lista de figuras - cruzeirodosul.edu.br · trabalhar na disseminação do amor, e da luz, a favor...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
DOUTORADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ANÁLISE DE ERROS MATEMÁTICOS NA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS APLICADOS À FÍSICA ELÉTRICA
Antonio Sergio Abrahão Monteiro Bastos
Orientadora: Prof.ª Dr.a Norma Suely Gomes Allevato
Tese apresentada ao Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática, da Universidade Cruzeiro do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Ensino de Ciências e Matemática.
SÃO PAULO
2013
AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
B326a
Bastos, Antonio Sergio Abrahão Monteiro. Análise de erros matemáticos na resolução de problemas,
aplicados à física elétrica / Antonio Sergio Abrahão Monteiro Bastos. -- São Paulo; SP: [s.n], 2013.
199 p. : il. ; 30 cm. Orientadora: Norma Suely Gomes Allevato. Tese (doutorado) - Programa de Pós-Graduação em Ensino de
Ciências e Matemática, Universidade Cruzeiro do Sul. 1. Educação Matemática 2. Análise de Erros - Matemática
3. Resolução de Problemas - Ensino de Física 4. Matemática - Ensino Superior. I. Allevato, Norma Suely Gomes. II. Universidade Cruzeiro do Sul. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 51:37(043.2)
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
ANÁLISE DE ERROS MATEMÁTICOS NA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS APLICADOS À FÍSICA ELÉTRICA.
Antonio Sergio Abrahão Monteiro Bastos
Tese de doutorado defendida e Aprovada
pela Banca Examinadora em 26/02/2013.
BANCA EXAMINADORA:
Prof.ª Dr.ª Norma Suely Gomes Allevato
Universidade Cruzeiro do Sul
Presidente
Prof.ª Dr.ª Edda Curi
Universidade Cruzeiro do Sul
Prof.ª Dr.ª Maria Delourdes Maciel
Universidade Cruzeiro do Sul
Prof.ª Dr.ª Helena Noronha Cury
Centro Universitário Franciscano (UNIFRA)
Prof. Dr. Ivã Gurgel
Universidade de São Paulo
Agradeço ao Grande Arquiteto do Universo, pela paz, saúde e discernimento.
À minha esposa: Ana Paula, pelo amor, carinho, paciência e incondicional apoio
durante estes anos.
Aos meus filhos: Yuri e Yasmin, por me darem alegrias e suportarem minha
ausência em alguns momentos.
Aos meus pais: Jose Antonio e Rosa Maria, que sempre me escutaram, incentivaram
e apoiaram em minhas decisões.
Aos meus avós maternos, Miguel e Luiza (in memoriam), pelo carinho e por terem
me moldado a ser uma pessoa melhor.
Aos meus avós paternos, João e Zélia (in memoriam), por terem me abençoado
sempre.
E, incondicionalmente, a todos os que me ajudaram direta ou indiretamente na
concretização desta obra.
AGRADECIMENTOS
À professora Dr.a Norma Suely Gomes Allevato pela orientação, pela paciência, pelo
carinho, pela compreensão e pela dedicação incondicional à minha pesquisa. Não
há palavras que justifiquem a minha gratidão e a minha admiração pelos
ensinamentos e pelos incentivos incondicionais dados nos momentos mais felizes e,
principalmente, nos momentos mais difíceis desta minha trajetória no doutorado.
Às professoras Dr.a Edda Curi, Dr.a Maria Delourdes Maciel, Dr.a Helena Noronha
Cury e ao professor Dr. Ivã Gurgel, por terem aceitado o convite para participar da
banca de qualificação e defesa, e também pelos valiosos apontamentos, sugestões
e contribuições para o aprimoramento e aprofundamento desta pesquisa.
Aos professores e colegas do Programa, pelos momentos de acaloradas discussões
proporcionadas durante o curso, de quem sentirei muitas saudades. Fica a minha
admiração por essas pessoas especiais.
À Universidade Cruzeiro do Sul, por ter contribuído para a minha formação como
pesquisador e como professor do Ensino Superior.
Aos meus amigos Andrea, Ilíria, Manoel, e aos demais membros do GPEAEM, pela
amizade acima de tudo, por serem parceiros de crescimento profissional e pessoal,
pela ajuda incondicional nos momentos mais difíceis e pelas valiosas contribuições
no andamento desta pesquisa.
À professora Dr.ª Edda Curi, pelo carinho durante a fase de orientação no Curso de
Mestrado, e também por ter me incentivado e aconselhado a prosseguir meus
estudos na área acadêmica e de docência.
Aos alunos que participaram desta pesquisa, pelo empenho e seriedade com que
desenvolveram os problemas, contribuindo, assim, não só para minha pesquisa, mas
para a melhoria da Educação Matemática de nosso país.
Não poderia deixar de mencionar a Cida (secretária de minha orientadora), por
preparar o “chá da tarde” e por se preocupar em trocar os muitos cafezinhos por chá,
pelos saborosos almoços e, acima de tudo, pelo carinho e sorriso com que sempre
me recebeu.
Senhor!
Sentindo-me tão pequeno, diante da glória e do esplendor que se manifestam de ti
no universo, entretanto, encorajado por saber-me vida de tua vida, mergulho minha
alma, em tua essência sublime, pois me sinto herdeiro de teus atributos divinos de
inteligência e do amor, sentindo-me um cidadão do universo, e nesta concepção em
que me demoro, te apresento a minha gratidão eterna.
Sou-te grato senhor, pela vida que me concebestes, e por me haveres dotado dos
atributos divinos de inteligência e de amor, que conservo em meu ser eterno, como
potenciações infinitas, e ainda por me haveres facultado com o livre arbítrio,
propiciando-me a benção de escolher os caminhos que fatalmente me conduzirão ao
encontro de tua glória, pois quando nos crias, nos destinas à evolução, fadados à
felicidade e à luz.
E ainda por me haveres propiciado através de Jesus e seus emissários divinos, a
oportunidade de haver alcançado mais uma conquista, em minha caminhada de
alma eterna, entretanto, atendendo às palavras do mestre divino, quando nos pede
para que nos ajudemos, que os céus nos ajudará, pois dotados do livre arbítrio, nos
transformamos em construtores de nosso próprio destino, e se nós não
movimentarmos a nossa vontade, se não desejarmos ampliar as nossas conquistas
no campo do progresso, da evolução e do bem, estaremos inibindo a manifestação
divina a nosso favor
A minha eterna gratidão ainda aos emissários divinos do mestre, amigos queridos,
não tenho palavras para expressar meus sentimentos de gratidão e de amor, e
compreendo ainda que o verbo é incapaz de exprimir este momento divino de minha
caminhada, mas, as palavras comumente se exteriorizam vazias e inexpressivas de
nossos lábios, e desejo orientado por vossas palavras de estímulo e de esperança,
trabalhar na disseminação do amor, e da luz, a favor de toda a humanidade, não me
permitindo jamais prejudicar a um irmão meu filho de Deus Nosso Pai, e que eu não
me esqueça jamais de que só o amor é eterno, e capaz de encobrir a multidão de
nossos pecados, e que Deus vos ilumine hoje e sempre.
Obrigado Grande Arquiteto do Universo!
Pelo amigo: Jose Sola
BASTOS, A. S. A. M. Análise de erros matemáticos na resolução de problemas, aplicados à física elétrica. 2013. 199 f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática) – Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.
RESUMO
O objetivo deste trabalho é apresentar uma descrição e análise dos dados obtidos
em uma investigação que estudou, via Resolução de Problemas, como se
apresentam os erros matemáticos cometidos pelos alunos ao resolverem problemas
de Física Elétrica em um ambiente de ensino através da Resolução de Problemas.
A metodologia de pesquisa foi de natureza qualitativa e a coleta de dados foi
realizada por observação-participante em sala de aula, como também pelas
resoluções escritas dos problemas geradores propostos aos alunos e pela análise
documental. A pesquisa de campo foi realizada com alunos do 3º semestre de dois
cursos de Tecnologia de uma instituição particular de ensino superior. A metodologia
de ensino escolhida pelo professor pesquisador foi o Ensino e Aprendizagem de
Matemática através da Resolução de Problemas, particularmente problemas de
Física Elétrica relacionados a temas da área de tecnologia computacional. Nessa
metodologia de ensino, os alunos constroem formas de pensar, adquirem hábitos de
persistência, de curiosidade e confiança em circunstâncias que não lhes são
familiares e que lhes servirão além da aula de Matemática ou Física, e aprendem
conteúdos enquanto resolvem problemas. Considerando que o erro é uma etapa
indispensável para a construção do conhecimento no processo de aprendizagem, a
proposta para esta pesquisa foi realizar a análise dos erros manifestados nos
problemas geradores propostos. A análise dos erros nas resoluções escritas dos
alunos nos permitiu detectar aspectos ligados à linguagem (natural, matemática e
física), bem como à transição entre elas. Também apontou lacunas de
conhecimentos prévios de Matemática e Física, referentes aos Ensinos Básico e
Superior, que condicionaram fortemente a resolução dos problemas de Física
Elétrica propostos. Observamos que com a aplicação da Metodologia de Ensino e
Aprendizagem através da Resolução de Problemas com os alunos, sua postura
mudou, passando a trabalhar mais sua habilidade analítica e ganhando autonomia
enquanto buscavam resolver os problemas.
Palavras-chave: Educação Matemática; Resolução de Problemas; Análise de Erros;
Ensino de Física; Ensino Superior.
BASTOS, A. S. A. M. Mathematical error analysis in problem solving, applied to electrical physics. 2013. 199 f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática) – Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2013.
ABSTRACT
The purpose of this work is to present a description and analysis of data obtained
from an investigation that studied, via Error Analysis, how the students‟ mathematical
mistakes are shown when they solve Electrical Physics problems in a teaching
environment through Problem Solving. The research methodology is qualitative and
the data were collected in classroom through participant observation plus the
students‟ written resolutions of the proposed problems and document analysis. The
field research was developed with third semester students of two Technology
courses in a private higher education institution. The teaching methodology chosen
by the researcher/teacher was Teaching and Learning Mathematics through
Problem Solving, particularly Electrical Physics problems concerning Computer
technology area. By that teaching methodology, the students build up ways of
thinking, get the habits of persistence, curiosity and confidence in situations that are
not familiar to them and will be useful beyond Mathematics or Physics classes, and
learn contents while they solve the problems. Considering the error as a necessary
stage for knowledge building in learning process, the proposition for the present
research was to analyze the mistakes that were shown in the proposed problems.
The analysis of the mistakes in the students‟ written solutions allowed us to detect
aspects related to language (natural, mathematical and physical) as well as the
transition between them. It also disclosed some lack of previous mathematical and
physical problems in both Lower and Higher Education, which strongly conditioned
the resolution of the proposed problems of Electrical Physics. We realized that when
the Methodology of Teaching and Learning through Problem Solving was applied to
the students, their attitude changed; they started to work better on their analytical
ability and they gained more autonomy as they tried to solve the problems.
Keywords: Mathematics Education; Problem Solving; Error Analysis; Physics
Teaching; Higher Education.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Diferentes tipos de problemas. ............................................................ 38
Figura 2 – Hierarquia do Pensamento. .................................................................. 40
Figura 3 - Processo de Melhoramento Hipotético ................................................ 43
Figura 4 - Processo de resolução de problemas matemáticos. .......................... 45
Figura 5 – Modelo de Análise Didática dos Erros – MADE. ................................. 64
Figura 6 – Os significados do erro. ....................................................................... 73
Figura 7 - O erro como elemento a ser evitado. ................................................... 78
Figura 8 - O erro como categoria didática. ............................................................ 79
Figura 9 – Grupos trabalhando no problema ...................................................... 118
Figura 10 – Segmentação da lousa e algumas resoluções dos grupos. .......... 119
Figura 11 - Protocolo 1: Resolução correta do Problema 0 ............................... 121
Figura 12– Resolução na lousa pelos grupos .................................................... 124
Figura 13 - Protocolo 2: Resolução correta do Problema 1 ............................... 125
Figura 14 - Protocolo 3: Resolução correta do Problema 2 ............................... 127
Figura 15 - Protocolo 4: Resolução correta do Problema 3 ............................... 129
Figura 16 - Protocolo 5: Resolução correta do Problema 4 ............................... 131
Figura 17 - Protocolo 6: Resposta de G1C1 para o Problema 0. ....................... 138
Figura 18 - Protocolo 7: Resposta do G4C3 para o Problema 0 ........................ 140
Figura 19 - Protocolo 8: Resposta do G2C2 para o Problema 2 ........................ 141
Figura 20 - Protocolo 9: Resposta do G3C3 para o Problema 2. ....................... 141
Figura 21 - Protocolo 10: Resposta do G1C1 para o Problema 2 ...................... 142
Figura 22 - Protocolo 11: Resposta do G1C2 para o Problema 3 ...................... 143
Figura 23 - Protocolo 12: Resposta do G10C1 para o Problema 4 .................... 143
Figura 24 - Protocolo 13: Resposta do G3C3 para o Problema 2 ...................... 144
Figura 25 - Protocolo 14: Resposta do G7C4 para o Problema 2 ...................... 145
Figura 26 - Protocolo 15: Resposta do G1C2 para o Problema 3 ...................... 145
Figura 27 - Protocolo 16: Resposta do G9C4 para o Problema 3. ..................... 147
Figura 28 - Protocolo 17: Resposta do G3C3 para o Problema 4 ...................... 148
Figura 29 - Protocolo 18: Resposta do G5C4 para o Problema 1 ...................... 149
Figura 30 - Protocolo 19: Resposta do G2C1 para o Problema 1 ...................... 150
Figura 31 - Protocolo 20: Resposta do G6C3 para o Problema 2 ...................... 151
Figura 32 - Protocolo 21: Resposta do G1C2 para o Problema 3 ...................... 152
Figura 33 - Protocolo 22: Resposta do G5C4 para o Problema 3 ...................... 153
Figura 34 - Protocolo 23: Resposta do G5C4 para o Problema 1 ...................... 154
Figura 35 - Protocolo 24: Resposta do G7C3 para o Problema 1 ...................... 155
Figura 36 - Protocolo 25: Resposta do G3C4 para o Problema 1 ...................... 156
Figura 37 - Protocolo 26: Resposta do G3C3 para o Problema 2 ...................... 156
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - As quatro concepções de erros .......................................................... 71
Quadro 2 - Quantidade de alunos por curso e campus. .................................... 108
Quadro 3 - Cronograma de Aplicação do Instrumento. ..................................... 110
Quadro 4 - Prefixos para potências de dez ......................................................... 139
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 15
A Trajetória Pessoal e a Origem da Pesquisa ....................................................... 17
Problematização e Importância da Pesquisa ........................................................ 20
Organização da Tese .............................................................................................. 23
CAPÍTULO 1 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS .................................................... 27
1.1 Navegando por outras formas de Ensinar Matemática ........................... 28
1.2 Problemas ou Exercícios: o que resolvemos nas aulas de
Matemática é... ............................................................................................ 32
1.3 Tipologias de Problemas Matemáticos ..................................................... 35
1.4 Resolução de Problemas: diferentes concepções .................................. 40
1.5 O Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas .............. 49
CAPÍTULO 2 – ANÁLISE DE ERROS ...................................................................... 55
2.1 Antecessores nos Estudos dos Erros ...................................................... 56
2.2 O que é Erro? .............................................................................................. 59
2.3 Alguns Tipos de Erros ............................................................................... 61
2.4 A Análise de Erros nos Contextos Educacionais .................................... 69
2.5 O Erro sob duas Perspectivas ................................................................... 74
2.6 O Erro sob a Perspectiva de quem Ensina ............................................... 75
2.7 A Revisão da Literatura envolvendo Análise de Erros ............................ 80
CAPÍTULO 3 - METODOLOGIA DE PESQUISA ..................................................... 89
3.1 A Fundamentação Metodológica – Pesquisa Qualitativa ........................ 90
3.2 O Plano Metodológico ................................................................................ 95
3.2.1 A Pesquisa Participante ............................................................................. 95
3.2.2 A Observação ............................................................................................. 97
3.2.3 A Observação Participante ........................................................................ 98
3.2.4 As Análises de Documentos ..................................................................... 99
3.2.4.1 A Análise de Erros .................................................................................... 100
3.3 A Coleta dos Dados .................................................................................. 102
3.4 O Registro dos Dados .............................................................................. 102
3.5 Organização, Análise e Apresentação dos Dados. ................................ 103
CAPÍTULO 4 - O CONTEXTO E OS SUJEITOS .................................................... 105
4.1 A Instituição de Ensino ............................................................................ 107
4.2 O Curso e a Disciplina .............................................................................. 107
4.3 O Desenho do Instrumento ...................................................................... 108
4.4 O Início da Coleta de Dados .................................................................... 109
4.5 O Perfil dos Alunos .................................................................................. 111
4.6 O Perfil do Pesquisador ........................................................................... 111
CAPÍTULO 5 – DELIMITAÇÃO DA ANÁLISE DOS DADOS ................................. 113
5.1 A Análise dos Erros .................................................................................. 116
5.2 Aplicando a Metodologia de Ensino através da Resolução de
Problemas ................................................................................................. 116
5.2.1 O Problema 0 (Zero) – O que você faria? ............................................... 120
5.2.2 O Problema 1 – Que número faz sentido? .............................................. 122
5.2.3 O Problema 2 – Que questões você pode criar e responder? .............. 125
5.2.4 O Problema 3 – O que está errado? ........................................................ 127
5.2.5 O Problema 4 – Qual é a questão se você sabe a resposta? ................ 129
5.3 Dialogando com a Literatura sobre Resolução de Problemas ............. 131
5.4 A Organização e Preparação para Análise das Resoluções dos
Problemas Aplicados ............................................................................... 136
5.5 Dialogando com a Literatura sobre Análise de Erros ........................... 157
CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 165
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 175
APÊNDICES ........................................................................................................... 185
APÊNDICE A .......................................................................................................... 186
APÊNDICE B .......................................................................................................... 188
ANEXOS ................................................................................................................. 195
ANEXO A ................................................................................................................ 196
15
INTRODUÇÃO
A Trajetória Pessoal e a Origem da Pesquisa
Problematização e Importância da Pesquisa
Organização da Tese
16
INTRODUÇÃO
pessoas originais ele acha. Gente medíocre
Blaise Pascal1
Contemplo nesse texto, da forma mais fidedigna possível, a trajetória de
quatro anos de pesquisa, ao longo do curso de Doutorado no Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul.
Neste primeiro passo para a construção desta tese, apresento alguns caminhos
percorridos e alguns fatos que cooperaram para que esta pesquisa pudesse ser
idealizada no âmbito da Educação Matemática, tendo como contexto a disciplina de
Infraestrutura Elétrica para Redes de Computadores em dois cursos de Tecnologia.
A responsabilidade de redigir uma tese envolvendo dois campos da ciência
(Matemática e Física) me fez sentir medo, pois em diversos momentos vi-me às
voltas com grandes dificuldades para vislumbrar com clareza o caminho que havia
escolhido para o desenrolar da pesquisa.
O trabalho de escrever uma tese é muito árduo, pois envolve escrever a
introdução apresentando o(s) problema(s) da pesquisa, tecer um caminho
metodológico, construir uma fundamentação com base nos teóricos (que referências
utilizar), coletar e analisar os dados, expressar os resultados da análise e, por fim,
confrontar estes com as orientações teóricas a fim de validá-los ou não, indicando
caminhos para que outros deem continuidade ao que deixamos inacabado, não
obstante as conclusões construídas.
Nos momentos em que me dedicava a escrever, percebi que a
responsabilidade não se reduzia apenas à escrita de forma consistente e
teoricamente bem fundamentada, mas envolvia resgatar minha trajetória docente no
Ensino Superior e Ensino Médio, o que acumulou algumas preocupações no que
tange aos vários aspectos do ensino de Matemática, em especial aqueles
relacionados à aprendizagem dos alunos e aos erros por eles cometidos nas aulas
1 No texto Pensées de 1670.
17
de Matemática. A necessidade de resgatar os fatos desse percurso bastante longo,
fez com que os quatro anos de doutorado parecessem pouco tempo para tal
empreitada.
Nos momentos de orientação, fui por diversas vezes questionado a respeito
do real motivo que moveu meu interesse em desenvolver esta pesquisa: Qual é o
objetivo da sua pesquisa? O que você quer desenvolver? Ao encontrar a(s)
resposta(s) a essas indagações, eu estaria amadurecido para realizar o trabalho,
dizia a orientadora. Esse amadurecimento se deu pela minha persistência e
curiosidade em buscar respostas aos meus próprios pensamentos. Minhas
experiências e vivências no campo educacional transformaram minha mente em
uma fábrica de perguntas, criando um emaranhado de situações que, em muitos
momentos, eram nebulosas e, em outros, pareciam divagar sobre os fatos.
Neste capítulo introdutório tento resgatar, organizar e apresentar essas
experiências, com o intuito de direcionar o presente trabalho, buscando uma melhor
justificativa para o desenvolvimento desta tese.
A Trajetória Pessoal e a Origem da Pesquisa
A facilidade de me comunicar e de interagir com as pessoas, bem como a
capacidade de análise e tranquilidade em buscar alternativas para os problemas de
ordem técnica, conduziram-me, após alguns anos atuando na área de
telecomunicações, a ingressar no departamento de treinamento de uma empresa de
tecnologia, o que aconteceu logo após o início das minhas atividades docentes no
antigo curso supletivo, ofertado pelas Escolas Públicas Estaduais. Simultaneamente
aos treinamentos técnicos na empresa, também assumi aulas de Física no Ensino
Médio (antigo 2º Grau). Nos treinamentos técnicos notava que os profissionais,
mesmo tendo conhecimento a respeito de eletricidade, pois haviam cursado
disciplinas específicas em cursos técnicos profissionalizantes, possuíam dificuldades
em interpretar alguns conceitos físicos pela ausência de conhecimento da teoria de
eletricidade, ou por não relacionarem os problemas práticos com tópicos de
eletricidade discutidos no próprio treinamento. Alguns dos tópicos que esses
profissionais haviam aprendido durante o curso técnico eram por mim trabalhados
com meus alunos do Ensino Médio. Assim, assumir as aulas de Física nesse nível
18
de ensino foi muito gratificante. Diante dessas situações desafiadoras, decidi
trabalhar com situações-problema e estabelecer relações entre a teoria e a prática,
algo que aqueles profissionais não percebiam.
Por possuir formação técnica em eletrônica e experiência na área de
manutenção de equipamentos eletrônicos e implantação de sistemas de
telecomunicações, logo percebi a dificuldade, também dos alunos do Ensino Médio,
em trabalhar os conteúdos de eletricidade, visto que raramente os alunos fazem
relação entre a teoria e as situações práticas da vida real.
Após alguns anos, minha prática em educação possibilitou ministrar aulas de
Matemática e Física no Ensino Superior. Em 2004 não mais estava trabalhando com
treinamento na empresa, pois havia redirecionado minha carreira para a área de
Educação, estreando em uma instituição privada, assumindo algumas aulas de
Cálculo e Física em cursos de Tecnologia, Engenharia e Ciência da Computação.
Percebi, então, que este não é um trabalho dos mais fáceis; os alunos em
geral já assumem uma posição defensiva em relação a essas disciplinas,
argumentando que são muito difíceis e complexas, e, por vezes, questionam a
necessidade ou a importância de se aprender Matemática ou Física, em particular os
alunos dos cursos de Tecnologia, pois não veem aplicação imediata em suas
profissões.
Somando-se ao exposto anteriormente, por outro lado, escuto colegas
professores da instituição em que trabalho e de outras instituições, queixando-se da
falta de conhecimentos prévios, do baixo rendimento e desinteresse dos alunos, da
ausência de recursos e da falta de apoio para a qualificação e/ou aperfeiçoamento
profissional. Além disso, os diretores e coordenadores de curso realizam um trabalho
que consiste em alertar o corpo docente quanto ao nível de retenção dos alunos, e
solicitam que os professores busquem aprimoramento e renovem suas práticas.
Sempre me questionei e, ainda hoje, continuo conjecturando sobre a minha
própria prática de ensino. Concluí que estava ensinando do mesmo modo que havia
aprendido no transcorrer de minha formação como professor: utilizava o quadro
negro de forma semelhante aos meus professores, o mesmo tipo de livro texto ou
material de apoio e o mesmo modo de atribuir notas ou conceitos pelo conhecimento
19
adquirido pelos alunos. Complementando, acreditava, ainda, que no Ensino Superior
os alunos já estivessem mais maduros, com conhecimentos bem fundamentados em
Matemática e com preparo para desenvolver novos conhecimentos. Ledo engano.
Nesses momentos, revi minha trajetória de formação docente e decidi buscar novos
conhecimentos, com o intuito de estar mais bem qualificado e, assim, melhorar a
qualidade das minhas aulas. Ingressei no Curso de Mestrado do Programa de Pós-
graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul,
quando tive como orientadora a Prof.ª Dr.a Edda Curi. Esta, por trabalhar com
formação de professores, me fez perceber e mudar algumas posturas como
educador. Durante esse tempo de maturação acadêmica, passei a trabalhar em sala
muitas das aprendizagens que havia adquirido no Mestrado, aumentando
sobremaneira a qualidade e a forma de trabalhar minhas aulas.
Quando iniciei o Mestrado, havia duas linhas de trabalho, nas quais tinha
interesse: Matemática Financeira e a aplicação da Matemática em aulas de Física.
Trabalhei com Matemática Financeira. Entretanto, havia algumas inquietações que
necessitavam de respostas em minhas aulas de Eletricidade. Então tomei a decisão
de buscar essas respostas, ingressando no Doutorado do mesmo Programa.
Durante o intervalo entre o término do Mestrado e o início do Doutorado, li
alguns artigos e mantive conversas com alguns professores da instituição em que
trabalho. Algumas ideias foram se formando até que tive contato com alguns estudos
sobre misconception2, os quais me deram a sensação de que havia encontrado um
caminho a percorrer para auxiliar na busca das respostas para minhas inquietações.
Já como aluno do Doutorado, recebi a notícia de que ficaria sob a tutela da Prof.ª
Dr.a Norma Suely Gomes Allevato. Ao iniciar nossas conversas, fui questionado
sobre qual seria meu projeto. Como tinha em mente trabalhar com Ensino Superior e
envolver Matemática e Eletricidade, pensei em trabalhar com o conceito de
misconception. Nesse momento, fui apresentado também à Resolução de
Problemas, o que me causou certa desconfiança: resolver problemas não é o que
fazemos o tempo inteiro em nossas aulas? O que haveria para pesquisar sobre
isso?
2 Usualmente traduzido como: concepções errôneas.
20
Enquanto cursava as disciplinas, fomos convidados a fazer um curso de
verão com a Prof.ª Dr.a Bea esolução de Problemas
e Modelagem Matemática. Confesso que a maioria dos participantes estavam ávidos
por escutar a professora falar sobre Modelagem, porém em uma das suas falas, ela
proferiu alguns comentários a respeito de Resolução de Problemas, chamando a
minha atenção. Ao final do curso fui conversar com a Prof.ª Dr.a Beatriz
para saber sua opinião a respeito de misconception e Resolução de Problemas. Ela
foi bem incisiva com relação ao estudo de misconception na Educação Matemática.
Disse-me que não havia muitas pesquisas nessa linha no exterior, mas que estava
crescendo lentamente, envolvendo aplicações da Matemática com a Química. Por
outro lado, a Resolução de Problemas estava bem fortalecida e com muitas
produções nos últimos anos. O material fornecido pela minha orientadora e outros
enviados pela Prof.ª Dr.a Beatriz me ajudaram a definir o meu trabalho
de tese na linha de Resolução de Problemas. Mas ainda faltava definir se no estudo
eu poderia incluir misconception. Nas conversas com minha orientadora,
questionamos se este não seria um conceito próximo à linha de Análise de Erros.
Partimos para procurar saber quem trabalhava nessa linha. No X ENEM (X Encontro
Nacional de Educação Matemática) tive oportunidade de conversar com a Prof.ª Dr.a
Helena Noronha Cury, que há muito tempo trabalha nessa linha. Após algumas
ponderações, decidimos trabalhar com a Análise de Erros ao invés de
misconception. Finalmente, definimos que a pesquisa teria como fenômeno de
interesse a Análise de Erros em Matemática na Resolução de Problemas em aulas
de Física Elétrica. O interesse por entender os erros matemáticos cometidos pelos
alunos, durante a resolução de problemas de Física Elétrica, que contêm conceitos
da Matemática do Ensino Básico, me fez seguir por esse caminho.
Problematização e Importância da Pesquisa
Esta pesquisa visa contribuir para a reflexão sobre as dificuldades e os erros
matemáticos cometidos pelos alunos quando da realização das atividades propostas
em sala de aula de Física. Observar esses erros pode ser útil para professores, em
sala de aula, e proporcionar uma reflexão conjunta professor-aluno, perfazendo um
novo caminho para a construção do conhecimento por meio da análise do erro
matemático ocorrido.
21
Segundo Pietrocola (200
matemática é, muitas vezes, considerada como a grande responsável pelo fracasso
Em geral, quando há a necessidade de se utilizarem conteúdos matemáticos
em aplicações de conteúdos científicos no cotidiano (nesta tese, os conteúdos de
Eletricidade), surge a fragilidade e a falta de compreensão de alguns tópicos
matemáticos anteriores, o que impede o aluno de estruturar suas
resoluções/aplicações. Com isso, o aluno não sai do lugar, ou seja, não avança na
aprendizagem desses novos conteúdos do Ensino Superior.
Também é fato que os alunos chegam ao nível superior trazendo consigo
algumas lacunas nos conteúdos de Matemática e Física. Concordamos com Santos
(2010) quando diz que:
em alguns casos, quando um aluno não resolve um exercício de Física, não podemos afirmar apenas que não tem conhecimentos matemáticos suficientes; que tem dificuldades na interpretação do enunciado; ou que não aprendeu nada de Matemática nas séries anteriores. O problema parece bem mais amplo e envolve uma série de aspectos não somente relacionados aos conteúdos de ensino, mas também didáticos relativos ao conhecimento de um conteúdo a ensinar (SANTOS, 2010, p.20).
Exemplificando a ideia anterior, nota-se que atualmente os alunos convivem
com uma revolução tecnológica e social, diretamente relacionada com as ciências e
as tecnologias, haja vista a massificação de produtos de alta tecnologia disponíveis,
mas que não chegaram à escola, pois os alunos recebem um ensino de ciências que
se apresenta distante das discussões atuais. Em algumas situações, os alunos
vivenciam uma ciência presente, moderna, que faz parte do mundo real, todavia,
desconexa e sem ligações explícitas com a Ciência, a Física e a Matemática, que só
funcionam na escola. Esse tipo de trabalho desestimula e desmotiva os alunos, e os
próprios professores apontam o fato como sendo um dos obstáculos para a
aprendizagem.
Será que existe Física sem Matematica? Em geral, os físicos dizem que não.
A Física e a Matemática têm uma conexão bastante profunda, fortalecida a partir do
século XVIII; até então, os físicos não matematizavam a Física. A partir desse
período é que as pesquisas físicas passaram a ser matematizadas, o que vem
trazendo dificuldades no ensino de Física. Em nosso caso particular, ou seja, no que
22
se refere à Eletricidade, há poucas pesquisas que tocam nesse ponto quando se
considera a área de Ciências, Física e Matemática.
e Física
acabam por atribuir à Matemática a responsabilidade pelas dificuldades na
alunos na resolução de equações do 1º grau, potenciação de base 10, porcentagem
e operações matemáticas básicas reforçam nossa suspeita de que se trata de falta
de conhecimento matemático. Na presente pesquisa, ao trabalharmos com conceitos
da Física, pretendemos olhar para os erros de Matemática na resolução de
problemas propostos, na disciplina Física Elétrica.
Nossa problemática de pesquisa está centrada, portanto, em conhecer e
analisar os erros cometidos pelos alunos, oriundos do instrumento de pesquisa
entregue pelos alunos, buscando corrigir a posteriori a lacuna sinalizada por esses
erros matemáticos.
Acreditamos que em uma sociedade científica e tecnologicamente
desenvolvida, a oferta de uma Educação Matemática de qualidade para todos
poderia permitir entender melhor a sociedade contemporânea em que estamos
inseridos, cada vez mais matematizada, com um olhar mais globalizado. Ao
relacionarmos essa situação com as justificativas anteriormente mencionadas,
entendemos ser importante ressaltar ainda a existência de lacunas de pesquisa
percebidas a partir da análise de alguns trabalhos desenvolvidos na linha de Análise
de Erros. Essa revisão detalhada de algumas das pesquisas já desenvolvidas será
apresentada no Capítulo 2.
Vale destacar que nessa varredura, ainda não encontramos trabalhos que se
assemelhem ao nosso, sobre erros no ensino de Física, em particular na Física
Elétrica, utilizando a metodologia de ensino através da Resolução de Problemas,
com alunos em sala de aula. Assim, a partir das informações que dizem respeito à
minha trajetória acadêmica e profissional, da problemática estabelecida no ensino de
Física e das lacunas de pesquisa observadas na literatura a respeito da Resolução
de Problemas associada à Análise de Erros, foi possível elaborar a pergunta geral
que deu uma direção à pesquisa que realizamos:
23
Como se apresentam os erros matemáticos cometidos pelos alunos ao resolverem problemas de Física Elétrica em um ambiente de ensino através da
Resolução de Problemas?
As leituras e análises de pesquisas que pudessem se aproximar da nossa,
nos permitiram identificar questões específicas que nos auxiliaram a responder a
questão geral desta investigação:
Que tipos de erros matemáticos os alunos apresentam nas resoluções
dos problemas?
Quais conteúdos matemáticos da Educação Básica são manifestados
nos erros cometidos pelos alunos?
Quais são as dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos alunos
na aplicação da 1ª e da 2ª Lei Ohm através da resolução de problemas?
Como os alunos percebem os conteúdos de Eletricidade na resolução de
problemas ligados ao seu próprio cotidiano?
Como a Metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas
atua na mudança de postura dos alunos?
Assim, a presente pesquisa teve por objetivo apresentar uma descrição e
análise dos dados obtidos em uma investigação que estudou, via Resolução de
Problemas, como se apresentam os erros matemáticos cometidos pelos alunos ao
resolverem problemas de Física Elétrica em um ambiente de ensino através da
Resolução de Problemas.
Após abordar esses elementos essenciais na construção da presente
pesquisa, a seguir apresentamos a modo como a tese foi organizada.
Organização da Tese
Optamos por dividir a apresentação da nossa pesquisa em seis partes,
complementadas por referências e anexos.
24
INTRODUÇÃO
Nesta seção é relatada minha trajetória profissional e acadêmica,
culminando nesta tese de doutorado, e a problematização que norteou nossa
pesquisa, justificando o desenvolvimento e a relevância deste trabalho.
Apresentamos a pergunta geral de pesquisa e, por fim, de forma breve,
descrevemos os conteúdos de cada parte integrante desta tese.
CAPÍTULO 1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
No Capítulo 1, realizamos uma varredura na literatura sobre as pesquisas
em Resolução de Problemas, analisando a importância dos problemas no
desenvolvimento da atividade matemática em sala e na produção e desenvolvimento
do conhecimento matemático do aluno em geral. Inicialmente, fazemos uma
descrição das diferentes formas de emprego da Resolução de Problemas na
Educação Matemática. Analisamos diferentes tipos de problemas e apresentamos as
diferentes concepções de Resolução de Problemas. Ao final, damos um enfoque
especial ao papel desempenhado pelo Ensino de Matemática através da Resolução
de Problemas em sala de aula.
CAPÍTULO 2 ANÁLISE DE ERROS
Neste capítulo, fazemos um retrato da literatura sobre as pesquisas em
Análise de Erros, situando o erro no contexto educacional. Discutimos suas
principais características e apresentamos diferentes tipos de erros e algumas
condições na consideração dos erros e de suas análises. Damos um tratamento
especial ao papel desempenhado pelo erro no processo de aprendizagem
matemática.
CAPÍTULO 3 METODOLOGIA DE PESQUISA
Destinamos a este capítulo a exposição e discussão dos elementos da
Metodologia de Pesquisa adotada. Apresentamos nossa justificativa ao escolhermos
a metodologia qualitativa do tipo observação participante, análise de erros e análise
de conteúdo, bem como os métodos particulares escolhidos para a coleta, registro,
organização e análise dos dados da pesquisa relatada nesta tese.
25
CAPÍTULO 4 O CONTEXTO
O Capítulo 4 contém a apresentação do contexto em que o trabalho de
campo foi realizado. O ponto de partida são os aspectos mais gerais, fechando nos
mais específicos. A instituição de ensino, o curso e a disciplina em que efetuei a
coleta de dados são contemplados neste capítulo. Procuramos descrever, também,
o perfil do aluno e do professor pesquisador.
CAPÍTULO 5 DELIMITAÇÃO DA ANÁLISE DOS DADOS
Apresentamos e discutimos, neste capítulo, as aulas em que foram
trabalhados os problemas enfatizando os aspectos ligados à metodologia de ensino
e aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. Também
apresentamos e analisamos os dados construídos relativos aos erros cometidos
pelos alunos, com os quais nos defrontamos durante o processo investigativo,
especialmente percebido nos registros escritos das resoluções dos problemas
propostos aos alunos.
Finalizamos o capítulo analisando o Diálogo dos Dados com a Literatura
Empregada sobre Resolução de Problemas e Análise de Erros.
CONSIDERAÇOES FINAIS
Aqui retomamos e respondemos nossa questão de pesquisa, indicando as
contribuições do trabalho investigativo realizado, bem como as possibilidades para
novos estudos.
27
CAPÍTULO 1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
1.1 Navegando por outras Formas de Ensinar Matemática
1.2 Problemas ou Exercícios: o que resolvemos nas aulas de Matemática é...
1.3 Tipologias de Problemas Matemáticos
1.4 Resolução de Problemas: diferentes concepções
1.5 O Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas
28
CAPÍTULO 1
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
ly solved because the correct answer has been made. A problem is not truly solved unless the learner understands what he has done and
3
William A. Brownell4
Neste capítulo, discorremos a respeito de algumas literaturas que abordam
pesquisas em Resolução de Problemas, analisando a importância dos problemas no
desenvolvimento da atividade matemática em sala de aula e na produção e
desenvolvimento do conhecimento matemático do aluno. Inicialmente realizamos
uma descrição sobre as formas de ensinar Matemática, discutindo o emprego da
Resolução de Problemas na Educação Matemática. Em seguida expomos algumas
tipologias de problemas, analisamos suas principais características e apresentamos
algumas diferentes concepções a respeito de Resolução de Problemas. Ao final,
damos um enfoque especial às questões voltadas ao papel desempenhado pelo
Ensino através da Resolução de Problemas em sala de aula.
1.1 Navegando por outras formas de Ensinar Matemática
Navegar pela área da Educação é muito complexo, e quando se trata da
Matemática, sua complexidade só aumenta. É nessa área de conhecimento que
procuramos alternativas para melhorar a qualidade do ensino de Matemática,
buscando maneiras de ensinar, apoiados em novos estudos. Apesar de todo o
3 Traduzido como: Um problema não está necessariamente resolvido porque a resposta correta foi obtida. Um problema não está verdadeiramente resolvido, a menos que o aluno entenda o que fez e saiba por que suas ações foram adequadas. 4 The Measurement of Understanding (1946).
29
desenvolvimento no campo da Didática5, em particular da Didática da Matemática6
construída nos últimos anos, as práticas de ensino dos professores de Matemática
pouco foram alteradas. Há um distanciamento entre a maneira como se ensina nas
escolas, as propostas curriculares e o que se tem investigado em Educação. Para
alguns pesquisadores, esse distanciamento é fruto, em parte, da forma como o
professor aprendeu na escola e na universidade (ESTEVES; LEITE, 2005).
