lİse - fonksİyonlar

Derse giriş için tıklayın...

A. TanımA. Tanım

B. Fonksiyonun GösterimiB. Fonksiyonun Gösterimi

C. Görüntü C. Görüntü KümesiKümesi

A. Fonksiyon ÇeşitleriA. Fonksiyon Çeşitleri

1. Bire Bir Fonksiyon

2. Örten Fonksiyon

3. İçine Fonksiyon

4. Birim (Özdeş) Fonksiyon

5. Sabit Fonksiyon ve Sıfır Fonksiyonu

B. Eşit FonksiyonB. Eşit Fonksiyon

C. Fonksiyon SayısıC. Fonksiyon Sayısı

D. Ters FonksiyonD. Ters Fonksiyon

E. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ( Bileşke Fonksiyon )E. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ( Bileşke Fonksiyon )

F. Bileşke İşleminin ÖzellikleriF. Bileşke İşleminin Özellikleri

Fonksiyonun Fonksiyonun TarihiTarihi

A. TanımA. TanımA ve B boş olmayan iki küme olsun. A nın her bir elemanını B de yalnız bir elemanla eşleyen f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir.

A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de fonksiyonun değer kümesi denir.

x A ve y B olmak üzere A dan B ye bir f fonksiyonu f : A B veya x f(x) y biçiminde gösterilir.

Örnek ...1

A 1,2,3 ve B 1,3,4,5,9 kümeleri verilsin. A dan B ye bir f bağıntısı,

f (x,y) : y x2 biçiminde tanımlanıyor.

y f(x) x2 f(1) 12 1

f(2) 22 4

f(3) 32 9

olduğuna göre

Tanım kümesi : A 1,2,3

Değer kümesi : B 1,3,4,5,6

f bağıntısı : f (1,1), (2,4), (3,9) olur.

Örneği görmek için tıklayın

İleriAna Menü

f bağıntısında tanım kümesinin bütün elemanları değer kümesinin en az bir elemanıyla eşleştirildiği için ve tanım kümesinin elemanları değer kümesinin en çok bir elemanıyla eşleştirildiği için, f bağıntısı fonksiyondur.

Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı bir fonksiyon olmayabilir.

. 2

. 3

. 4

Aşağıdaki bağıntıları inceleyelim.

1 .

2 .

. 2

. 3

. 4

fA

B

1 .

2 .

3 .

. 2

. 3

C Dg

E Fh

1 .

2 .

f {(1,2) , (2,3)} g {(1,2) , (2,3)} h {(1,2) , (1,3) , (2,4)} f : A B ye g : C D ye h : E F ye fonksiyondur. fonksiyon değildir. fonksiyon değildir.

f : A B ye fonksiyon ise

2) Tanım kümesinde bir eleman değer kümesindeki birden fazla elemanla eşleşemez. Fakat tanım kümesindeki birden fazla eleman değer kümesindeki bir elemanla eşlenebilir.

Örnek ...2 Örneği görmek için tıklayın

Ana MenüGeri

Sonuç için tıklayın

1) Tanım kümesinde açıkta eleman kalmaz ancak değer kümesinde açıkta eleman kalabilir.

Örnek ...3

A= {-2,1,2}

B= {0,1,2,3,4}

f(x)= x2-1

bağıntısı, tanım kümesi A ve değer kümesi B olan bir fonksiyondur. Fonksiyonun yukarıdaki gibi gösterimine bağıntı ile gösterim adı verilir.

B. Fonksiyonun GösterimiB. Fonksiyonun GösterimiFonksiyonlar dört biçimde gösterilebilir.


Ana Menü İleri

f(x)= x2-1 f(-2)=(-2)2-1=3

f(1)=12-1=0

f(2)=22-1=3

olduğuna göre;

f={(-2,3), (1,0), (2,3)} gösterimine fonksiyonun liste yöntemi ile gösterimi adı verilir.

