× 2 di CabibboSe ci sono n = 2 generazioni c’e un solo angoloe non ci sono fasi fisiche⇒ CP e conservata.

nθ =n2−n

2= 1 nF

φ =(n−1)(n−2)

2= 0

La matrice di mescolamento 2× 2 e lamatrice di Cabibbo. Dipendente dal soloangolo θC , detto angolo di Cabibbo.

VC =

(cos(θC) sin(θC)− sin(θC) cos(θC)

)

Gli stati mescolatidi Cabibbo.

(sCdC

)= VC

(sd

)=

(s cos(θC) + d sin(θC)−s sin(θC) + d cos(θC)

)

Il valore dell’angolo di Cabibbo si misura sperimen-talmente, e estratto dalla corrente carica deboledell’accoppiamento u → dW +.

sin(θC) ' 0.226.u

W +

d

cos(θC)

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La matrice CKM 3× 3La forma che esprime con maggiore evidenza ilsignificato fisico di ciascun elemento Vαβ dellamatrice CKM, come ampiezza di transizioneα→ β, dal sapore ”up” α al sapore ”down” β.

V =

Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb

Con n = 3 generazioni ci sono quattro parametri, tre angoli e una fase fisica.

nθ =n2−n

2= 3 nF

φ =(n−1)(n−2)

2= 1

Dall’invarianza per trasformazioni di CP si ottiene che l’unica fase fisica deve esserenulla, quindi se CP e conservata la matrice di mescolamento e reale.

V=

c13c12 c13s12 s13e−iδ

−c23s12 − s23c12s13eiδ c23c12 − s23s12s13eiδ c13s23s23s12 − c23c12s13eiδ −s23c12 − c23s12s13eiδ c13c23

sij =sin θijcij =cos θijij = 12, 23, 13

I θ12, θ23 e θ13, sono gli angoli di “mixing” che variano nell’intervallo [0, π].I δ e la fase responsabile della conservazione di CP definita in [0, 2π].I Con θ23 = θ13 = 0 e θ12 = θC , la matrice CKM si riconduce a quella di Cabibbo.

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La parametrizzazione di WolfensteinUna parametrizzazione alternativa della matrice CKM, basata su una

struttura perturbativa, e la cosiddetta rappresentazione di Wolfenstein.Si ottiene da quella in termini degli angoli θ12, θ23 e θ13, e della fase δ.

V=

1−

λ2

2−λ4

4λ λ3A(ρ−i η)

−λ+A2λ5

2(1−2 (ρ+ i η)) 1−

λ2

2−λ4

8

(1 + 4A2

)λ2A

λ3A (1−ρ−i η) −λ2A+Aλ4

2(1−2 (ρ+ i η)) 1−

A2λ4

2

+O(λ5)

Parametri diWolfensteinλ, A, ρ, η

λ ≡ sin(θ12) Aλ2 ≡ sin(θ13) Aλ3 (ρ− i η) ≡ sin(θ13)eiδ

ρ ≡ ρ(1− λ2/2) η ≡ η(1− λ2/2)

I La rappresentazione di Wolfenstein e una espansione in λ = sin(θ12).I La violazione di CP e un effetto del terzo ordine in λ: λ3A(ρ−i η).I Le correzioni di ordine superiore si ottengono imponendo l’unitarieta, ad

esempio, per la prima riga: |Vud |2 + |Vus|2 + |Vub|2 = 1.

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Misura della matrice CKM

I Gli elementi della matrice CKMnon sono predetti dalla teoria.

I Sono parametri da determinaresperimentalmente.

I Ciascuno di essi e ottenuto dadiverse misure di processidiversi.

Re(z)

Im(z)

V∗tbVtd

V∗ubVud

V∗cbVcd

α

γ β

0≡3∑α=1

(V †)3αVα1=∑

α=u,c,t

V∗αbVαd

Parametri di Wolfensteinλ= 0.2257+0.0008

−0.0010

ρ= 0.135+0.031−0.016

A = 0.814+0.021−0.022

η= 0.349+0.015−0.017

Parametri CKMsin(θ12) = 0.2257+0.0008

−0.0010

sin(θ13) = 0.0036+0.0004−0.0003

sin(θ23) = 0.0415+0.0014−0.0015

δ=(

68.9+3.0−5.4

)o

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Mescolamento dei neutriniIl fenomeno del mescolamento dei sapori si manifesta anche nelsettore leptonico sotto forma del mescolamento dei neutrini.

La matrice equivalente alla CKM del settore dei quark e dettamatrice di Pontecorvo, Maki, Nakagawa e Sakata (PMNS).

UPMNS = Vν(θ12, θ23, θ13, δ)P(ν) = Vν(θ12, θ23, θ13, δ)

1 0 00 eiα1/2 00 0 eiα2/2

I La matrice P(ν) si inserisce per considerare la possibilita che i neutrini sianoparticelle di Majorana.

I In questo caso, la condizione sui campi: νCi (x) = νi (x), fissa n − 1 fasi, che

non si possono utilizzate per riassorbire le fasi del mescolamento,il numero di fasi fisiche diventa

nFMφ = nφ−(2n−1)+(n−1) =

n2 +n2−n =

n(n−1)

2I Le fasi α1 e α2, dette fasi di Majorana, sono osservabili ma non contribuiscono

al fenomeno di oscillazione dei neutrini.

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Oscillazione dei neutriniI I parametri della matrice PMNS si estraggono dalle misure delle oscillazioni dei

neutrini.I Non c’e evidenza di violazione di CP nel settore leptonico.I Non c’e la possibilita di verificare il carattere di Dirac o Majorana dei neutrini.

Dati del 2012.sin2(2θ12) = 0.857± 0.024sin2(2θ23)≥ 0.95 (90% C.L.)sin2(2θ13) = 0.098± 0.013

θ12 = (39.9± 1.0)o

θ23 = (40.4+4.6−1.8)o

θ13 = (9.1± 0.6)o

I La matrice PMNS e diversa dalla matrice CKM.I La matrice CKM puo essere interpretata come V (λ, . . .) = I +O(λ).I Lo sviluppo perturbativo della matrice PMNS e

UPMNS =

2√6

(1− s/2) 1√3

(1 + s) r√2

e−iδ

− 1√6

(1 + s − a + reiδ) 1√3

(1− s/2− a + reiδ/2) 1√2

(1 + a)1√6

(1 + s + a− reiδ) − 1√3

(1 + s/2 + a + reiδ/2) 1√2

(1− a)

r = 0.22± 0.01 s = −0.03± 0.03 a = 0.10± 0.05

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