As crenças e atitudes a respeito da Matemática são as mais variadas
possíveis. Como resultado dos procedimentos didáticos orientados por elas, há
alunos que não alcançam sucesso em Matemática e alunos que não aprendem
Matemática e que simplesmente bloqueiam a mente para tal conhecimento. Alguns
alunos incorporam uma quantidade grande de conhecimentos, mas de forma
desordenada, lembrando-se de emaranhados de fórmulas que frequentemente são
utilizadas em momentos inapropriados ou de forma incorreta. Isso decorre, entre
outras razões, do fato de que muitos de nossos alunos aprendem Matemática
sentados e em silêncio, executando algoritmos que não compreendem, e também
estudando de forma independente e individual, sem diálogo e troca de experiências
com seus colegas de classe.
Apesar disso, as mudanças na forma de ensinar Matemática causam
desconfiança e preocupação em alguns professores, pois exigem que seja assumida
outra postura frente a seus alunos com relação à maneira de desenvolver suas
aulas. Diferentemente do que tem ocorrido, a mudança precisa ser mais rápida. Mas,
o que se pode observar é que os trabalhos, nesse sentido, arrastam-se por longos
períodos de tempo, tornando-se quase imperceptíveis; é o que, em geral, ocorre
com a Educação. Nossos alunos frequentam as escolas por anos a fio, acreditando
que nada está sendo mudado, até que um dia olham para trás e, então, percebem o
quanto evoluíram até aquele momento. Os professores tendem a simpatizar e optar
por alguma escola7, sempre no intuito de buscar novas formas de ensinar e motivar,
5 Didática é a parte das ciências da Educação que tem por objetivo o estudo dos processos de ensino e aprendizagem em sua globalidade, independentemente da disciplina em questão, considerando
10, p. 23). 6 A Didática de uma disciplina (Matemática) estuda os processos de transmissão e aquisição relativos ao domínio específico dessa disciplina, ou das ciências próximas com as quais ela interage
10, p. 32). 7 Escola: conjunto de pessoas que segue um sistema de pensamento, uma doutrina, uma estética, etc. (HOUAISS, 2009).
30
tentando construir um modelo próprio de trabalho com seus alunos, sem se afastar
das bases curriculares.
A decisão tomada pelo professor em cada situação é colocada por Willian
o que é exigido, há sempre uma pitada entre o ideal e o real, que só pode ser obtido
deix 8 (apud LAMPERT, 2001, p. 447). É importante que
o professor perceba a distância entre o ideal e o real, cabendo a ele tentar atingir
esse ideal.
Estudos em Educação Matemática no Brasil e no mundo apresentam
algumas alternativas de abordagens para o seu ensino e para as pesquisas, e uma
delas é a Resolução de Problemas. Dessa forma, passadas pouco mais de três
décadas desde que se iniciou um grande movimento mundial para a melhoria do
ensino de Matemática, destacamos alguns trabalhos realizados na Espanha, por
Carrillo e Contreras (1996,1998, 2000, 2001); nos Estados Unidos da América, pelo
Conselho Nacional de Professores de Matemática - NCTM National Council of
Teachers of Mathematics (1989), Stanic e Kilpatrick (1989), Schroeder e Lester
(1989), Lester e Mau (1993), Schoenfeld (2011), Van de Walle (2009) e Cai e Lester
(2012); no Japão, por Nunokawa (2005), e em outros países em que os estudiosos
indicam a Resolução de Problemas como foco da Educação Matemática.
Em nosso país, estamos também destacando a Resolução de Problemas no
ensino de Matemática de diversas formas e em diferentes contextos (BRASIL, 1998,
1999; ONUCHIC, 1999; ALLEVATO, 2005; 2007; 2008; ONUCHIC; ALLEVATO,
2009; 2011; NUNES, 2010; ABDELMALACK, 2011; ROSSI, 2012; COSTA, 2012),
fornecendo problemas para os alunos resolverem, ajudando-os a construir
conhecimento matemático e formalizar os conteúdos matemáticos para fixar sua
aprendizagem.
Também encontramos alguns trabalhos envolvendo Resolução de
Problemas no ensino de Ciências e Física, entre os quais destacamos: Vasconcelos
et al. (2007), Costa e Moreira (2001; 2002), Peduzzi (1997), Peduzzi, Zylbersztajn e 8 always a pinch between the ideal and the actual which can only be got through by leaving part of the
31
Moreira (1992) e Carvalho et al. (1992), mostrando o desenvolvimento dessa linha
de pesquisa nessas áreas do conhecimento.
Podemos perceber que os estudos envolvendo a Resolução de Problemas
vêm ganhando corpo não somente na Educação Matemática, mas também no
ensino de Ciências e Física. Notamos que nessas áreas do conhecimento, também
se buscam relações (conexões) entre as diversas áreas; essa é uma das alternativas
para conduzir os alunos a construírem conhecimento e desenvolverem compreensão
acerca dos conteúdos trabalhados.
Lampert (2001) faz uma analogia bem interessante dizendo que o ambiente
de trabalho do professor é tão complicado quanto o de um piloto de avião ou de um
navegador de submarino, que se preocupam com a movimentação de suas naves
com relação a três dimensões: olhar para cima e para baixo, esquerda e direita e
para frente e para trás com o propósito de se localizarem. O mesmo ocorre com o
professor, que trabalha em ambientes bastante problemáticos assumindo dimensões
maiores e que ficam cada vez mais complexas. O espaço em que o professor
trabalha é cheio de ideais a serem realizados, repleto de destinos diferentes,
envolvendo alunos, outras pessoas e aspectos variados dos ambientes de ensino,
9
(LAMPERT, 2001, p. 3).
Vale ressaltar que o trabalho com Resolução de Problemas durante as aulas
de Matemática e Física está sendo recomendado como uma alternativa para os
desafios enfrentados pelos educadores, como forma de melhorar o desempenho dos
alunos e aumentar a sua motivação para aprender. Acredita-se que as atividades
desenvolvidas através da Resolução de Problemas irão preparar melhor os nossos
alunos para o mundo e para o mercado de trabalho, melhorando sua capacidade de
pensar estrategicamente e a habilidade de comunicar suas ideias. Sendo assim, na
próxima seção, refletiremos sobre o que, de fato, resolvemos nas aulas de
Matemática: problemas ou exercícios?
9 Tradução de: Teaching with problems is a particular kind of teaching, and is a kind that is not well understood.
32
1.2 Problemas ou Exercícios: o que resolvemos nas aulas de Matemática é...
A palavra problema está frequentemente associada a diferentes acepções,
não se distinguindo, por vezes, exercício e problema. Para Onuchic (1999, p. 215),
da é dada por Van de Walle (2009), em que
métodos ou regras prescritas ou memorizadas, nem a percepção de que haja um
HIEBERT et al., 1997 apud VAN
DE WALLE, 2009, p. 57).
Dois outros pesquisadores, Krulik e Reis (1980, p. 1), definem problema
indivíduos implicados não conhecem meios ou caminhos evidentes para obtê-
Nesse sentido, a perspectiva dada por Carrillo (1996) é a de que:
O conceito de problema deve associar-se a uma aplicação significativa (não mecânica) do conhecimento matemático a situações não familiares, a consciência de tal situação, a existência da dificuldade na hora de enfrentar se a ela e a possibilidade de ser resolvido aplicando tal conhecimento (CARRILLO, 1996, p. 101).
problema está bastante presente no dia-a-dia de quem trabalha com Matemática,
mas nem sempre seu uso vem acompanhado de um consciente posicionamento
utilizam o termo resolução de problema, eles estão se referindo a tarefas
matemáticas que têm o potencial de proporcionar desafios intelectuais que podem
desenvolvimento do aluno, devem-se considerar exclusivamente os "problemas que
valem a pena10 (CAI; LESTER, 2012, p. 149), visto que dão aos alunos a
oportunidade de consolidar e ampliar o que já sabem, estimulando a aprendizagem
da Matemática.
10 Considera-se problema que vale a pena aqueles que são intrigantes, com bom nível de desafio, seduzindo o aluno a raciocinar (CAI; LESTER, 2012, p. 149).
33
Outros dois pesquisadores, Lappan e Phillips (1998, apud CAI; LESTER,
2012), desenvolveram um conjunto de critérios para um problema que vale a pena:
1. O problema envolve matemática útil e importante. 2. O problema exige níveis mais altos de pensamento e resolução de problemas. 3. O problema contribui para o desenvolvimento conceitual dos alunos. 4. O problema cria uma oportunidade para o professor avaliar o que seus alunos estão aprendendo e onde eles estão enfrentando dificuldades. 5. O problema pode ser abordado por estudantes de múltiplas maneiras usando diferentes estratégias de resolução. 6. O problema tem várias soluções ou permite diferentes decisões ou posições a serem tomadas e defendidas. 7. O problema encoraja o envolvimento e o discurso dos alunos. 8. O problema se liga a outras importantes ideias matemáticas. 9. O problema promove o uso habilidoso da matemática. 10. O problema proporciona uma oportunidade de praticar habilidades importantes (LAPPAN; PHILLIPS, 1998, apud CAI; LESTER, 2012, p. 149).
Para Cai e Lester (2012), os quatro primeiros critérios de Lappan e Phillips
são essenciais na escolha de todos os problemas (importância matemática,
pensamento de nível mais alto, desenvolvimento conceitual e oportunidade de
avaliar a aprendizagem). Os autores complementam citando NCTM (1991):
O papel dos professores é revisar, selecionar e desenvolver as tarefas que favoreçam o desenvolvimento do entendimento e o domínio dos procedimentos, de maneira que também promovam o desenvolvimento de habilidades para resolver problemas e raciocinar e de se comunicar matematicamente (NCTM, 1991, apud CAI; LESTER, 2012, p. 150).
Considerando esse aspecto, salientamos que o professor pode transformar
um problema do próprio livro texto de tal maneira que os alunos se sintam
envolvidos em aprender Matemática (critério 1), o que ajuda na evolução e
desenvolvimento de suas habilidades na Resolução de Problemas (critérios 2, 3, 4 e
5). Em geral, o rearranjo dos problemas contidos nos livros texto é relativamente fácil
de realizar, o que aumenta a oportunidade para a aprendizagem dos alunos. Dessa
forma, a modificação realizada pelo professor nos problemas apresentados nos
livros texto satisfaz os critérios 3 e 4.
Concordamos com os autores que os quatro primeiros critérios são
fundamentais, munindo os professores com as diretrizes para a tomada de decisões,
tornando a Resolução de Problemas o âmago da sua instrução. Seguramente,
entende-se não ser sensato esperar que cada problema que o professor escolhe
deva contemplar todos os dez critérios, devendo-se levar em conta os objetivos
34
instrucionais do professor para o conteúdo que se deseja atingir com os problemas
geradores.
Mas qual o significado da palavra problema? Existe diferença entre problema
e exercício?
Lester (1983 apud ECHEVERRÍA; POZO, 1998, p. 15) identifica um
ivíduo ou grupo quer ou precisa
resolver e para a qual não dispõe de um caminho rápido e direto que o leve à
Onuchic (1999, p. 215) esclarece sua compreensão dizendo que um
ressado em
aluno aplica de forma quase mecânica uma fórmula ou uma determinada técnica
que apresenta um obstáculo aos sujeitos resolvedores, os quais desconhecem a
forma de o ultrapassar, e que pode ter mais do que uma solução possível ou não ter
palavra exercício, desc
resolvedor, na medida em que ele sabe, à partida, o que fazer para encontrar a
Outros autores que descrevem a diferença entre exercício e problema são
Echeverría e Pozo (1998), relacionando-a com o contexto da tarefa, sendo o
exercício centrado na utilização de habilidades ou técnicas já assimiladas
conhecimentos modificados em rotinas automatizadas como resultado da prática
contínua. Para esses autores, os exercícios estão limitados à utilização de uma
técnica no momento de realizar uma tarefa ou de enfrentar uma situação já
conhecida, não representando nada de novo e podendo ser solucionado com
técnicas já conhecidas ou por meios habituais.
Entretanto, às vezes, é difícil assinalar quando uma tarefa é um exercício ou
um problema; é preciso considerar as experiências dos alunos, seus conhecimentos
35
prévios, assim como os objetivos pré-estabelecidos para a realização dessa tarefa.
Vale e Pimentel (2004) se referem a problema quando não se sabe chegar à
solução, envolvendo, assim, a mobilização de conhecimentos anteriores e a
utilização de estratégias de resolução apropriadas àquela ocasião, e que podem
envolver também procedimentos rotineiros e algoritmos. Por outro lado, se a tarefa
não possui desafios e pode ser resolvida de forma fácil por procedimentos rotineiros
e familiares, sendo ou não complicada, considera-se como sendo um exercício.
À luz dessa literatura correspondente à Resolução de Problemas,
observamos que além das diversas concepções utilizadas para elucidar o que é
problema e o que é exercício, existem também diferentes abordagens com respeito
aos objetivos e aos tipos de problema matemático. A seguir, na próxima seção,
analisaremos as diferentes tipologias de problemas.
1.3 Tipologias de Problemas Matemáticos
Em nossas investigações, defrontamo-nos com problemas que têm
estruturas diferentes, dependendo da área à qual pertencem (Álgebra, Geometria,
Cálculo, etc.) e do conteúdo a que eles se referem nessas áreas, assim como do tipo
de operações e processos que se quer enfocar. Observamos que ao categorizarem
os problemas, os estudos tornam possível sua utilização por aqueles que estão
aprendendo a resolver problemas, e também pelos professores que ensinam por
meio da perspectiva de Resolução de Problemas. Os investigadores apresentam
tipologias para os problemas que o professor pode encontrar nos livros didáticos ou
criar e, assim, propor para seus alunos. Para Allevato (2005), em particular, são
considerados dois tipos de problemas a serem trabalhados em sala de aula. O
primeiro tipo habitualmente se encontra em livros didáticos e geralmente é
trabalhado pelos professores em sala de aula, referindo-se aos problemas fechados,
caracterizados como aqueles em que a situação inicial, o processo de resolução e a
resposta do problema são pré-determinados.
O segundo tipo, hoje em dia ainda pouco explorado no campo educacional,
admite diversas estratégias para obter a resposta ou as respostas desejadas,
permitindo ao aluno decidir qual a melhor ou a mais adequada estratégia para
resolver o problema, de acordo com suas percepções. Dessa forma, os alunos
36
conseguem explorar outros problemas a partir de um dado problema. Em outras
palavras, quando o problema permite que os alunos façam escolhas, Allevato (2005)
caracteriza-o como problema aberto. Ao encontro dessa consideração, Van de Walle
(2009) nos diz que ao realizarmos experiências matemáticas dentro de sala de aula,
torna-se indispensável a utilização de problemas abertos, vislumbrando alargar o
âmbito dos conhecimentos matemáticos a serem construídos.
Desse modo, um único problema pode ser abordado de forma diferenciada
na medida em que nos dispomos a utilizar diversas maneiras/estratégias que nos
levem por diferentes caminhos à solução.
Em Portugal, o Grupo de Investigação em Resolução de Problemas
(GIRP)11, descrito por Vale e Pimentel (2004), construiu um quadro com quatro tipos
de problemas, não pressupondo que um problema não possa ser inserido em mais
de um tipo. A seguir, descreveremos a classificação apresentada pelo Grupo:
Problemas de processo: Um problema deste tipo não se resolve, geralmente, pela aplicação direta de um algoritmo, isto é, dificilmente se resolverá sem a utilização de estratégias de resolução de problemas, tais como: descobrir padrão, trabalhar do fim para o início, fazer um esquema ou um desenho, fazer uma lista organizada, reduzir a um problema mais simples, formular e testar conjecturas. Estes problemas podem não estar relacionados com os conteúdos programáticos e, se estiverem, pode não ser necessária para a resolução a sua utilização direta, para além de conhecimentos elementares de aritmética e geometria (VALE; PIMENTEL, 2004, p. 19).
Como exemplo do tipo de problema acima descrito, temos:
11 GIRP é formado por: Domingos Fernandes; Antonio Borralho; Ana Leitão; Helena Fernandes; Isabel Cabrita; Isabel Vale; Lina Fonseca e Pedro Palhares, pesquisadores portugueses.
37
O grupo indica, também, os
Problemas de conteúdo: Um problema deste tipo requer a utilização de conteúdos programáticos, conceitos, definições e técnicas matemáticas. Sem eles dificilmente poderá ser resolvido (VALE; PIMENTEL, 2004, p. 19).
No segundo tipo, exemplificamos com o enunciado:
O terceiro tipo refere-se a:
Problemas de aplicação: em geral, esse tipo de problema se vale de informações do cotidiano, estabelecidos pelo professor ou coletados pelo próprio aluno. A decisão da(s) estratégia(s) adquire uma importância muito grande, fazendo com que o aluno por vezes, se utilize mais de uma estratégia de resolução de problemas. Esse tipo de problema, normalmente pode admitir mais de uma solução, e diferentemente dos demais tipos de problemas, leva-se horas ou dias para que alcance uma resposta (VALE; PIMENTEL, 2004, p. 20).
Para esse tipo, apresentamos o exemplo:
O usuário de energia elétrica de um estado tem a opção de escolher entre três
operadoras: a Companhia Estrela da Energia, Companhia de Energia Acme e a
Sem Falhas Companhia de Energia. A tabela abaixo mostra as taxas cobradas
pelas operadoras de energia, por KiloWatt-hora.
Companhia Taxa Mensal em R$ Preço / KiloWatt-hora
Estrela da
Energia
5,75 para os primeiros
100KWh
R$0,10 por KWh acima de
100
Energia Acme 6,75 para os primeiros
100KWh
R$0,085 por KWh acima de
100
Sem Falhas R$ 10,00 R$ 0,055 por KWh
Com base na tabela acima, você escolheria qual operadora? Justifique sua
escolha.
Quantas figuras geométricas formam a bandeira brasileira?
Um grupo de amigos irá promover uma feijoada beneficente no final de um
curso para 30 alunos. Eles precisam comprar os seguintes ingredientes: feijão
preto, temperos, carnes, arroz. Faça um levantamento do custo da feijoada por
aluno.
38
E, finalmente, o quarto tipo:
Problemas de aparato experimental: são problemas que exigem introdução de estudos experimentais sobre alguma matéria ou conceito, de que é imprescindível para o aluno exercer sobre suas ações. Em geral utiliza-se de métodos das ciências experimentais, que permitem o desenvolvimento de certas competências, como: planilhar, organizar dados, interpretar os dados, mensurar. Esse tipo de problema manifesta no aluno, competências não antes necessárias e pode trazer à tona a resolução de diversos problemas secundários (VALE; PIMENTEL, 2004, p. 20).
Utilizamos, para exemplificar esse tipo, o seguinte problema:
Para Vale e Pimentel (2004), as descrições dos tipos de problemas podem
ser apresentadas no esquema a seguir, mostrando que um problema pode estar
inserido em mais de um tipo:
Ao trazermos a classificação dos diferentes tipos de problemas, salientamos
que os problemas propostos aos alunos participantes da pesquisa relatada nesta
tese se deram pela tipologia fornecida por Krulik e Rudnick (2001), em que os
Figura 1 Diferentes tipos de problemas.
Aplicação
Processo
Conteúdo Aparato
Fonte: Vale e Pimentel (2004, p. 21).
Construa um circuito elétrico misto com 3 resistores de mesmo valor. A tensão
fornecida é de 9 V. Pergunta-se: a) Qual é a corrente elétrica no resistor que
está em paralelo? b) Qual é a tensão no resistor que está em paralelo? c)
Substitua o resistor em paralelo pelo dobro do valor e refaça os experimentos.
39
autores empregam em cada tipo de problema mencionado um aspecto peculiar
dentro do processo de Resolução de Problemas, os quais descrevemos a seguir.
Que número faz sentido? - Problemas para os quais é necessário inserir
valores (números) que deem sentido ao enunciado.
O que está errado? - Problemas resolvidos em que a resolução contém erro
no raciocínio (conceitual, de interpretação ou de cálculo). A finalidade é
identificar o(s) erro(s) e encontrar uma solução correta para o problema.
O que devemos fazer? - Problemas de final aberto, que os alunos resolvem
fundamentados em suas próprias experiências e conhecimento para, em
seguida, justificar suas soluções.
Que questões você pode responder? - Problemas oferecidos na forma de
situações que contêm informações numéricas. Solicita-se aos os alunos que
preparem perguntas que podem ser respondidas a partir dos dados.
O que está faltando? - Problemas em que falta uma informação (dado)
importante. Os alunos identificam o que falta, proveem o dado apropriado e
resolvem o problema.
Qual é a questão se você sabe a resposta? - Problemas que contêm as
informações, mas não possuem questões. As respostas são fornecidas e os
alunos devem preparar questões apropriadas.
Essa mesma tipologia foi utilizada por Allevato (2007) em um minicurso em
que a pesquisadora destaca a importância da resolução de diferentes tipos de
problemas para estimular a utilização do pensamento crítico e do pensamento
criativo12, considerados conforme a figura 2:
12 Pensamento crítico é a habilidade para analisar a situação e extrair conclusões apropriadas e corretas a partir dos dados fornecidos. Isso também inclui determinar se os dados são inconsistentes e/ou se os dados se perderam ou são estranhos. Pensamento criativo é a habilidade para originar a solução para uma situação problema. Complementando, é a habilidade para gerar, sintetizar e aplicar ideias originais para produzir um resultado complexo (KRULIK; RUDNICK, 2001, p. iv).
40
Dessa forma, Krulik e Rudnick (2001) entendem que esse conjunto de tipos
de problemas pode ser o caminho que conduzirá os alunos para a ampliação da
capacidade de raciocinar e de realizar pensamentos de ordem superior.
A escolha da tipologia a ser utilizada pelo professor em suas aulas, em face
do exposto, não é fácil. Classificar os tipos como descrito anteriormente em três,
quatro, cinco ou qualquer outro número de tipologias é, em qualquer caso, sem
dúvida, discutível, pois provavelmente podemos sempre encontrar outro tipo, além
dos já descritos. A intenção não é descrever todos os possíveis tipos de problemas,
mas sim analisar alguns modelos, para auxiliar na interpretação das informações
obtidas nesta pesquisa.
1.4 Resolução de Problemas: diferentes concepções
Quando se fala em Resolução de Problemas em Matemática, retornamos a
um passado não muito distante, com pouco mais de três décadas. Durante este
tempo muitas concepções distintas surgiram em decorrência das pesquisas
Figura 2 Hierarquia do Pensamento.
Fonte: Krulik e Rudinick (2001, p. iv).
41
realizadas. Uma das ideias difundidas por meio do NCTM (National Council of
Teachers of Mathematics, 2000) é a aceitação de que um dos principais objetivos do
ensino da Matemática é que os alunos se tornem bons solucionadores de problemas
e, não obstante as múltiplas interpretações do termo e concepções, ficou
caracterizado que a Resolução de Problemas deveria desempenhar um papel mais
amplo no contexto da matemática escolar.
Observamos, entretanto, que as diversas pesquisas em Educação
Matemática, produziram concepções diferentes quanto à Resolução de Problemas
(ALLEVATO, 2005; CAI, 2003; CARRILLO, 2000 a, 2001; HATFIELD, 1978;
LESTER, 1980; MENDONÇA, 1999; ONUCHIC, 1999; SCHROEDER).
Carrillo (2001) considera que a aplicação de um problema não unifica a
forma de compreensão da Resolução de Problemas em sala de aula, e que é
necessária uma tomada de consciência quanto aos elementos a serem considerados
nessa execução. Diversos outros pesquisadores têm identificado concepções
diferentes a respeito da Resolução de Problemas em Matemática e sobre seu ensino
e aprendizagem. Para Carrillo (2000b) podemos descrever as concepções a respeito
de ensino e aprendizagem matemática, no que ele denomina quatro tendências
didáticas, sendo que a quarta é tida por ele como a que tem mais sintonia com as
atuais orientações curriculares, bem como com as reflexões provenientes da didática
da Matemática.
No seu estudo, o autor explana as diferentes formas de compreender o
ensino e a aprendizagem da Matemática. As quatro tendências discutidas pelo autor
ilustram diferenças relacionadas à metodologia, ao sentido do conteúdo, à
concepção de aprendizagem e, por fim, à avaliação. Essas quatro tendências são
descritas como: tradicional, tecnicista, espontaneísta e investigativa.
Na tendência tradicional, a aula é ministrada na forma expositiva, utilizando
somente os livros texto previamente selecionados pelo professor, seguindo
rigorosamente um programa estabelecido anteriormente, sem a preocupação com as
relações (conexões) entre os conteúdos, estando o curso orientado para a aquisição
de conhecimentos. O aluno deve memorizar tais conhecimentos, que serão
cobrados no exame/prova, sendo este o único instrumento para mensurar o
42
aprendizado. Considera-se de responsabilidade do aluno o resultado pela sua
aprendizagem, atrelando seu resultado às notas. Com relação ao diagnóstico inicial
dos alunos, é baseado somente nos conteúdos que supostamente foram trabalhados
anteriormente.
Utilizando a tendência tecnicista, o tratamento dado pelo professor não é o
de fornecer o conteúdo final, e sim, o de seguir uma programação fechada,
simulando todo um processo para o aluno, para ele observar toda a construção
lógica que sustenta um dado conteúdo, e outorgando à disciplina, além da finalidade
informativa, o seu caráter prático para ser implementada em outras áreas da
Matemática ou em outras áreas do conhecimento humano. Entende-se que a
aprendizagem se dá utilizando os conteúdos assimilados, de modo ordenado, de
acordo com a lógica estrutural da disciplina. Para que o aluno aprenda, basta
compreender e assimilar o conhecimento advindo do exterior. O principal
responsável pelos resultados da aprendizagem é o aluno, sendo o contexto
escolhido pelo professor considerado correto. O professor questiona (para uma
possível alteração futura) o processo de aprendizagem à luz dos resultados ao final
de cada ciclo em que está dividida a aprendizagem do aluno, com base no grau de
operacionalidade dos objetivos propostos. O exame/prova é o instrumento mais
apropriado para medir o aprendizado. O diagnóstico inicial dos alunos é baseado na
detecção de erros conceituais ou processuais, que deveriam ser retificados antes da
execução do novo processo.
A tendência espontaneísta parte de uma proposta do professor, com
atividades de manipulação de modelos por meio dos quais se espera eventualmente
que ocorra a construção de conhecimentos não ordenados. A programação é
mutante por estar atrelada aos interesses dos alunos, não possuindo uma
organização inicial. O interesse reside na promoção positiva de atitudes face ao
trabalho escolar, em que a disciplina tem natureza formativa, sendo instrumento de
mudança para o aluno, permitindo-lhe adquirir valores racionais para construir uma
atitude lógica para os problemas do cotidiano. O professor entende que o aluno
aprende um conteúdo quando há um significado palpável para ele. Cabe ao
professor incentivar o aluno a participar das atividades de sala de aula, promovendo,
assim, a construção da aprendizagem, acompanhar a evolução e enfatizar a
43
importância do contexto no processo de aprendizagem. No caso do exame/prova, a
conotação é psicologicamente desfavorável por interferir negativamente nas
atividades e mesmo nas relações pessoais dentro da sala de aula. O diagnóstico
inicial dos alunos é realizado dentro do campo de interesse deles.
Por fim, na tendência investigativa, o professor dispõe de uma proposta bem
organizada do programa a ser trabalhado, mas não precisa seguir um único
caminho. O interesse está na aquisição de conceitos, no desenvolvimento de
procedimentos e na promoção de atitudes positivas com relação ao contexto escolar.
Desse modo, o objetivo final da disciplina é proporcionar aos alunos instrumentos
que lhes deem autonomia para aplicarem os conceitos nos mais diferentes contextos
do cotidiano. Para que isso ocorra, o aluno deverá dar significado ao que o professor
propôs e que foi planejado para ele. O professor vê a avaliação como um sensor da
aprendizagem, utilizando-a para redirecionar, a qualquer momento, sua forma de
trabalho. O exame/prova é um instrumento educacional que pode atingir dois
objetivos: (1) o de aprender, na medida em que é considerada uma atividade
individual incerta dentro do processo de construção do conhecimento; e (2) o de
controle do processo. Com relação ao diagnóstico inicial, manifesta os aspectos do
conhecimento do aluno, que, de uma forma ou de outra, poderão interferir no
processo de ensino-aprendizagem.
Entendemos, assim, que a tendência investigativa é a que mais se aproxima
do trabalho que desenvolvemos, o que não descarta a possibilidade de utilização
das outras tendências, pois quando se ensina através da Resolução de Problemas,
o aluno faz uma investigação; ele descobre caminhos em busca de soluções,
construindo, assim, o seu conhecimento, e utiliza todos os procedimentos
disponibilizados para o ensino de Matemática (repetição, compreensão, uso da
linguagem matemática e, às vezes, a forma de ensino tradicional).
Dessa maneira, concordamos com Carrillo (2001) em que a escolha por
utilizar a Resolução de Problemas como metodologia é uma decisão que envolve e
afeta muitas variáveis curriculares: conteúdo, metodologia, avaliação, papel do
professor e papel do aluno.
Outro estudo desenvolvido pelo mesmo autor descreve, por meio de um
44
esquema, um Processo de Melhoramento Hipotético do conhecimento matemático,
que deve ser favorecido uma vez que se apoia na ideia de que os professores
podem conduzir os alunos a chegarem ao último nível.
conscientes de que participar de um processo de melhoria é, em si, uma conquista,
e a dificuldade não deve impedir-nos de tentar atingir os objetivos que muitas vezes
(CARRILLO, 2001, p. 3).
O autor comenta que esse esquema nos coloca a refletir sobre os avanços
significativos que podem advir quando o professor busca inserir a Resolução de
Problemas em sua sala de aula. Os professores devem se munir de paciência,
permitindo que os alunos formulem a proposta de sua abordagem, e não
simplesmente fornecer as receitas que modificam os problemas, transformando-os
automaticamente em exercícios. Não devem, reciprocamente, abandonar a prática
rotineira dos exercícios e substituí-los simplesmente por problemas; os problemas
Fonte: Carrillo (2001, p. 3).
Figura 3 - Processo de Melhoramento Hipotético.
45
devem ser tratados diferentemente dos exercícios. Percebe-se que em determinados
momentos, os problemas são colocados à parte, em favor do conteúdo a ser
cumprido. Nesse processo, o problema como institucionalização da aprendizagem
acontece ao se realizarem paradas para socializar a aprendizagem que ocorre
enquanto são esclarecidas as dúvidas. Possuir uma lista de possibilidades (lista de
heurísticas13) é, também, muito útil, servindo de apoio ao professor e possibilitando
ajudar os alunos a organizarem e progredirem na resolução de um problema. Um
importante ganho qualitativo é quando ocorre a reflexão sobre os processos
seguidos. Para aumentar a eficácia desse processo é desejável possuir as
ferramentas para observar os aspectos relevantes à evolução do Processo de
Resolução de Problemas.
A partir de alguns processos - modelos e métodos, os alunos desenvolvem
seu raciocínio, passando a pensar de forma razoável e válida. É nesse sentido que
Rigelman (2007) descreve, por meio da Figura 4, um modelo circular indicando que
o processo matemático para a resolução de problemas não possui fim.
13 O objetivo da heurística é estudar os métodos e regras de descoberta e invenção. Heurística, como, um adjetivo, significa "que serve para descobrir" (POLYA, apud HATFIELD, 1978, p.22 - 23).
Figura 4 - Processo de resolução de problemas matemáticos.
Fonte: Rigelman (2007, p. 313).
46
Dentre as diferentes concepções apresentadas, apesar de possuírem pouco
mais de três décadas, mantêm-se bem atuais as apresentadas por Hatfield (1978):
Ensino para resolução de problemas, em que se situa como principal objetivo de ensinar matemática a resolução de problemas aplicando seus conhecimentos.
Ensino via resolução de problemas, em que e a resolução de problemas é o recurso metodológico para aprender Matemática.
Ensino sobre resolução de problemas, em que se pretende que os alunos sejam cada vez melhores solucionadores de problemas através da aquisição de habilidades e estratégias (HATFIELD, 1978, apud CARRILLO, 2000a, p. 6).
Para Carrillo (2000a), o trabalho do professor com a Resolução de
Problemas torna-se mais efetivo se houver dedicação e organização de conteúdos,
apoiados em objetivos favoráveis ao ensino e aprendizagem matemática.
Também Mendonça (1999) considera importante clarificar as diversas
interpretações possíveis para a Resolução de Problemas. Para a autora, há três
formas de interpretar a Resolução de Problemas, sendo elas:
Pensar a resolução de problemas como um objetivo significa que se ensina Matemática para resolver problemas; de modo a aplicar essa interpretação na sala de aula, parece ser suficiente expor a teoria e, então, propor problemas mais ou menos engenhosos.
Pensá-la como um processo significa olhar para o desempenho/ transformação dos alunos(as) como resolvedores levá-los a enfrentar problemas de modo a desenvolver o seu potencial heurístico; para utilizar essa interpretação na sala de aula, procura-se propor problemas de modo a
olução. Por exemplo, uma estratégia para resolver problemas de contagem pode ser pensar no problema com números menores; tentativa e erro é também uma estratégia importante.
Pensar a solução de problemas como um ponto de partida é tomar o problema como o recurso pedagógico, apresentado no inicio do processo da aprendizagem que espera-se alcançar, destinado à construção de conhecimentos matemáticos pelo aluno. Essa interpretação contraria a primeira e engloba a segunda interpretação, ao menos parcialmente. Porém o essencial em ambas reside na interação professor/a aluno/a, na qual as ideias e sugestões dos alunos e alunas têm um papel fundamental na aprendizagem (MENDONÇA, 1999, p. 16).
Dessa forma a autora entende que, quando se trata de Resolução de
Problemas como um objetivo, o problema será apresentado após o professor ter
exposto a teoria matemática, com a intenção de administrar a aprendizagem desse
conteúdo ou conceito matemático, ou mesmo como treino para já conhecidas
técnicas. Por outro lado, a Resolução de Problemas na forma de processo, seria um
momento de reflexão a respeito dos processos heurísticos que o aluno estará
seguindo para solucionar problemas que envolvem os conhecimentos adquiridos,
47
utilizando uma estratégia, podendo ser por tentativa de acerto e erro, através de
gráficos, desenhos, entre outros, cabendo ao professor trabalhar a sistematização
ou melhora do algoritmo. Por fim, a autora diz que ao se utilizar a Resolução de
Problemas como ponto de partida para alavancar o processo de aprendizagem, os
problemas seduzem os alunos a discutirem e explorarem, de forma a organizarem e
construírem seu conhecimento matemático.
Como observado anteriormente, Mendonça (1999) e Hatfield (1978, apud
CARRILLO, 2000a) apresentam semelhanças em suas concepções a respeito da
Resolução de Problemas.
A partir das leituras que realizamos na literatura a respeito de Resolução de
Problemas, em especial, no tocante à mudança da prática do professor,
constatamos que tal movimento ocorre em um determinado contexto, e que tais
mudanças são condicionadas pelas diferenças entre as pessoas, as quais se apoiam
em relações, ideias e experiências próprias. Mendonça (1999) analisa o potencial
pedagógico da Matemática, e sugere alavancar o processo de aprendizagem
partindo do instante em que se cria no aluno a necessidade de compreender o
momento e sua realidade social, problematizando-a e estimulando-os a formular
problemas.
Seguindo essa linha, mas ampliando e atualizando o proposto por Hatfield
(1978); Schroeder e Lester (1989), Onuchic (1999) e Allevato (2005) nos ajudam a
refletir sobre três diferentes concepções a respeito de Resolução de Problemas,
sendo elas: ensinar sobre Resolução de Problemas; ensinar para resolver
problemas; e ensinar através da Resolução de Problemas, sendo que esta última
não estava muito sedimentada nos anos de 1980.
Na primeira concepção, ensinar sobre Resolução de Problemas,
disponibilizam-se ao aluno técnicas e heurísticas que são ensinadas como conteúdo
e que se sustentam no modelo proposto por Polya, seguindo estratégias próprias e
bem estabelecidas. Os alunos deveriam seguir rigorosamente determinadas etapas
para atingirem a solução esperada do problema. A respeito dessa concepção,
Allevato (2005) ressalta que não é por meio da repetição de estratégias ou técnicas
operatórias que haverá garantias da compreensão de um conceito ou conteúdo
48
matemático. Não obstante a reprodução de processos, pelo aluno, os conceitos
podem continuar sem significado para o aluno, que é privado de encontrar a solução
por si só.
Allevato (2005) comenta que:
Um exemplo, tão típico quanto genérico, é o das longas listas de problemas propostas pelos professores aos alunos, sobre um determinado assunto matemático. Muitas vezes verifica-se que os alunos automatizam procedimentos de tal modo que se, entre tantos, um determinado problema exigir deles um encaminhamento diferente, eles não são capazes de perceber. Os alunos simplesmente repetem, naquele problema, os mesmos procedimentos que vinham utilizando nos anteriores e produzem resultados incorretos; não param para pensar sobre cada problema individualmente, não atribuem sentido ao que lêem e ao que fazem (ALLEVATO, 2005, p. 57).
A segunda concepção diz respeito ao ensino para a resolução de
problemas, em que é necessário possuir conhecimento prévio de alguma técnica,
algoritmo ou mesmo conteúdo matemático para, ser utilizado na resolução do
problema e, assim, obter sua solução. Em geral, boa parte dos livros didáticos de
Matemática é estruturada nessa concepção, assim desenvolvida pelos professores
em suas aulas de Matemática:
Essa concepção considera a Matemática como utilitária de modo que, embora a aquisição de conhecimento matemático seja de primordial importância, o propósito principal do ensino é ser capaz de utilizá-lo. Nessa concepção o professor concentra-se no modo como a Matemática que está sendo ensinada pode ser aplicada na resolução de problemas. Ele se preocupa com a habilidade dos alunos de transferirem o que aprenderam num contexto para problemas em outros contextos, ou seja, ele ensina para a resolução de problemas (ALLEVATO, 2005, p. 53).
O ensino para a resolução de problemas certamente torna o ensino da
Matemática mais atraente e estimulante para o aluno, levando-o a compreender que
os conceitos matemáticos ensinados podem ser aplicados na resolução de
problemas. Entretanto, a autora faz uma crítica, apontando que nessa abordagem:
o aluno capta, repete estilos e aceita processos e resultados; sua atividade se limita a tentar assimilar os conceitos teóricos aplicando-os e reconstruindo processos. O professor propõe e contextualiza o problema, espera e corrige as respostas dos alunos, oferece chaves semânticas explícitas e implícitas e, finalmente, expõe seu processo de resolução como o mais correto (ALLEVATO, 2005, p. 53 - 54).
49
Desse modo, dificilmente o aluno irá ousar utilizar um recurso ou uma
estratégia diferente da apresentada pelo professor, podendo se tornar um mero
repetidor.
Por fim, a terceira concepção, denominada ensino através da Resolução de
Problemas, é a metodologia propulsora da pesquisa relatada nesta tese, e será
discutida na próxima seção.
1.5 O Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas
Entramos no século XXI confrontando as ideias do século passado,
envolvendo o currículo de Matemática, com as atuais, entre as quais está ensinar
Matemática através da Resolução de Problemas. Algumas indagações a respeito de
Resolução de Problemas passam a ser realizadas pelos pesquisadores em relação
ao ensino, às estratégias e seus modelos, iniciando outra fase. Nela a Resolução de
Problemas passa a ser pensada como uma metodologia de ensino, por entender que
os alunos desenvolvem uma aprendizagem mais apropriada aos objetivos atuais
para o ensino de Matemática.
Assim, o nosso propósito em trabalhar através da Resolução de Problemas
não é unicamente promover a aprendizagem de um tópico, um padrão ou um
conteúdo; mas, também, adotar outra postura para o ensino e a aprendizagem da
Matemática, ou seja, é adotar uma metodologia de ensino e aprendizagem.