Liste yöntemi ile

Venn şeması ile

Grafik ile

1) Bağıntı ile

2)

3)

4)

Bu fonksiyonun Venn şeması ve grafik ile gösterimi aşağıdaki gibidir.

A

B

1 2

3

-2 0

1

2

4

.

.. f

Fonksiyonun grafiği üç noktadan oluşmaktadır.

Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı bir fonksiyondur.

Fonksiyonun

A B

-2 .

1 .

2 .

0 .

1 .

2 .

3 .

4.

Venn Şeması

Geri Ana Menü

C. Görüntü KümesiC. Görüntü Kümesif : A B ye fonksiyon olsun.

(x,y) f ise y = f(x)’e x in f fonksiyonu altındaki görüntüsü veya f nin x için değeri denir.

Örnek ...4Örneği görmek için tıklayın

1 .

2 .

3 .

a .

b .

c .

d .

A B

f(1) = a

f(2) = a

f(3) = c dir

Tanım kümesi: A = {1,2,3}

Değer kümesi: B = {a,b,c,d}

Görüntü kümesi= f(A) = {a,c}

f fonksiyonu: f = {(1,a), (2,a), (3,c)} dir.

Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

f: A B f(A) B dir.

Ana Menü İleri


Örnek ...5

Geri Ana Menü


y

x-1

5

-5

0 4

-9

7

.

.

.

Buna göre,

Grafikte, -1 x 5 olduğundan tanım kümesi A = [-1,5] tir.

Grafikte, -9 y 7 olduğundan görüntü kümesi f(A) = [-9,7] dir.

x = -1 için y = -5 olduğundan -1 in f fonksiyonuna göre görüntüsü -5 tir. Yani f (-1) = -5 tir.

f fonksiyonuna göre görüntüsü 7 olan sayı 5 tir. Yani f(5) = 7 dir.

A IR olmak üzere,f: A IR fonksiyonunungrafiği yanda verilmiştir.

f, A dan B ye bir fonksiyon olsun.

f nin tanım kümesindeki her farklı elemanının görüntüsü farklı ise, f fonksiyonuna bire bir ( 1-1 ) fonksiyon denir.

1 .

2 .

3 .

.1

.4

.9

.16

A B

Yandaki Venn şeması ile gösterilen f fonksiyonu yukarıdaki tanıma uygun olduğundan bire bir fonksiyondur.

x1,x2 A için,

f (x1) = f (x2) iken x1 = x2 ise, f fonksiyonu bire bir fonksiyondur. Ya da

f (x1) f (x2) iken x1 x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.

A. Fonksiyon ÇeşitleriA. Fonksiyon Çeşitleri

1. Bire Bir Fonksiyon

Ana Menü İleri

Örnek ...1

f fonksiyonu 1-1 dir.

. 1

. 2

. 3

. a

. b

. c

fA

B

g fonksiyonu 1-1 değildir.

. 1

. 2

. 3

. a

. b

. c

gC

D

Örnek ...2

f : IR IR f(x) = x + 3 fonksiyonunun bire bir olup olmadığını araştıralım.

Çözüm f (x1) = f (x2) x1 + 3 = x2 + 3 x1 + 3 - 3 = x2 + 3 - 3 x1 = x2 f (x1)

= f (x2) x1 = x2

olduğundan f fonksiyonu bire birdir.

*...( )



Çözümü görmek için tıklayın

Geri Ana Menü İleri

Örnek ...3

-1 1

-1

0x

yy = x2 - 1

Yandaki şekilde f : IR R, f (x) = x2 - 1 fonksiyonunun bire bir olup olmadığını araştıralım.

Çözüm

Şekilde tanım kümesindeki x1 ve x2 elemanları değer kümesindeki y1 elemanıyla eşlenmiştir.

Yani f(x1) = f(x2) ve x1 x2 ‘dir.

