semestr zimowy 2015/2016

Lista zadań nr 9

Statystyka opisowa

Zmienna losowa dyskretna. Wartość oczekiwana i wariancja. Wybrane rozkłady skokowe.

Zadania

Zad. 1. Zmienna losowa X ma następujący rozkład

ix -2 0 2 3 6

ip 0,2 0,1 0,1 0,4 0,2

a) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X.

b) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.

c) Obliczyć (0 3)P X , ( 1 5)P X , ( 5)P X , (0 )P X .

Zad. 2. Wygrane na loteriach A i B opisane są następującymi rozkładami (tzw. prospektami loteryjnymi):

pi

pi

0,4

0,3 0,3 0,3

0,2 0,2

A: 0,1 0,1 B: 0,1

X 0 X

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

Gdzie można spodziewać się większej wygranej i z jakim ryzykiem ten wynik można osiągnąć ?

Zad. 3. Gry macierzowe – strategie mieszane o sumie zerowej

Dwie strategie dla wiersza i dwie strategie dla kolumny (wypłata dla wiersza)

A B

A 3 0

B -3 4

Wyznaczyć rozwiązanie tej gry macierzowej (wartość gry i optymalne strategie dla obu graczy).

Zad. 4. W urnie znajdują się 3 kule białe i 2 czarne. Losujemy dwie kule ze zwracaniem. Niech zmienna losowa X

określa liczbę wylosowanych kul białych.

a) Obliczyć E(X) i V(X).

b) Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 1 kuli białej?

Zad. 5. Z obserwacji branży spożywczej wiadomo, że 40 % nowo powstałych sklepów spożywczych, które nie mają

pozwolenia na sprzedaż produktów monopolowych, w ciągu roku swojej działalności bankrutuje. Wybrano losowo

5 takich sklepów. Obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo, że:

a) co najmniej 2 z nich przetrwają na rynku dłużej niż 1 rok.

b) dokładnie jeden z nich nie zbankrutuje w ciągu roku

c) więcej niż jeden, ale co najwyżej 4 funkcjonować będą dłużej niż rok

Zad. 6. Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię jest zmienną losową o rozkładzie

Poissona z λ = 2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę trafimy na

a) dokładnie 1 rodzynkę,

b) co najmniej 5 rodzynek,

c) więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4,

d) mniej niż 1 rodzynkę,

e) co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek.

Zad. 7. Kopacz złota trafia zwykle na bryłkę złota raz na 1000 wykopanych dołków. Obliczyć prawdopodobieństwo,

że znalazł:

a) 2 bryłki złota,

b) co najmniej 2 bryłki złota,

jeśli odkrył 2000 dołków ?

Zad. 8. Wiadomo że 2 na 100 sztuk pewnego wyrobu są wadliwe. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w partii towaru

liczącej A) 5 sztuk; B) 300 sztuk znajdzie się:

a) zero sztuk wadliwych, b) jedna sztuka wadliwa, c) dwie sztuki wadliwe,

d) co najmniej trzy sztuki wadliwe.

Zad. 9. Prawdopodobieństwo, że kompania paliwowa, dokonująca poszukiwań ropy naftowej trafi na złoże, wynosi

0,2. Kompania planuje przeprowadzenie serii odwiertów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w czwartym wierceniu

trafi na złoże?

Zad. 10. Wytwórnia cukierków paczkuje mieszankę złożoną z dwóch rodzajów cukierków w torebki zawierające po

20 cukierków, w której znajduje się 40% cukierków pierwszego rodzaju.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że spośród pięciu wybieranych losowo (bez zwracania) cukierków z torebki

a) co najwyżej jeden jest drugiego rodzaju,

b) nie ma żadnego cukierka pierwszego rodzaju,

c) jest więcej cukierków pierwszego niż drugiego rodzaju.

Zad. 11. Wytwórnia cukierków paczkuje mieszankę złożoną z dwóch rodzajów cukierków w torebki zawierające

40% cukierków pierwszego rodzaju. Obliczyć prawdopodobieństwo, że spośród pięciu wybieranych losowo

cukierków z mieszanki

a) co najwyżej jeden jest drugiego rodzaju,

b) nie ma żadnego cukierka pierwszego rodzaju,

c) jest więcej cukierków pierwszego niż drugiego rodzaju.

Zadania uzupełniające do samodzielnego rozwiązania

Zad. 1. Zmienna losowa X ma następujący rozkład

ix -2 -1 0 1 2

ip 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

a) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X.

b) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.

c) Obliczyć (0 3)P X , ( 1 2)P X , ( 5)P X , ( 1)P X , ( 1 2)P X , ( 0)P X , ( 1)P X .

Zad. 2. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi 0,5. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę rzutów do

momentu wyrzucenia orła.

a) Podać rozkład zmiennej losowej X.

b) Obliczyć wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe zmiennej losowej X.

c) Obliczyć prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie za 5 razem.

a) Obliczyć ( 1)P X , ( 3)P X , (1 4)P X .

Zad. 4. Wiadomo, że 20% studentów jest wysokich. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 5 wybranych losowo

studentów jest

a) 3 wysokich?

b) nie więcej niż 2 wysokich?

Zad. 5. Ocenia się, że mamy 1% wadliwych wyrobów. Niech X będzie zmienną losową równą ilości wadliwych

wyrobów w zakładzie produkującym 10 elementów.

a) Obliczyć (0 2)P X .

b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że będzie jeden wadliwy wyrób.

c) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.

semestr zimowy 2015/2016

Zad. 6. Z badań wynika, że 40% nowo powstałych w Polsce przedsiębiorstw „przeżywa” 5 lat. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że spośród 6 nowo powstałych przedsiębiorstw przynajmniej 3 przetrwa przez pięć lat?

Zad. 7. Zmienna losowa X przyjmuje wartość 0 i 1 odpowiednio z prawdopodobieństwem 0,2 i 0,8.

a) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X.

b) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.

c) Wiadomo, że zmienna losowa Y ma rozkład dwumianowy z parametrami 𝑛 = 10 i 𝑝 = 0,2 oraz że zmienne

losowe X i Y są niezależne. Obliczyć E(X – 3Y+2𝑋2 − 1) oraz V(2X-Y+5).

Zad. 8. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem 2,4. Obliczyć: ( 1)P X , ( 3)P X , 𝑃(2 ≤ 𝑋 < 5),

(1 4)P X .

Zad. 9. Obserwując występy na światowych ringach ustalono, że pewien mistrz kick boxingu przegrywa 2 walki na

100 pojedynków. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:

a) mistrz wygra wszystkie walki spośród 5 stoczonych,

b) spośród stoczonych 40 walk przegra dokładnie 2 walki,

c) walcząc w 80 pojedynkach przegra nie mniej niż 2 razy i mniej niż 5.

Zad. 10. 15% sprzedawanych jajek jest zepsutych. Jakie jest prawdopodobieństwo że kupując 6 jajek natrafimy na

1 jajko zepsute.

Zad. 11. Urządzenie składa się między innymi z 750 lamp. Prawdopodobieństwo awarii każdej lampy w ciągu jednej

doby pracy urządzenia jest jednakowe i wynosi 0,004. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu jednej doby pracy

urządzenia, awarii ulegnie:

a) 0 lamp, b) 1 lampa, c) 2 lampy, d) co najmniej 3 lampy.

Uwaga: Ponadto obowiązkowe są zadania 5.1-5.20 z rozdziału 5 z podręcznika Ostasiewicz S., Rusnak Z., Siedlecka

U., Statystyka. Elementy teorii i zadania, Wyd. AE we Wrocławiu, Wrocław, 2006.