Para Van de Walle (2009, p. 58
deve estar completamente mesclado com a aprendizagem, assim os alunos estarão
. As dificuldades de trabalhar com
Resolução de Problemas são consideráveis: sabemos que as tarefas devem ser
cuidadosamente planejadas aula a aula, levando em consideração a compreensão
dos alunos e as necessidades curriculares. Contudo, o autor apresenta uma lista de
razões para continuar nesse esforço:
(a) A resolução de problemas concentra a atenção dos alunos sobre as ideias e em dar sentido às mesmas; (b) a resolução de problemas desenvolve nos alunos a convicção de que eles são capazes de fazer matemática e de que a matemática faz sentido;
50
(c) a resolução de problemas fornece dados contínuos para avaliação que podem ser usados para tomar decisões educacionais, ajudar os alunos a ter bom desempenho e manter os pais informados; (d) a resolução de problemas possibilita um ponto de partida para uma ampla gama de alunos; (e) uma abordagem de resolução de problemas envolve os estudantes de modo que ocorrem menos problemas de disciplina;
(g) é muito divertida! (VAN DE WALLE, 2009, p. 59).
Essa nova visão de ensino-aprendizagem de Matemática está amparada,
especialmente, nos estudos desenvolvidos pelo NCTM e descritos nos Standards
2000 - Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000).
D´Ambrosio (2006) discute o trabalho realizado por Stanic e Kilpatrick a
respeito desse tema, em que a Resolução de Problemas é um veículo, pois introduz
e desenvolve conceitos matemáticos. A proposta no ensino de Matemática através
da Resolução de Problemas é a de que os alunos se confrontem com situações-
problema e utilizem conhecimentos matemáticos já existentes para resolvê-las;
dentro desse processo, esses alunos podem construir novos conhecimentos e
entendimentos.
Devemos ter uma noção clara das dificuldades de entendimento dos alunos
e buscar métodos diferentes para ensinar Matemática. Van de Walle (2009) adverte:
mesma nova ideia. O que é significativo é que a construção dessa certamente será diferente para cada aprendiz, até mesmo dentro de um
E WALLE, 2009, p. 43).
O autor diz que a edificação do conhecimento demanda pensar
reflexivamente, raciocinar ativamente a respeito ou, mentalmente, trabalhar uma
ideia. Pensar reflexivamente denota filtrar ideias já conhecidas para descobrir
aquelas que pareçam ser mais importantes ao dar o sentido às novas ideias. Fosnot
pensamento reflexivo ou intencional, as pessoas podem modificar os seus
esquemas existentes para acomodar essas
Tendo como base essas orientações, devemos buscar instrumentos que nos
auxiliem a ensinar uma Matemática que tenha significado para os alunos. Assim, os
problemas devem ser propostos em um formato que engaje os alunos a pensarem e
51
desenvolverem a Matemática como algo importante que eles necessitam aprender.
Para uma melhor aprendizagem matemática, Van de Walle (2009) diz que algumas
características devem ser consideradas:
(a) o problema deve começar onde os alunos estão; (b) o aspecto problemático ou envolvente do problema deve estar relacionado à matemática que os alunos vão aprender; (c) a aprendizagem matemática deve requerer justificativas e explicações para as respostas e os métodos (VAN DE WALLE, 2009, p. 58).
Trabalhar através da Resolução de Problemas em sala de aula requer
tarefas centradas no aluno e não no professor, e para ensinar e construir ideias
novas deve-se respeitar os conhecimentos prévios dos alunos. A disposição para
manifestar confiança de que os alunos podem gerar ideias significativas a respeito
da Matemática é um aspecto que deve ser praticado pelo professor. Com essa
visão, entendemos que a aprendizagem através da Resolução de Problemas é um
caminho importante para se fazer Matemática, e ensinar utilizando problemas é um
trabalho que exige muito do professor.
Allevato (2005) descreve que, ao analisar os aspectos mais relevantes das
inúmeras maneiras como a Resolução de Problemas é abordada, o ensinar através
de Resolução de Problemas se mostra mais coerente com as indicações do NTCM,
em que:
Habilidades e conceitos matemáticos devem ser aprendidos no contexto da resolução de problemas;
O desenvolvimento de processos de pensamento de ordem superior deve ser estimulado através de experiências em resolução de problemas, e
O ensino de matemática deve ocorrer, por investigação orientada, em um ambiente de resolução de problemas (ALLEVATO, 2005, p. 56).
É primordial construir um ambiente em sala de aula que propicie ao aluno
uma aprendizagem mais significativa, dando sentido às coisas, integrando os
elementos e estruturas que matematicamente aparecem desconexos e perceber
como se relacionam.
A autora discorre sobre a concepção apresentada por Van de Walle (2009),
em que a Resolução de Problemas deve ser uma estratégia de ensino, e que as
tarefas ou problemas devem ser propostos para envolver os estudantes em
atividades que os façam pensar sobre e para desenvolver a Matemática que eles
necessitam aprender.
52
Desse modo, para Allevato (2005) o ensino através da Resolução de
Problemas sendo uma metodologia, não exclui as demais concepções,
possibilitando aos alunos aprenderem sobre Resolução de Problemas enquanto
aprendem Matemática para resolver problemas novos.
Como exposto por Onuchic e Allevato (2005), a Resolução de Problemas
desempenha um importante papel na melhoria das habilidades matemáticas dos
alunos, trazendo para a sala de aula um trabalho mais colaborativo por parte dos
professores e alunos. É nesse cenário que Onuchic e Allevato (2011) dizem que não
há rigidez em se trabalhar com a metodologia do ensino através da Resolução de
Problemas. Entretanto, sugerem que se organizem as atividades nas seguintes
etapas:
Preparação do problema - Selecionar um problema visando à construção de um novo conceito, princípio ou procedimento. Esse problema será chamado problema gerador. É bom ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não tenha ainda sido trabalhado em sala de aula.
Leitura individual - Entregar uma cópia do problema para cada aluno e solicitar que seja feita sua leitura.
Leitura em conjunto - Formar grupos e solicitar nova leitura do problema, agora nos grupos.
Se houver dificuldade na leitura do texto, o próprio professor pode auxiliar os alunos, lendo-lhes o problema.
Se houver, no texto do problema, palavras desconhecidas para os alunos, surge um problema secundário. Busca-se uma forma de poder esclarecer as dúvidas e, se necessário, pode-se, com os alunos, consultar um dicionário.
Resolução do problema - A partir do entendimento do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, em um trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Considerando os alunos como co-problema gerador é aquele que, ao longo de sua resolução, conduzirá os alunos para a construção do conteúdo planejado pelo professor para aquela aula.
Observar e incentivar Nessa etapa o professor não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Enquanto os alunos, em grupo, buscam resolver o problema, o professor observa, analisa o comportamento dos alunos e estimula o trabalho colaborativo. Ainda, o professor como mediador leva os alunos a pensar, dando-lhes tempo e incentivando a troca de ideias entre eles. O professor incentiva os alunos a utilizarem seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias, já conhecidas, necessárias à resolução do problema proposto. Estimula-os a escolher diferentes caminhos (métodos) a partir dos próprios recursos de que dispõem. Entretanto, é necessário que o professor atenda os alunos em suas dificuldades, colocando-se como interventor e questionador. Acompanha suas explorações e ajuda-os, quando necessário, a resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução: notação; passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática; conceitos relacionados e técnicas operatórias; a fim de possibilitar a continuação do trabalho.
53
Registro das resoluções na lousa Representantes dos grupos são convidados a registrar, na lousa, suas resoluções. Resoluções certas, erradas ou feitas por diferentes processos devem ser apresentadas para que todos os alunos as analisem e discutam.
Plenária Para esta etapa são convidados todos os alunos para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, para defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. O professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Este é um momento bastante rico para a aprendizagem.
Busca do consenso Após serem sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto.
Formalização do conteúdo Neste momento, denominado
organizada e estruturada em linguagem matemática padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos através da resolução do problema, destacando as diferentes técnicas operatórias e as demonstrações das propriedades qualificadas sobre o assunto (ONUCHIC; ALLEVATO, 2011, p. 83 85).
Como exposto pelas autoras, a Resolução de Problemas, mostra-se
importante quando se almeja introduzir um conceito novo ou procedimento, tornando
o processo de aprendizagem mais natural e instigante. Esse instrumento auxilia na
interiorização, pelo aluno, dos significados dos conceitos matemáticos, facilitando,
assim, a formalização matemática.
Em seu trabalho, Charnay (2001) realiza uma abordagem bem interessante
com relação às estratégias de ensino que são adotadas pelo professor, que sofrem
diversas influências qual é o ponto de vista do professor com relação à disciplina
de Matemática; quais são os objetivos do ensino de Matemática; que objetivos
específicos o professor entende serem importantes naquele momento; que
habilidades e expectativas deverá ter no que diz respeito aos alunos; qual é a
situação socioeconômica desses alunos, descrita em três modelos de referência:
-se de transmitir, de comunicar um saber aos alunos. A pedagogia é então a arte
começar,
pergunta-se ao aluno a respeito de seus interesses, suas motivações, suas próprias necessidades, o meio que o rodeia.
aluno): propõe- no aluno e
- -las, modificá-las ou construir novas (CHARNAY, 2001, p. 39).
O modelo descrito por Charnay (2001) como aproximativo é muito próximo
do que estamos chamando de Ensino através da Resolução de Problemas, descrito
por Onuchic e Allevato (2011), pois o autor descreve que nesse modelo:
54
O professor propõe e organiza uma série de situações com diferentes obstáculos (varáveis didáticas dentro destas situações), organiza as diferentes fases (investigação, formulação, validação, institucionalização).
Organiza a comunicação da aula, propõe no momento adequado os elementos convencionais do saber (notações e terminologias).
O aluno ensaia, busca, propõe soluções, confronta-as com as de seus colegas, defende-as e as discute.
O saber é considerado dentro de sua lógica própria (CHARNAY, 2001, p. 39).
O autor observa que os professores, normalmente, não se restringem
apenas a um modelo, mas que, em geral, utilizam partes de cada um desses
modelos, que cada professor faz uma escolha, consciente ou não, e privilegia um
deles. Esses modelos fazem com que os professores tenham fontes de dados para
reflexão e análise das atividades didáticas realizadas.
Vemos o quão interessante é o papel da Resolução de Problemas na
Educação Matemática. Allevato (2009) nos mostra que as novas formas de se
pensar a Resolução de Problemas encaminham a novas formas de trabalho, em que
os professores devem propor problemas que direcionem os alunos a ler, escrever,
ouvir e falar.
Conduzimos nossa pesquisa com a proposta da concepção do ensino
através da Resolução de Problemas, que consiste em uma metodologia de ensino
que prioriza a construção de conceitos através de problemas selecionados pelos
professores, e seguindo as orientações propostas por Allevato e Onuchic (2009). A
opção pela Resolução de Problemas, da maneira como foi empregada, teve como
propósito criar um contexto promissor à construção de conhecimento matemático,
tendo sido utilizada como metodologia de ensino, ou melhor, o problema sugerido
era gerador de novos conceitos e conteúdos matemáticos. Esperávamos que os
alunos compreendessem os significados dos conteúdos, sem que houvesse a
obrigação de recorrer a técnicas previamente trabalhadas (os fatos ocorridos serão
apresentados no Capítulo 5). Além disso, complementamos nossa busca, realizando
a análise dos erros cometidos pelos alunos na resolução desses problemas.
Por isso, tendo discutido algumas ideias que direcionaram o nosso trabalho
com respeito à Resolução de Problemas, discorreremos no próximo capítulo sobre
Análise de Erros como ferramenta para refletir e ampliar a realização de pesquisas
no cenário científico e no âmbito escolar.
55
CAPÍTULO 2 ANÁLISE DE ERROS
2.1 Antecessores nos Estudos dos Erros
2.2 O que é Erro?
2.3 Alguns Tipos de Erros
2.4 A Análise de Erros nos Contextos Educacionais
2.5 O Erro sob duas Perspectivas
2.6 O Erro sob a Perspectiva de quem Ensina
2.7 A Revisão da Literatura envolvendo Análise de Erros
56
CAPÍTULO 2
ANÁLISE DE ERROS
Mistakes are almost always of a sacred nature. Never try to correct them. On the contrary: rationalize them, understand them thoroughly. After that, it will be possible for you to sublimate them.
Salvador Dali14
Neste capítulo, analisamos alguns estudos, identificados por pesquisa
bibliográfica, e apresentamos a Análise de Erros como aliada aos processos de
ensino e aprendizagem de Matemática. Inicialmente, fazemos uma breve
retrospectiva histórica. Em seguida, apresentamos alguns aspectos que se fazem
presentes no desenvolvimento das pesquisas sobre erros: o que é erro, como pode
ser considerado por professores e alunos e algumas classificações a respeito de
erros.
2.1 Antecessores nos Estudos dos Erros
O erro, na Educação, sempre foi alvo de punição sistemática nas escolas de
diversas culturas, incluindo a nossa, apesar dos reiterados clamores de supressão
de tais atos.
No âmbito do ensino e da aprendizagem da Matemática, no final do século
XIX e início do século XX, diversos psicólogos e matemáticos (empregando termos
que, em muito, se referem à mesma ideia) realizaram pesquisas educacionais.
Thorndike (apud CURY, 2007) buscou entender as dificuldades encontradas pelos
alunos na resolução de problemas de Aritmética, e para estudar suas teorias de
aprendizagem e entender esse processo, considerava que era necessário estudá-los
14 Tradução nossa: Os erros são quase sempre de uma natureza sagrada. Nunca tente corrigi-los. Ao contrário: racionalize-os, compreenda-os completamente. Depois disso, será possível para você sublimá-los.
57
nos animais. Thorndike, com suas inúmeras experiências, trouxe à luz ideias
inovadoras para a época.
Continuando, Cury (2007) informa que em 1936, ele expôs o que chamou de
Lei do Exercício o uso fortifica e o desuso enfraquece as conexões mentais. Ele
entende, entretanto, que a atividade mental do aluno deve ser respeitada buscando
não cansá-lo com atividades inúteis, uma vez que estados de aborrecimento tendem
a enfraquecer tais conexões. Thorndike acreditava que se devem reforçar os
vínculos e os hábitos para a realização de cálculos. Ele desenvolveu pesquisas
sobre os erros cometidos por alunos em operações matemáticas, e determinou os
tipos de erros, procurando analisar os passos mentais necessários para se obterem
os resultados esperados.
Outro autor que escreve a respeito da Análise de Erros em Educação
Matemática é Radatz (1979), descrevendo que até meados do início do século XX,
nos Estados Unidos da América, mais de trinta estudos já haviam sido realizados
para diagnosticar os erros em Aritmética. Na Alemanha, também foram
desenvolvidos diversos estudos nessa mesma época, e a análise dos erros dos
alunos nesses dois países foi caracterizada por diferentes pontos de partida e
interesse, principalmente por causa de diferentes orientações verificadas em relação
à pesquisa psicológica e educacional da época, mas também por causa de
diferenças nas políticas educacionais e na estrutura da organização escolar.
Assim, as pesquisas realizadas no início do século XX envolvendo análises
de erros estavam voltadas aos erros cometidos pelos alunos dos anos iniciais, em
Aritmética. Entretanto, uma exceção, segundo Cury (1994), foi uma pesquisa
realizada por Smith (1940), nos Estados Unidos da América, com alunos da high
school, envolvendo Geometria Plana.
Encontramos na literatura estudos mais recentes realizados na Espanha,
onde o educador matemático Rico (1998) se mobilizou em torno do estudo do erro.
Para ele, o campo de estudo de erros na aprendizagem da Matemática escolar tem
se desenvolvido e se tornado cada vez mais produtivo nas últimas décadas.
Entende-se que há interesse para um melhor entendimento e conhecimento dos
alunos. Assim, a análise de erros no ensino e na aprendizagem transformou-se em
58
uma das linhas de pesquisa de permanente interesse nas investigações em
Educação Matemática.
Complementando, Cury (2007) indica que as pesquisas sobre erros,
especificamente em Educação Matemática, vêm sendo realizadas desde os anos de
1960 e sofreram diferentes influências, que vão do Behaviorismo até o
Processamento de Informações, passando pela proposição de atividades
investigativas. Em cada uma dessas tendências, o erro tem sido visto e tratado de
um modo diferente, indo da simples detecção e classificação até a busca por
métodos de ensino que minimizem sua ocorrência ou a de determinado tipo,
passando pela sua utilização como ponto de partida para atividades investigativas.
Segundo Torre (2007),
O erro por si mesmo não leva a nada se não for seguido de uma reflexão para revelar a verdade. Uma olhada retrospectiva e histórica nas grandes descobertas humanas ilustrará como em muitas delas ocorreu o acaso ou o erro como força aleatória que possibilitou um resultado bem-sucedido; em outros casos, deveu-se à atenta observação de certos fenômenos ou de discordâncias insignificantes. Não se deve condenar nem desprezar o erro, por mínimo que este pareça, mas sim analisar seus efeitos. Muitas teorias, mais que equivocadas, são incompletas (TORRE, 2007, p. 21).
Vale ressaltar que as diferenças de estilos e métodos de ensino nas escolas
e sua estrutura educacional são motivos para se pesquisar sobre os erros na
aprendizagem, em particular na aprendizagem matemática. Entendemos que a
presença permanente de erros na construção e consolidação do conhecimento
humano é uma questão contextual, complexa e delicada. As leituras que realizamos
na literatura nos permitem inferir que a manifestação do erro indica que há alguma
deficiência ou incompletude no conhecimento. O erro pode ser encarado como uma
condição do que pode acontecer e do que pode ser realizado ou aprimorado, um
aspecto permanente na busca pelo conhecimento.
Refletindo sobre a importância de se analisar a produção escrita dos alunos
em Matemática, Buriasco e Silva (
pode contribuir com o aluno na medida em que o professor o incentive a analisar sua
matemáticos enfatiza que em lugar de ser protegido do erro, o aluno deveria ser
59
exposto ao erro muitas vezes, ser encorajado a detectar e a demonstrar o que está
errado, e por quê" (p. 169).
Essas orientações favorecem uma nova postura do professor e do aluno
frente ao erro. Não um sentimento de fracasso ou desalento, mas uma atitude de
busca positiva e contínua de melhoria e de novas aprendizagens.
No entanto, quando se fala em erro, a que se está referindo? Torna-se
necessário ter consciência da natureza do erro a fim de identificá-lo e, a partir daí,
configurar encaminhamentos.
2.2 O que é Erro?
Discorrer sobre erros é algo que vem de longa data, quando os
pesquisadores iniciaram seus trabalhos com o intuito de compreender suas
implicações nos processos de ensino e aprendizagem dos alunos. Os erros estão
presentes em discussões que envolvem todas as áreas do conhecimento a
Psicologia, a Pedagogia e, em nosso caso, a Educação Matemática em virtude da
amplitude de seu significado e relevância nos contextos educacionais.
Nesta pesquisa, assumimos o erro como algo que apresenta discrepância
com o considerado correto, e como Japiassu e Marcondes (1999) expõem:
Para a filosofia clássica, o erro consiste, na maioria das vezes, no efeito de nossos sentidos: a Terra me parece plana, o Sol parece girar em torno da Terra. O entendimento propriamente dito não deve cometer erro, mas a
espírito a cometer erros. Contudo, muitos filósofos atuais veem no erro não algo a ser sumariamente proscrito, mas uma primeira etapa do conhecimento, uma condição da verdade: o erro descoberto nos leva a procurar uma solução melhor: a verdade cientifica pressupõe, de direito, um
MARCONDES, 1999, p. 86).
educativo, porque não é possível avançar em um longo e desconhecido caminho
sem se equivocar:
elemento sempre presente e, na descrição de J. Torres (apud TORRE, 2007), está
inserido no currículo oculto, permeia as ações, decisões e avaliações que são
realizadas no âmbito da Educação.
60
Sempre ouvimos das pessoas mais vividas que devemos aprender com os
erros; este é um dito popular que a história não se cansa de mostrar, seja no âmbito
pessoal ou profissional. Torre (2007) faz uma colocação interessante com relação a
alguns pensamentos já amplamente discutidos no meio acadêmico:
[..] o acaso, o erro, a complexidade, o problemático e tudo aquilo que encerra rejeição por parte de certos setores positivistas ou tecnocráticos é aceito por alguns filósofos como importante componente do progresso científico. O erro é uma das engrenagens da roda da história. É hora de aprender com as falhas, os desacertos e os erros. É hora de propor uma nova ética baseada no reconhecimento dos próprios erros. É hora de recolhermos nas pesquisas não só os resultados positivos, coincidentes com nossas expectativas, mas também aqueles inesperados, imprevistos, problemáticos ou contrários ao esperado (TORRE, 2007, p. 46).
Torre (2007) acrescenta que o enfoque didático do erro consiste em sua
consideração construtiva e, inclusive, criativa dentro dos processos de ensino e
aprendizagem. Desse modo, percebemos no erro um ponto de referência importante
para orientar nossas hipóteses para outros caminhos e encaminhamentos para o
desenvolvimento dos conteúdos em sala de aula, considerando os resultados
negativos como fonte de novos conhecimentos.
Outra significação dada ao erro é a de desajuste conceitual ou moral em
relação a determinada norma. Nessa conjuntura, dá-se força à inadequação entre o
esperado e o obtido, sendo o erro entendido como desajuste, em relação à norma
moral ou social estabelecida pelo professor como válida ou correta, da resposta
dada pelo aluno. Essas normas são semelhantes àquelas fornecidas pelos pais, em
casa, quando dizem aos filhos o que está certo ou não e, dessa forma, a criança vai
aprendendo e adotando uma determinada conduta moral e de comportamento social
graças às correções do meio adulto.
O erro é um indicador ou sensor de processos que não funcionam como se
esperava, de problemas não resolvidos satisfatoriamente, de aprendizagens não
alcançadas e de estratégias cognitivas inadequadas. Pode-
tarefas.
Desse modo, cabe uma reflexão cuidadosa sobre o erro, sobre as
implicações que decorrem de sua presença nos contextos educacionais, do ponto de
61
vista tanto do aluno quanto do professor, e sobre os modos de aproveitá-lo a favor
da construção do conhecimento escolar.
2.3 Alguns Tipos de Erros
Os erros dos alunos são uma rica fonte de estudo para aqueles que desejam
melhor entender, inclusive, os diferentes motivos que levam os alunos a incorrerem
em erros. Em Pochulu (2005) e Torre (2007), podemos verificar a descrição de
alguns tipos de erros, que devem ser tratados de maneira heterogênea e positiva, o
que demanda de quem irá trabalhar com eles conhecer as modalidades que
permitam classificá-los e constituir níveis entre os erros.
Outro autor que trata do assunto é Corral (apud TORRE, 2007), que
diferencia o erro em dois tipos:
a) Erros de aplicação, que têm lugar quando se conhece e se aceita determinada norma que logo não se aplica;
b) Erros de compreensão, quando não se conhece claramente a norma (CORRAL, apud TORRE, 2007, p. 98).
Determinados autores evidenciam que o erro é um fenômeno natural,
presente em quase todos os momentos, ações e processos humanos. Corral
corrobora complementando:
Agora sabemos que muitos dos erros que cometemos quando pensamos não são arbitrários; pelo contrário, respondem a diferentes momentos de nosso estado atual de conhecimento. Por isso seu estudo não supõe nenhuma morbosidade, senão que mostra algumas de nossas limitações intelectuais e sugere vias de aproximação qualitativa a nosso pensamento. Os erros revelam os processos psicológicos e os procedimentos heurísticos de nosso pensamento. Os erros são sinais de inteligência e correspondem à face oculta dos avanços intelectuais (CORRAL, apud TORRE, 2007, p. 98).
Torre (2007), mesmo constatando que há muitos pontos de vista sobre erros
na aprendizagem, faz a condensação de alguns conceitos que, em geral, são
emanados do termo erro, como veremos a seguir:
i. O erro como falta de verdade: de um ponto vista filosófico e lógico o erro está em afirmar algo diferente do que é. [...] O erro está no julgamento, ao afirmar algo incongruente com a verdade ou em contradição com ela. [...] O erro se diferencia da ignorância porque esta implica o desconhecimento total da coisa de que se trata, enquanto que o erro lógico, de que falamos aqui, costuma ter sua origem em um desconhecimento parcial. ii. O erro como incorreção por falta de conhecimento ou de clareza: a origem desse tipo de erro pode provir da confusão, do equívoco ou da ignorância em relação á informação que é pedida. A confusão é o erro que
62
se comete ao tomar uma coisa por outra. [...] A ignorância é o desconhecimento total ou parcial da informação que se solicita. A ignorância pode dar lugar ao erro quando o sujeito se arrisca a responder sobre questões que desconhece, proferindo afirmações equivocadas ou improcedentes. iii. O erro como equívoco (mistake): não se refere tanto ao plano lógico nem à falta de conhecimento quanto ao processo de execução. [...] corresponde a uma deficiência na competência, enquanto o equívoco nos remete à execução das tarefas. [...] Isso quer dizer que boa parte das
baseadas na falta de conhecimento, mas se apoiam em equívocos de execução.
iv. O erro como desajuste conceitual ou moral: dá-se ênfase á inadequação entre o esperado e o obtido, prescindindo de sua causa. [...] nesta acepção nos fixamos no desajuste em relação à norma moral ou social estabelecida. [...] Transferindo esse conceito para o contexto escolar, o erro representa um desajuste entre a norma estabelecida pelo professor como válida ou correta e a resposta dada pelo aluno. v. O erro como sensor de problemas: o equívoco e os erros levam consigo profundas conotações de rejeição e ocultação de algo natural e evidente. [...] O erro é um indicador ou sensor de processos que não funcionaram como esperávamos, de problemas não resolvidos satisfatoriamente, de aprendizagens não alcançadas, de estratégias cognitivas inadequadas (TORRE, 2007, p. 64-67).
O mesmo autor completa dizendo que temos cinco erros que estão
interagindo em nosso cotidiano, como o erro por monotrilho, descrito como: ir
imediatamente de uma ideia para a outra, desconhecendo dados ou diferenças
essenciais e determinantes entre as ideias. Esse tipo de erro é comum entre as
crianças por observarem os adultos realizando algo e acreditarem que pode ser
reaplicado em outras situações. Ocorre, por exemplo, ao imaginarem que como as
balas são coloridas, as pílulas coloridas também são doces; ou, ao verem a mãe
colocar roupa na máquina de lavar, pensarem que, estando o gato sujo, este pode ir
à máquina de lavar também. Por ser uma sequência logicamente correta, esse tipo
de erro sugere a simplicidade mental, sendo árdua sua eliminação.
Um segundo tipo, chamado erro de magnitude, equivale a associar uma
ideia a outra de maneira visivelmente apropriada em relação ao título que lhe damos,
desconsiderando divergências de magnitude ou proporção. Um ímã atrai objetos
metálicos; entretanto, se esses objetos não são grandes ou estão distantes, o efeito
da atração não será produzido. Não apenas no pensamento infantil ocorre esse tipo
de erro; ele está presente também entre os adultos. Por induzirem ao erro, existe a
necessidade de identificar as condições que acompanham tais ideias. Para
tentarmos eliminá-lo, damos nomes diferentes às coisas: um lago, uma lagoa, um
63
mar, apresentando diferenças entre elas. Esse erro, em geral, está presente em
nossa linguagem habitual, originando confusões.
O terceiro se chama erro por desajuste e ocorre quando confundimos
artefatos, circunstâncias ou pessoas por não nos apercebermos de todos os
detalhes que os definem. Quem nunca confundiu uma pessoa com outra ao vê-la de
No
caso dos alunos, a distração é a principal origem desse tipo de erro. Uma
informação que passa despercebida por eles, em um problema de Matemática,
implica soluções errôneas. Diversas soluções incorretas ou incompletas possuem
origem nesse desajuste, entre o que o problema solicita e o que o aluno responde,
não fazendo uma reflexão sobre o enunciado dos problemas. Nessa situação, é
conclusões precipitadas são as causas principais desse tipo de erro.
Certamente, assumir uma atitude prepotente ou de desprezo com relação a
algo, ou ser orgulhoso, também induz ao erro. Nesse caso, é batizado de arrogância,
que se deve pela austeridade das ideias, pela maneira como elas são defendidas e
impostas às outras. É entendido mais como um erro de atitude do que de conteúdo.
Esse tipo de erro advém do modo como a nossa mente organiza os dados, valendo-
se da separação do sim-
que o de quem se
Por fim, o quinto é intitulado erro por omissão, que ocorre quando realizamos
uma escolha parcial, ou seja, ao considerarmos como certa apenas uma parte do
todo e, assim, concluirmos a ideia sobre esse contexto. Essa omissão pode ocorrer
de forma consciente ou inconsciente, havendo a necessidade de estabelecer um
julgamento por haver precipitação em tirar conclusões sem acolher a totalidade dos
dados fornecidos. Em nosso cotidiano, esse tipo de erro pode ser visto mais
fortemente na política e nos meios de comunicação de massa, em que predominam
as ideologias, ou nos comerciais, apresentando os fatos da forma que mais convém.
Desse modo, acrescente-se que comumente os professores tendem a
apurar os erros dos seus alunos a partir de suas próprias estruturas mentais, e não
das dos seus alunos. Sabemos que por trás de cada erro há uma explicação. A
64
averiguação da causa que produziu cada erro abriga muitos segredos de
aprendizagem. Para melhor exemplificar, segue um Modelo de Análise Didática dos
Erros (MADE), ilustrado na figura a seguir:
Segundo Torre (2007), nesse modelo, existem três parâmetros, sendo eles:
I. Erros de Entrada: são relativos ao desequilíbrio de informação e se
relacionam com os erros no plano das compreensões, das intenções ou erros
nos planos das percepções da informação;
II. Erros de Organização: referem-se ao modo como cada sujeito organiza os
dados da informação para dar a resposta que lhe é solicitada. Podem incorrer
nesse processo os erros por problemas de análise e síntese, de ordenação,
de conexão, ou por interferências na organização das informações recebidas
da leitura de uma fonte ou mesmo da escuta de uma aula;
III. Erros de Execução: ocorrem no uso de processos mecânicos ou lapsos de
linguagem, equívocos operacionais ou de estratégia, distrações.
Esses parâmetros possuem características próprias e ocorrem em
momentos e por motivos específicos; cabe ao professor saber identificar qual o tipo
Figura 6 Modelo de Análise Didática dos Erros MADE.
Fonte: Torre (2007, p. 108).
65
de erro cometido pelo aluno, e fornecer-lhe condições de perceber e transpor esse
erro.
A descrição fornecida por Torre (2007) a respeito dos erros de entrada ou
desequilíbrio de informação indica o fato de haver um problema de incapacidade ou
inconformidade da informação, o que ele chamou de plano de intenção, plano de
percepção e plano de compreensão.
Com referência ao plano de intenção, é descrito que a falta de metas ou
clareza é o principal motivo de equívocos, assim como a incompreensão das metas,
que, em diversas circunstâncias, não pode ser creditada à incapacidade, mas sim, à
ausência de compreensão do que foi solicitado. Assim, o conflito de objetivos ou
desvio da meta proposta faz parte do conjunto de ideias acerca dos erros de
intenção, que se verificam também quando a tarefa requerida desperta nos alunos
objetivos outros que acabam por ser mais desejáveis do que os propostos pelo
docente.
Quando Torre (2007) discorre a respeito dos erros de percepção, aborda a
maligna interação entre as peculiaridades da informação e os processos cognitivos
dos alunos. Nesse plano, é a metodologia docente e a capacidade discente que são
vistas como as principais responsáveis por tais erros.
Ainda dentro do que foi descrito por Torre (2007) como erros de entrada,
estão aqueles ligados à compreensão, em que incide elevada porcentagem dos
erros escolares, em geral centrados em limitações ou deficiências na compreensão
léxica, conceitual e lógica.
No segundo parâmetro, Torre (2007) salienta que as informações coletadas
pelo sujeito devem ser bem trabalhadas para que não haja erros de organização das
mesmas. Por ser parte integrante do processo de aprendizagem, deve-se levar em
consideração a organização interna da informação, ou melhor, como cada aluno
organiza as informações captadas pela percepção e/ou fornecidas pelos dados de
uma tarefa.
Comumente os alunos cometem erros que são facilmente verificados em
uma avaliação; esse terceiro parâmetro é descrito por Torre (2007) como o dos erros
66
de execução. Para sanar esse tipo de erro, compete ao docente proporcionar pistas,
orientando os alunos a reverem seus processos e encontrarem suas próprias falhas.
Os erros de execução são muito ligados à atitude e ao estilo dos alunos quando
arriscam novas direções, estratégias não comuns e procedimentos não tradicionais,
ao passo que outros alunos mantêm processos mais seguros e tradicionais.
Nikerson, Perkins e Smith (apud TORRE, 2007) descrevem
sistematicamente os erros e as parcialidades do raciocínio, distribuídos em três
grupos, sendo:
Erros de raciocínio dedutivo;
Erros de raciocínio indutivo;
Erros devido a fatores sociais.
Esses autores entendem que os erros de raciocínio dedutivo expressam os
processos de raciocínio inerentes ao ser humano, contribuindo para tal os critérios, o
palavreado adotado ou as representações inadequadas.
Quanto aos erros de raciocínio indutivo, descrevem como aqueles que por
meio de observações formulam imediatamente julgamentos generalizados.
Acontecem por ausência de informações adequadas ao se estimar a afinidade entre
acontecimentos, ao se fazerem deduções sobre causalidades ou a partir de
antevisão.
Finalmente, têm-se os erros devidos a fatores sociais, que são descritos
como decorrentes de motivações e ligados a relações sociais. As dificuldades advêm
da precária relação entre as ideias e os indivíduos que as alvitram. Seu ajuizamento,
ou uma hipótese elaborada, tem maior capacidade de convicção caso seja alvitrada
por um indivíduo bem reputado do que por outro sem expressão.
Podemos, assim, perceber o quão importante é lembrar que o erro é a
manifestação externa de que algo foi realizado de forma indevida ou inesperada,
envolvendo um processo complexo em que há diversas variáveis interagindo.
Dessa forma, alguns trabalhos sobre falhas manifestadas no raciocínio
informal foram desenvolvidos por Perkins, Allen e Hafner (apud TORRE, 2007),
67
indicando novo rumo sobre o procedimento lógico em circunstâncias corriqueiras da
vida cotidiana e seus presumíveis erros. Esses trabalhos apontam certa melhoria
contrárias a partir da premissa inicial, a desconexão entre as premissas e a
conclusão, a contradição ou contraexemplo carente de argumentação, lapsos e
O conhecimento a respeito dos erros e seus tipos aprofunda sua análise
bem como seu tratamento, e nessa direção, Nikerson, Perkins e Smith (apud
TORRE, 2007) ressaltam que é importante que os professores se deem conta das
deficiências comuns do raciocínio, não apenas com o fim de que os alunos sejam
capazes de corrigi-las ou superá-las mediante um trabalho apropriado, como
também, o que não é menos importante, para evitar o esforço desses modos de
pensar. Assim, poder-se-ia considerar o trabalho sobre o erro como uma forma de
melhorar os processos de ensino, de aprendizagem e, consequentemente, do
pensamento lógico.
Outro fator que faz emergir a análise de erros no Ensino de Matemática é
sua ocorrência relacionada a disparates de compreensão e aos processos lógicos,
sistematizados pelos alunos de maneira errônea, quando da realização de uma
tarefa ou na resolução de um problema. Consequentemente, o professor deverá
alterar suas estratégias docentes com o objetivo de adotar uma metodologia mais
adequada a esses alunos, e não somente explorar o saber mecânico operacional,
mas incentivar os alunos a escolherem os procedimentos que mais se adaptem aos
seus propósitos e estilos de aprendizagem.
Em Cury e Konzen (2006), foi apresentado um trabalho a respeito da
classificação e análise dos erros em Álgebra, no qual se posicionam do seguinte
modo:
Acreditamos que pesquisas sobre análise de erros podem ser implementadas em salas de aula, em qualquer nível de ensino, de forma que o professor possa ser um investigador de sua própria prática, tornando o ensino de Matemática menos pautado por regras e exercícios padronizados e mais adequado às necessidades dos estudantes (CURY; KONZEN, 2006, p. 8).
68
centra nas falhas de compreensão e no processo lógico seguido quando o estudante
2007, p. 130).
Uma análise mais detalhada desses aspectos ligados ao erro e dos autores
citados nesta seção pode ser encontrada em Bastos e Allevato (2011).
Assim, a análise de erros tem se mostrado um campo de estudo muito vasto
e fértil nas diferentes áreas do saber, que vem se desenvolvendo de forma crescente
e produtiva nos últimos anos por meio de trabalhos publicados no Brasil e em outros
países. Estando os educadores matemáticos preocupados com a melhoria do ensino
e da aprendizagem de Matemática em todos os níveis de ensino, busca-se
despertar, com esse tema, a reflexão sobre a análise de erros como metodologia
para a melhora na compreensão e na construção de conhecimento pelos alunos,
bem como nas realizações docentes.
O objetivo final não é outro que o de clarear um novo campo de hipóteses a
respeito das condições que mais importam na consideração dos erros e da avaliação
das tarefas descritas nas pesquisas e trabalhos publicados. Observamos que o
interesse por esse tema vem crescendo, promovendo uma melhoria da
compreensão teórica e, consequentemente, das práticas em sala de aula,
particularmente de Matemática.
A partir dessas reflexões, temos condições de nos atermos ao relato da
pesquisa que gerou esta tese. No próximo capítulo, detalharemos o contexto onde
ela foi realizada.
69
2.4 A Análise de Erros nos Contextos Educacionais
Os erros são elementos que se mostram com frequência em nosso cotidiano
e podem estar ligados à busca ou à falta de conhecimento.
A ciência busca um conhecimento que corresponde à verdade15, mas o
desenvolvimento do conhecimento científico está repleto de erros. O papel da
aprendizagem é caminhar na construção de conhecimento verdadeiro, livre de erros.
Entretanto, os processos de aprendizagem envolvem erros sistemáticos, que
representam uma possibilidade permanente na aquisição e consolidação desse
conhecimento.
Nas atividades de sala de aula, podemos perceber o erro perpetrado pelos
alunos nos diversos níveis de ensino, de modo que ele vem se tornando o mote para
muitos pesquisadores e educadores por ser uma das grandes preocupações da
Educação. Se entendermos o erro como um aliado, teremos muitas oportunidades
de mel
parte do currículo oculto, nutrindo boa porção das ações, decisões e avaliações que
Os estudos realizados por Borasi (1987) indicam que na maioria dos estudos
produzidos no contexto da Educação Matemática, os erros dos alunos são
considerados como a causa determinante das dificuldades de aprendizagem dos
alunos e/ou de falha nas técnicas de ensino. Como os erros são vistos como um
sinal de falha no processo de aprendizagem, a preocupação com a eliminação dos
erros dos alunos tem sido constantemente evidenciada.
Vemos, assim, que a análise dos erros apresentados pelos alunos tem sido
objeto de muitas pesquisas, com vertentes diversas, que dependem do enfoque
dado à pesquisa. Em particular, o que nos interessa explorar neste trabalho é a
Educação Matemática, em que os erros têm instigado estudiosos, que buscam
entender, pela perspectiva cognoscente, como integrar e transformar os erros em
recursos que possam ser aproveitados para promover a melhoria do ensino e da
15Classicamente, a verdade se define como adequação do intelecto ao real. Pode-se dizer, portanto, que a verdade é uma propriedade dos juízos, que podem ser verdadeiros ou falsos, dependendo da correspondência entre o que afirmam ou negam e a realidade de que falam (JAPIASSU; MARCONDES, 1999, p. 269).
70
aprendizagem. Assim, o erro tem sido objeto de relevantes estudos em todos os
níveis de escolarização (BORASI, 1987, 1988, 1996; BURIASCO, 2000; CURY,
2006, 2007; CURY, VIALI, 2009; POCHULU, 2005; RADATZ, 1979, 1980; RICO,
1995; TORRE, 2007).
Torre (2007) considera que o erro faz parte do cotidiano dos professores,
mas é estudado e trabalhado por eles com menos intensidade. Esse pensamento é
compartilhado por Cury (2006); as pesquisas realizadas por essa autora levaram-na
a desenvolver uma metodologia de análise qualitativa dos erros.