Buna göre f : IR IR, f(x) = x2 - 1 fonksiyonu bire bir değildir.

x2

-1

0x

yy = x2 - 1

x1

y1

Grafiği verilen bir fonksiyonun bire bir olup olmadığını anlamak için Ox eksenine paralel doğru çizilir. Bu paralel doğrular grafiği bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir. Birden fazla noktada kesiyorsa fonksiyon bire bir değildir.




Geri Ana Menü

2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

f : A B’ ye

f(x) = y ile tanımlı olan f örten f(A) = B dir.

Örnek ...4

a .

b .

c .

. 1

. 2

. 3

fR

Ç

a .

b .

c .

. 1

. 2

M F

f , bire bir ve g, bire bir değil h, bire bir değil ve örtendir. fakat örtendir. örten de değildir.

g hB E

a .

b .

c .

. 1

. 2

. 3

Örten fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman bulunmaz.

Ana Menü



3. İçine Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesinin özalt kümesi olan fonksiyonlara içine fonksiyon denir.

Kısaca, örten olmayan fonksiyonlara içine fonksiyon denir.

Örnek ...5

A = {-1,0,1} ve B = {0,1,2}olmak üzere,

f : A Bf(x) = x2

Fonksiyonunu inceleyelim.

Çözüm

f(x) = x2 f(-1) = (-1)2 = 1 f(0) = 02 = 0 f(1) = 12 = 1 olduğuna göre,f(A) = {0,1} dir.

-1 .

0 .

1 .

. 0

. 1

. 2

A Bf

Değer kümesinde eşlenmemiş en az bir eleman olduğuna göre,f içinedir. Venn şemasından da görüldüğü gibi f, bire bir değil fakat içinedir.

Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olup olmadığını anlamak için değer kümesi üzerinden Ox eksenine paraleller çizilir. Bu paraleller eğriyi daima kesiyorsa fonksiyon örtendir. Eğer çizilen paralellerden bazıları eğriyi kesmiyorsa fonksiyon içinedir.

Ana Menü İleri



Örnek ...6

Aşağıdaki grafikleri inceleyelim.

-1 1

-1

0

x

y

y = f1(x)

f1 : IR IRf1 , içinedir.

-1 1

-1

0

x

y

y = f2(x)

f2 : IR [-1, sonsuz)f2 , örtendir.

Geri Ana Menü


4. Birim (Özdeş) Fonksiyon

Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü yine aynı ise bu tip fonksiyona birim fonksiyon denir ve ile gösterilir.

fA

Ba .

b .

c .

. a

. b

. c

f : A Bf(a) = a, f(b) = b, f(c) = c dir. Buna göre, f birim fonksiyondur.

: A A, (x) = x veya f(x) fonksiyonu birim fonksiyondur.

Örnek ...7

f : IN+ IN+

f(x) = (2m - 4)x2 + (2n - 5)x + m + n + k

f, birim fonksiyon olduğuna göre, m . n . k kaçtır?

Çözüm

f, birim fonksiyon ise, f(x) = x tir.Buna göre,f(x) = (2m - 4)x2 + (2n - 5)x + m + n + k dır.

0 1 0

2m - 4 = 0 m = 2 ... (1)2n - 5 = 1 n = 3 ... (2)m + n + k = 0 k = - m -n = -2 - 3 = -5 ... (3)m . n . n = 2 . 3 .(-5) = -30 dur.

Birim fonksiyon bire birdir.

Ana Menü

Örneği görmek için tıklayın Çözümü görmek için tıklayın

5. Sabit Fonksiyon ve Sıfır Fonksiyonu

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir tek elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

Yani, x A ve c B için,f(x) = c oluyorsa f, Adan B ye sabit fonksiyondur.c = 0 vex A için,f(x) = 0 ise f fonksiyonu sıfır fonksiyonudur.

Örnek ...8f

A B

1 .

2 .

3 .

. 0

. -1

. 1

. 2

fC D

1 .

