Universidad de ConcepcinFacultad de Ciencias Fsicas y MatemticasDepartamento de Matemtica

Agosto 2014 A. Riquelme B.

Algebra y Trigonometria (527103)Listado 1 - Lgica y Conjuntos.

1. Escriba la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.

a) (p q)b) p qc) (p p)d) p pe) (p q)f ) p qg) p p

h) ( p q) (p q)i) p ( p p)j ) ( p q) ( p q)k) (p q) rl) (p q) rm) (p q) rn) p (q r)

) r (p q)o) (p p) pp) (p p) rq) p (p p)r) q (p p)s) (p q) (q q)

2. Observando las tablas obtenidas en 1 diga en cada caso, si la proposicin es unatautologa, contradiccin o una contingencia.

3. Considere la siguiente proposicin: "Si x2 = 1, entonces x = 1 x = 1."a) Escribir simblicamente la proposicin.

b) Negar simblicamente la proposicin.

c) Escribir la negacin en palabras.

4. Dadas las siguientes proposiciones:p : (a b)2 = a2 b2, q : 8 + 4 : 4 = 3, r : a+ b = a+b

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) p q pb) p q r

c) p r (q r)d) p (q r)

e) (r q) qf ) q r

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5. Determinar en cada caso, si la informacin que se da es suficiente para conocerel valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso afirmativo,determinar el valor de verdad justificadamente.

a) (p q) r ; Informacin: r es verdadera.b) (p q) ( p q) ; Informacin: q es verdadera.c) (p (q r) ; Informacin: p r es verdadera.d) [(p q) q] q ; Informacin: p q y q es verdadera.e) [(p r) q] ( q p) ; Informacin: p es verdadera y q es falsa.

6. Sabiendo que la proposicin ( p q) ( s r) es falsa, determine el valor deverdad de las siguientes proposiciones:

a) [(p q) r]b) [(p q) p] q

7. Sabiendo que la proposicin (a b) (b c) es falsa, determine el valor deverdad de la siguiente proposicin:

[(c a) (b a)] c8. Pruebe las siguientes equivalencias lgicas:

a) p pb) p q q pc) p q q pd) p q q pe) p (q r) (p q) rf ) p (q r) (p q) rg) p (q r) (p q) rh) ( p) p

i) p q q pj ) p q p qk) (p q) p ql) (p q) p qm) (p q) p qn) p (q r) (p q) (p r)) p (q r) (p q) (p r)o) p q (p q) (q p)

9. Demuestre las siguientes implicaciones lgicas:

a) [(p q) (q r)] (p r)b) [p (q r)] ( p r)

10. Es lgicamente valido el raciocinio siguiente?

"No es verdad que si estudio aprobar matemticas si y solo si estudio pero re-pruebo matemticas".AYUDA: transformar a lenguaje simblico y verificar que tipo de proposicin es.

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11. Consideremos como conjunto universo al conjunto R. Sea P una funcin proposicio-nal. Escriba en forma simblica las siguientes aseveraciones usando cuantificadores.

a) Todo nmero natural n, hace que la proposicin P (n) sea verdadera.

b) P (m) es verdadera para todo nmero entero m.

c) P (x) es verdadera para algn nmero natural x.

d) Todos los nmeros racionales c, hacen que la proposicin P (c) sea verdadera.

e) Todos los nmeros reales b, hace que la proposicin P (b) sea falsa.

f ) Existe un nmero natural y, tal que, P (y) es falsa.

g) Ningn nmero natural z, hace que P (z) sea verdadera.

h) Existe un nmero natural h, tal que, P (h) es verdadera.

i) P (s) es falsa para algn nmero real s.

j ) Existe un nico nmero natural q, tal que, P (q).

k) Existe un nico nmero entero k, tal que, P (k).

12. Escriba simblicamente:

a) El cuadrado de todo nmero real es positivo o cero.

b) Existe un nico nmero real cuya raz cuadrada es cero.

c) Para todo nmero real x y todo real z, se verifica la siguiente afirmacin(x+ z)2 = x2 + 2xz + z2.

d) Existe, un nmero natural que es mayor que 5.

e) Existe, a lo menos, un nmero natural que es mayor que 5.

f ) Para todo par de nmeros naturales, su suma es un nmero natural.

g) La suma de dos nmeros enteros siempre es un nmero entero.

h) Existen, al menos, dos nmeros naturales cuyo cuociente es un nmero racional.

i) Para cualquier n N, se tiene que, 2n es par.j ) El cuadrado de todo nmero real es no negativo.

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13. Negar las siguientes proposiciones.

a) (x R)(x es menor que 13).b) (x R)(n N)(x2 es mayor que n).c) (x R)(x2 4x 3 = 0).d) (x R)(y R)(x = y x+ 3 = y + 3).e) (x R)(y R)(x+ y = 1).f ) (x N)(y N){(x+ y es par) (x par y par)}.g) x R,y R,z R : (x < y x+ z = y).h) (x R)( > 0)( > 0)(|x a| < |f(x) L| < ).i) (x R)(d > 0)(y R)(|x y| d).

14. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a) x {1, 0,1} : x(1 x) = 0.b) (x, y R)(x > 0 y > 0) (xy = 4 x+ y = 4).c) (x, y R)(x2 = y2 x = y).d) (x R)(y N)(y es menor que x).e) (x R : x+ 5x > 4) (x R : x+ 5x 4).

15. Considere las siguientes proposiciones:

a) Algunos nmeros racionales son enteros.

b) Todo nmero real es mayor que 1.

c) La solucin de x+ 3 > 4 es (1,+).d) Si 2 > 0 entonces pi no es un nmero real.

Determine el valor de verdad, niegue y escriba simblicamente cada una de lasproposiciones dadas anteriormente.

16. Sea A = {1, 2, 3}, determinar el valor de verdad y luego la negacin de cada una delas siguientes proposiciones:

a) x A, x2 + 3x es menor que 12.b) x A, x2 + 3x es menor que 12.c) x A, x2 + 3x es mayor que 12.

d) x A, x2 + 3x es mayor que 12.e) x A, x2 + 3x = 12.f ) !x A, x2 + 3x = 12.

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17. Considerar el conjunto M = {1, 2, 3, 4, 5}a) Decidir si la proposicin, x M,y M : x+y es menor que 8, es verdadera.b) Hallar el conjunto de validez de la proposicin anterior.

c) Negar la proposicin dada en el la parte a).

18. Sea B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Estudie el valor de verdad de las siguientes proposicio-nes, si son falsas encuentre un contraejemplo.

a) x B, x+ 5 12.b) !x B, x es impar.

c) x B, x es primo.d) x B, x2 > 6.

19. Escribir por comprensin los conjuntos dados.

a) A = {1, 4, 9, 16, 25, 36}.b) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.c) C = {a, b, c, d, e, ..., z}.

20. Escribir por extensin los siguientes conjuntos.

a) A = {x R : x2 = 4}.b) B = {x N : x 2 = 5}.c) H = {x : x es una letra de la palabra EDUCACION}.

21. Indicar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones.

a) A, A.b) A,A.

c) A U,A.d) = {}.

e) {}.f ) {} {{}}.

22. Sean U = {x Z : 5 < x 10}; A = {x U : 4 < x < 8}; B = {2, 3, 5, 6, 7};C = {2n : n = 1, ..., 4}.

a) Trace un diagrama de Venn que represente estos conjuntos.

b) Defina por extensin los conjuntos:

A B B C AB B C CC

23. Sea A = {a, b, c, d}.

a) Encontrar P (A), el conjunto de las partes de A.

b) Cuantos elementos tiene P (A)?

c) Es P ({a, b}) un subconjunto de P (A)?

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d) Estudie la veracidad de las siguientes proposiciones:

1) P (A)2) a P (A)3) {a} P (A)

4) {a}5) P (A)6) P () P (A).

24. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justique su afirmacin:

a) {1, 2}b) {a, b} {a, {a, b}, b}c) {a} {, {a}}d) {a} P ({a, b, c, d})e) {a}

f ) a {, {a}}g) {a, b} = {, a, b}h) {a} {, {a}}i) {a, b} = {b, a}j ) {a, b} {a, b}

25. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera de un universo U . Indicar si las siguientesafirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

a) A B A B.b) A B A B.

c) A A B.d) Ac A.

26. Demostrar las siguientes propiedades:

a) A B = B A.b) A B = B A.c) A (B C) = (A B) (A C).d) Probar las Leyes de Morgan(para conjuntos).

e) (Ac)c = A.

f ) Probar que

A B Bc Ac.

27. Sea A un subconjunto fijo de un conjunto E y sea M = {X P (E)/A X = }.Probar que:

a) M y (E A) M .b) A M A = M = P (E).c) (X M)(Y E).d) [(X M) (Y M)] [(X Y ) (Y X)] M

28. En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las si-guientes respuestas:

30 personas tomaban te con leche.

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40 personas tomaban caf con leche.

80 personas tomaban leche.

130 personas tomaban te o leche.

150 tomaban caf o leche.

a) Cuntas personas tomaban te puro ?

b) Cuntas personas tomaban leche pura?

c) Cuntas personas tomaban cafe puro?

d) Cuntas personas no tomaban ninguna de estas tres cosas al desayuno?

29. En un curso de 22 alumnos: 11 estudian Ingls y 11 francs, 6 estudian alemn eingls; 3 estudian ingls y francs; 5 estudian alemn y francs; 2 estudian los tresidiomas. Cuntos alumnos estudian solo ingls?

30. Se tienen 3 conjuntos A,B y C que cumple las siguientes condiciones:

#(A B) = 3#(A C) = 3#(B C) = 4

#A = 8

#B = 12

#C = 10

#(A B C) = 1.

Determinar la cardinalidad de (A B C); (A B); (B C).

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