Nesse sentido, os resultados da pesquisa realizada por Cury e Silva (2008):
mostram a importância de trabalhar com problemas no Ensino Fundamental, especialmente pela perspectiva de que o futuro professor auxilie os alunos, desde cedo, a superarem dificuldades que se acumulam e causam os erros detectados no ensino superior de Matemática (CURY; SILVA, 2008, p. 96).
Quando o professor faz a correção de uma avaliação, teste ou trabalho,
normalmente concentra-se nos erros, visto que considera o acerto como algo normal
e esperado a partir das atividades de ensino realizadas. Cury (2007) questiona se os
erros realmente evidenciam o que o aluno não sabe, e se os acertos são mesmo
evidência do que ele sabe. Muitos educadores ainda veem o erro como algo ruim e
que deve ser evitado, como princípio para o bom ensino. Mas, para alguns, o erro
não é o fim, e sim, o início da construção do conhecimento. Segundo Torre (2007, p.
qual se necessita ante os conceitos específicos, como um veículo que encurta as
Dessa forma, compete ao professor conduzir o aluno no processo de ensino
e aprendizagem em sala de aula, auxiliando-o a encontrar caminhos que o façam
sentir-se mais confiante, incentivando-o a trabalhar seus erros, superando barreiras
e construindo novos conhecimentos.
Em um de seus trabalhos, Borasi (1985) comenta que ao considerarmos os
erros, estaremos abrindo caminhos para conhecer a concepção de uma pessoa em
relação a um conceito matemático, ou mesmo p
identificadas como:
71
Quadro 1 As quatro concepções de erros16
Olhando PARA o erro Olhando ATRAVÉS do erro
Erro como OBSTÁCULO a ser remediado
(1) O erro é visto como um SINAL de que o processo de aprendizagem falhou. O DIAGNÓSTICO do erro permitirá identificar exatamente onde ocorreu a falha. A remediação resulta da reexplicação daquele assunto ou da proposição de exercícios sobre o mesmo assunto.
(2) O erro é visto como uma PROJEÇÃO do que está realmente na mente dos alunos. A sua INTERPRETAÇÃO pode levar a conhecer as concepções do aluno e como sua mente funciona. Tal conhecimento pode ser usado para ajudar o aluno a modificar a sua misconception e, portanto, eliminar a causa do erro. Ainda pode auxiliar no planejamento mais adequado para o currículo, onde esses erros não devem ocorrer.
Erro como TRAMPOLIM a ser explorado
(3) Os erros são vistos como uma ETAPA fundamental e positiva do processo de aprendizagem. Uma ANÁLISE de nossos erros nos levará a uma melhor compreensão do tema em questão. Nós podemos tentar CONSTRUIR sobre nossos erros e, assim, obter novos conhecimentos e resultados.
(4) Os erros são vistos como FORMA de INVESTIGAR a natureza de um assunto. Eles vão mostrar sua força e limitações, e nos ajudar a avaliar melhor nossos resultados e métodos.
Dessa forma, Borasi sugere que os professores abandonem a ideia de
serem simplesmente transmissores de conhecimentos e busquem explorar melhor
as experiências em sala, encorajando os alunos a desenvolverem e verbalizarem
suas ideias, raciocinarem e argumentarem. A autora indica que há possibilidade de
que os erros apresentados possam ser discutidos e se tornem uma forma de se
aprofundar no conteúdo. Ao invés de se tentar reexplicar o conteúdo com fórmulas e
teorias, podem-se propor outros exercícios com as teorias incorretas apresentadas
pelos alunos para que eles próprios possam perceber/concluir onde está o erro e,
dessa forma, transpô-
Esse trampolim envolve diferentes modos para se usarem os erros, que dependem
dos objetivos com que o erro é empregado e do nível de abstração que está sendo
exigido.
A autora complementa dizendo que busca as consequências e implicações
de uma interpretação de erros como um trampolim em direção ao entendimento da
natureza da Matemática, assim como à aprendizagem de um conteúdo específico de
16 Tradução nossa
Fonte: Borasi (1985, p. 2).
72
Matemática. Corroboramos com a autora no sentido de focarmos nosso trabalho nas
caixas 3 e 4 do Quadro 1.
Alguns tipos de erros são próprios de determinadas fases do
desenvolvimento ou maturidade mental e, nesse momento, deve-se aguardar que o
aluno se dê conta do erro, visto que pouco se pode fazer quando ele não consegue
Desse modo, é importante analisar as diferentes formas de conceber o erro
nos processos de ensino e aprendizagem. Algumas pesquisas consideram o erro
como um problema, uma inadequação prejudicial ao ensino e à aprendizagem, e há
outros que acreditam que o erro é algo natural, que pode e deve ser trabalhado.
Acreditamos que o erro possa ser trabalhado pelo professor como forma de
sanar ou diminuir a lacuna deixada por algum conteúdo, que vem fazendo com que
os alunos cometam os mesmos erros constantemente, desestimulando-os nos
estudos, principalmente em Matemática.
Em sua análise, Torre (2007), assim como outros pesquisadores, entende
que os erros provêm do pensamento e da execução ou ação. De acordo com a
figura 6, os significados dos erros fornecidos por Torre podem ser:
73
No âmbito da Educação, o erro pode ser entendido como inexatidão, por
ausência de conhecimento, por falta de clareza no desenvolvimento de um
raciocínio, em que o correto e o incorreto são contrastados por convenção
sociocultural, ou por desconhecimento de algumas regras ou pautas culturais já
estabelecidas. Cabe ao professor realizar esse julgamento através da avaliação, que
deve estar estreitamente ligada aos significados que pretendeu construir por meio
das atividades de ensino. Cury (2006) ressalta:
Evidentemente, a avaliação não deve se restringir a pontuar acertos e erros, mas a análise das produções dos alunos é um dos procedimentos que adotamos para avaliar seu desempenho. Mesmo sabendo que discutir erros não é tarefa fácil, nem por isso se deve evitar o assunto (CURY, 2006, p. 96).
As ideias de Torre (2007) também são apresentadas no sentido de defender
que o erro deve receber um tratamento didático:
Figura 7 Os significados do erro.
Fonte: Torre (2007, p. 22).
74
As intervenções do professor não pretendem limpar o caminho de dificuldades, nem evitar os erros, nem provocá-los, mas utilizá-los quando surgem. Desse modo, a afirmação de que o erro desanima ou distancia se transforma em: o erro atrai a atenção do professor e do aluno. O professor pode chegar a utilizá-lo didaticamente como situação de aprendizagem, já que o aluno costuma estar interessado em averiguar por que algo não saiu bem ou por que se enganou (TORRE, 2007, p. 27).
Alguns autores defendem a ideia de que se deve trabalhar com os alunos
em pequenas etapas, com o propósito de que os alunos não venham a cometer
erros. Mas todos os processos virão acompanhados de algum erro, pois ele é parte
integrante de qualquer processo.
2.5 O Erro sob duas Perspectivas
Uma perspectiva possível para se tratar do assunto do erro é considerá-lo
com o olhar de êxito. Torre (2007) comenta que, segundo essa perspectiva, para
assegurar o sucesso dos alunos, existe a necessidade de se evitar o erro, visto,
nesse caso, como uma inadaptação prejudicial à aprendizagem, que deve ser
punida. Segundo ele, na concepção do erro como êxito, o aprendizado é
concentrado na eficiência dos resultados dos alunos, utilizando-se da estratégia de
ensinar conteúdos breves em que as dificuldades sejam divididas em partes
menores, fáceis de serem solucionadas, baseando-se no processo conhecido como
evitamento do erro.
Com essa visão, Torre (2007) considera que:
O fracasso desanima o aluno e prejudica sua aprendizagem; é preciso, portanto, favorecer o êxito, provocando a resposta correta na maioria das perguntas. O erro como categoria de ensino, deve ser entendido como evitativa e contraproducente, já que desanima, distancia e infunde complexos (TORRE, 2007, p. 74).
Outro autor que aborda essa concepção é Macedo (1994), esclarecendo que
nela o erro é entendido como algo muito ruim a ser evitado ou punido, e que, quando
fixado, dificilmente poderá ser eliminado. Uma vez que as escolas estão
comprometidas com resultados, o erro pode e deve ser apagado e corrigido.
Para Lannin, Barker e Townsend (2007), partindo de uma perspectiva
behaviorista, os erros são vistos como comportamentos incorretos, que necessitam
ser substituídos por comportamentos corretos. Estratégias instrucionais para corrigir
75
os erros dos alunos envolvem termos que definem claramente a realização repetida
da prática com os procedimentos corretos, decompondo-os em procedimentos
pequenos, para serem gerenciáveis. Além da teoria behaviorista, outras teorias
apareceram a respeito de como os erros são considerados.
Como contraponto, em uma visão construtivista, o erro é aceito como algo
natural e irá acompanhar os alunos em todo o seu processo de aprendizagem, pois
se trata de um desequilíbrio momentâneo entre o resultado esperado e o obtido,
sendo, assim, um momento para que o aluno faça uma reflexão sobre o erro
cometido. Torre (2007) comenta que nessa visão, o erro estabelece uma relação
entre o meio e o produto, sendo aceito como fato natural que acompanha a
aprendizagem dos alunos e não comporta atitudes sancionadoras ou punitivas.
Macedo (1994) esclarece que na linha construtivista, o erro é um elemento
possível e até mesmo necessário, intrínseco ao processo de construção do
conhecimento. Para o autor, o erro, por fazer parte do processo, pode ser analisado
por diferentes maneiras, e não deve ser negado ou justificado de modo complacente,
tampouco evitado por meio de punições, mas sim, problematizado e transformado
em situação de aprendizagem. Para quem aprende, o erro aparece como um
problema a ser resolvido, e muitas vezes é possível reconhecê-lo apenas depois de
tê-lo cometido, ou seja, não se pode prevê-lo.
O fato de o erro permitir ao professor realizar intervenções que revisem os
conteúdos em que os alunos apresentam dificuldades, ou mesmo desafiar os alunos
a descobrirem seus erros, faz da análise de erros um importante instrumento de
aprendizagem (CURY; SILVA, 2008).
2.6 O Erro sob a Perspectiva de quem Ensina
Na educação contemporânea, ainda encontramos formas de ensino
centrado no professor, utilizado desde os tempos remotos, em que se considerava o
conhecimento como estando fora do aluno e acreditava-se que bastava o professor
expor o conteúdo para que o aluno aprendesse. A mente do aluno era vista como
um campo fértil para receber os conceitos, não havendo liberdade para
questionamentos; no caso de fracasso na recepção das informações, o aluno era o
76
único culpado. E como forma de disciplinar o aluno, empreendiam-se punições
severas, não admitindo o erro, considerado um elemento que atrapalhava o
processo da aprendizagem. Com esse modelo de ensinar17, verificamos a via dos
acontecimentos para as ideias, enfatizando as perspectivas de estímulo-resposta,
em que a percepção sufoca a reflexão.
As leituras que realizamos sobre ensino e aprendizagem nos permitiram
inferir que atualmente, o ensino não deve mais estar centrado no professor, mas no
aluno e no processo de ensino e aprendizagem. Desse modo, o professor pode
orientar o aluno e promover sua relação com o conhecimento por meio de atividades
que conduzam à reestruturação do pensamento e outros processos cognitivos.
Atualmente, uma das inquietações do professor está na dúvida quanto à
forma de expor aos alunos os conceitos fundamentais de sua disciplina, fazendo-os
compreender esses conceitos, partindo dos conhecimentos adquiridos durante sua
escolarização. Cury (2006) entende que a análise de erros pode ser entendida como
metodologia de pesquisa, com enfoques apontados pelos pesquisadores e pelas
teorias em que se apoiam essas pesquisas. Pode ser entendida como metodologia
de ensino no instante em que se propõem atividades de exploração dos erros,
originando a construção de conhecimentos.
Para Torre (2007), as funções básicas do professor, tais como explicar,
perguntar, ajudar o aluno, corrigir exercícios, avaliar, são complementadas com a
necessidade de dedicar um tempo ao diagnóstico análise dos erros e suas causas
e apresentar situações de aprendizagem norteadas por esses erros. Com isso,
torna-se importante o professor saber avaliar o aluno pelo que ele sabe, e também
analisar, por meio dos erros, o que precisa ser melhorado.
Para que o professor saiba ensinar e avaliar os alunos, precisa estar bem
preparado, e o que observamos é que muitos não conseguem trabalhar com
questões tidas como básicas nos ambientes de ensino. Cury e Viali (2009), em um
trabalho realizado com professores e fundamentado na análise de erros em
probabilidade e estatística, descrevem: 17 in signo) é indicar, mostrar, manifestar aquilo que não é patente
s ao aluno aqueles conceitos ou aquelas significações para que o aluno se aproprie deles intelectualmente (TORRE, 2007, p. 71).
77
[...] que o próprio professor acaba por não ter condições de resolver questões básicas de probabilidade que ele deveria estar ensinando aos alunos do ensino fundamental ou médio. [...] apresentamos a análise de erros nas respostas para uma questão elementar de probabilidade, aplicada a uma amostra de professores desses níveis de ensino que estão em processo de formação continuada, tanto em cursos de especialização quanto de mestrado, e o resultado encontrado na avaliação preliminar aqui descrita mostra que menos de 10% conseguiram acertar a questão (CURY; VIALI, 2009, p. 374).
Além disso, o professor deve incentivar o aluno a buscar conhecimento por
meio de seu erro, criando uma nova relação professor-aluno, o que facilita a
construção do pensamento por meio do diálogo. Torre (2007) nos descreve que:
O aluno realiza as operações matemáticas de forma mecânica, porque já as domina, mas diante do erro cometido presta maior atenção para descobrir onde pode ter falhado. A análise do erro representa um processo e, como tal, é uma fonte de aprendizagem de estratégias cognitivas. Procedimentos não podem ser ensinados nem aprendidos por meio da constatação de resultados, mas do funcionamento de processos lógicos, psicológicos ou mecânicos. É por isso que o erro, além de favorecer a habilidade reflexiva e analítica, é uma estratégia adequada para o ensino-aprendizagem de procedimentos, novo domínio de objetivos que devem ser levados em conta no ensino (TORRE, 2007, p. 44).
Nesse sentido, Macedo (1994) enfatiza que não basta constatarmos o erro;
temos que tratá-lo. E a forma de tratamento não é o reforço ou a remediação, mas
sim, tornar o erro observável para os alunos. Ele considera que o erro observável é o
resultado de uma interpretação que o sujeito faz da sua própria ação, bem como do
objeto sobre o qual ela procede. Para o professor, tornar o erro observável é muito
mais do que saber por que e onde o erro aconteceu; é buscar as causas desse erro
e analisar sobre como proceder para superá-lo. Para os alunos, a observação do
erro acontece de forma significativa quando é possível confrontar o que aprenderam
com seus conhecimentos prévios, de modo que o erro provoca uma desestabilização
em seus saberes.
Também Aquino (1997) destaca que o erro só terá valor se for observável
pelo aluno. Não adianta o aluno saber onde errou se não puder entender o motivo do
seu erro. E complementa dizendo que o aluno necessita avaliar a qualidade de suas
respostas, realizando diversos experimentos e testes, e submetê-las à verificação
para saber se são verdades ou erros.
Na realidade, outra função do professor é auxiliar os alunos a chegarem às
verdades, em princípio sem mesmo precisar considerar o erro em suas intervenções.
78
Entretanto, segundo Torre (2007), na perspectiva construtivista, ao se manifestar
como um desequilíbrio entre o resultado esperado e o resultado obtido, o erro
consiste em uma alavanca para a mudança.
Com o apoio do erro, a comunicação em sala de aula acontece de forma
interativa, em que o professor se conscientiza de que seus alunos estão
necessitados por não terem assimilado os códigos das novas significações que
surgiram em seu caminho, ou por terem seguido caminhos diferentes do esperado.
Torre (2007) ilustra o papel atribuído ao erro no ensino tradicional por meio
do esquema a seguir:
Por outro lado,
poderá desencadear um questionamento de todo o processo de ensino e
transformar-
do erro construtivo, deve-se considerar que é preciso encarar o erro como resultado
de uma experimentação em que são levados em conta o planejamento, as ações do
aluno e suas hipóteses, que estas estão sendo colocadas à prova, e que o professor
pode se utilizar desse momento como uma estratégia didática.
Nessa linha, Torre (2007) considera o erro como categoria didática,
destacando que ele não é um fim; é um recurso que informa ao professor que o
aluno que se equivoca necessita de ajuda. A seguir, é apresentado um esquema do
que o autor considera sobre o erro como categoria didática:
Fonte: Torre (2007, p. 85).
Figura 8 - O erro como elemento a ser evitado.
79
Os alunos, ao cometerem erros, estão munindo seus professores com
subsídios significantes, sinalizando que há lacunas de aprendizado que carecem de
auxiliá-los a não mais cometerem os mesmos equívocos ocorridos anteriormente.
Considerando o erro intrínseco ao processo, deve-se refletir e rever as tarefas, não
só do professor como do aluno. Ele fará parte das intervenções no processo de
ensino e aprendizagem, respeitando as individualidades dos alunos.
Verifica-se que quando o professor revisa com seus alunos os erros
cometidos em uma avaliação ou em alguma tarefa realizada em sala, esses
estudantes costumam compreender melhor os erros cometidos. A aprendizagem nos
bancos acadêmicos, assim como em outros campos profissionais, deriva também da
própria experiência e da ponderação sobre os êxitos e os fracassos de um trabalho.
não costumam ver nos equívocos uma forma de aprender, mesmo considerando
correta a pena empreendida pelo professor, que, não raro, não oferece ao aluno a
possibilidade de uma reação. O erro adverte o aluno de que alguma coisa na
realização da tarefa ou na resolução de um problema fracassou, devendo ele (aluno)
modificar a estratégia de abordagem, e não ser penalizado.
dade triunfa sobre o erro, mas para cada
verdade há a negação da verdade anterior, e esta nova verdade não é definitiva e
Figura 9 - O erro como categoria didática.
Fonte: Torre (2007, p. 85).
80
hoje, a verdade de amanhã. O erro é o motor do conhecimento.
Temos no erro um ponto de referência importante para orientar nossas
hipóteses para outros caminhos de ação.
Segundo Torre (2007):
o erro por si só não leva a nada se não for seguido de uma reflexão para revelar a verdade. Uma olhada retrospectiva e histórica nas grandes descobertas humanas ilustrará como em muitas delas ocorreu o acaso ou o erro como força aleatória que possibilitou um resultado bem-sucedido; em outros casos, deveu-se á atenta observação de certos fenômenos ou de discordâncias insignificantes. Não se deve condenar nem desprezar, pois, o erro, por mínimo que este pareça, mas sim analisar seus efeitos (TORRE, 2007, p. 21).
Podemos acrescentar que o erro pode apresentar algo conhecido sob um
novo aspecto no processo educativo, destacando que os erros não surgem por azar,
surgem como um marco conceitual consistente, construído sobre conhecimentos
adquiridos previamente, e todo processo de ensino é potencialmente gerador de
erros devido a diferentes causas, algumas delas se apresentando de forma
inevitável.
2.7 A Revisão da Literatura envolvendo Análise de Erros
Além dos aspectos conceituais discutidos neste capítulo, para o
desenvolvimento de nossa pesquisa, consideramos importante conhecer os
trabalhos que foram desenvolvidos recentemente envolvendo Análise de Erros. O
resultado desse levantamento será apresentado nesta seção.
Inicialmente, agrupamos os trabalhos desenvolvidos no âmbito da Análise de
Erros em cursos de Formação Inicial e Continuada de Professores para, em seguida,
descrevermos os relacionados com o Ensino Básico e finalizarmos com os que
envolvem o Ensino Superior.
Observamos o grande interesse por parte dos pesquisadores em Análise de
Erros em compreender melhor quais erros são cometidos por professores. Cury e
Viali (2011), numa pesquisa (Professores de Matemática em Formação Continuada:
uma análise de erros em conteúdos de probabilidade) envolvendo cinco instituições
81
de Ensino Superior, verificaram que mais de 70% dos professores erraram ou não
responderam às questões propostas sobre probabilidade. Os dados forneceram
indícios de que os participantes possuíam dificuldades conceituais de probabilidade,
o que poderia trazer problemas para o ensino desse tópico aos seus alunos da
Educação Básica.
Observamos também em Cury e Konzen (2007) a utilização de jogos como
um recurso relevante no apoio a ser dado aos professores e alunos no entendimento
das dificuldades, e como forma de melhorar essa compreensão acerca de conteúdos
de Álgebra e Lógica Matemática para alunos universitários da Licenciatura de
Matemática. Assim, na medida em que os professores buscam melhorar sua
capacitação, aparecem muitos erros conceituais.
Cury, Bisognin e Bisognin (2009) relatam os resultados de um trabalho (A
Análise de Erros como Metodologia de Investigação) em que analisaram soluções de
problemas de Álgebra, Análise, Geometria e Probabilidade, construídas por alunos
do Mestrado em Ensino de Matemática (alguns desses alunos já atuam como
professores), trazendo à tona informações que permitem prosseguir na busca de
conhecimento a respeito das causas dos erros. Além disso, as pesquisadoras
permitiram aos alunos analisarem seus próprios erros, percebendo que é possível
criar um ambiente de aprendizagem em que esses alunos sejam desafiados a
questionar as certezas matemáticas e trabalhar em cooperação, buscando uma
melhor qualificação.
Em estudos recentes envolvendo a Educação Básica, encontramos outras
investigações com resultados relevantes, como os apresentados por Siebra (2009)
em sua dissertação de Mestrado (Dificuldades e Erros de Alunos de 8ª Série com
Relação a Questões que Envolvem Álgebra) desenvolvida em uma escola da rede
pública estadual paulista envolvendo 84 alunos. A autora selecionou nove questões
da Prova SARESP/2005 e reaplicou aos alunos com o objetivo de buscar a causa
das dificuldades e verificar os erros apresentados na resolução, buscando ampliar as
possibilidades metodológicas de ensino e aprendizagem da Matemática no que
tange ao ensino de Álgebra. Nos resultados, a autora destacou que muitas das
dificuldades e erros apresentados pelos alunos já haviam sido apontados pela
literatura, e que a maioria deles se origina nas deficiências de conhecimento em
82
Aritmética que esses alunos possuem.
Temos o trabalho desenvolvido por Santos (2007), analisando a produção
escrita de alunos da 4ª e 8ª séries (5º e 9º anos) do Ensino Fundamental e do 3º ano
do Ensino Médio, da Prova de Questões Abertas de Matemática da AVA18 2002. A
pesquisa avaliou a forma como os alunos trabalham com a questão aberta, as
particularidades dos problemas que eles estabelecem a partir do enunciado e os
conteúdos escolares que eles mostram saber por meio de sua produção escrita. O
trabalho apresenta os saberes que os alunos da Escola Básica possuem por
intermédio de sua produção escrita, assim como suas formas pessoais de trabalhar
com uma questão aberta de Matemática.
Nessa mesma linha de trabalho, Perego (2006) desenvolveu um estudo com
uma amostra a respeito da produção escrita em Matemática nas Provas de
Questões Abertas da Avaliação Estadual do Rendimento Escolar do Paraná
AVA/2002, envolvendo alunos da 8ª série (9º ano) do Ensino Fundamental. Essa
pesquisa buscou compreender, com base na interpretação dos registros dos alunos,
os caminhos utilizados por eles, a estratégia selecionada para resolver a questão,
não se preocupando muito com os acertos e os erros. O estudo indicou que a
dificuldade maior pode estar na interpretação dos textos no momento de escolher
uma estratégia para resolver a questão, ou melhor, parecem não estar habituados a
questões que exigem mais do que um simples calculo matemático.
Outro trabalho analisado (Análise de erros em resolução de problemas: uma
experiência de estágio em um curso de licenciatura em matemática), que também
trata de investigar alunos da Educação Básica, foi um artigo publicado por Cury e
Silva, em 2008, que resultou de uma investigação realizada no contexto do
cumprimento da disciplina de estágio por uma futura professora enquanto aluna do
curso de Licenciatura em Matemática. Essa investigação ocorreu em uma escola da
rede pública, em que a aluna estagiária propôs aos seus alunos de 5ª série (6ª ano)
do Ensino Fundamental a criação de problemas que envolvessem números racionais
na forma decimal, partindo de imagens apresentadas por ela (um urso, um barco,
18 AVA é o Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar da Rede Estadual do Paraná.
83
uma boneca e um trem). Em outro momento, foram apresentados outros problemas
que envolviam cálculos com valores monetários. Ao analisar as soluções
apresentadas pelos alunos, ficaram evidentes as diferentes formas com que os
estudantes trabalham os números racionais na forma decimal, permitindo à
estagiária conhecer algumas dificuldades que esses alunos encontraram na
resolução de problemas e no tratamento dado aos números racionais.
Também Feltes (2007), em sua dissertação de Mestrado (Análise de Erros
em Potenciação e Radiciação: um Estudo com Alunos de Ensino Fundamental e
Médio), classificou os erros encontrados nas respostas escritas dos alunos ao
resolverem testes envolvendo potenciação e radiciação, e também analisou as
respostas a um questionário aplicado aos professores de Matemática das escolas
participantes a respeito dos erros cometidos por seus alunos. Foi possível concluir
que as maiores dificuldades estão relacionadas às operações numéricas e às
propriedades da potenciação. Os professores consideraram que, em geral, os erros
foram causados pela falta de estudo e/ou de atenção. Nas conclusões, a autora
apresenta considerações sobre o uso dos erros no processo de ensino e
aprendizagem de Matemática.
Com o objetivo de fazer algumas contribuições nesse sentido, Llinás (2003)
apresentou, em sua tese de Doutorado (Preconcepciones y errores conceptuales en
Óptica. Propuesta y validación de un modelo de enseñanza basado en la Teoría de
la Elaboración de Reigeluth y Stein), uma alternativa para melhorar o ensino de
Física, seus objetivos, conteúdos e método, para que haja evolução. A pesquisadora
comenta que há diferentes métodos e teorias para facilitar a estruturação,
organização e a própria sequenciação de conteúdos, os quais facilitam a
aprendizagem. Com base nos resultados satisfatórios obtidos no campo da Física
Mecânica e sabendo que há poucas aplicações dessa forma de ensinar, a autora
sugere aos professores uma metodologia que ela considera eficaz, tanto para o
sequenciamento de conteúdos de aprendizagem quanto para o desenvolvimento de
sequências de instrução. A autora destaca ainda a carência de estudos envolvendo
as diferentes áreas da Física.
Também encontramos uma investigação realizada por Souza (2002). Em
sua dissertação (Erros em Matemática: Um Estudo Diagnóstico com alunos de 6ª
84
série do Ensino Fundamental), destaca que os erros são meios construtivos no
processo de aprendizagem e devem ser encarados como algo a ser compreendido,
podendo se tornar uma importante ferramenta para diagnosticar e identificar as
dificuldades e obstáculos presentes no ensino da Matemática e fornecer elementos
que possam favorecer o desenvolvimento cognitivo do aluno. O estudo desenvolveu-
se em uma sala do 7º ano (antiga 6ª série) do Ensino Básico de uma escola pública
de Londrina (PR) com alunos que apresentavam baixo rendimento escolar. Realizou-
se um levantamento dos erros cometidos no cotidiano das aulas e nas avaliações.
Os resultados da pesquisa indicam que é possível reconhecer a natureza dos erros,
sua origem ou possíveis causas, e tratá-los como um elemento potencialmente
articulador de novos saberes, tanto para o professor quanto para o aluno.
Outro trabalho sobre erros no Ensino Básico (Diagnóstico e Análise de Erros
em Matemática: subsídios para o processo ensino-aprendizagem) é o relatado no
artigo de Moren, David e Machado (1992). A pesquisa aponta que esses erros atuam
na identificação das dificuldades de aprendizagem, nas avaliações e nas orientações
do processo de ensino-aprendizagem. A investigação se deu por meio de testes
envolvendo a operação de subtração em turmas de 4º a 7º ano (antiga 3ª a 6ª série)
de 11 escolas públicas de Minas Gerais e Rio de Janeiro, com o objetivo de
identificar os níveis de dificuldade apresentados por esses alunos. As autoras
indicam que a compreensão do sistema de numeração implica ter bom desempenho
em realizar operações matemáticas, mas que o contrário não é verdadeiro, e fazem
algumas sugestões para a melhoria do ensino em sala de aula.
Mathematical Errors: A Taxonomy) que os alunos podem aproveitar seus erros
cometidos em Matemática para melhorar sua aprendizagem. A autora, em sua
análise da pesquisa a respeito do ensino por meio dos erros, considera-os como um
turmas de alunas do 11th grade19, que apresentaram vinte erros que foram
registrados e analisados. Uma taxonomia construtiva do uso dos erros foi
desenvolvida com base no nível do discurso matemático e no nível de
19 Desse modo, como atualmente está estruturado o sistema de Ensino no Brasil em 12 anos, o sistema americano inclui do nível pré-escolar ao 12º ano (K 12). Portanto 11th grade corresponde ao que seria o 2º ano do Ensino Médio no Brasil.
85
aprendizagem. A autora indica oito potenciais benefícios associados aos erros
cometidos nas atividades.
No que diz respeito ao Ensino Superior, Bortoli (2011), em seu trabalho de
Mestrado (Análise de Erros em Matemática: um estudo com alunos de Ensino
Superior), buscou analisar os erros empreendidos por alunos de cursos de
Administração, Ciências Contábeis, Engenharia Agronômica, Química e Sistemas de
Informação, quando da resolução de testes na disciplina de Pré-Cálculo. Esse
estudo objetivou utilizar as informações coletadas para planejar estratégias de
ensino para melhorar sua aprendizagem não somente nessa disciplina, mas também
nas demais que envolvem Matemática no decorrer daqueles cursos. Os tipos de
erros encontrados foram comparados aos de Movshovitz-Hadar e colaboradores
(1987) em pesquisa com alunos da high school, sendo possível notar que os erros
técnicos, computacionais, de manipulação algébrica e de uso incorreto de algoritmos
evidenciaram as maiores dificuldades dos estudantes na resolução dos testes.
Assim, elaborou-se uma sequência didática para auxiliar os estudantes a superarem
suas dificuldades em operações algébricas, em especial na redução de termos
semelhantes.
Também no Ensino Superior, Souza Filho (2009), em sua pesquisa de
Doutorado (O Erro em sala de aula: subsídios para o Ensino do Eletromagnetismo),
investigou as relações em que o processo dialético20 entre o erro e a verdade, a
razão e a experiência, contribuiu para a conquista de conhecimentos mais
sistematizados e mais elaborados. O resultado do estudo teórico acerca da
epistemologia de Bachelard forneceu subsídios que ajudaram a compreender a
importância do erro e da verdade no desenvolvimento e na aquisição de novos
conceitos.
Seguindo um campo diferente, Cury e Konzen (2006) realizaram um trabalho
(Classificação e Análise de Erros em Álgebra) com uma abordagem objetivando
conteúdos específicos dos vários níveis do ensino de Matemática. As autoras
apoiaram-se em pesquisas já realizadas com alunos calouros na disciplina de
20 Dialética: em nossos dias, utilizando-racionalidade aos modos de explicação e demonstração confusas e aproximativas [...] Em Platão, a dialética é um instrumento de busca da verdade, que utiliza sistematicamente o discurso para chegar à percepção das essências (JAPIASSU; MARCONDES, 1999).
86
Cálculo Diferencial e Integral, e revelaram que grande parte dos erros cometidos por
eles é proveniente da falta ou falha na aprendizagem de conteúdos da Educação
Básica, em especial de Álgebra, envolvendo simplificação, fatoração, produtos
notáveis e resolução de equações polinomiais. Assim, para entender a origem
desses erros em Álgebra, as autoras realizaram uma investigação com alunos do 9ª
ano (antiga 8ª série) do Ensino Fundamental, aplicando um teste com questões que
envolviam porcentagem, valor numérico e operações com expressões algébricas,
que foram analisadas e classificadas.
Isso nos leva ainda ao trabalho de Cury, Bisognin e Fioreze (2005)
envolvendo oito instituições de Ensino Superior do Rio Grande do Sul (Análise de
Erros e Proporcionalidade: Uma experiência com alunos de Graduação e Pós-
Graduação). As autoras indicam algumas teorizações sobre Análise de Erros para,
em seguida, apresentar uma breve análise de uma das questões aplicadas aos
calouros da área de Ciências Exatas, versando sobre proporcionalidade. O trabalho
discute a importância do conceito de proporcionalidade no ensino de Matemática e
aponta diferenças expressivas de conceituação e de escrita entre dois grupos de
alunos envolvidos, da Graduação e da Pós-graduação, bem como nas justificativas
apresentadas e procedimentos de resolução das atividades.
Além desses, outro artigo (Análise de Erros em Cálculo: uma Pesquisa para
Embasar Mudanças) que ressalta as diferentes formas de erros cometidos por
alunos em disciplinas matemáticas foi desenvolvido por Cury e Cassol (2004). O
trabalho apresenta as dificuldades dos alunos e complementa sugerindo alterações
na metodologia de trabalho em sala de aula.
Uma das principais referências envolvendo Análise de Erros no Brasil, Cury
(1994), em sua pesquisa de Doutorado (As Concepções de Matemática dos
Professores e suas Formas de Considerar os Erros dos Alunos), analisou as
relações entre as concepções de Matemática assumidas pelos professores e suas
formas de considerar os erros dos alunos. A pesquisa foi realizada com seis
professores de Matemática de instituições de Ensino Superior, que responderam a
um questionário aberto e entrevistas, fornecendo elementos substanciais para
responder às questões da tese. Realizada a análise, a autora apresentou uma
proposta de reformulação do ensino nos cursos de Licenciatura em Matemática,
87
utilizando os erros como fator potencial para o desenvolvimento dos alunos, levando
em consideração a interação entre o aluno, os colegas e o professor.
Anteriormente, em sua dissertação (Análise de Erros em Demonstrações de
Geometria Plana: Um estudo com alunos de 3º Grau), Cury (1989) já havia realizado
uma pesquisa com alunos de um curso de Licenciatura Plena em Matemática
realizando demonstrações de proposições de Geometria Plana e construindo
resoluções orais e escritas, cuja análise gerou a classificação dos erros detectados.
A autora concluiu que as causas dos erros envolvem aspectos do processo ensino-
aprendizagem de Matemática, de conceituações sobre demonstrações de teoremas
e também da filosofia da Matemática que norteia a prática docente e a elaboração
dos currículos de cursos de Matemática.
Tendo realizado a revisão dessa coletânea de pesquisas envolvendo Análise
de Erros, cabe-nos refletir sobre o lugar que a pesquisa que desenvolvemos ocupa
nesse cenário. É inerente à pesquisa a descoberta, a curiosidade e a abertura à
exploração de diferentes aspectos que podem ser observados na sala de aula.
Embora nem sempre façam investigação sistematizada, os professores
constantemente avaliam e modificam suas ações e seus comportamentos para
tornar a aprendizagem mais agradável e eficiente aos alunos. Como afirma Ponte
nha
de trabalho, Clouthier e Shandola (1993) insistem na ideia de que professores
investigadores são professores interessados em melhorar as práticas educacionais
em seus próprios ambientes. Assim, buscamos textos que possuem alguma
semelhança com o que procuramos fazer em nossa investigação, todos eles fruto de
investigações envolvendo professores em formação inicial ou continuada ou alunos
em sala de aula, em todos os níveis de ensino.
Realizamos uma busca no sentido de encontrar trabalhos sobre erros no
ensino de Física e de Matemática, mas não encontramos trabalhos nessa linha na
área de Física. Por essa razão, a pesquisa que realizamos ganha relevância para a
Educação pelo modo como foram trabalhados os conteúdos com os alunos,
seguindo os passos da metodologia do ensino através da Resolução de Problemas,
analisando os erros matemáticos cometidos por eles.
88
Diante dessas reflexões, questionamo-nos: por que não entender o erro
como um instrumento capaz de encurtar o caminho entre as intenções e as
realizações?
E tendo desenvolvido tais reflexões, no próximo capítulo, explicitaremos os
aspectos metodológicos envolvidos e adotados em nossa investigação.
89
CAPÍTULO 3 - METODOLOGIA DE PESQUISA
3.1 A Fundamentação Metodológica - Pesquisa Qualitativa
3.2 O Plano Metodológico
3.2.1 A Pesquisa Participante
3.2.2 A Observação
3.2.3 A Observação Participante
3.2.4 As Análises de Documentos
3.2.4.1 A Análise de Erros
3.3 A Coleta dos Dados
3.4 Os Registros dos Dados
3.5 A Organização, Análise e Apresentação dos Dados
90
CAPÍTULO 3
METODOLOGIA DA PESQUISA
conhecimento sistemático, não meramente repetitivo, mas produtivo, que faz avançar a área do conhe
GOLDENBERG (2007, p. 105)
Este capítulo trata da fundamentação metodológica e do plano adotado na
pesquisa, descrevendo os métodos investigativos que foram necessários para a
realização do levantamento, tratamento e análise de dados.
Para responder às nossas inquietações, expressas em nossa questão de
pesquisa, optamos por adotar a pesquisa qualitativa, em que a intenção principal
consistiu na compreensão dos erros cometidos pelos alunos, sem a preocupação
com a quantificação dos resultados.
3.1 A Fundamentação Metodológica Pesquisa Qualitativa
Ao iniciarmos esta sessão, vamos discorrer sobre o nosso entendimento do
que é pesquisa científica. O fato de pesquisar nos encaminha para descobrir ou
encontrar respostas a fatos que nos
científica exige criatividade, disciplina, organização e modéstia, baseando-se no
confronto permanente entre o possível e o impossível, entre o conhecimento e a
Segundo Romberg ( -se a processos, a
complementa dizendo que a pesquisa não deve ser entendida apenas como um
processo puramente técnico ou como um conjunto de procedimentos pré-
determinados, em que o pesquisador atua por meio de argumentos e
acontecimentos previsíveis. Uma pesquisa científica deve ser pensada como uma
91
nova produção de conhecimento relevante à comunidade científica, e não apenas
como um simples processo mecânico, em que se podem direcionar as respostas
para as inquietações ou para conclusões previamente construídas. Assim como na
arte, há um consenso, no sentido amplo, de que se devem seguir determinados
procedimentos para a pesquisa ser um trabalho aceitável.
Luna (2007) comenta que nesse novo conhecimento não se aceitam juízos
pré-estabelecidos e tampouco preconceitos. Outro autor que comenta sobre a
construção desse novo conhecimento é Bachelard (2006), dizendo que há
necessidade de desbastar os limites iniciais do conhecimento por um todo, tirando
as amarras e reformulando esses conhecimentos. Por isso, essa busca pela
produção de conhecimento não pode ser determinada apenas pela imersão do
pesquisador no fenômeno a ser estudado, muito embora o pesquisador procure a
transformação da realidade no meio em que está inserido. Entendemos que para a
construção de um novo conhecimento, precisamos de embasamentos teóricos, com
o objetivo de alcançarmos as respostas às inquietações, que não são facilmente
encontradas na literatura.
O motivo que nos fez optar pela pesquisa qualitativa é o fato de que para a
investigação e compreensão das questões formuladas, existe a necessidade de
familiarização com os sujeitos e com a situação a ser pesquisada.
Flick (2009) comenta que nos métodos qualitativos, a comunicação do
pesquisador em campo é parte integrante da produção de conhecimento, em que
suas ponderações sobre suas próprias atitudes e observações em campo, suas
impressões, impaciências, sentimentos de angústia são transformados em
informações que farão parte da análise de dados e estarão documentados em
diários de campo ou em protocolos de contexto21. Assim, em nossa pesquisa, o
contato com os sujeitos, alunos da disciplina de Infraestrutura Elétrica, foi constante
no sentido de observá-los e de recolher material produzido por eles relacionado ao
tema de investigação.
21 Fichas nas quais são registrados os dados.
92
Bogdan e Biklen (1994) destacam que a investigação qualitativa possui cinco
características, que não necessariamente são expressas com igual valor. Em nosso
trabalho, destacam-se as cinco características descritas por esses autores. São elas:
1. Na investigação qualitativa, o principal instrumento é o investigador,
porque se preocupa com o contexto e frequenta o(s) local(is) de estudo, de modo
que o ambiente natural é a fonte principal para a coleta dos dados. Eles entendem
que as ações podem ser mais bem compreendidas quando são observadas no seu
ambiente habitual.