2 .

3 .

. 0

. -1

. 1

. 2

f(x) = 1 fonksiyonu sabit fonksiyondur.

h(x) = 0 fonksiyonusıfır fonksiyonudur.

Ana Menü İleri


Örnek ...9

f : IR IRf(x) = (m -1)x + 4 + m

Fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(8) kaçtır?

Çözüm

Verilen f(x) fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, x in katsayısı 0 olmalıdır.Buna göre, m - 1 = 0 m = 1 dir.Bu değer yerine yazılırsa,f(x) = (m - 1)x + 4 + mf(x) = (1 - 1)x + 4 + 1f(x) = 0 . X + 5f(x) = 5f(8) = 5 tir.



Geri Ana Menü

B. Eşit FonksiyonB. Eşit Fonksiyon

f : A B ve g : A B iki fonksiyon olsun.

f ve g fonksiyonları A’nın her elemanı için aynı değeri alıyorsa f ve g’ye eşit fonksiyonlar denir ve f = g biçiminde gösterilir.

Buna göre, f = g x A için f(x) = g(x) tir.

Örnek ...10

A = { -1, 0, 1 }

B = { 0, 1, 2 }

f : A B, f(x) = x + 1

g : A B, g(x) = x3 + 1

biçiminde tanımlandığına göre, f = g olduğunu gösterelim.

Çözüm

(x) = x + 1 f(-1) = -1 + 1 = 0

f(0) = 0 + 1 = 1

f(1) = 1 + 1 = 2

g(x) = x3 + 1 g(-1) = (-1)3 + 1 = 0

g(0) = 03 + 1 = 1

g(1) = 13 + 1 =2 dir.

x A için f(x) = g(x) olduğundan f = g dir.



Ana Menü

C. Fonksiyon SayısıC. Fonksiyon Sayısı

s(A) = m

s(B) = n olsun.

n!

(n-m)!=

1.2.3. ... .n

1.2.3. ... .(n-m)dir. ( n m )

4. A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir fonksiyonların sayısı :

3. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı :

2m .n - nm ‘dir.

2. B’den A’ya tanımlanabilen fonksiyonların sayısı :

mn ‘dir.

1. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyonların sayısı :

nm ‘dir.

7. A’dan B’ye tanımlanabilen sabit fonksiyonların sayısı :

n dir.

6. A’dan A’ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı :

mm -m! dir.

5. A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı :

m! = 1.2.3. ... .m dir.

Ana Menü İleri

Örnek ...11

A = { 1, 2 }

B = { a, b, c }

kümeleri veriliyor.

s(A) = 2 ve s(B) = 3 olduğuna göre,

7. A’dan B’ye 3 tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

2. B’den A’ya tanımlanabilen fonksiyonların sayısı :

23 = 2.2.2 = 8 dir.

3. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı :

22 .3 - 32 = 26 - 9 = 55 tir.

16 dır. 3!

(3-2)!=

1.2.3=

4. A’dan B’ye tanımlanabilen bire bir fonksiyonların sayısı :

5. A’dan A’ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı :

22 -2! = 4 - 1.2 = 4 - 2 = 2 dir.

1. A’dan B’ye tanımlanabilen fonksiyonların sayısı :

32 = 3.3 = 9 dur.

Geri Ana Menü


D. Ters FonksiyonD. Ters Fonksiyon

f : A B ye bire bir ve örten bir fonksiyon olsun.

f-1 : B A ya f nin ters fonksiyonu denir.

fBA

x . . y

f -1

f : A B

f(x) = y

f -1(y) = x

Örnek ...12

A = { 1, 2, 3 } f : A B

B = { 3, 6, 11 } f : x x2 + 2

fonksiyonunun tersini liste yöntemiyle yazalım.