2. A pesquisa qualitativa é caracterizada por ser descritível, e podem-se
recolher informações no formato de palavras ou imagens. Como consequência, as
escritas são acompanhadas de citações que servem para ilustrar e substanciar o
trabalho. As informações coletadas podem ser notas de campo, fotografias, vídeos,
documentos pessoais, memorandos, transcrições de entrevistas ou qualquer outro
registro oficial. Com relação à análise das informações, são respeitadas suas
riquezas e o modo como as informações foram registradas. As minúcias de como a
investigação é tratada fazem com que o mundo seja visto de uma forma nada
comum, pois tudo tem potencial para constituir um caminho que permita construir
uma compreensão mais clara a respeito do objeto estudado.
3. Os investigadores qualitativos tendem a se preocupar mais com o
processo do que com os resultados. Os investigadores que utilizam essa abordagem
estão mais interessados no modo como diferentes pessoas dão sentido às suas
investigações.
4. Os pesquisadores qualitativos analisam as informações coletadas de
maneira indutiva, visto que não têm interesse em comprovação de hipóteses, mas
em analisar e compreender o processo como um todo. O investigador qualitativo não
prevê como sua investigação ocorrerá antes da coleta das informações, mas
posteriormente, quando as informações forem sendo tratadas, é que ele procurará
compreender os fatos que foram levantados durante a pesquisa. Dessa forma, não
se pode presumir que se sabe o suficiente para reconhecer completamente as
questões de pesquisa sem antes realizá-la.
93
5. Na investigação qualitativa, os significados são vitais, pois os
pesquisadores possuem interesse em entender como diferentes pessoas dão
sentido às suas vidas e ao que as cerca. Para que o pesquisador compreenda os
significados dos fatos, deve estar preparado para lidar com sentimentos, virtudes,
crenças, valores e percepções no ambiente a ser investigado. Outros aspectos
relevantes são a percepção e a sensibilidade.
qualitativos preocupam-
(Erickson, 1986; ver Dobbert, 1982, apud, BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 50). Os
autores asseguram que a pesquisa qualitativa conduz o investigador a compreender
as perspectivas dos participantes. Uma pesquisa qualitativa apresenta situações que
ocorreram durante o processo de investigação e que, com frequência, ficam
invisíveis aos observadores externos; daí a necessidade da imersão do pesquisador
no ambiente de pesquisa. Nesse tipo de investigação, o pesquisador faz parte de
sua própria situação de estudo. Dessa forma, a neutralidade é quase impossível,
visto que sua ação e também os efeitos que ela propicia constituem elementos de
análise. Desse modo, a pesquisa qualitativa está muito fortemente ligada a uma
postura específica, fundamentada na abertura e na reflexividade do pesquisador.
Como professor de Física e trabalhando com disciplinas envolvendo Física
Elétrica, a pesquisa foi realizada com as turmas de alunos de Ensino Superior, em
que o pesquisador lecionava a disciplina de Infraestrutura Elétrica, utilizando a
resolução de problemas, integrando a pesquisa de campo às atividades regulares da
disciplina, e buscando entender o porquê de os alunos possuírem tanta dificuldade
em compreender e expressar matematicamente a resolução de problemas que
envolvem conteúdos da disciplina de Física Elétrica.
Como já mencionado, o investigador não é neutro e interpreta os dados
coletados, como é apresentado por Bogdan e Biklen (1994):
A interpretação não é um ato autônomo, nem é determinada por nenhuma força particular, humana ou não. Os indivíduos interpretam com o auxílio dos outros pessoas do passado, escritores, família, figuras da televisão e pessoas que se encontram nos seus locais de trabalho e divertimento , mas estas não o fazem deliberadamente. Os significados são construídos através das interações (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 55).
94
Durante o processo de pesquisa, o pesquisador é um sujeito que se
encontra em meio a um grande processo de aprendizagem e transformações. Por
outro lado, o mesmo pode vir a acontecer com o pesquisado, que, não sendo um
mero objeto a partir do momento em que sabe das intenções do estudo que está
sendo realizado, também tem oportunidade de refletir e aprender durante as
investigações.
Em virtude desses aspectos, mesmo empregando diversos mecanismos de
controle metodológico, torna-se muito complexo evitar a influência dos interesses do
grupo e da constituição social e cultural na pesquisa e em suas descobertas. Por
isso, é importante também a escolha do referencial teórico, que deve ser feita por
meio da preferência do pesquisador e da linha de trabalho da pesquisa.
Segundo Bogdan e Biklen (1994):
[...] seja ou não explícita, toda investigação se baseia numa orientação teórica. Os bons investigadores estão conscientes dos seus fundamentos teóricos, servindo-se deles para recolher e analisar os dados. A teoria ajuda à coerência dos dados e permite ao investigador ir para além de um amontoado pouco sistemático e arbitrário de acontecimentos (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 52).
A pesquisa que realizamos possui como referencial teórico dois eixos. O
primeiro eixo se refere à Resolução de Problemas, no qual se insere a metodologia
de Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas (aspectos estudados
sobre esse assunto foram registrados no Capítulo 1 desta tese). O segundo se
refere à Análise de Erros, em particular os erros matemáticos cometidos pelos
alunos nos problemas de Eletricidade (este tema foi apresentado e discutido no
Capítulo 2).
A qualidade da pesquisa qualitativa, no entanto, vai além das questões e das
uma pesquisa boa e uma pesquisa ruim, na área da pesquisa qualitativa configura
teórico escolhido, o pesquisador
também necessita definir que métodos irá utilizar para desenvolver sua pesquisa.
Não há uma única técnica ou modo de fazer pesquisa.
95
Além disso, para Flick (2009):
os aspectos essenciais da pesquisa qualitativa consistem na escolha adequada de métodos e teorias convenientes; no reconhecimento e na análise de diferentes perspectivas; nas reflexões dos pesquisadores a respeito de suas pesquisas como parte do processo de produção de conhecimento; e na variedade de abordagens e métodos (FLICK, 2009, p. 23).
Nessa mesma linha, Goldenberg (2007) comenta sobre a necessidade da
combinação de diversos métodos no estudo de um mesmo fenômeno, com o
objetivo de abranger a maior amplitude na descrição, explicação e compreensão do
objeto de estudo.
As definições do objeto de pesquisa bem como as opções metodológicas
constituem um ponto tão importante para o pesquisador quanto o texto que será
elaborado ao final. Nessa elaboração, mais relevante do que cumprir uma
formalidade é poder oferecer aos outros a possibilidade de refazer o caminho e de
avaliar com mais segurança as observações feitas a partir da utilização da pesquisa
qualitativa, que, apesar dos riscos e dificuldades impostas, revela-se sempre um
empreendimento instigante e desafiador.
Os tipos de pesquisa qualitativa empregados no desenvolvimento da
presente investigação foram a pesquisa participante, a observação participante, a
análise de documento e a análise de erros, as quais serão discutidas nas próximas
seções.
3.2 O Plano Metodológico
Nesta seção, discutiremos os métodos que foram empregados no
desenvolvimento da pesquisa realizada nesta tese.
3.2.1 A Pesquisa Participante
Durante as aulas em que aplicamos os testes, estabeleceu-se uma relação
intensa e dinâmica entre o professor pesquisador e os alunos, tendo sido
fundamental a convivência harmoniosa no espaço da sala de aula, criando caminhos
que configuraram uma pesquisa participante.
96
Adotamos nesta pesquisa a perspectiva da pesquisa participante dada por
Brandão (1987), considerando que todo o trabalho de preparação, elaboração e
implementação das atividades foi realizado pelo pesquisador. Esse trabalho mudou
a rotina de aula dos alunos, e o pesquisador interferiu no contexto enquanto
desenvolvia sua pesquisa.
Brandão (1987) discute pesquisa participativa22 considerando-a uma concepção
teórico-metodológica de investigação social através da qual se constrói o
conhecimento crítico da realidade, com a participação da própria comunidade e o
comprometimento do pesquisador, promovendo a participação, a aprendizagem e a
transformação social para o benefício dos participantes da investigação.
Na mesma linha de pensamento, Boterf (1999) comenta que:
considerando as limitações da pesquisa tradicional, a pesquisa participante vai, ao contrário, procurar auxiliar a população envolvida a identificar por si mesma os seus problemas, a realizar a análise critica destes e a buscar as soluções adequadas. Deste modo, a seleção dos problemas a serem estudados emerge da população envolvida, que os discute com especialistas apropriados, não emergindo apenas da simples decisão dos pesquisadores (BOTERF, 1999, p. 52).
A pesquisa participante valoriza a experiência profissional, seja dos sujeitos,
seja dos pesquisadores, sendo uma de suas características a possibilidade da
aplicação prática do tema que está sendo investigado, construindo saberes, criando
e recriando a realidade. Concede aos participantes o direito e poder de pensarem,
produzirem e dirigirem seus saberes a respeito e em benefício de suas próprias
histórias.
Desse modo, em nossa pesquisa, procuramos enfatizar conteúdos que
fossem úteis à formação dos alunos. Os problemas propostos envolviam assuntos
como corrente elétrica, tensão elétrica, as leis de Ohm, conteúdos de Física Elétrica,
que são considerados importantes na futura prática profissional desses alunos. O
pesquisador desempenhou a função de observador e observador participante no
sentido de que foi à sala de aula, aplicando técnicas de coleta dos dados para
futuras análises.
22 A expressão participativa foi empregada aqui para respeitar a forma como foi denotada pelo autor.
97
3.2.2 A Observação
É muito comum, em nosso cotidiano, as pessoas olharem para algum objeto
e enxergarem coisas diferentes. Entendemos que cada pessoa, por possuir
experiências diferentes das outras, tende a ver de forma diferente. Por isso, para
desenvolvermos uma pesquisa utilizando como método a observação, devemos
planejar com antecedência o que, onde e como observar. Lüdke e André (1986, p.
. Isso
reflete a necessidade de um planejamento minucioso e uma preparação rigorosa por
parte do observador.
Para Alves-Mazzotti (2001), a observação proporciona algumas vantagens,
tais como: a independência do nível de conhecimento ou da capacidade verbal dos
sujeitos; permite checar na prática as respostas das questões, identificar
comportamentos não intencionais ou inconscientes, explorar tópicos que os
informantes não se sentem à vontade para discutir e registrar o comportamento em
seu contexto temporal-espacial.
A observação dos fatos é de extrema relevância na pesquisa qualitativa,
porém também apresenta algumas desvantagens, tais como: depende
extremamente do observador; é uma pesquisa muito cara, pois exige muitas horas
de trabalho; além de não poder ser generalizada, pois foi pesquisada para
determinado alvo em uma determinada época, não pode ser estendida naturalmente
para outro grupo ou outro período. Porém, nenhuma dessas desvantagens chega a
causar prejuízos à pesquisa qualitativa.
Também Lüdke e André (1986) abordam essa forma de pesquisa afirmando
que:
delimitação do objeto do estudo. Definindo-se claramente o foco da investigação e sua configuração espaço-temporal, ficam mais ou menos evidentes quais aspectos do problema serão cobertos pela observação e qual a melhor forma de captá-los. Cabem ainda nessa etapa as decisões mais específicas sobre o grau de participação do observador, a duração das observações, etc. (LÜDKE; ANDRE, 1986, p.25).
98
É durante o planejamento de uma pesquisa que é feita a delimitação do
objeto de estudo. Assim, consideramos realizar as atividades de resolução de
problemas sobre Eletricidade, e posteriormente analisar os erros cometidos, nas
turmas regulares que o pesquisador possuía em sua grade de trabalho. As turmas
foram apresentadas ao objetivo da pesquisa e à forma de trabalhar as atividades,
que seriam realizadas em algumas aulas do semestre letivo. As atividades foram
realizadas em 5 aulas, no período de 01/08/2011 a 27/10/2011. Para cada dia foi
previsto um conteúdo a ser abordado e foram preparados os problemas a serem
trabalhados (o detalhamento deste plano será apresentado no Capítulo 4).
Uma vez que, nesta investigação, foi realizada observação do tipo
participante, a próxima seção será dedicada a ela.
3.2.3 A Observação Participante
Para Junker (1971; apud LÜDKE e ANDRÉ,1986), há quatro possibilidades
em que o pesquisador pode se colocar ao realizar uma observação: participante
total, participante como observador, observador como participante e observador
total.
Participante total: o observador não revela ao grupo seu papel de pesquisador, ele torna-se um membro do grupo para se aproximar intrinsecamente dos participantes. Porém, fica com acesso limitado às relações estabelecidas fora do grupo. Deixa de ter a visão do todo.
Participante como observador: revela ao grupo parte do que pretende, para não alterar o comportamento do grupo observado.
Observador como participante: a identidade do pesquisador e os seus objetivos de estudo são revelados ao grupo pesquisado. O pesquisador tem acesso ilimitado a todas as informações, porém está limitado na divulgação dos resultados, pois depende da aprovação do grupo para a divulgação dos resultados.
Observador total: o pesquisador não interage com o grupo observado (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 28).
Dentro do que assumimos como observação participante, esta pesquisa se
enquadra no terceiro tipo indicado por Junker (1971), ou seja, no que ele chamou de
observador como participante. Desse modo, a observação participante permite um
contato pessoal e estreito do observador com o fenômeno pesquisado, o que torna o
pesquisador parte da circunstância obser
pessoa como o principal e o mais confiável instrumento de observação, seleção,
99
-MAZZOTTI, 2001,
p. 167).
Na presente pesquisa, associamos a observação participante a outros
métodos, lançando mão também da análise de documentos.
3.2.4 As Análises de Documentos
Uma vez que a análise de documentos é um processo complicado e árduo,
sendo realizado durante todo o processo da investigação, deve implicar a redução,
organização e interpretação dos dados. Para Lüdke e André (1986), a qualidade
desse material pode variar; algum pode conter apenas informações superficiais,
enquanto outro serve de fonte capaz de produzir ideias, coisas novas, originais.
Constam no Dicionário Houaiss (2009) os seguintes significados para a
prova de um acontecimento, fato ou estado; 2. qualquer objeto que comprove,
elucide, prove ou registre um fato, acontecimento; 3. arquivo de dados gerado por
Assumimos, então, a análise documental como a realizada em documentos originais
(HELDER, 2006, p. 1).
Corseti (2006) entende que em muitos trabalhos, os documentos oficiais são
insuficientes para abranger aspectos básicos. Desse modo, defende que os acervos
materiais escolares (cadernos e livros escolares), registros de professores e alunos,
enfim, toda a documentação que permita recuperar as práticas pedagógicas e a
documental, a autora comenta que os pesquisadores têm perseverado na
necessidade de recorrer a esses acervos, principalmente os que abordam temas
novos e que se valem de fontes não tradicionais.
100
Ressaltamos que nessa prática de pesquisa, a sensibilidade do autor deve
estar bem aflorada para que as informações e dados possam ser mais bem
trabalhados. Após a coleta dos dados, o pesquisador deve começar a organizar,
identificar as relações entre os fatos e fazer o levantamento de novas questões caso
seja necessário.
No caso desta pesquisa, a análise documental se deu desde o seu início, em
que buscávamos subsídios para nortear nosso trabalho. Nossa análise documental
se constituiu essencialmente da exploração dos registros escritos produzidos pelos
alunos contendo as resoluções dos problemas propostos, para que pudéssemos
proceder à análise, especialmente após a coleta de dados.
3.2.4.1 A Análise de Erros
Vemos a Análise de Erros dentro da Análise Documental, apoiada nos
escritos dos alunos. Em uma investigação inicial, buscando descrever a análise de
erros, encontramos duas vertentes: (1) como abordagem em pesquisa e (2) como
abordagem de ensino, dentro da Educação Matemática, objetivando conteúdos
específicos nos diferentes níveis do Ensino de Matemática. Os estudos que
analisamos possuem enfoques diversos, atrelados aos objetivos que pesquisadores
e/ou professores estão interessados em atingir a respeito dos trabalhos produzidos
pelos alunos.
Cury (2006) entende que a análise de erros pode ser uma metodologia de
pesquisa, com viés diferente de acordo com os investigadores e as teorias que
possam embasar tais pesquisas. É nessa perspectiva que ela será considerada
nesta seção.
Utilizamos o erro como caminho para auxiliar na construção de
compreensões acerca do ensino e da aprendizagem, analisando as dificuldades
apresentadas pelos alunos nas aulas de Física Elétrica e os erros envolvendo
conteúdos de Matemática do Ensino Básico.
Entendemos que as pesquisas envolvendo análise de erros, ligadas à
Educação em geral, não têm a finalidade de avaliar o aluno, mas sim, buscar meios
para compreender de que forma ele toma para si certo conhecimento, e saber quais
101
dificuldades necessitam ser ultrapassadas para que, então, esteja preparado para
trabalhar com o conteúdo desejado.
Nesta pesquisa, analisamos os erros cometidos pelos alunos ao resolverem
os problemas de Física Elétrica, no âmbito da disciplina de Infraestrutura Elétrica, de
modo a melhor compreendermos como estavam construindo conhecimentos sobre
os conteúdos trabalhados. Uma das maneiras de tentar entender onde se
encontrava o erro seria codificar as respostas fornecidas pelos alunos nos
problemas aplicados a fim de explicar como foram analisadas. Surgiu, então, a
necessidade de codificar o material, o que, segundo Barichello (2008), é uma prática
habitual em pesquisas que abrangem Análise de Erros, propondo estruturas de
classificação para os erros cometidos pelos alunos dos diferentes níveis de ensino
de Matemática, que provêm desde o início do século XX até os nossos dias, mas
com abordagens distintas. Assim, essas pesquisas têm como pontos fortes indicar
formas de classificar os erros cometidos pelos alunos e promover discussões
importantes a respeito da natureza desses erros. Apesar de essas pesquisas terem
seus resultados restritos à própria pesquisa, elas disseminam ideias para aspectos
mais amplos, tanto dos erros como do pensamento matemático do aluno.
Barichello (2008) aponta que alguns estudos não se fundamentam em
análises baseadas na experiência e na observação, mas somente na revisão
bibliográfica referente a esse tema, como assinala a pesquisa realizada por Radatz
(1979):
É muito difícil fazer uma separação definitiva entre as possíveis causas de um determinado erro, porque há uma estreita interação entre as causas. O mesmo problema pode suscitar erros de diferentes fontes e o mesmo erro pode surgir de diferentes processos de resolução de problemas. A classificação definitiva e a hierarquia das causas do erro parecem impossíveis de se alcançar (RADATZ, 1979, p. 170-171)23.
ser considerado como um processo construtivo, como método de descoberta
aprendizagem do aluno. Portanto, é importante esclarecer que a análise de erros foi
utilizada em nosso trabalho como método de pesquisa (como discutido nesta seção) 23 Tradução de: it is often quite difficult to make a sharp separation among the possible causes of a given error because there is such a close interaction among causes. The same problem can give rise to errors from different sources, and the same error can arise from different problem-solving processes. A definitive classification and hierarchy of error causes seems impossible to achieve.
102
e como recurso de promoção do ensino e da aprendizagem (discutido no Capítulo
2).
3.3 A Coleta dos Dados
É prudente que o investigador negocie e obtenha dos participantes uma
autorização, proporcionando, assim, vantagens importantes quanto à publicação das
informações (áudio, vídeo e testes). Lüdke e André (1986) apresentam duas formas
de coleta de dados: investigação dissimulada (sem autorização) e de estilo
cooperativo (com autorização). Então, dependendo do estudo a ser realizado, pode-
se escolher como será encaminhada a questão da autorização. Para realizar a
nossa coleta de dados, solicitamos a autorização dos alunos (APÊNDICE A).
Concordamos com Tozoni-
merece atenção especial para que, posteriormente, os dados sejam analisados e
interpretados, revelando novos conhecimentos sobre os fenômenos educativos
-REIS 2007, p. 67). Basicamente, registramos os dados por
meio de dois recursos, que serão apresentados a seguir.
3.4 O Registro dos Dados
Os registros das informações coletadas durante uma pesquisa podem ser
feitos através de anotações escritas, material transcrito das gravações, filmes,
fotografias, slides. Nesta investigação, foram realizados áudio e videogravações das
seções de coleta de dados, fotografias dos alunos trabalhando em aula, as
atividades escritas dos mesmos (os problemas aplicados para coleta de dados foram
arquivados) e foi elaborado um diário de campo.
O diário de campo constituiu uma importante forma de registro de
informaçõe
pesquisador registra suas observações, ideias, reflexões e estratégias, e descreve
os fatos ocorridos. Essas anotações devem conter tudo o que o pesquisador ouve,
vê e observa durante sua coleta de dados. Os autores orientam que os registros dos
eventos ocorridos em campo devem envolver duas situações: uma descritiva e outra
103
mais reflexiva. Assim sendo, nossas observações foram feitas em um caderno
específico, para que, no transcorrer das aulas, pudéssemos registrar os fatos no
momento em que ocorriam, evitando deixá-los passar despercebidos ou esquecer
aspectos relevantes observados.
Confiar na capacidade de se lembrar de todos os fatos ocorridos e das falas
dos sujeitos, em momentos inusitados ou não, é muita pretensão por parte do
pesquisador. Por isso, também lançamos mão do uso de um gravador, que esteve
junto ao pesquisador em todos os momentos da coleta de dados, em sala de aula.
As falas foram transcritas para posteriormente serem analisadas.
3.5 Organização, Análise e Apresentação dos Dados.
Segundo Bogdan e Biklen (1994), a tarefa de organizar os dados, embora
pareça fácil, é bastante complexa. Os materiais coletados nem sempre são fáceis de
serem separados ou codificados, passando uma sensação de impotência ao
pesquisador. Tal tarefa envolve vários passos, e nossa organização consistiu
inicialmente em separar o material coletado por data e por turma, agrupado, assim,
em quatro blocos, para posteriormente ser analisado a partir das categorias
determinadas a posteriori.
A apresentação dos dados coletados nem sempre demonstra a
complexidade intrínseca ao processo de pesquisa. Entretanto, no Capítulo 5,
almejamos resgatar os momentos que ocorreram durante a investigação,
apresentando, inclusive, os obstáculos enfrentados no decorrer deste trabalho,
OZONI-REIS, 2007, p. 46).
105
CAPÍTULO 4 - O CONTEXTO E OS SUJEITOS
4.1 A Instituição de Ensino
4.2 O Curso e a Disciplina
4.3 O Desenho do Instrumento
4.4 O Início da Coleta de Dados
4.5 O Perfil dos Alunos
4.6 O Perfil do Pesquisador
106
CAPÍTULO 4
O CONTEXTO E OS SUJEITOS
ao ar e, onde quer que ela caia, pintar um
Homer Adkins24
Neste capítulo, descrevemos o contexto em que ocorreu a coleta de dados
de nossa pesquisa.
Conforme descrito no Capítulo 3, para registrarmos os dados coletados,
lançamos mão de instrumentos como diário de campo, fotografias, vídeos,
gravações, e das atividades escritas produzidas pelos alunos na resolução dos
problemas. A partir do diário de campo desenvolvemos reflexões e buscamos fatos
relevantes ocorridos no decorrer da coleta de dados; das gravações, pinçamos
algumas falas e diálogos dos e com os alunos ao percebermos questionamentos e
afirmações curiosas ocorridas no transcorrer das aulas; e as atividades escritas
desenvolvidas pelos alunos, um rico material para análise, complementamos com
imagens de fotografias e vídeo.
Para Lüdke e André (1986), é necessário gerar o confronto entre os dados,
as evidências, os elementos coletados e o conhecimento teórico. Assim, via de
regra, quanto mais amplo for esse conhecimento do pesquisador, melhores serão
suas condições para a análise dos dados.
Grande parte do conteúdo aqui apresentado foi obtida na fase inicial do
projeto, e partiu de aspectos mais gerais para atingir os mais específicos. Neste
texto, são trazidos alguns dados considerados relevantes para caracterizar o
contexto em que foi realizada esta pesquisa: a instituição de ensino, os cursos, a
24 Químico americano (1892 1949), num artigo publicado na revista Nature.
107
disciplina, o perfil dos alunos participantes e o ambiente onde ela ocorreu.
4.1 A Instituição de Ensino
A coleta de dados ocorreu em uma instituição privada de Ensino Superior
(IES) da cidade de São Paulo, onde o pesquisador é professor. A referida instituição
possui uma boa infraestrutura física e experimentou um crescimento muito rápido,
seguindo a expansão do Ensino Superior do Brasil nos últimos anos.
Nesse quadro, inserem-se os cursos da área de Tecnologia, dos quais, por
possuírem uma procura muito grande, e por inclusão, foram as turmas pesquisadas
para realizarmos a coleta de dados.
4.2 O Curso e a Disciplina
Para a realização da pesquisa, foi necessário agendar com antecedência
uma reunião com o diretor da área de Tecnologia e Informática da instituição, para
solicitar a permissão. Optamos por não divulgar o nome da instituição, o que agilizou
o início dos trabalhos da pesquisa de campo, implementada a partir do primeiro
semestre de 2010. Um experimento piloto foi realizado nesse período.
Os cursos de Tecnologia em Redes de Computadores (TRC) e Formação
Específica em Gestão de Ambientes Internet e Redes de Computadores (FEGAIRC),
onde a pesquisa foi realizada, possuem um currículo estruturado em 5 e 4
semestres, respectivamente.
A disciplina em que trabalhamos é oferecida apenas no terceiro semestre,
com uma carga horária de 80 horas, sendo ministrada durante quatro horas aula por
semana. A coleta de dados ocorreu efetivamente no segundo semestre de 2011. No
anexo A, encontra-se o programa da disciplina, que pode ser útil para melhor
compreender os fatos ocorridos durante a coleta, dentre os quais alguns foram
selecionados e serão apresentados e analisados no próximo capítulo.
O grupo observado era composto por 109 alunos que participaram da coleta,
distribuídos em quatro turmas, uma em cada campus, realizada em dias diferentes.
Em todos os campi, as turmas de TRC e FEGAIRC incluíam alunos dos dois cursos
108
de Tecnologia. Através do Quadro 2 descrevemos a quantidade de alunos de cada
curso e campus, bem como o período das aulas.
Quadro 2 Quantidade de alunos por curso e campus.
CAMPUS I VLM
CAMPUS II VRG
CAMPUS III STO
CAMPUS IV MM
FEGAIRC 3 6 0 3
TRC 36 4 25 32
PERÍODO NOTURNO DIURNO DIURNO DIURNO
Fonte: Dados de pesquisa do autor.
Os alunos estavam distribuídos pelos quatro campi da instituição, sendo três
turmas no período da manhã e uma no período da noite. As aulas das turmas
trabalhadas pela manhã tinham início às 7 horas e 50 minutos e encerravam às 11
horas e 30 minutos, com intervalo de 20 minutos. No período noturno, as aulas
iniciavam às 19 horas e 15 minutos, com término às 22 horas e 50 minutos, com
intervalo de 20 minutos.
É importante ressaltar que em geral, os alunos desses cursos não tinham
afinidade com disciplinas que envolvem Matemática, possuindo, inclusive,
dificuldades em lidar com as calculadoras científicas que foram utilizadas durante a
resolução dos problemas propostos.
4.3 O Desenho do Instrumento
Considerando o programa da disciplina, o tempo disponível, e até retomando
atividades já utilizadas pelo professor pesquisador em outras ocasiões em que
ministrou a disciplina, foi feito o primeiro desenho do instrumento empregado na
coleta de dados. Ele consiste de uma série de cinco problemas envolvendo
conceitos matemáticos e, em alguns, também de Física, problemas do cotidiano,
alguns com solução única e outros com diversas soluções.
Para preparação desse instrumento, apoiamo-nos nos diferentes tipos de
problemas propostos por Krulik e Rudnick (2001). Cada problema envolveu uma
109
situação potencialmente geradora de algum conteúdo matemático que compunha o
programa da disciplina, que abrangeu também alguns conteúdos conceituais
abordados no Ensino Fundamental e/ou Ensino Médio.
No primeiro semestre de 2011, realizamos um experimento piloto com esse
instrumento com o intuito de verificar se os problemas estavam bem dimensionados
em relação ao tempo e com linguagem acessível. Assim, foi possível testar o
instrumento para ajustes apropriados, bem como confirmar a aceitação de outra
metodologia de ensino por parte dos alunos. Essa primeira versão do instrumento foi
aplicada a uma sala com 30 alunos do terceiro semestre.
Com a conclusão da fase de teste do instrumento com os alunos-piloto, os
ajustes adicionais foram feitos e foi elaborada uma versão final do instrumento
(APÊNDICE B), que foi aplicado na efetiva coleta de dados da pesquisa, em outras
turmas, no semestre seguinte, já que o ingresso do aluno é semestral.
4.4 O Início da Coleta de Dados
Ser o professor da disciplina de Infraestrutura Elétrica facilitou o trabalho de
coleta. Assim, logo no início do segundo semestre de 2011, na primeira aula com
cada turma, e após as apresentações, pessoais e da disciplina, os alunos foram
informados com relação às intenções de realizar a pesquisa em algumas aulas,
expondo a eles a ideia do projeto de doutorado e convidando-os a participar. Foi-
lhes esclarecido que seria um trabalho diferente para eles e para o professor
pesquisador, mas que em nenhum momento, eles deveriam se sentir obrigados a
participar, que não precisavam se sentir pressionados por atribuições de nota, já que
o objetivo não era avaliação, mas pesquisa.
Para aqueles que desejassem participar, seria um momento importante, pois
estariam promovendo algumas rupturas com relação à metodologia com que
estavam acostumados nas aulas. Em um primeiro momento, os alunos se
mostraram apreensivos por se tratar de uma disciplina que envolve conhecimento
matemático e de Física, e estaria acontecendo uma pesquisa, sendo eles parte
integrante desse projeto. Assim, após ser apresentada a Metodologia de Ensino-
aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas e de que forma
110
ocorreriam os trabalhos, foi-lhes solicitado que se manifestassem com relação a
alguma dúvida.
Eles foram informados de que as aulas não sofreriam perda de qualidade,
tampouco o conteúdo que deveria ser tratado no semestre. As tarefas seriam
desenvolvidas estritamente no horário das aulas e com os conteúdos do curso. Foi
então indagado se a turma estaria disposta a realizar esta pesquisa, e foi uma grata
surpresa quando todos os alunos presentes se colocaram à disposição. O convite foi
oficializado a todos os alunos, que assinaram o termo de consentimento (APÊNDICE
A). Nos quatro campi, houve aceitação unânime. Dessa forma, demos início à coleta
dos dados, orientando-nos pelo cronograma que havia sido preparado para a
aplicação das tarefas.
No quadro a seguir, apresentamos esse cronograma.
Quadro 3 - Cronograma de Aplicação do Instrumento.
Fonte: Dados de pesquisa do autor.
Com relação aos problemas geradores, buscamos sempre aqueles que
abordassem temas inerentes à realidade e à formação profissional dos alunos,
DATA CAMPI CONHECIMENTOS PRÉVIOS CONTEÚDO OBJETIVO
PROBLEMA 1
PROBLEMA 2
PROBLEMA 3
PROBLEMAS GERADORES
01/ago IV
Possuir conhecimentos sobrepotenciação na base 10, saberunidades de medida.
Conversão de unidades de medida e utilização de prefixos.
Saber expressar-se corretamente na linguagem matemática, identificando grandezas matemáticas que correspondem ás situações do cotidiano, utilizando de prefixos, sendo capaz de relatar os resultados de uma leitura técnica.
03/ago III
10/ago
Saber utilizar as operações básicas, conhecer as teorias físicas de carga elétrica, corrente elétrica, diferença de potencial, resistência (1ª Lei de Ohm) e potência.
1ª Lei de Ohm, corrente eletrica, tensão e potência.
Compreender e utilizar leis e teorias
aparelhos eletro-eletrônicos em geral.
24/ago III
24/ago I
01/set II
22/ago IV
Saber interpretar e relacionar o texto com a criação de perguntas.
Conhecer a 1ª lei de Ohm, montagem de questões relacionadas ao texto.
Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões), procurar, selecionar e interpretar informações relativas aos problemas.
24/ago III
24/ago I
Tomar conhecimento da 2ª Lei de Ohm e relacionar com a 1ª Lei.
Articular o conhecimento físico com conhecimentos de outras áreas do saber cientifico.
21/set III
21/set I22/set II
19/set IV
Possuir conhecimento teórico da 1ª e 2ª Lei de Ohm.
Saber interpretar gráficos e porcentagem, relacionar o texto com a criação de perguntas.
Relacionar potência e consumo de energia .
Observar, estimar ordens de grandeza e compreensão do conceito.
26/out III
26/out I
27/out II
PROBLEMA 0
PROBLEMA 4
24/out IV
01/set II
22/ago IV
I
17/ago II
111
presumindo que isso seria propício para criar um ambiente de motivação e de
desafio que envolvesse os alunos nas atividades de resolução de problemas. Esses
problemas foram trabalhados com os alunos levando em consideração a
Metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas, dedicando o tempo de
3 horas/aula para desenvolvermos cada um dos 5 problemas.
4.5 O Perfil dos Alunos
A maioria dos alunos de TRC e FEGAIRC está na faixa etária de 21 a 32
anos, estudam em um período do dia e trabalham em outro. Alguns alunos há muito
tempo não frequentavam uma instituição de ensino por motivos diversos. Em sua
grande maioria, são solteiros e ainda não trabalham na área na qual estão se
formando. Em geral, são egressos das escolas públicas da rede estadual, alguns
frequentando a universidade com bolsa de estudos institucional ou com auxílio do
ProUni. Muitos desses alunos são os primeiros, em suas famílias, a frequentar os
bancos de uma universidade, sendo isso motivo de orgulho. Para reduzir os custos e
o tempo de deslocamento, buscam estudar na unidade mais próxima de sua casa ou
no caminho entre o trabalho e a residência.
As observações do pesquisador sobre os alunos são de que eles não
possuem tempo para estudar, apresentam muitas lacunas de conteúdos básicos de
Matemática (tanto do Ensino Fundamental quanto do Médio), gerando alguns erros
tidos como comuns, o que poderá ser constatado no capítulo de Análise de Dados.
4.6 O Perfil do Pesquisador
Considero que alguns aspectos relativos à minha condição de pesquisador e
professor tenham condicionado a configuração das diversas situações
experimentadas no transcorrer da coleta de dados. Minha formação foi
essencialmente tradicional; entretanto, venho sendo movido pelas reflexões e
estudos orientados, do curso de pós-graduação da Universidade Cruzeiro do Sul, a
promover mudanças visando melhorar minha prática docente. Segundo Allevato
(2008), o professor norteia sua prática partindo de seus conhecimentos,
reconhecendo o perfil e as necessidades de seus alunos. Dessa forma, assim como
os alunos, o professor executa atividades condicionadas à estrutura escolar
112
(organização, recursos, ideologias), às particularidades da disciplina e às reflexões e
estudos que realiza. A pesquisa se torna, assim, um processo interativo com a
história, modificado pelo perfil das pessoas que dele fazem parte.
No próximo capítulo, Delimitação da Análise dos Dados, apresentaremos as
atividades realizadas, os dados coletados e as análises dos dados da pesquisa que
foi desenvolvida no contexto aqui descrito.
113
CAPÍTULO 5 DELIMITAÇÃO DA ANÁLISE DOS DADOS
5.1 A Análise dos Erros
5.2 Aplicando a Metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas
5.2.1 O Problema 0 O que você faria?
5.2.2 O Problema 1 Que número faz sentido?
5.2.3 O Problema 2 Que questões você pode criar e responder?
5.2.4 O Problema 3 Que número está errado?
5.2.5 O Problema 4 Qual é a questão se você sabe a resposta?
5.3 Dialogando com a Literatura sobre a Resolução de Problemas
5.4 A Organização e Preparação para Análise das Resoluções dos Problemas Aplicados
5.4.1 Categoria 1 - Erros ligados à linguagem natural.
5.4.2 Categoria 2 - Erros ligados a cálculos incorretos
5.4.3 Categoria 3 - Erros ligados às deficiências na construção de conhecimento matemático prévio.
5.4.4 Categoria 4 - Erros ligados às deficiências na construção de conhecimento físico prévio.
5.5 Dialogando com a Literatura sobre Análise de Erros
114
CAPÍTULO 5
DELIMITAÇÃO DA ANÁLISE DOS DADOS
Quando uma ciência está desenvolvida em uma tal magnitude, ela não pode se dar ao luxo de rever seus erros, mas sim precisa tratá-los profilaxicamente.
A. Adler (1928)
Este capítulo apresenta o desenvolvimento das atividades realizadas e a
descrição e análise dos dados construídos na pesquisa, abordando a Análise de
Erros na Resolução de Problemas de Física Elétrica.
Nossa procura por compreender os erros cometidos pelos alunos dos cursos
de Tecnologia, na resolução de problemas envolvendo a Matemática aplicada em
problemas de Física, levou-nos a indagar sobre quais erros são cometidos.
Pretendemos expor neste capítulo descritivamente os dados construídos,
destacando os elementos que nos propusemos a compreender, a fim de
respondermos ao nosso problema de pesquisa:
Como se apresentam os erros matemáticos cometidos pelos alunos ao resolverem problemas de Física Elétrica em um ambiente de ensino através da
Resolução de Problemas?
Apresentaremos as análises das diferentes respostas fornecidas pelos
alunos aos problemas propostos, com as respectivas interpretações, emergentes da
pesquisa de campo. Desse modo, esses erros foram organizados em sessões que
expressam as categorias de análise dos dados. O processo de construção dessas
categorias de análise se deu pela convergência dos dados recolhidos por meio dos
documentos, ou seja, os problemas resolvidos entregues pelos alunos, e que são
expressas nas questões parciais elaboradas para esta investigação, mas também é
inspirado pelas diversas leituras realizadas sobre o tema.
115
O trabalho de campo contou com um instrumento de pesquisa composto por
cinco problemas geradores, especialmente preparados/elaborados para desenvolver
os conteúdos das aulas, indicados no plano e no cronograma estipulado pela
universidade. Os problemas foram propostos e resolvidos durante as aulas
ministradas pelo professor pesquisador, nas turmas onde desenvolveu a disciplina
de Infraestrutura Elétrica para Redes de Computadores.
Foram trabalhados nesses problemas dois tipos de conteúdos: os de
Matemática função de primeiro grau, potência de base 10 e suas propriedades,
unidades de medida e suas transformações; e os de Física carga elétrica, 1a e 2a
Leis de Ohm, DDP - diferença de potencial (tensão), corrente elétrica, resistência
elétrica, potência elétrica. Com relação aos conteúdos, é importante ressaltar que
certos tópicos supostamente são de conhecimento de alguns alunos, por fazerem
parte dos conteúdos do Ensino Básico. Essa disciplina visa, portanto, aprofundar e
ampliar esses conteúdos matemáticos e físicos com o propósito de abordar noções
de eletricidade para o uso seguro e compreender as funcionalidades de
equipamentos e redes de computadores.
Para a organização das falas e dos problemas aplicados, foram designadas
siglas para identificar o professor pesquisador e preservar a identidade dos alunos.
Utilizamos PE para o professor pesquisador e AL para aluno; para os grupos de
alunos, adotamos G1, G2, G3, e para identificar os campi, utilizamos C1, C2, C3...
Ao analisarmos as resoluções dos problemas, não temos interesse apenas
pela solução, mas pelo processo de resolução apresentado pelos grupos de alunos,
visando analisar o modo como solucionaram o problema, buscando desvendar suas
estratégias, detectando dificuldades e tecendo inferências sobre os erros. Dessa
maneira, a análise de erros transforma-se num recurso para a melhoria da
aprendizagem, aceitando que o professor realize intervenções didáticas com o intuito
de revisar os conteúdos em que os alunos se mostram deficitários, desafiando-os a
procurar, refletir sobre e compreender seus erros, e ampliar conhecimentos.
116
5.1 A Análise dos Erros
As análises desenvolvidas foram organizadas em duas seções:
a) Descrição e análise dos erros cometidos pelos alunos para resolver
problemas propostos e seu tratamento durante a implementação da metodologia de
Ensino através da Resolução de Problemas, apresentados na seção 5.2.
b) Categorização dos erros apresentados nos registros escritos dos alunos,
realizada após o encerramento da coleta de dados e de acordo com as categorias
descritas na seção 5.4 deste capítulo.
Essa categorização dos erros se apoia no material coletado: resoluções
escritas entregues pelos grupos de alunos para a descrição dos erros emergidos das
respostas dadas; procedimentos realizados pelos alunos; comentários e
esclarecimentos obtidos por meio da aplicação dos problemas. A partir das
resoluções escritas foi possível sistematizar os resultados dos problemas aplicados,
realizando as interpretações dos erros cometidos pelos alunos, categorizando-os a
partir das respostas fornecidas pelos grupos de alunos aos problemas propostos,
congregando os erros em classes (categorias), empregando um critério de
semelhança.
Após cada uma dessas seções, realizamos o diálogo dos dados analisados
com os autores estudados neste trabalho.
5.2 Aplicando a Metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas
A observação e análise dos dados apresentados nas resoluções dos
problemas indicam erros cometidos por alguns grupos de alunos. Para a análise
desses erros, examinamos o conteúdo das respostas apresentadas no material
escrito recolhido quando da aplicação do problema. Na verdade, ainda que tenham
sido discutidos esses erros com os alunos, por ocasião das plenárias em sala de
aula, registramos análises mais sistemáticas desenvolvidas após o encerramento da
coleta de dados. Essa análise é de grande importância para compreender com mais
profundidade o que os alunos fizeram, e o que erraram, ao resolverem os
problemas. Para essa análise, guiamo-nos pelas categorias descritas na seção 5.4
117
deste capítulo.
Na implementação das atividades em sala de aula, seguimos as orientações
da metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas, de acordo com
Onuchic e Allevato (2009): (a) preparação do problema; (b) leitura individual; (c)
leitura em conjunto; (d) resolução do problema; (e) observação e incentivo; (f)
registro das resoluções na lousa; (g) plenária; (h) busca do consenso; e (i)
formalização do conteúdo. Os problemas eram distribuídos em folhas impressas e
era solicitado aos alunos que fizessem a leitura individual. Em seguida, os alunos
agrupavam-se em trios e em algumas poucas duplas para a releitura em grupo e
para resolverem o problema. Logo apareciam os problemas secundários, isto é,
aqueles que não estavam descritos no problema. Eram dificuldades que os alunos
manifestavam quanto ao enunciado ou à resolução e que não eram diretamente
vinculadas ao objetivo central do problema. Eram, então, orientados quanto às
dúvidas. Nos primeiros encontros, eles insistiam para que o professor pesquisador
resolvesse os problemas para eles, ou que comentasse mais detalhadamente o que
era para fazer. O professor pesquisador transitava entre os grupos, olhava,
incentivava e convocava-os a participar mais. Pedia que todos os integrantes do
grupo fizessem suas colocações, e esclarecia que as resoluções seriam discutidas
em plenária e todas as dúvidas seriam esclarecidas.
Na aplicação do problema zero, que será detalhadamente analisado na
seção 5.2.1, por ser a primeira vez que estavam trabalhando com essa metodologia,
houve certa desconfiança e desorganização na sala. Diversos grupos conseguiram
acabar antes do tempo estipulado, que foi de 40 minutos, o que gerou certo
desconforto na turma pelas conversas paralelas e pelo ruído gerado por aqueles que
haviam terminado.
A classe foi indagada, antes de sair para o intervalo, se o trabalho em grupo
estava sendo produtivo, e eles responderam que mais ou menos. Então, foram
indagados se estavam achando fácil ou difícil resolver os problemas por essa
metodologia; responderam que, até o momento, estava fácil. Assim que todos
terminaram, uma resolução escrita de cada grupo foi recolhida e fomos para o
intervalo.
118
A Figura 9 a seguir mostra os alunos em trios em um dos campi, discutindo e
realizando a tarefa solicitada:
Embora o trabalho em grupo fosse difícil para os alunos, especialmente nas
primeiras experiências, era de grande importância essa parte inicial das atividades,
abrindo espaço para que os alunos pudessem ler, interpretar e discutir os
enunciados dos problemas com seus pares, aceitando, com isso, expandir suas
compreensões e também discutir os processos pensados por cada aluno para
resolver os problemas propostos.
Por isso, nesse primeiro trabalho, o tempo necessário para que todos os
grupos trabalhassem no problema foi maior do que havia sido previsto, justamente
por ser um processo novo para os alunos e para o professor pesquisador. No
retorno, o professor pesquisador segmentou a lousa em diversas partes e solicitou
que um integrante de cada grupo se dirigisse à lousa para escrever como haviam
Figura 10 Grupos trabalhando no problema
Fonte: Próprio autor.
119
resolvido o problema.
Assim, fomos discutindo as resoluções (início da discussão plenária) e
verificando as respostas que eram mais parecidas entre os grupos, as razões das
diferenças, e buscando a solução correta. Conseguimos, juntos, chegar a um
consenso sobre todas as resoluções, sobre o que estava certo e o que estava
errado. Fizemos as correções necessárias para, só então, encaminharmos a
discussão para os conceitos envolvidos no problema.
Com relação aos outros problemas, não houve tanto desconforto por terem
entendido o funcionamento da metodologia. Passamos, então, a descrever os
enunciados dos problemas aplicados, objetivos, análise ligada à metodologia e a
inserção da resposta correta fornecida pelos grupos.
Figura 11 Segmentação da lousa e algumas resoluções dos grupos.
Fonte: Próprio autor.
120
5.2.1 O Problema 0 (Zero) O que você faria?
Este problema se apresentou em uma situação em que o aluno o resolveria
baseado em sua vivência, conhecimento da situação e de suas preferências
individuais que pudessem ajudá-lo a solucionar o problema. O enunciado do primeiro
problema aplicado é exposto a seguir:
O objetivo deste problema era que os alunos tivessem oportunidade de se
expressar na linguagem matemática, identificando grandezas matemáticas que
correspondessem às situações do cotidiano na área de tecnologia da informação.
Para isso, neste problema, os alunos precisavam utilizar e compreender prefixos,
Determinada empresa pública, seguindo a legislação em vigor - Lei Federal nº 8.666/93 - LEI DE LICITAÇÕES E CONTRATOS ADMINISTRATIVOS na modalidade tomada de preços para compra de equipamentos de informática, publicou em seu sítio e no Diário Oficial o edital de licitação. Esse edital é composto, dentre outros suprimentos de informática, da aquisição de 530 notebooks, com as seguintes características técnicas:
Clock: 1,3 Ghz; Cache: 3MB; Memória: 3 GB Disco Rígido: SATA II 320 GB -5400 RPM
Dentre as empresas que se apresentaram para fornecer os notebooks, duas foram pré-selecionadas por estarem com toda a documentação da empresa, que é exigida por lei, em ordem, apresentando as seguintes características técnicas:
EMPRESA 1 EMPRESA 2 Clock: 1,3 GHz Clock: 1300 MHz
Cache: 3MB Cache: 3000 KB
Memória: 3GB Memória: 3000 MB
Disco Rígido: SATA II 320 GB -5400 RPM
Disco Rígido: SATA II 320 GB -5400 RPM
Na abertura dos envelopes o representante da empresa 1 se posicionou pela desclassificação da empresa 2, alegando que as especificações não estavam de acordo com a licitação. Como organizador da licitação você acataria ou não a solicitação da empresa 1? Descreva sua(s) justificativa(s).
Problema 0 (Zero): Compra de Notebooks
121
sendo solicitados a relatar os resultados de uma leitura técnica, uma inspeção,
manifestando, nesse contexto, seus conhecimentos. Eles foram incentivados a
mostrar seus conhecimentos prévios sobre potenciação na base 10 e suas
propriedades, sobre as unidades de medida, juntamente com seus prefixos
(múltiplos e submúltiplos).
Embora esses conteúdos possam ser considerados básicos, ou mesmo
demasiadamente simples para os alunos do Ensino Superior, a atividade, de fato,
configurou-se como um problema para eles.
Observamos que os alunos tiveram dificuldades nesse tipo de trabalho, ou
seja, com a metodologia aplicada, diferente da que eles estavam habituados a
utilizar para resolver os problemas e para aprender Matemática e/ou Física. Este fato
indica como o trabalho foi importante para lhes possibilitar realizar raciocínios
diferenciados, fugindo dos automatismos. Diversos tipos de problemas requerem a
utilização e ampliação das diferentes habilidades de pensamento e de suas práticas
de reflexão para resolvê-los.
Em particular neste problema, os alunos perceberam a importância dos
prefixos e sua valoração, entenderam as relações e os padrões que existem entre
eles. Realizaram conversão entre os prefixos, percebendo em que momento são
equivalentes. Refletiram sobre outras aplicações desse conteúdo no cotidiano e em
outras áreas do conhecimento.
Desse modo, segue a apresentação de uma resolução correta, apresentada
pelos alunos.
Figura 13 - Protocolo 1: Resolução correta do Problema 0
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
122
5.2.2 O Problema 1 Que número faz sentido?
Neste problema, o aluno foi exposto a uma situação em que as informações
numéricas estavam dispersas em uma lista de números que eram disponibilizados,
da qual o aluno teria que escolher os adequados. Após alguns cálculos, deveria
inserir os números na lacuna correta para que o texto tivesse sentido.
Na aplicação deste segundo problema, o professor pesquisador fez um
breve comentário sobre alguns conceitos de Física Elétrica, a saber: carga elétrica,
tensão elétrica, corrente elétrica e potência elétrica, na aula que antecedeu a
aplicação do problema. O objetivo era saber se os alunos, tendo contato com os
conceitos de forma isolada, como foram abordados na aula anterior, conseguiriam,
pelo Ensino através da Resolução de Problemas, resolver um problema em que
esses conceitos são aplicados e estão relacionados.
Outro objetivo deste problema era que os alunos compreendessem
enunciados envolvendo códigos, símbolos físicos e matemáticos, que estão
presentes em manuais de instalação e utilização de aparelhos eletrônicos, e que
também compreendessem e utilizassem leis e teorias físicas. Os conhecimentos
prévios necessários envolviam saber utilizar as operações matemáticas básicas e a
conversão de prefixos, conhecer as teorias físicas de corrente elétrica, diferença de
potencial (tensão), resistência elétrica (1ª Lei de Ohm) e potência elétrica.
Seguindo os passos propostos pela metodologia de Ensino através da
Resolução de Problemas, no início das atividades, ocorreu que os alunos queriam
que o professor pesquisador respondesse suas perguntas. Eles foram orientados
para que lessem e buscassem discutir, inicialmente, dentro do grupo; depois disso,
Um estudante do 3º semestre do curso de tecnologia de uma universidade, comprou um
potência de entrada é de__________W. Esse estudante sabendo que o custo de /dia, considerando que o KWh custa
R$_______, ele terá um custo mensal de R$__________.
31, 311456 440 4 8 110 0, 29651
Problema 1: Calculando a conta de energia
123
sendo necessário, o professor pesquisador os auxiliaria a compreender o problema
para que tentassem resolver. Essa atitude causou certo desconforto nos alunos. Os
grupos se sentiam inseguros quando arguidos ou desafiados a resolver problemas
para os quais o imediatismo da resposta não lhes era oferecido.
O professor pesquisador deixou os grupos discutirem bem esse Problema 1,
e algumas dúvidas foram levantadas com respeito à forma de iniciar a resolução.
Chamou a atenção o fato de que parte dos grupos foi jogando os valores
sem se preocupar em descrever por escrito como estavam procedendo. Foi difícil
fazê-
justamente por tentarem resolver tudo de cabeça. O professor observou que este
problema gerou dúvidas e ansiedade nos alunos para encontrar as respostas certas;
eles demonstraram dificuldade em relacionar os valores sugeridos no problema para
que houvesse coerência.
Alguns grupos começaram a buscar informações em outros grupos, exigindo
do professor pesquisador uma postura mais firme no sentido de lhes mostrar que o
importante era tentar resolver e apresentar uma solução para ser discutida, e que
não haveria qualquer valor de nota (avaliação) a ser atribuída ao que estavam
fazendo. Outro fato foi que alguns grupos solicitavam a presença do professor
pesquisador para confirmar se os raciocínios estavam certos e deixavam de fazer a
tarefa proposta, aguardando o professor pesquisador se manifestar. Isso demonstra
o hábito de esperar que primeiro o professor resolva o problema, e depois ele, aluno,
copie, prática muito utilizada no ensino pautado pelo modelo tradicional.
O professor pesquisador frisou que naquele instante, ele necessitava
entender como era o raciocínio deles para resolver o problema, e que os erros
seriam importantes para verificar suas compreensões e suas deficiências; e ele
continuou insistindo para, de início, não se preocuparem com o certo ou o errado.
Um fato interessante ocorrido foi que no dia da aplicação do problema, um
aluno estava com sua conta de luz e, motivado pelo problema, resolveu analisá-la.
Segundo o aluno, nunca ele havia feito aquilo. Conseguiu melhor interpretar as
informações e identificar alguns itens que estavam contemplados naquele problema
gerador, em particular que o custo do KWh indicado em sua conta era o mesmo
124
contido no problema.
Após o registro na lousa, os grupos discutiram as resoluções, mas foi
observado que uns poucos não conseguiram estabelecer uma relação lógica entre
os valores para que o texto ficasse correto.
Assim, consideramos que o objetivo deste problema foi atingido: os alunos
tiveram oportunidade de realizar conexões, expressando seu conhecimento em
Física Elétrica, utilizando expressões matemáticas (fórmulas) e identificando
grandezas físicas que correspondem às situações do cotidiano na área de tecnologia
da informação. Dessa maneira, os alunos utilizaram conceitos de Física Elétrica
(potência elétrica, tensão elétrica, corrente elétrica), e também mobilizaram seus
conhecimentos para calcular o valor a ser pago pelo consumo de energia elétrica
durante o mês, utilizando a operação de multiplicação e depois a divisão para
converter no prefixo indicado junto à unidade de medida:
Figura 14 Resolução na lousa pelos grupos
Fonte: Próprio autor.
125
5.2.3 O Problema 2 Que questões você pode criar e responder?
Neste problema gerador, os alunos foram convidados a vivenciar uma
situação em que havia dados numéricos ou respostas para as quais eles
necessitariam criar perguntas que pudessem ser respondidas por meio dos dados
fornecidos.
Figura 15 - Protocolo 2: Resolução correta do Problema 1
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Um grande fabricante de eletroeletrônicos, que se utiliza de monitores de raios catódicos, decidiu reduzir a produção desse tipo de produto. Tal medida se deu pelo relatório apresentado pelo seu diretor de tecnologia. Dentre as diversas informações contidas no relatório estavam as seguintes:
Descrição técnica
Corrente elétrica num feixe de elétrons 200 A
Tempo em que os elétrons demoram a atingir a tela 1 segundo
Número de elétrons que golpeiam a tela 125.1013 elétrons
DDP 110 - 220 Volts ~
Que questões podem ser criadas com as informações dadas?
Problema 2: Descrição técnica do monitor
126
As orientações fornecidas para este problema foram: criar uma lista de
questões (mínimo 3) que pudessem ser respondidas, baseadas nas informações do
problema, e desenvolver ao menos uma resposta completa para uma das questões.
Assim, os objetivos do problema eram, a partir da compreensão do
enunciado, procurar, identificar, selecionar e interpretar informações relativas ao
problema utilizando seus saberes, e relacionar essas informações com a criação de
perguntas. As questões e respostas necessitavam de alguns conhecimentos de
Física Elétrica, conversão de prefixos e operações matemáticas básicas. O professor
percebeu que os alunos se sentiram mais à vontade e, pelas discussões em sala,
ficou evidente que haviam preparado questões de ordem técnica, simples e
objetivas.
Chamou a atenção um aluno que disse que preferia a outra metodologia,
pois ele aprendia melhor. Ele não permitiu que gravasse sua fala.
Outra fala foi:
AL: - É muito complicado, eu não sei o que fazer, pois não entendi. Como
assim, fazer questões? Prefiro esperar as respostas.
Entendemos que alguns alunos tiveram receio de se expor, inclusive por ter
que escrever na lousa as respostas preparadas pelo grupo. Isso continua
evidenciando sua insegurança diante da metodologia, em que é relevante partir do
que o aluno sabe e pode oferecer. Eles não estão habituados a isso. De qualquer
modo, a maioria dos grupos apresentou suas resoluções.
Após a discussão da plenária, ficou para o professor pesquisador esclarecer
a forma de operar com potência de base 10 (mais uma vez), e esclarecer dúvidas
quanto ao posicionamento da vírgula nas operações com os números racionais na
forma decimal. Muitos alunos, por estarem habituados a utilizar a calculadora,
esquecem, ou mesmo não sabem, que o ponto que aparece nas calculadoras
separa a parte inteira da parte decimal do número. Esse fato ocorre com grande
frequência por essas calculadoras estarem configuradas para o sistema
americano/britânico, e não para o sistema brasileiro.
A seguir, apresentamos uma resposta correta, desenvolvida por um grupo
de alunos:
127
Figura 16 - Protocolo 3: Resolução correta do Problema 2
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
5.2.4 O Problema 3 O que está errado?
Neste caso, o problema gerador apresentado estava resolvido, entretanto,
de forma incorreta. O erro poderia ser de conceito, de interpretação ou mesmo de
cálculo.
Problema 3: Compra de cabos para rede local - LAN25
25 LAN: Local Area Network Rede Local de Computadores.
Klauss possui um fio de comprimento 4m, com diâmetro de 6 mm e uma resistência de 15 m . Uma diferença de potencial de 23 V é aplicada entre as suas extremidades. Klauss necessita saber a corrente no condutor e também a resistividade do material do fio. Ele desenvolveu os seguintes cálculos:
1. Existe(m) alguma(s) coisa(s) errada(s) com o raciocínio do Klauss? 2. Mostre como você resolveria esse problema; 3. Caso o item 1 seja sim, então explique o erro cometido por Klauss.
128
A intenção era que os alunos identificassem os erros, apresentassem as
soluções do problema de maneira correta e, por fim, justificassem caso houvesse
erros. A orientação para o problema era identificar o erro e encontrar a solução
correta.
Os objetivos eram que os alunos: expressassem-se em linguagem
matemática, analisando e identificando erros envolvendo a utilização das operações
matemáticas básicas; aprimorassem a compreensão dos conceitos físicos (teorias
físicas da 1ª e 2ª Leis de Ohm); estimassem sem ordens de grandeza de medidas
que estão presentes em situações do dia a dia na área de tecnologia da informação,
em particular daqueles que trabalham com infraestrutura de redes computacionais.
Desse modo, neste problema, os alunos precisariam utilizar e compreender prefixos
para aplicar corretamente os valores nas fórmulas, manifestando, então, seus
conhecimentos para a resolução de um problema técnico. Os alunos foram
estimulados a manifestar seus conhecimentos prévios sobre potenciação na base 10
e suas propriedades, e sobre unidades de medida, juntamente com seus múltiplos e
submúltiplos, a analisar dados fornecidos e também a utilizar conhecimentos prévios
de Física Elétrica.
O professor pesquisador verificou que os alunos expressaram suas
dificuldades e apreensão neste outro tipo de problema, especialmente pela
quantidade de informações contidas e pela quantidade de conceitos que deveriam
ser mobilizados. Assim, o importante era possibilitar-lhes realizar raciocínios
diferenciados, evitando a mecanização das tarefas. Nessa aula, os alunos
perceberam a importância de possuir uma boa fundamentação teórica dos conceitos
físicos, conectados aos conceitos matemáticos básicos. Conjecturaram a respeito de
aplicações desse conteúdo no cotidiano e em outras áreas do conhecimento.
Apresentamos, a seguir, uma resposta correta, desenvolvida por um grupo
de alunos:
129
Figura 17 - Protocolo 4: Resolução correta do Problema 3
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
5.2.5 O Problema 4 Qual é a questão se você sabe a resposta?
A finalidade de trazermos este problema gerador foi visando que os alunos
pudessem desenvolver suas habilidades de análise, fazer estimativas acerca de
ordens de grandeza, de aplicação de conceitos e conteúdos matemáticos básicos na
resolução de problemas aplicados. Neste problema, também era importante para os
alunos saberem interpretar gráficos e realizar operações envolvendo porcentagens,
conteúdo bastante utilizado na área de infraestrutura de instalações elétricas.
130
Este problema apresentado aos alunos possuía instruções sobre o que era
para ser feito. As informações fornecidas tinham dois objetivos específicos: (1)
propiciar a aplicação dos temas físicos trabalhados na disciplina potência elétrica;
e (2) que o aluno pudesse interpretar e relacionar o texto com a criação de
perguntas. O desenvolvimento do trabalho seguiu o processo de ensino através da
Resolução de Problemas sugerido por Allevato e Onuchic (2009).
Para resolver este problema os alunos precisariam ainda: ler um gráfico; ler
números inteiros e racionais; analisar, interpretar e realizar cálculos com os valores
fornecidos em porcentagem.
Observamos que os alunos expressaram suas dificuldades neste problema
exatamente no tratamento das porcentagens. Mesmo sendo uma forma de
expressão de grandezas estampada em várias mídias, os alunos apresentaram
dificuldades.
Orientação: problemas que contêm dados, mas não as questões. São fornecidas respostas específicas para as quais os alunos devem elaborar questões apropriadas.
O gráfico de barras apresenta o histórico de consumo de energia elétrica de uma residência na cidade de São Paulo, durante os últimos 6 meses:
1. Qual é a pergunta se a resposta é 57? 2. Qual é a pergunta se a resposta é 150? 3. Qual é a pergunta se a resposta é 75,44%? 4. Qual é a pergunta se a resposta é 7,04%? 5. Qual é a pergunta se a resposta é 337%?
Problema 4: Análise da conta de energia elétrica
131
Na sequência, apresentamos o Protocolo 5, com uma resposta correta
apresentada pelos alunos, ou seja, em que a solicitação do problema foi atendida:
No próximo tópico, discorreremos sobre a preparação e as análises dos
dados.
5.3 Dialogando com a Literatura sobre Resolução de Problemas
Nesta seção, pretendemos expandir as análises realizadas, comparando as
evidências coletadas com o referencial teórico da pesquisa, ou seja, aquela literatura
que trata de Resolução de Problemas na Educação Matemática. Romberg (1992)
destaca que
pesquisador poderá expressar os resultados de seu trabalho de maneira ampliada,
por meio de um novo prisma, alargando as perspectivas para melhor perceber seus
dados.
Estaremos retomando os trabalhos discutidos no capítulo 1, que foram fonte
de orientação e inspiração em cada etapa desta pesquisa. Salientamos que algumas
referências foram adicionadas após a coleta de dados e o exame de qualificação,
visto que apareceram novos aspectos a serem considerados.
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Figura 18 - Protocolo 5: Resolução correta do Problema 4
132
No semestre em que ocorreu a coleta de dados, a dinâmica das aulas foi
diferente, pois implementamos uma nova metodologia com alunos adultos,
acostumados a aulas tradicionais, em que o professor trabalha a teoria, apresenta
alguns exemplos de aplicações e, na sequência, insere uma lista de tarefas que
seguem o mesmo modus operandi, mecanizando a resolução de tais tarefas. Em
nosso caso, expusemos para os alunos o processo que utilizaríamos para algumas
aulas, sem nos distanciarmos do cronograma estipulado pela instituição de ensino.
Seria desafiador realizar as aulas com a metodologia de ensino de Matemática
através da Resolução de Problemas, pois, a partir da resolução e discussão de um
problema gerador e com base nos conhecimentos prévios dos alunos é que são
apresentados conteúdos novos e construídos os conceitos, tal como sugerem
Onuchic (1999); Allevato (2005) e Onuchic e Allevato (2011), e as orientações do
NCTM, especialmente os Standards 2000 (NCTM, 2000).
Ao optarmos por essa metodologia, passamos a perceber aspectos que nos
ajudaram a relacionar os dados alcançados com nossa questão problema da
pesquisa: Como se apresentam os erros matemáticos cometidos pelos alunos ao
resolverem problemas de Física Elétrica em um ambiente de ensino através da
Resolução de Problemas?
Uma das questões norteadoras ligadas à questão problema é: como a
Metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas atua na mudança de
postura dos alunos?
Ao realizarmos uma retrospectiva dos fatos na coleta de dados, merecem
destaque as dúvidas, receios e as dificuldades dos alunos com relação a essa nova
forma de trabalhar em sala de aula, aspectos que são descritos por Lampert (2001)
como manifestações de conhecimentos não bem compreendidos, que devem ser
retomados com os alunos, alterando sua postura no desenvolvimento desse novo
modo de trabalhar em sala de aula, para uma atitude de busca, compartilhamento e
troca de ideias com o objetivo de superação das dificuldades e esclarecimento de
dúvidas.
Para os alunos participantes desta pesquisa, as situações em que foram
inseridos eram diferentes daquelas com que comumente se defrontavam em seu
133
cotidiano de aulas na universidade. A mudança a que eles foram submetidos tornou-
os mais participativos no decorrer das atividades, florescendo em cada um a
confiança em si mesmo, e também no grupo, no momento de discutir as resoluções
construídas para os problemas propostos. Percebemos que alguns alunos se
tornaram mais participativos, buscando se aprofundar nos conceitos discutidos em
aula e expressar mais naturalmente suas dificuldades, sem receio de mostrar aos
colegas a ausência de conhecimentos sobre conceitos básicos de Matemática, pois
viam que quase todos tinham dificuldades parecidas.
Além disso, Carrilo (2000a) e Rigelman (2007) indicam que na resolução de
problemas, os alunos percorrem caminhos diferentes para obter aquilo de que
necessitam, em situações que exigem deles interpretações e aplicações,
possibilitando utilizar o empirismo por meio de acertos e erros, dedução, intuição e
formulação de ideias. Conforme recomendam Vale e Pimentel (2004), Krulik e
Rudnick, (2001) e Allevato (2005), essa abordagem foi trabalhada nessas aulas,
promovendo o questionamento e a reflexão acerca dos problemas geradores, antes
da conceituação realizada pelo professor pesquisador.
Assim como Cai e Lester (2012) destacam, foi importante para os alunos
buscarem o significado e interpretarem as soluções dos problemas, que realmente
foram problemáticos. Trabalhar através da Resolução de Problemas foi um desafio
interessante, pois a descoberta e a construção de novos conhecimentos, a partir de
conhecimentos anteriores, não são simples de serem executadas, em especial para
alunos habituados com o modelo de ensino tradicional. Esses alunos necessitaram
melhorar suas habilidades de observar, avaliar, concentrar-se e explorar, e ajustar
sua linguagem para resolver os problemas nessa metodologia.
Outros aspectos positivos comentados por D´Ambrosio (2006) e Van de
Walle (2009) referem-se a trazer à tona a criatividade dos alunos e sua habilidade de
resgatar em ensinamentos anteriores estratégias e significados de que necessitam
para resolver os problemas.
No ensino tradicional, em que o professor é o condutor do processo de
resolução das tarefas, os alunos seguem, em geral, incondicionalmente, suas
orientações, abandonando sua própria criatividade. Mas, quando o aluno assume o
134
comando das atividades, desenvolvendo um trabalho mais independente, aparecem
características interessantes em suas resoluções, variadas, diferentes daquelas
comumente aconselhadas pelo professor, além de deficiências que precisam ser
consideradas e superadas.
Ressaltamos que, embora os alunos tivessem estudado os conteúdos de
Física Elétrica, isso não bastou para lhes dar segurança na resolução dos problemas
aplicados envolvendo corrente elétrica, DDP (tensão elétrica), potência elétrica, 1ª e
2ª Leis de Ohm. O professor era questionado pelos alunos a todo o momento e por
quase todos os grupos. Mas esses conceitos foram mais bem compreendidos no
decurso das atividades, o que possibilitou avanços conceituais e,
consequentemente, na resolução dos problemas.
No decorrer das outras aulas, alguns grupos continuaram com essa
dificuldade, mas ela foi sendo visivelmente minimizada no desenvolvimento das
outras atividades propostas, o que sugere que estavam refletindo e tentando atribuir
um sentido ao que faziam. A partir de suas resoluções, especialmente durante as
plenárias, inclusive notações e representações eram debatidas e aprimoradas.
Onuchic e Allevato (2011) registram que esse é, de fato, um momento muito rico, e
talvez aquele em que a aprendizagem melhor se realiza.
Em nossas leituras, encontramos algumas acepções de Resolução de
Problemas, que se fazem presentes nesta tese. Entre as opções definidas por
Carrillo (2000a), a que melhor expressa o cerne da nossa pesquisa é a investigativa,
definida pelos autores como aquela que visa à aquisição de conceitos,
desenvolvimento de procedimentos e promoção de atitudes positivas com relação ao
contexto escolar, proporcionando ao aluno instrumentos que lhe deem autonomia
para aplicar os conceitos em diferentes contextos do cotidiano. Nesta concepção, os
problemas, em geral, não possuem processo e solução únicos, e são propostos para
ampliar o conhecimento já existente do aluno. Os problemas geradores propostos
tiveram fortemente essas características.
Outra acepção que também foi forte em nosso trabalho é dada por
Mendonça (1999), do problema como ponto de partida, funcionando como recurso
pedagógico, exposto no início do processo da aprendizagem e sendo seu objetivo a
135
construção de conhecimentos pelo aluno.
Alguns trabalhos aos quais tivemos acesso nos apresentaram alguns tipos
de problemas, tendo sido um dos aspectos que nortearam nossa pesquisa.
Procuramos não ficar presos a um só tipo. Identificamo-nos com os sugeridos por
Krulik e Rudnick (2001). Os autores associam a cada tipo de problema mencionado
um aspecto peculiar dentro do processo de resolução de problemas, e os diferentes
tipos indicados por eles foram utilizados em nosso estudo: Problema 0 O que você
faria?; Problema 1 Que número faz sentido?; Problema 2 Que questões você
pode criar e responder?; Problema 3 Que número está errado?; Problema 4 Qual
é a questão se você sabe a resposta? Essa variação nos tipos de problemas
propostos, diferentemente do que os alunos estavam habituados a resolver, impôs
dificuldades que configuraram aquelas atividades como verdadeiros problemas.
Autores, como Cai e Lester (2012), Onuchic e Allevato (2005), Van de Walle
(2009), D´Ambrósio (2006), NCTM (1989, 2000) e Carrillo (2000b), mostram que
uma das vantagens de ensinar e aprender através da Resolução de Problemas é
que há uma avaliação contínua dentro do processo, ou seja, o professor e os alunos
conseguem identificar, durante as atividades, o que ocorre em relação à
aprendizagem. Isso pode ser constatado nas resoluções escritas dos alunos e
durante as plenárias, onde a voz do aluno e as condições são respeitadas,
permitindo ao professor auxiliar os alunos a eliminarem dúvidas, o que não ocorre
em uma simples avaliação somativa periódica do tipo prova. Certamente, esses
aspectos estiveram fortemente presentes na experiência aqui relatada e analisada.
Expostos esses aspectos e destacadas as análises construídas a partir da
aplicação dos problemas geradores na metodologia indicada por Onuchic e Allevato
(2011), os dados sugerem que os resultados foram positivos em relação à
construção de conhecimento de Física Elétrica pelos alunos dos cursos de
Tecnologia.
136
5.4 A Organização e Preparação para Análise das Resoluções dos Problemas Aplicados
Ao relatarmos os fatos ocorridos durante a implementação da Metodologia
de Ensino e Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas
(seção 5.2), adotamos sua consideração construtiva e criativa dentro dos processos
de ensino-aprendizagem. Nesta seção 5.4, para analisarmos os erros cometidos
pelos alunos nas resoluções escritas, adotamos a perspectiva do erro com enfoque
de pesquisa Reafirmamos que a análise de erros pode ser entendida como um
processo de ensino ou como um método de pesquisa, sendo que ambos foram
adotados neste trabalho.
A organização dos problemas aplicados para a análise fez jus a uma série
de providências. O material escrito, inicialmente recolhido durante as intervenções,
foi armazenado em envelopes separados, correspondentes ao tipo de problema, e
separados por campus. Todos os campi foram codificados, recebendo, cada
problema, a indicação formada por uma letra e um número. Assim, G1C1 indicava
que era o primeiro grupo originário do campus 1.
Inicialmente, realizamos a leitura de todos os problemas aplicados
entregues, efetivando registros de acordo com campus, data da coleta, total de
grupos participantes, quantidade de acertos e de erros cometidos.
Para a análise aqui desenvolvida, foram considerados apenas os problemas
que apresentaram erros, sendo agrupados independentemente dos campi. Fizeram-
se necessárias sucessivas leituras como forma de detectar os erros de acordo com
os objetivos estipulados para cada problema e para a pesquisa.
As leituras a respeito de Análise de Erros sugerem categorizar os erros
pelos padrões existentes neles, podendo ser: individual, quando as pessoas
mostram regularidade no modo de resolver tarefas similares; e coletivo, quando
pessoas distintas cometem os mesmos erros em determinadas etapas das tarefas.
Devido a essa regularidade, diversos autores têm elaborado classificações de erros
na aprendizagem da Matemática como forma de melhor estudá-los. Utilizamos essa
sugestão dada pelos diferentes autores que estudamos, conduzindo-nos a construir
as categorias após analisarmos os erros cometidos pelos grupos, e a verificar suas
137
regularidades. Assim, as categorias surgiram a posteriori da aplicação do
instrumento de pesquisa.
Após essa primeira exploração realizada em todos os problemas, e com
categorias novas que surgiam a cada releitura, o material permaneceu em suspenso
por um algum tempo enquanto se faziam outras atividades. Ao relê-los, foi como
utilizar outros olhos, pois se tornou necessário refazer a categorização,
considerando aspectos novos que foram percebidos.
Nessa abordagem indutiva, as categorias não foram, como se vê, definidas
de antemão, mas resultaram dos dados, emergindo das resoluções dos problemas
aplicados.
Embora não tenhamos feito uma pré-categorização de erro, visto que as
categorias foram emergentes dos dados, não podemos descartar que a sua
construção foi condicionada pelas categorias identificadas nas pesquisas
consultadas sobre o assunto. Neste trabalho, destacamos os erros mais
significativos contidos no material coletado. Dessa maneira, a seguir, estão
desenvolvidas as análises dos problemas, que aparecem em ordem crescente (0 a
4) dentro de cada categoria.
5.4.1 Categoria 1 - Erros ligados à linguagem natural
Em nossa sociedade, a convivência com expressões que denotam a
linguagem da Física é muito mais comum do que se pensa. As pessoas, em geral, e
nossos alunos, em especial, comentam ou discutem (lâmpada de 100W, carregador
bivolt, a resistência do chuveiro, entre outras) no seu dia a dia situações envolvendo
conteúdos físicos/elétricos, sem necessariamente terem consciência do seu
significado.
Assim, para os alunos participantes desta pesquisa, essa categoria surgiu
para responder à seguinte questão parcial: Como os alunos percebem os conteúdos
de Eletricidade na resolução de problemas ligados ao seu próprio cotidiano?
Dessa forma, concentramos nessa categoria aqueles erros causados por
uma compreensão incorreta de símbolos e vocabulário matemático, ou ligados a
138
situações descritas em linguagem natural (linguagem cotidiana) a serem convertidas
à linguagem matemática ou física, ou vice-versa.
Algumas das respostas fornecidas pelos grupos de alunos aos problemas
propostos, e que, em nosso entendimento, enquadram-se nessa categoria, foram
selecionadas. Relembramos que o trabalho de resolução dos problemas nos grupos
sempre era registrado por escrito e entregue ao professor pesquisador. A seguir,
apresentamos alguns protocolos de resolução dos problemas selecionados para
análise.
O protocolo da Figura 17 corresponde à resposta ao Problema 0, escrito
pelo grupo 1 do campus 1:
Notamos que nessa resposta, o grupo demonstrou desconhecer a valoração
dos prefixos. As grandezas matemáticas são expressas por valores associados às
unidades, que, quando arroladas no sistema internacional de unidades, são
reescritas em função desses prefixos. Eles possuem nome, símbolo, referência em
potência de base 10 e representação decimal equivalente, como apresentado no
quadro 4.
Figura 19 - Protocolo 6: Resposta de G1C1 para o Problema 0.
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
139
Quadro 4 - Prefixos para potências de dez
Fonte: Adaptado de Young (2008, p. 412).
De fato, o prefixo giga é diferente do prefixo mega; o mega é diferente do
kilo, e assim por diante; entretanto, ao multiplicarmos o valor de 1 mega por 1.000
(103), chegaremos à conclusão de igualdade, ou seja, 1 giga é igual a 1.000 x 1
mega ou (109). A resposta apresentada no Protocolo 6 (Figura 9) fornece indícios de
que esse grupo conhece os prefixos: que giga é diferente de mega e mega é
diferente de kilo. Entretanto, desconhece as equivalências entre os prefixos por
ignorar o valor numérico do prefixo na base 10.
O grupo de alunos que deu essa resposta cometeu, assim, um erro,
informando que iria acatar a solicitação da empresa 1, desclassificando a empresa 2.
Esses aspectos estão ligados à conversão de um texto em linguagem natural
(enunciado do problema) para a linguagem matemática e física, necessária à sua
resolução. Ao pedir justificativas, o problema oferece ainda a oportunidade aos
alunos de voltarem para a linguagem natural para explicarem sua resolução.
Ressaltamos que no Ensino Básico, os alunos aprendem sobre algumas
unidades de medidas lineares, em geral, tendo como referência o metro; são
trabalhados também os conceitos de múltiplos e submúltiplos (prefixos).
Outra resolução para o problema 0, que nos chamou a atenção, foi
apresentada pelo grupo de alunos G4C3, no Protocolo 7 (Figura 10):
PREFIXO SÍMBOLOS POTÊNCIA DE DEZ EQUIVALENTE DECIMAL
Pico p 10-12 0,000000000001
Nano n 10-9 0,000000001
Micro µ 10-6 0,000001
Mili m 10-3 0,001
- - 100 1
Quilo k 103 1.000
Mega M 106 1.000.000
Giga G 109 1.000.000.000
Tera T 1012 1.000.000.000.000
140
Figura 20 - Protocolo 7: Resposta do G4C3 para o Problema 0
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Aqui, consideramos que também se faz presente o aspecto da linguagem
escrita, em particular o da linguagem/notação matemática. Entendemos que esse
da compreensão do conceito de prefixo, poderiam escrever matematicamente, de
maneiras diferentes e sem alterar o valor matemático inicial, os fenômenos descritos
no problema.
No problema 2, apesar de a maioria dos grupos ter completado a tarefa de
forma positiva, outros mostraram suas dificuldades em expressar seus pensamentos
e escrevê-los de forma razoável a partir do que foi solicitado:
141
Figura 21 - Protocolo 8: Resposta do G2C2 para o Problema 2
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Como mostra o Protocolo 8 (Figura 19), notamos que o grupo trabalhou as
perguntas e respondeu a uma delas (1), mas de forma desconexa com o solicitado
pelo problema. O grupo formulou a segunda pergunta também fora do que havia
sido solicitado pelo problema; e por fim, o que deveria ser a terceira pergunta
restringiu-se a um parágrafo também sem vínculo com o solicitado. Nesse caso, o
erro pode ter sido causado por dificuldades de leitura e interpretação do texto do
problema.
Ainda com relação ao problema 2, temos a resposta fornecida pelo G3C3:
Figura 22 - Protocolo 9: Resposta do G3C3 para o Problema 2.