Çözüm

f(x) = x2 +2 f(1) = 12 + 2 = 3 f = {(1, 3), (2, 6), (3, 11)}

f(2) = 22 + 2 = 6 f -1 = {(3, 1), (6, 2), (11, 3)} olur.

f(3) = 32 + 2 = 11



Ana Menü İleri

Örnek ...13

f : A B

A = {a, b, c}

B = {1, 2, 3}

f1 = {(a, 2), (b, 1), (c, 3)} f1-1 = {(2, a), (1, b), (3, c)}

f2 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)} f2-1 = {(1, a), (1, b), (1, c)}

Burada f1 in tersi olan f1-1 fonksiyondur.

f2 nin tersi olan f2-1 bağıntısı fonksiyon değildir.

Her fonksiyonun tersi, bir fonksiyon olmayabilir. f bire bir ve örten değilse f -1 bağıntısı fonksiyon değildir.

y = f(x) biçimindeki bir f fonksiyonunun tersini bulmak için x yalnız bırakılır. Tanım ve değer kümeleri yer değiştirdiğinden x ile y nin değerleri değiştirilir.




1.) f : IR IR, f(x) = ax + b f -1(x) =

2.) f : IR - IR -

x - ba

{

}dc {

}ac

f(x) = f -1(x) = dır.ax + bcx + d

-dx + b cx - a

Örnek ...14

f : - 1, ) 4, )

f(x) = x2 + 2x + 5

olduğuna göre f -1(5) kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2

Çözüm

f -1(5) = k f(k) = 5

k2 + 2k + 5 = 5

k2 + 2k = 0

k(k + 2) = 0

k = 0 veya k + 2 = 0

k = 0 veya k = -2 dir.

k değeri f nin tanım kümesindeki bir değerdir. f nin tanım kümesi - 1, ) olduğunda bu aralıkta -2 yoktur.

O halde f -1(5) = 0 dır.

Cevap C





Örnek ...15

f : IR IR

f(x) = 4x - 8

fonksiyonunun tersini bulalım.

Çözüm

f(x) = y f -1(y) = x

f(x) = 4x - 8

y = 4x - 8

y + 84

= x

y + 84

x = f -1(y) =y + 8

4

f -1(x) =x + 8

4olur.

*...( )

f -1(x) = f(x) =ax + bcx + d

-dx + b cx - a

f(x) =ax + bcx + d ifadesinin fonksiyon olabilmesi için f nin paydasını sıfır yapan

tanım kümesinde olmamalıdır.

-dc

olduğuna göre, f nin bire bir ve örten olması için f nin değer kümesinde f -1 in paydasını sıfır yapan değeri olmalıdır.

O halde, nin en geniş tanım kümesi IR - ve en geniş değer

kümesi IR - olursa f nin tersi de fonksiyon olur.

f(x) =ax + bcx + d {

}-dc

{

}a c




1) (f -1)-1 = f dir.

2) (f -1(x))-1 f(x) dir.

3) y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f -1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.

y= x+2

y

x. .

.

.

2

-2

2-2

y = x

y= x-2

f(x) = x + 2 ise,

f -1(x) = x - 2

olup grafikleri

yukarıdaki gibidir.

Geri Ana Menü

E. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ( Bileşke Fonksiyon )E. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ( Bileşke Fonksiyon )

A, B, C birer küme olsun.

f : A B, f(x) = z

g : B C, f(z) = y ise

gof : A C, (gof)(x) = g f(x) = y kuralı ile tanımlı fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu denir.

f gA

x . . z

B

. y

C

gof

Ana Menü İleri

Örnek ...16

A = { 0, 1, 2 } f : A B, f(x) = 2x + 3

B = { 3, 5, 7 } g : B C, g(x) = 2x + 1

C = { 7, 11, 15 } fonksiyonları verilsin.

kümeleri veriliyor.

. 7

. 11

. 15

. 3

. 5

. 7

fA B Cg

0 .

1 .

2 .

Şemada görüldüğü gibi f ve g fonksiyonları A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşlemiştir. Verilen şemayı kısaca aşağıdaki biçimde gösterelim.

0 .

1 .

2 .

. 7

. 11

. 15

A Bh

h(x) = (gof)(x)

= g(f(x))

= g(2x+3);(g(x) = 2x+1)

= 2(2x+3) + 1

= 4x + 6 + 1

= 4x + 7 ise

h(0) = 4. 0 + 7 = 7

h(1) = 4. 1 + 7 = 11

h(2) = 4. 2 + 7 = 15Geri Ana Menü İleri


Örnek ...17

f : IR IR, f(x) = 4x + 5

g : IR IR, g(x) = 3x - 2fonksiyonları tanımlanıyor.

Buna göre, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarını bulalım.

Çözüm

(fog)(x) = f(g(x)) (gof)(x) = g(f(x))

= f(3x - 2) = g(4x + 5)

= 4(3x - 2) + 5 = 3(4x + 5) - 2

= 4. 3x - 4. 2 + 5 = 3. 4x + 3. 5 - 2

= 12x - 3 = 12x + 13 *...( ) *...( )

Geri Ana Menü



F. Bileşke İşleminin ÖzellikleriF. Bileşke İşleminin Özellikleri

1. Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.

fog gof

Örnek ...18

(fog)(x) = x2 - 2x + 1

f(x) = x + 4

olduğuna göre g(x) fonksiyonunu bulalım.

Çözüm

(fog)(x) = x2 - 2x + 1

f(g(x)) = x2 - 2x + 1 ve f(x) = x + 4 ise,

g(x) + 4 = x2 - 2x + 1

g(x) = x2 - 2x + 1 - 4

g(x) = x2 - 2x - 3 olur.

5. (fog) -1 = g -1of -1 dir.

4. fof -1 = f -1of = I dır.

Buna göre, f nin bileşke işlemine göre tersi f -1 dir.

3. I(x) = x olmak üzere,

foI = Iof = f

olduğu için, I(x) = x fonksiyonuna bileşke işleminin birim ( etkisiz ) elemanı denir.

2. Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.

fo(goh) = (fog)oh = fogoh


Ana Menü İleri

Örnek ...19

(fof)(x) = 4x + 3

olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulalım.

Çözüm

(fof)(x) = 4x + 3 ... () olduğuna göre, f(x) fonksiyonu

ax + b biçimindedir.

f(x) = ax + b olsun.

(fof)(x) = f(f(x))

= f(ax + b)

= a(ax + b) + b

= a2x + ab + b ... ( )

() ve ( ) eşitliğinden,

4x + 3 = a2x + ab + b ( 4 = a2 ve 3 = ab + b )

a2 = 4 ( a = 2 veya a = -2 ) dir.

a = 2 için, ab + b = 3

2b + b = 3

3b = 3

b = 1 dir.

a = -2 için, ab+ b = 3

-2b + b = 3

-b = 3

b = -3 tür.

Buna göre, f(x) = ax + b fonksiyonu

f(x) = 2x + 1 veya f(x) = -2x - 3 olur.




Örnek ...20

f(x) = 2x - 4

(fog -1) -1(x) = 3x + 6

olduğuna göre, g(3) kaçtır?

A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 2

Çözüm

f(x) = 2x - 4 f -1(x) =

(fog -1) -1 = (g -1) -1of -1 = gof -1

x + 4

2 *...( )

*...( )

Buna göre, (fog -1) -1(x) = 3x + 6

( gof -1)(x) = 3x + 6

g(f -1(x)) = 3x + 6

x + 4

2g( )= 3x + 6 olur.

g(3) ün bulunabilmesi için yi 3 e eşitleyen x değeri bulunmalıdır. x + 4

2x + 4

2= 3 x + 4 = 6 x = 2 dir.

O halde, x + 4

2g( )= 3x + 6

2 + 4

2g( )= 3. 2 + 6

g( )= 6 + 662

g(3) = 12 olur. Cevap A



. .

.

1 5

.

3

10

.-2 0

y = g(x)

y = f(x)

Şekilde f doğrusal fonksiyonu ile g fonksiyonunun grafikleri verilmiştir.

Buna göre, (f -1og)(1) + (fog -1)(3) kaçtır?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

Çözüm

Şekildeki grafiğe göre, g(1) in sonucu m ise, f(1) in sonucu da m dir.

Buna göre, f(1) = m f -1(m) = 1 dir.

(f -1og)(1) = f -1(g(1)) = f -1(m) = 1

g fonksiyonu (0, 3) noktasından geçtiğine göre,

g(0) = 3 g-1(3) = 0

f fonksiyonu (0, 10) noktasından geçtiğine göre, Cevap C

f(0) = 10

O halde, (f -1og)(1) + (fog -1)(3) = f -1(g(1)) + f(g-1(3))

= 1 + f(0)

= 1 + 10 = 11 dir.



Örnek ...21


f fonksiyonu ile g fonksiyonu (a, b) noktasında kesişiyorlarsa (f -1og)(a) = a ve (f og -1)(b) = b olur.

f(x) = x2 - 2x + 3

olduğuna göre, f(1 - x) - f(x - 1) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) -2x + 3 B)2x - 3 C) 4x + 4 D) 0 E) 4x - 4

Çözüm

f(x) = x2 - 2x + 3

f(1-x) = (1-x)2 - 2(1-x) + 3

= 1 - 2x + x2 - 2 + 2x + 3

= x2 + 2 ...()

f(x-1) = (x-1)2 - 2(x-1) + 3

= x2 - 2x + 1 - 2x + 2 + 3

= x2 - 4x + 6 ...()

() ve () den

f(1-x) - f(x-1) = x2 + 2 - (x2 - 4x + 6)

= x2 + 2 - x2 + 4x - 6

= 4x + 2 - 6

= 4x - 4 olur. Cevap E




Örnek ...22

f : IR IR

f(x) = (x+2). f(x+3)

f(7) =

olduğuna göre, f(1) kaçtır?

16

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm

f(x) = (x+2). f(x+3) ve f(7) = ise,

x = 4 için, f(4) = (4+2). f(4+3)

f(4) = 6. f(7)

f(4) = 6.

f(4) = 1

x= 1 için, f(1) = (1+2). f(1+3)

f(1) = 3. f(4)

f(1) = 3. 1

f(1) = 3 tür. Cevap C

16

16



Geri İleri

Örnek ...23

Fonksiyonun Fonksiyonun TarihiTarihi

Fonksiyon; bir cümlenin (kümenin) her elemanını ikinci bir cümlenin yalnız bir elemanıyla eşleyen bir bağıntı. Birinci cümleye tanım cümlesi, ikinci cümleye değer cümlesi denir. Genellikle bu elemanlar sayılardan ibarettir. Pekçok fonksiyon, çeşitli bilim konularından ortaya çıkar. Fonksiyon 17.yüzyıldan beri matematiğin bir ana kavramı olmuştur. Hareketlerin araştırılmasında Galile, Kepler ve Newton, zamanla mesafe arasında münasebetleri ortaya koymuşlardır. Gazların sıcaklık, basınç ve hacimleri arasındaki münasebet Robert Boyle tarafından 17. yüzyılda ve A.C. Charles tarafından 18.yüzyılda keşfedilmiştir. 19. Yüzyılda ise akım, voltaj ve direnç arasındaki münasebet ile elektrik anlaşılır hale gelmiştir. Daha sonra biyoloji ve sosyal ilimlerde de sayılar ile ilgili bilgiler ve bununla fonksiyon kavramı önem kazanmıştır. Bilimde en önemli kavramın değişkenler arasındaki ilişkiler olduğu söylenebilir.

Ana Menü

lİse - fonksİyonlar

Education