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
142
O grupo escreveu quatro itens e, em seguida, apresentou uma única
pergunta. A questão elaborada é confusa, referencia a unidade de medida e fornece
como resposta a conversão para potência na base 10. Entendemos que a pergunta
foi elaborada de forma equivocada, por não fazer sentido. Supomos que esse grupo
quis fazer a seguinte pergunta: podemos reescrever esses valores de forma
equivalente sem alterar o valor numérico da questão, empregando outra unidade de
medida? O mesmo ocorreu com o item 3, que parece expressar a mesma linha de
pensamento do item 1. Nele, os alunos expressaram corretamente os valores
numéricos, mas cometeram um erro de conceito. Esse erro será descrito na
categoria 4, assim como as respostas 2 e 4.
A resposta fornecida pelo grupo G1C1 por meio do Protocolo 10 (Figura 21)
nos mostra outro erro:
Figura 23 - Protocolo 10: Resposta do G1C1 para o Problema 2
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Nesse protocolo, o grupo apresentou somente uma questão, a qual foi
respondida com erro, deixando de formular as outras duas. O grupo descreveu o
raciocínio utilizado, inserindo corretamente a fórmula para responder à questão;
entretanto, deixou de acrescentar o valor numérico 106 do prefixo µ que acompanha
a corrente elét -6 A). Com esse erro cometido, temos
uma diferença no valor de 1.000.000 de vezes a mais. O mesmo é válido para a
outra operação apresentada pelo grupo. Esse protocolo nos dá pistas de que esses
alunos, como outros, não consideraram o valor numérico do prefixo.
Encontramos uma resposta no Problema 3 que caracteriza falta de
entendimento do problema proposto, e está exposta no Protocolo 11 (Figura 22):
143
Os alunos responderam à primeira pergunta com base no desenvolvimento
do item 2; entretanto, não fizeram exatamente o que lhes foi perguntado. Isso mostra
a relevância desses problemas diferenciados, propostos aos alunos, que os ajudam
a ter um raciocínio melhor e a elaborar respostas diferentes daquelas a que estão
habituados.
No problema 4, encontramos erros dessa categoria em dois itens da
resposta apresentada pelos alunos do G10C1:
Ao observarmos a primeira e a segunda perguntas do Protocolo 12 (Figura
23), percebemos que esse grupo não entendeu o texto do problema, que descreve o
histórico do custo de energia elétrica em uma residência, na forma de gráfico de
barras verticais, modelo esse utilizado pelas concessionárias de energia no Brasil.
Essa resposta sugere que esse grupo não montou sua questão de acordo com o
texto do problema. Percebemos que nesses itens, esse grupo não conseguiu
traduzir na linguagem usual uma informação fornecida em linguagem matemática.
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Figura 24 - Protocolo 11: Resposta do G1C2 para o Problema 3
Figura 25 - Protocolo 12: Resposta do G10C1 para o Problema 4
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
144
5.4.2 Categoria 2 - Erros ligados a cálculos incorretos
Para essa categoria, procuramos responder à seguinte questão parcial: Que
tipos de erros matemáticos os alunos apresentam nas resoluções dos problemas?
Nessa categoria, reunimos aqueles erros que ocorrem quando cada passo
na realização do problema está correto ou responde à lógica interna do
procedimento esperado, entretanto, o resultado final não corresponde à solução
desejada em virtude de erros de cálculo apresentados na efetivação de operações
básicas, ou causado pela transferência equivocada de símbolos e números
envolvidos na situação.
Iniciamos por analisar a resolução do problema gerador 2, que o grupo
G3C3 apresentou:
Figura 26 - Protocolo 13: Resposta do G3C3 para o Problema 2
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Para essa categoria de análise, o foco será colocado no item 4. O grupo
apresentou a fórmula correta e inseriu o valor do numerador corretamente;
entretanto, ao selecionar o valor a ser inserido no denominador, considerou o valor
220. Neste caso, o grupo pode ter pegado novamente a tensão elétrica, que era de
220 V, ao invés de inserir o valor correto da corrente elétrica, que era de 200µA.
Esse erro pode ter sido a expressão de um mero engano na tomada de valores ou
de confusão entre conceitos de tensão e corrente elétrica.
145
Ainda utilizando o problema gerador 2, encontramos no Protocolo 14 (Figura
25) apresentado pelo grupo G7C4 a seguinte resposta:
Figura 27 - Protocolo 14: Resposta do G7C4 para o Problema 2
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Nesse protocolo, analisaremos inicialmente o item 4, pois, a partir desse
erro, existe um desencadeamento de erros nos itens 2 e 3. Pelo que podemos
observar, com relação ao item 4, o grupo realizou a conversão de 200µA para
200.10-6A e escreveu o número 200.10-6 na forma decimal como 0,002A. O correto
seria 0,0002ª; portanto, houve erro no momento de dividir 200 por 1.000.000.
Encontramos no problema 3 um protocolo em que o grupo descreveu todos
os passos para uma resolução adequada, mas cometeu um erro ao final.
Figura 28 - Protocolo 15: Resposta do G1C2 para o Problema 3
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Nesse protocolo, salientamos a resolução do item 2, na qual o grupo realizou
as operações necessárias aos dois subitens, I e II, do problema. Na primeira linha da
resolução, está o subitem I do problema, que mostra que o grupo não inverteu o
146
sinal do expoente (- 3) que acompanha a base 10 ao efetuar a operação de divisão
entre os números 23 e 15.10-3.
O erro ocorreu por não dominarem as operações e as propriedades relativas
à potenciação, em que o sinal de menos (-), neste caso, indica o valor inverso da
potência, ou seja, 10-3 = (103)-1 = Então, .
Por fim, na última passagem da resolução desse item 2, tentando justificar a
resposta do subitem II do problema, indicaram o cancelamento dos expoentes no
numerador e denominador, e acabaram por somá-los, fornecendo novos indícios de
não conhecerem as operações com potenciação, ou não pensarem nelas.
Ainda dentro dos protocolos do problema gerador 3, o grupo G9C4
apresentou a seguinte resposta:
147
Nesse protocolo, vamos nos ater ao cálculo efetuado pelo grupo para
determinar o valor da área da circunferência do fio, apresentado à direita, logo após
o enunciado. O grupo indicou os cálculos e procedimentos de forma correta, mas
deixou de efetuar a potência 32
Desse modo, os erros de cálculo observados nos protocolos são referentes,
especialmente, ao conteúdo potenciação e números racionais.
Já o Protocolo 17 (Figura 28) apresenta a resposta fornecida pelo grupo
G3C3 ao problema 4, mostrando erro de estimativa e de cálculo de porcentagem no
item 3:
Figura 29 - Protocolo 16: Resposta do G9C4 para o Problema 3.
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
148
Ao escolherem os meses de agosto e setembro para elaborarem a pergunta,
eles devem ter realizado alguns cálculos, pelo menos mentais, visto que os escritos
não aparecem.
Para a resolução do problema de forma correta, os alunos deveriam ler o
gráfico e, em seguida, analisar as respostas propostas, comparando-as com o
gráfico. Com base em conhecimentos anteriores porcentagem e leitura de gráficos
, os alunos passariam, então, a preparar questões que pudessem ser respondidas
pelas respostas fornecidas.
5.4.3 Categoria 3 - Erros ligados às deficiências na construção de conhecimento matemático prévio
Essa categoria visa responder a outra questão parcial: Quais conteúdos
matemáticos da Educação Básica são manifestados nos erros cometidos pelos
alunos?
A construção dessa categoria de erros se deu devido à recorrência de dados
manifestando aprendizagem incorreta ou incompleta de fatos, procedimentos,
algoritmos e conceitos matemáticos da Educação Básica que interferem no
processamento adequado da informação dada ou na resolução do problema
proposto.
O Protocolo 18 (Figura 29) refere-se ao problema gerador 1, em que o grupo
introduziu os valores possuindo o conhecimento físico teórico previamente abordado
em aula. O grupo G5C4 também apresentou resolução com fatos interessantes que
valem nosso olhar:
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Figura 30 - Protocolo 17: Resposta do G3C3 para o Problema 4
149
Apesar de ter havido uma aula em que foi apresentada a teoria física
relacionada a este problema, a resposta fornecida por esse grupo indica que os
alunos não conseguiram obter uma expressão que descrevesse o quanto teriam de
pagar para a companhia de eletricidade para ter o no break funcionando.
Supostamente, este problema não deveria apresentar dificuldades em sua
X número de horas dia X número de dias do mês X o valor do kWh; a unidade de
potência Watt deveria ser convertida para kiloWatt, envolvendo resolução simples de
operações básicas trabalhadas no Ensino Fundamental.
Encontramos outro protocolo para a resolução do problema gerador 1,
apresentado pelo grupo G2C1, com a seguinte resolução:
Figura 31 - Protocolo 18: Resposta do G5C4 para o Problema 1
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
150
Neste protocolo, o que chamou atenção foi o fato de o grupo ter inserido os
valores nas lacunas pertinentes, mas nas operações matemáticas efetuadas para
inserir tais valores, não houve coerência entre os resultados que seriam obtidos e os
valores selecionados. O registro das operações realizadas pelo grupo sugere que a
escrita está errada. Ao montar a operação de divisão, o grupo inverteu a posição do
dividendo e do divisor. Esse grupo ainda procurou resolver operações para encontrar
o valor final a ser pago, cometendo erro ao indicar o resultado 0,00029651 como
resultado da divisão de 0,29651 por 1000. Embora os alunos tenham escrito
(incorretamente) 0,0029651, todos os cálculos foram feitos com base no valor
correto e possivelmente utilizaram a calculadora. Entretanto, não souberam registrar
corretamente no papel o que a calculadora fez. Podemos questionar se eles não
sabiam empregar o cálculo em seu cotidiano.
Assim, esse grupo nos deu indícios de que há ausência do embasamento
matemático que envolve as operações básicas. Possivelmente o que ocorreu foi que
o grupo fez todo o cálculo na calculadora, mas não conseguiu escrever a construção
das operações de forma correta.
Figura 32 Protocolo 19: Resposta do G2C1 para o Problema 1
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
151
Em outro protocolo, do problema gerador 2, o grupo mostrou o seguinte:
O grupo não preparou questões a serem respondidas, conforme foi
solicitado. Realizaram algumas aplicações de fórmulas, mas não é possível saber se
as aplicações dessas fórmulas foram feitas para responder a perguntas pensadas no
grupo.
Entretanto, ao considerarmos os cálculos realizados, podemos ver alguns
erros cometidos com relação à utilização de conceitos matemáticos.
Para melhor entender nossa análise para este protocolo, vamos iniciar pela
utilização da fórmula da 1ª Lei de Ohm na primeira linha da resolução,
em que o grupo substituiu os valores de forma correta. Mas os erros ocorreram em
cadeia, iniciando por não indicar com o sinal (-) no expoente da base 10 ao efetuar a -6,
porém foi indicado pelo grupo como 103. Ainda, ao efetuar a multiplicação de 0,55
por 103 de forma errônea, indicou como resultado um valor 100 vezes menor.
Ressaltamos que esse grupo representou o número zero como é utilizado na
área de tecnologia (o zero cortado na diagonal - Ø), de forma inadequada para esse
contexto, que desenvolve um raciocínio matemático na resolução de um problema
Figura 33 - Protocolo 20: Resposta do G6C3 para o Problema 2
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
152
de Física Elétrica; essa notação remete à simplificação de valores, que não foi
realizada por esse grupo.
Na resolução do Protocolo 20 (Figura 31), mais uma vez os alunos utilizaram
do tempo); porém, realizaram a operação da multiplicação de 200 por 1 e
escreveram 20 como resultado, desconsiderando o prefixo micro (µ = 10-6), que
acompanha o número 200. Na sequência, escreveram a fórmula para o cálculo de
carga elétrica (Q) a partir do número de elétrons e da carga elementar (e), mas ao
efetuarem a divisão de 20 por 125x103, mais uma vez desconsideraram o valor 103.
O grupo demonstrou não ter habilidade para efetuar operações aritméticas e
mostrou dificuldades em potenciação e suas propriedades. Esses erros relacionados
com conteúdos de Aritmética nos dão indícios da ausência de conhecimentos acerca
das operações matemáticas básicas.
Encontramos no problema 3 um protocolo em que o grupo descreveu todos
os passos para uma resolução adequada, mas cometeu um erro no final.
Neste protocolo, salientamos a resolução do item 2, no qual o grupo realizou
as operações necessárias aos dois subitens, I e II do problema. Olhando para a
última linha do item 2, notamos que o grupo iniciou a resolução selecionando a
fórmula correta e no momento seguinte, reescreveu a fórmula efetuando
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Figura 34 - Protocolo 21: Resposta do G1C2 para o Problema 3
153
a substituição dos fenômenos físicos, que estão em lados opostos na igualdade (R e
), desconsiderando as operações matemáticas envolvidas no 2º membro dessa
igualdade. Ou melhor, deixou transparecer que não utilizou as regras de
multiplicação para o outro lado da igualdade como divisão, e a divisão como
multiplicação; um erro muito comum nas aulas, em que os alunos substituem as
variáveis pelos valores numéricos fornecidos pelo problema e isolam a variável que
o problema solicita.
Apresentamos outro protocolo com a resolução do problema gerador 3, pelo
grupo G5C4:
Neste protocolo, nos itens 2 e 3, o grupo respondeu que havia um erro
relativo à não conversão de unidade de área (6 mm); ocorre que mm não é unidade
de área. Ainda no item 2, no momento em que substituíram as variáveis por seus
valores numéricos, utilizaram o valor do diâmetro (6 mm) dividido por dois, ou seja,
empregaram o valor do raio e o substituíram na fórmula como sendo a área. Essa
situação indica que o grupo possui deficiências de conhecimento acerca de
conceitos básicos de unidades de medidas de área e elementos de geometria
elementar, conhecimento nem sempre trabalhado na escola básica.
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Figura 35 - Protocolo 22: Resposta do G5C4 para o Problema 3
154
5.4.4 Categoria 4 - Erros ligados às deficiências na construção de conhecimento físico prévio
Essa categoria visa responder a outra questão parcial: Quais são as
dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos alunos na aplicação da 1ª e 2ª
Leis de Ohm através da resolução de problemas?
A construção dessa categoria de erros atende à convergência de passagens
registradas nas resoluções dos problemas, manifestando aprendizagem incorreta ou
incompleta de fatos, procedimentos, algoritmos e conceitos físicos que interferem na
obtenção da solução do problema.
Dessa forma, o protocolo 23 (Figura 34) se refere ao problema gerador 1,
em que o grupo G5C4 introduziu alguns valores:
O grupo, em sua escrita, afirmou que apenas três dos seis números
propostos possuíam relação com o problema. A resposta fornecida por esse grupo
nos mostra que houve dificuldade em transpor os conceitos de DDP (tensão
elétrica), corrente elétrica e de potência elétrica para uma aplicação do cotidiano de
um profissional da área de tecnologia, uma vez que não conseguiu calcular os
valores que são ma
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Figura 36 - Protocolo 23: Resposta do G5C4 para o Problema 1
155
No próximo protocolo, Figura 35, o grupo nos forneceu outras informações
sobre o problema 1, que pensamos ser importantes para este estudo:
No caso desse grupo, também enxergamos dificuldades em relacionar os
conhecimentos da teoria da Física com a realidade, não conseguindo analisar os
valores que deveriam ser dispostos nas lacunas. Destacamos o fato de os alunos
terem indicado o valor de 440A para a corrente elétrica, que é demasiadamente
grande para a situação descrita no problema.
Os indícios emergem do fato de o grupo de alunos não ter analisado as
relações existentes entre corrente elétrica, tensão elétrica e potência elétrica. Para
obter a potência, eles deveriam ter multiplicado o valor da corrente pelo valor da
tensão; isso realmente não foi cogitado pelo grupo, como é mostrado na resolução
apresentada.
Também, ao inserir o valor de R$ 1,18604 para o custo, o grupo demonstrou
que não compreendeu o significado de kWh (kilo Watt por hora), pois o valor
indicado se refere ao custo de operação por 4 horas, e não por 1 hora somente.
Desconsiderou, assim, o que foi comentado previamente em aula, antes da
aplicação desse problema, sugerindo falta de conhecimento de Física Elétrica por
parte desse grupo.
O protocolo 25 (Figura 36) apresenta a resposta fornecida pelo G3C4 ao
problema gerador 1.
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Figura 37 - Protocolo 24: Resposta do G7C3 para o Problema 1
156
Observamos neste protocolo que o grupo aparentemente introduziu os
valores sem se utilizar do conhecimento físico teórico previamente comentado em
afirmação esteja correta para este problema, o grupo não empregou a relação
física P = U. i para obter a potência, indicada erroneamente como 31,311456, o que
sugere falta de conhecimento teórico de Física Elétrica.
Com relação ao problema gerador 2, o grupo G3C3 apresentou a seguinte
resposta:
Figura 39 - Protocolo 26: Resposta do G3C3 para o Problema 2
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Fonte: Resolução elaborada pelos alunos.
Figura 38 - Protocolo 25: Resposta do G3C4 para o Problema 1
157
Ressaltamos que neste protocolo, vamos analisar o item 3, em que o grupo
realizou uma reescrita dos valores na base 10, acreditando que desse modo seria
ou melhor, consideraram que o número de elétrons poderia ser fornecido em C, que
representa a unidade de carga, sugerindo falta de conhecimento sobre esses
conceitos e suas respectivas unidades de medida.
Assim, o erro pode ser visto como uma valiosa fonte de informações, um
sinal, nem sempre muito claro, de que ele pode redirecionar o processo de ensino-
aprendizagem. Há a possibilidade de ser também uma fonte de motivação, uma
oportunidade para os alunos refletirem, argumentarem, discutirem e reverem seus
conhecimentos para uma melhor compreensão e uma maior familiaridade com o
raciocínio lógico, matemático e físico.
Pensamos que essas alternativas de categorização dos erros vão além de
diagnosticar, permitindo refleti-los como parte da construção de novos conceitos
matemáticos e físicos, ou de sua revisão, assim como da compreensão da natureza
e dos métodos da Matemática e da Física.
Tendo desenvolvido tais análises acerca dos dados, vamos considerar, na
seção a seguir, a literatura relacionada a esses aspectos.
5.5 Dialogando com a Literatura sobre Análise de Erros
Na seção anterior, referimo-nos aos erros que os alunos cometeram ao
responderem os problemas propostos. Foram necessárias algumas intervenções por
parte do professor pesquisador para que os alunos respondessem sem receio sobre
a forma como eles estavam enxergando cada problema proposto. Nossa intenção
era mostrar a importância de o professor dar ao aluno oportunidade para ele se
expressar, a necessidade de valorizar sua fala e, principalmente, de observar como
os alunos desenvolvem seu raciocínio ao registrarem as respostas dos problemas,
aproveitando o erro cometido como uma fonte da qual se podem extrair novos
conhecimentos e auxiliar os alunos a transporem barreiras de conhecimentos.
Assim, sentimos a necessidade de definir o erro para não ficarmos no senso
comum. Japiassu e Marcondes (1999) e Torre (2007) nos fornecem esse conceito,
158
que nos fez refletir sobre as implicações de considerar o erro dentro do contexto da
Educação e do nosso trabalho, conforme já explicitamos.
Seguindo a linha da Análise de Erros, Torre (2007), Cury (2006, 2007), Cury
e Viali (2009, 2011), Cury e Konzen (2006), Pochulu (2005), Radatz (1979), Rico
(1995) e Borasi (1985,1987) têm estudado as dificuldades e os erros cometidos
pelos alunos na aprendizagem de Matemática em geral, classificando e discutindo
essas dificuldades.
Em nossa pesquisa em particular, alguns dos erros cometidos pelos alunos
envolvem a Álgebra. Os erros cometidos e as dificuldades que esses alunos
possuem nessa área do conhecimento matemático, que apareceram nos problemas
resolvidos e entregues por eles, sugerem que tais dificuldades estejam associadas à
complexidade dos elementos que dão sentido à Álgebra, como a sintática e a
semântica envolvidas nos processos associados aos pensamentos oriundos da
própria natureza da Álgebra.
Com os alunos participantes desta pesquisa, verificamos também, em
algumas resoluções, erros que, como sugerem Buriasco e Silva (2005), relacionam-
se à leitura dos problemas propostos, envolvem Matemática e, podemos acrescentar
também, a Física, trazendo informações acerca de onde o aluno tem dúvida, do que
ele não soube interpretar, apesar de terem sido abordados em vários anos de sua
vida escolar os conteúdos de Matemática Básica.
Com frequência encontramos, em nossos protocolos e nas tarefas
trabalhadas em sala de aula, erros que são causados pela criação de novas regras
de transposição de termos a partir dos termos que são fornecidos pelas tarefas,
quando necessitam resolver uma equação. Essas situações são apontadas nos
estudos de Borasi (1985), Cury et al. (2009).
Nessas associações ou inferências, exemplificamos pela expressão
, em que o aluno entende que muda o sinal e inverte a operação
matemática; nesta outra expressão, temos . Por desconhecer o
processo da igualdade em inserir valores que não alterem o teor da igualdade,
, e então, obtém . Esse aspecto foi descrito por
159
Corral (apud TORRE, 2007), esclarecendo que o erro de compreensão ocorre
quando não se conhecem claramente as regras.
Os erros e as dificuldades em Matemática ocorrem, em geral, por expressiva
quantidade de regras de transformação utilizadas nas equações e que não têm
validade geral. Por outro lado, enquanto as regras válidas para determinada situação
são poucas, é também verdade que os alunos tendem a sobrecarregar a memória
com muitas delas, aplicando-as mecanicamente, pois nem sempre as entendem.
dividindo; se está somando, passa subtraindo; se está como potência, passa como
-nas sem saber que são versões simplificadas das operações
aplicadas a igualdades elementares, e se perdem em várias transposições de
termos e cálculos quando têm que resolver equações ou expressões, conforme
descrito nos tipos de erros fornecidos por Torres (2007), Cury (2006), Pochulu
(2005) e Rico (1995).
Outra área da Matemática em que os alunos têm apresentado dificuldades,
neste tipo de pesquisa, é a Geometria, por envolver uma diversidade de conteúdos,
entre eles: perímetros, áreas, volumes e projeções. Complementando, alguns
estudos apontam para a proporcionalidade, o Teorema de Thales e o Teorema de
Pitágoras, por exemplo.
Um desses estudos foi realizado por Leiva e Cury (2010), em que são
apresentados dados relevantes a respeito do ensino de Geometria, e se questionam
do mesmo modo como também o fazem outros autores: será que a Geometria está
efetivamente presente nas salas de aula, principalmente na Educação Básica? Por
esse e outros trabalhos, notamos as deficiências dos alunos em Geometria. Na
pesquisa que desenvolvemos, o conceito de área e diâmetro aparece na 2ª Lei de
Ohm, em que pudemos verificar as deficiências acerca desse conteúdo matemático
nos protocolos entregues pelos alunos. Ao utilizarmos a análise de erros para
analisarmos as resoluções do problema 3, verificamos que a falta de domínio desses
conceitos continua nos alunos, mesmo quando ligados a novos conteúdos,
deixando, dessa forma, lacunas em cadeia. Em nosso caso, utilizamos conceitos de
área, diâmetro e raio.
160
Assim, para Cury e Cassol (2004), é importante um trabalho especial com a
pois, em muitos casos, os alunos não os dominam de modo suficiente para a
compreensão do novo conteúdo a ser ensinado.
Borasi (1985) aponta que os erros dos alunos são causados pelas
dificuldades de aprendizagem deles e/ou de falha nas técnicas de ensino.
Entretanto, se o aluno sequer compreende o que um problema deseja, seus erros
serão sistemáticos, ou melhor, ocorrerão em situações análogas, por não se sentir
desafiado a compreender os conceitos matemáticos envolvidos na atividade
proposta.
Peduzzi et al. (1992) concluíram que os alunos, após fazerem a leitura de
um texto referente à história da Física Mecânica, tiveram um bom desempenho na
resolução dos problemas envolvidos na avaliação, sugerindo que os alunos tenham
direcionado seus esforços para superar os erros cometidos anteriormente e as
dificuldades inerentes aos problemas e à disciplina.
Do que foi analisado, uns poucos erros em conteúdo de Aritmética foram
detectados, os quais são estudados pelos alunos dos anos iniciais, como
relacionado por Cury e Silva (2008), Pochulu (2005) e Borasi (1987). Podemos
perceber que os erros cometidos pelos alunos desta pesquisa decorreram de
dificuldades relacionadas à regra de sinais e operações com números decimais.
Torre (2007), Cury e Konzen (2006), Pochulu (2005) e Rico (1995) apontam
para alguns tipos de erros melhor discutidos e descritos por nós no capítulo 2.
Inspirados por esses estudos, também nós estabelecemos categorias de erro,
procurando agrupar aqueles que mais predominaram nos protocolos entregues pelos
alunos, estabelecendo laços entre esses documentos produzidos por eles e as
reflexões derivadas das leituras realizadas. Esse processo serviu para que
pudéssemos entender e levantar hipóteses a respeito dos erros cometidos nas
resoluções dos problemas. Com relação à análise do erro, foram percebidas
algumas dificuldades em adotá-la como um processo de pesquisa, e o estudo do
erro na aprendizagem tem sido um ponto de interesse permanente ao longo dos
últimos tempos, como descrevem Radatz (1979), Rico (1995), Pochulu (2005) e Cury
161
(2007).
Para nossas análises, consideramos, dentro das categorias, os erros que
identificamos nas resoluções escritas dos problemas resolvidos por alunos do 3º
semestre de cursos tecnológicos com relação aos diferentes conteúdos matemáticos
abordados no Ensino Fundamental, no Ensino Médio e no próprio Ensino Superior.
Para Torre (2007) e Cury (2007), o erro somente possui valor se for seguido de uma
reflexão, permitindo estabelecer uma aproximação com as possíveis causas que
levam esses alunos a cometê-lo sistematicamente. Em nossa pesquisa, procuramos
refletir sobre cada protocolo entregue pelos grupos de alunos, observando se e onde
é necessário cuidar para que haja evolução na aprendizagem. Cury e Silva (2008)
comentam que o erro também está ligado aos processos de ensino e aprendizagem,
sinalizado pelas dificuldades apresentadas pelos alunos, e que professores, ao
utilizarem estratégias de ensino inadequadas, não auxiliam esses alunos a
superarem essas dificuldades.
Tal como Allevato e Onuchic (2009), consideramos problema gerador a
tarefa que os alunos deveriam desenvolver; e o professor pesquisador
intencionalmente propôs problemas direcionados à área de tecnologia da informação
envolvendo conteúdos de Física Elétrica, gerando novas questões e acarretando
implicações positivas para a Resolução de Problemas. Especificamente nesta
pesquisa, observamos outras linguagens além da usual e da matemática,
coexistindo e emergindo nos problemas trabalhados pelos alunos.
Esta característica ocasionou para esses problemas a necessidade de
considerar a linguagem técnica específica dessa área da tecnologia, que também
consideramos como linguagem usual, que seria traduzida em linguagem matemática
para interpretar a realidade. Surgiu também, em nosso caso, a linguagem da Física,
pelo fato de configurar os problemas desenvolvidos pelos alunos e por fazer parte do
ambiente em que convivem.
Para Carvalho et al. (1992), dentro do ensino de Física, os problemas, ao
invés de se tornarem um veículo metodológico para construir e aprofundar
conhecimentos, têm se tornado uma forma de reforço dos erros. Os autores
ponderam sobre as muitas análises realizadas a respeito de problemas resolvidos
162
nos livros texto ou pelos professores, em que se verifica o operativismo, ou seja, é
feito um tratamento superficial dos conceitos. Em nossa pesquisa em particular,
procuramos fazer o inverso do que esses autores apontam em seu trabalho, pelo
fato de tomarmos consciência das deficiências apresentadas nas aulas, procurando,
através da resolução de problemas, mostrar a importância da Física, em especial, a
Física Elétrica.
Houve dificuldades na interpretação, algo que acontece com uma parte dos
alunos de cursos da área de Ciências Exatas, expondo o quanto foi difícil para eles
transcreverem para a linguagem matemática as sentenças propostas em linguagem
usual dos contextos de aplicação inseridos nos problemas geradores.
Supostamente, tais dificuldades evidenciam falhas no entendimento de conteúdos de
Matemática do Ensino Fundamental, bem como de conteúdos de Física Elétrica do
Ensino Médio.
Em nossa pesquisa, observamos que em alguns momentos, os alunos se
apresentavam um pouco tensos ao resolverem os problemas. O envolvimento de
duas disciplinas (Matemática e Física) das quais, em geral, esses alunos têm muito
medo, pode ter contribuído para essa tensão. Nikerson, Perkins e Smith (apud
TORRE, 2007) informam sobre erros cometidos por alunos relacionados às atitudes
afetivas e emocionais, os quais, para eles, tornaram-se objeto de estudo. Os
pesquisadores sugerem que as dificuldades associadas com atitudes afetivas e
emocionais constituem fatores importantes a serem considerados.
Lampert (2001) explica que alguns erros são decorrentes da crença,
presente nos alunos e em muitas outras pessoas de dentro e de fora do ambiente
escolar, de que a Matemática da escola é diferente e mais difícil do que a
Matemática presente no cotidiano. Disso resulta que na resolução de problemas
aplicados, os alunos cometem erros por não associarem o conteúdo escolar em
questão à situação prática à qual ele se relaciona. Os protocolos analisados nesta
presente pesquisa ilustram esse aspecto.
Finalmente, devemos reconhecer que muitos dos erros que os alunos
cometem em Matemática não são devidos, especificamente, ao assunto que está
sendo desenvolvido, mas sim, às lacunas de conhecimentos prévios que são
163
movidos para o novo conteúdo a ser abordado, e descrito por Torre (2007) como
categoria didática. Esse aspecto se fez fortemente presente nos dados construídos
na pesquisa relatada na presente tese.
165
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A Resolução de Problemas
Como se apresenta a Análise de Erros na pesquisa
166
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O que está agora provado foi uma vez imaginado.
William Blake26
Conforme foi narrado na Introdução, esta pesquisa nasceu a partir de
inquietações acerca dos erros e dificuldades dos alunos com relação à Matemática
aplicada em aulas de Física, que, neste caso, foi no campo da eletricidade, surgida
durante minha trajetória profissional como educador. Por este motivo, nosso trabalho
teve a intenção de aprofundar os estudos sobre Análise de Erros.
Agregamos às análises dos erros uma metodologia que auxiliasse no
desenvolvimento das atividades, a Metodologia de Ensino através da Resolução de
Problemas. Desse modo, o embasamento teórico no qual está apoiada esta
pesquisa abrange dois eixos temáticos: a Análise de Erros e a Resolução de
Problemas.
A pesquisa foi desenvolvida com alunos do 3º semestre de dois cursos de
nível superior de Tecnologia, na área de redes e Internet, em uma universidade
privada da cidade de São Paulo.
O que nos motivou e orientou nesta pesquisa foi a pergunta geral: Como se apresentam os erros matemáticos cometidos pelos alunos ao resolverem problemas de Física Elétrica em um ambiente de ensino através da Resolução de Problemas?
Escolhemos a metodologia de pesquisa qualitativa e utilizamos pesquisa
participante, observação participante e análise de documentos. Os dados estão
registrados em diário de campo, fotografias, audiogravações e nos documentos
analisados, que são os registros escritos dos problemas geradores resolvidos pelos
alunos.
26 (1757-1827), poeta inglês, no livro The Marriage of Heaven and Hell.
167
Para a realização da pesquisa de campo, foi considerada a ementa da
disciplina a ser cumprida no decurso das aulas que utilizamos na aplicação do
instrumento de pesquisa. Para tal, criamos problemas geradores de Física Elétrica,
aplicados ao cotidiano dos alunos. Os problemas foram aplicados seguindo a
perspectiva da metodologia de ensino através da Resolução e Problemas. Ela
permitiu aos alunos saírem do estado passivo, de meros espectadores ou
aplicadores de algoritmos (fórmulas) que lhes eram repassados, para se tornarem
mais ativos, mobilizando conhecimentos prévios e libertando-se do mecanicismo.
Muitas vezes, as salas de aula possuem um número significativo de
alunos com elevado grau de rejeição e/ou frustração com a Matemática. Muitos a
veem como uma ciência fria e austera, que dá pouco espaço para a criatividade.
Expressões como "isto não é para mim", "muito difícil", "eu nunca vou entender
essas coisas", entre outras, são conhecidas por diversos professores de Matemática.
Esses sentimentos podem resultar de uma falta de confiança em seu próprio
desempenho, o que leva o aluno a desistir antes mesmo de começar. Desse modo,
com nossa pesquisa, criamos um canal de comunicação mais aberto, dando voz ao
aluno e mostrando que ele é capaz de tomar para si a responsabilidade pela
construção de novos conhecimentos, valendo-se de seu saber prévio e de sua
experiência, e transitando entre a linguagem usual e a linguagem matemática.
A metodologia que adotamos é diferente da que usualmente é proposta nas
salas de aula, em que o professor expõe o conteúdo, apresenta alguns exemplos, e,
em seguida, os alunos reproduzem o que lhes foi apresentado, desconsiderando a
capacidade dos alunos de refletir, interpretar, criar e concluir por si mesmos sobre o
conteúdo desenvolvido. Desse modo, um dos intuitos de nossa pesquisa foi
entender como o aluno trabalha em sala de aula com uma metodologia de ensino
que, por meio de problemas, ajuda-o a analisar alternativas, conhecidas ou não,
para solucionar problemas com seus conhecimentos prévios, construindo, assim,
novos conhecimentos.
Procuramos desenvolver nas aulas um clima cooperativo de investigação, de
exploração e descobertas entre os alunos, mostrando que mais importante que
acertar as resoluções dos problemas era que apresentassem o raciocínio e
estratégias utilizadas no desenvolvimento, para que pudéssemos, caso houvesse
168
algum erro, analisar e discutir com a classe e obter uma ou mais soluções acertadas.
Isso nos possibilitou perceber que o trabalho em grupo gerou a mobilização e a
produção de novos conhecimentos, tanto relativos aos conteúdos físicos envolvidos,
abrindo a oportunidade de arquitetar e compreender outras estratégias que foram
consideradas pelos colegas, como para corrigir e entender os erros cometidos no
momento em que buscavam diferentes alternativas.
O pouco tempo que tivemos para desenvolver esse trabalho possivelmente
não foi suficiente para sanar, por parte dos alunos, as lacunas existentes com
relação a alguns tópicos matemáticos do Ensino Básico. Notamos avanços e boa
aceitação, por parte dos alunos observados, durante as resoluções e plenárias dos
problemas propostos. A postura dos alunos no decorrer desta pesquisa foi mudando,
e eles se tornaram mais participativos na medida em que eles passaram a confiar
mais em si mesmos, e no grupo ao qual estavam inseridos, no dia em que
aplicávamos os problemas e realizávamos as plenárias. Muitos alunos passaram a
falar mais de suas dificuldades, o que fez florescer erros conceituais de Matemática
e de Física Elétrica, anteriormente estudadas nos Ensinos Fundamental e Médio.
Nossas aulas foram dinâmicas ao trabalharmos com a metodologia de ensino
através da Resolução de Problemas, proporcionando maior interação entre os
alunos no momento em que eram desafiados e motivados a resolver os problemas,
partindo sempre de seus conhecimentos prévios, gerando, dessa forma, um
ambiente de aprendizagem mais acessível e expressivo. De acordo com relatos dos
alunos, alguns poucos acharam difícil estudar com essa metodologia de ensino.
Entretanto, houve outros que aprovaram essa nova forma de se trabalhar em sala de
aula.
O fato é que desenvolver um trabalho com essa metodologia de ensino não é
algo simples; demanda maturidade e abertura a novas ideias por parte do professor
para esboçar os problemas de acordo com o conteúdo e o objetivo que se pretende
atingir, exigindo um tempo maior para sua preparação.
Nossos alunos falam e discutem conceitos físicos e matemáticos
diariamente sem perceber. No entanto, em nossa coleta de dados, quando havia a
necessidade da formalização para resolver um problema, percebemos a dificuldade
169
que os alunos possuíam para extrair da linguagem natural as informações
necessárias para estruturar na linguagem matemática e/ou física a resolução aos
problemas propostos, mostrando fragilidade em compreender e aplicar conceitos
matemáticos e físicos. Alguns dados mostraram que os alunos, mesmo possuindo
coerência na estruturação do problema, cometeram erros de cálculos, não atribuíram
sentido aos números, não consideraram um sinal, entre outras constatações.
Verificamos ainda que os alunos possuem uma formação básica
matemática deficitária, inclusive em alguns conceitos matemáticos do Ensino
Fundamental que estavam inseridos nos problemas. Assim, alguns conteúdos se
tornaram uma barreira para alguns grupos resolverem os problemas, como foi o
caso das propriedades de potenciação, regras dos sinais, operações algébricas na
resolução de equações de acordo com o princípio de equivalência de igualdades,
porcentagem e conteúdos de Geometria.
Também testemunhamos que os alunos convivem com a Física Elétrica
em seu cotidiano, mas possuem deficiências em lidar com algumas leis que são
importantes para sua vida profissional. É o caso da 1ª e 2ª Leis de Ohm, que se
apresentaram nos problemas e fizeram emergir a dificuldade que esses alunos
possuem com esse conteúdo, mesmo tendo aprendido no Ensino Médio. As
unidades de medida são também parte das dificuldades ou das carências de
conhecimentos dos alunos, que se mostraram pelos dados coletados. Com base nos
dados recolhidos, inferimos que eles manifestaram dificuldades na interiorização dos
conceitos de Física Elétrica, bem como na compreensão do próprio processo de
resolução dos problemas envolvendo Matemática. Ressaltamos ainda que os dados
apontaram que os alunos possuem dificuldades em fazer associação da realidade
com a Matemática e com a Física, e isso está presente e se faz necessário em seu
cotidiano. Consideramos que essas dificuldades estão ligadas à atribuição de
significado aos conteúdos trabalhados em sala de aula. Nesse sentido, a experiência
realizada para o desenvolvimento da presente pesquisa representou relevante
contribuição com o Ensino através da Resolução de Problemas aplicados.
A partir desta pesquisa, consideramos importante diagnosticar e tratar com
mais seriedade as situações escolares que envolvem o erro, dedicando um tempo
maior para saber como os alunos pensam, discutindo com eles a respeito de suas
170
concepções erradas e mostrando-lhes situações matemáticas que os ajudem a
reajustar seus conceitos e ideias. Desse modo, para o aluno adquirir um novo
conhecimento, supõe-se que haja um significado para esse aluno. O ensino deve
considerar perguntas que ele mesmo se faça, buscando por alguns conhecimentos
que já possua, assumindo a responsabilidade da construção de novos saberes,
considerando os problemas como seus, e não do professor.
Hoje, percebemos que o conhecimento a respeito dos erros, por parte dos
professores, é importante para que lhes forneça subsídios, auxiliando-os a
compreender a forma como os alunos interpretam e utilizam procedimentos
diferentes para resolverem os problemas, e a aplicar melhores estratégias de
correção das tarefas. Temos nos erros uma fonte geradora de novos conhecimentos,
ajudando os professores, também, a organizarem estratégias gerais e específicas
para melhor conduzirem o ensino e aprendizagem da Matemática, insistindo em
aspectos que geram maiores dificuldades.
Ao recordarmos os momentos vivenciados durante a aplicação dos
instrumentos, parece-nos óbvio que é fundamental aceitar a complexidade das
dificuldades dos alunos na aprendizagem de Matemática e de Física Elétrica. Tais
dificuldades se apresentam nos erros cometidos pelos alunos, tendo suas causas
nas mais diversas situações de aprendizagem. Isso reforça nossa convicção de que
o ensino deve possuir elementos de análise desses erros.
Mesmo com muitas intercorrências e dificuldades, o conhecimento adquirido
no processo de vivenciar esta pesquisa foi muito enriquecedor. Pudemos observar
em nossa pesquisa que, ao adotarmos uma metodologia de ensino diferente, a partir
da aplicação de problemas geradores, os alunos tiveram a oportunidade de
conhecer um caminho novo para aprender Matemática e Física, e perceberam,
durante as atividades propostas em sala de aula, que o início para o ensino, a
aprendizagem e a formalização de conteúdos novos, ou mesmo a retomada de
conteúdos anteriores, podem ser baseados em problemas. E que, depois de
resolvidos pelos alunos, se forem constatados erros, os problemas se tornam aliados
importantes para que possam transpor esses erros.
171
Este trabalho, então, se distingue de outros quando destaca as análises dos
erros manifestados pelos alunos durante a resolução de problemas. Os alunos
demonstraram estranheza e houve um conflito gerado pela necessidade do registro
escrito e do raciocínio desenvolvido passo a passo para obterem as soluções. Mas
isso foi essencial para que, posteriormente, a interpretação alcançada pela análise
se constituísse em um processo legítimo para apurar e discutir algumas das causas.
A base deste trabalho está na comunicação, reflexão e no diálogo com e entre
os alunos, elementos fundamentais tanto para a compreensão da metodologia de
ensino e aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas, quanto
para a construção das categorias de análise de erros. Enfatizamos, enfim, que este
trabalho propõe metodologias de ensino alternativas, possíveis de serem aplicadas
em sala de aula, utilizando o conteúdo programático da instituição escolar, nas aulas
de Física ou mesmo de Matemática, para aqueles professores dispostos a repensar
suas práticas.
Nossa expectativa é que essas ideias sejam expandidas por meio de outras
pesquisas, que tratem de questões que ficaram sem resposta no desenrolar da
nossa, e que deixamos como sugestões:
Como aproveitar os erros como elementos fundamentais para desenvolver
uma disciplina?
Qual é a natureza dos erros matemáticos apresentados pelos alunos?
Como empregar o erro como parte do processo de construção de conceitos
matemáticos?
Pensamos que as sugestões sejam relevantes à Educação Matemática e
desejamos que o presente trabalho impulsione a realização de futuras pesquisas
visando aperfeiçoar, ou mesmo inovar e ampliar o ensino de Matemática, para que
possamos auxiliar os alunos a aprenderem, por meio da compreensão significativa,
os conceitos matemáticos desejados, minimizando o ensino mecanizado, largamente
praticado em nossas escolas (Ensino Fundamental, Ensino Médio e Superior) por
professores que insistem em ensinar Matemática como um conjunto de fórmulas e
regras.
172
Nossa pesquisa aponta para um ensino de Matemática que não se restringe à
formação de alunos que saibam apenas memorizar, classificar e manipular fórmulas,
como coadjuvantes do processo de ensino e aprendizagem, mas que forma
cidadãos críticos, criativos e que sabem resolver problemas.
Assim, esperamos que esta pesquisa possa contribuir e permitir a reflexão
sobre a prática docente, da mesma forma que me proporcionou um acentuado
amadurecimento como educador ao repensar as minhas atitudes e os meus ideais
em relação à docência. Também me levou a compreender as reais
responsabilidades e os compromissos de me tornar um pesquisador. Essas
mudanças me fizeram acreditar que pesquisar não é apenas um ato ilustre para
cumprimento de uma exigência acadêmica, mas uma questão de cidadania.
Pesquisar me proporcionou conhecer diversos trabalhos, entender melhor a
importância do embasamento teórico e ter consciência do valor de um trabalho
acadêmico. Além disso, esta pesquisa me trouxe um verdadeiro fascínio pela vida
acadêmica, levando-me a participar de palestras, encontros e congressos locais,
regionais, nacionais e internacionais, o que me permitiu estar próximo de renomados
autores e novos pesquisadores, possibilitando a troca de experiências e
conhecimentos com os meus pares.
O contato com a metodologia de ensino e aprendizagem de Matemática
através da Resolução de Problemas e da Análise de Erros se deu como professor e
pesquisador, permitindo trabalhar em sala de aula com duas vertentes que sempre
apreciei, mesmo antes de conhecer autores e trabalhos. Fica um sentimento de
alívio, misturado com felicidade, por ter agora rumos bem fundamentados e dirigidos,
sabendo que não estou só neste caminho.
Entendemos que as instituições de ensino possuem uma ementa pré-
estabelecida e que necessita ser cumprida e, via de regra, já vem estabelecida na
programação das aulas. Assim, nem sempre é possível trabalhar em todas as aulas
utilizando essas metodologias. Entretanto, é viável trabalhar alguns tópicos
utilizando a resolução de problemas e discutir os erros apresentados pelos alunos,
mesmo que para isso haja a necessidade de sacrificar alguns itens do plano de
ensino da instituição.
173
De certo modo, mais relevante do que cumprir uma formalidade, a elaboração
desta tese pretende oferecer a outros a possibilidade de refazerem o nosso caminho
e, assim, terem a oportunidade de avaliar com mais segurança as observações que
fizemos. Apesar das dificuldades, este empreendimento revelou-se sempre
instigante e desafiador.
Por fim, sinto-me profundamente realizado e grato por ter tido o privilégio de
investigar, aprender, aplicar e rever meus conceitos sobre o papel do professor e
sobre minhas concepções de ensino e aprendizagem utilizando a Análise de Erros e
a Resolução de Problemas.
175
REFERÊNCIAS
ABDELMALACK, A. O Ensino-aprendizagem-avaliação da Derivada para o curso de Engenharia através da Resolução de Problemas. 2011. 175 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, 2011.
ALLEVATO, N. S. G. Resolução de Problemas. In: Associando o Computador à Resolução de Problemas: Análise de uma Experiência, 2005. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2005.
________. Diferentes tipos de problemas no desenvolvimento de diferentes habilidades de pensamento. In: IX Encontro Nacional de Educação Matemática. Belo Horizonte, 2007.
________. Teaching mathematics in the classroom through problem solving. In: INTERNACIONAL CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION, 11, 2008, Monterrey. Eleventh Internacional Congress Mathematical Education, Monterrey, México, 2008. Disponível em: <http://tsg.icme11.org/document/get/453>. Acesso em: 20 jan. 2013.
ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na Sala de Aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, n. 55, p.1-19. 2009. Disponível em <http://www.ufrrj.br/SEER/index.php?journal=gepem&page=article&op=view&path%5B%5D=54&path%5B%5D=87>. Acesso em: 11 jan. 2013.
ALVES-MAZZOTTI, A. J. O Método nas Ciências Sociais. In: ALVES-MAZZOTTI, A.J.; GEWANDSNAJDER, F. (Ed.). O Método nas Ciências Naturais e Sociais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2001, p.109-188.
AQUINO, J.G. (org). Erro e Fracasso na Escola: Alternativas teóricas e práticas. Summus. 1997.
BACHELARD, G. Epistemologia. Lisboa: Edições 70, 2006, 220p.
BARICHELLO, L. Análise de resolução de problemas de cálculo diferencial em um ambiente de interação escrita. Dissertação Mestrado IGCE - Rio Claro, SP: Universidade Estadual Paulista, 2008.
BASTOS, A. S. A. M.; ALLEVATO, N. S. G. Análise de Erros: Perspectivas nos Processos de Ensino e Aprendizagem de Matemática. In: LOPES, C. E.; ALLEVATO, N. S. G. (Org.). Matemática e Tecnologias. São Paulo: Terracota, 2011, p.17-38.
BOGDAN, R.; BIKLEN, S. Investigação qualitativa em educação: uma introdução à teoria e aos métodos. Lisboa: Porto Editora, 1994, 336 p.
176
BORASI, R. Using errors as springboards for the learning of mathematics: an introduction. Focus on Learning Problems in Mathematics, v.7, n. 3-4, p. 1-14, 1985. ________. Alternative perspectives on the educational uses of errors. In:
- CIEAEM, n.39, Sherbrooke, Canada: p.1-12, 1987.
________. Students´Constructive Uses of Mathematical Errors: A Taxonomy. In: Annual Meeting of the American Educational Research Association. San Francisco, California: USA, 1989, 36p.
________. Reconceiving mathematics Instruction: a Focus on Errors Nortwood, NJ: Ablex Publishing Corporation, 1996.
BOTERF, G. L. Pesquisa Participante: Propostas e reflexões metodológicas. In: BRANDÃO, C. R. (org). Repensando a Pesquisa Participante. São Paulo: Brasiliense, 1999.
BORTOLI, M. F. Análise de Erros em Matemática: um estudo com alunos de Ensino Superior. 2011. 96 f. Dissertação (Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática) - Centro Universitário Franciscano, 2011.
BRANDÃO, C. R. Pesquisar-Participar. In: BRANDÃO, C. R. (Org.). Repensando a Pesquisa Participante. São Paulo: Brasiliense, p. 7-14, 1987.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias - Ministério da Educação. Brasília: Ministério da Educação/Secretaria de Educação Média e Tecnológica, 1999.
________. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria da Educação Fundamental. Brasília: Ministério da Educação/Secretaria de Educação Média e Tecnológica, 1998.
BURIASCO, R. L. C. Algumas considerações sobre avaliação educacional. In: Estudos em Avaliação Educacional. São Paulo: n. 22, jul/dez, 2000.
BURIASCO, R. L. C; SILVA, M. C.N. Análise da Produção Escrita em Matemática: algumas considerações. In: Ciência & Educação. Bauru: v. 11, n. 3, p. 499-512, 2005.
CAI, J. What research tells us about teaching mathematics through problem solving. In F. Lester (Ed.), Research and issues in teaching mathematics through problem solving. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. p. 241-254, 2003.
CAI, J; LESTER, F. Por que o Ensino com Resolução de Problemas é Importante para a Aprendizagem do Aluno? In: Boletim GEPEM. Trad. BASTOS, A. S. A. M. e ALLEVATO, N. S. G., Rio de Janeiro, n. 60, p. 241-254, 2012. Disponível em < http://www.ufrrj.br/SEER/index.php?journal=gepem&page=article&op=view&path%5B%5D=837>. Acesso em: 11 jan. 2013.
177
CARRILLO, J. Modos de resolver problemas y concepciones sobre la matemática y su enseñanza de profesores de matemáticas de alumnos de más de 14 años: algunas aportaciones a la metodología de la investigación y estudio de posibles relaciones. Doutorado, Departamento de Didáctica de las Ciencias, Universidad de Sevilla, Sevilla, 1996.
________.a Aportaciones desde la resolución de problemas a la construcción de conocimiento profesional. In: Quadrante, v. 9, n. 2, p. 27-54, 2000.
________.b La Formación del Profesor para el Aprendizaje de las Matemáticas. In: Revista de Didáctica de las Matemáticas, v. VII, abr - jun, p. 79-91, 2000.
________. Aprender desde la Resolución de Problemas. In: Encontro Nacional de Profesores de Matemática de Portugal (ProfMat), 2001.
CHARNAY, R. Aprendendo (com) a resolução de problemas. In: PARRA, C; SAIZ, I. (Org.). Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2001, p. 36-47.
CLOUTHIER, G; SHANDOLA, D. Teacher as Research. In D. T. Owens (Ed.), Research ideas for the classroom: Middle grades. Reston, Va: NCTM. p. 319-335, 1993.
CONTRERAS, L. C. G. Resolución de problemas: un análisis exploratorio de las concepciones de los profesores acerca de su papel en el aula. Doutorado, Departamento de Didáctica de las Ciencias Experimentales, Sociales y Matemáticas, y Filosofía, Universidad de Huelva, 1998.
CORSETI, B. Análise documental no contexto da metodologia qualitativa. In: UNIrevista, v. 1, n 1, p. 32-46, jan., 2006.
COSTA, M. S. Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Proporcionalidade através da Resolução de Problemas: uma experiência na formação inicial de (futuros) professores de Matemática. 2012. 286 f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática) Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2012.
COSTA, S. S. C. da.; MOREIRA, M. A. A resolução de problemas como um tipo especial de aprendizagem significativa. In: Caderno Catarinense de Ensino de Física. Florianópolis: Universidade Federal de Santa Catarina. v. 18, n. 3, p. 278-297, 2001.
________. O papel da modelagem mental dos enunciados na resolução de problemas em Física. In: Revista Brasileira de Ensino de Física. v. 24, n. 1, p. 61-74, 2002.
CURY, H. N. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.
________. Análise de erros em disciplinas matemáticas de cursos superiores. In: III Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, Águas de Lindóia: 2006.
178
________. As Concepções de Matemática dos Professores e suas Formas de Considerar os Erros dos Alunos. 1994. 276 f. Tese (Doutorado em Educação) - Faculdade de Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 1994.
________. Análise de Erros em Demonstrações de Geometria Plana: Um Estudo com Alunos de 3º Grau. 1989. 120 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Faculdade de Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, Porto Alegre, 1989.
CURY, H. N; VIALI, L. Análise de erros em probabilidade: uma pesquisa com professores em formação continuada. In: Educação Matemática Pesquisa. São Paulo, v.11, n.2, p. 373-391, 2009.
________. Professores de Matemática em Formação Continuada: uma análise de erros em conteúdos de probabilidade. In: EM TEIA Revista de Educação Matemática e Tecnológica Iberoamericana. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, v. 2, n. 1, 2011.
CURY, H. N; BISOGNIN, E; BISOGNIN, V. A Análise de Erros como Metodologia de Investigação. In: ProfMat, APM, Lisboa, v. 1, p. 1-12, 2009.
CURY, H. N; SILVA, P. N. da. Analise de Erros em Resolução de Problemas: uma experiência de estágio em um curso de licenciatura em matemática. In: RBECT - Revista Brasileira de Ensino de Ciência e Tecnologia. Ponta Grossa: Universidade Tecnológica do Paraná, v. 1, n.1 jan/abr 2008.
CURY, H. N; KONZEN, B. Uma aplicação de jogos na análise de erros em educação matemática. In: REVEMAT - Revista Eletrônica de Educação Matemática. UFSC. v.2, n. 6, p.107-117, 2007.
________. Classificação e análise de erros em álgebra. In: IX Encontro Gaúcho de Educação Matemática, Caxias do Sul, Ed. UCS, 2006.
CURY, H. N; BISOGNIN, E; FIOREZE, L. A. Análise de Erros e Proporcionalidade: Uma experiência com alunos de Graduação e Pós-Graduação. In: Vidya, Santa Maria: Centro Universitário Franciscano de Santa Maria. v. 25, n. 2, p 31-40, jul/dez 2005.
CURY, H. N; CASSOL, M. Análise de Erros em Cálculo: uma Pesquisa para Embasar Mudanças. In: Revista Acta Scientiae. Canoas v. 6, n. 1, p. 27 36, jan./jun. 2004.
. Teaching Mathematics through Problem Solving: a historical perspective. In. NCTM - National Council of Teachers of Mathematics. Reston, VA, p. 39-52, 2006.
Elementos de didática da matemática. Tradução de Maria Cristina Bonomi. São Paulo: Ed. Livraria da Física, 2010. 449p.
ESTEVES, E.; LEITE, L. Ensino Orientado para a Aprendizagem baseada na Resolução de Problemas na Licenciatura em Ensino de Física e Química. In: SILVA,
179
B. D. ; ALMEIDA, L. S. (coord). Actas do Congresso Galaico-Português de Psicopedagogia, n. 8, Portugal, 2005. p. 1752-1768.
ECHEVERRÍA, M. P. P; POZO, J. I. Aprender a Resolve Problemas e Resolver Problemas para Aprender. In: POZO, J. I. (Org.). A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Tradução de Beatriz Affonso Neves. Porto Alegre: Artmed, 1998.
FELTES, R. Z. Análise de Erros em Potenciação e Radiciação: Um Estudo com Alunos de Ensino Fundamental e Médio. 2007. 136 f. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) - Pontifícia Universidade Católica, Porto Alegre, 2007.
FLICK, U. Introdução à pesquisa qualitativa. Tradução Joice Elias Costa. Porto Alegre: Artmed, 3 ed., 2009.
GOLDENBERG, M. A Arte de Pesquisar: Como fazer pesquisa qualitativa em Ciências Sociais. Rio de Janeiro: Editora Record, 10. ed., 2007.
HATFIELD, L. L. Heuristical Emphases in the Instruction of Mathematical Problem Solving. In: Mathematical Problem Solving: Papers from a Research Workshop. Columbus: ERIC Information Analysis Centre for Science. 1978. p. 21-42.
HELDER, R. R. Como fazer análise documental. Porto, Universidade de Algarve, 2006.
HOUAISS, A.; VILLAR, M. S. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Editora Objetiva, 3 ed., 2009.
JAPIASSU, H.; MARCONDES, D. Dicionário Básico de Filosofia. 3 ed. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor, 1999.
KRULIK, S.; REYS, R. E. Problem Solving in School Mathematics. Reston: NCTM, Yearbook, 1980.
KRULIK, S.; RUDNICK, J. A. Roads to Reasoning: Developing Thinking Skills Through Problem Solving. Chicago: McGraw-Hill, 2001.
LAMPERT, M. Teaching problems and the problems of teaching. United States of America: Yale University Press, 2001.
LANNIN, J. K.; BARKER, D. D., TOWNSEND, B. E. How students view the general nature of their errors. In: Educational Studies in Mathematics, n. 66, 2007, p. 43-59.
LEIVA, J. C. P; CURY, H. N. Análise de Erros em soluções de uma problema de Geometria: uma investigação com professores em formação continuada. In: Revemat - Revista Eletrônica de Educação Matemática. Florianópolis: v. 5, n.1, p. 71 83. 2010.
180
LESTER, F. K., Jr. Research on mathematical problem solving. In: R. J. Shumway (Ed.), Research in mathematics education. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. 1980. p. 286-323.
LESTER, F. K., MAU, S. T. Teaching mathematics via problem solving: a course for prospective elementary teachers. In: For the Learning of Mathematics. v. 13, n. 2, p. 8-11, jun. 1993.
LLINÁS, J. G. Preconcepciones y errores conceptuales en Óptica: Propuesta y validación de un modelo de enseñanza basado en la Teoría de la Elaboración de Reigeluth y Stein, Tese, Universidad de Extremadura, Departamento de Física. Badajoz, 2003.
LUDKE, M; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986.
LUNA, S. V. Planejamento de Pesquisa: Uma Introdução. São Paulo: EDUC, 2007, 108p.
MACEDO, L. Ensaios Construtivistas. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1994.
MENDONÇA, M. C. D. Resolução de Problemas Pede (Re)Formulação. In. ABRANTES, P.; PONTE, J. P.; FONSECA, H.; BRUNHEIRA, L. (Orgs.). Investigações Matemáticas na Aula e no Currículo. Lisboa: Grafis, p. 15-34, 1999.
MOREN, E. B. da S; DAVID, M. M. M. S; MACHADO, M. da P. L. Diagnóstico e Análise de Erros em Matemática: Subsídios para o Processo Ensino-Aprendizagem. In: Caderno de Pesquisa, v. 83, p. 43-51, nov. 1992.
MOVSHOVITZ-HADAR, N.; ZASLAVSKY, O.; INBAR, S. An empirical classification model for errors in high school mathematics. In: Journal for Research in Mathematics Education, v. 18, n. 1, p. 3-14, 1987.
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS (NCTM). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1989.
________. Professional Standards. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1991.
________. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 2000.
NUNES, C. B. O Processo Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Geometria através da Resolução de Problemas: perspectivas didático-matemáticas na formação inicial de professores de matemática. 2010. 430 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática)-Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2010.
NUNOKAWA, K. Mathematical problem solving and learning mathematics:
181
What we expect students to obtain. In: Journal of Mathematical Behavior. n. 24, p. 325 340, 2005.
ONUCHIC, L. R. Ensino: aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: UNESP, 1999, p. 199-220.
ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: Bicudo, M. A. V.; Borba, M. C. (Orgs). Educação Matemática - pesquisa em movimento. 2. ed. São Paulo: Cortez, 2005. p. 213-231.
________. Um trabalho com concepções errôneas na licenciatura em Matemática através da Resolução de Problemas. In: CONGRESSO NACIONAL DAS LICENCIATURAS, 2, 2009, São Paulo. Anais... São Paulo: MACKENZIE, 2009. p. 1-11.
________. Pesquisa em Resolução de Problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. In: BOLEMA - Boletim de Educação Matemática. Rio Claro: UNESP, n.27, p.93-139, 2011.
PEDUZZI, L. O. Q. Sobre a resolução de problemas no ensino da física. In: Caderno Catarinense de Ensino de Física. Florianópolis: Universidade Federal de Santa Catarina. v. 14, n. 3, p. 229-253, 1997.
PEDUZZI, L. O. Q., ZYLBERSTAJN, A.; MOREIRA, M. A. As concepções espontâneas, a resolução de problemas e a história da ciência numa sequencia de conteúdos em mecânica: o referencial teórico e a receptividade de estudantes universitários à abordagem histórica da relação força e movimento. In: Revista Brasileira de Ensino de Física. v. 14, n. 4, p. 239-246, 1992.
PEREGO, F. O que a produção escrita pode revelar? Uma análise de questões de Matemática. 2006. 126 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) - Universidade Estadual de Londrina, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática, Londrina; 2006.
PIETROCOLA, M. A Matemática como estruturante do conhecimento físico. In: Caderno Brasileiro de Ensino de Física. Florianópolis: UFSC, v. 19, n. 1, p. 88-108, 2002.
PHILLIPS, B.S. Pesquisa social: estratégias e táticas. Rio de Janeiro: Livraria Agir Editora, 1974.
PINTO, N. B. O erro como estratégia didática: estudo do erro no ensino de matemática. Campinas: Papirus, 2000.
POCHULU, M. D. Análisis y categorización de errores en el aprendizaje de la Matemática en alumnos que ingresan a la Universidad. In: Revista Iberoamericana de Educación. Madrid: Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI), Centro de Altos Estudios Universitarios
182
(CAEU). n. 35, 2005. Disponível em:< http://www.rieoei.org/did_mat28.htm>. Acesso em: 20 jan. 2013.
PONTE, J. P. Da formação ao desenvolvimento profissional. In: ProfMat 98, Actas. Lisboa: Associação de Professores de Matemática. 1998.
RADATZ, H. Error Analysis in Mathematics Education. In: J. for Research Mathematics Educations. v. 10, p. 163 - 172. mai, 1979.
________.Students' errors in the mathematical learning process: a survey. For the Learning of Mathematics, v.1, n.1, p.16-20, July 1980.
RICO, L. Errores y dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. In: KLIPATRICK, J.; GOMÉZ, P.; RICO, L. (Eds.). Educación Matemática. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1995, p. 69-108.
RIGELMAN, N. R. M. Fostering Mathematical Thinking and Problem Solving: the teacher´s role. In: Teaching Children Mathematics. v. 13, n. 6, p. 308. feb, 2007. Disponível em: < http://www.nctm.org/publications/article.aspx?id=22041 >. Acesso em: 22 jan. 2013.
ROMBERG, T. A. Perspectives on Scholarship and Research Methods. In: Grouws, D. A. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan Publishing and Company, cap. 3, p. 49-64, 1992.
ROSSI, M. I. Aprendizagem das Aplicações das Integrais Indefinidas em Equações Diferenciais através da Resolução de Problemas. 2012, 142 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)-Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2012.
SANTOS, C. A. B. dos. O ensino da física na formação do professor de matemática. 2010. 183 f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática) - Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo; 2010.
SANTOS, J. R. V. dos. O que alunos da escola básica mostram saber por meio de sua produção escrita em matemática. 2007. 108 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) - Universidade Estadual de Londrina, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática, Londrina; 2007.
SANTOS, M. E. V. M. Que educação? 1 ed. Lisboa: SANTOSEDU, 2005. 138p.
SCHOENFELD, A. H. How we think: a theory of goal-oriented decision making and its educational applications. New York: Routledge, 2011. 245 p.
SCHROEDER, T. L., LESTER, F. K. Developing Understanding in Mathematics via Problem Solving. TRAFTON, P. R., SHULTE, A.P. (Ed.) New Directions for Elementary School Mathematics. Nacional Council of Teachers of Mathematics, 1989 (Yearbook).
SIEBRA, M. J. Dificuldades e Erros de Alunos de 8ª Série com Relação a Questões que Envolvem Álgebra. 2009. 99 f. Dissertação (Mestrado em
183
Ensino de Ciências e Matemática) - Universidade Cruzeiro do Sul. São Paulo, 2009
SOUZA FILHO, M. P. de. O erro em sala de aula: subsídios para o ensino do eletromagnetismo. 2009. 232 f. Tese (Doutorado em Educação para a Ciência, área de concentração em Ensino de Ciências), Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências, Bauru, 2009.
SOUZA, S. S. S. de. Erros em Matemática: Um Estudo Diagnóstico com Alunos de 6ª Série do Ensino Fundamental. 2002. 193 f. Dissertação (Mestrado em Educação), Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Filosofia e Ciências, Marilia, 2002.
STANIC, G. M. A.; KILPATRICK, J. Historical Perspectives on Problem Solving in the Mathematics Curriculum. In: CHARLES, R. I.; SILVER, E. A.(Ed.). The Teaching and Assessing of Mathematical Problem Solving. Virginia: Laurence Erlbaum Associates, 1989. p. 1-23.
TORONI-REIS, M. P. C. Metodologia de Pesquisa Cientifica. Curitiba: IESDE Brasil S. A., 2007, 136p.
TORRE, S. de la. Aprender com os erros: o erro como estratégia de mudança. Porto Alegre: ARTMED, 2007. 240p.
VALE, M. I. P.; PIMENTEL, M. T. C. Resolução de Problemas. In: PALHARES, P. (Org.). Elementos de Matemática para professores do Ensino Básico. Lisboa: LIDEL, 2004, p. 4-51.
VAN DE WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Trad. COLONESSE, P. H. Porto Alegre: Artmed, 6. ed., 2009, 584 p.
VASCONCELOS, C., LOPES, B.; COSTA, N.; MARQUES, L.; CARRASQUINHO, S. Estado da arte na resolução de problemas em Educação em Ciencia. In: Revista Electrónica de Enseñanza de las Ciencias. v. 6, n. 2, p. 235-245, 2007.
YOUNG, H. D. Sears e Zemansky Física III: eletromagnetismo. Trad. YAMAMOTO, S. M. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 12. ed., 2008, 425 p.
185
APÊNDICES
186
APÊNDICE A
187
Aos alunos dos cursos de Tecnologia de Redes de Computadores e FEGAIRC da
Universidade.
TERMO DE CONSENTIMENTO
Este termo de consentimento pretende esclarecer aos alunos dos cursos de Tecnologia de Redes de Computadores e FEGAIRC - 3º semestre - da Universidade _________ os procedimentos adotados em minha pesquisa de doutorado, que está sendo desenvolvida na Universidade Cruzeiro do Sul, e a forma de utilização dos dados que serão coletados. Tem o objetivo de deixar o mais transparente possível à relação entre os envolvidos e o tratamento e uso das informações que serão colhidas.
O contexto da pesquisa será a realização de uma sequência didática prevista em oito aulas para alunos dos cursos supracitados, prevista para o segundo semestre de 2011.
A pesquisa será realizada pelo pesquisador e as atividades, bem como as impressões do pesquisador serão gravadas, fotografadas e transcritas, assim como os trabalhos escritos realizados pelos alunos serão analisados. Estes dados servirão como material para uma pesquisa que procura entender melhor a aprendizagem do estudo dos conceitos de corrente elétrica, diferença de potencial, resistência e potencia por meio de resolução de problemas bem como a análise dos erros matemáticos cometidos nas tarefas que envolvem tais tópicos. Os registros serão feitos preservando-se a identidade dos sujeitos em sigilo através de pseudônimos.
As informações provenientes das análises desses dados poderão ser utilizadas pelo pesquisador em publicações, eventos científicos e texto da tese e divulgadas a todos aqueles que se interessem pela pesquisa na forma acima indicada.
_________________________________________________
Pesquisador: Antonio Sergio Abrahão Monteiro Bastos
_____________________________________________________________
Nome do Aluno:________________________________________________
RA:____________________Campus_______________________________
Pseudônimo pelo qual deseja ser identificado:________________________
188
APÊNDICE B
189
Roteiro de Atividades para Coleta de Dados 2011 2º Semestre
Eleger a estratégia da pesquisa é uma etapa bem importante para que a coleta de dados se dê de maneira coerente e objetiva. Desenvolvendo Diferentes Habilidades de Pensamento por Meio da Resolução de Problemas Infraestrutura Elétrica para Redes de Computadores 2011 -2º semestre.
Objetivo do Problema: Saber expressar-se corretamente na linguagem matemática,
identificando grandezas matemáticas que correspondem ás situações do cotidiano na área
de tecnologia da informação, utilizando de prefixos, sendo capaz de relatar os resultados de
uma leitura técnica, uma inspeção, uma entrevista com um especialista, descrevendo no
contexto conhecimentos adequados.
Pré-requisitos: Possuir conhecimentos sobre potenciação na base 10, saber unidades de
medida.
Datas da aplicação: MM (matutino) 01/08 # STO (matutino) 03/08 # VLM (noturno)
10/08 # VRG (matutino) 17/8
PROBLEMA 0 O QUE VOCÊ FARIA? Determinada empresa pública, seguindo a legislação em vigor - Lei Federal nº 8.666/93 - LEI DE LICITAÇÕES E CONTRATOS ADMINISTRATIVOS na modalidade tomada de preços para compra de equipamentos de informática, publicou em seu sitio e no Diário Oficial um edital de licitação. Esse edital se trata da aquisição, dentre outros suprimentos de informática, de 530 notebooks, com as seguintes características técnicas:
Clock: 1,3 Ghz; Cache: 3MB; Memória: 3 GB Disco Rígido: SATA II 320 GB -5400 RPM
Dentre as empresas que se apresentaram para fornecer os notebooks, duas foram pré-selecionadas por estarem com toda a documentação da empresa que é exigida por lei, em ordem, apresentando as seguintes características técnicas:
EMPRESA 1 EMPRESA 2 Clock: 1,3 GHz Clock: 1300 MHz Cache: 3MB Cache: 3000 KB Memória: 3GB Memória: 3000 MB Disco Rígido: SATA II 320 GB -5400 RPM
Disco Rígido: SATA II 320 GB -5400 RPM
Na abertura dos envelopes o representante da empresa 1 se posicionou pela desclassificação da empresa 2, alegando que as especificações não estavam de acordo com a licitação. Como organizador da licitação você acataria ou não a solicitação da empresa 1?
Descreva sua(s) justificativa(s).
190
PROBLEMA 1 - QUE NÚMERO FAZ SENTIDO?
Objetivo do Problema: Compreender enunciados que envolvam códigos e símbolos físicos, que estão presentes em manuais de instalação e utilização de aparelhos eletrônicos. Compreender e utilizar leis e aparelhos eletroeletrônicos em geral. Pré-requisitos: Saber utilizar as operações básicas, conhecer as teorias físicas de carga elétrica, corrente elétrica, diferença de potencial, resistência (1ª Lei de Ohm) e potência. Datas da aplicação: MM (matutino) 22/08 # STO (matutino) 24/08 # VLM (noturno) 24/08 # VRG (matutino) 01/9
Um estudante do 3º semestre do curso de tecnologia de uma universidade, comprou um de_________A de uma rede de__________V, em
que a potência de entrada é de__________W. Esse estudante sabendo que o custo de /dia, considerando que o KWh custa
R$________, ele terá um custo mensal de R$__________ 31, 311456 440 4 8 110 0, 29651
191
PROBLEMA 2 - QUE QUESTÕES VOCÊ PODE CRIAR E RESPONDER?
Criar uma lista de questões (mínimo 3) que podem ser respondidas, baseado nas
informações do problema e fornecendo pelo menos uma resposta completa para
uma das questões.
Objetivo do Problema: Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões), procurar, selecionar e interpretar informações relativas aos problemas. Pré-requisitos: Saber interpretar e relacionar o texto com a criação de perguntas. Datas da aplicação: MM (matutino) 22/08 # STO (matutino) 24/08 # VLM (noturno) 24/08 # VRG (matutino) 01/9
Uma grande fabricante de eletroeletrônicos, que se utiliza de monitores de raios catódicos, decidiu reduzir a produção desse tipo de produto. Tal medida se deu pelo relatório apresentado pelo seu diretor de tecnologia. Dentre as diversas informações contidas no relatório estavam às seguintes:
Descrição técnica
Corrente elétrica num feixe de elétrons 200 A
Tempo em que os elétrons demoram a atingir a tela 1 segundo
Numero de elétrons que golpeiam a tela 125.1013 elétrons
DDP 110 - 220 Volts ~
Que questões podem ser criadas com as informações dadas?
192
PROBLEMA 3 O QUE ESTÁ ERRADO?
Identificar os erros e encontrar a solução correta.
Objetivo do Problema: Observar, estimar ordens de grandeza e compreensão do conceito. Pré-requisitos: Saber utilizar as operações básicas, conhecer as teorias físicas da 1ª e 2ª Lei de Ohm. Datas da aplicação: MM (matutino) 19/09 # STO (matutino) 21/09 # VLM (noturno) 21/09 # VRG (matutino) 22/9
Klauss possui um fio de comprimento 4m, com diâmetro de 6 mm e uma resistência de 15 m . Uma diferença de potencial de 23 V é aplicada entre as suas extremidades. Klauss necessita saber a corrente no condutor e também a resistividade do material do fio. Ele desenvolveu os seguintes cálculos:
1. Existe(m) alguma(s) coisa(s) errada(s) com o raciocínio do Klauss? 2. Mostre como você resolveria esse problema; 3. Caso o item 1 seja sim, então explique o erro cometido por Klauss.
193
PROBLEMA 4 - QUAL É A QUESTÃO SE VOCÊ SABE A RESPOSTA?
São fornecidas respostas específicas para as quais os alunos devem elaborar questões apropriadas.
Objetivo do Problema: Articular o conhecimento físico com conhecimentos de outras áreas do saber científico. Utilizar e compreender tabelas, gráficos, e relações matemáticas gráficas para a expressão do saber físico. Pré-requisitos: Saber interpretar gráficos e porcentagem, relacionar o texto com a criação de perguntas. Datas da aplicação: MM (matutino) 24/10 # STO (matutino) 26/10 # VLM (noturno) 26/10 # VRG (matutino) 27/10
O gráfico de barras apresenta o histórico de consumo de energia elétrica de uma residência na cidade de São Paulo, durante os últimos 6 meses:
1. Qual é a pergunta se a resposta é 57?
2. Qual é a pergunta se a resposta é 150?
3. Qual é a pergunta se a resposta é 75,44%?
4. Qual é a pergunta se a resposta é 7,04%?
5. Qual é a pergunta se a resposta é 337%?
194
195
ANEXOS
196
ANEXO A
197
PROGRAMA OFICIAL DAS DISCIPLINAS DOS CURSOS 2011/2º CURSO: Tecnologia em Redes de Computadores
DISCIPLINA: Infraestrutura elétrica para redes de computadores CÓDIGO:
POSIÇÃO NA GRADE DO CURSO: 03 CARGA HORÁRIA SEMESTRAL: 80 h/a
EMENTA:
Noções e conceitos fundamentais em eletricidade; Perturbações e falhas na energia elétrica;
Instalações elétricas; Interferência eletromagnética e técnicas de proteção; Dispositivos para
condicionamento e fornecimento autônomo de energia; Ruído elétrico e qualidade da energia;
Aterramento elétrico; Proteção elétrica; Interferências em redes sem fio; Projeto de sistema
elétrico de redes de computadores; Normas para instalação elétrica para redes de
computadores.
OBJETIVOS:
Aprender as noções de eletricidade para garantir uso seguro e perfeito funcionamento dos
equipamentos e redes de computadores. Analisar e dimensionar projetos de comunicação de
dados seguindo as normas técnicas.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: CRONOGRAMA
SEMANA CONTEÚDO SEMANA CONTEÚDO
1º
Apresentação do professor;
Apresentação da disciplina;
Metodologia de avaliação;
Conceituação básica; Medidas de 1º
socorros. Geração de energia.
11º
Elaboração de um projeto elétrico
completo.
2º
Modelo atômico; Conceitos
elementares de energia; Conceitos de
Tensão, Corrente, Resistência. 12º
Aterramento: Conceitos, Descargas
Atmosféricas, Necessidade do
sistema de proteção, Tipos de
aterramento. (baseado na NBR
5410 e ANSI/EIA/TIA 607).
3º
Revisão de Potência. Conceituação da
Lei de ohms; Cálculos de circuitos:
Série, Paralelo, Misto. Cálculos de:
resistência total, queda de tensão,
divisão de correntes.
13º
Sistema de ininterrupto de energia.
Conceituação de No-break
Conceituação de estabilizadores
Conceituação de Grupo Gerador
4º Exercícios de fixação de circuitos
série, paralelo, misto. 14º
Dimensionamento de No-break e
banco de baterias
198
5º
Efeito Joule. Fontes de alimentação -
Corrente Alternada e Contínua
15º
Qualidade de energia: ruídos.
Perturbações e falhas na energia
elétrica: Perturbações
Eletromagnéticas, Harmônicos,
Diafonia, Distúrbios
Eletromagnéticos, Subtensos e
Sobretensões, Falhas na Rede
Elétrica, Variações de Frequência;
6º
Introdução a NBR 5410 NB 3
Conceituação da normativa referente
à quantidade de tomadas de TUG
(tomadas de uso geral); TUE
(tomadas de uso específico); TI
(tomadas de iluminação). Fator de
Potencia
16º
Interferências em redes sem fio:
Modularidade e Facilidades de Uso,
Condições de Interferência,
Planejamento de Frequências;
7º
Barramentos (trifásico, bifásico e
monofásico). Barramentos: Terra e
Neutro
Divisão da instalação em circuitos,
Quadros de Distribuição (tipos,
dimensionamento, localização).
17º
Elaboração de um projeto
computacional: distribuição
elétrica, ramal alimentador, queda
de tensão, quantidade de tomadas
elétricas, quadros de distribuição,
sistema No-Break.
8º
Introdução aos condutores elétricos
Capacidade de condução de corrente
dos cabos e fios elétricos; Codificação
de cores para cabos elétricos
computacionais; Queda de tensão.
18º
Projeto computacional: lista de
materiais com valores de mercado
dos produtos.
9º
Dispositivos de proteção: Fusíveis
(NH; Diazed; NEOZED; SITOR;
SILIZED; MINIZED). Disjuntores
termomagnéticos: (NEMA, NORMA
DIM; CURVA DE DESARME).
Disjuntores diferenciais. Quadros de
distribuição.
19º
Introdução a Iluminância.
10º
Condutos.
Simbologia Elétrica.
Interpretação de um projeto elétrico.
20º
Projeto Luminotécnica.
199
CURSO: Tecnologia em Redes de Computadores
DISCIPLINA: Infraestrutura elétrica para redes de computadores CÓDIGO:
METODOLOGIA DE ENSINO:
Aulas expositivas, estudos de casos, exercícios simulando situações problemas.
SISTEMA DE AVALIAÇÃO:
O critério de avaliação deverá ser composto por 03 instrumentos de avaliação (A1, A2 e A3).
A média da disciplina curricular será composta pela média aritmética das duas maiores
notas descartando-se a menor nota. Para cada nota utilizar instrumentos diversificados de
avaliação.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
CAVALIN, G. CERVELIN, S. Instalações elétricas prediais: conforme Norma NBR 5410:2004. 20ª ed. São Paulo: Erica, 2009. COTRIM, A.A.M.B. Instalações Elétricas, 5ª Ed. São Paulo, Prentice-Hall, 2009. CREDER, H. Instalações elétricas. 15ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
CAPUANO, F. G.; MARINO, Maria Aparecida Mendes. Laboratório de eletricidade e eletrônica. 24.ed. São Paulo : Érica, 2009. LIMA FILHO, D. L. Projetos de Instalações elétricas prediais. 11ª Ed. São Paulo: Érica, 2009. MAMEDE FILHO, João. Instalações elétricas industriais: exemplo de aplicação; projeto. 7. ed. Rio de Janeiro : LTC, 2007. RESNICK, R.; HALLIDAY, D.; KRANE, K. S. Física . Rio de Janeiro: LTC, 2008. 4 V. TIPLER, P. Física, vol.2. 4ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
YOUNG, Hugh D. Sears e Zemansky Física. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2006. v
PROFESSOR RESPONSÁVEL:
DATA: ASSINATURA:
APROVAÇÃO:
COORDENADOR:
DATA: ASSINATURA:
VISTO DA DIREÇÃO: